[en] Nonlinear systems emerge as an active research topic of growing interest during the last decades due to their versatility when it comes to describing physical phenomena. Such scenarios are typically modelled by nonlinear differential equations, whose mathematical structure has proved to be incredibly rich, but highly nontrivial to treat. In particular, a narrow but surprisingly special group of this kind stands out: the so-called integrable systems. The present doctoral thesis focuses on the study of some of the extraordinary properties observed for integrable systems. The ultimate purpose of this dissertation lies in providing a unified theoretical framework that allows us to approach nonlinear differential equations that may potentially be considered as integrable. In particular, their integrability characterization is addressed by means of Painlev? analysis, in conjunction with the subsequent quest of the associated spectral problems and the identification of analytical solutions of solitonic nature. The singular manifold method together with auto-B?ckund and Darboux transformations play a critical role in this setting. In addition, a complementary methodology based on Lie symmetries and similarity reductions is proposed so as to analyze integrable systems by studying the symmetry properties of their associated spectral problems. Taking the ubiquitous nonlinear Schr?dinger equation as the starting point, we have investigated several integrable generalizations of this equation that possess copious applications in distinct scientific fields, such as Mathematical Physics, Material Sciences and Biology.

[es] Los sistemas no lineales constituyen un tema de investigaci?n de creciente inter?s en las ?ltimas d?cadas dada su versatilidad en la descripci?n de fen?menos f?sicos en diversos campos de estudio. Generalmente, dichos fen?menos vienen modelizados por ecuaciones diferenciales no lineales, cuya estructura matem?tica ha demostrado ser sumamente rica, aunque de gran complejidad respecto a su an?lisis. Dentro del conjunto de los sistemas no lineales, cabe destacar un reducido grupo, pero a la vez selecto, que se distingue por las propiedades extraordinarias que presenta: los denominados sistemas integrables. La presente tesis doctoral se centra en el estudio de algunas de las propiedades m?s relevantes observadas para los sistemas integrables. En esta tesis se pretende proporcionar un marco te?rico unificado que permita abordar ecuaciones diferenciales no lineales que potencialmente puedan ser consideradas como integrables. En particular, el an?lisis de integralidad de dichas ecuaciones se realiza a trav?s de t?cnicas basadas en la Propiedad de Painlev?, en combinaci?n con la subsiguiente b?squeda de los problemas espectrales asociados y la identificaci?n de soluciones anal?ticas de naturaleza solit?nica. El m?todo de la variedad singular junto con las transformaciones de auto-B?cklund y de Darboux jugar?n un papel fundamental en este estudio. Adem?s, tambi?n se lleva a cabo un an?lisis complementario basado en las simetr?as de Lie y reducciones de similaridad, que nos permitir?n estudiar desde esta nueva perspectiva los problemas espectrales asociados. Partiendo de la archiconocida ecuaci?n de Schr?dinger no lineal, se han investigado diferentes generalizaciones integrables de dicha ecuaci?n con numerosas aplicaciones en diversos campos cient?ficos, como la F?sica Matem?tica, F?sica de Materiales o Biolog?a.