[ca] La diversitat és un concepte ben conegut en les comunicacions, el qual quantifica la robustesa d'un receptor quan es reben múltiples còpies independents d'un senyal informatiu. De fet, existeix una definició formal d'aquest concepte en el context de comunicacions sense fil que té en compte el seu ús pràctic, és a dir, es defineix en funció de la probabilitat d'error de símbol promitjada sobre la fluctuació estadística del canal. Tanmateix, no hi ha consens sobre la generalització de la definició anterior en altres aplicacions de processament de senyal. Per aquest motiu i inspirant-nos en una definició intuïtiva de la diversitat extreta de l'entorn de fusió de dades multimodal, l'objectiu d'aquesta tesi és explorar el concepte de diversitat des de la perspectiva de la teoria de la informació, l'optimització numèrica basada en el principi de MM i la varietat de Grassmann. La motivació dels algorismes de MM és que s'ajusten perfectament als problemes d'optimització derivats de les funcions de cost basades en mesures d'informació, mentre que la varietat de Grassmann sorgeix de manera natural en el context de problemes de processament de senyals amb esparsitat que presenten diversitat. Totes aquestes idees s'estudien a través de tres escenaris diferents: la fusió multisensor, la conversió de covariància de comunicacions MIMO sense fil i la detecció de correlació. Aquests escenaris comparteixen el fet que la dimensió intrínseca de les dades és molt més petita que la dimensió de l'espai global. En el problema de la fusió multisensor, analitzem la definició intuïtiva de diversitat per a tres esquemes de fusió. En primer lloc, revisem el principi d'intersecció de covariància per destacar la seva connexió amb el criteri de mínima entropia i l'algorisme de "waterfilling" en comunicacions. A continuació, derivem un descriptor basat en l'entropia de Rényi del cas pitjor de contaminació en una xarxa de sensors. Gràcies al descriptor esmentat, és possible donar una interpretació a la regularització de la norma L0 amb arguments extrets de la teoria de la informació. Finalment, considerem un esquema de fusió que processa conjuntament la fusió i una tècnica de regressió basada en subespais lineals. La proposta anterior, que s'inspira en una dualitat amb el problema de la mitigació d'interferències no estructurades en receptors de navegació, està motivada pel fet que és possible obtenir una mesura de la integritat de la fusió quan la redundància temporal de les mesures i la matriu de covariància intersensor s'estimen de manera conjunta. En segon lloc, es presenta un tipus diferent de diversitat en el problema de conversió de covariància per als esquemes de duplexació per divisió de freqüència de comunicacions. Aquest problema consisteix en l'estimació de la matriu de covariància de canal de l'enllaç de baixada mitjançant una estimació prèvia de la matriu de covariància de canal de l'enllaç de pujada. En particular, estem interessats en aquells casos en què l'esparsitat es pot definir sobre les estadístiques de segon ordre, els quals es troben als canals de "mmWave" i de banda ultra-ample. Mitjançant una anàlisi detallada d'aquest problema, mostrem un algorisme de conversió prometedor basat en el ADMM. En darrer lloc, el problema de detecció de correlació entre dos vectors Gaussians serveix com a forma d'explorar una manera alternativa de quantificar la diversitat basada en teoria de la informació. De fet, transformem aquesta configuració en un problema d'estimació d'informació mútua de M canals Gaussians paral·lels per obtenir la mesura teòrica de la informació esmentada anteriorment. No obstant això, l'estimació de màxima versemblança de la informació mútua pateix de biaix quan un subconjunt d'aquests canals no proporcionen informació. En vista d'això, proposem l'adopció de regles de selecció de l'ordre de model, conegudes en altres àrees, com a una manera d'estimar la informació mútua sota un compromís de biaix-variància.

[en] Diversity is a well-established concept in wireless communications whose purpose is to quantify the potential robustness of a receiver when multiple independent copies of the informative signal are received. Indeed, there exists a formal definition of this concept within the context of wireless communications that takes into account its practical usage, i.e. it is defined with respect to the symbol error probability averaged over the channel statistical fluctuation. However, there is no consensus on the generalization of the previous definition to other forms of signal processing applications. For this reason and being inspired by an intuitive definition of diversity extracted from the multimodal data fusion framework, the purpose of this dissertation is to explore the concept of diversity through the lenses of Information theory, a numerical optimization framework based on the Majorization-Minimization principle and the Grassmann manifold. The motivation behind the Majorization-Minimization algorithms is that they fit perfectly to the optimization problems arising from information theoretic cost functions, while the Grassmann manifold emerges naturally in the context of sparse-aware signal processing problems that exhibit some sort of diversity. All these ideas are surveyed through three different scenarios: the multisensor fusion, the Covariance Conversion from wireless MIMO communications and the detection of correlation. All of the scenarios share the fact that the intrinsic dimension of the data is much smaller than the ambient space dimension. In the multisensor fusion problem, we analyze the intuitive definition of diversity in a straightforward manner for three fusion policies. Firstly, the Covariance Intersection principle is reviewed to highlight its connection to the minimum error entropy criterion and the waterfilling algorithm for optimal power allocation in communications. Secondly, we derive a bounded descriptor based on the R\'enyi entropy of a sensor network contamination worst-case scenario (unbounded variance). Thanks to the aforementioned descriptor, it is possible to provide an operational interpretation to the commonly used L0 norm regularization particularized for this problem. Finally, we consider a fusion scheme that incorporates a subspace-based regression technique into the fusion operation. This proposal, which is inspired by a duality with the problem of unstructured interference mitigation in navigation receivers, is motivated by the fact that it is possible to obtain a measure of the fusion integrity when the temporal redundancy of the measurements and the intersensor covariance matrix are estimated in a joint manner. Besides, a different kind of diversity is unveiled in the Covariance Conversion problem for Frequency Division Duplexing schemes from wireless communications. In essence, this problem consists in the estimation of the Downlink channel covariance matrix using a prior estimation of the Uplink channel covariance matrix. Particularly, we are interested in those cases where sparsity can be defined on the second-order statistics, which are found in the mmWave and ultra-wide band channels. Through a detailed analysis of this problem, we show a promising conversion algorithm founded on the Alternating Direction Method of Multipliers. Lastly, the detection of correlation between two Gaussian vectors problem serves as a way to explore an information theoretic approach for the quantification of diversity. In fact, we transform this setting into a Mutual Information estimation problem of M parallel Gaussian channels to yield the aforementioned information theoretic measure. However, the Maximum Likelihood estimation of the Mutual Information suffers from bias when a subset of these channels provide no information. In light of this, we propose the adoption of model-order selection rules, well-known in other areas, as a means for estimating information under a bias-variance trade-off.