# Sıra teorisi
Sıra teorisi, ikili bağıntıları kullanma sırasının sezgisel kavramını inceleyen bir matematik dalıdır. "Bu, şundan daha küçüktür" veya "bu, şundan daha öncedir" gibi durumları inceler.


## Örneksel yaklaşım.
Bir küme ve o küme üzerinde aşağıda tarif edilecek olan ikili bir bağıntıyı içeren aksiyomatik sistemlere denir. Bilinen sıralama ≤ bağıntısının soyutlanmasıyla elde edilirler. Kümemize "X", bağıntımıza "R" adını verecek olursak, aşağıdaki aksiyomların sağlandığını varsayarız.
  - X kümesinin her a elemanı için R(a,a) bağıntısı sağlanmalıdır. (a≤a şeklinde düşünülebilir, yansıma özelliği olarak bilinir.)
  - X kümesinin herhangi iki a ve b elemanı için R(a, b) ve R(b,a) bağıntıları sağlanıyorsa, a=b olmalıdır. (hem a≤b hem de b≤asağlanıyorsa a=b dir diye düşünülebilir, antisimetrik olma özelliği olarak bilinir.)
  - X kümesinin herhangi üç a, b ve c elemanı için hem R(a, b) hem de R(b,c) bağıntıları sağlanıyorsa, o zaman R(a,c) bağıntısı da sağlanmalıdır. (hem a≤b hem de b≤c ise a≤c de olmalıdır diye de düşünülebilir, geçişkenlik özelliği olarak bilinir)


### Sıralamalara örnekler.
 - Teknik olarak bir küme değildir. Ancak bu sorun yaratmaz.


## Sıralama çeşitleri.
  - Eğer elimizdeki sıralama nesnesi, yukardaki aksiyomlara ek başka varsayımlar sağlamıyorsa elimizdeki sıralamaya "kısmi sıralama" denir. Yani her sıralama bir kısmi sıralamadır.
  - Eğer yukardaki aksiyomlara ek olarak X ten seçeceğimiz herhangi iki elemanı karşılaştırabiliyorsak (yani R(a, b) ve R(b,a) bağıntılarından biri mutlaka doğru olmak zorundaysa) o zaman elimizdeki sıralamaya doğrusal sıralama denir. Yukardaki örneklerden (Doğal Sayılar, ≤), (Rasyonel Sayılar, ≤) ve (Reel Sayılar, ≤) aynı zamanda doğrusal sıralamalara da örneklerken, (Kümeler Uzayı, ⊂ bağıntısı), doğrusal olmayan kısmi bir sıralamadır. Nedeni herhangi iki kümeyi ⊂ bağıntısına göre karşılaştırmanın mümkün olmamasıdır. Yani biri diğerini içermeyen iki kümenin varlığıdır.
  - Son olarak, doğrusal sıralama şartlarını sağlayan (X, R) sıralamalarından, "X in her alt kümesinin bir en küçük eleman içermesi şartı"nı sağlayanlara iyi-sıralama denir. Yukarıdaki örneklerden reel sayılar ve doğal sayılar iyi-sıralama iken, rasyonel sayılar iyi sıralama değildir. Örnek olarak "karekök ikiden büyük rasyonel sayılar" kümesinin en küçük bir elemanı olmaması verilebilir.
  - Boş olmayan her sonlu kümenin bir en üst ve en alt kümeye sahip olduğu kafesler elde edilir. 


## Sıralamaların önemi.
  - Her sıralama nesnesi bir topolojik uzay yapısına sahiptir. Bu yapının açık kümelerinin temeli "öyle x elemanları ki a≤x≤b" şeklinde ifade edilebilen kümelerden oluşur, a veya b az önceki formülde gözükmüyor da olabilirler. 
  - Zorn'un Lemması, sayesinde kısmi sıralamalar matematiğin pek çok alanında uygulama bulmuşlardır. Mesela halka'larda maksimal ideallerin varlığı Zorn'un Lemması ve ideallarin ⊂ bağıntısına göre kısmi bir sıralama oluşturduğu gerçeği kullanılarak ispatlanır.
  - Reel sayılar kümesinin rasyonel sayılar kümesini kullanılarak oluşturulmasının bir temeli de Alman matematikçi Richard Dedekind tarafından verilmiştir. Dedekind'in yöntemi rasyonel sayılar kümesinin bir iyi-sıralama haline getirilmesine dayanır. Diğer yöntem ise "bütünleme"dir.
  - İyi sıralamar matematikte nispeten nadir gözlenen, çok güçlü özellikler içeren objelerdir. Bu ilke ve kümeler teorisi arasındaki ilişki hakkında bilgi için ayrıca İyi-sıralılık ilkesi Makalesi'ne bakabilirsiniz.