# Sönümlü poisson denklemi
Fizikte, Sönümlü Poisson Denklemi :
[ Δ- λ^2 ] u(𝐫) = - f(𝐫)
biçiminde Kısmi Diferansiyel Denklemdir. Burada Δ Laplasyene, "f" herhangi bir (kaynak fonksiyonu olarak da bilinen) konum fonksiyonuna ve "u" da belirlenecek fonksiyona karşılık gelmektedir. Sönümlü Poisson Denklemi sık sık Hideki Yukava'nın mezonlar teorisini ve de plazmada elektrik alan sönümlenmesini içeren fizik alanlarında karşımıza çıkar.
Homojen durumda (f=0), sönümlü Poisson denklemi, zamandan bağımsız Klein-Gordon denklemi ile aynıdır. İnhomojen durumda ise sönümlü Poisson denklemi, İnhomojen Helmholtz Denklemine çok yakındır, tek fark köşebentlerin içindeki işarettir.
Genellemeyi kaybetmeden, λ'yı negatif olarak almayacağız. λ sıfır olduğu zaman, denklem Poisson denklemi olacaktır. Dolayısıyla, λ çok küçük olduğu zaman, boyutun n=3 olduğu ve de "1/r" fonksiyonlarının kaynak fonksiyonu "f" ile süperpozisyon olduğu sönümsüz Poisson denkleminin çözümüne bizim çözümümüz yaklaşacaktır.
u(𝐫)_(Poisson) = ∭d^3r' f(𝐫')/4π|𝐫 - 𝐫'|.
Diğer taraftan, "λ" çok büyük olduğu zaman, "u", "f/λ²" değerine ulaşacaktır ki bu da "λ" sıfıra giderken sonsuza gidecektir. Göreceğimiz gibi, "λnın normal değerleri için çözüm sönümlü"' 1/"r" fonksiyonları ile sönümün gücünü gösteren "λ" 'nın süperpozisyonu olacaktır.
Sönümlü Poisson Denklemi genel bir "f" için Green fonksiyonu yöntemini kullanarak çözülebilir. Green Fonksiyonu "G"
[ Δ- λ^2 ] G(𝐫) = - δ^3(𝐫).
olarak tanımlanır. "u" ve onun türevlerinin büyük "r" değerleri için sıfırlandığını varsayarsak, sürekli Fourier dönüşümünü uzaysal koordinatlarda uygulayabiliriz;
G(𝐤) = ∭d^3r G(𝐫) e^-i 𝐤 ·𝐫
Burada integral tüm uzay üzerinden alınmıştır, anlaşılır şekilde şu da gösterilebilir
[ k^2 + λ^2 ] G(𝐤) = 1.
"r" argümanlı Green fonksiyonunu ters Fourier dönüşümü yapılarak bulunabilir,
G(𝐫) = 1/(2π)^3 ∭d^3k e^i 𝐤 ·𝐫/k^2 + λ^2.
Bu integralin değeri "k"-uzayında Küresel koordinatları kullanarak bulunabilir. Açısal koordinatlar üzerinden integral açık bir şekilde, bir bölü çizgisel dalga numarası k_r na dönüşür:
G(𝐫) = 1/2π^2 r ∫_0^+∞ dk_r k_r sink_r r /k_r^2 + λ^2.
Bu ise Çizgi integrali kullanılarak bulunabilir ve sonuç :
G(𝐫) = e^- λr/4πr.
Daha sonra problemin tümü için çözüm
u(𝐫) = ∫d^3r' G(𝐫 - 𝐫') f(𝐫')
= ∫d^3r' e^- λ|𝐫 - 𝐫'|/4π|𝐫 - 𝐫'| f(𝐫').
olarak bulunur. Üsttede belirtildiği gibi bu sönümlenmiş 1/"r" fonksiyonlarının kaynak fonksiyonu ile güçlendirilip sönümlenme gücü gibi davranan "λ" ile süperpozisyonudur. Sönümlenmiş 1/"r" fonksiyonu genellikle fizikte Yukawa Potansiyeli olarak da bilinen sönümlenmiş Coulomb potansiyeli olarak karşımıza çıkar.
İki Boyutta:
Manyetik Plazma düşünüldüğünde sönümlü poisson denklemi 2boyutluya benzerdir:
 ( Δ_⊥-1/ρ^2 )u(𝐫_⊥) = -f(𝐫_⊥) 
burada Δ_⊥=∇·∇_⊥ ve ∇_⊥=∇-𝐁/B·∇, 𝐁 manyetik alana ve ρ ise Larmor radius a tekamül etmektedir. İlgili Green fonksiyonunun Fourier dönüşümü :
 G(𝐤_⊥) = ∫∫d^2 r G(𝐫_⊥)e^-i𝐤_⊥·𝐫_⊥ 
Daha sonra 2 boyutlu sönümlü poisson denklemi ile
 ( k_⊥^2 +1/ρ^2 )G(𝐤_⊥) = 1 
olur. Dolayısıyla ters Fourier dönüşümü ile Green fonksiyonu:
G(𝐫_⊥) = 1/4π^2 ∫∫d^2k e^i 𝐤_⊥·𝐫_⊥/k_⊥^2 + 1 / ρ^2.
halini alır. k-uzayda (k'nın uzayın bazları olduğu kabul edildiğinde) Kutupsal koordinatlar kullanılarak bu integral çözülebilir :
 𝐤_⊥= (k_rcos(θ),k_rsin(θ)) 
Açısal koordinatlardan integral hesap edildiğinde, bu integral bir bölü çizgisel dalganumarası k_r 'na dönüşür:
G(𝐫_⊥) = 1/2π ∫_0^+∞ dk_r k_r e^i k_r r_⊥/k_r^2 + 1 / ρ^2.