[en] The main objective of this thesis is the study of the evolution under the Ricci flow of surfaces with singularities of cone type. A second objective, emerged from the techniques we use, is the study of families of Ricci flow solitons in dimension 2 and 3. The Ricci flow is an evolution equation for Riemannian manifolds, introduced by R. Hamilton in 1982. It is from the achievements made by G. Perelman with this technique in 2002 when the Ricci flow has been established in a discipline itself, generating a great interest in the community. This thesis contains four original results. First result is a complete classification of solitons in smooth and cone surfaces. This cllassification completes the preceding results found by Hamilton, Chow and Wu and others, and we obtain explicit descriptions of all solitons in dimension 2. Second result is a Geometrization of cone surfaces by Ricci flow. This result, which uses the aforementioned first result, extends the theory of Hamilton to the singular case. This is the most comprehensive result in the thesis, for which we use and develop analysis and PDE techniques, as well as comparison geometry techniques. Third result is the existence of a Ricci flow that removes cone singularities. This clearly exposes the non-uniqueness of solutions to the flow , in analogy to the Ricci flow with cusps of P. Topping. The fourth result is the construction of a new expanding gradient Ricci soliton in dimension 3. Just as we do with solitons on cone surfaces, we give an explicit construction using techniques of phase portraits. We also prove that this is the only soliton with its topology and its lower bound of the curvature, and besides this is a critical case amongst all expanding solitons in dimension 3 with curvature bounded below. Furthermore, we show that the evolution of its scalar curvature is not monotone.

[es] El principal objetivo de esta tesis es el estudio de la evolución mediante el flujo de Ricci de superficies con singularidades de tipo cónico. Un segundo objetivo, surgido de las técnicas que utilizamos, es el estudio de familias de solitones del flujo de Ricci en dimensión 2 y 3. El flujo de Ricci es una ecuación de evolución para variedades Riemannianas, introducida por R. Hamilton en 1982. Es desde los logros alcanzados por G. Perelman con esta técnica en 2002 cuando el flujo de Ricci se ha establecido en una disciplina propia, despertando un gran interés en la comunidad. Esta tesis contiene cuatro resultados originales. El primer resultado es una clasificación exhaustiva de los solitones en superficies lisas y cónicas. Con esta clasificación completamos los precedentes hallados por Hamilton, Chow y Wu entre otros, y obtenemos descripciones explícitas de todos los solitones en dimensión 2. El segundo resultado es una Geometrización de las superficies cónicas mediante el flujo de Ricci. Este resultado, que utiliza el primer resultado ya mencionado, extiende la teoría de Hamilton al caso singular. Este es el resultado más extenso, para el que usamos y desarrollamos técnicas tanto de análisis y EDPs como de geometría de comparación. El tercer resultado es la existencia de un flujo de Ricci que elimina las singularidades cónicas. Esto expone claramente la no unicidad de soluciones al flujo, en analogía a los flujos de Ricci con cúspides de P. Topping. El cuarto resultado es la construcción de un nuevo solitón gradiente expansivo en dimensión 3. Del mismo modo que con los solitones cónicos, damos una construcción explícita utilizando técnicas de retratos de fase. Demostramos también que es el único solitón con su topología y su cota inferior de la curvatura, y que es un caso crítico entre todos los solitones expansivos en dimensión 3 con curvatura acotada inferiormente. Además, mostramos que la evolución de su curvatura escalar no es monótona.