円周率

円周率（えんしゅうりつ、Pi、Kreiszahl、圓周率）とは、円の直径に対する円周の長さの比率のことをいい、数学定数の一つである。通常、円周率はギリシア文字である math|πで表される。円の直径から円周の長さや円の面積を求めるときに用いるp=94。また、数学をはじめ、物理学、工学といった科学の様々な理論の計算式にも出現し、最も重要な数学定数とも言われる。
円周率は無理数であり、超越数でもある。
円周率の計算において功績のあったルドルフ・ファン・クーレンに因み、ルドルフ数とも呼ばれる。ルドルフは小数点以下35桁まで計算した。小数点以下35桁までの値は次の通りである。

ギリシャ文字の  は円周率に代表される。

**基礎**

**表記と呼び方**
円周率を表すギリシア文字 mvar|π は、ギリシア語でいずれも周辺・円周・周を意味する περίμετρος（ペリメトロス）あるいは περιφέρεια（ペリペレイア）の頭文字から取られたただし、これは明らかな根拠がない話であり、適切に表現すれば定まらないというのが正しい、という主張も見られる。。文字  をウィリアム・オートレッドは1631年に著した著書において半円周の長さを表す文字として用い、アイザック・バローは論文において半径 R の円周の長さとして用いた。ウィリアム・ジョーンズ (1706) やレオンハルト・オイラーらにより（現代と同じく）円周の直径に対する比率を表す記号として用いられ、それが広まったpp=94-95。日本では「パイ」と発音する。
数  を指す言葉には、日本・中国・韓国における「円周率（圓周率）」、ドイツの「Kreiszahl」（Kreis は円（周）、Zahl は数の意）の他、それを計算した人物の名前を取った「アルキメデス数」（Archimedes' constant）、「ルドルフ数」（Ludolph's constant、Ludolphsche Zahl）などがある。一般にドイツ語を除くヨーロッパの諸言語には「円周率」に対応する単語はない。
なお、「」の字体は、表示環境によってはキリル文字の П|п に近い π などと表示されることがある。また、ギリシャ文字「」は、円周率とは無関係に、素数計数関数や、基本群・ホモトピー群、ある種の写像（射影など）を表すのに用いられることもある。

**定義**
画像:Pi eq C over d.svg|thumb|ユークリッド平面上において、全ての円は相似なので、円周 C と直径 d の比率  は一定 () である。
画像:Pi-unrolled-720.gif|thumb|直径 1 の円の周長は 
平面幾何学において、円周率  は、円の周長の直径に対する比率として定義される。すなわち、円の周長を C, 直径を d としたとき、

である。全ての円は互いに相似なので、この比率は円の大きさに依らず一定である。
ところが、この定義は円の周長を用いているため、曲線の長さを最初に定義していない解析学などの分野では、 が現れる際に問題となることがある。この場合、円の周長に言及せず、解析学などにおける性質の一つを  の定義とすることが多いp=183。この際の  の定義の一般なものとして、三角関数 cos x が 0 を取るような x > 0 の最小値の2倍とするもの、級数による定義、定積分による定義などがある。後述の#円周率に関する式も参照。

**歴史**

**古代**
円周の直径に対する比率は円の大きさに依らず一定であり、それは 3 より少し大きいことは古代エジプトやバビロニア、インド、ギリシアの幾何学者たちにはすでに知られていた。また、古代インドやギリシアの数学者たちの間では半径 r の円板の面積が  であることも知られていた。さらに、アルキメデスは正96角形を用いて半径 r の球の体積が  であることや、この球の表面積が （その球の大円による切り口の面積の4倍）であることを導き出した。
円周率を小数で最初に記述したのは小数を発明した中国である。263年に魏の劉徽が3072角形を使用し3.14159と計算し、5世紀に祖沖之が十尺もの直径の円を使用して3.14159261415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 …
（A000796）
十進記数法以外の表記法による表現- 二進記数法（Radix2）による最初の48桁（48ビットとも呼ばれる）は 0011...（A004601）- 三進記数法（基数3）による最初の38桁は 201...（A004602）- 十六進記数法（基数16）による最初の20桁は1319...（A062964）- 六十進記数法（基数60）による最初の5桁は 3;8,29,44,0,47（A060707）

**注釈**

**出典**

**参考文献**
 Cite book|和書 |editor=日本数学会 |title=数学辞典 |edition=第4版 |publisher=岩波書店 |date=2007-03 |isbn=978-4-00-080309-0 |ref=harv- Cite book |last=Berggren |first=Lennart |coauthors=Jonathan Borwein, Peter Borwein |year=1991 |title=Pi: A Source Book |publisher=シュプリンガー・フェアラーク |isbn=0-387-94924-0

**関連書籍**
 『円周率πの不思議―アルキメデスからコンピュータまで』堀場芳数、講談社〈ブルーバックス〉、1989年10月17日。ISBN 978-4061327979。- 『π（パイ）のはなし』金田康正、東京図書、1991年4月1日。ISBN 978-4489003387。- 『πの公式をデザインする』猪口和則、新風舎、1998年1月9日。ISBN 4-7974-0493-0。- 『円周率πをめぐって』上野健爾、日本評論社、1999年3月。ISBN 978-4535608405。- 『π-魅惑の数』Jean-Paul Delahaye、畑政義訳、朝倉書店、2001年10月1日。ISBN 978-4254110869。- 『πの歴史』Petr Beckmann、田尾陽一訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2006年4月。ISBN 978-4480089854。- 『π ― πの計算アルキメデスから現代まで』竹之内脩、伊藤隆、共立出版、2007年3月22日。ISBN 978-4320018341。- 『円周率が歩んだ道』上野健爾、岩波書店〈岩波現代全書〉、2013年6月19日。ISBN 978-4000291040。- 『円周率 ―歴史と数理―』中村滋、共立出版、2013年11月23日。ISBN 978-4320110625。- Pi: A Source Book (3rd ed.). Lennart Berggren; Jonathan Borwein; Peter Borwein (2004-8-9). シュプリンガー. ISBN 978-0387205717- Pi: The Next Generation: A Sourcebook on the Recent History of Pi and Its Computation (1st ed.). David H. Bailey; Jonathan M. Borwein (2016-8-5). シュプリンガー. ISBN 978-3319323756

**関連項目**
 数学に関するもの
** 円周率の歴史
** 円周率の近似
** 円周率の無理性の証明
** τ (数学定数) - 円の半径に対する周長の比
** リンデマンの定理
** ファインマン・ポイント
** 数学定数- 教育に関するもの
** 円周率は3- 社会に関するもの
** 円周率の日
** インディアナ州円周率法案

**外部リンク**
  算数用語集「円周率」 - 新興出版社啓林館-  円周率.jp-  江戸の数学「コラム 円周率」 - 国立国会図書館-  円周率ナビ-  円周率計算｜ラマヌジャン型公式-  円周率100万桁表-  寒川光：「完全楕円積分とガウス・ルジャンドル法によるπの計算」、平成29年（西暦2017年）4月14日- 38m37s
** ※ 円周率30兆桁をGoogleCloudを使って計算。-  Nayandeep Deka Baruah, Bruce C. Berndt and Heng Huat Chan: "Ramanujan's Series for 1/π: A Survey", The American Mathematical Monthly, v116(7) (Aug-Sep.,2009),pp.567-587.