# Binom dönüşümü
Tümleşik matematikte binom dönüşümü bir dizinin ileri farklarını hesaplamaya yarayan bir dizi dönüşümüdür. Kavram, binom dönüşümünün Euler dizisine uygulanması sonucu oluşan Euler dönüşümüyle yakından ilintilidir.


## Tanım.
Bir {a_n} dizisinin binom dönüşümü ("T")
s_n = ∑_k=0^n (-1)^k nk a_k
olarak tanımlanan {s_n} dizisidir.
(Ta)_n = s_n yazımında "T" bir sonsuz boyutlu işleci göstermektedir. Bu işlecin elemanları şu biçimde gösterilebilir:
s_n = (Ta)_n = ∑_k=0^∞T_nk a_k
Bu dönüşüm bir kıvrılmadır.
TT = 1
Bu, farklı bir biçimde de gösterilebilir.
∑_k=0^∞T_nkT_km = δ_nm
Burada δ Kronecker delta işlevini göstermektedir.
a_n=∑_k=0^n (-1)^k nk s_k
işlemiyle özgün diziye geri dönülebilir.
Bir dizinin binom dönüşümü o dizinin "n." ileri farkıdır.
s_0 = a_0
s_1 = - (a)_0 = -a_1+a_0
s_2 = (^2 a)_0 = -(-a_2+a_1)+(-a_1+a_0) = a_2-2a_1+a_0
s_n = (-1)^n (^n a)_0
Burada Δ ileri fark işlecini simgelemektedir.
Binom dönüşümü zaman zaman ek bir imle gösterilmektedir. Bu gösterimde dönüşüm
t_n=∑_k=0^n (-1)^n-k nk a_k
biçiminde ifade edilirken bu ifadenin tersi
a_n=∑_k=0^n nk t_k
olarak yazılır.


## Örnek.
Binom dönüşümleri fark tablolarında kolaylıkla gözlenebilmektedir.
0, 1, 10, 63, 324, 1485, … biçimindeki en üst satır ((2n^2+n) 3^n-2 tarafından tanımlanan bir dizi) 0, 1, 8, 36, 128, 400, … köşegeninin (n^2 2^n-1 tarafından tanımlanan bir dizi) binom dönüşümüdür.


## Değişim durumları.
Binom dönüşümü Bell sayılarının değişim işlecidir. Başka bir deyişle,
B_n+1=∑_k=0^n nk B_k
eşitliği sağlanmaktadır. Burada B_n Bell sayılarını göstermektedir.


## Olağan üretici işlev.
Dönüşüm, diziyle ilişkilendirilmiş üretici işlevleri birbirine bağlamaktadır. Olağan üretici işlev için
f(x)=∑_n=0^∞a_n x^n
ve
g(x)=∑_n=0^∞s_n x^n
eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan
g(x) = (Tf)(x) = 1/1-x f(x/x-1)
ifadesine ulaşılabilir.


## Euler dönüşümü.
Olağan üretici işlevler arasındaki ilişki zaman zaman Euler dönüşümü olarak adlandırılmaktadır. İki farklı biçimde var olan dönüşüm, almaşık dizilerin yakınsaklığını hızlandırabilmektedir. Başka bir deyişle,
∑_n=0^∞(-1)^n a_n = ∑_n=0^∞(-1)^n 
Δ^n a_0/2^n+1
ifadesinde "x" yerine 1/2 konularak 1'e ulaşılabilir. Sağdaki terimler çok hızlı bir biçimde küçüldüklerinden bu toplam kolaylıkla hesaplanabilir.
Euler dönüşümü şu biçimde genellenbilir:
"p" = 0, 1, 2, … için
∑_n=0^∞(-1)^n n+pn a_n = ∑_n=0^∞(-1)^n 
n+pnΔ^n a_0/2^n+p+1
eşitliği sağlanır.
Euler dönüşümü _2F_1 hipergeometrik dizisine sıklıkla uygulanmkatadır. Bu durumda Euler dönüşümü
 _2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^-b _2F_1 (c-a, b; c;z/z-1)
olarak ifade edilebilmektedir.
Binom dönüşümü ve bunun farklı bir uyarlaması olan Euler dönüşümü bir sayının sürekli kesir olarak ifade edilmesinde büyük önem taşımaktadır. 0 lt; x lt; 1 sayısının sürekli kesir ifadesinin
x=[0;a_1, a_2, a_3,⋯]
olduğu varsayılsın. Buradan
x/1-x=[0;a_1-1, a_2, a_3,⋯]
ve
x/1+x=[0;a_1+1, a_2, a_3,⋯]
sonuçlarına ulaşılabilmektedir.


## Üstel üretici işlev.
Üstel üretici işlev için
f(x)= ∑_n=0^∞a_n x^n/n!
ve
g(x)= ∑_n=0^∞s_n x^n/n!
eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan
g(x) = (Tf)(x) = e^x f(-x)
eşitliğine ulaşılır.
Borel dönüşümü, olağan üretici işlevi üstel üretici işleve dönüştürebilmektedir.


## İntegral biçimindeki ifadesi.
Dizi bir karmaşık çözümleme işleviyle değiştirildiğinde dizinin binom dönüşümü Nörlund-Rice integrali biçiminde ifade edilebilmektedir.


## Genellemeler.
Prodinger birimsel benzeri bir dönüşümden söz etmektedir.
u_n = ∑_k=0^n nk a^k (-c)^n-k b_k
eşitliğinin sağlandığı varsayıldığında
U(x) = 1/cx+1 B(ax/cx+1)
ifadesine ulaşılır. Burada "U" ve "B" sırasıyla {u_n} ve {b_n} dizileriyle ilişkilendirilmiş olağan üretici işlevleri göstermektedir.
Artan "k"-binom dönüşümü zaman zaman
∑_j=0^n nj j^k a_j
biçiminde, azalan "k"-binom dönüşümü
∑_j=0^n nj j^n-k a_j
biçiminde tanımlanmaktadır. Her iki dönüşüm de bir dizinin Hankel dönüşümü özüne eşittir.
Binom dönüşümü
∑_i=0^n(-1)^n-inia_i=b_n
olarak tanımlanır, bu ifade
𝔍(a)_n=b_n
işlevine eşitlenir, yeni bir ileri fark tablosu oluşturulur ve bu tablonun her satırının ilk elemanından {b_n} gibi yeni bir dizi oluşturulursa özgün dizinin ikinci binom dönüşümü
𝔍^2(a)_n=∑_i=0^n(-2)^n-inia_i
ifadesine eşit olur.
Aynı işlem "k" kez yinelendiğinde
𝔍^k(a)_n=b_n=∑_i=0^n(-k)^n-inia_i
eşitliğine ulaşılır. Bu ifadenin tersi
𝔍^-k(b)_n=a_n=∑_i=0^nk^n-inib_i
olarak yazılır.
Bu ifadenin genel biçimi
𝔍^k(a)_n=b_n=(𝐄-k)^na_0
olarak yazılabilir. Burada 𝐄 değişim işlecini göstermektedir.
Bu ifadenin tersi
𝔍^-k(b)_n=a_n=(𝐄+k)^nb_0
biçiminde gösterilir.