スターリング数

スターリング数（スターリングすう、Stirling number）は、上昇階乗冪 (rising factorial) や下降階乗冪 (falling factorial) を数値の冪乗と関係づけるための級数の展開係数として、イギリスの数学者James Stirling (mathematician)が1730年に彼の著書 Methodus Differentialis で導入した数である。スターリング数は第1種スターリング数と、第2種スターリング数に分類される。第1種スターリング数はべき乗から階乗への変換に、第2種スターリング数は階乗からべき乗への変換に現れる。また、スターリング数は組合せ数学において意味をもった数値を与える。

**第1種スターリング数**
第1種スターリング数 (:en:Stirling numbers of the first kind)  は、上昇階乗冪  を  のべき級数：

で表現したときの展開係数として定義される。この定義では  である。また、便宜上  と定義する。第1種スターリング数は、

なる漸化式で計算できる。この漸化式は、べき級数の展開係数としての定義から導出できる。第1種スターリング数の中で、簡単な数式で書ける成分として、

が挙げられる。なお、 は二項係数（二項定理を参照）である。これらは上記の漸化式を用いれば証明できる。特に、第1の関係式は、 であることから導くこともできる。上に示した漸化式に従い、第1種スターリング数は下表のように計算される。なお、表中の空欄に位置する数値はゼロであると解釈する。
下降階乗冪  も第1種スターリング数を含む展開係数を伴い、 のべき級数で表現できる。具体的には、

と書けるので、展開係数は第1種スターリング数に符号補正  を施した値である。この展開式は、

であることに注意すれば容易に証明できる。

**第1種スターリング数の性質**

第1の関係式は、 から導かれる。第2の関係式は  から導かれる。第3の関係式は  に関して、 であることから導かれる。
第1種スターリング数はベルヌーイ数  と次のような関係がある。

第1の関係式は、上昇階乗冪の和の公式：

から導くことができる。第2の関係式は、第1の関係式に第1種スターリング数の漸化式を適用すれば導かれる。

**組み合わせ数学における意味**
第1種スターリング数  は、組合せ数学において、 個の要素を  個の巡回列に分割する組み合わせの数を与える。巡回列は山手線の駅のように繰り返される要素を示したデータ列である。ここでは、巡回列を  のように書こう。この場合、0, 2, 1, 3の順に数値が繰り返される場合を意味する。巡回列の場合、順列ではあるが  と  のように要素を巡回置換した巡回列どうしは同一とみなす。したがって、 個の要素で構成される巡回列の組み合わせは  通りである。また、 は1個の要素で構成される巡回列であると考える。
例として4個の要素を巡回列2個に分割する組み合わせを考えよう そのような分割においては、構成要素が1個と3個の巡回列に分割する組み合わせと、構成要素が2個と2個の巡回列に分割する組み合わせがある。前者の分割法では、4個の要素から、単独で巡回列をなす要素1個を選び、残りの3個の要素で巡回列を作る組み合わせを考えればよい。要素4個から1個を選ぶ組み合わせは4通りであり、3個の要素から巡回列を作る組み合わせは2通りである。したがって、前者の分割法による組み合わせは全部で8通りとなる。後者については、4個の要素から巡回列をなす2個を選び、それぞれ2個の巡回列の組み合わせを考えればよい。要素4個から2個を選ぶのは6通りの組み合わせがあり、2個の要素が巡回列は1通りしかない。しかし、得られる2個の巡回列は同一構造の巡回列なので、6通りの組み合わせからその自由度を補正する必要がある。つまり、2分の1するということであり、後者の分割法による組み合わせは3通りである。つまり、4個の要素を巡回列2個に分割する組み合わせは全部で11通りとなる。この数値は  と一致する。そのような組み合わせをすべて列挙すると以下のようになる。

上で説明した直接的な順列の作り方のほかに、4個の要素から巡回列2個を作る方法として次の手順を考える。手順1として、3個の要素から巡回列1個を作り、4番目の要素を単独要素の巡回列として追加する。手順2として、3個の要素から巡回列2個を作り、4番目の要素を既に作られた巡回列に追加する。手順1では、3個の要素から巡回列を作る組み合わせとして2通りが可能である。手順2では、3個の要素から巡回列2個を作る組み合わせが3通りある。さらに、4番目の要素を既存の巡回列に挿入する組み合わせは3通りずつあるので、手順2による組み合わせは9通りとなる。よって、手順1と手順2による組み合わせの合計として11通りになる。
この考え方を一般化し、 個の要素から 巡回列  個を作るには、手順1として、 個の要素から 巡回列  個を作った後、 番目の巡回列として  番目の要素を単独で追加する。その組み合わせの数は、 個の要素から 巡回列  個を作る組み合わせの数に等しい。手順2として、 個の要素から巡回列  個を作った後、 番目の要素を既存の巡回列に挿入する。その組み合わせの数は、 個の要素から 巡回列  個を作る組み合わせの数を  倍した値となる。手順1と手順2の組み合わせの和であることを考えると、 個の要素から 巡回列  個を作る組み合わせの数は第1スターリング数の漸化式で与えられることがわかる。したがって、その組み合わせの数は第1スターリング数  に等しい。

**第2種スターリング数**
第2種スターリング数 (:en:Stirling numbers of the second kind)  は、 を下降階乗冪  の級数：

で展開したときの展開係数として定義される。この定義では、 である。便宜上、 と定義する。第2種スターリング数は

なる漸化式で計算できる。この漸化式は、上記の級数展開による定義から導出できる。その漸化式に従うと、第2種スターリング数は下表のよう計算される。
第2種スターリング数  は、第1種スターリング数に符号補正を施した  に対して逆行列の関係、すなわち、

の関係を満たす。ただし、 とする。また、 はクロネッカーのデルタである。この関係は、 を下降階乗冪  で展開した数式に対し、 を  のべき級数で展開すれば導出できる。べき乗  は 上昇階乗冪 
で展開した場合も、第2種スターリング数を含む展開係数を伴う。その展開した結果は、

となり、展開係数は第2種スターリング数に符号補正  を施した値である。この展開式は、 であることに注意すれば導出できる。

**第2種スターリング数の性質**

第1の関係式は第2種スターリング数の漸化式から導出できる。第2の関係式は、 であることから導出できる。第3の関係式は  から導出できる。
第2種スターリング数もベルヌーイ数との関係を示すことができる。

第1の関係式は、第1種スターリング数とベルヌーイ数の関係式から導出できる。第2の関係式は、第1の関係式に第2種スターリング数の漸化式を適用すれば導出できる。さらに、第2種スターリング数は公式:

によって一般項が計算できる。しかし、この公式も総和記号を含んでいるため、漸化式よりも便利な公式とは言いがたいが、この公式をベルヌーイ数との関係式（第2の関係式）に代入すればベルヌーイ数の一般項を得ることができる。

**組み合わせ数学における意味**
第2種スターリング数  は、組合せ数学において、番号づけされた  個の要素をグループ  個に分割する組み合わせの数を与える。分割する要素は番号付けされているので個別に区別できるが、グループは順序を特に区別しないものとする。選択された要素を  と書いた場合、 のように要素を置換した列も同一であるとみなす。分割されたグループに含まれる要素の数は均等である必要はなく、1個の要素しか含まないグループがあってもよいとする。要素4個をグループ2個に分割するには、要素が1個と3個のグループに分割する場合と、要素が2個と2個のグループに分割する組み合わせが挙げられる。前者の分割法では、要素4個から単独グループをなす要素1個を選ぶ組み合わせ、すなわち、4通りだけが存在する。後者の分割法では、要素4個から一方のグループを構成する2個を選ぶ組み合わせを考えればよい。その組み合わせは6通りあるのだが、分割される双方のグループが要素2個で構成されることから、グループ間に対称性がある。その対称性から2の自由度がある。その自由度を補正すると、後者の分割法は3通りの組み合わせがあることになる。したがって、要素 0, 1, 2, 3 をグループ2個に分割する組み合わせは、全部で以下の7通りがある。

上で列挙した要素4個をグループ2個に分割する組み合わせは、次のように構成することもできる。手順1として、要素3個をグループ1個に分割し、4番目の要素を第2のグループとして単独で追加する。手順2として、要素3個をグループ2個に分割し、4番目の要素をどちらかのグループに挿入する。手順1で構成される組み合わせは、要素3個をグループ1個に分割する組み合わせの数:1通りに等しい。手順2で構成される組み合わせは、要素3個をグループ2個に分割する組み合わせの数:3通りに対して、4番目の要素を2つのグループのどちらかに挿入する組み合わせ（2 通り）があるので、全部で6通りである。手順1と手順2による組み合わせの和は7通りとなり、上で列挙した組み合わせの数と一致する。
これを一般化して、要素  個をグループ  個に分割するには、次の2つの手順で組み合わせを作ればよい。手順1として、要素 個をグループ  個に分割し、 番目の要素を  番目のグループとして単独で追加すればよい。手順2として、要素  個をグループ  個に分割し、 番目の要素を  個のグループのどれかに挿入する。手順1で構成される組み合わせの数は、要素  個をグループ  個に分割する組み合わせの数に等しい。手順2で構成される組み合わせの数は、要素  個をグループ  に分割する組み合わせの数の  倍に等しい。したがって、手順1と手順2で構成される組み合わせの和として、求める組み合わせの数は第2種スターリング数の漸化式で与えられる。要素  個をグループ  個に分割する組み合わせは、第2種スターリング数  で与えられる。

**脚注**

**関連項目**
 Stirling polynomials- Stirling transform- 集合の分割- ベル数- 階乗冪

**外部リンク**
 スターリング数の漸化式と3つの意味