# Joseph-Louis Lagrange
Joseph-Louis Lagrange (d. 25 Ocak 1736, Torino - ö. 10 Nisan 1813, Paris) bir İtalyan Aydınlanma Dönemi matematikçisi ve astronomudur. Analiz, sayı kuramı ve klasik ve gök mekaniği alanlarında önemli katkıları olmuştur.
1776 yılında Euler ve d'Alembert'in tavsiyesi ile yirmi yıldan fazla yaşadığı, çalıştığı ve Fransız Bilim Akademisi'nden birçok ödül aldığı Berlin, Prusya'da bulunan Prusya Bilim Akademisi'nde Euler'den devraldığı matematik yöneticiliği görevini üstlendi. Lagrange'ın analitik matematik üzerine olan ve Newton'dan sonra klasik mekaniğe en kapsamlı şekilde yaklaşan ve matematiksel fiziğin gelişimi için temel hazırlayan tezi ("Mécanique Analytique", 4.ed., 2 vols. Paris Gauthier-Villars et fills, 1888-89) Berlin'de yazıldı ve 1788 yılında yayımlandı. 
1787'de 51 yaşındayken Berlin'den Paris'e taşındı ve Fransız Akademisi'nin bir üyesi oldu. Hayatının sonuna kadar Fransa'da kaldı. 1794 yılında École Polytechnique açıldığında oradaki ilk analiz profesörü oldu. 1799 yılında ise Bureau des Longitues'in kurucu üyesi ve senatör oldu.


## Bilimsel Katkıları.
Fonksiyonların maksimum ve minimumları için olan Euler-Lagrange denklemlerinin türetilmesi ile ortaya çıkan değişkenler kalkülüsünün yaratıcılarındandır. Bu yöntemi, muhtemel kısıtlamaları da hesaba katarak genişletmiş ve Lagrange çarpanlarını üretmiştir. Langrange türevsel denklemleri çözmek için bir yöntem olan değişken değiştirme yöntemini bulmuş, türevsel kalkülüsü olasılıklar kuramına uygulayarak denklem çözümleri alanında önemli çalışmalar ortaya koymuştur. Her doğal sayının dört adet sayının karesinin toplamı olduğunu kanıtlamıştır. " Theorie des fonctions analytiques" adlı çalışması grup teorisini oluşturan temellerindendir. Kalkülüs alanında Taylor serilerine ve içkestirim'e özgün bir yaklaşım geliştirmiştir. Dünya, Ay ve Güneş için üç cisim problemi ve Jüpiter’in uydularının hareketleri üzerinde çalışmıştır ve 1772 yılında, günümüzde Lagrange noktaları olarak bilinen kavramı içeren bu probleme özel durum çözümleri bulmuştur. En önemli katkıları mekanik alanında yaptıklarıdır. Newton mekaniğini bugün Lagrange mekaniği olarak bilinen analiz branşına dönüştürmüş ve mekanik prensipler olarak adlandırılan prensiplerin aslında değişkenler kalkülüsünün basit sonuçları olduğunu göstermiştir.


## Biyografi.
Lagrange, orta boylu ve biraz yapılı biriydi. Soluk mavi gözlere ve solgun bir tene sahipti. Karakter olarak gergin ve çekingen biriydi. Münakaşa ve çekişmelerden nefret ederdi ve başkalarının kendi yaptıklarından faydalanmasına bilerek göz yumarak olası çekişmelerden kaçınırdı.
Çalışmalarını kağıda dökmeden önce üzerlerinde uzunca süre düşünür ve herhangi bir düzeltme ya da silme gereği duymadan tek seferde yazısını tamamlardı.


### İlk Yılları.
Langrange, "Lodovico Lagrangia" doğum adına sahip İtalyan ve Fransız kökenli bir bilim adamıdır. Büyük dedesi Torino’ya taşınmış ve İtalyan bir kadınla evlenmiş bir Fransız ordusu subayıydı. Büyük dedesi gibi babası ve dedesi de İtalyan bir kadın ile evlendi. Annesi Torino’nun kırsal kesimlerinden gelmektedir. Roma Katolik’i olarak yetiştirildi ancak daha sonra Agnostik oldu.
Babası Kralın askeri hazinesinde yetkili ve Torino’da Bayındırlık ve Tahkimat Ofisi saymanı olarak görev yapıyordu. Toplumda iyi bir yere ve zenginliğe sahipti ancak oğlu henüz erişkinliğe ulaşmadan elindeki zenginliğin büyük bir kısmını kaybetti. Lagrange için babası tarafından belirlenen kariyer avukatlık oldu ve Langrange bunu istekli bir şekilde kabul etti. College of Turin’de eğitim gördü ve en sevdiği ders klasik Latince idi. Başlarda matematiğe ilgisi yoktu hatta Yunan geometrisini sıkıcı buluyordu.
İlk olarak on yedi yaşında matematiğe ilgi göstermeye başladı. Bu ilgisi tamamen rastlantı eseri karşılaştığı Edmund Halley’in bir çalışması sonucu ortaya çıktı. Tek başına ve hiçbir yardım almadan matematik alanında çalışmaya başladı. Çalışmalarına başladığı yılın sonunda başarılı bir matematikçi haline gelmişti. III. Charles Emmanuel Lagrange’ı “ Sostituto del Maestro di Matematica" (yardımcı matematik profesörü) unvan ile kalkülüs ve Piedmontese ordusunun Benjanim Robins ve Leonard Euler’in balistik kuramlarını ilk uygulamalarına destek olması için mekanik dersi vermesi amacıyla 1755 yılında “Kraliyet Teorik ve Pratik Topçuluk Akademisi” ’ne tayin etti. Lagrange bir mühendislik okulunda kalkülüs dersi veren ilk kişiydi. Akademinin ünlü askeri komutanı ve topçuluk teorisyeni Papacino D’Antoni’ye göre Lagrange, ihmalkâr öğretme şekli, soyut kanıtlamaları ve topçuluk ve istihkâm mühendisliği uygulamalarında gösterdiği sabırsızlık nedeniyle sorun yaratan bir profesör olmuştu.


#### -Değişkenler Kalkülüsü.
Lagrange değişkenler kalkülüsünü ortaya çıkaranlardan biriydi. 1754 yılından itibaren önce Tautochrone eğrisi üzerinde çalıştı daha sonra da işlevsellerin maksimize ve minimize edilmesi için bir işlevselin en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için kullanılan yönteme benzer bir yol keşfetti. Lagrange 1754 ve 1756 yılları arasında Leonard Euler’e bulduğu sonuçları anlatan mektuplar yazdı. Daha sonradan bulunacak olan Euler-Lagrange değişkenler kalkülüsü denklemlerinin önünü açan ve Euler’in daha önceki analizlerini basitleştiren “δ-algoritmasını” özetledi. Lagrange bu çalışmalarını klasik mekanik problemlerine uyguladı ve Euler ve Maupertius'un sonuçlarını genelleştirdi.


#### -Miscellanea Taurinensia.
1758 yılında öğrencilerinin de yardımı ile daha sonradan Torino Bilim Akademisi olarak adlandırılan bir topluluk kurdular. İlk zamanlarda yazdığı yazıların birçoğu bu topluluğun tutanaklarının beş cildinde bulunmaktadır. Bu yazılar oldukça ayrıntılı şekilde yazılmışlardır. İlk cilt, sesin yayılımı ile ilgili kuramı barındırır. Bu yazılarda Lagrange, Newton'un yaptığı bir hataya dikkat çeker ve hareket için türevsel bir denklem bulur ardından bu denklemin düzgün doğrusal hareket için integralini alır. Bu cilt ayrıca enine titreşen yay probleminin tam çözümünü de içermektedir. Çalışmalarında Euler, Brook Taylor, D'Alembert tarafından ortaya atılan çözümlerdeki genellenebilirlik eksikliğinden söz eder ve herhangi bir "t" anında eğrinin şeklinin y = a sin(mx) sin(nt) eşitliği ile bulunacağını gösterir. Makalesi vuruş ve yankılar hakkında ustaca bir tartışma ile sona erer. Bu ciltteki diğer makaleler, yinelenen seriler, olasılık ve değişkenler kalkülüsü üzerinedir. 
İkinci cilt, değişkenler kalkülüsü üzerine yazılmış ve birinci ciltte bulunan birkaç makalenin sonuçlarını, kuramlarını ve gösterimlerini içeren uzun yazılardan oluşmaktadır. Ayrıca değişkenler kalkülüsünün az eylem prensibine ve bazı dinamik problemlerine uygulanışını da içermektedir. 
Üçüncü cilt değişkenler kalkülüsü kullanılarak çözülmüş dinamik problemlerini ve integral kalkülüsü üzerine bazı yazılar içermektedir. Ayrıca yukarıda bahsi geçen Fermat'ın problemine, tam kare olmayan bir "n" tam sayı ele alarak "x"2"n" + 1 ifadesini tam kare yapan "x" değerini bulduran bir çözüm ve karşılıklı etkileşimler altında hareket eden üç cisim için genelleştirilmiş türevsel denklemler bulundurmaktadır.
Yayımladığı bir diğer çalışması 1764 yılına aittir içeriği, ayın salınım hareketi ve neden sürekli aynı yüzünün göründüğüdür. Bu çalışmalarında görsel içerikler yer almaktadır. Bu çalışmaları daha sonra 1780 yılında ispatlayacağı genel hareket denklemlerinin temellerini atması açısından önemlidir.


### Berlin.
1756 yılında Euler ve Maupertius, Lagrange'ın matematik alanındaki yeteneğini fark edip onu Berlin'e gelmesi konusunda ikna etmeye çalıştılar. Ancak Lagrange'ın böyle bir niyeti yoktu ve bu teklifleri utangaç bir şekilde reddetti. 1756 yılında d'Alembert, Lagrange için "II. Friedrich" ‘e Lagrange’dan Berlin’de daha saygın bir konuma gelmesi amacıyla Torino’dan ayrılmasını istemesi için bir mektupla yalvardı fakat Lagrange bu teklifi tekrar reddetti. D’Alembert’e verdiği cevap
 "M. Euler orada bulunduğu sürece Berlin benim için uygun bir yer gibi görünmemektedir."
şeklindedir. 1766 yılında Euler, Saint Petersburg’a gitmek için Berlin’i terk etti ve Fredrich Lagrange’a “Avrupa’daki en büyük Kral” olarak “Avrupa’nın en büyük matematikçisini” evinde ağırlamak isteğini belirttiği kendisi tarafından yazılmış bir mektup gönderdi. Lagrange sonunda ikna oldu ve önündeki yirmi yılı sadece yaptığı ufak çalışmalarla değil aynı zamanda çok önemli çalışması olan "Mécanique Analytique" 'i de ortaya çıkararak geçirdi. 1767 yılında Lagrange kuzeni Vittoria Conti ile evlendi.
Lagrange kendisine sık sık hayatın mükemmel düzenliliğinin avantajları hakkında söylevler veren Kralın gözdesiydi. Lagrange bu söylevlerden gereken dersi çıkardı ve o zamandan itibaren beynini ve vücudunu bir makine olarak görmeye başladı ve dayanabileceği son noktaya kadar yapabileceği iş miktarını bulmaya çalıştığı deneyler yaptı. Her akşam bir sonraki gün için kendine görevler belirledi ve tamamladığı her çalışmanın ardından geliştirilebilecek yerlerini görmek amacıyla çalışmasına kısa analizler yazdı. Çalışmalarını bir araya getirmeden önce onları kafasında toparlayıp kâğıda dökmeye başladığında hiçbir düzeltme ve silme gereği duymadan yazmaktaydı. 
Buna rağmen Lagrange'ın sağlığı pekiyi değildi. Hatta eşi ondan daha kötü durumdaydı ve 1783 yılında hayatını kaybetti. Bu durum Lagrange'ı çok ağır bir depresyon sürecine soktu. 1786 yılında II. Fredrich hayatını kaybetti ve Berlin Lagrange için sıkıntılı ve üzücü bir hale geldi.


### Paris.
1786 yılında Fredrich'in ölümünden sonra Lagrange İspanya ve Napoli'yi de içeren ülkeler tarafından benzer davetler aldı ve XVI. Louis'in davetini kabul ederek Paris'e taşındı. Fransa'da ona şöhretini ve üstünlüğünü yansıtması için bütün imkânlar sağlanmıştı. Louvre'da kendisi için özel evler ayarlandı ve Fransız Bilim Akademisi'ne üye yapıldı. Paris'teki ilk yıllarında sürekli melankoli atakları geçirmekteydi ve neredeyse çeyrek yüzyıl boyunca üzerinde çalıştığı "Mécanique Analytique" bile iki yıl boyunca kapağı dahi açılmadan masasında durdu. Fransız ihtilaline karşı duyduğu merak onu bu durumundan kurtardı ancak ihtilalin giderek büyümesi ile bu merak paniğe dönüştü.
1792 yılında yaşadığı büyük hüzün ve çekingenlik, bir astronom olan arkadaşı Pierre Charles Le Monnier'in kızı 24 yaşındaki Renée-Françoise-Adélaïde Le Monnier'e karşı bir aşka dönüştü. Renée Lagrange ile evlenmek konusunda oldukça ısrarlıydı ve daha sonra kendisini, ona daha da bağlı hale gelen kocasına adamış bir eş olarak kanıtladı.
1793 yılının Eylül ayında Terör Dönemi başladı. Kendisi ve diğer birçok akademisyen ile birlikte Akademiden atılmış olan Antonie Lavosier'in araya girmesi ile Lagrange, Ekim 1793'te çıkarılan yabancıların Fransa'yı terkine dair emirden muaf tutuldu. 4 Mayıs 1794 yılında Lavoisier ve diğer 27 iltizam vergicisi ölüm cezasına çarptırıldı ve mahkemenin yapıldığı günün akşamında giyotine gönderildiler. Lagrange Lavoisier'in ölümü üzerine:
 "Bu kafanın düşmesi sadece bir an sürdü ve yüzyıllar bir benzerini üretmek için yeterli olmayacak."
yorumunu yapmıştır.Lagrange Fransa'dan kaçmaya çalışmasına rağmen o dönemlerde hiçbir zaman bir tehlike altında olmamıştı. Farklı devrimci hükûmetler onu övgü ve şöhret ile onurlandırdılar. Lagrange'ın bu şansının ve güvenli durumun yıllar önce açıkladığı hayat görüşü nedeniyle ortaya çıktığı düşünülmektedir."İnanıyorum ki genel olarak her akıllı adamın ilk prensibi yaşadığı ülkenin yasalarına, mantıksız olsalar dahi, sıkı bir şekilde uymaktır."
Lagrange’a duyulan saygını en etkili örneği 1796 yılında İtalya’da bulunan bir Fransız vekilin Lagrange’ın babasını ziyaret edip oğlunun başarıları adına kutlanmasının emredilmesidir. Napoleon başa geçtiği zaman ülkedeki bilimsel çalışmaları büyük bir ilgi ile destekçisi olmuştu. Lagrange 1700 yılında senatörlük görevini aldı ve doğduğu toprakları Fransa’ya katan "Sénatus-consulte"’yi ilk imzalayan kişi oldu. Bunun sonucunda Fransız vatandaşlığı hakkı kazandı.


#### -Ölçüm Birimleri.
Lagrange 1790’larda ölçümler için yeni bir birim sistemi oluşturma çalışmalarında yer aldı. Fransa’dan kaçmayı planladığı sıralarda "la Commission des Poids et Mesures" ‘ın başkanlık görevi ona teklif edildi. Lavoiser’in 1794 yılındaki ölümünden sonra metre ve kilogram birim sisteminin ve ondalık basamak sisteminin 1799 yılında komisyon tarafından kabulünde en büyük pay Lagrange’ın oldu. Ayrıca Lagrange 1795 yılında kurulan " Bureau des Longitudes" ‘ın kurucularındandır.


#### - École normale.
1795 yılında Lagrange yeni kurulan ve sadece dört ay boyunca çalışmaktan zevk aldığı École normale’de matematik öğretmenliğine atandı. Derslerinin oldukça temel konuları içermesine ve özel bir öneme sahip olmamalarına rağmen “ profesörlerin halkın temsilcilerine ve kendilerine karşı hiçbir zaman sadece akıllarından tekrarlamayacaklarına ve bir yerden okumayacaklarına dair söz vermeleri” nedeniyle bu dersleri de yayımlandı ve yaptığı söylevler çıkarılan emir gereği kayıt altına alındı.


#### - École Polytechnique.
1794 yılında Lagrange profesör olarak École Polytechnique’e atandı ve dersleri kendinden ders alma şansına sahip matematikçiler tarafından mükemmel olarak nitelendiriliyordu. En basit konulardan başlayarak neredeyse öğrencileri için tamamen bilinmez olan konulara geliyordu. Konuların bu derece ilerlemesini sağlayan öğrencilerin kendisiydi. Hepsinden önemlisi öğrencilerini simetrik gösterimle ifade edilen genel yöntemleri kullanmanın avantajı konusunda etkilemesiydi.


#### - Sonraki Yıllar.
1810 yılında Lagrange, "Mécanique Analytique" üzerinde bazı yenilemelere gitti ancak 1813 yılındaki ölümünden önce sadece üçte ikilik bir kısmını tamamlayabildi. Ölümünden iki gün önce Napolyon onu Grand Croix of the Ordre Impérial de la Réunion unvanı ile onurlandırdı. Aynı yıl Paris’teki Panthéon’a gömüldü.


## Berlin’deki Çalışmaları.
Lagrange, Berlin’de geçirdiği yirmi yıl boyunca bilimsel çalışmalar açısından oldukça aktifti. Başyapıtı "Mécanique Analytique" ‘i yayımlamasının yanı sıra katkıda bulunduğu veya kendi yayımladığı yüz ila iki yüz çalışmayı Torino Akademisi, Belin Akademisi ve Fransız Akademilerine gönderdi. Bunlardan bazıları tam bir bilimsel eser niteliği taşıyordu ve hepsi tam anlamıyla mükemmeldiler.
Berlin’de yaptığı çalışmalara ilk olarak "Miscellanea Taurinensia" ‘nın dört ve beşinci ciltlerine yaptığı önemli katkılar ve bunların arasında en önemlileri olarak görülen "Miscellanea Taurinensia" ‘ya eklenen birçok astronomik gözlemi tartıştığı yazıları örnek olarak verilebilir. Ayrıca Torino Akademisinde bulunan topluluk tutanaklarının ilk iki cildine yaptığı akışkanların hareketi ve sonsuz seriler konularında yaptığı katkılar da önemli çalışmaları arasındadır.
Paris’e gönderilen yazılarının çoğu astronomik sorular üzerineydi. Bu yazıları arasında bahsedilmesi gerekenler, 1766 yılında Jovian sistemi üzerine, 1772 yılında üç cisim problemi üzerine, 1773 yılında ayın köksel denklemi üzerinde ve 1778 yılında kuyruklu yıldızların yörüngelerindeki sapmalar üzerine olanlardır. Her bir çalışması bir ödüle layık görülmüştür.


### Lagrange mekaniği.
1772 ve 1788 yılları arasında Lagrange, formülleri basitleştirmek ve hesaplamaları kolaylaştırmak amacıyla Klasik/Newton mekaniğini yeniden düzenledi. Lagrange’ın yaptığı düzenlemeleri içeren mekaniğe Lagrange mekaniği adı verilir.


### Cebir.
Bu süreçte yayımlanan ve Prusya Bilim Akademisine gönderilen çalışmalarının çoğu cebir alanındaki sorular üzerineydi. Çalışmaların içerikleri:
  - Tam sayıların ikinci dereceden ve daha genel cebirsel şekillerde gösterilmesi. (1760-1770)
  - Eleme Kuramı üzerine bir yazı. (1770)
  - Lagrange Kuramı
  - 1770 ve 1771 yılları arasındaki çalışmaları herhangi bir cebirsel denklemi "Langrange çarpanları" ile çözmeyi içermekteydi. Bu yöntem beşinci ve daha yüksek dereceden denklemleri çözerken genel bir çözüm ortaya çıkarmak konusunda başarısız oluyordu çünkü yardımcı denklem ilkinden daha büyük dereceden oluyordu. Bu yöntemin önemi ikinci, üçüncü ve dördüncü dereceden denklemlerin çözümü için bilinen formüllerin tek bir prensibe dayandığını göstermesi ve Galois kuramının temellerini oluşturmasıdır.


### Sayı Kuramı.
İlk çalışmalarından bazıları sayı kuramı ile ilgili sorular üzerineydi.
  - Lagrange, Pell’s denkleminin x^2-ny^2=1 kare olmayan "n" doğal sayıları için tam sayılarda aşikâr olmayan bir sonucu olduğunu kanıtlayan ilk kişidir. (1766-1769)
  - Bachet tarafından herhangi bir doğrulama olmadan ortaya atılan her pozitif tam sayının dört adet karenin toplamı olduğu kuramını kanıtlamıştır. (1770)
  - "n" değerinin yalnızca ("n" − 1)! + 1 ifadesinin  "n" ‘in bir katı olduğunda asal olduğunu söyleyen Wilson kuramını kanıtladı. 
  - 1773, 1775, 1777 yılındaki çalışmaları Fermat tarafından açık bir şekilde ifade edilmiş ancak kanıtlanmamış sonuçlara örnekler içermekteydi.
  - Recherches d’Aritmétique adlı eserinde ikili ikinci dereceden sistemler için herhangi bir tam sayı ax^2 + by^2 + cxy şeklinde olduğu zaman kullanılacak genel bir kuram geliştirdi.
  - Sonsuz kesir kuramına birçok katkıları oldu.


### Diğer matematiksel çalışmaları.
Lagrange ayrıca analitik geometrinin birçok alanı ile ilgili çalışmalar yapmıştır. 1792 ve 1793 yıllarında yayımladığı çalışmalarının ikisinde konik denklemlerini doğal hallerine dönüştürdü.
1772 ve 1785 yılları arasında kısmi türevsel denklemler denilen alanı ortaya çıkaran çalışmalar yaptı. Lagrange’ın bu çalışmalarının büyük bir kısmı Euler’in 1794 yılında yayımlanan integral kalkülüsünde bir araya getirildi.


### Astronomi.
Lagrange, astronomi alanını ilgilendiren konular ve problemler üzerine de çalışmalar yapmıştır. Bunlardan en önemlileri:
  - Üç cisim problemini çözmeye yönelik çalışmalar. Bu çalışmaların sonucunda bugün Lagrange noktaları olarak bilinen kavramı ortaya çıkarmıştır.
  - Ayın köksel denklemi üzerine çalışmalar ve potansiyel kavramının ilk kez ortaya atılması. Bir cismin herhangi bir noktadaki potansiyelinin cismin her bileşeninin kütlelerinin toplamının noktaya olan uzaklığa bölünmesi ile elde edildiğini öne sürdü. Lagrange ayrıca dışarıdaki bir noktada bulunan bir cismin potansiyeli biliniyorsa, herhangi bir noktadaki çekim kuvvetinin bulunabileceğini gösterdi.
  - Bir gezegenin yörüngesindeki düğümlerin hareketleri üzerine çalışmalar yaptı.
  - Gezegenlerin yörüngelerindeki kararlılıklar hakkında çalıştı.
  - Bir kuyruklu yıldızın yörüngesinin belirlenmesine dair, yaptığı gözlemlerden yola çıkarak iki adet makale yazdı. 
  - İçkestirim yöntemi hakkında üç adet makale. (1783, 1792, 1793) Bu yöntemin büyük bir kısmı günümüzde Lagrange’ın bıraktığı şekliyle kullanılmaktadır.


### Mécanique analytique.
Bu çalışmalarından en büyüğü ve en önemlisi, değişkenler kalkülüsü yardımıyla etki yönündeki iş yasasını ortaya koyduğu ve bu sayede katı ve akışkan mekaniklerinin en temel prensiplerini ortaya çıkardığı " Mécanique analytique" adlı kitabıdır.
Bu kitabın amacı konunun tek bir prensibe dayandığını göstermek ve istenilen herhangi bir sonucun elde edilebileceği formüller ortaya koymaktır. Bu sonuçları elde ettiği genelleştirilmiş konsayılar yöntemi, belki de bu analizin en mükemmel sonucudur. Euler ve D’Alembert’in daha önceleri yaptığı gibi cisimlerin hareketini tek tek kısımlara bölerek incelemek yerine eğer hareketin biçiminin yeterli miktarda ve sistemin izin verdiği kadar dereceye sahip değişkenlerle belirtilmesi durumunda potansiyel ve kinetik enerjinin bu değişkenler cinsinden gösterilebileceğini ve hareketin türevsel denklemlerinin basit bir türev alma işlemi ile ortaya çıkarılabileceğini gösterdi. Örneğin, Katı bir cismin dinamik sistemi ile ilgili bir problemi ele alarak bu probleme getirilen yaklaşımı günümüzde "T" ‘nin kinetik enerjiyi, "V" ‘nin de potansiyel enerjiyi temsil ettiği
 d/dt
 ∂T/∂θ̇
- ∂T/∂θ
+ ∂V/∂θ = 0,
şeklinde gösterilen genel bir formülle değiştirmiştir. Daha sonra da ilk yayımlanma amacı bu denklemi çözmek olan ve Lagrange çarpanları olarak bilinen yöntemi üretti. Bütün bu analiz o kadar şık ve zarifti ki Sir William Rowan Hamilton bu çalışmayı bilimsel bir şiire benzetmiştir. Lagrange, mekaniğin tıpkı dört boyutlu geometriye benzer olarak soyut matematikten oluştuğunu iddia etmekteydi ve buna kanıt olarak eserinde tek bir çizim dahi olmaması ile gururlanıyordu. İlk başlarda bu kitabı basacak kimseyi bulamamıştı ancak daha sonra Legendre’nin Paris’teki bir şirketi bu işi alması konusunda ikna etmesi sonucunda Laplace, Cousin, Legendre ve Condorcet’in denetlemeri altında 1788 yılında yayımlandı.


## Fransa’daki Çalışmaları.
### Türevsel kalkülüs ve değişkenler kalkülüsü.
Lagrange’ın École Polytechnique’te verdiği dersler daha sonradan ortaya koyacağı 1797 yılında yayımlanan " Théorie des fonctions analytiques" adlı eserinin temelini oluşturdu. Bu çalışma 1772 yılında Berlin’e gönderdiği bir başka çalışmasının genişletilmiş haliydi ve cebirin genelleştirilmesi prensibine dayanıyordu.
Lagrange’ın bu çalışmasına oldukça benzer bir başka eser de John Laden tarafından 1758 yılında " Redidual Analysis" adı altında yayımlandı. Lagrange, filozofların birçoğunun türevsel kalkülüs alanında sıklıkla kullandığı sonsuz küçük ve sonsuz büyüklükteki miktarları kullanarak karşılaştığı zorlukların üstesinden gelebileceğine inanıyordu. Kitap üç bölümden oluşmaktaydı. İlk bölüm, işlevsellerin genel kuramı üzerineydi ve Taylor kuramına geçerliliği tartışmaya açık cebirsel bir ispat sunmaktaydı. İkinci kısım çalışmasının geometriye, üçüncü kısım da mekaniğe uygulanmasını anlatıyordu.
Aynı konuları ele alan " Leçons sur le des fonctions" 1804 yılında yayımlandı. İki yıl sonra da ikinci baskısı yayımlandı. Bu kitapta Lagrange, ünlü yöntemi Lagrange çarpanlarını formüle döktü. Lagarge’ın bu alanda yaptığı çalışmalar Cauchy, Jacobi ve Weierstrass’ın çalışmalarının temelini oluşturduğu söylenenilir.


### Sonsuz küçükler.
Daha sonraki dönemlerde Lagrange, sonsuz küçükleri, türevsel kalkülüs alanında çalıştığı sırada tekrar kullanıma kazandırdı. 1811 yılında yayımlanan " Mécanique Analytique" ‘in ikinci basımının önsözünde sonsuz küçüklerin kullanımının doğruluğundan şu sözlerle bahseder:
 " Sonsuz küçüklerin ruhuna sıkıca tutunduğumuzda ve sonuçlarının kesinliğini hem ilk ve nihai geometrik yöntemlerle hem de türevlenmiş işlevsellerin analitik yöntemi ile doğruladığımızda, sonsuz küçükleri, ispatlarımızı kısaltmak ve basitleştirmek adına emin bir şekilde kullanabiliriz. "


### Sayı Kuramı.
"Résolution des équations numériques" adlı eseri 1798 yılında yayımlandı ve bu eser École Polytechnique’te verdiği derslerin meyvesiydi. İçeriği, sonsuz kesirler ile bir denklemin gerçel köklerini yaklaşık olarak bulma ve birçok diğer kuramdan oluşmaktaydı. Kitabın sonunda Fermat’ın küçük teoreminin 
"a""p"−1 − 1 ≡ 0 (mod "p")
"p" ‘nin asal ve "a" ‘nın "p" 'den önce geldiği durumlarda herhangi bir ikiterimli denklem için tamamen cebirsel sonuçlar vermesi için nasıl uygulanabileceğini gösteren bir not bulunmaktadır. Ayrıca bu notta köklerinin, köklerin farkının karesine eşit olan denklemin köklerin yeri ve doğası hakkında bilgi almak için kullanılabileceğinden bahsetmekteydi.


### Gök mekaniği.
Gezegen hareketleri Lagrange'ın Berlin'de yaptığı çalışmaların temelini oluşturmuştur. 1806 yılında bu konular Poisson tarafından tekrar gündeme getirilmiştir ve Lagrange'ın kuramlarının gezegenlerin yörüngelerindeki kararlı olmaları belirli sınırların olduğunu gösterdiğini belirtmiştir. Lagrage, 1808 yılında Akademiye yazdığı bir mektup ile rastgele seçilmiş sabitlerin değiştirilmesi ile karşılıklı etkileşen sistemlerin yinelenen ya da köksel eşitsizliğinin nasıl belirlenebileceğini açıkladı.


## Ödüller ve Şöhreti.
Euler, Lagrange'ı Berlin Akademisi seçimlerinde aday gösterdi ve Lagrange 2 Eylül 1756 yılında Akademi başkanlığına seçildi. Ayrıca 1790 yılında Edinburgh Kraliyet Topluluğu'na, 1806 yılında İsveç Kraliyet Bilim Akademisine yabancı üye olarak seçildi. 1808'de Lagrange'a birçok onur rütbesi ve unvan verdi.
1764 yılında Fransız Bilim Akademisi tarafından Ayın salınımı üzerine yaptığı çalışmalar sonucunda ödüle layık görüldü. 1766 yılında ise Jüpiter'in uydularının hareketine dair yaptığı çalışma ile tekrar ödüllendirildi. Ayrıca 1772, 1774 ve 1778 yıllarında verilen ödülleri de başkaları ile paylaşmıştır.
Lagrange, Eiffel Kulesi'ne adları işlenen 72 ünlü Fransız bilim insanı arasında yer almaktadır. Paris'teki bir sokağa ve Ay'daki bir kratere Lagrange adı verilmiştir.