# Kelebek teoremi
Kelebek teoremi, Öklid geometrisinin klasik bir sonucudur ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir: 
"M", bir çemberin başka iki "AB" ve "CD" kirişi üzerinden geçen "PQ" kirişinin orta noktası olsun, buna bağlı olarak "AB" ve "CD", "PQ" kirişini "X" ve "Y" noktalarında keser. O halde "M", "XY"'nin orta noktasıdır.


## Teoremin ispatı.
Teoremin biçimsel bir ispatı aşağıdaki gibidir: "XX′" ve "XX″" dikmeleri "X" noktasından sırasıyla "AM" ve "DM" düz çizgileri üzerine indirilsin. Benzer şekilde, "YY′" ve "YY″", "Y" noktasından sırasıyla "BM" ve "CM" düz çizgilerine dik indirilsin.
 MXX' ∼MYY', olduğundan
 MX MY = XX' YY', 
 MXX” ∼MYY”,
 MX MY = XX” YY”, 
 AXX' ∼CYY”,
 XX' YY” = AX CY, 
 DXX” ∼BYY',
 XX” YY' = DX BY. 
Önceki denklemlerden ve kesişen kirişler teoreminden,
 (MX MY)^2 = XX' YY' XX” YY”, 
 = AX ·DX CY ·BY, 
 = PX ·QX PY ·QY, 
 = (PM-XM) ·(MQ+XM) (PM+MY) ·(QM-MY), 
 = (PM)^2 - (MX)^2 (PM)^2 - (MY)^2, 
"PM" = "MQ" olduğundan,
Böylece
 (MX)^2 (MY)^2 = (PM)^2 - (MX)^2 (PM)^2 - (MY)^2. 
İkinci denklemde içler dışlar çarpımı yapılırsa,
 (MX)^2 ·(PM)^2 - (MX)^2 ·(MY)^2 = (MY)^2 ·(PM)^2 - (MX)^2 ·(MY)^2 . 
Ortak terim olan
 -(MX)^2 ·(MY)^2 
ifadesi elde edilen denklemin her iki tarafından sadeleştirilirse,
 (MX)^2 ·(PM)^2 = (MY)^2 ·(PM)^2, 
elde edilir, dolayısıyla "MX" = "MY", çünkü MX, MY ve PM hepsi pozitif, gerçek sayılardır.
Bu nedenle, "M", "XY"'nin orta noktasıdır.
Projektif geometri kullanan biri de dahil olmak üzere başka ispatlar da mevcuttur.


## Tarihçe.
Kelebek teoremini kanıtlamak William Wallace tarafından "The Gentlemen's Mathematical Companionda (1803) bir problem olarak ortaya atıldı. 1804'te üç çözüm yayınlandı ve 1805'te Sir William Herschel, Wallace'a yazdığı bir mektupta soruyu tekrar sordu. Thomas Scurr, aynı soruyu 1814'te "Gentlemen's Diary veya Mathematical Repositoryde tekrar sordu.


## Konuyla ilgili yayınlar.
  - Volenec, V. (2000). "A generalization of the butterfly theorem". Mathematical Communications, 5(2), ss. 157-160.
  - Čerin, Z. (2001). "A generalization of the butterfly theorem from circles to conics". Mathematical Communications, 6(2), ss. 161-164.
  - Sliepcevic, A. (2002). "A new generalization of the butterfly theorem". Journal for Geometry and Graphics, 6(1), ss. 61-68.
  - Volenec, V. (2002). "The butterfly theorem for conics". Mathematical Communications, 7(1), ss. 35-38.
  - Kung, S. (2005). "A butterfly theorem for quadrilaterals". Mathematics Magazine, 78(4), ss. 314-316.
  - Čerin, Z., & Gianella, G. M. (2006). "On improvements of the butterfly theorem". Far east journal of mathematical sciences: FJMS, 20(1), 69.
  - Jun-lin, Y. A. N. G. (2009). "Version of butterfly theorem under projective transformation". Journal of Fuyang Teachers College (Natural Science), 4.
  - Markowsky, G. (2011). "Pascal's Hexagon Theorem Implies the Butterfly Theorem". Mathematics Magazine, 84(1), ss. 56-62.
  - Dergiades, N., & Lim, S. H. (2012). "The Butterfly Theorem Revisited". In Forum Geometricorum (Vol. 12, ss. 301-304).
  - Donolato, C. (2016). "A proof of the butterfly theorem using Ceva’s theorem". In Forum Geom (Vol. 16, ss. 185-186).
  - Celli, M. (2016). "A proof of the butterfly theorem using the similarity factor of the two wings". In Forum Geom (Vol. 16, ss. 337-338).
  - Hung, T. Q. (2016). "Another synthetic proof of the butterfly theorem using the midline in triangle". In Forum Geometricorum (Vol. 16, ss. 345-346).
  - Krishna, Dasari. (2017). "Another New Proof of the Butterfly Theorem". International journal of mathematics and its applications. 5. ss. 1-55. 
  - Nguyen, N. P. (2020). "On Generalizations of the Butterfly Theorem". arXiv preprint arXiv:2001.07201.


## Kaynaklar.
 }}>