# Parseval Teoremi
Matematik dünyasında, Parseval teoremi Fourier dönüşümünün bir üniter ifade olduğu sonucunu bize açıklar. Basit bir şekilde açıklarsak, bir fonksiyonun karesinin toplamı (ya da integrali) ile Fourier dönüşümün fonksiyonunun karesinin toplamının (ya da integrali) birbirine eşit olduğunu söyler. Teorem, Marc-Antoine Parseval'in 1799 yılındaki seriler hakkındaki bir teoreminin Fourier serilerine uygulanması sonucu ortaya çıkmıştır. Lord Rayleigh ile John William Strutt'tan sonra Rayleigh Enerji Teorem"i "veya Rayleigh Özdeşliği olarak da bilinir.
"Parseval Teoremi" terimi, genelde "herhangi bir" Fourier dönüşümünün üniterliğini tanımlamak için kullanılsa da, özellikle fizikte bu özelliğin en genel biçimi şeklinde daha doğru bir şekilde ifade edersek bu teoremin adı Plancherel Teoremi'dir.


## Parseval Teoremi'nin Matematiksel İfadesi.
Varsayalım ki A(x) ve B(x) fonksiyonları ℝ reel sayılar kümesi içerisinde periyodu 2 π olan karmaşık değerli bir fonksiyondur. Ayrıca Fourier serisi şeklinde periyot uzunluğuna göre "integrallenebilir kare" fonksiyon olduklarını da göz önüne alırsak aşağıdaki eşitlikler karşımıza çıkar:
 A(x)=∑_n=-∞^∞a_ne^inx
ile
 B(x)=∑_n=-∞^∞b_ne^inx
şeklinde formüle edilebilir. Daha sonra ise;
Burada i sayısı sanal sayıyı ve yatay çizgi ise karmaşık düzlemi ifade etmektedir. A(x) ve B(x)'yi eşitlikte yerine koyarsak:
 ∑_n=-∞^∞ a_nb_n amp;= 1/2π∫_-π^π( ∑_n=-∞^∞ a_ne^inx) ( ∑_n=-∞^∞b_ne^-inx) dx 
 amp;= 1/2π∫_-π^π(a_1e^i1x + a_2e^i2x + ⋯) (b_1e^-i1x + b_2e^-i2x + ⋯) dx 
 amp;= 1/2π∫_-π^π(a_1e^i1xb_1e^-i1x + a_1e^i1xb_2e^-i2x + a_2e^i2xb_1e^-i1x + a_2e^i2xb_2e^-i2x + ⋯) dx 
 amp;= 1/2π∫_-π^π(a_1 b_1 + a_1 b_2e^-ix + a_2 b_1e^ix + a_2 b_2 + ⋯) dx
Yukarıda bulunan eşitliğin orta terimlerinde olduğu gibi periyodu 2π olan birçok terimin integrali 0 olacaktır. (Ayrıca bakınız: Harmonik Seriler)
 ∑_n=-∞^∞ a_nb_n amp;= 1/2π[a_1 b_1 x + i a_1 b_2e^-ix - i a_2 b_1e^ix + a_2 b_2 x + ⋯] _-π ^+π
 amp;= 1/2π(2π a_1 b_1 + 0 + 0 + 2π a_2 b_2 + ⋯) 
 amp;= a_1 b_1 + a_2 b_2 + ⋯
Genel olarak, "değişmeli yerel kompakt grup olan G Pontryagin İkiliği" olan "G^" şeklinde verildiğinde, Parseval Teoremi bize şunu söyler: Pontryagin-Fourier dönüşümü Hilbert uzayları olan "L"2("G") ve "L"2("G^") arasında üniter bir operatördür. "G", birim çember T olduğunda, "G^" tam sayıdır ve yukarıda tartışılan durum tam olarak budur. "G" reel sayılarda ℝ gerçek doğru ise "G^" de aynı zamanda reeldir ℝ ve üniter dönüşüm gerçek doğru üzerindeki bir Fourier dönüşümdür. "G" döngüsel grup Zn olduğunda yine kendine eşittir ("self-dual") burada ise Pontryagin-Fourier dönüşümü uygulamada ayrık Fourier dönüşümü olarak adlandırılır.
"Parseval Teoremi" şu şekilde de ifade edilebilir: f(x), Fourier serisi ile [-π, π] arasında "integrallenebilir kare" bir fonksiyondur (yani hem f(x) hem de f^2(x) de bu aralıkta "integrallenebilir")
 f(x) ≃a_0/2 + ∑_n=1^∞ (a_n cos(nx) + b_n sin(nx)).
Daha sonra aşağıdaki formülü elde ederiz: 1/π ∫_-π^π f^2(x) dx = a_0^2/2 + ∑_n=1^∞ (a_n^2 + b_n^2 ).


## Mühendislikte kullanılan notasyon.
Elektrik mühendisliğinde, Parseval Teoremi genellikle şu şekilde formüle edilir:
 ∫_-∞^∞| x(t) |^2 dt = 1/2π ∫_-∞^∞| X(ω) |^2 dω= ∫_-∞^∞| X(2πf) |^2 df
Burada X(ω) = ℱ_ω{ x(t) } fonksiyonu x(t) fonksiyonunun sürekli Fourier dönüşümünü (normalleştirilmiş ve üniter formda) temsil eder. Açısal frekans ω= 2πf ise birim zamandaki radyan sayısıdır.
Bu teorem, bir sinyalin toplam enerjisinin, zamana göre örnek başına güç toplamının veya frekansa göre spektral gücün toplanması yoluyla hesaplanabileceğini ifade eder.
Ayrık zaman sinyalleri için teorem şöyle aşağıdaki şekilde yazılır:
 ∑_n=-∞^∞| x[n] |^2 = 1/2π ∫_-π^π| X_2π(ϕ) |^2 dϕ
Burada X_2π, x fonksiyonunun ayrık zamanlı Fourier dönüşümüdür (DTFT) ayrıca ϕ ise x'in açısal frekansını (radyan cinsinden) temsil eder.
Alternatif olarak ayrık Fourier dönüşümü (DFT) şeklinde ifade etmek istersek eşitlik şu hale gelir:
 ∑_n=0^N-1 | x[n] |^2 = 1/N ∑_k=0^N-1 | X[k] |^2
Burada X[k], x[n]'in DFT'sini ifade eder.
Aşağıda DFT'nin durumunu gösteriliyor. Diğer durumlar için de aynı ispat yolu izlenebilir. X[k]'in ters DFT'sini kullanarak aşağıdaki eşitliği türetebiliriz.
 1/N ∑_k=0^N-1 | X[k] |^2 = 1/N ∑_k=0^N-1 X[k]·X^*[k] = 1/N ∑_k=0^N-1 [∑_n=0^N-1 x[n] exp(-j2π/Nk n)] X^*[k]
 = 1/N ∑_n=0^N-1 x[n] [∑_k=0^N-1 X^*[k] exp(-j2π/Nk n)] 
 = 1/N ∑_n=0^N-1 x[n] (N ·x^*[n]) = ∑_n=0^N-1 | x[n] |^2,
Bırada * ifadesi Karmaşık Sayının Eşleniği'ni temsil eder.