# Pro sonlu grup
Pro sonlu gruplar, Matematikte ilk olarak sayılar kuramında görülmüştür. 19. yüzyılın sonlarına doğru kongurans sistemlerini çalışmak için Alman matematikçi Hensel tarafından bulunan p-sel tamsayılar halkası Z"p", pro-sonlu grupların en temel örneklerinden birisidir. Alman matematikçi Krull herhangi bir sonsuz Galois genişlemesinin Galois grubunun aslında doğal bir şekilde pro-sonlu grup yapısına sahip olduğunu gördü. Bu yapının sonlu Galois genişlemelerinin Galois gruplarıyla belirlendiğini gösterdi. Daha sonra, cebirsel geometri alanında Grothendieck, şemaların temel gruplarını birer pro-sonlu grup olarak tanıttı.


## Tanım.
Ayrık topoloji ile donatılmış bir takım sonlu grupların oluşturduğu projektif sistemin projektif limitine izomorf olan topolojik gruplara pro-sonlu grup denir. Bahsi geçen sistem, (I, ≤) yönlü bir küme (yani, her sonlu altkümesinin bir üst sınıra sahip olduğu yarı-sıralı küme) olmak üzere; sonlu gruplardan oluşan bir G_i ailesi ile aşağıdaki kosulları sağlayan {f_j,i: G_j →G_i |i, j ∈I, i ≤j} şeklindeki grup homomorfizmaların ailesinden oluşur:
  - Her i≤j≤k için f_k,i=f_j,i∘f_k,j
  - Her i∈I için f_i,i=id_G_i (yani f_i,i, G_i üzerine birim fonksiyondur.)
Böyle bir sistemin projektif limiti
şeklinde bir küme ile tanımlanır. (Projektif limitin tanımı sağladığı evrensel özellikle daha soyut olarak verilebilir.) Bu küme üstündeki topolojik grup yapısı en doğal haliyle gelir. Sonlu G_i grupları, ayrık topoloji ile donatılırsa projektif limit çarpım topolojisinden inen topolojiyle bir topolojik uzay olur. Ayrıca ∏G_i çarpım grubunun ikili işlemi olan noktasal toplama ile birlikte limit aynı zamanda bir grup yapısına sahiptir.
Pro-sonlu grupların sağladığı bir takım topolojik özellikleri bakımından daha sade bir başka karakterizasyonu mevcuttur. Her pro-sonlu grup aslında Hausdorff, kompakt ve tümden bağlantısız (yani, tek nokta altkümelerinden başka bağlantılı altkümesi yoktur) bir topolojik gruptur. Tersine bir G topolojik grubu bu üç özelliğe sahip ise bir pro-sonlu gruptur. Nitekim, G/N bölüm gruplarının G nin açık ve normal olan tüm N altgrupları üzerinden projektif limiti lim_←G/N, G topolojik grubuna topolojik grup olarak izomorftur. Burada her bir bölüm grubu sonlu grup olduğundan limit bir pro-sonlu gruptur. Dolayısıyla G topolojik grubu bu izomorfizma vasıtasıyla pro-sonlu grup olarak görülür.


## Pro-sonlu tamlanış.
Verilen bir gruptan doğal bir şekilde pro-sonlu grup elde etmenin bir yolu, o grubun sonlu bölüm gruplarının projektif limitini almaktır. Nitekim bir G grubunun sonlu indeksli normal altgrupları kümesi I={H◃G: H sonlu indeksli}, kapsama ilişkisi ile birlikte bir yönlü küme oluşturur. Sıralama N≤N' N'⊂N şeklindedir. Bu durumda X={G/N: N◃G sonlu indeksli} kümesiyle xN'↦xN ile tanımlı f_N',N: G/N' →G/N grup homomorfizmaları bir projektif sistem oluşturur. Bu sistemin projektif limitine G grubunun pro-sonlu tamlanışı denir ve G ile gösterilir. Daha açık bir ifadeyle pro-sonlu tamlanış,
şeklinde verilir. Burada G ile G arasında g ↦(gN)_N ile tanımlı doğal bir π: G→G grup homomorfizması mevcuttur. G grubunun π altındaki imgesi G içinde yoğundur. Bu homomorfizmanın birebir olması için gerek ve yeter koşul ⋂_N∈IN = 1 olmasıdır. Özel olarak G yerine ℤ tamsayılar grubunu alırsak, π homomorfizması ℤ tamsayılar grubunu ℤ pro-sonlu tamlanışı içine gömer. Dolayısıyla tamsayılar kendi tamlanışı içinde yoğun bir şekilde yaşar. Bu tamlanışın elemanlarına pro-sonlu tamsayılar denir.


## Örnekler.
  - Tüm ayrık sonlu topolojik gruplar pro-sonludur.
  - Toplamsal p-sel tamsayılar grubu ℤ_p, ℤ/p^nℤ sonlu gruplarının projektif limitine topolojik grup olarak izomorftur. Doğal sayılar kümesi üzerindeki doğal sıralama göz önüne alınırsa, n∈ℕ olmak üzere, sonlu ℤ/p^nℤ gruplarının oluşturduğu aile ile birlikte  her i≤j doğal sayıları için x+p^jℤ↦x+p^iℤ ile tanımlı f_j,i:ℤ/p^jℤ→ℤ/p^iℤ grup homomorfizmaları ailesi bir projektif sistem verir. Buradaki projektif limitin topolojisi, ℤ_p üzerindeki p-sel normun ürettiği topoloji ile aynıdır.
  - Her Galois grup bir pro-sonlu gruba izomorftur. Nitekim L/K bir (sonlu veya sonsuz) Galois genişlemesi olsun. F/K sonlu Galois genişlemesi olacak şekilde, tüm K⊂F ⊂L ara cisimleri kapsama ilişkisi ile birlikte yönlü bir kime oluşturur. Çünkü K üzerine sonlu Galois genişlemesi olan iki tane ara cismin kompozitumu yine K üzerine sonlu Galois genişlemesidir. Bu durumda, buradaki sonlu Galois genişlemelerinin Galois gruplarıyla her F'⊂F için Gal(F/K) →Gal(F'/K), σ↦σ|_F' kısıtlama fonksiyonları bir projektif sistem oluşturur. Bu sistemin limiti Gal(L/K) grubuna kanonik bir şekilde izomorftur. Aralarındaki grup izomorfizması σ↦(σ|_F)_F ile tanımlı Gal(L/K)→lim_←Gal(F/K) fonksiyonu ile verilir. Verilen izomorfizma sayesinde, projektif limit üstündeki topoloji Gal(L/K) grubuna taşınır ve bu topolojiye Krull topoloji denir. Öte yandan, her pro-sonlu grup bir L/K Galois genişlemesinin Galois grubuna izomorftur ( YÖNLENDİRME ). Ancak burada K cismi kontrol edilememektedir. Dahası altta verilen birçok K cismi için tüm sonlu grupların elde edilebileceği dahi bilinmemektedir. (Her sonlu grubun ℚ rasyonel sayılar ciminin sonlu bir Galois genişlemesi olup olmadığı ters Galois problemi olarak bilinir.) 


## Özellikler.
  - Bir topolojik grubun pro-sonlu olması için gerek ve yeter koşul Hausdorff, kompakt ve tümden sınırlı olmasıdır. 
  - Pro-sonlu grupların (sonlu veya sonsuz) direkt çarpımı yine pro-sonludur. Üstündeki topoloji çarpım topolojisi ile aynıdır.
  - Pro-sonlu grupların kapalı altkümeleri pro-sonludur. Üstündeki topoloji altuzay topolojisi ile aynıdır. Eğer H, bir G pro-sonlu grubunun kapalı normal bir altgrubu ise G/N bölüm grubu da pro-sonludur. Üstündeki topoloji bölüm topolojisi ile aynıdır.
  - Her pro-sonlu grup kompakt bir Hausdorff uzay olduğundan üstünde Haar ölçüsü tanımlanabilir. Dolayısıyla üstünde bir takım olasılıklar hesaplanabilir, üzerinde tanımlı fonksiyonların integrali alınabilir.
  - Pro-sonlu bir grubun altgrubunun açık olması için gerek ve yeter koşul kapalı ve sonlu indeksli olmasıdır.


## Bakınız.
 - Pro-p grup
 - Pro-sonlu tamsayılar
 - p-sel sayılar
 - Sonsuz Galois teorisi