[en] This work considers a Broadcast Channel (BC) system, where the transmitter is equipped with multiple antennas and each user at the receiver side could have one or more antennas. Depending on the number of antennas at the receiver side, such a system is known as Multiple-User Multiple-Input Single-Output (MU-MISO), for single antenna users, orMultiple-UserMultiple-InputMultiple-Output (MU-MIMO), for several antenna users. This model is suitable for current wireless communication systems. Regarding the direction of the data flow, we differentiate between downlink channel or BC, and uplink channel or Multiple Access Channel (MAC). In the BC the signals are sent from the Base Station (BS) to the users, whereas the information from the users is sent to the BS in the MAC. In this work we focus on the BC where the BS applies linear precoding taking advantage of multiple antennas. The Channel State Information (CSI) is assumed to be perfectly known at each user. However, the users do not cooperate, and the BS only has partial CSI obtained via a feedback link in Frequency-Division Duplex (FDD) systems, which is bandwidth limited. This limitation forces the users to apply some methods, like quantization, to reduce the amount of data to be sent to the BS. The combination of the information provided by the users is interpreted as stochastic CSI at the BS, so that the partial CSI is critical for the design of the precoders. Several criteria have been considered to evaluate the BC performance in the literature, namely, Signal to Interference-plus-Noise Ratio (SINR), Minimum Mean Square Error (MMSE), and rate. While some works compute the corresponding metric for each of the users, others consider the sum of all of them as the value of interest. In our case, we concentrate on rate as figure of merit. In particular, we are interested in guarantying certain per-user rates. That way, we avoid unfair situations of the sum rate criterion arising when the channels for some of the users are poor with assigned low, even zero, rates. Moreover, reducing the amount of power required to fulfill the mentioned Qualityof- Service (QoS) restrictions is a desirable feature for a wireless communication system. Thus, we address the optimization problem consisting on minimizing the total transmit power employed at the BS to fulfill a set of given QoS constraints, expressed as per-user rates. The power minimization problem has been widely studied during the last years for both perfect and imperfect CSI at the BS scenarios. The assumption of perfect CSI is rather unrealistic so that, as we mentioned previously, we consider that the users send the channel information to the BS by means of the feedback channel, usually available in recent wireless communication standards. Although some authors have employed XIV bounded uncertainty models for the CSI such as rectangular, ellipsoidal, or spherical, and have taken advantage of that assumption to solve the power minimization problem, we do not assume a particular shape for that uncertainty, but is modeled as a stochastic error. In the considered MU-MIMO system model the number of antennas at the BS is larger than the number of antennas at each user, e.g. MU-MISO. Moreover, the users do not cooperate to separate the received signals. Due to that and to the lack of degrees of freedom at the users, it makes necessary the use of transmit filters, also denoted as precoders, to remove inter-user interference. Thus, in this work we jointly design the linear precoders and receive filters minimizing the total transmit power subject to per-user rate constraints. This problem formulation is non-convex. As a consequence, it is difficult to deal with. For such a reason, we apply the Jensen's inequality to the rate constraints to obtain a MMSE based restrictions. Consequently, our aim is to find the precoders and the filters that minimize the MMSE for all the users. To that end, several types of dualities based on SINR, Mean Square Error (MSE), or rate have been employed for the design of the filters as conversion formulas that allow to switch between the BC and the MAC for convenience. We employ the MSE BC/MAC duality for imperfect Channel State Information at the Transmitter (CSIT). Furthermore, for the power allocation design, we take advantage of the standard Interference Function (IF) framework, proposed to solve the power control algorithm. In such a way, an algorithm is proposed to solve the power minimization problem in the BC. To check the feasibility of the QoS constraints, we propose a test that allows to determine the convergence of the algorithm. Additionally, the proposed algorithm can be employed to solve the dual problem, i.e., find the balanced targets for given total transmit power. Finally, some applications of the power minimization problem arising from different scenarios are studied and solved by means of the proposed algorithm. Simulation experiments are carried out using the technical programming language MATLAB in order to show the performance of the proposed methods.

[es] Este trabajo considera un sistema Broadcast Channel (BC) que consiste en un transmisor equipado con múltiples antenas y varios usuarios con una o más antenas. Dependiendo del número de antenas en el lado receptor, tales sistemas son conocidos como Multiple-User Multiple-Input Single-Output (MU-MISO), para usuarios con una única antena, o Multiple-User Multiple-Input Multiple-Output (MU-MIMO), para usuarios con varias antenas. Este modelo es adecuado para sistemas actuales de comunicaciones inalámbricas. Respecto a la dirección del flujo de datos, diferenciamos entre el canal downlink o BC, y canal uplink o Multiple Access Channel (MAC). En el BC las señales se envían desde la estación base a los usuarios, mientras que la información perteneciente a los usuarios es transmitida a la estación base en el MAC. En este trabajo nos centramos en el BC donde la estación base aplica precodificación lineal aprovechando las múltiples antenas. La información sobre el estado del canal se asume perfecta en todos los usuarios. Sin embargo, los usuarios no cooperan, y la estación base solo tiene información de canal parcial obtenida a través de un canal de realimentación en los sistemas Frequency-Division Duplex (FDD), que tiene un ancho de banda limitado. Esta limitación fuerza a los usuarios a aplicar algunos métodos, como quantización, para reducir la cantidad de datos a enviar a la estación base. La combinación de la información proporcionada por los usuarios es interpretada en la estación base como información de canal estocástica, y constituye un factor crítico en el diseño de los precodificadores. En la literatura se han considerado varios métodos para evaluar el rendimiento del BC, a saber, Signal to Interference-plus-Noise Ratio (SINR), Minimum Mean Square Error (MMSE), y tasa. Algunos trabajos calculan las medidas correspondientes para cada usuario mientras que otros consideran la suma de todos ellos como la métrica de interés. En nuestro caso, nos centramos en la tasa como figura de mérito. En particular, estamos interesados en garantizar ciertas tasas por usuario. De esta manera, evitamos situaciones injustas que surgen de utilizar la tasa suma como criterio, en las que a los usuarios con canales pobres se les asignan tasas bajas, o incluso cero. Además, reducir la cantidad de potencia necesaria para satisfacer las restricciones de calidad de servicio mencionadas es una característica deseable en los sistemas de comunicaciones inalámbricas. Así, abordamos el problema de optimización consistente en minimizar la potencia total en el transmisor empleada para cumplir un conjunto de restricciones de calidad de servicio, expresadas como tasas por usuario. Durante los últimos años el problema de minimización de potencia ha sido estudiado ampliamente para información tanto perfecta como imperfecta de canal, en los escenarios BC. Asumir conocimiento de canal perfecto es poco realista y, por tanto, consideramos que los usuarios env´ıan la información de canal a la estación base por medio de un canal de realimentación, normalmente disponible en los est´andares de comunicación recientes. Aunque algunos autores han empleado modelos de incertidumbre limitada para el conocimiento de canal tales como rectangular, elipsoidal, o esférico, y han aprovechado esa asunción para resolver el problema de minimización de potencia, no asumimos una forma particular para esa incertidumbre sino un modelo de error estocástico. En el modelo de sistema considerado, MU-MIMO, el número de antenas en la estación base es mayor que el número de antenas en cada usuario, e.g. MU-MISO. Además, los usuarios no cooperan para separar las señales recibidas. Debido a ésto y a la falta de grados de libertad en los usuarios, es necesario el uso de filtros transmisores, también llamados precodificadores, para eliminar las interferencias entre usuarios. De este modo, en este trabajo diseñamos conjuntamente los precodificadores lineales y los filtros receptores minimizando la potencia total en el transmisor sujeta a restricciones de tasa por usuario. Esta formulación del problema no es convexa y, por tanto, es complicada de manejar. Por este motivo, aplicamos la desigualdad de Jensen a las restricciones de tasa para obtener otras basadas en el MMSE. Como consecuencia, nuestro objetivo es diseñar los precodificadores y filtros que minimizan el MMSE para todos los usuarios. Para ello, distintos tipos de dualidades basadas en SINR,Mean Square Error (MSE), o tasa, han sido empleadas para el diseño de los filtros como fórmulas para intercambiar entre el BC y el MAC por conveniencia. En particular, empleamos la dualidad de MSE con conocimiento de canal imperfecto. Además, para la distribución de potencias, explotamos el marco teórico de las standard Interference Function, planteado para resolver el algoritmo de control de potencia. De esta manera, proponemos un algoritmo para solucionar el problema de minimización de potencia en el BC. Para comprobar la factibilidad de las restricciones de calidad de servicio, proponemos un test que permite determinar si el algoritmo converge o no. Además, el algoritmo propuesto permite resolver el problema dual, ésto es, encontrar los objetivos de tasa balanceados correspondientes a una potencia total en el transmisor. Finalmente, algunas aplicaciones de la minimización de potencia surgen de diferentes escenarios y se resuelven por medio del algoritmo propuesto. Usando el lenguaje de programación MATLAB se simulan experimentos con el objetivo de mostrar el rendimiento de los métodos propuestos.