# Grup (matematik)
Grup (tutam veya öbek), soyut cebirin en temel matematiksel yapısıdır. Grup, ayrıca bir ikili işlemin tanımlı olduğu bir kümedir. Bir grubun grup olabilmesi için aynı zamanda bu işlemin birleşmeli, birim elemanlı ve ters elemanlı olması gerekir. Soyut cebirin halka, cisim, modül gibi diğer yapılarının temelini oluşturur.
Gruplar, ilk başta geometrik şekillerin simetrilerini araştırırken keşfedilmiştir. Dolayısıyla bir kübün simetrileri, bir sonlu grup örneği olarak verilebilir. Ama aynı şekilde, tam sayıların kümesi de toplama işlemiyle birlikte bir grup teşkil eder.


## Tanımlar ve Özellikler.
### Tanım.
Eğer üzerinde bir tane * ikili işlemi tanımlanmış bir G kümesi
  - Bileşme: Her a, b, c ∈G için a   (b   c) = (a   b)   c := a   b   c
aksiyomunu sağlıyorsa bir yarı gruptur. Eğer bir yarı grup,
  - Etkisiz eleman: Öyle bir e ∈G mevcuttur ki her a ∈G için a   e = e   a = a
özelliğini sağlıyorsa bu kümeye monoid denir. Eğer bir monoid,
  - Ters eleman: Her a ∈G için öyle bir a^-1 ∈G elemanı vardır ki a   a^-1 = a^-1   a = e
özelliğini de sağlıyorsa kümeye grup adı verilir. İşlemi vurgulamak için (G, *) gösterimi kullanılır.
Ayrıca bir grup
  - Değişme: Her a, b ∈G için a   b = b   a 
özelliğini de sağlıyorsa değişmeli grup ya da Abel'in anısına Abelyen grup olarak adlandırılır.


### Özellikler.
Yukarıdaki aksiyomlar sağlandığında bazı özellikler otomatikman geçerli olur:
  - Etkisiz Elemanın Biricikliği Bir grupta birden fazla etkisiz eleman e bulunmaz.
  - Ters Elemanların Biricikliği Her a elemanının yegâne bir ters elemanı a^-1 bulunur. Dolayısıyla elemanların tersini almak bir fonksiyondur ve bu fonksiyon şu özellikleri gösterir:
   - (ab)^-1 = b^-1a^-1
   - e^-1 = e
  - Sadeleşme Özelliği ab = ac ise b = c
  - Bölme Özelliği Her a, b ∈G elemanları için b = ac özelliğini sağlayan bir ve yegâne bir c mevcuttur.
  - Üs n tane a   a   ...   a'nın çarpımı kısaca a^n olarak gösterilir. Bu gösterim, aşağıdaki özellikleri sağlar
   - (a^n)^-1 = (a^-1)^n := a^-n
   - (a^m)^n = (a^n)^m := a^mn
   - a^n a^m = a^n+m
   - Sadece abelyen gruplar için a^nb^n = (ab)^n


## Temel Kavramlar.
### Homomorfizma.
İki grubun yapısındaki benzerliklere homomorfizma ismi verilir. Resmen tanımlamak gerekirse, G ve H iki grup olsun, ϕ: G ↦H ise bu iki grup arasında tanımlı bir eşleme olsun. Eğer her a, b ∈G için ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) özelliği sağlanıyorsa ϕ'ye bir homomorfizma denir. Homomorfizmalar bize hem G hem de H'nin yapısı hakkında bilgi verdiği için çok kullanışlıdır.
Bir homomorfizma için, imaj(ϕ) ile ϕ'nin görüntüsü, yani H'de ϕ ile ulaşılabilen tüm elemanların kümesi kastedilir. imaj(ϕ) daima H'nin bir altgrubudur. (ϕ) ile de ϕ'nin çekirdeği, yani ϕ(g)=e özelliğini sağlayan tüm elemanların kümesi kastedilir. (ϕ) daima G'nin bir altgrubudur, hatta normal bir altgruptur.
Bir homomorfizma, aynı zamanda birebir ve örten ise bu homomorfizmaya izomorfizma adı verilir. Aralarında bir izomorfizma bulunan iki gruba izomorfik denir ve bu durum G ≅H şeklinde gösterilir. İki grubun izomorfik olması demek, iki grubun tanım kümeleri farklı da olsa yapılarının tamamen aynı olması demektir. Grup teoresinde, iki grubun birbiriyle "aynı" olduğu söylendiğinde çoğu zaman aslında izomorfik olduğu kastedilir.
İzomorfizma örneği vermek gerekirse, ϕ: x ↦2x fonksiyonu, tam sayılar ve çift tam sayılar arasında bir izomorfizma teşkil eder. Dolayısıyla iki grubun tanım kümesi farklı olsa da belki şaşırtıcı bir şekilde yapılarının aynı olduğu ortaya çıkar.
Eğer ϕ: G ↦G, G'nin elemanlarını yine G'ye götüren bir homomorfizma ise ϕ'ye bir endomorfizma denir. Eğer ϕ hem bir endomorfizma, hem de bir izomorfizma ise ϕ'ye bir otomorfizma denir. G'nin tüm otomorfizmalarını alıp bir kümeye koyarsak, bu otomorfizmalar kendi aralarında bir grup teşkil eder, bu grup Aut(G) ile gösterilir.


### Altgrup.
Daha büyük bir grubun içinde bulunan gruplara altgrup ismi verilir. Resmen tanımlamak gerekirse, U, G'nin bir altkümesi olsun. Eğer U, G'nin işlemi ile kendi içinde de bir grupsa bu durumda U'ya G'nin altgrubu denir ve bu durum U ≤G şeklinde gösterilir. Bir grubun altgrup olup olmadığını kontrol etmek için üç şeye bakmak gerekir:
  - Her a, b ∈U için ab de U'nun içinde
  - Her a elemanının tersi a^-1'de U'nun içinde
  - U boşküme değil
Bu iki şart sağlanınca diğer grup aksiyomları otomatikman kanıtlanır. Ayrıca, G'nin eleman sayısı sonlu ise ikinci şart da otomatikman sağlanır.
Örnek vermek gerekirse, tüm çift sayıların kümesi, tüm tam sayıların kümesinin bir altgrubudur. Benzer şekilde, bir karenin tüm rotasyon simetrileri, karenin tüm simetrilerinin grubunun bir altgrubudur.
Şimdi M, G'nin herhangi bir alt kümesi olsun. M'i içeren ve G'nin tüm altgrupların kesişimine M tarafından üretilen altgrup denir ve ⟨M ⟩ ile gösterilir. Eşdeğer bir tanım ise, M ve M'deki elemanların toplamları veya tersleri olarak yazılabilen tüm elemanların oluşturduğu altgruba ⟨M ⟩ denmesidir.


### Eşkümeler.
Şimdi G bir grup, U ≤G da bir altgrup olsun. Bir g ∈G seçip U'nun elemanlarıyla tek tek çarpıp bunları bir kümeye yerleştirirsek bu kümeye bir eşküme denir ve bu gU şeklinde gösterilir. Eşkümeleri tanımlamanın başka bir yolu ise; A bir eşküme ise her a, b ∈A içinab^-1 ∈U olmasını gerektirmektir.
Grup çarpımı birebir olduğundan bir altgrubun tüm eşkümeleri eşit sayıda eleman içerir. Aynı zamanda, hiçbir eleman iki farklı eşkümenin aynı anda elemanı olamaz ve tüm eşkümelerin birleşimi de grubun tamamını verir. Bütün bunlar, Lagrange Teoremini kanıtlar: U ≤G ise ve G sonluysa U'nun eleman sayısı, G'nin eleman sayısının daima bir bölenidir.
Abelyen olmayan gruplarda, hem soldan çarparak gU şeklinde, hem de sağdan çarparak Ug şeklinde eşkümeler elde etmek mümkündür. Bu eşkümelerin birbirinin aynısı olması da zorunlu değildir, ancak aynı olduğu durumlarda U'ya bir normal altgrup denir ve bu durum U ⊴G şeklinde gösterilir. Abelyen grupların tüm altgrupları normaldir.


### Bölüm Grupları.
Eğer U, G'nin normal bir altgrubuysa, U'nun eşkümeleri arasında bir işlem tanımlamak mümkündür. Çünkü sadece U normalse, U'nun iki eşkümesi A ve B'den iki eleman alıp çarpınca yine tek bir eşkümeye ait elemanlar elde ederiz. U normal bir altgrup değilse seçtiğimiz elemana göre farklı eşkümeler elde etmek mümkündür.
U'nun eşkümeleri arasında bu şekilde bir işlem tanımlayıp elde ettiğimiz gruba U'nun bölüm grubu denir ve bu G / U ile gösterilir. Bu şekilde G'yi daha basit olan iki parçaya ayırmış oluruz: U ve G / U.
Örnek vermek gerekirse, G'yi karenin simetri grubu olarak aldığımızda, sadece rotasyon simetrilerini içeren altgrup U normaldir. Bu durumda G / U iki elemandan oluşan bir altgrup verir ve 8 elemanlı G'yi 4 ve 2 elemanlı iki grup olarak parçalamış oluruz. Aynı şekilde tüm tam sayıları alıp 5'in katlarına bölersek 5 elemanlı bir grup elde etmiş oluruz. Bu bölüm grubu, {0, 1, 2, 3, 4} sayılarının modülo 5 toplandığı gruba izomorftur.