# Moonshine teorisi
Matematikte, monstrous moonshine ve moonshine teorisi terimleri John Horton Conway ve Simon P. Norton tarafından düşünülmüştür. Zamanında, monster grup ve modüler fonksiyonlar arasındaki beklenmedik bağıntıyı tanımlamak için kullanılmıştır. Şu an biliniyor ki, monstrous moonshine'nın altında yatan, simetriler gibi monster grup içeren conformal field teorisidir. Varsayımlar Conway ve Norton tarafından yapıldı ve 1992 yılında ispatıda Richard Borcherds tarafından, string teori, vertex operatör cebiri teorisi ve genişletilmiş Kac–Moody cebirinden no-ghost teoremini kullanılarak yapılmıştır.


## Tarihi.
1978 yılında, John McKay, "j"(τ)'nın Fourier açılımının ilk birkaç terimin,
j(τ) = 1/ + 744 + 196884q + 21493760q^2 + 864299970q^3 + 20245856256q^4 + ⋯
q = e^2πiτ ve "τ"-yarım zaman oranı- ile birlikte master grupların indirgenemez temsilcilerinin boyutunun lineer kombinasyonu olarak ifade edilebilir. Eğer r_n = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, ise,
 1 amp; = r_1 
 196884 amp; = r_1 + r_2 
 21493760 amp; = r_1 + r_2 + r_3 
 864299970 amp; = 2r_1 + 2r_2 + r_3 + r_4 
 20245856256 amp; = 3r_1 + 3r_2 + r_3 + 2r_4+ r_5
 333202640600 amp; =5r_1 +5r_2+2r_3+3r_4+2r_5+r_7
("r"n arasında birden çok lineer bağıntı olabileceğinden, örnek olarak r_1 - r_3 + r_4 + r_5 - r_6 = 0, birden çok şekilde tasvir edilebilinir.) McKay bunu, doğal olarak meydana gelen bir sonsuz boyutlu M'nin kademeli gösterimi olan Hilbert–Poincaré serisinin j katsayısıyla verilmiş ve düşük ağırlıklı parçaların yukarıda olduğu gibi indirgenmez gösteriminin içinde çürümesinin kanıtı olarak gördü. John G. Thompson'ına bu durumdan bahsettikten sonra, Thompson, Hilbert–Poincaré serisinin sadece birim elemanın kademeli ilkköşegen toplamı olabileceğini öne sürdü. Ve çözülmesi kolay olmanyan M nin g'sinin kademeli ilkköşegen toplamının enteresan olabileceğini öne sürdü.
Conway and Norton, bu tarz kademeli ilkköşegen toplamlarını hesaplamışlardı, şimdi McKay–Thompson "T""g" serileri olarak bilinen yapıları ve hepsinin Hauptmoduln'nın açılımları olduğunu bulmuşlardı. Bir başka deyişle, eğer "G""g", SL2(R)'nın bir altkümesiyse ki bu T"yi düzeltir, o zaman karışık düzlemin upper half'ının quotient'ası "G" için, bir küredir, sonlu sayıda sayının silinmesiyle ve buna ek olarak "T", Meromorf fonksiyonunun cismini üretir bu küre üzerinde.
Ölçümlerine dayanak, Conway ve Norton bir Hauptmoduln listesi oluşturdu ve olabileceği Mnin kademeli sunumunun sonsuz boyutluluğunun mevcudiyetinin olabileceği öngörüsünde bulundular. Bunun kademeli ilkköşegen toplamları "T""g", tam olarak yaptıkları listedeki fonksiyonların açılımlarıydı.
1980 yılında, A. Oliver L. Atkin, Paul Fong ve Stephen D. Smith böyle kademeli gösterimimlerinin mümkün olabileceğini gösterdi, bilgisayar hesap makineleri kullanarak bir sınıra kadar j katsayılarının m gösterimi Thompson tarafından zaten ispatlanmıştı. kademeli gösterimi bariz bir şekilde Igor Frenkel, James Lepowsky, and Arne Meurman tarafından, etkileyici bir çözüm verilerek McKay–Thompson varsayımına, inşa edilmiştir. Buna ek olarak, onların inşa ettiği vektör uzayı Moonshine Module diye adlandırılan, vertex operatör cebirinin fazldan bir yapısı vardır. Ve bu yapının automorphism grubu tam olarak M idi.
Borcherds, Conway–Norton varsayımını 1992 yılında kanıtladı, Moonshine Module için. Fields madalyasını kazandı 1998 yılında varsayımı çözdüğü kısım için.


## The Monster modülü.
Frenkel–Lepowsky–Meurman yapısının iki temel araç kullanır;
  - Lattice vertex operatör cebiri yapısı "V""L", n rankın lattice L için olsa bile. Fiziksel anlamda, için simit şekli üstünde "V""L", lattice vertex operatörü chiral cebiridir, Bosonic string kompaktlaştırılmasıyla. "n" boyuttaki Osilatör gösterimiyle, hemen hemen tanımlanabilir, L'nin group ring'nin tensor product'ı olarak (ki bu demektir ki, sonsuz çoklukta jeneratör durumu için polynomial ring isomorphictir). Sorudaki durum için, L kümesinin Leech lattice olacak şekilde ayarlanması gerekir, 24 rankı olan.
  - İkinci araç orbifold yapısı diye adlandırılır. Fiziksel anlamda, orbifold'un temsil ettiği bosonic string salınımlarıdır quotient orbifold üstünde. Frenkel–Lepowsky–Meurman yapısı, conformal field teoride ilk ortaya çıkan orbifoldlardır. Leech lattice'nin tersine fonksiyonel olarak bağımlı olan "V""L"'nın "h"'sıdir. Moonshine modülünü elde etmek için, "h"'nin sabit bir noktası seçilir, "V"'nın direkt toplamlarında ve onun twisted modülünü alır.
Frenkel, Lepowsky ve Meurman gösterdi ki moonshine modülünün automorphism grupları, vertex operatör cebir olanları, "M"'dir ve kademeli boyut "j"'nın bir Fourier serisi açılımı verir. (#YÖNLENDİRME ).


## Borcherds'in ispatı.
Conway and Norton'nın öngörüsüne olan Richard Borcherds'nın ispatı 6 parçada anlatılabilinir;
  - Otomorfizmler kullanarak "M"'e yapılan bir hamle ve kademeli boyutlu j ile, Vertex operatör cebiri olan V'i seçerek başlanır. Moonshine Module tarafından sağlanmıştır, ayrıca monster vertex cebiri diye de adlandırılır.
  - Lie cebiri 𝔪, monster Lie cebiri diye adlandırılan, kuantalama fonktörü kullanılarak yapılandırılmıştır. Bu genelleştirilmiş Kac–Moody cebiridir, otomorfizm'i kullanarak Monster hamlesinden.
  - Genelleştirilmiş Kac–Moody Lie cebirini oluşturmak için Koike–Norton–Zagier sonsuz çarpım özdeşliği kullanılır. Özdeşlik Hecke operetörü kullanarak sağlanmıştır.
  - Kök çeşitliliği karşılaştırılarak, Lie cebirlerinin izomorf olduğu bulunabilinir. Benzer yolla, Weyl bölen formülü, 𝔪 için tam olarak Koike–Norton–Zagier özdeşliğine denktir.
  - Lie cebri kohomolojisini kullanarak ve Adams operatörlerini, twisted bölün özdeşliği her eleman için verilir. Bu özdeşlikler McKay–Thompson serileriyle bağlantılıdırlar, Koike–Norton–Zagier özdeşlikleriyle bağlantılı oldukları gibi.
  - Twisted bölen özdeşliği, yineleme ilişkilerini ima eder "T"g'nın katsayıları üstünde. Bu ilişkiler o kadar güçlüdür ki sadece Conway and Norton tarafından verilen bir fonksiyonla ilk yedi terimin sağlanması yeter.
Böylelikle, ispat tamamlanmıştır. (#YÖNLENDİRME ). Borcherds, sonraları bu ispatı şu sözleriyle anmıştır; "Ben Ay'ın ötesindeydim, moonshine sanısını ispatlıyorken. Ve bazen merak ediyorum, eğer belirli ilaçlar alındığında hissedilen, ben ispatlarken hissettiklerimse, ama gerçekten bilmiyorum, çünkü daha o teorimi test etmedim."


## Genelleştirilmiş Moonshine.
Conway ve Norton, 1979 yılında yazdıkları makalede moonshine'nın monster ile sınırlı olmayabileceğini belirttiler, ama bu fenomen başka gruplar için bulunabilinir.
  - T1A ve Monster "M"
  - T2A ve Bebek Monster "F"2
  - T2B ve Conway grupları 
  - T3A ve Fischer grupları "Fi"23, "Fi"24
  - T3C ve Thompson grup "Th = F"3
  - T4A ve Conway grupları
  - T4A ve McLaughlin "McL"
  - T5A ve Harada–Norton grup "HN = F"5
  - T6A ve Fischer grup "Fi"22
  - T6B ve Suzuki grup "Suz"
  - T7A ve Held grup "He = F"7
  - T10A ve Higman–Sims grup "HS"
1980 yılında, Sporadic gruplarının boyutlarının basit kombinaslonları kullanılarak birçok McKay-Thompson(Hauptmodul) serisinin açılabilecek şekilde inşa edilebileceğini buldu, Larissa Queen ve diğerleri. Genelleştirilmiş Moonshine sanısını formüle etmek için, Norton kendi hesaplamalarını Queen'ninkilerle karşılaştırdı, 1987 yılında. Monster'ın her g elemanı, kademeli vektör uzayı "V"("g") ve upper-half düzleminde Holomorf fonksiyonunun "f"("g","h",τ) her ("g","h") elemanını değiştiren için aşağıdaki şartların sağlanabileceğini öne sürer bu sanı;
  - Her "V"("g"), g'nin merkezleyicisinin kademeli izdüşümsel gösterimidir.
  - Her "f"("g","h",τ), ya sabit bir fonksiyon veyahut Hauptmodul'dur.
  - Her "f"("g","h",τ), "M"'de "g" ve "h"'nin eşzamanlı konjügasyonun altında sabit niceliğidir.
  - Her ("g","h") için, "V"("g") üstünde bir doğrusal dönüşüm vardır.
  - Herhangi bir [ a amp  b  c amp  d ] ∈SL_2(𝐙) için f(g,h,aτ+b/cτ+d), f(g^a h^c, g^b h^d, τ)'ye doğru orantılıdır.
  - Eğer "g" = "h" = 1. ise, "f"("g","h",τ), "j" ye doğru orantılıdır.
Bu Conway–Norton sanısının geneleştirilmiş halidir, çünkü Borcherds'nin teoremi, eğer g bir birim kümesi olduğu durumla ilgililenir. Şu an hala, bu sanası hala sadece bir sanıdır.
Conway–Norton sanısında olduğu gibi, Genelleştirilmiş Moonshine'nında fizikte uygulama alanları olduğu Dixon–Ginsparg–Harvey tarafından 1988 yılında öne sürüldü(#YÖNLENDİRME ). Higman–Sims grup "HS". Onlar, vektör uzaylarını "V"("g") konformal alan teorisinin moonshine simetrisiyle bükülmüş sektörleri olarak ve "f"("g","h",τ) fonksiyonunu da simitin bir formu olan ve bükülmüş sınır koşullarıyla birleştirilmiş genus ve bölme fonksiyonu olarak yorumladılar. Matematik dilinde, bükülmüş sektörler indirgenemez bükülmüş modüllerdir. Ayrıca, bölüm fonksiyonları eliptik eğriler temel monster demetleri için tasarlanmıştır.


## Kuantum kütleçekiminin konjektür ilişkisi.
2007 yılında, Edward Witten, AdS/CFT birebir eşlemesinin ikililiğe yol açtığını önesürdü, (2+1)-boyutlu Anti-de Sitter uzayıdaki saf kuantum kütleçekimi ile uç holomorf CFT'ler arasında. (2+1) boyuttaki saf yer çekiminin hiçbir yerel serbestlik derecesi olmamasına rağmen, kozmolojik sabit negatifken, BTZ karadelik çözümlerinin varlığından dolayı, teoride bir sabit olmayan içerik oluşuyor. Uç CFT'ler, G. Höhn tarafından üretilen, düşük enerjideki Virasoro birincil alanlarının azlığı ile ayırt ediliyorlar ve moonshine modülü sadece bir örnek.
Witten'nın varsayımı altında (#YÖNLENDİRME ) mümkün olabilecek en büyük kozmolojik basit ile AdS'deki kütleçekimi, AdS/CTF ikili holomofik CFT'dir, merkezi yükü c=24'ken ve CFT'nın bölüm fonksiyonu tam olarak j-744'tür, mesela, moonshine modülünün derecelendirilmiş karakteri. Frenkel-Lepowsky-Meurman varsayımı kabul edilerek, Moonshine modülü biricik holomorfik VOA ile 24 merkezi yükü ve j-744 karakteri vardır. the Monster CFT'nın, mümkün olabilecek en büyük negatif kozmolojik sabit ile olan saf kütleçekimine, benzer olduğu sonucuna vardır, Edward Witten. Witten'nin önerisinin bir kısmı derki, Virasoro birincil alanları, karadelik oluşturan operatörlere eşittir, ve, uygunluğunu ölçekmek için, büyük-kütle limitinde, Bekenstein-Hawking kısmen-klasik entropisi, moonshine modülünde Virasoro'un birincil çarpan eşinin logaritması ile verilmiş olan kara delik kütlesinin uyumlu olduğunu buldu. Az-kütle üstünlüğü varken, bir kuantum düzeltmesi gerekti entropiye. En düşük enerji birinclik alanı log(196883) ~ 12.19'ı gösterirken, Beckenstein–Hawking tahmini hesabı 4π ~ 12.57'ı gösterdi.


## Mathieu Moonshine.
2010 yılında, Tohru Eguchi, Hirosi Ooguri ve Yuji Tachikawa, K3 yüzeyinin eliptik kısımının, N=(4.4)süper açıkorur cebir'nın karakterlerine parçalanabileceğini gösterdi. Öyle ki, süper Virasoro cebirinin çeşitliliğinin, Mathieu grup M24'nın indirgenemez temsillerinin basit kombinasyonları olduğu ortaya çıktı. Bu gösterdi ki, Sigma modelinin K3 hedefiyle konformal alan teorisinin M24 simetrisini taşıdığını gösterdi. Buna rağmen, Mukai-Kondo sınıflandırmasıyla, herhangi bir K3 yüzeyinde simplektik otomorfizmalar tarafından, bu grubun hiçbir sadaketli eyleminin olmadığını görüldü. Gaberdiel–Hohenegger–Volpato'nın çalışmalarıyla, herhangi bir K3 sigma-model konformal alan teorsinde sadakatli eylemin olmadığı da görüldü. Bu yüzden, Hilbert uzayının temelinde olan bir eylemin dış görünüşünü hala açıklanamadı.
Daha önce bahsedilen McKay–Thompson serileriyle analoji yaparak, Cheng, hem çokluk fonksiyonlarının hem de M24'ün basit olmayan elemanlarının sınıflandırılmış izleri, sahte modüler formunu biçimlendireceğini, öne sürdü. 2012 yılında, Gannon, tüm, ama ilk hariç, çeşitliliklerin, M24'ün temsillerinin negatif olmayan integral kombinasyonları olduğunu ispatladı ve Gaberdiel–Persson–Ronellenfitsch–Volpato, genelleştirilmiş moonshine fonksiyonlarının tüm analojileri hesapladılar ve Mathie moonshine'na dayandığını öne sürdüler, konformal alan teorisinin bazı analojilerinin.


## Neden "monstrous moonshine"?
Monstrous moonshine terimi Conway tarafından icat edilmiştir. Conway'e, John Mckay 1970ların sonlarında, q'nın (196884 olarak adlandırılan) tam olarak Griess cebirinin boyutu olduğu söylendiğinde, Conway, bunun "moonshine" olduğunu söylemiştir. (delice ve aptalca bir fikir olması açısından). Böylelikle, bu terim sadece Monster gruplardan bashetmiyor, ayrıca modüler fonksiyonlar teorisineden bahsetmiş oluyor.
Monster grupları, Jean-Pierre Serre, Andrew Ogg and John G. Thompson adlı matematikçiler tarafından 1970'lerde incelenmiştir. Hiperbolik yüzeyin bölüm gruplarını SL2(R)'nın altgruplarıyla çalışmışlardır, özellikle, normalleştiren Γ0("p")'nın Γ0("p")'sını SL(2,R)'da incelemişlerdir.