# Reinhardt bölgesi
Matematiğin bir alt dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde, Reinhardt bölgesi, sabit bir merkeze göre alınan çemberlerin birinin kümenin elemanlarından birini içerdiğinde bu çemberin hepsini birden içeren özel bölgelerdir. Bu kümelere bu yüzden "çemberli bölgeler" de denilir. Bu bölge, adını Alman matematikçi Karl Reinhardt'tan almaktadır.


## Tanımı.
Ω⊂ℂ^n bir bölge olsun ve sabit bir a=(a_1, a_2, …, a_n)∈ℂ^n merkezi olsun. Her z = (z_1, z_2, …, z_n) ∈Ω ve her ϑ_1, ϑ_2, …, ϑ_n ∈ℝ için (e^i ϑ_1 (z_1-a_1), e^i ϑ_2 (z_2-a_2), …, e^i ϑ_n(z_n-a_n) ) ∈Ω özelliği sağlanıyorsa, Ω'ya a merkezli Reinhardt bölgesi adı verilir.
Ω⊂ℂ^n, a merkezli bir Reinhardt bölgesi olsun. Eğer Ω, a merkezli çemberleri içerdiğinde bu çemberleri topolojik sınır olarak kabul eden disklerin çarpımını da içeriyorsa Ω⊂ℂ^n'ya tam Reinhardt bölgesi adı verilir. Diğer deyişle, her z = (z_1, z_2, …, z_n) ∈Ω için {w = (w_1, w_2, …, w_n) ∈ℂ^n : |w_j-a_j| lt; |z_j-a_j|, j=1, ⋯, n }⊂Ω özelliği sağlanıyorsa, o zaman Ω⊂ℂ^n'ya tam Reinhardt bölgesi adı verilir.


### Örnekler.
  - n-boyutlu ve (ρ_1, ρ_2,…,ρ_n) vektör yarıçaplı disk çarpımı (polidisk) {z = (z_1, z_2, …, z_n) ∈ℂ^n : |z_j| lt  ρ_j (j = 1,2,…n) }
  - n-boyutlu, 0 = (0, 0, …, 0) ∈ℂ^n merkezli ve ρ gt  0 yarıçaplı yuvar {z = (z_1, z_2, …, z_n) ∈ℂ^n : |z_1 |^2 + |z_2 |^2 + …+ |z_n|^2 lt  ρ^2}
  - n=1 iken, tam Reinhardt bölgeleri karmaşık düzlemin kendisi, diskler veya halkalardır.


## Logaritmik dışbükeylik.
Ω⊂ℂ^n bir Reinhardt bölgesi olsun ve 
Ω^* = {z=(z_1, ⋯, z_n) ∈Ω| z_1 ⋯z_n ≠0} tanımlansın. 
λ: z →λ(z) = (ln(|z_1|), ⋯, ln(|z_n|)) gönderimi altında 
λ(Ω^*), ℝ^nnin dışbükey bir altkümesi oluyorsa, Ω'ya logaritmik dışbükey denir.


### Yakınsaklık bölgesi.
Bir karmaşık değişkenli karmaşık analizde yakınsaklık bölgesi ya disk olur ya da karmaşık düzlem olur. Bu bakış açısıyla, yüksek boyutlarda yakınsaklık bölgesi sadece yuvar ya da disk çarpımı (polidisk) veya karmaşık koordinat uzayının tamamı değildir. Yüksek boyutlarda, kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi tam Reinhardt bölgesi olmak zorundadır. Ancak, her tam Reinhardt bölgesi aynı zamanda bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesi olmak zorunda değildir. Bunun için bu bölgelere geometrik özellikler getirmek zorunluluğu vardır. Daha açık bir şekilde yazmak gerekirse, bir Reinhardt bölgesinin bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesi olması için gerekli ve yeterli özellik bu Reinhardt bölgesinin logaritmik dışbükey olmasıdır. Bu yüzden, Reinhardt bölgeleri, kuvvet veya Laurent serilerinin doğal tanım bölgeleridir denilebilir.


## Thullen sınıflandırması.
Peter Thullen'in 1931 yılındaki çalışması ile ℂ^2deki sınırlı Reinhardt bölgeleri sınıflandırılmıştır. Daha açık bir ifade ile yazmak gerekirse, Ω⊂ℂ^2 sınırlı bir Reinhardt bölgesi ve 0∈Ω olsun. O zaman, Ω aşağıdaki bölgelerden birine biholomorftur.
  - {(z,w)∈^2  |z| lt  1, |w| lt  1} (polidisk) 
  - {(z,w)∈^2  |z|^2 + |w|^2 lt  1} (birim yuvar) 
  - {(z,w)∈^2  |z|^2 + |w|^2/p lt  1} (p gt  0,≠1) (Thullen bölgesi~Kompleks elipsoit).
  - Otomorfi grubuna göre orijinin yörüngesinin yine orijin olduğu bölgeler. Diğer deyişle, Aut(D) otomorfi grubuysa ve G(D) de bu grubun birim elemanını içeren bağlantılı bileşense, o zaman G(D)·0 = 0 olan bölgeler.
Thullen, ayrıca, D_1 ve D_2 ile gösterilen sınırlı Reinhardt bölgelerinin birbirine holomorf olarak denk olmalarının ancak ve ancak 
z↦r_1z
 w↦r_2 w veya z↦r_3w
 w↦r_4 z (r_i gt;0, i=1,2,3,4) 
şeklinde tanımlı ve D_1=ϕ(D_2) özelliğini sağlayan bir ϕ gönderiminin varlığıyla mümkün olacağını kanıtlamıştır. Toshikazu Sunada, 1978'de, Thullen'in sonuçlarının bir genellemesini kanıtlamıştır. Yani, n-boyutlu uzayda sınırlı iki Reinhardt bölgesinin (G_1 ve G_2 olsunlar) birbirine biholomorf denk olmalarının ancak ve ancak bu bölgelerin arasında z_i↦r_iz_σ(i) (r_i gt;0) şeklinde tanımlı ve G_1=φ(G_2) özelliğini sağlayan bir φ:𝐂^n⟶𝐂^n gönderiminin varlığıyla mümkün olacağını kanıtlamıştır.