# Birebir örten fonksiyon
Birebir örten fonksiyon (bijeksiyon fonksiyon), matematikte hem birebir hem örten fonksiyon özelliklerini aynı anda gösteren fonksiyonlardır. İki küme arasındaki fonksiyonda 1. kümeden her bir eleman ikinci kümedeki elemanla eşleşir ve her iki kümeden açıkta eleman kalmaz. Örten fonksiyon görüntü kümesinde boşta eleman kalmayacak şekilde eşleşmenin gerçekleştiği, birebir fonksiyon ise her bir elemanın diğer kümenin bir elemanıyla eşleştiği fonksiyondur. Birebir örten fonksiyonlar ise bu iki fonksiyonun özelliklerine aynı anda sahip olan fonksiyonlardır.
Birebir örten fonksiyonlar terslenebilir özelliktedir ve bu tip fonksiyonlara permütasyon ismi verilir.


## Tanım.
"X" ve "Y" (burada " Y " nin " X " den farklı olmasına gerek yoktur) arasında bir eşleşme için bir dört nokta olmalıdır:
  - " X " kümesinin her bir elemanı en az bir " Y " elemanı ile eşleştirilmelidir,
  - " X " kümesinin elemanları birden fazla " Y " elemanı ile eşleştirilemez,
  - " Y " kümesinin her bir elemanı en az bir " X " elemanı ile eşleştirilmelidir  ve
  - " Y " kümesinin hiçbir elemanı birden fazla " X " elemanı ile eşleşmemelidir.


## Örnekler.
### Spor müsabakalarında başlangıç.
Bir futbol takımını ele alalım. Başlangıçta çeşitli pozisyonlarda 11 oyuncu sahaya çıkacaktır. Antrenör liste üzerinden yerleşimini yapar. Buna göre;
  - Her sporcu 11 kişilik listede yer almıştır.
  - Listedeki pozisyonların (kaleci, stoper, forvet) tamamı doludur.
  - Hiçbir sporcu iki ayrı pozisyona yazılmamıştır.
  - Hiçbir pozisyonda birden fazla sporcu bulunmamıştır.


### Sınıftaki öğrenciler.
Bir sınıfta belli sayıda sandalye vardır. Bir grup öğrenci odaya girer ve öğretmen hepsine oturmasını söyler. Odaya hızlı bir şekilde baktıktan sonra, öğretmen, öğrenci grubu ile koltuk kümesi arasında sayıca eşitlik bulunduğunu ve burada her bir öğrencinin oturduğu koltuk ile eşleştirildiğini bildirir. Sonuç;
 - Her öğrenci bir sandalyeye oturmuştur. (Ayakta kalan yoktur)
 - Hiçbir öğrenci birden fazla sandalye işgal etmemektedir.
 - Tüm sandalyeler dolmuştur (boş sandalye kalmamıştır)
 - Hiçbir sandalyeye birden fazla öğrenci oturmamıştır. 


## Tersinme.
Birebir örten fonksiyonların ters fonksiyonu vardır ve buna tersinme özelliği denir.


## Özellikleri.
  - "f" fonksiyonu  R → R, birebir ve örten ise koordinat sisteminin yatay ve düşey eksenlerini yalnızca birer defa keser.
  - Birebir örten fonksiyonlar için aşağıdaki eşitlikler geçerlidir.
 |"f"("A")| = |"A"| ve |"f"−1("B")| = |"B"|.
  - "X" ve "Y" sonlu kümeler olsun. "f": "X → Y" için  
 1. "f" fonksiyonu birebir ve örtendir.
 2. "f" fonksiyonu birebirdir.
 3. "f" fonksiyonu örtendir.


## Birebir örtenlik ve kısmi fonksiyonlar.
Kısmi fonksiyonlar için birebir olmaları yeterli olmasından ötürü, her birebir örten fonksiyon aynı zamanda kısmi fonksiyondur. Bir tabandaki tüm kısmi birebir örten kümesine "simetrik ters grup" denir.
Kısmi fonksiyonlar aynı tabandaki kümelerde olduğunda genellikle "birebir kısmi dönüşümler (transformasyonlar)" olarak adlandırılır. Bu tanıma bir örnek olarak, genişletilmiş karmaşık düzlemin tamamlanması yerine basitçe karmaşık düzlem üzerinde tanımlanan Möbius dönüşümü gösterilebilir.