[en] This thesis is situated in the framework of the qualitative theory of differential systems in the plane. Each chapter contains a different topic. In the introduction, a summary of known results is given and the notation used through the rest of the memory is presented. In particular, we describe the integrability problem and some results concerning the determination of the stability of a singular point or a periodic orbit in order to introduce the latest chapters. We define the integrability problem as the problem of finding a first integral for a planar differential system and determining the functional class it must belong to. Chapters 2 and 3 are concerned with the integrability problem. In Chapter 2, we obtain a result which allows to find an explicit expression for a first integral of a certain type of polynomial system. By means of a rational change of variable, we make correspond the homogenous second order linear differential equation: A2 (x) w'(x) + A1(x) w'(x) + A0(x) w(x) = 0, whose coefficients are polynomials, to a planar polynomial differential system. We prove that this system has an invariant for each arbitrary nonnull solution w(x) of the second-order ode, which, in case w(x) is a polynomial, gives rise to an invariant algebraic curve. In addition, we give an explicit expression of a first integral for the system constructed from two independent solutions of the second order ode. This first integral is not, in general, a Liouvillian function. Finally, we verify that all the known examples of families of quadratic systems with an invariant algebraic curve of arbitrarily high degree can be described by this construction (modulus birrational transformations). In Chapter 3, invariant algebraic curves of a planar polynomial differential system play the fundamental role. If an irreducible invariant algebraic curve for a planar polynomial differential system exists, then the values of its cofactor at each non-degenerate singular point are determined. In fact, this value is a linear combination with natural coefficients of the eigenvalues associated to the non-degenerate singular point. These natural coefficients can be completely determined in some cases depending on the nature of the singular point. Moreover, the points at infinity can also be taken into account. Once the system is considered in the projective complex plane, the degree of an invariant algebraic curve becomes a parameter of its cofactor. If we consider a system of degree d, then it has d^2 + d + 1 singular points (counted with multiplicity) and the cofactor of an invariant algebraic curve is a polynomial of degree at most d-1. We proceed as follows: we take a polynomial of degree d-1 with its d(d+1)/2 arbitrary coefficients and we assume that it is the cofactor of an irreducible invariant algebraic curve of degree n. Then, we impose all the conditions given by the non-degenerate singular points. In the general case, we impose d^2 + d + 1 conditions and, hence, we completely determine the cofactor and the degree of the curve, whose existence can be determined by solving a linear system of equations, or we show an incompatibility condition. Therefore, we can determine the existence of all the invariant algebraic curves of a general system. Chapter 4 is about the stability of a periodic orbit of a planar differential system. We assume that f(x,y)=0 is a real irreducible invariant curve with cofactor which contains the periodic orbit. We prove that the integrals over the periodic orbit of the divergence and the cofactor coincide. Hence, we can decide the stability of a periodic orbit by means of the integration of the cofactor over it. In Chapter 5, we describe an application of the results given in Chapters 3 and 4. We consider the quadratic systems with an algebraic limit cycle known until the composition of this thesis. These algebraic limit cycles are contained in invariant algebraic curves of degrees 2, 4, 5 and 6 and there are some of these families of quadratic systems which are birrationally equivalent one to the other. Applying the method given in Chapter 3, we show that there is no other irreducible invariant algebraic curve that the one which contains the limit cycle. We take profit from this result to show that these systems have no Liouvillian first integral. And applying the formula given in Chapter 4, we prove that these algebraic limit cycles are hyperbolic. Chapter 6 is devoted to the study of the properties of the period function associated to a singular point with linear part of centre-focus type. Given a section through the flow with such a singular point as endpoint, we can define the Poincaré map and the period function associated to this section since this point is always monodromic. We say that this point is isochronous if we can find a section such that the period function associated to it is constant. This definition generalizes the usual definition given for centres to any singular point with linear part of centre-focus type. We characterize this property by means of Lie symmetries and normal forms, generalizing the known procedures for centres. Moreover, we provide an example of a family of systems depending on a real parameter, such that the origin is a singular point with linear part of centre-focus type and which is never an isochronous point.

[es] Esta tesis se sitúa en el marco de la teoría cualitativa de los sistemas diferenciales en el plano. Cada capítulo contiene un aspecto distinto. En la introducción, se da un resumen de los resultados conocidos y se presenta la notación usada durante el resto de la tesis. En particular, se describe el problema de la integrabilidad y algunos resultados referentes a la determinación de la estabilidad de un punto singular o una órbita periódica con el fin de introducir los últimos capítulos. Definimos el problema de la integrabilidad como el problema de encontrar una integral primera para un sistema diferencial plano y determinar la clase funcional a la cual ésta debe pertenecer. Los Capítulos 2 y 3 tratan sobre el problema de la integrabilidad. En el Capítulo 2, obtenemos un resultado que permite encontrar una expresión explícita para una integral primera para un cierto tipo de sistema polinomial. Mediante un cambio racional de variable, hacemos corresponder una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden: A2 (x) w'(x) + A1(x) w'(x) + A0(x) w(x) = 0, cuyos coeficientes son polinomios, a un sistema diferencial polinomial en el plano. Probamos que dicho sistema tiene un invariante para cada solución arbitraria no nula w(x) de la edo de segundo orden, que, en caso que w(x) sea un polinomio, da lugar a una curva algebraica invariante. Además, damos una expresión explícita de una integral primera para el sistema construida a partir de dos soluciones independientes de la edo de segundo orden. Esta integral primera no es, en general, una función Liouvilliana. Finalmente, verificamos que todos los ejemplos conocidos de familias de sistemas cuadráticos con una curva algebraica invariante de grado arbitrariamente alto se pueden describir mediante esta construcción (módulo transformaciones birracionales). En el Capítulo 3, las curvas algebraicas invariantes de un sistema diferencial plano polinomial juegan un papel fundamental. Si una curva algebraica invariante e irreducible existe para un sistema polinomial plano, entonces los valores de su cofactor en cada punto singular no degenerado están determinados. De hecho, este valor es una combinación lineal a coeficientes naturales de los valores propios asociados al punto singular no degenerado. Estos coeficientes naturales se pueden determinar completamente según la naturaleza del punto singular. Además, también podemos considerar los puntos del infinito. Una vez que el sistema se considera en el plano proyectivo complejo, el grado de una curva algebraica invariante deviene un parámetro de su cofactor. Si consideramos un sistema de grado d, entonces tiene d^2 + d + 1 puntos singulares (contados con su multiplicidad) y el cofactor de una curva algebraica invariante es un polinomio de grado a lo sumo d-1. Procedemos de la manera siguiente: tomamos un polinomio de grado d-1 con sus d(d+1)/2 coeficientes arbitrarios y suponemos que es el cofactor de una curva algebraica invariante e irreducible de grado n. Entonces, imponemos todas las condiciones dadas por los puntos singulares no degenerados. En el caso general, imponemos d^2 + d + 1 condiciones y, en consecuencia, determinamos completamente el cofactor y el grado de la curva, cuya existencia puede ser determinada resolviendo un sistema lineal de ecuaciones, o mostramos una condición de incompatibilidad. Por tanto, podemos determinar la existencia de todas las curvas algebraicas invariantes para un sistema general. El Capítulo 4 trata sobre la estabilidad de una órbita periódica de un sistema diferencial plano. Suponemos que f(x,y)=0 es una curva invariante e irreducible con cofactor que contiene la órbita periódica. Probamos que las integrales sobre la órbita periódica de la divergencia y del cofactor coinciden. De aquí que podamos deducir la estabilidad de una órbita periódica mediante la integración del cofactor sobre ésta. En el Capítulo 5, describimos una aplicación de los resultados dados en los Capítulos 3 y 4. Consideramos los sistemas cuadráticos con un ciclo límite algebraico conocidos hasta la redacción de esta tesis. Estos ciclos límite algebraicos están contenidos en curvas algebraicas invariantes de grados 2, 4, 5 y 6 y algunas de estas familias de sistemas cuadráticos son birracionalmente equivalentes. Aplicando el método descrito en el Capítulo 3, mostramos que no existe ninguna curva algebraica invariante excepto la que contiene el ciclo límite. Aprovechamos este resultado para mostrar que estos sistemas no tienen integral primera Liouvilliana. Y, aplicando la formula dada en el Capítulo 4, probamos que estos ciclos límite algebraicos son hiperbólicos. El Capítulo 6 trata sobre el estudio de las propiedades de la función periodo asociada a un punto singular con parte lineal de tipo centro-foco. Dada una sección transversal al flujo con dicho punto singular por extremo, podemos definir la aplicación de Poincaré y la función periodo asociadas a esta sección puesto que este punto es siempre monodrómico. Decimos que este punto es isócrono si podemos encontrar una sección tal que la función periodo asociada a ella sea constante. Esta definición generaliza la definición usual dada para centros a cualquier punto singular con parte lineal de tipo centro-foco. Caracterizamos esta propiedad mediante simetrías de Lie y formas normales, generalizando los procedimientos conocidos para centros. Además, damos un ejemplo de una familia de sistemas que dependen de un parámetro real, tales que el origen es un punto singular con parte lineal de tipo centro-foco y que nunca es un punto isócrono.