비결합 대수

비결합 대수(Non-associative algebra)1995 또는 분배 대수는 이항 곱셈 연산에 대해 결합법칙이 성립하도록 가정하지 않는 체에 대한 대수이다. 즉, 대수 구조 는 에 대한 벡터 공간이고 -쌍선형 이진 곱셈 연산 가 결합되어 있으면 체 에 대한 비결합 대수이다. 예를 들면 리 대수, 요르단 대수, 팔원수 및 벡터곱 연산이 주어진 3차원 유클리드 공간이 있다. 곱셈이 결합적이라고 가정하지 않으므로 괄호를 사용하여 곱셈의 순서를 표시해야 한다. 예를 들어, 표현 는 모두 다를 수 있다.
이러한 비결합성의 사용은 결합성이 가정되지 않음을 의미하지만 결합성이 허용되지 않는다는 의미는 아니다. 즉, "비결합"은 "반드시 결합일 필요는 없음"을 의미하며, "비가환"은 비가환 환에 대해 "반드시 교환일 필요는 없음"을 함의한다.
대수의 모든 에 대해 인 항등원 e를 갖는 경우 대수는 단원을 갖는다고 한다. 예를 들어 팔원수는 단원을 갖지만 리 대수는 언제나 단원을 갖지 않는다.
의 비결합 대수 구조는  벡터 공간으로서 의 전체 대수의 부분 대수인 다른 결합 대수와 연관시킴으로써 연구될 수 있다. 그러한 두 가지는 미분 대수와 (결합) 포락 대수이며 후자는 어떤 의미에서 " 를 포함하는 가장 작은 결합 대수"이다.
보다 일반적으로, 일부 저자는 가환 환 에 대한 비결합 대수의 개념을 고려한다. R -쌍선형 이진 곱셈 연산을 갖춘 -모듈 1995 어떤 구조가 결합성을 제외한 모든 환 공리(예: - 대수)를 따른다면 당연히  -대수, 따라서 일부 저자는 비결합성을 참조한다.  -비결합 환으로서의 대수 .

**항등식을 만족시키는 대수**
두 개의 이진 연산이 있고 다른 제한이 없는 환과 같은 구조는 연구하기에 너무 일반적이고 광범위하다. 이러한 이유로 가장 잘 알려진 종류의 비결합 대수는 곱셈을 다소 단순화하는 항등식 또는 성질을 충족한다. 여기에는 다음이 포함된다.

**일반적인 성질**
, y 및 z를 체 에 대한 대수 A의 임의 원소라 하자. 양의(0이 아닌) 정수에 대한 거듭제곱을  및  1948a (오른쪽 거듭제곱) 또는  1995 1995 ( 왼쪽 거듭제곱)로 정의하자. (저자에 따라 다름.)- Unital : 인 원소 e가 존재하므로  ; 이 경우 라고 정의할 수 있다.- 결합법칙 :  .- 교환법칙 :  .- 반교환법칙 : 1995  .- 야코비 항등식 : 1995 2005  또는 저자에 따라  .- 요르단 항등식 : 1995 2005  또는  저자에 따라 다름.- 교대 법칙 : 1995 2005 2004  (왼쪽 교대) 및  (오른쪽 교대).- 유연성 : 1995 2005  .- n ≥ 2 결합된 n 번째 거듭제곱: 모든 정수 k에 대해  이므로 수학|0 

**참고 문헌**
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