AksaraLLM/aksara-bahasa-daerah-v1 huggingface dataset:
Dina statistika, téoréma Cochran digunakeun dina analisis varian.

Anggap U1, ..., Un mangrupa standar variabel random bebas nu kasebar normal, sarta dina bentuk identitas

bisa dituliskeun yén unggal Qi nyaéta jumlah kuadrat kombinasi liniér tina U.  Mangka lamun

nu mana ri mangrupa rangking tina Qi, téorema Cochran nangtukeun yén Qi bébas sarta Qi mibanda sebaran chi-kuadrat nu mibanda tingkat kabebasan ri.

Téoréma Cochran mangrupa konversi téoréma Fisher.

Conto
 
Lamun X1, ..., Xn mangrupa variabel random bébas nu kasebar normal mibanda méan μ sarta simpangan baku σ mangka

mangrupa standar normal keur unggal i.

Ieu mungkin keur nulis

(di dieu, jumlahna ti 1 nepi ka n, dumasar kana observasi).
Keur nempo ieu identitas, kalikeun ku  sarta catet yen

sarta legaan keur manggihkeun

Watesan katilu sarua jeung nol sabab ieu angger kana waktu

sarta watesan kadua ngan watesan n identik nu ditambahkeun babarengan.

Kombinasi di luhur ngahasilkeun (sarta dibagi ku σ2), urang mibanda:

Ayeuna rengking Q2 ngan 1 (ieu mangrupa kuadrat tina hiji kombinasi linier variabel normal standar).  Rengking Q1 bisa ditembongkuen jadi n − 1, sarta kondisi téorema Cochran kapanggih.

Téorema Cochran netepkeun yén Q1 and Q2 mangrupa bébas, mibanda sebaran chi-kuadrat n − 1 sarta 1 tingkat kabébasan.

Ieu nembongkeun yén sampel méan sarta sampel varian bébas; sarta

Keur estimasi varian &sigma2, hiji éstimator nu biasa digunakeun nyaéta

.

Téorema Cochran nembongkeun yen

nu nembongkeun yén nilai ekspektasi  nyaéta σ2n/(n − 1).

Dua sebaran ieu mangrupa proporsi kana varian sabenerne tapi teu dipikanyaho σ2; mangka ieu rasio mangrupa σ2 bébas sabab duana bébas, mangka urang miboga

nu mana F1,n mangrupa sebaran-F nu mibanda 1 sarta n tingkat kabébasan (tempo ogé sebaran-t student).

Statistika
Téoréma
Dina téori probabilitas jeung statistika, skewness nyaéta ukuran kateu-simetrian sebaran probabilitas tina nilai-real variabel acak. Sacara kasar bisa disebutkeun, sebaran mibanda skew positip lamun nilai panjang tail positip sarta skew negatip lamun nilai panjang tail negatip.

Skewness, standardized moment nu katilu, dihartikeun ku μ3 / σ3, nu mana μ3 mangrupa moment about the mean nu katilu sarta σ mangrupa simpangan baku. Skewness tina random variable X kadangkala ngalambangkeun Skew[X].

Keur nilai sampel N sampel skewness nyaéta Σi(xi − μ)3 / Nσ3, where xi mangrupa nilai ith jeung μ mangrupa mean.

Lamun Y nyaéta jumlah n independent variabel random, dina distribusi nu sarua salaku X, saterusna ditempokeun yén Skew [Y] = Skew[X] / √n.

Sampel nu asalna tina populasi, persamaan keur populasi skewness nyaéta biased estimator tina populasi skewness. Unbiased estimator skewness nyaéta

nu mana σ mangrupa sample simpangan baku sarta μ mangrupa sampel méan.

Tempo oge: mean, varian, kurtosis, cumulant.

Statistika
Dina téori probabilitas jeung statistika, kurtosis hartina ukuran posisi puncak tina sebaran probabilitas nilai-nyata/ril variabel acak.

Standardized moment kaopat dihartikeun salaku μ4 / σ4, nu mana μ4 mangrupa momen mean kaopat jeung σ nyaéta simpangan baku.  Hal ieu kadangkala dipaké keur ngartikeun kurtosis dina pagawéan saméméhna, tapi teu dipaké dina definisi di dieu.

Kurtosis leuwih ilahar dihartikeun ku μ4 / σ4 − 3. Minus 3 di tungtung persamaan éta nerangkeun yén koreksi dijieun keur ngajadikeun kurtosis sebaran normal sarua jeung nol. Alesan séjénna nembongkeun yén kurtosis mangrupa jumlah tina variabel random. Lamun Y jumlah tina n independent variabel random, sakabéh sebaranna sarua nyaéta X, saterusna Kurt[Y] = Kurt[X] / n, sabalikna ieu rumus bakal leuwih pajuriwet lamun kurtosis dihartikeun ku μ4 / σ4.

Sebaran normal mibanda kurtosis sarua jeung nol (sebaran nu mibanda nilai kurtosis sarua jeung nol disebut mesokurtic). Sebaran nu mibanda kurtosis positip disebut leptokurtic, sarta lamun negatif disebut platykurtic.

Keur nilai sampel N, sampel kurtosis nyaéta Σi(xi  −  μ)4 / Nσ4 − 3, nu mana xi nyaéta nilai ith jeung μ nyaéta mean.

Dina kaayaan bagéan-susunan sampel tina populasi, sampel kurtosis di luhur mangrupa biased estimator ti populasi kurtosis.  Unbiased estimator tina populasi kurtosis nyaéta

nu mana σ nyaéta simpangan baku sampel jeung μ nyaéta sampel méan.

Tempo oge: mean, varian, skewness.

Statistika
Analisis matematik
Dina matematik, fungsi béta teu lengkep dihartikeun dina bentuk integral,

mibanda a > 0 jeung b > 0.

Sifat

(Loba sifat séjénna nu bisa dituliskeun di dieu).

Sumber séjén

 M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. (1972) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. (Tempo bab 6.6 jeung 26.5)

 W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling. (1988) Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press. (Tempo bab 6.3)
Dina statistika, sebaran-F hartina sebaran probabilitas tina variabel acak dina bentuk

nu mana

 U1 jeung U2 mibanda sebaran chi-kuadrat nu mibanda d1 jeung d2 tingkat kapercayaan sarta
 U1 jeung U2 variabel bebas (tempo teorema Cochran keur conto pamakéanna).

Sebaran-F sering dipaké salaku sebaran null dina tes statistik, husuna dina uji rasio likelihood, diharapkeun leuwih hadé dina analisis varian; tempo uji-F.

Lamun d2 > 2, saterusna méan d2/(d2 − 2) jeung lamun d2 > 4 maka varian dirumuskeun ku

Sebaran-F salawasna aya dina rentang nol nepi ka "takterhingga"; lamun d1 > 2, mangrupa unimodal mibanda mode

Tumbu kaluar 
 Table of critical values of the F-distribution
 Online significance testing with the F-distribution

Sebaran probabilitas
Dina probability theory jeung statistik, kth
standardized moment tina probability distribution nyaéta μk/σk, nu mana μk mangrupa kth momen mean jeung σ mangrupa simpangan baku.

Standardized moments katilu jeung kaopat digunakeun keur ngartikeun skewness jeung kurtosis.

Informasi saterusna ngeunaan "momen", bisa konsultasi ka Wolfram Reséarch's mathworld website.

Statistika
Momen méan kth (atawa kth central moment) nilai-réal variabel acak X nyaéta kuantitas E[(X − E[X])k], nu mana E mangrupa operator ekspektasi. Sababaraha variabel random teu mibanda mean, dina kasus momen méan teu bisa dihartikeun. Momen méan kth salawasna dilambangkeun ku μk.  Keur  continuous univariate probability distribution nu mibanda probability density function f(x) momen méan μ nyaéta

Kadangkala kacida gampangna keur koversi momen asli ka momen méan.  Persamaan umum keur konversi momen asli orde-nth ka momen méan nyaéta

nu mana m mangrupa méan sebaran, sarta momen asli dirumuskeun ku

Momen méan kahiji nyaéta nol. Momen méan kadua disebut varian, biasa dilambangkeun ku σ2, nu mana σ ngawakilan simpangan baku. Momen méan katilu jeung kaopat ngartikeun standardized moment sacara "berurutan" dipaké keur ngartikeun skewness jeung kurtosis.

Tempo oge

moment (matematik), cumulant

Statistika
Frase "tingkat kebebasan" digunakeun dina 3 cabang elmu anu béda nyaéta: dina fisika jeung physical chemistry, dina mechanical jeung aeronautical engineering, sarta dina statistik. Tiluannana dihubungkeun sacara sajarah jeung ngaliwatan matematik nyaéta konsép dimensionality, sanajan tiluanana teu identik.

Fisika jeung kimia 
Dina fisika jeung kimia, unggal mode mandiri tempat hiji partikel atawa sistim bisa gerak atawa ngarah disebut hiji darajat kabébasan. For a roughly dumbell-shaped hydrogen molecule, three such modes would be rotation (twirling), translation (hurtling through space) and vibration (the two dumbbell "balls" bouncing together and apart). According to the Equipartition Theorem of thermodynamics, in case of thermal equilibrium éach degree of freedom in every particle of a system will contain the same energy on average (equal to kT, the temperature of the system multiplied by the fundamental Boltzmann constant). 
However, thermal equilibrium can only be réached among interacting particles, a process called thermalization. According to quantum mechanics and more specifically Heisenberg's uncertainty principle, the amount of energy within any degree of freedom is never zero, but is always at léast equal to the zero-point energy for that mode.

Engineering 

In mechanical and aeronautical engineering, degrees of freedom (DOF) describes flexibility of motion. A mechanism that has complete freedom of motion (even if only in a limited aréa, or envelope) has six degrees of freedom. Three modes are translation - the ability to move in éach of three dimensions. Three are rotation, or the ability to change angle around three perpendicular axes.

To put it in simpler terms, éach of the following is one degree of freedom: 
 Moving up and down (heaving);
 moving left and right (swaying);
 moving forward and back (surging);
 tilting up and down (pitching);
 turning left and right (yawing);
 tilting side to side (rolling).

A mechanism that can (for instance) be raised and lowered, which has a pivoting héad that can tilt forward or back, left or right, can be described as having 3 degrees of freedom (colloquially, 3DOF).

Statistik 

Dina statistik, tingkat kabébasan nyaéta statistical parameter anu penting dina probability distribution. Contona dipaké dina sebaran chi-kuadrat, sebaran-F, sebaran-t student, jeung sebaran beta. Tempo Uji kuadrat-chi Pearson jeung analisa varian keur informasi saterusna.

Dina sebaran anu geus ilahar dipaké, tingkat kabébasan ngan nyokot integer (umumna kurang ti hiji). Sacara matematik diidinan keur ngabagi-bagi tingkat kabébasan, antukna meunang hasil itungan nu nyugemakeun.

Terminologi téhnis
Hidrogéologi (hidro- hartina cai, jeung -géologi ngartina élmu ngeunaan bumi) nyaéta widang géologi nu nalungtik ngeunaan sebaran jeung gerak cai taneuh dina taneuh jeung batu di kerak Bumi, (ilaharna dina akuifer).  Watesan géohidrologi ogé ilahar dipaké keur ngagantina. Sababaraha bédana antara hidrogéologi jeung géohidrologi nyaéta ahli hidrologi atawa ahli rekayasa ngagunakeun élmu hidrologi kana géologi (géohidrologi), jeung ahli géologi maké élmu géologi kana hidrologi (hidrogéologi).

Bubuka
Hidrogéologi (saperti élmu bumi séjén) mangrupa pangawéruh antar disiplin; hal nu hésé keur mastikeun pakaitna kimia, fisika, biologi kaasup ogé hukum kana taneuh, cai, biosfir jeung kahirupan sosial.  Pangaweuh ngeunaan pakaitna gerak cai taneuh jeung géologi kacida ruwetna. Cai taneuh teu salawasna ngalir di handapeun taneuh dumasar kana "topografi permukaan tanah"; cai taneuh ngalir dumasar kana "gradien tekanan" (ngalir ti gradien tekanan tinggi ke rendah) salawasna nuturkeun celah jeung rongga dina pola aliranna. Keur nyaho sacara jéntré hal nu mangaruhan kana sistim multi-komponen nu béda katempona, salawasna merlukeun pangaweruh dina sababaraha widang elmu boh tingkat percobaan atawa teori.  Bisa disebutkeun, saterusna leuwih mangrupa bubuka tradisional (panempo nu kurang) kana métodeu  jeung catetan ngeunaan hidrologi handapeun taneuh atawa hidrogéologi sederhana.

Géologi
Uji rasio-likelihood mangrupa tes statistik nu ngandelkeun kana ngitung tes statistik tina babandingan nilai maksimum fungsi likelihood dina kaayaan null hipotesa maksimal nu mibanda watesan kendor.

Baca ogé 
 Likelihood jeung prinsip likelihood
 Statistika
Uji-F nyaéta tés/uji statistik nu mana tes statistik mibanda sebaran-F lamun null hipotesis bener.  Variasi hipotesis nu gedé dina aplikasi statistik dites maké uji-F. di antarana:

Hipotesis kelipatan méan sebaran normal , sakabéhna mibanda simpangan baku nu sarua.  Test hipotesis diharepkeun leuwih hadé dipikanyaho ku maké méan dina uji-F, sarta masalah sederhana dina analisa varian.
Hipotesa tina simpangan baku dua sebaran normal sarua sarta saterusna dibandingkeun.

Statistika
Unimodal atawa SkyTran diusulkeun ku Douglas Malewicki keur hiji sistim kandaraan pribadi nu gancangna 160 km/h (100 mph).  Unggal mobil bakal maju dina luhureun rel ngagunakeun sistim magnet.  Sistim magnetik levitasi mangrupa sistim "Inductrack" pasip maké aturan Halbach, saperti nu diwangun ku ahli fisika William Post di Laboratorium Lawrence Livermore.

Sistem rekayasa ieu leuwih nyaman, aman sarta gampang dipaké utama keur sistim transportasi umum saperti mobil jeung beus.

Hal nu istimewa tina Unimodal nyaéta museurkeun kana harga nu murah tur efisien. Jaringan jalan utama dijieun tina waja (lain tina semen/beton iwal ti dina pondasina) nu mangrupa hasil produksi masal. Transportasi séjén utamana "mobil dina rel nu miring" sarta sarta kurang efisien keur mobil nu dipaké.

Pamakaéan magnetik levitasi dimaksudkeun keur ngurangan béaya perawatan. Unggal gerakan dina sistim ieu merlukeun material anu saeutik. Ku sabab itu disebutna "tetapan padat". Kauntungan séjénna nyaéta saeutik gesekan, halus sarta teu gandeng.

Tumbu kaluar
http://www.unimodal.com
http://www.skytran.net
Dina statistik, mode nyaéta nilai nu mibanda angka observasi panggedéna, disebut nilai atawa nilai nu pangremenna bijil. Mode lain hal anu unik, teu saperti arithmetic mean jeung median. Leuwih gampang dipaké lamun nilai atawa observasi lain data numeris: contona, mode tina {1, 2, 2, 2, 3, 9} nyaéta 2, mode tina {apple, apple, banana, orange, orange, orange, péach} nyaéta orange.

 Tempo oge: summary statistics, descriptive statistics

 In fashion the mode is also the largest number, but of the number of péople following that trend.
 In music a mode is a kind of scale; see musical mode.
 In computer software, a mode is distinct method of operation within a computer program. Three popular examples of software employing modes:
 vi - has one mode for inserting text, and a separate mode for entering commands. Some péople also call vi's ability to line-edit a "mode" (even though it is launched outside of vi's normal interface, by invoking "ex" from the operating system's command line interface.)
 Emacs - has many modes that can be evoked based on file type to more éasily edit files of a certain type. Modes are written in Emacs's LISP, and all modes may not be included with all versions.
 CIOS (Cisco Internetworking Operating System) - in order to gain the privilege to execute certain commands, you must enter a certain mode that allows you to execute that command.
 In a waveguide or cavity the mode is one of the possible patterns of electromagnetic field. Available patterns are derived from Maxwell's equations and the applicable boundary conditions. They may be longitudinal or transverse.
 An example of waveguide mode: fiber optic mode.
 An example of cavity mode: laser mode.
 In acoustics, a mode is one of the possible patterns of vibration, analogous to waveguide and cavity modes, only that electrical and magnetical fields are replaced by velocity and displacement. éach mode has a characteristic vibrational frequency and damping. See also: Ernst Chladni, Cymatics.
 An example of acoustic modes: An "ideal" guitar string of length L, fixed at both ends, will have modes in the shape of sin(n*x*pi/L), where n is the mode number.
 See also modality.
Daur cai (sacara husus dipikawanoh/katelah ogé daur hidrologis) nujul kana parobahan wujud antara cair, padet, jeung gas; sarta parobahan nu sinambung cai sajeroeun hidrosfir, antara atmosfir marcapada, lemah, cai lakop, cai taneuh, jeung tutuwuhan. Daurna bisa dibagi kana opat fase utama: évaporasi, présipitasi, infiltrasi, jeung runoff.

 Évaporasi sacara umum nyaéta pindahna cai tina awak cai lakop ka atmosfir, kaasup transpirasi tina tutuwuhan; antukna kadang sok disebut évapotranspirasi.
 Uap atmosfir bisa ngibun jadi awan, sarta ragrag salaku présipitasi. Ieu umumna lumangsung dina wujud hujan, tapi salju sarta wujud séjénna ogé kaasup. Présipitasi kadang lumangsung na sagara, sabab dina kaayaan normal, pagunungan perlu pikeun naratas kondensasi jeung ngabentukna awan.
 Infiltrasi/nyerep kana taneuh mangrupa alihan tina cai lakop jadi cai taneuh. Laju serep gumantung kana perméabilitas (daya serep) taneuh atawa batu sarta faktor-faktor séjén. Cai taneuh gerakna lambat pisan, sarta bisa balik deui jadi cai lakop atawa diteundeun dina aquifer dina mangsa réwuan taun. 
 Runoff nyaéta rupa-rupa cara cai lakop ngumbara nepi ka sagara. Cai ngalir ngaliwatan walungan sarta nyangsang di situ. Teu sakabéh cai nyampurnakeun fase runoff, sabab bisa nguap saméméh nepi ka sagara.

Tumbu kaluar 
 Daur Hidrologis  ti Earthscape 
 Daur Hidrologis  ti GROW

Tempo ogé 
 daur biokimiawi

Ékologi
Dina éléktromagnétisme, perméabilitas nyaéta tingkat magnétisasi material nu pakait jeung médan magnét.
 Dina géologi, perméabilitas nyaéta ukuran kamampuh hiji matéri keur ngaliwatkeun cai.
Paraméter statistik nyaéta paraméter indeks tina kulawarga sebaran probabiliti.

di antara kulawarga paraméterisasi distribusi nyaéta sebaran normal, sebaran Poisson, sebaran binomial, jeung sebaran eksponensial.  Kulawarga sebaran normal mibanda dua paraméter, nyaéta mean jeung varian: lamun dina kasus husus, sebaran dipikanyaho sacara pasti.  Kulawarga sebaran chi-kuadrat, di bagéan séjén, ngan mibanda hiji paraméter, nyaéta tingkat kabébasan.

Dina kaputusan statistik, paraméter kadang-kadang dicokot tina data nu teu ka observasi, sarta dina ieu kasus statistikawan kudu narik kasimpulan dumasar kana observasi sebaran variabel random nurut kana sebaran probabiliti dina patarosan, atawa leuwih pastina nangtukeun dumasar kana sampel random nu cokot tina populasi nu keur ditalungtik. Dina kaayaan séjén, paramater bisa pasti sacara alami tina prosedur sampling atawa tipe prosedur statistik nu dipaké (contona, jumlah tingkat kabebasan dina tes chi-kuadrat Pearson).

Statistika
Dina tiori probabiliti jeung statistik, sebaran beta nyaéta probability distribution kontinyu dina probability density function nu dihartikeun dina interval [0, 1]:

nu mana a jeung b mangrupa paraméter nu kudu leuwih gedé ti nol.

Lamun "angger" kaasup sacara eksplisit, densiti ditempokeun saperti:

nu mana Γ jeung B nyaéta fungsi gamma jeung fungsi beta.

Kasus husus sebaran beta, lamun a = 1 jeung b = 1, nyaéta sebaran seragam standar.

Nilai ekspektasi jeung varian beta variabel random X nu mibanda paraméter a jeung b dirumuskeun ku:

Di bagéan séjén, lamun nilai ekspektasi jeung varian beta variabel random X dipikanyaho, paraméter a jeung b diitung maké rumus,k.:

nu mana 0 < E(X) < 1 jeung 0 < var(X) < E(X) (1 − E(X)).

Probability distributions
Sababaraha ahli matematika maké istilah fungsi karakteristik sarua jeung "fungsi indikator".  The indicator function of a subset A of a set B is the function with domain B, whose value is 1 at éach point in A and 0 at éach point that is in B but not in A.

In probability theory, the characteristic function of any probability distribution on the real line is given by the following formula, where X is any variabel acak with the distribution in question:

Here t is a real number, E lambang nilai ekspektasi and F is the cumulative distribution function.  The last form is valid only when f—the probability density function—exists.  The form preceding it is a Riemann-Stieltjes integral and is valid regardless of whether a density function exists.

If X is a vector-valued random variable, one takes the argument t to be a vector and tX to be a dot product.

A characteristic function exists for any random variable. More than that, there is a bijection between cumulative probability functions and characteristic functions. In other words, two probability distributions never share the same characteristic function.

Given a characteristic function φ, it is possible to reconstruct the corresponding cumulative probability distribution function F:

In general this is an improper integral; the function being integrated may be only conditionally integrable rather than Lebesgue-integrable, i.e. the integral of its absolute value may be infinite.

Characteristic functions are used in the most frequently seen proof of the central limit theorem.

Characteristic functions can also be used to find moments of random variable.  Provided that n-th moment exists, characteristic function can be differentiated n times and

Related concepts include the moment-generating function and the probability-generating function.

The characteristic function is closely related to the Fourier transform:
the characteristic function of a distribution with density function f is proportional to the inverse Fourier transform of f.
Tes chi-kuadrat nyaéta hypothesis test nu mana tes statistik mibanda sebaran chi-kuadrat lamun null hipotesisna bener.

Ieu kaasup:

 Uji kuadrat-chi Pearson
 Sababaraha likelihood-ratio test nyaéta ngadeukeutan tes chi-kuadrat lamun ukuran sampelna gedé.  Geus ilahar dipaké dina logistic regression. Tes rasio-likelihood nu teu pakait jeung tes chi-kuadrat; contona: tes-F dina analisa varian sarta tes-t mangrupa tes resio-likelihood, sanajan statistik tes teu mibanda sebaran chi-kuadrat dina kaayaan null hipotesis.
 Yates' chi-square test, atawa koreksi Yates keur kontinyu
 Mantel-Haenszel chi-square test
 linear-by-linear association chi-square test

 please add tests, history, etc.
Dina matematik, fungsi gamma nyaéta fungsi nu leuwih lega tina konsép faktorial kana wilangan kompleks.

Harti 

Lambang Γ(z) dumasar ka Adrien-Marie Legendre. Lamun bagéan réal tina wilangan kompleks z positip, mangka integral

pasti konvergen. ngagunakeun integral parsial, bisa ditembongkeun yén 

Sabab Γ(1) = 1, dina kaitan ieu ngakibatkeun yen

keur sakabéh wilangan natural n. Ieu bisa dipaké keur ngalegaan Γ(z) jadi fungsi meromorpik dihartikeun keur sakabar wilangan kompleks z ial z = 0,  −1, −2, −3, ... ku analisa kontinyu. 
Hal nu leuwih lega ilaharna dumasar salaku fungsi gamma.
Notasi alternatip nu kadangkala dipaké nyaéta fungsi Pi, nu dina watesan fungsi gamma nyaéta

Kadangkala ogé manggihkeun

nu mangrupa hiji fungsi sakabehna, dihartikeun keur sakabéh wilangan kompleks. yén π(z) mangrupa sakabéh nu diperlukeun anu teu mibanda kutub, mangka Γ(z) teu mibanda nol.

Bisa ogé nilai keur fungsi gamma dina non-integer nyaéta

Fungsi gamma mibanda hiji kutub orde 1 dina z = −n keuw sakabéh wilangan alami n; sesana dibérékeun ku

Bentuk kakali fungsi gamma saterusna nyaéta valid keur sakabéh wilangan kompleks z nu lain integer non-positip:

nu mana γ mangrupa konstanta Euler-Mascheroni.

TeoremaBohr-Mollerup nangtukeun yén antara sakabéh fungsi dilegaan ku fungsi faktorial kana wilangan riil positip, ngan lamun fungsi gamma mangrupa log-convex.

Kaitan jeung fungsi sejen 

Dina integral di luhur, nu ngahartikeun fungsi gamma, watesan integralna geus ditangtukeun.
Fungsi gama nu teu lengkep mangrupa fungsi nu ditangtukeun ku nuturkeun wates luhur atawa handap tina integral jadi variabel.
Turunan logaritma fungsi gamma disebutna fungsi digamma.

Tempo ogé 
 Fungsi beta.
 Stirling's approximation

Rujukan 

 M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6.)
 G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
 W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)

Tumbu kaluar 

 Gamma function at MathWorld.

Matematika
Dina teori probabiliti jeung statistik, sebaran eksponensial nyaéta sebaran probailiti kontinyu nu mibanda probability density function (pdf)

nu mana λ > 0 mangrupa paraméter sebaran.

Cumulative distribution function diberekeun ku

Nilai ekspektasi jeung simpangan baku variabel random eksponensial duaana nyaéta 1/λ (sarta varianna nyaéta 1/λ2.)

Sebaran eksponensial dipaké keur modél proses Poisson, nu mana kaayaanna obyek awal dina tetapan A bisa robah kana tetapan B nu mibanda konstanta probabiliti per satuan waktu λ. Waktu nu robah dina tetapan sabenerna dijelaskeun ku variabel random eksponensial nu mibanda paraméter λ. Sanajan kitu, integral ti 0 ka T dina f mangrupa probabiliti nu obyekna dina tetapan B nyaéta waktu T.

Sebaran eksponensial bisa ditempo salaku lawan tina sebaran geometrik, nu ngajelaskeun wilangan Bernoulli trial penting keur prosés diskrit ka robahna tetapan. Beda jeung sebaran eksponensial nu ngajelaskeun waktu keur prosés kontinyu kana robahna tetapan.

Conto variabel nu ngadeukeutan sebaran eksponensial nyaéta:

 waktu kajadian kacilakaan mobil saterusna
 waktu narima telpon saterusna (anggap narima loba telpon unggal poe, atawa narima telpon ti jalama nu beda waktuna)
 jarak antara mutasi dina ranteDNA
 jarak antara roadkill
 waktu penguraian radioaktif 
 jumlah alungan dadu dina alungan 6 11 kali dina baris

Sipat penting tina sebaran eksponensial nyaéta kurang memori. Ieu hartina yén variabel random T kasebar eksponsial, probabiliti kondisional nurut kana

Ieu hartina yén probabiliti kondisional yén perlu ngadagoan, contona, leuwih ti 10 detik samemeh datang mimiti, diberekeun yén waktu datang teu kajadian sanggeus 30 detik, teu beda tina probabiliti mimiti nu merlukeun waktu ngadagoan leuwih ti 10 detik keur nu datang mimiti. Ieu sok salah harti ku siswa nu nyokot pangajaran probabiliti: kanyataanna yén P(T > 40 | T > 30) = P(T > 10) lain hartina yén kajadian T > 40 sarta T > 10 hal nu bebas. Kasimpulanna: "memorlessness" sebaran probabiliti waktu ngadagoan T salili datang mimiti hartina

Lain hartina

Ieu kudu bebas. Dua kajadian ieu heunteu bebas.

Generating variabel ku sebaran eksponensial 

Diberekeun variabel random Y nu mibanda sebaran seragam dina interval (0;1], variabel

ngabogaam sebaran eksponensia; nu mibanda paraméter λ.

Probability distributions
Dina tiori probabiliti jeung statistik, sebaran gamma nyaéta probability distribution kontinyu. Probability density function bisa digambarkeun di watesan fungsi gamma:

nu mana k > 0 nyaéta parameter bentuk jeung θ > 0 nyaéta parameter skala sebaran gamma .

Cumulative distribution function bisa ditembongkeun dina watesan incomplete gamma function,

Nilai ekspektasi sarta varian tina variabel random gamma X nyaéta:

Lamun  mibanda sebaaran gamma mibanda paraméter  jeung θ, 
sarta  mibanda sebaran gamma mibanda paramater  jeung θ,
mangka  mibanda sebaran gamma mibanda paraméter  jeung θ.

Lamun k sarua jeung 1, sebaran gamma mangrupa sebaran eksponensial mibanda paraméter θ.
Jumlah n variabel eksponensial, sakabéhna mibanda paraméter θ nu sarua, mangrupa variabel gamma nu mibanda paraméter n jeung θ.

Lamun k mangrupa integer, sebaran gamma mangrupa Erlang distribution (keur ngahargaan ka A.K. Erlang) sarta sebaran probabiliti waktu tunggu tina nu-k "datang" dina hiji-dimensi Poisson process nu mibanda intensitas 1/θ.

Lamun k mangrupa satengah-integer sarta θ = 2, mangka sebaran distribution mangrupa sebaran chi-kuadrat nu mibanda 2 k tingkat kabébasan.

Sebaran gamma mangrupa sebaran probabiliti infinitely divisible .

Sumber sejen 

  R.V. Hogg and A.T. Craig. Introduction to Mathematical Statistics, 4th edition. New York: Macmillan, 1978. (See Section 3.3.)

Probability distributions
Hateup nyaéta bagéan pangluhurna tina imah nu nutupan wangunan.
Hateup datar mindeng ditutupan ku tér jeung karihkil tur disadiakuen saluran keur nyalurkeun cihujan jeung salju. Hateup bentuk lianna diwangun pikeun ngucurkeun cai sacara alami, kaasup:
Di nagara séjén, Amerika utamana. Hateup imah téh sok dipulas maké tér  bahanna hateup sorangan dijieun aya tina kai , beusi galvanis, batu , aya ogé anu maké kenténg .
Kadieunakeun hateup téh aya ogé anu ngagunakeun panel surya, aya dua mangpaat sagigireun ngiuhan imah ogé bisa ngahasilkeun listrik pikeun kabutuhan rumah tangga.

Hateup imah tradisional Sunda
Hateup dina wangunan imah tradisional Sunda mibanda ciri anu mandiri, aya sababaraha ngaran hateup anu remen dipaké kayaning:
 Jolopong :Wangun suhunan jolopong mibanda ciri manjang kadua sisina, sok disebut ogé suhunan panjang /gagajahan.
 Tagog anjing /jogog anjing :Saliwatan sarimbag kawas suhunan badak heuay, pedah dina palebah sambungan hateup jangkungna sarua henteu dibedakeun. 
 Badak heuay : Sarimbaggan jeung tagog anjing, bedana palebah sambungan suhunan nu palebah pendokna dijangkungkeun saeutik. 
 Parahu kumereb/Parahu nangkub :Disebut Parahu kumereb alatan suhunan  wangunan limas, kawas parahu nangkub luhureun imah. 
 Capit gunting : Bédana dina palebah sambungan suhunan panjang, dijieun palang dua ngawangun gunting keur muka. 
Julang ngapak : Bedana dina sisi kénca jeung katuhu leuwih rubak ka sisi, sarta leuwih jangkung ka luhur palebah suhunana. 
Jubleg mangkuk: <ref name=”Mua”>

Sababaraha sistem konstruksi ngabagi beurat hateup kana pinding/dinding wangunan tur mageuhan éta hateup kana struktur imah.

Tempo ogé 
 Taman di hateup.
 Loténg

Dicutat tina
Dina statistik, skor standar (z) nyaéta kuantitas tak-berdimensi nu asalna tina subtraksi sample mean tina individu skor (atah) sarta dibagi ku bédana simpangan baku:

Nilai z ngagambarkeun lobana simpangan baku antara skor atah jeung méan; nilai z negatip lamun skor atah sahandapeun méan, positip lamun saluhureunna.

Sebutan séjén keur skor standar nyaéta skor-z. prosés konversina kadangkala disebut standarisasi.

Konversi ka skor standar bisa dijieun ku ngabandingkeun jeung ngombinasikeun ukuran skala.

Contona, nilai ujian dua siswa tina kelas nu béda bisa dibandingkeun ku konversi unggal skor siswa dumasar kana skor méan jeung simpangan baku manéhna di kelasna. Siswa nu mibanda skor standar pangluhurna nunjukkeun hal nu hadé, tinimbang lamun skor kotorna handap. 

Lamun data dikombinasikeun atawa di-skala, elimanisasi standarisasi kajadian dina pemberat ku sabab bédana méan jeung simpangan baku. Ieu hal penting dina linear regression waktu data mangrupa sampel méan tinimbang observasi pribadi.

Skor standar mangrupa loba dipaké keur data nu kasebar normal, sanajan teu bisa disebutkeun yén urang teu merlukeun sarat dina ngagunakeun informasi ngeunaan data skewed. Standar skor ogé diperlukeun dina skor percentile rank sebaran normal.

Standarisasi dina matematik statistik
Dina statistik matematis, variabel acak X mangrupa standarisasi dipaké dina (populasi) méan jeung simpangan baku téoritis:

nu mana μ = E(X) mangrupa mean sarta σ² = Var(X) varian ti probability distribution X.

Lamun variabel acak dina ieu kaayaan mangrupa sample mean:

mangka versi standarisasi nyaéta

Tempo oge
 moment (mathematics)
 central moment
 sampling distribution

Statistika
Sacara umum, regresi nyaéta pindah ka arah tukang. Sacara husus:
 Watesan keur eksplorasi, with the assistance of a therapist, of (possibly unpléasant) past memories as part of the tréatment for mental illnesses. See psychotherapy, hypnotherapy.
 A re-introduction of a defect into a later revision of a product. See engineering, regression testing.
 The phenomenon by which the séa retréats, or regresses, as a consequence of lowering séa level. See geology.
 In statistics:
 The phenomenon, that, when two related variables are méasured, the expected value of the second is closer to the méan than the méasured value of the first. See regression toward the mean.
 A method where the mean of one or more variabel acaks is predicted conditioned on other (méasured) random variables. See regression analysis.
Danie G. Krige, nepi ka kiwari Profésor di Universitas Witwatersrand, Républik Afrika Kidul, salah saurang ahli géologi di Afrika Kidul nu ngawanohkeun géostatistik. Téhnik kriging dumasar kana ngaran manéhna.  Pagawéan émpirisna keur ngévaluasi sumberdaya mineral [1] dirumuskeun dina taun 1960-an ku ahli rékayasa Perancis Georges Matheron.

Sumber séjén 
1. Krige, D.G. A statistical approach to some basic mine valuation problems on the Witwatersrand. 1951. J. of Chem., Metal, and Mining Soc. of South Africa, Vol. 52, No. 6, pp. 119–139.

Géolog
prosés Gauss (Ing. Gaussian process) mangrupa prosés stokastik {Xt}t, nu mana unggal kombinasi linear (terhingga) tina Xt, mangrupa sebaran normal.  Konsép ieu maké ngaran Carl Friedrich Gauss sabab sebaran normal kadangkala disebut ogé sebaran Gaussian distribution, sanajan Gauss lain nu mimiti nalungtik ieu distribusi.  Catetan yén sababaraha pangarang (contona B. Simon dina rujukan di handap ieu) ogé nganggap yén variabel Xt miboga méan sarua jeung nol.  Alternatipna, ieu prosés Gauss iff keur susunan terhingga ditempokeun ku t1, ..., tk

mangrupa nilai-vektor variabel random Gauss. ngagunakeun fungsi karakteristik variabel random, bisa dirumuskeun sipat Gauss saperti:{Xt}t mangrupa Gaussian iff keur unggal susunan terhingga nunjukkeun t1, ..., tk nu mana riil positip σl j jeung riil μj mangka

Angka σl j jeung   μj nempokeun bakal jadi variabel kovarian jeung méan dina ieu prosés.

Prosés Wiener leuwih luas di-pelajari tinimbang prosés Gauss.

prosés Gauss bisa dipaké salaku fungsi prior probability distribution dina inferensi Bayes. Nilai kaputusan kontinyu nu mibanda prior prosés Gaussian dipikanyaho salaku régrési prosés Gauss.

Rujukan

 R. M. Dudley, Real Analysis and Probability, Wadsworth and Brooks/Cole, 1989.
 B. Simon, Functional Integration and Quantum Physics, Academic Press, 1979.

Tumbu kaluar

 Gaussian Processes: Theory and Applications
 The Gaussian Processes Web Site 

Prosés stokastik
Dina probability theory jeung statistik, covariance antara dua nilai-real variabel random X jeung Y, nu mibanda nilai ekspektasi E(X) = μ jeung E(Y) = ν dihartikeun ku:
 
Ieu sarua jeung rumus di handap nu ilahar dipaké keur ngitung dina kaayaan nu sabenerna:
 

Keur vektor-kolom variabel random X jeung Y mibanda nilai μ jeung ν, sarta n jeung m komponen skalar, kovarian dihartikeun jadi matrik n×m

Lamun X jeung Y bebas, mangka kovarian sarua jeung nol. Hal ieu sabab dina kaayaan bébas, E(X·Y) = E(X)·E(Y). Sabalikna, sanajan, teu bener: mungkin yén X sarta Y teu bébas, kovarian-na masih kénéh nol.

Lamun X jeung Y nilai-riil variabel random sarta c mangrupa konstanta ("konstanta", di hal ieu, hartina non-random), mangka nuturkeun kanyataan mangrupa akibat tina harti kovarian:

Keur nilai-vektor variabel random, cov(X, Y) sarta cov(Y, X) masing-masing transpos.

Kovarian kadangkala disebut ukuran "linear bebas" antara dua variabel random.  Ieu teu frase lain sarua hartina yén harti nu leuwih formal dina aljabar linier (tempo linear dependence), sanajan hartina henteu pakait. Correlation mangrupa konsép pakait nu raket dipaké keur ngukur tingkat kabébasan dua variabel.

Statistika
Kecap kernel mibanda sababaraha harti dina matematik, kadang pakait jeung hal séjén, kadangkala heunteu.  Di handap ieu sababaraha artikel ngeunaan kernel leuwih jéntré dina : kernel (algebra), kernel of a function.

Operator Kernel

Dina analisa, tempo hiji operator integral T nu mindahkeun fungsi f kana fungsi Tf dina rumus integral

 

The function K that appéars in this formula is the kernel of the operator T.  This usage applies also to convolution operators such as the Dirichlet kernel. This type of kernel is used in the kernel trick which has applications in several fields of applied mathematics.

Kernels in algebra and category theory

Unrelated to this, if f is any function in any context, then the kernel of f is a certain equivalence relation on the domain of f which is defined in terms of f. For more on this in general, see kernel of a function.

This notion is used héavily in abstract algebra.  But in the case of Mal'cev algebras, it can be replaced by a simpler definition; the kernel of a homomorphism f is the preimage under f of the zero element of the codomain.  For more on this, see kernel (algebra).

Finally, for this last notion of kernel is generalised in a certain sense in category theory; the kernel of a morphism f is the difference kernel of f and the corresponding zero morphism (if this exists). For more on this, see kernel (category theory).

Kernel of a linear map 

Perhaps the best-known case of the concept of kernel in algebra is that of the kernel of a linear map.  The kernel of a linéar map is the same thing as its null space.

Matematika
(Seratan Kang Ilén Kardani ti milis Kisunda)

Panyakit B (belik, boson, budeg, bodo, balelo, balangah, busiat, bedegong, jsb) anu ku urang kulon mah disebut Alzheimer atawa Senile Dementia téa, nyaéta turuna kapinteran jeung fungsi mental ku sabab aya perobahan tina jaringan otak, bisa ku lantaran sel otak anu murungkut, pambuluh darah otak anu acak-acakan, atawa bisa ogé jarak antara sel otak ngaanggangan sabab kurangna substansi anu dipaké komunikasi antara sel-sel otak. Panyakit ieu biasana nyerang ka jelema anu geus kolot katompernakeun, babandinganana tina sapuluh rebu urang (nu geus karolot) bakal aya salapan urang anu keuna ku ieu panyakit, lolobana mah karandapan ku awewe.

Jaringan otak merlukeun zat anu disebut acetylcholine, somatostatin, P substance, jeung eropinephrine. Kakurangan zat kasebut bakal ngakibatkeun nuruna fungsi mental atawa timbulna panyakit B. Pangaruh luar saperti kadaharan anu loba ngandung alumunium jeung mangan, atawa infeksi tina sumsum tulang belakang, bisa ogé ngalantarankeun timbulna ieu panyakit.

Ciri-ciri panyakit B:

 Kapinteran mimiti turun (bodo - intellectual decline).
 Panca indra kurang sensitif (budeg jsb)
 Hese néangan kecap keur nyarita (balelo - anomia).
 Teu bisa migawe pagawéan sapopoe (belegug - apraxia).
 Poho kana kaparigelan anu kungsi kacangking (boloho).
 Teu bisa konsentrasi (balangah).
 Paroman bingung (bengong)
 Kurang ingetan, biasana teu bisa ngingetkeun anu can lila kajadian.
 Embung campur gaul jeung batur.
 Leungiteun karikatan (boyot - slow movement).
 Gampang aral (belikan - agitation).
 Teu bisa ngandali palawangan (boson - incontinence).

Kumaha mariksana?

Lamun aya nu gering sarupa kitu, biasana sirahna dipariksa make: CT Scan, sinar-X, MRI (Magnetic Resonance Imaging) atawa ku EEG (Electroencephalography). Tina hasil pamariksaan bakal kapanggih karusakan naon anu karandapan ku otakna.

Kumaha ngubaranana?

Nya teuing atuh, da tepi ka kiwari ogé can aya ubar anu tokcer keur ngilangkeun panyakit B. Aya ogé ubar iwal ukur ngajaga efek samping tina panyakit B, sarupaning: Tacrine phosphatidyl choline, anti-psychotics, serotonin, carbamazepine, anticonvulsant jsb.

Kumaha ngurus jalma anu boga panyakit B?

 Ulah diantep sosoranganan, utamana lamun ka jalan.
 Ulah mercayakeun ka budak sina ngurus manéhna.
 Lamun teu bisa nalingakeun, leuwih hadé dititipkeun ka panti jompo.
 Amankeun barang-barang anu matak pibahayaeun.

Panyakit manusa
Dina matematik, produk nyaéta hasil multiplying, or an expression that identifies factors to be multiplied.  The order in which real or complex numbers are multiplied has no béaring on the product; this is known as the commutative law of multiplication.  When matrices or members of various other associative algebras are multiplied the product usually depends on the order of the factors; in other words, matrix multiplication, and the multiplications in those other algebras, are non-commutative.

Several products are considered in mathematics:
 Products of the various classes of numbers
 The dot product and cross product are forms of multiplication of vectors.
 The product of matrices; see matrix multiplication.
 The pointwise product of two fungsi.
 Products in rings and fields of many kinds.
 It is often possible to form the product of two (or more) mathematical objects to form another object of the same kind, e.g. 
 the cartesian product of sets,
 the product of groups, 
 the product of rings,
 the product of topological spaces,
 for the general tréatment, see product (category theory).
Géometri simpangan baku ngajelaskeun kumaha sumebarna data tina susunan average nu ditempo nyaéta geometric mean.  Lamun méan tina susunan {A1, A2, ..., An} dilambangkeun ku μg, maka géomteri simpangan baku nyaéta

.

Panurunan

Lamun géometri méan nyaéta

saterusna dicokot dina bentuk natural logarithm dua sisi ngahasilkeun
.
Hasil logaritma mangrupa jumlah logaritma, sabab kitu
.
Bisa ditempo yén  mangrupa arithmetic mean tina susunan data , saba kitu aritmetika simpangan baku tina susunan nu sarua bakal jadi 
.
'Koreksi: aritmetika simpangan baku susunan ieu nunjukkeun hal nu bener. Ngan heunteu keur simpangan baku. Ngabuktikeun salahna, itung kovarian dua susunan data ku cara di luhur. Hasil eksponensial nunjukkeun yén kovarian teu-negatif, nu taya alesan (kovarian bisa jadi negatif).
Hasil eksponensial dua sisi dina persamaan (1).  Q.E.D.

Geometri skor standar

Géometri versi skor standar nyaéta

.

Lamun data géometri méan, simpangan baku, jeung skor-z dipikanyaho, maka raw score bisa di-rekonstruksi ku

Hubunganna jeung sebaran log-normal
Géometri simpangan baku pakait jeung sebaran log-normal.
Sebaran log-normal nyaéta sebaran normal hasil transformasi nilai logaritmik. Ku cara susunan transformasi logaritma sederhana bisa ditempo ten géometri simpangan baku mangrupa nilai eksponensial tina simpangan baku nilai transformasi log(e.g. exp(stdev(ln(A))));

Sabab kitu, sampel data géometri méan jeung géometri simpangan baku ti populasi log géometric méan jeung géometric simpangan baku bisa dipaké keur nga-estimasi confidence interval ku jalan arithmetic méan jeung simpangan baku nu digunakeun keur nga-estimasi confidence interval dina sebaran normal.  Keur diskusi sacara lengkep tempo di sebaran log-normal.

Tempo ogé

geometric mean, sebaran Log-normal, natural logarithm

Statistika
Dina statistik sarta analisa data, skor atah nyaéta data asli nu acan dirobah – contona, hasil tina test siswa (contona, angka tina jawaban nu bener) salaku lawan tina skor sanggeus dirobah kana skor standar atawa rengking atawa nu sarupa.

Statistika
Simpangan mutlak salah sahiji unsur susunan data nyaéta béda mutlak antara unsur jeung titik nu dibérékeun.  Titik tipikal tina simpangan mangrupa ukuran nilai boh median atawa mean tina susuna data.

Rata-rata simpangan mutlak tina susunan data nyaéta average simpangan mutlak sarta  kasimpulan statistik tina statistical dispersion atawa variability.

Rata-rata simpangan mutlak tina susunan data  {x0, x1, ..., xn-1} is:

di mana  mangrupa nilai pilihan central tendency tina susunan data nu mana rata-rata simpangan mutlak keur diukur.

Median mangrupa titik minimal tina rata-rata simpangan mutlak susunan data.  Contona, keur susunan {1,2,2,4,6}, median nyaéta 2 sedengkeun méan sarua jeung 3.  Rata-rata simpangan mutlak tina median nyaéta (1+0+0+2+4)/5=1.4 sedengkeun rata-rata simpangan mutlak tina méan (kadangkala disebut simpangan méan) nyaéta (2+1+1+1+3)/5=1.6.

Sacara umum, rata-rata simpangan mutlak tina méan nyaéta antara hiji sarta dua kali rata-rata simpangan mutlak tina median; kurang atawa sarua jeung simpangan baku.

Statistika
Dina statistik, simpangan statistik statistik nu mana probability distribution teu gumantung kana probability distributions nu ditempo nyaéta sebaran populasi statistik tina data nu dicokot. Konsep ieu mimiti dikenalkeun ku ahli statistik génétik Sir Ronald Fisher.

Conto

 Anggap X1, ..., Xn mangrupa bebas sarta kasebar identik, sarta kasebar normal mibanda nilai ekspektasi μ jeung varian 1.  (The use as an example, of this particular parametrized family of probability distributions, all having the same variance, is unréalistic, in that it amounts to a situation in which the statistician somehow knows the exact value of the polpulation variance, but can only estimate the population méan by using the observed values of the data X1, ..., Xn.)  Let

be the sample mean.  Variabel acak

is not an ancillary statistic, even though its probability distribution does not depend on μ  That is because it is not a statistic, since its value depends on the unobservable population mean μ

The random variable

is an ancillary statistic, because
Its probability distribution does not change as μ changes, and
 it depends only on the data X1, ..., Xn and not on the unobservable parameter μ, i.e., it is a statistic.

 In baseball, suppose a scout observes a batter in N at-bats.  Suppose (unréalistically) that the number N is chosen by some random process that is independent of the batter's ability—say a coin is tossed after éach at-bat and the result determines whether the scout will stay to watch the batter's next at-bat.  The eventual data are the number N of at-bats and the number X of hits.   The observed batting average X/N fails to convey all of the information available in the data because it fails to report the number N of at-bats (e.g., a batting average of 0.400, which is very high, based on only five at-bats does not inspire anywhere néar as much confidence in the player's ability than a 0.400 average based on 100 at-bats).  The number N of at-bats is an ancillary statistic because
 It is a part of the observable data (it is a statistic), and
 Its probability distribution does not depend on the batter's ability, since it was chosen by a random process independent of the batter's ability.

This ancillary statistic is an ancillary complement to the observed batting average X/N, i.e., the batting average X/N is not a sufficient statistic, in that it conveys less than all of the relevant information in the data, but conjoined with N, it becomes sufficient.

Statistika
Anomali deret waktu nyaéta lobana deviasi deret waktu tina mean. Harti séjén nyaéta itungan keur sakabéh deret waktu, contona keur unggal jam dina sapoe lamun siklus poe-an tina sababaraha variabel dicokot.  Salaku pangganti méan aritmetik, indikator séjénna nyaéta locality ogé bisa dipaké, saperti ogé median dina analisa sacara numerik.

Dina atmospheric sciences, annual cycle iklim biasana maké nilai méan.  Conto nu kawentar dina anomali deret waktu atmosfer nyaéta indeks Southern Oscillation (SOI) jeung indeks North Atlantic Oscillation.  SOI nyaéta komponen atmosfer El Niño, sedengkeun NAO mangrupa pangaruh penting keur weather di Europe ku ayana modifikasi storm track nu datangna ti Atlantik.

Statistika
Dina econometrics,
modél autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) nimbangkeun yén wates salah varian ayeuna jadi fungsi wates salah varian dina waktu saméméhna.

Lamun autoregressive moving average model di-asumsikeun keur kasalahan, modélna nyaéta modél  generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH).

Sacara umum, lamun tes keur heteroskedasticity dina modél econometric, tes nu panghadéna White test. Hal séjén, lamun pakait jeung data deret waktu, tes panghadéna nyaéta  tes Engle's ARCH.

Sumber sejen

 Tim Bollerslev. "Generalized Autorregressive Conditional Heteroskedasticity", Journal of Econometrics, 31:307-327, 1986.
 Robert F. Engle. "Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of Variance of United Kingdom Inflation", Econometrica 50:987-1008, 1982. (the paper which sparked the general interest in ARCH models)
 Robert F. Engle. "GARCH 101: The Use of ARCH/GARCH Models in Applied Econometrics", Journal of Economic Perspectives 15(4):157-168, 2001. (a short, readable introduction)

Statistika
modél data posterior probabiliti, P(H|D), ngagunakeun Bayes' theorem:
P(H|D) = P(D|H)P(H)/P(D)

Wates konci data-dependent P(D|H) nyaéta likelihood, jeung kadangkala disebut kajadian keur modél H; evaluasi nu bener mangrupa konci dina modél perbandingan Bayes.

Kajadian umumna normalizing constant atawa partition function tina kaputusan séjén, disebut modél paramater kaputusan H ti data D.

Hal nu asup akal di modél dua béda H1 jeung H2, parametrised ku modél vektor  jeung  nu ditaksir maké Bayes factor dirumuskeun ku

Sumber sejen 
 Gelman, A., Carlin, J.,Stern, H. and Rubin, D. Bayesian Data Analysis. Chapman and Hall/CRC.(1995)
 Bernardo, J., and Smith, A.F.M., Bayesian Théory. John Wiley. (1994)
 Lee, P.M. Bayesian Statistics. Arnold.(1989).
 Denison, D.G.T., Holmes, C.C., Mallick, B.K., Smith, A.F.M., Bayesian Methods for Nonlinéar Classification and Regression. John Wiley. (2002).
 Richard O. Duda, Peter E. Hart, David G. Stork (2000) Pattern classification (2nd edition), Section 9.6.5, p. 487-489, Wiley, ISBN 0471056693
 Chapter 24 in Probability Theory - The logic of science by E. T. Jaynes, 1994.
 David J.C. MacKay (2003) Information théory, inference and léarning algorithms, CUP, ISBN 0521642981, (also available online)

Tumbu kaluar 

 The on-line textbook: Information Theory, Inference, and Learning Algorithms, by David J.C. MacKay, has many chapters on Bayesian methods, including introductory examples; compelling arguments in favour of Bayesian methods; state-of-the-art Monte Carlo methods, message-passing methods, and variational methods; and examples illustrating the intimate connections between Bayesian inference and data compression.