[ca] Les Equacions Diferencials en derivades Parcials (EDPs) descriuen una gran varietat de fenòmens físics. En moltes situacions, es pot tenir accés a observacions d'un determinat sistema físic i disposar d'alguna idea inicial sobre un aspecte qualitatiu de la seva dinàmica. Aquest coneixement previ és suficient per a determinar l'estructura global de l'EDP, però no els seus coeficients específics. De fet, els paràmetres dels models d'EDPs normalment codifiquen interpretacions científiques rellevants, de manera que és de gran interès poder determinar els seus valors. Aquests coeficients s'estimen a partir de mesures disponibles, que acostumen a presentar soroll. Aquest projecte presenta un algoritme híbrid quàntic-clàssic per a inferir els paràmetres d'una EDP donat un conjunt de dades d'observacions empíriques. Per tal de dur a terme l'estimació de paràmetres, cal tenir accés a una solució de l'EDP. Aquesta tesi proposa un algoritme quàntic per a resoldre EDPs basat en un circuit quàntic parametritzat. Aquest circuit codifica les variables d'entrada utilitzant una aplicació coneguda com a Chebyshev feature map que ofereix una base de polinomis molt representativa i que posseeix gran expressivitat. A continuació, la solució es calcula al circuit quàntic mitjançant mesures de valors esperats. Les derivades espacials i temporals es calculen al circuit quàntic mitjançant derivació automàtica (a través de l'anomenada parameter shift rule) de forma analítica, de manera que s'eviten les inexactituds derivades dels procediments que utilitzen diferències finites per a calcular gradients. Per últim, el circuit quàntic s'entrena per tal de satisfer l'EDP donada i les condicions de frontera especificades. Com a cas d'estudi, l'algoritme s'il·lustra a partir de diverses simulacions per tal de determinar el circuit quàntic que resol l'equació de la calor amb millor expressivitat i exactitud. Amb aquesta configuració es determinen els paràmetres de l'equació de la calor.

[en] Partial differential equations (PDEs) describe a wide variety of physical phenomena. In many situations, one can have access to observations on some physical system and some initial idea of some qualitative aspects of its dynamics. This prior knowledge is enough to determine the overall structure of the PDE, but not its specific coefficients. In fact, the parameters of PDE models encode insightful scientific interpretations, so it is of great interest to determine their values. These coefficients are estimated from the available noisy measurements of the system. This project presents a hybrid quantum-classical approach to infer the parameters of a PDE given a data-set of empirical observations. In order to perform parameter estimation, it is necessary to have access to a PDE solver. This thesis proposes a quantum algorithm to solve PDEs based on a parameterized quantum circuit. This circuit encodes the input variables in a Chebyshev quantum feature map that offers a powerful basis set of fitting polynomials and possesses rich expressivity. Then, the surrogate of the real solution is computed by measuring expectation values. The spatial and temporal derivatives of the surrogates are computed in the differentiable quantum circuit (DQC) through automatic differentiation (via the so-called parameter shift rule) in an analytical form, thus avoiding inaccurate finite difference procedures for calculating gradients. The DQC is then trained to satisfy the given PDE and specified boundary conditions. As a case study, the algorithm is illustrated via several simulations in order to determine the DQC that solves the Heat equation with best expressivity and accuracy. The parameters of the Heat equation are then estimated with this particular setting.