[ca] En aquest Treball de Fi de Grau s'han explorat alguns aspectes geomètrics i topològics de certs poliedres de cares corbes que es poden descompondre en un nombre enter de poliedres de Pearce congruents. En concret, s'han analitzat els que es poden descompondre en:Octaedre BCC, Tetraedre Diamant i Decaedre Tetraèdric. Com a resultat d'aquesta anàlisi es presenten: - Noves geometries d'aquests poliedres - Una anàlisi i caracterització geomètrica de les seves propietats que ha revelat que la seva topologia és molt diferent de la dels poliedres (de cares planes) - 2 Noves expressions topològiques invariants. - 6 d'aquests poliedres de cares corbes que tenen una morfologia semblant a la d'alguns poliedres (de cares planes) ja que: a) tenen una característica d'Euler que només depèn del seu gènere i que és independent de la seva forma. Això suggereix que podria no existir un criteri de convexitat per a aquests poliedres. b) poden tenir totes les seves cares regulars i congruents amb vèrtexs incongruents - Un nou poliedre de 82 cares corbes amb un alt nivell de simetria, amb una superfície d'aspecte complex i amb un volum que es pot descompondre en 14 Decaedres de Pearce congruents. - El disseny i prototipatge amb impressora 3D de 3 peces noves per construir puzles tridimensionals. - Un catàleg de les peces i unes instruccions de muntatge. - Un nou sistema de Yoshimoto amb cares corbes mínimes. - Un nou sistema estructural desmuntable inspirat en els grups de simetria del Yoshimoto de cares mínimes. Els poliedres proposats en aquest TFG segueixen patrons de la naturalesa i sembla que no hi ha informació sobre ells a la literatura científica.

[en] In this Final Degree Project, some geometric and topological aspects of certain saddle polyhedra which can be decomposed into an integer number of congruent Pearce polyhedra have been explored. Specifically, those that can be decomposed into: BCC Octahedra, Diamond Tetrahedra, Tetrahedral Decahedra. As a result of this analysis, the following are presented: - New geometries of these polyhedra - A geometric analysis and characterization of its properties that has revealed that their topology is very different from that of (flat faced) polyhedra since: a) they have an Euler characteristic that only depends on their genus and is independent of their shape. This suggests that there might be no convexity criterion for these kind of polyhedra. b) they can have all their faces regular and congruent with incongruent vertices - 2 new topological invariant expressions. - 6 of these saddle polyhedra which have a morphology similar to that of some (flat-faced) polyhedra. - A new polyhedron with 82 curved faces with a high level of symmetry, with a complex looking surface and with a volume that can be decomposed into 14 congruent Pearce decahedra. - The design and 3D printing of 3 new pieces to build three-dimensional puzzles. - A catalog of the pieces and assembly instructions. - A new Yoshimoto system with minimal curved faces. - A new detachable structural system inspired by the symmetry groups of the minimal face Yoshimoto. Polyhedra proposed in this TFG follow patterns of nature and there seems to be no information about them in the scientific literature.