[en] In this work we are going to study about Voronoi diagram and Delaunay triangulation, as well as the art gallery problem and the fundamental role of triangulation as mathematical tools. It includes some practical implementation in architecture. Its main objectives have been: o To give the reader a basic understanding of Voronoi diagrams an Delaunay triangulation, as well as some other basic concepts in both subjects. o Introducing the reader to the art gallery problem. o To show possibilities of application in architectural design and urban planning of the topics covered in this work. This report shares an architectural vision, from Maths perspective, of something so normal in everyday life as spatial división. Humans have developed an inherently hability to create balance, applying some ingenuity to go further in any field. We all know what a triangle is. We deal with this figure since our very beginings, playing with construction sets or stickers at school. Little by little, it becomes a well known figure. We continue dealing with triangles at high school learning Maths and trigonometry or technical drawing. As we grow older, we believe there are less things that can surprise us of such a common silhouette. We decide to go to university and study an architecture degree and we both meet again. There are triangles forming Cremona diagrams in Physics, we understand its importance calculating trussed girders or in Descriptive Geometry. Finally, we come to the present. It is time to finish my architecture degree through this report. During the seek for lines of research, professor Miguel Luis Rodríguez González tells me about his line of work and I bump into triangles one more time, showing me how deeply wrong I was thinking that I have nothing more to learn about them. That is what this work is all about. Looking at an old familiar face we thought had no more to offer and providing another vision, if not at unknown one, at least a vision as interesting as it seemed to me.

[es] En este trabajo estudiaremos el diagrama de Voronoi y la triangulación de Delaunay, así como el problema de la galería de arte y la importancia de las triangulaciones como herramienta matemática. La memoria incluye algunas aplicaciones a la arquitectura. Los objetivos principales han sido: o Dotar al lector de un conocimiento básico sobre los diagramas de Voronoi y la triangulación de Delaunay, así como otros conceptos básicos relacionados con ellos. o Introducir al problema de la galería de arte y su variante ortogonal. o Mostrar las posibilidades de aplicación en el diseño arquitectónico y en el planeamiento urbanístico de los objetivos precedentes. Esta memoria ofrece una visión arquitectónica, desde el filtro de las matemáticas, de algo que puede resultar tan cotidiano como la división espacial, de cómo generar equilibrio, a veces de manera innata, a la hora de ordenar la realidad que nos ha tocado vivir y aplicar el ingenio para lograr avances en cualquier ámbito. Todos sabemos lo que es un triángulo. Esta figura está presente en nuestra consciencia desde nuestros más tempranos comienzos. En los juegos de construcción con los que pasábamos tantas horas o en las pegatinas con formas geométricas que nos daban en párvulos. Poco a poco, se convierte en una figura conocida para nosotros. Seguimos creciendo y seguimos aprendiendo, volvemos a cruzarnos con su silueta. En el colegio nos peleamos con ella en asignaturas como dibujo o matemáticas y la trigonometría. Nos hacemos mayores y creemos que pocas cosas pueden sorprendernos ya de algo tan familiar. Decidimos seguir estudiando y escogemos arquitectura en la universidad, y nos volvemos a encontrar. Triángulos en Física con los diagramas de Cremona, entiendes el porqué de su importancia en las vigas en celosía de Estructuras o su papel en la Geometría Descriptiva. Y llegamos al presente, al momento de finalizar la titulación mediante la presente memoria. En la búsqueda de líneas de trabajo para el mismo, el profesor Miguel Luis Rodríguez González me comentó su línea de investigación y me reencontré una vez más con los triángulos, demostrándome lo equivocado que estaba pensando que no me quedaba nada más que conocer de ellos. Esto es lo que pretende ser este trabajo, una mirada hacia un viejo conocido, que pensábamos no tenía más con lo que sorprendernos, y aportar otra visión, espero que si no desconocida para el lector, al menos tan interesante como a mí me resultó.