คำถาม: ความสำคัญหลักของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ เกิดจากสมบัติของอนุพันธ์ของมัน ใช่หรือไม่?

text: ความสำคัญหลักของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ เกิดจากสมบัติของอนุพันธ์ของมัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: มีจำนวนมากมายที่มีความสำคัญเป็นพิเศษในวิชาคณิตศาสตร์ และมีอยู่ในเนื้อความแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นในการคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์ จะมีฟังก์ชันเอกพันธุ์ เฉพาะตัว "f" ที่มี "f'" = "f" ดังนั้น "f"(1)/"f"(0) เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ ค่า e "f" ยังเป็นฟังก์ชันคาบ และค่าสัมบูรณ์ ของคาบของมันเป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์อีกค่าหนึ่งคือ 2π
title: ค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์

text: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง หรือ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (English: exponential function) หมายถึงฟังก์ชัน ex เมื่อ e คือจำนวนที่ทำให้ฟังก์ชัน ex เท่ากับอนุพันธ์ของมันเอง (ซึ่ง e มีค่าประมาณ 2.718281828) [1][2] ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกใช้เพื่อจำลองความสัมพันธ์ เมื่อการเปลี่ยนแปลงคงตัวในตัวแปรอิสระ ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วนเดียวกันในตัวแปรตาม (เช่นการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของอัตราร้อยละ) ฟังก์ชันนี้มักเขียนเป็น exp(x) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวแปรอิสระเขียนเป็นตัวยกไม่ได้
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: เป็นรูปแบบสมการหนึ่งในคณิตศาสตร์ เป็นพื้นฐานที่สำคัญในสาขาคณิตศาสตร์ประยุกต์ ในทางวิศวกรรมศาสตร์ และวิทยาศาสตร์ เพราะว่ากฎเกณฑ์และปัญหาต่างๆ ในสาขาวิขาเหล่านี้ล้วนพิจารณาเป็นสมการคณิตศาสตร์ที่อยู่ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์แทบทั้งสิ้น เช่นกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ปัญหาของการนำความร้อนในแท่งโลหะ การหาปะจุหรือกระแสในวงจรไฟฟ้า เหล่านี้เป็นต้น
title: สมการเชิงอนุพันธ์

text: นิยามนี้กำหนดไว้โดยออยเลอร์ [5] สิ่งนี้เป็นการอธิบายลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันเลขชี้กำลังวิธีหนึ่ง ส่วนวิธีการอื่นจะเกี่ยวข้องกับอนุกรมและสมการเชิงอนุพันธ์
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: คณิตวิเคราะห์ () เป็นสาขาหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ที่มีเนื้อหาเกี่ยวเนื่องกับอนุพันธ์, ปริพันธ์และทฤษฎีเมเชอร์, ลิมิต, อนุกรมเลข, และฟังก์ชันวิเคราะห์ โดยส่วนมากจะศึกษาในบริบทของจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนไปจนถึงฟังก์ชัน คณิตวิเคราะห์พัฒนามาจากแคลคูลัสที่มีการวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานรวมอยู่ด้วย 
คณิตวิเคราะห์ไม่ใช่เรขาคณิตแต่ทั้งนี้สามารถใช้ในการวิเคราะห์ปริภูมิของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มีความใกล้หรือระยะห่างที่จำเพาะระหว่างวัตถุได้
title: คณิตวิเคราะห์

text: การตัดออกหมด: การลบระหว่างตัวถูกดำเนินการที่มีค่าเกือบเท่ากันอาจทำให้สูญเสียความถูกต้องไปมาก สิ่งนี้อาจเป็นปัญหาความแม่นยำที่พบบ่อยและร้ายแรง การแปลงเป็นจำนวนเต็มไม่เป็นไปตามที่คาด: เช่นการแปลง 63.0/9.0 เป็นจำนวนเต็มจะได้ 7 แต่การแปลง 0.63/0.09 อาจได้ 6 เนื่องจากการแปลงมักจะตัดเศษทิ้งมากกว่าปัดเศษ ฟังก์ชันพื้นและฟังก์ชันเพดานอาจให้คำตอบที่ต่างจากค่าคาดหวังอยู่หนึ่ง พิสัยของเลขชี้กำลังจำกัด: ผลลัพธ์อาจล้นเกินเก็บทำให้เกิดอนันต์ หรือน้อยเกินเก็บทำให้เกิดจำนวนต่ำกว่าบรรทัดฐานหรือศูนย์ ในกรณีเหล่านี้ความเที่ยงจะสูญเสียไป การทดสอบการหารที่ปลอดภัยเป็นปัญหา: การตรวจสอบว่าตัวหารไม่เป็นศูนย์ ไม่รับประกันได้ว่าผลหารจะไม่ล้นเกินเก็บ การทดสอบภาวะเท่ากันเป็นปัญหา: ลำดับการคำนวณสองลำดับที่เท่ากันในเชิงคณิตศาสตร์ อาจให้ผลลัพธ์ต่างกันในจำนวนจุดลอยตัว บ่อยครั้งที่โปรแกรมเมอร์ทำการเปรียบเทียบภายในความคลาดเคลื่อนยินยอมบางค่า (มักจะเป็นค่าคงตัวฐานสิบ ซึ่งโดยตัวมันเองไม่สามารถแทนค่าได้อย่างแม่นยำ) แต่ก็ไม่จำเป็นว่าปัญหานี้จะหมดไป
title: จำนวนจุดลอยตัว

text: ความจริงข้อนี้ปรากฏแก่ทั้งนิวตัน และไลบ์นิซ ซึ่งเป็นกุญแจนำไปสู่ การขยายผลลัพธ์เชิงวิเคราะห์อย่างมากมายหลังจากงานของทั้งสองเป็นที่รู้จัก.
ความเชื่อมโยงนี้ ทำให้เราสามารถย้อนความเปลี่ยนแปลงทั้งหมดในฟังก์ชันในช่วงหนึ่ง จากอัตราการเปลี่ยนแปลงในขณะใดขณะหนึ่ง โดยการหาปริพันธ์ของส่วนหลัง.
ทฤษฎีบทมูลฐานนี้ยังให้วิธีในการคำนวณหา ปริพันธ์จำกัดเขต ด้วยวิธีทางพีชคณิตเป็นจำนวนมาก โดยไม่ต้องใช้วิธีการหาลิมิต ด้วยการหาปฏิยานุพันธ์.
ทฤษฎีบทนี้ยังอนุญาตให้เราแก้สมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งคือสมการที่เกี่ยวข้องกันระหว่าง ฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า และอนุพันธ์ของมัน.
สมการเชิงอนุพันธ์นั้นมีอยู่ทั่วไปในวิทยาศาสตร์
title: แคลคูลัส

text: นอกเหนือจากนี้ ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ f(x) ชนิดใด ๆ เราสามารถหาอนุพันธ์ได้โดยใช้กฎลูกโซ่ดังนี้
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: อนุพันธ์ (อัตราการเปลี่ยนแปลง) ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง คือฟังก์ชันเลขชี้กำลังโดยตัวมันเอง หรืออีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันที่มีอัตราการเปลี่ยนแปลงได้สัดส่วนกับฟังก์ชันตัวเอง (แทนที่จะหมายถึงเท่ากับตัวเอง) สามารถแสดงได้ในรูปแบบฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สมบัติของฟังก์ชันข้อนี้นำไปสู่การอธิบายการเติบโตและการเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: หลายสิ่งที่ศึกษากันในคณิตศาสตร์เป็นกรุป รวมไปถึงระบบจำนวนที่คุ้นเคย เช่น จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน ภายใต้การบวก เช่นเดียวกับจำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์ ภายใต้การคูณ ตัวอย่างที่สำคัญอีกตัวอย่างหนึ่งคือ เมทริกซ์ไม่เอกฐาน ภายใต้การคูณ และฟังก์ชันที่หาฟังก์ชันผกผันได้ ภายใต้ การประกอบฟังก์ชัน ทฤษฎีกรุปรองรับคุณสมบัติของระบบเหล่านี้และระบบอื่นๆอีกมากมายในรูปแบบทั่วไป ผลลัพธ์ยังสามารถประยุกต์ได้หลากหลาย ทฤษฎีกรุปยังเต็มไปด้วยทฤษฎีบทในตัวมันเองอีกมากเช่นกัน
title: กรุป (คณิตศาสตร์)

text: ความชันของกราฟ ณ จุดใด ๆ เท่ากับความสูงของฟังก์ชันที่จุดนั้น อัตราการเพิ่มของฟังก์ชันที่จุด x เท่ากับค่าของฟังก์ชันที่จุด x ฟังก์ชันที่เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ y ′ = y exp เป็นจุดตรึง (fixed point) ของอนุพันธ์ในฐานะฟังก์ชันนัล (functional)
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: นักปรัชญาเป็นจำนวนมากเชื่อว่า คณิตศาสตร์ไม่สามารถพิสูจน์ว่าเป็นเท็จได้โดยการทดลอง และดังนั้นก็จะไม่ใช่วิทยาศาสตร์ตามนิยามของ ดร.ป็อปเปอร์[37] ในช่วงคริสต์ทศวรรษ 1930 ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล (Gödel's incompleteness theorems) พิสูจน์ว่า มันไม่มีสัจพจน์เชิงคณิตสักเซต ที่สมบูรณ์ด้วย ที่สอดคล้องกันด้วย ดร. ป็อปเปอร์สรุปว่า "ทฤษฎีคณิตศาสตร์โดยมาก โดยเหมือนกับทฤษฎีทางฟิสิกส์และชีววิทยา เป็นเรื่องสมมุติบวกการนิรนัย (hypothetico-deductive) ดังนั้น ความรู้ทางคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ จึงใกล้กับวิทยาศาสตร์ธรรมชาติที่สมมติฐานเป็นเรื่องการคาดคะเน มากกว่าที่มันดูเหมือนจะเป็นแม้กระทั่งในเร็ว ๆ นี้"[38] นักปรัชญาท่านอื่น โดยเฉพาะ ดร.อีมเร ลอกอโตช ก็ได้ใช้หลักของคตินิยมพิสูจน์ว่าเท็จแบบหนึ่ง ต่อคณิตศาสตร์เหมือนกัน
title: การพิสูจน์ว่าเป็นเท็จ

text: นักคณิตศาสตร์แตกต่างจากนักวิทยาศาสตร์หรือวิศวกรในประเด็นหลัก ๆ ตรงที่ว่า นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ไม่ให้ความสำคัญกับการทดลองมากนัก ในขณะที่สำหรับนักวิทยาศาสตร์หรือวิศวกรนั้น การทดลอง ถือเป็นเรื่องที่สำคัญที่สุดเลยทีเดียว. นอกจากนั้น ผลลัพธ์หรือทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์หรือวิศวกรรรม มักถือเป็นแค่สิ่งที่ใช้ประมาณหรือใกล้เคียงกับความจริงเท่านั้น (นักฟิสิกส์ที่มีชื่อเสียงเช่น ไฟน์แมน หรือ ดิแรก ได้กล่าวว่าเราไม่มีทางสร้างทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ที่อธิบายความจริงโดยสมบูรณ์ได้ เพราะว่ามันซับซ้อนเกินไป) ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์นั้นถูกล้มล้างได้ตลอดเวลา ถ้าขัดกับข้อมูลผลการทดลองที่เชื่อถือได้มากพอ. แต่สำหรับนักคณิตศาสตร์แล้วแต่ละทฤษฎีบทถือเป็นความจริงอย่างที่สุดเลยทีเดียว (ซึ่งความจริงที่ว่านี้ต้องอิงกับเซตของสัจพจน์ที่นักคณิตศาสตร์ใช้ด้วย)
title: นักคณิตศาสตร์

text: ในทางคณิตศาสตร์ การแปลงลาปลาส () คือการแปลงเชิงปริพันธ์ที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง แสดงอยู่ในรูป formula_1 การแปลงลาปลาสจะทำให้เกิดความเป็นเชิงเส้นของ "f"("t") ซึ่งค่า "t" เป็นอาร์กิวเมนต์จริง("t" ≥ 0) จะแปลงไปอยู่ในรูปฟังก์ชัน "F"("s") โดย "s" เป็นอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อน การแปลงนี้เป็นการทำฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่สำคัญมากในการใช้งานในทางปฏิบัติ คู่ฟังก์ชัน "f"("t") กับ "F"("s") นั้นจับคู่กันในตาราง การแปลงลาปลาสถูกใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติที่มันมีความสัมพันธ์และการดำเนินการของฟังกันดังเดิม "f"("t") น้นสอดคล้องกับความสัมพันธ์กับการดำเนินการในรูปของ "F"("s") การแปลงลาปลาสถูกประยุกต์ใช้ในงานสำคัญมากมายที่เป็นแนวคิดทางวิทยาศาสตร์ สำหรับชื่อลาปลาสนี้มาจากชื่อของปีแยร์-ซีมง ลาปลาส ผู้ที่นำการแปลงนี้ไปใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น
title: การแปลงลาปลาส

text: ในทางฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์(mathematical physics)นั้น การประมาณค่าของ WKB หรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า วิธีการของ WKB ก็คือวิธีการสำหรับหาค่าการประมาณการของผลเฉลยจากสมการอนุพันธ์เส้นตรง (linear differential equations) ที่มีสัมประสิทธ์เชิงพื้นที่แตกต่างกัน โดยปกติทั่วไปนั้นมักจะนำมาใช้สำหรับการคำนวณแบบกึ่งดั้งเดิมในวิชากลศาสตร์ควอนตัม (quantum mechanics) ซึ่งอยู่ในรูปของฟังก์ชันคลื่นที่เขียนแทนด้วยฟังก์ชันเอ็กโปเนเนเชียล (exponential function) ที่มีค่าของแอมพลิจูดหรือเฟสที่เกิดการเปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ 
 การประมาณค่าของ WKB นั้นเป็นวิธีของนักฟิสิกส์ 3 ท่านที่ชื่อว่า Wentzel, Kramers, และBrillouin ที่ได้มีการคิดค้นสมการในช่วงปี ค.ศ. 1926 เริ่มจากปี ค.ศ. 1923 นักคณิตศาสตร์ชื่อ ฮารอลด์ เจฟเฟรย์ ได้มีการพัฒนาวิธีการทั่วๆไปในการประมาณค่าผลเฉลยของสมการอนุพันธ์เชิงเส้น และสมการอนุพันธ์อันดับสอง (second-order differential equations) รวมไปถึงสมการของชเรอดิงเงอร์ อีกด้วย (Schrödinger equation) ถึงแม้ว่าสมการของชเรอดิงเงอร์นั้นจะมีการพัฒนาในอีก 2 ปีต่อมาก็ตาม โดย Wentzel, Kramers, และBrillouin มีการทำงานไว้ก่อน จึงเป็นสาเหตุให้ชื่อของเจฟเฟรย์นั้นไม่ได้มีการกล่าวขานกันมากนักจนถูกลืม หนังสือตำราของกลศาสตร์ควอนตัมในยุคก่อนๆได้มีรวบรวมของชื่อย่อรวมไปถึง WKB, BWK, WKBJ, JWKB และ BWKJ การอภิปรายครั้งสำคัญและการออกสำรวจที่สำคัญนั้นได้ข้อมูลมาจาก อาร์ บี ดิงเกิล (R B Dingle)
title: การประมาณค่าของ WKB

text: นิยามอีกตัวอย่างหนึ่งเป็นการขยายแนวคิดของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริง ขั้นแรกระบุถึงสมบัติที่ต้องการ e x + i y = e x e i y {\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}} ส่วนแรก ex จะใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริงตามปกติ ส่วนหลังใช้สูตรของออยเลอร์นิยาม e i y = cos ⁡ ( y ) + i sin ⁡ ( y ) {\displaystyle e^{iy}=\cos(y)+i\sin(y)} ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้การนิยามที่เกี่ยวข้องกับจำนวนจริงอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ [7]
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: มันมีบทบาทหลักในหลายๆสาขาของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ — เป็นส่วนสำคัญในพีชคณิตเชิงเส้น, การวิเคราห์เชิงฟังก์ชัน, และเล็กน้อยในคณิตศาสตร์ไม่เป็นเชิงเส้น
title: เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

text: นั่นคือ ex เป็นอนุพันธ์ของตัวเอง และเป็นตัวอย่างพื้นฐานอันหนึ่งของฟังก์ชันแบบพฟัฟฟ์ (Pfaffian function) ฟังก์ชันต่าง ๆ ที่อยู่ในรูปแบบ cex ซึ่ง c เป็นค่าคงตัว เป็นฟังก์ชันกลุ่มเดียวที่มีสมบัติเช่นนี้ (จากทฤษฎีบทปิการ์-ลินเดเลิฟ (Picard–Lindelöf theorem)) หรือกล่าวให้เจาะจงได้ว่า กำหนดให้ k เป็นค่าคงตัวจำนวนจริงใด ๆ ฟังก์ชัน f: R→R จะสอดคล้องกับเงื่อนไข f ′ = kf ก็ต่อเมื่อ f(x) = cekx สำหรับค่าคงตัว c บางจำนวน การอธิบายด้วยวิธีอื่นที่ให้ผลเหมือนกันเช่น
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: ในแคลคูลัสเวกเตอร์ เกรเดียนต์ของสนามสเกลาร์คือสนามเวกเตอร์ที่ชี้ไปในทิศทางของอัตราการเพิ่มขึ้นที่ใหญ่ที่สุดของสนามสเกลาร์และมีขนาดที่เป็นอัตราของการเพิ่มขึ้น ตัวอย่างง่าย ๆ เช่น การเปลี่ยนแปลงในปริภูมิของปริมาณใด ๆ สามารถแสดง (เช่น แบบภาพกราฟิก) ได้โดยใช้ความชัน (slope) ในวิชาคณิตศาสตร์, เกรเดียนต์เป็นลักษณะทั่วไปของแนวคิดตามปกติของอนุพันธ์กับฟังก์ชันของหลายตัวแปร (functions of several variables) ถ้า เป็นฟังก์ชันอนุพันธ์ของหลายตัวแปรที่เรียกว่า "สนามสเกลาร์" เกรเดียนต์ของมันคือเวกเตอร์ของอนุพันธ์ย่อย n ของ f ดังนั้นจึงเรียกค่าฟังก์ชันเวกเตอร์ (vector-valued function) ที่ได้ว่าเป็น สนามเวกเตอร์ (vector field)
title: เกรเดียนต์

text: ดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลังใด ๆ จึงเป็นพหุคูณค่าคงตัวของอนุพันธ์ของตัวเอง
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส กล่าวว่าอนุพันธ์ และปริพันธ์ ซึ่งเป็นการดำเนินการหลักในแคลคูลัสนั้นผกผันกัน ซึ่งหมายความว่าถ้านำฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆมาหาปริพันธ์ แล้วนำมาหาอนุพันธ์ เราจะได้ฟังก์ชันเดิม ทฤษฎีบทนี้เหมือนว่าเป็นหัวใจสำคัญของแคลคูลัสที่นับได้ว่าเป็นทฤษฎีบทมูลฐานของทั้งสาขานี้ ผลต่อเนื่องที่สำคัญของทฤษฎีบทนี้ ซึ่งบางทีเรียกว่าทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสบทที่สองนั้นทำให้เราสามารถคำนวณหาปริพันธ์โดยใช้ปฏิยานุพันธ์ ของฟังก์ชัน
title: ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

text: ในวิชาคณิตศาสตร์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรจริงเป็นการวัดการเปลี่ยนแปลงของค่าของฟังก์ชันเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์ (ค่าที่ป้อนเข้าหรือตัวแปรต้น) อนุพันธ์เป็นเครื่องมือพื้นฐานของแคลคูลัส ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของตำแหน่งของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เทียบกับเวลา คือ ความเร็วของวัตถุนั้น ซึ่งเป็นการวัดว่าตำแหน่งของวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วเพียงใดเมื่อเวลาผ่านไป
title: อนุพันธ์

text: e เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า ฟังก์ชัน "e" มีค่าเท่ากับความชันสำหรับทุกจำนวนจริง "x" หรือกล่าวได้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวมีค่าเท่ากับตัวมันเองเสมอ ซึ่งฟังก์ชันที่สอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าวจะอยู่ในรูป "ce" เสมอ เมื่อ "c" เป็นค่าคงตัวใด ๆ โดย e มีค่าประมาณ 2.71828 18284 59045 23536...
title: E (ค่าคงตัว)

text: การพิสูจน์ความเป็นเท็จได้ () ช่วงกลางศตวรรษที่ 20 คาร์ล ป๊อปเปอร์ (Karl Popper) ได้นำเสนอหลัก การพิสูจน์ความเป็นเท็จได้ ไว้แบ่งแยก วิทยาศาสตร์ ออกจากสิ่งที่ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ (nonscience) การพิสูจน์ความเป็นเท็จได้ หมายถึง ผลลัพธ์ สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นเท็จ ตัวอย่างเช่น “พระเจ้าสร้างจักรวาล” อาจเป็นจริงหรือเท็จ แต่ไม่มีวิธีการใด ๆ ที่จะพิสูจน์ได้ว่ามันเป็นจริงหรือเท็จได้เลย มันจึงอยู่นอกขอบเขตของวิทยาศาสตร์ ป๊อปเปอร์ใช้ โหราศาสตร์ กับ จิตวิเคราะห์ เป็นตัวอย่างของ "วิทยาศาสตร์เทียม" และใช้ทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์เป็นตัวอย่างของวิทยาศาสตร์ เขายังได้แบ่งกลุ่มองค์ความรู้ที่ มิใช่วิทยาศาสตร์ ออกเป็น "คณิตศาสตร์ เทพปกรณัม ศาสนา" และ/หรือ "อภิปรัชญา" ส่วนอีกด้านของความรู้ที่มิใช่วิทยาศาสตร์ก็คือ "วิทยาศาสตร์เทียม" แต่ทั้งนี้ เขามิได้บ่งชี้ข้อต่างชี้ชัดของสองส่วนดังกล่าว 
title: วิทยาศาสตร์เทียม

text: ในทางคณิตศาสตร์ "ฟังก์ชัน" บัญญัติขึ้นโดย ไลบ์นิซ ใน พ.ศ. 2237 เพื่ออธิบายปริมาณที่เกี่ยวข้องกับเส้นโค้ง เช่น ความชันของเส้นโค้ง หรือจุดบนเส้นโค้ง ฟังก์ชันที่ไลบ์นิซพิจารณานั้นในปัจจุบันเรียกว่า ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ และเป็นชนิดของฟังก์ชันที่มักจะแก้ด้วยผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ สำหรับฟังก์ชันชนิดนี้ เราสามารถพูดถึงลิมิตและอนุพันธ์ ซึ่งเป็นการทฤษฎีเซต พวกเขาได้พยายามนิยามวัตถุทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดด้วย เซต ดีริคเลท และ โลบาเชฟสกี ได้ให้นิยามสมัยใหม่ของฟังก์ชันออกมาเกือบพร้อมๆกัน
title: ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)

text: อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็ใช้สัญกรณ์พิเศษเช่นนั้นด้วยเหตุผลทางประวัติศาสตร์ กล่าวคือ เลขชี้กำลังที่เป็นบวกถูกวางไว้หลังชื่อย่อของฟังก์ชัน หมายถึงผลลัพธ์ของการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังนั้น ในขณะที่เลขชี้กำลัง −1 แสดงถึงฟังก์ชันผกผัน ตัวอย่างเช่น sin"x" เป็นการเขียนอย่างย่อแทน (sin "x") โดยไม่ใช้วงเล็บ แต่ในขณะเดียวกัน sin"x" หมายถึงฟังก์ชันผกผันของไซน์คือ arcsin "x" เพราะมันไม่จำเป็นต้องมีส่วนกลับของฟังก์ชันตรีโกณมิติเนื่องจากมันมีชื่อและชื่อย่อของมันเองอยู่แล้ว เช่น 1/ (sin "x") = (sin "x") ก็คือ csc "x" เป็นต้น สัญนิยมที่คล้ายกันนี้ก็ใช้กับลอการิทึมด้วย เช่น log"x" หมายถึง (log "x") ไม่ใช่ log log "x"
title: การยกกำลัง

text: เมื่อพิจารณาฟังก์ชันที่นิยามบนระนาบเชิงซ้อน ฟังก์ชันเลขชี้กำลังยังคงมีสมบัติที่สำคัญดังนี้
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเกิดขึ้น เมื่อใดก็ตามที่ปริมาณอย่างหนึ่งเติบโตหรือเสื่อมสลายในอัตราที่ได้สัดส่วนกับค่าปัจจุบัน ตัวอย่างสถานการณ์นี้เช่นดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง เมื่อ ค.ศ. 1683 ยาคอบ แบร์นูลลี (Jocob Bernoulli) พบว่ามันเป็นเช่นนั้นโดยข้อเท็จจริง [4] และนำไปสู่จำนวน e ที่ไม่ทราบค่าดังนี้
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: โดยข้อเท็จจริงแล้ว สมการเชิงอนุพันธ์หลายชนิดทำให้เกิดฟังก์ชันเลขชี้กำลัง รวมทั้งสมการชเรอดิงเงอร์ (Schrödinger equation) สมการลาปลัส (Laplace's equation) และสมการที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกเชิงเดียว (simple harmonic motion)
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง