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구골

섬네일
구골(googol)은 10의 100제곱을 가리키는 숫자이다. 즉 1 뒤에 0이 백 개 달린 수이다. 구골은 관측 가능한 우주의 모든 소립자의 개수(약 10^80개)보다 더 많다.
 =  = 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
이 수의 이름은 1920년 미국의 수학자 에드워드 캐스너(Edward Kasner)의 9살짜리 조카 밀턴 시로타(Milton Sirotta)에게서 지어졌다. 캐스너는 이 개념을 저서 《Mathematics and the Imagination》(수학과 상상)에 수록했다.
이 수의 학문적 중요성은 그리 크지 않고 주로 수학 수업에서 거론될 뿐이다. 캐스너는 이 수를 매우 큰 수와 무한대의 차이를 보이기 위해 고안했다. 칼 세이건은 그의 저서 '코스모스'에서 마치 무한대처럼 느껴지는 우주의 크기를 무한대와 비교하기 위하여 구골보다도 더 큰 수인 구골플렉스(역시 밀턴 시로타가 명명)를 활용하여 "구골플렉스와 1이 무한대보다 작은 정도는 서로 정확히 같다."라고 했다. 그리고 구골은 무량대수보다 더 큰 수이다. 구골은 1뒤에 0이 100개 있어서, 10의 100제곱이다.

**구골에서 유래한 수**
 구골플렉스(googolplex): 10의 구골제곱이다.
 =  = 1010,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
구골플렉시안(googolplexian): 10의 구골플렉스 제곱(10구골플렉스)이다. 1 다음에 0이 구골플렉스 개 붙는다.()
 =  = 101010,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

**회사명 구글의 유래**
인터넷 검색엔진 업체 구글(Google)은 처음에 구골(Googol)로 등록하려다가 실수로 사명을 잘못 표기한 것에서 구글로 등록하여 지금까지 쓰이고 있다.
마운틴 뷰에 있는 구글 본사도 구골플렉스를 변형시켜 구글플렉스라고 부른다.

**같이 보기**
 구골플렉스- 그레이엄 수: 수학적 의미가 있는 수 중에서 가장 큰 수. 너무 거대해서 지수표기로 나타낼 수 없다.(커누스 표기법 참고.)- 무한

**각주**
분류:큰 수
분류:1920년대 신조어
벡터곱

선형대수학에서 벡터곱(vector곱, vector product) 또는 가위곱(cross product)은 수학에서 3차원 공간의 벡터들간의 이항연산의 일종이다. 연산의 결과가 스칼라인 스칼라곱과는 달리 연산의 결과가 벡터이다. 물리학의 각운동량, 로런츠 힘 등의 공식에 등장한다.

**정의**
두 벡터  와 의 벡터곱은 라 쓰고(쐐기곱과 연관지어 라고 쓰기도 한다.), 다음과 같이 정의된다.

식에서 는 와 가 이루는 각을 나타내며, 은 와 에 공통으로 수직인 단위벡터를 나타낸다.
위 정의에서의 문제점은 와 에 공통으로 수직인 방향이 두개라는 점이다. 즉, 이 수직이면, 도 수직이다.
어느 것을 두 벡터의 벡터곱으로 할 것인가는 벡터 공간의 방향(orientation)에 따라 달라진다. 오른손 좌표계에서는 는, 가 오른손 좌표계 방향을 따르도록 정의되고, 왼손좌표계에선 마찬가지로 이 순서의 세 벡터가 왼손 좌표계 방향을 따르도록 정의된다. 이와 같이 좌표계의 방향성에 의존하기 때문에, 두 (참) 벡터의 벡터곱은 참 벡터가 아니라 유사벡터다. (반대로, 참 벡터와 유사벡터의 벡터곱은 참 벡터다, 하지만 유사벡터와 유사벡터의 벡터곱은 수도벡터다.)
벡터곱을 그림으로 표현해 보면, 다음과 같다.
벡터곱의 정의

**성질**
a, b, c ∈ R3, α ∈ R이라 하자.- 반대칭성 : a×b = -b×a
교환법칙이 성립하지 않음에 주의하자.- 스칼라곱에 대한 선형성: (αa)×b = a×(αb) = α(a×b).- 벡터의 덧셈에 대한 분배법칙: a×(b + c) = a×b + a×c- 스칼라 삼중곱 : - 벡터 삼중곱 또는 라그랑주 공식: a×(b×c) = b(a∙c)-c(a∙b)- 벡터곱의 크기: 
a×b
2 = (a·a)(b·b)-(a·b)2
: 
a×b
**
a

b
sin θ
 여기서 θ는 a로부터 b까지의 각도이다. 위 성질 때문에 벡터곱의 크기는 두 벡터로 만들어지는 평행사변형의 면적으로 생각할 수 있다.- 야코비 항등식: a×(b×c) + b×(c×a) + c×(a×b) = 0- 수직성
 a×b ⊥ a 이고 a×b ⊥ b이다.- 두 벡터의 평행성 확인
 a와 b가 모두 0벡터가 아닐 때, a×b = 0인 것은 a와 b가 서로 평행인 것과 동치이다.- 유클리드 공간의 단위벡터의 벡터곱
 유클리드 공간의 단위벡터 i, j, k는 주어진 데카르트 좌표계에서 다음 관계를 만족한다.
: i×j = k, j×k = i, k×i = j
이 식을 이용해, 벡터곱의 좌표는 일부러 벡터 사이의 각을 계산할 필요 없이 다음과 같이 대수적으로 구할 수 있다.
: 
: 
로 표기할 때,
: 
위에 쓰인 좌표는 다음과 같이 행렬식을 이용하여 간단히 쓸 수 있다.
:
따라서 세 (열,행)벡터로 이루어진 행렬의 행렬식은 다음과 같이 세 벡터의 스칼라곱과 벡터곱으로 쓸 수 있다.
:det(a,b,c) = a·(b×c).
*사원수와 벡터곱
 벡터곱은 또한 사원수의 연산을 이용해 관찰할 수 있다. 위에 나온 벡터곱에 대한 i, j, k에 대한 관계가 사원수의 연산에서 i, j, k가 만족하는 법칙과 같다는 것을 염두에 두면 다음 결과를 알 수 있다. 3차원 벡터 가 사원수 를 나타낸다고 하면, 두 벡터가 나타내는 두 사원수 간의 연산결과에서 실수부를 떼어낸 부분이 바로 두 벡터의 벡터곱과 일치하게 된다. (실수부는 두 벡터의 스칼라곱값 × −1과 같게 된다.)- 리 대수
분배성, 선형성, 야코비 항등식이 성립함으로써, R3에서의 벡터의 합과 벡터곱은 리 대수 를 이룬다. 즉, 그 구조 상수는 레비치비타 기호 이다.

**외적(外積, exterior product)과의 관계**
여기서, 굵은 글씨체의 지표는 추상지표표기법의 지표, 보통 글씨체의 지표는 좌표계의 성분을 의미한다.
3차원 유클리드 공간 에서 직교좌표계의 성분으로 표현된 두 벡터 와 의 외적은 다음과 같다.

여기서, 외적에 호지 쌍대를 취하면 벡터곱이 된다.

성분을 비교해보면 마지막 항이 벡터곱의 성분이 되는 것을 볼 수 있다. 유클리드 공간의 경우, 이므로 (이 계량의 성분은 크로네커 델타.) 이를 간단히 전개해보면,

여기서 를 전개하면 항이 6개가 나오고, bcd의 순열 순서에 따라 각 항의 부호가 결정되게 된다. 즉,

이다. 그리고 여기에 를 곱하면

되고 마지막으로 을 곱하면

이 된다. 보다시피 벡터곱의 성분 표현을 얻을 수 있다. 때문에 이 벡터곱을 외적이라 부르기도 한다.

**응용**
벡터곱은 벡터 미분 연산인 회전 (∇×)의 정의에 등장하고, 자기장에서 움직이는 전하가 받는 힘을 기술하는 로런츠 힘의 공식에 등장하며, 돌림힘과 각운동량의 정의에도 나온다.

**고차원에서의 벡터곱**
7차원 벡터 공간의 벡터곱도 사원수의 방법을 팔원수에 적용하여 얻어질 수 있다.
7차원 공간의 벡터곱은 다음과 같은 성질을 3차원 공간의 벡터곱과 공유한다.- 다음과 같은 의미에서 겹선형(bilinear)이다.
: x×(a y + b z) = a x × y + b x × z and (a y + b z) × x = a y × x + b z × x- 반가환성 (anti-commutative)
: x×y + y×x = 0- x와 y 모두에 수직
: x·(x×y) = y·(x×y) = 0- 야코비 항등식이 성립한다.
:x×(y×z) + y×(z×x) + z×(x×y) = 0
x×y
2 = 
x
2
y
2-(x·y)2

**외부 링크**
 title=Vector product- title=Cross product- title=Vector multiplication- title=BAC-CAB identity- title=Scalar triple product- title=Vector triple product- title=Vector quadruple product- id=cross product- title=벡터의 외적(cross product)

**같이 보기**
 오른손 법칙- 스칼라곱
분류:선형대수학
분류:이항연산
분류:해석기하학
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무리수

파일:Square root of 2 triangle.svg|섬네일|220px|제곱근 2는 무리수이다.
무리수(無理數, irrational number)는 두 정수의 비의 형태로 나타낼 수 없는 실수를 말한다. 즉 분수로 나타낼 수 없는 소수이다. 
이에 반해 두 정수의 비에 의해 나타낼 수 있는 수를 유리수(분수)라 한다. 이것도 소수이다. 
유리수의 집합은 로 정의하고,
무리수의 집합은 로 정의한다.
무리수는 소수점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) 무한소수이다.
무리수는 다시 와 같은 대수적 수와  등의 초월수로 나뉜다.

**역사와 어원**
무리수가 존재한다는 것을 처음 증명한 것은 고대 그리스 피타고라스 학파로 전해진다. 히파소스는 이등변 직각삼각형의 밑변과 빗변의 비는 정수의 비율로 표현할 수 없다는 것을 증명했다. 이는 우주가 완벽하여 모든 것이 정수의 비로 표현될 수 있다고 믿었던 피타고라스 학파에 충격을 주었다. 전설에 따르면 피타고라스 학파의 동료들이 ‘우주의 섭리에 거스르는 요소를 만들어낸’ 히파소스를 살해했다고 하며, 죽이진 않고 추방했다는 이야기도 있다.
에우클레이데스의 원론 10권을 포함한 고대 그리스 수학책에서는 유리수를 비로 나타낼 수 있는 길이를 ‘말할 수 있는(레토스)’ 길이, 그렇지 못한 것을 ‘말할 수 없는(알로고스)’ 길이라고 불렀다. 알로고스는 글자 그대로 로고스가 없다는 뜻의 단어로, 말 없음·이성 없음 등을 뜻한다. 이것이 라틴어 numerus irrationalis로 번역되어 지금에 이른다.

**몇 가지 무리수의 증명**

**특수한 로그 꼴의 수**
가장 간단히 무리수임이 증명되는 수는 과 같은 꼴의 수일 것이다. 증명은 귀류법을 사용하며, 다음과 같다:- 을 유리수라 하자. 그러면 어떤 자연수 에 대해, 을 만족한다.- 따라서 이 되고.- 변형하면 이다.- 그런데 은 짝수이고, 은 홀수이므로 위 등식은 성립할 수 없다.- 따라서 가정이 틀렸다. 즉 은 무리수이다.

**2의 제곱근**
무리수를 최초로 발견한 것은 일반적으로, 2의 제곱근이 유리수가 아님을 발견한 피타고라스와 그 제자들로 알려져 있다.
이에 대한 증명의 한 가지 방법은 다음처럼 귀류법을 사용하는 것이다.
# 가 유리수라 하자.
# 그러면, 는 기약분수 로 쓸 수 있다. 다시 말해, 서로소인 정수 에 대해, .
# 위 식을 풀면
#: 
#: 이다.
# 따라서, 은 짝수이다.
# 짝수가 아닌 수, 즉 홀수의 제곱은 홀수이므로, 는 짝수여야 한다.
# 따라서, 는 4의 배수이다.(이것은 가 값에 상관없이 항상 가 되기 때문이다.)
# 즉, 는 짝수이다.
# (3)에서, 이다.
# (7)과 (8)로부터, 가 짝수임을 알 수 있다.
# (4), (5)과 같은 방법으로, 는 짝수이다.
# (5)와 (10)에 의해, 와 는 모두 짝수. 이는 가 기약분수라는 (2)의 가정에 위배된다. 모순에 의해 (1)의 가 유리수라는 가정이 틀렸다는 걸 알 수 있다.
이 방법을 일반화하여, 제곱수가 아닌 자연수의 제곱근은 무리수임을 증명할 수 있다.

**원주율**
1761년 요한 람베르트는 탄젠트 함수를 다음과 같은 연분수로 나타낼 수 있음을 증명했다.

또한 가 0이 아닌 유리수일 때, 위 연분수는 무리수가 된다는 것도 증명했다. 그런데 tan(π/4) = 1 이므로, π/4는 무리수가 된다. 따라서 π는 무리수라는 것이 증명된다.
다른 수학자들의 증명은 이 문서에 나와 있다.

**무리수+유리수**
# 을 유리수라 가정하자.
# 위의 식이 유리수라면 를 만족하는 유리수 가 있을 것이다.
# 두 번째 식에서 3을 이항시키면 이 된다.
# 그런데 유리수는 뺄셈에 대하여 닫혀 있으므로 유리수 에서 3을 뺀 값은 유리수이다.
# 위의 소제목에서 가 유리수가 아니라는 것이 증명되었다. 이는 이 유리수라는 가정과 위배된다.
# 모순에 의해 이 유리수가 아니라는 것이 증명되었다.
# 따라서, 무리수와 유리수의 합은 무리수이다.

**같이 보기**
 소수점 표기- 분수 (수학)- 유리수- 실수

**각주**

분류:실수 집합
플랑크 상수

thumb
플랑크 상수(Planck常數, Planck constant, 기호 h)는 입자의 에너지와 드브로이 진동수의 비 ()이다. 양자역학의 기본 상수 중 하나다. 이 상수를 도입한 물리학자 막스 플랑크의 이름을 땄다. 기호는 라틴 문자 ""이다. 유니코드 기호 (ℎ)가 있다.
2018년 11월 16일 제26차 국제도량형총회(CGPM)에서 아래의 값으로 정의되었다.

새로운 정의는 2019년 5월 20일 세계 측정의 날부터 발효되었다.
양자역학에서는  대신에 다음과 같이 정의되는 가 더 자주 쓰이기도 한다. 

식에서 는 원주율을 나타낸다. 이 기호는 영어에서는 'h-bar(éitʃ bɑ́ːr 에이치 바)', 독일어에서는 'ha quer')(하 크베어)로 읽는다. 이 상수 는 폴 디랙의 이름을 따 디랙 상수(Dirac's constant) 또는 환산 플랑크 상수라고도 한다. 유니코드 기호로는 에이치바(ℏ)로 표기한다.
는 각운동량의 양자이다. 계의 임의의 축에 대한 각운동량은 언제나 의 정수배의 값으로 양자화한다.
는 또 불확정성 원리를 기술하는 식에도 등장한다.
그래서 가 보다 더 기본적이라고 주장한다.
그 밖에 는 플랑크 단위의 정의에 사용된다.

**역사**
처음에 고전물리는 뉴턴의 역학 이론에서 시작되었지만 재능있는 수많은 학자들이 물리에 뛰어들어 그 영역을 전자기까지 확장을 시켜 모든 영역에서 승승장구하였었다. 막스 플랑크가 물리를 하던 19세기 후반, 물리는 더 이상 발전이 없을 것이며 소소한 몇몇 문제만 해결되면 완벽한 학문이 될 것이라는 의견이 매우 팽배하였다. 하지만 고전물리는 흑체 복사와 관련된 부분에서 문제에 부딪히게 되었다. 그것은 고전물리가 예측하는 결과와 흑체 복사의 실험 결과가 일치하지 않는 문제가 발생한 것이다. 긴 파장에서는 잘 일치하지만 짧은 파장에서는 일치하지 않는 문제가 생긴 것이다. 이에 대한 사고 실험은 다음과 같다.
아주 잘 밀폐된(외부와 에너지 교류가 없는) 한 용기 안에 흑체와 한 줄기 빛을 집어넣고 용기를 다시 밀폐한다고 하자. 이 경우 흑체는 빛을 흡수하여 파장의 형태로 다시 방출을 하게 되는데 고전물리의 등분배법칙에 의하면 흑체가 방출하는 에너지는 모든 파장에 골고루 나뉘어야 한다. 이 말은 아주 작은 빛을 넣게 되더라도 상자를 열게 되면 엑스선이나 감마선이 나오게 되는 현실에서는 불가능한 모순이 생기게 된다.
이러한 문제를 해결하기 위해 몇몇의 물리학자들이 매달리게 되었다. 막스 플랑크는 이러한 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 혁명적인 착상을 하였다. 그것은 '에너지는 주파수에 비례한다'라는 가정이었다. 즉 에너지가 양자화되어 있다는 것이었다. 이 가정에서 에너지와 주파수를 연결해주는 비례상수가  인 것이다. 물론 플랑크는 가정을 통해서 흑체 복사에 관한 문제를 정리하였고 그 식은 실험과 잘 일치하는 결과를 가지고 왔다. 하지만 플랑크는 저 식에 대해서 큰 의미를 두기보다는 실험결과와 일치시키기 위해 어쩔 수 없이 도입시킨 것이라는 입장을 취하였다.

**상수 개정**
역사적으로, CODATA 플랑크 상수 권장값은 지수부를 제외하고 다음과 같다. CODATA 권장값은 새로운 측정 결과를 반영하여 몇 년마다 개정된다.- 2002년에 6.626 069 3(11)로 발표되었다.- 2006년에 6.626 068 96(33)로 정정되었다.- 2010년에 6.626 069 57(29)로 정정되었다.- 2014년에 6.626 070 040(81)로 정정되었다.- 2018년에 6.626 070 15로 정의되었다.

**같이 보기**
 슈뢰딩거 방정식- 불확정성 원리- 플랑크 단위

**각주**
분류:양자역학
분류:물리 상수
분류:막스 플랑크
분류:플랑크 단위계
분류:1900년 과학
포인팅 벡터

thumb
포인팅 벡터(Poynting vector)는 전자기장이 가진 에너지와 운동량을 나타내는 벡터로, 전기장과 자기장의 벡터곱이다.

**역사**
영국의 존 헨리 포인팅(John Henry Poynting)이 1883년에 유도하였다.

**정의**
포인팅 벡터 S는 국제단위계에서 다음과 같다.

CGS 단위계에서는  대신 를 쓴다.

**성질**
포인팅 벡터의 크기는 전자기장의 에너지 선속 밀도(energy flux density, 단위 시간 및 단위 면적 당 에너지)의 크기와 같다. 포인팅 벡터의 방향은 에너지가 전달되는 방향과 같으며 항상 전기장 및 자기장과 수직이다.

**전자기장의 운동량과 각운동량**
포인팅 벡터는 전자기장의 에너지뿐만 아니라 운동량 와 각운동량 과도 다음과 같이 연관되어 있다.



**포인팅 정리**
포인팅 정리(Poynting's theorem)는 전자기장을 포함한 계에서의 에너지 보존 법칙이다. 즉, 전자기장이 한 일의 양은 전자기장이 잃게 되는 에너지의 양과 같다는 정리다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

우변의 첫 번째 적분은 부피 안에 저장된 전자기장의 에너지이며, 두 번째 적분은 표면의 수직 방향의 전자기파로 방출되는 에너지다. 즉, 포인팅 정리에 따르면, 전자기력에 의하여 전하가 받은 일의 양은 전자기장에 저장된 에너지의 양의 감소량과 표면의 수직 방향의 전자기파로 방출되는 에너지량과 같다.


역학적 에너지 밀도, 전자기장의 에너지 밀도 식을 이용하여 포인팅 정리 식과 발산정리를 이용하면 포인팅 정리의 미분형을 얻을 수 있다.


**같이 보기**
 파수 벡터

**각주**
분류:전자기학
분류:벡터
분류:광학
미세 구조 상수

미세 구조 상수(微細構造常數, fine structure constant, 기호 α) 또는 조머펠트 미세 구조 상수(Sommerfeld -)는 전자기력의 세기를 나타내는 물리상수다. 원자물리학과 입자물리학에서 자주 나타난다. 1916년 아르놀트 조머펠트가 발견하였다. 원래 조머펠트가 원자 방출 스펙트럼의 미세 구조를 연구할 때 발견하였으므로 이런 이름이 붙었다.
2020년 4월에, 130억 광년 떨어진 곳에서 미세구조상수가 다른 곳이 관측되었다는 논문이 발표되었다. 이는 전자기법칙이 전 우주에서 같지는 않을 수 있다는 점을 시사한다.

**정의**
미세 구조 상수 는 국제단위계에서는 다음과 같이 정의한다.
 
여기서 는 기본 전하, 는 원주율, 는 디랙 상수, 는 빛의 속도, 은 진공의 유전율이다. 이 값은 두 전자가 (전자의 컴프턴 파장)의 거리를 두고 떨어져 있을 때, 그 전기적 위치 에너지와 전자의 정지 에너지 의 비로 해석할 수 있다.

**유도**
CGS 단위계에서는  인자가 전하량에 포함되므로 식이 다음과 같이 바뀐다.
 
는 차원이 없는 상수이기 때문에, 그 값은 단위계에 상관없이 같다. 여기에 들어가는 기본 상수값을 대입해보면
  =0.00729231
 =137.131
이 나온다. 이 값은 실제 측정값과는 차이가 있다. 여기에 양자 전기역학에서 예견하는 전자들의 상호작용을 통한 보정을 고려할 수 있다. 이는 전자의 자기 모멘트와 미세 구조 상수와의 관계를 통해 구해진 것으로, 다음과 같다.
  =0.0072973525698(24)
 =137.035999074(44)

**같이 보기**
 무차원 물리 상수

**각주**

**외부 링크**
 en  CODATA 미세 구조 상수 권장값- en  Eric Weisstein's World of Physics — Fine Structure Constant
분류:물리 상수
분류:물리학 개념
크라메르 법칙

선형대수학에서 크래머 법칙(Cramer法則, Cramer's rule) 또는 크래머 공식은 유일한 해를 가지며 변수와 방정식의 수가 같은 연립 일차 방정식의 해를 구하는 공식이다. 계수 행렬과 그 한 열을 상수항으로 대신하여 얻는 행렬들의 행렬식의 비를 통해 해를 나타낸다. 둘 또는 셋 이상의 방정식으로 이루어진 연립 일차 방정식의 경우, 크래머 법칙에 의한 알고리즘은 가우스 소거법에 의한 알고리즘보다 훨씬 비효율적이다.

**정의**
연립 일차 방정식

에서, 가 정사각 행렬이며, 행렬식이 0이 아니라고 하자. 그렇다면, 그 유일한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있으며, 이를 크라메르 법칙이라고 한다.

여기서 는 의 번째 열을 로 대신하여 얻는 행렬이다.

**증명**
연립 일차 방정식




의 계수 행렬 의 -여인자를 라고 하자. 그렇다면, 라플라스 전개에 따라 다음이 성립한다.


이에 따라, 각 번째 방정식에 을 곱한 뒤 모두 합하면

를 얻는다. 이므로, 양변을 로 나누면

를 얻는다.

**예**

**2개의 방정식의 경우**
연립 일차 방정식


이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.


**3개의 방정식의 경우**
연립 일차 방정식



이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.


**응용**

**미분기하학**
크라메르 법칙은 미분기하학에서 매우 유용하다. 두 개의 방정식 , 이라 가정한다. 여기서, u와 v는 독립 변수이고, , 라 정의한다.
여기서 의 방정식을 찾는 것은 크라메르 법칙으로 해결할 수 있다.
먼저, F,G,x,y의 미분을 계산한다.




dF, dG에 dx와 dy를 대입하면


u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.




따라서, 크라메르 법칙을 적용하면 다음과 같다.

이것은 두 개의 야코비안 항이다.

유사하게 , , 의 공식들도 유도할 수 있다.

**역사**
스위스 수학자 가브리엘 크라메르(Gabriel Cramer, 1704년 - 1752년)에게서 유래한다.

**같이 보기**
 가우스 소거법

**외부 링크**
 title=Cramer rule- title=Cramer's rule- title=Cramer's rule
분류:선형대수학 정리
분류:행렬식
분류:대수학 정리
분류:1750년 과학
리만 제타 함수

파일:Complex zeta.jpg|섬네일|오른쪽|복소평면에서의 리만 제타 함수. 색이 짙을수록 절댓값이 작으며, 옅을수록 절댓값이 크다. 색상은 편각을 나타내며, 적색은 양의 실수, 연두색은 양의 허수, 옥색은 음의 실수, 남색은 음의 허수를 나타낸다.
정수론에서 리만 제타 함수(Riemann zeta function) 는 소수들의 정수론적 성질을 해석적으로 내포하는 유리형 함수이다. 해석적 수론에서 소수의 분포를 연구할 때 핵심적인 역할을 하며, 또한 L-함수 이론의 모태이다.

**정의**
실수 s>1에 대한 리만 제타 함수의 그래프
리만 제타 함수는 실수부가 1보다 큰 임의의 복소수 에 대해, 다음과 같은 디리클레 수열로 정의된다.

이 무한급수는 의 영역에서 수렴하고, 위 식은 정칙함수를 정의한다. 리만은 제타 함수가 s ≠ 1인 모든 점에서 정의된 유리형 함수로 유일하게 해석적 연속이 가능하다는 것을 알았으며, 리만 가설에 등장하는 제타 함수는 확장된 리만 제타 함수를 뜻한다.

**성질**

**해석적 연속과 함수 방정식**
야코비 세타 함수

를 쓰자.

이므로,

자이 함수( function)를 얻을 수 있다.
오른쪽의 적분은 모든 복소수 에 대하여 수렴하지 않으나, 다음 식의 적분은 모든 에 대하여 수렴한다.

한편 여기서 세타 함수의 성질

를 사용하면,

를 보일 수 있다.
이로부터 제타 함수의 해석적 연속과 함수 방정식

를 얻는다.

**특수한 값들**
다음은 작은 수에 대한 제타 함수의 값이다.


 ; (id=A059750)
 ; 이것은 조화급수이다.
 ; (id=A078434) 보스-아인슈타인 응축에서 임계 온도를 계산하는데 사용된다.
 ; (id=A013661) 이것은 원주율의 근사값을 구하기 위해 종종 사용된다.
 ; (id=A002117) 이것은 아페리 상수이다.
 (id=A0013662) 이것은 플랑크 법칙으로부터 슈테판-볼츠만 법칙을 도출하는 적분 과정에서 사용된다.






현재 리만 제타 함수가 실수부가 짝수()인 실수에서는 의 유리수배, 즉 초월수임이 알려졌다. 홀수일 때에는 3의 제타 함수 값은 무리수이며, 5, 7, 9, 11의 제타 함수 값 중 적어도 하나가 무리수라는 것만이 알려져 있다.

**오일러 곱셈과 디리클레 덧셈**
레온하르트 오일러는 리만 제타 함수가 소수와 다음과 같은 관계가 있다는 것을 알아냈다.


위와 같은 절차를 거쳐서 우변의 모든 소수의 배수를 없애주면
특정 합성수는 항상 소수의 곱으로써 나타낼 수 있다는 산술의 기본 정리에 따라서 분모가 합성수 또는 소수인 수가 모두 사라지고
마지막에는 1만이 남는다. 즉



위에서 제시되는,
 는,
이다.
이것은 디리클레 급수(디리클레 덧셈)이다.
따라서,

리만 제타 함수는 규칙적으로 모든 자연수에 대한 무한급수로 정의되어 있기 때문에 많은 방법으로 성질을 탐구할 수 있다. 그리고 이 리만 제타 함수는 오일러 곱을 통해 소수와 연결된다. 따라서, 이 식을 이용하면 소수의 비밀을 수학적으로 파헤칠 수 있으며, 그렇기 때문에 이 식은 중요하게 이용된다.
즉 리만 제타 함수는 모든 소수 에 대해 위와 같은 무한 곱으로 나타낼 수 있다. 위 식은 오일러의 곱셈 공식이라 불리며, 등비급수의 식과 산술의 기본 정리로부터 유도해낼 수 있다. 그 간단한 증명은 다음과 같다.
 
  이고, 양변에 를 곱하고나서
 
 를 곱하기 전의 식과 곱하고 나서의 식을 서로  빼주면,
 
 과 같이
우변의 분모에서 2의 배수가 모두 사라지는 것을 관찰할 수 있다. 또한 계속해서 반복하면,
 위와
동일한 절차로 우변의 분모에서 3의 배수가 모두 사라진다.

**영점**
함수 방정식에 따라, 리만 제타 함수는 음의 짝수 에서 영점을 가진다. 이 영점들을 자명한 영점(trivial zero)이라고 한다. 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점들은 다음과 같은 임계 구역(critical strip)에 존재한다.

임계 구역에서 다음과 같은 부분집합을 임계 직선(critical line)이라고 한다.

임계 직선 위에는 무한히 많은 영점들이 존재한다는 사실이 알려져 있다. 현재까지 계산된 모든 비자명 영점들은 임계 직선 위에 존재하고 있지만, 모든 영점들이 실제로 임계 직선 위에 있는지 여부는 아직 증명되거나 반증되지 못했다. 이는 리만 가설로 일컬어지는 문제로, 현대 수학의 주요 난제로 꼽힌다.
리만 제타 함수의 영점들은 해석적 수론에서 소수의 분포에 대한 연구에 대해 매우 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 소수 정리는 리만 제타 함수의 영점들에 대한 동치인 명제로 바뀌어 증명될 수 있다.

**일반화**
리만 제타 함수를 일반화한 몇 가지 제타 함수가 있다. 그중 가장 간단한 것은 후르비츠 제타 함수이며 다음과 같이 정의된다.

이 함수는 일 때 리만 제타 함수가 된다.

**참고 문헌**
  url-status=dead- 언어=en- 언어=en- 언어=en- 언어=en- 언어=en- 언어=en

**같이 보기**
 리만 가설- 소수 정리- 베른하르트 리만- 레온하르트 오일러- 소수와 오일러의 곱셈공식- 바젤 문제- 니븐 상수- 제타 함수- L-함수- 비자명한 영점

**각주**

**외부 링크**
 title=Zeta-function- title=Riemann zeta function
분류:해석적 수론
분류:유리형 함수
분류:베른하르트 리만
분류:제타 함수와 L-함수
좌표계

파일:3D Spherical.svg|섬네일|300px|right|구면좌표계는 물리학에서 흔히 사용된다.
좌표계(座標系, coordinate system) 혹은 자리표계는 유클리드 공간과 같은 다양체의 점이나 기타 기하학적 요소를 고유하게 결정하기 위해 하나 이상의 숫자인 좌표를 사용하는 체계이다. 스칼라 튜플을 이용해 n차원 공간의 각 지점을 표현하는 방법을 말한다. 여기서 스칼라는 보통 실수, 경우에 따라서는 복소수나 다른 일반적인 환(ring)의 원소를 말하기도 한다. 복잡한 우주에서 스칼라는 우주 전체에 대해 효과적인 좌표계를 산출하지 못하기도 한다. 좌표를 나타내는 방법 중 하나인 데카르트 좌표계는 프랑스의 철학자이자 수학자인 르네 데카르트가 발명했다. 그는 천장에 붙어 있는 파리의 위치를 나타내는 방법에 대해 고민하다가 데카르트 좌표계를 발명해 냈다고 한다.

**대표적인 좌표계**
 수직선- 데카르트 좌표계- 복소평면- 극좌표
** 원통 좌표계
** 구면 좌표계
*** 지리 좌표계- 천구 좌표계
** 지평 좌표계
** 은하 좌표계
** 적도 좌표계
** 황도 좌표계- 관성 좌표계

**기하학적 객체의 좌표**
좌표계는 점의 위치를 지정하는 데 자주 사용되지만 선, 평면, 원 또는 구와 같은 더 복잡한 도형의 위치를 지정하는 데에도 사용될 수 있다. 예를 들어, 플러커 좌표는 공간에서 선의 위치를 결정하는 데 사용된다. 필요한 경우 설명되는 그림의 유형은 좌표계의 유형을 구별하는 데 사용된다. 예를 들어 선 좌표라는 용어는 선의 위치를 지정하는 모든 좌표계에 사용된다.
두 개의 서로 다른 기하학적 도형 세트에 대한 좌표계가 분석 측면에서 동일할 수 있다. 이에 대한 예는 투영 평면의 점과 선에 대한 동차 좌표계이다. 이와 같은 경우의 두 시스템은 이원적이라고 한다. 이원론적 시스템은 한 시스템의 결과가 다른 시스템으로 전달될 수 있는 특성을 가지고 있다. 왜냐하면 이러한 결과는 동일한 분석 결과에 대한 서로 다른 해석일 뿐이기 때문이다. 이것이 쌍대성의 원리로 알려져 있다.

**같이 보기**
 갈릴레이 변환- 기준틀- 갈릴레이 군

**참고 문헌**

**각주**

**외부 링크**
 en  Hexagonal Coordinate Systems

분류:해석기하학
힐베르트 공간

함수해석학에서 힐베르트 공간(Hilbert空間, Hilbert space)은 완비 내적 공간이다. 유클리드 공간을 일반화한 개념이다.

**정의**
가  또는 라고 하자. -힐베르트 공간 은 완비 거리 공간을 이루는 -내적 공간이다. 내적 공간으로서, 힐베르트 공간은 표준적인 위상 공간 및 거리 공간 및 벡터 공간 및 노름 공간의 구조를 갖는다.
이와 동치로, -힐베르트 공간을 다음과 같은 평행사변형 항등식(平行四邊形恒等式, parallelogram identity)을 만족시키는 -바나흐 공간 으로 정의할 수 있다.

이 경우, 내적 구조는

가 된다.

**분류**
힐베르트 공간 의 정규 직교 기저 는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는 부분집합이다.- 모든 에 대하여,- 다음 집합은  속의 조밀 집합이다.
초른 보조정리에 의하여, 모든 힐베르트 공간은 정규 직교 기저를 갖는다. 주어진 힐베르트 공간 의 모든 정규 직교 기저의 크기는 항상 같은 기수임을 보일 수 있으며, 이 기수를 힐베르트 공간의 차원 이라고 한다.
일반적으로, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 벡터 공간의 기저를 이루지 않으며, 힐베르트 공간의 차원은 벡터 공간으로서의 차원보다 작거나 같다. 이는 벡터 공간의 경우 를 필요로 하지만, 힐베르트 공간의 경우 가 오직 조밀 집합임이 족하기 때문이다.
두 -힐베르트 공간 ,  사이에 다음 두 조건이 서로 동치이다.1.4.19–1.4.21- 와  사이에 유니터리 변환 이 존재한다. 즉, 두 힐베르트 공간은 서로 동형이다.
따라서, 힐베르트 공간들은 차원에 따라 완전히 분류된다. 또한, -힐베르트 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.1.4.23- 는 분해 가능 공간이다.- 이다.
즉, 분해 가능 힐베르트 공간의 차원은 음이 아닌 정수이거나 아니면 가산 무한 이다.

**성질**
리스 표현 정리에 따라서, 힐베르트 공간 는 스스로의 연속 쌍대 공간 와 동형이며, 만약 일 경우 이는 표준적(canonical) 동형이다.

**예**
가  또는 라고 하고, 가 측도 공간이라고 하자. 그렇다면 그렇다면 L2 공간 는 -힐베르트 공간을 이룬다.1.4.9
만약 가 셈측도가 부여된 집합이라면

이며, 함수


는 의 정규 직교 기저를 이룬다.
만약 가 분해가능 시그마 대수(로 정의한 거리 공간이 분해 가능 공간인 경우)이며, 또한 가 시그마 유한 공간(가산개의 유한 측도 부분집합들의 합집합)이라면, 는 분해 가능 공간이다.1.3.9

**응용**
힐베르트 공간은 해석학의 다양한 분야에 응용되며, 특히 편미분 방정식 이론에서 널리 쓰인다. 힐베르트 공간 중 하나인 소볼레프 공간이 편미분 방정식을 다룰 때 주로 등장한다.
푸리에 해석이 힐베르트 공간에서 이뤄진다.
양자역학에서, 양자계의 상태 공간은 분해 가능 사영 힐베르트 공간으로 나타내어진다.

**역사**
1907년에 리스 프리제시와 에른스트 지그스문트 피셔가 독립적으로 힐베르트 공간 중 하나인 L2가 완비 거리 공간임을 증명하였다. 1907년에 힐베르트 공간론에서 핵심적 정리 중 하나인 리스 표현 정리가 증명되었다.
1908년에 다비트 힐베르트와 에르하르트 슈미트가 발표한 적분방정식에 대한 논문에서 제곱 적분 가능한 두 함수의 내적 이 등장한다. 이 공간은 힐베르트 공간인 공간이 된다.
다비트 힐베르트가 1912년에 힐베르트 공간 을 정의하였다. 이는 유클리드 공간이 아닌 최초의 힐베르트 공간으로 여겨진다. 이후 1929년에 존 폰 노이만 이 힐베르트 공간을 추상적으로 정의하였다.

**각주**

**참고 문헌**
 언어=en- 언어=en- 언어=en

**외부 링크**
 title=Hilbert space- title=Hilbert space- id=Hilbert space- title=Separable Hilbert space

분류:선형대수학
분류:함수해석학
분류:양자역학
분류:연산자 이론
분류:다비트 힐베르트
위키프로젝트:수학

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양자역학의 수학 공식화

양자역학의 수학적 공식화(Mathematical formulation of quantum mechanics)는 양자역학에 등장하는 개념들과 공식을 수학적으로 엄밀하게 서술하는 것이다. C* 대수 이론, 스튀름-리우빌 이론 등이 쓰일 수 있지만, 보통은 힐베르트 공간중 하나인 L2 공간에 작용하는 선형 연산자를 통해 기술한다. 이는 존 폰 노이만이 1930년대에 완성한 것으로, 20세기 이전에 개발된 물리학의 수학적 모형들과는 큰 차이를 보인다. 
여기에 나타나는 구조들 중 상당수는 함수해석학에서 나온 것이다. 에너지와 운동량 등의 물리적 관측량은 더 이상 위상 공간상의 함수의 값이 아닌 선형 연산자의 고윳값으로 다루어진다.

**전개**
편의상 브라-켓 표기법과 슈뢰딩거 묘사를 쓰자. 양자역학의 공준은 다음과 같다.
# 계의 상태는 분해가능 복소 힐베르트 공간 의 1차원 부분공간 으로 나타낸다. 이 부분공간은 힐베르트 공간의 단위벡터 (정확하게 말하면, 단위벡터의 위상을 무시한 동치류)로 나타낼 수 있는데, 이를 계의 상태 벡터(state vector)라고 한다. 좀 더 일반적으로, 일련의 계의 앙상블은 양준정치이고, 대각합류 작용소이며, 대각합이 1인 에르미트 연산자 로 나타낸다. 이 연산자를 밀도 연산자라고 부른다.
# 관측가능량은 그 힐베르트 공간의 자기수반(self-adjoint) 선형 연산자 로 나타낸다. 여기서  (의 정의역)는 힐베르트 공간 의 조밀 선형 부분공간이다.
# 계 와 관측가능량 가 주어지면, 그 기댓값은 이다. 대신 밀도 연산자 로는 이다.
# 계의 시간 변화를 나타내는 특별한 관측가능량 가 있다. 이를 해밀토니언이라고 부른다. 상태 벡터의 시간 변화는 다음과 같다.

여기서 는 플랑크 상수다. 이를 슈뢰딩거 방정식이라고 부른다. 대신 밀도 연산자 를 쓰면, 그 시간 변화는 다음과 같다.

이 수학적 틀에서 베르너 하이젠베르크의 불확정성 원리는 비가환 연산자에 대한 정리가 된다.

**각주**

**참고 문헌**
 서적 인용|이름=Gerald|성=Teschl|제목=Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators|위치=Providence, Rhode Island|출판사=American Mathematical Society|기타=Graduate Studies in Mathematics vol. 99|연도=2009|isbn=978-0-8218-4660-5|url=http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/
분류:양자역학
분류:수리물리학
분류:물리학사
노벨 물리학상

노벨 물리학상( - 物理學賞, Nobelpriset i fysik, Nobel Prize in Physics)은 6개 분야의 노벨상 중 하나로, 1년에 한 번 스웨덴 왕립 과학원에 의해 수여된다. 첫 번째 노벨 물리학상은 1901년, 엑스선을 발견한 독일의 빌헬름 콘라트 뢴트겐에게 수여되었다. 이 상은 노벨 재단이 주관하며, 이 상을 수상하는 것은 물리학계에서 최고의 영예로 꼽힌다. 노벨 물리학상은 알프레드 노벨의 사망일인 12월 10일에 스톡홀름에서 수여된다. 2007년의 노벨 물리학상은 프랑스의 알베르 페르와 독일의 페터 그륀베르크가 거대 자기저항의 발견에 대한 공로로 공동 수상하였고, 상금인 1,000만 스웨덴 크로나를 나누어 가졌다.
노벨 물리학상은 사람들이 그 과학자의 업적의 중요성을 알기까지의 시간이 걸리기 때문에, 다른 한 편으로는 시간과의 싸움이라고 말할 수 있다. 예를 들어 1983년 노벨 물리학상 수상자인 수브라마니안 찬드라세카르의 경우 그 이론은 1930년에 발표하였지만 사람들에게 인정을 받지 못하여 50여년이 지나서야 상을 받았다. 또한 2013년 노벨 물리학상 수상자인 피터 힉스와 프랑수아 앙글레르의 경우 그의 이론을 검증할 수 있게 되는 과학기술이 발전하기까지 오랜 시간이 걸려, 49년 뒤 그의 업적이 사실로 확인되어 노벨상을 받게 되었다. 그래서 많은 이론과 발견이 사람들에게 중요성을 인정받았지만, 그 이론이나 발견을 발표한 과학자가 이미 죽어버렸기에 노벨 물리학상을 받지 못하는 안타까운 경우도 있다.

**노벨 물리학상 수상자**

**같이 보기**
 로런츠 메달

**외부 링크**
 노벨 물리학상 수상자- en  The Nobel Prize in Physics - 노벨 재단 홈페이지

분류:1901년 설립
분류:왕립 스웨덴 과학한림원
가속도

가속도(加速度, acceleration)는 시간의 경과에 따른 '속도의 변화율'을 나타내는 물리량이다. 일반적으로 물체는 속력이나 운동방향이 바뀌면서 속도가 변하는데, 이와 같이 속도가 시간에 따라 변할 때는 가속도가 있다고 한다. 속도와 마찬가지로, 가속도는 크기와 방향을 갖는 벡터량으로 나타낸다. SI 단위로는 m/s2를 사용하며, 주로 a라는 문자를 사용하여 가속도를 표기한다
고전 물리학에서, 일정한 질량을 가지고 있는 물체는 뉴턴의 운동법칙에 의해 다음 식을 만족하게 된다.

여기서 F는 물체에 주어지는 힘을, m은 물체의 질량을, a는 물체의 가속도를 나타낸다.

**정의**
속도와 마찬가지로 가속도는 시간간격 동안 속도가 변한 정도 의 비로 정의할 수 있다. 이렇게 정의한 가속도를 평균가속도 라 한다.

어떠한 순간의 가속도는 이 시간간격을 0으로 보내는 극한으로 생각할 수 있다. 이렇게 정의하는 가속도를 순간가속도 라 한다. 이렇게 정의한 가속도는 어느 순간의 속도를 시간으로 미분한 것으로도 정의된다.


**가속운동**

**등속운동**
등속운동은 속도 혹은 속력이 일정한 운동을 말한다. 등속운동에서 변위(거리)는 시간에 비례한다. 이에 반하여 속도 혹은 속력이 시간에 따라 일정하게 증가하는 등가속운동에서는 변위(거리)는 시간의 제곱에 비례한다.

**가속운동**
가속운동은 어떤 물체의 속도 혹은 속력이 증가하는 운동을 의미한다. 이때 속도 혹은 속력이 일정하게 증가하는 운동을 등가속도운동 또는 등가속운동이라 한다.

**등가속운동**
등가속운동 또는 등가속도운동은 시간에 따른 속도의 변화 즉 가속도가 일정한 운동을 말한다. 등속운동에서 변위(거리)는 시간에 비례하지만 등가속운동에서 변위(거리)는 시간의 제곱에 비례한다.
뉴턴역학에서 힘은 질량과 가속도의 곱이므로, 힘과 질량이 일정하다면 물체는 가속도가 일정한 등가속운동을 한다. 지구 표면에서 물체는 일정한 가속도로 운동하며 이를 지구의 중력가속도라고 한다.

**감속 운동**
감속운동은 어떤 물체의 속도 혹은 속력이 감소하는 운동을 말한다. 속도 혹은 속력이 일정하게 증가하는 운동을 등가속도운동 혹은 등가속운동이라고 하는데, 속도 혹은 속력이 일정하게 감속하는 운동을 의미하는 용어로 등감속운동의 용어는 사용하지는 않고 음(−)의 등가속운동으로 취급하는 것이 일반적이다.

**같이 보기**
 변위- 미분- 가가속도- 가가가속도- 각가속도- 중력 가속도