# Apéry sabiti
Apéry sabiti, matematiğin gizemli sayılarından biridir. Elektrodinamik alanında elektronun jiromagnetik oranının ikinci ve üçüncü derece terimlerinin yanı sıra birçok fiziksel soruda karşılaşılan bu sabit, paydasında üstel fonksiyon barındıran integrallerin çözümünde de kullanılmaktadır. Debye modelinin iki boyut için hesaplanması buna örnek olarak gösterilebilir.
Sayı, aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır.
ζ(3)=∑_k=1^∞1/k^3=1+1/2^3 + 1/3^3 +1/4^3 + ⋯
Burada ζ, Riemann zeta fonksiyonunu ifade etmektedir. Bu sayının yaklaşık değeri
ζ(3)=1.20205 69031 59594 28539 97381 
61511 44999 07649 86292 …
Bu sayının çarpmaya göre tersi rastgele seçilen üç pozitif tamsayının aralarında asal olma olasılığına eşittir.


## Apéry teoremi.
Bu sabit, onun bir irrasyonel sayı olduğunu 1978 yılında kanıtlayan Roger Apéry (1916–1994)'ye atfedilmiştir. Bu sonuç, "Apéry teoremi" olarak adlandırılır. Özgün ispatın karmaşık yapısından ötürü anlaşılamaması Legendre polinomlarını kullanan ispatları popüler hale getirmiştir. Apéry sabitinin bir doğaüstü sayı olup olmadığı henüz bilinmemektedir.
Wadim Zudilin ve Tanguy Rivoal'ın yürüttükleri çalışma, sonsuz çoklukta ζ(2"n"+1) sayısının irrasyonel olduğunu göstermiştir. Ayrıca, ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den en az birinin irrasyonel olması gerektiği bulunmuştur.


## Seri şeklinde yazılışı.
Leonhard Euler 1772 yılında bu sayıyı seri şeklinde ifade etmiştir :
ζ(3)=π^2/7
[ 1-4∑_k=1^∞ζ(2k)/(2k+1)(2k+2) 2^2k ]
Bu ifade birçok kez yeniden bulunmuştur.
Simon Plouffe her uygulamada farklı doğruluk derecesine sahip birçok seri önermiştir. Bunlar, :
ζ(3)=7/180π^3 -2 
∑_k=1^∞1/k^3 (e^2πk -1)
ve
ζ(3)= 14 
∑_k=1^∞1/k^3 sinh(πk)
-11/2
∑_k=1^∞1/k^3 (e^2πk -1)
-7/2 
∑_k=1^∞1/k^3 (e^2πk +1).
ifadeleridir.
ζ(2n+1)'in farklı değerleri için geçerli eşitlikler zeta sabitleri maddesinde bulunmaktadır.
Bulunan diğer seri ifadeleri şunlardır:
ζ(3) = 8/7 ∑_k=0^∞1/(2k+1)^3
ζ(3) = 4/3 ∑_k=0^∞(-1)^k/(k+1)^3
ζ(3) = 5/2 ∑_k=1^∞(-1)^k-1 (k!)^2/k^3 (2k)!
ζ(3) = 1/4 ∑_k=1^∞(-1)^k-1
56k^2-32k+5/(2k-1)^2 ((k-1)!)^3/(3k)!
ζ(3)=8/7-8/7∑_k=1^∞( -1 ) ^k 2^-5 + 12 k k 
 ( -3 + 9 k + 148 k^2 - 432 k^3 - 2688 k^4 + 7168 k^5 ) 
 k!^3 ( -1 + 2 k ) !^6/( -1 + 2 k ) ^3 
 ( 3 k ) ! ( 1 + 4 k ) !^3
ζ(3) = ∑_k=0^∞(-1)^k 205nk^2 + 250k + 77/64 (k!)^10/((2k+1)!)^5
ve
ζ(3) = ∑_k=0^∞(-1)^k P(k)/24
((2k+1)!(2k)!k!)^3/(3k+2)!((4k+3)!)^3
Burada,
P(k) = 126392k^5 + 412708k^4 + 531578k^3 + 336367k^2 + 104000k + 12463. 
Bu ifadelerden bazıları Apéry sabitinin birkaç milyon basamağa kadar hesaplanmasında kullanılmıştır.


## Diğer formüller.
Apéry sabiti ikinci dereceden bir poligamma fonksiyonu ile de ifade edilebilmektedir.
ζ(3) = -1/2 ψ^(2)(1).


## Bilinen basamakları.
Apéry sabitinin bilinen basamak sayısı son yıllarda büyük bir artış göstermiştir. Bu, bilgisayarların gelişen başarımı ve daha verimli algoritmaların üretilmiş olmasının bir sonucudur.


## Konuyla ilgili yayınlar.
  - {{Kaynak|ad = D.J.|soyadı = Broadhurst|url = http://arxiv.org/abs/math.CA/9803067|başlık = Polilogaritmik basamaklar, hipergeometrik seriler ve ζ(3) ve ζ(5)'in 10 milyonuncu basamakları|yıl = 1998|yayıncı = arXiv (math.CA/9803067)|erişimtarihi = 3 Kasım 2008|arşivurl = https://web.archive.org/web/20190713081616/https://arxiv.org/abs/math/9803067|arşivtarihi = 13 Temmuz 2019|ölüurl = hayır}}.
  - {{Kaynak|ad = V.|soyadı = Ramaswami|başlık = Riemann'ın ζ-fonksiyonu Üzerine|yıl = 1934|dergi = J. London Math. Soc.|cilt = 9|sayfalar =165-169|doi= 10.1112/jlms/s1-9.3.165}}.
  - {{Kaynak|ad = Roger|soyadı = Apéry|başlık = Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)|yıl = 1979|dergi = Astérisque|cilt = 61|sayfalar =11-13}}.
  - {{Kaynak|ad = Alfred|soyadı = van der Poorten|başlık = Euler'in ıskaladığı bir ispat. Apéry'nin ζ(3)'ün irrasyonelliğiyle ilgili ispatı.|yıl = 1979|dergi = Math. Intell.|cilt = 1|sayfalar =195-203}}.
  - {{Kaynak|ad = Simon|soyadı = Plouffe|url = http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html|başlık = Ramanujan'ın Not Defterinden Bazı Özdeşlikler|yıl = 1998|erişimtarihi = 3 Kasım 2008|arşivurl = https://web.archive.org/web/20090130142844/http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html|arşivtarihi = 30 Ocak 2009|ölüurl = evet}}
  - {{Kaynak|ad = Simon|soyadı = Plouffe|url = http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/MiscellaneousMathematicalConstants/chap97.html|başlık = 2000. basamağına dek Apéry sabiti|erişimtarihi = 3 Kasım 2008|arşivurl = https://web.archive.org/web/20080205213257/http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/miscellaneousmathematicalconstants/chap97.html|arşivtarihi = 5 Şubat 2008|ölüurl =evet}}.
  - {{Kaynak|ad = S.|soyadı = Wedeniwski|başlık = 1,000,000. basamağına dek Zeta(3)|yıl = 2001|yayıncı = Project Gutenberg}}
  - {{Kaynak|soyadı = Srivastava|ad = H. M.|yıl = 2000|ay = Aralık|başlık = Zeta Fonksiyonları İçin Bazı Yakınsak Seri Açılımları|dergi = Taiwanese Journal of Mathematics|cilt = 4|sayı = 4|sayfalar =569-598|yayıncı = Çin Halk Cumhuriyeti Matematik Topluluğu (Tayvan)|issn= 1027-5487|oclc = 36978119|url = http://www.math.nthu.edu.tw/~tjm/abstract/0012/tjm0012_3.pdf|biçim = PDF|erişimtarihi = 3 Kasım 2008|arşivurl = https://web.archive.org/web/20110719181850/http://www.math.nthu.edu.tw/~tjm/abstract/0012/tjm0012_3.pdf|arşivtarihi = 19 Temmuz 2011|ölüurl = evet}}
  - {{Kaynak|soyadı = Euler|ad = Leonhard|authorlink = Leonhard Euler|yıl = 1773|başlık = Exercitationes analyticae|dergi = Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae|cilt = 17|sayfalar =173-204|url = http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E432.pdf|dil = Latince|biçim = PDF|erişimtarihi= 3 Kasım 2008|arşivurl= https://web.archive.org/web/20060917190203/http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E432.pdf|arşivtarihi= 17 Eylül 2006|ölüurl =hayır}}
  - {{Kaynak|ad1 = Xavier|soyadı1 = Gourdon|ad2 = Pascal|soyadı2 = Sebah|url = http://numbers.computation.free.fr/Constants/Zeta3/zeta3.html|başlık = Apéry sabiti: z(3)|yıl = 2003|erişimtarihi= 3 Kasım 2008|arşivurl= https://web.archive.org/web/20081113120826/http://numbers.computation.free.fr/Constants/Zeta3/zeta3.html|arşivtarihi= 13 Kasım 2008|ölüurl =hayır}}