代数的データ型

代数的データ型（だいすうてきデータがた、algebraic data type）とはプログラミング、特に関数型プログラミングや型システムにおいて使われるデータ型である。それぞれの代数的データ型の値には、1個以上のコンストラクタがあり、各コンストラクタには0個以上の引数がある。
代数的データ型の値（データ）の感覚的な説明としては、引数で与えられた他のデータ型の値を、コンストラクタで包んだようなもの、である。コンストラクタに引数がある代数データ型は複合型（他のデータ型を組み合わせて形成する型）である。

**概要**
Haskellにおける、葉に整数型の値を持つ（分岐は部分木しか持たない）、二分木の例で説明する。以下のようなdata宣言で、データ型を宣言する。
data Node = Leaf Integer | Branch Node Node
deriving (Show)  -- 表示させて確認するために付加してあるもので、必須ではない。
この宣言でNodeという名前の型を宣言している（Haskellでは型名の先頭は大文字でなければならない）。縦棒（"|"）で区切って、各コンストラクタによる形を並べる。LeafとBranchはコンストラクタ（データコンストラクタ）である。コンストラクタLeafは1個のIntegerを引数として取り、Branchは2個のNodeを引数として取る（再帰データ型の例にもなっている）。Haskellではコンストラクタの名前も、先頭は大文字でなければならない（ここでは避けたが、型とコンストラクタに同じ名前を使っても構わない）。
Haskellインタプリタghciで、この型の値を入力し表示させた例を示す。
*Main> Leaf 1
Leaf 1
*Main> Branch (Branch (Leaf 1) (Leaf 2)) (Branch (Leaf 3) (Leaf 4))
Branch (Branch (Leaf 1) (Leaf 2)) (Branch (Leaf 3) (Leaf 4))
中のデータにアクセスするにはパターンマッチングを使う。ここで定義した型の木の深さを返す関数の例で次に示す。
depth tree = case tree of
Leaf _     -> 1
Branch a b -> 1 + max (depth a) (depth b)

**応用**
基本的な代数データ型としては、多くの関数型言語において、言語組み込みのリスト型が用意されており、空リストのためのコンストラクタに相当するリテラルと、追加したい要素と残りのリストを引数に取るコンストラクタ（Lispの:en:cons）に相当する、中置記法風のコンストラクタ（ ":" など）が言語組み込みで用意されている。
代数的データ型の特殊な例として、直積型（1つのコンストラクタだけを持つ）と列挙型（引数なしの多くのコンストラクタを持つ）がある。
前述の二分木の例において、コンストラクタLeafは Integer -> Node という型を、コンストラクタBranchは Node -> Node -> Node という型を持つ。型のみを見た場合、関数と同じ型をしている。しかし、関数とは違いコンストラクタは単にそこにあるだけのものであり、評価（実行）されるものではなく、オブジェクト指向言語におけるコンストラクタとは異なる。式として見た場合、関数に引数を適用する式は簡約可能だが、コンストラクタによる式は全体としてはそれ以上簡約できない、値をあらわす式である。
関数型言語で抽象データ型を実現する手法のひとつに、モジュールシステムによるスコープ制限を利用して、コンストラクタを掩蔽し、型のみを公開する、という手法がある。データコンストラクタそのものの代わりに、相当する引数をとって、目的の型の値を返すような、コンストラクタを抽象化した関数を定義し、そちらの関数を公開する。この関数が、オブジェクト指向言語におけるコンストラクタに相当する。

**他の言語での例**
OCamlではヴァリアント型と言い、前述の二分木と同等のデータ型は、次のように書く。
type node = Leaf of int | Branch of node * node
また、伝統的なMLではdatatypeというキーワードを使う。いずれも、ofの後に1個しか型を指定できないので、Branchのように組み込みの直積型であるタプルを併用する必要がある。MLでもコンストラクタの先頭は大文字だが、型名の先頭は小文字である。
Haskellの場合と同様にして、インタプリタ上で値を作る例と深さを返す関数の例を示す。
# Leaf 1;;
- : node = Leaf 1
# Branch (Branch (Leaf 1, Leaf 2), Branch (Leaf 3, Leaf 4));;
- : node = Branch (Branch (Leaf 1, Leaf 2), Branch (Leaf 3, Leaf 4))
let rec depth tree = match tree with
Leaf _        -> 1

Branch (a, b) -> 1 + max (depth a) (depth b)
Visual Prologでは次のように書く。
domains
tree =
empty();
leaf(integer Leaf);
node(tree Left, tree Right).
この例では、leafとnodeの他に、空の木を示すemptyがある。

**理論**
集合論において代数的データ型と等価なものとして直和がある。この集合の各元はタグ（コンストラクタと等価）とそのタグに対応する型のオブジェクト（コンストラクタの引数と等価）で構成される。
一般に代数的データ型は直積型の総和であり、再帰的に定義されることもある。各コンストラクタは直積型のタグとなって他と区別されるか、1つしかコンストラクタがない場合は、そのデータ型自体が直積型となる。さらにコンストラクタの引数の型が直積型の要素となる。引数のないコンストラクタは空に対応する。データ型が再帰的であるなら、その直積型の総和は再帰データ型となり、各コンストラクタによって再帰データ型が構成される。
例えば、以下のような Haskell のデータ型
data List a = Nil | Cons a (List a)
を型理論的に表すと次のようになる。
コンストラクタは次のようになる。
この Haskell の List 型を型理論の別の形式で表すと、次のようになる。
と  が2つの定義で順序が入れ替わっている点に注意されたい。前者の形式は再帰型を本体とする型関数の定義であり、後者は型の再帰関数定義である。型変数  は、これが  のような基本型ではなく関数型であることを示している（ はギリシャ文字で "f" に相当する）。また、型本体の中の引数型  に関数  を適用しなければならない。
List の例の用途から考えると、これら2つの定式化に大きな違いはないが、後者の形式は「入れ子データ型; nested data type」と呼ばれる表現を可能とする。入れ子データ型とは、オリジナルとパラメータ的に異なる再帰型を派生させるものである。詳しくは、 Richard Bird、Lambert Meertens、Ross Paterson らの研究を参照されたい。

**参考文献**
  Algebraic data type in The Free On-line Dictionary of Computing, Editor Denis Howe.