Theorem: IsPrimitiveRoot.minpoly_eq_pow_coprime
File: Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean

tactic: revert n hcop
state_before: n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m : ℕ
hcop : m.Coprime n
⊢ minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ m)
state_after: K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m : ℕ
⊢ ∀ {n : ℕ}, IsPrimitiveRoot μ n → m.Coprime n → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ m)

tactic: refine UniqueFactorizationMonoid.induction_on_prime m ?_ ?_ ?_
state_before: K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m : ℕ
⊢ ∀ {n : ℕ}, IsPrimitiveRoot μ n → m.Coprime n → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ m)
state_after: case refine_1
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ : ℕ
⊢ IsPrimitiveRoot μ n✝ → Nat.Coprime 0 n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ 0)

case refine_2
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ : ℕ
⊢ ∀ (x : ℕ), IsUnit x → IsPrimitiveRoot μ n✝ → x.Coprime n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ x)

case refine_3
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ : ℕ
⊢ ∀ (a p : ℕ),
    a ≠ 0 →
      Prime p →
        (IsPrimitiveRoot μ n✝ → a.Coprime n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ a)) →
          IsPrimitiveRoot μ n✝ → (p * a).Coprime n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ (p * a))

tactic: intro h hn
state_before: case refine_1
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ : ℕ
⊢ IsPrimitiveRoot μ n✝ → Nat.Coprime 0 n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ 0)
state_after: case refine_1
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ : ℕ
h : IsPrimitiveRoot μ n✝
hn : Nat.Coprime 0 n✝
⊢ minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ 0)

tactic: congr
state_before: case refine_1
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ : ℕ
h : IsPrimitiveRoot μ n✝
hn : Nat.Coprime 0 n✝
⊢ minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ 0)
state_after: case refine_1.e_x
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ : ℕ
h : IsPrimitiveRoot μ n✝
hn : Nat.Coprime 0 n✝
⊢ μ = μ ^ 0

tactic: simpa [(Nat.coprime_zero_left _).mp hn] using h
state_before: case refine_1.e_x
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ : ℕ
h : IsPrimitiveRoot μ n✝
hn : Nat.Coprime 0 n✝
⊢ μ = μ ^ 0
state_after: no goals

tactic: intro u hunit _ _
state_before: case refine_2
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ : ℕ
⊢ ∀ (x : ℕ), IsUnit x → IsPrimitiveRoot μ n✝ → x.Coprime n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ x)
state_after: case refine_2
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ u : ℕ
hunit : IsUnit u
h✝ : IsPrimitiveRoot μ n✝
hcop✝ : u.Coprime n✝
⊢ minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ u)

tactic: congr
state_before: case refine_2
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ u : ℕ
hunit : IsUnit u
h✝ : IsPrimitiveRoot μ n✝
hcop✝ : u.Coprime n✝
⊢ minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ u)
state_after: case refine_2.e_x
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ u : ℕ
hunit : IsUnit u
h✝ : IsPrimitiveRoot μ n✝
hcop✝ : u.Coprime n✝
⊢ μ = μ ^ u

tactic: simp [Nat.isUnit_iff.mp hunit]
state_before: case refine_2.e_x
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ u : ℕ
hunit : IsUnit u
h✝ : IsPrimitiveRoot μ n✝
hcop✝ : u.Coprime n✝
⊢ μ = μ ^ u
state_after: no goals

tactic: intro a p _ hprime
state_before: case refine_3
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ : ℕ
⊢ ∀ (a p : ℕ),
    a ≠ 0 →
      Prime p →
        (IsPrimitiveRoot μ n✝ → a.Coprime n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ a)) →
          IsPrimitiveRoot μ n✝ → (p * a).Coprime n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ (p * a))
state_after: case refine_3
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ a p : ℕ
a✝ : a ≠ 0
hprime : Prime p
⊢ (IsPrimitiveRoot μ n✝ → a.Coprime n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ a)) →
    IsPrimitiveRoot μ n✝ → (p * a).Coprime n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ (p * a))

tactic: intro hind h hcop
state_before: case refine_3
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ a p : ℕ
a✝ : a ≠ 0
hprime : Prime p
⊢ (IsPrimitiveRoot μ n✝ → a.Coprime n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ a)) →
    IsPrimitiveRoot μ n✝ → (p * a).Coprime n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ (p * a))
state_after: case refine_3
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ a p : ℕ
a✝ : a ≠ 0
hprime : Prime p
hind : IsPrimitiveRoot μ n✝ → a.Coprime n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ a)
h : IsPrimitiveRoot μ n✝
hcop : (p * a).Coprime n✝
⊢ minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ (p * a))

tactic: rw [hind h (Nat.Coprime.coprime_mul_left hcop)]
state_before: case refine_3
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ a p : ℕ
a✝ : a ≠ 0
hprime : Prime p
hind : IsPrimitiveRoot μ n✝ → a.Coprime n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ a)
h : IsPrimitiveRoot μ n✝
hcop : (p * a).Coprime n✝
⊢ minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ (p * a))
state_after: case refine_3
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ a p : ℕ
a✝ : a ≠ 0
hprime : Prime p
hind : IsPrimitiveRoot μ n✝ → a.Coprime n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ a)
h : IsPrimitiveRoot μ n✝
hcop : (p * a).Coprime n✝
⊢ minpoly ℤ (μ ^ a) = minpoly ℤ (μ ^ (p * a))

tactic: clear hind
state_before: case refine_3
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ a p : ℕ
a✝ : a ≠ 0
hprime : Prime p
hind : IsPrimitiveRoot μ n✝ → a.Coprime n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ a)
h : IsPrimitiveRoot μ n✝
hcop : (p * a).Coprime n✝
⊢ minpoly ℤ (μ ^ a) = minpoly ℤ (μ ^ (p * a))
state_after: case refine_3
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ a p : ℕ
a✝ : a ≠ 0
hprime : Prime p
h : IsPrimitiveRoot μ n✝
hcop : (p * a).Coprime n✝
⊢ minpoly ℤ (μ ^ a) = minpoly ℤ (μ ^ (p * a))

tactic: replace hprime := hprime.nat_prime
state_before: case refine_3
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ a p : ℕ
a✝ : a ≠ 0
hprime : Prime p
h : IsPrimitiveRoot μ n✝
hcop : (p * a).Coprime n✝
⊢ minpoly ℤ (μ ^ a) = minpoly ℤ (μ ^ (p * a))
state_after: case refine_3
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ a p : ℕ
a✝ : a ≠ 0
h : IsPrimitiveRoot μ n✝
hcop : (p * a).Coprime n✝
hprime : Nat.Prime p
⊢ minpoly ℤ (μ ^ a) = minpoly ℤ (μ ^ (p * a))

tactic: have hdiv := (Nat.Prime.coprime_iff_not_dvd hprime).1 (Nat.Coprime.coprime_mul_right hcop)
state_before: case refine_3
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ a p : ℕ
a✝ : a ≠ 0
h : IsPrimitiveRoot μ n✝
hcop : (p * a).Coprime n✝
hprime : Nat.Prime p
⊢ minpoly ℤ (μ ^ a) = minpoly ℤ (μ ^ (p * a))
state_after: case refine_3
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ a p : ℕ
a✝ : a ≠ 0
h : IsPrimitiveRoot μ n✝
hcop : (p * a).Coprime n✝
hprime : Nat.Prime p
hdiv : ¬p ∣ n✝
⊢ minpoly ℤ (μ ^ a) = minpoly ℤ (μ ^ (p * a))

tactic: haveI := Fact.mk hprime
state_before: case refine_3
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ a p : ℕ
a✝ : a ≠ 0
h : IsPrimitiveRoot μ n✝
hcop : (p * a).Coprime n✝
hprime : Nat.Prime p
hdiv : ¬p ∣ n✝
⊢ minpoly ℤ (μ ^ a) = minpoly ℤ (μ ^ (p * a))
state_after: case refine_3
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ a p : ℕ
a✝ : a ≠ 0
h : IsPrimitiveRoot μ n✝
hcop : (p * a).Coprime n✝
hprime : Nat.Prime p
hdiv : ¬p ∣ n✝
this : Fact (Nat.Prime p)
⊢ minpoly ℤ (μ ^ a) = minpoly ℤ (μ ^ (p * a))

tactic: rw [minpoly_eq_pow (h.pow_of_coprime a (Nat.Coprime.coprime_mul_left hcop)) hdiv]
state_before: case refine_3
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ a p : ℕ
a✝ : a ≠ 0
h : IsPrimitiveRoot μ n✝
hcop : (p * a).Coprime n✝
hprime : Nat.Prime p
hdiv : ¬p ∣ n✝
this : Fact (Nat.Prime p)
⊢ minpoly ℤ (μ ^ a) = minpoly ℤ (μ ^ (p * a))
state_after: case refine_3
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ a p : ℕ
a✝ : a ≠ 0
h : IsPrimitiveRoot μ n✝
hcop : (p * a).Coprime n✝
hprime : Nat.Prime p
hdiv : ¬p ∣ n✝
this : Fact (Nat.Prime p)
⊢ minpoly ℤ ((μ ^ a) ^ p) = minpoly ℤ (μ ^ (p * a))

tactic: congr 1
state_before: case refine_3
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ a p : ℕ
a✝ : a ≠ 0
h : IsPrimitiveRoot μ n✝
hcop : (p * a).Coprime n✝
hprime : Nat.Prime p
hdiv : ¬p ∣ n✝
this : Fact (Nat.Prime p)
⊢ minpoly ℤ ((μ ^ a) ^ p) = minpoly ℤ (μ ^ (p * a))
state_after: case refine_3.e_x
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ a p : ℕ
a✝ : a ≠ 0
h : IsPrimitiveRoot μ n✝
hcop : (p * a).Coprime n✝
hprime : Nat.Prime p
hdiv : ¬p ∣ n✝
this : Fact (Nat.Prime p)
⊢ (μ ^ a) ^ p = μ ^ (p * a)

tactic: ring
state_before: case refine_3.e_x
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ a p : ℕ
a✝ : a ≠ 0
h : IsPrimitiveRoot μ n✝
hcop : (p * a).Coprime n✝
hprime : Nat.Prime p
hdiv : ¬p ∣ n✝
this : Fact (Nat.Prime p)
⊢ (μ ^ a) ^ p = μ ^ (p * a)
state_after: no goals