# Esnek çarpışma
Esnek çarpışma ya da elastik çarpışma, iki cismin arasındaki esnek çarpışma, toplam momentum ve toplam kinetik enerjinin çarpışmadan önce ve sonra sabit kaldığı çarpışmadır. Bilardo topu çarpışmaları ve herhangi bir sıcaklıkta hava moleküllerinin duvarla çarpışması yaklaşık olarak esnektir. Gerçek esnek çarpışmalar, atom ve atom-altı parçacıklar arasında gerçekleşir. Esnek çarpışmalar sadece diğer formlara dönüşen net kinetik enerji yoksa gerçekleşir.
Küçük cisimlerin çarpışmaları sırasında, kinetik enerji ilk olarak parçacıklar arasında olan itici kuvvet ile ilgili olan potansiyel enerjiye dönüşür. (parçacıklar bu kuvvete karşı hareket ederken, kuvvet ve bağıl hız arasındaki açı geniştir). Ve daha sonra potansiyel enerji tekrar kinetik enerjiye dönüşür. (parçacıklar bu kuvvete karşı hareket ederken, kuvvet ve bağıl hız arasındaki açı dardır).
Atomlar arasında olan çarpışmalar esnek çarpışmalardır. Rutherford'un geri saçılması deneyi bunun bir örneğidir.
Atomları arasındaki mesafe daha fazla olan moleküllerden gazlar ve sıvılarda mükemmel esnek çarpışma meydana gelir, çünkü her çarpışmayla birlikte moleküllerin içinde ve öteleme hareketleri arasında kinetik enerji değişimi yaşanır. Herhangi bir anda, çarpışmaların yarı yarıya değişen oranında; bir yarısı esnek olmayan çarpışma (çarpışma öncesi sahip olduğu kinetik enerjiye nazaran çarpışma sonrasında daha az kinetik enerjiye sahip olan çarpışmalar) ve diğer yarısı da mükemmel derecede esnek olan çarpışmalar (çarpışma öncesi sahip olduğu kinetik enerji kadar çarpışma sonrasında da aynı kinetik enerjiye sahip olan çarpışmalar) olur. Tüm örnekler karşılaştırıldığında ortalama olarak, Planck's yasası sistemden enerji taşımak için siyah cisim fotonlarını engellediği sürece, moleküler çarpışmalar esnek çarpışmalar olarak düşünülebilir.
Makroskopik cisimlerin durumunda, mükemmel esnek olan çarpışmalar asla tamamen fark edilmeyecek kadar ideal, ama yaklaşık olarak cisimlerin etkileşimi bilardo toplarının etkileşimi kadardır.
Enerji düşünüldüğünde, çarpışmadan önceki dönme enerjisi ve çarpışmadan sonraki dönme enerjisinin rol oynaması da mümkündür.


## Denklemler.
### Bir boyutta Newton denklemleri.
1 ve 2 diye gösterilmiş iki tane parçacık düşünüldüğünde. "m1" ve "m2" cisimlerin kütleleridir, "u1" ve "u2" cisimlerin çarpışmadan önceki hızlarıdır ve "v1" ve "v2" cisimlerin çarpışmadan sonraki hızlarıdır.
Toplam momentumun korunumunu çarpışmadan önce ve çarpışmadan sonra aynı olan toplam momentumlara bakarak söyleyebiliriz ve bunu da şu denklemlerle ifade edebiliriz. 
 m_1u⃗_1+m_2u⃗_2=m_1v⃗_1 + m_2v⃗_2.
Benzer şekilde, toplam kinetik enerjinin korunumunu da çarpışmadan önce ve çarpışmadan sonra aynı olan toplam kinetik enerjilere bakarak söyleyebiliriz ve bunu da şu denklemlerle ifade edebiliriz. 
m_1u_1^2/2+m_2u_2^2/2=m_1v_1^2/2+m_2v_2^2/2.
Bu denklemler "vi", "ui" bilindiğinde veya tersi durum söz konusu olduğunda doğrudan çözülebilir. Bir diğer alternatif çözüm yolu ise referans noktasını değiştirmek ve bilinen hızlardan birini sıfır almaktır. Bu yeni referans noktasındaki bilinmeyen hızların değerine daha sonra orijinal referans noktasındaki dönüşüm denklemleriyle ulaşılabilir. Bilinmeyen hızın değeri bir kez saptandığında, diğer hızın değeri simetri yöntemi kullanılarak bulunabilir.
"vi" için bu eşzamanlı denklemlerin çözümü bize bu denklemleri verir:
v_1 = u_1(m_1-m_2)+2m_2u_2/m_1+m_2
v_2 = u_2(m_2-m_1)+2m_1u_1/m_1+m_2
ya da
 v_1 = u_1
 v_2 = u_2.
İkinci yoldan yapılan önemsiz çözümdür, çünkü henüz hiçbir çarpışmanın meydana gelmediğini belirtir.
Örneğin:
Top 1: kütlesi = 3 kg, hızı = 4 m/s olsun
Top 2: kütlesi = 5 kg, hızı = −6 m/s olsun
Çarpışmadan sonra:
Top 1: hızı = −8.5 m/s olur
Top 2: hızı = 1.5 m/s olur
Denklem:
 v_1-v_2 = u_2-u_1
Türevi alındığında:
Kinetik enerji formülünü kullanarak şu sonuca ulaşırız;
 m_1(v_1^2-u_1^2)=m_2(u_2^2-v_2^2)
 ⇒m_1(v_1-u_1)(v_1+u_1)=m_2(u_2-v_2)(u_2+v_2)
Momentum denklemini tekrar düzenlersek:
 m_1(v_1-u_1)=m_2(u_2-v_2)
Kinetik enerji denklemini momentum denklemine böldüğümüzde:
 v_1+u_1=u_2+v_2
 ⇒v_1-v_2 = u_2-u_1
 - bir parçacığın diğerine göre olan bağıl hızı çarpışma sonucunda tersine çevrilir.
 - iki parçacık için de çarpışmadan önceki ortalama momentumu çarpışmadan sonraki ortalama momentumuna eşittir.
Beklenildiği üzere, sabit öteleme hızıyla birlikte referans noktası kullanıldığında, bütün hızlara sabit bir değer eklendiğinde çözümün değişmez olduğu görülür.
Kütle merkezinin hızı çarpışmayla birlikte değişmez:
Zamanla kütle merkezi t çarpışmadan önce ve zamanla t' çarpışmadan sonra bize iki denklem verir:
x̅(t) = m_1 x_1(t)+m_2 x_2(t)/m_1+m_2, ve
x̅(t') = m_1 x_1(t')+m_2 x_2(t')/m_1+m_2
Bundan dolayı, çarpışmadan önce ve çarpışmadan sonra kütle merkezinin hızı:
 v_ x̅ = m_1u_1+m_2u_2/m_1+m_2, ve
 v_ x̅ ' = m_1v_1+m_2v_2/m_1+m_2
 v_ x̅ çarpışmadan önceki toplam momentum ve v_ x̅ ' çarpışmadan sonraki toplam momentum. Ve momentum korunur, v_ x̅ = v_ x̅ ' .
Kütle merkezi ile ilgili olarak, her iki hız da çarpışmayla birlikte tersine çevrilir: farklı kütleli parçacıkların durumunda, ağır olan parçacık kütle merkezine doğru yavaşlayarak hareket eder ve geri sıçramalar aynı yavaş hızda olur ve hafif olan parçacık kütle merkezine doğru daha hızlı hareket eder ve geri sıçramalar aynı yüksek hızda olur.
Eğer cisimlerin kütleleri yaklaşık olarak aynıysa, v_1 ve v_2 yukarıda da gördüğümüz üzere u_1, v_1 değeri küçüktür: daha hafif olan cisime vurmak hızı çok değiştirmez, ama daha ağır olan cisime vurulduğunda yüksek hızda sıçrama yapan hızlanan cisime neden olur.
Bir nötron moderatörü (aşağı hızlı nötronları yavaşlatan bir ortam, böylece bir zincirleme reaksiyon sürdürme yeteneğine sahip termal nötronlar dönüştürerek) (kolayca nötron absorbe olmayan ek özelliği ile ) Işık çekirdekleri ile atomların bir malzeme dolu olmasının nedeni budur: hafif çekirdeklerde nötron aynı kütleye hakkında sahip.


### Bir boyutta relativistik esnek çarpışma.
Özel relativiteye göre,
p = mv/√(1-v^2/c^2)
p herhangi bir m kütleli, v hızlı parçacığın momentumudur. c ise ışık hızıdır.
Momentum çerçevesindeki merkezde toplam momentum sıfıra eşit olur. 
p_1 = - p_2
p_1^2 = p_2^2
√(m_1^2c^4 + p_1^2c^2) + √(m_2^2c^4 + p_2^2c^2) = E
p_1 = ±√(E^4 - 2E^2m_1^2c^4 - 2E^2m_2^2c^4 + m_1^4c^8 - 2m_1^2m_2^2c^8 + m_2^4c^8)/cE
u_1 = -v_1
m_1 ilk çarpışan cismin kütlesine karşılık gelir, m_2 ikinci çarpışan cismin kütlesine karşılık gelir, u_1 ilk çarpışan cismin ilk hızıdır, u_2 ikinci çarpışan cismin ilk hızıdır, v_1 çarpışmadan sonra ilk çarpışan cismin hızıdır, v_2 çarpışmadan sonra ikinci çarpışan cismin hızıdır, p_1 ilk çarpışan cismin momentumudur, p_2 ikinci çarpışan cismin momentumudur ve c ışık hızı, E ve sistemin toplam enerjisini belirtir. (örneğin, çarpışan cisimlerin kinetik enerjilerinin toplamı ve kütlelerinin toplamı).
Sistemin toplam enerjisi ve toplam momentumu korunur ve çarpışan cisimlerin geri kalan kütleleri değişmez, çarpışan cisimlerin momentumları çarpışan cisimlerin kütleleriyle, toplam enerji ve toplam momentumlarıyla doğru orantılıdır. Çarpışan cismin momentumunun büyüklüğü çarpışmadan sonra değişmez, ancak hareketinin yönü momentum merkezine göre ters yöndedir.
Klasik fizikteki çok parçacıklı ve yüksek boyutlu sistemler, klasik atomların bir araya gelmesiyle oluşacaklardır. Örneğin hava masası deneylerinde kullanılan diskler üç boyutlu cisimler olmalarına rağmen iki boyuta kısıtlanmış hareketlerinin incelenmesi söz konusu olduğundan iki boyutlu olarak ele alınabilmektedirler. Eğer deneyler yapılırken disklerin kendi simetri eksenleri etrafındaki olası dönmeler (spin hareketleri) engellenebilirse o zaman disklerin hareketleri sadece kütle – merkezlerinin hareketleri ile karakterize edilebileceğinden diskler noktasal parçacıklar olarak düşünülebilirler. Bu dönmelerin kaynakları elektromagnetik kökenli olan sürtünme kuvvetlerinin oluşturduğu torklardır. Hava masasının özelliği, katıların birbirlerine temas ederek hareket etmeleri sırasında var olan şiddetli kinetik sürtünme kuvvetlerini, bunların yanında ihmal edilebilecek büyüklüklere sahip hava sürtünmelerine indirgiyor olmasıdır. Ancak ihmal edilmelerine rağmen var olan bu sürtünme kuvvetlerinden kaynaklanabilecek dönmelerin oluşmaları durumunda deneysel hatalar artacaktır. Dönmelerin söz konusu olduğu (kapalı varsayılabilecek) esnek bir çarpışmada kinetik enerji korunacaktır ancak artık kinetik enerjinin hem öteleme hem de dönmeden kaynaklanan kısımları olacaktır. Klasik noktasal parçacıklar da çarpışırlarken birbirlerine temas etmeyebilirler, örnek olarak biri durgun diğeri de onunla etkileşecek şekilde hareket eden aynı elektrik yüküne sahip noktasal parçacıkların esnek saçılmaları incelenebilir. Böyle bir elektriksel sisteme eşdeğer mekaniksel bir sistem, sadece temas etmek suretiyle etkileştikleri varsayılan iki disk ve onların ötelemesel esnek çarpışmaları ile verilebilir.
Klasik Mekanik sadece iyi bir yaklaşımdır. Klasik Mekanik makroskopik boyuttaki cisimlerle ve ışık hızından daha yavaş olan hızlarla uğraştığında bize daha kesin sonuçlar verir. Klasik limitin ötesindeyse, sonuçlar yanlış olur. Momentum merkezinde ve klasik mekaniğe göre, Esnek çarpışma yapan iki cisimli sistemin toplam momentumu momentum referans çerçevesine bağlıdır.
m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2 = 0 
m_1u_1^2 + m_2u_2^2 = m_1v_1^2 + m_2v_2^2 
(m_2u_2)^2/2m_1 + (m_2u_2)^2/2m_2 = 
(m_2v_2)^2/2m_1 + (m_2v_2)^2/2m_2 
(m_1 + m_2)(m_2u_2)^2 = (m_1 + m_2)(m_2v_2)^2 
u_2 = -v_2 
(m_1u_1)^2/2m_1 + (m_1u_1)^2/2m_2 = 
(m_1v_1)^2/2m_1 + (m_1v_1)^2/2m_2 
(m_1 + m_2)(m_1u_1)^2 = (m_1 + m_2)(m_1v_1)^2 
u_1=-v_1 
u_1 = -v_1
Diğer farklılıklara rağmen göreli hesaplamada doğru kalır. Özel Görelilik içinde önermelerden biri Fizik Kanunlarının tüm atalet çerçeveleri referansında değişmez olması gerektiğini belirtiyor.
 Yani, toplam momentum belirli referans çerçevesinde korunursa, toplam momentumun miktarı çerçeveye bağlı olmasına rağmen toplam momentum herhangi bir referans çerçevesinde de korunur. Bu yüzden, bir çerçeveden diğer referans çerçevesine ya da diğerine dönüştürülerek, istenilen sonuçları almak mümkündür. Belli bir referans çerçevesinde, toplam momentum herhangi bir yerde olabilir,
m_1 u_1/√(1-u_1^2/c^2) +
m_2 u_2/√(1-u_2^2/c^2) = 
m_1 v_1/√(1-v_1^2/c^2) +
m_2 v_2/√(1-v_2^2/c^2)=p_T
m_1c^2/√(1-u_1^2/c^2) +
m_2c^2/√(1-u_2^2/c^2) =
m_1c^2/√(1-v_1^2/c^2) +
m_2c^2/√(1-v_2^2/c^2)=E
İkili şekilde hareket eden cisimlerin toplam momentumlarına baktığımızda p_T, toplam enerji E ve hızı v_c kütle merkezindeki hızı. Kütle merkezine bağlı olarak, toplam momentum sıfıra eşittir.Ve şu şekilde gösterilebilir v_c 
v_c = p_T c^2/E
Ve şimdi de momentum merkezindeki çarpışmadan önceki hızlarına bakacak olursak eğer u_1 ' ve u_2 '
u_1 '= u_1 - v_c /1- u_1 v_c/c^2
u_2 '= u_2 - v_c /1- u_2 v_c/c^2
v_1 '=-u_1 '
v_2 '=-u_2 '
v_1 = v_1 ' + v_c /1+ v_1 ' v_c/c^2
v_2 = v_2 ' + v_c /1+ v_2 ' v_c/c^2
 u_1 ≪c and u_2 ≪c ,
p_T ≈ m_1 u_1 + m_2 u_2
v_c ≈ m_1 u_1 + m_2 u_2/m_1 + m_2
u_1 ' ≈ u_1 - v_c ≈ 
m_1 u_1 + m_2 u_1 - m_1 u_1 - m_2 u_2/m_1 + m_2 = 
m_2 (u_1 - u_2)/m_1 + m_2
u_2 ' ≈ m_1 (u_2 - u_1)/m_1 + m_2
v_1 ' ≈ m_2 (u_2 - u_1)/m_1 + m_2
v_2 ' ≈ m_1 (u_1 - u_2)/m_1 + m_2
v_1 ≈ v_1 ' + v_c ≈ 
m_2 u_2 - m_2 u_1 + m_1 u_1 + m_2 u_2/m_1 + m_2 =
u_1 (m_1 - m_2) + 2m_2 u_2/m_1 + m_2
v_2 ≈ u_2 (m_2 - m_1) + 2m_1 u_1/m_1 + m_2
Bu yüzden, çarpışan iki cismin hızı da ışık hızından (yani yaklaşık olarak 300 milyon m/s) çok çok çok düşük olduğunda, klasik hesaplama yöntemi için bu sonuçlar doğrudur. 


### Çarpışma için başka relativistik türetilmiş formüller.
Hızın parametresi olarak adlandırılan parametreden söz etmiştik s:
 v/c=(s)=e^s-e^-s/e^s+e^-s 
bundan dolayı şu formülü elde ederiz:
 e^s =√(c+v/c-v) 
Relativistik enerji ve momentum şu şekilde açıklanabilir: 
 E=mc^2/√(1-v^2/c^2) = m c^2 (s)
 p=mv/√(1-v^2/c^2)=m c (s) 
Çarpışan kütlelerin enerji toplamları için denklemler ve çarpışan kütlelerin momentum toplamları için denklemler ise şöyle m_1 ve m_2, (velocitiesv_1, v_2, u_1,u_2 hız parametresine bağlı olarak s_1, s_2, s_3, s_4), yeterli güce bölünmesinden sonra c şu formüller elde edilecektir:
 m_1 (s_1)+m_2 (s_2)=m_1 (s_3)+m_2 (s_4) 
 m_1 (s_1)+m_2 (s_2)=m_1 (s_3)+m_2 (s_4) 
ve birbirine bağlı denklemler, yukarıdaki denklemin toplamı:
 m_1 e^s_1+m_2 e^s_2=m_1 e^s_3+m_2 e^s_4 
denklemin her iki tarafının karesinden de enerjiden momentum çıkarılır ve şu tanım kullanılır ^2(s)-^2(s)=1 ve denklemleri basitleştirdikten sonra şu formülleri elde ederiz:
 2 m_1 m_2 ((s_1) (s_2)-(s_2) (s_1)) = 2 m_1 m_2 ((s_3) (s_4)-(s_4) (s_3)) 
kütlesi sıfır olmayan cisimler için, şu formülleri elde ederiz:
 (s_1-s_2)=(s_3-s_4) 
(s) fonksiyonu çifttir ve bu denklem için iki tane çözüm elde ederiz: 
 s_1-s_2 = s_3-s_4 
 s_1-s_2 =-s_3+s_4 
son denklemden, bir değere sahip çözüm elde ederiz ve şunu çözeriz s_2 ve bağımlı denklemin yerine geçer ve şunu elde ederiz e^s_1 ve daha sonra da e^s_2, bu gelir:
 e^s_1=e^s_4m_1 e^s_3+m_2 e^s_4/m_1 e^s_4+m_2 e^s_3 
 e^s_2=e^s_3m_1 e^s_3+m_2 e^s_4/m_1 e^s_4+m_2 e^s_3 
Problemin çözümü bu şekilde, ama hız parametreleriyle açıklanır. Hız parametreleri için yer değiştirme formülleri uygulandığında
 v_1/c =(s_1)=e^s_1-e^-s_1/e^s_1+e^-s_1 
 v_2/c =(s_2)=e^s_2-e^-s_2/e^s_2+e^-s_2 
Bir önceki adım uygulandığında da bu formül elde edilir:
 e^s_3=√(c+u_1/c-u_1) ve e^s_4=√(c+u_2/c-u_2) , uzunca bir dönüşüm formülü uyguladıktan sonra, yerine koyulan ile birlikte:
 Z=√((1-u_1^2/c^2) (1-u_2^2/c^2)) 
Bu sonucu elde ederiz:
 v_1=2 m_1 m_2 c^2 u_2 Z+2 m_2^2 c^2 u_2-(m_1^2+m_2^2) u_1 u_2^2+(m_1^2-m_2^2) c^2 u_1/2 m_1 m_2 c^2 Z-2 m_2^2 u_1 u_2-(m_1^2-m_2^2) u_2^2+(m_1^2+m_2^2) c^2 
 v_2=2 m_1 m_2 c^2 u_1 Z+2 m_1^2 c^2 u_1-(m_1^2+m_2^2) u_1^2 u_2+(m_2^2-m_1^2) c^2 u_2/2 m_1 m_2 c^2 Z-2 m_1^2 u_1 u_2-(m_2^2-m_1^2) u_1^2+(m_1^2+m_2^2) c^2 


## İki boyutta esnek çarpışma.
Bir - boyutlu esnek çarpışmaların dışındaki esnek çarpışmalarda sadece momentumun ve 
kinetik enerjinin korunumu çarpışma sonrası hızları belirlemeye yetmeyecektir. Mesela, iki – boyutlu esnek çarpışma durumunda iki parçacık için çarpışma sonrası iki hız 
ve her hızın iki bileşeni olduğundan dört tane bilinmeyen vardır. Bu dört bilinmeyen, 
momentumun korunumu nedeniyle iki ve kinetik enerjinin korunumu nedeniyle de bir toplam 
üç tane skaler denklem ile kısıtlanırlar, ancak son hızların bulunması için fazladan bir bilgiye 
ihtiyaç duyulmaktadır. Bu bilgiye deney ile ulaşılabilir ve çoğu zaman çarpışma sonrası 
parçacıklardan birinin ilerleme yönünün (probleme adapte edilmiş) eksenlerden biriyle yaptığı 
açı (saçılma açısı) bu bilgi için kullanılır.
İki boyutta iki çarpışan cisimlerin her durumunda, her cismin hızı için iki dikey hız bölünmesi gerekir: Bir teğet çarpışan cisimlerin sık görülen normal yüzeylerine temas noktasında, diğeri de bir çarpışma hattı boyunca. Çarpışma sadece çarpma hattı boyunca kuvvet oluşturduğu için, çarpışma noktasına teğet olan hızları değişmez. Çarpışma hattı boyunca hızlar da tek boyutlu bir çarpışma ile aynı denklemler de kullanılabilir. Son hızlar daha sonra iki yeni bileşen hızları hesaplanabilir ve çarpışma noktasına bağlıdır.
Herhangi bir zamanda momentum çerçevesinin merkezinde iki organlarının hızları kitlelere ters orantılı büyüklüklerde, ters yönlerde bulunmaktadır. Esnek çarpışmada bu büyüklükleri değişmez. Uzaklık cisimlerin şekil ve çarpma noktasına bağlı olarak değişebilir. Örneğin, küreler halinde açısı iki gövde merkezlerinin (paralel) yolları arasındaki uzaklığa bağlıdır. Yönü sıfır olmayan herhangi bir değişiklik mümkündür: Bu mesafe hızları çarpışma tersine sıfır ise; kürelerin yarıçapları toplamı yakın ise iki cisim sadece biraz saptırılır.
İkinci parçacığın çarpışmadan önce hareketsiz olduğunu varsayarsak, iki parçacığın sapma açısı, ϑ_1 and ϑ_2, sapma açısıyla ilgili olarak θ sistemde kütle merkezi by
tanϑ_1=m_2 sinθ/m_1+m_2 cosθ, ϑ_2=2/.
Çarpışmadan sonraki parçacıkların hızlarının büyüklükleri:
v'_1=v_1√(m_1^2+m_2^2+2m_1m_2cosθ)/m_1+m_2, v'_2=v_12m_1/m_1+m_2sinθ/2.


### İki boyutta iki cisimli çarpışma.
İlk topun x ve y son hız bileşenleri şu şekilde hesaplanabilir :
 v'_1x amp;=v_1cos(θ_1-φ)(m_1-m_2)+2m_2v_2cos(θ_2-φ)/m_1+m_2cos(φ)
 amp; +v_1sin(θ_1-φ)cos(φ+π/2)
 
 v'_1y amp;=v_1cos(θ_1-φ)(m_1-m_2)+2m_2v_2cos(θ_2-φ)/m_1+m_2sin(φ)
 amp; +v_1sin(θ_1-φ)sin(φ+π/2)
"v"1 and "v"2 cisimlerin orijinal hızlarının skalar boyutları, "m"1 and "m"2 are their masses, "θ"1 and "θ"2 ve hareket açıları, yani, v_1x=v_1cosθ_1, v_1y=v_1sinθ_1 (aşağıdan sağa doğru hareket eden bir açı ya -45 ° ya da 315 ° açıdır) ve küçük phi (φ) bağlantı açısıdır. (İkinci topun x ve y hızlarını elde etmek için 1 ve 2 diye adlandırabiliriz.)
Bu denklem iki cisim arasındaki etkileşimi kolayca temas açısı paralel olacak şekilde x ve y ekseni ile tek boyutlu olarak hesaplanabilir ve ayrıca nesnelerin hızlarını da kolay bir şekilde hesaplamaya yarar, yani temas açısı boyunca hesaplanan türetilmiş bir büyüklüktür ve nesneler daha sonra gerçek x ve y bileşenlerini hızlarını almak için geri özgün yönüne döndürülür.
Bir serbest açı gösteriminde, değişen hızlar merkez kullanılarak hesaplanır x1 ve x2 
 𝐯'_1 amp;=𝐯_1-2 m_2/m_1+m_2 ⟨𝐯_1-𝐯_2, 𝐱_1-𝐱_2⟩/𝐱_1-𝐱_2^2 (𝐱_1-𝐱_2),
 𝐯'_2 amp;=𝐯_2-2 m_1/m_1+m_2 ⟨𝐯_2-𝐯_1, 𝐱_2-𝐱_1⟩/𝐱_2-𝐱_1^2 (𝐱_2-𝐱_1)
açılı ayraçlar iki vektörün iç çarpımını ve skaler çarpımını gösterirler.