[en] Among the questions that arise in the study of group rings, one of the most popular is the so called isomorphism problem. And among its variants, the one that remained unsolved the longer is the modular isomorphism problem. It asks whether, given two finite p-groups G and H, the existence of an isomorphism between the group algebras of G and H over the field with p elements (or, alternatively, any field of characteristic p) implies the existence of an isomorphism between G and H themselves. This problem already appeared in R. Brauer's influential 1963 survey Representations of finite groups, and the first partial positive result goes back to 1956, to the work of W. E. Deskins. Our contribution to this issue consists in a thorough study of the modular isomorphism problem for 2-generated p-groups with cyclic derived subgroup, performed in Parts III and IV, in which we prove that this problem has positive answer for some subclasses of this classes of groups, and we show that certain group theoretical invariants are determined by the group algebra. A prerequisite to this was to have the target class of groups classified up to isomorphism, and this is achieved in Part I. As part of this study, in Part II, we are able to answer the modular isomorphism problem in the negative, finally closing this sixty years old problem. Nevertheless, the modular isomorphism problem remains a question of interest for several classes of p-groups, such as the p-groups of odd order (i.e., with p>2) or the p-groups with nilpotency class 2. In this last direction, in Part V we give a positive answer to the modular isomorphism problem for p-groups of nilpotency class 2 with cyclic center. From a more structural point of view, in Part VI we show that modular isomorphism problem is equivalent to the same problem for p-groups without abelian direct factors. This allows us to extend non-trivially the classes of groups of which the modular isomorphism problem is known to have positive answer. In Part VII we show that for the modular isomorphism problem in its version for arbitrary fields, actually only finite fields matter.

[es] Entre las preguntas que surgen en el estudio de los anillos de grupo, una de las más populares es el problema del isomorfismo. Y entre las variantes de ésta, la que más tiempo ha resistido a una solución es el problema del isomorfismo modular. Éste pregunta si, dados dos p-grupos finitos G y H, la existencia de un isomorfismo entre las álgebras de grupo de G y de H sobre el cuerpo de p elementos (o, alternativamente, sobre algún cuerpo de característica p) implica la existencia de un isomorfismo entre G y H. Este problema ya apareció en el influyente artículo de recopilación de R. Brauer Representations of finite groups de 1963, y para el que los primeros resultados parciales se remontan a un trabajo de W. E. Deskins de 1956. Nuestra contribución a esta área consiste en un estudio concienzudo del problema del isomorfismo modular para p-grupos finitos 2-generados con subgrupo derivado cíclico, llevado a cabo en las Partes III y IV, con el que demostramos que este problema tiene respuesta positiva para algunas subclases de esta clase de grupos, y demostramos que ciertos invariantes de estos grupos están determinados por sus álgebras de grupo modulares. Un prerrequisito para este estudio era tener clasificados, salvo isomorfismo, los grupos de nuestra clase objetivo, que se realiza en la Parte I. Como parte de este estudio, en la Parte II, somos capaces de dar una respuesta negativa al problema del isomorfismo modular, cerrando finalmente los sesenta años de historia de este problema. Sin embargo, el problema del isomorfismo modular sigue siendo una pregunta de interés para algunas clases de grupos, como los p-grupos de orden impar (i.e., con p>2) o los p-grupos de clase de nilpotencia 2. En esta última dirección, en la Parte V damos una respuesta positiva al problema del isomorfismo modular para p-grupos de clase de nilpotencia 2 con centro cíclico. Desde un punto de vista más estructural, en la Parte VI demostramos que el problema del isomorfismo modular es equivalente al mismo problema para p-grupos sin factores directos abelianos. Esto nos permite extender de forma no trivial las clases de grupos para las que se conoce que el problema del isomorfismo modular tiene respuesta positiva. En la Parte VII demostramos que, para el problema del isomorfismo modular en su versión para cuerpos arbitrarios, de hecho sólo los cuerpos finitos pueden tener relevancia.