線形多自由度系の振動

振動工学における線形多自由度系の振動（せんけいたじゆうどけいのしんどう）は、線形な特性を持ち、さらに2以上の自由度を持つ系で起きる振動である。運動方程式は一般的に連立2階常微分方程式となり、行列およびベクトルで表現される。
線形多自由度系の振動では、固有モードという多自由度系特有の概念が現れ、自由度の数だけ固有モードと固有振動数の組が存在する。固有モードの直交性によって、減衰の無い系であれば固有モードごとの1自由度系の問題に帰着でき、振動解析を容易化できるのが特徴である。この手法を利用した振動解析手法はモード解析と呼ばれる。減衰のある系でも、比例粘性減衰という仮定を導入することによって、同様なことが可能となる。
モード解析手法は、振動実験結果から振動特性を同定するのにも使われる。有限要素法による連続体の振動計算においても、線形多自由度系の理論にもとづくモード解析手法が強力な効果を発揮し、振動解析を容易にする。 

**背景**
振動の問題を分類すると、あるいは振動現象を模した動力学モデルを分類すると、いくつかの視点が存在する3p=3。
質点がばねとダッシュポットを介して基礎に固定されたモデル
物体の運動を表すのに必要な座標あるいは変位の数を、自由度という2p=156。自由度が1の系を1自由度系というp=20。ある1つの質点がばねとダッシュポットを介して地面に固定され、質点が上下方向のみ動く例を考える。三角関数で表現される励振力がこの質点に加わるとき、この質点の運動方程式は次のような形で与えられるpp=12–13。
ここで、m は質量、c は粘性減衰係数、k はばね定数、f0 は外力の振幅、ω は外力の角振動数、t は時間であるp=13。x は静的釣り合い位置からの変位で、上部の "˙" は時間微分 (d/dt) を示すp=13。式1.1は、振動問題を考える際の最も基礎的な式となるpp=12–13。1自由度系の振動の問題は、振動現象を理解する上で不可欠な様々な概念を内包しており、1自由度系のモデルが振動問題を扱う基本モデルといえる2p=20。
一方、自由度が2以上の系は多自由度系と呼ばれるp=31。振動問題をモデル化する際には1自由度や2自由度にモデル化すれば解析が容易であり、モデル化時の自由度はできるだけ最小限とするのが大切である2p=5。しかし、現実の構造物は複雑で、すべてを1自由度系として扱うことができないp=57。実際の機械や建物などでは、1自由度系のモデルではその特性を説明しきれず、多自由度系としての取り扱いが必要になることも多い2p=82。
また、系の構成要素が全て線形であるとき、その系を線形系というp=5。系が線形であれば、出力と入力の間には重ね合わせの原理が成り立ち、出力は入力に単純に比例するp=5。振動系が線形であれば、式1.1のように慣性力、減衰力、復元力が、それぞれ加速度、速度、変位に比例する3pp=12–13。比例係数が時間変化する場合を除き、線形系の振動問題については理論的手法がほぼ確立できているp=5。
一方で、線形ではない系を非線形系というp=5。摩擦、がたつき、大変位時の材料特性などが非線形の要因となるp=53。厳密に考えると、実際の機械や構造物はなんらかの非線形特性を持ち、実際の振動現象のほとんどは非線形系といえる2p=150。非線形系の厳密解を得ることはほとんどできず、一般的には非線形系の問題に対しては近似解法や数値計算に頼らざるを得ない2p=5。しかし、線形系の振動として取り扱うことによって、十分に多くの問題を解決することもできるp=150。非線形系であっても、安定な平衡状態周りの微小変位運動であれば線形の理論が当てはまるp=150。特に線形系であれば、多自由度系であっても後述のように1自由度系の問題に帰着できるという顕著な特性がある2p=5。

**運動方程式**

**一般の多自由度系**
多自由度系では多数の変数や係数を扱うため、行列とベクトルを使って運動方程式を記すp=201。自由度が n の線形多自由度系の一般的な運動方程式は、次のように書き表される5p=105。
ここで、ẍ, ẋ, x, f は n 次元縦ベクトル、M, C, K は n 次正方行列で、以下のように表される2pp=105–106。
, , , 
x は変位ベクトルと呼ばれるp=70。その成分の x は、静的な釣り合いの位置を原点とした各自由度の変位あるいは一般化座標を表している2p=40。ẋ は速度ベクトル、ẍ は加速度ベクトルと呼ばれるpp=70, 91。成分の ẋ は x の時間1階微分すなわち各自由度の速度を意味し、ẍ は x の時間2階微分すなわち各自由度の加速度を意味する3p=23。
f は外力ベクトルと呼ばれるp=43。成分の f は各一般化座標に対応して作用する外力で、一般的には時間の関数であるp=42。
M は質量行列や慣性行列、質量マトリックスや慣性マトリックスと呼ばれる3p=96。K は剛性行列や剛性マトリックスと呼ばれる2p=83。C は減衰行列や減衰マトリックスと呼ばれる2p=97。各成分の m, c, k は質量、粘性減衰係数、剛性（ばね定数）を表す2pp=81–82。ここでの m は慣性係数ともいい、いわゆる質量だけでなく慣性モーメントなども含むpp=88–89。また、k は復元係数ともいい、通常のばね定数の他に回転ばね定数なども含むpp=88–89。
線形多自由度系の一般基礎式2.1は、線形1自由度系の基礎式1.1と形式は同じで、変位と外力がベクトルに、質量とばね定数と粘性減衰係数が行列に置き換わった式となるp=44。ただし、対象の系の規模が大きくなり、複雑なものとなると、ニュートンの運動法則から運動方程式を導出するのは容易ではないp=207。実際に多自由度系の運動方程式を立てる際は、エネルギーのスカラー量から形式的に運動方程式を導けるラグランジュの運動方程式が便利で、間違いを犯しにくく、多用されている3p=119。

**2自由度系の例**
2層構造物の揺れのモデリング
建築物の例では、複数の階を持つ多層構造物が多自由度系の問題となるp=83。柱と床から構成されるラーメン構造の建物が振動する場合を考える。柱は床に比べて柔らかいので、構造物が揺れるとき各階の床は水平方向に揺れ、柱は水平方向のばねとして働くと見なせる2p=39。これは、水平方向のみに動く2つの質点をばねで連結した2自由度系モデルと等価となるpp=83–84。2層構造物における、1層目の床質量を m1、2層目の床質量を m2、1層目の水平変位を x1、2層目の水平変位を x2、基礎と1層目の間の等価ばね定数を k1、1層目と2層目の間の等価ばね定数を k2 とすると、このモデルの運動方程式は
となるp=87。行列表示すれば、
となり、この式では、が質量行列、が剛性行列であるp=87。
自動車の上下振動とピッチング振動の簡易モデル
並進運動と回転運動が組み合わさった2自由度系の例として、自動車の上下振動とピッチング振動の簡易モデルがあるp=98。自動車を側面から見て、上下方向変位とピッチング回転だけの動きを考える。前位側のタイヤとサスペンションを1つのばねと見なして、後位側のタイヤとサスペンションも同様に1つのばねと見なし、剛体を前位と後位を2つのばねが支えているモデルを考えるp=88。前位側と後位側のばねのばね定数をそれぞれ k1、k2 とする。剛体の重心位置から前位側のばねまでの距離を l1、前位側のばねまでの距離を l2 とする。剛体の質量を m、重心位置周りのピッチング方向の慣性モーメントを IG とする。この剛体の重心の上下運動 x とその周りのピッチング運動 θ の運動方程式は次のようになるp=83。

**連成項**
自動車の上下振動とピッチング振動の簡易モデルである式2.7において、もし k1l1 = k2l2 であれば、x と θ は互いに独立した運動方程式となるp=100。この条件では運動方程式は
となり、2つの式はそれぞれ単独で解くことができるp=68。すなわち、x の振動と θ の振動が、互いに干渉すること無しに独立して起こる状態になっているp=85。このような状態を非連成というp=100。運動方程式が単独では解けない連立方程式になっているとき、方程式は連成しているといい、式2.7の (k1l1 − k2l2)x と (k1l1 − k2l2)θ は連成項と呼ばれるp=58。k1l1 = k2l2 のときに、これら連成項が 0 になり、x と θ が独立した運動になるp=89。連成状態にある系を連成系、逆に各自由度の運動が完全に独立している系を非連成系と呼ぶp=43。
一般に、質量行列 M（式2.2）、減衰行列 C（式2.3）、剛性行列 K（式2.4）における非対角成分の存在は、振動が連成していることを示しているp=97。もし系が非連成系であれば、これら全ての行列は、非対角成分が全て 0 の対角行列となるp=44。特に、質量行列が非対角成分によって振動が連成していることを動連成や動的連成といい、質量行列の非対角成分を動連成項というpp=100–101。また、剛性行列が非対角行列であれば静連成や静的連成といい、剛性行列の非対角成分を静連成項というpp=100–101。多自由度系の問題は概して複雑で、個々のパラメータが結果に与える影響の見通しを立てることが難しいp=85。多自由度系では一般的に連成が存在し、これが多自由度系の解析を難しいものにしているp=201。動力学的な設計を行う上では、系を非連成化して影響をわかりやすくすることが有効となるp=85。

**不減衰自由振動**

**振動数方程式**
継続的な外力が作用せず、外乱だけが与えられて起こる振動を自由振動というp=13。自由振動の振動は、系自体が持つ特性によって決まり、系の動特性を知る上で重要な振動の形態であるpp=4–5。自由振動は減衰要素が存在しない場合と存在する場合に分かれるp=30。減衰要素と励振力が存在しない場合の式2.1は
となるp=124。ここで、0 は下記のようなゼロベクトルである。

さらに、M と K は正定値であると仮定する。すなわち、M と K は成分が全て実数の対称行列で、それらの二次形式は常に正となるp=119。実際に、質量行列と剛性行列が正定値行列であることは線形多自由度系の一般的な特徴であり、多くの振動系でこの仮定は満たされる2p=119。この条件を満たす M と K を前提にすれば、振動系の具体的な構成に依存しない一般性の高い議論を展開できるp=47。
式3.1は定数係数の線形常微分方程式であるため、その解法に従って解を
という形式で仮定できるp=120。ここで e はネイピア数、λ は未知定数、 u は n 個の未知定数 u から成る下記のような縦ベクトルである。

式3.1に対して仮定として与えられる解には、他に、最初から単振動を仮定して複素指数関数や三角関数の形式もある2p=41。
式3.2を式3.1に代入して整理すると下記のような式になるp=124。
この式が恒等的に成り立つには下記の条件が満たされる必要があるp=124。
数学的には、この形式の方程式は一般化固有値問題として知られ、λ2 は固有値、u は固有ベクトルと呼ばれる2p=109。u = 0 であれば式3.4の条件は満たされるが、これは最初の釣り合いの位置からそのまま静止しているだけ状態を意味する解であるp=82。よって、ここでは u = 0 は興味の対象外で、それ以外の式3.4を満たす λ と u について知りたいp=82。u ≠ 0 で、なおかつ式3.4が満たされる条件は、U の係数行列 λ2 M + K の逆行列が存在しないことであるp=120。したがって、係数行列の行列式が 0 であればこの条件が満たされるp=120。したがって、λ が、
を満たすとき、式3.4が u = 0 以外の解を持つp=120。ここで、det( ) は行列式を表す。式3.5の行列式を展開すると、 λ2 についての n 次多項式になるp=120。したがって、原理的には λ2 の値を求めることができるp=120。ただし、この多項式を解析的に解くことができるのはせいぜい2自由度あるいは3自由度までで、それ以上の自由度の系になると数値解析で固有値を計算する2014。ヤコビ法などを使って数値計算するときは、コレスキー分解を使い、一般化固有値問題形式の3.4を標準的な固有値問題の形へ変換するpp=205–207。
上記のとおり、M と K は正定値であると仮定した。このとき、式3.5の解は全て負の実数となるp=120（解を複素指数関数と仮定した場合は全て正の実数p=109）。したがって、n 個の λ2 の解を
とおくことができ、平方根を取って 2n 個のλ の値 
が得られるp=121。ここで j は虚数単位である。n　個の ω は固有角振動数または固有円振動数と呼ばれ、値が小さいものから順に1次、2次、…、n 次の固有角振動数と呼ぶ3pp=109–110。特に、最も値が小さい1次の固有角振動数は基本振動数と呼ばれるp=75。式3.5は角振動数を求める式であるため振動数方程式と呼ばれるp=75。あるいは、式3.5は M や K といった系の特性によって構成される式であることから特性方程式とも呼ぶp=75。

**固有モード**
得られた固有値あるいは固有角振動数の値を式3.4に代入すれば、0 以外の u の解が得られる2p=89。ここで得られる u の各成分は一意な値を持たず、定まるのは各成分の互いの比 u1 : u2 : … : un だけである2p=109。一つの固有値あるいは固有角振動数に対応して一つの u が定まり、u は n 個存在するpp=48–49。このような固有値と固有ベクトルの組は固有ペアと呼ばれるp=48。r 次の固有角振動数 ωr に対応する u を ur を表現すれば、 ur は
というベクトルであるp=89。ただし、上記のとおり、各成分 u1r, u2r, …, unr は互いの比の値を表しているp=89。
2.5で表現される2層構造物振動モデルの固有モードの例pp=90–91。k1 = k2, m1 = m2 の場合を示しており、各固有モードの成分の内の一番大きな絶対値が1となるようにして値を定めている。
式3.8で表されるベクトルが式3.4における固有ベクトルであり、振動工学では固有モード、振動モード、固有振動モード、基準振動モード、モードベクトルなどと呼ぶ3p=110。n 自由度系には n 個の固有角振動数があり、固有角振動数それぞれに対応する形で n 個の固有モードが存在しているp=110。各自由度の振幅比を決める固有モードは、固有角振動数が「振動の速さ」を表しているのに対して、「振動の形」を表していると言えるp=76。自由度の数の分だけ固有角振動数が存在し、それら固有角振動数に対応して固有モードが存在していることが、線形多自由度系の特有な性質といえるp=42。
各々の固有モードを、対応する固有角振動数が小さい順に1次固有モード、2次固有モード、…、r 次固有モード、…、n 次固有モードと呼ぶp=126。特に、基本振動数（1次の固有角振動数）に対応する固有モードは基本モードと呼ばれるp=75。固有モード  ur を次数が低い順に並べて作る、下記のような行列をモード行列やモードマトリックスという3pp=111–112。

**固有モードの直交性と正規化**
多自由度系の固有モードには直交性という重要な性質がある2p=128。r 次の固有モード ur と s 次の固有モード us について考える。ここで、r と s は任意だが、r ≠ s である。M と K は上記のとおり対称行列とする。このとき、  ur, us, M, K には次のような関係があるp=110。
ここで、ur&top; は ur の転置行列を表している。これらの式は ur と Mus の内積および ur と Mus の内積が零であることを示しており、M と K に関して ur と us が直交していることを意味しているp=41。これが質量行列および剛性行列を介した固有モードの直交性である2p=41。別の言い回しでは ur と us が一般直交性を有しているともいうp=79。
固有モードの直交性の物理的な意味は、次数の異なる固有モードの振動の間で力学的エネルギーの移動が全く起きないことを表している2p=61。ある固有モードの振動において、運動エネルギーと復元力によるポテンシャルエネルギーは時間的に変化しているが、それらの和の力学的エネルギーは時間に依らず一定に保たれているp=130。そのため、自由振動中にある固有モードの振動が他の固有モードに移り変わったり、他の固有モードが新たに誘起されたりすることはないp=81。
一方で、r = s、すなわち同じ次数同士の固有モードの場合は、上記の式でも左辺は 0 とはならず、ある定数となるp=85。これらの定数を Mr と Kr と表せば、
と表されるp=85。固有モード ur は成分間の比だけを持ち、定まった値を持たないので、Mr と Kr の値もこの段階では定まらないp=82。固有モードの絶対値が決まった後に、Mr と Kr の値も定まるp=82。
定数 Mr と Kr は正の値であり、それぞれを（r 次の）モード質量およびモード剛性というp=111。モード行列を使って式3.12と式3.13を表せば、
となるp=106。モード質量とモード剛性は、同じ次数の固有角振動数 ωr と下記のような関係があるp=85。
固有モードは比の関係を定めるベクトルであった。絶対的な大きさを持たない固有モードに大きさを定める方法として、次のような方法がある。
#下記のように、式3.12の右辺 Mr の値が 1 となるように定める2p=110。ここで、ūr は、等式を満たすに大きさが決定された固有モードを意味している。
#:
#下記のように、同じ次数の固有モード同士の内積が 1 となるように定める2p=86。
#:
#固有モードの成分の内、絶対値が最大のものを 1 とおいて定めるp=209。
#1番目の自由度に対応する固有モード成分 (u1r) を 1 とおいて定める2p=110。
以上のように固有モードの大きさを一意に定めることを正規化と呼び、正規化された固有モード ūr を正規固有モードや正規化モードと呼ぶ3p=91。1番目の手法による正規固有モードは、特に質量正規固有モードやM-正規固有モードという名で呼ばれる2p=50。式3.17を満たすようにしておくと利点が多く、質量正規固有モードはよく使われる2p=91。正規固有モード ūr を並べて作る下記のような行列を、正規モード行列というp=111。
質量正規固有モードを採用すると、式3.17に対して剛性行列は固有角振動数と
という関係を持つp=50。

**モード座標と一般解**
固有モード（固有ベクトル）は互いに直交なので、これらを使った線形結合で変位ベクトル x を表すことができる2p=112。つまり、固有モード U を用いて、x を
と表すことができるp=130。ここで、q は時間の未知関数で、モード座標、基準座標、正規座標、規準座標、主座標などと呼ばれる3p=112。特に正規化した固有モードを使っているモード座標を指して、正規座標と呼ぶこともあるp=92。q は qr を 1 次から n 次まで並べた次のような縦ベクトルである。
 
モード座標 q に対して、元の座標 x を物理座標と呼ぶp=53。3.21は、正規固有モードを介して物理座標をモード座標に変換していることを意味するp=53。モード座標 qr は、x に対して r 次固有モードūr が寄与する度合いを表しているとも言えるp=85。式3.21は展開定理とも呼ばれるp=89。
式3.21を運動方程式3.1へ代入して、左から転置したモード行列 U&top; を掛けると次のようになるp=131。
固有モードの直交性（式3.14と式3.15）を上式に当てはめると、
というような q に関する n 個の運動方程式が得られるp=131。それぞれの式の両辺を Mr で割ると、下記のような形になるp=131。
2.7で表現される自動車の上下・ピッチング振動モデルの振動の例。図はピッチング θ の振動を示している。パラメータは m = 1600 kg, IG = 2500 kg-m2, k1 = 3500 N/m, k2 = 4100 N/m, l1 = 1.4 m, l2 = 1.6 m でp=89、初期条件は上下変位速度が ẋ = 1 m/s で他は全て 0 という条件の例。
式3.24は非連成化されており、各式はそれぞれ独立しているp=112。そのため、一つ一つの式は1自由度系の不減衰自由振動と同じであるから、q の各解は以下のようになるp=112。
ここで、cr と θr (r = 1, 2, …, n) は初期条件で決まる定数で、cr が振幅、θr が初期位相を意味するp=112。x の一般解は、式3.25を式3.21に代入して
と得られるp=112。すなわち、n 自由度系における各自由度の自由振動は、n 個の調和振動の重ね合わせ（和）となっており、それら調和振動のそれぞれの振動数は 1 次から n 次までの固有角振動数となっている2p=122。固有モードは、対応する固有角振動数を持つ調和振動成分の各自由度間の振幅比を定めているp=122。位相角を陽に表さずに、余弦関数と正弦関数の和
や、指数の正負が異なる複素指数関数の和
といった形で一般解を表すこともできるpp=88–89。ar, br, dr, gr も初期条件で決まる定数で、式3.27と式3.27は式3.26へ式変形可能な同値な式であるpp=88–89。
以上のような、物理座標をモード座標へ変換し、固有モードの直交性を利用して多自由度系の問題を1自由度系の重ね合わせの問題に帰着させ、解析を行う手法をモード解析（特にモード重畳法）というp=54。後述のように、モード解析は特に有限要素法へ適用することで有効性を発揮するp=199。実物の振動特性を求める上でもモード解析の理論を適用することで各特性を同定でき、この手法は実験モード解析と呼ばれるpp=12–13。

**減衰自由振動**

**一般の粘性減衰**
基礎の上でばねと減衰器が一組となって質点と連結し、直列に連なった3自由度減衰系の例
減衰行列 C が存在する線形多自由度系の振動について考える。外力が無い場合の n 自由度系の運動方程式は以下のようになるp=91。
基礎の上でばねと減衰器が一組となって質点と連結し、直列に連なった3自由度減衰系の典型的な例では、M, C, K は次のような行列となるp=222。
式4.1の解を式3.2と同じように仮定し、式3.2を式4.1に代入して整理すると、
となり、u = 0 以外の解を持つという条件から
という特性方程式が得られる。式4.6を展開すると、λ に関する 2n 次多項式となる。この多項式を解いて得た解 λ1, λ2, …,  λ2n を式4.5に代入し、u を定め、u に適当な正規化を行う。正規化された各ベクトルを ū1, ū2, …, ū2n と表すと、式4.1の一般解は
となる。ここで、a1, a2, …, a2n は初期条件で決まる定数である。2n 個の λ は、解が減衰振動であれば n 組の互いに共役な複素数になるp=96。このとき、固有モードも複素数となり、複素固有モードと呼ばれるp=96。

**比例粘性減衰**
式4.1のように一般的な減衰行列 C が運動方程式に存在する場合、正規モード行列によって M と K は対角化できるが、C も同時に対角化することはできないp=61。そのため、不減衰自由振動で可能だったモード座標に変換しての非連成化が不可能となり、モード解析の利点を活かすことができなくなるp=61。そこで、C が下記のような比例粘性減衰として与えられると仮定し、実際の振動解析が行われることも多いp=61。
ここで、α と β は定数で、比例減衰定数と呼ばれる。比例粘性減衰を有する系を比例粘性減衰系などと呼ぶp=92。比例粘性減衰が成り立つと仮定すれば減衰行列を対角化できるp=107。
式4.8の形で与えられる比例粘性減衰は、特にレイリー減衰やレイリー型減衰と呼ばれる2p=92。αM のみで仮定されるものは質量比例型減衰、βK のみで仮定されるものは剛性比例型減衰などと呼ぶp=92。
実際の減衰が比例粘性減衰になっていることはまれであり、比例粘性減衰はあくまでも近似的なものである3p=107。しかし、比例粘性減衰の仮定を導入することで、不減衰系と同じ取り扱いが可能となり、モード解析の手法が適用可能になる2p=61。もし減衰が全体に分布しているような構造であれば、適当な比例減衰定数を設定すれば、実際の現象を実用問題ないレベルで再現できるという一定の妥当性もあるp=95。減衰は摩擦・材料減衰・流体粘性など様々な要因で起こるため、そもそも減衰の適切な定式化自体が難しいといった事情もあるp=94。式2.3のように速度の比例定数として与えられる一般の粘性減衰も、多種多様な発生機構によって減衰が起きるという実情に起因して厳密には成立しないp=96。
式4.8を式4.1に代入した場合、
という運動方程式になる2p=107。解を式3.2のように仮定して上式に代入し、整理すると、
となる2p=107。さらに、
とおけば、式4.10は
となる2pp=107–108。式4.12は、（複素指数関数や三角関数で解を仮定したときの）不減衰振動の固有値問題における λ を γ に置き換えただけの式になる2pp=107–108。したがって、比例粘性減衰を仮定した減衰振動の固有モードは、同一の質量行列と剛性行列を有する不減衰振動の固有モードと同じである2p=108。
一方、比例粘性減衰を仮定した減衰振動の固有角振動数は、同一の質量行列と剛性行列の不減衰振動の固有角振動数よりも小さくなるp=94。モード行列 U で減衰行列を対角化すると
となるp=107。この行列の成分 αMr + βKr (r = 1, 2, …, n) をモード減衰やモード減衰係数と呼び、 Cr などで表す2p=107。ここで、Mr はモード質量、Kr はモード剛性である。さらに、
という量を導入して、これでモード減衰を割った量
をモード減衰比と呼ぶ2p=108。多自由度系の減衰系では固有モードごとに減衰の効果が異なっており、モード減衰比が固有モードごとの減衰の効果の程度を表している。ζr ≥ 1 ならば過減衰の状態であり、その固有モードの振動は起こらないp=94。ζr d,r を減衰固有角振動数と呼ぶp=62。以上のように、線形1自由度系の減衰振動の考え方が固有モードごとの振動にも当てはまるp=94。正規座標へ変換を行い、モード減衰比と固有角振動数を用いて運動方程式を表すと、下記のように表現できるp=62。
ζr r の一般解は積分定数を ar と br として、
となるp=62。物理座標 x へ逆変換すれば、比例粘性減衰系の自由振動の一般解は下記のようになるp=62。

**強制振動**

**不減衰系**
任意の励振力を受ける減衰の無い系の運動方程式は以下のように表されるp=115。
例えば、励振力が角振動数 Ω の余弦関数で与えられるとすれば、
となるpp=54–55。ここで、fa は、以下のような各自由度に対する励振力の振幅値の縦ベクトルである。

式5.2に対して特解を x = u cosΩt と仮定し、式5.2に代入すれば
となるので、u および x は、
となる2p=131。ここで "−1" は逆行列を意味する。したがって、逆行列 (M − Ω2K)−1 を計算すれば式5.5から x の値が分かる。しかし、この逆行列を解析的に解くことは困難で、数値計算を行うにしても自由度の数が増えると膨大な計算量になるp=55。もし励振力の角振動数 Ω を変えると、そのたびに逆行列を計算する必要があるp=132。そのため、実際に x の解を求めるために行われるのは、下記のようなモード解析による手法である2p=55。
解を得るために、x を複素数に拡張し、励振力 f を複素指数関数 fae jΩt の形で与えるとする2p=132。この場合、計算して解が得られた後に実部あるいは虚部を取ることで、実際の解が得られる2p=132。運動方程式5.1の右辺を 0 としたときのモード行列 U が、事前に求められているとする。モード座標への変換式3.21を運動方程式5.1へ適用して、左から U&top; を掛け、式3.14と式3.15の対角化を適用する。すると、励振力を受ける不減衰系の運動方程式は
という独立・非連成の n 個の運動方程式に帰着する2pp=132–133。ただし、右辺の Fr は次のような値である2p=133。
式5.6は線形1自由度系と同じなので、強制振動を表す特解は、
となる2p=133。式3.21を使ってモード座標を物理座標へ逆変換し、固有角振動数を使って整理すれば強制振動の解は次のようになる2p=133。
式5.9から分かることは、励振力の角振動数 Ω が系の固有角振動数 ω1, ω2, …, ωn のどれかに近いとき、係数の極限が 0 となってその振動成分が極めて大きくなり、共振が起こるという点であるp=134。Ω が固有角振動数のいずれかに一致するとき、x の振幅は無限大に発散するp=56。

**比例粘性減衰系**
系が比例粘性減衰系であれば、励振力を受ける場合でもモード座標変換によって独立した1自由度系に分解でき、大自由度の問題も扱いが容易になるp=97。一般の運動方程式2.1に、レイリー減衰の式4.8およびモード座標への変換式3.21を代入する。左から転置した質量正規固有モードの正規モード行列 Ū&top; を掛けて対角化する。さらに、2ζrωr = α + βωr2 という関係を用いれば、運動方程式は下記のような独立・非連成の n 個の方程式に帰着するpp=109–110。
励振力 f が fa cosΩt で与えられるとする。線形1自由度系と同様の解法によって、正規座標 qr の強制振動の解が下記のように求まるp=42。 
解を複素数で表現した場合は、
となり、物理座標の解は
となるp=42。Ω/ωr は強制振動比などと呼ばれるp=220。通常の固有モードの場合は次式となるp=108。

**周波数応答関数**
強制振動の特解から、周波数応答関数あるいは伝達関数が求められる2p=109。周波数応答関数は、振動系への入力が調和振動の形で与えられるときの、出力と入力の振幅比および位相差を周波数の関数として表すpp=56–57。比例減衰系において、角振動数 Ω の調和外力が q 番目の自由度のみに加わるとする。このときの p 番目の自由度の振動応答は
と表されるp=98。この場合の周波数応答関数 G(Ω) は変位/力の単位を持ち、コンプライアンスとも呼ばれる2p=226。q 番目加振・p 番目応答の周波数応答関数と p 番目加振・q 番目応答の周波数応答関数は、相反定理によって互いに等しく、Gpq(Ω) = Gqp(Ω) の関係であるpp=98–99。不減衰系の場合は、周波数応答関数は次式となるp=214。
4.2,4.3,4.4によって与えられた3自由度減衰系の周波数応答関数の応答曲線の例。図は質点 m3 が加振されたときの質量 m2 の応答の例。山になっている点が共振点で、谷になっている点が反共振点。
これらの周波数応答関数によって、系の周波数特性が把握できるp=57。線形多自由度系の場合は、固有角振動数と固有モードを求めれば、調和外力による強制振動に対する周波数特性も同時に理解することができるp=57。横軸に振動数や強制振動比を取り、縦軸に調和外力に対する振幅比や位相差を図示したものを応答曲線や共振曲線と呼ぶ2p=70。縦軸をデシベルにして図示したものは特にボード線図と呼ばれるp=72。系の振動特性を振動実験から同定する実験モード解析では、実験値に上記の周波数応答関数でカーブフィッティングして系の各種パラメータを推定するp=216。
上述のように、励振力の振動数が系の固有角振動数に一致すると、振動は極大化する。一方、多自由度系では共振して振幅が発散する現象だけでなく、励振力が特定の角振動数のときに周波数応答関数が極小になる現象もあるp=97。このような現象を反共振と呼ぶp=97。ただし、共振が系全体で起こるのに対して、反共振は一組の加振点・応答点ごとにしか起こらないp=100。周波数応答関数の絶対値を縦軸にした応答曲線上では、共振点は曲線の鋭い山のように現れ、反共振は曲線の鋭い谷のように現れる。反共振は、代表的な制振器である動吸振器の原理として活用される2p=178。振動を抑えたい対象にばね・ダンパを介して付加質量を取り付けることによって振動を抑制でき、地震や強風に対する建築構造物の防振や回転機械の防振などに使われる2pp=178–179。

**刺激係数**
刺激係数は、地震のように構造物の基礎が揺れている場合に、その励振が各モードに対してどのぐらい強く寄与するのかを表すp=94。構造物を多質点系でモデル化して、基礎の変位を y として、各質点の基礎からの相対変位を x とする。各質点は　ẍi + ÿ の加速度を受けるため、運動方程式は
となる2p=98。ここで 1 は成分が全て 1 の縦ベクトルである。式5.18において、C をレイリー減衰で表し、さらに x をモード座標に置き換え、左から転置したモード行列を掛けて整理すれば、下記のような各モード座標についての式になるp=94。
さらに、上式の ÿ の係数を次のように変形するp=94。
この βr を r 次の刺激係数と呼び、r 次モードの運動方程式は次のようになる2pp=151–152。
つまり、βr は励振加速度が各モードに対してどのぐらい寄与しているか、あるいは各モードは基礎励振に対してどのぐらい影響を受けやすいかを表している2p=98。さらに、r 次の刺激係数と固有モードの積を r 次の刺激関数と呼び、刺激関数の総和は次のように 1 に等しいp=94。
すなわち、対称の振動系に 1 という外力ベクトルが加わったときに各モードが受ける度合いを、刺激関数は表しているp=94。

**有限要素法による連続体の振動への応用**
多自由度系では、質点または剛体から成る系を想定し、剛性、減衰、慣性などの振動特性も局所的に集中して系内で点在しているというモデルを考えていたpp=5, 103。一方で、実際の物体は、物体自体が変形するp=115。実際の物体は連続体としての性質を有しており、質量、剛性などは連続的に系内に分布しているモデルとなる2p=115。実際の問題では、多自由度系に近似して取り扱っても十分な場合も多いが、振動時の機械・構造物の各部の変形や応力といったものを知るには連続体として取り扱う必要あるp=121。
連続体の振動の運動方程式は時間と空間に関する偏微分方程式で記述され、厳密解が得られることは限られるp=115。実際の複雑な形状の構造物で連続体の振動を扱うには、実用的には有限要素法という手法が用いられる2p=184。有限要素法では、対象の連続体を小さな有限要素に分割し、連続体を多自由度系に置き換えて解を計算するp=151。有限要素法においても、線形多自由度系の理論にもとづくモード解析手法が強力な効果を発揮し、振動解析が精度良くかつ容易にできるようになる2p=199。
有限要素法による振動解析では、立てられた振動数方程式の数値計算を行い、まず固有振動数と固有モードを得る。次いで、固有モードの直交性を利用して周波数応答関数を得て、応答解析を行う。もし、定式化された運動方程式が1万自由度だとしたら、解くべき方程式は1万元の2次連立微分方程式となり、コンピュータを用いても計算に長時間を要するpp=11–12。しかし、モード解析手法を用いれば、1自由度系の解を1万回解いて、重ね合わせるだけで解が得られるpp=12, 89。さらに、対象が大規模自由度になったとしても、自由度の分だけ現れるモードを全て計算する必要性もないpp=59–60。実用的に興味のある外力振動数を含む次数までモードの重ね合わせでも、十分な精度の振動応答解析が可能となるpp=59–60。上記の1万自由度の例えで言えば、1自由度系の解を1万回解く必要もなく、もっと少ない回数の計算で事足りるようになるp=89。これらの長所によって、モード解析手法は有限要素法による振動解析で絶大な威力を発揮し、数十万規模の自由度を扱うような有限要素法計算であっても、モード解析手法の適用によって特段の支障なく計算が可能となるp=12。

**係数行列が非対称行列の場合**
質量行列 M（式2.2）、減衰行列 C（式2.3）、あるいは剛性行列 K （式2.4）が正定値の条件を満たさない場合、すなわち実対称行列ではなく、非対称行列であるとき、その系では不安定振動が起こることがあるp=70。このような条件では、式4.6で表される特性方程式の固有値 λ に、実部が正の固有値が含まれることがありえるp=175。固有値に実部を正とする複素数が含まれるとき、時間とともに振幅が大きくなっていく振動が起こる。このようなメカニズムは、自励振動が起こりえる系で平衡点から振動が成長するか否かを考察する上で基礎となるpp=70–71。自励振動は1自由度系でも起きる現象だが、係数行列が非対称であることによって引きこされる種類の自励振動は、多自由度系特有のものであるp=76。
例として、次のような2自由度不減衰系を考える。
ただし、k12 ≠ k21 で、剛性行列は非対称行列である。さらに、k12 と k21 のどちらかが正でどちらかが負であるような異符号の関係にあるとき、固有値は
という形の複素数となる。λr とλi は
で与えられ、ここで、ωtr = k11/m1 + k22/m2, ωdiff = k11/m1 − k22/m2, ωsk = (k12/m1)(k21/m2) である。λr は発散率と呼ばれ、自励振動の強さを表す。
このような係数行列の非対称性によって起きる自励振動の事例は機械振動の中で多く見られ、クーロン摩擦による摩擦振動や滑り軸受で起こるオイルホイップなどがあるpp=70, 74–76。

**出典**

**参照文献==