[ca] Avui en dia, un dels problemes matemàtics més utilitzats a l'hora de dissenyar protocols criptogràfics és el problema del logaritme discret sobre el grup de punts d'una corba el.líptica definida sobre un cos finit (ECDLP – Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem). No obstant, no totes les corbes el.líptiques existents són vàlides per a aquest problema. Pel que se sap fins ara, la validesa per al ECDLP d'una corba el.líptica E definida sobre un cos finit Fq depèn del seu cardinal sobre Fq. Donat que el càlcul del cardinal de E és un problema computacionalment costós, sembla raonable pensar que si E és vàlida, puguem obtenir a partir d'ella altres corbes el.líptiques que també ho siguin, és a dir, que també tinguin el seu mateix cardinal sobre Fq. Per dur a terme aquesta tasca nom´es hem de calcular corbes el.líptiques d–isògenes a E sobre Fq, és a dir, hem de calcular d–isogènies Fq–racionals. Sigui ℓ un nombre primer tal que ℓ no divideix a q. El conjunt de totes les classes d'isomorfia sobre Fq de corbes el.líptiques ordinàries amb un determinat cardinal sobre Fq pot ser representat mitjan¸cant un graf dirigit on els vèrtexs són les classes d'isomorfia i on els arcs representen ℓ–isogènies Fq–racionals entre corbes el.líptiques dels vèrtexs. Cada component connexa d'aquest digraf és un volcà de ℓ–isogènies o ℓ–volcà sobre Fq. Els vèrtex d'un ℓ–volcà es distribueixen per nivells. El nombre total de nivells menys un és la seva altura. Calcular l'altura d'un ℓ–volcà pot millorar l'eficiència de l'algoritme SEA, sent aquest algoritme el millor conegut fins ara per al càlcul del cardinal d'una corba el.líptica. Altres aplicacions dels volcans de ℓ–isogènies les trobem en el càlcul dels polinomis de classes de Hilbert o dels polinomis modulars. En totes elles cal recórrer els vèrtexs de ℓ–volcans. En aquesta tesi, per una banda, donem nous mètodes per recórrer els vèrtexs dels volcans de ℓ–isogènies. Per l'altra, coneguda la valoració ℓ–àdica del cardinal de E sobre Fq, estudiem la valoració ℓ–àdica del cardinal de E sobre una extensió de grau k de Fq. Coneguda l'estructura del subgrup de ℓ–Sylow de E sobre Fq, també estudiem la del subgrup de ℓ–Sylow de E sobre Fqk .

[en] One of the most used mathematical problems for the design of modern cryptographic protocols is the discrete logarithm problem over the group of points of an elliptic curve defined over a finite field (ECDLP). However, not all existing elliptic curves are valid for this problem. The validity for the ECDLP of an elliptic curve E defined over a finite field Fq depends on its cardinality over Fq. The computation of the group order of E is an expensive task. Therefore, if E has a "good" cardinality, it seems reasonable to obtain from E other elliptic curves with the same cardinality. For this task, we can compute some Fq–rational d–isogenies of E, where d is a positive integer. Let ℓ be a prime number such that ℓ does not divide q. The set of all Fq–isomorphism classes of ordinary elliptic curves with a given group order over Fq can be represented as a directed graph whose vertices are the Fq–isomorphism classes and whose arcs represent Fq–rational ℓ–isogenies. Each connex component of this graph is a volcano of ℓ–isogenies or ℓ–volcano over Fq. The vertices of a volcano of ℓ–isogenies can be stratified into levels. The number of levels minus one is called the height of the ℓ–volcano. The computation of this value can improve the SEA algorithm (the known best algorithm to compute the cardinality of an elliptic curve). Volcanoes of ℓ–isogenies have also been used to compute the Hilbert class polynomials or to compute the modular polynomials. In all these applications, it is necessary to go through the vertices of ℓ–volcanoes. In this thesis, on one hand, we give new methods to go through the vertices of the ℓ–volcanoes. On the other hand, assuming the knowledge of the ℓ–adic valuation of the cardinality of E over Fq, we study the ℓ–adic valuation of the cardinality of E over an extension of degree k over Fq. Assuming the structure of the ℓ–Sylow subgroup of E over Fq is known, we also study the structure of the ℓ–Sylow subgroup of E over Fqk .