1337xyz1337xyz/leandojo-benchmark4-v10 huggingface dataset:
Theorem: CPolynomialOn.fderiv
File: Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean

tactic: intro y hy
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
s : Set E
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
⊢ CPolynomialOn 𝕜 (_root_.fderiv 𝕜 f) s
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
s : Set E
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
y : E
hy : y ∈ s
⊢ CPolynomialAt 𝕜 (_root_.fderiv 𝕜 f) y

tactic: rcases h y hy with ⟨p, r, n, hp⟩
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
s : Set E
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
y : E
hy : y ∈ s
⊢ CPolynomialAt 𝕜 (_root_.fderiv 𝕜 f) y
state_after: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0∞
n✝ : ℕ
f : E → F
x : E
s : Set E
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
y : E
hy : y ∈ s
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℕ
n : ℝ≥0∞
hp : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p y r n
⊢ CPolynomialAt 𝕜 (_root_.fderiv 𝕜 f) y

tactic: exact hp.fderiv'.cPolynomialAt
state_before: case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0∞
n✝ : ℕ
f : E → F
x : E
s : Set E
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
y : E
hy : y ∈ s
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℕ
n : ℝ≥0∞
hp : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p y r n
⊢ CPolynomialAt 𝕜 (_root_.fderiv 𝕜 f) y
state_after: no goals
Theorem: Function.iterate_add_eq_iterate
File: Mathlib/Logic/Function/Iterate.lean

tactic: rw [← iterate_add_apply, Nat.add_comm]
state_before: α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n : ℕ
a : α
hf : Injective f
⊢ f^[m + n] a = f^[n] a ↔ f^[n] (f^[m] a) = f^[n] a
state_after: no goals
Theorem: pow_lt_one
File: Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean

tactic: rw [pow_succ']
state_before: α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m : ℕ
h₀ : 0 ≤ a
h₁ : a < 1
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0
⊢ a ^ (n + 1) < 1
state_after: α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m : ℕ
h₀ : 0 ≤ a
h₁ : a < 1
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0
⊢ a * a ^ n < 1

tactic: exact mul_lt_one_of_nonneg_of_lt_one_left h₀ h₁ (pow_le_one _ h₀ h₁.le)
state_before: α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m : ℕ
h₀ : 0 ≤ a
h₁ : a < 1
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0
⊢ a * a ^ n < 1
state_after: no goals
Theorem: biSup_sigma
File: Mathlib/Data/Set/Sigma.lean

tactic: simp_all
state_before: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i j : ι
a : α i
β : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
f : Sigma α → β
x✝ : β
⊢ ⨆ ij ∈ s.sigma t, f ij ≤ x✝ → ⨆ i ∈ s, ⨆ j ∈ t i, f ⟨i, j⟩ ≤ x✝
state_after: no goals

tactic: simp_all
state_before: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i j : ι
a : α i
β : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
f : Sigma α → β
x✝ : β
⊢ ⨆ i ∈ s, ⨆ j ∈ t i, f ⟨i, j⟩ ≤ x✝ → ⨆ ij ∈ s.sigma t, f ij ≤ x✝
state_after: no goals
Theorem: segment_eq_image'
File: Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean

tactic: convert segment_eq_image 𝕜 x y using 2
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
⊢ [x-[𝕜]y] = (fun θ => x + θ • (y - x)) '' Icc 0 1
state_after: case h.e'_3.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
a✝¹ : 𝕜
a✝ : a✝¹ ∈ Icc 0 1
⊢ x + a✝¹ • (y - x) = (1 - a✝¹) • x + a✝¹ • y

tactic: simp only [smul_sub, sub_smul, one_smul]
state_before: case h.e'_3.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
a✝¹ : 𝕜
a✝ : a✝¹ ∈ Icc 0 1
⊢ x + a✝¹ • (y - x) = (1 - a✝¹) • x + a✝¹ • y
state_after: case h.e'_3.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
a✝¹ : 𝕜
a✝ : a✝¹ ∈ Icc 0 1
⊢ x + (a✝¹ • y - a✝¹ • x) = x - a✝¹ • x + a✝¹ • y

tactic: abel
state_before: case h.e'_3.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
a✝¹ : 𝕜
a✝ : a✝¹ ∈ Icc 0 1
⊢ x + (a✝¹ • y - a✝¹ • x) = x - a✝¹ • x + a✝¹ • y
state_after: no goals
Theorem: Coplanar.finiteDimensional_vectorSpan
File: Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean

tactic: refine IsNoetherian.iff_fg.1 (IsNoetherian.iff_rank_lt_aleph0.2 (lt_of_le_of_lt h ?_))
state_before: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Coplanar k s
⊢ FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
state_after: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Coplanar k s
⊢ 2 < Cardinal.aleph0

tactic: exact Cardinal.lt_aleph0.2 ⟨2, rfl⟩
state_before: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Coplanar k s
⊢ 2 < Cardinal.aleph0
state_after: no goals
Theorem: MeasureTheory.Measure.restrict_apply'
File: Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean

tactic: rw [← toOuterMeasure_apply,
  Measure.restrict_toOuterMeasure_eq_toOuterMeasure_restrict hs,
  OuterMeasure.restrict_apply s t _, toOuterMeasure_apply]
state_before: R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ (μ.restrict s) t = μ (t ∩ s)
state_after: no goals
Theorem: Cycle.isCycle_formPerm
File: Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean

tactic: induction s using Quot.inductionOn
state_before: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' s : Cycle α
h : s.Nodup
hn : s.Nontrivial
⊢ (s.formPerm h).IsCycle
state_after: case h
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
a✝ : List α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r a✝)
hn : Nontrivial (Quot.mk Setoid.r a✝)
⊢ (formPerm (Quot.mk Setoid.r a✝) h).IsCycle

tactic: exact List.isCycle_formPerm h (length_nontrivial hn)
state_before: case h
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
a✝ : List α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r a✝)
hn : Nontrivial (Quot.mk Setoid.r a✝)
⊢ (formPerm (Quot.mk Setoid.r a✝) h).IsCycle
state_after: no goals
Theorem: Nat.mem_divisors_prime_pow
File: Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean

tactic: rw [mem_divisors, Nat.dvd_prime_pow pp, and_iff_left (ne_of_gt (pow_pos pp.pos k))]
state_before: n p : ℕ
pp : Prime p
k x : ℕ
⊢ x ∈ (p ^ k).divisors ↔ ∃ j ≤ k, x = p ^ j
state_after: no goals
Theorem: StarSubalgebra.coe_iInf
File: Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean

tactic: simp [iInf]
state_before: F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
ι : Sort u_5
S : ι → StarSubalgebra R A
⊢ ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
state_after: no goals
Theorem: multiplicity.neg
File: Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean

tactic: simp only [multiplicity, PartENat.find, dvd_neg]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
⊢ (multiplicity a (-b)).Dom ↔ (multiplicity a b).Dom
state_after: no goals

tactic: rw [PartENat.natCast_get]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
h₁ : (multiplicity a (-b)).Dom
h₂ : (multiplicity a b).Dom
⊢ ↑((multiplicity a (-b)).get h₁) = ↑((multiplicity a b).get h₂)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
h₁ : (multiplicity a (-b)).Dom
h₂ : (multiplicity a b).Dom
⊢ multiplicity a (-b) = ↑((multiplicity a b).get h₂)

tactic: exact Eq.symm
        (unique (pow_multiplicity_dvd _).neg_right
          (mt dvd_neg.1 (is_greatest' _ (lt_succ_self _))))
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
h₁ : (multiplicity a (-b)).Dom
h₂ : (multiplicity a b).Dom
⊢ multiplicity a (-b) = ↑((multiplicity a b).get h₂)
state_after: no goals
Theorem: CategoryTheory.IsPushout.of_map_of_faithful
File: Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/CommSq.lean

tactic: simpa only [F.map_comp] using H.w
state_before: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ReflectsColimit (span f g) F
inst✝ : F.Faithful
H : IsPushout (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
⊢ F.map (f ≫ h) = F.map (g ≫ i)
state_after: no goals
Theorem: integrableOn_Ico_iff_integrableOn_Ioo
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean

tactic: rw [measure_singleton]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : Measure α
a b : α
inst✝ : NoAtoms μ
⊢ μ {a} ≠ ⊤
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : Measure α
a b : α
inst✝ : NoAtoms μ
⊢ 0 ≠ ⊤

tactic: exact ENNReal.zero_ne_top
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : Measure α
a b : α
inst✝ : NoAtoms μ
⊢ 0 ≠ ⊤
state_after: no goals
Theorem: Fin.cons_injective_iff
File: Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean

tactic: refine ⟨fun h ↦ ⟨?_, ?_⟩, fun h ↦ cons_injective_of_injective h.1 h.2⟩
state_before: m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
x₀ : α
x : Fin n → α
⊢ Injective (cons x₀ x) ↔ x₀ ∉ Set.range x ∧ Injective x
state_after: case refine_1
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
x₀ : α
x : Fin n → α
h : Injective (cons x₀ x)
⊢ x₀ ∉ Set.range x

case refine_2
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
x₀ : α
x : Fin n → α
h : Injective (cons x₀ x)
⊢ Injective x

tactic: rintro ⟨i, hi⟩
state_before: case refine_1
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
x₀ : α
x : Fin n → α
h : Injective (cons x₀ x)
⊢ x₀ ∉ Set.range x
state_after: case refine_1.intro
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
x₀ : α
x : Fin n → α
h : Injective (cons x₀ x)
i : Fin n
hi : x i = x₀
⊢ False

tactic: replace h := @h i.succ 0
state_before: case refine_1.intro
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
x₀ : α
x : Fin n → α
h : Injective (cons x₀ x)
i : Fin n
hi : x i = x₀
⊢ False
state_after: case refine_1.intro
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
x₀ : α
x : Fin n → α
i : Fin n
hi : x i = x₀
h : cons x₀ x i.succ = cons x₀ x 0 → i.succ = 0
⊢ False

tactic: simp [hi, succ_ne_zero] at h
state_before: case refine_1.intro
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
x₀ : α
x : Fin n → α
i : Fin n
hi : x i = x₀
h : cons x₀ x i.succ = cons x₀ x 0 → i.succ = 0
⊢ False
state_after: no goals

tactic: simpa [Function.comp] using h.comp (Fin.succ_injective _)
state_before: case refine_2
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
x₀ : α
x : Fin n → α
h : Injective (cons x₀ x)
⊢ Injective x
state_after: no goals
Theorem: card_derangements_eq_numDerangements
File: Mathlib/Combinatorics/Derangements/Finite.lean

tactic: rw [← card_derangements_invariant (card_fin _)]
state_before: α✝ : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α✝
inst✝² : Fintype α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ card ↑(derangements α) = numDerangements (card α)
state_after: α✝ : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α✝
inst✝² : Fintype α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ card ↑(derangements (Fin (card α))) = numDerangements (card α)

tactic: exact card_derangements_fin_eq_numDerangements
state_before: α✝ : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α✝
inst✝² : Fintype α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ card ↑(derangements (Fin (card α))) = numDerangements (card α)
state_after: no goals
Theorem: CategoryTheory.tensorRightHomEquiv_symm_naturality
File: Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean

tactic: simp [tensorRightHomEquiv]
state_before: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X X' Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : X ⟶ X'
g : X' ⟶ Z ⊗ Y'
⊢ (tensorRightHomEquiv X Y Y' Z).symm (f ≫ g) = f ▷ Y ≫ (tensorRightHomEquiv X' Y Y' Z).symm g
state_after: no goals
Theorem: exists_mem_Ioc_zpow
File: Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean

tactic: rwa [zpow_neg, inv_lt (zpow_pos_of_pos hyp _) hx]
state_before: α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : 1 < y
m : ℤ
hle : y ^ m ≤ x⁻¹
hlt : x⁻¹ < y ^ (m + 1)
hyp : 0 < y
⊢ y ^ (-(m + 1)) < x
state_after: no goals

tactic: rwa [neg_add, neg_add_cancel_right, zpow_neg, le_inv hx (zpow_pos_of_pos hyp _)]
state_before: α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : 1 < y
m : ℤ
hle : y ^ m ≤ x⁻¹
hlt : x⁻¹ < y ^ (m + 1)
hyp : 0 < y
⊢ x ≤ y ^ (-(m + 1) + 1)
state_after: no goals
Theorem: Profinite.finiteCoproduct.ι_desc_apply
File: Mathlib/Topology/Category/Profinite/Limits.lean

tactic: intro x
state_before: α : Type w
inst✝ : Finite α
X : α → Profinite
B : Profinite
π : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
⊢ ∀ (x : (forget Profinite).obj (X a)), (desc X π) ((ι X a) x) = (π a) x
state_after: α : Type w
inst✝ : Finite α
X : α → Profinite
B : Profinite
π : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
x : (forget Profinite).obj (X a)
⊢ (desc X π) ((ι X a) x) = (π a) x

tactic: change (ι X a ≫ desc X π) _ = _
state_before: α : Type w
inst✝ : Finite α
X : α → Profinite
B : Profinite
π : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
x : (forget Profinite).obj (X a)
⊢ (desc X π) ((ι X a) x) = (π a) x
state_after: α : Type w
inst✝ : Finite α
X : α → Profinite
B : Profinite
π : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
x : (forget Profinite).obj (X a)
⊢ (ι X a ≫ desc X π) x = (π a) x

tactic: simp only [ι_desc]
state_before: α : Type w
inst✝ : Finite α
X : α → Profinite
B : Profinite
π : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
x : (forget Profinite).obj (X a)
⊢ (ι X a ≫ desc X π) x = (π a) x
state_after: no goals
Theorem: MeasureTheory.UniformIntegrable.ae_eq
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean

tactic: obtain ⟨hfm, hunif, C, hC⟩ := hf
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f g : ι → α → β
hf : UniformIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
⊢ UniformIntegrable g p μ
state_after: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f g : ι → α → β
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
hfm : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hunif : UnifIntegrable f p μ
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), snorm (f i) p μ ≤ ↑C
⊢ UniformIntegrable g p μ

tactic: refine ⟨fun i => (hfm i).congr (hfg i), (unifIntegrable_congr_ae hfg).1 hunif, C, fun i => ?_⟩
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f g : ι → α → β
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
hfm : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hunif : UnifIntegrable f p μ
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), snorm (f i) p μ ≤ ↑C
⊢ UniformIntegrable g p μ
state_after: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f g : ι → α → β
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
hfm : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hunif : UnifIntegrable f p μ
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), snorm (f i) p μ ≤ ↑C
i : ι
⊢ snorm (g i) p μ ≤ ↑C

tactic: rw [← snorm_congr_ae (hfg i)]
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f g : ι → α → β
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
hfm : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hunif : UnifIntegrable f p μ
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), snorm (f i) p μ ≤ ↑C
i : ι
⊢ snorm (g i) p μ ≤ ↑C
state_after: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f g : ι → α → β
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
hfm : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hunif : UnifIntegrable f p μ
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), snorm (f i) p μ ≤ ↑C
i : ι
⊢ snorm (f i) p μ ≤ ↑C

tactic: exact hC i
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f g : ι → α → β
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
hfm : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hunif : UnifIntegrable f p μ
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), snorm (f i) p μ ≤ ↑C
i : ι
⊢ snorm (f i) p μ ≤ ↑C
state_after: no goals
Theorem: Filter.rmap_rmap
File: Mathlib/Order/Filter/Partial.lean

tactic: simp [rmap_sets, Set.preimage, Rel.core_comp]
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
s : Rel β γ
l : Filter α
⊢ (rmap s (rmap r l)).sets = (rmap (r.comp s) l).sets
state_after: no goals
Theorem: isOpenMap_inl
File: Mathlib/Topology/Constructions.lean

tactic: simpa [isOpen_sum_iff, preimage_image_eq u Sum.inl_injective]
state_before: X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
u : Set X
hu : IsOpen u
⊢ IsOpen (inl '' u)
state_after: no goals
Theorem: Int.negOnePow_odd
File: Mathlib/Algebra/Ring/NegOnePow.lean

tactic: obtain ⟨k, rfl⟩ := hn
state_before: n : ℤ
hn : Odd n
⊢ n.negOnePow = -1
state_after: case intro
k : ℤ
⊢ (2 * k + 1).negOnePow = -1

tactic: simp only [negOnePow_add, negOnePow_two_mul, negOnePow_one, mul_neg, mul_one]
state_before: case intro
k : ℤ
⊢ (2 * k + 1).negOnePow = -1
state_after: no goals
Theorem: ProbabilityTheory.kernel.rnDerivAux_nonneg
File: Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean

tactic: rw [rnDerivAux]
state_before: α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : ↥(kernel α γ)
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
hκη : κ ≤ η
a : α
x : γ
⊢ 0 ≤ rnDerivAux κ η a x
state_after: α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : ↥(kernel α γ)
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
hκη : κ ≤ η
a : α
x : γ
⊢ 0 ≤ if hα : Countable α then ((∂κ a/∂η a) x).toReal else density (map κ (fun a => (a, ())) ⋯) η a x univ

tactic: split_ifs with hα
state_before: α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : ↥(kernel α γ)
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
hκη : κ ≤ η
a : α
x : γ
⊢ 0 ≤ if hα : Countable α then ((∂κ a/∂η a) x).toReal else density (map κ (fun a => (a, ())) ⋯) η a x univ
state_after: case pos
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : ↥(kernel α γ)
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
hκη : κ ≤ η
a : α
x : γ
hα : Countable α
⊢ 0 ≤ ((∂κ a/∂η a) x).toReal

case neg
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : ↥(kernel α γ)
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
hκη : κ ≤ η
a : α
x : γ
hα : ¬Countable α
⊢ 0 ≤ density (map κ (fun a => (a, ())) ⋯) η a x univ

tactic: exact ENNReal.toReal_nonneg
state_before: case pos
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : ↥(kernel α γ)
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
hκη : κ ≤ η
a : α
x : γ
hα : Countable α
⊢ 0 ≤ ((∂κ a/∂η a) x).toReal
state_after: no goals

tactic: have := hαγ.countableOrCountablyGenerated.resolve_left hα
state_before: case neg
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : ↥(kernel α γ)
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
hκη : κ ≤ η
a : α
x : γ
hα : ¬Countable α
⊢ 0 ≤ density (map κ (fun a => (a, ())) ⋯) η a x univ
state_after: case neg
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : ↥(kernel α γ)
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
hκη : κ ≤ η
a : α
x : γ
hα : ¬Countable α
this : MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
⊢ 0 ≤ density (map κ (fun a => (a, ())) ⋯) η a x univ

tactic: exact density_nonneg ((fst_map_id_prod _ measurable_const).trans_le hκη) _ _ _
state_before: case neg
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : ↥(kernel α γ)
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
hκη : κ ≤ η
a : α
x : γ
hα : ¬Countable α
this : MeasurableSpace.CountablyGenerated γ
⊢ 0 ≤ density (map κ (fun a => (a, ())) ⋯) η a x univ
state_after: no goals
Theorem: TopologicalSpace.Opens.mem_iSup
File: Mathlib/Topology/Sets/Opens.lean

tactic: rw [← SetLike.mem_coe]
state_before: ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
ι : Sort u_5
x : α
s : ι → Opens α
⊢ x ∈ iSup s ↔ ∃ i, x ∈ s i
state_after: ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
ι : Sort u_5
x : α
s : ι → Opens α
⊢ x ∈ ↑(iSup s) ↔ ∃ i, x ∈ s i

tactic: simp
state_before: ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
ι : Sort u_5
x : α
s : ι → Opens α
⊢ x ∈ ↑(iSup s) ↔ ∃ i, x ∈ s i
state_after: no goals