実閉体

数学における実閉体（じつへいたい、real closed field）は実数体と一階の性質が同じである体を言う。実数体、実代数的数体、超実数体などがその例を与える。

**定義**
与えられた体 F が実閉体であるとは、以下のたがいに同値な条件の何れか、したがって全部を満足するときに言う:
# F は実数の全体とelementarily equivalentである。別な言い方をすれば、実数体と同じ一階の性質を持つこと、つまり一階言語で書ける任意の文が F において真となるための必要十分条件はそれが実数体において真となることである。(代数型 (signature) の選択は重要でない)
# F 上の全順序が存在して F は順序体となり、かつその順序に関する F の任意の正元が F 内に平方根を持つこと、および任意の奇数次 F-係数多項式が少なくとも一つの根を F 内に持つことが真である。
# F は実体であって、任意の奇数次 F-係数多項式が F 内に少なくと一つの根を持ち、かつ各 a ∈ F に対して適当な b ∈ F が存在して  または  が成り立つ。
# F は代数閉でないがその代数閉包は有限次拡大として得られる。
# F は代数閉でないが拡大体  は代数閉である。
# F の順序付けで F の真の代数拡大上の如何なる順序付けにも延長することができないものが存在する。
# F は実体であって、かつその真の代数拡大で形式的に実となる体は存在しない。(すなわち、そのような体は代数閉包において形式的に実という性質に関して極大なものである) 
# F 上の適当な順序付けが存在して F は順序体となり、かつその順序に関する意味で F 上の次数 ≥ 0 なる任意の多項式に対して中間値の定理が満足される。
# F はreal closed ringである。
順序体に対するアルティン–シュライヤーの定理は、1926年にエミール・アルティンおよびOtto Schreierが証明したことに名を因む。
 定理 (Artin–Schreier)pp=222–223
 F が順序体ならば、F の実閉包と呼ばれる代数拡大体 K が存在して、K は実閉体かつ F の順序の延長となる適当な順序に関して順序体となり、かつそのような K は F 上自明となる体の同型を除いて一意である。
例えば、有理数全体の成す順序体の実閉包は実代数的数体  である。
順序体 (F,P) と F のガロワ拡大 E に対し、E の部分体 M と P の延長となる M 上の順序 Q からなる拡大順序体 (M, Q) で包含関係に関して極大なものが（ツォルンの補題を適用することにより）存在する。この順序体 (M, Q)（あるいは短く M）は (F, P)（あるいは短く F）の E における（相対）実閉包と呼ぶ。M がちょうど F に一致するとき、(F,P) は E に対して実閉であるという。また E が F の代数閉包のとき、E における F の相対実閉包は、実際に上で述べたところの F の実閉包となるp=177。
が単に体である（体の演算と両立する順序の存在も仮定しないし、F が順序付け可能とも仮定しない）ときでも、やはり F は実閉包（それはもはや体ではないかもしれない）を持ち、それはreal closed ringとして得られる。例えば、二次体  の実閉包は、実閉環  である（ のコピーが二つあるのは、 の二つの順序付けに対応している）。他方、 を R の部分順序体と考えるときの、その実閉包はふたたび  となる。

**モデル理論: 決定可能性および量限定子消去**
実閉体の理論は初めは代数学の中で発展したものだけれども、重要な示唆はモデル理論からもたらされた。順序体の公理系に- 任意の正元が平方根を持つことを要請する公理- 任意の奇数次多項式が少なくとも一つの根を持つことを要請する公理図式
を加えることにより、一階の理論が得られる。1951 は、partially ordered ringに関する一階の言語（二項述語記号 "1==", "≤", 加法、減法、乗法の演算および定数記号 0, 1 からなる）において、実閉体の理論が elimination of quantifiersを許すことを示した。このことのもっとも重要なモデル理論的帰結は、実閉体の理論がlabel=完全、label=o-極小かつ決定可能なることである。
決定可能性が意味するのは少なくとも一つの決定手順が存在すること、すなわち実閉体に関する一階言語で書かれた文が真であるかどうかを決定するためのwell-definedなアルゴリズムが存在することである。ユークリッド幾何学（角度の決定可能性は除く）もまた実体の公理のモデルであって、したがって決定可能である。
この決定手順が「実用的」であるかは問わない。実閉体に対する決定手順は何れも計算量が極めて大きいことが知られているから、非常に単純な問題を除けば実際の実行時間は極めて長くなりうる。
タルスキーのアルゴリズムはquantifier eliminationが複雑性クラス NONELEMENTARY に属する可能性を示唆している。つまり、問題の大きさを n とするとき、アルゴリズムの実行時間を上から評価するような冪の塔  は存在しない。1988 は量限定子消去が実は（少なくとも）二重指数的であることを示した。つまり、ランダウの記法|Ω 漸近記法を用いれば、n 個の量限定子を持つ式の族  で長さ O(n) のものと一定の次数が存在して、 に同値な量限定子を持たない任意の式が次数  かつ長さ  の多項式を必ず含む。1986 は実閉体の理論が EXPSPACE において（したがって二重指数時間で）決定可能であることを示した。
Basu and Roy (1996)date=2017年7月 は  なる式（ただし、⋈ は  の何れか）が真かを決定するためのよく振る舞うアルゴリズムで、算術演算  の複雑性に属するものが存在することを示した。実はexistential theory of the realsは PSPACE で決定できる。
追加の函数記号（例えば正弦函数 sin や指数函数 exp）を加えて、label=理論の決定可能性を変更することができる。
まだほかにも、実閉体の重要なモデル理論的性質として、それがlabel=弱 o-極小構造を持つことが挙げられる。逆に、任意の弱 o-極小順序体は実閉でなければならない1998。

**順序論的性質**
実数体の著しく重要な性質は、それがアルキメデス体であること、つまり任意の実数に対して絶対値がそれより大きい整数が存在するというアルキメデスの性質をもつことである。任意の実数に対してそれよりも大きい整数と小さい整数の両方が存在する、と言っても同じことである。アルキメデス的でない実閉体は非アルキメデス順序体である。例えば、超実数からなる任意の体は実閉かつ非アルキメデスである。
アルキメデスの性質は共終数の概念と関係がある。順序集合 F に含まれる集合 X が F において共終であるとは、各 y ∈ F に対し x ∈ X が存在して  ref= harv-  ref= harv.-  ref= harv-  ref= harv- cite book | last=Efrat | first=Ido | title=Valuations, orderings, and Milnor K-theory | series=Mathematical Surveys and Monographs | volume=124 | location=Providence, RI | publisher=American Mathematical Society | year=2006 | isbn=0-8218-4041-X | zbl=1103.12002 | ref= harv-  ref= harv- cite book | title=Squares | volume=171 | series=London Mathematical Society Lecture Note Series | first=A. R. | last=Rajwade | publisher=Cambridge University Press | year=1993 | isbn=0-521-42668-5 | zbl=0785.11022 | ref= harv-  ref= harv

**関連文献**
 Basu, Saugata, Richard Pollack, and Marie-Françoise Roy (2003) "Algorithms in real algebraic geometry" in Algorithms and computation in mathematics. Springer. 3-540-33098-4 ( online version)- Caviness, B F, and Jeremy R. Johnson, eds. (1998) Quantifier elimination and cylindrical algebraic decomposition. Springer. 3-211-82794-3- Chen Chung Chang and Howard Jerome Keisler (1989) Model Theory. North-Holland.- year=1955- Mishra, Bhubaneswar (1997) " Computational Real Algebraic Geometry," in Handbook of Discrete and Computational Geometry. CRC Press. 2004 edition, p. 743. 1-58488-301-4

**外部リンク**
  Real Algebraic and Analytic Geometry Preprint Server-  Model Theory preprint server- title=real closed field- author= Kuhlmann, F.-V.