[en] ABSTRACT: The thesis deals with different optimal control problems. In the first part, the equations that appear in the control problems are studied. In Chapter 2, we introduce some regularity results for linear equations. These results will be applied later to stablish the regularity both of the state and the adjoint state. In Chapter 3, we study the state equations that govern the control problems. We show the continuity and differentiability relations between the control and the state. A sensitivity analysis of the state with respect to diffuse perturbations of the control is also carried out. The second part is the central kernel of the work. We study necessary as well as sufficient optimality conditions for the control problems. In Chapter 4 we show properties of the functionals that appear in our problems: the objective functional and the constraints. We study under what conditions they are differentiable and, in order to prove a Pontryagin principle, we give sensitivity results with respect to diffuse perturbations of the control. In Chapter 5, we state Pontryagin principle for our problems. In Chapter 6, we state first and second order optimality conditions. In Chapter 7, we introduce a new kind of second order optimality conditions that involve the Hamiltonian. Both the elliptic and parabolic cases are treated in each chapter. In the third part, we perform the numerical analysis of problems with pointwise constraints on the state. In Chapter 8, we provide results about about unform convergence of the discretization of elliptic semilinear equations. Finally, in Chpater 9, the control problem is discretized and we investigate how the solutions of the discrete problems converge towards the solution of the continuous problem.

[es] RESUMEN: La tesis versa sobre el estudio de distintos problemas de control óptimo. En la primera parte se estudian las ecuaciones que aparecen en los problemas de control estudiados. En el Capítulo 2 hacemos un estudio sobre regularidad para ecuaciones lineales. Estos resultados serán aplicados más tarde para establecer la regularidad tanto del estado como del estado adjunto. En el Capítulo 3 estudiamos las ecuaciones de estado que gobiernan los problemas de control. Mostramos las relaciones de continuidad y diferenciabilidad que hay entre el control y el estado. También hacemos un análisis de la sensitividad del estado respecto a perturbaciones difusas del control. La segunda parte constituye el núcleo central de la memoria. En ella estudiamos condiciones de optimalidad, tanto necesarias como suficientes, para los problemas de control. En el Capítulo 4 exponemos propiedades de los funcionales que aparecen en los problemas de control: el funcional objetivo y las restricciones. Estudiamos bajo qué condiciones son diferenciables y, en vistas a probar un Principio de Pontryagin, damos resultados de sensitividad respecto a perturbaciones difusas del control. En el Capítulo 5 exponemos el Principio de Pontryagin. En el Capítulo 6 introducimos condiciones de optimalidad de primer y segundo orden. Por último, en el Capítulo 7 introducimos un nuevo tipo de condiciones de segundo orden en las que se ve involucrado el Hamiltoniano. Se va intercalando en cada capítulo el caso elíptico y el parabólico. En la tercera parte se realiza el análisis numérico de problemas con restricciones puntuales sobre el estado. Para ello en el Capítulo 8 se describen de manera detallada resultados de convergencia uniforme para la discretización de ecuaciones elípticas semilineales. Por último en el Capítulo 9 se discretiza el problema de control y se investiga de qué manera los problemas discretizados convergen hacia el problema continuo.