뇌터 환

환론에서 뇌터 환(Noether環, Noetherian ring)은 아이디얼들이 오름 사슬 조건을 만족하는 환이다. 대략, 체 위의 유한 개의 변수에 대한 다항식환처럼, "지나치게 크지 않은" 환을 뜻한다.

**정의**

**뇌터 가군**
범주  속의 대상 의 부분 대상들의 부분 순서 집합 가 오름 사슬 조건을 만족시킨다면, 를 뇌터 대상(Noetherian object)이라고 한다.146
환  위의 왼쪽 가군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 왼쪽 뇌터 가군(left Noetherian module)이라고 한다.- 은 왼쪽 가군 범주  속의 뇌터 대상이다. 즉, 의 부분 가군들의 격자 가 오름 사슬 조건을 만족시킨다.20- 의 모든 부분 가군이 유한 생성 가군이다. 즉, 임의의 부분 가군 에 대하여 인 이 존재한다.20, (1.18)
오른쪽 뇌터 가군(right Noetherian module) 역시 마찬가지 조건을 만족시키는 오른쪽 가군으로 정의할 수 있다.
가환환 위의 가군의 경우, 왼쪽·오른쪽 가군의 구분이 없으므로, 두 개념이 서로 일치한다.

**뇌터 환**
환 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 왼쪽 뇌터 환(left Noetherian ring)이라고 한다.- 는 뇌터 왼쪽 가군이다. (즉, 왼쪽 아이디얼들의 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건을 만족시킨다. 또는, 모든 왼쪽 아이디얼은 유한 생성 아이디얼이다.)- 모든 -유한 생성 왼쪽 가군은 뇌터 가군이다.21, Proposition 1.21- -왼쪽 아이디얼들로 구성된, 공집합이 아닌 임의의 집합은 (부분 집합 관계에 대하여) 적어도 하나 이상의 극대 원소를 갖는다.19- (배스-파프 정리 Bass–Papp theorem) 의 단사 왼쪽 가군들의 귀납적 극한은 단사 왼쪽 가군이다.80–81, Theorem 3.46- (배스-파프 정리) 의 단사 왼쪽 가군들의 임의의 (무한 또는 유한) 직합은 단사 왼쪽 가군이다.80–81, Theorem 3.46- (배스-파프 정리) 의 가산 개의 단사 왼쪽 가군들의 직합은 단사 왼쪽 가군이다.80–81, Theorem 3.46
마찬가지로 오른쪽 뇌터 환(right Noetherian ring)을 정의할 수 있다. 왼쪽 뇌터 환이자 오른쪽 뇌터 환인 환을 (양쪽) 뇌터 환((two-sided) Noetherian ring)이라고 한다.
가환환의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 뇌터 가환환(Noetherian commutative ring)이라고 한다.- 왼쪽 뇌터 환이다.- 오른쪽 뇌터 환이다.- 양쪽 뇌터 환이다.- 그 스펙트럼 는 뇌터 스킴이다.83, Proposition II.3.2- 그 스펙트럼 는 국소 뇌터 스킴이다.- (코언 정리 Cohen’s theorem) 모든 소 아이디얼 이 유한 생성 아이디얼이다.

**뇌터 스킴**
스킴 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 국소 뇌터 스킴(局所-, locally Noetherian scheme)이라고 한다.-  뇌터 가환환들의 스펙트럼들로 구성된 열린 덮개가 존재한다.83- 모든 아핀 열린집합은 뇌터 가환환의 스펙트럼이다.83, Proposition II.3.258, Exercise 2.3.16
스킴 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 뇌터 스킴(Noetherian scheme)이라고 한다.- 뇌터 가환환들의 스펙트럼으로 구성된 유한 열린 덮개가 존재한다.83- 국소 뇌터 스킴이며, (위상 공간으로서) 콤팩트 공간이다.

**성질**

**뇌터 가군의 성질**
환  위의 왼쪽 가군  및 그 부분 가군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.20, (1.20)- 이 뇌터 가군이다.- 과  둘 다 뇌터 가군이다.
(아르틴 가군에 대해서도 유사한 조건이 성립한다.)
환  위의 왼쪽 가군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.20, (1.19)- 은 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.- 은 유한한 길이의 합성열을 갖는다. 즉, 이 존재하며, 은 모두 단순 가군이다.
특히, 유한 집합인 가군은 항상 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.

**뇌터 환의 성질**
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
유한환 ⊊ 왼쪽 아르틴 환 ⊊ 왼쪽 뇌터 환
유한환 ⊊ 오른쪽 아르틴 환 ⊊ 오른쪽 뇌터 환
만약 가 왼쪽 뇌터 환이라면, 다음 환들 역시 왼쪽 뇌터 환이다.- (힐베르트 기저 정리) 유한 개의 변수에 대한 다항식환 - 임의의 양쪽 아이디얼 에 대하여, 몫환 
만약 가 뇌터 가환환이라면, 다음 가환환들 역시 뇌터 가환환이다.- 형식적 멱급수환 - 임의의 곱셈 모노이드 에 대하여, 국소화 
환 의 부분환 가 주어졌으며, 가 가환환이며, 가 -유한 생성 왼쪽 가군이라고 하자. 그렇다면 다음 두 조건이 서로 동치이다.- 가 왼쪽 뇌터 환이다.- 가 뇌터 환이다.
그러나 만약 가 가환환이 아니라면 이는 성립하지 않을 수 있다.
뇌터 가환환의 경우, 크룰 높이 정리가 성립한다. 특히, 뇌터 가환환의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합은 내림 사슬 조건을 만족시킨다. (그러나 이는 비가환 왼쪽 뇌터 환에 대하여 성립하지 않을 수 있다.)

**뇌터 스킴의 성질**
국소 뇌터 스킴의 줄기는 모두 뇌터 국소환이다.55, Proposition 2.3.46(a) (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.) 국소 뇌터 스킴의 구조층은 (스스로 위의 가군층으로서) 연접층이다. 국소 뇌터 스킴은 항상 준분리 스킴이다 (즉, 국소 뇌터 스킴 에 대하여, 유일한 스킴 사상 는 준분리 사상이다).
뇌터 스킴은 뇌터 공간이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
가 국소 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 국소 뇌터 스킴이다.-  위의 국소 유한형 스킴 - 의 닫힌 부분 스킴- 의 열린 부분 스킴
가 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 뇌터 스킴이다.-  위의 유한형 스킴 96, Exercise 3.2.1- 의 닫힌 부분 스킴55, Proposition 2.3.46(a)- 의 열린 부분 스킴55, Proposition 2.3.46(a)
특히, 체 위의 대수다양체는 뇌터 스킴이다.

**예**
모든 데데킨트 정역은 뇌터 환이다. (따라서, 모든 주 아이디얼 정역, 유클리드 정역, 체, 이산 값매김환은 데데킨트 정역이므로 뇌터 가환환이다.) 모든 정칙 국소환은 뇌터 환이다.
반면, 뇌터 환이 아닌 유일 인수 분해 정역이나 뇌터 환이 아닌 값매김환이 존재한다.

**뇌터 벡터 공간**
체  위의 가군(벡터 공간)의 경우 다음 세 조건이 서로 동치이다.- 뇌터 가군이다.- 아르틴 가군이다.- 유한 차원 벡터 공간이다.

**뇌터 군환**
임의의 군  및 환 에 대하여, 군환 를 생각하자. 이는 환을 이루며, 만약 가 가환환이라면 -결합 대수를 이룬다. 만약 가 가환환이라면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.- 는 왼쪽 뇌터 환이다.- 는 오른쪽 뇌터 환이다.
이는 가환환 위의 군환의 경우, 왼쪽 아이디얼들과 오른쪽 아이디얼들이 -결합 대수 준동형


에 따라 일대일 대응하기 때문이다. 임의의 군  및 환 가 주어졌다고 하자. 만약 가 왼쪽·오른쪽·양쪽 뇌터 환이라면, 는 왼쪽·오른쪽·양쪽 뇌터 환이며, 는 뇌터 군이다. 반대로, 만약 가 뇌터 가환환이며, 가 뇌터 가해군의 유한군에 의한 확대라면, 는 양쪽 뇌터 환이다. 일반적인 뇌터 환과 뇌터 군 위의 군환은 뇌터 환이 아닐 수 있다. 사실, 다음 두 조건을 만족시키는 군 가 존재한다.423, Theorem 38.1- 는 뇌터 군이다.- 임의의 뇌터 가환환 에 대하여, 는 양쪽 뇌터 환이 아니다.
가 환, 가 군이며, 가 그 군환이라고 하자. 엄격하게 상승하는 의 왼쪽 아이디얼들의 열

이 주어졌을 때,

는 엄격하게 상승하는 의 왼쪽 아이디얼들의 열이다. 만약

가 엄격하게 상승하는 의 부분군들의 열이라면,


는 엄격하게 상승하는 의 왼쪽 아이디얼들의 열이다. 따라서, 만약 가 왼쪽 뇌터 환이라면, 는 엄격하게 상승하는 왼쪽 아이디얼들의 열을 갖지 않으며, 는 엄격하게 상승하는 부분군들의 열을 갖지 않는다. 즉, 는 왼쪽 뇌터 환이며, 는 뇌터 군이다.

**뇌터 비트 환**
표수 2가 아닌 체 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.32, Corollary 2.4- 비트-그로텐디크 환 는 뇌터 가환환이다.- 비트 환 는 뇌터 가환환이다.- 제곱 유군 은 유한군이다.
첫째 조건 ⇒ 둘째 조건. 뇌터 가환환의 몫환은 뇌터 가환환이다.
둘째 조건 ⇒ 셋째 조건. 가 뇌터 가환환이므로, 그 기본 아이디얼 는 유한 생성 -가군이며, 는 유한 생성 -가군이다. 그런데 는 전사 환 준동형


의 핵이므로, 는 와 동형이다. 따라서, 는 유한 집합이다. 마찬가지로, 기본 아이디얼의 제곱 은 전사 환 준동형


의 핵이므로, 는 와 동형이며, 는 유한군이다.
셋째 조건 ⇒ 첫째 조건. 표수 2가 아닌 체 위의 이차 형식은 항상 대각화 가능하므로, 의 모든 원소는 1차원 이차 형식

들 및 그 형식적 덧셈 역원

들의 합이다. 가정에 따라 이 유한군이므로, 의 덧셈 아벨 군은 유한 생성 아벨 군이며, 는 뇌터 가환환이다.

**오른쪽 뇌터 환이 아닌 왼쪽 뇌터 환**
무한 차수의 체의 확대


가 주어졌다고 하자. (예를 들어, 를 잡을 수 있다.) 그렇다면 삼각환

를 생각하자. 이는 왼쪽 뇌터 환이자 왼쪽 아르틴 환이지만, 오른쪽 뇌터 환이나 오른쪽 아르틴 환이 아니다.22, Corollary 1.24

**뇌터 환의 부분환인 비뇌터 환**
가 뇌터 환이 아닌 임의의 정역이라고 하자. 그렇다면, 그 분수체 는 (체이므로) 뇌터 환이며, 는 그 부분환이다.
삼각환 은 오른쪽 뇌터 환이며, 양쪽 뇌터 환 의 부분환이지만, 왼쪽 뇌터 환이 아니다.20, Corollary 1.23)

**뇌터 조건의 비국소성**
임의의 무한 기수 에 대한 직접곱 을 생각하자. 이는 뇌터 환이 아니다. 반면, 임의의 소 아이디얼 에서의 국소화 는 뇌터 환이다.

**역사**
에미 뇌터는 1921년 논문에서 환의 아이디얼의 오름 사슬 조건을 분석하였다. 훗날 뇌터를 기념하여 이 환들이 "뇌터 환"으로 불리게 되었다.

**같이 보기**
 뇌터 스킴- 아르틴 환

**참고 문헌**

**외부 링크**
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분류:환론