建物 (数学)

数学における（ティッツの、あるいはブリュア–ティッツの）建物（たてもの、building, immeuble）は、François Bruhatとジャック・ティッツに名を因む、旗多様体、有限射影平面およびRiemannian symmetric spaceのある種の側面を一斉に一般化する組合せ論的かつ幾何学的な構造である。初め、建物はジャック・ティッツによってGroup of Lie typeの構造を理解するための手段として導入され、その理論は自由群の研究に木が用いられたのと同じ仕方で、 p-進リー群その離散的対称変換部分群の等質空間の幾何および位相を研究するのにも用いられた。

**概観**
建物の概念は、ジャック・ティッツによって、任意の体上の単純代数群を記述するための手段として考案された。ティッツはそのような種類の任意の群 G が、G の球建物あるいは球面型建物 (spherical building) と呼ばれる、G の作用を持つ単体的複体 1=Δ = Δ(G) にどのように対応させられるかを具体的に示して見せた。群 G はこの方法によって得られる複体 Δ に、非常に強い組合せ論的正則性条件を強いることになる。それらの条件を単体的複体のクラスに対する公理として扱うことにより、ティッツは建物の最初の定義に到達した。建物 Δ を定義するデータの一部は、ワイル群と呼ばれるある種のコクセター群 W であり、これはコクセター複体と呼ばれる高度に対称的な単体的複体 1=Σ = Σ(W,S) を決定する。建物 Δ は、そのアパートと呼ばれる Σ の複数のコピーをある正則なやり方で貼合せることによって得られる。W が有限型コクセター群ならば、コクセター複体は位相的球面であり、対応する建物は球面型 (spherical type) と呼ばれる。W がアフィンワイル群（つまり、コクセター群としてアフィン）ならば、コクセター複体はアフィン平面の細分であり、建物はアフィン型あるいはユークリッド型であるという。-型のアフィン型建物は、終端頂点を持たない無限木と同じものである。 
半単純代数群の理論は建物の概念に対する最初の動機を与えるものであったけれども、全ての建物が群から得られるわけではない。特に、射影平面およびGeneralized quadrangleは、Incidence geometryにおいて研究される、建物の公理を満足するが群と無関係であるような、グラフの二つのクラスを形成する。この現象は、対応するコクセター系が低階数（つまり二階）であるようなものに関係することが分かる。ティッツは、 
 階数が 3 以上の任意の球面型建物は群に関連する。さらに階数が 2 以上の建物が群に関連するならば、その群は建物によって本質的に決定される。
という驚くべき定理を証明した。
岩堀-松本、ボレル-ティッツ、およびブリュア-ティッツは、球面型建物に関するティッツの構成のアナロジーとして、アフィン型建物もある種の群（つまり非アルキメデス局所体上の簡約代数群）から構成できることを示した。さらに、そのような群の分裂階数が 3 以上であるならば、それは本質的にその建物から決定される。後にティッツは、建物の理論の基礎となる部分を、専ら最も大きい次元の単体の隣接性のみを用いて建物の情報を記述する、小部屋系 (chamber system) の概念を用いて再構成している。これにより、球面型、アフィン型ともに簡略化されることとなった。ティッツは球面型の場合のアナロジーとして、アフィン型の階数が 4 以上の任意の建物が群から得られるということを示した。

**定義**
-次元建物 X はAbstract simplicial complexであって、アパート (apartments) と呼ばれる以下の条件を満たす部分複体 A の和となっているようなものである。- X の各 k-単体は、math|k n に同型となる。1=n = 3 のときはこれは  と一致する。
を  の有限次ガロワ拡大とし、建物を  の代わりに  から構成されるものとすると、ガロワ群  はこの建物の上にも自己同型として作用する。

**幾何学的関係**
球面型建物は、 に対するアフィン型建物 X に関連した二種類のきわめて異なる方法から得られる。
- アフィン型建物 X の各頂点のLink (geometry) L は、有限体  のもとで L/pL の部分加群に対応する。これは  の球面型建物に他ならない。- アフィン型建物 X は、 に対する球面型建物を「無限遠」における境界として加えることにより、コンパクト化することができる1997。

**分類**
ティッツは、階数が 2 より大きい任意の既約球面型建物（つまり有限型ワイル群を持つ建物）が単純代数群または古典群に対応することを示した。同様のことが、次元が 2 よりも大きい既約アフィン型建物（これは「無限遠」において階数が 2 よりも大きい球面型建物になる）についても成立する。低階数あるいは低次元においては、このような分類は存在しない。実際、任意のIncidence structureから階数 2 の球面型建物が得られる1995。また、ボールマンとブリンは、有限射影平面内のClique complexに同型な頂点のリンクを持つ任意の二次元単体的複体が、必ずしも古典的でない建物の構造を持つことを示した。多くの二次元アフィン型建物が、双曲的Reflection groupや他のOrbifoldに関連するより奇妙な構造を用いて構成された。
ティッツは、建物が常に群のティッツ系によって記述されるならば、殆どすべての場合において建物の自己同型は群の自己同型に対応することも示した1974。

**応用**
建物に理論は、いくつかの全く異なった分野に重要な応用を持つ。一般の局所体上の簡約代数群の構造に関してすでに述べたことに加えて、建物はそれらの群の表現の研究にも用いられる。建物による群の決定についてのティッツの結果は、モストウとマーグリスの剛性定理およびマーグリスの算術性に深い関連がある。
球面型建物は離散幾何学において研究され、有限単純群の分類問題において単純群の特徴付けに対する幾何学的手法の考え方が非常に実り豊かなものであることが証明された。球面型やアフィン型以外のより一般の種類の建物の理論は、未だ比較的発達していないけれども、しかし既にこれらの一般化された建物は、代数学におけるカッツ・ムーディ群や位相幾何学および幾何学的群論における非正値的に曲がった多様体およびHyperbolic groupの構成に応用が見出されている。

**関連項目**
 Buekenhout geometry- コクセター群- ティッツ系 (or BN対)- Affine Hecke algebra- ブリュア分解- 一般化された多角形- ティッツ幾何- 双子建物 (Twin building)- 双曲的建物 (Hyperbolic building)- ティッツの単純性定理 (Tits simplicity theorem)- Coxeter complex- Weyl distance function

**注**

**注釈**

**出典**

**参考文献**
 ref= harv
*ref= harv- ref= harv- ref= harv- ref= harv
*ref= harv

**関連文献**
url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=AIF_1995__45_4_1037_0 - doi=10.1007/s10711-007-9206-0 - isbn=3-540-42650-7
*urlname=Tits_building- doi=10.1007/BFb0075513- doi=10.1007/BFb0075518
*doi=10.1112/blms/24.2.97
*doi=10.1112/blms/24.1.1- isbn= 0-12-594750-X 
*doi=10.1007/BFb0075514
*isbn= 0-691-11733-0

**外部リンク**
 ref=harv-  series= Séminaires et congrès- title=Building- title=building- last=Kantor- last=Landvogt