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하인리히 뵐

하인리히 뵐(Heinrich Böll 듣기, 1917년 12월 21일 ~ 1985년 7월 16일)은 독일의 소설가다.

**생애**
1917년 쾰른에서 목공예 가문의 여섯 번째 아들로 태어났다. 전후 가장 먼저 두각을 나타낸 독일작가들 중 하나. 청소년기 나치 하에서 히틀러 유겐트의 유혹을 뿌리치고, 참여하지 않는다. 서점의 견습공으로 있다가, 카이저 빌헬름 김나지움을 졸업하고 1939년 쾰른대학교 독문학과에 입학하나 곧 제2차 세계대전에 징집되었다. 프랑스, 루마니아, 헝가리, 러시아 등지에서 복무한다. 4차례 부상당한 후 1945년 4월 미군에게 포로로 잡혀 2년이 지나 그의 나이 30에 전업작가가 된다. 전후 귀향하여 ‘전쟁에서 본 것’과 전후의 ‘폐허’에 대해서 쓰기 시작했다.
1949년 병사들의 절망적인 삶을 묘사한 『열차는 정확했다』를 시작으로, 참혹한 참전 경험과 전후 독일의 참상을 그린 작품들을 주로 발표했다. 1951년 '47그룹 문학상'을 받으면서 문인으로서의 위치를 다졌고, 1953년에 출간한 『그리고 아무 말도 하지 않았다』로 비평가와 독자들 모두로부터 찬사를 받으며 작가로서의 대성공을 거두었다. 이외에도 사회적으로 엄청난 반향을 일으킨 문제작 『카타리나 블룸의 잃어버린 명예』를 비롯해 『9시 반의 당구』, 『어느 광대의 견해』, 『신변 보호』 등의 작품을 집필했다. 1967년에는 독일 최고 권위의 문학상인 '게오르크 뷔흐너 상'을 수상했다.
1970년대에는 사회 참여가 더욱 적극적이 되었고 이에 따라 독일 사회와의 갈등도 심화되었다. 특히 1969년과 1972년 뵐은 귄터 그라스와 함께 사회민주당으로의 정권교체를 위해 선거 유세에 직접 참여하며 빌리 브란트를 적극 지지했다. 또한 1971년 독일인으로서는 최초로 국제 펜클럽 회장으로 선출되어 세계 곳곳에서 탄압받고 있는 작가와 지식인들의 석방을 위해 노력했다. 1971년에는 성취 지향 사회에 대한 저항을 담은 ≪여인과 군상≫을 발표하고 이듬해 노벨문학상을 수상했다. 1929년의 토마스 만 이후 독일이 이 상을 받은 것은 43년 만이었다. 그의 작품은 30개 이상의 언어로 번역되었고, 그는 아직까지 독일에서 가장 많이 읽히는 작가로 알려져 있다. 문학 작품뿐만 아니라 행동으로도 보다 나은 사회를 위한 활동에 진력했던 뵐은 1985년 동맥경화로 세상을 떠났다.
그의 죽음 이후 독일 녹색당은 그의 저항적 삶을 기리기 위하여 당의 정책 연구소 이름을 '하인리히 뵐 연구소'라고 짓기로 결정하였다.

**주요 작품**
 열차는 정확했다 (Der Zug war pünktlich) (1947)- 유언(Das Vermächtnis) (1948)- 방랑자여, 그대 스파르타로 가거든…… (Wanderer, kommst du nach Spa…) (1950)- 검은 양들 (Die schwarzen Schafe) (1951)- 아담, 너는 어디 있었는가? (Wo warst du, Adam?) (1951)- 천사는 말이 없었다 (Der Engel schwieg) (1952)- 성탄절 시기에는 안 된다 (Nicht zur Weihnachtszeit) (1952)- 그리고 아무 말도 하지 않았다 (Und sagte kein einziges Wort) (1953)- 문지기 없는 건물 (Haus ohne Hüter) (1954)- 어린시절의 빵 (Das Brot der frühen Jahre) (1955)- 아일랜드의 일기 (Irisches Tagebuch) (1957)- 흔적 없이 사라진 사람들 (Die Spurlosen) (1957)- 무르케 박사의 누적된 침묵과 기타 풍자적 이야기들 (Dr. Murke's gesammeltes Schweigen und andere Satire) (1958)- 9시 반의 당구 (Billard um halb zehn) (1959)- 한 움큼의 흙 (Ein Schluck Erde) (1962)- 어느 어릿 광대의 견해 (Ansichten eines Clowns) (1963)- 군대에서부터의 이탈 (Entfernung von der Truppe) (1964)- 어떤 공무여행의 끝 (Ende einer Dienstfahrt) (1966)- 여인과 군상 (Gruppenbild mit Dame) (1971)- 카타리나 블룸의 잃어버린 명예 (Die verlorene Ehre der Katharina Blum) (1974)- 사려깊은 포위 (Fürsorgliche Belagerung) (1979)- 그 소년이 어떻게 될 것인가?：책들과 관계 있는 어떤 것 (Was soll aus dem Jungen bloss werden? Oder: Irgendwas mit Büchern) (1981)- 지뢰밭 (Vermintes Gelände) (1982)- 치명적 부상 (Die Verwundung) (1983)- 강 풍경을 마주보고 있는 여인 (Frauen vor Flusslandschaft) 1985 (사후 출간) (1985)

**같이 보기**
 독일 문학

**외부 링크**
 de  하인리히 뵐 재단-  한국 하인리히 뵐 학회

분류:1917년 출생
분류:1985년 사망
분류:독일의 소설가
분류:노벨 문학상 수상자
분류:쾰른 대학교 동문
분류:독일의 노벨상 수상자
분류:쾰른 출신
분류:독일의 로마 가톨릭교도
분류:게오르크 뷔히너상 수상자
분류:국제펜클럽
분류:폐허 문학
분류:미국철학학회 회원
방정식

파일:First Equation Ever.png|섬네일|1557년 로버트 레코드가 저술한 《기지의 숫돌》에 나오는 등호를 사용한 최초의 방정식. 현대 표기에서의 14x + 15 = 71과 같은 의미이다.
방정식(方程式, equation)은 미지수의 값에 따라 참, 거짓이 결정되는 등식이다.
방정식을 참이 되게 하는(성립하게 하는) 미지수의 값을 해(解, solution) 또는 근(根, root)이라 한다. 방정식의 해는 없을 수도 있고, 여러 개일 수도 있고, 모든 값일 수도 있다. 첫 번째의 경우는 불능이라고 하고, 마지막의 경우는 항등식(부정)이라 한다.
예를 들어

은 미지수 의 값에 따라 등식의 참과 거짓이 결정되므로 방정식이고, 그 해는 와 이다. 한편

은 문자 가 어떤 값이든 항상 등호가 성립하므로 항등식이다. 그리고

는 가 어떤 값이든 항상 등호가 성립하지 못하므로 불능이다.
방정식의 방정(方程)은 고대 중국의 산학서인 구장산술의 여덟 번째 장의 제목인 方程에서 유래하였다. 여기서 方은 연립방정식의 계수를 직사각형 모양으로 배열한다는 뜻이고, 程은 이렇게 배열한 계수를 조작하여 해를 구하는 과정을 뜻한다. 이 해법은 약 1500년 뒤에 등장하는 가우스 소거법에 해당한다. 고대 중국의 수학자들은 이 과정에서 음수의 계산도 자유자재로 할 수 있었다.
방정식에서 미지수를 나타내는 문자로 보통 로마자의 뒤쪽 문자인  등을 사용한다. 이는 프랑스의 수학자 겸 철학자인 르네 데카르트가 시초이다.
방정식은 다양한 종류가 존재한다.

**예시**

**다항 방정식**
파일:Polynomialdeg2.svg|섬네일|right|220px|이차방정식 1=x2 – x + 2 = 0의 두 근인 -1과 2는 이차 함수 1=y = x2 – x + 2의 그래프가 x축과 만나는 교점이다.
유리수, 실수, 복소수 등 체의 원소를 계수로 가지는 다항식 와 에 대해
 또는 
로 표현되는 식을 다항 방정식(多項方程式, polynomial equation) 또는 대수방정식(代數方程式, algebraic equation))이라고 한다.
차수가 n인 다항식으로 이루어진 다항 방정식을 n차 방정식이라고 한다. 즉 차수가 1인 방정식을 일차 방정식, 2인 방정식을 이차 방정식과 같이 부른다. 예를 들어

은 일차 방정식이고,

은 이차 방정식이다.
다항 방정식은 여러 개의 미지수를 가질 수도 있다. 예를 들어

는 미지수가  하나인 정수계수 다항 방정식이고,

는 미지수가  두 개인 유리수계수 다항 방정식이다.
어떤 유리수계수 다항 방정식은 계수들의 사칙연산과 거듭제곱근만을 이용해 근을 표현할 수 있다. 특히 사차 이하의 다항 방정식은 항상 이러한 방식으로 근을 표현할 수 있다. 즉, 근의 공식이 존재한다. 흔히 근의 공식이라고 하면 이차 방정식의 근의 공식(quadratic formula)을 의미한다. 예를 들어 이차 방정식

은

을 두 근으로 가지며, 따라서 계수들의 사칙연산과 거듭제곱근만으로 근이 표현된다. 그러나 아벨-루피니 정리에 의하면 오차 이상의 다항방정식은 이러한 방식으로 표현할 수 없는 근이 존재한다.
한편 대수학의 기본 정리에 따르면 모든 복소계수 다항 방정식은 하나 이상의 복소수 근을 가진다.

**무리 방정식**
방정식의 항에 무리식(루트)을 포함하는 다항식으로 이루어진 방정식을 무리 방정식이라 한다. 예를 들어

는 무리 방정식이다. 위 방정식을 풀면




가 되어 이 된다. 그런데 무리 방정식에는 위처럼 유도과정을 거쳐 찾은 값이 방정식에 대입했을 때는 성립하지 않는 무연근이 존재할 수 있다. 따라서 앞에서 얻은 값이 무리방정식의 근이 되는지 검산하는 과정이 필요하다. 예시의 방정식에서 을 대입하면 식이 성립하지만, 을 대입하면 성립하지 않음을 알 수 있다. 따라서 은 무연근이고, 만이 무리 방정식의 근이다.

**연립 방정식**
연립 방정식은 서로 다른 2개의 미지수가 주어진 방정식들에 모두 적합할 때 이 방정식의 쌍을 의미한다. 연립 방정식도 미지수의 차수에 따라 연립 일차 방정식, 연립 이차 방정식 등으로 나뉜다. 연립 일차 방정식에선 와 같이 한 미지수를 어떠한 값으로 나타내어 이 값을 그 미지수에 대입하는 방법인 대입법과 미지수의 계수를 같게 곱하여 둘을 더하거나 빼서 그 미지수를 없애는 가감법, 그리고 행렬을 이용한 가우스 소거법이 주로 사용된다.

**미분방정식**
파일:Flow around a wing.gif|섬네일|오일러 방정식은 유체의 비점성 흐름을 다루는 미분방정식이다.
미분방정식은 함수와 그 도함수들로 표현되는 방정식이다. 일반적으로 어떤 물리적 대상을 표현하는 함수에 대해 그 도함수는 대상의 변화율을 의미하며, 따라서 물리적 대상과 그 변화율 간의 관계는 미분 방정식으로 표현된다. 미분 방정식은 공학, 물리학, 화학, 생물학, 경제학 등 수학 외의 학문에서도 중요한 역할을 차지한다.

**상미분방정식**
상미분방정식은 하나의 독립 변수만을 가지는 미분 방정식이다.

**편미분방정식**
편미분방정식은 여러 개의 독립 변수를 가지는 미분 방정식이다.

**각주**

**같이 보기**
 디오판토스 방정식- 다항식- 수식- 항등식- 부등식- 연립방정식- 가우스 소거법- 소거법- 근 (수학)- 무연근

**외부 링크**
분류:방정식
분류:초등대수학
삼각 함수 항등식

수학에서 삼각함수 항등식(三角函數恒等式, trigonometric identity)은 삼각함수가 나오는 항등식을 말한다. 이 공식들은 삼각함수가 나오는 복잡한 식을 간단히 정리하는 데 유용하며, 특히 치환적분에서 매우 자주 쓰이기 때문에 중요하다.
참고로 아래에서 ,  등의 함수는 와 같이 정의된다.

**삼각함수의 정의에서**
 
 
 

**주기성, 대칭성, 이동(Shifts)**
다음 관계는 단위원을 사용하면 쉽게 보일 수 있다.
다음 식은 삼각함수의 주기성을 나타낸다.
 
 
다음 식은 삼각함수의 대칭성을 나타낸다.

다음은 삼각함수의 이동 성질을 나타낸다.

또한, 주기가 같지만, 상(phase)이 다른 사인파들의 선형결합은 또 다른 상의 동일주기의 사인파가 된다. 즉, 다음과 같다.

여기서


**피타고라스 정리**
다음 식들은 삼각함수의 정의와 피타고라스 정리를 이용하면 쉽게 보일 수 있다.
 

**덧셈 정리**
다음의 삼각함수의 덧셈정리를 증명하는 가장 쉬운 방법은 오일러의 공식을 이용하는 것이다. 탄젠트 공식은 위의 둘을 결합하여 얻는다.


:(좌변에 "+" 기호가 있는 경우, 우변에는 "−" 기호를 사용함. 복부호 동순임)




여기서



**두배각 공식**
다음 공식은 바로 위 덧셈 공식에서 로 놓으면 바로 얻어진다. 피타고라스의 식을 쓰면 변형을 얻는다. 또한 드무아브르의 공식에서 로 놓아도 된다.
 
 
 
 
 

**세배각 공식**
아래 공식들은 덧셈정리에서 한 각을 2x, 다른 한 각을 x로 놓고 전개하면 얻을 수 있다.
 
 
 

**네배각 공식**
아래 공식들은 배각의 공식에서 x를 2x로 두고 전개하여 풀면 얻을 수 있다.
 
 
 

**다섯배각 공식**
 
 
 

**여섯배각 공식**



**n배각 공식**
이 번째 체비쇼프 다항식일 때,

드무아브르의 공식:

디리클레 핵 은 다음의 항등식의 양변에서 도출되는 함수이다. :

디리클레 핵을 갖는 2n차의 어떤 제곱적분 가능함수의 합성곱(convolution)은 함수의 n차 푸리에 근사와 함께 동시에 일어난다.

**차수 줄이기**
n차 제곱한 삼각함수를 일차식의 삼각함수 식으로 바꾼다.

**이차식 공식**
두배각 공식의 코사인 공식을  과 으로 푼다.
 
 
 
 

**삼차식 공식**
 
 

**사차식 공식**
 
 

**오차식 공식**
 
 

**반각 공식**
차수 줄이기 이차식 공식에서 에 을 대입하고,  과 으로 푼다.



또한, 는 과 같고, 여기에 분자 분모에 같은 을 곱한다. 그러면, 분자는 사인의 두배각 공식에 의해 이 되고, 분모는  이므로 코사인 두배각 공식을 쓰면  이 된다. 두 번째 식은 분자와 분모에 다시 를 곱하고, 피타고라스 공식으로 간단히 하면 얻어진다.


**곱을 합으로 바꾸는 공식**
우변을 덧셈정리로 전개하면 증명된다.
 
 
 
 

**합을 곱으로 바꾸는 공식**
위 식의 를 로, 를  로 바꾼다.
 
 
 
 
그리고 또 다른 식들로 다음과 같이 있다.
 
 
 
 

**삼각함수의 역함수**
역삼각함수라고도 한다.
이면

만약  이면, 등식 우변이 가 된다.

피타고라스 정리로부터 다음과 같은 몇 가지 항등식을 얻는다.


**변수 없는 항등식**
리처드 파인만은 소년 시절에 다음의 기묘한 식을 배우고 언제나 기억했다고 알려져 있다.

그러나, 이 식은 다음의 변수를 포함한 일반적인 식의 특수한 경우이다. (을 넣고, 를 이용 우변을 정리한다.)

다음 식들은 아마 변수가 있는 일반화된 식을 찾기가 위 보다 어려울 것이다.


21을 택해서 각을 나누면, 도로 표현한 각이 더 이상 깔끔하지 않다. 다음 식을 보자.

1, 2, 4, 5, 8, 10 이란 인자를 보면 차츰 답이 드러난다. 이 수들은 모두 2보다 작고, 21과의 공약수가 1인 수 들이다. 사실 위 세 가지 예는 더 인수분해되지 않는 원분다항식(cyclotomic polynomial)에 대한 기본정리의 따름정리이다. 코사인값은 다항식의 영(zero)들의 실수부이고, 그들의 합은 21(가장 마지막 예)의 뫼비우스 함수값이다. (식에선 값의 반만이 나타난다.)

**미적분학**
미적분학의 삼각함수에선 각을 라디안(radian)으로 써야 한다. 그렇지 않으면, 다음 관계식들은 성립하지 않는다. 우선 삼각함수가 기하학적으로 정의된 후에 함수들의 미분을 구하기 위해선 우선:

과

을 증명한다. 그리고, 미분의 극한 정의와 덧셈정리를 이용한다. 삼각함수가 테일러 급수로 정의되었다면, 각 항을 미분하여 알아낼 수 있다.
(참고 
 
나머지 삼각함수의 미분은 위 항등식과 미분법칙으로 얻어진다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
적분식은 적분표를 참고하라.

**같이 보기**
 삼각함수 적분표- 피타고라스 정리- 삼각법

**참고 문헌**
 Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, 978-0-486-61272-0
분류:미적분학
분류:기하학
분류:삼각법
분류:항등식
곱셈적 함수

수론에서 곱셈적 함수(-的函數, multiplicative function) 또는 곱산술 함수(-算術函數)는 서로소인 두 정수의 곱셈을 보존하는 수론적 함수이다.

**정의**
함수 가 다음 조건을 만족시키면, 곱셈적 함수라고 한다.- 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 이다.
함수 가 다음 조건을 만족시키면, 완전 곱셈적 함수(完全-的函數, completely multiplicative function)라고 한다.- 임의의 에 대하여, 이다.
(완전) 곱셈적 함수의 정의역은 의 곱셈에 대하여 닫혀있는 부분 집합일 수도 있다.413

**성질**

**연산에 대한 닫힘**
곱셈적 함수 에 대하여, 다음과 같은 함수들 역시 곱셈적 함수이다.417

**항등식**
곱셈적 함수 에 대하여, 만약 의 소인수 분해가

일 경우, 다음이 성립한다.

만약 추가로 가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.

즉, 곱셈적 함수는 소수의 거듭제곱의 상에 의하여 결정되며, 완전 곱셈적 함수는 소수의 상에 의하여 결정된다.416
곱셈적 함수 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.415; 417; 421, 따름정리3




여기서 는 뫼비우스 함수이다.
곱셈적 함수 의 정의역 이 를 만족한다면,

이다.417

**디리클레 합성곱**
곱셈적 함수는 디리클레 합성곱에 대하여 아벨 군을 이룬다. 즉, 곱셈적 함수 의 디리클레 합성곱

와 디리클레 역원

은 곱셈적 함수이다.423, 정리5; 429, 문제22
곱셈적 함수 에 대하여, 만약 의 소인수 분해가

일 경우, 다음이 성립한다.418, 정리1; 423, 식(27)


만약 추가로 가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.



**예**
다음과 같은 수론적 함수들은 완전 곱셈적 함수이다.-  (는 음이 아닌 정수): 거듭제곱 함수
** : 1을 값으로 하는 상수 함수. 거듭제곱의 지수가 인 경우이다.
** : 항등 함수. 거듭제곱의 지수가 인 경우이다.- : 이 1인지 여부에 따라 1 또는 0을 취한다.-  (는 소수): 르장드르 기호. 이 에 대한 제곱 잉여일 경우 1을, 제곱 비잉여일 경우 −1을, 의 배수일 경우 0을 취한다.
다음과 같은 수론적 함수들은 곱셈적 함수이나, 완전 곱셈적 함수가 아니다.- : 오일러 피 함수. 보다 작고 과 서로소인 양의 정수의 개수- : 뫼비우스 함수. 이 제곱 인수가 없는 정수일 경우, 의 소인수의 개수의 홀짝성에 따라 ∓1을 취한다. 이 제곱 인수가 없는 정수가 아닐 경우, 0을 취한다.-  (는 음이 아닌 정수): 약수 함수. 의 모든 양의 약수의 제곱의 합
** : 의 모든 양의 약수의 개수. 약수 함수에서 인 경우이다.
** : 의 모든 양의 약수의 합. 약수 함수에서 인 경우이다.
양의 정수를 두 정수의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 (더하는 순서를 고려한) 가짓수를 구하는 함수

는 곱셈적 함수가 아니다. 예를 들어, 1을 제곱수로 나타내는 방법은 다음과 같이 4가지가 있다.

즉,

이다.
폰 망골트 함수

는 이 어떤 소수 의 양의 정수 제곱일 경우 를, 소수의 거듭제곱이 아닐 경우 0을 값으로 취한다.

이므로, 이는 곱셈적 함수가 아니다.

**같이 보기**
 오일러의 곱셈 공식

**각주**

**외부 링크**
 title=Multiplicative arithmetic function- title=Multiplicative number theoretic function
분류:수론적 함수
체비쇼프 다항식

수학에서 체비쇼프 다항식(Чебышёв多項式, Chebyshev polynomial)은 삼각 함수의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다.

**정의**
(실수 차 일계수 다항식의 집합을 로 적자.)
실수 차 다항식 에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 을 차 체비쇼프 다항식이라고 한다.- (재귀적 정의) 이며, 이며, 이다.- (삼각 함수 정의) 항등식 가 성립한다.- 은 에서 서로 다른 개 실근을 가지며, 에서 절댓값이 서로 같은 개 극값을 갖는다.- (최소 상한 노름)
드무아브르의 공식의 실수부를 비교하면 가 의 차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는 , 우변의 실수부는, 와 의 다항식이다.

**성질**

**직교성**
체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간 에서 직교한다.

즉, 다음이 성립한다.


**대칭**
짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다.


**근**
차 체비쇼프 다항식 은 닫힌구간  속에서 개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다.


**분지점**
체비쇼프 다항식을 복소수 함수

로 여길 때, 의 경우 다음이 성립한다.- 분지점에서의 값들은 모두  또는 이다.- 값이 인 분지점들의 경우, 분지 지표는 항상 2이다. (다시 말해, 데생당팡에서 모든 꼭짓점의 차수는 2이다.)- 의 원상은 하나 밖에 없다. (다시 말해, 데생당팡은 나무이다.)
예를 들어,

의 경우, 이는 분지 지표 2의 두 분지점 를 가지며, 그 값은  및 이다. 마찬가지로,

의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점  및 분지 지표 3의 분지점 를 가지며, 그 값은 각각  및 이다.
이에 따라, 는 벨리 사상을 이루며, 이에 대응하는 데생당팡은 개의 꼭짓점을 갖는 선형 그래프이다.
346px

**예**
낮은 차수의 체비쇼프 다항식들은 다음과 같다. A28297


**역사**
파프누티 체비쇼프가 1854년에 도입하였다.
체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 Tn는 체비쇼프의 이름의 프랑스어 표기 (Tchebycheff) 또는 독일어 표기 (Tschebyschow)에서 딴 것이다.

**같이 보기**
 르장드르 다항식- 라게르 다항식- 에르미트 다항식

**각주**

**외부 링크**
 title=Chebyshev polynomials- title=Chebyshev polynomials of the first kind- title=Chebyshev polynomials of the second kind- title=Chebyshev approximation formula- title=체비셰프 다항식- url-status=dead- url-status=dead
분류:직교 다항식
분류:특수 초기하함수
분류:근사 이론
파이의 날

파일:Pi pie2.jpg|섬네일|200px|오른쪽|파이의 날 기념 파이
파이의 날(파이 데이)은 원주율을 기념하는 날이다. 파이의 날은 원주율의 근삿값이 3.14이어서 3월 14일에 치러진다. 보통 3.14159에 맞추기 위해 오후 1시 59분에 기념하는데, 오후 1시 59분은 엄밀히 말하면 13시 59분이기 때문에 오전 1시 59분 혹은 15시 9분(오후 3시 9분)에 치러야 한다고 주장하는 사람도 있다. 세계 각국의 수학과에서 기념행사를 연다.
3월 14일은 알베르트 아인슈타인의 생일이면서 스티븐 호킹의 기일이기도 하다. 이 날은 여러 방법으로 기념된다. 사람들이 모여서 원주율이 생활에서 어떤 역할을 했는지 이야기하고 원주율이 없는 세상을 상상해 본다. 모임에서는 보통 파이를 먹는다. 또한 많은 행사에서 원주율을 소수점 아래의 숫자를 얼마나 많이 외우는지 겨루는 대회가 열린다.
분수 3과 7분의 1을 가분수로 나타내면 7분의 22가 되는데, 이를 무한소수로 나타내면 3.142857...로 π의 근삿값이 되므로 7월 22일을 파이 근삿값의 날로 부르기도 한다.

**같이 보기**
 몰의 날

**외부 링크**
 en  Exploratorium's Pi Day Web Site- en  Pi Day- en  Professor Lesser's Pi Day page- fr  Pi Day in France
분류:원주율
분류:비공식 기념일
분류:3월의 세시
분류:수학과 문화
분류:과학 기념일
분류:1988년 시작된 행사
사인 법칙

기하학에서 사인 법칙(-法則, law of sines) 혹은 라미의 정리는 삼각형의 변의 길이와 각의 사인 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이에 따라 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이를 알 때 남은 두 변의 길이를 구할 수 있다.

**정의**
삼각형 의 각 을 마주보는 변을 라고 하자. 사인 법칙에 따르면 다음이 성립한다.20, 52

여기서 은 삼각형 의 외접원의 반지름이다.

**증명**

**삼각형의 넓이를 통한 증명**
사인 법칙의 증명
삼각형 의 변  위의 높이를 라고 하자.20 삼각법에 따라 이므로, 삼각형 의 넓이 는 다음과 같다.

자모를 치환하면 다음과 같은 등식을 얻는다.

양변에 를 나누면 사인 법칙을 얻는다.


**외접원을 통한 증명**
삼각형 의 외접원을 그리자.52 를 지나는 지름을 라고 하자. 따라서 는 직각 삼각형이며, 빗변은 이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.

만약 가 예각일 경우, 와 는 같은 호의 원주각이므로 이다. 따라서 다음이 성립한다.

만약 가 직각일 경우, 와 는 같은 점이므로, 이며 이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 만약 가 둔각일 경우, 와 는 내접 사각형의 두 마주보는 각이므로, 이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 남은 두 각 에 대한 식 역시 마찬가지로 증명할 수 있다.

**코사인 법칙을 통한 증명**
코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.180

결과가 에 대하여 대칭적이므로, 변의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 세 변과 세 각의 사인은 모두 양수이므로, 사인 법칙이 성립한다.

**구면 사인 법칙**
단위 구면 위의 구면 삼각형 의 각 가 마주보는 변을 라고 하자. 구면 사인 법칙(球面-法則, spherical law of sines)에 따르면 다음이 성립한다.


**구면 사인 법칙의 증명**

**순수 기하 증명**
구의 중심을 라고 하자. 에서 아무 점 를 취하자. 를 지나는 평면 의 수선을 라고 하자. 를 지나는 직선 의 수선을 각각 라고 하자. 삼수선 정리에 따라 는 각각 와 수직이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.


두 식에서 를 소거하면 다음을 얻는다.

남은 한 등식 역시 같은 방법으로 증명하면 구면 사인 법칙을 얻는다.21, Art. 42

**벡터를 통한 증명**
구의 중심과 세 꼭짓점 를 잇는 벡터를 각각 라고 하자. 삼중곱의 정의에 따라 다음이 성립한다.



따라서 다음이 성립한다.

여기에 다음을 대입하면 구면 사인 법칙을 얻는다.




**구면 코사인 법칙을 통한 증명**
제1 구면 코사인 법칙을 사용하여 구면 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.20-21, Art. 40, 41


**쌍곡 사인 법칙**
가우스 곡률이 -1인 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 의 각 가 마주보는 변을 라고 하자. 쌍곡 사인 법칙(雙曲-法則, hyperbolic law of sines)에 따르면 다음이 성립한다.72

여기서 는 쌍곡 사인이다.

**쌍곡 사인 법칙의 증명**

**쌍곡 코사인 법칙을 통한 증명**
제1 쌍곡 코사인 법칙을 사용하여 쌍곡 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.74


**같이 보기**
 코사인 법칙- 탄젠트 법칙- 코탄젠트 법칙

**각주**

**외부 링크**
 제목=Law of sines
분류:삼각법
분류:각
분류:삼각형에 대한 정리
펜로즈 삼각형

펜로즈 삼각형
펜로즈 삼각형(Penrose triangle 또는 Penrose tribar)은 불가능한 물체의 일종이다. 1934년 스웨덴의 화가 오스카르 레우테르스베르드가 처음 쓰기 시작했고, 1950년대에 영국의 수학자 로저 펜로즈가 그와는 독자적으로 고안하여, 널리 알렸다. 그 후에도 펜로즈 삼각형은 마우리츠 코르넬리스 에셔의 판화에서 쓰이기 시작하여, 그의 작품 속에 등장하는 불가능한 물체에 영향을 주었다.
이 삼각형은 단면이 사각형인 입체인 것처럼 보이지만, 2차원 그림으로만 가능하다. 왜냐하면, 삼각형의 각 변을 이루는 평행한 면들은 각 꼭짓점에 이르면, 서로 다른 위치에서 본 직각의 모서리이기 때문이다. 각 변을 이루는 막대는 모두 서로 직각을 이루며, 그럼에도 불구하고 삼각형을 만든다.
이 방법을 일반화 시켜서 펜로즈 다각형으로 확대할 수 있다. 하지만 펜로즈 사각형은 그 시각적 효과가 삼각형만큼 충격적이진 않다.
펜로즈 삼각형처럼 보이는 입체를 만들 수는 있다. 하지만 이 때에 각 변은 꼬이거나, 끊어져야 한다.

**같이 보기**
 로저 펜로즈- 착시

**외부 링크**
분류:착시
분류:위상수학
분류:기하학
분류:불가능한 물체
수론적 함수

정수론에서 수론적 함수(數論的函數, arithmetic/number-theoretic function)는 모든 양의 정수에 대해 정의된 함수이며 복소수 함수값을 가질 수도 있다. 다시 말하면 수론적 함수는 복소수의 수열에 지나지 않는다.
중요한 수론적 함수로 덧셈적 함수와 곱셈적 함수가 있으며, 수론적 함수 사이의 연산으로는 디리클레 합성곱이 중요하다.

**예시**
곱셈적 함수와 덧셈적 함수에 몇몇 수론적 함수의 예가 수록되어 있다. 아래 예들은 곱셈적이지도, 덧셈적이지도 않은 함수들이다.- c4(n) - n을 음수가 아닌 정수로 표현하는 방법의 가지수. 덧셈의 순서도 구분한다. 예를 들어 다음과 같다.
:1 = 12+02+02+02 = 02+12+02+02 = 02+02+12+02 = 02+02+02+12,
그러므로 c4(1)=4.- P(n), 분할수 - n을 양의 정수의 합으로 나타내는 방법의 수. 여기선 덧셈의 순서를 구분하지 않음. 예를 들어, P(2 · 5) = P(10) = 42 그리고 P(2)P(5) = 2 · 7 = 14 ≠ 42 따 라서 곱셈적 함수가 아님.- π (n), 소수 계량 함수 - 주어진 n과 같거나 작은 소수의 개수. π(1) = 0 그리고 π(10) = 4 (10 이하의 소수는 2, 3, 5, 7).- a0(n) - n을 나누는 소수의 합. 또한 sopfr(n)(Sum of the prime factors with repetition)라고도 불림. a0(20) = a0(22 · 5) = 2 + 2+ 5 = 9. A001414- a1(n) - n의 서로 다른 소인수의 합. sopf(n)라고도 불림. a1(1) = 0, a1(20) = 2 + 5 = 7.

**같이 보기**
 폰 망골트 함수

**외부 링크**
 A008472

분류:함수와 사상
물리 상수

물리 상수(物理常數, physical constant)는 물리학에 나오는 값이 변하지 않는 물리량을 말한다. 물리 상수는 실제적인 물리적 측정과는 관계없이 고정된 값을 갖는 수학 상수와 대비되어, 대부분 그 값이 실험을 통한 측정을 통해 얻어진다.
물리 상수들 중에 특히 유명한 것으로는 플랑크 상수, 중력 상수, 아보가드로 상수 등이 있다.
물리 상수는 여러 가지 양을 의미한다. 플랑크 길이는 자연의 기본적인 거리, 광속은 가능한 최고 속력, 미세 구조 상수는 차원이 없는 양으로 전자와 광자 사이의 상호작용의 정도를 각각 의미한다.

**물리 상수 일람**
유효자리는 굵게 표시했다.

**참고 문헌**
 aPeter J. Mohr and Barry N. Taylor, "CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 1998," Journal of Physical and Chemical Reference Data, Vol. 28, No. 6, 1999 and Reviews of Modern Physics, Vol. 72, No. 2, 2000. 

분류:과학 법칙
분류:측정
분류:경험적 법칙
정규 분포

확률론과 통계학에서 정규 분포(正規 分布, normal distribution) 또는 가우스 분포(Gauß 分布, Gaussian distribution)는 연속 확률 분포의 하나이다. 정규분포는 수집된 자료의 분포를 근사하는 데에 자주 사용되며, 이것은 중심극한정리에 의하여 독립적인 확률변수들의 평균은 정규분포에 가까워지는 성질이 있기 때문이다.
정규분포는 2개의 매개 변수 평균 와 표준편차 에 대해 모양이 결정되고, 이때의 분포를 로 표기한다. 특히, 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포 을 표준 정규 분포(standard normal distribution)라고 한다.p=83

**역사**
정규분포는 아브라암 드무아브르가 1733년 쓴 글에서 특정 이항 분포의 이 클 때 그 분포의 근사치를 계산하는 것과 관련하여 처음 소개되었고 이 글은 그의 저서 《우연의 교의》(The Doctrine of Chances) 2판(1738년)에 다시 실렸다. 피에르시몽 라플라스는 그의 저서 《확률론의 해석이론》(Théorie analytique des probabilités)(1812년)에서 이 결과를 확장하였고 이는 오늘날 드무아브르-라플라스의 정리로 알려져있다.
라플라스는 실험 오차를 분석하면서 정규분포를 사용했다. 1805년에는 아드리앵마리 르장드르가 매우 중요한 방법인 최소제곱법을 도입했다. 카를 프리드리히 가우스는 이 방법을 1794년부터 사용해왔다고 주장했는데 1809년에는 실험 오차가 정규분포를 따른다는 가정하에 최소제곱법을 이론적으로 엄밀히 정당화했다.

**성질**
 정규분포에서는 기댓값, 최빈값, 중앙값이 모두 이다. 정규분포의 기댓값은 다음과 같이 계산할 수 있다.

위에서 첫 번째 적분은 홀함수의 적분으로 0이고 두 번째 적분은 가우스 적분으로 적분값이 로 잘 알려져 있다. 따라서 기댓값은 다.- 정규분포는 절대근사한다.- 정규분포는 평균과 표준편차가 주어져 있을 때 엔트로피를 최대화하는 분포이다.- 정규분포곡선은 좌우 대칭이며 하나의 꼭지를 가진다.- 정규분포는 중앙치에 사례 수가 모여있고, 양극단으로 갈수록 X축에 무한히 접근하지만 X축에 닿지는 않는다.

**표준 정규 분포**
정규 분포 밀도 함수에서 를 통해 X(원점수)를 Z(Z점수)로 정규화함으로써 평균이 0, 표준편차가 1인 표준정규분포를 얻을 수 있다.p=83
z-분포라고도 부른다. z-분포로 하는 검정(test)을 z검정(z-test)이라고 한다.

**불확실성**
에서 k값이 변화함에 따라 구해지는 값을 불확실성(uncertainty)이라고 한다. 예를 들어 를 90% 불확실성, 는 95% 불확실성, 은 99% 불확실성이다. 특히, 를 50% 불확실성이라고 하며, 확률오차(probable error)라고도 한다. 이는 관측값이 전체 관측값의 50%에 있을 확률을 의미한다.p=80, 87

**같이 보기**
 가우스 함수- 표본 크기- F 분포- 표준정규분포표

**각주**

**참고 문헌**
  ref=harv - (구글북스, Pierre Simon marquis de Laplace, Théorie analytique des probabilités 1812)https://books.google.co.kr/books?id=nQwAAAAAMAAJ&printsec=frontcover&hl=ko&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false- (구글북스,The Doctrine of Chances , 1st edition ,Abraham de Moivre 1718)https://books.google.com/books?id=3EPac6QpbuMC

**외부 링크**
 title=Normal distribution- title=Normal distribution

분류:연속분포
공각기동대

right
공각기동대(攻殻機動隊, Ghost in the Shell)는 시로 마사무네의 원작 만화로부터 파생된 포스트사이버펑크 작품군을 가리킨다. 극장판 영화, 텔레비전 애니메이션, 소설, 비디오 게임 등 다양한 매체로 만들어졌다.

**작품 목록**

**만화**
 공각기동대: 최초의 작품.- 공각기동대 1.5 Human Error Processor: 셋째 만화.- 공각기동대 2 ManMachine Interface: 둘째 만화. 속편.

**애니메이션 영화**
 공각기동대: 시로 마사무네의 만화를 바탕으로 1995년에 만들어진 영화.- 이노센스: 2004년에 만들어진 영화.- 공각기동대 ARISE- 공각기동대 신극장판

**애니메이션 시리즈**
 공각기동대 Stand Alone Complex (SAC): 첫 TV 시리즈.- 공각기동대 S.A.C. 2nd GIG: SAC의 둘째 시즌.- 공각기동대 S.A.C. Solid State Society: SAC의 셋째 작품. TV 시리즈가 아닌 OVA 한 편으로 제작되었다.- 공각기동대 ARISE ALTERNATIVE ARCHITECTURE: ARISE를 TV 시리즈 형식으로 재편집한 것.- 공각기동대: SAC 2045

**실사 영화**
 공각기동대: 고스트 인 더 쉘

**외부 링크**
  공각기동대 - 미만부

분류:미디어 프랜차이즈 
분류:포스트사이버펑크
뫼비우스 반전 공식

수론에서, 뫼비우스 반전 공식(Möbius反轉公式, Möbius inversion formula)은 수론적 함수의 약수에 대한 합으로부터 원래 함수를 되찾는 공식이다.

**정의**
양의 정수의 집합 을 정의역으로 하고, 가환환 를 공역으로 하는 임의의 두 함수

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.32, Theorem 2.9


이를 뫼비우스 반전 공식이라고 한다. 두 등식의 우변의 합은 의 양의 약수 에 대한 합이다. 가환환 의 대표적인 예는 복소수체 이다. 첫째 등식은 을 모든 에 대한 들의 합으로 나타낸다. 둘째 등식은 을 들의 정수 계수 선형 결합으로 나타낸다. 여기에 붙는 계수는 뫼비우스 함수 이며, 이는 정수 을 값으로 한다. (0개 이상의 서로 다른 소수 에 대하여

이며, 소수  및 양의 정수 에 대하여

이다.)
두 공식에서 에 대한 전칭은 필수적이다. 만약 임의의 에서 첫째 등식이 성립한다면 임의의 에서 둘째 등식이 성립하며, 그 역도 성립한다. 그러나 어떤 에서 첫째 등식이 성립한다고 하여 그 에서 둘째 등식이 성립하지는 않으며, 그 역도 마찬가지다.
두 함수가 곱셈적 함수인지 여부는 서로 동치이다. 즉, 만약 가 곱셈적 함수라면, 그 상  역시 곱셈적 함수이다. 반대로 만약 가 곱셈적이라면, 그 원상  역시 곱셈적이다.

**디리클레 합성곱과의 관계**
가환환 가 주어졌을 때, 두 함수 의 디리클레 합성곱

을 정의할 수 있으며, 함수 의 집합 은 점별 덧셈과 디리클레 합성곱에 대하여 가환환을 이룬다.
디리클레 합성곱을 사용하여, 뫼비우스 반전 공식의 첫째 등식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 1은 모든 양의 정수를 가환환의 곱셈 항등원 로 보내는 상수 함수를 나타낸다. 마찬가지로, 둘째 등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 는 뫼비우스 함수와 유일한 환 준동형 의 합성이며, 여기서는 뫼비우스 함수와 같은 기호로 나타낸다. 뫼비우스 반전 공식에 따르면, 두 등식이 서로 동치이다.
가환환 에서, 1과 는 서로 곱셈 역원이다.

여기서

는 의 곱셈 항등원이다. 이는 뫼비우스 반전 공식을 자명하게 함의한다. (즉, 만약 라면

이며, 만약 라면

이다.)
두 곱셈적 함수의 디리클레 합성곱은 곱셈적 함수이다. 또한, 1과  모두 곱셈적 함수이다. 뫼비우스 반전 공식에 등장하는 두 함수의 곱셈적 함수 여부가 동치임은 이로부터 자명하다.

**연속 정의역**
조합론에서 자주 쓰이는 뫼비우스 반전 공식은 다음과 같다. 폐구간 를 정의역으로 하고 아벨 군 을 공역으로 하는 임의의 두 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.


여기서 우변의 합은 보다 작거나 같은 모든 양의 정수 에 대한 합이다.

**근접 대수**
수론의 뫼비우스 반전 공식은 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식의 특수한 경우이다. 구체적으로, 양의 정수의 집합은 약수 관계에 따라 국소 유한 부분 순서 집합


을 이룬다. 의 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식은 수론의 뫼비우스 반전 공식이다.
함수 에 대한 뫼비우스 반전 공식 역시 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식의 특수한 경우이다. 구체적으로, 국소 유한 부분 순서 집합


의 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식과 같다.

**예**
대표적인 예는 다음과 같다. (모두 복소수체 를 공역으로 한다.)

**역사**
19세기 수학자 아우구스트 페르디난트 뫼비우스의 이름을 딴 공식이다.

**같이 보기**
 페리 수열- 포함배제의 원리

**참고 문헌**

**외부 링크**
 제목=뫼비우스 반전공식- 제목=Möbius inversion- 제목=Möbius inversion formula- id=Möbius inversion- 제목=Möbius inversion- 제목=Alternate proof of Möbius inversion formula
분류:수론적 함수
분류:열거조합론
분류:수론 정리
푸리에 급수

섬네일
수학에서 푸리에 급수(Fourier級數, Fourier series)는 주기 함수를 삼각함수의 가중치로 분해한 급수다. 대부분의 경우, 급수의 계수는 본래 함수와 일대일로 대응한다.
함수의 푸리에 계수는 본래 함수보다 다루기 쉽기 때문에 유용하게 쓰인다. 푸리에 급수는 전자 공학, 진동 해석, 음향학, 광학, 신호 처리와 영상 처리, 데이터 압축 등에 쓰인다. 천문학에서는 분광기를 통해 별빛의 진동수를 분해하여 별을 이루는 화학 물질을 알아내는 데 쓰이고, 통신 공학에서는 전송해야 하는 데이터 신호의 스펙트럼을 이용하여 통신 시스템 설계를 최적화하는 데 쓰인다.

**역사**
프랑스의 과학자이자 수학자인 조제프 푸리에가 열 방정식을 풀기 위하여 도입하였다. 프랑스 혁명에 참가했다.

**정의**
푸리에 급수는 주기함수를 기본적인 조화함수인 삼각함수 또는 복소 지수 함수의 급수로 나타낸 것이다. 주기함수 가 의 주기를 가진다고 하자. 즉,

라고 하자. 또한, 가 모든 유한 구간(finite interval)에서 제곱적분 가능하다고 하자. 즉, 임의의 에 대하여,

가 유한한 값으로 존재한다고 하자. 그렇다면 의 푸리에 계수(Fourier coefficient) 을 다음과 같이 정의한다.

그렇다면 다음이 성립한다. 임의의 에 대하여, 다음 식이 성립하지 않는 의 집합은 르베그 측도 0을 가진다.
.
만약 가 연속미분가능 () 함수라면 (즉, 의 도함수가 존재하고 연속적인 경우) 의 푸리에 급수는 모든 에서 로 수렴한다.

**각주**

**참고 문헌**
 isbn=0-471-43338-1- 연도=1822
** 재판: 연도=2009
** 영역 (역자 Alexander Freeman):  isbn = 0-486-49531-0 - doi=10.2307/2325087-  isbn=0-486-63331-4- Felix Klein, Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert, Springer, Berlin, 1928.
** 영역: Development of mathematics in the 19th century. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. (역자 M. Ackerman)-  isbn=0-521-89053-5 

**같이 보기**
 푸리에 변환- 조화 해석학- 조제프 푸리에

**외부 링크**
 id=p/f041090- authorlink=E. W. Hobson-  title= Fourier Series- title=Joseph Fourier – A site on Fourier's life which was used for the historical section of this article 

분류:푸리에 해석학
분류:급수
분류:디지털 신호 처리
분류:조제프 푸리에
가수

브라질의 가수
가수(歌手, singer)는 목소리를 이용해서 음악을 만들고 부르는 사람을 말한다. 고전음악이나 오페라에서 목소리는 악기와 동일한 용법으로 사용되었다.

**같이 보기**
 가수 목록
감마 함수

실수축 위에서 감마 함수의 그래프
수학에서 감마 함수(Γ函數, gamma function)는 계승 (수학) 함수의 해석적 연속이다.
감마 함수의 기호는 감마(Γ)라는 그리스 대문자를 사용한다.
양의 정수 n에 대하여 이 성립한다.

**정의**
파일:Complex gamma.jpg|섬네일|300px|오른쪽|복소평면에서의 감마 함수
감마 함수는 다음과 같이 여러 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 동치임을 보일 수 있다.

**오일러 적분**
감마 함수는 다음과 같은 적분으로 정의된다. 이 적분을 오일러 적분이라고 한다.

오일러 적분은 상반평면  인 영역에서 절대수렴한다. 여기에 해석적 연속을 사용해 이 함수의 정의역을 위의 단순극을 제외한 전 복소평면으로 확장할 수 있다. 이 확장된 함수를 감마 함수라 부른다.

**가우스 극한**

이 정의는 오일러의 이름을 따 오일러 극한 형태라고도 불리기도 한다.

**바이어슈트라스 무한곱**

여기서 는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 정의는 카를 바이어슈트라스의 이름을 따 바이어슈트라스 무한곱 형태라고도 불리기도 한다.

**계승의 일반화에서 주의점**
만약 감마함수를 자연수 에 대해

을 만족하는 함수로 정의하면 감마 함수는 유일하지 않다. 예를 들어

또한 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. 감마 함수는 이중 유일하게 가 양의 실수축상에서 볼록함수이다.

**성질**
감마 함수는 정의역에서 정칙 함수이다. 즉, 다음이 성립한다.


**특이점**
파일:Gamma abs.png|섬네일|300px|감마 함수의 절댓값을 나타낸 그림. 양이 아닌 정수에서 극점을 갖는 것을 볼 수 있다.
감마 함수는 복소평면에서 유리형 함수이며, 양이 아닌 정수 에서 단순극을 가진다. 단순극 에서 유수의 값은 이다.
감마 함수는 영점을 갖지 않는다. 즉, 그 역수 는 전해석 함수이다.

**함수 방정식**
감마 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다.


두 번째 공식은 오일러 반사 공식(Euler’s reflection formula)이라고 불린다.
곱의 정리

특히, 이 정리의 특수한 경우로 다음과 같은 두 배 공식을 유도할 수 있다.


**미분과 적분**
감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수 로 주어진다.

특별히, 양수 m에서의 감마 함수의 미분은 아래와 같이 오일러-마스케로니 상수 γ를 사용해 나타낼 수 있다.

일반적으로, 감마 함수의 n차 미분은 다음과 같다.

감마 함수의 극, z가 음수인 경우에서의 유수의 값은 다음과 같다.


**특별한 값**
반정수에서 감마 함수는 다음과 같다. 음이 아닌 정수 n에 대하여,


이 공식들은 로부터 수학적 귀납법으로 유도할 수 있다.
몇몇 경우의 감마 함수의 값은 다음과 같다.

 가우스 상수

**응용**
감마 함수는 확률 분포를 비롯한 여러 확률과 통계, 조합론, 그 외 여러 공학 분야들에서 유용하게 사용된다.

**초구의 부피**
반지름이 인 차원 초구의 부피는 다음과 같이 주어진다.


**감마분포**
감마 함수의 피적분 함수를 감마 함수의 적분값으로 나눈 함수를 실수의 양수축에서 적분을 하면 1이 된다. 따라서 이를 이용해 새로운 분포를 정의할 수 있다. 이 분포를 감마분포라 하고, 그 확률 밀도 함수 는 다음과 같다.

여기서 는 감마 함수의 매개 변수로 양수이다.

**큐-감마 함수**
큐-감마 함수(q-gamma function)는 감마 함수가 큐-아날로그화 된것이다.

 구간 예약




 큐-포흐하머 기호

**같이 보기**
 불완전 감마 함수- 베타 함수- 가우스 적분- 가우스 상수- 블로흐 상수- 란다우 상수

**각주**

**외부 링크**
 title=Gamma-function- title=Gamma function- 언어=en- title=감마함수
분류:특수 함수
분류:유리형 함수
분류:특수 초기하함수
분류:감마 함수 및 관련 함수
그리스 신들의 가계도

__NOTOC__
다음은 고대 그리스 신화와 고대 그리스 종교에 등장하는 신, 반신으로 구성된 가계도이다.- 일반적인 올림포스 12신의 이름은 굵은 글씨로 표시하였다.- 초록색 바탕으로 표시된 이름은 열두 명의 1세대 티탄이다.

**같이 보기**
 그리스 신화- 그리스 신화의 등장인물 목록- 헤시오도스의 신통기

**주해**

**각주**

**참고 문헌**
isbn= 9788957331880


분류:가계도