소 아이디얼

환론에서 소 아이디얼(素ideal, prime ideal)은 아이디얼 가운데 소수와 같은 성질을 갖는 것들이다. 가환환의 소 아이디얼은 대수기하학에서 아핀 스킴의 부분다양체에 대응하며, 아핀 스킴의 위상 공간의 한 점을 이룬다.

**정의**
환 의 양쪽 진 아이디얼 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 소 아이디얼이라고 한다.- 임의의 두 양쪽 아이디얼 에 대하여, 만약 라면 이거나 이다.155, Definition 10.1- 임의의 에 대하여, 만약 라면 이거나 이다.155, Proposition 10.2- 임의의 에 대하여, 만약 라면 이거나 이다.155, Proposition 10.2- 임의의 오른쪽 아이디얼 에 대하여, 만약 라면 이거나 이다.155, Proposition 10.2- 임의의 왼쪽 아이디얼 에 대하여, 만약 라면 이거나 이다.155, Proposition 10.2- 는 m계를 이룬다.156, Corollary 10.4- 몫환 가 소환이다.158
여기서 환 의 부분 집합 가 다음 조건을 만족시킨다면 m계(m系, m-system)라고 한다.- 임의의 에 대하여, 인 가 존재한다.
물론, 모든 곱셈 모노이드는 m계를 이룬다.

**완전 소 아이디얼**
환 의 양쪽 진 아이디얼 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 완전 소 아이디얼(完全素ideal, completely prime ideal)이라고 한다.- 임의의 에 대하여, 만약 라면 이거나 이다.- 몫환 는 영역이다.194- 는 곱셈에 대하여 모노이드를 이룬다.

**소원**
소환 의 원소 가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면 소원(素元, prime element)이라고 한다.§4.2- 는 소 아이디얼이다. 즉, 임의의 에 대하여, 만약 모든 에 대하여 라면, 이거나 이다. (여기서 는 를 뜻한다.)
마찬가지로, 소환 의 원소 가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면 완전 소원(完全素元, completely prime element)이라고 한다.§4.2- 는 완전 소 아이디얼이다. 즉, 임의의 에 대하여, 만약 라면 이거나 이다.
물론 인 것은 가환환에서 자동적으로 성립한다.
(가환) 정역에서, 모든 소원은 기약원이지만,284, Proposition 8.11 그 역은 성립하지 않는다. 다만, 유일 인수 분해 정역에서는 기약원의 개념과 소원의 개념이 일치한다. 예를 들어, 유수가 1이 아닌 대수적 정수환 에서, 3은 기약원이지만 다음과 같이 소원이 아니다.284




**성질**
일반적인 환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
아이디얼 ⊇ 소 아이디얼 ⊇ 완전 소 아이디얼 ∪ 극대 아이디얼
그러나 완전 소 아이디얼과 극대 아이디얼 사이에는 포함 관계가 존재하지 않는다.
임의의 환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.- 영 아이디얼이 소 아이디얼이다.- 소환이다.
임의의 환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.- 영 아이디얼이 완전 소 아이디얼이다.- 영역이다.
(극대 아이디얼의 경우 마찬가지로 단순환에 대응한다.)
자명환이 아닌 환은 초른 보조정리에 따라 항상 하나 이상의 소 아이디얼을 갖는다 (특히, 하나 이상의 극대 아이디얼을 갖는다). 주어진 환 의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합은 항상 하나 이상의 극소 원소들을 가지며, 또한 임의의 소 아이디얼 에 대하여, 에 포함되는 극소 소 아이디얼이 존재한다.

**함자성**
두 환 ,  사이의 환 준동형  및 의 완전 소 아이디얼 에 대하여, 그 원상 는 의 완전 소 아이디얼이다. (그러나 이는 소 아이디얼에 대하여 성립하지 않을 수 있다.) 따라서, 의 완전 소 아이디얼들의 집합을 라고 한다면, 이는 함자

를 정의한다.
가환환의 경우, 완전 소 아이디얼과 소 아이디얼의 개념이 일치한다. 이 경우, 사실 가환환 의 소 아이디얼의 집합 은 위상 공간 및 스킴의 구조를 부여할 수 있어 스킴의 범주 로 가는 함자

를 정의한다.

**소 아이디얼 원리**
환 의 양쪽 아이디얼들의 집합 가 다음 두 조건들을 만족시킨다면, 오카 족(岡族, Oka family)이라고 한다.Definition 2.1Definition 2.1- 임의의  및 양쪽 아이디얼 에 대하여, 만약 이며 이며 라면, 이다.
소 아이디얼 원리(prime ideal principle)에 따르면,Theorem 3.42.4 가 환 의 오카 족이라고 할 때, 의 여집합 의 극대 원소는 소 아이디얼이다. (여기서 는 의 모든 양쪽 아이디얼들의 집합이다.)
특히, 다음과 같은 아이디얼 족은 오카 족이다.- 환 의 m계 에 대하여, 와 교차하는 양쪽 아이디얼들의 족 은 오카 족이다.Proposition 3.1
** 가환환 의 임의의 곱셈 모노이드 에 대하여, 와 교차하는 아이디얼들의 족 은 오카 족이다.Proposition 3.1- 환 의 오른쪽 가군 에 대하여, 는 오카 족이다.Proposition 3.5
** 가환환 의 가군 에 대하여, 은 오카 족이다.Proposition 3.5 (여기서 은 소멸자를 뜻한다.)- 환 의 곱셈 모노이드 에 대하여, 만약 모든 에 대하여 라면, 는 오카 족이다.Proposition 4.1
** 가환환 의 임의의 곱셈 모노이드 에 대하여, 의 원소로 생성되는 주 아이디얼들의 족 은 오카 족이다.Proposition 3.17 특히, 모든 주 아이디얼들의 족 은 오카 족이다.- 가환환 의 유한 생성 아이디얼들의 족은 오카 족이다.Proposition 3.16 (그러나 이는 비가환환에 대하여 성립하지 않을 수 있다.§2)

**소 아이디얼 회피**
다음 데이터가 주어졌다고 하자.- 환 - 의 양쪽 아이디얼들의 유한 집합 . 또한, 에 대하여 은 완전 소 아이디얼이다.- 의 부분 유사환 (즉, 곱셈에 대하여 닫힌, 1을 포함하지 않을 수 있는 덧셈 부분군) . 또한, 모든 에 대하여 이다.
소 아이디얼 회피 정리(素ideal回避定理, prime avoidance)에 따르면, 다음이 성립한다.
즉, 가 각 아이디얼들을 회피한다면, 모든 아이디얼들을 동시에 회피한다.
증명:
에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. 인 경우는 자명하다. 일 때, 귀납 가정에 의하여 각 에 대하여

를 고를 수 있다. 그렇다면

이다.

**가환환의 소 아이디얼**
가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼  ∪  으뜸 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 = 완전 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼
가환환 의 진 아이디얼 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.- 는 소 아이디얼이다.- 는 완전 소 아이디얼이다.- 가 정역이다.
가환환 의 소 아이디얼 의 여집합 가 모노이드를 이루므로, 에 대하여 국소화를 취할 수 있다. 이 경우 는 국소환을 이룬다.
가환환의 준동형  및 의 소 아이디얼 에 대하여, 는 의 소 아이디얼이다. (이는 비가환환의 경우 일반적으로 성립하지 않는다.)
가환환의 소 아이디얼의 이러한 성질들은 대수기하학에서 매우 중요한 역할을 한다. 이러한 이유 때문에, 환의 스펙트럼은 더 기하학적으로 자연스러운 극대 아이디얼 대신 소 아이디얼을 사용한다.- 소 아이디얼의 준동형에 대한 원상이 소 아이디얼이므로, 이는 가환환의 범주에서 집합의 범주(또는 다른 구체적 범주)로 가는 반변 함자를 이룬다. 다시 말해, 환 준동형은 아핀 스킴 사이의 함수를 정의한다.- 소 아이디얼의 여집합은 모노이드를 이루므로, 소 아이디얼에서 국소화를 취할 수 있으며, 이렇게 하여 얻은 환은 국소환이다. 즉, 환의 구조는 소 아이디얼에 대하여 국소적이다.

**높이**
가환환 의 소 아이디얼 의 높이 는 그 속에 포함되는 소 아이디얼들의 사슬의 길이의 상한이다.

특히, 높이가 0인 소 아이디얼은 포함 관계에 따라서 극소 원소인 소 아이디얼과 같으며, 이를 극소 소 아이디얼(極小素ideal, minimal prime ideal)이라고 한다.
예를 들어,- 가환 아르틴 환의 경우 (크룰 차원이 0이므로) 극소 소 아이디얼 · 소 아이디얼 · 극대 아이디얼의 개념이 일치한다.- 정역의 경우 유일한 극소 소 아이디얼은 영 아이디얼이다.- 가환 뇌터 환은 유한 개의 극소 소 아이디얼들을 갖는다. (이는 에미 뇌터가 증명하였다.)

**예**
정수환 의 소 아이디얼들은 소수와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소수 는 의 배수들로 구성된 아이디얼 와 대응한다. 이런 의미에서 소 아이디얼은 소수의 일반화라고 볼 수 있다. 수론에서 소수 가 두 정수의 곱 를 나누면 는 나  둘 중 하나를 나눈다는 것은 잘 알려진 사실이다. 이 경우, 이라는 첫 조건은 1을 소수로 치지 않는다는 사실과 같다.

**역사**
역사적으로, 아이디얼의 개념은 수체의 대수적 정수환이 일반적으로 유일 인수 분해 정역이 아니라는 발견에서 비롯되었다. 수체의 대수적 정수환은 항상 데데킨트 정역이므로 아이디얼에 대해서는 유일 인수 분해가 성립하며, 이 경우 아이디얼의 소인수 분해에서 대응하는 "소수"는 소 아이디얼이다.
비가환환에서의 소 아이디얼의 정의는 볼프강 크룰이 1928년에 제시하였다.

**각주**
  archive-url=https://web.archive.org/web/20170922001308/http://www.math.unl.edu/~rwiegand1/Primes/paper.pdf 

**외부 링크**
 last=Zhevlakov- title=Prime element- title=Prime ideal- title=Prime element- title=Prime ideal theorem- title=Prime element- 언어=en- 언어=en- 언어=en- 언어=en- 언어=en- 언어=en- 언어=en

**같이 보기**
 환의 스펙트럼
분류:아이디얼
분류:대수기하학