[en] In this work, we extend several known results on hyperbolic 3-manifolds and surfaces to the non-orientable case and compare them to its orientable counterpart. In particular, we focus on the deformation space of a non-orientable hyperbolic 3-manifold of finite volume, the metric completion of said deformations and the variety of representation of the Klein bottle and, more generally, of any closed non-orientable surface. We are interested in studying the local structure of the deformation space. We approach the subject through two sides, from geometric ideal triangulations and the variety of representations. Our main result on the topic is that, for the one non-orientable cusped case, the deformation space of an ideal triangulation is homeomorphic to a half-open interval whereas deformations of representations are homeomorphic to an open interval of the real line. If we consider an orientable cusp (in a non-orientable manifold), the discrepancy is no longer observed and we obtain that its deformations are homeomorphic to an open set of {C}. The deformations of non-orientable cusps are related to different representations of a Klein bottle which we call type I and II. The completion of the end is either a solid Klein bottle or disc orbi-bundle for respective representations of type I and II. Furthermore, deformations of a geometric ideal triangulation can only yield representations of type I. On the other hand, we study in depth the variety of representations of the Klein bottle and, more generally, we compute the number of connected components of the variety of representations of any closed non-orientable surfaces. For the surface of genus k, there are 2{k+1} connected components, which are distinguished by the first and second Stiefel-Whitney class of the associated principal bundle.

[es] En esta tesis extendemos varios resultados conocidos sobre 3-variedades hiperbólicas y superficies al caso no orientable y los comparamos con su equivalente orientable. En particular, nos centramos en el espacio de deformaciones de una 3-variedad hiperbólica no orientable de volumen finito, la completación métrica de dichas deformaciones y la variedad de representaciones de la botella de Klein y, más generalmente, de cualquier superficie cerrada no orientable. Estamos interesados en estudiar la estructura local del espacio de deformaciones. Afrontamos el tema desde dos puntos de vista, por un lado mediante triangulaciones ideales geométricas y, por otro, por la variedad de representaciones. Nuestro principal resultado en esta cuestión es que, para el caso de una cúspide no orientable, el espacio de deformaciones de una triangulación ideal es homeomorfo a un intervalo semiabierto, mientras que las deformaciones de la representación son homeomorfas a un intervalo abierto de la recta real. Si consideramos una cúspide orientable (de una variedad no orientable), esta discrepancia ya no se observa, y obtenemos que su espacio de deformaciones es homeomorfo a un abierto de {C}. Las deformaciones de cúspides no orientables están relacionadas con distintas representaciones de la botella de Klein, a las que llamamos tipo I y tipo II. La completación del final es o bien una botella de Klein sólida o bien un orbi-fibrado con fibra un disco para respectivas representaciones de tipo I y II. Asimismo, deformaciones de una triangulación ideal geométrica solo pueden dar lugar a representaciones de tipo I. Por otro lado, estudiamos en profundidad la variedad de representaciones de la botella de Klein y, más generalmente, calculamos el número de componentes conexas de la variedad de representaciones de cualquier superficie cerrada no orientable. Para la superficie de género k, hay 2{k+1} componentes conexas, que se distinguen por la primera y segunda clase de Stiefel-Whitney del fibrado principal asociado.