# Harnack eşitsizliği
Matematikte Harnack eşitsizliği pozitif harmonik fonksiyonların iki ayrı noktada aldığı değerle ilgili bir eşitsizliktir. Bu eşitsizlik, Harnack teoremi olarak bilinen ve harmonik fonksiyonların yakınsaklığıyla ilgili bir sonucu ifade eden teoremin ispatında kullanılmaktadır. Eşitsizlik Carl Gustav Axel Harnack'ın adını taşımaktadır.
James Serrin ve Jürgen Moser, Harnack eşitsizliğini eliptik veya parabolik kısmi diferansiyel denklemlerin çözümleri için genelleştirdiler. Bu tür denklemlerin zayıf çözümlerinin iç düzenliliğini göstermede bu genelleştirilmiş eşitsizlikler kullanılmaktadır.
Poincare sanıtının Perelman tarafından verilen çözümünde Richard Hamilton tarafından Ricci akışı için ispatlanmış olan Harnack eşitsizliği kullanılmıştır.


## Eşitsizliğin ifadesi.
Öklid uzayı R^n'deki R yarıçaplı ve x_0 merkezli kapalı bir yuvarın üzerinde negatif olmayan ve sürekli olan "f" fonksiyonu bu yuvarın içinde harmonik ise |x-x_0|=r lt;R koşulunu sağlayan her x noktası için 
 1-(r/R)/[1+(r/R)]^n-1 f(x_0)≤f(x) ≤1+(r/R)[1 - (r/R)]^n-1 f(x_0)
eşitsizliği sağlanır. n=2 alındığında, yani R2 düzlemindeki açık diskler üzerinde eşitsizlik
R-rR+r f(x_0)≤f(x)≤R+rR-rf(x_0)
hâlini alır.
𝐑^n'deki genel Ω bölgeleri için eşitsizlik şöyle ifade edilebilir:
ω sınırlı bir bölge ve ω̅ ⊂Ω olsun. İki kere türevlenebilir ve harmonik olan bir u(x) fonksiyonu negatif değerler almıyorsa, o zaman 
 sup_x ∈ω u(x) ≤C inf_x ∈ω u(x)
eşitsizliğini sağlayan, u'dan bağımsız ve sadece Ω ve ω bölgelerine bağımlı olan bir C sabiti vardır.


## Yuvar üzerinde Harnack eşitsizliği.
R"n"'deki birim kürenin alanı "ω""n" − 1 ve "r" = |"x" − "x"0| olmak üzere, Poisson formülü kullanılarak
 f(x) = 1/ω_n-1 ∫_|y-x_0|=R R^2 -r^2/R|x - y|^n ·f(y) dy 
yazılabilir.
 R-r ≤|x-y| ≤R+r, olduğundan, tümlevlenen çekirdek fonksiyon şu eşitsizliği sağlar:
 R -r/R (R+r)^n-1 ≤R^2 -r^2/R|x-y|^n≤R+r/R(R-r)^n-1. 
O zaman bu eşitsizlik ve harmonik fonksiyonlar için
 f(x_0)= 1/R^n-1ω_n-1 ∫_|y-x_0|=R f(y) dy 
olduğunu ifade eden ortalama değer teoremi kullanılarak Harnack eşitsizliği elde edilir.


## Eliptik kısmi diferansiyel denklemler.
Eliptik kısmi diferansiyel denklemler için Harnack eşitsizliği, bağlantılı ve bir açık bölgedeki pozitif bir çözümün en küçük üst sınırının (supremum), en büyük alt sınır (infimum) ve muhtemelen denklemdeki verilerin fonksiyonel normunu içeren ek bir terimin toplamının bir sabit ile çarpımıyla sınırlandırıldığını belirtir:
 supu ≤C ( infu + f)
Buradaki sabit, denklemin eliptikliğine ve bağlantılı açık bölgeye bağlıdır.


## Parabolik kısmi diferansiyel denklemler.
Harnack eşitsizliğinin doğrusal parabolik kısmi diferansiyel denklemler için bir hâli de vardır. ℳ, ℝ^n'de pürüzsüz ve sınırlı bir bölge olsun.
Pürüzsüz ve sınırlı katsayılara ve kesin pozitif (a_ij) matrisine sahip
 ℒu=∑_i,j=1^n a_ij(t,x)∂^2 u/∂x_i ∂x_j + ∑_i=1^n b_i(t,x)∂u/∂x_i + c(t,x)u
doğrusal eliptik operatörü ele alınsın. Diyelim ki u(t,x)∈C^2((0,T)×ℳ) fonksiyonu 
 (0,T)×ℳ içinde u(t,x)≥0
olmak üzere
 (0,T)×ℳ içinde ∂u/∂t-ℒu=0
denkleminin çözümü olsun.
K ise tıkız olarak ℳnin içinde yer alsın ve τ∈(0,T) olsun. O zaman, her t∈(τ,T) için
 sup_K u(t-τ,·)≤C inf_K u(t,·).
eşitsizliğini sağlayan ve sadece "K", τ, t-τ ve ℒ'nin katsayılarına bağımlı bir "C" > 0 sabiti vardır.


## Ek kaynaklar.
-  
-  
  - YÖNLENDİRME