アーベル圏

アーベル圏（アーベルけん、abelian category）とは（コ）チェイン複体のホモロジー/コホモロジーと層のコホモロジーの双方を展開するのに十分な構造を備えた圏である。
アーベル圏となる圏の具体例としてはアーベル群の圏や環上の加群の圏、アーベル圏上の（コ）チェイン複体の圏、およびアーベル圏に値を取る前層や層の圏が挙げられる。
アーベル圏の著しい性質として加法圏になる事、すなわちアーベル圏の対象間の射のクラスがアーベル群になる（事に加え、いくつかのよい性質を満たす）事が挙げられる。
アーベル圏が小さい圏であればアーベル圏は加群の圏に埋め込める（ミッチェルの埋め込み定理）。よって特に加群の圏で成立する事実、例えば5項補題や蛇の補題のようにホモロジー代数を展開する上で必須となる補題を満たす。
マックレーンはグロタンディークが1958年の論文1957でアーベル圏を定義したとするが、別の文献によれば、アイレンベルグの弟子の訳語疑問点範囲|デイビット・バックズバウム|date=2023/12/22が1955年の博士論文で「exact category」の名称でこの概念を提案し、これを知ったグロタンディークが「アーベル圏」という名前でこの概念を広めた。

**加法圏**
上述のようにアーベル圏の著しい性質として加法圏になる事が挙げられるので、本節ではアーベル圏を導入する準備として、加法圏の定義とその性質を述べる。

**定義**
加法圏は以下のように定義される：

**特徴づけ**
加法圏の1番目の条件は以下のようにも言い換えられる：加法圏の２番目の条件は以下のようにも言い換えられる：ここで複積とは以下のように定義される概念である：実は次が成立する：

**アーベル圏**
本節ではまずアーベル圏の定義を述べ、次にアーベル圏が加法圏になる事を見る。そしてアーベル圏上のホモロジー代数について述べ、最後にアーベル圏が小さい圏であれば加群の圏に埋め込める事を見る。

**定義**
アーベル圏は以下のように定義される。
環Rをfixするとき、加群の圏|左R-加群の圏1=R-Modはアーベル圏である。よって特に-加群の圏、すなわちアーベル群の圏1=Abはアーベル圏である。それ以外の具体例は後述する。

**像と余像**
アーベル圏では射の射の核と余核の存在が保証されているので、以下の定義ができる：
がR-加群の圏の場合はfの余核Cはなので、の核は通常の意味でのfの像に一致する。一般のアーベル圏の場合も、像kは圏論的な意味での像の定義を満たす。
像と双対的に余像も定義できる：
「核の余核」という定義より、がR-加群の圏の場合、余像は通常の意味での余像に一致する。一般のアーベル圏の場合も圏論的な意味での余像の定義も満たす。

**単射と全射**
アーベル圏では単射と全射を定義でき、これらはそれぞれモニック射、エピック射に一致する：

**アーベル圏は加法圏**
アーベル圏の重要な性質として、アーベル圏が加法圏になる事が挙げられる：
アーベル圏の定義から、零対象の存在性と積の存在性は明らかに従うので、にアーベル群の構造が入ることのみ示せば良い。ここでは上の加法の定義を述べるにとどめ、加法がアーベル群の公理を満たすことの証明は略す。

**準備**
に加法を定義するためにいくつか記号を定義する。アーベル圏の対象C、Aに対し、AとA自身との積をとし、を2つの射とするとき、
   such that  , 
となるものが積の普遍性から一意に存在する。同様に余積と2つの射に対し、射
  such that , 
となるものが余積の普遍性から一意に存在する。

**加法の定義**
、Bをアーベル圏の2つの対象とすると、自然な写像
 
は同等射になる。そこでこれら二つを同一視し、2つの射に対し、
 
 
とすると、以下が成立する：
上記の定理からアーベル圏は加法圏である事が従う。

**ホモロジー代数**
アーベル圏には零対象0があり、しかも像、核、および余核を定義できるので、アーベル圏上のチェイン複体を
  such that  for 
により定義でき、さらにその完全性
   for 
を定義できるなど、ホモロジー代数を展開するに十分な性質を満たしている。
特にホモロジー代数で必須となる以下の補題はアーベル圏でも成り立つ：- 5項補題- 蛇の補題- ジグザグ補題- Horseshoe lemma

**R-加群の圏への埋め込み**
アーベル圏はConcrete categoryとは限らないので、一般的にはアーベル圏の対象Aに対して「Aの元」という言葉は意味を持たない。しかしアーベル圏が小さい圏であれば、アーベル圏はR-加群の圏に埋め込むことができ、したがって埋め込み先で「Aの元」を考える事ができる：
ここで「完全」は以下のように定義する：
なお、関手が完全であれば、３項のみならず任意の長さの完全系列に対して同様の事が成り立つ事を容易に示せる。
上記の定理からわかるように、アーベル圏の図式に関する定理を示したい場合はR-加群に埋め込んだ上でその定理を証明する事ができる。よってR-加群の図式に対して成り立つ性質、例えば前述の５項補題や蛇の補題は任意のアーベル圏で成立する。

**具体例具体例の章**
前述のように環Rに対し加群の圏|左R-加群の圏1=R-Modはアーベル圏であり、特にアーベル群の圏1=Abはアーベル圏である。また有限生成なアーベル群の圏や捩れアーベル群の圏もアーベル圏であるが、捩れなしのアーベル群の圏は（余核は捩れなしとは限らないので）アーベル圏ではない。よってアーベル圏の充満部分圏はアーベル圏とは限らない。
アーベル圏の定義は射の向きを反対にしても不変なので、以下が成立する：
前述のように左R-加群の圏1=R-Modはアーベル圏なので、上記の定理から右R-加群の圏1=Mod-Rもアーベル圏である。
アーベル圏上でチェイン複体を定義できる事をすでに見たが、チェイン複体のなす圏はアーベル圏になる：アーベル圏の双対もアーベル圏になる事から上のコチェイン複体の圏もアーベル圏になる。以上の事からR-加群上のホモロジーやコホモロジーをアーベル圏に一般化できる。
アーベル圏上の前層や層もアーベル圏になるので、層係数のコホモロジーもアーベル圏上で展開できる：アーベル圏の前層がアーベル圏になるのは下記の事実から従う：

**注**

**出典**

**注釈**

**文献**

**参考文献**
cite book|和書 |title=ホモロジー代数 |date=1990/11/8 |publisher=岩波書店 |ref=河田 |author=河田敬義 |series=岩波基礎数学選書 |isbn=978-4000078047
*Cite book|洋書 |title=Categories for the Working Mathematician |date=2013/4/17 |publisher=Springer Science+Business Media |isbn=978-1-4757-4721-8 |volume=5 |author=Saunders Mac Lane |series=Graduate Texts in Mathematics |ref=MacLane |edition=second
*edition=second
*ref=玉木

**原論文**
 pages=1–34- Citation | last1=Grothendieck | first1=Alexander | author1-link=Alexander Grothendieck | title=Sur quelques points d'algèbre homologique | mr=0102537 | year=1957 | journal=Tohoku Mathematical Journal | issn=0040-8735 | volume=9 | pages=119–221|url=http://projecteuclid.org/euclid.tmj/1178244839|洋書|series=Second Series|doi=10.2748/tmj/1178244839|doi-access=free|ref=Grothendieck

**その他の文献**
 pages=1–34-  year=1964- url=http://projecteuclid.org/euclid.tmj/1178244839- Citation|洋書|title=Exact categories and duality|author=David Buchsbaum|year=1955|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=80|issue=1|pages=1–34|doi=10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6|jstor=1993003|issn=0002-9947|mr=0074407|doi-access=free-  year=1973

**関連項目**
導来圏
*ホモロジー代数
*加法圏