[en] Partial differential equations (PDEs) describe a wide variety of physical phenomena. In many situations, one can have access to observations on some physical system and some initial idea of some qualitative aspects of its dynamics. This prior knowledge is enough to determine the overall structure of the PDE, but not its specific coefficients. In fact, the parameters of PDE models encode insightful scientific interpretations, so it is of great interest to determine their values. These coefficients are estimated from the available noisy measurements of the system. This project presents a hybrid quantum-classical approach to infer the parameters of a PDE given a data-set of empirical observations. In order to perform parameter estimation, it is necessary to have access to a PDE solver. This thesis proposes a quantum algorithm to solve PDEs based on a parameterized quantum circuit. This circuit encodes the input variables in a Chebyshev quantum feature map that offers a powerful basis set of fitting polynomials and possesses rich expressivity. Then, the surrogate of the real solution is computed by measuring expectation values. The spatial and temporal derivatives of the surrogates are computed in the differentiable quantum circuit (DQC) through automatic differentiation (via the so-called parameter shift rule) in an analytical form, thus avoiding inaccurate finite difference procedures for calculating gradients. The DQC is then trained to satisfy the given PDE and specified boundary conditions. As a case study, the algorithm is illustrated via several simulations in order to determine the DQC that solves the Heat equation with best expressivity and accuracy. The parameters of the Heat equation are then estimated with this particular setting.

[es] Las Ecuaciones Diferenciales en derivadas Parciales (EDPs) describen una gran variedad de fenómenos físicos. En muchas situaciones, se puede tener acceso a observaciones de un determinado sistema físico y disponer de alguna idea inicial sobre un aspecto cualitativo de su dinámica. Este conocimiento previo es suficiente para determinar la estructura global de la EDP, pero no sus coeficientes específicos. De hecho, los parámetros de los modelos de EDPs normalmente codifican interpretaciones científicas relevantes, de manera que es de gran interés poder determinar sus valores. Estos coeficientes se estiman a partir de medidas disponibles, que acostumbran a presentar ruido. Este proyecto presenta un algoritmo híbrido cuántico-clásico para inferir los parámetros de una EDP dado un conjunto de datos de observaciones empíricas. Para la estimación de parámetros, hace falta tener acceso a una solución de la EDP. Esta tesis propone un algoritmo cuántico para resolver EDPs basado en un circuito cuántico parametrizado. Este circuito codifica las variables de entrada usando una aplicación conocida como Chebyshev feature map que ofrece una base de polinomios muy representativa y que posee gran expresividad. A continuación, la solución se calcula en el circuito cuántico mediante medidas de valores esperados. Las derivadas espaciales y temporales se calculan en el circuito cuántico mediante diferenciación automática (a través de la parameter shift rule) de forma analítica, evitando así las inexactitudes derivadas de los procedimientos que usan diferencias finitas para calcular gradientes. Por último, el circuito cuántico se entrena para satisfacer la EDP dada y las condiciones de frontera especificadas. Como caso de estudio, el algoritmo se ilustra a partir de varias simulaciones con el fin de determinar el circuito cuántico que resuelve la ecuación del calor con mejor expresividad y exactitud. Con esta configuración se determinan los parámetros de la ecuación del calor.