# Bessel polinomları
Bessel polinomları, matematikteki ortogonal polinomların bir dizisidir. Bessel polinomlarıyla ilgili birbirinden farklı ama birbiriyle yakından ilişkili çok sayıda tanım vardır. Matematikçiler tarafından tercih edilen tanım şu seriyle verilmektedir: 
 y_n(x)=∑_k=0^n(n+k)!/(n-k)!k! (x/2)^k.
Elektrik mühendisleri tarafından tercih edilen başka bir tanım bazen ters Bessel polinomları olarak bilinir. 
 θ_n(x)=x^n y_n(1/x)=∑_k=0^n(n+k)!/(n-k)!k! x^n-k/2^k.
İkinci tanımın katsayıları birinciyle aynıdır ancak ters sıradadır. Örneğin üçüncü derece Bessel polinomu;
 y_3(x)=15x^3+15x^2+6x+1
üçüncü derece ters Bessel polinomu ise;
 θ_3(x)=x^3+6x^2+15x+15.
Bessel elektronik filtrelerinin tasarımında ters Bessel polinomu kullanılmaktadır.


## Polinomların özellikleri.
### Bessel fonksiyonları açısından tanım.
Bessel polinomu, polinomun adını aldığı Bessel fonksiyonları kullanılarak da tanımlanabilir.
 y_n(x)= x^nθ_n(1/x) 
 y_n(x)=√(2/πx) e^1/xK_n+1/2(1/x)
 θ_n(x)=√(2/π) x^n+1/2e^xK_n+ 1/2(x)
burada "Kn" ("x") ikinci türden değiştirilmiş bir Bessel fonksiyonudur, "yn"("x") sıradan bir polinomdur ve "θn" ("x") ters polinomdur.Örneğin:
 y_3(x)=15x^3+15x^2+6x+1 = √(2/πx) e^1/xK_3+1/2(1/x)


### Hipergeometrik fonksiyon olarak tanım.
Bessel polinomu aynı zamanda birleşik hipergeometrik fonksiyon olarak da tanımlanabilir. 
 y_n(x)= _2F_0(-n,n+1;;-x/2)= (2/x)^-n U(-n,-2n,2/x)= (2/x)^n+1 U(n+1,2n+2,2/x ).
Benzer bir ifade genelleştirilmiş Bessel polinomları için de geçerlidir (aşağıya bakınız):
 y_n(x;a,b)= _2F_0(-n,n+a-1;;-x/b)= (b/x)^n+a-1 U(n+a-1,2n+a,b/x ).
Ters Bessel polinomu genelleştirilmiş bir Laguerre polinomu olarak tanımlanabilir:
 θ_n(x)=n!/(-2)^n L_n^-2n-1(2x)
buradan hipergeometrik bir fonksiyon olarak da tanımlanabileceği sonucu çıkar:
 θ_n(x)=(-2n)_n/(-2)^n _1F_1(-n;-2n;2x)
burada (− 2"n")"n" Pochhammer sembolüdür (yükselen faktöriyel).


### Oluşturma işlevi.
İndeks kaydırılmış Bessel polinomları üretme işlevine sahiptir;
 ∑_n=0^∞√(2/π) x^n+1/2 e^x K_n-1/2(x) t^n/n!=1+x∑_n=1^∞θ_n-1(x) t^n/n!= e^x(1-√(1-2t)).
Göre farklılaşan t, iptal etme x, polinomlar için üretme fonksiyonunu verir {θ_n}_n≥0.
 ∑_n=0^∞θ_n(x) t^n/n!=1/√(1-2t)e^x(1-√(1-2t)).
Benzer üretme fonksiyonu ve (𝑦𝑛 polinomlar da) aşağıdakiler için de mevcuttur:
 ∑_n=0^∞y_n-1(x)t^n/n!=exp(1-√(1-2xt)/x).
Ayarlamanın ardından t=z-xz^2/2 üstel fonksiyon için aşağıdaki gösterime sahiptir:
 e^z=∑_n=0^∞y_n-1(x)(z-xz^2/2)^n/n!.


### Özyineleme.
Bessel polinomu aynı zamanda bir yineleme formülüyle de tanımlanabilir:
 y_0(x)=1 
 y_1(x)=x+1 
 y_n(x)=(2n-1)x y_n-1(x)+y_n-2(x) 
ve
 θ_0(x)=1 
 θ_1(x)=x+1 
 θ_n(x)=(2n-1)θ_n-1(x)+x^2θ_n-2(x) 


### Diferansiyel denklem.
Bessel polinomu aşağıdaki diferansiyel denkleme uyar:
 x^2d^2y_n(x)/dx^2+2(x+1)dy_n(x)/dx-n(n+1)y_n(x)=0
ve
 xd^2θ_n(x)/dx^2-2(x+n)dθ_n(x)/dx+2n θ_n(x)=0


### Diklik.
Bessel polinomları ağırlığa göre diktir e^-2/x karmaşık düzlemin birim çemberi üzerine entegre edilmiştir. Başka bir deyişle, eğer n ≠m ise;
∫_0^2π y_n(e^iθ) y_m(e^iθ) ie^iθ dθ= 0


## Genelleme.
### Açık Form.
Bessel polinomlarının literatürde aşağıdaki gibi bir genellemesi önerilmiştir:
 y_n(x;α,β):= (-1)^n n! (x/β)^n L_n^(-1-2n-α)(β/x),
karşılık gelen ters polinomlar
 θ_n(x;α, β):= n!/(-β)^nL_n^(-1-2n-α)(βx)=x^n y_n(1/x;α,β).
Açık katsayılar y_n(x;α, β) polinomlar şunlardır:
 y_n(x;α, β)= ∑_k=0^nnk(n+k+α-2)^k(x/β)^k.
Sonuç olarak, θ_n(x;α, β) polinomlar açıkça şu şekilde yazılabilir:
 θ_n(x;α, β)=∑_k=0^nnk(2n-k+α-2)^n-kx^k/β^n-k.
Ağırlıklandırma fonksiyonu için;
 ρ(x;α,β):= _1F_1(1,α-1,-β/x)
ilişki için diktirler;
 0= ∮_cρ(x;α,β)y_n(x;α,β) y_m(x;α,β)d x
"m" ≠ "n" ve "c" için 0 noktasını çevreleyen bir eğri vardır.
α = β = 2, Bessel polinomları üzerinde özelleşir; bu durumda ρ("x") = exp(− 2 / "x") olur.


### Bessel polinomları için Rodrigues formülü.
Yukarıdaki diferansiyel denklemin özel çözümleri olarak Bessel polinomları için Rodrigues formülü şu şekildedir :
 B_n^(α,β)(x)=a_n^(α,β)/x^α e^-β/x (d/dx)^n (x^α+2n e^-β/x)
bu durumda "a" (α, β)"n" normalleştirme katsayılarıdır.


### İlişkili Bessel polinomları.
Bu genellemeye göre ilişkili Bessel polinomları için aşağıdaki genelleştirilmiş diferansiyel denkleme sahibiz:
 x^2d^2B_n,m^(α,β)(x)/dx^2 + [(α+2)x+β]dB_n,m^(α,β)(x)/dx - [ n(α+n+1) + m β/x ] B_n,m^(α,β)(x)=0
Böylece 0≤m≤n . Çözümler şunlardır:
 B_n,m^(α,β)(x)=a_n,m^(α,β)/x^α+m e^-β/x (d/dx)^n-m (x^α+2n e^-β/x)


## Sıfırlar.
Eğer biri sıfırları gösteriyorsa y_n(x;α,β) gibi α_k^(n)(α,β) ve θ_n(x;α,β) ile β_k^(n)(α,β), bu durumda aşağıdaki tahminler mevcuttur:
 2/n(n+α-1)≤α_k^(n)(α,2)≤2/n+α-1,
ve
 n+α-1/2≤β_k^(n)(α,2)≤n(n+α-1)/2,
hepsi için α≥2 . Üstelik bu sıfırların hepsinin negatif reel kısmı vardır.
Polinomların sıfırlarının tahminleriyle ilgili daha güçlü teoremlere (daha somut olarak Saff ve Varga'nın Parabol Teoremi veya diferansiyel denklem teknikleri) başvurulursa daha keskin sonuçlar söylenebilir. Sonuçlardan biri şudur:
 2/2n+α-2/3≤α_k^(n)(α,2)≤2/n+α-1.


## Özel değerler.
Bessel polinomları y_n(x) kadar n=5 olduğuna göre;
 y_0(x) amp; = 1 
 y_1(x) amp; = x + 1 
 y_2(x) amp; = 3x^2+ 3x + 1 
 y_3(x) amp; = 15x^3+ 15x^2+ 6x + 1 
 y_4(x) amp; = 105x^4+105x^3+ 45x^2+ 10x + 1 
 y_5(x) amp; = 945x^5+945x^4+420x^3+105x^2+15x+1
Hiçbir Bessel polinomu, rasyonel katsayılara sahip daha düşük dereceli polinomlara dahil edilemez. Ters Bessel polinomları, katsayıların ters çevrilmesiyle elde edilir. Eşdeğer olarak, θ_k(x) = x^k y_k(1/x)'dir. Bunun sonucunda aşağıdakiler ortaya çıkmaktadır:
 θ_0(x) amp; = 1 
 θ_1(x) amp; = x + 1 
 θ_2(x) amp; = x^2 + 3 x + 3 
 θ_3(x) amp; = x^3 + 6 x^2 + 15 x + 15 
 θ_4(x) amp; = x^4 + 10 x^3 + 45 x^2 + 105 x + 105 
 θ_5(x) amp; = x^5 + 15 x^4 + 105 x^3 + 420 x^2 + 945 x + 945