# Rolle teoremi
 - YÖNLENDİRME 
Kalkülüste, Rolle teoremi veya Rolle önsavı temel olarak, iki farklı noktada eşit değerlere sahip gerçel değerli herhangi bir türevlenebilir fonksiyona bu iki noktanın aralarındaki noktalarda çizilen teğet doğrulardan eğiminin en az birinin sıfır olduğu. Böyle bir nokta, durağan nokta olarak bilinir. Bu nokta, fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu noktadır ve aynı zamanda "kritik nokta" olarak da bilinir. Teorem adını Michel Rolle'den almıştır.


## Teoremin standart hâli.
Eğer gerçel değerli bir f fonksiyonu, #YÖNLENDİRME kapalı aralığında sürekli, #YÖNLENDİRME açık aralığında türevlenebilir ve #YÖNLENDİRME ise, #YÖNLENDİRME açık aralığında f'(c) = 0 sağlayan bir c vardır.
Rolle teoreminin bu hâli, ortalama değer teoremi'nin özel bir durumudur ve aynı zamanda ortalama değer teoremi kanıtlamak için kullanılır. Teorem, aynı zamanda Taylor teoreminin ispatı için de temel oluşturur.


## Tarihçe.
Teorem adını Michel Rolle'den alsa da, Rolle'ün 1691 tarihli ispatı yalnızca polinomları kapsıyordu. İspâtında, hayatının o döneminde yanlış olduğunu düşündüğü diferansiyel hesap yöntemlerini kullanmamıştır. Teorem ilk olarak 1823 yılında Cauchy tarafından ortalama değer teoreminin ispatının bir sonucu olarak ispatlanmıştır. "Rolle teoremi" adı ilk olarak 1834'te Alman Moritz Wilhelm Drobisch ve 1846'da İtalyan Giusto Bellavitis tarafından kullanılmıştır.


## Örnekler.
### Birinci örnek.
Bir #YÖNLENDİRME yarıçapı için
f(x)=√(r^2 - x^2), x ∈[-r, r].
fonksiyonu göz önüne alınısın.
Bu fonksiyonun grafiği, orijin merkezli üst yarım çemberdir. Bu fonksiyon #YÖNLENDİRME kapalı aralığında süreklidir ve #YÖNLENDİRME açık aralığında türevlenebilir, ancak #YÖNLENDİRME ve r uç noktalarında türevlenemez. #YÖNLENDİRME olduğundan, Rolle teoremi geçerlidir ve bu yüzden f türevinin sıfır olduğu bir nokta vardır. Gerçekten de, 
f'(x)=-x/√(r^2-x^2)
olur ve f'(0)=0 sağlanır.
Teorem, fonksiyon uç noktalarda türevlenemediğinde bile geçerlidir çünkü sadece fonksiyonun açık aralıkta türevlenebilir olmasını gerektirir.


### İkinci örnek.
Eğer türevlenebilirlik aralığın bir iç noktasında yoksa, Rolle teoreminin sonucu geçerli olmayabilir.
f(x) = |x|, x ∈[-1, 1].
mutlak değer fonksiyonu ele alınsın.
O zaman #YÖNLENDİRME , ancak -1 ile 1 arasında #YÖNLENDİRME nin sıfır olduğu bir c yoktur. Bunun nedeni, bu fonksiyonun sürekli olmasına rağmen #YÖNLENDİRME 'da türevlenebilir olmamasıdır. f'nin türevi #YÖNLENDİRME 'da işaret değiştirir, ancak 0 değerine ulaşmaz. Teorem bu fonksiyona uygulanamaz çünkü fonksiyonun açık aralıktaki her x için türevlenebilir olması gerektiği koşulunu sağlamaz. Bununla birlikte, Rolle teoreminden türevlenebilirlik şartı çıkarıldığında, f yine de #YÖNLENDİRME açık aralığında bir kritik noktaya sahip olacaktır. Elbette, bu durumda fonksiyon ya açık aralıktaki her noktada türevli olacaktır ya da bu açık aralıktaki en az bir noktada türevli olmayacaktır. Her iki durumda da, bir noktada türevin sıfır olması ya da türevin tanımsız olmasıyla, kritik noktanın varlığı elde edilmiş olur.


## Genelleştirme.
İkinci örnek, Rolle teoreminin aşağıdaki genellemesini göstermektedir:
Kapalı bir #YÖNLENDİRME aralığında #YÖNLENDİRME olan gerçel değerli, sürekli bir f fonksiyonu olsun. Bu durumda, #YÖNLENDİRME açık aralığındaki her x için sağdan limit,
f'(x^+):=lim_h →0^+f(x+h)-f(x)/h
ve soldan limit,
f'(x^-):=lim_h →0^-f(x+h)-f(x)/h
ise genişletilmiş reel sayılarda, yâni, #YÖNLENDİRME 'de değer alacaktır. O zaman, #YÖNLENDİRME açık aralığında bir c sayısı için 
f'(c^+) ve f'(c^-)
limitlerinden biri genişletilmiş gerçel sayılarda negatif olmazken #YÖNLENDİRME diğeri pozitif olmayacaktır #YÖNLENDİRME . Eğer sağdan ve soldan limitler her x için birbirine eşitse, o zaman en azından bir c noktasında birbirine eşittir. Dolayısıyla, f'nin c'de türevi vardır ve sıfıra eşittir.


### Açıklamalar.
  - Eğer f dışbükey veya içbükey ise, o zaman sağ ve sol türevler her iç noktada mevcuttur, dolayısıyla yukarıdaki limitler mevcuttur ve gerçel sayılardır.
  - Teoremin bu genelleştirilmiş versiyonu, tek taraflı türevler monoton olarak artan olduğunda konveksliği kanıtlamak için yeterlidir: f'(x^-) ≤f'(x^+) ≤f'(y^-), x lt  y.


## Genelleştirilmiş versiyonun ispatı.
Rolle teoreminin standart versiyonu ile genellemesinin ispatı çok benzer olduğundan, genellemeyi ispatlıyoruz.
İspatın ana fikri, eğer #YÖNLENDİRME ise, f a ile b arasında bir yerde, örneğin c'de bir maksimum veya bir minimum değerine ulaşmalı ve fonksiyon c'de artmaktan azalmaya (veya tam tersi) değişmelidir. Özellikle, eğer türev varsa, c'de sıfır olmalıdır.
Varsayım olarak, f fonksiyonu, #YÖNLENDİRME üzerinde süreklidir ve uç değer teoremi ile #YÖNLENDİRME içinde hem maksimumuna hem de minimumuna ulaşır. Bunların her ikisi de #YÖNLENDİRME 'nin uç noktalarında elde edilirse, f fonksiyonu #YÖNLENDİRME üzerinde sabittir ve bu nedenle f'nin türevi #YÖNLENDİRME 'nin her noktasında sıfırdır.
Bu durumda maksimumun #YÖNLENDİRME 'nin bir iç noktası olan c'de elde edildiğini varsayalım (minimum için argüman çok benzerdir, sadece #YÖNLENDİRME olarak düşünün). Yukarıdaki sağ ve sol limitleri ayrı ayrı inceleyeceğiz.
 - YÖNLENDİRME ,  YÖNLENDİRME içinde olacak şekilde, gerçel bir h için  YÖNLENDİRME değeri  YÖNLENDİRME değerinden küçük veya ona eşittir, çünkü varsayım dolayısıyla fonksiyon c'de maksimuma ulaşır. Bu nedenle, her  YÖNLENDİRME için,
f(c+h)-f(c)/h≤0
ve dolayısıyla
f'(c^+):=lim_h →0^+f(c+h)-f(c)/h≤0
olur. Burada, limit varsayım gereği eksi sonsuz da olabilir.
Benzer şekilde, her #YÖNLENDİRME için eşitsizlik tersine döner çünkü payda artık negatiftir. Böylece, 
f(c+h)-f(c)/h≥0
olur. Dolayısıyla,
f'(c^-):=lim_h →0^-f(c+h)-f(c)/h≥0
elde ederiz. Burada, limit yine varsayım gereği artı sonsuz da olabilir.
Son olarak, yukarıdaki sağ ve sol limitler aynı olduğunda (ve özellikle f türevlenebilir olduğunda), f'nin c'deki türevi sıfır olmalıdır.
(Alternatif olarak, Fermat durağan nokta teoremini doğrudan uygulayabiliriz).


## Daha yüksek mertebeli türevlere genelleme.
Rolle teoremini, f'nin eşit değerlere ve daha büyük mertebeden türevlenebilirliğe sahip olduğu daha fazla noktaya sahip olmasını varsayacak şekilde de genelleştirebiliriz. Özellikle, varsayalım ki
  - f fonksiyonu  YÖNLENDİRME kapalı aralığına  YÖNLENDİRME kez sürekli türevlenebilir ve  YÖNLENDİRME açık aralığında n'inci meretebeden türevi varsa
  - 1'den n'e kadar her k için  YÖNLENDİRME içinde  YÖNLENDİRME olacak şekilde  YÖNLENDİRME tarafından verilen n tane aralık varsa,
o zaman #YÖNLENDİRME içinde f'nin n'inci türevinin sıfır olduğu bir c noktası vardır.
f'nin n'inci türevine ilişkin gereklilikler, yukarıdaki genellemede olduğu gibi zayıflatılabilir ve f yerine f^(n - 1) ile yukarıda tanımlanan sağ ve sol limitler için karşılık gelen (daha zayıf olabilen) ifadeleri verir.
Teoremin özellikle bu hâli, yeterince türevlenebilir bir fonksiyonun n tane kökü varsa, f^(n - 1)'in sıfır değeri aldığı bir iç nokta olduğunu ifade eder.


### İspat.
İspat, matematiksel tümevarım yöntemini kullanır. #YÖNLENDİRME durumu basitçe Rolle teoreminin standart versiyonudur. #YÖNLENDİRME için, tümevarım hipotezi olarak genellemenin #YÖNLENDİRME için doğru olduğunu kabul edelim. Bunu n için kanıtlamak istiyoruz. f fonksiyonunun teoremin hipotezlerini karşıladığını varsayalım. Rolle teoreminin standart versiyonuna göre, 1 ile n arasındaki her k tam sayısı için, #YÖNLENDİRME açık aralığında #YÖNLENDİRME olacak şekilde bir ck vardır. Dolayısıyla, birinci türev, #YÖNLENDİRME adetteki kapalı #YÖNLENDİRME aralıklarındaki varsayımları karşılar. Tümevarım hipotezine göre, c vardır ki #YÖNLENDİRME 'nin #YÖNLENDİRME inci türevinin sıfır olduğu bir c sayısı vardır.


## Diğer sayı cisimlerine genellemeler.
Rolle teoremi, bir sıralı cisim olan reel sayılar üzerinde türevlenebilir fonksiyonların bir özelliğidir. Bu nedenle, diğer cisimler için genelleştirilemez. Ancak teoremin aşağıdaki sonucu genelleştirilebilir: 
Gerçel katsayılı bir polinomun bütün kökleri gerçel sayı ise, o zaman da türevinin kökleri de gerçeldir. Bir cismin bu özelliğine, Rolle özelliği denebilir. Daha genel cisimler her zaman türevlenebilir fonksiyonlara sahip değildir, ancak her zaman sembolik olarak türevlenebilen polinomlara sahiptirler. Benzer şekilde, daha genel cisimler bir mertebeye sahip olmayabilir, ancak bir cisimde yer alan bir polinomun kökü kavramı vardır.
Rolle teoremi, bu yüzden, gerçel sayıların Rolle özelliğine sahip olduğunu gösterir. Karmaşık sayılar gibi cebirsel olarak kapalı herhangi bir cisim Rolle özelliğine sahiptir. Ancak, rasyonel sayılar Rolle özelliğine sahip değildir. Örneğin, #YÖNLENDİRME rasyonel sayılar üzerinde çarpanlara ayrılır, ancak türevi,
3x^2-1 = 3 (x - 1√(3) ) (x + 1√(3) ),
çarpanlara ayrılamaz. Hangi cisimlerin Rolle özelliğini karşıladığı sorusu 'de ortaya atılmıştır. Sonlu cisimler için cevap, sadece #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME 'ün Rolle özelliğine sahip olduğudur.
Karmaşık bir versiyon için Voorhoeve indeksine bakınız.


## Konuyla ilgili okumalar.
 -