# Jacobi metodu
Jacobi metodu (diğer adıyla Jacobi yinelemeli metodu), sayısal lineer cebirde lineer denklemlerin diyagonal olarak baskın sistemlerin çözümlerinin belirlenmesi için oluşturulmuş bir algoritmadır. Her diyagonal eleman tek tek çözülür ve yaklaşık bir değer olarak alınır. Bu aşama onlar yakınsayana kadar tekrarlanır. Bu algoritma matris köşegenleştirilmesi Jacobi dönüşüm metodunun (diğer adıyla Jacobi özdeğer algoritmasının) sadeleştirilmiş şeklidir. Bu metot daha sonra Carl Gustav Jacob Jacobi olarak isimlendirilmiştir.


## Açıklama.
n lineer denklemli bir kare sistemi verilmiş olsun.
A𝐱 = 𝐛
A=[ a_11 amp; a_12 amp; ⋯ amp; a_1n; a_21 amp; a_22 amp; ⋯ amp; a_2n; ⋮ amp; ⋮ amp; ⋱ amp; ⋮; a_n1 amp; a_n2 amp; ⋯ amp; a_nn ], 𝐱 = [ x_1; x_2; ⋮; x_n ] , 𝐛 = [ b_1; b_2; ⋮; b_n ].
A matrisi diyagonal (D) ve geriye kalan (R) bileşenlerine ayrılır.
A=D+R where D = [ a_11 amp; 0 amp; ⋯ amp; 0; 0 amp; a_22 amp; ⋯ amp; 0; ⋮ amp; ⋮ amp; ⋱ amp; ⋮; 0 amp; 0 amp; ⋯ amp; a_nn ] and R = [ 0 amp; a_12 amp; ⋯ amp; a_1n; a_21 amp; 0 amp; ⋯ amp; a_2n; ⋮ amp; ⋮ amp; ⋱ amp; ⋮; a_n1 amp; a_n2 amp; ⋯ amp; 0 ]. 
Bu çözüm daha sonra : 𝐱^(k+1) = D^-1 (𝐛 - R 𝐱^(k)). aracılığıyla yinelemeli olarak elde edilir.
Eleman tabanlı formül böylece : x^(k+1)_i = 1/a_ii (b_i -∑_jia_ijx^(k)_j), i=1,2,…,n. olur.
xi(k+1) hesaplanması kendisi dışında x(k)'daki her elemanı gerektirir. Gauss-Seidel yönteminin aksine, xi(k) ile xi(k+1)'yi, hesaplamanın geri kalanı tarafından ihtiyaç duyulacak değer olarak üzerine yazamayız. Minimum saklama miktarı, büyüklüğü n olan iki vektördür.


## Algoritma.
 x^(0) için bir başlangıç tahmini seçelim.
 k=0
 while (yakınsama ulaşamamış) do
 for (i:=1; i<n) do
 σ= 0 
 for (j:=1; j<n) do
 if ( j≠i) then
 σ= σ+ a_ij x_j^(k) 
 end if
 end (j döngüsü)
 check (yakınsama ulaşmış?)
 k = k + 1
 end (while döngüsü)


## Yakınsama.
Standart yakınsama durumu (her tekrarlamalı metot için) yineleme matrisinin spektral yarıçapı en az bir olmasıdır.
ρ(D^-1R) lt; 1. 
A matrisi kesin ve indirgenemez bir şekilde diyagonal olarak baskın ise bu yöntem yakınsama garantilidir. Kesin olan satırın diyagonal baskınlığı, her satır için diyagonal terimin mutlak değerinin, diğer terimlerin mutlak değerlerinin toplamından büyük olmasıdır.
Jacobi metodu bazen bu şartlar sağlanmasa bile yakınsar.


## Örnek.
x^(0) başlangıç değerli Ax=b formundaki lineer sisteminde
 A=
 [ 2 amp; 1; 5 amp; 7; ],
 b=
 [ 11; 13; ]
 and x^(0) =
 [ 1; 1; ] .
olarak veriliyor. X' i tahmin etmek için yukarıda tanımlanmış x^(k+1)=D^-1(b - Rx^(k)), denklemini kullanırız. İlk olarak;
denklemi T=-D^-1R ve C = D^-1b olduğu yerde daha uygun formda yazarız: D^-1(b - Rx^(k)) = Tx^(k) + C 
L ve U, A matrisinin kesin alt ve üst kısımları olduğu yerde R=L+U 'dur.
Bilinen değerlerden; : D^-1=
 [ 1/2 amp; 0; 0 amp; 1/7; ], 
 L=
 [ 0 amp; 0; 5 amp; 0; ]
 and U =
 [ 0 amp; 1; 0 amp; 0; ] . 
 T=-D^-1(L+U) olarak tanımlayabiliriz.
 T=
 [ 1/2 amp; 0; 0 amp; 1/7; ]
 [ 0 amp; 0; -5 amp; 0; ]
 [ 0 amp; -1; 0 amp; 0; ]} 
 [ 0 amp; -1/2; -5/7 amp; 0; ] .
Ayrıca, : C =
 [ 1/2 amp; 0; 0 amp; 1/7; ]
 [ 11; 13; ]
 [ 11/2; 13/7; ]. 
olarak buluruz. Hesaplanan T ve C ile x'i 
x as x^(1)= Tx^(0)+C : olarak tahmin ederiz.
 x^(1)= 
 [ 0 amp; -1/2; -5/7 amp; 0; ]
 [ 1; 1; ]
 [ 11/2; 13/7; ] 
 [ 5.0; 8/7; ] 
≈[ 5; 1.143; ] .
Bir sonraki yineleme bize 
 x^(2)= 
 [ 0 amp; -1/2; -5/7 amp; 0; ]
 [ 5.0; 8/7; ]
 [ 11/2; 13/7; ] 
 [ 69/14; -12/7; ] 
 ≈[ 4.929; -1.714; ] .
verir. Bu aşama yakınsayana kadar tekrarlanır (Ax^(n) - b küçük değer alana kadar). 25 yineleme sonra çözüm:
 x=[ 7.111; -3.222 ]


### Başka bir örnek.
Aşağıdaki lineer sistemin verildiğini varsayalım:
 10x_1 - x_2 + 2x_3 amp; = 6, 
 -x_1 + 11x_2 - x_3 + 3x_4 amp; = 25, 
 2x_1- x_2+ 10x_3 - x_4 amp; = -11, 
 3x_2 - x_3 + 8x_4 amp; = 15.
Başlangıç tahmini olarak (0, 0, 0, 0) alalım, ardından ilk tahminimiz:
 x_1 amp; = (6 - 0 - 0) / 10 = 0.6, 
 x_2 amp; = (25 - 0 - 0) / 11 = 25/11 = 2.2727 
 x_3 amp; = (-11 - 0 - 0) / 10 = -1.1,
 x_4 amp; = (15 - 0 - 0) / 8 = 1.875.
olacaktır.
Elde edilen tahminleri kullanarak, istenilen doğruluğa ulaşıncaya kadar yineleme işlemi tekrarlanır. Beş iterasyon sonra yaklaşık çözümler şunlardır:
Sistemin tam çözümü ise (1, 2, −1, 1) olur.


### Python 3 ve Numpy kullanılarak yapılmış bir örnek.
Aşağıdaki sayısal işlem çözüm vektörü oluşturmak için yinelenir.
import numpy as np
ITERATION_LIMIT = 1000
  - initialize the matrix
A = np.array(10., -1., 2., 0.],
 [-1., 11., -1., 3.],
 [2., -1., 10., -1.],
 [0.0, 3., -1., 8.)
  - initialize the RHS vector
b = np.array([6., 25., -11., 15.])
  - prints the system
print("System:")
for i in range(A.shape[0]):
 row = ["{}*x{}".format(A[i, j], j + 1) for j in range(A.shape[1])]
 print(" + ".join(row), "=", b[i])
print()
x = np.zeros_like(b)
for it_count in range(ITERATION_LIMIT):
 print("Current solution:", x)
 x_new = np.zeros_like(x)
 for i in range(A.shape[0]):
 s1 = np.dot(A[i, :i], x[:i])
 s2 = np.dot(A[i, i + 1:], x[i + 1:])
 x_new[i] = (b[i] - s1 - s2) / A[i, i]
 if np.allclose(x, x_new, rtol=1e-10):
 break
 x = x_new
print("Solution:")
print(x)
error = np.dot(A, x) - b
print("Error:")
print(error)
Aşağıdaki çıktıyı üretir:
System:
10.0*x1 + -1.0*x2 + 2.0*x3 + 0.0*x4 = 6.0
-1.0*x1 + 11.0*x2 + -1.0*x3 + 3.0*x4 = 25.0
2.0*x1 + -1.0*x2 + 10.0*x3 + -1.0*x4 = -11.0
0.0*x1 + 3.0*x2 + -1.0*x3 + 8.0*x4 = 15.0
Current solution: [ 0. 0. 0. 0.]
Current solution: [ 0.6 2.27272727 -1.1 1.875 ]
Current solution: [ 1.04727273 1.71590909 -0.80522727 0.88522727]
Current solution: [ 0.93263636 2.05330579 -1.04934091 1.13088068]
Current solution: [ 1.01519876 1.95369576 -0.96810863 0.97384272]
Current solution: [ 0.9889913 2.01141473 -1.0102859 1.02135051]
Current solution: [ 1.00319865 1.99224126 -0.99452174 0.99443374]
Current solution: [ 0.99812847 2.00230688 -1.00197223 1.00359431]
Current solution: [ 1.00062513 1.9986703 -0.99903558 0.99888839]
Current solution: [ 0.99967415 2.00044767 -1.00036916 1.00061919]
Current solution: [ 1.0001186 1.99976795 -0.99982814 0.99978598]
Current solution: [ 0.99994242 2.00008477 -1.00006833 1.0001085 ]
Current solution: [ 1.00002214 1.99995896 -0.99996916 0.99995967]
Current solution: [ 0.99998973 2.00001582 -1.00001257 1.00001924]
Current solution: [ 1.00000409 1.99999268 -0.99999444 0.9999925 ]
Current solution: [ 0.99999816 2.00000292 -1.0000023 1.00000344]
Current solution: [ 1.00000075 1.99999868 -0.99999899 0.99999862]
Current solution: [ 0.99999967 2.00000054 -1.00000042 1.00000062]
Current solution: [ 1.00000014 1.99999976 -0.99999982 0.99999975]
Current solution: [ 0.99999994 2.0000001 -1.00000008 1.00000011]
Current solution: [ 1.00000003 1.99999996 -0.99999997 0.99999995]
Current solution: [ 0.99999999 2.00000002 -1.00000001 1.00000002]
Current solution: [ 1. 1.99999999 -0.99999999 0.99999999]
Current solution: [ 1. 2. -1. 1.]
Solution:
[ 1. 2. -1. 1.]
Error:
[ -2.81440107e-08 5.15706873e-08 -3.63466359e-08 4.17092547e-08]


## Ağırlıklı Jacobi yöntemi.
Ağırlıklı Jacobi yinelemesi : 𝐱^(k+1) = ωD^-1 (𝐛 - R 𝐱^(k)) + (1-ω)𝐱^(k) yinelemesini olağan seçenek olan ω= 2/3 ile hesaplarkenw parametresini kullanır.


## Son gelişmeler.
2014 yılında planlanmış relaksasyon Jacobi yöntemi adıyla anılan bir algoritma düzeltmesi yayımlandı. Bu yeni yöntem bir üst ve alt relaksasyon programı kullanır ve büyük iki ve üç boyutlu Kartezyen örgülerle ayrıştırılmış eliptik denklemlerin çözümünde iki yüz kat performans artışı sağlar.