하우스도르프 공간

일반위상수학에서, 하우스도르프 공간(Hausdorff space) 또는 T2 공간(T2空間, T2-space) 또는 분리 공간(分離空間, separated space)은 서로 다른 점들을 각각 서로소 근방들로 둘러쌀 수 있는 위상 공간이다.

**정의**
하우스도르프 공간의 정의. 서로 다른 두 점 를 서로소 열린 근방 로 구분할 수 있다.
위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 하우스도르프 공간이라고 한다.- 임의의 에 대하여, 만약 라면 , 인 서로소 열린 근방 가 존재한다.98- 임의의 두 콤팩트 집합 에 대하여, 만약 와 가 서로소라면, , 인 서로소 열린 근방 가 존재한다.124- 그물의 극한은 (만약 존재한다면) 유일하다. 즉, 임의의 그물  및 점 에 대하여, 만약 이며  라면 이다.86–87- 필터의 극한은 (만약 존재한다면) 유일하다. 즉, 임의의 필터  및 점 에 대하여, 만약 이며, 이며, 라면 이다.86–87- 임의의 에 대하여, 의 모든 닫힌 근방들의 교집합은 이다.- 곱공간 의 대각 부분 집합 은 닫힌집합이다.- 임의의 집합 에 대하여, 곱공간 의 대각 부분 집합은 닫힌집합이다.
각 에 대하여, 가 의 근방 필터라고 하자.
두 점의 근방 분리 ⇒ 수렴 진필터의 극한의 유일성: 진필터 가 서로 다른 두 점 로 수렴한다고 가정하자. 그렇다면, 임의의 열린 근방 , 에 대하여, 이므로 이며, 이므로 이다. 즉, 서로소 열린 근방으로 분리될 수 없는 서로 다른 두 점이 존재한다.
수렴 진필터의 극한의 유일성 ⇒ 두 점의 근방 분리: 서로소 열린 근방을 갖지 않는 서로 다른 두 점 가 존재한다고 가정하자. 그렇다면

가  위의 필터임을 보일 수 있다. 또한, 가정에 따라 이므로 는 진필터이며, 이므로 이다. 즉, 는 서로 다른 두 점 로 수렴한다.
위상 공간 가 다음 조건을 만족시킨다면, 를 US 공간(US space)이라고 한다.262-  속의 모든 점렬은 (만약 수렴한다면) 유일한 극한을 갖는다.
즉, 이 개념은 그물 또는 필터를 통한 정의에서 이를 점렬로 대체한 것이다.
위상 공간 가 다음 조건을 만족시킨다면, 를 KC 공간(KC space)이라고 한다.262- 의 모든 콤팩트 부분 공간은 닫힌집합이다.
위상 공간 가 다음 조건을 만족시킨다면, 를 약한 하우스도르프 공간(weakly Hausdorff space)이라고 한다.- 하우스도르프 콤팩트 공간의 연속적 상은 항상 닫힌집합이다. 즉, 임의의 하우스도르프 콤팩트 공간  및 연속 함수 에 대하여, 의 상 는 의 닫힌집합이다.

**성질**

**포함 관계**
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
우리손 공간(T2½) ⊊ 하우스도르프 공간(T2) ⊊262, Theorem 3.1 US 공간 ⊊262, Theorem 3.1 KC 공간 ⊊ 약한 하우스도르프 공간 ⊊ T1 공간
하우스도르프 공간(T2) ⊊ T1 공간 ∩ 차분한 공간
제1 가산 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.- US 공간이다.- KC 공간이다.- 하우스도르프 공간이다.

**연산에 대한 닫힘**
하우스도르프 공간들의 집합의 곱공간은 하우스도르프 공간이다. 하우스도르프 공간의 부분 공간은 하우스도르프 공간이다. 그러나 하우스도르프 공간의 몫공간은 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다.
약한 하우스도르프 공간들의 집합의 곱공간은 약한 하우스도르프 공간이다. 약한 하우스도르프 공간의 부분 공간은 약한 하우스도르프 공간이다. 그러나 약한 하우스도르프 공간의 몫공간은 약한 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다.

**약한 하우스도르프 공간**
를 약한 하우스도르프 공간이라고 하자. 콤팩트 하우스도르프 공간 와 임의의 연속 함수 에 대하여, 의 상 는 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 따라서, 부분공간 가 k-닫힌집합일 필요충분조건은 임의의 콤팩트 하우스도르프 부분공간 에 대하여 가 닫힌집합인 것이다.

**전사 사상**
하우스도르프 공간를 대상으로 하고 연속 함수를 사상으로 삼은 범주 에서, 전사 사상은 상이 조밀 집합인 연속 함수이다.
에서, 조밀 집합을 상으로 하는 연속 함수는 자명하게 전사 사상이다. (조밀 집합#조밀 집합은 연속 함수를 결정한다 참고.) 반대로,

가 하우스도르프 공간 사이의 전사 사상이라고 가정하고, 상의 폐포

가 임을 증명하자.

가 포함 함수 에 대한 붙임 공간이라고 하고,

가 두 개의 자연스러운 연속 함수라고 하자. (즉, 는 각각 두 개의 매장 와 몫사상 의 합성이다.) 붙임 공간의 정의에 따라 임을 알 수 있다. 만약 가 하우스도르프 공간이라면, 전사 사상의 정의에 따라 이며, 결국 이게 된다. 이제 가 하우스도르프 공간임을 증명하는 일만 남았다. 붙임 공간의 정의에 따라, 다음 두 명제가 성립한다.- 가 열린집합일 필요충분조건은 가 둘 다 열린집합인 것이다.
(사실, 붙임 공간의 성질과 대칭성에 따라, 는 닫힌 위상수학적 매장이며, 과 은 열린 위상수학적 매장이다.) 따라서, 임의의 서로 다른 두 점 가 서로소 열린 근방을 가짐은 다음 세 가지 경우로 나눠 증명할 수 있다.
** 이 경우, , 인 서로 다른 두 점 이 존재한다. 의 하우스도르프 조건에 따라, 가 의 서로소 열린 근방이라고 하자. 그렇다면, 는 다음과 같은 서로소 열린 근방 를 갖는다.
**:
**:
** 이 증명은 위와 유사하다.- , 
** 이 경우, 와 은 의 서로소 열린 근방이다.

**정칙 단사 사상**
하우스도르프 공간의 범주 에서, 정칙 단사 사상은 닫힌 매장이다.
임의의 하우스도르프 공간 사이의 연속 함수 에 대하여, 포함

은 , 의 동등자를 이룬다. 또한, 의 하우스도르프성에 따라 이는 의 닫힌집합을 이룬다. 모든 동등자는 서로 동형이므로, 모든 정칙 단사 사상은 닫힌 매장이다.
반대로, 하우스도르프 공간 사이의 닫힌 매장 이 주어졌다고 하자. 붙임 공간

및 자연스러운 두 연속 함수

를 생각하자. 붙임 공간이 하우스도르프 공간임을 #전사 사상에서의 증명과 유사하게 보일 수 있다. 그렇다면, 는 , 의 동등자를 이룬다. 따라서, 는 정칙 단사 사상이다.

**예**

**우리손 공간이 아닌 하우스도르프 공간**
양의 정수의 집합 에, 다음과 같은 기저를 주자.

이는 양의 정수의 서로소 위상(relatively prime topology)이라고 한다. 이는 하우스도르프 공간이지만 우리손 공간이 아니다.

**하우스도르프 공간이 아닌, 모든 수렴 점렬이 유일한 극한을 갖는 공간**
하우스도르프 공간은 모든 그물 또는 필터가 유일한 극한을 갖는 공간이다. 만약 그물/필터를 점렬로 약화시킨다면, 모든 점렬이 유일한 극한을 갖지만 하우스도르프 공간이 아닌 공간이 존재한다.

**하우스도르프 공간이 아닌 차분한 T1 공간**
실수선 에 새로운 점 을 추가하고, 여기에 다음과 같은 위상을 주자.- 의 위상에서 열린집합 는 에서도 열린집합이다.- 가 유한 집합이라면, 은 열린집합이다.
그렇다면 은 T1 공간이며 차분한 공간이지만 하우스도르프 공간이 아니다.

**하우스도르프 공간이 아닌 KC 공간**
비가산 집합에, 모든 가산 집합을 닫힌집합으로 하는 위상을 주자. 그렇다면, 이는 KC 공간이지만 (콤팩트 집합은 유한 집합과 같다) 하우스도르프 공간이 아니며 차분한 공간도 아니다.

**역사**
하우스도르프 조건은 펠릭스 하우스도르프가 1914년에 위상 공간의 개념을 최초로 정의할 때 포함했던 조건이다. 구체적으로, 하우스도르프의 정의는 다음과 같다213, §VII.1.
여기서 마지막 조건 🄓가 하우스도르프 조건이다. 이후 위상 공간의 정의는 이 조건을 포함하지 않게 되었고, 하우스도르프의 원래 정의를 추가로 만족시키는 공간은 "하우스도르프 공간"으로 불리게 되었다.
약한 하우스도르프 공간의 개념은 1969년에 마이클 캠벨 매코드(Michael Campbell McCord)가 호모토피 이론에서의 편의를 위하여 도입하였다.

**참고 문헌**

**외부 링크**
 title=Hausdorff space- title=T_2-space- title=T_2-separation axiom- id=Hausdorff space- title=Weakly Hausdorff topological space- title=Locally Hausdorff topological space- 언어=en- 언어=en- 언어=en- 언어=en
분류:위상 공간의 성질