요르단 대수

추상대수학에서 요르단 대수(Jordan代數, Jordan algebra)는 교환 법칙을 따르지만 결합 법칙을 따르지 않을 수 있는 쌍선형 이항 연산을 갖춘 대수 구조의 일종이다.

**정의**

**쌍선형 형식을 통한 정의**
2가 가역원인 가환환  위의 요르단 대수 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.- -가군 - 교환 법칙을 만족시키는 쌍선형 이항 연산 - 이 이항 연산의 항등원 
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.- (요르단 항등식 Jordan identity) 
(일부 문헌에서는 항등원의 존재를 요구하지 않는다.)

**이차 형식을 통한 정의**
가환환 K 위의 요르단 대수 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.- -가군 - 원소 - 함수 , 
이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.-  ()
또한, 이 공리들은 의 임의의 스칼라 확장 에 대하여 성립하여야 한다.
만약 2가 가역원일 때, 이 정의는 첫째 정의와 동치이다. 그러나 이 정의는 만약 2가 가역원이 아닐 경우에도 잘 정의된다. 이 경우, 두 정의는 다음과 같이 대응된다.
그러나 이 두 정의가 서로 동치임을 증명하는 것은 전혀 자명하지 않다.

**연산**

**직합**
같은 가환환  위의 두 요르단 대수 , 가 주어졌을 때, 그 직합 을 정의할 수 있다. -벡터 공간으로서 이는 벡터 공간의 직합이며, 그 위의 연산은 다음과 같이 성분별로 정의된다.

두 요르단 대수의 직합으로 표현될 수 없는 요르단 대수를 기약 요르단 대수(irreducible Jordan algebra)라고 한다. 모든 유한 차원 요르단 대수는 기약 요르단 대수의 직합으로 분해되며, 이러한 분해는 (순서를 제외하면) 유일하다.38, §5

**몫**
가환환  위의 요르단 대수 의 요르단 아이디얼(Jordan ideal)은 다음과 같은 -부분 가군 이다.
로서, 이 조건은 마찬가지로 다음과 같다.
요르단 아이디얼이 주어졌을 때, 요르단 대수의 몫 요르단 대수(quotient Jordan algebra)

를 취할 수 있다. 반대로, 임의의 전사 요르단 대수 준동형 이 주어졌을 때, 그 핵 은 요르단 아이디얼을 이룬다.
요르단 아이디얼은 (라면) 1을 포함하지 않으므로, 부분 요르단 대수를 이루지 않는다.
정확하게 두 개의 아이디얼()을 갖는 요르단 대수를 단순 요르단 대수(單純Jordan代數, simple Jordan algebra)라고 한다.

**동위 연산**
가환환  위의 요르단 대수 의 임의의 원소 에 대하여, 가 전단사 함수라고 하자 (즉, U_u\in\operatorname{GL}(A;K)). 그렇다면,  위에 다음과 같은 새 요르단 대수 구조를 정의할 수 있다.

만약 라면, 새 이항 연산 \bullet^{(u)}은 다음과 같다.

이 요르단 대수 구조를 라고 하며, 이를 의 동위(同位, isotope)라고 한다.233, Proposition Ⅱ.7.2.1(1–2) (가 가역원이라는 조건은 의 항등원이 존재하기 위해 필요하다.)
동위 연산은 다음 조건들을 만족시킨다.


이에 따라, 동위성은 동치 관계를 이룬다.233, Proposition Ⅱ.7.2.1(4)

**피어스 분해**
요르단 대수 에서, 만약 어떤 원소 가 를 만족시킨다면, 다음 항등식이 성립한다.

이에 따라서, 만약 이며 가 유한 차원이라면, 에 의한 왼쪽 곱셈 사상 의 고윳값은 0, 1, 또는 ½이며, 는 다음과 같이 고유 공간으로 분해된다.

이를 피어스 분해(Peirce decomposition)라고 한다.

**구조 리 대수**
가 2의 가역원이 존재하는 가환환이며, 가 그 위의 요르단 대수라고 하자. 이룬다고 하자. 그렇다면, 이 경우 요르단 항등식에 따라서

이 성립함을 보일 수 있다. 여기서

이며, 리 괄호는 \mathfrak{gl}(A;K)의 것이며, 은 의 미분 리 대수이다.
이에 따라서, -벡터 공간

위에 다음과 같은 리 괄호를 주어 -리 대수로 만들 수 있다.



이를 요르단 대수 의 구조 리 대수(構造Lie代數, structure Lie algebra)라고 한다.12, §Ⅰ.0.3
물론, 의 항등원 은 자명하게 작용하므로, 이를 제거하여 1차원 더 작은 -리 대수

를 정의할 수 있다.

**성질**
일반적으로, 요르단 대수는 결합 법칙을 따르지 않는다. 다만, 요르단 항등식에 따라, 요르단 대수 에서 다음이 성립한다.- (멱결합성 power-associativity) 임의의 원소 에 대하여, 로 생성되는 부분 요르단 대수는 결합 법칙을 따른다. 특히,  ()과 같은 표현이 잘 정의된다.
두 명제의 증명:
편의상, 결합자

를 정의하자.
우선, 교환 법칙에 의하여, 다음이 항상 성립한다.


요르단 항등식에 의하여,

를 전개하고, 에 비례하는 항만을 추출하면, 다음을 얻는다.

수학적 귀납법을 사용하여, 에 대하여 이 잘 정의된다고 하자. 이제,

임을 보이면 족하다. 그런데 위 항등식을 통해

이므로, 이를 통해

이다. 그런데 로 놓으면

이 되어, 즉 이 된다.

**맥도널드 원리**
3개의 (비가환, 비결합) 변수에 대한 다항식 이 주어졌다고 하자. 만약- 가 에 대하여 1차 이하이며,- 가 결합 대수를 이루는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다면,
는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다. 이를 맥도널드 원리(Macdonald principle)라고 한다.199, Theorem Ⅱ.5.1.1 이는 자유 요르단 대수를 통해 증명될 수 있다.

**형식적 실수 요르단 대수**
형식적 실수 요르단 대수(formally real Jordan algebra)는 다음 조건을 만족시키는 요르단 대수 다.
임의의 에 대하여, 이다.

**분류**
실수에 대한 유한 차원 형식적 실수 요르단 대수는 모두 분류되었다. 이러한 요르단 대수들은 단순 요르단 대수(simple Jordan algebra)의 직합으로 나타낼 수 있다.
단순 요르단 대수들의 목록은 다음과 같다.-  실수 정사각행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 이다.-  복소 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 이다.-  사원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 이다.- 으로 생성되고 조건 을 만족시키는, 단위원을 갖춘 자유 요르단 대수. 이는 차원 요르단 대수이며, 스핀 인자(spin factor) 또는 클리퍼드형 대수(Clifford-type algebra)라고 한다. 이는 클리퍼드 대수와의 유사성 때문이다.-  팔원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 이다. 이를 예외 요르단 대수(exceptional Jordan algebra) 또는 앨버트 대수(Albert algebra)라고 한다. 이는 미국의 수학자 에이브러햄 에이드리언 앨버트의 이름을 딴 것이다.
여기서, 다음과 같은 동형이 성립한다.
50, §12
50, §13
구체적으로,



로 잡으면,

임을 알 수 있다 (는 크로네커 델타).

**예**

**자명한 요르단 대수**
임의의 가환환 에 대하여, 0차원 또는 1차원 -자유 가군 위에는 유일한 (항등원을 갖는) 요르단 대수 구조가 존재한다. 이들은 물론 결합 법칙 및 교환 법칙을 따른다.

**결합 대수에 대응되는 요르단 대수**
표수가 2가 아닌 체  위의 임의의 결합 대수 가 주어졌을 때,

를 정의하면, 이는 요르단 대수를 이룬다.
증명:
요르단 항등식을 증명하면 족하다.


이는 -결합 대수의 범주에서 -요르단 대수의 범주로 가는 함자

를 정의한다.

**자유 요르단 대수**
주어진 체 위의 요르단 대수의 개념은 대수 구조 다양체를 이루며, 따라서 자유 요르단 대수(free Jordan algebra)의 개념이 존재한다. 즉, 망각 함자

의 왼쪽 수반 함자가 존재한다.
0개의 원소로 생성되는 (항등원을 갖는) 자유 요르단 대수는 1차원 -벡터 공간이다.
하나의 원소 로 생성되는 자유 요르단 대수는 단순히 다항식환 이다.

**응용**
요르단 대수의 개념은 이론물리학에 사용된다.

**역사**
파일:Pascual Jordan 1920s.jpg|섬네일|right|파스쿠알 요르단 (1920년대 사진)
파스쿠알 요르단이 1933년에 도입하였다. 요르단은 원래 양자역학의 관측 가능량의 대수를 다루기 위하여 도입하였다. 가 에르미트 관측 가능량이라면  또한 관측 가능량이고, 이들은 단순 요르단 대수를 이룬다.
이후 케빈 맥크리먼(Kevin McCrimmon)이 표수 2에 대한 요르단 대수의 “올바른” 정의를 발견하였다. 이에 대하여 맥크리먼은 다음과 같이 적었다.

**같이 보기**
 요르단 삼항 대수

**각주**

**외부 링크**
 title=Jordan algebra- title=Jordan algebra- title=Special Jordan algebra- title=Exceptional Jordan algebra- id=Jordan algebra- id=Albert algebra- id=Jordan–Banach algebras- url-status=dead
분류:비결합대수