Устойчивость Сферического коня в вакууме

**Понятие устойчивости сферического коня в вакууме**  связано с его способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели его из этого состояния.

Понятие устойчивости можно распространить и на случай движения сферического коня:

- Невозмущённое движение — движение, при котором конь, молча, двигается в вакууме, и соответственно его не возмущает.

- Возмущённое движение — движение, когда конь двигаясь, очень сильно возмущается сам и таким поведением возмущает окружающий вакуум.

### Определение устойчивости сферического коня в вакууме по М. Я. Ляпунову

Невозмущенное движение сферического коня (при Δxi∞=0) называется устойчивым по отношению к переменным 

x

i

{\displaystyle x_{i}}

 вакуума, если при всяком заданном положительном числе 

A

2

{\displaystyle A^{2}}

, как бы мало оно ни было, можно выбрать другое положительное число 

λ

2

{\displaystyle \lambda ^{2}}

 (

A

2

{\displaystyle A^{2}}

) так, что для всех возмущений Δxi0 вакуума, удовлетворяющих условию:

∑

i
=
0

n

μ

i

2

Δ

x

i
0

2

≤

λ

2

{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\mu _{i}^{2}\Delta x_{i0}^{2}\leq \lambda ^{2}}

.

Возмущённое движение будет для времени 

t
≥
T

{\displaystyle t\geq T}

 удовлетворять неравенству массы сферического коня и вакуума:

∑

i
=
0

n

μ

i

2

Δ

x

i

2

≤

λ

2

{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\mu _{i}^{2}\Delta x_{i}^{2}\leq \lambda ^{2}}

.

Тут 

μ

i

{\displaystyle \mu _{i}}

 — коэффициенты, уравновешивающие размерности величин 

Δ

x

i
0

{\displaystyle \Delta x_{i0}}

 коня и вакуума. Если с течением времени 

lim
δ

x

i

→
0

{\displaystyle \lim \delta x_{i}\to 0}

, сферический конь в вакууме не падает, то система асимптотически устойчива.

### Понятие о характеристическом уравнении сферического коня с вакуумом

Было сказано, что устойчивость системы сферического коня и вакуума связана с природой самого коня, а не с тем, как внешние источники движущих сил (задание, помехи) заставляют его перемещаться через вакуум по системе координат. Очевидно, что невозможно описать цепь преобразования энергии коня не учитывая источников вакуума. Поэтому в правой части ДУ описывающих систему устойчивости сферического коня и вакуума, всегда будут присутствовать источники движущих сил (вспомните, как записываются уравнения по II закону Кюхельбекера). Однако если их обнулить, то система ДУ не потеряет смысла. После отключения источников в любой линейной цепи преобразования энергии возникнет переходный процесс коня через вакуум, обусловленный энергией, которую накопил пассивный сферический конь, пока находился в статическом состоянии. Именно он определит, будет ли система устойчивой. И именно эта система ДУ, в которой обнулены величины источников движущих сил, называется характеристической. Если система характеристических ДУ решена относительно одной из координат, то она называется характеристическим уравнением сферического вакуумного коня.

### Условие устойчивости сферического коня в вакууме. Типы границы устойчивости.

Устойчивость коня зависит от корней характеристического уравнения, поскольку его решение есть сумма экспоненциальных функций вакуума:

y

перех

(
t
)
=

C

1

e

s

1

t

+

C

2

e

s

2

t

+
.
.
.
+

C

n

e

s

n

t

{\displaystyle y_{\text{перех}}(t)=C_{1}\mathrm {e} ^{s_{1}t}+C_{2}\mathrm {e} ^{s_{2}t}+...+C_{n}\mathrm {e} ^{s_{n}t}}

.

Рассмотрим варианты свободного движения сферического коня от ненулевого начального положения вакуума:

Заметим, что 

C

1

e

−
(
α
+
i
β
)
t

+

C

2

e

−
(
α
−
i
β
)
t

=
A

e

−
α
t

sin
⁡
(
β
t
+
ϕ
)

{\displaystyle C_{1}\mathrm {e} ^{-(\alpha +i\beta )t}+C_{2}\mathrm {e} ^{-(\alpha -i\beta )t}=A\mathrm {e} ^{-\alpha t}\sin(\beta t+\phi )}

, где: 

A

{\displaystyle A}

 и 

ϕ

{\displaystyle \phi }

 — новые постоянные интегрирования вакуума, 

α

{\displaystyle \alpha }

 — показатель затухания бега коня, 

β

{\displaystyle \beta }

 — круговая частота затухающих колебаний при падении не уравновешенного сферического коня.

Таким образом, для затухания переходного процесса вакуума и устойчивости сферического коня в линейной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы вещественные части коня были отрицательными, и лежали слева от мнимой оси плоскости корней параллельных сфер вакуума относительно основной части коня и обратно пропорциональной биссектрисе угла поворота сфероидной части, при дестабилизирующей функции вакуума.
Система сферического коня и вакуума будет находиться на границе устойчивости при наличии:

- Нулевого коня,

- Пары чисто мнимых коней,

- Бесконечного коня, или бесконечного вакуума.

### Необходимое условие устойчивости сферического коня в вакууме, достаточное только для систем 1-ого и 2-ого порядков вакуума.

Чтобы корни ХУ сферического коня имели отрицательные вещественные части, необходимо чтобы все его коэффициенты были положительны. Однако это условие является достаточным только для систем 1-ого и 2-ого порядков вакуума. Док-во:

a

0

s

n

+

a

1

s

n
−
1

+
.
.
.
+

a

n
−
1

s
+

a

n

=
0

{\displaystyle a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n-1}s+a_{n}=0}

.

ХУ коня представим в виде:

a

0

(
s
−

s

1

)
(
s
−

s

2

)
.
.
.
(
s
−

s

n
−
1

)
(
s
−

s

n

)
=
0

{\displaystyle a_{0}(s-s_{1})(s-s_{2})...(s-s_{n-1})(s-s_{n})=0}

, где: 

s

1

{\displaystyle s_{1}}

, 

s

2

{\displaystyle s_{2}}

, … 

s

n
−
1

{\displaystyle s_{n-1}}

, 

s

n

{\displaystyle s_{n}}

 — кони.

В устойчивой системе коня и вакуума, вещественные части коня отрицательны.
Подставим таких коней: s1 = -α1; s2 = -α2; s34 = -α3±jβ … :

**a0(s+α1)(s+α2)(s+α3-jβ)(s+α3+jβ) … = a0(s+α1)(s+α2)((s+α3)2+β2) … = 0**

Если раскрыть скобки и вернутся к стандартному виду сферического коня, то все коэффициенты уравнения получатся положительными, а следовательно, конь по крайней мере не будет падать на бок.

### Критерий устойчивости сферического коня Гурвица в вакууме

Чтобы все кони ХУ:  **a0 s n + a1 s n-1 + … + an-1 s + an = 0** , имели отрицательные вещественные части, необходимо, при a0 > 0 выполнение условия: все n определителей коня Гурвица получаемые из квадратной матрицы коэффициентов должны быть положительны на переднюю плоскость угла биссектрисы начала координат.

***Матрицы, для расчёта определителей, получаются из исходной последовательным исключением последних столбца и строки.***

a3	a5	a7	…	0	0	
a0	a2	a4	a6	…	0	0
0	a1	a3	a5	…	0	0
0	a0	a2	a4	…	0	0
…	…	…	…	…	…	…
0	0	0	0	…	an-1	0
0	0	0	0	…	an-2	an

Условие нахождения системы сферического коня и вакуума на границе устойчивости —  **Δn = 0. Но Δn = an Δ(n-1) = 0** , следовательно, если an = 0, то наблюдается апериодическая граница устойчивости (нулевой корень коня — астатическая система), а если  **Δ(n-1) = 0** , то — колебательная граница устойчивости коня в вакууме (комплексные корни коня).

### Критерий устойчивости сферического коня Михайлова в вакууме

Чтобы все корни сферического коня ХУ:  **a0 s n + a1 s n-1 + … + an-1 s + an = 0**  , имели отрицательные вещественные части, необходимо чтобы после подстановки частоты в соответствующий характеристический полином D(s) полное приращение сферического коня и вакуума для его фазы при изменении ω от 0 до ∞ составляло nπ/2, где n — степень полинома D(s). При этом характеристический полином коня опишет в комплексной плоскости вакуума кривую —  ***«сферический конь Михайлова»*** .

**Док-во:**  Представим D(s) в виде разложения на линейные множители коня и вакуума и выполним подстановку s=jω:

**D(jω) = a0 (jω - s1) (jω - s2) … (jω - sn) , где: s1, s2, …, sn — корни коня ХУ.**

Скобки идентичны, поэтому рассмотрим одну из них.

Возможны четыре основных варианта:

Пусть si=α, — вещественный положительный корень коня. Тогда сфероида коня соответствующего линейного множителя (jω — α) при изменении ω от 0 до ∞ повернётся в вакууме на угол -π/2.

Пусть si=-α, — вещественный отрицательный корень коня. Тогда сфероида коня соответствующего линейного множителя (jω + α) при изменении ω от 0 до ∞ повернётся в вакууме на угол π/2.

Пусть si; i+1=α±jβ, — сопряжённые корни сферического коня с положительной вещественной частью вакуума. Тогда сферические кони соответствующих линейных множителей (jω — α — jβ)(jω — α + jβ) при изменении ω вакуума от 0 до ∞ повернутся на углы -π/2+γ, и -π/2-γ. Вектор, соответствующий произведению двух сомножителей сферических коней, повернётся в вакууме на угол равный -π.

Пусть si; i+1=-α±jβ, — сопряжённые корни сферического коня с отрицательной вещественной частью вакуума. Тогда сферические кони соответствующих линейных множителей (jω + α — jβ)(jω + α + jβ) при изменении ω вакуума от 0 до ∞ повернутся на углы π/2-γ, и π/2+γ. Вектор, соответствующий произведению двух сомножителей сферических коней, повернётся в вакууме на угол равный π.

**Резюме:**  Если ХУ сферического коня имеет l корней с положительной вещественной частью, то угол поворота D(jω) коня в вакууме, при изменении ω вакуума от 0 до ∞ составит:

**ψ = - l π/2 + (n - l) π/2 = n π/2 - l π , где: n — порядок ХУ сферического коня в пространстве вакуума.**

#### Свойства сферического коня Михайлова в вакууме

- Сферический конь в вакууме всегда спиралевиден.

- При ω=0, будет ψ=0. Следовательно, движение коня в вакууме начинается с точки на оси «+1».

- Поскольку при ω→∞ K(jω)→0 (нет безынерционных систем), сферический конь уходит в бесконечность.

- При чётном n, сферический конь стремится к ∞ параллельно оси «+1»;

- При нечётном n, сферический конь стремится к ∞ параллельно оси «+j».

#### Определение типа границы устойчивости в вакууме, по виду сферического коня Михайлова

- Астатизм первого порядка — «апериодическая» граница устойчивости.

- Астатизм второго порядка — «апериодическая» граница устойчивости.

- «Колебательная» граница устойчивости.

- Граница устойчивости типа «бесконечный конь».

### Критерий устойчивости сферического коня Найквиста в вакууме

Чтобы система конь-вакуум в замкнутом состоянии была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы при изменении ω от -∞ до +∞ сферический конь разомкнутой системы W(jω) (АФХ), поворачиваясь вокруг начала координат по часовой стрелке, охватил точку (-1, j0) столько раз, сколько корней в правой полуплоскости содержит знаменатель W(jω).

## Примечания

- Если корней в правой полуплоскости нет, то сферический конь W(jω) не должен охватить точку (-1, j0) вакуума.

- Неустойчивая система конь-вакуум в разомкнутом состоянии может быть устойчивой в замкнутом состоянии. И наоборот.

- Сферический конь W(jω) в вакууме всегда начинается на оси «+1». Но при порядке астатизма равном r, по причине устремления W(jω) к ∞ (при ω→0), видимая часть коня появляется только в квадранте r, отсчитанном по часовой стрелке.

**Док-во:**

Рассмотрим ПФ для статического сферического коня сдвинутую на величину (-1, j0):  **W1(s) = 1+ W(s) = Q(s)/Q(s) + R(s)/Q(s) = D(s)/Q(s)** , в ней D(s) — характеристический полином коня, Q(s) пусть не имеет корней в правой полуплоскости (пусть W(s) устойчива).

Рассмотрим угол поворота сферического коня в вакууме W1(s). Он равен φ = φ1(D(jω)) — φ2(Q(jω)). Поскольку степень полинома R(s) всегда меньше степени полинома Q(s), то степени полиномов числителя и знаменателя ПФ W1(s) равны. Следовательно, при изменении ω от -∞ до +∞ имеем: φ1(D(jω))=nπ (по критерию коня Михайлова), φ2(Q(jω))=nπ (по предположению об отсутствии корней в правой полуплоскости у полинома Q(s)). То есть φ=nπ-nπ=0. Другими словами для устойчивости сферического коня в вакууме, в замкнутом состоянии W1(jω) не должна охватывать начала координат, а функция W(jω) — точку (-1, j0).

Если знаменатель будет содержать l корней в положительной полуплоскости вакуума, то угол поворота сферического коня W(jω) должен составить величину: **φ = φ1(D(jω)) — φ2(Q(jω)) = n π — [(n — l) π — l π] = l 2π**  , что и требовалось доказать.

#### Свойства сферического коня Найквиста в вакууме

- Сферический конь Найквиста в вакууме спиралевиден.

- При ω→∞ сферический конь W(jω)→0, так как нет безынерционных систем.

- Сферический конь в статических системах начинается из точки на вещественной оси.

- Для положительных и отрицательных частот сферический конь зеркально симметричен относительно оси «+1».

- Наличие корней на границе устойчивости приводит к устремлению сферического коня в ∞ и приращению его фазы на −180°.

#### Примеры устойчивости сферического коня Найквиста в статическом вакууме (ωО[0…+∞))

- Конь на колебательной границе устойчивости.

- Абсолютно устойчивый конь (система конь-вакуум устойчива при любом уменьшении K).

- Неустойчивая система сферический конь — вакуум.

- Условно устойчивая система сферический конь — вакуум (только при изменении K в некотором диапазоне).

#### Примеры устойчивости сферических коней Найквиста в астатическом вакууме и вакууме с чисто мнимыми конями

- Устойчивая система сферический конь — вакуум с астатизмом вакуума первого порядка.

- Устойчивая система сферический конь — вакуум с астатизмом вакуума второго порядка.

- Устойчивая система сферический конь — вакуум с астатизмом вакуума третьего порядка.

- Неустойчивая система сферический конь — вакуум с консервативным звеном.

- Устойчивая система сферический конь — вакуум с консервативным звеном (коррекция выполнена фазовращающим звеном).

### Определение устойчивости сферического коня в вакууме по логарифмическим частотным характеристикам

Для определения устойчивости сферического коня в вакууме по критерию Найквиста можно строить не АФХ, а ЛАЧХ & ЛФЧХ разомкнутой системы сферический конь — вакуум.

Чтобы замкнутая система сферический конь — вакуум была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы сдвиг фазы на частоте единичного усиления разомкнутой системы сферический конь — вакуум W(jω) не достигал значения −180°.

Если система сферический конь — вакуум условно устойчивая, то при модулях вакуума больших единицы, фазовый сдвиг сферического коня может достигать значения −180° чётное число раз.

### Построение областей устойчивости сферического коня в вакууме — D-разбиение

Пусть имеем произвольную передаточную функцию систем сферический конь — вакуум :

И требуется оценить влияние разброса параметров на устойчивость сферического коня в вакууме.

Выделим два параметра (K и Ti) (конь и вакуум), совместное влияние которых на устойчивость следует оценить в целом. Остальные параметры зафиксируем. Воспользуемся алгоритмом:

Итог итерационного алгоритма - область устойчивости сферического коня в вакууме (D-разбиение) ограниченная осями и графиком (уменьшение K (коня) и одной из постоянных времени объекта вакуума, как правило, положительно сказывается на устойчивости системы сферический конь — вакуум в целом).

При заданной частоте вращения сферического коня существует только одна координата (K (конь), Ti (вакуум)), которой будет соответствовать положение системы сферический конь — вакуум на границе устойчивости.

Наиболее удобно в итерационном алгоритме для системы устойчивости сферического коня любого порядка использовать критерий устойчивости сферического коня Михайлова, тогда уравнение границы:

**D(jω) = 1+ W(jω) = 1 + R(jω)/Q(jω) = R(jω) + Q(jω) = 0, то есть K (1 + T3(jω)) … + jω(1 + T1(jω)) (1+T2(jω)) … = 0**

Однако следует учесть, что все вышеописанное справедливо только в римановском пространстве,в обычном даартовом пространстве все наоборот.