[ca] Aquesta tesi tracta tres casos de mètodes relacionals en lògica algebraica. En primer lloc, es pretén determinar quins conjunts parcialment ordenats són isomorfs a l'espectre d'una àlgebra de Heyting. Es tracta d'una qüestió oberta relacionada amb el problema clàssic de representar conjunts parcialment ordenats com a espectres de reticles distributius afitats o, equivalentment, d'espectres d'anells commutatius amb unitat. Demostrem que un sistema d'arrels (el dual d'ordre d'un bosc) és isomorfa l'espectre d'una àlgebra de Heyting si, i només si satisfà una simple condició teòrica d'ordre, coneguda com a "tenir prou buits", i cadascuna de les seves cadenes no buides tenen un ínfim. Això reforça la caracterització de Lewis dels sistemes d'arrels que són espectres d'anells commutatius amb unitat. Encara que una caracterització similar per boscos arbitraris sembla actualment difícilment assolible, demostrem que un bosc ben ordenat és isomorf a l'espectre d'una àlgebra de Heyting si, i només si, té prou buits i cadascuna de les seves cadenes no buides té suprem. En segon lloc, recordem que el teorema de Sahlqvist proporciona condicions sintàctiques suficients perquè una lògica modal normal sigui completa respecte a una classe elemental de marcs de Kripke. Estenem la teoria de Sahlqvist als fragments del càlcul proposicional intuïcionista que inclouen la conjunció. Això ens permet introduir un tipus de teoria de Sahlqvist de caràcter intuïcionista per sistemes deductius protoalgebraics arbitraris. Com a aplicació, obtenim un teorema de Sahlqvist pels fragments del càlcul proposicional intuïcionista que inclouen la implicació i per les extensions de la lògica lineal intuïcionista En tercer lloc, recordem que el cèlebre teorema de dicotomia de Blok demostra que cada lògica modal normal comparteix els seus marcs de Kripke amb exactament 1 o 2(N°) lógiques. Caracteritzar el nombre de lògiques que tenen els mateixos conjunts parcialment ordenats d'una extensió axiomàtica del càlcul proposicional intuïcionista és un problema obert. Resolem aquesta qüestió en el cas de les lògiques implicatives, les extensions axiomàtiques del fragment implicatiu de la lògica intuïcionista proposicional. En aquest cas, es compleix una tricotomia: cada lògica implicativa comparteix els seus conjunts parcialment ordenats exactament amb 1, N(o), o 2(No) lògiques.

[es] Esta tesis se ocupa de tres casos de métodos relacionales en lógica algebraica. En primer lugar, se pretende determinar qué conjuntos parcialmente ordenados son isomorfos al espectro de un álgebra de Heyting. Se trata de una cuestión abierta relacionada con el problema clásico de representar conjuntos parcialmente ordenados como espectros de retículos distributivos acotados o, equivalentemente, anillos conmutativos con unidad. Demostramos que un sistema de raíces (el dual de orden de un bosque) es isomorfo al espectro de un álgebra de Heyting si y sólo si satisface una simple condición teórica de orden, conocida como "tener suficientes huecos", y cada una de sus cadenas no vacías tiene un ínfimo. Esto refuerza la caracterización de Lewis de los sistemas de raíces que son espectros de anillos conmutativos con unidad. Aunque una caracterización similar para los bosques arbitrarios parece actualmente difícilmente alcanzable, demostramos que un bosque bien ordenado es isomorfo al espectro de un álgebra de Heyting si y sólo si tiene suficientes huecos y cada una de sus cadenas no vacías tiene un supremo. En segundo lugar, el teorema de Sahlqvist proporciona condiciones sintácticas suficientes para que una lógica modal normal sea completa con respecto a una clase elemental de marcos de Kripke. Extendemos la teoría de Sahlqvist a los fragmentos del cálculo proposicional intuicionista que incluyen la conjunción. Esto nos permite introducir una teoría de Sahlqvist de carácter intuicionista susceptible de sistemas deductivos protoalgebraicos arbitrarios. Como aplicación, obtenemos un teorema de Sahlqvist para los fragmentos del cálculo proposicional intuicionista que incluyen la implicación y para las extensiones de la lógica lineal intuicionista. En tercer lugar, el célebre teorema de dicotomía de Blok demuestra que cada lógica modal normal comparte sus marcos de Kripke con exactamente 1 o 2(N)o lógicas. Caracterizar el número de lógicas que tienen los mismos conjuntos parcialmente ordenados de una extensión axiomática del cálculo proposicional intuicionista es un problema pendiente. Resolvemos esta cuestión en el caso de las lógicas implicativas, las extensiones axiomáticas del fragmento implicativo de la lógica intuicionista proposicional. En este caso, se cumple una tricotomía: cada lógica implicativa comparte sus conjuntos parcialmente ordenados exactamente con 1, o, o 2(No) lógicas.