# Presentation: 163798

## Varianza de Allan

**J. Mauricio López R.**

- Centro Nacional de Metrología CENAM

_**Varianza de Allan**_

## Contenido

**Contenido**

**1. Introducción**

**3. Varianza de Allan**

**4. Barras de Incertidumbre**

**5. Ejemplos**

**2. Mediciones de Tiempo y Frecuencia**

## Introducción

**Introducción**

## VARIANZA ESTÁNDAR 

- El uso de la varianza estándar en el análisis de la dispersión de variables dependendientes del tiempo puede conducir a problemas de divergencia cuando el número de mediciones tiende a infinito. Dicha divergencia puede ser originada por una fuerte correlación entre mediciones que introduce ruidos no blancos en las series de mediciones. En el caso de la metrología de tiempo y frecuencia, por ejemplo, la presencia de ruidos no blancos como el llamado ruido en frecuencia de paso aleatorio (*Random Walk Frequency Noise*) introduce una rápida divergencia en el análisis de estabilidad de frecuencia cuando se usa la varianza estándar. El uso de la llamada Varianza de Allan se ha generalizado a nivel internacional para expresar la estabilidad de osciladores ya que es convergente para los principales ruidos no blancos presentes en señales de frecuencia y en series de tiempo.

- VARIANZA ESTÁNDAR
- vs
- VARIANZA DE ALLAN

## Mediciones de Tiempo y Frecuencia

**Mediciones de Tiempo y Frecuencia**

**Notes:**
En la calibración de osciladores es común realizar mediciones de frecuencia o de diferencia de fase. 

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**Notes:**
Existen varios métodos de medición de frecuencia. El esquema representa las conexiones del método de medición directa de frecuencia. 
Primero necesitamos el instrumento de medición (Frecuencímetro, Contador de Intervalos de Tiempo) y obviamente el instrumento  bajo calibración del que obtenemos la frecuencia a calibrar.
Necesitamos también el Patrón de Referencia con su frecuencia patrón.
Y lo más importante Un sistema de adquisición de datos automático el cual permita tomar una gran cantidad de mediciones.

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**Notes:**
Estas mediciones contienen información sobre el desempeño de los osciladores bajo calibración y con un tratamiento estadístico adecuado conducen a la caracterización metrológica de los equipos bajo calibración.

## Mediciones de Diferencia de Fase

- Frecuencia
- Bajo
- Calibración

- Interfase
- de
-  Comunicación

- Frecuencia Patrón para amarrar en frecuencia al contador

- Frecuencia Patrón para la calibración

_**Mediciones de Diferencia de Fase**_

- Método de medición de diferencia de fase

- Contador de
- Intervalos de
- Tiempo

**Notes:**
De la misma forma que en frecuencia existen varios métodos de medición de diferencia de fase. El esquema representa las conexiones del método de medición de diferencia de fase por el método directo. 
Para esto necesitamos el instrumento de medición (Contador de Intervalos de Tiempo) y obviamente el instrumento  bajo calibración del que obtenemos la frecuencia a calibrar.
Necesitamos también el Patrón de Referencia con su frecuencia patrón.
Y otra vez, lo más importante Un sistema de adquisición de datos automático el cual permita tomar una gran cantidad de mediciones.

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**Notes:**
Este archivo cuenta con 18 mil datos y en el también se encuentra información sobre el desempeño de el oscilador bajo calibración y con un tratamiento estadístico adecuado conducen a la caracterización metrológica de los equipos bajo calibración.

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**Notes:**
Estas son las mediciones típicas de diferencia de fase, en unidades de grados. Recordemos que las mediciones de diferencia de fase se obtienen de comparar las señales de dos frecuencias muy parecidas y esa diferencia puede expresarse en unidades de grados o tiempo.
Aquí tenemos las mediciones de un oscilador el cual acumula un período (100 ns ó 200 ns) en aproximadamente 20 segundos, esto nos habla obviamente de desviaciones en la frecuencia del oscilador bajo calibración.

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**Notes:**
Aquí tenemos solamente 180 mediciones y con un tau=1s, podemos determinar rápidamente que son 3 minutos de medición. En la realidad estos archivos cuentan con muchísimos datos, como estos:

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## Las señales eléctricas no son puras

**Las señales eléctricas no son puras**

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## Ruido en frecuencia y y()

- 4-23

**0.1 s tiempo de promediación**

**3 X 10****-11**

**0**

**-3 X 10****-11**

**100 s**

**1.0 s tiempo de promediación**

**3 X 10****-11**

**0**

**-3 X 10****-11**

**100 s**

**0.01**

**0.1**

**1**

**10**

**100**

- Tiempo de promediación, , s

**10****-10**

**10****-11**

**10****-12**

- y()

**Ruido en frecuencia y ********y****(********)**

## Ruido en frecuencia

- 4-26

- Las graficas muestran las fluctuaciones de la variable  z(t), la cual puede ser, por ejemplo, la salida de un contador (f vs. t), o la medición de fase ([t] vs. t).  Los gráficos muestran tanto la dependencia temporal como la dependencia en frecuencia; h es el coeficiente de amplitud.

**S****z****(f) = h********f******
****** ****= 0**
****** ****= -1**
****** ****= -2**
****** ****= -3**

**nombre**
**White**
**Flicker**
**Random**
**walk**

**Dependencia temporal**

**Ruido en frecuencia**

## Varianza de Allan

**Varianza de Allan**

## La Varianza de Allan es la herramienta usada para el análisis de mediciones de Tiempo y Frecuencia siendo un estimador de la dispersión de las mediciones, determinando así, la estabilidad del oscilador bajo calibración.

**Notes:**
Normalmente cuando se calcula por medios estadísticos el promedio de una muestra M, se calcula también la dispersión de los datos alrededor de tal promedio utilizando generalmente la varianza estándar. En el cálculo de la varianza se espera que en la medida que se incluyan más datos en la estimación de la dispersión se pueda entonces aproximar el cálculo a la verdadera medía y varianza tanto como se quiera. A pesar de que esto es correcto, no es válido para mediciones de Tiempo y Frecuencia

## Frecuencia

**Frecuencia**

**Fase**

_**Concepto de la Varianza de Allan**_

**Notes:**
Supongamos que tenemos estas mediciones de diferencia de fase, y 3 datos separados entre sí un tiempo TAU, X1, X2 y X3.
La varianza de Allan puede ser escrita en términos de desviaciones fraccionales de frecuencia frecuencias:
Donde Delta y’i es igual a esto:
Y y’i es esto:
O en términos de las diferencias de fase:
Con Delta2xi=:

## Varianza de Allan para Mediciones de Frecuencia

_**Varianza de Allan para Mediciones de Frecuencia**_

**donde:**

**Es la varianza de Allan**

**Es el número de datos espaciados ********0**

***Es la i-ésima***** medición de fase**

**Es el tiempo de observación = m********0**

**= 2****n**** cálculos posibles**

## donde:

**donde:**

**Varianza de Allan**

**Número de datos espaciados ********0****  **

**Tiempo de observación = m********0**

***i-ésima***** medición de fase**

**=2****n**** cálculos posibles**

_**Varianza de Allan para Mediciones de Diferencia de Fase**_

**Notes:**
Tau cero =Tiempo de promediación = cadencia de las mediciones

## Barras de Incertidumbre

**Barras de Incertidumbre**

## Distribución 2

**Distribución ********2**

- Para df < 100

**Estimado de la Varianza de Allan**

**Número de grados de libertad**

**Varianza de Allan verdadera**

**Notes:**
La sigma y tiene una distribución Chi Square de acuerdo a esta ecuación.

## Barras de incertidumbre

**Barras de incertidumbre**

**Tablas X****2**

**Barra Inferior**

**Barra Superior**

## Tabla X2

**Tabla *****X******2***

## Para df > 100

**Para df > 100**

**Barras de incertidumbre**

## Barras de incertidumbre

**Barras de incertidumbre**

**Para df > 100**

**donde:**

**Barra Inferior**

**Barra Superior**

**Notes:**
Para el caso en que los grados de libertad son mayores de 100, la distribución de probabilidades de sigma se comporta como una distribución normal donde 1,96 corresponde al área bajo la curva para un nivel de confianza igual a 95%
Z= 1,96 =  raiz(2x2) – raiz(2df-1) = x-mu/sigma

## Número de Grados de Libertad

_**Número de Grados de Libertad**_

**White Phase Modulation**

**Flicker Phase Modulation**

**White Frquency Modulation**

*NBS Technical note 679*

**Notes:**
White Phase Modulation. Se asocia principalmente a efectos ocurridos en el mecanismo de resonancia. Es importante su caracterización en patrones primarios de frecuencia, en los cuales puede ser considerablemente disminuido al incrementar la intensidad del haz de átomos de cesio.

Fliker Phase Modulation. Se asocia principalmente a efectos ocurridos en la electrónica de los osciladores. Este tipo de ruido es común en osciladores de alta calidad ya que para mantener una amplitud constante se usan amplificadores a la salida de los osciladores. Puede ser introducido también en los multiplicadores de frecuencia.

White Frequency Modulation. Es común en los patrones de frecuencia pasivos. Estos contienen un resonador esclavo al resonador atómico cuya frecuencia es constantemente corregida por las señales de máxima probabilidad de transición atómica.

## Número de Grados de Libertad

**Flicker Frequency Modulation**

**Random-Walk Frequency **
**Modulation**

_**Número de Grados de Libertad**_

*Continuación...*

*NBS Technical note 679*

**Notes:**
Fliker Frequency Modulation. Se asocia principalmente a fluctuaciones en condiciones ambientales tales como temperatura y humedad.

Random Walk Frequency Modulation. Fluctuaciones en condiciones ambientales suelen provocar la presencia de este ruido en los osciladores, por ejemplo las estaciones del año se asocian a este tipo de ruido.

## y()

- Por debajo del ruido “fliker”, los cristales de cuarzo tipicamente tienen una dependencia -1 (white phase noise).   Los patrones atómicos de frecuencia muestran una dependencia del tipo -1/2 (white frequency noise) para tiempos de promediación cercanos al tiempo de ataque del lazo de amarre, y -1 para tiempos menores del tiempo de ataque.  Tipicamente los ’s para el ruido flicker son: 1 s para osciladores de cuarzo, 103s para relojes de rubidio y 105s para Cesio.

******y****(********)**

- -1

- -1

- 0

**Tipo de ruido:**

**White**
**phase**

**Flicker**
**phase**

**White**
**freq.**

**Flicker**
**freq.**

**Random**
**walk freq.**

- -12

- 12

**Dependencia temporal de ********y****(********)**

**Notes:**
En la figura se muestra una gráfica típica de estabilidad en frecuencia donde se observa la dependencia temporal de la varianza de Allan respecto al tiempo de promedicación TAU.
AntiLog(0)=1
AntiLog(1)=10
AntiLog(5)=100 000

## Ejemplos de cálculo de varianza de Allan

**Ejemplos de cálculo de varianza de Allan**

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## Varianza de Allan

_**Varianza de Allan**_

- Mauricio López R.

- mauricio.lopez@cenam.mx

- + 52 (442) 211 0543