# Trigonometrik fonksiyonların türevleri
Trigonometrik fonksiyonların türevleri, trigonometrik bir fonksiyonun türevini yani bir değişkene göre değişim oranını bulmanın matematiksel sürecidir. Örneğin, sinüs fonksiyonunun türevi sin'(a) = cos(a) şeklinde yazılır, bu da sin("x") fonksiyonunun belirli bir açı "x = a" için değişim oranının o açının kosinüsü ile verildiği anlamına gelir.
Dairesel trigonometrik fonksiyonların tüm türevleri, tan("x") = sin("x")/cos("x") gibi fonksiyonlara uygulanan bölme kuralı ile sin("x") ve cos("x") türevlerinden elde edilebilir. Bu türevleri bildiğimizde, ters trigonometrik fonksiyonların türevleri örtük türev alma ile bulunur.


## Trigonometrik fonksiyonların türevlerinin kanıtları.
### θ sıfıra yaklaşırken sin(θ)/θ limiti.
Sağdaki diyagramda, merkezi "O" olan ve yarıçapı "r =" 1 olan bir daire gösterilmektedir. İki yarıçap "OA" ve "OB" θ radyanlık bir yay oluşturur. "θ"'nın 0 < θ < 1 1/2 π aralığında ve birinci çeyrekte olan küçük pozitif bir sayı olduğunu varsayabiliriz.
Diyagramda, "R"1 "OAB" üçgeni, "R"2 daire dilimi "OAB" ve "R"3 "OAC" üçgenidir.
"OAB" üçgeninin alanı:
 Alan(R_1) = 12 |OA| |OB| sinθ= 12sinθ . 
"OAB" daire diliminin alanı:
 Alan(R_2) = 12θ . 
"OAC" üçgeninin alanı:
 Alan(R_3) = 12 |OA| |AC| = 12 tanθ . 
Her alan, bir sonrakinin içindedir, bu nedenle:
 Alan(R_1) lt; Alan(R_2) lt; Alan(R_3) 12sinθ lt; 12θ lt; 12tanθ . 
Ayrıca, birinci çeyrekte sin "θ" > 0 olduğu için, her iki tarafı 1 1/2 sin "θ" ile bölebiliriz:
 1 lt; θ/sinθ lt; 1/cosθ 1 gt; sinθ/θ gt; cosθ . 
Son adımda, üç pozitif terimin tersini aldığımız için eşitsizlikler tersine döner.
Sonuç olarak, 0 < θ < 1 1/2 π için sin("θ")/"θ" her zaman 1'den küçük ve her zaman cos(θ)'dan büyüktür. Dolayısıyla, "θ" sıfıra yaklaştıkça sin("θ")/"θ" 1 yüksekliğindeki bir tavanda ve cos "θ" yüksekliğindeki bir tabanda "sıkıştırılmıştır" ve bu yükseklik 1'e doğru yükselir; bu nedenle sin("θ")/"θ" sıfıra yaklaşırken:lim_θ→0^+ sinθ/θ = 1 . "θ" küçük bir negatif sayı olduğunda –1 1/2 π < θ < 0, sinüsün tek fonksiyon olduğunu kullanırız:
 lim_θ→0^- sinθ/θ = lim_θ→0^+sin(-θ)/-θ = lim_θ→0^+-sinθ/-θ = lim_θ→0^+sinθ/θ = 1 . 


### θ sıfıra yaklaşırken (cos(θ)-1)/θ limiti.
Son bölüm, bu yeni limiti görecek kadar kolay bir şekilde hesaplamamızı sağlar. Bu hesaplamada "θ"'nın işareti önemsizdir.
 lim_θ→0 cosθ- 1/θ = lim_θ→0 ( cosθ- 1/θ ) ( cosθ+ 1/cosθ+ 1 ) = lim_θ→0 cos^2θ- 1/θ (cosθ+ 1) . 
cos2"θ" – 1 = –sin2"θ" ve bir çarpımın limitinin, limitlerin çarpımına eşit olduğu gerçeğini kullanarak, bir önceki bölümden elde ettiğimiz limiti buluyoruz:
 lim_θ→0 cosθ- 1/θ = lim_θ→0 -sin^2θ/θ(cosθ+1) = ( -lim_θ→0 sinθ/θ) ( lim_θ→0 sinθ/cosθ+ 1 ) = (-1)(0/2) = 0 . 


### tan(θ)/θ Limitinin 0'a Yaklaşması.
Sinüs fonksiyonu için limit, tanjant fonksiyonunun tek işlevsel olması ve bir çarpımın limitinin çarpımlarının limitleri olduğunu göz önünde bulundurarak şunu buluruz:
 lim_θ→0 tanθ/θ
 (lim_θ→0 sinθ/θ)
 ( lim_θ→0 1/cosθ)
 (1)(1)
 1 . 


### Sinüs Fonksiyonunun Türevi.
Limit tanımını kullanarak sinüs fonksiyonunun türevini hesaplayalım:
 d/dθ sinθ= lim_δ→0 sin(θ+ δ) - sinθ/δ . 
Açı toplam formülünü kullanarak sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, şunu elde ederiz:
 d/dθ sinθ=
lim_δ→0 sinθcosδ+ sinδcosθ-sinθ/δ 
lim_δ→0 ( sinδ/δ cosθ+ cosδ-1/δsinθ) . 
Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının limitlerini kullanarak:
 d/dθ sinθ=
(1)cosθ+ (0)sinθ=
cosθ . 


### Kosinüs Fonksiyonunun Türevi.
#### Türev Tanımından.
Kosinüs fonksiyonunun türevini limit tanımından tekrar hesaplayalım:
 d/dθ cosθ=
lim_δ→0 cos(θ+δ)-cosθ/δ . 
Açı toplam formülünü kullanarak cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β, şunu elde ederiz:
 d/dθ cosθ=
lim_δ→0 cosθcosδ- sinθsinδ-cosθ/δ 
lim_δ→0 (cosδ-1/δcosθ - sinδ/δ sinθ) . 
Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının limitlerini kullanarak:
 d/dθ cosθ= (0) cosθ- (1) sinθ= -sinθ . 


#### Zincir Kuralı ile.
Kosinüs fonksiyonunun türevini zincir kuralından hesaplamak için şu üç eşitliği gözlemleyelim:
cosθ= sin(π2-θ)
sinθ= cos(π2-θ)
ddθ sinθ= cosθ
İlk iki eşitlik bir trigonometrik özdeşliktir, üçüncüsü ise yukarıda kanıtlanmıştır. Bu üç eşitliği kullanarak aşağıdaki gibi yazabiliriz:
ddθ cosθ= ddθ sin(π2-θ)
Bunu zincir kuralını kullanarak türevini alabiliriz. f(x) = sinx, g(θ) =π2-θ olarak alırsak:
ddθ f(g(θ)) = f^'(g(θ)) ·g^'(θ) = cos(π2-θ) ·(0-1) = -sinθ.
Dolayısıyla, şunu kanıtlamış olduk:
ddθ cosθ= -sinθ.


### Tanjant Fonksiyonunun Türevi.
#### Türev Tanımından.
Tanjant fonksiyonunun türevini ilk prensiplerden hesaplayalım. Tanıma göre:
 d/dθ tanθ= lim_δ→0 ( tan(θ+δ)-tanθ/δ ) .
Açı toplam formülünü kullanarak tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β):
 d/dθ tanθ= lim_δ→0 [ tanθ+ tanδ/1 - tanθtanδ - tanθ/δ ]
 = lim_δ→0 [ tanθ+ tanδ- tanθ+ tan^2θtanδ/δ( 1 - tanθtanδ) ] .
Bir çarpımın limitinin, limitlerinin çarpımına eşit olduğunu göz önünde bulundurarak:
 d/dθ tanθ= lim_δ→0 tanδ/δ ×lim_δ→0 ( 1 + tan^2θ/1 - tanθtanδ ) .
Tanjant fonksiyonu için limitleri kullanarak ve tan "δ" 'nin 0'a yaklaştığını göz önünde bulundurarak:
 d/dθ tanθ= 1 ×1 + tan^2θ/1 - 0 = 1 + tan^2θ.
Hemen şunu görüyoruz:
 d/dθ tanθ= 1 + sin^2θ/cos^2θ
 = cos^2θ+ sin^2θ/cos^2θ
 = 1/cos^2θ
 = ^2θ .


#### Bölme kuralından.
Tanjant fonksiyonunun türevini bölme kuralı kullanarak hesaplayabiliriz:
d/dθ tanθ= d/dθ sinθ/cosθ = (sinθ)^'·cosθ- sinθ·(cosθ)^'/ cos^2 θ = cos^2 θ+ sin^2 θ/cos^2 θ
Pay Pisagor özdeşliği ile 1 olarak sadeleştirilebilir, bu da bize:
1/cos^2 θ = ^2 θ
Sonuç olarak:
d/dθ tanθ= ^2 θ


## Ters trigonometrik fonksiyonların türevleri.
Aşağıdaki türevler, türevini almak istediğimiz ters trigonometrik fonksiyon için bir değişken "y" belirleyerek bulunur. Örtük türevleme kullanarak, ardından "dy"/"dx" için çözümleyerek, ters fonksiyonun türevini "y" cinsinden buluruz. "dy"/"dx"'yi tekrar "x" cinsine çevirmek için, bir referans üçgeni çizebiliriz. Bunun için birim çember üzerinde θ'yi y olarak alırız. Pisagor teoremi ve normal trigonometrik fonksiyonların tanımı kullanılarak, nihayetinde dy"/"dx'yi "x" cinsinden ifade edebiliriz.


### Ters Sinüs Fonksiyonunun Türevini Alma.
Şunu alıyoruz:
y=arcsinx 
Burada:
-π/2≤y ≤π/2
O halde:
siny=x 
Her iki tarafta türev alıyoruz ve "dy"/"dx" için çözümleyerek:
d dxsiny=d dxx
cosy ·dy dx = 1 
Yukarıdan cosy = √(1-sin^2 y) değerini yerine koyarak,
√(1-sin^2 y) ·dy dx =1
Yukarıdan x=siny değerini yerine koyarak,
√(1-x^2) ·dy dx =1
Sonuç olarak:
dy dx=1/√(1-x^2)


### Ters Kosinüs Fonksiyonunun Türevini Alma.
Şunu alıyoruz:
y=arccosx 
Burada:
0 ≤y ≤π
O halde:
cosy=x 
Her iki tarafta türev alıyoruz ve "dy"/"dx" için çözümleyerek:
d dxcosy=d dxx
-siny ·dy dx =1 
Yukarıdan siny = √(1-cos^2 y) değerini yerine koyarak,
-√(1-cos^2 y) ·dy dx =1
Yukarıdan x=cosy değerini yerine koyarak,
-√(1-x^2) ·dy dx =1
Sonuç olarak:
dy dx = -1/√(1-x^2)
Alternatif olarak, arcsinx türevini belirledikten sonra, arccosx türevi, arcsinx+arccosx=π/2 özdeşliğini türevleyerek (arccosx)'=-(arcsinx)' elde edilerek hemen takip edilir.


### Ters Tanjant Fonksiyonunun Türevini Alma.
Şunu alıyoruz:
y=arctanx 
Burada:
-π/2 lt; y lt; π/2
O halde:
tany=x 
Her iki tarafta türev alıyoruz ve "dy"/"dx" için çözümleyerek:
d dxtany=d dxx
Sol taraf:
 d dxtany
 = ^2 y ·dy dx
 = (1 + tan^2 y) dy dx
 Pisagor özdeşliğini kullanarak.
Sağ taraf:
d dxx = 1
Sonuç olarak:
(1+tan^2 y)dy dx=1
Yukarıdan x=tany değerini yerine koyarak,
(1+x^2)dy dx=1
Sonuç olarak:
dy dx=1/1+x^2


### Ters Kotanjant Fonksiyonunun Türevini Alma.
Şunu alıyoruz:
y=x
Burada:
0 lt;y lt;π. O halde:
y=x
Her iki tarafta türev alıyoruz ve "dy"/"dx" için çözümleyerek:
d/dxy=d/dxx
Sol taraf:
 d dxy
 = -^2 y ·dy dx
 = -(1 + ^2 y) dy dx
 Pisagor özdeşliğini kullanarak.
Sağ taraf:
d dxx = 1
Sonuç olarak:
-(1+^2y)dy/dx=1
Yukarıdan x=y değerini yerine koyarak,
-(1+x^2)dy/dx=1
Sonuç olarak:
dy/dx=-1/1+x^2
Alternatif olarak, arctanx türevi yukarıda açıklandığı gibi elde edilirse, arctanx+x=π2 özdeşliğinden,
hemen şu sonuç elde edilir:
 ddx x 
 amp;=ddx(π2-arctan x)
 amp;=-11+x^2


### Ters Sekant Fonksiyonunun Türevini Alma.
#### Örtük Türevleme Kullanarak.
Şunu alıyoruz:
 y = x ||x| ≥1
O halde:
 x = y | y ∈[0,π/2 )∪(π/2,π]
 dx/dy = y tany = |x|√(x^2-1)
 dy/dx = 1/|x|√(x^2-1)


#### Zincir Kuralını Kullanarak.
Alternatif olarak, ters sekantın türevi, ters kosinüsün türevinden zincir kuralı kullanılarak elde edilebilir.
Şunu alıyoruz:
 y = x = arccos(1/x) 
Burada
 |x| ≥1 ve y ∈[0, π/2) ∪(π/2, π] 
O halde, arccos(1/x) için zincir kuralını uygulayarak:
 dy/dx = -1/√(1-(1/x)^2) ·(-1/x^2) 
 = 1/x^2√(1-1/x^2) 
 = 1/x^2√(x^2-1)/√(x^2) 
 = 1/√(x^2)√(x^2-1) 
 = 1/|x|√(x^2-1) 


### Ters Kosekant Fonksiyonunun Türevini Alma.
#### Örtük Türevleme Kullanarak.
Şunu alıyoruz:
y = x ||x| ≥1
O halde
 x = y | y ∈[-π/2,0 )∪(0,π/2 ]
 dx/dy = -y y = -|x|√(x^2-1)
 dy/dx = -1/|x|√(x^2-1)


#### Zincir Kuralını Kullanarak.
Alternatif olarak, ters kosekantın türevi, ters sinüsün türevinden zincir kuralı kullanılarak elde edilebilir.
Şunu alıyoruz:
 y = x = arcsin(1/x) 
Burada
 |x| ≥1 ve y ∈[-π/2, 0) ∪(0, π/2] 
O halde, arcsin(1/x) için zincir kuralını uygulayarak:
 dy/dx =1/√(1-(1/x)^2) ·(-1/x^2) 
 = -1/x^2√(1-1/x^2) 
 = -1/x^2√(x^2-1)/√(x^2) 
 = -1/√(x^2)√(x^2-1) 
 = -1/|x|√(x^2-1) 


## Bibliyografya.
 - "Matematiksel Fonksiyonlar El Kitabı", Editörler: Abramowitz ve Stegun, Ulusal Standartlar Bürosu, Uygulamalı Matematik Serisi, 55 (1964)