# Fourier serisi
Matematikte, Fourier serileri bir periyodik fonksiyonu basit dalgalı fonksiyonların (sinüs ve kosinüs) toplamına çevirir.
Fourier serileri, Joseph Fourier (1768-1830) tarafından bir metal çubuk veya levhadaki ısı denklemlerinin çözümü için kullanılmıştır. Fourier'in bu çalışmasından evvel, parçalı diferansiyel denklemlerle ifade edilen ısı denklemlerine genel bir çözüm yoktu. Her ne kadar parçalı yaklaşımlar olsa da yeterli değildi çünkü bu yaklaşımlar ısı dağılımının basit denklemlere göre dağıldığını varsayaraktan probleme yaklaşıyordu. (Mesela: Eğer ısı kaynağı bir sinüs veya kosinüs denklemiyse...) Bu temel/basit çözümler eigençözüm olarak adlandırılıyorlardı. Fourier'in düşüncesi basit denklemleri (sin ve cos) katsayılarla üst üste ekleyerek karmaşık ısı kaynağı kombinasyonları oluşturmaktı.
Fourier serileri ilk olarak ısı problemlerinin çözümü amacıyla kullanılmış olsa da bugün elektrik mühendisliğinde, titreşim analizinde, akustiklerde, sinyal işlemesinde, resim işlemesinde, kuantum mekaniğinde ve ekonomi hesaplamaları gibi birçok alanda kullanılmaktadır.
Konu hakkında ilk araştırmalar Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert ve Daniel Bernoulli tarafından yapılmıştır. Fourier bu araştırma ve sonuçlarını ısı sorularına uygulamıştır ve ilk sonuçları "Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides "adıyla 1807'de ve "Théorie analytique de la chaleur" adıyla 1822'de yayınlamıştır.
Dirichlet ve Riemann'ın katkılarıyla modern haline kavuşan Fourier Serileri, trigonometrik serilerde yaptığı önemli buluşlar sebebiyle Joseph Fourier (1768-1830) onuruna Fourier Serileri şeklinde adlandırılmıştır.


## Tanım.
"ƒ"("x") fonksiyonu, 2π periyodlu, gerçek değerli x'in fonksiyonudur. 
Bir başka deyişle tüm x değerleri için: "ƒ"("x" + 2"π") = "ƒ"("x").


### Fourier'in periyodu 2π olan sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını kullanarak yazılan formülü.
s_N(x) = A_0/2 + ∑_n=1^N A_n·sin(2πnxP+ϕ_n), N ≥ 1.
s_N(x)   P . periyodu ile bir periyodik fonksiyondur. Denkliğin kullanımı:
sin(2πnxP+ϕ_n) ≡sin(ϕ_n) cos(2πnxP) + cos(ϕ_n) sin(2πnxP)
sin(2πnxP+ϕ_n) ≡Re{1/i·e^i (2πnxP+ϕ_n)} = 1/2i·e^i (2πnxP+ϕ_n) +(1/2i·e^i (2πnxP+ϕ_n))^*,
biz de bu eşdeğer formlarda fonksiyon yazabiliriz:
burada:
c_n def= 
A_n/2i e^iϕ_n = 1/2(a_n - i b_n) amp; for n gt; 0 
1/2a_0 amp; for n = 0
c_^* amp; for n lt; 0.
Eğer katsayılar (Fourier katsayıları olarak bilinir) aşağıdaki gibi hesaplanırsa:
2"π" ile periyodik olan ve [−"π", "π"] aralığında integrali alınabilen "ƒ"("x") fonksiyonu için,
a_n = 1/π∫_-π^πf(x) cos(nx) dx, n ≥0
ve
b_n = 1/π∫_-π^πf(x) sin(nx) dx, n ≥1
elemanları "ƒ"'in Fourier katsayıları olarak adlandırılır.
Böylece "Fourier seri'nin" "ƒ" için parçalı toplamı aşağıdaki gibi ifade edilir:
(S_N f)(x) = a_0/2 + ∑_n=1^N [a_n cos(nx) + b_n sin(nx)], N ≥0.
"ƒ" parçalı toplamları trigonometrik polinomlardır. Sonuç olarak "N" sonsuza yaklaştıkça "S""N" "ƒ", "ƒ" 'in gerçek değerine yaklaşır.
a_0/2 + ∑_n=1^∞ [a_n cos(nx) + b_n sin(nx)]
sonsuz toplamı "ƒ' 'in Fourier serisidir.
Fourier serileri her zaman uzaksak değildir. Hatta uzaksak olduğunda bile bazen "x"'in bazı "x"0 değerlerinde serinin toplamı orijinal fonksiyon değerinden farklı sonuç verebilir. Burada akla önemli bir soru gelmektedir: Hangi kurala göre harmonik analizde seri şekline getirip getiremeyeceğimize karar vereceğiz? Eğer fonksiyonun [−"π", "π"] aralığında integrali alınabiliyor ve değer sonsuzdan başka bir şey çıkıyorsa ve bu, tüm noktalarda oluyorsa Fourier serisi geçerlidir ve bulunabilir. Mühendislik uygulamalarında genelde fonksiyonda devamsızlık noktası olmadığı müddetçe fonksiyonun uzaksadığı varsayılır. Çünkü, mühendislikte karşılaşılan fonksiyonlar genelde matematikçilerin önerebileceği karşı-örneklere uzaktır ve daha iyi davranışlı fonksiyonlardır. Genel anlamda, Fourier serisi, "ƒ"("x") in türevinin karesinin (ki her yerde türevi olmayabilir) integrali alınabiliyorsa, "kesinlikle uzaksak"sar.
Fourier katsayılarını daha genel fonksiyon ve dağılımlar için de kullanmak mümkündür. Ancak böyle durumlarda uzaksama veya zayıf uzaksama daha çok ilgi merkezidir.


### Örnek: basit bir Fourier serisi.
Şimdi çok basit bir denklemin Fourier açılımının denklemini görelim. Bir "testere-dişi" dalgası düşünün:
f(x) = x, for -π lt; x lt; π, 
f(x + 2π) = f(x), for -∞ lt; x lt; ∞.
Bu durumda, Fourier katsayıları,
 a_n amp; = 1/π∫_-π^πx cos(nx) dx = 0, n ≥ 0. 
 b_n amp;= 1/π∫_-π^π x sin(nx) dx = -2/ncos(nπ) + 2/n^2πsin(nπ) = 2 (-1)^n+1/n, n ≥ 1.
 gibidir.
Şu kesindir ki bu Fourier serisinin "ƒ" in türevinin alınabildiği tüm "x" değerlerinde, toplamı orijinal "ƒ"("x") fonksiyonuna yaklaşır ve sonunda ona eşit olur. Bundan dolayı:
 f(x) amp;= a_0/2 + ∑_n=1^∞[a_ncos(nx)+b_nsin(nx)] 
 amp;=2∑_n=1^∞(-1)^n+1/nsin(nx), for x - π∉ 2 π𝐙.
"x" = π olduğunda, Fourier serisi 0 a eşit olur ki bu "ƒ" in "x" = π deki sağdan ve soldan limitlerinin toplamının yarısına eşittir. Bu Fourier Serisi için Dirichlet teoreminde önemli bir noktadır.
Bakıyoruz ki Fourier serimizin açılımı "ƒ"("x") = "x" fonksiyonundan sadece azıcık daha karmaşıktır ve böyle bir serinin niçin kullanılabileceği de açıkçası hemencecik anlaşılacak bir şey değildir. Birçok uygulama alanı olmasıyla beraber biz Fourier serilerinin ısı denklemlerinin çözümündeki rolüne odaklanacağız. Örneğin, kenarları "π" uzunluğunda olan kare biçimindeki bir metal düşünün ve koordinatları ("x", "y") ∈ [0, "π"] × [0, "π"] olsun. Diyelim ki karenin 3 tarafı 0° derecede olsun ve "y" = π kenarı üzerinde sıcaklık denklemimiz "T"("x", "π") = "x" olsun, ardından sabit/dengeye ulaşmış ısı dağılımının,
 T(x,y) = 2∑_n=1^∞(-1)^n+1/n sin(nx) sinh(ny) sinh(nπ). denklemindeki gibi olduğunu görürüz.
Burada, sinh hiperbolik sinüs fonksiyonudur. 
Bu ısı denkleminin çözümü iki tarafın da sinh(ny) sinh(nπ) ile  Eq.1 çarpılmasıyla bulundu. Böyle bir denklemdeki Fourier serimiz her ne kadar basit de olsa ısı dağılımızın denklemi "T"("x", "y") kesinlikle havadan, basit bir denklem değildir. Burada "T" kapalı formlu bir ifade şeklinde yazılamaz. Isı problemlerinin bu şekilde çözülebilmesi ancak Fourier'in çalışmasıyla mümkün olabilmiştir.
Fourier serilerinin bir diğer kullanım alanı da Parseval teoremi'yle Basel problem'lerinin çözümüdür. Örnek genelleşir ve ζ(2"n") denklemini, "n"'in tüm pozitif tam sayı değerleri için çözmemiz gerekir.


### Üstel Fourier serileri.
Euler formülü'nü kullanarak,
 e^inx = cos(nx)+isin(nx), 
Burada "i" kompleks sayıdır ve daha genel olan şu denklemi verir:
f(x) = ∑_n=-∞^∞ c_n e^inx.
Fourier katsayıları da aşağıdaki gibidir:
c_n = 1/2π∫_-π^π f(x) e^-inx dx.
"a""n", "b""n", "c""n"
katsayıları da,
a_n = c_n + c_-n for n=0,1,2,…, 
ve
b_n = i( c_n - c_-n ) for n=1,2,… 
gibi bağlantılıdır.
"c""n" inin gösterimi birkaç Fourier fonksiyonun katsayılarını belirlemek için yetersizdir. Bundan dolayı isteğe göre "ƒ" in değişmiş bir hali olan(bizim örneğimizde) "F" veya
f̂, 
ile değiştirilir. Aynı zamanda fonksiyonel gösterim genelde yerine koyma yöntemiyle yapılır.
Böylece:
 f(x) amp;= ∑_n=-∞^∞f̂(n)· e^inx
 amp;= ∑_n=-∞^∞ F[n]· e^inx .
Mühendislikte, "x" zamanı ifade ettiğinde katsayı dizisi Frekans domain gösterimi olarak adlandırılır. Fonksiyondaki kare parantezler fonksiyonun discrete(devamsız) frekans seti olduğunu ifade eder.


### Genel Bir ["a", "b"] aralığında Fourier Serileri.
Aşağıdaki formül, uygun komplex değerli, "G"["n"] fonksiyonu
g(x)=∑_n=-∞^∞G[n]·e^i 2πn/τ x .
için, bütün R: da "τ" ile periyodik bir fonksiyondur.
Eğer fonksiyonumuzun karesinin integrali ["a", "a" + "τ"] aralığında alınabiliyorsa bu aralıkta, fonksiyonumuz yukarıdaki formülle ifade edilebilir. Eğer "g"("x") in integrali alınabiliyorsa Fourier katsayıları,
G[n] = 1/τ∫_a^a+τ g(x)·e^-i 2πn/τ x dx.
şeklinde olur.
Dikkat etmeniz gereken şu ki: ifade edilen fonksiyon "τ" ile periyodiktir. Böylece "a" rastgele b, r sayıdır ve en popüler değerler "a" = 0 ve "a" = −"τ"/2 dir.
Sıklıkla kullanılan bir diğer frekans domain gösterimi de Fourier serisi katsayılarını Dirac comb fonksiyonunu modüle etmek için kullanılır:
G(f) def= ∑_n=-∞^∞ G[n]·δ(f-n/τ)
"ƒ" değişkeni sürekli bir frekans domain'i ifade eder. "x" değişkeni
"x" değişkeni saniye cinsinden olduğu yerlerde "ƒ" hertz cinsindendir. Testere dişi dalgasının "dişleri" 1/"τ'nin tam katlarındadır ki bunlar "temel frekans"ın "harmonik"leri olarak adlandırılırlar. Orijinal "g"("x") fonksiyonu seri tanım fonksiyonunun ters Fourier dönüşümüyle elde edilebilir:
 ℱ^-1{G(f)} amp;=
 amp;= ∑_n=-∞^∞ G[n]·ℱ^-1{δ(f-n/τ)}_e^i2πn/τ x·ℱ^-1{δ (f)}_1 
 amp;= ∑_n=-∞^∞ G[n]· e^i2πn/τ x = g(x).
Periyodik bir fonksiyonun Fourier integrali yakınsak olmasa da,"G"("ƒ") fonksiyonu yaygın olarak Fourier dönüşümü olarak anılır.


### Bir kare dalga üzerinde Fourier serisi.
Aynı zamanda [−"π", "π"]×[−"π", "π"] aralığında Fourier serilerini iki ("x" ve "y") değişkenli bir fonksiyon içinde tanımlayabiliriz :
f(x,y) = ∑_j,k ∈ℤ (SAYMA SAYILARI) c_j,ke^ijxe^iky,
c_j,k = 1 4 π^2 ∫_-π^π ∫_-π^π f(x,y) e^-ijxe^-iky dx dy.
Isı denklemleri gibi parçalı diferansiyel denklemlerin çözümü için kullanılmasının dışında, Fourier serilerinin bir diğer dikkate değer uygulaması da görüntü sıkıştırma alanındadır. Bilhassa, jpeg görüntü sıkıştırma standartları kosinüs temel fonksiyonlarını kullanan bir Fourier dönüşümü olan iki boyutlu ayrık kosinüs dönüşümünü kullanır.
  - 29 Aralık 2009 tarihli İngilizce vikipedideki Fourier Series makalesinden çevrilmiştir.


## Başlangıçlar.
### Devrim niteliğindeki makale.
Bu modern yaklaşıma oldukça yakın olan birkaç satırda Fourier'in yaptığı bu denklemler fizik ve matematikte devrim niteliğinde etki bırakmıştır. Her ne kadar burada kullanılan trigonometrik denklem ve seriler daha önceleri Euler, d'Alembert, Daniel Bernoulli ve Gauss tarafından kullanılmış olsa da Fourier bu denklemlerin sıradan, karmaşık dalga çeşitlerinin de bu serilerle gösterilebileceğini gösterir.
Bu teorinin kullanımı daha önceleri epey karmaşık olan uzaksak seriler, fonksiyon uzayı ve harmonik analizinde önemli yenilik ve kolaylıklar getirmiştir.
Fourier bu çalışmasını 1807'de komiteye gösterdiğinde -ki komitede Lagrange, Laplace, Malus ve Legendre gibi önemli isimler vardı- ...yazarın bu denklemlere ulaşmadaki yolu karmaşıklıktan ve zorluktan tamamen uzak olup[...] onun analiz için sentezleri basitlik ve genellik bakımından şiddetli bir hayranlık uyandıracak seviyededir. diyerek yorumlarlar.


### Harmonik analizin doğuşu.
Fourier'in zamanından beri Fourier serilerinin konseplerini tanımlamak ve anlamak için birçok farklı yaklaşım keşfedildi. Bu keşiflerin her biri asıl teoriyi destekler ve konunun farklı noktalarına vurgu yapacak mahiyetteydi. Fourier bu orijinal çalışmayı yaparken henüz bilinmeyen, keşfedilmeyen birçok matematiksel işlevi olan denklemle daha sonraları çok güçlü ve seçkin yaklaşımlar keşfedildi. Fourier asıl makalesinde sadece gerçek değerli Sinüs ve kosinüs denklemlerini kullanmıştı.
Bunların en önemlisi kompleks değerli üstel fonksiyonlar dır ve eixko şeklinde ifade edilirler. Aynı zamanda komleks harmonikler olarak adlandırılır ve harmonik analizin temelidir.
Fourier serileriyle ilgili birçok transform da farklı yaklaşımlara ve fikirlere genişletilecek şekilde keşfedilmiş ve kullanılmıştır. Bunlardan en önemlileri Fourier dönüşümü ve Z-dönüşümüdür.


## Uzantılar.
### Bir kare üzerinde Fourier serisi.
kare [−π, π]×[−π, π] içinde "x" ve "y" iki değişkenin fonksiyonları için Fourier serisi tanımlanabilir:
f(x,y) = ∑_j,k ∈𝐙 (integers) c_j,ke^ijxe^iky,
c_j,k = 1 4 π^2 ∫_-π^π∫_-π^πf(x,y) e^-ijxe^-iky dx dy.
Isı denklemi gibi kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü için kullanışlı olduğu bir yana kare üzerinde Fourier serisinin tek kayda değer uygulaması imaj baskısı içindedir. Özel olarak, jpeg imaj baskı standardında iki-boyutlu ayrık cos dönüşümü kullanılır, burada bir Fourier transformu cos taban fonksiyonları kullanılıyor.


### Bravais-kafes-periodik-fonksiyonunun Fourier serisi.
Bravais kafesi formun vektörlerinin kümesi olarak tanımlanabilir:
𝐑 = n_1𝐚_1 + n_2𝐚_2 + n_3𝐚_3
Burada "ni" tam sayıdır ve a"i" üç doğrusal bağımsız vektörlerdir. Bazı fonksiyonlar varsayalım, "f"(r), böylece herhangi Bravais kafes vektör R: "f"(r) = "f"(r + R) için durum aşağıdakine uyar, bunun bir Fourier serisi yapılabilir. Fonksiyonun bu türü, örneğin, bu etkin potansiyel bir elektronu bir periyodik kristal içinde "hissedebilir". Bu potansiyelin bir Fourier serisi yapmak için yararlı ise Bloch teoremi uygulanıyor. Birincisi, kafesin koordinat-sistemi içinde herhangi keyfi vektör r yazabiliriz:
 𝐫 = x_1𝐚_1/a_1+ x_2𝐚_2/a_2+ x_3𝐚_3/a_3,
burada "a""i" = |a"i"|.
Böylece yeni bir fonksiyon tanımlayabiliriz,
 g(x_1,x_2,x_3) := f(𝐫) = f (x_1𝐚_1/a_1+x_2𝐚_2/a_2+x_3𝐚_3/a_3 ).
Bu yeni fonksiyon, g(x_1,x_2,x_3),şimdi üç-değişikliklerin bir fonksiyonudur, bunun her "a"1, "a"2 periyodisite var, "a"3 sırasıyla: g(x_1,x_2,x_3) = g(x_1+a_1,x_2,x_3) = g(x_1,x_2+a_2,x_3) = g(x_1,x_2,x_3+a_3).
"x"1 içinde [0, "a"1] aralığı üzerinde "g" için bir serisi yazılırsa, aşağıdakini tanımlayabilir:
h^one(m_1, x_2, x_3) := 1/a_1∫_0^a_1 g(x_1, x_2, x_3)·e^-i 2πm_1/a_1 x_1 dx_1
Ve o zaman:
g(x_1, x_2, x_3)=∑_m_1=-∞^∞h^one(m_1, x_2, x_3) ·e^i 2πm_1/a_1 x_1
yazabiliriz
Daha ileri tanım:
 h^two(m_1, m_2, x_3) amp; := 1/a_2∫_0^a_2 h^one(m_1, x_2, x_3)· e^-i 2πm_2/a_2 x_2 dx_2 
 amp; = 1/a_2∫_0^a_2 dx_2 1/a_1∫_0^a_1 dx_1 g(x_1, x_2, x_3)· e^-i 2π(m_1/a_1 x_1+m_2/a_2 x_2)
Biz bir kez daha "g" yazabilir:
g(x_1, x_2, x_3)=∑_m_1=-∞^∞∑_m_2=-∞^∞h^two(m_1, m_2, x_3) ·e^i 2πm_1/a_1 x_1 ·e^i 2πm_2/a_2 x_2
Nihayet üçüncü koordinat için aynısı uygulanarak tanımlanır:
 h^three(m_1, m_2, m_3) amp; := 1/a_3∫_0^a_3 h^two(m_1, m_2, x_3)· e^-i 2πm_3/a_3 x_3 dx_3 
 amp; = 1/a_3∫_0^a_3 dx_3 1/a_2∫_0^a_2 dx_2 1/a_1∫_0^a_1 dx_1 g(x_1, x_2, x_3)· e^-i 2π(m_1/a_1 x_1+m_2/a_2 x_2 + m_3/a_3 x_3)
"g" gibi yazarız:
g(x_1, x_2, x_3)=∑_m_1=-∞^∞∑_m_2=-∞^∞∑_m_3=-∞^∞h^three(m_1, m_2, m_3) ·e^i 2πm_1/a_1 x_1 ·e^i 2πm_2/a_2 x_2·e^i 2πm_3/a_3 x_3
Yeniden düzenlenmesi:
g(x_1, x_2, x_3)=∑_m_1, m_2, m_3 ∈ h^three(m_1, m_2, m_3) ·e^i 2π( m_1/a_1 x_1+ m_2/a_2 x_2 + m_3/a_3 x_3). 
Şimdi, her "karşıt" kafes vektör 𝐊 = l_1𝐠_1 + l_2𝐠_2 + l_3𝐠_3 olarak yazılabilir, burada "li" tam sayı ve g"i" karşıt kafes vektörlerdir, aslında 𝐠_𝐢 ·𝐚_𝐣=2πδ_ij 'yi herhangi K keyfi karşıt kafes vektör için hesaplamaya kullanabiliriz ve r,uzayı içinde keyfi vektör, burada skaler çarpım:
𝐊 ·𝐫 = ( l_1𝐠_1 + l_2𝐠_2 + l_3𝐠_3 ) ·(x_1𝐚_1/a_1+ x_2𝐚_2/a_2 +x_3𝐚_3/a_3 ) = 2π( x_1l_1/a_1+x_2l_2/a_2+x_3l_3/a_3 ).
Ve bu yüzden bizim genişletme, toplam karşılıklı kafes vektörleri üzerinde gerçek olduğu açıktır:
f(𝐫)=∑_𝐊 h(𝐊) ·e^i 𝐊 ·𝐫, 
burada
 h(𝐊) = 1/a_3∫_0^a_3 dx_3 1/a_2∫_0^a_2 dx_2 1/a_1∫_0^a_1 dx_1 f(x_1𝐚_1/a_1+x_2𝐚_2/a_2+x_3𝐚_3/a_3 )·e^-i 𝐊 ·𝐫. 
Varsayalım
𝐫 = (x,y,z) = x_1𝐚_1/a_1+x_2𝐚_2/a_2+x_3𝐚_3/a_3,
Orijinal kartezyen koordinat sistemi içinde hacim elementi hesabı için derece içinde "x"1, "x"2 ve "x"3'in terimleri içinde "x", "y" ve "z" için doğrusal üç denklemin bu sistemi çözülebilir. önce "x"1'in terimleri içinde "x", "y" ve "z" var, "x"2 ve "x"3,Jakobiyen determinant hesaplanabilir:
[ ∂x_1∂x amp; ∂x_1∂y amp; ∂x_1∂z; ∂x_2∂x amp; ∂x_2∂y amp; ∂x_2∂z; ∂x_3∂x amp; ∂x_3∂y amp; ∂x_3∂z ]
Bazı hesaplama ve olmayan bazı önemsiz çapraz çarpım kimliklerini uygulamadan sonra eşit olduğu gösterilmiştir edilebilir:
 a_1 a_2 a_3/𝐚_1·(𝐚_2 ×𝐚_3)
(Bu hesaplamalar bir kartezyen koordinat sistemi gibi içinde çalıştığı için basitleştirme uğruna avantajlı olabilir, o sadece çok olur ki bu a1 x eksenine paraleldir, tüm "x"-"y" düzlemi içinde yatan a2 ve a3 üç eksenin bileşenleri var). Paydadaki ilkel birim hücrenin hacmi tamdır bu a1, a2 ve a3 üç ilkel-vektörleri ile kapalıdır. Özellikle, şimdi şunu biliyoruz
dx_1 dx_2 dx_3 = a_1 a_2 a_3/𝐚_1·(𝐚_2 ×𝐚_3) ·dx dy dz. 
Biz ilkel hücrenin hacmi üzerinde geleneksel koordinat sisteminin hacmi üzerinde bir integral olarak şimdi "h"(K) yazabiliriz,"x"1, "x"2 ve "x"3 değişikliklerin yerine:
h(𝐊) = 1/𝐚_1·(𝐚_2 ×𝐚_3)∫_C d𝐫 f(𝐫)·e^-i 𝐊 ·𝐫 
Ve "C" ilkel birim hücredir, böylece, 𝐚_1·(𝐚_2 ×𝐚_3) ilkel birim hücrenin hacmidir.


## Özellikler.
### Riemannyen manifoldlar.
Domen bir grup değilse, o zaman hiçbir içsel tanımlanmış evrişim yoktur. "X" tıkız bir Riemann manifoldu ise o zaman Laplace-Beltrami işlemcisi bulunmaktadır. Laplace-Beltrami operatöre analoji baglantilar ile, bir X'te ısı denklemleri düşünebilirsiniz Sonra Riemann manifoldu X için Laplace operatörünün karşılık diferansiyel operatörü Fourier ısı denklemin, çözmeye çalışırken onun tabanından gelmesinden dolayı, doğal genellemeye esas olarak Laplace-Beltrami operatörü özçözümleri kullanılmaktır. Bu X bir Riemann manifoldu olup "L"2("X") tipinin uzayı için genelleniyor, mekânlar için Fourier serilerini yaygınlaştırıyor. Fourier serileri benzer şekillerde [−π, π] durumunda yakınsar. Tipik bir örnek olarak, Fourier taban küresel harmonikleri oluşur ki bu durumda, her zamanki gibi metrik ile küre biçiminde "X" almaktır.