English: Now, if x(0) denote the initial state at t = 0; then φ(t) is also defined by the matrix equation and you can write, So, state transition matrix is nothing but the matrix which correlates any the states at time t = 0 to any state of time t. So, this equation which you have got x(t) = φ(t)x(0) is the solution of homogeneous state equation.
Kannada: x(t) = φ(t)x(0) sX(s) − x(0) = AX(s) ಹೀಗಾಗಿ, ಸ್ಥಿತಿ ಪರಿವರ್ತನಾ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿತಿ t = 0 ಸಮಯದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಮಯ t ಯನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸ್ಥಿತಿ ಪರಿವರ್ತನಾ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.