[en] ABSTRACT: A study of the Casas-Alvero Conjecture is made in this work, organizing its analysis with the treatment of polynomials with a fixed number of different roots. We introduce both general cases where this conjecture is true and we discard particular cases in degree 20, first case where it is not known yet if the conjecture is true. In the first chapter of this paper we give some general results found in [4], [8], [6] and [3]. In particular, the statement (and proof) of one of the theorems in [6] is corrected. The second chapter shows that for all polynomials with coeficients in a field of characteristic 0 with two and three different roots, the conjecture is true. For polynomials with four and five different roots, a new strategy is introduced that allows, for a fixed degree, to proof if the conjecture is true. Also, and motivated by the above, new restrictions are introduced to the possible counterexamples of the conjecture showing that these can not exist, for example, if the last derivatives, up to a certain order, have the same root in common. Finally, it is shown that the Casas-Alvero Conjecture is true for all 20 polynomials with four, five and six different roots, using the aforementioned strategy and calculating Gröbner's bases of the last k derivatives, where k is the number of different roots of the polynomial considered. In summary, of the 627 possible cases in grade 20, it has been demonstrated that, in 302 of them, the Casas-Alvero Conjecture is true. Seeing the impossibility of solving this problem using this method, Tropical Geometry is used to study a concrete example of polynomials where the conjecture is true for classical definitions, but with tropical definitions it is false. In the annexe the concepts and results that have been used throughout the memory are shown: Elimination Theory, Gröbner Basis and Newton's Identities.

[es] RESUMEN: Se hace en este trabajo un estudio de la Conjetura Casas-Alvero organizando su análisis con el tratamiento de los polinomios con un número fijo de raíces distintas. Se introducen tanto casos generales en donde esta conjetura se cumple como se descartan casos particulares en grado 20, primer caso donde no se conoce aún si la conjetura es cierta. En el primer capítulo de este trabajo damos algunos resultados generales encontrados en [4], [8], [6] y [3]. En particular, se corrige el enunciado (y la demostración) de uno de los teoremas en [6]. En el segundo capítulo se demuestra que para todos los polinomios con coeficientes en un cuerpo de característica 0 con dos y tres raíces distintas, la conjetura es cierta. Para los polinomios con cuatro y cinco raíces distintas se introduce una nueva estrategia que permite, para grado fijo, el comprobar si la conjetura es cierta. Asimismo, y motivado por lo anterior, se introducen nuevas restricciones a los posibles contraejemplos de la conjetura mostrando que estos no pueden existir, por ejemplo, si las últimas derivadas, hasta cierto orden, tienen una misma raíz en común. Finalmente se demuestra que la Conjetura de Casas-Alvero es cierta para todos los polinomios de grado 20 con cuatro, cinco y seis raíces distintas, usando la estrategia antes mencionada y calculando las bases de Gröbner de las últimas k derivadas, donde k es el número de raíces diferentes del polinomio considerado. En resumen, de los 627 casos posibles en grado 20, se ha demostrado que, en 302 de ellos, la Conjetura de Casas-Alvero es cierta. Viendo la imposibilidad de resolver este problema mediante este método, se utiliza la Geometría Tropical para estudiar un ejemplo concreto de polinomios en donde la conjetura es cierta para las definiciones clásicas, pero con las definiciones tropicales resulta falsa. En el anexo se muestran los conceptos y resultados que se han usado a lo largo de la memoria: Teoría de la Eliminación, Bases de Gröbner y las Identidades de Newton.