Theorema Egregium

Theorema Egregium（ラテン語。音訳：テオーレーマ・エーグレギウム。直訳：卓越した定理）はカール・フリードリヒ・ガウスにより証明された定理で、曲面のガウス曲率が曲面の内在的な量（リーマン計量）のみで書ける事を主張する。
日本語では- 「最も素晴らしい定理」Refn|#小林77 p.92.- 「驚異の定理」- 「Gaussの基本定理」- 「抜群の定理」
などと訳される事もあるが、egregiumには「驚異の」という意味はない。英語では「Remarkable Theorem」（注目すべき定理）と意訳する事もある。

**語源**
「Theorema Egregium」という語はこの定理を示したガウスの原論文から来ている：

**概要**
鞍点
を3次元ユークリッド空間内の曲面とし、PをM上の点とする。点PにおいてMの「最も曲がっている方向」の曲がり具合と「最も曲がっていない方向」の曲がり具合の積を点PにおけるMのガウス曲率という。（ただし図のようにPが鞍点になっている場合は、逆方向の曲がりをマイナスの曲がり具合と解釈する。よってこの場合の「最も曲がっていない方向」とは「逆向きに最も曲がっている方向」である）。
ガウス曲率はその定義より、におけるMの曲がり具合を利用して定義されている為、においてMがどのような形になっているかが一見重要に見える。
しかし実はガウス曲率はMの「外の空間」であるとは無関係に計算できる、というのがTheorema Egregiumの趣旨である。具体的にはガウス曲率はMの距離空間としての構造（厳密にはリーマン計量）のみから計算できる。
ヘリコイド（螺旋面）からカテノイド（懸垂面）に変形するアニメーション
したがって、内でMを変形しても、その変形がMの距離構造を変えない限り、ガウス曲率は変わらない。例えばCatenoid（＝懸垂面）とHelicoid（＝螺旋面）は見た目は大きく異なるが、両者の距離構造は同じなので、ガウス曲率は変わらない。
このように「外の空間」とは無関係にMの情報だけを用いて計算できる量をMに内在的な(intrinsic)量であるという。Theorema Egregiumは、ガウス曲率がMの内在的な量である事を意味している。
Theorema Egregiumから得られる帰結として、平面上に地球の正確な歪みの無い地図を描くことはできない。Theorema Egregiumを使うと、地球の地図を書くとき距離を歪ませない正確な地図は書けない事を示す事ができる。実際、もし正確な地図が書けるなら、地球と地図（すなわち球面と平面）の距離構造は同一なので、Theorema Egregiumより両者のガウス曲率は等しくなければならないが、球面のガウス曲率は半径をRとするとであり、平面のガウス曲率は0である事が知られているので、これは矛盾である。
なお、ガウスがTheorema Egregiumなどの曲面論（Differential geometry of surfaces）を研究したきっかけは、国家の測量を依頼されたためであった。
ベルンハルト・リーマンはTheorema Egregiumに着目する事により、「外の空間」なしのn次元曲面、すなわちn次元リーマン多様体を定義し、これが今日の微分幾何学の研究の嚆矢となった。
さらにアルベルト・アインシュタインは、重力の座標変換則がリーマン多様体のそれとよく似ている事に着目し、宇宙をリーマン多様体の類似物（擬リーマン多様体）と見なすことで一般相対性理論を確立した。

**厳密な定式化**

**古典的な定式化**
Theorema Egregiumは以下のように定式化できる：
なお、第一基本形式は現代的な言い方では「リーマン計量」と呼ばれる。
具体的には第一基本形式を
 
とするとき、ガウス曲率KはGaussian_curvature#Alternative_formulas

により記述できる。ここではEのu-偏微分を表す。

**現代的な定式化**
リーマン多様体の言葉を使うと、Theorema Egregiumを以下のように再定式化できる。
をの級部分多様体とし、Mにの内積から誘導されるリーマン計量gを入れ、gが定めるレヴィ・チヴィタ接続（共変微分）を∇とし、リーマンの曲率テンソルRを

により定義する。
各点に対し、のgに関する正規直交基底を選び、PにおけるMの断面曲率を
 
により定義する。断面曲率はの選び方によらずwell-definedである事が知られている。
このときTheorema Egregiumは以下のように再定式化できる：
断面曲率はMに内在的な量（リーマン計量）のみから定義したので、断面曲率はMに内在的な量である。よって上記の定理はガウス曲率がMに内在的である事を示している。

**高次元の場合**
Mをリーマン多様体の部分多様体とする。Mがにおいて余次元1であれば、第二基本形式が実数値の双線形写像になり、第二基本形式の固有値・固有ベクトルとして主曲率およびそれに対応する主方向が定義できる。さらに全ての主曲率の積としてガウス曲率が定義できる。（なおガウス曲率は第二基本形式の行列式に等しい）。
このとき、以下が成立する：ここで、はそれぞれM、の断面曲率である。
が曲率cの定曲率空間であれば、
 
であり、がMに内在的な量であることも言える：よって特に以下が従う：一方、奇数次元のガウス曲率はMに内在的な量ではないが、以下が成り立つことが知られている：
以上の事から、mが偶数の場合にはにおけるMのガウス曲率をリーマン曲率で書きあらわす事ができる。が曲率0の場合は、具体的にはリーマン曲率から定まるオイラー形式がガウス曲率と一致する。
このオイラー形式はガウス・ボンネの定理の高次元化にも役に立ち、オイラー形式を積分したものがオイラー数に一致する、という形で高次元のガウス・ボンネの定理を記述できる。
詳細は部分リーマン多様体の接続と曲率の項目を参照されたい。

**脚注**

**出典**

**注釈**

**文献**

**参考文献**
 ref=小林77- translator=Francis Flaherty- Cite book|洋書 |title=Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes |date=2017/6/15 |publisher=Springer |author=Loring W. Tu |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=275 |isbn=978-3319550824 |ref=Tu- translator=Francis Flaherty- ref=Dajczer

**原論文**
 ラテン語：
** ref=Goettingen- 英訳
** ウェブ
*** Cite web |url=http://www.gutenberg.org/files/36856/36856-pdf.pdf |title=General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825, |access-date=2023/05/20 |author=Carl Friedrich Gauss |publisher=プロジェクト・グーテンベルク |ref=Project Gutenberg
*** Karl Friedrich Gauss,  General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825, (1902) The Princeton University Library.
** 書籍
*** Carl Friedrich Gauss (Author), Adam Hiltebeitel (Translator), James Morehead (Translator), General Investigations Of Curved Surfaces Unabridged (Paperback), Wexford College Press, 2007, ISBN 978-1-929148-77-6.
*** Carl Friedrich Gauss (Author), Peter Pesic (Editor), General Investigations of Curved Surfaces (Paperback), Dover Publications, 2005, ISBN 978-0-486-44645-5.

**関連項目**
 カール・フリードリヒ・ガウス- 曲率- 曲面- 微分幾何学

**外部リンク**
  Theorema Egregium on Mathworld