# Eşoylum eğrisi
 
Eşoylum eğrisi, eş zamanlı eğri (izokron eğrisi) ya da aynı zamanlı eğri (tautokron eğrisi), birörneklem yerçekimi altında sürtünmesiz olarak kayan bir nesnenin, eğrinin en düşük noktasına ulaşmak için harcadığı sürenin, başlangıç noktasından bağımsız olduğu eğridir. Bu eğri bir sikloiddir ve zaman, sikloidi oluşturan çemberin yarıçapının karekökü ile yerçekimi ivmesi oranının π katına eşittir. Eşoylum eğrisi, aynı zamanda bir sikloid olan Brachistochron eğrisi ile ilişkilidir.


## Eşoylum eğrisi problemi.
Pequod'un sol taraftaki deneme kabında, sabuntaşı etrafımda dikkatle dönerken, ilk kez dolaylı olarak, geometriye göre sikloid boyunca kayan tüm cisimlerin, örneğin benim sabuntaşımın, herhangi bir noktadan aynı sürede ineceği dikkat çekici gerçeği tarafından vuruldum.
"Moby Dick" - Herman Melville, 1851
 Eşoylum eğrisi problemi, bu eğrinin belirlenmesi girişimidir ve 1659'da Christiaan Huygens tarafından çözülmüştür. Huygens, 1673'te ilk kez yayımlanan "Horologium Oscillatorium" adlı eserinde geometrik olarak bu eğrinin bir sikloid olduğunu kanıtladı.
Sikloid, yarıçapı formula_1 olan bir çemberin formula_2 ekseni boyunca yuvarlanırken oluşturduğu bir eğridir ve aşağıdaki şekilde verilir: formula_3
Huygens ayrıca iniş süresinin, sikloidi oluşturan çemberin çapı kadar dikey olarak düşen bir cismin süresine eşit olduğunu ve bunun formula_4 ile çarpıldığını kanıtladı. Modern terimlerle bu, iniş süresinin formula_5 olduğu anlamına gelir; burada formula_1, sikloidi oluşturan çemberin yarıçapı ve formula_7, yerçekimi ivmesidir.
 Bu çözüm daha sonra brachistochron eğrisi problemini çözmek için kullanılmıştır. Johann Bernoulli, bu problemi bir makalede ("Acta Eruditorum", 1697) çözmüştür.
 Eşoylum eğrisi problemi, Huygens tarafından daha yakından incelendiğinde, bir sarkaçın dairesel bir yol izlediği için tam olarak eşoylum olmadığı ve bu nedenle onun sarkaç saatinin sarkacın sallanma genişliğine bağlı olarak farklı zaman tuttuğu fark edilmiştir. Doğru yolu belirledikten sonra, Christiaan Huygens, bob'u asmak için bir ip kullanan ve ipin üst kısmına yakın yerde eşoylum eğrisini oluşturacak kavisli destekler içeren sarkaç saatleri yapmaya çalıştı. Ancak bu girişimler birkaç nedenden dolayı başarısız oldu. İlk olarak, ipin bükülmesi sürtünme yaratıyor ve zamanlamayı değiştiriyordu. İkincisi, eşoylum eğrisi boyunca hareket etmenin sağladığı teorik iyileştirmeleri aşan çok daha önemli zamanlama hatası kaynakları vardı. Son olarak, bir sarkacın "dairesel hatası", salınım uzunluğu azaldıkça küçülür, bu nedenle daha iyi saat kaçıcıları bu hatayı önemli ölçüde azaltabilir.
Daha sonra matematikçiler Joseph Louis Lagrange ve Leonhard Euler, bu problemi analitik olarak çözmüşlerdir.


## Lagrangian çözümü.
Basit harmonik osilatör, başlangıç noktasından serbest bırakıldığında, ilk yer değiştirmesinden bağımsız olarak, en düşük potansiyel enerji noktasına ulaşma süresi daima periyodunun dörtte birine eşittir ve genlikten bağımsızdır. Bu nedenle, basit harmonik osilatörün Lagrangianı eş zamanlıdır.
Eşoylum eğrisi probleminde, parçacığın konumu en düşük noktadan itibaren yay uzunluğu #YÖNLENDİRME ile parametrize edilirse, kinetik enerji formula_8 ile orantılıdır ve potansiyel enerji ise yüksekliğe #YÖNLENDİRME orantılıdır. Eşoylum eğrisi problemindeki eğrinin eş zamanlı olmasının bir yolu, Lagrangianın matematiksel olarak basit harmonik osilatör ile eşdeğer olmasıdır; yani eğrinin yüksekliği yay uzunluğunun karesi ile orantılı olmalıdır:
 - YÖNLENDİRME 
Burada orantı sabiti formula_9'dir. Basit harmonik osilatörün Lagrangianı ile karşılaştırıldığında, eşdeğer yay sabiti formula_10 olur ve iniş süresi formula_11'dir. Ancak, sabit formula_1'nin fiziksel anlamı, eğrinin kesin analitik denklemi belirlenene kadar açık değildir.
Eğrinin analitik denklemini çözmek için, yukarıdaki ilişkinin diferansiyel formunu göz önünde bulundurun:
 - YÖNLENDİRME 
Bu denklem, #YÖNLENDİRME 'yi ortadan kaldırır ve #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME için bir diferansiyel denklem bırakır. Bu, dikey koordinat #YÖNLENDİRME 'nin tepe noktasından (yatay teğet noktası) değil de kıvrım noktasından itibaren sayıldığı durumda bir sikloidin diferansiyel denklemidir.
Çözümü bulmak için, #YÖNLENDİRME 'in #YÖNLENDİRME üzerinden integralini alın
 - YÖNLENDİRME {\sqrt{h}}, \ x &= -4r\int \sqrt{1-u^2} , du, \end{align}</math>}}
Burada formula_13 ve yükseklik azalırken parçacık ileri hareket eder (formula_14). Bu integral, bir çemberin altındaki alandır ve bir başka dönüşüm olan formula_15 ile yapılabilir ve sonuç olarak şu ifadeye ulaşılır:
 - YÖNLENDİRME 
Bu, dikey koordinatın #YÖNLENDİRME olarak sayıldığı bir sikloidin standart parametrize edilmiş halidir. İlginç olan, yay uzunluğunun karesinin yükseklik farkı ile tam yay uzunluğunun çarpımına (8r) eşit olmasıdır.
Sanal yerçekimi çözümü
Tautokron problemine en basit çözüm, eğimin açısı ile parçacığın eğimde hissettiği yerçekimi arasındaki doğrudan ilişkiyi gözlemlemektir. 90° dikey bir eğimdeki bir parçacık tam yerçekimi ivmesi olan formula_7'yi deneyimlerken, yatay bir düzlemdeki parçacık sıfır yerçekimi ivmesi hisseder. Ara açılarda ise parçacığın "sanal yerçekimi" nedeniyle yaşadığı ivme formula_17 olur. Burada formula_18, eğriye teğet olan doğru ile yatay arasındaki açı olarak ölçülür ve yatayın üzerindeki açılar pozitif kabul edilir. Bu nedenle, formula_18 açısı formula_20 ile formula_21 arasında değişir.
Bir parçacığın eşoylum eğrisi üzerindeki konumu, formula_22, aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlamalıdır:
formula_23
Son denklemde, kalan mesafeyi yükseklik fonksiyonu olarak yazmak için formula_24 kullanılmış, mesafenin zamanla azaldığı (eksi işareti) varsayılmış ve zincir kuralı şu şekilde uygulanmıştır: formula_25.
Şimdi parçacığın düşüş süresini bulmak için formula_26 noktasından formula_27 noktasına kadar integrasyon yapılır:
formula_28
Bu denklem, Abel'in integral denklemi olarak adlandırılır ve verilen bir eğri boyunca bir parçacığın düşme süresini hesaplamak için kullanılır. Ancak, Abel'in mekanik problemi tersini gerektirir – formula_29 verildiğinde, formula_30'yi bulmamız gerekir.
Bu problemi çözmek için, sağdaki integralin bir katışık (convolution) olduğunu fark ederiz ve her iki tarafın Laplace dönüşümü alınır:
formula_31
Burada formula_32. Çünkü formula_33 olduğundan:
formula_34
Bu noktadan sonra, formula_29'i belirledikten sonra, onun Laplace dönüşümünü hesaplayabiliriz ve formula_36'nin Laplace dönüşümünü bulabiliriz.
Tautokron problemi için, formula_37 sabittir. 1'in Laplace dönüşümü formula_38 olduğundan:
formula_39
Yine yukarıdaki Laplace dönüşümünü kullanarak, dönüşümü ters çevirir ve şu sonuca varırız:
formula_40
Bu denklemin bir sikloid eğrisini sağladığı gösterilebilir. Eğrinin şekil ifadesini elde etmek için formula_41'ye göre integral alınmalıdır.