[en] The study of Grünbaum type inequalities has demonstrated to be a very prolific and interesting topic during the last years. Its origin goes back to a classical work by Ascoli from the 30's, lately generalized to higher dimensions by Grünbaum, and published in 1960. It concerns a very natural question involving convex bodies: can one ensure the existence of an ''a priori'' point within the interior of a convex body in such a way that cutting it through this point results in two parts both having a remarkable portion of the total volume? Trying to figure out an answer to the previous question one is led to the centroid (also known as the center of mass) of a convex body. Grünbaum's inequality then asserts that, if K a is convex body with centroid at the origin, then vol(K-)/vol(K) is bounded by (n/(n+1))n . This dissertation approaches three fundamental questions related to Grünbaum's inequality: • On the one hand, attending to Grünbaum's original proof, it is natural to wonder about a possible enhanced version of this inequality for the family of those compact convex sets K such that (there exists a hyperplane H for which) the cross-sections volume function is p-concave, with 1/(n-1)<p. On the other hand, one could expect to extend this inequality to compact sets K, not necessarily convex, for which f is p-concave (for some hyperplane H), with p<1/(n-1). • Attending to the interplay between log-concave and p-concave functions and the geometry of convex sets, it seems reasonable to expect a functional form of Grünbaum's inequality. Moreover, taking into account its connection with the Brunn-Minkowski inequality, one would claim that the Borell-Brascamp-Lieb inequality should play a relevant role in the proof of such an analytic result. • Reading Grünbaum's inequality from a slightly different perspective, it asserts that for any convex body, there always exists a point within the set (the centroid) in such a way that cutting the body through a hyperplane passing by this point yields two sub-bodies with a substantial proportion of the total volume. This observation prompts a natural inquiry: can we identify a family of points, potentially including the centroid, that share this property? Moreover, are there additional special points that possess similar intriguing characteristics, warranting further investigation? To address these questions, this work starts with an introductory first chapter where we collect some definitions and results that will be needed later on. Thus, in the second chapter we show that by fixing a hyperplane H, one can find a sharp lower bound for the ratio vol(K-)/vol(K) depending on the concavity nature of the cross-sections volume function (parallel to H) of K. Moreover, in the fourth chapter, we go a bit further than the first posed question; specifically, we see that if the cross-sections volume function is ɸ-concave one can bound vol(K-)/vol(K) with a constant depending solely on the function ɸ. Regarding the second question, in the third chapter, we give a simple proof of the functional form of Grünbaum's inequality by using induction on the dimension and the Borell-Brascamp-Lieb inequality. Finally, concerning the last posed question, we present two examples of special points where a Grünbaum-type inequality is not feasible. On the contrary, we show that is possible to extend Grünbaums's inequality to the case in which the hyperplane H passes by any of the points lying in a whole uniparametric family of r-powered centroids associated with K. The methodology followed in this work has been the usual one in a mathematical project, i.e., it is based on the deep study of previous works in order to develop new techniques related to the posed problems.

[es] El estudio de las desigualdades de tipo Grünbaum ha sido un campo de investigación muy fructífero durante los últimos años. Sus orígenes podemos encontrarlos en el trabajo de Ascoli, publicado en los años treinta, y posteriormente generalizado a dimensión arbitraria por Grünbaum en el artículo. La raíz de este resultado se encuentra en una pregunta natural relativa a los cuerpos convexos: ¿podemos asegurar la existencia de un punto ''a priori'' del interior de un cuerpo convexo, tal que al cortar este último por dicho punto resulten dos subcuerpos con una cantidad reseñable del volumen total? A la hora de intentar responder a esta pregunta uno queda conducido a la noción de centroide. Así, la desigualdad de Grünbaum afirma que si K es un cuerpo convexo, entonces el cociente vol(K-)/vol(K) está acotado por n/(n+1))n . Este trabajo aborda tres cuestiones relacionadas con la desigualdad de Grünbaum: • Por un lado, es natural preguntarse por una versión mejorada de la desigualdad de Grünbaum para una familia de cuerpos convexos K tales que (existe un hiperplano H para el cual) la función de los volúmenes seccionales es p-cóncava, con (1/(n-1)) < p. Por otro lado, atendiendo a lo anterior, podríamos esperar una posible extensión para conjuntos compactos, no necesariamente convexos, para los cuales dicha función es p-cóncava (para un cierto hiperplano H), con p < (1/(n-1)). • Sabiendo de la relación de las funciones log-cóncavas y p-cóncavas con la geometría de los cuerpo convexos, parece natural esperar una forma funcional de la desigualdad de Grünbaum. Además, teniendo en cuenta la relación entre la desigualdad de Grünnbaum y la desigualdad de Brunn-Minkowski, podríamos esperar que la desigualdad de Borell-Brascamp-Lieb desempeñase un rol importante en la prueba de un resultado de este tipo. • Dando una interpretación ligeramente distinta de la desigualdad de Grünbaum, dicho resultado asegura que, para cualquier cuerpo convexo, siempre existe un punto contenido en su interior (el centroide) de forma que cuando se corta este mediante un hiperplano a través de dicho punto, obtenemos dos subcuerpos con una porción relativamente ''grande'' del volumen total. A partir de esta observación, surge la siguiente pregunta: ¿existe una familia de puntos, potencialmente conteniendo al centroide, que compartan una propiedad similar? Además de esto, ¿hay algún otro punto, digamos especial o reconocido en la literatura, con una característica de esta índole? Para abordar estas preguntas, esta tesis comienza con un capítulo introductorio donde incluimos las definiciones y resultamos que necesitaremos posteriormente. Así, en el segundo capítulo veremos que fijado un hiperplano H, podemos encontrar una cota inferior para el cociente vol(K-)/vol(K) dependiendo este únicamente de la concavidad de la función de los volúmenes seccionales (paralela a H) de K. Además, en el cuarto capítulo, profundizamos más en la cuestión planteada; concretamente mostraremos que si la función de los volúmenes seccionales es ɸ-cóncava, entonces podemos acotar vol(K-)/vol(K) con una constante dada por la función ɸ. Con respecto a la segunda cuestión, en el tercer capítulo daremos una prueba sencilla de la versión funcional de la desigualdad de Grünbaum usando inducción en la dimensión y la desigualdad de Borell-Brascamp-Lieb. Finalmente, con relación a la última pregunta, en el capítulo cinco daremos dos ejemplos de puntos especiales para los cuales una desigualdad de tipo Grünbaum no es posible. Por el contrario, veremos que es posible extender dicho resultado al caso en el que el hiperplano H pasa por una familia uniparamétrica de centroides asociados a K. La metodología seguida en la realización de este trabajo ha sido la usual un proyecto matemático, es decir, está basada en el estudio de trabajos previos para desarrollar nuevas técnicas relacionadas con los problemas planteados.