คำถาม: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเกิดขึ้น เมื่อใดก็ตามที่ปริมาณอย่างหนึ่งเติบโตหรือเสื่อมสลายในอัตราที่ได้สัดส่วนกับค่าปัจจุบันใช่หรือไม่?

text: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเกิดขึ้น เมื่อใดก็ตามที่ปริมาณอย่างหนึ่งเติบโตหรือเสื่อมสลายในอัตราที่ได้สัดส่วนกับค่าปัจจุบัน ตัวอย่างสถานการณ์นี้เช่นดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง เมื่อ ค.ศ. 1683 ยาคอบ แบร์นูลลี (Jocob Bernoulli) พบว่ามันเป็นเช่นนั้นโดยข้อเท็จจริง [4] และนำไปสู่จำนวน e ที่ไม่ทราบค่าดังนี้
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: ถึงแม้ว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพจะทำให้เกิดการสัมพัทธ์กันของปริมาณบางอย่าง เช่น เวลาซึ่งเรามักคิดว่าเป็นปริมาณสัมบูรณ์เนื่องจากประสบการณ์ในชีวิตประจำวัน ถึงกระนั้นมันก็มีปริมาณบางอย่างที่เป็นปริมาณสัมบูรณ์ทั้ง ๆ ที่เราคิดว่ามันน่าจะเป็นปริมาณสัมพัทธ์ กล่าวให้ชัดคือว่า อัตราเร็วของแสงจะเท่ากันสำหรับทุกผู้สังเกต แม้ว่าพวกเขาจะเคลื่อนที่สัมพัทธ์กันก็ตาม ทฤษฎีสัมพัทธภาพแสดงให้เห็นว่า c ไม่ใช่แค่ความเร็วของปรากฏการณ์ที่เรียกว่า แสง เท่านั้น แต่ยังเป็นค่าพื้นฐานที่เชื่อมปริภูมิกับเวลาเข้าด้วยกัน กล่าวโดยเจาะจงคือว่า ทฤษฎีสัมพัทธภาพยืนยันว่าไม่มีวัตถุใดเคลื่อนที่เร็วเท่ากับแสงได้
title: ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

text: เมื่อ "n" มีค่าเพิ่มขึ้น ค่า "n"! จะมีอัตราการเติบโตมากกว่าพหุนามและฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมดที่มี "n" ประกอบอยู่ (แต่ก็ยังน้อยกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น)
title: แฟกทอเรียล

text: ลักษณะพิเศษของกุ้งสายพันธุ์นี้คือ สามารถสร้างความคุ้นเคย หรือฟาร์มลักษณะนิสัยภายใต้ระบบการเพาะเลี้ยงได้เช่น สามารถทำการเพาะเลี้ยงได้ทั้งในน้ำที่มีระดับความเค็มที่ 5-35 ส่วนในพันส่วน (PPT) และระดับความเค็มต่ำ 0-5 ส่วนในพันส่วน แต่ระดับความเค็มที่เจริญเติบโตได้ดีคือ 10-22 ส่วนในพันส่วน อุณหภูมิของน้ำที่เจริญเติบโตได้ดี คือ 26-29 องศาเซลเซียส แต่สามารถทำการเพาะเลี้ยงได้ในช่วงอุณหภูมิ 25-35 องศาเซลเซียส ระดับออกซิเจนละลายน้ำ (D.O.) ควรมีค่า 4-9 มิลลิกรัมต่อลิตร และสำหรับค่าความเป็นกรดและด่าง (pH) ควรอยู่ระหว่าง 7.2-8.6 ซึ่งอาจจะทำการเพาะเลี้ยงได้ทั้งในบริเวณพื้นที่ชายฝั่ง (Coastal area) หรือบริเวณพื้นที่ในแผ่นดินที่ลึกเข้ามาซึ่งเป็นเขตพื้นที่ที่มีความเค็มต่ำ (Inland area) ก็ตาม อัตราการเจริญเติบโตเฉลี่ย 6-23 กรัม ในช่วง 2-5 เดือน อัตรารอดเฉลี่ย ประมาณ 30-65% ในการเพาะเลี้ยงทั่วไป และ 80-90% ในการเพาะเลี้ยงตามศูนย์วิจัยที่มีความเชี่ยวชาญพิเศษจากข้อมูล ของ F.A.O. ปี ค.ศ. 2000 รายงานว่าผลผลิตกุ้งสายพันธุ์นี้ที่จับจากทะเลต่อปี มีค่าประมาณ 250 ตัน และผลผลิตจากการเพาะเลี้ยงของประเทศเอกวาดอร์ มีปริมาณ 72,000 ตัน และของประเทศสหรัฐอเมริกามีปริมาณ 28,000 ตัน โดยทั่วไปผลผลิตในการเพาะเลี้ยงมักจะไม่แน่นอน สำหรับในกลุ่มประเทศละตินอเมริกามีปริมาณในช่วง 500-1,000 กิโลกรัม ต่อ 6.25 ไร่ต่อรุ่น และในประเทศสหรัฐอเมริกามีปริมาณตั้งแต่ 500-3,000 กิโลกรัมต่อ 6.25 ไร่ต่อรุ่น ข้อมูลของบริษัทที่ดำเนินการเกี่ยวกับธุรกิจกุ้งสายพันธุ์นี้ของประเทศอิสราเอลที่ทำการเพาะเลี้ยงกุ้งสายพันธุ์นี้ รายงานว่าสามารถทำการเพาะเลี้ยงกุ้งชนิดนี้ในน้ำกร่อย (brackish water) ที่มีระดับความเค็มที่ 3 ส่วน ในพันส่วน ค่าอัลคาไลน์ 180 มิลลิกรัมต่อลิตร ค่าความกระด้างรวม 130 มิลลิกรัมต่อลิตร รักษาระดับออกซิเจนละลายน้ำ (D.O.) ที่ 6-8 มิลลิกรัมต่อลิตร ระดับค่าความเป็นกรดและด่าง (pH) ที่ 7.5-8.0 มีระบบเติมอากาศที่ดี ระบบบำบัดน้ำเสียที่ดีสามารถเลี้ยงในระบบความหนาแน่นสูงที่ 156.25 ตัวต่อตารางเมตร
title: กุ้งขาว

text: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง หรือ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (English: exponential function) หมายถึงฟังก์ชัน ex เมื่อ e คือจำนวนที่ทำให้ฟังก์ชัน ex เท่ากับอนุพันธ์ของมันเอง (ซึ่ง e มีค่าประมาณ 2.718281828) [1][2] ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกใช้เพื่อจำลองความสัมพันธ์ เมื่อการเปลี่ยนแปลงคงตัวในตัวแปรอิสระ ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วนเดียวกันในตัวแปรตาม (เช่นการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของอัตราร้อยละ) ฟังก์ชันนี้มักเขียนเป็น exp(x) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวแปรอิสระเขียนเป็นตัวยกไม่ได้
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: รูปแบบการผลิตแบบทุนนิยมนั้นมีศักยภาพในการเติบโตได้มหาศาล ทั้งนี้เนื่องจากนายทุนนั้นสามารถนำผลกำไรที่ได้ไปลงทุนเพิ่มในเทคโนโลยีใหม่ ๆ ได้ และนายทุนเองก็มีแรงจูงใจที่จะการลงทุนเพิ่มเติมในลักษณะเช่นนี้ด้วย มากซ์มองว่าชนชั้นนายทุนเป็นกลุ่มที่ก่อให้เกิดการเปลี่ยนแปลงมากที่สุดในประวัติศาสตร์ ทั้งนี้เนื่องจากเป็นกลุ่มที่คอยปฏิวัติเครื่องมือในการผลิตอยู่ตลอดเวลา แต่มากซ์เชื่อว่าในระบบทุนนิยมนั้นจะมีการเกิดวิกฤตเป็นระลอก ๆ เขาชี้ให้เห็นว่านายทุนจะลงทุนในเทคโนโลยีใหม่ในปริมาณที่มากขึ้น ในขณะที่จะลดต้นทุนของแรงงานลงเรื่อย ๆ ด้วยเช่นกัน เนื่องจากมากซ์เชื่อว่ามูลค่าส่วนเกินที่ได้จากการขูดรีดแรงงานคือที่มาของกำไร เขาสรุปว่าการลงทุนดังกล่าวจะทำให้อัตราได้กำไรลดลงแม้ว่าเศรษฐกิจจะเติบโตขึ้นก็ตาม การที่อัตราได้กำไรลดลงต่ำกว่าจุด ๆ หนึ่งจะก่อให้เกิดภาวะถดถอยหรือภาวะตกต่ำที่จะทำให้บางส่วนของระบบเศรษฐกิจจะพังลง มากซ์เข้าใจว่าในช่วงวิกฤตดังกล่าวค่าจ้างแรงงานก็จะเกิดการตกต่ำลงเช่นเดียวกัน และในที่สุดก็จะทำให้การลงทุนในเทคโนโลยีใหม่เป็นไปได้ และทำให้เกิดการเติบโตขึ้นของส่วนใหม่ ๆ ของระบบเศรษฐกิจ
title: คาร์ล มากซ์

text: แฟกทอเรียลก็เติบโตเร็วกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง แต่ช้ากว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น ตัวอย่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้นเช่น จำนวนแฟร์มาต์ (Fermat number) ที่ได้จากสูตร F ( m ) = 2 2 m + 1 {\displaystyle F(m)=2^{2^{m}}+1} และจำนวนแมร์แซนสองชั้น (double Mersenne number) ที่ได้จากสูตร M M ( p ) = 2 ( 2 p − 1 ) − 1 {\displaystyle MM(p)=2^{(2^{p}-1)}-1} เป็นต้น
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: การศึกษาเชิงประจักษ์โดยตรงบ่งชี้ว่า ผลกระทบการขจัดความยากจนในสหรัฐอเมริกาจะเกิดขึ้นค่อนข้างน้อย แม้ว่าจะไม่มีผลกระทบด้านการว่างงานก็ตาม แรงงานค่าแรงต่ำจำนวนน้อยมากมาจากครอบครัวยากจน แต่ผู้ที่ได้รับประโยชน์จากกฎหมายค่าจ้างขั้นต่ำส่วนใหญ่จะเป็นวัยรุ่นและหญิงผู้ใหญ่ที่มีฝีมือต่ำและทำงานนอกเวลา และอัตราค่าแรงที่มีผลต่อรายได้ของพวกเขาใด ๆ เป็นสัดส่วนลดลงเทียบกับเวลาที่พวกเขาถูกเสนอให้ทำงาน ดังนั้น หากผลลัพธ์ด้านตลาดสำหรับครอบครัวฝีมือต่ำถูกผนวกในวิธีที่สังคมพอใจปัจจัยอื่นนอกเหนือจากอัตราค่าแรงจะต้องถูกพิจารณาด้วย ได้แก่ โอกาสการจ้างงานและปัจจัยจำกัดการมีส่วนร่วมในตลาดแรงงาน[4] นักเศรษฐศาสตร์ โทมัส โซเวลล์ ได้แย้งว่า โดยไม่คำนึงถึงประเพณีหรือกฎหมาย ค่าจ้างขั้นต่ำแท้จริงจะต้องเป็นศูนย์เสมอ และศูนย์เป็นค่าแรงที่บางคนจะได้รับหากพวกเขาไม่สามารถหางานทำได้เมื่อพวกเขาพยายามเข้าสู่ตลาดแรงงาน หรือเมื่อพวกเขาสูญเสียงานที่พวกเขากำลังทำอยู่[5]
title: ค่าจ้างขั้นต่ำ

text: อย่างไรก็ตาม เมื่อ b ไม่ใช่จำนวนเต็ม ฟังก์ชันนี้จะเป็นฟังก์ชันหลายค่า เพราะ θ ไม่ได้มีเพียงหนึ่งเดียว
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: ถ้ามีเงินต้นจำนวน 1 และได้รับดอกเบี้ยในอัตรารายปี x โดยทบต้นรายเดือน ดังนั้นอัตราดอกเบี้ยที่ได้รับต่อเดือนจึงเป็น x/12 เท่าของมูลค่าปัจจุบัน แต่ละเดือนจึงมียอดรวมของเดือนก่อนหน้าคูณด้วย (1+x/12) ในที่สุดมูลค่าที่ได้เมื่อสิ้นปีจึงเท่ากับ (1+x/12)12 ถ้าคิดดอกเบี้ยทบต้นรายวันแทน มูลค่าจะกลายเป็น (1+x/365)365 และถ้ากำหนดให้จำนวนช่วงเวลาต่อปีเพิ่มขึ้นโดยไม่จำกัด จะนำไปสู่นิยามของลิมิตของฟังก์ชันเลขชี้กำลังดังนี้
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: นีโอมัยซินสูตรที่ได้มาตรฐานนั้นจะประกอบไปด้วยสารประกอบที่เกี่ยวเนื่องหลายชนิด ได้แก่ นีโอมัยซินเอ (หรือนีเอมีน – Neamine), นีโอมัยซินบี (หรือฟรามัยซีติน – framycetin), นีโอมันซินซี, และสารประกอบอื่นอีกหลายชนิดในสัดส่วนที่ค่อนข้างน้อย โดยในสารประกอบทั้งหมดที่เป็นส่วนผสมของนีโอมัยซินนี้พบว่า นีโอมัยซินบี เป็นสารที่มีปริมาณมากที่สุด รองลงมาคือ นีโอมัยซินเอ โดยนีโอมัยซินเอเป็นสารที่ไม่ออกฤทธิ์ที่เกิดจากการเสื่อมสลาย (inactive degradation product) ของนีโอมัยซินซี และบีไอโซเมอร์[19] จำนวนและสัดส่วนของสารที่เป็นส่วนประกอบของนีโอมัยซินจะมีความแตกต่างกันในแต่ละรอบของการผลิตขึ้นอยู่กับผู้ผลิตและกระบวนการที่ใช้ในการผลิต[20]
title: นีโอมัยซิน

text: กราฟของฟังก์ชัน y = ex มีลักษณะตั้งชันขึ้นและมีอัตราเพิ่มค่าเร็วยิ่งขึ้นเมื่อ x เพิ่มขึ้น กราฟจะวางตัวอยู่เหนือแกน x เสมอ แต่เมื่อ x เป็นลบกราฟจะลู่เข้าแกน x ดังนั้นแกน x จึงเป็นเส้นกำกับแนวนอน (horizontal asymptote) เส้นหนึ่งของกราฟนี้ ความชันของกราฟแต่ละจุดมีค่าเท่ากับพิกัด y ของจุดนั้น ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือลอการิทึมธรรมชาติ ln(x) ด้วยเหตุนี้ตำราบางเล่มจึงอ้างถึงฟังก์ชันเลขชี้กำลังว่าเป็น แอนติลอการิทึม (antilogarithm) [3]
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: อัตราการเติบโตของฟังก์ชันใดๆ มีค่าเป็นสัญกรณ์โอใหญ่ของอีกฟังก์ชันหนึ่งแล้ว แสดงว่าอัตราการเติบโตของฟังก์ชันใดๆนั้นจะ"โตน้อยกว่าหรือเท่ากับ"อัตราการเติบโตของฟังก์ชันดังกล่าว ดังนั้นจึงอาจนิยามได้ว่า
อย่างไรก็ตาม นิยามนี้จำกัดเฉพาะกรณี formula_13 เท่านั้น ซึ่งไม่เพียงพอต่อการอธิบายในกรณีที่ formula_19 ดังนั้นจึงอาจใช้นิยามในอีกรูปแบบ ในการขยายไปถึงสัญกรณ์โอใหญ่กณิกนันต์ ซึ่งเป็นพิจารณาอัตราการเติบโตของฟังกชันรอบ ๆ จุด a ใด ๆ
นิยามทั้งสองรูปแบบสามารถขยายไปหลายตัวแปรได้
หรือในอีกนิยามที่พิจารณาอัตราการเติบโตของฟังก์ชันรอบๆพิกัด formula_31 ใดๆว่า
title: สัญกรณ์โอใหญ่

text: อนุพันธ์ (อัตราการเปลี่ยนแปลง) ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง คือฟังก์ชันเลขชี้กำลังโดยตัวมันเอง หรืออีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันที่มีอัตราการเปลี่ยนแปลงได้สัดส่วนกับฟังก์ชันตัวเอง (แทนที่จะหมายถึงเท่ากับตัวเอง) สามารถแสดงได้ในรูปแบบฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สมบัติของฟังก์ชันข้อนี้นำไปสู่การอธิบายการเติบโตและการเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: ความชันของกราฟ ณ จุดใด ๆ เท่ากับความสูงของฟังก์ชันที่จุดนั้น อัตราการเพิ่มของฟังก์ชันที่จุด x เท่ากับค่าของฟังก์ชันที่จุด x ฟังก์ชันที่เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ y ′ = y exp เป็นจุดตรึง (fixed point) ของอนุพันธ์ในฐานะฟังก์ชันนัล (functional)
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: e (ค่าคงตัว) การเติบโตแบบเลขชี้กำลัง การเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง การยกกำลัง เทเทรชัน
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: เมื่อ a และ b เป็นค่าจริง (ดูเพิ่มที่สูตรของออยเลอร์) สูตรนี้เป็นตัวเชื่อมโยงฟังก์ชันเลขชี้กำลังเข้ากับฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันไฮเพอร์บอลิก ดังนั้นฟังก์ชันมูลฐาน (elementary function) ทั้งหมดยกเว้นพหุนาม เป็นผลมาจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: ฟังก์ชันที่ประกอบด้วยพจน์เชิงเลขชี้กำลังสองพจน์ ซึ่งมีเลขชี้กำลังต่างกัน ฟังก์ชัน f ( x ) = a a x {\displaystyle f(x)=a^{a^{x}}} ฟังก์ชันนี้มีอัตราการเติบโตเร็วกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังธรรมดา เช่นกำหนดให้ a = 10 จะได้ f(−1) = 1.26, f(0) = 10, f(1) = 1010, f(2) = 10100 = กูกอล, …, f(100) = กูกอลเพลกซ์
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถนิยามบนระนาบเชิงซ้อนได้หลายรูปแบบเทียบเท่ากัน เช่นเดียวกับกรณีของจำนวนจริง การนิยามเหล่านี้บางอย่างเหมือนสูตรต่าง ๆ ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริง หากกล่าวโดยเฉพาะเจาะจง เรายังสามารถใช้นิยามอนุกรมกำลังซึ่งค่าจริงถูกแทนที่ด้วยค่าเชิงซ้อน
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: การทดสอบเส้นแนวยืนกระทำได้โดยใช้ไม้บรรทัดหรือสันตรงลากเส้นตรงขนานกับแกน "y" สำหรับค่า "x" ใด ๆ ที่เลือกไว้ ถ้าเส้นแนวยืนผ่านกราฟมากกว่าหนึ่งครั้งบนค่า "x" ใด ๆ ก็ตาม กราฟนั้นจะไม่ใช่กราฟของฟังก์ชัน และในทางตรงข้าม ถ้าเส้นแนวยืนผ่านกราฟเพียงครั้งเดียว ไม่ว่าจะลากเส้นตรงที่ตำแหน่งไหน กราฟนั้นจะเป็นกราฟของฟังก์ชัน ตัวอย่าง กราฟเส้นโค้งที่อยู่ในรูปเส้นตรงนอกเหนือจะเส้นแนวยืน เป็นกราฟของฟังก์ชันเสมอ อีกตัวอย่างหนึ่ง กราฟพาราโบลาที่หันข้าง (ที่มีเส้นบังคับเป็นเส้นแนวยืนเส้นหนึ่ง) ไม่เป็นกราฟของฟังก์ชัน เนื่องจากเส้นแนวยืนบางเส้นผ่านกราฟพาราโบลาสองครั้ง
title: การทดสอบเส้นแนวยืน

text: สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z และ w ทุกจำนวน การยกกำลังนี้จึงเป็นฟังก์ชันหลายค่าตามไปด้วย กฎการยกกำลังที่ระบุไว้ข้างต้นยังคงเป็นจริง ถ้าตีความว่าเป็นประโยคที่เกี่ยวกับฟังก์ชันหลายค่าอย่างถูกต้อง อย่างไรก็ตามกฎการคูณเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริงบวก ไม่สามารถใช้ได้ในบริบทของฟังก์ชันหลายค่า นั่นคือ
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: นั่นคือ ex เป็นอนุพันธ์ของตัวเอง และเป็นตัวอย่างพื้นฐานอันหนึ่งของฟังก์ชันแบบพฟัฟฟ์ (Pfaffian function) ฟังก์ชันต่าง ๆ ที่อยู่ในรูปแบบ cex ซึ่ง c เป็นค่าคงตัว เป็นฟังก์ชันกลุ่มเดียวที่มีสมบัติเช่นนี้ (จากทฤษฎีบทปิการ์-ลินเดเลิฟ (Picard–Lindelöf theorem)) หรือกล่าวให้เจาะจงได้ว่า กำหนดให้ k เป็นค่าคงตัวจำนวนจริงใด ๆ ฟังก์ชัน f: R→R จะสอดคล้องกับเงื่อนไข f ′ = kf ก็ต่อเมื่อ f(x) = cekx สำหรับค่าคงตัว c บางจำนวน การอธิบายด้วยวิธีอื่นที่ให้ผลเหมือนกันเช่น
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: ในแคลคูลัสเวกเตอร์ เกรเดียนต์ของสนามสเกลาร์คือสนามเวกเตอร์ที่ชี้ไปในทิศทางของอัตราการเพิ่มขึ้นที่ใหญ่ที่สุดของสนามสเกลาร์และมีขนาดที่เป็นอัตราของการเพิ่มขึ้น ตัวอย่างง่าย ๆ เช่น การเปลี่ยนแปลงในปริภูมิของปริมาณใด ๆ สามารถแสดง (เช่น แบบภาพกราฟิก) ได้โดยใช้ความชัน (slope) ในวิชาคณิตศาสตร์, เกรเดียนต์เป็นลักษณะทั่วไปของแนวคิดตามปกติของอนุพันธ์กับฟังก์ชันของหลายตัวแปร (functions of several variables) ถ้า เป็นฟังก์ชันอนุพันธ์ของหลายตัวแปรที่เรียกว่า "สนามสเกลาร์" เกรเดียนต์ของมันคือเวกเตอร์ของอนุพันธ์ย่อย n ของ f ดังนั้นจึงเรียกค่าฟังก์ชันเวกเตอร์ (vector-valued function) ที่ได้ว่าเป็น สนามเวกเตอร์ (vector field)
title: เกรเดียนต์

text: ในขั้นตอนกลางแต่ละช่วง จะมีการปล่อยกัมมันตภาพรังสีจำนวนเดียวกันกับไอโซโทปดั้งเดิม (แต่ไม่ใช่พลังงานเดียวกัน) เมื่อมีความสมดุล ไอโซโทปหลานจะปรากฏให้เห็นในสัดส่วนโดยตรงกับครึ่งชีวิตของมัน แต่เนื่องจากกิจกรรมของมันเป็นสัดส่วนผกผันกับครึ่งชีวิตของมัน นิวไคลด์แต่ละตัวในห่วงโซ่การสลายในที่สุดก็ก่อให้เกิดกัมมันตภาพรังสีมากเท่ากับส่วนหัวของห่วงโซ่ แม้ว่าจะไม่ใช่พลังงานเดียวกัน ยกตัวอย่างเช่นยูเรเนียม-238 มีกัมมันตรังสีอย่างอ่อน แต่ pitchblende ซึ่งเป็นแร่ยูเรเนียมดิบ มีกัมมันตรังสีมากกว่าเป็น 13 เท่าของโลหะยูเรเนียมบริสุทธิ์ในปริมาณที่เท่ากันเพราะมันประกอบด้วยเรเดียมและไอโซโทปลูกสาวอื่น ๆ. ไอโซโทปของเรเดียมที่ไม่เสถียรไม่เพียงแต่เป็นตัวปลดปล่อยกัมมันตภาพรังสีที่มีนัยสำคัญเท่านั้น แต่ในขั้นตอนต่อไปในห่วงโซ่การสลายพวกมันยังสร้างเรดอนซึ่งเป็นก๊าซกัมมันตรังสีที่หน​​ัก, เฉื่อย, และเกิดขึ้นตามธรรมชาติอีกด้วย หินที่มีทอเรียมและ/หรือยูเรเนียม (เช่นหินแกรนิตบางก้อน) ปล่อยก๊าซเรดอนที่สามารถสะสมในสถานที่ปิดล้อมเช่นใต้ดินหรือเหมืองใต้ดิน การเปิดรับเรดอนถูกพิจารณาว่าเป็นสาเหตุของโรคมะเร็งปอดในผู้ไม่สูบบุหรี่
title: ห่วงโซ่การสลาย

text: ดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลังใด ๆ จึงเป็นพหุคูณค่าคงตัวของอนุพันธ์ของตัวเอง
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: เมื่อวัตถุกำลังหมุนรอบแกน, แรงบิดจะต้องถูกนำมาใช้เพื่อเปลี่ยนโมเมนตัมเชิงมุมของมัน ปริมาณของแรงบิดที่จำเป็นสำหรับการเปลี่ยนแปลงใด ๆ ก็ตามในโมเมนตัมเชิงมุมจะเป็นสัดส่วนกับขนาดของการเปลี่ยนแปลงนั้น ๆ ค่าคงที่ของความได้สัดส่วนเป็นคุณสมบัติของวัตถุที่รวมมวลและรูปร่างของมันเข้าไว้ด้วยกัน, ที่รู้จักกันว่าเป็นโมเมนต์ความเฉื่อย ในกลศาสตร์ดั้งเดิม,
title: โมเมนต์ความเฉื่อย

text: ในบางกรณีคำว่า ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ก็มีใช้ในความหมายทั่วไปยิ่งขึ้น สำหรับฟังก์ชันต่าง ๆ ที่อยู่ในรูปแบบ cbx เมื่อ b คือฐานที่เป็นจำนวนจริงบวก ไม่จำเป็นต้องเป็น e ดูเพิ่มที่การเติบโตแบบเลขชี้กำลังสำหรับความหมายนี้
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: ถ้าอัตราการเติบโตหรือเสื่อมสลายของตัวแปรได้สัดส่วนกับขนาดของตัวแปร เช่นการเติบโตของประชากรอย่างไม่จำกัด ดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง หรือการสลายตัวของสารกัมมันตรังสี ตัวแปรนั้นจะสามารถเขียนในรูปแบบค่าคงตัวคูณด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังของเวลา
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังขยายแนวคิดเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) ชนิดหนึ่งบนระนาบเชิงซ้อน สูตรของออยเลอร์เกี่ยวข้องกับค่าของฟังก์ชันเมื่อส่งค่าอาร์กิวเมนต์ส่วนจินตภาพไปยังฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็มีสิ่งที่คล้ายกันสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นเมทริกซ์ หรือแม้แต่สมาชิกของพีชคณิตแบบบานัค (Banach algebra) หรือพีชคณิตแบบลี (Lie algebra)
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

text: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) ชนิดหนึ่ง เนื่องจากมันเป็นสาทิสสัณฐาน (holomorphic) บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ทุกจำนวนยกเว้นค่า 0 สิ่งนี้เป็นตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทเล็กของปิการ์ (Picard's little theorem) ซึ่งกล่าวว่า ฟังก์ชันทั่วที่ไม่เป็นค่าคงตัวใด ๆ ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ทุกจำนวน โดยอาจยกเว้นค่าใดค่าหนึ่ง
title: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง