# Doğal sayı
Doğal sayılar, { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... } şeklinde sıralanan tam sayılardır ve kimi tanımlamalara göre 0 sayısını bu kümeye dâhil etmez. Aralarında standart ISO 80000-2'nin de bulunduğu bazı tanımlar doğal sayıları #YÖNLENDİRME ile başlatır ve bu durum negatif olmayan tam sayılar için #YÖNLENDİRME şeklinde bir karşılık bulurken, bazı tanımlamalar #YÖNLENDİRME ile başlamakta ve bu da pozitif tam sayılar için #YÖNLENDİRME şeklinde bir eşlenik oluşturur.#YÖNLENDİRME Doğal sayıları sıfır olmadan ele alan metinlerde, sıfırın da dâhil edildiği doğal sayılar bazen tam sayılar olarak adlandırılırken diğer bazı metinlerde bu terim, negatif tam sayılar da dâhil olmak üzere tam sayılar için kullanılmaktadır. Özellikle ilkokul seviyesindeki eğitimde, doğal sayılar, negatif tam sayıları ve sıfırı dışlamak ve saymanın ayrık yapısını, gerçek sayıların bir karakteristiği olan ölçümün sürekliliğiyle karşıtlık oluşturmak amacıyla sayma sayıları olarak adlandırılabilir.
Doğal sayılar, "masa üzerindeki bozuk paraların sayısı 'altıdır'" şeklindeki ifadelerde sayma amaçlı kullanıldığında, "kardinal sayı" olarak adlandırılan bir işlevi üstlenirler. Bunun yanı sıra, "bu şehir, ülke çapındaki 'üçüncü' en büyük şehirdir" şeklindeki ifadelerde sıralama amaçlı kullanıldıklarında ise, "sıral sayı" olarak adlandırılan farklı bir işlevi yerine getirirler. Zaman zaman doğal sayılar, matematiksel anlamda sayısal özelliklere sahip olmayan, spor dallarındaki forma numaraları gibi, "nominal sayı" olarak adlandırılan etiketleme amaçları için de tercih edilirler.
Doğal sayılar, genellikle N sembolü ile gösterilen bir kümeyi teşkil ederler. Bu sayılar kümesi, doğal sayılar kümesinin ardışık genişlemeleriyle birçok farklı sayı kümesinin inşasına olanak sağlar: tamsayılar, doğal sayılar kümesine, henüz dâhil edilmemişse bir toplama birimi olan 0 ve her bir sıfırdan farklı doğal sayı n için tanımlanan bir toplamının tersi #YÖNLENDİRME ekleyerek oluşturulur; rasyonel sayılar, her bir sıfırdan farklı tam sayı n için bir çarpma tersi 1/n ekleyerek ve bu terslerin tam sayılar ile çarpımını da içerecek şekilde genişletilir; reel sayılar, rasyonel sayıların limitlerine ulaşan Cauchy dizileri ile zenginleştirilerek elde edilir; karmaşık sayılar, reel sayılara eklenen bir #YÖNLENDİRME 'in karekökü ve bu karekökün toplamları ile çarpımları ile genişletilir; ve bu süreç böyle devam eder.#YÖNLENDİRME #YÖNLENDİRME Bu ardışık genişletme serisi, doğal sayıların diğer sayı sistemlerine kanonik bir şekilde gömülmesini sağlar.
Doğal sayılara ait özellikler, örneğin bölünebilirlik ve asal sayı dağılımı gibi konular, sayılar teorisi disiplininde ele alınmaktadır. Sayma ve sıralamaya dair meseleler, bölüntü ve enumeratif kombinatorik yöntemler gibi konular, kombinatorik çalışma alanında detaylı bir şekilde incelenmektedir.


## Tarihçe.
### Antik köken.
Doğal sayıların gösterimi konusunda en temel yöntemlerden biri, parmakla sayma metoduyla parmakların kullanılmasıdır. Nesne başına bir çizik işareti eklemek de benzer şekilde ilkel bir yöntem olarak kabul edilir. İlerleyen zamanlarda, bir nesneler topluluğu, bir işareti silip topluluktan bir nesneyi ayırarak eşitlik, fazlalık veya eksiklik yönünden değerlendirilebilir.
Sayıları ifade etmek amacıyla rakamların kullanılması, soyutlama noktasında önemli bir ilerleme olarak görülür. Bu yaklaşım, büyük sayıların kaydedilmesi için sistemlerin oluşturulmasına imkan tanımıştır. Antik Mısır uygarlığı, 1, 10 ve 1 milyonu aşkın değerlere kadar olan 10'un katları için özgün hiyeroglifler barındıran kapsamlı bir sayı sistemi geliştirmiştir. Paris'teki Louvre müzesinde sergilenen ve MÖ 1500 yıllarına tarihlenen bir Karnak taş oyması, 276 sayısını iki yüz, yedi on ve altı birim olarak temsil ederken, 4,622 sayısı için de benzer bir gösterim kullanılmıştır. Babil uygarlığı ise, 1 ve 10 için özel semboller kullanılarak kurulan ve altmışlık bir tabana dayanan bir basamak sistemine sahipti; bu sistemde altmış için kullanılan sembol, bir için kullanılan sembolle aynıydı ve değeri bağlamdan çıkarılabiliyordu.
 - YÖNLENDİRME sayısının, kendi özgün sayısal simgesiyle birlikte bir sayı olarak değerlendirilmesi fikrinin ortaya çıkışı, nispeten daha geç bir gelişmedir. Basamak notasyonunda bir 0 rakamının kullanımı (diğer sayılar içinde) MÖ 700'lere dayanır ve bu uygulama Babilliler tarafından benimsenmiştir  bu basamak, sayının en son sembolü olacaksa kullanılmamıştır. YÖNLENDİRME Olmek ve Maya uygarlığı MÖ 1. yüzyılda 0'ı bağımsız bir sayı olarak kullanmışlardır, fakat bu kullanım Mezoamerika dışına yayılmamıştır. Modern dönemde bir 0 sayısal işaretinin kullanımı MS 628 yılında Hint matematikçi Brahmagupta ile başlamıştır. Ancak, 0 sayısı, MS 525 yılında Dionysius Exiguus ile başlayarak, Orta Çağ computus'unda (Paskalya'nın tarihinin hesaplanması), bir sayısal işaret olmadan bir sayı olarak kullanılmıştır. Standart Roma rakamlarında 0 için bir sembol bulunmamaktadır  bunun yerine, Latince "hiçbiri" anlamına gelen "nullus" kelimesinden türetilen "nulla" (veya iyelik hâli "nullae") 0 değerini ifade etmek için kullanılmıştır.
Sayıların soyutlamalar ile sistematik olarak incelenmesi, genellikle Yunan filozoflar Pisagor ve Arşimet'e mal edilir. Bazı Yunan matematikçiler, sayı 1'i daha büyük sayılardan farklı olarak, bazen tam olarak bir sayı olarak bile değerlendirmemişlerdir.#YÖNLENDİRME Euclid, bir birimi öncelikle tanımlayıp ardından bir sayıyı birimlerin çokluğu olarak tanımlamıştır; böylece onun tanımına göre bir birim bir sayı değildir ve benzersiz sayılar mevcut değildir (örneğin, belirsiz sayıda birimden herhangi iki birim bir 2 olarak kabul edilir). Ancak, hemen ardından gelen mükemmel sayı tanımında, Euclid 1'i diğer herhangi bir sayı gibi ele alır.
Sayılar üzerine bağımsız çalışmalar, aynı dönemlerde Hindistan, Çin ve Mezoamerika'da da yürütülmüştür.


### Modern tanım.
19. yüzyıl Avrupa'sında doğal sayılar kavramının esas mahiyeti üzerine matematiksel ve felsefi düzeyde tartışmalar gerçekleştirilmiştir. Henri Poincaré, aksiyomların yalnızca sonlu uygulamaları kapsamında ispatlanabileceğini ifade etmiş ve aynı işlemin belirsiz sayıda tekrarının zihinsel bir kavrayışla mümkün kılındığı sonucuna ulaşmıştır. Leopold Kronecker, kendi inancını "Tanrı tamsayıları yarattı, diğer her şey insanın eseridir" şeklinde özetlemiştir.#YÖNLENDİRME 
Yapılandırmacılar, matematiğin temelleri alanındaki mantıksal kesinliği artırma gereksinimini vurgulamışlardır.#YÖNLENDİRME 1860'lar döneminde, Hermann Grassmann doğal sayılar için özyinelemeli bir tanım önererek, bu sayıların aslında doğuştan gelmediğini, fakat tanımların bir ürünü olduğunu ifade etmiştir. İlerleyen zamanlarda, bu tip formal tanımların iki ayrı sınıfı geliştirilmiş; daha sonrasında ise, bu tanımların çoğu pratik uygulamada birbirine eşdeğer olarak kabul edilmiştir.
Doğal sayıların küme teorisiyle ilişkilendirilmesine yönelik tanımlamalar, Frege tarafından geliştirilmiştir. İlk etapta, Frege bir doğal sayıyı, belirli bir küme ile birebir korespondans kurabilen tüm kümelerin topluluğu olarak ifade etmiştir. Ancak, bu yaklaşım, Russell paradoksu da dâhil olmak üzere çeşitli paradokslara sebebiyet vermiştir. Bu tür paradokslardan sakınmak amacıyla, tanımlama biçimi, bir doğal sayının özel bir küme olarak tanımlandığı ve herhangi bir kümenin, bu küme ile birebir korespondans kurabiliyorsa, söz konusu kümenin eleman sayısının bu sayı olduğu şeklinde modifiye edilmiştir.
İkinci kategori tanımlamalar, Charles Sanders Peirce tarafından ortaya konmuş, Richard Dedekind tarafından rafine edilmiş ve Giuseppe Peano tarafından detaylı bir şekilde ele alınmıştır; bu metodoloji günümüzde Peano aritmetiği olarak bilinmektedir. Bu yaklaşım, sıral sayıların özelliklerinin aksiyomatik bir çerçevede ele alınmasına dayanmaktadır: Her doğal sayının bir sonraki sayısı vardır ve sıfırdan farklı her doğal sayının benzersiz bir önceki sayısı vardır. Peano aritmetiği, birkaç zayıf küme teorisi sistemiyle eş tutarlılık gösterir. Bu sistemlerden biri, sonsuzluk aksiyomunun tersi ile değiştirilmiş ZFC sistemidir. ZFC'de kanıtlanabilir ancak Peano Aksiyomları kullanılarak kanıtlanamayan teoremler arasında Goodstein teoremi bulunur.
Bu tanımlar ışığında, boş kümeyle özdeşleştirilen 0 sayısının doğal sayılar kümesine dâhil edilmesi mantıklı bir yaklaşım olarak değerlendirilmektedir. Günümüzde küme teorisyenleri ve mantık bilimcileri arasında 0'ı doğal sayılar kümesine dâhil etme eğilimi yaygındır. Matematikçilerin bir kısmı da bu uygulamayı benimserken,#YÖNLENDİRME bilgisayar dilleri de genellikle döngü sayaçları, dizgi veya dizi elemanları gibi nesneleri saymaya sıfırdan başlamaktadır. Diğer yandan, birçok matematikçi, eski geleneği sürdürerek ilk doğal sayı olarak 1'i kabul etme eğilimindedir. Bu yaklaşım, özellikle gerçek analiz üzerine yazılmış metinlerde yaygındır.


## Simgelem.
Doğal sayılar kümesi, standart olarak #YÖNLENDİRME veya ℕ ile ifade edilmektedir. Daha eski metinlerde, bu küme için bazen #YÖNLENDİRME simgesi tercih edilmiştir.
Doğal sayıların 0'ı kapsayıp kapsamadığı duruma göre değişiklik gösterebilir, bu yüzden atıfta bulunulan versiyonun hangisi olduğunu anlamak önem arz eder. Bu genellikle bağlamdan anlaşılır, fakat notasyonda bir alt ya da üst simge kullanımı ile de açıklanabilir. Örneğin:
  - Sıfırsız doğal sayılar için: 1,2...=ℕ^ = ℕ^+=ℕ_0∖0 = ℕ_1
  - Sıfır dâhil doğal sayılar için: 0,1,2...=ℕ_0=ℕ^0=ℕ^ ∪0
Diğer bir yaklaşım olarak, doğal sayılar, tam sayılar kümesinin bir alt kümesini meydana getirdiklerinden (genellikle formula_1 şeklinde ifade edilir), bu sayılar pozitif ya da negatif olmayan tam sayılar olarak da tanımlanabilirler. 0 sayısının dâhil edilip edilmediğine dair muğlaklığı gidermek amacıyla, bazen pozitif tam sayılar için üst simge olarak "*" veya "+" işareti, negatif olmayan tam sayılar için ise alt simge (veya üst simge) olarak "0" işareti kullanılır:
1, 2, 3,… = x ∈ℤ : x gt; 0=ℤ^+= ℤ gt;0
0, 1, 2,… = x ∈ℤ : x ≥0=ℤ^+0=ℤ_ ≥0


## Özellikler.
Bu bölüm, ℕ=ℕ_0=ℕ^*∪0 gösterimini esas alır.


### Toplama işlemi.
Doğal sayılar kümesi ℕ ve her bir doğal sayıyı bir sonraki sayıya eşleyen ardıl fonksiyon S ℕ →ℕ göz önünde bulundurulduğunda, doğal sayıların toplaması, #YÖNLENDİRME ve her #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME için #YÖNLENDİRME olacak şekilde özyinelemeli olarak tanımlanabilir. Bu durumda, #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME şeklinde ifade edilir ve bu dizilim devam eder. (ℕ, +) cebirsel yapısı, 0 kimlik elemanına sahip bir değişmeli monoiddir ve bu yapı, bir üreteç üzerinden serbest monoid özelliği gösterir. Toplamanın kısalma özelliğini de sağlayan bu değişmeli monoid, bir grup içerisine gömülebilir özelliktedir. Doğal sayıları kapsayan en minimal grup, tamsayılar grubudur.
Eğer 1, #YÖNLENDİRME olarak tanımlanırsa, #YÖNLENDİRME olur. Bu, #YÖNLENDİRME ifadesinin, #YÖNLENDİRME sayısının ardılı olduğunu basitçe gösterir.
Toplama işlemi ileri doğru sayma işlemidir. Toplama işlemine katılan sayılara terim, işlemin sonucuna toplam denir. Toplama işlemi sayıların aynı basamakları arasında yapılır. Bu nedenle toplama işleminde sayılar aynı basamaklar alt alta gelecek şekilde yapılır.
Doğal sayılarda toplama aşağıdaki cebirsel kurallara uyar:
  - Toplamsal birim öge:
"a + 0 = a"
  - Toplamanın değişme özelliği:
"a + b = b + a"
  - Toplamanın birleşme özelliği:
"(a + b) + c = a + (b + c)"
  - Toplamanın çarpma üzerine dağılma özelliği (sağdan dağılma):
"(a + b)c = ac + bc"
Bir "a" sayısını bir "b" sayısıyla toplamak, "a" sayısının "b" kere ardılını almak olarak tanımlanır. Daha matematiksel bir tanım verilmek istenirse Ard(n) gösterimi "n" sayısının ardılını ifâde etmek üzere, toplama aşağıdaki belitlerle tanımlanır:
  - a+0=a
  - a+Ard(b)=Ard(a+b)
Bu belitlerden yola çıkarak ardıllık işlemini toplama cinsinden göstermek mümkündür:
2. belitte b=0 seçilirse
a+Ard(0)=ard(a+0)
sıfırın ardılı birdir, o hâlde,
Ard(a)=a+1
olduğu kolaylıkla görülür.


### Çarpma işlemi.
Toplamanın tanımlanmış olması göz önüne alındığında, çarpma işlemi ×, #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME olacak şekilde tanımlanabilir. Bu tanım, (ℕ^*, ×) yapısnı, etkisiz elemanı 1 olan serbest değişmeli bir monoid yapısına çevirir; bu monoidin üreteçler kümesi, asal sayılar kümesidir.
Çarpma işlemi art arda toplama işlemidir. Çarpma işlemine katılan sayılara çarpan, işlemin sonucuna çarpım denir.
Doğal sayılarda çarpma aşağıdaki cebirsel kurallara uyar:
  - Çarpımsal birim öge:
"a1 = a"
  - Çarpmanın değişme özelliği:
"ab = ba"
  - Çarpmanın birleşme özelliği
"(ab)c = a(bc)"
  - Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği (soldan dağılma):
"c(a + b) = ca + cb"
Bir "a" sayısını bir "b" sayısıyla çarpmak, "a" sayısının "b" kere toplamını almak olarak tanımlanır. Daha matematiksel bir tanım verilmek istenirse Ard(n) gösterimi "n" sayısının ardılını ifade etmek üzere, çarpma aşağıdaki belitlerle tanımlanır:
  - a1 = a
  - a Ard(b) = ab + a


### Toplama ve çarpma işlemleri arasındaki ilişki.
Toplama ve çarpma işlemleri birbiriyle uyumludur, bu durum dağılma özelliği ile ifade edilir: #YÖNLENDİRME . Toplama ve çarpmanın bu özellikleri, doğal sayıları bir değişmeli yarhalka (İngilizce: "semiring"; aynı zamanda "rig" olarak da bilinir) örneği yapar. Yarhalkalar, çarpmanın mutlaka değişmeli olmadığı doğal sayıların cebirsel bir genelleştirmesidir. Toplam terslerinin olmaması ki bu ℕ'in çıkarma işlemi altında kapalı olmadığına eşdeğerdir (yani, bir doğal sayıdan diğer bir doğal sayıyı çıkarmak her zaman başka bir doğal sayı sonucu vermez), ℕ'in bir halka "olmadığı" anlamına gelir; bunun yerine bir yarhalkadır.
Doğal sayılar "0 hariç" alınırsa ve "1'den başlayarak" kabul edilirse, + ve × tanımları yukarıdaki gibi olur, ancak #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME ile başlarlar. Ayrıca, (ℕ^*, +)'ın kimlik elemanı bulunmamaktadır.


### Sıralama.
Bu bölümde, #YÖNLENDİRME gibi yan yana getirilmiş değişkenler #YÖNLENDİRME çarpımını belirtir ve standart işlem sırası varsayılmaktadır.
Doğal sayılar üzerinde bir tam sıralama #YÖNLENDİRME şeklinde tanımlanır, ancak ve ancak #YÖNLENDİRME olacak şekilde başka bir doğal sayı #YÖNLENDİRME varsa. Bu sıralama, aşağıdaki anlamda aritmetik işlemler ile uyumludur: eğer #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME doğal sayılarsa ve #YÖNLENDİRME ise, o zaman #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME olur.
Doğal sayıların önemli bir özelliği, iyi sıralı olmalarıdır: doğal sayılardan oluşan her boş olmayan kümenin en küçük bir elemanı vardır. İyi sıralı kümeler arasındaki rütbe bir sıral sayı ile ifade edilir; doğal sayılar için bu, #YÖNLENDİRME (omega) olarak belirtilir.
Doğal sayıların sıralanmasına en büyük basamaktan başlanır. Aynı basamakta büyük rakam bulunan sayı diğerinden büyüktür.
İki sayının yüz milyonlar basamaklarında eşit rakamlar bulunuyor. Bu nedenle karşılaştırma bir sonraki basamak olan on milyonlar basamaklarında yapılır. Bu basamaklarda 9 > 8 olduğundan 894.125.067 > 887.954.700 yazılır. “ 894.125.067 büyüktür 887.954.700 şeklinde okunur.”
ℕ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... } Doğal Sayılar Kümesinde; iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayı olur.


### Bölme.
Bu bölümde, #YÖNLENDİRME gibi yan yana getirilmiş değişkenler #YÖNLENDİRME çarpımını gösterir ve standart işlem sırası kabul edilir.
Genellikle bir doğal sayıyı başka bir doğal sayıya böldüğümüzde sonuç olarak doğal bir sayı elde edilemese de, "kalanlı bölme" veya Öklid bölmesi işlemi bir alternatif olarak kullanılabilir: #YÖNLENDİRME olmak üzere herhangi iki doğal sayı #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME için :a = bq + r ve r lt; b şeklinde olacak #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME doğal sayıları vardır.
Sayı #YÖNLENDİRME bölme işleminin "bölümü" olarak, #YÖNLENDİRME ise "kalan" olarak adlandırılır. #YÖNLENDİRME 'yı #YÖNLENDİRME 'ye böldüğümüzde elde edilen #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME sayıları #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME tarafından özebir şekilde belirlenir. Bu Öklid bölmesi, sayılar teorisinde birçok diğer özellik (bölünebilirlik), algoritmalar (örneğin, Öklid algoritması) ve fikirler için temel taşını oluşturur.


### Cebirsel özellikler.
Doğal sayılar kümesinde tanımlanmış olan toplama (+) ve çarpma (×) işlemleri, aşağıda sıralanan bir dizi cebirsel özelliği sağlar:
  - Herhangi iki doğal sayı  YÖNLENDİRME ve  YÖNLENDİRME için, toplama ve çarpma işlemleri altında kapanma özelliği (İngilizce "closure") gözlenir  yani,  YÖNLENDİRME ve  YÖNLENDİRME ifadeleri yine doğal sayılardır.
  - Birleşme özelliği: Herhangi bir  YÖNLENDİRME ,  YÖNLENDİRME ve  YÖNLENDİRME doğal sayısı üzerinde gerçekleştirilen toplama ve çarpma işlemleri, birleşme özelliğine uygundur  bu da,  YÖNLENDİRME ve  YÖNLENDİRME şeklinde ifade edilir.
  - Değişme özelliği: İki doğal sayı  YÖNLENDİRME ve  YÖNLENDİRME arasındaki toplama ve çarpma işlemleri, değişme kuralına uyar  yani,  YÖNLENDİRME ve  YÖNLENDİRME eşitlikleri geçerlidir.
  - Doğal sayılar kümesi içerisinde, her  YÖNLENDİRME doğal sayısı için,  YÖNLENDİRME ve  YÖNLENDİRME olacak şekilde birim elemanların varlığı kabul edilebilir.
   - Eğer doğal sayılar sıfırı dışlayarak ve bir ile başlayarak ele alınırsa, her  YÖNLENDİRME doğal sayısı için çarpma işlemi altında birim elemanın varlığı geçerli olmakla birlikte, toplama işlemi altında birim elemanın varlığı özelliği karşılanmaz.
  - Dağılma özelliği: Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği, herhangi üç doğal sayı  YÖNLENDİRME ,  YÖNLENDİRME ve  YÖNLENDİRME için,  YÖNLENDİRME biçiminde ifade edilir.
  - Sıfır böleni: eğer  YÖNLENDİRME ve  YÖNLENDİRME doğal sayıları için  YÖNLENDİRME ise, bu durumda  YÖNLENDİRME veya  YÖNLENDİRME olmalıdır (veya her ikisi de).
   - Doğal sayılar kümesi sıfırı dışlayarak ve bir ile başlayarak ele alındığında, sıfırdan farklı sıfır bölenin bulunmaması ilkesi geçerliliğini yitirir.


### Sayı değeri.
Bir doğal sayının rakamlarının belirttiği değere rakamların sayı değeri denir. Doğal sayının rakamlarının toplamına rakamların "sayı değerleri toplamı" denir.


#### Basamak değeri.
9 basamaklı bir doğal sayının basamaklarının
  - Birler basamağının basamak değeri: 1
  - Onlar basamağının basamak değeri: 10
  - Yüzler basamağının basamak değeri: 100
  - Binler basamağının basamak değeri: 1.000
  - On binler basamağının basamak değeri: 10.000
  - Yüz binler basamağının basamak değeri: 100.000
  - Milyonlar basamağının basamak değeri: 1.000.000
  - On milyonlar basamağının basamak değeri: 10.000.000
  - Yüz milyonlar basamağının basamak değeri: 100.000.000
Onlu sayma düzeninde bir basamağın değeri sağındaki basamağın 10 katıdır.
Bir rakamın basamak değeri o rakam ile rakamın yazıldığı basamağın çarpımıyla bulunur.
12345 sayısındaki 2 nin basamak değeri 2 (sayı değeri) ve 1000 (basamak değeri) çarpılarak 2 × 1000 = 2000 şeklinde bulunur.


## Genellemeler.
Doğal sayıların iki temel uygulaması, sayma ve sıralama, onlardan neşet eden iki mühim genelleştirmeye zemin hazırlar: nicel (kardinal) sayılar ve sıral (ordinal) sayılar.
  - Bir sonlu topluluğun niceliksel büyüklüğü, doğal sayılar yardımıyla tanımlanabilir  daha açık bir deyişle, bir topluluğun büyüklüğünü ölçen bir nicel sayı, sonsuz topluluklar için dahi uygun bir metriktir. Nicel sayıların sıralaması genelde, boş küme ∅ 'yi dikkate alacak biçimde, sıfırdan başlatılır. Bu "büyüklük" tanımı, iki topluluğun ancak ve ancak aralarında bir bijeksiyon mevcut ise aynı büyüklüğe sahip olduğunu varsayan topluluklar arası fonksiyonel ilişkilere istinaden şekillenmiştir. Doğal sayılar topluluğu ve bu topluluğun bijektif dönüşümü, "sayılabilir sonsuz" olarak nitelendirilir ve kardinalite açısından alef-sıfır (ℵ0) değerine sahiptir.
  - Doğal sayılar, "birinci", "ikinci", "üçüncü" gibi ifadelerle dilbilimsel sıral sayılar olarak işlev görürler. Sıral sayıların sıralanışı genelde, boş küme ∅ 'nin sıralama türünü dikkate alacak biçimde, başlangıç noktası olarak sıfırı alır. Bu yöntemle, tam sıralı sonlu bir kümenin unsurlarına ve herhangi bir iyi sıralı sayılabilir sonsuz kümenin unsurlarına değerler atanabilir. Bu atama işlemi, sayılabilirliğin ötesinde bir kardinaliteye sahip genel iyi sıralamalar için genelleştirilebilir ve böylece sıral sayılar elde edilir. Bir sıral sayı, iyi sıralı bir kümenin "büyüklüğü"nü, kardinalite anlayışından farklı bir bakış açısıyla açıklamak için de kullanılabilir: iki iyi sıralı küme arasında bir sıra izomorfizmi (yalnızca bir bijeksiyondan daha fazlası) mevcut ise, bu kümeler aynı sıral sayıya sahiptirler. Doğal sayı olmayan ilk sıral sayı  YÖNLENDİRME ile ifade edilir  bu, doğal sayılar kümesinin kendisinin de sıral sayısıdır.
Kardinalite değeri ℵ0 olan sırallar arasında, en küçük olanı (diğer bir deyişle, ℵ0 için başlangıç sıralı) #YÖNLENDİRME olarak belirlenmiştir. Bununla birlikte, kardinal numarası ℵ0 olan birçok iyi düzenlenmiş kümenin, sıral numarası #YÖNLENDİRME 'dan daha yüksek değerlere ulaşmaktadır.
Sonlu ve iyi düzenlenmiş kümeler söz konusu olduğunda, sıral ve nicel sayılar arasındaki ilişki, bir-bir karşılıklılığı şeklinde tezahür eder; dolayısıyla, her iki tür sayı da, ilgili kümenin unsurlarının toplam sayısını yansıtan ve bu sayede kümenin eleman sayısı ile eş değer tutulan aynı doğal sayı ile ifade edilebilir. Söz konusu sayı, aynı zamanda, daha geniş bir sonlu veya bir sonsuz dizi içerisinde bir ögenin konumunu belirtmek için de işlev görür.
Skolem tarafından 1933 yılında ortaya konan, Peano Aritmetiği'nin (yani, birinci mertebeden Peano aksiyomlarının) gerekliliklerini karşılayan sayılabilir bir standart dışı aritmetik modeli mevcuttur. Hiperdoğal sayılar ise, sıradan doğal sayılardan ultragüç yapısı aracılığıyla türetilebilen ve sayılamaz nitelikte olan bir modeli temsil eder.


## Formel tanımlamalar.
Doğal sayıların formel bir biçimde tanımlanmasına yönelik iki yaygın yöntem mevcuttur. Bunlardan birincisi, Giuseppe Peano'nun adıyla anılan ve birkaç temel aksiyom üzerine kurulu Peano aksiyomlarına dayalı Peano aritmetiği adı verilen bağımsız bir aksiyomatik teoriyi içerir.
İkinci tanımlama, küme teorisinin prensiplerine istinaden gerçekleştirilir. Bu yaklaşım, doğal sayıları, özel kümeler olarak tanımlar. Daha belirgin bir açıklamayla, her bir doğal sayı n, diğer kümelerin unsurlarının sayımına olanak tanıyan, açık bir biçimde belirlenmiş bir küme olarak ifade edilir; "bir küme S n adet unsura sahiptir" ifadesi, n ile S kümeleri arasında bir bire bir denklik olduğunu gösterir.
Doğal sayıların tanımında başvurulan kümeler, Peano aksiyomlarını tatmin eder. Bu, Peano aritmetiğinde ifade edilip ispatlanabilecek her teoremin, küme teorisi çerçevesinde de ispatlanabilir olduğunu gösterir. Fakat, her iki tanımın eşdeğer olmadığı da bir gerçektir; zira Peano aritmetiği diliyle tanımlanıp küme teorisiyle ispatlanabilen ancak Peano aritmetiği dâhilinde "ispatlanamayan" teoremler mevcuttur. Bu bağlamda muhtemel bir örnek Fermat'ın Son Teoremi'dir.
Tam sayıların, Peano aksiyomlarını karşılayan kümeler şeklinde tanımlanması, küme teorisi bağlamında Peano aritmetiğinin bir modelini oluşturur. Bu durumun önemli bir neticesi olarak, eğer küme teorisi tutarlı bir yapıya sahipse (genel kabule göre), bu durum Peano aritmetiğinin de tutarlı olduğunu gösterir. Diğer bir ifadeyle, Peano aritmetiğinde bir çelişki ispatlanabilirse, bu durum küme teorisinin de çelişkili olduğunu ima eder ve küme teorisinin tüm teoremleri hem doğru hem de yanlış kabul edilir.


### Peano aksiyomları.
Beş Peano aksiyomları şunlardır:
  - Sıfır, doğal sayılar kümesinin bir elemanıdır.
  - Her bir doğal sayı için, bu sayıyı takip eden bir sonraki değer de doğal sayılar kümesine aittir.
  - Hiçbir doğal sayının bir sonraki değeri olarak sıfır (0) kabul edilmez.
  - Eğer iki doğal sayı birbirinden farklı ise, bu sayıların her birini takip eden sonraki değerler de birbirinden farklıdır.
  - Eğer bir özellik sıfır (0) değeri için doğru ise ve herhangi bir n doğal sayısı için bu özellik geçerliyse, bu özelliğin n sayısını takip eden sayı için de geçerli olması durumunda, söz konusu özellik tüm doğal sayılar için geçerlidir.
Bu aksiyomlar, Peano'nun yayımladığı orijinal aksiyomlar olmamakla birlikte, onun şerefine bu isimle anılmaktadır. Peano aksiyomlarının çeşitli versiyonlarında, bazen 0'ın yerine 1 konulmaktadır. Geleneksel aritmetik çerçevesinde, x elemanının ardılı x + 1 olarak tanımlanır.


### ZFC tanımı.
Zermelo-Freankel küme kuramı doğal sayılar, von Neumann sıral sayılarıyla inşa edilebilir. Buna göre her sayı temelde bir kümedir. Eğer sıfır boşküme olarak tanımlanırsa ve her "n" sayının ardılı, n^+, "n∪{n}" olarak verilirse, doğal sayılar inşa edilmiş olur.
0=∅
Bu tanım doğal sayıların yinelgen bir yapıda olduğunu da belirtmiş olur. Bu yinelgen tanımla sayılar,
"0={}"
"1={0}"
"2={0,1}"
"3={0,1,2}"
Bu tanımda iki doğal sayının eşitliği sayıların öge sayısına dayanır.
Russell'ın farklı bir tanımı daha genel görünebilir: 0 DOĞAL SAYIDIR
0=∅ (sıfır, hiç ögesi olmayan tüm kümelerin kümesi)
n^+ = { x ∪{ y } | x ∈n ve y ∉x } (n'nin ardılı, öge sayısı n olan tüm kümelerin kümesi)
Ne var ki bu tanım belitsel küme kuramlarında geçerli değildir, çünkü bir sayı, küme olamayacak kadar büyük topluluklar olmak zorunda kalıyor. Ancak tipler kuramı gibi kuramlarda geçerlidir.


### Küme Teorisel Tanım.
Sezgisel olarak, n doğal sayısı, n sayıda elemana sahip tüm kümelerin paylaştığı ortak bir özelliktir. Bu bağlamda, n'nin "birbirleriyle bire bir denklik kurulabilir" ilişkisi çerçevesinde bir denklik sınıfı olarak tanımlanması doğal bir yaklaşım olarak düşünülebilir. Ne var ki, bu yöntem küme teorisi içerisinde uygulanabilir değildir, zira bu tür bir denklik sınıfı bir küme oluşturmayacaktır (Russell paradoksu sebebiyle). Standart çözüm, n sayıda elemana sahip özgün bir küme belirlemek ve bu kümeyi doğal sayı n olarak adlandırmaktır.
Aşağıda sunulan tanım, ilk kez John von Neumann tarafından yayımlanmıştır, fakat Levy, bu düşüncenin Zermelo'nun 1916 yılında yayımlanmamış eserlerine dayandığını ifade etmektedir. Bu tanımın sonsuz kümeler için de bir sıral sayı tanımı olarak uygulanabilir olması dolayısıyla, burada incelenen kümeler zaman zaman von Neumann sıralları olarak isimlendirilmektedir.
Tanım aşağıdaki adımlarla gerçekleştirilir:
  - :0=∅, boş küme olarak tanımlanır.
  - Bir a kümesinin "ardılı"  YÖNLENDİRME olarak,  YÖNLENDİRME } biçiminde belirlenir.
  - Sonsuzluk aksiyomu gereği, 0 değerini içeren ve ardıl fonksiyonu altında kapalı olan kümeler bulunmaktadır. Bu tür kümeler "indüktif küme" olarak ifade edilir. Tüm indüktif kümelerin kesişimi, yine bir indüktif küme oluşturur.
  - Bu kesişim, "doğal sayılar" kümesini oluşturur.
Doğal sayıların Peano aksiyomlarını sağladığı kontrol edilebilir.
Bu tanımla birlikte, bir doğal sayı #YÖNLENDİRME verildiğinde, "bir küme S, n elemanına sahiptir" cümlesi formel olarak "n ile S arasında bir bijeksiyon bulunur" şeklinde tanımlanabilir. Bu, S'nin elemanlarının "sayılması" işlemini formalize eder. Ayrıca, #YÖNLENDİRME ifadesi, yalnızca #YÖNLENDİRME 'nin #YÖNLENDİRME 'nin bir alt kümesi olduğunda geçerlidir. Diğer bir deyişle, küme içerme ilişkisi, doğal sayılar üzerindeki alışılagelmiş tam sıralamayı tanımlar. Bu sıralama bir iyi sıralamadır.
Tanım gereği, her bir doğal sayı, kendisinden küçük olan tüm doğal sayıların topluluğuna denktir. Bu kavram, von Neumann'ın sıralı sayılar tanımı aracılığıyla von Neumann sıralı sayılar tanımı kullanılarak genişletilebilir ki bu, sonsuz olanlar da dâhil olmak üzere tüm sıral sayıların tanımlanmasını sağlar: "Her bir sıralı sayı, kendisinden küçük olan sıralı sayıların iyi bir şekilde sıralanmış topluluğudur."
Sonsuzluk aksiyomunun geçerli olmadığı finitist yaklaşımlarda, doğal sayılar bir küme olarak kabul edilmeyebilir. Bununla birlikte, doğal sayılar yukarıda açıklandığı üzere bireysel olarak tanımlanabilir ve Peano aksiyomlarını tatmin etmeye devam ederler.
Diğer küme teorik yapılanmalar mevcuttur. Özellikle, Ernst Zermelo tarafından sağlanan ve günümüzde yalnızca tarihsel bir öneme sahip olan bir yapı, Zermelo sıralı sayıları olarak adlandırılmaktadır. Bu yapıda #YÖNLENDİRME , boş küme olarak tanımlanır ve #YÖNLENDİRME } ifadesi kullanılır.
Bu tanım çerçevesinde her bir doğal sayı, bir singleton kümesi olarak ele alınır. Bu nedenle, doğal sayıların kardinaliteleri temsil etme özelliği doğrudan erişilebilir değildir; yalnızca ordinal özellik (bir dizi içindeki n'inci eleman olma) derhâl algılanabilir. Von Neumann yapısının aksine, Zermelo sıralı sayıları, sonsuz sıralı sayılara genişletilemez.


## Not listesi.
 }}>


## Bibliyografya.
 -  
 -  
  -  
 -  
 -  
 -  
 -  
 -  
 -  
  - – English translation of .