ベジェ曲線

は N+1 個の制御点から得られる N 次曲線である。ベジエ曲線とも。

**定義**
以下の要素を所与とする：- 次数: - パラメータ: - 制御点:  個のベクトル 
これらを用いて  次ベジェ曲線  は複数の表現により定義される。以下はその一例である。

**バーンスタイン表現**
バーンスタイン基底関数  を用いて、 次ベジェ曲線は以下のように定義される：

この形式でのベジェ曲線の定義は「ベジェ曲線のバーンスタイン表現」とも呼ばれる。

**ド・カステリョのアルゴリズム**
ベクトル  に関する漸化式を以下のように定義する：

この漸化式を用い  次ベジェ曲線は  で定義される。
このアルゴリズムはDe Casteljau's algorithm（De Casteljau's algorithm）と呼ばれる。

**陰関数表現**
ベジェ曲線は、シルベスターやケイリーの方法により、陰関数（陰伏方程式） で表現できる。

**性質**

**端点と端制御点の一致**
次ベジェ曲線の始点は端の制御点  と、終点はもう一方の端の制御点  と一致する。
バーンスタイン基底関数は ,  である（⇒バーンスタイン多項式#バーンスタイン基底関数の特性）。よってベジェ曲線を構成する殆どの項は端点において 0 となり ,  となる。つまり始点  が  と、終点  が  と一致する。

**制御点の加重平均**
10次のバーンスタイン基底関数。0≦t≦1
ベジェ曲線は制御点座標の加重平均と見做せる。
バーンスタイン基底関数は常に和が1であり（⇒バーンスタイン多項式#1の分割）、かつ  において非負である（⇒バーンスタイン多項式#区間非負）。よってベジェ曲線上の点 1=P(t=T) は各制御点  が  で重みづけされた加重平均と見做せる。この意味で各バーンスタイン基底関数は混合比とも呼ばれる。

**全制御点の反映**
ベジェ曲線の端点を除いた領域は、その座標が全ての制御点の座標から影響を受ける。
ベジェ曲線は制御点座標の加重平均であり（⇒#制御点の加重平均）、その重みであるバーンスタイン基底関数は  において常に正である（⇒バーンスタイン多項式#区間正値）。よって端点以外では全制御点の座標が大なり小なり曲線の各点へ反映されている。端点は例外であり、単一制御点の座標のみで決定される。

**制御点の通過**
ベジェ曲線は一般には両端以外の制御点は通らない。
ベジェ曲線の制御点の加重平均特性により、制御点を必ず通る 1=t = T が存在するなら  が 1=i = I で 1、他で 0 になる点があるはずである。図からわかるように、これは 1=t = 0 or 1 のみに限られる。よって一般にはベジェ曲線は両端以外の制御点を通らない。制御点の座標によっては加重平均がたまたまある制御点と一致する場合がありうるので、制御点を通るのが常に両端のみ、というわけではない。

**分類**
ベジェ曲線は制御点の数に基づいて分類される。以下はその一例である。

**2次ベジェ曲線**
は3つの制御点で構成されるベジェ曲線である。
2次ベジェ曲線は次の式で定義される：
上式よりベジェ曲線の性質を満たすことが容易に確認できる。1=t の次数より2次ベジェ曲線は高々2次の曲線であると確認でき、代入により と  で両端制御点の通過が確認できる。

**2次ベジェ曲線の行列形式**


**2次ベジェ曲線の陰関数表現**

とすると、



となる。

**2次ベジェ曲線の面積**
曲線の始点と終点および原点で囲まれた領域の面積はガウスグリーンの定理で求めることができる。


**2次ベジェ曲線の分割**
ド・カステリョのアルゴリズムを用いて任意の  で分割することができる。分割後の2曲線の制御点は
と 
である。

**2次→3次変換**
2次ベジェ曲線と等価な3次ベジェ曲線の制御点は  である。

**3次ベジェ曲線**
は4つの制御点で構成されるベジェ曲線である。
3次ベジェ曲線は次の式で定義される：
上式よりベジェ曲線の性質を満たすことが容易に確認できる。1=t の次数より3次ベジェ曲線は高々3次の曲線であると確認でき、代入による  と  で両端制御点の通過が確認できる。
を 1=t で1階微分し端の制御点を代入することで、端点での接線ベクトルが求まる。これにより、
となり、端点とその隣の制御点で端点の接線が定まることがわかる。

**3次ベジェ曲線の行列形式**


**3次ベジェ曲線の陰関数表現**

とすると、

となる。

**3次ベジェ曲線の面積**

以下は2つの3次ベジェ曲線
による  と
による  の面積の例。 は制御点の並び順が原点に対し反時計回りなので面積は正の値、 は制御点の並び順が原点に対し時計回りなので面積は負の値になる。両者面積を合計することで閉包の面積が求まる。
3次ベジェ曲線の面積の例

**3次ベジェ曲線の連続性**
2つの3次ベジェ曲線
による  と
による  
の連続性は以下のとおり。

なので、とが一致していればC0連続。

なので、 と  が一致していればC1連続。

なので、 と  が一致していればC2連続。
連続性の例

**3次ベジェ曲線の分割**
ド・カステリョのアルゴリズムを用いて任意の  で分割することができる。分割後の2曲線の制御点は
と 
である。

**作図法**
端点  および制御点  からなる3次ベジェ曲線
前節の数式を適宜変形するなどして、コンピュータプログラムに実装すれば描画はできるわけだが、以下では3次のベジェ曲線（4個の制御点で示される曲線）を例として、手作業を念頭に置いた作図法を示す。この手順を基にした描画プログラムにも有用性があり、また人によってはベジェ曲線の性質を直観的に把握するにも有効かもしれない。
右図の  が与えられた制御点である。今、ベジェ曲線の  から math|t (0 System.Drawing.Drawing2D.GraphicsPath、WPFのSystem.Windows.Media.BezierSegmentでは3次ベジェをサポートする。AWT（Java 1.2以降で追加されたQuadCurve2D, CubicCurve2Dの派生クラス）、SkiaのSkPathおよびAndroidのandroid.graphics.Pathは2次と3次のベジェ両方をサポートする。

**歴史**
ベジェ曲線はフランスの自動車メーカー、シトロエン社の とルノー社のピエール・ベジェにより独立に考案された。ド・カステリョの方が先んじていたが、その論文が公知とならなかったためベジェの名が冠されている。

**名称**
原語（フランス語）における Bézier の発音はベズィエに近く、「ベジェ曲線」より「ベジエ曲線」の方がこれに忠実と言えるが、いずれの呼称も用いられている。

**ベジェ曲面**
ベジェ曲面（曲面パッチなどとも）と呼ばれるような、3次元空間内の曲面への拡張にはいくつか手法がある。たとえば、目的の曲面においてパッチの端点となる3点とその3点における接平面を指定するという方法や、4点を指定し2方向のクロスハッチングのようにして面を構成するという方法がある。

**脚注**

**注釈**

**出典**

**参考文献**
 journal=筑波大学講義 コンピュータグラフィックス基礎- journal=大阪大学講義 主題別- journal=大阪大学講義 主題別- ref=harv- 穂坂衛：「CAD/CAMにおける曲線曲面のモデリング」、東京電機大学出版局、4-501-52250-X (1996年1月30日)。-  isbn=0-12-249050-9

**関連項目**
Adobe Illustrator
*CorelDRAW
*Canvas
*スプライン曲線
*B-スプライン曲線

**外部リンク**
 ベジェ曲線の定義と4つの性質