# Aritmetiğin temel teoremi
Matematik'te aritmetiğin temel teoremi, aynı zamanda benzersiz çarpanlara ayırma teoremi ve asal çarpanlara ayırma teoremi olarak da adlandırılır, şunu belirtir: 1'den büyük her tamsayı, benzersiz bir şekilde asal sayıların üslerinin çarpımı olarak gösterilebilir.
Örneğin,
1200 = 2^4 ·3^1 ·5^2 = (2 ·2 ·2 ·2) ·3 ·(5 ·5) = 5 ·2 ·5 ·2 ·3 ·2 ·2 = …
Teorem bu örnekle ilgili iki şey söylüyor: birincisi, 1200 asal sayıların çarpımı olarak temsil edilebilir ve ikincisi, bu nasıl yapılırsa yapılsın her zaman tam olarak dört 2, bir 3 ve iki 5 olacaktır ve sonuç bunların dışında başka asal sayı içermeyecektir.
Çarpanların asal olması gereklidir: bileşik sayıları içeren çarpanlara ayırmalar benzersiz olmayabilir (örneğin, 12 = 2 ·6 = 3 ·4).
Bu teorem 1'in asal sayı olarak kabul edilmemesinin ana nedenlerinden biridir: eğer 1 asal olsaydı, asal sayılara ayırma benzersiz olmazdı; örneğin, 2 = 2 ·1 = 2 ·1 ·1 = …
Teorem, bir alan üzerinde benzersiz çarpanlara ayırma alanı olarak adlandırılan ve temel ideal alanları, Öklid alanlarını ve polinom halkalarını içeren diğer cebirsel yapılara genelleştirilir. Ancak teorem cebirsel tamsayılar için geçerli değildir. Benzersiz çarpanlara ayırmadaki bu başarısızlık, Fermat'ın Son Teoremi'nin ispatının zorluğunun nedenlerinden biridir. Cebirsel tamsayı halkalarında benzersiz çarpanlara ayırmanın örtülü kullanımı, Fermat'ın ifadesi ile Wiles'ın kanıtıdır.


## Tarihçe.
Temel teorem, Öklid'in "Elementler"'inin Kitap VII, 30, 31 ve 32. önermelerinden ve IX. Kitap, 14. önermesinden türetilebilir.
(Modern terminolojide: Eğer bir asal "p" "ab" çarpımını bölüyorsa, o zaman "p" ya "a"yı ya da "b"yi ya da her ikisini de böler.) Önerme 30'a gönderme yapılır. Öklid lemması olarak ve aritmetiğin temel teoreminin ispatında gereklidir.
(Modern terminolojide: birden büyük her tam sayı bir asal sayıya eşit olarak bölünür.) Önerme 31 doğrudan sonsuz bölünebilme kanıtı ile kanıtlanır.
Önerme 32, önerme 31'den türetilmiştir ve çarpanlara ayırmanın mümkün olduğunu kanıtlamaktadır.
(Modern terminolojide: birkaç asal sayının en küçük ortak katı herhangi bir başka asal sayının katı değildir.) Kitap IX, önerme 14, Kitap VII, önerme 30'dan türetilmiştir ve çarpanlara ayırmanın benzersiz olduğunu kısmen kanıtlar. – André Weil. Aslında bu önermede üsler hepsi bire eşit olduğundan genel durum için hiçbir şey söylenmiyor.
Asal çarpanlara ayırmanın varlığına giden yolda ilk adımı Öklid atarken, son adımı ise Kamāl al-Dīn al-Fārisī attı ve aritmetiğin temel teoremini ilk kez belirtti.
Gauss' "Disquisitiones Arithmeticae" Madde 16'sı, modüler aritmetik kullanan erken modern bir ifade ve kanıttır.


## Uygulamalar.
### Pozitif bir tam sayının kanonik gösterimi.
Her pozitif tamsayı #YÖNLENDİRME asal kuvvetlerin çarpımı olarak tam olarak tek bir şekilde temsil edilebilir:
n = p_1^n_1p_2^n_2 ⋯p_k^n_k
= ∏_i=1^k p_i^n_i,
burada #YÖNLENDİRME asal sayılardır ve #YÖNLENDİRME pozitif tam sayılardır. Bu gösterim, boş çarpım'ın 1'e eşit olduğu kuralıyla genel olarak 1 dahil tüm pozitif tam sayılara genişletilir (boş çarpım #YÖNLENDİRME 'a karşılık gelir) .
Bu temsile #YÖNLENDİRME 'nin kanonik temsili'
" of #YÖNLENDİRME , or the standard form"
denir.. Örneğin,
999 = 33×37,
1000 = 23×53,
1001 = 7×11×13.
 - YÖNLENDİRME çarpanları,  YÖNLENDİRME değeri değiştirilmeden eklenebilir (örneğin,  YÖNLENDİRME ). Aslında, herhangi bir pozitif tam sayı, tüm pozitif asal sayıların üzerine alınan bir sonsuz çarpım olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir 
n=2^n_13^n_25^n_37^n_4⋯=∏_i=1^∞p_i^n_i,
burada sonlu sayıda #YÖNLENDİRME pozitif tamsayılardır ve diğerleri sıfırdır.
Negatif üslere izin vermek, pozitif rasyonel sayılar için kanonik bir form sağlar.


### Aritmetik işlemler.
"a" ve "b" iki sayısının en büyük ortak bölen (OBEB) ve en küçük ortak kat (EKOK) çarpımının kanonik gösterimleri basitçe şu şekilde ifade edilebilir: "a" ve "b"nin kanonik temsilleri:
a·b = 2^a_1+b_13^a_2+b_25^a_3+b_37^a_4+b_4⋯=∏p_i^a_i+b_i,
EBOB(a,b) = 2^min(a_1,b_1)3^min(a_2,b_2)5^min(a_3,b_3)7^min(a_4,b_4)⋯=∏p_i^min(a_i,b_i),
EKOK(a,b) = 2^max(a_1,b_1)3^max(a_2,b_2)5^max(a_3,b_3)7^max(a_4,b_4)⋯=∏p_i^max(a_i,b_i),
Bununla birlikte, özellikle büyük sayıların tamsayı çarpanlara ayırma işlemleri, ürünlerin, EBOB'ların veya EKOK'ların hesaplanmasından çok daha zordur. Dolayısıyla bu formüllerin pratikte kullanımı sınırlıdır.


### Aritmetik fonksiyonlar.
Birçok aritmetik fonksiyon kanonik gösterim kullanılarak tanımlanır. Özellikle, toplama ve çarpım fonksiyonlarının değerleri, asal sayıların kuvvetleri üzerindeki değerlerine göre belirlenir.


## İspat.
İspat, Öklid lemmasını ("Elementler" VII, 30) kullanır: Eğer bir asal sayı iki tam sayının çarpımını bölüyorsa bölüyorsa, bu tam sayılardan en az birini bölmelidir.


### Varlık.
 - YÖNLENDİRME 'dan büyük her tam sayının ya asal ya da asal sayıların çarpımı olduğu gösterilmelidir. Birincisi, 2 asaldır. Daha sonra, güçlü tümevarım yoluyla, bunun  YÖNLENDİRME 'dan büyük ve  YÖNLENDİRME 'den küçük tüm sayılar için doğru olduğunu varsayalım. Eğer  YÖNLENDİRME asalsa kanıtlayacak başka bir şey yoktur. Aksi takdirde,  YÖNLENDİRME ve  YÖNLENDİRME tamsayıları vardır  burada  YÖNLENDİRME ve  YÖNLENDİRME . Tümevarım hipotezine göre,  YÖNLENDİRME ve  YÖNLENDİRME asal sayıların çarpımlarıdır. Ama sonra  YÖNLENDİRME asal sayıların çarpımıdır.


### Benzersizlik.
Teoremin tersine, iki farklı asal çarpanlara ayırmaya sahip bir tamsayı olduğunu varsayalım. #YÖNLENDİRME böyle bir en küçük tamsayı olsun ve her bir #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME asal olduğu #YÖNLENDİRME yazalım. #YÖNLENDİRME 'nin #YÖNLENDİRME yi böldüğünü görürüz. Böylece by Öklid'in tezi'ne göre #YÖNLENDİRME bazı #YÖNLENDİRME leri böler. Genelliği kaybetmeden, #YÖNLENDİRME #YÖNLENDİRME i böler diyelim. #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME her ikisi de asal olduğundan, böylece #YÖNLENDİRME olur. #YÖNLENDİRME 'yi çarpanlara ayırmamıza dönersek, #YÖNLENDİRME gerçekleşmesi için bu iki çarpanı sadeleştirebiliriz. Böylece elimizde kesin olarak #YÖNLENDİRME 'den küçük iki asal tamsayı çarpan var ve bu da #YÖNLENDİRME 'nin küçüklüğü ile çelişiyor.


### Öklid'in tezi olmadan benzersizlik.
Aritmetiğin temel teoremi, Öklid tezi kullanılmadan da kanıtlanabilir. Aşağıdaki kanıt, Öklid'in Öklid algoritması orijinal versiyonundan esinlenmiştir.
s'in asal sayıların iki farklı çarpımı olan en küçük pozitif tamsayı olduğunu varsayalım. Bu, eğer varsa, s'in 1'den büyük bileşik sayı olduğu anlamına gelir.
Böylece,
 s
 amp;=p_1 p_2 ⋯ p_m 
 amp;=q_1 q_2 ⋯ q_n.
yazılabilir.
Her p_i q_j'den farklı olmalıdır. Aksi takdirde, eğer p_i=q_j dersek, s'den küçük bazı pozitif t=s/p_i=s/q_j tamsayı çarpanları olacaktır. Gerektiğinde iki çarpan değiştirilerek p_1 lt; q_1 olduğu da varsayılabilir.
P=p_2⋯p_m ve Q=q_2⋯q_n, olarak ve s=p_1P=q_1Q. olarak, ayrıca, p_1 lt; q_1, olduğundan Q lt; P. olarak seçilir ve takiben
s-p_1Q = (q_1-p_1)Q = p_1(P-Q) lt; s.
elde edilir.
s'den küçük pozitif tamsayıların benzersiz bir asal çarpanlara ayırmaya sahip olduğu varsayıldığından, p_1, q_1-p_1'in ya da Q'nun çarpanları arasında yer almalıdır. Q s'den küçük olduğundan, benzersiz asal çarpanlara sahip olmalıdır ve her için q_j için p_1 farklı olduğundan ikinci durum mümkün değildir. Eğer p_1, q_1-p_1'in böleni ise, q_1,'in de böleni olacağından p_1 ve q_1 farklı asal sayılar olacağından ilk durum da mümkün değildir.
Böylece, tek bir farklı asal çarpanlara ayırmadan daha fazlasına sahip en küçük bir tam sayı olamaz. Her pozitif tamsayı ya benzersiz bir şekilde çarpanlara ayrılacak bir asal sayı ya da asal sayıları benzersiz bir şekilde çarpanlara ayıran bir bileşik ya da 1 tamsayısı durumunda herhangi bir asal çarpanı olmayan bir bileşik olmalıdır.


## Genellemeler.
Teoremin ilk genellemesi Gauss'un dördüncü dereceden karşıtlık üzerine ikinci monografisinde (1832) bulunur. Bu makale, şimdi Gauss tamsayı'larının halka olarak adlandırılan tüm karmaşık sayı'lar "a" + "bi" kümesini tanıttı; burada " a" ve "b" tam sayılardır. Artık ℤ[i] ile gösterilmiştir. Bu halkanın sıfırdan farklı ±1 ve ±"i" dört birimine sahip olduğunu, birim olmayan sayıların asal sayılar ve bileşik sayılar olmak üzere iki sınıfa ayrıldığını ve bileşik sayılarrın asal sayıların bir ürünü olarak benzersiz çarpanlara ayırmaya sahip olduğunu gösterdi.
Benzer şekilde, 1844'te kübik karşıtlık üzerinde çalışırken, Eisenstein ℤ[ω] halkasını tanıttı; burada ω= -1 + √(-3)/2,   ω^3 = 1 birliğin (küp)köküdür. Bu, Eisenstein tamsayılarının halkasıdır ve kendisi bunun altı birimi ±1, ±ω, ±ω^2 olduğunu ve benzersiz çarpanlara ayırmaya sahip olduğunu kanıtladı.
Ancak benzersiz çarpanlara ayırmanın her zaman geçerli olmadığı da keşfedildi. Örnek olarak ℤ[√(-5)] verilmiştir. Bu halkada 
 6 =
 2 ·3 =
 (1 + √(-5))(1 - √(-5)).
vardır.
Bunun gibi örnekler "asal" kavramının değişmesine neden oldu. ℤ[√(-5)]'de yukarıdaki faktörlerden herhangi birinin bir çarpım olarak temsil edilebilmesi durumunda kanıtlanabilir, örneğin 2 = " ab" ise "a" veya "b"den biri bir birim olmalıdır. Bu, "asal"ın geleneksel tanımıdır. Bu faktörlerin hiçbirinin Öklid tezine uymadığı da kanıtlanabilir; örneğin 2, çarpımları 6'yı bölmesine rağmen ne (1 + #YÖNLENDİRME ) ne de (1 − #YÖNLENDİRME )'ı bölmez. Cebirsel sayılar teorisinde 2 ℤ[√(-5)]'de indirgenemez olarak adlandırılır (kendisine ve birim sayıya bölünebilir) ancak asal değildir (çarpımı bölüyorsa çarpanlardan birini de bölmelidir). ℤ[√(-5)]'in belirtilmesi gereklidir çünkü 2 asaldır ve ℤ'de indirgenemezdir. Bu tanımları kullanarak bir asal sayının indirgenemez olduğu kanıtlanabilir. Öklid'in klasik tezi "ℤ tamsayılar halkasında her indirgenemez asaldır" şeklinde yeniden ifade edilebilir. Bu aynı zamanda ℤ[i] ve ℤ[ω] için de doğrudur ancak ℤ[√(-5)] için geçerli değildir.
İndirgenemezler çarpanlara ayırmanın benzersiz olduğu yerlerde halkalara benzersiz çarpanlara ayırma alanı denir. Önemli örnekler, tamsayılar üzerindeki veya bir alan üzerindeki polinom halka'ları, Öklid alan'ları ve temel ideal alan'larıdır.
1843 yılında Kummer ideal sayı kavramını ortaya attı, bu kavram Dedekind tarafından 1876'da, halkaların özel bir alt alanı olan modern idealler teorisine geliştirildi. Burada idealler için çarpma tanımlanır ve bunların benzersiz çarpanlara ayrıldığı halkalara Dedekind alanları adı verilir.
sıra sayıları için benzersiz çarpanlara ayırmanın bir versiyonu vardır, ancak benzersizliği sağlamak için bazı ek koşullar gerektirir.