[en] In this thesis, after a systematic study of previous research on proportional and algebraic reasoning, we first, address the characterization of proportional reasoning and its relation to algebraic reasoning from an epistemic perspective. We analyze the various meanings of proportionality by applying theoretical tools of the Onto-semiotic Approach (OSA) of mathematical knowledge and instruction, in particular, the interpretation of meaning in terms of systems of operative and discursive practices related to solving types of problems, and the model of algebrization levels of mathematical activity. These meanings should be taken into account in the planning and management of the teaching and learning processes of proportionality in primary and secondary education. Basing on the OSA epistemological, ontological, semiotic and instructional assumptions, we justify the importance of a dialogical-collaborative didactic model for the situations of first encounter with mathematical objects in which the teacher and the students work together in the resolution of the problem situations. With these premises, in the second place, we carry out a case study on the design, implementation and evaluation of training interventions to develop proportional reasoning in a group of 23 primary school students. We analyze the results, in terms of the emergence of algebraic reasoning forms, obtained with the application of a didactic model of mixed dialogical-collaborative type. Although it is a case study that does not allow to generalize the results, the evaluation of the learning achieved, served to formulate hypotheses about the influence of the mixed instructional model on students' learning, which should be checked in new research cycles on this topic and in similar contexts. Thirdly, in the specific area of mathematics teachers' education, and applying the OSA model of Didactic-Mathematical Knowledge and Competencies, we develop some training cycles for prospective primary and secondary mathematics teachers, with the aim of developing the didactic-mathematical competences and knowledge about proportional reasoning and its connection with algebraic reasoning. In particular, we take into account the competencies of epistemic, cognitive and didactical suitability analysis. The results show the need to deepen in developing the specialized content knowledge of prospective teachers and recognize the complexity involved in developing these skills.

[es] En esta memoria, tras un estudio sistemático de investigaciones previas sobre razonamiento proporcional y algebraico se aborda, en primer lugar, la caracterización del razonamiento proporcional y su relación con el razonamiento algebraico desde una perspectiva epistémica. Analizamos los diversos significados de la proporcionalidad aplicando herramientas teóricas del Enfoque Ontosemiótico (EOS) del conocimiento y la instrucción matemáticos, en particular, la interpretación del significado en términos de sistemas de prácticas operativas y discursivas relativas a la resolución de tipos de problemas y el modelo de niveles de algebrización de la actividad matemática. Estos significados deben ser tenidos en cuenta en la planificación y gestión de los procesos de enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad en educación primaria y secundaria. En base a los supuestos epistemológicos, ontológicos, semióticos e instruccionales del EOS, justificamos la importancia de un modelo didáctico dialógico-colaborativo para las situaciones de primer encuentro con los objetos de conocimiento matemáticos en el que el profesor y los estudiantes trabajan juntos en la resolución de las situaciones-problemas. Con estas premisas, en segundo lugar, se realiza un estudio de caso sobre el diseño, implementación y evaluación de intervenciones formativas para desarrollar el razonamiento proporcional en un grupo de alumnos de educación primaria. Analizamos los resultados, en términos de la emergencia de formas de razonamiento algebraico, obtenidos con la aplicación de un modelo didáctico de tipo mixto dialógico-colaborativo. Aunque se trata de un estudio de caso que no permite generalizar los resultados, la evaluación de los aprendizajes logrados permite formular hipótesis sobre la influencia del modelo mixto de instrucción en los aprendizajes de los alumnos, las cuales se pueden contrastar en nuevos ciclos de investigación sobre este tema y en contextos similares. En tercer lugar, en el área específica de la formación de profesores de matemáticas, y bajo el modelo de Conocimientos y Competencias Didáctico-Matemáticos propuesto por el EOS se desarrollan ciclos formativos dirigidos a futuros profesores de matemáticas, tanto de educación primaria como de educación secundaria, con el objetivo de desarrollar las competencias y conocimientos didáctico-matemáticos sobre el razonamiento proporcional y su conexión con el razonamiento algebraico. En particular se contemplan las competencias de análisis epistémico, análisis cognitivo y análisis de la idoneidad didáctica. Los resultados muestran la necesidad de profundizar en el desarrollo del conocimiento especializado del contenido de los futuros profesores y reconocer la complejidad involucrada en el desarrollo de dichas competencias