[en] At sufficiently low temperatures, fluids of bosonic particles may undergo a phase transition, below which a Bose-Einstein condensate (BEC) forms. The BEC is one of the most fundamental concepts in many-body quantum physics and provides a paradigmatic example of a collective matter wave. The distinctive mixture of fluid-like and particle-like behavior this state exhibits leads to the emergence of unique features such as vortex quantization, but also to an often exotic interaction with other matter as well as its environment. The goal of my thesis is a further theoretical investigation of the latter, along two specific lines of research. Correspondingly, this manuscript is divided into two main parts. In the first part, I studied the fundamental polaron problem in the case of a bosonic bath: A BEC interacting with a single distinguishable impurity, a quantum particle on the same scale as the constituent particles of the condensate, which can often be described as a 'dressed' quasiparticle, called the polaron. The focus of this thesis is dilute BECs of ultra-cold atomic vapors, where historically the BEC state was first observed experimentally and the underlying atomic interactions can be controlled to hitherto unprecedented degree via Feshbach resonances. Of particular interest is the case of strong interactions between the impurity and the bosons, the unitary-limited regime. Such impurity systems have been first probed experimentally in recent years, however due to the theoretical complexity and physical richness of the condensate state as well as experimental limitations, the nature of the compound system is not completely understood at strong interactions. I present two theoretical models in this part of the thesis which predict qualitatively new phenomena. In the first, I extended a scheme used in previous work unrelated to me, including the effect of finite temperature below the transition point to take into account the two-fluid nature of the bosons. This scheme predicts a splitting of a single quasi-particle branch at zero temperature into two branches upon heating, and a general strong temperature dependence of the quasi-particle properties. In the second work, I developed a new variational ansatz tailored for describing large dressing of the impurity. This ansatz predicts that for sufficiently weak intra-bosonic repulsion the impurity can bind a macroscopic but coherent and dilute cloud of bosons of sizes comparable to the healing length of the condensate. In the second part of my thesis, I present work focusing on the interplay of a condensate and the geometry of its containment. Well known features of condensates are superfluidity and the quantization of vorticity. Considering a superfluid embedded on a two-dimensional surface, I studied the dynamics of point vortices on curved surfaces in the framework of potential flow theory, with a focus on non-simply connected geometry. In a work presented in this thesis revolving around cylinder- and related geometries I derived the generating potential of a single point vortex, which predicts that the dynamics are modified by the quantization of flow around the circumference of the cylinder. In particular, a single vortex is always forced to move along the longitudinal axis of the cylinder, providing a powerful marker for superfluidity. In a following work regarding a torus-shaped embedding as well as related more general surfaces, I derived the generating potential for a single and multiple vortex-anti vortex pairs and predicted a significant change of local dynamics due to the macroscopic quantization of flow and to the non-trivial curvature of the embedding surface.

[es] A temperaturas suficientemente bajas, un fluido compuesto por partículas bosónicas puede experimentar una transición de fase, dando lugar a un condensado de Bose-Einstein (CBE). El CBE es uno de los conceptos fundamentales en física cuántica de muchos cuerpos, suponiendo un ejemplo paradigmático de onda colectiva de materia. La pecular mezcla de comportamientos tipo fluido y tipo partícula que exhibe este estado da lugar a rasgos únicos como la cuantización de vórtices, pero también a una interacción exótica con otros tipos de materia, así como con su entorno. El objetivo de mi tesis es una investigación teórica más extensa de estas propiedades, a través de dos líneas diferentes. En la primera parte he estudiado el problema fundamental del polarón para el caso de un baño bosónico: un CBE interactuando con una única impureza distinguible, una partícula cuántica de la misma escala que las partículas que constituyen el condensado, la cual se puede describir a menudo como una cuasipartícula 'vestida' llamada polarón. El objetivo de esta tesis tiene lugar en el contexto de un CBE diluido formado vapores de átomos ultrafríos, donde, desde un punto de vista histórico, el CBE fue observado experimentalmente por primera vez, y donde las interacciones atómicas subyacentes pueden ser controladas hasta un grado sin precedentes a través de resonancias de Feshbach. Un caso particularmente interesante es el de interacciones fuertes entre la impureza y los bosones, el régimen del límite unitario. Tales sistemas de impurezas se han observado experimentalmente en los últimos años. Sin embargo, debido a la complejidad teórica y a la riqueza del estado condensado unido a las limitaciones experimentales, la naturaleza del sistema compuesto no se entiende por completo para interacciones fuertes. En esta tesis presento dos modelos teóricos que predicen de forma cualitativa nuevos fenómenos. En el primero, extiendo un esquema usado en trabajos previos al mío, incluyendo el efecto de una temperatura finita por debajo del punto de transición para tener en cuenta la naturaleza bifluida de los bosones a tales temperaturas intermedias. Este esquema predice una separación en dos de una única rama de cuasipartículas al aumentar de la temperatura, así como una dependencia general fuerte de la temperatura sobre las propiedades de las cuasipartículas. En el segundo trabajo, desarrollo un modelo variacional diseñado para describir grandes revestimientos de la impureza. Esta estimación predice como para repulsiones intrabosónicas suficientemente débiles la impureza puede ligar una nube macroscópica pero coherente y diluida de bosones de tamaños comparables a la longitud de coherencia del condensado. En la segunda parte de mi tesis, presento trabajos que se enfocan en la interacción entre un condensado y la geometría del recipiente que lo contiene. Algunos de los rasgos conocidos de un condensado son su superfluidez y la cuantización de la vorticidad. Considerando un superfluido contenido en una superficie bidimensional, estudio la dinámica de vórtices puntuales en superficies curvas en el contexto de la teoría de flujo de potencial, con un enfoque en geometrías no simplemente conexas. En un trabajo presentado en esta parte de la tesis acerca de geometrías cilíndricas, derivo el potencial generador de un único vórtice puntual, prediciendo como la dinámica se ve modificada por la cuantización del flujo a lo largo de la circumferencia del cilindro. En particular, este está forzado a moverse siempre a través de su eje longitudinal, aportando un poderoso marcador de superfluidez. En otro trabajo acerca de superficies con forma de toro, así como de superficies relacionadas más generales, derivo el potencial generador tanto de un único como de múltiples pares vórtices - antivórtices y predigo un cambio significativo de dinámicas locales debido a la cuantización macroscópica del flujo y a la curvatura no trivial de la superficie de incrustación.