多変数の微分

多変数の微分（たへんすうのびぶん）は、多変数関数を、局所的に線形写像（ヤコビ行列）で近似する手法である。本記事では、多変数微分の理論的な側面について解説する。

**数ベクトル空間についての補足**

**数ベクトル空間**
n 次元実数ベクトル空間  とは、集合としては
　　　　　　　　(1-2)
である。つまり n 個の実数  を用いて
　　(1-3)
の形で表せるもの全てを集めてきたものである。
特に、以下で定まる  を、第 i 標準ベクトルという。
　　　　(1-8)
である。

**標準座標系**
次に ,  の標準座標系を定義する。 に対し、
　　　　(1-6)
とし、これを  の第 j 座標関数という。ここで  は内積を表す。つまり、
　　　　(1-7)
である。
標準座標系とは、 の組  のことである。当然、
　　　　(1-9)
が成立する。 にも、同様に、 や、標準座標系  が定まっている。
さて、次節にて、多変数ベクトル値関数を考えるが、定義域側 () の標準座標系を  と表記し、値域側 () の標準座標系も  と表記していては紛らわしいので、 の標準座標系を と書くことにする。つまり、
　　　　(1-10)
とする。
以降、「 に、標準座標系  が定まっているとする」と宣言した場合には、式 (1-10) のように考えることにする。

**多変数ベクトル値関数**
に標準座標系  が定まっているとし、 に標準座標系 が定まっているとする。
を  の部分集合とし、
　　　　(1-1)
を、 上で定義された  に値を取る多変数ベクトル値関数という。
以降  は  の第 i 成分を表す。 は以下の性質を満たす。
　　　　(1-11)


**偏微分**

**設定**
に、標準座標系  が定まっているとし、 に、標準座標系  が定まっているとする。
を、 の開集合とし、
　　　　(1-1)
を、 上で定義された  に値を取る多変数ベクトル値関数とする。
ここで  は  の第 i 成分を表す。

**偏微分の定義**
を  内の点とし、 を  のベクトルとする（ は  でなければならないが  は であってよい）。
,  は固定されているものとする。
このとき、 が  で  について偏微分可能であるとは、以下の極限値
　　　　(1-4)
が存在することを意味する。
このとき のにおける、 について偏微分商、
を、以下のように定義する。
　　　(1-5)

**成分関数の微分可能性**
の第 i 成分  は以下の等式を満たす。
　　　　(1-11)
上式において  は内積を意味する。
式 (1-10), (1-11) を用いて、 を（(1-5) の定義式通りに） で  について偏微分することを考える。
が  で  について偏微分可能ならば、 は  で  について偏微分可能で、
　　　　(1-12)
が成立する。
逆に、式(1-1)より、
　　　　(1-13)
なので、 すべてが  で  について偏微分可能であれば、 も微分可能で、
　　(1-14)
が成立する。これは式 (1-13) の両辺に、式 (1-5) の右辺の極限をとれば証明できる。

**一変数関数の微分への帰着**
(1-6) の各成分、つまり  は、それぞれ、(1-15) に示す t についての一変数スカラー値関数
　　　　　　(1-15)
を、t = 0 において（一変数スカラー値意味で）微分したものである。つまり、
　　　　　　(1-16)
である。但し、 は、
　　(1-17)
で定まる  の直線である。
また、後述の合成写像の微分法則 (3-7) を用いると (1-16) の計算はさらにすすめられる。この結果は第三節で後述する。


**記号「∂f/∂xj」について**
の点  における「（の）
ベクトル 」に対する偏微分商、即ち  を、

と書く。 即ち、
  (1-18)
と表記する。
また、 の第 i 成分、つまり  の点  における「（ の）ベクトル 」に対する偏微分商  を、 と表記する。
ここで、 は、それぞれ  標準基底であり、 は、第 j 標準ベクトルを意味する。

**ヤコビ行列の導入**
が  において、 全てに対して偏微分可能であるとき、
　　　　(1-20)
を  の  におけるヤコビ行列という。

**微分**

**設定**
を  の開集合とし、
　　　　(2-1)
を、 上で定義された  に値を取る多変数ベクトル値関数とする。

**微分の定義**
を  内の点とする（つまり ）。このとき、 が  で微分可能であるとは、
　　　　(2-2)
を充たす  行列  が存在することを意味する。この  を、 の  における微分という。
とおくと、次のようにも表せる。

**微分の一意性**
が  で微分可能であるとき、(2-2) を満たす  行列はひとつしか存在しない。つまり、 行列  が、
　　　　(2-3)
を満たすとすると、
　　　　(2-4)
が成立する。

**微分可能性と偏微分可能性**
が  で微分可能であるとき、 は  で任意のベクトル  に対して偏微分可能である。実際、
:　　(2-5)
ここで、
　　　　(2-6)
は、(2-2) に  を代入したに過ぎないため（従って (2-2) の特別な場合に過ぎない）、(2-5) の両辺の  極限は 0 となる。従って、
　　　　(2-7)
となる。以上より  が  で微分可能であるとき、 は  で  の任意のベクトル  に対して偏微分可能であることが示された。
式 (1-5), (2-6) から、 が  で微分可能ならば
　　　　(2-8)
であることが分かる。

**ヤコビ行列の導入**
式 (1-2-8) に  を代入すると、
　　　　(2-9)
である。従って の  での微分  の第 j 列は、
　　　　(2-10)
第 i , j 成分は
　　　　(2-11)
となる。従って、
　　　　(2-12)
となる。

**誤差項の導入**
「誤差項」の導入を行う。
と  に対し、 の  における誤差項（ランダウの記号） を
　　　　(2-13)
によって定める。
　　　　(2-14)
　　　　(2-15)
であることが分かる。
(2-14) は、以下の恒等式
　　　　(2-16)
の  に  を代入すれば直ちに得られる。
(2-16) の恒等式ことを、本記事では  の点  における一次展開ということにする。
(2-15) 式は、(2-2) 式に (2-13) 式を代入したに過ぎないが、 が一次の微小量であることを意味しており、思想的には重要である。
(2-16) 式と (2-13) 式を見比べると、ヤコビ行列は  の一次近似を表していると見ることができる。
つまり、点  の近傍で  は
　　　　(2-17)
とみなせることが分かる。

**微分に関するいくつかの公式**

**偏微分の「方向」に関する公式**
式 (2-8) から、 が  で微分可能であるとき、 は  において  の任意のベクトル ,  と、任意の実数  に対して、
　　　　(3-1)
が成立することが分かる。実際 (2-8) および行列の積の線型性から、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-2)
である。
また、(2-8) から、 が  で微分可能であるとき、 は  で  の任意のベクトル  に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-3)
が、成立することがわかる。式 (3-2), (3-3) は、ヤコビ行列の幾何学的な意味を表している。

**アフィン写像の微分**
次に、アフィン写像の微分について説明する。アフィン写像とは、適当な m×n 行列 A と、n 次元代数数ベクトル b を用いて
　　(3-4)
の形で具体的な数式として書ける、からへの写像のことである。(3-4)のアフィン写像は、任意の点（の点）で微分可能で、任意の点（の点）において、
　　(3-5)
である。逆に、任意の点において　　(3-5)を充たす写像があったとすれば、それはアフィン写像である。

**合成写像の微分**
次に、合成写像の微分について説明する。をの開集合とし、は、の値域を含む（つまり、、特にとする）とする。多変数ベクトル値関数
　　　　(3-6)
は、で定義され、に値をとるとする。このとき、ととの合成写像は、で定義され、に値をとる多変数ベクトル値関数である。
が点で微分可能で、が、点で微分可能であるとき、もで微分可能で、
**　　　　(3-7)
ここで“”とは、行列としての積である。
■証明
を点で一次展開し、
を点で(2-16)同様に一次展開すると、
　　　　(3-8)
　　　　(3-9)
となるので、
　　　　(3-10)
である。従って
　　　　(3-11)
を示すを示せば終証である。
以下(3-11)を示す。
　　　　(3-12)
より、
　　　　(3-13)
一方、
**　　　　(3-14)
は、
　　　　(3-15)
の特殊なケースに過ぎないので、
　　　　(3-16)
さらに、
　　　　(3-17)
は有限の値であることから、
　　　　(3-18)
また、
　　　(3-19)
は、
　　　　(3-20)
であることと、線形写像の連続性から明らかである。
■
(3-7)を行列として具体的に表記すると
**
(3-21)
となる。これから、
(3-22)
が分かる。

**合成写像の偏微分**
次に(3-7)の合成写像の微分法を用いて、(1-8)式の計算をさらにすすめる。(1-8)式のうち、本議論に用いるものを(3-23)にて再掲する。
　　　　　　(3-23)
(3-23)式の右辺に式(3-21)を適用すると、
　　　(3-24)
以上より、
　　　　　　(3-25)

**逆写像の微分**
次に、（弱いほうの）逆写像定理（逆関数定理）を示す。をの開集合とし、は、の値域を含む（つまり、、特にとする）とする。多変数ベクトル値関数
　(3-26)
は、で定義され、に値をとるとする。さらに、がの逆写像、つまり
　(3-27)
とする。このとき、
　(3-28)
が成立する。標語的にいえば、「逆写像のヤコビ行列は、元の写像の逆行列」である。
これは、(3-7)の特殊な例に過ぎない。

**導関数の導入**
これまでの議論では、一点を固定して、この点での微分可能性について議論してきた。本節では、領域全体での微分可能性について説明し、導関数を定義する。
を、の開集合とし、
　　　　(4-1)
を、上で定義され、に値を取る多変数ベクトル値関数とする。
を、の固定されたベクトルとする。（でもよい。）このとき、「がで、について偏微分可能である」とは内の全ての点において、(4-1)の意味でがについて偏微分可能であることを意味する。このとき「のについての偏導関数」とは、「の点とにおける偏微分商を対応させる多変数ベクトル値関数」のことである。つまり、
　　　　(4-2)
である。特に
　　　　(4-3)
とする。
「がで、微分可能である」とは、「内の全ての点において、(2-2)の意味でが微分可能」であることを意味する。
このとき「のにおける導関数」とは、「の点とにおける微分を対応させる行列値の関数」である。つまり、
　　　　(4-4)
である。のことをや、と書くこともある。
尚、「dfとヤコビ行列」で後述するように、は、文脈によっては、(4-4)と同じ意味で使われる場合がある。
また、(4-5)から、直ちに「がで、微分可能」ならば、「がで、任意のについて偏微分可能」である。しかし、この逆は成り立たない。つまり、「がで、任意のについて偏微分可能」であっても、「がで、微分可能」とは限らない。
「がで、連続微分可能である」とは、「がで、全てについて偏微分可能であり、かつについての偏導関数がすべてで、連続であること」を意味する。
一見、連続微分可能性は、全微分可能性よりも弱い性質のように見えるが、実は連続微分可能性のほうが強い条件である。つまり「がで、連続微分可能」ならば「がで、微分可能」であるものの、「がで、微分可能」であっても、「がで、連続微分可能」とは限らない。
但し、「がで微分可能であり、導関数がで、連続」ならば、「はで、連続微分可能」である。

**全微分**
に  座標系が定まっているとする。
式 (1-14) の  は全て  から  への線形写像であり、従って式 (3-5) と同様の方法で微分可能で、恒等的に
　　　　(5-1)
である。ここで  は転置を意味する。すなわち  とは、第 i 成分のみが 1 で、それ以外が 0 の 1 行 n 列の行列（横ベクトル）である。
式 (4-4) より  は、
　　　　(5-2)
で定まる行列値関数であるため、
　　　　(5-3)
であり、
　　　　(5-4)
がわかる。ここで、 を 、 を  と書くと、
　　　　(5-5)
となる。式 (5-5) において、変数を省略すると、
　　　　(5-6)
となる。

**微分の“逆問題”**

**スカラーポテンシャルの定義**
を、の開集合とし、
　　(6-1-1)
を、上で定義された1行n列の行列値関数とする。行列値関数とは、
各成分が関数である行列のことを意味する。
式(6-1-1)のに対し、
　　(6-1-2)
を充たす、一変数スカラー値関数を求める問題を考える。(6-1-2)の条件をみたす一変数スカラー値関数のことを、のスカラーポテンシャルという。
以下、1行n列の行列値関数があたえられたとき、のスカラーポテンシャルが存在する条件を調べ、スカラーポテンシャルの構成方法（所謂ポアンカレの補助定理）について述べる。

**偏導関数に関する「微積分学の基本定理」**
を、の開集合とし、を上で定義された多変数スカラー値関数とする。
を、内の点とする。（つまり、）を、のベクトルとする。（でもよい。）
このとき、
**　　(6-2-1)
が成立する。但し、を充たす全てのに対して、
　　(6-2-2)
が成り立っているものとする。
以下、(6-2-1)を示す。まず、
　　　　　　(6-2-3)
で、
　　　　　　(6-2-4)
である。但し、は、(1-9)同様、
　　(6-2-5)
である。
(6-2-4)の右辺を、sについて（一変数関数の意味で）積分すると、
**
　　(6-2-5)
従って、(6-2-1)が分かる。

**ポアンカレの補助定理の準備**
(6-1-1)のに対し、作用積分を定義する。
　　(6-3-1)
をの点とする。また、を、の開集合とし、さらにがを中心に星型とする。
がを中心に星型とは、任意のの点と、任意のに対し、
　　(6-3-2)
であることを意味する。
は固定されているものとする。また、
　　(6-3-3)
も固定されていると考える。
式(6-1-1)の、上で定義された1行n列の行列値関数に対し、を
**　　(6-3-4	)
と定義する。(6-3-4)の右辺の被積分関数
　　(6-3-5)
は、についての一変数スカラー値関数である。そして、右辺の積分は、(6-3-5)の「sについての一変数スカラー値関数」を(一変数関数の意味で)定積分したものである。また、　を、点と、
実数を対応させる多変数スカラー値関数
　　(6-3-6)
とする。以降、点は、変数とみなす。

**脚注**

**注釈**

**引用**

**参考文献**
ref=Spivak 
*ref=Iwahori
*ref=Shima
*ref=Warner