Theorem: intervalIntegral.continuous_primitive
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean

tactic: rw [continuous_iff_continuousAt]
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a : ℝ
⊢ Continuous fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a : ℝ
⊢ ∀ (x : ℝ), ContinuousAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) x

tactic: intro b₀
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a : ℝ
⊢ ∀ (x : ℝ), ContinuousAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) x
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a b₀ : ℝ
⊢ ContinuousAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) b₀

tactic: cases' exists_lt b₀ with b₁ hb₁
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a b₀ : ℝ
⊢ ContinuousAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) b₀
state_after: case intro
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b b₀✝ b₁✝ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a b₀ b₁ : ℝ
hb₁ : b₁ < b₀
⊢ ContinuousAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) b₀

tactic: cases' exists_gt b₀ with b₂ hb₂
state_before: case intro
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b b₀✝ b₁✝ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a b₀ b₁ : ℝ
hb₁ : b₁ < b₀
⊢ ContinuousAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) b₀
state_after: case intro.intro
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b b₀✝ b₁✝ b₂✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a b₀ b₁ : ℝ
hb₁ : b₁ < b₀
b₂ : ℝ
hb₂ : b₀ < b₂
⊢ ContinuousAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) b₀

tactic: apply ContinuousWithinAt.continuousAt _ (Icc_mem_nhds hb₁ hb₂)
state_before: case intro.intro
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b b₀✝ b₁✝ b₂✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a b₀ b₁ : ℝ
hb₁ : b₁ < b₀
b₂ : ℝ
hb₂ : b₀ < b₂
⊢ ContinuousAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) b₀
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b b₀✝ b₁✝ b₂✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a b₀ b₁ : ℝ
hb₁ : b₁ < b₀
b₂ : ℝ
hb₂ : b₀ < b₂
⊢ ContinuousWithinAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) (Icc b₁ b₂) b₀

tactic: exact continuousWithinAt_primitive (measure_singleton b₀) (h_int _ _)
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b b₀✝ b₁✝ b₂✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a b₀ b₁ : ℝ
hb₁ : b₁ < b₀
b₂ : ℝ
hb₂ : b₀ < b₂
⊢ ContinuousWithinAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) (Icc b₁ b₂) b₀
state_after: no goals