[ca] Aquesta tesi, que consta de cinc capítols, tracta sobre tres àrees de l'anàlisi matemàtica: la teoria de la mesurabilitat, l'anàlisi harmònica i l'anàlisi matricial. L'estudi adopta una perspectiva d'anàlisi amb valors en operadors. Més concretament, s'extrauen els conceptes, elements i alguns dels resultats clàssics de les teories abans esmentades del context escalar, i s'estendran o generalitzaran a un context vectorial. En el primer capítol, dedicat a la mesurabilitat, l'enfocament vectorial consisteix a considerar funcions que prenen valors en l'espai d'operadors lineals i fitats entre dos espais de Banach. En aquest context amb valors en operadors, les tres topologies fonamentals (és a dir, la topologia de la norma, la topologia forta d'operadors i la topologia dèbil d'operadors) exerciran un paper important. Estudiem espais mesurables sense una mesura subjacent, i introduïm una terminologia que permet diferenciar totes les nocions possibles en el context de valors en operadors, i també desentranyar les seues relacions. Amb aquest propòsit, les nocions de mesurabilitat s'organitzen en dos tipus: mesurabilitat respecte a la base d'una determinada topologia, i mesurabilitat en termes d'aproximabilitat per una successió de funcions simples. El resultat més important d'aquest capítol és una versió del Teorema de mesurabilitat de Pettis per a la topologia forta d'operadors. El tema dels següents tres capítols és l'anàlisi harmònica matricial. Aquesta vegada, la filosofia amb valors en operadors ens porta a considerar matrius les entrades de les quals pertanyen a l'espai d'operadors lineals i fitats d'un espai de Hilbert en si mateix. El producte de Hadamard (també conegut com el producte de Schur), que és el producte de matrius entrada a entrada, és una ferramenta important en l'estudi. Definim el concepte de multiplicador de Schur i l'estudiem en el nostre context d'operadors, fent un èmfasi en les matrius de Toeplitz. Explorem amb detall les relacions que connecten el món matricial amb el de les funcions/mesures, i els resultats obtinguts inclouen generalitzacions de teoremes clàssics com el Teorema de Toeplitz o el Teorema de Bennett al nostre context. A més, explorem alguns tipus particulars de matrius relacionades amb els multiplicadors de Schur: l'espai de les "matrius contínues" i l'espai de les "matrius integrables", formats per matrius que són límit en la norma d'operadors (respectivament en la norma de multiplicadors) de "matrius polinomials" (matrius que es poden escriure com a suma finita de matrius diagonals). S'estudien les propietats d'aquestes classes de matrius, i presentem resultats que mostren les seues similituds amb els espais de funcions contínues i integrables. A més, s'estudien matrius triangulars superiors amb entrades en operadors, i mostrem les seues relacions amb espais de funcions holomorfes. L'últim capítol, amb un to un poc més algebraic, presenta unes noves versions alternatives dels productes de Schur i Kronecker per a matrius per blocs i explora algunes de les seues propietats proporcionant exemples i algunes aplicacions. Establint connexions amb el cas escalar, podem provar el Teorema de Schur per a matrius per blocs equipades amb aquest nou producte de Schur. El capítol també investiga l'operador traça junt amb eixos dos productes de matrius, estenent algunes igualtats i desigualtats relacionades amb la traça del cas escalar al context de matrius per blocs. En particular, donem condicions sota les quals l'operador traça és submultiplicatiu per als nous productes. /Esta tesis, que consta de cinco capítulos, trata sobre tres áreas del análisis matemático: la teoría de la medibilidad, el análisis armónico y el análisis matricial. El estudio adopta una perspectiva de análisis con valores en operadores. Más concretamente, se extraen los conceptos, elementos y algunos de los resultados clásicos de las teorías antes mencionadas del contexto escalar, y se extenderán o generalizarán a un contexto vectorial. En el primer capítulo, dedicado a la medibilidad, el enfoque vectorial consiste en considerar funciones que toman valores en el espacio de operadores lineales y acotados entre dos espacios de Banach. En este contexto con valores en operadores, las tres topologías fundamentales (es decir, la topología de la norma, la topología fuerte de operadores y la topología débil de operadores) desempeñarán un papel importante. Estudiamos espacios medibles sin una medida subyacente, e introducimos una terminología que permite diferenciar todas las nociones posibles en el contexto de valores en operadores, así como desentrañar sus relaciones. Con este propósito, las nociones de medibilidad se organizan en dos tipos: medibilidad con respecto a la base de una determinada topología, y medibilidad en términos de aproximabilidad por una sucesión de funciones simples. El resultado más importante de este capítulo es una versión del Teorema de medibilidad de Pettis para la topología fuerte de operadores. El tema de los siguientes tres capítulos es el análisis armónico matricial. Esta vez, la filosofía con valores en operadores nos lleva a considerar matrices cuyas entradas pertenecen al espacio de operadores lineales y acotados de un espacio de Hilbert en sí mismo. El producto de Hadamard (también conocido como el producto de Schur), que es el producto de matrices entrada a entrada, es una herramienta importante en el estudio. Definimos el concepto de multiplicador de Schur y lo estudiamos en nuestro contexto de operadores, haciendo un énfasis en las matrices de Toeplitz. Exploramos con detalle las relaciones que conectan el mundo matricial con el de las funciones/medidas, y los resultados obtenidos incluyen generalizaciones de teoremas clásicos como el Teorema de Toeplitz o el Teorema de Bennett a nuestro contexto. Además, exploramos algunos tipos particulares de matrices relacionadas con los multiplicadores Schur: el espacio de "matrices continuas" y el espacio de "matrices integrables", formados por matrices que son límite en la norma de operadores (respectivamente en la norma de multiplicadores) de "matrices polinomiales" (matrices que pueden escribirse como una suma finita de matrices diagonales). Se estudian las propiedades de estas clases de matrices, y presentamos resultados que muestran sus similitudes con los espacios de funciones continuas e integrables. Además, se estudian matrices triangulares superiores con entradas en operadores, y mostramos sus relaciones con espacios de funciones holomorfas. El último capítulo, con un tono algo más algebraico, presenta unas nuevas versiones alternativas de los productos de Schur y Kronecker para matrices por bloques y explora algunas de sus propiedades proporcionando ejemplos y algunas aplicaciones. Estableciendo conexiones con el caso escalar, conseguimos probar el Teorema de Schur para matrices por bloques equipadas con este nuevo producto de Schur. El capítulo también investiga el operador traza junto con esos dos productos de matrices, extendiendo algunas igualdades y desigualdades relacionadas con la traza del caso escalar al contexto de matrices por bloques. En particular, damos condiciones bajo las cuales el operador traza es submultiplicativo para los nuevos productos.

[en] This thesis, which extends into five chapters, deals with three areas of mathematical analysis: measurability theory, harmonic analysis and matricial analysis. The study is interested in an operator-valued approach. More precisely, we want to extract the concepts, elements and some of the classical results of the aforementioned theories from the scalar setting, and extend or generalize them to a vectorial context. In the first chapter, devoted to measurability, the vectorial approach consists of considering functions taking values in the space of bounded and linear operators between two Banach spaces. In this operator-valued setting, the three main topologies (namely the norm topology, the strong operator topology and the weak operator topology) shall play an important role. We study measurable spaces without an underlying measure, and introduce a terminology that allows to differentiate all the possible notions in the operator-valued setting and unravel their relations. With such purpose, the notions of measurability are organized in two types: measurability with respect to a basis of the corresponding topology and measurability in terms of approximability by a sequence of simple functions. The most important result of this chapter is a version of Pettis's measurability Theorem for the strong operator topology. The subject of the next three chapters is the matricial harmonic analysis. This time, the operator-valued philosophy leads us to consider matrices whose entries belong to the space of bounded and linear operators from a Hilbert space to itself. The Hadamard product (also known as the Schur product), which is the element-wise product of matrices, is an important device in the study. The concept of Schur multiplier is defined and studied in our operator setting, with an emphasis on Toeplitz matrices. The relations that connect the worlds of functions/measures and matrices are explored in detail, and the results obtained include generalizations of classical theorems such as Toeplitz's Theorem of Bennett's Theorem in our setting. Also, we explore some particular types of matrices connected with Schur multipliers: the space of "continuous matrices" and the space of "integrable matrices", which consist of matrices that are limit in the operator norm (respectively multiplier norm) of "polynomial matrices" (matrices that can be written as a finite sum of diagonal matrices). The properties of these classes of matrices are studied and we present results that show their similarities with the spaces of continuous and integrable functions. Furthermore, upper triangular matrices with operator entries are studied, revealing their relations with spaces of holomorphic functions. The last chapter, which takes a rather algebraic tone, presents new alternative versions of Schur and Kronecker products for block matrices and explores some of their properties providing examples and some applications. By establishing connections with the scalar case, a proof of Schur's Theorem for block matrices equipped with this new Schur product is achieved. The chapter also investigates the trace operator in conjunction with those two matrix products, extending trace equalities and inequalities from the scalar case to the block matrix setting. In particular, we give conditions under which the trace operator is submultiplicative for the new products.