적분가능계

수학과 물리학에서 적분가능계(積分可能系, integrable system) 또는 가적계(可積系) 또는 가적분계(可積分系)는 대략 무한한 수의 운동 상수들이 존재하여, 완전히 풀 수 있는 계를 뜻한다. 여러 가지 정의가 있으나, 고전역학적 계의 경우 보통 리우빌 적분가능성(Liouville integrability)을 의미한다.

**리우빌 적분가능성**
리우빌 적분가능성은 해밀턴 계가 가질 수 있는 한 성질이다. 가 해밀턴 계라고 하고, 이 유한 차원이라고 하자. 만약 이 계가 ( 자체를 포함한) 개의 선형독립 운동 상수(또는 운동 적분(integrals of motion)) 를 가진다면, 이 계를 리우빌 적분가능(Liouville積分可能, Liouville integrable)이라고 한다. 만약 이 계가 개를 초과하는 선형독립 운동 상수들을 가진다면, 이 계를 초적분가능(超積分可能, superintegrable)이라고 한다.
만약 이 계가 개의 선형독립 운동 상수들을 가진다면, 이 계를 최대 초적분가능(最大超積分可能, maximally superintegrable)이라고 한다. 정적이지 않은 계는 개 이상의 선형독립 운동 상수들을 가질 수 없는데, 이는 초기 조건이 개 있고, 초기 시간은 운동 상수에 의하여 결정되지 않기 때문이다.

**작용각 좌표**
(리우빌) 적분가능계의 경우, 작용각 좌표(作用角座標, action–angle coordinates)라는 좌표들이 존재한다. 적분가능계  ()가 개의 운동 상수들을 가진다고 하자. 운동 상수들은 함수 로 나타낼 수 있다. 여기서 는 차원 미분다양체다. 즉, 은  위의 올다발을 이룬다. 에 대하여, 올 은 의 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. 즉, 의 로의 밂(pushforward)은 0이다.
 만약 가 콤팩트 연결 공간이라면, 는 차원 원환면과 미분동형이며, 이를 리우빌 원환면(Liouville torus)이라고 한다.
은 의 국소좌표 와, 이에 대한 정준 켤레 좌표인 의 국소좌표 로 좌표를 잡을 수 있다. 이를 작용각 좌표라고 한다. 여기서 는 작용 좌표(action coordinate), 를 각 좌표(angle coordinate)다.

**적분가능계의 예**

**고전역학에서의 적분가능계**
위상 공간이 유한 차원인 적분가능 고전역학계들은 다음과 같은 예들이 있다. 위상 공간이 2차원인 경우에는 (해밀토니언이 운동 상수이므로) 자동적으로 적분가능하다. 위상 공간이 4차원 이상인 경우에는 적분불가능한 계들이 존재한다.

**조화 진동자**
차원 조화 진동자. 3차원 조화 진동자는 사실 최대 초적분가능계인데, 이는 에너지와 각운동량 이외에도 프래드킨 텐서(Fradkin tensor)라는 운동 상수가 존재하기 때문이다.

**다체 문제**
케플러 문제(Kepler problem, 역제곱힘 이체 문제). 이는 사실 최대 초적분가능계이다. 이는 (이체 문제를 일체 문제로 변형시키면) 6차원 위상 공간에 정의돼 있지만, 그 운동 상수는 총 5개이기 때문이다. (이들은 에너지 , 각운동량 , 라플라스-룽게-렌츠 벡터 이며, 이들 사이에는 ,  두 개의 관계가 존재한다.)
역제곱힘 은 3체 이상의 경우 적분가능하지 않지만, 역세제곱힘 는 임의의 수의 입자에 대하여 적분가능하다. 이는 칼로제로-모저(Calogero–Moser) 모형의 특수한 경우다. 이 밖에도, 이를 변형한 칼로제로-서덜런드(Calogero–Sutherland) 모형 등이 있다.

**강체**
강체의 경우에는 라그랑주 팽이, 오일러 팽이, 코발렙스카야 팽이(Kovalevskaya Top) 세 개의 적분가능모형이 존재한다. 다른 강체들은 일반적으로 적분가능하지 않다.

**적분가능 2·3차원 장론**
수면파를 나타내는 장론들은 적분가능계인 경우가 많다. 이들은 솔리톤(안정된 수면파)을 포함한다.- 코르테버흐-더프리스 방정식- 부시네스크 방정식(Boussinesq equation, 긴 파장의 비선형 수면파를 나타내는 방정식)- KP(Kadomtsev–Petviashvili) 방정식 (2+1차원 수면파)
페르미온을 포함한 적분가능계와, 이들을 보손화하여 얻어지는 적분가능계들은 다음과 같다.- 사인-고든 방정식(sine-Gordon equation)과 티링 모형은 보손화로 서로 동형인 적분가능계이다.- 도다 장론(Toda field theory)- 비선형 슈뢰딩거 방정식(nonlinear Schrödinger equation)- 무질량 2차원 양자 전기역학 (=슈윙거 모형)- 2차원 양자 색역학
또한, 모든 2차원 등각 장론들은 무한한 등각 대칭으로 인해 적분가능계이다. 대표적으로 다음이 있다.- 베스-추미노-위튼 모형- 리우빌 장론- (초)등각 최소 모형

**격자 모형**
강자성을 나타내는 모형인 스핀 사슬(spin chain)들은 다음이 있다. 이들은 상전이 근처에서 등각 장론(보통 최소 모형)을 이룬다.- XXX 모형 (하이젠베르크 모형)- XXZ 모형 (하이젠베르크-이징 모형)- XYZ 모형- 임계 이징 모형- 3개 상태 포츠 모형(Potts model)
이 밖에도, 도다 격자는 연속적인 변수를 가지므로 스핀 사슬이 아니지만, 1차원 결정 격자의 진동을 나타내는 적분가능계이다.

**각주**
 서적 인용|이름=Maciej|성=Dunajski| title=Solitons, Instantons and Twistors| publisher=Oxford University Press| year = 2009-12-10|isbn=978-0-19-857062-2  
url=http://ukcatalogue.oup.com/product/9780198570622.do- 언어=en- 언어=en- 서적 인용|이름=Giuseppe|성=Mussardo|제목=Statistical Field Theory: An Introduction to Exactly Solved Models of Statistical Physics|출판사=Oxford University Press|isbn=978-0-19-954758-6|날짜=2009-08-27|기타=Oxford Graduate Texts|url=http://ukcatalogue.oup.com/product/9780199547586.do|언어=en|access-date=2013-06-22|archive-date=2013-06-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20130619154224/http://ukcatalogue.oup.com/product/9780199547586.do|url-status=dead- 언어=en- issn=0273-0979- 언어=en- bibcode=1997q.alg.....3023S- 언어=en- zbl=0853.35100- issn=0167-2789- arxiv=1012.3982- arxiv=1401.2122- 날짜=1997

**같이 보기**
 양-백스터 방정식(Yang–Baxter equation)- 히친 계- 럭스 쌍(Lax pair, Lax Péter Dávid)- 솔리톤

분류:동역학계
분류:해밀턴 역학
분류:편미분 방정식