[en] ABSTRACT: Call options are financial instruments that are used in the stock markets to ensure the acquisition of assets, usually stocks, in the future. One of the call options is the so-called European call options, where the holder of this call option has the right to acquire shares at a fixed price on a specific date. The price of this financial instrument, called premium, is modeled on the basis of the Black-Scholes equation, a differential stochastic equation that depends on the volatility of the share, the initial Price and the expiration time. In this work, this equation will be studied in relation to Bitcoin, studying the evolution of prices and also an implementation in Python that allows solving the Black-Scholes equation numerically, estimating the volatility. More specifically, what we will perform will be the following tasks: Definition of the basic concepts related to financial mathematics (bonds, stocks, volatility, call options, etc.). Introduction to the origin of bitcoin, relating the design guidelines with financial concepts (time of ten minutes between blocks, maximum number of available bitcoins, mining taxes, etc). Application of the classic statistical methods for the calculation of population parameters, these are the method of moments and the method of maximum likelihood. Study of differential stochastic equations, as well as their numerical resolution. Study of the different call options and the associated numerical problem. Implementation of the mentioned methods in python language for the study of the price evolution of Bitcoin.

[es] RESUMEN: Las opciones de compra son instrumentos financieros que se utilizan en los mercados de valores para asegurar la adquisición de activos, normalmente acciones, en un futuro. Una de las opciones de compra es la llamada opción de compra Europea, donde el poseedor de esta opción de compra tiene el derecho de adquirir acciones a un precio fijado en una fecha concreta. El precio de este instrumento financiero, denominado prima, se modela en función de la ecuación de Black-Scholes, una ecuación estocástica diferencial que depende de la volatilidad de la acción, el precio inicial y el tiempo de expiración. En este trabajo se va a estudiar esta ecuación en relación al Bitcoin, estudiando la evolución del precios además de una implementación en Python que permita resolver de forma numérica la ecuación de Black-Scholes, estimando la volatilidad. Más específicamente, lo que realizará serán las siguientes tareas: Definición de los conceptos básicos relativos a la matemática financiera (bonos, acciones, volatilidad, opciones de compra, etc). Introducción al origen de bitcoin, relacionando las pautas de diseño con conceptos financieros (tiempo de diez minutos entre bloques, número máximo de bitcoins disponibles, tasa minera, etc). Aplicación de los métodos clásicos estadísticos para el cálculo de parámetros poblacionales, estos son el método de los momentos y el método de máxima verosimilitud. Estudio de las ecuaciones estocásticas diferenciales, así como su resolución numérica. Estudio de las diferentes opciones de compra y el problema numérico asociado. Implementación de los métodos mencionados en lenguaje python para el estudio de la evolución de precios de Bitcoin.