連接環

連接環（れんせつかん、coherent ring、anneau cohérent）の概念はネーター環の概念よりも弱い。それにも関わらず連接環は注目すべき性質を有する。それは次のように要約できる。そのような環上の有限表示加群は加群の圏の充満部分アーベル圏をなす（一方ネーター環上これは有限型加群に対して同じことが正しい）。位相空間上の環の連接層の概念も定義される。

**連接環**

**定義**
  を環とし  を -加群とする。次が完全列になるような自由加群  と  が存在する
:
これは  の表示 (présentation) と呼ばれる。加群  は  が有限型であれば有限型 (type fini) であり、 と  が両方とも有限型であれば有限表示 (présentation finie) と呼ばれる。- -加群  は有限型でありかつ  のすべての有限型部分加群が有限表示であるときに連接 (cohérent) と呼ばれる。- 環  は有限型の  のすべての左イデアルが有限表示であるときに左連接 (cohérent à gauche) と呼ばれる。右連接環も同様に定義され、連接環 (anneau cohérent) は右連接である左連接環である。- 例えば可換ネーター環に係数を持つ無限個の不定元を持つ多項式環は連接であるが、ネーターではない。

**性質**
を環とする。-  を左 -加群とする。以下の条件は同値である：
#  は左連接である。
#  は有限型でありすべての整数  に対して左 -加群のすべての準同型  の核は有限型である。
#  は有限型でありすべての有限型左 -加群  に対してすべての準同型  に対して  は有限型である。- さらに、以下の条件は同値である：
#  は左連接である。
# 有限型左自由 -加群のすべての有限型部分加群は有限表示である。
# すべての有限表示左 -加群は連接である。
# すべての整数  に対して左 -加群のすべての準同型  の核は有限型である。- 左ネーター環は左連接である。

**連接シルヴェスター環**
  をanneau d'Oreとする。この環が右連接anneau de Sylvesterであるのは、 に元を持つすべての有限縦ベクトル（あるいは行列）の右零化域が自由であるとき、かつそのときに限る。- 例えば、右ベズー環は右連接シルヴェスター環である。- 可換シルヴェスター環  が連接であるのは  がGCD環であるとき、かつそのときに限る。-  を複素平面の単連結開集合とする。 内の有界解析関数のハーディ環  はベズー環でない連接シルヴェスター環である。

**グロタンディーク圏における一般化**

**グロタンディーク圏**
次のようなアーベル圏  をグロタンディーク圏 (catégorie de Grothendieck) と呼ぶ。任意の余積があり、生成元の族  を持ち、次の条件 AB5) を満たす：  が  の対象であり  が   の部分対象でありそして  が  の部分対象の増大フィルター族であれば、
:

**例**
 環  上の左加群の圏  は生成元として加群  を持つグロタンディーク圏である。-  を位相空間、 を  上の環の層、 を  上の左 -加群のfaisceau (de modules)の圏とする。この圏  はグロタンディーク圏である。 における生成元の族は faisceaux induits  からなる、ただし  は  の開集合全部の集合を表記する。

**連接対象**
-  をグロタンディーク圏とする。 の対象  は次のとき有限型 (type fini) と呼ばれる。 なる  の増大フィルターのすべての族  に対して、 となる添え字  が存在する。 の対象  は次のとき連接 (cohérent) と呼ばれる。有限型でありかつすべての射 、ただし  は有限型、に対して  は有限型である。-  を生成元として対象  を持つグロタンディーク圏とし
:
を  における短完全列とする。この列の 2 つの対象が連接であれば、3 つ目の対象も連接である。さらに、対象  が有限型であるのは、完全列
:  
ただし  は添え字の有限集合、が存在するとき、かつそのときに限り、 が連接であるのはそれが有限型でありすべての射 、ただし  は有限、に対して完全列
: 
ただし  は有限、が存在するとき、かつそのときに限る。
すべての連接対象からなる  の充満部分圏は、 と表記されるが、アーベルであり、入射  は完全である。

**例**
 圏  において有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接）加群全体である。- 圏  において、有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接）-加群全体である。

**環の連接層**
 環  の層は次のとき左連接 (cohérent) と呼ばれる。すべての開集合  と左 -加群のすべての準同型写像  に対して、この準同型の核は有限型である。- すると以下の結果が成り立つ：  を左連接環の層とする。左 -加群の層  が連接であるためには、次が必要かつ十分である。局所的に、それは左 -加群の準同型  の余核に同型である、すなわち、 のすべての空でない開集合  に対して完全列
: 
が存在する。

**脚注と参考文献**

**脚注**

**参考文献**
  pages=216-  pages=364- Ouvrage |langue=en|  prénom1 = Henri | nom1 = Bourlès| prénom2 =  Bogdan| nom2 = Marinescu| titre =Linear Time-Varying Systems: Algebraic-Analytic Approach|éditeur = Springer| année = 2011|  isbn=978-3-64219726-0|pages=638|url=https://books.google.fr/books?id=Lr6Owr6TiSgC-  pages=595- année=1983- url=http://www.math.rutgers.edu/~sontag/FTP_DIR/wdicks.pdf- url=http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.tmj/1178244839- url=http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.tmj/1178244774- url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/PMIHES/PMIHES_1960__4_/PMIHES_1960__4__5_0/PMIHES_1960__4__5_0.pdf- url=https://books.google.fr/books?id=c3fWk8LoSvgC- url=http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183530938- année=2003- url=http://rd.springer.com/chapter/10.1007/BFb0080772- url=http://www.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf