[ca] El principal objectiu d'aquesta tesi és l'estudi de l'evolució mitjançant el flux de Ricci de superfícies amb singularitats de tipus cònic. Un segon objectiu, sorgit de les tècniques que utilitzem, és l'estudi de famílies de solitons del flux de Ricci en dimensió 2 i 3. El flux de Ricci és una equació d'evolució per a varietats Riemannianes, introduïda per R. Hamilton el 1982. És des dels avenços assolits per G. Perelman amb aquesta tècnica el 2002 quan el flux de Ricci s'ha establert com a una disciplina pròpia, aixecant un gran interès per la comunitat. Aquesta tesi conté quatre resultats originals. El primer resultat és una classificació exhaustiva dels solitons en superfícies llises i còniques. Amb aquesta classificació completem els precedents trobats per Hamilton, Chow i Wu entre d'altres, i obtenim descripcions explícites de tots els solitons en dimensió 2. El segon resultat és una Geometrització de les superfícies còniques mitjançant el flux de Ricci. Aquest resultat, que utilitza el primer resultat ja esmentat, estén la teoria de Hamilton al cas singular. Aquest és el resultat més extens, per al qual fem servir i desenvolupem tècniques tant d'anàlisi i EDPs com de geometria de comparació . El tercer resultat és l'existència d'un flux de Ricci que elimina les singularitats còniques . Això exposa clarament la no unicitat de solucions al flux, en analogia als fluxos de Ricci amb cusps de P. Topping . El quart resultat és la construcció d'un nou solitó gradient expansiu en dimensió 3. De la mateixa manera que amb els solitons cònics, donem una construcció explícita utilitzant tècniques de retrats de fase. Demostrem també que és l'únic solitó amb la seva topologia i la seva cota inferior de la curvatura, i que és un cas crític entre tots els solitons expansius en dimensió 3 amb curvatura acotada inferiorment. A més, mostrem que l'evolució de la seva curvatura escalar no és monòtona.

[en] The main objective of this thesis is the study of the evolution under the Ricci flow of surfaces with singularities of cone type. A second objective, emerged from the techniques we use, is the study of families of Ricci flow solitons in dimension 2 and 3. The Ricci flow is an evolution equation for Riemannian manifolds, introduced by R. Hamilton in 1982. It is from the achievements made by G. Perelman with this technique in 2002 when the Ricci flow has been established in a discipline itself, generating a great interest in the community. This thesis contains four original results. First result is a complete classification of solitons in smooth and cone surfaces. This cllassification completes the preceding results found by Hamilton, Chow and Wu and others, and we obtain explicit descriptions of all solitons in dimension 2. Second result is a Geometrization of cone surfaces by Ricci flow. This result, which uses the aforementioned first result, extends the theory of Hamilton to the singular case. This is the most comprehensive result in the thesis, for which we use and develop analysis and PDE techniques, as well as comparison geometry techniques. Third result is the existence of a Ricci flow that removes cone singularities. This clearly exposes the non-uniqueness of solutions to the flow , in analogy to the Ricci flow with cusps of P. Topping. The fourth result is the construction of a new expanding gradient Ricci soliton in dimension 3. Just as we do with solitons on cone surfaces, we give an explicit construction using techniques of phase portraits. We also prove that this is the only soliton with its topology and its lower bound of the curvature, and besides this is a critical case amongst all expanding solitons in dimension 3 with curvature bounded below. Furthermore, we show that the evolution of its scalar curvature is not monotone.