# Logaritmik dışbükey fonksiyon
Matematikte logaritma fonksiyonu ile bileşkesi dışbükey olan fonksiyonlara logaritmik dışbükey veya log dışbükey fonksiyon denir; daha matematiksel bir ifadeyle, verilmiş bir f fonksiyonu için logf dışbükey bir fonksiyonsa, o zaman f logaritmik dışbükey fonksiyondur.


## Tanım.
 - YÖNLENDİRME gerçel bir vektör uzayınının dışbükey bir altkümesi olsun.  YÖNLENDİRME ise negatif olmayan değerler alan bir fonksiyon olsun. O zaman, 
  - log ∘f dışbükeyse,  YÖNLENDİRME logaritmik dışbükeydir.
  - log ∘f kesin dışbükeyse,  YÖNLENDİRME kesin logaritmik dışbükeydir.
Burada, log0 değeri -∞ olarak alınmıştır.
Daha matematiksel bir ifadeyle açıkça yazmak gerekirse, #YÖNLENDİRME fonksiyonunun logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak #YÖNLENDİRME 
ve her #YÖNLENDİRME için aşağıdaki eşitsizlikleri sağlaması ile mümkündür: 
 log f(tx_1 + (1 - t)x_2) amp;≤ tlog f(x_1) + (1 - t)log f(x_2), 
 f(tx_1 + (1 - t)x_2) amp;≤ f(x_1)^tf(x_2)^1-t.
Benzer bir şekilde, #YÖNLENDİRME fonksiyonunun kesin logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak yukarıdaki eşitsizliklerin bütün #YÖNLENDİRME için eşitlik olmadan sağlanması ile mümkündür.
Yukarıdaki tanıma göre, #YÖNLENDİRME sıfır değer alabilir. Ancak, #YÖNLENDİRME logaritmik dışbükeyse ve #YÖNLENDİRME kümesi içindeki herhangi bir noktada 0 değeri alıyorsa, o zaman #YÖNLENDİRME in içindeki her noktada sıfır değeri almak zorundadır.


### Denk koşullar.
Eğer #YÖNLENDİRME bir #YÖNLENDİRME aralığında tanımlanmış ve türevlenebilir bir fonksiyonsa
 - YÖNLENDİRME fonksiyonunun logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak aşağıdaki eşitsizliğin  YÖNLENDİRME 'daki her  YÖNLENDİRME ve  YÖNLENDİRME için sağlanmasıyla mümkündür.
logf(x) ≥logf(y) + f'(y)/f(y)(x - y).
 - YÖNLENDİRME 'daki her  YÖNLENDİRME ve  YÖNLENDİRME için  YÖNLENDİRME varsayıldığında yukarıdaki eşitsizlik şuna denktir:
(f(x)/f(y))^1/x - y ≥e^f'(y)/f(y).
Benzer bir şekilde, #YÖNLENDİRME fonksiyonunun kesin logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak yukarıdaki eşitsizliklerin eşitlik olmadan sağlanması ile mümkündür.
Eğer #YÖNLENDİRME bir #YÖNLENDİRME aralığında tanımlanmış ve iki kere türevlenebilir bir fonksiyonsa, #YÖNLENDİRME fonksiyonunun logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak #YÖNLENDİRME 'daki her #YÖNLENDİRME için 
f”(x)f(x) ≥f'(x)^2
olması ile mümkündür. Eğer eşitsizlik kâti ise, o zaman #YÖNLENDİRME fonksiyonu kesin logaritmik dışbükeydir. Ancak, bunun tersi doğru değildir; yani, #YÖNLENDİRME kesin logaritmik dışbükey olup bir #YÖNLENDİRME değeri için, f”(x)f(x) = f'(x)^2 olabilir. Örneğin, f(x) = e^x^4 ise, o zaman, #YÖNLENDİRME kesin logaritmik dışbükeydir. Ancak, f”(0)f(0) = 0 = f'(0)^2 olur.
Ayrıca, fI →(0, ∞) fonksiyonunun logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak α∈ℝ için e^αxf(x) fonksiyonunun dışbükey olması ile mümkündür.


## Yeterli koşullar.
  - f_1, …, f_n logaritmik dışbükeyse ve w_1, …, w_n negatif olmayan gerçel sayılarsa f_1^w_1 ⋯f_n^w_n logaritmik dışbükeydir.
  - {f_i}_i ∈I logaritmik dışbükeylerden oluşan bir aile ise, o zaman, g = sup_i ∈I f_i logaritmik dışbükeydir.
  - f X →I ⊆𝐑 dışbükeyse ve g I →𝐑_≥0 logaritmik dışbükey ve azalmayan bir fonksiyonsa, o zaman g ∘f logaritmik dışbükeydir.


## Özellikler.
Logaritmik dışbükey bir fonksiyon f, artan dışbükey fonksiyon e^x ile tanım gereği dışbükey olan log∘f fonksiyonun bileşkesi olduğundan dışbükey bir fonksiyon olur. Ancak, tersi durum her zaman geçerli değildir ve logaritmik dışbükeylik olağan dışbükeylikten daha kesin ve güçlü bir özelliktir. Örneğin, f(x) = x^2 dışbükeydir ama logf(x) = 2log|x| dışbükey değildir.


## Örnekler.
  - f(x) = exp(|x|^p) fonksiyonu p ≥1 iken logaritmik dışbükeydir ve p gt  1 iken kesin logaritmik dışbükeydir.
  - f(x) = 1/x^p fonksiyonu (0,∞) üzerinde bütün p gt 0 için kesin logaritmik dışbükeydir.
  - Euler gama fonksiyonu pozitif gerçel sayılar üzerine kısıtlandığında kesin logaritmik dışbükeydir. Aslında, bu özellik, Bohr-Mollerup teoremi ile Euler gama fonksiyonunu karakterize etmek için kullanılan şartlardan biridir.