[ca] Aquest treball té com a objectiu abordar els problemes d'optimització de topologia de múltiples escales. Amb aquesta finalitat, es consideren els conceptes de derivada topologia junt amb el mètode d'homogeneïtzació computacional. En aquest estudi, es presenta primer les condicions d'optimalitat i l'algorisme d'optimització utilitzat quan es considera la derivada topològica. A continuació, es proposa un tractament més precís dels elements de la interfície per reduir les inestabilitats numèriques i els elevats càlculs computacionals que apareixen quan s'utilitza l'algorisme de la derivada topològica. L'estratègia resultant s'examina i es compara amb les metodologies actuals, que es poden trobar sovint recollides a la literatura, mitjançant algunes proves numèriques. A més, s'obté una fórmula tancada de la derivada topològica anisotròpica quan es resol analíticament el problema exterior d'elasticitat. Per aconseguir-ho, es considera la teoria de variable complexa i la computació simbòlica. L'expressió resultant es valida a través d'algunes proves numèriques. A més, es resolen diferents problemes d'optimització topològica anisotròpica per mostrar les implicacions de la topològica macroscòpica en considerar materials anisòtrops. Finalment, s'aborda els problemes d'optimització topològica de dues escales. Com a primera estratègia, es considera les topologies microestructurals com a variables de disseny del problema per obtenir un augment de la rigidesa de l'estructura. Es proposa un algoritme de direcció alternada per fer front a les altes no linealitats del problema. A més, per mitigar els elevats càlculs computacionals, es presenta una tècnica de reducció per mitjà d'un precalcul de les topologies microestructural òptimes, que posteriorment són recollides en un catàleg de material. Com a una extensió de la primera estratègia, a més del disseny de les topologies microestructurals, la topologia macroscòpica també es considera com una variable de disseny, obtenint així solucions encara més òptimes. A més, els algoritmes proposats es modifiquen per tal d'obtenir dissenys que poden ser posteriorment fabricats. Alguns exemples numèrics d'optimització topològica de dues escales mostren el potencial de la metodologia proposada.

[en] The present dissertation aims at addressing multiscale topology optimization problems. For this purpose, the concept of topology derivative in conjunction with the computational homogenization method is considered. In this study, the topological derivative algorithm, which is clearly non standard in topology optimization, and the optimality conditions are first introduced in order to a provide a better insight. Then, a precise treatment of the interface elements is proposed to reduce the numerical instabilities and the time-consuming computations that appear when using the topological derivative algorithm. The resulting strategy is examined and compared with current methodologies collected in the literature by means of some numerical tests of different nature. Then, a closed formula of the anisotropic topological derivative is obtained by solving analytically the exterior elastic problem. To this aim, complex variable theory and symbolic computation is considered. The resulting expression is validated through some numerical tests. In addition, different anisotropic topology optimization problems are solved to show the macroscopic topological implications of considering anisotropic materials. Finally, the two-scale topology optimization problem is tackled. As a first approach, an structural stiffness increase is achieved by considering the microscopic topologies as design variables of the problem. An alternate direction algorithm is proposed to address the high non-linearities of the problem. In addition, to mitigate the unaffordable time-consuming computations, a reduction technique is presented by means of pre-computing the optimal microscopic topologies in a computational material catalogue. As an extension of the first approach, besides designing the microscopic topologies, the macroscopic topology is also considered as a design variable, leading to even more optimal solutions. In addition, the proposed algorithms are modified in order to obtain manufacturable optimal designs. Two-scale topology optimization examples exhibit the potential of the proposed methodology