Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

setara dengan sistem persamaan linier [24]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

sebuah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

x


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

sebuah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

x


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

sebuah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

n


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

x


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

n


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

b


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

sebuah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

m


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

x


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

sebuah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

m


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

x


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

sebuah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

m


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

n


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

x


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

n


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

b


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

m


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle {\ start {selaras} a_ {1,1} x_ {1} +a_ {1,2} x_ {2} +&\ cdots +a_ {1, n} x_ {n} = b_ {1}\\ &\\ vdots\\ a_ {m, 1} x_ {1} +a_ {m, 2} x_ {2} &\ cdots +a_ {m, n} x_ {n} = b_ {m}\ end {selaras}}}


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Menggunakan matriks, ini dapat diselesaikan lebih kompak daripada yang mungkin dengan menuliskan semua persamaan secara terpisah.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Jika n = m dan persamaannya independen, ini dapat dilakukan dengan menulis


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

x


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

SEBUAH


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

b


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle\ mathbf {x} =\ mathbf {A} ^ {-1}\ mathbf {b}}


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

dimana A-1 adalah matriks terbalik dari A. jika A tidak memiliki kebalikan, solusi jika ada dapat ditemukan menggunakan invers generalisasinya.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Transformasi linier


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks dan perkalian matriks mengungkapkan fitur penting mereka bila terkait dengan transformasi linier, juga dikenal sebagai peta linier.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks m-by-n nyata A memunculkan transformasi linier Rn → Rm memetakan setiap vektor x di Rn ke Kapak produk (matriks), yang merupakan vektor dalam Rm.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Sebaliknya, setiap transformasi linier f: Rn → Rm muncul dari matriks m-by-n yang unik A: secara eksplisit, (i, j) -entri A adalah koordinat ith f (ej), di mana ej = (0,... ,0,1,0,... ,0) adalah vektor satuan dengan 1 pada posisi jth dan 0 di tempat lain.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks A dikatakan mewakili peta linear f, dan A disebut matriks transformasi f.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Misalnya, matriks 2 × 2


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

SEBUAH


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

sebuah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

c


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

b


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

d


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle\ mathbf {A} = {\ mulai {bmatrix} a&c\\ b&d\ end {bmatrix}}}


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

dapat dilihat sebagai transformasi unit persegi menjadi jajaran genjang dengan simpul pada (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), dan (c, d).


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Jajaran genjang yang digambarkan di sebelah kanan diperoleh dengan mengalikan A dengan masing-masing vektor kolom


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle {\ start {bmatrix} 0\\ 0\ end {bmatrix}}, {\ start {bmatrix} 1\\ 0\ end {bmatrix}}, {\ start {bmatrix} 1\\ 1\ end {bmatrix}}}


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

dan


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle {\ start {bmatrix} 0\\ 1\ end {bmatrix}}}


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

pada gilirannya.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Vektor-vektor ini mendefinisikan simpul unit persegi.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Tabel berikut menunjukkan sejumlah matriks 2-oleh-2 dengan peta linear terkait R2.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Asli biru dipetakan ke grid hijau dan bentuk.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Asal (0,0) ditandai dengan titik hitam.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Di bawah korespondensi 1-ke-1 antara matriks dan peta linier, perkalian matriks sesuai dengan komposisi peta: [25] jika matriks k-by-m B mewakili peta linier lain g: Rm → Rk, maka komposisi g f diwakili oleh BA sejak


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

(g)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

(x) = g (f


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

(x)) = g (Kapak) = B (Kapak) = (BA) x.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Kesetaraan terakhir mengikuti asosiativitas multiplikasi matriks yang disebutkan di atas.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Peringkat matriks A adalah jumlah maksimum vektor baris independen linear dari matriks, yang sama dengan jumlah maksimum vektor kolom independen linear [26]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Secara ekuivalen itu adalah dimensi gambar peta linier yang diwakili oleh A. [27]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Teorema peringkat — nullity menyatakan bahwa dimensi kernel matriks ditambah pangkat sama dengan jumlah kolom matriks. [28]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks persegi


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks persegi adalah matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks n-by-n dikenal sebagai matriks persegi urutan n.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Setiap dua matriks persegi dengan urutan yang sama dapat ditambahkan dan dikalikan.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Entri aii membentuk diagonal utama dari matriks persegi.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Mereka berbaring di garis imajiner yang membentang dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Jenis utama


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks diagonal dan segitiga


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Jika semua entri A di bawah diagonal utama adalah nol, A disebut matriks segitiga atas.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Demikian pula jika semua entri A di atas diagonal utama adalah nol, A disebut matriks segitiga yang lebih rendah.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Jika semua entri di luar diagonal utama adalah nol, A disebut matriks diagonal.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks identitas


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks identitas Dalam ukuran n adalah matriks n-by-n di mana semua elemen pada diagonal utama sama dengan 1 dan semua elemen lainnya sama dengan 0, misalnya,


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

SAYA


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

SAYA


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

SAYA


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

n


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle\ mathbf {I} _ {1} = {\ start {bmatrix} 1\ end {bmatrix}},\\ mathbf {I} _ {2} = {\ start {bmatrix} 1&0\\ 0&1\ end {bmatrix}},\\ cdots,\\ mathbf {I} _ {n} = {\ start {bmatrix}},\\ cdots,\\ mathbf {I} _ {n} = {\ start {bmatrix} matriks} 1&0&\ cdots &0\\ 0&1&\ cdots &0\\\ vdots &\ ddots &\ vdots\\ 0&0 &\ cdots &1\ end {bmatrix}}


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Ini adalah matriks persegi pesanan n, dan juga jenis matriks diagonal khusus.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Ini disebut matriks identitas karena perkalian dengan itu meninggalkan matriks tidak berubah:


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Ain = iMA = A untuk setiap m-by-n matriks A.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Sebuah kelipatan skalar nol dari matriks identitas disebut matriks skalar.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Jika entri matriks berasal dari bidang, matriks skalar membentuk kelompok, di bawah perkalian matriks, yang isomorfik ke kelompok perkalian elemen nol lapangan.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks simetris atau miring simetris


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks persegi A yang sama dengan transposnya, yaitu A = AT, adalah matriks simetris.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Jika sebaliknya, A sama dengan negatif transposnya, yaitu, A = −AT, maka A adalah matriks simetris miring.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Dalam matriks kompleks, simetri sering digantikan oleh konsep matriks Hermitian, yang memenuhi A= A, di mana bintang atau tanda bintang menunjukkan transpos konjugat matriks, yaitu transpose konjugat kompleks A.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Dengan teorema spektral, matriks simetris nyata dan matriks Hermitian kompleks memiliki dasar eigen; yaitu, setiap vektor dapat diekspresikan sebagai kombinasi linier vektor eigen.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Dalam kedua kasus tersebut, semua nilai eigen adalah nyata. [29]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Teorema ini dapat digeneralisasikan ke situasi dimensi tak terbatas yang terkait dengan matriks dengan banyak baris dan kolom yang tak terhingga, lihat di bawah.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks terbalik dan kebalikannya


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Sebuah matriks persegi A disebut terbalik atau non-tunggal jika ada matriks B sehingga


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

AB = BA = Dalam, [30] [31]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

dimana In adalah matriks identitas n × n dengan 1s pada diagonal utama dan 0s di tempat lain.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Jika B ada, itu adalah unik dan disebut matriks terbalik dari A, dilambangkan A-1.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks yang pasti


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Sebuah simetris n × n-matriks A disebut positif-pasti jika bentuk kuadrat terkait


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

f


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

(x) = XTax


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

memiliki nilai positif untuk setiap vektor nol x di Rn.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Jika f


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

(x) hanya mengambil hasil nilai negatif maka A adalah negatif-pasti; jika f memang menghasilkan nilai negatif dan positif maka A tidak terbatas. [32]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Jika bentuk kuadrat f hanya menghasilkan nilai non-negatif (positif atau nol), matriks simetris disebut positif-semidefinit (atau jika hanya nilai non-positif, maka negatif-semidefinit); maka matriks tidak terbatas tepat ketika tidak positif-semidefinit atau negatif-semidefinit.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks simetris pasti positif jika dan hanya jika semua nilai eigennya positif, yaitu matriksnya positif-semidefinit dan dapat dibalik. [33]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Tabel di sebelah kanan menunjukkan dua kemungkinan untuk matriks 2-by-2.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Memungkinkan sebagai masukan dua vektor yang berbeda malah menghasilkan bentuk bilinear yang terkait dengan A:


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

BA (x,


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

y) = xTay. [34]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks ortogonal


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks ortogonal adalah matriks persegi dengan entri nyata yang kolom dan barisnya adalah vektor satuan ortogonal (yaitu vektor ortonormal).


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Secara ekuivalen, matriks A bersifat ortogonal jika transposnya sama dengan kebalikannya:


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

SEBUAH


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

T


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

SEBUAH


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle\ mathbf {A} ^ {\ mathrm {T}} =\ mathbf {A} ^ {-1},\,}


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

yang memerlukan


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

SEBUAH


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

T


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

SEBUAH


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

SEBUAH


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

SEBUAH


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

T


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

SAYA


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

n


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle\ mathbf {A} ^ {\ mathrm {T}}\ mathbf {A} =\ mathbf {A}\ mathbf {A} ^ {\ mathrm {T}} =\ mathbf {I} _ {n},}


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

dimana In adalah matriks identitas ukuran n.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks ortogonal A harus dapat dibalik (dengan kebalikan A-1 = AT), kesatuan (A−1 = A*), dan normal (A* A = AA*).


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Penentu matriks ortogonal adalah +1 atau -1.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks ortogonal khusus adalah matriks ortogonal dengan determinan +1.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Sebagai transformasi linier, setiap matriks ortogonal dengan determinan +1 adalah rotasi murni tanpa refleksi, yaitu transformasi mempertahankan orientasi struktur yang ditransformasikan, sementara setiap matriks ortogonal dengan determinan -1 membalikkan orientasi, yaitu, adalah komposisi refleksi murni dan rotasi (mungkin null).


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks identitas memiliki determinan 1, dan rotasi murni dengan sudut nol.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Analog kompleks dari matriks ortogonal adalah matriks kesatuan.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Operasi utama


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Jejak


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Jejak, tr (A) dari matriks persegi A adalah jumlah entri diagonalnya.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Sementara perkalian matriks tidak komutatif seperti yang disebutkan di atas, jejak produk dari dua matriks tidak tergantung pada urutan faktor:


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

tr (AB) = tr (BA).


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Ini langsung dari definisi perkalian matriks:


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

tr


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

SEBUAH


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

B


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Σ


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

saya


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

m


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Σ


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

j


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

n


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

sebuah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

saya


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

j


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

b


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

j


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

saya


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

tr


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

B


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

SEBUAH


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle\ nama operator {tr} (\ mathbf {AB}) =\ sum _ {i = 1} ^ {m}\ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} b_ {ji} =\ nama operator {tr} (\ mathbf {BA}).


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Oleh karena itu, jejak produk lebih dari dua matriks tidak tergantung pada permutasi siklik matriks, namun ini secara umum tidak berlaku untuk permutasi sewenang-wenang (misalnya, tr (ABC) ≠ tr (BAC), secara umum).


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Juga, jejak matriks sama dengan transposnya, yaitu,


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

tr (SEBUAH) = tr (DI).


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Determinan


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Determinan det (A) atau | A | dari matriks persegi A adalah angka yang mengkodekan sifat-sifat tertentu dari matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Sebuah matriks adalah invertible jika dan hanya jika penentu adalah nol.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Nilai absolutnya sama dengan area (dalam R2) atau volume (dalam R3) dari gambar satuan kuadrat (atau kubus), sedangkan tandanya sesuai dengan orientasi peta linier yang sesuai: determinan positif jika dan hanya jika orientasi dipertahankan.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Penentu matriks 2-oleh-2 diberikan oleh


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

det


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

sebuah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

b


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

c


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

d


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

sebuah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

d


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

b


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

c


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle\ det {\ start {bmatrix} a&b\\ c&d\ end {bmatrix}} = ad-bc.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Penentu matriks 3-by-3 melibatkan 6 istilah (aturan Sarrus).


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Rumus Leibniz yang lebih panjang menggeneralisasi kedua rumus ini ke semua dimensi. [35]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Penentu produk matriks persegi sama dengan produk penentu mereka:


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

det (AB) = det (A) · det (B). [36]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Menambahkan kelipatan baris apa pun ke baris lain, atau kelipatan kolom apa pun ke kolom lain, tidak mengubah determinan.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Pertukaran dua baris atau dua kolom mempengaruhi determinan dengan mengalikannya dengan −1. [37] Menggunakan operasi ini, matriks apa pun dapat diubah menjadi matriks segitiga yang lebih rendah (atau atas), dan untuk matriks tersebut determinan sama dengan produk dari entri pada diagonal utama; ini menyediakan metode untuk menghitung penentu matriks apapun.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Akhirnya, ekspansi Laplace mengungkapkan penentu dalam hal anak di bawah umur, yaitu penentu matriks yang lebih kecil. [38]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Ekspansi ini dapat digunakan untuk definisi rekursif determinan (mengambil sebagai kasus awal penentu matriks 1-by-1, yang merupakan entri uniknya, atau bahkan penentu matriks 0-by-0, yaitu 1), yang dapat dilihat setara dengan rumus Leibniz.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Determinan dapat digunakan untuk memecahkan sistem linier menggunakan aturan Cramer, di mana pembagian determinan dua matriks persegi terkait setara dengan nilai masing-masing variabel sistem. [39]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Nilai eigen dan vektor eigen


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Sejumlah λ dan vektor non-nol v memuaskan


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Av = λ<b data-parsoid='{"dsr":[40891,40898,3,3]}'>v


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

disebut nilai eigen dan vektor eigen dari A, masing-masing. [40] [41]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Angka λ adalah nilai eigen dari n × n-matriks A jika dan hanya jika A −λ<b data-parsoid='{"dsr":[41248,41255,3,3]}'>In tidak dapat dibalik, yang setara dengan


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

det


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

SEBUAH


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

λ


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

SAYA


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle\ det ({\ mathsf {A}} -\ lambda {\ mathsf {I}}) =0.\}


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Pa polinomial dalam X tak tentu yang diberikan oleh evaluasi det determinan (X</i><b data-parsoid='{"dsr":[41623,41630,3,3]}'>In−A) disebut polinomial karakteristik A. ini adalah polinomial monik derajat n.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Oleh karena itu persamaan polinomial pA (λ) =0 memiliki paling banyak n solusi yang berbeda, yaitu nilai eigen matriks. [43]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Mereka mungkin rumit bahkan jika entri A nyata.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Menurut teorema Cayley—Hamilton, pA (A) = 0, yaitu, hasil penggantian matriks itu sendiri menjadi polinomial karakteristiknya sendiri menghasilkan matriks nol.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Aspek komputasi


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Perhitungan matriks sering dilakukan dengan teknik yang berbeda.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Banyak masalah dapat diselesaikan dengan kedua algoritma langsung atau pendekatan berulang.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Misalnya, vektor eigen dari matriks persegi dapat diperoleh dengan menemukan urutan vektor xn yang menyatu ke vektor eigen ketika n cenderung tak terbatas. [44]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Untuk memilih algoritma yang paling tepat untuk setiap masalah tertentu, penting untuk menentukan efektivitas dan ketepatan semua algoritma yang tersedia.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Domain yang mempelajari masalah ini disebut aljabar linier numerik [45]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Seperti situasi numerik lainnya, dua aspek utama adalah kompleksitas algoritma dan stabilitas numerik mereka.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Menentukan kompleksitas algoritma berarti menemukan batas atas atau perkiraan berapa banyak operasi dasar seperti penambahan dan perkalian skalar diperlukan untuk melakukan beberapa algoritma, misalnya, perkalian matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Misalnya, menghitung produk matriks dari dua matriks n-by-n menggunakan definisi yang diberikan di atas membutuhkan perkalian n3, karena untuk salah satu entri n2 produk, perkalian n diperlukan.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Algoritma Strassen mengungguli algoritma “naif” ini; hanya membutuhkan perkalian n2.807. [46]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Pendekatan yang disempurnakan juga menggabungkan fitur spesifik dari perangkat komputasi.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Dalam banyak situasi praktis informasi tambahan tentang matriks yang terlibat diketahui.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Kasus penting adalah matriks jarang, yaitu matriks yang sebagian besar entri nol.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Ada algoritma yang disesuaikan secara khusus untuk, katakanlah, pemecahan sistem linier Ax = b untuk matriks jarang A, seperti metode gradien konjugasi. [47]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Algoritma, secara kasar, stabil secara numerik, jika sedikit penyimpangan dalam nilai input tidak menyebabkan penyimpangan besar dalam hasilnya.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Misalnya, menghitung kebalikan dari matriks melalui ekspansi Laplace (adj (A) menunjukkan matriks adjugate A)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

A−1 = adj (A)/det (A)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

dapat menyebabkan kesalahan pembulatan yang signifikan jika penentu matriks sangat kecil.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Norma matriks dapat digunakan untuk menangkap pengkondisian masalah aljabar linier, seperti menghitung kebalikan matriks. [48]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Meskipun sebagian besar bahasa komputer tidak dirancang dengan perintah atau perpustakaan untuk matriks, pada awal tahun 1970-an, beberapa komputer desktop rekayasa seperti HP 9830 memiliki kartrid ROM untuk menambahkan perintah BASIC untuk matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Beberapa bahasa komputer seperti APL dirancang untuk memanipulasi matriks, dan berbagai program matematika dapat digunakan untuk membantu komputasi dengan matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Dekomposisi


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Ada beberapa metode untuk membuat matriks menjadi bentuk yang lebih mudah diakses.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Mereka umumnya disebut sebagai dekomposisi matriks atau teknik faktorisasi matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Minat dari semua teknik ini adalah bahwa mereka mempertahankan sifat-sifat tertentu dari matriks yang dimaksud, seperti determinan, peringkat atau terbalik, sehingga jumlah ini dapat dihitung setelah menerapkan transformasi, atau bahwa operasi matriks tertentu secara algoritmik lebih mudah dilakukan untuk beberapa jenis matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Faktor dekomposisi LU matriks sebagai produk yang lebih rendah (L) dan matriks segitiga atas (U). [50]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Setelah dekomposisi ini dihitung, sistem linier dapat diselesaikan dengan lebih efisien, dengan teknik sederhana yang disebut substitusi maju dan mundur.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Demikian juga, pembalikan matriks segitiga secara algoritmik lebih mudah dihitung.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Eliminasi Gaussian adalah algoritma yang serupa; itu mengubah matriks apa pun menjadi bentuk eselon baris [51]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Kedua metode dilanjutkan dengan mengalikan matriks dengan matriks dasar yang sesuai, yang sesuai dengan permuting baris atau kolom dan menambahkan kelipatan satu baris ke baris lain.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Dekomposisi nilai tunggal mengekspresikan matriks A sebagai produk UDV, di mana U dan V adalah matriks kesatuan dan D adalah matriks diagonal.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Eigendecomposition atau diagonalisasi mengekspresikan A sebagai produk VDV-1, di mana D adalah matriks diagonal dan V adalah matriks terbalik yang sesuai.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

[52] Jika A dapat ditulis dalam bentuk ini, itu disebut diagonalisasi.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Lebih umum, dan berlaku untuk semua matriks, dekomposisi Yordania mengubah matriks menjadi bentuk normal Yordania, yaitu matriks yang hanya entri nol adalah nilai eigen λ1 ke λn dari A, ditempatkan pada diagonal utama dan mungkin entri sama dengan satu langsung di atas diagonal utama, seperti yang ditunjukkan pada kanan [53]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Mengingat eigendecomposition, kekuatan n dari A (yaitu, n-fold iterasi perkalian matriks) dapat dihitung melalui


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Sebuah = (VDV−1) n = VDV−1VDV−1..


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

.VDV−1 = VDNV-1


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

dan kekuatan matriks diagonal dapat dihitung dengan mengambil kekuatan yang sesuai dari entri diagonal, yang jauh lebih mudah daripada melakukan eksponensiasi untuk A sebagai gantinya.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Ini dapat digunakan untuk menghitung matriks eA eksponensial, kebutuhan yang sering timbul dalam memecahkan persamaan diferensial linier, logaritma matriks dan akar kuadrat matriks. [54]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Untuk menghindari situasi yang tidak terkondisi secara numerik, algoritma lebih lanjut seperti dekomposisi Schur dapat digunakan. [55]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Aspek aljabar abstrak dan generalisasi


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks dapat digeneralisasikan dengan cara yang berbeda.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Aljabar abstrak menggunakan matriks dengan entri di bidang yang lebih umum atau bahkan cincin, sementara aljabar linier mengkodifikasi sifat matriks dalam pengertian peta linier.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Dimungkinkan untuk mempertimbangkan matriks dengan banyak kolom dan baris yang tak terhingga.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Ekstensi lain adalah tensor, yang dapat dilihat sebagai array angka dimensi yang lebih tinggi, sebagai lawan vektor, yang seringkali dapat direalisasikan sebagai urutan angka, sedangkan matriks adalah array angka persegi panjang atau dua dimensi. [56]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks, tunduk pada persyaratan tertentu cenderung membentuk kelompok yang dikenal sebagai kelompok matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Demikian pula dalam kondisi tertentu matriks membentuk cincin yang dikenal sebagai cincin matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Meskipun produk matriks tidak secara umum komutatif namun matriks tertentu membentuk bidang yang dikenal sebagai bidang matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks dengan entri yang lebih umum


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Artikel ini berfokus pada matriks yang entri adalah bilangan nyata atau kompleks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Namun, matriks dapat dipertimbangkan dengan jenis entri yang jauh lebih umum daripada bilangan nyata atau kompleks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Sebagai langkah pertama generalisasi, bidang apa pun, yaitu, satu set di mana operasi penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian didefinisikan dan berperilaku baik, dapat digunakan sebagai pengganti R atau C, misalnya bilangan rasional atau bidang terbatas.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Misalnya, teori pengkodean memanfaatkan matriks di bidang terbatas.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Dimanapun nilai eigen dipertimbangkan, karena ini adalah akar dari polinomial mereka mungkin hanya ada di bidang yang lebih besar daripada entri matriks; misalnya mereka mungkin kompleks dalam kasus matriks dengan entri nyata.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Kemungkinan untuk menafsirkan kembali entri matriks sebagai elemen dari bidang yang lebih besar (misalnya, untuk melihat matriks nyata sebagai matriks kompleks yang entri kebetulan semuanya nyata) kemudian memungkinkan mempertimbangkan setiap matriks persegi untuk memiliki set lengkap nilai eigen.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Atau satu dapat mempertimbangkan hanya matriks dengan entri dalam bidang aljabar tertutup, seperti C, dari awal.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Secara umum, matriks dengan entri dalam cincin R banyak digunakan dalam matematika. [57]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Cincin adalah gagasan yang lebih umum daripada bidang dalam bahwa operasi divisi tidak perlu ada.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Operasi penambahan dan perkalian matriks yang sama meluas ke pengaturan ini juga.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Set M (n, R) dari semua matriks n-by-n persegi di atas R adalah cincin yang disebut cincin matriks, isomorfik ke cincin endomorfisme modul R kiri Rn. [58]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Jika cincin R bersifat komutatif, yaitu perkalian bersifat komutatif, maka M (n, R) adalah nonkomutatif kesatuan (kecuali n = 1) aljabar asosiatif di atas R. penentu matriks persegi di atas cincin komutatif R masih dapat didefinisikan dengan menggunakan rumus Leibniz; matriks semacam itu dapat dibalik jika dan hanya jika determinan dapat dibalik dalam R, menggeneralisasi situasi di atas bidang F, di mana setiap elemen nol dapat dibalik. [59]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks di atas superring disebut supermatriks. [60]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks tidak selalu memiliki semua entri mereka di ring— yang sama atau bahkan di ring apapun sama sekali.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Satu kasus khusus tetapi umum adalah matriks blok, yang dapat dianggap sebagai matriks yang entri sendiri adalah matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Entri tidak perlu matriks persegi, dan karenanya tidak perlu menjadi anggota cincin apa pun; tetapi ukurannya harus memenuhi kondisi kompatibilitas tertentu.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Hubungan dengan peta linier


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Peta linier Rn → Rm setara dengan matriks m-by-n, seperti dijelaskan di atas.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Secara umum, setiap peta linier f: V → W antara ruang vektor dimensi terbatas dapat dijelaskan oleh matriks A = (aij), setelah memilih basis v1,..., vn V, dan w1,..., wm dari W (jadi n adalah dimensi V dan m adalah dimensi W), yang sedemikian rupa sehingga


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

f


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

v


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

j


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Σ


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

saya


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

m


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

sebuah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

saya


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

j


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

w


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

saya


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

untuk


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

j


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

n


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {j}) =\ sum _ {i = 1} ^ {m} a_ {i, j}\ mathbf {w} _ {i}\ qquad {\ mbox {untuk}} j = 1,\ ldots, n.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Dengan kata lain, kolom j dari A mengekspresikan gambar vj dalam hal vektor dasar wi dari W; sehingga hubungan ini secara unik menentukan entri matriks A. matriks tergantung pada pilihan basis: pilihan basis yang berbeda menimbulkan matriks yang berbeda, tetapi setara. [61]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Banyak gagasan konkret di atas dapat ditafsirkan kembali dalam cahaya ini, misalnya, matriks transpos AT menggambarkan transpos peta linier yang diberikan oleh A, sehubungan dengan basis ganda. [62]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Properti ini dapat dinyatakan kembali dengan cara yang lebih alami: kategori semua matriks dengan entri di bidang


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

k


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle k}


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

dengan perkalian sebagai komposisi setara dengan kategori ruang vektor dimensi terbatas dan peta linier di atas bidang ini.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Secara umum, himpunan matriks m × n dapat digunakan untuk mewakili peta R-linear antara modul bebas Rm dan Rn untuk cincin R sewenang-wenang dengan kesatuan.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Ketika komposisi n = m dari peta ini dimungkinkan, dan ini memunculkan cincin matriks matriks n × n yang mewakili cincin endomorfisme Rn.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Kelompok matriks


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Sebuah kelompok adalah struktur matematika yang terdiri dari satu set objek bersama dengan operasi biner, yaitu operasi yang menggabungkan dua objek ke sepertiga, tunduk pada persyaratan tertentu. [63]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Sebuah kelompok di mana objek matriks dan operasi kelompok adalah perkalian matriks disebut kelompok matriks. [64] [65]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Karena dalam kelompok setiap elemen harus terbalik, kelompok matriks yang paling umum adalah kelompok dari semua matriks terbalik dari ukuran tertentu, yang disebut kelompok linear umum.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Setiap properti matriks yang diawetkan di bawah produk matriks dan inverses dapat digunakan untuk menentukan kelompok matriks lebih lanjut.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Misalnya, matriks dengan ukuran tertentu dan dengan penentu 1 membentuk subkelompok (yaitu, kelompok yang lebih kecil terkandung dalam) kelompok linier umum mereka, yang disebut kelompok linier khusus. [66]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks ortogonal, ditentukan oleh kondisi


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

MTM = SAYA,


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

membentuk kelompok ortogonal. [67]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Setiap matriks ortogonal memiliki determinan 1 atau -1.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks ortogonal dengan determinan 1 membentuk subkelompok yang disebut kelompok ortogonal khusus.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Setiap kelompok terbatas adalah isomorfik ke gugus matriks, seperti yang dapat dilihat dengan mempertimbangkan representasi reguler dari kelompok simetris. [68]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Kelompok umum dapat dipelajari menggunakan kelompok matriks, yang relatif dipahami dengan baik, melalui teori representasi. [69]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks tak terbatas


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Dimungkinkan juga untuk mempertimbangkan matriks dengan banyak baris dan/atau kolom [70] bahkan jika, sebagai objek tak terbatas, seseorang tidak dapat menuliskan matriks seperti itu secara eksplisit.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Semua yang penting adalah bahwa untuk setiap elemen dalam baris set pengindeksan, dan setiap elemen dalam kolom set pengindeksan, ada entri yang didefinisikan dengan baik (set indeks ini bahkan tidak perlu subset dari bilangan asli).


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Operasi dasar penambahan, pengurangan, perkalian skalar, dan transposisi masih dapat didefinisikan tanpa masalah; Namun perkalian matriks mungkin melibatkan penjumlahan tak terbatas untuk menentukan entri yang dihasilkan, dan ini tidak didefinisikan secara umum.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Jika R adalah cincin dengan kesatuan, maka cincin endomorfisme


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

M


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

saya


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

SAYA


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

R


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle M=\ bigoplus _ {i\ in I} R}


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

sebagai modul R kanan isomorfik ke cincin matriks terbatas kolom


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

C


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

F


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

M


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

SAYA


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

R


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle\ mathbb {CFM} _ {I} (R)}


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

yang entri diindeks oleh


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

SAYA


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

SAYA


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle I\ kali I}


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

, dan yang kolomnya masing-masing hanya berisi banyak entri nol.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Endomorfisme M dianggap sebagai hasil modul R kiri dalam objek analog, matriks terbatas baris


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

R


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

F


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

M


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

SAYA


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

R


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle\ mathbb {RFM} _ {I} (R)}


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

yang barisnya masing-masing hanya memiliki banyak entri nol.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Jika matriks tak terbatas digunakan untuk menggambarkan peta linier, maka hanya matriks yang dapat digunakan semua kolom yang memiliki tetapi jumlah terbatas entri nol, untuk alasan berikut.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Untuk matriks A untuk menggambarkan peta linier f: V → W, basis untuk kedua ruang harus dipilih; ingat bahwa menurut definisi ini berarti bahwa setiap vektor dalam ruang dapat ditulis secara unik sebagai kombinasi linier (terbatas) dari vektor dasar, sehingga ditulis sebagai vektor (kolom) <i data-parsoid='{"dsr":[59906,59911,2,2]}'>v koefisien, hanya saja banyak entri vi yang bukan nol.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Sekarang kolom A menggambarkan gambar dengan f vektor basis individu V berdasarkan W, yang hanya berarti jika kolom-kolom ini hanya memiliki banyak entri nol.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Namun tidak ada batasan pada deretan A: dalam produk A · v hanya ada banyak koefisien nol v yang terlibat, sehingga setiap entri, bahkan jika diberikan sebagai jumlah produk yang tak terbatas, hanya melibatkan banyak istilah nol dan oleh karena itu didefinisikan dengan baik.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Selain itu, jumlah ini untuk membentuk kombinasi linier dari kolom A yang secara efektif hanya melibatkan banyak dari mereka, dari mana hasilnya hanya memiliki banyak entri nol, karena masing-masing kolom tersebut tidak.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Produk dari dua matriks dari jenis yang diberikan didefinisikan dengan baik (asalkan kolom-indeks dan baris-indeks set cocok), adalah dari jenis yang sama, dan sesuai dengan komposisi peta linear.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Jika R adalah cincin normed, maka kondisi baris atau kolom finiteness dapat santai.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Dengan norma di tempat, seri benar-benar konvergen dapat digunakan sebagai pengganti jumlah terbatas.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Misalnya, matriks yang jumlah kolomnya benar-benar urutan konvergen membentuk cincin.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Secara analog, matriks yang jumlah barisnya benar-benar seri konvergen juga membentuk cincin.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks tak terbatas juga dapat digunakan untuk menggambarkan operator di ruang Hilbert, di mana pertanyaan konvergensi dan kontinuitas muncul, yang sekali lagi menghasilkan kendala tertentu yang harus dikenakan.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Namun, sudut pandang eksplisit matriks cenderung mengaburkan masalah tersebut, [71] dan alat analisis fungsional yang abstrak dan lebih kuat dapat digunakan sebagai gantinya.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks kosong


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks kosong adalah matriks di mana jumlah baris atau kolom (atau keduanya) adalah nol. [72] [73]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks kosong membantu menangani peta yang melibatkan ruang vektor nol.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Misalnya, jika A adalah matriks 3-by-0 dan B adalah matriks 0-by-3, maka AB adalah matriks nol 3-by-3 yang sesuai dengan peta nol dari ruang 3 dimensi V ke dirinya sendiri, sedangkan BA adalah matriks 0-by-0.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Tidak ada notasi umum untuk matriks kosong, tetapi sebagian besar sistem aljabar komputer memungkinkan pembuatan dan komputasi dengannya.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Penentu matriks 0-by-0 adalah 1 sebagai berikut dari mengenai produk kosong yang terjadi dalam rumus Leibniz untuk penentu sebagai 1. Nilai ini juga konsisten dengan fakta bahwa peta identitas dari ruang dimensi terbatas untuk dirinya sendiri memiliki determinant1, sebuah fakta yang sering digunakan sebagai bagian dari karakterisasi determinan.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Aplikasi


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Ada banyak aplikasi matriks, baik dalam matematika maupun ilmu lainnya.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Beberapa dari mereka hanya mengambil keuntungan dari representasi kompak dari satu set angka dalam matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Misalnya, dalam teori permainan dan ekonomi, matriks hasil mengkodekan hasil untuk dua pemain, tergantung pada mana dari satu set alternatif yang diberikan (terbatas) yang dipilih pemain. [74]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Penambangan teks dan kompilasi tesaurus otomatis memanfaatkan matriks jangka dokumen seperti tf-idf untuk melacak frekuensi kata-kata tertentu dalam beberapa dokumen.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Bilangan kompleks dapat diwakili oleh matriks 2-by-2 nyata tertentu melalui


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

sebuah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

saya


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

b


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

sebuah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

b


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

b


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

sebuah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle a+ib\ leftrightarrow {\ start {bmatrix} a&-b\\ b&a\ end {bmatrix}},}


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

di mana penambahan dan perkalian bilangan kompleks dan matriks sesuai satu sama lain.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Misalnya, matriks rotasi 2-oleh-2 mewakili perkalian dengan beberapa jumlah kompleks nilai absolut 1, seperti di atas.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Interpretasi serupa dimungkinkan untuk kuaternion [76] dan aljabar Clifford secara umum.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Teknik enkripsi awal seperti cipher Hill juga menggunakan matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Namun, karena sifat linear dari matriks, kode-kode ini relatif mudah untuk istirahat.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Grafik komputer menggunakan matriks baik untuk mewakili objek dan untuk menghitung transformasi objek menggunakan matriks rotasi affine untuk menyelesaikan tugas-tugas seperti memproyeksikan objek tiga dimensi ke layar dua dimensi, sesuai dengan pengamatan kamera teoritis.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks di atas cincin polinomial penting dalam studi teori kontrol.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Kimia memanfaatkan matriks dengan berbagai cara, terutama karena penggunaan teori kuantum untuk membahas ikatan molekuler dan spektroskopi.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Contohnya adalah matriks tumpang tindih dan matriks Fock yang digunakan dalam memecahkan persamaan Roothaan untuk mendapatkan orbital molekuler dari metode Hartree-Fock.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Teori grafik


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks adjacency dari grafik hingga adalah gagasan dasar teori grafik. [79]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Ini mencatat simpul grafik yang dihubungkan oleh tepi.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks yang berisi hanya dua nilai yang berbeda (1 dan 0 yang berarti misalnya “ya” dan “tidak”, masing-masing) disebut matriks logis.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks jarak (atau biaya) berisi informasi tentang jarak tepi. [80]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Konsep-konsep ini dapat diterapkan ke situs web yang dihubungkan oleh hyperlink atau kota yang dihubungkan oleh jalan dll., Dalam hal ini (kecuali jaringan koneksi sangat padat) matriks cenderung jarang, yaitu, berisi beberapa entri nol.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Oleh karena itu, algoritma matriks khusus disesuaikan dapat digunakan dalam teori jaringan.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Analisis dan geometri


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks Hessian dari fungsi yang dapat dibedakan ƒ: Rn → R terdiri dari turunan kedua dari ƒ sehubungan dengan beberapa arah koordinat, yaitu, [81]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

H


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

f


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

f


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

x


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

saya


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

x


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

j


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle H (f) =\ kiri [{\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i}\,\ partial x_ {j}}\ right].


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Ini mengkodekan informasi tentang perilaku pertumbuhan lokal fungsi: diberikan titik kritis x = (x1,... , xn), yaitu titik di mana turunan parsi pertama


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

f


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

x


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

saya


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle\ parsi f/\ sebagian x_ {i}}


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

ƒ lenyap, fungsi memiliki minimum lokal jika matriks Hessian pasti positif.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Pemrograman kuadrat dapat digunakan untuk menemukan minima global atau maxima fungsi kuadrat yang terkait erat dengan yang melekat pada matriks (lihat di atas). [82]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks lain yang sering digunakan dalam situasi geometris adalah matriks Jacobi dari peta yang dapat dibedakan f: Rn → Rm.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Jika f1,..., fm menunjukkan komponen f, maka matriks Jacobi didefinisikan sebagai [83]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

J


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

f


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

f


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

saya


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

x


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

j


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

saya


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

m


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

j


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

n


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle J (f) =\ kiri [{\ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial x_ {j}}}\ right] _ {1\ leq i\ leq m,1\ leq j\ leq n}.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Jika n> m, dan jika pangkat matriks Jacobi mencapai nilai maksimumnya m, f secara lokal dapat dibalik pada saat itu, oleh teorema fungsi implisit [84]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Persamaan diferensial sebagian dapat diklasifikasikan dengan mempertimbangkan matriks koefisien dari operator diferensial orde tertinggi dari persamaan.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Untuk persamaan diferensial parsi elips matriks ini pasti positif, yang memiliki pengaruh yang menentukan pada serangkaian solusi yang mungkin dari persamaan yang dimaksud. [85]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Metode elemen hingga adalah metode numerik penting untuk memecahkan persamaan diferensial parsi, banyak diterapkan dalam simulasi sistem fisik yang kompleks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Ia mencoba untuk mendekati solusi untuk beberapa persamaan dengan fungsi linear piecewise, di mana potongan-potongan yang dipilih sehubungan dengan grid cukup halus, yang pada gilirannya dapat disusun kembali sebagai persamaan matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Teori probabilitas dan statistik


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks stokastik adalah matriks persegi yang barisnya adalah vektor probabilitas, yaitu entri yang tidak negatif dan jumlahnya menjadi satu.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks stokastik digunakan untuk mendefinisikan rantai Markov dengan banyak negara bagian. [87]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Deretan matriks stokastik memberikan distribusi probabilitas untuk posisi berikutnya dari beberapa partikel saat ini dalam keadaan yang sesuai dengan baris.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Sifat-sifat rantai Markov seperti menyerap negara, yaitu, menyatakan bahwa setiap partikel mencapai akhirnya, dapat dibaca dari eigenvektor dari matriks transisi. [88]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Statistik juga menggunakan matriks dalam berbagai bentuk. [89]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Statistik deskriptif berkaitan dengan menggambarkan kumpulan data, yang sering dapat direpresentasikan sebagai matriks data, yang kemudian dapat dikenakan teknik pengurangan dimensi.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks kovarians mengkodekan varians timbal balik dari beberapa variabel acak. [90]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Teknik lain yang menggunakan matriks adalah kotak paling linier, metode yang mendekati satu set pasangan yang terbatas (x1, y1), (x2, y2),..., (xN, yN), dengan fungsi linier


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

yi ≈ axi + b, i = 1,..., N


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

yang dapat dirumuskan dalam hal matriks, terkait dengan dekomposisi nilai tunggal matriks. [91]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks acak adalah matriks yang entri adalah angka acak, tunduk pada distribusi probabilitas yang sesuai, seperti distribusi normal matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Di luar teori probabilitas, mereka diterapkan dalam domain mulai dari teori bilangan hingga fisika. [92] [93]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Simetri dan transformasi dalam fisika


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Transformasi linier dan simetri terkait memainkan peran kunci dalam fisika modern.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Misalnya, partikel elementer dalam teori medan kuantum diklasifikasikan sebagai representasi dari kelompok relativitas khusus Lorentz dan, lebih khusus lagi, oleh perilaku mereka di bawah kelompok putaran.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Representasi konkret yang melibatkan matriks Pauli dan matriks gamma yang lebih umum adalah bagian integral dari deskripsi fisik fermion, yang berperilaku sebagai spinor. [94]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Untuk tiga quark paling ringan, ada representasi kelompok-teoritis yang melibatkan kelompok kesatuan khusus SU (3); untuk perhitungan mereka, fisikawan menggunakan representasi matriks yang nyaman yang dikenal sebagai matriks Gell-Mann, yang juga digunakan untuk kelompok pengukur SU (3) yang membentuk dasar modern deskripsi interaksi nuklir yang kuat, kromodinamika kuantum.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks Cabibbo — Kobayashi — Maskawa, pada gilirannya, mengungkapkan fakta bahwa keadaan quark dasar yang penting untuk interaksi yang lemah tidak sama dengan, tetapi terkait secara linear dengan keadaan quark dasar yang mendefinisikan partikel dengan massa spesifik dan berbeda. [95]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Kombinasi linier dari keadaan kuantum


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Model pertama mekanika kuantum (Heisenberg, 1925) mewakili operator teori dengan matriks dimensi tak terbatas yang bekerja pada keadaan kuantum.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Ini juga disebut sebagai mekanika matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Salah satu contoh khusus adalah matriks kepadatan yang mencirikan keadaan “campuran” dari sistem kuantum sebagai kombinasi linier dari dasar, “murni” eigenstates. [97]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks lain berfungsi sebagai alat kunci untuk menggambarkan eksperimen hamburan yang membentuk landasan fisika partikel eksperimental: Reaksi tabrakan seperti terjadi pada akselerator partikel, di mana partikel yang tidak berinteraksi saling berhadapan dan bertabrakan di zona interaksi kecil, dengan satu set baru partikel yang tidak berinteraksi sebagai hasilnya, dapat digambarkan sebagai produk skalar dari keadaan partikel keluar dan kombinasi linier dari keadaan partikel ingoing.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Kombinasi linier diberikan oleh matriks yang dikenal sebagai matriks S, yang mengkodekan semua informasi tentang kemungkinan interaksi antar partikel.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Mode normal


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Aplikasi umum matriks dalam fisika adalah deskripsi sistem harmonik yang digabungkan secara linear.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Persamaan gerak sistem tersebut dapat dijelaskan dalam bentuk matriks, dengan matriks massa mengalikan kecepatan umum untuk memberikan istilah kinetik, dan matriks gaya mengalikan vektor perpindahan untuk mengkarakterisasi interaksi.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Cara terbaik untuk mendapatkan solusi adalah dengan menentukan vektor vektor sistem, mode normalnya, dengan mendiagonalisasi persamaan matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Teknik seperti ini sangat penting dalam hal dinamika internal molekul: getaran internal sistem yang terdiri dari atom komponen yang saling terikat. [99]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Mereka juga diperlukan untuk menggambarkan getaran mekanik, dan osilasi di sirkuit listrik. [100]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Optik geometris


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Optik geometris menyediakan aplikasi matriks lebih lanjut.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Dalam teori aproksimatif ini, sifat gelombang cahaya diabaikan.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Hasilnya adalah model di mana sinar cahaya memang sinar geometris.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Jika defleksi sinar cahaya oleh elemen optik kecil, aksi lensa atau elemen reflektif pada sinar cahaya tertentu dapat dinyatakan sebagai perkalian vektor dua komponen dengan matriks dua-oleh-dua yang disebut matriks transfer sinar: komponen vektor adalah kemiringan sinar cahaya dan jaraknya dari sumbu optik, sedangkan matriks mengkodekan sifat-sifat elemen optik.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Sebenarnya, ada dua jenis matriks, yaitu. matriks pembiasan yang menggambarkan pembiasan pada permukaan lensa, dan matriks terjemahan, menggambarkan terjemahan bidang referensi ke permukaan pembiasan berikutnya, di mana matriks pembiasan lain berlaku.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Sistem optik, yang terdiri dari kombinasi lensa dan/atau elemen reflektif, hanya dijelaskan oleh matriks yang dihasilkan dari produk matriks komponen. [101]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Elektronika


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Analisis mesh tradisional dan analisis nodal dalam elektronik mengarah pada sistem persamaan linier yang dapat digambarkan dengan matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Perilaku banyak komponen elektronik dapat dijelaskan menggunakan matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Biarkan A menjadi vektor 2 dimensi dengan tegangan input komponen v1 dan arus input i1 sebagai elemennya, dan biarkan B menjadi vektor 2 dimensi dengan tegangan keluaran komponen v2 dan arus keluaran i2 sebagai elemennya.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Kemudian perilaku komponen elektronik dapat dijelaskan oleh B = H · A, di mana H adalah matriks 2 x 2 yang mengandung satu elemen impedansi (h12), satu elemen masuk (h21) dan dua elemen tanpa dimensi (h11 dan h22).


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Menghitung sirkuit sekarang mengurangi untuk mengalikan matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Sejarah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks memiliki sejarah panjang aplikasi dalam memecahkan persamaan linear tetapi mereka dikenal sebagai array sampai 1800-an.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Teks Mandarin Sembilan Bab tentang Seni Matematika yang ditulis pada abad ke-10 — 2 SM adalah contoh pertama penggunaan metode array untuk menyelesaikan persamaan simultan, [102] termasuk konsep determinan.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Pada tahun 1545 matematikawan Italia Gerolamo Cardano membawa metode ini ke Eropa ketika ia menerbitkan Ars Magna.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matematikawan Jepang Seki menggunakan metode array yang sama untuk memecahkan persamaan simultan pada tahun 1683. [104] Matematika BelandaJan de Witt mewakili transformasi menggunakan array dalam bukunya 1659 Elemen Kurva (1659).


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

[105] Antara 1700 dan 1710 Gottfried Wilhelm Leibniz mempublikasikan penggunaan array untuk merekam informasi atau solusi dan bereksperimen dengan lebih dari 50 sistem array yang berbeda. [103]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Cramer mempresentasikan pemerintahannya pada tahun 1750.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Istilah “matriks” (Latin untuk “rahim”, berasal dari ibu — ibu [106]) diciptakan oleh James Joseph Sylvester pada tahun 1850, [107] yang memahami matriks sebagai objek yang memunculkan sejumlah determinan yang saat ini disebut anak di bawah umur, artinya, penentu matriks yang lebih kecil yang berasal dari yang asli dengan menghapus kolom dan baris.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Dalam makalah 1851, Sylvester menjelaskan:


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Saya memiliki dalam makalah sebelumnya didefinisikan “Matriks” sebagai array persegi panjang istilah, dari mana sistem yang berbeda dari determinan dapat ditimbulkan sebagai dari rahim orang tua umum. [108]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Arthur Cayley menerbitkan risalah tentang transformasi geometris menggunakan matriks yang tidak diputar versi koefisien yang sedang diselidiki seperti yang telah dilakukan sebelumnya.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Sebaliknya ia mendefinisikan operasi seperti penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian sebagai transformasi dari matriks tersebut dan menunjukkan sifat asosiatif dan distributif yang berlaku.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Cayley menyelidiki dan menunjukkan sifat non-komutatif perkalian matriks serta properti komutatif penambahan matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

[103] Teori matriks awal telah membatasi penggunaan array hampir secara eksklusif untuk determinan dan operasi matriks abstrak Arthur Cayley bersifat revolusioner.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Dia berperan dalam mengusulkan konsep matriks independen dari sistem persamaan.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Pada tahun 1858 Cayley menerbitkan memoar A tentang teori matriks [109] [110] di mana ia mengusulkan dan mendemonstrasikan Teorema Cayley — Hamilton. [103]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Seorang matematikawan Inggris bernama Cullis adalah yang pertama menggunakan notasi braket modern untuk matriks pada tahun 1913 dan ia secara bersamaan menunjukkan penggunaan signifikan pertama dari notasi A = [ai, j] untuk mewakili matriks di mana ai, j mengacu pada ith baris dan jth kolom. [103]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Studi modern tentang determinan muncul dari beberapa sumber. [111]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Masalah angka-teoritis menyebabkan Gauss menghubungkan koefisien bentuk kuadrat, yaitu ekspresi seperti x2+xy - 2<i>y2, dan peta linier dalam tiga dimensi ke matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Eisenstein mengembangkan lebih lanjut gagasan ini, termasuk pernyataan bahwa, dalam bahasa modern, produk matriks bersifat non-komutatif.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Cauchy adalah yang pertama membuktikan pernyataan umum tentang determinan, menggunakan definisi penentu matriks A = [ai, j] berikut ini: ganti kekuatan ajk dengan ajk dalam polinomial


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

sebuah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

sebuah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

sebuah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

n


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

saya


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

j


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

sebuah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

j


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

sebuah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

saya


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

{\ displaystyle a_ {1} a_ {2}\ cdots a_ {n}\ prod _ {i <j} (a_ {j} -a_ {i})\;}


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

dimana Π menunjukkan produk dari istilah yang ditunjukkan.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Dia juga menunjukkan, pada tahun 1829, bahwa nilai eigen matriks simetris itu nyata. [112]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Jacobi mempelajari “determinan fungsional"—kemudian disebut determinan Jacobi oleh Sylvester — yang dapat digunakan untuk menggambarkan transformasi geometris pada tingkat lokal (atau sangat kecil), lihat di atas; Kronecker's Vorlesungen über die Theorie der Determinanten [113] dan Weierstrass' Zur Determinantentheorie, [114] keduanya diterbitkan pada tahun 1903, pertama diperlakukan determinan aksiomatis, sebagai lawan pendekatan yang lebih konkret sebelumnya seperti rumus disebutkan Cauchy.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Pada saat itu, determinan mapan.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Banyak teorema pertama kali didirikan untuk matriks kecil saja, misalnya teorema Cayley—Hamilton dibuktikan untuk matriks 2 × 2 oleh Cayley dalam memoar tersebut, dan oleh Hamilton untuk matriks 4 × 4.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Frobenius, mengerjakan bentuk bilinear, menggeneralisasikan teorema ke semua dimensi (1898).


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Juga pada akhir abad ke-19 eliminasi Gauss-Yordania (menggeneralisasi kasus khusus yang sekarang dikenal sebagai eliminasi Gauss) didirikan oleh Yordania.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Pada awal abad ke-20, matriks mencapai peran sentral dalam aljabar linier, [115] sebagian karena penggunaannya dalam klasifikasi sistem bilangan hiperkompleks abad sebelumnya.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Dimulainya mekanika matriks oleh Heisenberg, Born dan Jordan menyebabkan mempelajari matriks dengan banyak baris dan kolom yang tak terhingga [116]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Kemudian, von Neumann melakukan perumusan matematika mekanika kuantum, dengan mengembangkan lebih lanjut gagasan analitik fungsional seperti operator linier pada ruang Hilbert, yang, secara kasar, sesuai dengan ruang Euclidean, tetapi dengan tak terhingga arah independen.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Penggunaan historis lain dari kata “matriks” dalam matematika


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Kata tersebut telah digunakan dengan cara yang tidak biasa oleh setidaknya dua penulis yang memiliki kepentingan historis.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Bertrand Russell dan Alfred North Whitehead dalam Principia Mathematica mereka (1910-1913) menggunakan kata “matriks” dalam konteks aksioma reduksibilitas mereka.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Mereka mengusulkan aksioma ini sebagai sarana untuk mengurangi fungsi apa pun ke salah satu tipe yang lebih rendah, berturut-turut, sehingga pada “bawah” (urutan 0) fungsinya identik dengan ekstensinya:


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

“Mari kita beri nama matriks untuk fungsi apapun, namun banyak variabel, yang tidak melibatkan variabel yang jelas. Kemudian, setiap fungsi yang mungkin selain matriks berasal dari matriks melalui generalisasi, yaitu, dengan mempertimbangkan proposisi bahwa fungsi yang dimaksud adalah benar dengan semua nilai yang mungkin atau dengan beberapa nilai dari salah satu argumen, argumen atau argumen lain tetap tidak ditentukan”. [117]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Misalnya, fungsi Φ (x,


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

y) dari dua variabel x dan y dapat dikurangi menjadi kumpulan fungsi dari variabel tunggal, misalnya, y, dengan “mempertimbangkan” fungsi untuk semua nilai yang mungkin dari “individu” ai diganti di tempat variabel x.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Dan kemudian koleksi fungsi yang dihasilkan dari variabel tunggal y, yaitu, ÷ ai: Φ (ai,


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

y), dapat dikurangi menjadi “matriks” nilai dengan “mempertimbangkan” fungsi untuk semua nilai yang mungkin dari “individu” bi diganti di tempat variabel y:


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

: Φ (ai, bj).


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Alfred Tarski pada tahun 1946 Pengantar Logika menggunakan kata “matriks” secara sinonim dengan gagasan tabel kebenaran seperti yang digunakan dalam logika matematika [118]


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Lihat juga


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Multiplisitas aljabar


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Multiplisitas geometris


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Proses Gram — Schmidt


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Daftar matriks


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Kalkulus matriks


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Fungsi matriks


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Matriks periodik set


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Tensor


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Catatan


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Mengutip menggunakan parameter usang | deadurl = (membantu)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Referensi fisika


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Referensi sejarah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

A. Cayley Memoar tentang teori matriks.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Phil.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Trans.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

148 1858 17-37; Matematika.


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Makalah II 475-496


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

, cetak ulang edisi asli 1907


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Artikel ensiklopedis


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Sejarah


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Buku online


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

Kalkulator matriks online


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)


Question: Apa itu matriks dalam aljabar?

Matrix (matematika)

, paket freeware untuk aljabar matriks dan statistik


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Halaman Utama


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

The Young and the Restless (sering disingkat Y & R) adalah sinetron televisi Amerika yang dibuat oleh William J. Bell dan Lee Phillip Bell untuk CBS.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Acara ini diatur dalam versi fiksi Genoa City, Wisconsin.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Siaran pertama pada 26 Maret 1973, The Young and the Restless awalnya disiarkan sebagai episode setengah jam, lima kali seminggu.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Acara ini diperluas ke episode satu jam pada 4 Februari 1980. [5] pada tahun 2006, seri mulai ditayangkan episode encore weeknights di SoapNet [6] sampai 2013, ketika pindah ke TVGN (sekarang Pop).


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Pada 1 Juli 2013, Pop masih mengudara episode encore pada malam hari kerja.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

[7] [8] Seri ini juga disindikasi secara internasional.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

The Young and the Restless awalnya berfokus pada dua keluarga inti: keluarga Brooks kaya dan keluarga asuh kelas pekerja [3]


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Setelah serangkaian recasts dan keberangkatan di awal 1980-an, semua karakter asli kecuali Jill Foster ditulis.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Bell menggantikan mereka dengan keluarga inti baru, Abbotts dan Williamses.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Selama bertahun-tahun, keluarga lain seperti Newman, Barber-Winters, dan Baldwin-Fishers diperkenalkan [10] [11]


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Terlepas dari perubahan ini, salah satu alur cerita yang telah bertahan hampir sepanjang acara adalah perseteruan antara Jill Abbott dan Katherine Chancellor, persaingan terpanjang di sinetron Amerika mana pun.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Sejak debutnya, The Young and the Restless telah memenangkan sembilan Daytime Emmy Awards untuk Outstanding Drama Series.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Saat ini juga merupakan drama siang hari dengan peringkat tertinggi di televisi Amerika.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Pada 2008, itu telah muncul di puncak peringkat Nielsen mingguan dalam kategori itu selama lebih dari 1.000 minggu sejak 1988. [14] Pada 12 Desember 2013, menurut peringkat Nielsen, The Young and the Restless adalah drama siang hari terkemuka untuk 1.300 minggu yang belum pernah terjadi sebelumnya, atau 25 tahun.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Serial ini juga merupakan seri pendamping The Bold and the Beautiful, karena beberapa aktor telah menyeberang di antara pertunjukan.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Pada bulan Juni 2017, The Young and the Restless diperbarui selama tiga tahun tambahan.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Sejarah


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Untuk bersaing dengan sinetron ABC muda, All My Children, One Life to Live, dan General Hospital, para eksekutif CBS menginginkan serial siang hari baru yang berorientasi pada masa muda.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

William J. Bell dan Lee Phillip Bell menciptakan The Young and the Restless pada tahun 1972 untuk jaringan di bawah judul kerja, The Innocent Years!


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

[16] [17] “Kami dihadapkan dengan kenyataan yang sangat mengganggu bahwa Amerika muda telah kehilangan banyak kepolosannya,” kata Bell.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

“Kepolosan seperti yang kita ketahui dan jalani sepanjang hidup kita, dalam banyak hal, tidak ada lagi. “[18] Mereka mengubah judul seri menjadi The Young and the Restless karena mereka merasakannya “mencerminkan pemuda dan suasana hati awal tahun tujuh puluhan. “[18] The Bells menamai latar fiksi untuk pertunjukan setelah Genoa City yang sebenarnya, Wisconsin, yang terletak dalam perjalanan dari rumah mereka saat itu di Chicago ke tempat liburan musim panas tahunan mereka di Danau Jenewa.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

The Young and the Restless mulai ditayangkan pada 26 Maret 1973, menggantikan opera sabun yang dibatalkan, Where the Heart Is.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Bell bekerja sebagai kepala penulis dari debut seri sampai pensiun pada tahun 1998. [19] Dia menulis dari rumahnya di Chicago sementara produksi berlangsung di Los Angeles, California.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Awalnya, Bell ingin syuting seri di New York, namun, eksekutif CBS merasa bahwa Los Angeles akan lebih hemat biaya.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

John Conboy bertindak sebagai produser eksekutif pertama acara, tinggal di posisi itu sampai 1982. [5] Bell dan H.Wesley Kenney menjadi produser co-eksekutif tahun itu sampai Edward Scott mengambil alih pada tahun 1989.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Bell kemudian menjadi produser eksekutif senior.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Produser eksekutif lainnya termasuk David Shaughnessy, [20] John F. Smith, [21] Lynn Marie Latham, [22] Josh Griffith, [23] Maria Arena Bell, dan Paul Rauch. [24]


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Pada pertengahan 1980-an, Bell dan keluarganya pindah ke Los Angeles untuk membuat sinetron baru.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Selama waktu ini, ketiga anaknya, William Jr., Bradley, dan Lauralea Bell, masing-masing terlibat dalam sinetron.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Lauralea Bell bekerja sebagai aktris The Young and the Restless.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

Bradley Bell ikut menciptakan The Bold and the Beautiful bersama ayahnya.


Question: Kapan The Young and the Restless pertama mengudara?

Yang Muda dan Gelisah

William Bell Jr. terlibat dalam perusahaan produksi keluarga sebagai presiden Bell Dramatic Serial Co. dan Bell-Phillip Television Productions Inc.