[en] Catheter ablation is a procedure that is used to treat cardiovascular diseases, specially arrhythmias. A catheter, that is inserted through a vein, is placed in the affected area of the heart, and an electric shock is applied in order to destroy the abnormal tissue. If the temperature of the cardiac tissue exceds a certain threshold stream pops occur, and this phenomenon can lead to serious complications. Therefore, a very helpful aspect consists of obtaining the temperature distribution in the cardiac tissue. The number of studies centered in the mathematical modelization of the problem is limited, and the existing ones lack important sections as numerical scheme validations or certain correlation justifications. This is the reason why it is necessary to extend the preceding studies, the objective being to obtain results as realistic as possible. Taking into account the previous remarks, the main goal of this work is to take a first step towards analising the problem, considering a simple three-dimensional model; in particular, assuming rotational symmetry and approximating blood velocity by mean values. Moreover, making additional simplifications the problem can be reduced to a system of two parabolic equations and two elliptic equations, both of them subjected to compatibility conditions. The system is solved numerically by means of a spectral method. With respect to the results, the temperature values that are obtained in standard conditions are coherent. Furthermore, a parametric study of the procedure is performed, together with an assessment of the importance of several assumptions made in the model. The results section concludes with an optimal control analysis of the system.

[fr] L'ablation par cathéter est une procédure utilisée pour traiter des maladies cardiovasculaires, spécialement des arythmies. Un cathéter est introduit à travers d'une veine, il est placée dans la zone affectée et une décharge électrique est apliquée dans l'objectif d'inutiliser le tissu anormal. Si la température du tissu cardiaque dépasse une certaine valeur seuil des bulles de vapeur sont générées, et ce phénomène peut conduire à graves complications. Par conséquent, un aspect de grande utilité réside dans l'obtention de la distribution de température dans le tissu cardiaque. Le nombre de travaux axés sur la modélisation mathématique du problem es limité, et les existants manquent des sections importantes comme de validation des schémas numériques ou de justification de certaines corrélations. C'est pourquoi il est nécessaire d'élargir les études préliminaires, avec le principal but d'obtenir des résultats les plus réalistes possible. En tenant compte les idées ci-dessus, l'objectif principal de ce travail est de faire un primer pas pour l'analyse du problème, en considerant un modèle tridimensionnel simple; en particulier, en assumant symétrie rotationnelle et en rapprochant la vitesse du sang par valeurs mesurées. De plus, en effectuant des simplifications additionnels il est possible de réduire le problème a un système de deux équations paraboliques et deux elliptiques, les deux sujets à conditions de compatibilité. Ce système est résolu numériquement grâce à une méthode spectral. En ce qui concerne les resultats, les valeurs de température qui sont obtenues dans des conditions standard sont cohérentes. En outre, une étude paramétrique de la procédure est réalisée, avec une évaluation de l'importance qui possèdent plusieurs hypothèses effectuées dans le modèle. La section résultats conclut avec un analyse sur la commande optimale du système.