[en] A unifying formulation for nonlinear solid mechanics and Finite Element Analysis The finite element method is a well-known technology that allows to obtain an approximation to the real structural behaviour of a continuum solid media subjected to external forces. Its use is widely extended in civil engineering and many other fields, such as naval or aerospace engineering. This formulation can be derived under the linear or the nonlinear analysis framework. If the displacements and their corresponding gradients are assumed to be small, the analysis is considerably simplified, and it turns out to be carried out under the assumptions of the linear theory. However, if the displacements and/or the displacement gradients become large, the nonlinear analysis arises. As both analyses are based on different assumptions, they lead to completely different structural responses. And the accuracy of the results depends on the precisión of the assumptions made. That is, if the structure does not experiment small displacements or small displacement gradients, the linear analysis leads to unacceptable results that significantly differ from the real behaviour. Before running a structural simulation, the engineer has to decide, based on its experience and intuition, if the linear assumptions are correct. If the real structural response does not verify the linear assumptions, the linear analysis must be discarded and a nonlinear one should be carried out in order to obtain accurate results. Therefore, the assumptions made about the magnitude of both the displacements and the displacement gradients are quite important, since they define the theoretical framework of the structural analysis. The implications of each assumption have to be clearly defined. Most references in the existing literature do not clearly identify the implications of these assumptions. Therefore, one of the main aims of this work is to clearly identify them and to properly define both the linear and the nonlinear mathematical models that governs the structural behaviour according to each analysis. To accomplish this goal, a unifying formulation of both the linear and nonlinear solid mechanics complete and detailed is proposed. This formulation allows to completely describe and understand the deformation that an elastic solid experiments over time. A novel, simple, and clear nomenclature is proposed, in order to properly state the solid mechanics principles and the strictly necessary equations that describe this deformation process. Once the mathematical models are well-posed, the finite element method can be applied. A complete original derivation in both linear and nonlinear theory is presented. The linear one is also performed in order to compare this well-known derivation with the nonlinear version. One of the main differences between both formulations lies in the application of the external forces. In general, the linear formulation leads to a linear behaviour, whereas the nonlinear one drives to a nonlinear one. As long as the response is linear, the total load can be applied in only one step, and the load superposition principle usually applied in linear theory holds. However, this principles can no longer be applied when dealing with a nonlinear behaviour. If the response is nonlinear, a given load state has multiple possible solutions. Therefore, the total load can not be applied in only one step, and the load history has to be taken into account to reach the correct solution. To overcome these inconveniences, the external loads are usually applied according to an incremental loading process. This incremental strategy is actually a suitable procedure, since the structural response corresponding to each load step has to be solved iteratively. This procedure needs to start iterating from a close approximation to the solution. If the incremental loads are small enough, the result of the previous load step can be adopted to start the iterative procedure, and the convergence should be guaranteed. Many reference textbooks and research papers address the derivation of the nonlinear finite element formulations. Nevertheless, there is no consensus about a common nomenclature and notation. Moreover, the hypotheses made along these derivations are no clearly specified or are not even stated. Therefore, to completely comprehend the underlying physics and the essence of the proposed algorithms, a detailed overview which clarifies this knowledge becomes necessary. In this thesis, a great effort is made to clearly identify the intermediate hypotheses, and extensively analyse the origin and composition of the matrices that arise in nonlinear analysis. A detailed guideline that facilitates the deep comprehension of this powerful technology is proposed. This work states a unifying, clear and complete formulation for the nonlinear analysis field, so the extension of some research lines that have been carried out in linear theory until now becomes possible.

[es] Una formulación unificadora para la mecánica de sólidos no lineal y el análisis por el Método de los Elementos Finitos. El método de los elementos finitos es una tecnología bien conocida que permite obtener una aproximación al comportamiento estructural real de un medio sólido continuo sometido a fuerzas externas. Su uso está ampliamente extendido en ingeniería civil y en muchos otros campos, como la ingeniería naval o la aeronáutica. Esta formulación puede obtenerse bajo el marco de los análisis lineal o no lineal. Si se supone que los desplazamientos y sus correspondientes gradientes son pequeños, el análisis se simplifica considerablemente, y resulta realizarse bajo los supuestos de la teoría lineal. Sin embargo, si los desplazamientos y/o los gradientes de los desplazamientos se consideran grandes, surge el análisis no lineal. Como ambos análisis se basan en supuestos diferentes, conducen a respuestas estructurales completamente distintas. Y la exactitud de los resultados depende de la precisión de las hipótesis realizadas. Es decir, si la estructura no experimenta pequeños desplazamientos o pequeños gradientes de desplazamiento, el análisis lineal conduce a resultados inaceptables que difieren significativamente del comportamiento real. Antes de llevar a cabo una simulación estructural, el ingeniero tiene que decidir, basándose en su experiencia e intuición, si los supuestos lineales son correctos. Si la respuesta estructural real no verifica las hipótesis lineales, hay que descartar el análisis lineal y realizar uno no lineal para obtener resultados precisos. Por lo tanto, las hipótesis adoptadas acerca de la magnitud tanto de los desplazamientos como de los gradientes de los desplazamientos son muy importantes, ya que definen el marco teórico del análisis estructural. Es necesario definir claramente las implicaciones de cada supuesto. En la literatura existente, la mayoría de las referencias no identifica claramente las implicaciones de estos supuestos. Por lo tanto, uno de los principales objetivos de este trabajo es identificarlas claramente y definir adecuadamente los modelos matemáticos lineales y no lineales que rigen el comportamiento estructural asociado a cada análisis. Para lograr este objetivo, se propone una formulación unificadora de la mecánica de sólidos lineal y no lineal completa y detallada. Esta formulación permite describir y comprender completamente la deformación que experimenta un sólido elástico a lo largo del tiempo. Se propone una nomenclatura novedosa, sencilla y clara para enunciar adecuadamente los principios de la mecánica de sólidos y las ecuaciones estrictamente necesarias que describen este proceso de deformación. Una vez que los modelos matemáticos están bien planteados, se puede aplicar el método de los elementos finitos. Se presenta una obtención original completa tanto en teoría lineal como no lineal. Se presenta también el desarrollo lineal para compararlo con su versión no lineal. Una de las principales diferencias entre ambas formulaciones radica en la forma de aplicar las fuerzas externas. En general, la formulación lineal conduce a un comportamiento lineal, mientras que la no lineal conduce a uno no lineal. Mientras la respuesta sea lineal, la carga total puede aplicarse en un solo paso, y el principio de superposición de cargas de la teoría lineal puede aplicarse adecuadamente. Sin embargo, este principio ya no se puede aplicar cuando se trata con un comportamiento no lineal. Si la respuesta es no lineal, un estado de carga dado tiene múltiples soluciones posibles. Por lo tanto, la carga total no puede aplicarse en un solo paso, y hay que tener en cuenta el historial de carga para obtener la solución correcta. Para solventar estos inconvenientes, las cargas externas suelen aplicarse según un proceso de carga incremental. Esta estrategia incremental es en realidad un procedimiento adecuado, ya que la respuesta estructural correspondiente a cada paso de carga debe resolverse de forma iterativa. Este procedimiento necesita empezar a iterar desde una aproximación cercana a la solución. Si las cargas incrementales son lo suficientemente pequeñas, el resultado del paso de carga anterior puede adoptarse para iniciar el procedimiento iterativo, y la convergencia debería estar garantizada. Numerosos libros de texto de referencia y trabajos de investigación abordan la obtención de las formulaciones de elementos finitos no lineales. Sin embargo, no existe consenso sobre una nomenclatura y notación comunes. Además, las hipótesis formuladas a lo largo de estos desarrollos no se especifican claramente o ni siquiera se enuncian. Por lo tanto, para comprender completamente la física subyacente y la esencia de los algoritmos propuestos, se hace necesaria una visión más detallada que lo aclare. En esta tesis se hace un gran esfuerzo por identificar claramente las hipótesis intermedias y analizar ampliamente el origen y la composición de las matrices que surgen en el análisis no lineal. Se elabora una guía detallada que facilita el aprendizaje profundo de esta potente tecnología. Este trabajo plantea una formulación unificadora, clara y completa en el campo del análisis no lineal, para que la extensión de algunas líneas de investigación que hasta ahora se han llevado a cabo en teoría lineal sea posible.