# Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında bir rassal değişken "X" için olasılık yoğunluk fonksiyonu bir reel sayılı sürekli fonksiyonu olup "f" ile ifade edilir ve şu özellikleri olması gereklidir:
  - ℝ üzerinde pozitif veya sıfır değerleri alır 
  - ℝ üzerinde integral değeri bulunabilir 
  - ∫_ℝf(x) dx = 1 koşuluna uyar, yani eğri altındaki tüm alan bire eşittir.
"X"in a ve b değerleri arasındaki olasılık, yani P(a lt; X ≤b) şu ifade kullanılarak hesaplanır:
P ( a lt; X ≤b )=∫_a^b f( x ) dx
Yani olasılık değeri "f(x)" integralini P(a lt; X lt; b) f(x) fonksiyonunu X=a ve X=b değerleri arasında entegrasyonu ile elde edilir.
Örneğin: 
"X" rassal değişkeninin [4.3,7.8] aralığında olasılık şöyle bulunur:
(4.3 ≤X ≤7.8) = ∫_4.3^7.8 f(x) dx.


## Ayrık dağılım ile sürekli dağılım arasındaki bağlantı.
Bu maddenin başlangıcında verilmiş olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımın bir sürekli dağılım ile ilişkili değişkenin ["a"; "b"] aralığı ile ilişkili çift-değerli ayrık değişkenler seti kullanılarak yapılmıştır.
Diğer bazı aralıklı rassal değişkenleri temsili, Dirac delta fonksiyonu aracılığı ile olasılığın yoğunluğun bulunması suretiyle de yapılabilir. Örneğin, bir çift-değerli her biri ½ olasılığı olan -1 ve 1 değerli bir rassal değişken ele alınsın. Bu değişkenle ilişkili olasılık yoğunluğu şöyle verilir: 
f(t) = 1/2(δ(t+1)+δ(t-1)).
Daha genel olarak, eğer bir ayrık değişken reel sayılar arasından 'n' tane değişik değer alınsın; o halde bunlarla ilişkili olasılık yoğunluk fonksiyonu şudur:
f(t) = ∑_i=1^nP_i δ(t-x_i),
Burada x_1, …, x_n değişken ait değerler olur ve P_1, …, P_n bu değerlerle ilişkili olasılıklardır.
Bu ifade bir ayrık değişken için istatistiksel özellikleri (örneğin ortalama, varyans, çarpıklık, basıklık) sürekli dağılım için geliştirilmiş formülleri kullanarak hesaba başlayarak sonuçların bulunmasını sağlar.


## Matematiksel olmayan olasılık yoğunluk tanımı.
Bir olasılık dağılımı için yoğunluk fonksiyonu ancak ve ancak yığmalı dağılım fonksiyonu "F"("x") mutlak süreklilik gösteriyorsa mümkündür. Bu halde "F" için nerede ise her yerde türev bulunabilir ve "F" için alınan birinci türev olasılık ile yoğunluk şöyle bulunur:
d/dxF(x) = f(x)
Eğer bir olasılık dağılım için yoğunluk bulunması mümkün ise rassal değişken için her bir nokta değer ("a") için olasılık 0 olacaktır.
Her olasılık dağılımı için bir yoğunluk fonksiyonu bulunamaz. Başta ayrık rassal değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonu yoktur. Hiçbir noktaya pozitif olasılık vermeyen, yani hiç aralık parçası olmayan Kantor dağılımı için de yoğunluk fonksiyonu bulunmaz.
Bir yığmalı dağılım fonksiyonunun türevi ile olasılık yoğunluk fonksiyonu arasındaki ilişkinin karmaşık matematik biçimlerden biraz aranmış açıklaması istatistiksel fizik dalında geliştirilmiştir ve bu genellikle olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımı olarak kullanılabilir. Bu tanım şöyle yapılır:
"dt" sonsuz derece küçük bir sayı olarak alınsın. Xin ("t", "t" + "dt") aralığında bulunacağı f(t) dt ifadesine eşittir; yani
(t lt;X lt;t+dt) = f(t) dt 


## Moment, beklenen değer ve varyans.
Sürekli "X" rassal değişkeni için "n"inci momenti E("X""n") gösterilip şu ifade ile verilir:
 E(X^n) = ∫_-∞^∞x^n f_X(x) dx,
Beklenen değer o zaman birinci moment olup şöyle verilir:
E(X) = ∫_-∞^∞x.f(x) dx 
Varyans ise şöyle verilir:
 var(X) = E(X - E(X))^2 = ∫_-∞^∞(x-E(X))^2 f_X(x) dx 
Bu ifade açılırsa
V(X) = E(X^2) - [ E(X)]^2 
olur.


## Çoklu değişkenlerle ilişkili olasılık fonksiyonu.
Sürekli rassal değişkenler olan X_1,…,X_n için, bu değişkenlerinin tümünü kapsayan rassal vektör için bir olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımlamak mümkündür. Buna ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu adı verilir. "n" değişkenli bu yoğunluk fonksiyonu matematik notasyon biçimleriyle şöyle tanımlanır. X_1,…,X_n değişkenlerin değerleriyle tanımlanan "n"-boyutlu uzayda bulunan herhangi bir "D" sahası alınsın; bu değişken setinin "D" sahası içine düşen bir realizasyonun bulunacağının olasılığı şöyle verilir:
( X_1,…,X_N D ) 
 = ∫_D f_X_1,…,X_n(x_1,…,x_N) dx_1 ⋯dx_N.
"i"=1, 2, ...,"n" için tek bir değişken X_i ile ilişkili olasılık yoğunluk fonksiyonu 
f_X_i(x_i) olarak ifade edilsin. Bu olasılık yoğunluğu X_1,…,X_n 
rassal değişkenlerle ilişkili olasılık yoğunluklarından "n" - 1 tane diğer değişkenlerle entegrasyonu suretiyle elde edilir:
f_X_i(x_i) = ∫f(x_1,…,x_n) dx_1 ⋯dx_i-1 dx_i+1⋯dx_n


### Bağımsızlık.
Sürekli rassal değişken olan X_1,…,X_n birbirlerinden bağımsız olmaları için
f_X_1,…,X_n(x_1,…,x_N) = f_X_1(x_1)⋯f_X_n(x_n).
koşuluna tam olarak uymaları gerekir.
Eğer "n" elemanlı bir rassal değişken vektörünün ortak olasılık dağılımı tek bir değişken için "n" değişik fonksiyona faktörize edilebilirse; yani
f_X_1,…,X_n(x_1,…,x_n) = f_1(x_1)⋯f_n(x_n),
ise, o halde, "n" değişkenin hepsi birbirlerinden bağımsızlık gösteriyor demektir. Bu halde her bir fonksiyon için marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle verilir:
f_X_i(x_i) = f_i(y_i)/∫f_i(x) dx.


### Örneğin.
Çoklu boyutlu olasılık yoğunluk fonksiyonlarının verilen tanımını biraz daha açığa kavuşturmak için basit bir örneğin alınsın; bu iki bilinmeyenli bir rassal vektör olsun. Koordinatları (X,Y) olan iki boyutlu rassal vektör, R⃗ olarak isimlendirilsin. Pozitif "x" ve pozitif "y" kuadrantları içinde R⃗ için olasılık elde etmek şöyle
 = ∫_0^∞∫_0^∞f_X,Y(x,y) dx dy.
olur.