아벨 확대

파일:One5Root.svg|섬네일|right|유리수체에 를 추가한 원분체는 그 갈루아 군이 5차 순환군이므로 순환 확대이자 아벨 확대이다.
체론에서 아벨 확대(Abel擴大, Abelian extension)는 그 갈루아 군이 아벨 군이 되는 갈루아 확대이다.

**정의**
아벨 확대는 갈루아 군이 아벨 군인 갈루아 확대이다. 순환 확대(cyclic extension)는 갈루아 군이 순환군인 갈루아 확대이다.

**분류**
특정 경우, 주어진 체 위의 모든 순환 확대 및 아벨 확대를 분류할 수 있다.- 쿠머 이론(Kummer理論, Kummer theory)은 1의 거듭제곱근이 충분히 존재하는 체 위의 아벨 확대들을 분류한다. 이에 따르면, 이러한 체 위의 모든 아벨 확대는 거듭제곱근들을 첨가하여 얻을 수 있다.- 쿠머 이론은 확대의 차수가 체의 표수와 겹치는 경우 사용될 수 없다. 이 경우 아르틴-슈라이어 이론(Artin–Schreier theory)은 차수가 표수와 같은 경우의 순환 확대를 분류하며, 이를 일반화한 아르틴-슈라이어-비트 이론(Artin–Schreier–Wit theory)은 차수가 표수의 거듭제곱인 순환 확대를 분류한다. 이를 통해 차수가 표수의 거듭제곱인 모든 유한 아벨 확대를 분류할 수 있다. 이에 따르면, 이러한 경우 모든 아벨 확대는 비트 벡터를 사용하여 구성되는 특정 다항식의 근들을 첨가하여 얻을 수 있다.- 만약 1의 거듭제곱근이 충분히 존재하지 않지만, 체가 대역체 또는 국소체인 경우, 유체론을 사용하여 모든 아벨 확대를 분류할 수 있다.
유한 생성 아벨 군의 구조론에 따라, 모든 유한 아벨 군은 크기가 소수의 거듭제곱인 순환군들의 직접곱으로 나타낼 수 있다. 따라서, 유한 아벨 확대를 분류하려면 소수 거듭제곱 크기의 순환 확대들을 분류하는 것으로 족하다.

**쿠머 이론**
쿠머 이론에 따르면, 1의 원시 제곱근(즉, 이 모두 서로 다른, 인 원소 )을 갖는 체  () 위의 확대 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.Theorem 1.1- 차 순환 확대 이다.- 가 되는 가 존재한다.- 다음과 같은 가환 그림의 텐서곱 이 성립하는 원소 가 존재한다.
*:- 다음 가환 그림이 올곱이 되게 하는 -스킴 사상 이 존재한다.
*:
여기서- 은  위의 곱셈 군 스킴이다.
이에 따라,  위의 차 순환 확대는 -스킴 사상 에 의하여 주어진다.
보다 일반적으로, 이 가역원인 체 에 대하여, 다음과 같은 -군 스킴의 짧은 완전열이 존재하며, 이를 쿠머 완전열(Kummer exact sequence)이라고 한다.

여기서- 는  속의 1의 제곱근들로 구성된 군 스킴이다.- 는 의 가역원군에 해당하는 군 스킴이다.- 는 제곱에 해당하는 군 스킴 사상이다.

**아르틴-슈라이어 이론**
양의 표수 의 체 에서는 이므로, 1의 제곱근이 중복되며, 따라서 차수가 의 거듭제곱인 순환 확대에 대해서는 쿠머 이론을 적용시킬 수 없다. 이 경우 대신 아르틴-슈라이어(-쿠머) 이론을 적용시킬 수 있다.
아르틴-슈라이어 이론에 따르면, 양의 표수 의 체  위의 확대 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.- 차 순환 확대 이다.- 이 의 분해체가 되는 가 존재한다.- 다음과 같은 가환 그림의 텐서곱 이 성립하는 원소 가 존재한다.
*:- 다음 가환 그림이 올곱이 되게 하는 -스킴 사상 이 존재한다.
*:
여기서- 은  위의 덧셈 군 스킴이다.- 는 프로베니우스 사상과 항등 사상의 차이다. 이는 다항식환의 자기 사상 으로부터 정의된다.
표수가 인 체  위에서 다음과 같은 군 스킴의 짧은 완전열이 존재하며, 이를 아르틴-슈라이어 완전열(Artin–Schreier exact sequence)이라고 한다.

여기서- 는 프로베니우스 사상의 고정점들로 구성된 군 스킴이다.

**아르틴-슈라이어-비트 이론**
아르틴-슈라이어-비트 이론은 차 순환 확대에 적용되는 아르틴-슈라이어 이론을 차에 대하여 일반화한 것이다.
아르틴-슈라이어-비트 이론에 따르면, 표수 의 체 의 확대 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.§7Theorem 1.2- 확대 가 차 순환 확대이다.- 인 비트 벡터 가 존재한다. 여기서 는 이며, 여기서 는 비트 벡터의 뺄셈이다 (성분별 뺄셈과 다르다). 는 비트 벡터의 연산으로 정의되는 개의 다항식 들의 분해체를 뜻한다.- 다음과 같은 가환 그림의 텐서곱 이 성립하는 원소 가 존재한다. (여기서 는 비트 벡터의 성분으로 간주한 형식적 변수들이며, 에서 는 비트 벡터로서의 뺄셈이며, 는 프로베니우스 사상이다.)
*:- 다음 가환 그림이 올곱이 되게 하는 -스킴 사상 이 존재한다.
*:
여기서- 는 길이 의 진 비트 벡터의 군이다. 스킴으로서 이는 차원 아핀 공간 이며, 그 위의 군 스킴의 구조는  위의 비트 벡터 연산으로부터 유도된다. 특히, 일 경우 가 된다.- 는 프로베니우스 사상과 항등 사상의 차이다. 이는 다항식환 의 자기 사상 으로부터 정의된다.
다음과 같은 짧은 완전열이 존재하며, 이를 아르틴-슈라이어-비트 완전열(Artin–Schreier–Witt exact sequence)이라고 한다. 이는 아르틴-슈라이어 완전열의 일반화이다.

여기서- 는 프로베니우스 사상 의 고정점들로 구성된 군 스킴이다.

**유체론**
쿠머 이론은 1의 거듭제곱근을 충분히 가지는 체에 대해서만 적용된다. 만약 1의 거듭제곱근이 충분히 존재하지 않지만, 체가 대역체 또는 국소체인 경우, 그 아벨 확대들은 유체론을 통해 분류된다.

**예**
대표적인 예로, 원분체는 유리수체의 순환 확대이자 아벨 확대이다. 일반적으로, 소수 차수의 갈루아 확대는 (소수 크기의 군은 순환군 밖에 없으므로) 순환 확대이다.

**역사**
쿠머 이론은 에른스트 쿠머가 1840년대에 페르마의 마지막 정리를 연구하기 위하여 도입하였다.
이후 에밀 아르틴과 오토 슈라이어가 1927년에 아르틴-슈라이어 이론을 도입하였다. 에른스트 비트가 1936년에 비트 벡터의 개념을 도입하여 아르틴-슈라이어 이론을 아르틴-슈라이어-비트 이론으로 일반화하였다.

**각주**
 언어=en

**외부 링크**
 title=Cyclotomic extension- title=Kummer extension- title=Artin-Schreier theorem- id=Kummer theory- id= Kummer sequence- id=Artin-Schreier sequence- id=Kummer-Artin-Schreier-Witt exact sequence
분류:체론
분류:대수적 수론
분류:유체론