# Zeta dağılımı
 ortalama =ζ(s-1)/ζ(s) for s gt;2|
 medyan =|
 mod =1 |
 varyans =ζ(s)ζ(s-2) - ζ(s-1)^2/ζ(s)^2 for s gt;3|
 çarpıklık =|
 basıklık =|
 entropi =∑_k=1^∞1/k^s/ζ(s)log(k^s ζ(s)). |
 mf =Li_s(e^t)/ζ(s)|
 kf =Li_s(e^it)/ζ(s)|
Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, "zeta dağılımı" bir ayrık olasılık dağılımıdır. Eğer "X" "s" parametresi ile zeta dağılımı gösteren bir bir rassal değişken ise, "X"in "k" tam sayısı değerini almasının olasılığı şu olasılık kütle fonksiyonu ile belirtilir:
f_s(k)=k^-s/ζ(s) 
Burada ζ("s") Riemann zeta fonksiyonu olur (ama bu fonksiyon "s" = 1 tanımlanamaz.).
Sonsuz değerde "N" için zeta dağılımı Zipf dağılımına eşit değerdedir. O zaman "Zipf dağılımı" ve "zeta dağılım" aynı anlamı verdikleri için birbiriyle kavram farkı vermeden değiştirilebilip kullanılırlar.


## Momentler.
Genel olarak, "n"inci ham moment "X""n"in beklenen değeri olarak şöyle tanımlanır:
m_n = E(X^n) = 1/ζ(s)∑_k=1^∞1/k^s-n
Bu ifadenin sağ tarafında bulunan seri bir Rieman zeta funksiyonu temsil eden seridir. Ancak bu serinin yakınsaması sadece "s-n" değeri birden büyük ise mümkün olmaktadır. Böylece zeta dağılımı için moment
m_n ={
ζ(s-n)/ζ(s) amp; for n lt; s-1 
∞ amp; for n ≥s-1
olur. Hatırlamak gerekir ki iki zeta fonksiyonunun oranı, "n" ≥ "s" - 1 ifadesi için bile, çok kesin olarak tanımlanmıştır. Ama bu yine de, momentlerin seri için tanımlandığı ve bu nedenle büyük bir "n" değeri için tanımlanamadığı gerçeğini değiştirmez'


### Moment üreten fonksiyon.
Genel olarak, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır:
M(t;s) = E(e^tX) = 1/ζ(s) ∑_k=1^∞e^tk/k^s.
Bu seri gerçekte yalnızca bir polilogaritma'nin tanımlanmasıdır ve e^t lt;1 için geçerlidir ve bu halde 
M(t;s) = Li_s(e^t)/ζ(s) for t lt;0.
Bu fonksiyonun bir Taylor serisi yöntemi kullanılarak genişletilmesi mutlaka bir dağılım için momentleri vermez. Genellikle, moment üreten fonksiyonlara dayanarak elde edilen momentleri kullanan Taylor serileri şu ifedeyi ortaya çıkartır:
∑_n=0^∞m_n t^n/n!,
Bu ifade, büyük "n" değerleri icin momentlerin sonsuz olduğu gerçeği göz önüne getirilirse, besbellidir ki herhangi bir "s" 'nin sonsuz olmayan değeri için kesin olarak tanımlanamaz. Momentler yerine analitik olarak sürekli terimleri kullanırsak, polilogaritmayi temsil eden seriden
için şu ifadeyi elde ederiz:
1/ζ(s)∑_n=0,ns-1^∞ζ(s-n)/n! t^n=Li_s(e^t)-Φ(s,t)/ζ(s)
Φ(s,t) değeri şöyle verilir
Φ(s,t)=Γ(1-s)(-t)^s-1 for s1,2,3…
Φ(s,t)=t^s-1/(s-1)![H_s-ln(-t)] for s=2,3,4…
Φ(s,t)=-ln(-t) for s=1, 
burada "H""s" bir harmonik sayı olur.


## "s"=1 hali.
Harmonik seri olduğu için ζ(1) sonsuz değerdedir ve bu nedenle 
"s"=1 olma hali anlamlı değildir. Ama eğer "A" yoğunluğu bulunan herhangi bir pozitif tam sayılar seti ise yani
lim_n→∞N(A,n)/n
var olmakta ise ve burada "N"("A", "n") "A" seti içinde bulunan ve "n" değerine eşit veya bu değerden daha küçük set elemanlarının sayısı ise, şu ifade
lim_s→1+P(X∈A) 
bu yoğunluğa eşittir.
Bazı hallerde "A" için yoğunluk yok olması nedeniyle verilen ikinci sınır geçerli olur. Örnegin, eğer "A" birinci tam sayısı ;"d" olan bütün pozitif tam sayıların bir seti ise, "A" için bir yoğunluk bulunmaz. Ancak bu halde bile yukarıda verilen ikinci sınırlama geçerli olur ve bu sınırlama şu ifadeye oranlıdır:
log(d+1) - log(d), 
Buna benzer yöntem aynen Benford'un savının geliştirilmesi için de kullanılır.