三次曲線

三次曲線の種類
数学において、三次曲線（さんじきょくせん、cubic）、特にユークリッド幾何学における平面三次曲線（cubic plane curve）は以下のような三次方程式によって定義される代数曲線である。
 
ここでは射影平面上の斉次座標、またはアフィン空間の非斉次座標で1=z = 1とした座標で、Fは三次の斉次多項式、すなわち以下のような0でない三次単項式の線形結合とする。
 
これら10個の項から成ることより、三次曲線は任意の可換体K上で9次元の射影空間を成す。また三次曲線Cを満たす1点Pは1つの線形条件を課す。したがって9つの点を通る三次曲線はただ一つに決定される。 5つの点で決定する円錐曲線と比較してみると、2つの三次曲線が9つの点を通るならば、それらは束を成し、さらなる性質を持つこととなる（ケイリー＝バッハラッハの定理）。
ファイル:Cubic_with_double_point.svg|右|サムネイル|特異的な三次曲線 . 媒介変数表示 .
三次曲線には特異点を持つものもあり、射影直線におけるパラメトリック方程式となる。一方、 特異点を持たない三次曲線は複素数のような代数的閉体上に9つの変曲点を持つloc=Exercise 12.24。これは、三次曲線を再定義するヘッセ行列の同次座標をCと掛け合わせることにより示すことができる（ベズーの定理）。しかし、これらの点のうちは実射影平面上にあるのは3点だけでありloc=Exercise 12.8、他の点は実射影平面上で曲線を描いても見ることはできない。特異点を持たない三次曲線の9つの変曲点は、そのうちの2つを通るすべての直線がちょうど3つの変曲点を含むという性質を持っている。
実射影平面上にある変曲点はニュートンによって研究され、非特異な三次曲線の実点が1つか2つの「オーバル」を通ることが発見された。 これらのオーバルのうちの1つは、すべて射影直線を横切るので、ユークリッド平面に描いたときには見ることができず、3つの実変曲点を含む、1本または3本の無限の分岐として現れる。もう1つのオーバルは、存在するとしても変曲点を含まず、オーバルか2つの無限の分岐のように見える。 円錐曲線の断面の様に直線はオーバルを最大2点で切断する。
非特異な三次曲線はK上の楕円曲線でもある。楕円曲線は普通、ワイエルシュトラスの楕円関数を変形したもので研究されており、三次関数の平方根で作られた有理関数上で定義されている。これはワイエルシュトラス標準形の無限遠点としてはたらくK-有理点に依存する。Kが有理数体のとき多くの三次曲線はそのような点を持たない。
尖点や二重点など、特異的な三次曲線の特異点は限られている。 そのような3次曲線は、2次曲線と直線、または3つの直線に退化する。したがって2次曲線と直線の場合は、2つのニ重点またはTacnode、3つの直線の場合はまたは3つのニ重点か1つの三重点（共点）を持つ。

**三角形の三次曲線**
の辺について    とする。△ABCの有名な三次曲線は様々な三角形の中心を通る。以下は斉次座標である三線座標と重心座標を用いる。
三線座標から重心座標への変換は以下の様に行われれる。
 
重心座標から三線座標への変換は以下の様に行われれる。
 
三次曲線の多くは以下の形式で表される。
 
この式は下記のような上の式を略した表記を用いることもある。
 .
またXの等角共役点をX*とする。このとき三線座標において  ならば が成り立つ。

**ノイベルグ三次曲線**
ファイル:NeubergCurve.png|サムネイル|△ABCのノイベルグ三次曲線 Xを辺BC, CA, ABで鏡映した点をとしが一点で交わるようなXの軌跡である。
三線座標: 
重心座標: 
ノイベルグ三次曲線（Neuberg cubic）はX*が直線EX上（Eはオイラー無限遠点X(30)、オイラー線方向の無限遠点）にあるような点Xの軌跡、つまりXX*がオイラー線と平行になるような点の軌跡である。Xを辺BC, CA, ABで鏡映した点をとし、と△ABCが配景なXの軌跡とも定義される。
ノイベルグ三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、フェルマー点、等力点、オイラー無限遠点などを通る。
Cubics in the Triangle Planeでは K001と登録されている。

**17点三次曲線（Thomson Cubic）**
ファイル:Thomson_cubic.svg|右|サムネイル|17点三次曲線（黒い線）。17点三次曲線上のX ,X*,X(2)(重心)は共線である。
三線座標: 
重心座標: 
17点三次曲線はX*が直線GX（Gは重心）上にあるような点Xの軌跡である。
17点三次曲線は頂点、内心と傍心、重心、外心、垂心、類似重心、辺の中点などを通る。
Cubics in the Triangle Planeでは K002 として登録されている。

**ダルブー三次曲線**
ファイル:DarbouxCubic.png|サムネイル|ダルブー三次曲線、 XのBC, CA, ABに対する垂足三角形が元の三角形と配景的であるようなXの軌跡
三線座標:
重心座標: 
ダルブー三次曲線（Darboux Cubic）はX*が直線LX上（Lはド・ロンシャン点）にあるような点Xの軌跡である。ダルブー三次曲線上のXの垂足三角形はチェバ三角形で、チェバ三角形の元の点はリュカ三次曲線を成す。また、X の垂足三角形はXの反チェバ三角形と配景的で、その配景の中心はトムソン三次曲線を成す。
ダルブー三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、ドロンシャン点、頂点の外接円に対する対蹠点などを通る。
Cubics in the Triangle Planeでは、 K004 として登録されている。

**ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線**
三線座標: 
重心座標: 
ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線（Napoleon-Feuerbach cubic）はX*が直線NX上（1=N = X(5),九点円の中心）にある点Xの軌跡である。
ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、ナポレオン点などを通る。
Cubics in the Triangle Planeでは  K005 として登録されている。

**リュカ三次曲線**
ファイル:LucasCubic.png|サムネイル|リュカ三次曲線 、 Xののチェバ三角形 がダルブー三次曲線上の点の垂足三角形となるような点Xの軌跡。
三線座標: 
重心座標: 
リュカ三次曲線（Lucas cubic）はX のチェバ三角形がダルブ―三次曲線上の点の垂足三角形となるような点Xの軌跡である。
リュカ三次曲線は頂点、反中点三角形の頂点、シュタイナー外接楕円の焦点、重心、垂心、ジェルゴンヌ点、ナーゲル点、ド・ロンシャン点 などを通る。
Cubics in the Triangle Planeでは K007 として登録されている。

**第一ブロカール三次曲線**
ファイル:FirstBrocardCubic.png|サムネイル|第一ブロカール三次曲線、第一ブロカール三角形を△A'B'C とし、XA', XB', XC'とBC, CA, CB,のそれぞれの交点が共線であるような点Xの軌跡。
三線座標:
重心座標: 
を第一ブロカール三角形（1st Brocard cubic）、.をそれぞれXA′, XB′, XC′と BC, CA, AB,の交点とする。このときが共線となるような点Xの軌跡を第一ブロカール三次曲線と言う。
第一ブロカール三次曲線は頂点、第一,第三ブロカール点の頂点、重心、類似重心、シュタイナー点などを通る。
Cubics in the Triangle Planeでは  K017として登録されている。

**第二ブロカール三次曲線**
三線座標: 
重心座標: 
第二ブロカール三次曲線（2nd Brocard cubic）は直線XX*の、X,X*を通る外接円錐曲線に対する極がブロカール軸上にあるような点Xの軌跡である。頂点、重心、類似重心、フェルマー点、等力点、パリー点、第二,第四ブロカール三角形の頂点を通る。
Cubics in the Triangle Planeでは  K018として登録されている。

**1st equal areas cubic**
ファイル:FirstEqualAreasCubic.png|サムネイル|第一等積三次曲線:X のチェバ三角形とX*のチェバ三角形の面積が等しくなるような点Xの軌跡。
三線座標: 
重心座標: 
1st equal areas cubicはX のチェバ三角形とX*のチェバ三角形の面積が等しくなるような点Xの軌跡である。X*が直線S*X 上(1=S = X(99),シュタイナー点)にあるような点Xの軌跡とも定義される。
1st equal areas cubicは内心と傍心、シュタイナー点 、第一,第二ブロカール点を通る。
Cubics in the Triangle Planeでは  K021として登録されている。

**2nd equal areas cubic**
三線座標: 
重心座標:
2nd equal areas cubicは三線座標で  ,  ,  とし、とのチェバ三角形の面積が等しくなるような点Xの軌跡である。
2nd equal areas cubicは内心、重心、類似重心 X(31), X(105), X(238), X(292), X(365), X(672), X(1453), X(1931), X(2053)などを通る。
Cubics in the Triangle Planeでは  K155として登録されている。

**出典**

**関連**
 Twisted cubic- 楕円曲線- アーネシの曲線- Catalogue of Triangle Cubics

**参考文献**
 mr=2242725.- doi=10.1007/BF01221237.- doi=10.1007/BF01225672.- name-list-style=amp.- name-list-style=amp.- name-list-style=amp.- Citation|和書|title=A Morley configuration|last=Ehrmann|first=Jean-Pierre|last2=Gibert|first2=Bernard|year=2001|journal=Forum Geometricorum|volume=1|pages=51–58|name-list-style=amp.- Citation|和書|title=The Simson cubic|last=Ehrmann|first=Jean-Pierre|last2=Gibert|first2=Bernard|year=2001|journal=Forum Geometricorum|volume=1|pages=107–114|name-list-style=amp.- Citation|和書|title=Orthocorrespondence and orthopivotal cubics|last=Gibert|first=Bernard|year=2003|journal=Forum Geometricorum|volume=3|pages=1–27.- pages=1–295. See Chapter 8 for cubics.- Citation|和書|title=Cubics associated with triangles of equal areas|last=Kimberling|first=Clark|year=2001|url=https://www.researchgate.net/publication/241067469|journal=Forum Geometricorum|volume=1|pages=161–171.- pages=135–146.- doi=10.1007/BF01223040.- location=Dublin.

**外部リンク**
  A Catalog of Cubic Plane Curves  (archived version)-  Points on Cubics-  Cubics in the Triangle Plane-  Special Isocubics in the Triangle Plane (pdf), by Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert- Cite web |title=Real and Complex Cubic Curves - John Milnor, Stony Brook University 2016 |publisher=Graduate Mathematics |date=June 27, 2018 |website=YouTube |url=https://www.youtube.com/watch?v=NfFnanzULhU |access-date=2024/3/24 lecture in July 2016, ICMS, Edinburgh at conference in honour of Dusa McDuff's 70th birthday