[en] In this final bachelor thesis, we seek to broaden our knowledge about the functor Extn studied in the course Commutative Algebra taught, in this case, by Professor Mart´ın Eugenio Avendaño. To do this, given that in this subject we buil the above functor as a contravariant in the category of modules and using projective modules, in this case we seek to dualize this process and also prove that it is a bifunctor. Therefore, we will build it using injective modules and we will see that both constructions are isomorphic, concluding as we have said that it is a bifunctor. We will start with the construction of the Ext functor, which will later be Ext1 and with the pertinent results regarding injective modules and their covariant nature. This will be useful for us, since due to lack of space and not being redundant, we will do the equivalence relation for the module resolutions that we will use in the groups Extn with n ≥ 2 with somewhat less detail, since it is the generalization of the equivalence relation of the case n = 1. We will do all this in the category of modules and later we will generalize it to an arbitrary abelian category. We will make a short introduction to the abelian categories, with the most relevant definitions and results. In order to build the generalization of the functor to an arbitrary abelian category. With this we can see the usefulness of defining the functor for projective and injective objects, since there are categories in which there are not enough projective objects, but enough injective objects and vice versa, such as the category of coherent sheaves and of course if there are enough projective objects and enough injectives, as in the case of modules, both constructions coincide.

[es] En este trabajo de fin de grado, buscamos ampliar nuestros conocimientos sobre el functor Extn estudiado en la asignatura Algebra Conmutativa impartida, en este caso, por el profesor Martín Eugenio Avendaño. Para ello, dado que en dicha asignatura construimos dicho functor como contravariante en la categoría de módulos y usando módulos proyectivos, en este caso buscamos dualizar este proceso y llegar a probar además que es un bifunctor. Por tanto, lo construiremos usando módulos inyectivos y veremos que ambas construcciones son isomorfas, concluyendo como hemos dicho que es un bifunctor. Comenzaremos con la construcción del functor Ext, lo que posteriormente será Ext1 y con los resulta dos pertinentes en cuanto a módulos inyectivos y su carácter covariante. Esto nos será útil, ya que por falta de espacio y por no ser redundantes, la relación de equivalencia para las resoluciones de módulos que utilizaremos en los grupos Extn con n ≥ 2 la haremos con algo menos de detalle, pues es la generalización de la relación de equivalencia del caso n = 1. Todo esto lo haremos en la categoría de módulos y posteriormente lo generalizaremos a una categoría abeliana arbitraria. Haremos una pequeña introducción a las categorías abelianas, con las definiciones y resultados más relevantes. Con el fin de construir la generalización del functor a una categoría abeliana arbitraria. Con esto podremos ver la utilidad de definir el functor para objetos proyectivos e inyectivos, pues hay categorías en las que no hay suficientes objetos proyectivos, pero sí suficientes objetos inyectivos y viceversa, como por ejemplo, la categoría de haces coherentes y por supuesto si hay suficientes objetos proyectivos y suficientes inyectivos, como en el caso de módulos, ambas construcciones coinciden.