Σάλπιγγα του Γαβριήλ

Η Σάλπιγγα του Γαβριήλ (που επίσης λέγεται και τρομπέτα του Τοριτσέλι) είναι ένα σχήμα που επινοήθηκε από τον Εβαντζελίστα Τοριτσέλι και το οποίο έχει άπειρο εμβαδό, αλλά πεπερασμένο όγκο. Η ονομασία του αναφέρεται στη θρησκευτική παράδοση που θέλει τον Αρχάγγελο Γαβριήλ να φυσά τη σάλπιγγα που αναγγέλλει τη Ημέρα της Κρίσης, συνδέοντας έτσι το "άπειρο (και θεϊκό)" με το "πεπερασμένο."

center|thumb|520px|"Σχήμα μέρους της «Σάλπιγγας του Γαβριήλ»

Η Σάλπιγγα του Γαβριήλ σχηματίζεται αν πάρουμε τη γραφική παράσταση του formula_1, στο διάστημα formula_2 (αποφεύγοντας έτσι την απροσδιοριστία στο σημείο x=0) και περιστρέφοντάς την σε τρεις διαστάσεις γύρω από τον άξονα των x. Η ανακάλυψη έγινε χρησιμοποιώντας την αρχή του Καβαλιέρι και πριν την ανάπτυξη της μαθηματικής ανάλυσης, όμως σήμερα η μαθηματική ανάλυση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστεί ο όγκος και το εμβαδό της Σάλπιγγας στο διάστημα από "x = 1" μέχρι "x = a", όπου "a > 1". Χρησιμοποιώντας ολοκληρωτικό λογισμό (δείτε τα "Στερεό εκ περιστροφής" και "Επιφάνεια εκ περιστροφής" για λεπτομέρειες), είναι δυνατό να υπολογιστεί ο όγκος formula_3 και το εμβαδό formula_4:

:formula_5

:formula_6 

Το formula_7 μπορεί να γίνει όσο μεγάλο χρειάζεται, αλλά από την εξίσωση φαίνεται ότι ο όγκος του τμήματος της Σάλπιγγας μεταξύ formula_8 και formula_9 ποτέ δεν θα ξεπεράσει το formula_10 - όμως, θα πλησιάζει ολοένα το "formula_10" καθώς το formula_7 γίνεται μεγαλύτερο. Ή αλλιώς, με τη μαθηματική ορολογία, λέμε ότι ο όγκος «τείνει στο "formula_10" όταν το formula_7 τείνει στο άπειρο», που σημαίνει ότι ο όγκος της Σάλπιγγας ισούται με formula_10 για μεγάλα formula_7. Το παραπάνω μπορεί να γραφεί σε μορφή ορίου: 

:formula_17

Όσο για το εμβαδό, τα παραπάνω δείχνουν ότι αυτό είναι μεγαλύτερο από formula_18 φορές το φυσικό λογάριθμο του formula_7. Δεν υπάρχει άνω όριο για το φυσικό λογάριθμο του formula_7 καθώς αυτό τείνει στο άπειρο. Αυτό σημαίνει, στην περίπτωση που εξετάζουμε, ότι η Σάλπιγγα έχει άπειρη επιφάνεια. Γράφοντας πάλι αυτή τη διαπίστωση σαν όριο: 

:formula_21

Την εποχή που ανακαλύφθηκαν τα παραπάνω, θεωρήθηκαν παραδοξολογίες - καθώς με την περιστροφή μιας άπειρης επιφάνειας γύρω από τον άξονα των x δημιουργείται ένας πεπερασμένος όγκος. Αυτό, με ανεπίσημους όρους, έχει περιγραφεί ως το ισοδύναμο μιας κατάστασης όπου θα χρειαζόταν άπειρη ποσότητα μπογιάς για να βαφεί η εσωτερική επιφάνεια, θα αρκούσε ωστόσο το να γεμίσουμε τον εσωτερικό όγκο με πεπερασμένη ποσότητα μπογιάς έτσι ώστε να καλυφθεί και η εσωτερική επιφάνεια.

Το παράδοξο λύνεται αν σκεφτούμε ότι ο ισχυρισμός πως μια άπειρη επιφάνεια απαιτεί άπειρη ποσότητα μπογιάς προϋποθέτει ότι η μπογιά έχει σταθερή πυκνότητα. Αυτό όμως θεωρητικά δεν συμβαίνει στο εσωτερικό της Σάλπιγγας, και στην πράξη το μεγαλύτερο μέρος της θα ήταν μη προσβάσιμο από τη μπογιά, καθώς η διάμετρός της θα ήταν μικρότερη από τη διάμετρο ενός μορίου μπογιάς. Ακόμα όμως κι αν θεωρήσουμε τη μπογιά χωρίς πυκνότητα, και τα μόριά της χωρίς διαστάσεις, θα απαιτούνταν άπειρα μεγάλος χρόνος ώστε η μπογιά να φτάσει μέχρι την «άκρη» της Σάλπιγγας.

Άλλος ένας τρόπος να περιγραφεί το παραπάνω παράδοξο είναι να διαπιστώσουμε ότι κάποιος θα μπορούσε να γεμίσει το εσωτερικό της Σάλπιγγας με μπογιά, ποτέ όμως δεν θα έχει αρκετή ώστε να βάψει το εξωτερικό της.