常微分方程式

常微分方程式（じょうびぶんほうていしき、ordinary differential equation, O.D.E.）とは、微分方程式の一種で、未知関数が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう。すなわち、変数 t の未知関数 x(t) に対して、（既知の）関数 F を用いて

という形にできるような関数方程式を常微分方程式と呼ぶ。 は未知関数 x(t) の k 階の導関数である。未知関数が単独でない場合には、関数の組をベクトルの記法を用いて表せば次のようになる。

ここで F, x は

を表す。この方程式系はしばしば連立常微分方程式と呼ばれる。
また、多くの n 階常微分方程式は次のような形に書くことができる。

常微分方程式の理論およびその研究を微分方程式論という。あるいはまた関数方程式論の名で微分方程式論を指すこともある。

**線型常微分方程式**
常微分方程式が

の形に表されるとき線型であるという。ただし、 および b(t) はt を変数とする既知の関数である。 の方程式は特に斉次 (homogeneous) な方程式と呼ばれ、そうでない方程式は非斉次 (inhomogeneous) な方程式と呼ばれる。

**非線型常微分方程式**
線型でない常微分方程式は非線型であると言われる。非線型方程式の解は一般に、線型方程式のそれに比べて複雑な様相を呈する。そのような例として、ローレンツ方程式やパンルヴェ方程式などがある。一方、求積法で解ける形の非線型方程式も数多く知られている。
以下に例を挙げておく 。

**1階非線型常微分方程式**




ここに、n は実数であり、f(·) は既知関数である。
　 m, n は実数，ただし，m  ≠  0，f は既知関数。

　 A(x)，F は既知関数。

　 A(x )，B(x )，F は，いずれも既知関数。


**2階非線型常微分方程式**


上記の P(x) と f(·) は既知関数とする。
　 n は実数，ただし，n  ≠ 2，f は既知関数。
　  f(y) は既知関数。

　　α, γ, n は実数．ただし，n ≠ −1。

　　f (·) は既知関数。 は実数．ただし，。


**連立常微分方程式**
連立常微分方程式（simultaneous ordinary differential equations）は、
1 つの独立変数 t と複数の未知関数  およびその導関数により構成される複数の方程式の組である。例えば、比較的簡単な例として、t の 2 つの未知関数を  とする。それらの一階の導関数を  として、


は一つの連立常微分方程式である。ただし、F, G は既知関数である。
一般の連立常微分方程式は、1 つの独立変数と m 個の未知関数およびその n 階の導関数を含み、複数個の常微分方程式の組になる。
 
ここで  は、未知関数  の j 階の導関数である ()。
なお、連立常微分方程式を常微分方程式系（system of ordinary differential equations）と呼ぶこともある。
これら r 個の常微分方程式すべてを満足する関数の組  をその解という。
具体的な例を一つ示す。独立変数 x の未知関数を y, z とし、a, b, c, d を定数とすると、
 
 
は、一階の連立常微分方程式の例である。一般的な連立常微分方程式は、求積法で解くのは困難であるが、一般性を含む連立常微分方程式の例として、求積法で解ける連立常微分方程式が多少知られている。
一例を挙げておく。

は独立変数であり、y, z, w は x を変数とする未知関数である。また、F, G, H を既知関数とする。

**出典**

**関連文献**

**和書**
 藤原松三郎：「常微分方程式論」、岩波書店 (1930年)．
**  藤原松三郎「常微分方程式論」岩波書店 (1930年) の現代仮名遣い版- 吉江琢児：「微分方程式論」、共立出版 (1947年).- フォーサイス(著)、粟野保、末岡清市、石津武彦(共訳)：「微分方程式」上巻、朝倉書店 (1947年).- 福原満州雄：「微分方程式 上」、朝倉書店 (初版：1951年3月10日)。復刊版はISBN 4-254-11691-8 (2004年12月1日)。- 福原満州雄：「微分方程式 下」、朝倉書店（初版：1952年6月25日）。復刊版はISBN 4-254-11692-6 (2004年12月1日)。- 占部実：「微分方程式」、共立出版 (基礎数学講座8) (1955年11月20日).- 齋藤利弥：「常微分方程式論」、朝倉書店(近代数学講座5) (1967年8月25日).- コーエン、高野一夫（訳）：「コーエンの微分方程式：リー群論の応用」、森北出版（1971年5月15日）。POD版はISBN 978-4-627-07079-0 (2011年6月）.- 吉田耕作：「微分方程式の解法 第2版」、岩波書店（岩波全書189）（1978年2月23日）。初版は1954年4月28日。- 福原満洲雄：「常微分方程式 第2版」、岩波書店(岩波全書 116) (1980年5月23日). POD版はISBN 978-4-00-029015-9（2000年4月).- レフ・セミョーノヴィチ・ポントリャーギン、千葉克裕(訳)：「常微分方程式 新版」、共立出版 (1981年2月).- 高野恭一：「常微分方程式」、朝倉書店、ISBN 978-4-25411436-2 (初版1994年2月20日). 復刊版はISBN 978-4-254-11844-5 (2019年12月).- 伊藤秀一：「常微分方程式と解析力学」、共立出版（共立講座 21世紀の数学 第11巻）、978-4-320-01563-0, （1998年1月）.- J.J.グレイ：「リーマンからポアンカレにいたる 線型微分方程式と群論」、シュプリンガ－フェアラーク東京、ISBN 4-431-70938-X（2002年12月10日）.- 柴田正和：「常微分方程式の局所漸近解析」、森北出版 （2010年8月）.- 大谷光春：「常微分方程式論」、サイエンス社 (2011年).- 坂井秀隆：「常微分方程式」、東京大学出版会、ISBN 978-4-13-062960-7（2015年8月24日）.- 岩見真吾、佐藤佳、竹内康博 ：「ウイルス感染と常微分方程式」、共立出版（シリーズ: 現象を解明する数学 / 三村昌泰, 竹内康博, 森田善久 編集）（2017年4月).

**洋書**
 Hartman, Philip (2002) 1964, Ordinary differential equations, Classics in Applied Mathematics, 38, Philadelphia: :en:Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-510-1, MR 1929104- Ince, Edward L. (1944) 1926, Ordinary Differential Equations, :en:Dover Publications, New York, ISBN 978-0-486-60349-0, MR 0010757- Witold Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, :en:Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8- Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.- Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd ed.), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2- Grimshaw, R. (2017). Nonlinear ordinary differential equations. Routledge.- Arnolʹd, V. I., Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations. :en:Springer Science & Business Media.- Arnolʹd, V. I., Ordinary differential equations. Springer.- Wolfgang Walter, Ordinary differential equations. Springer.- Logemann, H., & Ryan, E. P. (2014). Ordinary differential equations: Analysis, qualitative theory and control. Springer.- Hermann, M., & Saravi, M. (2014). A First Course in Ordinary Differential Equations. Analytical and Numerical Methods, Springer India.- Chicone, C. (2006). Ordinary differential equations with applications. Springer Science & Business Media.- Jeremy J. Gray: Linear Differential Equations and Group Theory from Riemann to Poincaré (2nd Ed.), Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4773-5 (2008).- Fritz Schwarz: Algorithmic Lie Theory for Solving Ordinary Differential Equations, Chapman & Hall, ISBN 1-58488-889-X (2008).

**関連項目**
媒介変数
*変数分離
*求積法
*複雑系

**方程式**
パンルヴェ方程式
*リッカチ方程式
*フックス型微分方程式
*ガウスの微分方程式
*ベッセル関数
*ルジャンドルの微分方程式
*微分方程式
*線型微分方程式
*複素微分方程式
*偏微分方程式

**数値計算**
NAG数値計算ライブラリ
*硬い方程式
*常微分方程式の数値解法
**ルンゲ・クッタ法
**線型多段法
**狙い撃ち法