フィンスラー多様体

フィンスラー多様体（フィンスラーたようたい、Finsler manifold）とは、可微分多様体 M であって各接空間 TxM でミンコフスキー汎関数 F(x, −) (asymmetric normのときもある) が与えられ、任意の滑らかな曲線 math|γ: a, b → M の長さが

であるものと定義される、微分幾何学の概念である。
正接ノルムが内積から誘導されていないことから、フィンスラー多様体はリーマン多様体よりも一般的な概念と言える。
フィンスラー多様体は、2点間の距離がそれらを結ぶ曲線の最小長で定義されるときintrinsicな準距離空間になる。
ポール・フィンスラーがこの幾何学を研究し1918、year1=1933がそのことにちなんでフィンスラー多様体と名付けた。

**定義**
フィンスラー多様体は、可微分多様体 M であって、接束上の連続非負関数 math|F: TM → 0, +∞) であるフィンスラー計量がM の各点 x に対して、以下の性質をもつものである：- （劣加法性）x で M に正接する 2 つの任意ベクトル v,w に対して F(v + w) ≤ F(v) + F(w)。- （正の斉次性）任意の λ ≥ 0 に対して 。- （正定値性） でない限り F(v) > 0。
つまり、F(x, −) は接空間 TxM 上のasymmetric normである。フィンスラー計量 F は「滑らか」である必要がある。より正確には- F は TM の零切断の補集合で滑らか。
劣加法の条件は次の強い凸性条件に置き換えることができる：- 各接線ベクトル v ≠ 0 について、v での F2 のヘッセ行列は正定値である。
ここで、v における F2 のヘッシアンは対称な双線型形式

である。これは v における F の基本テンソルとも呼ばれる。強い凸性は、 の場合に厳密な不等式による劣加法性を意味する。 F が強い凸性を持つならばそれは接空間のミンコフスキーノルムである。
さらに、- 任意の接ベクトル v に対して 
のとき、フィンスラー計量は可逆であるという。可逆なフィンスラー計量は接空間の (通常の意味での) ノルムを定義する。

**例**
 有限次元のノルム線型空間の滑らかな部分多様体 (開部分集合を含む) は、ベクトル空間のノルムが原点の外側で滑らかならばフィンスラー多様体である。- （擬リーマン多様体ではない）リーマン多様体はフィンスラー多様体の特殊なケースである。

**ランダース多様体**
をリーマン多様体とし、b を M 上の微分 1 形式で

を満たすものとする。ここで  は  の逆行列である。アインシュタインの縮約記法を用いている。すると

は M 上のランダース計量を定義し、(M, F) は非可逆フィンスラー多様体の特殊なケースであるランダース多様体である。

**滑らかな準距離空間**
を準距離とする。つまり M は可微分多様体であり、d は M の微分構造と次の意味での互換性をもつ：- M の任意の点 z の近傍で滑らかな M のチャート (U, &varphi;) と定数 C ≥ 1 が存在して、任意の x, y ∈ U に対して次が成り立つ：
*: - 関数 math|d: M×M → 0, ∞ がいくつかpunctureされた対角の近傍の中で滑らか。
するとフィンスラー関数 math|F: TM → 0, ∞ を

で定義できる。ここで γ は M の任意の曲線で  かつ  を満たす。このように得られたフィンスラー関数 F は M の接空間で非対称な（通常は非ミンコフスキー）ノルムに制限される。もともとの準距離から誘導されたintrinsicな計量 math|dL: M×M → 0, ∞ は

で復元でき、実際、任意のフィンスラー関数 math|F: TM → 0, ∞) からこの式によって M 上のintrinsicな準計量  を定義できる。

**測地線**
の均一性により、M 上の微分可能な曲線 math|γ: a, b → M の長さ

は、正方向の再パラメーター化の下で不変である。等速曲線 γ は、もしその十分に短いセグメント  が γ(c) から γ(d) までの長さを最小化するなら、フィンスラー多様体の測地線である。同様に、もしエネルギー汎関数

が固定端点  をもつ微分可能な曲線 γ 上でその汎関数微分が消えるという意味で定常なら、γ は測地線である。

**フィンスラー多様体上の正準スプレー構造**
エネルギー汎関数 math|Eγ のオイラー・ラグランジュ方程式は TM の局所座標系 (x1, ..., xn, v1, ..., vn) で

である。ここで 、また  は次で定義される基本テンソルの座標表現である：

に関して  にConvex function#Strongly convex functionsを仮定すると、行列  は正則であり、その逆行列は  と表される。すると math|γ: a, b → M が (M, F) の測地線である必要十分条件は、接曲線  が  上で次式によって局所的に定義された滑らかなベクトル場 H の積分曲線であることである：

ここで局所スプレー係数  は次式で与えられる：

上のベクトル場 H は  および  を満たす。ここで J, V は  のdouble tangent bundle#Canonical tensor fields on the tangent bundleおよび正準ベクトル場である。したがって定義より H は M 上のspray (mathematics)である。スプレー H は垂直投影を介してファイバー束  に非線形接続を定義する。

リーマン多様体の場合と同様、Ehresmann connectionと非線形共変微分に関して、一般的なスプレー構造 (M, H) に対するヤコビ方程式のバージョン

が存在する。

**測地線の一意性と最小化の性質**
により、(M, F) 上には長さを最小化する曲線が (少なくとも十分に近い近傍で) 常に存在する。 長さを最小化する曲線は正の値で再パラメータ化して測地線にすることが常にでき、どの測地線も math|Eγ に対してオイラー・ラグランジュ方程式を満たさなければならない。 の強い凸性を仮定すると、積分曲線の一意性により、任意の  に対して  および  を満たす最大の測地線 γ が一意に存在する。
が強い凸性をもつなら、測地線 math|γ: 0, b → M は、γ に沿って γ(0) に共役する最初の点 γ(s) まで、近くの曲線間で長さを最小化し、リーマン多様体の場合のように、t > s の場合、γの近くにγ(0) から γ(t) までのより短い曲線が常に存在する。

**脚注**

**参考文献**
 year=2003- doi=10.1007/978-1-4612-1268-3
*Citation | last1=Cartan | first1=Élie | author1-link=エリ・カルタン | title=Sur les espaces de Finsler | zbl=0006.22501 | year=1933 | journal=C. R. Acad. Sci. Paris  
pages=582–586- citation|first=Shiing-Shen |last=Chern| authorlink= Shiing-Shen Chern|  title=Finsler geometry is just Riemannian geometry without the quadratic restriction|journal= Notices of the American Mathematical Society|volume= 43 |year=1996|issue=9|pages=959–63|url=https://www.ams.org/notices/199609/chern.pdf|mr=1400859- year=1918 (Reprinted by Birkhäuser (1951))- isbn=978-3-642-51612-2- doi=10.1142/4619

**外部リンク**
 id=p/f040420-  The (New) Finsler Newsletter