[en] In the first work, published in the Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, we developed the novel idea of computing the box-counting dimension by analyzing the cut points with the boxes that crosslink the subsets of the plane of a covering curve modeled by a one-dimensional function. We emphasize that this allows the computation of the box-counting dimension in a much more precise way than up to the present in which the counting was done in a more rudimentary way. As an application of our theoretical mathematical results in this work, we explore the fractal nature of a patient with periodontitis whose trabecular structure can vary with respect to healthy subjects. We selected this patient specifically because his CBCT was of very high quality and resolution. We perform an analysis of computation times between the three fractal invariants. In the second paper, published in the journal Discrete and Continuous Dynamical Systems S, we provide all the mathematical tools that we apply to carry out the clinical study on the samples collected. More specifically, this paper contained the basic concepts of the box-counting dimension and described the concept of fractal structure (on which our theoretical results are based). In particular, we define the natural fractal structure in the Euclidean plane. Since we were interested in the calculation of the box-counting dimension for flat CBCT images, all our theoretical development is in the context of the subsets of the plane. We present a section where our computational results are discussed. In fact, we explain how the calculations with respect to the box-counting dimension of the CBCT images have been carried out through three different approaches, namely the standard box-counting algorithm and two novel approaches based on our theorems. In the third work, published in Symmetry, the objective was to describe all the anatomical considerations that surround the nasopalalatin foramen, relating them to the study of bone density, through the fractal dimension, in that same area. We consecutively selected a sample of 100 patients, all with CBCT performed for treatment needs. We chose a specific window (ROI), which coincides with an axial cut at the level of the nasopalatine foramen exit. We analyze different anthropometric measures together with the analysis of the fractal dimension. This was an observational and transversal clinical study, in which we selected a sample of 100 patients consecutively from the dental clinic of the University of Murcia (Spain). The study was approved by the Bioethics Committee of the University of Murcia. All individuals gave their informed consent in writing before participating. The inclusion criteria were applied: patients in both systemic and dental health conditions, not pregnant, that did not contain artifacts. Of these 100 initial patients, we had 77 who met all the criteria described above (5 were discarded because they were treated with bisphosphonates and 18 from the beginning). The images that presented artifacts or were not considered with sufficient quality to be able to apply the mathematical computation algorithm of the fractal dimension were discarded. We proceeded to select a specific ROI that was obtained in the axial plane, visualizing the nasopalatine foramen and the canine mamelons on both sides. Thanks to the third article we can conclude that the fractal dimension is a mathematical invariant that behaves symmetrically for binary images of the scanner of each subject of our study sample for the contour of the nasopalalatin foramen. We also concluded that there were no significant differences between all the anthropometric measurements used neither in the subjects themselves nor in the different groups. Therefore, a symmetry pattern is observed at all levels.

[es] En el primer trabajo, publicado en Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, desarrollamos la novedosa idea de computar la dimensión box-counting analizando los puntos de corte con las cajas que reticulan los subconjuntos del plano de una curva recubridora modelizada mediante un una función unidimensional. Remarcamos que esto permite el cómputo de la dimensión box-counting de una manera mucho más precisa que hasta la actualidad en donde se venía realizando el conteo de una manera más rudimentaria. Como una aplicación de nuestros resultados matemáticos teóricos en este trabajo, exploramos la naturaleza fractal de un paciente con periodontitis cuya estructura trabecular puede variar con respecto a sujetos sanos. Seleccionamos a este paciente en concreto porque su CBCT era de muy alta calidad y resolución. Realizamos un análisis de tiempos de cómputo entre los tres invariantes fractales. En el segundo trabajo, publicado en la revista Discrete and Continuous Dynamical Systems S, proporcionamos todas las herramientas matemáticas que aplicamos para llevar a cabo el estudio clínico sobre las muestras recogidas. Más específicamente, este trabajo contenía los conceptos básicos sobre la dimensión box-counting y describía el concepto de estructura fractal (en el que se basan nuestros resultados teóricos). En particular, definimos la estructura fractal natural en el plano euclideo. Dado que estábamos interesados en el cálculo de la dimensión box-counting para imágenes CBCT planas, todo nuestro desarrollo teórico se encuentra en el contexto de los subconjuntos del plano. Presentamos una sección donde se comentan nuestros resultados computacionales. De hecho, explicamos cómo los cálculos con respecto a la dimensión box-counting de las imágenes CBCT se han llevado a cabo a través de tres enfoques diferentes, a saber, el algoritmo estándar de la box-counting y dos enfoques novedosos basados en nuestros teoremas. En el tercer trabajo, publicado en Symmetry, el objetivo fue describir todas las consideraciones anatómicas que rodean el foramen nasopalalatino, relacionándolas con el estudio de la densidad ósea, a través de la dimensión fractal, en esa misma área. Seleccionamos consecutivamente una muestra de 100 pacientes, todos con CBCT realizadas por necesidades de tratamiento. Elegimos una ventana específica (ROI), que coincide con un corte axial al nivel de la salida del agujero naso-palatino. Analizamos diferentes medidas antropométricas junto con el análisis de la dimensión fractal. Este fue un estudio clínico observacional y transversal, en el que seleccionamos una muestra de 100 pacientes consecutivamente de la clínica dental de la Universidad de Murcia (España). El estudio fue aprobado por el Comité de Bioética de la Universidad de Murcia. Todos los individuos dieron su consentimiento informado por escrito antes de participar. Se aplicaron los criterios de inclusión: pacientes en condiciones de salud tanto sistémicas como dentales, no embarazadas, que no contengan artefactos. De estos 100 pacientes iniciales, teníamos 77 que cumplían con todos los criterios descritos anteriormente (5 se descartaron porque se sometieron a tratamiento con bifosfonatos y 18 desde el inicio). Las imágenes que presentaron artefactos o no se consideraron con la calidad suficiente para poder aplicar el algoritmo matemático de cómputo de la dimensión fractal fueron descartadas. Procedimos a seleccionar un ROI específico que se obtuvo en el plano axial, visualizando el foramen nasopalatino y los mamelones caninos en ambos lados. Gracias al tercer artículo podemos concluir que la dimensión fractal es un invariante matemático que se comporta simétricamente para imágenes binarias del escáner de cada sujeto de nuestra muestra de estudio para el contorno del foramen nasopalalatino. También concluimos que no hubo diferencias significativas entre todas las medidas antropométricas utilizadas ni en los sujetos mismos ni en los diferentes grupos. Por lo tanto, se aprecia un patrón de simetría en todos los niveles.