[ca] Aquesta tesi investiga la geometria, l'estructura i la teoria de la representació dels grups ortogonals especials p-àdics compactes, amb especial atenció al grau tres, SO(3)_p. A més de la seva importància matemàtica, es preveu que SO(3)_p i les seves representacions unitàries tinguin un paper central en el desenvolupament del moment angular i l'espín en la mecànica quàntica p-àdica. En particular, aquestes representacions de la dimensió dos proporcionen un model adequat de qubit p-àdic, en els fonaments d'una creixent teoria p-àdica de la informació i la computació quàntica. Per tant, proposem construir un processament d'informació quàntica utilitzant elements de les mateixes representacions de SO(3)_p que les portes de lògica quàntica. L'estudi comença amb la classificació de les formes quadràtiques p-àdiques, segons la qual només existeixen grups ortogonals especials p-àdics compactes de grau dos, tres i quatre. Això produeix un grup únic SO(3)p de rotacions en Q_p^3, un grup únic de grau quatre, però diverses encarnacions del grup de rotacions al pla p-àdic. SO(3)_p mostra similituds amb el seu homòleg real, alhora que revela diferències a causa de les propietats teòriques dels nombres de Q_p, depenent del primer p. El primer parell p=2 presenta algunes peculiaritats, per tant, ocasionalment requereix un tractament separat i prudent. Tot el grup SO(3)_p admet una representació en termes dels "angles" de Cardano (també conegut com nàutic), però això només funciona per a determinades ordenacions del producte de rotacions al voltant dels eixos de referència, depenent del primer; a més, no hi ha una descomposició general d'Euler. Per a p=2, no existeix cap descomposició d'Euler o Cardano. Expressem la mesura de Haar en SO(3)_p, així com en els altres grups ortogonals especials p-àdics compactes, utilitzant dos enfocaments: (1) una maquinària de límit invers de mesures de recompte, ja que aquests grups són profinis, i ( 2) una fórmula integral general per a la mesura de Haar sobre grups de Lie p-àdics, per ser explotada juntament amb les realitzacions de quaternions de rotacions p-àdiques. Això obre el camí per a l'anàlisi harmònic d'aquests grups, i específicament per a les seves representacions invocant el teorema de Peter-Weyl. Com que totes les representacions unitàries projectives de dimensions finites de SO(3)_p es factoritzen en algun quocient mòdul p^k, k \in N, ens embarquem en el camí d'estudiar les representacions de SO(3)_p partint de les induïdes per SO. (3)_p mod pàg. En particular, trobem explícitament qubits p-àdics per a cada p primer. Abordem més el problema de Clebsch-Gordan i identifiquem estats entrellaçats per a sistemes compostos de dos qubits p-àdics. Finalment comencem a treballar en portes lògiques que operen en dos qubits, a partir de les conegudes representacions unitàries de quatre dimensions de SO(3)_p, amb l'objectiu final de proporcionar un conjunt universal de portes.

[en] This dissertation investigates geometry, structure and representation theory of the compact p-adic special orthogonal groups, with particular attention to that of degree three, SO(3)_p. In addition to its mathematical significance, SO(3)_p and its unitary representations are predicted to play a central role in the development of angular momentum and spin in p-adic quantum mechanics. In particular, those representations of dimension two provide a suitable model of p-adic qubit, at the foundations of a burgeoning p-adic theory of quantum information and computation. Thus, we propose to build quantum information processing using elements from the same representations of SO(3)_p as quantum logic gates. The study begins with the classification of p-adic quadratic forms, according to which, compact p-adic special orthogonal groups exist only of degree two, three and four. This yields a unique group SO(3)p of rotations on Q_p^3, a unique group of degree four, but several incarnations of the group of rotations on the p-adic plane. SO(3)_p shows similarities with its real counterpart, while also revealing differences due to the number-theoretic properties of Q_p, depending on the prime p. The even prime p=2 exhibits some peculiarities, therefore it occasionally necessitates a separate and cautious treatment. The entire group SO(3)_p admits a representation in terms of Cardano (aka nautical) "angles", however, this works only for certain orderings of the product of rotations around the reference axes, depending on the prime; furthermore, there is no general Euler decomposition. For p=2, no Euler or Cardano decomposition exists. We express the Haar measure on SO(3)_p, as well as on the other compact p-adic special orthogonal groups, employing two approaches: (1) an inverse-limit machinery of counting measures, since these groups are profinite, and (2) a general integral formula for the Haar measure on p-adic Lie groups, to be exploited together with the quaternion realisations of p-adic rotations. This paves the way for harmonic analysis on these groups, and specifically for their representations by invoking the Peter-Weyl theorem. Since all the finite-dimensional projective unitary representations of SO(3)_p factorise on some quotient modulo p^k, k \in N, we embark on the path of studying the representations of SO(3)_p starting from those induced by SO(3)_p mod p. In particular, we explicitly find p-adic qubits for every prime p. We further address the Clebsch-Gordan problem and identify entangled states for composite systems of two p-adic qubits. We finally begin to work on logic gates operating on two qubits, from the known four-dimensional unitary representations of SO(3)_p, with the ultimate aim to provide a universal set of gates.