# Batlamyus teoremi
Öklid geometrisinde, Batlamyus teoremi, bir kirişler dörtgeninin (köşeleri ortak bir daire üzerinde yer alan bir dörtgen) dört kenarı ile iki köşegeni arasındaki bir ilişkiyi gösteridir. Teorem, Yunan astronom ve matematikçi Batlamyus'un (Claudius Ptolemaeus) adını almıştır. Batlamyus, teoremi astronomiye uyguladığı trigonometrik bir tablo olan kirişler tablosunu oluşturmaya yardımcı olarak kullandı.
Kirişler dörtgenin köşeleri sırayla A, B, C ve D ise, teorem şunu belirtir:
 |AC|·|BD|=|AB|·|CD|+|BC|·|AD|
Burada dikey çizgiler (| |) ile gösterim, adlandırılmış köşeler arasındaki çizgi parçalarının uzunluklarını belirtmektedir. Geometri bağlamında, yukarıdaki eşitlik genellikle basitçe şöyle yazılır:
 AC·BD = AB·CD+BC ·AD
Bu ilişki sözlü olarak şu şekilde ifade edilebilir:
 "Eğer bir dörtgen bir dairenin içine çizilebiliyorsa, köşegenlerinin uzunluklarının çarpımı, karşıt kenarların çiftlerinin uzunluklarının çarpımlarının toplamına eşittir."
Dahası, Batlamyus teoreminin tersi de doğrudur:
 "Bir dörtgende, karşıt iki kenar çiftinin uzunluklarının çarpımlarının toplamı, köşegenlerinin uzunluklarının çarpımına eşitse, bu dörtgen bir daire içerisine çizilebilir, yani bir kirişler dörtgenidir."


## Örnekler.
### Eşkenar üçgen.
Batlamyus Teoremi, sonuç olarak daire içine çizilmiş bir eşkenar üçgene ilişkin güzel bir teoreme ulaşmamıza imkan verir.
Verilen: Bir daire üzerine çizilmiş bir eşkenar üçgen ve daire üzerinde bir nokta.
Noktadan üçgenin en uzak köşesine olan mesafe, noktadan daha yakın iki köşeye olan mesafelerin toplamıdır.
İspat: Hemen Batlamyus teoremini takip edersek:
 qs = ps + rs ⇒q = p + r.


### Kare.
Merkezi karenin merkezi olan bir daireye herhangi bir kare çizilebilir. Dört kenarının ortak uzunluğu a'ya eşitse daha sonra köşegenin uzunluğu a√(2)'ye eşittir. Pisagor teoremine göre ve bu ilişki açıkça geçerlidir.


### Dikdörtgen.
Daha genel olarak, eğer dörtgen, kenarları a ve b ve köşegenleri d olan bir dikdörtgen verilirse, Batlamyus teoremi, Pisagor teoremine indirgenir. Bu durumda dairenin merkezi, köşegenlerin kesişme noktasıyla çakışır. Bu durumda, köşegenlerinin çarpımı d^2 olarak bulunur. Batlamyus eşitliğine göre sağ taraftaki "toplam" a^2 + b ^2'dir.
Trigonometrik çalışmasında Batlamyus'un teoremini yoğun bir şekilde kullanan Kopernik, bu sonuca bir 'Porizm' veya apaçık bir sonuç olarak atıfta bulunur:
 "Dahası, bir yayı oluşturan kiriş verildiğinde, yarım dairenin geri kalanını altta tutan kirişin de bulunabileceği açıktır (manifestum est)."


### Beşgen.
Daha ilginç bir örnek, düzgün bir beşgendeki kenar uzunluğu a ile 5 kirişin (ortak) uzunluğu b arasındaki ilişkidir. Bu durumda b^2 = a^2 + ab altın oranı veren ilişkidir:
 φ= b a = 2.


### Ongenin kenarı.
Şimdi çap AF, DC'yi ikiye bölerek çizilirse, böylece DF ve CF, daire içine çizilen bir ongenin c kenarlarıdır, Batlamyus teoremi tekrar uygulanırsa bu kez, köşegenlerinden biri olarak d çapına sahip kirişler dörtgeni ADFC'ye:
 ad=2bc
 ⇒ad=2φac, burada φ altın orandır.
 ⇒c=d/2φ.
böylece daire içine çizilen ongenin kenarı daire çapı cinsinden elde edilir. Dik üçgen AFD'ye uygulanan Pisagor teoremi, çap olarak b uzunluğunu verir ve bundan sonra beşgenin kenarı a olarak hesaplanır.
 a=b/φ=b(φ-1).
Kopernik'in (Batlamyus'u izleyerek) yazdığı gibi,
 "Verilen bir çemberin çapı, aynı çemberin çevrelediği üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen ve ongenin kenarları da verilmiştir."


## İspatlar.
### Üçgenlerin benzerliği ile ispat.
  - ABCD bir kirişler dörtgeni olsun. 
  - BC kirişi üzerinde, çevre açıları ∠BAC = ∠BDC ve AB üzerinde, ∠ADB = ∠ACB'dir.
  - AC üzerinde K noktası ∠ABK = ∠CBD olacak şekilde oluşturulursa  ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, ∠CBK = ∠ABD'dir.
  - Şimdi, ortak açılardan ΔABK, ΔDBC'ye benzer ve aynı şekilde ΔABD de ΔKBC'ye benzer. 
  - Böylece AK/AB = CD/BD ve CK/BC = DA/BD'dir  eşdeğer olarak, AK ·BD = AB ·CD ve CK ·BD = BC ·DA'dır. 
  - İki eşitlik birbirine ekleyerek AK ·BD + CK ·BD = AB ·CD + BC ·DA elde ederiz ve bunu çarpanlara ayırmak suretiyle (AK + CK) ·BD = AB ·CD + BC ·DA'yı elde ederiz. 
  - Ancak AK + CK = AC'dır, dolayısıyla AC ·BD = AB ·CD + BC ·DA
QED
Yazıldığı şekliyle ispat yalnızca basit kirişler dörtgenleri için geçerlidir. Dörtgen kendi kendine kesişiyorsa K, AC çizgi parçasının dışında yer alacaktır. Ancak bu durumda AK - CK = ±AC, beklenen sonucu verir.


### Trigonometrik özdeşliklerle ispat.
AB, BC ve CD tarafından oluşturulan çevre açılar sırasıyla α, β ve γ ve çemberin yarıçapı R olsun. O zaman,
AB=2Rsinα, 
BC=2Rsinβ,
CD=2Rsinγ,
AD=2Rsin(180-(α+β+γ)),
AC=2Rsin(α+β) ve
BD=2Rsin(β+γ) 
olur ve kanıtlanacak orijinal eşitlik aşağıdaki hale dönüşür;
 sin(α+β)sin(β+γ) = sinαsinγ+ sinβsin(α+ β+γ)
denklemin her iki tarafı da 4R^2 çarpanına bölünerek sadeleşti.
Şimdi toplam formüllerini kullanarak,
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny ve
cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny
Yukarıdaki denklemin her iki tarafının da eşit olduğunu göstermek basittir.
 amp; sinαsinβcosβcosγ + sinαcos^2βsinγ
 + amp; cosαsin^2βcosγ+cosαsinβcosβsinγ.
Q.E.D


### Evirtim ile ispat.
ABCD'nin çevrel çemberi bir doğruya evirtildiğine (şekle bakın) göre merkezi D olan yardımcı bir Γ dairesi seçin. 
Sonra A'B' + B'C' = A'C' olur. Genelliği kaybetmeden Γ'nin yarıçapını 1 alalım. 
Sonra A'B', B'C' ve A'C' sırasıyla aşağıdaki şekilde ifade edilebilir; 
AB ·DB'/DA, BC ·DB'/DC, AC ·DC'/DA 
Önceki ilişkiyi DA ·DC/DB' ile çarpar ve DC'/DB' = DB/DC eşitliğini kullanırsak Batlamyus'un eşitliğini elde ederiz.
Q.E.D.
Dörtgen kirişler dörtgeni değilse, A', B' ve C"nün bir üçgen oluşturduğuna ve dolayısıyla A'B' + B'C' gt; A'C' olduğuna dikkat edin, bize aşağıda sunulan Batlamyus Eşitsizliğinin çok basit bir kanıtı verir.


### Karmaşık sayılar kullanarak ispat.
ABCD ℂ'de bir daire etrafında saat yönünde A↦z_A,…,D↦z_D
z_A,…,z_D∈ℂ olacak şekilde düzenlensin. Karmaşık bir sayının kutupsal formundan z=|z|e^i(z) yazılabilir. Buradan da,
∠ABC=(z_C-z_B)-(z_A-z_B)2π, ve
∠CDA=(z_A-z_D)-(z_C-z_D)2π elde edilir.
Kirişler dörtgeni içindeki zıt açılar toplamı π olduğundan,
 0 amp; = π + ∠ ABC + ∠ CDA 2π
 amp; = (-1) + [(z_C-z_B)-(z_A-z_B)] + [(z_A-z_D)-(z_C-z_D)] 2π
 amp; = [(z_A-z_D)(z_B-z_C)]-[(z_A-z_B)(z_C-z_D)].
Bu nedenle, φ=-[(z_A-z_B)(z_C-z_D)]=-[(z_A-z_D)(z_B-z_C)],
Böylece
Dolayısıyla,
 AB·CD+AD·BC amp; = |z_A-z_B||z_C-z_D|+|z_A-z_D||z_B-z_C| 
 amp; = |(z_A-z_B)(z_C-z_D)|+|(z_A-z_D)(z_B-z_C)| 
 amp; = (z_A-z_B)(z_C-z_D)e^iφ+(z_A-z_D)(z_B-z_C)e^iφ
 amp; = (z_A-z_C)(z_B-z_D)e^iφ
 amp; = |(z_A-z_C)(z_B-z_D)e^iφ| 
 amp; = |z_A-z_C||z_B-z_D||e^iφ| 
 amp; = AC·BD
'dir.
Burada üçüncü ila son eşitlik, niceliğin zaten gerçek ve pozitif olduğu gerçeğinden kaynaklanır.
Q.E.D.


## Sonuçlar.
Birim çaplı bir dairede olması durumunda, herhangi bir ABCD kirişler dörtgeninin kenarları S_1, S_2, S_3, S_4, bu kenarlar tarafından oluşturulan θ_1, θ_2, θ_3 ve θ_4 açıların sinüslerine sayısal olarak eşittir. Benzer şekilde, köşegenler, hangi açı çiftini oluşturursa oluştursunlar, sinüslerinin toplamının eşittir. Daha sonra Batlamyus Teoremini aşağıdaki trigonometrik biçimde yazabiliriz:
 sinθ_1sinθ_3+sinθ_2sinθ_4=sin(θ_1+θ_2)sin(θ_1+θ_4)
Oluşturulan θ_1,θ_2,θ_3 ve θ_4açılarına belirli koşulları uyguladığımızda, yukarıdakileri başlangıç noktamız olarak kullanarak bir dizi önemli sonuç çıkarmak mümkündür. Aşağıdakilerde, açıların toplamının θ_1 + θ_2 + θ_3 + θ_4 = 180^∘ olduğunu akılda bulundurmak faydalı olacaktır.


### Sonuç 1. Pisagor teoremi.
θ_1=θ_3 ve θ_2 = θ_4 olsun. Sonra θ_1 + θ_2 = θ_3 + θ_4 = 90^∘ (çünkü kirişler dörtgeninin zıt açıları bütünlerdir). Ardından: sinθ_1 sinθ_3 + sinθ_2 sinθ_4 = sin(θ_1 + θ_2) sin(θ_1 + θ_4) 
 sin^2 θ_1 + sin^2 θ_2 = sin^2(θ_1 + θ_2) 
 sin^2 θ_1 + cos^2 θ_1 = 1 


### Sonuç 2. Kosinüs yasası.
θ_2 = θ_4 olsun. Sonuç 1'in dikdörtgeni şimdi eşit köşegenlere ve bir çift eşit kenara sahip simetrik bir yamuktur. Paralel kenarların uzunlukları 2x birim farklılık gösterir. Burada:
 x = S_2cos(θ_2 + θ_3)
olup, bu durumda Batlamyus teoreminin standart ifadesine dönmek daha kolay olacaktır:
 [ S_1 S_3 + S_2 S_4=AC·BD; ⇒S_1 S_3+S_2^2=AC^2; ⇒S_1[S_1-2S_2cos(θ_2+θ_3)]+S_2^2=AC^2; ⇒S_1^2+S_2^2-2S_1 S_2cos(θ_2+θ_3)=AC^2; ]
ABC üçgeninin kosinüs kuralı.


### Sonuç 3. Sinüs toplam formülü.
 θ_1 + θ_2 = θ_3 + θ_4 = 90^∘ olsun.
Sonra
 sinθ_1 sinθ_3 + sinθ_2 sinθ_4 = sin(θ_3 + θ_2) sin(θ_3 + θ_4)
Bu nedenle,
 cosθ_2 sinθ_3 + sinθ_2 cosθ_3 = sin(θ_3 + θ_2) ×1 
Sinüs toplam formülü elde edilir.


### Sonuç 4. Sinüs fark formülü.
θ_1 = 90^∘ olsun. Sonra,
θ_2 + (θ_3 + θ_4) = 90^∘.
Dolayısıyla,
 sinθ_1 sinθ_3 + sinθ_2 sinθ_4 = sin(θ_3 + θ_2) sin(θ_3 + θ_4) 
 sinθ_3 + sinθ_2 cos(θ_2 + θ_3) = sin(θ_3 + θ_2) cosθ_2 
 sinθ_3 = sin(θ_3 + θ_2)cosθ_2 - cos(θ_2 + θ_3) sinθ_2 
Sinüs fark formülü elde edilir.
Bu türetme, Batlamyus'un Almagest'te ardından Kopernik tarafından tarihte kayıt altına alınan Üçüncü Teoreme karşılık gelir. Özellikle, bir beşgenin (çevresindeki dairede 36° ile oluşturulan) ve bir altıgenin (çevresindeki dairede 30° ile oluşturulan) kenarları verilirse, 6° ile oluşturulan bir kiriş hesaplanabilir. Bu, kiriş tablolarını hesaplamanın eski yönteminde kritik bir adımdı.


### Sonuç 5. Kosinüs toplam formülü.
Bu sonuç, Batlamyus'un Almagest'te ardından Kopernik tarafından tarihte kayıt altına alınan Beşinci Teoremin özüdür.
θ_3=90^∘ olsun. Sonraθ_1+(θ_2+θ_4)=90^∘. Bu nedenle
 sinθ_1sinθ_3+sinθ_2sinθ_4=sin(θ_3+θ_2)sin(θ_3+θ_4) 
 cos(θ_2+θ_4)+sinθ_2sinθ_4=cosθ_2cosθ_4 
 cos(θ_2+θ_4)=cosθ_2cosθ_4-sinθ_2sinθ_4 
Kosinüs toplam formülü elde edilir.
Modern trigonometrik notasyonumuzun becerisinden yoksun olmasına rağmen, yukarıdaki sonuçlardan, Batlamyus teoreminde (veya daha basitçe İkinci Teoremde) antik dünyanın emrinde son derece esnek ve güçlü bir trigonometrik araca sahip olduğu anlaşılmalıdır. Doğru kiriş tabloları (sinüs tablolarına karşılık gelen) hazırlamak ve bunları kozmosu gördükleri gibi anlama ve haritalama girişimlerinde kullanmak için. Kiriş tabloları Hipparchus tarafından Batlamyus'tan üç yüzyıl önce hazırlandığı için, 'İkinci Teorem'i ve türevlerini bildiğini varsaymalıyız. Eski gök bilimcilerin izinden giden tarih, İskenderiyeli Timocharis'in yıldız kataloğunu kaydeder. Muhtemel göründüğü gibi, bu tür katalogların derlenmesi 'İkinci Teorem'in anlaşılmasını gerektiriyorsa, o zaman ikincisinin gerçek kökenleri daha sonra antik çağın sisleri arasında kaybolur, ancak eski Mısırın gök bilimcilerin, mimarların ve inşaat mühendislerinin bu konuda biraz bilgi sahibi olduğunu varsaymak mantıksız olamaz.


## Batlamyus eşitsizliği.
Batlamyus teoremindeki denklem, kirişler dörtgeni olmayan dörtgenlerde asla doğru değildir. Batlamyus eşitsizliği bu gerçeğin bir uzantısıdır ve Batlamyus teoreminin daha genel bir biçimidir. Bir "ABCD dörtgeni" verildiğinde,
 AB·CD+BC·DA ≥AC·BD
burada eşitlik, ancak ve ancak dörtgen kirişler dörtgeni ise geçerlidir. Bu özel durum, Batlamyus teoremine eşdeğerdir.


## İkinci Batlamyus teoremi.
AC/BD=AB ·DA + BC ·CD/AB ·BC + DA ·CD
Batlamyus teoremi, kenarları bilinen bir kirişler dörtgeninin köşegenlerin çarpımını verir. Yukarıdaki özdeşlik ise oranlarını verir.
İspat : Bir çevrel çember içine çizilen ABC üçgenin alanı, R çap olmak üzere:𝒜 = AB ·BC ·CA/4R'dir.
Dörtgenin alanını aynı çevrel çemberi paylaşan iki üçgenin toplamı olarak yazdığımızda, her ayrışma için iki ilişki elde ederiz.
 𝒜_top = AB ·BC ·CA /4R + CD ·DA ·AC/4R = AC ·(AB ·BC + CD ·DA)/4R
 𝒜_top = AB ·BD ·DA/4R + BC ·CD ·DB/4R = BD ·(AB ·DA + BC ·CD)/4R
Denkleştirerek, açıklanan formülü elde ederiz.
Sonuç : Köşegenlerin hem çarpımını hem de oranını bildiğimizde, bunların anlık ifadelerini çıkarıyoruz:
 AC^2 amp; =AC · BD ·AC/BD=(AB · CD + BC · DA)AB · DA + BC · CD/AB · BC + DA · CD
 BD^2 amp; =AC · BD/AC/BD=(AB · CD + BC · DA)AB · BC + DA · CD/AB · DA + BC · CD


## Konuyla ilgili yayınlar.
 -  
 -  
 - YÖNLENDİRME