Напиши РПД для интегральные уравнения

 
Рабочая программа дисциплины «
Интегральные уравнения и вариационное исчисление»
 
предназначена для студентов 2 курса 
 
по специальности: 
010701.65 
-
 
Физика
 
 
АВТОР: доц. Даишев А.Ю.
 
 
КР АТКАЯ АН
НОТАЦИЯ: 
 
Курс лекций  «Интегральные уравнения и вариационное 
исчисление» состоит из следующих двух разделов: Однородные и неоднородные уравнения 
Фредгольма и Вольтерра. Вариационное исчисление. 
 
 
 
1. Требования к уровню подготовки студента, завершившего и
зучение дисциплины 
"Интегральные уравнения и вариационное исчисление"
 
 
Студенты, завершившие изучение данной дисциплины должны:  
 

 
знать основные положения теории дифференциальных уравнений и вариационного 
исчисления;
 

 
овладеть методами решения соответствующ
их задач и упражнений;
 

 
уметь использовать эти понятия  и методы  при решении задач, возникающих в 
теоретической и математической физике. 
 
 
2. Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах)
 
Форма обучения 
очная
 
 
Количество семестров 
1
 
Форма контроля:  
3
 
с
еместр 
зачет
 
 
№ п/п
 
Виды учебных занятий
 
Количество часов
 
 
 
3 семестр
 
1.
 
Всего часов по дисциплине
 
60
 
2.
 
Самостоятельная работа
 
24
 
3.
 
Аудиторных занятий
 
36
 
 
в том числе: лекций
 
18
 
 
семинарских (или лабораторно
-
практических) занятий
 
18
 
 
3.
 
Содержание д
исциплины.
 
ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБР АЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА
 
       
К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ  ПРОГР АММЫ
 
Индекс 
 
Наименование дисциплины и ее основные разделы 
 
 
Всего часов 
 
ЕН.Ф.2
 
 
ЕН.Ф.2.7
 
МАТЕМАТИКА
 
 
Интегральные уравнения и вариационно
е 
исчисление. 
 
Однородные и неоднородные уравнения Фредгольма 
второго рода уравнения Вольтера Вариационное 
исчисление: необходимое и достаточные  условия 
экстремума функционала, задачи на условный 
экстремум,   задачи с закрепленными границами и с 
подвижной
 
границей.
 
1150
 
 
60
  
Примечание: Если дисциплина, устанавливается вузом самостоятельно, то в данной таблице ставится прочерк.
 
 
СОДЕРЖАНИЕ Р АЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
 
 
№  
п/п
 
 
 
 
 
Название темы и ее содержание
 
Количество  часов
 
Аудиторные 
занятия, в том 
числе
 
Са
мост
оятельн
ая 
работа
 
лекции
 
Практичес
кие занятия
 
1
 
Сведения об интегральных уравнениях.
 
Уравнения Фредгольма и Вольтерра 
I
 
и 
II
 
родов. 
Собственные значения и собственные функции 
интегрального однородного уравнения. Интегральные 
уравнения с вырожденным
 
ядром. Теоремы 
Фредгольма. Существование и единственность 
решения уравнения Фредгольма. Сведения о 
приближенных методах решения  интегральных 
уравнений.
 
      
6
 
       
6
 
8
 
2 
 
Элементы вариационного исчисления.
 
Линейное нормированное пространство. 
Простра
нство непрерывных функций. Эпсилон
-
окрестность и расстояние между точками. 
Определение функционала. Непрерывность, 
линейность функционала. Экстремум функционала. 
Вариация функционала. Необходимое условие 
экстремума      функционала. Основная лемма 
вариацио
нного исчисления. Уравнение  Эйлера. 
Экстремали уравнение Эйлера
-
Пуассона. Уравнение 
Эйлера
-
Остроградского. Вариационная задача с 
подвижными границами  для простейшего 
функционала. Условия трансверсальности. Задача с 
подвижными границами для
 
функционала, з
ависящего 
от двух   функций  одного независимого аргумента. 
Поле экстремалей. Условие   Якоби. Функция 
Вейерштрасса. Достаточные условия экстремума 
функционала.  Вариационные задачи на условный 
экстремум. Прил
ожения  вариационного исчисления к 
задачам механики и физики
.
 
     
12
 
      
12
 
16
 
 
                                       
Итого часов
 
 
18
 
 
18
 
24
 
 
 4. Литература
 
 
4.1 Основная литература.
 
1.
 
Попов В. А. Сборник задач по интегральным уравнениям / В.А. Попов;
 
Казан. гос. ун
-
т, Физ. фак..
―
Казань: [Казан. гос. ун
-
т], 2006.
―29 
с.
 
2.
 
Пантелеев, А. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Практический курс 
[Электронный ресурс] : учеб. пособие с мультимедиа сопровождением / А. В. Пантелеев, А. 
С. Якимова, К. А. Рыба
ков. 
–
 
М.: Логос, 2010. 
-
 
384 с. 
http://znanium.com/catalog.php?bookinfo=469288
 
3.
 
Дифференциальные уравнения: конспект лекций: учебно
-
методическое пособие / Р . А. 
Даишев, А. Ю. Даньшин ; Казан. гос
. ун
-
т, Физ. фак. 
—
 
Казань : Казанский государственный 
университет, 2009 .
—
 
150 с.
 
 
4.2
 
Дополнительная литература.
 
 
1.
 
Петровский, Иван Георгиевич. Лекции об уравнениях с частными производными / И.Г. 
Петровский.
―
Москва: Физматлит, 2009.
―400 
с.
 
2.
 
Дифференциальные и 
интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах 
и задачах / А. Б. Васильева, Г. Н. Медведев, Н. А. Тихонов, Т. А. Уразгильдина .
—
 
Издание 2
-
е, исправленное .
—
 
Москва : Физматлит, 2005 .
—
 
432 с.
 
 
 
5. Интернет
-
источники
 
1. Фихтенгольц Г.М. Курс ди
фференциального и интегрального исчисления: Учебник. В 3
-
х 
тт. Том 1. М.: ЛАНЬ,2009, 9
-
е изд.,
-
 
608 с. // http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=407; 
 
Том 2. М.: ЛАНЬ, 2009, 9
-
е изд.,
-
 
800 с. // http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=408; 
 
То
м 3. М.: ЛАНЬ, 2009, 9
-
е изд.,
-
 
656 с. // http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=409 
 
2. Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А. Дифференциальные и 
интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. М.: ФИЗМ
АТЛИТ, 
2003. 
-
 
432 с. // http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=2358 
 
3.Попов В. А. Сборник задач по интегральным уравнениям / В.А. Попов; Казан. гос. ун
-
т, 
Физ. фак..
―
Казань: [Казан. гос. ун
-
т], 2006.
―29 
с. 197 экз 
 
4.Пантелеев, А. В. Обыкновенные 
дифференциальные уравнения. Практический курс 
[Электронный ресурс] : учеб. пособие с мультимедиа сопровождением / А. В. Пантелеев, А. 
С. Якимова, К. А. Рыбаков. 
-
 
М.: Логос, 2010. 
-
 
384 с. 
 
http://znanium.com/catalog.php?bookinfo=469288 
 
5.Дифференциальные
 
уравнения: конспект лекций: учебно
-
методическое пособие / Р . А. 
Даишев, А. Ю. Даньшин ; Казан. гос. ун
-
т, Физ. фак. ? Казань : Казанский государственный 
университет, 2009 .? 150 с. : ил. ; 21 .? Библиогр.: с. 146 (4 назв.). 174 экз 
 
 
 
 
 
 Приложение  к про
грамме дисциплины
 
 
«Интегральные уравнения и вариационное исчисление»
 
 
ВОПРОСЫ К ЗА ЧЁТУ
 
1.
 
Линейное нормированное пространство.
 
2.
 
Определение функционала. Непрерывность, линейность функционала. Экстремум 
функционала.
 
3.
 
Вариация функционала. Необходимое условие эк
стремума функционала.
 
4.
 
Пространство непрерывных функций. Эпсилон 
–
 
окрестность и расстояние между 
точками.
 
5.
 
Уравнение Эйлера. Экстремали.
 
6.
 
Основная лемма вариационного исчисления.
 
7.
 
Уравнение Эйлера
-
Пуассона.
 
8.
 
Уравнение Эйлера
-
Остроградского.
 
9.
 
Вариационная задача
 
с подвижными границами для простейшего функционала. 
Условия трансверсальности.
 
10.
 
Задача с подвижными границами для функционала, зависящего от двух функций 
одного независимого аргумента. Поле экстремалей.
 
11.
 
Условие Якоби. Функция Вейерштрасса. Достаточные усло
вия экстремума 
функционала.
 
12.
 
Вариационные задачи на условный экстремум.
 
13.
 
Приложения вариационного исчисления к задачам механики и физики.
 
14.
 
Уравнения Фредгольма и Вольтерра 
I
 
и 
II
 
рода. Собственные значения и собственные 
функции ядра интегрального однородного 
уравнения.
 
15.
 
 
Решение уравнения Фредгольма 
II
 
рода с вырожденным ядром.
 
16.
 
Альтернатива Фредгольма (доказателство этой теоремы для уравнения с 
вырожденным ядром).
 
17.
 
Вторая и третья теоремы Фредгольма и доказательство этих теорем для уравнений с 
вырожденным ядром.
 
18.
 
Теорема о существовании и единственности решения уравнения Фредгольма II рода с 
малым параметром.
 
19.
 
Сведения о приближенных методах решения интегрального уравнения.