[en] The objective of the development of this doctoral thesis was to analyze the derivative schema, in university students with prior instruction in differential calculus, through the identification and characterization of the sub-levels of development schema and their possible thematization. In order to identify and characterize the sub-levels of development, a questionnaire was provided to 103 university students. The questionnaire consisted of three tasks involving that involved the use of mathematical elements that shape the derivative concept in the of analytical and graphical representation modes. The resolution protocols of the questionnaire were discretized by means of a dichotomous scale in order to construct a vector associated with each resolution protocol. These vectors allowed the development of a Cluster Analysis whereby different development sub-levels of the derivative schema were identified. Also, the Cluster Analysis allowed to partition the data matrix into submatrices, one for each sub-level: Inter and Trans. From these submatrices the sub-levels of development of the derivative schema were characterized by Descriptive and Implicative Statistical Analysis interpreting the results of these analyzes with the framework of the APOS theory. From the identification and characterization of these sub-levels, the most advanced Trans sub-level development was selected, and five students were interviewed within it in order to characterize the possible thematization of the derivative schema. For the characterization of thematization of derivative schema, we observed the relationships that students establish when they face the treatment of extreme values, inflection points and conflictive points in successive derivatives of an order higher than two were observed. The results of this research helped to identify and characterize three sub-levels of the development derivative schema for each Inter and Trans level, some of these sub-levels have already been identified in previous research. Furthermore, the analysis of the thematization of schema identified two different manifestations that were designated as thematization as a totality and thematization as an object. Also, these two different manifestations of thematization have allowed for a genetic descomposition to be established that had been previously raised in another investigation.

[es] El desarrollo de esta tesis doctoral tuvo como objetivo analizar el esquema de la derivada en estudiantes universitarios, con instrucción previa en Cálculo Diferencial, por medio de la identificación y caracterización de los subniveles de desarrollo del esquema, y la posible tematización del mismo. Con el propósito de identificar y caracterizar los subniveles de desarrollo se aplicó un cuestionario a 103 estudiantes universitarios. El cuestionario estaba compuesto por tres tareas que involucraban el uso de los elementos matemáticos que configuran el concepto de derivada en los modos de representación analítico y gráfico. Los protocolos de resolución del cuestionario fueron discretizados por medio de una escala dicotómica con el fin de construir un vector asociado a cada protocolo de resolución. Estos vectores permitieron el desarrollo de un Análisis de Clúster por medio del cual se identificaron distintos subniveles de desarrollo del esquema de la derivada. Asimismo, el Análisis de Clúster permitió dividir la matriz de datos en submatrices, una para cada subnivel Inter y Trans. Desde estas submatrices se caracterizaron los subniveles de desarrollo del esquema de la derivada por medio del Análisis Estadístico Descriptivo e Implicativo interpretando los resultados de estos análisis con el marco de la teoría APOE. A partir de la identificación y caracterización de estos subniveles, se seleccionó el subnivel de desarrollo Trans más avanzado y se entrevistó a 5 estudiantes de él, a fin de caracterizar la posible tematización del esquema de la derivada. Para la caracterización de la tematización del esquema de la derivada, se observaron las relaciones que los estudiantes establecen cuando se enfrentan al tratamiento de valores extremos, puntos de inflexión y puntos conflictivos en derivadas sucesivas de orden mayor a dos. Los resultados de esta investigación permitieron identificar y caracterizar tres subniveles de desarrollo del esquema de la derivada para cada uno de los niveles Inter y Trans. Algunos de estos subniveles, ya habían sido identificados en investigaciones previas. Además, el análisis de la tematización del esquema permitió identificar dos manifestaciones distintas que fueron denominadas tematización como totalidad y tematización como objeto. Asimismo, estas dos manifestaciones distintas de la tematización permitieron refinar una descomposición genética que había sido planteada previamente en otra investigación.