# Teorik popülasyon ekolojisi
Popülasyon ekolojisi, tür popülasyonlarının dinamikleri ve bu popülasyonların çevre ile nasıl etkileşime girdiği ile ilgilenen ekolojinin bir alt alanıdır. Gruplar halinde birlikte yaşayan türlerin popülasyon büyüklüklerinin zaman ve mekan içinde nasıl değiştiğinin incelenmesidir ve ekolojinin matematiksel olarak incelenen ve modellenen ilk yönlerinden biridir.


## Üstel büyüme.
Popülasyon dinamiklerini modellemenin en temel yolu, bir popülasyonun büyüme hızının sadece o andaki popülasyon büyüklüğüne ve organizmanın kişi başına büyüme hızına bağlı olduğunu varsaymaktır. Başka bir deyişle, bir popülasyondaki birey sayısı t anında N(t ise) o zaman nüfus artış hızı şu şekilde verilmektedir:
 dN(t)/dt=rN(t) 
burada r kişi başına büyüme hızı veya organizmanın içsel büyüme hızıdır. Ayrıca r = b-d olarak da tanımlanabilmektedir. Burada b ve d sırasıyla kişi başına zamanla değişmeyen doğum ve ölüm oranlarıdır. Bu birinci mertebeden lineer diferansiyel denklem, çözümü verecek şekilde çözülebilmektedir.
 N(t) = N(0) e^rt ,
Dinamiklerini ilk kez 1798'de tanımlayan Thomas Malthus'tan sonra Malthus büyümesi olarak bilinen bir yörünge. Malthus büyümesi yaşayan bir popülasyon, N(0)'ın ilk popülasyon büyüklüğü olduğu üstel bir eğri izlemektedir. Popülasyon r > 0 olduğunda büyümektedir ve r < 0 olduğunda azalmaktadır. Model en çok, birkaç organizmanın bir koloniye başladığı ve büyümelerini engelleyen herhangi bir sınırlama veya kısıtlama olmaksızın hızla büyüdüğü durumlarda (örneğin zengin ortamda aşılanmış bakteriler) uygulanabilmektedir.


## Lojistik büyüme.
Üstel büyüme modeli, çoğu zaman geçerli olmayan bir dizi varsayımda bulunmaktadır. Örneğin, birçok faktör içsel büyüme oranını etkilemektedir ve genellikle zamanla değişmez değildir. Üstel büyümenin basit bir modifikasyonu, içsel büyüme oranının nüfus büyüklüğüne göre değiştiğini varsaymaktır. Bu mantıklıdır: nüfus ne kadar büyükse, o kadar az kaynak bulunur, bu da daha düşük doğum oranı ve daha yüksek ölüm oranıyla sonuçlanabilmektedir. Dolayısıyla, zamanla değişmeyen r'yi r'(t) = (b –a*N(t)) – (d + c*N(t)) ile değiştirebiliriz, burada a ve c doğum ve ölümü modüle eden sabitlerdir. Nüfusa bağlı bir şekilde oranlar (örneğin, türler arası rekabet). Hem a hem de c, şimdilik bu yaklaşık modelde sabit olduğunu varsayabileceğimiz diğer çevresel faktörlere bağlı olacaktır. Diferansiyel denklem şimdi:
 dN(t)/dt=((b-aN(t))-(d-cN(t)))N(t) 
Bu şu şekilde yeniden yazılabilir:
 dN(t)/dt=rN(t) (1-N/K) 
burada = b-d ve K = (b-d)/(ac).
K'nin biyolojik önemi, sistemin dengelerinin kararlılıkları göz önüne alındığında ortaya çıkmaktadır. Sabit K, popülasyonun taşıma kapasitesidir. Sistemin dengeleri N = 0 ve N = K'dir. Sistem lineerleştirilirse, N = 0'ın kararsız bir denge olduğu, K'nin ise kararlı bir denge olduğu görülebilmektedir.


## Yapılandırılmış nüfus artışı.
Üstel büyüme modelinin bir başka varsayımı, bir popülasyondaki tüm bireylerin aynı olduğu ve aynı hayatta kalma ve üreme olasılıklarına sahip olmasıdır. Bu, karmaşık yaşam öykülerine sahip türler için geçerli bir varsayım değildir. Üstel büyüme modeli, farklı yaş sınıflarındaki (örneğin bir, iki ve üç yaşındakiler) veya farklı aşama sınıflarındaki (gençler, alt yetişkinler ve yetişkinler) bireylerin sayısını izleyerek bunu hesaba katmak için değiştirilebilmektedir. Bu modelin genel şekli:
𝐍_t+1 = 𝐋𝐍_t
burada Nt, t zamanında her sınıftaki birey sayısının bir vektörüdür ve L, her sınıf için hayatta kalma olasılığını ve doğurganlığı içeren bir matristir. L matrisi, yaş yapılı modeller için Leslie matrisi ve aşama yapılı modeller için Lefkovitch matrisi olarak adlandırılmaktadır.
L'deki parametre değerleri belirli bir popülasyona ilişkin demografik verilerden tahmin ediliyorsa, bu popülasyonun uzun vadede büyümesinin mi yoksa azalmasının mı beklendiğini ve popülasyon içindeki beklenen yaş dağılımının ne olacağını tahmin etmek için yapılandırılmış bir model olarak kullanılabilmektedir. Bu, deniz kaplumbağaları ve sağ balinalar da dahil olmak üzere bir dizi tür için yapılmıştır.