# Ewald toplamı
Ewald toplamı, ismini Paul Peter Ewald'dan alır, periyodik sistemlerin, özellikle elektrostatik enerjilerin, etkileşim enerjilerini hesaplayan bir yöntemdir. Ewald toplamı Poisson toplam formülünde gerçek uzaydaki etkileşim enerjilerinin Fourier uzayındaki denk bir toplam ile değiştirilmiş toplam formülünün özel bir halidir. Bu yöntemin avantajı gerçek uzaydaki etkileşimler uzun mesafeli olduğunda Fourier uzayındaki toplamın hızlı yakınsıyor olmasıdır. Elektrostatik enerjiler kısa ve uzun mesafeli etkileşimlerden oluştukları için en verimli hesaplama etkileşim potansiyeli gerçek uzayda kısa mesafeli etkileşim toplamı ve Fourier uzayında uzun mesafeli etkileşim toplamı olarak iki parçaya ayrıldığında gerçekleşir.


## Türetme.
Ewald toplamı etkileşim potansiyelini iki terim halinde yeniden yazar
φ(𝐫) def= φ_sr(𝐫) + φ_ℓr(𝐫)
burada φ_sr(𝐫) gerçek uzaydaki kısa mesafe terimine karşılık gelirken φ_ℓr(𝐫) Fourier uzayındaki uzun mesafe terimine karşılık gelir. Uzun mesafe terimi tüm argümanlar için sonlu olmalıdır; ama yine de tutarlı herhangi bir matematiksel yapı da gösterebilir, örneğin Gauss dağılımı. Bu yöntem kısa mesafe teriminin kolayca toplanabileceğini kabul eder; bu yüzden problem doğrudan uzun mesafe teriminin hesaplanması problemine dönüşür. Fourier toplamının faydasından dolayı bu yöntem dolaylı olarak üzerinde çalışıldığı sistemin sonsuz periyodik olduğunu kabul eder. Bu varsayımsal sistemin tekrar eden birimlerine "birim hücre" denir. Bu hücrelerden bir tanesi referans olarak "merkezi hücre" olarak, diğerleri de "görüntüler" olarak adlandırılır.
Uzun mesafe etkileşim enerjisi merkezi hücre yükü ile kafesteki diğer tüm yüklerin arasındaki etkileşim enerjilerinin toplamına eşittir. Dolayısıyla merkezi hücreyi ve kristal ağını
E_ℓr = ∬d𝐫 d𝐫^' ρ_TOT(𝐫) ρ_uc(𝐫^') φ_ℓr(𝐫 - 𝐫^')
burada birim hücre yük yoğunluğu alanı ρ_uc(𝐫) q_k yüklerinin 𝐫_k konumları üzerinden bir toplama eşittir.
ρ_uc(𝐫) def= ∑_charges k q_k δ(𝐫 - 𝐫_k)
toplam yük ypğunluğu alanı ρ_TOT(𝐫) q_k birim hücre yükleri ve onların periyodik görüntüleri üzerinden toplamına eşittir.
ρ_TOT(𝐫) def= ∑_n_1, n_2, n_3 ∑_charges k 
q_k δ(𝐫 - 𝐫_k - n_1 𝐚_1 - n_2 𝐚_2 - n_3 𝐚_3)
Burada δ(𝐱) Dirac delta fonksionu, 𝐚_1, 𝐚_2 ve 𝐚_3 ağ vektörleri ve n_1, n_2 and n_3 tam sayı değeri alan değişkenlerdir. Toplam alan ρ_TOT(𝐫) L(𝐫) ağ fonksiyonu ile birlikte ρ_uc(𝐫) nin bir evrişimi olarak gösterilebilir.
L(𝐫) def= ∑_n_1, n_2, n_3
δ(𝐫 - n_1 𝐚_1 - n_2 𝐚_2 - n_3 𝐚_3)
Bu bir evrişim olduğundan, ρ_TOT(𝐫) in Fourier transformu bir çarpımdır
ρ̃_TOT(𝐤) = L̃(𝐤) ρ̃_uc(𝐤)
burada ağ fonksiyonlarının Fourier dönüşümleri delta fonksiyonlarının bir başka toplamıdır
L̃(𝐤) = 
(2π)^3/Ω ∑_m_1, m_2, m_3
δ(𝐤 - m_1 𝐛_1 - m_2 𝐛_2 - m_3 𝐛_3)
Burada karşılıklı uzay vektörleri 𝐛_1 def= 𝐚_2 ×𝐚_3 / Ω olarak tanımlanmıştır. where Ω def= 𝐚_1 ·( 𝐚_2 ×𝐚_3 ) merkezi birim hücrenin hacmidir. Daha kısa bir ifade olarak etkin tek parçacık potansiyeli tanımlayalım
Sadelik açısından, etkin tek-parçacık potansiyeli tanımlayalım
v(𝐫) def= ∫d𝐫^' ρ_uc(𝐫^') φ_ℓr(𝐫 - 𝐫^')
Yukarıdaki durum bunun için de geçerlidir
Ṽ(𝐤) def= ρ̃_uc(𝐤) Φ̃(𝐤)
Burada Fourier dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlanmıştır
Ṽ(𝐤) = ∫d𝐫 v(𝐫) e^-i𝐤 ·𝐫
Bu noktada enerji tek bir alan integrali olarak yazılabilir.
E_ℓr = ∫d𝐫 ρ_TOT(𝐫) v(𝐫) 
Parseval teoreminden, enerjinin Fourier uzayındaki toplamı
E_ℓr = 
∫d𝐤/(2π)^3 ρ̃_TOT^*(𝐤) Ṽ(𝐤) = 
∫d𝐤/(2π)^3 L̃^*(𝐤) | ρ̃_uc(𝐤)|^2 Φ̃(𝐤) = 
1/Ω ∑_m_1, m_2, m_3 | ρ̃_uc(𝐤)|^2 Φ̃(𝐤)
Burada 𝐤 = m_1 𝐛_1 + m_2 𝐛_2 + m_3 𝐛_3 son toplamdır.
En önemli sonuç budur. ρ̃_uc(𝐤) hesaplandığı zaman, 𝐤 üzerinden toplam/integral bariz olup hızlı bir şekilde yakınsar. Olası bir ıraksaklığın en genel sebebi birim hücrenin iyi tanımlı olmamasından kaynaklanır.


## Parçacık ağ Ewald yöntemi.
Ewald toplamı bilgisayar kullanımının gelişmesinden çok önce teorik fizik aracı olarak geliştirildi. Öte yandan Ewald yönteminin parçacık sistmlerindeki en yaygın kullanımı 1970 yıllarına denk gelir. Uygulama alanları arasında plazma fiziği, galaksiler ve moleküller sayılabilir.
Normal Ewald toplamındaki gibi karakteristik etkilişm potansiyeli iki terime ayrılır
φ(𝐫) def= φ_sr(𝐫) + φ_ℓr(𝐫) - kısa mesafe terimi φ_sr(𝐫) uzun mesafe terimi φ_ℓr(𝐫) . Bu yöntemin temel mantığı etkileşim enerjilerini parçacıklar arasındakilerle değiştirmesidir
E_TOT = ∑_i,j φ(𝐫_j - 𝐫_i) = E_sr + E_ℓr
iki toplamla, gerçek uzaydaki potansiyellerin doğrudan toplamı E_sr
E_sr = ∑_i,j φ_sr(𝐫_j - 𝐫_i)
Ve Fourier uzayındaki uzun mesafe teriminin toplamı
E_ℓr = ∑_𝐤 Φ̃_ℓr(𝐤) | ρ̃(𝐤) |^2
burada Φ̃_ℓr ve ρ̃(𝐤) potansiyel ve yük yoğunluğunun Fourier dönüşümlerini temsil etmektedir. İki toplamda kendi uzaylarında hızlı bir şekilde yakınsadıklarından hesaplamada vakit kazanmak adına baştaki sonlu sayıdaki terimi alınabilir. Yük yoğunluğu alanının Fourier dönüşümünü hesaplamak için Hızlı Fourier transformu kullanılabilir. Bunun yapılabilmesi iin yoğunluk alanının kesikli bir uzayda tanımlanması gerekir.
Ewald toplamındaki periyodiklik varsayımından dolayı bu yöntemin uygulanabildiği fiziksel sistemlerde bu periyodik özellikle sınırlıdır. Böylece bu yöntem uzaysal dağılımı sonsuza kadar uzandığı varsayılabilecek periyodik sistemlerde en iyi çalışır. Molekül dinamiği simülasyonlarında bu şart sonsuz kere görüntü oluşturabilecek yüksüz birim hücrelerin oluşturulmasıyla sağlanabilir. Düzeltmelerle beraber toplam etkiye periyodik sınır koşulları denir. Bu durum en iyi şu şekilde düşünülebilir. Bir birim küp alalım. Öyle ki karşılıklı yüzeyler birbirleri ile etkili bir biçimde temas halinde olsun. Kübün boyutları öyle seçilmelidir ki küp karşılıklı yüzeylerde oluşabilecek istenmeyen bağıntıları engelleyecek kadar geniş ve hesaplamaya uygun olacak kadar küçük olsun.
Bir yoğunluk alanının ağa sınırlandırılması yoğunluğu sürekli değişen sistemler için bu yöntemi daha kullanışlı hale getirir. Bu durumu sağlamayan sistemler Greengard ve Rokhlin yöntemiyle daha etkili çözümlenebilir.


## Dipol terimi.
Polar kristalin elektrostatik enerji terimi şartlı yakınsak tır, diğer bir deyişle toplamın derecesine bağlıdır. Örneğin eğer birim hücrenin sürekli artan bir kübün üzerindeki diğer birim hücrelerle arasındaki dipol-dipol etkileşimleri
Küresel hesaba göre farklı bir değere yakınsar. Kabaca söylemek gerekirse bu şartlı yakınsaklık başlıca üç sebepten kaynaklanır: (1) R yarıçaplı bir küre kabuğu içerisindeki etkileşen dipol sayısı R^2 ile artar, (2) bir dipol-dipol etkileşimi 1/R^3 ile azalır ve (3) ∑_n=1^∞ 1/n ıraksaktır.
Bu şarşırtıcı sonuç gerçek kristallerin sonlu enerjisi ile ilgilidir çünkü bu kristaller sonsuz değildir ve belirli bir sınırları vardır. Daha basitçe söylemek gerekirse kutupsal bir kristalin sınırları yüzeyde etkin bir σ= 𝐏 ·𝐧 yük dağılımına sahiptir. Burada 𝐧 yüzey normal vektörüdür ve 𝐏 polarizasyona karşılık gelir. Merkezi birim hücredeki dipolün yüzeysel yük yoğunluğu ile earasındaki etkileşim enerjisi etkileşim enerjisi U
U = 1/2V_uc ∫( 𝐩_uc·𝐫 ) 
( 𝐩_uc ·𝐧 )dS/r^3
where 𝐩_uc and V_uc are the net dipole moment and volume of the unit cell, dS is an infinitesimal area on the crystal surface and 𝐫
is the vector from the central unit cell to the infinitesimal area. This formula results from integrating the energy dU = -𝐩_uc ·𝐝𝐄 where d𝐄 represents the infinitesimal electric field generated by an infinitesimal surface charge dq def= σdS (Coulomb yasası)
burada 𝐩_uc ve V_uc sırasıyla net dipol momentine ve birim hücrenin hacmine, dS cristal yüzeyindeki sonsuz küçük alana ve 𝐫 merkezi birim hücrenin alan vektörüne karşılık gelmektedir. Bu formül dq def= σdS tarafından kaynaklanan dU = -𝐩_uc ·𝐝𝐄 enerjisinin integrasyonundan gelir.
d𝐄 def= 
( -1/4πϵ ) dq 𝐫/r^3 = 
( -1/4πϵ ) 
σ dS 𝐫 /r^3
Eksi işareti 𝐫 nin tanımından gelir.


## Tarihçe.
Ewald toplamı 1921'de Paul Peter Ewald tarafından iyonik kristallerin elektrostatik enerjisini hesaplamak için geliştirilmiştir.


## Ölçeklendirme.
Genel olarak farklı Ewald toplamı teklikleri farklı zaman karışıklıkları verir. Doğrudan hesaplama O(N^2) değerini verir. Burada N sistemdeki atom sayısıdır. PME yöntemi O(N logN) verir.