[en] D. Kohel and later M. Fouquet and F. Morain studied the structure of volcanoes of ℓ–isogenies of an elliptic curve over a finite field, being ℓ any prime number. They also proposed algorithms to go from the floor to the crater of a volcano. Following these works, in this thesis we studied some properties of the ℓ–isogeny volcanoes. Thus, we characterized the height of an ℓ–isogeny volcano of an elliptic curve over a finite field Fq from the ℓ–adic valuations of the cardinality of the curve and q − 1, analyzing the case ℓ = 3 in detail. On the other hand, for the so-called regular volcanoes, we give the level where a curve is located inside the volcano, according to the structure of its ℓ–Sylow subgroup. From this study, we have designed an algorithm that generates, from a given curve, a list of curves isogenous to the initial one, in an organized manner, according to the degree ℓ of the isogeny. With this objective, we introduce the concept of ℓ–cordillera, a structure consisting of all the ℓ–volcanoes over a field, for a given prime ℓ. Thus, in order to explore a whole ℓ–cordillera, we jump from an ℓ–volcano to another, considering isogenies of degree a prime ℓ′ different from ℓ. In a more practical aspect, we worked on the use of elliptic curve cryptography on devices such as smart cards. More specifically, we focused on the attacks suffered by these devices, such as the Zero-Value Point (ZVP) attacks, which were presented by L. Goubin and extended by T. Akishita and T. Takagi. In this thesis, we propose a countermeasure to these attacks, along the lines of the one proposed by N. Smart. The countermeasure is based on the use of a variant of the algorithm mentioned above, that searches for strong curves exploring the ℓ–cordilleras of the initial curve. Finally, we studied the behavior of these attacks considering elliptic curves given in the Edwards model. Unlike elliptic curves expressed by the Weierstraß equation, Edwards curves are not vulnerable to ZVP attacks.

[es] D. Kohel, y más adelante M. Fouquet y F. Morain, estudiaron la estructura de los volcanes de ℓ–isogenias de una curva elíptica sobre un cuerpo finito, siendo ℓ un primo cualquiera, y propusieron algoritmos para ir desde el suelo hasta el cráter del volcán. Siguiendo estos trabajos, en esta tesis, estudiamos propiedades de los volcanes de ℓ–isogenias. Así, caracterizamos la altura de un volcán de ℓ–isogenias de una curva elíptica sobre un cuerpo finito Fq a partir de las valoraciones ℓ–ádicas del cardinal de la curva y de q − 1, analizando en detalle el caso ℓ = 3. Por otro lado, para los volcanes llamados regulares damos, según la estructura del subgrupo de ℓ–Sylow de la curva, el nivel donde está ubicada dentro del volcán. Utilizando este estudio, hemos diseñado un algoritmo que genera, a partir de una curva dada, un listado de curvas isógenas a la curva inicial de forma ordenada según el grado ℓ de la isogenia. Con este objetivo, introducimos el concepto de ℓ–cordillera, estructura formada por todos los ℓ–volcanes sobre un mismo cuerpo, para un primo ℓ dado. Así, para recorrer toda una ℓ–cordillera, saltaremos de un ℓ–volcán a otro, considerando isogenias de grado un primo ℓ′, diferente de ℓ. En una vertiente más práctica, hemos trabajado en el uso de la criptografía elíptica en dispositivos como las tarjetas inteligentes. Más concretamente, nos hemos centrado en los ataques que sufren estos dispositivos, como los ataques Zero-Value Points (ZVP), presentados por L. Goubin y ampliados por T. Akishita y T. Takagi. En esta tesis, proponemos una contramedida a estos ataques, siguiendo la línea de la propuesta por N. Smart. La contramedida está basada en el uso de una variante del algoritmo mencionado anteriormente que busca curvas resistentes recorriendo las ℓ–cordilleras de la curva inicial. Finalmente, estudiamos el comportamiento de estos ataques considerando curvas elípticas dadas en el modelo de Edwards. A diferencia de las curvas elípticas expresadas mediante la ecuación deWeierstraß, las curvas de Edwards no son vulnerables a los ataques ZVP.