[ca] L'objectiu d'aquesta memòria és estudiar els ideals multiplicadors en un anell local dos-dimensional que pot tenir una singularitat racional. Estenent també aquests resultats al cas d'ideals multiplicadors mixts. En particular, els principals resultats són els descrits a continuació. S'introdueix un nou mètode per calcular la clausura antinef d'un divisor donat, generalitzant els resultats de Casas-Alvero [CA00] i Reguera [Reg97]. S'estudia quina informació codificada en un ideal multiplicador determina el següent nombre de salt. Això permet introduir a un algoritme per calcular seqüencialment els números de salt i tota la cadena d'ideals multiplicadors en qualsevol rang desitjat. Es desenvolupa, com a conseqüència del mètode presentat, el concepte de divisor de salt, que permet descriure el salt entre dos ideals multiplicadors consecutius. En particular, s'estudia el divisor de salt minimal i maximal juntament amb la seva unicitat. S'estudien les multiplicitats dels nombres de salt dels ideals m-primaris. La fórmula que es presenta per les multiplicitats porta a un mètode molt simple i eficient per detectar si donat un nombre racional, és un número de salt. També es fa una descripció explícita de la Sèrie de Poincaré dels ideals multiplicadors associats a un ideal qualsevol. Demostrant, en particular, que és una funció racional. Es generalitzen els resultats obtinguts al cas d'ideals multiplicadors mixts. En particular, es presenta un mètode per tal de calcular les parets de salt i ideals multiplicadors mixts d'un punt donat a Rr >0. Això permet introduir un algoritme que calcula les parets de salt per a una determinada família d'ideals. També es generalitza la noció de divisor de salt amb la finalitat de permetre calcular la multiplicitat utilitzant mètodes similars als ja descrits.

[nl] Het doel van dit proefschrift is het bestuderen van multiplieridealen in een tweedimensionale lokale ring met een rationale singulariteit. We willen ook de resultaten hierover uitbreiden naar de studie van de gemengde multiplieridealen. De belangrijkste resultaten van dit proefschrift zijn de volgende. We introduceren een nieuwe methode om de antinefsluiting van een zekere divisor te berekenen. Hiermee veralgemenen we vorige versies van Casas-Alvero [CA00] en Reguera [Reg97]. We onthullen welke informatie, gecodeerd in een multiplierideaal, het volgende jumpinggetal bepaalt. Dit leidt tot een algoritme dat een voor een de jumpinggetallen in elk gewenst bereik berekent. Als gevolg van onze werkwijze ontwikkelen we de notie van jumpingdivisor, hetgeen ons toestaat de sprong tussen twee opeenvolgende multiplieridealen te beschrijven. In het bijzonder vinden we unieke minimale en maximale jumpingdivisoren, die uitgebreid worden bestudeerd. We bestuderen ook de multipliciteiten van jumpinggetallen van m-primaire idealen. De formule die we opstellen voor de multipliciteiten leidt tot een zeer eenvoudige en efficiënte methode om te detecteren of een bepaald rationaal getal een jumpinggetal is. We geven ook een expliciete beschrijving van de Poincaréreeks van de multiplieridealen geassocieerd aan een ideaal. We bewijzen in het bijzonder dat het een rationale functie is. De resultaten hierboven, breiden we uit tot gemengde multiplieridealen. Meer precies, presenteren we een methode om de jumpingwanden en gemengde multiplieridealen voor een gegeven punt in Rr >0 te berekenen. Dit staat ons toe een algoritme te beschrijven dat de jumpingwanden berekent voor een bepaalde familie van idealen. We veralgemenen ook het begrip van de jumpingdivisor om de multipliciteit te kunnen berekenen op een manier die vergelijkbaar is met de reeds besproken methode.