超現実数

A visualization of the surreal number tree.
数学における超現実数（ちょうげんじつすう、surreal number）の体系は、全順序付けられた真のクラスとして実数のみならず（任意の正実数よりも絶対値が大きい）無限大および（任意の正実数よりも絶対値が小さい）無限小まで含む。超現実数の体系は、四則演算（加減乗除）など実数が持つ多くの性質を共有しており、順序体を成す 超現実数をフォンノイマン–ベルナイス–ゲーデル集合論 (NBG) において定式化するならば、超現実数体は（有理数体、実数体、有理函数体、レヴィ゠チヴィタ体、準超実数体、超実数体などを含む）すべての順序体をその部分体として実現できるという意味で普遍的な順序体となる。超現実数は、すべての超限順序数も（その算術まで込めて）含む。あるいはまた、（NBGの中で構成した）超実体の極大クラスが超現実体の極大クラスに同型であることが示せる（Axiom of global choiceを持たない理論では必ずしもそうならないし、またそのような理論において超現実数体が普遍順序体になるとも限らないことに注意する）。

**概念史**
1907年にハンス・ハーンは、形式冪級数の一般化としてHahn seriesを導入した。またフェリックス・ハウスドルフは、順序数α に対する と呼ばれる順序集合を導入し、それと両立する順序群や順序体の構造を求めることができるかを問うた。1962 は修正された形のハーン級数を用いて適当な順序数 α に対してそのような順序体を構成し、α をすべての順序数全体の成すクラスを亙って動かすことで、超現実数体に同型な順序体のクラスを与えた。
それとは別の定義および構成法が、ジョン・ホートン・コンウェイにより、囲碁の寄せについての研究から導かれている。コンウェイの構成法は1974年にドナルド・クヌースの著書 Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness直訳は「超現実数 – 二人の元学生は如何にして純粋数学に熱中し、そして完全な幸福を得たか」となるだろうか。和訳本の一つ (松浦俊輔訳、柏書房、2004年) には『至福の超現実数―純粋数学に魅せられた男と女の物語』とタイトルが付けられている。 に取り入れられた。対話形式で書かれたこの本においてクヌースは、コンウェイが単に「数」と呼んでいたものに「超現実数」という新たな名を付けた。のちにコンウェイもクヌースのこの造語を受け入れ、1976年には超現実数を用いてゲームを解析する On Numbers and Games を著した1976。

**概観**
コンウェイの構成法1976では、超現実数は、大小関係を表す順序 ≤（二つの超現実数 a, b に対し a ≤ b または b ≤ a が成立する。a ≤ b かつ b ≤ a がともに成立するとき a と b は同値であると言い、同じ数を表すものと理解する）を伴って、段階を踏んで構成される。各段階における数は、既に構成された既知の超現実数からなる部分集合の対の形をしており、そのような数からなる部分集合 L, R が与えられ、L のすべての元が R のすべての元よりも真に小さいときに、対  は L のすべての元と R のすべての元との間に値を持つ中間数を表すものとなる。
このとき、全く異なる部分集合の対が結局は同じ数を定義するということが起こり得る —たとえ L ≠ L′ かつ R ≠ R′ となる場合であってさえも、二つの対  が同じ数を定義しうる—（同様の現象は、有理数を整数の商として定義するときにもあったことである。例えば 1/2 と 2/4 は同じ有理数の異なる表現である）。ゆえに厳密を期すならば、超現実数とはそのような同じ数を指す  なる形式の表現からなる同値類のことと言うべきである。
構成の緒段（第零世代）では、既存の数は何もないのだから、表現には空集合しか用いようがない。表現  は L および R が空集合という意味であり、これを 0 と呼ぼう。段階を踏んでいけば  や  のような形式が次々に生まれてくる。こうして整数は全て超現実数の集合に含まれる（上記は右辺の名称を左辺の式で定義するという意味の定義式であることに注意する。これらの各名称が実際に適切なものであることは、後で述べる超現実数の四則演算が定義されたときに根拠が与えられるであろう）。同様に  のようなものも生じるから、dyadic rational（分母が2の冪であるような有理数）もまた全てが超現実数の集合に含まれる。
無限に段階を踏んだ後であれば、無限部分集合も使ってよいということになり、任意の実数 a が、a より小さい（ここでの大きい・小さいは、実数としての大小関係で言うことに注意）二進分数全体の成す集合  と a より大きい二進分数全体の成す集合  を用いて  と表現される（これはあたかもデデキントの切断の如きである）。そうして任意の実数もまた超現実数の集合に埋め込まれる。
あるいはまた、 および  なる表現も作られ、ω は任意の整数よりも大きい超限数として、ε は任意の正実数より小さいが 0 よりは大きい無限小として解釈できるが、これらもまた超現実数として与えられる。さらに言えば、通常の算術における四則演算（加減乗除）が、これらの実数でないような量まで含めて、超現実数全ての集まりが一つの順序体となるような仕方で拡張できる。よって、この枠組みの中では 2ω や ω − 1 などのような無限大を数として扱った議論もできるということになる。

**構成法**
超現実数は、超現実数からなる集合の対（ただし一方の集合の各元が他方の集合の任意の元よりも真に小さいという制約が付く）に関する同値類として帰納的に定義される。この構成は、相互に依存する三種類のルール（構成規則・比較規則・同値規則）からなる。

**形式**
形式 (form) は左集合および右集合と呼ばれる超現実数からなる集合の対を言う。左集合を L, 右集合を R とする形式は  と書き、また L および R が元のリスト（文字列）として与えられているときには、それらを括る波括弧は省略する。左集合または右集合の何れかまたは両方が空集合となることもあり得る。例えば両者空集合となる形式  は  とも書く。
 数値形式: 形式  が数値的（数的）であるとは、L と R に交わりが無く、かつ R の各元が L の任意の元よりも真に大きいときに言う。ただし、大小関係は後で述べる順序 ≤ の意味で言う。

**数値形式の同値類**
数的な形式を同値類に分けるとき、その各々の同値類が「超現実数」である。形式における左集合と右集合は（形式ではなくその同値類としての）超現実数のなす宇宙からとることができる。
 同値規則: 二つの数形式 x, y が同じ数を表す（同じ同値類に属する）ための必要十分条件は x ≤ y および y ≤ x が同時に満たされることである。
順序関係は反対称でなければならない。つまり x ≤ y かつ y ≤ x という意味で  であるのは、x と y が同じものであるときに限る。これは超現実数を形式として捉えた場合には正しくないが、その同値類を取って作ったものであれば真となる。
空な形式  の属する同値類を 0 とラベル付ける。すなわち、超現実数の 0 は形式  によって表現される。

**順序**
超現実数の再帰的定義は、以下で定義する比較規則に対して完全 (completed) である:
 比較規則: 数値形式  に対して、x ≤ y が成り立つとは-  で  となるようなものが存在しない（x の左集合の元は何れも y より小さい）;-  で  を満たすものが存在しない（y の右集合の元は何れも x より大きい）
 という条件がともに成立することをいう。
形式 y と超現実数 c との間の比較 y ≤ c は、同値類 c の代表元となる形式 z を取って y ≤ z を評価するならば意味を持つ。同様に形式 x との比較 c ≤ x や超現実数同士の比較 b ≤ c も定義できる。

**帰納法による定義**
この一連の定義は再帰的であり、形式や数といった対象の成す宇宙を定めるためにはある種の数学的帰納法が必要になる。「有限な帰納法」を通じて到達できる超現実数はdyadic fraction（二進有理数）に限られるから、より広い宇宙へ到達するには何らかの形での超限帰納法を与えなければならない。
 帰納規則
初期条件: 第零世代  はただ一つの形式  のみからなる 0 だけを含む集合とする。
帰納ステップ: 任意の順序数 n に対し、第 n-世代  は、それより前の世代全ての合併  から構成規則によって生成されるすべての超現実数からなる集合である。
初期条件は実際には（添字の 0 を最小の順序数とみなして）帰納ステップの特別な場合と見ることもできる。これは、i  ω が成り立つ。順序数の付随する超現実数の加法および乗法は、順序数の演算としてはlabel=自然和および自然積に一致する。
が任意の自然数 n に対する ω + n よりも大きいことと同じく、超現実数 ω/2 は無限大超現実数だが、任意の自然数 n に対する ω − n より小さい。つまり、ω/2 は  によっても定義できる。ただし、右辺の記法 x − Y（x は数で、Y は集合）は  の意味で用いた。これは ω と ½ を表す形式  との積と同一視できる。ω/2 の誕生日は極限順序数 ω2 である。

**ω の冪**
超現実数の無限大および無限小の「度合」(order) の分類（アルキメデス類とも呼ばれる）のために、コンウェイは各 x に対して超現実数  を対応させた。ただし、r, s は何れも正の実数すべてに亙るものとする。x  0) の形であるとき、exp(x) は β が α の狭義単調増大函数であるもとして  の形をしている。実は、全単射  が帰納的に定義され、その逆函数もまた帰納的に定義できる。
** x が「純無限大」("pure infinite") で標準形  () を持つならば、 が成り立つ。
** 同様に  に対して逆写像は  で定められる。- 任意の超現実数は純無限大成分、実数成分、無限小成分の和として表されるから、指数函数は上で見た（純無限大、実数、無限小それぞれに対する）指数函数の積として与えられることがわかる。
** 特に標準形は、無限大成分（これはひとつの ω の冪として与えられる）と実指数函数を無限小に関する冪級数として書いたものとの積に書ける。
** 逆に、標準形の先頭項を分割して任意の超現実数を  () の形に持ち込んでやれば、各因数は上で既に与えたやり方で対数が計算できる形になっているから、それら対数の和が一般の対数となる。
*** （exp の場合と異なり）一般の log の帰納的定義は存在しないが、部分的にはそのような帰納的定義も与えられる。この方法では、（対数が指数函数の逆函数であるという事実を参照することなしに）陽に計算することができる。- 指数函数は任意の有限冪函数よりもずっと大きい。
** 任意の正の無限大 x と有限な n に対して  は無限大である。
** 任意の整数 n と超現実数  に対し  が成り立つ。この強い制約条件は実指数体に対する Ressayre の公理の一つになっている2001。- exp は実指数体に対する Ressayre の公理系をすべて満足する2001。
** この指数函数を備えた超現実数の全体は、実指数体のelementary extensionになる。
** 順序イプシロン数  に対し、 より小さい誕生日を持つ超現実数の全体は、指数について閉じた体を成し、同様に実指数体の初等拡大のひとつとなる。

**例**
超現実数の指数函数は、本質的には ω の正冪上での振る舞い（すなわち、上で見た函数 g(a)）が分かれば（有限値に対してはよく知られた指数函数であるから、その振る舞いと合わせて）決定される。前者の例のみ以下に与えるが、加えてその変域の大部分において 1=g(a) = a が満足される（例えば、実数成分が正と任意の有限数の場合や、適当な回数反復した ω の冪の塔  の場合はそうである）。- .-  および .- .
** ここからわかるように、先に見た「ω の冪」を函数とみたものは exp とは両立しない。両立するのであれば、exp(ω⋅log(ω)) の値は  となることが要求される（次項も参照）。- .- .

**一般の冪**
一般の冪は  として定義することができ、 のような式の解釈が与えられる。この場合でもやはり（特に ω を底とするときには）この定義と「ω の冪」として与えられるものとは絶対に区別をつけるべきものである。

**超現複素数**
超現複素数 (surcomplex number) は、二つの超現実数 a, b に対して a + bi（i は虚数単位）の形をした数を言う1987。超現実数の全体は（それが真のクラスとなることを除いて）代数閉体を成す。それは有理数体にAlgebraic independenceな超越元の成す適当な真クラスを添加して生成される体の代数閉包に同型である。この事実は、任意に固定した集合論の中で、体の同型を除いて超現複素数を特徴付けるものである1976。

**ゲーム**
超現実数の定義には一つの制約条件「L の各元は R の各元よりも真に小さい」があった。この制限を落とせばより一般のクラスとしてゲーム (game) を生成することができる。任意のゲームは以下の規則に従って構成される:
 ゲームの構成規則: L, R がともにゲームから成す集合であるとき、 はゲームである。.
加法、減法および大小比較は、すべて超現実数とゲームの両方に共通の仕方で定義される。
任意の超現実数はゲームとなるが、任意のゲームは超現実数であるとは限らない（例えばゲーム  は超現実数ではない）。ゲーム全体の成すクラスは超現実数全体よりも一般であり、より簡素な定義を持つ代わりに、超現実数の持つよい性質のいくつかは抜け落ちてしまう。例えば、超現実数全体の成すクラスは体を成すが、ゲーム全体の成すクラスはそうでない。あるいは超現実数の全体は全順序（任意の二つの超現実数は、等しいかさもなくば一方が他方より大きい）を持つが、ゲームの全体には半順序（ゲームの対で相等しくも何れか一方が他方よりも大きいということもないものが存在する）しか入らない。各超現実数は正または負さもなくば零の何れかになるが、各ゲームは正・負・zero gameのほかにlabel=ファジー（ のように零と比較不能なもの）が生じる。
ゲームにおける一手 (move) はその手番においてプレイヤーが L（先手; left player の場合）または R（後手; right player の場合）から利用できるゲームを選び、その選んだゲームを相手プレイヤーに渡すという形で作用する。選択できるものが空となり手を打てないプレイヤーは負け (lost) である。正のゲームは先手の勝利を、負のゲームは後手の勝利をそれぞれ表し、零ゲームは後手の手番をファジーゲームは先手の手番を意味する。
が超現実数であるとき、1=x = y ならば必ず 1=x⋅z = y⋅z が成り立つが、x, y, z がゲームのときには 1=x = y でも必ずしも 1=x⋅z = y⋅z であるとは言えない。ここでの等号 "" は「値が等しい」(equality) という意味であって、「同一」(identity) という意味ではないことに注意。

**組合せゲーム理論への応用**
超現実数はそもそも囲碁の研究に動機づけられたものであり、定番ゲームと超現実数の間には様々な関連性がある。この節では便宜のために、数学的対象  のことはゲーム (Game)、チェスや囲碁のような遊興のことは遊技 (game) と呼び分けることにする。
ここで考えたい遊技は以下のような性質を持つものである:- プレイヤー（試技者）は二人（便宜上 Left と Right とする）- 決定論的（ゲームの各手番はランダム要素なしにプレイヤーのメイクする選択で完全に決まる）- （プレイヤーの隠し札や隠しマスのような）秘匿された情報はない- プレイヤーには交互に手番 (turn) が回ってくる（遊技によって、一回の手番に複数手 (move) を許すものも許さないものもある）- 遊技の各取組（一番）は有限回の手数で終了しなければならない- プレイヤーに正規の指し手が何も残されていない状態になったら即座に取組は終了しそのプレイヤーの負けとなる
大抵の遊技にとって、初期盤面配置はどちらかのプレイヤーに大きな有利となることはないが、試技の進行の過程で一方のプレイヤーが勝利に近づくにつれて、盤面はそのプレイヤーに明らかに有利となっていく。遊技の分析のためには、ゲームを任意の盤面に結び付けるのが有効である。与えられた盤面の値がゲーム  であるとは、L は Left の単一手で達成可能な盤面の値全体の成す集合、R は Right の単一手で達成可能な盤面の値全体のなす集合となるように与えるものとする。
零ゲーム 0) は L, R がともに空集合となるゲームであるから、次の手を打つプレイヤーが即座に負けである。二つのゲーム  の和は、 というゲームとして定義され、これは各プレイヤーが手番ごとに試技 (play) を行うゲームを選べることに対応するが、正規の手が打てなくなったプレイヤーが負けとなることは変わらない。例えば、二人のプレイヤーがチェス盤を二面使って指す場面を想像しよう、プレイヤーは交互に手を指すけれども、各手番においてどちらの盤面で指すかは完全にプレイヤーの自由にゆだねられる（どちらを選んでも選んだ方に一手を打てるだけで、選ばなかった盤面には何も干渉できない）というのがゲームの和の解釈である。ゲーム  に対して、−G とは  なるゲームのことで、これは二人のプレイヤーがその役割を入れ替えたものになっている。任意のゲーム G に対して 1=G − G = 0 となることは容易にわかる（ここで、ゲームの差 G − H は G + (−H) で定義する）。
このようにゲームを実際の遊技に結び付ける単純な方法でも、非常に興味深い結果が得られる。二人の完璧なプレイヤーがひとつの遊技を与えられた盤面から始めるとき、その初期盤面に付随するゲームが x であるとすると、任意のゲームを以下の四種に分類できる:- x > 0 ならば Left が勝つ（どちらが先手・後手かに関わらず）- x  H とは G - H > 0 となることと定義する、 についても同様。ここに、記法  とは G と H が比較不能という意味で、1=G > H, G  y は y  y のうちただ一つのみが成り立つ（label=三分律（三択律））。これは < が（真のクラスを成すことを除いて）全順序であることを意味する。
超現実数の集合 L, R が  を満たすとき、超現実数 z が一意に存在して-  かつ- 超現実数 w が  を満たすならば必ず 1=w = z または z は w より単純
とできる。さらに言えば、z は L, R から超限帰納法によって構成可能である。z は L と R の間にあるもっとも単純な超現実数となる。この唯一の数 z を σ(L, R) で表す。
超現実数 x に対し、その左集合 L(x) および右集合 R(x) を- ,
と定義すれば、1=σ(L(x), R(x)) = x が成り立つ。
このもう一つの実現法が優位である点は、等価性 (equality) が（帰納的に定義された関係ではなく）恒等関係 (identity) として書けることである。しかし、コンウェイによる超現実数の実現と異なり、この符号展開はあらかじめ順序数の全体が構成されている必要がある（コンウェイの実現では順序数も超現実数の特別の場合として一緒に構成されたのであった）。
それでも、順序数をあらかじめ構成する必要を除いた同様の構成法も作ることができる。実例として、定義域が超現実数の部分集合で推移律  を満たし、値域が  であるような函数のクラスとして超現実数の全体を再帰的に定義する方法が挙げられる。この場合「より単純」という関係は非常に簡単に定義される—x が y より簡単とは x ∈ dom(y) を満たすときに言う。全順序付けは x, y を順序対の集合と見て（函数は通常の通り定義したものとして）定義される。1=x = y であるか、さもなくば超現実数  は x または y の定義域に属す（あるいは両方に属すこともあるが、この場合符号は不一致でなければならない）から、x < y となるのは 1=x(z) = − または 1=y(z) = + の何れかまたは両方が成り立つときである。これら函数を符号列に変換することは難しくない—dom(f) の元をその単純さの順（つまり、包含関係の順）に並べて、f に対して並べた元の順番に符号を書き下したものを割り当てればよい。そうすると、順序数の全体は値域が  であるような超現実数として自然に生じる。

**加法および乗法**
二つの超現実数 x, y に対しその和 x + y は、dom(x) および dom(y) に関する帰納法により、 で定義される。ただし- ,- .
加法単位元は  で与えられる（つまり、超現実数 0 は定義域が順序数の 0 である唯一の函数である）。また、超現実数 x の加法逆元は  かつ α ∈ dom(x) に対して  で与えられる超現実数 −x である。
これにより、超現実数 x が正であるための必要十分条件は、0 ∈ dom(x) かつ 1=x(0) = +1 となることであり、同様に x が負であるための必要十分条件は 0 ∈ dom(x) かつ 1=x(0) = −1 となることであるとわかる。
二つの超現実数 x, y の積 xy は、dom(x) および dom(y) に関する帰納法により、 で定義される。ただし- ,- .
乗法単位元は  で与えられる（つまり、超現実数 1 は定義域が順序数の 1 で 1=1(0) = +1 を満たす函数を言う）。

**コンウェイの実現との対応**
コンウェイの実現を符号展開へ写す写像は  で与えられる。ただし、 とする。
その逆写像として、符号展開による実現をコンウェイの実現へ写すには  を  と与えればよい。

**公理的アプローチ**
具体的な構成から完全に離れて、超現実数に対する別なアプローチが 1987 によって与えられた。これは構成法ではなく、超現実数を実現するどのような構成法もが満足する公理系の集合を与えるものである。Real numbers#Axiomatic approachと極めて同様に、この公理系は同型を除いて一意な存在を保証するものである。
三つ組  が超現実数系 (surreal number system) であるとは、以下の公理をすべて満足するときに言う:- < は 𝐍𝐨 上の全順序である;- b は 𝐍𝐨 から順序数全体の成すクラスの上への写像である（この写像 b を 𝐍𝐨 上の「誕生日函数」と呼ぶ）;- 𝐍𝐨 の部分クラス A, B が任意の x ∈ A, y ∈ B に対して x < y を満たす（このとき、アリングの語法で  は 𝐍𝐨 に関する「コンウェイ切断」("Conway cut") と呼ばれる）ならば、z ∈ 𝐍𝐨 が一意に存在して、b(z) が極小かつ任意の x ∈ A, y ∈ B に対して x < z < y とできる。（この公理はしばしば「コンウェイの単純性定理」("Conway's Simplicity Theorem") と呼ばれる）
これらに加えて、- 順序数 α が b(x) (∀x ∈ A, B よりも大きいならば、b(z) ≤ α である（アリングはこの公理まで満足する系を「完全超現実数系」("full surreal number system") と呼んでいる）。
コンウェイのオリジナルの構成も、符号展開による構成も、ともにこれら公理系を満足する。
与えられたこれら公理系から 1987 はコンウェイによるオリジナルの ≤ の定義を導き、超現実数の算術を展開した。

**単純さの階層**
超現実数を、単純さ (simplicity) を先祖 (ancestor) のラベルに持つ極大二分擬木 (pseudo-tree) およびその順序関係によって構成する方法は  による。通常の木の定義と異なるのは、各頂点の先祖は整列集合を成すが、極大元（直前の先祖）は持たないかもしれないことである。すなわち、先祖集合の順序型は自然数だけではなく一般順序数となりうる。この構成もまたアリングの公理系を満足し、符号列表現に容易に引き写せる。

**ハーン級数**
at= th. 6.55, p. 246 もまた超現実数体が実係数Hahn series体（各級数の和の値は超現実数として解釈する）に順序体として同型となることを証明した（この級数表現は、上述した超現実数の標準形に対応するものである）。これにより、超現実数をより従来的な順序体論的アプローチに結び付けることができる。
この同型により超現実数が写された先の体は、コンウェイ標準形における最高次項の冪指数の加法逆元を付値とする付値体である（例えば 1=ν(ω) = −1）。したがって、この体の付値環は有限超現実数（実数または実数に無限小成分を加えたもの）すべてからなる。ここで付値として冪指数の符号を反転させるのは、コンウェイ標準形における冪指数が逆整列集合を成していることと、それに対しハーン級数が値群における（正順の）整列部分集合によって定式化されていることによるものである。

**超実数との関係**
はコンウェイの極大超現実数体とNBGにおける極大超実体との間に同型を構成した。

**関連項目**
 超実数- 超準解析

**注**

**注釈**

**出典**

**参考文献**
 ref= harv- ref = harv- ref= harv- ref= harv

**関連文献**
 Donald Knuth's original exposition: Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness, 1974, 0-201-03812-9. More information can be found at  the book's official homepage.- An update of the classic 1976 book defining the surreal numbers, and exploring their connections to games: John Conway, On Numbers And Games, 2nd ed., 2001, 1-56881-127-6.- An update of the first part of the 1981 book that presented surreal numbers and the analysis of games to a broader audience:  Berlekamp, Conway, and Guy, Winning Ways for Your Mathematical Plays, vol. 1, 2nd ed., 2001, 1-56881-130-6.- Martin Gardner, Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers,  W. H. Freeman & Co., 1989, 0-7167-1987-8, Chapter 4.  A non-technical overview; reprint of the 1976 Scientific American article.- Polly Shulman,  "Infinity Plus One, and Other Surreal Numbers",  Discover, December 1995.- A detailed treatment of surreal numbers: Norman L. Alling, Foundations of Analysis over Surreal Number Fields, 1987, 0-444-70226-1.- A treatment of surreals based on the sign-expansion realization: Harry Gonshor, An Introduction to the Theory of Surreal Numbers, 1986, 0-521-31205-1.- A detailed philosophical development of the concept of surreal numbers as a most general concept of number: Alain Badiou, Number and Numbers,  New York: Polity Press, 2008, 0-7456-3879-1 (paperback), 0-7456-3878-3 (hardcover).- cite book | url=http://homotopytypetheory.org/book/ | title=Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics | author=The Univalent Foundations Program | publisher=Institute for Advanced Study | location=Princeton, NJ | year=2013 | mr=3204653 The surreal numbers are studied in the context of homotopy type theory in section 11.6.

**外部リンク**
  Hackenstrings, and the 0.999... ?= 1 FAQ, by A. N. Walker, an archive of the disappeared original-  A gentle yet thorough introduction by Claus Tøndering- title=Surreal number-  Good Math, Bad Math: Surreal Numbers, a series of articles about surreal numbers and their variations