[ca] En primer lloc, s'evidencia que el disseny que involucra grafisme es pot analitzar com articulat en dos nivells o etapes, un de concepció, intel·lectual, i un altre d'execució, manual o físic, ambdós sempre en interrelació dialèctica. En segon lloc, es fan aportacions (matemàtiques) a ambdós nivells. Les matemàtiques han estat sempre presents com a vehicle per aquest diàleg, però, a partir del naixement del software gràfic, aquesta col·laboració s'ha actualitzat de manera descompensada (val a dir, descompassada): mentre ha aparegut una nova teoria, el Disseny Geomètric Assistit per Ordinador (CAGD) per donar cobertura matemàtica a la vessant executiva del disseny informatitzat, no s'ha actualitzat el referent matemàtic teòric per guiar la ment en la tasca de concepció per tal de poder explotar totes les noves possibilitats que ofereix la nova eina; aquest referent segueix sent eminentment euclidià. En síntesi, la tesi que es proposa és la de que falta un corpus de teoria matemàtica que permeti al dissenyador codificar la seva creativitat en un format que sigui capaç d'explotar tota la potencialitat de la eina informàtica gràfica, de la mateixa manera que la geometria euclidiana permetia codificar satisfactòriament el disseny que era possible amb el regle i el compàs. Es tracta de concebre explotant la relació que, gràcies als ponts que estableixen els sistemes de coordenades, existeix entre funcions i formes, que es just el que permet a un ordinador "dibuixar" a partir de zeros i uns. D'acord amb això, la introducció s'ocupa de desenvolupar i argumentar aquest punt de vista. Un cop establertes les dues etapes del disseny i argumentada la carència teòrica en el nivell de concepció, s'aporta maquinària matemàtica per ambdues etapes. Així, el cos de la memòria té dues parts. La Part I recull aportacions pel CAGD, és a dir, per la fase d'execució, la més comú en la recerca actual, consistents principalment en nous mètodes de generació de corbes i superfícies a partir de dades de disseny proporcionades per l'usuari. La Part II ofereix una proposta, entre les possibles, de corpus teòric per cobrir el buit que es senyala en la fase de concepció, consistent en una mena de codi o gramàtica matemàtica organitzada en: - Lletres: Les funcions en brut. La seva gràfica és germen de formes. - Paraules: Les funcions modificades amb paràmetres ajustables i formalment significatius. - Verbs: Operadors funcionals que actuen sobre les paraules amb una acció interpretable en termes formals. S'organitzen en sis tipus, segons la manera d'actuar. - Oracions: Les formulacions resultants de la interacció dels elements anteriors, que representen els dissenys finals. Val a dir que es proposa un disseny descompassat, o sigui, sense el compàs, en el sentit de superar la mentalitat ancorada en el regle i el compàs (no eliminant-la sinó incloent-la). S'adjunten exemples en tots els casos. En la Part II els exemples s'enfoquen cap el disseny gràfic (sanefes, textures) i cap l'arquitectònic (estadi de futbol, naus i galeries i una catedral gòtica, tots completament formulats amb funcions matemàtiques paramètriques). Pel seu contingut, es tracta d'una memòria interdisciplinar, ja que afecta com a mínim a la psicologia del disseny, al propi disseny, a la història de l'art, a la informàtica i, evidentment, a les matemàtiques. De totes maneres, les matemàtiques que hi apareixen són tractades amb una mentalitat més de dissenyador o d'enginyer que de matemàtic pur. En altres paraules, no és una tesi de teoremes sinó de "fabricació" de mètodes (matemàtics) per ajudar a desenvolupar una manera més creativa de dur a terme el disseny que involucra grafisme.

[en] As a preliminar step, it is shown that the design involving graphics is twofold. It has a level of conception that is intellectual and a level of execution that is manual or physical. Both levels are always in dialectical interrelation. This work contains some (mathematical) contributions made to both levels. Mathematics have always been a vehicle for this dialogue, but, from the birth of the graphical software, this collaboration has been updated in an unbalanced way: while a new theory has appeared, the Computer Aided Geometrical Design, to give mathematical support to the executive side of the design with computers, the theoretical mathematical referent that has to guide the mind in the conception task has not been updated in order to exploit all the possibilities that the new tool offers. Therefore, this referent still remains mainly Euclidean. To sum up, this thesis states that the Euclidean geometry allows a satisfactory codification of the design made with ruler and compasses and uncovers the existing lack of a mathematical theory in order to allow the designer to codify its creativity in a format suitable for exploiting the actual potentiality of the graphical cybernetic tool. The main point is to conceive the designs by exploiting the existing relation between functions and shapes. This relation, based on co-ordinate systems, is precisely the relation that allows a computer to "draw" by means of zeros and ones. According with this idea, the introduction is devoted to develop and to support this point of view. Once the two stages of the design have been established and the lack of theory at the level of conception has been justified, some mathematical machinery for the two stages is given. Thus, the body of the memory has two parts. Part One collects the contributions to the CAGD, that is, to the execution stage (the most common in the present research), mainly consisting in new methods for the generation of curves and surfaces starting from data given by the user. Part Two offers a proposal of a theoretical corpus in order to cover the gap detected in the conception stage, consisting of a mathematical code or grammar organised in: - Letters: The raw functions. Its graph is a germ of shapes. - Words: The functions modified with adjustable and formally significant parameters. - Verbs: Functional operators that act on the words and they represent an action that can be interpreted in formal terms. They are organised in six types, according to the kind of action. - Sentences: The formulations obtained from the interaction of the previous elements representing the final design. A design without compasses is proposed in the sense that it is necessary to go beyond the mentality that is anchored in the ruler and the compasses not by eliminating it, but by including it. Some examples for all these cases are included. In Part Two, the examples are focussed towards the graphical design (edgings, textures) and towards the architectural design (football stadium, naves, galleries and a gothic-like cathedral). All the examples are completely formulated with mathematical parametrical functions. Due to its contents, it is an interdisciplinary memory since it has connections with, at least, the psychology of the design, the design itself, the history of the art, the computer science and, evidently, the mathematics. However, the mathematics are managed here more with the mentality of a designer or an engineer than with the mentality of a pure mathematician . In other words, it is not a thesis of theorems but a thesis about the "construction" of (mathematical) methods for helping the development of a more creative computer graphical design.