[en] A classical problem in Group Theory is the study of the relationship between the structure of a finite group and the lengths of its conjugacy classes or its characters degrees. Originally, the objective of this thesis was to obtain results on orders of elements analogous to those already existing for conjugacy classes or characters. Finally, we have obtained new results on orders of elements that did not exist in the literature for character degrees or lengths of conjugacy classes. In particular, in this dissertation we study what information can be obtained about the structure of a group from the relationship between the orders of certain elements and their products. In Chapter 1 we establish the notation and remember some results and general definitions of Group Theory that will be useful to us. In Chapter 2 we mention well-known results that involve orders of elements which give information about the structure of the group or a criterion of belonging of a given element to a relevant normal subgroup. In addition, we obtain some variants of a theorem of J. G. Thompson (and of a theorem of R. M. Guralnick and P. H. Tiep) that characterizes the solvability in terms of products of elements of coprime orders (and prime power order). One of the first objectives of this thesis and in particular of Chapter 3, is to obtain the version for elements of prime power order of a theorem of B. Baumslag and J. Wiegold, which asserts that a group G is nilpotent if and only if for all pairs of elements x, y of G of coprime order, we have that the order of xy is equal to the product of the order of the element x by the order of the element y. Motivated by this result, we obtain several similar ones, as well as a series of local results. In particular, we prove a criterion for the existence of nilpotent Hall subgroups in any group and a characterization of the existence of normal Hall subgroups. In Chapter 4 we try to obtain results in line with those of Chapter 3 but to characterize the membership of a fixed element to certain relevant subgroups. One of the main problems that we consider in this chapter is whether it is true that a p-element x of G satisfies that x belongs to the largest normal p-subgroup if and only if for all primes q other than p, q divides the order of xy for all non-trivial q-elements y. We have shown that this question has an affirmative answer for all groups that do not contain composition factors of Lie type in characteristic p and that a minimal counterexample to this question is an almost-simple group with socle one of these groups. Finally, in Chapter 5 we show some results analogous to those that we have seen in the central chapters but for conjugacy classes and characters.

[es] Un tema clásico en Teoría de Grupos es el estudio de la relación entre la estructura de un grupo finito y sus longitudes de clases de conjugación o sus grados de caracteres. Originalmente, el objetivo de esta tesis era la obtención de resultados sobre órdenes de elementos análogos a los ya existentes para clases de conjugación o caracteres. Finalmente, hemos obtenido resultados novedosos sobre órdenes de elementos que no existían en la literatura para grados de caracteres o longitudes de clases de conjugación. En particular, en esta memoria estudiamos qué información puede obtenerse sobre la estructura de un grupo a partir de la relación existente entre los órdenes de ciertos elementos y de sus productos. En el Capítulo 1 establecemos la notación y recordamos algunos resultados y definiciones generales de Teoría de Grupos que nos serán de utilidad. En el Capítulo 2 mencionamos resultados ya conocidos que involucran órdenes de elementos y en los que se obtiene información sobre la estructura del grupo o se da un criterio de pertenencia de un elemento dado a un subgrupo normal relevante. Además, obtenemos algunas variantes de un teorema de J. G. Thompson (y de un teorema de R. M. Guralnick y P. H. Tiep) que caracteriza la resolubilidad en términos de productos de elementos de órdenes coprimos (y de órdenes potencia de primo). Uno de los primeros objetivos de esta tesis y en particular del Capítulo 3, es obtener la versión para elementos de orden potencia de primo de un teorema de B. Baumslag y J. Wiegold, el cual afirma que un grupo G es nilpotente si y solo si para todo par de elementos x,y de G de orden coprimo, se tiene que el orden de xy es igual al producto del orden del elemento x por el orden del elemento y. A raíz de la obtención de esta versión, obtenemos otras similares, además de una serie de resultados locales. En particular, probamos un criterio para la existencia de subgrupos de Hall nilpotentes en un grupo cualquiera y una caracterización de la existencia de subgrupos de Hall normales. En el Capítulo 4 pretendemos obtener resultados en la línea de los del Capítulo 3 pero para caracterizar la pertenencia de un elemento fijo a ciertos subgrupos relevantes. Uno de los problemas principales que consideramos en este capítulo es si es cierto que un p-elemento x de G cumple que x pertenece al mayor p-subgrupo normal si y solo si para todo primo q distinto de p, q divide al orden de xy para todo q-elemento no trivial y. Hemos demostrado que esta pregunta tiene una respuesta afirmativa para todos los grupos que no contengan factores de composición de tipo Lie en característica p y que un contraejemplo minimal a dicha pregunta es un grupo almost-simple con socle uno de estos grupos. Por último, en el Capítulo 5 demostramos algunos resultados que hemos obtenido análogos a los vistos en los capítulos centrales pero para clases de conjugación y caracteres.