レトラクト (位相幾何学)

位相幾何学という数学の分野において，レトラクション (retraction) とは，位相空間から部分空間への，その部分空間の全ての点の位置を保つ連続写像である1931．変位レトラクション (deformation retraction) は空間を部分空間に「連続的に縮める」という概念を捉える写像である．
絶対近傍レトラクト (absolute neighborhood retract, ANR) は特にWell-behavedタイプの位相空間である．例えば，すべての位相多様体は ANR である．すべての ANR は非常に単純な位相空間，CW複体，のホモトピー型を持つ．

**定義**

**レトラクト**
を位相空間とし，A を X の部分空間とする．このとき連続写像
r: X → A
がレトラクション (retraction) であるとは，r の A への制限が A 上の恒等写像であること，つまりすべての a ∈ A に対して 1=r(a) = a であるときにいう．同じことであるが，

によって包含写像を表せば，レトラクションとは連続写像 r であって

なるもの，つまり， r の包含との合成が A の恒等写像であるものをいう．定義により，レトラクションは X から A の全射であることに注意．部分空間 A はそのようなレトラクションが存在するときに X のレトラクト (retract) と呼ばれる．例えば，任意の空でない空間は明らかな方法で点にレトラクトする（定値写像がレトラクションとなる）．X がハウスドルフならば，A は X の閉集合でなければならない．
がレトラクションならば，合成 ι∘r は X から X への冪等連続写像である．逆に，任意の冪等連続写像 s: X → X が与えられると，終域の制限によって s の像の上へのレトラクションを得る．

**変位レトラクトと強変位レトラクト**
連続写像
math|F: X × 0, 1 → X
が空間 X の部分空間 A の上への変位レトラクション (deformation retraction) であるとは，すべての x ∈ X と a ∈ A に対して

であるこという．言い換えると，変位レトラクションはレトラクションと X 上の恒等写像の間のホモトピーである．部分空間 A は X の変位レトラクト (deformation retract) と呼ばれる．変位レトラクションはホモトピー同値の特別な場合である．
レトラクトは変位レトラクトとは限らない．例えば，空間 X の変位レトラクトとして一点を持つということは，X が弧状連結である（実は可縮である）ことを意味する．
Note: 変位レトラクションの同値な定義は以下である．連続写像 r: X → A が変位レトラクションであるとは，それがレトラクションでありかつその包含との合成が X 上の恒等写像にホモトピックであるときにいう．この定式化において，変位レトラクションは X 上の恒等写像とそれ自身の間のホモトピーを伴っている．
変位レトラクションの定義において，さらにすべての math|t ∈ 0, 1 と a ∈ A に対して
1=F(a, t) = a
と仮定したとき，F を強変位レトラクション (strong deformation retraction) と呼ぶ．言い換えると，強変位レトラクションは，ホモトピーずっと A の点を固定したままにする．（label=Hatcher のように，これを変位レトラクションの定義にする著者もいる．）
例として，超球面|n 次元球面 Sn は  の強変位レトラクトである；強変位レトラクションとして次の写像を取れる：


**コファイブレーションと近傍変位レトラクト**
位相空間の写像 f: A → X が (label=Hurewicz) cofibration (cofibration) であるとは，それが任意の空間への写像に対してhomotopy extension propertyを持つときにいう．これはホモトピー論の中心的な概念の1つである．コファイブレーション f は必ず単射であり，実は像への同相であるloc=Proposition 4H.1.．X がハウスドルフ（あるいは label=コンパクト生成）ならば，コファイブレーション f の像は X において閉である．
すべての閉包含の中で，コファイブレーションは以下のように特徴づけられる．空間 X の閉部分空間 A の包含がコファイブレーションであることと以下は同値である．A は X の近傍変位レトラクト (neighborhood deformation retract) である，つまり，連続写像 u: X → I（ただし math|1=I = 0, 1）で 1=A = u−1(0) なるものと，ホモトピー H: X × I → X が存在して，すべての x ∈ X に対して 1=H(x, 0) = x で，すべての (a, t) ∈ A × I に対して 1=H(a, t) = a で，u(x) n, unit cube In, ヒルベルト立方体 Iω は AR である．
ANR たちは「行儀のよい」位相空間の注目すべきクラスをなす．それらの性質のいくつかは：
*ANR のすべての開部分集合は ANR である．
*label=Hanner により，ANR による開被覆を持つ距離化可能空間は ANR であるloc=Theorem III.8.1．（つまり，距離化可能空間に対して，ANR であることはlocal propertyである．）任意の位相多様体は ANR であることが従う．例えば，球面 Sn は ANR であるが AR ではない（可縮でないので）．無限次元では，Hanner の定理により，ヒルベルト立方体多様体や，（かなり異なり例えば局所コンパクトでない）ヒルベルト多様体，Banach manifoldは ANR である．
*任意の局所有限 CW 複体は ANR であるp=245．任意の CW 複体が距離化可能なわけではないが，任意の CW 複体は（定義により距離化可能な）ANR のホモトピー型を持つloc=Theorem 5.2.1．
*任意の ANR X は次の意味で局所可縮である，すなわち X の点 x の任意の開近傍 U に対して，U に含まれる x の開近傍 V が存在して，包含 V → U は定値写像にホモトピックとなる．有限次元距離化可能空間が ANR であることとこの意味で局所可縮であることは同値であるloc=Theorem V.7.1．例えば，カントール集合は実数直線の ANR でないコンパクト部分集合である，なぜならば局所連結ですらないからである．
*反例: Borsuk は R3 のコンパクト部分集合であって ANR であるが強局所可縮でないものを見つけたloc=section IV.4．（空間が強局所可縮であるとは，各点 x の任意の開近傍 U が x の可縮開近傍を含むときにいう．）Borsuk はまたヒルベルト立方体のコンパクト部分集合であって局所可縮（定義は上述）であるが ANR ではないものを見つけたloc=Theorem V.11.1．
*label=Whitehead と Milnor により，任意の ANR は CW 複体のホモトピー型を持つloc=Theorem 5.2.1．さらに，局所コンパクト ANR は局所有限 CW 複体のホモトピータイプを持つ；そして，West により，コンパクト ANR は有限 CW 複体のホモトピー型を持つp=119．この意味において，ANR は任意の位相空間のすべてのホモトピー論的な病的さを避けている．例えば，Whitehead theoremは ANR に対して成り立つ：ANR の間の写像であって（基点の任意の選択に対して）ホモトピー群上の同型を誘導するものはホモトピー同値である．ANR は位相多様体，ヒルベルト立方体多様体，バナッハ多様体，などを含むから，これらの結果は空間の大きいクラスに適用する．
*多くの写像空間は ANR である．特に，Y を ANR で，ANR である閉部分空間 A を持つものとし，X をコンパクト距離化可能空間で，閉部分空間 B を持つものとする．このとき空間 (Y, A)(X, B), つまりtopological pairの間の写像 (X, B) → (Y, A) 全体のなす空間にコンパクト開位相を入れたものは，ANR であるloc=Theorem VII.3.1 and Remark VII.2.3．したがって，例えば，任意の CW 複体のloop spaceは CW 複体のホモトピー型を持つ．- Cauty により，距離化可能空間 X が ANR であることは，X の任意の開部分集合が CW 複体のホモトピー型を持つことと同値であるloc=Fund. Math. 144: 11–22．- Cauty により，topological vector space#Topological structure V（すなわち移動不変な計量を持つ位相ベクトル空間）であって AR でないものが存在する．V として可分なF空間（すなわち完備計量線型空間）を取ることができるloc=Fund. Math. 146: 85–99．（上の Dugundji の定理により，V は局所凸にはなりえない．）V は可縮であって AR ではないので，ANR でもない．上の Cauty の定理によって，V は開部分集合 U であって CW 複体にホモトピー同値ではないものを持つ．したがって，強局所可縮だが CW 複体にホモトピー同値でない距離化可能空間 U が存在する．強局所可縮なコンパクト（あるいは局所コンパクト）距離化可能空間が ANR でなければならないかどうかは知られていない．

**脚注**

**参考文献**
Citation | author1-first=Karol | author1-last=Borsuk | author1-link=Karol Borsuk | title=Sur les rétractes | journal=Fundamenta Mathematicae | volume=17 | year=1931 | pages=152–170 | url=http://eudml.org/doc/212513 | zbl=0003.02701- mr=0216473
*Citation | author1-first=Robert | author1-last=Cauty | title=Une caractérisation des rétractes absolus de voisinage | journal=Fundamenta Mathematicae | volume=144 | year=1994 | pages=11–22 | url=http://eudml.org/doc/212011 | mr=1271475
*Citation | author1-first=Robert | author1-last=Cauty | title=Un espace métrique linéaire qui n'est pas un rétracte absolu | journal=Fundamenta Mathematicae | volume=146 | year=1994 | pages=85–99 | url=http://eudml.org/doc/212053 | mr=1305261
*Citation | author1-first=Rudolf | author1-last=Fritsch | author2-first=Renzo | author2-last=Piccinini | title=Cellular Structures in Topology | publisher=Cambridge University Press | year=1990 | isbn=0-521-32784-9 | mr=1074175
*Citation | author1-first=Allen | author1-last=Hatcher | author1-link=Allen Hatcher | title=Algebraic Topology | publisher=Cambridge University Press | year=2002 | url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html | isbn=0-521-79540-0 | mr =1867354- mr=0181977
*Citation | author1-first=Sibe | author1-last=Mardešić| author1-link=Sibe Mardešić | editor1-first=I. M. | editor1-last=James | editor1-link=Ioan James | chapter=Absolute neighborhood retracts and shape theory | title=History of Topology | pages=241–269 | publisher=North-Holland | location=Amsterdam | year=1999 | isbn=0-444-82375-1 | mr=1674915
*Citation | author1-first=J. Peter | author1-last=May | author1-link=J. Peter May | title=A Concise Course in Algebraic Topology | publisher=University of Chicago Press | year=1999 | url=http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf | mr=1702278 | isbn=0-226-51182-0
*Citation | author1-first=John | author1-last=Milnor | author1-link=John Milnor | title=On spaces having the homotopy type of a CW-complex | journal=Transactions of the American Mathematical Society | volume=90 | year=1959 | pages=272–280 | doi=10.2307/1993204 | mr=0100267
*Citation | author1-first=Dieter | author1-last=Puppe | title=Bemerkungen über die Erweiterung von Homotopien | journal=Archiv der Mathematik | volume=18 | year=1967 | pages=81–88 | doi=10.1007/BF01899475 | mr=0206954
*Citation | author1-first=James | author1-last=West | title=Encyclopedia of General Topology | editor1-first=K. P. | editor1-last=Hart | chapter=Absolute retracts | publisher=Elsevier | location=Amsterdam | year=2004 | isbn=0-444-50355-2 | mr=2049453

**外部リンク**
 title=Neighborhood retract