Напиши РПД для линейная алгебра

Рабочая программа дисциплины "
Линейная алгебра
" предназначена для студентов 1 курса 2 
семестра
 
по специальности: 
010801.65    
-
   
Радиофизика и электроника
 
 
АВТОР: Егоров А.И.
 
 
КР АТКАЯ АННОТАЦИЯ: 
 
Да
нный курс состоит из следующих частей:
 
а) основные алгебраические понятия,
 
б) теория линейных пространств  и линейных операторов,
 
в) линейные, билинейные, квадратичные, полулинейные, эрмитовы формы,
 
г) самосопряженные, ортогональные и унитарные операторы в
 
линейных евклидовых и 
унитарных пространствах,
 
д) поверхности второго порядка в аффинном евклидовом пространстве.
 
 
1. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение дисциплины 
"Линейная алгебра".
 
Студенты, завершившие изучение данной дисци
плины должны:  
 

 
овладеть основами теории линейных пространств и теории
 
линейных операторов в линейных евклидовых и унитарных пространствах;
 

 
овладеть методами решения линейных систем любого порядка, овладеть навыками 
вычислений, связанных с матрицами, с век
торной алгеброй, с нахождением собственных 
векторов и собственных значений линейных операторов; 
 

 
уметь использовать методы линейной алгебры в курсе математического анализа и в 
различных разделах курса физики.
 
 
2. Объем дисциплины и виды учебной работы (в ч
асах)
 
Форма обучения 
очная
 
Количество семестров 
1
 
Форма контроля:  
2
 
семестр 
экзамен
 
 
№
 
п/п
 
Виды учебных занятий
 
Количество 
часов
 
 
 
2 семестр
 
1.
 
Всего часов по дисциплине
 
67
 
2.
 
Самостоятельная работа
 
17
 
3.
 
Аудиторных занятий
 
50
 
 
в том числе: лекций
 
34
 
 
семинарских (или лабораторно
-
практических) занятий
 
16
 
 
3. Содержание дисциплины.
 
ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБР АЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА
 
К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ  ПРОГР АММЫ
 
Индекс 
 
Наименование дисциплины и ее основные разделы 
 
 
Всего часов 
 
ЕН.Ф.2
 
 
ЕН.Ф.2.2
 
МАТЕМАТИКА
 
Линейная алгебра.
 
Матрицы и определители. Линейные пространства. 
Системы линейных уравнений. Евклидовы и 
унитарные пространства. Линейные операторы в 
конечномерном пространстве. Билинейные и 
квадратичные формы.
 
1150
 
 
85
 
 
Прим
ечание: Если дисциплина, устанавливается вузом самостоятельно, то в данной таблице ставится прочерк.
  
СОДЕРЖАНИЕ Р АЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
 
 
 
 
№  
п/п
 
 
 
Название темы и ее содержание 
 
Количество  часов
 
Аудиторные 
занятия, в том 
числе
 
Самост
оятельн
ая 
работа
 
л
екции
 
Практическ
ие занятия
 
1
 
Основные алгебраические понятия.
 
Группоид, 
моноид, полугруппа, группа. Кольцо. Типы колец 
(ассоциативные, коммутативные, антикоммутативные, 
лиевы, целостные). Тело и поле. Характеристика тела, 
поля. Поля 
Z
p
, 
Z
, 
Q
, 
R
, 
C
. Тело 
кватернионов 
Гамильтона 
H
. Алгебры над полем. Поле отношений 
целостного кольца.
 
4
 
0
 
0
 
2 
 
Теория линейных пространств и линейных 
операторов.
 
Аксиомы линейного пространства и их 
следствия. Размерность и базис. Линейное 
пространство матриц, линейное простран
ство 
решений однородной системы. Линейные 
подпространства и линейные оболочки. Пересечение 
подпространств. Сумма и прямая сумма 
подпространств. Теорема о пополнении базиса. 
Теорема о размерности суммы подпространств. Ядро 
и образ линейного отображения. Мат
рица линейного 
отображения. Теорема о размерности ядра и образа 
линейного отображения. Композиция линейных 
отображений и умножение матриц. Линейный 
оператор. Обратимый и обратный к нему линейный 
оператор. Матрица линейного оператора. Обратимая и 
обратная к
 
ней матрица. Общая матричная группа 
степени 
n
 
над полем 
P
. Теорема о вычислении 
обратной матрицы через присоединенную матрицу  и  
детерминант. Инвариантные подпространства, 
собственные векторы и собственные значения. Спектр 
линейного оператора. Теорема  о
 
связи 
геометрической и алгебраической кратности 
собственного значения. Преобразование базиса  и 
преобразование матрицы линейного оператора. 
Инварианты линейного оператора: арифметические, 
числовые, алгебраические, линейные или векторные. 
Теорема об инвари
антности характеристического 
многочлена. След и детерминант как числовые 
инварианты линейного оператора.
 
12
 
12
 
12
 3
 
Линейные, билинейные, квадратичные, 
полулинейные, эрмитовы формы.
 
Линейная форма 
или ковектор. Сопряженное пространство и кобазис. 
Дуальный
 
(взаимный) кобазис. Компоненты формы в 
данном базисе и их преобразование с 
преобразованием базиса. Билинейные формы. 
Симметричные и кососимметричные билинейные 
формы. Матрица билинейной формы и ее 
преобразование  с преобразованием базиса. 
Невырожденные и 
вырожденные билинейные формы. 
Квадратичные формы. Теорема Лагранжа. 
Нормальный канонический вид матрицы 
квадратичной формы над полями 
C
 
и 
R
. 
Положительный и отрицательный индексы. Критерий 
Сильвестра положительной определенности 
квадратичной формы. Линейны
е евклидовы и 
псевдоевклидовы пространства. Пространство 
Минковского. Времениподобные, 
пространственноподобные и световые векторы. 
Собственно евклидово пространство. Скалярное 
произведение. Ортогональность. Алгоритм Грама 
-
Шмидта ортогонализации системы в
екторов в 
евклидовом пространстве. Полулинейные и эрмитовы 
формы в комплексном линейном пространстве. 
Унитарное пространство.
 
8
 
2
 
2
 
4
 
Самосопряженные, ортогональные и унитарные 
операторы в линейных евклидовых и унитарных 
пространствах.
 
Ортогональное допол
нение и его 
свойства. Сопряженный, самосопряженный (или 
симметричный) и ортогональный операторы в Е
n
. 
Теоремы о спектре таких операторов. Теоремы о 
структуре симметричного и ортогонального 
операторов в Е
n
 
и их канонические виды в 
ортонормированном базисе. 
Классификация 
ортогональных преобразований евклидовой плоскости 
Е
2
 
и евклидова пространства Е
3
. Теоремы о структуре 
самосопряженного и  унитарного операторов в 
унитарном пространстве U
n
 
и их канонические виды в 
ортонормированном базисе. Унитарная матрица, 
унитарная группа 
U
(
n
), и специальная унитарная 
группа 
SU
(
n
).
 
6
 
0
 
0
 5
 
Поверхности 2
-
го порядка в аффинном евклидовом 
пространстве.
 
Аффинное пространство в точечно
-
векторной аксиоматике Г. Вейля. Аффинный базис и 
аффинные координаты точки. Преобразования 
аф
финного базиса
. 
Аффинное евклидово пространство 
и декартова система координат. Плоскости и 
поверхности второго порядка в AЕ
n
. Алгоритм 
приведения поверхности 2
-
го порядка к 
каноническому виду ортогональным преобразованием 
векторного базиса и параллельным п
ереносом начала 
аффинного базиса. Центральные и нецентральные 
поверхности 2
-
го порядка. Канонические виды 
поверхнрстей 2
-
го порядка в n
-
мерном аффинном 
евклидовом пространстве и их рисунки для n=3.
 
4
 
2
 
3
 
 
                                       
Итого часов
 
34
 
16
 
17
 
 
 4. Литература
 
 
4.1
 
Основная литература.
 
 
1.
 
Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре [Электронный 
ресурс]: учебное пособие / Под ред. Ю. М. Смирнова. 
-
 
Изд. 2
-
е, перераб. и доп. 
-
 
М. : 
Логос, 2005. 
-
 
369 с.  
http://znanium.com/catalog.php?bookinfo=469055
 
ЭБС «Знаниум»
 
2.
 
Линейная алгебра: Учебное пособие / Б.М. Рудык. 
-
 
М.: НИЦ Инфра
-
М, 2013. 
-
 
318 с. 
http://zna
nium.com/catalog.php?bookinfo=363158
 
ЭБС «Знаниум»
 
3.
 
Шершнев В. Г. Линейная алгебра. Часть I. Основы линейной алгебры: Учебно
-
 
методическое пособие для студентов I курса. 
-
 
М.: Издательство «Менеджер», 2007. 
–
 
128 с. 
http://znanium.com/catalog.php?bookinfo=347840
 
ЭБС «Знаниум»
 
 
4.2
 
Дополнительная литература.
 
 
1.
 
Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты: Учебное пособие / Г.С. Шевцов. 
-
 
2
-
e 
изд., испр. и доп. 
-
 
М.: Магистр: ИНФР А
-
М, 2010. 
-
 
528 с. 
http://znanium.com/catalog.php?bookinfo=203776
 
ЭБС «Знаниум»
 
2.
 
Линейная алгебра: Учебное пособие / Б.М. Рудык. 
-
 
М.: НИЦ ИНФР А
-
М, 2014. 
-
 
318 с. 
http://znanium.com/catalog.php?bookinfo=460611
 
ЭБС «Знаниум»
 
 
5. Интернет
-
источники
 
 
1.
 
Кафедра теории относительности и гравитации, сайт кафедры 
-
 
http://old.kpfu.ru/f6/k6/index.php?id=1
 
2.
 
Кафедра теории относительности и гравитации, сайт кафедры 
-
 
http://toig
-
kazan.narod.ru/education.htm
 
3.
 
Методические пособия Института физики Подробности: 
http://kpfu.ru/main_page?p_sub=12974 Любое использование материалов допускается 
только при наличии гиперссылки на портал КФУ (kpfu.ru) 
-
 
http://kpfu.ru/main_page?p
_sub=12974
 
4.
 
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕР АТУР А 
-
 
http://webmath.exponenta.ru/ax/aj/ta/index.html
 
5.
 
Учебно
-
образовательная физико
-
математическая библиотека 
-
 
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics.htm
 
6.
 
ЭБС 
-
 
http://www.knigafund.ru/
 
7.
 
Электронная Библиотека 
-
 
http://www.plib.ru/library/subcategory/32.html
 
8.
 
Электронная библиотека механико
-
математического факультета МГУ 
-
 
http://lib.mexmat.ru/ 
 
 
 
 
 Приложение  к программе дисциплины
 
 
“
Линейная алгебра”
 
БИЛЕТЫ К ЭКЗАМЕНАМ
 
 
          
Билет 1.
 
1. Аксиомы линейного пр
остранства и их следствия.
 
2. Линейные формы. Сопряженные пространства. 
 
 
          
Билет 2.
 
1. Подпространства линейного пространства. Сумма и пересечение.
 
2. Квадратичные формы. Теорема Лагранжа.
 
 
          
Билет 3.
 
1. Линейные отображения. Матрица отобр
ажения. Ядро и образ.
 
2. Теорема об инерции квадратичных форм.
 
 
          
Билет 4.
 
1. Композиция линейных отображений. Умножение матриц.
 
2. Критерий Сильвестра для квадратичных форм.
 
 
          
Билет 5.
 
1. Собственные значения и собственные векторы линейно
го оператора.
 
2. Евклидово пространство. Ортогонализация системы векторов.
 
         
Билет 6.
 
1. Преобразование базиса  и преобразование матрицы линейного оператора.
 
2. Эрмитовы формы в комплексном линейном пространстве.
 
 
          
Билет 7.
 
1. Инварианты ли
нейного оператора.
 
2. Изометрический оператор в Е
n
.
 
 
          
Билет 8.
 
1. Подпространства линейного пространства. Сумма и пересечение.
 
2. самосопряженный оператор. Связь с квадратичными формами. 
 
 
          
Билет 9.
 
1. Квадратичные формы. Теорема Лагранжа
.
 
2. Теорема о каноническом виде матрицы самосопряженного оператора.
 
 
          
Билет 10.
 
1. Теорема об инерции квадратичных форм.
 
2. Унитарный оператор. Унитарные матрицы.
 
 
          
Билет 11.
 
1. Собственные значения и собственные векторы линейного операт
ора.
 
2. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы.
 
 
          
Билет 12.
 
1. Билинейные формы. Преобразование матрицы билинейной формы при преобразовании 
базиса.
 
2. Алгоритм приведения поверхности 2
-
го порядка к каноническому виду .
 
 
          
Билет 13.
 
1. Инвари
анты линейного оператора.
 2. Аксиоматика аффинного пространства.
 
 
          
Билет 14.
 
1. Критерий Сильвестра для квадратичных форм.
 
2. Классификация поверхностей 2
-
го порядка в Е
3
.
 
 
          
Билет 15.
 
1. Линейные отображения. Матрица отображения. Ядро и о
браз. 
 
2. Теорема о каноническом виде матрицы самосопряженного оператора.
 
 
          
Билет 16.
 
1. Обратимый оператор и обратная матрица. 
 
2. Изометрический оператор в Е
n
.
 
 
          
Билет 17.
 
1. Подпространства линейного пространства. Сумма и пересечение.
 
2. Эрмитовы формы в комплексном линейном пространстве.
 
 
          
Билет 18.
 
1. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичных форм.
 
2. Аффинные пространства. Преобразование аффинной системы координат.
 
 
          
Билет 19.
 
1. Линейные формы. 
Сопряженные пространства.
 
2. Унитарный оператор. Унитарные матрицы. 
 
 
          
Билет 20.
 
1. Линейный оператор и его инварианты.
 
2. Теорема о каноническом виде матрицы самосопряженного оператора.
 
 
          
Билет 21.
 
1. Теорема об инерции квадратичных форм
.
 
2. Теорема о собственных значениях и собственных векторах эрмитова оператора.