Пушка Галуа

**Пушка Галуа**  (англ.  *Galois Group Gun* , нем.  *Gruppenhaubitze* ) — артиллерийского орудие алгебраического типа.

## Принцип действия

Рассмотрим группу G и гомоморфизм 

φ
:
G
⟶

C

1

φ
:
x
↦
1

{\displaystyle \varphi :G\longrightarrow C_{1}\quad \varphi :x\mapsto 1}

, переводящий любой элемент группы G в нейтральный элемент группы C1 (циклическая группа порядка 1). Тогда, согласно определению ядра гомоморфизма, 

ker
⁡
φ
=

{

x
∈
G
∣
φ
(
x
)
=
1

}

=
G

{\displaystyle \ker \varphi =\left\{x\in G\mid \varphi (x)=1\right\}=G}

. Таким образом, любая группа является ядром некоторого гомоморфизма и служит снарядом для Пушки Галуа.

*Примечание: для любой группы можно найти нетривиальный гомоморфизм некоторой надгруппы, такой что данная группа является его ядром.*

## Устройство

Общая схема Пушки Галуа слишком сложна и громоздка, однако можно выделить основные компоненты, из которых составляются.

- **Сумматор**  /  **умножатор**  — устройство с двумя входами и одним выходом. На входы подаются элементы группы, на выходе получается элемент группы, называемый соответственно их суммой/произведением. На схемах обозначается как  **+**  /  ***** .

- **Нифигатор**  — устройство, по запросу артиллериста-алгебраиста выдающее элемент группы, называемый нейтральным (ноль/единица), который при подаче на один из входов сумматора/умножатора заставляет последний выдавать на выходе то, что поступило на второй вход. На схемах обозначается как  **е**  (или  **0**  /  **1** ).

- **Обращатор**  — один вход и один выход, по полученному элементу возвращает элемент, называемый обратным, такой, что при подаче исходного и полученного на сумматор на выходе получается то же, что и на выходе нифигатора. На схемах обозначается как  **-x**  /  **x−1** .

- **Подгруппа**  — общее название для частей снаряда (группы), которые сами по себе являются снарядами (группами) (в общем случае обозначается как 

≤

{\displaystyle \leq }

).

- **Тривиальная**  — часть, соединяющая все части снаряда, так как содержится в каждой из них, а именно {e}.

- **Центр**  — компоненты снаряда, которые можно поменять местами с любой другой частью без изменения функциональности. Обозначается за  **C(G)** .

- **Централизатор элемента**  — компоненты снаряда, которые можно поменять местами с данным. Обозначается за  **СG(x)** .  **Централизатор множества**  — общая часть централизаторов компонентов данного множества.

- **Нормализатор множества**  — компоненты снаряда, которые можно поменять местами со всем даннм множеством компонент целиком. Обозначается за  **NG(x)** .

- **Нормальная**  — часть снаряда, которую можно поменять местами с любым элементом. Обозначается на схемах с помощью символа 

⊴

{\displaystyle \trianglelefteq }

.

- **Смежный класс**  — результат последовательно пропускания через умножатор некоторого подмножества и некоторого элемента. Причём если элементы множества подаются на первый вход, а элемент (всегда один и тот же) на второй, то результат называется  *левым смежным классом*  данного множества по данному элементу, в противоположном случае —  *правым* . Обозначаются соответственно за  **Hx**  и  **xH** .

- **Индекс**  — измерительный прибор, подсчитывающий количество смежных классов. Обозначается как  **|G : H|** .

- **Факторизатор**  — устройство с двумя входами, получающее группу и её нормальную подгруппу и выдающая по ним множество всех правых смежных классов как группу. Обозначается на схемах как  **G / H** .

## Классификация

- Простейшей разновидностью Пушки Галуа служит  **Коммунистическая фактор-пушка** , которой посвящено стихотворение:

гомоморфный образ группы
будь во славу коммунизма
изоморфен фактор-группе
по ядру гомоморфизма~ народное творчество 
Специально обученный алгебраист подаёт на вход некоторую группу и некоторый гомоморфизм (снаряд и порох), которые проходят обработку в специальном  *факторизаторе* , где сначала создаётся ядро гомоморфизма, а затем группа факторизуется по полученному ядру. Результат переходит в дуло пушки, оборудуется специальным навигационным блоком типа 

φ
¯

:
x
ker
⁡
φ
↦
φ
(
x
)

{\displaystyle {\overline {\varphi }}:x\ker \varphi \mapsto \varphi (x)}

 и выстреливается точь-в-точь (1-в-1, биекция) на 

I
m

 
φ

{\displaystyle \mathrm {Im} \ \varphi }

 по правилу 

I
m

 
φ
≅
G

/

ker
⁡
φ

{\displaystyle \mathrm {Im} \ \varphi \cong G/{\ker \varphi }}

.

- Другой известной вариацией является  **Нётерова мортира**  (нем.  *Noetherscher Isomorphiesatz Mörser* ). Основным отличием от Коммунистической фактор-пушки является наличие двух параллельных факторизаторов и необходимость в боприпасах специального вида. На вход подаётся группа G, содержащая в себе нормальную подгруппу H и подгруппу F, после разделения H поступает в первый факторизатор, F во второй, кроме того, в первый факторизатор сверху также поступает 

⟨

F
,
H

⟩

{\displaystyle \left\langle F,H\right\rangle }

 (порождение Зла F и G, оно же 

F
H

{\displaystyle FH}

), а во второй снизу поступает 

F
∩
H

{\displaystyle F\cap H}

. Также на вход мортире подаётся гомоморфизм 

φ
:
F
⟶
F
H
⟶
F
H

/

H

φ
:
f
↦
f
H

{\displaystyle \varphi :F\longrightarrow FH\longrightarrow FH/H\quad \varphi :f\mapsto fH}

, состоящий из вложения и канонической проекции. В таком случае ядром является 

ker
⁡
φ
=
F
∩
H

{\displaystyle \ker \varphi =F\cap H}

, а образом 

I
m

 
φ
=
F
H

/

H

{\displaystyle \mathrm {Im} \ \varphi =FH/H}

, и стрельба осуществляется по правилу 

F

/

F
∩
H
≅
F
H

/

H

{\displaystyle F/F\cap H\cong FH/H}

.

- **Сдвоенное орудие фон Дика**  (нем.  *von Dyck Doppelgeschütz* ) — модификация Коммунистической фактор-пушки, отличающаяся наличием двух последовательных факторизаторов (в отличие от Нётеровой мортиры, где факторизаторы параллельны), и стреляющая по правилу 

(

G

/

F

)

/

(

H

/

F

)

≅
G

/

H

{\displaystyle \left(G/F\right)/\left(H/F\right)\cong G/H}

 (на вход подаются 

F
,
H
⊴
G

F
≤
H

{\displaystyle F,H\trianglelefteq G\quad F\leq H}

).

- **Квадратная фактор-пушка**  — двухствольная Коммунистическая фактор-пушка. На вход подаются 

H

1

⊴

G

1

{\displaystyle H_{1}\trianglelefteq G_{1}}

 и 

H

2

⊴

G

1

{\displaystyle H_{2}\trianglelefteq G_{1}}

, стреляет по правилу 

(

G

1

×

G

2

)

/

(

H

1

×

H

2

)

≅

(

G

1

/

H

1

)

×

(

G

2

/

H

2

)

{\displaystyle \left(G_{1}\times G_{2}\right)/\left(H_{1}\times H_{2}\right)\cong \left(G_{1}/H_{1}\right)\times \left(G_{2}/H_{2}\right)}

.

- **Мультипликативная Комплексная Плюс-Минус-Один Гаубица**  ( *сокр. МК±1Г* ) — специальная разновидность Коммунистической фактор-пушки, предназначенная для борьбы с империалистическим злом и буржуазными заговорами. Ядром служит группа 

{

±
1

}

{\displaystyle \left\{\pm 1\right\}}

, гомоморфизмом служит 

z

2

:

C

⟶

C

z
↦

z

2

{\displaystyle z^{2}:\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} \quad z\mapsto z^{2}}

. Черпает мнимую силу, и потому не работает, как предполагается. На практике не используется, так как стреляет сама в себя — 

C

⋆

/

{

±
1

}

≅

C

⋆

{\displaystyle \mathbb {C} ^{\star }/\left\{\pm 1\right\}\cong \mathbb {C} ^{\star }}

## Прочие вариации

- В 1872 году норвежский инженер Людвиг Силов предложил три алгебраических орудия, в основу которых была заложена одна и та же идея. Они получили общее название  **Силовские  *p* -ушки** :

- **Силовский экзистенциональный генератор**  находит в расположении частей врага произвольную конечную группу (снаряд), после чего внутри неё генерируется снаряд специального вида (называемый  *Силовским p-подснарядом* ), который и подрывается, уничтожая боезапас противника.

- **Силовский надгруппатор**  — модификация экзистенциального генератора, которая все вражеские  *p* -снаряды засовывает в Силовские  *p* -снаряды, которые и подрывает. Также умеет сопрягать Силовские  *p* -снаряды, однако назначение подобной функциональности непонятно.

- **Количественное орудие Силова**  — не наносит непосредственных повреждений снарядам противника, однако весьма полезно при совместном применении с другими Силовскими орудиями, так как позволяет использовать для полного уничтожения всего один снаряд (по модулю  *p* ).