# Einstein ilişkisi (kinetik teori)
Fizikte (özellikle gazların kinetik teorisinde) Einstein ilişkisi; 1904'te William Sutherland'in, 1905'te Albert Einstein'ın ve 1906'da Marian Smoluchowski'nin Brown hareketi üzerine yaptıkları çalışmalarında bağımsız olarak ortaya koydukları önceden beklenmedik bir bağlantıdır. Denklemin daha genel biçimi:
 D = μ k_B T, 
burada;
 "D" difüzyon katsayısıdır;
 "μ", "hareketlilik" veya parçacığın terminal sürüklenme hızının uygulanan bir kuvvete oranıdır, "μ" = "v"d/"F";
 "k"B, Boltzmann sabitidir;
 "T" mutlak sıcaklıktır.
Bu denklem, bir dalgalanma-dağılım teoreminin erken bir örneğidir.
İlişkinin sık kullanılan iki önemli özel biçimi şunlardır:
 D = μ_q k_B T/q (elektriksel hareketlilik denklemi, yüklü parçacıkların difüzyonu için
 D = k_B T/6π η r (Stokes-Einstein denklemi, küresel parçacıkların düşük Reynolds sayılı bir sıvıdan difüzyonu için)
burada;
 "q", bir parçacığın elektrik yüküdür;
 "μq", yüklü parçacığın elektriksel hareketliliğidir;
 "η" dinamik viskozitedir;
 "r", küresel parçacığın yarıçapıdır.


## Özel durumlar.
### Elektriksel hareketlilik denklemi.
Elektrik yükü "q" olan bir parçacık için, elektriksel hareketliliği "μq", genelleştirilmiş hareketliliği "μ" ile "μ" = "μq"/"q" denklemiyle ilişkilidir. "μq" parametresi, parçacığın terminal sürüklenme hızının uygulanan bir elektrik alanına oranıdır. Bu nedenle, yüklü bir parçacık durumunda denklem şu şekilde verilir:
 D = μ_q k_B T/q,
burada;
  - D difüzyon katsayısıdır (m^2s^-1).
  - μ_q elektriksel hareketliliktir (m^2V^-1s^-1).
  - q parçacığın elektrik yüküdür (C, coulomb)
  - T plazmadaki elektron sıcaklığı veya iyon sıcaklığıdır (K).
Sıcaklık, plazma için daha yaygın olan Volt cinsinden verilirse:
 D = μ_q T/Z,
burada;
  - Z parçacığın yük sayısıdır (birimsiz)
  - T plazmadaki elektron sıcaklığı veya iyon sıcaklığıdır (V).


### Stokes-Einstein denklemi.
Düşük Reynolds sayısı sınırında; hareketlilik μ, sürtünme katsayısı ζ'nın tersidir. Yayılan nesnenin ters momentum gevşeme süresi (atalet momentumunun rastgele momente kıyasla ihmal edilebilir hale gelmesi için gereken süre) için bir sönüm sabiti γ= ζ/ m sıklıkla kullanılır. Yarıçapı r olan küresel parçacıklar için Stokes yasası:
 ζ= 6 π η r,
burada η ortamın viskozitesidir. Böylece Einstein-Smoluchowski ilişkisi Stokes-Einstein ilişkisi ile sonuçlanır:
 D = k_B T/6π η r.
Bu, sıvılarda öz-difüzyon katsayısını tahmin etmek için uzun yıllar boyunca uygulandı ve izomorf teorisi ile tutarlı bir versiyon, Lennard-Jones sisteminin bilgisayar simülasyonları ile doğrulandı.
Dönel difüzyon durumunda, sürtünme ζ_r = 8 πηr^3 ve rotasyonel difüzyon sabiti D_r:
 D_r = k_B T/8π η r^3.


### Yarı iletken.
Rastgele bir durum yoğunluğuna sahip bir yarı iletkende, yani deliklerin veya elektronların yoğunluğu p ve karşılık gelen yarı Fermi seviyesi (veya elektrokimyasal potansiyel) φ arasındaki p = p(φ) formunun bir ilişkisi, Einstein ilişkisi şöyledir:
 D = μ_q p/q dp/dφ,
burada μ_q elektriksel hareketliliktir. Durumların yoğunluğu için parabolik bir dağılım ilişkisini varsayan bir örnek ve genellikle inorganik yarı iletken malzemeleri tanımlamak için kullanılan Maxwell-Boltzmann istatistikleri hesaplanabilir:
 p(φ) = N_0 e^q φ/k_B T,
buradaN_0 N_0, basitleştirilmiş ilişkiyi veren mevcut enerji durumlarının toplam yoğunluğudur:
 D = μ_q k_B T/q.


### Nernst-Einstein denklemi.
Bir elektrolitin eşdeğer iletkenliğinin ifadelerinden katyonların ve anyonların elektrik iyonik hareketlilik ifadelerindeki difüziviteleri değiştirerek, Nernst-Einstein denklemi türetilir:
 Λ_e = z_i^2 F^2/RT(D_+ + D_-).


## Genel durumun kanıtı.
Einstein ilişkisinin kanıtı birçok referansta bulunabilir, örneğin bkz. Kubo.
Bazı sabit, harici potansiyel enerji U'nun, belirli bir 𝐱 konumunda bulunan bir parçacık üzerinde korunumlu bir F(𝐱)=-∇U(𝐱) kuvveti (örneğin, bir elektrik kuvveti) oluşturduğunu varsayalım. Parçacığın v(𝐱)=μ(𝐱) F(𝐱) hızıyla hareket ederek tepki vereceğini varsayıyoruz. Şimdi konumun bir fonksiyonu olarak yerel derişim ρ(𝐱) olan çok sayıda böyle parçacık olduğunu varsayalım. Bir süre sonra denge kurulacaktır: parçacıklar en düşük potansiyel enerji U'ya sahip alanların etrafında yığılacaktır, ancak yine de difüzyon nedeniyle bir dereceye kadar yayılacaktır. Dengede, parçacıkların net akışı yoktur: parçacıkların sürüklenme akımı olarak adlandırılan daha düşük U'ya doğru çekilme eğilimi, parçacıkların difüzyon nedeniyle yayılma eğilimini mükemmel bir şekilde dengeler ve buna difüzyon akımı denir (bkz. sürüklenme-difüzyon denklemi).
Sürüklenme akımı nedeniyle parçacıkların net akışı:
 𝐉_drift(𝐱) = μ(𝐱) F(𝐱) ρ(𝐱) = -ρ(𝐱) μ(𝐱) ∇U(𝐱),
yani, belirli bir konumdan geçen parçacıkların sayısı, parçacık konsantrasyonu çarpı ortalama hıza eşittir.
Difüzyon akımı nedeniyle parçacıkların akışı, Fick yasasına göre,
 𝐉_diffusion(𝐱)=-D(𝐱) ∇ρ(𝐱),
burada eksi işareti, parçacıkların daha yüksek derişimden daha düşük derişime aktığı anlamına gelir.
Şimdi denge durumunu düşünün. İlk olarak, net akış yoktur, yani 𝐉_drift + 𝐉_diffusion = 0. İkincisi, etkileşmeyen nokta parçacıklar için, denge yoğunluğu ρ yalnızca yerel potansiyel enerji U'nin bir fonksiyonudur, yani iki konum aynı U'ya sahipse, o zaman aynı ρ'ye de sahip olacaklardır (örneğin aşağıda tartışıldığı gibi Maxwell-Boltzmann istatistiklerine bakınız). Bunun anlamı, zincir kuralının uygulanması,
 ∇ρ= dρ/d U ∇U.
Bu nedenle, dengede:
 0 = 𝐉_drift + 𝐉_diffusion = -μρ∇U - D ∇ρ= (-μρ- D dρ/d U)∇U.
Bu ifade her 𝐱 konumunda geçerli olduğundan, Einstein ilişkisinin genel biçimini ifade eder:
 D = -μρ/dρ/d U.
Klasik parçacıklar için ρ ve U arasındaki ilişki Maxwell-Boltzmann istatistikleriyle modellenebilir:
 ρ(𝐱) = A e^-U(𝐱)/k_B T,
burada A toplam parçacık sayısıyla ilgili bir sabittir. Bu nedenle:
 dρ/d U = -1/k_B Tρ.
Bu varsayım altında, bu denklemi genel Einstein ilişkisine dahil etmek şunları verir:
 D = -μρ/dρ/d U = μk_B T,
ki bu klasik Einstein ilişkisine karşılık gelir.