위상 K이론

대수적 위상수학에서 위상 K이론(位相K理論, topological K-theory)은 위상 공간 위의 벡터 다발을 연구하는 분야이다. 보다 일반적인 K이론의 특수한 경우다.

**정의**

**벡터 다발을 통한 정의**

**0차 K군**
다음이 주어졌다고 하자.- 콤팩트 하우스도르프 공간 - 기호 . 이에 대하여,
** -벡터 다발은  위의 (유한 차원, 연속) 실수 벡터 다발이다. (O는 직교군을 뜻한다.)
** -벡터 다발은  위의 (유한 차원, 연속) 복소수 벡터 다발이다. (U는 유니터리 군을 뜻한다.)
** -벡터 다발은  위의 (유한 차원, 연속) 실수 짝수 차원 벡터 다발 가운데, (만약 차원이라면) --주다발의 연관 벡터 다발로 표현되는 것이다. (Sp는 심플렉틱 군을 뜻한다.)
그렇다면,  위의 -벡터 다발

들의 동형류들의 집합을 생각할 수 있다. 이는 직합을 통하여 가환 모노이드를 이루며, 인 경우 텐서곱을 통하여 가환 반환을 이룬다. (직합에 대한 항등원은 자명한 0차원 벡터 다발이며, 텐서곱에 대한 항등원은 자명한 1차원 실수 또는 복소수 벡터 다발이다.)
의 에 대한 K군(K-group) 는  위의 -벡터 다발들의 그로텐디크 군이다. 만약 라면, 이는 가환환을 이룬다.
흔히, 만약 를 생략하였다면, 를 뜻한다.

**축소 K군**
가 점을 가진 공간이라고 하자. 그렇다면 축소 K군(縮小K群, reduced K-group) 는 다음과 같다. 다음과 같은 준동형이 존재한다.

그렇다면

이다.
벡터 다발의 차원에 해당하는, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

여기서 는 정수 계수를 가지는 체흐 코호몰로지다. 만약 가 연결 공간이라면 이다. 이 경우 이며, 벡터 공간 은 차원 벡터 다발들이 이루는 그로텐디크 군이다.
상대 K군(relative K-group)은 상대 호몰로지와 유사한 개념으로, 다음과 같다. 가 부분 공간이라고 하자. 그렇다면 의 에 대한 상대 K군 는 다음과 같다.

여기서 의 점은 물론 이다.
가 (콤팩트하지 않을 수 있는) 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 그렇다면, 콤팩트 지지 K군(K-group with compact support) 는 그 알렉산드로프 콤팩트화 의 축소 K군이다.

물론, 만약 가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면,

이다.

**고차 K군**
−n차 축소 K군 는 다음과 같다.

여기서 는 위상 공간의 분쇄곱이고, 은 차원 초구다. 여기서 이므로, 의 정의는 일관적이다. 또한 이므로, 이다.
−n차 (비축소) K군 는 그 알렉산드로프 콤팩트화 의 축소 K군이다.

고차 축소 K군들은 주기적이다. 즉, 다음이 성립한다.- .
이를 보트 주기성(Bott periodicity)이라고 한다. 보트 주기성을 사용하여 양의 정수차 K군 ,  등을 정의할 수 있다.

**안정 벡터 다발을 통한 정의**
콤팩트 하우스도르프 공간 가 주어졌다고 하자.  위의 두 (유한 차원, 연속) 복소수 벡터 다발 ,  사이에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

여기서 은 차원 자명한 복소수 벡터 다발이며, 우변의 은 연속 복소수 벡터 다발의 동형이다.
이 동치 관계에 대한 동치류를 안정 벡터 다발(安定vector다발, stable vector bundle)이라고 한다. 안정 벡터 다발들은 직합에 대하여 가환 모노이드를 이루며, 이는 사실 아벨 군이다. 이를 의 0차 축소 K군 이라고 한다.

**분류 공간을 통한 정의**
기호 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 리 군의 포함 관계

에 대한 분류 공간의 포함 관계

가 존재한다. 구체적으로, 이는 어떤 위상 공간  위의 -벡터 다발 가 주어졌을 때, -벡터 다발 를 취하는 것이다 (는 자명한 1차원 또는 2차원 벡터 다발). 이에 따라서, 귀납적 극한

를 취할 수 있다.
이들은 구체적으로 다음과 같이 표현된다. 직교군 의 분류 공간 은 무한 차원 실수 벡터 공간에서 원점을 지나는 차원 부분 공간들의 공간(그라스만 다양체)이며, 유니터리 군 의 분류 공간 은 무한 차원 복소수 벡터 공간에서 원점을 지나는 복소수 차원 부분 공간들의 공간이다.
가 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간이라고 하자. 그렇다면, 의 K군은 다음과 같다.

여기서 는  호모토피류들의 집합이다.
만약, 가 차원 연결 공간이고 일 때,


이 성립한다.

**성질**

**함자성**
가 적절한 위상 공간의 범주(예를 들어, 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주)라고 하자. 그렇다면, 위상 K이론은 다음과 같은 함자를 정의한다.



여기서- 는 위상 공간의 호모토피 범주이다.- 은 가환환의 범주이다.- 은 가환군의 범주이다.- 은 반대 범주이다.
즉, 연속 함수 가 주어지면, 이에 따라 환 준동형 가 존재한다.
또한, 축소 위상 K이론은 다음과 같이 점을 가진 공간의 범주 위의 함자를 정의한다.



특히, 위상 K이론은 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 공간들의 K군들은 동형이다.

**보트 주기성**
다음이 성립한다.



분류 공간으로서, 이는 다음과 같은 호모토피 동치에서 기인한다.




**코호몰로지**
위상 K이론은 코호몰로지에 대한 에일렌베르크-스틴로드 공리들을 차원 공리를 제외하고 모두 만족시킨다. 따라서, 위상 K이론은 특수(extraordinary) 코호몰로지 이론을 이룬다. (차원 공리에 따르면 이어야 하지만, K이론에서는 이다.)

**천 지표**
천 지표 는  위의 벡터 다발들의 가환 모노이드 로부터 짝수 차수 유리수 코호몰로지 로 가는 모노이드 준동형이다.40–45100–102 이는 그로텐디크 군 연산을 통해, 다음과 같은 환 준동형 로 확장된다. 즉, 라고 하면,




이다. 다시 말해, 천 지표는 K이론에서 코호몰로지로 가는 준동형이다. 마찬가지로, 축소 K이론에서 축소 코호몰로지로 가는 준동형  또한 존재한다.
고차 K이론의 경우에도 천 지표를 정의할 수 있다.102


이므로, 이를 사용하여 천 지표를

로 확장시킬 수 있다. 대부분(유한 CW 복합체)의 경우, 천 지표는 와  사이의 동형 사상이다. 즉, 다음과 같은 동형 사상이 성립한다.7


마찬가지로, 실수 K군의 경우 다음이 성립한다.7


**예**

**축약 가능 공간**
하나의 점을 포함하는 공간 의 K군들은 다음과 같다.



K이론은 호모토피 불변량이므로, 모든 콤팩트 하우스도르프 축약 가능 공간의 K군은 1점 공간 의 K군과 같다.
이에 따라, 축소 K군의 경우


임을 알 수 있다.

**초구**
초구 의 (비축소) 복소수 K군들은 다음과 같다.39




초구의 축소 복소수 K군들은 다음과 같다.


초구의 축소 실수 K군들은 다음과 같다.§3.1


**기타 공간**
복소수 사영 공간 의 K군들은 다음과 같다.


원환면 의 K군들은 다음과 같다.



**역사**
마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐가 1950년대 말에 창시하였다.

**같이 보기**
 KR이론- 아티야-싱어 지표 정리- 대수적 K이론

**각주**
분류:대수적 위상수학
분류:K이론