Напиши РПД для графы и их приложения

 8 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИ СЦИПЛ ИНЫ 
1. НАИМЕНОВАНИЕ ДИСЦ ИПЛИНЫ  
Графы и их применения  
2. УРОВЕНЬ ВЫСШЕГО О БРАЗОВ АНИЯ  
 Подготовка научно -педагогических кадров в аспирантуре.  
3. НАПРАВЛЕНИЕ ПОДГО ТОВКИ, НАПРАВЛЕННОСТ Ь (ПРОФИЛЬ) ПОДГОТОВ КИ 
 Направления  01.06.01 «Математика и механика», 09.06. 01 «Информатика и вычислительная техника», 10.06.01 «Информационная 
безопасность» . Направленност и (профил и) «Теория вероятностей и математическая статистика» (01.01.05), «Дискретная математика и мат е-
матическая кибернетика» (01.01.09), «Математическое и про граммное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных 
сетей» (05.13.11), «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность» (05.13.19) . 
4. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОСНОВНОЙ  ОБРАЗОВАТЕЛ ЬНОЙ ПРОГРАММЫ  
Дисциплина относится  к вариативны м спецкурс ам (по выбору)  образовательн ых программ .  
5. ПЕРЕЧЕНЬ ПЛАНИРУЕМЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ОБУЧЕНИЯ  
Дисциплин а участвует  в формировани и следующих компетенц ий образовател ьной программы : 
 
Формируемые к омпетенции  Планируемые резул ьтаты обучения  
ПК-1 Владение современными методами построения и анализа математич е-
ских моделей, возникающих при решении естественнонаучных задач, а та к-
же методами разработки и реализации алгоритмов их решения на основе 
фундаментальных знаний в области математики и информат ики  З1 (ПК -1) Знать:  
современные методы построения и анализа математических моделей, 
возникающих при решении естественнонаучных задач, а также совреме н-
ные методы разработки и реализации алг оритмов их решения  
У1 (ПК -1) Уметь:  
применять современные методы пос троения и анализа математических 
моделей, возникающих при решении естественнонаучных задач, а также 
современные методы разработки и реализации алг оритмов их решения  
В1 (ПК -1) Владеть:   9 навыками оптимального выбора современных методов построения и ан а-
лиза ма тематических моделей, возникающих при решении естественн о-
научных задач, а также современных методов разработки и реализации 
алгоритмов их решения  
Способность к критическому анализу и оценке современных научных до с-
тижений, генерированию новых идей при реше нии исследовательских и 
практических задач, в том числе междисциплинарных обл астях.  
(УК -1) У1 (УК -1) УМЕТЬ:  
анализировать альтернативные варианты решения исследовательских и 
практических задач и оценивать потенциальные выигрыши/проигрыши 
реализации этих в ариантов  
 
B1(УК-1) ВЛАДЕТЬ:  
навыками анализа методологических проблем, возникающих при 
решении исследовательских и пра ктических задач,  
в том числе в междисципл инарных областях  
 
Cпособность  самостоятельно осуществлять научно -исследовательскую де я-
тельност ь в соответствующей профессиональной области с использованием 
современных методов исследования и информац ионно -коммуникационных 
технологий  
(ОПК -1) З1(ОПК -1) ЗНАТЬ : 
современные методы  исследования и информационно -
коммуникационных технол огий в соответствующ ей профессиональной  
обасти  
У1(ОПК -1) УМЕТЬ : 
уметь самостоятельно осуществлять научно -исследовательскую деятел ь-
ность в соответствующей профессиональной области с использованием 
совр еменных методов исследования и информационно -
коммуникационных технологий  
 
 
 
 
Оценочные средства для промежуто чной аттестации приведены в Приложении.  
 
 
6. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ  
Объем дисциплины составляет 3 з ачетных единицы, всего 108 часов .  10 42 часа составляет контактная работа с преподавателем – 36 часов занятий лекционного типа, 0 часов занятий семинарского типа (с е-
минары, научно -практические занятия, лабораторные работы и т.п.), 0 часов индивидуальных консультаций, 0 часов мероприятий тек ущего 
контроля успеваемости, 2 часа групповых консультаций , 4 часа мероприятий промежуточной атт естации . 
70 часов составляет самостоятельная работа аспиранта.  
7. ВХОДНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ Д ЛЯ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИ НЫ 
Учащиеся должны владеть знаниями по математическому анализу, линейной и общей алгебре, основам программирования и алг о-
ритмам, дискретной математике  и основам кибернетики в  объеме, соответствующем основным образовательным программам бакалавриата  и 
магистратуры  по укрупненным группам направлений и специальностей 01.00.00 «Математика и механика», 02.00.00 «Компьютерные и и н-
форм ационные науки».  
8. ОБРАЗО ВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ  
В процессе обучения использу ются слайды с лекциями.  
9. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ  
В курсе рассматриваются  основные разделы, относящиеся к  теории графов, особое внимание уделяется алгоритмам на графах и их 
сложности. Первая часть посвящена о сновным свойствам графов . В ней рассматриваются виды графов и их свойства, раскраски графов, эк с-
тремальные графы и числа Рамсея. Вторая часть посвящена алгоритмам на графах и их сложности.  
 
Наименование и кра т-
кое содержание разд е-
лов и тем дисциплины 
(модуля),  
 
форма промежуточной 
аттестации по дисци п-
лине (модулю)  Всего  
(часы ) В том числе  
Контактная работа (работа во взаимодействии с преподав а-
телем), часы  
из них  Самостоятельная работа обуча ю-
щегося, часы  
из них  Занятия 
лекцион-
ного  типа  
Занятия 
семинар-
ского типа  
Групповые 
консул ь-
тации  Индивид у-
альные 
консуль-
тации  Учебные занятия, 
направленные на 
проведение тек у-
щего контроля у с-
певаемости (кол-Всего  Выполнение 
домашних 
заданий  Подготовка 
рефератов 
и т.п. . Всего   11 локвиумы, пра к-
тические ко н-
трольные занятия 
и др)*  
Тема 1 . Виды графов и 
их свойства  
 
Графы. Основные опр е-
деления. Простейшие 
свойства графов. Пути и 
цепи в графах. Связность, 
k-связность. Деревья, 
корневые деревья. Осто в-
ные деревья.  Точки с о-
членения и мосты. Свя з-
ность, k -связность. Дв у-
связные гра фы. Комп о-
ненты двусвязности (бл о-
ки) графа. Дерево блоков 
и точек сочленения гр а-
фа. Деревья. Остовные 
деревья. Число остовных 
деревьев помеченного 
полного графа. Достиж и-
мость промежуточного 
числа висячих вершин в 
остовном дереве. Оценка 
числа висячих вершин  в 
остовном дереве.  
 16 8 - - -  8 8 - 8 
Тема 2. Раскраски гр а- 12 6 - - - - 6 6 - 6  12 фов 
 
Раскраски вершин гр а-
фов. Хроматическое чи с-
ло графа. Критерий дв у-
цветности графа. Верхние 
оценки хроматического 
числа графа. Существ о-
вание графов без тр е-
угольников с произвол ь-
но большим хро матич е-
ским числом. Раскраски 
ребер графов. Хромат и-
ческий индекс графа. 
Хроматический индекс 
двудольных графов. 
Верхняя и нижняя оценки 
хроматического индекса 
графа.  
Тема 3. Экстремальные 
графы и числа Рамсея  
 
Наследственные свойства 
графов. Наибольшее чи с-
ло ребер в графах с н а-
следственным свойством. 
Наибольшее число ребер 
в планарных графах. 
Наибольшее число ребер 
в графах без полного по д-
графа с n вершинами. 9 4 - 1 - - 5 4 - 4  13 Числа Рамсея. Вер хняя и 
нижняя оценки числа 
Рамсея.  
Тема 4. Быстрые алг о-
ритмы на графах  
 
Поиск в глубину и поиск 
в ширину в графе. Нах о-
ждение остовного дерева 
графа поиском в глубину 
и поиском в ширину. 
Отыскание фундаме н-
тального множества ци к-
лов в графе. Критерий 
разделяющей вершины на 
основе поиска в глубину. 
Нахождение компонент 
двусвязности графа. А л-
горитмы поиска кра т-
чайшего остовного дер е-
ва. Матроиды и жадные 
алгоритмы.  12 6 - - - - 6 6 - 6 
Тема 5. Потоки в сетях 
и паросочетания  
 
Потоки в сетях. Макс и-
мальный поток в сети. 
Теорема Форда -
Фалкерсона о величи не 
максимального потока в 
сети. Алгоритмы отыск а-16 8 - - - - 8 8 - 8  14 ния максимального пот о-
ка в сети.  Паросочетания 
в графах. Теорема Холла. 
Паросочетания в дв у-
дольных графах. Алг о-
ритм отыскания на и-
большего паросочетания 
двудольного графа на о с-
нове построения макс и-
мального пот ока в сети.  
Паросочетания в графах. 
Теорема Куна. Теорема 
Эдмонса. Алгоритмы 
отыскания наибольших 
паросочетаний в дв у-
дольных графах и в пр о-
извольных графах.    
Тема 6. Труднореша е-
мые задачи и перебо р-
ные алгоритмы  
 
Эйлеровы пути и цикл ы в 
графах. Критерий эйл е-
ровости графа. Задача к и-
тайского почтальона. Г а-
мильтоновы пути и ци к-
лы в графах. Достаточные 
условия гамильтоновости 
графа.  Гамильтоновы 
циклы в графах. Задача 
коммивояжера с нераве н-
ством треугольника и без 9 4 - 1 - - 5 4 - 4  15 него. Приближенные а л-
горитмы. Переборные а л-
горитмы, дерево реш е-
ний. Алгоритм перебора 
всех остовных деревьев 
графа.  Изоморфизм гр а-
фов. Полиномиальный 
алгоритм проверки из о-
морфизма деревьев. П о-
строение выпуклого n -
угольника на достаточно 
большом множестве т о-
чек. 
6. Промежуточная атт е-
стация – устный экз а-
мен 42 4 38 
Итого  108 42 66 
 
10. УЧЕБНО -МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТ ЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕ ЛЬНОЙ РАБОТЫ УЧАЩИХС Я 
Самостоятельная работа учащихся состоит в изучении лекционного материала, учебно -методической литературы, подг отовки к пр о-
межуточной атт естации.  
 
Литератур а для самостоятельной раб оты студентов  в соот ветствии с тематическим планом . 
Тема  1 «Виды графов и их свойства » 
Тема 2 «Раскраски графов»  
Тема 3 «Экстремальные графы и числа Рамсея » 
Тема 4 «Быстрые алгоритмы на графах » 
Тема 5 «Потоки в сетях и п аросочетания »  16 Тема 6 «Труднорешаемые задачи и переборные алгоритмы»  
 
11.  РЕСУРСНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИ Е 
Основная литература  
1. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М .: Либроком , 2009.  
2. Bondy J.A., Murty U.S.R. Graph theory. Springer, 2008.  
3. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.  
4. Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988.  
5. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.  
Дополн ительная литература  
1. Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. М.: Инфра -М, 2012.  
2. Алексеев В.Б. Введение в теорию сложности алгоритмов. М.: Издательский отдел ф -та ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, 2002.  
3. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднор ешаемые задачи. М.: Мир, 1982.  
4. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1980.  
5. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам. М.: На у-
ка, 1986.  
6. Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966 . 
7. Чашкин А.В. Лекции по дискретной математике. М.: Изд -во механико -математического ф -та МГУ имени М.В. Ломоносова, 2007.  
8. Diestel R. Graph Theory. Springer, 2010.  
Ресурсы информационно -телекоммуникационной сети «Интернет»  
1.  http://elibrary.ru  
2.  www .scopus .com 
Информационные технологии, используемые в процессе обучения   17 1.  Программное обеспечение для подгото вки слайдов лекций TeXnicCenter , LaTeX  
2.  Программное обеспечение для создания и прос мотра pdf-документов Adobe  Reader 
3.  Издательская система LaTeX  
  
 
 
 
Активные и интерактивные формы проведения занятия  
  №  
 п\п  
Тип занятия или  
внеаудиторной работы  
  
Вид и тематика (назв ание)   
интерактивного занятия  
 
1 Лекци и 1-18 Активное общение ви да «вопрос -ответ» со слушателями во время лекций  
 
Материально -техническая база  
Для преподавания дисциплины требуется класс, оборудованн ый меловой или маркерной доской и проектором.  
12. ЯЗЫК ПРЕПОДАВАНИЯ  
Русский  
13. РАЗРАБОТЧИК ПРОГРАММ Ы, ПРЕПОДАВАТЕЛИ  
 доцент, д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна , к.ф. -м.н. Бухман Антон Владимирович  
  18 Приложение  
ОЦЕНОЧНЫ Е СРЕДСТВ А ДЛЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ  
«Графы и их применения » 
Средства для оценивания планируемых р езультатов обучения, критерии и показ атели оценивания приведены ниже.  
РЕЗУЛЬТАТ 
ОБУЧЕНИЯ  
 по дисц иплине 
(мод улю) КРИТЕРИИ и ПОКАЗАТЕЛИ ОЦЕНИВАНИЯ РЕЗУЛЬТАТА ОБУЧЕНИЯ  
по дисциплине (модулю)  
 (критерии и показатели берутся из соответствующих карт компетенций, при этом пользуются л и-
бо традицио нной системой оценив ания, либо БРС)  ОЦЕНОЧНЫЕ 
СРЕДСТВА  
 1 2 3 4 5  
 Неудовлетв орительно  
 Неудовлетвори -
тельно  Удовлетвори -
тельно  Хорошо  
 Отлично  
  
ЗНАТЬ:  
современные м етоды 
постр оения и анализа 
математических м о-
делей, возник ающих 
при решении естес т-
веннонаучных з адач, 
а также совр еменные 
методы ра зработки и 
реализации алгори т-
мов их реш ения 
З1 (ПК -1) Отсутствие знаний  Фрагментарные 
представления о с о-
време нных методах 
постро ения и анализа 
математических м о-
делей, возникающих 
при решении естес т-
веннонаучных  задач, 
а также совр еменных 
методах ра зработки и 
реализации алгори т-
мов их реш ения 
 В целом сформ и-
рованные, но н е-
полные зн ания о 
современных м е-
тодах построения 
и анализа матем а-
тических мод е-
лей, возникающих 
при решении е с-
тественнонау ч-
ных задач, а та к-
же современных 
методах разрабо т-
ки и реализации 
алгоритмов их 
решения Сформирова нные, 
но соде ржащие 
отдельные проб е-
лы знания о с о-
временных мет о-
дах построения и 
анализа матем а-
тических мод е-
лей, возника ющих 
при решении е с-
тественнонау ч-
ных задач, а та к-
же современных 
методах разрабо т-
ки и реализ ации 
алгоритмов их 
решения  Сформирова нные 
системат ические  
знания о совреме н-
ных методах п о-
строения и анализа 
математических м о-
делей, возника ющих 
при решении естес т-
веннонаучных з адач, 
а также современных 
методах разработки и 
реализаци и алгори т-
мов их р ешения  Устный э кзамен  
УМЕТЬ:  
применять совреме н-
ные метод ы постро е-
ния и анализа мат е-Отсутствие умений  
 
 
 Фрагментарные 
умения  применять 
современные метод ы 
построения и ан ализа В целом 
успешно е, но не 
систематическое 
умение  применять Успешное, но 
содержащее 
отдельные 
пробелы умение  Сформированное 
умение прим енять 
совре менные метод ы 
построения и ан ализа Устный э кзамен   19 матических моделей, 
возникающих при 
решении естестве н-
нонаучных задач, а 
также совр еменные  
метод ы разработки и 
реализации алгори т-
мов их решения  
У1 (ПК -1)  
 
  математических м о-
делей, во зникающих 
при решении естес т-
веннонаучных з адач, 
а также совр еменные  
метод ы разработки и 
реализации алгори т-
мов их реш ения современные ме-
тоды построения 
и анализа матем а-
тических мод е-
лей, возникающих 
при решении е с-
тественнонау ч-
ных задач, а та к-
же современные  
метод ы разрабо т-
ки и реализ ации 
алгоритмов их 
решения  применять совр е-
менные методы 
построения и ан а-
лиза математич е-
ских моделей, 
возник ающих при 
решении естес т-
веннонаучных 
задач, а также с о-
временные  
метод ы разрабо т-
ки и ре ализации 
алгоритмов их 
решения математических м о-
делей, во зникающих 
при решении естес т-
веннонаучных з адач, 
а также совр еменные  
метод ы разработки и 
реализации алгори т-
мов их реш ения 
ВЛАДЕТЬ:  
навыками оптимал ь-
ного выбора совр е-
менных метод ов по-
строения и анализа 
математических м о-
делей, возник ающих 
при решении естес т-
веннонаучных з адач, 
а также совр еменных 
метод ов разработки и 
реализации алгори т-
мов их реш ения 
В1 (ПК -1) Отсутствие навыков  
 
 
 
 
 
 Фрагментарн ое 
владени е навыками 
оптимального выбора 
современных 
метод ов построения 
и анализа математ и-
ческих моделей, во з-
никающих при реш е-
нии естественнон а-
учных задач, а также 
современных 
метод ов разработки и 
реализации алгори т-
мов их решения  В целом 
успешное, но не 
полное владени е 
навыками опт и-
мального выбор а 
современных м е-
тодов построения 
и анализа матем а-
тических мод е-
лей, возникающих 
при решении е с-
тественнонау ч-
ных задач, а та к-
же современных 
метод ов разра-
ботки и реализ а-
ции алгоритмов 
их решения  Успешное, но 
содержащее 
отдельные 
пробелы  влад ение 
навыками опт и-
мальн ого выбора 
современных м е-
тодов постро ения 
и анализа матем а-
тических мод е-
лей, возника ющих 
при решении е с-
тественнонау ч-
ных задач, а та к-
же современных 
метод ов разра-
ботки и реализ а-
ции алгоритмов 
их решения  Сформированное 
владение  навыками 
оптимал ьного выбора  
современных 
метод ов постр оения 
и анализа математ и-
ческих моделей, во з-
никающих при реш е-
нии естественнон а-
учных з адач, а также 
современных 
метод ов разработки и 
реализации алгори т-
мов их реш ения Устный э кзамен  
УМЕТЬ  
критически анализ и-
ровать и оценивать 
совреме нные нау ч-Отсутствие умений  
 Фрагментарные ум ения 
критически анализир о-
вать и оценивать с о-
временные научные В целом успе шное, 
но не систематич е-
ское умение крит и-
чески анализир о-Успешное, но с о-
держащее отдел ь-
ные пробелы ум е-
ние критически Сформированное ум е-
ние критически анал и-
зировать и оценивать 
современные нау чные Устный э кзамен    20 ные достижений, г е-
нерировать новые 
идеи при реш ении 
исследов ательских и 
практических задач, 
в том числе межди с-
циплинарных обла с-
тях 
У1(УК -1) достижений , генерир о-
вать н овые идеи при 
решении исследов а-
тельских и практич е-
ских задач, в том числе 
междисципл инарных 
областях вать и оценивать 
современные нау ч-
ные достижений, 
генерировать н овые 
идеи  при решении 
исследов ательских 
и практических з а-
дач, в том числе 
междисциплина р-
ных обл астях анализ ировать и 
оценивать совр е-
менные нау чные 
достижений, ген е-
рировать новые 
идеи при р ешении 
исследоват ельских 
и практических з а-
дач, в том числе 
междисциплина р-
ных обл астях достижений, генерир о-
вать новые идеи при 
решении исследов а-
тельских и практич е-
ских з адач, в том числе 
междисци плинарных 
областях 
ВЛАДЕТЬ:  
навыками анализа 
методологических 
проблем, возникающих 
при решении 
исследовательских и 
практических задач,  
в том числе в 
междисциплинарных 
областях  
Код В1 (УК -1) Отсутствие навыков  
 
 
 
 
 
 Фрагментарное 
применени е навыков 
анализа 
методологических 
проблем, во зникающих 
при решении 
исследовательских и 
практических задач  В целом успе шное, 
но не 
систематическое 
применение 
навыков анализа 
метод ологических 
проблем, 
возникающих при 
решении 
исследовательских 
и практических  
задач  В целом успешное, 
но содержащее 
отдельные пробелы 
применение 
навыков анализа 
методологических 
проблем, 
возникающих при 
решении 
исследовательских 
и практических 
задач  Успешное и 
систематическое 
применение навыков 
анализа 
методологических 
проблем, воз никающих 
при решении 
исследовательских и 
практических задач, в 
том числе в 
междисциплинарных 
областях доклад на нау ч-
ном семинаре  
УМЕТЬ : 
самостоятельно 
осуществлять 
научно -
исследовательскую 
деятельность в 
соответствующей 
профессиональной 
области с 
использо ванием 
современных 
методов 
исследования и 
информационно -
коммуникационных 
технологий  Отсутствие умений  
 
 
 
 
 
 Частично освоенное 
умение 
самостоятельно 
осуществлять 
научно -
исследовательскую 
деятельность в 
соответствующей 
профессиональной 
области с  
использованием 
современных 
методов 
исследования и 
информац ионно -
коммуникационных В целом 
успешное, но не 
систематическое 
умение 
самостоятельно 
осуществлять 
научно -
исследовательску
ю деятельность в 
соответствующей 
профессионально
й области с 
испол ьзованием 
современных 
методов 
исследования и В целом 
успешное, но 
содержащее 
отдельные 
пробелы умение 
самостоятельно 
осуществлять 
научно -
исследовательску
ю деятельность в 
соответствующей 
профессионально
й области с 
использованием 
современных 
методов Успешное и 
систематическое 
умение 
самостоятельно 
осуществлять 
научно -
исследовательскую 
деятельность в 
соответствующей 
профессиональной 
области с 
использованием 
совре менных 
методов 
исследования и 
информац ионно -доклад на нау ч-
ном семинаре   21  У1 (ОПК-1) технологий  информац ионно -
коммуникационн
ых технологий  исследования и 
информац ионно -
коммуникационн
ых технологий  коммуникационных 
технологий  
ЗНАТЬ : 
современные м етоды  
исследования и и н-
форм ационно -
коммуникацио нных 
технологий  в соо т-
ветствующей пр о-
фессиональной  об-
ласти  
З1(ОПК -1) Отсутствие зн аний Фрагментарные 
представления  со-
време нных методах  
исследования и и н-
формацио нно-
коммуникационных 
технологий  в соо т-
ветствующей пр о-
фессиональной  об-
ласти  
 В целом сформ и-
рованные, но н е-
полные зн ания о  
современных м е-
тодах  исследов а-
ния и информац и-
онно -
коммуникацио н-
ных технологий  в 
соотве тствующей 
профессионал ь-
ной области 
 Сформирова нные, 
но соде ржащие 
отдельные проб е-
лы знания  о со-
временных мет о-
дах исследования 
и информацио н-
но-
коммуникацио н-
ных технол огий в 
соотве тствующей 
профессионал ь-
ной области 
 Сформирова нные 
систем атические  
знания о  совреме н-
ных методах  иссл е-
дования и информ а-
ционно -
коммуникацио нных 
технологий  в соо т-
ветствующей пр о-
фессиональной  об-
ласти  
 доклад на нау ч-
ном семинаре  
 
Фонды оценочных средств, необходимые для оценки результатов об учения  
Список вопросов дл я устного экзамена.  
 
1. Точки сочленения и мосты в графе. Теорема о равносильных определениях точки сочленения.  
2. Связность, k -связность. Двусвязные графы. Теорема о равносильных определениях двусвязного графа.  
3. Компоненты двусвязности (блоки) в графе . Критерий принадлежности двух вершин графа одной компоненте двусвязности. 
Свойства компонент двусвязности графа. Теорема о дереве блоков и точек сочленения графа.  
4. Остовные деревья в графе. Теорема о числе остовных деревьев помеченного полного графа.  
5. Остовные деревья в графе. Теорема о достижимости промежуточного числа висячих вершин в остовном дереве графа.  
6. Остовные деревья в графе. Теорема об оценке числа висячих вершин в остовном дереве графа.  
7. Хроматическое число графа. Критерий двуцветност и графа. Верхние оценки хроматического числа графа.  
8. Хроматическое число графа. Теорема Брукса о хроматическом числе графа.  
9. Хроматическое число графа. Теорема Зыкова о существовании графов без треугольников с произвольно большим хроматич е-
ским числом.   22 10. Хроматический индекс графа. Теорема о хроматическом индексе полного графа.  
11. Хроматический индекс графа. Теорема о хроматическом индексе двудольного графа.  
12. Хроматический индекс графа. Теорема Визинга о верхней оценке хроматического индекса графа.  
13. Наследственные свойства графов. Теорема об оценке наибольшего числа ребер в графе с наследственным свойством.  
14. Наследственные свойства графов. Планарные графы, теорема о наибольшем числе ребер в планарном графе.  
15. Наследственные свойства графов. Теорема о наибольшем числе ребер в графе без треугольников.  
16. Наследственные свойства графов. Теорема Турана о наибольшем числе ребер в графе без полного подграфа с n вершинами.  
17. Числа Рамсея. Теорема о верхней оценке числа Рамсея.  
18. Числа Рамсея. Теорема Эрдеша о нижней оценке числа Рамсея.  
19. Обходы графов. Алгоритмы построения остовных деревьев на основе обходов графа (с оценками сложности).  
20. Фундаментальное множество циклов в графе. Алгоритм построения фундаментального множества циклов в гра фе (с оценкой 
сложности).  
21. Компоненты двусвязности графа. Алгоритм построения компонент двусвязности графа на основе обхода в глубину (с обосн о-
ванием и оценкой сложности).  
22. Матроиды и жадные алгоритмы. Теорема Радо -Эдмонса.  
23. Алгоритмы построение к ратчайших остовных деревьев графа (с обоснованием и оценками сложности).  
24. Переборные алгоритмы, дерево решений. Алгоритм перебора всех остовных деревьев графа.  
25. Потоки в сетях. Теорема Форда -Фалкерсона.  
26. Потоки в сетях. Алгоритм пометок построения  максимального потока в сети (с оценкой сложности).  
27. Паросочетания в графах. Теорема Холла.  
28.  Паросочетания в двудольных графах. Алгоритм построения наибольшего паросочетания в двудольном графе на основе п о-
строения максимального потока в сети (с обос нованием и оценкой сложности).  
29. Паросочетания в двудольных графах. Теорема Куна. Алгоритм построения наибольшего парасочетания в двудольном графе (с 
оценкой сложности).  
30. Паросочетания в графах. Теорема Эдмонса. Алгоритм построения наибольшего парасоч етания в произвольном графе.  
31. Эйлеровы пути и циклы в графах. Критерий существования эйлерова цикла в графе. Задача китайского почтальона.  
32. Гамильтоновы пути и циклы в графах. Достаточные признаки существования гамильтонова цикла в графе.  
33. Гамил ьтоновы циклы в графах. Задача коммивояжера с неравенством треугольника и без него. Приближенные алгоритмы.  
34. Изоморфизм графов. Полиномиальный алгоритм проверки изоморфизма деревьев.  
35. Построение выпуклого n -угольника на достаточно большом множестве т очек.   23 Материалы для мероприятий текущего контроля.  
- 
 
Методические материалы для проведения процедур оценивания р езультатов обучения  
Особенности организации процесса обучения   
Для эффективного освоения курса рекомендуется перед каждым занятие м привести в п орядок конспекты лекций. После каждого зан я-
тия рекомендуется найти и прочитать допо лнительную литературу  по теме лекции и прочитать свои конспекты.  
Система контроля и оценивания  
Экзамен проходит устно. В билете - два вопроса. Подготовка к ответу в течение одного часа  без источников.  
Структура и график контрольных мероприятий  
Устный  экзамен в конце семестра.