# Euler spirali
Euler spirali, eğimi eğrinin uzunluğuyla doğrusal olarak degişen bir eğridir. Euler spiralleri yaygın olarak spiros, clothoids veya Cornu spiralleri olarak da adlandırılır. Euler spirallerinin kırınım hesaplamalarında uygulamaları vardır. Genellikle demiryolu ve karayolu mühendisliklerinde teğet eğrisi ve dairesel eğri arasındaki geometriyi bağdaştırmaya ve aktarmaya yarayan geçiş eğrisi olarak kullanılır. Teğet eğrisi ve dairesel eğri arasındaki geçiş eğrisinin eğimindeki lineer değişim prensibi Euler spiralinin geometrisini belirler:
  - Eğimi teğetin düzgün kesitinden başlayarak lineer olarak eğri boyunca artar.
  - Euler spiralinin dairesel eğriyle karşılaştığı yerde eğimi dairesel eğrinin eğimine eşit olur.


## Uygulamaları.
### Geçiş eğrisi.
Dairesel yörüngede hareket eden bir nesne merkezcil ivmeye maruz kalır. Bir araç düz bir yörüngeden dairesel bir yörüngeye yaklaşırken aniden teğet noktasında başlayan merkezcil ivmeyi hissedecektir. İlk demiryollarında trenlerin düşük hızla hareket etmesinden ve yörüngelerin geniş yarıçaplı eğrilerden oluşmasından dolayı şimdiki yanal kuvvet uygulaması bir sorun oluşturmamaktaydı. Demiryolu taşıtlarının hızı günden güne arttıkça konforun gerekli olduğu ortaya çıktı. Bu yüzden de merkezcil ivme yolculuk mesafesiyle doğrusal olarak artmaktadır. Konforun sağlanması için eğimi alınan mesafeyle doğrusal olarak artan bir eğri çözüm olarak bulundu. Bu geometrik ifade Euler spiralidir. Leonhard Euler'in geometri çözümünden habersiz olarak Rankine Euler spiralinin dairesel bir eğriye yakınsayan bir parabol üzerindeki küçük açısal değişiklikler üzerinden yapılan bir yaklaşımı olan kübik eğriden (3. dereceden polinom) bahsetmiştir. Marie Alfred Cornu ve daha sonra başka inşaat mühendisleri de Euler spiralinin hesaplamalarını birbirlerinden bağımsız olarak çözmüşlerdir. Günümüzde Euler spiralleri yaygın olarak demiryolu ve karayolu mühendisliklerinde teğet eğrisi ve yatay dairesel eğri arasında geçişi ve konforu sağlamak için kullanılır.


### Optik.
Cornu spirali kırınım desenini betimlemek için kullanılır.


## Formülasyon.
### Çıkarımlar.
Sağ taraftaki grafik Euler spiralinin negatif x ekseni boyunca uzanmış düz bir çizgiyle bir çember arasındaki geçiş eğrisi olarak kullanıldıgını göstermektedir. Spiral pozitif x ekseni üzerindeki orijinden başlayarak gitgide saat yönünün tersinde dönerek çembere değer. Spiral ilk kadrandaki çift sonlu Euler spiralinin yukarısındaki küçük bir kısımdır.
 Eğim tanımından yola çıkılarak,
 1/R = dθ/dL ∝L 
 R L = constant = R_c L_s 
 dθ/dL = L/R_c L_s
 Aşağıdaki şekilde yazarsak,
dθ/dL = 2a^2 L
2a^2= 1/R_c L_s
ya da ::a = 1/√(2R_c L_s) 
Böylece
θ= (a L)^2 olur.
 x amp; = ∫_0^L cosθ ds 
 amp; = ∫_0^L cos[ (a s)^2 ] ds
Eğer
L' = a L olduğunu kabul edersek,
dL = dL'/a .
Böylece :: x = 1/a ∫_0^L' coss^2 ds elde ederiz.
 y amp; = ∫_0^L sinθ ds 
 amp; = ∫_0^L sin[ (a s)^2 ] ds 
 amp; = 1/a∫_0^L'sins^2 ds


### Fresnel integral açılımı.
A'nın olduğu yani Euler eğrisinin normalize edilebilir olduğu durumlarda kartezyen koordinatlar Fresnel integrali (ya da Euler integrali) ile aşağıdaki gibi belirlenir:
 C(L) =∫_0^Lcoss^2 ds
 S(L) = ∫_0^Lsins^2 ds
Kosinüs açılımına göre C(L)'yi :
 cosθ= 1 - θ^2/2! + θ^4/4! - θ^6/6! + ⋯
 C(L) = ∫_0^L coss^2 ds
 = ∫_0^L (1 - s^4/2! + s^8/4! - s^12/6! + ⋯) ds
 = L - L^5/5 ×2! + L^9/9 ×4! - L^13/13 ×6! +⋯
Sinüs açılımına göreyse S(L)'yi:
 sinθ= θ- θ^3/3! + θ^5/5! - θ^7/7! + ⋯
 S(L) = ∫_0^L sins^2 ds
 = ∫_0^L (s^2 - s^6/3! + s^10/5! - s^14/7! + ⋯) ds
 = L^3/3 - L^7/7 ×3! + L^11/11 ×5! - L^15/15 ×7! +⋯
bu şekillerde elde ederiz.


### Normalize etme ve sonuç.
Verilen Euler eğrisi için:
2RL = 2R_c L_s = 1/a^2 
ya da 
1/R = L/R_c L_s = 2a^2L geçerliyse,
x=1/a ∫_0^L' coss^2 ds
y=1/a ∫_0^L' sins^2 ds 
where L' = aL and a = 1/√(2R_c L_s).
Euler spiralinin (x,y) cinsinden çözümünün elde edilme süreci şu şekilde belirlenebilir: 
  - Orijinal Euler spiralinin uzunluğu L a ile çarpılarak normalize edilmiş Euler spiralinin uzunluğu L"e eşlenir 
  - Fresnel integralinden (x',y') bulunur  ve
  - (x',y') 1/a oranında arttırılarak (x,y)'ye eşlenir. (1/a > 1)
Normalizasyon süresince,
 R'_c amp; = R_c/√(2 R_c L_s)
 amp; = √(R_c/2L_s)
 L'_s amp; = L_s/√(2R_c L_s)
 amp; = √(L_s/2R_c)
 2R'_c L'_s amp; = 2 √(R_c/2L_s)√(L_s/2 R_c)
 amp; = 22
 amp; = 1
Normalizasyon genel olarak L"ı 1'den küçük bir değere götürür.


#### Örnekleme.
Verilen:
 
 R_c amp; = 300
 L_s amp;= 100
değerleri için,
 
 θ_s amp; = L_s/2R_c
 amp; = 100/2 × 300
 amp; = 0.1667
 olur.
 2R_c L_s = 60,000 
Euler spiralini √60,000 küçültürsek, yani normalize Euler spiralinin 100√6 olması durumunda:
 
 R'_c = 3√(6)
 L'_s = 1√(6)
 
 2R'_c L'_s amp; = 2 ×3√(6)×1√(6)
 amp; = 1
ve
 
 θ_s amp; = L'_s/2R'_c
 amp; = 1√(6)/2 ×3√(6)
 amp; = 0.1667
Yukarıda iki açı θ_s da aynı. Bu orijinal ve normalize edilmiş Euler spirallerinin benzer geometrilere sahip oldugunu göstermektedir. Normalize eğrinin konumu Fresnel integraliyle belirlenebilirken, orijinal Euler spiralinin konumu ise denormalizasyonla elde edilir.


### Normalize Euler spiralinin diğer özellikleri.
Normalize Euler spirali şu şekilde ifade edilir:
 x = ∫_0^L coss^2 ds
 y = ∫_0^L sins^2 ds
ve normalize Euler spiralinin bazı özellikleri şunlardır:
2 R_c L_s = 1 
θ_s = L_s/2 R_c = L_s ^2
ve
θ= θ_s·L^2/L_s^2 = L^2
1/R = dθ/dL = 2L.


## Euler spiral üretmek için gereken kodlar.
Aşağıdaki Sage koduyla yukarıdaki ikinci grafik elde edilebilir. İlk 4 satır Euler spirali bileşenlerini ifade eder. fresnel fonksiyonlarının yerine iki Taylor seri açılımı adapte edilmiştir. Geriye kalan kodlarsa sırayla teğet ve daireyi ifade eder.
 var('L')
 p = integral(taylor(cos(L^2), L, 0, 12), L)
 q = integral(taylor(sin(L^2), L, 0, 12), L)
 r1 = parametric_plot([p, q], (L, 0, 1), color = 'red')
 r2 = line([(-1.0, 0), (0,0)], rgbcolor = 'blue')
 x1 = p.subs(L = 1)
 y1 = q.subs(L = 1)
 R = 0.5
 x2 = x1 - R*sin(1.0)
 y2 = y1 + R*cos(1.0)
 r3 = circle((x2, y2), R, rgbcolor = 'green')
 show(r1 + r2 + r3, aspect_ratio = 1, axes=false)
Aşağıdaki Mathematica kodu da Euler spiralinin bileşenleri içindir; wolframalpha.com'da sorunsuz bir şekilde çalışır.
 ParametricPlot[
 {FresnelC[Sqrt[2/\[Pi]] t]/Sqrt[2/\[Pi]],
 FresnelS[Sqrt[2/\[Pi]] t]/Sqrt[2/\[Pi]]},
 {t, -10, 10}]


## Konuyla ilgili okumalar.
 - R. Nave, The Cornu spiral, "Hyperphysics" (2002) "(Uses πt²/2 instead of t².)"
  - Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. "Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables." New York: Dover, 1972. "(See Chapter 7)"