# Jakob Bernoulli
Jakob Bernoulli (diğer adlarıyla James veya Jacques; 6 Ocak 1655, Basel – 16 Ağustos 1705, Basel), Bernoulli ailesinin ünlü matematikçilerinden biridir. Leibniz'in kalkülüsünün ilk savunucularından olup Leibniz ve Newton arasındaki kalkülüs tartışmasında Leibniz'in yanında yer almıştır. Kardeşi Johann Bernoulli ile kalkülüs alanına yaptığı birçok katkı ile tanınır. Ancak, matematiğe en önemli katkısı büyük sayılar yasası ve olasılık teorisi alanlarındaki çalışmalarında olmuştur.


## Hayatı.
Jakob Bernoulli, babasının isteği üzerine teoloji eğitimi almasına rağmen, matematik ve astronomiye olan ilgisi onu bu alanlarda önemli bir kariyere yönlendirdi. Seyahatleri sırasında dönemin önde gelen matematikçileri ve bilim insanlarıyla iletişim kurarak bilgi birikimini artırdı ve matematikteki yeni gelişmeleri yakından takip etti.
Bernoulli kardeşlerin matematik alanındaki çalışmaları, diferansiyel kalkülüs ve kalkülüsün çeşitli uygulamaları üzerine önemli katkılar sağladı. Jakob Bernoulli'nin özellikle "Ars Conjectandi" adlı eseri, olasılık teorisi ve sonlu matematiğin temellerini atmıştır.
Kardeşi Johann Bernoulli ile olan ilişkisi, matematiksel rekabetin örneklerinden biri olarak kabul edilebilir. İkili, zorlu matematik problemleri üzerinde mücadele ederek birbirlerinin yeteneklerini test ettiler. Bu rekabet, matematikte yeni keşiflerin ve ilerlemelerin tetiklenmesine katkıda bulunmuş olabilir.
Jacob Bernoulli hayatta olmadığı halde, matematik alanındaki çalışmaları ve etkisi uzun yıllar boyunca devam etmiştir. Mezar taşındaki logaritmik spiral figürü ve üzerine yazılan slogan, onun matematikle olan derin bağını ve kalıcı etkisini simgeliyor gibi görünmektedir. Bernoulli'nin matematiğe ve bilime yaptığı katkılar, adının unutulmadan yaşamasını sağlamıştır.


## Önemli çalışmaları.
Jakob Bernoulli'nin ilk önemli katkıları, 1685 yılında yayımlanan mantık ve cebrin paralelliği üzerine bir kitapçık, 1685 yılında yayımlanan olasılık çalışmaları ve 1687 yılında yayımlanan geometri üzerine yaptığı çalışmalardır. Geometri alanındaki çalışmalarında herhangi bir üçgenin birbirine dik iki doğru ile dört eşit parçaya bölünebileceğini göstermiştir.
1689 yılına kadar sonsuz seriler üzerine yaptığı önemli çalışmalarını ve olasılıkta büyük sayılar yasası kuramını yayımlamıştır. Jakob Bernoulli, 1682 ve 1704 yılları arasında sonsuz seriler üzerine beş adet bilimsel inceleme yazmıştır. Bunlardan ikisi, Bernoulli'nin yeni bir keşif olarak düşündüğü ancak Mengoli tarafından 40 yıl önce kanıtlanan ∑1/n ifadesinin ıraksadığını gösteren sonuçları içermektedir. Bernoulli, ∑1/n² ifadesi için kapalı bir form bulamamış ancak bu ifadenin 2'den az sonlu bir limite yakınsadığını göstermiştir. Ayrıca, bileşik faiz incelemeleri sırasında üstel seriler üzerine de çalışmalar yapmıştır.
1690 yılında yayımlanan "Acta Eruditorium" dergisinde, Jacob Bernoulli, eş oylum eğrisini belirleme probleminin çözümünün, birinci dereceden doğrusal olmayan diferansiyel denklem çözümüyle aynı olduğunu göstermiştir. Eşoylum eğrisi ya da sabit azalım eğrisi, başlangıç noktasına bakılmaksızın herhangi bir noktadan yere aynı sürede düşen bir parçacığın izlediği yol olarak tanımlanır. Diferansiyel denklemi bulduktan sonra Bernoulli, bugün değişkenlere ayırma olarak bilinen yöntemle çözmüştür. Ayrıca çalışma, integral (tümlev) terimi ilk kez integrasyon (tümlevleme) anlamıyla kullanılmıştır.
1696 yılında, günümüzde "Bernoulli Diferansiyel Denklemi" olarak bilinen aşağıdaki denklemi çözmüştür:
𝑦′ = 𝑝(𝑥) 𝑦 + 𝑞(𝑥) 𝑦ⁿ
Bernoulli'nin kelebek eğrisi, 1694 yılında tasarlanmıştır. 1695 yılında ise kablo boyunca kayan ağırlığın, köprüyü sürekli dengede tutabilmesi için gereken eğriyi belirleyen asma köprü problemini incelemiştir.
Jacob Bernoulli'nin en özgün eseri "Ars Conjectandi", 1713 yılında Basel'de ölümünden 8 yıl sonra yayımlanmıştır. Ölümünde bu eser henüz tamamlanmamış olsa da, günümüzde olasılık teorisi için büyük bir öneme sahiptir. Kitapta, Bernoulli, van Schooten, Leibniz ve Prettstet'in olasılık üzerine yaptığı çalışmaları incelemiştir. Ayrıca, Bernoulli sayıları ve üstel işlevler üzerine tartışmalar yer almaktadır. Kitapta, bir kişinin oynadığı çeşitli şans oyunlarında ne kadar kazanmasının beklendiğine dair birçok örnek verilmiştir. "Bernoulli denemeleri" terimi de buradan gelmektedir. Ayrıca, kitapta olasılıkla ilgili çeşitli görüşler de bulunmaktadır:
“...ölçülebilir kesinlik değeri olarak olasılık; gereklilik ve ihtimal; ahlak matematiksel beklentiye karşı; öncül ve soncul olasılık; oyuncular maharetlerine göre ayrıldığında kazanma olasılığı; bütün mevcut savların göz önüne alınması, bunların değerlendirilmesi ve hesaplanabilir değerlendirmesi; büyük sayılar kuralı…”


## Matematiksel sabit e’nin bulunuşu.
Bernoulli, matematiksel bir sabit olan "e" sayısını, bileşik faizle ilgili bir soru üzerinde çalışırken keşfetmiştir. Bu soru, aşağıdaki ifadenin değerini bulmayı gerektirmektedir:
lim_n→∞ ( 1 + 1/n )^n
Bu durum şu şekilde örneklendirilebilir:
Bir banka hesabı, yıllık %100 faizle açılmaktadır. Eğer faiz yıl sonunda bir kere uygulanırsa, para $1.00'dan $2.00'ya çıkar. Ancak, faiz yılda iki kez hesaplanıp %50 olarak uygulanırsa, $1.00, $1.50 ile iki kez çarpılır ve elde edilecek para şu şekilde olur: $1.00 × 1.5² = $2.25. Eğer faiz yılda dört kez hesaplanıp %25 olarak uygulanırsa, elde edilecek para $1.00 × 1.25⁴ = $2.4414... olur. Eğer faiz aylık hesaplanırsa, elde edilecek para $1.00 × (1.0833...)¹² = $2.613035... olur.
Bernoulli, bu dizinin daha kısa ve daha küçük bileşik aralıkları için bir limite yaklaştığını fark etti. Faiz haftalık hesaplanırsa elde edilen para $2.692597..., günlük hesaplandığında ise $2.714567... olur, yani sadece 2 sent fazla olmaktadır. Bileşik faiz hesaplaması, n aralığı kullanıldığında ve her aralık için %100/n faizle, büyük sayılar için elde edilen sayı "e" olarak bilinen sabite yaklaşır. Yani, eğer sürekli bileşik faiz uygulanmaya devam edilirse, hesaplanan para $2.7182818... değerine ulaşacaktır. Daha genel olarak, $1 ile açılan ve basit faizle (1+R) dolar değerine ulaşan bir hesap, sürekli bileşik faizle "e"^R değerine ulaşacaktır.


## Jacob Bernoulli’nin mezarındaki Latince yazının tercümesi.
“IACOBUS BERNOULLI
MATHEMATICUS INCOMPARABILIS
ACAD. BASIL.
VLTRA XVIII ANNOS PROF.
ACADEM. ITEM REGIAE PARIS. ET BEROLIN.
SOCIUS
EDITIS LUCUBRAT. INLUSTRIS.
MORBO CHRONICO
MENTE AD EXTREMUM INTEGRA
ANNO SALUT. MDCCV. D. XVI. AUGUSTI
AETATIS L. M. VII
EXTINCTUS
RESURRECT. PIOR. HIC PRAESTOLATUR
IUDITHA STUPANA
XX ANNOR. UXOR
CUM DUOBUS LIBERIS
MARITO ET PARENTI
EHEU DESIDERATISS.
H.M.P.”
“Jacob Bernoulli, kıyaslanamaz matematikçi.
Basel Üniversitesi'nde 18 yıldan fazla süredir Profesör;
Berlin ve Paris Kraliyet Akademileri üyesi; yazıları ile ünlü.
Kronik bir hastalık yüzünden, sonuna kadar akıl sağlığı yerinde;
1705 yılının 16 Ağustos’unda 50 yaşının 7. Ayında öldü, yeniden dirilmeyi bekliyor.
Judith Stuphanus,
20 yıllık karısı,
Ve onun iki çocuğu çok özledikleri baba ve koca için bir anıt diktiler.”