[en] The present doctoral thesis is framed in the study of the center and cyclicity problems, as well as isochronicity and criticality, in the context of the qualitative theory of differential equations. This memory is organized in three chapters. The first chapter deals with the center and cyclicity problems. We start by giving a deeper and more exhaustive description of the center and cyclicity problems, together with a brief introduction to the main tools about polynomial ideals and some classical techniques for classifying centers, such as symmetries or Darboux Integrability Theory. We proceed then to a more detailed analysis on Lyapunov constants, by showing methods to compute them and how these calculations can be computationally implemented, stressing the importance of parallelization in the used techniques. Later, we deal with the center and cyclicity problems for some families of differential equations in the plane. We also collect a series of advances in the computation of Lyapunov constants and the determination of their structure. In the last section of Chapter 1 we study the Hopf-bifurcation in 3-dimensional polynomial vector fields, with the objective to find the highest possible number of limit cycles for different degrees. The used techniques have enabled to find 11 limit cycles for quadratic systems, 31 for cubic systems, 54 for quartic systems, and 92 for quintic systems, which to the best of our knowledge are the highest numbers found so far. The second chapter is devoted to the study of isochronicity and criticality. We start by defining both concepts in more detail, working on the notions of period function and critical periods. Then, the equivalence between isochronicity and linearizability is introduced, together with other tools to study isochronicity which are the Lie bracket and commuting transversal systems as well as the computation of period constants. The next section in Chapter 2 aims to find the maximum number of critical periods which unfold from low degree n planar polynomial centers when perturbing reversible holomorphic isochronous centers inside the reversible class. We prove that 6 critical periods are seen for the cubic case, 10 for the quartic case, (n^2+n-2)/2 for n between 5 and 9 (both included), and (n^2+n-4)/2 for n between 10 and 16 (both included). The final section of this chapter introduces the idea of using an equivalent of Melnikov functions for the bifurcation of critical periods instead of limit cycles. This allows to obtain 10, 22, 37, 57, 80, 106, and 136 critical periods for n = 4, 6, 8, 10, 12, 14, and 16, respectively. We also classify some isochronous centers throughout this section. The last chapter presents a new problem that, to the best of our knowledge, has never been considered before. This problem consists on simultaneously studying the bifurcation of limit cycles and critical periods for a system of differential equations in the plane, obtaining a value (k,l) which means that k limit cycles and l critical periods can simulteneously unfold. In this line, we will define the term bi-weakness [k,l] as a concept for the degree of the first nonzero coefficients in the return map k and the period function l at the same time, being both the center and isochronicity properties not kept. We study the bi-weakness for different classical families, and we give a complete classification of the simultaneous cyclicity and criticality for the cubic Liénard system. We also show the isochronicity for some Liénard families in this part.

[es] La presente tesis doctoral se enmarca en el estudio de los problemas de centro y ciclicidad, así como de isocronía y criticalidad, en el contexto de la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales. Esta memoria está organizada en tres capítulos. El primer capítulo trata los problemas del centro y la ciclicidad. Comenzamos dando una descripción más profunda y exhaustiva de los problemas de centro y ciclicidad, junto con una breve introducción a las principales herramientas sobre ideales polinomiales y algunas técnicas clásicas para clasificar centros, como las simetrías o la Teoría de Integrabilidad de Darboux. Luego procedemos a un análisis más detallado de las constantes de Lyapunov, mostrando métodos para calcularlas y cómo estos cálculos pueden implementarse computacionalmente, enfatizando la importancia de la paralelización en las técnicas utilizadas. Posteriormente, tratamos los problemas de centro y ciclicidad para algunas familias de ecuaciones diferenciales en el plano. También recopilamos una serie de avances en el cálculo de las constantes de Lyapunov y la determinación de su estructura. En la última sección del Capítulo 1 estudiamos la bifurcación de Hopf en campos vectoriales polinomiales tridimensionales, con el objetivo de encontrar el mayor número posible de ciclos límite para diferentes grados. Las técnicas empleadas han permitido encontrar 11 ciclos límite para sistemas cuadráticos, 31 para sistemas cúbicos, 54 para sistemas cuárticos y 92 para sistemas quínticos, que a nuestro saber son los números más altos encontrados hasta el momento. El segundo capítulo está dedicado al estudio de la isocronía y la criticalidad. Comenzamos por definir ambos conceptos con más detalle, trabajando en las nociones de función de período y períodos críticos. A continuación, se introduce la equivalencia entre isocronía y linealizabilidad, junto con otras herramientas para el estudio de la isocronía que son el corchete de Lie y los sistemas transversales que conmutan, así como el cálculo de constantes de período. La siguiente sección del Capítulo 2 tiene como objetivo encontrar el número máximo de períodos críticos que se desplegan a partir de centros polinomiales en el plano de grado bajo n cuando se perturban los centros isócronos holomorfos reversibles dentro de la clase reversible. Demostramos que aparecen 6 períodos críticos para el caso cúbico, 10 para el caso cuártico, (n^2+n-2)/2 para n entre 5 y 9 (ambos incluidos) y (n^2+n-4)/2 para n entre 10 y 16 (ambos incluidos). La sección final de este capítulo presenta la idea de utilizar un equivalente de funciones de Melnikov para la bifurcación de períodos críticos en lugar de ciclos límite. Esto permite obtener 10, 22, 37, 57, 80, 106 y 136 períodos críticos para n = 4, 6, 8, 10, 12, 14 y 16, respectivamente. También clasificamos algunos centros isócronos a lo largo de esta sección. El último capítulo presenta un nuevo problema que, hasta donde sabemos, nunca antes se había considerado. Este problema consiste en estudiar simultáneamente la bifurcación de ciclos límite y períodos críticos para un sistema de ecuaciones diferenciales en el plano, obteniendo un valor (k,l) que significa que k ciclos límite y l períodos críticos pueden desarrollarse simultáneamente. En esta línea, definiremos el término bi-debilidad [k,l] como un concepto para el grado de los primeros coeficientes distintos de cero en la aplicación de retorno k y la función de período l al mismo tiempo, sin mantener las propiedades de centro e isocronía. Estudiamos la bi-debilidad para diferentes familias clásicas, y damos una clasificación completa de la ciclicidad y criticalidad simultáneas para el sistema de Liénard cúbico. También mostramos la isocronía de algunas familias de Liénard en esta parte.