[en] A unifying formulation for nonlinear solid mechanics and Finite Element Analysis The finite element method is a well-known technology that allows to obtain an approximation to the real structural behaviour of a continuum solid media subjected to external forces. Its use is widely extended in civil engineering and many other fields, such as naval or aerospace engineering. This formulation can be derived under the linear or the nonlinear analysis framework. If the displacements and their corresponding gradients are assumed to be small, the analysis is considerably simplified, and it turns out to be carried out under the assumptions of the linear theory. However, if the displacements and/or the displacement gradients become large, the nonlinear analysis arises. As both analyses are based on different assumptions, they lead to completely different structural responses. And the accuracy of the results depends on the precisión of the assumptions made. That is, if the structure does not experiment small displacements or small displacement gradients, the linear analysis leads to unacceptable results that significantly differ from the real behaviour. Before running a structural simulation, the engineer has to decide, based on its experience and intuition, if the linear assumptions are correct. If the real structural response does not verify the linear assumptions, the linear analysis must be discarded and a nonlinear one should be carried out in order to obtain accurate results. Therefore, the assumptions made about the magnitude of both the displacements and the displacement gradients are quite important, since they define the theoretical framework of the structural analysis. The implications of each assumption have to be clearly defined. Most references in the existing literature do not clearly identify the implications of these assumptions. Therefore, one of the main aims of this work is to clearly identify them and to properly define both the linear and the nonlinear mathematical models that governs the structural behaviour according to each analysis. To accomplish this goal, a unifying formulation of both the linear and nonlinear solid mechanics complete and detailed is proposed. This formulation allows to completely describe and understand the deformation that an elastic solid experiments over time. A novel, simple, and clear nomenclature is proposed, in order to properly state the solid mechanics principles and the strictly necessary equations that describe this deformation process. Once the mathematical models are well-posed, the finite element method can be applied. A complete original derivation in both linear and nonlinear theory is presented. The linear one is also performed in order to compare this well-known derivation with the nonlinear version. One of the main differences between both formulations lies in the application of the external forces. In general, the linear formulation leads to a linear behaviour, whereas the nonlinear one drives to a nonlinear one. As long as the response is linear, the total load can be applied in only one step, and the load superposition principle usually applied in linear theory holds. However, this principles can no longer be applied when dealing with a nonlinear behaviour. If the response is nonlinear, a given load state has multiple possible solutions. Therefore, the total load can not be applied in only one step, and the load history has to be taken into account to reach the correct solution. To overcome these inconveniences, the external loads are usually applied according to an incremental loading process. This incremental strategy is actually a suitable procedure, since the structural response corresponding to each load step has to be solved iteratively. This procedure needs to start iterating from a close approximation to the solution. If the incremental loads are small enough, the result of the previous load step can be adopted to start the iterative procedure, and the convergence should be guaranteed. Many reference textbooks and research papers address the derivation of the nonlinear finite element formulations. Nevertheless, there is no consensus about a common nomenclature and notation. Moreover, the hypotheses made along these derivations are no clearly specified or are not even stated. Therefore, to completely comprehend the underlying physics and the essence of the proposed algorithms, a detailed overview which clarifies this knowledge becomes necessary. In this thesis, a great effort is made to clearly identify the intermediate hypotheses, and extensively analyse the origin and composition of the matrices that arise in nonlinear analysis. A detailed guideline that facilitates the deep comprehension of this powerful technology is proposed. This work states a unifying, clear and complete formulation for the nonlinear analysis field, so the extension of some research lines that have been carried out in linear theory until now becomes possible.

[gl] Unha formulación unificadora para a mecánica de sólidos non lineal e a análise polo Método dos Elementos Finitos. O método dos elementos finitos é unha tecnoloxía ben coñcida que permite obter unha aproximación ao comportamento estrutural real dun medio sólido continuo sometido a forzas externas. O seu uso está amplamente estendido en enxeñería civil e en moitos outros campos, como a enxeñería naval ou a aeronáutica. Esta formulación pode baixo o marco das análises lineal ou non lineal. Se se supón que os desprazamentos e os seus correspondentes gradientes son pequenos, a análise simplifícase considerablemente, e resulta realizarse baixo os supostos da teoría lineal. Con todo, se os desprazamentos e/o os gradientes dos desprazamentos se consideran grandes, xorde a análise non lineal. Como as dúas análises baseánse en supostos diferentes, conducen a respostas estruturais completamente distintas. E a exactitude dosresultados depende da precisión das hipóteses realizadas. É dicir, se a estrutura non experimenta pequenos desprazamentos ou pequenos gradientes de desprazamento, a análise lineal conduce a resultados inaceptables que difiren de forma significativa do comportamento real. Antes de levar a cabo unha simulación estrutural, o enxeñeiro ten que decidir, baseándose na súa experiencia e intuición, se os supostos lineais son correctos. Se a resposta estrutural real non verifica as hipóteses lineais, hai que descartar a análise lineal e realizar unha non lineal para obter resultados precisos. Por tanto, as hipóteses adoptadas acerca da magnitude tanto dos desprazamentos como dos gradientes dos desprazamentos son moi importantes, xa que definen o marco teórico da análise estrutural. É necesario definir claramente as implicacións de cada suposto. Na literatura existente, a maioría das referencias non identifica claramente as implicacións destes supostos. Por tanto, un dos principais obxectivos deste traballo é identificalas claramente e definir adecuadamente os modelos matemáticos lineais e non lineais que rexen o comportamento estrutural asociado a cada análise. Para lograr este obxectivo, proponse unha formulación unificadora da mecánica de sólidos lineal e non lineal completa e detallada. Esta formulación permite describir e comprender completamente a deformación que experimenta un sólido elástico ao longo do tempo. Proponse unha nomenclatura nova, sinxela e clara para enunciar adecuada mente os principios da mecánica de sólidos e as ecuacións estritamente necesarias que describen este proceso de deformación. Unha vez que os modelos matemáticos están ben expostos, pódese aplicar o método dos elementos finitos. Preséntase unha obtención orixinal completa tanto en teoría lineal como non lineal. Preséntase tamé n o caso lineal para comparalo coa versión non lineal. Unha das principais diferenzas entre ámbalas formulacións radica na forma de aplicar as forzas externas. En xeral, a formulación lineal conduce a un comportamento lineal, mentres que a non lineal conduce a unha resposta non lineal. Mentres a resposta sexa lineal, a carga total pode aplicarse nun só paso, e mantense o principio de superposición de cargas que adoita aplicarse na teoría lineal. Con todo, este principio non pode aplicarse cando se trata cun comportamento non lineal. Se a resposta é non lineal, un estado de carga dado ten múltiples solucións posibles. Por tanto, a carga total non pode aplicarse nun só paso, e hai que ter en conta o historial de carga para chegar á solución correcta. Para superar estes inconvenientes, as cargas externas adoitan aplicarse segundo un proceso de carga incremental. Esta estratexia incremental é en realidade un procedemento adecuado, xa que a resposta estrutural correspondente a cada paso de carga debe resolverse de forma iterativa. Este procedemento necesita empezar a iterar desde unha aproximación próxima á solución. Se as cargas incrementais son o suficientemente pequenas, o resultado do paso de carga anterior pode adoptarse para iniciar o procedemento iterativo, e a converxencia debería estar garantida. Numerosos libros de texto de referencia e traballos de investigación abordan a obtención das formulacións de elementos finitos non lineais. Con todo, non existe consenso sobre unha nomenclatura e notación comúns. Ademais, as hipóteses formuladas ao longo destas derivacións non se especifican claramente ou nin sequera se enuncian. Por tanto, para comprender completamente a física subxacente e a esencia dos algoritmos propostos, faise necesaria unha visión detallada que os aclare. Nesta tese faise un grande esforzo por identificar claramente as hipóteses intermedias e analizar amplamente a orixe e a composición das matrices que xorden na análise non lineal. Proponse unha guía detallada que facilita a aprendizaxe profunda desta potente tecnoloxía. Este traballo expón unha formulación unificadora, clara e completa no campo da análise non lineal, para que a extensión dalgunhas liñas de investigación que ata o de agora se levaron a cabo en teoría lineal sexa posible.