[en] The aim of this memoir is to study multiplier ideals in two-dimensional local rings having at worst rational singularities. We also want to extend this study to the case of mixed multiplier ideals. The main achievements in the memoir are the following. We introduce a new method to compute the antinef closure of any given divisor, generalizing previous versions of Casas-Alvero [CA00] and Reguera [Reg97]. We reveal which information encoded in a multiplier ideal determines the next jumping number. This leads to an algorithm to compute sequentially the jumping numbers and the whole chain of multiplier ideals in any desired range. As a consequence of our method, we develop the notion of jumping divisor that allows to describe the jump between two consecutive multiplier ideals. In particular, we find unique minimal and maximal jumping divisors that are studied extensively.We study the multiplicities of jumping numbers of m-primary ideals. The formula we provide for the multiplicities leads to a very simple and efficient method to detect whether a given rational number is a jumping number. We also give an explicit description of the Poincaré series of multiplier ideals associated to any ideal, proving, that it is a rational function. The results obtained above are generalized to the case of mixed multiplier ideals. More precisely, we present a method to compute the jumping walls and the different mixed multiplier ideals in any compact of Rr >0. This method is implemented as an algorithm that computes the jumping walls for a given family of ideals. We also generalize the notion of jumping divisor and we endow the jumping walls with a notion of multiplicity.

[nl] Het doel van dit proefschrift is het bestuderen van multiplieridealen in een tweedimensionale lokale ring met een rationale singulariteit. We willen ook de resultaten hierover uitbreiden naar de studie van de gemengde multiplieridealen. De belangrijkste resultaten van dit proefschrift zijn de volgende. We introduceren een nieuwe methode om de antinefsluiting van een zekere divisor te berekenen. Hiermee veralgemenen we vorige versies van Casas-Alvero [CA00] en Reguera [Reg97]. We onthullen welke informatie, gecodeerd in een multiplierideaal, het volgende jumpinggetal bepaalt. Dit leidt tot een algoritme dat een voor een de jumpinggetallen in elk gewenst bereik berekent. Als gevolg van onze werkwijze ontwikkelen we de notie van jumpingdivisor, hetgeen ons toestaat de sprong tussen twee opeenvolgende multiplieridealen te beschrijven. In het bijzonder vinden we unieke minimale en maximale jumpingdivisoren, die uitgebreid worden bestudeerd. We bestuderen ook de multipliciteiten van jumpinggetallen van m-primaire idealen. De formule die we opstellen voor de multipliciteiten leidt tot een zeer eenvoudige en efficiënte methode om te detecteren of een bepaald rationaal getal een jumpinggetal is. We geven ook een expliciete beschrijving van de Poincaréreeks van de multiplieridealen geassocieerd aan een ideaal. We bewijzen in het bijzonder dat het een rationale functie is. De resultaten hierboven, breiden we uit tot gemengde multiplieridealen. Meer precies, presenteren we een methode om de jumpingwanden en gemengde multiplieridealen voor een gegeven punt in Rr >0 te berekenen. Dit staat ons toe een algoritme te beschrijven dat de jumpingwanden berekent voor een bepaalde familie van idealen. We veralgemenen ook het begrip van de jumpingdivisor om de multipliciteit te kunnen berekenen op een manier die vergelijkbaar is met de reeds besproken methode.