Theorem: Module.Finite.of_equiv_equiv
File: Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean

tactic: letI := e₁.toRingHom.toAlgebra
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
⊢ Finite A₂ B₂
state_after: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
⊢ Finite A₂ B₂

tactic: letI := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
⊢ Finite A₂ B₂
state_after: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this✝ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
⊢ Finite A₂ B₂

tactic: haveI : IsScalarTower A₁ A₂ B₁ := IsScalarTower.of_algebraMap_eq
  (fun x ↦ by simp [RingHom.algebraMap_toAlgebra])
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this✝ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
⊢ Finite A₂ B₂
state_after: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this✝¹ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this✝ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
this : IsScalarTower A₁ A₂ B₁
⊢ Finite A₂ B₂

tactic: let e : B₁ ≃ₐ[A₂] B₂ :=
  { e₂ with
    commutes' := fun r ↦ by
      simpa [RingHom.algebraMap_toAlgebra] using DFunLike.congr_fun he.symm (e₁.symm r) }
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this✝¹ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this✝ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
this : IsScalarTower A₁ A₂ B₁
⊢ Finite A₂ B₂
state_after: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this✝¹ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this✝ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
this : IsScalarTower A₁ A₂ B₁
e : B₁ ≃ₐ[A₂] B₂ := { toEquiv := e₂.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
⊢ Finite A₂ B₂

tactic: haveI := Module.Finite.of_restrictScalars_finite A₁ A₂ B₁
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this✝¹ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this✝ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
this : IsScalarTower A₁ A₂ B₁
e : B₁ ≃ₐ[A₂] B₂ := { toEquiv := e₂.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
⊢ Finite A₂ B₂
state_after: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this✝² : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this✝¹ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A₁ A₂ B₁
e : B₁ ≃ₐ[A₂] B₂ := { toEquiv := e₂.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
this : Finite A₂ B₁
⊢ Finite A₂ B₂

tactic: exact Module.Finite.equiv e.toLinearEquiv
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this✝² : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this✝¹ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A₁ A₂ B₁
e : B₁ ≃ₐ[A₂] B₂ := { toEquiv := e₂.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
this : Finite A₂ B₁
⊢ Finite A₂ B₂
state_after: no goals

tactic: simp [RingHom.algebraMap_toAlgebra]
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this✝ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
x : A₁
⊢ (algebraMap A₁ B₁) x = (algebraMap A₂ B₁) ((algebraMap A₁ A₂) x)
state_after: no goals

tactic: simpa [RingHom.algebraMap_toAlgebra] using DFunLike.congr_fun he.symm (e₁.symm r)
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this✝¹ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this✝ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
this : IsScalarTower A₁ A₂ B₁
r : A₂
⊢ e₂.toFun ((algebraMap A₂ B₁) r) = (algebraMap A₂ B₂) r
state_after: no goals