# Totient
Totient (kısaca φ, "n") sayılar teorisinde, bir tam sayının o sayıdan daha küçük ve o sayı ile aralarında asal olan sayma sayı sayısını belirten fonksiyondur. Genellikle Euler Totient ya da Euler'in Totienti olarak adlandırılan Totient, İsviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından yaratılmıştır. Totient fonksiyonu, Yunan harflerinden φ ile simgelendiği için Fi fonksiyonu olarak da anılabilir.
Örneğin, φ(10) = 4; zira 10 ile dört sayma sayısı, hem 10'dan küçüktür, hem de 10 ile arasında asaldır: 1, 3, 7 ve 9.
Euler fonksiyonu, Euler Fermat teoreminde de kullanılır. Şöyle ki:
a^φ(n)≡1n, "a" ile "n" aralarında asal ise. Dolayısıyla,
a^φ(n)-1, "n"'in bir tam katıdır.
Örneğin, a^4-1, a=1, 3, 7, 9 için sırasıyla 0, 80, 2400, 6560, "10"'un bir tam katıdır.
Totient fonksiyonu ayrıca RSA kriptografi sisteminde de kilit rol oynamaktadır.


## Totient fonksiyonunun hesaplanması.
Fonksiyonun yukarıda verilen tanımına göre φ(1)=1 ve eğer p bir asal sayıysa φ(p^k)=(p-1)p^k-1.
Bunun yanında, totient fonksiyonunun çarpım özelliği de vardır: "m" ve "n" aralarında asallarsa φ(mn)=φ(m)φ(n). (Bu yargının ispatının anahattı: "A","B" ve "C" kümeleri sırasıyla "m","n" ve "mn" ile aralarında asal ve modlarının kalan kümesi olsun. Bu durumda, Çinlilerin kalan teoreminden yararlanılırsa görülür ki, "AxB" ve "C" arasında eşleme olur.) Yani, φ fonksiyonunun değeri aritmetiğin temel teoremi kullanılarak hesaplanabilir. Öyleyse,
n=p_1^k_1⋯p_r^k_r
için
φ(n)=(p_1-1)p_1^k_1-1 ⋯(p_r-1)p_r^k_r-1.
Yukarıdaki formül bir Euler Çarpımı'dır ve genellikle
φ(n)=n·∏_p|n(1-1/p)
şeklinde yazılır.


### Hesaplama Örneği.
φ(36)=φ(3^2 2^2)=36(1-1/3)(1-1/2)=36·2/3·1/2=12
Yani yazıyla ifade edersek, "36"nın asal çarpanları "2" ve "3"tür. "36"'nın yarısı olan 18 tane sayı "2" ile bölünür, dolayısıyla "36" ile aralarında asal değildir. Kalan 18 sayının da 3'te biri "3" ile bölünür. Bu durumda 36 sayı içerisinde 36 ile aralarında asal olan sadece 12 sayı kalır.


## Fonksiyonun Bazı Değerleri.
İlk birkaç değer aşağıdaki tabloda ve grafikte gösterilmiştir:


## Fonksiyonun Özellikleri.
φ(n) sayısı aynı zamanda dairesel grup olan "C""n"nin olası generatörlerine eşittir. Bu nedenle "C""n"in her elemanı, bir dairesel altgrup oluşturur. "C""n"nin algrupları "C""d" formundadır, eğer "d" böler "n" ("d" | "n" şeklinde yazılır). Böylece
∑_d|nφ(d)=n
Buradaki toplam "n"nin tüm "d" pozitif bölenlerine kadar genişler.
Şimdi Möbius formülünü, bu toplamı değiştirmek ve φ(n) için bir formül daha elde etmek için kullanabiliriz:
φ(n)=∑_d|n d ·μ(n/d ) 
Burada, "μ" pozitif tam sayılarda tanımlanan Möbius fonksiyonudur.
Euler'in teoremine göre, eğer "a" ile "n" aralarında asallarsa, yani ebob("a", "n") = 1,
 a^φ(n) ≡1n. 
Bu durum Lagrange'ın teoremini ve "a"nın ℤ/nℤnin mod n'e göre tam sayı grubuna ait olmasını takip eder. (Ancak ve ancak "a" ile "n" aralarında asallarsa).


## Formül Geliştirilmesi.
Burada gösterilen iki fonksiyon da
∑_d|n φ(d) = n.
nın sonucudur.
φ("n")yi içeren bir Dirichlet Serisi
∑_n=1^∞φ(n)/n^s=ζ(s-1)/ζ(s)
öyle ki ζ("s") Rienmann Zeta Fonksiyonudur. Bunun ispatı aşağıda gösterildiği gibidir:
ζ(s) ∑_f=1^∞φ(f)/f^s = (∑_g=1^∞1/g^s)(∑_f=1^∞φ(f)/f^s)
(∑_g=1^∞1/g^s) (∑_f=1^∞φ(f)/f^s) = ∑_h=1^∞(∑_fg=h 1 ·φ(g)) 1/h^s
∑_h=1^∞(∑_fg=h φ(g) ) 1/h^s = ∑_h=1^∞(∑_d|h φ(d) ) 1/h^s
∑_h=1^∞(∑_d|h φ(d) ) 1/h^s =∑_h=1^∞h/h^s
∑_h=1^∞h/h^s = ζ(s-1)
Lambert serisi fonksiyonu,
∑_n=1^∞ φ(n) q^n/1-q^n= q/(1-q)^2
öyle ki |"q"|<1 için ıraksar.
Bu durumun nedeni
∑_n=1^∞ φ(n) q^n/1-q^n =
∑_n=1^∞ φ(n) ∑_r≥1 q^rn
yani
∑_k≥1 q^k ∑_n|k φ(n) =
∑_k≥1 k q^k = q/(1-q)^2.


## Fonksiyonun Büyümesi.
φ(n)nin fonksiyon olarak büyümesi ilginç bir sorudur; çünkü küçük"n"ler için φ(n)in "n"den küçük olacağı düşüncesi tam olarak doğru değildir. Asimptotik olarak,
 n^1-ε lt;φ(n) lt;n
Aslında
 φ(n)/n,
ele alınırsa,
1-p^-1 
yazılabilir. "p|n"i sağlayan "p" asal sayıları için)
Asal sayı teoremi'nden εnin yerine aşağıdakinin yazılabileceği gösterilebilir:
C loglogn/ logn.
φ de ortalama olarak "n"e yakındır.
1/n^2 ∑_k=1^n φ(k)= 3/π^2 + 𝒪(logn /n)
Yani
1/n ∑_k=1^n φ(k)/k = 
6/π^2 + 𝒪(logn /n)
ile gösterilir; çünkü 6/π^2 = 1/ζ(2), formül bu şekilde de ifade edilebilir.
1/n ∑_k=1^n φ(k)/k = 
1/ζ(2) + 𝒪(logn /n)


## Euler Totient Fonksiyonu'nu İçeren Diğer Formüller.
  - φ(n^m) = n^m-1φ(n) for m≥1
  - herhangi a, n gt  1 , öyle vardır ki l ≥n öyledir ki l|φ(a^n-1)
  - Herhangi a gt  1 ve n gt  6 öyle vardır ki 4 |̸ n öyledir ki l ≥2n öyledir ki l|φ(a^n-1)
  - ∑_d |n μ^2(d)/φ(d) = n/φ(n)
  - ∑_1≤k≤n (k,n)=1k = 1/2nφ(n) for n gt 1
  - ∑_k=1^nφ(k) = 1/2(1+ ∑_k=1^n μ(k)⌊n/k⌋^2)
  - ∑_k=1^nφ(k)/k = ∑_k=1^nμ(k)/k⌊n/k⌋
  - ∑_k=1^nk/φ(k) = 𝒪(n)
  - ∑_k=1^n1/φ(k) = 𝒪(log(n))
  - ∑_1≤k≤n (k,m)=1 1 = n φ(m)/m + 
𝒪 ( 2^ω(m) ),
Burada "m" > 1 bir pozitif tam sayıdır ve ω("m") "m"in asal sayı çarpanlarını ifade eder. (Bu formül "n"den küçük ve "m" ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısını gösterir.)


## Eşitsizlikler.
φ fonksiyonunu içeren bazı eşitsizlikler:
φ(n) gt; n/e^γ loglogn + 3/loglogn
 "n" > 2 için, &gamma Euler sabiti iken,
φ(n) ≥√(n/2 )
 "n" için > 0,
ve
φ(n) ≥√(n) for n gt; 6.
"n" asal sayısı için, açıkça φ(n) = n-1.
"n" birleşik sayısı için
φ(n) ≤n-√(n)
Rastgele büyüklükteki n için, bu sınırlar halen geliştirilememeiştir ya da daha kesin olmak gerekirse:
lim infφ(n)/n=0 lim supφ(n)/n=1. 
φ fonksiyonu ile σ fonksiyonunu birleştiren birkaç eşitsizlik:
6 n^2/π^2 lt; φ(n) σ(n) lt; n^2
 n gt;1.


## Ford'un Teoremi.
Ford, her "k" ≥ 2 tam sayısı için φ("x") = "m" eşitliğinin tam olarak "k" sağlayanı bulunması durumunu sağlayan bir "m" sayısının bulunduğunu ispatladı. Ne yazık ki, "k" = 1 için herhangi bir "m" bulunamamıştır, Carmichal'ın Totient Fonksiyonu Konjektürü'ne göre, bu durumda böyle bir "m"in varolmadığına inanılır.