[en] The objective of this Doctoral Thesis is the study of approximants for functions defined in the unit ball. These approximants are considered using two different approaches: least-squares approximation and uniform approximation. As is well known, least-squares approximation is based on considering inner products defined on the unit ball, and uniform approximation is based on considering the uniform norm, in this case on the unit disk . We give special emphasis to the least-squares approximation based on Zernike orthogonal polynomials, that is, bivariate polynomials which are orthogonal with respect to the Lebesgue measure on the unit disk, due to applications in Optics and Optometry. The first approach is based on approximating functions defined on the 𝑑-dimensional ball by studying modifications of the classical inner product (that includes the Zernike polynomials as particular case when the weight function is a constant function) by means of multivariate differential operators such as gradients or Laplacians, the so-called Sobolev inner products in two different ways. First, we deal with the 𝑑-dimensional unit ball equipped with an inner product constructed by adding a mass point at the origin to the classical ball inner product applied to the gradients of the functions. We determine an explicit orthogonal polynomial basis, and we study approximation properties of Fourier expansions in terms of this basis. We deduce relations between the partial Fourier sums in terms of the new orthogonal polynomials. We also give an estimate of the approximation error by polynomials of degree at most 𝑛 in the corresponding Sobolev space, proving that we can approximate a function by using its gradient. The next chapter is devoted to study the orthogonal structure induced by an inner product involving the Laplacians of the functions, an extension of the inner product studied by Xu in 2008 trying to solve the problem posed by Atkinson and Hansen of finding the numerical solution of the nonlinear Poisson equation with zero boundary conditions on the d-dimensional unit ball. We analyze the orthogonal polynomials associated with this new inner product, proving that they satisfy a fourth-order partial differential equation. We also study the approximation properties of the Fourier sums with respect to these orthogonal polynomials and we estimate the error of simultaneous approximation of a function, its partial derivatives, and its Laplacian. In both cases, numerical examples are given to illustrate the approximation behavior of the Sobolev basis. For the second approach, we construct and study sequences of operators of Bernstein type acting on bivariate functions defined on the unit disk. To this end, we study Bernstein-type operators under a domain transformation, we analyze the bivariate Bernstein-Stancu operators, and we introduce Bernstein-type operators on disk quadrants by means of continuously differentiable transformations of the function. We state convergence results for continuous functions and we estimate the rate of convergence. Several interesting numerical examples are given, comparing approximations using the shifted Bernstein-Stancu and the Bernstein-type operator on disk quadrants.

[es] El objetivo de esta Tesis Doctoral es el estudio de aproximantes para funciones definidas en la bola unidad. Estos aproximantes se consideran utilizando dos enfoques diferentes: aproximación por mínimos cuadrados y aproximación uniforme. Como es bien conocido, la aproximación por mínimos cuadrados se basa en considerar productos escalares definidos sobre la bola unidad, y la aproximación uniforme se basa en considerar la norma uniforme, en este caso en el disco unidad. Damos especial énfasis a la aproximación por mínimos cuadrados basada en los polinomios ortogonales de Zernike, es decir, polinomios bivariados que son ortogonales con respecto a la medida de Lebesgue en el disco unidad, debido a las aplicaciones en Óptica y Optometría El primer enfoque se basa en aproximar funciones definidas en la bola 𝑑-dimensional mediante el estudio de modificaciones del producto escalar clásico (que incluye los polinomios de Zernike como caso particular cuando la función peso es una constante) mediante operadores diferenciales multivariados como gradientes o Laplacianos, los llamados productos escalares de Sobolev, de dos maneras diferentes. Primero, tratamos la bola unidad 𝑑- dimensional dotada con un producto escalar construido agregando un punto de masa en el origen al producto escalar clásico de la bola aplicado a los gradientes de las funciones. Determinamos una base explicita de polinomios ortogonales, y estudiamos las propiedades de aproximación de los desarrollos de Fourier en términos de esta base. Deducimos relaciones entre las sumas parciales de Fourier en términos de los nuevos polinomios ortogonales y las sumas parciales de Fourier en términos de los polinomios clásicos sobre la bola. También damos una estimación del error de aproximación por polinomios de grado no mayor a 𝑛 en el espacio de Sobolev correspondiente, demostrando que podemos aproximar una función usando su gradiente. El siguiente capitulo se dedica al estudio de la estructura ortogonal inducida por un producto escalar que involucra los Laplacianos de las funciones, una extensión del producto estudiado estudiado por Xu en 2008 intentando resolver el problema planteado por Atkinson y Hansen de encontrar la solución numérica de la ecuación de Poisson no lineal con condiciones de contorno nulas en la bola unitaria de 𝑑 dimensiones. Analizamos los polinomios ortogonales asociados a este nuevo producto escalar, demostrando que satisfacen una ecuación diferencial parcial de cuarto orden. También estudiamos las propiedades de aproximación de las sumas de Fourier con respecto a estos polinomios ortogonales y estimamos el error de aproximación simultanea de una función, sus derivadas parciales y su Laplaciano. En ambos casos, se presentan ejemplos numéricos para ilustrar el comportamiento de la aproximación en la base de Sobolev. El segundo enfoque consiste en la construcción y estudio de sucesiones de operadores tipo Bernstein que actúan sobre funciones bivariadas definidas en el disco unitario. Para ello, se estudian los operadores tipo Bernstein bajo una transformación de dominio, se analizan los operadores bivariados de Bernstein-Stancu y se introducen los operadores tipo Bernstein en los cuadrantes del disco mediante transformaciones continuamente diferenciables de la función. Se establecen resultados de convergencia para funciones continuas y se estima la velocidad de convergencia. Se presentan varios ejemplos numéricos interesantes que comparan las aproximaciones utilizando los operadores de Bernstein-Stancu desplazados y los operadores tipo Bernstein sobre los cuadrantes del disco.