# Hiperbolik düzlemin dönüşüm grubu
Hiperbolik düzlemin dönüşüm grubu, "genel Möbius grubu"nun alt grubu olup Möb(ℍ) ile gösterilir. "Üst yarı düzlem"i koruyan bu grup "Riemann küresi" üzerinde tanımlıdır. Möb(ℍ) nin etkisi altında "hiperbolik doğru"lar yine hiperbolik doğrulara giderken, herhangi iki eğri arasındaki açının mutlak değerinin, "hiperbolik uzunluk" ve "uzaklığın" korunması grubun karakteristik özelliklerinden bazılarıdır. Bu özelliklerden önemli bir sonuca, hiperbolik düzlemin dönüşüm grubuyla "hiperbolik yarı düzlemin izometri grubu"nun eşyapılı olduğuna, varmak mümkündür.


## Tarihçe.
Ptolemy'nin öne sürdüğü stereografik izdüşüm, 1836'da Bellativis tarafından kürenin düzlem üzerine yayılması olarak tanımlandı. Bu izdüşüm fikrinden hareketle, Riemann 1857'de Riemann küresinin inşasını verdi. Bu arada, E. Beltrami'nin üst yarı düzlem modeliyle ilişkili olarak, A. F. Möbius "4 noktanın çapraz oranı" kavramını 1852'de, "2-boyutlu düzlemin Möbius dönüşümü" nü de 1855'te ortaya attı. n boyutlu geometrinin A. Cayley'le başlamasının ardından, J. Liouville Möbius dönüşümlerini 3-boyutta ele aldı. Dahası 3-boyutlu uzayın düzgün ve açı koruyan dönüşümünün Möbius dönüşümü olduğunu ispatladı. S. Lie, bu teoremin 2'den büyük boyutlarda da geçerli olduğunu 1871 tarihli makalesinde gösterdi. Sonraları F. Klein bu çalışmaların ışığında önemli bir sonucu, n boyutlu uzayın Möbius dönüşümleri grubuyla, n+1 boyutlu hiperbolik uzayın izometriler grubunun eşyapılı olduğunu ispatladı.


## Üst yarı düzlem modeli.
Üst yarı düzlem modeli hiperbolik düzlemin modellerinden biridir. Tanımlı olduğu uzaya "üst yarı düzlem" denir ve
şeklinde tanımlanır. Bu uzayda, iki eğri arasındaki açı Öklid geometrisinde olduğu gibi, eğrilerin teğet doğruları arasındaki açıdır. Ayrıca kesişmeyen doğruların paralel olması ve verilen iki farklı noktadan geçen tek bir doğru çizilebilmesi ℍ'de de doğrudur.
Diğer yandan doğrular Öklid doğrularından farklıdır. ℍ'nin; karmaşık düzlem 'de ve reel eksen ℝ'ye dik olan Öklid doğrularıyla ya da merkezi ℝ'de olan Öklid çemberleriyle kesişimlerine hiperbolik doğrular denir.
Bu tanım Öklid geometrisi ve hiperbolik geometri arasında birtakım farklara yol açar. Bunlardan biri Öklid'in beşinci aksiyomunun üst yarı düzlemde geçerliliğini yitirmesidir. Bilindiği gibi Öklid geometrisinde bir doğru l ve bu doğru üzerinde olmayan bir nokta p verildiğinde, p'den geçen ve l'ye paralel olan yalnızca bir doğru çizilebilir. Fakat p ve l hiperbolik düzlemde alınırsa, bu şartları sağlayan sonsuz doğru vardır.
Üst yarı düzlem Riemann küresi ℂ := ℂ ∪{∞}'nde bir disktir. (Burada ∞ ℂ 'de olmayan nokta olarak tanımlıdır.) Bunu görmek için küredeki çember tanımını bilmek gerekir. Riemann küresinde çemberler, ya Öklid çemberleri ya da Öklid doğrularının {∞}'yle birleşimleridir ve 
αz z̅ + βz + β̅z̅ + γ= 0
β∈ℂ, α, γ∈ℝ, denklemiyle verilirler.
Böylece genişletilmiş reel eksen ℝ := ℝ ∪{∞} küreyi ikiye bölen bir çemberdir ve onun tümleyenlerinden biri olarak ℍ Riemann küresinde yer alır.


### Hiperbolik uzunluk ve uzaklık.
Parçalı birinci dereceden sürekli türevlenebilir f : [a, b] →ℍ fonksiyonu için hiperbolik uzunluk
len_ℍ(f) = ∫_a^b 1/Im(f(t))|f'(t)| dt integraliyle verilir.
Buna ek olarak ℍ'te verilen iki nokta x ve y için Γ[x,y] tüm parçalı birinci dereceden sürekli türevlenebilir fonksiyonların kümesi olsun, öyle ki f : [a, b] →ℍ, f(a) = x, f(b) = y. x ve y arasındaki hiperbolik uzaklık bu fonksiyonların boylarının infimumu alınarak bulunur.
d_ℍ : ℍ ×ℍ →ℝ,


## Genel Möbius grubu.
Möb(ℍ) nin hiperbolik doğruları yine hiperbolik doğrulara götürdüğünü görmek için, genel Möbius grubu, Möb'ün Riemann küresi ℂ'de tanımlı çemberleri çemberlere taşıdığını göstermek yeterlidir. Çünkü ℂ'de ℝ'ye dik çemberler, hiperbolik doğrular içerir.
Möb'ü tanımlamak için altgrubu Möb^+'yla başlamak yerinde olur. Bu grup Möb^+ := {m : ℂ →ℂ : m (z) = az+b/cz+d, a,b,c,d ∈ℂ, ad - bc ≠0} şeklinde tanımlanır ve elemanlarına Möbius dönüşümleri denir. Grubun iki üreteç elemanı vardır:
J : ℂ→ℂ, J (z) = 1/z, z ∈ℂ - {0}, J(0) = ∞, J(∞) = 0,
f: ℂ→ℂ, f (z) = az+b, z, a, b ∈ℂ, a ≠0, f(∞) = ∞.
Bunlara ek olarak: 
C : ℂ→ℂ, C (z) = z̅, 
z ∈ℂ, C(∞) = ∞ fonksiyonu da kürede tanımlıdır ve Möb bu üç homeomorfizmanın (tersi ve kendisi sürekli fonksiyon) ürettiği gruptur. Dahası, bu üreteçler Riemann küresinde çemberleri çemberlere götürdüğünden, Möb de bu özelliğe sahiptir.


## Hiperbolik düzlemin dönüşüm grubu.
Hiperbolik düzlemin dönüşüm grubu Möb(ℍ), 
genel Möbius grubunun altgrubudur. Dolayısıyla bu grup da Riemann küresinde tanımlı çemberleri çemberlere götürür. Möb(ℍ)'nin üreteçleri üst yarı düzlemi koruyan
m(z) = az + b, K(z) = -1/z, B(z) = -z̅ homeomorfizmalarıdır.
Hiperbolik düzlemin dönüşüm grubunun üç temel özelliği grubu karakterize etmemize yardımcı olur. Bunlar
  - hiperbolik doğruları hiperbolik doğrulara götürmesi,
  - parçalı birinci dereceden sürekli türevlenebilir fonksiyonların hiperbolik uzunluğunu koruması,
  - iki nokta arasındaki hiperbolik uzaklığı korumasıdır.
Hiperbolik uzunluğun korunması herhangi parçalı C^1 fonksiyonu f : [a, b] →ℍ ve Möb(ℍ)'nin herhangi bir elemanı m için
len_ℍ(f) = len_ℍ(m ∘f)
ifadesiyle verilir. Bu eşitliği hiperbolik uzunluğun tanımını kullanarak, grubun üreteç elemanları için göstermek mümkündür. Böylece Möb(ℍ)'deki her eleman için de yukardaki eşitlik yazılabilir. Bu özellik ve hiperbolik uzaklığın tanımından da 
d_ℍ(x, y) = d_ℍ(m(x), m(y)) sonucuna ulaşırız. Diğer bir ifadeyle 
Möb(ℍ)'nin her elemanı ℍ'de izometridir. Bu sonuç hiperbolik düzlemin dönüşüm grubu Möb(ℍ)'yle hiperbolik yarı düzlemin izometri grubu Isom(ℍ, d_ℍ)'nin eşyapılı olduğuna ulaşmada ilk adımdır. Möb(ℍ)'nin karakterizasyonunu tamamlamak için Isom(ℍ, d_ℍ) ⊂Möb(ℍ)'yi de ispatlamak gerekir.


## Hiperbolik yarı düzlemin izometri grubu.
Hiperbolik düzlemin dönüşüm grubuyla hiperbolik yarı düzlemin izometri grubunun eşyapılı olduğunu, Möb(ℍ) ≃Isom(ℍ, d_ℍ), görmek için, yukarıda verilen Möb(ℍ) ⊂Isom(ℍ, d_ℍ) bağıntısına ek olarak, bu ilişkinin tersini de kanıtlamamız gerekir. Bunun için, bir hiperbolik izometri f ve Möb(ℍ)'den bir eleman q alıp bileşkelerinin üst yarı düzlemde birim fonksiyon olduğunu göstermeliyiz. Böylece q'nun tersi olarak f 'nin, Möb(ℍ)'nin bir elemanı olduğu sonucuna ulaşırız.
İspata, pozitif sanal eksen I 'nın q ∘f tarafından noktasal olarak sabitlendiğiyle başlayalım. Öncelikle q ∘f 'nin, I 'dan alınan iki nokta a ve b'yi yine kendilerine götürdüğü gösterilebilir. Böylece I 'nın q ∘f altında görüntüsü yine I 'dır. Ayrıca gerekirse B'yle (B(z) = -z̅) bileşke alarak, I 'nın belirlediği çeyrek üst düzlemler H ve H' 'nin de sabitlendiğini söyleyebiliriz. Bununla birlikte, I 'dan alınan bir c noktasının a ve b'ye olan hiperbolik uzaklıkları d_ℍ(a, c) ve d_ℍ(b, c)'yle eşsiz olarak belirlendiğini biliyoruz. q ∘f izometri olduğundan bu uzaklıkları korur ve bunun sonucunda q ∘f c'yi de sabitler.
I 'da olmayan üst yarı düzlemdeki diğer noktaların da sabitlendiğini görmek için, çeyrek üst düzlemlerden biri H'den herhangi bir w noktası alalım. w'dan geçen ve I 'ya dik hiperbolik doğruya k, I 'yla kesiştiği noktaya da z diyelim. I 'da öyle bir hiperbolik doğru parçası l_(x,y) bulabiliriz ki k l_(x,y)'nin orta dikmesidir. Burada l_(x,y) ve z'nin q ∘f tarafından sabitlendiğini biliyoruz. Dolayısıyla q ∘f(k) z'den geçen ve l_(x,y)'yi ikiye bölen hiperbolik doğrudur. Bu özelliklere sahip başka doğru olmadığından q ∘f(k) = k 'dır. Bu nedenle q ∘f(w) da k üzerinde bir noktadır. Dahası q ∘f (z) = z olduğundan d_ℍ(z, w) = d_ℍ(z, q ∘f(w)) eşitliğini yazabiliriz. Böylece q ∘f(w) noktası ya k ∩H'de ya da k ∩H' 'de, z'ye eşit uzaklıktaki noktalardan biri olabilir. Ama q ∘f H'yi sabitlediğinden, ikinci durum mümkün değildir. Sonuç olarak q ∘f(w) = w'dur.
Böylelikle q ∘f birim fonksiyondur, yani f, q'nun tersidir ve Möb(ℍ)'nin bir elemanıdır ▪
Sonuç olarak Möb(ℍ) ≃Isom(ℍ, d_ℍ) ilişkisiyle, hiperbolik düzlemin dönüşüm grubunun tatmin edici bir tanımına ve yukarıda verilenlere ek, birtakım özelliklerine de ulaşmış oluruz.