# Silindirik ve küresel koordinatlarda vektör alanı
NOT: Bu sayfa küresel koordinatların fizik gösterimi içindir, θ "z" ekseni arasındaki açıdır.ve yarıçap vektörü söz konusu noktaya orijinden bağlantılıdır, bu ϕ açısı "x-y" düzlemi ve "x" ekseni ile vektör yarıçapının izdüşümü arası açıdır. Diğer bazı tanımları da kullanılıyor ve çok dikkatli farklı kaynaklardan karşılaştırarak alınmalıdır.


## Silindirik koordinat sistemi.
### Vektör alanı.
Vektörler (p, φ, "z") ile silindirik koordinatlarda tanımlanıyor, burada
  - "p , xy" düzlemine "r" vektörünün izdüşüm uzunluğu,
  -  φ pozitif "x"-ekseninin (0 ≤  φ < 2π) "xy"-düzlemi (i.e. "r")vektör izdüşümünü ile arasındaki açıdır,
  - "z" bilinen "z"-koordinatı.
(p, φ, "z") kartezyen koordinatlarda şöyle verilir:
[ p; ϕ; z ] = 
[ √(x^2 + y^2); arctan(y / x); z ], 0 ≤ϕ lt; 2π,
veya tersi yoluyla:
[ x; y; z ] =
[ pcosϕ; psinϕ; z ].
Herhangi bir vektör alanı birim vektörleri tarafından yazılabilir:
𝐀 = A_x 𝐱̂ + A_y ŷ + A_z ẑ 
 = A_p 𝐩̂ + A_ϕϕ̂ + A_z ẑ
Silindirik birim vektörleri ile kartezyen birim vektörleri ilişkilidir:
[ 𝐩̂; ϕ̂; ẑ ]
 = [ cosϕ amp; sinϕ amp; 0; -sinϕ amp; cosϕ amp; 0; 0 amp; 0 amp; 1 ]
 [ 𝐱̂; ŷ; ẑ ]
  - Not: bu matris bir ortogonal matristir, şöyle ki, o terstir, basittir, transpozedir.


### Bir vektör alanının zaman türevleri.
"vektör alanı A"nın zaman içindeki değişikliklerini bulmak için biz zaman türevlerini hesaplıyoruz.
Bunu desteklemek için zaman türevleri için biz Newton gösterimini kullanıyoruz (𝐀̇).
Kartezyen koordinatlar içinde bu basitçe:
𝐀̇ = Ȧ_x 𝐱̂ + Ȧ_y 𝐲̂ + Ȧ_z 𝐳̂
Bununla birlikte silindirik koordinatlar şu alınır:
𝐀̇ = Ȧ_p p̂ + A_p ṗ̂̇ 
 + Ȧ_ϕϕ̂ + A_ϕϕ̇̂̇
 + Ȧ_z ẑ + A_z ẑ̇
Birim vektörlerin zaman türevlerine ihtiyacımız var.
 𝐩̇̂̇ amp;= ϕ̇ϕ̂
 ϕ̇̂̇ amp;= - ϕ̇𝐩̂
 𝐳̇̂̇ amp;= 0
ile verilir.
Zaman türevleri basitçe:
𝐀̇ = p̂ (Ȧ_p - A_ϕϕ̇)
 + ϕ̂ (Ȧ_ϕ+ A_p ϕ̇)
 + 𝐳̂ Ȧ_z


### Bir vektör alanın ikinci kez türevi.
fizikte ilginç olan ikinci zaman türevidir, klasik mekanik sistemde hareketin denklemi bulunuyor .
Bir vektör alanının silindirik koordinatlarda ikinci zaman türevi şu denklem yoluyla veriliyor:
Ä = 𝐩̂ (Ä_p - A_ϕϕ̈- 2 Ȧ_ϕϕ̇- A_p ϕ̇^2)
 + θ̂ (Ä_ϕ+ A_p ϕ̈+ 2 Ȧ_p ϕ̇- A_ϕϕ̇^2)
 + ẑ Ä_z
Bu ifadeyi anlamak için, A = P eşitliğine inanıyoruz, burada p, (r, θ, z) vektörüdür.
Bu demektir ki 𝐀 = 𝐏 = p𝐩̂ + z ẑ.
Biz koymak yerine sonra:
P = 𝐩̂ (p̈ - p ϕ̇^2)
 + ϕ̂ (p ϕ̈+ 2 ṗ ϕ̇)
 + ẑ z̈
Mekanikte,bu şekilde ifade açısından:
 p̈𝐩̂ amp;= 
 -p ϕ̇^2 𝐩̂ amp;= 
 p ϕ̈ϕ̂ amp;= 
 2 ṗϕ̇ϕ̂ amp;= 
 z̈ẑ amp;=
Ayrıca bakınız: merkezcil çekim kuvveti, Açısal hız, Coriolis etkisi.


## Küresel koordinat sistemi.
### Vektör alanı.
(r,θ,φ) ile küresel koordinatlar içinde tanımlanan vektörler 
  - r vektörünün boyudur,
  - θ pozitif z-ekseni ve söz konusu vektör arasındaki açı(0 ≤ θ ≤ π)
  - φ vektör ontolojik "X-Y" düzleminin projeksiyonu ve x-ekseni pozitif tarafı arasındaki açıdır (0 ≤ φ < 2π),
(by:
[ r; θ; ϕ ] = 
[ √(x^2 + y^2 + z^2); arccos(z / r ); arctan(y / x) ], 0 ≤θ≤π, 0 ≤ϕ lt; 2π,
tarafından
ya da ters tarafından:
[ x; y; z ] =
[ r sinθcosϕ; r sinθsinϕ; r cosθ ].
Birim vektör yardımıyla herhangi bir vektör alanı yazılabilir:
𝐀 = A_x𝐱̂ + A_yŷ + A_zẑ 
= A_rr̂ + A_θθ̂ + A_ϕϕ̂
Küresel birim vektör are Kartezyen birim vektörlerle şöyle ilişkilidir:
[ r̂; θ̂; ϕ̂ ]
 = [ sinθcosϕ amp; sinθsinϕ amp; cosθ; cosθcosϕ amp; cosθsinϕ amp; -sinθ; -sinϕ amp; cosϕ amp; 0 ]
 [ 𝐱̂; ŷ; ẑ ]
  - Not: Bu matris bir ortogonal matristir, o terstir, basitçetranspozedir.


### Bir vektör alanın zaman türevi.
Zaman içinde nasıl vektör alanı bir değişiklik bulmak için biz zaman türevinin hesaplamalıyız
Kartezyen koordinatlarda bu basitçe:
Ȧ = Ȧ_x 𝐱̂ + Ȧ_y ŷ + Ȧ_z ẑ
Ancak, küresel koordinatlarda Bu hale gelir:
Ȧ = Ȧ_r r̂ + A _rṙ̂̇
 + Ȧ_θθ̂ + A_θθ̇̂̇
 + Ȧ_ϕϕ̂ + A_ϕϕ̇̂̇
Bu birim vektörlerin zaman türevleri gerekir. 
Bunlar tarafından verilmektedir:
 ṙ̂̇ amp;= θ̇θ̂ + ϕ̇sinθϕ̂
 θ̇̂̇ amp;= - θ̇r̂ + ϕ̇cosθϕ̂
 ϕ̇̂̇ amp;= - ϕ̇sinθr̂ - ϕ̇cosθθ̂
zamana göre türevleri alınırsa:
Ȧ = r̂ (Ȧ_r - A_θθ̇- A_ϕϕ̇sinθ)
 + θ̂ (Ȧ_θ+ A_r θ̇- A_ϕϕ̇cosθ)
 + ϕ̂ (Ȧ_ϕ+ A_r ϕ̇sinθ+ A_θϕ̇cosθ)