# Grupoid
Matematikte, özellikle kategori teorisi ve homotopi teorisinde bir grupoid için (nadiren Brandt grupoidi veya sanal grup olarak da anılır) grup kavramı birden fazla eşdeğer yolla açıklanabilir. Bir grupoid şu iki şekilde genelleştirilir:
  - İkili işlemin yerini alan bir kısmi fonksiyon ilişkisindeki grup 
  - Her morfizmanın ters çevrilebilir olduğu kategorideki grup.
Grupoidler genellikle manifoldlar gibi geometrik nesneler hakkında akıl yürütmek için kullanılır. Heinrich Brandt (1927), Brandt yarı-grupları (Brandt Semigroup) aracılığıyla dolaylı olarak grupoidleri tanıtmıştır.


## Tanımlar.
Bir f X →Y fonksiyonunu düşünelim. Boş kümeden farklı herhangi bir A ⊆X alt kümesi için f A →Y şeklinde tanımlı fonksiyona kısmi fonksiyon denir.


### Grup Teorisinde Grupoid.
Bir G grupoidi ^-1G →G şeklinde tanımlı tekli işlem ile * G ×G →G kısmi fonksiyonu ile tanımlanan ve her a, b, c ∈G için aşağıdaki özellikleri sağlayan bir kümedir.
"(i)" Bileşim: Eğer (a*b) ve (b*c) tanımlı ise (a*b)*c = a*(b*c) ’dir.
"(ii)" Tersinirlik: a^-1 * a ve a * a^-1 tanımlıdır.
"(iii)" Özdeşlik: Eğer a * b tanımlı ise
• a*b*b^-1 = a ,
• a^-1*a*b = b .
Ek olarak da
• (a^-1)^-1 = a 
• (a*b)^-1 = b^-1 * a^-1 özellikleri sağlanır.


### Kategori Teorisinde Grupoid.
Bir grupoid, içindeki her morfizmanın bir izomorfizma olduğu küçük ve bağlantılı bir kategoridir.
Tanımı daha açık bir şekilde görebilmek için rastgele bir kategorik teorisel G grupoidi alalım. Bu grupoid aşağıdaki özellikleri sağlar.
"(i)" G grupoidi, nesnelerden oluşan bir ob(G) kümesi içermektedir.
"(ii)" G grupoidi, her x,y ∈ ob(G) nesneleri için x’ten y’ye tanımlı morfizmaların oluşturduğu bir mor(x,y) kümesini içerir. Bu kümeden alınan bir f morfizması f x →y şeklinde gösterilir.
"(iii)" Her x ∈ ob(G) nesnesi için id_x ∈ mor(x,x)’dir.
"(iv)" Her x, y, z ∈ob (G) için x’ten y’ye giden ve y’den z’ye giden morfizmaların bileşkesi şu şekilde tanımlanır: comp_x,y,z mor(y, z)×mor(x,y)→mor(x, z)öyle ki (g,f)↦gf "(v)" Her x, y ∈ ob(G) için x nesnesinden y nesnesine giden morfizmaların tersi şu şekilde tanımlanır:invmor(x, y)→mor(y,x)
f ↦f^-1
ve inv fonksiyonu her f x →y , g y →z ve h z →w morfizmaları için aşağıdaki özellikleri sağlar:
• f id_x =f ve id_y f=f.
• (hg)f = h(gf).
• ff^-1 = id_y ve f^-1f = id_x.


#### Bağlı Grupoid.
Kategori teorisel bir G grupoidi alalım. Eğer her x, y ∈G için mor(x,y) kümesi boş kümeden farklı ise G’ye bağlı grupoid denir.


## Örnekler.
### Grup Olarak Grupoid.
Her grup bir grupoiddir. Örnek olarak (,+) grubunu düşünelim. Grupoidin grup teorisindeki tanımını kullanarak bu grubun bir grupoid olduğunu gösterelim. kümesini ve + ×→ operatörünü ele alacağız. Rastgele a, b, c ∈ alalım.
"(i)" Bileşim: (a+b) ve (b+c)’nin tanımlı olduğunu biliyoruz. O halde +’nın Z üzerinde bileşim özelliğini sağladığından (a + b) + c = a + (b + c) elde edilir.
"(ii)" Tersinirlik: Her a ∈ için a^-1 vardır ve a^-1 =-a ∈ olur. Bunun yanı sıra (-a) + a = 0 ∈, a + (-a) = 0 ∈ özellikleri de sağlanır.
"(iii)" Özdeşlik: (a + b) tanımlı olduğu için
• a+b+b^-1 =a+0 =a ,
• a^-1 +a+b =0+b =b olur.
Sonuç olarak ( , +) bir grupoiddir.


### Lineer Fonksiyonlar.
Nesneleri vektör uzayları ve morfizmaları birebir ve örten lineer (doğrusal) fonksiyonlar olan bir G kategorisi grupoid belirtir. Kategori teorisindeki grupoid tanımını kullanarak G’in bir grupoid olduğunu gösterelim.
"(i)" ob(G) = { V |V bir vektör uzayı }.
"(iii)" Rastgele bir V ∈ ob(G) nesnesi alalım. Bariz bir şekilde id_V V →V birim fonksiyonu birebir, örten ve lineer olduğundan id_V ∈ mor(G) olur.
"(iv)" Herhangi üç V, U, W ∈ ob(G)nesneleri alalım. mor(G) kümesinden T_1 V →U ve T_2 U →W şeklinde tanımlı iki morfizma düşünelim. T_1 ve T_2’nin birebir, örten ve lineer fonksiyonlar olduğunu biliyoruz. T_2 T_1 V →W şeklinde tanımlı bileşke fonksiyonunun birebir, örten ve lineer olduğunu göstermeliyiz.
• İki birebir fonksiyonun bileşkesi de birebir olacağından ve T_1 ile T_2 birebir olduğundan ötürü T_2 T_1 birebirdir.
• İki örten fonksiyonun bileşkesi örten olduğundan T_2 T_1 örten bir fonksiyon olur.
• İki lineer fonksiyonun bileşkesinin de lineer olduğu bilindiğinden T_2 T_1 de lineer bir fonksiyon olur.
Sonuç olarak T_2 T_1 ∈ mor(V, W) olur ve dolayısıylacomp_V,U,W mor(U,W) ×mor(U,V)→mor(V,W) öyle ki; (T_2,T_1)↦T_2T_1 şeklinde tanımlanabilir."(v)" Herhangi iki V,U ∈ ob(G) nesneleri ve rastgele bir T ∈ mor(V,U) morfizması ele alalım. T birebir ve örten olduğundan T^-1 U →V vardır. T lineer bir fonksiyon olduğundan T^-1 de lineerdir. Sonuç olarak T^-1 ∈ mor(U, V) olur. Bu örnekte morfizmalar fonksiyon olduğundan rastgele alınan T_1 ∈ mor(V,U), T_2 ∈ mor(U,W) ve T_3 ∈ mor(W, Z) morfizmaları için aşağıdaki özellikler de sağlanmaktadır:•T_1 id_V =T_1 , id_U T_1 =T_1.
•(T_3 T_2) T_1 (x) = T_3 (T_2 T_1) (x), ∀x ∈V .
•T_1 T_1 ^-1 =id_U ,T_1 ^-1 T_1=id_V .
Sonuç olarak G bir grupoiddir.


### Topolojik Uzay.
Herhangi bir X topolojik uzayı ele alalım. Bu uzaydaki bir noktadan başka bir noktaya giden yollar kategori teorisinde bir grupoid belirtir. Bu yolların kümesine G diyerek nesneler ve morfizmalar kümelerini aşağıdaki gibi tanımlayalım:
"(i)" ob(G) = X 
"(ii)" mor(G) = { [ φ] |φ[0,1] →X bir yol }.
Burada mor(G) kümesi homotopi denklik sınıflarından oluşmaktadır. Rastgele bir [ φ]∈mor(G) aldığımızda bu eleman φ'ye homotopik olan yolları içermektedir.
"(iii)" Rastgele bir x ∈X nesnesi alalım. id_x x →x fonksiyonunun x’ten x’e giden bir morfizma olduğunu gösterelim. id_x [0, 1] →X fonksiyonu bir yol olup bariz bir şekilde id_x ∈[id_x]olur. Sonuç olarak id_x ∈ morG(x,x) denilir.
"(iv)" Rastgele x, y, z ∈ ob(G)alalım. Herhangi iki [φ_1] ∈ morG(x, y), [φ_2] ∈ morG(y, z) morfizmalarını düşünelim. O zaman[φ_2][φ_1] morG(y, z) ×morG(x, y) → morG(x, z) öyle ki (φ_2, φ_1) ↦[φ_2][φ_1][φ_2][φ_1] = [φ_2 φ_1] iyi tanımlıdır, çünkü φ_2 φ_1 x →z şeklinde X uzayında bir yol belirtir. Sonuç olarak [φ_2][φ_1] ∈ morG(x, z)’dir.
"(v)" Rastgele x, y ∈ob(G) ve [φ] ∈ morG(x, y) alalım. Bariz bir şekilde [φ^-1 ]∈ morG(y, x)'dir.


### Tanımların denkliği.
Grupoidin grup teorisindeki tanımı ile kategori teorisindeki tanımı birbirine denktir.İspatını yaparken, bir G grupoidi, kategori teorisindeki gibi tanımlansın diyelim. Bu grupoidin grup teorisindeki tanımın özelliklerini sağladığını göstereceğiz.
G grupoidi kategori teorisindeki tanıma göre ikisi de boş kümeden farklı nesneler kümesinden ve morfizmalar kümesinden oluşur. Bu kümelere sırasıyla ob(G) ve mor(G) diyelim. Rastgele bir x ∈ ob(G) nesnesi alalım. x’ten x’e giden morfizmaların kümesi mor(x,x)'in bileşim, tersinirlik ve özdeşlik özelliklerini sağladığını gösterelim."(i)" Bileşim: Rastgele φ_1, φ_2, φ_3 ∈ mor(x,x) alalım. G’nin kategori teorisindeki tanımına göre φ_1 φ_2 ve φ_2 φ_3 tanımlıdır. Yine kategori teorisindeki tanıma göre (φ_1 φ_2)φ_3 = φ_1(φ_2 φ_3) özelliği sağlanır.
"(ii)" Tersinirlik: Herhangi bir φ∈ mor(x,x) morfizması alalım. Kategori teorisindeki tanıma göre her morfizmanın tersi vardır. Dolayısıyla φ’nin de tersi vardır ve φ^-1 x →x olur. Bu yüzden φ^-1 ∈ mor(x,x). Tekrar kategori teorisindeki tanıma göre φφ^-1 = id_x ve φ^-1 φ= id_x olur. Sonuç olarak tersinirlik özelliği sağlanır.
"(iii)" Özdeşlik: Herhangi iki φ_1 , φ_2 ∈ mor(x,x) morfizmaları alalım. φ_1 φ_2 ∈ mor(x,x) olduğunu biliyoruz. O halde• φ_1 φ_2 φ_2^-1 = φ_1 id= φ
• φ_1 ^-1 φ_1 φ_2 = id φ_2 = φ_2 
• ( φ_1^-1)^-1 = φ_1 ve
• (φ_1 φ_2)^-1 = φ_2^-1 φ_1^-1 özellikleri sağlanır.
"(ii)" mor(ff^-1, gg^-1) = { α∈G |ff^-1 α, αgg^-1 } kümeleri G grupoidinin sırasıyla nesneler ve morfizmalar kümeleridir. Böylece, kategori teorisindeki grupoid tanımına göre "(i)" ve "(ii)" sağlanmış olur.
"(iii)" Rastgele bir ff^-1 ∈ ob(G) nesnesi olsun. id_ff^-1 ff^-1 →ff^-1 şeklinde tanımlanır. Bu fonksiyonun mor(ff^-1, ff^-1) kümesinin bir elemanı olduğunu gösterelim. G’nin grup teorisindeki grupoid tanımından dolayı ff^-1 id_ff^-1 = ff^-1 ∈G ve id_ff^-1 ff^-1 = ff^-1 ∈G özellikleri sağlanacağından id_ff^-1 ∈ mor(ff^-1, ff^-1) olur.
"(iv)" Herhangi üç ff^-1,gg^-1,hh^-1 ∈ ob(G) nesnelerini ele alalım. Rastgele iki α_1 ∈ mor(ff^-1, gg^-1), α_2 ∈ mor(gg^-1,hh^-1) morfizmaları olsun. α_2 α_1’nın mor(ff^-1, hh^-1) olduğunu gösterelim. α_2, α_1 ∈G olduğundan α_2 α_1 ∈G olur dolayısıyla ff^-1 α_2 α_1 ∈G ve α_2 α_1 hh^-1 elde edilir. Sonuç olarak, α_2 α_1 ∈ mor(ff^-1, hh^-1) olur.
"(v)" Rastgele ff^-1,gg^-1 ∈ ob(G) nesneleri ve α∈ mor(ff^-1, gg^-1) morfizmasını ele alalım ve α_1 ∈ mor(gg^-1, ff^-1) olduğunu gösterelim. G, grup teorisindeki grupoid tanımını sağladığından α^-1 ∈G olmaktadır. α∈mor(ff^-1, gg^-1) olduğundan ff^-1 α∈G ve αgg^-1 ∈G sağlanmaktadır. Yine G’nin sağladığı tanımdan dolayı gg^-1 α^-1 = (αgg^-1)^-1 ve α^-1 ff^-1 = (ff^-1 α)^-1 olduğu görülür. Sonuç olarak gg^-1 α^-1 , α^-1 ff^-1 ∈G sağlanarak α^-1 ∈ mor(gg^-1, ff^-1) elde edilmiş olur.
Öte yandan ob(G) kümesi üzerinde ff^-1 ∼gg^-1 ⇔ff^-1 = gg^-1 olacak şekilde bir ∼ ilişkisi vardır.
Sonuç olarak G bir kategoridir.


## Önermeler.
Denklik bağıntısı ile ilişkisi
∼ ilişkisi, ob(G) üzerinde bir denklik bağıntısıdır.
Kanıtını şöyle açıklayabiliriz: f ∈mor_G(x, x) olan rastgele bir ff^-1 ∈ ob(G) alalım. Bariz bir şekilde ff^-1 olur. Dolayısıyla gg^-1 ∼ff^-1 ’dir. Böylelikle ∼ bağıntısının simetri özelliğini sağladığı görülür.Rastgele ff^-1 , gg^-1 , hh^1 ∈ ob(G) alalım. ff^-1 ∼gg^-1 ve gg^-1 ∼hh^-1 olduğunu varsayalım ve ff^-1 ∼hh^-1 olduğunu gösterelim.
 ff^-1 ∼gg^-1 ve gg^-1 ∼hh^-1 olduğundan; ff^-1 = gg^-1 ve gg^-1 = hh^-1 olur. Buradan da ff^-1 = hh^-1 eşitliğine ulaşılır. Dolayısıyla ff^-1 ∼hh^-1 ’dir. Sonuç olarak ∼ ilişkisi ob(G) kümesi üzerinde bir denklik bağıntısıdır.
Morfizma Kümesi ve Grup İlişkisi
Kategori teorisel herhangi bir G grupoidi alalım. Her x ∈ ob(G) nesnesi için mor(x, x) kümesi bir gruptur. Kanıtını açıklayalım;
• Kapalılık: Rastgele f,g ∈ mor(x, x) alalım. fg bileşke fonksiyonu da x’ten x’e giden bir morfizma olacağından mor(x, x) kümesi bileşke işlemi altında kapalıdır.
• Bileşim: Herhangi f,g,h ∈ mor(x, x) alalım. G grupoidinin kategori teorisindeki tanımına göre f(gh) = (fg)h eşitliği sağlandığından bileşke işlemi mor(x, x) kümesi içinde bileşim özelliğini sağlar.
• Birim eleman: G grupoidinin kategori teorisindeki tanımına göre her x ∈ ob(G) nesnesi için id_x ∈ mor(x, x) olduğundan ve f id_x = f, id_x f = f özellikleri sağlandığından birim eleman id_x vardır ve tektir.
• Ters eleman: Rastgele bir f ∈ mor(x, x) alalım. G’nin kategori teorisindeki tanımından f^-1 ∈ mor(x, x)’dir ve ff^-1 = id_x ve f^-1f = id_x olmaktadır.
Morfizma Kümesi ve Grup İzomorfizma İlişkisi
G bağlı bir grupoid olsun. Rastgele x, y ∈ ob(G) alalım.
Bir η∈ mor(y, x) morfizması için φ_ η mor(x, x) → mor(y, y) öyle ki γ↦ηγη^-1 bir grup izomorfizmasıdır. Yani:
"(i)" φ_ η bir grup homomorfizmasıdır.
"(ii)" φ_ η birebirdir.
"(iii)" φ_ η örtendir.
Kanıtını şöyle açıklayabiliriz:
  - Rastgele γ_1 γ_2 ∈ mor(x, x) alalım. O halde,
 φ_ η ( γ_1 γ_2) = ηγ_1 γ_2 η^-1
= ηγ_1 η^-1 ηγ_2 η^-1 
= φ_ η (γ_1) φ_ η (γ_2) 
Sonuç olarak φ_ η bir grup homomorfizmasıdır.
  - Herhangi iki γ_1 γ_2 ∈ mor(x, x) alalım ve φ_ η (γ_1) = φ_ η (γ_2) olsun. O halde,
 ηγ_1 η^-1 = ηγ_2 η^-1 
 γ_1 η^-1 = γ_2 η^-1 
Buradan da γ_1 = γ_2 elde edilir. O halde φ_ η birebirdir.
  - Görüntü kümesinden yani mor(y, y)’den bir f elemanı alalım. O halde öyle bir γ∈ mor(x, x) arıyoruz ki φ_ η( φ) = f olsun. O halde γ= η^-1 f η alırsak 
 φ_ η( γ) = φ_ η( η^-1 f η) = η( η^-1 f η) η^-1 = (ηη^-1 )f ( ηη^-1 ) = f olur. O halde φ_ η örtendir.
Sonuç olarak φ_ η bir grup izomorfizmasıdır.


## Temel gruba geçiş.
Rastgele bir x ∈ için mor(x, x) grubuna G grupoidinin temel grubu adı verilir.
 }}>