[ca] Entendre i controlar sistemes complexos regits per la mecànica quàntica per a construir tecnologies quàntiques es un dels reptes mes rellevants de la ciència en l'actualitat. Els sistemes atòmics, moleculars i òptics han jugat clarament un rol capital en aquest esforç, produint proves de concepte per a diverses aplicacions de consideració. Exemples notables en son els simuladors quàntics dissenyats per a resoldre problemes complicats d'altres branques de la física, com ara sistemes d'espins, sistemes desordenats, etc.... i ordinadors quàntics de dimensions reduïdes. En particular, els experiments amb gasos d'àtoms ultrafreds i amb trampes iòniques son la punta de llança del camp en l'actualitat. El fantàstic afany experimental ha d'anar associat amb d'altres teòric i numèric que el corresponguin. Les raons principals son: 1) els estudis teòrics son necessaris per tal d'identificar règims adients en que els sistemes AMO puguin esser emprats com a simuladors quàntics eficients de problemes rellevants de la Física i les Matemàtiques, 2) els treballs numèrics exhaustius son necessaris per a contrastar els resultats dels experiments en regions de paràmetres en que els dispositius clàssics son capaços de trobar solucions. En aquesta tesi, presentem diversos exemples de sistemes rellevants que poden esser resolts numèricament. La tècnica emprada -que es comuna per a tot el treball- es la diagonalització exacta. L'ús d'aquesta tècnica es limitat a sistemes amb nombres baixos partícules i/o pocs estats quàntics accessibles. Malgrat aquesta limitació, es poden estudiar una gran varietat de sistemes quàntics en els règims rellevants dels paràmetres de control. Un avantatge notable es el fet que permet calcular no nomes l'estat de mínima energia del sistema, sinó que també la majoria de l'espectre i, en alguns casos, àdhuc estudiar-ne la dinàmica. La tesi s'organitza tal i com prossegueix. En primer lloc, proveïm una introducció, subratllant la importància d'aquesta tècnica per a la simulació quàntica i la validació quàntica i certificació. En el capítol 2, detallem la tècnica de la diagonalització exacta i presentem un exemple del seu us per a les fases per a una cadena de Bose-Hubbard unidimensional. En els capítols del 3 al 6, presentem alguns usos rellevants de la diagonalització exacta. En el capítol 3, estudiem les fases degudes a l'efecte Hall quàntic en un sistema de dues components de bosons sotmesos a camps de gauge artificials. En el capítol 4, canviem a camps de gauge dinàmics, presentant les fases topològiques que apareixen en un sistema de bosons atrapats en una petita xarxa reticular. En el capítol 5, s'hi tracta un problema ben diferent, el d'emprar gasos d'àtoms ultrafreds per a per a simular un model d'espín. La simulació quàntica es de nou l'objectiu del capítol 6, en que proposem una forma en que el problema de la partició de nombres pot esser resolt per mitja d'un simulador quàntic construït amb trampes iòniques. Finalment, en el capítol 7, recollim les conclusions principals del treball i donem una breu opinió del futur d'aquesta investigació.

[en] Understand and tame complex quantum mechanical systems to build quantum technologies is one of the most important scientific endeavour nowadays. In this effort, Atomic, molecular and Optical systems have clearly played a major role in producing proofs of concept of several important applications. Notable examples are Quantum Simulators for difficult problems in other branches of physics i.e. spin systems, disordered systems, etc., and small sized Quantum Computers. In particular, ultracold atomic gases and trapped ion experiments are nowadays at the forefront in the field. This fantastic experimental effort needs to be accompanied by a matching theoretical and numerical one. The main two reasons are: 1) theoretical work is needed to identify suitable regimes where the AMO systems can be used as efficient quantum simulators of important problems in physics and mathematics, 2) thorough numerical work is needed to benchmark the results of the experiments in parameter regions where a solution to the problem can be found with classical devices. In this dissertation, we present several important examples of systems, which can be numerically solved. The technique used, which is common to all the work presented in the dissertation, is exact diagonalization. This technique works solely for systems of a small number of particles and/or a small number of available quantum states. Despite this limitation, one can study a large variety of quantum systems in relevant parameter regimes. A notable advantage is that it allows one to compute not only the ground state of the system but also most of the spectrum and, in some cases, to study dynamics. The dissertation is organized in the following way. First, we provide an introduction, outlining the importance of this technique for quantum simulation and quantum validation and certification. In Chapter 2, we detail the exact diagonalization technique and present an example of use for the phases of the 1D Bose-Hubbard chain. Then in Chapters 3 to 6, we present a number of important uses of exact diagonalization. In Chapter 3, we study the quantum Hall phases, which are found in two-component bosons subjected to artificial gauge fields. In Chapter 4, we turn into dynamical gauge fields, presenting the topological phases which appear in a bosonic system trapped in a small lattice. In Chapter 5, a very different problem is tackled, that of using an ultracold atomic gases to simulate a spin model. Quantum simulation is again the goal of Chapter 6, where we propose a way in which the number-partitioning problem can be solved by means of a quantum simulator made with trapped ions. Finally, in Chapter 7, we collect the main conclusions of the dissertation and provide a brief outlook.