Theorem: NumberField.Units.dirichletUnitTheorem.seq_next
File: Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean

tactic: have hx' := RingOfIntegers.coe_ne_zero_iff.mpr hx
state_before: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ y, y ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → w ↑y < w ↑x) ∧ |(Algebra.norm ℚ) ↑y| ≤ ↑B
state_after: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
⊢ ∃ y, y ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → w ↑y < w ↑x) ∧ |(Algebra.norm ℚ) ↑y| ≤ ↑B

tactic: let f : InfinitePlace K → ℝ≥0 :=
  fun w => ⟨(w x) / 2, div_nonneg (AbsoluteValue.nonneg _ _) (by norm_num)⟩
state_before: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
⊢ ∃ y, y ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → w ↑y < w ↑x) ∧ |(Algebra.norm ℚ) ↑y| ≤ ↑B
state_after: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
⊢ ∃ y, y ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → w ↑y < w ↑x) ∧ |(Algebra.norm ℚ) ↑y| ≤ ↑B

tactic: intro _ _
state_before: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
⊢ ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
state_after: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
w✝ : InfinitePlace K
a✝ : w✝ ≠ w₁
⊢ f w✝ ≠ 0

tactic: rw [ne_eq, Nonneg.mk_eq_zero, div_eq_zero_iff, map_eq_zero, not_or]
state_before: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
w✝ : InfinitePlace K
a✝ : w✝ ≠ w₁
⊢ f w✝ ≠ 0
state_after: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
w✝ : InfinitePlace K
a✝ : w✝ ≠ w₁
⊢ ¬↑x = 0 ∧ ¬2 = 0

tactic: exact ⟨hx', by norm_num⟩
state_before: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
w✝ : InfinitePlace K
a✝ : w✝ ≠ w₁
⊢ ¬↑x = 0 ∧ ¬2 = 0
state_after: no goals

tactic: norm_num
state_before: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
w : InfinitePlace K
⊢ 0 ≤ 2
state_after: no goals

tactic: obtain ⟨g, h_geqf, h_gprod⟩ := adjust_f K B this
state_before: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
⊢ ∃ y, y ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → w ↑y < w ↑x) ∧ |(Algebra.norm ℚ) ↑y| ≤ ↑B
state_after: case intro.intro
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
⊢ ∃ y, y ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → w ↑y < w ↑x) ∧ |(Algebra.norm ℚ) ↑y| ≤ ↑B

tactic: obtain ⟨y, h_ynz, h_yle⟩ := exists_ne_zero_mem_ringOfIntegers_lt (f := g)
  (by rw [convexBodyLT_volume]; convert hB; exact congr_arg ((↑): NNReal → ENNReal) h_gprod)
state_before: case intro.intro
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
⊢ ∃ y, y ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → w ↑y < w ↑x) ∧ |(Algebra.norm ℚ) ↑y| ≤ ↑B
state_after: case intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
y : 𝓞 K
h_ynz : y ≠ 0
h_yle : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑y < ↑(g w)
⊢ ∃ y, y ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → w ↑y < w ↑x) ∧ |(Algebra.norm ℚ) ↑y| ≤ ↑B

tactic: refine ⟨y, h_ynz, fun w hw => (h_geqf w hw ▸ h_yle w).trans ?_, ?_⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
y : 𝓞 K
h_ynz : y ≠ 0
h_yle : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑y < ↑(g w)
⊢ ∃ y, y ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → w ↑y < w ↑x) ∧ |(Algebra.norm ℚ) ↑y| ≤ ↑B
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_1
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
y : 𝓞 K
h_ynz : y ≠ 0
h_yle : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑y < ↑(g w)
⊢ |(Algebra.norm ℚ) ↑y| ≤ ↑B

case intro.intro.intro.intro.refine_2
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
y : 𝓞 K
h_ynz : y ≠ 0
h_yle : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑y < ↑(g w)
w : InfinitePlace K
hw : w ≠ w₁
⊢ ↑(f w) < w ↑x

tactic: rw [convexBodyLT_volume]
state_before: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
⊢ minkowskiBound K 1 < MeasureTheory.volume (convexBodyLT K g)
state_after: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
⊢ minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑(∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult)

tactic: convert hB
state_before: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
⊢ minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑(∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult)
state_after: case h.e'_4.h.e'_6
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
⊢ ↑(∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult) = ↑B

tactic: exact congr_arg ((↑): NNReal → ENNReal) h_gprod
state_before: case h.e'_4.h.e'_6
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
⊢ ↑(∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult) = ↑B
state_after: no goals

tactic: rw [← Rat.cast_le (K := ℝ), Rat.cast_natCast]
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_1
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
y : 𝓞 K
h_ynz : y ≠ 0
h_yle : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑y < ↑(g w)
⊢ |(Algebra.norm ℚ) ↑y| ≤ ↑B
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_1
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
y : 𝓞 K
h_ynz : y ≠ 0
h_yle : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑y < ↑(g w)
⊢ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑y| ≤ ↑B

tactic: refine prod_le_prod ?_ ?_
state_before: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
y : 𝓞 K
h_ynz : y ≠ 0
h_yle : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑y < ↑(g w)
⊢ ∏ w : InfinitePlace K, w ((algebraMap (𝓞 K) K) y) ^ w.mult ≤ ∏ w : InfinitePlace K, ↑(g w) ^ w.mult
state_after: case refine_1
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
y : 𝓞 K
h_ynz : y ≠ 0
h_yle : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑y < ↑(g w)
⊢ ∀ i ∈ univ, 0 ≤ i ((algebraMap (𝓞 K) K) y) ^ i.mult

case refine_2
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
y : 𝓞 K
h_ynz : y ≠ 0
h_yle : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑y < ↑(g w)
⊢ ∀ i ∈ univ, i ((algebraMap (𝓞 K) K) y) ^ i.mult ≤ ↑(g i) ^ i.mult

tactic: exact fun _ _ => pow_nonneg (by positivity) _
state_before: case refine_1
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
y : 𝓞 K
h_ynz : y ≠ 0
h_yle : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑y < ↑(g w)
⊢ ∀ i ∈ univ, 0 ≤ i ((algebraMap (𝓞 K) K) y) ^ i.mult
state_after: no goals

tactic: positivity
state_before: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
y : 𝓞 K
h_ynz : y ≠ 0
h_yle : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑y < ↑(g w)
x✝¹ : InfinitePlace K
x✝ : x✝¹ ∈ univ
⊢ 0 ≤ x✝¹ ((algebraMap (𝓞 K) K) y)
state_after: no goals

tactic: exact fun w _ => pow_le_pow_left (by positivity) (le_of_lt (h_yle w)) (mult w)
state_before: case refine_2
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
y : 𝓞 K
h_ynz : y ≠ 0
h_yle : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑y < ↑(g w)
⊢ ∀ i ∈ univ, i ((algebraMap (𝓞 K) K) y) ^ i.mult ≤ ↑(g i) ^ i.mult
state_after: no goals

tactic: positivity
state_before: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
y : 𝓞 K
h_ynz : y ≠ 0
h_yle : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑y < ↑(g w)
w : InfinitePlace K
x✝ : w ∈ univ
⊢ 0 ≤ w ↑y
state_after: no goals

tactic: simp_rw [← NNReal.coe_pow, ← NNReal.coe_prod]
state_before: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
y : 𝓞 K
h_ynz : y ≠ 0
h_yle : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑y < ↑(g w)
⊢ ∏ w : InfinitePlace K, ↑(g w) ^ w.mult ≤ ↑B
state_after: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
y : 𝓞 K
h_ynz : y ≠ 0
h_yle : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑y < ↑(g w)
⊢ ↑(∏ a : InfinitePlace K, g a ^ a.mult) ≤ ↑B

tactic: exact le_of_eq (congr_arg toReal h_gprod)
state_before: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
y : 𝓞 K
h_ynz : y ≠ 0
h_yle : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑y < ↑(g w)
⊢ ↑(∏ a : InfinitePlace K, g a ^ a.mult) ≤ ↑B
state_after: no goals

tactic: refine div_lt_self ?_ (by norm_num)
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_2
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
y : 𝓞 K
h_ynz : y ≠ 0
h_yle : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑y < ↑(g w)
w : InfinitePlace K
hw : w ≠ w₁
⊢ ↑(f w) < w ↑x
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_2
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
y : 𝓞 K
h_ynz : y ≠ 0
h_yle : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑y < ↑(g w)
w : InfinitePlace K
hw : w ≠ w₁
⊢ 0 < w ↑x

tactic: exact pos_iff.mpr hx'
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_2
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
y : 𝓞 K
h_ynz : y ≠ 0
h_yle : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑y < ↑(g w)
w : InfinitePlace K
hw : w ≠ w₁
⊢ 0 < w ↑x
state_after: no goals

tactic: norm_num
state_before: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
this : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → f w ≠ 0
g : InfinitePlace K → ℝ≥0
h_geqf : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → g w = f w
h_gprod : ∏ w : InfinitePlace K, g w ^ w.mult = ↑B
y : 𝓞 K
h_ynz : y ≠ 0
h_yle : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑y < ↑(g w)
w : InfinitePlace K
hw : w ≠ w₁
⊢ 1 < 2
state_after: no goals

tactic: norm_num
state_before: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
w✝ : InfinitePlace K
a✝ : w✝ ≠ w₁
⊢ ¬2 = 0
state_after: no goals