# Skellam dağılımı
</math>|
 basıklık =1/(μ_1+μ_2) |
 entropi =|
 mf =e^-(μ_1+μ_2)+μ_1e^t+μ_2e^-t|
 kf =e^-(μ_1+μ_2)+μ_1e^it+μ_2e^-it
Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında Skellam dağılımı bir ayrık olasılık dağılım tipidir. Skellam dağılımı iki tane (aralarında korelasyon bulunabilen ve) beklenen değerleri μ_1 ve μ_2 olan Poisson dağılımı gösteren rassal değişken K_1 ve K_2 arasında bulunan fark olan K_1-K_2nin gösterdiği olasılık dağılımdır.
Kullanış alanları çok farklılık göstermektedir; beyzbol, buz hokeyi ve futbol gibi sporlarda ABD'de çok popüler olan "yayılmış bahis (spread betting)" yöntemini tanımlamak ve fizikte iki imajin basit "foton gürültüsünü (photon noise)" açıklamak için kullanılmıştır.


## Karaketeristikler.
Bu kısımda geliştirilen karakteristikler iki değişkenin arasındaki korelasyonun etkilerini ele almayacaktır. Aralarında korelasyon bulunan iki değişken farkının da analize katılması ile ortaya çıkan sonuçlar için bakın
Önce bir Poisson dağılımı için olasılık kütle fonksiyonunun şu olduğu hatırlansın:
 f(k;μ)=μ^kk!e^-μ 
Skellam olasılık kütle fonksiyonu iki Poisson dağılım arasındaki çapraz korelasyon olur (Skellam, 1946):
 f(k;μ_1,μ_2)
 =∑_n=-∞^∞f(k+n;μ_1)f(n;μ_2)
 =e^-(μ_1+μ_2)∑_n=-∞^∞
 = e^-(μ_1+μ_2)
 (μ_1μ_2)^k/2I_k(2√(μ_1μ_2))
Burada "I" k(z) birinci şekilde değiştirilmiş Bessel fonksiyonu olur. Yukarıdaki formüller için eğer faktöriyel negatif değer taşımaktaysa o değerin 0 olacağı kabul edilmiştir. Bir özel hal olan μ_1=μ_2(=μ) için bakin:
 f(k;μ,μ) = e^-2μI_k(2μ)
Eğer değerler küçükse, Bessel fonksiyonu için limit değerleri kullanılarak, Poisson dağılımını μ_2=0 için ozel bir hal olarak Skellam dağılımı yerine kullanabiliriz.


## Özellikler.
Skellem dağılımı için olasılık kütle dağılımı normalize edilerek şöyle elde edilir:
 ∑_k=-∞^∞f(k;μ_1,μ_2)=1.
Poisson dağılımı için olasılık üreten fonksiyon şöyle verilir:
 G(t;μ)= e^μ(t-1).
Bunlar kullanılarak Skellam dağılımı için olasılık üreten fonksiyon ortaya çıkartılır:
G(t;μ_1,μ_2) = ∑_k=0^∞f(k;μ_1,μ_2)t^k
= G(t;μ_1)G(1/t;μ_2) 
= e^-(μ_1+μ_2)+μ_1 t+μ_2/t.
Olasılık üreten fonksiyonu incelenince görülmektedir ki herhangi bir sayıda bağımsız Skellam dağılımı gösteren değişkenlerin toplamları veya farklılıkları da tekrar Skellam dağılımı göstereceklerdir.
Bazı referanslara göre iki Skellam dağılımlı değişkenin herhangi bir doğrusal bileşiği de Skellem dağılımı gösterir. Fakat bu doğru değildir; çünkü herhangi çarpım sayısı dağılımın destek alanını değiştirecektir.
Skellam dağılımı için moment üreten fonksiyon şudur:
M(t;μ_1,μ_2) = G(e^t;μ_1,μ_2)
 = ∑_k=0^∞ t^k k! m_k
Bunlardan ham moment değerleri "mk"  bulmak için şu tanımlara bakılsın:
Δ def= μ_1-μ_2 
μ def= (μ_1+μ_2)/2. 
Bunlardan 3 ham moment "m""k" değerleri şöyle çıkartılır:
m_1=.Δ. 
m_2=.2μ+Δ^2. 
m_3=.Δ(1+6μ+Δ^2). 
Merkezsel momentler "M" "k" şunlardır:
M_2=.2μ., 
M_3=.Δ., 
M_4=.2μ+12μ^2.. 
Beklenen değer, varyans, çarpıklık katsayısı and basıklık katsayısı sırasıyla şöyle verilir::
..E(n)=Δ 
σ^2=.2μ. 
γ_1=.Δ/(2μ)^3/2. 
γ_2=.1/2μ.. 
Kümülant üreten fonksiyon şu şekilde verilmiştir:
 K(t;μ_1,μ_2) def= ln(M(t;μ_1,μ_2))
 = ∑_k=0^∞ t^k k! κ_k
ve bundan kümülant değerleri elde edilir:
κ_2k=.2μ.
κ_2k+1=.Δ. .
Özel hal olan μ1 = μ2 için ayrıntılı sonuçlar M.Abromowitz et.al. referansındadır.