三角形に関する不等式の一覧

三角形に関する不等式（triangle inequalities）の一覧。辺だけでなく、周長、半周長、角、三角法、面積、内半径、外半径や角の二等分線、頂垂線の長さなども不等式内に含まれることがある。
特に断りのない限り、ユークリッド平面上の三角形の不等式について言及する。

**変数の表記**
以下に、本記事で扱う三角形の各値の表記を並べる。- 三角形の辺長a,b,c- 周長p、半周長s- 角A,B,C（それぞれ辺a,b,cの対角）- 面積T- 中線の長さ- 頂垂線の長さ- 角の二等分線の長さ- 垂直二等分線の長さ（中点から他の辺との交点まで）- 内半径rと傍接円半径- 外半径R

**辺長**
三角不等式または、
変形すれば、ここで右辺は極限値、つまり三角形を線分へ退化させた場合に等号が成立する。また左辺はネスビットの不等式。
 p.250,#82
 p. 260
 p. 261
 p. 261
 p. 261
が鈍角であるとき、
 
が鋭角であるとき、
 
が直角であるとき、ピタゴラスの定理。
 p.1,#74
二等辺三角形が線分へ退化するときこの等号が成立する。
重心が内接円の内側にあるとき、
 p. 153
ただし、三角不等式より、上の式は常に成立する。
 
これは調和平均、相乗平均、相加平均の関係式であるp.267。等号成立条件は1=a=b=c。
ガーファンクルの不等式（Garfunkel's Inequality）によれば、三角形の頂点と、それぞれ内心と重心を結ぶ線分と内接円の交点が成す三角形について、重心の方の三角形の周長は、内心の方の三角形の周長以上である。

**角**
   p. 286
 p.21,#836
 
この式の等号成立条件は三角形が正三角形であるときp.13,#608。
  Thm.1
  p.286
   p. 286
   p. 203
 p.149,#3297
ここで  つまり黄金比。
  p. 286
   p. 286
   
 p.187,#309.2
について、
 
等号成立条件は三角形が頂角60°以上の二等辺三角形であるときCor. 3。
 
等号成立条件は三角形が頂角60°以下の二等辺三角形であるときCor. 3。
 
左辺との等号成立条件は1=B=Cの頂角60°超過の三角形であるとき。右辺との等号成立条件は1=B=Cの頂角60°以下の三角形であるときProp. 5。
次の不等式は角と辺の関係式p. 264。
 
また、1=A=Bと1=a=bは同値Pons asinorum。
外角定理によれば、次の式が成立するp. 261。三角形の内部の点Dについて、
 p. 263

鋭角三角形について、p.26,#954
 
ただし、鋭角三角形については、逆向きの不等式が成立する。
更に鈍角三角形でない三角形についてCorollary 3、
 
等号成立条件は1=∠B=90°。
Klamkinの不等式によれば、任意の実数x,y,zと非負整数nについて、
フランダースの不等式（Flanders's inequality）またはAbi-Khuzam Inequalityによれば、次の式が成立する。
等号成立は正三角形の場合。
フランダースの定理の類似物としてYffの不等式がある。ここでωはブロカール角。

**面積**
Weitzenböck's inequalityによれば、p. 290
 
等号成立条件は三角形が正三角形であるとき。また、この不等式はハドヴィッガー・フィンスラー不等式の不等式の系である。
 
 p. 138
または、p.192,#340.3p. 204
 
最右辺の上界とAM-GM不等式を用いれば、三角形の等周不等式を得る。
  p. 203
これを三角形の周長pに置き換えれば
 
を得る。等号成立条件は正三角形であるとき。また、次式はこの不等式のより強力な不等式である。
 
等周不等式によれば、
更に、ボンネゼンの不等式はこの上の不等式より強力である。
 
また、面積と辺長について
  p. 290p. 138
を得る。等号成立は正三角形。半周長を用いれば次の式が成立する。
 p.111,#2807
また、
 p.88,#2188
オノの不等式は鋭角三角形について成り立つ。
 
内接円の面積と三角形の面積の比について、次の式が成り立つ。
 
等号成立は正三角形。
基準三角形とそれに内接する三角形について、以下の不等式が成立するp. 138。
 
基準三角形と内心三角形DEFについて、以下の不等式が成立するp.18,#762。
 
三角形の重心を通る直線は三角形を、基準三角形の4/9以上の面積を持つ三角形に分ける。

**中線と重心**
中線は頂点と、その対辺の中点を通る直線である。中線の長さについて、次の式が成り立つp. 271
 
さらに、p.12,#589
 
等号成立は正三角形。内半径については次の式が成り立つp.22,#846。
 
中線を含む外接円の弦の長さをとすれば、次の式が成立するp.16,#689。
 
三角形の重心をG、circum-medial triangleを△UVWとすれば、
 
 
が成立するp.17#723。加えて、p.156,#S56
 
鋭角三角形について、p.26,#954
 
ただしRは外半径。鈍角三角形では不等式の向きが逆になる。
を内心と各頂点の距離とすると、p.192,#339.3
 
中線の長さを持つ三角形を作ることができるp. 592。つまり、
 
更に、Coro. 6
 

**頂垂線**
頂垂線の長さについて、次の不等式が成立するp. 274。
 
 
加えて、として222,#67
 
更に、p.140,#3150
 
内角の二等分線の長さを、内半径と外半径をそれぞれR,rとするとp.125,#3005、
 
頂垂線の長さの逆数の長さを持つ三角形を作ることができる。つまり
 

**内角の二等分線と内心**
内角の二等分線の長さ、つまり頂点と、その内角の二等分線と対辺の交点の距離をそれぞれとする。次の式が成立する。
 
他の長さを用いれば
 
となるpp. 271–3。更に、 p.224,#132
 
 p.125,#3005
を内角の二等分線を含む外接円の弦の長さとする。このとき、p.11,#535
 
等号成立は正三角形。また、
 p.14,#628
等号成立条件は三角形が正三角形であるとき。更に、次の式が成立する。
 
内心をIとする。
 p.127,#3033
各辺の中点をL,M,Nとすると、p.152,#J53
 
正三角形でない三角形の内心をI、重心をG、外心をO、Nine-point centerをN、垂心をHとすれば、それらの距離や成す角について以下の式が成立するp.232。
 
 
 
 
 p.233
 p.233, Lemma 3
ただしvは最も長い中線の長さ。
  >   > 90° ,  > 90°.
鈍角三角形について、
 
オイラーによって示された次の式は上の2つ目の不等式より、強力である。
 
内角の二等分線の長さの大小と角の大小は対応するp.72,#114。
 

**垂直二等分線**
以下では、三角形の辺の二等分線の三角形の内部における長さを扱う。ただし とする。このとき、 
 
かつ
 

**任意の点における不等式**

**内部の点**
点Pを三角形の内部の点とする。
 pp. 275–7
更に一般的に、（c）が最短辺とすれば、p. 278
 
トレミーの不等式によれば、p.19,#770
 
を並び替えても成立する。
の三角形の辺に対する垂足をD,E,Fとすれば、p. 278
 
エルデシュ・モーデルの不等式によれば、 
 
等号成立条件は正三角形の場合。
更に強い不等式にバローの不等式がある。∠APB,∠BPC, ∠CPAの二等分線とBC,CA,ABの交点をU,V,Wとして、
 
他のエルデシュ・モーデルの不等式より強い不等式に、外接三角形に対するPの垂足をH, K, Lとして、
 
がある。また、
 
が成り立つ。ほかにも次の不等式があるp.29,#1045。
 
 
 
 p.37,#1159
 p.26,#965
 
任意の正の数（tは1以下）について、
 
t > 1 ならば、Thm.2
 

**内部または、外部の点**
任意の点Pに関する不等式は多数存在するp. 109。
 
k = 0, 1, ..., 6について、
 pp. 180–1
 
 
k = 0, 1, ..., 9について、
 
 p. 227
 p. 233
 p. 233
 p. 233
三角形ABCについて、D,E,Fを各辺の中点として、
 

**円の半径**

**内接円と外接円の半径**
オイラーの不等式によれば外接円と内接円の半径をそれぞれR,rとして、
 
等号成立条件は正三角形のときp. 198。
より強い不等式に次の形があるp. 198。
 
別の形ではp.183,#276.2
 
右辺は正の値にも負の値にもなり得る。
更に別の形には、次のようなものがある。p.134,#3087
 
 
 p.125,#3004
 288
 
面積との関係には次の式が挙げられるp.20,#816。
 
  p. 201
  p.17#708
 p. 206p. 99
次の二つの不等式は、 最右辺は60°以上の頂角を持つ二等辺三角形で、最左辺は60°以下の頂角を持つ二等辺三角形で成立する。更に正三角形の場合すべての等式が成立するThm. 1。
 
ただし外心が内接円外にあるとき 、内接円内にある時 。外心が内接円内にある必要十分条件は、
 
である。
 p. 291
Blundonの不等式によればp. 206;
 
鋭角三角形について、
 
内心をI、circummidarc triangle の頂点をD,E,Fとして、p.14,#644
 
角について、 p.193,#342.6
 
三角形の頂点で外接円に接しさらに対辺と接する円の半径をそれぞれとして
 Thm. 4
また、 
 
どちらも等号成立条件は正三角形であるとき。

**外半径と線分長**
外半径をRとする。
 p.101,#2625
 p.35,#1130
 
 
 
 pp. 287–90
 p.26,#957
外心をO、外心のチェバ三角形の頂点をU,V,Wとして、
 p.17,#718
垂心をHとして、鋭角三角形について
 p.26,#954
鈍角三角形については、不等号の向きが逆となる。
二つのブロカール点をとして
 
ライプニッツの不等式（Leibniz’s Inequality）によれば、

**内接円と外接円の半径と不等式**
を内接円の半径、を各傍接円の半径としてpp. 289–90
 
 
 
 p.66,#1678
 p.183,#281.2
 p.66,#1680
鋭角三角形の内心と垂心の距離IHについて、
 p.26,#954
鈍角三角形では不等号が逆になる。
更に鋭角三角形についてp.26,#954
 
同様に鈍角三角形では不等号が逆になる。
内角の二等分線と対辺の交点をそれぞれU,V,Wとして、p.215,32nd IMO,#1
 
cicummidarc triangleの頂点をX,Y,Zとして、p.181,#264.4
 
更に、
 p.181,#264.4
接触三角形DEFについて、p.115,#2875
 

**内接図形**

**内接する六角形**
3つの辺が三角形の辺でその角対辺が3辺と平行である、三角形に内接し円に外接する六角形の周長についてp.42,#1245
 

**内接する三角形**
辺BC,CA,AB上の点D,E,Fによってできる4つの三角形について、以下の式が成立する。また、等号成立条件はD,E,Fが各中点であるときp.137。
 

**内接する正方形**
鋭角三角形は3つの内接する正方形を持つ。それぞれ1辺が三角形の辺に含まれ、その端点でない頂点が三角形の他2辺上にある（直角三角形はそのような正方形をただ1つ持つ）。3つのうち2つの、辺の長さを（）とすれば
 p. 115
更に、その面積について、p.18,#729
 

**オイラー線**
二等辺三角形でない三角形について、オイラー線と内心の距離をd、最長の中線と辺の長さをそれぞれu,v、半周長をsとして、次の不等式が成立するp. 234, Propos.5。
 
すべての比について、その最大値は最右辺の1/3であるp.235, Thm.6。

**直角三角形**
斜辺c、他二辺の長さをa,bIとする直角三角形について、次の式が成立する。等号成立条件は直角二等辺三角形であるときp. 280。
 
内接円半径について、次の式が成立するp. 281。
 
直角からの頂垂線について、p. 282
 

**二等辺三角形**
底辺c、等辺a、頂角でない角の二等分線の長さをtとする二等辺三角形について、次の式が成立するp.169,#44。
 

**正三角形**
正三角形ABCと、その外接円上にない任意の点Pについて、次の式が成立する（ポンペイウの定理）p. 279。
が外接円上にある場合、ファン・スコーテンの定理である。
任意の点Pにおいて、三角形ABCの各辺の距離PD,PE,PFと各頂点との距離PA,PB,PCが次の式を満たす場合、ABCは正三角形であるp.178,#235.4。

**二つの三角形**
Pedoe's inequalityによれば、面積T、辺長a,b,cの三角形と面積S、辺長d,e,fの三角形について、以下の不等式が成立する。
 
等号成立条件は二つの三角形が相似であるとき。
Hinge theoremHinge theoremによれば、2つの三角形の二辺が合同であるとき、その成す角の大きさと3つ目の辺の大小は一致する。 つまり△ABC,△DEF（それぞれ辺長がa,b,c、d,e,f）について、1=a = d , b = e , F < Cならば、
 
逆1=a = d , b = e , f < c ⇒ F < Cも成立する。
任意の2つの三角形△ABC,△DEFの角の余接について、次の式が成立する。
 

**非ユークリッド平面**
楕円幾何学のように、球面における三角形の内角について、次の式が成り立つ。
 
この不等式はhyperbolic trianglesにもたらされる。

**関連項目**
 不等式の一覧- 三角形関連の記事の一覧

**出典 ==