[en] In theoretical physics, Quantum Field Theory (QFT) is an extremely successful theoretical framework combining both Special Relativity and Quantum Mechanics, enabling to design physical models of subatomic particles and quasiparticles describing the most fundamental aspects of matter with an incredibly high accuracy. Among these theories, the Chern-Simons QFT is a special one, not only describing topological phenomena in physics such as the Quantum Hall Effect, but also fitting the notion of what is known as a Topological Quantum Field Theory (TQFT). It was by using the axioms of TQFTs that Edward Witten showed back in 1989 how closely related the Chern-Simons theory is to the realm of polynomial invariants appearing in Knot Theory, such as the well-known Jones polynomial. In the past years, further research in this field has led to new and more powerful invariants of links and, by means of Dehn surgeries on them, of 3-manifolds as well. For instance, the Gukov-Manolescu series proposed recently in 2020 —denoted FK(x, q)— is a conjectural invariant of knot complements that, in a sense, analytically continues the colored Jones polynomials. Shortly after, Sunghyuk Park introduced the Large Color R-matrix approach for sl(2,C) to study FK for some simple links, giving a definition of FK for positive braid knots and computing FK for various knots and links. This procedure has in turn been extended by Angus Gruen to all other Lie algebras sl(n+1) beyond sl(2). In this work, after a broad review on the above mentioned background, we move on to the family so(2n) of complex semisimple Lie algebras in Cartan's classification, mainly focusing on the so(8) case attracted by the three-fold symmetry in its Dynkin diagram D4.

[es] En física teórica, la Teoría Cuántica de Campos (TCC) es un marco teórico extremadamente exitoso que combina la Relatividad Especial con la Mecánica Cuántica, permitiendo el diseño de modelos físicos de las partículas subatómicas y cuasipartículas que describen los aspectos más fundamentales de la materia con una precisión increíblemente alta. Entre dichas teorías, la TCC Chern-Simons es una especial, que no sólo describe fenómenos topológicos en física tales como el Efecto Hall Cuántico, sino que encaja con la noción de lo que se conoce como una Teoría Topológica de Campos Cuánticos (TTCC). Fue utilizando estos axiomas de las TTCCs que Edward Witten mostró en 1989 cómo de estrechamente relacionada está la teoría de Chern-Simons con el ámbito de invariantes polinómicos que aparecen en la Teoría de Nudos, tales como el bien conocido polinomio de Jones. En estos últimos años, investigaciones en este campo han dado lugar a nuevos y más poderosos invariantes de enlaces y, a través de cirugías de Dehn sobre ellos, así mismo de 3-variedades. Por ejemplo, la serie de Gukov-Manolescu recientemente propuesta en 2020 —denotada FK(x, q)— es un invariante conjetural de complementos de nudos que, en cierto sentido, continúa analíticamente los polinomios de Jones coloreados. Poco después, Sunghyuk Park introdujo el enfoque de la Matriz R de Gran Color correspondiente a sl(2,C) para estudiar FK para trenzados positivos y calcular FK para varios nudos y enlaces. Este procedimiento ha sido a su vez extendido por Angus Gruen a todas las otras álgebras de Lie sl(n+1) más allá de sl(2). En la presente obra, tras un extenso repaso sobre los anteriormente mencionados conceptos, abordamos la família so(2n) de álgebras de Lie semisimples sobre los complejos en la clasificación de Cartan, centrándonos principalmente en el caso so(8) atraídos por la simetría triple en su diagrama de Dynkin D4.