# Otoregresif hareketli ortalamalar modeli
Otoregresif hareketli ortalamalar modelleri (İngilizce:"autoregressive moving averages (ARMA) models"), istatistik biliminde George Box ve Gwilym Jenkins'e ithafen Box-Jenkins modelleri olarak da bilinen zaman serisi kestirimi ve öngörme yöntemi olup eşit zaman aralıklarında gözlenen zaman serisi verilerinde uygulanır.
"X""t" şeklinde bir zaman serisi verisi ("datası") verildiğinde, ARMA modeli, serinin gelecek dönemlerdeki değerlerini anlamak ve hatta öngörmek için kullanılır. Model iki kısımdan oluşur. Bunlardan birisi otoregresif kısım (AR), diğeri ise hareketli ortalamalar kısmıdır. Model, genellikle "p" otoregresif kısmın derecesi, "q" ise hareketli ortalama kısmının derecesi olmak üzere ARMA("p","q") modeli şeklinde gösterilir.


## Otoregresif, AR(p), model.
AR("p") ifadesi p. dereceden otoregresif bir modeli tanımlar. AR("p") modeli şöyle gösterilir:
 X_t = c + ∑_i=1^p ϕ_i X_t-i+ ϵ_t . 
ϕ_1, …ϕ_p, modelin parametrelerini; c, sabit terimi; ϵ_t ise hata terimini simgeler. Pek çok yazar tarafından basitleştirme maksadıyla sabit terim ihmal edilir. Modelin durağan olması için parametreler üzerinde kısıtlamaya gidilmelidir. Örneğin |φ1| > 1 durumunun geçerli olduğu bir AR(1) modeli durağan değildir.


## Örnek: AR(1) süreci.
AR(1) süreci:
X_t = c + ϕX_t-1+ϵ_t, 
şeklinde tanımlanır. ϵ_t, beyaz gürültülü ve 0 ortalamaya sahip σ^2 varyanslı bir süreçtir. Eğer, |ϕ| lt;1 sağlanırsa süreç kovaryans durağandır. Eğer ϕ=1 sağlanıyorsa süreç birim kök içermektedir ve durağan olduğu söylenemez. ϕ=1 durumu aynı zamanda rassal yürüyüş olarak da bilinen özel bir durumdur. Bu özel durumda X_t için "beklenen değeri" hesaplamak mümkün değildir.


## AR parametrelerinin hesaplanması.
 X_t = ∑_i=1^p ϕ_i X_t-i+ ϵ_t. 
denklemi ile verilen bir AR("p") modeli ϕ_i parametrelerine dayanır. Bu parametreler Yule-Walker denklemleri ile hesaplanır:
γ_m = ∑_k=1^p ϕ_k γ_m-k + σ_ϵ^2δ_m
"m = 0...p" olup sonuçta "p+1" tane denklem ortaya çıkar. γ_m, X'in otokorelasyon fonksiyonu olup σ_ϵ girdi gürültü sürecinin standart hatasıdır. δm ise Kronecker Delta Fonksiyonu'nu gösterir.
Denklemin son kısmı yalnızca m=0 olma durumunda sıfırdan farklı olacağından, denklem m>0 koşulunu sağlayan bir matris şeklinde ifade edilerek çözülür.
[ γ_1; γ_2; γ_3; ...; ]
[ γ_0 amp; γ_-1 amp; γ_-2 amp; ...; γ_1 amp; γ_0 amp; γ_-1 amp; ...; γ_2 amp; γ_1 amp; γ_0 amp;...; ... amp; ... amp; ... amp;...; ]
[ ϕ_1; ϕ_2; ϕ_3; ...; ]
m=0 için bütün ϕler elde edildiğinde.
γ_0 = ∑_k=1^p ϕ_k γ_-k + σ_ϵ^2
ifadesi ortaya çıkar ki bu σ_ϵ^2 değerini bulmamızı sağlar.


## Hareketli ortalamalar. MA(q), modeli.
MA("q") ifadesi, "q". dereceden bir hareketli ortalamalar modelini ifade eder
 X_t = ε_t + ∑_i=1^q θ_i ε_t-i 
θ1, ..., θ"q" modelin parametreleridir εt, εt-1... modelin hata terimleridir. Bundan açıktır ki "hareketli ortalamalar" modelinde belirli bir zaman noktasındaki bir zaman serisi değişkeninin değeri (yani t'de Xt değeri) "q" tane daha önceki her bir zaman noktasıda yapılan hataların (yani her t zaman noktası için i gecikmeli ε<t-i hatasının) ağırlıklı olarak bileştirilmesi ile açıklanmaktadır.


## Otoregresif hareketli ortalamalar, ARMA(p,q), modeli.
Bu model, AR("p") and MA("q") modellerinin bir birleşimidir,
 X_t = ε_t + ∑_i=1^p ϕ_i X_t-i + ∑_i=1^q θ_i ε_t-i. 
şeklinde gösterilir.


## Modelin tahmini.
Model sadece AR(p) ile kurulursa "Yule-Walker denklemleri" çözüm için yeterli olacaktır ARMA(p, q) şeklinde bir model kurulduğunda ise önce p ve q değerlerinin kaç olacağına karar verilir, yâni kaç adet gecikmeli değişken kullanılacağı önem kazanır. Genelde p ve q'nun küçük seçilmesi tavsiye edilir. p ve q sayıları seçildikten sonra ise model en küçük kareler yöntemi ile tahmin edilebilir.