Theorem: MeasureTheory.LocallyIntegrable.integrableOn_nhds_isCompact
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean

tactic: refine IsCompact.induction_on hk ?_ ?_ ?_ ?_
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ k ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ
state_after: case refine_1
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ ∅ ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ

case refine_2
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
⊢ ∀ ⦃s t : Set X⦄, s ⊆ t → (∃ u, IsOpen u ∧ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ) → ∃ u, IsOpen u ∧ s ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ

case refine_3
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
⊢ ∀ ⦃s t : Set X⦄,
    (∃ u, IsOpen u ∧ s ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ) →
      (∃ u, IsOpen u ∧ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ) → ∃ u, IsOpen u ∧ s ∪ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ

case refine_4
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
⊢ ∀ x ∈ k, ∃ t ∈ 𝓝[k] x, ∃ u, IsOpen u ∧ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ

tactic: refine ⟨∅, isOpen_empty, Subset.rfl, integrableOn_empty⟩
state_before: case refine_1
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ ∅ ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ
state_after: no goals

tactic: rintro s t hst ⟨u, u_open, tu, hu⟩
state_before: case refine_2
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
⊢ ∀ ⦃s t : Set X⦄, s ⊆ t → (∃ u, IsOpen u ∧ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ) → ∃ u, IsOpen u ∧ s ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ
state_after: case refine_2.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
s t : Set X
hst : s ⊆ t
u : Set X
u_open : IsOpen u
tu : t ⊆ u
hu : IntegrableOn f u μ
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ s ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ

tactic: exact ⟨u, u_open, hst.trans tu, hu⟩
state_before: case refine_2.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
s t : Set X
hst : s ⊆ t
u : Set X
u_open : IsOpen u
tu : t ⊆ u
hu : IntegrableOn f u μ
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ s ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ
state_after: no goals

tactic: rintro s t ⟨u, u_open, su, hu⟩ ⟨v, v_open, tv, hv⟩
state_before: case refine_3
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
⊢ ∀ ⦃s t : Set X⦄,
    (∃ u, IsOpen u ∧ s ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ) →
      (∃ u, IsOpen u ∧ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ) → ∃ u, IsOpen u ∧ s ∪ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ
state_after: case refine_3.intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
s t u : Set X
u_open : IsOpen u
su : s ⊆ u
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set X
v_open : IsOpen v
tv : t ⊆ v
hv : IntegrableOn f v μ
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ s ∪ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ

tactic: exact ⟨u ∪ v, u_open.union v_open, union_subset_union su tv, hu.union hv⟩
state_before: case refine_3.intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
s t u : Set X
u_open : IsOpen u
su : s ⊆ u
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set X
v_open : IsOpen v
tv : t ⊆ v
hv : IntegrableOn f v μ
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ s ∪ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ
state_after: no goals

tactic: intro x _
state_before: case refine_4
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
⊢ ∀ x ∈ k, ∃ t ∈ 𝓝[k] x, ∃ u, IsOpen u ∧ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ
state_after: case refine_4
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
x : X
a✝ : x ∈ k
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] x, ∃ u, IsOpen u ∧ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ

tactic: rcases hf x with ⟨u, ux, hu⟩
state_before: case refine_4
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
x : X
a✝ : x ∈ k
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] x, ∃ u, IsOpen u ∧ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ
state_after: case refine_4.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
x : X
a✝ : x ∈ k
u : Set X
ux : u ∈ 𝓝 x
hu : IntegrableOn f u μ
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] x, ∃ u, IsOpen u ∧ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ

tactic: rcases mem_nhds_iff.1 ux with ⟨v, vu, v_open, xv⟩
state_before: case refine_4.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
x : X
a✝ : x ∈ k
u : Set X
ux : u ∈ 𝓝 x
hu : IntegrableOn f u μ
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] x, ∃ u, IsOpen u ∧ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ
state_after: case refine_4.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
x : X
a✝ : x ∈ k
u : Set X
ux : u ∈ 𝓝 x
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set X
vu : v ⊆ u
v_open : IsOpen v
xv : x ∈ v
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] x, ∃ u, IsOpen u ∧ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ

tactic: exact ⟨v, nhdsWithin_le_nhds (v_open.mem_nhds xv), v, v_open, Subset.rfl, hu.mono_set vu⟩
state_before: case refine_4.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k
x : X
a✝ : x ∈ k
u : Set X
ux : u ∈ 𝓝 x
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set X
vu : v ⊆ u
v_open : IsOpen v
xv : x ∈ v
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] x, ∃ u, IsOpen u ∧ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ
state_after: no goals