# Hofstadter noktaları
Düzlem geometrisinde, bir Hofstadter noktası her düzlem üçgen ile ilişkili özel bir noktadır. Aslında bir üçgenle ilişkili birkaç Hofstadter noktası vardır. Bunların hepsi üçgen merkezidir. Bunlardan ikisi, Hofstadter sıfır noktası ve Hofstadter bir noktası, özellikle ilginçtir. Bunlar iki aşkın üçgen merkezidir. Hofstadter sıfır noktası, X(360) olarak gösterilen merkezdir ve Hofstafter bir noktası ise Clark Kimberling'in Encyclopedia of Triangle Centers adlı eserinde X(359) olarak gösterilen merkezdir. Hofstadter sıfır noktası, 1992 yılında Douglas Hofstadter tarafından keşfedilmiştir.


## Hofstadter üçgenleri.
 - YÖNLENDİRME verilen bir üçgen ve r de pozitif bir reel sabit olsun.
BC doğru parçasını B etrafında rB açısı ile A'ya doğru döndürün ve LBC bu doğru parçasını içeren doğru olsun. Sonra BC doğru parçasını C etrafında rC açısı ile A'ya doğru döndürün ve L'BC bu doğru parçasını içeren doğru olsun. LBC ve L'BC doğruları #YÖNLENDİRME 'de kesişsin. Benzer şekilde #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME noktaları inşa edilir. Köşeleri #YÖNLENDİRME olan üçgen #YÖNLENDİRME 'nin Hofstadter r-üçgenidir (veya r-Hofstadter üçgenidir)


### Özel durumlar.
 - Hofstadter 1/3-üçgeni  YÖNLENDİRME üçgeninin  YÖNLENDİRME ilk Morley üçgenidir. Morley üçgeni her zaman bir eşkenar üçgendir.
 - Hofstadter 1/2-üçgeni basitçe üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.


### Hofstadter üçgenlerinin köşelerinin trilineer koordinatları.
Hofstadter r-üçgeninin köşelerinin trilineer koordinatları aşağıda verilmiştir:
[ A(r) amp;= amp; 1 amp;: amp; sinrB/sin(1-r)B amp;: amp; sinrC/sin(1-r)C; B(r) amp;= amp; sinrA/sin(1-r)A amp;: amp; 1 amp;: amp; sinrC/sin(1-r)C; C(r) amp;= amp; sinrA/sin(1-r)A amp;: amp; sin(1-r)B/sinrB amp;: amp; 1 ]


## Hofstadter noktaları.
Pozitif bir reel sabit #YÖNLENDİRME için, #YÖNLENDİRME #YÖNLENDİRME üçgeninin Hofstadter r-üçgeni olsun. O halde #YÖNLENDİRME doğruları tek noktada kesişmektedir. Kesişme noktası, #YÖNLENDİRME 'nin Hofstdter r-noktasıdır.


### Hofstadter r-noktasının trilineer koordinatları.
Hofstadter r-noktasının trilineer koordinatları aşağıda verilmiştir.
sinrA/sin(A-rA) : sinrB/sin(B-rB) : sinrC/sin(C-rC)


## Hofstadter sıfır ve bir noktaları.
Bu noktaların trilineer koordinatları, Hofstadter r-noktası için trilineer koordinat ifadelerinde r için 0 ve 1 değerlerini yerine koyarak elde edilemez.
Hofstadter sıfır noktası, r sıfıra yaklaştıkça Hofstadter r-noktasının limitidir; bu nedenle, Hofstadter sıfır noktasının trilineer koordinatları aşağıdaki gibi türetilir:
[ lim_r →0 amp; sinrA/sin(A-rA) amp;: amp; sinrB/sin(B-rB) amp;: amp; sinrC/sin(C-rC); lim_r →0 amp; sinrA/rsin(A-rA) amp;: amp; sinrB/rsin(B-rB) amp;: amp; sinrC/rsin(C-rC); lim_r →0 amp; AsinrA/rAsin(A-rA) amp;: amp; BsinrB/rBsin(B-rB) amp;: amp; CsinrC/rCsin(C-rC) ]
Çünkü lim_r →0 sinrArA = lim_r →0 sinrBrB = lim_r →0 sinrCrC = 1,
 A/sinA : B/sinB : C/sinC = A/a : B/b : C/c
Hofstadter bir noktası, r bire yaklaştıkça Hofstadter r-noktasının limitidir; bu nedenle Hofstadter bir noktasının trilineer koordinatları aşağıdaki gibi türetilir:
[ lim_r →1 amp; sinrA/sin(A-rA) amp;: amp; sinrB/sin(B-rB) amp;: amp; sinrC/sin(C-rC); lim_r →1 amp; (1-r)sinrA/sin(A-rA) amp;: amp; (1-r)sinrB/sin(B-rB) amp;: amp; (1-r)sinrC/sin(C-rC); lim_r →1 amp; (1-r)AsinrA/Asin(A-rA) amp;: amp; (1-r)BsinrB/Bsin(B-rB) amp;: amp; (1-r)CsinrC/Csin(C-rC) ]
Çünkü lim_r →1 (1-r)Asin(A-rA) = lim_r →1 (1-r)Bsin(B-rB) = lim_r →1 (1-r)Csin(C-rC) = 1,
sinA/A : sinB/B : sinC/C = a/A : b/B : c/C