[es] Esta tesis se sitúa en el marco de la teoría cualitativa de los sistemas diferenciales en el plano. Cada capítulo contiene un aspecto distinto. En la introducción, se da un resumen de los resultados conocidos y se presenta la notación usada durante el resto de la tesis. En particular, se describe el problema de la integrabilidad y algunos resultados referentes a la determinación de la estabilidad de un punto singular o una órbita periódica con el fin de introducir los últimos capítulos. Definimos el problema de la integrabilidad como el problema de encontrar una integral primera para un sistema diferencial plano y determinar la clase funcional a la cual ésta debe pertenecer. Los Capítulos 2 y 3 tratan sobre el problema de la integrabilidad. En el Capítulo 2, obtenemos un resultado que permite encontrar una expresión explícita para una integral primera para un cierto tipo de sistema polinomial. Mediante un cambio racional de variable, hacemos corresponder una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden: A2 (x) w'(x) + A1(x) w'(x) + A0(x) w(x) = 0, cuyos coeficientes son polinomios, a un sistema diferencial polinomial en el plano. Probamos que dicho sistema tiene un invariante para cada solución arbitraria no nula w(x) de la edo de segundo orden, que, en caso que w(x) sea un polinomio, da lugar a una curva algebraica invariante. Además, damos una expresión explícita de una integral primera para el sistema construida a partir de dos soluciones independientes de la edo de segundo orden. Esta integral primera no es, en general, una función Liouvilliana. Finalmente, verificamos que todos los ejemplos conocidos de familias de sistemas cuadráticos con una curva algebraica invariante de grado arbitrariamente alto se pueden describir mediante esta construcción (módulo transformaciones birracionales). En el Capítulo 3, las curvas algebraicas invariantes de un sistema diferencial plano polinomial juegan un papel fundamental. Si una curva algebraica invariante e irreducible existe para un sistema polinomial plano, entonces los valores de su cofactor en cada punto singular no degenerado están determinados. De hecho, este valor es una combinación lineal a coeficientes naturales de los valores propios asociados al punto singular no degenerado. Estos coeficientes naturales se pueden determinar completamente según la naturaleza del punto singular. Además, también podemos considerar los puntos del infinito. Una vez que el sistema se considera en el plano proyectivo complejo, el grado de una curva algebraica invariante deviene un parámetro de su cofactor. Si consideramos un sistema de grado d, entonces tiene d^2 + d + 1 puntos singulares (contados con su multiplicidad) y el cofactor de una curva algebraica invariante es un polinomio de grado a lo sumo d-1. Procedemos de la manera siguiente: tomamos un polinomio de grado d-1 con sus d(d+1)/2 coeficientes arbitrarios y suponemos que es el cofactor de una curva algebraica invariante e irreducible de grado n. Entonces, imponemos todas las condiciones dadas por los puntos singulares no degenerados. En el caso general, imponemos d^2 + d + 1 condiciones y, en consecuencia, determinamos completamente el cofactor y el grado de la curva, cuya existencia puede ser determinada resolviendo un sistema lineal de ecuaciones, o mostramos una condición de incompatibilidad. Por tanto, podemos determinar la existencia de todas las curvas algebraicas invariantes para un sistema general. El Capítulo 4 trata sobre la estabilidad de una órbita periódica de un sistema diferencial plano. Suponemos que f(x,y)=0 es una curva invariante e irreducible con cofactor que contiene la órbita periódica. Probamos que las integrales sobre la órbita periódica de la divergencia y del cofactor coinciden. De aquí que podamos deducir la estabilidad de una órbita periódica mediante la integración del cofactor sobre ésta. En el Capítulo 5, describimos una aplicación de los resultados dados en los Capítulos 3 y 4. Consideramos los sistemas cuadráticos con un ciclo límite algebraico conocidos hasta la redacción de esta tesis. Estos ciclos límite algebraicos están contenidos en curvas algebraicas invariantes de grados 2, 4, 5 y 6 y algunas de estas familias de sistemas cuadráticos son birracionalmente equivalentes. Aplicando el método descrito en el Capítulo 3, mostramos que no existe ninguna curva algebraica invariante excepto la que contiene el ciclo límite. Aprovechamos este resultado para mostrar que estos sistemas no tienen integral primera Liouvilliana. Y, aplicando la formula dada en el Capítulo 4, probamos que estos ciclos límite algebraicos son hiperbólicos. El Capítulo 6 trata sobre el estudio de las propiedades de la función periodo asociada a un punto singular con parte lineal de tipo centro-foco. Dada una sección transversal al flujo con dicho punto singular por extremo, podemos definir la aplicación de Poincaré y la función periodo asociadas a esta sección puesto que este punto es siempre monodrómico. Decimos que este punto es isócrono si podemos encontrar una sección tal que la función periodo asociada a ella sea constante. Esta definición generaliza la definición usual dada para centros a cualquier punto singular con parte lineal de tipo centro-foco. Caracterizamos esta propiedad mediante simetrías de Lie y formas normales, generalizando los procedimientos conocidos para centros. Además, damos un ejemplo de una familia de sistemas que dependen de un parámetro real, tales que el origen es un punto singular con parte lineal de tipo centro-foco y que nunca es un punto isócrono.

[fr] Cette thèse de doctorat traite sur la théorie qualitative des systèmes différentiels planaires. Chaque chapitre contient un sujet différent. Dans l'introduction, un sommaire des résultats connus est donné et la notation utilisée dans le reste du mémoire est présentée. En particulier, nous décrivons le problème de l'intégrabilité et quelques résultats concernant la détermination de la stabilité d'un point singulier ou d'une orbite périodique afin de présenter les derniers chapitres. Nous définissons le problème de l'intégrabilité comme le problème de trouver une intégrale première pour un système différentiel planaire et de déterminer la classe fonctionnelle à la quelle elle doit appartenir. Les Chapitres 2 et 3 traitent du problème de l'intégrabilité. Au Chapitre 2, nous obtenons un résultat permettant de trouver une expression explicite pour une intégrale première d'un certain type de système polynomial. Au moyen d'un changement rationnel de variables, nous faisons correspondre l'équation linéaire du deuxième degré: A2(x) w''(x) + A1(x) w'(x) + A0(x) w(x) = 0, dont les coefficients sont des polynômes, à un système différentiel polynomial planaire. Nous montrons que ce système a un invariant pour chaque solution arbitraire w(x) différent de zéro de l'équation considérée, qui, dans le cas où le w(x) serait un polynôme, est une courbe algébrique invariante. De plus, nous donnons une expression explicite d'une intégrale première pour le système construite à partir de deux solutions indépendantes de l'edo du deuxième degré. Cette intégrale première n'est pas, en général, une fonction de Liouville. En conclusion, nous vérifions que tous les exemples connus des familles des systèmes quadratiques avec une courbe algébrique invariante de degré arbitrairement élevé peuvent être décrits par cette construction (modulo des transformations birationnelles). Au Chapitre 3, les courbes algébriques invariantes d'un système différentiel polynomial planaire jouent le rôle fondamental. Si une courbe algébrique invariante et irréductible existe pour un système différentiel polynomial planaire, alors les valeurs de son cofacteur à chaque point singulier non dégénéré sont déterminées. En fait, cette valeur est une combinaison linéaire avec des coefficients naturels des valeurs propres associées au point singulier non dégénéré. Ces coefficients naturels peuvent être complètement déterminés dans certains cas selon la nature du point singulier. De plus, les points à l'infini peuvent également être pris en considération. Une fois que le système est considéré dans le plan projectif complexe, le degré d'une courbe algébrique invariante devient un paramètre de son cofacteur. Si nous considérons un système de degré d, alors il y a d^2 + d + 1 points singuliers (comptés avec sa multiplicité) et le cofacteur d'une courbe algébrique invariante est un polynôme de degré au plus d-1. Nous opérons comme suit: nous prenons un polynôme de degré d-1 avec ses d(d+1)/2 coefficients arbitraires et nous supposons que c'est le cofacteur d'une courbe algébrique invariante et irréductible de degré n. Nous imposons alors toutes les conditions données par les points singuliers non dégénérés. Dans le cas général, nous imposons d^2 + d + 1 conditions et, par conséquent, nous déterminons complètement le cofacteur et le degré de la courbe, dont l'existence peut être déterminée en résolvant un système linéaire d'équations, ou bien nous prouvons l'incompatibilité d'une condition. Par conséquent, nous pouvons déterminer l'existence de toutes les courbes algébriques invariantes d'un système général. Le sujet du Chapitre 4 est la stabilité d'une orbite périodique d'un système différentiel planaire. Nous supposons que f(x,y)=0 est une courbe invariante irréductible réelle avec cofacteur qui contient l'orbite périodique. Nous montrons que les intégrales sur l'orbite périodique de la divergence et le cofacteur coïncident. Par conséquent, nous pouvons déterminer la stabilité d'une orbite périodique en intégrant le cofacteur sur celle-ci. Dans le Chapitre 5, nous décrivons une application des résultats donnés aux Chapitres 3 et 4. Nous considérons les systèmes quadratiques avec un cycle limite algébrique connus jusqu'alors. Ces cycles limites algébriques sont contenus dans des courbes algébriques invariantes de degrés 2, 4, 5 et 6 et il existe certaines de ces familles de systèmes quadratiques qui sont birationnellement équivalentes. Appliquant la méthode exposée au Chapitre 3, nous prouvons qu'il n'y a aucune autre courbe algébrique invariante et irréductible différente à celle qui contient le cycle limite. Ceci nous permet de prouver que ces systèmes n'ont aucune intégrale première de Liouville. En appliquant la formule donnée au Chapitre 4, nous montrons que ces cycles limites algébriques sont hyperboliques. Le Chapitre 6 est consacré à l'étude des propriétés de la fonction de période associée à un point singulier dont la partie linéaire est de type centre-foyer. Etant donnée une section du flux avec tel point singulier comme point final, nous pouvons définir l'application de Poincaré et la fonction de période associée à cette section puisque ce point est toujours monodromique. Nous disons que ce point est isochronique si nous pouvons trouver une section telle que la fonction de période associée à elle est constante. Cette définition généralise la définition habituelle donnée pour des centres à n'importe quel point singulier dont la partie linéaire est de type centre-foyer. Nous caractérisons cette propriété au moyen des symétries de Lie et des formes normales, généralisant les procédures connues pour des centres. De plus, nous donnons un exemple d'une famille de systèmes avec un paramètre réel, telle que l'origine est un point singulier dont la partie linéaire est de type centre-foyer et qui n'est jamais un point isochronique.