エルミート多様体

数学における エルミート多様体（Hermitian manifold）とはリーマン多様体の複素微分幾何における類似である。より正確には、エルミート多様体とは、各点の正則接空間にエルミート内積を持ち、それらが滑らかに変化する複素多様体のことを指す。また、エルミート多様体を複素構造を保つリーマン計量を持つ実多様体として定義することもできる。
複素構造は、本質的には可積分条件をもつ概複素構造であり、この条件は多様体上にユニタリ構造（G-structure(U(n) structure))をもたらす。可積分条件を落とすと、概エルミート多様体を得る。
任意の概エルミート多様体上に、計量と概複素構造にのみ依存する基本2形式(fundamental 2-form)と呼ばれる微分形式を定めることができる。基本2形式は常に非退化である。これが閉形式である（すなわちシンプレクティック形式である）という追加の可積分条件を課すことにより、概ケーラー構造(almost Kähler structure)を得る。もし概複素構造と基本2形式の両方が可積分であれば、 ケーラー構造を持つ。

**形式的定義**
滑らかな多様体(smooth manifold)  上の複素ベクトル束  におけるエルミート計量(Hermitian metric)とは、各々のファイバー上で滑らかに変化する正定値エルミート形式である。そのような計量は滑らかな切断

であって、 の任意の元  に対し

であり、 の任意の 0 でない元  に対し

を満たすような切断として表すことができる。
エルミート多様体(Hermitian manifold)は、そのholomorphic tangent space(holomorphic tangent space)上にエルミート計量を持つ複素多様体である。同様に、概エルミート多様体(almost Hermitian manifold)は、その正則接空間上にエルミート計量を持つ概複素多様体である。
エルミート多様体上では、計量は正則局所座標  を用いて

と表わされる。ここに  は正定値エルミート行列の成分である。

**リーマン計量と随伴形式**
（概）複素多様体  上のエルミート計量  は、基礎多様体上にリーマン計量  を定義する。計量  は  の実部

で定義される。
形式  はcomplexified(complexified)接バンドル  上の対称双線型形式である。 は自身の共役と等しいので、 上の実形式の複素化となる。 上での  の対称性と正定値性は、対応する  の性質から従う。局所正則座標では、計量  は

と表わすことができる。
には次数 (1,1) の複素微分形式  を付随させることもできる。形式  は  の虚部のマイナス1倍

として定義される。再び、 はその共役と等しいので、これは  上の実形式の複素化である。形式  は、随伴 (1,1)-形式(associated (1,1) form)、基本形式(fundamental form)、あるいはエルミート形式(Hermitian form)と様々な呼ばれ方をする。局所正則座標では、 は

と表わされる。
座標表現から明らかなように、3つの形式 、、 のうち1つが与えられれば、他の2つも一意に定まる。リーマン計量  と付随する形式  とは概複素構造  により次のように関係している: すべての複素接ベクトル  と  に対し、

エルミート計量  は  と  から等式

によって復元できる。3つの形式 、、 は概複素構造  を保つ。すなわち、すべての複素接ベクトル  と  に対し、

である。
従って、（概）複素多様体  上のエルミート構造は、
# 上記のエルミート計量 
# 概複素構造  を保つリーマン計量 
#  を保つ非退化 2-形式  ですべての 0 でない実接ベクトル  に対し  の意味で正定値
のいずれかで特定することができる。
多くの著者が  自身をエルミート計量と呼んでいることに注意する。

**性質**
すべての（概）複素多様体にはエルミート計量が入る。このことはリーマン計量についての同様の命題から直ちに従う。概複素多様体  上の任意のリーマン計量  が与えられると、明らかに概複素構造  と整合するような新しい計量  を、次のように構成することができる:

概複素多様体  上のエルミート計量を選ぶことは、 上のG-structure(U(n)-structure)を選ぶことと同値である。つまり、 からユニタリ群  への  の枠束(frame bundle)の構造群の縮小(reduction of the structure group)である。概エルミート多様体上のユニタリ枠(unitary frame)は、エルミート計量に関して正規直交系をなす複素線型枠である。M のunitary frame bundle(unitary frame bundle)は、すべてのユニタリ枠の主 U(n)-バンドルである。
すべてのエルミート多様体  は、 により決定されるリーマン体積形式である標準体積形式を持つ。この形式は、随伴 (1,1)-形式  によって

として与えられる。ここに  は  と自身との  重のウェッジ積である。従って、体積形式は  上の実 -形式である。局所正則座標では、体積形式は

により与えられる。
エルミート計量は、正則ベクトルバンドル上でも考えることができる。

**ケーラー多様体**
エルミート多様体の最も重要なクラスは、ケーラー多様体である。ケーラー多様体は、エルミート形式  が閉形式

となるエルミート多様体である。この場合、形式  をケーラー形式と呼ぶ。ケーラー形式はシンプレクティック形式なので、ケーラー多様体は自然にシンプレクティック多様体となる。
随伴する (1,1)-形式が閉である概エルミート多様体は、自然に概ケーラー多様体と呼ぶ。任意のシンプレクティック多様体には、概ケーラー多様体をなすような整合的な概複素構造が入る。

**可積分性**
ケーラー多様体は可積分条件を満たす概エルミート多様体である。この条件はいくつかの同値な方法で述べることができる。
を実  次元の概エルミート多様体とし、 を  のレヴィ・チヴィタ接続とすると、以下は  がケーラーとなる同値な条件である。-  が閉で、 が可積分である-  のholonomy group(holonomy group)が  に関するユニタリ群  に含まれる
これらの条件の同値性は、ユニタリ群の「3 から 2(2 out of 3)」の性質に対応する。
特に、 がエルミート多様体であれば、条件  が一見、非常に強く見える条件  と同値である。ケーラー多様体の理論の豊かさは、これらの性質によるところもある。

**参考文献**
 isbn = 0-471-05059-8
*cite book | first = Shoshichi | last = Kobayashi |author2=Katsumi Nomizu | title = Foundations of Differential Geometry, Vol. 2 | series = Wiley Classics Library | publisher = Wiley Interscience | location = New York | year = 1996 | origyear = 1963 | isbn = 0-471-15732-5- isbn = 3-540-22614-1