[ca] En aquest treball es tracten dos problemes. El primer és un problema d'aproximació en la classe de Zygmund per funcions del subespai I_1(BMO), que és l'espai de funcions contínues amb derivada a BMO en el sentit de les distribucions. Considerem la distància definida per la semi-norma de Zygmund. En el Capítol 1, donada una funció f de la classe de Zygmund en la recta real amb suport compacte, trobem una estimació de la seva distància al subespai I_1(BMO). A més, aquest resultat s'expressa en termes de les segones diferències de f, que defineixen la seva semi-norma de Zygmund. Com a corol·lari, obtenim una caracterització de la clausura de l'espai I_1(BMO) en aquesta semi-norma. Els mètodes presentats en aquesta primera part no es poden aplicar al cas de la classe de Zygmund a l'espai euclidià de dimensió n>1. Tanmateix, presentem un resultat anàleg per mesures de Zygmund en dimensió n>=1. En aquest cas, el subespai que considerem és el de mesures absolutament contínues amb derivada de Radon-Nykodim en l'espai BMO. En el Capítol 2, considerem l'espai de funcions amb continuïtat Hölder de paràmetre 0<s<=1 (prenent la classe de Zygmund en el cas s=1) definides en l'espai euclidià de dimensió n>=1. Per 0<s<=1, la imatge de BMO pel potencial de Riesz I_s en el sentit de les distribucions temperades mòdul polinomis, que denotem per I_s(BMO), és subespai de la classe de Hölder de paràmetre s. En particular, en el cas n=s=1 aquesta definició coincideix amb la de I_1(BMO) en el Capítol 1. Aleshores, donada una funció f de la classe de Hölder de paràmetre 0<s<=1 amb suport compacte, trobem una estimació de la seva distància al subespai I_s(BMO). La distància que prenem és la que defineix la semi-norma de Hölder corresponent. Com abans, aquest resultat també ve expressat en termes de les segones diferències de f. A més a més, mostrem dues estimacions equivalents. Una en termes dels coeficients de la sèrie d'ondetes de f i l'altra en termes de la segona derivada hiperbòlica de l'extensió harmònica de f al semi-espai superior. En el Capítol 3, estudiem un problema sobre funcions internes al disc unitat. El Lema de Löwner afirma que la mesura de Lebesgue en el cercle unitat és invariant per tota funció interna f que fixi l'origen. És a dir, qualsevol conjunt mesurable E en el cercle unitat i la seva preimatge per f tenen la mateixa mesura de Lebesgue. Pel cas en què una funció interna f no té cap punt fix en el disc unitat, C. I. Doering i R. Mañé van estudiar una mesura infinita en el cercle unitat que depèn del punt fix de Denjoy-Wolff de f i que és quasi-invariant. Aquí generalitzem el resultat de Doering i Mañé, definint la seva mesura prenent un punt qualsevol del cercle unitat. Per altra banda, J. L. Fernández i D. Pestana van estudiar la distorsió del contingut de Hausdorff de conjunts en el cercle unitat per funcions internes que fixen l'origen. Fent servir un contingut de Hausdorff basat en la mesura definida per Doering i Mañé, presentem una generalització del resultat de Fernández i Pestana per funcions internes sense cap punt fix en el disc unitat.

[en] In this work we deal with two different problems. The first one is an approximation problem in the Zygmund class by functions in the subspace I_1(BMO), which is the space of continuous functions with derivative in BMO in the sense of distributions. We consider the distance defined by the Zygmund semi-norm. In Chapter 1, given a function f in the Zygmund class in the real line with compact support, we find an estimate of its distance to the subspace I_1(BMO). In addition, this result is expressed in terms of the second differences of f, which define its Zygmund semi-norm. As a corollary, we obtain a characterisation of the closure of I_1(BMO) in this semi-norm. The methods presented in this first part are not applicable to the Zygmund class in the euclidean space of dimension n>1. However, we present an analogous result for Zygmund measures in dimension n>=1. In this case, the subspace that we consider is the space of absolutely continuous measures with Radon-Nykodim derivative in BMO. In Chapter 2, we consider the space of Hölder continuous functions with parameter 0<s<=1 (taking the Zygmund class when s=1) defined on the euclidean space of dimension n>=1. For 0<s<=1, the image of BMO under the Riesz potential I_s in the sense of tempered distributions modulo polynomials, denoted by I_s(BMO), is a subspace of the Hölder class of parameter s. In particular, in the case n=s=1 this definition coincides with that of I_1(BMO) in Chapter 1. Then, given a function f in the Hölder class of parameter 0<s<=1 with compact support, we find an estimate of its distance to I_s(BMO). We take here the distance defined by the corresponding Hölder semi-norm. As before, this result is also expressed in terms of the second differences of f. Moreover, we also show two more equivalent estimates. One in terms of the coefficients of the wavelet series of f and the other in terms of the second hyperbolic derivative of the harmonic extension of f on the upper half-space. In Chapter 3, we study a problem about inner functions in the unit disk. Löwner's Lemma states that the Lebesgue measure in the unit circle is invariant under any inner function f fixing the origin. In other words, every measurable set E in the unit circle has the same Lebesgue measure as its preimage under f. In the case that an inner function has no fixed point in the unit disk, C. I. Doering and R. Mañé studied an infinite measure in the unit circle that depends on the Denjoy-Wolff fixed point of f and that has the property of being quasi-invariant. Here we generalise the result of Doering and Mañé taking any point of the unit circle to define their measure. In a similar way, J. L. Fernández and D. Pestana studied the distortion of Hausdorff contents in the unit circle under inner functions fixing the origin. Using a Hausdorff content based in the measure defined by Doering and Mañé, we present a generalisation of the result of Fernandez and Pestana for inner functions without fixed points in the unit disk.