[ca] Entendre i controlar sistemes complexos regits per la mecànica quàntica per a construir tecnologies quàntiques es un dels reptes mes rellevants de la ciència en l'actualitat. Els sistemes atòmics, moleculars i òptics han jugat clarament un rol capital en aquest esforç, produint proves de concepte per a diverses aplicacions de consideració. Exemples notables en son els simuladors quàntics dissenyats per a resoldre problemes complicats d'altres branques de la física, com ara sistemes d'espins, sistemes desordenats, etc.... i ordinadors quàntics de dimensions reduïdes. En particular, els experiments amb gasos d'àtoms ultrafreds i amb trampes iòniques son la punta de llança del camp en l'actualitat. El fantàstic afany experimental ha d'anar associat amb d'altres teòric i numèric que el corresponguin. Les raons principals son: 1) els estudis teòrics son necessaris per tal d'identificar règims adients en que els sistemes AMO puguin esser emprats com a simuladors quàntics eficients de problemes rellevants de la Física i les Matemàtiques, 2) els treballs numèrics exhaustius son necessaris per a contrastar els resultats dels experiments en regions de paràmetres en que els dispositius clàssics son capaços de trobar solucions. En aquesta tesi, presentem diversos exemples de sistemes rellevants que poden esser resolts numèricament. La tècnica emprada -que es comuna per a tot el treball- es la diagonalització exacta. L'ús d'aquesta tècnica es limitat a sistemes amb nombres baixos partícules i/o pocs estats quàntics accessibles. Malgrat aquesta limitació, es poden estudiar una gran varietat de sistemes quàntics en els règims rellevants dels paràmetres de control. Un avantatge notable es el fet que permet calcular no nomes l'estat de mínima energia del sistema, sinó que també la majoria de l'espectre i, en alguns casos, àdhuc estudiar-ne la dinàmica. La tesi s'organitza tal i com prossegueix. En primer lloc, proveïm una introducció, subratllant la importància d'aquesta tècnica per a la simulació quàntica i la validació quàntica i certificació. En el capítol 2, detallem la tècnica de la diagonalització exacta i presentem un exemple del seu us per a les fases per a una cadena de Bose-Hubbard unidimensional. En els capítols del 3 al 6, presentem alguns usos rellevants de la diagonalització exacta. En el capítol 3, estudiem les fases degudes a l'efecte Hall quàntic en un sistema de dues components de bosons sotmesos a camps de gauge artificials. En el capítol 4, canviem a camps de gauge dinàmics, presentant les fases topològiques que apareixen en un sistema de bosons atrapats en una petita xarxa reticular. En el capítol 5, s'hi tracta un problema ben diferent, el d'emprar gasos d'àtoms ultrafreds per a per a simular un model d'espín. La simulació quàntica es de nou l'objectiu del capítol 6, en que proposem una forma en que el problema de la partició de nombres pot esser resolt per mitja d'un simulador quàntic construït amb trampes iòniques. Finalment, en el capítol 7, recollim les conclusions principals del treball i donem una breu opinió del futur d'aquesta investigació.

[es] Entender y controlar sistemas complejos regidos por la mecánica cuántica para construir tecnologías cuánticas es una de los retos científicos más relevantes en la actualidad. Los sistemas atómicos, moleculares y ópticos han jugado claramente un rol capital en este esfuerzo, produciendo pruebas de concepto para diversas aplicaciones de consideración. Notables ejemplos son los simuladores cuánticos diseñados para resolver problemas complicados de otras ramas de la física, como lo son los sistemas de espines, sistemas desordenados, etc.. . . i los ordenadores cuánticos de dimensiones reducidas. En particular, los experimentos con gases de átomos ultrafríos y con trampas iónicas son la punta de lanza del campo en la actualidad. El fantástico empeño experimental tiene que ir asociado a otros teórico y numérico que le correspondan. Las principales razones son: 1) los estudios teóricos son necesarios para identificar regímenes adecuados en que los sistemas AMO puedan ser usados cómo simuladores cuánticos eficientes para problemas relevantes de la Física y las Matemáticas, 2) los trabajos numéricos exhaustivos son necesarios para contrastar los resultados de los experimentos en regiones de parámetros en que los dispositivos clásicos sean capaces de encontrar soluciones. En esta tesis, presentamos diferentes ejemplos de sistemas relevantes que pueden ser resueltos numéricamente. La técnica usada –que es común en todo el trabajo– es la diagonalización exacta. El uso de ésta técnica está restringido a sistemas con números bajos de partículas i/o estados cuánticos accesibles. A pesar de esta limitación, se puede estudiar gran variedad de sistemas cuánticos en los regímenes relevantes de los parámetros de control. Una ventaja notable es que permite calcular no sólo el estado de mínima energía del sistema, sino que también la mayoría del espectro e, en algunos casos, incluso estudiar la dinámica. La tesis se organiza como sigue. En primer lugar, ofrecemos una introducción, subrayando la importancia de esta técnica para la simulación cuántica y la validación cuántica y certificación. En el capítulo 2, detallamos la técnica de la diagonalización exacta y presentamos un ejemplo de su uso para una cadena de Bose-Hubbard unidimensional. En los capítulos del 3 al 6, presentamos algunos usos relevantes de la diagonalización exacta. En el capítulo 3, estudiamos las fases debidas al efecto Hall cuántico en un sistema de dos componentes de bosones sometidos a campos de gauge artificiales. En el capítulo 4, cambiamos hacia campos gauge dinámicos, presentando las fases topológicas que aparecen en un sistema de bosones atrapados en una pequeña malla reticular. En el capítulo 5, se trata un problema bien diferente, el de usar gases de átomos ultrafríos para simular un modelo de espín. La simulación cuántica es de nuevo el objetivo del capítulo 6, en que proponemos una forma en que el problema de la partición de números puede ser resuelta mediante un simulador cuántico construido con trampas iónicas. Finalmente, en el capítulo 7, recogemos las conclusiones principales de los trabajos y damos una breve opinión del futuro de ésta investigación