# Bergman uzayı
Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Bergman uzayı kompleks koordinat uzayının bir "D" bölgesinde tanımlı holomorf fonksiyonlardan oluşan bir fonksiyon uzayıdır. Uzay, Stefan Bergman'ın adını taşımaktadır. 
Daha matematiksel bir ifadeyle, Bergman uzayı olan A^p(D), D üzerinde tanımlı ve p-normu sonlu olan holomorf fonksiyonlardan oluşmaktadır.


## Gösterim hakkında.
Bergman uzaylarının gösterimi hakkında bir uzlaşım yoktur. Karmaşık düzlemdeki analitik fonksiyonlar çalışıldığında L^p_α(D) ya da L^p_a(D) gösterimi yaygındır; buradaki, α ya da a harfi fonksiyonun "analitik" (holomorf fonksiyonların analitikliği maddesine bakınız) olduğunu simgelemek için eklenmiştir. Alt ve üst indekslerin başka özellikler için kullanılması gerektiği durumlarda, kullanımının zorluk çıkarmayacağı düşünülerek A^p(D) veya 𝒜^p(D) de kullanılmaktadır. Yine, L^p_α(D) kullanımına paralel olarak L^p,h(D) kullanımı da vardır ve h harfi fonksiyonun "holomorf" olduğunu simgeler.


## Tanımı.
D⊂^n açık küme, dV ise D üzerindeki Öklid hacim formu olsun. D üzerinde tanımlı holomorf fonksiyonlar uzayı H (D) ile gösterilsin. 0 lt; p lt; ∞ için, L^p(D) ise Lebesgue uzayı olsun. Bu gösterimler altında,
A^p(D):=L^p(D)∩H (D)
şeklinde tanımlanan ve L^p(D) uzayının normunu alan uzaya D üzerinde tanımlı Bergman uzayı denir. Diğer deyişle, f fonksiyonunun Bergman uzayında olması için, 
  - f inin holomorf olması
  - Aşağıdaki gibi tanımlı L^p(D)'de olma koşulunu sağlaması gerekir:
 ‖f ‖_A^p(D) =(∫_D |f(z)|^p dV(z))^1/p lt; ∞.
p=2 olmadığı durumlarda, bazen bu duruma vurgu yapmak için p-Bergman uzayı ifadesi de kullanılır.


## Özellikler.
  - Yukarıda verilen ‖·‖_A^p(D) tanımı ancak p≥1 ise gerçek bir normdur.
 - p≥1 ise, Bergman uzayları Banach uzayıdır. Bu sonuç, D'nin tıkız bir K altkümesi üzerindeki şu kestirimin bir sonucu olarak elde edilebilir:
sup_z∈K |f(z)| ≤C_Kf_L^p(D).
Bu yüzden, L^p(D)'deki holomorf fonksiyonlar dizisinin yakınsaklığı ayrıca bu dizinin tıkız yakınsak olduğunu verir. Böylece, limit fonksiyonu da holomorftur.
  - p=2 olduğu durumlarda uzay üzerinde iç çarpım şu şekilde belirlenebilir:
⟨f, g ⟩:= ∫_D f(z) g(z) dV(z). 
O zaman A^2(D) bir doğuran çekirdekli Hilbert uzayıdır ve çekirdeği de Bergman çekirdeği tarafından belirlenir. Gerçekten de,
  - Uzay, tanımı gereği yine bir Hilbert uzayı olan L^2(D)nin doğrusal bir altuzayıdır.
  - Aynı zamanda, Bergman uzayı, L^2(D) içinde kapalıdır. Bu yüzden, kendi başına da tam bir metrik uzaydır. Bu uzayın kapalı olmasının sebebi Dnin her tıkız alt kümesi için sup_z∈K |f(z)| ≤C_Kf_L^2(D) eşitsizliğinin sağlanmasıdır. Bu halde, bir holomorf fonksiyon dizisinin L^2(D) içindeki yakınsaklığı tıkız kümeler üzerindeki düzgün yakınsaklığa (yani tıkız yakınsaklığa) dönüşür. Böylelikle, bu dizinin limiti de holomorf olur. L^2(D) zaten tam olduğu için, limitin kare integrallenebilir olduğu bilinmektedir. O yüzden, limit fonksiyonu da A^2(D) içindedir.


## Bergman çekirdeği.
Daha önceden bahsedilen sup_z∈K |f(z)| ≤C_Kf_L^2(D) eşitsizliğinin Dnin her tıkız altkümesinde sağlanması, aynı zamanda D içindeki her z noktası için, ev_z: f↦f(z) gönderiminin bir sürekli doğrusal operatör olduğunu da gösterir. Bir başka deyişle, D içindeki her z noktası için, A^2(D) uzayında bulunan fonksiyonların z noktasında değerlendirilmesi sürekli doğrusal operatör olur. O zaman, Riesz temsil teoremi kullanılarak bu doğrusal operatör A^2(D)'deki bir elemanla iç çarpım halinde yazılabilir:
ev_z f = ∫_D f(ζ)η_z(ζ) dμ(ζ).
Bergman çekirdeği K, 
K(z,ζ) = η_z(ζ) 
olarak tanımlanır. Bergman çekirdeği, z değişkeninde holomorf ve ζ değişkeninde ise tersholomorftur. Aynı zamanda aşağıdaki çekirdek özelliğini sağlar:
f(z) = ∫_D K(z,ζ)f(ζ) dμ(ζ).
Başka bir deyişle, D içindeki her z noktası için, A^2(D) içindeki her holomorf fonksiyonun bu çekirdekle çarpılıp integralinin alınması fonksiyonun z noktasında değerlendirmesini geri verir. z noktası herhangi bir nokta olabileceği için, fonksiyon çekirdek tarafından yeniden üretilmiş olur; yani, çekirdek üreteç görevi görmektedir.


### Özel bölgelerde Bergman çekirdeği.
Bergman çekirdeği, karmaşık düzlemdeki ve karmaşık koordinat uzayındaki bazı özel bölgelerde açık bir şekilde bilinmektedir.
  - Birim disk: D=𝔻(0, 1)= { z∈ℂ : |z| lt 1} ise, o zaman 
K(z,ζ) = 1/π1/(1-zζ̅)^2, (ζ∈𝔻). 
  - (Gerçel kısmı pozitif olan) Yarı düzlem: D=ℂ_+= { z∈ℂ : |Re z gt 0} ise, o zaman
 K(z,ζ) = 1/(z+ζ)^2 (ζ∈ℂ_+).
  - Yuvar: B={z∈^n| |z| lt R} sıfır merkezli ve R yarıçaplı yuvar olsun. O zaman,
 K_B(z,ζ) = n!R^n/π^n(R^2-∑_j=1^n z_jζ̅_j)^-n-1.
n=1 ve R=1 iken yukarıda verilen ifâde buradan tekrar elde edilebilir.
  - Disk çarpımı: U={z∈^n| |z_j| lt r_j, j=1,2, ⋯, n} sıfır merkezli ve r=(r_1, ⋯, r_n) vektör yarıçaplı disk çarpımı (polidisk) olsun. O zaman,
 K_U(z,ζ) = 1/π^n∏_j=1^n r_j^2/(r_j^2-z_jζ̅_j)^2.