# Trigonometrik integral
Matematikte, trigonometrik integraller trigonometrik fonksiyonları içeren temel olmayan integrallerin ailesidir.


## Sinüs integrali.
Farklı sinüs integral tanımları şunlardır:
Si(x) = ∫_0^xsint/t dt
si(x) = -∫_x^∞sint/t dt .
sin(t)/t integralinin sinc fonksiyonu ve aynı zamanda sıfırıncı olduğuna dikkat edin.
Çünkü #YÖNLENDİRME bir çift tam fonksiyon (holomorfik tüm karmaşık düzlem üzerinde), #YÖNLENDİRME tamdır, tektir ve tanımındaki integral, uç noktaları birleştiren herhangi bir yol boyunca alınabilir.
Tanım olarak #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME 'in #YÖNLENDİRME 'da değeri sıfır olan ters türevidir ve #YÖNLENDİRME ise #YÖNLENDİRME 'da değeri sıfır olan ters türevidir. Aralarındaki fark Dirichlet integrali tarafından verilir,
Si(x) - si(x) = ∫_0^∞sint/t dt = π/2 veya Si(x) = π/2 + si(x)  .
Sinyal işlemede, sinüs integralinin salınımları sinc filtresi kullanıldığında aşırı salınım ve halkasal bozulmaya ve alçak geçiren filtre olarak kesilmiş bir sinc filtresi kullanıldığında frekans etki alanı bozulmaya neden olur.
Bununla ilgili Gibbs fenomeni vardır: Sinüs integrali, sinc fonksiyonunun Heaviside basamak fonksiyonu ile konvolüsyonu olarak kabul edilirse, bu Gibbs fenomeninin nedeni olan Fourier serisinin kesilmesine karşılık gelir.


## Kosinüs integrali.
Farklı kosinüs integral tanımları şunlardır:
Cin(x) = ∫_0^x 1 - cost/t dt ,
Ci(x) = -∫_x^∞cost/t dt = γ+ lnx - ∫_0^x 1 - cost/t dt
  |Arg(x)| lt; π  için ,
burada #YÖNLENDİRME Euler-Mascheroni sabitidir. Bazı metinlerde #YÖNLENDİRME yerine #YÖNLENDİRME kullanılır.
 - YÖNLENDİRME ,  YÖNLENDİRME (x →∞ sıfıra eşit olan) ters türevidir. Bu iki tanım,
Ci(x) = γ+ lnx - Cin(x) 
ile ilişkilidir. #YÖNLENDİRME bir çift, tam fonksiyondur. Bu nedenle, bazı metinler #YÖNLENDİRME 'i birincil fonksiyon olarak ele alır ve #YÖNLENDİRME 'yi #YÖNLENDİRME cinsinden türetir.


## Hiperbolik sinüs integrali.
Hiperbolik sinüs integrali şu şekilde tanımlanır:
Shi(x) =∫_0^x sinh(t)/t dt.
Sıradan sinüs integrali ile şu şekilde ilişkilidir:
Si(ix) = iShi(x).


## Hiperbolik kosinüs integrali.
Hiperbolik kosinüs integrali şöyledir:
Chi(x) = γ+lnx + ∫_0^xcosht-1/t dt   | Arg(x) | lt; π  için  ,
burada γ Euler-Mascheroni sabitidir.
Aşağıdaki seri açılımına sahiptir:
Chi(x) = γ+ ln(x) + x^2/4 + x^4/96 + x^6/4320 + x^8/322560 + x^10/36288000 + O(x^12).


## Yardımcı fonksiyonlar.
Trigonometrik integraller, "yardımcı fonksiyonlar" olarak adlandırılan terimlerle anlaşılabilir.
Bu fonksiyonlar kullanılarak trigonometrik integraller aşağıdaki gibi yeniden ifade edilebilir 
[ π/2 - Si(x) = -si(x) amp;= amp; f(x) cos(x) + g(x) sin(x) , ve; Ci(x) amp;= amp; f(x) sin(x) - g(x) cos(x) .; ]


## Nielsen sarmalı.
 - YÖNLENDİRME parametrik grafiği ile oluşturulan spiral, Nielsen spirali olarak bilinir.
x(t) = a ×ci(t)
y(t) = a ×si(t)
Sarmal, Fresnel integrali ve Euler spirali ile yakından ilişkilidir. Nielsen spiralinin görüntü işleme, yol ve iz yapımı ve diğer alanlarda uygulamaları vardır.


## Açılım.
Trigonometrik integrallerin değerlendirilmesi için argümanın aralığına bağlı olarak çeşitli açılımlar kullanılabilir.


### Asimptotik seri (büyük argüman için).
Si(x) ∼π/2 
 - cosx/x(1-2!/x^2+4!/x^4-6!/x^6⋯)
 - sinx/x(1/x-3!/x^3+5!/x^5-7!/x^7⋯)
Ci(x) ∼sinx/x(1-2!/x^2+4!/x^4-6!/x^6⋯)
 - cosx/x(1/x-3!/x^3+5!/x^5-7!/x^7⋯)  .
Bu seriler asimptotik ve ıraksaktır, ancak #YÖNLENDİRME değerinde tahminler ve hatta kesin değerlendirme için kullanılabilir.


### Yakınsak seriler.
Si(x)= ∑_n=0^∞(-1)^nx^2n+1/(2n+1)(2n+1)!=x-x^3/3!·3+x^5/5!·5-x^7/7! ·7±⋯
Ci(x)= γ+lnx+∑_n=1^∞(-1)^nx^2n/2n(2n)!=γ+lnx-x^2/2!·2 + x^4/4! ·4∓⋯
Bu seriler herhangi bir kompleks x değerinde yakınsaktır, ancak #YÖNLENDİRME için seri başlangıçta yavaş yakınsayacak ve yüksek hassasiyet için birçok terim gerektirecektir.


### Seri açılımının türetilmesi.
Sinüsün Maclaurin serisi açılımından:sin x = x - x^3/3!+x^5/5!- x^7/7!+x^9/9!-x^11/11! + ⋯
sin x/x = 1 - x^2/3!+x^4/5!- x^6/7!+x^8/9!-x^10/11!+⋯
∴∫sin x/xdx = x - x^3/3!·3+x^5/5!·5- x^7/7!·7+x^9/9!·9-x^11/11!·11+⋯


## Sanal argümanın üstel integral ile ilişki.
E_1(z) = ∫_1^∞exp(-zt)/t dt   for   (z) ≥0 
fonksiyonu üstel integral olarak adlandırılır. Bu integral, #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME ile yakından ilişkilidir;
E_1(i x) = i(-π/2 + Si(x))-Ci(x) = i si(x) - ci(x)   for   x gt; 0  .
İlgili her bir fonksiyon, argümanın negatif değerlerindeki kesim dışında analitik olduğundan, bağıntının geçerlilik alanı genişletilmelidir (Bu aralığın dışında, #YÖNLENDİRME 'nin tam sayı çarpanları olan ek terimler ifadede görünür).
Genelleştirilmiş integro-üstel fonksiyonun sanal argümanının durumları şunlardır:
∫_1^∞cos(ax)lnx/x dx =
-π^2/24+γ(γ/2+lna)+ln^2a/2
+∑_n≥1 (-a^2)^n/(2n)!(2n)^2  ,
ki bu da, 
∫_1^∞e^iaxlnx/x dx = 
-π^2/24 + γ(γ/2+lna)+ln^2 a/2 
-π/2i(γ+lna) + ∑_n≥1(ia)^n/n!n^2  .
ifadesinin gerçek kısmıdır. Benzer şekilde,
∫_1^∞e^iaxlnx/x^2 dx = 
 1 + ia[ -π^2/24 + γ( γ/2 + lna - 1 ) + ln^2 a/2 - lna + 1 ]
 + πa/2 ( γ+lna - 1 ) 
 + ∑_n≥1(ia)^n+1/(n+1)!n^2 .


## Etkin değerlendirme.
Yakınsak Taylor serilerinin Padé yaklaşımları, küçük argümanlar için fonksiyonları değerlendirmenin etkili bir yolunu sağlar. Rowe ve diğerleri (2015) tarafından verilen aşağıdaki formüller, #YÖNLENDİRME için #YÖNLENDİRME 'dan daha doğrudur,
[ Si(x) amp;≈ amp; x ·( 
[ 1 -4.54393409816329991·10^-2 ·x^2 + 1.15457225751016682·10^-3 ·x^4 - 1.41018536821330254·10^-5 ·x^6; + 9.43280809438713025 ·10^-8 ·x^8 - 3.53201978997168357 ·10^-10 ·x^10 + 7.08240282274875911 ·10^-13 ·x^12; - 6.05338212010422477 ·10^-16 ·x^14 ]
[ 1 + 1.01162145739225565 ·10^-2 ·x^2 + 4.99175116169755106 ·10^-5 ·x^4 + 1.55654986308745614 ·10^-7 ·x^6; + 3.28067571055789734 ·10^-10 ·x^8 + 4.5049097575386581 ·10^-13 ·x^10 + 3.21107051193712168 ·10^-16 ·x^12 ]
); amp; amp;; Ci(x) amp;≈ amp; γ+ ln(x) +; amp; amp; x^2 ·(
[ -0.25 + 7.51851524438898291 ·10^-3 ·x^2 - 1.27528342240267686 ·10^-4 ·x^4 + 1.05297363846239184 ·10^-6 ·x^6; -4.68889508144848019 ·10^-9 ·x^8 + 1.06480802891189243 ·10^-11 ·x^10 - 9.93728488857585407 ·10^-15 ·x^12; ]
[ 1 + 1.1592605689110735 ·10^-2 ·x^2 + 6.72126800814254432 ·10^-5 ·x^4 + 2.55533277086129636 ·10^-7 ·x^6; + 6.97071295760958946 ·10^-10 ·x^8 + 1.38536352772778619 ·10^-12 ·x^10 + 1.89106054713059759 ·10^-15 ·x^12; + 1.39759616731376855 ·10^-18 ·x^14; ]
İntegraller, yardımcı fonksiyonlar aracılığıyla dolaylı olarak değerlendirilebilir. f(x) ve g(x) ile tanımlanır.
x ≥4 için aşağıda verilen Padé rasyonel fonksiyonları f(x) ve g(x)'e 10−16'dan daha az hata ile yaklaşır:
[ f(x) amp;≈ amp; 1x ·(
[ 1 + 7.44437068161936700618 ·10^2 ·x^-2 + 1.96396372895146869801 ·10^5 ·x^-4 + 2.37750310125431834034 ·10^7 ·x^-6; + 1.43073403821274636888 ·10^9 ·x^-8 + 4.33736238870432522765 ·10^10 ·x^-10 + 6.40533830574022022911 ·10^11 ·x^-12; + 4.20968180571076940208 ·10^12 ·x^-14 + 1.00795182980368574617 ·10^13 ·x^-16 + 4.94816688199951963482 ·10^12 ·x^-18; - 4.94701168645415959931 ·10^11 ·x^-20 ]
[ 1 + 7.46437068161927678031 ·10^2 ·x^-2 + 1.97865247031583951450 ·10^5 ·x^-4 + 2.41535670165126845144 ·10^7 ·x^-6; + 1.47478952192985464958 ·10^9 ·x^-8 + 4.58595115847765779830 ·10^10 ·x^-10 + 7.08501308149515401563 ·10^11 ·x^-12; + 5.06084464593475076774 ·10^12 ·x^-14 + 1.43468549171581016479 ·10^13 ·x^-16 + 1.11535493509914254097 ·10^13 ·x^-18 ]
); amp; amp;; g(x) amp;≈ amp; 1x^2 ·(
[ 1 + 8.1359520115168615 ·10^2 ·x^-2 + 2.35239181626478200 ·10^5 ·x^-4 +3.12557570795778731 ·10^7 ·x^-6; + 2.06297595146763354 ·10^9 ·x^-8 + 6.83052205423625007 ·10^10 ·x^-10 + 1.09049528450362786 ·10^12 ·x^-12; + 7.57664583257834349 ·10^12 ·x^-14 + 1.81004487464664575 ·10^13 ·x^-16 + 6.43291613143049485 ·10^12 ·x^-18; - 1.36517137670871689 ·10^12 ·x^-20 ]
[ 1 + 8.19595201151451564 ·10^2 ·x^-2 + 2.40036752835578777 ·10^5 ·x^-4 + 3.26026661647090822 ·10^7 ·x^-6; + 2.23355543278099360 ·10^9 ·x^-8 + 7.87465017341829930 ·10^10 ·x^-10 + 1.39866710696414565 ·10^12 ·x^-12; + 1.17164723371736605 ·10^13 ·x^-14 + 4.01839087307656620 ·10^13 ·x^-16 + 3.99653257887490811 ·10^13 ·x^-18 ]


## Konuyla ilgili okumalar.
   - YÖNLENDİRME 
 -  
   - YÖNLENDİRME .