[ca] En aquest treball es tracten dos problemes. El primer és un problema d'aproximació en la classe de Zygmund per funcions del subespai I_1(BMO), que és l'espai de funcions contínues amb derivada a BMO en el sentit de les distribucions. Considerem la distància definida per la semi-norma de Zygmund. En el Capítol 1, donada una funció f de la classe de Zygmund en la recta real amb suport compacte, trobem una estimació de la seva distància al subespai I_1(BMO). A més, aquest resultat s'expressa en termes de les segones diferències de f, que defineixen la seva semi-norma de Zygmund. Com a corol·lari, obtenim una caracterització de la clausura de l'espai I_1(BMO) en aquesta semi-norma. Els mètodes presentats en aquesta primera part no es poden aplicar al cas de la classe de Zygmund a l'espai euclidià de dimensió n>1. Tanmateix, presentem un resultat anàleg per mesures de Zygmund en dimensió n>=1. En aquest cas, el subespai que considerem és el de mesures absolutament contínues amb derivada de Radon-Nykodim en l'espai BMO. En el Capítol 2, considerem l'espai de funcions amb continuïtat Hölder de paràmetre 0<s<=1 (prenent la classe de Zygmund en el cas s=1) definides en l'espai euclidià de dimensió n>=1. Per 0<s<=1, la imatge de BMO pel potencial de Riesz I_s en el sentit de les distribucions temperades mòdul polinomis, que denotem per I_s(BMO), és subespai de la classe de Hölder de paràmetre s. En particular, en el cas n=s=1 aquesta definició coincideix amb la de I_1(BMO) en el Capítol 1. Aleshores, donada una funció f de la classe de Hölder de paràmetre 0<s<=1 amb suport compacte, trobem una estimació de la seva distància al subespai I_s(BMO). La distància que prenem és la que defineix la semi-norma de Hölder corresponent. Com abans, aquest resultat també ve expressat en termes de les segones diferències de f. A més a més, mostrem dues estimacions equivalents. Una en termes dels coeficients de la sèrie d'ondetes de f i l'altra en termes de la segona derivada hiperbòlica de l'extensió harmònica de f al semi-espai superior. En el Capítol 3, estudiem un problema sobre funcions internes al disc unitat. El Lema de Löwner afirma que la mesura de Lebesgue en el cercle unitat és invariant per tota funció interna f que fixi l'origen. És a dir, qualsevol conjunt mesurable E en el cercle unitat i la seva preimatge per f tenen la mateixa mesura de Lebesgue. Pel cas en què una funció interna f no té cap punt fix en el disc unitat, C. I. Doering i R. Mañé van estudiar una mesura infinita en el cercle unitat que depèn del punt fix de Denjoy-Wolff de f i que és quasi-invariant. Aquí generalitzem el resultat de Doering i Mañé, definint la seva mesura prenent un punt qualsevol del cercle unitat. Per altra banda, J. L. Fernández i D. Pestana van estudiar la distorsió del contingut de Hausdorff de conjunts en el cercle unitat per funcions internes que fixen l'origen. Fent servir un contingut de Hausdorff basat en la mesura definida per Doering i Mañé, presentem una generalització del resultat de Fernández i Pestana per funcions internes sense cap punt fix en el disc unitat.

[es] En este trabajo se tratan dos problemas. El primero es un problema de aproximación en la clase de Zygmund por funciones del subespacio I_1(BMO), que es el espacio de funciones continuas con derivada en BMO en el sentido de las distribuciones. Consideramos la distancia definida por la semi-norma de Zygmund. En el Capítulo 1, dada una función f de la clase de Zygmund en la recta real con soporte compacto, encontramos una estimación de su distancia al subespacio I_1(BMO). Además, este resultado se expresa mediante las segundas diferencias de f, que definen su semi-norma de Zygmund. Como corolario, obtenemos una caracterización de la clausura del espacio I_1(BMO) en esta semi-norma. Los métodos presentados en esta primera parte no son aplicables al caso de la clase de Zygmund en el espacio euclidiano de dimensión n>1. No obstante, presentamos un resultado análogo para medidas de Zygmund en dimensión n>=1. En este caso, el subespacio que consideramos es el de medidas absolutamente continuas con derivada de Radon-Nykodim en el espacio BMO. En el Capítulo 2, consideramos el espacio de funciones continuas Hölder de parámetro 0<s<=1 (tomando la clase de Zygmund en el caso s=1) definidas en el espacio euclidiano de dimensión n>=1. Para 0<s<=1, la imagen de BMO por el potencial de Riesz I_s en el sentido de las distribuciones temperadas módulo polinomios, que denotamos I_s(BMO), es subespacio de la clase de Hölder de parámetro s. En particular, en el caso n=s=1 esta definición coincide con la de I_1(BMO) en el Capítulo 1. Entonces, dada una función f de la clase de Hölder de parámetro 0<s<=1 con soporte compacto, encontramos una estimación de su distancia al subespacio I_s(BMO). La distancia que tomamos es la que define la semi-norma de Hölder correspondiente. Como antes, este resultado también se expresa mediante la segundas diferencias de f. Así mismo, mostramos dos estimaciones equivalentes. Una en términos de los coeficientes de la serie de ondículas de f i la otra en términos de la segunda derivada hiperbólica de la extensión armónica de f al semi-espacio superior. En el Capítulo 3, estudiamos un problema sobre funciones internas en el disco unidad. El Lema de Löwner afirma que la medida de Lebesgue en la circunferencia unidad es invariante para toda función interna f que fije el origen. Es decir, cualquier conjunto medible E en la circunferencia unidad y su preimagen por f tienen la misma medida de Lebesgue. Para el caso en el que una función interna f no tiene ningún punto fijo en el disco unidad, C. I. Doering y R. Mañé estudiaron una medida infinita en la circunferencia unidad que depende del punto fijo de Denjoy-Wolff de f y que es cuasi-invariante. Aquí generalizamos el resultado de Doering y Mañé, definiendo su medida tomando un punto cualquiera de la circunferencia unidad. Por otro lado, J. L. Fernández y D. Pestana estudiaron la distorsión del contenido de Hausdorff de conjuntos en la circunferencia unidad para funciones internas que fijan el origen. Usando un contenido de Hausdorff basado en la medida definida por Doering y Mañé, presentamos una generalización del resultado de Fernández y Pestana para funciones internas sin punto fijo en el disco unidad.