ポアンカレ写像

力学系理論におけるポアンカレ写像（ポアンカレしゃぞう、Poincaré map）とは、連続力学系を離散力学系に簡約化する方法の一つp=99。特に周期軌道やカオス的軌道のような、何度も回り続けるような流れを調べるに効果を発揮するpp=305–306。
アンリ・ポアンカレによって、天体力学の研究の中で導入された。ポアンカレ写像のアイデアは、1881年から1886年にかけて発表された論文「微分方程式によって定義される曲線について」の中に見られる。

**趣旨、および利点と限界**
連続力学系（流れ）の軌道は、相空間内の一つの曲線として表される。レスラー方程式における xyz 空間上の軌道の様子。
力学系とは、簡単に言うと、状態が時間とともに変化するシステムで、その変化の法則が決定論的な形で与えられているものであるp=1。力学系は、実数 R で表される連続的な時間で変化を記述するものがあり、連続力学系や流れと呼ばれるpp=2–5。通常、連続力学系は微分方程式ないしベクトル場で変化の法則が与えれるpp=2–5。連続力学系の例として、独立変数を t ∈ &reals; 、従属変数を (x1, x2, x3) ∈ R3 とする次のような常微分方程式を考えるp=108。

従属変数 (x1, x2, x3) を1つの列ベクトルと見なし、この式を次のようにも表すpp=66, 73。




上記の微分方程式に対し、従属変数 (x1, x2, x3) を座標軸とする3次元空間を考えることができ、相空間と呼ばれるp=108。微分方程式の一つの解は相空間内の一つの曲線として表され、この曲線は連続力学系の軌道と呼ばれるpp=9–10。
O が3次元相空間中の連続力学系の軌道、Σ が3次元相空間内に設定されたポアンカレ断面（2次元平面）、P が Σ 上の点 x0 を Σ 上の点 x1 へ写すポアンカレ写像
一方で、相空間が3次元あるいはそれ以上の次元になると、軌道の追跡やアトラクターの構造解明には困難が伴い、軌道を描くことも難しくなるp=213。アンリ・ポアンカレは、このような連続力学系の軌道を見るための単純化の手法を発見した。3次元相空間の中にとある2次元平面を設定し、その平面を軌道が通過する点（平面と軌道の交点）を記録する。これらの平面上の点には、元の連続力学系の軌道の多くの情報が含まれており、元の軌道全体を調べる代替となりうる。点 x0 で軌道が平面を通過した後に、点 x1 で同じ向きに平面を通過するとすれば、点 x0 を点 x1 へ写すの写像  が定義できる。このような写像 P をポアンカレ写像と呼ぶp=53。相空間内で指定された1つの平面の方は、ポアンカレ断面などと呼ばれるp=147。
連続力学系のほかに、力学系には整数 Z や自然数 N で表される離散的な時間で変化を記述するものもあり、離散力学系と呼ばれるpp=2–5。一般的に、離散力学系は差分方程式

ないし、相空間 M から M への写像

で変化の法則が与えられるpp=2–5。連続力学系の軌道が点の連続な変化であるのに対し、離散力学系の軌道は  や  という集合で与えられる飛び飛びの点となるp=26。ここで f n は f の n 回反復合成を表す。
微分方程式の軌道とポアンカレ断面の交点を時間の順序に並べて  と表すと、ポアンカレ写像 P によって

という離散力学系が定めることができるp=196。ポアンカレ断面上の交点  が、ポアンカレ写像によって定義される離散力学系の軌道となるp=196。
ポアンカレ写像によって、連続力学系の問題を、次元が1つ低い離散力学系の問題に置き換えることができるp=54。扱う問題の次元（変数）を1つ減らせるのはポアンカレ写像を考える第一の利点で、問題の研究を進めやすくするp=60。また、微分方程式を扱うよりも写像を扱う方が一般的には容易いのも、ポアンカレ写像の有利な点であるp=60。
また、ポアンカレ写像では、元の連続力学系の軌道に対し、ポアンカレ断面以外の点は無視するp=37。これにより、処理するデータ量を圧倒的に少なく抑えることができるp=60。このようにポアンカレ写像は元の軌道のごく一部のみを観察する手法であるが、それでもなおポアンカレ写像の振る舞いに元の軌道の特徴（周期性、安定性、カオス性など）を残すことができるpp=30, 37。後述のように、特に連続力学系の周期軌道では、その性質の多くをポアンカレ写像によって表現できるp=118。
しかし、任意の微分方程式に対してポアンカレ写像の構成できる一般的な方法は存在しないp=65。ほとんどの場合で、ポアンカレ写像の具体的な形を書き下すのは非常に難しく、普通は不可能といってもよいp=226。ポアンカレ写像の構成は、問題に応じて試行錯誤する必要があるp=65。実際にポアンカレ断面上の軌道を得るには、往々にして数値計算に頼らざるを得ないp=47。

**定式化**

**一般の場合**
独立変数を t ∈ R 、従属変数を x ∈ Rn とする自律系常微分方程式

の解 x(t) が、Rn 全体で一意に存在すると仮定するp=260。この解から流れ（力学系）が定まるp=260。ここで、流れ φ(t, x) は点 x が t 時間後に写る点を与える写像 φ : R × Rn → Rn を意味するp=40。
Σ の例、右が横断的ではない Σ の例
さらに、Rn 内でベクトル場 f に横断的な n − 1 次元超曲面 Σ を考える。ここで、Σ が f に横断的であるとは、Σ 上の任意の点 &xi; で、ベクトル f (&xi;) が

を充たすことをいうp=66。ただし、n(&xi;) は &xi; における Σ と直交するベクトルを、⋅ はベクトルの内積を表すp=66。
R3 上のポアンカレ写像 P(x) の説明図
そして、&xi; ∈ Σ から出発する軌道が、τ 時間後にまた Σ 上に戻って来ると仮定する。すなわち、 ある  があって、φ(τ, &xi;) ∈ Σ であるp=263。Σ 上に戻って来ることは複数ありうるので、それらのうちの最小時間を τ(&xi;) とする。このときの写像 Σ ∋ &xi; &mapsto; φ(τ(&xi;), &xi;) ∈ Σ がポアンカレ写像であるp=263。特に、&xi; を改めて x と表し、

によって定まる写像 P(x) をポアンカレ写像と呼ぶp=196p=275。
ポアンカレ写像 P は帰還写像（link=no、link=no）とも呼ばれるp=263p=88。横断的な曲面 Σ はポアンカレ断面（link=no）p=213や切断面（link=no）p=213、横断面（link=no）p=275と呼ばれる。流れによって Σ に戻って来る最小時間 τ は帰還時間と呼ばれるp=276。
微分方程式全般で考えると、ポアンカレ写像が存在しない（定義できない）ことも多いp=128。存在する場合も、ポアンカレ写像の定義域は Σ 全体ではなく、Σ の真部分集合 U &subne; Σ となるのが一般であるp=10。ポアンカレ写像を繰り返し施すと途中から像が定義域 U を出る可能性もあるp=24。

**周期軌道の場合**
γ 近傍のポアンカレ写像 P(x) の説明図
微分方程式全般ではポアンカレ写像がうまく定義できるかは非自明だがp=128、流れが周期軌道（閉曲線となる軌道）を持つときは、その周期軌道の近傍でポアンカレ写像の存在が次のように保証されるp=128。
自律系常微分方程式より定まる力学系に周期軌道が存在し、その周期軌道を γ とし、γ の周期を T とする。周期軌道上の点 x0 ∈ γ と交わるように n − 1 次元曲面 Σ を取る。Σ は x0 で γ と横断的に交わるように取れば、Σ はベクトル場  f に横断的なポアンカレ断面になるpp=213–214。
から出発する軌道は時間 T 経過後に x0 に戻って来るp=118。また、f (x) が C r 級（r ≥ 1）であれば、φ も C r 級であるp=66。よって、x0 に十分近い点 x ∈ Σ から出発する軌道は、x0 の近くに戻って来るp=118。そのため、Σ 上で x0 の近傍 U ⊂ Σ を適当に取れば、U 上の任意の点 x から出発する軌道が Σ と再び交わるようにできる。こうして構成できる U から Σ への写像 P がポアンカレ写像であるp=118。

**周期的な非自律系の場合（ストロボ写像）**
T の非自律系に対するポアンカレ写像（ストロボ写像）P(x) 
R2 かつ周期 T の非自律系を拡大相空間 R2 × T で考えたときのポアンカレ写像 P(x)
流れを定める常微分方程式が、次のように、時間 t を陽に含む非自律系でなおかつ t について時間 T の周期性を持つ場合があるp=126。


流れ φ を、点 x ∈ Rn における時刻 t0 ∈ R も明記して φ(t, t0, x) と書き表すとする。時間 T に周期的な非自律系の特性として、 が成り立つp=126。

という写像 &phiv; : R → R を定義すると、 であるので、x の t 時間後の位置は

と表すことができるp=126。ここで、k は kT ≤ t n × R は、Rn × T と同一視できるp=83。拡大相空間 Rn × T の中で軌道を考えると、&phiv; : Rn → Rn は  でポアンカレ断面を取って得られるポアンカレ写像 P : Rn → Rn に相当するp=127。
元の微分方程式に戻って言うと、このポアンカレ写像は、微分方程式の解 x(t) を T 時間ごとに観察することに相当するpp=91–92。このような非自律系のポアンカレ写像は、ストロボ写像p=25や時間 T 写像p=48とも呼ばれる。ストロボ写像という名は、周期的にストロボを当てるように軌道を見る方法であることに因むp=75。

**初等函数で表される例**
微分方程式が求積可能であれば、ポアンカレ写像を初等函数で厳密に書き下すことができるp=264。例えば、極座標 (r, θ) の2次元自律系


について考える。この解は、


と得ることができるp=263。ここで r0 および θ0 は初期値、a は定数であるp=263。ポアンカレ断面を  すなわち θ0 を通る r 軸に設定するp=263。Σ から出発した軌道が Σ に戻る帰還時間は 2π なので、この場合のポアンカレ写像は

であるpp=263–264。
周期的な非自律系の場合は、例えば、A および ω を定数とする次のような系を考える。

この解は、

と得ることができるpp=307–308。ここで x0 は初期値、c2 および c2 は A および ω によって決まる定数であるp=308。 という変数を導入すると、円筒 (x, θ) を系の拡大相空間と見なすことができるp=308。これに対してポアンカレ断面を  と取ると、Σ から出発した軌道が Σ に戻る帰還時間は  であるから、この場合のポアンカレ写像は

であるp=308。

**性質**

**基本的性質**
微分方程式の解の一意性より、それに対するポアンカレ写像も1対1対応が成立するp=73。微分方程式が定める流れ φ が C r 級であれば、定義よりポアンカレ写像 P(x)  も C r 級で、P(x)  の逆写像も C r 級でもあるp=276。よって、C r 級流れに対するポアンカレ写像は C r 級微分同相写像であるp=88。さらに、帰還時間 τ(x) も C r 級函数であるp=276。
ある周期軌道に対して異なるポアンカレ断面 Σ1 と Σ2 を取ったとする。Σ1 と Σ2  上に定義されるポアンカレ写像を P1 と P2 と表す。このとき、P1 と P2 は 位相共役|C r 共役の関係にある。すなわち

を満たす C r 級微分同相写像 h が存在するp=93。したがって、周期軌道の充分近い範囲で考える限りは、どこにポアンカレ断面を取ってもポアンカレ写像の性質は変わらないことがいえるp=94。
もしポアンカレ写像がその断面上でアトラクターを持つ場合、元の流れのアトラクターもそこを通過する。ポアンカレ断面上のアトラクターを A とし、それに対応する流れのアトラクターを B とし、x を通過する流れの軌道を O(x) と表すと、

である。A と B のハウスドルフ次元の関係には、 が成立する。この関係から、アトラクター全体ではなくポアンカレ断面を利用したアトラクターの次元の計算が可能になるp=123。

**流れの周期軌道の特徴付け**
流れによる周期軌道の安定性の問題は、ポアンカレ写像の不動点の安定性の問題に帰着でき、周期軌道の安定性は、ポアンカレ写像の固有値で特徴付けできるp=65。周期軌道に限定せず一般に点 p を通る流れ φ(t, p) ないし軌道 O(p) が安定（リアプノフ安定）であるとは、任意の ε > 0 に対してある δ > 0 が存在し、 ならば任意の t ≥ 0 で  となることをいうp=178p=73。ここで  はノルムを表す。流れ φ(t, p) が不安定であるとは、φ(t, p) が安定でないことをいうp=xvi。安定の条件を満たし、なおかつ、ある δ1 > 0 が存在して  ならば t → ∞ で  であるとき、p を通る流れ φ(t, p) ないし軌道 O(p) は漸近安定または吸引的であるというp=178。他方、写像の不動点の安定性も同様に定義できるp=127。
内における流れによる周期軌道を γ とし、その周期を T とする。周期軌道上の点 p ∈ γ に交わるようにポアンカレ断面を取ると、p はポアンカレ写像 P の不動点であるp=66。p から T 後の状態を与える流れ φ(T, p) の微分 Dφ(T, p) は、1 を必ず固有値として持つ。1 以外の固有値を λ1 … λn − 1 とすると、p ∈ γ におけるポアンカレ写像 P の微分 DP(p) は同じ λ1 … λn − 1 を持つp=197。そして、λ1 … λn − 1 の絶対値が全て 1 より小さければ、ポアンカレ写像 P における不動点 p は漸近安定（吸引的）で、さらに流れ φ による周期軌道 γ も漸近安定（吸引的）であるpp=196–197。λ1 … λn − 1 の絶対値が一つでも 1 より大きければ、不動点 p は不安定で、さらに周期軌道 γ も不安定であるpp=196–197。
周期軌道のサドルノード分岐の様子
流れの周期軌道の分岐の分類も、ポアンカレ写像の不動点の分岐に帰着して理解することができるp=24。流れが周期的な非自律系の場合でも、同様にストロボ写像に帰着させることができるpp=108–109。例えばサドルノード分岐とは、安定な不動点と不安定な不動点が衝突し、不動点が消滅するという現象が起きるだが、ポアンカレ写像の不動点がサドルノード分岐を起こすとき、対応する流れの周期軌道でも不安定な周期軌道と安定な周期軌道が衝突し、周期軌道が消滅する現象が起きるp=306。分岐の向きが逆の場合も同様に、ポアンカレ写像の分岐と流れの周期軌道の分岐が対応付くp=89。
ほかの離散力学系の分岐現象であるトランスクリティカル分岐、ピッチフォーク分岐、周期倍分岐、ネイマルク・サッカー分岐も、流れの周期軌道の分岐現象と対応付けできるpp=106–110。流れの周期軌道が周期倍分岐を起こすと、安定な周期軌道が不安定化し、その周囲に2巻きの安定周期軌道が発生するp=307。2巻きの安定周期軌道の周期は、元の1巻き安定周期軌道のおよそ2倍となるp=214。ポアンカレ写像では、安定な不動点が不安定化し、その周囲に安定な2周期点が発生する現象となるp=307。

**懸垂**
ある離散力学系が与えられたときに、それをポアンカレ写像として持つ1次元高い連続力学系を作ることもでき、このような手法は懸垂と呼ばれるp=214。ただし、作られる連続力学系の相空間は一般にユークリッド空間ではなく、一意でもないp=49。
離散力学系が多様体 M からそれ自身への微分同相写像 f : M → M で与えられるとする。M と単位区間  との積空間  に対して (x, 1) ∼ (f(x), 0) という同値関係を考えることで、商空間  を新しい相空間として導入する。 をガウス記号とすると、空間  上に

で定まる流れが、離散力学系 f の懸垂であるpp=10–11。

**ポアンカレ写像による観察例**
相空間が R3 のときは、連続力学系（流れ）による軌道の種類に応じ、それに対するポアンカレ写像の軌道はおおまかに以下のような様相となる。
*元の軌道が周期軌道であれば、それが通過するポアンカレ断面上の点列は有限個の点となるp=31。それらの点はポアンカレ写像にとっての不動点または周期点となるp=85。
*元の軌道が準周期軌道であれば、それが通過するポアンカレ断面上の点列は1つの閉曲線を稠密に埋めつくすp=73。
*元の軌道がストレンジアトラクター上の軌道であれば、それが通過するポアンカレ断面上の点列はランダムのように飛び飛びだが、なんらかの幾何的構造を持つp=78。
*元の軌道が保存系のカオスであれば、それが通過するポアンカレ断面上の点列はカオスの海と呼ばれる有限の領域を占める点群となるp=119。

**周期軌道およびリミットサイクルの例**
ファン・デル・ポル方程式の相図。ポアンカレ断面 v+ と、リミットサイクルに対応するその断面上の不動点 xf の様子。青色および橙色の曲線はリミットサイクルの外側および内側の初期値から出発する軌道で、どちらもリミットサイクルに近づく。
連続力学系の漸近安定な周期軌道はリミットサイクルとも呼ばれるp=196。安定なリミットサイクルの周りの軌道は、回転しながらリミットサイクルへ近づいていくp=214。次のファン・デル・ポル方程式は周期軌道ならびにリミットサイクルを持つ非線形微分方程式の基本的な系として知られるp=263。


上式の xy 相平面には唯一の周期軌道が存在し、なおかつ原点以外の全ての点から出発する軌道はこの周期軌道に吸引されるp=269。原点を端点とする半直線  をポアンカレ断面として設定してヌルクラインなどを交えて考察すると、ポアンカレ写像 P : v+ → v+ は全単射になっており、さらに P は v+ 上に唯一の不動点 xf を持ち、これがファン・デル・ポル方程式の周期軌道に対応していることが分かるpp=269–271。さらに、任意のポアンカレ断面上の点 x0 ∈ v+ は、n → ∞ で P(x0) → xf であることが証明できるp=271。ファン・デル・ポル方程式を含んだより広いクラスのリエナール方程式がリミットサイクルを持つこともまた、ポアンカレ写像を利用して証明できるpp=284–292。
ローレンツ方程式の2巻する周期軌道とポアンカレ写像
2巻きして軌道が閉じるような周期軌道に対してポアンカレ断面を取ると、同じ向きに横切るという制約のもとで周期軌道とポアンカレ断面は2点で交わるp=73。3次元の系であるローレンツ方程式



では、パラメータ（定数）が  のとき、xyz 相空間内に2巻きの周期軌道が存在するpp=31–32。このパラメータの周期軌道は漸近安定であるp=291。この周期軌道を横断するポアンカレ断面を取り、断面上の交点2つを x1 と x2 とすれば、ポアンカレ写像の軌道が  という2周期点から成る周期軌道であることが見て取れるp=32。

**ストレンジアトラクターの例**
ローレンツ方程式のストレンジアトラクターとポアンカレ写像。 を通る xy 平面をポアンカレ断面とし、断面を下から上へ抜けるときをプロットしている。
周辺の軌道を引き付ける相空間内の不変集合はアトラクターと呼ばれ、漸近安定な周期軌道もアトラクターの一種であるpp=212–213。アトラクター上で軌道がカオス的振る舞いを示すものはストレンジアトラクターと呼ばれ、上記のローレンツ方程式で発生するストレンジアトラクターはその典型例であるp=179。パラメータ  で現れるストレンジアトラクターは穴の開いた少し曲がった円板を2枚貼り合わせたような形をしており、ローレンツアトラクターという呼び名でも知られるpp=140–141。このパラメータでは2つの不安定平衡点が存在し、ローレンツアトラクター上の軌道はこれら平衡点の周りを不規則に行ったり来たりしながら周回するpp=114–116。
2つの不安定平衡点の z 座標はともに  なので、 を通る xy 平面をポアンカレ断面として取ったポアンカレ写像を考える。この断面を通過する点をプロットすると、2本の線分のような構造が現れるp=116。これは、3次元で見たローレンツアトラクターが2次元に近い（平面プラスα）構造であることに対応するp=116。実際にフラクタル次元を計算すると、元のローレンツアトラクターは D &ap; 2.06 と2次元に近く、ポアンカレ断面では D &ap; 1.06 と1次元に近いことが確かめられるp=116。
周期的な外力が働く減衰単振り子のポアンカレ写像（時間  刻みのストロボ写像）。 のとき。下図は、上図の四角形範囲の拡大で、ストレンジアトラクターのフラクタル構造が見える。
周期的な非自律系におけるストレンジアトラクターの一つの例は、減衰のある単振り子に周期的な駆動力が働く場合であるp=77。この系は、次のような運動方程式で表すことができるp=136。


変数 x と y は振り子の角度と角速度を意味するpp=135–136。第二式の B cos Ωt が周期駆動力で。パラメータ B と Ω は周期的駆動力の振幅と角速度を意味し、γ は減衰の強さを意味するpp=135–136。
例として  および  に固定し、B を増加させていくと、周期的およびカオス的な軌道が生まれるpp=55–56。しかし、これらの軌道を x, y, t を座標とする図でそのまま表示しても、複雑で、特徴が把握しづらいpp=55–56。 一方、前述のストロボ写像の考えを利用し、 t が  増すごとに xy 平面（＝ポアンカレ断面）上の点を取って観察するとアトラクターの構造が明瞭となるpp=33–34, 55–64。ポアンカレ断面上に表示されたストレンジアトラクターの一部を拡大すると、自己相似な入れ子構造すなわちフラクタル構造になっていることが観察できるpp=136–137。例えば  のとき、ポアンカレ断面上のストレンジアトラクターのフラクタル次元は D &ap; 1.4 であるpp=136–137。

**保存系のトーラスおよびカオスの例**
周期的な外力が働く単振り子のポアンカレ写像（時間  刻みのストロボ写像）。 の場合。それぞれの色のプロットが、別々の初期値から出発する1本の軌道に対応する。
保存系とは相空間の体積要素が時間発展でも一定に保たれる力学系のクラスで、ハミルトン系がその典型例であるp=123。簡単な保存系の例は減衰の無い単振り子に周期的な駆動力が働く系で、次のような運動方程式で表すことができるp=118。


この式では周期駆動力は sin としているp=77。
この系の軌道を x, y, t を座標とする3次元拡大相空間で考え、t 座標上で  ごとにポアンカレ断面を取り、拡大相空間上の軌道との交点を観察するpp=118–119。外力が小さいケースとして  についてポアンカレ写像で軌道を観察すると、3次元拡大相空間上でトーラスを成す準周期軌道の切り口として楕円状の点列、3次元拡大相空間上の非周期軌道の切り口として多数の点が帯状に集まった点列が観察されるp=119。前者は（トーラスの）島などと呼ばれ、後者は保存系のカオスが占める有限領域でカオスの海などと呼ばれるpp=119, 122。このようなトーラスの島とカオスの海からなる相空間構造は、特に可積分系に摂動を加えた近可積分ハミルトン系の典型的な様相である。

**数値計算**
解析的に解けないような常微分方程式が与えられた場合は、ルンゲ・クッタ法などの数値計算で1つの初期値に対する解の軌道を近似的に得ることができるpp=145–161。ポアンカレ写像も大抵の場合は数値計算によってのみ得られるp=47。
ポアンカレ写像を計算する場合、設定したポアンカレ断面を軌道がまたぐかどうかの判定を行うp=157。例えば xy 相平面の系でポアンカレ断面を  とすると、y の数値が負から正に変わり、なおかつそのときに  ならば Σ を上向きに通過するpp=54–55。このときの交点 x を記録することでポアンカレ写像が得られるpp=54–55。一般的なポアンカレ断面  であれば、C − xi の数値の符号に着目するp=129。
ルンゲ・クッタ法などの数値計算で得た解は、設定した時間刻み Δt ごとの離散的な数値として得られるpp=364–365。得られた離散的な解の数値を  とし、x(k) と x(k+1) のあいだでポアンカレ断面 Σ との交差が起きているとき、理想的にはちょうど Σ 上の x の数値を知りたいpp=47–48。このような改善として、ほぼ x(k+1) ∈ Σ となるように、内挿や数値積分などによって x(k) から x(k+1) を計算する時間刻み Δt を調整する手法が考えられているpp=47–48p=129。
周期的な非自律系でストロボ写像を得る場合も同様に、周期を 2π とすると、 から  までの数値計算によって時間 2π 写像が得られるp=61。総時間 2πN まで計算するとしたら、 から  までの計算が N 回繰り返されるようにして  までの解を得ることが有効である

**出典**

**参照文献**

**外部リンク**
 Poincaré return map - Encyclopedia of Mathematics- Poincaré Map - MathWorld
*id=01:1011973