SU(2)의 표현론

리 군의 표현론 연구에서 특수 유니터리 군 의 표현에 대한 연구는 반단순 리 군의 표현 연구에 기본이다. 콤팩트 군이자 비가환 군인 리 군의 첫 번째 사례이다. 첫 번째 조건은 표현론이 이산적이라는 것을 의미한다. 표현은 기본적 기약 표현 모음의 직합이다(페터-바일 정리에 의해 지배됨). 두 번째는 1보다 큰 차원에서 기약 표현이 있음을 의미한다.
는 의 보편 덮개 군이므로 그 표현론은 전사 준동형사상에 따라 후자의 표현론을 포함한다. 이는 이론물리학에서 비상대론적 스핀을 설명하기 위한 의 중요성에 기초한다. 다른 물리적, 역사적 맥락은 아래 참조.
아래에 표시된 것처럼 의 차원 기약 표현은 음이 아닌 정수 으로 아래첨자를 붙인다. 물리학 문헌에서 표현은 으로 아래첨자를 붙인다. 여기서 는 정수이거나 반정수이고  차원이다.

**리 대수 표현**
군의 표현은 의 리 대수 의 표현을 고려하여 찾는다. 군 는 단일 연결되어 있으므로 해당 리 대수의 모든 표현은 군 표현으로 통합될 수 있다. 우리는 아래 군 수준에서 표현의 명시적인 구성을 제공할 것이다.

**실수 리 대수와 복소화된 리 대수**
실수 리 대수 에서 다음과 같은 기저가 있다.
(이 기저 행렬들은   과 같이 파울리 행렬과 관련된다. )
이 행렬들은 사원수를 표현한다.
 
 
 

여기서 I는 일반적인 2×2 단위 행렬이다. 
결과적으로, 행렬의 교환자는 다음을 충족한다.
 

그런 다음 복소화된 리 대수로 전달하는 것이 편리하다.
 
(대각합 0인 반 자기 수반 행렬과 대각합 0인 자기 수반 행렬은 모든 행렬에 대각합 0을 제공한다.)  위에서 표현을 다루는 한, 실수에서 복소화된 리 대수 로 가는 것은 적절하다. 복소화로 넘어가는 이유는 실수 리 대수에는 존재하지 않는 유형의 좋은 기저를 구성할 수 있게 해주기 때문이다.
복소화 된 리 대수는 다음과 같은 세 가지 원소 , , 로 구성된다.
 
또는 명시적으로,
 
군의 곱셈표의 자명하지 않거나 동일하지 않은 부분은 다음과 같다.
 
 
 
여기서 O는 2×2 영행렬이다. 따라서 이들의 교환자는 다음과 같다.
 
원소 , , 는 인수 2와 함께 각각 각운동량 연산자 , , 로 식별될 수 있다. 인수 2는 수학과 물리학에서 관례가 서로 달라서 들어갔다. 앞으로 결과에서는 두 가지 관례 모두에 대하여 적을 것이다.

**가중치와 표현의 구조**
이 설정에서 의 고유값은 표현의 가중치라고 한다. 다음 기본 결과가 분석의 핵심 단계이다. 가 의 고유값 에 대한 고유벡터라고 하자. 즉,  그러면
 
다시 말해서, 는 영벡터이거나 의 고유값 에 대한 고유벡터이다. 그리고 는 0이거나 의 고유값 에 대한 고유벡터이다. 따라서 연산자 는 상승 연산자 역할을 하며 가중치를 2만큼 증가시킨다. 는 하강 연산자 역할을 한다.
이제 를 복소화된 리 대수의 기약 유한차원 표현이라고 하자. 그러면 의 고유값 집합은 유한 집합이다. 따라서, 는 더 이상 고유값이 아닌 마지막 고유값 이 있어야 한다. 가 의 그 고유값 에 대한 고유벡터라 하자.
 
그러면
 
이 성립하거나, 그렇지 않으면 위의 항등식이 가 고유값 을 갖는 고유벡터임을 말한다.
이제 벡터들 의 "사슬"을
 
로 정의하자.
간단한 귀납법에 의해 모든 에 대해
 
임을 보일 수 있다. 이제 가 영벡터가 아니면, 의 고유값 에 대한 고유벡터이다. 다시 말하지만, 는 고유벡터를 유한개 가지므로 는 어떤 에 대해 0이어야 한다.(그러면 모든 에 대해 ).
가 사슬의  0이 아닌 마지막 벡터라 하자. 즉,이고  그럼 당연히 이고, 위의 항등식에 의해 
 
은 적어도 1이고 이므로,  음이 아닌 정수 와 같아야 한다.
따라서 가
 
로 작용하는 개 벡터들, 의 사슬을 얻는다.
그리고 는
 

로 작용한다.
그리고 는
  .
로 작용한다.(를 위의 공식에서 현재 알려진 값 으로 바꿈)
벡터 는 각각 의 서로 다른 고유값에 대한 고유벡터이므로, 선형 독립이어야 한다. 게다가, 로 생성된 집합은 복소화된 리 대수의 작용 하에서는 분명히 불변이다. 가 기약이라고 가정했으므로, 이 생성된 집합은 와 같아야 한다.  그리하여 기약 표현이 어떤 모습이어야 하는지에 대한 완전한 설명을 얻게 된다. 즉, 공간의 기저이자 리 대수의 생성자들이 어떻게 작용하는지에 대한 완전한 설명이다. 반대로 임의의 인 경우에는  위의 공식을 사용하고 교환 관계가 유지되는지 확인함으로써 표현을 구성할 수 있다. 그러면 이 표현은 기약으로 나타낼 수 있다.
결론: 음이 아닌 정수  각각에 대해 최대 가중치 을 갖는 유일한 기약 표현이 있다. 각각의 기약 표현은 이들 중 하나와 동일하다. 최대 가중치인 표현은 차원이고 중복도 1인 가중치들 을 갖는다.

**카시미르 원소**
이제 (2차) 카시미르 원소 를 소개한다.
 
를 보편 포락 대수의 원소 또는 각 기약 표현의 연산자로 볼 수 있다. 를 가장 높은 가중치 를 갖는 표현에 대한 연산자로서 보면, 는 각 와 교환한다는 것을 쉽게 계산할 수 있다. 따라서 슈어 보조 정리에 따르면, 는 각 에 대한 항등식의 스칼라 배 로 작용한다. 를 기저 를 통해 쓸 수 있다:
 
이는 다음과 같이 줄일 수 있다.
 
가장 높은 가중치 을 가진 표현에서 의 고유값은  를 가장 높은 가중치 벡터에 적용하여 계산할 수 있다. 이는 에 의해 소멸된다.  따라서
 
물리학 문헌에서 카시미르 원소는 과 같이 정규화된다. 로 첨자를 붙이면 의 고유값 는 다음과 같이 계산된다.
 

**군 표현**

**다항식에 대한 조치**
는 단일 연결이기 때문에 일반적인 결과는  자체의 (복소화된) 리 대수의 모든 표현이  자체의 표현을 발생시킨다는 것을 보여준다. 그러나 군 수준에서 표현을 명시적으로 구현하는 것이 바람직하다. 군 표현은 두 개의 복소수 변수의 다항식 공간에서 실현될 수 있다. 음이 아닌 각 정수 에 대해, 를 복소 이변수 차 동차 다항식 의 공간이라 하자. 그러면 의 차원은 이다. 다음과 같이 각각 에 대한 의 자연스러운 작용이 있다:
  .
관련된 리 대수 표현은 단순히 이전 절에서 설명한 것이다. (다항식 공간에 대한 리 대수의 작용에 대한 명시적인 공식은 여기 참조.)

**특성**
표현 의 특성은 함수 
 
이다.
특성은 콤팩트 군 표현에서 중요한 역할을 한다. 특성은 클래스 함수, 즉 켤레 불변인 것으로 쉽게 볼 수 있다.
의 경우 특성이 클래스 함수라는 사실은 문자가 극대 원환면 의 값에 의해 결정됨을 의미한다.  원소는 스펙트럼 정리에 따라 직교 대각선화 가능하므로 의 대각 행렬로 구성된다. 가장 높은 가중치 를 갖는 기약 표현은 가중치 를 갖기 때문에, 연관된 특성이
 
을  만족함을 쉽게 알 수 있다. 이 표현식은 다음과 같이 단순화할 수 있는 유한 기하 급수이다.
 
이 마지막 표현은 에 대한 바일 지표 공식의 설명일 뿐이다.
실제로, 콤팩트 군의 표현론에 대한 바일의 원래 분석에 따라 리 대수 표현을 전혀 사용하지 않고도 군 관점에서 표현을 완전히 분류할 수 있다. 이 접근 방식에서 바일 지표 공식은 페터-바일 정리와 함께 분류에서 필수적인 역할을 한다. 이 이야기의  사례는 여기에 설명되어 있다.

**SO(3) 표현과의 관계**
표현의 모든 가중치가 짝수(만약  짝수) 또는 모든 가중치가 홀수(이 홀수인 경우)이다. 물리적 측면에서 이러한 구별은 중요하다. 짝수 가중치 표현은 회전 군 SO(3)의 일반적인 표현에 해당한다. 대조적으로, 홀수 가중치를 갖는 표현은 사영 표현이라고도 알려진 SO(3)의 이중 값(스피너) 표현에 해당한다.
물리학의 관례에서는 이 짝수임은 이 정수임을 뜻하고 이 홀수임은   반정수임에 해당한다. 이 두 가지 경우는 각각 정수 스핀과 반정수 스핀으로 설명된다. 홀수 양의 값 을 갖는 표현은 를 충실하게 표현하는 반면, 음수가 아닌  의 표현은 충실하지 않다.

**또 다른 접근법**
Borel–Weil–Bott 정리의 예를 참조.

**가장 중요한 기약 표현과 그 응용**
의 표현은 유클리드 3공간의 회전 군을 이중으로 덮기 때문에 비상대론적 스핀을 설명한다. 상대론적 스핀은 회전 군의 상대론적 버전인 SO + (1;3)을 유사한 방식으로 다루는 의 초군인 SL2(C)의 표현론으로 설명된다.  대칭은 또한 아이소스핀 과 약한 아이소스핀 (총칭하여 아이소스핀 )의 개념을 지원한다.
(즉, 물리학 관례에서 ) 표현은 의 기본 표현인 2 표현이다. 의 원소가 복소수 2 × 2 행렬로 작성되면 이는 단순히 열 2-벡터 의 곱셈이다. 물리학에서는 스핀-½로 알려져 있으며, 역사적으로는 사원수의 곱셈(보다 정확하게는 단위 쿼터니언의 곱셈)으로 알려져 있다. 이 표현은 회전 군 SO(3)의 이중 값 사영 표현으로 볼 수도 있다.
(즉,  )표현은 3 표현, 딸림표현이다. SO(3)의 표준 표현인 3차원 회전을 설명하므로 실수 만으로도 충분하다. 물리학자들은 벡터 중간자와 같은 거대한 스핀-1 입자를 설명하기 위해 이를 사용하지만, 스핀 상태를 물리적 3-공간의 기하학에 고정시키기 때문에 스핀 이론에 대한 중요성은 훨씬 더 높다. 이 표현은 윌리엄 로언 해밀턴이 의 원소에 대한 그의 용어인 versors를 도입했을 때 2와 동시에 나타났다. 해밀턴의 작업이 리 군의 등장보다 앞서기 때문에 표준 군론 용어를 사용하지 않는다.
(즉  ) 표현은 델타 중입자 Δ와 같은 특정 중입자에 대한 입자 물리학에서 사용된다.

**같이 보기**
 회전 연산자(벡터 공간)- 회전 연산자(양자역학)- SO(3)의 표현론- SO(3)와 SU(2)의 연결- SL(2, R)의 표현론- 약-전기 상호작용- 회전 군 SO(3) § 리 대수에 대한 참고 사항

**각주**
 isbn=978-3319134666- Gerard 't Hooft (2007),  Lie groups in Physics, Chapter 5 "Ladder operators"- isbn=3540362363
분류:3차원 회전