# Hamilton optiği
Hamiltonyan optik ve Lagrange optiği, matematiksel formülasyonlarının büyük bir kısmını Hamilton mekaniği ve Lagrange mekaniği ile paylaşan Geometrik optiğin iki formülasyonudur.


## Hamilton Prensibi.
Fizikte, Hamilton ilkesi, bir sistemin evriminin (q_1(σ),⋯,q_N(σ)), σ_A ve σ_B parametreleriyle belirtilen iki durum arasında N genelleştirilmiş koordinatla tanımlanan bir sabit noktayla (varyasyonun sıfır olduğu bir nokta), hareket fonksiyonu, tanımlandığını belirtir. Başka bir deyişle,
q̇_k=dq_k/dσ olmak üzere,
δS= δ∫_σ_A^σ_B L(q_1,⋯,q_N,q̇_1,⋯,q̇_N,σ) dσ=0
δS=0 koşulu ancak ve ancak k=1,⋯,N iken Euler-Lagrange denklemleri
∂L/∂q_k -
d/dσ∂L/∂q̇_k = 0
şartını sağladığında geçerlidir.
Momentum,
 p_k=∂L/∂q̇_k
olarak tanımlandığında, ṗ_k=dp_k/dσ iken Euler-Lagrange denklemleri,
ṗ_k = ∂L/∂q_k
şeklinde yeniden yazılabilir.
Bu problemin çözümüne farklı bir yaklaşım Hamiltonyen aşağıdaki gibi tanımlanmasını içerir (Lagrange denkleminin Legendre dönüşümünü alarak),
 H=∑_kp_k-L 
Lagrange'ın parametre σ'ya, konumlara q_i ve konumların σ'ya göre türevlerine q̇_i nasıl bağlı olduğuna bakılarak yeni bir diferansiyel denklem seti üretilebilir. Bu türetme, Hamiltonyen mekaniğindeki ile aynıdır, ancak şimdi t zamanı genel bir parametre σ ile değiştirilmiştir. Bu diferansiyel denklemler k=1,⋯,N iken Hamilton denklemleridir.
 ∂H/∂q_k=-ṗ_k , ∂H/∂p_k=q̇_k , ∂H/∂σ=-∂L ∂σ 
Hamilton denklemleri birinci dereceden Diferansiyel denklemler iken, Euler-Lagrange denklemleri ikinci derecedir.


## Lagrange optiği.
Hamilton ilkesi için yukarıda verilen genel sonuçlar Lagrange optiğine uygulanabilir. 3 boyutlu Öklid uzayında genelleştirilmiş koordinatlar artık Öklid uzayının koordinatlarıdır.


## Fermat İlkesi.
Fermat ilkesi, iki sabit nokta arasındaki A ve B arasındaki ışığın izlediği yolun optik uzunluğunun durağan bir nokta olduğunu belirtmektedir. Bu nokta maksimum, minimum, sabit veya dönüm (büküm) noktası olabilir. Genel olarak, ışık ilerledikçe, uzayda skaler konum alanının değişken kırılma indisi oluşturduğu bir ortamda ilerler yani 3D Öklid uzayında 
 n=n(x_1,x_2,x_3) 
yazılabilir. Şimdi ışığın x3 ekseni boyunca ilerlediğini varsayarsak, bir ışık ışınının yolu 𝐀=(x_1(x_),x_2(x_),x_) noktasından başlayarak 
 𝐁=(x_1(x_),x_2(x_),x_) 
noktasında bitmek üzere 
 s=(x_1(x_3),x_2(x_3),x_3) ile parametrize edilebilir. Bu durumda Hamilton ilkesine kıyasla, genelleştirilmiş koordinatlar 
 q_k nın rolünü 
 x_1 ve 
 x_2 koordinatları alırken, 
 x_3 ise 
 σ parametresinin rolünü alır yani parametre σ= x_3 ve N = 2.
Diferansiyel kalkülüs bağlamında bu denklem ds, 
 ds=√(dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2) tarafından verilen ışın boyunca alınan sonsuz küçüklükteki bir yer değiştirme olmak üzere,
δS=δ∫_^n ds=δ∫_^nds/dx_3 dx_3=δ∫_^L(x_1,x_2,ẋ_1,ẋ_2,x_3) dx_3=0 
olarak yazılabilir. ẋ_k=dx_k/dx_3 olmak üzere optik Lagrange
L=nds/dx_3=n(x_1,x_2,x_3)√(1+ẋ_1^2+ẋ_2^2) 
şeklinde tanımlanır. Optik yol uzunluğu (OYU) şu şekilde tanımlanır:
S=∫_^n ds=∫_^L dx_3 
burada n, A ve B noktaları arasındaki yol boyunca bir konumun fonksiyonu olarak yerel kırılma indisidir.


## Euler-Lagrange denklemleri.
Hamilton ilkesi için yukarıda verilen genel sonuçlar Fermat prensibinde tanımlanan Lagrange denklemini kullanarak optiğe uygulanabilir. Fermat prensibine σ= x_3 ve N = 2 parametreleriyle uygulanan Euler-Lagrange denklemleri,
 ∂L/∂x_k-d/dx_3∂L/∂ẋ_k=0 
Sonucunu verir, burada k=(1,2), L optik Lagrange ve 
 ẋ_k=dx_k/dx_3 olarak tanımlanmıştır.


## Optik momentum.
Optik momentum aşağıdaki gibi tanımlanır:
 p_k=∂L/∂ẋ_k 
ve optik Lagrangian 
 L=n√(1+ẋ_1^2+ẋ_2^2) tanımından yola çıkılarak bu ifade
 p_k=n_/k_2^2+ẋ_3^2=ndx_k/=ndx_k/ds olarak yeniden yazılabilir. Vektör formatında bu denklem aşağıdaki gibi yazılabilir,
 𝐩=n/ds=(p_1,p_2,p_3) 
 =(ncosα_1,ncosα_2,ncosα_3)=n 
burada 
 ê bir birim vektördür ve açılar α_1, α_2 ve α_3, p'nin sırasıyla x_1, x_2 ve x_3 eksenlerine şekil "optik momentum ”da gösterildiği gibi sırasıyla yaptığı açılardır. Bu nedenle optik momentum şu norma sahiptir
 𝐩=√(p_1^2+p_2^2+p_3^2)=n 
burada n, p'nin hesaplandığı kırılma indisidir. Vektör p, ışığın yayılım yönünde işaret eder. Eğer ışık değişken indis optiğinde yayılıyorsa, ışık ışınının yolu eğridir ve p vektörü ışık rayına teğettir.
Optik yol uzunluğu ifadesi optik momentumun bir fonksiyonu olarak da yazılabilir. ẋ_3=dx_3/dx_3=1 olduğunu hesaba katarak, Lagrange denklemi yeniden şöyle yazılabilir,
L=n√(_)1^2+ẋ_2^2+ẋ_3^2=ẋ_1nẋ_1/_2^2+ẋ_3^2+ẋ_2nẋ_2/_2^2+ẋ_3^2+nẋ_3/_2^2+ẋ_3^2
=ẋ_1p_1+ẋ_2p_2+ẋ_3p_3=ẋ_1p_1+ẋ_2p_2+p_3 
Ve optik yol uzunluğunun formülü ise aşağıdaki gibi yazılır,
S=∫L dx_3=∫𝐩·d𝐬. 


## Hamilton denklemleri.
Hamilton mekaniğinde olduğu gibi, optikte de Hamilton denklemi N = 2 için yukarıda karşılığı verilmiş 
 x_1(x_3) ve x_2(x_3) denklemleriyle şu şekilde tanımlanır,
 H=ẋ_1p_1+ẋ_2p_2-L. 
Bu ifadeyi Lagrange için 
 L=ẋ_1p_1+ẋ_2p_2+p_3 ifadesiyle karşılaştırmak aşağıdaki sonucu verir,
H=-p_3=-√(n^2-p_1^2-p_2^2)
Ve σ =x3 and k=1,2 parametreleriyle optiğe uygulanan Hamilton denklemleri,
∂H/∂x_k=-ṗ_k , ∂H/∂p_k=ẋ_k 
şeklinde yazılabilir. Burada 
 ẋ_k=dx_k/dx_3 and 
 ṗ_k=dp_k/dx_3 olarak alınmıştır.


## Uygulamalar.
Işığın x_3 ekseni boyunca ilerlediği varsayıldığında, yukarıdaki Hamilton denkleminde, x_1 ve x_2 koordinatları genelleştirilmiş koordinatlar q_k rolünü alırken, x_3 σ parametresinin rolünü alır. Yani, parametre σ= x_3 ve N = 2.


## Kırılma ve yansıma.
Eğer x_1x_2 düzlemi, aşağıda n_A ve altında n_B kırılma indisine sahip medyaları ayırırsa, kırılma indisi bir basamak fonksiyonu ile verilir
 n(x_3)=n_A amp;x_3 lt;0
n_B amp;x_3 gt;0
ve Hamilton denklemlerinden k=1,2 olmak üzere aşağıdaki denklem elde edilir,
∂H/∂x_k=-∂/∂x_k√(n(x_3)^2-p_1^2-p_2^2)=0 
Ve böylece 
 ṗ_k=0 ya da 
 p_k=Constant çıkarımları yapılabilir.
Gelen bir ışık ışını kırılma öncesinde (x_1x_2 düzleminin altında) p_A momentumuna ve kırılma sonrasında (x_1x_2 düzlemi üzerinde) p_B momentumuna sahiptir. Işık ışını kırılmadan önce x_3 ekseni (kırıcı yüzeyin normali) ile θ_A açısı ve kırılma sonrası x_3 ekseni ile θ_B açısı yapar. Momentumun p_1 ve p_2 bileşenleri sabit olduğu için yalnızca p_3 p_3A'dan p_3B'ye değişir.
Şekil "kırılma", bu kırılmanın geometrisini gösterir; bu kırılma 
 d=𝐩_Asinθ_A=𝐩_Bsinθ_B. 
 𝐩_A=n_A ve 
 𝐩_B=n_B olduğundan, son ifade aşağıdaki gibi yazılabilir
 n_Asinθ_A=n_Bsinθ_B 
bu ifade Snell kırılma yasasını verir.
“Kırılma” şeklinde görüldüğü üzere, kırıcı yüzeyin normali x_3 ekseninin ve 
 𝐯=𝐩_A-𝐩_B vektörünün yönündedir. Daha sonra 
 𝐧=𝐯/𝐯 birim normal vektörü aşağıdaki ifadeden elde dilebilir. 
 𝐧=_/A-𝐩_B𝐩_A-𝐩_B=n_A𝐢-n_B𝐫/n_A𝐢-n_B𝐫 
burada i ve r, gelen ışın ve kırılmış ışın yönlerindeki birim vektörlerdir. Ayrıca, giden ışın ( 𝐩_B yönünde) gelen ışın ( 𝐩_A yönünde) ve yüzey normali 𝐧 ile aynı düzlemdedir. 
Benzer bir argüman, dik açılı yansımalarda yansıma yasası türetilmesinde kullanılabilmektedir, ancak şu an n_A = n_B eşitliği, θ_A = θ_B ile sonuçlanmaktadır. Ayrıca, i ve r, sırasıyla gelen ışın ve kırılmış ışın doğrultusunda birim vektörlerse, yüzeye karşılık gelen normal, kırılma ile aynı ifadeyle, ancak n_A = n_B ile verilir
𝐧=-/𝐫𝐢-𝐫 
Vektör formunda, eğer i, gelen ışın yönünde işaret eden bir birim vektör ise ve n, yüzeyin normali ise, kırılan r ışınının yönü şöyledir:𝐫=n_A/n_B𝐢+(-(𝐢·𝐧)n_A/n_B+√(Δ))𝐧
burada Δ aşağıdaki ifadeye eşittir.
 Δ=1-(n_A/n_B)^2(1-(𝐢·𝐧)^2) 
Eğer i⋅n<0 ise hesaplamalarda −n kullanılmalıdır. Δ lt; 0 olduğunda, ışık tam iç yansıma gösterir ve yansıyan ışının yansıma ifadesi şu şekilde yazılabilir,
𝐫=𝐢-2(𝐢·𝐧)𝐧.


## Işınlar ve Dalga cepheleri.
Optik yol uzunluğunun tanımından 
 S=∫L dx_3. k=1,2 iken Euler-Lagrange denklemlerinden yararlanılarak,
∂S/∂x_k=∫∂L/∂x_k dx_3=∫dp_k/dx_3 dx_3=p_k 
İfadesi yazılabilir. Ayrıca Hamilton denklemlerinin sonuncusunu ∂H/∂x_3=-∂L/∂x_3 , yukarıda kanıtlanan H=-p_3 eşitliğini ve 
 ∂S/∂x_3=∫∂L/∂x_3 dx_3=∫dp_3/dx_3 dx_3=p_3 denklemini momentum p'nin bileşenlerini dikkate alarak birleştirmek aşağıdaki sonucu verir:
 𝐩=∇S. 
P, ışık ışınlarına teğet vektörü olduğundan, S = Sabit yüzeyler bu ışık ışınlarına dik olmalıdır. Bu yüzeylere Dalga Cephesi denir. Şekil "ışınlar ve dalga cepheleri" bu ilişkiyi göstermektedir. Ayrıca bir ışık ışınına tanjant ve dalga cephesine dikey olan optik momentum p gösterilmiştir.
Vektör alanı 𝐩 = ∇S korunan vektör alanıdır. Gradyan teoremi daha sonra optik yol uzunluğuna (yukarıda verilen şekilde) uygulanabilir ve sonuç olarak
 S=∫_^𝐩·d𝐬=∫_^∇S·d𝐬=S(𝐁)-S(𝐀) 
elde edilir ve A ve B noktaları arasındaki C eğrisi boyunca hesaplanan optik yol uzunluğu S, sadece A ve B uç noktalarının bir fonksiyonudur ve aralarındaki eğrinin şekli değildir. eğri kapalı ise, özellikle, bu başlar ve aynı noktada sona erer başka bir deyişle A = B olur böylece
 S=∮∇S·d𝐬=0 sonucuna ulaşılır.
Bu sonuç "optik yol uzunluğu" şekli gibi kapalı bir ABCDA yoluna uygulanabilir ve aşağıdaki denklem elde edilir,
 S=∫_^𝐩·d𝐬+∫_^𝐩·d𝐬+∫_^𝐩·d𝐬+∫_^𝐩·d𝐬=0
Eğri doğru parçası AB için optik momentum p, AB eğrisi boyunca bir ds yer değiştirmesine diktir yani 
 𝐩·d𝐬=0. Aynı şey CD doğru parçası için de geçerlidir. BC doğru parçası için optik momentum, yer değiştirme ds ile aynı yöndedir ve 
 𝐩·d𝐬=nds. 
DA doğru parçası için, optik momentum p, yer değiştirme ds ile zıt yönde ve 
 𝐩·d𝐬=-n ds. 
Ancak integral yönünü tersine çevirerek integralin A'dan D'ye çekilmesi, ds yönü tersine çevirilirse elde dilen eşitlik 𝐩·d𝐬=n ds olur. Bunlar hesaba katıldığında 
∫_^n ds=∫_^n ds 
ya da
 S_=S_ sonuçlarına varılır ve bunları birbirine bağlayan ışın boyunca B ve C noktaları arasındaki optik yol uzunluğu S_BC, A ve D noktaları arasındaki ışın boyunca optik yol uzunluğu S_AD ile aynıdır. Optik yol uzunluğu, dalga cepheleri arasında sabittir.


## Faz uzayı.
Şekil "2D faz uzayı", üst tarafında iki boyutlu uzayda bazı ışık ışınlarını göstermektedir. Burada x_2 = 0 p_2 = 0 olduğundan ışık x_1x_3 düzlemi doğrultusunda artan x_3 değerleriyle ilerlemektedir. Bu durumda, p_1^2+p_3^2=n^2 ve p_2 = 0 olduğundan ışınının yönü momentumun p_1 bileşeni tarafından tamamen tanımlanır 
 𝐩=(p_1,p_3). P_1 verilirse, p_3 hesaplanabilir (kırılma indisi n değeri verilirse) ve bu nedenle p_1, ışık ışınının yönünü belirlemek için yeterlidir. Işının seyahat ettiği ortamın kırılma indisi 𝐩=n ifadesiyle belirlenir.
Örneğin, ışın r_C x_1 eksenini, x_B konumunda ortalayan yarıçapı n olan bir çember üzerinde ucu bulunan optik bir momentum P_C ile x_B koordinatından kesmektedir. X_B Koordinatını ve momentum p_C'nin yatay koordinatını p_1C, ışını r_C'yi, x_1 eksenini keserken tamamen tanımlar. Bu ışın daha sonra, şeklin alt kısmında gösterildiği gibi x_1p_1 uzayında bir nokta r_C = (x_B, p_1C) ile tanımlanabilir. Uzay x_1p_1'e faz uzayı denir ve farklı ışık ışınları bu alanda farklı noktalardan temsil edilebilir.
Bu durumda, en üstte gösterilen ışın r_D, alttaki faz uzayında bir nokta r_D ile temsil edilir. r_C ve r_D Işınları arasında bulunan x_B koordinatında x_1 ekseni geçen tüm ışınlar, faz uzayında r_C ve r_D noktalarını birbirine bağlayan dikey bir doğru ile temsil edilir. Buna göre, r_A ve r_B ışınları arasında bulunan x_A koordinatında x_1 eksenini geçen tüm ışınlar, faz uzayında r_A ve r_B noktalarını birbirine bağlayan dikey bir doğru ile temsil edilir. Genel olarak, x_l ekseni x_L ve x_R arasında geçen tüm ışınlar, faz uzayında bir R hacmi ile gösterilir. R hacminin ∂R sınırındaki ışınlara kenar ışınları denir. Örneğin, x_1 ekseni koordinat x_A'da, ışınlar r_A ve r_B, diğer ışınlar bu ikisi arasında bulunduğu için kenar ışınlarıdır.
Üç boyutlu geometride momentum 
 𝐩=(p_1,p_2,p_3) 
with p_1^2+p_2^2+p_3^2=n^2. P_1 ve p_2 verilirse, p_3 hesaplanabilir (kırılma indisinin n değeri verilir) ve bu nedenle p_1 ve p_2 ışık ışınının yönünü belirlemek için yeterlidir. X_3 ekseni boyunca ilerleyen bir ışın daha sonra x_1x_2 düzleminde bir nokta (x_1, x_2) ve bir yönde (p_1, p_2) tanımlanır. Daha sonra, dört boyutlu faz uzayı x_1x_2p_1p_2'deki bir nokta ile tanımlanabilir.


## Etendue korunması.
Şekil "hacim değişimi" (hacmin varyasyonu), A alanı ile sınırlanmış bir hacim V'yi gösterir. Zamanla, A sınırı hareket ederse, V hacmi değişebilir. Bilhassa, sonsuz küçük alan birimi dA dışa doğru işaret eden bir birim normali n doğrultusunda v hızı ile hareket ettiğinde, hacim değişimine şu şekilde yol açar:
 dV=dA(𝐯·𝐧)dt.
Gauss teoreminden yararlanarak, uzayda hareket eden toplam V hacminin zaman içerisinde değişimi:
dV/dt=∫_A𝐯·𝐧 dA=∫_V∇·𝐯 dV.
En sağdaki terim, hacim V üzerindeki hacim integrali ve orta terim, hacim V'nin sınır A'sı üzerindeki yüzey integralidir. Ayrıca, v, V noktalarının hangi hareket ettiği hızdır.
Optikte 
 x_3 zamanın rolünü üstlenir. Faz uzayında ışık ışını 𝐯=(ẋ_1,ẋ_2,ṗ_1,ṗ_2) “hızı” ile ilerleyen bir nokta (x_1,x_2,p_1,p_2) ile tanımlanır. Burada nokta x_3 ’e göre türevi temsil eder.
 x_1 koordinatında dx_1 x_2 koordinatında dx_2 p_1 koordinatında dp_1 ve p_2 koordinatında dp_2 üzerine yayılmış bir ışık ışını seti, faz uzayında dV=dx_1dx_2dp_1dp_2 hacmini kaplar. Genel olarak, geniş bir ışın grubu Gauss teoreminin uygulanabileceği faz uzayında büyük bir hacim V yi kaplar,
 dV/dx_3=∫_V∇·𝐯 dV
Ve Hamilton denklemlerini kullanarak,
∇·𝐯=∂ẋ_1/∂x_1+∂ẋ_2/∂x_2+∂ṗ_1/∂p_1+∂ṗ_2/∂p_2=∂/∂x_1∂H/∂p_1+∂/∂x_2∂H/∂p_2-∂/∂p_1∂H/∂x_1-∂/∂p_2∂H/∂x_2=0 
sonucuna varılır. Yani, 
 dV/dx_3=0 ve dV=dx_1dx_2dp_1dp_2=Constant 
bu, ışık bir optik sistem boyunca ilerledikçe faz alan hacminin korunması anlamına gelir.
Faz uzayında bir dizi ışın tarafından kullanılan hacim, x_3 yönündeki optik sistemde ışık ışınları ilerledikçe korunan etendue olarak adlandırılır. Bu Liouville teorisine karşılık gelir ve bu da Hamilton mekaniği için de geçerlidir.
Bununla birlikte, mekanikte Liouville teoremi anlamı, eminin korunması teorisinden oldukça farklıdır. Liouville teoremi aslında doğasında istatistikseldir ve aynı özelliklere sahip, ancak başlangıç koşulları farklı mekanik sistemlerin bir topluluğunun zaman içindeki evrimini ifade eder. Her sistem, faz uzayında tek bir nokta ile temsil edilir ve teorem, faz uzayındaki noktaların ortalama yoğunluğunun zaman içinde sabit olduğunu belirtir. Buna bir örnek, konteynerde dengede mükemmel bir klasik gaz molekülü olacaktır. Bu örnekte 2N boyutlarına sahip olan, faz uzayındaki her nokta, N, molekül sayısıdır ve temsil eden noktaların yoğunluğunun istatistiksel bir ortalamasını almaya yetecek kadar büyük bir topluluk olan aynı kapların bir grubunu temsil eder. Liouville teoremine göre, tüm kaplar dengede kalırsa puanların ortalama yoğunluğu sabit kalır.


## Görüntüleme ve görüntülemesiz optik.
Şekil "etendue korunumu" solda, x_2 = 0 ve p_2 = 0 olduğu diyagramsal iki boyutlu bir optik sistemi gösterir, bu nedenle ışık x3 değerleri artan x_1x_3 yönünde ilerler.
Noktanın x_1 = x_l noktasındaki optik giriş alanını geçen ışık ışınları giriş alanının (şeklin sağ alt köşesi) faz uzayında r_A ve r_B noktaları arasındaki dikey bir çizgi ile temsil edilen kenar ışınları r_A ve r_B arasında bulunur. Giriş alanını geçen tüm ışınlar faz uzayında bir bölge r_I ile temsil edilir.
Ayrıca, noktanın x1 = x0 noktasındaki optik çıkış açıklığından geçen ışık ışınları, çıkış açıklığının faz uzayında r_A ve r_B noktaları arasında dikey bir çizgi ile gösterilen kenar ışınları r_A ve r_B arasında bulunur (sağ üst köşe şekli). Çıkış açıklığından geçen tüm ışınlar, faz uzayında bir bölge r_O ile gösterilir.
Optik sistemdeki etenduenin korunması, giriş alanındaki R_I tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacmin (veya bu iki boyutlu durumda olan alanın) çıktı alanındaki r_O tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacim ile aynı olması gerektiği anlamına gelir.
Görüntülenen optikte giriş diyaframını x_1 = x_l'de geçen tüm ışık ışını x_1 = x_0 x_I = mx_O olarak çıkış deliğine doğru yönlendirilir. Bu, girişte bir büyütme m ile çıktıda bir görüntü oluşturulmasını sağlar. Faz uzayında, bu, girişteki faz uzayındaki dikey çizgilerin çıktıda dikey çizgiler haline dönüştüğü anlamına gelir. Bu, R_O'da dikey çizgi r_A r_B'nin R_O'da dikey çizgi r_A r_B'ye dönüştürüldüğü durumda olurdu. Görüntüsüz optikte amaç, bir görüntü oluşturmak değil yalnızca giriş ışık aralığından çıkış diyaframına tüm ışığı aktarmaktır. Bu, R_I'nın kenar ışınları ∂R_I'yi R_O'nun kenar ışınlarına ∂R_O dönüştürerek başarılır. Bu, kenar ışınları prensibi olarak bilinir.


## Genelleştirmeler.
Yukarıdaki Hamilton ilkesinde, ışığın x3 ekseni boyunca ilerlediği farz edildi, 
 x_1 ve x_2 koordinatları q_k genelleştirilmiş koordinatlar rolünü alırken, x_3 parametre σ rolünü üstlenir, yani parametre σ= x_3 ve N = 2'dir. Bununla birlikte, genelleştirilmiş koordinatların kullanımı kadar, ışık ışınlarının farklı parametrizasyonları da mümkündür.


## Genel ışın parametrizasyonu.
Bir ışık ışınının yolunun, σ'nın genel bir parametre olduğu 
 s=(x_1(σ),x_2(σ),x_3(σ)) 
olarak parametrize edildiği daha genel bir durum düşünülür. Bu durumda, yukarıdaki Hamilton ilkesine kıyasla, x_1 x_2 ve x_3 koordinatları, q_k genelleştirilmiş koordinatlarının N = 3 olduğu rolünü üstlenirler. Bu durumda optikte Hamilton ilkesinin uygulanması,
δS=δ∫_^n ds=δ∫_^nds/dσ dσ
 =δ∫_^L(x_1,x_2,x_3,ẋ_1,ẋ_2,ẋ_3,σ) dσ= 0 
ve şimdi 
 L=nds/dσ 
 ẋ_k=dx_k/dσ 
ve bu Fermat ilkesinin formuna uygulanan Euler-Lagrange denklemleri aşağıdaki sonucu verir,
 ∂L/∂x_k-d/dσ∂L/∂ẋ_k=0 
burada k=1,2,3 ve L optik Lagrange'dır. Bu durumda da optik momentum şu şekilde tanımlanır:
 p_k=∂L/∂ẋ_k 
ve Hamilton denklemlerinde P, yukarıda tanımlanan ve N = 3 için verilen x_1(σ), x_2(σ) ve x_3(σ) fonksiyonlarına karşılık gelen ifade ile tanımlanır.
 P=ẋ_1p_1+ẋ_2p_2+ẋ_3p_3-L 
Ve k = 1,2,3 iken Hamilton denklemlerinin optiğe uyarlanmış hali,
 ∂H/∂x_k=-ṗ_k , ∂H/∂p_k=ẋ_k 
burada ẋ_k=dx_k/dσ ve ṗ_k=dp_k/dσ olarak alınır. Optik Lagrange aşağıdaki gibidir,
 L=nds/dσ=n(x_1,x_2,x_3)√(_)1^2+ẋ_2^2+ẋ_3^2=L(x_1,x_2,x_3,ẋ_1,ẋ_2,ẋ_3). 
ve açıkça parametre σ'ya bağlı değildir. Bu nedenle, Euler-Lagrange denklemlerinin tüm çözümleri ışık ışınları için mümkün olmayacaktır, çünkü türevleri optikte meydana gelmeyen σ üzerine L'nin açık bir bağımlılığa sahiptir.
Optik momentum bileşenleri aşağıdaki yoldan elde edilebilir,
 p_k=n_/k_2^2+ẋ_3^2=ndx_k/=ndx_k/ds 
burada ẋ_k=dx_k/dσ ve Lagrange ifadesi aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir,
 L=n√(_)1^2+ẋ_2^2+ẋ_3^2=ẋ_1nẋ_1/_2^2+ẋ_3^2+ẋ_2nẋ_2/_2^2+ẋ_3^2+ẋ_3nẋ_3/_2^2+ẋ_3^2
=ẋ_1p_1+ẋ_2p_2+ẋ_3p_3 
L için bu ifadeyi Hamilton P ifadesi ile karşılaştırıldığında,
 P=0 sonucuna ulaşılır. p_k 'nın bileşenlerinden yararlanılarak optik momentum aşağıdaki gibi bulunur,
 p_1^2+p_2^2+p_3^2-n^2(x_1,x_2,x_3)=0 
Başka şekilde seçilebilecek olsa da Optik Hamilton aşağıdaki gibi seçilmiştir: 
 P=p_1^2+p_2^2+p_3^2-n^2(x_1,x_2,x_3)=0
k = 1,2,3 ve P=0 ile tanımlanan Hamilton denklemleri, olası ışık ışınlarını tanımlar.


## Genelleştirilmiş koordinatlar.
Hamilton mekaniğinde olduğu gibi Hamilton optik denklemlerini genelleştirilmiş koordinatlar (q_1(σ),q_2(σ),q_3(σ)) ve genelleştirilmiş momenta (u_1(σ),u_2(σ),u_3(σ)) ve Hamilton işlevi P açısından yazmak mümkündür:
dq_1/dσ =∂P/∂u_1 du_1/dσ =-∂P/∂q_1
dq_2/dσ =∂P/∂u_2 du_2/dσ =-∂P/∂q_2
dq_3/dσ =∂P/∂u_3 du_3/dσ =-∂P/∂q_3
P=𝐩·𝐩-n^2=0
burada optik momentum aşağıdaki şekilde verilmiştir:
𝐩=u_1 ∇q_1+u_2 ∇q_2+u_3 ∇q_3
=u_1 ∇q_1 ∇q_1/∇q_1 
+u_2 ∇q_2 ∇q_2/∇q_2 
+u_3 ∇q_3 ∇q_3/∇q_3 
=u_1 a_1 ê_1
+u_2 a_2 ê_2
+u_3 a_3 ê_3
ve ê_1, ê_2 ve ê_3 birim vektörlerdir.
Özel bir durum bu vektörlerin ortonormal baz oluşturduğunda görülür. Ortonormal bazda bütün temel birim vektörler birbirine diktir.
Bu durumda optik momentum 𝐩 ile birim vektör ê_k arasındaki açının kosinüsü u_k a_k/n ifadesine eşittir.