# Trigonometrik özdeşliklerin ispatları
Trigonometrik fonksiyonları tanımlamanın birkaç eşdeğer yolu vardır ve bunlar arasındaki trigonometrik özdeşliklerin kanıtları seçilen tanıma bağlıdır. En eski ve en temel tanımlar dik üçgenlerin geometrisine ve kenarları arasındaki orana dayanır. Bu makalede verilen kanıtlar bu tanımları kullanır ve dolayısıyla bir dik açıdan büyük olmayan negatif olmayan açılar için geçerlidir. Daha büyük ve negatif açılar için Trigonometrik fonksiyonlar bölümüne bakınız.
Diğer tanımlar ve dolayısıyla diğer kanıtlar sinüs ve kosinüsün Taylor serisine veya f” + f = 0 diferansiyel denkleminin çözümlerine dayanır.


## Temel trigonometrik özdeşlikler.
### Tanımlar.
Altı trigonometrik fonksiyon, bazıları için 0'dan dik açının (90°) katları kadar farklı olan açılar hariç, her gerçel sayı için tanımlanmıştır. Sağdaki diyagrama bakılırsa, θ'nın altı trigonometrik fonksiyonu, dik açıdan daha küçük açılar içindir:
 sinθ= karşı kenar/hipotenüs = a/h
 cosθ= komşu kenar/hipotenüs = b/h
 tanθ= karşı kenar/komşu kenar = a/b
 θ= komşu kenar/karşı kenar = b/a
 θ= hipotenüs/komşu kenar = h/b
 θ= hipotenüs/karşı kenar = h/a


### Oran özdeşlikleri.
Bir dik açıdan daha küçük açılar söz konusu olduğunda, aşağıdaki özdeşlikler bölme özdeşliği aracılığıyla yukarıdaki tanımların doğrudan sonuçlarıdır
 a/b= (a/h)/(b/h) .
90°'den büyük açılar ve negatif açılar için geçerli olmaya devam ederler.
 tanθ= karşı kenar/komşu kenar
= ( karşı kenar/hipotenüs ) / ( komşu kenar/hipotenüs) 
= sinθ/cosθ 
 θ=komşu kenar/karşı kenar
= ( komşu kenar/komşu kenar ) / ( karşı kenar/komşu kenar ) 
= 1/tanθ = cosθ/sinθ 
 θ= 1/cosθ = hipotenüs/komşu kenar 
 θ= 1/sinθ = hipotenüs/karşı kenar 
 tanθ= karşı kenar/komşu kenar
= (karşı kenar ×hipotenüs/karşı kenar ×komşu kenar ) / ( komşu kenar ×hipotenüs/karşı kenar ×komşu kenar ) 
= ( hipotenüs/komşu kenar )/ ( hipotenüs/karşı kenar )
= θ/θ 
Veya
 tanθ= sinθ/cosθ
= ( 1/θ ) /( 1/θ ) 
= ( θθ/θ ) /( θθ/θ ) 
= θ/θ 
 θ= θ/θ


### Tümler açı özdeşlikleri.
Toplamı π/2 radyan (90 derece) olan iki açı "tümler (veya tamamlayıcı veya dikler)”dir. Şekilde, A ve B köşelerindeki açılar tümlerdir, bu nedenle a ve b'yi değiştirebilir ve θ'yı π/2 - θ olarak değiştirerek elde edebiliriz:
 sin( π/2-θ) = cosθ
 cos( π/2-θ) = sinθ
 tan( π/2-θ) = θ
 ( π/2-θ) = tanθ
 ( π/2-θ) = θ
 ( π/2-θ) = θ


### Pisagor özdeşlikleri.
Özdeşlik 1:
sin^2θ+ cos^2θ= 1
Bu ve oran özdeşliklerinden aşağıdaki iki sonuç çıkar. İlkini elde etmek için, sin^2θ+ cos^2θ= 1 ifadesinin her iki tarafını cos^2θ'ya ikincisi için sin^2θ'ya bölün.
tan^2θ+ 1 = ^2θ
^2θ- tan^2θ= 1 
Benzer şekilde,
1 + ^2θ= ^2θ
^2θ- ^2θ= 1
Özdeşlik 2:
Aşağıda her üç ters fonksiyon da açıklanmaktadır.
 ^2θ+ ^2θ- ^2θ= 2 + tan^2θ
İspat 2:
Yukarıdaki üçgen şekline bakınız. Pisagor teoremine göre a^2+b^2=h^2 olduğuna dikkat edin.
^2θ+ ^2θ= h^2/a^2 + h^2/b^2 = a^2+b^2/a^2 + a^2+b^2/b^2 = 2 + b^2/a^2 + a^2/b^2
Uygun fonksiyonlarla yer değiştirdiğimizde -
 2 + b^2/a^2 + a^2/b^2 = 2 + tan^2θ+ ^2θ
Yeniden düzenlersek:
 ^2θ+ ^2θ- ^2θ= 2 + tan^2θ


### Açı toplam özdeşlikleri.
#### Sinüs.
Yatay bir çizgi ("x"-ekseni) çizin; bir O orijini işaretleyin. O'dan yatay çizginin üzerinde α açısında bir çizgi ve bunun üzerinde β açısında ikinci bir çizgi çizin; ikinci çizgi ile "x"-ekseni arasındaki açı α+ β'dır.
P'yi α+ β ile tanımlanan doğru üzerine orijinden birim uzaklıkta yerleştirin.
PQ, α açısıyla tanımlanan OQ doğrusuna dik bir doğru olsun ve bu doğru üzerindeki Q noktasından P noktasına çizilsin. ∴ OQP bir dik açıdır.
QA, "x"-ekseni üzerindeki A noktasından Q'ya ve PB, "x"-ekseni üzerindeki B noktasından P'ye bir dik olsun.
QR "x"-eksenine paralel olacak şekilde R'yi PB üzerine çizin.
Şimdi RPQ = α açısı (çünkü OQA = π/2 - α, RQO = α, RQP = π/2-α ve son olarak RPQ = α yapar.)
RPQ = π2 - RQP = π2 - (π2 - RQO) = RQO = α
OP = 1
PQ = sinβ
OQ = cosβ
AQ/OQ = sinα, so AQ = sinαcosβ
PR/PQ = cosα, so PR = cosαsinβ
sin(α+ β) = PB = RB+PR = AQ+PR = sinαcosβ+ cosαsinβ
β yerine -β koyarak ve tek ve çift fonksiyonlar için yansıma özdeşliklerini kullanarak da elde ederiz:
sin(α- β) = sinαcos(-β) + cosαsin(-β)
sin(α- β) = sinαcosβ- cosαsinβ


#### Kosinüs.
Yukarıdaki şekli kullanarak,
OP = 1
PQ = sinβ
OQ = cosβ
OA/OQ = cosα, so OA = cosαcosβ
RQ/PQ = sinα, so RQ = sinαsinβ
cos(α+ β) = OB = OA-BA = OA-RQ = cosαcosβ - sinαsinβ
β yerine -β koyarak ve tek ve çift fonksiyonlar için yansıma özdeşliklerini kullanarak da elde ederiz:
cos(α- β) = cosαcos(-β) - sinαsin(-β),
cos(α- β) = cosαcosβ+ sinαsinβ
Ayrıca, tümler açı formülleri kullanılarak,
 cos (α + β) amp; = sin( π/2-(α + β)) 
 amp; = sin( (π/2-α) - β) 
 amp; = sin( π/2-α) cosβ - cos( π/2-α) sinβ
 amp; = cosαcosβ - sinαsinβ


#### Tanjant ve kotanjant.
Sinüs ve kosinüs formüllerinden şunu elde ederiz
tan(α+ β) = sin(α+ β)/cos(α+ β)
= sinαcosβ+ cosαsinβ/cosαcosβ- sinαsinβ
Hem pay hem de paydayı cosαcosβ ile bölersek, şunu elde ederiz
tan(α+ β) = tanα+ tanβ/1 - tanαtanβ
 β değerini, α değerinden tan(- β) = -tanβ eşitliği yardımıyla çıkarırsak,
tan(α- β) = tanα+ tan(-β)/1 - tanαtan(-β) = tanα- tanβ/1 + tanαtanβ
Benzer şekilde, sinüs ve kosinüs formüllerinden şunu elde ederiz
= cosαcosβ- sinαsinβ/sinαcosβ+ cosαsinβ
Daha sonra hem pay hem de paydayı sinαsinβ ile bölerek şunu elde ederiz
(α+ β) = αβ- 1/α+ β
Ya da θ= 1/tanθ eşitliğini kullanarak,
(α+ β) = 1 - tanαtanβ/tanα+ tanβ
= 1/tanαtanβ - 1/1/tanα + 1/tanβ
= αβ- 1/α+ β 
(- β) = -β eşitliğini kullanarak,
(α- β) = α(-β) - 1/ α+ (-β) = αβ+ 1/β- α


### Çift açı özdeşlikleri.
Açı toplam özdeşliklerinden şunu elde ederiz
sin(2 θ) = 2 sinθcosθ
ve
cos(2 θ) = cos^2 θ- sin^2 θ
Pisagor özdeşlikleri bunlardan ikincisi için iki alternatif form verir:
cos(2 θ) = 2 cos^2 θ- 1
cos(2 θ) = 1 - 2 sin^2 θ
Açı toplam özdeşlikleri de şunları verir
tan(2 θ) = 2 tanθ/1 - tan^2 θ = 2/θ- tanθ
(2 θ) = ^2 θ- 1/2 θ = θ- tanθ/2
Ayrıca Euler formülü kullanılarak da kanıtlanabilir.
 e^i φ=cosφ+i sinφ
Her iki tarafın karesi alındığında
 e^i 2φ=(cosφ+i sinφ)^2
Ancak açıyı, denklemin sol tarafında aynı sonucu veren iki katına çıkarılmış versiyonu ile değiştirirsek
 e^i 2φ=cos2φ+i sin2φ
Bundan şu sonuç çıkar
(cosφ+i sinφ)^2=cos2φ+i sin2φ.
Kareyi genişletmek ve denklemin sol tarafını sadeleştirmek şu sonucu verir
i(2 sinφcosφ) + cos^2 φ- sin^2 φ = cos2φ+i sin2φ.
Sanal ve gerçek kısımlar aynı olmak zorunda olduğundan, orijinal özdeşliklerle baş başa kalırız
cos^2 φ- sin^2 φ = cos2φ,
ve ayrıca
2 sinφcosφ= sin2φ.


### Yarım açı özdeşlikleri.
cos 2θ için alternatif formları veren iki özdeşlik aşağıdaki denklemlere yol açar:
cosθ/2 = ± √(%s/%s)1 + cosθ2,
sinθ/2 = ± √(%s/%s)1 - cosθ2.
Karekök işaretinin doğru seçilmesi gerekir -θ'ya 2π eklenirse, kareköklerin içindeki büyüklüklerin değişmediğini, ancak denklemlerin sol taraflarının işaret değiştirdiğini unutmayın. Bu nedenle, kullanılacak doğru işaret θ değerine bağlıdır.
Tan fonksiyonu için denklem şöyledir:
tanθ/2 = ± √(%s/%s)1 - cosθ1 + cosθ.
Daha sonra karekök içindeki pay ve paydayı (1 + cos θ) ile çarpmak ve Pisagor özdeşliklerini kullanmak şu sonucu verir:
tanθ/2 = sinθ/1 + cosθ.
Ayrıca, pay ve paydanın her ikisi de (1 - cos θ) ile çarpılırsa, sonuç şu olur:
tanθ/2 = 1 - cosθ/sinθ.
Bu aynı zamanda şunu da verir:
tanθ/2 = θ- θ.
Benzer düzenlemeler cot fonksiyonu için de geçerlidir:
θ/2 = ± √(%s/%s)1 + cosθ1 - cosθ = 1 + cosθ/sinθ = sinθ/1 - cosθ = θ+ θ.


### Çeşitli – üçlü tanjant özdeşliği.
Eğer ψ+ θ+ ϕ= π= yarım çember ise (örneğin, ψ, θ ve ϕ bir üçgenin açılarıdır),
tan(ψ) + tan(θ) + tan(ϕ) = tan(ψ)tan(θ)tan(ϕ).
İspat:
 ψ amp; = π - θ - ϕ
 tan(ψ) amp; = tan(π - θ - ϕ) 
 amp; = - tan(θ + ϕ) 
 amp; = - tanθ - tanϕ/1 - tanθtanϕ
 amp; = tanθ + tanϕ/tanθtanϕ - 1
 (tanθtanϕ - 1) tanψ amp; = tanθ + tanϕ
 tanψtanθtanϕ - tanψ amp; = tanθ + tanϕ
 tanψtanθtanϕ amp; = tanψ + tanθ + tanϕ


### Çeşitli – üçlü kotanjant özdeşliği.
Eğer ψ+ θ+ ϕ= π2 = çeyrek çember ise,
 (ψ) + (θ) + (ϕ) = (ψ)(θ)(ϕ).
İspat:
ψ, θ ve ϕ açılarının her birini tümler açılarıyla değiştirin, böylece kotanjantlar tanjantlara dönüşür ve bunun tersi de geçerlidir.
ψ+ θ+ ϕ= π2
∴(π2-ψ) + (π2-θ) + (π2-ϕ) = 3π2 - (ψ+θ+ϕ) = 3π2 - π2 = π
verildiğinde sonuç üçlü tanjant özdeşliğinden çıkar.


### Çarpım-toplam özdeşlikleri.
  - sinθ±sinϕ= 2 sin( θ±ϕ/2 ) cos( θ∓ϕ/2 )
  - cosθ+ cosϕ= 2 cos( θ+ϕ/2 ) cos( θ-ϕ/2 ) 
  - cosθ- cosϕ= -2 sin( θ+ϕ/2 ) sin( θ-ϕ/2 ) 


#### Sinüs özdeşliklerinin ispatı.
İlk olarak, toplam-açı özdeşlikleri ile başlayın:
sin(α+ β) = sinαcosβ+ cosαsinβ
sin(α- β) = sinαcosβ- cosαsinβ
Bunları toplayarak,
sin(α+ β) + sin(α- β) = sinαcosβ+ cosαsinβ+ sinαcosβ- cosαsinβ= 2 sinαcosβ
Benzer şekilde, iki toplam açı özdeşliğini çıkararak,
sin(α+ β) - sin(α- β) = sinαcosβ+ cosαsinβ- sinαcosβ+ cosαsinβ= 2 cosαsinβ
α+ β= θ ve α- β= ϕ olsun,
∴α= θ+ ϕ/2 ve β= θ- ϕ/2 
θ ve ϕ yerine
sinθ+ sinϕ= 2 sin( θ+ ϕ/2 ) cos( θ- ϕ/2 ) 
sinθ- sinϕ= 2 cos( θ+ ϕ/2 ) sin( θ- ϕ/2 ) = 2 sin( θ- ϕ/2 ) cos( θ+ ϕ/2 ) 
Dolayısıyla,
sinθ±sinϕ= 2 sin( θ±ϕ/2 ) cos( θ∓ϕ/2 ) 


#### Kosinüs özdeşliklerinin ispatı.
Benzer şekilde kosinüs için de toplam-açı özdeşlikleri ile başlayın:
cos(α+ β) = cosαcosβ - sinαsinβ
cos(α- β) = cosαcosβ+ sinαsinβ
Tekrar, toplama ve çıkarma yaparak
cos(α+ β) + cos(α- β) = cosαcosβ - sinαsinβ+ cosαcosβ+ sinαsinβ= 2cosαcosβ
cos(α+ β) - cos(α- β) = cosαcosβ - sinαsinβ- cosαcosβ- sinαsinβ= -2 sinαsinβ
θ ve ϕ değerlerini daha önce olduğu gibi yerine koyun,
cosθ+ cosϕ= 2 cos( θ+ϕ/2 ) cos( θ-ϕ/2 ) 
cosθ- cosϕ= -2 sin( θ+ϕ/2 ) sin( θ-ϕ/2 ) 


### Eşitsizlikler.
Sağdaki şekil, yarıçapı 1 olan bir çemberin bir sektörünü göstermektedir. Sektör tüm çemberin #YÖNLENDİRME 'sıdır, dolayısıyla alanı #YÖNLENDİRME 'dir. Burada #YÖNLENDİRME .
OA = OD = 1
AB = sinθ
CD = tanθ
 - YÖNLENDİRME üçgeninin alanı  YÖNLENDİRME veya  YÖNLENDİRME 'dir. Üçgenin  YÖNLENDİRME alanı  YÖNLENDİRME veya  YÖNLENDİRME 'dir.
 - YÖNLENDİRME üçgeni tamamen sektörün içinde yer aldığından ve sektör de tamamen  YÖNLENDİRME üçgeninin içinde yer aldığından,
sinθ lt; θ lt; tanθ.
Bu geometrik argüman, varsayım olarak hareket eden yay uzunluğu ve alan tanımlarına dayanır, bu nedenle kanıtlanabilir bir özellikten ziyade trigonometrik fonksiyonların yapımında dayatılan bir koşuldur. Sinüs fonksiyonu için diğer değerleri de ele alabiliriz. Eğer #YÖNLENDİRME ise, #YÖNLENDİRME . Ancak #YÖNLENDİRME (Pisagor özdeşliği nedeniyle), bu nedenle #YÖNLENDİRME . O halde elimizde,
sinθ/θ lt; 1 0 lt; θ ise.
Negatif #YÖNLENDİRME değerleri için sinüs fonksiyonunun simetrisi gereği
sinθ/θ = sin(-θ)/-θ lt; 1.
Dolayısıyla
sinθ/θ lt; 1 θ0 ise,
ve
tanθ/θ gt; 1 0 lt; θ lt; π/2 ise.


## Kalkülüs içeren özdeşlikler.
### Önbilgiler.
lim_θ→0sinθ = 0
lim_θ→0cosθ = 1


### Sinüs ve açı oranı özdeşliği.
lim_θ→0sinθ/θ = 1
Başka bir deyişle, sinüs fonksiyonu 0'da türevlenebilirdir ve türevi 1'dir.
İspat: Önceki eşitsizliklerden, küçük açılar için
sinθ lt; θ lt; tanθ,
Bu nedenle,
sinθ/θ lt; 1 lt; tanθ/θ,
Sağ taraftaki eşitsizliği göz önünde bulundurun. O zaman,
tanθ= sinθ/cosθ 
∴1 lt; sinθ/θcosθ 
cosθ ile çarpın
cosθ lt; sinθ/θ 
Sol taraftaki eşitsizlik ile birleştirildiğinde:
cosθ lt; sinθ/θ lt; 1 
cosθ değerinin θ→0 limitini alırsak
lim_θ→0cosθ = 1
Böylece,
lim_θ→0sinθ/θ = 1


### Kosinüs ve açı oranı özdeşliği.
lim_θ→01 - cosθ/θ = 0
İspat:
 1 - cosθ/θ amp; = 1 - cos^2 θ/θ (1 + cosθ)
 amp; = sin^2 θ/θ (1 + cosθ)
 amp; = ( sinθ/θ) ×sinθ×( 1/1 + cosθ)
Bu üç niceliğin limitleri 1, 0 ve 1/2'dir, dolayısıyla sonuçta elde edilen limit sıfırdır.


### Kosinüs ve açının karesi oranı özdeşliği.
 lim_θ→01 - cosθ/θ^2 = 1/2 
İspat:
Önceki kanıtta olduğu gibi,
1 - cosθ/θ^2 = sinθ/θ ×sinθ/θ ×1/1 + cosθ.
Bu üç niceliğin limitleri 1, 1 ve 1/2'dir, dolayısıyla ortaya çıkan limit 1/2'dir.


### Trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonların bileşimlerinin ispatı.
Tüm bu fonksiyonlar, Pisagor trigonometrik özdeşliğinden kaynaklanır. Örneğin şu fonksiyonu kanıtlayabiliriz
sin[arctan(x)]=x/√(1+x^2)
İspat:
Şuradan başlayalım;
sin^2θ+cos^2θ=1 (I)
Daha sonra bu (I) denklemini cos^2θ'a bölersek
cos^2θ=1/tan^2θ+1 (II)
1-sin^2θ=1/tan^2θ+1
Ardından θ=arctan(x) ifadesini yerine koyun:
1-sin^2[arctan(x)]=1/tan^2[arctan(x)]+1
sin^2[arctan(x)]=tan^2[arctan(x)]/tan^2[arctan(x)]+1
Daha sonra tan[arctan(x)]≡x özdeşliğini kullanırız.
sin[arctan(x)]=x/√(x^2+1) (III)
Ve ilk Pisagor trigonometrik özdeşliği kanıtlandı...
Benzer şekilde bu (I) denklemini sin^2θ'e bölersek
sin^2θ=1/1/1+1/tan^2θ (II)
sin^2θ=tan^2θ/tan^2θ+1
Ardından θ=arctan(x) ifadesini yerine koyun:
sin^2[arctan(x)]=tan^2[arctan(x)]/tan^2[arctan(x)]+1
Daha sonra tan[arctan(x)]≡x özdeşliğini kullanırız.
sin[arctan(x)]=x/√(x^2+1) (III)
Ve ilk Pisagor trigonometrik özdeşliği kanıtlandı...
[arctan(x)]=[arcsin(x/√(x^2+1))]
y=x/√(x^2+1)
y^2=x^2/x^2+1 (IV)
Kanıtlamamız gereken şeyi tahmin edelim:
x=y/√(1-y^2)
x^2=y^2/1-y^2 (V)
(V)'i (IV) ile değiştirirsek:
y^2=y^2/(1-y^2)/y^2/(1-y^2)+1
y^2=y^2/(1-y^2)/1/(1-y^2)
Yani doğrudur: y^2=y^2 ve tahmin ettiğimiz x=y/√(1-y^2) ifadesi de doğruydu:
[arctan(x)]=[arcsin(x/√(x^2+1))]=[arcsin(y)]=[arctan(y/√(1-y^2))]
Şimdi "y", "x" olarak yazılabilir; ve [arctan] cinsinden ifade edilen [arcsin]'i elde ettik...
[arcsin(x)]=[arctan(x/√(1-x^2))]
Benzer şekilde, eğer araştırırsak:[arccos(x)]...
cos[arccos(x)]=x
cos(π/2-(π/2-[arccos(x)]))=x
sin(π/2-[arccos(x)])=x
π/2-[arccos(x)]=[arcsin(x)]
[arccos(x)]=π/2-[arcsin(x)]
[arcsin(x)]'den ...
[arccos(x)]=π/2-[arctan(x/√(1-x^2))]
[arccos(x)]=π/2-[(√(1-x^2)/x)]
Ve son olarak [arctan] cindsinden ifade edilen [arccos]'u elde ettik...
[arccos(x)]=[arctan(√(1-x^2)/x)]