# Harmonik fonksiyon
Matematiğin matematiksel fizik alanında ve rassal süreçler teorisinde bir harmonik fonksiyon, R"n"'nin "U" gibi açık bir kümesi üzerinde "f" : "U" → R şeklinde tanımlı, Laplace denklemini, yani
∂^2f/∂x_1^2 +
∂^2f/∂x_2^2 +
∂^2f/∂x_n^2 = 0
denklemini sağlayan iki kere türevlenebilir bir fonksiyondur. Bu denklem aynı zamanda
∇^2 f = 0 veya Δf = 0
olarak da yazılmaktadır. Bunun haricinde bariz bir şekilde daha zayıf olan bir tanım daha vardır. Aslında, bir fonksiyon ancak ve ancak zayıf harmonikse, harmoniktir.
Harmonik fonksiyonlar aynı zamanda Laplace-de Rham operatörü Δ kullanılarak herhangi bir Riemann manifoldunda da tanımlanabilirler. Bu bağlamda, bir fonksiyonsa eğer
 Δf = 0
ise "harmonik" denilir.
Δf ≥0 denklemini sağlayan ve C^2 olan bir fonksiyona "altharmonik" adı verilir.


## Örnekler.
İki değişkenli harmonik fonksiyon örnekleri şunlardır:
  - herhangi bir holomorf fonksiyonun gerçel ve sanal kısımları
  - R2 \ {0} 'de tanımlı
"f"("x"1, "x"2) = ln("x"12 + "x"22)
fonksiyonu (yani çizgi yükü nedeniyle oluşan elektrik potansiyeli ve uzun silindirik kütle nedeniyle oluşan yerçekimi potansiyeli)
  - "f"("x"1, "x"2) = exp("x"1)sin("x"2).
"n" değişkenli harmonik fonksiyon örnekleri şunlardır:
  - R"n" 'nin tümündeki sabit, doğrusal ve afin fonksiyonları (örneğin, bir kapasitör levhalarının arasındaki elektrik potansiyeli ve bir tablanın yerçekimi potansiyeli)
  - "n" ≥ 2 için, R"n" \ {0} üzerindeki "f"("x"1...,"x""n") = ("x"12 + ... + "x""n"2)1 -"n"/2 fonksiyonu
Üç değişkenli harmonik fonksiyonların örnekleri r^2=x^2+y^2+z^2 alınarak aşağıdaki tabloda verilmiştir. Harmonik fonksiyonlar tekillikleri tarafından belirlenirler. Harmonik fonksiyonların tekil noktaları aşağıda elektrostatik terminolojisi kullanılarak "yük" ve "yük yoğunluğu" olarak açıklanmıştır ve böylece karşılık gelen harmonik fonksiyon bu yük dağılımlarından dolayı elektrostatik potansiyeline oranlı olacaktır. Aşağıdaki her fonksiyon bir sabit ile çarpıldığında, döndürüldüğünde ve/veya fonksiyona bir sabit eklendiğinde yine başka bir harmonik fonksiyon verecektir. Her fonksiyonun tersi (burada ters, görüntüler metodu anlamında kullanılmıştır) küresel "ayna"da orijinal tekilliklerin görüntüsü olan tekilliklere sahip başka bir harmonik fonksiyonu verecektir.


## Karmaşık fonksiyon teorisiyle bağlantıları.
Holomorf herhangi bir fonksiyonun gerçel ve sanal kısmı R2 üzerinde harmonik fonksiyonlar verecektir. Tersine, R2 'deki bir bölgede "u" gibi harmonik fonksiyonu alıp "u" 'nun "v" harmonik eşleniğine götüren ve "u+iv" 'nin holomorf olduğu bir operatör mevcuttur. "v" burada gerçel bir sabite kadar iyi tanımlıdır. Bu, özellikle Hilbert dönüşümünde iyi bilinen bir gerçektir. Ayrıca, tekil integral operatörleri ile bağlantılı olarak matematiksel analizde de basit bir örnektir. Geometrik olarak, "u" ve "v" 'nin, temelde yatan holomorf fonksiyonun sıfırların uzağında "dik yörünge"ye sahip olmak bağlamında ilişkileri vardır; "u" ve "v" 'nin sabit olduğu kontürler birbirlerini dik açı ile keserler. Bu bağlamda, "u" potansiyel fonksiyon olursa ve "v" akış fonksiyonu olursa, o zaman "u+iv" de karmaşık potansiyel olur.


## Harmonik fonksiyonların özellikleri.
Harmonik fonksiyonların bazı önemli özellikleri Laplace denkleminden çıkarılabilir.


### Harmonik fonksiyonlar için düzgünlük teoremi.
Harmonik fonksiyonlar sonsuz kere türevlenebilirler. Aslında, harmonik fonksiyonlar gerçel analitiktir.


### Maksimum ilkesi.
Harmonik fonksiyonlar şu maksimum ilkesini sağlarlar: Eğer "K", "U" 'nun tıkız bir kümesiyse, o zaman "f" 'nin "K" 'ye olan sınırlaması maksimum ve minimum değerlerini "K" 'nin sınırı üzerinde alır. "U" bağlantılı olursa yukarıdaki ifade "f" 'nin yerel maksimum veya minimuma sahip olamayacağı anlamına gelir (burada "f" sabit olmayacak şekilde düşünülmüştür). Benzer özellikler altharmonik fonksiyonlar için de gösterilebilir.


### Ortalama değer özelliği.
B("x","r"), "U" içinde tamamen yer alan, "x" merkezli ve "r" yarıçaplı bir topsa, o zaman "f" harmonik fonksiyonunun merkezdeki değeri yani "f"("x"), "f" 'nin topun yüzeyinde aldığı değerlerin ortalama değeriyle verilir. Bu ortalama değer ayrıca "f" 'nin topun içindeki değerlerinin ortalamasına da eşittir. Başka bir deyişle, "n" boyutta ω_n, birim kürenin yüzey alanı ise
 u(x) = 1/ω_n r^n-1∮_∂B(x,r) u dS
 = n/ω_n r^n∫_B (x,r) u dV.


### Liouville teoremi.
Eğer harmonik bir "f" fonksiyonu, alttan veya üstten sınırlı bir şekilde R"n" 'de tanımlı ise, o zaman "f" sabittir (Karmaşık değişkenli fonksiyonların Liouville teoremiyle karşılaştırınız).


## Genelleştirmeler.
Harmonik fonksiyonların genelleştirmelerinden birisi Riemann manifoldları üzerindeki harmonik formlardır ve kohomoloji ile ilgilidir. Ayrıca, vektör değerli harmonik fonksiyonları veya genelleştirilmiş Dirichlet enerji fonksiyonelinin kritik noktaları olan iki Riemann manifoldunun harmonik gönderimlerini de tanımlamak mümkündür (bu harmonik fonksiyonları özel bir durum olarak içerir, Dirichlet ilkesi olarak bilinir). Bu tür harmonik gönderimler minimal yüzeyler teorisinde ortaya çıkmaktadır. Mesela, R 'den bir Riemann manifolduna bir gönderim olan bir eğri, ancak ve ancak jeodeziyse harmonik gönderimdir.