[en] A hypersurface in the Lorentz-Minkowski space Ln+1 is said to be spacelike if its induced metric from the Lorentzian metric of Ln+1 is a Riemannian one. We can endow a spacelike hypersurface in the Lorentz-Minkowski space with two different Riemannian metrics: the one inherited from Ln+1, gL, and the one induced from the Euclidean space Rn+1, gR. Consequently, we can consider two different mean curvature functions on the hypersurface, HL and HR respectively. Recall that a hypersurface in Rn+1 is said to be minimal when HR = 0, while a spacelike hypersurface in Ln+1 is maximal if HL = 0. From the Bernstein and Calabi-Bernstein theorems it is concluded that the only complete spacelike hypersurfaces in Ln+1 being simultaneously minimal and maximal are the spacelike hyperplanes. This uniqueness result can be extended to spacelike hypersurfaces in Ln+1 with the same constant mean curvature HL = HR thanks to a Heinz, Chern and Flanders result which states that entire graphs with constant mean curvature in Rn+1 are minimal. On the other hand, from a local point of view, Kobayashi proved that the only spacelike surfaces in L3 being simultaneously minimal and maximal are open pieces of a spacelike plane or of a helicoid, in the region where it is spacelike. Recently, A. L. Albujer and M. Caballero considered a more general case in which a spacelike surface in L3 satisfies HL = HR not necessarily constant, and they showed several geometric properties that these surfaces verify. The first purpose of this thesis will be to generalize the results of Albujer and Caballero, and we will also obtain some geometric properties for the spacelike hypersurfaces in Ln+1 with HR = HL. Specifically, it will be shown that they do not have elliptic points. This, jointly with a classical argument on the existence of elliptic points from Osserman, will give rise to several consequences on the geometry of these hypersurfaces. On the other hand, since every spacelike hypersurface in Ln+1 is locally a graph over any spacelike hyperplane, the spacelike hypersurfaces with HR = HL will be locally determined by the solutions of a partial differential equation which will be studied, and some uniqueness results for it will be provided. Next, the second objective will be to study the results which can occur in the product spaces with arbitrary dimension. To do this, we will study the extrinsic geometry of non-degenerate hypersurfaces immersed in the product space Mn x R, with (Mn, < , >M) a Riemannian manifold, and which will be given two metrics: the standard Riemannian metric < , >M + dt2 and the Lorentzian metric < , >M - dt2. Therefore two normal vectors, two shape operators, two mean curvatures and two Gaussian curvatures will be considered, one associated with each metric. Then, assuming that the hypersurface under study has mean curvature equal to zero with respect to both metrics, it will be shown that it is foliated by hypersurfaces that are minimal submanifolds of the ambient space. Finally, we will also study the case in which the non-degenerate surfaces of the Lorentzian product space M2(c) x R1 (where M2(c) is the Euclidean plane when c = 0, the Euclidean sphere when c = 1 and the plane hyperbolic when c = -1) have the same Gaussian curvature with respect to both metrics.

[es] Se dice que una hipersuperficie en el espacio de Lorentz-Minkowski Ln+1 es espacial si la métrica inducida sobre ella a partir de la métrica lorentziana de Ln+1 es una métrica riemanniana. Podemos dotar a una hipersuperficie espacial en el espacio de Lorentz-Minkowski con dos métricas riemannianas distintas: la heredada de Ln+1, gL, y la inducida del espacio euclídeo Rn+1, gR. En consecuencia, podemos considerar dos funciones curvatura media distintas sobre la hipersuperficie, HL y HR respectivamente. Recordemos que una hipersuperficie en Rn+1 se dice que es minimal cuando HR = 0, mientras que una hipersuperficie espacial en Ln+1 es maximal si HL = 0. A partir de los teoremas de Bernstein y de Calabi-Bernstein se concluye que las únicas hipersuperficies espaciales completas en Ln+1 que son simultáneamente minimales y maximales son los hiperplanos espaciales. Este resultado de unicidad puede extenderse a hipersuperficies espaciales en Ln+1 con la misma curvatura media constante HL = HR gracias a un resultado de Heinz, Chern y Flanders que afirma que los grafos enteros con curvatura media constante en Rn+1 son minimales. Por otro lado, desde un punto de vista local, Kobayashi probó que las únicas superficies espaciales en L3 que son simultáneamente minimales y maximales son regiones abiertas de un plano espacial o de un helicoide, en la región en la que éste es espacial. Recientemente, A. L. Albujer y M. Caballero consideraron un caso más general en el que una superficie espacial en L3 satisface HL = HR no necesariamente constante, y demostraron varias propiedades geométricas que verifican dichas superficies. El primer objetivo de esta tesis será generalizar los resultados de Albujer y Caballero, obteniendo también algunas propiedades geométricas de las hipersuperficies espaciales en Ln+1 con HR = HL. Concretamente, se demostrará que no tienen puntos elípticos. Esto, junto con un resultado clásico de existencia de puntos elípticos de Osserman, dará lugar a varias consecuencias sobre la geometría de estas hipersuperficies. Por otro lado, como toda hipersuperficie espacial en Ln+1 es localmente un grafo sobre cualquier hiperplano espacial, las hipersuperficies espaciales con HR = HL estarán localmente determinadas por las soluciones de una ecuación en derivadas parciales que será estudiada y para la cual se darán algunos resultados de unicidad. A continuación, el segundo objetivo será estudiar qué resultados pueden darse en los espacios producto con dimensión arbitraria. Para ello, se estudiará la geometría extrínseca de hipersuperficies no degeneradas inmersas en el espacio producto Mn x R, con (Mn, < , >M) una variedad riemanniana, a las que se les otorgará dos métricas: la métrica riemanniana estándar < , >M + dt2 y la métrica lorentziana < , >M - dt2. De esta forma, se podrán considerar dos vectores normales, dos operadores forma, dos curvaturas medias y dos curvaturas de Gauss, una asociada a cada métrica. Entonces, suponiendo que la hipersuperficie objeto de estudio tiene curvatura media igual a cero con respecto a ambas métricas, se demostrará que está foliada por hipersuperficies que son subvariedades minimales del espacio ambiente. Por último, también se estudiará el caso en el que las superficies no degeneradas del espacio producto lorentziano M2(c) x R1 (donde M2(c) es el plano euclídeo cuando c = 0, la esfera euclídea cuando c = 1 y el plano hiperbólico cuando c = -1) tienen la misma curvatura de Gauss con respecto a ambas métricas.