# De Moivre formülü
Matematikte de Moivre formülü, 18. yüzyıl Fransız matematikçisi Abraham de Moivre anısına isimlendirilmiş ve herhangi bir karmaşık sayı (özellikle herhangi bir gerçel sayı "x" ve herhangi bir tam sayı "n") için şu ifadenin geçerli olduğunu önerir:
(cosx+isinx)^n=cos(nx)+isin(nx). 
Bu formülün önemi (burada önünde "i" sanal birim ifade ile verilmiş olan) karmaşık sayılar ile trigonometri arasındaki bağlantıyı açıklamasındadır.
Bu formülde "cos x + i sin x" bazen "cis x" olarak kısaltılabilir.
Formülün sol tarafi binom teoremi kullanarak açılıp gerçel kısmına ve sanal kısmına yeni şekil verilirse, cos(nx) ve sin(nx) için yalnızca sin(x) ve cos(x) kullanan uygulamalı matematikde çok önemli ifadeler elde edilir.
Bu formülün diğer bir uygulaması ise "De Moivre sayısı" adı verilen birimin köklerini (yani 1in köklerini) karmaşık sayılar (yani "zn" = 1 ise "z"karmaşık sayıları) ile ifade edilmesini sağlamasıdır
Tarihi olarak başka şekilde ispat edilmekle beraber, de Moivre'in formülü Euler formülünü kullanarak hemen şöyle ispat edilebilir:
e^ix = cosx + isinx 
ve üstel yasaya göre
( e^ix )^n = e^inx . 
O halde Euler formülü ile,
e^i(nx) = cos(nx) + isin(nx) . olur.


## İndüksiyon ile ispat.
Üç değişik hal ele alınabilir:
Eğer "n" > 0 ise, matematiksel tümevarım ile şöyle ilerleyebiliriz.
Eğer "n" = 1 ise, sonuç açıkça geçerlidir. Hipotezimiz için, sonucun bir tam sayı olan "k" için geçerli olduğunu varsayalım. Yani varsayımımız şu olsun:
(cosx + i sinx)^k = cos(kx) + i sin(kx). 
Şimdi "n" = "k" + 1 halini ele alalım:
 (cosx+isinx)^k+1 amp; = (cosx+isinx)^k (cosx+isinx)
 amp; = [cos(kx) + isin(kx)] (cosx+isinx) amp; amp; 
 amp; = cos(kx) cosx - sin(kx) sinx + i [cos(kx) sinx + sin(kx) cosx]
 amp; = cos[ (k+1) x ] + isin[ (k+1) x ] amp; amp; 
Bundan, eğer sonucun, "n" = "k" için geçerli olması halinde, "n" = "k" + 1 için de geçerli olduğu anlamına varılır. Öyle ise, matematik endüksiyon prensipine göre, tüm pozitif tam sayılar için (yani "n"≥1 için) bu sonuç geçerli olur.
Eğer "n" = 0 ise, cos(0x) + isin(0x) = 1 + i0 = 1 olduğu için ve konvansiyonel olarak z^0 = 1 olarak verildiği için, bu formül geçerlidir.
Eğer "n" < 0 ise, "n" = -"m" olduğu zaman bir pozitif tam sayı "m" ele alsın. O halde
 (cos x + isin x)^n amp; = (cos x + isin x)^-m
 amp; = 1/(cos x + isin x)^m
 amp; = 1/(cos mx + isin mx)
 amp; = cos(mx) - isin(mx)
 amp; = cos(-mx) + isin(-mx)
 amp; = cos(nx) + isin(nx).
Böylelikle, teorem "n"in tüm tam sayı değerleri için geçerlidir.


## Kosinus ve sinus için tek tek formüller.
Karmaşık sayıların eşitliğini gösterdiği için bu denklemin hem gerçel kısımları hem de sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşit olmalıdır. Eğer "x" (ve bundan dolayı cosx ve sinx) gerçel sayılar ise, o zaman bu kısımların özdeşlikleri (taraf değiştirilerek) şöyle yazılabilir:
 sin(nx) amp;= ∑_k=0^n nk (cos x)^k (sin x)^n-k sin(n-k)π/2
 cos(nx) amp;= ∑_k=0^n nk (cos x)^k (sin x)^n-k cos(n-k)π/2
Bu denklemler "x"in karmaşık değerleri için geçerlidir. Buna neden, her iki tarafın da "x" in holomorf fonksiyonları olması ve gerçel eksende birbiriyle çakışan bu şekildeki iki fonksiyonun karmaşık düzeyde de mutlaka birbiriyle çakışması gereğidir.
Bu denklemlerin örnek ifadeleri olarak n=2 ve n=3 için şu sonuçlar çıkarılır:
 cos 2x amp;= (cos x)^2 +((cos x)^2-1) amp; amp;= 2(cos x)^2-1
 sin 2x amp;= 2(sin x)(cos x)
 cos 3x amp;= (cos x)^3 +3cos x((cos x)^2-1) amp; amp;= 4(cos x)^3-3cos x
 sin 3x amp;= 3(cos x)^2(sin x)-(sin x)^3 amp; amp;= 3sin x-4(sin x)^3
cos(nx) için formülün sağ tarafı gerçekte cosx değerli Çebişev polinomu olan T_n ifadesinin n(cosx) değeridir.


## Genelleştirme.
Bu formül yukarıda verilen hallerden daha geniş hallerde de geçerlidir. Eğer "z" ve "w" karmaşık sayılarsa, o halde
(cosz + isinz)^w
bir çokludeğerli fonksiyon olur ve
cos(wz) + i sin(wz) 
ise bir çokludeğerli fonksiyon olmaz. Böylece
cos(wz) + i sin(wz) ifadesi sunun bir parcasidir (cosz + isinz)^w .


## Uygulamalar.
Bu formül bir karmaşık sayı için "n"inci kökleri bulmak için kullanılabilir. Eğer
z bir karmaşık sayı ise bu polar koordinatlı olarak şu şekilde yazılabilir:
 z=r(cosx+isinx) 
O halde
 z^= [ r( cosx+isinx ) ]^ = r^ [ cos( x+2kπ/n ) + isin( x+2kπ/n ) ]
olur. Burada k tam sayıdır. z için n tane değişik kök bulmak için k nin 0 den n-1e aralığını incelemek gerekir.