Напиши РПД для задачи и алгоритмы вычислительной геометрии

 
 8 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ  
1. НАИМЕНОВАНИЕ ДИСЦ ИПЛИНЫ  
Задачи и алгоритмы вычислительной геометрии  
2. УРОВЕНЬ ВЫСШЕГО О БРАЗОВАНИЯ  
 Подготовка научно -педагогических кадров в аспирантуре.  
3. НАПРАВЛЕНИЕ ПОДГО ТОВКИ, НАПРАВЛЕННОСТ Ь (ПРОФИЛЬ) ПОДГОТОВ КИ 
Направление подготовки – 01.06.01 «Математика и механика » .Направленность (профиль) – 01.01.09 «Дискретная мат е-
матика и математическая кибернетика » 
4. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОСНОВНОЙ  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ  
Дисциплина относится к специальным дисциплинам вариативной части образовательной  
 
5. ПЕРЕЧЕНЬ ПЛАНИРУЕМЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ОБУЧЕНИЯ  
 
Дисциплина участвует в формировании следующих компетенцийобразовательной программы:  
  
Формируемые компетенции  Планируемые результаты обучения   
 9 Cпособность  самостоятельно осуществлять научно -исследовательскую де я-
тельность в соответствующей профессиональной области с использованием 
современных методов исследования и информационно -коммуникационных 
технологий  
(ОПК -1) З1(ОПК -1) ЗНАТЬ : 
современные методы  исследования и информационно -
коммуникационных технологийв соответствующей профессиональной о-
басти  
У1(ОПК -1) УМЕТЬ : 
уметь самостоятельно осуществлять научно -исследовательскую деятел ь-
ность в соответствующей профессиональной области с  использованием 
современных методов исследования и информационно -
коммуникационных технологий  
 
 
Владение современными методами построения и анализа математических 
моделей, возникающих при решении естественнонаучных задач, а также 
методами разработки и реа лизации алгоритмов их решения на основе фу н-
даментальных знаний в области математики и информатики  (ПК-1) З1 (ПК -1) Знать:  
современные методы построения и анализа математических моделей, 
возникающих при решении естественнонаучных задач, а также совреме н-
ные методы разработки и реализации алгоритмов их решения  
У1 (ПК -1) Уметь:  
применять современные методы построения и анализа математических 
моделей, возникающих при решении естественнонаучных задач, а также 
современные методы разработки и реализации алгоритмов  их решения  
В1 (ПК -1) Владеть:  
навыками оптимального выбора современных методов построения и ан а-
лиза математических моделей, возникающих при решении естественн о-
научных задач, а также современных методов разработки и реализации 
алгоритмов их решени я 
Cпособность оперировать современными методами анализа дискре т-
ных моделей  (ПК-2) 
 ЗНАТЬ  
Современные методы анализа  дискретных моделей  
Код З1(ПК -2) 
УМЕТЬ  
Оперировать современными методами анализа дискретных моделей.  
Код У1(ПК -2) 
ВЛАДЕТЬ  
современными метода ми анализа дискретных моделей  
код В1 (ПК -2) 
 
 
Оценочные средства для промежуточной аттестации приведены в Приложении.   
 1
0  
6. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ  
Объем дисциплины составляет 3 зачет ныеt единиц ы, всего 108 часов.  
36 часа составляет контакт ная работа с преподавателем – 34 часа занятий лекционного типа, 0 часов занятий семинарского типа (с е-
минары, научно -практические занятия, лабораторные работы и т.п.), 0 часов индивидуальных консультаций, 0 часов мероприятий текущего 
контроля успеваемости, 0 часов групп овых консультаций, 2 часа мероприятий промежуточной аттестации.  
72 часов составляет самостоятельная работа аспиранта.  
7. ВХОДНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ Д ЛЯ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИ НЫ 
Учащиеся должны владеть знаниями по дискретной математике и основам кибернетики в объеме, со ответствующем основным обр а-
зовательным программам бакалавриата и магистратуры по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и 
механика», 02.00.00 «Компьютерные и информационные науки».  
8. ОБР АЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХН ОЛОГИИ  
Процесс  изложе ния учебного  материала  сопровождается  презентациями  и демонстрацией  теории  и методов  решения  задач  вычисл и-
тельной  геометрии  в интерактивном  режиме  с использованием  мультимедийного  проектора.  
 
9. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ  
В курсе дается обзор основных поняти й, концепци й и метод ов для постановки задач вычислительной геометрии и разработки алг о-
ритмов для их решения.  
 
 
 
Наименование и Всего  В том числе   
 1
1 краткое содержание 
разделов и тем ди с-
циплины (модуля),  
 
форма промежуто ч-
ной аттестации по 
дисциплине (модулю)  (часы ) Контактная работа (работа во взаимодействии с преподав а-
телем), часы  
из них  Самостоятельная работа об у-
чающегося, часы  
из них  Занятия лекционного  
типа  
Занятия семинарск о-
го типа  
Групповые консул ь-
тации  
Индивидуальные 
консультации  Учебные занятия, 
направленные на 
проведение тек у-
щего контроля у с-
певаемости (ко л-
локвиумы, пра к-
тические ко н-
трольные занятия 
и др)*  Всего  Выполн е-
ние дома ш-
них заданий  Подготовка 
рефератов 
и т.п.  Всего  
Тема 1. Предмет и 
задачи 
вычислительной 
геометрии.  
Основные понятия. 
Модель вычислений. 
Мера сложности в ы-
числений. Асимптот и-
ческий анализ сложн о-
сти. 
Рекурсивные алгори т-
мы. Алгоритмическая 
парадигма «разделяй и 
властвуй». Оценка в ы-
числительной сложн о-
сти задачи.  8 4 - - - - 4 4 - 4  
 1
2 Тема 2 . Задачи и алг о-
ритмы геометрическ о-
го поиска.  
Задачи геометрическ о-
го поиска.  
Локализация точки в 
простом многоугол ь-
нике, в выпуклом мн о-
гоугольнике, в пл а-
нарном подразбиении. 
Метод полос. Алг о-
ритм Киркпатрика.  12 6 - - - - 6 6 - 6 
Тема 3 . Задачи и алг о-
ритмы построения в ы-
пуклых оболочек.  
Выпуклая оболочка 
конечного множества 
точек. Метод Джарв и-
са. Метод 
Грэхема. Слияние 
выпуклых обол о-
чек.Метод редукции 
для оценки сложности 
задачи.Нижняя оценка 
сложности для алг о-
ритмов выпуклой об о-
лочки.  8 4 - - - - 4 6 - 6  
 1
3 Тема 4 . Задачи и алг о-
ритмы, связанные с 
пересечением геоме т-
рических объектов.  
Операции над множ е-
ствами геометрич е-
ских объектов. Задач и 
о пересечениях ге о-
метрических объе к-
тов.Задача пересеч е-
ния конечного множ е-
ства отрезков. Упор я-
дочение отрезков на 
плоск о-
сти.Алгоритмическая 
парадигма  плоского 
заметания. Структуры 
данных в алгоритме 
заметания плоскости. 
Алгоритм заметания  
для задачи пересеч е-
ния отрезков.  8 4 - - - - 4 4 - 4  
 1
4 Тема 5 . Задачи и алг о-
ритмы, связанные с 
близостью геометр и-
ческих объектов.  
Определение и осно в-
ные свойства разби е-
ния Вороного и триа н-
гуляции Делоне. Бл и-
зость точек. Мин и-
мальный покрыва ю-
щий граф. 
Преобразования 
двойственных графов.  
Наивные алгоритмы 
построения трианг у-
ляции Делоне. Алг о-
ритм жадной трианг у-
ляции. Триангуляция 
методом «разделяй и 
властвуй»  16 8 - - - - 8 8 - 8  
 1
5 Тема 6. Скелетизация 
плоских фигур.  
Скелет и обобщенная 
диаграмма Вороного.  
Обобщеннаятриангуля
ция Делоне  для 
отрезков .  
Алгоритм п остроение 
обобщенной 
триангуляции Делоне.  
Построение скелета 
многоугольной 
фигуры. 
Регуляризация 
скелета.  16 8 - - - - 8 8 - 8 
Промежуточная а т-
тестация –
лабораторная работа  40 2 - - - 2 2  - 38 
Итого  108                                                                                                      36                               72 
 
10. УЧЕБНО -МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТ ОЯТЕЛЬНОЙ Р АБОТЫ УЧА ЩИХСЯ  
Самостоятельная работа учащихся состоит в изучении лекционного материала, учебно -методической литературы, подготовки к   
промежуточной аттестации.  
 
Литература для самостоятельной работы студентов в соответствии  с тематическим планом .  
 
Основная учебно -методическая литература  
1) Ф.Препарата, М.Шеймос. Вычислительная геометрия: введение. «Мир», Москва, 1989.   
 1
6 2) А.Ахо, Дж.Хопкрофт, Дж.Ульман. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. «Мир», Москва, 1979.  
3) Т.Х. Кормен  и др. Алгоритмы: построение и анализ, 3 -е изд., Москва, «И. Д. Вильямс», 2016. – 1328 с . 
4) М.Ласло. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на C++. М., Бином, 1997.  
5) Л.М.Местецкий. Вычислительная геометрия и графика. Конспект лекций.  
6) Л.М.Местецкий.  Непрерывная морфология бинарных изображений: фигуры, скелеты, циркуляры. Москва, Физматлит, 2009.  
Информационные технологии, используемые в процессе обучения  
В процессе обучения используются презентации в MSPowerPoint . 
Материально -техническая база  
Медиа проектор и экран для проведения лекций -презентаций.  
 
Материально -техническая база  
Для преподавания дисциплины требуется класс, оборудованный маркерной или меловой доской.  
12. ЯЗЫК ПРЕПОДАВАНИЯ  
Русский  
13. Р АЗР АБОТЧИК ПРОГР АММ Ы, ПРЕПОДАВАТЕЛИ  
д. т. н. Месте цкий Л.М.  
  
 1
7 Приложение  
ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ  
«Задачи и алгоритмы вычислительной геометрии » 
 
РЕЗУЛЬТАТ 
ОБУЧЕНИЯ  КРИТЕРИИ и ПОКАЗАТЕЛИ ОЦЕНИВАНИЯ РЕЗУЛЬТАТА ОБУЧЕНИЯ  
из соответствующих карт компетенций  ОЦЕНОЧНЫЕ 
СРЕДСТВА  
 1 2 3 4 5  
 
 Неудовл е-
творител ь-
но Неудовлетворител ь-
но  Удовлетворительно  Хорошо  Отлично   
УМЕТЬ:  
самостоятельно 
осуществлять 
научно -
исследовател ь-
скую деятел ь-
ность в соотве т-
ствующей пр о-
фессиональной 
области с и с-
пользованием 
современных 
методов иссл е-
дования и и н-
формационно -
коммуникац и-
онных технол о-
гий 
У1 (ОПК -1) Отсутствие 
умений  
 
 
 
 
 
 Частично освоенное 
умение самостоятельно 
осуществлять научно -
исследовательскую де я-
тельность в соответс т-
вующей професси о-
нальной области с и с-
пользованием совр е-
менных методов иссл е-
дования и информац и-
онно -
коммуникационных 
технологий  В целом успешное, но 
не систематическое 
умение самостоятельно 
осуществлять научно -
исследовательскую де я-
тельность в соответс т-
вующей професси о-
нальной области с и с-
пользованием совр е-
менных методо в иссл е-
дования и информац и-
онно -
коммуникационных 
технологий  В целом успешное, но 
содержащее отдельные 
пробелы умение само-
стоятельно осущест в-
лять научно -
исследовательскую 
деятельность в соо т-
ветствующей профе с-
сиональной области с 
использованием с о-
временных ме тодов 
исследования и и н-
формационно -
коммуникационных 
технологий  Успешное и систем а-
тическое умение са-
мостоятельно осущ е-
ствлять научно -
исследовательскую 
деятельность в соо т-
ветствующей профе с-
сиональной области с 
использованием с о-
временных методов 
исследования и ин-
формационно -
коммуникационных 
технологий  доклад на нау ч-
ном семинаре   
 1
8 ЗНАТЬ : 
современные 
методы иссл е-
дования и и н-
формационно -
коммуникац и-
онных технол о-
гий в соответс т-
вующей пр о-
фессиональной 
области  
З1(ОПК -1) Отсутствие 
знаний  Фрагментарные пре д-
ставления современных 
методах исследования и 
информационно -
коммуникационных 
технологий в соответс т-
вующей професси о-
нальной области  
 В целом сформирова н-
ные, но неполные зн а-
ния о современных м е-
тодах исследования и 
информационно -
коммуникационных 
технологий в соответс т-
вующей професси о-
нальной области  
 Сформированные, но 
содержащие отдел ь-
ные пробелы знания о 
современных методах 
исследования и и н-
формационно -
коммуникационных 
технологий в соотве т-
ствующей професси о-
нальной области  
 Сформированные 
систематические  
знания о совреме н 
ных методах исслед о-
вания и информац и-
онно -
коммуникационных 
технологий в соотве т-
ствующей профе с-
сиональной области  
 Устный экзамен  
ЗНАТЬ:  
современные 
методы п о-
строения и ан а-
лиза математ и-
ческих моделей, 
возникающих 
при решении 
естественнон а-
учных задач, а 
также совр е-
менные методы 
разработки и 
реализации а л-
горитмов их 
решения  
З1 (ПК -1) Отсутствие 
знаний  Фрагментарные пре д-
ставления о совреме н-
ных методах построения 
и анализа математич е-
ских моделей, возн и-
кающих при решении 
естественнонаучных 
задач, а также совр е-
менных методах разр а-
ботки и реализации а л-
горитмов их решения  
 В целом сформирова н-
ные, но неполные зн а-
ния о современных м е-
тодах построения и ан а-
лиза математических 
моделей, возникающих 
при решении естестве н-
нонаучных задач, а та к-
же современных мет о-
дах разра ботки и реал и-
зации алгоритмов их 
решения  Сформированные, но 
содержащие отдел ь-
ные пробелы знания о 
современных методах 
построения и анализа 
математических мод е-
лей, возникающих при 
решении естественн о-
научных задач, а также 
современных методах 
разработки и ре ализа-
ции алгоритмов их 
решения  Сформированные 
систематические  
знания о совреме н-
ных методах п о-
строения и анализа 
математических м о-
делей, возникающих 
при решении естес т-
веннонаучных задач, 
а также современных 
методах разработки и 
реализации алгори т-
мов их решения  Устный экзамен   
 1
9 УМЕТЬ:  
применять с о-
временные ме-
тоды постро е-
ния и анализа 
математических 
моделей, возн и-
кающих при 
решении ест е-
ственнонаучных 
задач, а также 
современные 
методы разр а-
ботки и реал и-
зации алгори т-
мов их решения  
У1 (ПК -1) Отсутствие 
умений  
 
 
 
 
 
 Фрагментарные умения  
применять современные 
методы построения и 
анализа математических 
моделей, возникающих 
при решении естестве н-
нонаучных задач, а та к-
же современные методы 
разработки и реализ а-
ции алгоритмов их р е-
шения  В целом успешное, но 
не систематическое 
умение  применять с о-
временные методы п о-
строения и анализа м а-
тематических моделей, 
возникающих при р е-
шении естественнон а-
учных задач, а также 
современные методы 
разработки и реализ а-
ции алгоритмов их р е-
шения  Успешное, но соде р-
жащее отдельные пр о-
белы умение  прим е-
нять современные ме-
тоды построения и 
анализа математич е-
ских моделей, возн и-
кающих при решении 
естественнонаучных 
задач, а также совр е-
менные методы разр а-
ботки и реализации 
алгоритмов их реш е-
ния Сформированное 
умение применять 
современные методы 
построения и анализа 
математических м о-
делей, возникающих 
при решении естес т-
веннонаучных задач, 
а также современные 
методы разработки и 
реализации алгори т-
мов их решения  Устный экзамен  
ВЛАДЕТЬ:  
навыками о п-
тимального в ы-
бора совреме н-
ных методов 
построения и 
анализа матем а-
тических мод е-
лей, возника ю-
щих при реш е-
нии естестве н-
нонаучных з а-
дач, а также с о-
временных м е-
тодов разрабо т-
ки и реализации 
алгоритмов их 
решения  
В1 (ПК -1) Отсутствие 
навыков  
 
 
 
 
 
 Фрагментарное влад е-
ние навыками опт и-
мального выбора совр е-
менных методов п о-
строения и анализа м а-
тематических моделей, 
возникающих при р е-
шении естественнон а-
учных задач, а также 
современных методов 
разработки и реализ а-
ции алгоритмов их р е-
шения  В целом успешное, но 
не полное владение н а-
выками оптимального 
выбор а современных 
методов построения и 
анализа математических 
моделей, возникающих 
при решении естестве н-
нонаучных задач, а та к-
же современных мет о-
дов разработки и реал и-
зации алгоритмов их 
решения  Успешное, но соде р-
жащее отдельные пр о-
белы владение нав ы-
ками оптим ального 
выбора современных 
методов построения и 
анализа математич е-
ских моделей, возн и-
кающих при решении 
естественнонаучных 
задач, а также совр е-
менных методов ра з-
работки и реализации 
алгоритмов их реш е-
ния Сформированное 
владение навыками 
оптимального выбора  
современных методов 
построения и анализа 
математических м о-
делей, возникающих 
при решении естес т-
веннонаучных задач, 
а также современных 
методов разработки и 
реализации алгори т-
мов их решения  Устный экзамен, 
контрольные р а-
боты   
 2
0 ЗНАТЬ  
Современные 
методы анализа  
дискретных м о-
делей  
Код З1(ПК -2) Отсутствие 
знаний  Фрагментарные пре д-
ставления  о  
современных методах 
анализа  дискретных 
моделей  
 В целом сформирова н-
ные, но неполные зн а-
ния о современных м е-
тодах анализа  дискре т-
ных моделей  
 Сформированные, но 
соде ржащие отдел ь-
ные пробелы знания  о 
современных методах 
анализа  дискретных 
моделей  
 Сформированные 
систематические  зна-
ния о современных 
методах анализа  ди с-
кретных моделей  
 Устный экзамен  
УМЕТЬ  
Оперировать 
современными 
методами ан а-
лиза дискре т-
ных моделей.  
Код У1(ПК -2) 
 Отсутствие 
умений  
 Фрагментарные умения 
оперировать совреме н-
ными методами анализа 
дискретных моделей.  
 В целом успешное, но 
не систематическое 
оперировать совреме н-
ными методами анализа 
дискретных моделей.  
 Успешное, но соде р-
жащее отдельные пр о-
белы оперировать с о-
временными методами 
анализа дискретных 
моделей.  
 Сформированное 
умение оперировать 
современными мет о-
дами анализа ди с-
кретных моделей.  
 Отчет  
ВЛАДЕТЬ  
современными 
методами ан а-
лиза дискре т-
ных моделей  
код В1 (ПК -2) Отсутствие 
навыков  Фрагментарное влад е-
ние навыками  совр е-
менного методами ан а-
лиза дискретных мод е-
лей В целом успешное, но 
не систематическое 
применение навыко в-
современного методами 
анализа дискретных м о-
делей  Успешное, но соде р-
жащее отдельные пр о-
белы владение нав ы-
ками  современ ного 
методами анализа ди с-
кретных моделей  Сформированное 
владение навыками 
оптимального выбора  
современного мет о-
дами анализа ди с-
кретных моделей  Отчет  
 
 
Фонды оценочных средств, необходимые для оценки результатов обучения  
ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ  
Вопросы к экзамену и лабораторной работе.  
1. Понятие сложности вычислений, временная и пространственная сложность алгоритма, мера сложности для наихудшего случая и в сре д-
нем. 
2. Асимптотический анализ эффективности  алгоритмов и асимптотическая нотация для описания скорости роста затрат вычислительных 
ресурсов.  
3. Рекурсивная декомпозиция задачи. Выражение вычислительной сложности алгоритма в рекуррентной и замкнутой форме.  
4. Алгоритмическая парадигма «разделяй и властвуй ». Алгоритм сортировки слиянием для массива чисел и оценка его сложности.  
5. Понятие сложности задачи. Верхняя и нижняя оценки сложности для задачи сортировки массива.   
 2
1 6. Задачи поиска. Двоичный поиск в упорядоченном массиве. Геометрический поиск и критерии его эффективности.  
7. Алгоритм локализации точки в простом многоугольнике.  
8. Алгоритм локализации точки в выпуклом многоугольнике.  
9. Планарные графы. Теорема Эйлера для планарных графов.  
10. Локализация точки в планарном подразбиении методом полос.  
11. Локализация точки в пл анарном подразбиении методом Киркпатрика.  
12. Выпуклая оболочка плоского множества.  
13. Алгоритм построения выпуклой оболочки конечного множества точек на плоскости методом Джарвиса.  
14. Алгоритм построения выпуклой оболочки конечного множества точек на плоскости мет одом Грэхема.  
15. Метод редукции для оценки сложности задачи. Нижняя оценка сложности для алгоритмов выпуклой оболочки конечного множества т о-
чек на плоскости.  
16. Алгоритм построения выпуклой оболочки конечного множества точек на плоскости методом слияния.  
17. Алгори тмическая парадигма плоского заметания и структуры данных «Словарь» и «Очередь с приоритетами».  
18. Алгоритм вычисления пересечений конечного множества отрезков на плоскости, основанный на плоском заметании.  
19. Задачи пересечения геометрических объектов, сводимы е к поиску пересечения множества отрезков. Объединения, пересечения, ра з-
ность многоугольников.  
20. Разбиение Вороного и триангуляция Делоне. Свойства и взаимосвязь.  
21. Построение триангуляции Делоне методом жадной триангуляции.  
22. Инкрементный алгоритм построения триангуляции Делоне.  
23. Построение триангуляции Делоне методом флипов.  
24. Построение триангуляции Делоне методом рекурсивной декомпозиции («разделяй и властвуй»).  
25. Обобщённая диаграмма Вороного и триангуляция Делоне для сайтов -окружностей.  
26. Обобщённая диаграмма Во роного и триангуляция Делоне для коллекции отрезков.  
27. Скелет многоугольной фигуры  и его связь с диаграммой Вороного коллекции отрезков.  
 
Лабораторная работ а 1. 
 
Целью работы  является освоение навыков практической работы с объектами и алгоритмами вычислитель ной геометрии. Успешное 
выполнение работы призвано способствовать получению высокой оценки за спецкурс, но не является необходимым условием успешной 
сдачи спецкурса.    
Задача состоит в разработке алгоритма и реализации его в виде программы для решения одн ой из нижеперечисленных задач. Пр о-
грамма должна обеспечить ввод исходных данных и визуализацию полученного результата. Исходные данные задаются пользователем в  ка-
ком-то понятном стиле, лучше всего – мышью на экране.  
Допускается реализация в любой среде, а втор должен обеспечить возможность демонстрации работы программы в выбранной сист е- 
 2
2 ме программирования.  
Задачи различаются по сложности, но совсем тривиальных среди них нет. Приветствуются решения, включающие разработку удобн о-
го интерфейса для ввода данных и вывода результатов.  
Задачи на выбор:  
Проверить, является ли многоугольник простым, т.е. не имеющим пересечений несмежных сторон.  
Проверить, пересекаются ли стороны двух многоугольников.  
Вычислить количество пересечений сторон двух многоугольников.  
Прове рить, лежит ли один из двух многоугольников строго внутри другого.  
Вычислить площадь и периметр многоугольника.  
Проверить, является ли многоугольник выпуклым.  
Найти ближайшую точку многоугольника к точке, лежащей снаружи или внутри него (проекцию точки на многоугольник).  
Найти площадь пересечения двух прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат.  
Определить количество точек пересечения отрезка и треугольника.  
Вычислить площадь пересечения пары кругов.  
Среди заданного множества точек найти трой ку, образующую треугольник минимальной площади.  
Среди заданного множества точек найти тройку, образующую треугольник, имеющий минимальный радиус описанной окружности.  
 
Лабораторная работа 2 – типовой вариант.  
 
Тема: Построение и анализ выпуклых оболочек  
Глубиной D(p) точки p в конечном множестве S из n точек на евклидовой плоскости называется число выпуклых оболочек (выпуклых 
слоев), которые должны быть удалены из S прежде, чем будет удалена точка p.  
Глубиной M(S) множества S называется максимум глубины то чек, входящих в S. Очевидно M(S)n/31. 
Пусть Sm={p: D(p)=m, pS} – множество точек глубины m.  
Функцией глубин S называется F(m)=|Sm|, m=0,1,…, M(S) – количество точек в S, имеющих глубину m.  
Нужно разработать алгоритм и реализовать программу вычисления для заданного множества S глубины M(S) и функции глубин F(m).  
Программа должна обеспечить:  
Ввод заданного массива точек, входящих в множество S; 
Вывод глубины M(S) и функции глубин F(m) множест ва S. 
Исходные данные задаются в текстовом файле. Первая запись – число точек, далее координаты точек. Координаты точек – действ и-
тельные числа в диапазоне [0, 10 17]. Максимальное число точек n=106. Пример файла исходных данных представлен ниже.  
Имя файла: 4node. txt 
4    0 0   160 0   80  120   80 92  
Выходные данные программы: имя файла исходных данных, значение глубины M(S) и таблица значений функции глубин в формате  
 2
3 (m,F(m)), m=0,1,…, M(S).  
Интерфейс программы оставляется на усмотрение автора: принимается к онсольное приложение или диалоговое оконное приложение.  
К заданию прилагаются 4 файла с контрольными примерами из 4, 12, 633 и 10000 точек. Примеры файлов большей размерности 
10000 и 100000 точек будут предоставлены авторам эффективных алгоритмов.  
Критерии  оценки  
1. Задание оценивается в 25 баллов.  
2. Каждый просроченный день снижает оценку на 1 балл.  
3. По результатам проверки проводится собеседование с автором.  
4. Если установлены факты заимствования программ, работа принимается при условии успешной устной защиты, но оценка снижается на 
10 баллов.  
5. За оригинальность и высокое качество решения возможна премия до 10 баллов.  
6. Общая за весь курс оценка складывается из оценок за 3 лабораторные работы (по 25 баллов), письменную контрольную работу (25  бал-
лов) и устный экзам ен (50 баллов) – всего 150 баллов. Ориентировочная шкала оценок за курс: <75 баллов – неуд, 75 -100 – удовлетвор и-
тельно, 100 -125 – хорошо, >125 – отлично.  
 
 
 
Методические материалы для проведения процедур оценивания результатов обучения  
Особенности организации процесса обучения  
Для эффективного освоения курса рекомендуется перед каждым занятие привести в порядок конспекты лекций. После каждого зан я-
тия рекомендуется найти и прочитать дополнительную литературу по теме лекции и прочитать свои конспекты.