# Küresel koordinat sistemi
Küresel koordinat sistemi, üç boyutlu uzayda nokta belirtmenin bir yoludur.
Küre üzerindeki bir nokta bu sistemde üç tane bileşenle ifade edilir, bunlar r, θ ve ϕ' dir. Koordinatların tanımlı oldukları aralıklar ve tanımları şu şekilde verilir.
r : Yarıçap P ve (0,0,0) noktası arasındaki uzaklıktır. Tanım aralığı 0≤r lt;∞ olarak verilir.
θ : Enlem, z-ekseni ve çap arasındaki açıdır. 0≤θ≤180^∘ aralığında tanımlıdır. Polar açı olarak da adlandırılır.
ϕ : Boylam, x-ekseni ile çapın xy-düzlemine izdüşümü (ρ) arasındaki açıdır. 0≤ϕ lt;360^∘ aralığında tanımlıdır. Diğer bir adı azimütal açıdır.
Bu sistem, dünya üzerinde coğrafi konum belirlerken kullanılan sistemdir. Dünya' nın yüzeyi üzerinde her noktada yarıçap aynı olduğundan, sadece enlem ve boylam ile bir yer belirlenebilir. Ayrıca fizikte küresel yapıya sahip sistemler, (dünya, güneş, yüklü bilye vs.) ele alınırken yine küresel koordinatlara geçiş yapılır. Küresel koordinatlarla Kartezyen koordinatlar arasındaki bağıntılar şu şekildedir.
x=rsinθcosϕ 
y=rsinθsinϕ 
z=rcosθ 
Küresel koordinatlarda Laplasyen, diverjans ve gradyan Kartezyen koordinatlardakinden farklıdır. Jakobyen kullanılarak diferansiyel eleman hesaplanabileceği gibi şekilden de P noktası etrafında sonsuz küçük bir hacim elemanının büyüklüğü şu şekilde hesaplabilir.
dV=(ρdϕ)(rdθ)dr=r^2sinθdrdθdϕ 
Bu hacim elemanı bütün küre üzerinden integral alınarak R yarıçaplı kürenin hacmi bulunur.
V=∫dV = ∫_r=0^Rr^2dr∫_θ=0^πsinθdθ∫_ϕ=0^2πdϕ=4/3πR^3
Kalınlığı olmayan bir hacim elemanı, alan elemanı olacağından sonsuz küçük yüzey elemanı şu şekilde ele alınır.
dA=(ρdϕ)(rdθ)=r^2sinθdθdϕ 
Bu eleman bütün küre yüzeyi üzerinden integre edilirse R yarıçaplı kürenin alanı da bulunabilir.
A=∫dA = R^2∫_θ=0^πsinθdθ∫_ϕ=0^2πdϕ=4πR^2
Fizikte bu integraller herhangi bir yoğunluk fonksiyonuyla verilmiş elektrik ve yerçekimi alanındaki küreler için sıklıkla çözülür.


## Küresel koordinatlarda integrasyon ve diferansiyasyon.
Aşağıdaki denklemler varsayımı şu "θ" eğim z den (polar) axis (belirsiz x, y ve z ile karşılıklı olarak normaldir):
çizgisel öge için (r,θ,φ) dan (r + dr, θ+ dθ, φ+ dφ) ya sonsuz yer değiştirmedir.
 d𝐫 = dr r̂ + r dθ θ̂ + r sinθ dφ φ̂.
burada
r̂
=sin(θ) cos(φ) +
sin(θ) sin(φ) +
cos(θ) k̂
 θ̂
=cos(θ) cos(φ) +
cos(θ) sin(φ) 
-sin(θ) k̂
φ̂
=-sin(φ) + cos(φ) 
r,θ,φ yükselen yön içinde yerel ortogonal birim vektörlerdir, sırasıyla
ve , , k̂ kartezyen uzay içinde birim vektörlerdir.
yüzey öge θ dan θ+ dθ ya germe ve r yarıçapta(sabit) bir küresel yüzey üzerinde φ+ dφ ya φ dır
 dS_r=r^2sinθ dθ dφ.
Böylece diferansiyel katı açı dir
 dΩ=dS_r/r^2=sinθ dθ dφ.
Yüzey öge θ polar açının bir yüzeyi içinde sabit (başlangıç köşe ile bir koni) tir
 dS_θ=r sinθ dφ dr.
φ güney açısının bir yüzey içinde yüzey ögesi sabit (bir dik yarı-düzlem) dir
 dS_φ=r dr dθ.
Hacim ögesi r + dr dan r ya geriliyor, θ+ dθ ya θ ve φ+ dφ ya φ is
 dV=r^2 sinθ dr dθ dφ.
Böylece, örnek için, bir fonksiyon f(r,θ,φ) üçkatlı integral ile R3 içinde her nokta üzerinde integrallenebilir
 ∫_φ=0^2 π ∫_θ=0^π ∫_r=0^∞ f(r,θ,φ) r^2 sinθ dr dθ dφ.
bu sistem içinde del işlemcisi tanımlı değildir ve böylece gradyan, diverjans ve curl açıkça tanımlanmış olmalıdır:
∇f=∂f ∂rr̂
 + 1 r∂f ∂θθ̂
 + 1 rsinθ∂f ∂φφ̂,
∇·𝐀 = 1/r^2∂∂r( r^2 A_r ) + 1/r sinθ∂∂θ ( sinθA_θ) + 1/r sinθ ∂A_φ∂φ,
∇×𝐀 = 1 rsinθ(∂∂θ ( A_φsinθ)
 - ∂A_θ∂φ) r̂ +
 1 r(1 sinθ∂A_r ∂φ
 - ∂∂r ( r A_φ) ) θ̂ +
 1 r(∂∂r ( r A_θ)
 - ∂A_r ∂θ) φ̂,
∇^2 f=1 r^2∂∂r(r^2 ∂f ∂r)
 + 1 r^2sinθ∂∂θ(sinθ∂f ∂θ)
 + 1 r^2sin^2θ∂^2 f ∂φ^2
= (∂^2/∂r^2 + 2/r ∂/∂r)f +
1 r^2sinθ∂∂θ(sinθ∂/∂θ)f + 1/r^2sin^2θ∂^2/∂φ^2f.


## Kinematik.
Bir noktanın küresel koordinatlar içinde konumu yazıldığında,
 𝐫 = r 𝐫̂ 
hız ise,
 𝐯 = ṙ 𝐫̂ + r θ̇ θ̂ + r φ̇ sinθφ̂ 
ve ivme,
 𝐚 = ( r̈ - r θ̇^2 - r φ̇^2sin^2θ)𝐫̂ 
 + ( r θ̈+ 2ṙ θ̇- r φ̇^2sinθcosθ) θ̂ 
 + ( rφ̈ sinθ+ 2ṙ φ̇ sinθ+ 2 r θ̇ φ̇ cosθ) φ̂ 
Bir sabit "φ"nın durumu içinde veya θ=π2, bu kutupsal koordinatlar içinde vektör hesabına indirgenir.