# Gama fonksiyonu
Gama fonksiyonu, matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar için genellenmesi olan bir fonksiyondur. Г simgesiyle gösterilir.
Γ(z) = ∫_0^∞ t^z-1 e^-t dt
 Γ(n) = (n-1)! 
Kompleks düzlemde Analitik devamlılık için n negatif tam sayı olmamalıdır, pozitif tam sayı olmalıdır.


## Alıştırma.
Öncelikle;
 (n+1)n! = (n+1)! eşitliğini ele alalım.
n =0 alırsak; 1.0! = 1!=1 olur.
Bu durumda "Aynı işlem kesirli sayılarla da yapılabilir mi?" diye bir soru akla gelir.
n =1/2 alırsak;
 (3/2)(1/2)! = (3/2)! olması gerekir. Yani
 (3/2)(1/2)! = (3/2)!→ (3/2)!/(1/2)! = 3/2 olmalıdır.
 Γ(n) = (n-1)! ' olduğundan;
 Γ(5/2)→(3/2)! 'e karşılık gelmelidir(eşittir demiyoruz) ve yine
 Γ(3/2)→(1/2)! işlemine karşılık gelmelidir.
[ Γ(5/2) amp;= 3 √(π)/4 amp;≈1.329; Γ(3/2) amp;= √(π)/2 amp;≈0.886; ]
 Γ(5/2)/Γ(3/2)=3/2
Bu da
 Γ(5/2)/Γ(3/2)=3/2→ (3/2)!/(1/2)! = 3/2 varsayımımızı doğrular. Denenirse diğer sayılar için de bunun doğruluğu görülebilir.


## Tanım.
### Ana Tanım.
Bu çift Γ(z) gösterim Legendre tarafından yapılmıştır. Kompleks sayı "z"'nin gerçel kısmı (Re["z"] > 0) şeklindedir. integral'i
Γ(z) = ∫_0^∞t^z-1 e^-t dt
Burada kısmi integrasyon kullanarak, mutlak yakınsaklık gösterilebilir.
Γ(z+1)=z Γ(z) (1)
 "n" ! = "n" · ("n" − 1) ! faktoriyel fonksiyonunun genel kimliği/tanımı Bu fonksiyonel denklemdir.
 Γ(1) = ∫_0^∞e^-t dt = lim_k →∞ -e^-t |_0^k = -0 - (-1) = 1 (2)
Bu iki sonuç bize faktöriyel fonksiyonun gama fonksiyonun özel bir durumu olduğunu gösteriyor.
Bütün "n" Doğal sayılar'ı için . 
Γ(n+1) = n Γ(n) = n (n-1) Γ(n-1) = ⋯= n! Γ(1) = n! 
Γ(z) genellemesi analitik devamlılık için gereklidir. "z" böylece 0 ve negatif değerler hariç bütün kompleks sayıları meromorfik fonksiyon olarak tanımlar. ("z". = −"n"basit kutbu ile rezidü (−1) "n"/"n" !).


### Alternatif tanımlamalar.
0 ve negatif tam sayılar dışında bütün kompleks sayılar "z" için tanım sonsuz sayıda Gama fonksiyonu için, sırasıyla Euler ve Weierstrass çifti tarafından
 Γ(z) amp;= lim_n →∞n! n^z/z (z+1)⋯(z+n) 
 = 1/z∏_n=1^∞(1+1/n)^z/1+z/n
 Γ(z) amp;= e^-γ z/z∏_n=1^∞(1 + z/n)^-1 e^z/n
burada γ, Euler-Mascheroni sabiti'dir.
yukarıdaki "z" nin 0,-1,-2,-3..dışındaki değerleri için Euler tanımı fonksiyonel denklemi
basitleştirilmiş şekli, 
 Γ(z+1) amp;= lim_n →∞n! (n)^z+1/(z+1) (z+2)⋯(z+n+1)
 amp;= lim_n →∞( z n! n^z/z (z+1) (z+2)⋯(z+n) (n)/(z+n+1)) 
 amp;= z Γ(z) lim_n →∞(n)/(z+n+1)
 amp;= z Γ(z).
değişik bir gösterim...
Γ(z+1) = ∫_0^∞e^-t^1/z dt. 
Bazen Gamma fonksiyonu'nun parametrik şekli Laguerre polinomları'nın
terimleri içinde verilir;
Γ(z)=t^z ·∑_n=0 L_n^(z)(t)/z+n , yakınsaklık için (z) lt; 1/2 olmalıdır.


## Özellikler.
### Pi fonksiyonu.
Bir alternatif gösterimde Gauss tarafından girilmişti. ve bazen Pi fonksiyonu deniyor, gama fonksiyonu terimleri yardımıyla
Π(z) = Γ(z+1) = z Γ(z) = ∫_0^∞e^-t t^z dt,
böylece
her negatif olmayan "n" için.
Π(n) = n!,
Pi fonksiyonunu kullanarak yansıma formülü formunu alır
Π(z) Π(-z) = πz/sin( πz) = 1/sinc(z)
burada sinc normalize sinc fonksiyonudur, eğer çarpım teoremi formu alınırsa
Π(z/m) Π(z-1/m) ⋯Π(z-m+1/m) = (2 π)^m-1/2 m^-z-1/2 Π(z).
ayrıca bazen
π(z) = 1/Π(z),
bulunur.
yukardaki bir Tam fonksiyon'dur, çünkü karmaşık sayılar içinde tanımlıdır. Burada π("z") hiçbir kutuba sahip değildir, Π("z")de, Γ("z") gibi,sıfır yok idi.
ilgilenenler için, yarıçap r_1...,r_n ile bir n-ellipsoidin hacmi gösterilebilir.
V_n(r_1...,r_n)=π^n/2/Π(n/2)∏_k=1^nr_k


## Özel değerler.
[ Γ(-3/2) amp;= 4√(π)/3 amp;≈2.363; Γ(-1/2) amp;= -2√(π) amp;≈-3.545; Γ(1/2) amp;= √(π) amp;≈1.772; Γ(1) amp;= 0! amp;= 1; Γ(3/2) amp;= √(π)/2 amp;≈0.886; Γ(2) amp;= 1! amp;= 1; Γ(5/2) amp;= 3 √(π)/4 amp;≈1.329; Γ(3) amp;= 2! amp;= 2; Γ(7/2) amp;= 15√(π)/8 amp;≈3.323; Γ(4) amp;= 3! amp;= 6; ]


### Raabe formülü.
1840 yılında Raabe şunu kanıtladı,
∫_a^a+1logΓ(t) dt = 12log2π+ aloga - a, a≥0.
özel olarak, eğer a=0 ise
∫_0^1logΓ(t) dt = 12log2π.