# Laguerre polinomları
Laguerre polinomları, matematikte adını Edmond Laguerre'den (1834 – 1886) almıştır. Kanonik (benzer) adlandırma Laguerre denklemidir:
x y” + (1 - x) y' + n y = 0 
İkinci mertebeden bir lineer diferansiyel denklem'dir. Bu denklemin tekil olmayan çözümleri yalnızca "n" negatif olmayan tam sayı ise vardır. Laguerre polinomlarının sayısal integral hesaplaması için Gaussian dördünü kullanılan formudur 
 ∫_0^∞f(x) e^-x dx.
"L"0, "L"1, ..., şeklindeki bu polinomları, tanımlayabilmek için Rodrigues formülü tarafından polinomal dizi kullanılmalıdır
L_n(x)=e^x/n!d^n/dx^n(e^-x x^n).
Diğer önemli her bir iç çarpım ortogonal polinomlar tarafından verilir.
⟨f,g ⟩= ∫_0^∞f(x) g(x) e^-x dx.
Laguerre polinomlarının dizisi bir Sheffer dizisi'dir.
Laguerre polinomları kuantum mekaniği'nde tek-elektronlu atomun (Hidrojen atomu) Schrödinger denklemi'nin radyal kısmının çözümlemesinde ortaya çıkar.
Laguerre polinomları için Fizikte sıklıkla kullanılan bir tanım, "n"!, gibi bir faktör tarafından burada kullanılan tanımdır.


## İlk birkaç polinom.
İlk birkaç Laguerre polinomları:


## Tümevarımsal tanım.
Tümevarımsal olarak Laguerre polinomları'nın tanımını yapabiliriz, tanımdaki ilk iki polinom:
L_0(x) = 1 
L_1(x) = 1 - x 
ve izleyen polinomlar için özyineleme ile "k" ≥ 1 'i kullanabiliriz:
L_k + 1(x) = 1/k + 1 ( (2k + 1 - x)L_k(x) - k L_k - 1(x)). 


## Genelleştirilmiş Laguerre polinomları.
ortogonal özellikli durumda üstel dağılım rastgele değişken ile olasılık ağırlık fonksiyonu ise; "X" ile eşdeğer gösterim
f(x)={ e^-x amp; x gt;0, 
 0 amp; x lt;0, .
buradan
E [ L_n(X)L_m(X) ]=0 n≠m.
üstel dağılım sadece gamma dağılımı değildir. önemli Bir polinomal dizi orthogonal olasılık ağırlık fonksiyonunun gama dağılımı için,"α" > −1,
f(x)={ x^αe^-x/Γ(1+α) amp; x gt;0, 
 0 amp; x lt;0, .
("'Genelleştirilmiş Laguerre polinomu" için Rodrigues tanımı ile verilen gama fonksiyonu içeren denklemi görebiliriz):
L_n^(α)(x)=
x^-α e^x n!d^n dx^n (e^-x x^n+α).
Bazen uyarlanmış Laguerre polinomları olarak adlandırılır;genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının α = 0 durumunda düzenlenmiş polinomları Basit Laguerre polinomları:
L^(0)_n(x)=L_n(x).


### Genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının özellikleri ve açık örnek.
  - melez hipergeometrik fonksiyon tarafından tanımlanan Laguerre fonksiyonları ve Kummer dönüşümü
   - L_n^(α)(x):= n+ αn M(-n,α+1,x)=n+ αn ∑_i=0 (-1)^i ^i = e^x·n+ αn M(α+n+1,α+1,-x)=e^x sin(n π)/sin((n+α)π)L_-α-n-1^(α)(-x)=e^x·∑_i=0(-1)^i α+n+i n x^i/i!. 
   - Eğer n bir tam sayı ise the function reduces to bir polinomun derecesi n. alternaif bir ifade L_n^(α)(x)= (-1)^n/n! U(-n,α+1,x) içindeki Kummer fonksiyonu'nun ikinci türü terimleridir.
  - Genelleştirilmiş Laguerre polinomunun derecesi n ise L_n^(α) (x) = ∑_i=0^n (-1)^i n+αn-i x^i/i! (diferansiyasyon için Leibniz teoremi tarafından uygulanan Rodrigues' formülü ile eşdeğer eldesi.)
   - İlk birkaç genelleştirilmiş Laguerre polinomları:
 L_0^(α) (x) = 1 
 L_1^(α)(x) = -x + α+1
 L_2^(α)(x) = x^2/2 - (α+ 2)x + (α+2)(α+1)/2
 L_3^(α)(x) = -x^3/6 + (α+3)x^2/2 - (α+2)(α+3)x/2
+ (α+1)(α+2)(α+3)/6
   - ilk terimleri is (−1)"n"/"n"! katsayı'sıdır 
   - L_n^(α)(0)= n+αn ≈n^α/Γ(α+1)  merkezindeki değer sabit terim'dir.
  - hesaplamada kullanılan genelleştirilmiş Laguerre polinomları için açık formülü Horner metodu sağlar, bununla beraber, algoritma sonuçları kararlı' değildir.
izlenen kararlı metod:
 function LaguerreL(n, alpha, x) {
 L1:= 0; LaguerreL:= 1;
 for i:= 1 to n {
 L0:= L1; L1:= LaguerreL;
 return LaguerreL;
  - "L""n"("α") ile "n" gerçel,kökler kesinlikle pozitif (burada ((-1)^n-i L_n-i^(α))_i=0^n bir Sturm zinciri'dir), bütün (0, n+α+ (n-1) √(n+α)] aralık'ı içindedir.
  - n'in büyük değerleri için polinomun asimptotik davranışı α sabit ve x gt 0, verilirse, 
L_n^(α)(x) ≈n^α/2-1/4/√(π) e^x/2/x^α/2+1/4 cos(2 √(x (n+α+1/2))- π/2(α+1/2 ) ), and
L_n^(α)(-x) ≈n^α/2-1/4/2√(π) e^-x/2/x^α/2+1/4 exp(2 √(x (n+α+1/2)) )..