[ca] David Hilbert l'any 1900, al Congrés Internacional de Matemàtiques va proposar 23 problemes que, segons el seu parer, motivarien els avenços en matemàtiques durant el segle XX. Entre aquests problemes, n'hi ha un apareix en l'estudi de les equacions diferencials ordinàries. El 16è problema de Hilbert, la segona part del qual pregunta pel nombre màxim i la posició relativa de les òrbites periòdiques aïllades, també anomenats cicles límit, d'un sistema polinòmial al pla en funció del seu grau n. Fins a l'actualitat, el 16è problema de Hilbert segueix essent un problema obert. Amb els anys i sense una solució, van començar a aparèixer versions més dèbils al 16è problema de Hilbert. Aquí ens interesa una d'elles, que consisteix en proporcionar el màxim nombre M(n) de cicles límit d'amplitud petita que es bifurquen des d'un centre o focus dèbil elementals. Per ajudar a resoldre aquest problema, la nostra contribució en aquesta tesi és oferir un mecanisme que simplifiqui el càlcul dels desenvolupaments de Taylor de les constants de Lyapunov i presentar una teoria que ens ajudi a utilitzar les constants obtingudes per un sistema diferencial clàssic per estudiar cotes inferiors del valor de M(n). Dediquem part d'aquest treball a estudiar el mateix problema als sistemes definits a trossos. En aquest treball, considerem els camps vectorials fixos i presentem l'eina de paral·lelització que ens ajudarà a calcular els desenvolupaments de Taylor d'ordre alt de les constants de Lyapunov prop d'un centre no lineal i obtenir resultats sobre com obtenir cicles límit mitjançant aquests desenvolupaments. A més, considerem una família de camps vectorials i presentem un resultat que ens permet obtenir addicionalment k cicles límit si el sistema no perturbat té un centre amb k paràmetres lliures. Per als sistemes a trossos, es consideren de nou els camps vectorials fixos i mitjançant la paral·lelització, s'han pogut calcular les constants Lyapunov necessàries de tal forma que per a sistemes cúbics i quàrics es milloren les cotes inferiors pel nuúmero de cicles límit d'amplitud petita. Provem que M(3) i M(4) són més grans o iguals a 12 i 21, respectivament. A més a més, demostrem que si un sistema analític a trossos té un focus feble d'ordre 2n + 1, podem desplegar el nombre total de cicles límit pertorbant dins la classe de camps analítics definits a trossos. Aquest resultat és una extensió natural del resultat clàssic mostrat per Andronov per als sistemes analítics. A més, utilitzant l'equivalència entre les constants de Lyapunov i les funcions de Melnikov, millorem també la cota inferior de la ciclicitat local per a camps vectorials de grau sis. La tesi s'estructura en quatre capítols: Capítol 1. Cotes inferiors per a la ciclicitat local dels centres. Capítol 2. Cotes inferiors per a la ciclicitat local per a famílies de centres. Capítol 3. Ciclicitat local en camps vectorials polinòmials a trossos de grau petit. Capítol 4. Ciclicitat local mitjançant la primera funció de Melnikov.

[en] David Hilbert in the year 1900, in the International Congress of Mathematics proposed 23 problems that in his opinion would motivate advances in mathematics during the 20th century. Among these problems, one is linked with the study of ordinary differential equations. The 16th Hilbert problem, whose second part asking about the maximum number and the relative position of the isolated periodic orbits, also called limit cycles, of a planar polynomial system in function of its degree n. Until nowadays, the 16th Hilbert problem remain unsolved. Over the years and without one solution, weaker versions began to emerge to 16th Hilbert problem. We are interested here in one of them, that consist in to provide the maximum number M(n) of small-amplitude limit cycles bifurcating from an elementary center or an elementary weak-focus. In order to help to solve this problem, our contribution in this thesis is offer a mechanism that simplifies the calculation of the Taylor developments of the Lyapunov constants and to present a theory that help us to use the constants obtained for classical differential system to the study of lower bounds for the value M(n). We dedicate part of this work to study the same problem to piecewise systems. In this work, we consider fixed vector fields and we present the parallelization tool that will help us to calculate high order Taylor developments of Lyapunov constants near a center different from the linear one and get some results about how to obtain limit cycles using these developments. Moreover, we consider a family of vector fields and we present a result that allows us to get k extra limit cycles if the unperturbed system has a center having k free parameters. For piecewise systems, we consider again fixed vector fields and using parallelization, we were able to calculate the necessary Lyapunov constants for cubic and quartic systems to improve lower bounds of limit cycles. We prove that M(3) and M(4) are bigger than or equal to 12 and 21, respectively. Moreover, we prove that if an analytic piecewise system has weak-focus or order 2n+1, we can unfold the total number of limit cycles perturbing in the analytic piecewise class. This result is a natural extension of the classical result showed by Andronov for analytic systems. Moreover, using the equivalence among Lyapunov constants and Melnikov functions, we improve also the lower bounds for the known values of the local cyclicity for sextic vector fields. The thesis is structured in four chapters: Chapter 1. Lower bounds for the local cyclicity of centers Chapter 2. Lower bounds for the local cyclicity for families of centers Chapter 3. Local cyclicity in lower degree piecewise polynomial vector fields Chapter 4. Local cyclicity using the first Melnikov function