# Trigonometrik yerine koyma
 - YÖNLENDİRME 
Matematikte, bir trigonometrik yerine koyma veya trigonometrik ikame, trigonometrik fonksiyon yerine başka bir ifadeyi koyar. Kalkülüste trigonometrik ikameler integralleri hesaplamak için kullanılan bir tekniktir. Bu durumda, radikal fonksiyon içeren bir ifade trigonometrik bir ifade ile değiştirilir. Trigonometrik özdeşlikler cevabı basitleştirmeye yardımcı olabilir. Diğer yerine koyma yoluyla integrasyon yöntemlerinde olduğu gibi, belirli bir integrali değerlendirirken, integrasyon sınırlarını uygulamadan önce, ters türevin sonucunu tam olarak çıkarmak daha basit olabilir.


## Durum I: "a"2 − "x"2 içeren integraller.
x = a sinθ, olsun ve 1-sin^2 θ= cos^2 θ özdeşliğini kullanın.


### Durum I için örnekler.
#### Örnek 1.
∫dx/√(a^2-x^2),
integralinde,
x=asinθ, dx=acosθ dθ, θ=arcsinx/a.
ikamesini kullanabiliriz. Böylece,
 ∫dx/√(a^2-x^2) amp;= ∫acosθ dθ/√(a^2-a^2sin^2 θ)
 amp;= ∫acosθ dθ/√(a^2(1 - sin^2 θ ))
 amp;= ∫acosθ dθ/√(a^2cos^2θ)
 amp;= ∫ dθ
 amp;= θ + C 
 amp;= arcsinx/a+C.
Yukarıdaki adım a gt; 0 ve cosθ gt; 0 olmasını gerektirir. a'yı a^2'nin ana kökü olarak seçebilir ve ters sinüs fonksiyonunu kullanarak -π/2 lt; θ lt; π/2 kısıtlamasını uygulayabiliriz.
Belirli bir integral için, integrasyon sınırlarının nasıl değiştiğini bulmak gerekir. Örneğin, x 0'dan a/2'ye giderken sinθ 0'dan 1/2'ye gider, böylece θ 0'dan π/ 6'ya gider. Öyleyse,
∫_0^a/2dx/√(a^2-x^2)=∫_0^π/6 dθ= π/6.
Sınırları seçerken biraz dikkatli olmak gerekir. Yukarıdaki integral -π/2 lt; θ lt; π/2 gerektirdiğinden, θ yalnızca 0 ile π/ 6 arasında olabilir. Bu kısıtlama ihmal edildiğinde, θ'nın π'den 5π/6'ya gitmesi seçilebilirdi, bu da gerçek değerin negatifiyle sonuçlanırdı.
Alternatif olarak, sınır koşullarını uygulamadan önce belirsiz integralleri tam olarak değerlendirin. Bu durumda, ters türev daha önce olduğu gibi şu sonucu verir:
∫_0^a/2 dx/√(a^2 - x^2) = arcsin( x/a ) |_0^a/2
= arcsin( 1/2) - arcsin(0) = π/6


#### Örnek 2.
∫√(a^2-x^2) dx,
integrali, x=asinθ, dx=acosθ dθ, θ=arcsinxa, burada a gt; 0 olarak alınarak hesaplanabilir, böylece √(a^2)=a ve -π/2 ≤θ≤π/2 arksin değer kümesine göre cosθ≥0 ve √(cos^2 θ) = cosθ'dır.
Böylece,
 ∫√(a^2-x^2) dx amp;= ∫√(a^2-a^2sin^2θ) (acosθ) dθ
 amp;= ∫√(a^2(1-sin^2θ)) (acosθ) dθ
 amp;= ∫√(a^2(cos^2θ)) (acosθ) dθ
 amp;= ∫(acosθ)(acosθ) dθ
 amp;= a^2∫cos^2θ dθ
 amp;= a^2∫(1+cos 2θ/2) dθ
 amp;= a^2/2(θ+1/2sin 2θ) + C 
 amp;= a^2/2(θ+sinθcosθ) + C 
 amp;= a^2/2(arcsinx/a+x/a√(1-x^2/a^2)) + C 
 amp;= a^2/2arcsinx/a+x/2√(a^2-x^2)+C.
Belirli bir integral için, yerine koyma işlemi gerçekleştirildikten sonra sınırlar değişir ve θ= arcsinxa denklemi kullanılarak -π/2 ≤θ≤π/2 aralığındaki değerlerle belirlenir. Alternatif olarak, sınır terimlerini doğrudan ters türev formülüne uygulayın.
Örneğin,
∫_-1^1√(4-x^2) dx,
belirli integrali, x = 2sinθ, dx = 2cosθ dθ, yerine θ= arcsinx2 kullanılarak belirlenen sınırlarla hesaplanabilir.
arcsin(1/2) = π/6 ve arcsin(-1/2) = -π/6 olduğundan,
 ∫_-1^1√(4-x^2) dx amp;= ∫_-π/6^π/6√(4-4sin^2θ) (2cosθ) dθ
 amp;= ∫_-π/6^π/6√(4(1-sin^2θ)) (2cosθ) dθ
 amp;= ∫_-π/6^π/6√(4(cos^2θ)) (2cosθ) dθ
 amp;= ∫_-π/6^π/6(2cosθ)(2cosθ) dθ
 amp;= 4∫_-π/6^π/6cos^2θ dθ
 amp;= 4∫_-π/6^π/6(1+cos 2θ/2) dθ
 amp;= 2 [θ+1/2sin 2θ]^π/6_-π/6
 = [2θ+sin 2θ] |^π/6_-π/6
 amp;= (π/3+sinπ/3)-(-π/3+sin(-π/3))
 = 2π/3+√(3).
Öte yandan, sınır terimlerinin daha önce elde edilen ters türev formülüne doğrudan uygulanması, daha önce olduğu gibi aşağıdaki sonucu verir:
 ∫_-1^1√(4-x^2) dx amp;= [ 2^2/2arcsinx/2+x/2√(2^2-x^2)]_-1^1
 amp;= ( 2 arcsin1/2 + 1/2√(4-1)) - ( 2 arcsin(-1/2) + -1/2√(4-1))
 amp;= ( 2 ·π/6 + √(3)/2) - ( 2·(-π/6) - √(3)/2)
 amp;= 2π/3 + √(3)


## Durum II: "a"2 + "x"2 içeren integraller.
x = a tanθ, olsun ve 1+tan^2 θ= ^2 θ özdeşliğini kullanın.


### Durum II için örnekler.
#### Örnek 1.
∫dx/a^2+x^2
integralinde,
x=atanθ, dx=a^2θ dθ, θ=arctanx/a,
yazabiliriz, böylece integral şu hale gelir:
 ∫dx/a^2+x^2 amp;= ∫a^2θ dθ/a^2 + a^2tan^2θ
 amp;= ∫a^2θ dθ/a^2(1+tan^2θ)
 amp;= ∫a^2θ dθ/a^2^2θ
 amp;= ∫dθ/a
 amp;= θ/a+C 
 amp;= 1/aarctanx/a + C,
a ≠0 olmak koşuluyla.
Belirli bir integral için sınırlar, ikame işlemi gerçekleştirildikten sonra değişir ve θ= arctanx/a, denklemi kullanılarak -π/2 lt; θ lt; π/2 aralığındaki değerlerle belirlenir. Alternatif olarak, sınır terimlerini doğrudan ters türev formülüne uygulayın.
Örneğin,
∫_0^14 dx/1+x^2 
belirli integrali, x = tanθ, dx = ^2θ dθ, yerine θ= arctanx. kullanılarak belirlenen sınırlar ile hesaplanabilir.
arctan0 = 0 ve arctan1 = π/4 olduğundan,
 ∫_0^14 dx/1+x^2 amp;= 4∫_0^1dx/1 + x^2
 amp;= 4∫_0^π/4^2θ dθ/1+tan^2θ
 amp;= 4∫_0^π/4^2θ dθ/^2θ
 amp;= 4∫_0^π/4dθ
 amp;= (4θ)|^π/4_0 = 4 (π/4 - 0 ) = π.
Bu arada, sınır terimlerinin ters türev formülüne doğrudan uygulanması, daha önceki gibi aşağıdaki sonucu verir:
 ∫_0^14 dx/1+x^2 amp;= 4∫_0^1dx/1+x^2
 amp;= 4[1/1arctanx/1]^1_0 
 amp;= 4(arctan x)|^1_0 
 amp;= 4(arctan 1 - arctan 0) 
 amp;= 4 (π/4 - 0 ) = π,


#### Örnek 2.
∫√(a^2+x^2) dx
integrali,
x=atanθ, dx=a^2θ dθ, θ=arctanx/a alınarak hesaplanabilir. Burada a gt; 0 böylece √(a^2)=a ve -π/2 lt;θ lt;π/2 arctanjant değer kümesine göre θ gt; 0 ve √(^2 θ) = θ'dir.
Öyleyse,
 ∫√(a^2+x^2) dx amp;= ∫√(a^2 + a^2tan^2θ) (a ^2θ) dθ
 amp;= ∫√(a^2 (1+tan^2θ)) (a ^2θ) dθ
 amp;= ∫√(a^2 ^2θ) (a ^2θ) dθ
 amp;= ∫(a θ)(a ^2θ) dθ
 amp;= a^2∫^3θ dθ.
Sekant kübün integrali, kısmi integral kullanılarak hesaplanabilir. Sonuç olarak,
 ∫√(a^2+x^2) dx amp;= a^2/2(θtanθ + ln|θ+tanθ|)+C 
 amp;= a^2/2(√(1+x^2/a^2)·x/a + ln|√(1+x^2/a^2)+x/a|)+C 
 amp;= 1/2(x√(a^2+x^2) + a^2ln|x+√(a^2+x^2)/a|)+C.


## Durum III: "x"2 − "a"2 içeren integraller.
x = a θ, olsun ve ^2 θ-1 = tan^2 θ. özdeşliğini kullanın.


### Durum III için örnekler.
∫dx/x^2 - a^2
şeklindeki integraller, trigonometrik ikameler yerine kısmi kesirler ile de hesaplanabilir. Bununla birlikte,
∫√(x^2 - a^2) dx
integrali hesaplanamaz. Bu durumda, uygun bir ikame şudur:
x = a θ, dx = a θtanθ dθ, θ= x/a,
burada a gt; 0 böylece √(a^2)=a ve x gt; 0 varsayımıyla 0 ≤θ lt; π/2 olur, böylece tanθ≥0 ve √(tan^2 θ) = tanθ olur.
Öyleyse,
 ∫√(x^2 - a^2) dx amp;= ∫√(a^2 ^2θ - a^2)· a θtanθ dθ
 amp;= ∫√(a^2 (^2θ - 1))· a θtanθ dθ
 amp;= ∫√(a^2 tan^2θ)· a θtanθ dθ
 amp;= ∫ a^2 θtan^2θ dθ
 amp;= a^2 ∫ (θ)(^2θ - 1) dθ
 amp;= a^2 ∫ (^3θ - θ) dθ.
Pay ve paydayı ( θ+ tanθ) ile çarparak sekant fonksiyonunun integrali ve parçalarla sekant kübün integrali hesaplanabilir. Sonuç olarak,
 ∫√(x^2-a^2) dx amp;= a^2/2(θtanθ + ln|θ+tanθ|)-a^2ln|θ+tanθ|+C 
 amp;= a^2/2(θtanθ - ln|θ+tanθ|)+C 
 amp;= a^2/2(x/a·√(x^2/a^2-1) - ln|x/a+√(x^2/a^2-1)|)+C 
 amp;= 1/2(x√(x^2-a^2) - a^2ln|x+√(x^2-a^2)/a|)+C.
π/2 lt; θ≤π olduğunda ki bu da x lt; 0 olduğunda olur, tanθ≤0, bu durumda da √(tan^2 θ) = -tanθ anlamına gelir.


## Trigonometrik fonksiyonları ortadan kaldıran ikameler.
Trigonometrik fonksiyonları yok etmek için ikame kullanılabilir. Örneğin,
 ∫ f(sin(x), cos(x)) dx amp;=∫1/±√(1-u^2) f(u,±√(1-u^2)) du amp; amp; u=sin (x) 
 ∫ f(sin(x), cos(x)) dx amp;=∫1/∓√(1-u^2) f(±√(1-u^2),u) du amp; amp; u=cos (x) 
 ∫ f(sin(x), cos(x)) dx amp;=∫2/1+u^2 f (2u/1+u^2,1-u^2/1+u^2) du amp; amp; u=tan (x/2 )
Son ikame, Weierstrass yerine koyması olarak bilinir ve tanjant yarım açı formülleri kullanır. Örneğin,
 ∫4 cos x/(1+cos x)^3 dx amp;= ∫2/1+u^24(1-u^2/1+u^2)/(1+1-u^2/1+u^2)^3 du = ∫ (1-u^2)(1+u^2) du 
 amp;= ∫ (1-u^4) du = u - u^5/5 + C = tanx/2 - 1/5tan^5 x/2 + C.


## Hiperbolik yerine koyma.
İntegralleri basitleştirmek için hiperbolik fonksiyonların ikameleri de kullanılabilir.
Örneğin, 1/√(a^2+x^2) integralini almak için, x=asinhu (ve dolayısıyla dx=acoshu du) ikamesini, ardından cosh^2 (x) - sinh^2 (x) = 1]] özdeşliğini kullanın:
 ∫dx/√(a^2+x^2) amp;= ∫acosh u du/√(a^2+a^2sinh^2 u)
 amp;=∫coshu du/√(1+sinh^2u)
 amp;=∫coshu/cosh u du 
 amp;=u+C 
 amp;=sinh^-1x/a + C.
İstenirse, bu sonuç başka özdeşlikler kullanılarak da dönüştürülebilir, örneğin sinh^-1z = arsinhz = ln(z + √(z^2 + 1)) bağıntısını:
 sinh^-1x/a + C
 amp;=ln(x/a + √(x^2/a^2 + 1) ) + C 
 amp;=ln(x + √(x^2+a^2)/a ) + C.