모나드 (범주론)

범주론에서 모나드(monad)는 내부 함자 범주의 모노이드 대상이다. 폐포연산과 대수 구조 다양체의 공통적인 일반화이다.

**정의**
가 범주라고 하자. 그렇다면 자기 함자 들을 대상으로 하고, 이들 사이의 자연 변환들을 사상으로 하는 자기 함자 범주 를 생각하자. 는 모노이드 범주이며, 따라서  속의 모노이드 대상을 생각할 수 있다. 의 모노이드를 의 모나드라고 한다.
구체적으로, 모나드는 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다.- 내부 준동형 함자 - (항등원) 자연 변환  (는 상수 함자)- (합성) 자연 변환 
이들은 임의의 대상 에 대하여 다음 세 그림들을 가환되게 하여야 한다.- (결합 법칙) 임의의 대상 에 대하여, . 즉, 다음 그림이 가환한다.
*: - (항등원의 성질) 임의의 대상 에 대하여, . 즉, 다음 두 그림이 가환한다.


**모나드 위의 대수**
모나드  위의 대수(algebra over ) 는 다음과 같은 순서쌍이다.- 는 의 대상이다.- 는 의 사상이다.
이는 다음 두 그림들을 가환하게 만들어야만 한다.

모나드  위의 두 대수 ,  사이의 준동형 는 다음 그림을 가환하게 만드는 -사상이다.

모나드  위의 대수들과 그 사이의 준동형들의 범주를 의 에일렌베르크-무어 범주(Eilenberg–Moore category)라고 하며, 로 표기한다.

**모나드에 대응하는 수반 함자**
수반 함자로부터 항상 모나드를 정의할 수 있다. 그 역 역시 항상 성립한다. 즉, 범주  위의 모나드 로부터 수반 함자를 정의할 수 있다. 사실, 이는 여러 가지로 가능하다. 범주 를 다음과 같이 정의하자.- 의 대상은 를 유도하는 수반 함자이다. 즉, 수반 함자  () 가운데, 인 것들이다.- 의 사상은 수반 함자 사이의 사상 가운데,  위의 함자가 항등 함자인 것들이다.
그렇다면, 는 적어도 다음 두 대상을 포함한다.- 클라이슬리 범주(Kleisli category) . 이는 의 시작 대상이다.- 에일렌베르크-무어 범주(Eilenberg–Moore category). 이는 의 끝 대상이다.

**클라이슬리 범주**
범주  위의 모나드 의 클라이슬리 범주 는 다음과 같은 범주이다.- 의 대상은 의 대상과 같다.- 의 사상 는  속의 사상 이다.- 에서 사상의 합성은 다음과 같다. 임의의 , 에 대하여,
*: - 에서의 항등 사상은 모나드 항등원이다.
*: 
이 경우, 자연스럽게 함자



및



를 정의할 수 있다. 이들은 수반 함자를 이룬다.

또한

이므로 는 수반 에 대응하는 모나드이다. 클라이슬리 범주의 원소는 보편대수학의 자유 대수를 일반화하는 것으로 생각할 수 있다.
클라이슬리 범주는 스위스의 수학자 하인리히 클라이슬리(Heinrich Kleisli, 1930~2011)가 도입하였다.

**에일렌베르크-무어 범주**
범주  위의 모나드 의 에일렌베르크-무어 범주 는  위의 대수와 준동형들의 범주이다. 이에 대하여, 다음과 같은 망각 함자를 정의할 수 있다.



마찬가지로, 다음과 같은 자유 대수 함자를 정의할 수 있다.



이들은 수반 함자를 이룬다.

또한

이므로,  역시 에 대응하는 모나드이다.
에일렌베르크-무어 범주는 사무엘 에일렌베르크와 존 콜먼 무어가 도입하였다.

**모나드 함자**
수반 함자 에서, 만약 가 에일렌베르크-무어 범주 와 동치라면, 를 모나드 함자(monadic functor)라고 한다. 벡 모나드성 정리(Beck’s monadicity theorem)에 의하면, 함자 가 모나드 함자가 되는 것은 다음 네 조건을 충족시키는 것과 동치이다.- 은 왼쪽 수반 함자를 갖는다.- 는 동형 사상을 반사시킨다. 즉, 의 사상 에 대하여 만약 가 의 동형 사상이라면,  역시 의 동형 사상이다.- 는 모든 -분할 평행쌍의 쌍대동등자를 갖는다.- 는 의 모든 -분할 평행쌍의 쌍대동등자를 보존한다.
이는 조너선 목 벡(Jonathan Mock Beck, 1935~2006)이 1967년 경 증명하였다.

**예**
범주  위의 항등 함자 는 모나드이다. 이 모나드 위의 대수는 (항등 사상이 갖추어진) 의 대상 이다.

**폐포**
모나드의 대표적인 예는 폐포 연산자이다. 위상 공간 의 집합들과 그 포함관계들의 범주 를 생각하자. 그렇다면 폐포 연산자 는 함자를 이루며, 또한 다음과 같은 자연 변환들이 존재한다.- () - () 
이들은 모나드 공리들을 만족시킨다. 따라서 닫힘 연산자는 의 모나드다. 이 모나드 위의 대수는 닫힌집합이다.

**대수 구조 다양체**
모나드의 다른 예로, 대수 구조 다양체를 들 수 있다. 대수 구조 다양체 가 주어졌을 때, 함자 를 다음과 같이 정의하자.- 집합 에 대하여, 는 로부터 생성되는 자유 대수이다.- 함수  및 항 에 대하여, 는  속에 등장하는 모든 상수 를 로 치환하여 얻는 항이다.
이 경우, 다음과 같이 모나드의 구조를 줄 수 있다.- 는 대수  위의 자유 대수 에서, 에서 성립하는 등식들에 대하여 몫을 취하는 준동형이다.- 는 를, 하나의 상수로만 구성된 항으로 대응시킨다.
위의 대수는 에 속한 대수 구조이다.

**수반 함자**
수반 함자





가 주어졌을 때,

는 항상 모나드를 이룬다. 이 경우, 모나드 항등 사상은 이며, 모나드 합성 사상은

이다.

**콤팩트 하우스도르프 공간**
집합 에 대하여, 가  위의 모든 극대 필터들의 집합이라고 하자. 함수 에 대하여


로 놓으면, 는 함자를 이룬다.
여기에 다음과 같은 자연 변환을 정의하자.




그렇다면 이는 집합의 범주 위의 모나드를 이룬다.
이 모나드 위의 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간과 같다. 구체적으로, 가  위의 대수라고 하자. 그렇다면,  위에, 다음 조건을 만족시키는 위상을 줄 수 있다.- 임의의 극대 필터 에 대하여, 는  위의 위상에 따른 수렴과 일치한다.
이러한 위상은 유일하며, 또한 콤팩트 하우스도르프 위상임을 보일 수 있다.
이 모나드는 다음과 같은 수반 함자로부터 유래한다.



여기서 는 콤팩트 하우스도르프 공간 및 연속 함수의 범주이고, 은 콤팩트 하우스도르프 공간을 그 점들의 집합으로 대응시키는 함자이며, 는 어떤 집합에 이산 위상을 부여한 뒤 그 스톤-체흐 콤팩트화를 취하는 함자이다.

**역사**
로제 고드망이 1958년에 ‘표준 작도’(construction standard)라는 이름으로 도입하였다. 이후 "삼중"(triple)이라는 이름으로 불리기도 했는데, 이는 모나드의 구성 성분 이 셋인 것에서 유래하였다. 이후 장 베나부(Jean Bénabou)는 ‘모나드’라는 용어를 도입하였고, 손더스 매클레인은 저서에서 이 용어를 사용하였다.

**응용**
하스켈 등 함수형 프로그래밍 언어에서 입출력 및 데이터 구조를 다룰 때 쓰인다.

**각주**
 언어=en

**외부 링크**
 title=Triple- title=Standard construction- title=Monad- title=Comonad- title=Adjoint monad- title=Module over a monad- title=Monad with arities- title=Monoidal monad- title=Cartesian monad- title=Finitary monad- title=Monadicity theorem- id=Kleisli category- id=Eilenberg-Moore category- url-status=dead
분류:수반 함자