# Wirtinger türevleri
Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde ve çok değişkenli karmaşık analizde Wirtinger operatörleri ya da Wirtinger türev operatörleri karmaşık düzlemdeki ya da karmaşık koordinat uzayındaki açık kümeler üzerinde tanımlı holomorf, tersholomorf ya da sadece türevli fonksiyonlara uygulanabilen birinci mertebeden kısmi türev operatörleridir. Bu operatörlerin bu çeşit fonksiyonlara uygulanması sonucu ortaya çıkan fonksiyonlara bu fonksiyonların Wirtinger türevleri adı verilir.
Wirtinger türevlerinin gerçel değişkenli fonksiyonların türevi için verilen tanım ve özellikleri karmaşık düzlemde veya ya da karmaşık koordinat uzayında tanımlı fonksiyonlara taşıyan bir doğası vardır. Operatörler ve türevler adını, bu kavramları 1927 yılında "Birkaç karmaşık değişkenli fonksiyonların formel teorisi üzerine" başlıklı makalesinde sistematik bir biçimde ilk defa ele alan Wilhelm Wirtinger'in adını taşımaktadır.


## Tarihçe.
### Erken dönem (1899–1911): Henri Poincaré'nin çalışmaları.
 - YÖNLENDİRME ve  YÖNLENDİRME 'de kısaca bahsedildiği gibi, Wirtinger türevlerinin karmaşık analizdeki kullanımı en azından 'a kadar gitmektedir. 1899'daki makalesinin üçüncü paragrafında, Henri Poincaré ilk önce ^ndeki karmaşık değişkeni ve bu değişkenin karmaşık eşleniğini şöyle tanımlıyor:
x_k+iy_k=z_k
x_k-iy_k=u_k
 1 ⩽k ⩽n.
Bu tanımdan sonra, daha önceden x_k, y_q (k, q=1⋯n) gerçel değişkenleri aracılığıyla yazılmış olan ve biharmonik ("biharmonique") dediği V fonksiyonlarını tanımlayan denklemleri, bu yeni değişkenlerde yazıyor
d^2 V/dz_k du_q=0
Belli ki, bu makale çok değişkenli karmaşık analizde çalışan araştırmacılar tarafından gözden kaçırılmış ya da dikkate alınmamış. Çünkü, #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME () ve #YÖNLENDİRME gibi erken dönem makalelerin hepsinde bütün temel kısmî türev operatörler gerçel değişkenler aracılığıyla yazılmış. Daha sonraları, ilk defa 1913'te baskısı yapılan ve 1966da tekrar baskısı yapılan 'da bile, karmaşık değişkenlere göre kısmî türevlere bile formel türev olarak bakılmaktadır. Bu bağlamda, çokluharmonik operatör ve Levi operatörleri için, Osgood'un, Amoroso, Levi ve Levi-Civita'nın yolunu takip etmektedir.


### Dimitrie Pompeiu'nun 1912 ve 1913'teki çalışmaları.
 - YÖNLENDİRME kaynağına göre kavramın tanımlanmasında yeni bir adım Dimitrie Pompeiu tarafından makalesinde atıldı. Bu makalede, bir z_0 ∈ noktası etrafında tanımlı ve karmaşık değerler alan bir g(z) fonksiyonu için "areolar" türevi şu şekilde tanımlanmıştır:
∂g/∂z̅(z_0)tan.=lim_r →01/2πi r^2 ∮_Γ(z_0,r) g(z)dz.
Burada, Γ(z_0,r)=∂D(z_0,r), yani z_0 merkezli ve r yarıçaplı bir diskin topolojik sınırıdır ve fonksiyonun tanımlı olduğu bölgenin içindedir. Bu tanım, karmaşık eşlenik değişkene göre Wirtinger türevinin alternatif bir tanımıdır. #YÖNLENDİRME tarafından belirtildiği gibi, limit z=z_0 noktasında aynı zamanda türevlenebilir olmayan fonksiyonlar için de mevcut olabileceğinden, daha genel bir tanımdır. #YÖNLENDİRME 'e göre, "areolar" türevini Sobolev anlamında zayıf bir türev olarak ilk tanımlayan Ilya Vekua'dır. Sonraki #YÖNLENDİRME makalesinde, Pompeiu, bu görece yeni tanımlanmış kavramı kullanarak Cauchy integral formülünün genellemesini elde eder. Elde edilen bu formül artık Cauchy-Pompeiu formülü olarak bilinmektedir.


### Wilhelm Wirtinger'in çalışması.
Wirtinger türevlerinin ilk sistematik sunumunun çok karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisinde ortaya çıkan niceliklerin hesaplanmasını basitleştirmek için Wilhelm Wirtinger'in makalesinde ortaya atıldığı anlaşılıyor: bu diferansiyel operatörlerin literatüre sokulması sonucunda, Levi operatörü ve Cauchy-Riemann operatörü gibi teoride yaygın olarak kullanılan tüm diferansiyel operatörlerin gösterimi önemli ölçüde basitleştirilmiş ve dolayısıyla kullanımı daha kolay hale gelmiştir. Makale, kasıtlı olarak biçimsel bir bakış açısıyla, yâni, çıkarılan özelliklerin kesin bir çıkarımı verilmeden yazılmıştır.


## Tanım.
### Tanımın altında yatan fikir.
Karmaşık düzlemdeki açık bir küme üzerinde tanımlı ve gerçel değişkenlere göre türevlerinin varlığı bilinen bir f fonksiyonunun (toplam) diferansiyelini
df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy
olarak yazalım. Eğer z = x + i y ve z̅ = x - i y alırsak, o zaman 
x = 1/2 (z + z̅) ve y = 1/2i (z - z̅) = /i2 (z̅ - z)
olacaktır. O hâlde, türev almanın doğrusallığıyla 
dx = 1/2(dz + dz̅) ve dy = /i2(dz̅ -dz) 
yazılabilir. Sonuç olarak, yukarıdaki (toplam) diferansiyel ifadesi tekrar düzenlenerek
df = 1/2(∂f/∂x-i∂f/∂y) dz + 1/2(∂f/∂x+i∂f/∂y) dz̅ 
yazılabilir. O zaman, 
∂f/∂z:= 1/2(∂f/∂x-i∂f/∂y) ve ∂f/∂z̅:= 1/2(∂f/∂x+i∂f/∂y).
tanımlanırsa,
df = ∂f/∂z dz + ∂f/∂z̅ dz̅
yazılabilir.


### Tanımın resmi ifadesi.
#### Karmaşık düzlemde tanım.
Karmaşık sayılar için z ∈ değişkenini, gerçel x ve y değişkenleri üzerinden z := x + iy olarak tanımlayalım. G ⊂^2de açık küme olsun ve f = u + i v G → ise gerçel değişkenlerde türevlenebilir bir fonksiyon olsun. O zaman, f fonksiyonunun kısmi türevleri vardır. Bu kısmi türevler
∂f/∂x = ∂u/∂x + i ∂v/∂x ve ∂f/∂y = ∂u/∂y + i ∂v/∂y
şeklinde yazılabilir. Bu hâlde, f fonksiyonunun Wirtinger türevleri
∂f/∂z:= 1/2(∂f/∂x-i∂f/∂y) ve ∂f/∂z̅:= 1/2(∂f/∂x+i∂f/∂y).
olarak tanımlanır. 
Wirtinger türevlerinin tanımını veren
∂/∂z:= 1/2(∂/∂x-i∂/∂y) ve ∂/∂z̅:= 1/2(∂/∂x+i∂/∂y)
kısmî diferansiyel operatörlerine Wirtinger türev operatörleri ya da sadece Wirtinger operatörleri denilir.
Wirtinger operatörlerinin tanım kümesi en doğal hâliyle türevlenebilir fonksiyonları içermektedir. Ancak, operatörler doğrusal oldukları ve sabit katsayılara sahip oldukları için, tanım kümeleri genelleştirilmiş fonksiyonların her türlü uzayına da genişletilebilir.


#### Karmaşık koordinat uzayında tanım.
Yukarıda verilen ve bir karmaşık değişkenli fonksiyonlar için tanımlanan Wirtinger operatörlerinin tanımı yüksek boyutta tanımlı ve karmaşık değerler alan fonksiyonlar için de verilebilir. 
alınırsa, karmaşık koordinat uzayındaki Wirtinger operatörleri her koordinatta ayrı ayrı tanımlanabilir:
∂/∂z_1 = 1/2 ( ∂/∂x_1- i ∂/∂y_1 ) 
∂/∂z_n = 1/2 ( ∂/∂x_n- i ∂/∂y_n ) 
∂/∂z̅_1 = 1/2 ( ∂/∂x_1+ i ∂/∂y_1 ) 
∂/∂z̅_n = 1/2 ( ∂/∂x_n+ i ∂/∂y_n ) 
Daha önce bahsedildiği üzere, yine operatörler doğrusal oldukları ve sabit katsayılara sahip oldukları için, tanım kümeleri genelleştirilmiş fonksiyonların her türlü uzayına da genişletilebilir.


## Karmaşık türevlenebilme ile ilişkisi.
Bir fonksiyon bir noktada karmaşık türevlenebilir ise, fonksiyonun Wirtinger türevi, Cauchy-Riemann denklemleri sayesinde fonksiyonun karmaşık türevine eşittir. Gerçekten de eğer bir f fonksiyonu karmaşık türevlenebilirse, o zaman Cauchy-Riemann denklemleri bu fonksiyon için şağlanır; yani, fonksiyonun karmaşık türevli olduğu açık küme üzerinde
∂u/∂x = ∂v/∂y ve ∂u/∂y = - ∂v/∂x eşitlikleri vardır.
Wirtinger türevinin tanımıyla başlayarak ve Cauchy-Riemann denklemleri kullanarak 
 ∂ f/∂ z amp;= 1/2( ∂ f/∂ x - i ∂ f/∂ y)
 amp;= 1/2( ∂ u/∂ x + i ∂ v/∂ x -i ∂ u/∂ y + ∂ v/∂ y)
 amp;= ∂ u/∂ z + i ∂ v/∂ z = d f/d z
elde edilir.
Wirtinger türevinin karmaşık eşlenik değişkendeki hâli de yine karmaşık türevlenebilmeyle alâkalıdır. ∂f/∂z̅ = 0 ifâdesi aslında Cauchy-Riemann denklemlerinin karmaşık halidir.


### Cauchy-Riemann operatörü.
∂f/∂z için bazen kısaca ∂f yazılır. Yine, benzer şekilde, ∂f/∂z̅ içinse kısa bir şekilde ∂̅f de yazılır. ∂ operatörüne Cauchy-Riemann operatörü denilir. Aslında, bu kısaltma ifadeleri sadece fonksiyonlar için geliştirilmiş kısaltma gösterimleri değildir. Daha doğrusu, fonksiyonların (0, 0) ikili derecesiyle özel bir hali olduğu karmaşık diferansiyel formlar için tanımlı türev operatorü d'nin yukarıda n=1 hali için 
df = ∂f/∂z dz + ∂f/∂z̅ 
elde edildiği gibi, d operatörü, ∂ ve ∂ opeatörlerinin toplamı olarak genel durumda da ayrışabilir. Bunu görmek için, ^n'nin bir elemanını (z_1, …z_n) = (x_1 + iy_1, …, x_n + i y_n) olarak yazalım. D ⊂ℂ^n açık bir küme olsun. f = (f_1, …, f_m): D →ℂ^m ise gerçel türevli bir gönderim olsun. Yukarıda verilen tanımlar aracılığıyla
 ∂f := ∑_j=1^n ∂/∂z_j f d z_j
ve 
 ∂ f := ∑_j=1^n ∂/∂z_j f d z_j 
tanımlanabilir. O zaman, 
d f = ∂ f + ∂f
elde edilir. Holomorfluk durumunda, d f = ∂f elde edilir; çünkü, bu durumda ∂ f = 0 olmaktadır.
cauchy-Riemann operatörlerinin n gt;1 için yukarıdaki gibi tanımlanmış hâli Dolbeault kompleksine dayanılarak Dolbeault operatörleri olarak da bilinir. Yine de, Cauchy-Riemann opeatörleri ifadesi boyut sayısına işaret etmeksizin kullanılabilir.


## Özellikler.
Aşağıda verilen özelliklerde n≥1 olmak üzere z ∈^n karmaşık vektör ve x, y gerçel vektörler olmak üzere z ≡(x,y) = (x_1,…,x_n,y_1,…,y_n) olsun. Ayrıca, Ω, ^2nde ya da bu uzayın izomorf olduğu ^nde açık bir küme olsun.


### Doğrusallık.
f,g ∈C^1(Ω) ve α,β karmaşık sayı olsun. O zaman, her i=1,…,n için aşağıdaki eşitlikler sağlanır.
 ∂/∂ z_i(α f+β g) amp;= α∂ f/∂ z_i + β∂ g/∂ z_i
 ∂/∂z̅_i(α f+β g) amp;= α∂ f/∂z̅_i + β∂ g/∂z̅_i.


### Çarpma kuralı.
f,g ∈C^1(Ω) ve α,β karmaşık sayı olsun. O zaman, her i=1,…,n için çarpma kuralı sağlanır.
 ∂/∂ z_i (f· g) amp;= ∂ f/∂ z_i· g + f·∂ g/∂ z_i
 ∂/∂z̅_i (f· g) amp;= ∂ f/∂z̅_i· g + f·∂ g/∂z̅_i


### Zincir kuralı.
Zincir kuralının iki hâli için, Ω'⊆^m ve Ω”⊆^p olmak üzere bmlgeler ele alalım. g: Ω'→Ω ve f:Ω→Ω” ise bu bölgeler arasında belirli türevlilik şartlarını yeteri kadar sağlayan gönderim olsunlar.


#### Bir karmaşık değişkenli fonksiyonlar için zincir kuralı.
f,g ∈C^1(Ω) ve g(Ω) ⊆Ω ise, o zaman zincir kuralının aşağıdaki biçimleri sağlanır:
 ∂/∂ z (f∘ g) amp;= (∂ f/∂ z∘ g ) ∂ g/∂ z + (∂ f/∂z̅∘ g ) ∂g̅/∂ z
 ∂/∂z̅ (f∘ g) amp;= (∂ f/∂ z∘ g )∂ g/∂z̅+ (∂ f/∂z̅∘ g ) ∂g̅/∂z̅


#### "n" > 1 karmaşık değişkenli fonksiyonlar için zincir kuralı.
g ∈C^1(Ω',Ω) ve f ∈C^1(Ω,Ω”) olsun. Her i= 1,…,m için, zincir kuralının aşağıdaki biçimleri sağlanır:
 ∂/∂ z_i(f∘ g) amp;= ∑_j=1^n(∂ f/∂ z_j∘ g ) ∂ g_j/∂ z_i + ∑_j=1^n(∂ f/∂z̅_j∘ g ) ∂g̅_j/∂ z_i
 ∂/∂z̅_i(f∘ g) amp;= ∑_j=1^n(∂ f/∂ z_j∘ g ) ∂ g_j/∂z̅_i + ∑_j=1^n(∂ f/∂z̅_j∘ g )∂g̅_j/∂z̅_i


### Eşlenik alma altına Wirtinger operatörleri.
f∈C^1(Ω) ise, i=1,…,n için aşağıdaki eşitlikler sağlanır:
 (∂ f/∂ z_i) amp;= ∂f̅/∂z̅_i
 (∂ f/∂z̅_i) amp;= ∂f̅/∂ z_i


## Notlar ve kaynakça.
 }}>
 - .
 - .
 - .
 - .
-