P進L関数

数学では、p-進ゼータ函数 (p-adic zeta function)、あるいはより一般的に p-進 L-函数 (p-adic L-function) とは、リーマンゼータ函数やより一般的なディリクレの L-函数に類似した函数であるが、函数の定義域と値域が p-進的であるものを言う（ここに p は素数である）。p-進 L-函数の定義域は p-進整数環 Zp や、射有限 p-群、ガロア表現の p-進族であり、像はp-進数体 Qp もしくはその代数的閉包である。

**ディリクレ L-函数**
ディリクレ L-函数は、級数

の解析接続として与えられる。負の整数でのディリクレ L-函数の値は、

である。ここに、Bn,χ は一般化されたベルヌーイ数であり、導手 f を持つディリクレ指標 χ に対し、

で定義される。

**補完を使った定義**
久保田-レオポルドの p-進 L-函数 Lp(s, χ) は、p でのオイラー因子を取り除いたディリクレのL-函数を補完する。さらに詳しくは、Lp(s, χ) は p-進数 s の連続函数であり、p − 1 により割ることのできる正の整数 n に対し 

となる唯一のものである。この式の右辺はまさに通常のディリクレの L-函数から、p でのオイラー因子を取り除いたものである。また、 p でのオイラー因子を取り除かない
場合には、右辺は p-進的に連続とはならない。右辺の連続性は密接にKummer congruence(Kummer congruence)と関連している。
n が p − 1 により割れない場合は、一般的にこのことは成立しない。代わりに、正の整数 n に対し、

が成り立つ。ここに χ はTeichmüller character(Teichmüller character) ω のべきによりツイストされている。

**p-進測度と見なすと**
p-進L-函数はまた、p-射有限ガロア群上のp-adic measure(p-adic measures)（あるいは、p-adic distribution(p-adic distributions)）とも考えることができる。この観点と久保田・レオポルトの観点との間の変換は（Zp 上の Qp-値を持つ函数として）、Mazur–Mellin transform(Mazur–Mellin transform)（と類体論）を経由する。

**総実体**
では、前に行われている 1973 に立脚し、総実体の解析的 p-進L-函数を構成した。1978 と 1979は独立に同じ結果を導き出したが、このアプローチは、新谷卓郎の L-値の研究のアプローチに従っている。

**脚注**

**参考文献**
 chapter=Fonctions zeta p-adiques d'une classe de rayon des corps de nombres totalement réels
*Citation | last1=Cassou-Noguès | first1=Pierrette | title=Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques | doi=10.1007/BF01389911 | mr=524276 | year=1979 | journal=Inventiones Mathematicae | issn=0020-9910 | volume=51 | issue=1 | pages=29–59- pages=33–59- year=2004
*Citation | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=Pierre Deligne | last2=Ribet | first2=Kenneth A. | title=Values of abelian L-functions at negative integers over totally real fields | doi=10.1007/BF01453237 | mr=579702 | year=1980 | journal=Inventiones Mathematicae | issn=0020-9910 | volume=59 | issue=3 | pages=227–286
*Citation | last1=Iwasawa | first1=Kenkichi | title=On p-adic L-functions | jstor=1970817 | mr=0269627 | year=1969 | journal=Annals of Mathematics. Second Series | issn=0003-486X | volume=89 | pages=198–205 | doi=10.2307/1970817 | issue=1 | publisher=Annals of Mathematics
*Citation | last1=Iwasawa | first1=Kenkichi | title=Lectures on p-adic L-functions | publisher=Princeton University Press | isbn=978-0-691-08112-0 | mr=0360526 | year=1972
*Citation | last1=Katz | first1=Nicholas M. | title=Algebraic geometry |series=Proc. Sympos. Pure Math., |volume= 29 | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | mr=0432649 | year=1975 | chapter=p-adic L-functions via moduli of elliptic curves | pages=479–506
*Citation | last1=Koblitz | first1=Neal | author1-link=Neal Koblitz | title=p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics, vol. 58 | isbn=978-0-387-96017-3 | mr=754003 | year=1984
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