[ca] La present tesi doctoral s'emmarca en l'estudi dels problemes de centre i ciclicitat, així com d'isocronia i criticalitat, en el context de la teoria qualitativa d'equacions diferencials. Aquesta memòria està organitzada en tres capítols. El primer capítol tracta els problemes de centre i ciclicitat. Comencem donant una descripció més profunda i exhaustiva dels problemes de centre i ciclicitat, juntament amb una breu introducció a les principals eines sobre ideals polinomials i algunes tècniques clàssiques per classificar centres, com ara les simetries o la Teoria de Integrabilitat de Darboux. Després procedim a una anàlisi més detallada de les constants de Lyapunov, mostrant mètodes per calcular-les i com aquests càlculs es poden implementar computacionalment, emfatitzant la importància de la paral·lelització en les tècniques utilitzades. Posteriorment, tractem els problemes de centre i ciclicitat per algunes famílies d'equacions diferencials en el pla. També recopilem una sèrie d'avenços en el càlcul de les constants de Lyapunov i la determinació de la seva estructura. En l'última secció del Capítol 1 estudiem la bifurcació de Hopf en camps vectorials polinomials tridimensionals, amb l'objectiu de trobar el major nombre possible de cicles límit per a diferents graus. Les tècniques emprades han permès trobar 11 cicles límit per a sistemes quadràtics, 31 per a sistemes cúbics, 54 per a sistemes quàrtics i 92 per a sistemes quíntics, que segons coneixem són els nombres més alts trobats fins al moment. El segon capítol està dedicat a l'estudi de la isocronia i la criticalitat. Comencem per definir els dos conceptes amb més detall, treballant en les nocions de funció de període i períodes crítics. A continuació, s'introdueix l'equivalència entre isocronia i linealitzabilitat, juntament amb altres eines per a l'estudi de la isocronia que són el claudàtor de Lie i els sistemes transversals que commuten, així com el càlcul de constants de període. La següent secció de l'Capítol 2 té com a objectiu trobar el nombre màxim de períodes crítics que es despleguen a partir de centres polinomials al pla de grau baix n quan es pertorben els centres isòcrons holomorfs reversibles dins la classe reversible. Demostrem que apareixen 6 períodes crítics per al cas cúbic, 10 per al cas quàrtic, (n^2+n-2)/2 per a n entre 5 i 9 (ambdós inclosos) i (n^2+n-4)/2 per n entre 10 i 16 (ambdós inclosos). La secció final d'aquest capítol presenta la idea d'utilitzar un equivalent de funcions de Melnikov per a la bifurcació de períodes crítics en lloc de cicles límit. Això permet obtenir 10, 22, 37, 57, 80, 106 i 136 períodes crítics per n = 4, 6, 8, 10, 12, 14 i 16, respectivament. També classifiquem alguns centres isòcrons al llarg d'aquesta secció. L'últim capítol presenta un nou problema que, fins on sabem, mai abans s'havia considerat. Aquest problema consisteix a estudiar simultàniament la bifurcació de cicles límit i períodes crítics per a un sistema d'equacions diferencials en el pla, obtenint un valor (k,l) que vol dir que k cicles límit i l períodes crítics poden desplegar-se simultàniament. En aquesta línia, definirem el terme bi-feblesa [k,l] com un concepte per al grau dels primers coeficients diferents de zero en l'aplicació de retorn k i la funció de període l al mateix temps, sense mantenir les propietats de centre i isocronia. Estudiem la bi-feblesa per diferents famílies clàssiques, i donem una classificació completa de la ciclicitat i criticalitat simultànies per al sistema de Liénard cúbic. També mostrem la isocronia d'algunes famílies de Liénard en aquesta part.

[es] La presente tesis doctoral se enmarca en el estudio de los problemas de centro y ciclicidad, así como de isocronía y criticalidad, en el contexto de la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales. Esta memoria está organizada en tres capítulos. El primer capítulo trata los problemas del centro y la ciclicidad. Comenzamos dando una descripción más profunda y exhaustiva de los problemas de centro y ciclicidad, junto con una breve introducción a las principales herramientas sobre ideales polinomiales y algunas técnicas clásicas para clasificar centros, como las simetrías o la Teoría de Integrabilidad de Darboux. Luego procedemos a un análisis más detallado de las constantes de Lyapunov, mostrando métodos para calcularlas y cómo estos cálculos pueden implementarse computacionalmente, enfatizando la importancia de la paralelización en las técnicas utilizadas. Posteriormente, tratamos los problemas de centro y ciclicidad para algunas familias de ecuaciones diferenciales en el plano. También recopilamos una serie de avances en el cálculo de las constantes de Lyapunov y la determinación de su estructura. En la última sección del Capítulo 1 estudiamos la bifurcación de Hopf en campos vectoriales polinomiales tridimensionales, con el objetivo de encontrar el mayor número posible de ciclos límite para diferentes grados. Las técnicas empleadas han permitido encontrar 11 ciclos límite para sistemas cuadráticos, 31 para sistemas cúbicos, 54 para sistemas cuárticos y 92 para sistemas quínticos, que a nuestro saber son los números más altos encontrados hasta el momento. El segundo capítulo está dedicado al estudio de la isocronía y la criticalidad. Comenzamos por definir ambos conceptos con más detalle, trabajando en las nociones de función de período y períodos críticos. A continuación, se introduce la equivalencia entre isocronía y linealizabilidad, junto con otras herramientas para el estudio de la isocronía que son el corchete de Lie y los sistemas transversales que conmutan, así como el cálculo de constantes de período. La siguiente sección del Capítulo 2 tiene como objetivo encontrar el número máximo de períodos críticos que se desplegan a partir de centros polinomiales en el plano de grado bajo n cuando se perturban los centros isócronos holomorfos reversibles dentro de la clase reversible. Demostramos que aparecen 6 períodos críticos para el caso cúbico, 10 para el caso cuártico, (n^2+n-2)/2 para n entre 5 y 9 (ambos incluidos) y (n^2+n-4)/2 para n entre 10 y 16 (ambos incluidos). La sección final de este capítulo presenta la idea de utilizar un equivalente de funciones de Melnikov para la bifurcación de períodos críticos en lugar de ciclos límite. Esto permite obtener 10, 22, 37, 57, 80, 106 y 136 períodos críticos para n = 4, 6, 8, 10, 12, 14 y 16, respectivamente. También clasificamos algunos centros isócronos a lo largo de esta sección. El último capítulo presenta un nuevo problema que, hasta donde sabemos, nunca antes se había considerado. Este problema consiste en estudiar simultáneamente la bifurcación de ciclos límite y períodos críticos para un sistema de ecuaciones diferenciales en el plano, obteniendo un valor (k,l) que significa que k ciclos límite y l períodos críticos pueden desarrollarse simultáneamente. En esta línea, definiremos el término bi-debilidad [k,l] como un concepto para el grado de los primeros coeficientes distintos de cero en la aplicación de retorno k y la función de período l al mismo tiempo, sin mantener las propiedades de centro e isocronía. Estudiamos la bi-debilidad para diferentes familias clásicas, y damos una clasificación completa de la ciclicidad y criticalidad simultáneas para el sistema de Liénard cúbico. También mostramos la isocronía de algunas familias de Liénard en esta parte.