# Doğrusal olmayan optik
Doğrusal olmayan optik ya da nonlineer optik, ışığın doğrusal olmayan sistem ve malzemelerdeki davranışı ile özelliklerini inceleyen optiğin bir alt dalıdır. Bu malzemelerde elektrik alan (E) ile polarizasyon yoğunluğu (P) arasındaki ilişki doğrusal değildir; bu durum daha çok yüksek genlikte (108 V/m seviyelerinde) ışık veren lazerlerde ve lityum niobat gibi kristal yapılarında görülür. Schwinger sınırından daha kuvvetli alanlarda vakum da doğrusallığını kaybeder. Süperpozisyon prensibi bu malzemeler için geçerli değildir.
Doğrusal olmayan optiğin prensipleri, birçok lazer ve elektro-optik aygıt tasarımında sıklıkla kullanılmaktadır. Bu optik dalı aynı zamanda fiber optikte ultra kısa darbe iletimi gibi alanlarda da önem taşımaktadır.


## Temeller.
### Doğrusal olmayan polarizasyon.
Doğrusal bir ortamda polarizasyon ile elektrik alanın ilişkisi şu şekilde ifade edilebilir:
 P = ε_0 χE
Bu formülde ε_0 vakum geçirgenliğine, χ ise ortamın elektrik duyarlılığını tekabül eder. Ortamın tepkisinin lineer tepkiden sapmasının az olduğu durumlarda Taylor serisi açılımı uygulanır:
 P = ε_0 ( χ_1 E + χ_2 E^2 + χ_3 E^3 ⋯)
ya da
P =P_1_Doğrusal kısım + (P_2 + P_3 ⋯)_Doğrusal olmayan kısım
P_1 ortamın doğrusal polarizasyonunu ifade ederken diğer terimler daha üst mertebeden polarizasyonları ifade eder; mertebe arttıkça bu terimlerin elektrik duyarlılığı ve dolayısıyla toplam polarizasyona etkisi azalır. Bu nedenle bu terimlerin polarizasyonu etkileyebilmesi için yüksek güçte ve uyumlu ışık gerekir. Yüksek mertebeden polarizasyonların tanımı birçok doğrusal olmayan optik sürecin teorik temelini oluşturur.


### Doğrusal olmayan optikte dalga denklemi.
Doğrusal olmayan ortamlardaki farklı frekans harmonikleri elektromanyetik dalga denkleminin modifikasyonu ile açıklanabilir. Sadeleşmemiş, zamana bağlı elektrik alan dalga denklemi Maxwell denklemleri aracılığı ile şu şekilde yazılabilir:
∇×∇×Ẽ + μ∂^2/∂t^2 D̃=0 
Bu denklemde D elektrik yer değiştirme alanını belirtir ve elektrik alanla arasında D̃ = ε_0 Ẽ + P̃ ilişkisi vardır. Yük kaynağının olmadığı durumlarda vektör hesabı dönüşümleri ile denklem şu şekilde ifade edilir:
∇^2 Ẽ - 1/c^2 ∂^2/∂t^2 Ẽ= 1/ε_0 c^2 ∂^2/∂t^2 P̃ 
Bu formülde P, P^1 ve P^NL olarak doğrusal ve doğrusal olmayan bileşenleri ile ifade edilebilir. P^1'in izotropik bir yalıtkanlık sabiti olduğu varsayılırsa, homojen olmayan bir dalga denklemi elde edilir:
∇^2 Ẽ - ε^(1)/c^2 ∂^2/∂t^2 Ẽ= 1/ε_0 c^2 ∂^2/∂t^2 P̃^NL 


## Başlıca doğrusal olmayan optik süreçler.
### Frekans karıştırma ve ikinci harmonik üretimi.
Doğrusal olmayan kristal gibi ortamlarda elektromanyetik dalgalar enerji alışverişi ile farklı bir frekansa geçebilir. Bu süreçlerden biri ikinci harmonik üretimi ya da frekans ikilemesidir. Bu süreçte kristal ortamı asıl alanın iki katı frekansında (2ω) bir harmonik alan üretir. Tersleme simetrisi olan izotropik ortamlarda ikinci harmonik alan bir etkide bulunmazken, bu simetrinin olmadığı ortamlarda bu harmonik önem kazanır. Bir E_0 cos ωt alanının ikinci harmoniği ifadenin karesinin trigonometrik dönüşümü ile şu şekilde yazılabilir:
P_2 = 1/2 ε_2 χ_2 E_0^2 + 1/2 ε_2 χ_2 E_0^2 cos 2ωt 
Bu durumda ikinci mertebeden polarizasyonda zamandan bağımsız bir DC polarizasyonu oluşur ve bu optik rektifikasyon olarak bilinir. Enerjinin korunumu ikinci harmonik üretiminde de geçerlidir; doğrusal olmayan etkileşim ile ikinci harmonikten asıl dalgaya enerji geçişi olabilir. Farklı frekanslarda dalgalar dağılım nedeniyle farklı hızlarda hareket eder. Bu nedenle asıl dalga ile harmoniklerin toplamının tam parlaklığı sağlayabilmesi için faz eşlenmesi (phase matching) koşullarının sağlanması gerekir: ikinci harmonik üretimi için bu koşul harmoniğin dalga vektörünün asıl dalganın dalga vektörünün iki katı olması olarak ifade edilebilir. Faz eşleme ile dalgaların yapıcı girişimi sağlanır.
Doğrusal olmayan malzemelerde farklı frekanslardaki birden fazla foton birbiri ile etkileşime geçip başka frekanslarda üst harmonikler oluşturabilir; bu frekans karıştırma olarak bilinir. Farklı ω_1 ve ω_2 açısal frekanslarındaki eş A genlikliğinde bileşenlere sahip bir elektrik alan fazör açılımı ile şu şekilde yazılabilir:
E=A1/2[ E_01 (e^i ω_1 t + e^-i ω_1 t) + E_02 (e^i ω_2 t + e^-i ω_2 t) ]
Bu alan için ikinci mertebeden polarizasyon (P=ε_0 χE^2) alanın karesi ile doğru orantılıdır ve 2 ω_1, 2 ω_2, ω_1-ω_2 ile ω_1+ω_2 bileşenlerine sahiptir.


### Elektro-optik etkiler.
Elektro-optik etkiler DC ya da düşük frekanslı AC elektrik alanların doğrusal olmayan bazı kristal malzemelere uygulanması ile gözlemlenir. En bilinen iki elektro-optik etki, Pockels ve Kerr etkileridir. Bu iki etkide de elektrik alanın uygulanması ile ilgili maddenin kırılma indisinde değişim yaşanır. Bu nedenle Pockels ve Kerr etkileri optik iletişim için ışığın modülasyonunda sıklıkla kullanılmaktadır. Elektro-optik etkilerde kırılma indisinin değişimi, indisin sadece bu etkilere bağlı olduğu varsayılarak basitçe şu şekilde ifade edilebilir:
1/n^2=1/n_0^2+rE+RE^2
Burada n etken kırılma indisi, n_0 sabit indis ve r ile R ise malzemeye göre değişen elektro-optik katsayılardır.
 - Pockels etkisi
Pockels etkisi doğrusal olan r katsayısının bir sonucudur ve tersleme simetrisi olmayan malzemelerde görülür. Malzemeye doğru akımın oluşması ile çift kırılma gözlemlenebilir ya da kristalin anizotropisini belirten kristal ekseni değişir. Her ne kadar etki ikinci mertebeden polarizasyona bağlı olsa da indise doğrusal bir biçimde yansır. Pockels etkisi gösteren tüm kristaller aynı zamanda piezoelektriktir. Pockels etkisi kristal eksenini değiştirebildiğinden dolayı faz geciktiric (phase retarder) olarak kullanılabilir; L uzunluğundaki bir Pockels hücresinde V voltajının λ_0 dalga boylu bir dalgada yarattığı faz farkı
Φ=2 π/λ_0 r n_0^3 V
şeklinde ifade edilebilir. Bu formülde voltaj ve elektrik alan arasındaki ilişki basitçe V=EL şeklinde yazılabilir. Bu sistemde π kadar bir faz farkı yaratan maksimum yarısı genlik voltajı ise V_HW=λ_0 / ( 2r n_0^3 ) ile ifade edilebilir. Bu hücrede iletilen ışığın parlaklığı ise
I=I_max sin^2 ( π/2 V/V_HW )
formülü ile belirtilir.
 - Kerr etkisi
Ortamın izotropik olduğu durumlarda ise üçüncü mertebeden polarizasyona dayalı olan Kerr etkisi gözlemlenir; bu etki malzemenin tersleme simetrisi fark etmezsizin tüm doğrusal olmayan ortamlarda gözlemlenebilir. Bu etki, Pockels etkisine benzer bir şekilde ortamda çift kırılmaya ve dalgalarda faz farkına yol açar. Buna karşın etki elektrik alanın karesine bağlı olan R katsayısına etki eder. Kırılma indisi farkı bu durumda
olarak yazılabilir.


## Diğer optik süreçler ve uygulamaları.
Birçok fiber optik kablo tasarımlarında doğrusal olmayan optik süreçler rol oynamaktadır. Bu süreçlere Raman ile Brillouin saçılmaları ve öz faz modülasyonu (frequency-chirping) örnek gösterilebilir. Uyarılmış Raman etkisi ile fiber optikte dalgalar yükseltilebilir: bu Raman amplifikasyonu olarak bilinir. Bu optik süreçler aynı zamanda ultra kısa darbe lazerlerin tasarımında da kullanılmaktadır.
Doğrusal olmayan optik prensipleri kullanılarak optik aberasyon kusurları düzeltilebilmektedir; bu optik faz konjugasyonu (optical phase conjugation) olarak bilinir.