[en] We investigate Yang-Mills theory in 2+1 dimensions in the Schrödinger representation. Three dimensional Yang-Mills theory is relevant on the one hand, because it is the lowest dimensional Yang-Mills theory with propagating degrees of freedom, on the other hand, because it constitutes the high temperature limit of four dimensional QCD. The Schrödinger picture is interesting because it is well suited to explore properties of the vacuum state in the non-perturbative regime. Yet, not much analytical work has been done on this subject, and even the topic of perturbation theory in the Schrödinger representation is not well developed, especially in the case of gauge theories. In a paper by Hatfield [Phys. Lett. B 147, 435 (1984)] the vacuum wave functional for SU(2) theory was computed to O(e). In the non-perturbative regime, the most sophisticated analytical approach has been developed by Karabali et al. in a series of papers (see [Nucl. Phys. B 824, 387 (2010)] and references therein). This thesis aims to put perturbation theory in the Schrödinger representation on more solid ground by computing the vacuum wave functional for a general gauge group SU(N) up to O(e^2), utilizing modifications of these two methods. This is important since it provides us with a tool for the test of non-perturbative approaches, which should reproduce the perturbative result in an appropriate limit. In addition, regularization and renormalization are also not well understood in the Schrödinger picture. The regularization method proposed by Karabali et al. leads to conflicting results when applied to the computation of the vacuum wave functional with the two different methods mentioned above. We aim to clarify how regularization should be implemented and develop a new regularization approach, which brings these two expressions into agreement, giving a strong check of the regularization employed. We argue that this regularization procedure is not specific to the cases studied here. It should be applied in the same way to any quantum field theory in any dimension in the Schrödinger picture. This is the main result of the thesis. We then go on to illustrate how physical observables can be computed in the non-perturbative regime, using the trial wave functional proposed in [Nucl. Phys. B 824, 387 (2010)]. Among other observables, we compute the static potential at long distances, for which we find corrections not compatible with a linear potential. Finally, we also discuss the possibility of extending this approach to 3+1 dimensions.

[es] En esta tesis investigamos la teoría Yang-Mills en 2+1 dimensiones en la representación de Schrödinger. La teoría Yang-Mills en tres dimensiones es relevante por un lado, porque es el número de dimensiones más baja en que existen grados de libertad dinámicos, y por otro lado, porque constituye el límite de alta temperatura de QCD en cuatro dimensiones. La representación de Schrödinger es interesante porque es apta para explorar las propiedades del vacío en el régimen no-perturbativa. Sin embargo, no ha habido muchos trabajos sobre este tema, e incluso el tema de teoría de perturbaciones en la representación de Schrödinger no está bien desarrollado, especialmente en el caso de teorías gauge. En un articulo de Hatfield [Phys. Lett. B 147, 435 (1984)] el funcional de onda del vacio de la teoría SU(2) se calculó a O(e). En el régimen no-perturbativo, el método analítico más sofisticado ha sido desarrollado por Karabali et al. en una serie de articulos (vea [Nucl. Phys. B 824, 387 (2010)] y las referencias allí). Esta tesis tiene como objetivo poner la teoría de perturbaciones en la representación de Schrödinger sobre terreno más firme. Calculamos el funcional de onda del vacio para un grupo de gauge general (SU(N)) hasta O(e^2), utilizando las modificaciones de estos dos métodos. Esto es importante ya que nos proporciona una herramienta para verificar diferentes propuestas no-perturbativas, que deben reproducir el resultado perturbativo en un límite adecuado. Además, regularización y renormalización en la representación de Schrödinger tampoco están bien entendidas. El método de regularización propuesto por Karabali et al. lleva a resultados contradictorios cuando se aplica al calculo del funcional de onda del vacio con los dos métodos mencionados antes. Nuestro objetivo es aclarar cómo se debe implementar regularización en la representación de Schrödinger. Desarrollamos un nuevo método de regularización con el cual las dos expresiones mencionados antes están en acuerdo. Esto nos da confianza en este método de regularización. Afirmamos que este procedimiento de regularización no es específico para los casos que estudiamos aquí. Debe aplicarse de la misma manera a cualquier teoría cuántica de campos en cualquier dimensión en la representación de Schrödinger. Este es el resultado principal de la tesis. Luego ilustramos cómo se puede computar observables físicos en el régimen no-perturbativo, utilizando el funcional de onda propuesto en [Nucl. Phys. B 824, 387 (2010)]. Entre otros observables, computamos el potencial estático a largas distancias, para lo cual encontramos que las correcciones no son compatibles con un potencial lineal. Finalmente, también discutimos la posibilidad de generalizar este método a 3+1 dimensiones.