[en] The Greek geometer Euclid began his Elements1 with a list of 23 definitions, 5 logical rules, and 5 postulates. The fifth postulate refers to parallel lines, which are defined as those "straight lines which, being in the same plane and being produced indefinitely in both directions, do not meet one another in either direction." The fifth postulate states that: "If a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, then the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which the angles are less than two right angles." The 'problem of the fifth postulate' consists of demonstrating that this postulate is a consequence of the other four postulates of the Elements. Since this postulate is equivalent to the existence and uniqueness of a straight line parallel to a given straight line through a given point, research in this direction is called 'theory of parallels.' Since Euclid, many mathematicians have tried to prove the fifth postulate. Posidonius attempted to solve the problem in the first century B.C., when he confused parallel straight lines with equidistant straight lines. The problem of the fifth postulate was resolved in the negative at the end of the 19th century. The definitive proof is attributed to Beltrami in his work Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea [1868]. In this work he studies a "surface" given by the unit disc endowed with a length element, which he gives explicitly, with respect to which the curvature is constant and negative. In this way one obtains a geometry satisfying all of Euclid's postulates except the fifth. This geometry is the so-called non-Euclidean geometry. In this work we review the history of this discovery. In a clear analogy with spherical geometry, Lambert states that in an "imaginary sphere" the sum of the angles of a triangle would be less than p. We analyze the role played by this imaginary sphere in the development of non-Euclidean geometry, and how it served Gauss as a guide. More precisely, we analyze a crucial moment in the history of the discovery of non-Euclidean geometry: Gauss's reading of Bolyai's Appendix in 1832, five years after the publication of Disquisitiones generales circa superficies curvas, on the assumption that his investigations into the foundations of geometry were aimed at finding, among the surfaces in space, Lambert's hypothetical imaginary sphere. From this point of view, one is able to answer certain natural questions about the history of non-Euclidean geometry; for instance, answer some natural questions: 1. What approach was adopted by Gauss in his meditations? Was it the same as that adopted by Bolyai? 2. Why did Gauss feel that there was no longer any need to write anything more about it? 3. What is the relation between imaginary quantities and the problem of the theory of parallels?

[es] El geómetra griego Euclides empieza sus Elementos con una lista de 23 definiciones, 5 reglas lógicas, and 5 postulados. El postulado 5 se refiere a las rectas paralelas aquellas "líneas rectas que están en el mismo plano y al prolongarse indefinidamente en ambas direcciones, no se cortan". El quinto postulado establece que: "Si una recta corta a otras dos y forma con ellas de un mismo de sus lados dos ángulos internos que suman menos dos restos, entonces las dos rectas si se prolongan indefinidamente se corta del lado en el que los ángulos dieron menos de dos rectos". El "problema del quinto postulado" consiste en demostrar que este postulado es una consecuencia de los otros cuatro postulados de los Elementos. Como este postulado es equivalente "a la existencia y unicidad de una recta paralela a una recta dada por un punto exterior a ella", también se lo conoce como el "problema de la teoría de las paralelas". Desde Euclides, muchos matemáticos han tratado de probar el quinto postulado. Posidonio intento resolver el problema en la primera centuria del siglo I d.C., cuando el confundió líneas equidistantes con líneas paralelas. El problema del quinto postulado fue resuelto negativamente al final del siglo XIX. La pruebe definitiva es atribuida Beltrami en su trabajo Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea [1868]. En este trabajo, Beltrami estudia una "superficie" dada por un disco de radio 1 dotado de un elemento de longitud de arco con curvatura constante negativa. De esta manera obtiene una geometría que satisface los postulados de Euclides excepto el quinto. Esta geometría es llamada no-euclidiana. En este trabajo revisamos la historia de este descubrimiento atribuido a Gauss, Bolyai y Lobatchevski. En clara analogía con la geometría esférica, Lambert en su Theorie der Parallellinien [1786] dice que en una "esfera imaginaria" la suma de los ángulos de un triángulo debería ser menor que π. Analizamos el papel jugado por esta esfera imaginaria en el desarrollo de la geometría no-euclidiana, y como sirvió a Gauss de guía. Más precisamente, analizamos un momento crucial en la historia del descubrimiento de la geometría no-euclidiana: la lectura que Gauss hizo del Apéndice de Bolyai en 1832, cinco años después de la publicación de Disquisitiones generales circa superficies curvas, bajo la suposición de que este trabajo esta investigación en los fundamentos de la geometría fue motivado por la búsqueda, entre las superficies del espacio, de la hipotética esfera imaginaria de Lambert. Desde este punto de vista, hemos podido responder algunas preguntas naturales a cerca de la historia de la geometría no-euclidiana; por ejemplo: 1. ¿Qué enfoque siguió Bolyai en el Apéndice? 2. ¿Por qué Gauss después de leer el Apéndice decidió no escribir nada sobre su descubrimiento de la geometría no-euclidiana? 3. ¿Qué relación existe entre las cantidades imaginarias y el problema de la teoría de las paralelas?