CR多様体

数学において、CR多様体（CRたようたい、CR manifold）とは，微分可能多様体で，複素数空間の中の実超曲面の幾何構造をモデル化したものである．
CR は，コーシー・リーマン，あるいは，複素 (Complex)・実 (Real) の省略形である．

**導入**
CR多様体のモデルは複素数空間  内の領域の滑らかな境界である.
領域  の滑らかな境界 について, 次で定義されるcomplexified(complexified)された接束  の部分ベクトル束  を考えよう:
ここで,  は  の正則接束を表すとする. このとき,  は次を満たす: - ,  - .
ただし,  は  の複素共役とする.

**定義**
CR多様体とは，微分可能多様体  とその上のcomplexified(complexified)された接束  の部分ベクトル束  で次の条件を満たすものの組  のことである: -   (  は可積分(integrable)である ), - .
ここで,  は  の複素共役とする. このとき，ベクトル束  を多様体  上のCR構造という．
の階数  をCR次元,   をCR余次元という．
CR余次元が1のとき,  は超曲面型(hypersurface type)であるという.

**例**

**擬凸性**

**レヴィ形式**
を超曲面型のCR多様体とする．レヴィ形式  は，直線束

に値を持つ  上で定義されたvector valued form(vector valued form)で，

により与えられる． は，可積分条件により， と  が   の切断へどのように拡張するかには依存せず， 上の半双線型形式を定義する．この形式  は，同じ形で束  上のエルミート形式へ拡張できる．この拡張された形式も，レヴィ形式と呼ばれることもある。
代わりに，レヴィ形式は双対性の言葉で特徴付けることもできる．V を消滅させる複素余接束の部分直線束を考えると，

となる．各々の切断 α∈Γ(H0 M ) に対し，

とする．形式 hα は α を伴う複素数値エルミート形式である．
多様体が超曲面型でない場合も，レヴィ形式の一般化が存在する．ただし，この場合，値は直線束でなく，ベクトル束となる．よって，レヴィ形式ではなく，構造のレヴィ形式の集まりという。
超曲面型の抽象的CR多様体について，レヴィ形式はその上に擬エルミート計量を与える．この計量は，正則接ベクトル上で定義されているだけでなく，退化している．

**強擬凸, 擬凸, レヴィ平坦**
が超曲面型の CR 多様体で単一の函数  で定義されているとする．このとき， のレヴィ形式(Eugenio Elia Levi(Eugenio Elia Levi)の名に因む)とは、エルミート 2-形式

のことを指す．レヴィ形式は  上の計量を定める． は， が正定値であるとき，強擬凸(strictly pseudoconvex)と呼ばれ， が半正定値のときは擬凸(pseudoconvex)と呼ばれる．CR多様体の理論の解析的な存在性と一意性の結果の多くは，レヴィ形式の強擬凸性によるものである．
この命名は擬凸領域の研究から来ている:  が  内の(強)擬凸領域の境界であることと，CR多様体として(強)擬凸であることは同値である．

**その他の話題**

**接コーシー・リーマン作用素と接コーシー・リーマン複体**
まず，接コーシー・リーマン作用素  を定義しよう．複素多様体の境界として実現されるCR多様体について，この作用素は  の境界制限とみなすことができる．また，一般のCR多様体について(複素多様体の境界として実現されない場合も含めて)，定義することができる．これは Webster 接続を用いて記述される．作用素  は複体をなす，すなわち， が成立する．この複体のことを接コーシー・リーマン複体，あるいは，コーン・ロッシ複体という．この複体とそのコホモロジー群についての基本的な文献として，Joseph. J. Kohn と Hugo Rossi によるものが挙げられる.

**CR関数**
作用素  により消える関数をCR関数といい，正則関数のアナロジーになっている．また，CR関数の実部をCR多重調和関数という．

**コーンラプラシアン**
接コーシー・リーマン複体に付随して，CR幾何学と多変数複素解析学において基本的な対象となるコーンラプラシアン  が次で定義される:
ここで， は  の についての形式的共役を表すとする(体積形式は，CR構造に付随する接触形式から誘導されるものとする)．作用素  は，非負自己共役である．コンパクトな強擬凸CR多様体について，作用素  は正の離散固有値をもつ．その核空間は，CR関数から構成されるため，無限次元である．もし，作用素  の正の固有値全体が正定数により下から抑えられていた場合，閉値域をもつ．

**具体例**
具体例として，ハイゼンベルク群(Heisenberg group)の作用素  を考察してみよう．通常のハイゼンベルク群  について，その上の左不変な正則ベクトル場
を考える．ここで， とする．このとき，関数  について，
が成立する．ここで， は  の複素共役を表すとする．関数については  は 0 であるから，ハイゼンベルク群における関数についてのコーンラプラシアンは次で与えられる:
さて，次の交換子の計算に注意する:
ただし， とする. 上の等式を用いれば，簡単な計算によって，コーンラプラシアンが次のように書き換えられることがわかる:
右辺の1番目の項は，実作用素である(実際に，コーンラプラシアンの実部となっている)．これをサブラプラシアンといい， で表すことが多い．部分積分から，非負であることがすぐにわかる．このとき， と表すこともできる．

**CR埋め込み問題**
CR幾何学の基本的な問題のひとつとして，与えられたCR多様体が，複素数空間の実部分多様体として実現できるかという問題(CR埋め込み問題)がある．
大域的なCR埋め込み問題について，実5次元以上のコンパクトな強擬凸CR多様体については，Louis Botet de Monvel により肯定的に解決された．
実3次元の場合は，反例が存在する: 3次元球面  の自然なCR構造を摂動したものは大域的に埋め込むことができない．この例は，Rossi の例と呼ばれる(実際には, Hans Grauert により構成された).
局所的なCR埋め込み問題について，実3次元の場合には， Louis Nirenberg による反例が存在する．実7次元以上の場合は，倉西正武(実9次元以上の場合)と赤堀隆夫(実7次元の場合)により肯定的に解決された．
実5次元の場合の局所的なCR埋め込み問題は，未解決である． 

**関連項目**
Eugenio Elia Levi(Eugenio Elia Levi)
*擬凸性

**脚注**

**参考文献**
. An important paper in the theory of functions of several complex variables. An English translation of the title reads as:-"studies on essential singular points of analytic functions of two or more complex variables".- year=1991- pages=315–339- doi=10.1007/BF02392146- jstor=1971032