# Geometrik Brown hareketi
Matematikte geometrik Brown hareketi ya da üstel Brown hareketi rassal değişen bir niceliğin logaritmasının Brown hareketini izlediği sürekli-zamanlı ve sürüklemeli bir stokastik süreçtir. Geometrik Brown hareketi, belli bir stokastik diferansiyel denklemi sağlayan önemli bir stokastik süreçtir; özellikle, finansal matematikteki Black-Scholes modelinde hisse senedi fiyatlarının modellenmesinde kullanılmaktadır.


## Tanımı.
W_t Brown hareketi, μ sürükleme katsayısı ve σ volatilite katsayısı olmak üzere, bir S_t stokastik süreci 
 dS_t = μS_t dt + σS_t dW_t 
diferansiyel denklemini sağlıyorsa, o zaman S_t'nin geometrik Brown hareketini izlediği söylenir. Burada, μ deterministik hareketleri belirleyen katsayı görevi görürken, σ ise hareket sırasındaki rassallığa katkıda bulunmaktadır.


## Stokastik diferansiyel denklemin çözümü.
S_0 pozitif olmak üzere herhangi bir gerçel sayı olsun. İto hesabı ile, denklemin çözümü aşağıdaki gibi verilir:
 S_t = S_0 e^(μ- σ^2/2 )t + σW_t.
Bu çözüme ulaşmak için İto önsavını kullanmak gerekmektedir. f(S_t)=lnS_t için İto formülünü kullanırsak
 d(lnS_t) = dlnx/dx|_x=S_t d S_t + 1/2d^2 lnx/dx^2|_x=S_t dS_t dS_t
= d S_t/S_t -1/2 1/S_t^2 dS_t dS_t 
elde ederiz. Burada, dS_t dS_t ile bahsedilen kuadratik varyasyondur ve şöyle hesaplanır:
 d S_t d S_t = σ^2 S_t^2 d W_t^2 + 2 σS_t^2 μ d W_t d t + μ^2 S_t^2 d t^2. 
 d W_t^2 = O(d t) olduğundan, d t →0 iken, d t sıfıra d W_t'den daha hızlı yakınsar. O zaman, yukarıdaki kuadratik varyasyon şu şekilde yazılabilir:
 d S_t d S_t = σ^2 S_t^2 dt .
Bu ifâdeyi yukarıdaki denklemde kullanıp dS_t ifâdesini de yazarsak, 
 lnS_t/S_0 = (μ-σ^2/2 ) t + σW_t 
elde ederiz. Her iki tarafın üstelini alıp, sonra da S_0 ile çarparsak sonucu elde etmiş oluruz.


## Aritmetik Brown hareketi.
m herhangi bir gerçel sayı, σ ise pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, bir X_t stokastik süreci 
 d X_t = m dt + v dW_t ,
diferansiyel denklemini sağlıyorsa, X_t'nin aritmetik Brown hareketini izlediği söylenir.
Yukarıdaki stokastik diferansiyelin çözümünde karşımıza çıkan X_t:=lnS_t/S_0 stokastik süreci bu tanıma göre aritmetik Brown hareketini izlemektedir. Artimetik Brown hareketini ilk defa Louis Bachelier 1900 yılında hisse senedi fiyatlarını modellemek için kullanmıştır ve bu model bugün Bachelier modeli olarak bilinmektedir. Yukarıda gösterildiği gibi, aritmetik Brown hareketinin stokastik diferansiyel denklemi, yine Itô formülünün bir geometrik Brown hareketinin logaritması aracılığıyla elde edilebilir.


## Geometrik Brown hareketinin özellikleri.
### Beklenen değer ve varyans.
S_t nin yukarıda verilen çözümü log-normal dağılıma sahip bir rassal değişkendir. Bu durumda, beklenen değer ve varyans aşağıdaki gibi verilmektedir:
E(S_t)= S_0e^μt,
Var(S_t)= S_0^2e^2μt ( e^σ^2 t-1).
Bu değerleri hesaplamanın yollarından biri, bir α∈ için Z_t = e^αW_t - 1/2α^2 t olarak tanımlanan sürecin bir martingal olduğunu bilmekten geçmektedir. Bu durumda, 0 ≤s lt; t koşulunu sağlayan her s için,
 E[ S_t | ℱ_s]=S_0E[e^(μ- σ^2/2 )t + σW_t| ℱ_s]=S_0 e^μtE[e^- σ^2/2 t + σW_t| ℱ_s]=S_0e^μt e^-σ^2/2s + σW_s
 Var[ S_t | ℱ_s]=E[ S_t^2 | ℱ_s]-(E[ S_t | ℱ_s])^2=S_0^2 E[e^(2μ- σ^2 )t + 2σW_t| ℱ_s]-S_0^2 e^2μt e^-σ^2 s + 2σW_s= S_0^2e^2μte^-σ^2 s + 2σW_s[ e^σ^2(t-s)-1]
elde edilir. s=0 alınarak yukarıdaki verilen değerler elde edilir.


### Olasılık yoğunluk fonksiyonu.
 S_t nin yukarıda verilen çözümünün olasılık dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmektedir.
f_S_t(s; μ, σ, t) = 1/√(2 π) 1/s σ√(t) e^ - ( lns - lnS_0 - ( μ- 1/2 σ^2 ) t )^2/2σ^2 t.


#### Kanıt.
Bu fonksiyonu hesaplamak için Fokker-Planck denkleminin kullanılması gerekir. δ(.) Dirac delta fonksiyonu olmak üzere, 
∂p∂t + ∂∂S[μ(t,S)p(t,S)] = 12∂^2∂S^2[σ^2(t,S)p(t,S)], p(0,S) = δ(S).
Hesabı sadeleştirmek için x = log(S/S_0) alınırsa, 
dx = (μ- 12σ^2)dt + σdW
elde edilir ki bu durumda olasılık yoğunluk fonksiyonu için daha önce yazılmış olan Fokker-Planck denklemi 
∂p∂t + (μ- 12σ^2)∂p∂x = 12σ^2∂^2p∂x^2, p(0,x) = δ(x) 
hâline dönüşür.
V=μ-σ^2/2 ve D=σ^2/2 tanımlanıp, ξ= x-Vt ve τ= Dt değişkenleri tanımlanırsa, Fokker-Planck denklemindeki türevlerle bu yeni değişkenler üzerinden tanımlanan türevler arasında şöyle bir bağıntı ortaya çıkar:
∂_tp amp;= D∂_τp - V∂_ξp 
 ∂_xp amp;= ∂_ξp 
 ∂_x^2p amp;= ∂_ξ^2p. 
Böylece, 
∂p∂τ = ∂^2p∂ξ^2, p(0,ξ) = δ(ξ)
olur ki bu da ısı denkleminin doğal hâlidir. Isı denkleminin ısı çekirdeği tarafından 
p(τ,ξ) = 1√(4πτ)e^-ξ^24τ
olarak verilen bir çözümü vardır. Daha önce tanımlanan değişkenler yerine konulduğunda 
p(t,S) = 1S√(2πσ^2t)e^-[log(S/S_0)-( μ- 12σ^2)t ]^22σ^2t
elde edilir.


### Logaritmik getiri süreci.
Geometrik Brown hareketinin diğer özelliklerini türetirken, geometrik Brown hareketinin çözümü olduğu stokastik diferansiyel denklemden yararlanılabilir veya yukarıda verilen açık çözüm kullanılabilir. Örneğin, stokastik süreç log(S_t)'yi ele alalım. Bu ilginç bir süreçtir; çünkü teorikte nicel finansta ve uygulamada finansal kurumlarda çalışılan birçok türev ürününde ve özellikle Black-Scholes modelinde hisse senedi fiyatının logaritmik getirisiyle alâkası vardır. f(S)=log(S) ile Itô önsavını kullanarak 
dlog(S) amp; = f'(S) dS + 1/2 f” (S)S^2σ^2 dt 
 amp; = 1/S ( σS dW_t + μS dt) - 1/2σ^2 dt 
 amp;= σ dW_t +(μ-σ^2/2) dt.
elde edilir. Buradan, E log(S_t)=log(S_0)+(μ-σ^2/2)t olduğu çıkar. Diğer taraftan, daha önce elde edilmiş açık çözüme logaritma uygulayarak da aynı sonuç elde edilebilir:
log(S_t) amp;=log(S_0exp((μ- σ^2/2 )t + σW_t))
 amp; =log(S_0) +(μ- σ^2/2 )t + σW_t.
Her iki tarafın beklenen değeri alınırsa, E log(S_t)=log(S_0)+(μ-σ^2/2)t elde edilir.


## Örnek simulasyon yolakları yaratma.
 - Grafik için Python kodu
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
  - sabitleri tanımlama
mu = 0.8
sigma = np.arange(0.8, 2, 0.2)
n = 50
dt = 0.02
x0 = 100
np.random.seed(1)
 - simülasyon
x = np.exp(
 (mu - sigma ** 2 / 2) * dt
 + sigma * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=(len(sigma), n)).T)
x = np.vstack([np.ones(len(sigma)), x])
x = x0 * x.cumprod(axis=0)
 - grafik
plt.plot(x)
plt.legend(np.round(sigma, 2))
plt.xlabel("$t$")
plt.ylabel("$x$")
plt.title(
 r"Geometrik Brown hareketinin farklı varyanslar ve $\mu=$ {} altındaki gerçekleşmesi".format(mu), fontsize='small')
plt.show()


## Çok boyutlu hâli.
Geometrik Brown hareketinin birbiriyle korelasyonu olan süreçlerden oluşan çok boyulu hâli de vardır. Bu durumda,
i=1, ⋯,n olmak üzere
dS_t^i = μ_i S_t^i dt + σ_i S_t^i dW_t^i
alınır ve Brown hareketlerinin korelasyonu ρ_i,i = 1 olmak üzere her i,j=1, ⋯,n için E(dW_t^i dW_t^j) = ρ_i,j dt olarak verilir.
O zaman, 
Cov(S_t^i, S_t^j) = S_0^i S_0^j e^(μ_i + μ_j) t (e^ρ_i,j σ_i σ_j t-1)
olur.
Brown hareketlerinin bağımsız olduğu başka bir formülasyon da şu şekilde verilebilir:
dS_t^i = μ_i S_t^i dt + ∑_j=1^d σ_i,j S_t^i dW_t^j,
S_t^i ve S_t^j arasındaki korelasyon bu sefer σ_i,j = ρ_i,j σ_i σ_j tarafından ifâde edilir.


## Finansta kullanımı.
Geometrik Brown hareketi, Black-Scholes modelinde hisse senedi fiyatlarını modellemek için kullanılır ve hisse senedi fiyat davranışının en yaygın kullanılan modelidir. 
Hisse senedi fiyatlarını modellemek için geometrik Brown hareketinin kullanılmasına yönelik bazı argümanlar şunlardır:
  - geometrik Brown hareketinin beklenen getirileri, sürecin değerinden (hisse senedi fiyatı) bağımsızdır  bu da gerçekte bekleyeceğimizle örtüşmektedir.
  - geometrik Brown hareketi süreci tıpkı gerçek hisse senedi fiyatları gibi sadece pozitif değerler varsayar.
  - geometrik Brown hareketi süreci, gerçek hisse senedi fiyatlarında gördüğümüz türden bir "pürüzlülüğü" ve "tırtırlığı" yolaklarında göstermektedir.
  - geometrik Brown hareketi süreçlerinde hesaplamalar nispeten kolaydır.
Ancak, geometrik Brown hareketi tam anlamıyla gerçekçi bir model değildir. Özellikle, aşağıdaki noktalarda gerçeklikten uzak kalmaktadır:
  - Gerçek hisse senedi fiyatlarında oynaklık zamanla (muhtemelen stokastik olarak) değişir, ancak geometrik Brown hareketinde oynaklığın sabit olduğu varsayılır.
  - Gerçek hayatta hisse senedi fiyatlarında öngörülemeyen olaylar veya haberler nedeniyle sık sık sıçramalar görülür, ancak GBM'de yolaklar süreklidir ve sıçramalar yoktur.
Hisse senedi fiyatlarının modellenmesinin yanı sıra, geometrik Brown hareketi aynı zamanda alım-satım stratejilerinin izlenmesinde de uygulamalar bulmuştur.


## Uzantıları.
Geometrik Brown hareketini hisse senedi fiyatları için bir model olarak daha gerçekçi hale getirmek amacıyla ve aynı zamanda volatilite gülüşü sorunuyla da ilişkili olarak, oynaklığın sabitliği varsayımından vazgeçilebilir. Eğer volatilite, hisse senedi fiyatının ve zamanın deterministik (belirlenimci) fonksiyonu olarak alınırsa, bu sefer ortaya çıkan modele yerel volatilite modeli denilir.
Black-Scholes modelindeki geometrik Brown hareketinin basit bir uzantısı yerel volatilite stokastik diferansityel denklemleridir. Bu uzantıdaki dağılımı lognormal karışım dinamiği denilen ve aslında geometrik Brown hareketlerinin bir karışımından meydana gelen dağılımlardır. Sonuç olarak, bu uzantıda, opsiyon fiyatları Black-Scholes opsiyon fiyatlarının dışbükey bir kombinasyonuyla elde edilir.
Bunun yerine, oynaklığın kendi başına bir rassallığına sahip olduğunu varsayarsak, modele stokastik volatilite modeli denir. Bu modeller, genellikle farklı bir Brown Hareketi tarafından yönlendirilen ayrı bir denklemle tanımlanır. Heston modeli bu modellerin en ünlü örneklerindendir.