[en] The objective of this research has been to identify and describe the relation and integration between the knowledge of the mathematical content and pedagogical content knowledge, with respect to the concept of derivative from in-service teachers of mathematics. We are interested in describing the nature and structure of the ways of knowing the concept of derivative as a mathematical object and as a teaching and learning object, at secondary school level in Colombia, and also the ways teachers interpret and justify the concrete teaching situations in which they have to act. This study will be an starting point to understand the professional practice of teachers and how professional knowledge is generated, which both influence in pre and in- service teachers' education. In this work we have adapted the theoretical and analytical categories from the framework of the APOE theory and the Curriculum Organizers for the study of the components of the professional knowledge of teachers of maths. We have build the genetic decomposition of the concept of derivative and the definition of their levels of comprehension with respect to the two dimensions defined: graphical and analytical. In the same way, beginning with the necessity of structuring and describing the situated nature of teachers' professional knowledge and the ways they used it in the organisation of their teaching, we have focused in the characterisation of the tasks proposed by teachers to introduce and evaluate the derivative concept. The research undertaken to accomplish the mentioned objectives was case studies, fifth in total. Being our purpose to integrate in the analysis of teachers' knowledge the institutional and cognitive dimensions, we have given great importance to delimitate the context. Taking this into account, we define two levels of analysis: macro and micro analysis. The macro analysis of the institutional constraints allowed us to describe and interpret how the concept of derivative lives in three of the institutions that influence and condition, directly or indirectly, teachers' practice: the mathematical knowledge, features of teachers pre-service education and curriculum design. In relation with the Micro analysis, which is about the description and interpretation of the ways of knowing that teachers have with respect to the concept of derivative as a mathematical object and as a teaching and learning object, it helped us to detect a didactical phenomenon, a problem which appears often when analysing the derivative as a mathematical and teaching and learning objective in the Colombian educational system. It can be described as the confusion or no differentiation between the macro objects f '(a) and f '(x), and the lack of adequate treatment of the relations and differences between them. This is shown with more or less relevance in all textbooks of mathematics of 11th grade used by teachers, which choose to introduce _y/_x for defining the macro objects f '(a) y f '(x), avoiding the important semiotic complexity of these macro objects. This phenomenon is also evidenced in the knowledge of teachers, which reproduce the mistakes and difficulties in the comprehension of these macro objects when dealing with the solution and design of mathematical tasks. Based on the results of the macro and micro analysis, and the integration of both, we have elaborated some suggestions for teachers in-service training addressed to the solution of these problematic phenomenon detected.

[es] El objetivo de esta investigación ha sido identificar y describir la relación e integración entre el conocimiento del contenido matemático y el conocimiento didáctico del contenido con relación al concepto de derivada de profesores de matemática en ejercicio. En efecto, nos interesa describir la naturaleza y estructura de las formas de conocer el concepto de derivada como objeto matemático y como objeto de enseñanza y aprendizaje, en el nivel de bachillerato del sistema educativo colombiano, así como las formas como los profesores interpretan y justifican las situaciones concretas de enseñanza en las que deben actuar, como un punto de partida para entender la práctica profesional del profesor y la generación del conocimiento profesional que nos permita incidir en la formación permanente e inicial del profesorado. En nuestro propósito hemos adaptado las categorías teóricas y analíticas que proporcionan el marco de la Teoría APOE y de los Organizadores del currículo para el estudio de las componentes del conocimiento profesional del profesor de matemática, llegando a la construcción de la descomposición genética del concepto de derivada y a la definición de los niveles de comprensión del esquema de la derivada en las dos dimensiones definidas: gráfica y analítica. Igualmente, partiendo de la necesidad de estructurar y describir la naturaleza situada del conocimiento profesional del profesor y las formas de usarlo en la estructuración de la agenda de enseñanza, nos hemos centrado en la caracterización de las tareas que propone el profesor para introducir y evaluar dicho concepto. El tipo de investigación que se diseñó para tal fin es un estudio de cinco casos. En nuestro propósito de integrar en el análisis del conocimiento del profesor, las dimensiones institucionales y cognitivas, hemos dado un papel importante a la delimitación del contexto. Teniendo en cuenta lo anterior, definimos dos niveles de análisis: análisis macro y análisis micro. El análisis macro de las restricciones institucionales nos permitió describir e interpretar cómo vive el objeto "derivada" en tres de las instituciones que influyen y condicionan, directa o indirectamente, la práctica del profesor: el conocimiento matemático, aspectos de la formación inicial y el diseño curricular. En lo que respecta al análisis micro, que versa sobre la descripción e interpretación de las formas de conocer que tienen los profesores sobre el concepto de derivada como objeto matemático y como objeto de enseñanza y aprendizaje, nos ayudó a la detección de un fenómeno didáctico, un problema que se presenta con regularidad y generalidad en el análisis de la derivada como objeto matemático y como objeto de enseñanza aprendizaje en el sistema educativo colombiano. Este fenómeno se produce en la enseñanza del concepto de derivada en Colombia, y se puede definir como la confusión o la no diferenciación entre los macro objetos f '(a) y f '(x) y la falta del tratamiento adecuado de las relaciones y diferencias entre estos. Esto se constata con mayor o menor grado, en todos los libros de textos de matemática de 11° que usan los profesores, puesto que optan por introducir el cociente incremental _y/_x para definir los macro objetos f '(a) y f '(x) dejando de lado la complejidad semiótica importante que implica el paso de estos macro objetos. Igualmente, este fenómeno se evidencia en el conocimiento de los profesores al reproducir los errores y dificultades en la comprensión de estos macro objetos cuando se enfrentan a la resolución y al diseño de tareas matemáticas. Con base en los resultados de los análisis macro, micro y la integración de los dos, propusimos algunas sugerencias para la formación permanente del profesorado que apunten a la solución del fenómeno detectado.