Theorem: EuclideanGeometry.Sphere.sbtw_secondInter
File: Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/SecondInter.lean

tactic: refine ⟨Sphere.wbtw_secondInter hp hp'.le, ?_, ?_⟩
state_before: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center < s.radius
⊢ Sbtw ℝ p p' (s.secondInter p (p' -ᵥ p))
state_after: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center < s.radius
⊢ p' ≠ p

case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center < s.radius
⊢ p' ≠ s.secondInter p (p' -ᵥ p)

tactic: rintro rfl
state_before: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center < s.radius
⊢ p' ≠ p
state_after: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p' : P
hp' : dist p' s.center < s.radius
hp : p' ∈ s
⊢ False

tactic: rw [mem_sphere] at hp
state_before: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p' : P
hp' : dist p' s.center < s.radius
hp : p' ∈ s
⊢ False
state_after: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p' : P
hp' : dist p' s.center < s.radius
hp : dist p' s.center = s.radius
⊢ False

tactic: simp [hp] at hp'
state_before: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p' : P
hp' : dist p' s.center < s.radius
hp : dist p' s.center = s.radius
⊢ False
state_after: no goals

tactic: rintro h
state_before: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center < s.radius
⊢ p' ≠ s.secondInter p (p' -ᵥ p)
state_after: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center < s.radius
h : p' = s.secondInter p (p' -ᵥ p)
⊢ False

tactic: rw [h, mem_sphere.1 ((Sphere.secondInter_mem _).2 hp)] at hp'
state_before: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center < s.radius
h : p' = s.secondInter p (p' -ᵥ p)
⊢ False
state_after: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : s.radius < s.radius
h : p' = s.secondInter p (p' -ᵥ p)
⊢ False

tactic: exact lt_irrefl _ hp'
state_before: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : s.radius < s.radius
h : p' = s.secondInter p (p' -ᵥ p)
⊢ False
state_after: no goals