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わいわい行進曲

『わいわい行進曲』（わいわいこうしんきょく）は、声優の小山茉美、堀江美都子のシングル。河岸亜砂作詞、菊池俊輔作曲。

**概要**
2曲は、フジテレビ系列で放送されたテレビアニメ『Dr.スランプ アラレちゃん』の第198話から第239話（1985年3月27日から1986年1月22日）までの主題歌、劇場版『Dr.スランプ アラレちゃん ほよよ!夢の都メカポリス』のオープニングテーマ。カップリング曲には、堀江美都子が歌う「あなたに真実一路」が収録されている。
「Dr.スランプアラレちゃん全曲集 Soundtrack」や「Dr.スランプアラレちゃん」めちゃんこベスト24」、「菊池俊輔 作曲50周年 CD-BOX」「Jアニメ TV主題歌大全集」にも収録されている。他に「わいわい行進曲」は「たのしい歌入り♪こどもマーチ＊ベスト」、「あなたに真実一路」は「堀江美都子TV主題歌大全集」にも収録されている。

**収録曲**
# わいわい行進曲 
#: 歌：則巻アラレ（小山茉美）、コロムビアゆりかご会
#: 台詞：則巻千兵衛（内海賢二）、則巻アラレ（小山茉美）
#: 作詞：河岸亜砂、作曲：菊池俊輔、編曲：たかしまあきひこ
# あなたに真実一路
#: 歌：オボッチャマン（堀江美都子）
#: 作詞：冬杜花代子、作曲：菊池俊輔、編曲：たかしまあきひこ

**関連項目**
 年代別アニメソング一覧 (オープニング曲)- 年代別アニメソング一覧 (エンディング曲)

**脚注・出典 ==
いちばん星み〜つけた

「いちばん星み〜つけた」（いちばんぼしみ〜つけた）は、水森亜土のシングル。河岸亜砂作詞、菊池俊輔作曲。

**概要**
フジテレビおよび系列各局で放送されたテレビアニメ『Dr.スランプ アラレちゃん』の第128話から第173話（1983年9月28日‐1984年9月12日）までのエンディング、劇場版『Dr.スランプ アラレちゃん ほよよ!ナナバ城の秘宝』のエンディング。カップリング曲には、「オボッチャマンでございます」が収録されている。「オボッチャマンでございます」は157話の挿入歌として使われた。「Dr.スランプアラレちゃん全曲集 Soundtrack」や「Dr.スランプアラレちゃん」めちゃんこベスト24」「菊池俊輔 作曲50周年 CD-BOX」にも同曲が収録されている。

**収録曲**
# いちばん星み〜つけた
#: 歌：水森亜土
#: 作詞：河岸亜砂、作曲：菊池俊輔、編曲：たかしまあきひこ
# オボッチャマンでございます
#: 歌：堀江美都子
#: 作詞：くのたかし、作曲：菊池俊輔、編曲：たかしまあきひこ

**関連項目**
 年代別アニメソング一覧 (エンディング曲)- Dr.スランプ アラレちゃん

**脚注・出典 ==
長野県北部地震

長野県北部地震（ながのけんほくぶじしん）は、長野県北部で発生する内陸型地震。長野県北部には信濃川断層帯、糸魚川静岡構造線断層帯などの活断層が存在しており、M 6クラスの被害地震が発生している。

**1943年**
1943年10月13日14時43分0.4秒、長野県北部のE（古間村、野尻湖付近）、深さ0 kmでM 5.9の地震が発生し、長野と上越で最大震度4を記録した。古間村で1名が死亡した他、古間村と柏原村で合わせて14人が負傷し、住家14棟が全壊、66棟が半壊した。10月中に有感余震が8回発生した。

**2011年**

**2014年**

**脚注 ==
淀町

淀町
特記以外の読みは「よどまち」。
 自治体- 淀町 - 京都府 久世郡 に所在。現・京都市（伏見区）。（よどちょう） → 淀
 町丁- 淀町 (鰺ヶ沢町) - 青森県 西津軽郡 鰺ヶ沢町 の地名。 - 淀町 (河南町) - 石川県 加賀市 河南町 の地名。- 淀町 - 名古屋城下町に存在した地名。明治時代初期に伏見町に吸収された。- 大石淀町 - 滋賀県 大津市 の地名。（おおいしよどちょう）
福岡市立百道小学校

福岡市立百道小学校（ふくおかしりつ ももちしょうがっこう）は、福岡県福岡市早良区百道三丁目にある公立小学校。

**概要**
西新小学校の児童数増加を受け、1954年 (昭和29年)4月1日に西新小学校百道分校として創設され、翌1955年(30年) 4月1日付けで福岡市立百道小学校として独立開校した。当時は児童数768名、学級数14、教師数22名の規模であった。以後、児童数が増加の一途をたどり、1959年 (昭和34年) には児童数1,228名、学級数25となる。同年、室見小学校が創設され、校区の一部を分離して、児童数905名、学級数20となった。
また、学習にかける時間を増加させるためとして、3学期制から2学期制とした。
File:福岡市立百道小学校２.JPG|校舎の南側（正面玄関側）
File:Fukuoka City Momochi Elementary School Gymnasium 1-1 Momochi-3-chōme Fukuoka City 20221001.jpg|体育館

**教育目標**
自ら学ぶ意欲と生きて働く学力や個性を高め、生涯を豊かにたくましく生きる子どもの育成を目指す。

**沿革**
 1954年 - 福岡市立西新小学校の分校として、現在の場所に創設- 1955年 - 福岡市の38番目の小学校として独立開校- 1958年 - 室見小学校の前身となる百道小学校、高取小学校の分校を庄字金丸に創設- 1959年 - 新たに創設された室見小学校に校区の一部を分割する- 2005年 - 百道浜小学校創設にともない校区の一部を分割する。

**通学区域**
 百道1丁目〜3丁目、室見1丁目

**進学先中学校**
 百道中学校

**交通アクセス**
 福岡市地下鉄空港線 藤崎駅より徒歩6分- 西鉄バス 百道バス停より徒歩2分- 西鉄バス 百道浜4丁目バス停より徒歩4分- 西鉄バス 百道中央公園西口バス停より徒歩5分- 西鉄バス 藤崎バス停より徒歩6分

**学校周辺**

**脚注**

**関連項目**
 福岡県小学校一覧

**外部リンク**
  福岡市立百道小学校
炎と嵐

「炎と嵐」（ほのおとあらし）は、長崎萠(現:平良千春)名義の1作目のシングル。1997年4月21日にソニーレコードから発売された。

**概要**
長崎萠としてのデビューシングル。これ以前では、彼女が声優として出演した「THE KING OF FIGHTERS '95」 及び「ガルフォース〜ザ・レヴォリューション」、それぞれに対して、キャラクターソングを歌っている。

**収録曲**
# 炎と嵐(3:52)
#*作詞：白峰美津子、作曲：都志見隆、編曲: 岩崎琢
# 三日月(ナイフ)(3:46)
#*作詞：大森祥子、作曲：都志見隆、編曲: 岩崎琢
# 炎と嵐 （オリジナル・カラオケ）(3:52)
# 三日月(ナイフ) （オリジナル・カラオケ）(3:46)

**脚注 ==
ローワン・ブランチャード

ローワン・ブランチャード（Rowan Blanchard、2001年10月14日 - ）は、アメリカ合衆国の女優。ディズニー・チャンネル放送コメディドラマ『ガール・ミーツ・ワールド』のライリー・マシューズ役で知られる。

**来歴**

**生い立ち**
アメリカ合衆国カリフォルニア州ロサンゼルス出身。ヨガのインストラクターをしている父マーク・ブランチャード、母エリザベス・ブランチャードの長女として生まれた。母方の祖父は（レバノン、モロッコ、アルメニア、シリア）の血を引く中東移民である。また、父方の祖母の先祖は（スウェーデン、デンマーク、イングランド）の血を引く北ヨーロッパ出身である。母方の曾祖父からはドイツの血を、母方の曾祖母からはポルトガルの血を引いている。妹のカルメン(Carmen)と弟のシェイン(Shane)がいる。

**キャリア**
5歳の時に演技を始めた。2010年、ジェニファー・ロペス主演のロマンティック・コメディ映画『カレには言えない私のケイカク』のミカエラ・ワトキンス演じるモナの娘役でデビューする。2011年、スパイアクション映画『スパイキッズ』シリーズの第4作である『スパイキッズ4D:ワールドタイム・ミッション』 に出演、スパイキッズのレベッカ・ウィルソン役を演じている。
アメリカABCで1993年から2000年まで放送された『ボーイ・ミーツ・ワールド』の派生ドラマである『ガール・ミーツ・ワールド』で主人公ライリー・マシューズ役に2013年1月にキャスティングされたことが発表される。オーディションは約12回に及んだという。米国で2014年6月27日放送開始され、日本では2015年1月からディズニー・チャンネルで放送。第3シーズンが放送中。。同番組の主題歌「Take On The World」は親友役のマヤ・ハートを演じるサブリナ・カーペンターとデュエットで歌っている。2015年秋、『いつだってベストフレンド』に同役で出演『ガール・ミーツ・ワールド』と同じライリー・マシューズ役。2013年公開のアニメーション映画『アナと雪の女王』からの曲名「雪だるまつくろう」(原題: 「Do You Want to Build a Snowman?」)をディズニー・チャンネルのドラマ出演者たちによるカバー曲として発表されている。
2015年1月、科学プロジェクトで姿が見えなくなる姉との騒動を描いたコメディで、ディズニー・チャンネル・オリジナル・ムービーの『インビジブル・シスター』に出演し、主演のクレオを演じることが発表された。撮影は同年春に行われ、アメリカでは2015年10月9日に放送され、日本では2016年1月30日にディズニー・チャンネルで放送された。

**人物**
Dignity Gala2013年10月18日
国連組織UNウィメンの会議に参加して性別の平等についてスピーチを行っている。ホワイト・フェミニズムについてエッセイで表明。その後、米誌『タイム』が発表した2015年の「最も影響力のあるティーン」に選ばれている。
2016年に入ってから「私はこれまでの人生で、男の子を好きになった経験しかないけれど」「自分のことをストレートであれ、ゲイであれ、そんなような言葉で定義したくない。（中略）ただ存在しているってだけよ」と表明している。そしてクィアと自認している。

**慈善活動**
2014年12月、カリフォルニア州オレンジ郡小児病院に入院している子供たちを訪問。
2015年4月、テネシー州アーランガーの小児病院を訪問、KIDZエキスポに参加した。

**私生活**
『ガール・ミーツ・ワールド』の共演者とプライベートでも親しく、親友を演じているサブリナ・カーペンターとはお互いに親友であるとコメントしている。

**主な出演作品**

**映画**

**テレビ番組**

**受賞歴**

**脚注**

**注釈**

**出典**

**外部リンク**
3688576
*888397
*rowblanchard
*rowanblanchard- ローワン・ブランチャード - YouTube
外崎大輔

外崎 大輔（とのさき だいすけ、11月6日 - ）は、日本の男性声優。青森県出身。スリートゥリー所属。VOICE Notice Hidden|冒頭部分に記載する代表作は、編集合戦誘発の原因となりますので、多数の出典で確認できるものに限ってください。プロジェクト:声優#冒頭部分にてガイドラインが制定されていますので、そちらも参照して下さい。

**出演**

**テレビアニメ**

**ゲーム**

**吹き替え**
 ブレンダン・フレイザーのエリートをぶっとばせ!（2014年、レアード 役）

**脚注**

**外部リンク**
  声優事務所のスリートゥリー 外崎 大輔- トノディアリー♪- tonosaki_d
ジェフ・スティンコ

ジェフ・スティンコ（Jeff Stinco、1975年8月22日 - ）はカナダのミュージシャン。シンプル・プランのメンバー。

**出典**

**外部リンク**
jeffstinco- Simple Plan Official Website- D'Addario.com/Jeffstinco
デヴィッド・デロシアーズ

デヴィッド・デロジェ（David Desrosiers、 deʁozje, 1980年8月29日 - ）はカナダのミュージシャン。シンプル・プランのメンバー。

**出典**

**外部リンク**
daviddesrosiers- Simple Plan official website
和歌山県の市町村歌一覧

和歌山県の市町村歌一覧（わかやまけんのしちょうそんかいちらん）は、日本の和歌山県に属する市町村で制定されている、もしくは過去に制定されていた市町村歌などの自治体歌やそれに準じた楽曲の一覧である。なお、一覧の順序は全国地方公共団体コード順による。

**概説**
県庁所在地の和歌山市では1922年（大正13年）に初代の市歌が制定されたが、その後も頻繁に代替わりを繰り返しており現在の市歌は4代目となる。その他の市では海南市が戦前から市歌を制定していたが、下津町との新設合併に伴い廃止されたため現在は合併後に選定されたイメージソングのみが存在している。橋本市や新宮市では、新設合併後も同名旧市の市歌が継承された。町村部では平成の大合併を経て新たに誕生した町の大半が町歌の制定に至っていない。地域傾向としては紀北で制定率が高く、紀中・紀南では低くなっている。
作詞は合併で廃止されたものを含めて新宮市出身の詩人・佐藤春夫と、日高郡美山村（現在の日高川町）出身で「和歌山県民歌」を始め多くの自治体歌を作詞した県文化功労賞受賞者・西川好次郎の手になるものが多い。

**市部**
 和歌山市- 和歌山市市歌 - 1955年（昭和30年）制定
 作詞：佐藤春夫 作曲：山田耕筰
 4代目の市歌である。
 海南市- 好きです海南 - 2010年（平成22年）発表
 作詞：石井昭吉 作曲：北村浩司 編曲：武浩
 海南市観光協会選定イメージソング。
 橋本市- 橋本市歌
 作詞：安西冬衛 作曲：野口源次郎
 高野口町との新設合併に際しては「新市において定める」との申し合わせが行われたが、高野口町が町歌を制定していなかったことから（旧）橋本市の市歌を継承することで合意し2006年（平成18年）10月1日付で改めて制定された。
 有田市- 有田市歌 - 1986年（昭和61年）4月1日制定
 作詞：藤岡久夫 作曲：廣田達男
 御坊市- 御坊市歌 - 1954年（昭和29年）制定
 作詞：西川好次郎 作曲：片山頴太郎
 田辺市- （未制定）
田辺広域合併協議会では、市歌の制定について特に取り決めが実施されなかった。
 新宮市- 新宮市歌 - 1951年（昭和26年）11月3日制定
 作詞：佐藤春夫 作曲：信時潔
 2代目の市歌である。熊野川町との新設合併に際しては「新市において定める」との申し合わせが行われたが、合併後に（旧）新宮市の市歌を継承することで合意し2006年（平成18年）4月1日付で改めて制定された。作詞・作曲者は「山口県民の歌」および2005年（平成17年）に廃止された旧「山口市の歌」と同じ組み合わせである。
 紀の川市- 紀の川市歌 - 2016年（平成28年）3月25日制定
 作詞：保岡直樹 作曲：青木進
 合併10周年記念。なお、2006年（平成18年）には市民音頭として『紀の川音頭』（作詞：寺杣茂雄 作曲：那賀ひろし）が発表されている。
 岩出市- 岩出市民歌
 作詞：亀田忠彦 作曲：北原雄一 編曲：木村吉宏
 町制施行時に「岩出町民歌」として制定され、市制施行後に改題・継承された。

**町村部**
 海草郡紀美野町- 紀美野町民歌 - 2007年（平成15年）10月制定
 作詞：今野昭子 作曲：亀岡利行 編曲：ウインズ
 伊都郡かつらぎ町- かつらぎ町民歌 - 1988年（昭和63年）3月制定
 作詞：芋瀬重治 補作：石本美由起 作曲：藤山一郎 編曲：横山菁児
 伊都郡九度山町- 九度山町民歌
 伊都郡高野町- 高野町の歌 - 1949年（昭和24年）制定
 作詞：佐藤春夫 作曲：信時潔
 有田郡湯浅町- （不明）
 有田郡広川町- （不明）
 有田郡有田川町- （未制定）
吉備町・金屋町・清水町合併協議会では、町歌の制定に関する取り決めは特に行われなかった。
 日高郡美浜町- （不明）
 日高郡日高町- 日高いのち唄 - 1992年（平成4年）10月2日制定
 作詞：秋田泰治 作曲：池田八声
 日高郡由良町- 由良町歌
 日高郡みなべ町- （未制定）
南部町・南部川村合併協議会において「合併までに調整し、新町において新たに定める」との申し合わせが行われたが、実現していない。
 日高郡印南町- （不明）
 日高郡日高川町- （未制定）
川辺町・中津村・美山村合併協議会では「新町において新たに定める」との申し合わせが行われたが、実現していない。
 西牟婁郡白浜町- 白浜町歌 - 1957年（昭和32年）4月15日制定
 作詞：岡本亮三
 新設合併前の（旧）白浜町の町歌である。白浜町・日置川町合併協議会では町歌の扱いについて特に取り決めが行われなかったため、現在の地位は不明確である。
 西牟婁郡上富田町- （不明）
 西牟婁郡すさみ町- （不明）
 東牟婁郡串本町- （不明）
串本町・古座町合併協議会では町歌の扱いについて特に取り決めが行われなかった。
 東牟婁郡那智勝浦町- 那智勝浦町町歌 - 1985年（昭和60年）4月1日制定
 作詞：若林芳樹 作曲：石桁真礼生
 町制60周年記念。
 東牟婁郡太地町- （不明）
 東牟婁郡古座川町- 古座川音頭 - 2011年（平成23年）発表
 作詞：山崎壽恵 作曲：長谷利子
 東牟婁郡北山村- （未制定）

**廃止された市町村歌**
 和歌山市- 和歌山市歌（初代） - 1922年（大正13年）制定
 作詞：岩橋喜宮一
 楽譜は現存していない。- 和歌山市歌（2代目） - 1935年（昭和10年）制定
 作詞：土岐善麿 作曲：下総皖一- 和歌山市歌（3代目） - 1940年（昭和15年）制定
 作詞：田辺善一
 皇紀二千六百年記念。
 海南市- 海南市歌 - 1934年（昭和9年）5月1日制定
 作詞：上田節夫 作曲：打垣内正
 新宮市- 新宮市歌（旧） - 1936年（昭和11年）制定
 作詞：岩橋喜宮一 作曲者不詳
 初代の市歌である。

**参考文献**
 中山裕一郎 監修『 全国 都道府県の歌・市の歌』（東京堂出版、2012年） ISBN 978-4-490-20803-0
 318〜321ページ「和歌山県」。

**脚注**

**関連項目**
 和歌山県民歌- 近畿地方のご当地ソング一覧#和歌山県- 和歌山県の市町村章一覧- 和歌山県の市町村旗一覧
クルル環

可換環論において、クルル環 (Krull ring) あるいはクルル整域 (Krull domain) は素イデアル分解の良い振る舞いの理論を伴った可換環である。それらは year=1931 によって導入された。それらはデデキント整域の高次元の一般化である。デデキント整域はちょうど次元が高々 1 のクルル整域である。
この記事において、環は可換で単位元をもつ。

**正式な定義**
を整域とし P を高さ 1 の A のすべての素イデアルからなる集合、すなわち、0 でない素イデアルを真に含まないすべての素イデアルの集合とする。このとき A がクルル環 (Krull ring) であるとは、
#  はすべての  に対して離散付値環であり、 
# A はこれらの離散付値環の共通部分（A の商体の部分環と考えて）である。
# A の任意の 0 でない元は高さ 1 の素イデアルの有限個にしか含まれない。

**性質**
クルル整域が一意分解整域であることと高さ 1 のすべての素イデアルが単項イデアルであることは同値である。
をザリスキ環（例えば局所ネーター環）とする。完備化  がクルル整域であれば、A はクルル整域である。

**例**
# すべての整閉ネーター整域はクルル環である。とくに、デデキント整域はクルル環である。逆に、クルル環は整閉であり、したがってネーター整域がクルルであることと整閉であることは同値である。
# A がクルル環であれば多項式環  と形式的冪級数環  もそうである。
# 一意分解整域 R 上の無限変数多項式環  はネーターでないクルル環である。一般に、任意の一意分解整域はクルル環である。
# A をネーター整域で商体を K とし、L を K の有限代数拡大とする。このとき A の L における整閉包はクルル環である (label=Mori–Nagata theorem)。

**クルル環の因子類群**
クルル環 A の（ヴェイユ）因子は高さ 1 の素イデアルの形式的整数線型結合であり、これらは群 D(A) をなす。A のある 0 でない x に対して div(x) の形の因子は主因子と呼ばれ、主因子は因子全体の群の部分群をなす。因子全体の群の主因子全体の部分群による商は A の因子類群 (divisor class group) と呼ばれる。
クルル環のカルティエ因子は局所主（ヴェイユ）因子である。カルティエ因子は主因子を含む、因子全体の群の部分群をなす。カルティエ因子の主因子による商は因子類群の部分群であり、Spec(A) 上の可逆層のピカール群に同型である。
例： 環  において因子類群は位数 2 をもち、因子 1=y = z によって生成されるが、ピカール部分群は自明群である。

**参考文献**
title=Commutative algebra- urlname=Krull_ring- pages=160–196- Hideyuki Matsumura, Commutative Algebra. Second Edition. Mathematics Lecture Note Series, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv+313 pp. ISBN 0-8053-7026-9- Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Translated from the Japanese by M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. ISBN 0-521-25916-9- volume=30
環の直積

数学において、いくつかの環を1つの大きい直積環（ちょくせきかん）、積環 (せきかん、product ring) に合併することができる。これは次のようにされる： I がある添え字集合で Ri が I のすべての i に対して環であれば、カルテジアン積 Πi ∈ I Ri は演算を 成分ごとの演算として定義することによって環にできる。
得られる環は環 Ri の直積 (direct product) と呼ばれる。有限個の環の直積は環の直和s=offと一致する。

**例**
重要な例は整数の n を法とした環 Z/nZ である。n が素数のベキの積
ただし pi は相異なる素数、として書かれていれば（算術の基本定理を見よ）、Z/nZ は自然に直積環
と同型である。これは中国剰余定理から従う。

**性質**
が環の積であれば、すべての i ∈ I に対して、i 番目の座標に積を射影する全射環準同型 pi: R → Ri がある。射影 pi とともに積 R は、以下の普遍性をもっている：
これは環の積が圏論の意味での積の例であることを示している。しかしながら、I が有限のときには環の直和とも呼ばれるにもかかわらず、環の直積は圏論の意味で余積ではない。とくに、I が1つより多くの元をもっていれば、包含写像 Ri → R は環準同型ではない、なぜならばそれは Ri の単位元を R の単位元に写さないからだ。
各 i ∈ I に対して Ai が Ri のイデアルであれば、1=A = Πi ∈ I Ai は R のイデアルである。I が有限であれば、逆が正しい、すなわち R のすべてのイデアルはこの形である。しかしながら、I が無限で環 Ri が 0 でなければ、逆は間違いである。有限個を除いてすべてが 0 でない座標の元全体の集合は Ri たちのイデアルの直積ではないイデアルをなす。Ai の1つを除くすべてが Ri に等しく残りの Ai が Ri の素イデアルであれば、イデアル A は R の素イデアルである。しかしながら、I が無限のとき逆は正しくない。例えば、Ri の直和はどんなそのような A にも含まれないイデアルをなすが、選択公理によって、a fortiori に素イデアルである極大イデアルに含まれる。
R の元 x が単元であることとその 成分 のすべてが単元であることは同値である、すなわち pi(x) がすべての i ∈ I に対して Ri の単元であることは同値である。R の単元群は Ri の単元群の直積である。
1 つよりも多い 0 でない環の積は常に零因子をもつ： x が pi(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元で y が pi(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元 (i ≠ j) であれば、積環において 1=xy = 0 である。

**参考文献**
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**関連項目**
 直積 (Direct product)
ケーラー微分

数学において、ケーラー微分 (Kähler differential) は微分形式の任意の可換環やスキームへの応用を提供する。

**紹介**
アイデアは エーリッヒ・ケーラー によって1930年代に導入された。それは、少し後になって、複素数上の幾何から手法を適用する必要と微分積分学の手法の自由な使用に続いて、そのような手法が利用できない文脈に、可換環論と代数幾何において標準として適用された。
R と S を可換環とし φ:R → S を環準同型とする。重要な例は R が体で S が R 上単位的代数（例えばアフィン多様体の座標環）に対してである。
S 上の R-線型導分は R-加群の射  であって R がその核に入りライプニッツ則  を満たす。ケーラー微分の加群は他のすべてを分解する R-線型導分  として定義される。

**構成**
アイデアは今 R 上のderivation (abstract algebra)
d:S → ΩS/R
のUniversal constructionを与えることである、ただし ΩS/R は S-加群であって、外微分の純代数的類似である。これが意味するのは d は R-加群の準同型であって S のすべての s と t に対して
d(st) = s dt + t ds
ということであり、d は任意の他の導分が S-加群準同型との合成によってそれから得られるという意味でそのような最良の導分である。
ΩS/R と d の実際の構成は以下のように進行する。S の元 s に対して形式的な生成元 ds を導入し、次の関係を課す： S のすべての元 s と t に対して、
*dr = 0 for r in R,
*d(s + t) = ds + dt,
*d(st) = s dt + t ds
別の構成もある。I をテンソル積  の次のようなイデアルとする。すなわち、 によって与えられる積写像  の核として I を定義する。このとき S のケーラー微分の加群は次のように定義しても同値である。ΩS/R = I/I2 とし、射 d は

この構成が前の構成と同値であることを見るために、I は  によって与えられる射影  の核であることに注意しよう。したがって：

すると  は、 によって与えられるcomplementary projectionによって誘導される写像によって、I と同一視できる。
したがってこの写像は I を S の元 s に対して形式的な生成元 ds で生成された S 加群と同一視し、上で与えられた最初の2つの関係に従う（二番目の関係は d が R-線型であると要求することで強くなる）。最後の関係によって 0 に設定される元はちょうど I の I2 に写る。

**代数幾何学における使用**
幾何学的には、アフィンスキームの言葉で、I は Spec(S) → Spec(R) 上の Spec(S) のそれ自身とのファイバー積において対角線を定義するイデアルを表す。したがってこの構成は次のような意味でより幾何学的な風味をもつ。対角線の first infinitesimal neighbourhood の概念はそれによって二番目に少なくとも消える関数を法として消える関数を経由してとらえられる（関連した概念には余接空間を見よ）。
任意の S-加群 M に対して、ΩS/R の普遍性は自然同型

を導く、ただし左辺は S から M へのすべての R-線型導分からなる S-加群である。（これは随伴ではないが）随伴関手の場合のように、これは単に加群の同型以上のものである。それは S-加群準同型 M → M と交換ししたがって関手の同型である。
p > 1 に対してケーラー p-形式 ΩpS/R を得るために、R-加群、p 次外冪をとる。（R と S に適用される）環の局所化のもとでの構成の振る舞いは代数幾何学における使用が可能な（相対）ケーラー p-形式の層の幾何学的概念が存在することを保証する。

**代数的整数論における使用**
代数的整数論において、ケーラー微分を代数体の拡大の分岐を研究するために使うことができる。L/K が有限拡大でそれぞれの整数環が O と o であれば、different ideal δL/K は、分岐のデータをエンコードするが、O-加群 ΩO/o の零化イデアルである：

**参考文献**
 cite journal | first=J. | last=Johnson | year=1969 | title=Kähler differentials and differential algebra | journal=Annals of Mathematics | volume=89 | pages=92–98 | zbl=0179.34302 | doi=10.2307/1970810- cite book | first=Hideyuki | last=Matsumura | year=1986 | title=Commutative ring theory | publisher=Cambridge University Press-  doi=10.2140/pjm.1976.65.485- cite journal | first=G., et al | last=Fu et al.| year=2011 | title=Some remarks on Kähler differentials and and ordinary differentials in nonlinear control systems| journal=Systems and Control Letters | volume=60 | pages=699–703 | doi=10.1016/j.sysconle.2011.05.006

**外部リンク**
 A  thread devoted to the question on MathOverflow
シュライアー整域

抽象代数学において、シュライアー整域 (Schreier domain) は、Otto Schreier にちなんで名づけられているが、整閉整域であって、すべての 0 でない元が primal なものである、すなわち、x が yz を割るときにはいつでも x は x = x1 x2 と書くことができて x1 は y を割り x2 は z を割る。整域が pre-Schreier とは、すべての 0 でない元が primal ということである。GCD整域はシュライアー整域の例である。用語"シュライアー整域"は P. M. Cohn によって 1960s に導入された。用語 "pre-Schreier domain" は Muhammad Zafrullah による。
一般に、既約元が primal であることと素元であることは同値である。したがって、シュライアー整域において、すべての既約元は素元である。特に、atomic Schreier 整域は一意分解環である。これは atomic GCD 整域は UFD であるという事実を一般化する。

**参考文献**
 Cohn, P.M.,  Bezout rings and their subrings, 1967.- Zafrullah, Muhammad,  On a property of pre-Schreier domains, 1987.
ザリスキ環

可換環論において、ザリスキ環 (Zariski ring) は可換ネーター位相環 A であってその位相がジャコブソン根基、すべての極大イデアルの共通部分、に含まれるイデアル m によって定義されているものである。それらは authorlink=Oscar Zariski によって今では幾分違うことを意味する「半局所環」(semi-local ring) の名前で導入され、1953 によって「ザリスキ環」(Zariski ring) と名付けられた。ザリスキ環の例はネーター局所環と、ネーター環の -進完備化である。
A をネーター環とし  をその -進完備化とする。このとき以下は同値である。-  は A 上忠実平坦である（一般には、平坦でしかない）。- すべての極大イデアルは -進位相で閉である。- A はザリスキ環である。

**参考文献**
 M. Atiyah, I. Macdonald Introduction to commutative algebra  Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969
*year= 1953- pages=169–195
*Citation | last1=Zariski | first1=Oscar | author1-link=Oscar Zariski | last2=Samuel | first2=Pierre | author2-link=Pierre Samuel | title=Commutative algebra. Vol. II | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90171-8 |mr=0389876 | year=1975
加群の長さ

抽象代数学において、加群の長さ (length) は加群の「大きさ」の尺度である。それは部分加群の最長の鎖の長さと定義され、ベクトル空間の次元の概念の一般化である。有限の長さをもつ加群は有限次元ベクトル空間と多くの重要な性質を共有する。
環と加群の理論において「大きさを測る」ために使われる他の概念は深さと高さである。これらは両方とも定義するのが幾分デリケートである。これらはまた有用な次元のさまざまなアイデアである。長さ有限の可換環は形式的な代数幾何学の関手的扱いにおいて本質的な役割を果たす。

**定義**
M をある環 R 上の（左または右）加群とする。

の形の M の部分加群の鎖が与えられると、n を鎖の長さ (length) という。M の長さはその任意の鎖の最長の長さと定義される。そのような最大の長さが存在しなければ、M の長さは無限であるという。
環 R が左 R 加群として有限の長さをもつとき，環として有限の長さをもつという。

**例**
 零加群は長さ 0 の唯一の加群である。長さ 1 の加群はちょうど単純加群である。- すべての有限次元ベクトル空間に対して（基礎体上の加群と見て）長さと次元は一致する。- 巡回群 Z/nZ の長さは（整数環 Z 上の加群と見て）n の重複度も込めた素因数の数に等しい。

**事実**
加群 M が有限の長さをもつこととアルティンかつネーターであることは同値である。 
M が有限の長さをもち N が M の部分加群であれば、N もまた有限の長さをもち、length(N) ≤ length(M) が成り立つ。さらに、N が M の真の部分加群であれば（すなわち M に等しくなければ）、length(N) 1 と M2 が有限の長さをもてば、それらの直和もそうであり、直和の長さは M1 と M2 の長さの和に等しい。

を R-加群の短完全列とする。このとき M が有限の長さをもつことと L と N が有限の長さもつことは同値であり、
length(M) = length(L) + length(N)
が成り立つ（この主張は前の 2 つを意味する）。
加群 M の組成列は

の形の鎖であって

であるようなものである。すべての長さ有限の加群 M は組成列をもち、すべてのそのような組成列の長さは M の長さに等しい。

**関連項目**
 ヒルベルト–ポアンカレ級数

**参考文献**
Steven H. Weintraub, Representation Theory of Finite Groups AMS (2003) ISBN 0-8218-3222-0, ISBN 978-0-8218-3222-6
ねじれなし加群

捩れなし加群 (torsion-free module) は代数学において、環上の加群 M であって、M において 0M のみが、台となる環の何れかの正則元（非零因子）とのスカラー倍によって 0M となりうる唯一の元であるようなものである。
整域 D において正則元は 0D でない元であるので、この場合捩れなし加群 M は 0M が環の非零元によって零化される唯一の元であるようなものである。整域上だけで考えこの条件を捩れなし加群の定義として使う著者もいるが、より一般の環上ではこれはうまくいかない。
というのも環が零因子をもてばこの条件を満たす加群は零加群しかないからだ。

**捩れなし加群の例**
全商環が K の可換環 R 上、加群 M が捩れなしであることと Tor1(K/R,M) が消えることは同値である。したがって平坦加群、とくに自由加群と射影加群は捩れなしであるが、逆が正しい必要はない。平坦でない捩れなし加群の例は体 k 上の多項式環 kx,y のイデアル (x,y) である。- 任意の不ねじれ加群（:en:torsionless module）は捩れなし加群であるが、逆は正しくない、なぜならば Q は 「不ねじれ」 でない捩れなし Z-加群だからだ。

**捩れなし加群の構造**
ネーター整域上、捩れなし加群は唯一の素因子が 0 である加群である。より一般に、ネーター可換環上、捩れなし加群はすべての素因子が環の素因子に含まれる加群である。
ネーター整閉整域上、任意の有限生成捩れなし加群は自由部分加群であってそれによる商が環のイデアルに同型なものをもつ。
デデキント整域上、有限生成加群が捩れなしであることと射影的であることは同値であるが、一般には自由でない。任意のそのような加群は有限生成自由加群とイデアルの和に同型であり、イデアルのクラスは加群によって一意的に決まる。
主イデアル整域上、有限生成加群が捩れなしであることと自由であることは同値である。

**関連項目**
捩れ (代数学)
*torsion-free abelian group
*torsion-free abelian group of rank 1； このクラスには分類理論が存在する

**参考文献**
urlname=torsion-free_module- year=1972

**脚注 ==
群の生成系

抽象代数学において、群の生成系、生成集合 (generating set of a group) は部分集合であって群のすべての元が（群演算のもとで）その部分集合の有限個の元とそれらの逆元の結合として表現できるものである。
言い換えると、S が群 G の部分集合であれば、、S で生成される部分群 (subgroup generated by S)、は S のすべての元を含む G の最小の部分群である、すなわち S のすべての元を含む部分群すべてに渡る共通部分である。同じことだが、 は S の元とそれらの逆元の有限積として書ける G のすべての元からなる部分群である。

G =  であれば、S は G を生成する (generate) といい、S の元は生成元 (generator) や群の生成元 (group generator) と呼ばれる。S が空集合であれば、 は自明群 {e} である、なぜならば空積を単位元と考えるからである。
S にたった1つの元 x しかなければ、 は通常  と書かれる。この場合、 は x のベキからなる巡回部分群 (cyclic subgroup) であり、巡回群で、この群は x によって生成されるという。元 x が群を生成すると言うことと同値なことは  が群全体と等しいと言うことである。有限群に対しては、x が位数 |G| をもつと言っても同値である。

**有限生成群**
S が有限であれば、群 G =  は有限生成 (finitely generated) と呼ばれる。有限生成アーベル群の構造はとくに容易に記述される。有限生成群に対して正しい多くの定理は一般の群に対しては成り立たない。有限群が部分集合 S によって生成されれば群の各元は群の位数以下の長さのアルファベット S からの語として表現できるということが証明されている。
すべての有限群は  = G なので有限生成である。整数全体のなす加法群は 1 と -1 どちらにもよって有限生成な無限群の例であるが、有理数全体のなす加法群は有限生成ではありえない。非可算群は決して有限生成でない。
同じ群の異なる部分集合が生成部分集合になることがある。例えば、p と q が整数で gcd(p, q) = 1 であれば、{p, q} もまた（ベズーの等式によって）整数全体のなす加法群を生成する。
有限生成群のすべての商は有限生成であるということは正しい（単純に生成元の商における像をとればよい）が、有限生成群の部分群は有限生成である必要はない。例えば、G を2つの生成元 x と y による自由群とし（これは明らかに有限生成である、なぜならば G = ）、S を n を自然数として ynxy−n の形の G のすべての元からなる部分集合とする。 は明らかに可算生成の自由群に同型であるので、有限生成ではありえない。しかしながら、有限生成アーベル群のすべての部分群はそれ自身有限生成である。実は、より強いことが言える。すべての有限生成群からなるクラスは拡大の下で閉じている。これを見るためには、（有限生成）正規部分群と商の生成集合をとれ。すると正規部分群の生成元は商の生成元の原像とともに、群を生成する。

**自由群**
集合 S で生成される最も一般的な群は S によって自由的に生成される (freely generated) 群である。S によって生成されるすべての群はこの群の商に同型であり、群の表示 の表現において役立つ特徴である。

**フラッティーニ部分群**
生成元と関連する話題には非生成元 (non-generator) に関するものがある。群 G の元 x は、G を生成する x を含むすべての集合 S が x を S から除いてもなお G を生成するならば、非生成元である。整数全体のなす加法群において、唯一の非生成元は 0 である。すべての非生成元からなる集合は G の部分群、フラッティーニ部分群をなす。

**例**
単元群 U(Z9) は mod 9 の積の下で 9 と互いに素なすべての整数からなる群である (U9 = {1, 2, 4, 5, 7, 8})。ここではすべての算術は 9 を法としてされる。7 は U(Z9) の生成元ではない、なぜならば

一方 2 は生成元である、なぜならば：

他方、 n > 2 に対して、n 次対称群は巡回群でないので、どんな 1 つの元によっても生成されない。しかしながら、それは2つの置換 (1 2) と (1 2 3 ... n) によって生成される。例えば、S3 に対して、
e = (1 2)(1 2)
(1 2) = (1 2)
(2 3) = (1 2)(1 2 3)
(1 3) = (1 2 3)(1 2)
(1 2 3) = (1 2 3)
(1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)
無限群が有限の生成集合をもつことがある。整数全体のなす加法群は 1 を生成集合としてもつ。元 2 は生成集合ではない、なぜならば奇数がいないからだ。2元部分集合 {3, 5} は生成集合である、なぜならば (−5) + 3 + 3 = 1 だからである（実は、互いに素な数の任意のペアはベズーの等式の結果として生成集合である）。

**関連項目**
 ケイリーグラフ (Cayley graph)- 生成集合 (Generating set)、他の構造における関連した意味に対して- 群の表示

**参考文献**
 edition=3r- isbn=0-387-09212-9

**外部リンク**
title=Group generators
行列群

数学において、行列群 (matrix group) は（通常は前もって固定される）ある体 K上の n 次可逆行列からなる群 G で、行列の積と逆の演算をもつ。より一般に、可換環 R 上の n 次可逆行列を考えることができる。（行列のサイズは有限に制限されていることに注意。なぜならば任意の群は任意の体上の無限行列の群として表現することができるからだ。）線型群 (linear group) は体 K 上の行列群に同型な抽象群である、言い換えれば、K 上の忠実な有限次元表現を持つ。
任意の有限群は線型である。これはケイリーの定理を使って置換行列により実現できることによる。preserve=1の中で、線型群は面白く扱いやすいクラスをなす。線型でない群の例はすべての「十分大きい」群を含む（例：無限集合の置換からなる無限対称群）。

**基本的な例**
可換環 R 上の n 次正方行列全体の集合 Mn(R) はそれ自身行列の加法と乗法の下で環である。Mn(R) の単元群は環 R 上の一般線型群と呼ばれ、GLn(R) あるいは GL(n, R) と表記される。すべての行列群は一般線型群の部分群である。

**古典群**
とりわけ面白い行列群はいわゆるclassical groupである。行列群の基礎環が実数のとき、これらの群はclassical Lie groupである。基礎環が有限体であるとき古典群はgroups of Lie typeである。これらの群は有限単純群の分類において重要な役割を果たす。

**行列群としての有限群**
すべての有限群はある行列群と同型である。これはすべての有限群はある置換群と同型であると述べるケイリーの定理と似ている。同型の性質は推移的であるので、置換群から行列群をどのように構成するかを考えるだけでよい。
G を n 点 (Ω = {1, 2, …, n}) 上の置換群とし {g1, …, gk} を G の生成集合とする。複素数体上の一般線型群 GLn(C) は自然にベクトル空間 Cn に作用する。B = {b1, …, bn} を Cn の標準基底とする。各 gi に対して Mi ∈ GLn(C) を各 bj を bgi(j) に送る行列とする。つまり、置換 gi が点 j を k に送るならば、Mi は基底ベクトル bj を bk に送る。M を {M1, …, Mk} で生成される GLn(C) の部分群とする。すると G の Ω 上の作用はちょうど M の B 上の作用と同じである。各 gi を Mi に送る対応は同型に拡張され、したがってすべての群は行列群に同型であることが証明できる。
M は成分が 0 か 1 の行列しか含まないので体（上の場合 C）は無関係であることに注意しよう。0 と 1 はすべての体に存在するので任意の体に対して同じ構成をができる。
例として、G = S3、3点上の対称群とする。g1 = (1, 2, 3) と g2 = (1, 2) とする。このとき
 
 
M1b1 = b2, M1b2 = b3 そして M1b3 = b1.  同様に、M2b1 = b2, M2b2 = b1 そして M2b3 = b3.

**表現論と指標理論**
線型変換と行列は（一般的に言って）数学においてよく理解されている対象であり、群の研究において広く使われてきた。とくに表現論は群から行列群への準同型を研究し、指標理論は表現のトレースによって与えられる群から体への写像を研究する。

**例**
table of Lie groups、list of finite simple groups、list of simple Lie groups、list of transitive finite linear groupsを参照
*任意の n について、ブレイド群 Bn は線型である。これは2000年に証明されるまで60年以上にわたって未解決であった。

**参考文献**
 Brian C. Hall Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 0-387-40122-9
*Wulf Rossmann, Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups (Oxford Graduate Texts in Mathematics), Oxford University Press ISBN 0-19-859683-9.
*La géométrie des groupes classiques, J. Dieudonné. Springer, 1955. ISBN 1-114-75188-X
*The classical groups, H. Weyl, ISBN 0-691-05756-7

**読書案内**
 cite book | first=D.A. | last=Suprunenko | title=Matrix groups | publisher=American Mathematical Society | year=1976 | series=Translations of mathematical monographs | isbn=0-8218-1595-4 | volume=45 | mr = 390025 | zbl = 0317.20028 

**外部リンク**
 id=Linear_group
重複度 (数学)

数学において、多重集合の元の重複度（ちょうふくど、じゅうふくど、multiplicity）は、それがその多重集合において現れる回数である。例えば、与えられた多項式方程式が与えられた点において持つ根の数など。
重複度の概念は、（「二重根」は二個と考えるなどの）例外を指定せずとも「重複度を込めて」(with multiplicity) と表現すれば正確に数えることができるという点で重要である。
重複度を無視する場合には、そのことを「相異なる根の個数」というように相異なる（あいことなる、distinct）と言って強調することもある。ただし、（多重集合ではなく）集合を考える場合には「相異なる」と断らずとも自動的に重複度は無視される。

**素因数の重複度**
素因数分解において、例えば、
 
だと、素因数 2 の重複度は 2 であり、各素因数 3 と 5 の重複度は 1 である。したがって、60 は 4 つの素因数をもつが、異なる素因数は 3 つしかもたない。

**多項式の根の重複度**
を体とし  を  に係数をもつ一変数多項式とする。元  は次のようなとき  の重複度  の根と呼ばれる。
ある多項式  が存在して  かつ とするとき、 であれば、 は単根（simple root）と呼ばれ、 であれば、 は重根 (multiple root) と呼ばれる。
例えば、多項式  は  と  を根としてもち、 と書くことができる。これが意味するのは、 は重複度 2 の根であり  は'単'根（重複度 1）である。重複度は「根が何回もとの方程式に現れるか？」として考えることができる。
多項式の導関数は多項式の重複度  の根において重複度  の根をもつ。多項式の判別式 が  であることと多項式が重根をもつことは同値である。

**重根の近くでの多項式関数の振る舞い**
upright
多項式関数  のグラフは x-軸と多項式の実根で交わる。グラフは  の重根でこの軸に接し、単根では接しない。グラフは重複度が奇数の根で x-軸とクロスし、重複度が偶数の根で x-軸から跳ね返る（突き抜けない）。
でない多項式関数がつねにnon-negativeであることと、すべてのその根の重複度が偶数である  が存在して  であることは同値である。

**交叉重複度**
代数幾何学において、代数多様体の2つの部分多様体の共通部分は既約多様体の有限個の和集合である。そのような共通部分の各 component に対して交叉重複度 (intersection multiplicity) が取り付けられる。この概念は次の意味でlocal propertyである。この成分の任意のgeneric pointの近傍において起こることを見ることでそれを定義できる。一般性を失うことなく、交叉重複度を定義するために2つのアフィン多様体（アフィン空間の部分多様体）の共通部分を考えることができるということが従う。
したがって、2つのアフィン多様体 V1 と V2 が与えられると、V1 と V2 の共通部分の既約成分 W を考えよう。d を W のdimension of an algebraic varietyとし、P を W の任意の生成点とする。W の P を通るgeneral positionにある d 個の超平面との共通部分は一点 P にreduceされる既約成分をもつ。したがって、共通部分の座標環のこの成分における局所環は素イデアルを 1 つしかもたず、したがってアルティン環である。それゆえこの環は基礎体上有限次元ベクトル空間である。その次元が V1 と V2 の W における交叉重複度 (intersection multiplicity) である。
この定義によってベズーの定理とその一般化を正確に述べることができる。
この定義は多項式の根の重複度を次のように一般化する。多項式 f の根はアフィン直線上の点で、その多項式によって定義される代数的集合の成分である。このアフィン集合の座標環は  ただし K は f の係数を含む代数閉体。 が f の分解であれば、R の素イデアル  における局所環は  である。これは K 上のベクトル空間で、次元として根の重複度  をもつ。
交叉重複度のこの定義は、本質的に Jean-Pierre Serre の本 Local algebra によるが、集合論的な成分（isolated component とも呼ばれる）に対してしかうまくいかず、embedded primeに対してはうまくいかない。埋め込まれたケースを扱うために理論は発達してきている（詳細は交叉理論を見よ）。

**複素解析学において**
z0 を正則関数  ƒ  の根とし、n を ƒ の n 次導関数の z0 における値が 0 とは異なるような最小の正の整数とする。このとき ƒ の z0 についての冪級数は n 次の項から始まり、ƒ は重複度（あるいは「位数」） n の根をもつという。n = 1 であれば、根は単根と呼ばれる (Krantz 1999, p. 70)。
有理型関数の零点と極の重複度もまた次のように定義することができる。有理型関数 ƒ = g/h があれば、点 z0 についての g と h のテイラー展開をとり、それぞれにおいて最初の 0 でない項を見つける（項の位数をそれぞれ m と n で表す）。m = n であれば、点は 0 でない値をもつ。m > n であれば、点は重複度 m − n の零点である。m < n であれば、点は重複度 n − m の極をもつ。

**関連項目**
 固有値の代数的重複度と幾何学的重複度- 算術の基本定理- 集合 (数学)- 重根 (多項式)- 代数学の基本定理- 零点 (複素解析学)- :en:Frequency (statistics)

**参考文献**
Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-4011-8.