점렬 콤팩트 공간

일반위상수학에서 점렬 콤팩트 공간(點列compact空間, sequentially compact space)은 모든 점렬이 수렴하는 부분 점렬을 갖는 위상 공간이다.179, Definition

**정의**
위상 공간 가 다음 조건을 만족시키면, 점렬 콤팩트 공간이라고 한다.- 모든 점렬이 수렴 부분 점렬을 갖는다. 즉, 임의의 점렬 에 대하여, 인  및 가 존재한다.

**성질**
가산 개의 점렬 콤팩트 공간들의 곱공간은 점렬 콤팩트 공간이다. 개 이하의 점렬 콤팩트 공간들의 곱공간은 가산 콤팩트 공간이다.144, Theorem 5.5125, Exercise 17G
점렬 콤팩트 공간의 닫힌집합은 점렬 콤팩트 공간이다.
점렬 콤팩트 공간의 연속적 상은 점렬 콤팩트 공간이다.

**함의 관계**
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
콤팩트성과 점렬 콤팩트성 사이에는 함의 관계가 존재하지 않는다.
위상 공간 가 가산 콤팩트 공간이 아니라고 하자. 즉, 유한 부분 덮개를 갖지 않는, 의 가산 열린 덮개 가 존재한다. 따라서, 임의의 자연수 에 대하여,

을 고를 수 있다. 임의의 에 대하여, 인 자연수 이 존재한다. 그런데, 임의의 에 대하여 이다. 즉, 의 어떤 부분 점렬도 로 수렴할 수 없다. 이는 임의의 에 대한 것이므로, 의 수렴 부분 점렬은 존재하지 않는다. 즉, 는 점렬 콤팩트 공간이 아니다.
제1 가산 공간에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.125, 17G.3- 점렬 콤팩트 공간이다.- 가산 콤팩트 공간이다.
모든 제1 가산 가산 콤팩트 공간 가 점렬 콤팩트 공간임을 보이는 것으로 충분하다. 임의의 점렬 이 주어졌다고 하자. 만약 이 유한 집합이라면,

인  및 이 존재하며, 이 경우 부분 점렬 은 로 수렴한다. 만약 이 무한 집합이라면, 의 -집적점 가 존재한다. 의 가산 국소 기저

를 잡자. 그렇다면, 임의의 에 대하여, 은 무한 집합이다. 따라서,

인

이 존재한다. 이 경우, 는 의 부분 점렬이며, 로 수렴한다. 즉, 는 점렬 콤팩트 공간이다.
제2 가산 공간에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.125, 17G.4- 콤팩트 공간이다.- 점렬 콤팩트 공간이다.- 가산 콤팩트 공간이다.
모든 제2 가산 공간은 제1 가산 공간이므로, 모든 제2 가산 가산 콤팩트 공간이 콤팩트 공간임을 보이는 것으로 족하다. 이는 다음 두 사실로부터 바로 따라나온다.- 모든 린델뢰프 가산 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.- 모든 제2 가산 공간은 린델뢰프 공간이다.
직접적인 증명은 다음과 같다. 위상 공간 의 기저 가 주어졌을 때, 다음 두 조건이 동치임을 쉽게 보일 수 있다.- 는 콤팩트 공간이다.- 의 임의의 부분 덮개는 유한 부분 덮개를 갖는다.
마찬가지로, 다음 두 조건이 동치임을 쉽게 보일 수 있다.- 는 가산 콤팩트 공간이다.- 의 임의의 가산 부분 덮개는 유한 부분 덮개를 갖는다.
제2 가산 공간의 경우, 가산 기저 가 존재하므로, 위 두 쌍의 조건은 동치가 된다.
거리화 가능 공간에 대하여, 다음 조건들이 모두 서로 동치이다.179–180, Theorem 28.2- 콤팩트 공간이다.- 점렬 콤팩트 공간이다.- 가산 콤팩트 공간이다.- 극한점 콤팩트 공간이다.- 희박 콤팩트 공간이다.- 유사 콤팩트 공간이다.
다음 사실들로부터 따라나온다.- 정규 하우스도르프 공간에 대하여, 가산 콤팩트 공간·극한점 콤팩트 공간·희박 콤팩트 공간·유사 콤팩트 공간의 개념은 서로 동치이다.- 모든 콤팩트 공간 및 모든 점렬 콤팩트 공간은 가산 콤팩트 공간이다.- 제1 가산 가산 콤팩트 공간은 점렬 콤팩트 공간이다.- 파라콤팩트 가산 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.- 모든 거리화 가능 공간은 제1 가산 파라콤팩트 정규 하우스도르프 공간이다.
모든 점렬 콤팩트 거리 공간이 콤팩트 거리 공간임에 대한 한 가지 직접적인 증명은 다음과 같은 세 단계로 구성된다.- 점렬 콤팩트 거리 공간 의 열린 덮개 는 항상 르베그 수를 갖는다.
** 귀류법을 사용하여, 가 르베그 수를 갖지 않는다고 가정하자. 임의의 에 대하여, 이 의 르베그 수가 아니므로, 이며 인 가 존재한다. 을 고르자. 그렇다면, 의 어떤 부분 점렬 은 어떤 점 로 수렴한다. 라고 하자. 그렇다면, 충분히 큰 에 대하여, 이며 이다. 따라서 이며, 이는 모순이다.- 점렬 콤팩트 거리 공간 은 완전 유계 공간이다.
** 가 완전 유계 공간이 아니라고 하자. 즉, 유한 개의 -열린 공들로 구성된 덮개가 존재하지 않게 되는 양의 실수 이 존재한다. 그렇다면 인 점렬 을 재귀적으로 구성할 수 있다. 이 경우, 임의의 에 대하여 이므로, 는 수렴 부분 점렬을 갖지 않는다. 즉, 는 점렬 콤팩트 공간이 아니다.- 거리 공간 의 모든 열린 덮개가 르베그 수를 가지며, 완전 유계 공간이라면, 콤팩트 공간이다.
** 임의의 열린 덮개 가 주어졌다고 하자. 가정에 따라 의 르베그 수 이 존재한다. 완전 유계성에 따라, 인 유한 집합 가 존재한다. 임의의 에 대하여, 인 를 고르자. 그렇다면, 은 의 유한 부분 덮개이다. 즉, 는 콤팩트 공간이다.
특히, 노름 위상을 갖춘 바나흐 공간의 부분 집합에 대하여 위 동치가 성립한다. 약한 위상에서도 위 동치의 일부가 성립한다. 구체적으로, 에벌라인-시물리얀 정리에 따르면,  및 -바나흐 공간  및 부분 집합 에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이다.- 약한 위상에 대하여 콤팩트 공간이다.- 약한 위상에 대하여 점렬 콤팩트 공간이다.- 약한 위상에 대하여 가산 콤팩트 공간이다.- 약한 위상에 대하여 극한점 콤팩트 공간이다.

**예**

**콤팩트 공간이 아닌 점렬 콤팩트 공간**
최소 비가산 순서수 는 (순서 위상에 대하여) 점렬 콤팩트 공간이지만, 콤팩트 공간이 아니다.

**점렬 콤팩트 공간이 아닌 콤팩트 공간**
두 점 이산 공간의 개 곱공간 은 (티호노프 정리에 따라) 콤팩트 공간이지만, 점렬 콤팩트 공간이 아니다.
가산 무한 이산 공간의 스톤-체흐 콤팩트화 은 콤팩트 공간이지만, 점렬 콤팩트 공간이 아니다.

**콤팩트 공간도 점렬 콤팩트 공간도 아닌 가산 콤팩트 공간**
가산 콤팩트 공간이지만 콤팩트 공간이 아니며 점렬 콤팩트 공간도 아닌 예로

을 들 수 있다. 이는 가산 콤팩트 공간과 콤팩트 공간의 곱은 가산 콤팩트 공간이며, 과 이 의 닫힌집합(또는 연속적 상)이기 때문이다.

**참고 문헌**

**외부 링크**
 제목=Sequentially-compact space- 제목=Sequentially compact topological space- 언어=en- 제목=Sequentially compact- 제목=Definition: sequentially compact space- 확인날짜=2024-07-22
분류:위상 공간의 성질