# Üs
Üs, bazen kuvvet; b taban, n üs veya kuvvet olmak üzere, #YÖNLENDİRME olarak gösterilen ve "b üssü n", "b üzeri n" veya "b'nin n'inci kuvveti" olarak telaffuz edilen matematiksel işlem. Eğer n pozitif bir tam sayıysa tabanın tekrarlanan çarpımına karşılık gelir:
b^n = b ×…×b_n kere
Buna karşılık, sadece "n" pozitif bir tam sayı ise geçerlidir çünkü bir şey -2 tane ya da 1 2 tane vardır diyemeyiz. Üs yani "n" sayısının pozitif olmadığı durumlar aşağıda listelenmiştir.


## İşlem.
### Kuvvet pozitif ise.
 - YÖNLENDİRME işlemini ele alırsak, "2 üzeri 3" olarak okunan bu işlemin açılımı, 2^3 = 2 ×2 ×2_3 kere = 8 olacaktır. Bu "3" tane "2"'nin çarpımının sonucudur.
3^4 işleminin açılımı ise, 3^4 = 3 ×3 ×3 ×3_4 kere = 81 olacaktır. Bu ise "4" tane "3"'ün çarpımının sonucudur.


### Kuvvet negatif ise.
Bu durumda, üssün pozitif değeri alınır ve "1," taban üssü kuvvete bölünür:
a^-n = 1 a^n
2^-3 = 1 2^3 = 1 8 olur.


### Kuvvet rasyonel bir sayı ise.
a^1 2 örneğinde olduğu gibi, üs bir rasyonel sayı ise, bu, √(a) olarak, bir köklü sayı oluşturur. Bu konu için köklü sayılar incelenebilinir.


## Özellikler ve kurallar.
  - "1"'in bütün kuvvetleri "1"'dir.<br>1^n = 1 
  - "0" dışındaki tüm sayıların "0." kuvveti: "1"'dir.<br>a 0 , a^0=1 
  - "0"'ın "0" hariç bütün kuvvetleri "0"'dır.<br>0^100 = 0
 -  Bir sayının "1." kuvveti, sayının kendisidir:<br>a^1=a
  - Taban ve üs "0" ise o işlem belirsizdir.<br>0^0 (belirsiz)
  - Pozitif sayıların bütün kuvvetleri daima pozitif bir sayı verir.
  - Negatif sayılar parantez içinde ve kuvvetleri çift sayı ise sonuç pozitif olur, kuvvetleri tek sayı ise sonuç negatif olur:<br>(-2)^4 = (-2) ·(-2) ·(-2) ·(-2) = +16 (Kuvvet çift, taban parantezde.)<br>-2^4 = -2 ·2 ·2 ·2 = -16 (Kuvvet çift, taban parantezde değil.)<br>(-2)^3 = (-2) ·(-2) ·(-2) = -8 (Kuvvet tek, daima negatif sonuç verir)<br>-2^3 = -2 ·2 ·2 = -8
  - Tabanları aynı iki üslü sayının çarpımı, taban üzeri kuvvetlerin toplamıdır:<br>a^m ·a^n = a ×…×a_m kere ×a ×…×a_n kere = a^m+n
  - Tabanları aynı iki üslü sayının bölümü taban üzeri kuvvetlerin farkıdır:<br>a^m/a^n = a^m-n<br>Çarpmadan (üsler toplamından) farklı olarak, m n a^m/a^n a^n/a^m
  - Üslü bir sayının üssü alınırken, içteki kuvvet ile dıştaki kuvvet çarpılır:<br> (a^m)^n = (a^n)^m = a^m ·n 
  - Üsler ortak parantezde dağılma özelliğine sahiptir:<br>a^n/b^n = (a/b)^n
  - Üstler ve tabanlar aynı olacak şekilde,<br>p ·a^n ±q ·a^n = (p ±q ) ·a^n
 -  4^2 ve 2^4 hariç, "a" ve "b" rasyonel sayı olmak üzere, a b a^b b^a, başka bir değiş ile üs ile taban yer değiştirilirse sayının değeri de değişir.
 -  3^a=3^b ⇒a=b (a ve b rasyonel sayı ise)
  - a ve b "0"'dan farklı tam sayılar olmak üzere,<br>(a/b)^-n = (b/a)^n


### Örnekler.
  - (2/3)^-2 ·(-1 + 1/3) = ? (Bu soru ortaokul seviyesindedir.)
Çözüm:<br>(3/2)^2 ·(-2/3) = 9/4 ·-2/3 = 3/2 ·-1/1 = -3/2
  - 4^-4 sayısının yarısı kaçtır? (Bu soru ortaokul - lise seviyelerindedir.)
Çözüm:<br>(2^2)^-4/2 = 2^-8/2 = 2^-8-1 = 2^-9
  - 3^x+3 = 5^2x-y+5 ve x, y ∈ ise x ·y = ? (Bu soru lise seviyesindedir.)
Çözüm:<br>x + 3 = 0 x = -3<br>2x - y + 5 = 0 2 ·(-3) -y + 5 = 0 -6 + 5 = y y = -1<br>x ·y = (-3) ·(-1) = 3


## Sıralama.
Üslü sayılarda sıralama yaparken ya tabanların ya da üslerin eşitlenmesi gerekir. Ondan sonra sıralama işlemi yapılır.


### Örnekler.
  - 3^4, 9^8, 27^1 sayılarının küçükten büyüğe sırası nedir?
Çözüm:<br>"3", "9" ve "27" sayıları "3"'ün katı olduğu için, tabanlar "3" yapılabilir:<br>9^8 = (3^2)^8 = 3^16<br>27^1 = (3^3)^1 = 3^3<br>ve 3^4 olur.<br>Küçükten büyüğe tabanlar aynı olduğu için, kuvvetlere bakarak sıralama yapılır:<br>3^3 lt; 3^4 lt; 3^16 27^1 lt; 3^4 lt; 9^8
  - 2^18, 9^9, 125^6 sayılarının küçükten büyüğe sırası nedir?
Çözüm:<br>Üsler "18"'de eşitlenebilir.<br>9^9 = (3^2)^9 = 3^18<br>125^6 = (5^3)^6 = 5^18<br>ve 2^18<br>Kuvvetlerin aynı olmasından ötürü, sıralama tabanlara göre yapılabilir:<br>2^18 lt; 3^18 lt; 5^18 2^18 lt; 9^9 lt; 125^6


## Basamak sayısı.
Üslü sayıların basamak sayısını hesaplamak kolay değildir. Örneğin 2^195 sayısının basamak sayısını, bakarak bulamayız. "195" tane "2"'nin çarpımını bulup, kaç basamaklı olduğu hesaplanabilir. Bu yüzden genelde tabanı "10" olan üslü sayıların basamak sayısını bulmaya yönelmek gerekir, örneğin:
10^3 = 10 ·10 ·10 = 1000 ("1"'in yanında "3" sıfır)
10^5 = 10 ·10 ·10 ·10 ·10 = 100.000 ("1"'in yanında "5" sıfır)
"10"'un "n" tane çarpımında, "1" yanına "n" adet sıfır gelecek şekilde düşünülerek, çıkan sayının kaç basamaklı olduğu bulunur, o halde:
10^7 1'in yanında 7 sıfır 8 basamaklı bir sayı.
10^20 1'in yanında 20 sıfır 21 basamaklı bir sayı.


### Örnekler.
  - 5^3 ·10^50 kaç basamaklıdır?
Çözüm:<br>5^3 ·10^50 = 125 ·10^50 "125" (3 basamak) sayısının yanına 50 sıfır gelecek, o halde, 53 basamaklı bir sayıdır.
  - 252.82.3 işleminin sonucu kaç basamaklıdır?
Çözüm:<br>(52)2.(23)2.3<br>= 54.26.3<br>= 54.24.22.3<br>= 104.4.3 = 104.12 => 6 basamaklıdır.


## Bilimsel gösterim.
Çok büyük ya da çok küçük sayıların gösteriminde, hem gereken detayda sayının değerini, hem basamak sayısını veren hem de bunu daha okunabilir kolay bir şekilde yapan sayılsal gösterime bilimsel gösterim denir.


### Gösterim.
1 ≤|a| lt; 10 ve "n" bir tam sayı olmak üzere, bilimsel gösterim; a ·10^n olarak yazılır.


### Özellikler ve Kurallar.
  - "a" sayısının 1 ile 10 arasında olması şarttır.
 - Sayıda ',' yok ise, en sağdaki rakamın sonunda virgül varmış gibi düşünülmelidir.
  - 10^n ifadesi yok ise, bu, sayının yanında 10^0 olduğu anlamına gelir. Örneğin: 5 = 5 ·10^0
  - Virgül sağa kaydıkça sayı büyür, "10"'nun kuvveti de kayılan basamak sayısı kadar küçülür. Örneğin: 0,147 ·10^2 = 1,47 ·10^1
  - Virgül sola kaydıkça sayı küçülür, "10"'nun kuvveti de kayılan basamak sayısı kadar büyütülür. Örneğin: 23,8 ·10^4 = 2,38 ·10^5


### Örnekler.
  - Işık saniyede 300000 km yol almaktadır. Buna göre ışığın 1 dakikada kaç km yol gittiğinin bilimsel gösterimi nedir?
Çözüm:<br>1sn →300000km<br>60 ·300000 = 18 ·10^6 = 1,8 ·10^7km
  - 0,0025 ·10^-6 = x ·10^-8 eşitliğini sağlayan x sayısının bilimsel gösterimi nedir?
Çözüm:<br> 25 ·10^-4 ·10^-6 = 25 ·10^-10<br>25 ·10^-10 = x ·10^-8<br>x = 25 ·10^-10/10^-8 = 25 ·10^-10+8 = 25 ·10^-2<br>x = 2,5 ·10^-1


## Reel üsler.
Pozitif reel sayıların reel kuvvetleriyle üs alma, ya rasyonel kuvvetlerin süreklilikle reellere genişletilmesiyle ya da genelde olduğu gibi logaritma aracılığıyla üstel olarak ifade edilmesiyle tanımlanabilir. Sonuç her zaman pozitif bir reel sayıdır. Üsleri tam sayı olmayan pozitif reel tabanlar söz konusu olduğunda da, yukarıda pozitif tam sayı tabanlar için belirtilmiş özellikler ve kurallar aynı şekilde geçerlidir.
Öte yandan, negatif bir reel sayının reel kuvvetinin, reel olmayabileceğinden ve birden fazla değere sahip olabileceğinden dolayı, tutarlı bir şekilde tanımlanması çok daha zordur. Bu değerlerden biri, esas değer olarak seçilebilir, fakat aşağıdaki gibi özdeşlikler esas değerler için geçerli olmayabilir:
(b^r)^s = b^r.s
Bu nedenle, tabanı pozitif reel sayı olmayan bir üs alma işlemi genellikle çoğul değerli fonksiyonlar kapsamında incelenir.