0=1

Для людей с извращённым чувством юмора так называемые «эксперты» из Википедии предлагают статью, озаглавленную   **Малая теорема Ферма** .

**Малая теорема Ферма**  (ноль равняется единице; число ноль равняется числу один) — основной постулат всеобщего равенства, на основании которого доказывается равенство любых двух чисел (например, для доказательства 

a
=
b

{\displaystyle a=b}

 обе части равенства умножаются на 

a
−
b

{\displaystyle a-b}

, после чего к ним прибавляется 

b

{\displaystyle b}

). Доказательство малой теоремы Ферма, а следом за ней и Самой последней теоремы Ферма о всеобщем равенстве, стало настоящим прорывом в математике, благодаря которому были пересмотрены многие гипотезы и теории в самых различных науках. В частности, был обобщён второй постулат Эйнштейна специальной теории относительности: благодаря теоремам Ферма было показано, что скорость любого тела, да хоть бы и не тела, не зависит от скорости движения источника и одинакова во всех инерциальных системах отсчёта.

Малая теорема Ферма доказывается многими — похожими и отличающимися — методами.

## Математические методы

### Арифметические методы

#### Метод умножения

**Вариант 1.**

Справедливо равенство 
. Поделим это выражение на 

0

{\displaystyle 0}

. Получим:

отсюда выходит, что 

0
=
1

{\displaystyle 0=1}

.

**Вариант 2. Упрощённый.**

Дано: 
. Так как 

0
=
0

{\displaystyle 0=0}

, то 

0
=
1

{\displaystyle 0=1}

, тем же можно доказать всеобщее равенство всех чисел нулю.

#### Метод преобразования дробей

**Вариант 1. Вынесение общего множителя у дробей.**

Справедливо равенство

Вынесем общий множитель:

Сократим: 
.
Вычтем 4 и получим искомое равенство.

**Вариант 2. Преобразование равенства.**

Допустим, что есть некое равенство 

a
−
b
=
0

{\displaystyle a-b=0}

. А теперь поделим каждую сторону это равенства на 

a
−
b

{\displaystyle a-b}

. Получим:

или 
.

**Вариант 3. Деление на ноль.**

Справедливо выражение

значит

но

 (

x

{\displaystyle x}

 — любое число).

Возможно, 
, в таком случае, 

0
=
1

{\displaystyle 0=1}

.

#### Метод двоичной арифметики

В двоичной арифметике число 

0

{\displaystyle 0}

 можно изобразить или как 
, или как 

1
:
0

{\displaystyle 1:0}

. Однако, это по-прежнему одно и то же число. Сравнивая значения знаковых битов, следует вывод, что они могут быть только равны: 

0
=
1

{\displaystyle 0=1}

.

#### Обобщённый арифметический метод

Было бы гораздо удобнее считать, если бы 0 было равно 1, ведь тогда все числа равны друг другу и все выражения равны. Поэтому вводим новую аксиому: 0 = 1. Доказано.

### Алгебраические методы

#### Метод степеней нуля

**Вариант 1. Возведение в степень.**

Следует обратить внимание, что

(1) 

a

0

=
1

{\displaystyle a^{0}=1\,}

однако

(2) 

Подставим 

a
=
0

{\displaystyle a=0}

.
Следовательно формуле (2), 
, но, исходя из формулы (1), 

0

0

=
1

{\displaystyle 0^{0}=1}

.
Таким образом, 

0
=
1

{\displaystyle 0=1}

, что и требовалось доказать.

**Вариант 2. Степени единицы.**

Как известно, 

1

a

=
1

{\displaystyle 1^{a}=1}

, таким образом, 
. Но, если равны основания степеней и их
значения, то равны и показатели, то есть 

0
=
1

{\displaystyle 0=1}

, что и требовалось доказать.

#### Метод логарифмирования

Согласно формулам, 
 и 
. Подставим 
. Получим: из первой формулы

, но из второй формулы 
. Это значит, что 

0
=
1

{\displaystyle 0=1}

, что требовалось доказать.

#### Алгебраический метод

Метод, подобный предложенному в статье «Всеобщее равенство». Рассмотрим равенство

a
=
b
+
c

{\displaystyle a=b+c}

Умножим обе его части на 

a
−
b

{\displaystyle a-b}

. Получим:

то есть

Разложим на множители, получим

сокращаем, получаем 

a
=
b

{\displaystyle a=b}

. То есть, подставив 
, 
, получим требуемое равенство. Впрочем, этот метод годится для доказательства равенства всех чисел.

#### Метод составления уравнения

Возьмём 

x
=
1

{\displaystyle x=1}

. Это то же самое, что и 

x
−
1
=
0

{\displaystyle x-1=0}

. Добавим 

x

{\displaystyle x}

, получим: 
. Вычитаем единицу: 
. Выносим общий множитель за скобку: 
, и полученное выражение делим на 
. Получаем: 
. Вычитая из этого равенства единицу, получаем искомое выражение: 
. Что и следовало доказать.

#### Метод сравнения

Возьмем два произвольных положительных равных числа 

a

{\displaystyle a}

 и 

b

{\displaystyle b}

 и напишем для них следующие очевидные нестрогие неравенства: 

a
≥
−
b

{\displaystyle a\geq -b}

, 
. Перемножив оба эти неравенства почленно, получим неравенство 
, а после его деления на 

b

{\displaystyle b}

, что вполне законно, так как по условию 
, придём к выводу, что

Записав же два других столь же бесспорных неравенства 
, 
. Действуя аналогично предыдущему получим, что 
, а разделив на 

a

{\displaystyle a}

 (так как 

a
>
0

{\displaystyle a>0}

), придём к неравенству 
.

Итак, 

a
≥
b
≥
a

{\displaystyle a\geq b\geq a}

, что возможно только при 

a
=
b

{\displaystyle a=b}

. Если 
, 
, то получим, что 
, откуда, отняв от обеих частей равенства 

4

{\displaystyle 4}

, получим 

0
=
1

{\displaystyle 0=1}

.

#### Метод констант

Два неоспоримых равенства:

А если равны правые части выражений, значит равны и левые. Следовательно:

0
=
1

{\displaystyle 0=1}

### Геометрические методы

#### Метод треугольника

**Вариант 1 (по рис. 1).**

Рассмотрим два треугольника, представленных на рисунке. Площадь первого треугольника равна 
 клеточкам, а площадь второго треугольника, составленного из тех же фигур, что и первый треугольник, равна 
 клеточкам (две чёрные клетки внутри вырезаны). Получается, что

Отнимем от обеих частей равенства 
 и разделим на 

2

{\displaystyle 2}

, получим

то есть 

0
=
1

{\displaystyle 0=1}

, что и требовалось доказать.

**Вариант 2 (по рис. 2).**

Докажем сначала, что все треугольники — равносторонние. Рассмотрим произвольный 
. Проведем биссектрису угла 

B

{\displaystyle B}

 и серединный перпендикуляр к стороне 
; точку их пересечения назовём 

O

{\displaystyle O}

. Опустим из неё перпендикуляры 
 и 
 на стороны 
 и 

B
C

{\displaystyle BC}

 соответственно.

Так как 
 одновременно и высота, и медиана 
, то он равнобедренный и 
. Так как 
 — биссектриса, то, из равенства 
 и 
 (откуда 
), 
. Следовательно, 
, то есть 
. Отсюда, так как 
 и 
, 
. Проведя такое же рассуждение для основания не 
, а, например, 
, получим, что 
.

Из этого следует, что все треугольники на свете — равносторонние.

Теперь рассмотрим прямоугольный 
 с гипотенузой 
. По доказанному выше, 
, а по теореме Пифагора, 
. Имеем: 
 или 
. Отнимем от обеих частей равенства 
, получим 
, что и требовалось доказать.

#### Метод нольугольника

То, что 
, можно убедится, рассмотрев геометрическую фигуру нольугольник, у которой одна сторона и ноль углов. Учитывая, что в любом многоугольнике каждая сторона ограничена двумя вершинами, то есть углами, и из любого угла выходят две стороны, получаем, что число углов должно быть равно число сторон. То есть 
.

### Тригонометрический метод

**Вариант 1**

 Исходное утверждение 
 Следовательно 
 Отсюда 
 А значит 
 , что и требовалось доказать 
 , что и требовалось доказать 
 , что и требовалось доказать 

**Вариант 2**

 Исходное утверждение 
 Следовательно 
 Отсюда 
 А значит 
 , что и требовалось доказать 
 , что и требовалось доказать 
 , что и требовалось доказать 

**Вариант 3 (сокращённый)**

 Исходное утверждение 
 Следовательно 
 А значит 
 , что и требовалось доказать 
 , что и требовалось доказать 

### Комплексное исчисление

#### Иррациональный метод

Докажем сначала, что 
. Понятно, что 
. Представим части равенства так:

и 

Получим

Известно, что корень из дроби есть корень из числителя делённый на корень из знаменателя. Поэтому

По свойству пропорции

Следовательно, 
. Прибавив к обеим частям равенства 
 и разделив их на 
, получим требуемое равенство 
.

#### Канадский метод

**Вариант 1. Основной.**

Метод, предложенный канадскими учёными. Понятно, что

Значит,

Таким образом,

Так как 
, запишем равенство следующим образом:

Разделим обе части на 
, получим

Далее, прибавим к обеим частям равенства выражение 
, получим

.

Теперь умножим обе части на 
, получим

раскроем скобки:

Так как 
, получаем

.

Посчитав, получим, что 
, а отняв 
, найдём требуемое равенство: 
.

**Вариант 2. Упрощённый.**

Возьмём равенство из предыдущего варианта:

По правилу пропорций,

i
⋅
i
=
1
⋅
1

{\displaystyle i\cdot i=1\cdot 1}

то есть 
. Из последнего вытекает, что 
. Делим на 2 и получаем искомое равенство 
.

#### Метод комплексных логарифмов

Используя формулу Эйлера, вычисляем:

и

поэтому

Берём логарифм

И получаем

Делим обе части на 
:

Отсюда:

#### Метод комплексных степеней №1

Используя формулу Эйлера, вычисляем:

, в полярной системе e^πi = (1, -π)

Но по определению степени комплексного числа в полярной системе

(r, θ)^x = (r^x, θx)

то есть

e^πi = (e, 0)^πi = (e^πi, 0).

Значит,

(1, -π) = (e^πi, 0),

то есть

-π = 0

Прибавим π:

0 = π

Поделим на π:

0 = 1, что и требовалось доказать.

#### Метод комплексных степеней №2

Согласно всё той же формуле Эйлера, имеем:

Так как в правой части равенства стоит действительное число, то и число в левой части также действительное. Значит, можно возвести обе части равенства в квадрат:

Поскольку 1 - это е в нулевой степени, следовательно 
, а значит 
.

Возводя обе части этого равенства в четвертую степень, получаем 
, что и требовалось доказать.

#### Векторно-комплексный метод

Известно, что  
. Вычислим квадрат этого равенства:

С другой стороны, в стандартной прямоугольной декартовой системы координат используется вектор 
, задающий направление вдоль оси X. Также найдём его квадрат:

Заметим, что указывать значок вектора ("стрелочку") над квадратом вектора не обязательно, т.к. это число. Получаем:

Однако, мы уже знаем, что 
. Значит, верно, что:

Прибавив к обеим частям равенства 
 и разделив их на 
, получим требуемое равенство 
.

Стоит отметить, что этот метод универсальный, т.к. он работает и для мнимой единицы, обозначаемой через 
 (такое обозначение используется в электротехнике). Просто заметим, что в декартовой системы координат есть и вектор 
, задающий направление вдоль оси Y. Его квадрат также равен единице, так что все приведённые вычисления оказываются верны и в этом случае.

### Математический анализ

#### Метод производных

**Вариант 1.**

Как известно, 
 при любом 
. Но, подставив вместо 
 любое число, получаем, что производная становится равной 
. Следственно, 
.

**Вариант 2.**

Известно, что 
 и 
. То есть 
, отсюда следует, что 
.

#### Метод интегрирования

Проинтегрируем функцию 
:

.

Итак, 
.

#### Метод бесконечных рядов

Рассмотрим сумму бесконечного ряда 
. Представим его в виде

.

Теперь представим S теми же слагаемыми, но начиная с последнего. Имеем

то есть 
, значит 
, откуда, как указывалось выше, вытекает, что 
.

К подобному выводу также приводит рассмотрение ряда Гранди.

#### Метод убегающей единицы

#### Метод Крамера

Рассмотрим систему линейных уравнений

Разделив первое уравнение на  *c* 1, получим:  *x* 1 +  *x* 2 + · · +  *x* n = 1. Теперь решим систему методом Крамера.

Поскольку каждый столбец матрицы коэффицентов равен вектору свободных членов:

 для всех  *i* .

Подставляя в уравнение  *x* 1 +  *x* 2 + · · · +  *x* n = 1, мы получаем:

.

То есть:

### Теория чисел

#### Факториальный метод

Обычно факториалы разных чисел имеют разное значение. Однако 
 и 
, то есть

. Ссылаясь на ранее написанное, можно сказать, что 
.

#### Обобщённые цепные дроби

Мы знаем, что 
. Заменим 1 в знаменателе на правую часть данного неравенства и повторим так бесконечное число раз:

Но проделывая тоже самое с равенством 
, получаем, что 
.

Полученные цепные дроби равны, следовательно 
. Вычитая из обоих частей 
, получаем, что 
. Quod erat demonstrandum.

#### Метод смены системы счисления

Возьмем 
, поменяем систему счисления на двоичную, получим 
. Значит 
 и в частности 
 и 
.

Проверка:

. Умножаем на 2.

. От смены приравниваемых истинность не меняется, поэтому:

. Получили второй результат.

Доказано с двойной точностью.

### Математическая логика

#### Метод булевой алгебры

По общепринятой версии, 
, но в булевой алгебре 
. Очевидно, что 
.

#### Софизм

Известно, что если половина одного числа равна половине другого числа, то эти числа равны. Но полупустое ведро — это то же самое, что полуполное. Следовательно, пустое ведро равно полному. Значит, 
.

#### Индуктивный метод

**0 ничего = 1 ничего.** 

 **0 копеек = 1 копейка.** 

 **0 баллов = «кол» = 1 балл** 

 **0 микробов = 1 микроб.**

Так как эти частные случаи выполняются, значит, по индукции получаем: 

 **0 чего угодно = 1 чего угодно.** 

или 

.

#### Адедуктивный метод

. Умножим обе части на 0. Получим 
, что очевидно верно. Как известно из основ логики, если из нашего утверждения следует верное утверждение, значит оно верно. Доказано.

### Обобщённо-математический метод

В математике все постулируется. Значит, весь вопрос в том, что постулировать — 
 или 
. Выбираем 
. Доказано.

## Физические методы

### Метод крупных величин

Рассмотрим выражение 
. Так как 
 значительно больше 1, то единицей всегда можно пренебречь. Следовательно, прибавив 1, мы существенно ничего не изменим. Получаем 
. Отнимем 
, получим требуемое 
.

### Метод ядерного взрыва

*Вариант 1.* 
Аккуратно соединим два (
) куска плутония докритической массы. Счастливо избежав гибели, останемся с пустыми руками (
). Таким образом, 
. Разделив обе части уравнения на два получаем 
, или

*Вариант 2.* 
Запустим ядрёную бомбу с помощью межгалактичмежконтинентальной ракеты (
). С большой вероятностью она будет сбита системой ПВО (
). В результате удачи не останется ничего (
). Если же ракета-перехватчик промажет, то ядрёная бомба взорвётся по ударе о землю и останется одна ракета перехватчик (
).

Таким образом, либо 
, либо 
. Разделив на два первое утверждение и отняв единицу от обоих частей второго получаем 
, или же

### Транспортно-железнодорожный экспериментальный метод, вариант 1

Проведите следующий физический эксперимент, когда будете идти по платформе со стороны хвоста поезда и увидите, например, стоящий на путях восьмивагонный состав. Сообщите другу: «встречаемся у третьего вагона с хвоста». При этом друг, идущий со стороны головы поезда, дойдя до этого вагона отсчитает шесть полных вагонов: ведь третий с хвоста вагон в восьмивагонном составе будет шестым с головы. Но так как всего вагонов восемь, то:

, сложим 6 и 3:

, и наконец после сокращения на 8 получим искомое:

.

### Транспортно-железнодорожный экспериментальный метод, вариант 2

Как известно, подвижной состав российских и финских железных дорог полностью совместим, не смотря на то, что колея железной дороги различается: в Финляндии 1524 мм, а в России — 1520 мм. Следовательно, это одна и та же ширина колеи, то есть

Вычтем справа и слева 1520, а затем разделим правую и левую часть на 4:

.

## Астрономический метод

Рассмотрим вселенную до и после большого взрыва. Опишем состояние до как 
, после — как 
. Так как, очевидно, вселенная не изменилась, то получаем

## Метод программирования

### Общепрограммерский метод

Первый элемент массива часто обозначается нулевым индексом. Значит, первый — это нулевой. Отсюда выходит, что один равно нулю, а ноль одному: 
.

Пример программы:

#include <stdio.h>

void main()
{
  int* a = new int[10]; //массив
  int n = 1; //номер элемента массива
  int i = 0; //счётчик

  for(; i < 10; i++) //пробегая весь массив
  {
    a[i] = n; //присваиваем текущему элементу его номер
    n++; //увеличиваем номер
  }

  printf("Элемент массива с номером 0 (a[0]) имеет номер %d", a[0]);
  //Выведет:
  //Элемент массива с номером 0 (a[0]) имеет номер 1
  //Следовательно, 0 = 1
}

### Метод С++

См. код: 

. Подставляя 
, получаем, что 
, что и требовалось доказать.

*Примечание: этот факт не является точным, так как строка 
, то есть «
 точно равно 
», выдаёт «false», то есть 
 не точно равно 
.*

### Упрощённый метод С++

Возьмём строку из предыдущего метода: 
. Вычтем 
, и получим искомое равенство 
.

### Метод Malbolge

Если написать 
 в коде на языке Malbolge, а за ним 
, то они после расшифровки будут одной и той же командой, то есть 
 и 
 делают одно и то же, или 
.

## Метод очевидного

Очевидно, что 
. Доказано.

## Юридический метод

Пока ещё никто не доказал, что 
. Значит, необходимо считать, что

## Общенаучные методы

### Вики-метод (оформительный)

В любом вики-проекте 3 тильды дают только подпись, 5 тильд — только время, а 4 — подпись и время. Отсюда 
; 
. Разделим обе части на 4 (
) и вычтем по единице (
). По свойству коммутативности 
, что и требовалось доказать.

### Метод для ленивых

Если верить материалам статьи «Всеобщее равенство (математика)», все числа равны между собой и равны 
, значит, и 
 в частности.

### Метод для умных ленивых

Исходя из определения всеобщего равенства, берём числовое равенство 
. Как известно, 
, а 
, следственно, 
, что и требовалось доказать.

## Антинаучные методы

### Метод от противного

Предположим, что 
 — это неверное равенство.
 Ну и зачем мы это все столько времени доказывали? Незачем. Противно. 
Значит, быть этого не может.

Но факт или есть, или нет. Пришли к противоречию.

Итак, 
 — верное равенство.

### Очевидно неправильный

Так же называется методом добавления утверждения.

Рассмотрим два утверждения:

1. 

2. Оба утверждения ложны.

Предположим, что второе утверждение истинно. Тогда первое и второе ложно. Пришли к противоречию. Значит второе ложно и хотя бы одно утверждение из двух истинно.

Мы уже доказали, что второе не может быть истинным, значит истинно первое — 
. Что и требовалось доказать.

### Очевидно неправильный 2

Берём пример из прошлого примера:

1. 0=1

2. Оба утверждения ложны.

Если второе утверждение истинно - оно же ложно. Предположим, что второе утверждение верно. Второе утверждение утверждает, что оно неверно, то есть 0 (неверно) = 1 (верно).

## Художественный метод

См. иллюстрацию в заголовке статьи.

## Вики-метод

### Вики-метод/1

{{#ifexpr: 0=1|true|false}} → true — что и требовалось доказать.

### Вики-метод/2

{{#expr: 0}} → 1 — что и требовалось доказать.
{{#expr: 1}} → 0 — что и требовалось доказать.

### Вики-метод/3

{{#ifexpr: 1^0=1^1|true|false}} → true — что и требовалось доказать.

## Лингвистический метод

### Английский

В английском языке есть выражение «in no time» = «в мгновение ока».

Примем 1 мгновение ока за единицу.

Тогда:

- «in no time» = «в мгновение ока» | дословный перевод

- в никакое время = в 1 единицу времени | убираем время

- 0=1

Что и требовалось доказать.

## Примечания

## См. также

- Всеобщее равенство

- Список чисел

Совет

Понравилось — покажи друзьям.