# Geometrik ortalama teoremi
Dik üçgen yükseklik teoremi veya geometrik ortalama teoremi, bir dik üçgendeki hipotenüs üzerindeki yükseklik uzunluğu ile hipotenüs üzerinde oluşturduğu iki doğru parçası arasındaki ilişkiyi tanımlayan temel geometrinin bir sonucudur. İki doğru parçasının geometrik ortalamasının yüksekliğe eşit olduğunu belirtir.


## Teorem ve uygulamaları.
Eğer h, dik üçgende yüksekliği ve p ile q hipotenüs üzerindeki parçaları gösteriyorsa, teorem şu şekilde ifade edilebilir:
 h = √(pq) 
veya alan cinsinden ifade edilirse:
 h^2 = pq.
Sonraki versiyon, bir dikdörtgeni cetvel ve pergel ile kare yapmak için, yani belirli bir dikdörtgene eşit alanlı bir kare oluşturmak için bir yöntem sağlar. Kenarları p ve q olan böyle bir dikdörtgenin, sol üst köşesini D ile gösterelim. Şimdi q parçasını soluna p kadar uzatalım (D'de ortalanmış AE yayını kullanarak) ve çapı yeni parça p + q ve uç noktaları A ile B olan bir yarım çember çizelim. Sonra D'deki çapa, C'deki yarım çemberi kesen dik bir doğru çizelim. Thales teoremine göre C ve çap, DC doğru parçasının yükseklik olduğu bir dik üçgen oluşturur, dolayısıyla DC dikdörtgenin alanına eşit alanlı olan bir karenin kenarıdır. Yöntem ayrıca kare köklerin oluşturulmasına da izin verir (İnşa edilebilir sayıya bakın), çünkü 1 genişliğinde bir dikdörtgenden başlayarak inşa edilen karenin, dikdörtgenin diğer kenar uzunluğunun kareköküne eşit bir kenar uzunluğu olacaktır.
Teorem, iki sayı durumunda AO-GO eşitsizliğinin geometrik bir kanıtını sağlamak için kullanılabilir. p ve q sayıları için p + q çapında yarım çember oluşturulur. Şimdi yükseklik, iki sayının geometrik ortalamasını ve yarıçapı aritmetik ortalamasını temsil eder. Yükseklik her zaman yarıçapa eşit veya daha küçük olduğu için bu eşitsizliği ortaya çıkarır.
Teoremin kanıtı :
ADC ve BCD üçgenleri benzerdir, çünkü:
  - ABC ve ACD üçgenlerini düşünün, burada ∠ACB = ∠ADC=90^∘ ve ∠BAC = ∠CAD'dir, bu nedenle AA postülatına göre ABC ∼ACD 'dir.
  - Ayrıca, ABC ve BCD üçgenleri düşünün, burada ∠ACB = ∠BDC = 90^∘ ve ∠ABC = ∠CBD'dir, bu nedenle AA postülatına göre ABC ∼BCD'dir.
Bu nedenle, her iki üçgen ACD ve BCD, ABC üçgenine ve kendilerine benzerdir, yani ACD ∼ABC ∼BCD'dir.
Benzerlik nedeniyle aşağıdaki eşitlik oranlarını elde ederiz ve cebirsel yeniden düzenlenmesi bize teoremi verir:
 h/p = q/h ⇔ h^2 = pq ⇔ h = √(pq) (h, p, q gt; 0)
Tersinin kanıtı:
Tersi için h^2 = pq eşitliğini sağlanan bir ABC üçgenimiz vardır ve C'deki açının dik açı olduğunun gösterilmesi gerekir. Şimdi h^2 = pq yüzünden ayrıca hp = qh ifadesine sahibiz. ∠ADC=∠CDB eşitliği ile birlikte üçgenler ADC ve BDC eşit büyüklükte bir açıya ve aynı orana sahip karşılıklı kenar çiftlerine sahiptir. Bu, üçgenlerin benzer olduğu anlamına gelir ve sonuç aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:
 ∠ACB=∠ACD + ∠DCB=∠ACD + (90^∘- ∠DBC) = ∠ACD + (90^∘- ∠ACD) = 90^∘


### Pisagor teoremine dayanarak.
Geometrik ortalama teoreminin kurgusunda, Pisagor teoreminin uygulanabileceği üç dik üçgen ABC , ADC ve DBC vardır:
 h^2 = a^2 - q^2, 
 h^2 = b^2 - p^2 ve 
 c^2 = a^2 + b^2
İlk 2 iki denklemi taraf tarafa toplamak ve ardından üçüncüyü kullanmak aşağıdaki ifadenin elde edilmesini sağlar:
 2h^2 = a^2 + b^2 - p^2 - q^2 = c^2 - p^2 - q^2 = (p + q)^2 - p^2 - q^2 = 2pq.
İkiye bölerek sadeleştirme, sonunda geometrik ortalama teoreminin formülünü verir.


### Parçalarına ayırma ve yeniden düzenlemeye dayanarak.
Dik üçgeni h yüksekliği boyunca parçalarına ayırmak, iki farklı şekilde artırılabilen ve p + h ve q + h uzunluklarına sahip dikey kenarları olan daha büyük bir dik üçgen olarak düzenlenebilen iki benzer üçgen verir. Bu tür bir düzenleme, bu tamamlamak için h^2 alanına sahip bir kare alan ve pq alanına sahip diğer bir dikdörtgen gerektirir. Her iki düzenleme de aynı üçgeni verdiğinden, kare ve dikdörtgenin alanları aynı olmalıdır.


### Kesme haritalamaya dayanarak.
Yüksekliğin karesi, p ve q kenarları ile eşit alanlı bir dikdörtgene, üç kesme haritalama yardımıyla dönüştürülebilir (kesme haritalama alanı korur):