English: So what we got is periodic Sturm-Liouville system, that is ϴ^(″)(θ) − λϴ(θ) = 0 for 0 ≤ θ ≤ 2π and ϴ(0) = ϴ(2π)is one periodic boundary condition and other one is So this is the periodic systems which we already know to be in self adjoint form, and just as we have seen in the video of periodic Sturm-Liouville system, the eigenvalues are basically  λ_(n) = −n², and eigen functions are ϴ_(n)(θ) = cos nθ , sin nθ  where n is running from 0, 1, 2, 3 so when you put n = 0, you cos nθ  = cos 0  = 1 and sin nθ  = sin 0  = 0 so what you affectively get is one eigenfunction for n = 0 and for remaining n equal to 1, 2, 3 onwards, you will have two eigenfunctions so these are all already complete orthogonal set of So this is what we have seen in the Sturm-Liouville theory, so the dot product or the solutions of this Sturm-Liouville system is $< \Phi,Ѱ > \ : = \ \Phi(x)\underline{Ѱ(x)}dx$ these are all real valid functions so bar does not matter, so this is the definition of the dot ordinary differential equation you will get So this is Euler Cauchy type equation that is x²Y^(″)(x) + xY^(′)(x) + cY(x) = 0.
Kannada: ಆದ್ದರಿಂದ ನಮಗೆ ಸಿಕ್ಕಿದ್ದು ಆವರ್ತಕ ಸ್ಟರ್ಮ್-ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ ಅಂದರೆ ಅದು 0 ≤ θ ≤ 2π ಗಾಗಿ ϴ^(″)(θ) − λϴ(θ) = 0 ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ϴ(0) = ϴ(2π) ಇದು ಒಂದು ಆವರ್ತಕ ಬೌಂಡರಿ ಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ϴ^(′)(0) = ϴ^(′)(2π) ಆಗಿದೆ. eigenfunctions. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಸೆಲ್ಫ್ ಅಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ (self adjoint) ರೂಪದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಆವರ್ತಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಆವರ್ತಕ ಸ್ಟರ್ಮ್-ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ (Sturm-Liouville) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವೀಡಿಯೊದಲ್ಲಿ ನೋಡಿದಂತೆ, ಐಗನ್-ವ್ಯಾಲ್ಯೂಗಳು (eigenvalues) ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ   λ_(n) = −n² ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಐಗನ್-ಫಂಕ್ಷನ್ ಗಳು(eigen functions) ϴ_(n)(θ) = cos nθ , sin nθ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಅಲ್ಲಿ n 0, 1, 2, 3 ರಿಂದ ಚಾಲನೆಯಲ್ಲಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು n = 0 ಎಂದು ಹಾಕಿದಾಗ cos nθ  = cos 0  = 1 ಮತ್ತು sin nθ  = sin 0  = 0 ಆಗುತ್ತದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ n = 0 ಗೆ ನೀವು ಒಂದು ಐಗನ್-ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಉಳಿದ n 1, 2, 3 ಗೆ ನೀವು ಎರಡು ಐಗನ್-ಫಂಕ್ಷನ್ ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇವೆಲ್ಲವೂ ಈಗಾಗಲೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸೆಟ್ ನ (orthogonal set) ಐಗನ್-ಫಂಕ್ಷನ್ ಗಳಾಗಿವೆ.