# Temel grup
Temel grup, Henri Poincaré'nin 1895'te yayınladığı "Analysis Situs" adlı makalesinde tanımlanmıştır. Kavram, Bernhard Riemann, Poincaré ve Felix Klein'ın çalışmalarıyla Riemann yüzeyleri teorisinden ortaya çıkmıştır. Karmaşık değerli fonksiyonların monodromik özelliklerini açıkladığı gibi kapalı yüzeylerin tam bir topolojik sınıflandırılmasını sağlar.


## Yollar ve Homotopiler.
Bu bölümde topolojik uzayları ele alacağız. Yolların tanımında kullanacağımız I aralığı [0, 1] kapalı aralığı olacaktır. Son olarak, başlangıç noktası p ve bitiş noktası q olan yollara p ’den q ’ya giden yollar diyeceğiz.


### Yol.
Bir X uzayı alalım. Bir α[0, 1] →X sürekli fonksiyonuna X uzayında bir yol denir. Böyle bir α yolu için α(0) noktası başlangıç noktası ve α(1) noktası bitiş noktası olarak adlandırılır.
 x,y ∈X olsun. Başlangıç ile bitiş noktaları sırasıyla x ve y olan ve I = [0,1] 'den X uzayına giden bütün yolların kümesi 𝐏(x,y)={f[0,1]→X | f(0)=x, f(1)=y} olarak tanımlanır.


#### Örnekler.
İlk örnek olarak, X= [0,1] uzayında bir f [0, 1] →X fonksiyonunu f(x) =x^2 olarak tanımlayalım. X= ^2 uzayındaki yollar genellikle φ[0, 1] → ^2, t →(x(t),y(t)) fonksiyonu ile temsil edilir. Burada x(t) ve y(t) sürekli fonksiyonlardır. Şimdi bir φ[0, 1] → ^2 yolunu φ(t)=(t,t^2) şeklinde tanımlayalım. Bu durumda
• φ(0) = (0,0) noktası, başlangıç noktası ve
• φ(1) = (1,1) bitiş noktasıdır.
Ayrıca [0,1] üzerindeki oryantasyonun, φ fonksiyonunun görüntüsünün yönlendirmesini içerdiğinin de altını çizelim.
Diğer bir örnek olarak da bir g [-1, 1] →[-1,1] fonksiyonunu ele alalım ve g(x) =x^3 olsun.
 g fonksiyonunun grafiği X uzayı olmak üzere bu uzaydaki yollara bakalım. Bir β_1 I →X fonksiyonunu β_1 (t)=(t,t^3) olarak tanımlayalım.
β_1 (0)=(0,0) , β_1 (1) = (1,1) olduğunu görüyoruz. β_1 ’in bileşenleri olan t ve t^3, I üzerinde sürekli birer fonksiyon olduğundan β_1'in y=x^3fonksiyonu için bir yol olduğunu söyleyebiliriz.
Şimdi φ_1 [-1, 1] → ^2 fonksiyonunu ele alalım, öyle ki φ_1 (t)=(t,t^3) olsun.
φ_1, bir yol değildir çünkü tanım kümesi I= [0,1] değildir. φ_1 fonksiyonunu kullanarak x^3 grafiğinin üzerinde başka bir yol bulacağız.
Bunun için, sürekli ve daima artan bir fonksiyon tanımlayalım. f I →[-1,1] fonksiyonu f(t)=2t-1 olarak tanımlansın.
Sonra bileşke fonksiyonu yazalım. φ_1 ∘ f(t) I → ^2 öyle ki φ_1 ∘ f(t) =(2t-1,(2t-1)^3) olsun.
φ_1 ∘ f(0)= (-1,-1) ve φ_1 ∘ f(1) =(1,1) olmaktadır.
Bu bileşke fonksiyonunun bileşenleri 2t-1 ve (2t-1)^3, I tanım aralığında sürekli fonksiyon olduklarından bu bileşke fonksiyonun sürekli olduğu sonucuna ulaşılır.
Sonuç olarak φ_1 ∘ f , X uzayında bir yol olur.


#### Ters Yol.
p’den q’ya giden bir φI →X yolu için, φ̅ ters yolu φ̅(t)= φ(1-t) olarak tanımlanır. Bu durumda φ̅ yolunun başlangıç noktası q ve bitiş noktası p olur.
Örnek olarak, φI →[-1,1] yolunu φ(t)=2t-1 olarak tanımlayalım. Bu durumda φ(0)=-1 ve φ(1)=0 olur.
φ üzerindeki oryantasyonu ters çevirirsek, φ̅I →[-1,1] olarak tanımlı φ̅(t)= φ(1-t) olan ters yolunu elde ederiz (Şekil 3).
φ̅(0)= φ(1)=1 ve φ̅(1)= -1, φ(0)=-1, φ(1)=1 olduğunu not edelim.
Birim çember üzerinde yol örneğini inceleyelim;
S^1 birim çember olmak üzere, φI →S^1 ⊂ fonksiyonunu φ(t)= e^2i π = cos2 πt + isin2 πt olarak tanımlayalım.
Bu fonksiyon aşağıdaki özellikleri sağlamaktadır:
•φ süreklidir, çünkü üstel fonksiyonun sürekli olduğunu biliyoruz.
•φ(0)=1, φ(1/4)=i, φ(1/2)=-1, φ(3/4)=-i, φ(1)=1.
Bu nedenle,φ birim çember üzerindeki pozitif yönlü bir yoldur (Şekil 4).
Birim küre üzerinde yol örneğinde ise, R^3 üzerindeki birim küreyi ele alalım: S^2 = {(x, y, z) ∈^3 |x^2 + y^2 + z^2 = 1}.
φ[0,1] →S^2 ⊂^3 fonksiyonunu φ(t)= ( cosπt , sinπt , 0 ) şeklinde tanımlayalım. Bu şekilde tanımlı φ fonksiyonu bariz bir şekilde süreklidir çünkü kosinüs ve sinüs fonksiyonları süreklidir.
Sonuç olarak, φ(0)=(1,0,0), φ(1/2)=(0,1,0) ve φ(1) = (-1,0,0) olur. Bu yüzden, φ fonksiyonu S^2 üzerinde bir yoldur ve oryantasyonu Şekil 5’teki gibidir. 
Diğer yandan, βI →S^2 ⊂^3 , β(t)= ( 0 , sinπ2t , cosπ2t ) biçiminde tanımlı olan fonksiyon süreklidir ve β(0)=(0,0,1), β(1)=(0,1,0) olduğundan β fonksiyonu S^2 üzerinde başka bir yola örnektir (Şekil 6).


### Homeomorfizma.
Herhangi X ve Y topolojik uzayları arasında bir homeomorfizma, f X →Y birebir ve örten bir fonksiyon şeklinde tanımlanır; f ve f^-1 Y →X sürekli fonksiyonlardır.


#### Tanım.
 I ’dan I’ya giden daima artan homeomorfizmaların kümesi şu şekilde tanımlanır: Homeo^+ (I, I)= { f I →I |f daima artan ve homeomorfizma }.


#### Önermeler.
  - Homeo^+ (I, I) kümesi fonksiyon bileşkesi ∘ altında bir gruptur.
Kanıtı için, önce Homeo^+ (I, I) kümesinin ∘ işlemi altında kapalı olduğunu göstermek yeterlidir. Herhangi f, g ∈Homeo^+ (I, I) seçelim. f ∘g I →I ∈Homeo^+ (I, I) olduğunu göstereceğiz.
 f , daima artan ve sürekli bir fonksiyon olup tersi de süreklidir. Aynı şekilde g için de aynı özellikler sağlanır. İki artan fonksiyonun bileşkesi de artan olacağından f ∘g fonksiyonu da artan olur.
İki sürekli fonksiyonun bileşkesi de sürekli bir fonksiyon olduğundan f ∘g fonksiyonu da sürekli olur.
Öte yandan, f^-1 ve g^-1 fonksiyonlarının sürekli olduğunu biliyoruz. O halde (f ∘g)^-1 = g^-1 ∘f^-1 fonksiyonu da sürekli olur. Sonuç olarak f ∘g I →I ∈Homeo^+ (I, I) elde ederiz.
Şimdi ( Homeo^+ (I, I) , ∘) kümesinin grup aksiyomlarını (bileşim, birim eleman, terslenebilme) sağladığını gösterelim.
•Bileşim özelliği: Herhangi f,g,h ∈Homeo^+ (I, I) seçelim. Rastgele bir x ∈I elemanı alalım. O halde,
• h ∘(g ∘f)(x)= h(g ∘f(x))= h(g(f(x))) ve
• (h ∘g) ∘f(x)= (h ∘g) (f(x))= h(g(f(x))) olduğundan her x ∈I için h ∘(g ∘f)(x)= (h ∘g) ∘f(x) olur.
•Birim eleman: Id I →I fonksiyonu, Id(x)=x olduğunda ( Homeo^+ (I, I) , ∘)’nun birim elemanıdır çünkü Id (birim fonksiyon) süreklidir, birebir ve örtendir, daima artandır.
Öte yandan Id^-1 I →I ters fonksiyonu da süreklidir çünkü her x ∈I için Id^-1 (x) = Id(x) ⇔Id^-1 =
Id .
Sonuç olarak her x ∈I için (f ∘Id)(x)= f(Id(x))= f(x), (Id ∘f)(x) = Id(f(x))= f(x) olmaktadır.
•Terslenebilme: Herhangi bir f ∈Homeo^+ (I, I) alalım. Homeo^+ (I, I) ’ın tanımından dolayı, f’in daima artan, birebir, örten ve sürekli olduğunu ve f^-1 ’in de sürekli olduğunu biliyoruz.
 f^-1 ∈Homeo^+ (I, I) olduğunu göstermek gereklidir. Bunun için, f^-1 ’in daima artan olduğunu göstermek yeterlidir.
Herhangi x,y ∈I alalım ve x lt; y olduğunu varsayalım. f^-1 (x) lt; f^-1 (y) olduğunu gösterelim.
f daima artandır ve x lt; y olduğu için f(x) lt; f(y) olur. f’in birebir ve örtenlik özelliğinden dolayı f(a) =x ve f(b) =y olan biricik a,b ∈I elemanları vardır.
f daima artan ve x lt; y olduğu için, f(a) lt; f(b) olur. Bu yüzden a lt; b ve f^-1 (x) lt; f^-1 (y) olur. Sonuç olarak, ∘ işlemi altında Homeo^+ (I, I) bir gruptur.
  - Eğer h ∈Homeo^+ (I, I) ise h(0) = 0 ve h(1) = 1 olur.
Kanıtını şöyle açıklayabiliriz; herhangi h ∈Homeo^+ (I, I) alalım; yani h I →I sürekli, daima artan ve birebir-örten bir homeomorfizmadır. O halde f^-1 ’ fonksiyonu da süreklidir.
 h(0) {0,1} olsun ki bu h(0)=x ∈(0,1) anlamına gelir. (0,1] aralığının bağlantılı (connected) olduğunu biliyoruz. O zaman h sürekli olduğundan h((0,1]) ’in de bağlantılı olduğunu söyleyebiliriz.
h birebir ve örten olduğundan, h((0,1]) = [0,x) ∪[x,1] olur. Fakat [0,x) ∪[x,1] bağlantılı değildir. Bu yüzden h(0) 0,1 varsayımıyla bir çelişki elde ederiz. Yani h(0) ={0,1} olur.
Şimdi h(0) = 0 olduğunu gösterelim. h(0) = 1 olduğunu varsayalım. h fonksiyonu daima artan ve 0 lt; 1 olduğundan, h(0) lt; h(1) olur; bu da 1 lt; h(1) demektir.
 h [0,1] →[0,1] olduğundan h(1) değeri 1 ’den büyük olamaz. O halde h(0) = 0 olur. Aynı muhakeme ile h(1) = 1 sonucu elde edilir.
Sonuç olarak, her h ∈Homeo^+ (I, I) için, h(0) = 0 ve h(1) = 1 olur.


### Yollar üzerinde denklik bağıntısı.
 X uzayında f,g I →X yollarını düşünelim. Eğer f=g ∘h eşitliğini sağlayan bir h ∈Homeo^+ (I, I) varsa, o halde f ≈g denilir.
≈ bir denklik bağıntısıdır, önermesinin ispatını şöyle açıklayabiliriz; ≈ bağıntısının yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığını göstereceğiz.
•yansıma: f I →X herhangi bir yol olsun. Eğer h fonksiyonunu Id I →I şeklinde tanımlı birim fonksiyon alırsak f=f ∘h olur. Dolayısıyla f ≈f olur.
•simetri: f,g I →X herhangi iki yol olsunlar. f ≈g olduğunu varsayalım ve g ≈f olduğunu gösterelim.
 f ≈g ise f=g ∘h olacak şekilde bir h ∈Homeo^+ (I, I) vardır. h fonksiyonunun birebir ve örten olduğunu biliyoruz; bu yüzden şöyle yazabiliriz:
 f=g ∘h ⇔f ∘h^-1 =g . Yani öyle bir fonksiyon bulmuş olduk ki k =h^-1 ∈Homeo^+ (I, I) ve g=f ∘k oldu. Sonuç olarak g ≈f olur.
•geçişme: f,g,h I →X herhangi üç yol olsunlar. f ≈g ve g ≈h olduklarını varsayalım ve f ≈h olduğunu gösterelim.
Varsayımlara göre, f=g ∘φ_f ve g=h ∘φ_g eşitliklerini sağlayan φ_f, φ_g ∈Homeo^+(I,I) elemanları vardır. Bu nedenle, f=g ∘φ_f ⇔f=h ∘φ_g ∘φ_f ’dir.
φ_f, φ_g ∈Homeo^+(I,I) olduğundan φ_f ∘φ_g ∈Homeo^+(I,I) olur. Yani k= φ_f ∘φ_g ∈Homeo^+(I,I) elemanı f=h ∘k eşitliğini sağlar. Dolayısıyla, f ≈h olur.
Sonuç olarak ≈ bir denklik bağıntısıdır.


### Homotopi.
φ_1 ve φ_2 fonksiyonları X uzayında iki yol olsun. Bu yolların bir homotopisi, F I ×I →X , (a, t) ↦F(a, t) şeklinde tanımlı ve aşağıdaki şartları sağlayan sürekli bir fonksiyondur.
(i) Her a sayısı için, F (a,t) I →X , p’den q’ya giden bir yol belirtir.
(ii) p’den q’ya giden φ_1, φ_2 yolları için F (0,t)= φ_1 ve F (1,t)= φ_2’dir. φ_1 ve φ_2 yolları bu şekilde bir F homotopisi ile bağlanırlarsa φ_1 ve φ_2 homotopiktirler denilir ve φ_1 ≃φ_2 şeklinde gösterilir.


#### Önermeler.
  - Yolların bileşkesi, yolların denklik sınıfları üzerinde iyi tanımlıdır.
Önermenin kanıtını şöyle açıklayabiliriz: φ_0 , φ_1,φ_0^' ve φ_1^' : [0,1] →X şeklinde tanımlı yollar olsun. . Eğer φ_0 ≃φ_0^' ve 
φ_1 ≃φ_1^' olduğunda φ_0 ∘φ_1 ≃φ_0^' ∘φ_1^' denkliği sağlanıyorsa bu bileşke işlemi iyi tanımlıdır. φ_0 ve φ_0^' arasında F homotopisi ve 
φ_1 ve φ_1^' arasında ise 
G homotopisi tanımlı olsun. F∘G homotopisini aşağıdaki şekilde tanımladığımız zaman yolların bileşkesinin iyi tanımlı olduğunu göstermiş oluruz.
F ∘G(s,t) = F(2s,t), amp; 0 ≤s≤1/2 
 G(2s-1,t), amp; 1/2≤s≤1 olduğunda (F∘G)(s,0)=F(2s,0)=φ_0, (F⋆G)(s,1)=G(2s-1,1)=φ_1^' eşitliklerini elde ederiz. Bu yüzden φ_0∘φ_1≃φ_0^'∘φ_1^' denkliği sağlanır. Bu yüzden yolların bileşkesi, yolların denklik sınıfları üzerinde iyi tanımlıdır.
  - Bir uzayda sabit başlangıç ve bitiş noktaları olan yollar üzerindeki homotopi ilişkisi bir denklik bağıntısıdır. Uzaydaki bir φ yolunun homotopi sınıfı [ φ] ile gösterilir.
İspatını yaparken, Homotopi ilişkisinin yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığı göstermeli.
•yansıma: φ_1 I →X , p’den q’ya giden bir yol olsun. F I ×I →X , F(a,t) =f(t) şeklinde tanımlanmış F fonksiyonu φ_1 ile φ_1 arasında bir homotopidir; çünkü her a için,
 F (a,t) I →X fonksiyonu p’den q’ya giden bir yoldur ve F (0,t) = φ_1 (t), F(1,t) = φ_1 (t)’dir. Sonuç olarak φ_1 ≃φ_1 elde edilir.
•simetri: φ_1 , φ_2 I →X , p’den q’ya giden 2 yol olsun. φ_1 ≃φ_2 olduğunu kabul edelim. O halde öyle bir F I ×I →X şeklinde tanımlı homotopi vardır ki; her sabit a için,
 F(a,t) I →X fonksiyonu p’den q’ya giden bir yol olur ve F (0,t)= φ_1 (t), F (1,t)= φ_2 (t)’dir.
Şimdi F' I ×I →X fonksiyonunu F' (a,t)= F(1-a,t) şeklinde tanımlayalım. O zaman her sabit a için, F' (a,t)= F(1-a,t) fonksiyonu p’den q’ya giden bir yoldur ve
 F' (0,t)= F(1,t)= φ_2 (t) ve F' (1,t)= F(0,t)= φ_1 (t) olur. Sonuç olarak g ≃f elde edilir.
•geçişme: φ_1 , φ_2 , φ_3 I →X şeklinde tanımlı 3 yol olsun. φ_1 ≃φ_2 ve φ_2 ≃φ_3 olduğunu kabul edelim. Göstermemiz gereken; φ_1 ≃φ_3 dir.
φ_1 ≃φ_2 ve φ_2 ≃φ_3 olduğundan öyle F ve G homotopileri vardır ki; F I ×I →X , F(0,t)= φ_1 (t) ve F(1,t)= φ_2 (t) , G I ×I →X , G(0,t)= φ_2 (t) ve
 G(1,t)= φ_3 (t) ’dir. Şimdi bir H I ×I →X fonksiyonunu
 H(a,t) amp;= F(2a,t) amp; 0 ≤ a ≤12
 G(2a-1,t) amp; 12≤ a ≤ 1
 şeklinde tanımlayalım. Açıkça görüyoruz ki; H(a,t) fonksiyonu a=1/2 noktası dışında her yerde süreklidir.
Öte yandan a = 1/2 için lim_a →1/2^+H(a,t) = G(0,t)= φ_2 (t) ve lim_a →1/2^-H(a,t) = F(1,t)= φ_2 (t) olmaktadır.
Dolayısıyla H(a,t) fonksiyonu a = 1/2 noktasında da süreklidir. Ayrıca, H(0,t) = F(0,t)= φ_1 (t) ve H(1,t) = G(1,t)= φ_3 (t) olduğunu görüyoruz.
Sonuç olarak φ_1 ≃φ_3 
φ_1 ≃φ_3 elde edilir.
  - π_1(X,x_0) gruptur.
Kanıtını göstermek için, örnek olarak x_0 ∈X ve π_1(X,x_0), x_0'a dayalı döngülerinin homotopi sınıflarının kümesi olsun.
•Birim elemanı e_x_0: [0,1]⟶X, e_x_0(t)=x_0 olan [e_x_0] döngüsünün sınıfıdır. Herhangi bir f döngüsü için [e_x_0]⋆[f]=[f] eşitliği sağlanır ve homotopi şu şekilde tanımlanır: 
F(s,t)= e_x_0, amp; 0 ≤t ≤1-s/2 
 f((2t+s-1)/(s+1)), amp; 1-s/2 ≤t≤1 .
• f, π_1(X,x_0)'te bulunan herhangi bir döngü olsun. f'in tersini f(s)=f(1-s) olarak tanımlayalım. f'in tersini yönünü değiştirerek tanımladık. Şimdi ise e ve f⋆f arasındaki homotopi şu şekilde tanımlanır: 
 F(s,t) = f(2ts), amp; 0 ≤t≤1/2 
 f(2s(1-t), amp; 1/2≤t≤1 .
• f,g,h ∈π_1(X,x_0) herhangi üç eleman olsun. Şimdi ise [f]⋆([g]⋆[h]) =([f]⋆[g])⋆[h] olduğunu gösterelim. Bu koşulu sağlayan homotopi şu şekilde tanımlanır: F(t,s) = f(4t/1+s), amp; 0 ≤t≤s+1/4 
 g(4t-1-s), amp; s+1/4≤t≤s+2/4
 h(1-41-t/2-s), amp; s+2/4 ≤t≤1 .
Birim elemanın varlığı, ters elemanın varlığı ve geçişme özelliğini sağladığından ötürü π_1(X,x_0) bir gruptur.


### Örnekler.
  - 1 noktasına dayalı birim çemberin temel grubu ℤ tam sayılar grubuna izomorftur, şeklinde gösterilir: π_1(S^1,1) ≃ℤ.
  - Sekiz şeklinin temel grubu iki eleman tarafından üretilen serbest gruptur.