Theorem: hasFPowerSeriesOnBall_inv_one_sub
File: Mathlib/Analysis/Analytic/Constructions.lean

tactic: constructor
state_before: α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝✝ : Type u_7
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕝✝
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝✝
A : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜✝ A
𝕜 : Type u_9
𝕝 : Type u_10
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (fun x => (1 - x)⁻¹) (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 𝕝) 0 1
state_after: case r_le
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝✝ : Type u_7
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕝✝
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝✝
A : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜✝ A
𝕜 : Type u_9
𝕝 : Type u_10
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
⊢ 1 ≤ (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 𝕝).radius

case r_pos
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝✝ : Type u_7
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕝✝
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝✝
A : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜✝ A
𝕜 : Type u_9
𝕝 : Type u_10
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
⊢ 0 < 1

case hasSum
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝✝ : Type u_7
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕝✝
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝✝
A : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜✝ A
𝕜 : Type u_9
𝕝 : Type u_10
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
⊢ ∀ {y : 𝕝},
    y ∈ EMetric.ball 0 1 → HasSum (fun n => (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 𝕝 n) fun x => y) (1 - (0 + y))⁻¹

tactic: exact le_of_eq (formalMultilinearSeries_geometric_radius 𝕜 𝕝).symm
state_before: case r_le
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝✝ : Type u_7
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕝✝
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝✝
A : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜✝ A
𝕜 : Type u_9
𝕝 : Type u_10
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
⊢ 1 ≤ (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 𝕝).radius
state_after: no goals

tactic: exact one_pos
state_before: case r_pos
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝✝ : Type u_7
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕝✝
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝✝
A : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜✝ A
𝕜 : Type u_9
𝕝 : Type u_10
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
⊢ 0 < 1
state_after: no goals

tactic: intro y hy
state_before: case hasSum
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝✝ : Type u_7
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕝✝
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝✝
A : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜✝ A
𝕜 : Type u_9
𝕝 : Type u_10
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
⊢ ∀ {y : 𝕝},
    y ∈ EMetric.ball 0 1 → HasSum (fun n => (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 𝕝 n) fun x => y) (1 - (0 + y))⁻¹
state_after: case hasSum
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝✝ : Type u_7
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕝✝
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝✝
A : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜✝ A
𝕜 : Type u_9
𝕝 : Type u_10
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
y : 𝕝
hy : y ∈ EMetric.ball 0 1
⊢ HasSum (fun n => (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 𝕝 n) fun x => y) (1 - (0 + y))⁻¹

tactic: simp_rw [zero_add, formalMultilinearSeries_geometric,
    ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin_apply,
    List.prod_ofFn, Finset.prod_const,
    Finset.card_univ, Fintype.card_fin]
state_before: case hasSum
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝✝ : Type u_7
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕝✝
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝✝
A : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜✝ A
𝕜 : Type u_9
𝕝 : Type u_10
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
y : 𝕝
hy : y ∈ EMetric.ball 0 1
⊢ HasSum (fun n => (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 𝕝 n) fun x => y) (1 - (0 + y))⁻¹
state_after: case hasSum
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝✝ : Type u_7
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕝✝
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝✝
A : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜✝ A
𝕜 : Type u_9
𝕝 : Type u_10
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
y : 𝕝
hy : y ∈ EMetric.ball 0 1
⊢ HasSum (fun n => y ^ n) (1 - y)⁻¹

tactic: apply hasSum_geometric_of_norm_lt_one
state_before: case hasSum
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝✝ : Type u_7
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕝✝
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝✝
A : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜✝ A
𝕜 : Type u_9
𝕝 : Type u_10
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
y : 𝕝
hy : y ∈ EMetric.ball 0 1
⊢ HasSum (fun n => y ^ n) (1 - y)⁻¹
state_after: case hasSum.h
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝✝ : Type u_7
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕝✝
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝✝
A : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜✝ A
𝕜 : Type u_9
𝕝 : Type u_10
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
y : 𝕝
hy : y ∈ EMetric.ball 0 1
⊢ ‖y‖ < 1

tactic: simpa only [← ofReal_one, Metric.emetric_ball, Metric.ball,
  dist_eq_norm, sub_zero] using hy
state_before: case hasSum.h
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝✝ : Type u_7
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕝✝
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝✝
A : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜✝ A
𝕜 : Type u_9
𝕝 : Type u_10
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
y : 𝕝
hy : y ∈ EMetric.ball 0 1
⊢ ‖y‖ < 1
state_after: no goals