Математический анализ

**Математический анализ**  — форма математического мракобесия, почитаемая его адептами одним из столпов математики (наряду с алгеброй и геометрией), которые всячески стараются внедрить его во все области человеческих познаний о мире, заходя в том числе на территорию вышеупомянутых форм математического мышления, что порождает немало конфликтов.

Характерным отличием математического анализа является полное отсутствие рациональности, а также доказательство очевидного.

## История

Согласно учению об анализе, история его представляет луч 

(
−
∞
;
t
]

{\displaystyle (-\infty ;t]}

, где 

t

{\displaystyle t}

 — текущий момент времени. Таким образом, история математического анализа непрерывна и не имеет начала, постоянно изменяя правую границу.

На луче можно выбрать убывающие последовательности имён, связанных с математическим анализом, и фактов, доказанных данными людьми. Тем не менее, в соответствии с каноническим методом последовательность 

A

{\displaystyle A}

 имён и последовательность 

B

{\displaystyle B}

 фактов строятся таким образом, что факт всегда оказывается дальше от настоящего момента времени, чем сопоставленное ему имя. Более строго, присвоение фактам имён представляет собой инъективное отображение 

f

{\displaystyle f}

 из множества всех членов последовательности 

B

{\displaystyle B}

 в множество всех членов последовательности 

A

{\displaystyle A}

 по правилу 

f
(

b

k

)
=

a

k
+
1

{\displaystyle f(b_{k})=a_{k+1}}

. Возможно построение и биективного отображения 

g

{\displaystyle g}

 такого, что 

g
(

b

k

)
=

a

k

{\displaystyle g(b_{k})=a_{k}}

, т. е. каждому факту ставится в соответствие имя того, кто его и открыл. Такое отображение, однако, не применяется в матанализе.

Хотя история математического анализа началась бесконечное количество времени назад, первые значительные шаги для становления его в современном виде были предприняты в 1678 году, когда Исаак Ньютон ещё не открыл закон всемирного тяготения. В ту пору он, вопреки распространённому мнению, вовсе не придумал бином (бином ещё до него придумал Бернулли, имя Ньютона же было присвоено в силу причин, описанных выше), а спокойно прогуливался по саду, созерцая яблони, с одной из которых спустя несколько лет упадёт знаменитое яблоко. Во время одной из таких прогулок ему в голову пришла мысль о том, что яблоко могло бы стать идеальным вечным двигателем: если яблоко поделить пополам и использовать одну из половин как источник энергии, то останется ещё 

1
2

{\displaystyle {\frac {1}{2}}}

, от которой затем можно отделить ещё половину и так на каждом 

n

{\displaystyle n}

-ом шаге использовать как источник энергии 

1

2

n

{\displaystyle {\frac {1}{2^{n}}}}

 часть яблока.

Впоследствии Ньютон пересмотрел свои взгляды по данному вопросу и понял, что хоть ещё со времён Архимеда и известно, что множество натуральных чисел неограниченно, всё-таки в какой-то момент яблоко будет делить невозможно в силу квантовости мира. Но было уже поздно: анализ стремительно начал формироваться как отдельное учение без оглядки на опровержение Ньютоном собственных слов и принятие им физики.

Наибольшего расцвета математический анализ достиг в эпоху Вейерштрасса (он же Кантор, Больцано, Коши, Кун и далее по индукции). Он доказал бесконечное несчётное множество теорем, составляющих фундамент математического анализа. Столь же бесконечным и несчётным было множество всех имён, под которыми, скрывая свою истинную личность, он публиковал свои труды. В обывательском жаргоне все теоремы в связи с этим именуются по названию самых известных рациональных точек: теорема Кантора-Вейерштрасса-Больцано-Коши-Куна.

В наши дни развитие не столь ощутимо, но тем не менее захватывает все области математики.

## Известные задачи

### Нахождение площади квадрата

Ещё в древней Греции площадь квадрата со стороной 

a

{\displaystyle a}

 научились находить как 

a

2

{\displaystyle a^{2}}

, что очевидно.

С развитием математического анализа стало очевидно, что всё, что очевидно, можно ещё и доказать. Ещё в ньютоновские времена вскоре после интегрального доказательства формулы 

S
=
π

r

2

{\displaystyle S=\pi {r^{2}}}

 аналитикам пришла в голову мысль, что из неё можно вывести формулу и для площади квадрата. Однако это оказалось затруднительным из-за необходимости решить при этом задачу о квадратуре круга и обратную к ней, чего в то время делать не умели.

Спустя некоторое время было предложено решение 

∫

0

a

a
d
x

{\displaystyle \int _{0}^{a}adx}

, однако при вычислении данного интеграла была допущена ошибка: вычислявший ошибочно посчитал вместо определённого интеграла по 

x

{\displaystyle x}

 неопределённый по 

a

{\displaystyle a}

, вследствие чего вместо правильного 

a
x

|

0

a

{\displaystyle {\Bigl .}ax{\Bigr |}_{0}^{a}}

, что и равно 

a

2

{\displaystyle a^{2}}

, получилось 

a

2

2

{\displaystyle {\frac {a^{2}}{2}}}

. До начала XX века, когда эта ошибка была обнаружена, это было основной причиной конфликта с геометрами.

### Большая теорема Кантора-Вейерштрасса-Больцано-Коши-Куна

Наиболее известная из теорем. Формулируется следующим образом:  *Если что-то делить бесконечно, то оно обязательно будет иметь предел* .

Была доказана трижды: первый раз — ещё в первобытном обществе, когда после долгого дележа чего бы то ни было между собой людям наконец это надоедало и они когда-нибудь да решали положить этому конец. Второе доказательство — физическое, оно же метод Ньютона: то самое «деление яблока» на бесконечное количество долей.

Правильное с точки зрения анализа доказательство придумано во времена, предшествовавшие Вейерштрассу: если взять отрезок 

[
a
;
b
]

{\displaystyle [a;b]}

 и поделить его пополам, получится новый отрезок. Далее, по индукции, то же самое можно проделывать с каждым следующим отрезком, коих образуется в итоге бесконечное число. Покуда они будут образовываться, они будут подходить к одной точке 

c

{\displaystyle c}

, но в силу бесконечности никогда к ней не подойдут, а значит 

c

{\displaystyle c}

 — предел.

### 0 ≠ 1

По мере развития приложений алгебры (в частности, комплексных чисел) стали появляться новые варианты доказательства утверждения 0=1.

В инженерии это доказывалось это следующим образом: 

i

2

=
−
1

{\displaystyle i^{2}=-1}

, следовательно, 

−
1

{\displaystyle {\sqrt {-1}}}

 существует. Тогда справедливо равенство 

−
1
=

−
1

2

=

(
−
1

)

2

=

1

=
1

{\displaystyle -1={\sqrt {-1}}^{2}={\sqrt {(-1)^{2}}}={\sqrt {1}}=1}

. Из этого следовало 

0
=
2

{\displaystyle 0=2}

, а затем и 

0
=
1

{\displaystyle 0=1}

 путём сокращения на 2.

Однако сообщество аналитиков выступило резко против такого подхода. Оно заявило, что поскольку 

0
=
2

{\displaystyle 0=2}

, сокращать на 2 нельзя. Затем им было высказано утверждение, что 

i

{\displaystyle i}

 вовсе не равно 

−
1

{\displaystyle {\sqrt {-1}}}

, а значит, доказательство неверно. В конце концов адепты анализа окончательно впали в ересь, начав убеждать всех, что 0≠1 и всеобщего равенства не существует. Так аналитики вступили в конфликт сначала с инженерами, затем с алгебраистами, а потом и со всем остальным человеческим знанием о мире.

## Известные случаи применения в жизни

### Поиски настоящего Деда Мороза

Однажды в самый канун Нового Года в одной из квартир в Долгопрудном случилось невероятное происшествие: к проживавшему там пятилетнему мальчику Вите заявились сразу три Деда Мороза. Весь город пребывал в смятении, пытаясь объяснить столь невероятное явление. Благо, совершенно неподалёку находилась деревушка, где обитали бежавшие от суетной Москвы аналитики. Они быстро прибыли на место событий и сообразили, что как минимум два из Дедов Морозов — ненастоящие и прибыли лишь с целью нелегально установить браузер Амиго на компьютер отца мальчика.

Для того, чтобы вычислить, кто из Дедов Морозов настоящий, аналитики предложили им решить следующую задачу: для всякого натурального 

n

{\displaystyle n}

 должно выполняться условие, в соответствии с которым за 

1

2

n

{\displaystyle {\frac {1}{2^{n}}}}

 часа до полуночи у мальчика должно быть ровно 

n

{\displaystyle n}

 конфет, данных Дедом Морозом.

Через некоторое время ими было замечено, что один из Дедов Морозов, вместо того, чтобы давать за каждые 

1

2

n

{\displaystyle {\frac {1}{2^{n}}}}

 часа до Нового Года мальчику 1 конфету, увеличивая тем самым число конфет до 

n

{\displaystyle n}

, отбирает у него 

n
−
1

{\displaystyle n-1}

 конфету и даёт 

n

{\displaystyle n}

 других. Так был вычислен первый мошенник: последовательность 

a

n

=
n

{\displaystyle a_{n}=n}

, должна расходиться, он же пытался свести её к нулю, поскольку все конфеты на каком-то шаге да были отобраны. Два других Деда Мороза выполняли свою задачу верно и почти повергли аналитиков в недоумение, пока один из них не обнаружил свою конечность: у него закончились конфеты. Это оказался отец Вити, который в скором времени после разоблачения вызвал полицию и передал в её руки жулика, пытавшегося совершать незаконные операции на его компьютере.

### Очередь на кассе

Другой случай применения такой: в одном из магазинов в выходной день в один момент как-то по различным причинам перестали работать все кассы, кроме одной: разумеется, на ней тотчас столпилась столь огромная очередь, что она встать в ней было абсолютно некуда.

На помощь всем подоспел один из сторонников математического анализа, закупавшийся тут же. Он предложил каждому сдвинуться на одно место вперёд, ведь покупателей — натуральное число, а множество натуральных чисел не ограничено сверху.

Результатом стал пролом стены в магазине, выход очереди на свободное место на улице, попадание людей из очереди в другие магазины через проломленные же стены. Что будет, если место на земном шаре закончится и очередь опоясает его весь — неизвестно. Существуют три варианта:

- очередь изменит свою траекторию и начнёт заполнять бесконечные промежутки внутри себя;

- очередь направится в бесконечный космос;

- неаналитический вариант — очередь выручат специалисты по дискретным областям математики и/или информатики.

## Математический анализ в школах

По мере повсеместного внедрения математического анализа учение о нём начало просачиваться в школьные учебники, подвергая риску неокрепшие умы.

После введения стандартов образования и возрастных ограничений, математический анализ получил рейтинг 18+ и был строго запрещён к нахождению в школьной программе.

Впоследствии некоторые фрагменты были допущены в школьную программу для старших классов в обработке алгебраистов.