# Euler sayıları
Matematikte Euler sayıları, Taylor serisi açılımıyla tanımlanan bir "En" tam sayı dizisidir. (OEIS'de dizisi).
1/cosht = 2/e^t + e^ -t = ∑_n=0^∞E_n/n! ·t^n
Burada cosh(t), hiperbolik kosinüs fonksiyonudur. Euler sayıları, Euler polinomlarının özel bir değeriyle ilgilidir, yani:
E_n=2^nE_n(12)
Euler sayıları, sekant ve hiperbolik sekant fonksiyonlarının Taylor serisi açılımlarında görünmektedir. İkincisi, tanımdaki fonksiyondur. Ayrıca kombinatoriklerde, özellikle çift sayıda elemanlı bir kümenin alternatif permütasyonlarının sayısını sayarken ortaya çıkmaktadırlar.


## Örnekler.
Tek indeksli Euler sayılarının tümü sıfırdır. Çift indeksli olanlar, (OEIS'de dizisi) değişken işaretlere sahiptir. Bazı değerler şunlardır:
Bazı yazarlar, sıfır değerine sahip tek sayılı Euler sayılarını çıkarmak veya tüm işaretleri pozitif olarak değiştirmek için diziyi yeniden indekslemektedir (OEIS'de dizisi). Bu madde, yukarıda kabul edilen sözleşmeye bağlıdır.


## Açık formüller.
### İkinci tür Stirling sayıları.
Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını ikinci tür Stirling sayıları cinsinden ifade etmektedir.
 E_r=2^2r-1∑_k=1^r(-1)^kS(r,k)/k+1(3(1/4)^(k)-(3/4)^(k)), 
 E_2l=-4^2l∑_k=1^2l(-1)^k·S(2l,k)/k+1·(3/4)^(k),
Burada S(r,k) ikinci türden Stirling sayılarını göstermektedir ve x^(n)=(x)(x+1)⋯(x+n-1) yükselen faktöriyelini ifade etmektedir.


### Çift toplam.
Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını çift toplamlar olarak ifade etmektedir.
E_2k=(2 k+1)∑_ℓ=1^2k (-1)^ℓ1/2^ℓ(ℓ+1)2 kℓ∑_q=0^ℓℓq(2q-ℓ)^2k, 
E_2k=∑_i=1^2k(-1)^i 1/2^i∑_ℓ=0^2i(-1)^ℓ 2iℓ(i-ℓ)^2k. 


### Yinelemeli toplam.
Euler sayıları için açık bir formül:
E_2n=i∑_k=1^2n+1 ∑_j=0^k kj(-1)^j(k-2j)^2n+1/2^k i^k k,
Burada i, #YÖNLENDİRME ile hayali birimi göstermektedir.


### Bölümlerin toplamı.
Euler sayısı #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME 'nin çift bölümlerinin toplamı olarak ifade edilebilmektedir.
 E_2n = (2n)! ∑_0 ≤k_1, …, k_n ≤n K k_1, …, k_n
 δ_n,∑mk_m ( -1/2! )^k_1 ( -1/4! )^k_2
 ⋯( -1/(2n)! )^k_n ,
 - YÖNLENDİRME 'in tek bölümlerinin toplamının yanı sıra,
 E_2n = (-1)^n-1 (2n-1)! ∑_0 ≤k_1, …, k_n ≤2n-1
 K k_1, …, k_n
 δ_2n-1,∑(2m-1)k_m ( -1/1! )^k_1 ( 1/3! )^k_2
 ⋯( (-1)^n/(2n-1)! )^k_n , 
Her iki durumda da #YÖNLENDİRME ve
 K k_1, …, k_n
 ≡ K!/k_1! ⋯k_n!
çok terimli bir katsayıdır. Yukarıdaki formüllerdeki Kronecker deltaları, ks üzerindeki toplamları sırasıyla #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME .
Örnek olarak,
 E_10 amp; = 10! ( - 1/10! + 2/2! 8! + 2/4! 6!
 - 3/2!^2 6!- 3/2! 4!^2 +4/2!^3 4! - 1/2!^5) 
 amp; = 9! ( - 1/9! + 3/1!^2 7! + 6/1! 3! 5!
 +1/3!^3- 5/1!^4 5! -10/1!^3 3!^2 + 7/1!^6 3! - 1/1!^9) 
 amp; = -50 521.


### Determinant.
 - YÖNLENDİRME determinant tarafından verilmektedir.
 E_2n amp;=(-1)^n (2n)! 1/2! amp; 1 amp;  amp;   amp; 
 1/4! amp; 1/2! amp; 1 amp;  amp; 
 ⋮ amp;   amp; ⋱   amp;⋱   amp;  
 1/(2n-2)! amp; 1/(2n-4)! amp;   amp;1/2! amp; 1
 1/(2n)! amp;1/(2n-2)! amp; ⋯ amp; 1/4! amp; 1/2!.


### İntegral.
 - YÖNLENDİRME ayrıca aşağıdaki integrallerle verilmektedir:
 (-1)^n E_2n amp; = ∫_0^∞t^2n/coshπ t/2 dt =(2/π)^2n+1∫_0^∞x^2n/cosh x dx
 amp;=(2/π)^2n∫_0^1log^2n(tanπ t/4) dt =(2/π)^2n+1∫_0^π/2log^2n(tanx/2) dx
 amp;= 2^2n+3/π^2n+2∫_0^π/2 x log^2n (tan x) dx = (2/π)^2n+2∫_0^πx/2log^2n(tanx/2) dx.


## Kongrüanslar.
W. Zhang, herhangi bir asal p için Euler sayılarıyla ilgili aşağıdaki birleşik özdeşlikleri elde etmiştir.
(-1)^p-1/2 E_p-1 ≡ 0 p amp;eğer p≡14; 
 -2 p amp; eğer p≡34. 
W. Zhang ve Z. Xu herhangi bir p ≡1 4 asal ve α≥1 tam sayı için,
 E_ϕ(p^α)/2≢0 p^α 
burada ϕ(n), Euler'in totient işlevidir.


## Asimptotik yaklaşım.
Euler sayıları, aşağıdaki alt sınıra sahip oldukları için büyük endeksler için oldukça hızlı bir şekilde büyümektedir.
 |E_2 n| gt; 8 √( n/π ) (4 n/ πe)^2 n. 


## Euler zikzak sayıları.
Taylor serisi x + tanx = tan(π/4 + x/2)
∑_n=0^∞ A_n/n!x^n
An ile başlayan Euler zikzak sayıları
1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... (OEIS'de dizisi)
Hepsi için n,
A_n = (-1)^n/2 E_n
burada "En" Euler sayısıdır; ve tüm tek n için,
A_n = (-1)^n-1/22^n+1(2^n+1-1)B_n+1/n+1
"Bn" Bernoulli sayısıdır.
Her "n için",
A_n-1/(n-1)!sin(nπ/2)+∑_m=0^n-1A_m/m!(n-m-1)!sin(mπ/2)=1/(n-1)!