คำถาม: ทฤษฎีเซตวิภัชนัย ถูกค้นพบเมื่อไหร่?

text: ตรรกศาสตร์คลุมเครือนั้น สามารถระบุค่าความเป็นสมาชิกของเซต (set membership values) ด้วยค่าระหว่าง 0 และ 1 ทำให้เกิดระดับกึ่งในลักษณะของ สีเทา นอกจาก ขาว และ ดำ ซึ่งมีประโยชน์ในการจำลองระดับซึ่งสามารถระบุด้วยคำพูด "เล็กน้อย" "ค่อนข้าง" "มาก" โดยใช้ค่าความเป็นสมาชิกของเซตบางส่วน ตรรกศาสตร์คลุมเครือนี้มีความสัมพันธ์กับ เซตวิภัชนัย (en:fuzzy set) และ ทฤษฎีความเป็นไปได้ (en:possibility theory) ซึ่งคิดค้นขึ้นในปี ค.ศ. 1965 โดยศาสตราจารย์ ลอตฟี ซาเดห์ แห่งมหาวิทยาลัยแห่งรัฐแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์
title: ตรรกศาสตร์คลุมเครือ

text: หลังจากนั่นเริ่มมีการพัฒนาการวัดของจอร์ดันและทฤษฎีเซตสามัญรวมไปถึงทฤษฎีบทการแยกประเภทของแบร์ ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 แคลคูลัสได้พัฒนาขึ้นภายใต้สัจพจน์ที่เป็นทฤษฎีเซตเลอเบกแก้ไขปัญหาทฤษฎีเมเชอร์และฮิลแบร์ทได้คิดค้นปริภูมิฮิลแบร์ทเพื่อแก้สมการเชิงปริพันธ์ ปริภูมิเวกเตอร์บรรทัดฐานได้เป็นพื้นฐานให้กับการวิเคราะห์ฟังก์ชันในเวลาต่อมาในช่วง 1920
title: คณิตวิเคราะห์

text: ขั้นตอนวิธีในการค้นแบบเบสท์บินเฟิร์สท์นี้จะเป็นการนำต้นไม้เคดี () มาประยุกต์ใช้กับการค้นหาจุดที่อยู่ใกล้ที่สุดโดยประมาณ โดยข้อมูลที่ได้รับมาคือเซตของจุดในปริภูมิ d มิติ และจุด q ซึ่งเป็นจุดที่ต้องการสอบถาม (query point) สิ่งที่ขั้นตอนวิธีนี้จะคืนกลับมาคือจุดในเซตที่อยู่ใกล้กับจุด q มากที่สุด เริ่มจากทำการแบ่งส่วนของปริภูมิตามข้อมูลจุดที่ได้รับมาเพื่อสร้างเป็นต้นไม้เคดีดังที่ได้กล่าวไว้ในหัวข้อต้นไม้เคดี เมื่อสร้างเสร็จจะได้ว่าข้อมูลของจุดทุกจุดในเซตจะเป็นใบของต้นไม้ (tree) นั่นคือ ปมใบทุกปมของต้นไม้จะมีจุดในเซตเพียง 1 จุดเท่านั้น ยกเว้นปมที่มีจุด q อยู่ จะมี 2 จุด ได้แก่ จุดในเซตและจุด q ให้หาว่าจุด q นั้นอยู่ในปมใบใดของต้นไม้แล้วกำหนดทรงกลม n มิติที่มีรัศมีเป็นระยะจากจุด q ถึงจุดที่อยู่ในปมใบเดียวกันเป็นการจำกัดระยะจากจุด q ที่จะใช้ค้นหาจุดที่อยู่ใกล้ที่สุด แล้วก็จะวนหาจุดดังกล่าวโดยการท่องไปในต้นไม้เพื่อที่จะไปยังปมใบแต่ละปมที่อยู่ภายในรัศมี อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเบสท์บินเฟิร์สท์เป็นการค้นหาโดยประมาณ จึงมีการจำกัด"จำนวนครั้ง"ที่จะใช้ค้นหา หรือพูดในอีกนัยหนึ่งก็คือจำกัดจำนวนปมใบที่จะทำการเทียบหาระยะกับจุด q นั่นเอง นอกจากนี้ เพื่อเพิ่มประสิทธิภาพในการค้น จะมีการใช้แถวคอยลำดับความสำคัญ () ในการจัดลำดับปมใบที่จะค้นด้วย โดยจัดลำดับจากระยะจากขอบของปมใบนั้นในปริภูมิไปยังจุด q ดังนั้นนอกจากจะมีการจำกัดจำนวนครั้งที่จะใช้ค้นแล้ว ยังเริ่มค้นจากปมใบที่อยู่ใกล้ที่สุดก่อนด้วย (วัดระยะจากจุด q ถึงขอบส่วนของปมใบ ไม่ใช่วัดถึงจุดกึ่งกลางของปมใบ) จึงเป็นที่มาของชื่อเบสท์บินเฟิร์สท์ (best bin first) โดยที่คำว่าบิน (bin) มาจากคำว่าทวิภาค (binary) ซึ่งหมายถึงการแบ่งส่วนของปริภูมิตามหลักของต้นไม้เคดีที่จะแบ่งออกครั้งละสองส่วนลงไปเรื่อย ๆ จนถึงส่วนของปริภูมิที่มีจุดเพียงจุดเดียว (ไม่นับจุด q) โดยที่มีการทดลองแล้วว่าค่าของจุดที่อยู่ใกล้ที่สุดโดยประมาณที่ได้จากขั้นตอนวิธีของเบสท์บินเฟิร์สท์นั้นมีความแม่นยำสูงพอที่จะนำไปประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ และสามารถสรุปการทำงานเป็นรหัสเทียม (pseudocode) ได้ดังนี้
title: การค้นหาแบบเบสท์บินเฟิร์สท์

text: มีหลายวิธีที่จะ "จำกัดความโครงสร้าง" ของจำนวนธรรมชาติโดยใช้ทฤษฎีเซต ซึ่งรวมไปถึงวิธีการใช้ลำดับบอน นิวมันน์ ที่ใช้เป็นสัจพจน์พื้นฐานของทฤษฎีเซต หรือจะใช้ระบบซึ่งใช้ความเท่ากันทุกประการของตัวเลข (Equinumerosity) ที่เสนอโดยไฟรเกอและรัสเซลล์
title: ทฤษฎีเซตของจำนวนธรรมชาติ

text: นิยามอย่างเป็นรูปนัยเชิงคณิตศาสตร์ของจำนวนธรรมชาติพัฒนาตลอดช่วงประวัติศาสตร์โดยมีอุปสรรคบางประการ สัจพจน์ของเปอาโนกำหนดเงื่อนไขที่นิยามสมบูรณ์ใดๆ ต้องสอดคล้อง การสร้างบางประการแสดงว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เมื่อกำหนดทฤษฎีเซต ต้องมีอยู่
title: จำนวนธรรมชาติ

text: นักคณิตศาสตร์หลายท่านมอง "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" เป็นสาขาย่อยของทฤษฎีการวัด (measure theory). นั่นคือ มอง ความน่าจะเป็น เป็นปริมาณ (แบบนามธรรม) ชนิดหนึ่งที่สามารถวัดได้ในบริบทของทฤษฎีการวัด. ข้อดีของการใช้ทฤษฎีการวัดในการอธิบายทฤษฎีความน่าจะเป็น คือ เรามีทฤษฎีการวัดทั้งในเซตจำกัดและเซตอนันต์. ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงสามารถขยายทฤษฎีความน่าจะเป็นให้กว้างขึ้น ครอบคลุมไปถึงกรณีที่โดเมนของฟังก์ชันความน่าจะเป็นเป็นเซตอนันต์ได้ทันที โดยอ้างอิงจากทฤษฎีบทที่มีอยู่แล้วในทฤษฎีการวัด.
title: สัจพจน์ของความน่าจะเป็น

text: หมายเหตุ รหัสเทียมด้านบนนี้ถือว่าฮิวริสติกฟังก์ชันเป็นฮิวริสติกแบบโมโนโทนิกซึ่งเป็นกรณีที่พบบ่อยในหลายๆ ปัญหาเช่น ปัญหาการหาเส้นทางที่สั้นที่สุดในระบบเครือข่าย อย่างไรก็ดีหากฮิวริสติกไม่ได้เป็นแบบโมโนโทนิกแล้ว โหนดในเซตปิดอาจใช้ซ้ำ ซึ่งอาจเพิ่มค่าระยะทางได้ ในอีกนัยหนึ่งหากวิธีแก้ปัญหานั้นมีอย่างแน่นอน หรือมีการปรับขั้นตอนวิธีให้โหนดใหม่อยู่ในเซตเปิดเมื่อมีค่า f ต่ำกว่าการวนซ้ำทั้งหมดที่ผ่านมาแล้ว อาจไม่ต้องใช้เซตปิด และสามารถใช้ขั้นตอนวิธีค้นหาต้นไม้ได้
ในตัวอย่างนี้สมมติให้โหนดแต่ละโหนดเป็นเมืองที่ต่อกับเมืองอื่นด้วยถนนและ h(x) เป็นเส้นตรงที่ระบุระยะทางไปยังจุดเป้าหมาย
ตัวอย่างนี้ใช้ สีเขียวคือจุดเริ่มต้น สีฟ้าคือจุดเป้าหมาย สีส้มคือจุดที่ผ่านแล้ว และใช้สัญลักษณ์ ",” แสดงจุดทศนิยม
title: การค้นหาแบบเอสตาร์

text: ในขณะที่พัฒนาการตามแนวทางดั่งเดิมของตรรกศาสตร์ (ดูรายการบทความด้านตรรกศาสตร์) นั้น ให้ความสำคัญอย่างสูงกับ "รูปแบบของการให้เหตุผล" มุมมองของคณิตตรรกศาสตร์ในปัจจุบันกลับสามารถกล่าวได้ว่าเป็น "การศึกษาเชิงการจัดกลุ่มของเนื้อหา" ("the combinatorial study of content") ซึ่งครอบคลุมถึงส่วนที่เป็น "เชิงสังเคราะห์" (เช่น การส่งข้อความจากภาษาเชิงรูปนัยไปยังคอมไพเลอร์เพื่อเปลี่ยนเป็นภาษาเครื่อง) และส่วนที่เป็น "เชิงความหมาย" (การสร้างโมเดล หรือเซตของโมเดลทั้งหมดในทฤษฎีโมเดล)
title: คณิตตรรกศาสตร์

text: ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ (axiomatic set theory) ได้ตั้งสมมติฐานไว้ว่า เซตว่างจำเป็นต้องมีขึ้นเนื่องจากสัจพจน์ของเซตว่าง (axiom of empty set) บางครั้งเซตว่างก็ถูกเรียกว่าเป็น เซตนัลล์ (null set) แต่เซตนัลล์มีความหมายอื่นในเรื่องของทฤษฎีเมเชอร์ ดังนั้นจึงควรหลีกเลี่ยงในการใช้คำนี้
title: เซตว่าง

text: เหมือนกับวิทยาศาสตร์รูปนัยอื่น ๆ คณิตศาสตร์ไม่ได้สนใจเรื่องความสมเหตุสมผลของทฤษฎีโดยอาศัยสังเกตการณ์ที่ได้จากประสบการณ์ แต่ว่า ไปใส่ใจอยู่ที่การศึกษาทางทฤษฎีที่เป็นนามธรรม ในประเด็นต่าง ๆ เช่น ปริมาณ โครงสร้าง ปริภูมิ และการเปลี่ยนแปลง แต่ว่า ระเบียบวิธีของคณิตศาสตร์ จะประยุกต์ใช้ในการสร้างและทดสอบแบบจำลองทางวิทยาศาสตร์ที่เกี่ยวกับความเป็นจริงที่เป็นประสบการณ์ ดร.อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ได้เขียนไว้ว่า "เหตุผลอย่างหนึ่งที่คณิตศาสตร์ได้รับความเคารพยกย่องเป็นพิเศษเหนือวิทยาศาสตร์ทั้งหมดอื่นก็คือ กฎของมันแน่นอนอย่างสมบูรณ์และไม่สามารถหักล้างได้ ในขณะที่กฎของวิทยาศาสตร์อื่น ๆ สามารถโต้แย้งได้โดยระดับหนึ่ง และมีอันตรายตลอดกาลต่อการถูกล้มล้างโดยความจริงที่ค้นพบใหม่ ๆ"[39]
title: การพิสูจน์ว่าเป็นเท็จ

text: เซต () ในทางคณิตศาสตร์นั้น อาจมองได้ว่าเป็นการรวบรวมกลุ่มวัตถุต่างๆ ไว้รวมกันทั้งชุด แม้ว่าความคิดนี้จะดูง่ายๆ แต่เซตเป็นแนวคิดที่เป็นรากฐานสำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ การศึกษาโครงสร้างเซตที่เป็นไปได้ ทฤษฎีเซตมีความสำคัญและได้รับความสนใจอย่างมากและกำลังดำเนินไปอย่างต่อเนื่อง มันถูกสร้างขึ้นมาตอนปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19 ตอนนี้ทฤษฎีเซตเป็นส่วนที่ขาดไม่ได้ในการศึกษาคณิตศาสตร์ และถูกจัดไว้ในระบบการศึกษาตั้งแต่ระดับประถมศึกษาในหลายประเทศ ทฤษฎีเซตเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์เกือบทุกแขนงซึ่งสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้
title: เซต (คณิตศาสตร์)

text: ในวิชาทฤษฎีเซต "X" เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก "Y" ไป "X" เพราะว่า "2" อาจนิยามเป็น {0,1} (ดูหน้า จำนวนธรรมชาติ) ดังนั้น 2 (นั่นคือ {0,1}) เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก "S" ไปยัง {0,1} เมื่อจำแนกฟังก์ชันตัวใดตัวหนึ่งใน 2 กับบุพภาพที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันนั้น จะเห็นว่ามีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่าง 2 กับ formula_1 โดยแต่ละฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตย่อยที่เป็นสมาชิกของformula_1 กับสิ่งที่ฟังก์ชันบ่งชี้บ่งชี้ ฉะนั้น 2 และ formula_1 ถือว่าเท่ากันทุกประการเชิงทฤษฎีเซตได้ (ดังนั้นจึงมีสำหรับการเขียนแทนเซตกำลังด้วย 2 สองประการ ได้แก่ การเขียนสับเซตแทนด้วยฟังก์ชันเป็นกรณีพิเศษของสัญกรณ์ "X" และสมบัติของเซตกำลังข้างต้นว่า |2| = 2)
title: เซตกำลัง

text: รากัซซินี มีลูกศิษย์ที่มีชื่อเสียงสาขาทฤษฎีระบบควบคุมในเวลาต่อมาหลายคน ได้แก่ รูดอล์ฟ คาลมาน ผู้คิดค้นตัวกรองคาลมาน (Kalman filter) และเป็นผู้นำเสนอแบบจำลองปริภูมิสถานะมาใช้ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบ อันเป็นการนำองค์ความรู้ของทฤษฎีระบบควบคุมไปสู่ยุคใหม่ ที่เรียกว่า ทฤษฎีระบบควบคุมสมัยใหม่ (modern control theory) และ อีไลเอฮู อิมบราแฮม จัวรี่ () ผู้มีส่วนร่วมในการพัฒนาการแปลง Z () และคิดค้นการแปลง Z ขั้นสูง และ ล็อทฟี่ แอสเกอร์ ซาเด็ท () ผู้คิดค้นเซตวิภัชนัย (Fuzzy sets) และ ตรรกศาสตร์คลุมเครือ (Fuzzy logic) โดยในปี ค.ศ. 1952 รากัซซินี และ ซาเด็ท ได้ร่วมกันพัฒนา การแปลง Z สำหรับการประมวลและการวิเคาระห์สัญญาณบนโดนเมนเวลาวิยุต (discrete-time signal processing)
ในปี ค.ศ. 1979 สภาวิชาการการควบคุมอัตโนมัติแห่งสหรัฐอเมริกา () ได้ตั้งรางวัล จอห์น อาร์ รากัซซินี (John R. Ragazzini Award) เพื่อเป็นรางวัลที่มอบให้แก่นักวิจัยที่มีคุณูปการแก่วงการวิชาการทฤษฎีระบบ และ รากัซซินี เป็นผู้ที่ได้รับรางวัลนี้คนแรก
title: จอห์น รากัซซินี

text: ตามคณิตศาสตร์แบบฉบับ ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเซตให้ค่าเป็น 1 (เป็นสมาชิก) หรือ 0 (ไม่เป็นสมาชิก) เพียงเท่านั้น แต่ในทฤษฎีเซตวิภัชนัย ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะจะถูกทำให้เป็นการวางนัยทั่วไป โดยให้ค่าเป็นจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง [0, 1] หรือยิ่งไปกว่านั้นในพีชคณิตหรือโครงสร้างบางชนิด ฟังก์ชันเช่นนี้มักจะเรียกว่า ฟังก์ชันภาวะสมาชิก (membership function) ซึ่งเกี่ยวข้องกับเซตวิภัชนัย (fuzzy set) เซตวิภัชนัยเป็นการจำลองการเปลี่ยนแปลงเป็นระดับชั้นของดีกรีความเป็นสมาชิกในภาคแสดงซึ่งพบเห็นได้ในชีวิตจริงเช่น สูง-กลาง-ต่ำ ร้อน-อุ่น-เย็น-หนาว เป็นต้น
title: ฟังก์ชันบ่งชี้

text: ระบบเซต N ของจำนวนธรรมชาตินี้ เซตที่มีขนาดเล็กที่สุดจะมีสมาชิกเป็น 0 และจบตรงที่ฟังก์ชันถ่ายทอด (Successor Function) S เมื่อ "S(n)" = "n" ∪ {"n"} ส่วนโครงสร้าง ⟨"N",0,"S"⟩ เป็นโมเดลของสัจพจน์ของเปอาโน โดยการมีอยู่ของเซต N เป็นไปตามสัจพจน์แห่งอนันต์ ในทฤษฎีเซต ZF
title: ทฤษฎีเซตของจำนวนธรรมชาติ

text: การใช้เหตุผล การตัดสินใจ หรือ การตอบสนองต่อเหตุการณ์ต่างๆ ของมนุษย์นั้น โดยปกติจะมีลักษณะที่คลุมเครือ เช่นการประเมินสภาวการณ์ หรือ การระบุการตอบสนอง โดยไม่ได้ระบุเป็นค่าที่แน่นอนชัดเจน ดังนั้นจึงถูกจำลองไว้ในกฎเกณฑ์ด้วย เซตวิภัชนัย
title: ตรรกศาสตร์คลุมเครือ

text: ทฤษฎีเซต คือทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวกับเรื่องเซต ซึ่งใช้นำเสนอการรวบรวมวัตถุนามธรรม ทฤษฎีเซตเป็นแนวความคิดของการรวบรวมวัตถุในชีวิตประจำวัน และใช้สอนในโรงเรียนประถมศึกษาซึ่งบ่อยครั้งใช้แผนภาพเวนน์เป็นสื่อช่วยสอน ทฤษฎีเซตใช้ภาษาในการอธิบายวัตถุทางคณิตศาสตร์เป็นธรรมเนียมการสอนคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ทฤษฎีเซตเป็นหนึ่งในรากฐานทางคณิตศาสตร์ที่ยอมรับกันโดยทั่วไป เหมือนเช่นตรรกศาสตร์และแคลคูลัสภาคแสดง ซึ่งทำให้สามารถสร้างวัตถุทางคณิตศาสตร์ขึ้นมาใหม่โดยใช้ "เซต" และ "ความเป็นสมาชิกของเซต" เป็นตัวนิยาม ทฤษฎีเซตเองนั้นก็เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ และยังคงเป็นสาขาที่สำคัญอยู่สำหรับการวิจัย
title: ทฤษฎีเซต

text: ค่าระดับความจริง ในตรรกศาสตร์คลุมเครือนั้นมักจะสับสนกับ ค่าความน่าจะเป็น ซึ่งมีแนวความคิดที่แตกต่างกัน ค่าระดับความจริงคลุมเครือนั้นใช้ในการระบุ ค่าความเป็นสมาชิก ของเซต แต่ค่าความน่าจะเป็นนั้นระบุความเป็นไปได้ของสภาพการณ์แต่ละรูปแบบที่อาจจะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น สมมติว่า นาย ก กำลังเดินเข้าบ้าน สถานะของนาย ก ตามตรรกศาสตร์แบบฉบับ คือ "อยู่ในบ้าน" หรือ "อยู่นอกบ้าน" แต่หากเขากำลังยืนอยู่ระหว่างช่องประตู เราอาจพิจารณาได้ว่าเขา "อยู่ในบ้านบางส่วน" ระดับของสถานะกึ่งนี้ จะระบุด้วยค่าความเป็นสมาชิกของเซตวิภัชนัย สมมุติเขาเพิ่งจะก้าวปลายนิ้วเท้าผ่านข้ามธรณีประตูเข้าบ้าน เราอาจกล่าวว่า นาย ก นั้น 0.99 "อยู่นอกบ้าน" ซึ่งต่างจากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม (เช่น ความน่าจะเป็นระบุผลลัพธ์ของการโยนเหรียญ แต่ผลลัพธ์จะออก หัว หรือ ก้อย) หากพิจารณาความน่าจะเป็นที่นาย ก "อยู่นอกบ้าน" และ "อยู่ในบ้าน" จะออกผลลัพธ์เป็น นาย ก อยู่นอกบ้าน หรือ ในบ้าน ไม่ได้จำลองสถานะกึ่ง คือ กำลังยืนอยู่ที่ประตู เซตวิภัชนัยนั้นมีหลักการพื้นฐานจากเซตที่มีขอบเขตคลุมเครือไม่ชัดเจน ไม่ได้มีพื้นฐานจากการสุ่ม
title: ตรรกศาสตร์คลุมเครือ

text: ในทฤษฎีกราฟ จุดยอด หรือ โหนด เป็นส่วนประกอบอย่างหนึ่งที่ทำให้เกิดกราฟ กราฟไม่ระบุทิศทางประกอบด้วยเซตของจุดยอดและเซตของเส้นเชื่อม (คู่ไม่อันดับของจุดยอด) ในขณะที่กราฟระบุทิศทางประกอบด้วยเซตของจุดยอดและเซตของเส้นเชื่อมที่มีทิศทาง (คู่อันดับของจุดยอด) 
title: จุดยอด (ทฤษฎีกราฟ)

text: สมมุติ ให้ ก เป็น เซตวิภัชนัย
title: เซตวิภัชนัย

text: คำจำกัดความนี้ใช้ในทฤษฎีเซตบริสุทธิ์, ทฤษฎีไทป์ และทฤษฎีเซต ที่แตกแขนงออกมาจากทฤษฎีไทป์ เช่นเดียวกับรากฐานคณิตศาสตร์ใหม่ ๆ และระบบอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง แต่ใช้ไม่ได้กับสัจพจน์ทฤษฎีเซต ZFC เพราะในระบบนั้น เรื่องชั้นเท่ากันทุกประการในเรื่องความเท่ากันทุกประการของตัวเลขนั้นเป็นชั้นที่เหมาะสมกว่าเซต
title: ทฤษฎีเซตของจำนวนธรรมชาติ

text: ถ้าปราศจากความต้องกันแล้ว ระบบคณิตศาสตร์ก็จะพังครืน เพราะเราจะไม่สามารถเชื่อใจความจริงทางคณิตศาสตร์ที่ระบบพิสูจน์มาได้อีกต่อไป รัสเซิลล์ได้ค้นพบความไม่ต้องกันนี้ในทฤษฎีเซตของคันทอร์ ในรูปแบบที่เรียกว่าปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์ ทำให้ทฤษฎีเซตดั้งเดิมต้องถูกปรับปรุงใหม่เพื่อกำจัดปฏิทรรศน์นี้ทิ้งไป
title: ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล

text: ปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์ () คือ ปฏิทรรศน์ที่ถูกค้นพบโดยเบอร์แทรนด์ รัสเซิลล์ ใน ค.ศ. 1901 ซึ่งแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีเซตสามัญของคันทอร์และเฟรเกอ มีความขัดแย้ง 
title: ปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์

text: หลังคิดได้ผลของความโน้มถ่วงฉบับสัมพัทธนิยมและเรขาคณิตแล้ว แต่คำถามที่มาของความโน้มถ่วงยังอยู่ ในความโน้มถ่วงแบบนิวตัน ที่มานั้นคือมวล ในสัมพัทธภาพพิเศษ กลายเป็นว่ามวลเป็นส่วนหนึ่งของปริมาณทั่วไปกว่า เรียก เทนเซอร์พลังงาน–โมเมนตัม (energy–momentum tensor) ซึ่งมีทั้งความหนาแน่นของพลังงานและโมเมนตัม ตลอดจนความเครียด (คือ ความดันและความเฉือน) โดยใช้หลักการสมมูล เทนเซอร์นี้ถูกวางนัยทั่วไปพร้อมเป็นปริภูมิ-เวลาโค้งแล้ว โดยลากต่อบนอุปมากับความโน้มถ่วงแบบนิวตันเชิงเรขาคณิต จึงเป็นธรรมชาติที่จะสันนิษฐานว่าสมการฟีลด์สำหรับความโน้มถ่วงเชื่อมเทนเซอร์นี้กับเทนเซอร์ริตชี (Ricci tensor) ซึ่งอธิบายผลขึ้นลงชั้นเฉพาะหนึ่ง คือ การเปลี่ยนแปลงปริมาตรของอนุภาคทดสอบคลาวด์ (cloud) เล็กซึ่งทีแรกเป็นขณะพัก แล้วตกอิสระ ในสัมพัทธภาพพิเศษ การอนุรักษ์พลังงาน-โมเมนตัมสมนัยกับข้อความว่าเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัมปลอดการลู่ออก เช่นเดียวกัน สูตรนี้ถูกวางนัยทั่วไปพร้อมเป็นปริภูมิ-เวลาโค้งโดยการแทนอนุพันธ์ย่อยด้วยอนุพันธ์แมนิโฟลด์ (manifold) โค้งแทน ซึ่งเป็นอนุพันธ์แปรปรวนร่วมเกี่ยวที่ศึกษาในเรขาคณิคเชิงอนุพันธ์ ด้วยเงื่อนไขที่เพิ่มขึ้นมานี้ การลู่ออกแปรปรวนร่วมเกี่ยวของเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัม และอะไรก็ตามที่อยู่อีกข้างหนึ่งของสมการ เป็นศูนย์ เซตสมการง่ายที่สุดจึงเป็นสิ่งที่เรียก สมการสนามของไอน์สไตน์:
title: ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

text: วลี ภาษาคอมพิวเตอร์ บางครั้งก็ใช้แทนความหมายของภาษาโปรแกรม [20] อย่างไรก็ตาม ผู้แต่งตำราแต่ละคนก็ใช้วลีทั้งสองรวมถึงขอบเขตที่ชัดเจนในแนวทางที่ต่างกัน แนวคิดหนึ่งอธิบายว่า ภาษาโปรแกรมเป็นเซตย่อยของภาษาคอมพิวเตอร์ [21] ในทำนองนี้ ภาษาที่ใช้ในการคิดคำนวณอันมีเป้าหมายต่างกัน ที่แสดงออกเป็นโปรแกรมคอมพิวเตอร์ โดยนัยทั่วไปคือภาษาคอมพิวเตอร์ที่ถูกเลือกขึ้นมา ยกตัวอย่างเช่น ภาษามาร์กอัปบางครั้งก็ถูกพูดถึงว่าเป็นภาษาคอมพิวเตอร์ เพื่อเน้นย้ำว่ามันไม่ได้ออกแบบมาเพื่อเขียนโปรแกรม [22] แนวคิดอีกอย่างหนึ่งอธิบายว่า ภาษาโปรแกรมคือโครงสร้างเชิงทฤษฎีสำหรับการเขียนโปรแกรมให้แก่เครื่องจักรนามธรรม และภาษาคอมพิวเตอร์คือเซตย่อยของสิ่งดังกล่าวที่ทำงานบนคอมพิวเตอร์ในทางกายภาพ ซึ่งมีทรัพยากรฮาร์ดแวร์จำกัด [23] จอห์น ซี. เรย์โนลด์ เน้นว่า ภาษาข้อกำหนดรูปนัย (formal specification) มีลักษณะของภาษาโปรแกรมมากพอ ๆ กับภาษาที่ตั้งใจให้กระทำการ เขายังให้เหตุผลด้วยว่า รูปแบบรับเข้าเชิงข้อความหรือแม้แต่เชิงกราฟิกที่ส่งผลต่อพฤติกรรมของคอมพิวเตอร์ ก็ถือเป็นภาษาโปรแกรมเช่นกัน ถึงแม้ข้อเท็จจริงคือสิ่งเหล่านั้นไม่ใช่ทัวริงบริบูรณ์ และให้ความเห็นอีกว่า การมองข้ามมโนทัศน์ของภาษาโปรแกรมคือสาเหตุของความบกพร่องมากมายในรูปแบบรับเข้า [24]
title: ภาษาโปรแกรม

text: ระบบเวลาวิยุต หรือ ระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง (Discontinuous time systems) คือระบบที่มีโดเมนเวลาเป็นสมาชิกเซตของจำนวนเต็ม (แม้ในบางครั้ง อาจจะไม่ใช้จำนวนเต็ม แต่ ถ้ากล่าวโดยไม่เสียนัยยะความเป็นทั่วไป เราสามารถแทนจำนวนเหล่านั้นที่แม้ไม่ใช้จำนวนเต็มได้ด้วย ดัชนีเวลา (time index) ที่เป็นจำนวนเต็มได้เสมอ) กล่าวคือ t ∈ Z {\displaystyle t\in \ \mathbb {Z} \,}
title: ทฤษฎีระบบควบคุม

text: ตรรกศาสตร์คลุมเครือ หรือ ฟัซซี่ลอจิก (fuzzy logic) พัฒนาจาก ทฤษฎีเซตวิภัชนัย โดยเป็นการใช้เหตุผลแบบประมาณ ซึ่งแตกต่างจากการใช้เหตุผลแบบเด็ดขาดในลักษณะ ถูก/ผิด ใช่/ไม่ใช่ ของ ตรรกศาสตร์แบบฉบับ (classical logic) ตรรกศาสตร์คลุมเครือนั้นสามารถถือเป็นการประยุกต์ใช้งานเซตวิภัชนัย เพื่อจำลองการตัดสินใจของผู้เชี่ยวชาญ ต่อปัญหาที่ซับซ้อน
title: ตรรกศาสตร์คลุมเครือ

text: ผลงานการค้นพบของวราวุธ ได้แก่ การค้นพบไดโนเสาร์ชนิดใหม่หลายชนิดในประเทศไทย เช่น ไดโนเสาร์ซอโรพอด ภูเวียงโกซอรัส สิรินธรเน่ ("Phuwiangosaurus sirindhornae") ไดโนเสาร์กินเนื้อ สยามโมไทรันนัส อิสานเอนซิส ("Siamotyrannus isanensis"), ไดโนเสาร์ปากนกแก้ว ซิตตะโกซอรัส สัตยารักษ์กิ ("Psittacesaurus sattayaraki") และไดโนเสาร์ซอโรพอดที่เก่าแก่ที่สุด อิสานโนซอรัส อรรถวิภัชน์ชี ("Isanosaurus attavipatch") รวมทั้งการค้นพบฟอสซิลสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมหลายชนิดในภาคใต้และภาคเหนือ เป็นต้น
title: วราวุธ สุธีธร

text: ตรรกศาสตร์คลุมเครือ ถึงแม้ว่าจะได้รับการยอมรับค่อนข้างกว้างขวาง แต่ก็ยังถูกโต้แย้งจากบางกลุ่ม เช่น จากวิศวกรระบบควบคุม ในเรื่องของการอธิบายพฤติกรรมต่างๆ และ จากนักสถิติบางกลุ่ม ซึ่งถือมั่นว่าทฤษฎีความน่าจะเป็น เป็นวิธีทางคณิตศาสตร์ที่เคร่งครัดเพียงวิธีเดียว ในการจำลองความไม่แน่นอน (en:uncertainty) นอกจากนั้นแล้ว ก็ยังมีการวิเคราะห์วิจารณ์ว่า เซตวิภัชนัย นั้นไม่ได้เป็นซุปเปอร์เซตของ ทฤษฎีเซตสามัญ เนื่องจาก ฟังก์ชันภาวะสมาชิก นั้นกำหนดในรูปของ เซตแบบดั้งเดิม
title: ตรรกศาสตร์คลุมเครือ

text: เซตวิภัชนัย () เป็นเซตที่ขอบเขตไม่เด่นชัดหรือคลุมเครือ เราสามารถวัดระดับความเป็นสมาชิกของสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ต่อเซตวิภัชนัยหนึ่ง ผ่านทางฟังก์ชันภาวะสมาชิก (membership function) ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่รับสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วส่งไปที่ช่วง [0, 1]
title: เซตวิภัชนัย