Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Thamani kamili (au moduli au ukubwa) wa namba tata z = x + yi ni [13]


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

r


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle r=|z|= {\ sqrt {x^ {2} +y ^ {2}}}.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Ikiwa z ni namba halisi (yaani, kama y = 0), basi r = |x|.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Hiyo ni, thamani kamili ya namba halisi inalingana na thamani yake kamili kama namba tata.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kwa theorem ya Pythagoras, thamani kamili ya idadi tata ni umbali wa asili ya hatua inayowakilisha idadi tata katika ndege tata.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Hoja ya z (katika maombi mengi inajulikana kama “awamu” φ) ni angle ya eneo Oz na mhimili halisi halisi, na imeandikwa kama


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

arg


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle\ sanaa (z)}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kama ilivyo na moduli, hoja inaweza kupatikana kutoka fomu ya mstatili


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle x+yi}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

[14] kwa kutumia tangent inverse kwa quotient ya sehemu imaginary-na-halisi.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kwa kutumia utambulisho wa nusu-angle tawi moja la arctan linatosha kufunika upeo wa kazi ya arg, (-π, π], na huepuka uchambuzi wa hila zaidi wa kesi kwa kesi


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

φ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

arg


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

arctan


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

kama


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

au


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Δ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

π


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

kama


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

haijafafanuliwa


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

kama


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle\ varphi =\ arg (x+yi) = {\ kuanza {kesi} 2\ arctan\ kushoto ({\ dfrac {y} {\ sqrt {x^ {2} +y {2}}} +x}}\ Nakala {kama}} x>0 {\ maandishi {au}} y\ mpya 0,\\ pi & {\ maandishi {if}} x<0 {\ text {na}} y=0,\\ {\ text {haijulikani}} & {\ text {\ text {if}} x=0 {\ text {na}} y=0. \ mwisho {kesi}}}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kwa kawaida, kama ilivyoelezwa hapo juu, thamani kuu katika kipindi (-π, π] huchaguliwa. Maadili katika upeo [0, 2π) hupatikana kwa kuongeza 2π ikiwa thamani ni hasi.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Thamani ya φ inaonyeshwa kwa radians katika makala hii.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Inaweza kuongezeka kwa nyingi yoyote integer ya 2π na bado kutoa angle ileile, kutazamwa kama subtended na mionzi ya mhimili halisi chanya na kutoka asili kupitia z.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kwa hiyo, kazi ya arg wakati mwingine inachukuliwa kama multivalued.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Pembe ya polar kwa namba tata 0 ni indeterminate, lakini uchaguzi wa kiholela wa angle0 ni wa kawaida.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Thamani ya φ sawa na matokeo ya atan2:


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

φ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Im


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Re


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle\ varphi =\ operatorname {atan2}\ kushoto (\ operatorname {Im} (z),\ operatorname {Re} (z)\ kulia).


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Pamoja, r na φ hutoa njia nyingine ya kuwakilisha namba tata, fomu ya polar, kama mchanganyiko wa moduli na hoja kikamilifu kutaja nafasi ya uhakika kwenye ndege.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kupata uratibu wa awali wa mstatili kutoka kwa fomu ya polar hufanywa na formula inayoitwa fomu ya trigonometric.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

r


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

cos


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

φ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

dhambi


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

φ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle z=r (\ cos\ varphi +i\ sin\ varphi).


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kutumia formula ya Euler hii inaweza kuandikwa kama


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

r


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

e


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

φ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle z=re^ {i\ varphi}.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kutumia kazi ya cis, hii wakati mwingine hufupishwa


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

r


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

cis


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

φ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle z=r\ operatorname {cis}\ varphi.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Katika nukuu ya angle, mara nyingi hutumiwa katika umeme ili kuwakilisha phasor na amplitude r na awamu φ, imeandikwa kama [15]


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

r


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

φ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle z=r\ angle\ varphi.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Grafu tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Wakati wa kutazama kazi ngumu, pembejeo na pato tata zinahitajika.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kwa sababu kila namba tata inawakilishwa kwa vipimo viwili, kuibua kuchora kazi ngumu itahitaji mtazamo wa nafasi nne za mwelekeo, ambayo inawezekana tu katika makadirio.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kwa sababu hii, njia nyingine za kutazama kazi ngumu zimeundwa.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Katika Domain Coloring vipimo pato ni kuwakilishwa na rangi na mwangaza, kwa mtiririko huo.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kila hatua katika ndege tata kama uwanja ni ornated, kwa kawaida na rangi anayewakilisha hoja ya idadi tata, na mwangaza anayewakilisha ukubwa.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Matangazo ya giza alama moduli karibu na sifuri, matangazo nyepesi ni mbali zaidi na asili, gradation inaweza kuwa discontinuous, lakini ni kudhani kama monotonous.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Rangi mara nyingi hutofautiana katika hatua za π/3 kwa 0 hadi 2π kutoka nyekundu, njano, kijani, cyan, bluu, hadi magenta.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Viwanja hivi huitwa grafu za gurudumu la rangi.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Hii hutoa njia rahisi ya kutazama kazi bila kupoteza habari.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Picha inaonyesha zeros kwa ± 1, (2+i) na miti katika ± √—2,12i.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Nyuso za Riemann ni njia nyingine ya kutazama kazi ngumu.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Nyuso za Riemann zinaweza kufikiriwa kama uharibifu wa ndege tata; wakati shoka za usawa zinawakilisha pembejeo halisi na za kufikiri, mhimili mmoja wa wima unawakilisha tu pato halisi au la kufikiri.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Hata hivyo, nyuso za Riemann zimejengwa kwa njia ambayo inazunguka digrii 180 inaonyesha pato la kufikiri, na kinyume chake.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Tofauti na rangi ya kikoa, nyuso za Riemann zinaweza kuwakilisha kazi nyingi kama


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle {\ sqrt {z}}}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Historia kwa kifupi


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Sehemu kuu: Historia


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Suluhisho katika radicals (bila kazi trigonometric) ya equation ya jumla ya ujazo ina mizizi ya mraba ya namba hasi wakati mizizi yote mitatu ni namba halisi, hali ambayo haiwezi kurekebishwa kwa factoring kusaidiwa na mtihani wa mizizi ya busara ikiwa ujazo hauwezi kupunguzwa (kinachojulikana kama casus irreducibilis).


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Mtazamo huu ulisababisha mtaalamu wa hisabati wa Italia Gerolamo Unit kupata mimba ya idadi tata katika takriban 1545, [16] ingawa uelewa wake ulikuwa wa kawaida.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kazi juu ya tatizo la polynomials ujumla hatimaye imesababisha theorem ya msingi ya algebra, ambayo inaonyesha kwamba kwa idadi tata, suluhisho lipo kwa kila equation polynomial ya shahada moja au zaidi.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Nambari tata hivyo huunda shamba lililofungwa kwa algebraically, ambapo equation yoyote ya polynomial ina mizizi.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Wataalamu wengi wa hisabati walichangia maendeleo kamili ya namba tata.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Sheria za kuongeza, kuondoa, kuzidisha, na mgawanyo wa namba tata zilianzishwa na mtaalamu wa hisabati wa Italia Rafael Bombelli. [17]


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Utaratibu zaidi wa abstract kwa idadi tata uliendelezwa zaidi na mtaalamu wa hisabati wa Ireland William Rowan Hamilton, ambaye aliongeza uondoaji huu kwa nadharia ya quaternions.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Mahusiano na shughuli


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Usawa


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Nambari mbili ngumu ni sawa ikiwa na tu ikiwa sehemu zao halisi na za kufikiri ni sawa.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Hiyo ni, idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle z_ {1}}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle z_ {2}}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

ni sawa kama na tu kama


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Re


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Re


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle\ operatorname {Re} (z_ {1}) =\ operatorname {Re} (z_ {2})}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Im


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Im


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle\ operatorname {Im} (z_ {1}) =\ operatorname {Im} (z_ {2})}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Ikiwa namba ngumu zimeandikwa kwa fomu ya polar, ni sawa ikiwa na tu ikiwa wana hoja sawa na ukubwa sawa.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kuagiza


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kwa kuwa idadi tata ni kawaida kufikiriwa kama zilizopo kwenye ndege mbili-dimensional, hakuna asili linear kuagiza juu ya seti ya namba tata.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kwa kweli, hakuna utaratibu wa mstari kwenye namba ngumu ambazo ni sambamba na kuongeza na kuzidisha - namba ngumu haziwezi kuwa na muundo wa shamba lililoamriwa.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Hii ni kwa sababu mraba wowote katika uwanja ulioamriwa ni angalau 0, lakini i2 = -1.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

conjugate


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Mchanganyiko tata wa namba tata z = x + yi hutolewa na x ∙ yi.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Ni ulionyehsa na aidha


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle {\ overline {z}}}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

au*. [18]


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Operesheni hii ya unary kwenye namba tata haiwezi kuonyeshwa kwa kutumia tu shughuli zao za msingi kuongeza, kuondoa, kuzidisha na mgawanyiko.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kijiometri,


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle {\ overline {z}}}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

ni “kutafakari” ya z kuhusu mhimili halisi.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kuunganisha mara mbili hutoa nambari ya awali tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle {\ overline {\ overline {z}}} =z,}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

ambayo inafanya operesheni hii mapinduzi.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Reflection majani wote sehemu halisi na ukubwa wa


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ kuonyesha style z}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

bila kubadilika, yaani


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Re


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Re


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle\ operatorname {Re} ({\ overline {z}}) =\ operatorname {Re} (z)\ quad}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle\ quad | {\ overline {z}} |=|z|.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Sehemu ya kufikiri na hoja ya idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ kuonyesha style z}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

kubadilisha ishara yao chini ya kuunganishwa


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Im


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Im


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle\ operatorname {Im} ({\ overline {z}}) =-\ operatorname {Im} (z)\ quad}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

arg


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Δ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

arg


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

mod


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

π


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle\ quad\ operatorname {arg} ({\ overline {z}})\ equiv -\ operatorname {arg} (z) {\ pmod {2\ pi}}}.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kwa maelezo juu ya hoja na ukubwa, angalia sehemu ya fomu ya Polar.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Bidhaa ya idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle z=x+yi}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

na conjugate yake daima ni idadi halisi na sawa na mraba wa ukubwa wa kila mmoja:


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle z\ cdot {\ overline {z}} =x^ {2} +y {2} =|z|^ {2} =| {\ overline {z}} |^ {2}.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Mali hii inaweza kutumika kutumiwa kubadili sehemu na denominator tata kwa sehemu sawa na denominator halisi kwa kupanua namba zote mbili na denominator ya sehemu kwa conjugate ya denominator iliyotolewa.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Utaratibu huu wakati mwingine huitwa “rationalization” ya denominator (ingawa denominator katika kujieleza mwisho inaweza kuwa namba halisi isiyo ya kawaida), kwa sababu inafanana na njia ya kuondoa mizizi kutoka kwa maneno rahisi katika denominator.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Sehemu halisi na za kufikiri za namba tata z zinaweza kuondolewa kwa kutumia mchanganyiko:


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Re


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle\ operatorname {Re} (z) = {\ dfrac {z+ {\ overline {z}}} {2}},\ quad}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Im


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle\ quad\ operatorname {Im} (z) = {\ dfrac {z- {\ overline {z}}} {2i}}.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Aidha, idadi tata ni halisi ikiwa na tu ikiwa ni sawa na conjugate yake mwenyewe.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Conjugation inasambaza juu ya shughuli za msingi za hesabu:


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

w


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

w


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle {\ overline {z\ pm w}} = {\ overline {z}}\ pm {\ overline {w}},}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

w


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

w


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

w


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

w


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle {\ overline {z\ cdot w}} = {\ overline {z}}\ cdot {\ overline {w}},\ quad {\ overline {z/w}} = {\ overline {z}}/{\ overline {w}}.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kuunganishwa pia huajiriwa katika jiometri inversive, tawi la jiometri linalojifunza tafakari zaidi kuliko yale kuhusu mstari.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Katika uchambuzi wa mtandao wa nyaya za umeme, conjugate tata hutumiwa katika kutafuta impedance sawa wakati theorem ya uhamisho wa nguvu ya juu inaonekana.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kuongezea na kuondoa


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Nambari mbili tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

a


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ kuonyesha style a}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

b


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ kuonyesha style b}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

huongezwa kwa urahisi kwa kuongeza tofauti sehemu zao halisi na za kufikiri za summands.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Hiyo ni kusema:


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

a


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

b


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ kuonyesha+b= (x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v) i.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Vile vile, kuondoa inaweza kufanywa kama


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

a


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

b


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ kuonyesha-b= (x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v) i.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kutumia taswira ya namba tata katika ndege ngumu, kuongeza ina ufafanuzi wa kijiometri wafuatayo: jumla ya namba mbili ngumu


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

a


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ kuonyesha style a}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

b


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ kuonyesha style b}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

, kutafsiriwa kama pointi katika ndege ngumu, ni hatua iliyopatikana kwa kujenga parallelogram kutoka kwenye vipeo vitatu


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

O


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle O}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

, na pointi za mishale iliyoandikwa


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

a


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ kuonyesha style a}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

b


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ kuonyesha style b}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

(mradi wao si kwenye mstari).


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Equivalently, wito pointi hizi


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

A


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

B


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ kuonyesha style A,\; B,}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

kwa mtiririko huo na hatua ya nne ya parallelogram


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

X


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ kuonyesha style X,}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

pembetatu


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

O


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

A


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

B


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ kuonyesha style OAB}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

X


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

B


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

A


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle XBA}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

ni mlingano.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Mtazamo wa uondoaji unaweza kupatikana kwa kuzingatia kuongezea uondoaji hasi.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kuzidisha


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Tangu sehemu halisi, sehemu imaginary, na indeterminate


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle i}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

katika idadi tata wote ni kuchukuliwa kama idadi katika wenyewe, mbili tata idadi, kutokana na


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle z=x+yi}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

w


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle w=u+vi}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

huongezeka chini ya sheria za mali ya kusambaza, mali za kubadilisha na mali inayofafanua


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ kuonyesha style i^ {2} =-1}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

kwa njia ifuatayo


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

w


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

kwa sheria (haki) ya usambazaji


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

na sheria ya kusambaza (kushoto)


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

kwa commutativity ya kuongeza


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

kwa commutativity ya kuzidisha


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

kwa ushirika wa kuongeza


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

na kufafanua mali ya


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

na sheria ya kusambaza


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle {\ kuanza {iliyokaa} z\ cdot w&= (x+yi)\ cdot (u+vi) &\\ &= x (u+vi) +yi (u+vi) && {\ maandishi {na (haki) sheria ya usambazaji}}\\ &= xu+xu+xvi+yiu+yivi&& {\ Nakala {kwa sheria ya kusambaza (kushoto)}}\\ &=xu+yivi+xvi+yiu&& {\ Nakala {kwa ubadilishaji wa kuongeza}}\\ &=xu+yvi^ {2} +xvi+yui&& {\ maandishi {\ maandishi {kwa ubadilishaji wa kuzidisha} }\\ &= (xu+yvi^ {2}) + (xvi+yui) &{\ maandishi {na ushirika wa kuongeza}}\\ &= (xu-yv) + (xvi+yui) && {\ maandishi {kwa kufafanua mali ya}} i\\ &= (xu-yv) + (xv+yu) i&& {\ Nakala {na usambazaji sheria ya kisheria}}.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

\ mwisho {iliyokaa}}}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kubadilisha na mgawanyiko


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kutumia mchanganyiko, usawa wa nambari isiyo ya zero tata z = x + yi inaweza daima kuvunjwa


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle {\ frac {1} {z}} = {\ frac {\ overline {z}} {z {\ overline {z}}}} = {\ frac {\ overline {z}} {|z|^ {2}}} = {\ frac {\ overline {z}} {x^ {2} +y ^ 2}}} = {\ frac {z}} {x^ {2}} frac {x} {x^ {2} +y^ {2}}} - {\ frac {y} {x^ {2} +y^ {2}}} i,}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

tangu zisizo zero ina maana kwamba


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle x^ {2} +y^ {2}}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

ni kubwa kuliko sifuri.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Hii inaweza kutumika kuelezea mgawanyiko wa namba tata ya kiholela


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

w


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle w=u+vi}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

na nambari isiyo ya sifuri tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle z}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

kama


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

w


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

w


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

v


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

u


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

y


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle {\ frac {w} {z}} =w\ cdot {\ frac {1} {z}} = (u+vi)\ cdot\ kushoto ({\ frac {x} {x} {x^ {2} +y^ {2}}} {\ frac {y} {x ^ {2}}} = {\ frac {y} {x ^ {2}}} = {\ frac {y} {x ^ {2}}} = {\ frac {y} {x ^ {2}}} = {\ frac {y} {x ^ {2}}} frac {1} {x^ {2} +y^ {2}}}\ kushoto (ux+vy) + (vx-uy) i\ kulia).


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kuzidisha na mgawanyiko katika fomu ya polar


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Fomu za kuzidisha, mgawanyiko na ufafanuzi ni rahisi katika fomu ya polar kuliko kanuni zinazofanana katika kuratibu za Cartesian.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kutokana na namba mbili tata z1 = r1 (cos φ1 + i dhambi φ1) na z2 = r2 (cos φ2 + i dhambi φ2), kwa sababu ya utambulisho wa trigonometric


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

cos


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

a


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

cos


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

b


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

dhambi


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

a


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

dhambi


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

b


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

cos


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

a


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

b


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle\ cos


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

(a)\ gharama


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

(b) -\ dhambi


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

(a)\ dhambi


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

(b) =\ cos (a+b)}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

cos


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

a


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

dhambi


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

b


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

dhambi


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

a


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

cos


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

b


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

dhambi


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

a


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

b


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle\ cos


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

(a)\ dhambi


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

(b) +\ dhambi


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

(a)\ gharama


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

(b) =\ dhambi (a+b)}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

tunaweza hupata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

r


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

r


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

cos


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

φ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

φ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

dhambi


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

φ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

φ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle z_ {1} z_ {2} =r_ {1} r_ {2} (\ cos (\ varphi _ {1} +\ varphi _ {2}) +i\ dhambi (\ varphi _ {1} +\ varphi _ {2})).


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kwa maneno mengine, maadili kamili yanaongezeka na hoja zinaongezwa ili kutoa fomu ya polar ya bidhaa.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kwa mfano, kuzidisha kwa i inafanana na robo-kurejea counterclockwise, ambayo inatoa nyuma i2 = -1.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Picha upande wa kulia unaonyesha kuzidisha


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ kuonyesha style (2+i) (3+i) = 5+5i.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kwa kuwa sehemu halisi na ya kufikiri ya 5 + 5<i>i ni sawa, hoja ya namba hiyo ni digrii 45, au π/4 (kwa radian).


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kwa upande mwingine, pia ni jumla ya pembe katika asili ya pembetatu nyekundu na bluu ni arctan (1/3) na arctan (1/2), kwa mtiririko huo.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Hivyo, formula


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

π


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

arctan


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

arctan


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} =\ arctan\ kushoto ({\ frac {1} {2}}\ haki) +\ arctan\ kushoto ({\ frac {1} {3}}\ haki)}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

anashikilia.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Kama kazi ya arctan inaweza kuhesabiwa kwa ufanisi sana, fomula kama hii - inayojulikana kama formula za Machin-kama - hutumiwa kwa makadirio ya juu ya usahihi wa π.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Vile vile, mgawanyiko hutolewa na


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

r


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

r


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

cos


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

φ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

φ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

dhambi


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

φ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

φ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle {\ frac {z_ {1}} {z_ {2}}} = {\ frac {r_ {1}} {r_ {2}}}\ kushoto (\ cos (\ varphi _ {1} -\ varphi _ {2}) +i\ dhambi (\ varphi _ {1} -\ varphi _ {2})\ haki).


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Mizizi ya mraba


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Mizizi ya mraba ya bi+ (pamoja na b 合 0) ni


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

γ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

δ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle\ pm (\ gamma +\ delta i)}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

, wapi


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

γ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

a


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

a


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

b


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle\ gamma = {\ sqrt {\ frac {\ sqrt {\ sqrt {a^ {2} +b ^ {2}}}} {2}}}}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

δ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

ishara


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

b


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

a


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

a


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

b


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle\ delta =\ operatorname {sgn}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

(b) {\ sqrt {\ frac {-+ {\ sqrt {a^ {2} +b {2}}}} {2}}},}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

ambapo ishara ni kazi ya ishara.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Hii inaweza kuonekana kwa mraba


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

γ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

δ


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

kupata bi+. [19] [20]


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Hapa


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

a


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

b


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle {\ sqrt {a^ {2} +b^ {2}}}}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

inaitwa moduli ya+bi, na ishara ya mizizi ya mraba inaonyesha mizizi ya mraba na sehemu isiyo ya hasi halisi, inayoitwa mizizi kuu ya mraba; pia


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

a


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

b


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle {\ sqrt {a^ {2} +b {2}}}} = {\ sqrt {\ overline {z}}}},}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

wapi


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

z


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

a


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

b


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle z=a+bi.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Ufafanuzi


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Fomu ya Euler


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Fomula Euler inasema kwamba, kwa idadi yoyote halisi x,


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

e


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

cos


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

dhambi


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle e^ {ix} =\ cos x+i\ sin x\}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

ambapo e ni msingi wa logarithm ya asili.


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

Hii inaweza kuthibitishwa kwa njia ya induction kwa kuchunguza kwamba


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle {\ kuanza {iliyokaa} i^ {0} & {} =1,\ quad &i ^ {1} & {} =i,\ quad &i ^ {2} & {} =-1,\ quad &i ^ {3} & {} =-i,\\ i ^ {4} &= {4} &= {} 1,\ quad &i ^ {5} &= {3} & {} i,\ quad &i ^ {6} & {} =-1,\ quad &i ^ {7} & {} =-i,\ mwisho {iliyokaa}}}


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

na kadhalika, na kwa kuzingatia upanuzi wa mfululizo wa Taylor wa Eix, cos x na dhambi x:


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

e


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

cos


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

i


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

dhambi


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

x


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

{\ displaystyle {\ kuanza {iliyokaa} e^ {ix} & {} =1+ix+ {\ frac {


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

(ix) ^ {2}} {2!


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

}} + {\ frac {


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

(ix) ^ {3}} {3!


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

}} + {\ frac {


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

(ix) ^ {4}} {4!


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

}} + {\ frac {


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

(ix) ^ {5}} {5!


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

}} + {\ frac {


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

(ix) ^ {6}} {6!


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

}} + {\ frac {


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

(ix) ^ {7}} {7!


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

}} + {\ frac {


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

(ix) ^ {8}} {8!


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

}} +\ cdots\\ [8pt] & {} =1+ix- {\ frac {x^ {2}} {2!


Question: Nani alianzisha dhana ya idadi tata?

Idadi tata

}} - {\ frac {ix^ {3}} {3!