Theorem: MeasureTheory.extend_iUnion_le_tsum_nat'
File: Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean

tactic: by_cases h : ∀ i, P (s i)
state_before: α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
⊢ extend m (⋃ i, s i) ≤ ∑' (i : ℕ), extend m (s i)
state_after: case pos
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), P (s i)
⊢ extend m (⋃ i, s i) ≤ ∑' (i : ℕ), extend m (s i)

case neg
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ¬∀ (i : ℕ), P (s i)
⊢ extend m (⋃ i, s i) ≤ ∑' (i : ℕ), extend m (s i)

tactic: rw [extend_eq _ (PU h), congr_arg tsum _]
state_before: case pos
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), P (s i)
⊢ extend m (⋃ i, s i) ≤ ∑' (i : ℕ), extend m (s i)
state_after: case pos
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), P (s i)
⊢ m (⋃ i, s i) ⋯ ≤ tsum ?m.11386

α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), P (s i)
⊢ ℕ → ℝ≥0∞

α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), P (s i)
⊢ (fun i => extend m (s i)) = ?m.11386

tactic: funext i
state_before: α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), P (s i)
⊢ (fun i => extend m (s i)) = fun i => m (s i) ⋯
state_after: case h
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), P (s i)
i : ℕ
⊢ extend m (s i) = m (s i) ⋯

tactic: apply extend_eq _ (h i)
state_before: case h
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), P (s i)
i : ℕ
⊢ extend m (s i) = m (s i) ⋯
state_after: no goals

tactic: apply msU h
state_before: case pos
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), P (s i)
⊢ m (⋃ i, s i) ⋯ ≤ tsum ?m.11386
state_after: no goals

tactic: cases' not_forall.1 h with i hi
state_before: case neg
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ¬∀ (i : ℕ), P (s i)
⊢ extend m (⋃ i, s i) ≤ ∑' (i : ℕ), extend m (s i)
state_after: case neg.intro
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ¬∀ (i : ℕ), P (s i)
i : ℕ
hi : ¬P (s i)
⊢ extend m (⋃ i, s i) ≤ ∑' (i : ℕ), extend m (s i)

tactic: exact le_trans (le_iInf fun h => hi.elim h) (ENNReal.le_tsum i)
state_before: case neg.intro
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ¬∀ (i : ℕ), P (s i)
i : ℕ
hi : ¬P (s i)
⊢ extend m (⋃ i, s i) ≤ ∑' (i : ℕ), extend m (s i)
state_after: no goals