[en] Nowadays, theoretical and practical contributions to statistical analysis under the framework of infinite-dimensional processes play a key role in many scientific fields. This is because they allow us to treat high-dimensional data, where complex dependence structures, such as those in time and/or space, are inherent to its nature. Under that approach and given the current literature, in this thesis a spectral analysis of long memory functional processes with values in a suitable function space with support beyond the Euclidean setting is derived. Specifically, the Hilbert space of square integrable functions with support on a connected and compact two point homogeneous space is considered. In this sense, multifractionally integrated manifold cross-time random fields displaying Long-Range Dependence (LRD) varying at different spatial scales are analyzed beyond structural assumptions. A semiparametric estimation of the LRD parameter operator is proposed through Minimum Contrast Estimation (MCE) based on the integrated periodogram operator. Under suitable conditions, the asymptotic unbiasedness of the integrated periodogram operator is derived, and under the Gaussian scenario the weak consistency of the minimum contrast estimator is achieved. The case when the manifold cross-time random field displays Short Range Dependence (SRD), and LRD at different spatial scales is also addressed by a mixed estimation procedure combining MCE and weighted periodogram operator. The performance of the proposed estimation methodologies is evaluated through a simulation study in terms of manifold–scale varying parameters involved in the multifractional integration, and the regular (autoregressive and moving average) part. The above modeling framework is adopted here in representing the error term in the general family of manifold functional multiple regression models introduced in this thesis under a linear and nonlinear setting. Specifically, in the context of functional multiple linear regression models with functional response, time-varying scalar covariates, functional parameters, and error term given by a multifractionally integrated manifold functional time series displaying LRD in time, a Generalized Least Square (GLS) parameter estimator is derived. The characterization of the second-order structure through the spectral density operator, allow us to consider two scenarios, when the covariance structure in the error term is totally specified, and when this is misspecified. The last one implies the plug-in estimation of the GLS parameter estimator from the functional semiparametric estimation of the spectral second-order structure of the regression error term. Similar results are derived for a flexible class of nonlinear functional regression models with LRD manifold error term. The performance of the functional regression predictor under both settings, linear and nonlinear, is illustrated through a simulation study, under misspecified and totally specified modeling scenarios. The functional regression approaches proposed are also implemented for prediction downward solar radiation flux from atmospheric pressure at the bottom of high clouds, considering synthetic data, based on nonlinear physical model random generation. Finally, some ongoing work and future research lines to be developed in near future are described.

[es] En la actualidad, las contribuciones prácticas y teóricas en el análisis estadístico para procesos infinito dimensionales juega un rol clave en muchos campos científicos. Esto se debe a que dichas contribuciones permiten el tratamiento de datos de alta dimensión, siendo estos caracterizados por complejas estructuras de dependencia tales como las generadas en el tiempo y/o en el espacio, las cuales son inherentes a la naturaleza de este tipo de datos. Teniendo esto en cuenta y dada la literatura actual, considerando un espacio funcional adecuado cuyo soporte va más allá del espacio Euclideano, en esta tesis se deriva el análisis espectral de procesos funcionales con memoria larga en el tiempo. Específicamente, se considera el espacio de Hilbert de funciones cuadrado integrables con soporte en espacios homogéneos de dos puntos conectados y compactos. En este sentido y sin supuestos estructurales (ecuaciones de estados), se estudian los campos aleatorios espacio-temporales multifraccionalmente integrados definidos sobre variedades (manifolds), con Dependencia de Largo Rango (LRD por sus siglas en inglés) en el tiempo variando en las diferentes escalas espaciales. En consecuencia, se propone una estimación semiparamétrica del operador parámetro de LRD usando Estimación de Mínimo Contraste (MCE por sus siglas en inglés) basada en el operador periodograma integrado sobre el cual, se establecen las condiciones bajo las cuales se garantiza su insesgadez asintótica. Por otra parte, bajo el escenario Gaussiano se deriva la consistencia débil del estimador de mínimo contraste. Se propone una metodología de estimación mixta combinando MCE y el periodograma ponderado. Esta se aplica cuando el campo aleatorio espacio-temporal presenta memoria de corto rango (SRD por sus siglas en inglés) en algunas escalas espaciales y LRD en otras. Se realiza un estudio de simulación considerando el caso particular de procesos funcionales Esféricos Autoregresivos y de Medias Móviles (SPHARMA por sus siglas en inglés) integrados multifraccionalmente. Dicho estudio permite evaluar la precisión y variabilidad de las metodologías propuestas para diferentes tamaños de muestra, número de repeticiones independientes y variación de los parámetros involucrados en el factor de integración multifraccional y en el factor regular (autoregresivo y medias móviles). En el contexto de modelización adoptado en el Capítulo 3 de esta tesis se introduce la familia de procesos funcionales esféricos que representan el error en el modelo de regresión funcional múltiple lineal y no lineal analizado. Específicamente, en el contexto de modelos de regresión lineal funcional múltiple con respuesta funcional, covariables escalares variando en el tiempo, parámetros funcionales y término de error dado por una serie de tiempo funcional multifraccionalmente integrada, con memoria larga en el tiempo y con valores sobre una variedad, se propone una estimación de los parámetros del modelo por Mínimos Cuadrados Generalizados (GLS por sus siglas en inglés). En la caracterización de segundo orden del término de error mediante la familia de operadores de densidad espectral se distinguen dos escenarios para el cálculo del predictor de regresión dependiendo de que dicha familia sea o no conocida. En el último caso la estimación del operador de memoria se obtiene mediante MCE en el espectro funcional, permitiendo obtener el estimador plug-in del parámetro funcional de la regresión por GLS. Resultados similares son derivados para una clase flexible de modelos de regresión funcional no lineales con término de error definido sobre una variedad y memoria larga en el tiempo. El análisis sobre las propiedades del predictor funcional, bajo un enfoque lineal y no lineal, se ilustra a través de un estudio de simulación en los escenarios de modelo no especificado y totalmente especificado. Así mismo, la técnica de regresión no lineal propuesta se ilustra en la predicción del flujo de radiación solar descendente a partir de la presión atmosférica en la parte inferior de las nubes altas, para ello se consideran datos sintéticos obtenidos desde la generación aleatoria de modelos físicos no lineales. Finalmente, se describe el trabajo en curso así como algunas líneas futuras de investigación.