Theorem: charP_of_prime_pow_injective
File: Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean

tactic: obtain ⟨c, hc⟩ := CharP.exists R
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Fintype R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : card R = p ^ n
hR : ∀ i ≤ n, ↑p ^ i = 0 → i = n
⊢ CharP R (p ^ n)
state_after: case intro
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Fintype R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : card R = p ^ n
hR : ∀ i ≤ n, ↑p ^ i = 0 → i = n
c : ℕ
hc : CharP R c
⊢ CharP R (p ^ n)

tactic: have hcpn : c ∣ p ^ n := by rw [← CharP.cast_eq_zero_iff R c, ← hn, Nat.cast_card_eq_zero]
state_before: case intro
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Fintype R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : card R = p ^ n
hR : ∀ i ≤ n, ↑p ^ i = 0 → i = n
c : ℕ
hc : CharP R c
⊢ CharP R (p ^ n)
state_after: case intro
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Fintype R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : card R = p ^ n
hR : ∀ i ≤ n, ↑p ^ i = 0 → i = n
c : ℕ
hc : CharP R c
hcpn : c ∣ p ^ n
⊢ CharP R (p ^ n)

tactic: obtain ⟨i, hi, rfl⟩ : ∃ i ≤ n, c = p ^ i := by rwa [Nat.dvd_prime_pow hp.1] at hcpn
state_before: case intro
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Fintype R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : card R = p ^ n
hR : ∀ i ≤ n, ↑p ^ i = 0 → i = n
c : ℕ
hc : CharP R c
hcpn : c ∣ p ^ n
⊢ CharP R (p ^ n)
state_after: case intro.intro.intro
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Fintype R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : card R = p ^ n
hR : ∀ i ≤ n, ↑p ^ i = 0 → i = n
i : ℕ
hi : i ≤ n
hc : CharP R (p ^ i)
hcpn : p ^ i ∣ p ^ n
⊢ CharP R (p ^ n)

tactic: obtain rfl : i = n := hR i hi $ by rw [← Nat.cast_pow, CharP.cast_eq_zero]
state_before: case intro.intro.intro
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Fintype R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : card R = p ^ n
hR : ∀ i ≤ n, ↑p ^ i = 0 → i = n
i : ℕ
hi : i ≤ n
hc : CharP R (p ^ i)
hcpn : p ^ i ∣ p ^ n
⊢ CharP R (p ^ n)
state_after: case intro.intro.intro
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Fintype R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
i : ℕ
hc : CharP R (p ^ i)
hn : card R = p ^ i
hR : ∀ i_1 ≤ i, ↑p ^ i_1 = 0 → i_1 = i
hi : i ≤ i
hcpn : p ^ i ∣ p ^ i
⊢ CharP R (p ^ i)

tactic: assumption
state_before: case intro.intro.intro
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Fintype R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
i : ℕ
hc : CharP R (p ^ i)
hn : card R = p ^ i
hR : ∀ i_1 ≤ i, ↑p ^ i_1 = 0 → i_1 = i
hi : i ≤ i
hcpn : p ^ i ∣ p ^ i
⊢ CharP R (p ^ i)
state_after: no goals

tactic: rw [← CharP.cast_eq_zero_iff R c, ← hn, Nat.cast_card_eq_zero]
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Fintype R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : card R = p ^ n
hR : ∀ i ≤ n, ↑p ^ i = 0 → i = n
c : ℕ
hc : CharP R c
⊢ c ∣ p ^ n
state_after: no goals

tactic: rwa [Nat.dvd_prime_pow hp.1] at hcpn
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Fintype R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : card R = p ^ n
hR : ∀ i ≤ n, ↑p ^ i = 0 → i = n
c : ℕ
hc : CharP R c
hcpn : c ∣ p ^ n
⊢ ∃ i ≤ n, c = p ^ i
state_after: no goals

tactic: rw [← Nat.cast_pow, CharP.cast_eq_zero]
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Fintype R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : card R = p ^ n
hR : ∀ i ≤ n, ↑p ^ i = 0 → i = n
i : ℕ
hi : i ≤ n
hc : CharP R (p ^ i)
hcpn : p ^ i ∣ p ^ n
⊢ ↑p ^ i = 0
state_after: no goals