[en] In mathematics, the integrability of polynomial vector fields has been studied for more than one hundred years. In 1878, Darboux provided conditions to establish the existence of first integrals for these fields. The existence of first integrals simplifies the study of the dynamics of a differential system, but given a differential system it is not easy, in general, to know whether or not it has first integrals. Despite the remarkable progress that in recent years have been obtained in the Darboux theory of integrability, this question has not yet a satisfactory answer. We study aspects related to the Darboux theory of integrability and we generalize some results. In particular we are interested in polynomial vector fields in Rn+1 defined on regular algebraic hypersurfaces. In 1979 Jouanolou showed that if the number of invariant algebraic hypersurfaces of a vector field in Rn+1 of degree m is at least (n+m n+1 ) + n + 1, then the vector field has a rational first integral that can be calculated using invariant algebraic hypersurfaces. In chapter 2 we extend this result by showing that the number of invariant algebraic hypersurfaces to ensure the existence of a rational first integral of a polynomial vector field defined on a regular algebraic hypersurface of degree d is (n+m n+1 ) �� (n+m ��d n+1 ) + n. Other aspect related to the Darboux integrability theory is the study of the maximum number of classes of invariant hypersurfaces that a polynomial vector field can have. In order to find invariant algebraic hypersurfaces we use the concept of extactic algebraic hypersurface. In chapter 3 we obtain upper bounds for the maximum number of invariant n-dimensional spheres of polynomial vector fields in Rn+1 in function of the degree of the field and taking into account the multiplicity of the invariant spheres. In chapter 4 we study the polynomial vector fields of R3 defined on a quadric and we obtain upper bounds for the maximum number of invariant conics that one of these fields can have in terms of their degree and living on invariant planes. To do this we extend the notion of multiplicity of an invariant algebraic surface. Moreover, we show whether these bounds can be reached or not. In chapters 5 and 6 we study quadratic differential systems. The study of this class of differential systems is not trivial and have been published more than one thousand papers about them. In chapter 5 we study quadratic systems with an integrable saddle. Recently these saddles have been studied by several authors. Artes, Llibre and Vulpe characterized the phase portraits of all quadratic systems having an integrable saddle, but they did not provide their first integrals. We obtain explicit expressions for the Liouvillian first integrals of these systems. In chapter 6 we study the Lotka-Volterra quadratic systems having a Darboux invariant. When we cannot calculate a first integral of a differential system is useful to determine if the system has a Darboux invariant. We characterize the global phase portraits in the Poincaré disc of all quadratic Lotka-Volterra systems possessing a Darboux invariant.

[es] En matemáticas, la integrabilidad de los campos de vectores polinomiales ha sido objeto de estudio desde hace más de cien años. En 1878, Darboux dio unas condiciones que permiten establecer la existencia de una integral prime- ra para estos campos. La existencia de integrales primeras simplifica mucho el estudio de la dinámica de un sistema diferencial, pero dado un sistema diferencial no es fácil, en general, saber si posee o no integrales primeras. A pesar de los notables progresos que en los últimos años se han obtenido sobre este tema dentro de la teoría de integrabilidad de Darboux, todavía no se ha encontrado una respuesta plenamente satisfactoria. En esta memoria estudiamos aspectos relacionados con la teoría de integrabilidad de Darboux y generalizamos algunos resultados. En particular nos interesan los campos de vectores polinomiales en Rn+1 definidos sobre hipersuperficies regulares algebraicas. En 1979 Jouanolou mostró que si el número de hipersuperficies algebraicas invariantes de un campo vectorial en Rn+1 de grado m es por lo menos (n+m n+1 ) +n+1, entonces el campo vectorial tiene una integral primera racional que se puede calcular utilizando hipersuperficies algebraicas inva- riantes. En el capítulo 2 extendemos este resultado mostrando que el número de hipersuperficies algebraicas invariantes necesarias para garantizar la exis- tencia de una integral primera racional de un campo de vectorial polinomial definido sobre una hipersuperficie de grado d es (n+m n+1 ) ��� (n+m ���d n+1 ) + n. Otro aspecto relacionado con la teoría de integrabilidad de Darboux es el estudio del número máximo de clases de hipersuperficies invariantes que un campo vectorial polinomial puede tener. Para encontrar hipersuperficies algebraicas invariantes utilizamos el concepto de hipersuperficie algebraica extáctica. En el capítulo 3 obtenemos cotas superiores para el número máxi- mo de esferas n-dimensionales invariantes de campos vectoriales polinomiales de Rn+1 en función del grado del campo y teniendo en cuenta la multiplicidad de las esferas invariantes. En el capítulo 4 estudiamos los campos vectoriales polinomiales de R3 definidos sobre una cuádrica y obtenemos las cotas supe- riores para el número máximo de cónicas invariantes que uno de estos campos puede tener en función de su grado y que vivan sobre planos invariantes. Pa- ra esto extendemos la noción de multiplicidad de una superficie algebraica invariante. Además, probamos si estas cotas pueden ser alcanzadas o no. En los capítulos 5 y 6 estudiamos sistemas cuadráticos. El estudio de esta clase de sistemas diferenciales no es trivial y se han publicado más de mil artículos sobre ellos. En el capítulo 5 estudiamos sistemas cuadráticos con una silla integrable. Recientemente este tipo de sillas han sido estudiadas por varios autores. Artés, Llibre y Vulpe caracterizaron los retratos de fase de todos los sistemas cuadráticos con una silla integrable pero no encontra- ron sus integrales primeras. Nosotros obtenemos las expresiones explícitas para las integrales primeras Liouvillianas de estos sistemas cuadráticos. En el capítulo 6 estudiamos los sistemas cuadráticos Lotka-Volterra que poseen un invariante Darboux. Cuando no podemos calcular una integral primera de un sistema diferencial es útil determinar si el sistema tiene un invariante Darboux. Nosotros caracterizamos los retratos de fase globales en el disco de Poincaré de todos los sistemas cuadráticos Lotka-Volterra que poseen un invariante Darboux.