[en] This thesis is devoted to the study of certain planar vector fields and the rotational properties of their flows. We have used strong geometric techniques coming from Geometric Function Theory to describe these vector fields and their corresponding flows. It is well known from the classical Cauchy-Lipschitz theory that Lipschitz vector fields produce Lipschitz flows. The classical Rademacher-Stepanov Theorem shows that for every fixed time the flow map is differentiable at almost every point. Next, comes the Zygmund class, which falls slightly below Lipschitz. Zygmund vector fields are important because they are the first examples of non-Lipschitz vector fields which produce Holder continuous flows. In contrast to Lipschitz vector fields, Zygmund fields may not be differentiable at any point. So, in genral, one should not expect the flow of such vector field to be differentiable either. One can think of Sobolev vector fields which are away from Lipschitz and Zygmund. These vector fields are not continuous in general, when the degree of the Sobolev exponent is less than the dimension of the ambient space. Di Perna - Lions proved existence and uniqueness of solutions to Linear Transport Equationfor Sobolev vector fields. Among the consequences of Di Perna - Lions theory, one obtains for any Sobolev vector field the existence and uniqueness of a well-defined flow, which consists (at any time) of measurable self-maps of the space, and which in general won't be continuous, hence they won't be differentiable either. There are some particular instances for which the flow inherits the Sobolev smoothness of the vector field. For instance, this is the case when the planar vector field points towards a particular direction as shown by Marconi. Unfortunately, the vector fields we are interested in will most likely not satisfy Marconi's assumptions, as happens quite often in Fluid Mechanics. Trying to avoid any restrictions on the direction of vector field, it was proven recently by Clop-Jylha that there is a subclasss of Sobolev vector fields which are not Lipschitz but still its flow enjoys some Sobolev smoothness for small times. These are vector fields having gradient in exponential class. Another interesting example was given by Reimann in 70s. He proved that any vector field with bounded traceless symmetric differential admits a well defined flow of Holder continuous homeomorphisms which turn out to be Sobolev regular for any time. In general, though, Sobolev vector fields do not give rise to Sobolev regular flows (not even of fractional order) as shown by Chemin. The above paragraph clearly indicates the existence of a gap between Cauchy-Lipschitz and Di Perna-Lions theories. This thesis is going to address those vector fields which fall in this narrow and unstable gap. In the first part of the thesis, we have provided a pointwise characterization of vector fields with bounded divergence and curl. Yudovich solutions to planar Euler equations are one of the examples of these vector fields. Clop-Jylha result shows that for small times Euler flows are indeed homeomorphisms of finite distortion, whereas Wolibner in '33 proved that Euler flow and its inverse are both Holder continuous. In the second part, we have improved the bounds for the rate of spiraling of homeomorphisms of finite distortion given by Hitruhin, with the additional assumption that they have Holder continuous inverse. We proved optimality of these bounds. As an application, we have given bounds for spiraling rate of Euler flows for small times. In the last part, we have proved existence of solutions to the Cauchy system of equations in the plane. It is worth mentioning that both the Euler and Cauchy vector fields fall in the gap that we have discussed about in the earlier paragraphs.

[es] Esta tesis está dedicada al estudio de determinados campos vectoriales planos y propiedades rotacionales de sus flujos. Hemos utilizado técnicas geométricas fuertes procedentes de la Teoría de Funciones Geométricas para describir estos campos vectoriales y sus correspondientes flujos. Es bien conocido por la teoría clásica de Cauchy-Lipschitz que los campos vectoriales de Lipschitz producen flujos de Lipschitz. El teorema clásico de Rademacher-Stepanov muestra que para cada tiempo fijo el mapa de flujo es diferenciable en casi todos los puntos. A continuación, viene la clase Zygmund, que cae ligeramente por debajo de Lipschitz. A diferencia de los campos vectoriales de Lipschitz, los campos de Zygmund pueden no ser diferenciables en ningún momento. Por tanto, en general, tampoco cabe esperar que el flujo de este campo vectorial sea diferenciable. Cabe pensar en campos vectoriales de Sobolev que están lejos de Lipschitz y Zygmund. Estos campos vectoriales no son continuos por lo general. Di Perna-Lions demostró la existencia y la singularidad de soluciones a la ecuación de transporte lineal para campos vectoriales de Sobolev. Entre las consecuencias de la teoría de Di Perna - Leones, se obtiene para cualquier campo vectorial de Sobolev la existencia y singularidad de un flujo bien definido, que consiste (en cualquier momento) en automapas medibles del espacio, y que por lo general ganará. No serán continuos, por tanto tampoco serán diferenciables. Hay algunos casos particulares en los que el flujo hereda la suavidad de Sobolev del campo vectorial. Por ejemplo, éste es el caso cuando el campo vectorial plano apunta hacia una dirección particular tal y como muestra Marconi. Desgraciadamente, es muy probable que los campos vectoriales que nos interesan no cumplan los supuestos de Marconi, como ocurre a menudo en la mecánica de fluidos. Tratando de evitar cualquier restricción a la dirección del campo vectorial, Clop-Jylha ha demostrado recientemente que existe una subclase de campos vectoriales de Sobolev que no son Lipschitz, pero todavía su flujo goza de una cierta suavidad de Sobolev para pequeños tiempo. Otro ejemplo interesante lo dio Reimann en los años 70. Demostró que cualquier campo vectorial con diferencial simétrico sin traza acotado admite un flujo bien definido de homeomorfismos continuos de Holder que resultan ser regulares de Sobolev en cualquier momento. Por lo general, los campos vectoriales de Sobolev no dan lugar a flujos regulares de Sobolev (ni siquiera de orden fraccionario) como muestra Chemin. El párrafo anterior indica claramente la existencia de una brecha entre las teorías de Cauchy-Lipschitz y Di Perna-Lions. Esta tesis abordará aquellos campos vectoriales que se encuentran en esa brecha estrecha e inestable. En la primera parte de la tesis, hemos proporcionado una caracterización puntual de campos vectoriales con divergencia limitada y curl. Las soluciones de Yudovich en las ecuaciones de Euler planars son uno de los ejemplos de estos campos vectoriales. El resultado de Clop-Jylha muestra que durante pequeños tiempos los flujos de Euler son de hecho homeomorfismos de distorsión finita, mientras que Wolibner en el año 33 demostró que el flujo de Euler y su inverso son ambos continuos de Holder. En la segunda parte, hemos mejorado los límites de la velocidad de espiral de los homeomorfismos de distorsión finita dados por Hitruhin, con el supuesto adicional de que tienen Holder continuo inverso. Hemos demostrado la optimidad de esos límites. Como aplicación, hemos dado límites para la velocidad en espiral de los flujos de Euler para tiempos pequeños. En la última parte, hemos demostrado la existencia de soluciones del sistema de ecuaciones de Cauchy en el plano. Merece la pena mencionar que tanto los campos vectoriales de Euler como de Cauchy caen en el vacío que hemos comentado en los párrafos anteriores.