1337xyz1337xyz/leandojo-benchmark4-v10 huggingface dataset:
Theorem: LieSubalgebra.engel_zero
File: Mathlib/Algebra/Lie/EngelSubalgebra.lean

tactic: rw [eq_top_iff]
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
⊢ engel R 0 = ⊤
state_after: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
⊢ ⊤ ≤ engel R 0

tactic: rintro x -
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
⊢ ⊤ ≤ engel R 0
state_after: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
⊢ x ∈ engel R 0

tactic: rw [mem_engel_iff, LieHom.map_zero]
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
⊢ x ∈ engel R 0
state_after: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
⊢ ∃ n, (0 ^ n) x = 0

tactic: use 1
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
⊢ ∃ n, (0 ^ n) x = 0
state_after: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
⊢ (0 ^ 1) x = 0

tactic: simp only [pow_one, LinearMap.zero_apply]
state_before: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
⊢ (0 ^ 1) x = 0
state_after: no goals
Theorem: MeasureTheory.Measure.join_map_map
File: Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean

tactic: ext1 s hs
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : Measurable f
μ : Measure (Measure α)
⊢ (map (map f) μ).join = map f μ.join
state_after: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : Measurable f
μ : Measure (Measure α)
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (map (map f) μ).join s = (map f μ.join) s

tactic: rw [join_apply hs, map_apply hf hs, join_apply (hf hs),
  lintegral_map (measurable_coe hs) (measurable_map f hf)]
state_before: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : Measurable f
μ : Measure (Measure α)
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (map (map f) μ).join s = (map f μ.join) s
state_after: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : Measurable f
μ : Measure (Measure α)
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (a : Measure α), (map f a) s ∂μ = ∫⁻ (μ : Measure α), μ (f ⁻¹' s) ∂μ

tactic: simp_rw [map_apply hf hs]
state_before: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : Measurable f
μ : Measure (Measure α)
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (a : Measure α), (map f a) s ∂μ = ∫⁻ (μ : Measure α), μ (f ⁻¹' s) ∂μ
state_after: no goals
Theorem: Basis.prod_apply_inr_fst
File: Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean

tactic: ext i
state_before: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i : ι'
⊢ b.repr ((b.prod b') (Sum.inr i)).1 = b.repr 0
state_after: case h
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝¹ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i✝ : ι'
i : ι
⊢ (b.repr ((b.prod b') (Sum.inr i✝)).1) i = (b.repr 0) i

tactic: simp only [Basis.prod, Basis.coe_ofRepr, LinearEquiv.symm_trans_apply, LinearEquiv.prod_symm,
  LinearEquiv.prod_apply, b.repr.apply_symm_apply, LinearEquiv.symm_symm, repr_self,
  Equiv.toFun_as_coe, Finsupp.fst_sumFinsuppLEquivProdFinsupp, LinearEquiv.map_zero,
  Finsupp.zero_apply]
state_before: case h
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝¹ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i✝ : ι'
i : ι
⊢ (b.repr ((b.prod b') (Sum.inr i✝)).1) i = (b.repr 0) i
state_after: case h
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝¹ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i✝ : ι'
i : ι
⊢ (Finsupp.single (Sum.inr i✝) 1) (Sum.inl i) = 0

tactic: apply Finsupp.single_eq_of_ne Sum.inr_ne_inl
state_before: case h
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝¹ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i✝ : ι'
i : ι
⊢ (Finsupp.single (Sum.inr i✝) 1) (Sum.inl i) = 0
state_after: no goals
Theorem: monotone_stabilizes_iff_noetherian
File: Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean

tactic: rw [isNoetherian_iff_wellFounded, WellFounded.monotone_chain_condition]
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
⊢ (∀ (f : ℕ →o Submodule R M), ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f n = f m) ↔ IsNoetherian R M
state_after: no goals
Theorem: quadraticChar_neg_one_iff_not_isSquare
File: Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/Basic.lean

tactic: by_cases ha : a = 0
state_before: F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a : F
⊢ (quadraticChar F) a = -1 ↔ ¬IsSquare a
state_after: case pos
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a : F
ha : a = 0
⊢ (quadraticChar F) a = -1 ↔ ¬IsSquare a

case neg
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a : F
ha : ¬a = 0
⊢ (quadraticChar F) a = -1 ↔ ¬IsSquare a

tactic: simp only [ha, MulChar.map_zero, zero_eq_neg, one_ne_zero, isSquare_zero, not_true]
state_before: case pos
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a : F
ha : a = 0
⊢ (quadraticChar F) a = -1 ↔ ¬IsSquare a
state_after: no goals

tactic: rw [quadraticChar_eq_neg_one_iff_not_one ha, quadraticChar_one_iff_isSquare ha]
state_before: case neg
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a : F
ha : ¬a = 0
⊢ (quadraticChar F) a = -1 ↔ ¬IsSquare a
state_after: no goals
Theorem: Int.sqrt_natCast
File: Mathlib/Data/Int/Sqrt.lean

tactic: rw [sqrt, toNat_ofNat]
state_before: n : ℕ
⊢ sqrt ↑n = ↑n.sqrt
state_after: no goals
Theorem: NNReal.div_le_of_le_mul
File: Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean

tactic: simp [h0]
state_before: a b c : ℝ≥0
h : a ≤ b * c
h0 : c = 0
⊢ a / c ≤ b
state_after: no goals
Theorem: LinearPMap.sup_h_of_disjoint
File: Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean

tactic: rw [disjoint_def] at h
state_before: R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : Disjoint f.domain g.domain
x : ↥f.domain
y : ↥g.domain
hxy : ↑x = ↑y
⊢ ↑f x = ↑g y
state_after: R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ x ∈ f.domain, x ∈ g.domain → x = 0
x : ↥f.domain
y : ↥g.domain
hxy : ↑x = ↑y
⊢ ↑f x = ↑g y

tactic: have hy : y = 0 := Subtype.eq (h y (hxy ▸ x.2) y.2)
state_before: R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ x ∈ f.domain, x ∈ g.domain → x = 0
x : ↥f.domain
y : ↥g.domain
hxy : ↑x = ↑y
⊢ ↑f x = ↑g y
state_after: R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ x ∈ f.domain, x ∈ g.domain → x = 0
x : ↥f.domain
y : ↥g.domain
hxy : ↑x = ↑y
hy : y = 0
⊢ ↑f x = ↑g y

tactic: have hx : x = 0 := Subtype.eq (hxy.trans <| congr_arg _ hy)
state_before: R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ x ∈ f.domain, x ∈ g.domain → x = 0
x : ↥f.domain
y : ↥g.domain
hxy : ↑x = ↑y
hy : y = 0
⊢ ↑f x = ↑g y
state_after: R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ x ∈ f.domain, x ∈ g.domain → x = 0
x : ↥f.domain
y : ↥g.domain
hxy : ↑x = ↑y
hy : y = 0
hx : x = 0
⊢ ↑f x = ↑g y

tactic: simp [*]
state_before: R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ x ∈ f.domain, x ∈ g.domain → x = 0
x : ↥f.domain
y : ↥g.domain
hxy : ↑x = ↑y
hy : y = 0
hx : x = 0
⊢ ↑f x = ↑g y
state_after: no goals
Theorem: padicValNat.div
File: Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean

tactic: rw [padicValNat.div_of_dvd dvd, padicValNat_self]
state_before: p a b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
dvd : p ∣ b
⊢ padicValNat p (b / p) = padicValNat p b - 1
state_after: no goals
Theorem: UniformSpace.hasBasis_nhds
File: Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean

tactic: simp [UniformSpace.mem_nhds_iff_symm, and_assoc]
state_before: α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
t : Set α
⊢ t ∈ 𝓝 x ↔ ∃ i, (i ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel i) ∧ ball x i ⊆ t
state_after: no goals
Theorem: MeasureTheory.MeasurePreserving.lintegral_comp
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean

tactic: rw [← hg.map_eq, lintegral_map hf hg.measurable]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : Measure β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ ν
f : β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β), f b ∂ν
state_after: no goals
Theorem: Nat.Ico_succ_singleton
File: Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean

tactic: rw [Ico_succ_right, Icc_self]
state_before: a b c : ℕ
⊢ Ico a (a + 1) = {a}
state_after: no goals
Theorem: LinearMap.BilinForm.nondegenerate_congr_iff
File: Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean

tactic: convert h.congr e.symm
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R M
e : M ≃ₗ[R] M'
h : ((congr e) B).Nondegenerate
⊢ B.Nondegenerate
state_after: case h.e'_6
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R M
e : M ≃ₗ[R] M'
h : ((congr e) B).Nondegenerate
⊢ B = (congr e.symm) ((congr e) B)

tactic: rw [congr_congr, e.self_trans_symm, congr_refl, LinearEquiv.refl_apply]
state_before: case h.e'_6
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R M
e : M ≃ₗ[R] M'
h : ((congr e) B).Nondegenerate
⊢ B = (congr e.symm) ((congr e) B)
state_after: no goals
Theorem: equivShrink_symm_add
File: Mathlib/Logic/Small/Group.lean

tactic: rw [Equiv.add_def]
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : Add α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α
⊢ (equivShrink α).symm (x + y) = (equivShrink α).symm x + (equivShrink α).symm y
state_after: α : Type u_1
inst✝¹ : Add α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α
⊢ (equivShrink α).symm ((equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm x + (equivShrink α).symm y)) =
    (equivShrink α).symm x + (equivShrink α).symm y

tactic: simp
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : Add α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α
⊢ (equivShrink α).symm ((equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm x + (equivShrink α).symm y)) =
    (equivShrink α).symm x + (equivShrink α).symm y
state_after: no goals
Theorem: LieSubmodule.Quotient.range_mk'
File: Mathlib/Algebra/Lie/Quotient.lean

tactic: simp [LieModuleHom.range_eq_top]
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ (mk' N).range = ⊤
state_after: no goals
Theorem: CliffordAlgebra.toProd_ι_tmul_one
File: Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Prod.lean

tactic: rw [toProd, GradedTensorProduct.lift_tmul, map_one, mul_one, map_apply_ι,
  QuadraticForm.Isometry.inl_apply]
state_before: R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Qₙ : QuadraticForm R N
m₁ : M₁
⊢ (toProd Q₁ Q₂) ((ι Q₁) m₁ ᵍ⊗ₜ[R] 1) = (ι (Q₁.prod Q₂)) (m₁, 0)
state_after: no goals
Theorem: Finsupp.support_subset_iff
File: Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean

tactic: simp only [Set.subset_def, mem_coe, mem_support_iff]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
s : Set α
f : α →₀ M
⊢ ↑f.support ⊆ s ↔ ∀ a ∉ s, f a = 0
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
s : Set α
f : α →₀ M
⊢ (∀ (x : α), f x ≠ 0 → x ∈ s) ↔ ∀ a ∉ s, f a = 0

tactic: exact forall_congr' fun a => not_imp_comm
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
s : Set α
f : α →₀ M
⊢ (∀ (x : α), f x ≠ 0 → x ∈ s) ↔ ∀ a ∉ s, f a = 0
state_after: no goals
Theorem: norm_smul_inv_norm
File: Mathlib/Analysis/NormedSpace/RCLike.lean

tactic: have : ‖x‖ ≠ 0 := by simp [hx]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ‖(↑‖x‖)⁻¹ • x‖ = 1
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
hx : x ≠ 0
this : ‖x‖ ≠ 0
⊢ ‖(↑‖x‖)⁻¹ • x‖ = 1

tactic: field_simp [norm_smul]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
hx : x ≠ 0
this : ‖x‖ ≠ 0
⊢ ‖(↑‖x‖)⁻¹ • x‖ = 1
state_after: no goals

tactic: simp [hx]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ‖x‖ ≠ 0
state_after: no goals
Theorem: Finset.prod_range_induction
File: Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean

tactic: induction' n with k hk
state_before: ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f s : ℕ → β
base : s 0 = 1
step : ∀ (n : ℕ), s (n + 1) = s n * f n
n : ℕ
⊢ ∏ k ∈ range n, f k = s n
state_after: case zero
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f s : ℕ → β
base : s 0 = 1
step : ∀ (n : ℕ), s (n + 1) = s n * f n
⊢ ∏ k ∈ range 0, f k = s 0

case succ
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f s : ℕ → β
base : s 0 = 1
step : ∀ (n : ℕ), s (n + 1) = s n * f n
k : ℕ
hk : ∏ k ∈ range k, f k = s k
⊢ ∏ k ∈ range (k + 1), f k = s (k + 1)

tactic: rw [Finset.prod_range_zero, base]
state_before: case zero
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f s : ℕ → β
base : s 0 = 1
step : ∀ (n : ℕ), s (n + 1) = s n * f n
⊢ ∏ k ∈ range 0, f k = s 0
state_after: no goals

tactic: simp only [hk, Finset.prod_range_succ, step, mul_comm]
state_before: case succ
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f s : ℕ → β
base : s 0 = 1
step : ∀ (n : ℕ), s (n + 1) = s n * f n
k : ℕ
hk : ∏ k ∈ range k, f k = s k
⊢ ∏ k ∈ range (k + 1), f k = s (k + 1)
state_after: no goals
Theorem: List.isPerm_iff
File: .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean

tactic: simp [isPerm, isEmpty]
state_before: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
⊢ [].isPerm [] = true ↔ [] ~ []
state_after: no goals

tactic: simp [isPerm, isEmpty, Perm.nil_eq]
state_before: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
head✝ : α
tail✝ : List α
⊢ [].isPerm (head✝ :: tail✝) = true ↔ [] ~ head✝ :: tail✝
state_after: no goals

tactic: simp [isPerm, isPerm_iff, cons_perm_iff_perm_erase]
state_before: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
⊢ (a :: l₁).isPerm l₂ = true ↔ a :: l₁ ~ l₂
state_after: no goals
Theorem: MeasureTheory.FinStronglyMeasurable.inf
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean

tactic: refine
  ⟨fun n => hf.approx n ⊓ hg.approx n, fun n => ?_, fun x =>
    (hf.tendsto_approx x).inf_nhds (hg.tendsto_approx x)⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ
⊢ FinStronglyMeasurable (f ⊓ g) μ
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ
n : ℕ
⊢ μ (support ↑((fun n => hf.approx n ⊓ hg.approx n) n)) < ⊤

tactic: refine (measure_mono (support_inf _ _)).trans_lt ?_
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ
n : ℕ
⊢ μ (support ↑((fun n => hf.approx n ⊓ hg.approx n) n)) < ⊤
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ
n : ℕ
⊢ μ (support ↑(hf.approx n) ∪ support ↑(hg.approx n)) < ⊤

tactic: exact measure_union_lt_top_iff.mpr ⟨hf.fin_support_approx n, hg.fin_support_approx n⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ
n : ℕ
⊢ μ (support ↑(hf.approx n) ∪ support ↑(hg.approx n)) < ⊤
state_after: no goals
Theorem: Polynomial.degree_X_pow_add_C
File: Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean

tactic: have : degree (C a) < degree ((X : R[X]) ^ n) := degree_C_le.trans_lt <| by
  rwa [degree_X_pow, Nat.cast_pos]
state_before: R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R
⊢ (X ^ n + C a).degree = ↑n
state_after: R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R
this : (C a).degree < (X ^ n).degree
⊢ (X ^ n + C a).degree = ↑n

tactic: rw [degree_add_eq_left_of_degree_lt this, degree_X_pow]
state_before: R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R
this : (C a).degree < (X ^ n).degree
⊢ (X ^ n + C a).degree = ↑n
state_after: no goals

tactic: rwa [degree_X_pow, Nat.cast_pos]
state_before: R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R
⊢ 0 < (X ^ n).degree
state_after: no goals
Theorem: Filter.limsInf_bot
File: Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean

tactic: simp
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
⊢ ⊤ ∈ {a | ∀ᶠ (n : α) in ⊥, a ≤ n}
state_after: no goals
Theorem: SimpleGraph.Walk.IsHamiltonian.map
File: Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Hamiltonian.lean

tactic: simp [IsHamiltonian, hf.surjective.forall, hf.injective, hp _]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p : G.Walk a b
H : SimpleGraph β
f : G →g H
hf : Bijective ⇑f
hp : p.IsHamiltonian
⊢ (Walk.map f p).IsHamiltonian
state_after: no goals