# Poisson denklemi
Matematikte, Poisson denklemi elektrostatik, makine mühendisliği ve teorik fizik'de geniş kullanım alanına sahip eliptik türdeki Kısmi diferansiyel denklemlerdir. Fransız matematikçi, geometrici ve fizikçi olan Siméon Denis Poisson'dan sonra isimlendirilmiştir.
Poisson denklemi
Δφ=f
Burada Δ Laplasyene ve "f" ve φ ise Çokkatlıda gerçek veya Karmaşık-değerli fonksiyonlara karşılık gelmektedir. Çokkatlı öklid uzayı olduğu zaman, Laplasyen ∇^2 olarak belirtilir ve Poisson denklemi genel olarak
∇^2 φ= f.
şeklinde yazılır. 3 boyutlu Kartezyen koordinat sisteminde
( ∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2 )φ(x,y,z) = f(x,y,z).
formunu alır. "f" sıfır olduğunda denklem;
Δφ= 0. 
halini alır. Bu Poisson denklemi, Green fonksiyonu kullanılarak çözülebilir; Green Fonksiyonunun Poisson denklemi için genel çözümünü Sönümlü Poisson denklemi başlığında verilmiştir. Nümerik çözüm için çok fazla değişik türden metot bulunmaktadır; rahatlatma metodu, yinelemeli algoritma sadece bir örnek...


## Elektrostatik.
Elektrostatiğin köşe taşlarından biri de Poisson denklemleri ile açıklanan problemlerin çözümünü ortaya atıp çözmektir. Verilmiş bir yük dağılımı için Elektriksel gerilimi bulmak için genelde kullandığımız yol bu olduğu için, φ'yi verilmiş "f" cinsinden bulmak önemli pratik bir sorundur.
Elektrostatikteki Poisson denkleminin türeyişi şu şekildedir. Uluslararası Birimler Sisteminin Öklid uzayında kullanıldığını var sayarsak ve differansiyel kontrol hacimdeki elektrik için Gauss Yasası ile başlarsak:
∇ ·𝐃 = ρ_f
∇ ·, Diverjansa
𝐃, elektrik deplasman alanına
ρ_f, serbest yükün yük yoğunluğuna (yani dışarıdan getirilmiş yüklere) tekamül etmektedir.
Ortamın lineer, izotropik ve homojen olduğunu kabul edersek;
𝐃 = ε𝐄
ε, ortamın geçirgenliği
𝐄, elektrik alan'dır.
Yerine koyma ve sadeleştirme işlemlerinden sonra;
∇ ·𝐄 = ρ_f/ε
elde ederiz. Değişken bir manyetik alan, 𝐁 olmadığı zaman, Faraday-Lenz yasası gereğince,
∇×𝐄 = -∂𝐁 ∂t = 0
∇×, Rotasyonele
t ise zamana karşılık gelmektedir.
Elektrik Alanın Rotasyoneli sıfır olduğundan, o bir skaler elektrik potansiyel birler elektrik potansiyel olarak tanımlanır.
𝐄 = -∇φ
𝐄’yi yerine koyma metodu ile yok edersek, Poisson denkleminin bir formunu elde ederiz:
∇·∇φ= ∇^2 φ= -ρ_f/ε.
Potansiyel için Poisson denklemini çözmek yük yoğunluğu dağılımının bilinmesini gerektirir. Eğer yük yoğunluğu sıfır ise denklem Laplace denklemine dönüşür. Eğer ki yük yoğunluğu Boltzmann dağılımına tekamül ederse denklem Poisson-Boltzman denklemi halini alır. Poisson Boltzmann denklemi Debye-Hückel denkleminin gelişmesinde büyük rol oynar.


### Gauss yük yoğunluğunun potansiyeli.
Eğer ki durgun küresel simetrik bir Gauss yük yoğunluğu ρ_f(r) var ise:
 ρ_f(r) = Q/σ^3√(2π)^3 e^-r^2/(2σ^2),
burada "Q" toplam yüktür.
Dolayısıyla Poisson denkleminin çözümü φ ("r"),
∇^2 φ= - ρ_f ε ,
burada φ(r) şöyle gösterilir;
 φ(r) = 1 4 πε Q/r (r/√(2)σ)
ki burada erf("x") hata fonksiyonuna tekamül etmektedir. 
Bu çözüm bariz bir biçimde ∇^2 φyi hesaplayarak kontrol edilebilir.
Dikkate alınmalı ki, tahmin edildiği şekilde σ den çok büyük bir "r" için erf fonksiyonu 1'e ve potansiyel noktasal yük potansiyeli φ ("r"), 1 4 πε_0 Q r 'e yaklaşmaktadır. Ayrıca, erf fonksiyonu kendi argümanı arttıkça 1'e çok hızlı şekilde yaklaşmaktadır; pratikte r > 3σ için göreli hata binde birden küçüktür.