[en] Abstract: The study of mathematics in the Spanish 18th century was mostly taught in academies. In fact, the Bourbon Monarchy, after the War of the Spanish Succession (1700-1714), promoted the modernization of the country by fostering scientific and technological development, creating civilian and military academic institutions where both pure and mixed mathematics were fundamental disciplines. In 1752, Ferdinand VI established the Royal Academy of San Fernando in Madrid, with the aim of conveniently organizing the training of young students of the three Noble Arts —sculpture, painting and architecture— in 18th century Spain. Since the mathematics being taught was not sufficient for the proper instruction of its students, the Academy undertook a series of initiatives to update and modernise its teaching, in order to provide a solid scientific and technical foundation for its disciples. In this context, in the midst of the Enlightenment, we situate the mathematical course Elements of Mathematics (hereinafter Elements) by Benito Bails (1731-1797), composed of ten volumes in eleven issues, which were published between 1779 and 1799, although they had already been printed between 1772 and 1776, with the exception of the two volumes of volume IX. The course presents a singular characteristic in the way it was composed: Bails, with his own criteria, proposed a modernisation of Spanish mathematics based on the selection of the best European treatises available at the time. Our thesis analyses the work Elements, whose relevant mathematical content has not been fully examined so far. The aim is to analyse the mathematical and methodological contributions of the course, situating it in the process of modernisation of mathematical thought, based on the diffusion of modern European mathematics. With the analysis of the mathematical contents of the course, evidence is provided to show that the contribution of Bails and his works to the modernisation of mathematics meant a great advance in scientific progress in Spain, from the last quarter of the 18th century until well into the 19th century. Main goal: To analyze the impact and influence of Bails' work in the modernization of mathematical thought in Spain at the time, based on the diffusion of modern European mathematics and the contribution in the composition and elaboration of mathematical contents. Specific goals: A. To determine to what extent both the historical and academic contexts influenced the commissioning of Bails to prepare a mathematical course designed for the teaching of the disciples of the Academy. B. To study the genesis of the process of creation of the Elements, to describe its structure and contents, and to analyze the prologues of the different volumes, in order to evaluate, among others, the didactic conception of Bails' work. C. To analyze the currents of European scientific production mentioned by Bails, in order to better understand the importance of the treatises of the Elements in the process of mathematical modernization of the time. D. Signifying the figure of Bails as a mathematician. In this sense, the idea of Bails is valued in relation to the concepts of infinity, infinitely large and infinitely small and the limit as a tool of rigour in his version of the algebrization of infinity. E. To illustrate in a notorious way the process of reception, impact and circulation of mathematical knowledge through Bails' works. Methodology: This thesis follows two lines of research in the history of science. One line focuses on the active appropriation and circulation of knowledge in the context of communication as part of the process of scientific production. The second line, more novel, delves into the relationship between mathematics and engineering, and analyzes mathematics as scientific practices for technical development, trying to answer the essential question of how the scientific-technical training imparted through mathematical courses to technical professions impacted society. Conclusions: ‒ Bails proposed a modernization of Spanish mathematics based on the selection of the best European treatises available at the time. Thus, the Elements are part of a tradition of mathematical courses, which emerged in the seventeenth century, where much of the new European knowledge of the time is collected, responding to the demand for scientific and technical knowledge. We have shown that Bails considered mixed mathematics in terms of utility, and pure mathematics as the basis on which to apply mathematics and provide for the progress of mankind. ‒ The Elements marked a turning point in the didactic-cognitive conception of the scientific and technical knowledge taught for the training of the students of the Academy. In the search for the excellence of his work, Bails formed the multitude of contents to be covered in his course based, as we have shown in our research, on three fundamental pillars: the extension of the subjects, the quality of the contents and the order or coordination of the disciplines. An example of a novel updating of knowledge, as an outstanding didactic-cognitive aspect, is Bails' interest in explaining infinity and disseminating the fundamentals of infinitesimal calculus following criteria of rigour and conceptual clarity. ‒ Bails explored the arithmetic-algebraic properties of zero and infinity in an exhaustive and original way. Bails adopted a position, we believe original, by also approaching in a mathematical course the infinite from the theory of the limit. On the other hand, Bails demonstrated the power and rigor of infinitesimal calculus in solving problems that had traditionally been difficult to approach from classical geometry. The approach adopted by Bails denotes a clear conceptual evolution of his mathematical thinking from geometry and arithmetic to the analysis of infinities, functions and series theory. In this sense, it should be noted that Bails' treatise on logarithms is one of the most complete European texts in terms of the treatment of the different doctrines that introduce them, with the inclusion of the most recent infinite algebraic-analytic processes of the time. We conclude that the Elements are on a par with the best European mathematical teaching works of the time and that Bails was one of the leading Spanish mathematicians of the eighteenth century. ‒ Through his work, Bails developed a true process of scientific production that benefited the circulation of theoretical and technical knowledge of mathematics. Bails' up-to-date treatises on pure and mixed mathematics played a decisive role in the processes of scientific and technical production. ‒ Our research shows that the contribution of Bails' works to the updating of Spanish mathematics, with a European character, had a great impact and influence on the scientific-technical progress and advancement through the new mathematicians, engineers, architects, etc., trained with these works. Their influence and diffusion covered both Spain and Latin American countries, from the last quarter of the 18th century until well into the 19th century.

[es] Resumen: El estudio de las matemáticas en el siglo XVIII español se impartía mayoritariamente en las academias. De hecho, la Monarquía borbónica, después de la Guerra de Sucesión Española (1700-1714), impulsó la modernización del país mediante el fomento del desarrollo científico y tecnológico, creando instituciones académicas civiles y militares donde las matemáticas tanto puras como mixtas constituían disciplinas fundamentales. En 1752, Fernando VI estableció la Real Academia de San Fernando de Madrid, con el fin de organizar convenientemente la formación de jóvenes estudiantes de las tres Nobles Artes —escultura, pintura y arquitectura— en la España del siglo XVIII. Dado que las matemáticas que se impartían no eran suficientes para la apropiada instrucción de sus alumnos, la Academia emprendió una serie de iniciativas para actualizar y modernizar su enseñanza, con el fin de proporcionar una sólida base científica y técnica a sus discípulos. En este contexto, en pleno periodo de la Ilustración, se sitúa el curso matemático Elementos de Matemática (en adelante, Elementos) de Benito Bails (1731-1797), compuesto por diez tomos en once volúmenes, que se publicaron entre 1779 y 1799, si bien ya habían sido impresos entre 1772 y 1776, a excepción de los dos volúmenes del tomo IX. El curso presenta una característica singular en la forma en que se compuso: Bails, con criterio propio, propuso una modernización de la matemática española basada en la selección de los mejores tratados europeos disponibles en la época. Nuestra tesis analiza la obra Elementos, cuyo contenido matemático relevante no ha sido totalmente examinado hasta ahora. El objetivo es analizar las contribuciones matemáticas y metodológicas del curso, situándolo en el proceso de modernización del pensamiento matemático, en base a la difusión de la matemática moderna europea. Con el análisis de los contenidos matemáticos del curso, se aportan evidencias que muestran que la contribución de Bails y sus obras a la modernización de la matemática significó un gran avance en el progreso científico en España, desde el último cuarto del siglo XVIII hasta bien entrado el siglo XIX. Objetivo principal: Analizar el impacto e influencia de la obra de Bails en la modernización del pensamiento matemático en la España de la época, en base a la difusión de la matemática moderna europea y a la contribución en la composición y elaboración de contenidos matemáticos. Objetivos específicos: A. Determinar en qué medida influyeron tanto el contexto histórico como el académico en el encargo a Bails de la confección de un curso matemático pensado para la enseñanza de los discípulos de la Academia. B. Estudiar la génesis del proceso de creación de los Elementos, describir su estructura y contenidos, y analizar los prólogos de los diferentes tomos, para valorar, entre otros, la concepción didáctica de la obra de Bails. C. Analizar las corrientes de producción científicas europeas mencionadas por Bails, con el fin de entender mejor la importancia de los tratados de los Elementos en el proceso de modernización matemática de la época. D. Significar la figura de Bails como matemático. En este sentido, se valora la idea de Bails en relación con los conceptos de infinito, infinitamente grande e infinitamente pequeño y el límite como herramienta de rigor en su versión de la algebrización del infinito. E. Ilustrar de manera notoria el proceso de recepción, impacto y circulación del conocimiento matemático a través de las obras de Bails. Metodología: En esta tesis se siguen dos líneas de investigación de la historia de la ciencia. Una línea se centra en la apropiación activa y circulación del conocimiento en el contexto de la comunicación como parte del proceso de producción científica. La segunda línea, más novedosa, profundiza en las relaciones entre matemáticas e ingeniería, y analiza las matemáticas como prácticas científicas para el desarrollo técnico, tratando de dar respuesta a la cuestión esencial de cómo impactó en la sociedad la formación científico-técnica impartida mediante cursos matemáticos a profesiones técnicas. Conclusiones: ‒ Bails propuso una modernización de la matemática española basada en la selección de los mejores tratados europeos disponibles en la época. Así, los Elementos forman parte de una tradición de cursos matemáticos, surgida en el siglo XVII, donde se recogen gran parte de los nuevos saberes europeos de la época, dando respuesta a la demanda de conocimientos científicos y técnicos. Hemos mostrado que Bails consideró la matemática mixta en términos de utilidad, y la matemática pura como la base en la que se fundamenta aquella para aplicar la matemática y proporcionar el progreso del género humano. ‒ Con los Elementos se produjo un punto de ruptura en la concepción didáctica-cognitiva de los conocimientos científicos y técnicos que se impartían para la formación de los alumnos de la Academia. En la búsqueda de la excelencia de su obra, Bails formó la multitud de contenidos que debía abarcar en su curso sustentándose, como hemos puesto de manifiesto en nuestra investigación, sobre tres pilares fundamentales: la extensión de los asuntos, la calidad del contenido y el orden o coordinación de las disciplinas. Un ejemplo de actualización novedosa de los conocimientos, como aspecto didáctico-cognitivo sobresaliente, es el interés de Bails por explicar el infinito y difundir los fundamentos del cálculo infinitesimal siguiendo criterios de rigor y claridad conceptual. ‒ Bails exploró las propiedades aritmético-algebraicas del cero y del infinito de una manera exhaustiva y original. Bails adoptó una posición, creemos que original, al abordar también en un curso matemático el infinito desde la teoría del límite. Por otro lado, Bails demostró la potencia y el rigor del cálculo infinitesimal en la resolución de problemas que habían sido tradicionalmente difíciles de abordar desde la geometría clásica. El enfoque adoptado por Bails denota una clara evolución conceptual de su pensamiento matemático desde la geometría y la aritmética hasta el análisis de infinitos, las funciones y la teoría de series. En este sentido, cabe señalar que el tratado de logaritmos de Bails es uno de los textos europeos más completos en cuanto al tratamiento de las diferentes doctrinas que los introducen, con la inclusión de los procesos algebraico-analíticos infinitos más recientes de la época. Concluimos que los Elementos están a la altura de las mejores obras europeas de enseñanza de las matemáticas de la época y que Bails fue uno de los matemáticos españoles de primer orden en el siglo XVIII. ‒ Con su labor, Bails desarrolló un verdadero proceso de producción científica que redundó en beneficio de la circulación del conocimiento teórico y técnico de las matemáticas. Los actualizados tratados de Bails de matemática pura y mixta desempeñaron un papel decisivo en los procesos de producción científica y técnica. ‒ Nuestra investigación muestra que la contribución de las obras de Bails a la actualización de la matemática española, con carácter europeo, tuvo un gran impacto e influencia en el avance y el progreso científico-técnico a través de los nuevos matemáticos, ingenieros, arquitectos, etc., formados con estas obras. Su influencia y difusión abarcó tanto a España como a países de Hispanoamérica, desde el último cuarto del siglo XVIII hasta bien entrado el siglo XIX.