[en] Towards the end of his life, the great Polish logician J. Lukasiewicz developed the fourth-valued modal system known as L. This system validated theses as (MA ^MB) ! M (A ^ B) or L(A v B) ! (LA v LB), which are part of what it is known as strong modal Lukasiewicz-type paradoxes. Because of this, this system was strongly criticized. On the other hand, in [Brady, 1982], R. T. Brady presents his relevant logic BN4, a fourth-valued version of the relevant implication system R. Taking this background into account, the main goal of this research is to build a system that works as a companion of BN4 (just like E does with respect to R) and lacks the paradoxes that can be found in Lukasiewicz's system. Firstly, we define the matrix M4, which is the base for all the systems that we develop later. We then introduce two different semantics, i.e., the fourth-valued semantics related to the matrix and a bivalent Belnap- Dunn type semantics, and we show that both semantics are equivalent. Next, the system that we have labeled FDF4, which is based on FDE, is defined. We prove that this system is both sound and complete in the strong sense and that it is indeed an axiomatization of the M4 matrix. Afterwards, we define a system based on E that we name EF4, for which we also prove strong soundness and completeness and how it originates from the M4 matrix, all of this based on the fact that EF4 is a system equivalent to FDF4. With respect to EF4, two different modalities are presented: the first one, which in this case is equivalent to the inherent modality of E, is developed from the interdefinitional extensions used by Lukasiewicz, and the second one, from the proposal of J. Y. Beziau related to the approach of J. M. Font and M. Rius that in its turn is linked to the Portuguese algebraic tradition led by A. Monteiro. This way, we get two different modal systems, EF4-M and EF4-L. For the former, we give just one axiomatization, while for the latter, we supply up to four dfferent ones. For both systems, EF4-M and EF4-L, we prove soundness and completeness. Furthermore, EF4 is provided with a reduced ternary relational semantics, as well as with a 2-set-up ternary relational semantics, and it is proved that it is sound and complete with respect to both semantics. Finally, it is shown that the system FDF4 is also sound and complete with respect to both aforementioned relational semantics and that the 2-set-up semantics is a particular case of the reduced semantics.

[es] Hacia el final de su vida el gran l?gico polaco J. Lukasiewicz desarrollar?a el sistema modal tetravaluado conocido como L. Este sistema verificaba tesis como (MA ^MB) ! M (A ^ B) ? L(A v B) ! (LA v LB), enclavadas dentro de las paradojas modales fuertes tipo Lukasiewicz. El sistema fue ampliamente criticado por la verificaci?n de dichas tesis. Por otra parte, en [Brady, 1982], R. T. Brady presenta la l?gica relevante BN4, una versi?n tetravaluada del cl?sico sistema del condicional relevante R. Con ambos antecedentes, el objetivo de la presente investigaci?n pasa por desarrollar un sistema que act?e como compa?ero de BN4 tal y como E lo es con respecto a R y que carezca de las paradojas que asolan el sistema de Lukasiewicz. Para ello, en primer lugar, definiremos la matriz M4, que servir? como base para los sistemas que posteriormente desarrollaremos. Una vez definida la matriz daremos dos sem?nticas distintas: la sem?ntica tetravaluada intr?nseca a la matriz y una sem?ntica bivalente tipo Belnap-Dunn, demostrando que las dos sem?nticas son equivalentes. Posteriormente definiremos un sistema basado en FDE al que llamaremos FDF4. Daremos para este sistema pruebas de correcci?n, completud y probaremos que surge de la matriz M4. Adicionalmente definiremos un sistema con E como base al que denominaremos EF4, para el que tambi?n daremos pruebas de correcci?n, completud y adem?s probaremos que se trata de una axiomatizaci?n de la matriz M4, todo ello apoy?ndonos en el hecho de tratarse de un sistema equivalente a FDF4. Con respecto a EF4 desarrollaremos dos modalidades distintas: Una a trav?s de las extensiones interdefinicionales de Lukasiewicz que, en este caso, resulta equivalente a la modalidad inherente a E, y otra basada en la propuesta de J. Y. Beziau que entronca con la propuesta de J. M. Font y M. Rius, a su vez ligada a la tradici?n de los algebristas portugueses encabezados por A. Monteiro. De esta manera definiremos dos sistemas modales diferentes, EF4-M y EF4-L. Para el primero daremos una ?nica axiomatizaci?n, como es habitual, mientras que para el segundo daremos cuatro axiomatizaciones distintas. Para cada uno de ellos, EF4-M y EF4-L, desarrollaremos tanto una prueba de correcci?n como de completud. En ?ltimo t?rmino, desarrollaremos tanto una sem?ntica relacional ternaria de modelos reducidos, como una sem?ntica relacional ternaria basada en 2 set-up para EF4, ofreciendo, de nuevo, pruebas de correcci?n y completud con respecto a ambas. Para concluir, probaremos que FDF4 es tambi?n correcto y completo con respecto a las sem?nticas relacionales que hemos definido y probaremos que la sem?ntica de 2 set-up es un caso particular de la sem?ntica de modelos reducidos.