# Einstein-Hilbert etkisi
Einstein-Hilbert etkisi (Hilbert etkisi olarak da adlandırılır) genel görelilikte en küçük eylem ilkesi boyunca Einstein alan denklemleri üretir. Hilbert etkisi genel görelilikte yerçekiminin dinamiğini tarifleyen fonksiyonel işlemdir. (- + + +) metrik işaretiyle, etkinin çekimsel kısmı,
S = 1 2κ ∫R √(-g) d^4x ,
burada g=(g_μν) metrik tensor determinantı, R Ricci sayılabilir büyüklüğü ve κ= 8πGc^-4 burada G Newton çekim sabiti ve c vakum içindeki ışık hızı şeklinde verilir. Eğer integral yakınsanıyorsa, tüm uzay zaman üzerinde alınır. Eğer yakınsamıyorsa S tanımlanamaz ama modife edilmiş tanımda bir integral isteğe bağlı şekilde büyük, bağıl tıkız tanım kümesinde yine Einstein denklemini Einstein Hilber ekisinin Euler- Lagrange denklemi olarak üretir.
Bu etki ilk kez David Hilbert tarafından 1915'te ileri sürülmüştür.


## Tartışma.
Etkiden ötürü denklemlerin türevi bazı avantajlara sahip. İlk olarak, Maxwell teorisi gibi etki olarak formüle edilmiş klasik alan teorileriyle genel göreliliğin kolayca birleşimine izin verir. Etkiden türevleme süreci madde alanlarına metrik bağlantı kaynağı tanımı için doğal adayı tanımlar. Ayrıca, bu etki kolay tanımlı korunan nicelikler için Noether'in teorisi boyunca etkinin simetrik çalışmasına izin verir.
Genel görelelikte, bu etki genellikle metrik ve maddesel alanların işlevseli olduğu varsayılır ve bağlantı Levi- Civita bağıntısı ile verilir. Genel göreliliğin Palatini formülasyonu metric ve bağlantının bağımsız olduğunu ve bağlı olmayan spinle fermionic madde alanlarını kapsamayı mümkün kılan ikisine göre bağımsız değişkenler varsayar.
Maddenin varlığındaki Einstein denklemleri madde etkisini Einstein- Hilbert etkisine eklenmesiyle verilir.


## Einstein Denklemlerinin Türevi.
Teorinin tüm etkisi Einstein- Hilbert terimi artı terim ℒ_M teoride görülen herhangi madde alanları tanımıyla verilsin.
S = ∫[ 1 2κ R + ℒ_M ] √(-g) d^4 x 
Etki prensibi bize bu etkinin ters metriğe göre değişkeni sıfır der,
 0 amp; = δ S 
 amp; = ∫[ 
 1 2κδ (√(-g)R)/δ g^μν + 
 δ (√(-g)ℒ_M)/δ g^μν] δ g^μνd^4x 
 amp; = ∫[ 
 1 2κ( δ R/δ g^μν +
 R/√(-g)δ√(-g)/δ g^μν) +
 1/√(-g)δ (√(-g)ℒ_M)/δ g^μν] δ g^μν√(-g) d^4x.
Çünkü bu eşitlik her δg^μν için geçerli olmalı, şunu der;
 δR/δg^μν + R/√(-g) δ√(-g)/δg^μν 
= - 2 κ1/√(-g)δ(√(-g) ℒ_M)/δg^μν,
metric alan için hareket denklemi. Denklemin sağ tarafı tanımdan stres- enerji tensorüyle orantılı,
 T_μν:= -2/√(-g)δ(√(-g) ℒ_M)/δg^μν 
= -2 δℒ_M/δg^μν + g_μν ℒ_M.
Denklemin sol tarafını hesaplamak için metric determinant ve Ricci sayılabilir büyüklüğünün değişkenlerine ihtiyacımız var. Bunlar standart ders kitabı hesaplamalarından elde edilebilir.


### Riemann tensoru, Ricci tensoru ve Ricci sıkaler Değişkeni.
Ricci skaler değişkenini hesaplamak için önce Riemann eğrilik tensor değişkenini hesaplarız ve sonra da Ricci tensor değişkenini. Böylece Riemann eğrilik tensoru;
 R^ρ_σμν = ∂_μΓ^ρ_νσ
 - ∂_νΓ^ρ_μσ
 + Γ^ρ_μλΓ^λ_νσ
 - Γ^ρ_νλΓ^λ_μσ.
olarak tanımlanır.
Riemann tensor değişkeni
δR^ρ_σμν = ∂_μδΓ^ρ_νσ - ∂_νδΓ^ρ_μσ + δΓ^ρ_μλ Γ^λ_νσ + Γ^ρ_μλ δΓ^λ_νσ
- δΓ^ρ_νλ Γ^λ_μσ - Γ^ρ_νλ δΓ^λ_μσ.
olarak hesaplanabilir çünkü Riemann eğriliği sadece levi- Civita bağıntısına Γ^λ_μν bağlı.
Şimdi, bu bir tensor ve biz bunun eşdeğişken türevini hesaplayabiliriz çünkü δΓ^ρ_νμ iki bağıntının farkı.
∇_λ(δΓ^ρ_νμ ) = ∂_λ(δΓ^ρ_νμ ) + Γ^ρ_σλ δΓ^σ_νμ - Γ^σ_νλ δΓ^ρ_σμ - Γ^σ_μλ δΓ^ρ_νσ. 
Biz şimdi yukardaki Riemann eğrilik tensoru değişkeni ifadesinin;
δR^ρ_σμν = ∇_μ(δΓ^ρ_νσ) - ∇_ν(δΓ^ρ_μσ).
bu iki terimin farkına eşit olduğunu söyleyebiliriz.
Biz şimdi Ricci eğrilik tensorunun değişkenini basitce Riemann tensor değişkenini ik indeksinin daralması vasıtasıyla elde edebilir ve Palatini özdeşliğini bulabiliriz.
 δR_μν ≡δR^ρ_μρν = ∇_ρ(δΓ^ρ_νμ) - ∇_ν(δΓ^ρ_ρμ).
Ricci sıkaler;
 R = g^μν R_μν.
olarak tanımlanır.
Sonuç olarak, ters metric g^μν ' e göre değişken
 δ R amp;= R_μνδ g^μν + g^μνδ R_μν
 amp;= R_μνδ g^μν + ∇_σ( g^μνδΓ^σ_νμ - g^μσδΓ^ρ_ρμ).
vasıtasıyla verilir.
İkinci satırda Ricci eğrilik değişkeni ve eşdeğişken türevin, ∇_σg^μν = 0 , metric uygunluğu için önceden elde edilmiş sonucu kullandık.
Son terim, ∇_σ( g^μν δΓ^σ_νμ - g^μσδΓ^ρ_ρμ ) √(-g)' le çarpılan total türeve dönüştü,
√(-g)A^a_;a = (√(-g)A^a)_,a or 
√(-g)∇_μA^μ= ∂_μ(√(-g)A^μ)
ve böylece sadece Stokes teoremi vasıtasıyla integral alındığında limit terim üretir. Bu yüzden sonsuzda metric değişken yok olduğu zaman, bu terim etki değişkenine katkıda bulunmaz. Ve böylece;
δR/δg^μν = R_μν.


### Determinant Değişimi.
Jacobi formülü, determinant türev kuralı,
 δg = δ(g_μν) = g g^μν δg_μν
verir 
ya da koordinat sistemi g_μν köşegen olduğu yere dönüşebilir ve sonra ana köşegenin elemanlarının çarpımı türevine çarpma kuralı uygular.
Bunu kullanarak,
 δ√(-g) amp;= -1/2√(-g)δ g 
 amp;= 1/2√(-g) (g^μνδ g_μν)
 amp;= -1/2√(-g) (g_μνδ g^μν) .
buluruz.
Son eşitlikte,
g_μνδg^μν=-g^μνδg_μν
ters matrix türevi kuralından gelen
δg^μν = - g^μα ( δg_αβ ) g^βν .
olgusunu kullandık.
Böylece 
1/√(-g)δ√(-g)/δg^μν = -1/2 g_μν .


### Hareket Denklemi.
Şimdi emrimizdeki tüm önemli değişkenlere sahibiz, onları hareket denklemi içine metrik alan elde etmek için ekleyebiliriz.
R_μν - 1/2 g_μν R = 8 πG/c^4 T_μν,
Einstein alan denklemi ve 
κ= 8 πG/c^4
seçilen relativistik olmayan limite kadar Newton'un her zamanki çekim yasasını üretir, G çekimsel sabit.


### Kozmolojik Sabit.
Bazen yeni etki için kozmolojik sabit /\ ' e Lagrangian dahil edilebilir,
S = ∫[ 1 2κ ( R - 2 Λ) + ℒ_M ] √(-g) d^4 x 
R_μν - 1/2 g_μν R + Λg_μν = 8 πG/c^4 T_μν .
alan denklemleri üretir.