[en] The goal of this work is to get mathematical models for restoration of artistic paintings, which may be used in real-life projects. In particular, we validate our models in a special case. Motivation of this work dates back in 2004, when the artistic restorers in Grupo Absidebegan their work related to the preservation of the altarpiece of San Bartolomé Church, in Bienservida (Spain) . While carrying these tasks, the artistic team suggested the need of a harmless intervention of the work, via digitalization, adapted to their criteria in reintegration and their principles of art and restoration. Most models in literature are general, but loosely related to this scenario, and they do not provide some (or many) of the requirements needed in actual restoration. Among all the dierent aspects of digital restoration, this thesis deals mainly with two of them: deconvolution and inpainting. Due to the nature of the work, all the obtained models were devised to be useful for color images, and, particularly, for Spanish Baroque paintings, some of their features have been included in the models. Color analysis is, then, an important part of this research. The central part of the thesis is the emph deconvolution. A bad decon- volution does not adequately eliminates diusion in the image, leading to a poor digital inpainting, because the inpainting process will use as contour conditions those obtained by deconvolution. As we do not know the exact natural deterioration process, and we can only guess their reasons, we are set in the case of blind deconvolution problems, presenting some additional diculties to those in the case were we have information about the blur, or smoothing of the painting. Following the directives of the artistic team, we can assume blur is global and mostly regular, leading to a quasi-Gaussian type of convolution. Thus, the model we propose is based on fractional powers of the Laplacian, which allows us to process ner scales than the usual ones in general Fourier met- hods, in a direct (and fast) way. In a second stage of our work, some inpainting algorithms were devised. Though adapted from dierent published models, they were improved by including the geometry of the images as an essential part of them, together with a multiresolution analysis, in order to process large holes and dierent levels of texture in the images. Finally, we validate the models and algorithms, showing the obtained results in the altarpiece, and we compare their eciency in some other more widely known images.

[es] RESUMEN Los orígenes de ésta tesis, se sitúan en la restauración del retablo mayor de la iglesia de San Bartolomé en Bienservida (Albacete), cuando en el año 2004 empezaron los trabajos para conservarlo. Fue durante la intervención, cuándo los restauradores propusieron una colaboración que consistía en realizar una intervención inocua de la obra, asumiendo los principios de la restauración artística y usando los criterios que usan para reintegrarla. Este proceso los orienta, cuándo el autor es desconocido o el grado de degradación de los elementos que componen la obra es elevado e impide la visualización correcta de los elementos que lo conguran. Los resultados del trabajo se usaron como guía en la restauración manual. Desde el punto de vista matemático, las obras pictóricas pueden considerarse como un tipo de imágenes muy particulares, pues cada período y cada artista tiene sus propias características, que las diferencian de otro tipo de imágenes, como las médicas o las astronómicas. En la restauración artística se consideran dos tareas que son muy importantes: reintegración o inpainting (rellenar regiones perdidas de la pintura) y la limpieza. La limpieza consiste en eliminar aquellos detalles espurios que impiden la visualización de la obra (partículas de grasa, suciedad, etc). En matemáticas, se corresponde con la deconvolución cuyo objetivo es realzar los detalles que impiden ver partes de la obra con claridad. La parte central de la tesis está en la deconvolución, puesto que una mala deconvolución que no elimine adecuadamente la difusión de la imagen, inducirá a una mala reintegración digital, puesto que las condiciones de contorno que usarán vendrán dadas por el algoritmo de deconvolución usado, puesto que la convolución oculta detalles que posteriormente pueden ser mal interpredos a la hora de reintegrar las imágenes. En el proceso de toma de imágenes, a causa de efectos como turbulencias, malas condiciones de luz o un tiempo de exposición (entendida como la cantidad de luz que entra por el objetivo de la cámara) elevada, la imagen que capturamos u0, produce un suavizado o emborronamiento k de los detalles más nos de la imagen que queremos obtener u. Matemáticamente responde la ecuación de convolución o de Fredholm de primera especie: u0 = k u Que podemos abordar por Fourier. Pero en sí, es un problema mal puesto, porque bk decae rápidamente a cero. Por tanto, tenemos que reformular el problema anterior, y pasar a un problema que pasar a un problema que tenga solución y sea única, es decir tenemos que regularizalo. El problema que planteamos, es la deconvolución ciega, estimar el núcleo que la degradó a partir u0 y k, ya que las imágenes fueron tomadas bajo unas determinadas condiciones de luz, humedad y distancia focal, que determinaron el tipo de núcleos: Lévy que a su vez están asociados a la ecuación generalizada del calor. En la tesis proponemos dos métodos de resolución de dicha ecuación el método híbrido y el método fraccional recursivo (iterativo) adaptativo. Ambos métodos son válidos para imágenes en color. Posteriormente a la deconvolución se reintegran digitalmente, por un proceso similar al que usan en restauración artística. En este caso gracias a la ayuda del Grupo Ábside que nos ha permitido profundizar en nuestras técnicas, desarrollando modelos que permitan dar una idea de cómo quedaría la obra a intervenir antes de usar determinados procedimientos manuales, basándonos en imágenes tomadas por ellos y criterios que siguen para reintegrarlas. __________________________________________________________________________________________________