行列の階数

線型代数学における行列の階数（かいすう、rank; ランク）は、行列の特徴を表す最も基本的な数の一つ。行列に同伴する線型方程式系および線型変換がどのくらい「非退化」であるかを示す数である。行列の階数には幾つもの同値な定義がある。
例えば、行列 A の階数 rank(A)（あるいは rk(A) または丸括弧を落として rank A）は、A の列空間（列ベクトルの張るベクトル空間）の次元に等しく、また A の行空間の次元とも等しい。行列の階数は、対応する線型写像の階数である。
行列の階数の概念はジェームス・ジョセフ・シルベスターが考えた。

**定義**
任意の行列 A について、以下はいずれも同値である。-  A の列ベクトルの線型独立なものの最大個数（A の列空間の次元）-  A の行ベクトルの線型独立なものの最大個数（A の行空間の次元）-  A に基本変形を施して階段行列 B を得たとする。このときの B の零ベクトルでない行（または列）の個数（階段の段数とも表現される）- 表現行列 A の線型写像の像空間の次元。詳しくは#線型写像の階数を参照。-  A の 0 でないような小行列式の最大サイズ-  A の特異値の数
文献により、上記の条件のいずれかを以って行列 A の階数は定義される。

**注意**
いま A の列空間の次元を「列階数」、行空間の次元を「行階数」と呼べば、線型代数学における基本的な結果の一つとして、列階数と行階数は常に一致するという事実が成立するから、それらを単に A の階数と呼ぶことができる。これについて、2005 はベクトルの線型結合の基本性質に基づく四文証明を与えた（これは任意の体上で有効である）。また、1995 は実数体上の行列に対して有効な、直交性を用いたエレガントな別証明を与えている。両証明とも教科書 2014 に出ている。

**性質**
を m × n 行列とする。また、 f を表現行列 A の線型写像とする。

**一般の体上**
 m × n 行列の階数は非負整数で、m, n の何れも超えない。すなわち rank(A) ≤ min(m, n) が成り立つ。特に 1=rank(A) = min(m, n) のとき、A は最大階数（full rank; フルランク; 充足階数、完全階数）を持つとかフルランク行列などといい、さもなくばA はpreserve=1 (rank deficient; 階数不足) であるという。  - A が零行列のときかつその時に限り 1=rank(A) = 0.- f が単射となるための必要十分条件は、1=rank(A) = n（これを A は列充足階数を持つという）となることである。- f が全射となるための必要十分条件は、1=rank(A) = m となる（A が行充足階数を持つ）ことである。- A が正方行列（つまり 1=m = n）のとき、A が正則であるための必要十分条件は、1=rank(A) = n（A が充足階数）となることである。- B を任意の n × k 行列として rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B)) が成り立つ。
** B が行充足階数 n × k 行列ならば 1=rank(AB) = rank(A) が成り立つ。
** C が列充足階数 l × m 行列ならば 1=rank(CA) = rank(A) が成り立つ。- 1=rank(A) = r となるための必要十分条件は、m × m 正則行列 X と n × n 正則行列 Y が存在して  が成立することである。ただし  は r × r 単位行列である。右辺の行列は一意的に定まり A の階数標準形と呼ばれる。- （  は転置行列）- 階数・退化次数の定理が成立
 シルベスターの階数不等式: m × n 行列 A と n × k 行列 B に対し  が成り立つ。証明: 階数–退化次数定理を不等式  に適用すればよい
 フロベニウスの不等式: 行列の積 A, ABC, BC がいずれも定義されるとき、 が成り立つ。
 劣加法性: A, B は同じ型の行列として  が成り立つ。この帰結として、 の行列は の行列 k 個の和に書くことができ、また k 個より少ない-行列の和には書けない。

**特定の体上**
 A が実数体上の行列であるとき、A の階数は対応するグラム行列の階数に等しい。すなわち、実行列 A に対し  が成り立つ。これは各々の核空間が等しいことを見れば示される。グラム行列の核は  となるベクトル x からなる。このときさらに  も成り立つ。- A が複素数体上の行列であるとき、A の複素共軛行列を , 共軛転置行列を A* と書けば、 が成り立つ。

**階数の計算**
例えば、行列
 
は、基本変形を行うことによって
 
と書けるから、M の階数は 1=rank M = 2 である。実際、第 2 行 = 第 1 行 + 第 3 行 であるから、2 行目の行ベクトルは線型独立でない。ここで、1 行目と 3行目は明らかに線型独立であるから、1=rank M = 2 である。
浮動小数点を用いたコンピューター上の数値計算においては、この基本変形を用いたりLU分解を用いることで階数を求める方法は、精度が落ちることもあり用いられない。替わりに、特異値分解（SVD）やQR分解を用いて求められる。

**線型写像の階数**
をベクトル空間とし、線型写像 f: V → W が与えられたとき、f の像  f(V) の次元を線型写像 f の階数と呼び、rk f や rank f などで表す。V や W は一般に無限次元であっても、像の次元 dim f(V) が有限であれば線型写像の階数の概念は意味を持つ。とくに階数有限なる線型写像にはトレースが定義できて、古典群の表現論などで重要な役割を果たす。
や W が有限次元ならば、行列表現によって f は表現行列  の共軛類が対応する。このとき、線型写像の階数と行列の階数との間には  という関係が成り立つが、行列の階数が正則行列を掛けることに関して不変であることから、この等式の成立は表現行列  のとり方に依らない。
ベクトル空間 V, W に対して V が n 次元とすれば、線型写像 f: V → W の階数は  n  以下である。実際に、1=rank f = n となるとき、線型写像 f は非退化（ひたいか、non-degenerate, full rank）であるという。そうでないときには、像 f(V) は f で 0 へ写される元の分だけ「つぶれている」と考えられ、線型写像 f の核

の次元 dim ker f を f の退化次数と呼ぶ。f の退化次数を nl f や null f などで表すことがある。次の公式

が成立し、階数と退化次数の関係式あるいは簡単に階数・退化次数公式などと呼ばれる。

**脚注**

**注釈**

**出典**

**外部リンク**
 行列のランク(rank)の８通りの同値な定義・性質- title=Matrix Rank- author=Barile, Margherita.- title=rank of a matrix- title=rank of a linear mapping- title=elementary matrix operations as rank preserving operations- title=determining rank of matrix- title=Definition:Rank (Linear Algebra)