คำถาม: เรขาคณิต ค้นพบโดยใคร ?

text: เรอเน เดการ์ต (French: René Descartes) เป็นนักปรัชญา และนักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงในต้นยุคสมัยใหม่ของอารยธรรมตะวันตก โดยนอกจากจะเป็นผู้ที่บุกเบิกปรัชญาสมัยใหม่แล้ว เดการ์ตยังเป็นผู้บุกเบิกวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์ โดยเป็นผู้คิดค้นระบบพิกัดแบบคาร์ทีเซียนซึ่งเป็นรากฐานของการพัฒนาด้านแคลคูลัสต่อมา
title: เรอเน เดการ์ต

text: ครอปเซอร์เคิล ถูกค้นพบครั้งแรกในปี 1678 ที่เฮิร์ทฟอร์ดเชียร์ อังกฤษ ไม่มีใครอธิบายได้ว่าใครหรืออะไรทำให้มันเกิดขึ้น แต่หลังจากการค้นพบของชัตเติลวูดกับบอนด์และเฟอร์แล้ว มันนำไปสู่ทฤษฎีแรกคือร่องรอยการลงจอดของยานจากต่างดาว ตามมาด้วยทฤษฎีอุกกาบาตและทฤษฎีพายุทอร์นาโดขนาดเล็ก ในทศวรรษที่ 1980 ได้มีการค้นพบครอปเซอร์เคิลมากขึ้น โดยเฉพาะรอบๆเมืองวอร์มินสเตอร์(Warminster) ในช่วงต้นของทศวรรษนี้รูปทรงของมันก็ยังคงเหมือนเดิม คือเป็นวงกลมหยาบๆ แต่ในกลางทศวรรษรูปทรงของมันซับซ้อนขึ้น คือมีวงแหวนแตกออกไป และมันเริ่มดึงดูดใจคนอังกฤษมากขึ้น 
ในทศวรรษนี้เอง ด๊อกเตอร์ เทอร์เรนซ์ มีเดน(Terrence Meaden) ศาสตราจารย์ทางฟิสิกส์และนักอุตุนิยมวิทยาได้พยายามไขปริศนานี้ โดยทำการวิจัยครอปเซอร์เคิลมากกว่า 1,000 แห่ง มีเดนเสนอทฤษฎีว่า ครอปเซอร์เคิลเกิดจากความผิดปกติของอากาศที่เขาเรียกว่า Plasma Vortex ทำให้เกิดลมหมุนวนในระดับสูงแล้วเคลื่อนตัวลงสู่พื้นทำให้พืชแบนราบ 
title: วงธัญพืช

text: แต่เมื่อมีการค้นพบเรขาคณิตนอกแบบยูคลิดในช่วงศตวรรษที่ 19 ก็ก่อให้เกิดการเปลี่ยนแปลงกระบวนทัศน์ขนานใหญ่ ทำให้นักคณิตศาสตร์ทั้งหลายตระหนักว่าสัจพจน์นั้นไม่ใช่สิ่งที่ประจักษ์ชัดในตัวอีกต่อไป ส่งผลให้วงการคณิตศาสตร์พัฒนาไปในทางที่เป็นนามธรรมและเป็นรูปนัยมากขึ้น ที่เป็นนามธรรมก็เพราะนักคณิตศาสตร์มีอิสระในการเลือกสัจพจน์เพื่อที่จะสร้างสรรค์ระบบคณิตศาสตร์ใดๆ ก็ได้ขึ้นมา ส่วนที่เป็นรูปนัยก็เพราะนักคณิตศาสตร์ตระหนักว่าความจริงที่ได้มาจากการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์นั้นขึ้นอยู่กับการเลือกเลือกสร้างระบบ และระบบนี้ก็ดำเนินไปได้ด้วยตนเอง โดยที่ไม่จำเป็นต้องเกี่ยวข้องหรือต้องอ้างโยงถึงโลกภายนอก หรือต้องอาศัยการรับรู้หรือความเข้าใจของคนหนึ่งคนใด
title: ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล

text: นักปรัชญาโดยเฉพาะนักปรัชญาคณิตศาสตร์ (เช่น เบอร์ทรันด์ รัซเซลล์, อัลเฟรด ไวท์เฮด หรือ เวย์น ควินน์) มักจะสนใจวิเคราะห์เจาะประเด็นในเรื่องที่นักคณิตศาสตร์ทั่วไปถือว่าเป็นความจริงหรือสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์อยู่แล้ว เช่น นักปรัชญาคณิตศาสตร์มักพิจารณาอย่างละเอียดว่าประโยค "1+1=2" นั้นหมายความว่าอย่างไร และเป็นจริงได้อย่างไรกันแน่ (โดยในหนังสือ Principia of Mathematica ที่โด่งดังของ รัซเซลล์กับไวท์เฮดนั้น ต้องใช้ถึงหลายสิบหน้าในการพิสูจน์ประโยคนี้ทีเดียว) กล่าวโดยสรุปนักปรัชญาคณิตศาสตร์มักสนใจในเรื่องต่อไปนี้
อนึ่ง ถึงแม้นักคณิตศาสตร์ทั่วไปมักมีข้อตกลงร่วมกันว่าประเด็นข้างต้นนั้นถือว่าเป็นจริงโดยสามัญสำนึกอยู่แล้ว แต่ทว่าไม่มีแนวคิดใด รูปแบบใดที่ทุกคนยอมรับว่าดีที่สุด นักคณิตศาสตร์แต่ละคนก็จะมีความเชื่อในแต่ละประเด็นข้างต้นแตกต่างกันไป นักคณิตศาสตร์ที่โด่งดังหลายท่านเช่น ปวงกาเร หรือ เกาส์ ก็สนใจในปรัชญาคณิตศาสตร์ ซึ่งบางทีผลลัพธ์ทางปรัชญาคณิตศาสตร์บางอย่างก็ส่งผลกระทบที่ยิ่งใหญ่ต่อวงการคณิตศาสตร์โดยตรง เช่น เมื่อเกาส์, โบลยาอี้ และโลบาชอพสกี้ค้นพบว่าการละทิ้งสัจพจน์เส้นขนานนั้นสามารถกำเนิดสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์คือเรขาคณิตนอกแบบยุคลิดได้นั้น นักคิดบางท่านเปรียบว่าการค้นพบครั้งนี้สำคัญเทียบเท่าการปฏิวัติของโคเปอร์นิคัสทางดาราศาสตร์และทฤษฎีวิวัฒนาการของชาลส์ ดาร์วินเลยทีเดียว
title: นักคณิตศาสตร์

text: เนื้อหาที่สอบนั้นมีหลากหลายตั้งแต่ความรู้พื้นฐานสำหรับแคลคูลัสอันยากยิ่ง ไปจนถึงสาขาของคณิตศาสตร์ซึ่งโดยปกติไม่มีการเรียนการสอนที่โรงเรียน และมักไม่มีสอนในระดับมหาวิทยาลัยด้วย เช่น เรขาคณิตเชิงภาพฉาย (projective geometry) และเรขาคณิตเชิงซ้อน (complex geometry), สมการเชิงฟังก์ชัน (functional equation) และทฤษฎีจำนวนที่ต้องมีความรู้เป็นอย่างดี ซึ่งต้องอาศัยความรู้ในตัวทฤษฎีบทอย่างกว้างขวาง แม้จะอนุญาตให้ใช้วิธีแคลคูลัสหาคำตอบได้ แต่ผู้เข้าแข่งขันไม่ต้องมีความรู้เรื่องแคลคูลัส เพราะมีหลักการซึ่งทุกคนที่เข้าใจคณิตศาสตร์พื้นฐานควรเข้าใจปัญหา แม้ว่าการหาคำตอบจะต้องใช้ความรู้มากกว่านั้นมากก็ตาม ผู้สนับสนุนหลักการนี้อ้างว่า นี่เป็นการทำให้เกิดความเป็นสากลมากยิ่งขึ้นและสร้างสิ่งกระตุ้นที่จะค้นหาปัญหาที่งดงาม แสร้งดูเหมือนง่าย แต่ถึงกระนั้นต้องอาศัยความเฉลียวฉลาดช่างคิดในระดับสูง
title: คณิตศาสตร์โอลิมปิกระหว่างประเทศ

text: งานค้นพบของนักโบราณคดีเป็นแหล่งข้อมูลอย่างละเอียดของเทพปกรณัมกรีก เพราะมีภาพของเทพและวีรบุรุษกรีกมากมายเป็นเนื้อหาหลักอยู่ในการตกแต่งสิ่งของเครื่องใช้ต่างๆ ภาพเรขาคณิตบนเครื่องปั้นดินเผาในยุคศตวรรษที่ 8 ก่อนคริสตกาลแสดงให้เห็นฉากต่างๆ ในสงครามเมืองทรอย รวมไปถึงการผจญภัยของเฮราคลีส ในยุคต่อๆ มาเช่น กรีซยุคอาร์เคอิก ยุคคลาสสิก และสมัยเฮลเลนิสต์ ก็พบภาพฉากเกี่ยวกับมหากาพย์ของโฮเมอร์และตำนานปรัมปราอื่นๆ ซึ่งช่วยเพิ่มเติมแก่หลักฐานทางวรรณกรรมที่มีอยู่
title: เทพปกรณัมกรีก

text: ภาพลวงตาปอนโซ () เป็นภาพลวงตาเชิงเรขาคณิต
ที่ค้นพบโดยนักจิตวิทยาชาวอิตาลีชื่อว่า มาริโอ ปอนโซ (ค.ศ. 1882-1960) ในปี ค.ศ. 1911 (พ.ศ. 2456) 
เขาเสนอว่า ใจมนุษย์ตัดสินขนาดของวัตถุโดยอาศัยพื้นหลัง
เขาสนับสนุนความคิดนี้โดยวาดเส้นตรงยาวเท่ากันสองเส้น ผ่านเส้นสองเส้นที่เบนเข้าหากัน คล้ายกับทางรถไฟ
เส้นด้านบนจะดูยาวกว่าเพราะว่า เราแปลผลของเส้นที่เบนเข้าหากันตามหลักทัศนมิติว่า 
เป็นเส้นขนานกันที่ถอยห่างออกไปเรื่อย ๆ ตามระยะทาง
ดังนั้นเราจึงแปลผลเหมือนกับว่า เส้นบนนั้นอยู่ไกลกว่า และจึงเห็นมันว่ายาวกว่า
คือในมุมมอง 3 มิติแล้ว วัตถุที่ไกลกว่าต้องมีความยาวมากกว่าวัตถุที่ใกล้กว่า เพื่อที่จะมีความยาวเท่ากันปรากฏบนเรตินา
title: ภาพลวงตาปอนโซ

text: อนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัด คืออนุกรมเรขาคณิตที่มีจำนวนพจน์ไม่จำกัดหรือเป็นจำนวนอนันต์ อนุกรมนี้จะลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งก็ต่อเมื่อ ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนทั่วไปมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง (formula_14) ค่าของอนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัดสามารถคำนวณได้จากสูตรของผลรวมจำกัด
title: การก้าวหน้าเรขาคณิต

text: พฤติกรรมของจำนวนในการก้าวหน้าเรขาคณิตขึ้นอยู่กับค่าของอัตราส่วนทั่วไป
จะเห็นว่าการก้าวหน้าเรขาคณิต (ที่มีอัตราส่วนไม่ใช่ −1, 1 หรือ 0) แสดงให้เห็นถึงการเพิ่มหรือการลดแบบชี้กำลัง ต่างกับการเพิ่ม (หรือลด) แบบเชิงเส้นของการก้าวหน้าเลขคณิต แต่การก้าวหน้าทั้งสองชนิดก็มีความเกี่ยวข้องกัน นั่นคือ ถ้าหากใส่ฟังก์ชันเลขชี้กำลังลงในทุกพจน์ของการก้าวหน้าเลขคณิตก็จะได้การก้าวหน้าเรขาคณิต และหากใส่ฟังก์ชันลอการิทึมลงในทุกพจน์ของการก้าวหน้าเรขาคณิตก็จะได้การก้าวหน้าเลขคณิต
title: การก้าวหน้าเรขาคณิต

text: ต้นไม้คาร์ทีเซียน ถูกนำมาใช้และตั้งชื่อโดย Vuillemin (1980) ชื่อมาจากระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสำหรับเครื่องบิน: ในรุ่นของ Vuillemin ของโครงสร้างนี้เช่นเดียวกับในช่วงสองมิติการประยุกต์ใช้การค้นหาที่กล่าวข้างต้นต้นไม้คาร์ทีเซียน สำหรับชุดจุดมีลำดับการเรียงลำดับของจุดโดย x- พิกัดเป็นลำดับ สมมาตรของมันและมีคุณสมบัติ ตาม y พิกัดของจุด Gabow, เบนท์ลีย์ & Tarjan (1984) และผู้เขียนตามมาตามคำจำกัดความที่นี่ซึ่งเป็นต้นไม้คาร์ทีเซียนถูกกำหนดจากลำดับ การเปลี่ยนแปลงนี้ generalizes การตั้งค่าทางเรขาคณิตของ Vuillemin เพื่อให้ลำดับนอกเหนือจากลำดับที่เรียงจากพิกัด x และช่วยให้ต้นไม้คาร์ทีเซียนจะใช้กับปัญหาที่ไม่ใช่ทางเรขาคณิตเช่นกัน
title: ต้นไม้คาร์ทีเซียน

text: ที่ผ่านมาจะเห็นว่า งานที่ตีพิมพ์ของเกาส์แต่ละอย่างนั้น ส่งผลกระทบต่อวงการวิชาการมากมายมหาศาล แต่อย่างไรก็ตาม งานของเกาส์ที่ไม่ถูกตีพิมพ์ก็ยิ่งใหญ่ไม่แพ้กัน ยกตัวอย่างเช่น เกาส์ได้ค้นพบ เรขาคณิตนอกแบบยุคลิด (non-Euclidean geometries) ซึ่งส่งผลกระทบสำคัญ ต่อจินตนาการของมนุษย์ต่อธรรมชาติและโครงสร้างจักรวาล เทียบเคียงได้กับ การปฏิวัติของโคเปอร์นิคัส ในสาขาดาราศาสตร์เลยทีเดียว. เนื่องจากตั้งแต่สมัยยุคลิด จนกระทั่งถึงสมัยของเกาส์นั้น สัจพจน์ทั้งหลายในเรขาคณิตแบบยุคลิด ถือว่าเป็นความจริงที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ แต่อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์รุ่นถัดมาจนถึงเกาส์ ก็สงสัยการกำหนดสัจพจน์บางอย่างของยุคลิดมาตลอด โดยเฉพาะสัจพจน์เส้นขนาน ที่กล่าวว่านักคณิตศาสตร์ได้สงสัยมานานว่า ทำไมเรื่องเส้นขนานนี้ถึงต้องเป็นสัจพจน์ เนื่องจากสัจพจน์ควรจะเป็นอะไรที่เข้าใจได้ง่ายๆ เช่น สัจพจน์ของจุด เป็นต้น เรื่องเส้นขนานที่ค่อนข้างซับซ้อนนั้น ควรที่จะเป็นทฤษฎีบท คือสามารถพิสูจน์ได้ด้วยสัจพจน์ที่เป็นมูลฐานอื่นๆ มากกว่าที่จะเป็นสัจพจน์เสียเอง ยุคลิดเองก็ดูลังเลกับสัจพจน์ข้อนี้ โดยได้ให้เป็นสัจพจน์ข้อสุดท้ายในระบบเรขาคณิตของเขา อย่างไรก็ตาม ไม่มีนักคณิตศาสตร์คนใดสามารถพิสูจน์สัจพจน์เส้นขนานนี้ได้สำเร็จ
title: คาร์ล ฟรีดริช เกาส์

text: สำหรับนอกจากความสวยงามแล้ว ยังมีผลต่อการทำ SEO (Search Engine Optimization เป็นการปรับแต่งเว็บไซต์และกระบวนการต่างๆ ของเว็บไซต์ตั้งแต่การออกแบบ เขียนโปรแกรม และการโปรโมทเว็บ) อีกด้วยเพราะในกูเกิลให้ความสำคัญของ ขนาดตัวอักษรหรือจำพวกแท็ก h3, h2, h1 เป็นต้น ดังนั้นทำให้เวลามีใครค้นหาข้อความเหล่านี้ก็เป็นส่วนหนึ่งที่เพิ่มความหนักแน่นให้กับเว็บไซต์ของเรา ซึ่งก็ทำให้กูเกิลหาเจอง่ายขึ้นเวลามีใครค้นหาคำในแท็กคลาวด์ แต่มันไม่ได้ช่วยอะไรมากนัก ส่วนใหญ่จะเน้นที่เนื้อหาบวกกับการเน้นคำในเนื้อหาจะทำให้สามารถค้นหาข้อมูลได้ง่ายขึ้นและได้ข้อมูลที่ตรงกับความต้องการมากยิ่งขึ้น
title: แท็กคลาวด์

text: ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลกล่าวถึงข้อจำกัดของวิธีการทางสัจพจน์ ซึ่งเป็นการใช้เหตุผลเชิงนิรนัยเพื่อพิสูจน์และแสวงหาความจริงทางคณิตศาสตร์ที่นับย้อนไปได้ถึงในสมัยกรีกโบราณ ตั้งแต่เมื่อครั้งที่ยุคลิดใช้วิธีการนี้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบททางเรขาคณิตในหนังสืออีลีเมนท์ส วิธีการทางสัจพจน์เป็นวิธีที่สวยงามทางความคิด ดึงดูดใจใครหลายคน และก็เสมือนได้กลายเป็นวิธีการมาตรฐานในการแสวงหาความรู้ทางคณิตศาสตร์นับจากนั้นเป็นต้นมา
title: ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล

text: ในทางคณิตศาสตร์ การก้าวหน้าเรขาคณิต () หรือ ลำดับเรขาคณิต () คือลำดับของจำนวนซึ่งอัตราส่วนของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัวที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งอัตราส่วนนั้นเรียกว่า "อัตราส่วนทั่วไป" (common ratio) ตัวอย่างเช่น ลำดับ 2, 6, 18, 54, ... เป็นการก้าวหน้าเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนทั่วไปเท่ากับ 3 และลำดับ 10, 5, 2.5, 1.25, ... มีอัตราส่วนเท่ากับ 0.5 เป็นต้น
title: การก้าวหน้าเรขาคณิต

text: ได้มีการค้นพบสิ่งที่เรารู้จักกันในนามของแฟร็กทัลมานานก่อนที่คำว่า "แฟร็กทัล" จะได้รับการบัญญัติขึ้นมาใช้เรียกสิ่งเหล่านี้ ในปี ค.ศ. 1872 คาร์ล ไวเออร์ชตรัสส์ (Karl Weierstrass) ได้ยกตัวอย่างของฟังก์ชัน ที่มีคุณสมบัติ "everywhere continuous but nowhere differentiable" คือ มีความต่อเนื่องที่ทุกจุด แต่ไม่สามารถหาค่าอนุพันธ์ได้ ต่อมาในปี ค.ศ. 1904 เฮลเก ฟอน ค็อค (Helge von Koch) ได้ยกตัวอย่างทางเรขาคณิต ซึ่งได้รับการเรียกขานในปัจจุบันนี้ว่า "เกล็ดหิมะค็อค" (Koch snowflake) ต่อมาในปี ค.ศ. 1938 พอล ปีแอร์ ลาวี (Paul Pierre Lévy) ได้ทำการศึกษา รูปร่างของ กราฟ (curve และ surface) ซึ่งมีคุณสมบัติที่ส่วนประกอบย่อย มีความเสมือนกับโครงสร้างโดยรวมของมัน คือ "Lévy C curve" และ "Lévy dragon curve"
title: แฟร็กทัล

text: เป็นกระบวนการหนึ่งในของ Image processing โดยทำการวิเคราะห์รูปภาพจากลักษณะจริงของรูปภาพนั้นไม่ว่าจะเป็น สี, รูปทรงทางเรขาคณิต, หาขอบ มุมของภาพ แล้วนำลักษณะที่ได้จากการวิเคราะห์ไปตรวจสอบกับฐานข้อมูลของทาง Google ที่มีอยู่แล้วว่าตรงกันหรือคล้ายคลึงกันหรือไม่อย่างไร แล้วจึงส่งข้อมูลกลับมายังฝั่งผู้ใช้ ซึ่งผลที่ได้นั้นจะให้ผลแม่นยำกว่าการค้นหาด้วยคำ และตรงตามที่ผู้ใช้ต้องการ
title: กูเกิล ก็อกเกิล

text: นอกจากนั้น แหล่งโบราณคดีอุทยานประวัติศาสตร์ภูพระบาท อำเภอบ้านผือ ก็เป็นอีกพื้นที่หนึ่ง ที่ยืนยันให้เห็นความรุ่งเรืองและอารยธรรมโบราณที่เคยปรากฏบนผืนดินแห่งเมืองอุดรธานี หลักฐานสำคัญที่ค้นพบในเขตนี้ได้แก่ ภาพเขียนสีสมัยก่อนประวัติศาสตร์ซึ่งพบหลายแห่งบนเทือกเขาภูพานน้อยหรือภูพระบาทนี้ ภาพที่สำคัญๆ เช่น ภาพเขียนสีถ้ำคน ภาพเขียนสีถ้ำวัว ภาพเขียนสีโนนสาวเอ้ เป็นต้น ภาพเขียนเหล่านี้ใช้สีดินแดงเขียน เป็นภาพเหมือนจริงบ้าง เป็นภาพเรขาคณิตบ้างหรือภาพฝ่ามือแดงบ้าง ซึ่งนักโบราณคดีให้ความเห็นว่า คนสมัยก่อนประวัติศาสตร์เขียนขึ้นเพื่อเป็นส่วนหนึ่งของพิธีกรรม หรือเป็นสัญลักษณ์สื่อสารกันระหว่างคนในเผ่า
title: จังหวัดอุดรธานี

text: ในช่วงกลางศตวรรษ รีมันน์ได้คิดค้นทฤษฎีของการหาปริพันธ์ ต่อมาในศตวรรษที่ 19 ช่วงปลายได้มีการทำให้การวิเคราะห์มีความเป็นเลขคณิตมากขึ้นโดยไวแยร์สตราสส์ผู้ซึ่งเชื่อว่าการวิเคราะห์แบบเรขาคณิตทำให้การวิเคราะห์สับสนง่ายและพัฒนาความเข้าใจลิมิตโดยใช้(ε, δ) และทำให้เกิดพื้นฐานริเริ่มของคณิตวิเคราะห์นั่นเอง
title: คณิตวิเคราะห์

text: เหมือนกับ V1 เขตสายตา V4 มีการเลือกตัวกระตุ้นโดยแนวตั้ง โดยความถี่ในปริภูมิ และโดยสี แต่ไม่เหมือน V1 เขตสายตา V4 มีการเลือกตัวกระตุ้นโดยลักษณะที่ซับซ้อนระดับกลาง ๆ เช่นรูปร่างเชิงเรขาคณิต (เช่นมุมของสามเหลี่ยม[42]:469) แม้ว่า ยังไม่มีใครที่อธิบายการเลือกตัวกระตุ้นที่ซับซ้อนของ V4 ได้อย่างบริบูรณ์ แต่ว่า V4 ไม่มีการเลือกตัวกระตุ้นโดยรูปใบหน้าต่างจากคอร์เทกซ์บางอย่างอื่นเช่นคอร์เทกซ์ขมับด้านล่าง
title: เปลือกสมองส่วนการเห็น

text: อย่างไรก็ตาม ยังไม่มีใครค้นพบคำตอบของปัญหาข้อนี้ แต่จำนวนกราแฮมถือเป็นขอบเขตบนที่ดีที่สุดของคำตอบเท่าที่มีการค้นพบ
title: จำนวนกราแฮม

text: ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ต้นไม้คาร์ทีเซียน (อังกฤษ : ) เป็นต้นไม้ไบนารีที่ได้จากลำดับของตัวเลข มันสามารถกำหนดได้ไม่ซ้ำกันจากคุณสมบัติที่เป็น heap-ordered และการ แบบสมมาตร (ตามลำดับ) ของต้นไม้จะส่งกลับลำดับเริ่มต้น แนะนำโดย Vuillemin (1980) ในบริบทของโครงสร้างข้อมูลการค้นหาช่วงทางเรขาคณิต ต้นไม้คาร์ทีเซียนยังถูกนำมาใช้ในการนิยามโครงสร้างข้อมูล Tree Treap และ Randomized Binary Search Tree สำหรับปัญหาการค้นหาแบบไบนารี ต้นไม้คาร์ทีเซียน สำหรับลำดับอาจจะสร้างในเชิงเส้นเวลาโดยใช้ขั้นตอนวิธี stack - based สำหรับการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดใกล้ที่สุดในลำดับ
title: ต้นไม้คาร์ทีเซียน

text: นักคณิตศาสตร์ยกย่องเดการ์ตจากการค้นพบเรขาคณิตวิเคราะห์ ในยุคสมัยของเดการ์ตนั้น เรขาคณิตซึ่งศึกษาเกี่ยวกับเส้นและรูปร่าง กับพีชคณิตที่ศึกษาเกี่ยวกับตัวเลข ถูกจัดว่าเป็นสาขาย่อยของคณิตศาสตร์ที่ไม่เกี่ยวข้องกันเลย เดการ์ตส์แสดงวิธีการแปลงปัญหาในเรขาคณิตมากมาย ให้เป็นปัญหาทางพีชคณิต โดยใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนในการอธิบายปัญหา
title: เรอเน เดการ์ต

text: ปัญหาการแบ่งจัตุรัสเป็นจัตุรัส () เป็นปัญหาทางเรขาคณิต โดยให้แบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านเป็นจำนวนเต็ม ให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสย่อยที่มีความยาวด้านเป็นจำนวนเต็ม ถ้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสย่อยเหล่านั้นมีความยาวด้านแตกต่างกันทั้งหมด จะเรียกว่าเป็น "การแบ่งจัตุรัสเป็นจัตุรัสอย่างสมบูรณ์"
A. J. W. Duijvestijn ใช้คอมพิวเตอร์ในการค้นหาคำตอบของปัญหานี้ และพบคำตอบที่แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส 21 รูป และได้พิสูจน์ว่าเป็นจำนวนรูปที่น้อยที่สุดที่สามารถแบ่งได้
title: ปัญหาการแบ่งจัตุรัสเป็นจัตุรัส

text: เรขาคณิตทรงกลม เป็นเรขาคณิตสองมิติที่ศึกษาบนพื้นผิวของทรงกลม เรขาคณิตทรงกลมถือเป็นเรขาคณิตนอกแบบยุคลิด จึงมีสมบัติที่แตกต่างออกไปจากเรขาคณิตบนระนาบ เช่น ผลรวมมุมภายในในสามเหลี่ยมในเรขาคณิตทรงกลมจะเท่ากับ 180 องศา
title: เรขาคณิตทรงกลม

text: ในกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตัน, แรงโน้มถ่วงเป็นแรงภายนอกที่ส่งผ่านโดยวิธีการที่ไม่มีใครทราบ ในศตวรรษที่ 20, แบบจำลองของนิวตันก็ถูกแทนที่ด้วยสัมพัทธภาพทั่วไปที่แรงโน้มถ่วงไม่ได้เป็นแรง แต่เป็นผลมาจากรูปทรงทางเรขาคณิตของกาล-อวกาศ ภายใต้หลักสัมพัทธภาพทั่วไปนั้น แรงต้านแรงโน้มถ่วงเป็นสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ยกเว้นเสียแต่ว่าจะเกิดขึ้นภายใต้สถานการณ์ที่ได้ถูกสร้างขึ้นมา ฟิสิกส์ควอนตัมได้ตั้งสมมติฐานการดำรงอยู่ของ กราวิตอน (graviton), กลุ่มของอนุภาคมูลฐานที่ปราศจากมวลซึ่งเป็นสื่อส่งผ่านแรง, และความเป็นไปได้ของการสร้างหรือการทำลายเหล่านี้ก็ไม่มีความชัดเจน
title: แรงต้านแรงโน้มถ่วง

text: เนื่องจากต้นไม้คาร์ทีเซียนเป็นต้นไม้ไบนารีจึงเป็นเรื่องธรรมดาที่จะใช้เป็นต้นไม้ค้นหาแบบไบนารีสำหรับลำดับค่าที่เรียงลำดับ อย่างไรก็ตามการกำหนดต้นไม้คาร์ทีเซียน ตามค่าเดียวกันที่สร้างคีย์ค้นหาของต้นไม้การค้นหาแบบไบนารีไม่ทำงานได้ดี: ต้นไม้คาร์ทีเซียนของลำดับที่เรียงเป็นเพียงเส้นทางที่ฝังรากไว้ที่จุดปลายซ้ายสุดและการค้นหาแบบไบนารีในโครงสร้างนี้ degenerates การค้นหาตามลำดับในเส้นทาง อย่างไรก็ตามสามารถสร้างต้นไม้การค้นหาที่สมดุลมากขึ้นโดยการสร้างค่าลำดับความสำคัญสำหรับคีย์การค้นหาแต่ละอันที่ต่างจากคีย์เองการเรียงลำดับอินพุตตามค่าคีย์และใช้ลำดับลำดับความสำคัญที่สอดคล้องกันเพื่อสร้างต้นไม้คาร์ทีเซียน การก่อสร้างนี้อาจได้รับการพิจารณาในกรอบทางเรขาคณิตที่กล่าวไว้ข้างต้นซึ่งในพิกัด x ของชุดจุดคือคีย์การค้นหาและพิกัด y เป็นลำดับความสำคัญ
title: ต้นไม้คาร์ทีเซียน

text: โคลอมโบลงความเห็นว่า "ตั้งแต่ไม่มีใครได้มองไปถึงการทำงานเหล่านี้ ถ้าอาจจะมีชื่อของสิ่งที่ข้าค้นพบ ขอเรียกว่า ความรักหรือความงามแห่งวีนัส" คำอ้างนี้ถูกค้านโดยกาเบรียล ฟอลลอพพิโอ ผู้ค้นพบท่อนำไข่ ซึ่งเป็นศิษย์ของโคลัมโบที่พาดัว โดยอ้างว่าเขาเป็นคนแรกที่ค้นพบคลิตอริส
title: ปุ่มกระสัน

text: เนื่องจากไม่มีผู้ใดทราบถึงหลักการและเกณฑ์เลขที่ใช้ในการคำนวณ จึงเคยมีผู้สันนิษฐานว่า ตำราสุริยยาตร์และมานัตมีหลักการคำนวณวงโคจรของดาวเคราะห์ในแบบ “เอปิไซเคิล” (Epicycle) [7]คือแบบที่มีความเห็นว่าโลกเป็นศูนย์กลางของระบบสุริยจักรวาล และดาวต่างๆโคจรรอบโลก แต่เมื่อได้มีการค้นพบที่มาของเกณฑ์เลขที่ใช้ในการคำนวณ[8] ทำให้สามารถค้นพบหลักในการคำนวณของตำราสุริยยาตร์และมานัต และสามารถสร้างแบบจำลองทางเรขาคณิตและใช้กรรมวิธีตรีโกณมิติพิสูจน์ผลลัพธ์ของการคำนวณวงโคจรของดาวเคราะห์ ทั้งดาวเคราะห์ชั้นใน (Inferior Planets) และ ดาวเคราะห์วงนอก (Superior Planets) ทั้งในแบบมนทสมผุส (heliocentric system) และแบบมหาสมผุส (geocentric system) เพื่อยืนยันได้ว่า ตำราสุริยยาตร์และมานัตมีหลักการคำนวณวงโคจรของดาวเคราะห์ในแบบที่มีดาวอาทิตย์เป็นจุดศูนย์กลาง ได้ถูกต้องตามหลักการทางดาราศาสตร์
title: สุริยยาตร์และมานัต

text: รูปร่างเรขาคณิต หรือ รูปทรงเรขาคณิต คือสารสนเทศเชิงเรขาคณิตที่คงเหลืออยู่หลังจากตัดข้อมูลตำแหน่ง ขนาด การจัดวาง และการสะท้อน ออกจากการพรรณนาของวัตถุทางเรขาคณิตแล้ว หมายความว่า ไม่ว่าจะย้ายตำแหน่งรูปร่าง ขยายหรือย่อรูปร่าง หมุนรูปร่าง หรือสะท้อนรูปร่างในกระจก รูปร่างก็ยังคงเดิมเหมือนต้นฉบับ คือไม่เปลี่ยนไปเป็นรูปร่างอื่น ทั้งนี้คำว่า "รูปร่าง" หรือ "รูป" ใช้เรียกวัตถุที่ไม่เกินสองมิติ ส่วนคำว่า "รูปทรง" หรือ "ทรง" ใช้เรียกวัตถุตั้งแต่สามมิติขึ้นไป
title: รูปร่างและรูปทรงเรขาคณิต

text: ปรากฏการณ์ทัศนศาสตร์ส่วนมากสามารถอธิบายได้ด้วยการพรรณนาแม่เหล็กไฟฟ้าคลาสสิกของแสง ทว่า การพรรณนาแม่เหล็กไฟฟ้าแบบสมบูรณ์ของแสงนั้นมักนำมาใช้ได้ยากในทางปฏิบัติ ทัศนศาสตร์เชิงปฏิบัติปกติใช้แบบจำลองอย่างง่าย ทัศนศาสตร์แบบเรขาคณิต ซึ่งเป็นทัศนศาสตร์เชิงปฏิบัติที่พบบ่อยที่สุด ถือว่าแสงเป็นการรวมรังสีที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและเลี้ยวเบนเมื่อผ่านหรือสะท้อนจากพื้นผิว ทัศนศาสตร์กายภาพเป็นแบบจำลองแสงที่ครอบคลุมมากกว่า ซึ่งรวมฤทธิ์ของคลื่นอย่างการเลี้ยวเบน (diffraction) และการแทรกสอด (interference) ซึ่งไม่สามารถอธิบายได้ในทัศนศาสตร์แบบเรขาคณิต ในอดีตมีการพัฒนาแบบจำลองแสงที่ยึดรังสีเป็นหลักขึ้นก่อน ตามด้วยแบบจำลองแสงแบบคลื่น ความก้าวหน้าในทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าในคริสต์ศตวรรษที่ 19 นำมาซึ่งการค้นพบว่าคลื่นแสงแท้จริงแล้วเป็นรังสีแม่เหล็กไฟฟ้า
title: ทัศนศาสตร์

text: และจากการที่เขานำวัสดุหลายๆอย่าง และโครงสร้างเรขาคณิตมารวมกันสร้างผลงาน ถือเป็นการแสดงให้เห็นถึง ความสัมพันธ์ระหว่างมนุษย์และธรรมชาติ เขาได้ อธิบายว่า "คุณอาจกล่าวได้ว่า การทำงานของผมคือความสมดุลระหว่างรูปแบบของธรรมชาติและการกระทำตามแบบของมนุษย์ ทั้งในเรื่องของความคิด นามธรรม เช่น เส้น และวงกลม มันเป็นลักษณะของมนุษย์ที่ผมค้นพบในธรรมชาติ“
title: ริชาร์ด ลอง