Αλγεβρική γεωμετρία

Η Αλγεβρική γεωμετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών, κλασική μελέτη των ριζών των πολυωνυμικών εξισώσεων. Η σύγχρονη αλγεβρική γεωμετρία βασίζεται σε πιο αφηρημένες τεχνικές της άλγεβρας, ιδιαίτερα στην Αντιμεταθετική άλγεβρα, με τη γλώσσα και τα προβλήματα της γεωμετρίας.

Τα βασικά αντικείμενα της μελέτης στην αλγεβρική γεωμετρία είναι οι αλγεβρικές πολλαπλότητες, οι οποίες είναι γεωμετρικά αποδείξεις των λύσεων των συστημάτων πολυωνυμικών εξισώσεων. Παραδείγματα από τις πιο μελετημένες κατηγορίες αλγεβρικών πολλαπλότητων είναι: αλγεβρικές επίπεδες καμπύλες, το οποίο περιλαμβάνει τις γραμμές, κύκλους, παραβολές, ελλείψεις, υπερβολές, κυβικές καμπύλες όπως ελλειπτικές καμπύλες και καμπύλες τετάρτου βαθμού, όπως λημνίσκοι, και ωοειδείς του Cassini. Ένα σημείο του επιπέδου ανήκει σε μια αλγεβρική καμπύλη, αν οι συντεταγμένες του ικανοποιούν μια συγκεκριμένη πολυωνυμική εξίσωση. Βασικά ερωτήματα αφορούν τη μελέτη των σημείων ειδικού ενδιαφέροντος όπως τα ιδιάζοντα σημεία, τα σημεία καμπής και τα σημεία στο άπειρο. Πιο προχωρημένα ερωτήματα αφορούν την τοπολογία της καμπύλης και των σχέσεων μεταξύ των καμπυλών που δίδονται από διαφορετικές εξισώσεις.

Η αλγεβρική γεωμετρία κατέχει κεντρική θέση στα σύγχρονα μαθηματικά και έχει πολλαπλές εννοιολογικές συνδέσεις με ποικίλα πεδία όπως την σύνθετη ανάλυση, την τοπολογία και τη θεωρία αριθμών. Αρχικά η μελέτη των συστημάτων πολυωνυμικών εξισώσεων σε διάφορες μεταβλητές, το θέμα της Αλγεβρικής γεωμετρίας ξεκινά όταν εξίσωση επίλυση αφήνει ανοικτά, και γίνεται ακόμη πιο σημαντικό το να κατανοήσουν τις εγγενείς ιδιότητες του συνόλου των λύσεων του συστήματος των εξισώσεων, από το να βρουν μια συγκεκριμένη λύση· αυτό οδηγεί σε μερικές από τις βαθύτερες περιοχές σε όλα τα μαθηματικά, τόσο σε θεωρητικό όσο και από την άποψη της τεχνικής.

Κατά τον 20ό αιώνα, η αλγεβρική γεωμετρία έχει χωριστεί σε διάφορες υποπεριοχές:
* Το κύριο ρεύμα της Αλγεβρικής γεωμετρίας είναι αφιερωμένο στη μελέτη των πολύπλοκων σημείων των αλγεβρικό πολλαπλοτήτων και, γενικότερα, στα σημεία με συντεταγμένες σε ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα.
* Η μελέτη των σημείων των αλγεβρικών πολλαπλοτήτων με συντεταγμένες στον τομέα των ρητών αριθμών ή σε ένα σώμα αριθμού έγινε αριθμητική γεωμετρία (ή πιο κλασικά διοφαντική γεωμετρία), ένα υποπεδίο της Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών.
* Η μελέτη των πραγματικών σημείων μιας αλγεβρικής πολλαπλότητας είναι το αντικείμενο της πραγματικής αλγεβρικής γεωμετρίας.
* Ένα μεγάλο μέρος της θεωρίας της ιδιομορφίας είναι αφιερωμένο στις ιδιομορφίες των αλγεβρικών πολλαπλοτήτων.
* Με την άνοδο των υπολογιστών,ένας υπολογιστικός αλγεβρικός γεωμετρικός τομέας έχει προκύψει, ο οποίος βρίσκεται στη διασταύρωση της αλγεβρικής γεωμετρίας και της άλγεβρας υπολογιστών. Αποτελείται ουσιαστικά από την ανάπτυξη αλγορίθμων και λογισμικού για τη μελέτη και την εύρεση των ιδιοτήτων των ρητά δοσμένων αλγεβρικών ποικιλιών.

Μεγάλο μέρος της ανάπτυξης του κύριου ρεύματος της Αλγεβρικής γεωμετρίας του 20ού αιώνα σημειώθηκε μέσα σε ένα αφηρημένο αλγεβρικό πλαίσιο, με την αυξανόμενη έμφαση στις «εγγενείς» ιδιότητες των αλγεβρικών πολλαπλοτήτων που δεν εξαρτώνται από κάποιο συγκεκριμένο τρόπο ενσωμάτωσης της πολλαπλότητας σε ένα ατμοσφαιρικό χώρο συντεταγμένων, αυτό έχει παράλληλες εξελίξεις στην τοπολογία, τη διαφορική και τη μιγαδική γεωμετρία. Ένα σημαντικό επίτευγμα αυτής της αφηρημένης αλγεβρικής γεωμετρίας είναι η θεωρία των συστημάτων του Γκρότεντικ (Grothendieck), η οποία επιτρέπει σε κάποιον να χρησιμοποιήσει θεωρία δεσμών για τη μελέτη αλγεβρικών πολλαπλοτήτων με έναν τρόπο που είναι αρκετά όμοιος με τη χρήση του στη μελέτη των διαφορικών και αναλυτικών συλλεκτών. Αυτό επιτυγχάνεται με την επέκταση της έννοιας του σημείου: Στην κλασσική αλγεβρική γεωμετρία, ένα σημείο μιας βελτιωμένης πολλαπλότητας μπορεί να προσδιοριστεί, μέσω του θεωρήματος του μηδενικού τόπου του Χίλμπερτ, με ένα μέγιστο ιδεώδες του δακτυλίου συντεταγμένων, ενώ τα σημεία του αντίστοιχου αφινικού συστήματος είναι όλα τα κύρια ιδεώδη αυτού του δακτυλίου. Αυτό σημαίνει ότι ένα σημείο ενός τέτοιου συστήματος μπορεί να είναι είτε ένα σύνηθες σημείο ή μια υποπολλαπλότητα. Η προσέγγιση αυτή επιτρέπει επίσης την ενοποίηση της γλώσσας και τα εργαλεία της κλασικής αλγεβρικής γεωμετρίας, κυρίως ασχολούνται με τα μιγαδικά σημεία,και την αλγεβρική θεωρία αριθμών. Η απόδειξη του Γουάιλς της μακρόχρονης εικασίας που ονομάζεται τελευταίο θεώρημα του Φερμά είναι ένα παράδειγμα της ισχύος αυτής της προσέγγισης.