# Elektromanyetizmanın eşdeğişim formülasyonu
Klasik manyetizmanın eşdeğişimli formülasyonu klasik elektromanyetizma kanunlarının(özellikle de, Maxwell denklemlerini ve Lorentz kuvvetinin) Lorentz dönüşümlerine göre açıkça varyanslarının olmadığı, rektilineer eylemsiz koordinat sistemleri kullanılarak özel görelilik disiplini çerçevesinde yazılma sekillerini ima eder. Bu ifadeler hem klasik elektromanyetizma kanunlarının herhangi bir eylemsiz koordinat sisteminde aynı formu aldıklarını kanıtlamakta kolaylık sağlar hem de alanların ve kuvvetlerin bir referans sisteminden başka bir referans sistemine uyarlanması için bir yol sağlar. Bununla birlikte, bu Maxwell denklemlerinin uzay ve zamanda bükülmesi ya da rektilineer olmayan koordinat sistemleri kadar genel değildir.
Bu makalede tensörlerin uzaysal birleşenleri için (vektörler de dahil) SI birimleri kullanılmıştır, tensörlerin klasik kullanımı ve geleneksel Einstein toplamı ve Minkowski metriği (+1, −1, −1, −1) şeklindedir. Denklemlerin vakum koşullarına göre özelleştirildiği yerde, onlara Maxwell denklemlerinin toplam yük ve akım cinsinden formülasyonu olarak bakılabilir.


## Eşdeğişimli cisimler.
### Hazırlık 4-vektör.
Arka plan bilgi maksadıyla, elektromanyetizmaya direkt olarak bağlı olmayan, fakat bu makalenin anlaşılması için yararlı olacak dört boyutlu vektörden üçünü sunuyoruz:
 - Metre cinsinden, "pozisyon" yahut "koordinat" dört boyutlu vektörü
x^α= (ct, x, y, z) .
 - Metre·saniye−1 cinsinden, hız dört boyutlu vektörü (başka bir deyişle dört boyutlu hız vektörü) 
u^α= γ(c,𝐮) 
γ(u) 'nin Lorentz çarpanı olduğu yerde üç boyutlu hız vektörü u 'dur.
 - kilogram·metre·saniye−1 cinsinden, bir parçacığın dört boyutlu momentum vektörü (başka bir deyişle momentum dört boyutlu vektörü)
p_α= ( E/c, - 𝐩) = mu_α 
 p üç boyutlu momentum olduğu yerde, "E" kinetik enerjidir, ve"m" parçacığın durgun kütlesidir.
 - metre−1 cinsinden the dört boyutlu eğim
∂^ν = ∂/∂x_ν = ( 1/c ∂/∂t, - ∇ ) ,
 - Metre cinsinden−2 d'Alembertian operatörü: şeklinde gösterilir.
Sıralanan tensör analizlerindeki işaretler tensörler için geleneksel bir kullanımdır. Buradaki geleneksel kullanım Minkowski tensörüne tekabül eden +--- kullanımıdır:
η^μν=[ 1 amp; 0 amp; 0 amp; 0; 0 amp; -1 amp; 0 amp; 0; 0 amp; 0 amp; -1 amp; 0; 0 amp; 0 amp; 0 amp; -1 ] 


### Elektromanyetik tensör.
Elektro manyetik tensör manyetik ve elektrik alanların bir eşdeğişimli antisimetrikmetrik tensörün içindeki kombinasyonudur. volt·saniye·metre−2 cinsinden, alan kuvvet tensörü alanlar cinsinden şu şekilde yazılır:
F_αβ = ( 
0 amp; E_x/c amp; E_y/c amp; E_z/c 
-E_x/c amp; 0 amp; -B_z amp; B_y 
-E_y/c amp; B_z amp; 0 amp; -B_x 
-E_z/c amp; -B_y amp; B_x amp; 0
ve dizinlerinin yükseltilmesinin sonucu
F^μν def= η^μα F_αβ η^βν = ( 
0 amp; -E_x/c amp; -E_y/c amp; -E_z/c 
E_x/c amp; 0 amp; -B_z amp; B_y 
E_y/c amp; B_z amp; 0 amp; -B_x 
E_z/c amp; -B_y amp; B_x amp; 0
 ) . 'dur.
E 'nin enerjiyi gösterdiği yerde elektrik alan, B 'dir ve "c" ışık hızıdır.


### dört boyutlu Akım Vektörü.
dört boyutlu akım vektörü elektrik akım yoğunluğu J ile elektrik yük yoğunluğunu ρ birleştiren kontravaryant dört boyutlu vektörüdür. amper·metre−2 cinsinden,
J^α = (c ρ, 𝐉 ) 
şeklinde gösterilir.


### dört boyutlu Potansiyel.
volt·saniye·metre−1 cinsinden, elektromanyetik dört boyutlu potansiyel bir eşdeğişimli dört boyutlu vektördür ve elektriksel potansiyeli (başka bir deyişle skaler potansiyel) φ ve manyetik vektör potansiyeli (başka bir deyişle vektör potansiyeli) A içerir ve şu şekilde formüle edilir:
A_α = (ϕ/c, - 𝐀 ) 
Elektromanyetik alanla elektromanyetik ilişki arasındaki ilişki bu denklemle gösterilir:
F_αβ = ∂_α A_β - ∂_β A_α 


### Elektromanyetik gerilim–enerji tensöru.
The elektromanyetik gerilim–enerji tensörü dört boyutlu mometum vektörünün akısı (yoğunluğu) olarak düşünülebilir ve elektromanyetik alanların toplam gerilim–enerji tensörüne katkısı olan bir kontravaryant si tensördür. joule·metre−3 cinsinden şu şekilde gösterilir
T^αβ = [ ϵ_0E^2/2 + B^2/2μ_0 amp; S_x/c amp; S_y/c amp; S_z/c; S_x/c amp; -σ_xx amp; -σ_xy amp; -σ_xz; S_y/c amp; -σ_yx amp; -σ_yy amp; -σ_yz; S_z/c amp; -σ_zx amp; -σ_zy amp; -σ_zz ] 
 ε0 vakumlu ortamın elektrik geçirgenliği olduğu yerde, μ0 da vakumlu ortamın manyetik geçirgenliğidir, Poynting vectorü watt·metre−2 cinsinden
𝐒 = 1/μ_0 𝐄 ×𝐁 'dir.
ve Maxwell gerilim tensörü in joule·metre−3 cinsinden şu şekilde gösterilir
σ_ij = ϵ_0E_iE_j + 1/μ_0B_iB_j - 
(1/2ϵ_0E^2 + 1/2μ_0B^2)δ_ij .
The elektromanyetik alan tensörü "F" elektromanyetik gerilim–enerji tensörünü "T" aşağıdaki formülle oluşturur:
T^αβ = 1/μ_0 ( η_γνF^αγF^νβ - 1/4η^αβF_γνF^γν)
η'nin Minkowski metrik tensörü olduğunu düşünürsek. Fark edilmesi gereken önemli bir nokta ise burada Maxwell denklemleri tarafından tahmin edilen
ϵ_0 μ_0 c^2 = 1 
ilişkisini kullandığımızdır.


## Vakum koşullarında Maxwell denklemleri.
Vkum koşullarında (yahut mikroskopik denklemler için, makroskopik materyal tanımlarını içermeyen) Maxwell denklemleri iki tensör denklemi olarak yazılabilir.
İki homojen olmayan Maxwell denklemi, Gauss yasası ve Amper yasası (Maxwell denklemlerinin düzeltmeleriyle) (+--- metriği ile) birleştiler :
homojen denklemler – Faraday'ın indüksiyon yasası ve Gauss'un manyetizma yasaları şunları oluşturmak için birleşirken:
"F"αβ 'nin elektromanyetik tensör olduğu yerde, "J"α dört boyutlu akımdır, εαβγδ Levi-Civita sembolüdür ve indeksler geleneksel Einstein toplamına göre davranır.
İlk tensör denklemi β'nin her değeri için bir tane olmak üzere dört skaler denkleme karsılık gelir. İkinci tensör denklemi aslında 43 = 64 farklı skaler denkleme karşılık gelir, fakat yalnızca dördü birbirinden bağımsızdır. elektromanyetik alanın antisimetrikmetrisini kullanarak hem bir tanımlamayı indirgenebilir (0 = 0) hem de λ, μ, ν = bunlardan herhangi biri 1,2,3 or 2,3,0 or 3,0,1 or 0,1,2 haricindeki tüm gereksiz denklemleri eleyebiliriz.
Kısmi türev için antisimetrikmetrik tensör notasyonunu ve virgül notasyonunu kullanarak f (Ricci kalkülüsüne bakın), daha uygun ikinci bir denklem şu şekilde yazılabilir:
 F_[αβ, γ] =0 
Kaynakların yetersizliğinde, Maxwell denklemleri suna indirgenir:
∂^ν ∂_ν F^αβ def= F^αβ def= 1 c^2 ∂^2 F^αβ ∂t ^2 - ∇^2 F^αβ= 0 ,
ve bu da alan kuvvet tensöründe yer alan elektromanyetik dalga denklemidir.


### Lorenz ölçüsünde Maxwell denklemleri.
Lorenz ölçü koşulları Lorentz varyanssız ölçü koşullarıdır. (Bu diğer ölçü koşullarıyla karşılaştırılabilir Coulomb ölçü koşulları gibi; eğer bir eylemsiz referans sisteminde tutarsa genel olarak diğer eylemsiz referans sistemlerinde de tutar.)dört boyutlu potansiyel çinsinden aşağıdaki gibi gösterilir:
∂_α A^α = ∂^α A_α=0 .
 Lorenz ölçülerinde, mikroskopik Maxwell denklemleri şu şekilde gösterilir:
A^σ = μ_0 J^σ 


## Lorentz kuvveti.
### Yüklü parçacık.
"q"yüklü hareket eden ve anlık hızı v olan bir parçacık üstündeki . The electric alan E ve manyetik alan B uzay ve zamanda değişir.
Lorentz kuvvetine göre elektromanyetik (EM) alan elektrik yüklü maddelerin hareketini etkiler.bu yolla, elektromanyetik alanlar tespit edilebilir (parçacık fiziğindeki uygulamalar ile ve doğal oluşumları ile Auroralarda olduğu gibi). Rölativistik formda, newton cinsinden Lorentz kuvvet alan kuvvet tensörünü şu şekilde kullanır.
Koordinat zamanı cinsinden ifade edilmiş "t" 'nin saniye cinsinden ölçüldüğü gösterim:
 d p_α d t = q F_αβ d x^β/d t 
 "p"α 'nin yukarıda görüldüğü gibi dört boyutlu momentum olduğu koşulda, "q" coulomb cinsinden elktrik yüküdür, ve"x"β metre cinsinden pozisyonu ifade eder.
Hareketli referans sisteminde, bu alanlar dört kuvvet olarak adlandırılır
 d p_α/d τ = q F_αβ u^β
 Yukarıda görüldüğü gibi "u"β 'nun dört boyutlu hız olduğu yerde ve τ 'nin parçacığın koordinat zamanıyla "dt" = γ"d"τ bağıntısıyla bağlandığı zamanıdır.


### Yükün devamlılığı.
Sürekli bir ortamda, üç boyutlu "kuvvet yoğunluğu" eşdeğişimli dört boyutlu vektörü oluşturmak için "güç yoğunluğuyla" birleşir, "f"μ. Uzaysal kısım küçük hücreler (üç boyutlu uzayda) üstündeki kuvvetin hücrenin hacmiyle bölünmesinin sonucudur. Zaman bileşeni 1/"c" çarpı hücreye transfer edilen güçün hücrenin hacmine bölümüdür. Lorentz kuvvetinin yoğunluğu elektromanyetizmadan kaynaklanan kuvvet yoğunluğunun bir parçasıdır. Uzaysal bölümü şöyledir
 - 𝐟 = - (ρ𝐄 + 𝐉 ×𝐁) .
Açıkça eşdeğişimli notasyonu şu şekle gelir:
f_α = F_αβJ^β .
Lorent kuvveti ve elektromanyetik enerji-gerilim tensörü arasındaki ilişki şöyledir
f^α = - T^αβ_,β ≡- ∂T^αβ/∂x^β.


## Korunum yasaları.
### Elektrik yükü.
Devamlılık denklemi:
J^α_,α def= ∂_α J^α = 0 .
toplam yükün korunumunu açıklar.


### elektromanyetik enerji–momentum.
Maxwell denklemlerini kullanarak, sıradaki elektromanyetik tensörü ve dört boyutlu akım vektörünü ilişkilendiren diferansiyel denklemi sağlayan gerilim–enerji tensörlerini görebilir (yukarıda tanımlandığı gibi)
T^αβ_,β + F^αβ J_β = 0
yahut
η_αν T^νβ _,β + F_αβ J^β = 0,
Bu da lineer momentumun ve enerjini elektromanyetik etkileşimlerde korunduğunu ifade eder.


## Madde içimdeki eşdeğişimli objeler.
### Serbest ve bağlı dörtlü akımları.
Burada verilen elektromanyetizma denklemlerini çözmek için, elektrik akımının nasıl hesaplandığıyla ilgili ek bilgiye ihtiyaç vardır, "J"ν Çoğunlukla, akımı farklı denklemlerle modellenen iki parçaya ayırmak gelenekselleşmiştir, serbest akım ve bağlı akım;
J^ν = J^ν_free + J^ν_bound ,
olduğu zaman
J^ν_free=(cρ_free,𝐉_free)=(c ∇·𝐃, - ∂𝐃/∂t+∇×𝐇) ,
J^ν_bound=(cρ_bound,𝐉_bound)=(- c ∇·𝐏, ∂𝐏/∂t+∇×𝐌) .
Maxwell's makroskopik denklemleri kullanılmıştır, ek olarak elektriksel yerdeğiştirmenin D (coloumb·metre−1 cinsinden) tanımları the definitions of the electric displacement ve manyetik şiddet H (amper·metre−1 cinsinden):
𝐃 = ϵ_0 𝐄 + 𝐏 
𝐇 = 1/μ_0 𝐁 - 𝐌 .
M manyetizasyon (ampere·metre−2 cinsinden) veP electriksel polarizasyon (coulomb·metre−2 cinsinden) olduğu.


### Manyetizasyon-polarizasyon tensörü.
Bağılı akım antikontravaryant manyetizasyon-polarizasyon tensörü (amper·metre2) oluşturan P veM alanlarından türetilmiştir 
 ℳ^μν =
 [ 0 amp; P_xc amp; P_yc amp; P_zc; - P_xc amp; 0 amp; - M_z amp; M_y; - P_yc amp; M_z amp; 0 amp; - M_x; - P_zc amp; - M_y amp; M_x amp; 0 ],
ve bağlı akım su şekilde belirlenir
J^ν_bound=∂_μ ℳ^μν .


### Elektriksel yerdeğiştirme tensörü.
Eğer elektriksel yerdeğiştirme tensörü "F"μν birleşirse D veH alanlarını aşağıda olduğu gibi birleştiren antisimetrikmetrik kontravaryant elektromanyetik yerdeğiştirme tensörü elde edilir (amper·metre−1 cinsinden) :
 𝒟^μν =
 [ 0 amp; - D_xc amp; - D_yc amp; - D_zc; D_xc amp; 0 amp; - H_z amp; H_y; D_yc amp; H_z amp; 0 amp; - H_x; D_zc amp; - H_y amp; H_x amp; 0 ].
Üç alan tensörü şu şekilde ilişkilendirilmiştir:
𝒟^μν = 1/μ_0 F^μν - ℳ^μν 
Bu da D veH alanlarının yukarıda verilen tanımlarına denktir.


## Madde içinde Maxwell denklemleri.
Sonuç Amper yasası, 
∇ ×𝐇 = 𝐉_free + ∂𝐃/∂t,
ve Gauss's yasası, 
∇ ·𝐃 = ρ_free,
bir denklemde birleştirirsek:
_{\text{free}} = \partial_{\mu} \mathcal{D}^{\mu \nu} </math>
The bound current vefree current as defined above are automatically veseparately conserved
∂_ν J^ν_bound = 0 
∂_ν J^ν_free = 0 .


### Geleneksel Denklemler.
#### Vakum.
Vakumlu bir ortamda alan ve yerdeğiştirme tensörleri arasındaki geleneksel ilişki şöyledir:
μ_0 𝒟^μν = η^μα F_αβ η^βν .
Antisimetri 16 denklemi sadece 6 bağımsız denkleme indirger. Çünkü "F"μν ifadesini 
F^μν = η^μα F_αβ η^βν ile ifade etmek gelenekseldir.
Vakum koşullarında geleneksel denklemler Gauss-Ampère yasasıyla birleştirildiğinde şu sonuç açığa çıkar:
∂_βF^αβ = μ_0 J^α. 
Elektromanyetik gerilim–enerji tensörü yerdeğiştirme cinsinden:
T_α^π= F_αβ 𝒟^πβ - 1/4 δ_α^πF_μν 𝒟^μν
δαπ Kronecker delta olduğu yerde. Üst indeks η ile düşürüldüğü zaman, simetrik olur ve yerçekimi alanı kaynağının bir parçası olur.


#### Madde.
Böylece akımı modelleme işini ikiye indirdik, "J"ν daha kolay modeller — serbest akımı modellemek, "J"νfree ve manyetizasyonla polarizasyonu, ℳ^μν. Örnek olarak, düşük frekanslı en basit malzemelerden anlık hareketli referans sisteminde yer alan bir tanesi buna sahip;
𝐉_free = σ𝐄 
𝐏 = ϵ_0 χ_e 𝐄 
𝐌 = χ_m 𝐇 
 σ onun elektrik iletkenliği, χe onun elektrik hassalığı ve χm onun manyetik hassaslığıdır.
 𝒟 ve "F" tensörleri arasındaki geleneksel ilişki, Hermann Minkowski tarafından lineer malzemeler için ortaya konmuştur (yani, E ile D doğru orantılı veB de H ile doğru orantılı),:
𝒟^μνu_ν= c^2ϵF^μν u_ν
⋆𝒟^μνu_ν= 1/μ⋆F^μν u_ν
"u" 'nun maddenin dört boyutlu hızı olduğu yerde, ε ve μ maddenin geçirgenliğidir
 (i.e. in rest frame of material), ⋆ vedenotes the Hodge dual.


## Klasik elektrodinamik için Lagrangian.
### Vakum.
Klasik elektrodinamik için Lagrangia (Lagrangian yoğunluğu) (joule·metre−3 cinsinden) şöyledir;
 ℒ = ℒ_alan + ℒ_int = - 1/4 μ_0 F^αβ F_αβ - A_α J^α .
Etkileşim cinsinden, dört boyutlu akım diğer yüklü alanların elektrik akımlarını kendi değişkenleri cinsinden ifade eden pek çok terimin kısaltılması olarak anlasılmalıdır, dört boyutlu akımın kendisi temel bir alan değildir.
Elektromanyetik Lagrangian yoğunluğu için Euler–Lagrange denklemi ℒ(A_α,∂_βA_α) ilerleyen basamaklarda olduğu gibi gösterilebilir:
 ∂_β[∂ℒ/∂(∂_βA_α)] - ∂ℒ/∂A_α=0 .
Not 
F_μν=∂_μ A_ν - ∂_ν A_μ ,
kare parantezlerin içindeki ifade 
 ∂ℒ/∂ (∂_βA_α) amp; = - 1/4 μ_0 ∂ (F_μνη^μλη^νσF_λσ)/∂ (∂_βA_α)
 amp; = - 1/4 μ_0 η^μλη^νσ(F_λσ(δ^β_μδ^α_ν - δ^β_νδ^α_μ)
 +F_μν(δ^β_λδ^α_σ - δ^β_σδ^α_λ)
 amp; = - F^βα/μ_0 .
İkinci terim
∂ℒ/∂A_α= - J^α .
Bununla birlikte, hareketin elektromanyetik alan denklemi budur;
 ∂F^βα/∂x^β=μ_0 J^α .
Görüldüğü üzere bu da yukarıdaki Maxwell denklemlerinden bir tanesidir.


### Madde.
Serbest akımları bağlı akımlardan ayırmak, başka bir deyişle Lagrangian yoğunluğunu yazmanın bir başka yolu aşağıdaki gibidir:
 ℒ = - 1/4 μ_0 F^αβ F_αβ - A_α J^α_free + 1/2 F_αβ ℳ^αβ .
Euler–Lagrange denklemini kullanarak, hareket denklemleri için 𝒟^μν ifadesi türetilebilir.
Rölativistik olmayan vektör notasyonunda denk ifade
 ℒ = 1/2 (ϵ_0 E^2 - 1/μ_0 B^2) - ϕ ρ_free + 𝐀 ·𝐉_free + 𝐄 ·𝐏 + 𝐁 ·𝐌 .


## Aynı zamanda bunlara da bakmanız yararlı olacaktır (Kaynaklar İngilizcedir).
  - Relativistic electromagnetism
  - elektromanyetik wave equation
  - Liénard–Wiechert potential for a charge in arbitrary motion
  - Nonhomogeneous elektromanyetik wave equation
  - Moving magnet veconductor problem
  - elektromanyetik tensör
  - Proca action
  - Stueckelberg action
  - Quantum electrodynamics
  - Wheeler–Feynman absorber theory


## Konuyla ilgili yayınlar.
-  
-