대수적 양자장론

수리물리학에서, 대수적 양자장론(Algebraic quantum field theory)은 함수해석학의 C*-대수를 국소적 양자 물리학에 응용한 이론이다. 헤이그와 카스틀러가 도입했기 때문에 양자장론에 대한 헤이그-카스틀러 공리계(Haag–Kastler axiomatic framework)라고도 한다. 이 공리계는 민코프스키 공간의 모든 열린 집합에 대해 주어진 대수와 그 사이의 사상으로 명시된다. 양자장론의 공리화라는 수리물리학의 주요 주제에 속한다.

**함수해석학과 양자장론의 관련성**
함수해석학에서는 선형 공간 구조와 위상 수학 구조를 함께 갖춘 함수 공간과 그곳에서 작용소(사상)를 연구한다. 이 때 작용소들은 특정한 대수적 구조를 가지고 있다. C*-대수는 그러한 대수 구조들 중 하나이고 폰 노이만 대수는 C*-대수의 일종이다.
한편, 양자장론의 수학적 구조는 힐베르트 공간이라는 함수 공간과 그곳에서 작용소들이다. 대수적 양자장론은 이에 착안하여, 힐베르트 공간의 작용소들이 이루는 대수인 폰 노이만 대수를 이용해 양자장론을 엄밀히 정의하려고 한다.

**헤이그-카스틀러 공리**
를 민코프스키 공간의 모든 열린 부분집합과 제한된 부분집합의 집합이라 하자. 대수적 양자장론은 공통적 힐베르트 공간 에서 폰 노이만 대수 의 그물 을 통해 정의된다. 공리계는 다음과 같다:- 아이소토니: 이면 .- 인과관계: 만일 와 가 장소꼴로 분리되어 있으면, .- 푸앵카레 공변성: 다음과 같은  위의 푸앵카레 군 의 강하게 연속적인 유니터리 표현 이 존재한다: - 스펙트럼 조건 : 에너지 운동량 연산자 의 조인트 스펙트럼  (즉, 시공간 변환의 생성원)는 닫힌 전방 광원뿔에 포함되어 있다.- 진공 벡터의 존재 : 순환 벡터와 푸앵카레 불변 벡터 가 존재한다.
그물 대수학 들은 국소 대수라고 부른다. C*-대수 는 준 국소대수라고 불린다.

**범주론적 공식화**
범주 를 범주의 사상은 포함 함수이고 대상은 민코프스키 공간 의 열린 부분 집합들인 범주라 하자. 의 모든 사상이 C*-대수 범주 의 단사 사상에 사상되는  공변 함자 가 주어진다.(아이소토니)
푸앵카레 군은 에 대해 연속적으로 작용한다. 이 작용의 당김이 존재하며 이는 의 표준 위상에서 연속이다.(푸앵카레 공변).
민코프스키 공간은 인과 구조를 가지고 있다. 열린집합 가 열린집합 의 인과적 여집합에 있는 경우 사상의 상은
 
이고
 
는 교환한다(장소꼴 교환성). 만약 가 열린집합  의 인과적 완비화이면 는 동형 사상 (원시적 인과관계)이다.
C*-대수와 관련된 상태는 단위 노름을 갖는 양의 선형 범함수이다.  위의 상태가 주어진 경우, "부분 대각합"을 가지고 그물 단사 사상을 통해 각 열린 집합 에 대해 과 관련된 상태를 얻을 수 있다. 열린 집합에 대한 상태는 준층 구조를 형성한다.
겔판트-나이마크-세겔 구성에 따르면 각 상태에 대해 의 힐베르트 공간 표현을 연관시킬 수 있다. 순수 상태는 기약표현에 해당하고 혼합 상태는 가약 표현에 해당한다. 각각의 기약 표현(동치 관계 기준)을 초선택 규칙 섹터라고 한다. 우리는 다음과 같은 성질을 가진 진공이라는 순수 상태가 있다고 가정한다: 이 진공과 관련된 힐베르트 공간은 푸앵카레 공변성과 호환되고, 푸앵카레 대수를 보면 에너지-운동량(시공간 변환에 해당)에 대한 스펙트럼이 양의 빛 원뿔 위와 내부에 있는 푸앵카레 군의 유니터리 표현이다. 이는 진공 섹터이다.

**휘어진 시공간에서의 양자장론**
최근에는 대수적 양자장론이 휘어진 시공간 양자장론을 포함하도록 하는 접근 방식이 추가로 구현되었다. 실제로, 국소적 양자 물리학의 관점은 휘어진 배경에서 전개된 양자장론에 대한 재규격화 절차를 일반화하는 데 특히 적합하다. 블랙홀이 있는 경우 양자장론에 관한 몇 가지 엄격한 결과가 얻어졌다.

**각주**

**참고 문헌**
 인용|last1=Haag|first1=Rudolf|author-link1=Rudolf Haag|last2=Kastler|first2=Daniel|author-link2=Daniel Kastler|title=An Algebraic Approach to Quantum Field Theory|doi=10.1063/1.1704187|mr=0165864|year=1964|journal=Journal of Mathematical Physics|issn=0022-2488|volume=5|issue=7|pages=848–861|bibcode=1964JMP.....5..848H|url=https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.1704187- 인용|last1=Haag|first1=Rudolf|author-link1=Rudolf Haag|title=Local Quantum Physics: Fields, Particles, Algebras|orig-year=1992|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|edition=2nd|series=Theoretical and Mathematical Physics|isbn=978-3-540-61451-7|mr=1405610|year=1996|url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-61458-3|doi=10.1007/978-3-642-61458-3- 저널 인용|제목=The Generally Covariant Locality Principle – A New Paradigm for Local Quantum Field Theory|저널=Communications in Mathematical Physics|성=Brunetti|이름=Romeo|성2=Fredenhagen|이름2=Klaus|url=https://link.springer.com/article/10.1007/s00220-003-0815-7|날짜=2003|권=237|호=1–2|쪽=31–68|arxiv=math-ph/0112041|bibcode=2003CMaPh.237...31B|doi=10.1007/s00220-003-0815-7|성3=Verch|이름3=Rainer- 저널 인용|제목=Perturbative Algebraic Quantum Field Theory and the Renormalization Groups|저널=Advances in Theoretical and Mathematical Physics|성=Brunetti|이름=Romeo|성2=Dütsch|이름2=Michael|url=https://inspirehep.net/literature/811019|날짜=2009|권=13|호=5|쪽=1541–1599|arxiv=0901.2038|doi=10.4310/ATMP.2009.v13.n5.a7|성3=Fredenhagen|이름3=Klaus- isbn=978-3-642-02780-2- 편집자4-성=Yngvason- isbn=978-3-319-25901-7- isbn=978-3-319-21894-6- isbn=978-3-030-04738-2- isbn=978-981-121-287-1- doi=10.1142/S0217751X23300028

**외부 링크**
  Local Quantum Physics Crossroads 2.0 – 국소적 양자 물리학을 연구하는 과학자 네트워크-  논문 – 대수적 QFT에 대한 사전 인쇄 데이터베이스-  대수적 양자장론 – 함부르크 대학의 AQFT 리소스
분류:수리물리학
분류:양자장론