# Çokludoğrusal gönderim
Matematiğin bir alt dalı olan çokludoğrusal cebirde veya daha genel olarak doğrusal cebirde, bir çokludoğrusal gönderim her değişkeni için ayrı ayrı doğrusal olan çok değişkenli, yani birden fazla bağımsız değişkene sahip, bir fonksiyondur. Daha matematiksel bir ifadeyle, çokludoğrusal gönderim V_1,…,V_n ve W vektör uzayları olmak üzere
fV_1 ×⋯×V_n →W,
biçiminde olan ve sabit tutulan herhangi bir i için diğer v_j değişkenleri sabit tutulduğunda ortaya çıkan tek değişkenli f(v_1,…,v_n) fonksiyonunun v_i bağımsız değişkeninde doğrusal fonksiyon olduğu bir fonksiyondur.
İki değişkenli bir çokludoğrusal gönderime bir çifte doğrusal gönderim denilir ve daha genel durumlarda, "k" değişkene bağlı bir çokludoğrusal gönderime "k"-doğrusal gönderim denilir. Eğer bir çokludoğrusal gönderimin değer kümesi bir 
skalerler cismi ise, o zaman bu gönderim çokludoğrusal form olarak adlandırılır. Çokludoğrusal gönderimler ve çokludoğrusal formlar çokludoğrusal cebrin çalışılmasında temel araçlardır.
Tüm değişkenler aynı cisme ait ise, "k"-doğrusal gönderim için, bakışımlı,
tersbakışık ve almaşık "k"-doğrusal kavramlarından bahsedilebilir.


## Örnekler.
  - Her çifte doğrusal gönderim aynı zamanda bir çokludoğrusal gönderimdir. Örneğin, bir vektör uzayındaki herhangi bir iç çarpım uzayı çokludoğrusal bir gönderimdir. Yine, ℝ^3teki vektörler için tanımlı çapraz çarpım yine çokludoğrusal gönderimdir
  - Bir matrisin determinantı, bir kare matrisin sütunlarının (veya satırlarının) tersbakışık çokludoğrusal fonksiyonudur.
  - Eğer Fℝ^m →ℝ^n bir "Ck" fonksiyonu ise, F'nin her p noktasındaki kinci türevi olan D^kf(p)ℝ^m×⋯×ℝ^m →ℝ^n bakışımlı k-doğrusal fonksiyon olarak görülebilir.


## Koordinat gösterimi.
Diyelimki
fV_1 ×⋯×V_n →W,
sonlu boyutlu vektör uzayları arasında bir çokludoğrusal gönderim olsun. Burada V_i boyutu d_i'dir ve W boyutu d'dir. Her bir V_i için {e_i1,…,e_id_i} ve W için {b_1,…,b_d} taban seçersek, A_j_1⋯j_n^k skalerlerini şöyle ifade edebiliriz:
f(e_1j_1,…,e_nj_n) = A_j_1⋯j_n^1 b_1 + ⋯+ A_j_1⋯j_n^d b_d.
Ardından {A_j_1⋯j_n^k |1≤j_i≤d_i, 1 ≤k ≤d} skalerleri, f çokludoğrusal fonksiyonunu tam olarak tanımlar.
Özel olarak eğer,
1 ≤i ≤n için,
v_i = ∑_j=1^d_i v_ij e_ij
oluyorsa, 
f(v_1,…,v_n) = ∑_j_1=1^d_1 ⋯∑_j_n=1^d_n ∑_k=1^d A_j_1⋯j_n^k v_1j_1⋯v_nj_n b_k olur.


## Tensör çarpımıyla ilişkisi.
Burada, çokludoğrusal gönderimler arasında doğal bire-bir karşılaştırma yapılmıştır.
fV_1 ×⋯×V_n →W,
ve doğrusal gönderimler
FV_1 ⊗⋯⊗V_n →W,
burada V_1 ⊗⋯⊗V_n ifadesi V_1,…,V_n tensör çarpımıdır.
f ve F fonksiyonlar arası ilişki şu formül ile verilir:
F(v_1⊗⋯⊗v_n) = f(v_1,…,v_n).


## "n"×"n" matrislerindeki çokludoğrusal fonksiyonlar.
Bir K değişmeli halkasındaki "n"×"n" matrisindeki çokludoğrusal fonksiyonlar, matrisin satırları (veya eşdeğer sütunları) olarak ifade edilir. Diyelim ki "A" gibi bir bir matris ve a_i, "A"nın 1 ≤ "i" ≤ "n" aralığındaki satırları olsun. Bu durumda "D" çokludoğrusal fonksiyonu şöyle yazılabilir:
D(A) = D(a_1,…,a_n) 
Daha geniş bir ifade ile;
D(a_1,…,c a_i + a_i',…,a_n) = c D(a_1,…,a_i,…,a_n) + D(a_1,…,a_i',…,a_n) 
ê_j ifadesini, tanım matrisinin j.inci satırı olarak ele alırsak, her bir a_i satırını şöyle olur.
a_i = ∑_j=1^n A(i,j)ê_j
"D"nin çokludoğrusallığı kullanılarak "D"("A") yı yeniden yazalım;
D(A) = D(∑_j=1^n A(1,j)ê_j, a_2, …, a_n)
 = ∑_j=1^n A(1,j) D(ê_j,a_2,…,a_n)
Her a_i için 1 ≤ "i" ≤ aralığında sürekli yerine konulursa,
D(A) = ∑_1≤k_i≤n A(1,k_1)A(2,k_2)…A(n,k_n) D(ê_k_1,…,ê_k_n)
Burada seçtiğimiz 1 ≤i ≤n aralığında;
 ∑_1≤k_i ≤n = ∑_1≤k_1 ≤n …∑_1≤k_i ≤n …∑_1≤k_n ≤n 
İç içe toplamlar serisi elde edilir.
Burada, ê_k_1,…,ê_k_n satırlarında D fonksiyonu vasıtasıyla D(A)'nın nasıl elde edildiği görüldü.


## Örnekler.
2×2 matrisleri şöyle yazılır;
D(A) = A_1,1A_2,1D(ê_1,ê_1) + A_1,1A_2,2D(ê_1,ê_2) + A_1,2A_2,1D(ê_2,ê_1) + A_1,2A_2,2D(ê_2,ê_2) 
Burada ê_1 = [1,0] ve ê_2 = [0,1]'dir. D'yi bir alternatif fonksiyon olarak sınırlandırırsak;
D(ê_1,ê_1) = D(ê_2,ê_2) = 0 ve D(ê_2,ê_1) = -D(ê_1,ê_2) = -D(I) olur. D(I) = 1 olursa, "2"×"2" matrisinde şu determanant fonksiyonunu elde ederiz:
D(A) = A_1,1A_2,2 - A_1,2A_2,1 


## Özellikler.
Çokludoğrusal gönderimde bir sıfır değeri varsa, bağımsız değişkenlerden biri sıfır olur.
"n">1 için, yalnızca "n"-doğrusal gönderim ve sıfır fonksiyonudur. Çifte doğrusallık#Örneklere bakınız.