Theorem: intervalIntegral.continuousOn_primitive_Icc
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean

tactic: have aux : (fun x => ∫ t in Icc a x, f t ∂μ) = fun x => ∫ t in Ioc a x, f t ∂μ := by
  ext x
  exact integral_Icc_eq_integral_Ioc
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Icc a x, f t ∂μ) (Icc a b)
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
aux : (fun x => ∫ (t : ℝ) in Icc a x, f t ∂μ) = fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Icc a x, f t ∂μ) (Icc a b)

tactic: rw [aux]
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
aux : (fun x => ∫ (t : ℝ) in Icc a x, f t ∂μ) = fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Icc a x, f t ∂μ) (Icc a b)
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
aux : (fun x => ∫ (t : ℝ) in Icc a x, f t ∂μ) = fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ) (Icc a b)

tactic: exact continuousOn_primitive h_int
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
aux : (fun x => ∫ (t : ℝ) in Icc a x, f t ∂μ) = fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ) (Icc a b)
state_after: no goals

tactic: ext x
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
⊢ (fun x => ∫ (t : ℝ) in Icc a x, f t ∂μ) = fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ
state_after: case h
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
x : ℝ
⊢ ∫ (t : ℝ) in Icc a x, f t ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ

tactic: exact integral_Icc_eq_integral_Ioc
state_before: case h
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
x : ℝ
⊢ ∫ (t : ℝ) in Icc a x, f t ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ
state_after: no goals