Theorem: LieIdeal.derivedSeries_eq_derivedSeriesOfIdeal_comap
File: Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean

tactic: induction' k with k ih
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k : ℕ
⊢ derivedSeries R (↥↑I) k = comap I.incl (derivedSeriesOfIdeal R L k I)
state_after: case zero
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
⊢ derivedSeries R (↥↑I) 0 = comap I.incl (derivedSeriesOfIdeal R L 0 I)

case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k : ℕ
ih : derivedSeries R (↥↑I) k = comap I.incl (derivedSeriesOfIdeal R L k I)
⊢ derivedSeries R (↥↑I) (k + 1) = comap I.incl (derivedSeriesOfIdeal R L (k + 1) I)

tactic: simp only [Nat.zero_eq, derivedSeries_def, comap_incl_self, derivedSeriesOfIdeal_zero]
state_before: case zero
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
⊢ derivedSeries R (↥↑I) 0 = comap I.incl (derivedSeriesOfIdeal R L 0 I)
state_after: no goals

tactic: simp only [derivedSeries_def, derivedSeriesOfIdeal_succ] at ih ⊢
state_before: case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k : ℕ
ih : derivedSeries R (↥↑I) k = comap I.incl (derivedSeriesOfIdeal R L k I)
⊢ derivedSeries R (↥↑I) (k + 1) = comap I.incl (derivedSeriesOfIdeal R L (k + 1) I)
state_after: case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k : ℕ
ih : derivedSeriesOfIdeal R (↥↑I) k ⊤ = comap I.incl (derivedSeriesOfIdeal R L k I)
⊢ ⁅derivedSeriesOfIdeal R (↥↑I) k ⊤, derivedSeriesOfIdeal R (↥↑I) k ⊤⁆ =
    comap I.incl ⁅derivedSeriesOfIdeal R L k I, derivedSeriesOfIdeal R L k I⁆

tactic: rw [ih]
state_before: case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k : ℕ
ih : derivedSeriesOfIdeal R (↥↑I) k ⊤ = comap I.incl (derivedSeriesOfIdeal R L k I)
⊢ ⁅derivedSeriesOfIdeal R (↥↑I) k ⊤, derivedSeriesOfIdeal R (↥↑I) k ⊤⁆ =
    comap I.incl ⁅derivedSeriesOfIdeal R L k I, derivedSeriesOfIdeal R L k I⁆
state_after: case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k : ℕ
ih : derivedSeriesOfIdeal R (↥↑I) k ⊤ = comap I.incl (derivedSeriesOfIdeal R L k I)
⊢ ⁅comap I.incl (derivedSeriesOfIdeal R L k I), comap I.incl (derivedSeriesOfIdeal R L k I)⁆ =
    comap I.incl ⁅derivedSeriesOfIdeal R L k I, derivedSeriesOfIdeal R L k I⁆

tactic: exact comap_bracket_incl_of_le I
  (derivedSeriesOfIdeal_le_self I k) (derivedSeriesOfIdeal_le_self I k)
state_before: case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k : ℕ
ih : derivedSeriesOfIdeal R (↥↑I) k ⊤ = comap I.incl (derivedSeriesOfIdeal R L k I)
⊢ ⁅comap I.incl (derivedSeriesOfIdeal R L k I), comap I.incl (derivedSeriesOfIdeal R L k I)⁆ =
    comap I.incl ⁅derivedSeriesOfIdeal R L k I, derivedSeriesOfIdeal R L k I⁆
state_after: no goals