횔더 부등식

해석학에서 횔더 부등식(Hölder's inequality)은 르베그 적분과 Lp 공간을 연구하기 위해 사용하는 매우 중요한 부등식이다. 부등식의 이름은 오토 횔더의 이름을 따서 지은 것이다.

**정의**
S,Σ,μ가 측도 공간이고, p, q ∈ R가 1 ≤ p, q ≤ ∞ 이고 1/p + 1/q = 1 을 만족한다고 하자. 이때 모든 실함수, 복소함수 가운데 S에서 가측 함수 f, g에 대하여 다음과 같은 관계가 성립한다.

부등식은 
fg
1의 값이 무한일 때에도 성립하며, 우변의 값이 무한인 경우에도 성립한다. 또, 만약 f ∈ Lp(μ) , g ∈ Lq(μ)일 때, fg ∈ L1(μ)가 성립한다.
1 p(μ) and g ∈ Lq(μ)일 때, 횔더 부등식의 등호가 성립할 필요충분조건은 |f|p 과 |g|q이 L1에서 일차 종속일 때 만족한다. 즉, α, β ≥ 0 인 α, β 가 존재하여, 측도가 0인 집합을 제외한 모든 점에서 α|f|p = β|g|q가 성립할 때 필요충분조건이 성립한다.
(
f
p = 0 인 경우, β = 0이다.
g
q = 0 인 경우,α = 0이다.)
이때 p와 q는 횔더 켤레(Hölder conjugates)이다. p = q = 2인 경우, 이 부등식은 코시-슈바르츠 부등식이 된다.
횔더 부등식은 Lp(μ)에서 삼각 부등식과 민코프스키 부등식을 증명하기 위해 사용하며, Lp(μ)의 쌍대공간 Lq(μ)를 구성하기 위해 사용한다. (1 ≤ q p , 
g
q는 다음과 같이 정의한다.
:   and   - 만약 p = ∞ 이면, 
f
의 본질적 상한으로 정의한다. 같은 방식으로 
g
∞도 정의한다.- 횔더 부등식의 우변에서, 0 곱하기 ∞ 과 ∞ 곱하기 0는 0으로 약속한다.

**일반화 횔더 부등식**
r ∈ (0,∞) 이고 p1, …, pn ∈ (0,∞이고 다음의 부등식을 만족한다고 가정하자.

이때, S에서 정의된 측정 가능한 모든 실함수, 복소함수 f1, …, fn에 대하여,

가 성립한다.
또한, 다음도 성립한다.

주의: r ∈ (0,1)에 대해, 
.
r는 일반적으로 삼각 부등식이 성립하지 않기 때문에 노름이 아니다.

**역 횔더 부등식**
p ∈ (1,∞)이고, 측도 공간 (S,Σ,μ)이 μ(S) > 0를 만족한다고 가정하자. 이때, S에서 측정 가능한 모든 실함수, 복소함수 f, g (이때, g(s) ≠ 0 측도 μ값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 s ∈ S)에 대하여 다음이 성립한다.

만약, 
fg
1 −1/(p−1) > 0 이면, 역 횔더 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 α ≥ 0 에 대해
    
이 측도 μ값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 집합에서 성립할 때이다.
주의: 
f
1/p 와 
g
−1/(p−1)는 노름이 아니고, 다음의 식을 간단히 나타낸다.
   ,   

**조건부 횔더 부등식**
를 확률 공간이라 하고, 를 부분 시그마 대수라 하고, 횔더 켤레 p, q ∈ (1,∞)라 하면, 모든 실수, 복소수 값을 갖는 Ω에서의 확률 변수 X, Y에 대하여 다음이 성립한다.

특이 사항:- 만약 음이 아닌 확률변수 Z가 기댓값이 무한이라면, 이때 Z의 조건부 평균은 다음과 같이 정의한다.
:- 조건부 횔더 부등식의 우변에서, 0 곱하기 ∞ , ∞ 곱하기 0 은 0으로 생각한다. a > 0 에 ∞를 곱해도  ∞으로 생각한다.

**예**
p와 q가 (1,∞) 열린구간에 속한다고 가정하자.- n차원 유클리드 공간의 집합 S = {1, …, n} 가 셈측도를 측도로 가질 때, 다음 부등식이 성립한다.
:- 만약 이 셈측도를 측도로 가질 때, 수열 공간에서의 횔더 부등식을 얻을 수 있다.
:- 만약 S가 르베그 측도를 측도로 갖는 Rn의 가측 집합일 때, f, g는 S에서 가측 실함수, 복소함수이다. 이때, 횔더 부등식은 다음과 같이 성립한다.
:- 확률 공간 에서 , 를 기댓값 연산으로 정의하자. Ω에서 실수, 복소수값을 갖는 확률 변수 X와 Y에 대해, 횔더 부등식은 다음과 같이 성립한다.
:
0 r 과 1Ω에 대해 적용하면 다음식을 얻을 수 있다.
:
s의 절대 모멘트가 유한할 때, r의 절대 모멘트도 유한하다. (이 결과는 옌센 부등식을 통해서도 얻을 수 있다.)

**증명**

**횔더 부등식의 증명**
횔더 부등식을 증명하는 방법에는 여러 개가 있으나, 영 부등식을 사용하여 증명하겠다.
만약 
f
p = 0 이라면, f는 측도 μ값이 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 0이고, 따라서 fg도 μ값이 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 0이다. 즉, 횔더 부등식의 좌변의 값이 0이다. 
g
q = 0일 때도 같은 결론을 얻을 수 있다. 따라서, 
f
p > 0 , 
g
q > 0 이라고 가정할 수 있다.
만약 
f
p = ∞ 또는 
g
q = ∞ 일 때, 횔더 부등식의 우변은 무한대가 된다. 따라서 
f
p , 
g
q 이 (0,∞) 사이의 값을 갖는다고 생각할 수 있다.
만약 p = ∞ , q = 1이면, 거의 모든 점에서 |fg| ≤ 
f
가 성립한다. 르베그 적분의 단조성에 의해 횔더 부등식을 증명할 수 있다. 마찬가지로, p = 1 and q = ∞ 일 때도 이 방법으로 증명할 수 있다. 따라서 p, q ∈ (1,∞)라고 가정할 수 있다.
아래의 영 부등식을 사용한다. 이 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 모든 음이 아닌 수 a, b에 대하여 ap = bq일 때이다.

이를 적용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
를 대입하면

주어진 양변을 적분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. 이때 
f
p 와 
g
q는 상수 취급을 받는다.

이때, 가정에서 p ,q∈ (1,∞) 이라 가정했으므로 , 
f
p and 
g
q 의 정의에 의해,
이므로,
그리고, 양변에 
f
p
g
q 을 곱하면 증명이 끝난다.
등호가 성립할 필요충분조건은 거의 모든 점에서 가 성립할 때이다.

**일반화된 횔더 부등식의 증명**
횔더 부등식과 수학적 귀납법을 사용하여 이를 증명할 수 있다. n = 1일 때 성립한다는 사실을 쉽게 알 수 있다. n − 1에서 성립한다고 가정하자. 이때, 일반성을 잃지 않게 p1 ≤ … ≤ pn라 가정할 수 있다.
1 : pn = ∞ 일 때,

가정과 |fn|의 본질적 상한을 사용하면,

을 얻을 수 있다.
2 : pn n이고,

이므로, 가정을 사용하면 원하는 부등식을 얻어낼 수 있다.

**역 횔더 부등식의 증명**
p와

가 횔더 켤레라 하자. 횔더 부등식을 적용하면,

양변을 p제곱하여, 
fg
1에 대해 식을 쓰면 역 횔더 부등식을 얻을 수 있다.
g가 거의 모든 점에서 0이 아니므로, 거의 모든 점에서 |fg| = α|g|−q/p를 만족하는 상수 α ≥ 0가 존재할 때 등호가 성립하고 그 역도 성립한다.

**조건부 횔더 부등식의 증명**
확률변수를 다음과 같이 정의하자.

이때, 이들은 부분 시그마 대수에서 측정 가능하다. 이때

집합 {U = 0}에서, 거의 확실하게(Almost Surely) |X| = 0이다. 마찬가지로, 집합 {V = 0}에서 거의 확실하게 |Y| = 0이다. 따라서,

이고, 조건부 횔더 부등식은 이 집합에서 성립한다.

우변이 무한대라도 조건부 횔더 부등식은 성립한다. 양변을 우변의 값으로 나누면, 다음과 같이 된다.
 집합 에서 거의 확실하게 성립.
이제 임의의 집합

에서 적분을 한 후에도 부등식이 성립하는지를 확인하면 된다.
U, V, 1G가 부분 시그마 대수에서 측정 가능하므로, 조건부평균의 성질과 횔더 부등식을 이용하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.


**역사**
횔더 부등식은 L.J 로저스가 1888년에 처음 찾아내었고, 이와는 독립적으로 횔더가 1889년에 발견하였다.

**같이 보기**
 코시-슈바르츠 부등식- 민코프스키 부등식- 옌센 부등식- 영의 부등식

**참고 문헌**
 서적 인용|이름=G.H. |성=Hardy|저자링크=고드프리 해럴드 하디|공저자=J. E. Littlewood, G. & Pólya|제목=Inequalities|출판사= Cambridge Univ. Press  
isbn=0521358809- 쪽= 38–47- 쪽= 145–150

**외부 링크**
 title=Hölder inequality
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