0.999…

무한히 9를 반복하는 무한소수
수학에서 순환소수인 0.999…는 소수점 뒤로 9가 무한히 반복되는 소수로, 실수 1의 또 다른 십진법 소수 표현이다. 즉 "0.999…"와 "1"은 같은 수이다. 이러한 증명은 실수론의 전개, 배경이 있는 가정, 역사적 맥락, 대상이 되는 청자(듣는 사람) 등에 맞는 수준에 따른 것으로서 여러 단계의 수학적 엄밀함을 적절하게 고려한 다양한 정식화가 있다.
0.999...는 줄임표 앞의 9의 개수를 다소 늘리거나 줄여서 1=0.99999…처럼 쓰기도 한다. 또는 순환마디를 명확하게 하기 위해  또는 와 같이 표기하기도 한다. 일반적으로 임의의 0이 아닌 유한소수(말미에 무한개의 0을 붙여서 무한소수로 봄)는 소수 부분이 있는 자리부터 9가 연속해서 반복되는 소수 표시(예를 들어 1=8.32, 1=8.31999…)를 가진다. 보통은 유한소수 표시를 선호하는 것으로서 그것이 하나의 뜻만 가진 표시라는 오해로 이어지기 쉽다. 이와 같은 현상은 임의의 다른 밑에 관한 위치 기수법이나 같은 실수의 표기법에서도 발생한다.
0.999…와 1의 등가성은 실수의 체계(해석학에서 가장 일반적으로 이용되는 체계)에 0이 아닌 무한소가 존재하지 않는 것과 깊이 관련되어 있다. 한편 초실수의 체계와 같이 0이 아닌 무한소를 포함한 다른 수 체계도 있다. 그런 체계의 대부분은 표준 해석에 따른 등식에서 0.999…의 값은 1과 같아지지만 일부 체계에서는 기호 "0.999…"에 다른 해석을 주면서 1보다 무한소만 작도록 만들 수 있다.
등식 0.999… = 1은 수학자들에게 오랫동안 받아들여져 일반적인 수학 교육의 일부였음에도 불구하고 이를 충분히 직관에 반하는 것으로 간주하고 의심하거나 거부 반응을 보이는 일부 학생들이 있다. 이와 같은 회의론은 이러한 등식을 그들에게 납득시키는 것이 얼마나 어려운가가 수학 교육의 여러 연구 주제가 되는 것에 정당성을 부여하는 정도로 당연하게 존재한다.

**대수적인 증명**
라는 실수를 명확히 파악하려면 소수점 이하의 자리가 모두 1=9임을 이용해야 한다. 위치 기수법으로 표시된 유한소수의 "자리별 사칙연산"을 무한소수에 대해서도 적용할 수 있다고 간주하면 1=0.999… = 1을 초등적으로 이끌어 낼 수 있다.

**분수를 통한 증명**
을 소수로 표시하면 소수점 이하의 자리가 모두 1=3이라는 것을 이용한다. 은 1=1 ÷ 3이 되는데 장제법을 취하면 순환소수 1=0.333…이 된다. 여기서 1=3은 무한히 계속된다. 이러한 소수점 이하에 있는 각각의 자리는 1=3배나 되는데 모두 1=9에서 유한소수일 때와 마찬가지로 각각의 자리에 대한 곱셈을 한꺼번에 할 수 있다고 가정한다면 무한소수 1=0.333…의 1=3배인 1=0.999…와 같은 값이 나온다. 또한  × 3 = 1이 나오는데 1=0.999… = 1이 된다. 이와는 별도로  = 0.111…이라는 등식의 양 쪽에 9를 곱해서 증명하기도 한다.


**위치 기수법의 성질을 이용한 증명**
십진법에 따라 표시된 유한소수에 1=10을 곱하면 숫자는 변하지 않고 소수점이 오른쪽으로 이동한다. 이것이 무한소수에 대해서도 성립된다고 간주하면 1=0.999… × 10 = 9.999…가 되는데 이는 원래의 수에 비해 1=9 정도 큰 편이다. 자리마다 뺄셈을 취급할 수 있는 것이 무한소수에 대해서도 성립된다고 간주하면 1=9.999…- 0.999…= 9.000…이 된다. 그런데 소수점 이하로 무수히 이어지는 1=0은 수를 변화시키지 않기 때문에 이 차이는 바로 1=9와 같다. 문제의 소수인 1=0.999…를 c라고 가정하면 1=10c - c = 9이 되는데 이러한 방정식을 풀면 1=c = 1이라는 값을 얻을 수 있고 증명이 완료된다. 즉 다음과 같은 등식이 나온다.

이러한 위치 기수법의 성질을 이용한 증명은 다른 유한소수(1=0.25와 1=0.24999… 등)에도 적용이 가능하다.

**무수한 자릿수 조작의 정당성**
위에서 언급한 2개의 증명에서 이용한 무수한 자릿수 조작(즉 곱셈이나 뺄셈)을 일제히 실시하는(즉 ... 부분에 행한다) 것은 엄밀성이 결여된 것이기 때문에 그러한 정당성이 명확하지 않다. 이 과정은 유한소수에 관해서 실수의 계산 법칙에만 의존하고 있다. 이러한 조작이 무한소수에도 적용될 수 있음을 증명하기 위해서는 해석적인 증명 문단에서 언급하는 실제 해석 기법을 필요로 한다.

**해석적인 증명**
라는 소수점 이하의 자리에 무수한 1=9를 더한다는 정의 자체가 해석적이다. 이것을 1=1과 같다는 것을 엄밀하게 증명하기 위해서는 실해석학에 따른 방법을 필요로 한다. 1=0.999…라는 무한소수를 정확히 파악하기 위해서는 소수 부분의 자리가 무수히 나열되어 있는 것을 명확하게 다시 정의하는 것이 필요하다.

**차이에 주목한 증명**
가 1=1과 같다는 것을 증명하기 위해서는 그것들의 차이가 1=0임을 증명하면 된다. 그만큼 무수히 나열된 1=9에 대한 정의는 희미하지만 초등적이고 해석적으로 이끌 수 있다. 
또한 이 증명에서는 마지막으로

인 것을 증명 없이 이용하고 있다.
이것을 증명하기 위해서는 실제 해석에서의 실수의 완비성(아르키메데스 성질)이 필요하다.

**무수한 자리에 대한 정의의 재고**
, 일반적으로는 무한소수(소수점 이하에 무수한 자리가 나열된 실수)에 대한 명확한 정의를 다시 논의하기 위해 정식화한다. 0.999…를 생각하는데 정수 부분은 1자리만 생각하면 충분하고 음수는 생각하지 않아도 되므로 고찰해야 하는 소수 표시는

형태가 된다. 소수 부분은 정수 부분과 달리 유한한 자릿수로 제한되지 않는다. 이는 기수 1=10에 따른 위치 기수법이기 때문이다. 예를 들어 의 단위가 의 10배이면 의 단위는 의 배가 된다.

**급수의 계산**
소수 전개의 일반적인 정의는 아마도 급수(무한한 수열의 총합)로 정의하는 것이다. 즉

로 나타낸다.
여기에서 0.999…의 소수 부분의 계산에는 등비 급수의 공식
여기에서 1=0.999…의 소수 부분 계산에는 등비급수에 따른 수열의 공식
일 때 
을 적용할 수 있다.
는 위에서 언급한 왼쪽 부분에서 첫 부분을 , 공비를 이라고 정의했기 때문에 이 공식보다

라고 쉽게 문제를 해결할 수 있다. 이 증명은 1770년경에 스위스의 수학자인 레온하르트 오일러가 집필한 《대수학 원론》(실제로는 1=9.999… = 10이라고 증명했음)에서 나타난다.
파일:base4 333.svg|섬네일|왼쪽|200픽셀|극한: 1=1에 따른 사진법 표시의 수열 을 포함한 단위 구간
등비급수의 공식 자체는 오일러 이전의 성과이지만 18세기까지는 그 도출이 모두 항별 연산의 증명 없이 이루어졌다. 1811년이 되어서야 보니캐슬(Bonnycastle)의 교과서 《대수학 소개》(An Introduction to Algebra)에서 등비급수에 관한 논의가 시작되었는데 이는 1=0.999…에 관한 항별 조작을 정당화하고 있다.
19세기에는 지금까지의 너무 자유로운 무한한 합의 계산에 대한 반동으로서 "급수는 그 부분합의 극한으로서 정의된다."라는, 현재의 수학에서도 이용되고 있는 정의가 만들어졌다. 현대의 증명에 근거한 미적분학이나 해석학의 입문서에서는 이와 관련된 정리를 증명하고 있으며 이러한 등비급수를 명확하게 계산하고 있다.
수열 에서 번호 n을 끝없이 나아가게 하면 거리 가 1=0에 접근할 때 수열 의 극한은 x라고 정의한다. 등식 1=0.999… = 1 자신은 다음과 같이 극한을 나타내면서 증명한다.

마지막 등호 ()는 실수의 완비성 가운데 하나인 아르키메데스 성질을 사용하여 증명된다. 이러한 극한을 바탕으로 1=0.999…의 설명은 종종 알기 쉽지만 부정확한 용어로 구성되어 있음을 입증한다. 예를 들어 1846년에 출간된 교과서 《대학교 산술》(The University Arithmetic)에서는 "1=0.999…로 무한히 이어지는 수는 1=1이다. 왜냐하면 1=9를 축적할 때마다 그 값은 1에 가까워지기 때문이다."라고 설명하고 있으며 1895년에 출간된 《학교 산수》(Arithmetic for Schools)에서는 "1=9를 충분히 이용하면 1=0.999…와 1=1 간의 거리는 놀랄 만큼 작은 값이다."라고 설명하고 있다. 직관에 의존하지 않고 뚜렷한 이해를 얻기 위해서 오귀스탱 루이 코시나 베르나르트 볼차노의 미적분을 엄밀한 이론으로 재구축하는 흐름이 나타났다. 1860년대에 카를 바이어슈트라스에 의해 엡실론-델타 논법이 고안되어 무한한 개념을 부등식의 임의성에 치환함으로써 항별 조작 가능성 등에 대해서도 설명이 뒤따르게 된다.

**구간 축소법과 상한**
구간 축소법: 
무한소수의 소수 부분을 급수로 직접 계산하는 방식의 도출에 대해서 이와는 별도로 또 하나의 방법은 무한소수가 취하지 않은 값의 범위를 배제하는 방법이다.
실수 x는 닫힌 구간 수학|1=0, 10(즉 1=0 이상 1=10 이하)에 속하며 이 구간 수학|1=0, 10에서 한 자리마다 1=10개 구간 수학|1=0, 1, 1, 2, 2, 3, …, 9, 10으로 분할(끝점에서만 겹침)한다. 실수 x는 적어도 1개에 속하며 그 구간의 하한, 예를 들어 x가 구간 수학|1=1, 2에 속할 때에는 "1=1"을 기록한다. 다음에 속한 구간 수학|1=1, 2를 소수 한 자리마다 수학|1=1, 1.1, 1.1, 1.2, …, 1.8, 1.9, 1.9, 2로 분할하고 x가 속한 구간의 하한을 기록하는 조작을 반복하면 에서 정해지는 구간의 감소 줄이 만들어진다. 이 수열은

라고 표현한다.
이러한 기록 방법에 따라 실수 1=1은 처음에 수학|1=0, 1에 속하거나 아니면 수학|1=1, 2에 속하는가에 따라 1=1 = 1.000...와 1=1 = 0.999…)의 2가지 표시를 얻을 수 있게 된다. 각각의 소수 기록 표시가 나타내는 실수가 동일한 것을 증명하려면 직접적으로는 극한을 사용하여 이루어지지만 순서의 논의를 계속 다른 구성 방법도 있다.
직접적인 방법으로는 구간 축소법이 꼽힌다. 이 원리에 따르면 닫힌 구간의 감소열이 주어지고 그 폭이 1=0으로 수렴할 때, 그러한 구간의 교집합은 단지 하나의 실수로 이루어진 1점 집합인 것이 실수의 완비성으로 증명된다. 따라서 는 의 모두에 속하는 유일한 실수라고 정의한다. 따라서 1=0.999…는 수학|1=0, 1, 0.9, 1, 0.99, 1, …의 모든 것에 속하는 유일한 실수가 된다. 반면 실수 1=1은 이들 모든 구간에 속하기 때문에 1=0.999… = 1이 된다.
구간 축소법은 실수의 완비성 중에서 보다 직관적이라고 생각되는 상한의 존재에 근거하고 있다. 이 사실을 직접 사용하면 을 근사값의 집합 의 상한으로서 정의할 수 있다. 증가열 상한의 존재 정리는 실수의 연속성으로서 구간 축소법과 같은 값임을 나타낼 수 있으므로 다시 1=0.999… = 1을 얻게 된다. 톰 어포스톨은 다음과 같은 결론을 내렸다.

**실수의 구성**
공리적 집합론을 이용하여 실수의 집합을 유리수의 집합을 통해 조립된 어떠한 종류의 구조로서 명시적으로 정의하는 방법은 여러 가지가 존재한다. 먼저 자연수란 물건을 셀 때 사용하는 번호를 말하며 1=0부터 시작하여 1=0, 1, 2, …과 1=+1씩 더하면서 얻을 수 있다. 자연수를 확장해서 정수 전체를 얻으려면 각 자연수의 반수를 첨가하면 된다. 또한 그러한 몫을 첨가하면 유리수 전체를 얻을 수 있다. 이들 수 체계에는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이라는 사칙연산과 관련되어 있으며 또한 임의의 2가지 수를 비교한 대소 관계(어느 쪽이 큰지, 작은지, 동일한지)라는 순서도 갖추고 있다.
유리수에서 실수로의 확장은(자연수에서 정수나 유리수로의 확장과 비교해서) 큰 비약이다. 이러한 확장 방법은 적어도 2가지 수법이 잘 알려져 있는데 둘 다 1872년에 발표된 유리수의 절단(데데킨트 절단)에 의한 것과 코시 열에 의한 것이다. 이러한 실수 구성법에 따라 1=0.999… = 1을 증명하고 있는 실제 해석 교과서는 볼 수 없다. 현대 수학에서는 해석학적으로 실수를 구성하고 그것이 수의 공리를 충족시키는 지에 주의를 기울인다. 공리에 의한 해석적 기법에 의해 1=0.999… = 1을 증명하게 되기 때문이다. 그러나 실수의 구성을 보다 적절하게 논리적으로 실시함으로써 1=0.999… = 1의 증명은 더 직접적으로 이루어진다(self-contained)라고 주장하는 사람도 있다.

**데데킨트 절단에 따른 구성**
데데킨트 절단의 접근 방법에서 임의의 실수 x는 "x보다 작은 유리수 전체로 이루어진 무한 집합"으로 정의한다. 이러한 사고 방식에서 실수 1=1은 "1=1보다 작은 모든 유리수의 집합"이 된다.
정수에서의 데데킨트 절단은 소수 전개를 통해 얻을 수 있다. 소수 표시를 적당한 자리까지 잘라서 얻을 수 있는 유리수를 사용하고 그보다 작은 유리수 전체의 합집합을 만들면 되는 것이다. 이러한 방법으로 실수 1=0.999…라는 것이 무엇일까를 생각한다면 1=r 2이다.

**뺄셈의 재고**
다른 방법은 뺄셈은 아무 때나 할 수 있는 게 아니라 "1=1 - 0.999…는 존재하지 않는다."고 판단해서 버리는 것이다. 덧셈을 갖고 있지만 뺄셈이 갖고 있지 않은 수학적 구조에는 교환법칙 반군, 교환법칙 모노이드, 반환 등이 포함된다. 리치먼은 수학|1=0.999… news:sci.math sci.math에서 1=0.999…에 관한 논의는 '유행 스포츠'이며 FAQ에서 응답된 문제 가운데 하나이기도 하다. 해당 FAQ는 를 이용하는 방법, 10배로 높이는 방법, 극한을 이용하는 방법을 간결하게 취급하고 있고 이와 마찬가지로 코시 열도 언급하고 있다.
미국의 신문 《시카고 리더》(Chicago Reader)의 칼럼 코너인 〈더 스트레이트 도프〉(The Straight Dope) 2003년판에서는 잘못된 개념을 언급하면서 이나 극한을 통한 1=0.999…에 대해 다음과 같이 논의하고 있다.
〈더 스트레이트 도프〉(The Straight Dope)는 "다른 게시판... 대부분 비디오 게임"에서 독립된 전용 게시판들을 통해 논쟁을 일으켰다. 이와 마찬가지로 1=0.999… 문제는 미국의 비디오 게임 개발사인 블리자드 엔터테인먼트의 배틀넷(Battle.net) 포럼에서 초반 7년 동안에 걸쳐 매우 일반적인 화제가 되기도 했다. 마이크 모하임(Mike Morhaime) 블리자드 엔터테인먼트 사장은 2004년 4월 1일에 만우절을 맞아 열린 기자 회견 도중에 1=0.999… = 1이라고 발표했다. 블리자드 엔터테인먼트는 나중에 공개된 보도자료에서 극한에 기반한 것과 1=10을 곱한 것 2가지 증명을 제공했다.

**관련된 문제**
 제논의 역설, 특히 아킬레우스와 거북이의 역설은 외관상 역설 1=0.999 = 1을 연상시킨다. 아킬레우스의 역설은 수학적으로 모델화되어 1=0.999와 같이 등비수열을 사용하면서 해결한다. 그렇지만 이러한 수학적인 취급이 엘레아의 제논이 탐구하고 있던 잠재적인 형이상의 문제에 대처하고 있는가의 여부에 대해서는 분명하지 않다. 다만 무한합의 값(여기에서는 유한소수의 무한합으로서의 무한소수)은 부분합의 극한(변수가 일정한 법칙에 따라 정해진 값에 한없이 가까워질 때의 값)에 의해서 정의되고 있으므로 이러한 방법에서는 역설을 해결했다고 보기는 어렵다는 논의가 있다(유한합, 순환소수, 순환논법을 참조). 이러한 사실에 유의하면 1=0.999… = 1이라는 귀결은 극한에 의해서 무한소수의 값을 정의한 결과이며 반드시 자명한 것은 아니다(그러한 의미에서는 앞에서 언급한 "제1등식을 믿는 것과 제2등식을 믿지 않는 모순에 직면하자 제1등식을 의심하기 시작했다."라는 태도가 어느 정도 수학적이고 감각적인 자세라고 볼 수도 있다). 원래 무한히 존재하는 값을 모두 더할 수 있는가라는 질문은 아직까지도 해결되지 않았으며(현대 수학에서는 정의로 처리하고 있다. 공리적 집합론 참조) 1=0.999… = 1이나 제논의 역설이라는 화제가 그것을 상기시켜 주는 모습의 소재임은 확실할 것이다.- 0으로 나누기는 1=0.999…에 대한 일반적인 몇 가지 논의에서 볼 수 있지만 그것 또한 논쟁의 대상이 되기도 한다. 많은 저자들이 1=0.999…를 정의하는 것을 선택하는 한편 실수의 현대적 취급에서는 1=0에 의한 나눗셈은 정의되지 않는다라고 언급하는 것은 그것이 일반적인 실수의 범위에서는 의미를 부여할 수 없기 때문이다. 그렇지만 1=0에 의한 나눗셈은 복소해석학을 비롯한 다른 체계에서는 정의되어 있다. 복소해석학에서는 확장된 복소평면(리만 구)은 무한원점을 갖는다. 을 무한대로 정의했다는 사실은 의미가 있다. 또한 실제로 그 결과는 심오한 편인데 공학이나 물리학에도 응용할 수 있다. 유명한 몇몇 수학자들은 수 체계가 훨씬 발달하기 이전부터 그러한 정의를 논의했다.- 장황한 수 표기와 비슷한 사례로서 −0|1=−0을 들 수 있다. 실수 등의 수 체계에서 "1=0"은 덧셈에 관한 항등원을 의미하며 양수도 음수도 아니다. 일반적으로 "1=-0"은 덧셈에 관한 1=0의 역원을 나타낸다고 해석되므로 1=−0 = 0이어야 한다. 이는 몇몇 컴퓨터의 수체계(예를 들면 부호화된 숫자 표현, 1의 보수 표현, IEEE 754에서의 정의와 같은 부동소수점 표시)에서도 그러하다. IEEE(전기 전자 기술자 협회) 부동소수점의 경우 1=-0은 주어진 정확한 수치를 나타내기에는 (절댓값이) 너무 작지만 그래도 여전히 음수인 값을 나타낸다. 따라서 IEEE 부동소수점 표시에서 "1=-0"은 원래 의미에서 "1=-0"이 아니다.

**같이 보기**
 순환소수- 십진법- 비표준 해석학- 실수- 실수의 완비성- 코시 열- 데데킨트 절단- : 1=0.999…와 마찬가지로 1=1와 같은 수식.

**각주**

**내용주**

**참고주**

**참고 문헌**- 역학계에 관한 이 입문적인 교과서는 학부생 또는 초급 대학원생 대상이다(p.ix).
** 미적분학에서 보다 발전된 해석학 "수학 분석"(Mathematical analysis)으로의 변천이 "속이지 않고, 엄밀하고, 최신임과 동시에 학자 티를 내는 일이 없도록" 의도하고 있다(서문). 어포스톨(Apostol)은 실수의 구성에 상한의 존재 공리를 응용하고 있는데 무한소수는 2쪽 이후에 소개하고 있다(pp.9-11).
** 이 교과서는 "실제 해석의 기본적 성질과 기교를 다루는 이해하기 쉽고 적당한 진도의 교과서"를 지향한다. 실수의 구성에는 상한의 존재 공리를 이용하고 있다(pp. vii-vii).
** 이 책은 중심적인 화제인 "수학적 현실성과 물리적 현실성의 다소 희박한 관계"를 살펴보는 도구로서 역설과 잘못된 추론에 의한 해석을 소개한다. 고등학교 1학년 정도의 대수를 가정하고 있으며 (제2장의 등비수열을 포함해서) 더욱 진전된 수학은 이 책에서 발전해 간다. 0.999…는 완전히 다루어지는 것들 가운데 하나는 아니지만 칸토어의 대각선 논법을 다루는 가운데 간결하게 서술되어 있다(pp.ix-xi, 119).
** 이 교과서는 필수 과목으로서의 "기본적인 미적분의 엄밀한 과정"의 역할을 담당하고 있으며 기술되어 있는 그 원칙은 "수학 입문"(An Introduction to Mathematics)으로서 복소해석학을 소개하고 대상을 명확하고 정확하게 밝히는 것이다(p. vii).
** 집합론에 입문하는 학부 학생용 교과서로 "특별한 예비 지식을 전제로 하지 않는 것"이 특징이다. 공리적 집합론 또는 수 체계의 구성에 초점을 둔 학습 과정을 제공하기 위해 쓰여져 있지만 공리라는 소재는 별로 중요시되지 않는 방식으로 다루어지고 있다(pp.xi-xii).-  (LCC QA37.2 G75)
** 이 책은 영국 버밍엄에 위치한 문법 학교에서 진행된 수학 교사 과정에서 나온 것이다. 이 과정은 학교에서 가르칠 수 있는 수학을 바탕으로 대학 차원의 수학 전망을 전파하는 것이 목적이며 "대학에서 수학 전문 과정을 1년 정도 배운 학생 수준"에 맞춰서 개발되었다. 실수의 구성은 24장에서 서술되어 있는데 "아마도 이 책 전체에서 가장 어려운 장"이다. 그렇지만 저자들은 이 어려움에 대해 아이디얼 이론을 응용하고 있기 때문이라고 판단하고 있기 때문에 여기서는 아이디얼 이론은 다루지 않는다(pp.vii, xiv).
** 만키에비치(Mankiewicz)는 수학, 수학자의 저작, 역사적 개략의 시각적인 측면과 질적인 측면을 조합함으로써 수학의 역사를 "이해하기 쉬운 형식"으로 서술하고자 한다(p.8).
** 연대순이라기보다 화제별 무한에 관한 회고. 이 책은 "일반적인 독자를 의도하고 있다"가 "수학자의 시점에서 말하고 있다". 수학적인 엄밀성과 읽기 쉬운 말투 사이에서 마오르(Maor)는 "이 문제를 올바르게 다루는 데 성공하기를 바란다."고 말하고 있다(pp.x-xiii).
** 형식적인 예비 지식을 필요로 하지 않고 "대학 3 ~ 4학년 또는 대학원 1학년 수준"에서의 입문서를 의도하고 있으며 "독자가 집합론에 대해 잘 알고 있음을 가정조차 하지 않는 편"이다(p.xi). 멍크리스(Munkres)의 실제 수 취급은 공리적이며 이러한 도구를 갖지 않는다. 그는 이러한 구성 방법에 대해 "이러한 접근법은 많은 시간과 노력을 필요로 하며 수학적인 흥미로 다루는 것보다 훨씬 논리적이다."라고 말하고 있다(p.30).
** 이 책은 "미적분학의 표준적 가정을 마친 학생에게 적절한, 해석학의 이론적 구성을 소개하는 것"을 목표로 한다(p. vii). 제2장의 끝에서 저자는 실수에 대해 유계 단조열이 수렴한다고 하는 것을 공리로서 가정하고 있지만, 그 후에 구간 축소법과 상한의 존재를 증명하고 있다(pp.56-64). 소수 전개는 부록 3 "모든 기초에서의 실수의 확장"(Appendix 3 "Expansions of real numbers in any base"에서 볼 수 있다(pp.503-507).
** 실수가 잘 알려진 성질을 가정하는 한편 퓨(Pugh)는 가능한 한 빠른 단계에서 실수의 절단을 소개한다.공리적인 취급에 대해 "실수의 체계에 근거해 실수가 구성되어 있는 것을 생각하면 이것은 하나의 사기이다."라고 말하고 있다(p.10). 상한의 존재의 성질과 그것과 관계하는 몇 가지 사실을 증명한 후에는 그 외의 장면에서 절단은 이용되지 않는다.-  무료 HTML 출판 전 논문:  주의: 잡지의 논문에는 출판 전 논문에는 볼 수 없는 기술이 포함되어 있다.
** 보다 진행된 학부생의 과정을 위한 교과서. 유리수로 실수를 구성하는 방법부터 시작하는 것은 (논리적으로는 옳지만) 교육상 바람직하지 않다는 것을 경험상 확신한다. 초기 단계에서는 많은 학생들이 이 일의 필요성에 대해 그 가치를 인정하지 못한다. 그 때문에, 실수의 체계는 상한이 존재하는 실수체로서 소개되어 이 성질의 흥미로운 몇 가지의 응용 사례가 곧바로 이루어진다. 데데킨트의 구성은 무시되고 있다. 이제 이것은 제1장 부록(Appendix)에 있으며 때가 되면 언제든지 공부하고 즐길 수 있다(p.ix).
** 이 책은 "학생들이 미적분을 이해하는 것을 지원하고 관념에 대한 이해를 키우는 것"을 목적으로 한다(p.v). 미적분의 기본 성질의 증명은 생략되어 있다.

**외부 링크**
 0.999…-  .999999... = 1? from cut-the-knot-  Ask A Scientist: Repeating Decimals-  Proof of the equality based on arithmetic-  Repeating Nines-  Point nine recurring equals one-  David Tall's research on mathematics cognition-  What is so wrong with thinking of real numbers as infinite decimals?-  Theorem 0.999... on Metamath-  Hackenstrings, and the 0.999... ?= 1 FAQ-  네이버캐스트 0.999...는 1인가?
분류:실해석학
분류:기수법
분류:수학의 역설
분류:실수
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