[en] In this dissertation we review the two neuron cellular neural network stability using the Lyapunov theory, and using the different local dynamic behavior derived from the piecewise linear function use. We study then a geometrical way to understand the system dynamics. The Lyapunov stability, gives us the key point to tackle the different convergence problems that can be studied when the CNN system converges to a fixed¬point. The geometric stability shed light on the convergence to limit cycles. This work is basically organized based on these two convergence classes. We try to make an exhaustive study about Cellular Neural Networks in order to find the intrinsic difficulties, and the possible uses of a CNN. Understanding the CNN system in a lower dimension, give us some of the main keys in order to understand the general case. That's why we will focus our study in the one dimensional CNN case with only two neurons. From the results obtained using the Lyapunov function, we propose some methods to avoid the dependence on initial conditions problem. Its intrinsic characteristics as a quadratic form of the output values gives us the key points to find parameters where the final outputs do not depend on initial conditions. At this point, we are able to study different CNN applications for parameter range where the system converges to a fixed¬point. We start by using CNNs to reproduce Bernoulli probability distributions, based on the Lyapunov function geometry. Secondly, we reproduce linear functions while working inside the unit square. The existence of the Lyapunov function allows us to construct a map, called convergence map, depending on the CNN parameters, which relates the CNN inputs with the final outputs. This map gives us a recipe to design templates performing some desired input¬output associations. The results obtained drive us into the template composition problem. We study the way different templates can be applied in sequence. From the results obtained in the template design problem, we may think on finding a functional relation between the external inputs and the final outputs. Because the set of final states is discrete, thanks to the piecewise linear function, this correspondence can be thought as a classification problem. Each one of the different classes is defined by the different final states which, will depend on the CNN parameters. Next, we study which classifications problems can be solved by a two neuron CNN, and relate them with weight parameters. In this case, we also find a recipe to design templates performing these classification problems. The results obtained allow us to tackle the problem to realize Boolean functions using CNNs, and show us some CNN limits trying to reproduce the header of a universal Turing machine. Based on a particular limit cycle example extracted from Chua's book, we start this study with anti symmetric connections between cells. The results obtained can be generalized for CNNs with opposite sign parameters. We have seen in the stability study that limit cycles have the possibility to exist for this parameter range. Periodic behavior of these curves is computed in a particular case. The limit cycle period can be expressed as a function of the CNN parameters, and can be used to generate clock signals. Finally, we compare the CNN dynamic behavior using different output functions, hyperbolic tangent and piecewise linear function. Many times in the literature, hyperbolic tangent is used instead of piecewise linear function because of its differentiability along the plane. Nevertheless, in some particular regions in the parameter space, they exhibit a different number of equilibrium points. Then, for theoretical results, hyperbolic tangent should not be used instead of piecewise linear function.

[es] Les redes neuronales celulares o CNNs, son un tipo de sistema dinámico que relaciona diferentes elementos llamados neuronas a partir de unas plantillas de parámetros. Este sistema queda completamente determinado conociendo las entradas de la red, las salidas y los parámetros o pesos. En este trabajo hacemos un estudio exhaustivo de estos tipos de red en el caso más sencillo donde sólo intervienen dos neuronas. Este es un sistema muy sencillo que puede llegar a tener una dinámica muy rica. Primero, revisamos la estabilidad de este sistema desde dos puntos de vista diferentes. Usando la teoría de Lyapunov, encontramos el rango de parámetros en el que hemos de trabajar para conseguir que la red converja hacia un punto fijo. Este método nos abre las puertas parar poder abordar los diferentes tipos de problemas que se pueden resolver usando una red neuronal celular de dos neuronas. Por otro lado, el comportamiento dinámico de la CNN está determinado por la función lineal a tramos que define las salidas del sistema. Esto nos permite estudiar los diferentes sistemas que aparecen en cada una de las regiones donde el sistema es lineal, consiguiendo un estudio completo de la estabilidad de la red en función de las posiciones locales de los diferentes puntos de equilibrio del sistema. Obtenemos básicamente dos tipos de convergencia, hacia a un punto fijo o hacia un ciclo límite. Estos resultados nos permiten organizar este estudio básicamente en estos dos tipos de convergencia. Entender el sistema de ecuaciones diferenciales que definen la CNN en dimensión 1 usando solamente dos neuronas, nos permite encontrar las dificultades intrínsecas de las redes neuronales celulares así como sus posibles usos. Además, nos va a dar los puntos clave para poder entender el caso general. Uno de los primeros problemas que abordamos es la dependencia de las salidas del sistema respecto de las condiciones iniciales. La función de Lyapunov que usamos en el estudio de la estabilidad es una cuadrica si la pensamos como función de las salidas. La posición y la geometría de esta forma cuadrática nos permiten encontrar condiciones sobre los parámetros que describen el sistema dinámico. Trabajando en estas regiones logramos resolver el problema de la dependencia. A partir de aquí ya podemos empezar a estudiar las diferentes aplicaciones de las CNNs trabajando en un rango de parámetros donde el sistema converge a un punto fijo. Una primera aplicación la encontramos usando este tipo de red para reproducir distribuciones de probabilidad tipo Bernoulli usando otra vez la función de Lyapunov usada en el estudio de la estabilidad. Otra aplicación aparece cuando nos centramos en trabajar dentro del cuadrado unidad. En este caso, el sistema es capaz de reproducir funciones lineales. La existencia de la función de Lyapuno v permite también construir unas graficas que dependen de los parámetros de la CNN que nos indican la relación que hay entre las entradas de la CNN y las salidas. Estas graficas nos dan un algoritmo para diseñar plantillas de parámetros reproduciendo estas relaciones. También nos abren la puerta hacia un nuevo problema: como componer diferentes plantillas para conseguir una determinada relación entrada¬salida. Todo este estudio nos lleva a pensar en buscar una relación funcional entre las entradas externas a la red y las salidas. Teniendo en cuenta que las posibles salidas es un conjunto discreto de elementos gracias a la función lineal a tramos, la correspondencia entrada¬salida se puede pensar como un problema de clasificación donde cada una de las clases está definida por las diferentes posibles salidas. Pensándolo de esta forma, estudiamos qué problemas de clasificación se pueden resolver usando una CNN de dos neuronas y encontramos la relación que hay entre los parámetros de la CNN, las entradas y las salidas. Esto nos permite encontrar un método de diseño de plantillas para cada problema concreto de clasificación. Además, los resultados obtenidos en este estudio nos conducen hacia el problema de reproducir funciones Booleanas usando CNNs y nos muestran algunos de los límites que tienen las redes neuronales celulares al intentar reproducir el cabezal (la cabeza) de la máquina universal de Turing descubierta por Marvin Minsky el año 1962. A partir de aquí empezamos a estudiar la red neuronal celular cuando ésta converge hacia un ciclo límite. Basándonos en un ejemplo particular sacado del libro de L.O Chua, estudiamos primero como encontrar ciclos límite en el caso que los parámetros de la CNN que conectan las diferentes neuronas sean anti¬simétricos. De esta forma encontramos el rango de parámetros en el cuál hemos de trabajar para asegurar que el estado final de la red sea una curva cerrada. Además nos da la base para poder abordar el problema en el caso general. El comportamiento periódico de estas curvas incita primero a calcular su periodo para cada ciclo y luego a pensar en posibles aplicaciones como por ejemplo usar las CNNs para generar señales de reloj. Finalmente, estudiados ya los diferentes tipos de comportamiento dinámico y sus posibles aplicaciones, hacemos un estudio comparativo de la red neuronal celular cuando la salida está definida por la función lineal a trozos y cuando está definida por la tangente hiperbólica ya que muchas veces en la literatura se usa una en vez de la otra intentado aprovechar su diferenciabilidad. Este estudio nos indica que no siempre se puede intercambiar dichas funciones ya que la convergencia del sistema es distinta según como se definan las salidas de la CNN.