倍数

数学において、数 a の倍数（ばいすう、英:multiple）とは、a を整数倍した数、あるいはそれらの総称である。つまり、
… −3a, −2a , −a, 0, a, 2a, 3a, …
を指す。a ≠ 0 ならば、a の倍数は無数に存在する。
を整数に限ると、a の倍数とは「a で割り切れる整数」のことであり、a の約数（「a を割り切る整数」）と対比されることも多いが、倍数は a が整数でなくても定義できる。
倍数の中で 0 以外は符号の違いだけの組が現れるので、
0, ±a, ±2a, ±3a, …
と表すこともある。とくに a が正の整数で負の数を考えない、あるいは本質的でない場合は（正の）倍数として
a, 2a, 3a, …
だけを考えることも多い。
整数全体からなる集合  を用いると、a の倍数は  である。

**例**
2 の倍数は 0, ±2, ±4, ±6, ±8, ±10, ±12, ±14, ±16, ±18, ±20, …
**偶数に等しい。
*3 の倍数は 0, ±3, ±6, ±9, ±12, …
*12 は 1, 2, 3, 4, 6, 12 のいずれの倍数でもある。
**12 の正の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12 であることによる。

**数学的性質**

**整数に関する性質**
math|0 だけ倍数の個数が有限（0 のみ）である。（したがって 0 の倍数を考えることはあまり意味がない）
*0 は全ての数の倍数である。
*全ての数は自分自身の倍数である。
*全ての整数は math|1 と -1|−1 の倍数である。
*偶数とは 2 の倍数のことである。偶数は「2つの等しい整数の和で表せる数」とも定義できるが、この定義は 2 の倍数であることと同値である。
*a が整数のとき、N が a の倍数であることは、a が N の約数であることと同じ意味である。
*整数 a, b に対して、b が a で割り切れることと、b の倍数が a の倍数に含まれることは同値である。すなわち、

*2 以上の整数はある素数の倍数である。
*素数の倍数全体は、±1 以外の整数全体に等しい。
（→素数が無数に存在することの証明#フュルステンベルグ）
*a の倍数かつ b の倍数であるものを a と b の公倍数という（3個以上の場合でも同様）。ab は a と b の公倍数である。公倍数のうち最小の正の数を最小公倍数という。
**a と b の公倍数は a と b の最小公倍数の倍数である。
*a の倍数の倍数は a の倍数である。
*P, Q が 共に a の倍数ならば、kP + lQ（k, l は整数）は共に a の倍数である。
**特に、P ± Q は a の倍数である
*有理整数環  で二項関係を  で定義すると、これは同値関係になる。
**その商集合  は加法に関するアーベル群である。（→同値関係#商集合の例）

**整除性の判定法**
整除性の判定法（せいじょせいのはんていほう, divisibility rule, critère de divisibilité, признаки делимости, 整除规则）は、ある整数を別の整数で割った商が整数となるか（余りがゼロであるか）を、割り算を直接実行することなく判別する裏技である。倍数の判定法ともいう。
様々なN進法における倍数判定の方法として、以下の方法が挙げられる。
 一の位の数で判定
 一の位がMであればMの倍数、という方法。
 各桁の和（数字和）で判定
 一桁の最後の数（10-1）の倍数は、各桁の和が10-1に収まれば10-1の倍数、という方法。六進数での5の倍数、九進数での（2、4、）8の倍数、十進数での（3、）9の倍数、十六進数での（3、5、）15の倍数、二十五進数の（2、3、4、6、8、12）24の倍数など。
 下P桁で判定
 下二桁がabであればMの倍数、下三桁がabcであればMの倍数…、という方法。
 11が合成数の場合
 11となる数が合成数の場合、二桁数abがあれば a-b または b-a の差が11の約数Mになっている場合に、Mの倍数となる、という方法。例：八進数での9（= 118）の倍数（32 = 11）、二十進数での3の倍数と7の倍数（3×7 = 11）、三十二進数での3の倍数と11の倍数（33 = 11）など。
 一の位をa倍
 乗算表の二桁数abから逆算して、一の位bをa倍する方法。十進数における7の倍数（7×3 = 21）、十二進数における5の倍数（5×5 = 21）、十六進数における11の倍数（3×B ＝ 21）、四十進数における33 の倍数（3×3×3×3 ＝ 21）など。
 乗算表の最後の数｛(10-1)2 = a1｝の場合は、一の位をa倍して、「整数第二位以上」と「一の位をa倍」の差をa1で割って余りが0になればa1の倍数、という方法。十進数での34 = 81の倍数など。
 「整数第三位以上」に「下二桁をa倍」を加算
 「整数第三位以上」に「下二桁をa倍」を加算し、その和をMで割って余りが0ならばMの倍数、という方法。六進数での15（1110）の倍数、十進数での35 = 243 の倍数など。
素因数が複数になる場合には、上記の倍数判定方法を組み合わせることになる。
とりわけ、六進数と十進数では、素因数に2, 3, 5が含まれる倍数の判定が容易である。これは、六進数では10 = 2×3 = 5+1 となり、十進数では 10 = 2×5 = 32+1 となり、"10"の素因数と"10-1"の素因数に2, 3, 5のどれかが含まれているからである（その上に10の素因数も複数ある）。例えば、23×32×5 = 1400(6) = 360(10)の倍数も、六進数だと「下三桁が200, 400, 000のどれかで、各桁の和が5の倍数」で計3種類（1400, 3200, 5000, 10400…）、十進数だと「一の位が0、整数第二位～第三位で4の倍数が現れ、各桁の和が9の倍数」で計2510種類（360, 720, 1080, 1440,1800,2160,2520…）となる。

**十進数での例**
十進数での倍数判定法がいくつか存在する。
割る数Mが51以上の倍数判定法の例を以下に示す。
*一の位を5倍して、整数第二位以上と一の位の5倍の差を求め、その差が 0、またはその差を 51 で割って余りが 0 であれば、その数は 51 の倍数である。
*一の位を8倍して、整数第二位以上と一の位の8倍の差を求め、その差が 0、またはその差を 81 で割って余りが 0 であれば、その数は 81 の倍数である。
*下から2桁ごとに区分し、各区分を合計した時の数が 99 で割り切れれば、その数は 99 の倍数である。
*下から4桁ごとに区分し、各区分を合計した時の数が 101 で割り切れれば、その数は 101 の倍数である。
*下三桁が 125 の倍数（つまり 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875, 000）ならば、その数は 125 の倍数である。
これら以外にも、先述の倍数判定法を組み合わせることにより、これ以外の整数の倍数であるか判定することができる。一般に、整数Nが N = a*b*c*…*n と表せるとき、a, b, c,･･･, n の倍数判定法をパスした整数はNの倍数である。
*4の倍数判定法と27の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は108の倍数である。
*5の倍数判定法と37の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は185の倍数である。
*3の倍数判定法、5の倍数判定法、16の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は240の倍数である。
*2の倍数判定法、7の倍数判定法、27の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は378の倍数である。
*8の倍数判定法、9の倍数判定法、11の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は792の倍数である。

**出典**

**参考文献**

**関連項目**
倍
*倍数詞
*公倍数
*最小公倍数
*偶数
*約数
*倍数比例の法則
*倍数性