# Görüntü momenti
Görüntü işleme, bilgisayarla görme ve ilgili alanlarda, bir görüntü momenti, görüntü piksellerinin yoğunluklarının belirli bir ağırlıklı ortalaması (momenti) veya genellikle çekici bir özelliğe veya yoruma sahip olmak üzere seçilen bu tür momentlerin bir fonksiyonudur.
Görüntü momentleri, segmentasyondan sonra nesneleri tanımlamak için daha kullanışlıdır. Görüntü momentleri aracılığıyla bulunan görüntünün basit özellikleri, alanı (veya toplam yoğunluğu), ağırlık merkezini ve yönelimi hakkındaki bilgileri içermektedir.


## Ham momentler.
2B sürekli bir fonksiyon f(x,y) için (p+q) mertebesinin momenti (bazen "ham moment" olarak adlandırılır) şu şekilde tanımlanmaktadır:
 M_pq=∫_-∞^∞ ∫_-∞^∞ x^py^qf(x,y) dx dy
"p","q" = 0,1,2... için piksel yoğunlukları I(x,y) olan skaler (gri tonlamalı) görüntüye uyarlayarak, ham görüntü momentleri Mij şu şekilde hesaplanmaktadır:
M_ij = ∑_x ∑_y x^i y^j I(x,y) 
Bazı durumlarda bu, görüntüyü bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak ele alarak hesaplanmaktadır. Örnek olarak yukarıdakileri bölerek hesaplanabilir.
∑_x ∑_y I(x,y) 
Bir teklik teoremi (Hu [1962]), f(x,y) parçalı sürekli ise ve xy düzleminin yalnızca sonlu bir bölümünde, sıfır olmayan değerlere sahipse, tüm derecelerin momentlerinin ve moment dizisinin (Mpq) olduğunu belirtmektedir. f(x,y) ile benzersiz bir şekilde belirlenmektedir. Bunun aksine, (Mpq) benzersiz olarak f(x,y)'yi belirlemektedit. Pratikte görüntü, birkaç alt sıralı momentin işlevleriyle özetlenmektedir.


### Örnekler.
Ham anlar yoluyla elde edilen basit görüntü özellikleri şunları içermektedir:
  - Alan (ikili görüntüler için) veya gri düzeyin toplamı (gri tonlu görüntüler için): M_00
  - Merkez: {x̅, y̅ } = { M_10/M_00, M_01/ M_00 }


## Merkezi momentler.
Merkezi momentler şu şekiilde tanımlanmaktadır.
 μ_pq = ∫_-∞^∞ ∫_-∞^∞ (x - x̅)^p(y - y̅)^q f(x,y) dx dy 
burada x̅=M_10/M_00 vey̅=M_01/M_00 merkezin bileşenleridir.
Eğer"ƒ"("x", "y") dijital görüntü ise, önceki denklem şu şekilde düzenlenmektedir:
μ_pq = ∑_x ∑_y (x - x̅)^p(y - y̅)^q f(x,y)
3'e kadar olan durumun merkezi momentleri:
μ_00 = M_00, 
μ_01 = 0, 
μ_10 = 0, 
μ_11 = M_11 - x̅ M_01 = M_11 - y̅ M_10,
μ_20 = M_20 - x̅ M_10, 
μ_02 = M_02 - y̅ M_01, 
μ_21 = M_21 - 2 x̅ M_11 - y̅ M_20 + 2 x̅^2 M_01, 
μ_12 = M_12 - 2 y̅ M_11 - x̅ M_02 + 2 y̅^2 M_10, 
μ_30 = M_30 - 3 x̅ M_20 + 2 x̅^2 M_10, 
μ_03 = M_03 - 3 y̅ M_02 + 2 y̅^2 M_01. 
Şunlar gösterilebilir:
μ_pq = ∑_m^p ∑_n^q pm qn(-x̅)^(p-m)(-y̅)^(q-n) M_mn
Merkezi momentler öteleme değişmezidir.


### Örnekler.
Görüntü yönelimi hakkında bilgi, bir kovaryans matrisi oluşturmak için ilk olarak ikinci dereceden merkezi momentler kullanılarak elde edilmektedir.
μ'_20 = μ_20 / μ_00 = M_20/M_00 - x̅^2
μ'_02 = μ_02 / μ_00 = M_02/M_00 - y̅^2
μ'_11 = μ_11 / μ_00 = M_11/M_00 - x̅y̅
I(x,x) görüntüsünün kovaryans matrisi ;
cov[I(x,y)] = [ μ'_20 amp; μ'_11; μ'_11 amp; μ'_02 ].
Bu matrisin özvektörleri, görüntü yoğunluğunun ana ve küçük eksenlerine karşılık gelmektedir. Bu nedenle yönlendirme, en büyük özdeğer ile ilişkili özvektörün bu özvektöre en yakın eksene doğru açısından çıkarılmaktadır. Bu açının "Θ" aşağıdaki formül ile bulunmaktadır:
Θ= 1/2 arctan( 2μ'_11/μ'_20 - μ'_02 )
Yukarıdaki formül şu sürece geçerlidir:
μ'_20 - μ'_02 0
Kovaryans matrisinin özdeğerleri kolaylıkla şu şekilde gösterilmektedir:
 λ_i = μ'_20 + μ'_02/2 ±√(4μ'_11^2 + (μ'_20-μ'_02)^2 )/2, 
ve özvektör eksenlerinin kare uzunluğunun karesiyle orantılıdır. Özdeğerlerin büyüklüğündeki nispi fark, bu nedenle, görüntünün eksantrikliğinin veya ne kadar uzun olduğunun bir göstergesidir. Eksantriklik ise;
 √(1 - λ_2/λ_1) 
şekilnde gösterilmektedir.


## Moment değişmezleri.
Momentler, belirli dönüşüm sınıflarına göre değişmezleri türetmek için kullanılabildiklerinden, görüntü analizindeki uygulamalarıyla iyi bilinmektedir.
Değişmez momentler terimi bu bağlamda sıklıkla kötüye kullanılmaktadır. Bununla birlikte, değişmez olan tek moment merkezi momentltir.
Aşağıda ayrıntıları verilen değişmezlerin yalnızca sürekli etki alanında tam olarak değişmez olduğuna dikkat edilmektedir. Ayrık bir alanda, ne ölçekleme ne de döndürme iyi tanımlanmıştır. Bu şekilde dönüştürülmüş ayrı bir görüntü genellikle bir yaklaşıklıktır. Ayrıca, dönüşüm geri döndürülemez. Bu değişmezler, bu nedenle, ayrı bir görüntüdeki bir şekli tanımlarken yalnızca yaklaşık olarak değişmezdir.


### Çeviri değişmezleri.
Herhangi bir düzenin merkezi momentleri μi j, yapım gereği, ötelemelere göre değişmezdir.


### Ölçek değişmezleri.
Hem öteleme hem de ölçeğe göre ηi j değişmezleri, düzgün ölçeklendirilmiş sıfırıncı merkezi momente bölünerek merkezi momentlerden oluşturulmaktadır:
η_ij = μ_ij/μ_00^(1 + i+j/2) 
burada "i" + "j" ≥ 2 olmalıdır. Translasyonel değişmezliğin yalnızca merkezi momentleri kullanarak doğrudan takip ettiği unutulmamalıdır.


### Dönme değişmezleri.
Hu'nun çalışmasında gösterildiği gibi, öteleme, ölçek ve döndürme ile ilgili değişmezler oluşturulmaktadır:
 I_1 = η_20 + η_02
 I_2 = (η_20 - η_02)^2 + 4η_11^2
 I_3 = (η_30 - 3η_12)^2 + (3η_21 - η_03)^2
 I_4 = (η_30 + η_12)^2 + (η_21 + η_03)^2
 I_5 = (η_30 - 3η_12) (η_30 + η_12)[ (η_30 + η_12)^2 - 3 (η_21 + η_03)^2] + (3 η_21 - η_03) (η_21 + η_03)[ 3(η_30 + η_12)^2 - (η_21 + η_03)^2]
 I_6 = (η_20 - η_02)[(η_30 + η_12)^2 - (η_21 + η_03)^2] + 4η_11(η_30 + η_12)(η_21 + η_03)
 I_7 = (3 η_21 - η_03)(η_30 + η_12)[(η_30 + η_12)^2 - 3(η_21 + η_03)^2] - (η_30 - 3η_12)(η_21 + η_03)[3(η_30 + η_12)^2 - (η_21 + η_03)^2].
Bunlar Hu moment değişmezleri olarak bilinmektedir.
İlki, I1, piksellerin yoğunluğunun fiziksel yoğunluğa benzer olduğu, görüntünün merkezi etrafındaki atalet momentine benzemektedir. İlk altı, I1 ... I6, yansıma simetriktir. Yani görüntü ayna görüntüsüne dönüştürülürse değişmez. Sonuncusu, I7, yansıma antisimetriktir. Aksi takdirde özdeş görüntülerin ayna görüntülerini ayırt etmesini sağlamaktadır.
J. Flusser tarafından tam ve bağımsız dönme momenti değişmezleri türetilmesi üzerine genel bir teori öretilmiştir. Geleneksel Hu moment değişmezlerinin ne bağımsız ne de tam olduğunu göstermiştir. I3, diğerlerine bağlı olduğu için pek kullanışlı değildir. Orijinal Hu kümesinde eksik bir üçüncü dereceden bağımsız moment değişmezi vardır:
I_8 = η_11[ ( η_30 + η_12)^2 - (η_03 + η_21)^2 ] - (η_20-η_02) (η_30+η_12) (η_03+η_21)
I7 gibi, I8 de yansıma antisimetriktir.
Daha sonra, J. Flusser ve T. Suk, N-dönmeli simetrik şekiller için teoriyi geliştirmişlerdir.


## Uygulamalar.
Zhang ve diğer çalışanlar, Patolojik Beyin Tespiti (PBD) problemini çözmek için Hu moment değişmezlerini uygulamışlardır. Doerr ve Florence, mikro X-ışını tomografi görüntü verilerinden öteleme ve dönme ile değişmeyen nesne kesitlerini etkin bir şekilde çıkarmak için ikinci dereceden merkezi momentlerle ilgili nesne yönelimi bilgilerini kullanmışlardır.