単純群

数学において、単純群 (たんじゅんぐん、simple group) とは、自明でない正規部分群 (それ自身と自明群 (単位群 ) 以外の正規部分群) を持たず、またそれ自身も自明群ではない群である。単純群は自明でない正規部分群を持たないので当然直既約群であるが、直既約群は必ずしも単純群ではない (下の例参照)。
群に主組成列が存在すれば、有限個の直既約群の直積に一意的に分解される (クルル・レマク・シュミットの定理)。しかし、上記の理由により、必ずしも有限個の単純群の直積に分解されるとは限らない。もし、群が有限個の単純群の直積に分解可能であれば、その群は完全可約群または半単純群であるという。また、その場合に限って、主組成列の長さと直積の成分である単純群の個数は一致する。

**例**

**有限単純群**
3を法とした同値類(合同算術を参照)によってできる巡回群 G = Z/3Z は単純群である。H をこの群の部分群とすると、その位数(要素の数)は G の位数(3)の約数である必要がある。3は素数なので、約数は1と3のみである。よって H は G と一致するか、あるいは自明な群である。一方で、群 G = Z/12Z は単純群ではない。それぞれ0,4,8の法12における同値類を要素としてもつ集合Hは位数3の部分群であり、アーベル群の任意の部分群は正規部分群であるため、 H は正規部分群である。同様に、整数の加法群 Z は単純群ではない:偶数全体の集合は自明でない真の部分群であり、したがって正規部分群である。
同じような考察を任意のアーベル群に対して行うと、単純なアーベル群は素数位数の巡回群のみであることがわかる。非アーベル単純群に対する分類はずっと難解である。最小の非アーベル単純群は位数60の交代群 A5であり、任意の位数60の単純群は A5に同型である。二番目に小さい非アーベル単純群は位数168の射影特殊線型群PSL(2,7)であり、任意の位数168の単純群はPSL(2,7)に同型であることが証明できる。p= 281

**無限単純群**
無限交代群、つまり整数全体の偶置換の群は単純群である。この群は有限群の (標準埋め込み に関する) 単調増加列の合併として定義できる。ほかの無限単純群の族の例としては、(は体、)がある。
有限生成である 無限単純群を構成するのはもっと難しい。最初の例はGraham Higmanによるもので、Higman groupの商群である。他の例は無限トンプソン群 T と V を含む。有限表示のねじれのない無限単純群はBurgerとMozesにより構成された。

**直既約群であるが単純群ではない例**
G を位数が素数の冪  (p は素数、r は2以上の自然数) である巡回群とすれば、G の自明でない部分群 (G 自身および自明群  以外の部分群) の位数は  (s は math|1 ≤ s 2型やE6型の例外的群も構成したが、F4型やE7型やE8型のものは構成しなかったp=2。 1950年代にはリー型の群についての研究がまだ続いており、シュヴァレーが1955年の論文で古典群と例外的な群についての一様な構成法を与えた。この方法ではある既知の群 (射影ユニタリー群) が省略されているが、それについてはシュヴァレーの構成法を「ひねる」 (twisting)ことで得られる。残りのリー型の群はスタインベルク、ティッツ、ヘルツィッヒ (3D4(q)と2E6(q)を構成した)、および鈴木とRee (Suzuki-Ree groupを構成した) によって得られた。
これらの群 (リー型の群、巡回群、交代群、5種類の例外的マシュー群) が完全な一覧であると信じられていたが、マシューの研究から約1世紀経った後、1964年に最初のJanko groupが発見され、そして1965年から1975年の間に残りの20種類の散在群が発見ないし予想され、ついに1981年、Robert GriessがBernd Fischer (mathematician)のモンスター群を構築したと発表した。モンスター群は位数808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000という、最大の散在的単純群である。モンスター群は196,884次元Griess algebra内の196,883次元の忠実な表現を持つ。つまりモンスター群の元は196,883次正方行列として表現できる。

**分類**
完全な分類は1962年/63年のFeit-Thompson theoremから始まり、主に1983年まで続いたが、2004年に終了したばかりである、ということが一般的に受け入れられている。
1981年にモンスター群が構成されてからすぐに、群論の研究者たちがすべての有限単純群を分類したという、合計10,000ページにも及ぶ証明が作られ、1983年にダニエル・ゴレンスタインが勝利を宣言した。これは時期尚早だった、というのはいくつかのギャップが、特にquasithin groupの分類の中で発見されたからである。このギャップは2004年に1300ページに及ぶ準薄群の分類によって埋められており、これは現在は完璧であると一般に受け入れられている。

**単純群でないことの判定**
Sylowの判定法: n を素数でない正の整数とし、 p を n の素因数とする。もし n の約数の中で p を法として1と合同なものが1のみであれば、位数 n の単純群は存在しない。
証明:もし n が素数の冪であれば、位数 n bの群は自明でない中心をもつefn|たとえばp-群中の証明を見よので、単純群でない。 n が素数の冪でなければ、シロー部分群はすべて真部分群であり、シローの第三定理より、位数 n の群のシロー p-部分群の個数はpを法として1に合同でありnの約数である。そのような数は1だけであるので、シロー p-部分群は一意であり、従って正規部分群である。真の、自明でない正規部分群が存在したので、この群は単純群ではない。
Burnsideの判定法: 非可換な有限単純群の位数は少なくとも3種類の相異なる素数で割り切れる。これはバーンサイドのp-q定理から従う。

**注**

**注釈**

**出典**

**参考文献**

**教科書**
Citation | last1=Wilson | first1=Robert A. | authorlink = Robert Arnott Wilson | title=The finite simple groups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics 251 | isbn=978-1-84800-987-5 | doi=10.1007/978-1-84800-988-2 | zbl=05622792 | year=2009 | postscript =,  2007 preprint. | volume=251 |ref=harv- Citation | last1=Burnside | first1=William | author1-link=William Burnside | title=Theory of groups of finite order | publisher=Cambridge University Press | year=1897|ref=harv|- ref=harv- ref=harv- ref=harv

**論文**
 doi=10.1007/BF00327738

**関連項目**
 Almost simple group- Characteristically simple group- Quasisimple group- Semisimple group- List of finite simple groups
*群
*正規部分群

**外部リンク**
 doi=10.11429/sugaku1947.34.193 - title=Simple Group- title=simple group- author= Shmel'kin, A.L.- title=simple group- title=Definition:Simple Group