# Öklid teoremi
Öklid'in teoremi, sayılar teorisinde temel bir ifade olup sonsuz sayıda asal sayı olduğunu ileri sürer. Teoremin iyi bilinen farklı ispatları bulunmaktadır.


## Öklid'in ispatı.
Öklid, "Elementler" (IX. kitap, 20. ifade) adlı kitabında şöyle yazar:
Sonlu herhangi bir asal sayı listesi "p" 1, "p"2, ..., "p""n" olsun. Bu listede olmayan en az bir ilave asal sayının mevcudiyeti ispat edilecektir. "P", listedeki bütün asal sayıların çarpımı olsun: "P" = "p"1"p"2..."p""n". "q" = "P" + 1 olsun. O zaman "q" ya asaldır ya da asal değildir:
 - Eğer "q" asalsa listedekine ilaveten en az bir asal sayı daha vardır.
 - Eğer "q" asal değilse en az bir "p" asal çarpanı "q" 'yu böler. Eğer bu "p" çarpanı liste olsaydı "P", listedeki bütün sayıların çarpımı olduğundan "P" 'yi bölerdi  fakat "p", "P" + 1 = "q"'yu böler. Eğer "p", "P" 'yi ve "q" 'yu bölerse "p", bu iki sayının farkları da bölmelidir ki bu ("P" + 1) − "P" veya sadece  1'dir. Hiçbir asal sayı 1'i bölemediğinden bu bir çelişki olur ve böylece "p" listede olamaz. Bu da bu listenin dışında en az bir asal sayının mevcut olduğunu gösterir.
Bu teorem, her sonlu asal sayı listesi için bu listede olmayan başka bir asal sayının olduğunu, bu yüzden de sonsuz sayıda asal sayı olduğunu ispat eder.
Çoğu zaman Öklid'in bu çelişki yoluyla yaptığı iddiası hatalı olarak ileri sürülür. Buna göre rastgele sonlu bir asal sayı kümesi yerine bütün asalları veya en küçük "n" asalı ihtiva ettiği ileri sürülür. İspat, tamamıyla çelişkiye (olmayana ergi) dayamamasına, sadece sonlu sayıda asalın olduğunu farz etmemesine rağmen olmayana ergi içindedir: bu da listedeki asalların hiçbirisinin "q"'yu bölemeyeceği ifadesidir.


## Euler'in ispatı.
İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'in ispatı, aritmetiğin temel teoremine, yani her tam sayının tek şekilde asal çarpanlara ayrılabileceği esasına dayanır. Eğer "P", bütün asal sayıların kümesiyse Euler şunu yazmıştır:
 ∏_p∈P 1/1-1/p=∏_p∈P ∑_k≥0 1/p^k=∑_n1/n.
İlk eşitlik, çarpımın her terimindeki geometrik serinin formülüyle verilir. İkinci eşitlik bu çarpımı toplam üzerine dağıtır:
 ∏_p∈P ∑_k≥0 1/p^k=∑_k≥0 1/2^k×∑_k≥0 1/3^k×∑_k≥0 1/5^k×∑_k≥0 1/7^k×⋯=∑_k,l,m,n,⋯≥0 1/2^k 3^l 5^m 7^n ⋯=∑_n1/n
Sonuçta her asal çarpımı tam olarak bir kere vardır ve aritmetiğin 
in the result, every product of primes appears exactly once and so by the fundamental theorem of arithmetic the sum is equal to the sum over all integers.
The sum on the right is the harmonic series, which diverges. Thus the product on the left must also diverge. Since each term of the product is finite, the number of terms must be infinite; therefore, there is an infinite number of primes.


## Erdős'ün ispatı.
Paul Erdős yine aritmetiğin temel teoremine dayanan üçüncü bir kanıt sundu. İlk olarak, her n tam sayısının tek bir şekilde, r kare içermeyen (yani hiçbir tam kare sayıya bölünmeyen) bir sayı olmak üzere
 rs^2
şeklinde yazılabileceğine dikkat edin ( s^2, n'yi bölen en büyük tam kare sayı olsun ve r = n/s^2 olarak alınsın). Şimdi, yalnızca sonlu sayıda asal sayı olduğunu ve bu asal sayıların sayısının k olduğunu varsayalım.
Pozitif bir N tam sayısını sabitleyelim ve 1 ile N arasındaki tam sayıları saymaya çalışalım. Bu sayıların her biri, r kare içermeyen ve hem r hem de s^2 N'den küçük olmak üzere, rs^2 şeklinde yazılabilir. Aritmetiğin temel teoremine göre, yalnızca 2^k tane kare içermeyen r sayısı vardır (bkz. Kombinasyon Tüm k'ler için k-kombinasyonlarının sayısı), zira asal sayıların her biri r'yi en fazla bir kez çarpanlarına ayırır ve s lt;√(N) olmalıdır. Dolayısıyla, N'den küçük olan tam sayıların toplam sayısı en fazla 2^k√(N)'dir; yani:
2^k√(N) ≥N
Bu eşitsizlik, yeterince büyük N değerleri için geçerli olmadığından, sonsuz sayıda asal sayı olmalıdır.


## Furstenberg'in ispatı.
In the 1950s, Hillel Furstenberg introduced a proof using point-set topology. See Furstenberg's proof of the infinitude of primes.


## Son zamanlarda yapılan bazı ispatlar.
### Pinasco.
Juan Pablo Pinasco has written the following proof.
Let "p"1, ..., "p""N" be the smallest "N" primes. Then by the inclusion–exclusion principle, the number of positive integers less than or equal to "x" that are divisible by one of those primes is
 1 + ∑_i⌊x/p_i⌋ - ∑_i lt; j⌊x/p_i p_j⌋ amp; + ∑_i lt; j lt; k⌊x/p_i p_j p_k⌋ - ⋯
 amp; ⋯± (-1)^N+1⌊x/p_1 ⋯ p_N⌋. (1)
Dividing by "x" and letting "x" → ∞ gives
 ∑_i 1/p_i - ∑_i lt; j 1/p_i p_j + ∑_i lt; j lt; k 1/p_i p_j p_k - ⋯±(-1)^N+1 1/p_1 ⋯p_N. (2) 
This can be written as
 1 - ∏_i=1^N ( 1 - 1/p_i ). (3) 
If no other primes than "p"1, ..., "p""N" exist, then the expression in (1) is equal to ⌊x ⌋ and the expression in (2) is equal to 1, but clearly the epression in (3) exceeds 1. Therefore there must be more primes than  "p"1, ..., "p""N".


### Whang.
In 2010, Junho Peter Whang published the following proof by contradiction. Let "k" be any positive integer. Then according to de Polignac's formula (actually due to Legendre)
 k! = ∏_p prime p^f(p,k) 
where
 f(p,k) = ⌊k/p ⌋+ ⌊k/p^2 ⌋+ ⋯. 
 f(p,k) lt; k/p + k/p^2 + ⋯= k/p-1 ≤k. 
But if only finitely many primes exist, then
 lim_k→∞ (∏_p p)^k/k! = 0, 
(the numerator of the fraction would grow singly exponentially while by Stirling's approximation the denominator grows more quickly than singly exponentially),
contradicting the fact that for each "k" the numerator is greater than or equal to the denominator.


## π'nin irrasyonelliğini kullanan ispat.
π için Leibniz formülünün bir Euler ürünü olarak temsil edilişi
 π/4 = 3/4 ×5/4 ×7/8 ×11/12 ×13/12 ×17/16 ×19/20 ×23/24 ×29/28 ×31/32 ×⋯ 
Bu çarpımın payları tek asal sayılardır ve her payda, paya en yakın dördün katıdır.
Sonlu sayıda asal sayı olsaydı, bu formül π'nin paydası 4'ün bir asal sayıdan bir veya daha az olan tüm katlarının çarpımı olan bir rasyonel sayı olduğunu gösterecekti ve bu da π'nin aslında irrasyonel olduğu gerçeğiyle çelişiyordu.


## Faktöriyelleri kullanan ispat.
Assume that the number of prime numbers is finite. There is thus an integer, "p" which is the largest prime.
"p"! ("p"-factorial) is divisible by every integer from 2 to "p", as it is the product of all of them. Hence, "p"! + 1 is not divisible by every integer from 2 to "p" (it gives a remainder of 1 when divided by each). "p"! + 1 is therefore either prime or is divisible by a prime larger than "p".
This contradicts the assumption that "p" is the largest prime. The conclusion is that the number of primes is infinite.


## Kaynaklar ve notlar.
 }}>