[en] This thesis is mainly focused on the study of quantum phase transitions of multiquDit systems (D-level many-body systems, extending standard 2-level qubit systems) and topological phase transitions in 2D materials. For this purpose, we have extended the concept of spin coherent states and its adaptation to parity symmetry from 2-level to D-level systems, using the representation theory of the unitary group U(D). Entanglement measures and phase space methods are also defined for the specific case of symmetric multi-quDits (bosons). The extension of quantum phase transitions from 2-level (qubits) to D-level (quDits) systems entails an enlarged variety of phases, which could be potentially exploited for quantum technological prospects. Parallelly, we have devoted our efforts to implement the topological phase transitions formalism in new 2D anisotropic materials such as phosphorene, which are a hot topic in material sciences and constitute the building blocks for future photonic and optoelectronic devices. This thesis is a compilation work of 7 publications [1–7] in scientific journals, which are indexed in the Journal Citation Report of the Science Citation Index, and are ranked in relevant positions, mostly in the first quartile (Q1) of the corresponding category. I have also published 4 international conference proceedings [8–11] derived from the main articles. The organization of this work begins with Chapter 1, an introduction to the state-of-the-art of quantum and topological phase transitions in the new quantum technological world, followed by the objectives and methodology. We find Chapter 5 at the end, a collection of the main results and conclusions derived from the publications, which compose the body of this thesis in Chapters 2, 3 and 4. A summary of these central chapters is as follows: In Chapter 2, we include 5 articles [1–5] arranged in 3 sections. In general, we study quantum phase transitions (QPT) in multi-quDit systems, using the 3-level Lipkin-Meshkov-Glick (LMG) model as paradigmatic example. The QPTs are characterized by the control parameter λ, measuring the interaction strength of the LMG model. The D-level or multi-quDit systems of N particles, will be modeled by collective spin operators generating a U(D) symmetry. Therefore, we have made a review of the construction of U(D) unitary irreducible representations and how to define coherent states (CS) with this symmetry, which will work as variational states modeling the lowest-energy eigenstates of our Hamiltonian in the thermodynamic limit N → ∞. In Section 2.1, the article [1] is presented. We extend the concept of quantum phase transitions, from totally symmetric to different U(3) permutation symmetry sectors of a system of identical particles, defining the so called mixed symmetry the role of a new control parameter, so that the phase space will have 4 phases and a "quadruple" point where all 4 phases coexist. In Section 2.2, the articles [2, 3] are presented. We compute entanglement and information measures for "symmetric" indistinguishable particles (bosons) in multi-quDit systems, restricting ourselves to the fully symmetric representations of U(D). In Section 2.3, the articles [4, 5] are presented. We define a generalized parity adaptation of U(D)-spin CS and make a phase space analysis of them and the LMG model eigenstates. In Chapter 3, the article [6] is presented. The Lieb-Mattis theorem is applied to U(N) quantum Hall ferromagnets at filling factor M for L Landau/lattice sites. The Hilbert space of the low energy sector in this model is identified with the carrier space of irreducible representations of U(N), described by rectangular Young tableaux of M rows and L columns, and associated with Grassmannian phase spaces GN M = U(N)/[U(M) × U(N − M)]. This chapter shed light on the manybody problems with mixed symmetry sectors, ranging from the LMG model in the previous chapter to the 2D materials in the next one. In Chapter 4, the article [7] is presented. We study how the transmittance and the Faraday angle are universal markers of topological phase transitions in a collection of 2D materials, including graphene and other Dirac materials, and HgTe quantum wells. We also show how these magnitudes become critical even for non-topological anisotropic materials such as phosphorene. For this purpose, we show how external electromagnetic fields affect these materials, and derive the current operators and the magneto-optical conductivities from the Kubo-Greenwood formula.

[es] Esta tesis se centra principalmente en el estudio de transiciones de fase cuánticas en sistemas multi-quDit (sistemas de muchas partículas de D niveles, generalizando los sistemas de dos niveles) y de las transiciones de fase topológicas en materiales bidimensionales (2D). Para ello, hemos extendido el concepto de estados coherentes de espín y su adaptación a la simetría de paridad de sistemas de 2 niveles a sistemas de D niveles, utilizando la teoría de representaciones del grupo unitario U(D). También se definen medidas de entrelazamiento y métodos de espacio de fases para el caso específico de multi-quDits simétricos (bosones). La extensión de las transiciones de fase cuánticas a multi-quDits conlleva una mayor variedad de fases, que podrían explotarse potencialmente con perspectivas en las tecnológicas cuánticas. Paralelamente, hemos dedicado nuestros esfuerzos a implementar el formalismo de las transiciones de fase topológicas en nuevos materiales 2D anisótropos como el fosforeno, que son un tema candente en las ciencias de los materiales y constituyen los bloques fundamentales para la construcción de futuros dispositivos fotónicos y optoelectrónicos. La tesis se presenta por compendio de 7 publicaciones [1–7] en revistas científicas, que están indexadas en el Journal Citation Report del Science Citation Index, y están clasificadas en posiciones relevantes, mayormente en el primer cuartil Q1 del JIF en la categoría correspondiente. También he publicado 4 actas de congresos internacionales [8–11] derivados de los artículos principales. La organización de este trabajo comienza con el Capítulo 1, una introducción al estado del arte de las transiciones de fase cuánticas y topológicas en el contexto de las tecnologías cuánticas, seguido de los objetivos y la metodología. Encontramos al final el Capítulo 5, una recopilación de los principales resultados y conclusiones derivados de las publicaciones, que componen el cuerpo de esta tesis en los Capítulos 2, 3 y 4. A continuación se presenta un resumen de estos capítulos centrales: En el capítulo 2, incluimos 5 artículos [1–5] ordenados en 3 secciones. En general, estudiamos las transiciones de fase cuánticas (QPT) en sistemas multiquDit, utilizando el modelo de Lipkin-Meshkov-Glick (LMG) con 3 niveles como ejemplo paradigmático. Las QPT se caracterizan por el parámetro de control λ, que mide la fuerza de interacción del modelo LMG. Los sistemas de D niveles ó multi-quDits de N partículas, serán modelados por operadores colectivos de espín generando una simetría U(D). Por ello, hemos hecho una revisión de la construcción de representaciones irreducibles unitarias de U(D) y de cómo definir estados coherentes (CS) con esta simetría, que funcionarán como estados variacionales modelando los autoestados de más baja energía de nuestro Hamiltoniano en el límite termodinámico N → ∞. En la sección 2.1, se presenta el artículo [1]. Extendemos el concepto de transiciones de fase cuánticas, de sectores de simetría totalmente simétricos a diferentes sectores de simetría de permutación de U(3) en un sistema de partículas idénticas, definiendo las llamadas transiciones cuánticas de fase de simetría mixta (MSQPT). En ellas el parámetro de la representación juega el papel de un nuevo parámetro de control, dando lugar a un espacio de fases con 4 fases y un punto "cuádruple" donde coexisten las 4 fases. En la sección 2.2, se presentan los artículos [2, 3]. Calculamos medidas de entrelazamiento e información para partículas "simétricas" indistinguibles (bosones) en sistemas multi-quDit, restringiéndonos a las representaciones completamente simétricas de U(D). En la sección 2.3, se presentan los artículos [4, 5]. Definimos una adaptación de paridad generalizada de U(D)-spin CS y hacemos un análisis de espacio de fases de ellos y de los autoestados del modelo LMG. En el capítulo 3, se presenta el artículo [6]. Se aplica el teorema de Lieb-Mattis a los llamados U(N) quantum Hall ferromagnets con factor de llenado M para L sitios Landau. El espacio de Hilbert del sector de baja energía en este modelo se identifica con el espacio soporte de representaciones irreducibles de U(N), descrito por tableros de Young rectangulares de M filas y L columnas, y asociado con los espacios de fase Grassmannianos GN M = U(N)/[U(M) × U(N −M)]. Este capítulo arroja luz sobre los problemas de muchos cuerpos con sectores de simetría mixta, que van desde el modelo LMG del capítulo anterior hasta los materiales 2D del siguiente. En el capítulo 4, se presenta el artículo [7]. Estudiamos cómo la transmitancia y el ángulo de Faraday son marcadores universales de transiciones de fase topológicas en una colección de materiales 2D, incluyendo grafeno y otros materiales de Dirac, y pozos cuánticos de HgTe. También mostramos cómo estas magnitudes se vuelven críticas incluso para materiales anisótropos y no topológicos como el fosforeno. Para ello, mostramos cómo afectan los campos electromagnéticos externos a estos materiales, y derivamos los operadores de corriente y las conductividades magnetoópticas a partir de la fórmula de Kubo-Greenwood.