[en] The central topic of this thesis is the detection and computation of a ne equivalences between two curves or surfaces with speci c properties. Chapter 1 provides a state-of-the-art on the topic, based on recent publications regarding this problem for projective and a ne transformations, similarities, and isometries between algebraic curves and surfaces either implicitly or parametrically de ned. In Chapter 2, we develop a method for computing all the a ne equivalences between two rational ruled surfaces de ned by rational parametrizations without computing or using their implicit equations. The problem is translated into the parameter space, where the general form of the underlying Cremona transformation is discovered, and relies on polynomial system solving. In Chapter 3, we describe an e cient algorithm to detect whether two given trigonometric curves, i.e., two parametrized curves whose components are truncated Fourier series, in any dimension, are a nely equivalent. In this case, we also deal with approximate a ne equivalences. In the exact case, the algorithm boils down to univariate gcd computation, so it is e cient and fast. In the approximate case, where the coe cients of the parametrizations are given with nite precision, the univariate gcd computation is replaced by the computation of approximate gcds. Finally, in Chapter 4, we provide an algorithm to compute the similarities between two bounded, planar parametrized curves with a particular approach on the case when the curves are closed. The algorithm is valid for completely general parametrizations, not only rational, and the approximate case is also considered. The strategy is based on the computation of centers of gravity and inertia tensors of the considered curves or of the planar regions enclosed by the curves, which have good properties when a similarity transformation is applied: the centers of gravity are mapped onto each other, and the matrices representing the inertia tensors satisfy a simple relationship. Using both properties, and except for certain pathological cases, the similarities can be found.

[es] El tema central de este trabajo es detectar y calcular equivalencias afines entre dos curvas y/o superficies biracionalmente parametrizadas con propiedades específicas. En el Capítulo 1, proveemos un estado del arte sobre el tema, haciendo una revisión de publicaciones recientes que abordan este problema tanto para curvas como para superficies algebraicas definidas implícita o paramétricamente. En el Capítulo 2 desarrollamos un método para calcular todas las equivalencias afines entre dos superficies racionales regladas, definidas por parametrizaciones racionales y propias (inyectivas en casi todo punto), sin calcular ni hacer uso de sus ecuaciones implícitas. La idea fundamental es encontrar la forma de la transformación de Cremona equivalente en el espacio de parámetros, y se basa en la resolución de sistemas polinómicos. En el Capítulo 3, describimos un algoritmo eficiente para detectar si dos curvas trigonométricas dadas, es decir, curvas paramétricas cuyas componentes son series truncadas de Fourier, en cualquier dimensión, son afínmente equivalentes. En este caso abordamos tanto equivalencias exactas, como aproximadas. En el caso exacto el algoritmo se reduce al cálculo de un máximo común divisor univariado, mientras que, en el caso aproximado, donde los coeficientes de las parametrizaciones están dados con precisión finita, es necesario calcular un gcd aproximado. Finalmente, en el Capítulo 4 estudiamos la detección de semejanzas entre dos curvas paramétricas acotadas y planas con un enfoque particular para curvas cerradas. El algoritmo es válido para parametrizaciones completamente generales, no solo racionales, y también se considera en el caso aproximado. La estrategia se basa en el cálculo de los centros de gravedad y tensores de inercia de las curvas o de las regiones planas encerradas por las curvas. Tanto los centros de gravedad como los tensores de inercia tienen buenas propiedades cuando se les aplica una semejanza. En particular, un centro de gravedad es enviado en el otro y las matrices que representan los tensores de inercia satisfacen una relación simple. Utilizando ambas identidades, y salvo en ciertos casos patológicos, las semejanzas pueden determinarse. Esta idea puede generalizarse a curvas de cualquier dimensión y también a superficies.