# Catalan sayıları
Katalan sayıları, kombinatorik matematikte birçok problemin çözümünde kullanılabilen özel bir sayı dizisi. Adını Belçikalı matematikçi Eugène Charles Catalan(1814-1894)’dan alan bu dizinin terimleri,
C_n = 1/n+12nn = (2n)!/(n+1)! n! n≥0 .
formülüyle bulunur. 
Alternatif bir formül olan 
C_n = 2nn - 2nn+1 n≥0 ,
C_n’in bir doğal sayı olduğunu bir önceki formülden daha açık bir şekilde gösterir.
Katalan sayılarının her biri, kendinden önceki terimlere bağlıdır. Yani :C_0=1 alınır ve diğerleri için 
 C_n+1=∑_i=0^nC_i C_n-i n≥0 ;
uygulanır.
Hesaplamayı kolaylaştıran bir başka formül ise
 C_n+1=2(2n+1)/n+2C_n 'dir.


## Örnekler.
1. 3 çift parantez, bir cümle içinde kaç farklı şekilde bulunabilir?
Cevap C_3=5 olacak ve parantezler şu şekillerde kullanılabilecektir:
2. 3 düğümlü bir ikili ağaç, kaç farklı şekilde çizilebilir?
Cevap yine C_3=5 'tir.
3. 4x4'lük, karelere bölünmüş bir alanda, köşegenin diğer tarafına geçmeksizin sadece sağa ve yukarı yönlü birim hareketlerle sol alt köşeden sağ üst köşeye kaç farklı şekilde çıkılabilir?
C_4=14
4. "n" + 2 kenarlı bir kapalı çokgen birbiriyle kesişmeyen köşegenler yardımıyla üçgenlere ayrılabilir. Bu işlem sonucu oluşan üçgen sayısı "n" + 2 iken, bu işlemin yapılabileceği farklı yolların sayısı da "Cn"' dir. Aşağıda "n" = 4 durumu altıgenler ile gösterilmektedir:
C_4=14
5. 1'den 4'e kadar olan sayılar, sıralı bir üçlü oluşturmamak kaydıyla kaç farklı şekilde yan yana getirilebilir?
C_4=14
6. 4 basamaklı bir merdiven, 4 karoyla kaç farklı şekilde kaplanabilir?
C_4=14
7. nxn boyutlu bir A matrisinde, her a_ij=C_i+j-2 ise, o matrise Hankel matrisi denir ve determinant, boyuttan bağımsız olarak daima 1'dir.
[ 1 amp; 1 amp; 2 amp; 5; 1 amp; 2 amp; 5 amp; 14; 2 amp; 5 amp; 14 amp; 42; 5 amp; 14 amp; 42 amp; 132 ] = 1.
[ 1 amp; 1 amp; 2; 1 amp; 2 amp; 5; 2 amp; 5 amp; 14 ] = 1.


### Katalan sayılarının sayma problemlerindeki (Kombinatorik) uygulamaları.
Bu dizinin terimleri, kombinatorik matematiğin problemlerini çözmede fayda sağlar. Yukarıda gördüğümüz örnekler bunlardan bazılarıdır. Farklı başlangıç değerleri için problemin cevabı, başlangıç değerini n yerine yazarak elde edilen Katalan sayısına eşit olur.
C_n ;
  - n çift parantezin kaç farklı şekilde düzgün konumlanabileceğini, (düzgün konumlanmakla kastedilen, açılan her parantezin kapanması ve bir parantez açılmadan kapatma parantezi konmamasıdır.)
  - n+1 dallı bir ikili ağacın kaç farklı şekilde oluşturulabileceğini,
  - nxn karelik bir alanda, diagonalin üzerine çıkmayacak şekilde, sol alt köşeden sağ üst köşeye kaç farklı şekilde ulaşılabileceğini,
  - n+2 kenarlı bir konveks çokgenin, köşegenler aracılığıyla kaç üçgene bölünebileceğini,
  - 1'den n'e kadar olan sayıların, sıralı üçlü oluşturmamak koşuluyla kaç farklı şekilde dizilebileceğini, 
  - n basamaklı bir merdivenin, n tane karoyla kaç farklı şekilde kaplanabileceğini,
  - {1,…,n} kümesinin kesişmeyen kısımlarının sayısını,
  - 2xn boyutlu bir standart Young tablosunun kaç farklı şekilde oluşturulabileceğini,
Ve bunlara benzer sayma problemlerinin nasıl çözülebileceğini gösterir.,


## Formülün İspatları.
### 1.İspat.
Bu ispat, Dyck kelimelerinin(baştan sona doğru nereden bölünürse bölünsün, X'lerin sayısının Y'lerden az olmadığı, X ve Y'den oluşan kelimeler) yazılışına dayanır. Bu durumda C_n, kurala uygun şekilde yazılmış kelimelerin sayısıdır. Bu kurala uygun, c ve c+ 'lardan oluşan, (boş da olabilen) bir kelime oluşturur ve c'yi c=[c1]c2 şeklinde yazarsak, c+ için uygun olan yerlerin toplamı,
C_0 = 1 ve C_n+1 = ∑_i=0^n C_i C_n-i n≥0.
b de dengeli, yani eşit sayıda c ve c+ içeren, 2n uzunluğunda bir kelime ve B_n = 2nn = d_n C_n olsun.
Yukarıda olduğu gibi, dengeli bir kelime de [c]b ya da ] c+ [b olarak yazılabilir, öylseyse
B_n+1 = 2 ∑_i=0^n B_i C_n-i.
Yanlış fakat dengeli olan bir kelime de c] ile başlar, dolayısıyla,
B_n+1 - C_n+1 = ∑_i=0^n 2i+1 i C_n-i = ∑_i=0^n 2i+1/i+1 B_i C_n-i.
Bu eşitlikten ve "B""i" = "d""i" "C""i" 'den faydalanarak :C_n+1 = 2 ∑_i=0^n d_i C_i C_n-i - ∑_i=0^n 2i+1/i+1 d_i C_i C_n-i = ∑_i=0^n d_i/i+1 C_i C_n-i. elde edilir. Katsayılar "C""n" için verilen ilk formülle karşılaştırılınca "d""i" = "i" + 1 bulunur. O halde,
C_n = 1/n+12nn.


### 2.İspat.
Bu ispat da Katalan sayılarının üçgenleme tanımını kullanarak "Cn" ve "C""n"+1 arasında bir bağıntı kurmamızı sağlar. n+2 kenarlı bir P çokgeninin bir kenarını temel olarak alalım. P çokgeni üçgenlenebiliyorsa 2n+1 kenarından birini seçip devam edebiliriz. Bu şekilde oluşturulabilecek (4n+2) "Cn" farklı durum vardır.
Bir de n+3 kenarlı bir Q çokgeni verilsin. Yine bir kenarını temel aldığımızda, Q üçgenlenebilir bir çokgense, ilkinden farklı bir kenar daha seçebiliriz. Bu kez oluşturabileceğimiz (n+2) "C""n"+1 farklı durum vardır.
Şimdi bu ikisi arasında bir geçiş yapabiliriz: ya Q çokgenini, bir kenarı işaretli olan bir üçgenini çıkararak küçülteceğiz ya da P'nin işaretli kenarının yerine bir üçgen koyarak P'yi genişletip bir kenarını işaretleyeceğiz.
Öyleyse ;
(4n+2)C_n = (n+2)C_n+1.
C_n ’in binom formülü,:C_1=1 başlangıç koşulu ve bu bağıntı yoluyla doğrudan elde edilebilir.