원환 다양체

대수기하학에서 원환 다양체(圓環多樣體, toric variety)는 대수적 원환면 을 조밀하게 포함하여, 그 작용을 다양체 전체에 정의할 수 있는 대수다양체이다.

**정의**
체 가 주어졌다고 하자.
위의 원환 다양체 는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.- -대수다양체 - 군의 작용  (는 의 가역원군)
이들은 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.- 자리스키 조밀 열린집합 이 존재하여, 가 과 (-대수다양체로서) 동형이며, 에 대한 군 작용이 이 위상 동형 아래 복소수의 곱셈이어야 한다.

**부채**
많은 경우, 복소수체 위의 원환 다양체는 부채(팬)라는 데이터로 표현될 수 있다.
강볼록 유리 다면뿔(強볼록有理多面뿔, strongly convex rational polyhedral cone) 은 다음 성질을 만족하는 부분 집합이다.- (강볼록 조건) - (스칼라곱에 대한 닫힘) 이고 라면 - (덧셈에 대한 닫힘) 는 덧셈 모노이드이다. 즉, 라면 이다.- (유리 벡터에 의한 생성) 가 되는 유한 집합 이 존재한다.
다면뿔 의 면(face)들은 다음과 같은 꼴의 부분 집합들이다.- 가 실수 선형 변환이고, 이라면, .
부채 는 다음 성질을 만족하는 강볼록 유리 다면뿔들의 집합이다.- (면에 대한 닫힘) 이고 가 의 면 가운데 하나라면, .- (교집합에 대한 닫힘) 라면, 는 의 면 가운데 하나이고, 또한 의 면 가운데 하나이다. (은 모든 다면뿔들의 면이다.)
강볼록 유리 다면뿔에 대응하는 원환 다양체는 다음과 같다. 다면뿔 의 격자점 들은 덧셈에 대하여 유한 생성 모노이드를 이룬다. (여기서 는 다면뿔 의 변의 수이다.) 마찬가지로, 다면뿔 의 쌍대뿔  또한 유한 생성 모노이드를 이룬다. 쌍대뿔의 기저 를 잡고, 다음과 같은 사상을 정의하자.


다면뿔 에 대응하는 아핀 원환 다앙체는 의 상을 포함하는 최소 대수다양체 (자리스키 위상에 대한 닫힘)이다.
부채 에 대응하는 원환 다양체는 부채에 속한 다면뿔들에 대응하는 아핀 원환 다양체들을 짜깁기하여 얻는다. 여기서, 같은 면(부분뿔)을 공유하는 두 뿔에 대응하는 두 아핀 원환 다양체들의 경우, 면에 대응하는 자리스키 열린집합을 서로 이어붙인다.

**다면체에 대응하는 원환 다양체**
꼭짓점이 격자점 인 볼록 고차 다면체가 주어졌다고 하자. 이 경우, 각 차원 면에 대응하는, 안쪽을 향하는 수직 벡터를 생각할 수 있다. 그렇다면, 각 차원 면은 이 수직 벡터로 생성되는 1차원 뿔, 두 차원 면이 공유하는 차원 변은 두 수직 벡터로 생성되는 2차원 뿔 등등을 정의할 수 있다. 이는 부채를 이룬다. 볼록 다면체에 대응되는 원환 다양체는 다면체에 대응하는 부채에 대응하는 원환 다양체다.
즉, 다면체 에 대응되는 원환 다양체 에 대하여, 표준적인 전사 함수

가 존재한다. 이 사상에서, 임의의 점 x\in P에 대응되는 올은 (만약 가 차원 면에 속한다면) 의 꼴이다. 의 (유일한) 내부는 의 자리스키 조밀 열린집합 에 해당하며, 따라서 이다. 이는 운동량 사상의 특수한 경우이다.

**연산**
두 원환 다양체의 곱공간 역시 원환 다양체이다.
원환 다양체의 특이점 해소(resolution of singularities) 역시 원환 다양체이며, 이는 원래 원환 다양체에서 일부 뿔들을 더 작은 뿔들로 분할하여 얻어진다.

**성질**
속의 부채 로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.Theorem 9.1(1)§4.2- 에 대응하는 원환 다양체에 복소수 위상을 부여했을 때, 콤팩트 공간이다.- 이다. 즉, 부채에 속하는 뿔들의 합집합은  전체이다.
속의 부채 로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.Theorem 9.1(2)- 에 대응하는 원환 다양체에 복소수 위상을 부여했을 때, 매끄러운 다양체이다.- 모든 뿔 에 대하여, 은 유한 생성 자유 가환 모노이드이다.
속의 부채 로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.Theorem 9.1(2)- 에 대응되는 원환 다양체는 사영 대수다양체이다.- 는 의 유한 부분 집합의 볼록 껍질에 대응되는 부채이다.
속의 부채 로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.§4.3- 에 대응되는 원환 다양체는 칼라비-야우 다양체이다 (즉, 표준 인자가 0이다).- 에 속하는 모든 1차원 뿔들을 생성하는 정수 계수 벡터들 이 모두 하나의 차원 초평면 위에 존재하게 잡을 수 있다. 즉,  인 실수 선형 변환 가 존재한다.
특히, 만약 이라면, 칼라비-야우 원환 다양체의 복소수 위상은 콤팩트 공간일 수 없다.§4.3

**예**
편의상 유클리드 공간 의 표준 기저를 으로 표기하자. 여기서 는 임의의 체이다.

**원환면**
(K^\times)^n은 자명하게 원환 다양체를 이룬다. 이는 다음과 같은 0차원 뿔에 대응된다.


의 쌍대뿔은 이며, 이는

에 의하여 생성된다. 따라서 이에 대응되는 아핀 원환 다양체는

이다.

**아핀 공간**
다음과 같은, 하나의 뿔만으로 구성되는 부채를 생각하자.Example 5.1

즉, 이는 의 “2n분면”이다.
이는 스스로의 쌍대뿔과 같으며, 표준 기저

에 의하여 생성된다. 이에 대응하는 원환 다양체는 차원 아핀 공간

이다.
예를 들어, 아핀 평면 는 다음과 같은 부채에 대응된다.


**사영 공간**
모든 사영 공간은 원환 다양체이며, 차원 사영 공간에 대응되는 다면체는 차원 단체이다.
구체적으로, 의 표준 기저 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

을 정의하고, 다음과 같은 개의 뿔들로 생성되는 부채를 생각하자.Example 8.4

즉, 이 부채는 의 개의 진부분 집합에 대응되는 뿔들로 구성된다. 이 가운데 차원의 뿔들은 개가 있으며, 이는 사영 공간의 크기 의 아핀 열린 덮개에 해당한다. 구체적으로, 차원 뿔의 쌍대뿔들은 다음과 같다.- 는 으로 생성된다.
** 이에 대응되는 모노이드 대수는 이다.- 에 대하여, 는 로 생성된다. (은 이 항만을 생략하라는 뜻이다.)
** 이에 대응되는 모노이드 대수는 이다.
즉, 사영 공간의 동차 좌표를

이라고 한다면, 이는


에 해당한다. 각 는 아핀 공간 에 대응되며, 이들을 짜깁기하면 사영 공간 을 얻는다.

**사영 직선**
다음과 같은  속의 부채를 생각하자.Example 8.3

즉, 그 뿔들은 다음과 같다.



이 경우, 의 쌍대뿔은  자신이며, 그 모노이드 대수는

이다. 마찬가지로
의 경우

이다. 또한, 의 모노이드 대수는 로랑 다항식환

이다. 환 준동형

에 대응하는 자리스키 열린집합은 아핀 공간 \mathbb A^1_K의 부분 집합 
이다. 따라서, 이는 와 를 이어붙인 대수다양체, 즉 사영 직선 을 정의한다.

**사영 평면**
예를 들어, 사영 평면 는 다음과 같은 부채에 대응된다.

이 부채는 다음과 같은 직각 이등변 삼각형에 대응된다.
파일:U+25F9.svg
부채로 정의되는 사영 평면의 구체적 아핀 덮개
구체적으로, 이는 세 개의 2차원 뿔로 구성되므로, 다음과 같은 세 개의 아핀 열린집합으로 덮여진다. 이 뿔은 (x축부터 시계 반대 방향으로) 다음과 같다.- 뿔 1: 이는 (1,0)과 (0,1)로 생성되며, 스스로의 쌍대뿔이다. 따라서, 이는 아핀 스킴 에 해당한다.
** 뿔 1과 뿔 2 사이의 1차원 뿔의 쌍대뿔은 (1,0), (−1,0), (0,1)로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 에 해당한다.- 뿔 2: 이 뿔의 쌍대뿔은 (1,−1)과 (−1,0)으로 생성된다. 따라서, 이는 아핀 스킴 에 해당한다.
** 뿔 2와 뿔 3 사이의 1차원 뿔의 쌍대뿔은 (−1,0), (1,−1), (−1,1)으로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 에 해당한다.- 뿔 3: 이 뿔의 쌍대뿔은 (0,−1)과 (1,−1)로 생성된다. 따라서, 이는 아핀 스킴 에 해당한다.
** 뿔 3과 뿔 1 사이의 1차원 뿔의 쌍대뿔은 (1,0), (0,1), (0,−1)으로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 에 해당한다.
*** 뿔 1〜3 사이의 0차원 뿔의 쌍대뿔은 (0,1), (0,−1), (1,0), (−1,0)으로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 에 해당한다.
여기서 아랫첨자는 해당 원소로 생성되는 곱셈 모노이드에 대한 국소화이다. 이는 아핀 스킴 사이의 열린 몰입을 정의하며, 이는 아핀 열린 덮개의 짜깁기 사상이다.

**코니폴드**
코니폴드는 다음과 같은  속의 3차원 뿔에 의하여 정의되는 아핀 원환 다양체이다.§4.1, (54)

이를 정의하는 네 벡터들은 모두 평면  위에 속하므로, 이는 칼라비-야우 다양체이다.
이 뿔에 대응되는 쌍대뿔은

이다. 따라서, 이를 생성하는 격자점은
(1,−1,0), (1,0,−1), (0,0,1), (0,1,0)
이다. 이들 사이의 유일한 관계는
(1,−1,0) + (0,1,0) = (1,0,−1) + (0,0,1)
이다. 따라서, 이에 대응되는 아핀 스킴(코니폴드)은

이다.§2.1, (15) 의 표수가 2가 아니라면,




를 정의하여, 이를

로 적을 수 있다.

**오비폴드**
다음과 같은 2차원 부채는 오비폴드 를 나타낸다.Figure 2(a) (2차 순환군 은 와 같이 작용한다.)

이 2차원 뿔 는 스스로의 쌍대뿔이며, 과 과 에 의하여 생성된다.

이므로, 이는 아핀 대수다양체

를 정의한다. 기하학적으로, 이는 2차 초곡면인 뿔이다.
사실, 아핀 공간  위에 2차 순환군의 작용

의 작용에 대한 몫은 기하 불변량 이론 몫으로서 다음과 같은 가환환의 스펙트럼이다.

여기서 는 의 작용에 대하여 불변인 원소로 구성된 부분환이다. 이는

로 생성되며, 이 사이의 관계는

밖에 없다. 따라서, 이는 스킴의 동형 사상


을 갖는다.

**델 페초 곡면**
다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 을 나타낸다.Figure 2(b)

구체적으로, 이는 사영 평면에서, 세 2차원 뿔 가운데 하나를 세분한 것이다. 이는 이 점에서의 부풀리기에 해당한다.
다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 을 나타낸다.Figure 2(b)

다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 을 나타낸다.

이것이 두 사영 직선의 곱임은 부채로부터 쉽게 확인할 수 있다.

**응용**
원환 다양체의 구성은 끈 이론에서 콤팩트화에 사용되는 칼라비-야우 다양체를 구성할 때 자주 사용된다. 특히, 거울 대칭은 원환 다양체의 부채에 대한 연산으로 깔끔하게 표현될 수 있다.

**참고 문헌**

**외부 링크**
 title=Toric variety- title=Toric variety- title=Noncommutative toric variety
분류:대수기하학