相空間

ローレンツ方程式の xyz 相空間とその上の軌道の例
力学系理論における相空間（そうくうかん、links=no）は、対象のシステムが取る状態全てから成る抽象的な空間であるp=16。状態空間（じょうたいくうかん、links=no）ともいうpp=14–15p=66。
物理学分野の解析力学（とくにハミルトン力学）では相空間と同種のものが、位置と運動量を座標した空間という狭い意味で用いられており、位相空間とも呼ばれる。数学分野では普通は topological space の意味で「位相空間」という用語を使うことから、混乱のおそれがあるときや数学分野では phase space の意を指すために「相空間」を使う。

**背景と用語**
力学系とは、システム（系）の将来の状態が現在の状態から一意に決まる決定論的な過程を、数学的に定式化したものを指すp=1。相空間 X とは、力学系の基本構成要素の一つで、対象のシステムが取り得る状態全てを集めてできる集合であるp=1。さらに、現在の状態から次の状態を定める決定論的法則 F と時間 T の2つを加えて、(X, F, T) の一組で力学系が成立するp=1。相空間というものを導入することによって、空間上の1点を指定する形でシステムの状態を議論できるようになるp=9。すなわち相空間とは、システムの状態の振る舞いを解析するときに、そのシステムの状態は空間上でどんな動きをするのかという視点に切り替える概念的道具といえるp=17。
物理的な空間の単振り子の運動（下図）を、相空間（上図）の点の運動として表したアニメーション。上図の横軸が振れ角 θ で、縦軸が角速度 ω に該当する。
通常、系の状態はいくつかの変数で表されるp=65。これらの変数は状態変数などと呼ばれるp=65。例えば、力学系の例として、長さ一定で空気抵抗やその他外部からの影響を排した単振り子の運動を考える。このシステムの状態は振れ角 θ とその角速度 ω で一意に決まるので、(θ, ω) が状態を表す変数であるpp=16, 34。そして、θ と ω の組全体から成る抽象的な空間（θ と ω を座標とする平面）を考えると、それがこのシステムの相空間であるp=1。相空間を構成する一つひとつの要素は、単に点と呼ばれるp=16p=8ほかに、相pp=16, 34、相点p=8、位相p=16、位相点p=44、代表点p=44、状態p=66などと呼ばれる。
相空間上の点は、時間変化によって相空間内を動く。相空間上を点が動いてできる経路は軌道と呼ばれるp=65。時間を連続的なものとして考える力学系では、軌道は相空間上で連続的な曲線を描くpp=25–26。一方、時間を離散的なものとして考える力学系では、軌道は相空間上でとびとびの点列となるpp=25–26。決定論的に状態が定まるという要請により、相空間における2つの異なる軌道が交わることはないp=66。ある力学系の全軌道の概略を相空間上に示した図を、相図（links=no）というp=47。
力学系の従属変数の個数すなわち相空間の座標の数は、相空間または力学系の次元と呼ばれるp=9p=31。特に相空間は、状態変数が実数1つ（R1）のときには相直線と、状態変数が実数2つ（R2）のときには相平面と呼ばれることもあるp=107。ポアンカレ・ベンディクソンの定理に代表されるように、相空間の次元と形状は軌道の形状に制限を与えるp=145。一般的に、系が非線形でなおかつ高次元になるほど系の取り扱いが難しくなるpp=13–14。状態の空間的に連続的に分布している偏微分方程式で記述されるような力学系では、相空間の次元は無限になるpp=12–13。

**種類**
一般的なレベルでの力学系（とくに位相力学系）では、相空間を位相空間（links=no）として設定するp=26p=15。ただし、相空間をまったく純粋な位相空間に設定すると、あまり詳しい結果は得られないp=46。実際には、位相空間であることに加え、いくつかの前提（例えば距離空間であること）を相空間に持たせて議論されるpp=16–17。特に相空間がコンパクトであると仮定できれば、位相力学系に関する多くの結果を得ることができ、一般的な枠組みを議論できるp=8。
力学系の例として多いのは、システムの状態がいくつかの実数の組 (x1, x2, … xn) で表される場合で、空間としてはユークリッド空間 Rn あるいはその部分集合で考えられることが多いp=31p=16。力学系の軌道は特定の多様体上に制限されていることもあり、より一般的には相空間は多様体となるp=31pp=1–2。多様体に制限することで、それぞれの多様体が持つトポロジカルな性質を利用することもできるp=16。上記の単振り子の例でいえば、角速度 ω は単に実数だが、振れ角 θ の定義域は −π 1 または T1 と直線 R の直積集合で、幾何学的には無限に長い円柱面となるpp=10, 21p=87。ただし、いくつかの注意を払えば、相空間を Rn あるいはその部分集合と仮定しても多くの場合で一般性は失われないp=31。
ロトカ・ヴォルテラの方程式における相平面上のベクトル場と軌道の様子
可微分力学系では相空間は微分構造を持ち、ベクトル場で定まる連続力学系がその典型例であるp=28。状態変数を 、時間を t ∈ R  とする。力学系が n 連立一階微分方程式

で与えられるとき 、相空間上の各点にはベクトル f (x): X → Rn が対応するpp=17–18。このとき、f (x) は解曲線の接ベクトルに一致し、各点が時間経過したときに動く方向と大きさを表すpp=10, 13。
測度論的力学系を展開するときは、相空間は可測構造を持つpp=29–30。この場合、相空間 X に対して
*X ∈ F
*A ∈ F ならば Ac ∈ F
*A1, A2,… ∈ F ならば 
を満たすσ-集合体 F が存在し、A ∈ F に対して、
*μ(A) ≥ 0 かつ 
*A1, A2,… ∈ F が互いに素ならば 
を満たす確率測度 μ が与えられるpp=29–30。さらに
*A ∈ F ならば T−1A ∈ F
を満たす保測写像 T を組にして測度論的力学系が成立するpp=29–30。
記号力学系では、相空間 X は記号列の集まりとなるp=3。記号が2種類から成り、記号列が両側無限列であるような場合、記号列 x は
 x = \{ \cdots,\ a_{-2},\ a_{-1},\ a_{0},\ a_{1},\ a_{2},\ \cdots \}
で与えられるp=3。ここで、ai は記号 1 または 2 のいずれかを取るp=3。この場合の相空間 X は全ての記号列 x の集合でp=3、しばしば Σ とも記すp=436p=7。さらに、異なる x 同士の距離を定義し、x に適用すると記号を一斉に左にずらす働きをするシフト写像 σ を用意し、記号力学系を構成するpp=58–59。

**拡大相空間**
式 (1) のような f が時間 t を陽に含まない微分方程式系は自律系と呼ばれるp=8。自律系の微分方程式系は、現在の状態 x のみで次の状態が定まるという力学系の決定論的な考え方と合致するpp=88–89。一方で、以下のように t を陽に含む微分方程式系は非自律系と呼ばれるp=20。

非自律系では  を定めても、ベクトル f (x) は一つに定まらず、時間によって変化するp=37。非自励系について相空間（x が定義されている空間）上で軌道を考えると、自励系とは異なり軌道が交差し得るp=118。
そこで、元の状態変数 x に時間 t を加えた組 (x, t) を座標とする空間 X × R を考えるp=37。t を形式的に n + 1 番目の状態変数 xn + 1 ∈ R と見なせば、

という風に自律系の n + 1 連立一階微分方程式に帰着でき、空間 X × R 上の各点には方程式の右辺を成分とするベクトルが一意に定まるp=37。元の n 次元相空間 X と区別し、このような n + 1 次元空間 X × R は拡大相空間（links=no）と呼ばれるp=37。拡大相空間で考えることによって軌道の交差が無くなるので、系の振る舞いを考察しやすくなるp=241。
非自律系が時間に関して周期的な場合、すなわち式 (2) において  を充たすような定数 τ ∈ R が存在する場合、拡大相空間は X × R よりも X × T1 の空間で考える方が適するp=127。T1 は  で定まる1次元トーラスであるp=127。

**解析力学における「相空間」**
物理学の解析力学（とくにハミルトン力学）で扱われる相空間は、物体の位置 q と運動量 p を座標とする空間であるp=31。これに対し、位置 q だけの空間は配位空間と呼ばれるp=215。q の自由度が n のとき、相空間は 2n 次元 となるp=220。
狭い意味での「相空間」は、このような力学分野における位置と運動量を座標にした 2n 次元空間を指すp=111。力学における「相空間」も、数学における「相空間」も、もとは phase space からの和訳で、数学以外では「位相空間」とも訳されるp=31。しかし、数学では前出の topological space の意味で「位相空間」という用語を使うので、数学分野または混合のおそれがある場合には phase space の意味では「相空間」という用語を使うp=31。「phase space」という用語自体は、力学における「phase space（位相空間）」の方が先で、それを借用して数学でも「phase space（相空間）」という用語で用いられているp=20。

**出典**

**参照文献**

**外部リンク**
 200906036335389590-  Phase space - Encyclopedia of Mathematics-  Phase space - MathWorld-  State space - Scholarpedia