# Vektör hesabı özdeşlikleri
Bu madde Vektör Analizi'ndeki önemli özdeşlikleri içermektedir.


## Operatörlerin Notasyonu.
### Gradyan.
Ana madde:Gradyan
3 boyutlu kartezyen koordinatlarında verilen 3 değişkenli f(x,y,z) fonksiyonunun gradyanı bir vektör alanı verecektir.Notasyon olarak;
grad(f) veya ∇f ile gösterilir.
∇f =(∂∂x,∂∂y,∂∂z)f=∂f ∂xi+∂f ∂yj+∂f ∂zk olarak ifade edilir.Görüldüğü üzere elde artık 3 boyutlu bir vektör alanı vardır.
Burada i,j,k x, y ve z eksenlerini temsil eden birim baz vektörlerdir.Genel bir biçimde düşündüğümüzde n değişkenli bir ξ(x_1,x_2...x_n) skaler fonksiyonu ele alırsak bu fonksiyonun gradyanı bize bir n boyutlu bir vektör alanı verecektir:
∇ξ=(∂∂x_1,∂∂x_2...∂∂x_n)ξ=∂ξ∂x_1.e_1+∂ξ∂x_2.e_2+...+∂ξ∂x_n.e_n.
1×n satır matris formunda yazılan ya da rankı 1 olan tensör yani vektör A⃗ =(A_1,A_2...,A_n) gibi bir vektör alanı için gradyan ya da kovaryant türevi n×n Jacobian matrisi ile temsil edilir:
∇A⃗=J_A⃗=(∂A_i ∂x_j)_ij
Genellersek herhangi bir k ranklı bir A tensörünün gradyanı k+1 değerinde bir tensör alanı verir.


### Diverjans.
Ana madde:Diverjans
Kartezyen koordinatlarında sürekli ve türevlenebilir bir F vektör alanının diverjansı bir skaler değerli fonksiyon verecektir. Notasyon olarak;
div(F) veya ∇·F ile temsil edilir.
∇·F =div(F)=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)·(F_x,F_y,F_z)=∂F_x ∂x+∂F_y ∂y+∂F_z ∂z olarak ifade edilir.
Gradyanda olan mantık burada da geçerlidir.Yani k boyutlu bir A tensör alanının diverjansı (∇·A), k-1 boyutlu bir tensör alanı verir.


### Rotasyonel.
Ana madde;Rotasyonel
Kartezyen koordinat sisteminde bir F vektör alanının rotasyoneli yine bir vektör alanı verir. Notasyon olarak;
rot(F) ya da ∇×F ile temsil edilir.
rot(F)=∇×𝐅 = 𝐢 amp; 𝐣 amp; 𝐤 
∂/∂x amp; ∂/∂y amp; ∂/∂z 
 F_x amp; F_y amp; F_z = (∂F_z/∂y - ∂F_y/∂z) 𝐢 + (∂F_x/∂z - ∂F_z/∂x) 𝐣 + (∂F_y/∂x - ∂F_x/∂y) 𝐤 olarak ifade edilir.Burada 𝐢,𝐣 ,𝐤 x, y ve z koordinat eksenlerini temsil eden birim baz vektörlerdir.
Vektör ya da daha genel anlamda tensörlerin rotasyoneli Einstein toplama kuralı esas alınarak tensör dili ile yazılabilir;
F vektör alanının rotasyoneli;
∇×F=ε^ijke_i∂F_k ∂x^j
Burada ε Levi-Civita Permütasyon Sembolü'dür.


### Laplasyen.
Ana Madde:Laplace Operatörü
Kartezyen koordinatlarında skaler değerli bir f(x,y,z) fonksiyonunun laplasyeni;
Δf=∇^2 f=(∇·∇)f=∂^2 f∂x^2+∂^2 f∂y^2+∂^2 f∂z^2
Genel anlamda T tensörünün laplasyeni şöyle yazılabilir;
ΔT=∇^2 T=(∇·∇)T
Rank bakımından tensöre bu operatör uygulandığında tensörün rankı değişmeyecektir. Fonksiyonun laplasyeni 0'a eşit ise fonksiyon özel bir fonksiyon olan harmonik fonksiyon niteliğine sahip olur.


## İlk Türev Özdeşlikleri.
Notasyon bakımından skaler alanlar için ϕ ve ψ vektör alanları için A ve B kullanacağız.


### Dağılma Özellikleri.
  - ∇(ψ+ϕ)=∇ψ+∇ϕ
  - ∇(A+B)=∇A+∇B
  - ∇·(A+B)=∇·A +∇·B
  - ∇×(A+B)=∇×A + ∇×B


### Skaler ile Çarpılırken Çarpım Kuralı.
Tek değişkenli klasik kalkülüsten bildiğimiz çarpım kuralını burada da genelleştirebiliriz.
  - ∇(ψϕ)=ϕ∇ψ+ψ∇ϕ
  - ∇(ψA)=(∇ψ)^T A+ψ∇A =∇ψ⊗A+ψ∇A
  - ∇·( ψ𝐀 ) = ψ ( ∇·𝐀) + 𝐀·(∇ψ)
  - ∇×( ψ𝐀 ) = ψ ( ∇×𝐀) + ( ∇ψ) ×𝐀
  - ∇^2(ψϕ)=ψ∇^2ϕ+2∇ψ·∇ϕ+ϕ∇^2ψ


### Skalere bölünürken Bölme Kuralı.
  - ∇(f/g) = g∇f - (∇g)f/g^2
  - ∇·(𝐀/g) = g ∇·𝐀 - (∇g) ·𝐀/g^2
  - ∇×(𝐀/g) = g ∇×𝐀 - (∇g) ×𝐀/g^2


## İkinci Türev Özdeşlikleri.
### Rotasyonelin diverjansı sıfıra eşittir.
Bir ϕ vektörün rotasyonelinin diverjansı sıfırdır:
∇·(∇×ϕ)=0


### Gradyanın diverjansı Laplasyen operatörüne eşittir.
∇^2 ψ= ∇·(∇ψ)


### Diverjansın diverjansı tanımsızdır.
∇·(∇·ψ) =Tanımsız
Sebebi diverjansı alınan vektör skaler olacağı için tekrar diverjans alınamaz.
Not=Bu durum sadece vektörler için geçerlidir.


### Gradyanın rotasyoneli sıfıra eşittir.
∇×( ∇ϕ) = 0


### Rotasyonelin rotasyoneli vektör Laplasyeni'ne eşittir.
∇×( ∇×𝐀 ) = ∇(∇·𝐀) - ∇^2𝐀


### Diverjansın rotasyoneli tanımsızdır.
Sebebi diverjansı alınan vektörün skalere dönüştüğünü düşündüğümüzde yeni skalerin rotasyonelinin alınamayacağıdır.
∇×(∇·A)=Tanımsız


## Önemli Özdeşliklerin Özeti.
### Diferansiyasyon.
#### Gradyan.
  - ∇(ψ+ϕ)=∇ψ+∇ϕ
  - ∇(ψ ϕ) = ϕ ∇ψ+ ψ ∇ϕ
  - ∇(𝐀·𝐁)=(𝐀·∇)𝐁+(𝐁·∇)𝐀+𝐀×(∇×𝐁)+𝐁×(∇×𝐀)


#### Diverjans.
  - ∇·(𝐀+𝐁) = ∇·𝐀 + ∇·𝐁
  - ∇·(ψ𝐀) = ψ ∇·𝐀 + 𝐀·∇ψ
  - ∇·(𝐀×𝐁) = 𝐁·(∇×𝐀) - 𝐀·(∇×𝐁)


#### Rotasyonel.
  - ∇×(𝐀+𝐁) = ∇×𝐀 + ∇×𝐁
  - ∇×(ψ𝐀) = ψ ∇×𝐀 + ∇ψ×𝐀
  - ∇×(𝐀×𝐁) = 𝐀(∇·𝐁) - 𝐁(∇·𝐀) + (𝐁·∇)𝐀 - (𝐀·∇)𝐁


#### İkinci Türev.
  - ∇·(∇×𝐀)=0
  - ∇×(∇ψ)= 0
  - ∇·(∇ψ)=∇^2ψ (skaler laplasyen)
  - ∇(∇·𝐀)-∇×(∇×𝐀)=∇^2𝐀 (vektör laplasyen)
  - ∇·(ϕ∇ψ)=ϕ∇^2ψ+ ∇ϕ·∇ψ
  - ψ∇^2ϕ-ϕ∇^2ψ= ∇·(ψ∇ϕ-ϕ∇ψ)
  - ∇^2(ϕψ)=ϕ∇^2ψ+2∇ϕ·∇ψ+ψ∇^2ϕ
  - ∇^2(ψ𝐀)=𝐀∇^2ψ+2(∇ψ·∇)𝐀+ψ∇^2𝐀
  - ∇^2(𝐀·𝐁)= 𝐀·∇^2𝐁 - 𝐁·∇^2𝐀 + 2∇·((𝐁·∇)𝐀 + 𝐁×∇×𝐀) (Green vektör özdeşliği)


#### Üçüncü Türev.
  - ∇^2(∇ψ) = ∇(∇·(∇ψ)) = ∇(∇^2ψ)
  - ∇^2(∇·𝐀) = ∇·(∇(∇·𝐀)) =∇·(∇^2𝐀)
  - ∇^2(∇×𝐀) = -∇×(∇×(∇×𝐀)) = ∇×(∇^2𝐀)


### İntegrasyon.
"∂" sembolü burada bir yüzeyin sınırlarını ifade eder.


#### Yüzey-Hacim İntegralleri.
Yüzey-Hacim İntegral teoremlerini takip ettiğinizde genelde ∂A sembolü görürsünüz.Bunun anlamı eğer A, 3 boyutlu bir çokkatlı ise ∂A sınırlarını yani 2 boyutlu bir yüzeyi temsil eder.
  - ∫∫_∂V ◯ 𝐀·d𝐒=∭_V (∇·𝐀)dV (Diverjans teoremi)
  - ∫∫_∂V ◯ ψd 𝐒 = ∭_V ∇ψ dV
  - ∫∫_∂V ◯ (𝐧̂×𝐀)dS=∭_V(∇×𝐀)dV
  - ∫∫_∂V ◯ ψ(∇φ·𝐧̂)dS = ∭_V(ψ∇^2φ+∇φ·∇ψ)dV (ilk Green özdeşliği)
  - ∫∫_∂V ◯ [(ψ∇φ-φ∇ψ)·𝐧̂]dS=G
  - G=∫∫_∂V ◯ [ψ∂φ/∂n-φ∂ψ/∂n]dS=∭_V(ψ∇^2φ-φ∇^2ψ)dV (ikinci Green özdeşliği)


### Bir eğri üstündeki çizgi integrali.
  - ∮_∂S𝐀·dℓ=∬_S(∇×𝐀)·d𝐬 (Stokes Teoremi)
  - ∮_∂Sψdℓ=∬_S(𝐧̂×∇ψ)dS
Burada şu anlaşılmalıdır ki saat yönü negatif taraftır ve saat yönünün tersi üzerinde alınan integral saat yönünde alınan integralin negatifine eşittir.