# Tam fonksiyon
Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, tam fonksiyon, karmaşık düzlemin tümünde holomorf olan karmaşık değerli bir fonksiyondur. Tam fonksiyonların örnekleri arasında polinomlar, üstel fonksiyonlar, sinüs ve kosinüs gibi trigonometrik fonksiyonlar, sinh ve cosh gibi hiperbolik fonksiyonlar ve yine bunların sonlu toplamları, çarpımları, bileşkeleri, türevleri ve integralleri verilebilir.
Doğal logaritma ya da karekök fonksiyonu tam bir fonksiyona analitikliğini koruyacak şekilde devam ettirilemez. 
Polinom olmayan tam fonksiyonlara aşkın tam fonksiyon adı verilir. Meromorf fonksiyonların rasyonel fonksiyonların genellemesi olarak görülebilmesine benzer bir şekilde, tam fonksiyonlar da polinomların genellemesi olarak görülebilir. Özellikle, meromorf fonksiyonların çarpanlara ayrılması Mittag-Leffler teoremi sayesinde basit rasyonel fonksiyonlara indirgenmesine benzer olarak, tam fonksiyonların çarpanlara ayrılmasının yolu Weierstrass çarpım teoreminden geçer.


## Özellikleri.
### Kuvvet serisi temsili.
Her tam fonksiyon tıkız kümeler üzerinde düzgün bir şekilde yakınsayan kuvvet serileri ile temsil edilebilir. Diğer deyişle, bir f(z) fonksiyonu tamsa, 
 f(z) = ∑_n=0^∞a_n z^n 
gibi karmaşık düzlemin her yerinde yakınsayan (ve bu yüzden tıkız altkümelerde de düzgün yakınsayan) bir kuvvet serisi ile temsil edilebilir. Elbette, böyle bir serinin yakınsaklık yarıçapı sonlu olmayacaktır. Daha doğrusu, 
 lim_n→∞ |a_n|^1/n = 0 
olur ve bu ifâde, eşdeğer olarak 
 lim_n→∞ ln|a_n|/n = -∞ 
olarak da yazılabilir. Ters yönde ifâde etmek gerekirse, bu yakınsaklık yarıçapı şartlarını sağlayan her kuvvet serisi tam fonksiyon olacaktır.


### Örnekler.
  - e^z =∑_n=0^∞ 1/n! z^n
  - sin(z) =∑_n=0^∞ (-1)^n /(2n+1)! z^2n+1
  - cos(z) =∑_n=0^∞ (-1)^n /(2n)! z^2n
  - cos(√(z)) =∑_n=0^∞ (-1)^n /(2n)! z^n
  - sin(√(z))/√(z) =∑_n=0^∞ (-1)^n /(2n+1)! z^n
Kuvvet fonksiyonlarındaki terimlerin karsayılarının gerçel oldupu durumlarda, tam fonksiyonlar gerçel sayı değerleri için elbette gerçel değerler alacaktır. Bu durumda, bir z karmaşık değerinde aldığı değerin eşlenik değerini bir znin eşlenik değerinde alacaktır. Diğer deyişle, F(z)=F̅(z̅). Bu tür tam fonksiyonlara kendine eşlenik fonksiyon denir.#YÖNLENDİRME 
Bir tam fonksiyonun gerçel kısmı bir noktanın çevresinde biliniyorsa, hem gerçel hem de sanal kısımları (sanal bir sabit belirsizliğinde) tüm karmaşık düzlem için bilinir. Örneğin, gerçel kısım sıfırın çevresinde biliniyorsa n gt;0 için katsayıları şu şekilde bulabiliriz:
 ℛ_ℯ{ a_n } amp;= (1/n!d^n/dr^n ℛ_ℯ{ f(r) })|_r = 0
 ℐ_𝓂{ a_n } amp;= (1/n!d^n/dr^n ℛ_ℯ{ f( r e^-iπ/2n) }) |_r = 0.
Benzer şekilde, sanal kısım bir komşulukta biliniyorsa, fonksiyon gerçel bir sabit belirsizliğinde belirlenir. Aslında, gerçel kısım sadece bir çemberin yayı üzerinde biliniyorsa, fonksiyon sanal bir sabit belirsizliğinde bilinir. Ancak, gerçel kısmının bilinmesi her bir eğri üzerinde işe yaramaz. Özellikle, bir tam fonksiyonun gerçel kısmının değerleri karmaşık düzlemdeki bir eğride verilmişse ve aynı eğri üzerinde başka bir tam fonksiyonun gerçel kısmı sıfırsa, o zaman bu ikinci tam fonksiyonun herhangi bir katı belirlemeye çalıştığımız tam fonksiyona eklenebilir. Örneğin, 
  - gerçel kısmın bilindiği eğri gerçel sayı doğrusuysa, o zaman herhangi bir öz-eşlenik fonksiyonu i ile çarpıp bu fonksiyonun üstüne ekleyebiliriz. 
  - eğri bir döngü oluşturuyorsa, o zaman gerçel kısmı eğri üzerinde bilinen fonksiyonun gerçekten de bu değerler ve bir sanal sayı tarafından belirlenir. Çünkü, gerçel kısmı bir döngü üzerinde sıfır olan tam fonksiyonlar aslında sabitirler ve bir sanal sayıya eşittirler.


### Sınırlılık ve büyüme özellikleri.
Tam fonksiyonlar, gerçel sayılarda tanımlanmış sonsuz türevli fonksiyonlar gibi, sınırlı olamazlar ve bu özelliği tam fonksiyonlar için ifade eden Liouville teoremidir. Kısacası, sınırlı her tam fonksiyon sabittir. Sonuç olarak, Riemann küresinin (karmaşık düzlem "ve" sonsuzdaki karmaşık nokta) tümünde tam olan (karmaşık değerli) bir fonksiyon sabittir. Bu yüzden, tam bir fonksiyonun (eğer sabit değilse) sonsuz noktasında bir tekilliği olmak zorundadır. Bu tekillik ya kutup noktasıdır ya da esaslı tekillik noktasıdır. 
Eğer esaslı tekillik varsa, fonksiyona aşkın tam fonksiyon denilir, öteki türlü fonksiyon bir polinomdur.


### Sıfır değerleri ve kökler.
  - Polinomların sonlu sayıda sıfırı varken, aşkın tam fonksiyonların sıfır sayısı sonlu ya da sonsuz olabilir. 
  - Liouville teoremi, derecesi n olan bir polinomun n tane kökü olduğunu ifâde eden cebirin temel teoremi'nin şık bir kanıtı için de kullanılabilir.
  - Picard'ın küçük teoremi, Liouville teoreminin epeyce güçlendirilmiş halidir: Sabit olmayan tam bir fonksiyon, tüm karmaşık değerleri alır veya almadığı karmaşık noktalar en fazla bir tanedir. Bu en son bahsedilen istisnaya örnek olarak 0 değerini hiçbir zaman almayan üstel fonksiyon verilebilir.
  - Weierstrass çarpım teoremi sayesinde herhangi bir tam fonksiyonun sıfırlarını (veya "köklerini") içeren bir çarpımla temsil edilebileceğini ifâde eder. J. E. Littlewood kitaplarının birinde, Weierstrass sigma fonksiyonunu tipik bir tam fonksiyon olarak seçmiştir.


## Tam bir fonksiyonun büyümesi.
Kesin artan herhangi bir gerçel fonksiyonunun büyüme hızından daha hızlı büyümeye sahip tam fonksiyonlar bulunabilir. Daha doğrusu, bir g:[0,∞)→[0,∞) fonksiyonu artan fonksiyonsa, o zaman tüm gerçel x değerleri için f(x) gt;g(|x|) sağlayacak bir f tam fonksiyonu vardır. Mesela, c bir sabit ve n_k kesin artan bir pozitif tam sayılar dizisi olmak üzere, böyle bir tam fonksiyon,
f(z)=c+∑_k=1^∞(z/k)^n_k
tarafından verilir. Böyle verilmiş her pozitif tam sayı dizisi aracılığıyla f(z) tam fonksiyon olur. Eğr kuvvetler dikkatle seçilirse, tüm gerçel x değerleri için f(x) gt;g(|x|) sağlanabilir. Örneğin, c:=g(2) alınıp her k ≥1 için (k+1/k)^n_k ≥g(k+2) eşitsizliğini sağlayacak çift bir n_k seçilirse, büyüme koşulu sağlanabilir.


### Özellikler.
Bir f tam fonksiyonu verilmiş olsun ve 
M_f(r)=max_
elde edilir. Aynı zamanda, r gt;0 için z=-ir alınırsa, 
Böylece, fonksiyonun tipi π, mertebesi de 1e eşittir. Mertebesi 1den küçük veya 1e eşit sonlu tipli tam fonksiyonlara üstel tipli fonksiyonlar da denilir. Üstel tipe sahip tam fonksiyonlar, üstel tipi 0 olanlar (σ lt;1) ve üstel tipi 1 olanlar (σ=1) diye ikiye ayrılırlar.