[en] Mathematical rigor is commonly formulated by mathematicians and philosophers using the notion of proof gap: a mathematical proof is rigorous when there is no gap in the mathematical reasoning of the proof. Any philosophical approach to mathematical rigor along this line requires then an account of what a proof gap is. However, the notion of proof gap makes sense only relatively to a given conception of valid mathematical reasoning, i.e., to a given conception of the validity of mathematical inference. A proof gap can in particular be conceived as a failure in drawing a valid mathematical inference. The aim of this paper is to discuss two possible views of the validity of math­ematical inference with respect to their capacity to yield a plausible account of the intuitive notion(s) of proof gap present in mathematical practice. The first view is the one provided by the contemporary standards of mathematical rigor: a mathematical inference is valid if and only if its conclusion can be formally derived from its premises. We will argue that this conception does not lead to a plausible account of the intuitive notion(s) of proof gap. The second view is based on a new account of the validity of inference proposed by Prawitz: an inference is valid if and only if it consists in an operation that provides a ground for its conclusion given (previously obtained) grounds for its premises. We will first specify Prawitz's account to mathematical inference and we will then argue that the resulting ground-based account is able to capture various intuitive notions of proof gap as different types of failure in drawing valid mathematical inferences. We conclude that the ground-based account ap­pears of particular interest for the philosophy of mathematical practice, and we finally raise several challenges facing a full development of a ground-based account of the notions of mathematical rigor, proof gap and the validity of mathematical inference.

[fr] Mathématiciens et philosophes définissent communément la rigueur mathématique de la manière suivante : une preuve mathématique est rigoureuse dès lors qu'elle ne présente aucun " trou " dans le raisonnement mathématique qui la compose. Toute approche philosophique de la rigueur mathématique formulée suivant cette conception se doit de définir la notion de " trou ". Cependant, une telle notion ne peut être pensée que relativement à une conception du raisonnement mathématique valide, i.e., de la validité de l'inférenee mathématique. Un " trou " dans une preuve mathématique peut ainsi être conçu comme un échec dans la production d'une inférence mathématique valide. L'objectif de cet article est d'évaluer deux conceptions de la validité de l'inférence mathématique par rapport à leur capacité à fournir une explication plausible des notions intuitives de " trou " présentes dans la pratique mathématique. La première conception est issue des standards contemporains de la rigueur mathématique : une inférence mathématique est valide si, et seulement si, sa conclusion peut être dérivée formellement à partir de ses prémisses. Nous montrerons que cette conception ne peut fournir une explication plausible des notions intuitives de " trou " dans les preuves mathématiques. La seconde conception est issue d'une nouvelle approche de la validité de l'inférence proposée par Prawitz : une inférence est valide si, et seulement si, elle consiste en une opération produisant une justification pour sa conclusion à partir de justifications pour ses prémisses. Nous adapterons tout d'abord cette conception à l'inférence mathématique et nous montrerons alors qu'elle est en mesure d'accommoder différentes notions intuitives de " trou " à travers différents types d'échecs dans la production d'inférences mathématiques valides. Nous conclurons en soulignant l'intérêt de cette conception pour la philosophie de la pratique mathématique, et nous relèverons un certain nombre de défis confrontant le développement d'une telle approche des notions de rigueur mathématique, de " trou " et de validité de l'inférence mathématique.