平衡点

振り子の運動は、位置真下かつ速度零 (0, 0) の状態と、位置真上かつ速度零 (π, 0) の状態という、2つの平衡点を持つp=201。
微分方程式における平衡点（へいこうてん）とは、独立変数に依らず一定の値となる常微分方程式の解である。同じものは不動点、固定点、臨界点、休止点、特異点、停留点、静止点、危点、平衡解、定常解、定数解、静止解などの名でも呼ばれる4p=22。英語では equilibrium point, fixed point, stationary solution, critical point, rest point などと呼ばれるp=108。力学系的視点では、平衡点とは時間が変化しても動かない相空間上の点を意味する。
平衡点は、微分方程式の解を理解する上で重要で、平衡点を調べることは、微分方程式の解の定性的な振る舞いを知りたいときの最初の手段である。問題の微分方程式が非線形系の場合、解析的な解が得られることはまれだが、非線形系であっても平衡点を求めることなら可能である。
数式では、微分方程式  において  を満たす xe が平衡点である。線形系あるいは線形近似された系の平衡点は、係数行列の固有値によって、平衡点近傍の解軌道が近づくか離れるかといった安定性の問題を判別できる。ハートマン・グロブマンの定理により、平衡点が双曲型平衡点であれば、非線形系の平衡点近傍の振る舞いと線形近似した系の平衡点近傍の振る舞いが、定性的に同じであることが保証されている。

**定義と一般的性質**
微分方程式の独立変数を t ∈ R とし、従属変数を x ∈ Rn とする。このとき、dx/dt が次のような t を陽に含まない自励的な常微分方程式で与えられているとするpp=26–29。
 
ここで、




であり、右肩の &top; は転置行列を意味するp=3。もし従属変数の定義域を Rnの適当な開部分集合 U で考えても一般性は失われないp=1。
上記の微分方程式に対して xe ∈ Rn が
 
を満たすとき、xe を平衡点などと呼ぶp=28。一方で、

を満たす x ≠ xe を通常点などと呼ぶ2p=27。
微分方程式の定義域 Rn や U を力学系では相空間と呼ぶp=12。力学系では、独立変数 t はしばしば時間とみなすp=1。力学系的視点では、平衡点とは時間が変化しても動かない相空間上の点を意味するp=27。微分方程式の解は相空間上で曲線を描くので、これを解軌道などと呼ぶp=107。平衡点も1つの解軌道であるp=108。f が一般的な滑らかな関数であれば、微分方程式の解の存在と一意性の要請のため、平衡点以外の解軌道が有限時間以内に平衡点に到達することはないp=20。ただし、後述のように t → ∞ で平衡点に収束する解軌道はあり得る。
どれだけ時間変化しても解軌道が相空間上のある集合から出ない場合、その集合を不変集合というp=353。平衡点はもっとも単純な閉不変集合であるp=49。またさらに、閉不変集合 M の部分集合で閉不変集合であるのは M と空集合だけであるとき、M を極小集合というp=136。平衡点は極小集合でもあるp=136。

**平衡点の計算例**
(0, 0) と (1, 1) が平衡点で、矢印のベクトル場は解軌道の流れを示す。
が代数的に解けるときは、平衡点 xe を式で書き表すことができるp=163。例えば、

という微分方程式系であれば、

という連立方程式を解くことにより、 と  の2点がこの微分方程式系の平衡点であることが分かるp=34。
方程式の係数が変数で与えられているような例としては、次のローレンツ方程式を挙げるp=104。

ここで、σ, r, b は t に依存しない定数（パラメータ）である。ローレンツ方程式の1つの平衡点は

で、この原点の平衡点はパラメータの値に依存せずに常に存在するp=109。さらに r > 1, b > 0 の条件下で、原点の平衡点 に加え、次の2つの平衡点が存在するp=109。



**平衡点近傍における解軌道の振る舞い、安定性判別**
平衡点は、微分方程式の解を理解する上で重要な役割を果たすp=2。微分方程式系の解の振る舞いを知りたいとき、最初の取っ掛かりとなるのが平衡点の調査である2p=6。相空間の全体での大域的な性質を問題にする場合であっても、平衡点近傍の局所的な性質の解明が基礎となるp=25。平衡点近傍の解軌道の振る舞いを調べ、分類するのが、解軌道の幾何学的構造を理解する第一歩であるpp=49, 72。
とくに、微分方程式のある解軌道とその近くを通る別の解軌道が、任意の時刻 t においても十分近く同士にあるのか、それとも t → ∞ で離れていくかといったような問題は、安定性の問題と言われ、微分方程式の定性理論においてもっとも基本的な問題であるp=138。

**安定性の定義**
δ の円中から出発した解軌道は、半径 ε の同心円中に留まる。
δ の円中から出発した解軌道は、半径 ε の同心円中に留まり、なおかつ平衡点へ収束する。
平衡点 xe の十分近くの初期値を取る解が、全ての時刻 t において xe の近くに留まり続けるようなとき、その平衡点をリアプノフ安定であるというp=141。厳密に言うと、平衡点 xe がリアプノフ安定であるとは、 任意の定数 ε が与えられたときにある定数 δ が存在し、 を満たすような任意の解 x(t) ≠ xe が、全ての t で  を満たすことをいうp=155。ここで、 は相空間に定義されたノルムを表す。リアプノフ安定であるとき、単に安定であるともいうp=105。
一方、リアプノフ安定とは別の安定性の概念もあるp=155。平衡点の近くにある初期点を取る解がその平衡点へ収束するとき、そのような平衡点を吸引的であるというp=95。厳密な定義では、平衡点 xe に対してある定数 δ が存在し、 を満たすような任意の解 x(t) ≠ xe が、t → ∞ のときにx(t) → xe を満たすことを吸引的というp=155。吸引的な平衡点は沈点とも呼ばれる2p=95。
さらに、平衡点がリアプノフ安定なおかつ吸引的であるとき、漸近安定であるというp=156。誤解や混乱を生まないようであれば、漸近安定な平衡点を単に「安定な平衡点」と呼ぶこともあるp=29。平衡点がリアプノフ安定であるが吸引的ではないときは、とくに中立安定な平衡点というp=142。
平衡点がリアプノフ安定ではないとき、あるいは平衡点がリアプノフ安定でも吸引的でもないとき、不安定であるという2p=142。吸引的とは逆に、平衡点近傍の全ての初期値の解が時間経過に従って平衡点から離れるとき、そのような平衡点を反発的であるというpp=36, 50。反発的な平衡点は源点とも呼ばれる2p=95。

**線形系**
問題が次のような定数係数の線形微分方程式であれば、全ての解を厳密に解くことができるpp=142, 144–145。
 
ここで、A は次のような定数を各要素とする n 次正方行列であるp=91。

この線形微分方程式系の初期値を  とすると、一般解は行列の指数関数を使って eAtx0 と表すことができる2p=132。このような線形微分方程式系では、A にかかわらず原点 o はつねに平衡点であるp=99。
線形微分方程式を解く上で中心的役割を果たすのが固有値と固有ベクトルであるp=82。一般に、n 次正方行列 A から導かれる特性方程式

を解くことで、重複も含めて n 個の固有値 λ と固有ベクトル v が得られるp=82。A の固有値 λ の値によって、線形微分方程式系の平衡点 o の安定性は次のように判別できるpp=145, 148。
*全ての固有値の実部が負のとき、平衡点は漸近安定。
*実部が正の固有値を少なくとも1つ以上含むとき、平衡点は不安定。
*全ての固有値が実部が負の固有値と純虚数（実部が零）の固有値から成るとき、平衡点は中立安定。

**ポアンカレの分類**
アンリ・ポアンカレは、次のような2次元自励線形微分方程式の平衡点を、平衡点近傍の解軌道の振る舞いにもとづき分類した2pp=35–36。

この場合、原点  が常に平衡点であるp=27。この系の係数行列を

とし、A の固有値を λ1 および λ2 とする。 λ1 と λ2 の値によって、平衡点 xe は次のように分類される。
File:Phase Portrait Stable Node.svg | 結節点（安定結節点）
File:Phase Portrait Stable Proper Node.svg | 結節点（安定結節点、スターノード）
File:Phase Portrait Unstable Node.svg | 結節点（不安定結節点）
File:Phase Portrait Unstable Proper Node.svg | 結節点（不安定結節点、スターノード）
File:Phase Portrait Sadle.svg | 鞍状点
File:Phase Portrait Stable Focus.svg | 渦状点（渦状沈点）
File:Phase Portrait Unstable Focus.svg | 渦状点（渦状源点）
File:Phase portrait center.svg | 渦心点
結節点、あるいはノード（links=no）
λ1 と λ2 が同符号の実数である（λ1, λ2 1, λ2 > 0）場合の平衡点2pp=129–130。平衡点が結節点のとき、平衡点の周囲の解軌道は、平衡点に向かって回転せずに単調に近づいていくか離れていくかのいずれかである2p=36。λ1 と λ2 の符号が負であれば解軌道は平衡点へ近づいていき、結節点は漸近安定な沈点でもあるp=53。この場合は安定結節点や安定ノードと呼ばれる2p=147。λ1 と λ2 の符号が正であれば解軌道は平衡点から離れていき、結節点は不安定な源点でもあるp=53。この場合は不安定結節点や不安定ノードと呼ばれる2p=147。とくに、 かつ  であるときは、結節点の周囲の解軌道は結節点を通る放射状の直線群となり、スターノードなどと呼ばれる2p=148
鞍状点、鞍点、あるいはサドル（links=no）
λ1 と λ2 が互いに異符号の実数である（λ1 > 0, λ2 1 2 > 0）場合の平衡点3p=199。平衡点が鞍状点のとき、周囲の解軌道には平衡点に向かって近づいていく方向と離れていく方向が同居しているp=53。鞍状点の場合、4本の半直線の解軌道が平衡点へ到達するp=199。2本は t → ∞ で鞍状点へ収束し、もう2本は t → −∞ で鞍状点へ収束するp=36。
渦状点、スパイラル（links=no）、焦点、あるいはフォーカス（links=no）
λ1 と λ2 が互いに共役な実部非零の複素数である（ かつ α ≠ 0）場合の平衡点3p=199。平衡点が鞍状点のとき、周囲の解軌道は対数螺旋群となり、平衡点へ回転しながら近づいていくか離れていくかのいずれかである3p=36。固有値実部 (α) の符号が負であれば解軌道は平衡点へ近づいていき、渦状点は漸近安定な沈点でもあるp=54。この場合は渦状沈点、安定スパイラル、安定焦点と呼ばれる3pp=31, 36。固有値実部 (α) の符号が正であれば解軌道は平衡点から離れていき、渦状点は不安定な源点でもあるp=54。この場合は渦状源点、不安定スパイラル、不安定焦点と呼ばれる3pp=31, 36。
渦心点、あるいはセンター（links=no）
λ1 と λ2 が互いに共役な純虚数である（）場合の平衡点2pp=129–130。平衡点が渦心点のとき、周囲の解軌道は平衡点を中心とする円（閉曲線）群である2p=147。周囲の解軌道は吸引されることも反発することもなく、渦心点は中立安定な平衡点であるp=147。
q とトレース p による2次元自励線形微分方程式の平衡点の分類4p=118
また、A の行列式を  とし、A のトレースを  とする。これらは


というように各係数あるいは各固有値で表されるpp=59–60。したがって、これらの q と p の値によっても平衡点の定性的分類を行うことができ、結節点、鞍状点、渦状点、渦心点の判別は次のようになる4p=119。
*q  0 でかつ
** p2 > 4q であれば、平衡点は結節点
** p2 e とする。xe を原点とする新たな変数を y として導入すると、 である。f が滑らかであれば、f(xe + y) を  xe 周りでテーラー展開し、y の2次以上のオーダーの項を無視することで、
 
という、平衡点近傍で線形近似した微分方程式を得ることができるp=49。ここで、Df(xe) は次のような xe についての f のヤコビ行列である。

と書き換えれば、近似した微分方程式は上記の線形系とまったく同じであるp=112。
そして、平衡点 xe のヤコビ行列 Df(xe) の全ての固有値の実部が零ではない場合、そのような平衡点 xe を双曲型平衡点というp=112。もし平衡点 xe が双曲型平衡点であれば、ハートマン・グロブマンの定理によって、元の非線形微分方程式とそれを線形近似して得られた微分方程式の解は xe の近傍で位相共役であることが知られているp=171。言い換えれば、線形近似の方程式の解は xe の近傍で元の方程式の解と質的に同じであるp=236。
一方で、平衡点 xe のヤコビ行列 Df(xe) の全ての固有値の実部が零（純虚数）の場合、そのような平衡点 xe を楕円型平衡点というp=41。楕円型平衡点は一般的な微分方程式ではまれだが、ハミルトン力学系では珍しくないp=41。2次元線形系であれば、楕円型平衡点とは渦心点を指すp=77。しかし一般的には、楕円型平衡点の近傍の解が閉曲線となることは成り立たず、楕円型平衡点の近傍の解の挙動は複雑であるpp=78–79。
非線形微分方程式のある平衡点が双曲型であれば、ハートマン・グロブマンの定理により、その平衡点周りで線形近似した微分方程式によって安定性を正確に判別することができるp=171。また、平衡点 xe が双曲型であるか否かにかかわらず、Df(xe) の固有値が少なくとも1つ以上の固有値が正であれば、xe が不安定であることも分かるp=113。以上をまとめると、非線形系の平衡点についてもヤコビ行列の固有値にもとづいて次のように判別できる2pp=113–114。
*平衡点 xe のヤコビ行列 Df(xe) の全ての固有値の実部が負の値であるとき、xe は漸近安定。
*平衡点 xe のヤコビ行列 Df(xe) の少なくとも1つ以上の固有値が正のとき、xe は不安定。
しかし、平衡点のヤコビ行列の固有値の実部が負の値と零の値から成るとき、ヤコビ行列だけから安定性を判別することはできないp=113。非双曲型平衡点に対して安定性を議論する一般的方法を与えるのは中心多様体による方法であるp=238。次のような微分方程式系が与えられているとするp=194。
 
 
ここで、



であり、A は全ての固有値の実部が零であるような c 次正方行列、B は全ての固有値の実部が負の値であるような s 次正方行列であるp=194。この場合、平衡点は原点 o に平行移動されているp=239。このような微分方程式系に対しては、平衡点を通る中心多様体およびその中心多様体に制限されたベクトル場を平衡点近傍で計算することで安定性を判別できる3pp=238–243。これらを解析的に厳密解を求めるのは難しいが、中心多様体の定理によって好きな精度で近似的に計算できることが保証されるp=196。
ヤコビ行列の固有値を調べることなく平衡点の安定性を判別する方法としては、リアプノフ関数を見つける方法があるpp=65–66。平衡点 xe を含む開集合 U 上に定義された実数値関数 L(x) が条件
かつ x ≠ xe ならば L(x) > 0
上で 
を満たすとき、L(x) をリアプノフ関数というp=199。条件2の代わりに、
上で 
を満たすとき、L(x) を狭義リアプノフ関数というp=199。平衡点 xe に対してリアプノフ関数が存在するときは、xe はリアプノフ安定であるp=122。平衡点 xe に対して狭義リアプノフ関数が存在するときは、xe は漸近安定であるp=122。ただし、リアプノフ関数を見つける一般的で決まった方法はなく、発見的に試行錯誤して探すしかない2p=216。

**写像の「平衡点」**
一般に、相空間の1点 x ∈ Rn を Rn から Rn へ写す写像 f (x) の n 回反復 f n(x) を考えることで、離散的な時間 n ∈ Z の力学系が定まるpp=26–27。このような離散的力学系に対して  を満たす xe を不動点というp=9。不動点は任意の時間 n に対して  を満たすp=32。
不動点 xe では離散的力学系の解軌道は xe に留まり続けることを意味し、写像の不動点と微分方程式の平衡点は同じような性質を持つp=32。微分方程式の平衡点と同様に、写像の不動点もまた離散的力学系において中心的役割を担うp=338。微分方程式については「平衡点」と呼び、写像については「不動点」と呼び、それぞれを呼び分けることもあれば1p=32、これら2つをまとめて「不動点」や「固定点」や「平衡点」と呼ぶこともある4pp=108, 216。

**出典**

**参照文献**

**外部リンク**
curator = Eugene M. Izhikevich