# Laplasyen
Matematikte, Laplace operatörü ya da Laplasyen, Öklid uzayındaki bir skaler fonksiyonun gradyanı alınarak elde edilen vektörün diverjansı ile tanımlanan bir diferansiyel operatörüdür. Genellikle ∇·∇, ∇^2 (burada ∇, nabla operatörüdür) veya Δ sembolleriyle gösterilir. Kartezyen koordinat sisteminde, Laplasyen, fonksiyonun her bağımsız değişkenine göre ikinci kısmi türevlerinin toplamı ile verilir. Silindirik ve küresel koordinatlar gibi diğer koordinat sistemlerinde de Laplasyenin kullanışlı bir formu vardır.
Laplace operatörü, operatörü ilk kez gök mekaniği çalışmasına uygulayan Fransız matematikçi Pierre-Simon Laplace (1749–1827) adına adlandırılmıştır. Belirli bir kütle yoğunluğu dağılımına bağlı olarak yerçekimi potansiyelinin Laplasyeni, bu yoğunluk dağılımının sabit bir katıdır. Laplace denklemi ∇^2f = 0'ın çözümleri, harmonik fonksiyonlar olarak adlandırılır ve vakumdaki olası yerçekimi potansiyellerini temsil eder.


## Motivasyon.
### Difüzyon.
Difüzyonun fiziksel teorisinde, Laplace operatörü,[difüzyon dengesinin matematiksel tanımında doğal olarak ortaya çıkar. Özellikle, eğer #YÖNLENDİRME bir miktarın, örneğin kimyasal bir yoğunluğun denge durumundaki yoğunluğunu temsil ediyorsa, #YÖNLENDİRME 'nin düzgün bir bölgesinin sınırı #YÖNLENDİRME (aynı zamanda #YÖNLENDİRME olarak da adlandırılır) boyunca #YÖNLENDİRME 'nun net akısı sıfırdır, eğer #YÖNLENDİRME içinde bir kaynak veya yutucu yoksa: ∫_S ∇u ·𝐧, dS = 0,
burada #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME 'nin sınırına dışa doğru olan birim normal vektördür. Diverjans teoremine göre, ∫_V div ∇u, dV = ∫_S ∇u ·𝐧, dS = 0.
Bu, tüm düzgün bölgeler #YÖNLENDİRME için geçerli olduğundan, şu sonuca varılabilir:
div ∇u = Δu = 0.
Bu denklemin sol tarafı Laplace operatörüdür ve tüm denklem #YÖNLENDİRME olarak bilinen Laplace denklemidir. Laplace denkleminin çözümleri, yani Laplasyeni sıfır olan fonksiyonlar, difüzyon altında olası denge yoğunluklarını temsil eder.
Laplace operatörünün kendisi, denge dışı difüzyon için fiziksel bir yoruma sahiptir; bir noktanın kimyasal yoğunluk açısından bir kaynak ya da yutucu olarak ne derece işlev gördüğünü, difüzyon denklemi ile kesin hale getirilen bir anlamda gösterir. Laplasyenin bu yorumu, ortalamalar hakkındaki şu gerçek ile de açıklanabilir.


### Ortalamalar.
Sürekli iki kez türevlenebilir bir fonksiyon f : ^n → ve bir nokta p∈^n verildiğinde, p merkezli ve yarıçapı h olan küre üzerinde f'in ortalama değeri şu şekildedir:
f_B(p,h)=f(p)+Δf(p)/2(n+2) h^2 +o(h^2) h→0 ,
Benzer şekilde, p merkezli ve yarıçapı h olan kürenin (bir topun sınırı olarak da düşünülebilir) üzerinde f'nin ortalama değeri şu şekildedir:
f_S(p,h)=f(p)+Δf(p)/2n h^2 +o(h^2) h→0.


### Potansiyele bağlı yoğunluk.
Eğer #YÖNLENDİRME skaler fonksiyonu, #YÖNLENDİRME ile gösterilen bir yük dağılımı ile ilişkili elektrostatik potansiyeli gösteriyorsa, yük dağılımı, #YÖNLENDİRME 'nin Laplasyeninin negatifi ile verilir:
q = -ε_0 Δφ,
burada #YÖNLENDİRME elektrik sabitidir.
Bu, Gauss yasasının doğal bir sonucudur. Gerçekten de, #YÖNLENDİRME bölgesi, sınırı #YÖNLENDİRME olan herhangi bir düzgün bölgeyse, Gauss yasasına göre elektrostatik alan #YÖNLENDİRME 'nin sınır boyunca akısı, bu bölge içerisindeki toplam elektriksel yük ile orantılıdır:
∫_∂V 𝐄·𝐧 dS = ∫_V div𝐄 dV=1/ε_0∫_V q dV.
burada ilk eşitlik diverjans teoremine dayanmaktadır. Elektrostatik alan, potansiyelin (negatif) gradyanı olduğundan, şu sonucu elde ederiz:
-∫_V div(gradφ) dV = 1/ε_0 ∫_V q dV.
Bu, olası tüm bölgeler V için geçerli olduğundan, şu sonuca varırız:
div(gradφ) = -1/ε_0q
Aynı yaklaşım, kütleçekimsel potansiyelin Laplasyeninin negatifinin kütle dağılımı olduğunu ima eder. Genellikle, yük (veya kütle) dağılımı bilinir ve buna bağlı potansiyel bilinmez. Uygun sınır koşullarına tabi potansiyel fonksiyonunu bulmak, Poisson denklemini çözmeye eşdeğerdir.


### Enerji minimizasyonu.
Laplace operatörünün fizikte ortaya çıkmasının bir diğer motivasyonu, #YÖNLENDİRME denkleminin çözümlerinin, bir bölge #YÖNLENDİRME 'da Dirichlet enerjisi fonksiyonelini durağan nokta yapmasıdır:
 E(f) = 1/2 ∫_U ‖∇f ‖^2 dx.
Bunu görmek için, #YÖNLENDİRME bir fonksiyon ve #YÖNLENDİRME #YÖNLENDİRME bölgesinin sınırında sıfır olan bir fonksiyon olsun. O zaman:
. d/dε|_ε= 0 E(f+εu) = ∫_U ∇f ·∇u , dx = -∫_U u Δf dx Son eşitlik, Green teoremi (Green'in birinci özdeşliği) kullanılarak elde edilir. Bu hesaplama, eğer #YÖNLENDİRME ise, #YÖNLENDİRME 'nin #YÖNLENDİRME etrafında durağan olduğunu gösterir. Tersine, eğer #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME etrafında durağan ise, varyasyonlar hesabının temel teoremine göre #YÖNLENDİRME olur.


## Koordinat ifadeleri.
### İki boyut.
İki boyutta Laplace operatörü şu şekilde verilir:
Kartezyen koordinatlarda,
Δf = ∂^2 f/∂x^2 + ∂^2 f/∂y^2
burada x ve y, #YÖNLENDİRME -düzleminin standart Kartezyen koordinatlarıdır.
Kutupsal koordinatlarda,
 Δ f amp;= 1/r∂/∂ r( r ∂ f/∂ r) + 1/r^2∂^2 f/∂θ^2
 amp;= ∂^2 f/∂ r^2 + 1/r∂ f/∂ r + 1/r^2∂^2 f/∂θ^2,
burada r radyal mesafeyi, θ ise açıyı temsil eder.


### Üç boyut.
Üç boyutta, Laplace operatörü çeşitli koordinat sistemlerinde sıkça kullanılır.
Kartezyen koordinatlarda:
Δf = ∂^2 f/∂x^2 + ∂^2 f/∂y^2 + ∂^2 f/∂z^2.Silindirik koordinatlarda:
Δf = 1/ρ ∂/∂ρ (ρ∂f/∂ρ ) + 1/ρ^2 ∂^2 f/∂φ^2 + ∂^2 f/∂z^2 ,
burada ρ radyal mesafeyi, #YÖNLENDİRME azimutal açıyı ve #YÖNLENDİRME yüksekliği temsil eder.
Küresel koordinatlarda:
Δf = 1/r^2 ∂/∂r (r^2 ∂f/∂r ) + 1/r^2 sinθ ∂/∂θ (sinθ∂f/∂θ ) + 1/r^2 sin^2 θ ∂^2 f/∂φ^2,
veya
Δf = 1/r ∂^2/∂r^2 (r f) + 1/r^2 sinθ ∂/∂θ (sinθ∂f/∂θ ) + 1/r^2 sin^2 θ ∂^2 f/∂φ^2,İlk ve ikinci terimi genişlettiğimizde ifadeler aşağıdaki şekli alır:Δf = ∂^2 f/∂r^2 + 2/r∂f/∂r + 1/r^2 sinθ (cosθ∂f/∂θ + sinθ∂^2 f/∂θ^2 ) + 1/r^2 sin^2 θ ∂^2 f/∂φ^2,
burada #YÖNLENDİRME azimutal açıyı ve #YÖNLENDİRME zenit açısını temsil eder.
Genel eğrisel koordinatlarda (#YÖNLENDİRME ): Δ= ∇ξ^m ·∇ξ^n ∂^2/∂ξ^m , ∂ξ^n + ∇^2 ξ^m ∂/∂ξ^m = g^mn (∂^2/∂ξ^m , ∂ξ^n - Γ^l_mn∂/∂ξ^l ),burada tekrarlanan indisler üzerinde toplama varsayılmıştır, #YÖNLENDİRME ters metrik tensördür ve #YÖNLENDİRME seçilen koordinatlar için Christoffel sembolleridir.