[ca] Les xarxes neuronals cel·lulars altrament anomenades CNNs, són un tipus de sistema dinàmic que relaciona diferents elements que s'anomenen neurones via unes plantilles de paràmetres. Aquest sistema queda completament determinat coneixent quines són les entrades a la xarxa, les sortides i els paràmetres o pesos. En aquest treball fem un estudi exhaustiu sobre aquest tipus de xarxa en el cas més senzill on només hi intervenen dues neurones. Tot i la simplicitat del sistema, veurem que pot tenir una dinàmica molt rica. Primer de tot, revisem l'estabilitat d'aquest sistema des de dos punts de vista diferents. Usant la teoria de Lyapunov, trobem el rang de paràmetres en el que hem de treballar per aconseguir la convergència de la xarxa cap a un punt fix. Aquest mètode ens obre les portes per abordar els diferents tipus de problemes que es poden resoldre usant una xarxa neuronal cel·lular de dues neurones. D'altra banda, el comportament dinàmic de la CNN està determinat per la funció lineal a trossos que defineix les sortides del sistema. Això ens permet estudiar els diferents sistemes que apareixen en cada una de les regions on el sistema és lineal, aconseguint un estudi complet de l'estabilitat de la xarxa en funció de les posicions locals dels diferents punts d'equilibri del sistema. D'aquí obtenim bàsicament dos tipus de convergència, cap a un punt fix o bé cap a un cicle límit. Aquests resultats ens permeten organitzar aquest estudi bàsicament en aquests dos tipus de convergència. Entendre el sistema d'equacions diferencials que defineixen la CNN en dimensió 1 usant només dues neurones, ens permet trobar les dificultats intrínseques de les xarxes neuronals cel·lulars així com els possibles usos que els hi podem donar. A més, ens donarà les claus per a poder entendre el cas general. Un dels primers problemes que abordem és la dependència de les sortides del sistema respecte les condicions inicials. La funció de Lyapunov que usem en l'estudi de l'estabilitat es pot veure com una quàdrica si la pensem com a funció de les sortides. La posició i la geometria d'aquesta forma quadràtica ens permeten trobar condicions sobre els paràmetres que descriuen el sistema dinàmic. Treballant en aquestes regions aconseguim abolir el problema de la dependència. A partir d'aquí ja comencem a estudiar les diferents aplicacions de les CNN treballant en un rang de paràmetres on el sistema convergeix a un punt fix. Una primera aplicació la trobem usant aquest tipus de xarxa per a reproduir distribucions de probabilitat tipus Bernoulli usant altre cop la funció de Lyapunov emprada en l'estudi de l'estabilitat. Una altra aplicació apareix quan ens centrem a treballar dins del quadrat unitat. En aquest cas, el sistema és capaç de reproduir funcions lineals. L'existència de la funció de Lyapunov permet també de construir unes gràfiques que depenen dels paràmetres de la CNN que ens indiquen la relació que hi ha entre les entrades de la CNN i les sortides. Aquestes gràfiques ens donen un algoritme per a dissenyar plantilles de paràmetres reproduint aquestes relacions. També ens obren la porta a un nou problema: com composar diferents plantilles per aconseguir una determinada relació entrada¬sortida. Tot aquest estudi ens porta a pensar en buscar una relació funcional entre les entrades externes a la xarxa i les sortides. Com que les possibles sortides és un conjunt discret d'elements gràcies a la funció lineal a trossos, la correspondència entrada¬sortida es pot pensar com un problema de classificació on cada una de les classes està definida per les diferent possibles sortides. Pensant¬ho d'aquesta manera, estudiem quins problemes de classificació es poden resoldre usant una CNN de dues neurones i trobem quina relació hi ha entre els paràmetres de la CNN, les entrades i les sortides. Això ens permet trobar un mètode per a dissenyar plantilles per a cada problema concret de classificació. A més, els resultats obtinguts d'aquest estudi ens porten cap al problema de reproduir funcions Booleanes usant CNNs i ens mostren alguns dels límits que tenen les xarxes neuronals cel·lulars tot intentant reproduir el capçal de la màquina universal de Turing descoberta per Marvin Minsky l'any 1962. A partir d'aquí comencem a estudiar la xarxa neuronal cel·lular quan convergeix cap a un cicle límit. Basat en un exemple particular extret del llibre de L.O Chua, estudiem primer com trobar cicles límit en el cas que els paràmetres de la CNN que connecten les diferents neurones siguin antisimètrics. D'aquesta manera trobem en quin rang de paràmetres hem de treballar per assegurar que l'estat final de la xarxa sigui una corba tancada. A més ens dona la base per poder abordar el problema en el cas general. El comportament periòdic d'aquestes corbes ens incita primer a calcular aquest període per cada cicle i després a pensar en possibles aplicacions com ara usar les CNNs per a generar senyals de rellotge. Finalment, un cop estudiats els diferents tipus de comportament dinàmics i les seves possibles aplicacions, fem un estudi comparatiu de la xarxa neuronal cel·lular quan la sortida està definida per la funció lineal a trossos i quan està definida per la tangent hiperbòlica ja que moltes vegades en la literatura s'usa l'una en comptes de l'altra aprofitant la seva diferenciabilitat. Aquest estudi ens indica que no sempre es pot usar la tangent hiperbòlica en comptes de la funció lineal a trossos ja que la convergència del sistema és diferent en un segons com es defineixin les sortides de la CNN.

[es] Les redes neuronales celulares o CNNs, son un tipo de sistema dinámico que relaciona diferentes elementos llamados neuronas a partir de unas plantillas de parámetros. Este sistema queda completamente determinado conociendo las entradas de la red, las salidas y los parámetros o pesos. En este trabajo hacemos un estudio exhaustivo de estos tipos de red en el caso más sencillo donde sólo intervienen dos neuronas. Este es un sistema muy sencillo que puede llegar a tener una dinámica muy rica. Primero, revisamos la estabilidad de este sistema desde dos puntos de vista diferentes. Usando la teoría de Lyapunov, encontramos el rango de parámetros en el que hemos de trabajar para conseguir que la red converja hacia un punto fijo. Este método nos abre las puertas parar poder abordar los diferentes tipos de problemas que se pueden resolver usando una red neuronal celular de dos neuronas. Por otro lado, el comportamiento dinámico de la CNN está determinado por la función lineal a tramos que define las salidas del sistema. Esto nos permite estudiar los diferentes sistemas que aparecen en cada una de las regiones donde el sistema es lineal, consiguiendo un estudio completo de la estabilidad de la red en función de las posiciones locales de los diferentes puntos de equilibrio del sistema. Obtenemos básicamente dos tipos de convergencia, hacia a un punto fijo o hacia un ciclo límite. Estos resultados nos permiten organizar este estudio básicamente en estos dos tipos de convergencia. Entender el sistema de ecuaciones diferenciales que definen la CNN en dimensión 1 usando solamente dos neuronas, nos permite encontrar las dificultades intrínsecas de las redes neuronales celulares así como sus posibles usos. Además, nos va a dar los puntos clave para poder entender el caso general. Uno de los primeros problemas que abordamos es la dependencia de las salidas del sistema respecto de las condiciones iniciales. La función de Lyapunov que usamos en el estudio de la estabilidad es una cuadrica si la pensamos como función de las salidas. La posición y la geometría de esta forma cuadrática nos permiten encontrar condiciones sobre los parámetros que describen el sistema dinámico. Trabajando en estas regiones logramos resolver el problema de la dependencia. A partir de aquí ya podemos empezar a estudiar las diferentes aplicaciones de las CNNs trabajando en un rango de parámetros donde el sistema converge a un punto fijo. Una primera aplicación la encontramos usando este tipo de red para reproducir distribuciones de probabilidad tipo Bernoulli usando otra vez la función de Lyapunov usada en el estudio de la estabilidad. Otra aplicación aparece cuando nos centramos en trabajar dentro del cuadrado unidad. En este caso, el sistema es capaz de reproducir funciones lineales. La existencia de la función de Lyapuno v permite también construir unas graficas que dependen de los parámetros de la CNN que nos indican la relación que hay entre las entradas de la CNN y las salidas. Estas graficas nos dan un algoritmo para diseñar plantillas de parámetros reproduciendo estas relaciones. También nos abren la puerta hacia un nuevo problema: como componer diferentes plantillas para conseguir una determinada relación entrada¬salida. Todo este estudio nos lleva a pensar en buscar una relación funcional entre las entradas externas a la red y las salidas. Teniendo en cuenta que las posibles salidas es un conjunto discreto de elementos gracias a la función lineal a tramos, la correspondencia entrada¬salida se puede pensar como un problema de clasificación donde cada una de las clases está definida por las diferentes posibles salidas. Pensándolo de esta forma, estudiamos qué problemas de clasificación se pueden resolver usando una CNN de dos neuronas y encontramos la relación que hay entre los parámetros de la CNN, las entradas y las salidas. Esto nos permite encontrar un método de diseño de plantillas para cada problema concreto de clasificación. Además, los resultados obtenidos en este estudio nos conducen hacia el problema de reproducir funciones Booleanas usando CNNs y nos muestran algunos de los límites que tienen las redes neuronales celulares al intentar reproducir el cabezal (la cabeza) de la máquina universal de Turing descubierta por Marvin Minsky el año 1962. A partir de aquí empezamos a estudiar la red neuronal celular cuando ésta converge hacia un ciclo límite. Basándonos en un ejemplo particular sacado del libro de L.O Chua, estudiamos primero como encontrar ciclos límite en el caso que los parámetros de la CNN que conectan las diferentes neuronas sean anti¬simétricos. De esta forma encontramos el rango de parámetros en el cuál hemos de trabajar para asegurar que el estado final de la red sea una curva cerrada. Además nos da la base para poder abordar el problema en el caso general. El comportamiento periódico de estas curvas incita primero a calcular su periodo para cada ciclo y luego a pensar en posibles aplicaciones como por ejemplo usar las CNNs para generar señales de reloj. Finalmente, estudiados ya los diferentes tipos de comportamiento dinámico y sus posibles aplicaciones, hacemos un estudio comparativo de la red neuronal celular cuando la salida está definida por la función lineal a trozos y cuando está definida por la tangente hiperbólica ya que muchas veces en la literatura se usa una en vez de la otra intentado aprovechar su diferenciabilidad. Este estudio nos indica que no siempre se puede intercambiar dichas funciones ya que la convergencia del sistema es distinta según como se definan las salidas de la CNN.