기약표현

수학에서, 특히 군 및 대수의 표현론에서 기약 표현(旣約表現, Irreducible representation)  또는 irrep는 부분 표현을 가지지 않는 0이 아닌 표현이다. 즉, 에서 는 의 작용에 대해 닫혀 있는 자명하지 않은 부분 공간이 없다.
힐베르트 공간  상의 모든 유한 차원 유니터리 표현은 기약 표현의 직합이다. 기약 표현은 항상 분해 불가능이지만 (즉, 표현의 직합으로 더 이상 분해될 수 없다), 그 역은 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어, 상삼각 행렬에 의해 작용하는 실수에 대한 2차원 표현은 분해 불가능이지만 가약이다.

**역사**
군 표현론은 1940년대부터 리하르트 브라우어에 의해 일반화되어, 실수나 복소수 위의 벡터 공간이 아닌 임의의 표수 를 가진 체 위의 벡터 공간에 행렬 연산자가 작용하는 모듈러 표현론을 제공했다. 결과 이론에서 기약 표현에 해당하는 구조는 단순 가군이다.

**개요**
를 군 의 준동형으로 표현이라 하자. 여기서 는 체  위의 벡터 공간이다. 의 기저 를 선택하면, 는 군에서 가역 행렬 집합으로 가는 함수(준동형)로 생각할 수 있으며 이 맥락에서 행렬 표현이라고 불린다. 그러나 기저 없이 공간 를 생각하면 훨씬 간단해진다. 는 그것이 작용하는 벡터 공간 의 차원이 이면 d차원이다.
선형 부분 공간 는 모든  및 모든 에 대해 이면 -불변이라고 한다. -불변 부분 공간 의 일반 선형 군에 대한 의 공역 제한을 부분 표현이라고 한다. 표현 는 자명한 부분 표현만 가지면 기약이라고 한다 (모든 표현은 자명한 -불변 부분 공간, 예를 들어 전체 벡터 공간 , 및 {0}{로부터 부분 표현을 형성할 수 있다). 적절한 자명하지 않은 불변 부분 공간이 있으면 는 가약이라고 한다.

**군 표현의 표기법 및 용어**
군 요소는 행렬로 표현될 수 있지만, "표현"이라는 용어는 이 맥락에서 특정하고 정확한 의미를 갖는다. 군의 표현은 군 요소에서 행렬의 일반선형군으로의 사상이다. 표기법으로, a, b, c, ...는 군 곱을 기호 없이 나타내는 군 G의 요소를 나타낸다. 따라서 ab는 a와 b의 군 곱이며 G의 요소이기도 하다. 그리고 표현은 D로 나타낸다. a의 표현은 다음과 같이 쓰여진다.

군 표현의 정의에 따라, 군 곱의 표현은 표현의 행렬 곱셈으로 변환된다.

e가 군의 항등원이면 (따라서 1=ae = ea = a, 등), D(e)는 단위 행렬이거나 동일하게 단위 행렬의 블록 행렬이어야 한다. 왜냐하면 다음과 같아야 하기 때문이다.

그리고 다른 모든 군 요소에 대해서도 마찬가지이다. 마지막 두 진술은 D가 군 준동형사상이라는 요구 사항에 해당한다.

**가약 표현과 기약 표현**
표현이 자명하지 않은 G-불변 부분 공간을 포함하면 가약이다. 즉, 모든 행렬 는 동일한 가역 행렬 에 의해 상삼각 블록 형태로 놓일 수 있다. 다시 말해, 닮음 변환이 존재한다.

이는 표현의 모든 행렬을 동일한 패턴의 상삼각 블록으로 매핑한다. 모든 순서가 지정된 부블록은 군 부분 표현이다. 즉, 예를 들어 표현이 2차원이면 다음과 같다.
여기서 는 자명하지 않은 부분 표현이다. 만약 도 만족시키는 행렬 를 찾을 수 있다면, 는 가약일 뿐만 아니라 분해 가능하기도 하다.
'주의:' 표현이 가약이더라도 행렬 표현은 여전히 상삼각 블록 형태가 아닐 수 있다. 위에서 언급한 행렬 을 표준 기저에 적용하여 얻을 수 있는 적절한 기저를 선택해야만 이 형태를 갖게 된다.

**분해 가능 표현과 분해 불가능 표현**
모든 행렬 가 동일한 가역 행렬 에 의해 블록 대각 형태로 놓일 수 있으면 표현은 분해 가능하다. 다시 말해, 닮음 변환이 존재한다.

이는 표현의 모든 행렬을 동일한 패턴의 대각 블록으로 대각화한다. 각 블록은 다른 블록과 독립적인 군 부분 표현이다. 표현 D(a)와 D′(a)는 동치 표현이라고 한다. ('k'차원 표현이라고 하자) 표현은 행렬의 직합|k > 1개 행렬의 직합으로 분해될 수 있다.

따라서 D(a)는 분해 가능하며, 분해된 행렬은 괄호 안에 위첨자를 사용하여 1=n = 1, 2, ..., k에 대해 D(n)(a)와 같이 표기하는 것이 일반적이지만, 일부 저자는 괄호 없이 숫자 레이블만 쓰기도 한다.
D(a)의 차원은 블록 차원의 합이다.

이것이 불가능하다면, 즉 1=k = 1이면 표현은 분해 불가능하다.
주의: 표현이 분해 가능하더라도 행렬 표현은 대각 블록 형태가 아닐 수 있다. 위에서 언급한 행렬 을 표준 기저에 적용하여 얻을 수 있는 적절한 기저를 선택해야만 이 형태를 갖게 된다.

**기약 표현과 분해 불가능 표현의 관계**
기약 표현은 본질적으로 분해 불가능한 표현이다. 그러나 역은 성립하지 않을 수 있다.
하지만 일부 조건 하에서는 분해 불가능한 표현이 기약 표현이 된다.- 군 가 유한하고, C 위에서 표현을 가질 때, 분해 불가능한 표현은 기약 표현이다.- 군 가 유한하고, 체  위에서 표현을 가질 때, 만약 이면, 분해 불가능한 표현은 기약 표현이다.

**기약 표현의 예시**

**자명한 표현**
모든 군 는 모든 군 요소를 항등 변환에 매핑하여 0차원의 기약 자명한 표현을 갖는다.

**1차원 표현**
모든 1차원 표현은 적절한 비자명 불변 부분 공간을 가지지 않기 때문에 기약이다.

**기약 복소 표현**
유한군 G의 기약 복소 표현은 지표 이론의 결과를 사용하여 특징화할 수 있다. 특히, 모든 복소 표현은 irreps의 직접 합으로 분해되며, 의 irreps 수는 의 켤레류 수와 같다.- 의 기약 복소 표현은 정확히  맵으로 주어진다. 여기서 는 번째 1의 거듭제곱근이다.- 를 기저 를 갖는 의 차원 복소 표현이라 하자. 그러면 는 다음과 같이 irreps의 직접 합으로 분해된다.  그리고 다음으로 주어지는 직교 부분 공간  전자의 irrep는 1차원이며 의 자명한 표현과 동형이다. 후자는 차원이며 의 표준 표현으로 알려져 있다.- 를 군이라 하자. 의 정규 표현은 군 작용 이 있는 기저 에 대한 자유 복소수 벡터 공간 이다. 의 모든 기약 표현은 를 irreps의 직접 합으로 분해하는 데 나타난다.

**Fp 상의 기약 표현의 예시**
를  군으로 하고 을  위의 G의 유한 차원 기약 표현으로 하자. 궤도-안정자 정리(Orbit-stabilizer theorem)에 의해,  군 에 의해 작용된 모든  요소의 궤도 크기는 의 거듭제곱이다. 이 모든 궤도의 크기가 의 크기와 합산되고, 는 자신만을 포함하는 크기 1 궤도에 있기 때문에, 합이 일치하기 위해서는 크기 1인 다른 궤도가 있어야 한다. 즉, 모든 에 대해 인 일부 가 존재한다. 이것은  위의  군의 모든 기약 표현이 1차원이어야 함을 강제한다.

**이론 물리학 및 화학에서의 응용**
양자 물리학 및 양자화학에서, 축퇴된 에너지 준위의 각 집합은 해밀턴 연산자의 대칭 군 표현을 위한 벡터 공간 V을 구성하며, "다중항"은 기약 부분으로의 환원을 통해 가장 잘 연구된다. 따라서 기약 표현을 식별함으로써 상태를 라벨링하고 섭동 하에서 어떻게 분할될 것인지 예측할 수 있다. 또는 V의 다른 상태로 전이할 수 있다. 따라서 양자 역학에서 시스템의 대칭 군의 기약 표현은 시스템의 에너지 준위를 부분적으로 또는 완전히 라벨링하여 선택규칙을 결정할 수 있도록 한다.

**리 군**

**로런츠 군**
회전 생성자 J와 부스트 생성자 K의 기약 표현 D(K) 및 D(J)는 로런츠 군의 스핀 표현을 구성하는 데 사용될 수 있다. 이는 양자 역학의 스핀 행렬과 관련이 있기 때문이다. 이를 통해 상대론적 파동 방정식을 유도할 수 있다.

**같이 보기**

**결합 대수**
 단순 가군- 분해 불가능 대상- 결합 대수의 표현

**리 군**
 리 대수의 표현론- SU(2)의 표현론- SL2(R)의 표현론- 갈릴레이 군의 표현론- 미분동형사상 군의 표현론- 푸앵카레 군의 표현론- 최고 가중치 정리

**각주**

**서적**
 author-link=헤르만 바일- isbn=0-7503-0941-5- isbn=978-0-07-084011-9- isbn=978-0-07-084011-9- isbn=978-048-6675-855- isbn=978-0-13-146100-0- isbn=978-0-470-03294-7- url = https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev/page/230- url = https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev- url = https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev-  title-link=The Road to Reality- isbn=978-0-19-855129-4

**논문**
 doi-access=free-  url-status = dead

**더 읽을거리**
location=Chapter V

**외부 링크**
 title=Commission on Mathematical and Theoretical Crystallography, Summer Schools on Mathematical Crystallography
*url-status=dead- year =2005
*archive-date=2014-11-07 
*year=2008- url-status=dead
*year=2007
*title=Quantum Mechanics for Mathematicians: Representations of the Lorentz Group, see chapter 40- last4=Turetsky
*archive-date = 2012-06-17 
*last2=Boulanger
*웹 인용|title=McGraw-Hill dictionary of scientific and technical terms|website=Answers.com |url=http://www.answers.com/topic/irreducible-representation-of-a-group
분류:이론물리학
분류:표현론
분류:대칭
분류:이론화학
분류:군론