ランベルトのW関数

W(x) のグラフの W > −4 および x  0 に対して
 
となる。

**整数冪・複素数冪の展開**
の整数乗もまた 0 において単純なテイラー級数（あるいはローラン級数）展開を持つ。例えば
 
より一般に、ラグランジュの反転公式を用いれば、r ∈ Z に対して
 
となることが示せる（これは一般に、位数 r のローラン級数になっている）。あるいは同じことだが、この式を  の冪に関するテイラー級数として
 
と書くことができる。これは任意の r ∈ C と  に対して成立する。

**特殊値**
任意の非零代数的数 x に対して W(x) は超越数になる。実際、W(x) が零ならば x も零でなければならず、また W(x) が非零代数的数ならばリンデマン–ワイエルシュトラスの定理により  は超越的でなければならず、従って もまた超越的でなければならない。







 (オメガ定数)





**等式**
いくつかの等式は定義から直ちに得られる:

ここで、 は単射でないから、1=W(f(x)) = x は常には成り立たないことに注意すべきである。math|x x = z
の解は、
あるいは
となる。
複素数の無限回の累乗
が収束するとき、ランベルトのW関数を用いれば、その極限値を次のように表現できる。
ただし、log(z) は複素対数函数の主値とする。

**一般化**
通常のランベルト W は x に関する
の形（ただし、 は実定数）の「超越代数」方程式の厳密解  を記述することができる。
ランベルト W 函数の一般化として以下のようなものを挙げることができる:- 低次元における一般相対論および量子力学（量子重力）（実は、両分野の繋がりは、以前には知られていなかった）への応用では、式 1 の右辺を今度は x の二次多項式とした
 を考える。ここで、この二次多項式の根  は相異なる実定数とする。この方程式の解は一つの引数 x を持つ函数だが、 や  のような項は解函数のパラメータとして働く。そのような側面で見れば、この一般化は超幾何函数やMeijer G-functionを作るのと似たような方式とも思えるが、これらの函数とは異なる「クラス」に属する。 のときは、式 2 の両辺は因数分解できて、1 に帰着されるから、解函数も通常の W 函数に還元される。式 2 はディラトン場を支配する方程式を表すから、それにより不等静止質量の場合に対する -次元（空間一次元・時間一次元）における label=R=Tあるいは「直列」(lineal) 二体重力問題の計量や、一次元の不等電荷に対する量子力学的label=二重井戸型デルタ函数モデルの固有エネルギーが導かれる。- 量子力学的label=三体問題の特別の場合、具体的には（三次元）水素分子イオンの固有エネルギーの解析解の場合、今度は式 1 の（あるいは式 2 の）右辺を x に関する無限次多項式の比とした
 を考える。各  は実定数、x は固有エネルギーと核間距離 R の函数である。式 3 は、その特別の場合として式 1 および 2 も含めて、delay differential equationの成す大きなクラスに関係する。
(1)式で表現される標準的な場合においても、原子・分子・光物理学 などの分野>からリーマン仮説に対するKeiper-Li基準に至るまで、ランベルトのW函数の応用分野についての議論は十分尽くされたとは言えていない。

**複素平面上のグラフ**
Image:LambertWRe.png|
Image:LambertWIm.png|
Image:LambertWAbs.png|
Image:LambertWAll.png|Superimposition of the previous three plots

**数値的評価**
函数はニュートン法を用いて近似することができて、1=w = W(z)（したがって ）に対する逐次近似は
 
として与えられる。また、Halley's method を用いた近似
 
を 1996 は W の計算において与えている。

**ソフトウェア実装**
函数の実装は:- MapleのLambertW、- GPのlambertw（PARIではglambertW）、- MATLABのlambertw、- GNU Octaveのspecfunパッケージのlambertw、- Maximaのlambert_w、- MathematicaのProductLog（別名としてLambertWが用意されているdate=2024年12月）、- SciPyの特殊関数パッケージのlambertw、- GNU Scientific Libraryのgsl_sf_lambert_W0とgsl_sf_lambert_Wm1関数
などがある。

**関連項目**
 Wright Omega function- ランベルトの三項方程式- Lagrange inversion theorem#Lambert W function- 実験数学- Holstein–Herring method- 3=R=T model- Ross' π lemma

**脚注**

**参考文献**
 year=2002- display-authors=etal (Lambert function is used to solve delay-differential dynamics in human disease.)-  doi=10.1511/2005.2.104- last2=Olver- cite journal |last1=Stewart |first1=Seán M. |year=2005 |title=A New Elementary Function for Our Curricula? |url=http://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ720055.pdf |format=PDF |journal=Australian Senior Mathematics Journal |publisher=Australian Association of Mathematics Teachers |volume=19 |issue=2 |pages=8–26 |issn=0819-4564 |id=ERIC EJ720055 |layurl=http://eric.ed.gov/?id=EJ720055 -  Veberic, D., "Having Fun with Lambert W(x) Function" arXiv:1003.1628 (2010);  postscript=. - doi=10.1109/LCOMM.2013.070113.130972

**外部リンク**
  National Institute of Science and Technology Digital Library - Lambert W-  title= Lambert W-Function-  Computing the Lambert W function-  Corless et al. Notes about Lambert W research- GPL  C++ implementation with Halley's and Fritsch's iteration.-  Special Functions of the  GNU Scientific Library - GSL- An implementation of the Lambert W function for C99