[en] The Z2s-additive codes are subgroups of Zn2 s , and can be seen as a general- ization of linear codes over Z2 and Z4. A Z2s -linear Hadamard code is a binary Hadamard code which is the Gray map image of a Z2s-additive code. It is known that either the rank or the dimension of the kernel can be used to give a complete classification for the Z4-linear Hadamard codes. The aim of this thesis is to classify the family of Z2s -linear Hadamard codes obtained from the Carlet's generalized Gray map through the rank and di- mension of the kernel. First, we give a recursive construction of the generator matrices of the corresponding Z2s-additive Hadamard codes. By using this con- struction, we present a new proof to show that the generated codes are indeed Hadamard. The kernel of these Z2s -linear Hadamard codes of length 2ᵗ and its dimension are established for any s > 2, and it allows to give a partial classifica- tion of such codes. Moreover, we prove that this invariant provides a complete classification for some values of t and s. Later, the rank of these codes is com- puted for s = 3, and it is proved that this invariant, along with the dimension of the kernel, provides a complete classification for Z8-linear Hadamard codes, once t ≥ 3 is fixed. In this case, the number of nonequivalent such codes is also established. Finally, we prove that some families of Z2s -linear Hadamard codes of length 2ᵗ are equivalent, once t is fixed. This allows us to improve the previous results on the partial classification of these codes. An upper and a lower bound are given for the amount of nonequivalent Z2s -linear Hadamard codes of length 2ᵗ. Moreover, after some computations, the exact amount of nonequivalent such codes of length 2ᵗ up to t = 11 is found.

[es] Los códigos Z2s-aditivos son subgrupos del anillo Zn2 s y pueden considerarse como una generalización de los códigos lineales sobre Z2 y Z4. Se llama código Hadamard Z2s -lineal a un código binario Hadamard que es la imagen, vía la aplicación de Gray, de uno Z2s-aditivo. Está demostrado que para dar una clasificación completa de los códigos Hadamard Z4-lineales se puede usar el rango o la dimensión del núcleo. El objetivo de esta tesis es clasificar la familia de los códigos Hadamard Z2s -lineales obtenida a través de la aplicación de Gray generalizada definida por Carlet, usando el rango y la dimensión del núcleo. Primero, damos una construcción recursiva de las matrices generadoras de los códigos Hadamard aditivos sobre Z2s correspondientes. Gracias a esta construcción, damos una demostración nueva de que las imagenes, vía la aplicación de Gray generalizada, de los códigos generados son Hadamard. Construimos el núcleo de los códigos Hadamard Z2s -lineales de longitud 2ᵗ para s > 2 , obtenemos su dimensión y la usamos para obtener una clasificación parcial de estos códigos. A continuación, damos el rango de estos códigos para s = 3 y demostramos que, junto con la dimensión del núcleo, podemos obtener una clasificación completa de los códigos Hadamard Z8-lineales, fijando t ≥ 3. También, para s = 3, establecemos la can- tidad exacta de códigos no equivalentes de este tipo. Por último, probamos que algnas familias de códigos Hadamard Z2s -lineales de longitud 2ᵗ son equivalentes fijando t ≥ 3. Esto nos permite mejorar los resultados anteriores relacionados con la clasificación parcial. También damos cotas superiores e inferiores para la cantidad de códigos Hadamard Z2s -lineales no equivalentes de longitud 2ᵗ. Más aún, calculamos la cantidad exacta de códigos no equivalentes hasta t = 11.