허용 관계

보편 대수학과 격자 이론에서 허용 관계(tolerance relation)는 대수 구조의 연산과 호환되는 반사 대칭 관계이다. 즉, 합동 관계에서 추이성 조건을 없애 얻는 개념이다. 허용 관계에 대한 몫 대수는 합동 관계에 대한 몫 대수를 일반화한다. 합동 관계와 달리, 허용 관계에 대한 몫 대수는 존재하지 않을 수 있으며, 몫 대수는 (만약 존재한다면) 항등식들을 보존할 필요가 없다.

**정의**
대수 구조 위의 허용 관계는 통상적으로 모든 연산들과 호환되는 반사 대칭 관계로 정의되며, 특별한 조건을 만족시키는 덮개로 정의할 수도 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다. 부호수 의 대수 구조  위의 허용 관계들은 포함 관계에 따라 대수적 격자 를 이룬다. 합동 관계 격자 는 허용 관계 격자 의 부분 순서 집합이지만, 부분 격자일 필요는 없다.

**이항 관계를 통한 정의**
부호수 의 대수 구조  위의 허용 관계는 다음 조건을 만족시키는  위의 이항 관계 이다.- (반사성) 임의의 에 대하여, - (대칭성) 임의의 에 대하여, 만약 라면, - (연산과의 호환) 는 두 의 직접곱 의 부분 대수이다. 즉, 임의의 항 연산  및 에 대하여, 만약 임의의 에 대하여 라면, .
합동 관계는 추이적 허용 관계이다.

**덮개를 통한 정의**
부호수 의 대수 구조  위의 허용 관계는 다음 조건들을 만족시키는 의 덮개 이다.307, Theorem 3- 임의의  및 에 대하여, 만약 라면, 이다.
** 특히, 의 서로 다른 두 원소는 서로를 포함하지 않는다. (이 사실은 를 취하여 얻는다.)- 임의의 에 대하여, 만약 가 의 원소의 부분 집합이 아니라면, 의 원소의 부분 집합이 아닌 두 원소 집합 가 존재한다.- 임의의 항 연산  및 에 대하여, 인 가 존재한다. (이러한 는 일반적으로 유일하지 않다.)
집합의 분할은 정의의 처음 두 조건을 만족시키지만, 그 역은 성립하지 않는다. 합동 관계는 집합의 분할을 이루는 허용 관계이다.

**두 정의의 동치**
이항 관계로서의 허용 관계와 덮개로서의 허용 관계의 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, 부호수 의 대수 구조  위의 이항 관계 가 허용 관계라고 하자. 이 다음 조건을 만족시키는 극대 부분 집합 들의 집합이라고 하자.- 임의의 에 대하여, 
그래프 이론의 용어를 사용하면, 은 그래프 의 극대 클릭들의 집합이다. 합동 관계의 경우 이는 단순히 동치류들의 몫집합이다. 그렇다면, 는 의 덮개이며, 덮개로서 허용 관계를 이룬다. (덮개 정의의 마지막 조건은 초른 보조정리를 사용하여 보일 수 있다.) 반대로, 허용 관계를 이루는 의 덮개 가 주어졌을 때, 임의의 에 대하여

라고 하자. 그렇다면, 는 이항 관계로서 허용 관계를 이룬다. 과 는 이항 관계로서의 허용 관계들과 덮개로서의 허용 관계들 사이의 일대일 대응이며, 서로 역함수이다. 따라서 두 정의는 서로 동치이다. 허용 관계가 이항 관계로서 동치 관계인 것은 덮개로서 집합의 분할인 것과 동치이다. 즉, 합동 관계의 두 가지 정의도 서로 일치한다.

**허용 관계에 대한 몫 대수**
부호수 의 대수 구조  위에 허용 관계 이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 항 연산  및 에 대하여,

인 이 유일하게 존재한다면, 이는 자연스럽게 의 에 대한 몫 대수

를 정의한다. 합동 관계의 경우, 이러한 유일성 조건은 항상 만족되며, 정의된 몫 대수는 통상적인 몫 대수와 일치한다.
부호수 의 대수 구조 다양체 가 다음 조건을 만족시키면, 허용 몫 가능 다양체(tolerance factorable variety)라고 한다.- 임의의  및 허용 관계  및 항 연산  및 에 대하여, 인 유일한 이 존재한다. (따라서, 몫 대수 가 존재한다.)
부호수 의 대수 구조 다양체 가 다음 두 조건을 만족시키면, 강하게 허용 몫 가능 다양체(strongly tolerance factorable variety)라고 한다.- 허용 몫 가능 다양체이다.- 임의의  및 허용 관계 에 대하여, 
모든 강하게 허용 몫 가능 다양체는 허용 몫 가능 다양체이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

**성질**
만약 부호수 의 대수 구조 가 멱등 대수 구조라면 (), 임의의 허용 관계  및 에 대하여, 는 의 부분 대수이다.308, Theorem 4
임의의 항 연산  및 에 대하여, 를 보이면 된다. 임의의 에 대하여, ()이므로,

이다. 의 극대성에 따라, 이다.

**존재**
부호수 의 대수 구조 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.- 의 연산의 값이 될 수 없는 원소 가 존재한다.
그렇다면,  위에 합동 관계가 아닌 허용 관계가 존재한다.310, Theorem 8

**합동 관계의 준동형 상**
부호수 의 대수 구조  및 전사 준동형 가 주어졌다고 하자.  위에 합동 관계 가 주어졌을 때,  위에 다음 이항 관계 를 정의하자.

그렇다면, 는  위의 허용 관계이다.
강하게 허용 몫 가능 다양체 에서, 모든 허용 관계는 합동 관계의 준동형에 대한 상이다.

**예**

**집합**
집합은 인 대수 구조이다. 집합 위의 허용 관계는 단순히 반사 대칭 관계가 된다. 따라서, 집합의 다양체는 자명하게 강하게 허용 몫 가능 다양체를 이룬다.

**군**
군 위에서, 모든 허용 관계는 합동 관계이다. 특히, 환, 벡터 공간, 가군, 불 대수 등의, 일부 연산을 잊었을 때 군을 이루는 대수 구조들 위에서도 마찬가지다.261–262 따라서, 이들의 다양체가 강하게 허용 몫 가능 다양체를 이룬다는 사실 역시 자명하다.

**격자**
격자  위에 허용 관계 이 주어졌을 때, 의 모든 원소는 의 볼록 부분 격자를 이룬다. 따라서, 임의의 에 대하여,

이다. 특히,- 일 필요충분조건은 이다.- 만약 이며, 라면, 이다.
만약 라면,

이다. 반대로, 만약  라면,

이며, 마찬가지로

이다. 따라서,

이다.
만약 이며, 라면,

이며, 마찬가지로

이다. 따라서,

이다.
모든 격자는 멱등 대수 구조이므로, 임의의 은 의 부분 격자이다. 이제, , 이며, 라고 하자. 의 극대성에 따라, 를 보이려면, 임의의 에 대하여 임을 보이는 것으로 족하다.

이므로,

를 보이면 족하다. 가 부분 격자이므로, 이며, 따라서 이다.
격자의 다양체는 강하게 허용 몫 가능 다양체를 이룬다. 즉, 격자  위에 허용 관계 이 주어졌을 때, 임의의 에 대하여,


인 유일한 이 존재하며, 또한 몫 대수

는 다시 격자를 이룬다.44, Theorem 22
임의의 에 대하여 다음 네 명제를 보이는 것으로 족하다. (첫 번째와 두 번째, 세 번째와 네 번째 명제는 서로 쌍대이므로, 첫 번째와 세 번째만을 증명한다.)- 만약 라면, 이다.- 만약 라면, 이다.- 만약 라면, 이다.- 만약 라면, 이다.
첫 번째 명제의 증명. 라고 하자 (는 순서 아이디얼 격자에서의 상한). , 이므로, , 이다. 와 의 극대성에 따라, 임의의 에 대하여 임을 보이면 족하다. , , , 이며, 라고 하자. 이므로, 를 보이면 족하다. 이므로 이다. 또한, , , 이므로 이다. 따라서, 이다. , 이므로 , 이며, 따라서 이다.
세 번째 명제의 증명. 우선, 이다. 이제, 임의의 에 대하여 임을 보이면 족하다. 라고 가정하자. 임의의 와 를 취하자. 임의의 에 대하여, 이므로 이며, 이므로 이다. 따라서, 이다. 이므로, 이다. 의 극대성에 따라, 이며, 따라서 이다. 이는 모순이다.
위 증명에 따라, 필터 격자와 순서 아이디얼 격자로 가는 자연스러운 단사 함수


가 존재하며, 항상


가 성립한다. 따라서, 과 은 각각 가환 반군  및 의 부분 반군과 동형이다 (격자로서의 동형일 필요는 없다). 이제, 흡수 법칙을 보이는 일만 남았다. 쌍대성에 따라 두 흡수 법칙 가운데 하나

만을 보여도 좋다. 의 정의에 따라

이므로,

이다. 따라서 위 흡수 법칙은 참이다.
특히, 분배 격자와 모듈러 격자는 임의의 허용 관계에 대하여 몫 격자를 취할 수 있다. 그러나, 이러한 몫 격자가 다시 분배 격자나 모듈러 격자가 될 필요는 없다. 즉, 분배 격자의 다양체와 모듈러 격자의 다양체는 허용 몫 가능 다양체이지만, 강하게 허용 몫 가능 다양체가 아니다.40 사실, 격자 다양체의 모든 부분 다양체는 허용 몫 가능 다양체이지만, 격자 다양체의 강하게 허용 몫 가능 부분 다양체는 격자 다양체 전체와 자명한 (한 원소 격자로 구성된) 부분 다양체밖에 없다. 이는 모든 격자는 두 원소 격자들의 직접곱의 부분 격자의 허용 관계에 대한 몫 격자의 부분 격자와 동형이기 때문이다.40, Theorem 3
상대 여원 격자 위의 모든 허용 관계는 합동 관계이다.308, Theorem 5 반대로, 모든 허용 관계가 합동 관계인 분배 격자는 상대 여원 격자이다.310, Corollary 2
모든 크기 3 이상의 격자는, 합동 관계가 아닌 허용 관계가 존재하는 부분 격자를 갖는다.308, Corollary 1

**참고 문헌**
분류:보편대수학
분류:격자 이론