リアプノフ指数

離れていく2つの軌道とリアプノフ指数の関係
リアプノフ指数（リアプノフしすう、Lyapunov exponent）とは、力学系においてごく接近した軌道が離れていく度合いを表す量である。リャプノフ指数とも表記されるp=1。ロシア人科学者 Алекса́ндр Ляпуно́в（アレクサンドル・リプノーフ、Aleksandr Lyapunov）にその名をちなむ。
系の相空間上の2つの軌道について考える。2つの軌道上の時刻 t における点の距離をベクトル δ(t) として、初期状態 t = 0 には、これらの軌道は距離 δ(0) だけ離れているとする。δ(t) を近似的に次のように表すpp=349–350p=86。

ここで はユークリッドノルムを意味する。上式で λ > 0 の場合は軌道は離れていき、 λ  1）の場合、すなわち相空間が k 次元である場合は各次元ごとに固有のリアプノフ指数を持つp=91。これらのリアプノフ指数の組をリアプノフスペクトラムと呼びp=83、そのうちの最大のリアプノフ指数を最大リアプノフ指数と呼ぶp=146。各々のリアプノフ指数を見れば正であったり負であったりするが、最大リアプノフ指数が正であれば、その系はカオスの特徴の1つである初期値鋭敏性を持つといえるp=47。

**1次元離散時間力学系のリアプノフ指数**
まず、単純な1次元離散力学系の場合のリアプノフ指数について説明する。を系の状態変数、を離散時間としたとき（ここではは0を含む）、 写像 xn+1 = f(xn) のリアプノフ指数 λ は次のように定義されるp=401p=161。

ここで、ln は自然対数を意味する。上式は次のように導入される。
初期位置を x0 とする。さらに、x0 からの微小量 λ0 ずれた点 x0 + λ0 を考える。リアプノフ指数では x0 から出発する軌道と x0 + λ0 から出発する軌道がどれだけ離れていくかを定義したい。ずれは時間発展とともに変化していくと考えられるので、時刻 n におけるずれを λn で表す。n = 1 でのずれはとなり、n = n でのずれも同様に、と得られる。ここで、fn(x)は f(x)の n 回反復写像を表す。
本記事の冒頭で定義したように、λn が n に指数関数的に比例するとして、

と表すp=400。両辺の自然対数をとると、

が得られる。ただし、初期のずれ量 λ0 は微小量としたが、実際にはリアプノフ指数は初期のずれ量を無限小とした λ0 → 0 の極限値で定義されるp=157。よって、上式は

となる。上式の絶対値の中身に注目すると、

とできる。ここで (f n)'(x) は、fn(x) の微分を意味する。は総乗を意味し、最右辺は合成関数の微分の連鎖律により得ることができるp=87。よって、

となる。さらに上式において n → ∞ とした極限値が存在するとき、その極限値を初期値 x0 から出発する軌道のリアプノフ指数と呼ぶpp=117–118。

1968年に発表されたValery Oseledecの多重エルゴード定理により、n → ∞ の極限値が存在すること、ほとんどすべての初期値 x0 で λ は同じ値に収束することが証明されているp=165。対象とする力学系のアトラクターの吸引域内の初期値であれば、全ての初期値で同じ λ の値に収束するp=171。

**高次元力学系のリアプノフ指数**
力学系が k 次元の相空間を持つ高次元力学系の場合、各方向に別々のリアプノフ指数が存在する。すなわち高次元力学系であれば、軌道のずれは、ある方向には離れていくが、別の方向では縮まっていく状況がありえるp=1。よって k 個のリアプノフ指数を得ることができる。このような k 個のリアプノフ指数の組を、リアプノフスペクトラム（Lyapunov spectrum）と呼ぶp=181。
 
リアプノフスペクトラムでは一般に λ1 から値が大きい順に並べるp=115。最大値である λ1 を、特に最大リアプノフ指数（maximal Lyapunov exponent, maximum Lyapunov exponent）と呼ぶp=168。記事冒頭で述べたように、相空間上の2つの軌道上の時刻 t における点の間の距離、すなわちずれを δ(t) とする。リアプノフスペクトラム λi は以下のように定義されるp=165p=265。

一般に λi は初期値 x(0) に依存するp=165。しかし1次元離散力学系の場合と同様に、ほとんどすべての初期位置 x0 から同一の λi を得ることができるp=165。λi の定義式にある αi は、次式で定義される k × k 正定値行列 Λ の固有値であるp=165。

さらに M は、δ(t) の解を次の形式で表したときの δ(0) に対する乗数として得られるpp=164–165p=265。

系が連続力学系の場合、 k 個の状態変数 {x1, x2, ..., xk}、常微分方程式 {f1, f2, ..., fk} から成る常微分方程式系が与えられるp=17。f が線形近似可能な場合、f のヤコビ行列を用いて、

と表すことができるp=167。また、系が離散力学系の場合、 k 個の状態変数、常差分方程式から成る差分方程式系 x(t + 1) = f(x(t))が与えられるp=22。同じく、差分方程式系 f が線形近似可能な場合、f のヤコビ行列を用いて、

と表すことができるp=164。ここに、J は以下に示すようなヤコビ行列による線形写像で、軌道 x(t) に依存し、すなわち初期値 x(0)、時間 t に依存して変化するp=163。

常微分方程式系の場合は、を解いてを得ることで、上記の定義で出てきた正方行列 M を得ることができるp=84。差分方程式系の場合は、J を t 回繰り返し適用することで次のような δ(t) と δ(0) の関係式で書き表すことできるので、M は Jn の 0 から t − 1 までの総乗として得ることができるp=164。


**単位**
対数の底に 2 を使用して計算した場合には、ビット/時間を単位として使用することがある。
これは、λ > 0 の場合、単位時間あたりλビットの情報が失われ、λ i がそれらの値の大きさで降順に並べられているとしたとき、次のようなフラクタル次元の一種 DL が定義されるp=169。

ここで、 ξj は、

であり、j は  ξj が負にならない最大値、すなわち、リアプノフ指数を λ1 + λ2 + λ3 ...と順に足していったときに、その総和が負となる直前における、足し合わせたリアプノフ指数の個数である。ξj ≥ 0 を満たす j が存在しないときは、DL = 0、系の次元数 k と j が一致する場合は、DL = k とするp=12。
このように定義されたフラクタル次元 DL は、リアプノフ次元 （Lyapunov dimension）と呼ばれる。リアプノフ次元は、James L. KaplanとJames A. Yorkeにより1979年に提案された。そのためカプラン・ヨーク次元（Kaplan–Yorke dimension）とも呼ばれ、記号 DKY とも記される。
上式で定義されるリアプノフ次元は、フラクタル次元の1つである容量次元の考え方をもとにして、次のように導入される。リアプノフ指数の総和は相空間内の k 次元の体積要素の体積変化率を与えるので、同様に部分和である  ξj から、j 次元までの体積要素は拡大するが、j + 1 次元以上の体積要素は縮小することになる。そのため、アトラクタを収めるためには少なくとも j 次元は必要で、考えられるフラクタル次元の下限を与えている。一方で、j + 1 次元は考えられるフラクタル次元の上限といえる。k 次元相空間上の一辺が d の立方体は、時間発展により各辺 exp(λ1t), exp(λ2t), exp(λ3t),... の直方体に写像されるp=15。ここで、１辺の長さ ε が、

である j + 1 次元立方体の箱を考え、容量次元と同じように、ストレンジアトラクタの不変集合をこの箱を何個も当てながら全体を覆うことを考えるp=16。このとき、覆うのに必要な箱の数 N は、

と推論できるp=16。よって、容量次元と同様の定義から、

となり、j の定義より −λj + 1 = |λj + 1| なので、リアプノフ次元の定義

を得ることができるp=16。
他のフラクタル次元と比較したリアプノフ次元の利点は、リアプノフスペクトラムさえ得ることができれば簡単に計算可能なことであるpp=11–12。また、リアプノフ次元は系の情報量次元の上限を表している。

**脚注**

**注釈**

**出典**

**参考文献**
 Cvitanovi? P., Artuso  R., Mainieri R. , Tanner G.  and  Vattay G. Chaos: Classical and Quantum Niels Bohr Institute, Copenhagen 2005

**関連項目**
エルゴード理論
*リウヴィルの定理 (物理学)
*フロケ理論

**外部リンク**
date=20070107113152 - スカラーペディア百科事典「リアプノフ指数」の項目。
*urlname=LyapunovCharacteristicExponent