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2022年世界水泳選手権

第19回世界水泳選手権大会（19th FINA World Championships）は2022年6月18日から7月3日までハンガリーの首都ブダペストで開催された世界水泳選手権。なおFINAは2022年ロシアのウクライナ侵攻を受けてロシア、ベラルーシ両国の選手、関係者の参加を認めないことに同意したため、両国の参加ができなくなった。

**開催の経緯**
2021年に開催される予定であった福岡大会は、新型コロナウイルス感染症の拡大の影響により、2020年に開催される予定であった東京オリンピックが2021年に延期されたことを受けて、国際水泳連盟（FINA）が日程の再調整を行って開催期日を2022年5月に設定した。しかし、日本国内での新型コロナウイルスの再拡大により、FINAは同大会を2023年7月に延期。これを受けてFINAは、実戦の機会を確保するために、世界水泳をブダペストで開催することが発表された。

**競技日程**
大会は全74種目で行われ、過密日程などの関係から大会前半にドナウ・アレーナで競泳競技とアーティスティックスイミング、後半に飛込とマラソンスイミングが中心となっている。

**競技結果**

**競泳競技**

**男子**

**女子**

**混合**

**飛込競技**

**アーティスティックスイミング競技**

**水球競技**

**オープンウォータースイミング競技**

**国別メダル受賞数**
開催国

**日本でのTV放送**
地上波ではテレビ朝日系列で競泳の決勝、CSではテレ朝チャンネル2でアーティスティックスイミングの決勝が放送される。また、ABEMAでは競泳の予選から決勝までの全レースが配信される。
*今大会では、前年に現役を引退した萩野公介が競泳キャスターと競泳の解説を担当する。
*テーマソングはB'zの「ultra soul」。また、世界水泳応援ソングとして、B'zの「You Are My Best」がテーマソングと並行して使用される。

**大会協賛社**

**FINA公式パートナー**
 ミルタプール- ニコン- 農夫山泉- オメガ- ヤクルト本社- サロンパス

**脚注**

**外部リンク ==
ザ・ラスト・ショット

『ザ・ラスト・ショット』は、2014年11月19日の22:00 - 22:59に、NHK秋田放送局の秋田発地域ドラマとして、NHK BSプレミアムにて放送された日本のテレビドラマである。主演は永井大が務めた。

**ストーリー**

**キャスト**
 村木 翔平
 演 - 永井大
 大手スポーツメーカー「ペガサス」のシューズ職人。
 北大路 巽
 演 - 松田悟志
 秋田のプロバスケチーム「ブレイブ・ラッキーズ」の花形選手。
 藤原 さくら
 演 - 臼田あさ美
 村木の元恋人。
 ジミー鳴瀬
 演 - 中村昌也
 北大路のチームメイト。
 山中 純
 演 - 有薗芳記
 村木の同僚。
 武藤 陽一
 演 - 品川徹
 能代実業、バスケ部の名誉監督。
 大神 和成
 演 - 柴俊夫
 村木の上司。

**スタッフ**
 演出 - 吉田浩樹（NHK秋田放送局）- 音楽 - 和田貴史- 脚本 - 三上幸四郎- 製作統括 -  宮﨑研介- 製作 - NHK秋田放送局

**外部リンク**
 date=20140728132002
単項イデアル環

数学において、単項右（左）イデアル環、主右（左）イデアル環 (principal right (left) ideal ring) は環 R であってすべての右（左）イデアルがある x ∈ R に対して xR (Rx) の形であるようなものである。（1つの元で生成されたこの形の右と左のイデアルは単項イデアルである。）これが左と右のイデアル両方に対して満たされるとき、例えば R が可換環のような場合、R を単項イデアル環、主イデアル環 (principal ideal ring) あるいはシンプルに 単項環、主環 (principal ring) と呼ぶことができる。
R の有限生成右イデアルだけが単項であるならば、R は右ベズー環 (right Bézout ring) と呼ばれる。左ベズー環は同様に定義される。これらの条件は整域 (domain) においてベズー整域として研究される。
整域でもあるような可換単項イデアル環は単項イデアル整域 (PID) と呼ばれる。この記事において焦点は整域とは限らない単項イデアル環のより一般的な概念に当てる。

**一般的な性質**
R が右単項イデアル環であれば、それは確かに右ネーター環である、なぜならばすべての右イデアルは有限生成だからだ。それは右ベズー環でもある、なぜならばすべての有限生成右イデアルは単項だからだ。それにまた、単項右イデアル環はちょうど右ベズーかつ右ネーターな環であることは明らかである。
単項右イデアル環は有限直積で閉じている。 であれば、R の各右イデアルは  の形である、ただし各  は Ri の右イデアルである。すべての Ri が単項右イデアル環であれば、Ai=xiRi であり、  であることがわかる。それほどさらに努力しなくても右ベズー環もまた有限個の直積で閉じていることが証明できる。
単項右イデアル環と右ベズー環はまた商についても閉じている、つまり、I が単項右イデアル環 R の真のイデアルであれば、商環 R/I もまた単項右イデアル環である。これは環の同型定理からただちに従う。
上記のすべての性質は左でも同様に成り立つ。

**可換の例**
1. n を法とした整数 .
2.  を環とし  とする。このとき R が主環であることと Ri がすべての i に対して主環であることは同値である。
3. 主環の任意の乗法的集合における局所化は再び主環である。同様に、主環の任意の商は再び主環である。
4. R をデデキント整域とし I を R の 0 でないイデアルとする。このとき商 R/I は主環である。実際、I を素イデアルの冪の積として分解できる： , そして、中国の剰余定理によって
, なので各
が主環であることを見れば十分である。しかし  は離散付値環
の商  に同型であり、主環の商であるので、主環である。
5. k を有限体とし , ,  とおく。このとき R は主環でない有限局所環である。
6. X を有限集合とする。このとき  は単位元をもつ可換主イデアル環をなす。ただし  は対称差を表し  は X の冪集合を表す。X が少なくとも 2 つの元をもてば、環はまた零因子をもつ。I がイデアルであれば、 である。X を無限集合とすれば、環は主環でない。例えば、X の有限部分集合で生成されるイデアルを考えよ。

**可換 PIR の構造理論**
上の例 4 で構成された主環はつねにアルティン環である。とくに、それらは主アルティン局所環の有限直積に同型である。
局所アルティン主環は special principal ring と呼ばれ、極めて単純なイデアル構造をもつ：有限個のイデアルしか存在せず、各々は極大イデアルの冪なのである。この理由のために、special principal rings は uniserial rings の例である。
次の結果は主環の完全な分類を special principal rings と主イデアル整域の言葉によって与える。
Zariski–Samuel の定理： R を主環とする。すると R は直積  として書ける、ただし各 Ri は主イデアル整域であるかまたは special principal ring である。
証明は中国剰余定理を零イデアルの極小準素分解に適用する。
Hungerford による以下の結果も存在する：
定理 (Hungerford)： R を主環とする。すると R は直積  として書ける、ただし各 Ri は主イデアル整域の商である。
Hungerford の定理の証明は完備局所環 (complete local ring) に対する Cohen structure theoremを用いる。
上記例 3 のように議論し Zariski-Samuel の定理を使うことで次のことを確認するのは易しい。Hungerford の定理は任意の special principal ring が離散付値環の商であるというステートメントと同値である。

**非可換の例**
ただの体の直積ではないすべての半単純環 R は非可換右かつ左主イデアル域である。すべての右と左イデアルは R の直和成分であるので e を R の冪等元として eR あるいは Re の形である。この例と並行して、フォン・ノイマン正則環は右かつ左ベズー環であることが確かめられる。
D が可除環で  が自己同型でない環自己準同型であれば、skew polynomial ring  は右ネーターでない主左イデアル域であることが知られており、したがって主右イデアル環ではありえない。このことは域に対してさえも主左と主右イデアル環は異なるということを示している 2001, p.21。

**参考文献**
 T. Hungerford, On the structure of principal ideal rings, Pacific J. Math. 25 1968 543—547.
*mr=1838439 - Pages 86 & 146-155 of edition=3- Citation | last1=Zariski | first1=O. | author1-link=Oscar Zariski | last2=Samuel | first2=P. | author2-link=Pierre Samuel | title=Commutative algebra | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | year=1975 | volume=28, 29
稠密部分加群

抽象代数学、とくに加群論において、加群の稠密部分加群（ちゅうみつぶぶんかぐん、dense submodule）は本質部分加群の概念の精密化である。N が M の稠密部分加群であれば、"N ⊆ M は有理拡大 (rational extension) である"ということもできる。稠密部分加群は非可換環論における商環と関係がある。ここで現れるたいていの結果は最初 1951, 1956 と 1958 において証明された。
この用語は位相空間論における稠密部分集合の概念とは異なることを注意すべきである。稠密部分加群を定義するのに位相は全く必要ないし、稠密部分加群は位相加群において位相的に稠密かもしれないしそうでないかもしれない。

**定義**
この記事は 1972 と p=272 に現れる exposition を修正する。R を環とし M を右 R 加群とし N をその部分加群とする。M の元 y of M に対し、

と定義する。表現 y−1 は形式的なものに過ぎないことに注意する。加群の元 y が可逆であると言うことは意味がないからだ。しかしこの表記は y⋅(y−1N) ⊆ N であることを示唆する助けになる。集合 y −1N はつねに R の右イデアルである。
M の部分加群 N が稠密部分加群 (dense submodule) であるとは、M のすべての元 x ≠ 0 と y に対して R のある元 r が存在して xr ≠ {0} かつ yr が N の元となることである。言い換えると、導入した表記を用いて、集合

ということである。このとき、関係は

と表記される。
別の同値な定義は本質的にホモロジカルである。N が M において稠密であることと

ただし E(M) は M の移入包絡、は同値である。

**性質**
 N が M の本質部分加群であることと M のすべての元 y ≠ 0 に対して集合 y⋅(y −1N) ≠ {0} であることが同値であることを示すことができる。すると明らかにすべての稠密部分加群は本質部部加群である。- M が非特異加群 (nonsingular module) であれば、N が M において稠密であることと本質であることは同値である。- 環が右非特異環 (right nonsingular ring) であることとその本質右イデアルがすべて稠密右イデアルであることは同値である。- N と N'  が M の稠密部分加群であれば、N ∩ N'  もそうである。- N が稠密で N ⊆ K ⊆ M であれば K もまた稠密である。- B が R の稠密右イデアルであれば、R の任意の y に対して y−1B もそうである。

**例**
 x が R の中心の非零因子であれば、xR は R の稠密右イデアルである。- I が R の両側イデアルであれば、I が右イデアルとして稠密であることと I の左零化イデアルが 0 であること、すなわち  は同値である。とくに、可換環において、稠密イデアルはちょうど忠実加群であるイデアルのことである。

**応用**

**加群の有理包**
すべての右 R 加群 M はその移入包絡 (injective hull) である極大本質拡大 E(M) をもつ。極大稠密拡大を用いた類似の構成の結果が、E(M) の部分加群である rational hull Ẽ(M) である。加群が真の有理拡大をもたず Ẽ(M) = M であるとき、加群を rationally complete という。R が右非特異であれば、もちろん Ẽ(M) = E(M) である。
rational hull は直ちに移入包絡の部分加群と同一視される。S = EndR(E(M)) を移入包絡の自己準同型環とする。すると移入包絡の元 x が rational hull に入ることと x が M 上 0 である S のすべての写像によって 0 に送られることが同値である。記号で書けば、

一般に、M 上 0 だが M の元でないある x で 0 でないような S の写像が存在するかもしれず、そのような x は rational hull には入らない。

**極大右商環**
極大右商環 (maximal right ring of quotients) は R の稠密右イデアルと関連して2つの方法で記述することができる。- 1つの方法は、Ẽ(R) はある自己準同型環と同型な加群であることが証明され、その環構造からこの同型によって Ẽ(R) に環構造、極大右商環の構造が入る p=366。
- 2つ目の方法は、極大右商環は R の稠密右イデアルから R の中への準同型の同値類の集合と同一視される。同値関係は、2つの関数が同値であることを R のある稠密右イデアルで一致することによって定める p=370。

**参考文献**
Citation | last1=Lam | first1=Tsit-Yuen | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics No. 189 | isbn=978-0-387-98428-5 | mr=1653294 | year=1999
捩れ部分群

アーベル群の理論において、アーベル群の捩れ部分群（ねじれぶぶんぐん、torsion subgroup）とは有限の位数をもつすべての元からなる部分群である。アーベル群が捩れ (torsion) 群あるいは周期 (periodic) 群であるとは、そのすべての元の位数が有限であることで、torsion-free であるとは、単位元を除くすべての元の位数が無限であることである。
実際に有限位数の元が加法で閉じていることの証明は加法の可換性によっている（例の節を見よ）。
アーベル群 A の捩れ部分群 T(A) は A の fully characteristic subgroup であり、剰余群 F(A) = A/T(A) は torsion-free である。これらの対応は関手的である：アーベル群をその捩れ部分群に送り準同型をその捩れ部分群への制限に送る、アーベル群の圏から捩れ群の圏への共変関手 T が存在する。アーベル群をその捩れ部分群による商に送り準同型を標準的な誘導写像（well-defined であることは容易に確かめられる）に送る、アーベル群の圏から torsion-free 群の圏への共変関手 F も存在する。
アーベル群 A が有限生成であれば、その捩れ部分群 T と torsion-free 部分群の直和として書くことができる（しかしこれはすべての非有限生成アーベル群に対して正しくない）。A の捩れ部分群 S と torsion-free 部分群の直和としての任意の分解において、S は T と等しくなければならない（しかし torsion-free 部分群は一意的には定まらない）。これは有限生成アーベル群の分類において重要なステップである。

**p-冪捩れ部分群**
任意のアーベル群  と任意の素数 p と任意の自然数 n に対してp^n の位数をもつ A の元全体の集合

（この記号はよく使われる）は部分群であり p-冪捩れ部分群 (p-power torsion subgroup) と呼ばれる。
の全てのnに渡って和を取ったもの

（この記号もよく使われる）も部分群を成し、Aのp-部分 (p-part) と呼ばれる。これはもちろんp-群である。
捩れ部分群 Ator はAのp-部分のすべての素数 p を渡る直和に同型である。

A が有限アーベル群のとき、 は唯一の A のシロー p-部分群と一致する。これはでコーシーの定理 (群論)を考えればすぐにわかる。
A の各 p-冪捩れ部分群は fully characteristic subgroup である。より強く、アーベル群の間の任意の準同型は各 p-冪捩れ部分群を対応する p-ベキ捩れ部分群の中に送る。
各素数 p に対して、これはすべての群をその p 冪捩れ部分群に送りすべての準同型をその p-捩れ部分群に制限するアーベル群の圏から p-冪捩れ群の圏への関手を提供する。これらの関手の捩れ群への制限のすべての素数の集合にわたる積は、捩れ群の圏から p-捩れ群の圏のすべての素数に渡る積への忠実関手である。ある意味、これは p-捩れ群を孤立して研究することで一般の捩れ群についてすべてわかるということを意味する。

**例とさらなる結果**
格子の加法の下での複素数の商群の 4-捩れ部分群。 - 非アーベル群の捩れ部分集合は一般には部分群ではない。例えば infinite dihedral group は 表示
  〈 x, y | x2 = y2 = 1 〉
をもち、元 xy は2つの捩れ元の積であるが、位数は無限である。- 冪零群の捩れ元は正規部分群をなす。- 明らかに、すべての有限アーベル群は捩れ群である。しかしすべての捩れ群が有限であるわけではない。巡回群 C2 の可算個のコピーの直和を考えよ。すべての元の位数は 2 なのでこれは捩れ群である。有限生成でなければ商群 Q/Z の例が示しているように捩れ群の元の位数に上界がある必要もない。- すべての自由アーベル群は torsion-free だが逆は正しくない。反例は有理数全体 Q （加法群）。- A が有限生成でないときでさえも捩れなし部分 (torsion-free part) のサイズは、アーベル群のランクの記事においてより詳しく説明されているように、一意的に定まる。- アーベル群 A が torsion-free であることと Z-加群として平坦であること、つまり C があるアーベル群 B の部分群であるときにはいつでもテンソル積 C ⊗ A から B ⊗ A への自然な写像が単射であることは同値である。- アーベル群 A を Q （あるいは任意の divisible group）でテンソルすると捩れが消える。つまり、T が捩れ群であれば T ⊗ Q = 0 である。捩れ部分群 T をもった一般のアーベル群 A に対しては A ⊗ Q ≅ A/T ⊗ Q である。

**関連項目**
 捩れ (代数)- Torsion-free abelian group

**脚注**

**参考文献**
 Epstein, D. B. A., Cannon, James W. (1992). Word processing in groups. A K Peters. ISBN 0-86720-244-0
原始元定理

体論において、原始元定理 (primitive element theorem) あるいは原始元に関するアルティンの定理 (Artin's theorem on primitive elements) は原始元 (primitive element) をもつ有限次体拡大すなわち単拡大を特徴づける結果である。定理は有限次拡大が単拡大であることと中間体が有限個しかないことが同値であるというものである。とくに、有限次分離拡大は単拡大である。

**用語**
を有限次体拡大とする。元  は

であるときに  の原始元 (primitive element) と呼ばれる。この状況で、拡大  を単（純）拡大という。このとき E のすべての元 x は

の形に書ける、ただしすべての i に対して  であり、 は固定されている。つまり、 が n 次分離拡大であれば、ある  が存在して、集合

は E の F 上ベクトル空間としての基底である。
例えば、拡大  と  はそれぞれ原始元  と x による単拡大である（ は  上不定元 x による有理関数体を表す）。

**存在の主張**
定理の解釈は 1930 年頃エミール・アルティンの理論の定式化で変わった。ガロワの時代から、原始元の役割は分解体をただ1つの元で生成されるものとして表現することだった。そのような元のこの（任意の）選択は Artin の扱いにおいて避けられる。同時に、そのような元の構成の考慮は退く：定理は存在定理 になる。
すると以下のアルティンの定理は古典的な原始元定理に取って代わる。
定理
を有限次体拡大とする。このときある元   に対して  であることと  なる中間体 K が有限個しか存在しないことは同値である。
すると定理の系はより古風な意味での原始元定理（分離性は通常暗黙に仮定された）である：
系
を有限次分離拡大とする。このときある  に対して  である。
系は代数体、すなわち有理数体 Q の有限拡大に応用する、なぜならば Q は標数 0 ゆえ任意の拡大が分離的だからである。

**反例**
分離的でない拡大に対しては、これは標数が素数 p である必要があるが、少なくとも次数 L : K が p であるときには、L / K は原始元をもつ、なぜならば中間体が存在しないからだ。L : K = p2 のとき、原始元はない（したがって無限に多くの中間体が存在する）かもしれない。これは例えば次のようなときに起こる。K が
Fp(T, U),
p 元をもった有限体上の二不定元 T と U による有理関数体であり、L が K に T と U の p 乗根を添加して得られる体のとき。実は次のことがわかる。L の任意の元 α に対して元 αp は K に入るが、原始元は K 上次数 p2 をもたなければならない。

**構成的結果**
一般に、有限分離拡大 L / K に対するすべての原始元からなる集合は L の真の K-部分空間すなわち中間体の有限の集まりの補集合である。このステートメントは有限体のケースについては何も言っていない。有限体に対しては体の乗法群（巡回群）の生成元、これは当然原始元である、を見つけるために捧げられた計算理論が存在する。K が無限のときは、鳩ノ巣原理により証明できる。2元で生成された線型部分空間を考えると、c を K の元とする線型結合

は有限個しかなく両方の元を含む部分体を生成できないことが証明される。これはアルティンの結果から古典的な結果がどのように導かれるかを示す方法としてほとんどすぐであり、中間体の個数の言葉での例外的な c の個数が有界であることが得られる（この数はガロワ理論によってアプリオリにそれ自身制限されるものである）。したがってこのケースにおいて trial-and-error は原始元を見つける実際的な手法となることができる。例を見よ。

**例**
例えば次のことはすぐに明らかではない。有理数体  に、２つの多項式

と

の根をそれぞれ  と  として添加し、 上4Degree of a field extensionの体 K =  を得るが、拡大は単純で原始元  K が存在して K =  となり、以下のように確認できる。

の冪  は  の整数係数の線型結合として書き下すことができる。これらを線型方程式系としてとると、あるいは分解することによって、 と  について  上解くことができ（実際  を得る）、これは  のこの選択が確かにこの例の原始元であることを意味している。与えられるすべての部分体の知識を仮定して、ガロワ理論による簡単な結論は  の有理数体上の独立性に注目することである。これは  によって生成される部分体は  あるいは  あるいは  によってすべての次数 2 の部分体を使い果たして生成される体ではありえないことを示している。したがってそれは体全体でなければならない。

**関連項目**
 原始元 (有限体)-  The primitive element theorem at mathreference.com-  The primitive element theorem at planetmath.org-  The primitive element theorem on Ken Brown's website (pdf file)

**参考文献**

**脚注 ==
準正則元

: この記事は現代代数学の分野である環論の文脈における準正則性の概念についてのものです。数学における準正則性の他の概念については、英語版の曖昧さ回避ページ quasiregular をご覧ください。
数学、特に環論において、準正則性 (quasiregularity) の概念は環のジャコブソン根基で研究するための計算的に便利な方法を提供してくれる。直感的には、準正則性は環の元が「悪い」、つまり、望ましくない性質をもっているとはどういうことかを捉える。「悪い元」は準正則である必要があるが、準正則元はかなりあいまいな意味で「悪い」必要はない。この記事においては、主として単位的環に対して準正則性の概念を考える。しかしながら、一節は非単位的環における準正則性の理論に割かれる。これは非可換環論の重要な側面を構成する。

**定義**
R を（単位元をもつ）環とし、 r を R の元とする。このとき r が準正則 (quasiregular) であるとは、1 − r が R の単元である、つまり、乗法について可逆であるということである。右または左準正則性 (right or left quasiregularity) の概念はそれぞれ 1 − r が右または左逆元をもつ状況に対応する。
単位的でない環の元 x が右準正則 (right quasiregular) であるとは、ある y が存在して  となるということである。左準正則 (left quasiregular) 元の概念も同様に定義される。元 y を x の右準逆元 (right quasi-inverse) と呼ぶことがある。環が単位的であれば、この準正則性の定義は上で与えられた定義と一致する。 と書けば、この二項演算 * は結合的である。それゆえ、元が左と右の準逆元を両方とももてば、それらは等しい。

**注意**
準正則性について、別の定義が存在する。すなわち、rng R において、二項演算  を  と定義すると、これにより上記の * と同様 R は 0 を単位元とするモノイドとなり、y ∈ R は、この演算に関して左逆元が存在するときに、左準正則というのである（右準正則も同様）。このとき、R が単位的環であれば、r ∈ R が左（resp. 右）準正則であることと 1 + r が環の乗法について左（resp. 右）逆元を持つことが同値である。
"* による定義"がジャコブソンによるオリジナルのものである。 であるから、符号を考慮すれば定義を行き来出来る。例えば、一方の定義で y が左準正則であることともう一方の定義で −y が左準正則であることは同値である。
本記事では、"* による定義"を採用するが、上記注意により"  による定義"でのステートメントに修正することは容易である。

**例**
 R が環であれば、R の加法単位元 0 はつねに準正則である。- x2 が右（resp. 左）準正則であれば、±x は右（resp. 左）準正則である。- R が環であれば、R のすべての冪零元は準正則である。- 行列はその加法逆元が固有値として −1 をもたなければ行列環において準正則である。より一般に、有界作用素はその加法逆元が −1 がそのスペクトルになければ準正則であるdate=2015年3月。- 単位的バナッハ代数において、 であれば、幾何級数  は収束する。したがって、すべてのそのような x は準正則である。- R が環で  が R 上 n 不定元形式的冪級数環であれば、S の元が準正則であることとその定数項が R の元として準正則であることは同値である。

**性質**
 （可換とは限らない）環のジャコブソン根基のすべての元は準正則である。実は、環のジャコブソン根基はすべての元が右準正則であるという性質に関して極大な、環の唯一の右イデアルとして特徴づけることができる。しかしながら、右準正則元がジャコブソン根基の元であるとは限らない。これは記事の初めのリマークを正当化する - 準正則元が「悪い」必要はないが、「悪い元」は準正則である。環のジャコブソン根基の元はしばしば「悪い」と思われる。- 環の元が冪零かつ中心的であれば、それは環のジャコブソン根基の元である。これはその元で生成される単項右イデアルが準正則（実は冪零）元のみからなるからだ。- 環の元 r ≠ 0 が冪等であれば、環のジャコブソン根基の元ではありえない。これは冪等元が準正則ではありえないからだ。この性質は、上記の性質と同様、記事のトップで与えられた、準正則性の概念はジャコブソン根基で研究するときに計算的に便利であるというリマークを正当化する。

**半環への一般化**
準正則元の概念は直ちに半環 (semiring) へと一般化される。a が半環 S の元であれば、S から自身へのアフィン写像は  である。S の元 a が右準正則 (right quasiregular) であるとは、 が一意とは限らない固定点をもつときにいう。各そのような固定点は a の左準逆元 (left quasi-inverse) と呼ばれる。b が a の左準逆元でさらに b = ab + 1 であれば、b は a の準逆元 (quasi-inverse) と呼ばれる。準逆元をもつ半環の任意の元を準正則 (quasiregular) と言う。半環のすべてではなく一部の元が準正則であるということはあり得る。例えば、通常の加法と乗法による非負の実数の半環において、 は固定点  をすべての a * = 1 + a(ba)*b のみを満たし the sum-star axiom, 1=(a + b)* = (a*b)*a* を満たさない半環が存在し、and vice-versa。半環が準正則であることを意味しているのは the product-star Conway axiom である。その上、commutative semiringが準正則であることと the product-star Conway axiom を満たすことは同値である。
準正則半環は最短経路問題の一般化である algebraic path problems において現れる。

**関連項目**
 逆元- ジャコブソン根基- 冪零根基- 可逆元- 冪零元- 環の中心- 冪等元

**脚注**

**参考文献 ==
有限生成アーベル群

有限生成アーベル群（ゆうげんせいせいアーベルぐん、英：Finitely_generated_abelian_group）とは、抽象代数学において、アーベル群 (G,+) が有限生成 (finitely generated) であるとは、G の有限個の元 x1,...,xs が存在して、G のすべての元 x が n1,...,ns を整数として
x = n1x1 + n2x2 + ... + nsxs
の形に書けるということである。
この場合、集合 {x1,...,xs} を G の生成系あるいは生成集合 (generating set) といい、 x1, ..., xs は G を 生成する (generate) という。
明らかに、すべての有限アーベル群は有限生成である。有限生成アーベル群は単純な構造をもっており、以下で説明するように完全に分類することができる。

**例**
 整数全体の成す加法群  は有限生成アーベル群である。- n を法とする整数の合同類の成す加法群  は有限生成アーベル群である。- 有限個の有限生成アーベル群の任意の群の直和は再び有限生成アーベル群である。- すべての格子 (群)は有限生成自由アーベル群をなす。
（同型を除いて）他の例は存在しない。とくに、有理数全体の群  は有限生成でない：  を有理数として、すべての分母と互いに素な自然数  をとると、 は  によって生成できない。0 でない有理数全体の群  もまた有限生成でない。

**有限生成アーベル群の基本定理**
単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理の特別な場合である有限生成アーベル群の基本定理 (fundamental theorem of finitely generated abelian groups) は（単項イデアル整域の場合と同様に）2通りに述べることができる。

**準素分解**
準素分解の定式化が述べているのは、すべての有限生成アーベル群 G はPrimary cyclic groupと無限巡回群の直和に同型である。準素巡回群は位数が素数のベキであるような群である。つまり、すべての有限生成アーベル群は次の形の群に同型である：

ただしランク n ≥ 0 で、数 q1, ..., qt は（異なる必要はない）素数のベキである。とくに、G が有限であることと n = 0 は同値である。n と q1, ..., qt の値は（添え字の付け替えを除いて）G によって一意的に決定される。

**不変因子分解**
任意の有限生成アーベル群 G を次の形の直和として書くこともできる：

ただし k1 は k2 を割り切り、k2 は k3 を割り切り、同様に ku まで続く。再び、ランク n と不変因子 k1,...,ku は G によって順序も込めて一意的に決まる。

**同値性**
これらのステートメントは中国剰余定理によって同値である。ここでそれが述べているのは、 であることと、j と k が互いに素で m = jk であることは同値である。

**コメント**
有限生成アーベル群は有限の階数として、上の n を持つ。一方でこの逆は正しくなく、有限の階数を持つが有限生成でないアーベル群はたくさんある。
この定理によって有限生成なアーベル群、特に位数が有限なアーベル群は完全に分類できる。そのため、これは群論において大変有用な定理である。これに対して、有限生成でないアーベル群に関しては、今でも研究が進められている。特に、階数が無限のアーベル群は非常に複雑になる。
もう少し一般化して、単項イデアル整域上の有限生成加群に対しても全く同様の定理が証明できる。

**系**
基本定理を別の言い方をすると、有限生成アーベル群はそれぞれが同型を除いて一意であるような有限ランクの自由アーベル群と有限アーベル群の直和である。有限アーベル群はちょうど G の捩れ部分群である。G のランクは G の torsion-free 部分のランクとして定義される。これはちょうど上の公式の数 n である。
基本定理の系は、すべてのtorsion-free abelian group有限生成アーベル群は自由アーベル群であるというものである。有限生成の条件はここで本質的である：  はねじれがないが自由アーベルでない。
有限生成アーベル群のすべての部分群と商群は再び有限生成アーベル群である。群準同型とともに有限生成アーベル群は、アーベル群の圏のセール部分圏であるアーベル圏をなす。

**有限生成でないアーベル群**
有限ランクのすべてのアーベル群が有限生成というわけではないことに注意せよ。ランク 1 の群  は1つの反例であり、 の可算無限個のコピーの直和によって与えられるランク 0 の群は別の例である。

**関連項目**
 ジョルダン-ヘルダーの定理 - 非アーベルへの一般化

**脚注**

**参考文献**
 Citation |last1=Silverman |first1=Joseph H. |authorlink1= |last2=Tate |first2=John Torrence |authorlink2=ジョン・テイト |title=Rational points on elliptic curves |url= |edition= |series=Undergraduate texts in mathematics |volume= |year=1992 |publisher=Springer |location= |isbn=978-0-387-97825-3 |id= 
** Citation |last1=La Harpe |first1=Pierre de |authorlink1= |last2= |first2= |authorlink2= |title=Topics in geometric group theory |url= |edition= |series=Chicago lectures in mathematics |volume= |year=2000 |publisher=University of Chicago Press |location= |isbn=978-0-226-31721-2 |id=
新郷

新郷（しんごう、しんきょう、にいざと）- 日本の地名
** 新郷村 (曖昧さ回避)
** 新郷 (所沢市) - 埼玉県所沢市の地名。
** 新郷 (東松山市) - 埼玉県東松山市の地名。
** 新郷町 - 愛知県瀬戸市の地名。
** 氷上町新郷 - 兵庫県丹波市の地名。
** 新郷 (北広島町) - 広島県山県郡北広島町の地名。
** 新郷 (佐賀市) - 佐賀県佐賀市の地名。- 中国の地名
** 新郷市 - 河南省の地級市。
** 新郷県 - 新郷市の県。
** 新郷鎮 - 重慶市万州区の鎮。
** 新郷郷 - 四川省涼山イ族自治州越西県の郷。- 駅名
** 新郷駅 (曖昧さ回避)
クシャおじさん

クシャおじさん（本名：成田 幸雄（なりた こうゆう）、1920年〈大正9年〉- 1993年〈平成5年〉）は、日本の男性タレント。顔が一瞬で短くなる一発芸で1970年代のテレビ界で活躍した。
小学校2年の時に川に飛びこんで頭を打ち、軍隊時代に落馬して顔をぶつけたことにより、顎はずしが可能となった。1993年に73歳で死去。
。

**出演**

**テレビ**

**バラエティ**
東芝ファミリーホール特ダネ登場!?（日本テレビ） - 浪曲師として水上温泉で舞台に立っていた成田を番組プロデューサが見出して出演させ、著名になるきっかけとなる。
*マチャアキのガンバレ9時まで
（日本テレビ） - ブリッジ役のレギュラー。

**ドラマ**
 必殺仕置人 第1話「いのちを売ってさらし首」（1973年、ABC / 松竹） - 孫八
** 当初は悪役での出演に難色を示したが、「念仏の鉄の技を印象付ける大切な役だから」と説得されて承諾した。- プレイガールQ 第12話「女の敵は女」（1974年）- クシャ小父さん(クレジットはクシャ小父さん、ドラマ内では白バイ警官役)

**映画**
「はだしのゲン涙の爆発 」

**注釈**

**出典 ==
岡松忠

岡松 忠（おかまつ ただし、1961年7月10日 - ）は、日本のオートレース選手。福岡県出身。17期、山陽オートレース場所属。

**選手データ**
 プロフィール
** 選手登録 1982年5月30日
** 身長　158.5cm
** 体重　58.2kg
** 血液型　B型
** 趣味　魚釣り- 戦歴 
** 通算優勝回数:49回 
** グレードレース(SG,GI,GII)優勝回数:9回
** 全国区レース優勝回数、SG優勝回数:なし 
** GI優勝回数:6回
** GII優勝回数:3回- 受賞歴
** オートレース表彰選手
*** 優秀選手賞:1回
*** 通算勝利記録選手賞（通算1着回数1,000回達成）

**略歴**
1989年
**GI・第24回スピード王決定戦（山陽オートレース場）優勝。
*1990年
**GII・秋のスピード王決定戦（飯塚オートレース場）優勝。
*1991年
**GI・春のスピード王決定戦（伊勢崎オートレース場）優勝。
*1994年
**GI・開場記念山陽グランプリ（山陽オートレース場）優勝。
**GI・第29回スピード王決定戦（山陽オートレース場）優勝。
*1995年
**9月27日、GI・全国地区対抗戦（浜松オートレース場）優勝。この年、優秀選手賞受賞。
*1996年
**GII・九スポ杯争奪山陽王座決定戦（山陽オートレース場）優勝。
*1998年
**3月12日、GI・開設記念グランプリレース（川口オートレース場）優勝。
*2000年
**GII・スポニチ杯争奪選抜地区対抗戦（山陽オートレース場）優勝。
*2022年
**2月10日、通算1000勝達成。

**無冠の帝王**
岡松はこれまで通算優勝回数49回のうち、GIを6回、GIIを3回と制覇しているが、最高ランクのSGは未だに制覇していない。そのため、オートレース界では無冠の帝王の代名詞として称されている。

**関連項目**
 オートレース選手一覧

**外部リンク**
   オートレースネットスタジアム　岡松忠プロフィール・戦歴
ブリュノ・レヴィ

ブリュノ・レヴィ（Bruno Levy）は、フランスの映画プロデューサー。

**作品**
 ゴーギャン タヒチ、楽園への旅 Gauguin - Voyage de Tahiti (2017)- 欲望に溺れて Plonger (2017) ※日本劇場未公開- おかえり、ブルゴーニュへ Ce qui nous lie (2017)- TOMORROW パーマネントライフを探して Demain (2015)- ニューヨークの巴里夫 Casse-tête chinois (2013)- フランス、幸せのメソッド Ma part du gâteau (2011) ※日本劇場未公開- PARIS Paris (2008)- ロシアン・ドールズ Les poupées russes (2005)- スパニッシュ・アパートメント L'auberge espagnole (2002)- ありふれた愛のおはなし Rien à faire (1999) ※キャスティング

**外部リンク**
 ブリュノ・レヴィ- ブリューノ・レヴィ- Bruno Levy
ティム・ピゴット＝スミス

ティム・ピゴット＝スミス（Tim Pigott-Smith、1946年5月13日 - 2017年4月7日）は、イギリスの俳優。

**出演作品**
 フランス、幸せのメソッド- 刑事フォイル- ダウントン・アビー- アリス・イン・ワンダーランド- ジョニー・イングリッシュ- ヴィクトリア女王 最期の秘密- Vフォー・ヴェンデッタ- 6日間- 007 慰めの報酬- REDリターンズ

**脚注**

**外部リンク**
name=Tim Pigott-Smith
有限アーベル群の構造定理

レオポルト・クロネッカー (1823–1891)
有限アーベル群の構造定理（ゆうげんアーベルぐんのこうぞうていり、structure theorem of finite abelian group）は、数学の特に群論における定理であり、有限アーベル群の基本定理（ゆうげんアーベルぐんのきほんていり）とも呼ばれる。
任意の有限アーベル群が巡回群の直積に同型であることを主張するもので、1870 によって示された。この定理はpreserve=1の特別の場合として、さらに単因子定理、すなわち主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理に一般化される。

**定理の主張**
この一意に定まる数列を G の不変系、その各項を G の単因子と呼ぶ。

**証明**
この定理の証明法はいくつも存在する。筋の良い証明の一つは群の表現論を用いるもので、ほかにも例えば有限群の指標を用いるものもある。
以下に示すものは完全に群論の枠組みに収まるもので、分解の存在性は補題 1 による（それには補題 2 を用いる）。

**応用**
 上記の分解において、G の冪数は  に等しく、また G の位数は積  に等しい。したがって、有限アーベル群の位数がその冪数以下となれば、それは巡回群である。特に、可換体の乗法群の任意の有限部分群は巡回群になる。- 二つの有限アーベル群が同型となるのは、各位数の元の数がそれら二つの群において一致するときである。実際、このデータから単因子が求められる。「アーベル」であるという条件を欠かすことはできない: 例えば、任意の奇素数 p に対し、位数  かつ冪数 p の群がふたつ存在する1965。それはアーベル群  と  上のハイゼンベルク群である。

**注**

**注釈**

**出典**

**関連項目**
 Pure subgroup- Théorème de Jordan-Hölder: 非可換群の場合の類似の定理

**参考文献**
  Jean-François Labarre, La théorie des groupes, PUF, 1978- jstor=3647777
或いはアナーキー

『或いはアナーキー』（あるいはあなーきー）は、日本のロックバンド、BUCK-TICKの19枚目のオリジナルアルバム。2014年6月4日にLingua Soundaから発売された。

**解説**
前作『夢見る宇宙』より約1年9ヶ月ぶりのオリジナルアルバムである。
当アルバムではシュルレアリスム、ダダイスム、ロシア・アヴァンギャルドといった前衛芸術をテーマとして取り入れており、曲中の歌詞やアートワークでもそれらと関連する単語やグラフィックが随所に使用されている。ツアーでも前衛芸術を模した映像効果が披露された。
今井寿によればアルバム名の『或いはアナーキー』とはサブタイトルであり、正式名称は『　　　　　　　　　　- 或いはアナーキー - 』。「見たり、聞いたり、読み、書くことができないモノ、発音も不可能、形而下ではないモノ、形而上」とのことである。

**収録曲**
全編曲：BUCK-TICK
#DADA DISCO -GJTHBKHTD- 4:36
#*作詞・作曲：今井寿
#: 櫻井と今井のツイン・ボーカルによる掛け合いが終始繰り広げられる。
#: 歌詞に「アナーキー」、「ジョニー」、「未来派」、「ブルトン」、「タンギー」、「キャバレー・ヴォルテール」など前衛芸術に関連する言葉が使用されている。なおキャバレー・ヴォルテールとはフランスの哲学者ヴォルテールから取られている。
#: サビの "Gadji beri bimba(英語版)" とは、ダダイスムの主導者であるフーゴ・バルが1916年5月末にキャバレー・ヴォルテールでの集会で披露した音響詩。
#: サブタイトルの "-GJTHBKHTD-" は、岡本太郎の格言「芸術は爆発だ」の子音部分を取ったもの。
#: POLYSICSのハヤシヒロユキがプログラミングで参加。
#宇宙サーカス 3:38
#*作詞：櫻井敦司、作曲：星野英彦
#masQue 4:09
#*作詞：櫻井敦司、作曲：今井寿
#Devil'N Angel 3:49
#*作詞・作曲：今井寿
#: EBMの要素を取り入れた楽曲。
#ボードレールで眠れない 4:43
#*作詞・作曲：今井寿
#: タイトルはフランスの詩人シャルル・ボードレールから取られている。
#メランコリア 4:56
#*作詞：櫻井敦司、作曲：今井寿
#:先行シングル「形而上 流星」のカップリング曲。シングルとはアレンジが異なる。
#PHANTOM VOLTAIRE 4:19
#*作詞：櫻井敦司、作曲：今井寿
#: トラック1の「DADA DISCO -GJTHBKHTD-」の歌詞にもあった「キャバレー・ヴォルテール」というフレーズがこの楽曲にも登場する。
#: 歌詞に「四半世紀」というフレーズが登場するが、当アルバム発売日である2014年6月4日のちょうど四半世紀前に当たる1989年6月4日は、中国にて天安門事件が勃発している。
#SURVIVAL DANCE 3:33
#*作詞：櫻井敦司、作曲：星野英彦
#: サンバの要素を取り入れた楽曲であり、間奏ではサンバホイッスルが使用されている。
#: 歌詞にある「地獄の季節」とは、フランスの詩人アルチュール・ランボーの詩集の名前である。
#サタン 4:25
#*作詞：櫻井敦司、作曲：星野英彦
#NOT FOUND 4:33
#*作詞・作曲：今井寿
#: 歌詞にある「シュレーディンガーの猫」とは量子力学の問題点を突く思考実験のことである。
#世界は闇で満ちている 5:11
#*作詞・作曲：今井寿
#: 今井によれば、「『闇』の暗く不安ないわゆる『悪いモノ』をイメージするか、その『悪いモノ』も含め、闇＝未知・・『可能性』と捉えるか、自分がどう感じ取るのかによってだいぶ変わってくる」という意味合いが込められている。
#: 森岡賢がピアノで参加している。2016年6月に森岡が他界した際には、今井がブログ上にて森岡の名前は記載していないが、本曲のレコーディングで使用したピアノの画像と共に追悼のコメントを綴っている。
#ONCE UPON A TIME 4:49
#*作詞・作曲：今井寿
#無題 5:35
#*作詞：櫻井敦司、作曲：今井寿
#形而上 流星 -metaform- 5:57
#*作詞：櫻井敦司、作曲：今井寿
#:先行シングル。シングルとはアレンジが異なる。

**参加ミュージシャン**
 櫻井敦司 - ボーカル- 今井寿 - ギター、エレクトロニクス、コーラス、ヴォックス- 星野英彦 - ギター、コーラス- 樋口豊 - ベース- ヤガミトール - ドラムス

**サポートミュージシャン**
 横山和俊 - マニピュレート、シンセサイザー (#1・3 - 5・7・10 - 13)- CUBE JUICE - シンセ・マニピュレート (#8・14)- YOW-ROW (GARI) - マニピュレート、シンセサイザー (#2・6)- 森岡賢 - ピアノ (#11)- ハヤシヒロユキ (POLYSICS) - プログラミング (#1)- 三代堅 - プログラミング (#9)

**脚注**

**外部リンク**
 BUCK-TICK2014
クリストフ・ボーカルヌ

クリストフ・ボーカルヌ（Christophe Beaucarne）は、ベルギーの撮影監督。

**作品**
 ロダン カミーユと永遠のアトリエ Rodin (2017)- バルバラ セーヌの黒いバラ Barbara (2017)- 永遠のジャンゴ Django (2017)- 愛を綴る女 Mal de pierres (2016)- ヒトラーへの285枚の葉書 Alone in Berlin (2016)- 神様メール Le tout nouveau testament (2015)- ロイヤル・ナイト 英国王女の秘密の外出 A Royal Night Out (2015)- ボヴァリー夫人とパン屋 Gemma Bovery (2014)- 青の寝室 La chambre bleue (2014)- 美女と野獣 La belle et la bête (2014)- ムード・インディゴ うたかたの日々 L'écume des jours (2013)- 美しい絵の崩壊 Adoration (2013)- SHIBARI 壊れた二人 Une histoire d'amour (2013)- マリリン&モナ 踊って、泣いて、輝いて Just Like a Woman (2012)- ある朝突然、スーパースター Superstar (2012)- チキンとプラム 〜あるバイオリン弾き、最後の夢〜 Poulet aux prunes (2011)- フランス、幸せのメソッド Ma part du gâteau (2011)- さすらいの女神（ディーバ）たち Tournée (2010)- ミスター・ノーバディ Mr. Nobody (2009)- ココ・アヴァン・シャネル Coco avant Chanel (2009)- PARIS (パリ) Paris (2008)- やわらかい手 Irina Palm (2007)- カウントダウン 9.11 Quelques jours en septembre (2006)- そして愛に至る Après la réconciliation (2000)- ビジター Les couloirs du temps: Les visiteurs II (1998)- 俺たちは天使だ Les anges gardiens (1995)

**外部リンク**
クリストフ・ボーカルヌ
*クリストフ・ボーカルヌ
*Christophe Beaucarne
ディルシャッド・ヴァザリア

ディルシャッド・ヴァザリア（Dilshad Vadsaria、1985年9月14日 - ）は、アメリカ合衆国の女優。パキスタン出身。

**出演作品**
 リベンジ シーズン2（パドマ・ラハリ）- メル＆ジョー 好きなのはあなたでしょ？ シーズン2- ピザボーイ　史上最凶のご注文- ＢＯＮＥＳ シーズン5- ＣＳＩ：マイアミ8- GREEK〜ときめき★キャンパスライフ シーズン2（レベッカ・ローガン）- ＮＣＩＳ　～ネイビー犯罪捜査班 シーズン6- GREEK〜ときめき★キャンパスライフ シーズン1（レベッカ・ローガン）

**外部リンク**
 2115111