# Taylor teoremi
Kalkülüste Taylor teoremi, türevi tanımlı bir işleve bir nokta çevresinde, katsayıları yalnızca işlevin o noktadaki türevine bağlı olan polinomlar cinsinden bir yaklaştırma dizisi üreten bir sonuçtur. Teorem, yaklaştırma hesaplamalarındaki hata payına ilişkin kesin sonuçlar da verebilmektedir. Brook Taylor adlı matematikçinin 1712 yılında yaptığı çalışmalarından ötürü ismi bu şekilde anılan teoremin aslında bundan 41 yıl önce (1671 yılında) James Gregory tarafından bulunduğu bilinmektedir.
Taylor teoremine göre "k" defa türevlenebilir bir fonksiyona, verilen bir noktada yakınsayan "k" derece polinoma Taylor polinomu denir. Birinci derece Taylor polinomu doğrusal yaklaşım () olarak, ikinci derece Taylor polinomuysa karesel yaklaşım () olarak da bilinir.


## Giriş.
Eğer "f(x)" gerçel fonksiyonu "x = a" noktasında türevlenebilir ise, bu noktada "doğrusal yaklaşımı" var demektir. Dolayısıyla, aşağıdaki gibi bir "h1(x)" fonksiyonu vardır:
 f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + h_1(x)(x - a), lim_x →a h_1(x) = 0.
Burada
P_1(x) = f(a) + f'(a)(x - a)
terimi, "f(x)"'in "x = a" noktasındaki doğrusal yaklaşımıdır ve grafiği "f(x)"'e teğettir. Yaklaşım hatası aşağıdaki gibi hesaplanır:
R_1(x) = f(x) - P_1(x) = h_1(x)(x - a).
"x" değişkeni "a" değerine yaklaştıkça, bu hata f'(a)(x-a)'ten daha hızlı şekilde sıfıra yaklaşır, dolayısıyla f(x)≈P_1(x) yaklaşımı kullanışlıdır.
Daha iyi bir tahmin bulmak için "f"("x")'e bir karesel polinom yaklaştırabiliriz:
P_2(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f”(a)/2(x - a)^2.
"f"("x")'in "x" = "a"'da yalnız bir türevini eşleştirmek yerine, hem birinci hem de ikinci türevlerini bu polinomla temsil edebiliriz.
Taylor teoremine göre, "karesel yaklaşım" "x"="a"'nın yeterince küçük bir mahalinde "doğrusal yaklaşım"dan daha isabetli bir tahmin sunar. Aşağıdaki yaklaşıma göre
f(x) = P_2(x) + h_2(x)(x - a)^2, lim_x →a h_2(x) = 0.
Hata değeri
R_2(x) = f(x) - P_2(x) = h_2(x)(x - a)^2,
"x" değişkeni "a" değerine yaklaştıkça, (x - a)^2'den daha hızlı şekilde sıfıra yaklaşır.
Bu şekilde daha üst dereceden polinomlar kullanarak daha doğru bir yaklaşım elde edilebilir. Bunun sebebi, yaklaşım polinomunun verilen noktada "f"'nin daha üst dereceden türevleriyle eşleşmesidir.
Genel olarak, "x" "a"'ya yaklaşırken, "k" dereceden bir yaklaşım polinomunun hatasının sıfıra yaklaşma hızı, (x-a)^k'nin yaklaşma hızından daha fazladır. Ancak, sonsuz derecede türevlenebilir olsa dahi isabetli bir yaklaşımı bulunmayan fonksiyonlar da vardır. Bu fonksiyonların "x = a"'da analitik olmadığı söylenir. Yani fonksiyon bu nokta ve çevresinde türevleriyle belirlenemez.


## Tek değişkenli Taylor teoremi.
Taylor teoreminin en basit halinin açık ifadesi şöyledir:
"k" ≥ 1 bir tam sayı ve "f" : R → R "a" ∈ R noktasında "k" defa türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Öyleyse aşağıdaki tanıma sahip bir "hk" : R → R fonksiyonu vardır:
 f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f”(a)/2!(x-a)^2 + ⋯+ f^(k)(a)/k!(x-a)^k + h_k(x)(x-a)^k,
ve
lim_x→a h_k(x) = 0.
Buna "kalanın Peano biçimi" denir.
Taylor teoremindeki polinom "f" fonksiyonunun "a" noktasındaki "k dereceden Taylor polinomudur":
P_k(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f”(a)/2!(x-a)^2 + ⋯+ f^(k)(a)/k!(x-a)^k 
Taylor polinomu biricik "asimtotik en uygun" polinomdur. Yani, aşağıdaki gibi "hk" : R → R fonksiyonu ve "k" dereceden polinom "p" varsa
 f(x) = p(x) + h_k(x)(x-a)^k, lim_x→a h_k(x) = 0 ,
o halde "p" = "Pk"'dir. Taylor teoremi "kalan terim"'in asimptotik davranışını ifade eder:
 R_k(x) = f(x) - P_k(x),
Bu terim, "f" bir Taylor polinomuyla tahminlendiğindeki yaklaşım hatasıdır.
 - YÖNLENDİRME