ガウス整数

画像:gaussian integer lattice.svg|217px|thumb|ガウス整数とは、複素数平面では格子点に当たる。
ガウス整数（ガウスせいすう、Gaussian integer）とは、実部と虚部が共に整数である複素数のことである。すなわち、a + bi（a, b は整数）の形の数のことである。ここで i は虚数単位を表す。ガウス整数という名称は、カール・フリードリヒ・ガウスが導入したことに因む。ガウス自身はガウス整数のことを複素整数（Komplexe Ganze Zahl）と呼んだが、今日ではこの呼称は一般的ではない。
通常の整数は、 の場合なので、ガウス整数の一種である。区別のために、通常の整数は有理整数と呼ばれることもある。
数学的には一つ一つのガウス整数を考えるよりも、集合として全体の構造を考える方が自然である。ガウス整数全体の集合を math|Zi と表し、これをガウス整数環と呼ぶ。すなわち、

である（Z は有理整数環、すなわち有理整数全体の集合を表す）。その名が示すように、ガウス整数環は加法と乗法について閉じており、環としての構造を持つ。複素数体 C の部分環であるから、整域でもある。
を有理数体、すなわち有理数全体の集合とするとき、

をガウス数体という。ガウス整数環はガウス数体の整数環である。ガウス数体は、典型的な代数体であるところの円分体や二次体の一種であるので、ガウス整数環は代数的整数論における最も基本的な対象の一つである。

**ノルム**
ガウス整数  は二次方程式  の解である（ゆえにガウス整数は代数的整数である）。この方程式のもう一つの解は a − bi である。これを α の共役といい、 で表す（この場合、 は α の複素共役でもある）。方程式の係数に現れる、共役との和 2a を α のトレース（もしくはシュプール）、共役との積  を α のノルムという。すなわち、ガウス整数のノルムとは

で与えられる非負の有理整数である。この値は絶対値の平方に等しい。また、ノルムは乗法的性質を持つ。すなわち、2つのガウス整数 α, β に対して
1=N(αβ) = N(α)N(β)
が成り立つ。

**整除性**
「約数」「倍数」の概念を、有理整数環 Z 上のみならずガウス整数環上でも自然に定義することができる。2つのガウス整数 α, β に対して、 を満たすガウス整数 γ が存在するとき、β は α の倍数（β は α で割り切れる）、α は β の約数（α は β を割り切る）であるといい、 と表す。
の約数を単数という。ガウス整数環における単数は 1, −1, i, −i の4つのみである。
（証明）：
ガウス整数環の単数を  とおく。単数の定義より、 を満たすガウス整数 ε' が存在する。両辺のノルムを取ると、ノルムの乗法性より
:
となる。ノルムは非負の有理整数であるから、
:
a, b は有理整数であるから、

∴ （証明終）
2つのガウス整数が同伴であるとは、その比が単数であることをいう。これはガウス整数の同値関係である。単数は、4個の単数を約数に持ち、それ以外の任意のガウス整数は、4個の単数および自身と同伴なもの4個の計8個を約数に持つ。これを自明な約数という。
例：
 より、2 の約数は ±1, ±2, ±i, ±2i, ±(1 + i), ±(1 − i).
同伴による違いを除くと、2 の約数は 1, 1 + i, 2.
 より、3 の約数は ±1, ±3.
同伴による違いを除くと、3 の約数は 1, 3.
 より、5 の約数は ±1, ±5, ±i, ±5i, ±(1 + 2i), ±(1 − 2i), ±(2 + i), ±(2 − i).
同伴による違いを除くと、5 の約数は 1, 1 + 2i, 1 − 2i, 5.
*α が β の約数で、ε が単数であるとき、εα も β の約数になる。
*単数の約数は4個 (±1, ±i) である。
*単数でないガウス整数 α は、自明な約数を8個 (±1, ±α, ±i, ±iα) もつ。

**公約数**
複数のガウス整数の共通の約数を公約数と呼ぶ。公約数が単数のみであるとき、それらのガウス整数たちは互いに素であるという。さて、公約数を定義したなら、最大公約数も定義したくなるが、次の注意が必要である。
# 複素数の間には大小関係が定義されていないので、「最大」の意味するところをはっきりさせる必要がある。
# 最大公約数は「一意」に存在するか。
# 最大公約数に期待される性質「任意の公約数は最大公約数の約数」が成り立つか。
1に対する一つの答として、「最大」とはノルムが最大と解釈すればよい。2と3についてはそれほど明らかではないが、後述するように、ガウス整数環においては素因数分解の一意性が成り立つことから、答は肯定的である。ただし、正確には最大公約数は完全に一意に決定するのではなく、同伴の違いにより4つ存在することになる（有理整数環における通常の最大公約数も、正のものと負のものの2つが存在する）。逆に言うと、素因数分解の一意性が成り立たない整数環においては、公約数や最大公約数を定義する意義があまりない。

**ガウス素数**
画像:Gauss-primes-768x768.png|200px|thumb|ガウス平面上のガウス素数。この模様は、床のタイル貼りやテーブルクロス織りに用いられることもある。有限の歩幅を持った人が、ガウス素数のみを踏むことによって、いくらでも遠くに行くことができるか、という問題は未解決である。
上部の画像の中央部分を拡大した図。
ガウス整数環を含む一般の環において、単数以外の元の積で表せない元のことを既約元といい、素元とは別であるが、後述するようにガウス整数環においては既約元と素元は同じ概念になるので問題はない。
約数が、同伴による違いを除いて 1 と自分自身のみである単数ではないガウス整数をガウス素数と呼ぶ。同伴による違いを区別しても、ガウス素数 z とは、約数が（8個の）自明な約数 (±1, ±i, ±z, ±iz) のみであるガウス整数のことである。通常の有理整数環 Z での素数と区別するために、通常の素数は有理素数と呼ばれることもある。
ガウス素数には以下の3つのタイプがある。
*ノルムが 2 であるもの。すなわち、±(1 + i), ±(1 − i) の4つ。
*ノルムが 4n + 1 の形の有理素数であるもの
:これは 4n + 1 型の有理素数の分解を与える。
:100 以下の 4n + 1 型の有理素数の分解（同伴な表示は略）：
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
*4n + 3 の形の有理素数と同伴のもの。
**math2|3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, …（A002145）
これは「2つの平方数の和で表せる素数は 2 と 4n + 1 の形のものに限る」という定理（フェルマーの二平方和定理）と、ガウス素数が素元であることによる。有理素数の単数以外による分解は 2 または 4n + 1 型に限られ、その分解は

の形に限られる。
有理素数がガウス素数であるかどうかについて、2 と 4n + 1 型の有理素数は2つの共役なガウス素数に因数分解できるので、実質1つのガウス素数の平方であると解釈できる。この状況を「2 は分岐する」と表現する。また、4n + 3 型の有理素数はガウス素数でもある。この状況を「3 は惰性する」と表現する。
このように、ある環では素元であったものが、拡張した環でも素元であるか、またはどのような素元の積に分解されるのか、という問題は代数的整数論の主題の一つである（より正確には素元の代わりに素イデアルを考える）。

**素因数分解の一意性**
ガウス整数環の特筆すべき性質として、素元分解整域（一意分解環などともいう）であるという事実がある。つまり、
任意のガウス整数は積の順序・同伴による違いを除いてガウス素数の積で一意に表すことができる
という定理がある。
例：

は2通りの因数分解を与えているが、1 + 2i と 2 − i、1 − 2i と 2 + i がそれぞれ同伴であるので、これらは同じ因数分解とみなす。
（有理整数環で  は区別しないのと同様である）
素因数分解の一意性は、当然成り立つことであるかのように誤解されることは多い。初等教育・中等教育では、有理整数の素因数分解の一意性の非自明性について触れられることはほとんどないが、しかし  が無理数であることの証明で、素因数分解の一意性を用いずに証明している、という点が挙げられる。歴史的にも長い間証明が必要なこととは認識されていなかった。しかし、例えば

においては

であるので素因数分解（正確には既約元分解）の一意性が成り立たない。 の単数は 1, −1 のみなので、同伴の違いでもない。そもそも、 は既約元ではあるが素元ではないので、一意性以前に素元分解ができないのである。なお、素元分解ができれば一意的であることは、素元の定義より直ちに分かる。

**証明**
ガウス整数環における素因数分解の一意性は、ガウスが初めて証明した。現代的には、環論の用語を用いて次のように証明するのが一般的である。
ガウス整数環はノルムに関してユークリッド整域である。一般にユークリッド整域は単項イデアル整域であり、単項イデアル整域は素元分解整域である。したがって、ガウス整数環は素元分解整域である。
以下では、なるべく環論の用語を用いずに、証明のあらすじを与える。
ステップ1（ガウス整数環がユークリッド整域であること）
ユークリッド整域とは、素朴に言えば、その中で適切な余りの出る割り算ができる整域のことである。ユークリッドの互除法が通用する整域という意味合いである。ガウス整数環はノルムに関してユークリッド整域である。すなわち、次が成り立つ。
任意のガウス整数 α, β (≠ 0) に対して

を満たすガウス整数 γ, δ が存在する。
（証明）ガウス平面において  に最も近いガウス整数 γ を取ると

（中辺は一辺の長さが 1 の正方形の対角線の長さの半分）であることから、N(α − βγ) < N(β) となるので、 とおけばよい。
ステップ2（ガウス整数環が単項イデアル整域であること）
単項イデアル整域とは、任意のイデアルが単項イデアルである整域のことであるが、ここではイデアルという用語を用いずに、対応する以下の命題を示す。
ガウス整数 α, β に対し、aα + bβ が α と β の公約数となるように、ガウス整数 a, b を取ることができる。
（証明）ガウス整数の集合