# Bochner-Martinelli formülü
Matematikte, Bochner-Martinelli formülü, Cauchy integral formülünün birden fazla kompleks değişkenli fonksiyonlara yönelik genellemelerinden birisidir. EnzoMartinelli (1938) ve SalomonBochner (1943) tarafından bağımsız olarak kanıtlanmıştır.
Formülün diferansiyel formlara yönelik genellemesi Bochner-Martinelli-Koppelman formülü olarak bilinmektedir.


## Tarihçe.
Bochner-Martinelli formülünün yayınlandığı ve kanıtlandığı ilk makale Martinelli'ye aittir. Başka bir makalede ise,
Martinelli Hartogs teoreminin kanıtını Bochner-Martinelli formülünü kullanarak vermiştir.
Bochner ise 1943'ün nisan ayında yayınlanması için ibraz ettiği makalesinde yer alan ve yine aynı yılın Eylül ayında güncellediği bir dipnotta "Formül (53)'ün ve kanıtı bu formüle dayanan Teorem 5'in Enzo Martinelli tarafından () hemen yakın zamanda yayınlandığını" söylemektedir. Yine aynı dipnotta, yazarın (yani Bochner'in) bu sonuçları daha önce 1940/41 kış döneminde Princeton'daki doktora seviyesindeki bir derste sunduğu ve Donald C. May tarafından Haziran 1941'de yazılan "An integral formula for analytic functions of k variables with some applications" başlıklı doktora tezinde yer aldığı kaydedilmiştir. Ancak, Bochner 1947'de yayınladığı bir makalesindeki dipnotta, daha önce makalesindeki dipnotta Martinelli'den önce bu formüle aşina olabileceği hakkındaki iddiasının dayanaksız olduğunu ve bu iddiasını geri çektiğini yazmıştır.
Walter Koppelman son yaptığı yayınında Cauchy-Fantappiè çekirdeği ile alakalı mekanizmanın sadece fonksiyonlar için değil diferansiyel formlar için de uyarlanabileceğini göstermiştir.


## Bochner–Martinelli çekirdeği.
 ζ, z∈^n için, Bochner–Martinelli çekirdeği #YÖNLENDİRME ikili derecesi #YÖNLENDİRME olan ve #YÖNLENDİRME için aşağıdaki gibi tanımlı bir formdur:
ω(ζ,z) = (n-1)!/(2πi)^n1/|z-ζ|^2n
∑_1≤j≤n(ζ_j-z_j) dζ_1 dζ_1 ⋯dζ_j ⋯dζ_n dζ_n
Burada, toplamın terimleri #YÖNLENDİRME formunu atlar.
Ω kümesi ℂ"n"de parçalı düzgün bir sınıra (bΩ) sahip olan bir bölge olsun. Diyelim ki #YÖNLENDİRME fonksiyonu Ω kümesinin kapanışında sürekli türevlenebilen bir fonksiyondur. O halde, Bochner-Martinelli formülü şunu ifade eder:
 z∈Ω için 
f(z) = ∫_bΩf(ζ)ω(ζ, z) - ∫_Ω∂f(ζ)ω(ζ,z).
  - Bu formülü veren teoremler aslında formülden daha fazlasını gösterirler. Bu teorem ifadelerinde, formülün sağ tarafı baz alınıp eşitlik bölge içindeki noktalar için yukarıdaki gibi verilir  bölgenin kapanışının dışında kalan noktalar içinse sonuç 0 olarak verilir.
   - YÖNLENDİRME ayrıca holomorf ise, ikinci integral o zaman sıfıra eşittir ve aşağıdaki bağlantı holomorf fonksiyonlar için yazılabilir.
f(z) = ∫_bΩf(ζ)ω(ζ, z). 
  - Bochner-Martinelli çekirdeği harmoniktir ama n gt 1 için holomorf değildir.


### Cauchy çekirdeği.
Bochner-Martinelli çekirdeği Cauchy çekirdeğini birden fazla kompleks boyuta taşımaktadır. Gerçekten de n=1 alınırsa, o zaman Bochner-Martinelli çekirdeği şu hali alır:
ω(ζ, z) = 1/2πi1/|z-ζ|^2 (ζ-z) dζ. 
Burada, |z-ζ|^2=(z-ζ) (z-ζ) olduğunu gözlemleyip gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra çekirdeğin
ω(ζ, z) = 1/2πi1/(ζ-z) dζ
olduğu görülür ki bu da Cauchy çekirdeğidir. Sonuç olarak, eğer #YÖNLENDİRME bir kompleks değişkenli holomorf fonksiyon ise Bochner-Martinelli formülünün yukarıda verilen özel hali Cauchy integral formülüne dönüşür. Yani, 
f(z) = 1/2πi ∫_bΩf(ζ)/ζ-z dζ. 


## Bochner-Martinelli-Koppelman çekirdeği.
γ=∑_j=1^n(w̅_j-z̅_j)dw_j olsun. O zaman, Bochner–Martinelli-Koppelman çekirdeği (p,q) formları (1≤q≤n-1) için şu şekilde yazılabilir:<br>
U_q(w,z)= (-1)^q(q-1)/2/(2πi)^n 
γ∧(∂_zγ)^q∧(∂_wγ)^n-q-1
Ω kümesi ℂ"n"de parçalı düzgün bir sınıra (bΩ) sahip olan bir bölge olsun. Diyelim ki #YÖNLENDİRME , Ω bölgesinin kapanışında sürekli türevlenebilen bileşen fonksiyonları olan (0,q)-formu olsun. O halde, Bochner-Martinelli-Koppelman formülü şunu ifade eder:
 z∈Ω için 
f(z) = ∫_bΩf(w)∧U_q(w, z) - ∫_Ω∂_w f(w)∧U_q(w,z)- ∂_z ∫_Ωf(w) ∧U_q-1(w,z).
Bu teoremin ifadelerinde, formülün sağ tarafı baz alınıp eşitlik bölge içindeki noktalar için yukarıdaki gibi verilir; bölgenin kapanışının dışında kalan noktalar içinse sonuç 0 olarak verilir.