[en] My thesis deals with the study of elliptic PDE. It is divided into two parts, the first one concerning a nonlinear equation involving the p-Laplacian, and the second one focused on a nonlocal problem. In the first part, we study the regularity of stable solutions to a nonlinear equation involving the p-Laplacian in a bounded domain. This is the nonlinear version of the widely studied semilinear equation involving the classical Laplacian. Stable solutions to semilinear equations have been very recently proved to be bounded, and therefore smooth, up to dimension n=9 by Cabré, Figalli, Ros-Oton, and Serra. This result is known to be optimal by counterexamples in higher dimensions. In the case of the p-Laplacian, the boundedness of stable solutions is conjectured to hold up to a critical dimension depending on p. Examples of unbounded stable solutions are known if the dimension exceeds the critical one. Moreover, in the radial case or under strong assumptions on the nonlinearity, stable solutions are proved to be bounded in the optimal dimension range. We prove the boundedness of stable solutions under a new condition on n and p, which is optimal in the radial case, and more restrictive in the general one. It improves the known results in the field, and it is the first example, concerning the p-Laplacian, of a technique providing both a result in the nonradial case and the optimal result in the radial case. In the first part, we also investigate Hardy-Sobolev inequalities on hypersurfaces of Euclidean space, all containing a mean curvature term. Our motivation comes from several applications of these inequalities to the study of a priori estimates for stable solutions. Specifically, we give a simplified proof of the celebrated Michael-Simon and Allard inequality, we obtain two new forms of the Hardy inequality on hypersurfaces, and an improved Hardy inequality in the Poincaré sense. In the second part of this thesis, we deal with a Dirichlet to Neumann problem arising in a model for water waves. The system is described by a diffusion equation in a slab of fixed height, containing a weight that depends on a parameter a belonging to (-1,1). The top of the slab is endowed with a 0-Neumann condition, while on the bottom we have a Dirichlet datum and an equation involving a smooth nonlinearity. The system can also be reformulated as a nonlocal problem on the component endowed with the Dirichlet datum, by defining a suitable Dirichlet to Neumann operator. First, we prove a Liouville theorem that establishes the one dimensional symmetry of stable solutions, provided that a control on the growth of the energy associated with the problem is satisfied. As a consequence, we obtain the 1D symmetry of stable solutions to our problem in dimension 2. For n=3, we establish sharp energy estimates for both the energy minimizers and the monotone solutions, deducing the 1D symmetry of these classes of solutions, by an application of our Liouville theorem. Concerning this problem, we also investigate the nature of the associated Dirichlet to Neumann operator. First, we deduce its expression as a Fourier operator, which was known only in the case a=0. This result highlights the mixed nature of the operator, which is nonlocal, but not purely fractional. To better understand the dual behaviour of the operator, we provide a G-convergence result for an energy functional associated with the operator. Specifically, as a G-limit of our energy functional we find a mere interaction energy when a is greater than 0, and the classical perimeter when a is smaller or equal than 0. We point out that the threshold a=0 that we obtain here, as well as the G-limit behaviour for nonpositive values of a, is common to other nonlocal problems treated in the literature. On the contrary, the limit functional that we obtain in the other case appears to be new and structurally different from other nonlocal energy functionals that have been investigated in the literature.

[it] Questa tesi si occupa di equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico. È divisa in due parti: la prima riguarda un'equazione nonlineare per il p-Laplaciano, mentre la seconda è incentrata su un problema nonlocale, che può essere formulato per mezzo di un operatore di Dirichlet-Neumann collegato con il Laplaciano frazionario. Nella prima parte, studiamo la regolarità delle soluzioni stabili dell'equazione nonlineare per il p-Laplaciano dove W è un dominio limitato, p 2 (1,+¥) e f è una nonlinearità C1. Questa equazione è la versione nonlineare dell'equazione semilineare 􀀀������������Du = f (u) in un dominio limitato W Rn, che è stata ampiamente studiata in letteratura. Molto recentemente, Cabré, Figalli, Ros-Oton, e Serra [38] hanno dimostrato che le soluzioni stabili delle equazioni semilineari sono limitate, e quindi regolari, in dimensione n 9. Questo risultato è ottimale, dato che esempi di soluzioni illimitate e stabili sono noti in dimensione n 10. Inoltre, i risultati in [38] forniscono una risposta completa ad un annoso problema aperto, proposto da Brezis e Vázquez [25], sulla regolarità delle soluzioni estremali dell'equazione 􀀀������������Du = l f (u). Queste ultime sono infatti esempi non banali di soluzioni stabili di equazioni semilineari, che possono essere limitate o illimitate in dipendenza della dimensione n, del dominio W, e della nonlinearità f . In questa tesi studiamo la limitatezza delle soluzioni stabili di (0.4), che si congettura essere vera fino alla dimensione n < p + 4p/(p 􀀀������������ 1). Sono infatti noti esempi di soluzioni stabili e illimitate quando n p + 4p/(p 􀀀������������ 1), anche quando il dominio è la palla unitaria. Inoltre, nel caso radiale o assumendo ipotesi forti sulla nonlinearità, è stato dimostrato che le soluzioni stabili di (0.4) sono limitate quando n < p + 4p/(p 􀀀������������ 1). Nel Capitolo 1 della tesi dimostriamo una nuova stima L¥ a priori per le soluzioni stabili di (0.4), assumendo una nuova condizione su n e p, che è ottimale nel caso radiale e più restrittiva nel caso generale. Il nostro risultato migliora ciò che è noto in letteratura e ed è il primo esempio di tecnica che produce sia un risultato nel caso non radiale sia il risultato ottimale nel caso radiale. Per ottenere questo risultato estendiamo al caso del p-Laplaciano una tecnica sviluppata da Cabré [30] per il caso classico del problema, con p = 2. La strategia si basa su una disuguaglianza di Hardy sugli insiemi di livello della soluzione, combinata con una disuguaglianza di tipo geometrico per le soluzioni stabili di (0.4). Nella prima parte della tesi ci occupiamo anche di disuguaglianze funzionali di tipo Hardy e Sobolev, su ipersuperfici dello spazio euclideo. Nel fare ciò siamo motivati dalle varie applicazioni di questo tipo di risultati allo studio di stime a priori per le soluzioni stabili, sia nel caso semilineare che nel caso nonlineare ...