[en] Problem solving of mathematics in educational systems is the research field of this thesis, which consists of theoretic and empiricist studies on the problems of the family of arithmetical-algebraic problems. In the theoretic studies the elements of the problem are considered: quantities and their interrelations, and a diagram generated by the analysis-synthesis method describes the structure of an intervening problem itself by means of trinomial graphs representing an analytical reading of the statement of the problem. Starting from the structural description the arithmetical or algebraic character of the problem is described, when two given problems are isomorphic and describe various complexities of the problem. A space of the problem that has 7 components is proposed for the study of resolutions: an initial status of knowledge, a set of graphs and of dictionaries of quantities, a Q operators' set, a problem solving repertory of abilities, an S set of solutions and a problem rising from the specification of the set of solutions, some of whose elements must be obtained by means of Q operators. The validity of the space postulated above is corroborated by the description of student performance. Both the theoretic graph of the problem and the dictionary of associated quantities are introduced, since in the problem solving process they permit to regard as erroneous anything that is not evident in them. This permits to propose an error catalogue for the translation of a problem into equations divided into three categories: errors in the use of letters, in the construction of algebraic expressions, in the construction of equality. Two empiricist studies investigate the capability of students to resolve problems of algebraic reading in the SMS of arithmetic. The written resolutions of 15-16 year students and those of students in their 4th year of Bachelor's Degree in Mathematics are analysed. The data obtained from these resolutions are: the mode of solving, the graph, and the dictionary of quantity resolution. The conclusions are that both groups use the arithmetic and guesswork mode in order to find the answer to the problem, that some of them believe problem solving is not possible unless algebra is used, that, in High School students, the efficiency of the mode of solving depends on the relational complexity of the problem, that both groups find identical arithmetic solutions and that in these solutions, quantities and relations not evident in the algebraic reading are used. Thus, it can be inferred that the reasoning made in resolutions either appeals to significance of quantities or makes use of proportional reasoning. Problems of structure were also found, of such a structure that none of the students was able to solve without using algebra. In the SMS of algebra the difficulties of the problem are studied: appreciated, of the solution, and of the translation process. The mean values of the resolutions of a collection of 31 problems for High School students are determined. They are of the order of 30, 80, 70 respectively, depending on the difficulties of subfamily variables, complexity and course. Besides, the thesis also records the difficulty values of problems and subfamilies. The study of equations found in resolutions permits to assure that students use the Cartesian Method with flexibility, generating various correct equations for a problem, showing likes and dislikes, as well as tendencies that are indicated. An invariant behaviour is found: all the correct solutions are obtained from a single analytical reading of the problem. Besides, we also found incorrect equations written by students of the three courses that represented a substantial part of the error of the problem and in which errors of the three marked categories were diagnosed.

[es] RESUMEN La resolución de problemas de matemáticas en los sistemas educativos es el campo de trabajo de la tesis, esta consta de estudios teóricos y empíricos sobre los problemas de la familia de problemas aritmético-algebraicos. En los estudios teóricos se consideran los elementos del problema: cantidades y relaciones entre ellas y se describe la estructura de un problema mediante un diagrama producido por el método de análisis- síntesis o por medio de grafos trinomiales que representan una lectura analítica del enunciado del problema. A partir de la descripción estructural se considera el carácter aritmético o algebraico del problema, cuando dos problemas dados son isomorfos y se describen diversas complejidades del problema. Para el estudio de las resoluciones se postula un espacio del problema que tiene 7 componentes: un estado inicial de conocimiento, un conjunto de grafos y de diccionarios de cantidades, un conjunto de operadores Q, un repertorio de habilidades del resolutor, un conjunto de soluciones S, un problema que se plantea al especificar el conjunto de soluciones alguno de cuyos elementos debe ser obtenido mediante operadores de Q. Se corrobora la validez del espacio postulado mediante la descripción de actuaciones de los estudiantes en dicho espacio. Se introducen el grafo teórico del problema y diccionario teórico de cantidades asociado, nociones que permiten considerar como error todo aquello producido en la resolución que no conste en el grafo y diccionario teórico. Esto permite proponer un catalogo de errores para la traducción de un problema a ecuaciones dividido en tres categorías: errores en el uso de letras, en la construcción de expresiones algebraicas, en la construcción de la igualdad. Dos estudios empíricos indagan la capacidad de los estudiantes para resolver problemas de lectura algebraica en el SMS de la aritmética. En dichos estudios se consideran las resoluciones escritas de estudiantes de 1° de Bachillerato y de 4° de la Licenciatura de Matemáticas. Los datos obtenidos de las resoluciones son: el modo de resolver, el grafo y diccionario de cantidades de la resolución. Concluyéndose que ambos grupos de estudiantes usan el modo de resolver aritmético y el tanteo para encontrar la respuesta del problema, que para una parte de ellos es inconcebible una solución sin el uso del .algebra, que la eficiencia del modo de resolver depende de la complejidad relacional del problema, en los estudiantes de bachillerato, que unos y otros estudiantes encuentran soluciones aritméticas idénticas y que en dichas soluciones se emplean cantidades y relaciones que no constan en la lectura algebraica. Encontrándose que los razonamientos usados en las resoluciones bien apelan a significado de las cantidades o hacen uso del razonamiento proporcional. Además se encontraron problemas de estructura tal que ninguno de los estudiantes pudo resolver sin el uso del álgebra. En el SMS del álgebra se estudian las dificultades del problema: apreciada, de la solución y del proceso de traducción. De las resoluciones de una colección de 31 problemas por estudiantes de bachillerato se determinan los valores medios de éstas que son del orden de 30, 80, 70 respectivamente, dependiendo las dificultades de las variables subfamilia, complejidad y curso. Además, en la tesis constan los valores de las dificultades de problemas y subfamilias. El estudio de las ecuaciones encontradas en las resoluciones permite afirmar que los estudiantes usan el Método Cartesiano de manera flexible produciendo diversas ecuaciones correctas para un problema, mostrando preferencias y tendencias que se señalan. Se encuentra un invariante: todas las soluciones correctas se obtienen a partir de una única lectura analítica del problema. Además, se detectaron ecuaciones incorrectas escritas por estudiantes de los tres cursos que representaban una parte sustancial del error del problema y en las que se diagnosticaron errores de las tres categorías señaladas. __________________________________________________________________________________________________