[ca] El principal objectiu d'aquesta tesi és l'estudi de l'evolució mitjançant el flux de Ricci de superfícies amb singularitats de tipus cònic. Un segon objectiu, sorgit de les tècniques que utilitzem, és l'estudi de famílies de solitons del flux de Ricci en dimensió 2 i 3. El flux de Ricci és una equació d'evolució per a varietats Riemannianes, introduïda per R. Hamilton el 1982. És des dels avenços assolits per G. Perelman amb aquesta tècnica el 2002 quan el flux de Ricci s'ha establert com a una disciplina pròpia, aixecant un gran interès per la comunitat. Aquesta tesi conté quatre resultats originals. El primer resultat és una classificació exhaustiva dels solitons en superfícies llises i còniques. Amb aquesta classificació completem els precedents trobats per Hamilton, Chow i Wu entre d'altres, i obtenim descripcions explícites de tots els solitons en dimensió 2. El segon resultat és una Geometrització de les superfícies còniques mitjançant el flux de Ricci. Aquest resultat, que utilitza el primer resultat ja esmentat, estén la teoria de Hamilton al cas singular. Aquest és el resultat més extens, per al qual fem servir i desenvolupem tècniques tant d'anàlisi i EDPs com de geometria de comparació . El tercer resultat és l'existència d'un flux de Ricci que elimina les singularitats còniques . Això exposa clarament la no unicitat de solucions al flux, en analogia als fluxos de Ricci amb cusps de P. Topping . El quart resultat és la construcció d'un nou solitó gradient expansiu en dimensió 3. De la mateixa manera que amb els solitons cònics, donem una construcció explícita utilitzant tècniques de retrats de fase. Demostrem també que és l'únic solitó amb la seva topologia i la seva cota inferior de la curvatura, i que és un cas crític entre tots els solitons expansius en dimensió 3 amb curvatura acotada inferiorment. A més, mostrem que l'evolució de la seva curvatura escalar no és monòtona.

[es] El principal objetivo de esta tesis es el estudio de la evolución mediante el flujo de Ricci de superficies con singularidades de tipo cónico. Un segundo objetivo, surgido de las técnicas que utilizamos, es el estudio de familias de solitones del flujo de Ricci en dimensión 2 y 3. El flujo de Ricci es una ecuación de evolución para variedades Riemannianas, introducida por R. Hamilton en 1982. Es desde los logros alcanzados por G. Perelman con esta técnica en 2002 cuando el flujo de Ricci se ha establecido en una disciplina propia, despertando un gran interés en la comunidad. Esta tesis contiene cuatro resultados originales. El primer resultado es una clasificación exhaustiva de los solitones en superficies lisas y cónicas. Con esta clasificación completamos los precedentes hallados por Hamilton, Chow y Wu entre otros, y obtenemos descripciones explícitas de todos los solitones en dimensión 2. El segundo resultado es una Geometrización de las superficies cónicas mediante el flujo de Ricci. Este resultado, que utiliza el primer resultado ya mencionado, extiende la teoría de Hamilton al caso singular. Este es el resultado más extenso, para el que usamos y desarrollamos técnicas tanto de análisis y EDPs como de geometría de comparación. El tercer resultado es la existencia de un flujo de Ricci que elimina las singularidades cónicas. Esto expone claramente la no unicidad de soluciones al flujo, en analogía a los flujos de Ricci con cúspides de P. Topping. El cuarto resultado es la construcción de un nuevo solitón gradiente expansivo en dimensión 3. Del mismo modo que con los solitones cónicos, damos una construcción explícita utilizando técnicas de retratos de fase. Demostramos también que es el único solitón con su topología y su cota inferior de la curvatura, y que es un caso crítico entre todos los solitones expansivos en dimensión 3 con curvatura acotada inferiormente. Además, mostramos que la evolución de su curvatura escalar no es monótona.