アトラクター

離散時間力学系のグモウスキー・ミラの写像で現れるストレンジアトラクター。赤い軌道が複雑な黒点の連なりの領域へ引き込まれる。
連続時間力学系のファン・デル・ポール方程式で現れる周期アトラクター。軌道は各矢印に沿って赤い閉曲線へ引き込まれる。
力学系におけるアトラクター（links=no）とは、時間発展する軌道を引き付ける性質を持った相空間上の領域である。力学系において重要なトピックの一つ。引き込まれた後の軌道は、アトラクター内に留まり続ける。アトラクターへ引き込まれる初期値の集合はベイスンや吸引領域と呼ばれる。
アトラクターは、その構造・性質にもとづき点アトラクター、周期アトラクター、準周期アトラクター、ストレンジアトラクターの4種類に分類される。点アトラクターはもっとも単純で、周りの軌道を引き寄せる1つの点である。周期アトラクターと準周期アトラクターは、連続力学系でいえばそれぞれ閉曲線とトーラスの形を成す。ストレンジアトラクターは、カオスと呼ばれる非周期的軌道から成るアトラクターで、バタフライ効果として知られる初期値鋭敏性とフラクタルな幾何学的構造を持つ。
物理的なアトラクターの典型的な例は、減衰や摩擦を受けて振動しながら最終的に静止する振り子で、これは点アトラクターの一種である。実現象で起こるアトラクターを限られた時系列データから再現する手法はアトラクターの再構成として知られ、実現象の力学系的性質の調査や、実物の品物に対する異常検出といった応用研究にも用いられる。

**背景**
摩擦を受ける振り子は十分時間経過後に静止する（左）。その運動を相空間（相平面）上で見ると、運動は1点に収束する軌道を描く（右）。
何かの状態の時間発展が、規則にしたがって決定論的に一意的に決まっている系を力学系というp=5。一般に、力学系の振る舞いは「保存的」か「散逸的」かに分類できるp=123。物理的な系としてばねや振り子の系を考えると、系に摩擦が無いときは力学的エネルギーが保存され続けるのに対して、系が摩擦があるときは力学的エネルギーは熱に変わって系から失われるp=30。前者のような系を保存系と呼び、後者のような系を散逸系と呼ぶp=30。日常的に観測される実存の系の多くは散逸系といえる2p=5。物理的な観点から言えば、散逸系はエネルギー的に開放されているのが特徴で、非平衡開放系とも呼ばれるp=16。摩擦がある振り子は、時間が十分経つと静止するp=13。しかし散逸系であっても、エネルギーが流出すると同時に流入してバランスすると、最終的な運動が静止状態になるとは限らず、安定な振動状態を取ることもあるp=16。
力学系の考え方では、対象とする状態を変数の組として表し、それを空間上の1点とみなすpp=65–67。時間発展に従って動く空間上の点の軌跡は軌道と呼ばれ、状態の時間変化を表しているp=65。状態の集まりである空間は相空間や状態空間と呼ばれるp=66。散逸系とは、数学的には、相空間上に体積要素を取ったときにその要素の体積が時間発展にともなって減少していく系を指す（ここでの体積とは3次元以上2次元以下を含む一般化された体積、特記無い限り以下同じ）p=20。散逸系では、相空間上の軌道がある一定の領域（状態の集まり）へ引き付けられる現象が存在するp=102。このような領域をアトラクターと呼ぶp=102。一方の保存系では、アトラクターは存在しないp=39。
アトラクターが存在するとき、ある程度の時間経過後に系の状態はそのアトラクターにほとんど引き込まれるため、アトラクター上での振る舞いが実質的に系の長期的な振る舞いを支配しているといえるp=68。また、何かの乱れが系に加わったとしても、乱れがさほど大きくなければ、やはり状態はアトラクターへ引き込まれる2p=241。したがって、散逸系の振る舞いを理解するためには、系のアトラクターとアトラクター周辺の性質を調べることが重要となるp=16–17。力学系において、アトラクターを理解することは重要な鍵となる。特に、後述のストレンジアトラクターが具体的な微分方程式の数値実験で現れることが確認されて以降、力学系理論への注目が高まり、多くの研究が行われるに至ったp=308。

**定義と一般的性質**

**吸引集合、アトラクター**
相空間（Rn）上のアトラクター (A) とベイスン (B) の概念図
アトラクター（links=no）とは、「引き付ける」を意味する英語単語 attract から出来た言葉でp=70、大雑把にいえばアトラクターとは、その周りの軌道を引き付けるような性質をもった領域であるp=316。さらに、軌道がそのような領域まで引き付けられた後は、軌道はその領域内に留まり続ける2p=228。
アトラクターの厳密な定義については議論が残っており、広く共有された統一的な数学的定義は今のところ存在していない3p=74。ここでは、まずは 2013 に沿った定義を以下に述べる。力学系の相空間を Rn とし、相空間上の点（状態変数）を x とする。連続力学系を定めるベクトル場の流れを φ(t, x): R × Rn → Rn で表すとする。離散力学系を定める写像 の k 回繰り返し適用を f k(x): Z × Rn → Rn で表すとする。部分集合 A ⊂ Rn が以下を満たすとき、A を吸引集合と呼ぶp=45。
*連続力学系の場合：
**A は閉不変集合、すなわち全ての x ∈ A と  t ∈ R について φ(t, x) ∈ A である。
**A にある近傍 B が存在し、全ての x ∈ B と  t ∈ R+ について φ(t, x) ∈ B である。
**全ての x ∈ B について、t → ∞ のとき φ(t, x) → A である。
*離散力学系の場合：
**A は閉不変集合、すなわち全ての x ∈ A と  k ∈ Z について f k(x) ∈ A である。
**A にある近傍 B が存在し、全ての x ∈ B と  k ∈ Z+ について f k(x) ∈ B である。
**全ての x ∈ B について、k → ∞ のとき f k(x) → A である。
さらに、吸引集合と流れの組 (A, φ) あるいは吸引集合と写像の組  (A, f) が以下のように位相的推移性を満たすとき、A をアトラクターと呼ぶp=47。
*連続力学系の場合：
**A の任意の部分開集合 U, V に対し、全ての x ∈ U が φ(t, x) ∈ V を満たす t ∈ R が存在する。
*離散力学系の場合：
**A の任意の部分開集合 U, V に対し、全ての x ∈ U が f k(x) ∈ V を満たす k ∈ Z が存在する。
力学系の位相的推移性あるいは推移性とは、簡単に言えば、軌道がその領域内をくまなく動き回ることを意味するp=87。2011、2007、2018 も位相的推移性をアトラクターの条件に課している3p=197。2005 でも稠密な軌道の存在という形でアトラクターを定義付けているp=112。2015 や 2006 では、位相的推移性の代わりに A が極小集合であること、すなわち A の全ての真部分集合が吸引集合の条件を満たさないことをアトラクターの定義としている2pp=234, 253。
による2次元ベクトル場の例。赤い線分の範囲  は吸引集合だがアトラクター（位相的推移的）ではない。
いずれにしても、吸引集合にさらに位相的推移性や極小の条件を課す理由は、認定したアトラクターが実は独立したアトラクターの集まりであり、実際にはさらに細かく分けられるような事態を避けたいという動機による3p=317。吸引集合の条件だけでは、軌道が最終的にどこに落ち着くのか曖昧だという欠点がある2p=119。この点を説明する例として良く出されるのが次の  の2次元ベクトル場である4p=317。


ここで、上付きの · は時間微分 (d/dt) を意味する。このベクトル場の xy-相平面の  という線分状の集合を A とする。A を囲む長方形や楕円のような適当な近傍を取れば、近傍内の点は全て A に収束する2p=119。また、A 上の点が A から出ることはないp=354。よって、A は吸引集合である2p=119。しかし、y 軸を除く相平面上のほとんど全ての点は、 または (1, 0) のどちらかのみに収束する2p=119。この例であれば  をアトラクターとは考えたくない、(−1, 0) と (1, 0) にアトラクターが2つあると考えたい、それが位相的推移性をアトラクターの定義に課す動機である2p=317。
一方で、2003、1995、2011、2002 などは位相的推移性を課さない条件の集合、すなわち上記における吸引集合のことをアトラクターの定義としている4p=5。このように上記定義における「吸引集合（位相的推移性を満たさない集合 A）」をアトラクターと呼ぶときは、上記定義における「アトラクター（位相的推移性を満たす集合 A）」を推移的アトラクターと呼んだりもする3p=317
力学系が体積要素が縮小する性質を持つとき、その力学系を散逸系といったp=5。散逸系上にはアトラクターが存在し、散逸系上の全ての軌道はアトラクターへ引き付けられるp=102。散逸系の性質から導かれる必然として、あるいはアトラクターに課す定義として、アトラクターの体積は一般的に 0 となるp=102。すなわち、R3 相空間上のアトラクターの（通常の意味での）体積は 0 であり、R2 相空間上のアトラクターの面積は 0 であるp=20。これらの帰結として、アトラクターの次元 d は相空間の次元 n よりも常に小さく、d −1 のアトラクターが f のリペラーであると定義できる2p=6。不安定な性質を持ち軌道が離れていく不動点や平衡点が、リペラーの例である2p=25。

**分類**

**点アトラクター**
のエノン写像における点アトラクターの例。左図は x と y の時系列変化を、右図は x と y が xy-平面で最終的に引き込まれる点を示す。
相空間上の1つの点へ収束するアトラクターを、点アトラクター（links=no）という3p=45。これは、アトラクターの中でもっとも単純なものといえる2p=67。点アトラクターという呼び方の他に、静止アトラクターp=45、ポイントアトラクターp=iii、固定点アトラクターp=68、平衡点アトラクターp=45、不動点アトラクターp=228といった言い方もある。
固定点とは、時間変化しても相空間上で動かない点のことでpp=161, 382、連続力学系では平衡点、離散力学系では不動点とも呼び分けることもあるp=32。近傍の軌道を引き付ける性質を持つ固定点を漸近安定であるといったり、吸引的であるという3pp=9。点アトラクターとは、言い換えれば漸近安定な固定点のことであるp=45。ただし、点アトラクターを指して単に固定点p=85、平衡点p=15、不動点p=232と呼ぶこともある。
点アトラクターの一例として、次のエノン写像が挙げられるpp=153–154。


ここで、a と b は時間変化しない定数（パラメータ）である。エノン写像は、ミシェル・エノンが後述するローレンツアトラクターのメカニズムを研究するために導入された力学系であるpp=260–262。エノン写像の振る舞いは a と b の値によってさまざまな様相を示すが、 かつ −0.1225 0, f(x0), f 2(x0), …, f T−1(x0)) という点列の集合が離散力学系における周期軌道で、このような周期軌道にも近くの点を引き込む漸近安定な場合がある2p=16。漸近安定な周期軌道が、離散力学系における周期アトラクターであるp=74。エノン写像の例では、パラメータが  のときに周期 4 の漸近安定な周期軌道が存在するpp=125–126。

**準周期アトラクター**
ラングフォード方程式で現れる準周期アトラクター。赤、青、緑の異なる初期値から出発した軌道が、ドーナツ形の2次元トーラスに引き込まれる。
エノン写像に一見類似の の離散力学系で現れる準周期アトラクター。赤と青の軌道は黒点が連なってできる準周期軌道に引き込まれる。
相空間上の準周期軌道に収束するタイプのアトラクターを、準周期アトラクター（links=no）2p=45や概周期アトラクターという。
連続力学系では、準周期軌道とは相空間上のトーラス表面に巻きつく非閉曲線であるp=44。これは振動数比が無理数の関係にある振動同士が重ね合わさって起きる振る舞いで、振動同士の重ね合わせとして表現できるが、周期軌道とは異なって同じ状態に戻ることはないのが特徴である。準周期軌道はトーラス上を稠密に覆いつくし、ある点を通る準周期軌道はいくらでもその点の近くに戻って来るp=122。準周期アトラクターを指して単にトーラスと呼ぶこともある2pp=14–15。自励的連続力学系では、周期アトラクターは3次元以上の相空間で存在する2p=15。
連続力学系で準周期アトラクターが現れる例として、ウィリアム・ラングフォードがトーラスからカオスへの分岐を研究するために用いた次のラングフォード方程式が挙げられる2pp=70–71。



パラメータが  のとき、近傍の軌道がドーナツの形をした2次元トーラスに収束し、その上を閉じることなく回り続けることが観察できるpp=70–71。
離散力学系の準周期軌道は、閉包を取ると円に同相で、なおかつその閉包上で写像が単調である軌道として定義されるp=2。離散力学系の準周期アトラクターの例として、エノン写像に式はよく似ているが振る舞いは異なる次の写像がある。


この写像は、第1式右辺の x と y がエノン写像とちょうど逆になっている。この系もカオスへの分岐を研究するために提案されたもので、例えばパラメータ  で準周期アトラクターが現れる。

**ストレンジアトラクター**
のローレンツ方程式で現れるストレンジアトラクター。赤、青、緑の異なる初期値から出発した軌道が、「チョウの1対の羽」p=348のような形をしたアトラクターに引き付けられる。
複雑な構造を持ち、軌道がカオスとなるタイプのアトラクターを、ストレンジアトラクター（links=no）というp=7。この命名はデービット・リュエルとFloris Takensによるp=231。他には、カオスアトラクター2p=45、カオティックアトラクターp=72、カオス的アトラクター2p=355、奇妙なアトラクター、フラクタルアトラクター2p=355といった呼び方もある。
力学系におけるカオスとは、大雑把に言えば、決定論的に確定した規則に従って生み出される複雑・不規則・不安定な振る舞いを指すp=17。カオスの厳密な定義は専門家間でも微妙に異なっており、カオスの統一的な数学的定義は未だに存在していない2p=17。散逸系におけるカオスとはストレンジアトラクターを意味するp=112。
古くから知られていたアトラクターは、点アトラクター、周期アトラクター、準周期アトラクターの3つだけであったp=45。ストレンジアトラクターというクラスのアトラクターは、コンピューターが発達して数値計算が実用になって以降の1960年代になって見つかったp=45。「カオス」と同様、ストレンジアトラクターの広く共有された定義も現在のところ存在していない2p=161。ここではアトラクターの定義に合わせ、2013 に沿ったストレンジアトラクターの定義を挙げる。集合 A が位相的に推移的なアトラクターであり、かつコンパクトであるとする。さらに (A, φ) あるいは (A, f) が以下の初期値鋭敏性を満たすとき、A をストレンジアトラクターと呼ぶpp=622–623, 626。
*連続力学系の場合：
**ある δ > 0 が存在し、任意の x ∈ A と任意の近傍 U(x) に対して、 を満たす y ∈ U と t ∈ R が存在する。
*離散力学系の場合：
**ある δ > 0 が存在し、任意の x ∈ A と任意の近傍 U(x) に対して、 を満たす y ∈ U と k ∈ Z が存在する。
初期値鋭敏性とは、わずかな初期値の違いが時間発展にともなって次第に大きくなることを意味し、バタフライ効果という言葉としても知られるpp=44, 230。ただし、上記の初期値鋭敏性の定義は指数関数的な分離を必ずしも要求していない。現在では、指数関数的分離すなわち正のリアプノフ指数を持つことを初期値鋭敏性に要求することが多い。
球体形に分布させて用意した2500個の初期値の点がローレンツアトラクターに引き込まれる様子
準周期アトラクターと同じく、自励的な連続力学系においてはストレンジアトラクターは3次元以上から存在する2p=15。最初に広く知られた連続力学系のストレンジアトラクターは、エドワード・ローレンツが熱対流の振る舞いをモデル化から導入した次のローレンツ方程式で現れる2pp=41, 43。



ローレンツが使用したパラメータは  で、このときに存在するアトラクターはローレンツアトラクターとして有名であるpp=79–80。
多くのストレンジアトラクターの形は、自己相似形いわゆるフラクタルの構造となっているpp=88, 90。実際、フラクタル構造を持つアトラクターを指してストレンジアトラクターの定義とする考え方もある2p=184。ただし、現在ではストレンジアトラクターを考える上ではフラクタル構造よりも初期値鋭敏性の方がより重要といわれるp=355。初期値鋭敏性がストレンジアトラクターの力学的・動的な特徴を表しているのに対し、フラクタル構造がストレンジアトラクターの幾何学的・静的な特徴を表しているといえる2p=121。
のエノン写像で現れるストレンジアトラクター（最上図）とその自己相似性（下図3つ）。 まで繰り返し計算した例。
ストレンジアトラクターのフラクタル構造は、離散力学系であるエノン写像が観察しやすい2p=122。エノン写像のパラメータが  のときに、バナナのような形に折れ曲がったアトラクターが存在するpp=260–262。このアトラクターはエノンアトラクターと呼ばれ、全体図からは単純な数本の線から成るように見えるが、アトラクターの一部を拡大していくと自己相似形の無限の線からできていることが分かるpp=154–155。エノンアトラクターの次元は、数値計算でボックスカウント次元（フラクタル次元の一種） 1.26 という値が求められているp=247。
特定のものを除き、ストレンジアトラクターであることの厳密な証明は困難で、ストレンジアトラクターの一般的性質の解明は未だ十分に達成できていない2p=480。数値計算実験では、繰り返しが見られずストレンジアトラクターと判断されるものであっても、厳格な立場から言えば、実はそれは計算時間を超える極めて長い周期を持つ周期アトラクターであるという可能性が残るpp=357–358。カオスであることの厳密な証明できている事例は、系が双曲型である場合にほとんど限られているp=91。ある可微分写像の不変閉部分集合が双曲型であるとき、任意の点の接空間は拡大的な部分空間と縮小的な部分空間の直和となるp=288。双曲型のアトラクターを双曲型アトラクターといい、双曲型アトラクターであればカオスであることが知られる。双曲型力学系でストレンジアトラクターを持つことが示される例には、平面上に定義されるパイこね変換やトーラス体上に定義されるソレノイドなどがある2pp=177–181, 186。
一方で、アトラクターが非双曲型の場合、解析は一般に困難となる。しかし、自然な力学系の多くは非双曲型であるpp=95–96。これまで構成・研究された双曲型アトラクターは、応用研究で現れる微分方程式とのポアンカレ写像によるつながりがないなど、やや人工的といえるp=627。著名なローレンツアトラクターも、ストレンジアトラクターであることは確実視されてはいたものの、数学的証明を与えることは長い間できていなかったp=354。ローレンツアトラクターが最初に発見されたのは1963年だが、ストレンジアトラクターであることの完全な形での数学的証明が最初に与えられたのは2002年のことで、ウォリック・タッカーが精度保証付き数値計算と解析的手法を組み合わせて証明した。

**指標別整理**
リアプノフ指数 λ の概念図。λ が近接する軌道が離れていく度合いを表している。
アトラクターの定量的評価は、リアプノフスペクトラム、フラクタル次元、パワースペクトルなどによって行われる3pp=58–61。ただし、パワースペクトル評価ではカオスとノイズ（あるいは周期的振る舞いにノイズが乗ったもの）との区別が付きにくいという欠点があるpp=64–67。特に、リアプノフスペクトラムによる分類がアトラクターの正確な分類を与えてくれるp=85。
ある軌道とある軌道が離れていく度合いを定量化したものリアプノフ指数といい、n 次元力学系であればリアプノフ指数は各方向に対応して n 個存在するp=1。このリアプノフ指数を大きい順に並べたもの (λ1, λ2, …, λn) をリアプノフスペクトラムというp=163。リアプノフスペクトラムで各アトラクターの特性を説明すると以下のようになる。
点アトラクター
アトラクターすなわち固定点上からのズレは、全ての方向において吸引されるp=41。よって、点アトラクターの全てのリアプノフ指数は負である2p=85。
周期アトラクター
アトラクターすなわち閉曲線は周期軌道であるから、閉曲線上の2点は時間発展によって近づいたり離れたりしないpp=42–43。よって、周期アトラクターの閉曲線接線方向のリアプノフ指数は0であり、吸引的でも反発的もない2p=85。閉曲線に垂直な方向のズレは全て閉曲線に吸引されるので、閉曲線に垂直な全ての方向のリアプノフ指数は負である3pp=42–43。
準周期アトラクター
準周期アトラクターを k 次元のトーラス（k-トーラス、k 1 のベイスンを赤色で、z2 のベイスンを緑色で、z3 のベイスンを青色で、ガウス平面を塗り分けている。
複素力学系においてフラクタルなベイスン境界が出てくる例として、複素数へ拡張したニュートン法を扱う問題があるp=204。ニュートン法とは関数 f(x) の零点の値を出す数値計算法の一種で、x を複素数 z ∈ C に拡張し、関数を多項式 p(z) としたとき、

という離散力学系が定義できるpp=204–205。この写像が n → ∞ で収束する値は p(z) の零点であり、力学系的には複素平面上の吸引不動点（点アトラクター）である2pp=370–371。p(z) の次数が3以上のとき、ニュートン法による写像のベイスン境界は非常に複雑な形となるp=301。特に、 の3次多項式では3つの点アトラクターのベイスン境界は鎖あるいは数珠つなぎのようなフラクタルを成すことが知られている2pp=371–374。
他の特殊で複雑なベイスンとしてはリドルベイスン、リドルドベイスン（links=no）と呼ばれるものがある3p=136。あるアトラクター A1 のベイスンを B(A1) で、併存するアトラクター A2 のベイスンを B(A2) で表すとする。B(A1) が B(A2) に対してリドルであるとは、B(A1) の全ての点の開近傍に B(A2) が有限の割合で含まれることを意味するp=133。つまり、B(A1) の全ての点のいくらでも近い範囲に B(A2) の点が存在しているp=133。名前の「リドルド（links=no）」とは「穴だらけの」の意味で、リドルベイスンとは B(A1) が B(A2) によって穴だらけにされているという意味である2p=133。リドルベイスンが生じるにはストレンジアトラクターを部分相空間として含むような相空間の力学系が必要であり、離散力学系であれば2次元以上から、連続力学系では4次元以上から生じるpp=133–134。
フラクタル境界やリドルベイスンのような複雑なベイスンが存在する帰結として出てくるのが、カオスとは異なる形の予測困難性である2p=190。すなわち、ほとんどの初期値において、軌道はどのアトラクターに引き込まれるのか予測できなくなるp=150。予測のためには初期値の指定に限りない精度が求められ、初期値に微小な差があると結果は大きく異なる2p=190。

**分岐現象、カオスへのルート**
ホップ分岐の例。パラメータの変化にともなってアトラクターが、点アトラクター → 周期アトラクター（青の閉曲線） → 点アトラクター と変化する。
系のパラメータ（微分方程式や写像の係数）が変わると、ある臨界値を境に系の定性的な振る舞いが変わることがある2p=49。この現象を分岐という2p=49。アトラクターやベイスンも分岐によって変化する2p=14。点アトラクターが周期アトラクターになったり、周期アトラクターが準周期アトラクターになったりするp=80。あるいは、アトラクター自体が消滅したり、新しいアトラクターが出現したりするp=14。基本的な分岐であるサドルノード分岐では、安定な固定点と不安定な固定点がパラメータの変化に従って接近し、衝突して共に消滅するpp=206–208, 234。逆にパラメータを変化させると、固定点がないところから安定な固定点と不安定な固定点が現れるということになるpp=206–208, 234。他には、安定な固定点が不安定な固定点と安定なリミットサイクルに変わるホップ分岐などがあるp=57。また、クライシスと呼ばれる、アトラクターの大きさが不連続的に突然変化したり、アトラクターが不連続的に突然出現・消滅するような現象もあるp=16。
特に、単純な振る舞いがいくつかの分岐を経てカオス的振る舞いへ変わる道筋は、カオスへのルート（links=no）などと呼ばれる3p=31。広く認知されているカオスへのルートには、周期倍分岐ルート、間欠ルート、準周期崩壊ルートの3つがあるp=21。周期倍分岐ルートでは、周期アトラクターが有限のパラメータ範囲の中で周期倍分岐を無限回繰り返してカオスに至るp=21。周期倍分岐とは k 周期の安定閉軌道が k 周期の不安定閉軌道と 2k 周期の安定閉軌道と分岐する現象でp=48、無限の周期倍分岐の列は周期倍カスケードとして知られるp=192。間欠ルートでは、カオス的不変集合を潜在的に伴っていた周期アトラクターがサドルノード分岐で消滅し、ストレンジアトラクターが現れる2p=105。周期アトラクター消滅後にも、カオス軌道の中で元の周期的な振る舞いが一定時間ごとに（間欠的に）起こる特徴を持ち、このような振る舞いを間欠性カオスという2pp=69–70。準周期崩壊ルートとは、準周期アトラクターが位相ロッキングと呼ばれる振動数比の有理数化（すなわち周期アトラクター化）を経てカオスに至る道筋である2pp=100–104。最終的なカオスへの遷移自体は、上記の周期倍カスケードや間欠カオスによって起こる2p=21。
特に周期倍分岐ルートはもっとも有名なカオス発生の道筋で、多数の低次元系で周期倍カスケードの例が見つかってきた2p=110。周期倍分岐ルートは上述のローレンツ方程式やエノン写像でも起き2pp=113–114、他にはレスラー方程式



で起こるものなどが知られる2p=67。レスラー方程式のアトラクターの周期倍分岐の例を以下に示すp=193。図は xy-平面へ射影した軌道を示し、パラメータは  と  を固定で、c を変化させている。
File:RosslerC4.svg | （1周期アトラクター）
File:RosslerC6.svg | （2周期アトラクター）
File:RosslerC85.svg | （4周期アトラクター）
File:RosslerC87.svg | （8周期アトラクター）
File:RosslerC9.svg | （ストレンジアトラクター）
File:RosslerC12.svg | （3周期アトラクター）
File:RosslerC126.svg | （6周期アトラクター）
File:RosslerC13.svg | （ストレンジアトラクター）
File:RosslerC18.svg | （ストレンジアトラクター）

**時系列データからの再構成**

**時間遅れ座標系への変換**
XYZ-相空間のアトラクターと、それから取り出される（観測される）X の時系列データ。(B) X 時系列データから時間遅れ τ によって作られる時間遅れ座標系(Xt, Xt−τ, Xt−2τ) と、XtXt−τXt−2τ-空間上で再構成された軌道。
時間発展の法則があらかじめ分かっている系であれば、数値計算からアトラクターを描くことは容易なことであるp=75。しかし、実現象の実験データなどでは、その背後の時間発展法則は不明確なことが多いp=75。さらに、時間発展法則が推定できる場合でも、その系を構成する複数の状態変数の内の一部、極端には1つの状態変数しか測定できないことも多いp=75。このような状況の測定データから系の振る舞いを再構成する問題は、多くの工学者や科学者にとって重要な課題であるp=39。1つの状態変数の時系列データから系のアトラクターを再現する手法はアトラクターの再構成（links=no）として知られ2p=478、特に、不規則的な時系列データについて決定論的な力学系の観点から解析を試みる上でアトラクターの再構成が解析の基礎となる。
アトラクターの再構成のために現在広く利用されているのが、測定された時系列データを時間遅れ座標系へ変換する手法である2p=40。1次元離散時間の時系列データ u(t) が得られたとする。これに対して適当な時間遅れ τ と適当な次元 m を決め、u(t) から次のような m 次元ベクトル u ∈ Rm を各 t に対して作るp=22。
 
ここで、m は埋め込み次元と呼ばれるp=94。時間遅れ τ と埋め込み次元 m を適切に選択すれば、時系列データを生んだ元の相空間のアトラクターの性質が、時間遅れ座標系によって作られるアトラクターに引き継がれるp=49。
数学的には、いくつかの仮定のもとで、この時系列データから時間遅れ座標系への変換が埋め込みであることは、ターケンスの埋め込み定理およびそれを拡張させた定理によって保証されているp=13。ここで埋め込みとは、滑らかな多様体 M と滑らかな写像 F: M → Rn が与えられたとき、F: M → F(M) が微分同相写像で、かつ全ての p ∈ M において微分 dF(p): TpM → TF(p))Rn が1対1であることを指すpp=17–18, 81。ただし、時系列解析分野では、この変換を使った手法自体を埋め込みと呼んだりもする2p=75。変換が埋め込みであることによって元のアトラクターのフラクタル次元が保存され、リアプノフ指数の推定も可能となる2pp=47, 65。ターケンスの埋め込み定理は、ホイットニーの埋め込み定理を力学系の観測問題用に1変数時系列から時間遅れ座標系への変換を扱う形にフロリス・ターケンスが拡張したもので、ターケンスの埋め込み定理以降、時系列データからの再構成に関する研究が一気に進展したp=164。ターケンスの埋め込み定理では、元となるアトラクターが写像 f のもとで不変でかつ整数次元 d のコンパクト多様体に対して、埋め込み次元が m > 2d を満たせば成立するp=164。ターケンスの後にティム・サウアーらによって、ボックスカウント次元 dB を持ったコンパクト部分集合についても、いくつかの追加条件付きだが m > 2dB で同種の定理が成り立つことが証明されている2p=46。

**埋め込み次元と時間遅れの最適化**
x 時系列から再構成した例（下）。時間遅れは  の場合。
アトラクターの再構成を行う上でまず問題となるのは、埋め込み次元 m と時間遅れ τ をどう決めるのかである2pp=40, 49。埋め込み次元については、定理上は m > 2d であれば埋め込みであることが保証されるが、これは十分条件であり、m がこれ以下でも埋め込みとなることはあり得るp=75。埋め込み次元が小さいと、再構成された曲線で摂動でも消えない自己交差が起き、1対1とならないpp=160–161。しかし、埋め込み次元を大きく取り過ぎると、計算コストの問題や予測への悪影響が出てくる。そのため、先にアトラクターの次元を推定する。カオス時系列の解析において標準的に利用されている手法は、ボックスカウント次元の代わりに相関次元を使うもので、Peter GrassbergerとItamar Procacciaが導入したGPアルゴリズムで比較的容易に相関次元を計算できる2pp=55–56。埋め込み次元を増やしながら再構成したアトラクターの相関次元を計算し、相関次元の増加が頭打ちになったとき、このときの相関次元値をアトラクターの次元とし、このときの埋め込み次元を最適な m 値とするp=55。他には、アトラクター次元推定を行わずに、埋め込み次元が不足していることで生じる自己交差が解消される m 値を設定された指標を使って推定する手法もある2pp=59–64。
一方の時間遅れ τ については、埋め込み定理上では任意でよく、値の設定に制限がない2p=49。しかし実際には τ が小さ過ぎると、変換後のデータの相関が高く成り過ぎて、再構成されたアトラクターの形状は細長くつぶれてしまう3p=70。あるいは τ が大き過ぎると、特にストレンジアトラクターでは軌道不安定性によって相関がほとんど無相関となり、再構成されたアトラクターは雑音のような煩雑な形になる2p=70。一つの方法は、アトラクターの平均的な周期の 1/2 から 1/10 程度の値に設定する方法があるp=481。もう一つの方法は、時間遅れの値を増やしながら時系列データの自己相関関数を計算し、自己相関関数が最初の極小値あるいは 0 とみなせる値になったときの時間遅れを最適な τ の値とする方法がある2pp=50–51。ただし、時間遅れの最適値の決定法については、これらも含めて様々な手法が提案されているが現在のところ優劣の結論は出ていないpp=68–69。

**実現象への適用**
以上のような時間遅れ座標系への変換を利用した手法は、一般的な信号解析では把握が難しい現象、特にカオスが関わる複雑な非線形信号データの解明に有効な手法の一つである。実現象の実験測定データからアトラクターの再構成が成功した事例としては、化学振動反応のベロウソフ・ジャボチンスキー反応でのストレンジアトラクターや2円筒間のテイラークエット流れでの準周期振動があるpp=70–79。
再構成の手法を使って様々な実現象の中にカオスの証拠を見出す問題が、これまでに取り組まれてきているp=482。再構成されたアトラクターを利用した予測も研究されている2pp=108–109。カオスでは高精度な長期予測は原理的に不可能だが、同時にその振る舞いは決定論的に定まっているので、短期予測の精度向上の可能性は残されているp=9。また、再構成されたアトラクターを応用した異常検出・モニタリング技術も研究されているp=171。アトラクターの構造はそのシステムの変化に反応して変化するため、正常な状態のアトラクターと異常な状態のアトラクターを用意しておき、現在の状態をこれらと照らし合わせることで状態監視を行うp=171。ばね、ボルト、転がり軸受、ポンプなどを対象に、再構成されたアトラクターを応用した異常検出の研究例がある。
ただし、時系列データから系の力学系的性質を調べるのは難しい問題でもあるp=136。上手くいかなかった例としては、1984年に行われた酸素原子同位体濃度にもとづく過去100万年の気候ダイナミクスの研究で、この気候ダイナミクスが4次元程度の低次元カオスである可能性が示唆されたが、後で否定されている2pp=95–96。特に、実験系ではない純粋な自然現象を対象とする場合は、測定データ数が限られてしまうという点やダイナミクスの要因自体が長期間の間に変動する可能性も解析を難しくしているpp=96–97。
10.1038/srep43986.。

**出典**

**参照文献**
※文献内の複数個所に亘って参照したものを特に示す。
*:［原著］
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**外部リンク**
Chaoscope を使って描かれたアトラクター
*curator=John W. Milnor
*curator=Edward Ott
*curator=Edward Ott
*curator=Timothy D. Sauer
*urlname=Attractor
*urlname=BasinofAttraction- Chaoscope - ストレンジアトラクターの3D画像を描けるフリーウェア
*アトラクタ