同型写像

あるいは単に同型とは、数学において準同型写像あるいは射であって、逆射を持つものである。

**解説**
2つの数学的対象が同型 (isomorphic) であるとは、それらの間に同型写像が存在することをいう。自己同型写像は始域と終域が同じ同型写像である。同型写像の興味は2つの同型な対象は写像を定義するのに使われる性質のみを使って区別できないという事実にある。したがって同型な対象はこれらの性質やその結果だけを考える限り同じものと考えてよい。
群や環を含むほとんどの代数的構造に対して、準同型写像が同型写像であることと全単射であることは同値である。
位相幾何学において、射とは連続写像のことであるが、同型写像は同相写像あるいは双連続写像とも呼ばれる。解析学において、射は可微分関数であり、同型写像は微分同相とも呼ばれる。
標準的な同型写像 (canonical isomorphism) は同型であるようなcanonical mapである。2つの対象が標準的に同型 (canonically isomorphic) であるとは、それらの間に標準的な同型写像が存在することをいう。例えば、有限次元ベクトル空間 V から二重双対空間への標準的な写像は標準的な同型写像である。一方、V は双対空間に同型であるが、一般には標準的にではない。
同型写像は圏論を用いて形式化される。ある圏の射 f: X → Y が同型射であるとは、両側逆射を持つことをいう。すなわち、その圏における別の射 g: Y → X があって、1=gf = 1X かつ 1=fg = 1Y となる。ただし 1X と 1Y はそれぞれ X と Y の恒等射である。

**例**

**対数と指数**
を正の実数のなす乗法群とし、R を実数のなす加法群とする。
対数関数  はすべての  に対して 1=log(xy) = log x + log y を満たすので、それは群準同型である。指数関数  はすべての  に対して 1=exp(x + y) = (exp x)(exp y) を満たすので、それも準同型である。
恒等式 1=log exp x = x および 1=exp log y = y は log と exp が互いの逆関数であることを示している。log は準同型である逆関数を持つ準同型であるから、群同型である。
は同型だから、正の実数の積を実数の和に翻訳する。この機能により、定規とtable of logarithmsを用いて、あるいは対数スケールの計算尺を用いて実数を掛けることができる。

**6を法とした整数**
から 5 までの整数が 6 を法とした加法でなす群  を考える。また、群  を考える。これは x 座標が 0 か 1 で y 座標が 0 か 1 か 2 の順序対で、加法は x 座標は 2 を法とし、y 座標は 3 を法とする。
これらの構造は以下の対応によって同型である：
(0,0) → 0
(1,1) → 1
(0,2) → 2
(1,0) → 3
(0,1) → 4
(1,2) → 5
あるいは一般に (a, b) → (3a + 4b) mod 6.
例えば、1=(1, 1) + (1, 0) = (0, 1) であり、もう一方に翻訳すると 1=1 + 3 = 4 である。
これらの2つの群は集合が異なる元を含むという意味で違って「見える」にもかかわらず、それらは実際同型であり、構造は全く同じである。より一般に、2つの巡回群  と  の直積が  と同型であるのは、m と n が互いに素であるとき、かつそのときに限る。

**関係を保つ同型**
1つの対象が集合 X と二項関係 R からなり、もう1つの対象が集合 Y と二項関係 S からなるとき、X から Y への同型写像は全単射 1=f: X → Y であって

なるものである。
が反射的、非反射的、対称的、反対称的、非対称的、推移的、完全、三分的、半順序、全順序、strict weak order、label=total preorder (weak order)、同値関係、あるいは任意の他の特別な性質を持つ関係であることと、R がそうであることは同値である。
例えば、R がOrder theory ≤ で S が順序  ならば、X から Y への同型は全単射 1=f: X → Y であって

なるものである。そのような同型はorder isomorphism (order isomorphism, isotone isomorphism) と呼ばれる。
ならば、これは関係を保つ自己同型である。

**同型と全単射準同型の違い**
（すなわち、大雑把に言って、対象が集合で射が集合の間の写像である圏）、例えば位相空間の圏や代数的対象（群、環、加群など）の圏、において、同型射は台集合上全単射でなければならない。代数的な圏（具体的にはvariety (universal algebra) の圏）において、同型射は台集合上全単射な準同型と同じである。しかしながら、全単射準同型が同型射とは限らない具体圏（例えば位相空間の圏）があり、各対象が台集合を持つが同型射が全単射とは限らない圏（例えば CW 複体のホモトピー圏）がある。

**応用**
抽象代数学において，2つの基本的な同型射が定義される：- 群同型、2つの群の間の同型- 環同型、2つの環の間の同型（体の間の同型は実は環同型であることに注意）
代数的構造の自己同型が群をなすのと全く同様に、共通の構造を持つ2つの代数の間の同型は label=heap をなす。特定の同型に2つの構造を同一視させることでこの heap は群になる。
解析学において、ラプラス変換は難しい微分方程式を簡単な代数方程式に写す同型写像である。
圏論において、圏 C は2つのクラスからなるとしよう。1つは対象のクラスで、1つは射のクラスである。このとき前の例や多くの他の場合を含む同型射の一般的な定義は：同型射とは逆射をもつ射 1=f: a → b である、すなわち射 1=g: b → a であって 1=fg = 1b かつ 1=gf = 1a なるものが存在する射である。例えば、全単射線型写像はベクトル空間の間の同型写像であり、逆関数も連続な全単射連続関数は位相空間の間の同相写像と呼ばれる同型写像である。
グラフ理論において、2つのグラフ G と H の間の同型写像は G の頂点たちから H の頂点たちへの全単射 f であって次の意味で「辺の構造」を保つものである：G において頂点 u から頂点 v に辺があるのは H において f(u) から f(v) に辺があるとき、かつそのときに限る。グラフ同型を参照。
解析学において、2つのヒルベルト空間の間の同型写像は和とスカラー倍と内積を保つ全単射である。
の早期の理論において、facts と true propositions の間の形式的な関係はバートランド・ラッセルとルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインによって同型であると理論化された。この方向の考えの例はラッセルの Introduction to Mathematical Philosophy において見つけられる。
サイバネティックスにおいて。Good Regulator あるいは Conant-Ashby theorem は "Every Good Regulator of a system must be a model of that system" と述べられる。Whether regulated or self-regulating an isomorphism is required between regulator part and the processing part of the system.

**等式との関係**
数学のある分野、特に圏論では、等しいことと同型とを区別するのが大切である2007。等しいとは2つの対象が全く同じであることであり、一方について正しいすべてのことは他方についても正しい。一方同型は一方の対象の構造のある指定された部分について正しいすべてのことは他方についても正しいことを意味する。例えば、集合
 と 
は等しい；それらは整数の同じ部分集合で表示が違うだけである――前者はintensional definition（set builder notation）であり、後者はextensional definition（明示的な列挙）である。対照的に、集合  と  は等しくはない――前者の元は文字だが後者の元は数である。これらは集合として同型である、なぜならば有限集合は濃度（元の個数）によって同型を除いて決定され、これらは両方とも3つの元を持っているからであるが、同型写像の選び方はたくさんある――1つの同型写像は

であり、別の同型写像は

であり、どれか1つの同型写像が本質的に他のよりも良いということはない。この観点と意味において、これらの2つの集合は「同一」とは考えられないから等しくない：それらの間の同型を選ぶことは出来るが、これは同一であることよりも弱い主張であり、選ばれた同型の文脈でしか有効でない。
同型は明らかで従わざるを得ないように見えることもあるが、なお等号ではない。単純な例として、Joe、John、Bobby Kennedy の間の系譜学的関係は、実際の意味で、Manning family のアメリカン・フットボールのクォーターバック、Archie、Peyton、Eli の間の系譜学的関係と同じである。父子関係と兄弟関係は完璧に対応している。2つの家族の間のこの類似性は用語 isomorphism (Greek iso-, "same," and -morph, "form" or "shape") の起源を説明する。しかしケネディー一家はマニング一家と同じ人々ではないから、2つの系譜学的構造は単に同型であって等しくはない。
別の例はより形式的で等号を同型と区別する動機づけをより直接に説明する：有限次元ベクトル空間 V と V からその係数体 K への線型写像のなす双対空間