# Kepler yörüngesi
Gök mekaniği olarak, Kepler yörüngesi (veya Keplersel yörünge) üç boyutlu uzayda iki boyutlu bir yörünge düzlemi oluşturan bir elips, parabol, hiperbol benzeri bir yörünge cisminin hareketini açıklar. (Kepler yörüngesi aynı zamanda düz bir çizgi de çizebilir). Kepler yörüngesi yalnızca nokta iki cismin nokta benzeri yerçekimsel çekimlerini dikkate alır, atmosfer sürüklemesi, güneş radyasyonu baskısı, dairesel olmayan cisim merkezi ve bunun gibi bir takım şeylerin diğer cisimlerle girdiği çekim ilişkileri nedeniyle ihmal eder. Böylece Kepler problemi olarak bilinen iki-cisim probleminin, özel durumlara bir çözüm olarak atfedilir. Klasik mekaniğin bir teorisi olarak, aynı zamanda genel görelilik etkilerini dikkate almaz. Kepler yörüngeleri çeşitli şekillerde altı yörünge unsurları içine parametrize edilebilir.
Çoğu uygulamalarda, tüm sistemin kütle merkezi olarak kabul edilen büyük bir merkezi cisim ve kütle merkezi vardır. Ayrıştırma yapılınca, iki objenin benzer kütleleri, ikisinin ortak kütle merkezinin Kepler yörüngesi ya da barisentileri olarak açıklanabilir.


## Giriş.
Eski çağlardan itibaren 16. ve 17. yüzyıllara kadar gezegenlerin hareketlerinin Antik Yunan filozofları Aristo ve Batlamyus tarafından öğretildiği gibi mükemmel dairesel jeosentrik yolları takip ettiğine inanılırdı. Gezegenlerin hareketler değişimleri (epidaire) üst üste küçük dairesel yollar şeklinde açıklanmıştır. Gezegenlerin ölçümleri giderek daha kesin olmaya başladığında, bu teoriye revizyonlar önerilmiştir. Hala gezegenlerin güneş merkezli mükemmel dairesel yörüngede gittiğine inanılmasına rağmen 1543 yılında Nicolaus Copernicus, güneş sisteminin bir güneş merkezli modelini yayınladı.


## Yasaların geliştirilmesi.
1601 yılında Johannes Kepler, Tycho Brahe tarafından yapılan gezegenlerin kapsamlı ve titiz gözlemlerini elde etti. Kepler, sonraki beş yılı Mars gezegeninin gözlemlerini çeşitli eğrilere uydurmaya çalışarak geçirecekti. 1609 yılında Kepler, gezegensel hareketin üç yasasından ilk ikisini yayınladı. Birinci yasa şöyledir:
"Güneş sistemindeki bütün gezegenler, odaklarının birinde Güneş olan elips şeklindeki bir yörüngede hareket ederler."
Daha genel anlatımla, Kepler hareketini yapan bir nesnenin yolu elips olduğu kadar, parabol veya hiperbol de olabilir. Bu bir grup şekil konik kesitler olarak bilinir. Matematiksel olarak, merkezi bir cisim ile yörüngedeki bir cisim arasındaki mesafe şu şekilde ifade edilebilir:
 r(θ) = a(1-e^2)/1+ecos(θ) 
 - r mesafedir
 - a yörüngenin boyutunu tanımlayan yarı büyük eksendir
 - e yörüngenin şeklini tanımlayan dış merkezliktir
 - θ yörüngedeki nesnenin mevcut konumu ile yörüngedeki merkez cisme en yakın olduğu (enberi noktası olarak adlandırılan) konum arasındaki açı olan gerçek ayrıklıkdır.
Alternatif olarak, denklem şu şekilde ifade edilebilir:
 r(θ) = p/1+ecos(θ) 
Burada p, eğrinin yarı özkirişi olarak adlandırılır. Denklemin bu formu, özellikle yarı büyük ekseni sonsuz olan parabolik yörüngelerle uğraşırken kullanışlıdır.
Bu yasaları gözlemleriyle geliştiren Kepler, hiçbir zaman bu hareketleri açıklayacak bir teori geliştirememiştir.


### Isaac Newton.
Isaac Newton, 1665 ve 1666 yılları arasında hareket, kütleçekim ve diferansiyel hesap ile ilgili çeşitli kavramlar geliştirdi. Bununla birlikte bu kavramlar, 1687 yılında hareket yasalarını ve evrensel kütleçekim yasasını ana hatlarıyla belirttiği "Principia"'ya kadar yayınlanmadı. Üç hareket yasasından ikincisi şöyle der:
Bir cismin ivmesi, cisme etki eden net kuvvetle paralel ve doğru orantılıdır. Net kuvvet yönündedir ve cismin kütlesi ile ters orantılıdır:
 𝐅 = m𝐚 = md^2𝐫/dt^2
 - 𝐅 kuvvet vektörüdür
 - m kuvvetin etki ettiği cismin kütlesidir
 - 𝐚 ivme vektörüdür, 𝐫 konum vektörünün ikinci zaman türevidir.
Kurallara bakılırsa, denklemin bu şekli yalnızca aşağıda yapılan basitleştirici varsayımlara dayalı olarak doğru olan sabit kütleli bir nesne için geçerlidir.
Newton'un kütleçekim yasası şöyle der:
Her nokta kütle, her iki noktayı kesen doğru boyunca işaret edilen bir kuvvetle diğer nokta kütleleri çeker. Kuvvet, iki kütlenin çarpımı ile orantılı ve nokta kütleler arasındaki uzaklığın karesi ile ters orantılıdır:
F = G m_1 m_2/r^2
  - F iki nokta kütlesi arasındaki kütleçekim kuvvetinin büyüklüğüdür.
  - G kütle çekimi sabitidir
  - m_1 birinci nokta kütlesinin kütlesidir
  - m_2 ikinci nokta kütlesinin kütlesidir
  - r iki nokta kütlesi arasındaki mesafedir
Newton, hareket yasaları ve evrensel kütleçekim yasasından astronomide yörünge hareketine özgü Kepler yasalarını türetebildi. Kepler yasaları gözlem verileriyle iyi bir şekilde desteklendiğinden, bu tutarlılık Newton'un genelleştirilmiş teorisinin ve birleşik göksel ve sıradan mekaniğin geçerliliğine güçlü bir destek sağladı. Bu hareket yasaları, 20. yüzyılın başlarında Albert Einstein özel ve genel görelilik kavramlarını ortaya koyana kadar modern gök mekaniğinin temelini oluşturdu. Çoğu kullanımda Kepler hareketi, gezegenlerin ve uyduların hareketlerini nispeten yüksek doğruluk derecelerine yaklaştırır ve astronomi ve astrodinamikte yaygın olarak kullanılır.


### Sadeleştirilmiş iki cisim problemi.
İki cisimli bir sistemde bir cismin hareketini çözmek için iki sadeleştirici varsayım yapılabilir:
  - Cisimler küresel olarak simetriktir ve nokta kütleler olarak ele alınabilir.
  - Cisimlere karşılıklı kütleçekimi dışında etki eden iç ve dış kuvvetler yoktur.
Büyük gök cisimlerinin şekilleri kürelere yakındır. Simetri ile, bir kütle noktasını homojen bir küreye doğru çeken net kütleçekim kuvveti, merkeze doğru yönlenmelidir. Kabuk teoremi (Isaac Newton tarafından da kanıtlanmış olan), kürenin yoğunluğu derinliğe göre değişse bile (çoğu gök cisimleri için olduğu gibi) bu kuvvetin büyüklüğünün, kütlenin tamamı kürenin ortasında toplanmış gibi aynı olduğunu belirtir. Bundan hemen sonra iki homojen küre arasındaki çekim, her ikisinin de kütlesi merkezinde yoğunlaşmış gibidir.
Asteroitler veya uzay araçları gibi daha küçük nesneler genellikle bir küreden güçlü bir şekilde ayrılan bir şekle sahiptir. Ancak bu düzensizlikler tarafından üretilen kütleçekim kuvvetleri, merkezi cismin kütleçekimi ile karşılaştırıldığında genellikle önemsizdir. Düzensiz bir şekil ile mükemmel bir küre arasındaki fark da mesafelerle azalır ve yörünge mesafelerinin çoğu, yörüngedeki küçük bir cismin çapıyla karşılaştırıldığında çok büyüktür. Bu nedenle bazı durumlar için şekil düzensizliği, kesinlik üzerinde önemli bir etki olmaksızın ihmal edilebilir. Bu etki, özellikle alçak yörüngelerde bulunan yapay Dünya uyduları için oldukça belirgindir.
Gezegenler değişen hızlarda dönerler ve bu merkezkaç kuvveti nedeniyle hafif basık bir şekil alabilirler. Böyle yassı bir şekille kütle çekimi, homojen bir küreninkinden bir miktar sapacaktır. Daha büyük mesafelerde bu yassılığın etkisi ihmal edilebilir hale gelir. Güneş Sistemindeki gezegensel hareketler, nokta kütleler olarak ele alınırsa yeterli hassasiyetle hesaplanabilirler.
Kütleleri m_1 ve m_2 olan iki nokta kütle nesnesi ve bazı eylemsiz referans çerçevesine göreceli konum vektörleri 𝐫_1 ve 𝐫_2, kütleçekim kuvvetlerine maruz kalır:
 m_1 𝐫̈_1 = -G m_1 m_2/r^2 𝐫̂
 m_2 𝐫̈_2 = G m_1 m_2/r^2 𝐫̂
burada 𝐫, kütle 1'in kütle 2'ye göre göreceli konum vektörüdür ve şu şekilde ifade edilir:
 𝐫 = 𝐫_1 - 𝐫_2 
𝐫̂, o yöndeki birim vektördür ve r, bu vektörün uzunluğudur.
Kendi kütlelerine bölmek ve ikinci denklemi birinciden çıkarmak, birinci cismin ikinciye göre ivmesi için hareket denklemini verir:
α, yerçekimi parametresidir ve eşittir
 α= G(m_1 + m_2)
Birçok uygulamada, üçüncü bir sadeleştirici varsayım yapılabilir:
Bu varsayım, sadeleştirilmiş iki cisim problemini çözmek için gerekli değildir, ancak özellikle Dünya yörüngesindeki uydular ve Güneş'in yörüngesindeki gezegenlerle ilgili hesaplamaları basitleştirir. Jüpiter'in kütlesi bile Güneş'inkinden 1047 kat daha azdır, bu da α değerinde %0,096'lık bir hata oluşturur. Dikkate değer istisnalar arasında Dünya-Ay sistemi (kütle oranı 81,3), Plüton-Charon sistemi (kütle oranı 8,9) ve ikili yıldız sistemleri sayılabilir.
Bu varsayımlar altında iki cisim problemi için diferansiyel denklem matematiksel olarak tamamen çözülebilir ve Kepler'in gezegensel hareket yasalarını takip ederek sonuçta oluşan yörüngeye "Kepler yörüngesi" denir. Tüm gezegenlerin yörüngeleri yüksek doğrulukta Güneş etrafındaki Kepler yörüngeleridir. Küçük sapmalar, gezegenler arasındaki çok daha zayıf kütleçekim etkilerinden ve Merkür durumunda genel görelilikten kaynaklanmaktadır. Dünya etrafındaki yapay uyduların yörüngeleri, makul bir tahminle Güneş, Ay ve Dünya'nın yassılığından dolayı küçük düzensizliklere sahip Kepler yörüngeleridir. Hareket denkleminin bütün kütleçekim ve kütleçekim olmayan kuvvetlerin (güneş radyasyon basıncı ve atmosfer direnci gibi) hesaba katılmasıyla sayısal olarak entegre edilmesi gereken yüksek doğruluktaki kullanımlarda, Kepler yörünge kavramları çok önemlidir ve yoğun olarak kullanılır.


### Kepler yörünge öğeleri.
Kepler yörüngesinin altı parametre ile tanımlanabilirliğinden söz etmek gerekir. Üç boyutlu uzayda hareket eden bir nesnenin hareket bir konum vektörü ve bir hız vektörü ile karakterize edilir. Her vektörün üç bileşeni vardır, bu yüzden uzayda bir yörünge tanımlamak için gerekli değerlerin toplam sayısı altıdır. Bir yörünge (Kepler Elementleri olarak bilinen) ve pozisyon ve hızına bağlı olarak ölçülebilen altı elementten oluşur ki bunların üçü daha önce gösterilmiştir. Bu altı uygun elementten beş tanesi yörünge için değişmezdir. (iki sürekli değişen vektöre bir tezat niteliğinde olmak üzere). Kendi yörüngesinde içindeki bir nesnenin gelecekteki konumu tahmin edilebilir ve yeni konum ve hız kolayca yörünge elemanları ile elde edilebilir.
Bunlardan ikisi eksenin boyutunu ve şeklin belirler:
  - Yarımajör eksen (a )
  - eksantriklik (e )
Üç tanesi yörünge alanının oryantasyonunu belirler:
  - eğim (i )yörünge düzlemi ile referans düzlemi arasındaki açıyı tanımlar.
  - Yükselen nodun uzunluğu (Ω ) Referans yönü ve referans düzlemi üzerinde yörüngeye yukarı kesişme (yükselen nod) arasındaki açıyı tanımlar.
  - Periapsis argüman(ω ) artan nod ve periapsis arasındaki açıyı belirler.
Ve son olarak:
  - Gerçek anomali (ν)periapsis ölçülen yörünge boyunca yörüngedeki cismin konumunu tanımlar. Çeşitli başka değerlerin yerine gerçek bir anomali kullanılabilir, bunlardan en sık kullanılanları mean anomoli olan M ve periapsisden yana geçen süre olan T'dir.
i, Ω ve ω sadece yörünge düzlemi içinde nesnenin hareketini tartışırken referans çerçevesinde yörünge yönünü tanımlayan açısal ölçümlerdir ve kesin olarak gerekli değildir. Burada tamamlanmışlık adına belirtilmişlerdir ancak aşağıdaki ispatlar için gerekli değillerdir.


### Yukarıdaki diferansiyel denklemin (1) matematiksel çözümü.
Herhangi bir merkez kuvveti altında yani r bir kuvvet paraleli ve hareket için, belirli bağıl açısal momentumu 𝐇 = 𝐫 ×𝐫̇ sabit kalır:
 𝐇̇ = d/dt(𝐫 ×𝐫̇) = 𝐫̇ ×𝐫̇ + 𝐫 ×𝐫̈ =0 + 0 = 0
Pozisyonun çapraz ürünü vektör ve onun hızı olduğu için sabit kaldığından, aynı düzlemde bulunmak zorundadırlar. ( 𝐇 'ye ortogonal). Bu vektör, fonksiyonun, bir düzlem eğrisi olduğu anlamına gelir. Denklemin kökeni etrafında simetri vardır, çünkü kutupsal koordinatlarda çözmek kolaydır. Bununla birlikte, bu denklem dikkat etmek önemlidir 1 doğrusal ivmeye refere eder (𝐫̈ ), açısalın karşıtı olarak (θ̈ ) yahut radyal (r̈ ) ivmelenme. Bu nedenle, denklemi değiştiren kişinin dikkatli olması gerekir. Şimdi kartezyen koordinat sistemine (𝐱̂ , 𝐲̂) ve kutupsal birim vektörlere (𝐫̂ , θ̂) düzlemi octoganelinde bakalım 𝐇 :
 𝐫̂=cos(θ)𝐱̂ + sin(θ)𝐲̂ 
 θ̂=-sin(θ)𝐱̂ + cos(θ)𝐲̂ 
Şimdi vektör 𝐫 fonksiyonunu yeniden yazabiliriz ve diferansiyeli şöyledir as:
 𝐫 =r ( cosθ𝐱̂ + sinθ𝐲̂) = r𝐫̂ 
 𝐫̇ = ṙ 𝐫̂ + r θ̇θ̂ 
 𝐫̈ = (r̈ - rθ̇^2)𝐫̂ + (r θ̈+ 2 ṙ θ̇) θ̂ 
 (r̈ - rθ̇^2)𝐫̂ + (r θ̈+ 2 ṙ θ̇) θ̂ = (-μ/r^2)𝐫̂ + (0)θ̂
Bu sıradan olmayan polar diferansiyel denklem verir:
^2 = - \frac {\mu} {r^2}</math>|2}} 
Bu denklemi çözmek için, öncelikle her zaman diferansiyel lineerini ortadan kaldırmak gerekir. Şuna ulaşırız:
 H = |𝐫 ×𝐫̇| = |(rcos(θ), rsin(θ), 0) ×(ṙcos(θ)-rsin(θ)θ̇, ṙsin(θ)+rcos(θ)θ̇, 0)| = |(0,0,r^2θ̇)| = r^2θ̇
(3)'ün zaman diferansiyelini aldığımız zaman, şuna ulaşırız:
(3) ve (4}) denklemleri'nin diferansiyellerini elememize izin verir. In order to eliminate the time derivatives of θ'ın zaman diferansiyellerini elimine etmek için uygun kısaltmaları bulmak bunun için de zincir kuralı kullanmamız gerekir.
r̈ - r θ̇^2 = - μ/r^2
d^2r/dθ^2 ·θ̇^2 + dr/dθ ·θ̈ - r θ̇^2 = - μ/r^2
d^2r/dθ^2 ·(H/r^2 )^2 + dr/dθ ·(- 2 ·H ·ṙ/r^3 ) - r(H/r^2 )^2 = - μ/r^2
Diferansiyel denklem (7) değişken değişimi ile analitik çözülebilir
Bu verilenleri kullanarak, in (2)'deki tüm zaman diferansiyelleri yok sayılabilir ve bizi r θ .
r̈ - r θ̇^2 = - μ/r^2
(10) ve (9)'da belirtilenleri d^2r/dθ^2 ve dr/dθ için kullanarak
genel bir sonuca ulaşılır.
"e" ve θ_0 'un başlangıçtaki "s" ve ds/dθ'n başlangıç değerlerinin integral sabitleri olursa, integralinin sabitini kullanmak yerine birim vektörleri kullanıma alınır ve seçilen yörünge alanındaki koordinat sistemini belirler, böylece sıfır değerini alır ve e is pozitiftir. Bu şu anlama gelir: 'in maksimum olduğu yerde sıfırdır ve böylece minimumdur. "p" parametresini H^2/μ olarak tanımlarsak şu ortaya çıkar.


#### Alternatif türevi.
Bu denklemi polar diferansiyel denklemini kullanmadan çözmenin bir diğer yolu şöyledir:𝐮'yu bir birim vektör olarak tanımlayın, örneğin,𝐫 = r𝐮 and 𝐫̈ = -μ/r^2𝐮 gibi. Buradan yola çıkarak
𝐇 = 𝐫 ×𝐫̇ = r𝐮 ×d/dt(r𝐮) = r𝐮 ×(r𝐮̇+ṙ𝐮) = r^2(𝐮 ×𝐮̇) + rṙ(𝐮 ×𝐮) = r^2𝐮 ×𝐮̇
Şimdi şunu değerlendiriniz
𝐫̈ ×𝐇 = -μ/r^2𝐮 ×(r^2𝐮 ×𝐮̇) = -μ𝐮 ×(𝐮 ×𝐮̇) = -μ[(𝐮·𝐮̇)𝐮-(𝐮·𝐮)𝐮̇]
(Üçlü vektör ürünü). Şunu dikkate alınız
𝐮·𝐮 = |𝐮|^2 = 1
𝐮·𝐮̇ = 1/2(𝐮·𝐮̇ + 𝐮̇·𝐮) = 1/2d/dt(𝐮·𝐮) = 0 
Bu verileri bir önceki denkleme yerleştirdiğimizde
𝐫̈×𝐇=μ𝐮̇
İki tarafın da integralini alırsak
𝐫̇×𝐇=μ𝐮 + 𝐜
Burada c" sabit vektördür. Bunu r"' ile birleştirmek ortaya ilginç bir sonuç çıkarır
 𝐫·(𝐫̇×𝐇)=𝐫·(μ𝐮 + 𝐜) = μ𝐫·𝐮 + 𝐫·𝐜 = μr(𝐮·𝐮)+rccos(θ)=r(μ+ ccos(θ))
Burada θ r̅ ve c̅ arasındaki açıdır. r'ye göre çözersek
Örneğin ( r̅ ,v̅ ) durum vektörlerinin diferansiyel fonskyonlarıdır e̅, ayrıca bu durum dairesel bir yörüngeye karşılık geliyor ise de geçerlidir.