[ca] En aquesta Tesi investiguem distints aspectes de l'aplicació a la física de les àlgebres de Lie. En particular, aquest treball es divideix en tres parts: la construcció d'un product no commutatiu per a l'espai de Minkowski \cite{cfl1, cfln, cfln1}, el desenvolupament de models sigma \cite{lnp} amb invariància sota l'acció del grup de simetria i l'estudi de la possiblitat de relacionar distintes àlgebres de Lie mitjançant l'expansió amb semigrups discrets \cite{ckmn}. La primera part d'aquesta Tesi es desenvolupa en els Capítols \ref{star}, \ref{sec:Poincare} i \ref{sec:The real}. Els principals objectius d'aquesta part del treball són: * Definir un producte 'star' no commutatiu per a la compactificació conforme de l'espai de Minkowski. * Donar una fórmula analítica explícita per al producte 'star' de dos polinomis en l'espai de Minkowski. * Mostrar que l'acció del producte 'star' en polinomis es pot reproduir mitjançant un operador bidiferencial i per tant el producte 'star' es pot estendre a l'espai de les funcions $ C^\infty$. * Definir una coacció del grup de Poincaré més dilatacions en l'espai de Minkowski de forma que siga compatible amb el producte 'star'. * Mostrar que aquesta coacció es pot reproduir mitjançant un operador diferencial fins a un cert ordre en el paràmetre de quantització. * Completar la construcció dels espais de Minkowski i Euclidià quàntics donant formes reals adequades. La segona part es desenvolupa en els Capítols \ref{WZW} i \ref{sec:Contraction}. Allí: * Definim una classe de models sigma invariants sota un grup de simetria (ISM). * Estudiem les diferències entre aquests models i els corresponents models 'gauged' WZW. * Mostrem que, en general, aquests models no presenten invariància conforme. * Relacionem distints ISM per contracció de grups de Lie. La tercera part es desenvolupa en els Capítols \ref{c:sexpansions} i \ref{c:bianchi}. Els nostres objectius són: * Estudiar propietats que es preserven sota el procediment d'expansió per semigrups discrets. * Realitzar una classificació de les expansions S d'àlgebres simples. * Usar el procediment d'expansió S per a trobar relacions entre àlgebres bidimensionals i tridimensionals. L'estructura de l'espai-temps a un nivell fonamental ha sigut discutida des del descobriment de la Relativitat General. Aquesta teoria descriu la gravetat com la mètrica de l'espai-temps, mentre que la matèria és la font de dita mètrica. L'èxit de la Relativitat General descrivent la gravetat és remarcable (per exemple, penseu en els dispositius GPS). Amb el descobriment de la mecànica quàntica al principi del segle XX es feu palés que l'estructura fonamental de l'espai-temps deuria sortir de la combinació d'aquestes dos teories. La quantització de la Relativitat General, vista com una teoria quàntica de camps, dóna una teoria no renormalitzable. S'han proposat diverses alternatives per a resoldre aquest problema, com la teoria de cordes o la gravetat quàntica de bucles, les quals intenten quantitzar la gravetat de formes distintes. Inclús existeix l'esperança què la Supergravetat podria ser finita. Desafortunadament, la complexitat tècnica d'aquestes teories fa impossible tindre avui una teoria definitiva de la gravetat quàntica. El què sembla clar és que, a un nivell fonamental, l'espai-temps deuria tindre una estructura no localitzada o 'fuzzy' descrita per un àlgebra d'operadors que en general no commutarien. És possible estudiar l'estructura de l'espai-temps sense introduir-hi una teoria dinàmica. S'han realitzat distints intents en aquest sentit, definint productes no commutatius en teories de camps, per a introduir els efectes de la no commutativitat de l'espai-temps de diferents maneres. En la Secció \ref{sec:Grassmannian} presentem la complexificació conforme de l'espai-temps de Minkowski usual mitjançant la varietat Grassmaniana $G(2,4)$, és a dir, l'espai de plans bidimensionals en l'espai $\C^4$. En aquesta varietat existeix una acció natural del grup de Poincaré més dilatacions, donada per l'acció del subgrup parabòlic inferior, $P_l \subset \rSL(4,\C)$. Convé treballar amb aquest grup de forma algebraica, és a dir, amb l'àlgebra de polinomis en les variables del grup, $\cO(P_l)$. En aquest formalisme la llei de grup es codifica com un coproducte (dual del producte) i la inversa es generalitza a l'antípoda. L'acció del grup de Poincaré en l'espai de Minkowski està donada per una coacció definida en els generadors de l'espai de Minkowski. Anomenem $\cO(\M) $ a l'àlgebra de polinomis en l'espai de Minkowski. Aquest formalisme és convenient perquè ens permet realitzar la quantització de Minkowski de forma directa. Es pot veure els grups quàntics com deformacions dels grups de Lie. Les operacions de producte, coproducte i antípoda es defineixen en termes d'un paràmetre de no commutativitat ($q$). Les àlgebres involucrades ací es defineixen com polinomis en termes de generadors no commutatius (variables no commutatives). En el cas particular $q = 1$, recuperem l'àlgebra commutativa. En la Secció \ref{sec:The quantum} es dóna una deformació de la Grassmanniana i l'espai de Minkowski en termes de grups quàntics. A més a més, en ref.\cite{cfl1} es dóna una quantització de l'espai de superMinkowski quiral en termes de grups quàntics. Treballar amb camps definits en les variables quàntiques $\cO_q(\M)$ presenta una gran dificultat. Podem definir un mapa $Q_M$ entre $ \cO(\M) $ i $\cO_q(\M)$, els quals són isormorfs com a mòduls, de forma que treballem amb funcions $ C^\infty$ (els camps definits en l'espai de Minkowski usual) i introduïm la no commutativitat usant un producte no commutatiu per als camps. Aquest mapa és l'anomenat mapa de quantització o regla d'ordre. En el Capítol \ref{star} definim un producte no commutatiu (producte 'star') en $G(2,4)$ que ve del 'gluing' de productes 'star' en la 'big cell' (l'espai de Minkowski). En l'espai de Minkowski s'usa una regla d'ordre. Aquest producte és associatiu per construcció i definit per a polinomis en $G(2,4)$, és a dir, purament algebraic. Per a aplicar aquest producte a una teoria de camps és precís fer una generalització a funcions suaus definides en $G(2,4)$. Per a açò hem de trobar una expressió diferencial per al producte 'star'. Redefinint $ q = e^h$ és possible realitzar una expansió que pot ser reproduïda per l'acció d'operadors diferencials en els polinomis clàssics (veure la Secció \ref{sec:Differential}). Aquest resultat no és trivial, perquè els coeficients que multipliquen cada terme s'han de reproduir exactament. Una anàlisi acurada de l'estructura dels termes que apareixen en el producte 'star' permet demostrar que tots els polinomis que apareixen en el seu desenvolupament en termes de $h$ tenen l'estructura correcta, de forma que el producte 'star' és diferencial i la seua expressió per un operador bidiferencial és única. Gràcies a açò definim el {\em producte 'star' per a funcions suaus} en $ \cO(\M) $ com l'expansió corresponent en termes d'operadors bidiferencials. Per a escriure els operadors bidiferencials a un ordre arbitrari en el paràmetre de no commutativitat s'ha de fer el càlcul explícit. Els calculem fins a ordre 2 i mostrem que existeixen a ordre arbitrari. També és possible definir un producte 'star' per al grup de Poincaré (Capítol \ref{sec:Poincare}). Es defineix una regla d'ordre per al grup (veure Apèndix \ref{diamondlemmathm}) i seguim un procediment anàleg a l'usat per al producte 'star' en l'espai de Minkowski. Seguidament definim una {\em coacció 'star'} del grup quàntic en $ O_q(M)$ compatible amb el producte 'star', usant el mapa de quantització. La coacció 'star', quan actua sobre els generadors de l'espai de Minkowski, és formalment idéntica a la clàssica, éssent deguts els efectes no commutatius a la presència del producte 'star'. Aquesta coacció és algebraica, així que per a poder aplicar-la a funcions suaus necessitem expressar-la en termes d'operadors diferencials. En aquest cas estudiem l'acció del grup en l'espai de Minkowski com un operador diferencial que actua sobre un sol argument: el resultat clàssic de l'acció. L'acció pot ser reproduida per un operador diferencial i el trobem a primer ordre. Fins a aquest punt hem treballat amb una complexificació de Minkowski i grups complexes. En el Capítol \ref{sec:The real} discutim el problema de trobar les formes reals corresponents. Clàssicament el problema es redueix a trobar una {\it involució}, és a dir, un automorfisme amb les propietats (\ref{invProps}), el conjunt de punts fixes del qual és la forma real que estem buscant. Donem les involucions per a l'espai de Minkowski i Euclidià, amb les formes reals dels grups que actuen en ells. El cas quàntic és distint, perquè la involució ha de ser consistent amb les regles de commutació, cosa que la força a ser un antiisomorfisme, (és a dir, una {\em antiinvolució}). Açò descarta la interpretació d'una forma real com el conjunt de punts fixes d'un mapa. Una altra conseqüència és que, quan equipem l'espai de Minkowski real amb el producte 'star' que hem definit, el parèntesi de Poisson és purament imaginari. \bigskip Els models sigma no linials consisteixen en un conjunt de camps que prenen valors en els punts d'una varietat diferenciable (l' anomenat espai 'target'). Encara que es descriuen en termes de coordenades locals, les varietats diferenciables no tenen sistemes de coordinades privilegiats com els espais linials. Els models sigma presenten una invariància global respecte a difeomorfismes de l'espai target. Els camps en un model sigma interaccionen principalment degut a una mètrica Riemanniana en la varietat 'target', representada per un tensor simètric 2-covariant. També poden interaccionar mitjançant altres objectes, com un tensor antisimètric o un camp escalar (dilató). És especialment interessant quan hi ha un grup actuant en la varietat. Les propietats globals de la varietat són importants per a estudiar l'acció del grup: els exemples més senzills són els espais quocient de tipus G/H, amb H un subgrup de G. H és el grup d'isotropia o \textit{grup menut}. L'acció del grup G és transitiva en aquest cas. Els casos en què la varietat 'target' és ella mateixa un grup de Lie són també interessants, l'acció és la multiplicació per l'esquerra i per la dreta en el grup. L'acció no només és transitiva, sinò que amés no té cap punt fix. Quan el grup actua mitjançant isometries de la mètrica (o, per a altres classes d'interaccions, la derivada de Lie de l'objecte és zero) aquesta simetria global es pot fer local introduint una conexió no linial en l'espai. Açò és el que s'anomena un model sigma 'gauged', els quals apareixen en teories supersimètriques i de Supergravetat. En les teories supersimétriques i de Supergravetat els models sigma apareixen perquè les representacions de supersimetria (multiplets) genèri\-cament contenen escalars, el lagrangià dels quals són models sigma més termes d'interacció amb altres camps. Els models sigma també apareixen en el context de teories de cordes. En aquest cas la \textit{fulla món} d'una corda juga el paper de l'espai-temps i l'espai 'target' és l'espai-temps on es mou la corda. Si hi ha invariància conforme aquestes teories mostren invariància sota l'acció de l'àlgebra infinit-dimensional de Virasoro. Un exemple clàssic són els models de Wess-Zumino-Witten (WZW), què són a més invariants sota àlgebres de Kac-Moddy. En ref.\cite{aflm} es descobriren jerarquies de models sigma que apareixen en models de Supergravetat. Aquestes jerarquies corresponen a contraccions generalitzades \cite{iw, woods} del grup d'isometria del model original. Aquestes contraccions desacoblen alguns camps i modelen truncacions exactes o integracions de modes massius. Modelar les integracions de modes massius pel procediment geomètric d'una contracció simplifica tècnicament el problema. Els models WZW bidimensionals descriuen solucions de buit per a una corda. L'acció WZW conté dos parts: la part de la mètrica i la integral d'una 3-forma en una varietat tridimensional, la frontera de la qual és una compactificació de la fulla món de la corda. Aquestes formes són biinvariants (invariants esquerres i dretes) sota l'acció del grup mateix. Un model de WZW pot ser, almenys localment, escrit com un model sigma amb una mètrica biinvariant i una 2-forma la qual, sota l'acció del grup de simetria, canvia per la diferencial d'una funció. Les constants relatives entre ambdós termes s'elegeixen de forma que el model siga invariant conforme. El 'gauging' d'un model WZW \cite{hs} es fa per acoblament mínim si el 2-tensor antisimètric és invariant sota les isometries 'gaugeades'. Si no ho és, encara és possible 'gaugear' si afegim termes adicionals al model, sempre que el subgrup de simetria que volem gaugear estiga lliure d'anomalies \cite{hs}. En la sèrie d'espais 'coset' $\rSO(2,n)/\rSO(2) \times \rSO(n)$ (Capítol \ref{WZW}) és possible definir una mètrica i una 2-forma invariants sota $\rSO(2,n)$. Amb aquests objectes podem construir el que anomenem invariant sigma models (ISM). Cal esbrinar si el resultat de gaugear el subgrup $\rSO(2) \times \rSO(n)$ en un model WZW $ \rSO(2,n) $ és un ISM. El resultat és negatiu en els casos que hem estudiat. Prenem per exemple el grup $\rSO(2,1)/\rSO(2)$ (el més simple). Usem {\em coordenades solubles} en el quocient. Les coordenades solubles són convenients perquè ens permeten realitzar el càlcul de la mètrica i la 2-forma fàcilment, donen formes simples per a aquests objectes i, a més, fan la comparació amb ref.\cite{aflm} possible. En la Secció \ref{gaugeso21} comprovem que aquest model és diferent del model WZW 'gauged' $ \rSO(2,1)/\rSO(2)^\mathrm{R} $, què és un bosó lliure. Les equacions de la funció beta a un loop ens diuen que l'ISM no és invariant conforme. En canvi, és invariant sota l'acció esquerra de $\rSO(2,1)$ en el coset. En ref.\cite{aflm} es mostra que el 'gauging' d'un subgrup (H) del grup d'isometria (G) d'un model sigma consistent només en el terme de la mètrica és un model sigma en la varietat quocient (G/H) invariant sota l'acció de G en G/H. Mostrem que açò no és cert en un model WZW degut a l'existència del tensor antisimètric. El següent exemple és el grup $\rSO(2,2)/\rSO(2) \times \rSO(2)$ (veure Secció \ref{so22}). Com adés, calculem la mètrica i la 2-forma i mostrem que el model no és invariant conforme a nivell quàntic. Conclussions anàlogues són vàlides per al grup $ \rSO(2,3)/\rSO(2) \times \rSO(3)$ (veure Secció \ref{so23}). En la sèrie d'espais simètrics $ \rSO(2,n)/\rSO(2) \times \rSO(n) $ és possible relacionar grups amb diferent $n$ usant contraccions d'àlgebres de Lie. El procediment per a contraure la mètrica sigué definit en la ref.\cite{aflm} i ací el generalitzem per a qualsevol tensor invariant. La contracció de $\rSO(2,3)/\rSO(2) \times \rSO(3)$ respecte a $\rSO(1,3)/\rSO(3)$ és d'especial interés. En aquest cas és possible obtindre un model de tipus $\left(\rSO(3,1)/\rSO(3) \right) \times \R^m$. Desafortunadament el model no és invariant esquerre respecte al grup complet $ \rSO(3,1) $, només respecte a la part soluble. \bigskip La deformació d'àlgebres de Lie és un procediment que té importància en Matemàtiques i Física. En el Capítol \ref{sec:Contraction} hem estudiat com relacionar ISMs amb distints grups de simetria usant un procediment de contracció. Podem trobar contraccions aplicades a models de Supergravetat en ref.\cite{aflm}. Una contracció d'àlgebres de Lie és un procediment que canvia les constants d'estructura sense canviar el nombre de generadors. L'expansió d'àlgebres de Lie per semigrups discretes (des d'ara, {\em expansió S}, veure Secció \ref{sec:expansion}) sigué introduïda fa alguns anys en refs.\cite{K1,K2,K3,K4,K5}. Prenem un semigrup discret i una àlgebra de Lie i definim un nou parèntesi de Lie en l'espai producte directe. Es pot demostrar que aquest parèntesi és associatiu, antisimètric i que satisfà la identitat de Jacobi, per la qual cosa el resultat és una àlgebra de Lie. Una expansió S canvia la dimensió de l'àlgebra, ja que va d'una àlgebra $n$-dimensional algebra a una $n\times m$-dimensional (éssent $m$ l'ordre del semigrup). És possible extraure àlgebres de dimensió menor a partir d'una àlgebra expandida S. És el cas quan hi ha una \textit{descomposició ressonant} del semigrup. Hom pot extraure la subàlgebra ressonant de l'àlgebra expandida S. En el cas què el semigrup tinga un element zero, és possible realitzar una reducció per l'element zero. L'àlgebra reduïda és un quocient de l'expandida S. De vegades és inclús possible realitzar dos reduccions per zero. Açò es tracta en la Secció \ref{sec:expansion}. Existeixen certes propietats que es preserven sota una expansió S. Les estudiem en el Capítol \ref{c:sexpansions}. Quan expandim una àlgebra soluble el resultat és una altra àlgebra soluble. Una conseqüència d'açò és la solubilitat de la subàlgebra ressonant i de l'àlgebra $0$-reduïda. El mateix passa amb la nilpotència. Quan expandim una àlgebra semisimple no podem assegurar la semisimplicitat de l'àlgebra expandida S, les seues subàlgebres ressonants o la $0$-reduïda. El mateix succeeix amb la compacitat. En la Secció \ref{sl2} usem programes d'ordinador per a estudiar la semisimplicitat de l'àlgebra expandida S, les seues subàlgebres ressonants i la $0$-reduïda. Açò és un exemple del tipus de classificació que es pot realitzar. Un estudi complet de totes les expansions S per semigrups fins a ordre 6 de totes les àlgebres simples (fins a una certa dimensió) es deu realitzar en el futur. Les ferramentes computacionals desenvolupades per a aquest treball ho fan possible. En la Secció \ref{sl2} discutim algunes expansions S interessants trobades usant els nostres programes. Amb aquest objectiu hem desenvolupat una llibreria Java \cite{mn}. Açò mostra la utilitat dels programes com a ferramenta per a l'estudi de les expansions S. Amb ells podem buscar descomposicions ressonants, obtindre les subàlgebres ressonants, les $0$-reduïdes i comprovar si són semisimples. En el futur implementarem la busca d'altres propietats de les àlgebres. En el Capítol \ref{c:bianchi} explorem les relacions entre les àlgebres de Lie bidimensionals i tridimensionals en la classificació de Bianchi \cite{bian}. Trobem que només podem establir eixes relacions gràcies a les subàlgebres ressonants. De fet, quan distintes descomposicions ressonants del mateix semigrup existeixen és possible relacionar distintes àlgebres mitjançant el mateix semigrup. Mitjançant un procediment iteratiu és possible deduïr algunes condicions en la taula de multiplicació d'un semigrup donant una certa relació i aleshores buscar totes les possibles formes de satisfer aquestes condicions amb distints semigrups usant programes desenvolupats per nosaltres. A continuació presentem les conclusions d'aquesta Tesi. Hem calculat una fórmula explícita per al producte 'star', que té les propietats següents: \begin{itemize} * Es pot extendre a productes 'star' en l'espai conforme $G(2,4)$. Açò es fa enganxant els productes 'star' calculats en cada conjunt obert (\ref{opensets}). * Es pot extendre a actuar en funcions suaus com un producte diferencial. * El parèntesi de Poisson és quadràtic en les coordinades. * Existeix una coacció del grup de Poincaré quàntic (o el grup conforme en cas de l'espai conforme) en l'àlgebra del producte 'star'. * Té almenys dos formes reals corresponent a les signatures Euclidiana i Minkowskiana. * Es pot extendre al superespai (per a supercamps quirals i reals). \end{itemize} Donat què els camps són funcions suaus, la diferenciabilitat del producte 'star' ens dona esperança què hom puga desenvolupar una teoria de camps sobre la deformació quàntica de l'espai de Minkowski. El punt de partida és trobar una generalització del Laplacià i l'operador de Dirac associats a l'invariant quàntic $C_q$. Un avantatge d'usar el grup quàntic $\rSL_q(4,\C)$ és que l'estructura de coàlgebra és isomorfa a la coàlgebra del grup clàssic $\rSL(4,\C)$ (veure per exemple el Teorema 6.1.8 en ref.\cite{ch}). Açò significa que la llei de grup roman inalterada, de forma que el principi de simetria de Poincaré de la teoria de camps seria preservat en el cas deformat quàntic. \bigskip Hem definit el que anomenem {\em models sigma invariants} (ISM). Aquests models es poden definir en la sèrie d'espais coset $ \rSO(2,n)/\rSO(2) \times \rSO(n) $ degut a l'existència d'una 2-forma invariant. Hem construït explícitament els models basats en els espais coset $ \rSO(2,1)/\rSO(2) $, $ \rSO(2,2)/\rSO(2) \times \rSO(2) $ i $ \rSO(2,3)/\rSO(2) \times \rSO(3) $. Hem discutit exhaustivament el model $ \rSO(2,1)/\rSO(2) $, comparant-lo amb el model WZW 'gauged' $\rSO(2,1)/\rSO(2)^R $. Hem fet veure què, encara que aquests models coincideixen si no afegim el terme de la 2-forma antisimètrica, quan prenem els models complets són dos models fonamentalment distints. L'ISM $ \rSO(2,1)/\rSO(2) $ no posseeix invariància conforme a nivell quàntic. Discutim la contracció de models ISM. Hem definit el mètode per a deformar un tensor invariant arbitrari i l'hem aplicat a la contracció de $ \rSO(2,3)/\rSO(2) \times \rSO(3) $ respecte a $ \rSO(2,2)/\rSO(2) \times \rSO(2) $ i respecte a $ \rSO(3,1)/\rSO(3) $. Hem realitzant tant contraccions al mode usual com generalitzades, les quals podem interpretar com contraccions de modes massius. \bigskip Mostrem que les propietats de commutativitat, solubilitat i nilpotència de les àlgebres de Lie es preserven sota l'acció del procés d'expansió S a tots els nivells. Per altra part, altres propietats com ara la semisimplicitat i la compacticitat no es preserven necessàriament, fet que depén del semigrup usat per a realitzar l'expansió S. Aquests resultats es resumeixen en la Figura \ref{fig:propertiesS}. Presentem un exemple interessant estudiant totes les expansions possibles de l'àlgebra semisimple $\fsl(2, \mathbb{R} )$. Tots els nostres resultats teòrics han sigut verificats gràcies a aquest exemple. Hem d'assenyalar què no hem pogut obtindre cap àlgebra simple expandint $ \fsl(2) $, però no tenim cap resultat teòric que prohibisca l'obtenció d'una àlgebra simple com a resultat d'una expansió S. Trobar aquest resultat és un treball a realitzar en el futur. Finalment, hem presentat un estudi complet sobre la possibilitat de relacionar, mitjançant una expansió S, les àlgebres de Lie en 2 i 3 dimensions. Hem trobat que algunes àlgebres tridimensionals, específicament les de tipus I, II, III i V (segons la classificació feta per Bianchi), es poden obtindre com a expansions d'àlgebres bidimensionals. Pot ocòrrer que distints semigrups conduïsquen a la mateixa algebra expandida. A més, es mostra que els tipus IV, VI-IX en la classificació de Bianchi no es poden obtindre com a expansió d'àlgebres bidimensionals. Açò vol dir que aquestes àlgebres en un cert sentit són intrínseques a 3 dimensions.

[en] In this Thesis we investigate several aspects of the physical applications of Lie algebras. In particular, this work is divided in 3 parts: the construction of an associative, non commutative product on the Minkowski space \cite{cfl1, cfln,cfln1}, the development of sigma models \cite{lnp} with left invariance under the action of the symmetry group and the study of the expansions of Lie algebras under discrete semigroups and their properties \cite{Poli, ckmn}. The \textbf{first part} of this Thesis is developed in Chapters \ref{star}, \ref{sec:Poincare} and \ref{sec:The real}. The main objectives of this part of the work are: \begin{itemize} \item To define a non-commutative {\em star product} for the conformal complexification of Minkowski space. \item To give an explicit, analytic formula for the star product of two polynomials in Minkowski space. \item To show that the action of the star product on polynomials can be reproduced by a bidifferential operator. \item To define a coaction of the Poincaré group plus dilations on Minkowski space, compatible with the star product. \item To show that this coaction can be reproduced by a differential operator up to some order in the quantization paramether. \item To complete the construction of the non commutative Minkowski and Euclidian spaces, giving adequate real forms. \end{itemize} The \textbf{second part} is developed in Chapters \ref{WZW} and \ref{sec:Contraction}. There our goals are: \begin{itemize} \item To define a class of sigma models invariant under a symmetry group (ISM). \item To study the differences between these models and the correspondent gauged WZW models. \item To show that, in general, these models do not present conformal invariance. \item To relate different ISM models by contraction of Lie groups. \end{itemize} The \textbf{third part} is developed in Chapters \ref{c:sexpansions} and \ref{c:bianchi}. Our objectives are: \begin{itemize} \item To study properties of Lie algebras which are preserved under the expansion of the Lie algebra with a finite semigroup (S-expansion). \item To perform a classification of the S-expansions of simple algebras. \item To use the S-expansion procedure to find relations between 2-dimensio\-nal and 3-dimensional Lie algebras. \end{itemize} \bigskip The structure of spacetime at a fundamental level has been discussed since the discovery of General Relativity. This theory describes gravity as the metric of spacetime, being the matter the source of the metric. The success of General Relavity describing gravity is remarkable (think for example on GPS devices). With the discovery of quantum mechanics at the beginning of XXth century, it became clear that the fundamental structure of spacetime should come out of the combination of these two theories. The quantization of General Relativity, seen as a quantum field theory, gives a non renormalizable theory. Several alternatives to solve this problem have been proposed, like string theory or loop quantum gravity, which try to quantize gravity in different ways. There is even a hope that Supergravity can actually be finite \cite{zbr}. Unfortunately, the technical complexity of these theories makes it impossible today to have a definitive theory of quantum gravity. What seems to be clear is that, at a fundamental level, spacetime should have a fuzzy structure described by some, generically non commuting, unknown operators. It is possible to ask about the structure of this spacetime without the introduction of a dynamical theory. Several attempts have been done \cite{ma,do,co,cds}, defining non commutative products in field theories, to introduce the non commutativity effects of spacetime in diferent ways. In Section \ref{sec:Grassmannian} we introduce the conformal complexification of the usual Minkowski spacetime by means of the Grassmannian manifold $G(2,4)$, i.e., the space of complex 2-planes in $\C^4$ space (see, for example, refs.\cite{pe,va}). In this manifold a natural action of the Poincaré plus dilations group exists, given by the lower parabolic subgroup, $P_l \subset \rSL(4,\C)$. It is convenient to work with this group in an algebraic way, i.e., with the algebra of polynomials in the group variables, $\cO(P_l)$. In this formalism the group law is encoded as a coproduct (dual of the product) and the inverse is generalized to the antipode. The action of the Poincaré group on Minkowski space is given by a coaction defined on the generators of Minkowski space. We call $ \cO(\M) $ the algebra of polynomials in the Minkowski generators. This formalism is convenient because it allows us to perform the quantization of the Minkowski space in a direct way. Quantum groups \cite{ka} can be seen as deformations of Lie groups. The operations of product, coproduct and antipode are defined in terms of a non commutativity paramether $q$. The algebras involved here are defined as polynomials in terms of non commutative generators (non commutative variables). In the particular case where $q = 1$, we recover the commutative algebra. In Section \ref{sec:The quantum} a deformation of the Grassmannian and Minkowski space in terms of quantum groups is given. Moreover, in ref.\cite{cfl1} a quantization of chiral super Minkowski space in terms of quantum groups is given. We denote it by $\mathcal{O}_q(M)$. Working with fields defined on the quantum variables $\cO_q(\M)$ offers a great difficulty. We can define a map $\C_q$ between $ \cO(\M) $ and $\cO_q(\M)$, which are isomorphic as modules, so we work with 'classical' objects (the fields defined on the usual Minkowski space) and introduce the non commutativity using a non commutative product for the fields. This map is the so called {\em quantization map} or {\em ordering rule}. In Chapter \ref{star} we define a non commutative product ({\em star product}) in $G(2,4)$ comming from the gluing of star products on the \textit{big cells} (the Minkowski space). In Minkowski space, an ordering rule is used. This product is associative by construction and defined for polynomials in $G(2,4)$, i.e., purely algebraic. To apply this product to a field theory it is mandatory to make a generalization to smooth functions defined in $G(2,4)$. For this we have to find a differential expression of the star product. Redefining $ q = e^h$ it is possible to perform an expansion, which can be reproduced by the action of bidifferential operators on the classical polynomials (see Section \ref{sec:Differential}). This result is non trivial, because the coefficients multiplying each monomial must match carefully. A careful analysis on the structure of the terms which appear in the star product allows to demostrate that all the polynomials that appear in the development of the star product have the correct structure, so the star product is differentiable and its expression by means of a bidifferential operator is unique. Thanks to this we define the star product on smooth functions in $ \cO(\M) $ as the corresponding expansion in terms of bidifferential operators. To write down the differential operators to an arbitrary order in the non commutativity paramether the explicit calculation must be done. We compute them to order 2 and show that they exist to arbitrary order. It is also possible to define a star product for the Poincaré group (Chapter \ref{sec:Poincare}). An ordering rule for the generators of the group is defined (see Appendix \ref{diamondlemmathm}) and we follow a procedure analogous to the one used for the star product in Minkowski space. Next, we define a {\em star coaction} compatible with the star product, using the quantization map. The star coaction, when acting on the generators of Minkowski space, is formally identical to the classical one, being all the non commutative effects due to the presence of the star product. This coaction is algebraic, so to be able to apply it to smooth functions we need to find how to express it in terms of differential operators. In this case we study the action of the group on Minkowski space as a differential operator which acts on a single argument: the classical result of the action. It is possible to find a first order expression for the action, which can be reproduced by a differential operator. In this way we define the action of the group on smooth functions (up to first order). Up to here we have worked with complex Minkowski space and complex groups. In Chapter \ref{sec:The real} we discuss the problem of finding the corresponding real forms. Classically the problem reduces to that of finding an {\it involution}, i.e., an automorphism with properties (\ref{invProps}), whose set of fixed points is the real form. We give an involutive automorphism for Minkowski and Euclidean space, with the real forms of the groups which act on them. The quantum case is different, because the involution must be consistent with the commutation rules, which forces it to be an antiisomorphism (i.e. an {\em antiinvolution}). This rules out the interpretation of the real form as the set of fixed points of the antiinvolution. Another consequence is that, when we equip the classical real Minkowski space with the star product that we have defined, the Poisson bracket is purely imaginary. \bigskip Non linear \textit{sigma models} are built with a set of 2 dimensional fields taking values at the points of a differentiable manifold (the so called \textit{target space}). Although they are described in terms of local coordinates, differential manifolds do not have privileged reference coordinates as the linear spaces. Sigma models then present a global invariance with respect to dipheomorphisms of the target space. The fields in a sigma model interact mainly due to a Riemannian metric in the target manifold, represented by a symmetric covariant 2-tensor. They can also interact by means of some other objects, like an antisymmetric tensor or a scalar field (the dilaton). It is specially interesting when there is a group acting on the manifold. The global properties of the manifold are important to study the action of the group: the easiest examples are the 'coset' spaces of type G/H, with H a subgroup of G. H is the isotropy group or \textit{little group}. The action of the group G is transitive in this case. The cases where the target manifold is itself a Lie group are also interesting; the action is the left and right multiplication of the group. The action is not only transitive: it does not have any fixed point. When the group acts by isometries of the metric (or, for other kinds of interactions, the Lie derivative of the object is zero) this global symmetry can be made local introducing a non linear connection in the space. This is what is called a \textit{gauged sigma model}, which appears in supersymmetric and Supergravity theories. In supersymmetric and Supergravity theories, the sigma models appears because the supersymmetry representations (multiplets) generically contain scalars whose lagrangians are sigma models plus interaction terms with other fields. Sigma models also appear in the context of 2-dimensional theories. In this case the worldsheet of a string plays the role of the spacetime and the target space is the spacetime where the string moves. If there is conformal invariance these theories show invariance under the action of the infinite-dimensional Virasoro algebra. A classical example are Wess-Zumino-Witten (WZW) models, which are also invariant under Kac-Moody algebras. In ref.\cite{aflm} certain hierarchies of sigma models appearing in Supergravity models were discovered. These hierarchies correspond to generalized contractions \cite{iw, woods} of the isometry group of the original model. The contractions decouple some fields and model exact truncations or integrations on massive modes. Modelling the integrations of massive modes by the geometric procedure of a contraction simplifies technically the problem. The 2-dimensional Wess-Zumino-Witten models describe vacuum solutions for a string. The WZW action contains two parts: the integral of a 3-form in a 3-dimensional manifold whose compact border is a compactification of the string worldsheet, and the metric term which is an integral on the worldsheet. The forms are biinvariants (left and right invariants) under the action of the symmetry group. A WZW model can be, at least locally, written as a sigma model with a biinvariant metric and a 2-form which, under the action of the symmetry group, changes by the differential of a function. The relative constant between both terms is choosen to get a conformally invariant model. The gauging of a WZW model \cite{hs} is performed by minimal coupling if the antisymmetric tensor is invariant under the gauged isometries. If it is not, gauging is still possible if we include additional terms to the model, provided that the symmetry subgroup which we wish to gauge is anomaly free \cite{hs}. In the series of coset spaces $\rSO(2,n)/\rSO(2) \times \rSO(n)$ (Chapter \ref{WZW}) it is possible to define a metric and a left invariant 2-form. With these objects we construct what we call invariant sigma models (ISM). One question that we address is if the result of gauging the $\rSO(2) \times \rSO(n)$ subgrup in a $ \rSO(2,n) $ WZW model is a ISM model. The result is negative. For example we take the $\rSO(2,1)/\rSO(2)$ group (the simplest one). We use {\em solvable coordinates} in the coset. The solvable coordinates are convenient because they allow us to perform the calculation of the metric and the 2-form easily and also give simple outputs for these objects. They also make the comparison with ref.\cite{aflm} possible. In Section \ref{gaugeso21} we check that this model is different than the $ \rSO(2,1)/\rSO(2)^\mathrm{R} $ gauged WZW model, which is a free boson. The one loop beta equations tell us that the ISM model is not conformally invariant. Instead, it is invariant under the left action of $\rSO(2,1)$ on the coset. In ref.\cite{aflm} it is shown that gauging a subgroup (H) of the isometry group (G) of a sigma model consisting only in the metric term is a sigma model in the quotient manifold (G/H), invariant under the left action of G. We show that this is not true anymore for a WZW model due to the existence of the antisymmetric tensor. The next example is the coset $\rSO(2,2)/\rSO(2) \times \rSO(2)$ (see Section \ref{so22}). As before, we compute the metric and the 2-form and show that the model is not conformally invariant at a quantum level. Analogous conclusions are valid for the group $ \rSO(2,3)/\rSO(2) \times \rSO(3)$ (see Section \ref{so23}). In the series of symmetric spaces $ \rSO(2,n)/\rSO(2) \times \rSO(n) $ it is also possible to relate groups with different $n$ using contractions of Lie algebras. The procedure to contract the metric was defined in ref.\cite{aflm}, but the generalization to contract any invariant tensor is new. The contraction of the coset space $\rSO(2,3)/\rSO(2) \times \rSO(3)$ with respect to $\rSO(1,3)/\rSO(3)$ has special interest. In this case it is possible the calculation of the 2-form to get a $\left(\rSO(3,1)/\rSO(3) \right) \times \R^m$ model. Unfortunately the model is not left invariant under the full $ \rSO(1,3) $ group. \bigskip The deformation of Lie algebras is a procedure which has importance in Mathematics and Physics. In Chapter \ref{sec:Contraction} we have studied how to relate ISM models with different symmetry group using Inönü-Wigner contractions. We can find contractions applied to Supergravity models in ref.\cite{aflm}. A contraction of a Lie group is a procedure which changes the structure constants without changing the number of generators. Expansions of Lie algebras by discrete semigroups (\textit{S-expansions}, see Section \ref{sec:expansion}) were introduced some years ago in refs.\cite{K1,K2,K3,K4,K5}. We take a discrete semigroup and a Lie algebra and define a new Lie bracket in the direct product space. It can be shown that this bracket is associative, antisymmetric and satisfies the Jacobi identity, so the result is a Lie algebra. An S-expansion changes the dimension of the algebra, since it goes from an $n$-dimensional algebra to a $n\times m$-dimensional one (being $m$ the order of the semigroup). It is possible to extract algebras of a smaller dimension from an S-expanded algebra. It is the case where there is a \textit{resonant decomposition} of the semigroup. One can then extract the \textit{resonant subalgebra} of the S-expanded algebra. In case the semigroup has a zero element, it is also possible to perform a reduction by zero. The reduced algebra is a quotient of the S-expanded one. Sometimes it is even possible to perform two reductions by zero. This is reviewed in Section \ref{sec:expansion}. There are certain properties of the algebras that are preserved under an S-expansion. We study them in Chapter \ref{c:sexpansions}. When we expand a solvable algebra the result is another solvable algebra. A consequence of this is the solvability of the resonant subalgebra. Finally, the 0-reduced algebra is also solvable. The same happens with the nilpotency. When we expand a semisimple algebra we can not ensure the semisimplicity of the S-expanded algebra, its resonant subalgebras or a 0-reduced algebra. So happens with compactness. In Section \ref{sl2} we use computer programs to S-expand $ \fsl(2) $ and study the semisimplicity of the S-expanded algebras, its resonant subalgebras and the 0-reduced ones. This is an example of the kind of classification which can be performed for the S-expanded algebras. A complete study of all the S-expansions by semigroups up to order 6 of all the simple algebras (up to some dimension) must be performed in the future. We have developed a Java library for this \cite{mn}. This is a useful tool to study S-expansions. With it we can also look for resonant decompositions, get the resonant subalgebras, the 0-reduced ones and check them for semisimplicity. In the future we will implement the study of other properties of the algebra. Using S-expansions it is possible to relate Lie algebras with different dimensions. The problem of knowing if two algebras can be related by means of an expansion is very interesting from both the physical and the mathematical points of view. In fact, many physical applications have been found in this context: for example, in ref.\cite{K2} the $M$-algebra (the maximal supersymmetric extension of the Poincar\'{e} algebra) is obtained as an expansion of the $\mathfrak{osp}$(32/1) algebra. In ref.\cite{irs1} this result was reobtained but via the S-expansion method which gives in addition the invariant tensors of the expanded algebra. This allowed the construction of an 11-dimensional gauge theory for the $M$-algebra. Invariant tensors are known for all the semisimple Lie algebras but this is not true for the non semisimple ones. Here the role of the expansion using semigroups is important because it gives the invariant tensors for the expanded algebra in terms of those of the original algebra (if they are known). So starting from a semisimple algebra it is possible to obtain invariant tensors for the expanded algebra even when it is not semisimple. This is the case of the simple algebra $\mathfrak{osp}(32/1)$ whose expansion yields the invariant tensors for the $M$ algebra. Other interesting applications are in ref.\cite{irs2} where (2+1)-dimensional Chern-Simons AdS gravity is obtained from the so called \textit{exotic gravity}. In ref.\cite{K15}, standard General Relativity is obtained from Chern-Simons Gravity. Finally, in ref.\cite{K17} a generalized action for $(2+1)$-dimensional Chern-Simons Gravity is found. In Chapter \ref{c:bianchi} we explore the relations between the 2-dimensional and 3-dimensional Lie algebras, which were classified by Bianchi in ref.\cite{bian}. We find that only going to the resonant subalgebra we can find those relations. In fact, in the case when different resonant decompositions of the same semigroup exist, it is possible to relate different algebras performing the expansion with the same semigroup. Using an iterative procedure it is possible to deduce some conditions on the multiplication table of a semigroup and then look for all the possible ways to satisfy these conditions with different semigroups. This is done with the help of computer programs developed by us \cite{mn}. The programs used in Chapters \ref{c:sexpansions} and \ref{c:bianchi} are reviewed in Appendix \ref{java}. Even when these algebras are well known in the literature \cite{bian}, the non-trivial relations that we find between $2$ and $3$-dimensional algebras are new and interesting results. A possible generalization of this procedure to higher dimensions can be useful in physical applications.Here we summarize the results presented in this Thesis. We have computed an explicit formula for that star product on Minkowski space which has several properties: \begin{itemize} \item It can be extended to a star product on the conformal space $G(2,4)$. This is done by gluing the star products computed in each open set (\ref{opensets}). \item It can be extended to act on smooth functions as a differential star product. \item The Poisson bracket is quadratic in the coordinates. \item There is a coaction of the quantum Poincar\'{e} group (or the conformal group in the case of the conformal spacetime) on the star product algebra. \item It has at least two real forms corresponding to the Euclidean and Minkowskiam signatures. \item It can be extended to the superspace (to chiral and real superfields). \end{itemize} Since fields are smooth functions, the differentiability of the star product gives a hope that one can develop a quantum deformed field theory, that is, a field theory on the quantum deformed Minkowski space. The departure point will be to find a generalization of the Laplacian and the Dirac operator associated to the quantum invariant $C_q$. One advantage of using the quantum group $\rSL_q(4,\C)$ is that the coalgebra structure is isomorphic to the coalgebra of the classical group $\rSL(4,\C)$ (see for example Theorem 6.1.8 in ref.\cite{ch}). This means that the group law is unchanged, so the Poincar\'{e} symmetry principle of the field theory would be preserved in the quantum deformed case. Those results have been published in ref.\cite{cfln}. \bigskip We have defined what we call {\em Invariant Sigma Models} (ISM). These models can be defined in the series of coset spaces $ \rSO(2,n)/\rSO(2) \times \rSO(n) $ due to the existence of a left-invariant 2-form. We have built explicitely the $ \rSO(2,1)/\rSO(2) $, $ \rSO(2,2)/\rSO(2) \times \rSO(2) $ and $ \rSO(2,3)/\rSO(2) \times \rSO(3) $ models. We have discussed exhaustively the $ \rSO(2,1)/\rSO(2) $, comparing it to the $\rSO(2,1)/\rSO(2)^R $ gauged Wess-Zumino-Witten model. We have showed that, although these models coincide if there is no antisymmetric form, in general they are different. The $ \rSO(2,1)/\rSO(2) $ ISM does not show conformal invariance at a quantum level, even adding a non trivial dilaton. We discuss the contraction of ISM. We have defined the method to deform invariant tensors and we have applied it to the contraction of $ \rSO(2,3)/\rSO(2) \times \rSO(3) $ with respect to $ \rSO(2,2)/\rSO(2) \times \rSO(2) $ and with respect to $ \rSO(3,1)/\rSO(3) $. We have performed both, usual and generalized contractions which can be interpreted as truncations of massive modes. Those results will be published in ref.\cite{lnp}. \bigskip We show that the properties of commutativity, solvability and nilpotency of the Lie algebras are preserved under a $S$-expansion. Other properties like semisimplicity and compactness are not necessarily preserved. This depends on the semigroup used to perform the expansion procedure \cite{Poli}. Finally, we gave an interesting example studying all the possible expansions of the semisimple algebra $\fsl(2, \mathbb{R} )$ by abelian semigroups. All our theoretical results were verified by using this example. We must point out that we could not get a simple algebra expanding $ \fsl(2) $, but we do not have any theoretical result forbiding the obtention of a simple algebra as the result of an S-expansion. Finding such result is a work to do in the future. We have collected these results in ref.\cite{Poli}, to appear soon. Finally, we have presented a complete study about the possibility of relating, by means of an expansion, two and three dimensional Lie algebras, specifically those of type I, II, III and V (according to Bianchi's classification), as expansions of the Lie algebras in $2$ dimensions. It can happen that different semigroups lead to the same expanded algebra. Also, it is shown that the other Bianchi algebras, types IV, VI-IX, cannot be obtained as an expansion from the algebras in $2$ dimensions. This means that there are some algebras that have properties in some sense intrinsic to $3$ dimensions. This work has been published in ref.\cite{ckmn}.