# Christoffel sembolleri
Matematik ve fizikte Elwin Bruno Christoffel'in adına atfedilen Christoffel sembolleri eğri uzaylardaki metrik farkı düzenler.Daha basit bir biçimde anlatmaya çalışırsak bir vektörü gösterdiğimiz kartezyen koordinat sistemi gibi düz koordinatlarda vektörün bileşenlerini temsil eden baz vektörler kendi eksenlerine dik olduğu için türevleri sıfıra eşittir. Fakat eğri bir uzayda baz vektörler de değişir yani türevlenir. İşte bu türev işlemi Yunan alfabesinden Γ harfi ile temsil edilmektedir. Christoffel sembollerinin fizikte birçok uygulaması vardır. Bunlardan en önemlisi Einstein alan denklemlerinde kullanılmasıdır.


## Ön Hazırlık.
x^i koordinatlarından oluşan i=1,2,3...n için "M" üzerine "n" boyutlu bir manifold verilsin. O halde baz vektörler:
"e_i"=∂∂x^i=∂_i , i=1,2..n
Baz vektörleri tanımladığımıza göre metrik tensörü inşa edebiliriz:
g_ij=e_i⊗e_j
ve onun tersi:
g^ij=1 g_ij
Kovaryant baz vektörünü şu biçimde de yazabiliriz:
e^j =e_jg^ji i=1,2..n
Bazı kaynaklarda e_i yerine g_i yazabilir.İkisi de aynı şeyi temsil eder.


## Öklit Uzayında Gösterimi.
Öklit uzayında Cristoffel sembollerinin genel ifadesi dışında 2. gösterim türü aşağıda verilmiştir:
Γ^k_ij=∂e_i ∂x^je_k=∂e_i ∂x^j.g^kme_m (Burada Einstein toplama kuralı kullanılmıştır.)
Christoffel sembollerinin ilk türü ise indislerin düşmesi ile açıklanabilir:
Γ_kij=Γ^m_ijg_mk=∂e_i ∂x^j.e^m.g_mk=∂e_i ∂x^j.e_k
Ve şu durumu görebiliriz:
∂e_i ∂x^j=Γ^k_ij.e_k=Γ_ijk.e^k
Demek istediğimizi sözlü olarak açıklarsak Christoffel sembolleri tarafından temsil edilen baz vektörlerin noktadan noktaya nasıl değiştiğini izler. 2. türdeki semboller değişimi tek baz vektöre göre ayrıştırırken 1. türdekiler onu iki baz vektöre göre ayrıştırır. 2 tür sembollerde de bir şart dahilinde simetri vardır:
g_ij=g_ji ise
Γ^k_ij=Γ^k_ji ve Γ_kij=Γ_kji olur.
Sebebi:
g_ij=e_i⊗e_j =∂∂x^i⊗∂∂x^j =g_ji=e_j⊗e_i=∂∂x^j⊗∂∂x^i
∂e_j ∂x^i=∂∂x^i(e_j)=∂∂x^i(∂∂x^j)=∂∂x^j(∂∂x^i)=∂∂x^j(e_i)=∂e_i ∂x^j
∂e_j ∂x^i=Γ^k_ije_k ve ∂e_i ∂x^j=Γ^k_jie_k o halde:
Γ^k_ij=Γ^k_ji


## Genel Gösterim.
Γ_cab=g_cdΓ^d_a b ve Γ_cab= 1 2(∂g_ca ∂x^b+∂g_cb ∂x^a -∂g_ab ∂x^c) sebebi.:
∂g_ca ∂x^b=∂∂x^b(e_c⊗e_a)=∂e_c ∂x^be_a+e_c∂e_a ∂x^b 
Biliyoruz ki ∂e_c ∂x^b=Γ^d_cb.e_d ve ∂e_a ∂x^b=Γ^d_ab.e_d, o halde:
∂g_ca ∂x^b=(Γ^d_cb.e_d).e_a+e_c (Γ^d_ab.e_d)
Baz vektörleri içeri alıp Christoffel sembolünü dışarı çıkartırsak amacımıza ulaşmış oluruz:
∂g_ca ∂x^b=(e_a.e_d)Γ^d_cb.+(e_c .e_d)Γ^d_ab
e_a.e_d=g_ad ve e_c.e_d=g_cd olduğuna göre
∂g_ca ∂x^b=g_adΓ^d_cb+g_cdΓ^d_ab olacaktır.
Aynı şekilde
ve ∂g_cb ∂x^a=Γ^d_cag_bd+Γ^d_bag_dc
∂g_ab ∂x^c=Γ^d_acg_db+Γ^d_bcg_ad
Fark ettiyseniz her ikisinden birisi birbirinin simetriğidir.
∂g_ca ∂x^b+∂g_bc ∂x^a-∂g_ab ∂x^c=g_adΓ^d_cb+g_cdΓ^d_ab+Γ^d_cag_bd+Γ^d_bag_dc-Γ^d_acg_db-Γ^d_bcg_ad simetrik olduğu için:
=Γ^d_bag_dc+Γ^d_abg_dc=2Γ^d_bag_dc dolayısıyla:
∂g_ca ∂x^b+∂g_bc ∂x^a-∂g_ab ∂x^c=2Γ^d_abg_cd
2'yi karşıya attığımızda
1 2(∂g_ca ∂x^b+∂g_cb ∂x^a-∂g_ab ∂x^c)=Γ^d_abg_cd=Γ_cab


## Uygulamaları.
### Genel görelilikte.
Christoffel sembolleri Einstein'ın genel görelilik teorisinde kendine sıkça kullanım alanı bulmuştur. Genel görelilikte uzayzaman, 4 boyutlu eğri bir Lorentz manifoldu olarak tasvir edilmiştir. Genel göreliliğin matematiksel kalbi olan Einstein alan denklemleri ise, uzayzamanın geometrisi ile madde arasındaki ilişkiyi göstermektedir. Uzayın geometrisini hesaplamak için Ricci tensörü kullanılır ki, bu tensörü hesaplamak için Christoffel sembollerini hesaba katmak esastır. Bu konuda önce uzayın geometrisi belirlenir, daha sonra madde ve ışığın uzayda nasıl bir yol izleyeceğini, Christoffel sembollerinin de yardım ettiği bir jeodezik denklem ile hesaplanır.
Einstein alan denklemleri şu şekilde yazılır:
R_ij-Rg_ij 2+g_ijΛ=8 πG c^4T_ij 
Christoffel sembollerini burada göremesekte aslında Riemann eğrilik tensörünün özel bir hali olan Ricci tensörünün içinde mevcuttur:
R_ij=∂∂x^j Γ_il^l-∂∂x^lΓ_i j^l +Γ_jp^l Γ_il^p- Γ_lp^l Γ_ij^p 


### Silindirik koordinatlar için örneği.
Υ(r,θ,z)=r.cos(θ)e_1+r.sin(θ)e_2+z.e_3 denklemi silindirik koordinatların denklemidir.3 boyutlu silindirik koordinat sisteminde kartezyen koordinat cinsinden metrikleri yazdığımızda:
x=r.cos(θ)
y=r.sin(θ)
z=z
Silindirik koordinatların metrik tensörünü hesaplamak için denklemin birim vektörlerini hesap edersek:
∂Υ∂r=e_r=cos(θ).e_1+sin(θ).e_2
∂Υ∂θ=e_θ=-r.sin(θ).e_1+r.cos(θ).e_2
∂Υ∂z=e_z=e_3
Ana Madde:Metrik Tensör
g_ij=∂Υ∂x^i⊗∂Υ∂x^j=e_i ⊗e_j i,j=r,θ,z
Metrik tensörü yazdığımızda,
g_ij = 
[ g_rr amp; g_r θ amp; g_rz; g_θr amp; g_θθ amp; g_θz; g_zr amp; g_z θ amp; g_zz; ]
Şimdi bileşenlerini tek tek hesap edelim.
Not=Kartezyen koordinat sisteminde metrik tensör:
g_ij = 1, amp; eğer i=j 
 0, amp; eğer i≠j 
g_rr=e_r.e_r=(cos(θ)e_1+sin(θ)e_2).(cos(θ)e_1+sin(θ)e_2)=cos^2(θ)+sin^2(θ)=1
g_rθ=e_r.e_θ=(cos(θ).e_1+sin(θ)e_2).(-r.sin(θ)e_1+r.cos(θ)e_2)=-cos(θ).rsin(θ)+cos(θ)r.sin(θ)=0
g_rz=e_r.e_z=(cos(θ).e_1+sin(θ)e_2).e_3=0
g_θr=e_θ. e_r=(-r.sin(θ).e_1+r.cos(θ).e_2).(cos(θ).e_1+sin(θ)e_2)=0
g_θθ=(-r.sin(θ).e_1+r.cos(θ)e_2).(-rsin(θ)e_1+r.cos(θ)e_2)=r^2.(sin^2(θ)+cos^2(θ))=r^2
g_θz=e_θ.e_z=(-r.sin(θ).e_1+r.cos(θ).e_2).e_3=0
g_zr=e_z.e_r=(cos(θ)e_1+sin(θ)e_2).e_3=0
g_z θ=e_z.e_θ=(-r.sin(θ).e_1+r.cos(θ).e_2).e_3=0
g_zz=e_z.e_z=e_3.e_3=1
Sonunda silindirik koordinatlar için metrik tensörü elde ettik.
g_ij = 
[ 1 amp; 0 amp; 0; 0 amp; r^2 amp; 0; 0 amp; 0 amp; 1; ]
Şimdi silindirik koordinatlar için Christoffel sembollerini hesap edeceğiz.
Baştaki kanıtlardan şu özdeşliği hesap etmiştik;
Γ^k_ij=∂e_i ∂x^je_k ve baz vektörü sembolün yanına yazıp satır matris formunda gösterdiğimizde:
∂e_i ∂x^j=Γ_ij^k.e_k=(Γ_ij^r,Γ_ij^θ,Γ_ij^z) .
Christoffel sembollerinin aslında tensör olmadığını sadece baz vektörlerin türevlerinin bileşenleri olduğunu görürüz.
Birim vektörlerin terslerini de şöyle hesap edebiliriz:
e^r=1/e_r=1/cos(θ).e_1+sin(θ).e_2 
Örneğin Γ_θθ^r şöyle hesaplanabilir.
Γ_θθ^r= ∂e_θ∂x^θ.e_r= ∂∂x^θ -r.cos(θ)e_1+r.sin(θ).e_2
Γ_θθ^r=(-r.cos(θ).e_1-r.sin(θ).e_2).(cos(θ).e_1+sin(θ).e_2)=-r 
Diğerlerini hesaplamak çok uzun süreceğinden direk diğer değerleri yazalım.
[ Γ_rr^r amp; Γ_θr^r amp; Γ_zr^r; Γ_rr^θ amp; Γ_θr^θ amp; Γ_zr^θ; Γ_rr^z amp; Γ_θr^z amp; Γ_zr^z; ] = 
[ 0 amp; 0 amp; 0; 0 amp; r amp; 0; 0 amp; 0 amp; 0; ] 
[ Γ_r θ^r amp; Γ_θθ^r amp; Γ_zr^r; Γ_r θ^θ amp; Γ_θθ^θ amp; Γ_z θ^θ; Γ_r θ^z amp;Γ_θθ^z amp;Γ_z θ^z; ] = 
[ -1 amp; -r amp; 0; 1/r amp; 1 amp; 0; 0 amp; 0 amp; 0; ] 
[ Γ_r z^r amp; Γ_θz^r amp; Γ_zz^r; Γ_rz^θ amp; Γ_θz^θ amp; Γ_zz^θ; Γ_rz^z amp; Γ_θz^z amp; Γ_zz^z; ] = 
[ 0 amp; 0 amp; 0; 0 amp; 0 amp; 0; 0 amp; 0 amp; 0; ]