# Dönel cisim
Matematik, mühendislik ve imalat alanlarında kullanılan dönel cisim, bir eğriyi aynı düzlemde bulunan bir doğru (dönme ekseni) etrafında döndürülerek elde edilen şekildir.
Eğrinin dönme eksenini geçmediği kabul edilirse; dönel cismin hacmi, şeklin ağırlık merkezini merkez kabul eden dairenin uzunluğu ile şeklin alanının çarpımıdır (Pappus'un Ağırlık Merkezi Teoremi).
Temsili disk dönel cisimin üç-boyutlu bir hacim elemanıdır.
Bu eleman (w uzunluğunda) bir doğru parçasının (r birim uzaklıkta) bir eksen etrafında döndürülmesiyle oluşturulur. Böylece "π"r"2"w" birimlik silindirik hacim çevrelenmiş olur.


## Hacim bulma.
Dönel cismin hacmini bulmak için sıklıkla kullanılan iki integrasyon yöntemi, disk yöntemi ve kabuk yöntemidir. Bu yöntemleri uygulamak için, grafik çizmek en kolayıdır; dönme ekseni etrafında döndürülecek alan belirlenir; dönel cismin "δx" kalınlığına sahip disk şeklindeki bir diliminin ya da "δx" genişliğindeki silindirik bir kabuğun hacmi bulunur ve bu hacimlerin "δx" 0'a yakınsarkenki limit toplamı hesaplanır. Bu limit değeri, uygun bir integral hesaplanarak da bulunabilir.


### Disk yöntemi.
Disk yöntemi, çizilen dilimin dönme eksenine "dik" olduğu zaman yani dönme eksenine "paralel" integrasyon gerçekleştirilirken kullanılır.
f(x) ve g(x) eğrileri ve x=a ve x=b doğruları arasında kalan alan "x"-ekseni etrafında döndürülerek oluşan dönel cismin hacmi şöyle ifade edilir:
V = π∫_a^b |f^2(x) - g^2(x)| dx
Eğer "g"("x") = 0 ise (yani bir eğri ile "x"-ekseni arasındaki alan döndürülüyorsa) formül şöyle indirgenir:
V = π∫_a^b f^2(x) dx (1)
Bu yöntem üst noktası f(y) alt noktası g(y) olmak üzere yatay olarak uzanan çok ince bir dikdörtgen ile görselleştirilebilir. Bu dikdörtgen "y"-ekseni etrafında döndürülürse yüzük biçimini alır (g(y) = 0 ise disk olur). Bu yüzüğün dış yarıçapı "f"("y") iç yarıçapı ise "g"("y") olur. "R" dış yarıçap (bu durumda "f"("y")), "r" iç yarıçap (bu durumda "g"("y")) olmak üzere bu yüzüğün alanı π(R^2 - r^2) dir. Aralıktaki tüm alanları toplamak toplam hacmi verir. Bu yüzden her bir sonsuz küçük diskin hacmi πf^2(x) dx dir. Bu disklerin "a" ve "b" aralığındaki sonsuz toplamı açıkça integral (1) şeklinde kendini gösterir.


### Silindir yöntemi.
Silindir yöntemi, çizilen dilimin dönme eksenine "paralel" olduğu zaman yani dönme eksenine "dik" integrasyon gerçekleştirilirken kullanılır.
f(x) ve g(x) eğrileri ve x=a ve x=b doğruları arasında kalan alan "y"-ekseni etrafında döndürülerek oluşan dönel cismin hacmi şöyle ifade edilir:
V = 2π∫_a^b x|f(x) - g(x)| dx
Eğer "g"("x") = 0 ise (yani bir eğri ile "x"-ekseni arasındaki alan döndürülüyorsa) formül şöyle indirgenir:
V = 2π∫_a^b x |f(x) | dx
Bu yöntem [f(x) - g(x)] yüksekliğine sahip ve dikey olarak uzanan çok ince bir dikdörtgen ile görselleştirilebilir. Bu dikdörtgen "y"-ekseni etrafında döndürülürse silindirik kabuk biçimini alır. "r" yarıçap (bu durumda "x") h yükseklik (bu durumda [f(x) - g(x)]) olmak üzere bir silindirin yanal alanı 2πrh dir. Aralıktaki tüm yüzey alanlarını toplamak toplam hacmi verir.


## Parametrik form.
Bir eğri (x(t),y(t)) parametrik formunda [a,b] aralığında tanımlandığında, eğriyi "x"-ekseni veya "y"-ekseni etrafında döndürülerek oluşturulan dönel cisimlerin hacmi şöyle verilir:
V_x = ∫_a^b π y^2 dx/dt dt
V_y = ∫_a^b π x^2 dy/dt dt .
Aynı şartlar altında eğriyi "x"-ekseni veya "y" ekseni etrafında döndürülerek oluşturulan dönel cisimlerin yüzey alanları şöyle verilir:
A_x = ∫_a^b 2 πy √( ( dx/dt )^2 + ( dy/dt )^2) dt
A_y = ∫_a^b 2 πx √( ( dx/dt )^2 + ( dy/dt )^2) dt