# Matris çarpımı
Doğrusal cebirde veya daha genel ifade ile matematikte matris çarpımı, bir matris çiftinde yapılan ve başka bir matris üreten ikili işlemdir. Reel veya karmaşık sayılar gibi sayılarda temel aritmetiğe uygun olarak çarpma yapılabilir. Başka bir ifade ile matrisler, sayı dizileridir. Bu yüzden, matris çarpımını ifade eden tek bir yöntem yoktur. "Matris çarpımı" terimi çoğunlukla, matris çarpımının farklı yöntemlerini ifade eder. Matris çarpımının anahtar özellikleri şunlardır: Asıl matrislerin satır ve sütun sayıları, (matrisin "boyutu" olarak adlandırılır) ve matrislerin girişlerinin nasıl yeni bir matris oluşturacağıdır.
Vektörler gibi herhangi bir boyutlu matrislerde de, nokta çarpım yapılabilir. Bu işlem, matrisin her bir girişinin (ögesinin) aynı sayı (skaler) ile çarpılmasıdır. Matrislerin toplanması veya çıkarılması işlemleri de benzer şekilde yapılır.
Matris çarpımı başka yöntemlerle de yapılabilir. Fakat en kullanışlı yöntemler, doğrusal denklemler ve doğrusal dönüşümlerle elde edilir. Sayısal uygulamaları, uygulamalı matematik, fizik ve mühendislikte görülür.


## Tanım.
### Skaler çarpma.
Matrislerle ilgili en basit çarpma formu skaler çarpmadır.
Bir A matrisinin "λ" skaleri ile sol skaler çarpma işlemi sonucunda A ile aynı boyutlu fakat farklı bir matris elde edilir. Bu "λ"A çarpma işlemi, aşağıdaki şekilde ifade edilir;
 (λ𝐀)_ij = λ(𝐀)_ij ,
Daha açık ifade ile:
 λ𝐀 = λ[ A_11 amp; A_12 amp; ⋯ amp; A_1m; A_21 amp; A_22 amp; ⋯ amp; A_2m; ⋮ amp; ⋮ amp; ⋱ amp; ⋮; A_n1 amp; A_n2 amp; ⋯ amp; A_nm; ] = [ λA_11 amp; λA_12 amp; ⋯ amp; λA_1m; λA_21 amp; λA_22 amp; ⋯ amp; λA_2m; ⋮ amp; ⋮ amp; ⋱ amp; ⋮; λA_n1 amp; λA_n2 amp; ⋯ amp; λA_nm; ] .
Benzer şekilde, bir A matrisinin "λ" skaleri ile sağ skaler çarpma işlemi şöyledir:
 (𝐀λ)_ij = (𝐀)_ij λ , 
Daha açık ifade ile:
 𝐀λ= [ A_11 amp; A_12 amp; ⋯ amp; A_1m; A_21 amp; A_22 amp; ⋯ amp; A_2m; ⋮ amp; ⋮ amp; ⋱ amp; ⋮; A_n1 amp; A_n2 amp; ⋯ amp; A_nm; ]λ= [ A_11 λ amp; A_12 λ amp; ⋯ amp; A_1m λ; A_21 λ amp; A_22 λ amp; ⋯ amp; A_2m λ; ⋮ amp; ⋮ amp; ⋱ amp; ⋮; A_n1 λ amp; A_n2 λ amp; ⋯ amp; A_nm λ; ] .
halkada eğer bir değişme özelliği varsa, örneğin; reel veya karmaşık sayılarda bu iki çarpım (skaler çarpım ve nokta çarpım), aynı anlama gelir ve basitçe skaler çarpım olarak adlandırılır. Fakat matrisler için, daha genel ifade ile halka (örneğin dördey) için değişme özelliği "yoksa" bu iki çarpım aynı anlama gelmez. 
Bir reel skaler ve matris şöyle olsun:
 λ= 2, 𝐀 =[ a amp; b; c amp; d; ] 
 2 𝐀 = 2 [ a amp; b; c amp; d; ] = [ 2 · a amp; 2 · b; 2 · c amp; 2 · d; ] = [ a · 2 amp; b · 2; c · 2 amp; d · 2; ] = [ a amp; b; c amp; d; ]2= 𝐀2.
Dördeyin skalerleri ve matrisleri de şöyle olsun:
 λ= i, 𝐀 = [ i amp; 0; 0 amp; j; ] 
 i[ i amp; 0; 0 amp; j; ]
= [ i^2 amp; 0; 0 amp; ij; ]
= [ -1 amp; 0; 0 amp; k; ]
[ -1 amp; 0; 0 amp; -k; ]
= [ i^2 amp; 0; 0 amp; ji; ]
= [ i amp; 0; 0 amp; j; ]i ,
Burada "i", "j", "k", dördeyin birimleridir. Dördeyde çarpma işleminin değişmeli olamaması, "ij" = +"k" ile "ji" = −"k" değişiminin yapılmasını engeller.


## Matris çarpma (iki matris).
İki matrisin çarpılacağını varsayalım.


### Matris çarpmanın genel tanımı.
Eğer A, "n" × "m" boyutlu bir matris ve B, "m" × "p" boyutlu bir matris ise;
𝐀=[ A_11 amp; A_12 amp; ⋯ amp; A_1m; A_21 amp; A_22 amp; ⋯ amp; A_2m; ⋮ amp; ⋮ amp; ⋱ amp; ⋮; A_n1 amp; A_n2 amp; ⋯ amp; A_nm; ], 𝐁=[ B_11 amp; B_12 amp; ⋯ amp; B_1p; B_21 amp; B_22 amp; ⋯ amp; B_2p; ⋮ amp; ⋮ amp; ⋱ amp; ⋮; B_m1 amp; B_m2 amp; ⋯ amp; B_mp; ]
AB matris çarpma (çarpım işaretsiz veya noktasız ifade edilir), "n" × "p" matrisi olarak ifade edilir.
𝐀𝐁 =[ (𝐀𝐁)_11 amp; (𝐀𝐁)_12 amp; ⋯ amp; (𝐀𝐁)_1p; (𝐀𝐁)_21 amp; (𝐀𝐁)_22 amp; ⋯ amp; (𝐀𝐁)_2p; ⋮ amp; ⋮ amp; ⋱ amp; ⋮; (𝐀𝐁)_n1 amp; (𝐀𝐁)_n2 amp; ⋯ amp; (𝐀𝐁)_np; ]
Burada her bir "i, j" girişi, "Aik" girişleri A matrisinin "i" satırı) ile "Bkj" girişleri (B matrisinin "j" sütunu) çarpımıdır. "k" = 1, 2, ..., "m" ve, "k" sonuçlar toplamı şöyle ifade edilir:
 (𝐀𝐁)_ij = ∑_k=1^m A_ikB_kj . 
Girişler genellikle sayı veya ifadelerle belirtilir. Fakat matrislerin kendisi de bir giriş olabilir. (Blok matrise bakınız).


### Şekilsel gösterim.
Sağdaki şekil, A ve B iki matrisinin çarpımını şematik olarak gösteriyor. Sonuçta elde edilen matris 4'e 3'lük X matrisi olsun.
4×2 matris[ a_11 amp; a_12; · amp; ·; a_31 amp; a_32; · amp; ·; ]
2×3 matris[ · amp; b_12 amp; b_13; · amp; b_22 amp; b_23; ]
= 4×3 matris[ · amp; x_12 amp; x_13; · amp; · amp; ·; · amp; x_32 amp; x_33; · amp; · amp; ·; ]
Şekilde, çemberle işaretlenen hücrelerin değerleri şunlardır:
 x_12 amp; = a_11b_12 + a_12b_22
 x_13 amp; = a_11b_13 + a_12b_23
 x_32 amp; = a_31b_12 + a_32b_22
 x_33 amp; = a_31b_13 + a_32b_23
Yukarıdakiler, X matrisinin belirlenen girişleridir.


### Matris çarpmaya örnekler.
 - Satır vektör ve sütun vektör
Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;
𝐀 = [ a amp; b amp; c ] , 𝐁 = [ x; y; z ] ,
Burada matris çarpma işlemi şöyle:
𝐀𝐁 = [ a amp; b amp; c ] [ x; y; z ] = ax + by + cz ,
Benzer şekilde;
𝐁𝐀 = [ x; y; z ][ a amp; b amp; c ] = [ xa amp; xb amp; xc; ya amp; yb amp; yc; za amp; zb amp; zc ] .
AB ile BAnın çok farklı matrisler olduğuna dikkat edin. İlk matris 1 × 1 boyutlu matris iken, ikincisi 3 × 3 boyutlu matristir.
 - Kare matris ve sütun vektörü
Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;
𝐀 = [ a amp; b amp; c; p amp; q amp; r; u amp; v amp; w ], 𝐁 = [ x; y; z ] ,
Burada matris çarpma işlemi şöyle:
𝐀𝐁 = [ a amp; b amp; c; p amp; q amp; r; u amp; v amp; w ] [ x; y; z ] =[ ax + by + cz; px + qy + rz; ux + vy + wz ] ,
Bu örnekte BA tanımlı değildir.
Bir kare matrisi, sütun matrisi ile çarpma, doğrusal denklemleri çözme ve doğrusal dönüşümleri ifade etmek için sıkça kullanılır.
 - Kare matrisler
Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;
𝐀 = [ a amp; b amp; c; p amp; q amp; r; u amp; v amp; w ], 𝐁 = [ α amp; β amp; γ; λ amp; μ amp; ν; ρ amp; σ amp; τ; ] ,
Burada matris çarpma işlemi şöyledir:
𝐀𝐁 = [ a amp; b amp; c; p amp; q amp; r; u amp; v amp; w ] [ α amp; β amp; γ; λ amp; μ amp; ν; ρ amp; σ amp; τ; ] =[ aα+ bλ+ cρ amp; aβ+ bμ+ cσ amp; aγ+ bν+ cτ; pα+ qλ+ rρ amp; pβ+ qμ+ rσ amp; pγ+ qν+ rτ; uα+ vλ+ wρ amp; uβ+ vμ+ wσ amp; uγ+ vν+ wτ ] ,
Benzer şekilde;
𝐁𝐀 = [ α amp; β amp; γ; λ amp; μ amp; ν; ρ amp; σ amp; τ; ] [ a amp; b amp; c; p amp; q amp; r; u amp; v amp; w ] =[ αa + βp + γu amp; αb + βq + γv amp; αc + βr + γw; λa + μp + νu amp; λb + μq + νv amp; λc + μr + νw; ρa + σp + τu amp; ρb + σq + τv amp; ρc + σr + τw ] .
Bu durumda hem AB hem de BA matrisi tanımlıdır. Fakat AB ile BA matrisinin girişleri çoğunlukla eşit değildir.
 - Satır vektör, kare matris ve sütun vektör
Aşağıdaki gibi üç matris verilsin;
𝐀 = [ a amp; b amp; c ] , 𝐁 = [ α amp; β amp; γ; λ amp; μ amp; ν; ρ amp; σ amp; τ; ] , 𝐂 = [ x; y; z ] ,
Burada matris çarpma işlemi şöyledir:
 𝐀𝐁𝐂 amp; = [ a amp; b amp; c ] α amp; β amp; γ; λ amp; μ amp; ν; ρ amp; σ amp; τ; ][ x; y; z = [ [ a amp; b amp; c ][ α amp; β amp; γ; λ amp; μ amp; ν; ρ amp; σ amp; τ; ]] [ x; y; z ]
 amp; = [ a amp; b amp; c ][ α x + β y + γ z; λ x + μ y + ν z; ρ x + σ y + τ z; ] = [ aα + bλ + cρ amp; aβ + bμ + cσ amp; aγ + bν + cτ ][ x; y; z ]
 amp; = aα x + bλ x + cρ x + aβ y + bμ y + cσ y + aγ z + bν z + cτ z ,
Bu durumda CBA tanımlı değildir. A(BC) = (AB)C olduğuna dikkat edin. Bu çok genel özelliklerden biridir.
 - Dikdörtgen matris
Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;
𝐀 = [ a amp; b amp; c; x amp; y amp; z ] , 𝐁 = [ α amp; ρ; β amp; σ; γ amp; τ; ] ,
Burada matris çarpma işlemi şöyledir:
𝐀𝐁 = [ a amp; b amp; c; x amp; y amp; z ] [ α amp; ρ; β amp; σ; γ amp; τ; ] =
[ aα+ bβ+ c γ amp; aρ+ bσ+ c τ; xα+ yβ+ z γ amp; xρ+ yσ+ z τ; ]
Benzer şekilde;
𝐁𝐀 = [ α amp; ρ; β amp; σ; γ amp; τ; ][ a amp; b amp; c; x amp; y amp; z ] =
[ αa + ρx amp; αb + ρy amp; αc + ρz; βa + σx amp; βb + σy amp; βc + σz; γa + τx amp; γb + τy amp; γc + τz ]


### Matris çarpmanın özellikleri.
#### Tüm matrisler.
1. Değişme özelliği yoktur:
Genellikle:
𝐀𝐁 ≠𝐁𝐀
Çünkü AB ile BA, eşzamanlı olarak tanımlanamazlar. Tanımlansalar bile eşit olamazlar. Bu, sayıların çarpılmasına terstir. Matris çarpımını büyüklüğünü kelimelerle ifade etmek için; A nın B ile "ön çarpımı (veya sol çarpımı)" BA olurken, "A nın C ile son çarpımı (veya sağ çarpımı) " AC olur. Matrisin tüm girişleri bir birime sahip halkada bulunduğu ve "n" > 1 olduğu müddetçe, halkada bir çift "n" × "n" değiştirilemez matris olur. Buna tek istisna birim matris (veya herhangi bir skaler çarpımı)dır.
Dizi gösterimi:
∑_k A_ikB_kj ≠∑_k B_ikA_kj 
2. Matrisin toplama üzerine dağılma özelliği vardır:
<br>Sol dağılım:
𝐀(𝐁 + 𝐂) = 𝐀𝐁 + 𝐀𝐂
Sağ dağılım:
(𝐀 + 𝐁 )𝐂 = 𝐀𝐂 + 𝐁𝐂
Dizi gösteriminde sırasıyla bunlar:
∑_k A_ik(B_kj + C_kj) = ∑_k A_ikB_kj + ∑_k A_ikC_kj 
∑_k (A_ik + B_ik) C_kj = ∑_k A_ikC_kj + ∑_k B_ikC_kj 
3. Skaler çarpma, matris çarpımı ile uyumludur:
 λ(𝐀𝐁) = (λ𝐀)𝐁 and (𝐀 𝐁)λ=𝐀(𝐁λ)
Burada "λ" bir skalerdir. Eğer matrisin tüm girişleri reel veya karmaşık sayı ise, tüm dört miktarda eşit olur. Daha genel bir ifade ile, eğer "λ" matrisin girişlerinin halkasının merkezinde ise, tüm dördü de eşit olur. Çünkü bu durumda, tüm X matrisleri için, "λX = Xλ" olur. Dizin gösterimi sırasıyla şöyle olur:
λ∑_k (A_ikB_kj) = ∑_k ( λA_ik ) B_kj = ∑_k A_ik ( λB_kj ) 
∑_k (A_ikB_kj) λ= ∑_k ( A_ik λ) B_kj = ∑_k A_ik ( B_kj λ) 
4. Transpoze:
 (𝐀𝐁)^T = 𝐁^T𝐀^T 
Burada T, transpozeyi ifade eder.
Dizi gösteriminde:
 [(𝐀𝐁)^T]_ij amp;=(𝐀𝐁)_ji
 amp;=∑_k(𝐀)_jk(𝐁)_ki
 amp;=∑_k(𝐀^T)_kj(𝐁^T)_ik
 amp;=∑_k(𝐁^T)_ik(𝐀^T)_kj
 amp;=[(𝐁^T)(𝐀^T)]_ij
5. Karmaşık eşlenik:
Eğer A ve B karmaşık girişlerden oluşuyorsa, bu durumda;
 (𝐀𝐁)^⋆= 𝐀^⋆𝐁^⋆
olur. Burada *, bir matrisin karmaşık eşleniğini ifade eder.
Dizi gösteriminde:
 [(𝐀𝐁)^⋆]_ij amp;=[∑_k(𝐀)_ik(𝐁)_kj]^⋆
 amp;=∑_k(𝐀)^⋆_ik(𝐁)^⋆_kj
 amp;=∑_k(𝐀^⋆)_ik(𝐁^⋆)_kj
 amp;=(𝐀^⋆𝐁^⋆)_ij
6. Eşlenik transpozesi:
Eğer A ve B karmaşık girişlerden oluşuyorsa, bu durumda;
 (𝐀𝐁)^†= 𝐁^†𝐀^†
Burada †, bir matrisin karmaşık transpozesini ifade eder.
Dizi gösteriminde:
 [(𝐀𝐁)^†]_ij amp;=[(𝐀𝐁)^⋆]_ji
 amp;=∑_k(𝐀^⋆)_jk(𝐁^⋆)_ki
 amp;=∑_k(𝐀^†)_kj(𝐁^†)_ik
 amp;=∑_k(𝐁^†)_ik(𝐀^†)_kj
 amp;=[(𝐀^†)(𝐁^†)]_ij
7. İlkköşegen toplamı:
AB çarpımının ilkköşegen toplamı A ve B matrislerinin büyüklüğünden bağımsızdır:
 tr(𝐀𝐁) = tr(𝐁𝐀) 
Dizi gösteriminde:
 tr(𝐀𝐁) amp;=∑_i ∑_k A_ikB_ki
 amp;=∑_k∑_i B_kiA_ik
 amp;=tr(𝐁𝐀)


#### Yalnızca kare matrisler.
1. Birim matris:
Eğer A bir kare matris ise, bu durumda
 𝐀𝐈 = 𝐈𝐀 = 𝐀 
Burada I, aynı boyuta sahip birim matristir.
2. Tersinir matris:
Eğer A bir kare matris ise, A−1 terslenebilir matrisi şöyle olur;
 𝐀𝐀^-1 = 𝐀^-1𝐀 = 𝐈 
Bu durumda aşağıdaki eşitlik sağlanır;
 (𝐀𝐁)^-1 = 𝐁^-1𝐀^-1 
3. Determinant:
AB çarpımının determinantı, A matrisinin determinantı ile B matrisinin determinantının çarpımına eşittir.
 (𝐀𝐁) = (𝐀)(𝐁) 
det(A) ve det(B) yalnızca sayıdır. Bu yüzden, AB ≠ BA olsa bile det(AB) = det(BA) olur.