# Vektör uzayı
Vektör uzayı veya Yöney uzayı, matematikte ölçeklenebilir ve eklenebilir bir nesnelerin (vektörlerin) uzayına verilen isimdir. Daha resmî bir tanımla, bir vektör uzayı, iki elemanı arasında vektör toplamasının ve skaler denilen sayılarla çarpımın tanımlı olduğu ve bunların bazı aksiyomları sağladığı kümedir. Skalerler, rasyonal veya reel sayılar kümesinden gelebilir, ama herhangi bir cisim üzerinden bir vektör uzayı oluşturmak mümkündür. Vektör uzayları, skalerlerin geldiği cisime göre reel vektör uzayı, kompleks vektör uzayı veya genel bir cisim üzerinden K vektör uzayı şeklinde adlandırılır.
Vektör uzayları, geometride ve fizikte kullanılan ve bir yönü ve büyüklüğü olan Öklid Vektörlerininin bir genelleştirmesidir. Vektör uzayları Lineer Cebrin temelini oluşturur ve sadece yönü ve büyüklüğü olan vektörleri tasvir etmekle kalmayıp lineer denklem sistemlerinin çözümü, fonksiyon analizi, kuantum fiziği, bilgisayar bilimi, rölativite ve iktisat gibi bir sürü alanda kullanımlara sahiptir.
Bir vektör uzayı, boyut denilen bir nicelik ile karekterize edilir. Boyutu ve tanımlandığı cismi aynı olan iki vektör uzayı birbirine izomorftur. Boyutu bir doğal sayı olan vektör uzaylarına sonlu boyutlu denir. Sonsuz boyutlu vektör uzaylarının boyutu ise bir kardinaldir. Sonsuz boyutlu vektör uzayları özellikle fonksiyonal analizde çok kullanılır.
Toplama ve skaler çarpımı dışında yapılara sahip olan genişletilmiş vektör uzayları da mevcuttur. İki vektör arasında çarpımın tanımlı olduğu vektör uzaylarına cebir denir.


## Tanımlar ve Özellikler.
 - YÖNLENDİRME bir cisim olsun. Boş olmayan bir  YÖNLENDİRME kümesi, bir  YÖNLENDİRME vektör uzayı ise  YÖNLENDİRME üzerinde iki işlemin tanımlı olması gerekir:
  - Vektör toplaması işlemi,  YÖNLENDİRME kümesinin keyfî iki elemanı olan  YÖNLENDİRME ve  YÖNLENDİRME vektörlerini alır ve sonuç olarak yine  YÖNLENDİRME kümesinin bir elemanı olan  YÖNLENDİRME 'yi verir.
  - Skaler çarpımı işlemi,  YÖNLENDİRME cisminden herhangi bir  YÖNLENDİRME elemanını,  YÖNLENDİRME kümesinden de herhangi bir  YÖNLENDİRME elemanını alır ve karşılığında yine  YÖNLENDİRME kümesinin bir elemanı olan  YÖNLENDİRME elemanını verir.
 - YÖNLENDİRME 'nın elemanlarına skaler,  YÖNLENDİRME 'nin elemanlarına ise vektör denir. Bu iki işlem, aynı zamanda birtakım aksiyomları sağlar:
Eğer skalerler reel sayılardan geliyorsa buna bir reel vektör uzayı, kompleks sayılardan geliyorsa da kompleks vektör uzayı denir. Ancak skalerler herhangi bir cisimden gelmesi mümkündür. Bu aksiyomlar doğrudan aşağıdaki özelliklere sebep olur:
  - 0𝐯 = 0
  - λ0=0
  - (-1)𝐯 = -𝐯
  - λ𝐯 = 0 ise ya λ=0 ya da 𝐯= 0


## Terimler.
  - Altuzay Eğer  YÖNLENDİRME ,  YÖNLENDİRME 'nin bir altkümesi ise ve  YÖNLENDİRME kendi içinde bir vektör uzayı ise  YÖNLENDİRME 'ya  YÖNLENDİRME 'nin bir altuzayı denir.
  - Lineer Kombinasyon Birtakım 𝐯_1, 𝐯_2, 𝐯_3, ... vektörleri ve λ_1, λ_2, λ_3, ... skalerleri için λ_1 𝐯_1 + λ_2 𝐯_2 + λ_3 𝐯_3 + ... toplamına, o vektörlerin bir lineer kombinasyonu denir.
  - Lineer Bağımsızlık Eğer verilen birtakım 𝐯_1, 𝐯_2, 𝐯_3, ... vektörleri arasından birisi, diğerlerinin lineer kombinasyonu olarak yazılabiliyorsa bu vektörlere lineer bağımlı denir. Eğer bu vektörlerin hiçbiri diğerleri cinsinden yazılamıyorsa bu vektörler kümesi lineer bağımsızdır. Lineer bağımsız vektörler lineer cebirde önemlidir, çünkü eğer bi vektörü birtakım lineer bağımsız vektörün lineer kombinasyonu olarak göstermek mümkünse, aynı zamanda bu gösterim biriciktir.
  - Span 𝐯_1, 𝐯_2, 𝐯_3, ... vektörlerinin span'i, bu vektörleri içeren tüm altuzayların kesişimine denir. Buna eşdeğer bir tanım ise, bu vektörlerin mümkün olan tüm lineer kombinasyonlarından oluşan vektör uzayına da 𝐯_1, 𝐯_2, 𝐯_3, ...'nin span'i demektir. Bu, ⟨𝐯_1, 𝐯_2, 𝐯_3, ...⟩ şeklinde gösterilir.
  - Üretici küme 𝐯_1, 𝐯_2, 𝐯_3, ... vektörlerinin span'i, tüm vektör uzayı  YÖNLENDİRME 'yi kapsıyorsa bu vektörler,  YÖNLENDİRME 'nin üreticileridir.
  - Baz ℬ = {𝐯_1, 𝐯_2, 𝐯_3, ...} kümesi, hem lineer bağımsız, hem de bir üretici küme ise ℬ'ye bir baz denir. Bir vektör uzayının bazı biricik değildir, ancak  YÖNLENDİRME için akla gelebilecek tüm baz kümelerin eleman sayısı eşittir.
  - Boyut  YÖNLENDİRME bir vektör uzayı olsun.  YÖNLENDİRME için bulunabilen tüm baz kümelerinin eleman sayısı eşit olduğundan, bu sayıya vektör uzayının boyutu ismi verilir. Bir vektör uzayında birbirinden lineer bağımsız en fazla o vektör uzayının boyutu kadar vektör bulunabilir. Aynı şekilde, bir vektör uzayını üreten tüm kümelerin eleman sayısı en az o vektör uzayının boyutu kadardır. Dolayısıyla hem lineer bağımsız hem de üretici bir kümede tamı tamına boyut kadar vektör bulunur.


## Örnekler.
### Bir düzlemde bulunan oklar.
Kartezyen düzlemde bulunan oklar üzerinden bir reel vektör uzayı tanımlamak mümkündür. Vektör toplamı, iki oku uç uca yerleştirip, birinin başından diğerinin ucuna çizilmesiyle bulunur. Skaler çarpımı ise, bir vektörü alıp uzunluğunu skaler kadar gererek hesaplanır. Negatif bir sayıyla çarpım ise vektörün yön değiştirip uzunluğunun sayının mutlak değeriyle çarpıması vasıtasıyla tanımlanır. Bu tanımlar altında oklar bir reel vektör uzayı teşkil eder.
Bu vektör uzayının boyutu 2'dir. Aynı doğrultuda bulunmayan herhangi iki vektör ise bir baz teşkil eder. Bu uzayın alt uzayları ise; uzayın kendisi, orijinden geçen doğrular ve sadece orijin noktasından oluşan sıfır uzayıdır.


### Sayı çiftleri.
ℝ^2'den alınan sayı çiftleri üzerinde bir vektör uzayı yapısı tanımlamak mümkündür. İki çiftin toplamı,
şeklinde, skaler çarpımı ise
λ(x, y) = (λx, λy)
şeklinde tanımlanabilir. Bu vektör uzayı yine 2 boyutludur. Burada lineer bağımlı iki vektör örneği vermek gerekirse (1, 2) ve (2, 4) verilebilir. Baz olarak da standart baz olarak adlandırılan ℬ = {(1, 0), (0, 1)} kümesi örnek verilebilir.


### Sayı n-lileri.
Daha genel olarak, herhangi bir 𝕂 cismi için 𝕂^n'de bulunan tüm n'li sayı dizileri de yukarıda tanımlanan şekilde n boyutlu bir 𝕂 vektör uzayı teşkil eder.
Şimdi #YÖNLENDİRME bir n boyutlu 𝕂 vektör uzayı olsun. Eğer ℬ = {b_1, b_2, b_3, ... ,b_n} bir baz kümesi ise, #YÖNLENDİRME 'deki her elemanı 𝐯 = λ_1 b_1 + λ_2 b_2 + ... + λ_n b_n şeklinde yazmak mümkündür ve en önemlisi ise bunu sağlayan λ_1, λ_2, λ_3, ... katsayıları biriciktir. Dolayısıyla #YÖNLENDİRME 'deki herhangi bir vektör, (λ_1, λ_2, λ_3, ..., λ_n) şeklinde temsil edilebilir. Yani 𝕂^n uzayları, akla gelebilecek tüm soyut vektör uzaylarını somut bir şekilde temsil etmenin bir yoludur.