[en] In this work we deal with two different problems. The first one is an approximation problem in the Zygmund class by functions in the subspace I_1(BMO), which is the space of continuous functions with derivative in BMO in the sense of distributions. We consider the distance defined by the Zygmund semi-norm. In Chapter 1, given a function f in the Zygmund class in the real line with compact support, we find an estimate of its distance to the subspace I_1(BMO). In addition, this result is expressed in terms of the second differences of f, which define its Zygmund semi-norm. As a corollary, we obtain a characterisation of the closure of I_1(BMO) in this semi-norm. The methods presented in this first part are not applicable to the Zygmund class in the euclidean space of dimension n>1. However, we present an analogous result for Zygmund measures in dimension n>=1. In this case, the subspace that we consider is the space of absolutely continuous measures with Radon-Nykodim derivative in BMO. In Chapter 2, we consider the space of Hölder continuous functions with parameter 0<s<=1 (taking the Zygmund class when s=1) defined on the euclidean space of dimension n>=1. For 0<s<=1, the image of BMO under the Riesz potential I_s in the sense of tempered distributions modulo polynomials, denoted by I_s(BMO), is a subspace of the Hölder class of parameter s. In particular, in the case n=s=1 this definition coincides with that of I_1(BMO) in Chapter 1. Then, given a function f in the Hölder class of parameter 0<s<=1 with compact support, we find an estimate of its distance to I_s(BMO). We take here the distance defined by the corresponding Hölder semi-norm. As before, this result is also expressed in terms of the second differences of f. Moreover, we also show two more equivalent estimates. One in terms of the coefficients of the wavelet series of f and the other in terms of the second hyperbolic derivative of the harmonic extension of f on the upper half-space. In Chapter 3, we study a problem about inner functions in the unit disk. Löwner's Lemma states that the Lebesgue measure in the unit circle is invariant under any inner function f fixing the origin. In other words, every measurable set E in the unit circle has the same Lebesgue measure as its preimage under f. In the case that an inner function has no fixed point in the unit disk, C. I. Doering and R. Mañé studied an infinite measure in the unit circle that depends on the Denjoy-Wolff fixed point of f and that has the property of being quasi-invariant. Here we generalise the result of Doering and Mañé taking any point of the unit circle to define their measure. In a similar way, J. L. Fernández and D. Pestana studied the distortion of Hausdorff contents in the unit circle under inner functions fixing the origin. Using a Hausdorff content based in the measure defined by Doering and Mañé, we present a generalisation of the result of Fernandez and Pestana for inner functions without fixed points in the unit disk.

[es] En este trabajo se tratan dos problemas. El primero es un problema de aproximación en la clase de Zygmund por funciones del subespacio I_1(BMO), que es el espacio de funciones continuas con derivada en BMO en el sentido de las distribuciones. Consideramos la distancia definida por la semi-norma de Zygmund. En el Capítulo 1, dada una función f de la clase de Zygmund en la recta real con soporte compacto, encontramos una estimación de su distancia al subespacio I_1(BMO). Además, este resultado se expresa mediante las segundas diferencias de f, que definen su semi-norma de Zygmund. Como corolario, obtenemos una caracterización de la clausura del espacio I_1(BMO) en esta semi-norma. Los métodos presentados en esta primera parte no son aplicables al caso de la clase de Zygmund en el espacio euclidiano de dimensión n>1. No obstante, presentamos un resultado análogo para medidas de Zygmund en dimensión n>=1. En este caso, el subespacio que consideramos es el de medidas absolutamente continuas con derivada de Radon-Nykodim en el espacio BMO. En el Capítulo 2, consideramos el espacio de funciones continuas Hölder de parámetro 0<s<=1 (tomando la clase de Zygmund en el caso s=1) definidas en el espacio euclidiano de dimensión n>=1. Para 0<s<=1, la imagen de BMO por el potencial de Riesz I_s en el sentido de las distribuciones temperadas módulo polinomios, que denotamos I_s(BMO), es subespacio de la clase de Hölder de parámetro s. En particular, en el caso n=s=1 esta definición coincide con la de I_1(BMO) en el Capítulo 1. Entonces, dada una función f de la clase de Hölder de parámetro 0<s<=1 con soporte compacto, encontramos una estimación de su distancia al subespacio I_s(BMO). La distancia que tomamos es la que define la semi-norma de Hölder correspondiente. Como antes, este resultado también se expresa mediante la segundas diferencias de f. Así mismo, mostramos dos estimaciones equivalentes. Una en términos de los coeficientes de la serie de ondículas de f i la otra en términos de la segunda derivada hiperbólica de la extensión armónica de f al semi-espacio superior. En el Capítulo 3, estudiamos un problema sobre funciones internas en el disco unidad. El Lema de Löwner afirma que la medida de Lebesgue en la circunferencia unidad es invariante para toda función interna f que fije el origen. Es decir, cualquier conjunto medible E en la circunferencia unidad y su preimagen por f tienen la misma medida de Lebesgue. Para el caso en el que una función interna f no tiene ningún punto fijo en el disco unidad, C. I. Doering y R. Mañé estudiaron una medida infinita en la circunferencia unidad que depende del punto fijo de Denjoy-Wolff de f y que es cuasi-invariante. Aquí generalizamos el resultado de Doering y Mañé, definiendo su medida tomando un punto cualquiera de la circunferencia unidad. Por otro lado, J. L. Fernández y D. Pestana estudiaron la distorsión del contenido de Hausdorff de conjuntos en la circunferencia unidad para funciones internas que fijan el origen. Usando un contenido de Hausdorff basado en la medida definida por Doering y Mañé, presentamos una generalización del resultado de Fernández y Pestana para funciones internas sin punto fijo en el disco unidad.