[en] This thesis is situated in the framework of the qualitative theory of differential systems in the plane. Each chapter contains a different topic. In the introduction, a summary of known results is given and the notation used through the rest of the memory is presented. In particular, we describe the integrability problem and some results concerning the determination of the stability of a singular point or a periodic orbit in order to introduce the latest chapters. We define the integrability problem as the problem of finding a first integral for a planar differential system and determining the functional class it must belong to. Chapters 2 and 3 are concerned with the integrability problem. In Chapter 2, we obtain a result which allows to find an explicit expression for a first integral of a certain type of polynomial system. By means of a rational change of variable, we make correspond the homogenous second order linear differential equation: A2 (x) w'(x) + A1(x) w'(x) + A0(x) w(x) = 0, whose coefficients are polynomials, to a planar polynomial differential system. We prove that this system has an invariant for each arbitrary nonnull solution w(x) of the second-order ode, which, in case w(x) is a polynomial, gives rise to an invariant algebraic curve. In addition, we give an explicit expression of a first integral for the system constructed from two independent solutions of the second order ode. This first integral is not, in general, a Liouvillian function. Finally, we verify that all the known examples of families of quadratic systems with an invariant algebraic curve of arbitrarily high degree can be described by this construction (modulus birrational transformations). In Chapter 3, invariant algebraic curves of a planar polynomial differential system play the fundamental role. If an irreducible invariant algebraic curve for a planar polynomial differential system exists, then the values of its cofactor at each non-degenerate singular point are determined. In fact, this value is a linear combination with natural coefficients of the eigenvalues associated to the non-degenerate singular point. These natural coefficients can be completely determined in some cases depending on the nature of the singular point. Moreover, the points at infinity can also be taken into account. Once the system is considered in the projective complex plane, the degree of an invariant algebraic curve becomes a parameter of its cofactor. If we consider a system of degree d, then it has d^2 + d + 1 singular points (counted with multiplicity) and the cofactor of an invariant algebraic curve is a polynomial of degree at most d-1. We proceed as follows: we take a polynomial of degree d-1 with its d(d+1)/2 arbitrary coefficients and we assume that it is the cofactor of an irreducible invariant algebraic curve of degree n. Then, we impose all the conditions given by the non-degenerate singular points. In the general case, we impose d^2 + d + 1 conditions and, hence, we completely determine the cofactor and the degree of the curve, whose existence can be determined by solving a linear system of equations, or we show an incompatibility condition. Therefore, we can determine the existence of all the invariant algebraic curves of a general system. Chapter 4 is about the stability of a periodic orbit of a planar differential system. We assume that f(x,y)=0 is a real irreducible invariant curve with cofactor which contains the periodic orbit. We prove that the integrals over the periodic orbit of the divergence and the cofactor coincide. Hence, we can decide the stability of a periodic orbit by means of the integration of the cofactor over it. In Chapter 5, we describe an application of the results given in Chapters 3 and 4. We consider the quadratic systems with an algebraic limit cycle known until the composition of this thesis. These algebraic limit cycles are contained in invariant algebraic curves of degrees 2, 4, 5 and 6 and there are some of these families of quadratic systems which are birrationally equivalent one to the other. Applying the method given in Chapter 3, we show that there is no other irreducible invariant algebraic curve that the one which contains the limit cycle. We take profit from this result to show that these systems have no Liouvillian first integral. And applying the formula given in Chapter 4, we prove that these algebraic limit cycles are hyperbolic. Chapter 6 is devoted to the study of the properties of the period function associated to a singular point with linear part of centre-focus type. Given a section through the flow with such a singular point as endpoint, we can define the Poincaré map and the period function associated to this section since this point is always monodromic. We say that this point is isochronous if we can find a section such that the period function associated to it is constant. This definition generalizes the usual definition given for centres to any singular point with linear part of centre-focus type. We characterize this property by means of Lie symmetries and normal forms, generalizing the known procedures for centres. Moreover, we provide an example of a family of systems depending on a real parameter, such that the origin is a singular point with linear part of centre-focus type and which is never an isochronous point.

[fr] Cette thèse de doctorat traite sur la théorie qualitative des systèmes différentiels planaires. Chaque chapitre contient un sujet différent. Dans l'introduction, un sommaire des résultats connus est donné et la notation utilisée dans le reste du mémoire est présentée. En particulier, nous décrivons le problème de l'intégrabilité et quelques résultats concernant la détermination de la stabilité d'un point singulier ou d'une orbite périodique afin de présenter les derniers chapitres. Nous définissons le problème de l'intégrabilité comme le problème de trouver une intégrale première pour un système différentiel planaire et de déterminer la classe fonctionnelle à la quelle elle doit appartenir. Les Chapitres 2 et 3 traitent du problème de l'intégrabilité. Au Chapitre 2, nous obtenons un résultat permettant de trouver une expression explicite pour une intégrale première d'un certain type de système polynomial. Au moyen d'un changement rationnel de variables, nous faisons correspondre l'équation linéaire du deuxième degré: A2(x) w''(x) + A1(x) w'(x) + A0(x) w(x) = 0, dont les coefficients sont des polynômes, à un système différentiel polynomial planaire. Nous montrons que ce système a un invariant pour chaque solution arbitraire w(x) différent de zéro de l'équation considérée, qui, dans le cas où le w(x) serait un polynôme, est une courbe algébrique invariante. De plus, nous donnons une expression explicite d'une intégrale première pour le système construite à partir de deux solutions indépendantes de l'edo du deuxième degré. Cette intégrale première n'est pas, en général, une fonction de Liouville. En conclusion, nous vérifions que tous les exemples connus des familles des systèmes quadratiques avec une courbe algébrique invariante de degré arbitrairement élevé peuvent être décrits par cette construction (modulo des transformations birationnelles). Au Chapitre 3, les courbes algébriques invariantes d'un système différentiel polynomial planaire jouent le rôle fondamental. Si une courbe algébrique invariante et irréductible existe pour un système différentiel polynomial planaire, alors les valeurs de son cofacteur à chaque point singulier non dégénéré sont déterminées. En fait, cette valeur est une combinaison linéaire avec des coefficients naturels des valeurs propres associées au point singulier non dégénéré. Ces coefficients naturels peuvent être complètement déterminés dans certains cas selon la nature du point singulier. De plus, les points à l'infini peuvent également être pris en considération. Une fois que le système est considéré dans le plan projectif complexe, le degré d'une courbe algébrique invariante devient un paramètre de son cofacteur. Si nous considérons un système de degré d, alors il y a d^2 + d + 1 points singuliers (comptés avec sa multiplicité) et le cofacteur d'une courbe algébrique invariante est un polynôme de degré au plus d-1. Nous opérons comme suit: nous prenons un polynôme de degré d-1 avec ses d(d+1)/2 coefficients arbitraires et nous supposons que c'est le cofacteur d'une courbe algébrique invariante et irréductible de degré n. Nous imposons alors toutes les conditions données par les points singuliers non dégénérés. Dans le cas général, nous imposons d^2 + d + 1 conditions et, par conséquent, nous déterminons complètement le cofacteur et le degré de la courbe, dont l'existence peut être déterminée en résolvant un système linéaire d'équations, ou bien nous prouvons l'incompatibilité d'une condition. Par conséquent, nous pouvons déterminer l'existence de toutes les courbes algébriques invariantes d'un système général. Le sujet du Chapitre 4 est la stabilité d'une orbite périodique d'un système différentiel planaire. Nous supposons que f(x,y)=0 est une courbe invariante irréductible réelle avec cofacteur qui contient l'orbite périodique. Nous montrons que les intégrales sur l'orbite périodique de la divergence et le cofacteur coïncident. Par conséquent, nous pouvons déterminer la stabilité d'une orbite périodique en intégrant le cofacteur sur celle-ci. Dans le Chapitre 5, nous décrivons une application des résultats donnés aux Chapitres 3 et 4. Nous considérons les systèmes quadratiques avec un cycle limite algébrique connus jusqu'alors. Ces cycles limites algébriques sont contenus dans des courbes algébriques invariantes de degrés 2, 4, 5 et 6 et il existe certaines de ces familles de systèmes quadratiques qui sont birationnellement équivalentes. Appliquant la méthode exposée au Chapitre 3, nous prouvons qu'il n'y a aucune autre courbe algébrique invariante et irréductible différente à celle qui contient le cycle limite. Ceci nous permet de prouver que ces systèmes n'ont aucune intégrale première de Liouville. En appliquant la formule donnée au Chapitre 4, nous montrons que ces cycles limites algébriques sont hyperboliques. Le Chapitre 6 est consacré à l'étude des propriétés de la fonction de période associée à un point singulier dont la partie linéaire est de type centre-foyer. Etant donnée une section du flux avec tel point singulier comme point final, nous pouvons définir l'application de Poincaré et la fonction de période associée à cette section puisque ce point est toujours monodromique. Nous disons que ce point est isochronique si nous pouvons trouver une section telle que la fonction de période associée à elle est constante. Cette définition généralise la définition habituelle donnée pour des centres à n'importe quel point singulier dont la partie linéaire est de type centre-foyer. Nous caractérisons cette propriété au moyen des symétries de Lie et des formes normales, généralisant les procédures connues pour des centres. De plus, nous donnons un exemple d'une famille de systèmes avec un paramètre réel, telle que l'origine est un point singulier dont la partie linéaire est de type centre-foyer et qui n'est jamais un point isochronique.