Theorem: Affine.Triangle.eq_orthocenter_of_forall_mem_altitude
File: Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean

tactic: obtain ⟨i₃, h₂₃, h₁₃⟩ : ∃ i₃, i₂ ≠ i₃ ∧ i₁ ≠ i₃ := by
  clear h₁ h₂
  fin_cases i₁ <;> fin_cases i₂ <;> decide
state_before: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁ : p ∈ altitude t i₁
h₂ : p ∈ altitude t i₂
⊢ p = t.orthocenter
state_after: case intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁ : p ∈ altitude t i₁
h₂ : p ∈ altitude t i₂
i₃ : Fin 3
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
⊢ p = t.orthocenter

tactic: rw [t.altitude_eq_mongePlane h₁₃ h₁₂ h₂₃.symm] at h₁
state_before: case intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁ : p ∈ altitude t i₁
h₂ : p ∈ altitude t i₂
i₃ : Fin 3
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
⊢ p = t.orthocenter
state_after: case intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₂ : p ∈ altitude t i₂
i₃ : Fin 3
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
⊢ p = t.orthocenter

tactic: rw [t.altitude_eq_mongePlane h₂₃ h₁₂.symm h₁₃.symm] at h₂
state_before: case intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₂ : p ∈ altitude t i₂
i₃ : Fin 3
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
⊢ p = t.orthocenter
state_after: case intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂ : p ∈ mongePlane t i₃ i₁
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
⊢ p = t.orthocenter

tactic: rw [orthocenter_eq_mongePoint]
state_before: case intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂ : p ∈ mongePlane t i₃ i₁
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
⊢ p = t.orthocenter
state_after: case intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂ : p ∈ mongePlane t i₃ i₁
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
⊢ p = mongePoint t

tactic: exact eq_mongePoint_of_forall_mem_mongePlane ha
state_before: case intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂ : p ∈ mongePlane t i₃ i₁
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
ha : ∀ (i : Fin 3), i₃ ≠ i → p ∈ mongePlane t i₃ i
⊢ p = mongePoint t
state_after: no goals

tactic: clear h₁ h₂
state_before: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁ : p ∈ altitude t i₁
h₂ : p ∈ altitude t i₂
⊢ ∃ i₃, i₂ ≠ i₃ ∧ i₁ ≠ i₃
state_after: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
⊢ ∃ i₃, i₂ ≠ i₃ ∧ i₁ ≠ i₃

tactic: fin_cases i₁ <;> fin_cases i₂ <;> decide
state_before: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
⊢ ∃ i₃, i₂ ≠ i₃ ∧ i₁ ≠ i₃
state_after: no goals

tactic: intro i hi
state_before: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂ : p ∈ mongePlane t i₃ i₁
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
⊢ ∀ (i : Fin 3), i₃ ≠ i → p ∈ mongePlane t i₃ i
state_after: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂ : p ∈ mongePlane t i₃ i₁
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
i : Fin 3
hi : i₃ ≠ i
⊢ p ∈ mongePlane t i₃ i

tactic: have hi₁₂ : i₁ = i ∨ i₂ = i := by
  clear h₁ h₂
  fin_cases i₁ <;> fin_cases i₂ <;> fin_cases i₃ <;> fin_cases i <;> simp at h₁₂ h₁₃ h₂₃ hi ⊢
state_before: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂ : p ∈ mongePlane t i₃ i₁
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
i : Fin 3
hi : i₃ ≠ i
⊢ p ∈ mongePlane t i₃ i
state_after: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂ : p ∈ mongePlane t i₃ i₁
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
i : Fin 3
hi : i₃ ≠ i
hi₁₂ : i₁ = i ∨ i₂ = i
⊢ p ∈ mongePlane t i₃ i

tactic: cases' hi₁₂ with hi₁₂ hi₁₂
state_before: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂ : p ∈ mongePlane t i₃ i₁
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
i : Fin 3
hi : i₃ ≠ i
hi₁₂ : i₁ = i ∨ i₂ = i
⊢ p ∈ mongePlane t i₃ i
state_after: case inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂ : p ∈ mongePlane t i₃ i₁
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
i : Fin 3
hi : i₃ ≠ i
hi₁₂ : i₁ = i
⊢ p ∈ mongePlane t i₃ i

case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂ : p ∈ mongePlane t i₃ i₁
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
i : Fin 3
hi : i₃ ≠ i
hi₁₂ : i₂ = i
⊢ p ∈ mongePlane t i₃ i

tactic: clear h₁ h₂
state_before: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂ : p ∈ mongePlane t i₃ i₁
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
i : Fin 3
hi : i₃ ≠ i
⊢ i₁ = i ∨ i₂ = i
state_after: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
i : Fin 3
hi : i₃ ≠ i
⊢ i₁ = i ∨ i₂ = i

tactic: fin_cases i₁ <;> fin_cases i₂ <;> fin_cases i₃ <;> fin_cases i <;> simp at h₁₂ h₁₃ h₂₃ hi ⊢
state_before: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
i : Fin 3
hi : i₃ ≠ i
⊢ i₁ = i ∨ i₂ = i
state_after: no goals

tactic: exact hi₁₂ ▸ h₂
state_before: case inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂ : p ∈ mongePlane t i₃ i₁
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
i : Fin 3
hi : i₃ ≠ i
hi₁₂ : i₁ = i
⊢ p ∈ mongePlane t i₃ i
state_after: no goals

tactic: exact hi₁₂ ▸ h₁
state_before: case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂ : p ∈ mongePlane t i₃ i₁
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
i : Fin 3
hi : i₃ ≠ i
hi₁₂ : i₂ = i
⊢ p ∈ mongePlane t i₃ i
state_after: no goals