# Digama fonksiyonu
Matematik'te, digama fonksiyonu gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır:
ψ(x) =d/dx lnΓ(x)= Γ'(x)/Γ(x).
Bu poligama fonksiyonu'nun ilkidir.


## Harmonik sayılar ile ilişkisi.
Digamma fonksiyon'u, sıklıkla ψ0("x"), ψ0("x") veya ϝ (eski yunan harfleriyle digama'nın gösterimi Ϝ'dir ) şeklinde gösterilir. 
Harmonik sayılar'la ilişkisi
ψ(n) = H_n-1-γ
Burada "H""n" is the "n" 'inci harmonik sayıdır ve γ Euler-Mascheroni sabiti'dir. yarı tam sayı değerleri için, açılım
ψ(n+1/2) = -γ- 2ln2 + 
∑_k=1^n 2/2k-1


## Integral Gösterimleri.
integral gösterimi
ψ(x) = ∫_0^∞(e^-t/t - e^-xt/1 - e^-t) dt şeklindedir.
x reel kısmının pozitif değerleri için geçerlidir. Bunu şöyle yazabiliriz
ψ(s+1)= -γ+ ∫_0^1 1-x^s/1-x dx
harmonik sayılar için Euler integrali'dir.


## Seri formülü.
Digamma negatif tam sayılar dışında kompleks düzlemde hesaplanabilir (Abramowitz and Stegun 6.3.16), yardımıyla
ψ(z+1)= -γ+∑_n=1^∞( z/n(n+z) ), z ≠-1, -2, -3, ...


## Taylor serisi.
Digama Taylor serisi'nde "z"=1 verilerek elde edilen bir rasyonel zeta serisidir, . 
Burada
ψ(z+1)= -γ-∑_k=1^∞ζ(k+1) (-z)^k,
yakınsaklık için |"z"|<1. Burada, ζ(n) Riemann zeta fonksiyonu'dur.Bu seri ile kolayca Hurwitz zeta fonksiyonu'na karşılık gelen Taylor 'serisi elde edilebilir.


## Newton serisi.
Digama için Newton serisi Euler integral formülü ile:
ψ(s+1)=-γ-∑_k=1^∞(-1)^k/k s k
Burada s k binom katsayısı'dır.


## Refleksiyon formülü.
Digama fonksiyonunu Gama fonksiyonu'na benzer bir refleksiyon formülü karşılar
ψ(1 - x) - ψ(x) = π ( πx ) 


## Özyineleme formülü.
tekrarlama ilişkisi'ne dayanılarak
Digamma fonksiyonu 
ψ(x + 1) = ψ(x) + 1/x
Böylece, 1/x için "teleskop" denilebilir, bu nedenle
Δ[ψ] (x) = 1/x
Burada Δ ileri diferansiyel operator'dür. Aşağıdaki formülle harmonik seri'nin kısmi toplamı tekrarlama ilişkisi'ne karşı gelir,
 ψ(n) = H_n-1 - γ
burada γ Euler-Mascheroni sabiti'dir.
Daha genel bir ifade,
ψ(x+1) = -γ+ ∑_k=1^∞( 1/k-1/x+k )


## Gauss toplamı.
Digama'nın Gaussian toplam formu
-1/πk ∑_n=1^k 
sin( 2πnm/k) ψ(n/k) =
ζ(0,m/k) = -B_1 (m/k) = 
1/2 - m/k şeklindedir.
Tam sayılar için 0 lt;m lt;k. Burada, ζ("s","q") Hurwitz zeta fonksiyonu'dur ve B_n(x) 'i Bernoulli polinomu'dur. Çarpma teoremi'nin özel bir durumu;
∑_n=1^k ψ(n/k)
 =-k(γ+logk),
ve genelleştirilmiş şekli
∑_p=0^q-1ψ(a+p/q)=q(ψ(qa)-ln(q)),
Burada "q" 'nun doğal sayı ve 1-"qa" 'nın doğal sayı olmadığı varsayılmıştır. .


## Gauss'un digama teoremi.
Pozitif tam sayılar "m" ve "k" ("m < k") şartıyla, digama fonksiyonunun Temel fonksiyon olarak ifadesi
ψ(m/k) = -γ-ln(2k) 
-π/2(mπ/k)
+2∑_n=1^⌈(k-1)/2⌉
cos(2πnm/k )
ln(sin(nπ/k))


## Hesaplama & yaklaşıklık.
J.M. Bernardo AS 103 algoritmiyle ile "x", gerçel bir sayı olmak üzere digama fonksiyonu hesaplanabilir, 
 ψ(x) = ln(x) -1/2x - 1/12x^2 + 1/120x^4 - 1/252x^6 + O(1/x^8)
veya
 ψ(x) = ln(x) - 1/2x + ∑_n=1^∞ζ(1-2n)/x^2n
 ψ(x) = ln(x) - 1/2x - ∑_n=1^∞B(2n)/2n(x^2n)
"n" tam sayı, B(n) "n" 'inci Bernouilli sayısı ve ζ(n) Riemann zeta fonksiyonu'dur.


## Özel değerler.
Digama fonksiyonu için bazı özel değerler:
 ψ(1) = -γ 
 ψ(1/2) = -2ln2 - γ
 ψ(1/3) = -π/2√(3) -3/2ln3 - γ
 ψ(1/4) = -π/2 - 3ln2 - γ
 ψ(1/6) = -π/2√(3) -2ln2 -3/2ln(3) - γ
 ψ(1/8) = -π/2 - 4ln2 - 1/√(2) {π+ ln(2 + √(2)) - ln(2 - √(2))} - γ