[en] This doctoral thesis is intended to generate a teaching innovation in the course of Linear Algebra studies at the university level based on emergent models and mathematical modelling. In order to achieve this goal, a hypothetical learning trajectory (HLT) was designed and refined for the concepts of spanning set and span. The publications that compose the compendium of articles of this thesis reveal the different stages that were carried out in order to generate a teaching innovation: design, implementation, evaluation and refinement. In order to respond to the objective of this thesis, a design-based research was carried out that consists of three phases. In the first phase, a first HLT was designed for spanning set and span. In the teaching experiment phase, three intervention cycles were carried out in the classroom. In the retrospective analysis phase, a preliminary analysis was done after each cycle, and another was done on the entire teaching experiment. Through the preliminary analysis of the data in each cycle of the teaching experiment, the difficulties that the students had during the development of the tasks of the HLT were detected, and the modifications that were considered pertinent were made in order to refine the HLT and to apply it in a new cycle. Also, the role of emergent models and mathematical modelling in the construction of spanning set and span was observed. On the other hand, with the overall analysis of the three cycles of the teaching experiment the characteristics of the HLT were established, which favoured the construction of the aforementioned concepts of Linear Algebra. The results of this thesis gave evidence that a teaching innovation, based on emergent models and mathematical modelling, assists students in the construction of spanning set and span. The previous one allowed them to propose a local instruction theory (LIT) and an instructional sequence on these contents of Linear Algebra. In particular, the use of mathematical modelling as a tool helped to activate the students' prior knowledge in order to apply them to the construction of the spanning set and span. Likewise, the mathematical modelling cycle served as a guide for the teacher to propose a solution to the initial problem of HLT. On the other hand, emergent models gave students the opportunity to construct these concepts of Linear Algebra from their informal mathematical activity (vectors and passwords), towards a more formal mathematical reasoning (the application of spanning set and span). This thesis aims to serve as a basis for future research focused on the design of teaching innovations based on emergent models and mathematical modelling at the university level.

[es] Esta tesis doctoral tuvo como objetivo generar una innovación docente en el curso de Álgebra Lineal a nivel universitario basada en los modelos emergentes y la modelización matemática. Con el propósito de lograr dicha meta, se diseñó y refinó una trayectoria hipotética de aprendizaje (THA) para los conceptos de conjunto generador y espacio generado. Las publicaciones que conforman el compendio de artículos de esta tesis dan a conocer las diferentes etapas que se realizaron a fin de generar una innovación docente: el diseño, la implementación, la evaluación y el refinamiento. Con la finalidad de responder al objetivo de esta tesis, se efectuó una investigación basada en el diseño que consta de tres fases. En la primera fase se diseñó una primera THA para conjunto generador y espacio generado. En la fase de experimento de enseñanza se realizaron tres ciclos de intervención en el aula. En la fase de análisis retrospectivo se hizo un análisis preliminar después de cada ciclo y otro de todo el experimento de enseñanza. A través del análisis preliminar de los datos en cada ciclo del experimento de enseñanza se detectaron las dificultades que tuvieron los estudiantes durante el desarrollo de las tareas de la THA y se realizaron las modificaciones que se consideraron pertinentes con el fin de refinar la THA y aplicarla en un nuevo ciclo. También, se observó el rol de los modelos emergentes y la modelización matemática en la construcción de conjunto generador y espacio generado. Por su parte, con el análisis global de los tres ciclos del experimento de enseñanza se establecieron las características de la THA que favorecieron la construcción de los conceptos ya mencionados de Álgebra Lineal. Los resultados de esta tesis dieron evidencias de que una innovación docente, basada en los modelos emergentes y la modelización matemática, favorece a los estudiantes en la construcción de conjunto generador y espacio generado. Lo anterior, permitió proponer una teoría de instrucción local (TIL) y una secuencia instruccional sobre estos contenidos de Álgebra Lineal. En concreto, la modelización matemática usada como herramienta contribuyó a activar los conocimientos previos de los estudiantes con la finalidad de que los aplicaran hacia la construcción de conjunto generador y espacio generado. Asimismo, el ciclo de modelización matemática sirvió para que el profesor los guiara a plantear una solución al problema inicial de la THA. Por otra parte, los modelos emergentes dieron a los estudiantes la oportunidad de ir construyendo estos conceptos de Álgebra Lineal desde su actividad matemática informal (vectores y contraseñas) hacia un razonamiento matemático más formal (aplicación de conjunto generador y espacio generado). Esta tesis pretende servir de base a las investigaciones futuras centradas en el diseño de innovaciones docentes fundamentadas en los modelos emergentes y la modelización matemática a nivel universitario.