# Hata payı
Hata marjı ya da hata payı bir anketin sonuçlarındaki rastgele örnekleme hatası miktarını ifade eden bir istatistiktir. Hata payı ne kadar büyükse, anket sonucunun yığın özelliklerini yansıtacağına duyulan güven o kadar az olmalıdır. Bir popülasyon eksik örneklenip çıktı ölçüsü pozitif varyansa sahip olduğunda, yani ölçü "değiştiğinde", hata marjı pozitif olur.
Hata marjı terimi genellikle anket dışı bağlamlarda ölçülen miktarların raporlanmasında oluşan gözlemsel hatayı belirtmek için kullanılır. Aynı zamanda konuşma dilinde, bir hedefe ulaşmada sahip olabileceğiniz alan veya esneklik miktarına atıfta bulunmak için de kullanılmaktadır. Örneğin, sporda genellikle yorumcular tarafından bir hedef, puan veya sonuca ulaşmak için ne kadar hassasiyetin gerekli olduğunu açıklarken kullanılır. Bowlingte kullanılan pinler 4,75 inç genişliğinde, top ise 8,5 inç genişliğindedir, bu nedenle bir bowling sporcusunun ikinci atışta kalan belirli bir pini düşürmek için 21,75 inç hata payı olduğu söylenebilir (örnek olarak 1 veya 5 numaralı pinler gösterilebilir, 7 ve 10 numaralı pinler hat kenarında olduklarından aynı hata marjına sahip değildir).


## Konsept.
Basit bir "evet / hayır" anketini ele alalım P, N ile ifade edilen bir popülasyondan çekilen n adet katılımcının cevaplarının örneği (n lt; lt; N) ve p verdikleri evet cevaplarının yüzdesi olsun. p sonucunun tüm N popülasyonuna uygulanacak bir anketin gerçek sonucuna, bu anketi gerçekten uygulamak zorunda kalmadan ne kadar yakın çıktığını bilmek isteriz. Varsayımsal olarak, N popülasyonundan yeni çekilen sonraki n adet katılımcının cevaplarının p_1,p_2,…, p üzerinde normal dağılmasını bekleriz. Hata payı, bu sonuçların belirli bir yüzdesinin p den farkına ilişkin beklenilen mesafeyi tanımlar.
68-95-99.7 kuralına göre p_1,p_2,… sonuçlarının %95'inin gerçek ortalamanın p her iki tarafında "yaklaşık" iki standart sapma (2σ_P ) aralığına düşmesini bekleriz. Bu aralığa güven aralığı adı verilir ve yarıçap (aralığın yarısı), %95 güven düzeyine karşılık gelen hata payı olarak adlandırılır.
Genellikle γ güven düzeyinde, n örnek boyutuna sahip bir popülasyonun beklenen standart sapması σ; z_γ "çeyreklik açıklığını" (ayrıca, bir "z-skorunu)" ve √(σ^2/n) standart hatayı gösterirken
 MOE_γ= z_γ×√(σ^2/n)
hata payına sahiptir.


## Standart sapma ve standart hata.
Normal dağılan p_1,p_2,… değerlerinin n ile değişen bir standart sapmaya sahip olmasını bekleriz. Daha küçük n, daha geniş hata payı anlamına gelir. Buna standart hata denir σ_p .
Anket sonuçlarından biri için şu varsayılır: p = p ve sonraki "tüm" sonuçlar p_1,p_2,… birlikte bir varyansa sahiptir σ_P^2=P(1-P) .
 Standart hata = σ_p ≈√(σ_P^2/n) ≈√(p(1-p)/n)
p(1-p) bir Bernoulli dağılımının varyansına karşılık gelir.


## Farklı güven seviyelerinde maksimum hata payı.
γ güven düzeyi için ortalama ile ilgili bir güven aralığı μz_γσ, yani [μ-z_γσ,μ+z_γσ] şeklindedir. P değerleri γ olasılıkla bu aralık içine düşmelidir. z_γ'nin kesin değerleri normal dağılımın çeyrekler açıklığı fonksiyonu ile verilir (ve 68-95-99.7 kuralına yakınsar).
z_γ, |γ| ≥1 için tanımsızdır, yani, z_1.00 gibi z_1.10 de tanımsızdır.
p = 0.5 iken maxσ_P^2 = maxP(1-P) = 0.25 olduğundan,
p=p = 0.5şeklinde keyfi bir ayarlama ile γ güven seviyesinde ve n örnek boyutunda gerçek sonuçları almadan önce bile P'nin maksimum hata payını elde etmek için σ_P, σ_p ve z_γσ_p değerleri hesaplanabilir. Örneğin p=0.5,n=1013 iken;
 MOE_95(0.5) = z_0.95σ_p ≈z_0.95√(σ_P^2/n) = 1.96√(.25/n) = 0.98/√(n)=3.1
 MOE_99(0.5) = z_0.99σ_p ≈z_0.99√(σ_P^2/n) = 2.58√(.25/n) = 1.29/√(n)=4.1
Ayrıca, bildirilen herhangi bir MOE_95 için
 MOE_99 = z_0.99/z_0.95MOE_95 ≈1.3 ×MOE_95