로지스틱 사상

파일:LogisticCobwebChaos.gif|섬네일|300px|로지스틱 사상의 움직임을 거미줄 그림으로 나타낸 그림. 초기 조건을 0.2로 해 매개변수(그림의 r)을 1부터 4까지 늘렸을 때 일어나는 움직임의 변화가 애니메이션으로 나타난다.
로지스틱 사상(logistic map)이란 라는 이차 함수의 차분 방정식(점화식)으로 정해진 이산역학계이다. 단순한 이차 함수의 식이면서 매우 복잡한 움직임을 내는 것으로 알려져 있다. 로지스틱 맵2p=83이나 이산형 로지스틱 방정식(discrete logistic equation)p=82, 단순히 이차 사상족p=25이나 이차 함수족p=24라고도 불린다.
로지스틱 사상의 a는 매개변수라 불리는 상수, x가 변수로, 적당히 a의 값을 정하고 처음 x0을 정해 계산하면 x0, x1, x2, …라는 수열을 얻을 수 있다. 이 수열을 역학계 분야에서는 궤도라 부르고, 궤도는 a에 어느 값을 주는가에 따라 변화한다. 매개변수 a를 변화시키면 로지스틱 사상의 궤도는 하나의 값으로 떨어지거나, 몇 개의 값을 주기적으로 반복하거나, 혼돈이라 불리는 비주기적 변동을 보이거나 여러 모양으로 변화한다.
로지스틱 사상을 생물의 개체수를 나타내는 모델로 해 보는 입장에서는 변수 xn는 1세대, 2세대…라는 세대로 나타낸 개체수를 의미하고, 로지스틱 사상이란 현재의 개체수 xn로부터 다음 세대의 개체수 xn+1를 계산하는 식이다. 생물 개체수 모델로의 로지스틱 사상은 어느 생물의 개체수가 어느 환경 안에서 생식하고, 더욱이 그 환경과 외부와의 사이에서 개체의 이출입이 없는 상황을 상정하고 있고, xn는 정확히는 개체수 그 자체가 아닌, 그 환경 안에 존재 가능한 최대 개체수에 대한 비율을 의미한다. 미분방정식으로 개체수를 모델링하는 로지스틱 방정식의 이산화로부터도 로지스틱 사상은 유도 가능하고, '로지스틱 사상'이라는 이름도 그것에서 유래한다.
이차 함수의 역학계로의 연구는 20세기 초반부터 있었으나, 1970년대, 특히 수리생물학자 로버트 메이의 연구에 의해 로지스틱 사상은 널리 알려지게 됐다. 메이 이외에도 스타니스와프 울람과 존 폰 노이만, Pekka Myrberg, Oleksandr Sharkovsky, Nicholas Metropolis, 미첼 파이겐바움 등이 로지스틱 사상의 움직임 해명에 관한 일을 하였다.

**정의와 배경**
단순히 말하면 로지스틱 사상이란 다음과 같은 이차 함수이다p=14.
식 안의 a는 상수를 의미하고 매개변수라 불린다p=19. a 이외에는 μ나 r이나 λ를 매개변수의 기호로 사용하는 경우도 있다3p=238.
식 (1-1)에 대해 먼저 상수 a의 구체적인 수치를 결정한다. 더욱이 변수 x의 값을 적당히 정하고, 식에서 y의 값을 계산한다. 그리고, 얻은 y의 값을 새로운 x의 값으로 보고 식을 대입해 새로운 y의 값을 계산한다. 이러한 계산을 반복하는 것이 로지스틱 사상을 사용하는 것이다p=14. 예시로 a를 2, 처음의 x를 0.01로 했을 때의 반복 계산을 5회째까지 행하면 이하의 표처럼 된다p=4.
로지스틱 사상 자체는 중학교에서 배우는 딱히 특별한 것 없는 이차 함수이고, 계산 자체도 중학생도 가능할 정도의 수준이다2p=98. 반복의 계산도 계산기로 가능하고, 컴퓨터의 스프레드시트를 사용하면 더욱 간단하게 가능하다pp=14, 34.
로지스틱 사상은 점화식 혹은 차분 방정식의 형식으로 다음과 같이도 쓸 수 있다2p=2.
의 값을 정하면 이 차분 방정식에 따라 그 뒤의 변수의 값 x1, x2, x3,…이 순차적으로 계산 가능하다pp=15–16. 이러한 수열을 만드는 차분 방정식을 역학계(다이내미컬 시스템)이라고도 부른다p=20. 역학계란 시간과 함께 상태가 변화하는 계(시스템)으로, 특히 현재의 상태가 정해지면 그 후의 상태도 일의적으로 정해지는 계를 가리킨다p=5. 차분 방정식 (1-2)과 같은 형식으로 정의된 역학계는 특히 이산 역학계라고 불린다pp=20–21.
역학계적인 시점에서는 변수 xn의 밑첨자 n을 시각이나 시간으로 부른다2p=51. 수열의 초기 조건 x0은 초기 조건이라 불린다.p=15 변수의 시간 변화의 모습을 명확한 전문용어는 아니나, 움직임이라 부른다.pp=20, 230 그러나 시각 n은 물리적인 시간을 정말로 의미하고 있는 것은 아니고, 어떠한 현상의 진행을 표시하고 있는 편의적인 레이블이다.p=51
나중에 후술하듯이, 로지스틱 사상은 생물의 개체수의 변화를 생각하는 식으로 세상에 알려진 측면을 가진다.p=17 이 경우, xn는 어느 세대의 생물의 개체수를 서식 환경에서 가능한 최대 서식 개체수로 나눈 값을 의미하고 있다.p=5 차분 방정식(1-2)에 의해 n세대째의 개체수부터 n+1세대째의 개체수가 계산이 가능하다는 것이 생물 개체수 모델로의 로지스틱 사상의 의미이다.p=62 개체수가 증가하면 개체수의 증가 속도는 감소하는 것으로, 이 효과를 로시특 사상에서는 (1 − xn)라는 항으로 도입하고 있다.p=18 예를 들면, 어느 세대에서 개체수가 최대 서식 개체수에 가깝고, 라고 하면 항 (1 − xn)는 0에 매우 가까운 수치로 되므로, 다음 세대의 개체수 xn+1은 급격하게 감소하는 것으로 된다.p=19
'로지스틱 사상'의 이름에서 나오는 사상이란 어느 집합의 원소를 또 어느 집합의 원소에 대응시키는 규칙을 가리키는 용어이다.loc=역주 함수와 비슷한 것이나, 함수를 수 이외의 집합도 다루는 경우도 포함해 더욱 일반화한 것이 사상이라 할 수 있다. 사상이라는 시점에서는 로지스틱 사상은 실수의 한 점을 실수의 한 점으로 대응시키는 규칙이라고 할 수 있다.2p=16 단, '함수'와 '사상'에 수학 전체에서 공유되는 엄밀한 구분은 존재하지 않고, 실제로 어느 쪽의 말을 사용할지는 각 분야의 관습에 의한 것이 크다. 역학계 분야에서는 식 (1-2)와 같은 차분 방정식을 사상으로 잡아 사상이라는 말로 부르는 경우도 많다.5p=123
로지스틱 사상을 사상의 형태로 표현하면
이나
와 같이 나온다.2p=217 사상이 매개변수 a에 의존하고 있는 것을 명확히 하기 위해
와 같이 사상의 기호에 매개변수 기호의 첨자를 붙여 나타내는 경우도 있다.2pp=142–143 식 (1-3))이나 식 (1-4)와 같은 사상으로의 표현은 식 (1-2)와 같은 차분 방정식의 표현과 실질적으로 동등하나, 시각 n을 하나하나 적지 않아도 되는 편리성도 있기에 종종 사용된다.pp=26–27
이산 역학계의 수열 x0, x1, x2,…은 사상 f를 반복해 적용시켜 만들어낸다는 것으로도 볼 수 있다.2p=2 초기 조건을 x0라고 하면
와 같이 수열은 x0에 사상을 반복해 적용시켜 만들어진 것으로도 적을 수 있다.p=11 이와 같이 사상을 반복해 적용시키는 조작을 사상의 반복(iteration) 등으로 부른다.2p=57 간단하게 표기하기 위해 사상의 반복을
와 같이 적는다.p=6 f n (x0)으로 x0에 대한 f의 n회 반복을 의미하고 있다.p=2 그리고 차분 방정식으로부터 얻어지는
라는 열, 혹은 사상의 반복으로부터 얻어지는
라는 열을 역학계에서는 궤도라고 부른다.2p=6 역학계라는 분야의 관심은 주어진 역학계의 궤도의 움직임을 연구하는 것이다.
입력과 결과가 단순한 비례 관계로 이어져있는 시스템을 선형이라고 하고, 비례 관계로 나타내는 것이 불가능한 시스템을 비선형이라고 한다.pp=21–23 로지스틱 사상은 생각할 수 있는 한 가장 단순한 비선형 함수인 2차 함수로 정의된다.2p=14 그러나 그 꽤나 간단한 식과는 정반대로 로지스틱 사상은 꽤나 복잡한 움직임을 만들어낸다.p=35 2차 함수의 반복 계산이라는 설정이 현대 수학의 주제의 하나로, 다양한 수학 이론을 야기한다.2p=13 후술하듯이 로지스틱 사상에서는 혼돈(카오스)이라는 현상이 나타나고, 혼돈 입문으로 적합한 제재이기도 하다.pp=14–15

**정의역과 그래프**
파일:Graph of logistic map.png|섬네일|right|270px|로지스틱 사상의 그래프. (xn+1과 xn의 함수) 그래프는 포물선의 형태를 하고 있고, 매개변수 a가 변하면 포물선의 꼭짓점이 바뀐다.
전술했듯이, 로지스틱 사상에서는 생물의 개체수의 변동을 생각하는 모델로의 측면이 있다. 이때, 로지스틱 사상의 변수 x는 생물의 개체수를 최대 서식지로 나눈 값이었으므로 x가 취할 수 있는 수치는 0 ≤ x ≤ 1의 사이로 한정된다.p=347 그러한 사정도 있고, 로지스틱 사상의 변수의 범위를 닫힌구간 0, 1로 한정해 그 움직임이 의논되는 경우가 많다.4pp=15–17
변수를 항상 0 ≤ x ≤ 1으로 한정하려 하면 필연적으로 매개변수 a가 취하는 범위는 0부터 4까지 (0 ≤ a ≤ 4)로 한정된다.pp=16–17 왜냐하면, xn이 0, 1의 범위 내에 있으면 xn+1의 최댓값은