# Abel teoremi
Matematiğin bir ana dalı olan analizde, özellikle gerçel ve karmaşık analizde, Abel teoremi, Abel limit teoremi ya da Abel yakınsaklık teoremi, bir kuvvet serisinin limitini katsayılarının toplamıyla ilişkilendiren önemli bir sonuçtur. Teorem, bu sonucu 1826'da kanıtlayan Norveçli matematikçi Niels Henrik Abel'in adını taşımaktadır.


## Teoremin ifadesi.
### Gerçel değişkenli kuvvet serileri için ifâdesi.
Yakınsaklık yarıçapı 1 olan ve katsayıları gerçel sayı olan bir Taylor serisini ele alalım:
G (x) = ∑_k=0^∞a_k x^k.
Eğer ∑_k=0^∞a_k serisi yakınsaksa, o zaman, G(x) fonksiyonu x = 1 noktasında soldan süreklidir. Diğer deyişle,
lim_x→1^- G(x) = ∑_k=0^∞a_k
olur.


### Karmaşık değişkenli kuvvet serileri için ifâdesi.
Gerçel değişkenli kuvvet serileri için verilen sonucun karmaşık değişkenli kuvvet serileri için geliştirilmiş hâli de vardır: 
Yakınsaklık bölgesi birim disk 𝔻 olan ve katsayıları karmaşık sayı olan bir Taylor serisini ele alalım:
G(z) = ∑_k=0^∞a_k z^k. 
Eğer ∑_k=0^∞a_k serisi yakınsaksa, o zaman G(z) fonksiyonunun sabit bir M gt; 1 tarafından 
biçiminde tanımlı bir "Stolz dilimi" içinden z = 1 noktasında limiti vardır.
Geometrik bir bakış açısıyla, limitin z = 1 noktasına çembere teğet olmadan yaklaşması lazımdır. Birim disk içinde yer alan bu biçimdeki yaklaşma bölgesinde tepe noktası z = 1dir, bölge (-∞, 1) eksenini ortalar ve elbette tepe açısı 180^∘den azdır. Çember üzerindeki bir noktaya bu tür bölgelerden yaklaşılan limitlere teğet olmayan limit denir. Teoremin varsayımındaki teğet olmayan limit bahsi teorem için gereklidir. Gerçekten de bu bölge dışından yaklaşıldığında teoremde bahsedilen sonuca karşıt örnekler bulunabilir. Örneğin, 
G(z) = ∑_n gt;0^∞a_n z^n 
serisini
a_n=
1/k amp;, n=3^k, k∈ℤ^+ 
-1/k amp;, n=2·3^k, k∈ℤ^+
0 amp;, diğer hallerde
olacak şekilde tanımlayalım. ∑_n gt;0^∞a_n serisi sıfıra yakınsaktır; çünkü, serinin kısmî toplamları S_N için
S_N=
1/k amp;, 3^k≤N lt; 2·3^k ise 
0 amp;, 2·3^k≤N lt; 3^k+1 ise 
olduğu görülebilir. S_N dizisinin limiti elbette sıfırdır. Diğer taraftan, G(z), birim disk 𝔻'nin tıkız altkümeleri üzerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır; bu yüzden, açık disk üzerinde holomorftur. Gerçekten, |z| lt;1 iken
 |∑_n=1^∞a_n z^n|≤∑_n=1^∞|a_n z^n| lt; ∑_n=1^∞|z|^n =1/1-|z|.
Diğer taraftan, benzer sebeplerle, G(z) fonksiyonunu ∑_n gt;0 z^3^n-z^2·3^n/n
olarak yazmanın sakıncası yoktur; çünkü, seri, iki yakınsak serinin farkı olarak yazılmıştır Ancak, "teğet olmayan limit" alınmadığında, meselâ, birim çember üzerinde e^iπ/3^n noktaları üzerinden limit alındığında seri harmonik serinin bir katı olarak ıraksak olacaktır. Bu yüzden, limitin teğet olmayan limit olması lazımdır.


## Kanıt taslağı.
Serideki ilk terimden gerekirse serinin değerini çıkararak ∑_k=0^∞a_k=0 varsayabiliriz. Kısmi toplamlar s_n=∑_k=0^n a_k ile gösterilsin. a_k=s_k-s_k-1 ifâdesini kullanarak ve seride birkaç basit işlemden sonra
G_a(z) = (1-z)∑_k=0^∞ s_k z^k
elde ederiz.
Herhangi bir ε gt; 0 değeri içi n sayısını yeteri kadar büyük seçelim öyle ki bütün k ≥n için |s_k| lt; ε olsun. O zaman, z Stolz diliminin içindeyken
olur. Bu nedenle, z, 1'e yeteri kadar yakın olduğunda 
olacaktır. Böylece, z, 1'e yeteri kadar yakın olduğunda ve Stolz diliminin içindeyken |G_a(z)| lt; (M+1) ε olur.


### Sonuçlar.
Bu teoremin doğrudan bir sonucu olarak, eğer z sıfırdan farklı bir karmaşık sayıysa ve bu z için ∑_k=0^∞a_k z^k serisi yakınsaksa, o zaman 
lim_z→1^- G(z) →∞ olur.


### Stolz dilimi.
y^2 = -M^4 (x^2 - 1) - 2 M^2 ((x - 1) x + 1) + 2 √(M^4 (-2 M^2 (x - 1) + 2 x - 1)) + (x - 1)^2/(M^2 - 1)^2
şeklinde açık bir denklem vardır. x = 1-M/1+M noktası bu dilimin en soldaki noktası olurken, 
en sağdaki nokta da x=1 olmaktadır. x=1 noktasındaki tepe açısı 2θ olmaktadır ki bu açı ile M arasında cosθ= 1/M ilişkisi vardır.


## Örnekler.
Abel teoreminin uygulaması olarak a_k = (-1)^k/k+1 ele alalım. 
Geometrik serinin, -1 lt;x lt;1 iken yakınsak olduğu ve 1/1-x =∑_k=0^∞x^k biliniyor. Diyelim ki, 0 lt;z lt;1 olsun. O zaman,
∫_-z^0dx/1-x =ln(1+z) 
olurken diğer taraftan düzgün yakınsaklıktan 
∫_-z^0∑_k=0^∞x^k dx=∑_k=0^∞∫_-z^0x^k dx=z∑_k=0^∞(-1)^k/k+1 z^k 
olur. Böylece, 0 lt; z lt; 1 için bir taraftan G_a(z) =∑_k=0^∞(-1)^k/k+1 z^k varken, aynı zamanda 
G_a(z) = ln(1+z)/z, 0 lt; z lt; 1, 
olmaktadır. O zaman, Abel teoremi sayesinde, ∑_k=0^∞(-1)^k/k+1 serisi ln2 değerine yakınsar.
Başka bir benzer örnek ∑_k=0^∞(-1)^k/2k+1 serisi için verilebilir. Ters tanjant fonksiyonu için
 arctan(x)=∑_n=0^∞(-1)^n x^2n+1/2n+1
bilindiği için, 
∑_k=0^∞(-1)^k/2k+1
serisi 
 arctan1 = π4 değerine yakınsar.