# Karekök
 Matematikte negatif olmayan bir gerçel formula_3 sayısının temel karekök bulma işlemi formula_4 şeklinde gösterilir ve "karesi "(bir sayının kendisiyle çarpılmasının sonucu) formula_3 olan negatif olmayan bir gerçek sayıyı ifade eder.
Örneğin, formula_6 'tür çünkü formula_7 'dur.
Bu örneğin de ileri sürdüğü gibi karekök bulma, ikinci dereceden denklemlerin (genel olarak formula_8 tipi denklemler) çözümünde kullanılabilir.
Karekök almanın sonucunda iki çözüm vardır. Negatif olmayan sayılar için bunlar temel kare kök ve negatif kare köktür. Negatif sayıların kare köklerini tanımlamak için ise sanal sayı ve karmaşık sayılar kavramları geliştirilmiştir.
Pozitif tam sayıların kare kökleri genel olarak irrasyonel sayılardır (iki tam sayının kesiri olarak ifade edilemeyen sayılardır).
Örneğin formula_9, tam olarak "m"/"n" (m ve n tam sayı olacak şekilde) şeklinde yazılamaz. Buna karşın bu sayı kenarları 1 birim olan bir karenin köşegen uzunluğuna eşittir.
formula_9 irrasyonel olduğunun bulunması Pythagoras'ın bir takipçisi olan Hippasus'a atfedilir. Bu konuyla ilgili şöyle bir rivayet anlatılır; Sayılara mutlak bir inançla bağlı olan Pisagor'un takipçilerinden birisi olan Metanpontumlu Hippasus, dik kenarları 1 birim olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğunun rasyonel bir sayı olmadığını kanıtlamış. Bunu kabullenemeyen Pisagor, Hippasus'un kanıtlarının aksini de gösteremeyince, açık denizde Hippasus'u bir tekneden suya attırmış.
Kare kök sembolü (formula_11) ilk olarak 16. yüz yılda kullanılmaya başlanmıştır. Latince kök demek olan "radix" kelimesinin baş harfinden, yani küçük r harfinden türetildiği söylenir.
Karekök Ortalama (matematikte İngilizcesinden dolayı ('root mean square', kısaltması RMS ya da rms) olarak da kullanılır), ayrıca kuadratik ortalama olarak da bilinir. Değişen miktarların büyüklüğünün ölçülmesinde kullanılan istatistiki bir ölçüttür. Değişimin artı ve eksi yönde olduğu dalgalarda özellikle çok faydalıdır.
Sürekli olarak değişen bir fonksiyonun sürekli olmayan değer serisi için hesaplanabilir. Karekök ortalama ismi karelerin ortalamasının karekökünün alınmasından gelir.
Karekökün sürekli kesri:
formula_12 Burada x-1 in iki kare farkının açılımı yapıldı. İşleme devam edilip düzenlenirse: formula_13 şeklinde olur. Şimdi burada sol taraftaki √x in değeri sağ taraftaki √x in yerine bir defa yazılırsa formula_14 şekline dönüşür. Aynı işleme devam edilirse formula_15 bu işlem sonsuz defa
uygulanırsa formula_16 olur. Bu sürekli kesir aynı zamanda K sembolüyle gösterilirse ("K" burada Almanca bir kelime olan ve sürekli kesir manasına gelen Kettenbruch terimine işaret eder).formula_17 dir. 


## Kareköklerin toplamı.
 formula_18
formula_19 burada "k", "k"'ıncı Bernoulli sayısıdır.
formula_20
i=1298 için
formula_21


## Karekök ortalama hesaplanması.
formula_22 sayıdaki değerlerin formula_23
formula_24


## Kullanım yerleri.
Bir fonksiyonun RMS değeri çoğunlukla fizik ve elektrik mühendisliğinde kullanılır. Örneğin, formula_25 direncindeki bir iletken tarafından harcanan formula_26 gücünü hesaplamak isteyebiliriz. İletkenden sabit bir formula_27 akımı aktığında bu hesabı yapmak kolaydır. Basitçe:
formula_28
Ancak akım değişen bir formula_29 fonksiyonu ise burada rms değeri devreye girer.
Aynı metot ile;
formula_30
formula_31
Ancak bu tanım gerilimin ve akımın birbiriyle orantılı olduğu (yani yükün rezistif olduğu) varsayımı temel alınarak yapılmıştır ve genellenemez.
Şebeke güçlerinde olduğu gibi alternatif akımın genel durumunda, formula_29 sinusoidal akım olduğunda rms değeri yukarıdaki sürekli durum denkleminden kolaylıkla hesaplanabilir. formula_33 yi tepe genliği olarak tanımladığımızda:
formula_34
formula_33 pozitif bir gerçel sayılar olduğuna göre,
formula_36
Trigonometrik fonksiyonun karesinin alınmasını elimine etmek için trigonometrik bir varlık kullanıldığında:
formula_37
formula_38
Fakat aralık tam periyotlardan oluşan bir tam sayı olduğu için (rms in periyodik fonksiyonlar için tanımından formula_39) Sinüs değerler iptal edilir.
formula_40
Saf bir sinüs dalgası için; tepe voltajı = RMS voltajı x 1.414(formula_41) tür. Tepeden tepeye voltajı bunun iki katıdır.


## Dönüşüm katsayıları.
  - Tepe genliği formula_42 tepeden tepeye genliğin formula_43 yarısıdır. 
  - Bir AC dalga formunun zirve faktörü (crest factor)  tepe(zirve) değerinin RMS değerine oranıdır.
  - Bir AC dalga formunun şekil faktörü (form factor)  tepe(zirve) değerinin ortalama değerine oranıdır.


### Kare dalga için;.
  - RMS değeri = Tepe değeri
  - Ortalama Değeri = Tepe değeri
  - Tepeden tepeye değeri = 2 x Tepe değeri
  - RMS değeri = 0.666 x Tepe değeri
  - Ortalama Değeri = 0.33 x Tepe değeri
  - Tepeden tepeye değeri = 3 x Tepe değeri