# Wallis çarpımı
Matematikte, Wallis çarpımı, π sayısını sonsuz çarpım olarak veren bir ifadedir. 1656'da John Wallis tarafından yayınlanmıstır ve şu şekilde ifade edilmektedir:
 π/2 amp; = ∏_n=1^∞ 4n^2 / 4n^2 - 1 = ∏_n=1^∞(2n/2n-1·2n/2n+1) 
 amp; = (2/1·2/3) ·(4/3·4/5) ·(6/5·6/7) ·(8/7·8/9) · ⋯


## İntegral yoluyla kanıt.
Wallis bu sonsuz çarpımı enterpolasyon kullanarak türetmiştir; ancak, yöntemi titiz olarak kabul edilmemektedir. Daha modern bir çıkarım, ∫_0^πsin^n x dx integrali n tek ve çift değerler alırken incelenerek elde edilebilir.
Wallis integrallerinin bir hali olan 
I(n) = ∫_0^πsin^n x dx
tanımlayalım. Kısmi integral yöntemi kullanarak 
 u amp;= sin^n-1x 
 ⇒ du amp;= (n-1) sin^n-2x cos x dx 
 dv amp;= sin x dx 
 ⇒ v amp;= -cos x
 ⇒ I(n) amp;= ∫_0^πsin^n x dx 
 amp;= -sin^n-1xcos x |_0^π - ∫_0^π (-cos x)(n-1) sin^n-2x cos x dx 
 amp;= 0 + (n-1) ∫_0^πcos^2x sin^n-2x dx, n gt; 1 
 amp;= (n - 1) ∫_0^π (1-sin^2 x) sin^n-2x dx 
 amp;= (n - 1) ∫_0^πsin^n-2x dx - (n - 1) ∫_0^πsin^nx dx 
 amp;= (n - 1) I(n-2)-(n-1) I(n) 
 amp;= n-1/n I(n-2) 
 ⇒I(n)/I(n-2) amp;= n-1/n
Şimdi, kolaylık olması açısından iki değişken ikâmesi yaparak şunu elde edelim:
I(2n) = 2n-1/2nI(2n-2)
I(2n+1) = 2n/2n+1I(2n-1)
I(0) ve I(1) değerleri sonradan kullanmak üzere hemen ve kolaylıkla hesapalanabilir.
 I(0) amp;= ∫_0^π dx = x|_0^π = π
 I(1) amp;= ∫_0^πsin x dx = -cos x |_0^π = (-cosπ)-(-cos 0) = -(-1)-(-1) = 2
Çift değerler için hesaplamak için I(2n) bağlantısını tekrarlayarak kullanıyoruz ve daha önce hesaplanan I(0) değerinde duruyoruz:
I(2n)=∫_0^πsin^2nx dx = 2n-1/2nI(2n-2) = 2n-1/2n ·2n-3/2n-2I(2n-4)
=2n-1/2n ·2n-3/2n-2 ·2n-5/2n-4 ·⋯·5/6 ·3/4 ·1/2 I(0)=π∏_k=1^n 2k-1/2k
Tek değerler için de benzer bir yöntem takip edilebilir ve I(1) değerinde durulur:
I(2n+1)=∫_0^πsin^2n+1x dx=2n/2n+1I(2n-1)=2n/2n+1 ·2n-2/2n-1I(2n-3)
=2n/2n+1 ·2n-2/2n-1 ·2n-4/2n-3 ·⋯·6/7 ·4/5 ·2/3 I(1)=2 ∏_k=1^n 2k/2k+1
Ayrıca, sinx≤x gerçeğine dayanarak 
sin^2n+1x ≤sin^2nx ≤sin^2n-1x, 0 ≤x ≤π
⇒I(2n+1) ≤I(2n) ≤I(2n-1)
olduğunu gözlemliyoruz. Her iki tarafı I(2n+1) ile bölerek ve ayrıca I(2n) = 2n-1/2nI(2n-2) ve I(2n+1) = 2n/2n+1I(2n-1) bağlantılarını kullanarak 
⇒1 ≤I(2n)/I(2n+1) ≤I(2n-1)/I(2n+1)=2n+1/2n
elde ediyoruz. Sıkıştırma teoremi ile 
⇒lim_n→∞ I(2n)/I(2n+1)=1
elde edilir. Yani, 
lim_n→∞ I(2n)/I(2n+1)=π/2 lim_n→∞ ∏_k=1^n (2k-1/2k ·2k+1/2k)=1
⇒π/2=∏_k=1^∞(2k/2k-1 ·2k/2k+1)=2/1 ·2/3 ·4/3 ·4/5 ·6/5 ·6/7 ·⋯
elde edilir.


## Sinüs fonksiyonu için Euler'in sonsuz çarpımını kullanarak kanıt.
Yukarıdaki ispat genellikle modern kalkülüs ders kitaplarında yer alsa da, geriye dönüp bakıldığında Wallis çarpımı, sinüs fonksiyonu için daha sonra elde edilmişl olan Euler sonsuz çarpımının kolay bir sonucu olarak ortaya çıkar.
sinx/x = ∏_n=1^∞(1 - x^2/n^2π^2)
x = π/2 olsun. O zaman,
 ⇒2/π amp;= ∏_n=1^∞(1 - 1/4n^2) 
 ⇒π/2 amp;= ∏_n=1^∞(4n^2/4n^2 - 1) 
 amp;= ∏_n=1^∞(2n/2n-1·2n/2n+1) = 2/1·2/3·4/3·4/5·6/5·6/7⋯


## Stirling yaklaşımıyla ilişkisi.
Faktöriyel fonksiyonu n! için ifade edilen Stirling yaklaşımı şunu ifade eder:
n! = √(2πn) (n/e)^n [1 + O(1/n) ].
Wallis çarpımındaki sonlu çarpımları ele elalım:
p_k = ∏_n=1^k 2n/2n - 12n/2n + 1.
Bu çarpımları yeniden düzenleyerek
 p_k amp;= 1 2k + 1∏_n=1^k(2n)^4/[(2n)(2n - 1)]^2
 amp;= 1 2k + 1· .
yazabiliriz. Bu ifadede Stirling yaklaşımını hem k! hem de (2k)! için kullanırsak, 
p_k'nin k →∞ iken π/2 ifadesine yakınsadığı gösterilebilir.


## Riemann zeta fonksiyonunun sıfır noktasında türevi.
Riemann zeta fonksiyonu ve Dirichlet eta fonksiyonu şu şekilde tanımlanabilir:
 ζ(s) amp;= ∑_n=1^∞1/n^s, (s) gt;1 
 η(s) amp;= (1-2^1-s)ζ(s) 
 amp;= ∑_n=1^∞(-1)^n-1/n^s, (s) gt;0
Son seriye Euler dönüşümü uygulandığında aşağıdaki elde edilir:
 η(s) amp;= 1/2+1/2∑_n=1^∞ (-1)^n-1[1/n^s-1/(n+1)^s], (s) gt;-1 
 ⇒η'(s) amp;= (1-2^1-s)ζ'(s)+2^1-s (ln 2) ζ(s) 
 amp;= -1/2∑_n=1^∞ (-1)^n-1[ln n/n^s-ln (n+1)/(n+1)^s], (s) gt;-1
 ⇒η'(0) amp;= -ζ'(0) - ln 2 = -1/2∑_n=1^∞ (-1)^n-1[ln n-ln (n+1)] 
 amp;= -1/2∑_n=1^∞ (-1)^n-1lnn/n+1
 amp;= -1/2(ln1/2 - ln2/3 + ln3/4 - ln4/5 + ln5/6 - ⋯) 
 amp;= 1/2(ln2/1 + ln2/3 + ln4/3 + ln4/5 + ln6/5 + ⋯) 
 amp;= 1/2ln(2/1·2/3·4/3·4/5·⋯) = 1/2lnπ/2
 ⇒ζ'(0) amp;= -1/2ln(2 π)


## Kaynaklar.
 }}>


## Dş bağlantılar.
 -