English: So, this is the Fourier series, the right hand side is the Fourier series of the given function f and it will converge to this So, the function was piecewise continuous, so it may not be continuous at a given point x in the interval, but what result we have that it will converge to this average value $\frac{f(x + ) + f(x - )}{2}$ where f(x+) is the right hand limit of f at x and f(x−) is the left hand limit of f at x, these are just the limiting values, not the derivative, and remember that these limits exist because we are talking about the piecewise continuous function and for piecewise continuous function, these limits will definitely exist.
Kannada: ಫಂಕ್ಷನ್(function) ತುಂಡುತುಂಡಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ x ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರದೇ ಇರಬಹುದು, ಆದರೆ ನಾವು ಯಾವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದರೆ ಅದು ಈ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ $\frac{f(x + ) + f(x - )}{2}$ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಇಲ್ಲಿ f(x+) ಎಂಬುದು x ನಲ್ಲಿ f ನ ಬಲಗೈ ಮಿತಿ ಮತ್ತು f(x−), x ನಲ್ಲಿ f ನ ಎಡಗೈ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ, ಇವು ಕೇವಲ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಉತ್ಪನ್ನವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಈ ಮಿತಿಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ತುಂಡುತುಂಡಾಗಿ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವಾಗ ಮತ್ತು ತುಂಡುತುಂಡಾಗಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಈ ಮಿತಿಗಳು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.