# Navier-Stokes denklemleri
Navier-Stokes denklemleri, ismini "Claude-Louis Navier" ve "George Gabriel Stokes'tan" almış olan, sıvılar ve gazlar gibi akışkanların hareketini tanımlamaya yarayan bir dizi denklemden oluşmaktadır.
Bu denklemler; akışkan içerisindeki birim kütleye etki eden momentum (ivmelenme) değişimlerinin, basınç değişimleri ve sürtünme kayıplarına neden olan viskoz kuvvetlerin (sürtünmeye benzer) toplamına eşit olduğunun doğruluğunu ortaya koymaktadır. Bu viskoz kuvvetler moleküller arası etkileşimlerden meydana gelmekte ve akışkanın akmaya ne kadar dirençli (viskoz) olduğunu göstermektedir. Böylece, "Navier-Stokes denklemlerinin", verilen akışkanın herhangi bir bölgesindeki kuvvetler dengesinin dinamik ifadesi olduğu söylenebilir.
Bu denklemler en kullanışlı denklemlerin başında gelmektedirler. Çünkü, gerek akademik gerekse ekonomik birçok fenomenin fiziğini açıklamaktadır. Hava akımları ve okyanus akıntılarının, boru içindeki su akışının, galaksideki yıldız hareketlerinin, kanat etrafındaki hava akımlarının modellenmesinde ve hesaplarında sıkça kullanılırlar.


## Temel kabuller.
"Navier-Stokes denklemlerinin" detayına girmeden önce, akışkanlar hakkında bazı kabuller yapılması gereklidir. Öncelikle akışkanın sürekli olduğu kabul edilir. Yani akışkanın tamamının aynı özellikte olduğu içinde farklı biçimler (formlar) bulunmadığı kabul edilir. Bir başka gerekli kabul de konu ile ilgili tüm alanların basınç, hız, yoğunluk, sıcaklık vs., diferansiyel olduğudur. (faz değişimleri olmadan)
Denklemler, momentum ve enerji ve kütle korunumunun temel prensiplerinden elde edilir. 
Bunun için, bazı hallerde kontrol hacmi adı verilen, rastgele seçilmiş sonlu bir hacim belirlemek gereklidir, bu hacim üzerinde bu prensipler kolayca uygulanabilir. Bu sonlu hacim Ω ile gösterilir ve yüzeyi sınırlandırılır ∂Ω. Kontrol hacmi, sabit kalabilir veya akışkan ile hareket edebilir. Temel kabuller bunlardır, bununla beraber, farklı uygulamalarda özel kabuller de yapılabilir.


## Gerçek türev.
Hareket eden akışkanın özelliklerinin değişiminin ölçülebilmesi için iki yol vardır. Örneğin dünya atmosferindeki rüzgar hızının değişimleri ele alınacak olursa; bu değişiklikler bir meteoroloji istasyonu ölçüm cihazı (anemometre) veya bir hava balonu yolu ile ölçülebilir. Şüphesiz, ilk durumdaki anemometre boşlukta sabit bir nokta boyunca geçiş yapan tüm hareketli parçacıkların hızını ölçerken, ikinci durumda bahsedilen aygıt akışkan ile beraber hareket ederken hızdaki değişimi ölçer.
Aynı durumda, yoğunluk, sıcaklık vb. değişimler de ölçümü etkileyecektir. Bu nedenle, bu iki hal için bir ayrım yapılmalıdır. Bir alanın boşluktaki sabit bir pozisyona göre türevi "uzaysal (spatial)" veya "Euleryen türev (Eulerian derivative)" olarak adlandırılır. Hareketli bir parçacığın izlenmesi türevi "gerçek (substantive)", "Lagrangyan (Lagrangian)" veya "maddi (material)" türev olarak adlandırılır.
Gerçek türev şu şekilde tanımlanır:
D/Dt(⋆) ≡∂(⋆)/∂t + 𝐯·∇(⋆)
Burada 𝐯 akışkanın hızıdır. Denklemin sağ tarafındaki ilk terim alışılmış Euleryen türevi (sabit bir referans üzerindeki türev) iken, ikinci terim akışkan hareketi ile oluşan değişiklikleri ifade eder. Bu etki adveksiyon olarak adlandırılır.


## Korunum kanunları.
"Navier-Stokes denklemleri", aşağıdaki korunum kanunlarından türetilir:
  - Kütle
  - Enerji
  - Momentum
  - Açısal momentum
Ek olarak, akışkan için bir durum denklemi bağıntısı kabulü yapılması gereklidir.
En genel biçimde, bir korunum kanunu şunu ifade eder, bir kontrol hacmi üzerinde tanımlanmış hacim özelliği (bulk property) değişiminin oranı L hacim sınırları boyunca hareket eden akışkanın dışarı taşıdığı kayıp ve artı kontrol hacminin iç tarafındaki kazançlar ve kayıplara eşit kabul edilir. Bu, aşağıdaki integral denklemi ile ifade edilir.
d/dt∫_Ω L dΩ= -∫_∂Ω L𝐯·𝐧 d∂Ω+ ∫_Ω Q dΩ
Bu denklemde v akışkanın hızı ve Q akışkan içindeki kazançlar ve kayıplar olarak ifade edilir.
Eğer kontrol hacmi boşluk içinde sabitlenmiş ise bu integral denkleminden aşağıdaki şekilde bir ifade yazılabilir.
d/d t ∫_Ω L dΩ= -∫_Ω ∇·( L𝐯 ) dΩ+ ∫_Ω Q dΩ
Ayrıca, kontrol hacminin içinde, bu son denklemde elde edilmiş olan sağ taraftaki ilk terimin ifade edilmesi için diverjans teoremi kullanılmıştır. Böylece:
 d/dt∫_Ω L dΩ= - ∫_Ω (∇·( L𝐯 ) - Q) dΩ
Yukarıdaki ifade boşlukta sabit kalan bir kontrol hacminde Ω için geçerlidir. Çünkü Ω zaman içinde sabittir, değişmez. Bu sayede "d/dt" ve " ∫_Ω^ dΩ" ifadeleri birbirinin yerine yazılabilir. Böylece ifade "tüm" alanlar için geçerli olur ve integral çıkartılabilir.
Gerçek türev, Q = 0 olduğunda (kazanç ve kayıp yokken) elde edilir.
∂/∂t L + ∇·(L 𝐯 ) = D/DtL + L (∇·𝐯) = 0


### Süreklilik denklemi.
Kütlenin korunumu şu şekilde yazılır:
∂ρ/∂t + 
∇·(ρ𝐯) = 0 
=∂ρ/∂t + ρ∇·𝐯 + 𝐯 ·∇ρ
=D ρ/D t + ρ∇·𝐯 = 0
Burada ρ kütle yoğunluğu (birim hacim başına kütle), v akışkanın hızıdır.
Sıkıştırılamaz bir akışkan için ρ akış hattı boyunca değişmez ve denklem şu hale indirgenir:
∇·𝐯 = 0


### Momentumun korunumu.
Momentumun korunumu, yoğunluk yerine momentumun vektör bileşenleri ve akışkan üzerine etkiyen kuvvetler ile, süreklilik denklemine benzer bir yaklaşım yapılarak ifade edilir. Süreklilik denkleminde ρ yerine belirli bir yönde birim hacim başına net momentum yazılır, ρv_i, burada v_i hızın i^th bileşenidir. (hız "x", "y" veya "z" yönleri boyunca olmak üzere)
∂/∂t(ρv_i ) + ∇·(ρv_i 𝐯) = 
ρf_i .
 ρf_i , akışkan üzerine etkiyen kuvvetin i^th bileşenidir (her birim hacim başına gerçek kuvvet). Genel kuvvetler yerçekimi ve basınç gradyenlerini kapsar. Bu şu şekilde de ifade edilebilir:
∂/∂t(ρ𝐯) + ∇·(ρ𝐯⊗𝐯) = ρ𝐟
Ayrıca, 𝐯⊗𝐯 bir tensor'dür, ⊗ tensor çarpımını ifade eder.
Süreklilik denkleminin kullanımı daha da basitleştirilebilir ve şu hale gelir:
ρD v_i/D t=ρf_i
Genel kullanımda aşağıdaki gibi de yazılabilir.
ρD𝐯/D t=ρ𝐟
Bu bağlamda F=ma ifadesi doğrulanmış olur.


## Denklemler.
### Genel biçim.
#### Denklemlerin elde edilişi.
Momentumun korunumu için Navier-Stokes denklemlerinin genel biçimi:
ρD𝐯/D t = ∇·ℙ + ρ𝐟
Burada ρ akışkan yoğunluğu, v hız vektörü ve f kitle kuvvet vektörüdür.
ℙ tensörü, akışkan parçacığı üzerine uygulanmış yüzey kuvvetleri olarak tanımlanır (gerilme tensörü). Akışkan girdap gibi bağımsız bir eğme bükme hareketi yapmadıkça, ℙ simetrik bir tensördür. Genel olarak, biçim:
ℙ = [ σ_xx amp; τ_xy amp; τ_xz; τ_yx amp; σ_yy amp; τ_yz; τ_zx amp; τ_zy amp; σ_zz ]
[ p amp;0 amp;0; 0 amp;p amp;0; 0 amp;0 amp;p ]
[ σ_xx+p amp; τ_xy amp; τ_xz; τ_yx amp; σ_yy+p amp; τ_yz; τ_zx amp; τ_zy amp; σ_zz+p ] 
Burada σ normal gerilmeler, τ teğetsel gerilmeler (kesme gerilmeleri) ve p gerilme tensörünün izotropik parçası ile birleştirilmiş statik basınçtır.
σ_xx+σ_yy+σ_zz matris izi (İng. "trace") "akışkanın dengede olup, olmadığı mutlaka" tanımlanması (hacim vizkozitesi (bulk viscosity) olmadıkça) ile "daima" -3p'dir.
Sonuç olarak:
ρD𝐯/D t = -∇p + ∇·𝕋 + ρ𝐟
Burada 𝕋, ℙ'nin izsiz (traceless) parçasıdır.
Bu denklemler hala tamamlanmamıştır. Tamamlamak için, ℙ'nin şekli üzerinde bir varsayım yapılmalıdır, şöyle ki, gerilme tensörü için aşağıda gösterildiği gibi bir süreklilik kanununa ihtiyaç vardır.
Akış, sürekli ve diferansiyel kabul edilmiş ve korunum kanunları çerçevesinde kısmi diferansiyel denklemler ile ifade edilmiştir. Akışın sıkıştırılamaz (sabit yoğunluk) olduğu durumda, değişkenler, basınç ve hız bileşenleri için çözülmüştür. Bu değişkenler, "Navier-Stokes denklemlerinin" üç bileşeni, kütlenin korunumu (süreklilik denklemi) ilave edilerek, kapalı bir sistem için kısmi diferansiyel denklemler ile, sınır şartlarına uygun olarak çözülebilir. Sıkıştırılamaz akış durumunda, yoğunluk sistem için diğer bir bilinmeyen haline gelir, sistem için bir durum denklemi ilavesi ile saptanır. Durum denkleminde genelde akışkanın sıcaklığı işin içine girer, o yüzden denklem enerjinin korunumu için de mutlaka çözülmelidir. Bu denklemler non-lineer'dir (yani lineer değildir) ve kapalı formdaki analitik çözümleri sadece çok basit sınır şartları için bilinir.
Denklemler, akım ve girdap fonksiyonu ikinci değişkenleri için Wilkinson denklemlerine dönüştürülebilirdir. Çözüm akışkan özelliklerine (viskozite, özgül ısı ve ısıl iletkenlik gibi) ve çalışma alanındaki sınır şartlarına bağlıdır.


## Denklemlerin özel formları.
Denklem akışkanlarla ilgili problemlerin çözümü için, genel bazı durumlar için sadeleştirilip, genelleştirilerek kullanılabilir.


### Newtonyen (Newtonian) akışkanlar.
Burada
μ akışkanın vizkozitesidir.
δ_ij ise Kronecker delta olarak adlandırılan matematik işlemini ifade eder.(1 için i=j; 0 için i j).
Buradan denklemi türetebilmek için, öncelikle denge hali ifade edilir, pij=-pδij. Newtonyen bir akışkan için, bu denge değerinden gerilim tensörünün sapması, hızın gradyeni içinde lineerdir. Galile sabiti (Galilean covariance) nedeni ile açık şekilde hız üzerinde bağımlı değildir. Diğer bir ifade ile, pij+pδij, ∂_i v_j de lineerdir. Akışkanların dönme sabiti belirlenir ("sıvı kristal (liquid crystal) olmayanlar"). pij+pδij izli ve izsiz simetrik tensörlerine ayrılır. Benzer olarak ∂_i v_j izli, izsiz simetrik ve antisimetrik tensorlere ayrılır. Antisimetrik parça sıfıra gider, izli parça ve izsiz simetrik parçaya uygun iki katsayı vardır. ∂_i v_j nin izsiz simetrik parçası, ∂_i v_j +∂_j v_i - 2/d δ_ij∂_k v_k dir, burada d uzaysal ölçü sayısıdır ve izli parça δ_ij ∂_k v_k dır. Bu nedenle, en genel lineer dönme sabiti şu şekilde verilir;
p_ij+pδ_ij=μ(∂_i v_j+∂_j v_i -2/dδ_ij∇·𝐯)+μ_B δ_ij ∇·𝐯
μ ve μB bazı katsayılardır. μ kesme vizkozitesi (shear viscosity) ve μB hacim vizkozitesi (bulk viscosity) olarak adlandırılır. Bu ampirik (deneysel) bir incelemedir, hacim vizkozitesi çoğu akışkan için ihmal edilebilirdir, bu nedenle çoğu zaman ihmal edilir.
Denklem içinde −2/3 ile çarpım görünmesi bununla açıklanır. Bu çarpım, 1 veya 2 uzaysal boyut içinde değiştirilebilir.
ρ(∂𝐯/∂t+ ( 𝐯 ·∇) 𝐯)=ρ𝐟-∇p +μ(∇^2 𝐯+1/3∇(∇·𝐯))
ρ(∂v_i/∂t+v_j∂v_i/∂x_j)=ρf_i-∂p/∂x_i+μ(∂^2 v_i/∂x_j ∂x_j+1/3∂^2 v_j/∂x_i ∂x_j)
Burada, "Einstein notasyonu" kullanılmıştır.
Tamamı için yazıldığında, bu karmaşık denklem şu hali alır:
Momentumun korunumu:
ρ·(∂u ∂t+ u ∂u ∂x+ v ∂u ∂y+ w ∂u ∂z) = k_x -∂p ∂x + ∂∂x [ μ·(2 ·∂u ∂x-2/3·(∇·𝐯) ) ] + ∂∂y[μ·(∂u ∂y + ∂v ∂x ) ] + ∂∂z[μ·(∂w ∂x + ∂u ∂z ) ]
 ρ·(∂v ∂t+ u ∂v ∂x+ v ∂v ∂y+ w ∂v ∂z) = k_y -∂p ∂y + ∂∂y [ μ·(2 ·∂v ∂y-2/3·(∇·𝐯) ) ] + ∂∂z[μ·(∂v ∂z + ∂w ∂y ) ] + ∂∂x[μ·(∂u ∂y + ∂v ∂x ) ]
 ρ·(∂w ∂t+ u ∂w ∂x+ v ∂w ∂y+ w ∂w ∂z) = k_z -∂p ∂z + ∂∂z [ μ·(2 ·∂w ∂z-2/3·(∇·𝐯) ) ] + ∂∂x[μ·(∂w ∂x + ∂u ∂z ) ] + ∂∂y[μ·(∂v ∂z + ∂w ∂y ) ]
Kütlenin korunumu:
 ∂ρ∂t + ∂(ρ·u) ∂x+∂(ρ·v) ∂y+∂(ρ·w) ∂z=0 
"Yoğunluk" bilinmediği zaman, diğer bir denklem gereklidir.
Enerjinin korunumu:
 ρ(∂e ∂t+ u ∂e ∂x+ v ∂e ∂y+ w ∂e ∂z) = ( ∂∂x (λ·∂T ∂x ) + ∂∂y (λ·∂T ∂y ) + ∂∂z (λ·∂T ∂z ) ) - p ·( ∇·𝐯 ) + 𝐤 ·𝐯 + ρ·q̇_s + μ·Φ
Burada: 
Φ= 2 ·[ (∂u ∂x )^2+(∂v ∂y)^2+(∂w ∂z)^2 ]
+ (∂v ∂x+∂u ∂y )^2
+ (∂w ∂y+∂v ∂z )^2
+ (∂u ∂z+∂w ∂x )^2
-2/3 ·(∂u ∂x+∂v ∂y+∂w ∂z )^2
Φ yüksek süpersonik ve hipersonik uçuşlar gibi sıra dışı örnekler hariç, çoğunlukla ihmal edilebilirdir.
İdeal gaz kabul edilir:
e = c_p ·T - p/ρ
Altı bilinmeyen (u, v, w, T, e and ρ) ve altı denklemden oluşan yukarıdaki gibi bir çözüm sistemi elde edilmiş olur.


### Bingham akışkanları.
Bingham akışkanlarında, bazı yerlerde durum biraz daha farklıdır:
τ_ij=τ_0 + μ∂v_i/∂x_j, ∂v_i/∂x_j gt;0 
Bunlar, akış başlamadan önce bir miktar kesme dayanım kabiliyetleri olan akışkanlardır. Örnek olarak, "diş macunu" verilebilir.


### Power-law Akışkanı (Power-law fluid).
Bu akışkan, kesme gerilimi için, ideal hal almış akışkandır, τ şu şekilde verilir;
τ= K ( ∂u/∂y )^n 
Bu form, hemen hemen genel akışkanların tüm çeşitlerine uygulanır.


### Sıkıştırılamaz akışkanlar.
Navier-Stokes denklemleri,
ρDu_i/Dt=ρf_i-∂p/∂x_i+∂/∂x_j[
2μ(e_ij-Δδ_ij/3)]
momentumun korunumu ve
∇·𝐯=0
kütlenin korunumu için
Burada
ρ yoğunluk, 
u_i (i=1,2,3) hızın üç bileşeni, 
f_i gövde kuvvetleri (yerçekimi gibi), 
p basınç, 
μ akışkanın o noktadaki dinamik vizkozitesi;
e_ij=1/2(∂u_i/∂x_j+∂u_j/∂x_i);
Δ=e_ii diverjans, 
δ_ij Kronecker delta.
Eğer, μ akışkan üzerinde eşit dağılmış ise, momentum denklemi üzerinde şu basitleştirmeler yapılır:
ρDu_i/Dt=ρf_i-∂p/∂x_i
+μ(
 ∂^2u_i/∂x_j∂x_j+ 1/3∂Δ/∂x_i)
Ek olarak, eğer ρ sabit farzedilirse şu sistem elde edilir:
 ρ(∂v_x ∂t+ v_x ∂v_x ∂x+ v_y ∂v_x ∂y+ v_z ∂v_x ∂z)= μ[∂^2 v_x ∂x^2+∂^2 v_x ∂y^2+∂^2 v_x ∂z^2]-∂p ∂x +ρg_x
 ρ(∂v_y ∂t+ v_x ∂v_y ∂x+ v_y ∂v_y ∂y+ v_z ∂v_y ∂z)= μ[∂^2 v_y ∂x^2+∂^2 v_y ∂y^2+∂^2 v_y ∂z^2]-∂p ∂y +ρg_y
 ρ(∂v_z ∂t+ v_x ∂v_z ∂x+ v_y ∂v_z ∂y+ v_z ∂v_z ∂z)= μ[∂^2 v_z ∂x^2+∂^2 v_z ∂y^2+∂^2 v_z ∂z^2]-∂p ∂z +ρg_z
Süreklilik denklemi (sıkıştırılamazlık kabulü ile):
 ∂v_x ∂x+∂v_y ∂y+∂v_z ∂z=0 


### Silindirik koordinatlar.
Navier-Stokes Süreklilik denklemi silindirik koordinatlar için şöyledir:
∂u_r ∂r+ u_r r + 1 r ∂u_θ∂θ+ ∂u_z ∂z=0
Silindirik koordinatlar için Navier-Stokes denklemleri de şu şekilde yazılır:
r momentum:
 ρ( ∂u_r ∂t + u_r ∂u_r ∂r + u_θr ∂u_r ∂θ + u_z ∂u_r ∂z-u^2_θr )=
∂P ∂r
+μ(∂^2 u_x ∂r^2
+1 r ∂u_x ∂r 
- u_r r^2
+ 1 r^2 ∂^2 u_r ∂θ^2
+ ∂^2 u_r ∂z^2
- 2 r^2∂u_θ∂θ
)+F_r
 θ momentum:
 ρ(
∂u_θ∂t
+ u_r ∂u_θ∂r
+ u_r u_θr
+ u_θr ∂u_θ∂θ
+ u_z ∂u_θ∂z
=
 -1 r∂P ∂θ
+μ( ∂^2 u_θ∂r^2 
+1 r∂u_θ∂r
- u_θr^2
+ 1 r^2 ∂^2 u_θ∂θ^2
+ ∂^2 u_θ∂z^2
+ 2 r^2∂u_r ∂θ
)+F_θ
z momentum:
 ρ(
∂u_z ∂t
+ u_r ∂u_z ∂r
+ u_θr ∂u_z ∂θ
+ u_z ∂u_z ∂z
=
 -∂P ∂z
+μ( ∂^2 u_z ∂r^2
+ 1 r ∂u_z ∂r 
+ 1 r^2 ∂^2 u_z ∂θ^2
+ ∂^2 u_z ∂z^2
)+F_z
Şunu ifade etmek gerekir ki, Navier-Stokes denklemleri akışkan akışını sadece yaklaşık olarak tanımlayabilir ve çok küçük ölçeklerde veya sıra dışı şartlarda, gerçek akışkanlar diğer maddeleri ve molekülleri içeren karışımlardır, Navier-Stokes denklemleri ile homojen ve sürekli akışlar modellenmiş ve bunun üzerinden sonuçlar elde edilmiştir. Bununla beraber Navier-Stokes denklemleri pratikteki problemlerin çözümü için, geniş bir aralıkta faydalı olur.