# Cauchy çarpımı
Matematikte Cauchy çarpımı, a_n ve b_n gibi iki dizinin
c_n=∑_k=0^n a_k b_n-k
biçiminde ifade edilen süreksiz katlamasıdır. Kavram, Augustin Louis Cauchy tarafından bulunmuştur.
İki dizinin çarpımına eşit olan ifade doğal sayılar kümesi (R[]) yarıöbek halkasının bir elemanı olarak da değerlendirilmektedir.


## Diziler.
a_n ve b_n dizileri iki kurallı serinin (yakınsak olmaları gerekmiyor) terimleri olarak da düşünülebilir.
∑_n=0^∞a_n, ∑_n=0^∞b_n
Bu serilere daha çok gerçel ve karmaşık sayılarda rastlanmaktadır. "n" = 0, 1, 2, … değerleri için Cauchy çarpımı şu biçimde tanımlanır:
(∑_n=0^∞a_n) ·(∑_n=0^∞b_n) = ∑_n=0^∞c_n
"Kurallı" terimi, diziler üzerinde gerçekleştirilen değişikliklerin yakınsaklık kavramını göz önüne almadan yapıldığını belirtmektedir.
İki dizinin de yakınsadığı durumlarda akla
∑_n=0^∞c_n
sonsuz dizi toplamının
çarpımına eşit olduğu gelmektedir. Bu akıl yürütme kurallı durumlar için doğru sonucu vermektedir ancak iki dizinin Cauchy çarpımı dizilerin en az birinin yakınsak olmadığı durumlarda da tanımlıdır.


## Örnekler.
### Sonlu diziler.
Tüm i gt;n değerleri için x_i = 0 ve tüm i gt;m değerleri için y_i = 0 koşulları sağlanıyorsa ∑x ve ∑y'nin Cauchy çarpımı (x_0+⋯+ x_n)(y_0+⋯+y_m) olarak hesaplanır. Bu, sonlu dizilerin Cauchy çarpımının olağan çarpma işlemine indirgenebildiğini göstermektedir.


### Sonsuz diziler.
  - a,b∈ℝ değerleri için x_n = a^n/n! ve y_n = b^n/n! eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın.
 C(x,y)(n) = ∑_i=0^na^i/i!b^n-i/(n-i)! = (a+b)^n/n!
eşitliği tanım gereği sağlanır ve binom açılımı tarafından desteklenir. Kurallı diziler için geçerli olan exp(a) = ∑x ve exp(b) = ∑y eşitlikleri exp(a+b) = ∑C(x,y) sonucunu doğurur. İki mutlak yakınsak dizinin Cauchy çarpımının limiti bu dizilerin limitleri çarpımına eşit olduğundan aşağıdaki ifade kanıtlanmış olur.
exp(a+b) = exp(a)exp(b) (tüm a,b∈ℝ değerleri için)
  - Tüm n∈ℕ değerleri için x(n) = 1 koşulu sağlanıyorsa C(x,x)(n) = n+1 eşitliği tüm n∈ℕ değerleri için geçerlidir. Bu durumda Cauchy çarpımı
∑C(x,x) = (1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,…)
olarak hesaplanır ve bu ifade yakınsamaz.


## Yakınsaklık ve Mertens kuramı.
"x" ve "y" gerçel diziler olmak üzere, ∑y dizisi "Y"'ye yakınsıyor ve ∑x dizisi "X"'e mutlak yakınsıyorsa bu dizilerin Cauchy çarpımı ( ∑C(x,y)) "XY"'ye yakınsar. Franz Mertens tarafından kanıtlanan bu kuram, iki dizinin koşullu yakınsak olmaları durumunda geçerli değildir. Örneğin, x_n = (-1)^n /n dizisi bir koşullu yakınsak dizi üretir ancak C(x,x) sıfıra yakınsamamaktadır.


### Mertens kuramının kanıtı.
X_n = ∑_i=0^n x_i, Y_n = ∑_i=0^n y_i ve C_n = ∑_i=0^n C(x,y)(i) eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Terimlerin yerlerinin değiştirilmesiyle C_n = ∑_i=0^n ∑_k=0^i x_k y_i-k = ∑_i=0^n Y_i x_n-i sonucuna ulaşılır ve böylece C_n = ∑_i=0^n(Y_i-Y)x_n-i+YX_n eşitliği sağlanır. ε > 0 olmak koşuluyla, ∑x mutlak yakınsak ve ∑y yakınsak olduğundan tüm "n" ≥ "N" değerleri için |Y_n-Y| lt;ε/4/∑_n=0^∞|x_n|+1 eşitsizliğini sağlayan bir "N" tam sayısı ve tüm n≥M değerleri için |x_n-N| lt;ε/4Nsup|Y_n-Y|+1 eşitsizliğini sağlayan bir "M" tam sayısı bulunur. Ayrıca, n≥L koşulu sağlanıyorsa |X_n-X| lt;ε/2/|Y|+1 eşitsizliğini sağlayan bir "L" tam sayısı da bulunur. Böylece; "N", "M" ve "L"'den büyük tüm "n" tam sayıları için
eşitsizliği yazılabilir. Dizi yakınsaklığı tanımı gereği ∑C(x,y)→XY ifadesi de geçerlidir.


## Cesàro kuramı.
"x" ve "y" gerçel diziler olmak üzere ∑x→A ve ∑y→B ise
 1/n(∑_i=0^n C(x,y)_n)→AB
ifadesi yazılabilir.


## Genellemeler.
Şu ana dek açıklanan tüm kavramlar ℂ (karmaşık sayılar) kümesinde tanımlı diziler için geçerlidir. Cauchy çarpımı, çarpma işleminin iç çarpım olarak tanımlandığı ℝ^n uzaylarında (Öklit uzayları) da tanımlıdır. Bu tanıma göre, iki dizinin mutlak yakınsıyor oluşu bu dizilerin Cauchy çarpımının dizi limitlerinin iç çarpımına mutlak yakınsadığı anlamına gelmektedir.


## İşlev katlamasıyla ilişkisi.
Çifte sonsuz diziler için de Cauchy çarpımı tanımı yapılabilmektedir ancak çarpım her koşulda tanımlı değildir. Örneğin, 1 sabit dizisinin kendisiyle Cauchy çarpımı ((…,1,…)) tanımsızdır.