# Ortogonal koordinatlar
Matematik'te, ortogonal koordinatlar q = ("q"1, "q"2, ..., "q""d") bir "d" koordinat kümesi olarak tanımlanır, hepsi koordinat yüzeyi içinde dik açılarla birleşir (not: üstsimge indis'tir, üstel değildir). Özel bir koordinat için Bir koordinat yüzeyi "q""k" eğrilik, yüzey veya hiperyüzey veya hangisiyse "q""k" bir sabittir. örneğin, üç-boyut Kartezyen koordinatlar ("x", "y", "z") bir ortogonal koordinat sistemidir. Bu koordinat yüzeyleri için "x" = sabit, "y" = sabit ve "z" = sabit., yüzeyler dik açıda buluşurlar, bu örnek dik açı içindir. Ortogonal koordinatlar eğrisel koordinatlar'ın özel ama son derece yaygın bir durumudur.
Kartezyen olmayan koordinatların baş avantajı problemin simetri eşleştirmek için seçilebilir olmasıdır. Örneğin, bir patlama nedeniyle basınç dalgası Kartezyen koordinatlarda 3 boyutlu uzaya bağlıdır zemin (ya da diğer engeller) gibi, ancak basınç ağırlıklı olarak küresel koordinatlar sorunu çok olur, böylece, küresel koordinatlar'da öylesine sorun haline gelirki yaklaşık olarak bir boyutlu olur(bu
basınç dalgası baskısı sadece merkezden zaman ve mesafeye bağlı olduğundan). Başka bir örnek düz bir dairesel borudaki (yavaş) bir sıvıdır: Kartezyen koordinatlarda, bir kısmi diferansiyel denklem içeren bir (zor) iki boyutlu sınır değer sorunu çözmek için vardır, fakat silindirik koordinatlar sorunu ile tek boyutlu olur bir kısmi diferansiyel denklemin yerini,düzgün diferansiyel denklemi alır.


## Alıştırma.
Vektör işlemleri ve fiziksel yasalar normalde Kartezyen koordinatlar'da kolay olsa da non-kartezyen ortogonal koordinatlar sıklıka farklı problemlerin çözümünde kullanılır, kuantum mekaniğinin alan teorisi, akışkan, elektrodinamik ve kimyasal türlerin difuzyon'u veya ısı'da bu gibi ortaya çıkan özellikle sınır değer probleminde..
Kartezyen olmayan koordinatların baş avantajı problemin simetri eşleştirmek için seçilebilir olmasıdır. Örneğin, bir patlama nedeniyle basınç dalgası Kartezyen koordinatlarda 3 boyutlu uzaya bağlıdır zemin (ya da diğer engeller) gibi, ancak basınç ağırlıklı olarak küresel koordinatlar sorunu çok olur, böylece küresel koordinatlar'da öylesine sorun haline gelirki yaklaşık olarak bir boyutlu olur(bu basınç dalgası baskısı sadece merkezden zaman ve mesafeye bağlı olduğundan). Başka bir örnek düz bir dairesel borudaki (yavaş) bir sıvıdır: Kartezyen koordinatlarda, bir kısmi diferansiyel denklem içeren bir (zor) iki boyutlu sınır değer sorunu çözmek için vardır, fakat silindirik koordinatlar sorunu ile tek boyutlu olur bir kısmi diferansiyel denklemin yerini düzgün diferansiyel denklemi alır.
Ortogonal koordinatların tercih nedeni genel eğrisel koordinatlar'ın basitleşirilebilmesidir: koordinatları ortogonal olmadığı durumlarda birçok komplikasyonlar ortaya çıkar. örneğin birçok problem, ortogonal koordinatlarda değişkenlerin ayrılması ile çözülür. Değişkenlere ayırma bir matematik tekniktir bir kompleks"d"-boyutlu problem, "d" tek-boyutlu problemlere dönüştürülerek bilinen fonksiyonun içindeki terimler çözülebilir. Birçok denklem Laplace denklemi veya Helmholtz denklemine indirgenebilir. Laplace denklemi ile 13 ortogonal koordinat sistemine ve Helmholtz denklemi ile 11 ortogonal koordinat sistemine ayrılır.
Metrik tensör içindeki off-diagonal terimler asla ortogonal koordinatlar değildirler
Diğer bir deyişle, sonsuz kare uzunluğu ds2 her zaman kare sonsuz koordinat yer değiştirmelerinin bir ölçekli toplamı olarak yazılabilir
ds^2 = ∑_k=1^d ( h_k dq^k )^2
burada "d" boyuttur ve ölçek fonksiyonudur (veya ölçek faktörüdür)
h_k(𝐪) def= √(g_kk(𝐪)) = |𝐞_k|
metrik tensör çapraz bileşenlerinin karekök veya aşağıda açıklanan yerel bazda vektörlerin 𝐞_k uzunlukları eşittir.
Burada ölçekleme fonksiyonu "h""i" yeni koordinatlarda, gradient, Laplacian, diverjans ve curl. gibi diferansiyel operatörleri hesaplamak için kullanılıyor
Kartezyen koordinat ("x", "y") standart bir iki boyutlu grid konformal haritalaması iki boyutlu ortogonal koordinat sistemleri üretmek için basit bir yöntemdir.
Bir karmaşık sayı "z" = "x" + "iy", gerçek koordinatlar "x" ve "y" ile oluşturulabilmektedir."i" kare kök -1'i temsil eder.
ortaya çıkan karmaşık sayı "w" = "u" + "iv" olarak yazılmış ise herhangi bir holomorf fonksiyonu "w" = "f"("z") sıfır olmayan karmaşık türev ile bir konformal haritalama üretecektir. Daha sonra sabit bir "u" ve "v", sabit "x" ve "y" egrilerinin özgün çizgilerinin yaptığı gibi dik açıda kesişir.
iki boyutlu bir koordinat sisteminden üç ve daha yüksek boyutlarda ortogonal koordinatlar ya da ("silindirik koordinatlar") içine çıkıntı yapan ya da kendi simetri ekseni yaklaşık bir iki boyutlu bir sistem döndürülerek, ortogonal yeni bir boyut oluşturulabilir.
Ancak, bu tür iki boyutlu bir sistemin, çıkıntı veya çevirerek elipsoidal koordinatlar elde edilemeyen üç boyutlu diğer ortogonal koordinat sistemleri vardır.
Daha genel olarak dik koordinatlar bazı gerekli koordinat yüzeyleri ve dik yörüngeleri dikkate alınarak elde edilebilir.


## Taban vektörler.
### Kovaryant taban.
Kartezyen koordinatlarda taban vektörleri sabitlenir; daha genel çerçeve olan eğrisel koordinatlarda ise bu vektörler, uzayda nokta koordinatları ile belirtilir ve genellikle bu tür noktalarla taban vektörler kümesi sabit değildir: Bu genel olarak eğrisel koordinatlara özgüdür ve çok önemli bir kavramdır. ortogonal koordinatları ayıran temel vektörler farklı olsa da, her zaman birbirlerine göre ortogonal dir, yani diğer bir deyişle,
𝐞_i ·𝐞_j = 0 if i ≠j
eğriliği tanjant vektörler tarafından tanımlanir ve bu taban vektörler diğerlerini sabit tutmak ve bir koordinati değiştirmek sureti ile elde edilir:
𝐞_i = ∂𝐫/∂q^i
Burada r bir "q""i" noktasında taban vektörlerin elde edildiği koordinattır. Sabitlenmemiş koordinat bir parametrik eğri olarak zengindir ve parametreye (değişen koordinat) göre eğrinin türevi koordinatı olduğu için taban vektördür, başka bir deyişle, bir A eğrisi hariç tüm bir koordinat sabitleme ile elde edilmektedir
Vektörlerin eşit uzunlukta olması gerekmediği unutulmamalidir, normalize taban vektörleri bir şapka ile noktaya ve uzunluğu ile bölünmesi ile elde edilir:
𝐞̂_i = 𝐞_i/|𝐞_i|
Bir vektör alanı baz vektörleri veya normalize baz vektörleri ile ilgili bileşenleri tarafından belirtilebilir. Normalize tabanda bileşenlerin niceliklerinde netlik (örneğin, bir teğet hız yerine teğet hız kez ölçek faktörü ile uğraşmak isteyebilirsiniz) uygulamaların en yaygın, daha karmaşık olduğu türevlerde normalize tabanlarda daha az yaygın görülür.
Kullanılan bu fonksiyonlar ölçek faktörü olarak bilinir (bazen Lamé katsayıları olarak adlandırılan ve bu biraz daha iyi bilinen doğrusal elastisite içinde aynı adı taşıyan katsayilardan kaçinilmalidir) koordinatların basit uzunluğu taban vektörlerin uzunluğudur. (aşağıdaki tabloya bakınız).


### Kontravaryant taban.
Yukardaki taban vektörler kovaryant taban vektörler (çünkü bunlar birlikte "eş-değişir" vektörler)dir. Ortogonal koordinatlar, kontrvaryant taban vektörleri bildirdiğinden vektörleri aynı doğrultuda olarak karşılıklı uzunluğu bulmak kolaydır. (bu nedenle, birbirine göre iki taban vektörleri kümesinin karşılıklı olduğu söylenir ):
𝐞^i = 𝐞̂_i/h_i = 𝐞_i/h_i^2
Bu, tanım gereğinin gerçek bir sonuçtur, 𝐞_i ·𝐞^j = δ^j_i,Kronecker delta kullanılıyor.
𝐞̂_i = 𝐞_i/h_i = h_i 𝐞^i = 𝐞̂^i
Şimdi yaygın olarak ortogonal koordinatlardaki üç farklı taban vektörlerini tanımlamak için kullanılan kümelerle karşı karşıyayiz: kovaryant taban e"i", kontravaryant taban e"i" ve normalize tabana ê"i". Bir vektörün kimliği herhangi bir koordinat sisteminden bağımsız, yani bir" nesnel miktar" iken diğer bir vektörün vektör içeri bilesenleri gösterimi tabana bağlıdır.
Kafa karışıklığını önlemek için, x vektörünün bileşenleri ile sırasıyla e"i" taban gösterimi olarak x"i" ve e"i" taban gösterimi olarak 
x"i" dir:
𝐱 = ∑_i x^i 𝐞_i = ∑_i x_i 𝐞^i
İndis gösteriminin pozisyonu bileşenler ile şöyle hesaplanıyor(Üs üst indisi ile karıştırılmamalıdır). Burada toplam sembolünün Σ (büyük sigma) olduğunu unutmayalım ve tüm vektörler üzerinden toplam olarak belirtilen ("i" = 1, 2, ..., "d") sıklıkla ihmal edilir. Bileşenler basitçe aşağıdaki gibidir:
h_i^2 x^i = x_i 
Normalize tabana göre herhangi bir vektör bileşeni için kullanılan yaygın indis gösterimi vardır, bu yazıda vektör bileşenleri için indisleri kullanma ve bileşenler normalize bazında nasıl hesaplanır buna dikkat edeceğiz.


## Vektör cebri.
Vektör ekleme ve olumsuzlama gibi herhangi bir komplikasyonda kartezyen koordinatlarda akıllı-bileşen olacaktır. 
Ekstra hususlar diğer vektör işlemleri için gerekli olabilir
Tüm bu işlemler için, bir vektör alanında iki vektörün (diğer bir deyişle, vektörlerin kuyrukları denk) aynı noktaya bağlı olduğunun varsayıldığı unutulmamalıdır. İki vektör bileşenleri uzayda farklı noktalarda hesaplanarak ilave edildiği takdirde taban vektörler genel olarak, ortogonal koordinatlar değiştigi için, farklı taban vektörleri olarak düşünülmesi gerekir.


### Nokta çarpım.
Kartezyen koordinatlarda nokta çarpım (Öklid uzayı ile ortonormal taban kümesi) basit bileşenlerin çarpımlarının toplamıdır. Dik koordinatlarda, x ve y iki vektörün nokta çarpım vektörlerin bileşenleri normalize bazında hesaplanan ailevi form halini alır:
𝐱 ·𝐲 = ∑_i x_i 𝐞̂_i ·∑_j y_j 𝐞̂_j = ∑_i x_i y_i
Bu noktada normalize edilmiş olarak ortonormal baz grubu bir Kartezyen koordinat sistemi oluşturma gerçeğinin bir sonucudur:
Kovaryant veya kontrvaryant tabanlardaki bileşenler için
𝐱 ·𝐲 = ∑_i h_i^2 x^i y^i = ∑_i x_i y_i/h_i^2 = ∑_i x^i y_i = ∑_i x_i y^i
Bu kolaylıkla elde edilebilir, bileşen formu içindeki vektörleri dışarı yazma temelinde taban vektörleri normalize ve nokta çarpım alarak elde edilebilir. Örneğin, 2D:
 𝐱·𝐲 amp; =
 (x^1 𝐞_1 + x^2 𝐞_2) ·(y_1 𝐞^1 + y_2 𝐞^2) 
 amp; = (x^1 h_1 𝐞̂_1 + x^2 h_2 𝐞̂_2) ·(y_1 𝐞̂^1/h_1 + y_2 𝐞̂^2/h_2) = x^1 y_1 + x ^2 y_2
burada normalize kontravaryant ve kovaryant üsleri eşit olduğu gerçeği kullanılmıştır.


### Çapraz çarpım.
çapraz çarpım 3D kartezyen koordinatlarda:
𝐱 ×𝐲 =
(x_2 y_3 - x_3 y_2) 𝐞̂_1 + (x_3 y_1 - x_1 y_3) 𝐞̂_2 + (x_1 y_2 - x_2 y_1) 𝐞̂_3
bileşenleri normalize tabanda hesaplanır, yukarıdaki formül daha sonra ortogonal koordinatlarda geçerli kalır.
Kovaryant veya kontravaryant üsleri ile dik koordinatlarda çapraz çarpımı oluşturmak için yine basitçe taban vektörlerin normalizesi gerekir
Örneğin:
𝐱 ×𝐲 = ∑_i x^i 𝐞_i ×∑_j y^j 𝐞_j =
∑_i x^i h_i 𝐞̂_i ×∑_j y^j h_j 𝐞̂_j
açılımı yazılırsa,
𝐱 ×𝐲 =
(x^2 y^3 - x^3 y^2) h_2 h_3/h_1 𝐞_1 + (x^3 y^1 - x^1 y^3) h_1 h_3/h_2 𝐞_2 + (x^1 y^2 - x^2 y^1) h_1 h_2/h_3 𝐞_3
Ortogonal olmayan koordinatların daha yüksek boyutlara basitleştirilmiş genellemesi çapraz çarpım için kısa ve öz gösterimi
Levi-Civita tensörü ile mümkündür bu ölçek faktörlerin biri değilse diğer bileşenleri bir ve sıfır olacaktır.


### Taban vektör formülleri.
dr ve normalize edilmis taban vektörler ê"i" den, aşağıda inşa edilmiştir.
burada
J = |∂𝐫/∂q_1·(∂𝐫/∂q_2×∂𝐫/∂q_3 )| = |∂(x,y,z)/∂(q_1,q_2,q_3) | = h_1 h_2 h_3
Jacobian determinant tır, Bu hacimdeki deformasyondan sonsuzküçük küb d"x"d"y"d"z" ye ortogonal koordinatlar içinde sonsuz eğrilik hacminin geometrik karşılaştırma idi.


## İntegral.
∫_𝒫 𝐅 ·d𝐫 =∫_𝒫 ∑_i F_i 𝐞^i ·∑_j 𝐞_j dq^j = ∑_i ∫_𝒫 F_i dq^i
Bir koordinatla başlanıp açıklanan yüzey alanı için bir sonsuz eleman "qk" sabittir:
dA = ∏_i ≠k ds_i = ∏_i ≠k h_i dq^i 
Benzer şekilde, hacim elemanı:
dV = ∏_i ds_i = ∏_i h_i dq^i
Burada büyük Π indisi (sapkali Pi) bir çarpım benzer şekilde büyük Σ indisi toplam sembolüdür. Unutmadan tüm ölçek faktörlerinin çarpımları Jakobiyen determinanttir.
Bir örnek olarak bir vektör fonksiyonu F in üzerinde "q"1 = "sabit" yüzey 3D içinde 𝒮 yüzeysel integral i :
∫_𝒮 𝐅 ·d𝐀 =
∫_𝒮 𝐅 ·𝐧̂ d A =
∫_𝒮 𝐅 ·𝐞̂_1 d A =
∫_𝒮 F^1 h_2 h_3/h_1 dq^2 dq^3
dir
Not olarak F1/"h"1 normal yüzeyinin F bileşenidir.


## Üç boyutlu diferansiyel operatörler.
Bu işlemler uygulamada yaygın olduğu için, bu bölümdeki tüm vektör bileşenleri normalize esasına göre sunulmaktadır.


## Ortogonal koordinatlar tablosu.
Her zamanki kartezyen koordinat yanı sıra, birkaç diğerleri aşağıda verilmiştir. Aralıklı gösterim koordinatların sütunda yer kaplaması için kullanılır.