사영 스펙트럼

대수기하학에서 사영 스펙트럼(射影spectrum, projective spectrum)은 등급환으로부터 스킴을 만드는 한 방법이다.76–77 이를 다항식들의 등급환에 적용하면 통상적인 사영 공간을 얻는다. 기호는 Proj(R).

**정의**
가환환  위에 자연수 등급이 주어져 등급환

을 이룬다고 하자. (즉, 등급 가환이 아니라 가환이다.) 이 등급환의 무관 아이디얼 을 생각하자. 그렇다면,  의 사영 스펙트럼 는 집합으로서 다음 조건들을 만족시키는 의 소 아이디얼 들의 집합이다.
# 동급이다. 즉, 임의의 에 대하여, 그 성분들을 라고 하면, 이다.
# 무관 아이디얼을 부분 집합으로 포함하지 않는다. 즉, 이다.
여기서 두 번째 조건은 (고전적) 사영 공간에서 무관 아이디얼을 포함하는 아이디얼의 영점의 집합은 공집합이기 때문이다.

**자리스키 위상**
에 다음과 같은 자리스키 위상을 주어, 위상 공간으로 만든다. 의 열린집합들은 다음과 같은 꼴의 부분 집합들로 이루어진다. 의 임의의 동급 아이디얼 에 대하여,

이다. 이들은 위상 공간의 공리들을 만족시킴을 쉽게 확인할 수 있다.

**구조층**
에 다음과 같은 가환환 값의 층 를 주어, 환 달린 공간으로 만들 수 있다. 임의의 열린 집합 에 대하여, 는 다음과 같은 두 성질들을 만족시키는 함수들

이 이루는 가환환이다. 여기서 를 의 원소가 아닌 모든 동급 원소들의 부분 집합이라고 하면, 는 의 에서의 국소화이다. 모든 에 대하여,
# 
# 는 국소적으로 동급 원소들의 비이다. 즉, 근방 가 존재하여, 모든 에 대해서 다음 두 조건을 만족시키는 원소 가 존재한다.
## 
## 와 는 둘 다 동급 원소이며, 그 등급이 서로 같다. 즉, 인 이 존재한다.
## .
이렇게 층을 주면, 는 스킴의 구조를 이루는 것을 보일 수 있다.

**사영 스펙트럼 위의 가군층**
등급환  위에 등급 가군 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 사영 스펙트럼의 정의와 유사하게,  위의 가군층 을 정의할 수 있다. 구체적으로, 임의의 열린집합 에 대하여, 는 다음과 같은 두 성질들을 만족시키는 함수들

이 이루는 가환환이다. 여기서 를 의 원소가 아닌 모든 동급 원소들의 부분 집합이라고 하면, 는 의 에서의 국소화이다. 모든 에 대하여,
# 
# 는 국소적으로 동급 원소들의 비이다. 즉, 근방 가 존재하여, 모든 에 대해서 다음 두 조건을 만족시키는 원소 , 가 존재한다.
## 
## 과 는 동급 원소이며, 그 등급이 서로 같다. 즉, , 인 이 존재한다.
## .
특히,  자체를 의 등급 가군으로 간주하면, 는 의 구조층이다.
임의의 등급 가군 가 주어지면, 임의의 정수 에 대하여 그 뒤틀림(twist) 은

인 등급 가군이다. 즉, 등급을 단순히 만큼 이동시킨 것이다. 이 연산을 층에 정의하면, 층 의 뒤틀림 을 정의할 수 있다. 구조층 의 뒤틀림 은 세르 뒤틀림 층(Serre twisting sheaf)이라고 한다. 이는 항상 가역층이며, 장피에르 세르의 이름을 딴 것이다.

**대역적 사영 스펙트럼**
다음 데이터가 주어졌다고 하자.- 스킴 - -준연접층들의 족  . 또한, 로 놓자.- 각 열린집합 에 대하여,  위의 -등급 -결합 대수 구조
그렇다면, 각 아핀 열린집합 에 대하여 다음과 같은 스킴을 정의하자.

이제, 자연스러운 스킴 사상

이 존재한다. (이는 가 -등급 대수이기 때문이다.) 이에 따라, 위 스킴 사상들을 통해 들을 짜깁기할 수 있다. 이렇게 하여 얻는 스킴을 대역적 사영 스펙트럼(大譯的射影spectrumglobal projective spectrum) 또는 상대 사영 스펙트럼(相對射影spectrum, relative projective spectrum) 라고 한다. (이 단계에서 준연접층 조건이 필요하다.)

**성질**
의 구조층 의 에서의 줄기 이다.76 여기서 는 의 원소가 아닌 동급 원소들에 대한 국소화다. 이러한 환은 항상 국소환이다.

**함자성의 실패**
아핀 스펙트럼은 가환환의 범주의 반대 범주에서 스킴의 범주로 가는 함자를 이룬다. 반면, 사영 스펙트럼은 함자를 이루지 않는다. 즉, 등급환 사이의 등급 준동형은 일반적으로 그 사영 스펙트럼 사이의 스킴 사상을 정의할 필요가 없다.
다만, 가환 등급환 의 동차 아이디얼 이 주어졌을 때, 몫 사상 는 사영 스펙트럼 사이의 닫힌 몰입

을 정의한다.100, §Ⅲ.2.2
아핀 스펙트럼의 경우 서로 다른 아이디얼은 서로 다른 닫힌 부분 스킴에 대응하지만, 사영 스펙트럼의 경우 서로 다른 동차 아이디얼이 같은 닫힌 부분 스킴에 대응될 수 있다.100, §Ⅲ.2.2, Exercise Ⅲ-15 예를 들어, 체 에 대한 사영 공간 에 대하여, 임의의 동차 아이디얼 가 주어졌을 때, 와 은 같은 닫힌 부분 스킴을 정의한다 (은 임의의 자연수).

**예**

**자명한 사영 스펙트럼**
임의의 (단위원을 가진) 가환환 이 주어지면, 여기에 모든 등급을 0으로 매겨 이를 자명한 등급환으로 취급할 수 있다. 이는 0개의 변수를 가지는 다항식환 이다. 이 등급환의 사영 스펙트럼(즉, 0차원 사영 공간 )은 공집합이다. 이는 무관 아이디얼이 영 아이디얼 이며, 이는 모든 아이디얼의 부분 아이디얼이기 때문이다.
보다 일반적으로, 등급환 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.80- 사영 스펙트럼이 공집합이다. 즉, 이다.- 이다. 즉, 의 모든 원소가 멱영원이다.

**사영 공간**
가 (단위원을 가진) 가환환이라고 하자. 그렇다면 에 대한 n차원 사영 공간 은 등급환 의 사영 스펙트럼이다.77
사영 공간 의 경우, 세르 뒤틀림 층 의 단면은 1차 동차다항식

의 꼴의 함수들이다. 즉, 세르 뒤틀림 층은 일종의 좌표들의 층으로 볼 수 있다. 이 경우, 세르 뒤틀림 층은 가역층이고, 그 역은 사영 공간의 표준 선다발이다.
특히, 0차원 사영 공간은 아핀 스펙트럼과 같다. 즉, 임의의 가환환 에 대하여

이다.

**준연접층에 대응되는 대역적 사영 스펙트럼**
다음이 주어졌다고 하자.- 스킴 - -준연접층 
그렇다면, 대칭 대수의 층

및 이에 대응하는 대역적 사영 스펙트럼

를 정의할 수 있다.
특히, 만약 추가로 가 유한 생성 가군층일 때, 만약 어떤 닫힌 몰입 에 대하여

의 꼴로 분해될 수 있는 스킴 사상 를 사영 사상(射影寫像, projective morphism)이라고 한다.

**같이 보기**
 사영 공간- 사영 공간의 대수 기하학

**각주**

**외부 링크**
 last=Shokurov- title=Projective scheme- 언어=en- 언어=en
분류:스킴 이론