ウォルステンホルム素数

数論におけるウォルステンホルム素数（ウォルステンホルムそすう、Wolstenholme prime）とは、強い形のWolstenholme's theoremを満たすような特別な形をした素数のことである。例えばウォルステンホルムの定理から5以上の素数 p において p−1 までの逆数の和を表す分数の分子は p2 を因数にもつことは知られている。この分数の分子が p3 の因数をもつ素数の事である。名称は19世紀にこの定理を初めて記述した数学者Joseph Wolstenholmeにちなむ。
ウォルステンホルム素数への最初の興味が湧き上がったのは、また別の数学的重要性を持つフェルマーの最終定理との関連によってであった。ウォルステンホルム素数は、この定理を一般的に証明すべく研究された、他の特別な数の集合とも関係している。
既知のウォルステンホルム素数は、16843 と 2124679 のみである（A088164）。109 以下にはこれ以外にウォルステンホルム素数は存在しない。

**定義**
ウォルステンホルム素数にはいくつかの同値な定義がある。

**二項係数による定義**
素数 p > 7 は、次の合同関係を満たすときウォルステンホルム素数という。

ここで左辺は二項係数。
一方ウォルステンホルムの定理によれば、p > 3 なる全ての素数に対し次が成り立つ。


**ベルヌーイ数による定義**
素数 p は、ベルヌーイ数 Bp−3 の分子を割り切るときウォルステンホルム素数というp=553p=25。よってウォルステンホルム素数は非正則素数の部分集合である。

**非正則素数による定義**
素数 p は、(p, p–3) が非正則素数の対になるときウォルステンホルム素数というp=114。

**調和数による定義**
素数 p は、調和数  を既約分数で表したときの分子が p3 で割り切れるときウォルステンホルム素数というp=18。

**研究とその現状**
ウォルステンホルム素数の研究は1960年代に始まってから数十年にわたり続いている。最新の結果は2007年に発表された。最小のウォルステンホルム素数 16843 は1964年に発見されたが、当初は明示的に報告されていなかった。1964年の発見は後に1970年代の独立した発見により追認された。ほぼ20年間、これが唯一の既知のウォルステンホルム素数だったが、1993年に2番目のウォルステンホルム素数 2124679 の発見が公表されたp=23。
1.27 までの範囲でこれら以外のウォルステンホルム素数はなくp=25、この範囲は徐々に広げられた。具体的には28以下（McIntosh, 1995年）p=387、2.58以下（Trevisan & Weber, 2001年）p=283–284、9以下p=2092、11以下（Booker et al., 2022年）2022。

**ウォルステンホルム素数の個数の予想**
ウォルステンホルム素数は無限個存在すると予想されている。また素数定理から x 以下のウォルステンホルム素数の個数は約 ln ln x 個（ ln は自然対数）だと予想されている。素数 p ≥ 5 に対しウォルステンホルム商 は
 
と定義される。明らかに、p がウォルステンホルム素数であることと Wp ≡ 0 (mod p) であることは同値であるp=387。数値計算からは、Wp を pで割った余りは {0, 1, ..., p–1} 上ランダムに分布することが示唆されているp=387。

**関連項目**
 Wieferich prime- Wall–Sun–Sun prime- ウィルソン素数- Table of congruences- Wolstenholme's theorem- Wolstenholme number - ウォルステンホルム素数と混同しないこと

**脚注**

**参考文献**
  pages=97- Citation | last1=Johnson | first1=W. | title=Irregular Primes and Cyclotomic Invariants | year=1975 | journal=Mathematics of Computation | volume=29 | issue=129 | pages=113–120 | url=http://www.ams.org/journals/mcom/1975-29-129/S0025-5718-1975-0376606-9/S0025-5718-1975-0376606-9.pdf | doi=10.2307/2005468 url=https://webcitation.org/5v79AhVZp- Citation | last1=Buhler | first1=J. | last2=Crandall | first2=R. | last3=Ernvall | first3=R. | last4=Metsänkylä | first4=T. | title=Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to Four Million | year=1993 | journal=Mathematics of Computation | volume=61 | issue=203 | pages=151–153 | url=http://www.ams.org/journals/mcom/1993-61-203/S0025-5718-1993-1197511-5/S0025-5718-1993-1197511-5.pdf | doi=10.2307/2152942 url=https://webcitation.org/5uBfEhNBI- Citation | last1=McIntosh | first1=R. J. | title=On the converse of Wolstenholme's Theorem | year=1995 | journal=Acta Arithmetica | volume=71 | pages=381–389 | url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa71/aa7144.pdf url=https://webcitation.org/5u5TTjyoj-  url=http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/448/000317407.pdf?sequence=1 url=https://webcitation.org/5usC3fNXN- chapter=Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime url=https://webcitation.org/5uTrtgMk3-  issue=4 url=https://webcitation.org/5vRE6GbVK-  bibcode=2007MaCom..76.2087M  url=https://webcitation.org/5usE0UWhy-  url=http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoJNTBern.pdf-  doi=10.1142/s1793042108001146 url=https://webcitation.org/5uXu6BHu7- doi=10.1007/s11139-021-00438-3

**さらに詳しく**
 ref=-  bibcode=2009arXiv0907.2578K - ref=

**外部リンク**
 Caldwell, Chris K.  Wolstenholme prime （"The Prime Glossary"より）- McIntosh, R. J.  Wolstenholme Search Status as of March 2004 （e-mailはPaul Zimmermannまで）- Bruck, R.  Wolstenholme's Theorem, Stirling Numbers, and Binomial Coefficients- Conrad, K.  The p-adic Growth of Harmonic Sums （2つのウォルステンホルム素数を含む興味深い結果）