Theorem: AnalyticOn.iteratedFDeriv
File: Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean

tactic: induction' n with n IH
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
n : ℕ
⊢ AnalyticOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
state_after: case zero
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 0 f) s

case succ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
n : ℕ
IH : AnalyticOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f) s

tactic: rw [iteratedFDeriv_zero_eq_comp]
state_before: case zero
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 0 f) s
state_after: case zero
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (⇑(continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm ∘ f) s

tactic: exact ((continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm : F →L[𝕜] E[×0]→L[𝕜] F).comp_analyticOn h
state_before: case zero
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (⇑(continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm ∘ f) s
state_after: no goals

tactic: rw [iteratedFDeriv_succ_eq_comp_left]
state_before: case succ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
n : ℕ
IH : AnalyticOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f) s
state_after: case succ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
n : ℕ
IH : AnalyticOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) ∘ _root_.fderiv 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f))
    s

tactic: convert ContinuousLinearMap.comp_analyticOn ?g IH.fderiv
state_before: case succ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
n : ℕ
IH : AnalyticOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) ∘ _root_.fderiv 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f))
    s
state_after: case h.e.h.e'_9.h.e'_4
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
n : ℕ
IH : AnalyticOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
⊢ ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) = ⇑?g

case g
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
n : ℕ
IH : AnalyticOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
⊢ (E →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F

tactic: case g => exact ↑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun _ : Fin (n + 1) ↦ E) F)
state_before: case h.e.h.e'_9.h.e'_4
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
n : ℕ
IH : AnalyticOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
⊢ ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) = ⇑?g

case g
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
n : ℕ
IH : AnalyticOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
⊢ (E →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F
state_after: case h.e.h.e'_9.h.e'_4
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
n : ℕ
IH : AnalyticOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
⊢ ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) =
    ⇑↑{ toLinearEquiv := (continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯,
          continuous_invFun := ⋯ }

tactic: simp
state_before: case h.e.h.e'_9.h.e'_4
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
n : ℕ
IH : AnalyticOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
⊢ ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) =
    ⇑↑{ toLinearEquiv := (continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯,
          continuous_invFun := ⋯ }
state_after: no goals

tactic: exact ↑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun _ : Fin (n + 1) ↦ E) F)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
n : ℕ
IH : AnalyticOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
⊢ (E →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F
state_after: no goals