# Matematiksel seriler listesi
Aşağıdaki matematiksel seriler listesi, sonlu ve sonsuz toplamlar için formüller içerir. Toplamları değerlendirmek için diğer araçlarla birlikte kullanılabilir.
 - Burada 0^0, 1 değerine sahip olduğu kabul edilir
 - {x}, x'in kesirli kısmını ifade eder.
 - B_n(x) bir Bernoulli polinomudur.
 - B_n bir Bernoulli sayısıdır ve burada  B_1=-1/2'dir.
 - E_n bir Euler sayısıdır.
 - ζ(s) Riemann zeta fonksiyonudur.
 - Γ(z) gama fonksiyonudur.
 - ψ_n(z) bir poligama fonksiyonudur.
 - Li_s(z) bir polilogaritmadır.
  - n k binom katsayısıdır.
 - exp(x), x'in üstel'ini belirtir.


## Kuvvetler toplamı.
Bkz. Faulhaber formülü.
 - ∑_k=0^m k^n-1=B_n(m+1)-B_n/n
İlk birkaç değer şunlardır:
 - ∑_k=1^m k=m(m+1)/2
 - ∑_k=1^m k^2=m(m+1)(2m+1)/6=m^3/3+m^2/2+m/6
 - ∑_k=1^m k^3
=[m(m+1)/2]^2=m^4/4+m^3/2+m^2/4
Bkz. zeta sabitleri.
 - ζ(2n)=∑^∞_k=1 1/k^2n=(-1)^n+1 B_2n (2π)^2n/2(2n)! 
İlk birkaç değer şunlardır:
 - ζ(2)=∑^∞_k=1 1/k^2=π^2/6 (Basel problemi)
 - ζ(4)=∑^∞_k=1 1/k^4=π^4/90
 - ζ(6)=∑^∞_k=1 1/k^6=π^6/945


## Kuvvet serileri.
### Düşük mertebeli polilogaritmalar.
Sonlu toplamlar:
 - ∑_k=m^n z^k = z^m-z^n+1/1-z, (geometrik seri)
 - ∑_k=0^n z^k = 1-z^n+1/1-z
 - ∑_k=1^n z^k = 1-z^n+1/1-z-1 = z-z^n+1/1-z
 - ∑_k=1^n k z^k = z1-(n+1)z^n+nz^n+1/(1-z)^2
 - ∑_k=1^n k^2 z^k = z1+z-(n+1)^2z^n+(2n^2+2n-1)z^n+1-n^2z^n+2/(1-z)^3 
 - ∑_k=1^n k^m z^k = (z d/dz)^m 1-z^n+1/1-z
Sonsuz toplamlar, |z| lt;1 için geçerli (bkz. polilogaritma):
 - Li_n(z)=∑_k=1^∞ z^k/k^n
Aşağıdaki, düşük tam sayı mertebeli polilogaritmaları kapalı form içinde özyinelemeli olarak hesaplamak için yararlı bir özelliktir: 
 - d/dzLi_n(z)=Li_n-1(z)/z
 - Li_1(z)=∑_k=1^∞z^k/k=-ln(1-z)
 - Li_0(z)=∑_k=1^∞z^k=z/1-z
 - Li_-1(z)=∑_k=1^∞k z^k=z/(1-z)^2
 - Li_-2(z)=∑_k=1^∞k^2 z^k=z(1+z)/(1-z)^3
 - Li_-3(z)=∑_k=1^∞k^3 z^k =z(1+4z+z^2)/(1-z)^4
 - Li_-4(z)=∑_k=1^∞k^4 z^k =z(1+z)(1+10z+z^2)/(1-z)^5


### Üstel fonksiyon.
 - ∑_k=0^∞z^k/k! = e^z
 - ∑_k=0^∞kz^k/k! = z e^z (bkz. Poisson dağılımı ortalaması)
 - ∑_k=0^∞k^2 z^k/k! = (z + z^2) e^z (bkz. Poisson dağılımının ikinci momenti)
 - ∑_k=0^∞k^3 z^k/k! = (z + 3z^2 + z^3) e^z
 - ∑_k=0^∞k^4 z^k/k! = (z + 7z^2 + 6z^3 + z^4) e^z
 - ∑_k=0^∞k^n z^k/k! = z d/dz ∑_k=0^∞k^n-1 z^k/k! = e^z T_n(z) 
burada; T_n(z) Touchard polinomlarıdır.


### Trigonometrik, ters trigonometrik, hiperbolik ve ters hiperbolik fonksiyonlar ilişkisi.
 - ∑_k=0^∞(-1)^k z^2k+1/(2k+1)!=sinz
 - ∑_k=0^∞z^2k+1/(2k+1)!=sinhz
 - ∑_k=0^∞(-1)^k z^2k/(2k)!=cosz
 - ∑_k=0^∞z^2k/(2k)!=coshz
 - ∑_k=1^∞(-1)^k-1(2^2k-1)2^2kB_2kz^2k-1/(2k)!=tanz, |z| lt π/2
 - ∑_k=1^∞(2^2k-1)2^2kB_2kz^2k-1/(2k)!=tanhz, |z| lt π/2
 - ∑_k=0^∞(-1)^k2^2kB_2kz^2k-1/(2k)!=z, |z| lt π
 - ∑_k=0^∞2^2kB_2kz^2k-1/(2k)!=z, |z| lt π
 - ∑_k=0^∞(-1)^k-1(2^2k-2)B_2kz^2k-1/(2k)!=z, |z| lt π
 - ∑_k=0^∞-(2^2k-2)B_2kz^2k-1/(2k)!=csch z, |z| lt π
 - ∑_k=0^∞(-1)^kE_2kz^2k/(2k)!=sech z, |z| lt π/2
 - ∑_k=0^∞E_2kz^2k/(2k)!=z, |z| lt  π/2
 - ∑_k=1^∞(-1)^k-1 z^2k/(2k)!=verz (versine)
 - ∑_k=1^∞(-1)^k-1 z^2k/2(2k)!=havz (haversine)
 - ∑_k=0^∞(2k)!z^2k+1/2^2k(k!)^2(2k+1)=arcsinz, |z|≤1
 - ∑_k=0^∞(-1)^k(2k)!z^2k+1/2^2k(k!)^2(2k+1)=arcsinh z, |z| ≤1
 - ∑_k=0^∞(-1)^kz^2k+1/2k+1=arctanz, |z| lt 1
 - ∑_k=0^∞z^2k+1/2k+1=arctanh z, |z| lt 1
 - ln2+∑_k=1^∞(-1)^k-1(2k)!z^2k/2^2k+1k(k!)^2=ln(1+√(1+z^2)), |z| ≤1


### Değiştirilmiş faktöriyel paydalar.
 - ∑^∞_k=0 (4k)!/2^4k √(2) (2k)! (2k+1)! z^k = √(1-√(1-z)/z), |z| lt 1
 - ∑^∞_k=0 2^2k (k!)^2/(k+1) (2k+1)! z^2k+2 = (arcsinz)^2, |z|≤1 
 - ∑^∞_n=0 ∏_k=0^n-1(4k^2+α^2)/(2n)! z^2n + ∑^∞_n=0 α∏_k=0^n-1[(2k+1)^2+α^2]/(2n+1)! z^2n+1 = e^αarcsinz, |z|≤1 


### Binom katsayıları.
 - (1+z)^α= ∑_k=0^∞αk z^k, |z| lt 1 (bkz  YÖNLENDİRME )
  - ∑_k=0^∞2z, |z|≤1/4, Catalan sayıları üreteç fonksiyonu
  - ∑_k=0^∞2k k z^k = 1/√(1-4z), |z| lt 1/4, Merkezi binom katsayıları üreteç fonksiyonu
  - ∑_k=0^∞2k + αk z^k = 1/√(1-4z)(1-√(1-4z)/2z)^α, |z| lt 1/4


### Harmonik sayılar.
  - ∑_k=1^∞H_k z^k = -ln(1-z)/1-z, |z| lt 1
  - ∑_k=1^∞H_k/k+1 z^k+1 = 1/2[ln(1-z)]^2, |z| lt 1
  - ∑_k=1^∞(-1)^k-1 H_2k/2k+1 z^2k+1 = 1/2 arctanz log(1+z^2), |z| lt 1 
  - ∑_n=0^∞∑_k=0^2n (-1)^k/2k+1 z^4n+2/4n+2 = 1/4 arctanz log1+z/1-z, |z| lt 1 


## Binom katsayıları.
 - ∑_k=0^n n k = 2^n
 - ∑_k=0^n (-1)^k n k = 0, burada  n≥1
 - ∑_k=0^n k m = n+1 m+1 
 - ∑_k=0^n m+k-1 k = n+m n (bkz Çoklu küme)
 - ∑_k=0^n αkβn-k = α+βn (bkz Vandermonde özdeşliği)


## Trigonometrik fonksiyonlar.
Sinüsler ve kosinüsler toplamı, Fourier serileri'nde ortaya çıkar.
 - ∑_k=1^∞cos(kθ)/k=-1/2ln(2-2cosθ)=-ln(2sinθ/2 ), 0 lt θ lt 2π
 - ∑_k=1^∞sin(kθ)/k=π-θ/2, 0 lt θ lt 2π
 - ∑_k=1^∞(-1)^k-1/kcos(kθ)=1/2ln(2+2cosθ)=ln(2cosθ/2), 0≤θ lt π
 - ∑_k=1^∞(-1)^k-1/ksin(kθ)=θ/2, -π/2≤θ≤π/2
 - ∑_k=1^∞cos(2kθ)/2k=-1/2ln(2sinθ), 0 lt θ lt π
 - ∑_k=1^∞sin(2kθ)/2k=π-2θ/4, 0 lt θ lt π
 - ∑_k=0^∞cos[(2k+1)θ]/2k+1=1/2ln(θ/2), 0 lt θ lt π
 - ∑_k=0^∞sin[(2k+1)θ]/2k+1=π/4, 0 lt θ lt π,
 - ∑_k=1^∞sin(2 πk x)/k= π(12 - {x}), x ∈ℝ
 - ∑_k=1^∞ sin(2πkx )/k^2n-1 = (-1)^n(2π)^2n-1/2(2n-1)! B_2n-1({x}), x ∈ℝ, n ∈ℕ
 - ∑_k=1^∞ cos(2πkx )/k^2n = (-1)^n-1(2π)^2n/2(2n)! B_2n({x}), x ∈ℝ, n ∈ℕ
 - B_n(x)=-n!/2^n-1π^n∑_k=1^∞1/k^ncos(2πkx-πn/2), 0 lt x lt 1
 - ∑_k=0^n sin(θ+kα)=sin(n+1)α/2sin(θ+nα/2)/sinα/2
 - ∑_k=0^n cos(θ+kα)=sin(n+1)α/2cos(θ+nα/2)/sinα/2
 - ∑_k=1^n-1 sinπk/n=π/2n
 - ∑_k=1^n-1 sin2πk/n=0
 - ∑_k=0^n-1 ^2(θ+πk/n)=n^2^2(nθ)
 - ∑_k=1^n-1 ^2πk/n=n^2-1/3
 - ∑_k=1^n-1 ^4πk/n=n^4+10n^2-11/45


## Rasyonel fonksiyonlar.
 - ∑_n=a+1^∞ a/n^2 - a^2 = 1/2 H_2a
 - ∑_n=0^∞1/n^2+a^2=1+aπ(aπ)/2a^2
 - ∑_n=0^∞1/n^4+4a^4 = 18a^4+π(sinh(2πa)+sin(2πa))8a^3(cosh(2πa)-cos(2πa))
 - n'nin herhangi bir rasyonel fonksiyon'unun sonsuz bir serisi, burada açıklandığı gibi kısmi kesirlere ayrıştırma kullanılarak poligama fonksiyonu'nun sonlu bir serisine indirgenebilir. Bu gerçek, rasyonel fonksiyonların sonlu serilerine de uygulanabilir ve seri çok sayıda terim içerdiğinde bile sonucun sabit zamanda hesaplanmasına izin verir.


## Üstel fonksiyon.
  - 1√(p)∑_n=0^p-1exp(2πi n^2 q/p )=e^πi/4√(2q)∑_n=0^2q-1exp(-πi n^2 p/2q )(bkz. Landsberg–Schaar bağıntısı)
  - ∑_n=-∞^∞e^-πn^2 = √(π)/Γ(3/4)


## Nümerik seriler.
Bu numerik seriler, yukarıda listelenen serilerdeki sayılar eklenerek bulunabilir.


### Alternatif harmonik seriler.
 - ∑^∞_k=1(-1)^k+1/k=1/1-1/2+1/3-1/4+⋯=ln2
 - ∑^∞_k=1(-1)^k+1/2k-1=1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-⋯=π/4


### Faktöriyellerin tersinin toplamı.
 - ∑^∞_k=0 1/k!=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+⋯=e
 - ∑^∞_k=0 1/(2k)!=1/0!+1/2!+1/4!+1/6!+1/8!+⋯=1/2(e+1/e)=cosh1
 - ∑^∞_k=0 1/(3k)!=1/0!+1/3!+1/6!+1/9!+1/12!+⋯=1/3(e+2/√(e)cos√(3)/2)
 - ∑^∞_k=0 1/(4k)!=1/0!+1/4!+1/8!+1/12!+1/16!+⋯=1/2(cos1+cosh1)


### Trigonometri ve π.
 - ∑^∞_k=0 (-1)^k/(2k+1)!=1/1!-1/3!+1/5!-1/7!+1/9!+⋯=sin1
 - ∑^∞_k=0 (-1)^k/(2k)!=1/0!-1/2!+1/4!-1/6!+1/8!+⋯=cos1
 - ∑^∞_k=1 1/k^2+1=1/2+1/5+1/10+1/17+⋯=1/2(ππ- 1)
 - ∑^∞_k=1 (-1)^k/k^2+1=-1/2+1/5-1/10+1/17+⋯=1/2(πcsch π- 1)
  - 3 + 4/2×3×4 - 4/4×5×6 + 4/6×7×8 - 4/8×9×10 + ⋯= π


### Üçgensel sayıların tersi.
 - ∑^∞_k=1 1/T_k=1/1+1/3+1/6+1/10+1/15+⋯=2
Burada; T_n=∑^n_k=1 k 


### Dörtyüzlüsel sayıların tersi.
 - ∑^∞_k=1 1/Te_k=1/1+1/4+1/10+1/20+1/35+⋯=3/2
Burada; Te_n=∑^n_k=1 T_k


### Üstel ve logaritmalar.
 - ∑^∞_k=0 1/(2k+1)(2k+2)=1/1×2+1/3×4+1/5×6+1/7×8+1/9×10+⋯=ln2
 - ∑^∞_k=1 1/2^kk=1/2+1/8+1/24+1/64+1/160+⋯=ln2
 - ∑^∞_k=1 (-1)^k+1/2^kk+∑^∞_k=1 (-1)^k+1/3^kk=(1/2+1/3)-(1/8+1/18)+(1/24+1/81)-(1/64+1/324)+⋯=ln2
 - ∑^∞_k=1 1/3^kk+∑^∞_k=1 1/4^kk=(1/3+1/4)+(1/18+1/32)+(1/81+1/192)+(1/324+1/1024)+⋯=ln2