# Cauchy dizisi


## Cauchy dizisi tanımı.
(x_n)_n bir gerçel sayı dizisi olsun. Eğer her ϵ gt;0 için,


## Cauchy dizisi ile ilgili teoremler.
### Her yakınsak dizi Cauchy dizisidir.
İspat:
(x_n)_n yakınsak bir gerçel sayı dizisi ve ϵ gt;0 herhangi bir pozitif gerçel sayı olsun. Dizinin limitine a diyelim. Demek ki, öyle bir N doğal sayısı vardır ki, her n gt;N için,


### Her Cauchy dizisi sınırlıdır.
İspat:
(x_n)_n bir Cauchy dizisi olsun. Tanımdaki ϵ'u, ϵ=1 seçelim. Demek ki, öyle bir N göstergeci vardır ki, her n,m gt;N için,
 x_N+1-1 lt;x_n lt;x_N+1+1 olur.
b=max{x_0,x_1...,x_N,x_N+1+1} ve a=min{x_0,x_1...,x_N,x_N+1-1} diye tanımlayalım.
O zaman, her için, a lt;x_n lt;b olur ve ispat biter .


### Bir Cauchy dizisinin her altdizisi Cauchy'dir.
İspat:
(x_n)_n, bir Cauchy dizisi, (x_n_k)_k dizisi de bu dizinin altdizisi olsun.ϵ gt;0 herhangi bir sayı olsun.Öyle bir N var ki, her n,m gt;N için, |x_n-x_m| lt;ϵ dir.
Eğer k,l gt;N ise N lt;k≤n_k ve N lt;l≤n_l olduğundan, |x_n_k-x_n_l| lt;ϵ olur. .


### Bir Cauchy dizisinin bir altdizisi yakınsaksa dizinin kendisi de yakınsaktır ve her iki dizi de aynı limite yakınsar.
İspat:
(x_n)_n Cauchy dizisi olsun ve (x_n_k)_k bu dizinin altdizisi olsun. Teoremde belirtildiği üzere bu altdizi yakınsakmış (diyelim ki "a∈ℝ" ya yakınsasın), tanımı yazarsak,
n_k,k gt;N ve ∀ϵ gt;0 için |x_n_k-a| lt;ϵ/2 önermesi doğrudur. Kanıtlamak istediğimiz ∀ϵ gt;0 için |x_n-a| lt;ϵ önermesi olduğundan bu önermeyi açalım;
2. ifade altdizinin tanımından dolayı ϵ/2'den küçüktür,
1. ifade ise, n_k gt;n gt;N olduğundan bir Cauchy dizisidir ve |x_n-x_n_k| lt;ϵ/2 olarak doğrudur.
İspatlamak istediğimiz ifadeyi tekrar yazarsak,
n_k gt;n gt;N ve ∀ϵ gt;0 için |x_n-a|≤|x_n-x_n_k|+|x_n_k-a| lt;ϵ/2+ϵ/2=ϵ
ve ispat biter .


### Her Cauchy dizisinin ℝ'de bir limiti vardır.
İspat:
  - (x_n)_n'nin monoton bir (y_n)_n altdizisi bulunur.
  - (x_n)_n bir Cauchy dizisi olduğundan sınırlıdır. Demek ki (y_n)_n altdizisi de sınırlıdır. 
  - Monoton ve sınırlı olduğundan, (y_n)_n dizisi yakınsaktır.
  - 1,2,3 maddelerden, (x_n)_n dizisinin yakınsak olduğu görülür.
Dolayısıyla, ℝ tamdır ve ispat biter. .
Formal ispat:
ℝ'de (hatta metrik uzaylarda) yakınsak her dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek kolay. Bu yüzden ℝ'deki herhangi bir Cauchy dizisinin yakınsak olduğunu gösterirsek ispat biter. Burada gerçel sayılar kümesi üzerinde alışılmış metriğin olduğunu varsayıyoruz. Farklı metrikler söz konusu olduğunda iddia doğru olmayabilir.
(x_n)_n, ℝ'de bir Cauchy dizisi ve ϵ gt;0 olsun.
.[ (x_n)_n ∈ℝ^ℕ Cauchy dizisi; ϵ gt;0 ]}⇒(∃N(ϵ)∈ℕ)(∀n,m≥N(ϵ))(|x_n-x_m| lt;ϵ/2)
⇒(∃N(ϵ)∈ℕ)(∀n≥N(ϵ))(|x_n-x_N(ϵ)| lt;ϵ2)
⇒(∃N(ϵ)∈ℕ)(∀n≥N(ϵ))( x_N(ϵ)-ϵ2 lt;x_n lt;x_N(ϵ)+ϵ2)
⇒(∃N(ϵ)∈ℕ)(∀n≥N(ϵ))( x_n∈A:=(x_N(ϵ)-ϵ2,x_N(ϵ)+ϵ2))
⇒(∃N(ϵ)∈ℕ)(∀n≥N(ϵ))( x_n∈B_N:={x_N(ϵ),x_N(ϵ)+1,x_N(ϵ)+2...} ⊆A)
⇒(∃N(ϵ)∈ℕ)(∀n≥N(ϵ)) (|B_N|≤ℵ_0)(x_N(ϵ)-ϵ2∈B_N^l≠∅)(x_N(ϵ)+ϵ2∈B_N^u≠∅)
⇒(∃N(ϵ)∈ℕ)(∀n≥N(ϵ)) (∃x∈ℝ)(x=supB_N)(x_N(ϵ)-ϵ2≤x≤x_N(ϵ)+ϵ2)
⇒(∃N(ϵ)∈ℕ)(∀n≥N(ϵ))(|x-x_N(ϵ)|≤ϵ2)
⇒(∃N(ϵ)∈ℕ)(∀n≥N(ϵ))(|x_n-x|≤|x_n-x_N(ϵ)|+|x_N(ϵ)-x| lt;ϵ2+ϵ2=ϵ). 


## Dipnotlar.
https://web.archive.org/web/20170111210130/http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=22
Apostol-Mathematical_Analysis[Tom_M.Apostol] Second_Edition.
Temel Analiz(Analiz I(Bir))-[Ali Nesin]
http://matkafasi.com/20940/ustten-sinirli-ve-artan-bir-dizinin-limiti-vardir 
http://matkafasi.com/106636/dizisinin-mathbb-limiti-vardir-yakinsak-cauchy-dizisidir