# Sağkalım analizi
Sağkalım analizi, biyolojik organizmalarda ölüm ve mekanik sistemlerde başarısızlık ile ilgilenen bir istatistik dalıdır. Bu konu mühendislikte "güvenilirlik teorisi" veya "güvenilirlik analizi", iktisat ve sosyolojide ise "süre analizi" veya "süre modellemesi" olarak adlandırılır.
Daha genel olarak sağkalım analizi olaya kadar geçen sürenin modellemesini içerir ki bu bağlamda ölüm veya başarısızlık sağkalım analizi literatüründe "olay" olarak ele alınır. Sağkalım analizindeki birçok kavram son zamanlarda ortaya çıkmış olan Sayım Süreç Teorisi (Counting Process Theory) ile açıklanmaktadır. Sayım sürecinin esnekliği çoklu (veya tekrar eden) olayların modellenmesine olanak tanımasından kaynaklanmaktadır. Bu tarz bir modelleme birçok duruma uygulanabilmektedir, örneğin, insanlar birçok kez hapishaneye girebilir, alkolikler birçok kez içkiye başlar veya bırakır, insanlar birçok kez evlenip boşanabilir.
Sağkalım analizi, belli bir zamandan sonra bir popülasyonun sağkalan bir kısmının nedir? sağkalanların hangi oranı ölecek veya başarısız olacaktır? ölüm veya başarısızlıkta çoklu etkenler ele alınabilir mi? belirli ortamlar veya karakteristik özellikler sağkalım oranını nasıl arttırır veya azaltır? gibi soruları cevaplamayı amaçlar.
Bu tarz soruları cevaplandırmak için; "ömür" kavramını tanımlamak gerekmektedir. Biyolojik sağkalım durumunda ölüm kavramının anlamı açıktır fakat mekanik güvenilirlikte başarısızlık kavramı iyi tanımlanmamış olabilir. biyolojik problemlerde bile bazı olaylar (örneğin, kalp krizi veya diğer organların başarısızlığı) benzer belirsizliğe sahip olabilir. Aşağıda açıklanan teori belirli zamanlarda iyi tanımlanmış olayları varsayar; diğer durumlar belirsiz olayları açıkça açıklayan modellerle ele alınabilir.
Burada açıklanan sağkalım teorisi ölüm veya başarısızlığın sadece bir kez gerçekleştiğini varsayar. "Tekrar eden olaylar" veya "tekrarlayan olaylar" modelleri bu varsayımı serbest bırakır. Tekrarlayan olaylar çalışmaları sistem güvenirliliği ve sosyal bilimler ile sağlık bilimlerinin birçok alanı ile ilgilidir.
Bu makale temel olarak biyolojik sağkalım terimleriyle ele alınmıştır ki bunun nedeni kolaylık sağlamaktır. Mekanik başarısızlık için benzer bir formülasyon "ölüm" kelimesi "başarısızlık" kelimesi ile değiştirilerek elde edilebilir.


## Genel formülasyon.
### Sağkalım fonksiyonu.
Temel ilgi konusu olan sağkalım fonksiyonu geleneksel olarak "S" ile gösterilir ve
S(t) = (T gt; t)
şeklinde tanımlanır. Burada "t" herhangi bir zamanı, "T" ölüm zamanını ifade eden bir rassal değişkeni ve "Pr" olasılığı gösterir. Yani, sağkalım fonksiyonu ölüm zamanının belirli bir zamandan sonra olma olasılığıdır. Sağkalım fonksiyonu, mekanik sağkalım problemlerinde "güvenilirlik fonksiyonu" olarak adlandırılır ve "R"("t") ile gösterilir.
Genellikle "S"(0) = 1 varsayılır ancak hemen gerçekleşen ölüm veya başarısızlık olasılığı varsa 1'den az olabilir.
Sağkalım fonksiyonu artmayan olmak zorundadır: eğer "u" > "t" ise "S"("u") ≤ "S"("t"). Bu özellik negatif olmayan "F"("t") = 1 - "S "("t") fonksiyonundan kaynaklanır. Bu ise geç yaşlarda sağkalmanın ancak genç yaşlarda sağkalınmışsa gerçekleşeceği kavramını yansıtır. Bu özellik veri iken, yaşam dağılım fonksiyonu ve olay sıklığı ("F" ve "f") iyi tanımlanmıştır.
Sağkalım fonksiyonunun genellikle yaş sınırsız olarak artarken sıfıra yaklaştığı varsayılır, yani "t" → ∞, iken "S"("t") → 0. Eğer sonsuz yaşam olası ise limit sıfırdan büyük olabilir. Örneğin, sağkalım analizini kararlı ve kararsız karbon izotoplarından oluşan bir karışıma uygulayabiliriz; kararsız izotoplar er ya da geç bozunacaktır fakat kararlı karbon izotopları sonsuza kadar bozunmayacaktır.


### Yaşam dağılım fonksiyonu ve olay sıklığı.
İlişkili büyüklükler sağkalım fonksiyonu cinsinden tanımlanmıştır. Yaşam dağılım fonksiyonu, geleneksel olarak "F" ile gösterilir, sapkalım fonksiyonunun tamamlayıcısı olarak tanımlanır;
F(t) = (T ≤t) = 1 - S(t)
ve "F" nin türevi (yani yaşam dağılımının sıklık fonksiyonu) geleneksel olarak "f" ile gösterilir,
f(t) = F'(t) = d/dt F(t)
"f" bazen olay sıklığı olarak adlandırılır ve birim zamanda ölüm veya başarısızlık olaylarının oranını gösterir.
Sağkalım fonksiyonu genellikle dağılım ve sıklık fonksiyonları cinsinden ifade edilir
S(t) = (T gt; t) = ∫_t^∞ f(u) du = 1-F(t).
Benzer biçimde sağkalım olay sıklık fonksiyonu
s(t) = S'(t) = d/dt S(t) = d/dt ∫_t^∞ f(u) du = d/dt [1-F(t)] = -f(t)
biçiminde tanımlanabilir.


### Hazard fonksiyonu ve birikimli hazard fonksiyonu.
Başarısızlık oranı, geleneksel olarak λ ile gösterilir, "t" zamanına kadar veya sonrasında yaşam koşuluyla "t" zamanında olay oranı şeklinde tanımlanır.
λ(t) dt = (t ≤T lt; t+dt | T ≥t) = f(t) dt/S(t) = -S'(t) dt/S(t)
Hazard fonksiyonu negatif olmayan olmak zorundadır, λ("t") ≥ 0 ve [0, ∞) üzerine integrali sonsuz olmalıdır ki aksi takdirde sınırlandırılırmış olur. Hazrd fonksiyonu artan veya azalan, monotonik olmayan veya süreksiz olabilir. Bir örneği küvet eğrisidir ki "t"nin küçük değerleri için büyük değerler alır, bir minimuma kadar azalır ve bu noktadan sonra tekrar artar. Bu çalışmaya başladıktan kısa süre sonra veya daha sonraları sistem yaşlandıkça başarısız olan mekanik sistemlerin modellenmesinde kullanılabilir.
Hazard fonksiyonu alternatif olarak birikimli hazard fonksiyonu,Λ:, cinsinden de ifade edilebilir.
Λ(t) = -logS(t) 
dolayısıyla
d/dt Λ(t) = -S'(t)/S(t) = λ(t)
Λ birikimli azard fonksiyonu olarak adlandırılır çünkü daha önce yapılan tanımlar hep beraber
 Λ(t) = ∫_0^t λ(u) du ,
olmasını gerektirir ki bu zaman içinde "hazard"ın "birikimidir".
Λ(t) = -logS(t) 'den, Λ(t)'in t sonsuza giderken (S(t) 'ın sıfıra gittiği varsayılır) sınırsız olarak arttığını görürüz.
Bu ise λ(t)'nin hızlı biçimde azalmaması gerek tğini ima eder çünkü birikimli hazard ıraksamaktadır. Örneğin, exp(-t) herhangi bir sağkalım dağılımının hazard fonksiyonu değildir çünkü integrali yakınsamaktadır (1'e).


### Sağkalım dağılımından türetilen büyüklükler.
Belirli bir "t"0 zamanında gelecek yaşam süresi ölüme kadar kalan zaman ile gösterilir dolayısıyla gelecek yaşam süresi şimdiki zaman notasyonuyla T-t_0 şeklindedir.
Beklenen gelecek yaşam süresi gelecek yaşam zamanının beklenen değeridir. t_0'a kadar sağkalım veri iken t + t_0 zamanında veya öncesinde ölüm olasılığı
P(T ≤t_0 + t | T gt; t_0) = P(t_0 lt; T ≤t_0 + t)/P(T gt; t_0) = F(t_0 + t) - F(t_0)/S(t_0)
şeklindedir.
Dolayısıyla gelecek yaşam süresinin olasılık sıklığı
d/dtF(t_0 + t) - F(t_0)/S(t_0) = f(t_0 + t)/S(t_0)
ve beklenen gelecek yaşam süresi
1/S(t_0) ∫_0^∞ t f(t+t_0) dt
şeklindedir.
t_0 = 0 için, yani; doğumda, bu beklenen yaşam süresine indirgenir
Güvenilirlik problemlerinde, beklenen yaşam süresi "başarısızlığa kadar ortalama zaman" ve beklenen gelecek yaşam süresi "ortalama artık yaşam süresi" olarak adlandırılır.
"t" zamanına kadar veya sonrasında bireysel sağkalım olasılığı tanım gereği "S"("t") şeklindedir. Sağkalanların sayısının beklenen değeri "n" bireyden oluşan bir popülasyonda, her birey için aynı sağkalım fonksiyonunun geçerli olduğunu varsayarsak, "n" × "S"("t") şeklindedir. Dolayısıyla sağkalanların oranının beklenen değeri "S"("t") ve sağkalanların oranının varyansı "S"("t") × (1-"S"("t"))/"n" şeklindedir.


## Sağkalım analizinde kullanılan dağılımlar.
  - Üstel dağılım
  - Weibull dağılımı
  - Üstel-logaritmik dağılım