# Trigonometrik özdeşlikler listesi
Trigonometride, trigonometrik özdeşlikler trigonometrik fonksiyonları içeren ve eşitliğin her iki tarafının da tanımlandığı değişkenlerin her değeri için doğru olan eşitliklerdir. Geometrik olarak, bunlar bir veya daha fazla açının belirli fonksiyonlarını içeren özdeşliklerdir. Bunlar üçgen özdeşliklerinden farklıdır, bunlar potansiyel olarak açıları içeren ama aynı zamanda kenar uzunluklarını veya bir üçgenin diğer uzunluklarını da içeren özdeşliklerdir.
Bu özdeşlikler, trigonometrik fonksiyonları içeren ifadelerin basitleştirilmesi gerektiğinde kullanışlıdır. Önemli bir uygulama, trigonometrik olmayan fonksiyonların integrasyonudur: yaygın bir teknik, önce bir trigonometrik fonksiyonla ikame kuralı kullanmayı ve ardından ortaya çıkan integrali bir trigonometrik özdeşlikle basitleştirmeyi içerir.


## Pisagor özdeşlikleri.
Sinüs ve kosinüs arasındaki temel ilişki Pisagor özdeşliği ile verilir:
sin^2θ+ cos^2θ= 1,
burada sin^2 θ= (sinθ)^2 ve cos^2 θ= (cosθ)^2 anlamına gelir.
Bu Pisagor teoreminin bir versiyonu olarak görülebilir ve birim çember için x^2 + y^2 = 1 denkleminden çıkar. Bu denklem sinüs ya da kosinüs için çözülebilir:
 sinθ amp;= ±√(1 - cos^2θ), 
 cosθ amp;= ±√(1 - sin^2θ).
Burada işaret θ'nın çeyreğine (kuadrantına) bağlıdır.
Bu özdeşliği sin^2 θ, cos^2 θ veya her ikisine böldüğünüzde aşağıdaki özdeşlikler elde edilir:
 amp;1 + ^2θ = ^2θ
 amp;1 + tan^2θ = ^2θ
 amp;^2θ + ^2θ = ^2θ^2θ
Bu özdeşlikleri kullanarak, herhangi bir trigonometrik fonksiyonu diğer herhangi bir fonksiyon cinsinden (artı veya eksi işaretine kadar) ifade etmek mümkündür:


## Yansımalar, kaymalar ve periyodiklik.
Birim çember incelenerek trigonometrik fonksiyonların aşağıdaki özellikleri belirlenebilir.


### Yansımalar.
Bir Öklid vektörünün yönü bir θ, açısı ile temsil edildiğinde, bu açı serbest vektör (orijinden başlayan) ve pozitif x-birim vektörü tarafından belirlenen açıdır. Aynı kavram, Öklid uzayında doğrulara da uygulanabilir; burada açı, verilen doğruya orijinden ve pozitif x-ekseninden geçen bir paralel doğru tarafından belirlenen açıdır. θ doğrultulu bir doğru (vektör) α, doğrultulu bir doğru etrafında yansıtılırsa, bu yansıtılan doğrunun (vektörün) θ^' doğrultu açısı θ^' = 2 α- θ.
değerine sahiptir.
Bu açıların trigonometrik fonksiyonlarının değerleri θ, θ^' belirli açılar α için basit özdeşlikleri karşılar: ya eşittirler, ya zıt işaretlidirler ya da tamamlayıcı trigonometrik fonksiyon kullanırlar. Bunlar #YÖNLENDİRME olarak da bilinir.


### İşaretler.
Trigonometrik fonksiyonların işareti açının çeyreğine (kuadrantına) bağlıdır. Eğer -π lt; θ≤π ve #YÖNLENDİRME işaret fonksiyonu ise,
 (sinθ) = (θ) amp;= 
 +1 amp; 0 lt; θ lt; π ise
 -1 amp; -π lt; θ lt; 0 ise
 0 amp; θ∈{0, π} ise
 (cosθ) = (θ) amp;= 
 +1 amp; -12π lt; θ lt; 12π ise
 -1 amp; -π lt; θ lt; -12π veya 12π lt; θ lt; π ise
 0 amp; θ∈(∏_i ∈ Asinθ_i ∏_i ∉Acosθ_i) 
 cos(∑_i=1^∞θ_i)
 amp;= ∑_çift k ≥ 0 (-1)^k/2 ∑_[ A ⊆{ 1,2,3,… }; |A| = k ](∏_i ∈ Asinθ_i ∏_i ∉Acosθ_i) .
∑_i=1^∞θ_i serisi mutlak yakınsadığı için, lim_i →∞ θ_i = 0, lim_i →∞ sinθ_i = 0, ve lim_i →∞ cosθ_i = 1. Özellikle, bu iki özdeşlikte sonlu sayıda açının toplamları durumunda görülmeyen bir asimetri ortaya çıkar: her çarpımda yalnızca sonlu sayıda sinüs çarpanı vardır, ancak dual sonlu çok sayıda kosinüs çarpanı vardır. Sonsuz sayıda sinüs çarpanı olan terimler zorunlu olarak sıfıra eşit olacaktır.
θ_i açılarının yalnızca sonlu sayıda olanı sıfırdan farklı olduğunda, sağ taraftaki terimlerin yalnızca sonlu sayıda olanı sıfırdan farklıdır çünkü sonlu sayıda sinüs çarpanı hariç hepsi yok olur (sadeleşir). Ayrıca, her bir terimde sonlu sayıda kosinüs çarpanı hariç hepsi birimdir (tekildir).


### Toplamların tanjantları ve kotanjantları.
e_k (k = 0, 1, 2, 3, … için) değişkenler içinde kinci derece temel simetrik polinom olsun:
x_i = tanθ_i
i = 0, 1, 2, 3, …, için yani,
 e_0 amp;= 1 
 e_1 amp;= ∑_i x_i amp; amp;= ∑_i tanθ_i 
 e_2 amp;= ∑_i lt;j x_i x_j amp; amp;= ∑_i lt;jtanθ_i tanθ_j 
 e_3 amp;= ∑_i lt;j lt;k x_i x_j x_k amp; amp;= ∑_i lt;j lt;ktanθ_i tanθ_j tanθ_k 
 amp; ⋮ amp; amp; ⋮
Öyleyse yukarıdaki sinüs ve kosinüs toplam formüllerini kullanarak,
 tan(∑_i θ_i)
 amp;= ∏/_i ∈ Atanθ_i
 = e_1 - e_3 + e_5 -⋯/e_0 - e_2 + e_4 - ⋯
 (∑_i θ_i)
 amp;= e_0 - e_2 + e_4 - ⋯/e_1 - e_3 + e_5 -⋯
Sağ taraftaki terim sayısı sol taraftaki terim sayısına bağlıdır.
Örneğin:
 tan(θ_1 + θ_2) amp;
 = e_1 / e_0 - e_2 
 = x_1 + x_2 / 1 - x_1 x_2 
 = tanθ_1 + tanθ_2 / 1 - tanθ_1 tanθ_2 ,
 tan(θ_1 + θ_2 + θ_3) amp;
 = e_1 - e_3 / e_0 - e_2 
 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_1 x_2 x_3) / 1 - (x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) ,
 tan(θ_1 + θ_2 + θ_3 + θ_4) amp;
 = e_1 - e_3 / e_0 - e_2 + e_4 
 amp;
 = (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) - (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) / 1 - (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) + (x_1 x_2 x_3 x_4) ,
ve bunun gibi. Sadece sonlu sayıda terim olması durumu matematiksel tümevarım ile kanıtlanabilir. Sonsuz sayıda terim olması durumu, bazı temel eşitsizlikler kullanılarak kanıtlanabilir.


### Toplamların sekantları ve kosekantları.
 (∑_i θ_i ) amp;= ∏_i θ_i/e_0 - e_2 + e_4 - ⋯
 (∑_i θ_i ) amp;= ∏_i θ_i /e_1 - e_3 + e_5 - ⋯
Burada e_k, n değişkenlerinde kinci derece temel simetrik polinom olup, x_i = tanθ_i, i = 1, …, n, ve paydadaki terim sayısı ile paydaki çarpımdaki çarpan sayısı soldaki toplamdaki terim sayısına bağlıdır. Sadece sonlu sayıda terim olması durumu, bu tür terimlerin sayısı üzerine matematiksel tümevarım yoluyla kanıtlanabilir.
Örneğin,
 (α+β+γ)
 amp;= αβγ/1 - tanαtanβ - tanαtanγ - tanβtanγ
 (α+β+γ)
 amp;= αβγ/tanα + tanβ + tanγ - tanαtanβtanγ.


### Batlamyus teoremi.
Batlamyus teoremi, trigonometrik özdeşlikler tarihinde önemlidir, çünkü sinüs ve kosinüs için toplam ve fark formüllerine eşdeğer sonuçlar ilk kez bu şekilde kanıtlanmıştır. Teorem, yandaki şekilde gösterildiği gibi ABCD çembersel dörtgeninde, karşılıklı kenarların uzunluklarının çarpımlarının toplamının köşegenlerin uzunluklarının çarpımına eşit olduğunu belirtir. Köşegenlerden veya kenarlardan birinin dairenin çapı olduğu özel durumlarda, bu teorem doğrudan açı toplamı ve fark trigonometrik özdeşliklerine yol açar. Bu ilişki en kolay şekilde, burada gösterildiği gibi daire bir çap uzunluğunda olacak şekilde inşa edildiğinde ortaya çıkar.
Thales teoremi ile, ∠DAB ve ∠DCB her ikisi de dik açıdır. Dik açılı DAB ve DCB üçgenlerinin her ikisi de uzunluğu 1 olan BD hipotenüsünü paylaşır. Böylece kenar AB = sinα, AD = cosα, BC = sinβ ve CD = cosβ olur.
Çevre açı teoremine göre, çemberin merkezindeki AC akorunun merkezde oluşturduğu açı ∠ADC açısının iki katıdır, yani 2(α+ β). Dolayısıyla, simetrik kırmızı üçgen çiftinin her birinin merkezinde α+ β açısı vardır. Bu üçgenlerin her birinin 1/2 uzunluğunda bir hipotenüsü vardır, dolayısıyla AC uzunluğu 2 ×1/2 sin(α+ β), yani basitçe sin(α+ β). Dörtgenin diğer köşegeni 1 uzunluğundaki çaptır, dolayısıyla köşegenlerin uzunluklarının çarpımı da sin(α+ β)'dır.
Bu değerler, Batlamyus teoreminin |AC|·|BD|=|AB|·|CD|+|AD|·|BC| ifadesinde yerine konulduğunda, sinüs için açı toplamı trigonometrik özdeşliği elde edilir: sin(α+ β) = sinαcosβ+ cosαsinβ. sin(α- β) için açı farkı formülü, CD kenarının BD yerine çap olarak kullanılmasıyla benzer şekilde türetilebilir.


## Açının katları ve yarım açı formülleri.
### Açının katları formülleri.
#### Çift açı formülleri.
Bir açının iki katı için formüller.
 sin(2θ) = 2 sinθcosθ= (sinθ+cosθ)^2 - 1 = 2 tanθ/1 + tan^2 θ
 cos(2θ) = cos^2 θ- sin^2 θ= 2 cos^2 θ- 1 = 1 - 2 sin^2 θ= 1 - tan^2 θ/1 + tan^2 θ
 tan(2θ) = 2 tanθ/1 - tan^2 θ
 (2θ) = ^2 θ- 1/2 θ = 1 - tan^2 θ/2 tanθ
 (2θ) = ^2 θ/2 - ^2 θ = 1 + tan^2 θ/1 - tan^2 θ
 (2θ) = θθ/2 = 1 + tan^2 θ/2 tanθ


#### Üç kat açı formülleri.
Üç kat açılar için formüller.
 sin(3θ) =3sinθ- 4sin^3θ= 4sinθsin(π/3 -θ)sin(π/3 + θ)
 cos(3θ) = 4 cos^3θ- 3 cosθ=4cosθcos(π/3 -θ)cos(π/3 + θ)
 tan(3θ) = 3 tanθ- tan^3θ/1 - 3 tan^2θ = tanθtan(π/3 - θ)tan(π/3 + θ)
 (3θ) = 3 θ- ^3θ/1 - 3 ^2θ
 (3θ) = ^3θ/4-3^2θ
 (3θ) = ^3θ/3^2θ-4


#### Çok kat açı formülleri.
Çok katlı açılar için formüller.
 sin(nθ) amp;= ∑_k tek (-1)^k-1/2n kcos^n-kθsin^k θ =
 sinθ∑_i=0^(n+1)/2∑_j=0^i (-1)^i-jn 2i + 1i jcos^n-2(i-j)-1θ
 amp;=2^(n-1)∏_k=0^n-1sin(kπ/n+θ)
 cos(nθ) = ∑_k çift (-1)^k/2 n kcos^n-k θsin^k θ=
 ∑_i=0^n/2∑_j=0^i (-1)^i-j n 2ii j cos^n-2(i-j) θ
 cos((2n+1)θ)=(-1)^n 2^2n∏_k=0^2ncos(kπ/(2n+1)-θ)
 cos(2 n θ)=(-1)^n 2^2n-1 ∏_k=0^2n-1 cos((1+2k)π/(4n)-θ)
 tan(nθ) = ∑_k tek (-1)^k-1/2 n ktan^k θ/∑_k çift (-1)^k/2 n ktan^k θ


#### Chebyshev yöntemi.
Chebyshev yöntemi, (n-1)inci ve (n-2)inci değerleri bilerek ninci çok katlı açı formülünü bulmak için bir özyineleme algoritmasıdır.
cos(nx) değeri, cos((n-1)x), cos((n-2)x) ve cos(x)'den cos(nx)=2 cosx cos((n-1)x) - cos((n-2)x) eşitliği yardımıyla hesaplanabilir.
Bu durum aşağıdaki formüllerin toplanmasıyla kanıtlanabilir:
 cos ((n-1)x + x) amp;= cos ((n-1)x) cos x-sin ((n-1)x) sin x 
 cos ((n-1)x - x) amp;= cos ((n-1)x) cos x+sin ((n-1)x) sin x
Tümevarım yoluyla cos(nx)'in cosx, 'in bir polinomu olduğu sonucuna varılır, buna birinci türden Chebyshev polinomu denir, bkz. Chebyshev polinomları#Trigonometrik tanım.
Benzer şekilde, sin(nx), sin((n-1)x), sin((n-2)x), ve cosx'ten sin(nx)=2 cosx sin((n-1)x)-sin((n-2)x) yardımıyla hesaplanabilir.
Bu, sin((n-1)x+x) ve sin((n-1)x-x) formülleri eklenerek kanıtlanabilir.
Chebyshev yöntemine benzer bir amaca hizmet ederek, tanjnat için şunu yazabiliriz:
tan(nx) = tan((n-1)x) + tanx/1- tan((n-1)x) tanx .


### Yarım açı formülleri.
 sinθ/2 amp;= (sinθ/2) √(1 - cosθ/2)
 cosθ/2 amp;= (cosθ/2) √(1 + cosθ/2)
 tanθ/2 amp;= 1 - cosθ/sinθ
 = sinθ/1 + cosθ
 = θ - θ
 = tanθ/1 + θ
 amp;= (sinθ) √(%s/%s)1 - cosθ1 + cosθ
 = -1 + (cosθ) √(1+tan^2θ)/tanθ
 θ/2 amp;= 1 + cosθ/sinθ
 = sinθ/1 - cosθ
 = θ + θ
 = (sinθ) √(%s/%s)1 + cosθ1 - cosθ
 θ/2 amp;= (cosθ/2) √(2/1 + cosθ)
 θ/2 amp;= (sinθ/2) √(2/1 - cosθ)
Ayrıca
 tanη±θ/2 amp;= sinη±sinθ/cosη + cosθ
 tan(θ/2 + π/4) amp;= θ + tanθ
 √(1 - sinθ/1 + sinθ) amp;= |1 - tanθ/2|/|1 + tanθ/2|


### Tablo.
Bunlar, toplam ve fark özdeşlikleri ya da çoklu açı formülleri kullanılarak gösterilebilir.
 \tan\frac{\theta}{2} &= \frac{\tan\theta}{1 + \sqrt{1 + \tan^2\theta}} \\
 &\text{for } \theta \in \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2} \right)
\end{align}</math>
 θ/2 amp;= θ + θ
 amp;= ± √(%s/%s)1 + cosθ1 - cosθ
 amp;= sinθ/1 - cosθ
 amp;= 1 + cosθ/sinθ
Sinüs ve kosinüs için üç kat açı formülünün yalnızca tek bir fonksiyonun kuvvetlerini içermesi, açıyı üçe bölmenin pergel ve düzeç konstrüksiyonu geometrik problemini kübik denklem çözme cebirsel problemiyle ilişkilendirmeye izin verir, bu da alan teorisi tarafından verilen araçları kullanarak üçlemenin genel olarak imkansız olduğunu kanıtlamaya izin verir.
Üçte bir açı için trigonometrik özdeşlikleri hesaplamak amacıyla bir formül mevcuttur, ancak bu #YÖNLENDİRME kübik denklemin sıfırlarını yani köklerini bulmayı gerektirir, burada x kosinüs fonksiyonunun üçte birlik açıdaki değeri ve d kosinüs fonksiyonunun tam açıdaki bilinen değeridir. Bununla birlikte, bu denklemin diskriminantı pozitiftir, bu nedenle bu denklemin üç reel kökü vardır (bunlardan sadece biri üçte birlik açının kosinüsü için çözümdür). Bu çözümlerin hiçbiri küp köklerin altında ara karmaşık sayılar kullandıkları için gerçek bir cebirsel ifadeye indirgenemez.


## Kuvvet indirgeme formülleri.
Kosinüs çift açı formülünün ikinci ve üçüncü versiyonlarının çözülmesiyle elde edilir.
 Genel olarak sinθ veya cosθ kuvvetleri cinsinden aşağıdaki doğrudur ve De Moivre formülü, Euler formülü ve binom teoremi kullanılarak çıkarılabilir.


## Çarpım-toplam ve toplam-çarpım özdeşlikleri.
Çarpım-toplam özdeşlikleri veya prosthaphaeresis formülleri, açı toplam teoremleri kullanılarak sağ tarafları genişletilerek kanıtlanabilir. Tarihsel olarak, bunlardan ilk dördü, astronomik hesaplamalar için kullanan Johannes Werner'den sonra Werner formülleri olarak biliniyordu. 
Çarpım-toplam formüllerinin bir uygulaması için genlik modülasyonu ve toplam-çarpım formüllerinin uygulamaları için vuru (akustik) ile faz dedektörü bölümlerine bakınız.


### Çarpım-toplam özdeşlikleri.
 cosθ cosφ= cos(θ- φ) + cos(θ+ φ) 2
 sinθ sinφ= cos(θ- φ) - cos(θ+ φ) 2
 sinθ cosφ= sin(θ+ φ) + sin(θ- φ) 2
 cosθ sinφ= sin(θ+ φ) - sin(θ- φ) 2
 tanθ tanφ=cos(θ-φ)-cos(θ+φ)/cos(θ-φ)+cos(θ+φ)
 tanθ φ= sin(θ+ φ) + sin(θ- φ)/sin(θ+ φ) - sin(θ- φ)
 ∏_k=1^n cosθ_k amp; = 1/2^n∑_e∈ Scos(e_1θ_1+⋯+e_nθ_n) 
 amp; burada e = (e_1,…,e_n) ∈ S={1,-1}^n
∏_k=1^n sinθ_k=(-1)^⌊n/2⌋/2^n
 ∑_e∈Scos(e_1θ_1+⋯+e_nθ_n)∏_j=1^n e_j n çift ise,
 ∑_e∈Ssin(e_1θ_1+⋯+e_nθ_n)∏_j=1^n e_j n tek ise


### Toplam-çarpım özdeşlikleri.
Toplam-çarpım özdeşlikleri aşağıdaki gibidir:
 sinθ±sinφ= 2 sin( θ±φ/2 ) cos( θ∓φ/2 )
 cosθ+ cosφ= 2 cos( θ+ φ/2 ) cos( θ- φ/2 )
 cosθ- cosφ= -2sin( θ+ φ/2) sin(θ- φ/2)
 tanθ±tanφ=sin(θ±φ)/cosθ cosφ


### Hermite kotanjant özdeşliği.
Charles Hermite aşağıdaki özdeşliği göstermiştir. a_1, …, a_n sayılarının, hiçbiri π'nin bir tam sayı katı kadar farklı olmayan karmaşık sayılar olduğunu varsayalım. Varsayalım ki
A_n,k = ∏_[ 1 ≤j ≤n; j ≠k ] (a_k - a_j)
(özellikle, A_1,1, bir boş çarpım olmak üzere, 1'dir).O halde
(z - a_1)⋯(z - a_n) = cosnπ/2 + ∑_k=1^n A_n,k (z - a_k).
Aşikar olmayan en basit örnek #YÖNLENDİRME durumudur:
(z - a_1)(z - a_2) = -1 + (a_1 - a_2)(z - a_1) + (a_2 - a_1)(z - a_2).


### Trigonometrik fonksiyonların sonlu çarpımları.
n, m aralarında asal tam sayıları için
∏_k=1^n (2a + 2cos(2 πk m/n + x)) = 2( T_n(a)+(-1)^n+mcos(n x) )
burada Tn Chebyshev polinomudur.
Sinüs fonksiyonu için aşağıdaki ilişki geçerlidir;
∏_k=1^n-1 sin(kπ/n) = n/2^n-1.
Daha genel olarak bir #YÖNLENDİRME tam sayı için
sin(nx) = 2^n-1∏_k=0^n-1 sin(k/nπ+ x) = 2^n-1∏_k=1^n sin(k/nπ- x).
veya kiriş fonksiyonu crdx ≡2sin12x cinsinden yazılabilir,
crd(nx) = ∏_k=1^n crd(k/n2π- x).
Bu, z^n - 1 polinomunun doğrusal çarpanlara ayrılmasından gelir. (bkz. birimin kökü): Herhangi bir karmaşık z ve bir tam sayı #YÖNLENDİRME için,
z^n - 1 = ∏_k=1^n( z - exp(k/n2πi)).


## Doğrusal kombinasyonlar.
Bazı amaçlar için, aynı periyot veya frekansta ancak farklı faz kaymaları olan sinüs dalgalarının herhangi bir doğrusal kombinasyonunun da aynı periyot veya frekansa ancak farklı bir faz kaymasına sahip bir sinüs dalgası olduğunu bilmek önemlidir. Bu sinüzoidal veri uydurma için kullanışlıdır. Ölçülen veya gözlemlenen veriler, aşağıdaki faz içi ve kareleme bileşenleri temelinin a ve b bilinmeyenleri ile doğrusal olarak ilişkili olduğundan, c ve φ ile karşılaştırıldığında daha basit bir Jacobyen ile sonuçlanır.


### Sinüs ve kosinüs.
Sinüs ve kosinüs dalgalarının doğrusal kombinasyonu veya harmonik toplamı, faz kayması ve ölçeklendirilmiş genliğe sahip tek bir sinüs dalgasına eşdeğerdir,
acosx+bsinx=ccos(x+φ)
burada a ≠0 olduğu göz önüne alındığında c ve φ şu şekilde tanımlanır:
 c amp;= (a) √(a^2 + b^2), 
 φ amp;= arctan(-b/a),


### Keyfi faz kayması.
Daha genel olarak, keyfi faz kaymaları için
a sin(x + θ_a) + b sin(x + θ_b)= c sin(x+φ)
Burada c ve φ aşağıdaki ifadeleri sağlar:
 c^2 amp;= a^2 + b^2 + 2abcos(θ_a - θ_b ) , 
 tanφ amp;= a sinθ_a + b sinθ_b/a cosθ_a + b cosθ_b.


### İkiden fazla sinüzoid.
Genel durum şu şekildedir
∑_i a_i sin(x + θ_i) = a sin(x + θ),
burada
a^2 = ∑_i,ja_i a_j cos(θ_i - θ_j)
ve
tanθ= ∑_i a_i sinθ_i/∑_i a_i cosθ_i.


## Lagrange trigonometrik özdeşlikleri.
Adını Joseph Louis Lagrange'dan alan bu özdeşlikler şunlardır:
 ∑_k=0^n sin kθ amp; = cos12θ - cos((n + 12)θ)/2sin12θ
 ∑_k=0^n cos kθ amp; = sin12θ + sin((n + 12)θ)/2sin12θ
θ≢02π için.
İlgili bir fonksiyon Dirichlet çekirdeğidir:
D_n(θ) = 1 + 2∑_k=1^n coskθ= sin((n + 12 )θ)/sin12 θ.
Benzer bir özdeşlik
∑_k=1^n cos(2k -1)α= sin(2n α)/2 sinα.
Kanıt aşağıdaki gibidir. açı toplam ve fark özdeşlikleri kullanılarak,
sin(A + B) - sin(A - B) = 2 cosA sinB.
O zaman aşağıdaki formülü inceleyelim,
2 sinα∑_k=1^n cos(2k - 1)α= 2sinαcosα+ 2 sinαcos3α+ 2 sinαcos5 α+ …+ 2 sinαcos(2n - 1) α
ve bu formül yukarıdaki özdeşlik kullanılarak yazılabilir,
 amp; 2 sinα∑_k=1^n cos (2k - 1)α
 amp; = ∑_k=1^n (sin (2k α) - sin (2(k - 1)α)) 
 amp; = (sin 2α - sin 0) + (sin 4 α - sin 2 α) + (sin 6 α - sin 4 α) + …
 + (sin (2n α) - sin (2(n - 1) α)) 
 amp; = sin (2n α).
Dolayısıyla, bu formülü 2 sinα ile bölmek kanıtı tamamlar.


## Belirli doğrusal kesirli dönüşümler.
Eğer f(x) doğrusal kesirli dönüşüm tarafından veriliyorsa
f(x) = (cosα)x - sinα/(sinα)x + cosα,
ve benzer şekilde
g(x) = (cosβ)x - sinβ/(sinβ)x + cosβ,
öyleyse
f(g(x)) = g(f(x))
= (cos(α+β))x - sin(α+β)/(sin(α+β))x + cos(α+β).
Daha açık bir ifadeyle, eğer tüm α için f_α yukarıda f olarak adlandırdığımız şey olsun.
f_α∘f_β= f_α+β.
Eğer x bir doğrunun eğimi ise, f(x) doğrunun - α açısı boyunca dönüşünün eğimidir.


## Karmaşık üstel fonksiyon ile ilişkisi.
Euler'in formülü, herhangi bir gerçek sayı "x" için:
e^ix = cosx + isinx,
burada "i" sanal birimdir. "x" yerine -"x" koyduğumuzda aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:
e^-ix = cos(-x) + isin(-x) = cosx - isinx.
Bu iki denklem, kosinüs ve sinüsü üstel fonksiyon cinsinden çözmek için kullanılabilir. Spesifik olarak,
cosx = e^ix + e^-ix/2
sinx = e^ix - e^-ix/2i
Bu formüller, diğer birçok trigonometrik özdeşliği kanıtlamak için kullanışlıdır. Örneğin,
 - YÖNLENDİRME demek oluyor ki
 - YÖNLENDİRME .
Sol tarafın reel kısmının, sağ tarafın reel kısmına eşit olması kosinüs için bir açı toplama formülüdür. Sanal kısımların eşitliği sinüs için bir açı toplama formülü verir.
Aşağıdaki tablo trigonometrik fonksiyonları ve bunların terslerini üstel fonksiyon ve karmaşık logaritma cinsinden ifade etmektedir.


## Seri açılımları.
Trigonometrik fonksiyonları tanımlamak için bir kuvvet serisi açılımı kullanıldığında, aşağıdaki özdeşlikler elde edilir:
sinx = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ⋯= ∑_n=0^∞ (-1)^nx^2n+1/(2n+1)!,cosx = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ⋯= ∑_n=0^∞ (-1)^nx^2n/(2n)!.


## Sonsuz çarpım formülleri.
Özel fonksiyon uygulamaları için, trigonometrik fonksiyonlar için aşağıdaki sonsuz çarpım formülleri kullanışlıdır:
 sin x amp;= x ∏_n = 1^∞(1 - x^2/π^2 n^2), amp;
 cos x amp;= ∏_n = 1^∞(1 - x^2/π^2(n - 1/2)^2), 
 sinh x amp;= x ∏_n = 1^∞(1 + x^2/π^2 n^2), amp;
 cosh x amp;= ∏_n = 1^∞(1 + x^2/π^2(n - 1/2)^2).


## Ters trigonometrik fonksiyonlar.
Aşağıdaki özdeşlikler, bir trigonometrik fonksiyonun bir ters trigonometrik fonksiyonla bileşiminin sonucunu verir.
 sin(arcsin x) amp;=x
 amp; cos(arcsin x) amp;=√(1-x^2) amp; tan(arcsin x) amp;=x/√(1 - x^2)
 sin(arccos x) amp;=√(1-x^2) amp; cos(arccos x) amp;=x
 amp; tan(arccos x) amp;=√(1 - x^2)/x
 sin(arctan x) amp;=x/√(1+x^2) amp; cos(arctan x) amp;=1/√(1+x^2) amp; tan(arctan x) amp;=x
 sin( x) amp;=1/x amp; cos( x) amp;=√(x^2 - 1)/x amp; tan( x) amp;=1/√(x^2 - 1)
 sin( x) amp;=√(x^2 - 1)/x amp; cos( x) amp;=1/x amp; tan( x) amp;=√(x^2 - 1)
 sin( x) amp;=1/√(1+x^2) amp; cos( x) amp;=x/√(1+x^2) amp; tan( x) amp;=1/x
Yukarıdaki her bir denklemin her iki tarafının çarpımsal tersi alındığında = 1/sin, = 1/cos, ve = 1/tan denklemleri elde edilir. Yukarıdaki formülün sağ tarafı her zaman ters çevrilecektir. Örneğin, (arcsinx) için denklem şöyledir:
(arcsinx) = 1/tan(arcsinx) = 1/x/√(1 - x^2) = √(1 - x^2)/x
(arccosx) ve (arccosx) için denklemler ise şöyledir:
(arccosx) = 1/sin(arccosx) = 1/√(1-x^2) ve (arccosx) = 1/cos(arccosx) = 1/x.
Aşağıdaki özdeşlikler, yansıma özdeşlikleri tarafından ortaya konmuştur. x, r, s, -x, -r, ve -s ilgili fonksiyonların etki alanlarında olduğunda geçerlidirler.
π/2   amp;=  arcsin(x) amp; amp;+ arccos(x)   amp; amp;=  arctan(r) amp; amp;+ (r)   amp; amp;=  (s) amp; amp;+ (s) 
π  amp;=  arccos(x) amp; amp;+ arccos(-x)   amp; amp;=  (r) amp; amp;+ (-r)   amp; amp;=  (s) amp; amp;+ (-s) 
0   amp;=  arcsin(x) amp; amp;+ arcsin(-x)   amp; amp;=  arctan(r) amp; amp;+ arctan(-r)   amp; amp;=  (s) amp; amp;+ (-s) 
Aynı zamanda,
 arctan x + arctan1x amp;= π/2, amp; x gt; 0 ise
 - π/2, amp; x lt; 0 ise
 x + 1x amp;= π/2, amp; x gt; 0 ise
 3π/2, amp; x lt; 0 ise
arccos1/x = x ve 1/x = arccosx
arcsin1/x = x ve 1/x = arcsinx
Arktanjant fonksiyonu bir seri olarak genişletilebilir:
arctan(nx) = ∑_m = 1^n arctanx/1 + (m - 1)mx^2


## Değişken içermeyen özdeşlikler.
Arktanjant fonksiyonu cinsinden aşağıdaki ifadelere sahibiz;
arctan1/2 = arctan1/3 + arctan1/7.
Morrie yasası olarak bilinen ilginç özdeşlik,
cos20^∘·cos40^∘·cos80^∘= 1/8,
tek değişken içeren bir özdeşliğin özel bir durumudur:
∏_j=0^k-1cos(2^j x) = sin(2^k x)/2^ksinx.
Benzer şekilde,
sin20^∘·sin40^∘·sin80^∘= √(3)/8
x = 20^∘ olan bir özdeşliğin özel bir durumudur:
sinx ·sin(60^∘- x) ·sin(60^∘+ x) = sin3x/4.
x = 15^∘ durumu için,
 sin 15^∘·sin 45^∘·sin 75^∘ amp;= √(2)/8, 
 sin 15^∘·sin 75^∘ amp;= 1/4.
x = 10^∘ durumu için,
sin10^∘·sin50^∘·sin70^∘= 1/8.
Aynı kosinüs özdeşliği
cosx ·cos(60^∘- x) ·cos(60^∘+ x) = cos3x/4.
Benzer şekilde,
 cos 10^∘·cos 50^∘·cos 70^∘ amp;= √(3)/8, 
 cos 15^∘·cos 45^∘·cos 75^∘ amp;= √(2)/8, 
 cos 15^∘·cos 75^∘ amp;= 1/4.
Benzer şekilde,
 tan 50^∘·tan 60^∘·tan 70^∘ amp;= tan 80^∘, 
 tan 40^∘·tan 30^∘·tan 20^∘ amp;= tan 10^∘.
Aşağıdakiler, değişkenleri içeren bir özdeşliğe kolayca genelleştirilemeyebilir (ancak aşağıdaki açıklamaya bakınız):
cos24^∘+ cos48^∘+ cos96^∘+ cos168^∘= 1/2.
Bu özdeşliği, paydalarda 21 ile düşündüğümüzde derece ölçüsü radyan ölçüsünden daha isabetli olmaktan çıkar:
cos2π/21 +
cos(2·2π/21) +
cos(4·2π/21) +
cos( 5·2π/21) +
cos( 8·2π/21) +
cos(10·2π/21)
= 1/2.
1, 2, 4, 5, 8, 10 çarpanları, modeli netleştirmeye başlayabilir: bunlar 21 21/2'den küçük olan ve 21 ile göreceli asal olan (veya ortak asal çarpanları olmayan) tam sayılardır. Son birkaç örnek indirgenemez siklotomik polinomlarla ilgili temel bir gerçeğin sonucudur: kosinüsler bu polinomların sıfırlarının gerçel kısımlarıdır; sıfırların toplamı (yukarıdaki son durumda) 21'de değerlendirilen Möbius fonksiyonudur; sıfırların sadece yarısı yukarıda mevcuttur. Bu sonuncusundan önceki iki özdeşlik, 21 yerine sırasıyla 10 ve 15 konduğunda aynı şekilde ortaya çıkar.
Diğer kosinüs özdeşlikleri şunlardır:
 2cosπ/3 amp;= 1, 
 2cosπ/5× 2cos2π/5 amp;= 1, 
 2cosπ/7× 2cos2π/7× 2cos3π/7 amp;= 1,
ve tüm tek sayılar için böyle devam eder, dolayısıyla
cosπ/3+cosπ/5 ×cos2π/5 + cosπ/7 ×cos2π/7 ×cos3π/7 + …= 1.
Bu ilginç özdeşliklerin birçoğu aşağıdaki gibi daha genel gerçeklerden kaynaklanmaktadır:
∏_k=1^n-1 sinkπ/n = n/2^n-1
ve
∏_k=1^n-1 coskπ/n = sinπn/2/2^n-1.
Bunları birleştirmek bize şunları verir;
∏_k=1^n-1 tankπ/n = n/sinπn/2
Eğer n bir tek sayı ise (n = 2 m + 1) simetrilerden yararlanarak şu sonucu elde edebiliriz
∏_k=1^m tankπ/2m+1 = √(2m+1)
Butterworth alçak geçiren filtresinin transfer fonksiyonu polinom ve kutuplar cinsinden ifade edilebilir. Frekansı kesim frekansı olarak belirleyerek, aşağıdaki özdeşlik kanıtlanabilir:
∏_k=1^n sin(2k - 1)π/4n = ∏_k=1^n cos(2k-1)π/4n = √(2)/2^n


### π'nin hesaplanması.
π'yi çok sayıda basamağa kadar hesaplamanın etkili bir yolu, Machin'den kaynaklanan aşağıdaki değişkensiz özdeşliğe dayanır. Bu Machin benzeri formül olarak bilinir:
π/4 = 4 arctan1/5 - arctan1/239
veya alternatif olarak Leonhard Euler'in bir özdeşliğini kullanarak:
π/4 = 5 arctan1/7 + 2 arctan3/79
veya Pisagor üçlülerini kullanarak:
π= arccos4/5 + arccos5/13 + arccos16/65 = arcsin3/5 + arcsin12/13 + arcsin63/65.
Diğerleri ise şunlardır:
π/4 = arctan1/2 + arctan1/3,
π= arctan1 + arctan2 + arctan3,
π/4 = 2arctan1/3 + arctan1/7.
Genel olarak, #YÖNLENDİRME olan #YÖNLENDİRME sayıları için #YÖNLENDİRME olsun. Bu son ifade, tanjantları #YÖNLENDİRME olan bir açılar toplamının kotanjantı için formül kullanılarak doğrudan hesaplanabilir ve değeri #YÖNLENDİRME içinde olacaktır. Özellikle, tüm #YÖNLENDİRME değerleri rasyonel olduğunda hesaplanan #YÖNLENDİRME de rasyonel olacaktır. Bu değerlerle,
 π/2 amp; = ∑_k=1^n arctan(t_k) 
 π amp; = ∑_k=1^n (t_k) arccos(1 - t_k^2/1 + t_k^2) 
 π amp; = ∑_k=1^n arcsin(2t_k/1 + t_k^2) 
 π amp; = ∑_k=1^n arctan(2t_k/1 - t_k^2) ,
burada ilk ifade hariç hepsinde tanjnat yarım açı formüllerini kullandık. İlk iki formül, #YÖNLENDİRME değerlerinden biri veya daha fazlası #YÖNLENDİRME içinde olmasa bile çalışır. #YÖNLENDİRME rasyonel ise, yukarıdaki formüllerdeki #YÖNLENDİRME değerlerinin Pisagor üçlüsü #YÖNLENDİRME ile orantılı olduğunu unutmayın.
Örneğin, #YÖNLENDİRME terimleri için,
π/2 = arctan(a/b) + arctan(c/d) + arctan(bd - ac/ad + bc)
∀ a, b, c, d gt; 0.


### Öklid'in bir özdeşliği.
Öklid, "Elementler" adlı eserinin XIII. Kitabı, 10. Önermesinde bir çemberin içine yerleştirilmiş düzgün beşgenin kenarındaki karenin alanının, aynı çemberin içine yerleştirilmiş düzgün altıgen ve düzgün ongenin kenarlarındaki karelerin alanlarının toplamına eşit olduğunu göstermiştir. Modern trigonometri dilinde bu şöyle ifade edilir:
sin^2 18^∘+ sin^2 30^∘= sin^2 36^∘.
Batlamyus bu önermeyi "Almagest"in I. Kitap, 11. Bölümünde Batlamyus kirişler tablosundaki bazı açıları hesaplamak için kullanmıştır.


## Trigonometrik fonksiyonların bileşimi.
Bu özdeşlikler, trigonometrik bir fonksiyonun trigonometrik bir fonksiyonunu içerir:
 cos(t sinx) = J_0(t) + 2 ∑_k=1^∞J_2k(t) cos(2kx)
 sin(t sinx) = 2 ∑_k=0^∞J_2k+1(t) sin((2k+1)x)
 cos(t cosx) = J_0(t) + 2 ∑_k=1^∞(-1)^kJ_2k(t) cos(2kx)
 sin(t cosx) = 2 ∑_k=0^∞(-1)^k J_2k+1(t) cos((2k+1)x)
burada Ji Bessel fonksiyonlarıdır.


## "α" + "β" + "γ" = 180° durumu için diğer "koşullu" özdeşlikler.
Bir koşullu trigonometrik özdeşlik, trigonometrik fonksiyonların argümanları üzerinde belirtilen koşullar sağlandığında geçerli olan bir trigonometrik özdeşliktir. Aşağıdaki formüller rastgele düzlem üçgenler için geçerlidir ve formüllerde yer alan fonksiyonlar iyi tanımlandığı sürece α+ β+ γ= 180^∘, formülünden takip edilir (ikincisi sadece tanjant ve kotanjantların yer aldığı formüller için geçerlidir).
 tanα + tanβ + tanγ amp;= tanαtanβtanγ
 1 amp;= βγ + γα + αβ
 (α/2) + (β/2) + (γ/2) amp;= (α/2) (β/2) (γ/2) 
 1 amp;= tan(β/2)tan(γ/2) + tan(γ/2)tan(α/2) + tan(α/2)tan(β/2) 
 sinα + sinβ + sinγ amp;= 4cos(α/2)cos(β/2)cos(γ/2) 
 -sinα + sinβ + sinγ amp;= 4cos(α/2)sin(β/2)sin(γ/2) 
 cosα + cosβ + cosγ amp;= 4sin(α/2)sin(β/2)sin(γ/2) + 1 
 -cosα + cosβ + cosγ amp;= 4sin(α/2)cos(β/2)cos(γ/2) - 1 
 sin (2α) + sin (2β) + sin (2γ) amp;= 4sinαsinβsinγ
 -sin (2α) + sin (2β) + sin (2γ) amp;= 4sinαcosβcosγ
 cos (2α) + cos (2β) + cos (2γ) amp;= -4cosαcosβcosγ - 1 
 -cos (2α) + cos (2β) + cos (2γ) amp;= -4cosαsinβsinγ + 1 
 sin^2α + sin^2β + sin^2γ amp;= 2 cosαcosβcosγ + 2 
 -sin^2α + sin^2β + sin^2γ amp;= 2 cosαsinβsinγ
 cos^2α + cos^2β + cos^2γ amp;= -2 cosαcosβcosγ + 1 
 -cos^2α + cos^2β + cos^2γ amp;= -2 cosαsinβsinγ + 1 
 sin^2 (2α) + sin^2 (2β) + sin^2 (2γ) amp;= -2cos (2α) cos (2β) cos (2γ)+2 
 cos^2 (2α) + cos^2 (2β) + cos^2 (2γ) amp;= 2cos (2α) cos (2β) cos (2γ) + 1 
 1 amp;= sin^2 (α/2) + sin^2 (β/2) + sin^2 (γ/2) + 2sin(α/2) sin(β/2) sin(γ/2)


## Tarihsel stenolar.
Versinüs, koversinüs, haversinüs ve ekssekant seyrüseferde kullanılmıştır. Örneğin, haversinüs formülü bir küre üzerindeki iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamak için kullanılmıştır. Günümüzde nadiren kullanılmaktadırlar.


## Diğer.
### Dirichlet çekirdeği.
Dirichlet çekirdeği #YÖNLENDİRME , bir sonraki özdeşliğin her iki tarafında meydana gelen fonksiyondur:
1 + 2cosx + 2cos(2x) + 2cos(3x) + ⋯+ 2cos(nx) = sin((n + 1/2)x) /sin(1/2x).
2 π periyodundaki herhangi bir integrallenebilir fonksiyonun Dirichlet çekirdeği ile konvolüsyonu, fonksiyonun ninci derece Fourier yaklaşımı ile çakışır. Aynı durum herhangi bir ölçü veya genelleştirilmiş fonksiyon için de geçerlidir.


### Tanjant yarım açı ikamesi.
Eğer t = tanx/2, olarak alırsak
sinx = 2t/1 + t^2; cosx = 1 - t^2/1 + t^2; e^i x = 1 + i t/1 - i t; dx = 2 dt/1+t^2, 
burada e^i x = cosx + i sinx, bazen #YÖNLENDİRME olarak kısaltılır.
Kalkülüste t yerine #YÖNLENDİRME kullanıldığında, sinx yerine #YÖNLENDİRME , cosx yerine #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME diferansiyeli yerine #YÖNLENDİRME yazılır. Böylece sinx ve cosx'in rasyonel fonksiyonları, antitürevlerini bulmak için t'nin rasyonel fonksiyonlarına dönüştürülür.


### Viète sonsuz çarpımı.
cosθ/2 ·cosθ/4
·cosθ/8 ⋯= ∏_n=1^∞cosθ/2^n
= sinθ/θ = sinc θ.


## Bibliyografya.
 -