Theorem: LinearPMap.graph_map_fst_eq_domain
File: Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean

tactic: ext x
state_before: R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
⊢ Submodule.map (LinearMap.fst R E F) f.graph = f.domain
state_after: case h
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
x : E
⊢ x ∈ Submodule.map (LinearMap.fst R E F) f.graph ↔ x ∈ f.domain

tactic: simp only [Submodule.mem_map, mem_graph_iff, Subtype.exists, exists_and_left, exists_eq_left,
  LinearMap.fst_apply, Prod.exists, exists_and_right, exists_eq_right]
state_before: case h
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
x : E
⊢ x ∈ Submodule.map (LinearMap.fst R E F) f.graph ↔ x ∈ f.domain
state_after: case h
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
x : E
⊢ (∃ x_1, ∃ (h : x ∈ f.domain), ↑f ⟨x, ⋯⟩ = x_1) ↔ x ∈ f.domain

tactic: constructor <;> intro h
state_before: case h
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
x : E
⊢ (∃ x_1, ∃ (h : x ∈ f.domain), ↑f ⟨x, ⋯⟩ = x_1) ↔ x ∈ f.domain
state_after: case h.mp
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
x : E
h : ∃ x_1, ∃ (h : x ∈ f.domain), ↑f ⟨x, ⋯⟩ = x_1
⊢ x ∈ f.domain

case h.mpr
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
x : E
h : x ∈ f.domain
⊢ ∃ x_1, ∃ (h : x ∈ f.domain), ↑f ⟨x, ⋯⟩ = x_1

tactic: rcases h with ⟨x, hx, _⟩
state_before: case h.mp
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
x : E
h : ∃ x_1, ∃ (h : x ∈ f.domain), ↑f ⟨x, ⋯⟩ = x_1
⊢ x ∈ f.domain
state_after: case h.mp.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
x✝ : E
x : F
hx : x✝ ∈ f.domain
h✝ : ↑f ⟨x✝, ⋯⟩ = x
⊢ x✝ ∈ f.domain

tactic: exact hx
state_before: case h.mp.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
x✝ : E
x : F
hx : x✝ ∈ f.domain
h✝ : ↑f ⟨x✝, ⋯⟩ = x
⊢ x✝ ∈ f.domain
state_after: no goals

tactic: use f ⟨x, h⟩
state_before: case h.mpr
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
x : E
h : x ∈ f.domain
⊢ ∃ x_1, ∃ (h : x ∈ f.domain), ↑f ⟨x, ⋯⟩ = x_1
state_after: case h
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
x : E
h : x ∈ f.domain
⊢ ∃ (h_1 : x ∈ f.domain), ↑f ⟨x, ⋯⟩ = ↑f ⟨x, h⟩

tactic: simp only [h, exists_const]
state_before: case h
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
x : E
h : x ∈ f.domain
⊢ ∃ (h_1 : x ∈ f.domain), ↑f ⟨x, ⋯⟩ = ↑f ⟨x, h⟩
state_after: no goals