円周率の無理性の証明

円周率の無理性の証明（えんしゅうりつのむりせいのしょうめい）は、円周率が無理数であること、すなわち円周率の小数展開が無限に続き、しかも循環しないことの証明である。円周率が無理数であること自体はよく知られた事実であるが、その証明を目にする機会はあまりない。知られている中で最も簡単な証明は、初等的な微分積分学のみを用いるものである。

**歴史**
円周率は古代から考察の対象とされ、無理数であることは紀元前4世紀のアリストテレスが予想していたが、証明されたのは二千年以上後のことである。1761年、ドイツの数学者ヨハン・ハインリッヒ・ランベルトは、正接関数の無限連分数表示

を用いて、初めて円周率の無理性を示した。その証明は現代的にはやや不満の残るものであったが、1794年にフランスのアドリアン＝マリ・ルジャンドルは厳密な証明を与え、さらに 2 も無理数であることを発見した。したがってルジャンドルは  の無理性よりも強い結果を示した。
20世紀には、初等的な微分積分学の知識のみを用いた証明が発見された。そのうち最もよく知られたものは、カナダ出身のイヴァン・ニーベンが1947年に発表した証明である。それ以前の1945年にも、イギリスのMary Cartwrightが似た証明を与えている。彼女はそれを公表しなかったが、後にハロルド・ジェフリーズの著書に収録された。1949年、日本の岩本義和は、ニーベンのアイデアを用いて 2 が無理数であることの初等的な証明を与えた。
1978年、フランスのロジェ・アペリーは全ての立方数の逆数和

が無理数であることを示した（アペリーの定理を参照）。この値は、リーマンゼータ函数

の s = 3 における値 ζ(3) である。同様の手法で、彼は全ての平方数の逆数和

すなわち ζ(2) も無理数であることを示した。この極限は  に等しい、という事実をすでにレオンハルト・オイラーが示していたので（バーゼル問題を参照）、これはルジャンドルが示したことと同値である。すなわち、アペリーの証明は 2 が無理数であることの別証明になっている。

**証明**
本節では、ニーベンの証明を紹介する。原論文は必要最低限の記述しかないが、ここではいくらか解説を加えている。円周率  は、正弦関数 sin x の正の零点の中で最小のものとする。証明は背理法による。すなわち  が有理数であり　（a, b は正の整数）と表せるものと仮定して、それから矛盾を導く。
自然数 n に対して、実関数 fn(x) を

で定義する。さらに、

とおく。ここで、f(k) は f の k 階微分を表す。
補題 1：Fn(0) は整数である。
証明：fn(x) の定義式を二項展開すると、

fn(k)(x) に x = 0 を代入することを考える。
k  0 かつ sin x > 0 である（ は正弦関数の正の零点のうち「最小の」ものであることに注意）。ゆえに、fn(x) sin x > 0, 補題 3 より Fn(0) > 0 である。次に、この Fn(0) を上から評価する。

より、

を得る。0 ≤ x ≤  で 0 ≤ sin x ≤ 1、補題 3 より、

ここで、自然数 n は任意である。一般に、 が成り立つ。したがって、十分大きな n に対して 0 2 が 0 でない有理数ならば、cos s は無理数である。1=cos π = −1 は有理数であるから、π2 ≠ 0 は無理数である（したがって π も無理数である）。
Zhou–Markov は π が無理数であることの別の初等的な証明も与えている。
ニーベン・インケリの定理の証明を次に示す。
整数 n ≥ 0 に対して

とおき

とおく。 のときの積分をすると

である。各積分を1回ずつ部分積分することにより、n > 0 に対して次の漸化式を得る。

これらより、I n , J n , K n , L n は、すべて

の形になる。ただし、u n ( R ) と v n ( R ) は整数係数の  の多項式で、次数は高々 2 n + 1 である。

だと仮定すると

である。ところが

なので矛盾である。したがって、I n , J n , K n , L n のうち少なくとも1つは、無限に多くのゼロでない項を持つ。それを M n とおく。
さて

が有理数で

も有理数だと仮定する。すると、qb 2n + 1 Mn は整数で、n → ∞ のとき限りなく小さくなる。したがって十分大きな n に対して、 となり、 となる。これは矛盾である。ゆえに、ニーベン・インケリの定理が証明された。

**G.H.Hardy と E.M.Wright の証明**
正の整数をnとし、cmを整数とするとき

とする。0 0 の最小値の2倍を用いるものとする。リンデマンの定理の系として、代数的数  に対する cos a は超越数である。リンデマンの定理の系の対偶として、cos a が代数的数であるとき、a は  か超越数である。円周率の定義とリンデマンの定理の系の対偶より π は超越数であり、無理数である。

**より進んだ結果と未解決問題**
ルジャンドルは  が無理数であることを示したが、現在では π の累乗は全て無理数であることが知られている（実は円周率は超越数であり，（非零有理数をべき指数とする）超越数のべき乗も超越数になるので（非零有理数をべき指数とする）円周率のべき乗は超越数になる。そうして超越数は無理数である）。実際、ドイツのフェルディナント・フォン・リンデマンは、1882年に π が超越数であることを示した。これは、さらに一般的なリンデマンの定理の特別な場合である。この定理は、円周率のみならず、ネイピア数 e, 2の自然対数 log 2, 1 の正弦 sin 1 などが超越数であることを導く、非常に強力なものである。また、Yuri Valentinovich Nesterenkoは π と eπ が Q 上代数的独立であることを示した。この事実は、π が無理数であることや超越数であることを内包している。
これらの進んだ結果が知られているにもかかわらず、円周率の性質が十分判明したとはいえない。例えば、その（任意の記数法において）小数展開の数字列が十分に「乱数的」であるといえるか（「真の乱数」による乱数列と、何か異なった性質がありはしないか）、例えば正規数であるか、という問題は（そうであろうとは一般に信じられてはいるが）いまだに未解決である。また、 や  + e のような単純な定数についても、無理数であるかどうかも分かっていないようなものがある。

**脚注**

**参考文献**
M. Aigner and G. M. Ziegler, Proofs from the Book, 3rd edition, Springer, 2003. ISBN 3540404600
**蟹江幸博訳『天書の証明』シュプリンガー・フェアラーク東京、2002年（2nd edition の訳）ISBN 443170986X
*P. Beckmann, History of Pi, 3rd edition, St. Martin's Press, 1971 ISBN 0312381859
**田尾陽一・清水韶光訳『 の歴史』筑摩書房、2006年 ISBN 4480089853
*E. Hairer and G. Wanner, Analysis by Its History, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1996 ISBN 0387945512
**蟹江幸博訳『解析教程』シュプリンガー東京、2006年（上巻）ISBN 4431712135（下巻）ISBN 4431712143
*H. Jeffreys, Scientific Inference, 3rd edition, Cambridge University Press, 1973 ISBN 0521084466
*小平邦彦編『数学の学び方』岩波書店、1987年 ISBN 4000055119
*url=http://www.morikita.co.jp/shoshi/ISBN978-4-627-06091-3.html - 20～21頁に円周率の無理性の証明が掲載されている。

**関連項目**
ネイピア数の無理性の証明
*円周率が22/7より小さいことの証明|円周率が7より小さいことの証明