余因子行列

数学の線形代数学において、n次正方行列 A の余因子行列（よいんしぎょうれつ、adjugate matrix）あるいは古典随伴行列（こてんずいはんぎょうれつ、classical adjoint matrix）とは、(i, j)成分が (i, j)余因子である行列の転置行列のことであり、記号で , ,  などで表す。これはn次正方行列になる。
単に (i, j)成分が (i, j)余因子である行列（転置をしない）を「余因子行列」と呼ぶ場合もある。随伴行列や随伴作用素とは異なる。
余因子行列により、正則行列の逆行列を具体的に成分表示することができる。

**定義**
可換環 R 上の n次正方行列  の余因子行列とは、(i, j)成分が (j, i)余因子である n次正方行列のことであり、記号で ,  などで表す。
の (i,j)小行列式を  で表すことにする。これは、A の第i行、第j列を除いてできる (n − 1)次小正方行列の行列式である：

の (i,j)余因子を  で表すと、


を余因子展開は、A の余因子行列  により、次のように表せる：

ここで I は単位行列である。
が特に正則行列のとき、A の逆行列は余因子行列  で表せる：


**例**

**1次**
次正方行列  の余因子行列は、A が零行列でないときは、1次単位行列

である。 は慣習上 0 とする。

**2次**
次正方行列

の余因子行列は

なお、この 2次の場合は  が成り立つ。

**3次**
次正方行列

の余因子行列を考える。(i, j)成分に (i, j)余因子を並べたものは、

ここで

である。余因子行列はこれの転置行列であるから、


**数値計算**
例えば、実3次正方行列

の余因子行列は、

となる。実際、余因子行列の (2,3)成分は (3,2)余因子であり、それは (3,2)小行列式（第3行、第2列を除いた小行列の行列式）に符号を掛けたものに等しい：


**性質**
を n次正方行列とする。- （O は零正方行列）- （I は単位行列）- （c はスカラー）- （T は転置を表す）- A が正則なら、
*:これから次が導かれる：
** adj(A) は正則で、その逆行列は
** .- adj(A) の各成分は A の成分の多項式である。特に、実数体または複素数体上では、adj(A) の各成分は、A の成分の滑らかな関数である。 
複素数体上では、- （ は複素共役を表す）- （* は随伴行列を表す）
をもう1つの n次正方行列とする。
この証明には、2つの方法がある。1つは、コーシー・ビネの公式により直接計算する方法である。もう1つの方法は、正方行列 A, B に余因子展開の等式を利用する方法である：

両辺を多項式として　det AB で割ると  を得る。（証明終）
これより、行列の冪乗について次が成り立つ：
*（k は 0 以上の整数）
**A が正則なら、この等式は k が負の整数の場合についても成り立つ。
:等式
::
:から導かれる。- rk(A) ≤ n − 2 のとき、-  のとき、1=rk(adj(A)) = 1
:（A のある小行列式は 0 でない、故に adj(A) は 0 でなく、したがって、階数は 1 以上である。等式 1=adj(A) A = 0 は、adj(A) の核の次元は n − 1 以上であることを意味する。故に、adj(A) の階数は 1 以下である。）
:このとき、adj(A) は次のように表せる：
:（x, y は  かつ  を満たすベクトルである）

**列の置き換えとクラメルの公式**
の列ベクトル表示を

とし、b を n次列ベクトルとする。固定された 1 ≤ j ≤ n に対し、A の第 j列を b で置き換えた行列を次の記号で定義する：

この行列の行列式を第j列に関して余因子展開し、それらを集めてできる列ベクトルは、積 adj(A)b に等しくなる：

この等式は、具体的な結果を生む。線形方程式系

を考える。A を正則と仮定する。この方程式に左から adj(A) を掛け、det(A) (≠ 0) で割ると

ここでクラメルの公式を適用すると、

ここで  は x の第i成分である。

**固有多項式**
の固有多項式を

とすると、
の第一差商は、n − 1次対称式になる：

の余因子行列積は、ケイリー・ハミルトンの定理  より、

特に、A の レゾルベントは次の式で定義される：

さらに上記の等式より、これは次の式に等しい：


**ヤコビの公式**
行列式を微分すると、ヤコビの公式 (Jacobi's formula) により、余因子行列が現れる。A(t) は連続的微分可能なら、

これより、行列式の全微分は、余因子行列の転置になる：


**ケイリー・ハミルトンの定理**
を線形変換 A の固有多項式とする。ケイリー・ハミルトンの定理とは、t を A に置き換えて得られる正方行列が零行列になることをいう：

定数項を分離し両辺に adj(A) を掛けることで、余因子行列は A と  の係数だけで表される。完全指数関数的ベル多項式を使うと、これらの係数はA の冪の跡の項で具体的に表せ、次のようになる：

ここで n は A の次数、総和 ∑ の s, 数列  は次の 1次ディオファントス方程式を満たしながら取るものとする：

特に 2次の場合は、次のようになる：

次の場合は

次の場合は

上記の表示式は、A の固有多項式を効率良く求めることのできる、Faddeev–LeVerrier algorithmの最後の段階からも直接導出することができる。

**外積代数との関係**
余因子行列は、外積代数の抽象的な用語を使うことで表示することができる。V を n次元ベクトル空間とする。ベクトルの外積により双線形対が得られる：

ベクトルの外積は完全対である。それ故、それは同型写像を引き起こす：

明示すると、この対は、v ∈ V を  に写す：

を線形変換とする。T の(n − 1)次外冪による引き戻しは線形変換空間の射を作る。このとき T の余因子変換は次の合成で定義される：

に 基底  が与えられていて、T のこの基底に関する表現行列は A であるとき、T の余因子変換は A の余因子行列である。何故正しいのか考えてみるに、 の基底を取る：

の基底元  を固定する。 の  による像は、 の基底ベクトルの移る先を決定する：

この基底で、T の (n − 1)次外冪  は次のように表せる：

これらのそれぞれの項の  による像は、1=k = i の項を除いて 0 になる。それ故、 の引き戻しは次の線形写像になる：

これは次に等しくなる：

の逆写像を適用することより、T の余因子変換は次の式で与えられる線形変換であると分かる：

故に、その表現行列は A の余因子行列である。
に内積と体積形式が与えられていたら、この写像 φ はさらに分解される。この場合、φ はホッジ双対と双対化の合成ととらえることができる。特に、ω が体積形式のとき、それは内積とともに同型写像を引き起こす：

これは同型写像を引き起こす：

は次の線型汎函数に一致する：

ホッジ双対の定義により、この線型汎函数は *v と双対である。つまり、 は  と見なせる。

**高階余因子行列**
を n次正方行列とし、r ≥ 0 を固定する。A の r階余因子行列とは、次正方行列であり、 で表す。その成分は  の r 個元からなる部分集合 I, J から番号を取るものとする。 はそれぞれ I, J の補集合を表すものとする。 は、行番号、列番号がそれぞれ  から取られる、A の小行列を表すとする。 の (I, J) 成分は次の式で定義される：

ここで σ(I), σ(J) はそれぞれ I, J の元の総和を表すとする。
高階余因子行列の基本的な性質として以下がある：- （ は r次複合行列を表す）
高階余因子行列は通常の余因子行列と同様に、抽象代数学の言葉を用いても定義できる。,  をそれぞれ ,  に置き換えることでできる。

**余因子行列の反復合成**
正則行列 A について、余因子行列の反復合成を取ることにより、r次余因子行列を考えることができる：


例えば、



**関連項目**
 小行列式- 余因子展開- ケイリー・ハミルトンの定理- クラメルの公式- :en:Trace diagram- :en:Jacobi's formula- :en:Faddeev–LeVerrier algorithm

**参照**

**参考文献**
 Roger A. Horn and Charles R. Johnson (2013), Matrix Analysis, Second Edition. Cambridge University Press, 978-0-521-54823-6- Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, 978-0-521-46713-1

**外部リンク**
  Matrix Reference Manual- Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) - © Rene Vapenik 2008 Compute Adjugate matrix up to order 8-  adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } } - Wolfram|Alpha