Theorem: MulChar.IsQuadratic.inv
File: Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean

tactic: ext x
state_before: R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
⊢ χ⁻¹ = χ
state_after: case h
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
⊢ χ⁻¹ ↑x = χ ↑x

tactic: rw [inv_apply_eq_inv]
state_before: case h
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
⊢ χ⁻¹ ↑x = χ ↑x
state_after: case h
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
⊢ Ring.inverse (χ ↑x) = χ ↑x

tactic: rcases hχ x with (h₀ | h₁ | h₂)
state_before: case h
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
⊢ Ring.inverse (χ ↑x) = χ ↑x
state_after: case h.inl
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
h₀ : χ ↑x = 0
⊢ Ring.inverse (χ ↑x) = χ ↑x

case h.inr.inl
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
h₁ : χ ↑x = 1
⊢ Ring.inverse (χ ↑x) = χ ↑x

case h.inr.inr
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
h₂ : χ ↑x = -1
⊢ Ring.inverse (χ ↑x) = χ ↑x

tactic: rw [h₀, Ring.inverse_zero]
state_before: case h.inl
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
h₀ : χ ↑x = 0
⊢ Ring.inverse (χ ↑x) = χ ↑x
state_after: no goals

tactic: rw [h₁, Ring.inverse_one]
state_before: case h.inr.inl
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
h₁ : χ ↑x = 1
⊢ Ring.inverse (χ ↑x) = χ ↑x
state_after: no goals

tactic: have : (-1 : R') = (-1 : R'ˣ) := by rw [Units.val_neg, Units.val_one]
state_before: case h.inr.inr
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
h₂ : χ ↑x = -1
⊢ Ring.inverse (χ ↑x) = χ ↑x
state_after: case h.inr.inr
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
h₂ : χ ↑x = -1
this : -1 = ↑(-1)
⊢ Ring.inverse (χ ↑x) = χ ↑x

tactic: rw [h₂, this, Ring.inverse_unit (-1 : R'ˣ)]
state_before: case h.inr.inr
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
h₂ : χ ↑x = -1
this : -1 = ↑(-1)
⊢ Ring.inverse (χ ↑x) = χ ↑x
state_after: case h.inr.inr
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
h₂ : χ ↑x = -1
this : -1 = ↑(-1)
⊢ ↑(-1)⁻¹ = ↑(-1)

tactic: rfl
state_before: case h.inr.inr
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
h₂ : χ ↑x = -1
this : -1 = ↑(-1)
⊢ ↑(-1)⁻¹ = ↑(-1)
state_after: no goals

tactic: rw [Units.val_neg, Units.val_one]
state_before: R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
h₂ : χ ↑x = -1
⊢ -1 = ↑(-1)
state_after: no goals