# Akustik dalga denklemi
Fizikte akustik dalga denklemi, akustik dalgaların bir ortamda yayılımını düzenler. Denklemin biçimi ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklemdir. Denklem, akustik basınç p ve parçacık hızı u nun gelişimini, konum r ve zaman t türünden fonksiyon olarak ifade eder. Denklemin basitleştirilmiş bir formu akustik dalgaları sadece bir boyutlu uzayda, daha genel formu ise dalgaları üç boyutta tanımlar.


## Tek boyutta.
### Denklem.
Sesin madde içerisindeki davranışını tek boyutta tanımlayan dalga denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilir,
 ∂^2 p ∂x ^2 - 1 c^2 ∂^2 p ∂t ^2 = 0 
p akustik basıncı(ortam basıncından değişimi), c ise ses hızını gösteriyor.


### Çözüm.
Hızın c sabit olduğu düşünüldüğünde, frekansa bağlı olmadan(dağılım olmayan durumda) en genel çözüm;
p = f(c t - x) + g(c t + x)
f ve g iki kere türevlenebilen fonksiyonlardır. İki hareket eden dalganın üst üste binmesi olarak görülebilir, (f) pozitif x-ekseninde, (g) ise negatif x-ekseninde c hızıyla hareket eder. Tek bir yönde hareket eden bir sinüs dalgası ise f veya g den birinin sinüsoid ve diğerinin sıfır olması ile elde edilir.
p=p_0 sin(ωt ∓kx).
ω dalganın açısal frekansını, k ise dalga sayısını verir.


### Elde etme.
Dalga denklemi lineerize edilmiş tek boyutlu süreklilik denkleminden, tek boyutlu kuvvet denkleminden ve hal denkleminden elde edilebilir
Hal denklemi(ideal gaz yasası):
PV=nRT
Adiabatik(ısı almayan) işlemde, basınç P yoğunluğun ρ bir fonksiyonudur ve şu şekilde lineerize edilebilir;
P = C ρ 
"C" herhangi bir katsayı. Basınç ve yoğunluğu ortalama ve toplam bileşenlerine ayırırsak:
P - P_0 = (∂P/∂ρ) (ρ- ρ_0).
Akışkanlar için adiabatik hacim modülü;
B= ρ_0 (∂P/∂ρ)_adiabatic
Şu sonucu verir:
P-P_0=B ρ- ρ_0/ρ_0.
Yoğunlaşma, "s", verilen bir akışkan yoğunluğu için yoğunluktaki değişme olarak tanımlanır.
s = ρ- ρ_0/ρ_0
Lineerize edilmiş hal denklemi buna dönüşür:
p = B s 
P akustik basınç (P − P0).
Süreklilik denklemi(kütle korunumu) tek boyutta şöyledir:
∂ρ/∂t + ∂/∂x (ρu) = 0.
Denklem lineerize edilmeli ve değişkenler yine ortalama ve değişen bileşenlerine ayrılmalıdır.
∂/∂t ( ρ_0 + ρ_0 s) + ∂/∂x (ρ_0 u + ρ_0 s u) = 0
Tekrar düzenleyerek ve ortam yoğunluğunun zamana veya konuma bağlı değişmediğine, aynı zamanda hız ile yoğunluğun çarpımının çok küçük bir sayı olduğuna dikkat ederek şunu yazabiliriz:
∂s/∂t + ∂/∂x u = 0
Euler'ın Kuvvet yasası(momentum korunumu) gereken sonunsur. Tek boyutta denklem:
ρD u/D t + ∂P/∂x = 0
D/Dt ileten, kayda değer veya gerekli türevdir, sabit bir noktadan ziyade ortamla beraber hareket eden bir noktadaki türevdir.
Değişkenleri lineerize edersek:
(ρ_0 +ρ_0 s)( ∂/∂t + u ∂/∂x ) u + ∂/∂x (P_0 + p) = 0.
Küçük terimleri yok sayıp yeniden düzenlersek denkem bu hale gelir:
ρ_0∂u/∂t + ∂p/∂x = 0.
Süreklilik denkleminin zamana göre, kuvvet denkleminin ise konuma göre türevlerini alırsak:
∂^2 s/∂t^2 + ∂^2 u/∂x ∂t = 0
ρ_0 ∂^2 u/∂x ∂t + ∂^2 p/∂x^2 = 0.
İlk denklemi ρ_0 ile çarpar, birbirlerinden çıkarır ve hal denkleminin lineerize edilmiş formunu yerine koyarsak:
- ρ_0 /B ∂^2 p/∂t^2 + ∂^2 p/∂x^2 = 0
Son hali şu olur:
 ∂^2 p ∂x ^2 - 1 c^2 ∂^2 p ∂t ^2 = 0 
c = √( B/ρ_0 ) yayılma hızıdır


## Üç boyutta.
### Denklem.
Feynman üç boyutta sesin ortamdaki dalga denklemini şöyle elde etmiştir:
 ∇^2 p - 1 c^2 ∂^2 p ∂t ^2 = 0 
∇^2 Laplace operatörü, p akustik basınç ve c sesin hızıdır.


### Çözüm.
Aşağıdaki çözümler farklı koordinat sistemlerinde değişken ayırma yöntemi ile elde edilmiştir. Bu çözümlerin zamana bağlı açık olmayan bir faktörleri vardır, e^iωt,burada ω= 2 πf açısal frekanstır. Açık zamana-bağlılık şöyle verilir:
p(r,t,k) = Real[p(r,k) e^iωt]
burada k = ω/c dalga sayısıdır.


#### Kartezyen koordinatlarda.
 p(r,k)=Ae^±ikr 


#### Silindirik koordinatlarda.
 p(r,k)=AH_0^(1)(kr) + BH_0^(2)(kr)
Burada kr→∞ iken Hankel fonksiyonlarına asimptotik yaklaşımlar şöyle verilir;
 H_0^(1)(kr) ≃√(2/πkr)e^i(kr-π/4)
 H_0^(2)(kr) ≃√(2/πkr)e^-i(kr-π/4)


#### Küresel koordinatlarda.
 p(r,k)=A/re^±ikr
Seçilen Fourier kuralına bağlı olarak, bunlardan biri dışarı hareket eden, diğeri ise fiziksel olmayan içeri hareket eden dalgayı temsil eder. İçeri hareket eden dalganın fiziksel olmaması sadece r=0 da oluşan tekillikten ileri gelir; içeri hareket eden dalgalar mevcuttur.