# Euler-Lagrange denklemi
Euler-Lagrange denklemleri, varyasyonlar hesabı ve klasik mekanikte, verilen bir eylem fonksiyonelinin durağan noktaları olan çözümlerinin oluşturduğu ikinci mertebeden bir adi diferansiyel denklemler sistemidir. Bu denklemler, 1750'li yıllarda İsviçreli matematikçi Leonhard Euler ve İtalyan matematikçi Joseph-Louis Lagrange tarafından keşfedilmiştir.
Bir türevlenebilir fonksiyonel yerel ekstremum noktalarında durağan olduğundan, Euler-Lagrange denklemi, belirli bir fonksiyonelin minimize veya maksimize edilmesi gereken optimizasyon problemlerini çözmek için kullanışlıdır. Bu, kalkülüste bir türevlenebilir fonksiyonun yerel ekstremum noktasında türevinin sıfır olması gerektiğini belirten Fermat teoremi'ne benzer.
Lagrange mekaniğinde, Hamilton prensibine göre, bir fiziksel sistemin evrimi, sistemin eylem fonksiyoneli için Euler denklemlerinin çözümleri ile tanımlanır. Bu bağlamda, Euler denklemleri genellikle Lagrange denklemleri olarak adlandırılır. Klasik mekanikte, bu denklemler Newton'un hareket yasaları ile eşdeğerdir; aslında, Euler-Lagrange denklemleri Newton yasaları ile aynı denklemleri üretir. Bu özellikle kuvvet vektörlerinin oldukça karmaşık olduğu sistemleri analiz ederken yararlıdır. Bu yöntem, herhangi bir genelleştirilmiş koordinat sisteminde aynı formu alması avantajını taşır ve genelleştirmelere daha uygun bir yapıya sahiptir.
Klasik alan teorisinde, bir alanın dinamiklerini hesaplamak için benzer bir denklem kullanılır.


## Tarihçe.
Euler-Lagrange denklemi, 1750'li yıllarda Euler ve Lagrange tarafından eşzamanlı eğri (tautokron) problemi üzerine çalışmaları sırasında geliştirilmiştir. Bu problem, ağırlıklı bir parçacığın belirli bir noktaya sabit bir süre içinde, başlangıç noktasından bağımsız olarak düşeceği eğrinin belirlenmesi problemidir.
Lagrange, bu problemi 1755 yılında çözdü ve çözümü Euler'e gönderdi. Her iki matematikçi de Lagrange'ın yöntemini daha da geliştirdi ve bunu mekanik alanında uyguladı. Bu çalışmalar, Lagrange mekaniğinin formülasyonuna yol açtı. Aralarındaki yazışmalar, Euler'in 1766'da isimlendirdiği varyasyonlar hesabının ortaya çıkmasına neden oldu.


## İfade.
(X,L) bir gerçel dinamik sistem olsun ve n serbestlik derecesine sahip olsun. Burada X, konfigürasyon uzayı ve L=L(t,q(t), v(t)) ise "Lagrange fonksiyonu"dur, yani sürekli ve gerçel değerli fonksiyondur. Bu durumda, q(t) ∈X ve v(t) ise n-boyutlu bir "hız vektörü"dür. (Diferansiyel geometriye aşina olanlar için, X bir düzgün manifolddur ve L : ℝ_t ×X ×TX →ℝ fonksiyonudur, burada TX, X'in teğet demetidir).
P(a,b,x_a,x_b) ifadesi, q: [a,b] →X olan düzgün yolaklar kümesi olsun. O zaman, q(a) = x_a ve q(b) = x_b olur.
Eylem fonksiyoneli S : P(a,b,x_a,x_b) →ℝ, aşağıdaki şekilde tanımlanır:
 S[q] = ∫_a^b L(t,q(t),q̇(t)), dt.
Bir yolak q ∈P(a,b,x_a,x_b), ancak ve ancak aşağıdaki durumda S'nin bir durağan noktasıdır:
∂L/∂q^i(t,q(t),q̇(t))-d/dt∂L/∂q̇^i(t,q(t),q̇(t)) = 0, i = 1, …, n.
Burada q̇(t), q(t)'nin zaman türevidir. Durağan nokta ifadesiyle, S'nin q üzerindeki küçük bir pertürbasyona karşı durağan olduğu anlamı kastedilir.


## Örnek.
Klasik bir örnek, ["a", "b"] aralığında tanımlı, gerçel değerli "y"("x") fonksiyonunu bulmaktır. Bu fonksiyonun "y"("a") = "c" ve "y"("b") = "d" olması gerekmektedir. Bu durumda, "y" tarafından izlenen eğri boyunca olan yol yay uzunluğu en kısa olmalıdır.
 s = ∫_a^b √(dx^2+dy^2) = ∫_a^b √(1+y'^2),dx,
Buradaki tümlevlenen (integrand) fonksiyon şu şekildedir:
 L(x,y, y') = √(1+y'^2) 
"L" fonksiyonunun kısmi türevleri:
∂L(x, y, y')/∂y' = y'/√(1 + y'^2) ve ∂L(x, y, y')/∂y = 0
olur. Bu türevleri Euler-Lagrange denkleminde yerine koyarak
 d/dxy'(x)/√(1 + (y'(x))^2) amp;= 0 
 y'(x)/√(1 + (y'(x))^2) amp;= C = sabit
 ⇒ y'(x) amp;= C/√(1-C^2) =: A 
 ⇒ y(x) amp;= Ax + B
elde edilir.
Bu sonuç, fonksiyonun sabit bir birinci türeve sahip olması gerektiği anlamına gelir ve bu nedenle fonksiyonun grafiği bir doğrudur.


## Genelleştirmeler.
### Tek değişkenli ve yüksek mertebeden türevli bir fonksiyon.
Aşağıdaki fonksiyonelin durağan değerleri:
 I[f] = ∫_x_0^x_1 ℒ(x, f, f', f”, …, f^(k)) dx  ;   f' := dfdx,  f” := d^2fdx^2,   f^(k) := d^kfdx^k 
Euler–Lagrange denkleminden elde edilebilir:
 ∂ℒ∂f - dd x(∂ℒ∂f') + d^2d x^2(∂ℒ∂f”) - …+ (-1)^k d^kd x^k(∂ℒ∂f^(k)) = 0 
Bu ifade, fonksiyonun kendisi ve ilk k-1 türevleri için sabit sınır koşulları altında geçerlidir. En yüksek mertebeden türev olan f^(k) için uç değerler esnektir.


### Tek değişkenli ve tek türevli birden fazla fonksiyon.
Eğer problem, tek bir bağımsız değişken (x) ile birden fazla fonksiyonun (f_1, f_2, …, f_m) bulunmasını içeriyorsa ve bu fonksiyonlar, aşağıdaki fonksiyonu eniyilemek amacıyla kullanılıyorsa:
 I[f_1,f_2, …, f_m] = ∫_x_0^x_1 ℒ(x, f_1, f_2, …, f_m, f_1', f_2', …, f_m') dx  ;   f_i' := df_idx 
Bu durumda, karşılık gelen Euler–Lagrange denklemleri şunlardır:
 ∂ℒ/∂ f_i - d/dx(∂ℒ/∂ f_i') = 0 ; i = 1, 2, ..., m


### Birden fazla değişkenli bir fonksiyon.
Birden fazla değişkene bağlı bir fonksiyonun kullanıldığı durumda, Ω bir yüzey olmak üzere
 I[f] = ∫_Ω ℒ(x_1, …, x_n, f, f_1, …, f_n), d𝐱, f_j := ∂f∂x_j 
Bu durumda fonksiyonel, aşağıdaki kısmi diferansiyel denklemi sağlayan fonksiyonlar tarafından ekstremize edilir:
 ∂ℒ/∂f - ∑_j=1^n ∂/∂x_j(∂ℒ/∂f_j) = 0. 
n = 2 olduğunda ve fonksiyonel ℐ enerji fonksiyoneli olduğunda, bu denklem sabun filmi minimum yüzey problemine yol açar.


### Birden fazla değişkenli birden fazla fonksiyon.
Eğer birden fazla bilinmeyen fonksiyon ve birden fazla değişken varsa
 I[f_1,f_2,…,f_m] = ∫_Ω ℒ(x_1, …, x_n, f_1, …, f_m, f_1,1, …, f_1,n, …, f_m,1, …, f_m,n) , d𝐱,!  ;   f_i,j := ∂f_i∂x_j 
Bu durumda, Euler-Lagrange denklemleri sistemi şu şekildedir:
 ∂ℒ/∂ f_1 - ∑_j=1^n∂/∂ x_j(∂ℒ/∂ f_1,j) amp;= 0_1 ∂ℒ/∂ f_2 - ∑_j=1^n∂/∂ x_j(∂ℒ/∂ f_2,j) amp;= 0_2 ⋮ ⋮ amp; ⋮ ∂ℒ/∂ f_m - ∑_j=1^n∂/∂ x_j(∂ℒ/∂ f_m,j) amp;= 0_m.
Bu denklem sistemi, her fonksiyonun ayrı ayrı varyasyonel türevini içerir ve çok değişkenli fonksiyonel integraller için temel çözümü sağlar.


### İki değişkenli bir fonksiyon ve yüksek mertebeden türevler.
Eğer belirlenmesi gereken tek bir bilinmeyen fonksiyon "f", iki değişken "x"1 ve "x"2'ye bağlıysa ve fonksiyonel, "f"'in yüksek mertebeden türevlerine ("n"-inci türevine kadar) bağlıysa
 I[f] amp; = ∫_Ωℒ(x_1, x_2, f, f_1, f_2, f_11, f_12, f_22, …, f_22… 2), d𝐱 amp; f_i := ∂ f∂ x_i ; , f_ij := ∂^2 f∂ x_i∂ x_j ; , ;; …
Bu durumda Euler-Lagrange denklemi şu şekildedir:
 ∂ℒ/∂ f amp; - ∂/∂ x_1(∂ℒ/∂ f_1) - ∂/∂ x_2(∂ℒ/∂ f_2) + ∂^2/∂ x_1^2(∂ℒ/∂ f_11) + ∂^2/∂ x_1∂ x_2(∂ℒ/∂ f_12) + ∂^2/∂ x_2^2(∂ℒ/∂ f_22) amp; - … + (-1)^n ∂^n/∂ x_2^n(∂ℒ/∂ f_22… 2) = 0
Bu denklemi daha kısa bir biçimde şu şekilde gösterebiliriz:
 ∂ℒ/∂f +∑_j=1^n ∑_μ_1 ≤…≤μ_j (-1)^j ∂^j/∂x_μ_1…∂x_μ_j ( ∂ℒ /∂f_μ_1…μ_j)=0 
Burada μ_1 …μ_j indeksleri, değişken sayısını temsil eder; bu örnekte indeksler 1'den 2'ye kadar gider. Bu denklemde, aynı kısmi türevden (örneğin f_12 = f_21) birden fazla kez saymamak için, indeksler yalnızca μ_1 ≤μ_2 ≤…≤μ_j koşulunu sağladığında toplanır.


### Birden fazla değişkene bağlı birden fazla fonksiyon ve yüksek mertebeden türevler.
Eğer belirlenmesi gereken "p" adet bilinmeyen fonksiyon "f"i, "m" değişkenine ("x"1, "x"2, ..., "x"m) bağlıysa ve fonksiyonel, bu fonksiyonların yüksek mertebeden türevlerine ("n"-inci türevine kadar) bağlıysa
 I[f_1,…,f_p] amp; = ∫_Ωℒ(x_1, …, x_m; f_1,…,f_p; f_1,1,…, f_p,m; f_1,11,…, f_p,mm;…; f_p,1… 1, …, f_p,m… m), d𝐱 amp; f_i,μ := ∂ f_i∂ x_μ ; , f_i,μ_1μ_2 := ∂^2 f_i∂ x_μ_1∂ x_μ_2 ; , ;; …
Burada μ_1 …μ_j indeksleri, değişken sayısını temsil eder ve 1'den "m"'ye kadar gider. Bu durumda Euler-Lagrange denklemi şu şekildedir:
 ∂ℒ/∂f_i +∑_j=1^n ∑_μ_1 ≤…≤μ_j (-1)^j ∂^j/∂x_μ_1…∂x_μ_j ( ∂ℒ /∂f_i,μ_1…μ_j)=0 
Bu denklemde, aynı türevden ( f_i,μ_1μ_2 = f_i,μ_2μ_1) birden fazla kez saymamak için indeksler yalnızca μ_1 ≤μ_2 ≤…≤μ_j koşulunu sağladığında toplanır.
Bu denklemi daha kısa bir biçimde şu şekilde gösterebiliriz:
 ∑_j=0^n ∑_μ_1 ≤…≤μ_j (-1)^j ∂_ μ_1…μ_j ^j ( ∂ℒ /∂f_i,μ_1…μ_j)=0 
Burada μ_1 …μ_j indeksleri, değişken sayısını temsil eder; bu örnekte indeksler 1'den "m"'ye kadar gider. Bu denklemde, aynı kısmi türevden (örneğin f_12 = f_21) birden fazla kez saymamak için, indeksler yalnızca μ_1 ≤μ_2 ≤…≤μ_j koşulunu sağladığında toplanır.


## Alan teorileri.
 - YÖNLENDİRME 


### Manifoldlara genelleme.
"M" bir düzgün manifold olsun ve "C^\infty([a,b])" ifadesi, düzgün fonksiyonlar kümesini göstersin: :f[a,b]→M.
Bu durumda, "S\colon C^\infty ([a,b])\to \mathbb{R}" şeklindeki fonksiyoneller için: : S[f]=∫_a^b (L∘ḟ)(t),d t burada "L\colon TM\to\mathbb{R}" Lagrangian'dır. İfade "\mathrm{d} S_f=0" şeklindedir ve bu, tüm "t\in [a,b]" değerleri için şu ifadelere eşdeğerdir:
Her koordinat çerçeve trivializasyonu "(x^i,X^i)" için, "\dot{f}(t)"'nin bir komşuluğunda şu şekilde "\dim M" denklemleri elde edilir: : ∀i:d/dt∂L/∂X^i|ḟ(t)=∂L/∂x^i|ḟ(t). 
Euler-Lagrange denklemleri, koordinat bağımsız bir biçimde de şu şekilde yazılabilir:
 ℒ_Δθ_L=dL 
Burada "\theta_L" Lagrangian "L"'ye karşılık gelen kanonik momentum 1-formu'dur. Zaman çevirilerini üreten vektör alanı "\Delta" olarak gösterilir ve Lie türevi "\mathcal{L}" ile gösterilir.
Yerel grafikler kullanılarak: :(q^α,q̇^α) ifadesinde: :θ_L=∂L/∂q̇^αdq^α ve: :Δ:=d/dt=q̇^α∂/∂q^α+q̈^α∂/∂q̇^α
Lie türevinin koordinat ifadelerini kullanarak, Euler-Lagrange denklemlerinin koordinat ifadeleri ile eşdeğerliğini görmek mümkündür. Koordinat bağımsız form, Euler-Lagrange denklemlerinin geometrik yorumları için özellikle uygundur.