# Theodorus sarmalı
Geometride, Theodorus Sarmalı (karekök sarmalı, Einstein sarmalı veya Pisagor sarmalı olarak da adlandırılır), uç uca yerleştirilmiş dik üçgenlerden oluşan bir spiraldir. Adını, Cyreneli Theodorus'tan almıştır.


## Çizimi.
Sarmal bir ikizkenar dik üçgenle başlar ve her kenar birim uzunluğa sahiptir. Başka bir dik üçgen oluşturulur, bir kenarı önceki üçgenin hipotenüsü (uzunluğu #YÖNLENDİRME olan) ve diğer kenarının uzunluğu 1 olan otomatik bir dik üçgen oluşturulur. Bu ikinci üçgenin hipotenüsünün uzunluğu #YÖNLENDİRME 'tür. İşlem daha sonra benzer adımlarla tekrar eder. Dizideki "n"ci üçgen, kenar uzunlukları #YÖNLENDİRME ve 1 olan ve hipotenüs #YÖNLENDİRME olan bir dik üçgendir. Örneğin, 16. üçgenin kenarları 4 (= #YÖNLENDİRME ), 1 ve hipotenüs #YÖNLENDİRME 'dir.


## Tarihçe ve kullanım.
Theodorus'un tüm çalışmaları kaybolmuş olsa da, Platon, Theodorus'a, çalışmalarını anlattığı "Theaetetus'un diyaloğu"nda yer vermiştir. Theodorus'un Theodorus Sarmalı aracılığıyla 3'ten 17'ye kadar karesel olmayan tam sayıların tüm kareköklerinin irrasyonel olduğunu kanıtladığı varsayılmaktadır.
Platon, 2'nin karekökünün irrasyonelliğini Theodorus'a atfetmez, çünkü ondan önce de iyi biliniyordu. Theodorus ve Theaetetus, rasyonel sayıları ve irrasyonel sayıları farklı kategorilere ayırır.


## Hipotenüs.
Üçgenlerin hipotenüsleri, formula_2, formula_3'ye karşılık gelen doğal sayı'nın karekök'ünü verir.
Theodorus tarafından eğitilen Platon, Theodorus'un neden #YÖNLENDİRME 'de durduğunu sorguladı. Bunun nedeninin, #YÖNLENDİRME hipotenüsünün şekil ile üst üste gelmeyen son üçgene ait olduğu düşünülmektedir.


### Üst üste gelme.
1958'de Erich Teuffel, sarmal ne kadar devam ettirilirse ettirilsin, iki hipotenüsün asla çakışmayacağını kanıtladı. Ayrıca, birim uzunluğunun kenarları bir çizgiyle uzatılırsa, bunlar hiçbir zaman şeklin diğer köşelerinden biriyle kesişmez.


## Genişleme.
Theodorus sarmalını hipotenüsü #YÖNLENDİRME olan üçgende durdurdu. Sarmal, sonsuz sayıda üçgenle devam ederse, daha birçok ilginç özellik bulunur.


### Büyüme oranı.
#### Açı.
Eğer φ"n", "n"ci üçgenin (veya spiral segmentinin) açısı ise, o zaman:
formula_4
Bu nedenle, bir sonraki "n" üçgenin φ"n" açısının büyümesi:formula_5
olur. İlk "k" üçgenin açılarının toplamına, "k"ıncı üçgen için toplam açı φ("k") denir. Sınırlı bir düzeltme terimi olan "c"2 ve "k"nin karekökü ile orantılı olarak büyür:formula_6
burada
formula_7'dir.


#### Yarıçap.
Sarmal yarıçapının belirli bir "n" üçgeninde büyümesi;
formula_8'dir.


### Arşimet sarmalı.
Theodorus Sarmalı, Arşimet Sarmalı'na yakınsar. Nasıl Arşimet sarmalının iki sargısı arasındaki mesafe, matematiksel sabit π'ye eşitse, Theodorus sarmalının dönüş sayısı sonsuza yaklaştıkça, ardışık iki sargı arasındaki mesafe hızla π'ye yaklaşır.
Aşağıda, π'ye yaklaşan sarmalın iki sargısını gösteren bir tablo yer almaktadır:
Görülebileceği gibi, yalnızca beşinci sargıdan sonra, mesafenin π'ye göre yaklaşıklığı %99,97'dir.


## Sürekli eğri.
Theodorus sarmalının ayrık noktalarının düzgün bir eğri ile nasıl interpolasyon yapılacağı sorusu öne sürülmüş ve faktöriyel fonksiyonu için bir interpolant olarak gama fonksiyonu için Euler Formülüne benzetilerek 'de cevaplanmıştır. Philip J. Davis, öğrencisi Jeffery J. Leader ve Arieh Iserles (ek olarak ) tarafından daha ayrıntılı incelenen aşağıdaki fonksiyonu buldu;
formula_9
Bu fonksiyonun aksiyomatik bir karakterizasyonu, 'te fonksiyonel denklemi karşılayan benzersiz fonksiyon olarak verilmiştir.
formula_10
başlangıç koşulu formula_11 ve hem bağımsız değişken (argüman) hem de modülde monotonluk; alternatif koşullar ve zayıflamalar da burada incelenir. Alternatif bir türetme, 'de verilmiştir.
Davis'in orjine zıt yönde uzanan Theodorus Sarmalının sürekli formunun çözümsel uzanımı 'de verilmiştir.
Şekilde, orijinal (ayrık) Theodorus spiralinin düğümleri küçük yeşil daireler olarak gösterilmiştir. Mavi olanlar, spiralin ters yönünde eklenenlerdir.
Şekilde yalnızca formula_12 kutupsal (polar) yarıçapının tam sayı değerine sahip formula_13 düğümleri numaralandırılmıştır.
Koordinat başlangıcındaki formula_14 kesikli çizgi ile gösterilen çember, formula_14 noktasındaki eğrilik çemberidir.


## Konuyla ilgili yayınlar.
 -  
 -  
 - YÖNLENDİRME