# Legendre polinomları
Matematiksel analizde Legendre fonksiyonları, aşağıdaki Legendre diferansiyel denkleminin çözümleridir.
L = d dx (1 - x^2)d dx +l(l+1)* y ; l ∈(0,ℤ^+)
Bu adi diferansiyel denklem daha çok fizikte ve diğer teknik alanlarda kullanılır. Özellikle küresel koordinat sisteminde, kısmi diferansiyel denklem ile ilgili Laplace denklemi çözerken ortaya çıkar.


## Özyineli tanımlama.
Aşağıdaki genişletilmiş Taylor serisidir;
1/√(1-2xt+t^2) = ∑_n=0^∞P_n(x) t^n. (Denklem I)
(Denklem I)'in ilk iki terimini ele alalım:
P_0(x) = 1, P_1(x) = x
Bu ilk iki terim Legendre polinomudur. Diğer birkaç Legendre polinomları şunlardır:


## Çözümü.
Legendre fonksiyonu, [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir.
Ly = 0 
Burada L, Legendre operatörüdür.
Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.
y= ∑_n=0^∞a_n x^n
y' = ∑_n=0^∞n a_n x^n-1
y” = ∑_n=0^∞n(n-1) a_n x^n-2
ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,
Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:
 a_2 = -l(l+1) 2 a_0
olur. Genellenirse
 a_n+2 = -(l+n+1)(l-n) (n+2)(n+1)a_n 
Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için
lim_n →∞|a_n+2x^n+2 a_nx^n| lt;1
şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak
 n =-l n = -(l+1) 
şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara Legendre polinomları denir ve dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.


## Legendre polinomlarının ek özellikleri.
Legendre polinomları simetrik veya antisimetriktir, Şöyle ki
P_n(-x) = (-1)^n P_n(x). 
diferansiyel denklem ve diklik özellikleri yardımıyla ölçeklemenin bağımsızlığı,"standardlaştırılmış" (bazen "normalizasyon" denir, ama unutmamalıki güncel norm birim değildir) böylece ölçekleme ile Legendre polinomları'nın tanımı
P_n(1) = 1. 
ve son noktada türev ile veriliyor
P_n'(1) = n(n+1)/2. 
yukardaki soruda, Bonnet'in yineleme formülünde üç özyineleme ilişkisi terimi, bilinen Legendre polinomları ile uyumludur
 (n+1) P_n+1(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_n-1(x) 
ve
 x^2-1 n d dx P_n(x) = xP_n(x) - P_n-1(x).
Legendre polinomlarının integrasyonu için kullanışlıdır;
(2n+1) P_n(x) = d dx [ P_n+1(x) - P_n-1(x) ].
yukardakinden şu görülebilir
d dx P_n+1(x) = (2n+1) P_n(x) + (2(n-2)+1) P_n-2(x) + (2(n-4)+1) P_n-4(x) + …
veya eşdeğeri
d dx P_n+1(x) = 2 P_n(x) P_n(x) ^2 + 2 P_n-2(x) P_n-2(x) ^2+…
burada P_n(x) −1 ≤ x ≤ 1 aralığındaki normdur
 P_n(x) = √(∫_- 1^1(P_n(x))^2 dx) = √(2/2 n + 1).
Bonnet'in yineleme formülünden açık gösterim bir endüksiyon ile
P_n(x) = ∑_k=0^n (-1)^k [ n; k ]^2 ( 1+x/2 )^n-k ( 1-x/2 )^k.
elde edilir.Askey–Gasper eşitsizliği'nden Legendre polinomları için okunan
∑_j=0^n P_j(x)≥0 (x≥-1).
Legendre polinomlarının bir toplamı -1≤y≤1 için ve -1≤x≤1 için Dirac delta fonksiyonuya ilişkilidir
δ(y-x) = 1/2∑_ℓ=0^∞ (2ℓ+ 1) P_ℓ(y)P_ℓ(x) .
birim vektörlerin bir ölçek çarpımının Legendre polinomları küresel harmonikler ile kullanılan açılımı kullanılabilir
P_ℓ(r·r')=4π/2ℓ+ 1∑_m=-ℓ^ℓ Y_ℓm(θ,ϕ)Y_ℓm^*(θ',ϕ') .
burada sırasıyla birim vektörler r ve r' küresel koordinatlar (θ,ϕ) ve (θ',ϕ') var,
Asimptotiklik ℓ→∞ birimden yoksun eklentiler için
P_ℓ(cosθ)
J_0(ℓθ) + 𝒪(ℓ^-1)
2/√(2πℓsinθ)cos[(ℓ+ 1/2)θ- π/4]
+ 𝒪(ℓ^-1)
ve birimden büyük eklentiler için
P_ℓ(1/√(1-e^2)) =
I_0(ℓe) + 𝒪(ℓ^-1)
1/√(2πℓe) (1+e)^(ℓ+1)/2/(1-e)^ℓ/2
+ 𝒪(ℓ^-1) ,
burada J_0 ve I_0 Bessel fonksiyonlarıdır.


## Legendre polinomlarının kayması.
Kayan Legendre polinomları P̃_̃ñ(x) = P_n(2x-1) olarak tanımlanır. Burada "kayan" fonksiyon x↦2x-1 (aslında, bu bir afin dönüşüm'dür) böylece seçilen bu örten gönderme [0, 1] aralığından [−1, 1] aralığına vurgusu yapilan P̃_̃ñ(x) polinomları [0, 1] arasında bulunur:
∫_0^1 P̃_̃m̃(x) P̃_̃ñ(x) dx = 1 2n + 1 δ_mn.
kayan Legendre polinomu için bir
P̃_̃ñ(x) = (-1)^n ∑_k=0^n n k n+k k (-x)^k.
açık bağıntı ile veriliyor
kayan Legendre polinomları için Rodrigues' formülünün analoğu
P̃_̃ñ(x) = 1/n! d^n dx^n [ (x^2 -x)^n ]. 
ilk birkaç kayan Legendre polinomlarıdır:


## Legendre fonksiyonları.
Polinom çözümleri yanında, Legendre denkleminin polinomal-olmayan çözümlerinin sonsuz seriler ile gösterimi var. Bu "ikinci türün Legendre fonksiyonları"dır,Q_n(x) ile ifade edilir.
Q_n(x)=n!/1.3⋯(2n+1)[x^-(n+1)+(n+1)(n+2)/2(n+3)x^-(n+3)+(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/2.4(2n+3)(2n+5)x^-(n+5)+⋯]
Diferansiyel denklem
d dx [ (1-x^2) d dx f(x) ] + n(n+1)f(x) = 0
genel çözümü var
f(x)=AP_n(x)+BQ_n(x),
burada "A" ve "B" sabitlerdir.


## Kesirli derecenin Legendre fonksiyonları.
Kesirli dereceli Legendre fonksiyonları ve kesirli hesap ile tanımlanan kesirli türevlerin başlangıç noktasından ve tam sayı-olmayan faktöriyeller (gamma fonksiyonu ile tanımlanır) Rodrigues' formülü içinde aşağıdadır. Sonuç fonksiyonlar Legendre diferansiyel denklem aracılığıyla (−1,1) yeterli sürekliliktedir, ama son noktasında bundan böyle düzenlidir.Asosiye Legendre polinomları "P"0"n" ile Kesirli dereceli Legendre fonksiyonu "P""n" uyumludur.