量子力学の数学的定式化

本項では相対論的効果を考えない量子力学の数学的定式化（りょうしりきがくのすうがくてきていしきか）を厳密に述べる。本項では量子力学に対する最低限の知識を仮定する。

**状態空間のヒルベルト空間による定式化**
量子力学において系 の（純粋）量子状態は、状態ベクトルと呼ばれる単位ベクトルによって表現され、状態ベクトルとその定数倍のなすベクトル空間を状態空間という。状態空間はヒルベルト空間という数学的概念によって定式化される。そこで本節ではヒルベルト空間の定義を述べる。

**ヒルベルト空間**

**定義**
ヒルベルト空間の概念を定義するため、まずは複素計量ベクトル空間を定義する：
複素計量ベクトルの元に対し、内積に対応するのノルムを
 
により定義し、の間の距離を
 
により定義するとはこの距離に関して距離空間の公理を満たす。
紛れがなければ以下内積を省略し、記号だけでヒルベルト空間を表すものとする。特に断りがない限り、本項ではヒルベルト空間として可分なもののみを考える。
上述の定義より、内積は、第二成分に関しては線形であるが、第一成分に対しては反線形性- に対し、 
が成立する。なお、ここで提示した内積の定義は量子力学では一般的なものだが、数学の文献では、ここに載せたのとは逆に、第一成分に対して線形、第二成分に対して反線形であるものを用いる事が多い。

**ヒルベルト空間の一意性**
ヒルベルト空間、に対し、全単射線形写像で
 
が全てのに対して成立するものが存在するとき、とは同型であるという。
可分な無限次元ヒルベルト空間は同型を除いて１つしか存在しない。すなわち以下が成立する：
前述のように本項ではヒルベルト空間として可分なもののみを取り扱う。よって本項で登場するヒルベルト空間で次元が無限のものは全て同型である。

**状態空間**
量子力学では以下の仮定を課す：
本節では以降、こうした量子力学の仮定を幾つか述べるが、新井の本やHallの本など多くの本ではこうした仮定の事を公理(axiom)と呼んでいる。しかしこうした仮定は数学的な意味での公理ではないH13page=64ので、本項ではその事を明確化するため、F15に従い、「公理」と呼ばず「仮定 (postulate)」と呼ぶものとする。

**L2空間**
すでに述べたように(可分な)無限次元ヒルベルト空間は全て同型なので、任意に一つ無限次元ヒルベルト空間を持って来れば、原理的にはそのヒルベルト空間を状態空間とみなした量子力学を定式化できる。しかし通常の量子力学では、物理的な解釈をわかりやすくするため、空間というヒルベルト空間を用いて量子力学を展開する事が多い。そこで本節では空間の定義を述べる。

**準備**
空間を定義するには、測度論の概念を必要とする。そこでまず測度論を直観的説明する。厳密な説明は当該項目を参照されたい。
測度空間Xとは、Xの部分集合の「大きさ」の概念が定義された空間で、「大きさ」の具体例としては元の個数、面積、体積などがある。測度空間上定義された「大きさ」のことを測度という。Xの全ての部分集合に測度が定義されている必要はなく、測度が定義可能な部分集合を可測な部分集合という。
測度空間上では積分を定義可能な事が知られている。ただし測度の場合と同様、全ての関数に対してその積分が定義できるわけではない。積分概念を定義可能な関数の事を可測関数という。
測度空間X上の２つの可測関数ψ、φが
 Xの可測部分集合AでAの測度が0であるものが存在し、
を満たすとき、ψとφはほとんど至るところ等しいといい、
   a.e.
と表記する（「a.e.」は「almost everywhere」の略）。

**定義**
を測度空間とする。量子力学の文脈ではXはの可測部分集合である事が多い。X上の可測関数ψで
 
となるものを考え、こうした関数全体の集合に
  a.e.
という同値類を定義する。
粒子がk個からなる系の場合、各粒子が3次元分の自由度を持つので、空間を利用すれば量子力学を自然に展開できる。また例えば（ポテンシャルの壁に遮られるなどして）粒子が有限の区間Iの内部しか動けないようなケースに対しても、1=X=Iの場合のL2空間を利用できる。

**注意**
以上で述べたように、量子力学の数学的定式化にはヒルベルト空間、特にL2空間の概念が有効である。ただし、物理学者が量子力学で用いている議論の全てをヒルベルト空間上で数学的に正当化できる事を意味しているわけではない。
例えば物理学者が量子力学の記述に通常用いるデルタ関数は、そもそも通常の意味での関数ではないので、L2空間には属さない。後の章でL2空間にさらに元を添加する事でデルタ関数をも取り扱う数学的手法についても述べるが、この手法は万能ではなく、例えばデルタ関数同士の積が定義できないという欠点を抱える。よって特にデルタ関数同士の内積を定義できず、デルタ関数を添加した空間はヒルベルト空間にはならない。
こうした数学的な困難を避けるため、以降の議論は、基本的にデルタ関数のような「関数もどき」は慎重に排除した上で展開するものとする。

**有界作用素**
ヒルベルト空間上で定義可能な関数のクラスとして最も自然なものの一つに有界作用素があり、量子力学における主要概念の一つであるユニタリ作用素は有界作用素の一つである。そこで本節では有界作用素の概念とユニタリ作用素の概念を定式化する。
次の事実が知られている：
したがって有界線形作用素とは、連続線形作用素と言い換えても良い。
有界線形作用素の例としてユニタリ作用素がある。後述するように量子力学ではユニタリ作用素は時間発展を記述するのに用いられる。
上記の条件をみたすときは、明らかにUは単射なので、Uは全単射である事になる。したがってユニタリ作用素とはから自分自身への同型写像（自己同型写像）である。
なお、が有限次元の場合には、単射性から全射性が従うため、ユニタリ作用素の定義において全射という条件は必要ない。しかしが無限次元の場合には、全射ではない単射線形作用素も存在するため、全射の条件は必須となる。
定義から明らかに次が成立する：

**ブラベクトルとケットベクトル**
本節では共役ベクトル空間の概念を定義することでディラックのブラベクトル、ケットベクトルの概念を数学的に定式化し、さらにリースの表現定理を導入することで、ブラベクトルの概念を別の角度から再定式化する。

**共役ベクトル空間**
ヒルベルト空間で使われている足し算「＋」、（スカラーとの）掛け算「・」、および内積を明示して、をと書くことにする。
定義より、共役ベクトル空間は掛け算以外は元の空間と同一である。以下、掛け算を明示しなくても共役ベクトル空間を区別できるようにするため、の共役ベクトル空間をと表記する。またがの元である事が文脈から明らかな場合は、を略記して単にと表記する。

**ブラベクトルとケットベクトル**
ヒルベルト空間上の内積は、第一成分に対して反線形、第二成分に対して線形であった。しかし内積の第一成分を共役ベクトル空間をとみなして
 
だとすれば、内積は、第一成分、第二成分双方に関して線形である事になるので便利である。そこで量子力学ではの元との元とを区別して考え、以下のように呼ぶ：

**リースの表現定理**
ブラベクトルに対し、線形作用素
 
を考えると、コーシー＝シュワルツの不等式
 
より、この作用素は有界作用素である。実は複素数値の有界線形作用素はこの形のものに限られる事が知られている：
なおが有限次元であれば上に述べた事実は自明であるが、無限次元であってもこの事実が成り立つ所にこの定理の主眼がある。以上の事実から、ブラベクトルを以下のように特徴づけられる事がわかる：

**オブザーバブル**
既に述べたように作用素が有界である事はその作用素が連続である事を意味している為、有界性はヒルベルト空間上の作用素の最も自然な概念の一つである。しかし量子力学で用いられる作用素の多くは有界ではないし、しかもの部分領域でしか定義できない。この原因は、量子力学で用いられる作用素の多くが微分を用いて定義されており、微分作用素が有界でもなければ全域で定義できるわけでもない事にある。
幸運な事に、これら量子力学で用いる作用素は「稠密に定義された可閉作用素」という、比較的扱いやすいクラスに属している事が知られている。そこで本節では、まず「稠密に定義された」という概念と「可閉」という概念を定式化する。
次に本節では、この「稠密に定義された可閉作用素」の概念をベースとして、量子力学におけるオブザーバブルの概念を定式化する。すなわち、稠密に定義された可閉作用素の共役作用素の概念を定式化し、共役作用素の概念を用いて自己共役作用素の概念を定式化し、最後に量子力学におけるオブザーバブルの概念を自己共役作用素により定式化する。

**稠密に定義された作用素**
オブザーバブルは状態空間の全域で定義されているとは限らないが、状態空間の稠密部分集合上では定義が可能である。そこでまず、稠密に定義された作用素の概念を導入する。
紛れがなければ上稠密に定義された作用素を単に
 　
と書く
特にが成立しているとき、Tはの全域で定義されているという。
稠密に定義された作用素に対し以下の拡大の概念を定義できる：
有界作用素に関しては、次の重用な性質が知られている：
したがって有界作用素に限定すれば、稠密に定義されている事は全域で定義されている事と実質的な差がない。しかし量子力学で用いる作用その多くは有界ではないので、この定理を用いる事ができない。

**可閉作用素**
が可閉作用素である必要十分条件は、任意の点列に対し、n→∞のときかつであれば1=χ=0が成立する事である新井page=87。

**共役作用素**
を稠密に定義された線形作用素とする。ベクトルに対し、以下の性質を満たすを考える：
 任意のに対し、　
このようなは常に存在するとは限らないが、存在すれば一意である事を示せる新井page=82-83。そこで共役作用素を以下のように定義する：
定義より明らかに
 任意のに対し、
であるが、Tが有界とは限らない時、Tが稠密に定義されていたとしてもが稠密に定義されることもとTの定義域が一致する事も無条件には保証されない新井page=83-84が、Tが可閉であればこれらは保証される：

**自己共役作用素とオブザーバブル**
量子力学では以下の仮定を課す：

**自己共役作用素とその関連概念の性質**
明らかに次が成立する：
しかし逆向きは一般には成り立たない。与えられた作用素が自己共役かどうかを決定する問題を自己共役性の問題といい、それだけで一冊の本が書けるほど難しい問題である新井page=228。
自己共役作用素とその関連概念に対し以下が知られている：
上記定理の性質3はTが可閉作用素である必要十分条件はが稠密に定義されることと性質2から従う新井page=90。
性質1より、以下本項ではTが本質的に自己共役な場合には、紛れがなければTとを混用する。
自己共役作用素は必ず掛け算作用素として表現できる事が知られている：

**オブザーバブルの具体例**
本節では
 　
の場合に対して、オブザーバブルの具体例を述べる。

**微分作用素**
量子力学で登場する代表的なオブザーバブルは、いずれも偏微分を用いて表現できるので、まず本節では微分作用素の定義と性質を述べる。
本節の目標は、微分作用素Dのうち性質の良いものを上定義されたオブザーバブルとみなす事である。しかしそもそも偏微分はが可微分でなければそもそも定義できないので、単純にDをの元に作用させることはできない。そこで以下の事実を用いる：
微分作用素Dは上で明らかに定義可能であり、しかもの元をに写すので、以下の系が従う：

**位置作用素**
上記の定理は以下のように証明できる。可測性から
 　
なのでは稠密に定義された作用素であり、しかも明らかには対称作用素である。さらにとすれば、任意のに対し、をみたすので、
 　
である。の任意性より、これは a.eを意味する。χの自乗可積分性との定義より、である。よってであり、掛け算作用素は自己共役作用素である。

**運動量作用素、軌道角運動量作用素**
(A1)の形の微分作用素Dが自己共役である事の証明は本項の範囲を超えるため省略するが、Dが対称作用素である事は以下のように示すことができる。に対し、部分積分の公式から
 　
である。(A1)の形の微分作用素はの実数係数多項式であるので、
 　
が成立する。Dの定義域はで稠密だったので、これはDが対称作用素である事を意味する。

**シュレディンガー作用素**
量子力学では時刻tに依存するかもしれないポテンシャルと呼ばれる実数値局所可積分関数V(x,t)を固定し、シュレディンガー作用素と呼ばれる作用素
 　
を考える。ここでは何らかの定数で、物理的にはj番目の粒子の質量を表す。またlは次元であり、物理学的なセッティングでは3である。各時刻tに対しシュレディンガー作用素は常に対称作用素であるが新井page=227、本質的に自己共役であるか否かはポテンシャルによる。
ここではの元との元の和で書ける関数の集合である。

**超関数によるデルタ関数の定式化**
量子力学を定式化するため、ディラックはデルタ関数
 　
を導入した。数学的に見た場合、このような「関数」は存在しないものの関数概念を一般化した「超関数」の概念を使う事でデルタ関数を数学的に定式化でき、これによりディラックの議論をある程度の部分まで数学的に正当化ができる（全ての議論を正当化できるわけではない。詳細後述）。そこで本稿では超関数の概念を導入し、デルタ関数を超関数の概念を使って定式化し、超関数の性質を調べる。

**準備**
本節では超関数の概念を定式化するのに必要な概念を導入する。

**と**


**性質**
明らかに
 
である。また前述したようにはの稠密部分空間なので、次の事実が成り立つ：
 はの稠密部分空間である新井page=190-191。
定義から明らかなようには次を満たす
 なら、任意の、に対し、
よって特に、位置作用素や運動量作用素はの元をの元に写す。

**収束**
の元の列およびの元の列の収束性を定義する。