복소화

수학에서, 실수 체 스칼라를 가진 선형 공간 ("실수 선형 공간")의 복소화는 복소수 체에 대한 선형 공간 를 구성하며, 벡터의 실수 스칼라를 복소수 범위 까지 형식적으로 확장하여 얻은 것이다. 실 선형 공간 에 대한 모든 기저는 또한 복소 선형 공간 에 대한 기저 역할을 할 수 있다.

**정의**
가 실 선형 공간이라 하자. 의 복소화는 와 2차원 실 선형 공간으로서의 복소수 공간의 텐서 곱으로 정의된다.
 
텐서 곱에서 아래 첨자 은 텐서 곱이 실수 위에서 이뤄짐을 나타낸다.(는 실 선형 공간이므로 어쨌든 이것이 유일하게 합리적인 선택이므로 아래 첨자는 혼동의 여지 없이 생략할 수 있다.) 현재 상태 그대로,  는 실 선형 공간이다. 그러나, 복소수 곱셈을 다음과 같이 정의하여 를 복소 선형 공간으로 변환한다:
 
보다 일반적으로, 복소화는 스칼라 확대의 예이다. 여기서는 실수에서 복소수로 스칼라를 확장한다. 이는 모든 체 확대 또는 환의 모든 사상에 대해 수행될 수 있다.
범주론적으로, 복소화는 실 선형 공간의 범주에서 복소 선형 공간의 범주로 가는 함자 VectR → VectC이다. 이것은 복소 구조를 잊어 버린 망각 함자 VectC → VectR에 대한 왼쪽 수반 함자이다.
복소 선형 공간 의 복소 구조에 대한 이러한 망각은 실수화라고 부른다.
기저 를 가진 복소 선형 공간 의 실수화는 복소수 스칼라 곱을 없애버리고
를 기저로 하여 차원을 두배로 만든다.

**기본적 성질들**
텐서 곱의 특성상 의 모든 벡터 는 다음과 같은 형식으로 유일하게 쓸 수 있다:
 
여기서 와 는 의 벡터이다. 텐서 곱 기호를 버리고 그냥 쓰는 것이 일반적이다.
 
복소수 에 의한 곱셈은 일반적인 규칙에 의해 주어진다.
 
그런 다음 를 두 의 직합으로 볼 수 있다:
 
복소수에 의한 곱셈에 대한 위의 규칙을 사용한다.
다음과 같이 주어진 에 의 자연스러운 매장이 있다.
 
그러면 선형 공간 를 의 실수 부분 공간으로 볼 수 있다. (실수 체에 대해) 기저 를 갖는 경우 에 대한 해당 기저는 복소수 체에 대해 로 주어진다. 따라서 의 복소 차원은 의 실수 차원과 같다.
 
또는 텐서 곱을 사용하는 대신 이 직합을 복소화의 정의로 사용할 수 있다.
 
여기서 는 과 같이 정의된 연산자 에 의해 선형 복소 구조가 제공된다. 여기서 는 "에 의한 곱셈" 연산을 의미한다. 행렬 형식으로 는 다음과 같다:
 
이것은 공간을 다르게 구성하지만 동일한 공간을 생성한다. 선형 복소 구조를 가진 실 선형 공간은 복소 선형 공간과 동일하다. 따라서, 는  또는 로 쓸 수 있다. 는 직합의 첫 번째 성분으로 식별한다. 이 접근법은 더 구체적이고 기술적으로 관련된 텐서 곱의 사용을 피하는 이점이 있지만 임시적이다.

**예**
 실수 좌표 공간 의 복소화는 복소 좌표 공간 이다.- 마찬가지로, 가 실수 성분이 포함된  행렬로 구성된 경우 는 복소수 성분이 포함된  행렬로 구성된다.

**딕슨 배환**
에서 로 이동하는 복소화 과정은 레너드 딕슨을 비롯한 20세기 수학자에 의해 추상화되었다. 하나는 항등사상 을  에 대한 자명한 대합으로 사용하는 것으로 시작한다. 다음으로 의 두 복사본을 사용하여, 복소 켤레는 를 사용하여 를 형성한다. 배가 된 집합의 두 원소 와 는 다음과 같이 곱한다.
 
마지막으로, 배가 된 집합에는 노름 가 주어진다. 항등 대합을 사용하여 에서 시작할 때 배가 된 집합은 노름 를 사용하는 이다. 를 두 배로 하고 켤레 를 사용하면 사원수를 생성한다. 다시 두 배로 하면 케일리 수라고도 하는 팔원수가 생성된다. 1919년 딕슨이 대수적 구조를 밝히는 데 기여한 것은 바로 이 시점이었다.
이 과정은 와 자명한 대합 1=z* = z 로 시작할 수도 있다. 생성된 노름은  두 배로 하여  를 생성하는 것과는 달리 단순히 z2이다. 이 가 2배가 되면 쌍복소수이고, 2배가 되면 쌍사원수이고, 다시 2배가 되면 쌍팔원수이다. 기본이 되는 대수가 결합적일 때, 이 케일리-딕슨 구성에 의해 생성된 대수는 합성 대수라고 불린다. 왜냐하면 다음과 같은 성질이 있기 때문이다.
 

**복소 켤레**
복소화된 선형 공간 는 일반적인 복소 선형 공간보다 더 많은 구조를 가지고 있다. 표준 복소 켤레 사상과 함께 제공된다.
 ,

는 인 켤레 선형 사상 또는 인 복소 선형 동형 사상으로 볼 수 있다.
반대로 복소수 켤레 를 갖는 복소 선형 공간 이 주어지면 는 실 부분공간의 복소화 에 대한 복소 선형 공간과 동형이다.
 
즉, 켤레 복소수가 있는 모든 복소 선형 공간은 실 선형 공간의 복소화이다.
예를 들어, 일 때 표준 복소 켤레
 
의 불변 부분공간 는 단순히 실 부분공간 이다.

**선형 변환**
두 실 선형 공간 사이에 주어진 실 선형 변환 에 대해 자연 복소 선형 변환
 
이 있다. 여기서
 
사상 는 의 복소화라고 한다. 선형 변환의 복소화는 다음 성질을 갖는다:
범주론에서 복소화는 실 선형 공간 범주에서 복소 선형 공간 범주로 가는 (가산) 함자를 정의한다고 말한다.
사상 는 켤레와 사용하여 교환하므로 의 실 부분 공간을 의 실 부분 공간에 사상한다 (사상 f 를 통해). 또한 복소 선형 사상 는 오직 켤레로 교환하는 경우에만 실 선형 사상의 복소화이다.
예를 들어  행렬로 생각되는 선형 변환 을 고려하자. 해당 변환의 복소화는 정확히 동일한 행렬이지만 인 선형 사상으로 여겨진다.

**쌍대 공간과 텐서 곱**
실 선형 공간 의 쌍대공간은 인 모든 실 선형 사상들이 이루는 선형 공간 이다. 의 복소화는 당연히 인 모든 실 선형 사상들이 이루는 선형 공간으로 생각할 수 있다. 즉,동형은 다음과 같이 주어진다.여기서 는 의 원소이다. 그런 다음 일반적인 작업에 의해 복소 켤레가 제공된다.주어진 실 선형 사상 에 대해 복소 선형 사상 를 얻기 위해 선형으로 확대할 수 있다. 즉,이 확대는 에서 까지의 동형 사상을 제공한다. 후자는 단지 에 대한 복소 쌍대 공간이므로, 다음과 같은 자연스러운 동형사상이 있다:더 일반적으로, 실 선형 공간 와 가 주어지면 자연스러운 동형사상이 있다. 복소화는 또한 텐서 곱, 외승 및 대칭승을 취하는 작업과 교환한다. 예를 들어, 와 가 실 선형 공간인 경우 자연스러운 동형사상이 있다. 왼쪽 텐서 곱은 실수를 인계받는 반면 오른쪽 텐서 곱은 복소수를 인계한다. 일반적으로 동일한 패턴이 적용된다. 예를 들어, 하나는모든 경우에 동형사상은 "자명한" 동형사상이다.

**같이 보기**
 스칼라의 확장 - 일반적 과정- 선형 복소 구조- 베이커–캠벨–하우스도르프 공식

**각주**
 isbn=0-387-90093-4- isbn=0-12-639201-3- isbn=0-387-24766-1
분류:벡터 공간
분류:복소다양체