垂足曲線

ファイル:PedalConstruction.svg|右|サムネイル|250x250ピクセル|点Pに対する曲線Cの垂足の幾何学的な構築
垂足曲線（すいそくきょくせん、pedal curve）は、曲線の接線に対する、固定された点の直交射影が成す曲線である。より正確に言えば、平面曲線Cと点P （Pedal point）について、Pを通るCの接線の垂足（接線と垂線の交点）Xの軌跡を垂足曲線という。逆に、曲線C上の任意の点Rで接する接線Tのある垂線が、ある点Pを通るなら、その接線の垂足は垂足曲線を成す。 
垂足曲線を補完するために、四角形PXRYが長方形となるように点Yを取る。点Yの軌跡はcontrapedal curveと呼ばれる。
曲線のorthotomicは、Pを拡大の中心として垂足を2倍に拡大した曲線である。これは、Pを接線Tで鏡映した点の軌跡である。
垂足曲線は、曲線の垂足曲線をとして、と定義していったときの一連の曲線の最初の曲線である。この曲線内で、をの n th positive pedal curveという。逆にはのn番目の負垂足線 （nth negative curve） または逆垂足曲線と呼ばれる。

**方程式**

**直交座標によるアプローチ**
を原点とする。また、曲線Cを1=F(x, y)=0とする。C上の点の接線は次の形で書くことができる。
 
このとき位置ベクトル(cos α, sin α)は線分PX（接線の垂線）と平行で長さが等しい。したがって、Xは極座標で(p, α) と表せる。(p, α)を(r, θ)で置き換えると極形式の垂足曲線の形を得る。
ファイル:PedalCurve1.gif|右|サムネイル|464x464ピクセル|楕円（黒）の垂足曲線（赤）。楕円はa=2,b=1で垂足曲線は4x2+y2=(x2+y2)2。
例として、楕円の垂足曲線を挙げる。楕円の方程式は次の式で表される。
 
楕円上の点における接線は
 
である。これを上記の形に書き換えると次のようになる。
 
楕円の方程式からをlabel=消去して
 
を得る。(r, θ)に置き換えると
 
となる。この式は容易にデカルト座標の方程式に置き換えることができる。
 

**極方程式によるアプローチ**
を原点とする。曲線Cを極座標1=r=f(θ)で与える。1=R=(r, θ)をC上の点、1=X=(p, α)を前項と同様に定義する。ψを接線及び動径の偏角として、
 
より
これらの方程式は(r, θ)を垂足曲線の等式の変数(p, α)に置き換えることができる。
例として、円1=r = a cos θの垂足曲線を考える。
 
であるから
 
と、
 
が成り立つ。これらを解いて、
 

**垂足方程式によるアプローチ**
曲線の垂足座標による表示と垂足曲線は深い関係にある。原点Pをpedal pointとして取る。R における動径と曲線の成す角ψは、垂足曲線の対応するXにおける角と等しい。pを垂線の長さ（Pから垂足Xまでの距離PX）、qを対応する垂足曲線のPを通る垂線の長さとすれば、三角形の相似より、
 
これより、曲線の垂足方程式を1=f(p, r)=0として、垂足曲線の垂足方程式は次の式で表せる。
 
この式から曲線のnth positive/negative pedal curveの垂足方程式は簡単に求めることができる

**パラメトリック方程式によるアプローチ**
同じ楕円のContrapedal curve
ファイル:PedalCurve3.gif|右|サムネイル|461x461ピクセル|楕円のエボリュート曲線の垂足曲線。楕円のcontrapedal curveと一致する。
とする。また、をlabel=接線ベクトルと法線ベクトルに分解して次のように書く。
 ,
はRX方向のベクトルとなる。
をパラメタとして曲線cの垂足曲線のパラメトリック方程式は
 
で表される（c'が0または定義できない点は無視する）。
曲線を媒介的に定義して、pedal pointが(0,0)である曲線の垂足曲線は、
 
 
と表せる。contrapedal curveは次の式で与えることができる。
 
同じpedal pointでは、contrapedal curveは曲線の縮閉線の垂足曲線と一致する。

**幾何学的な性質**
点Pを通る直線と、曲線の接線が直角を成すような剛体移動を考える。この角の頂点Xは曲線とPの垂足曲線をたどる。角が動けばPに対する動く方向はPXと平行になり、Rの動く方向は接線1=T (=RX)に平行になる。したがって瞬間中心は、PXのPを通る垂心と、RXのRを通る垂線の交点Yである。Xにおける垂足曲線の接線はXYのXを通る垂線と一致する。
直径をPRとする円は長方形PXRYに外接し、またXYを直径に持つ。したがって円と垂足曲線はどちらもXYと直交し、Xで接する。 故に、垂足曲線はもとの曲線上の点をRとして、直径をPRとする円の包絡線となる。
直線YRは曲線の法線であり、その包絡線は曲線の縮閉線である。故にYRは縮閉線の接線で、YはPを通る縮閉線の接線の垂足である。つまりYは縮閉線の垂足曲線である。よってcontrapedal curveは元の曲線の縮閉線の垂足曲線であることが従う。
をPを中心に2倍縮小した図形をC'とする。 Rに対応する点R'は長方形PXRYの中心であり、R'におけるC'の接線はPY,XRと平行な直線で、長方形を二等分する。Pから発射され、R'で C'に衝突して反射する交線はYを通る。この反射された交線はCの垂足曲線と直交する直線であるXYと一致する。垂足曲線に直交する直線の包絡線は、反射された交線の包絡線、C'のCaustic (mathematics)となる。 これは、曲線の火線はorthotomicの縮閉線と一致することの証明に使われる。
前述の様に、PRを直径とする円が垂足曲線に接する。この円の中心R'はである。
をC',D'の共通接線で鏡映の関係にある合同な曲線として、Roulette (curve)の定義の様に、C'上を滑らせずに転がす。ニ曲線が点R'で接するとすれば、 Pと対応する点はXとなる。また輪転曲線は垂足曲線となる。同様に、曲線のorthotomicは輪転曲線の鏡映像の輪転曲線となる。 

**例**
ファイル:PedalCurve2.gif|サムネイル|274x274px|蝸牛形 - 円の垂足曲線
が円であるとき、上記の議論から蝸牛形は以下の様な定義ができる。- 円の垂足曲線。- ある固定点と円上の点を直径の両端とする円の包絡線。- 中心が円上にあり固定点を通る円の包絡線。- 同半径の円上を転がる円の輪転曲線。
円の火線は蝸牛形の縮閉線である。

**例**
有名な曲線の垂足曲線を挙げる。left

**関連項目**
 List of curves- 垂足三角形

**出典**
url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.109607
*url=https://archive.org/details/anelementarytre05willgoog

**参考文献**
Differential and integral calculus: with applications by George Greenhill (1891) p326 ff. ( Internet Archive)
*url=https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr/page/60- "Note on the Problem of Pedal Curves" by Arthur Cayley

**外部リンク**
 urlname=PedalCurve- urlname=ContrapedalCurve- urlname=Orthotomic