Theorem: disjoint_nhds_atBot_iff
File: Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean

tactic: constructor
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
f : β → α
a b : α
s : Set α
⊢ Disjoint (𝓝 a) atBot ↔ ¬IsBot a
state_after: case mp
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
f : β → α
a b : α
s : Set α
⊢ Disjoint (𝓝 a) atBot → ¬IsBot a

case mpr
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
f : β → α
a b : α
s : Set α
⊢ ¬IsBot a → Disjoint (𝓝 a) atBot

tactic: intro hd hbot
state_before: case mp
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
f : β → α
a b : α
s : Set α
⊢ Disjoint (𝓝 a) atBot → ¬IsBot a
state_after: case mp
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
f : β → α
a b : α
s : Set α
hd : Disjoint (𝓝 a) atBot
hbot : IsBot a
⊢ False

tactic: rw [hbot.atBot_eq, disjoint_principal_right] at hd
state_before: case mp
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
f : β → α
a b : α
s : Set α
hd : Disjoint (𝓝 a) atBot
hbot : IsBot a
⊢ False
state_after: case mp
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
f : β → α
a b : α
s : Set α
hd : (Iic a)ᶜ ∈ 𝓝 a
hbot : IsBot a
⊢ False

tactic: exact mem_of_mem_nhds hd le_rfl
state_before: case mp
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
f : β → α
a b : α
s : Set α
hd : (Iic a)ᶜ ∈ 𝓝 a
hbot : IsBot a
⊢ False
state_after: no goals

tactic: simp only [IsBot, not_forall]
state_before: case mpr
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
f : β → α
a b : α
s : Set α
⊢ ¬IsBot a → Disjoint (𝓝 a) atBot
state_after: case mpr
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
f : β → α
a b : α
s : Set α
⊢ (∃ x, ¬a ≤ x) → Disjoint (𝓝 a) atBot

tactic: rintro ⟨b, hb⟩
state_before: case mpr
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
f : β → α
a b : α
s : Set α
⊢ (∃ x, ¬a ≤ x) → Disjoint (𝓝 a) atBot
state_after: case mpr.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
f : β → α
a b✝ : α
s : Set α
b : α
hb : ¬a ≤ b
⊢ Disjoint (𝓝 a) atBot

tactic: refine disjoint_of_disjoint_of_mem disjoint_compl_left ?_ (Iic_mem_atBot b)
state_before: case mpr.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
f : β → α
a b✝ : α
s : Set α
b : α
hb : ¬a ≤ b
⊢ Disjoint (𝓝 a) atBot
state_after: case mpr.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
f : β → α
a b✝ : α
s : Set α
b : α
hb : ¬a ≤ b
⊢ (Iic b)ᶜ ∈ 𝓝 a

tactic: exact isClosed_Iic.isOpen_compl.mem_nhds hb
state_before: case mpr.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
f : β → α
a b✝ : α
s : Set α
b : α
hb : ¬a ≤ b
⊢ (Iic b)ᶜ ∈ 𝓝 a
state_after: no goals