[en] This thesis deals with the modelling, mathematical analysis and numerical solution of partial di erential equation (PDE) problems for pricing European and American options when considering counterparty risk. Several valuation adjustments are considered, the most important one being the credit value adjustment (CVA). In the modelling, the intensity of default from each risky counterparty plays a relevant role. In the present work we analyze two situations. In the rst one constant intensities of default are assumed, leading to PDE models with one spatial dimension. In the second setting stochastic intensities are assumed, although only one counterparty can default so that PDE models with two spatial variables are deduced. Thus, Cauchy-boundary value PDE problems are posed for European options, while complementarity problems govern the pricing of American options. The two more usual choices for the mark-to-market value, risk-free and risky derivative values, lead to linear and nonlinear PDE problems, respectively. The mathematical analysis of the nonlinear models is one of the main achievements of this work, thus obtaining the existence and uniqueness of solution for the di erent problems. For the numerical solution, a method of characteristics jointly with a xed point iteration and nite elements are used. In the case of American options, an augmented Lagrangian active set method is additionally applied. Also, the equivalent formulations in terms of expectations have been posed and numerically solved by means of appropiate Monte Carlo techniques. Finally, we show illustrative results of the performance of the models and numerical methods that have been implemented.

[gl] Esta tese céntrase no modelado, análise matemática e solución numérica de problemas de ecuacións en derivadas parciais para opcións europeas e americanas con risco de contrapartida. Considéranse diferentes valoracións de axustes, o máis importante dos cales é o risco de contrapartida (CVA). No modelado, a intensidade de quebra de cada contraparte xoga un papel importante. No presente traballo consideramos dúas situacíóns. Na primeira asÚlnense intensidades de quebra constantes, o cal dá lugar a modelos unidimensionais. No segundo escenario considéranse intensidades de quebra estocásticas, pero só unha contraparte pode quebrar, obtélldose un modelo de EDPs bidimensional. Obtense así un problema de valor inicial e de contorno rexido por EDPs para as opcións europeas, mentres que a valoración de opcións americanas está gobenlada por problemas de complementariedade. As dúas opcións mms habituais do valor de mercado no instante de quebra (valores sen risco e con risco) conducen a EDPs lineais e non lineais, respectivamente. A análise matemática dos modelos non lineais é un dos principais logros deste traballo, obténdose a existencia e unicidade de solución. Para a solución numérica, combínanse métodos de características, punto fixo e elementos finitos. No caso das opcións americanas, o problema discretizado é resolto mediante un método de lagrangiano aumentado. Propónse tamén formulacións equivalentes en termos de esperanzas, que son resoltas mediante técnicas adecuadas de Monte Cado. Finalmente móstranse resultados do comportamento dos modelos e dos métodos numéricos implementados.