複素線積分

複素解析における線積分（せんせきぶん、line integral）とは、複素平面内の道に沿った積分であり、特に道がジョルダン曲線の場合の線積分を周回積分（しゅうかいせきぶん、contour integral）ということがある。
線積分は複素解析の手法である留数計算と密接に関連している。
線積分のひとつの使い方として、実変数だけの方法を使うことでは容易には分からない、実数直線に沿った積分の計算がある。
線積分の方法は以下を含む。- 複素数値関数の複素平面内の曲線に沿った直接の積分、- コーシーの積分公式の応用、- 留数定理の応用。
これらの積分や和を求めるために、これらのうちのひとつ、あるいは、複数を組み合わせた、また、極限をとる様々な方法を使うことができる。

**複素平面内の曲線　**
複素解析において、積分路は複素平面内の曲線の一種である。路に沿う積分では、積分路がその上で積分が適切に定義できる曲線の正確な定義を与える。複素平面内の曲線は、実数直線の閉区間から複素平面への連続関数 math|z: a, b → C として定義される。
曲線のこの定義は、直感的な概念と一致するが、閉区間からの連続関数による径数付けを含む。このより正確な定義により、曲線が積分に有用なためにもたなければならない性質が何であるかを考えることができる。以下の小節では、積分できる曲線を、向きを与えることができる有限個の連続曲線から作ることのできるものだけに絞る。さらに、「断片」は互いに交わらない場合だけを考え、各断片は有限の（消えない）連続微分を持つと仮定する。これらの仮定は次のような曲線だけを考えることと対応する。例えばペンによって、切れ目なく一筆書きで、曲線の新しい断片を始める時だけ止まり、ずっとペンは持ち上げないように、たどることができる。

**向き付けられた滑らかな曲線**
積分路はしばしば向き付けられた滑らかな曲線のことばで定義される。これらは、滑らかな曲線の「断片」の正確な定義を与え、積分路は断片からなる。
滑らかな曲線とは、曲線 math|z: a, b → C であって、微分が消えず連続で、各点が一度だけ通過される（z が単射である）ものである、ただし終点が始点と一致する場合 1=(z(a) = z(b)) だけは例外である。終点が始点と一致するような場合には、曲線は閉曲線と呼ばれ、関数は他のいたるところ単射でなければならず、微分はその一致する点で連続でなければならない 。閉でない滑らかな曲線はしばしば滑らかな弧と呼ばれる。
曲線のparametrizationにより曲線上の点に自然な順序が入る：x it であり、積分は次のように計算される。


**積分定理の応用　**
路に沿う積分を計算するために積分定理を用いることもしばしばある。これは実数値関数が路に沿う積分の計算と一緒に同時に計算されることを意味する。
コーシーの積分公式や留数定理のような積分定理は以下の手法において一般的に用いられる：- ある特定の閉じた積分路が選ばれる：
 積分路は以下のように選ばれる。実数値積分を記述する複素平面の部分を通り、コーシーの積分公式や留数定理が使えるように被積分関数の特異点を囲む。- コーシー・グルサの定理の適用
 積分は各極のまわりの小さい円周に沿う積分のみに簡約される。- コーシーの積分公式あるいは留数定理の適用
 これらの積分公式を適用することで積分路全体の積分の値が得られる。- 実部と虚部に沿う積分路への積分路の分割
 積分路の全体は前に選んだように実数値積分を記述する複素平面の部分を通る積分路 R と複素平面をお横断する積分路 Iに分割できる。積分路全体上の積分はこれらの積分路それぞれの上の積分の和である。- 複素平面を横断する積分が和に影響しないことの証明
 I 上の積分が 0 であることを示すことができるか、あるいは、求める実数値積分が広義積分のときは I 上の積分が 0 に収束することを示せば、R 上の積分は積分路 R + I に沿う積分に収束する。- 結論
 上記の段階を示すことができれば、R 上の実数値積分を計算することができる。

**例　**
次の積分を考える：
 
この積分を計算するために、次の複素数値関数を見る：
 
この関数は i と −i に特異点を持つ。積分路として実数値積分を含む積分路を選ぶ。ここでは実数直線上に境界の直径（−a から a まで）を持つ半円が便利である。この積分路を C と呼ぶ。
2つのやり方がある。コーシーの積分公式を使う方法と留数の手法によるものである：

**コーシーの積分公式を使う　**
次に注意：
 
したがって
 
さらに次が成り立つ：
 
閉曲線の囲む領域内に二位の極 i があるため、コーシーの積分公式を用いて、
 
半円の弧を Arc と呼ぶことにすれば、Arc 上の積分が R → ∞ のとき 0 に収束することを示す必要がある。estimation lemma を用いて
 
ただし M は Arc 上の  の上界であり、L は Arc の長さである。今
 
である。したがって


**留数の方法を使う　**
の周りでの f (z) のローラン展開を考える（i は考える必要のある唯一の特異点である）。すると
 
となる（この級数の導出はpreserve=1の計算例を参照）。
留数が −i/4 であることは見た目から明らかである（これを確かめるには、上の等式に z − i を掛けたものを考え、コーシーの積分公式を用いて両辺を積分すると、第二項のみが 0 でない値となる）。よって留数定理より
 
したがって前と同じ結果が得られた。

**積分路についての注意　**
余談ではあるが、他の特異点 −i を囲む半円を取らなかったことについて疑問が生じ得る。正しい向きに動いて実軸に沿って積分するには、その積分路は時計回り、つまり負の方向にまわらなければならず、積分全体の符号が逆になる。
これは級数による留数の手法の使用に影響しない。

**例 II: コーシー分布　**
積分

積分路
（確率論においてコーシー分布の特性関数のスカラー倍として生じる）は初等解析学のテクニックでは困難である。それを次の積分路 C に沿った線積分の極限として表示することにより計算しよう：実数直線を −a から a まで沿って行き、0 を中心とする半円に沿って a から −a まで反時計回りに行く。a を 1 よりも大きく取って、虚数単位 i が曲線の内側に入るようにする。線積分は

である。eitz は整関数（複素平面のどこにも特異点を持たない）だから、この関数は分母 z2 + 1 が 0 になる点でのみ特異点を持つ。1=z2 + 1 = (z + i)(z − i) であるから、それは 1=z = i あるいは 1=z = −i でのみ起こる。これらの点のうち1つだけが積分路で囲まれる領域に含まれる。f(z) の 1=z = i における留数は

である。留数定理により、

となる。積分路 C は「まっすぐな (straight)」部分と曲がった弧 (arc) とに分けられるので

でありしたがって

となる。t > 0 のとき

であることを示すことができる。よって t > 0 のとき

である。math|t it と変数変換する。
 
および
 
であることを思い出すと、代入により積分は次のように書き直せる。C は単位円周。
 
考える必要がある特異点は 3−1/2i, −3−1/2i の2つである。
C1 を 3−1/2i を囲む小さな円周、C2 を −3−1/2i を囲む小さな円周として、以下のように計算できる。
 

**例 IIIa: 三角関数の積分、一般的な手続き　**
上記の方法は、次の形をした全ての積分に適用できる。

ここで P と Q は多項式である（つまり、三角関数の有理関数の積分を考えている）。積分範囲は先の例のように π から -π まででも良いし、また 2π だけ離れた任意の区間でも良い。
変数変換  を行うのが技巧である。このとき  だから、

この変換により閉区間 0, 2π は複素平面の単位円周に写される。さらに、

および

であるから、変換によって z の有理関数 f(z) が得られ、積分は

ゆえに

留数定理を使うか、もしくはコーシーの積分公式を使う（まず被積分関数を部分分数分解して、2個の単純な円の周りの積分に書き直してから和をとる）かして、
 
を得る。

**例 V: 対数関数の平方を利用した積分　**
right
この節では、

のようなタイプの積分を扱う。
この積分を計算するのに、関数

を用い、 に対応した対数関数の枝を考える。
f(z) の、右の図に示すような鍵穴積分路に沿った複素線積分を計算する。この積分は、冒頭に示した実積分の定数倍であることがわかり（後述）、積分値は留数定理により

と計算できる。
R と r をそれぞれ大円、小円の半径とし、上側の線分を M、下側の線分を N と書く。R → ∞ および r → 0 の極限はまだとっていない。2つの円周部分からの積分の寄与はいずれも極限をとると消える。例えば、ML補題により大円に沿った積分は次のように上から抑えられる：

M, N に沿った積分値を計算するため、M 上では 、N上では  (0 3/4 の分岐切断は (−∞, 0 であり、(3−z)1/4 の分岐切断は (−∞, 3 となる。これらの積、つまり f(z) の分岐切断は 0, 3 である。なぜなら、f(z) は実は (−∞, 0) をまたいで連続になるからである。このことは、z = −r 3/4 と (3−z)1/4 を定義している対数関数の偏角とともに示されている。
図中の緑色の積分路を使うことにする。このため線分のすぐ上側と、すぐ下側を通る経路上の積分を考える。これらの経路は極限では（つまり2個の緑色の円周が半径0となるとき）、z = r (0 ≤ r ≤ 3) となる。線分の上側では、f(z) の値は

と求まる。線分の下側では、

となる。これらより

の積分は、線分の上側を通るとき極限では −iI となり、下側を通るとき極限では I となることがわかる。
2個の緑色の円周上の積分が極限では消えることを示せれば、留数定理によって I の値も得られる。緑色の円周の半径を ρ とし、ρ L に適用すると、

が得られる。同様に、右側の円周 CR に適用すると、

が得られる。
ここで留数定理より（今考えている積分路は、内側には有限個の孤立特異点を囲めていない事に注意する）、

となる。ここで右辺の最初に負号がついているのは、特異点から見ると積分路は時計回りをしているからである。上で定めた対数関数の枝を使うと、明らかに

この極は図では青い点で示されている。値は単純化されて

となる。
無限遠点での留数を求めるのに、次の公式を使う。

z を 1/z に置き換えて、

および

を得る。ここで、2番目の対数関数の枝について −1 = eiπ であることを用いた。
更に二項展開から、

を得る。結論として、留数

が得られた。
以上より、最終的に I の値は

と求まる。

**積分表現**
関数の積分表現 (integral representation) とは路に沿う積分を含む関数の表示である。様々な積分表現が多くの特殊関数に対して知られている。積分表現は理論的な理由で重要となり得る。例えば解析接続や関数等式やときには数値評価を与える。
ハンケルの積分路
例えば、リーマンのゼータ関数 ζ(s) のディリクレ級数を用いたもともとの定義

は Re(s) > 1 に対してのみ有効である。しかし

（ただし積分はHankel contour H 上する）はすべての複素数 s に対して有効である。

**関連項目　**
 留数- コーシーの主値- ポアソン積分- Pochhammer contour

**出典　**

**注釈　**

**関連文献　**
 Jean Jacquelin, Marko Riedel,    Branche univalente, Les-Mathematiques.net, in French.- Marko Riedel et al.,  Problème d'intégrale, Les-Mathematiques.net, in French.- Marko Riedel et al.,  Integral by residue, math.stackexchange.com.- Various authors,    sin límites ni cotas, es.ciencia.matematicas, in Spanish.- W W L Chen,  Introduction to Complex Analysis

**外部リンク**
urlname=Complex_integration,_method_of-  A collection of examples-  Residue Calculus Module by John H. Mathews