# De Gua teoremi
Adını Fransız matematikçi Jean Paul de Gua de Malves'den alan De Gua teoremi, Pisagor teoreminin üç boyutlu bir analojisidir.


## Açıklama.
Bir dört yüzlünün dik açılı bir köşesi varsa (bir küpün köşesi gibi), o zaman dik köşenin karşısındaki yüzün alanının karesi, diğer üç yüzün alanlarının karelerinin toplamına eşittir.
 A_ABC^2 = A_ ABO^2+A_ ACO^2+A_ BCO^2 


## Genellemeler.
Pisagor teoremi ve de Gua teoremi dik köşe açılı "n-"simpleks ("n" = 2, 3) hakkındaki genel bir teoremin özel durumlardır. Bu da Donald R. Conant ve William A. Beyer'in daha genel bir teoreminin özel bir durumudur ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
"U", ℝ^n'nin (k ≤n olmak üzere) "k"-boyutlu afin alt uzayının ölçülebilir bir alt kümesi olsun. Tam olarak "k" elemanlı herhangi bir I ⊆{ 1, …, n } alt kümesi için, U_I "U'nun" e_i_1, …, e_i_k doğrusal açıklığı üzerine ortogonal izdüşümü olsun, burada I = {i_1, …, i_k} ve e_1, …, e_n ℝ^niçin standart taban (doğal taban)dır. Sonra,
 _k^2(U) = ∑_I _k^2(U_I),
burada _k(U) "U'nun" "k"-boyutlu hacmi ve toplam "k" elementli tüm I ⊆{ 1, …, n } alt kümeler üzerindedir.
De Gua'nın teoremi ve dik köşe açılı n-simpliklere genellemesi (yukarıda), "k" = "n"-1 ve "U"’nun koordinat eksenlerinde köşeleri olan ℝ^n'de bir (n−1)-simpleks olduğu özel duruma karşılık gelir. Örneğin, "n" = 3, "k" = 2 ve "U" ℝ^3içinde "A", "B" ve "C" köşeleri sırasıyla x_1, x_2 ve x_3 eksenlerinde yer alan ABC üçgenidir. { 1, 2, 3 }'ün tam olarak 2 elemanlı alt kümeleri I, { 2,3 }, { 1,3 } ve { 1,2 }'dir. Tanım olarak, U_{ 2,3 } U = ABC'nin x_2 x_3-düzleminde ortogonal izdüşümüdür, yani U_{ 2,3 } köşeleri "O", "B" ve "C" olan OBC üçgenidir, burada "O 'ℝ^3"'ün orjinidir. Benzer şekilde, U_{ 1,3 } = AOC ve U_{ 1,2 } = ABO olup, Conant-Beyer teoremi aşağıdaki gibi ifade edilir;
 _2^2(ABC) = _2^2(OBC) + 
_2^2(AOC) + _2^2(ABO),
bu ise de Gua teoremidir.
De Gua teoreminin dik köşe açılı "n-"simplekslere genelleştirilmesi de Cayley-Menger determinat formülünün özel bir durumu olarak elde edilebilir.


## Tarihçe.
Jean Paul de Gua de Malves (1713-1785), bu teoremi 1783'te yayınladı, ancak aynı zamanda teoremin biraz daha genel bir versiyonu başka bir Fransız matematikçi Charles de Tinseau d'Amondans (1746-1818) tarafından da yayınlandı. Ancak teorem, Johann Faulhaber (1580-1635) ve René Descartes (1596-1650) tarafından çok daha önce biliniyordu.


## Teoremin İspatı.
### İspat 1.
Bir köşesi dik açılı olan bir dört yüzlü verilsin. Dik açılı köşeye dokunan üç yüzün alanları A_1, A_2, A_3 ve dik açılı köşenin karşısındaki "hipotenüs yüzü" alanı H şeklinde etiketlensin, De Gua teoremi aşağıdaki eşitliği ifade etmektedir:
H^2 = (A_1)^2 + (A_2)^2 + (A_3)^2.
Bu ispatta Heron formülünü kullanacağız. Heron formülü, bir üçgenin alanını kenar uzunlukları cinsinden verir. Kenarları a, b, c ve yarı çevresi s = 1/2 (a + b + c) olan bir üçgenin alanı aşağıdaki şekilde bulunur:
A = √(s(s - a)(s - b)(s - c)).
De Gua teoremi bağlamında, dört yüzlünün altı bacağı, l_1, l_2, l_3 ve h_1, h_2, h_3 şeklinde etiketlensin. Burada l_i, dik açılı köşeden çıkan bacaklar ve h_i ise hipotenüs yüzünün üç kenarıdır.
Dik açılı köşeye temas eden üç yüzün alanları sırasıyla;
A_3 = 1/2 l_1·l_2, A_1 = 1/2 l_2·l_3, A_2 = 1/2 l_3 ·l_1.'dir.
Heron formülünü kullanarak hipotenüs yüzünün alanı aşağıdaki şekilde hesaplanır:
H = 1/4 √((h_1 + h_2 + h_3)(h_1 + h_2 - h_3)(h_2 + h_3 - h_1)(h_3 + h_1 - h_2)).
Bunu bazı cebirsel işlemlerle aşağıdaki şekilde genişletebiliriz.
H^2 = 1/16 ( 2 h_1^2 h_3^2 + 2 h_2^2 h_3^2 + 2 h_1^2 h_2^2 - h_1^4 - h_2^4 - h_3^4 ).
Şimdi, Pisagor teoremini kullanarak elde edebileceğimiz uzunluklar,
h_1^2 = l_2^2 + l_3^2, h_2^2 = l_1^2 + l_3^2, h_3^2 = l_1^2 + l_2^2 olarak hesaplanır.
Ve böylece terimleri yerine koyup sadeleştirerek aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:
H^2 = 1/4 ( l_1^2 l_2^2 + l_3^2 l_2^2 + l_1^2 l_3^2)
ve teorem kanıtlanmış olur.


### İspat 2.
OA, OB, OC kenarlarının ilgili uzunlukları a, b, c olsun.
Dört yüzlü tarafından kesilen şeklin iç hacmi, abc abc/6 = c c/3 A_ ABO = b b/3A_ ACO = a a/3 A_ BCO aynı zamanda h, ABC yüzü ile ilişkili yüksekliği göstermek üzere h h/3 A_ABC'ye eşittir.
n = (bc)^2 OA + (ac)^2 OB + (ab)^2 OC vektörü gibi ABC düzlemine normaldir, bu yükseklik h= lt; OA| n gt;|| n|| ile gösterilir.
Dolayısıyla, hacimleri eşitleyerek: abc/6=1/3abc/√((bc)^2 + (ac)^2 + (ab)^2)A_ABC. Ve basitleştirerek 4A_ABC^2 = (ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2'ye yani istenen formüle ulaşılır.


## Konuyla ilgili yayınlar.
  - Proof of de Gua's theorem and of generalizations to arbitrary tetrahedra and to pyramids.
  - Application of de Gua's theorem for proving a special case of Heron's formula.
  - Rasul A. Khan, (2013), "The cosine rule in three dimensions and de Gua's theorem", The Mathematical Gazette, Volume 97, Issue 539, ss. 281-284, https://doi.org/10.1017/S0025557200005945, 
  - Charles Frohman, (2010), "The Full Pythagorean Theorem", s. 3, Makale 
  - Magdalini Kokkaliari, (2013), "The Pythagoras' Theorem: Is the Methuselah theorem still alive?", Makale