# Kirişler dörtgeni
Öklid geometrisinde, bir kirişler dörtgeni#YÖNLENDİRME veya çembersel dörtgen veya çevrimsel dörtgen,#YÖNLENDİRME köşeleri tek bir çember üzerinde bulunan bir dörtgendir. Bu çembere "çevrel çember"#YÖNLENDİRME denir ve köşelerin "aynı çember içinde"#YÖNLENDİRME olduğu söylenir. Çemberin merkezi ve yarıçapı sırasıyla "çevrel merkez"#YÖNLENDİRME ve "çevrel yarıçap"#YÖNLENDİRME olarak adlandırılır. Bu dörtgenler için kullanılan diğer isimler eş çember dörtgeni#YÖNLENDİRME ve kordal dörtgen#YÖNLENDİRME dir, ikincisi, dörtgenin kenarları çemberin kirişleri olduğu içindir. Genellikle dörtgenin dışbükey (konveks) olduğu varsayılır, ancak çapraz çevrimsel dörtgenler de vardır. Aşağıda verilen formüller ve özellikler dışbükey durumda geçerlidir.
Çembersel#YÖNLENDİRME kelimesi Antik Yunancadan gelmektedir. ("kuklos"), "çember" veya "tekerlek" anlamına gelir.
Tüm üçgenler bir çevrel çembere sahiptir, ancak tüm dörtgenler sahip değildir. Çembersel olamayan bir dörtgen örneği kare olmayan bir eşkenar dörtgendir. Aşağıdaki tanımlamalar bölümü, bir dörtgenin bir çevrel çembere sahip olması için hangi gerek ve yeter koşulları sağlaması gerektiğini belirtir.


## Özel durumlar.
Herhangi bir kare, dikdörtgen, ikizkenar yamuk veya antiparalelkenar#YÖNLENDİRME çevrimseldir. Bir uçurtma ancak ve ancak iki dik açıya sahipse - bir dik uçurtma#YÖNLENDİRME ise- çevrimseldir. Bir çift merkezli dörtgen,#YÖNLENDİRME aynı zamanda teğetsel#YÖNLENDİRME olan çevrimsel bir dörtgendir ve bir dış-çift merkezli dörtgen,#YÖNLENDİRME aynı zamanda dış-teğetsel#YÖNLENDİRME olan çevrimsel bir dörtgendir. Bir harmonik dörtgen, karşılıklı kenarların uzunluklarının çarpımının eşit olduğu bir çevrimsel dörtgendir.


## Tanımlamalar.
### Çevrel merkez.
Dışbükey bir dörtgen ancak ve ancak kenarlara dik dört açıortay tek noktada kesişirse#YÖNLENDİRME çevrimseldir. Bu ortak nokta çevrel merkez yani çevrel çemberin merkezidir.


### Tamamlayıcı açılar.
Bir dışbükey #YÖNLENDİRME dörtgeni ancak ve ancak karşıt açıları tamamlayıcı ise çevrimseldir, yani:
α+ γ= β+ δ= π radyan (= 180^∘).
Doğrudan teorem, Öklid'in "Elementler" adlı eserinin 3. kitabındaki 22. önermedir. Eşit bir şekilde, bir dışbükey dörtgen ancak ve ancak her dış açı karşıt iç açıya eşitse çevrimseldir.
1836 yılında Duncan Gregory, bu sonucu aşağıdaki şekilde genelleştirmiştir: Herhangi bir dışbükey çevrimsel 2"n"-geni verildiğinde, iç "ters" açıların#YÖNLENDİRME ikişerli toplamının her biri (n - 1) π'ye eşittir. Bu sonuç, aşağıdaki şekilde daha da genelleştirilebilir: Eğer "A1A2... A2n" (n > 1), tepe noktası "Ai->Ai+k" (tepe noktası "Ai", "Ai+k" ile birleştirilir) olan herhangi bir çevrimsel 2"n"-geni ise, iç ters açıların ikişerli toplamının her biri m π'ye eşittir (burada "m" = "n"-"k" ve "k" = 1, 2, 3, ... toplam dönüştür).
Her bir açının stereografik izdüşümü (yarım açı tanjantı) alındığında, bu yeniden ifade edilebilir,
 tanα/2 + tanγ/2 / 1 - tanα/2 tanγ/2 
= tanβ/2 + tanδ/2 / 1 - tanβ/2 tanδ/2 
Bu da şu anlama gelir:
tanα/2 tanγ/2 = tanβ/2tanδ/2 = 1


### Kenarlar ve köşegenler arasındaki açılar.
Bir dışbükey #YÖNLENDİRME dörtgeni ancak ve ancak bir kenar ile bir köşegen arasındaki açı, karşı kenar ile diğer köşegen arasındaki açıya eşitse çevrimseldir.
Yani, örneğin,
∠ACB = ∠ADB.


### Pascal noktaları.
Dışbükey bir #YÖNLENDİRME dörtgenin çevrimsel olması için gerek ve yeter diğer koşullar şunlardır: #YÖNLENDİRME köşegenlerin kesişme noktası olsun, #YÖNLENDİRME ise #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME kenarlarının uzantılarının kesişme noktası olsun, ω, çapı #YÖNLENDİRME doğru parçası olan bir çember olsun ve #YÖNLENDİRME ile #YÖNLENDİRME , ω çemberinin oluşturduğu #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME kenarları üzerindeki Pascal noktaları olsun.
<br> (1) #YÖNLENDİRME ancak ve ancak #YÖNLENDİRME ile #YÖNLENDİRME noktaları ω çemberinin merkezi #YÖNLENDİRME ile aynı hizada ise çevrimsel bir dörtgendir.
<br> (2) #YÖNLENDİRME ancak ve ancak #YÖNLENDİRME ile #YÖNLENDİRME noktaları #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME kenarlarının orta noktaları ise çevrimsel bir dörtgendir.


### Köşegenlerin kesişimi.
Biri #YÖNLENDİRME doğru parçasını, diğeri #YÖNLENDİRME doğru parçasını içeren iki doğru #YÖNLENDİRME noktasında kesişiyorsa, #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME dört noktası ancak ve ancak şu koşullarda aynı çember içinde olur:
AE·EC = BE·ED.
Kesişim noktası #YÖNLENDİRME , çemberin içinde ya da dışında olabilir. İlk durumda çevrimsel dörtgen #YÖNLENDİRME , ikinci durumda ise çevrimsel dörtgen #YÖNLENDİRME olur. Kesişim iç tarafta olduğunda eşitlik, #YÖNLENDİRME 'nin bir köşegeni böldüğü parça uzunluklarının çarpımının diğer köşegeninkine eşit olduğunu belirtir. Bu "kesişen kirişler teoremi"#YÖNLENDİRME olarak bilinir çünkü çevrimsel dörtgenin köşegenleri çemberin kirişleridir.


### Batlamyus teoremi.
Batlamyus teoremi, çevrimsel bir dörtgenin #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME köşegenlerinin uzunluklarının çarpımının, karşılıklı kenarların çarpımlarının toplamına eşit olduğunu ifade eder:
ef = ac + bd,
burada "a", "b", "c", "d" sırasıyla kenar uzunluklarıdır. Bunun tersi de doğrudur. Yani, bu denklem dışbükey bir dörtgende sağlanırsa, çevrimsel bir dörtgen oluşur.


### Köşegen üçgen.
Dışbükey bir #YÖNLENDİRME dörtgeninde #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME 'nin köşegen üçgeni olsun ve ω #YÖNLENDİRME 'nin dokuz nokta çemberi olsun. #YÖNLENDİRME ancak ve ancak #YÖNLENDİRME bimedyanlarının kesişim noktası dokuz nokta çemberi ω'ya aitse çevrimseldir.


## Alan.
Kenarları #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME olan çevrimsel bir dörtgenin alanı #YÖNLENDİRME , Brahmagupta formülü ile aşağıdaki gibi hesaplanabilir.
K=√((s-a)(s-b)(s-c)(s-d)) 
burada #YÖNLENDİRME , yarı çevreyi göstermekte olup, #YÖNLENDİRME şeklinde bulunur. Bu, Bretschneider formülünün genel dörtgen için bir sonucudur, çünkü karşıt açılar çevrimsel olması durumunda tamamlayıcıdır. Eğer ayrıca #YÖNLENDİRME ise, çevrimsel dörtgen bir üçgene dönüşür ve formül Heron formülüne indirgenir.
Çevrimsel dörtgen, aynı kenar uzunluklarına sahip tüm dörtgenler arasında (sıralamaya bakılmaksızın) maksimum alana sahiptir. Bu, Bretschneider formülünün bir başka sonucudur. Ayrıca kalkülüs kullanılarak da kanıtlanabilir.
Her biri diğer üçünün toplamından daha az olan ve eşit olmayan dört uzunluk, Brahmagupta formülüne göre hepsi aynı alana sahip üç eşlenik olmayan çevrimsel dörtgenin her birinin kenarlarıdır. Özellikle, #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME kenarları için, #YÖNLENDİRME kenarı #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME veya #YÖNLENDİRME kenarlarından herhangi birinin karşısında olabilir.
Ardışık kenarları #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME olan çevrimsel bir dörtgenin alanı, #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME kenarları arasındaki #YÖNLENDİRME açısı ve #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME kenarları arasındaki #YÖNLENDİRME açısı şu şekilde ifade edilebilir:
K = 12(ab+cd)sinB
veya
K = 12(ad+bc)sinA
veya
K = 12(ac+bd)sinθ
burada #YÖNLENDİRME , köşegenler arasındaki herhangi bir açıdır. Eğer #YÖNLENDİRME bir dik açı değilse, alan şu şekilde de ifade edilebilir:
K = 14(a^2-b^2-c^2+d^2)tanA.
Bir diğer formül ise,
K=2R^2sinAsinBsinθ
burada #YÖNLENDİRME çevrel çemberin yarıçapıdır. Doğrudan bir sonuç olarak,
K≤2R^2
burada ancak ve ancak dörtgen bir kare ise eşitlik söz konusudur.


## Köşegenler.
Ardışık köşeleri #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME ve kenarları #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME olan çevrimsel bir dörtgende, köşegenlerin uzunlukları #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME taraflar cinsinden şu şekilde ifade edilebilir:
p = √((ac+bd)(ad+bc)/ab+cd) ve q = √((ac+bd)(ab+cd)/ad+bc)
böylece Batlamyus teoremi gösterilmiş olur:
pq = ac + bd.
"Batlamyus'un ikinci teoremi"ne göre,
p/q= ad+bc/ab+cd
yukarıdaki gibi aynı notasyonları kullanır.
Köşegenlerin toplamı için şu eşitsizliğe sahibiz:
p+q≥2√(ac+bd).
Eşitlik, ancak ve ancak köşegenlerin eşit uzunlukta olması durumunda geçerlidir, bu da AO-GO eşitsizliği kullanılarak kanıtlanabilir.
Ayrıca,
(p+q)^2 ≤(a+c)^2+(b+d)^2.
Herhangi bir dışbükey dörtgende, iki köşegen birlikte dörtgeni dört üçgene böler; çevrimsel bir dörtgende, bu dört üçgenin zıt çiftleri birbirlerine benzerdir.
Eğer #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME ile #YÖNLENDİRME 'nin #YÖNLENDİRME 'de kesiştiği çevrimsel bir dörtgen ise
 AE/CE=AB/CB·AD/CD.
Bir çevrimsel dörtgen oluşturabilecek kenarlar kümesi, her biri aynı çemberde aynı alana sahip bir çevrimsel dörtgen oluşturabilecek üç farklı diziden herhangi birinde düzenlenebilir (Brahmagupta'nın alan formülüne göre alanlar aynıdır). Bu çevrimsel dörtgenlerden herhangi ikisinin ortak bir köşegen uzunluğu vardır.


## Açı formülleri.
Ardışık kenarları #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME olan çevrimsel bir dörtgen için yarı çevre #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME kenarları arasındaki #YÖNLENDİRME ise, #YÖNLENDİRME açısının trigonometrik fonksiyonları şu şekilde verilir:
cosA = a^2-b^2-c^2+d^2/2(ad+bc),
sinA = 2√((s-a)(s-b)(s-c)(s-d))/(ad+bc),
tanA/2 = √((s-a)(s-d)/(s-b)(s-c)).
Karşılıklı kenarları #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME olan köşegenler arasındaki #YÖNLENDİRME açısı aşağıdaki ifadeyi sağlar
tanθ/2 = √((s-b)(s-d)/(s-a)(s-c)).
Karşılıklı kenarlar #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME 'nin uzantıları #YÖNLENDİRME açısıyla kesişiyorsa,
cosφ/2=√((s-b)(s-d)(b+d)^2/(ab+cd)(ad+bc))
burada #YÖNLENDİRME , yarı çevredir.
B a ve b kenarları arasındaki açıyı, C b ve c arasındaki açıyı ve D c ve d arasındaki açıyı göstersin:
 a+c/b+d amp;= sin12(A+B)/cos12(C-D)tan12θ, 
 a-c/b-d amp;= cos12(A+B)/sin12(D-C)12θ.


## Parameshvara çevrel yarıçap formülü.
Ardışık kenarları #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME ve yarı çevresi #YÖNLENDİRME olan çevrimsel bir dörtgen, aşağıdaki şekilde verilen çevrel yarıçapa (çevrel çemberin yarıçapı) sahiptir
R=1/4 √((ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)/(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)).
Bu ifade, 15. yüzyılda Hint matematikçi Vatasseri Parameshvara tarafından türetilmiştir (Yarıçapın herhangi bir kenar uzunluğunun değişimi altında değişmez olduğunu unutmayın).
Brahmagupta formülünü kullanarak, Parameshvara formülü şu şekilde yeniden ifade edilebilir:
4KR=√((ab+cd)(ac+bd)(ad+bc))
burada #YÖNLENDİRME çevrimsel dörtgenin alanıdır.


## Karşıt merkez ve eşdoğrusallıklar.
Her biri çevrimsel bir dörtgenin bir kenarına dik olan ve karşı kenarın orta noktasından geçen dört doğru parçası, aynı noktada kesişir. Bu doğru parçalarına orta nokta rakımının kısaltması olan "maltitüdler"#YÖNLENDİRME adı verilir. Ortak noktalarına "karşıt merkez"#YÖNLENDİRME adı verilir. Çevrel merkezin "tepe merkezi"ndeki#YÖNLENDİRME yansıması olma özelliğine sahiptir. Dolayısıyla, çevrimsel bir dörtgende, çevrel merkez, "tepe merkezi" ve karşıt merkez doğrudaştır.
Eğer bir çevrimsel dörtgenin köşegenleri #YÖNLENDİRME noktasında kesişiyorsa ve köşegenlerin orta noktaları #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME ise, o zaman dörtgenin karşıt merkezi #YÖNLENDİRME üçgeninin ortosentr#YÖNLENDİRME ıdır.
Bir çevrimsel dörtgenin karşıt merkezi, köşelerinin Poncelet noktasıdır.


## Diğer özellikler.
 - Çevrimsel bir  YÖNLENDİRME dörtgeninde,  YÖNLENDİRME ,  YÖNLENDİRME ,  YÖNLENDİRME ve  YÖNLENDİRME üçgenlerindeki iç merkezler "M"1, "M"2, "M"3, "M"4 (sağdaki şekle bakın) bir dikdörtgenin köşeleridir. Bu, Japon teoremi olarak bilinen teoremlerden biridir. Aynı dört üçgenin ortosentrları  YÖNLENDİRME 'ye eşleşik bir dörtgenin köşeleridir ve bu dört üçgendeki geometrik merkezler YÖNLENDİRME başka bir çevrimsel dörtgenin köşeleridir.
 - Merkez noktası  YÖNLENDİRME olan  YÖNLENDİRME çevrimsel dörtgeninde  YÖNLENDİRME ,  YÖNLENDİRME ve  YÖNLENDİRME köşegenlerinin kesiştiği nokta olsun. O zaman  YÖNLENDİRME açısı  YÖNLENDİRME ve  YÖNLENDİRME açılarının aritmetik ortalamasıdır. Bu, iç açı teoremi YÖNLENDİRME ve dış açı teoreminin YÖNLENDİRME doğrudan bir sonucudur.
 - Ne aritmetik ne de geometrik dizide rasyonel alana ve eşit olmayan rasyonel kenarlara sahip çevrimsel dörtgenler yoktur.
 - Eğer bir çevrimsel dörtgenin kenar uzunlukları bir aritmetik dizi oluşturuyorsa, bu dörtgen aynı zamanda dış-çift merkezlidir.
 - Bir çevrimsel dörtgenin karşılıklı kenarları  YÖNLENDİRME ve  YÖNLENDİRME noktalarında kesişecek şekilde uzatılırsa,  YÖNLENDİRME ve  YÖNLENDİRME noktalarındaki açıların iç açıortayları diktir.


## Brahmagupta dörtgenleri.
Bir Brahmagupta dörtgeni kenarları, köşegenleri ve alanı tam sayı olan çevrimsel bir dörtgendir. Kenarları #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME , köşegenleri #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME , alanı #YÖNLENDİRME olan tüm Brahmagupta dörtgenleri ve çevresel yarıçapı #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME , #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME rasyonel parametrelerini içeren aşağıdaki ifadelerden paydadan kurtarmayla elde edilebilir:
a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]
b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)
c=t(1+u^2)(1+v^2)
d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)
e=u(1+t^2)(1+v^2)
f=v(1+t^2)(1+u^2)
K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^2)][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^2)]
4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).


## Ortodiyagonal durum.
### Çevrel yarıçap ve alan.
Aynı zamanda ortodiyagonal olan (dik köşegenlere sahip) bir çevrimsel dörtgen için, köşegenlerin kesişiminin bir köşegeni #YÖNLENDİRME ile #YÖNLENDİRME uzunluğundaki parçalara böldüğünü ve diğer köşegeni #YÖNLENDİRME ile #YÖNLENDİRME uzunluğundaki parçalara böldüğünü varsayalım. O zaman, (ilk eşitlik Archimedes'in "Book of Lemmas" kitabındaki 11. önermedir)
 D^2=p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2 
burada #YÖNLENDİRME çemberin çapıdır. Bu geçerlidir çünkü köşegenler bir çemberin kirişlerine diktir. Bu denklemler çevrel yarıçap #YÖNLENDİRME 'nin,
 R=12√(p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2) 
olarak veya dörtgenin kenarları cinsinden
 R=12√(a^2+c^2)=12√(b^2+d^2). 
şeklinde ifade edilebileceğini gösterir. Aynı zamanda şu sonucu da doğurur:
 a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2. 
Böylece, Euler dörtgen teoremine göre çevrel yarıçapı, #YÖNLENDİRME ve #YÖNLENDİRME köşegenleri ve köşegenlerin orta noktaları arasındaki mesafe #YÖNLENDİRME cinsinden şu şekilde ifade edilebilir:
 R=√(p^2+q^2+4x^2/8). 
Alan #YÖNLENDİRME için bir formül, çevrimsel ortodiyagonal dörtgenin dört kenarı cinsinden Batlamyus teoremi ve ortodiyagonal dörtgenin alanı formülü birleştirildiğinde doğrudan elde edilir. Sonuç şudur;
 K=12(ac+bd). 


### Diğer özellikler.
 - Çevrimsel ortodiyagonal bir dörtgende, karşıt merkez ve eşdoğrusallıklar köşegenlerin kesiştiği nokta ile çakışır.
 - Brahmagupta teoremi, aynı zamanda ortodiyagonal olan bir çevrimsel dörtgen için, köşegenlerin kesişme noktasından geçen herhangi bir kenardan gelen dikmenin karşı kenarı ikiye böldüğünü belirtir.
 - Eğer bir çevrimsel dörtgen aynı zamanda ortodiyagonal ise, çevrel merkez ile herhangi bir kenar arasındaki mesafe karşı kenarın uzunluğunun yarısına eşittir.
 - Çevrimsel bir ortodiyagonal dörtgende, köşegenlerin orta noktaları arasındaki mesafe, çevrel merkez ile köşegenlerin kesiştiği nokta arasındaki mesafeye eşittir.


## Çevrimsel küresel dörtgenler.
Küresel geometride, kesişen dört büyük çemberden oluşan küresel bir dörtgen, ancak ve ancak karşıt açıların toplamları eşitse, yani dörtgenin α, β, γ, δ ardışık açıları için α + γ = β + δ ise çevrimseldir. Bu teoremin bir yönü 1782 yılında Anders Johan Lexell tarafından kanıtlanmıştır. Lexell, bir kürenin küçük bir çemberi içine yerleştirilmiş küresel bir dörtgende karşıt açıların toplamlarının eşit olduğunu ve çevrel dörtgende karşıt kenarların toplamlarının eşit olduğunu göstermiştir. Bu teoremlerden ilki, bir düzlem teoreminin küresel benzeşimidir ve ikinci teorem onun dualitesidir, yani büyük çemberler ile kutuplarının yer değiştirmesinin sonucudur. Kiper ve diğ. teoremin tersini kanıtladılar: Eğer küresel bir dörtgende karşılıklı kenarların toplamları eşitse, o zaman bu dörtgen için bir iç teğet çember vardır.