[en] This work considers a Broadcast Channel (BC) system, where the transmitter is equipped with multiple antennas and each user at the receiver side could have one or more antennas. Depending on the number of antennas at the receiver side, such a system is known as Multiple-User Multiple-Input Single-Output (MU-MISO), for single antenna users, orMultiple-UserMultiple-InputMultiple-Output (MU-MIMO), for several antenna users. This model is suitable for current wireless communication systems. Regarding the direction of the data flow, we differentiate between downlink channel or BC, and uplink channel or Multiple Access Channel (MAC). In the BC the signals are sent from the Base Station (BS) to the users, whereas the information from the users is sent to the BS in the MAC. In this work we focus on the BC where the BS applies linear precoding taking advantage of multiple antennas. The Channel State Information (CSI) is assumed to be perfectly known at each user. However, the users do not cooperate, and the BS only has partial CSI obtained via a feedback link in Frequency-Division Duplex (FDD) systems, which is bandwidth limited. This limitation forces the users to apply some methods, like quantization, to reduce the amount of data to be sent to the BS. The combination of the information provided by the users is interpreted as stochastic CSI at the BS, so that the partial CSI is critical for the design of the precoders. Several criteria have been considered to evaluate the BC performance in the literature, namely, Signal to Interference-plus-Noise Ratio (SINR), Minimum Mean Square Error (MMSE), and rate. While some works compute the corresponding metric for each of the users, others consider the sum of all of them as the value of interest. In our case, we concentrate on rate as figure of merit. In particular, we are interested in guarantying certain per-user rates. That way, we avoid unfair situations of the sum rate criterion arising when the channels for some of the users are poor with assigned low, even zero, rates. Moreover, reducing the amount of power required to fulfill the mentioned Qualityof- Service (QoS) restrictions is a desirable feature for a wireless communication system. Thus, we address the optimization problem consisting on minimizing the total transmit power employed at the BS to fulfill a set of given QoS constraints, expressed as per-user rates. The power minimization problem has been widely studied during the last years for both perfect and imperfect CSI at the BS scenarios. The assumption of perfect CSI is rather unrealistic so that, as we mentioned previously, we consider that the users send the channel information to the BS by means of the feedback channel, usually available in recent wireless communication standards. Although some authors have employed XIV bounded uncertainty models for the CSI such as rectangular, ellipsoidal, or spherical, and have taken advantage of that assumption to solve the power minimization problem, we do not assume a particular shape for that uncertainty, but is modeled as a stochastic error. In the considered MU-MIMO system model the number of antennas at the BS is larger than the number of antennas at each user, e.g. MU-MISO. Moreover, the users do not cooperate to separate the received signals. Due to that and to the lack of degrees of freedom at the users, it makes necessary the use of transmit filters, also denoted as precoders, to remove inter-user interference. Thus, in this work we jointly design the linear precoders and receive filters minimizing the total transmit power subject to per-user rate constraints. This problem formulation is non-convex. As a consequence, it is difficult to deal with. For such a reason, we apply the Jensen's inequality to the rate constraints to obtain a MMSE based restrictions. Consequently, our aim is to find the precoders and the filters that minimize the MMSE for all the users. To that end, several types of dualities based on SINR, Mean Square Error (MSE), or rate have been employed for the design of the filters as conversion formulas that allow to switch between the BC and the MAC for convenience. We employ the MSE BC/MAC duality for imperfect Channel State Information at the Transmitter (CSIT). Furthermore, for the power allocation design, we take advantage of the standard Interference Function (IF) framework, proposed to solve the power control algorithm. In such a way, an algorithm is proposed to solve the power minimization problem in the BC. To check the feasibility of the QoS constraints, we propose a test that allows to determine the convergence of the algorithm. Additionally, the proposed algorithm can be employed to solve the dual problem, i.e., find the balanced targets for given total transmit power. Finally, some applications of the power minimization problem arising from different scenarios are studied and solved by means of the proposed algorithm. Simulation experiments are carried out using the technical programming language MATLAB in order to show the performance of the proposed methods.

[gl] Este traballo considera un sistema Broadcast Channel (BC) que consiste nun transmisor equipado con múltiples antenas e varios usuarios cunha ou máis antenas. Dependendo do número de antenas no lado receptor, tales sistemas son coñecidos como Multiple-User Multiple-Input Single-Output (MU-MISO), para usuarios cunha única antena, ou Multiple-User Multiple-Input Multiple-Output (MU-MIMO), para usuarios con varias antenas. Este modelo é adecuado para sistemas actuais de comunicacións sen fíos. Respecto á dirección do fluxo de datos, diferenciamos entre a canle downlink ou BC, e a canle uplink ou Multiple Access Channel (MAC). No BC os sinais env´ıanse dende a estación base aos usuarios, mentres que a información pertencente aos usuarios é transmitida á estación base no MAC. Neste traballo centrámonos no BC onde a estación base aplica precodificación lineal aproveitando as múltiples antenas. A información sobre o estado da canle asúmese perfecta en todos os usuarios. Por contra, os usuarios non cooperan e a estación base só ten información da canle parcial obtida a través dunha canle de realimentación nos sistemas Frequency-Division Duplex (FDD), que ten un ancho de banda limitado. Esta limitación forza aos usuarios a aplicar algúns métodos, como quantización, para reducir a cantidade de datos que se envían á estación base. A combinación da información proporcionada polos usuarios é interpretada na estación base como información da canle estocástica, e constitúe un factor crítico no deseño dos precodificadores. Na literatura consider´aronse varios métodos para avaliar o rendemento do BC, a saber, Signal to Interference-plus-Noise Ratio (SINR), Minimum Mean Square Error (MMSE), e taxa. Algúns traballos calculan as medidas correspondentes para cada usuario mentres que outros consideran a suma de todos eles como a métrica de interese. No noso caso, centrámonos na taxa como figura de mérito. En particular, estamos interesados en garantir certas taxas por usuario. Deste xeito evitamos situación inxustas que xurdan de utilizar a taxa suma como criterio, nas que aos usuarios con canles pobres se lles asignan tasas baixas, ou incluso cero. Ademais, reducir a cantidade de potencia necesaria para satisfacer as restricci ´ons de calidade de servizo mencionadas ´e unha característica desexable nos sistemas de comunicacións se fíos. Así, acometemos o problema de optimización consistente en minimizar a potencia total no transmisor empregada para cumprir un conxunto de restricións de calidade de servizo, expresadas como taxas por usuario. Durante os últimos anos o problema de minimización de potencia foi estudado amplamente para información tanto perfecta como imperfecta de canle, nos escenarios BC. Asumir coñecemento perfecto de canle é pouco realista e, por tanto, consideramos que os usuarios envían a información de canle á estación base por medio dunha canle de realimentación, normalmente dispoñible nos estándares de comunicación recentes. Aínda que algúns autores empregaron modelos de incerteza limitada para o coñecemento de canle tales como rectangular, elipsoidal, ou esférico, e aproveitaron esa asunción para solucionar o problema de minimización de potencia, non asumimos unha forma particular para esa incerteza sen´on un modelo de error estocástico. No modelo de sistema considerado, MU-MIMO, o número de antenas na estación base é maior que o número de antenas en cada usuario, e.g. MU-MISO. Ademais, os usuarios non cooperan para separar os sinais recibidos. Debido a isto e á falta de graos de liberdade nos usuarios, é preciso o uso de filtros transmisores, tamén chamados precodificadores, para eliminar as interferencias entre usuarios. Deste xeito, neste traballo deseñamos conxuntamente os precodificadores lineais e os filtros receptores minimizando a potencia total no transmisor suxeita a restriccións de taxa por usuario. Esta formulación do problema non é convexa e, por tanto, é complicada de manexar. Por este motivo, aplicamos a desigualdade de Jensen ´as restriccións de taxa para obter outras baseadas no MMSE. Como consecuencia, o noso obxectivo é deseñar os precodificadores e filtros que minimizan o MMSE para todos os usuarios. Para iso, distintos tipos de dualidades baseadas en SINR, Mean Square Error (MSE), ou taxa, foron empregadas para o deseño dos filtros coma fórmulas para intercambiar entre o BC e o MAC por conveniencia. En particular, empregamos a dualidade de MSE con coñecemento de canal imperfecto. Ademais, para a distribución de potencias, explotamos o marco teórico das standard Interference Function, formulado para resolver o algoritmo de control de potencia. Desta maneira, propomos un algoritmo para resolver o problema de minimización de potencia no BC. Para comprobar a factibilidade das restricci óns de calidade de servizo, propomos un test que permite determinar se o algoritmo converxe ou non. Ademais, o algoritmo proposto permite resolver o problema dual, ´ısto é, atopar os obxectivos de taxa balanceados correspondentes a unha potencia total no transmisor. Finalmente, algunhas aplicacións da minimización de potencia xorden de diferentes escenarios e resólvense por medio do algoritmo proposto. Usando a linguaxe de programación MATLAB simúlanse experimentos co obxectivo de mostrar o rendemento dos métodos propostos.