[en] The present thesis develops at the intersection of functional analysis and quantum information science. In this vein, this work is mainly concerned with the study of Position Based Quantum Cryptography from the perspective of local Banach space theory. This programme is conducted first by building a connection between both fields and then by developing tools in the context of the latter to tackle open questions in the cryptographic setting. Additionally, some of the techniques that we build along the way are of independent interest to other problems within quantum information. In particular, here we also make notorious progress in the understanding of Programmable Quantum Processors. Quantum theory and functional analysis were intimately tied up as early as the formalization of the former was initiated by J. Von Neumman in the decade of 1930. Since then, both fields have independently undergone an extraordinary growth remaining, however, tightly intertwined by a growing number of connections between them. A spectacular culmination of this ongoing interconnection is the recent resolution of the Connes embedding problem based on techniques coming from the field of quantum information. With this background behind us, in this thesis we delve on the connection between two particular fields within functional analysis and the study of quantum information, respectively: local Banach space theory, in the side of the former, and quantum games, in the latter. A main theme in this work is the understanding of some constructions in quantum information in terms of the local theory of Banach spaces and operators spaces. We pursue this aim in the two particular directions anticipated above: the study of Universal Programmable Quantum Processors and the study Position Based Cryptography. The main building blocks in our understanding of these objects from a functional analytic point view, turn out to be the theory of tensor norms of Banach and Operator spaces and the theory of type and cotype in Banach spaces. The first provides us with the expressive power needed to reinterpret questions in the study of quantum information processing in terms of properties of some concrete Banach spaces. The second -type and cotype of the Banach spaces involved- provide the key property we study in order to obtain new information on the questions that we ask. Being more specific, the questions approached by us can be encompassed in the study of resources in quantum information processing. Our main results consist of bounds on the dimension of quantum systems required to perform certain tasks. First, in the setting of Programmable Quantum Processors, we investigate the optimal dimension of the memory that is necessary to achieve universal programmability. Our bounds improve significantly the understanding of these objects, exponentially reducing the gap between previously known lower and upper bounds. Second, in the context of Position Based Cryptography, our aim is to explore the amount of entanglement that allows a team of cheaters to break any cryptographic security in this scenario. We obtain new lower bounds on this quantity with strong implications for cheaters that operate with enough regularity. The thesis concludes with some concluding remarks and a collection of interesting open questions -in the realm of functional analysis as well as in the study of quantum information- emerging from our work.

[es] Esta tesis se desarrolla en el terreno común entre el ámbito del análisis funcional y el estudio de la información cuántica. El principal objetivo que ha servido de guía para este trabajo es el estudio de la Criptografía Cuántica Basada en la Posición desde el punto de vista de la teoría local de espacios de Banach. Tal programa se ha llevado a cabo en dos fases. En primer lugar, se han construido conexiones entre los problemas abordados en el ámbito de la información cuántica y ciertas ramas del análisis funcional. Esto nos ha permitido desarrollar herramientas de naturaleza analítica con las cuales avanzar en la comprensión del escenario criptográfico. Es más, de la conexión anterior surgen nuevas técnicas e ideas cuyo impacto no se restringe al estudio de la criptografía cuántica. Una muestra de ello es el estudio de los Procesadores Cuánticos Programables. Las técnicas aquí desarrolladas nos han permitido un mejor entendimiento de estos objetos fundamentales en la teoría cuántica de la computación. Esta es otra de las principales aportaciones de esta tesis. La relación entre la mecánica cuántica y el análisis funcional tiene profundas raíces que se remontan al trabajo de J. Von Neumann durante la década de 1930. Casi un siglo después, ambos campos han experimentado de manera independiente un crecimiento exponencial. Dicho crecimiento independiente ha estado lejos de aislar ambas disciplinas, una cantidad cada vez más creciente de conexiones se ha establecido entre ellas. Una muestra excepcional de este fenómeno es la reciente resolución del problema de inmersión de Connes, el cual ha sido resuelto negativamente usando técnicas de información cuántica. En este contexto, esta tesis trata de profundizar en la conexión entre dos ramas concretas de las materias mencionadas: la teoría local de espacios de Banach, por el lado del análisis funcional, y el estudio de los juegos cuánticos, por el lado de la información cuántica. Los principales objetivos de este trabajo pueden resumirse a grandes rasgos como la comprensión desde el punto de vista de la teoría local de espacios de Banach y espacios de operadores de ciertas construcciones en información cuántica. Esto se ha perseguido esencialmente en dos direcciones: el estudio de los Procesadores Cuánticos Programables y el estudio de la Criptografía Basada en la Posición. Desde el punto de vista del análisis funcional, las piezas fundamentales la consecución de los objetivos abordados han sido la teoría de productos tensoriales de espacios de Banach y espacios de operadores y la teoría de tipo y cotipo de espacios de Banach. Las normas tensoriales nos han aportado el lenguaje apropiado para reinterpretar preguntas en torno al procesamiento de información cuántica en términos de propiedades de ciertos espacios de Banach. Las propiedades de estos espacios relevantes en nuestro estudio resultan ser las de tipo y cotipo. Más concretamente, las preguntas que hemos estudiado pueden catalogarse dentro del estudio de los recursos necesarios para el procesamiento de información. Nuestros principales resultados son nuevas cotas a la dimensión de los sistemas cuánticos requeridos en la realización de ciertas tareas. En el primero de los temas tratados, el relativo a los Procesadores Cuánticos Programables, se han obtenido cotas a las dimensión de memoria óptima requerida para hacer este tipo de procesadores universalmente programables. Se ha mejorado de esta manera la comprensión de estos objetos reduciendo exponencialmente la diferencia entre las cotas superiores e inferiores conocidas con anterioridad. En la segunda parte de la tesis, se ha explorado la cantidad de recursos cuánticos que permiten a un grupo de atacantes romper la seguridad de cualquier protocolo de Criptografía Basada en la Posición. Los principales resultados en esta dirección son nuevas cotas inferiores que restringen fuertemente la acción de atacantes que operan con cierta regularidad. La tesis concluye recogiendo una colección de preguntas abiertas que surgen naturalmente del trabajo presentado, relacionadas tanto con el análisis funcional como con el estudio de la información cuántica.