[en] Understand and tame complex quantum mechanical systems to build quantum technologies is one of the most important scientific endeavour nowadays. In this effort, Atomic, molecular and Optical systems have clearly played a major role in producing proofs of concept of several important applications. Notable examples are Quantum Simulators for difficult problems in other branches of physics i.e. spin systems, disordered systems, etc., and small sized Quantum Computers. In particular, ultracold atomic gases and trapped ion experiments are nowadays at the forefront in the field. This fantastic experimental effort needs to be accompanied by a matching theoretical and numerical one. The main two reasons are: 1) theoretical work is needed to identify suitable regimes where the AMO systems can be used as efficient quantum simulators of important problems in physics and mathematics, 2) thorough numerical work is needed to benchmark the results of the experiments in parameter regions where a solution to the problem can be found with classical devices. In this dissertation, we present several important examples of systems, which can be numerically solved. The technique used, which is common to all the work presented in the dissertation, is exact diagonalization. This technique works solely for systems of a small number of particles and/or a small number of available quantum states. Despite this limitation, one can study a large variety of quantum systems in relevant parameter regimes. A notable advantage is that it allows one to compute not only the ground state of the system but also most of the spectrum and, in some cases, to study dynamics. The dissertation is organized in the following way. First, we provide an introduction, outlining the importance of this technique for quantum simulation and quantum validation and certification. In Chapter 2, we detail the exact diagonalization technique and present an example of use for the phases of the 1D Bose-Hubbard chain. Then in Chapters 3 to 6, we present a number of important uses of exact diagonalization. In Chapter 3, we study the quantum Hall phases, which are found in two-component bosons subjected to artificial gauge fields. In Chapter 4, we turn into dynamical gauge fields, presenting the topological phases which appear in a bosonic system trapped in a small lattice. In Chapter 5, a very different problem is tackled, that of using an ultracold atomic gases to simulate a spin model. Quantum simulation is again the goal of Chapter 6, where we propose a way in which the number-partitioning problem can be solved by means of a quantum simulator made with trapped ions. Finally, in Chapter 7, we collect the main conclusions of the dissertation and provide a brief outlook.

[es] Entender y controlar sistemas complejos regidos por la mecánica cuántica para construir tecnologías cuánticas es una de los retos científicos más relevantes en la actualidad. Los sistemas atómicos, moleculares y ópticos han jugado claramente un rol capital en este esfuerzo, produciendo pruebas de concepto para diversas aplicaciones de consideración. Notables ejemplos son los simuladores cuánticos diseñados para resolver problemas complicados de otras ramas de la física, como lo son los sistemas de espines, sistemas desordenados, etc.. . . i los ordenadores cuánticos de dimensiones reducidas. En particular, los experimentos con gases de átomos ultrafríos y con trampas iónicas son la punta de lanza del campo en la actualidad. El fantástico empeño experimental tiene que ir asociado a otros teórico y numérico que le correspondan. Las principales razones son: 1) los estudios teóricos son necesarios para identificar regímenes adecuados en que los sistemas AMO puedan ser usados cómo simuladores cuánticos eficientes para problemas relevantes de la Física y las Matemáticas, 2) los trabajos numéricos exhaustivos son necesarios para contrastar los resultados de los experimentos en regiones de parámetros en que los dispositivos clásicos sean capaces de encontrar soluciones. En esta tesis, presentamos diferentes ejemplos de sistemas relevantes que pueden ser resueltos numéricamente. La técnica usada –que es común en todo el trabajo– es la diagonalización exacta. El uso de ésta técnica está restringido a sistemas con números bajos de partículas i/o estados cuánticos accesibles. A pesar de esta limitación, se puede estudiar gran variedad de sistemas cuánticos en los regímenes relevantes de los parámetros de control. Una ventaja notable es que permite calcular no sólo el estado de mínima energía del sistema, sino que también la mayoría del espectro e, en algunos casos, incluso estudiar la dinámica. La tesis se organiza como sigue. En primer lugar, ofrecemos una introducción, subrayando la importancia de esta técnica para la simulación cuántica y la validación cuántica y certificación. En el capítulo 2, detallamos la técnica de la diagonalización exacta y presentamos un ejemplo de su uso para una cadena de Bose-Hubbard unidimensional. En los capítulos del 3 al 6, presentamos algunos usos relevantes de la diagonalización exacta. En el capítulo 3, estudiamos las fases debidas al efecto Hall cuántico en un sistema de dos componentes de bosones sometidos a campos de gauge artificiales. En el capítulo 4, cambiamos hacia campos gauge dinámicos, presentando las fases topológicas que aparecen en un sistema de bosones atrapados en una pequeña malla reticular. En el capítulo 5, se trata un problema bien diferente, el de usar gases de átomos ultrafríos para simular un modelo de espín. La simulación cuántica es de nuevo el objetivo del capítulo 6, en que proponemos una forma en que el problema de la partición de números puede ser resuelta mediante un simulador cuántico construido con trampas iónicas. Finalmente, en el capítulo 7, recogemos las conclusiones principales de los trabajos y damos una breve opinión del futuro de ésta investigación