米田の補題

米田の補題（よねだのほだい、Yoneda lemma）とは、小さなhom集合をもつ圏 C について、共変あるいは反変hom関手 hom(A , _), hom(_, A) から集合値関手 F への自然変換と、値となる集合 F(A) の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。「米田の補題」という名称は、米田信夫に因んでソーンダース・マックレーンにより名付けられた。その主張は、マックレーンによれば、米田の仕事に早くから現れていたという。ただし、Emily Riehlによれば、この補題が初めて (明示的に) 論文に登場したのは 1960 である。
米田の補題は、普遍性という概念の根幹に関わる重要な補題であり、また、圏論において「間違いなく最も重要な結果である」「もしかしたら最も利用されているただ1つの結果かもしれない」と言われている。

**概要**

**主張の内容**
を局所的に小さい（locally small）圏とする。すなわち C の各対象 A, B に対して hom(A, B) は集合であるとする。対象 A を固定するとき、共変hom関手 1=HA = hom(A, _) : C → Set は対象 X に対して、集合 hom(A, X) を割り当て、射 f : X → Y に対して写像 1=hom(A, f) = f ◦ (_) : hom(A, X) → hom(A, Y) を割り当てる関手であった。さらに、 F : C → Set を集合値関手とし、HA から F へのすべての自然変換のクラス Nat(HA, F) について考える。
このとき、米田写像（Yoneda map）と呼ばれる全単射が存在し、この同型は A ∈ C と F ∈ SetC について自然である、という主張が米田の補題である。また、F が反変関手 Cop → Set である場合も、反変hom関手 1=HA = hom(_, A) との間にという全単射が存在して、これは A と F について自然となる。このことはどちらも米田の補題と呼ばれる。

**米田写像の対応**
関手 F は共変 (C → Set) とする。このとき、共変hom関手 1=HA = hom(A, _) から F への自然変換 τ : HA ⇒ F は、任意の C の射 f : X → Y に対して  が定義から成り立つ。いま、f : A → Y の場合に、A での恒等射 idA がどのように写るかを追うことで、等式を得る。ここから、自然変換 τ : HA ⇒ F の情報は  から全て得られることがわかる。

**証明**
米田写像 y を、自然変換 τ に対して  で定める。y が全単射であることを示す。
単射性：a ∊ F(A) に対して、自然変換 τ : HA ⇒ F が存在して 1=y(τ) = a であったとする。このとき、任意の射 f : A → Y に対して τ は  を満たす。これにより τ の全てのコンポーネントが一意に定まる、すなわちそのような τ は一意に定まるため、y は単射である。
全射性：a ∊ F(A) を任意に固定する。C の対象 X それぞれに対して、写像 τX : hom(A, X) → F(X) を  で定める。このとき、f : X → Y と g : A → X に対して  が成り立つことから、τX はある自然変換 τ : HA ⇒ F のコンポーネントである。定義から 1=τA(idA) = a であるため 1=y(τ) = a が成り立つ。すなわち y は全射である。

**補題の帰結**

**普遍性**
集合値関手 F : C → Set が、ある 1=HA = hom(A, _) と自然同型であるとき、F を表現可能関手 (representable functor) といい、A は F の表現対象 (representing object) あるいは単に F の表現という。F が表現可能関手であるとき、米田の補題の帰結として次の主張が成り立つ。
逆に、上記定理の条件を満たす A と u ∈ F(A) の組を F の普遍要素 (universal element) と呼ぶ。より一般に、関手 F : C → D と d ∈ D に対して、d の F への普遍性 (universality) とは、A ∈ C と D の射 u : d → FA の組であって、任意の B ∈ C と D の射 x : d → FB に対して、C の射  がただ1つ存在して、 が成り立つことを言う。
普遍要素の性質は一点集合からの普遍性と言えて、普遍性は D(d, F_) : C → Set の普遍要素として表現できるため、普遍性・普遍要素・表現可能関手はそれぞれ互いの概念を包含する。

**米田埋め込み**
米田写像の自然性から、対象 A ∈ C に関手 1=HA = hom(A, _)、あるいは 1=HA = hom(_, A) を割り当てる操作は、関手
を構成する。米田の補題から  であるため、H• (H•) は忠実充満であることが言える。このことから、H• (H•) を米田埋め込み (Yoneda embedding) とも呼ぶ。米田埋め込みは Y や よ などの記号によって表されることもある。
関手 F : C → Set に対して、F の「要素の圏」(category of elements) El A とは、X ∊ C、x ∈ FX の組とその関係を保つ C の射からなる圏 (すなわち、米田埋め込み YC: Cop → SetC を用いたコンマ圏 YC ↓ F) のことである。El A から C の情報を取り出す関手を ΦF : El F → Cop と表すとき、F は YC ◦ ΦF : El F → SetC の余極限 (と同型) である。つまり、任意の集合値関手は表現可能関手による余極限として表される。

**前層の部分対象分類子**
部分対象分類子の可換図式
有限の極限を持つ圏 C 上のlinks=noとは C からの反変関手 P : Cop → Set のことであり、このとき前層の圏を  で表す。圏  のlinks=noとは、(存在するならば)  の対象 Ω とモノ射 true : 1 → Ω (1は終対象) であって、任意のモノ射 j : U → X に対して、1=χj ◦ j = true かつその可換図式が引き戻しとなるような  がただ1つ存在するようなものを言う。
前層の圏  への米田埋め込みを Y: C → SetCop で表すとする。いま、 に部分対象分類子 Ω : Cop → Set が存在するならば、特に 1=YC = HomC(_, C) (C ∈ C) についてが成り立つ (右の同型が米田の補題から従う)。部分対象分類子の定義から、左辺の集合は YC の部分対象の集合と互いに1対1対応する。従って、等式全体が C について自然であることから、 は必ず部分対象分類子を持ち、それは表現可能な前層 YC の部分対象を調べればよいことがわかる。

**豊穣圏での補題**
豊穣圏とは、通常の圏におけるhom集合 (すなわち対象の間の射の集合) の代わりに、順序集合、加法群、その他の対象 (一般には、あるモノイダル圏 V の対象として記述される) を割り当てるような一般化した構造であり、例えばこの意味で通常の圏は Set-豊穣圏、2-圏は Cat-豊穣圏と言える。豊穣圏の理論では、V の条件によって (具体的には完備かどうかによって) 米田の補題は強いものと弱いものに分けられる。
ただし豊穣圏の理論において「関手圏」Math|A, V のhom対象 Math|A, V(A(K, _), F) にあたるものは、関手 V(A(K, _), F_) のinterwikilabel=endである。

**脚注**

**参考文献**
 doi=10.1017/CBO9780511760754- 洋書- isbn=047011651X- volume=64
** (再版) ref=harv- first=Yoshiki- first=Yoshiki- ref=harv-  邦訳：『圏論の基礎』- year=1998a- doi=10.1007/978-1-4612-0927-0- isbn=9780486809038

**関連項目**
 図式スキーム- ホモロジー代数- アーベル圏