漸近展開

漸近展開（ぜんきんてんかい、Asymptotic expansion）とは、与えられた関数を、より簡単な形をした関数列の級数として近似することをいう。テイラー展開は漸近展開の特別な場合であるが、漸近展開で得られた級数の値は、必ずしも元の関数の値に収束するとは言えない。しかし、関数の性質を調べる際、元の関数の形では扱いが難しい場合、漸近展開によって元の関数を級数の形で近似することにより、関数の性質が得られることがある。漸近展開は解析学 (例えば複素解析や特殊関数に対する数値解析など) では重要な手法の一つであり、確率論の基礎として用いることがある。

**漸近級数**
関数  を定義域が実数の領域で定義された関数とし、 を   の定義域内の点とする。
関数列  が次の条件を満たすとき、漸近関数列という。
実数列  が存在して、任意の正整数 n に対し
が成立するとき、
を  の漸近級数といい、
と表す。
さらに、漸近級数が次の条件を満たすとき、ポアンカレの意味での漸近級数または狭義の漸近級数という。- 任意の正整数 n、 の定義域内の x に対して
: 
 が成立する。
漸近関数列が   または    の形の漸近級数を、漸近冪級数という。
与えられた漸近関数列を用いて、 の漸近級数を得ることを漸近展開といい、
の漸近級数  が存在する場合、
は漸近展開
を持つという。

**性質**

**一意性**
任意の関数  に対して、 に対する漸近級数は存在しても唯一とは限らない。例えば
しかし、与えられた漸近関数列に対する漸近級数は存在しても唯１つしか存在しない。従って、ある点でテイラー展開された冪級数は、その点での唯一の漸近冪級数である。 
さらに、漸近級数の各係数は
で与えられる。

**和と積**
点  の近傍で定義された関数  は、漸近関数列  に対する漸近展開
を持つとする。このとき、任意の α、β に対して
が成立する。
さらに、漸近関数列が   である場合、 
が成立する。

**項別微分**
一般に、関数を無限級数で表したとき、項別微分した関数が元の関数を微分したものと一致しない様に、漸近級数も項別微分した級数は、元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限らない。
項別微分した関数が漸近展開したものにあるかは、元の関数や漸近関数列によって決まる。
漸近関数列  は各 n に対して、 の近傍で微分可能であり、関数列  が漸近関数列である場合、以下のことが成立する。 
は、 の近傍で微分可能であり、
となる漸近展開を持ち、 が漸近関数列  を用いて漸近展開することができるのであれば 
が成立する。

**項別積分**
とし、 の漸近展開を
とする。定積分
が各 n に対して存在するならば、
が存在して、
が成立する。
のときは、漸近関数列によっては上式のままではうまくいかない。
例えば、漸近級数が漸近冪級数
を持つ場合、
とする必要がある。

**例**

**スターリングの公式の一般化**
ガンマ関数は
という漸近展開を持つ。特に、x が正整数のときは階乗の漸近展開を与え、スターリングの公式よりも精密な近似級数になっている。

**合流型超幾何関数**
合流型超幾何関数 (:en:confluent hypergeometric function):

は次の漸近展開を持つ。

は複素数の偏角であり、はポッホハマー記号である。

**補誤差関数**
補誤差関数
は、以下の様な漸近展開を持つ。

**指数積分**
指数積分
の漸近展開は、
で与えられる。

**ラプラス変換**
を何回でも微分可能な関数としたとき、 のラプラス変換 
の漸近展開は、
で与えられる。

**微分方程式の解**
微分方程式
の解は
で与えられ、
という漸近展開を持つ。しかし、上式の右辺は任意の  で収束しないが、右辺の級数は上記の微分方程式を満たす。
求積法等で厳密解を求めることが出来ない微分方程式に関しても、漸近展開によって近似解を得られる場合があり、これにより解の挙動を調べることができる。

**調和級数**
調和級数は
という漸近展開を持つ。ここで、はオイラー・マスケローニ定数、はベルヌーイ数である。

**脚注**

**注釈**

**出典**

**学習用図書**

**和書**
 isbn=4316376306- isbn=4431707506- isbn=4431707514- Cite book|和書|author=柴田正和|year=2009|title=漸近級数と特異摂動法: 微分方程式の体系的近似解法 |publisher=森北出版|location=東京 |isbn=9784627076310- 柴田正和：「常微分方程式の局所漸近解析：特異点・臨界点が解の大域的性質を明らかにする」、森北出版、ISBN 978-4-627-07651-8 (2010年8月10日).- 江沢洋：「漸近解析入門」、岩波書店、ISBN 978-4-00-006279-4
*伏見康治：「確率論及統計論」(第I章:数学的補助手段,3節：漸近展開）(1948年）；現代工学社から1977年に復刻版「確率論および統計論」、ISBN 978-4-87472012-7。https://web.archive.org/web/20160327114852/http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/2049-4 (2013年8月29日).

**洋書**
 Erdélyi, A.: Asymptotic expansions, Dover Publications, ISBN 0-486-60318-0 (1956年).- Bruijn N.G.: Asymptotic Methods in Analysis, Dover Publications, ISBN 0-486-64221-6 (1958年). - Dingle, R. B. (1973). Asymptotic expansions: their derivation and interpretation. London: :en:Academic Press.- Bleistein, Norman and Handelsman Richard A.: Asymptotic Expansions of Integrals, Dover Publications, ISBN 0-486-65082-0 (1975年).- Olver, F. (1997). Asymptotics and special functions. AK Peters/CRC Press.- Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. :en:Cambridge University Press.- Carrier, G. F., Krook, M., & Pearson, C. E. (2005). Functions of a complex variable: Theory and technique. :en:Society for Industrial and Applied Mathematics.- Bender, C. M., & Orszag, S. A. (2013). Advanced mathematical methods for scientists and engineers I: Asymptotic methods and perturbation theory. :en:Springer Science & Business Media.- Paris, R.B.: Hadamard Expansions and Hyperasymptotic Evaluation: An Extension of the Method of Steepest Descents, Cambridge University Press(Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 141), ISBN 978-1-107-00258-6 (2011年).

**関連項目**
級数
*テイラー展開
*微分方程式
*メリン変換