Hình học

Hình minh họa [[định lý Desargues]], một kết quả quan trọng trong [[hình học Euclid]]

Hình học là một phân nhánh của toán học liên quan đến các câu hỏi về hình dạng, kích thước, vị trí tương đối của các hình khối, và các tính chất của không gian. Hình học phát triển độc lập trong một số nền văn hóa cổ đại như một phần của kiến thức thực tiễn liên quan đến chiều dài, diện tích, và thể tích, với một phần các yếu tố của khoa học Toán học đến từ phương Tây như các định lý của Thales (thế kỷ VI TCN). Đến thế kỷ thứ III TCN, hình học đã được Euclid hệ thống hóa dưới một hình thức tiên đề mang tên ông – Hình học Euclid đã trở thành chuẩn mực cho nhiều thế kỷ sau đó. Archimedes phát triển các kỹ thuật rất khéo léo để tính diện tích và khối lượng, theo một cách nào đó đã áp dụng phép tính tích phân. Thiên văn học khi tính toán vị trí của các ngôi sao và hành tinh trên bản đồ thiên cầu và mô tả mối quan hệ giữa chuyển động của các thiên thể, đã trở thành một nguồn quan trọng cung cấp các bài toán hình học trong suốt 1500 năm tiếp theo. Trong thế giới cổ điển, cả hình học và thiên văn học đã được coi là một phần của quadrivium, một tập hợp con của bảy môn giáo dục khai phóng cần thiết cho mọi công dân phải nắm vững.

Việc giới thiệu hệ tọa độ của René Descartes và sự phát triển đồng thời của đại số đánh dấu một giai đoạn phát triển mới cho hình học, kể từ khi các hình hình học như các đường cong phẳng không thể được mô tả bằng giải tích theo dạng phương trình và hàm. Điều này đóng một vai trò quan trọng trong sự xuất hiện của vi tích phân vào thế kỷ XVII. Sau đó, lý thuyết của phối cảnh cho thấy rằng có nhiều yếu tố hình học hơn là chỉ các thuộc tính số liệu của các hình vẽ: phối cảnh đã trở thành nguồn gốc của hình học projective. Các đối tượng nghiên cứu của hình học đã được tiếp tục mở rộng bằng việc nghiên cứu các cấu trúc nội tại của các đối tượng hình học của Euler và Gauss, điều này dẫn đến việc tạo ra các nhánh tô pô học và hình học vi phân.

Trong thời của Euclid, không sự phân biệt rõ ràng giữa không gian vật lý và không gian hình học. Kể từ khi phát hiện hình học phi Euclid vào thế kỷ 19, các khái niệm về không gian đã trải qua một sự thay đổi cơ bản và nêu lên câu hỏi: không gian hình học nào là thích hợp nhất với không gian vật lý. Với sự phát triển của toán học lý thuyết trong thế kỷ 20, 'không gian' (cho dù là 'điểm', 'đường', hoặc 'mặt phẳng') bị mất nội dung trực quan của nó, vì vậy người đọc phải phân biệt giữa không gian vật lý và không gian hình học (trong đó 'không gian', 'điểm', v.v... vẫn còn có ý nghĩa trực quan) và không gian trừu tượng. Hình học hiện đại xem xét không gian đa tạp - không gian có mức độ trừu tượng đáng kể hơn so với không gian Euclid quen thuộc. Những không gian trên có thể có sẵn các cấu trúc bổ sung nhằm cho phép đo chiều dài. Hình học hiện đại có nhiều mối quan hệ với 
vật lý như được minh họa bằng các liên kết giữa hình học giả Riemann và thuyết tương đối rộng. Một trong những lý thuyết vật lý mới nhất, lý thuyết dây, cũng rất gần gũi với hình học.

Trong khi bản chất thị giác của hình học làm cho nó dễ dàng tiếp cận hơn so với các môn toán học khác như đại số hay lý thuyết số, ngôn ngữ hình học cũng được sử dụng trong bối cảnh xa rời truyền thống nguồn gốc Euclide của nó (ví dụ như trong hình học fractal và hình học đại số).