Theorem: Fintype.prod_subtype_mul_prod_subtype
File: Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean

tactic: let s := { x | p x }.toFinset
state_before: ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝¹ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝¹
a : α✝¹
f✝ g : α✝¹ → β✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α✝ : Type u_8
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype κ
inst✝³ : CommMonoid α✝
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
f : α → β
inst✝ : DecidablePred p
⊢ (∏ i : { x // p x }, f ↑i) * ∏ i : { x // ¬p x }, f ↑i = ∏ i : α, f i
state_after: ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝¹ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝¹
a : α✝¹
f✝ g : α✝¹ → β✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α✝ : Type u_8
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype κ
inst✝³ : CommMonoid α✝
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
f : α → β
inst✝ : DecidablePred p
s : Finset α := {x | p x}.toFinset
⊢ (∏ i : { x // p x }, f ↑i) * ∏ i : { x // ¬p x }, f ↑i = ∏ i : α, f i

tactic: rw [← Finset.prod_subtype s, ← Finset.prod_subtype sᶜ]
state_before: ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝¹ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝¹
a : α✝¹
f✝ g : α✝¹ → β✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α✝ : Type u_8
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype κ
inst✝³ : CommMonoid α✝
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
f : α → β
inst✝ : DecidablePred p
s : Finset α := {x | p x}.toFinset
⊢ (∏ i : { x // p x }, f ↑i) * ∏ i : { x // ¬p x }, f ↑i = ∏ i : α, f i
state_after: ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝¹ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝¹
a : α✝¹
f✝ g : α✝¹ → β✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α✝ : Type u_8
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype κ
inst✝³ : CommMonoid α✝
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
f : α → β
inst✝ : DecidablePred p
s : Finset α := {x | p x}.toFinset
⊢ (∏ a ∈ s, f a) * ∏ a ∈ sᶜ, f a = ∏ i : α, f i

case h
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝¹ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝¹
a : α✝¹
f✝ g : α✝¹ → β✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α✝ : Type u_8
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype κ
inst✝³ : CommMonoid α✝
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
f : α → β
inst✝ : DecidablePred p
s : Finset α := {x | p x}.toFinset
⊢ ∀ (x : α), x ∈ sᶜ ↔ ¬p x

case h
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝¹ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝¹
a : α✝¹
f✝ g : α✝¹ → β✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α✝ : Type u_8
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype κ
inst✝³ : CommMonoid α✝
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
f : α → β
inst✝ : DecidablePred p
s : Finset α := {x | p x}.toFinset
⊢ ∀ (x : α), x ∈ s ↔ p x

tactic: exact Finset.prod_mul_prod_compl _ _
state_before: ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝¹ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝¹
a : α✝¹
f✝ g : α✝¹ → β✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α✝ : Type u_8
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype κ
inst✝³ : CommMonoid α✝
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
f : α → β
inst✝ : DecidablePred p
s : Finset α := {x | p x}.toFinset
⊢ (∏ a ∈ s, f a) * ∏ a ∈ sᶜ, f a = ∏ i : α, f i
state_after: no goals

tactic: simp [s]
state_before: case h
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝¹ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝¹
a : α✝¹
f✝ g : α✝¹ → β✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α✝ : Type u_8
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype κ
inst✝³ : CommMonoid α✝
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
f : α → β
inst✝ : DecidablePred p
s : Finset α := {x | p x}.toFinset
⊢ ∀ (x : α), x ∈ sᶜ ↔ ¬p x
state_after: no goals

tactic: simp [s]
state_before: case h
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝¹ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝¹
a : α✝¹
f✝ g : α✝¹ → β✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α✝ : Type u_8
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype κ
inst✝³ : CommMonoid α✝
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
f : α → β
inst✝ : DecidablePred p
s : Finset α := {x | p x}.toFinset
⊢ ∀ (x : α), x ∈ s ↔ p x
state_after: no goals