[ca] Aquesta tesi tracta tres casos de mètodes relacionals en lògica algebraica. En primer lloc, es pretén determinar quins conjunts parcialment ordenats són isomorfs a l'espectre d'una àlgebra de Heyting. Es tracta d'una qüestió oberta relacionada amb el problema clàssic de representar conjunts parcialment ordenats com a espectres de reticles distributius afitats o, equivalentment, d'espectres d'anells commutatius amb unitat. Demostrem que un sistema d'arrels (el dual d'ordre d'un bosc) és isomorfa l'espectre d'una àlgebra de Heyting si, i només si satisfà una simple condició teòrica d'ordre, coneguda com a "tenir prou buits", i cadascuna de les seves cadenes no buides tenen un ínfim. Això reforça la caracterització de Lewis dels sistemes d'arrels que són espectres d'anells commutatius amb unitat. Encara que una caracterització similar per boscos arbitraris sembla actualment difícilment assolible, demostrem que un bosc ben ordenat és isomorf a l'espectre d'una àlgebra de Heyting si, i només si, té prou buits i cadascuna de les seves cadenes no buides té suprem. En segon lloc, recordem que el teorema de Sahlqvist proporciona condicions sintàctiques suficients perquè una lògica modal normal sigui completa respecte a una classe elemental de marcs de Kripke. Estenem la teoria de Sahlqvist als fragments del càlcul proposicional intuïcionista que inclouen la conjunció. Això ens permet introduir un tipus de teoria de Sahlqvist de caràcter intuïcionista per sistemes deductius protoalgebraics arbitraris. Com a aplicació, obtenim un teorema de Sahlqvist pels fragments del càlcul proposicional intuïcionista que inclouen la implicació i per les extensions de la lògica lineal intuïcionista En tercer lloc, recordem que el cèlebre teorema de dicotomia de Blok demostra que cada lògica modal normal comparteix els seus marcs de Kripke amb exactament 1 o 2(N°) lógiques. Caracteritzar el nombre de lògiques que tenen els mateixos conjunts parcialment ordenats d'una extensió axiomàtica del càlcul proposicional intuïcionista és un problema obert. Resolem aquesta qüestió en el cas de les lògiques implicatives, les extensions axiomàtiques del fragment implicatiu de la lògica intuïcionista proposicional. En aquest cas, es compleix una tricotomia: cada lògica implicativa comparteix els seus conjunts parcialment ordenats exactament amb 1, N(o), o 2(No) lògiques.

[en] This thesis is concerned with three instances of relational methods in algebraic logic. First, determining which partially ordered sets are isomorphic to the spectrum of a Heyting algebra. This is an open question related to the classical problem of representing partially ordered sets as spectra of bounded distributive lattices or, equivalently, commutative rings with unit. We prove that a root system (the order dual of a forest) is isomorphic to the spectrum of a Heyting algebra if and only if it satisfies a simple order theoretic condition, known as "having enough gaps", and each of its nonempty chains has an infimum. This strengthens Lewis' characterisation of the root systems which are spectra of commutative rings with unit. While a similar characterisation for arbitrary forests currently seems out of reach, we show that a well-ordered forest is isomorphic to the spectrum of a Heyting algebra if and only if it has enough gaps and each of its nonempty chains has a supremum. Second, Sahlqvist theorem provides sufficient syntactic conditions for a normal modal logic to be complete with respect to an elementary class of Kripke frames. We extend Sahlqvist theory to the fragments of the intuitionistic propositional calculus that include the conjunction connective. This allows us to introduce a Sahlqvist theory of intuitionistic character amenable to arbitrary protoalgebraic deductive systems. As an application, we obtain a Sahlqvist theorem for the fragments of the intuitionistic propositional calculus that include the implication connective and for the extensions of the intuitionistic linear logic. Third, Blok's celebrated dichotomy theorem proves that each normal modal logic shares its Kripke frames with exactly one or continuurn-many logics. It is an outstanding open problem to characterise the number of logics having the same posets of an axiomatic extension of the intuitionistic propositional calculus. We solve this question in the case of implicative logics, the axiomatic extensions of the implicative fragment of the propositional intuitionistic logic. In this case, a trichotomy holds: every irnplicative logics shares its posets exactly with 1, N0, or 2(No) many logics.