# Hipotez testi
Hipotez testi, bir hipotezin doğruluğunun istatistiksel bir güvenilirlik aralığında saptanması için kullanılan yöntem.
Hipotez testleri bir örneklem ortalaması ile bu örneklemin çekilmiş olduğu düşünülen ortalama değer etrafındaki farkın anlamlı olup olmadığını (yani önemli bir fark olup olmadığını) saptayan testlerdir.
Eğer iki ana kütlenin ortalamaları arasındaki fark sınanıyorsa bunlardan çekilen örneklemlerin ortalamaları üzerinde hipotez testleri yapılarak farkın doğru olup olmadığı anlaşılabilir.


## Hipotez testleri için temel varsayımlar.
  - Örneğe alınan birimler birbirlerinden bağımsız olarak seçilmiş olmalıdırlar.
  - Ana kütle normal dağılıma sahip olmalıdır.
  - İki ana kütle söz konusu ise bunların varyansları eşit olmalıdır.


### Hipotez testinin aşamaları.
  - Hipotezlerin oluşturulması nasıl yapacağım?
  - Anlam düzeyinin (α- alfa) belirlenmesi.
  - Örnekleme dağılımının belirlenmesi.
  - Ret alanının ve kritik değerin belirlenmesi.
  - Karşılaştırmalar, sonuç ve yorum.


### Sıfır hipotezi (Ho).
Null, Yokluk Hipotezi, İstatistiksel Hipotez => :Örneklemden elde edilen ortalama ile anakütleye ait ortalamanın farkı "sıfır","0" sayılabilir. Yani anakütle üzerinde yapılan deformasyonların anakütle aritmetik ortalamasını değiştirmeyeceği görüşünü savunur. Bu görüş savunulurken istatistiksel anlamlılık denilen (%99 %97 veya %95) yanılgı payı göz önüne alınır. Zaten yapılan işlemlerden sonra farkın çok küçük de olsa sıfırdan farklı olduğu görülür


### Karşıt Hipotez (H1).
Alternatif, Araştırma Hipotezi.:Yani yapılan deformasyonun anakütle aritmetik ortalamasını değiştireceği öngürüsüdür.


## Karşılaşılabilecek durumlar.
  - "Ho doğrudur": Hipotez testi sonunda biz doğru olduğunu buluyoruz. Yani "reddedemiyoruz" diyoruz. Reddettiğimizde yapacağımız hatayı biliriz ama kabul ettiğimizde yapacağımız hatayı bilemeyeceğimiz için yorumlarken "reddedemiyoruz" diyoruz. ("(1-α) güven katsayısı" ile bu çıkardığımız sonuç doğrudur.)
  - "Ho doğru" olmasına karşın hipotez testi sonunda biz onun yanlış olduğunu zannedip Ho'ı reddediyoruz. ("I. tür hata" veya "α hata")
  - "H0 hatalı veya yanlıştır": Biz onu doğru reddedemedik. Hata! ("II. tür hata" veya "β hata")
 - "H0 hatalı veya yanlıştır": Biz onun yanlış olduğunu bulduk  H0'ı reddettik. ("(1-β)" veya "testin gücü" ile bu çıkardığımız sonuç doğrudur.
"Güç", bir hipotez testinin isabetliliği için önemli bir kriterdir ve her zaman maksimize edilmek istenir. Güç'ün 1 çıkması o testin ideal olduğunu gösterir ama pratikte "Güç = 1" olan testlere çok nadir rastlanır.
I. Tür - α ve II. Tür - β tipi hatalar bilinçli olarak yapılan hatalardır. Burada bu hataların bilinçli yapılmasının sebebi olaylara bir de tersinden bakma gereksiniminden dolayıdır.
Özetle:


## Olasılıklar.
"α: Hatalı karar", Ho doğru, biz onu yanlış diye reddediyoruz. ("I. Tip Hata")
"β: Hatalı karar", Ho yanlış, biz onu doğru diye kabul ediyoruz.
"(1-α)" : Doğru bir Ho hipotezini kabul etmemiz olasılığı olup buna "testin güvenilirlik düzeyi" denir.
"(1-β)" : Yanlış bir H0 hipotezini reddetmemiz olasılığı olup buna "testin gücü" denir.
Hipotez testi yaparken, α ve β hatalarını en aza indirmek için örneklemdeki birim sayısını olabildiğince fazlalaştırmak gerekir. α hatası yapma olasılığı azalırsa β hatası yapma olasılığı artar. İki hatanın olasılığından biri azalırken diğeri artar. Aynı testte hem α hem de β hatası beraber yapılamaz. Hatasız bir test yapmak mümkün değildir. %1,0 doğru karar verilemez. Normal dağılım asimtotik olup x-ekseni ile kesişmediği için çok küçük de olsa bir risk söz konusudur.


## Tek Anakütle Ortalaması İçin Test.
Burada araştırma sorunu tek bir anakütle parametresi (anakütle ortalaması) hakkındadır. Bu anakütle ortalama değeri tam olarak bilinmemekte ve belirlenen bir hipotez değerde μ_0 ("Mü sıfır" diye okunur) olduğu varsayılmaktadır. Hipotez testi anakütle ortalamasına verilen değer hakkındadır. "Sıfır hipotez" değeri bu parametre için belirtilen değerde olduğudur ve yani 
Ho : μ = μo 
alternatif hipotez ise
Ho : μ <> μo 
Bir anakütleden "basit olasılık örnekleme yöntemi" kullanarak "n" örneklem büyüklüğü olan bir örneklem ele geçirilir; istenilen değerler ölçülür ve x̅ ("x bar" diye okunur) değerindeki örneklem ortalaması bulunur. Hipotez testi yönteminde araştırma hedefi bu örneklemin söz konusu anakütleden çekilmiş olup olamayacağını ya da kaynağı olan anakütleden çekilmiş olabilmesinin olasılığının ne olabileceğini ortaya koymaktır.


## Örnek.
Bir alçı dolum makinesi μo=20 kg ortalama ağırlıklı alçı dolumu yaparken arıza yapar. Tamirci getirip tamir ettirilir. Acaba yine μo=20kglık dolum yapabilecek midir?
Deneme yapıp görmek gerekir.
40 torba basit örneklem yöntemine göre seçilip bu 40 alçı torbası ağırlıkları şöyle ölçülmüştür:
X_1 = 19,8 kg, X_2 = 20,5 kg, X_3 = 21,2 kg, X_4 = 18,9 kg, ..., X_40 = 20,8 kg
Örneklem istatistikleri şöyle hesaplanmıştır:
n = 40 torba
Örneklem ortalaması: x̅ = 21,4 kg
Örneklem standart sapması: σ = 3,2 kg
σ_x̅ = 3,2/√(4)0 = 0,506
x̅ ∓σ_x̅ -> 21,4±0,506 kg
Buradan sonra hipotez testleri sürecine geçilir.


### Hipotezler.
Ho: Elimizdeki örneklem anakütle ortalaması "Mo = 20kg" olan bir anakütleden çekilmiş bir rassal örneklem olup, örneklem ortalaması X- değeri anakütle ortalamasına eşit olarak kabul edilebilir. Aradaki 1,4 kg lık fark ise tesadüfe bağlanabilecek, önemli olmayan, anlam taşımayan çok küçük bir farktır. Dolayısıyla X- = Mo yazabiliriz. Yani elimizdeki örneklemin ait olduğu anakütle ortalamasını M ile gösteririz.
H1: Bu örneklem "Mo = 20kg" olan bir anakütleden çekilmiş bir rassal örneklem olamaz. Aradaki 1,4 kg lık fark tesadüfe bağlı değil, ayarlamanın yapılmamış olması nedeni ile gerçekleşmiştir. Bu kadarlık farkın tesadüfen ortaya çıkmış olması olasılığı çok küçüktür. Dolayısıyla dolum ayarı iyi olmadığı için istenenden daha hafif ya da daha ağır dolumlarla karşılaşmamız olasıdır. Bu örneklemin çekilmiş olduğu anakütle 20 kg olamaz. Örneklemimiz kendine ait başka bir anakütleden çekilmiş olmalıdır.


### İstatistiksel anlamlılık düzeyinin belirlenmesi (Risk düzeyi, Yanılgı Payı, Hata payı).
#### α nın saptanması..
Hatasız bir test yapamayacağımız için her testte bir miktar yanılma riskimiz vardır. Bunu 0,05; 0,01; 0,005; 0,0001;... gibi bir düzey olarak benimseyebiliriz. Yanılma payımız küçüldükçe, teste olan güven düzeyimiz yükselir. O nedenle istatistikçiler olabildiğince az yanılma ile test yapmak isterler. Yine de α =0,05 ve α=0,01 düzeyleri en çok kullanılanlardır.
α=0,05 olsun. Testin güven düzeyi = 1 - α = 0,95 olur.


### Örnekleme dağılımının belirlenmesi.
Elimizdeki veriler tartma yoluyla elde edilmiş sürekli, nitelik, nicel bir değişkene aittir. Bu tip veriler genelde normal dağılım gösterirler. Yani örneklemimiz "normal dağılım" lı bir anakütleden çekilmiştir. Anakütle sonsuz büyüklüktedir. Seçim iadesiz seçimdir ve tamamen rassal bir süreçle yapılmıştır. Yani torbaların ağırlıkları birbirini etkilememiştir. n>30 olduğu için büyük bir örneklem ile çalışıyoruz. Aynı anakütleden n=40 birimli pek çok sayıda örneklem çekmiş olsak, bunların X- ortalama dağılımı bir normal dağılım olur. Bu ortalamaların ortalaması anakütle ortalamasını verir. "kg" biriminden kurtulmak için X- ortalama değerlerini standardize edersek, verilerimiz z değerlerine dönüşür ve dağılımımız bir standart normal dağılım olan "z dağılımı" na dönüşür.


### Ret alanının belirlenmesi.
"Kritik değerin saptanması"
Ret alanı demek; normal dağılım eğrisi altında seçtiğimiz güven alanı (Ho'ın kabul alanı) dışında kalan Ho'ın reddedilmesini sağlayan küçük alanlardır. Ret alanı çift yönlü olabilir. (eksi taraf, artı taraf) veya tek taraflı olabilir. (Yani ya sol tarafta ya da sağ tarafta) Bunun anlaşılması için H1 hipotezine bakarız.


### Test istatistiği.
Elimizdeki örnekleme ait zh değeri örneklemin bir istatistiğidir. Bu istatistik yardımıyla hipotez testini sonuçlandıracağız. O nedenle, zh değerine Test İstatistiği adını veriyoruz.
z_h=x-μ_0/σ/√(n)
 = (21,4-20)/0,51 = 2,74


### Karşılaştırma, sonuç ve yorum.
Bir hipotez testinde; zh < zα ise; Ho kabul edilir. Bu elimizdeki X-in, M ye yakın kabul edilebilecek bir konumda (Ho'ın kabul alanında) bulunduğunu gösterir.
Eğer zh > zα ise; Ho reddedilir. Elimizdeki örneklemin, Mo ortalamalı bir anakütleden çekilmiş rassal bir örneklem olmayacağı çünkü böyle bir şeyin gerçekleşmesi olasılığının "çok küçük" (p<0,05 veya p<0,01) olduğu sonucuna ulaşılır.


#### Sonuç.
 zh = 2,74 > z0,05 = 1,96 --> "Ho RET"
Bu duruma göre: elimizdeki örneklemin ortalaması, ilgilendiğim anakütlenin ortalamasından çok uzağa düşen bir büyüklüktedir. O nedenle iki ortalama arasındaki farkı z değerine dönüştürdüğümde, bulduğum zh = 2,74 değeri de z0,05 = 1,96 nın ötesine düşmüştür. Yani %5'lik ret alanına düşmüştür. Bu durumda X- = Mo biçiminde ifade ettiğim ve oradan M=Mo düzeyine yükselttiğim Ho hipotezini kabul edemem. Demek ki, bu makine hatalı dolum yapmakta, ortalaması 20 kg olan dolumlar gerçekleştirememektedir. Aynı deneyi n=40 olan 100 örneklem ile tekrarlarsam, bunun 95inde gene aynı sonuçla karşılaşmayı beklerim. Belki yalnızca 5inde makinenin ayarı iyiymiş gibi hatalı bir sonuca ulaşabilirim.
Dolayısıyla; verdiğim kararın doğru olması olasılığı %95 iken hatalı olması olasılığı en fazla %5 tir.


### Test sonucundaki değerlendirmeler ve yorum.
1) zh<zα olduğunda, Ho hipotezini "kabul ediyoruz" ve;
  - Bu iki örneklemin çekilmiş olduğu anakütle ortalamalarının birbirlerine "eşit" olduklarını,
  - Bu iki anakütlenin "aynı anakütleden" çekilmiş birer rassal örneklem olduğunu,
  - İki örneklem ortalaması arasında gözlediğimiz farkın bir olasılık eseri olarak ortaya çıkmış, istatistik bakımından anlamlı olmayan, önemli olmayan küçük bir fark olduğunu düşünürüz.
2) zh">"zα olduğunda, Ho hipotezini "reddediyoruz" ve;
  - Ho hipotezine ait olan düşüncemizin tersini kabul ediyoruz, yani H1'i kabul ediyoruz.
  - Bu büyüklükteki zh değerinin "olasılığa bağlı olarak" ortaya çıkmış olması olasılığı (ihtimali) çok düşüktür. Bu olasılık (p değeri) seçtiğimiz α değerinden de "küçüktür". Bu kadar küçük bir olasılıkla ortaya çıkan bu z değerini artık rastgeleliğe değil anakütlenin gerçekten farklı olmasına bağlarız.


## Önemli parametrik hipotez sınamaları özeti.
### İki-örneklem ve iki anakütle parametresi farkı için hipotez sınamaları.
#### Sembollerin tanımlanması.
 - n = örneklem büyüklüğü
 - x = örneklem ortalaması
 - μ_0 = anakütle ortalaması
 - σ = anakütle standart sapması
 - t = t istatistiği
 - sd = serbestlik derecesi
 - n_1 = örneklem 1 büyüklüğü
 - n_2 = örneklem 2 büyüklüğü
 - s_1 = örneklem 1 std. sapması
 - s_2 = örneklem 2 std. sapması
 - p_1 = oran 1
 - p_2 = oran 2
 - μ_1 = anakütle 1 ortalaması
 - μ_2 = anakütle 2 ortalaması
 - min{n_1,n_2} = n1 veya n2 için en küçük değer