[ca] Aquesta tesi es situa en el marc de la teoria qualitativa dels sistemes diferencials en el pla. Cada capítol conté un aspecte diferent. A la introducció, es dóna un resum dels resultats més coneguts i s'hi introdueix la notació que es fa servir al llarg de la tesi. En particular, descrivim el problema de la integrabilitat i alguns resultats sobre la determinació de l'estabilitat d'un punt singular o d'una òrbita periòdica a fi de presentar els darrers capítols. El problema de la integrabilitat es defineix com el problema de trobar la integral primera d'un sistema d'equacions diferencials en el pla i determinar la classe funcional a la qual pertany. Els Capítols 2 i 3 tracten el problema de la integrabilitat. En el Capítol 2 donem un resultat que permet trobar una expressió explícita per a una integral primera d'un cert tipus de sistemes polinomials. Mitjançant un canvi racional de variables, fem correspondre a una equació diferencial lineal homogènia de segon ordre: A2(x) w'(x) + A1(x) w'(x) + A0(x) w(x) = 0, els coeficients de la qual són polinomials, a un sistema diferencial polinomial pla. Provem que aquest sistema té un invariant per a cada solució arbitrària no nul·la w(x) de l'edo de segon ordre, que, quan w(x) és un polinomi, dóna lloc a una corba algebraica invariant. A més, donem una expressió explícita per a una integral primera del sistema construïda a partir de dues solucions independents de l'edo de segon ordre. Aquesta integral primera no és, en general, una funció Liouvilliana. Finalment, verifiquem que tots els exemples coneguts de famílies de sistemes quadràtics amb una corba algebraica invariant de grau arbitràriament alt es poden descriure mitjançant aquesta construcció (mòdul transformacions birracionals). En el Capítol 3, les corbes algebraiques invariants d'un sistema diferencial polinomial pla juguen el paper fonamental. Si un sistema diferencial polinomial pla té una corba algebraica invariant irreductible, aleshores els valors del seu cofactor en cadascun dels punts singulars no degenerats estan determinats. De fet, aquest valor es una combinació lineal a coeficients naturals dels valors propis associats al punt singular no degenerat. Aquests coeficients naturals es poden determinar completament en alguns casos depenent de la natura del punt singular. Així mateix, els punts de l'infinit també es poden tenir en compte. Un cop considerem el sistema en el pla projectiu complex, el grau d'una corba algebraica invariant esdevé un paràmetre del seu cofactor. Si considerem un sistema de grau d, aleshores té d^2 + d + 1 punts singulars (comptats amb la seva multiplicitat) i el cofactor d'una corba algebraica invariant té grau pel cap alt d-1. Procedim de la manera següent: prenem un polinomi de grau d-1 amb els seus d(d+1)/2 coeficients arbitraris i suposem que és el cofactor d'una corba algebraica invariant irreductible de grau n. Aleshores, imposem totes les condicions que ens donen els punts singulars no degenerats. En el cas general, imposem d^2 + d +1 condicions i, així, podem determinar completament el cofactor i el grau de la corba, l'existència de la qual es pot determinar resolent un sistema d'equacions lineal, o trobem una condició d'incompatibilitat. D'aquesta manera, en general, podem determinar l'existència de totes les corbes algebraiques invariants d'un sistema. El Capítol 4 tracta sobre l'estabilitat d'una òrbita periòdica d'un sistema diferencial pla. Suposem que f(x,y)=0 és una corba invariant irreductible amb cofactor que conté l'òrbita periòdica. Provem que les integrals sobre l'òrbita periòdica de la divergència i del cofactor coincideixen. Així, podem decidir sobre l'estabilitat de l'òrbita periòdica mitjançant la integració del cofactor sobre aquesta. En el Capítol 5, donem una aplicació dels resultats descrits en els Capítols 3 i 4. Considerem els sistemes quadràtics amb un cicle límit algebraic coneguts fins al moment de la redacció d'aquesta tesi. Aquest cicles límit algebraics estan continguts en corbes algebraiques invariants de graus 2, 4, 5 i 6 i algunes d'aquestes famílies de sistemes quadràtics son birracionalment equivalents. Aplicant el mètode descrit en el Capítol 3, mostrem que la corba algebraica invariant que conté el cicle límit es l'única corba algebraica invariant del sistema. Aprofitem aquest resultat per provar que aquests sistemes no tenen integral primera Liouvilliana. I aplicant la formula donada en el Capítol 4, provem que aquests cicles límit algebraics son hiperbòlics. El Capítol 6 tracta sobre l'estudi i les propietats de la funció període associada a un punt singular amb part lineal de tipus centre-focus. Com que el punt singular és sempre monodròmic, donada una secció transversal al flux amb el punt singular com a extrem, podem definir l'aplicació de Poincaré i la funció període associades a la secció. Diem que el punt és isòcron si podem trobar una secció tal que la seva funció període associada és constant. Aquesta definició generalitza la definició usual donada per centres a punts singulars qualssevol amb part lineal de tipus centre-focus. Caracteritzem aquesta propietat mitjançant simetries de Lie i formes normals, tot generalitzant els procediments coneguts per centres. Així mateix, donem un exemple d'una família de sistemes depenent d'un paràmetre real, tals que el seu origen és un punt singular amb part lineal de tipus centre-focus i que mai no és un punt isòcron.

[es] Esta tesis se sitúa en el marco de la teoría cualitativa de los sistemas diferenciales en el plano. Cada capítulo contiene un aspecto distinto. En la introducción, se da un resumen de los resultados conocidos y se presenta la notación usada durante el resto de la tesis. En particular, se describe el problema de la integrabilidad y algunos resultados referentes a la determinación de la estabilidad de un punto singular o una órbita periódica con el fin de introducir los últimos capítulos. Definimos el problema de la integrabilidad como el problema de encontrar una integral primera para un sistema diferencial plano y determinar la clase funcional a la cual ésta debe pertenecer. Los Capítulos 2 y 3 tratan sobre el problema de la integrabilidad. En el Capítulo 2, obtenemos un resultado que permite encontrar una expresión explícita para una integral primera para un cierto tipo de sistema polinomial. Mediante un cambio racional de variable, hacemos corresponder una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden: A2 (x) w'(x) + A1(x) w'(x) + A0(x) w(x) = 0, cuyos coeficientes son polinomios, a un sistema diferencial polinomial en el plano. Probamos que dicho sistema tiene un invariante para cada solución arbitraria no nula w(x) de la edo de segundo orden, que, en caso que w(x) sea un polinomio, da lugar a una curva algebraica invariante. Además, damos una expresión explícita de una integral primera para el sistema construida a partir de dos soluciones independientes de la edo de segundo orden. Esta integral primera no es, en general, una función Liouvilliana. Finalmente, verificamos que todos los ejemplos conocidos de familias de sistemas cuadráticos con una curva algebraica invariante de grado arbitrariamente alto se pueden describir mediante esta construcción (módulo transformaciones birracionales). En el Capítulo 3, las curvas algebraicas invariantes de un sistema diferencial plano polinomial juegan un papel fundamental. Si una curva algebraica invariante e irreducible existe para un sistema polinomial plano, entonces los valores de su cofactor en cada punto singular no degenerado están determinados. De hecho, este valor es una combinación lineal a coeficientes naturales de los valores propios asociados al punto singular no degenerado. Estos coeficientes naturales se pueden determinar completamente según la naturaleza del punto singular. Además, también podemos considerar los puntos del infinito. Una vez que el sistema se considera en el plano proyectivo complejo, el grado de una curva algebraica invariante deviene un parámetro de su cofactor. Si consideramos un sistema de grado d, entonces tiene d^2 + d + 1 puntos singulares (contados con su multiplicidad) y el cofactor de una curva algebraica invariante es un polinomio de grado a lo sumo d-1. Procedemos de la manera siguiente: tomamos un polinomio de grado d-1 con sus d(d+1)/2 coeficientes arbitrarios y suponemos que es el cofactor de una curva algebraica invariante e irreducible de grado n. Entonces, imponemos todas las condiciones dadas por los puntos singulares no degenerados. En el caso general, imponemos d^2 + d + 1 condiciones y, en consecuencia, determinamos completamente el cofactor y el grado de la curva, cuya existencia puede ser determinada resolviendo un sistema lineal de ecuaciones, o mostramos una condición de incompatibilidad. Por tanto, podemos determinar la existencia de todas las curvas algebraicas invariantes para un sistema general. El Capítulo 4 trata sobre la estabilidad de una órbita periódica de un sistema diferencial plano. Suponemos que f(x,y)=0 es una curva invariante e irreducible con cofactor que contiene la órbita periódica. Probamos que las integrales sobre la órbita periódica de la divergencia y del cofactor coinciden. De aquí que podamos deducir la estabilidad de una órbita periódica mediante la integración del cofactor sobre ésta. En el Capítulo 5, describimos una aplicación de los resultados dados en los Capítulos 3 y 4. Consideramos los sistemas cuadráticos con un ciclo límite algebraico conocidos hasta la redacción de esta tesis. Estos ciclos límite algebraicos están contenidos en curvas algebraicas invariantes de grados 2, 4, 5 y 6 y algunas de estas familias de sistemas cuadráticos son birracionalmente equivalentes. Aplicando el método descrito en el Capítulo 3, mostramos que no existe ninguna curva algebraica invariante excepto la que contiene el ciclo límite. Aprovechamos este resultado para mostrar que estos sistemas no tienen integral primera Liouvilliana. Y, aplicando la formula dada en el Capítulo 4, probamos que estos ciclos límite algebraicos son hiperbólicos. El Capítulo 6 trata sobre el estudio de las propiedades de la función periodo asociada a un punto singular con parte lineal de tipo centro-foco. Dada una sección transversal al flujo con dicho punto singular por extremo, podemos definir la aplicación de Poincaré y la función periodo asociadas a esta sección puesto que este punto es siempre monodrómico. Decimos que este punto es isócrono si podemos encontrar una sección tal que la función periodo asociada a ella sea constante. Esta definición generaliza la definición usual dada para centros a cualquier punto singular con parte lineal de tipo centro-foco. Caracterizamos esta propiedad mediante simetrías de Lie y formas normales, generalizando los procedimientos conocidos para centros. Además, damos un ejemplo de una familia de sistemas que dependen de un parámetro real, tales que el origen es un punto singular con parte lineal de tipo centro-foco y que nunca es un punto isócrono.