[ca] La tesi doctoral que presentem se situa en el moment de la renaixença de la geometria no euclidiana, que es va iniciar cap a l'any 1860, i pretén explicar el procés de difusió, desenvolupament i acceptació de la nova geometria que es va donar a Itàlia. La nostra recerca s'ha basat en la correspondència, publicada i inèdita, entre els protagonistes i en l'estudi de les seves obres sobre la qüestió. El procés de divulgació de la geometria no euclidiana va ser impulsat per les traduccions que J. Hoüel i G. Battaglini van fer de les oblidades obres de Bolyai i Lobatxevski. Veurem que el paper dels dos matemàtics va ser fonamental en el posterior desenvolupament de la nova geometria. La reaparició de la geometria no euclidiana va ocasionar un interessant debat sobre si devia ser acceptada o no. Amb la presentació dels models del disc de Beltrami, el 1868, i de Klein, el 1871, es van aportar els arguments necessaris per finalitzar la discussió, ja que constituïen una prova de la consistència relativa de la nova geometria. Un dels objectius principals de la tesi és mostrar que les aportacions de Giuseppe Battaglini en el camp de la geometria no euclidiana van més enllà de la divulgació, que és el mèrit que li acostumen a atribuir els historiadors. Al final del seu article Sulla geometria imaginaria di Lobatschewsky, ens trobem amb una inesperada coincidència entre la descripció que ell fa del pla no euclidià i el model del disc donat per E. Beltrami. Ens proposem justificar la semblança entre les dues interpretacions. L'anàlisi de l'escrit de Battaglini, en el que aclarirem els seus punts confusos, mostrarà que l'autor planteja per primer cop l'opció de considerar la geometria imaginària com a inclosa en la geometria projectiva. Aquesta és la línia de recerca que posteriorment va seguir F. Klein. La lectura de la correspondència de Battaglini desvelarà que el matemàtic italià ja tenia al seu cap moltes de les idees desenvolupades per Klein. Per altra banda, veurem que els treballs de Beltrami es basen en la teoria de la geometria diferencial introduïda per Gauss. L'estudi de la geometria no euclidiana de Beltrami parteix d'aplicar els resultats que havia obtingut en un treball previ sobre geodèsia, on resol el problema de fer mapes de manera que les geodèsiques de la superfície vinguin representades per equacions lineals. Veu, llavors, que la geometria de Lobatxevski és la de les superfícies de curvatura constant negativa. Conclourem explicant que les similituds entre les descripcions de Battaglini i Beltrami a que ens referiem abans, són degudes a que les geometries intrínseques de totes les superfícies de curvatura constant es poden estudiar com a casos particulars de la geometria projectiva, com va senyalar F. Klein a la seva memòria de 1871. Beltrami també va posar de manifest aquesta relació en el seu article de 1873, i sabem per les seves cartes, que n'era conscient uns anys abans, però que no l'havia arribat a desenvolupar. Al nostre estudi, hem descobert que Battaglini ja havia vist el caràcter generalitzador de la geometria projectiva l'any 1867.

[en] This PhD thesis is contextualized during the renaissance of non-euclidian geometry, which began towards 1860. It aims to explain the process of diffusion, development and acceptance of the new geometry that took place in Italy. Our research is based on published and unknown correspondence between the principal characters and the analysis of their work in the issue. The dissemination process was driven by the translations of the forgotten works of J. Bolyai and N. I. Lobatschewsky, made by J. Hoüel and G. Battaglini. The paper of both mathematicians in the following development of the new geometry was essential. The reappearance of the non-euclidian geometry provoked an interesting debate about his acceptance. In this context, the presentation of Beltrami's disc model, in 1868, and Klein's, in 1871, gave the required arguments to finish the discussion, since they were a proof of the relative consistence of the new geometry. One of the main goals of this thesis is to show that the contributions of Giuseppe Battaglini in the field of non-euclidean geometry go further than divulgation, which is the only role historians used to attributed him. His article \emph{Sulla geometria imaginaria di Lobatschewsky} ends with a description of the non-euclidian plane which has an unexpected similarity with Beltrami's disc model. We will be able to justify this coincidence. The analysis of Battaglini's writing, where its confusing points will be also clarified, will show how he suggests regarding the imaginary geometry as included in the projective. This is the way followed by Klein some years later. The reading of Battaglini's correspondence will reveal that he had inside his head much of the ideas developed by Klein. On the other hand, Beltrami's works are based on the differential geometry theory introduced by Gauss. Beltrami's study on the non-euclidean geometry starts by applying the results he obtained in a previous work on geodesy, where he solves the problem of mapping surfaces in such a way that their geodesics lines were represented by lineal equations. He saw then that Lobatschewsky's geometry was the geometry of a surface of constant negative curvature. As a conclusion, we will explain that the similarities between Battaglini's and Beltrami's descriptions mentioned above, are due to the fact that intrinsic geometries of all surfaces with constant curvature can be considered as particular cases of projective geometry, as Klein pointed out on his 1871 memoir. Beltrami also stated this relation in his article from 1873. Actually, his letters show he was aware of it some years before, but he didn't arrive to develop the idea. In our study, we have discovered that Battaglini had already seen the generalising aspect of projective geometry in 1867.