AksaraLLM/aksara-bahasa-daerah-v1 huggingface dataset:
Konsép ngeunaan normalizing constant ningkat dina probability theory jeung dina widang matematik séjénna.

Definition and examples

Dina tiori probabiliti, normalisasi konstanta nyaéta konstanta nu di unggal tempat fungsi non negatip kudu dikalikeun dina usaha keur meunangkeun fungsi probabiliti densiti atawa fungsi probabiliti masa.  Contona, urang mibanda

mangka

mangrupa fungsi densiti probabiliti.  Hal ieu mangrupa densiti standar sebaran normal.  (Standar, dina kasus ieu hartina nilai ekspektasi sarua jeung 0 sarta varian sarua jeung 1.)

Similarly,

and consequently

is a probability mass function on the set of all nonnegative integers.  This is the probability mass function of the Poisson distribution with expected value λ.

The normalizing constant for the Boltzmann distribution plays a central role in statistical mechanics. In that context, the normalizing constant is called the partition function.

Bayes' theorem

Bayes' theorem says that the posterior probability méasure is proportional to the product of the prior probability méasure and the likelihood function .  Proportional to implies that one must multiply or divide by a normalizing constant in order to assign méasure 1 to the whole space, i.e., to get a probability méasure.  In a simple discrete case we have

where P(H0) is the prior probability that the hypothesis is true; P(D|H0) is the conditional probability of the data given that the hypothesis is true, but given that the data are known it is the likelihood of the hypothesis (or its paraméters) given the data; P(H0|D) is the posterior probability that the hypothesis is true given the data. P(D) should be the probability of producing the data, but on its own is difficult to calculate, so an alternative way to describe this relationship is as one of proportionality:

.

Since P(H|D) is a probability, the sum over all possible (mutually exclusive) hypotheses should be 1, léading to the conclusion that

In this case, the value

is the normalizing constant.  It can be extended from countably many hypotheses to uncountably many by replacing the sum by an integral.

Non-probabilitistic uses

The Legendre polynomials are characterized by orthogonality with respect to the uniform méasure on the interval [− 1, 1] and the fact that they are normalized so that their value at 1 is 1.  The constant by which one multiplies a polynomial in order that its value at 1 will be 1 is a normalizing constant.

Statistika
Dina téori wilangan, tempo fungsi partisi (téori wilangan)
 Dina mékanika statistik, tempo fungsi partisi (mékanika statistik)
 Dina téori widang kuantum, tempo fungsi partisi (téori widang kuantum)
 Dina téori kaulinan, tempo fungsi partisi (téori kaulinan)
Dina statistik, pamakéan faktor Bayes nyaéta hiji alternatif Bayesian dina tés hipotésa statistik klasik.

Ditangtukeun model pamilihan masalah nu kudu dipilih antara dua modél M1 jeung M2, dumasar kana vektor data x. Faktor Bayes K ditangtukeun ku rumus

Hal ieu siga hiji tes babandingan-likelihood. Sacara ilahar, modél M1 jeung M2 bakal dijadikeun parameter ku parameter vektor  jeung ; mangka K bakal ditangtukeun ku rumus

Nilai K > 1 hartina data nembongkeun yén M1 leuwih deukeut tinimbang M2 sarta sabalikna. Harold Jeffreys méré  skala keur ngajentrekeun K:

Loba ahli statistik Bayes nu ngagunakeun faktor Bayes salaku bagéan dina nangtukeun pilihan, aya ogé nu ngahijikeunna dina ngira-ngira prior probability unggal modél sarta ngahijikeun loss function keur nyieun pilihan nu salah.

Conto
Anggap urang mibanda hiji variabel acak nu bakal nembongkeun hasil atawa gagal.  Nu dipikahayang nyieun hiji modél 
M1 nu kamungkinan hasilna nyaéta q=1/2, sarta modél séjén M2 nu mana q bener-bener teu dipikanyaho sarta nyokot prior distribution keur q nu mangrupa sebaran seragam dina [0,1].  Conto nu dicokot nyaéta 200, sarta manggihkeun 115 hasil tur 85 gagal.  Likelihood-na nyaéta 

Mangka 

tapi 

 
Babandingannya nyaéta 1.197..., nu mana "sedeng" lamun éta titik nujul kana M1.

Hal ieu teu sarua siga dina uji babandingan likelihood, nu mana bakal kapanggih estimasi maximum likelihood keur q, nyaéta 115/200=0.575, sarta tina éta nilai mangka babandinganna nyaéta 0.1045..., tur pasti nujul ka M2.  Uji hipotesa  frequentist bakal ngahasilkan hasil nu leuwih dramatis, anggap yén M1 bakal ditolak lamun tingkat kapercayaan 5%, saprak kamungkinan keur meunangkeun 115 hasil atau leuwih tina 200 sample lamun q=1/2 is 0.0200..., sarta dina dua-buntut bakal digambarkeun nu leuwih ekstrim tinimbang 115 nyaéta 0.0400...  Perlu dicatet yén 115 leuwih ti simpangan baku jauh ti 100.

M2 nyaéta modél nu leuwih kompleks tinimbang M1 sabab mibanda paraméter bébas nu ngameunangkeun kana modél éta data leuwih raket. Kamampun faktor Bayes dipaké keur ngitung alesan kunaon sababna Bayesian inference geus dipaké geus nuluykeun téori kaputusan jeung kailaharan tina Occam's razor, ngurangan Type I error.

Tempo oge
 Bayesian model comparison

Statistika
Bayesian hartina métodeu kamungkinan jeung statistik nu pakait jeung Reverend Thomas Bayes (1702-1761) sarta téoréma Bayes dina probabilitas kondisional. Sababaraha widang nu terus diwangun sanggeus anjeunna pupus, nyaéta:

 probabilitas Bayes
 inferensi Bayes
 jaringan Bayes
 faktor Bayes
 perbandingan modél Bayes
 saringan Bayes
 métode émpiris Bayes
 klasifikasi naif Bayes
Dina tiori probabiliti jeung statistik, sebaran Weibull (nyokot tina ngaran Wallodi Weibull) nyaéta probability distribution kontinyu nu mibanda probability density function

nu mana k >0 nyaéta parameter bentuk jeung λ > 0 nyaetra parameter skala sebaran.

Fungsi kumulatip densiti dihartikeun ku 

Sebaran eksponensial (lamun k = 1) sarta sebaran Rayleigh (lamun k = 2) mangrupa dua kasus husus dina sebaran Weibull.

sebaran Weibull geus ilahar dipaké dina modél waktu sanggeus alat teknis gagal.
Lamun laju gagalna alat nurun dumasar kana waktu, mangka pilih k < 1 (hasil tina nurunna densiti f). Lamun laju gagalna alat angger kana waktu, mangka pilih k = 1, hasil tina nurunna fungsi f. Lamun laju gagalna alat naek kana waktu, mangka pilih k > 1 sarta tangtukeun densiti f nu naek ka arah maksimum sarta nurun salawasna. Pabrik salawasna nyadiakeun bentuk sarta skala paramater keur sebaran waktu hirup tina sababaraha alat. Sebaran Weibull bisa ogé dipaké modél sebaran kecepatan angin di lokasi di bumi. Unggal lokasi dicirikeun ku sabagéan paraméter bentuk jeung skala.

Nilai ekspektasi sarta simpangan baku tina variabel acak Weibull bisa ditembongkeun dina watesan fungsi gamma:

E(X) = λ Γ((k + 1) / k) sarta

var(X) = λ2[Γ((k + 2) / k) - Γ2((k + 1) / k)]

Tumbu kaluar
 The Weibull distribution (with examples, properties, and calulators).
 The Weibull plot.

Sebaran probabilitas
Dina statistik, sebaran Wishart, ngaran keur ngahargaan ka John Wishart, salah sahiji kulawarga probability distribution keur nonnegative-definite nilai-matrix variabel random ("matriks random"), dihartikeun di handap ieu.  Anggap

dina hal ieu X1 nyaéta p×1 nilai-vektor-kolom variabel random ("vektor random") nu mangrupa sebaran normal, nu mana nilai ekspektasi nyaéta p×1 vektor kolom nu asup sakabéhna nol, sarta varian nyaéta p×p matrik nonnegative definite V.  Urang mibanda

jeung

di mana unggal transpose matrik A dilambangkeun A′.

Saterusna tempo X1, ..., Xn mangrupa independent and identically distributed.  Saterusna sebaran Wishart nyaéta probability distribution tina matrik random p×p

Salah sahiji yén S mibanda sebaran probabiliti dituliskeun ku

Integer positip n mangrupa angka tingkat kabebasan.

Lamun p = 1 jeung V = 1 mangka ieu sebaran mangrupa sebaran chi-kuadrat.

Sebaran Wishart sering dipaké likelihood-ratio test dina analisa multivariate statistik.

Probability distributions
Jaringan Bayesian atawa Jaringan kapercayaan Bayesian nyaéta titik grafik siklus langsung nu ngagambarkeun variabél jeung busur nu ngagambarkeun hubungan bebas antar variabel. Lamun hiji busur ti titik A ka titik séjén B, bisa disebutkeun yén A mangrupa indung ti B. Lamun hiji titik dipikanyaho nileyna, mangka éta titik disebutna titik evidence. Hiji titik bisa ngagambarkeun rupa-rupa variabel, bisa mangrupa ukuran nu ditempo, paraméter, variabel laten, atau hipotesa. Titik-titik ieu henteu diwengku keur ngagambarkeun variable bebas; ieu nu disebut "Bayesian" dina Jaringan Bayes.

Jaringan Bayes ngagambarkeun distribusi gabungan keur sakabéh variabel nu digambarkeun ku titik-titik dina grafik. Upamana, variabel-variabel ieu nyaéta X(1), ..., X(n), tur parents(A) jadi indung keur titik A, mangka distribusi gabungan keur X(1) nepi ka X(n) digambarkeun salaku hasil distribusi gabungan p(X(i) | parents(X(i))) keur i ti 1 nepi ka n. Lamun X teu mibanda indung, mangka distribusi probabilitas ieu disebut unconditional, sedengkeun lamun sabalikna disebut conditional.

Patarosan ngeunaan pakaitna variabel ieu bisa dijawab ku nalungtik grafikna. Hal ieu bisa nembongkeun yén taksiran grafik disebut d-separation pakait jeung taksiran conditional independence: lamun titik-titik X jeung Y mangrupa d-separated (ditandaan ku titik-titik evidence husus), mangka variabel-variabel X jeung Y mangrupa varibel bebas tina variabel-variabel evidence.

Sangkan hasil itungan numerik nembongkeun hasil nu hadé, mangka hal nu penting nyaéta nangtukeun unggal titik indung keur X tina probabilitas distribusi X. Distribusi X bakal mibanda indung dina sababarah rupa. Sanajan kitu, nu geus ilahar dipaké nyaéta distribusi diskrit atawa distribusi Gauss, keur nyederhanakeun itungan.

Hasil tina usaha ieu nyaéta manggihkeun distribusi kondisi tina runtuyan-runtuyan variabel, kondisi dina nilai nu dipikanyaho keur sababaraha runtuyan séjén (evidence), jeung integral tina sakabéh variabel. Mangka, Jaringan Bayes ieu bisa dianggap mekanisme otomatis nu diwangun tina Bayes' theorem keur hal-hal nu leuwih ruwer.

Jaringan Bayes geus dipaké keur pangaweruh model dina gene regulatory network, medicine, rékayasa, text analysis, image processing, jeung decision support system.

Tempo ogé 

 Machine learning

Sumber sejen 
 Enrique Castillo, José Manuel Gutiérrez, and Ali S. Hadi. Expert Systems and Probabilistic Network Models. Springer-Verlag, New York, 1997. ISBN 0-387-94858-9
 Judéa Péarl, "Fusion, propagation, and structuring in belief networks". Artificial Intelligence, 29(3):241-288, 1986.
Bayesian filtering nyaéta prosés nu ngagunakeun metoda statistis Bayes keur klasifikasi dokument dina sababaraha kategori.

Bayesian filtering ilahar digunakeun sanggeus dijelaskeun dina paper "A Plan for Spam" ku Paul Graham, sarta jadi mekanisme nu kawentar keur ngabédakeun spam jeung serelek nu dipikahayang.  Loba program serelek modérn saperti Mozilla Thunderbird ngagunakeun Bayesian spam filtering.

Tumbu kaluar
A Plan for Spam

Statistika
Dina statistik, modél autoregressive moving average (ARMA) nyaéta aplikasi tipikal nu dipaké dina data deret waktu.

Anggap urang boga dua deret waktu, x1, x2, x3, ..., jeung y1, y2, y3, .... Deret x sacara konvensional teu bisa "sacara pasti" di-prediksi ku pangaruh atawa parobahan y. Urang diharéokeun keur ngira-ngira yt. Lamun modél prediksi ngan miboga watesan x, modél disebut modél moving average (MA). Lamun modél prediksi ngan miboga watesan y, modél disebut modél autoregressive (AR). Lamun prediski miboga duanana watesan boh x sarta y terms, modél disebut modél autoregressive moving average (ARMA).

Model moving average 

Lambang MA(q) hartina modél moving average mibanda watesan q. modél MA(q) bisa dituliskeun

keur sababraha koefisien θ1, ..., θq. modél moving average modél mangrupa hal penting dina finite impulse response filter nu mibanda sawangan tambahan dina éta tempat.

Model Autoregressive 

Lambang AR(p) hartina modél autoregressive mibanda watesa p. modél AR(p) bisa dituliskeun

keur sababaraha koefisien φ1, ..., φp. modél autoregressive modél mangrupa hal penting dina infinite impulse response filter nu mibanda sawangan tambahan dina éta tempat.

Model Autoregressive moving average 

Lambang ARMA(p, q) hartina modél mibanda watesan p autoregressive sarta watesan q moving average. Ieu modél mangrupa jumlah tina modél AR jeung MA,

Generalisasi 

Kawengku kana yt dina nilai x atawa y saméméhna dianggap bakal linier iwal dina kasus husus. Lamun dependen nonlinéar, modél sacara husus disebut nonlinear moving average (NMA), nonlinear autoregressive (NAR), atawa modél nonlinear autoregressive moving average (NARMA) .

modél autoregressive moving average modéls bisa digeneralisir maké cara séjén. Tempo ogé modél autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) sarta modél autoregressive integrated moving average (ARIMA).

Rujukan 

 George E.P. Box and F.M. Jenkins. Time Series Analysis: Forecasting and Control, second edition. Oakland, CA: Holden-Day, 1976.

Statistika
Dina statistik, sekuen atawa vektor tina variabel acak disebut heteroskedastic lamun variabel acak dina sekuen atawa vektor béda jeung varian. Lawanna disebut homoscedasticity.  (Di Amérika, umumna dieja homoscedastic.  Hiji hal nu husus dina aturan ejaan Amérika nu leuwih ilahar tinimbang ejaan Inggris).

Waktu maké tehnik variasi dina statistik, saperti kuadrat leutik biasa (Ordinary Léast Square - en), jumlah ieu dianggap tipikal. Salah sahijina nyaéta watesan nu dijieun konstan nyaéta varian. Hal ieu bakal jadi bener lamun watesan observasi kasalahan asalna tina sebaran nu identik.

Heteroskedasticity (aka skewedness, lawan: homoskedasticity) ngalawan asumsi ieu. Contona, watesan kasalahan bisa robah atawa naek unggal observasi, something that is often the case with cross sectional atawa ukuran deret waktu. Heteroskedasticity is often studied as part of econometrics, which frequently déals with data exhibiting it. It comes in two forms, pure and impure. Because there are so many types of éach, most textbooks limit themselves to déaling with heteroskedasticity in general, or one or two examples.

Consequences
The consequences are similar to serial correlation. 
 When OLS to is applied heteroskedastic modéls it is no longer a minimum variance éstimator. The variances and standard errors are understated.
 The variance of the sample betas incréases.

Conto
Heteroskedasticity often occurs when there is a large difference between the size of observations.

 [1] cites a cross sectional example: Comparing states with widely differing populations, such as Rhode Island and California.
 Imagine you are watching a rocket take off néarby and méasuring the distance it has travelled once éach second. In the first couple of seconds your méasurements may be accurate to the néarest centiméter, say. However, 5 minutes later as the rocket recedes into space, the accuracy of your méasurements may only be good to 100m, because of the incréased distance, atmospheric distortion and a variety of other factors. The data you collect would exhibit heteroskedasticity.

Sumber sejen
There are a gréat many references. Most statistics text books will include at léast some material on heteroskedasticity. 
 Studenmund, A.H. Using Econometrics 2nd Ed. ISBN 0-673-52125-7. Devotes a chapter to heteroskedasticity.

Statistika
Dina statistik jeung pamrosésan sinyal, deret waktu nyaéta runtuyan titik data, diukur dina nurunna waktu, pamisah rohangan tina interval waktu nu sarua.
Analisa deret waktu ngandung sababaraha metoda nu nyoba ngartikeun deret waktu, salawasna dipikaharti dina kaayan teori titik data (timana data datang ? kumaha nga-generate-na?), atawa keur nyieun ramalan (prediksi). Prediksi deret waktu mangrupa model nu dipaké keur prediksi kajadian nu bakal datang dumasar kana kanyaho nu geus kaliwat: keur prediksi titik data saméméh diukur. Conto ilahar nyaéta harga mimiti di pasar saham dumasar kana kajadian poé saméméhna.

modél keur deret waktu bisa mibanda sababara bentuk. Dua kelas nu penting nyaéta modél moving average (MA) jeung modél autoregressive (AR). Dua kelas ieu bisa ditempo leuwih jéntré dina kaca ngeunaan autoregressive moving average models (ARMA).

Tempo ogé 

 Prédiksi liniér, 
 Anomali dérét waktu, 
 Trend estimation, 
 Prediction interval

Stochastic processes
Dina statistik, runtuyan atawa vektor variabel acak disebut homoscedastic lamun kabéh variabel acak dina runtuyan atawa vektorna anu miboga varian kawates sarua. Lawanna disebut heteroscedasticity.
Anggapan dina nyederhanakeun tur ngarawat homoscedasticity sarta hasilna nujul kana estimasi nu panghadéna (upamana dina data mining sanajan ieu anggapan teu salawasna bener.

(Di Inggris, sakapeung disebut homoskedastic. Nyaéta hiji hal nu istimewa dina aturan éjahan Amérika anu biasana leuwih satia nepi ka etimologi ti batan éjahan Inggris.)

Statistika
(jejer ieu masih merlukeun tambahan nu leuwih jentre, nerangkeun dina metoda Gauss)

Kuadrat pangleutikna atawa Léast squares nyaéta téhnik optimasi matematik nu dipaké keur manggihkeun "ragkep hade" atawa "best fit" tina susunan data ku ngaminimalkeun bédama jumlah kuadrat (disebut sesa) antara fungsi rangkep jeung data.

Ieu geus ilahar dipaké dina kurva rangkep. Loba masalah optimasi bisa ditembongkeun dina bentuk kuadrat leutik, saperti dina ngaminimalkeun tanaga atawa ngamaksimalkeun entropi.

Tempo régrési liniér sarta teorema Gauss-Markov. Téorema Gauss-Markov nyebutkeun yén éstimator kuadrat-leutik mangrupa hal nu pang-optimal-na.

Keur maké métodeu  kuadrat leutik ilaharna maké fungsi f(x), nu mibanda sababaraha wilangan konstanta nu teu dipikanyaho (contona f(x) = mx + b, nu mana m sarta b teu dipikanyaho), sarta panggihkeun nilai m jeung b ku ngaminimalkeun jumlah kuadrat sesa (nyaéta, jumlah dina watesan (yi − f(xi))2). Mangka mibanda persamaan keur kurva, y = f(x), bentuk nu diperlukeun, nyaéta rangkep panghadéna dina titik data(xi, yi).

Keur fungsi linier f tempo kuadrat leutik linier.

Tumbu kaluar 
 http://www.physics.csbsju.edu/stats/least_squares.html
 http://www.zunzun.com
 http://www.orbitals.com/self/least/least.htm

Aljabar abstrak
Aljabar
Aljabar linear
Statistika
Dipublikasi ku Ronald Fisher taun 1936 dina "The Use of Multiple Measures in Taxonomic Problems".

Statistika
Dina statistika, tes Kolmogorov-Smirnov dipaké keur ngabédakeun dua sebaran empiris atawa ngabédakeun sebaran empiris jeung sebaran tiori.

Cumulative distribution empiris keur n observasi yi dihartikeun ku E(x) = Σ i (yi < x). Tes statistik dua-sisi Kolmogorov-Smirnov dirumuskeun ku

nu mana F(x) nyaéta sebaran hipotesa atawa sebaran empiris séjénna. Sebaran probabilitas dua statistik ieu, nunjukkeun yén null hypothesis sebaran sarua nyaéta bener, henteu gumantung kana hipotesa sebaran, salila kontinyu. Knuth nunjukkeun sacara jéntré kumaha cara analisa signifikan tina pasangan statistik ieu. Loba masarakat nu maké max(Dn+, Dn-), tapi sebaran dina ieu statistik leuwih hésé keur direngsekeun.

Hiji catetan dina kaayaan variabel bébas berulang, saperti poé dina sataun atawa poé dina saminggu, Kuiper's test leuwih hadé dipaké. Numerical Recipes mangrupa sumber nu hadé keur informasi ieu. 
Catetan saterusna, tes Kolmogorov-Smirnov leuwih sensitip dina titik nu deukeut kana median sebaran tinimbang dina tungtungna. Anderson-Darling test salah sahiji tes nu nunjukkeun kasaruaan sensitip di tungtung.

Tumbu kaluar 
http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda35g.htm - A lovely explanation of the one-sided KS test 
http://www.io.com/~ritter/JAVASCRP/NORMCHIK.HTM  - JavaScript code that implements both the one-sided and two-sided tests. 
As always, Numerical Recipes (ISBN 0-521-43108-5) is a prime resource for this sort of thing (see http://www.nr.com/nronline_switcher.html  for a discussion).

Statistika
Dina statistik, uji Kuiper raket jeung uji Kolmogorov-Smirnov nu geus leuwih ilahar dipaké (atawa leuwih ilahar disebut uji K-S). Sakumaha uji K-S, kuantitas D+ jeung D- diitung nu nunjukkeun simpangan maksimum saluhureun jeung sahandapeun dua sebaran kumulatif nu keur dibandingkeun. Trik dina tes Kuiper dipaké keur ngitung D+ + D- minangka tes statistik. Parobahan nu leutik ieu maké tes Kuiper minangka sensitip dina buntut minangka median sarta maké invarian ieu dina transformasi nu méter tina variable mandiri. Uji Anderson-Darling mangrupa uji séjén nu nyadiakeun sénsitivitas nu sawanda na buntut (Ing. tail) minangka médian, tapi teu nyadiakeun invarians siklik.

This invariance makes Kuiper's test invaluable when testing for variations by time of yéar or day of the week or time of day.  One example would be to test the hypothesis that computers fail more in some parts of the yéar than others.  To test this, we would collect the dates on which the test set of computers had failed and build a cumulative distribution.  The null hypothesis is that the failures are uniformly distributed.  Kuiper's statistic does not change if we change the beginning of the yéar and doesn't require that we bin failures into months or anything like that.

A test like this would, however, tend to miss the fact that failures occur only on weekends since weekends are spréad throughtout the yéar.  This inability to distinguish distributions with a comb-like shape from continuous distributions is a key problem with all statistics based on a variant of the K-S test.

Statistika
Dina statistik, Ka-teusarua-an Cramér-Rao, ngaran keur ngahargaan ka Harald Cramér jeung Calyampudi Radhakrishna Rao, ngagambarkeun wates luhur dina présisi éstimator statistis, dumasar kana informasi Fisher.

Katangtuanna nyaéta informasi Fisher bulak balik, , paraméter , mangrupa wates handap variance paraméter éstimator unbiased (dilambangkeun ).

Dina sababaraha kasus, taya unbiased éstimator kapanggih dina wates handapna.

Cramér-Rao inequality disebut ogé Cramér-Rao bounds (CRB) atawa Cramér-Rao lower bounds (CRLB) sabab dicokot tina wates handap variance .

Bukti

Anggap variabel random X, mibanda probability density function f(x,θ).   Di dieu T = t(X) nyaéta statistic dipaké salaku estimator keur θ.  Lamun V mangrupa score, nyaéta

mangka expectation V, ditulikeun E(V), sarua jeung.  Lamun urang nganggap covariance cov(V, T) V sarta T urang mibanda cov(V, T) = E(VT) sabab ekspektasi V sarua jeung zero.  Ngalegaan tina rumus ieu urang mibanda

Ieu bisa dilegaan ku ngagunakeun identitas 

sarta harti ekspektasi nu dibérékeun, sanggeus nunda f(x; θ),

Ayeuna lamun turunan ditukerkeun ku integral, mangka ieu ngan sakadar turunan (wrt θ) tina ekspektasi t(X), atawa
 

Sabab T mangrupa unbiased, ekspektasi-na θ; we are left with 1.

Cauchy-Schwarz inequality nembongkeun yen

mangka dina kasus ieu

di mana I(θ) mangrupa Fisher information.  Ieu mangrupa kateusaruaan Cramér-Rao; aya di wates dina varian tina unbiased éstimators.

Efisiensi T dihartikeun ku

atawa varian minimum nu mungkin keur unbiased éstimator dibagi ku varian nu sabenerna.  Mangka wates handap Cramér-Rao dibérékeun ku e(T) ≤ 1.

Statistika
Public affairs ngawengku kabéh watesan kaasup public policy saperti ogé public administration, duanana raket pakait sarta ngagambarkeun kaayaan political science ogé economics.

Diskusi kawijakan publik mangrupa hal umum jeung milukeun partisan, sarta urang nganggap yén partisipan dina diskusi kawijakan publik mibanda pandangan husus nu nempo leuwih jéntré dina diskusi.

Public affairs, di bagéan séjén, umumna ngaku bakal jadi non-partisan.
Hal ieu museurkuen kana métodeu  adminitrasi publik, saperti nu geus kagambarkeun dina conto sajarah.

Public affairs bisa dihartikeun ku "manajemen lembaga nu pakait jeung kauntungan" (Jeremy Kane, co-founder of EPPA, pan-Européan public affairs advisers).

Social activism kaasup kagiatan nu kawentar sarta commentary dina public affairs.

Jejer dina topik public affairs:
 state, government. forms of government
 republic
 democracy
 monarchy
 security
 crime, criminal justice
 military
 civil defense, emergency preparedness, community emergency response teams
 regulation, deregulation
 public health, pollution, emissions trading
 industrial policy, investment policy, tax, tariff and trade
 budget
 taxation
 socialism
 technocracy
management
public affairs degrees
Matematika mindeng pisan ngagunakeunsakumpulan lambang pikeun éksprési matematisna.
Pikeun nu icikibung dina widang matematik mah, moal kukumaha, tapi pikeun nu arang nempo, sigana kudu mindeng ngapalkeun.
Di handap ieu dibéréndélkeun rupa-rupa lambang matematis katut ngarana, éjahanana, jeung saeutik dadaranana.

Catetan: Mun sababaraha lambang teu némbongan sakumaha mistina, panyaksrak anjeun can sagemblengna ngalarapkeun HTML 4 character entities, atawa anjeun kudu nginstal aksara tambahan.
Anjeun bisa mariksa panyaksrak anjeun di dieu.

Mun sababaraha lambang ieu dipaké dina artikel Wikipédia, aya hadéna méré saeutik dadaran ngeunaan lambang éta.

Artikel Wikipédia:Cara ngédit kaca ngandung émbaran ngeunaan cara ngetikkeun lambangg-lambang matematis ieu na artikel Wikipédia.

Tumbu kaluar
 Jeff Miller: ''éarliest Uses of Various Mathematical Symbols, https://web.archive.org/web/20081204035420/http://members.aol.com/jeff570/mathsym.html
 TCAEP - Institute of Physics, http://www.tcaep.co.uk/science/symbols/maths.htm 

Daptar
Dina biostatistik atawa statistik prikologis, organisme naon baé (sato atawa tutuwuhan) nu rék ditengetan atawa nu geus ditengetan téh kuurang disebutna subjék panalungtikan (Ing. research subject). Dina panalungtikan survéy jeung jajal pamanggih, subjékna mindeng disebut salaku réspondén.

Dina panalungtikan nu maké subjék manusa, hiji jejer nu kalintang penting nyaéta ayana informed consent and human subject protection. Aya loba tungtunan, nu sadayana pikeun mastikeun yén subjék kalawan jéntré geus dipasihan terang kumaha jadina éta panalungtikan, partisipasina, akibat-akibat nu bisa kajadian, yén aranjeunna tiasa kaluar iraha baé tanpa konsékuénsi naon-naon, ka saha mun rek nanya, jsb. Sadaya panalungtikan nu ngajeujeutkeun subjék manusa kudu ngawengku sababaraha aspék panyalindungan subjék manusa.

Tumbu kaluar

 Free resources in social research methods  has a link to resources for human subject protection.
Dina statistik, histogram nyaéta tampilan grafis tina tabulasi frékuénsi.
Dina hal ieu,
histogram nyaéta versi grafis tina tabel nu nembongkeun babandingan kasus kana sababaraha atawa lobana kategori husus. Kategori ieu ilahar mangrupa hal nu husus saperti taya interval nu tumpang tindih dina sababaraha variabel.

Aya dua cara keur nembongkeun tabel nu sarua,
sarta dua rupa histogram saperti ditembongkeun di handap ieu. 
Hiji nemobongkeun jumlah kasus per satuan interval,
mangka legana wewengkon di handapeun kurva sarua jeung jumlah sakabéh kasus.
Nu séjénna nembongkeun jumlah kasus per satuan interval dibagi ku total jumlah kasus, mangka legana wewengkon di handapeun kurva sarua jeung 1.

Dina conto ieu, data nu dipaké dikumpulkeun ku Biro Sensus Amérika, nyaéta data waktu nu diperlukeun keur indit gawe (sensus 2000, , Table 5).
Sensus nyatet yén aya 124 juta urang digawe di luar imahna. Nu di sensus nyebutkeun sabaraha lila waktu nu diperlukeun nepi ka tempat gawe, hasilna dibagi kana lima bagéan nyaéta: kurang ti 5 menit, leuwih ti 5 menit kurang ti sapuluh menit, leuwih ti sapuluh menit kurang ti 15 menit jeung saterusna. Tabel di handap nembongkeun hasil sensus dina rebuan, upamana 4.180 hartina 4.180.000.

Data nu aya dina tabel di luhur digambarkeun sacara grafik dina gambar di handap ieu. Aréa unggal "bar" sarua jeung sakabéh nu di sensus dina éta kategori, mangka sakabéh legana "bar" sarua jeung jumlah nu disurvey (124) juta.

Aya nu matak kataji dina éta diagram nyaéta naekna sacara ngadadak dina kategori 30 nepi ka 35 menit. Bentukna saperti artefak: satengah jam mangrupa waktu ukuran ilahar, mangka nu disensus ngarepkeun waktu indit gawena kurang ti atawa leuwih leutik ti 30 menit, bisa ogé méré jawaban ampir "30 menit".

Histogram waktu indit gawe, sensus 2000 Amérika. Legana sahandapeun kurva sarua jeung lobana kasus.

Ayeuna data nu sarua digambarkeun ku cara nu béda. Aréa unggal bar sarua jeung babandingan nu disurvey tina nu sakabéh disurvey aya dina kategori ieu. Mangka total legana "bar" sarua jeung 1.

Tabel di luhur digambarkeun sacara grafis dina gambar di handap. Gambar kadua béda jeung gambar mimiti ngan dina skala nangtung. Gambar ieu bisa dipaké gumantung kana kaperluan histogram; lamun jumlah absolut penting, mangka bentuk mimiti leuwih hadé dipaké, sarta bentuk kadua leuwih hadé dipaké lamun babandingan leuwih penting.

Histogram waktu indit gawe, sensus 2000. Legana handapeun kurva sarua jeung 1.

Tumbu kaluar 

 Journey To Work and Place Of Work (location of census document cited in example)

Statistika
Kalibrasi dina statistik nyaéta sabalikna tina prosés régrési. Masalah kalibrasi (:en:Calibration problem) nyaéta digunakeunana data nu dipikanyaho dina hubungan observasi antara variabel terikat jeung variabel bébas keur nyieun estimasi nilai variabel bébas séjénna tina observasi anyar dina variabel terikat.

Salah sahiji contona nyaéta dina nangtukeun umur, saperti maké buleudan kai keur dendrokronologi atawa karbon-14 keur nangtukeun umur make radiometrik.  Panalungtikan ieu dumasar kana umur tina obyek nu ditangtukeun umurna, tinimbang hal séjén, sarta dipaké dina métodeu  keur estimasi umur dumasar kana observasi anyar.

Masalah dina maké ieu kalibrasi nyaéta perlu modél keur ngahubungkeun umur nu diobservasi keur ngaminimalkeun kasalahan dina observasi atawa ngaminimalkeun kasalahan dina nangtukeun umur. Dua cara pamarekanbakal méré hasil nu béda, sarta ieu béda bakal ngagedéan lamun maké dipaké keur ekstrapolasi dina sababaraha jauh tina hasil nu dipikanyaho.

Tempo ogé
Kalibrasi

Statistika
Dina statistik, éstimator konsisten nyaéta estimator nu converges in probability kana lobana nu geus diestimasi salaku ukuran sampel nu tumuwuh.

éstimator tn (di mana n mangrupa ukuran sampel) mangrupa éstimator konsisten keur parameter θ lamun jeung ngan lamun, keur sakabéh ε > 0, teu nempo sakumaha leutikna, urang mibanda

Statistika
Statistikawan nu ngamimitian mikirkeun métodeu  keur désain percobaan nyaéta Sir Ronald A. Fisher. Anjeunna ngajelaskeun kumaha tes hypothesis hiji wanoja ngabédakan mana nu mimiti diasupkeun kana cangkir antara susu jeung gula. Katempona siga hal nu sapele, cara anjeunna keur ngagambarkeun ide penting dina désain percobaan.

Désain percobaan diwangun dumasar kana analisis varian, kumpulan modél nu varianna diobservasi dibagi-bagi kana sababaraha komponen, dumasar kana faktor nu béda saperti diestimasi jeung/atawa di tes.

Pangwangunan téori modél liniér nuturkeun sarta ngaleuwihan kasus nu ditalungktik saméméhna. Kiwari, uraian téori nu leuwih jéntré dina aljabar abstrak jeung kombinatorika.

Baca ogé ngarencanakeun panalungtikan statistik – survey sampling – variabel indepénden – variabel depénden

Tempo ogé
 statistik
 tiori statistik

Tumbu kaluar
Biografi R. A. Fisher 

Métode ilmiah
modél statistik dipaké dina statistik terapan. Tilu notasi dasar cukup keur ngajelaskeun sakabéh modél statistik. 
 Urang milih satuan statistik keur kaperluan observasi langsung. Sababaraha observasi dina satuan waktu nu sarua disebutna panalungtikan longitudinal. Observasi tina sababaraha sipat statistik ngarupan cara ilahar keur nalungtik hubungan antara sipat hiji satuan.
 Urang mokuskeun kana populasi statistik satuan (atawa susunan) nu sarua tinimbang unggal satuan statistik. Survey sampling salah sahiji conto tina tipe ieu pamakéan.
 Urang museurkeun kana statistical assembly nu mana fungsi bagéan susunan tina satuan statistik. Psikologi salah sahiji conto nu nalungtik rada tina susunan satuan. modél nu ilahar dipaké dina tipe ieu panalungtikan nyaéta model respon-rangsangan.

Statistika
Bagéan nu katempo dina kaulinan baseball nyaéta ngumpulkeun statistik terus-terusan keur nangtukeun kasuksesan pamaen.  Dimimitian ku Henry Chadwick dina 19th century nu ngarancang konsép batting average dumasar kana panglaman dina cricket. Loba watesan nu dipaké keur kaulinan softball. Umumna abbreviation statistik nu dipaké dijelaskeun di handap ieu:

Hitting statistics
 1B - Single
 2B - Double
 3B - Triple
 AB - At bat
 BA - Batting average
 BB - Base on balls (also called a "walk")
 CS - Caught stealing
 EBH - Extra base hit  (Sometimes EB or XBH)
 FC - Fielder's choice
 G - Games played
 G/F - Ground ball fly ball ratio
 GIDP - Ground into Double play
 H - Hit
 HBP - Hit by pitch
 HR - Home run
 OBP - On base percentage
 OPS - On-base plus slugging
 PA - Plate appearance
 R - Run
 RBI - Run batted in
 SB - Stolen base
 SF - Sacrifice fly
 SH - Sacrifice hit
 SLG - Slugging percentage
 SO - Strike out (also abbreviated K)
 TB - Total bases

Pitching statistics
 AVG - Opponents batting average
 BB - Base on balls (also called a "walk")
 BS - Blown save
 CG - Complete game
 ER - Earned run
 éra - Earned run average
 GIR - Games in relief
 GF - Games finished
 GP - Games pitched
 G/F - Ground ball fly ball ratio
 GS - Games started
 H/9 - Hits per nine innings
 HLD - Hold
 IBB - Intentional base on balls
 IRA - Inherited runs allowed
 IP - Innings pitched
 R/9 - Runs per nine innings
 SHO - Shutout
 SO - Strikeout (also abbreviated K)
 SO/9 - Strikeouts per nine innings
 SV - Save
 TBF - Total batters faced
 W - Win (also related: winning percentage)
 L - Loss
 W+S - Relief wins plus saves
 WHIP - Walks plus hits per inning pitched

Fielding statistics
 A - Assist
 DP - Double play
 E - Error
 FP - Fielding percentage
 PB - Passed ball
 PO - Putout
 TC - Total chances
 TP - Triple play
 WP - Wild pitch

Tempo oge
 Triple Crown in Major League Baseball
 MLB Most Valuable Player Award winners
 Cy Young Award winners
 MLB Rookie of the Year Award winners
 Gold Glove Award winners

Watesan séjén
 Ball
 Strike
 Strike zone

Rujukan
sabermetrics
Official Baseball Rules, Section 10 - Scoring  from http://www.mlb.com
Find statistics for all of major léague history at http://www.Baseball-Reference.com/

Baseball statistics
Ladislaus Josephovich Bortkiewicz (7 Agustus, 1868 - 15 Juli, 1931) nyaéta salah saurang Russian economist jeung statistician katurunan Polish.

Bortkiewicz lahir St. Petersburg, Imperial Russia (ayeuna Russia) sarta tamat sarjana hukum dina taun 1890.

Taun 1898 manéhna ngaluarkeun buku ngeunaan Poisson distribution, judulna The Law of Small Numbers. In this book he first noted that events with low frequency in a large population follow a Poisson distribution even when the probabilities of the events varied. It was that book that made the Prussian cavalry horse-kick data famous. The data give the number of soldiers killed by being kicked by a horse éach yéar in éach of 14 cavalry corps over a 20-yéar period.  Bortkiewicz showed that those numbers follow a Poisson distribution. The book also examined data on child-suicides.  Some historians of mathematics have argued that the Poisson distribution should have been named the "Bortkiewicz distribution."

In political economy, Bortkiewicz is important for his analysis of Marx's reproduction schema in the last two volumes of Capital. Bortkiewicz identified a transformation problem in Marx's work which, if proven, would profoundly undermine Marx's claim to have provided a consistent account of capitalist economics. This work provided the basis of major elaborations by Joseph Schumpeter and Paul Sweezy among others.

Bortkiewicz died in Berlin, Germany.

External link

 Biographical sketch  on the web site of the University of St. Andrews (in Scotland)

Bortkiewicz, Ladislaus
Nu babar taun 1868
Nu pupus taun 1931
Dina statistik, analisa canonical correlation, dimimitian ku Harold Hotelling, nyaéta turus keur nyieun matrik cross-covariance.

Harti
Ditangtukeun dua kolom vektor  jeung  variabel acak momen kadua, salah sahiji hartina cross-covarian  nu bakal jadi matriks   nu mana asupan  nyaéta kovarian .

Analisa korelasi kanonik nyobaan  sarta  saperti dina variabele acak  jeung  ngamaksimalkeun korélasi . Variabel acak  jeung  mangrupa pasangan munggaran variabel kanonik. Saterusna vektor ngamaksimalkeun subyek korelasi nu sarua keur negeskeun yén hal ieu teu pakait jeung pasangan munggaran variabel kanonik; hasilna nyaéta pasangan kadua variabel kanonik. Ieu prosedur terus lumangsung salila  kali.

Komputasi

Bukti
Anggap  jeung . Paraméter nu dimaksimalkeun nyaéta

léngkah kahiji nyaéta ngahartikeun parobahan basis jeung hartina

Jeung saterusna jadi

Ngagunakeun kateusaruaan Cauchy-Schwarz, jadi

Hal ieu sarua lamun vektor  jeung  kolinier. Tambahanna, korelasi maksimum kahontal lamun  nyaéta vektor eigen ku nilai maksimal vektor eigen keur matrik  (tempo Rayleigh quotient). Pasangan saterusna bakal kapanggih ku cara nurunkeun gedéna nilai eigen. Sacara ortogonal dijamin ku matrik korelasi nu simetri.

Solusi
Solusina nyaéta:
  nyaéta vektoreigen 
  nyaéta sabanding jeung 

Papasanganna nyaéta:
  nyaéta vektor eigen 
  nyaéta sabanding jeung 

Variabel kanonik dihartikeun ku:

Uji hipotesa
Unggal baris bisa diuji signifikan-na ku cara métodeu  nu bakal dijéntrékeun. Lamun  observasi mandiri dina sampel sarta  nyaéta korelasi estimasi . Keur baris ka-, uji statistik nyaéta:

nu deukeut kana sebaran chi-square nu mana  tingkat kabebasan keur  nu gedé.

Pamakean praktis
Tipe husus keur koralsi kanonik dina psikologi nyaéta nyokot dua runtuyan variabel tur nempo sabaraha ilahar di antara dua uji. Contona, anjeun nyokot dua uji personal multidimensi nu geus aya saperti MMPI jeung NEO. Ku nempo kumaha faktor MMPI pakait jeung faktor Néo, anjeun bakal meunang hal nu jéntré kumaha dimensi nu ilahar antara dua uji sarta sakumaha béda varian nu dibagikeun. Contona, anjeun bisa manggihkeun yén versi leuwih atawa neuroticis diitung keur materi nu ngabagikeun varian antara dua uji.

Rujukan jeung tumbu kaluar 
 Tempo ogé generalized canonical correlation.
 Applied Multivariate Statistical Analysis, Fifth Edition, Richard Johnson and Déan Wichern
 Canonical correlation analysis - An overview with application to learning methods http://eprints.ecs.soton.ac.uk/9225/01/tech_report03.pdf , pages 5–9 give a good introduction

Statistika
Kovariansi jeung korélasi
Statistika multivariasi
Dina statistik, komposisi data nyaéta data dina unggal data point mangrupa n-tuple tina wilangan nonnegative nu jumlahna sarua jeung 1.  Sacara tipikal unggal komponen n tina unggal titik data pi (p1, ..., pn) ngagambarkeun yén porsi (atawa "persentase") satuan statistik kana kategori nu ka-i dina urutan kategori n.

Contona,

Unggal titik data pakait kana susunan batuan disusun ku tilu mineral nu béda; batuan mibanda 10% mineral kahiji, 30% nu kadua, sarta sesana 60% nu pakait jeung triple (0.1, 0.3, 0.6); susunan data kudu mibanda hiji tina triple keur unggal batuan dina sampel batuan.
Unggal titik data nu pakait kana hiji kota; hiji kota nu mana 35% ngagem agama Kristen, 55% Muslim, 6% Yahudi, sarta sesana 4% ageman séjén, tangtu pakait jeung quadruple (0.35, 0.55, 0.06, 0.04); susunan data bakal pakait jeung ugeran dina éta kota.
Dina matematik, fungsi béta, mimitina disebut ogé integral Euler, nyaéta hiji fungsi husus nu dihartikeun ku

Fungsi béta nyaéta simétrik, hartina 

mibanda bentuk séjén, kaasup:

nu mana (x)n nyaéta falling factorial.

Tempo ogé: integral Euler, falling factorial, fungsi gamma

Matematika
Jejer ieu ngagambarkeun tiori central limit ngaliwatan conto keur penghitungan bisa diitung sacara gancang ku leungeun dina kertas, teu saperti conto-intesip dina jejer gambaran dina teorema central limit.  Anggap sebaran probabiliti variabel random X beuratna sarua dina 1, 2, jeung 3:

Fungsi probabiliti massa tina variabel random X digambarkeun ku:

     o    o    o
    -------------
     1    2    3

Katembong jelas teu siga kurva bentuk-bel.

Ayeuna tempo jumlah dua kopi-an X bébas:

Fungsi probabiliti massa tina jumlah ieu digambarkeun ku:

               o
          o    o    o
     o    o    o    o    o
    ----------------------------
     2    3    4    5    6

Ieu ogé can katembong leuwih siga tina kurva bentuk-bell, tapi, saperti bentuk-bel sarta teu saperti fungsi probabiliti massa X éta sorangan, leuwih luhur dibagian tengah tinimbang di dua sisina.

Ayeuna tempo jumlah tilu kopian bébas ieu random variabel:

Fungsi probabiliti tina jumlah ieu digambarkeun ku:

                    o
               o    o    o
               o    o    o
               o    o    o
          o    o    o    o    o
          o    o    o    o    o
     o    o    o    o    o    o    o
    ---------------------------------
     3    4    5    6    7    8    9

Ieu heunteu ngan leuwih gedé di tengah tinimbang dua sisina, tapi pindah ka arah tengah ti sisi nu séjén, miring nu mimiti naek sarta saterusna turun, siga kurva bentuk-bel.

Urang bisa ngitung tingkatna tina susnan kana kurva bentuk-bel siga di handap ieu.  Tempo

Pr(X1 + X2 + X3 ≤ 7) = 1/27 + 3/27 + 6/27 + 7/27 + 6/27 = 23/27 = 0.851 851 851 ... .

Sakumaha raket hal ieu ngadeukeutan kana normal?  Ieu bisa ditempo tina nilai ekspektasi Y = X1 + X2 + X3 nyaéta 6 sarta simpangan baku Y mangrupa akar kuadrat 2.  Saprak Y ≤ 7 (kateusaruaan lemah) lamun jeung lamun Y < 8 (kateusaruaan kuat), bisa maké koreksi kontinyu sarta ditembongkeun ku

nu mana Z mangrupa standar normal sebaran.  béda antara 0.85185... sarta 0.8556... katempo beuki ngaleutikan waktu éta ditempo salaku wilangan variabel random bébas nu ditambahkeun ngan tilu.

Conto dina simulasi 

Gambar di handap nembongkeun hasil simulasi dumasar kana conto di luhur. Data dicokot tina sebaran seragam ku cara "pengulangan" 1'000 kali tur hasilna dijumlahkeun.

Conto ieu dumasar kana [Monte Carlo method], prosés "pengulanganna" 10'000 kali. Hasilna nembongkeun yén sebaran jumlah 1'000 nu dicokot sacara saragam nembongkeung bentuk kurva nu siga bel kacida alusna.

[[Image:]]

Rujukan 
Wikipedia Basa Inggris, disunting panungtung, 24 Juli 2006

Probability theory
Diberekeun dua sebaran gabungan variabel random X jeung Y, sebaran kondisional probabiliti of Y given X (written "Y | X") is the probability distribution of Y when X is known to be a particular value.

For discrete random variables, the conditional probability mass function can be written as P(Y = y | X = x).  From the definition of conditional probability, this is

Similarly for continuous random variables, the conditional probability density function can be written as pY|X(y | x) and this is

where pX,Y(x, y) gives the joint distribution of X and Y, while pX(x) gives the marginal distribution for X.

The concept of the conditional distribution of a continuous random variable is not as intuitive as it might seem: Borel's paradox shows that conditional probability density functions need not be invariant under coordinate transformations.

If for discrete random variables P(Y = y | X = x) = P(Y = y) for all x and y, or for continuous random variables pY|X(y | x) = pY(y) for all x and y, then Y is said to be independent of X (and this implies that X is also independent of Y).

Seen as a function of y for given x, P(Y = y | X = x) is a probability and so the sum over all y (or integral if it is a density) is 1.  Seen as a function of x for given y, it is a likelihood, so that the sum over all x need not be 1.

Sebaran probabilitas
Analisa conjoint, disebut modél komposisi multi-attribute, nyaéta téhnik statistik nu aslina tina mathematical psychology. Ayeuna dipaké di loba widang social science jeung applied science kaasup marketing, product management, jeung operations research.

Tempo oge: Conjoint analysis (in marketing)
Harald Cramér (September 25, 1893 - October 5, 1985) nyaéta Swedish mathematician jeung statistician, hususna dina mathematical statistics. Cramér ogé méré  kontribusi keur sebaran prime jeung twin prime.

Tempo oge: Cramér's conjecture, Cramér-Rao inequality

Tempo oge
 http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Cramer_Harald.html 

Cramér, Harald
In the philosophy of science, and science generally, and in statistics, the curve fitting problem is how to choose among an infinite number of curves that fit the graphically-represented data points, normally by finding a mathmatical expresion to créate the curve.

The simplest curve is said to be preferable. This is thought to be related to Occam's Razor in so far as there is a preference for simplicity among a family of curves just as there is a preference of simplicity among competing théories.

Commonly used procedures are least squares fitting, linear regression, and nonlinéar regression.  One of the difficulties in curve fitting is to choose the functional form of the data for paraméter optimization.  Computers are often used to perform curve fitting procedures. Computers do this by solving a system of equations to find the paraméters of the function that minimize the squared error. The gradient descent algorithm is often used for this purpose.

Rujukan 

Audi, R., Ed. (1996) The Cambridge Dictionary of Philosophy. Cambridge, Cambridge University Press. curve fitting problem p. 172-173.

Tumbu kaluar
LAB Fit Curve Fitting Software 2D and 3D fitting with Finder
Curve Expert (shareware)  fits functions to data (limited to one dependant and one independent variable.) 
Online curve and surface fitting
TableCurve2D and TableCurve3D by Systat automates curve fitting
Dina statistik, validasi-silang nyaéta prakték ngabagi  sample tina data kana subsampel saperti analisa mangrupa rarangkay mimiti dina subsamel tunggal, saterusna subsampel diingkeun sina "lolong" ("blind") in order for subsequent use in confirming and validating the initial analysis.

Cross-validation is important in guarding against testing hypotheses suggested by the data, especially where further samples are hazardous, costly or impossible (uncomfortable science) to collect.

Statistika
Dina statistik, covariance matrix nyaruakeun konsép varian tina hiji ka n dimension, dina basa séjén, bentuk nilai-scalar random variable ka nilai-vector random variables (tuple tina variabel random skalar).  Lamun X mangrupa nilai-skalar variabel random nu mibanda nilai ekspektasi μ mangka variance-na nyaéta

Lamun X nyaéta hiji n-ku-1 nilai-vektor kolon variabel random whose expected value is an n-by-1 column vector μ then its variance is the n-by-n nonnegative-definite matrix

The entries in this matrix are the covariances between the n different scalar components of X.  Since the covariance between a scalar-valued random variable and itself is its variance, it follows that, in particular, the entries on the diagonal of this matrix are the variances of the scalar components of X.  This may appéar to be a property of this matrix that depends on which coordinate system is chosen for the space in which the random vector X resides.  However, it is true generally that if u is any unit vector, then the variance of the projection of X on u is uTΣu.  (This point is expanded upon somewhat at .  It is a consequence of an identity that appéars below.)

Nomenclatures differ.  Some statisticians, following the probabilist William Feller, call this the variance of the random vector X, because it is the natural generalization to higher dimensions of the 1-dimensional variance.  Others call it the covariance matrix, because it is the matrix of covariances between the scalar components of the vector X.

With scalar-valued random variables X, we have the identity

if a is constant, i.e., not random.  If X is an n-by-1 column vector-valued random variable and A is an m-by-n constant (i.e., non-random) matrix, then AX is an m-by-1 column vector-valued random variable, whose variance must therefore be an m-by-m matrix.  It is

This covariance matrix (though very simple) is a very useful tool in many
very different aréas. From it a transformation matrix can be derived
that allows one to completely decorrelate
the data or, from a different point of view, to find an optimal basis
for representing the data in a compact way.
This is called PCA (principal components analysis) in statistics and KL-Transform  (Karhunen-Loéve transform) in image processing.

Statistika
Dina statistik, rasio korelasi nyaéta ukuran hubungan antara dispersi statistik dina kategori individu jeung dispersi lintasan tina sakabéh populasi atawa sampel.

Upamana unggal observasi nyaéta yxi nu mana x nembongkeun kategori nu di-observasi sarta xi nyaéta ngaran tina bagian observasi.  Urang bakal nuliskeun nx keur jumlah observasi dina kategori x (teu pati penting keur nilai nu béda tina x) sarta 
 and 
maka rasio korelasi η (eta) dihartikeun salaku 
 nu bisa ogé ditulis saperti .

Hal ieu mangrupa catetan penting lamun hubungan antara nilai  jeung nilai  linier (nu salawasna bener lamun ngan dua kamungkinan keur x) hal ieu bakal méré  hasil nu sarua saperti koefisien korelasi; maka lamun taya rasio korelasi bakal leuwih gedé dina besaran, sanajan angger teu leuwih ti 1 dina éta besaran. Hal ieu bisa dipaké keur mutuskeun hubungan non-linier.

Statistika