Theorem: MeasureTheory.mem_generateSetAlgebra_elim
File: Mathlib/MeasureTheory/SetAlgebra.lean

tactic: refine ⟨{{u}}, finite_singleton {u},
  fun a ha ↦ eq_of_mem_singleton ha ▸ finite_singleton u,
  fun a ha t ht ↦ ?_, by simp⟩
state_before: case base
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
u_mem : u ∈ 𝒜
⊢ ∃ A, A.Finite ∧ (∀ a ∈ A, a.Finite) ∧ (∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜) ∧ u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
state_after: case base
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t✝ u : Set α
u_mem : u ∈ 𝒜
a : Set (Set α)
ha : a ∈ {{u}}
t : Set α
ht : t ∈ a
⊢ t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜

tactic: rw [eq_of_mem_singleton ha, ha, eq_of_mem_singleton ht, ht] at *
state_before: case base
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t✝ u : Set α
u_mem : u ∈ 𝒜
a : Set (Set α)
ha : a ∈ {{u}}
t : Set α
ht : t ∈ a
⊢ t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
state_after: case base
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t✝ u : Set α
u_mem : u ∈ 𝒜
a : Set (Set α)
ha : {u} ∈ {{u}}
t : Set α
ht : u ∈ {u}
⊢ u ∈ 𝒜 ∨ uᶜ ∈ 𝒜

tactic: exact Or.inl u_mem
state_before: case base
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t✝ u : Set α
u_mem : u ∈ 𝒜
a : Set (Set α)
ha : {u} ∈ {{u}}
t : Set α
ht : u ∈ {u}
⊢ u ∈ 𝒜 ∨ uᶜ ∈ 𝒜
state_after: no goals

tactic: simp
state_before: α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
u_mem : u ∈ 𝒜
⊢ u = ⋃ a ∈ {{u}}, ⋂ t ∈ a, t
state_after: no goals

tactic: exact ⟨∅, finite_empty, fun _ h ↦ (not_mem_empty _ h).elim,
fun _ ha _ _ ↦ (not_mem_empty _ ha).elim, by simp⟩
state_before: case empty
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t : Set α
⊢ ∃ A, A.Finite ∧ (∀ a ∈ A, a.Finite) ∧ (∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜) ∧ ∅ = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
state_after: no goals

tactic: simp
state_before: α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t : Set α
⊢ ∅ = ⋃ a ∈ ∅, ⋂ t ∈ a, t
state_after: no goals

tactic: rcases u_ind with ⟨A, A_fin, mem_A, hA, u_eq⟩
state_before: case compl
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
u_ind : ∃ A, A.Finite ∧ (∀ a ∈ A, a.Finite) ∧ (∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜) ∧ u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
⊢ ∃ A, A.Finite ∧ (∀ a ∈ A, a.Finite) ∧ (∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜) ∧ uᶜ = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
state_after: case compl.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
⊢ ∃ A, A.Finite ∧ (∀ a ∈ A, a.Finite) ∧ (∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜) ∧ uᶜ = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t

tactic: have := finite_coe_iff.2 A_fin
state_before: case compl.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
⊢ ∃ A, A.Finite ∧ (∀ a ∈ A, a.Finite) ∧ (∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜) ∧ uᶜ = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
state_after: case compl.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this : Finite ↑A
⊢ ∃ A, A.Finite ∧ (∀ a ∈ A, a.Finite) ∧ (∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜) ∧ uᶜ = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t

tactic: have := fun a : A ↦ finite_coe_iff.2 <| mem_A a.1 a.2
state_before: case compl.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this : Finite ↑A
⊢ ∃ A, A.Finite ∧ (∀ a ∈ A, a.Finite) ∧ (∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜) ∧ uᶜ = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
state_after: case compl.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
⊢ ∃ A, A.Finite ∧ (∀ a ∈ A, a.Finite) ∧ (∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜) ∧ uᶜ = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t

tactic: refine ⟨{{(f a).1ᶜ | a : A} | f : (Π a : A, ↑a)}, finite_coe_iff.1 inferInstance,
  fun a ⟨f, hf⟩ ↦ hf ▸ finite_coe_iff.1 inferInstance, fun a ha t ht ↦ ?_, ?_⟩
state_before: case compl.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
⊢ ∃ A, A.Finite ∧ (∀ a ∈ A, a.Finite) ∧ (∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜) ∧ uᶜ = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
state_after: case compl.intro.intro.intro.intro.refine_1
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t✝ u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
a : Set (Set α)
ha : a ∈ {x | ∃ f, {x | ∃ a, (↑(f a))ᶜ = x} = x}
t : Set α
ht : t ∈ a
⊢ t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜

case compl.intro.intro.intro.intro.refine_2
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
⊢ uᶜ = ⋃ a ∈ {x | ∃ f, {x | ∃ a, (↑(f a))ᶜ = x} = x}, ⋂ t ∈ a, t

tactic: rcases ha with ⟨f, rfl⟩
state_before: case compl.intro.intro.intro.intro.refine_1
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t✝ u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
a : Set (Set α)
ha : a ∈ {x | ∃ f, {x | ∃ a, (↑(f a))ᶜ = x} = x}
t : Set α
ht : t ∈ a
⊢ t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
state_after: case compl.intro.intro.intro.intro.refine_1.intro
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t✝ u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
t : Set α
f : (a : ↑A) → ↑↑a
ht : t ∈ {x | ∃ a, (↑(f a))ᶜ = x}
⊢ t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜

tactic: rcases ht with ⟨a, rfl⟩
state_before: case compl.intro.intro.intro.intro.refine_1.intro
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t✝ u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
t : Set α
f : (a : ↑A) → ↑↑a
ht : t ∈ {x | ∃ a, (↑(f a))ᶜ = x}
⊢ t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
state_after: case compl.intro.intro.intro.intro.refine_1.intro.intro
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
f : (a : ↑A) → ↑↑a
a : ↑A
⊢ (↑(f a))ᶜ ∈ 𝒜 ∨ (↑(f a))ᶜᶜ ∈ 𝒜

tactic: rw [compl_compl, or_comm]
state_before: case compl.intro.intro.intro.intro.refine_1.intro.intro
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
f : (a : ↑A) → ↑↑a
a : ↑A
⊢ (↑(f a))ᶜ ∈ 𝒜 ∨ (↑(f a))ᶜᶜ ∈ 𝒜
state_after: case compl.intro.intro.intro.intro.refine_1.intro.intro
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
f : (a : ↑A) → ↑↑a
a : ↑A
⊢ ↑(f a) ∈ 𝒜 ∨ (↑(f a))ᶜ ∈ 𝒜

tactic: exact hA a.1 a.2 (f a).1 (f a).2
state_before: case compl.intro.intro.intro.intro.refine_1.intro.intro
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
f : (a : ↑A) → ↑↑a
a : ↑A
⊢ ↑(f a) ∈ 𝒜 ∨ (↑(f a))ᶜ ∈ 𝒜
state_after: no goals

tactic: ext x
state_before: case compl.intro.intro.intro.intro.refine_2
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
⊢ uᶜ = ⋃ a ∈ {x | ∃ f, {x | ∃ a, (↑(f a))ᶜ = x} = x}, ⋂ t ∈ a, t
state_after: case compl.intro.intro.intro.intro.refine_2.h
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
x : α
⊢ x ∈ uᶜ ↔ x ∈ ⋃ a ∈ {x | ∃ f, {x | ∃ a, (↑(f a))ᶜ = x} = x}, ⋂ t ∈ a, t

tactic: simp only [u_eq, compl_iUnion, compl_iInter, mem_iInter, mem_iUnion, mem_compl_iff,
  exists_prop, Subtype.exists, mem_setOf_eq, iUnion_exists, iUnion_iUnion_eq',
  iInter_exists]
state_before: case compl.intro.intro.intro.intro.refine_2.h
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
x : α
⊢ x ∈ uᶜ ↔ x ∈ ⋃ a ∈ {x | ∃ f, {x | ∃ a, (↑(f a))ᶜ = x} = x}, ⋂ t ∈ a, t
state_after: case compl.intro.intro.intro.intro.refine_2.h
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
x : α
⊢ (∀ i ∈ A, ∃ i_2 ∈ i, x ∉ i_2) ↔
    ∃ i, ∀ (i_1 : Set α) (i_2 : Set (Set α)) (i_3 : i_2 ∈ A), (↑(i ⟨i_2, ⋯⟩))ᶜ = i_1 → x ∈ i_1

tactic: constructor <;> intro hx
state_before: case compl.intro.intro.intro.intro.refine_2.h
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
x : α
⊢ (∀ i ∈ A, ∃ i_2 ∈ i, x ∉ i_2) ↔
    ∃ i, ∀ (i_1 : Set α) (i_2 : Set (Set α)) (i_3 : i_2 ∈ A), (↑(i ⟨i_2, ⋯⟩))ᶜ = i_1 → x ∈ i_1
state_after: case compl.intro.intro.intro.intro.refine_2.h.mp
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
x : α
hx : ∀ i ∈ A, ∃ i_2 ∈ i, x ∉ i_2
⊢ ∃ i, ∀ (i_1 : Set α) (i_2 : Set (Set α)) (i_3 : i_2 ∈ A), (↑(i ⟨i_2, ⋯⟩))ᶜ = i_1 → x ∈ i_1

case compl.intro.intro.intro.intro.refine_2.h.mpr
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
x : α
hx : ∃ i, ∀ (i_1 : Set α) (i_2 : Set (Set α)) (i_3 : i_2 ∈ A), (↑(i ⟨i_2, ⋯⟩))ᶜ = i_1 → x ∈ i_1
⊢ ∀ i ∈ A, ∃ i_2 ∈ i, x ∉ i_2

tactic: choose f hf using hx
state_before: case compl.intro.intro.intro.intro.refine_2.h.mp
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
x : α
hx : ∀ i ∈ A, ∃ i_2 ∈ i, x ∉ i_2
⊢ ∃ i, ∀ (i_1 : Set α) (i_2 : Set (Set α)) (i_3 : i_2 ∈ A), (↑(i ⟨i_2, ⋯⟩))ᶜ = i_1 → x ∈ i_1
state_after: case compl.intro.intro.intro.intro.refine_2.h.mp
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
x : α
f : (i : Set (Set α)) → i ∈ A → Set α
hf : ∀ (i : Set (Set α)) (i_1 : i ∈ A), f i i_1 ∈ i ∧ x ∉ f i i_1
⊢ ∃ i, ∀ (i_1 : Set α) (i_2 : Set (Set α)) (i_3 : i_2 ∈ A), (↑(i ⟨i_2, ⋯⟩))ᶜ = i_1 → x ∈ i_1

tactic: exact ⟨fun ⟨a, ha⟩ ↦ ⟨f a ha, (hf a ha).1⟩, fun _ a ha h ↦ by rw [← h]; exact (hf a ha).2⟩
state_before: case compl.intro.intro.intro.intro.refine_2.h.mp
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
x : α
f : (i : Set (Set α)) → i ∈ A → Set α
hf : ∀ (i : Set (Set α)) (i_1 : i ∈ A), f i i_1 ∈ i ∧ x ∉ f i i_1
⊢ ∃ i, ∀ (i_1 : Set α) (i_2 : Set (Set α)) (i_3 : i_2 ∈ A), (↑(i ⟨i_2, ⋯⟩))ᶜ = i_1 → x ∈ i_1
state_after: no goals

tactic: rw [← h]
state_before: α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
x : α
f : (i : Set (Set α)) → i ∈ A → Set α
hf : ∀ (i : Set (Set α)) (i_1 : i ∈ A), f i i_1 ∈ i ∧ x ∉ f i i_1
x✝ : Set α
a : Set (Set α)
ha : a ∈ A
h :
  (↑((fun x_1 =>
            match x_1 with
            | ⟨a, ha⟩ => ⟨f a ha, ⋯⟩)
          ⟨a, ⋯⟩))ᶜ =
    x✝
⊢ x ∈ x✝
state_after: α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
x : α
f : (i : Set (Set α)) → i ∈ A → Set α
hf : ∀ (i : Set (Set α)) (i_1 : i ∈ A), f i i_1 ∈ i ∧ x ∉ f i i_1
x✝ : Set α
a : Set (Set α)
ha : a ∈ A
h :
  (↑((fun x_1 =>
            match x_1 with
            | ⟨a, ha⟩ => ⟨f a ha, ⋯⟩)
          ⟨a, ⋯⟩))ᶜ =
    x✝
⊢ x ∈
    (↑((fun x_1 =>
            match x_1 with
            | ⟨a, ha⟩ => ⟨f a ha, ⋯⟩)
          ⟨a, ⋯⟩))ᶜ

tactic: exact (hf a ha).2
state_before: α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
x : α
f : (i : Set (Set α)) → i ∈ A → Set α
hf : ∀ (i : Set (Set α)) (i_1 : i ∈ A), f i i_1 ∈ i ∧ x ∉ f i i_1
x✝ : Set α
a : Set (Set α)
ha : a ∈ A
h :
  (↑((fun x_1 =>
            match x_1 with
            | ⟨a, ha⟩ => ⟨f a ha, ⋯⟩)
          ⟨a, ⋯⟩))ᶜ =
    x✝
⊢ x ∈
    (↑((fun x_1 =>
            match x_1 with
            | ⟨a, ha⟩ => ⟨f a ha, ⋯⟩)
          ⟨a, ⋯⟩))ᶜ
state_after: no goals

tactic: rcases hx with ⟨f, hf⟩
state_before: case compl.intro.intro.intro.intro.refine_2.h.mpr
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
x : α
hx : ∃ i, ∀ (i_1 : Set α) (i_2 : Set (Set α)) (i_3 : i_2 ∈ A), (↑(i ⟨i_2, ⋯⟩))ᶜ = i_1 → x ∈ i_1
⊢ ∀ i ∈ A, ∃ i_2 ∈ i, x ∉ i_2
state_after: case compl.intro.intro.intro.intro.refine_2.h.mpr.intro
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
x : α
f : (a : ↑A) → ↑↑a
hf : ∀ (i : Set α) (i_1 : Set (Set α)) (i_2 : i_1 ∈ A), (↑(f ⟨i_1, ⋯⟩))ᶜ = i → x ∈ i
⊢ ∀ i ∈ A, ∃ i_2 ∈ i, x ∉ i_2

tactic: exact fun a ha ↦ ⟨f ⟨a, ha⟩, (f ⟨a, ha⟩).2, hf (f ⟨a, ha⟩)ᶜ a ha rfl⟩
state_before: case compl.intro.intro.intro.intro.refine_2.h.mpr.intro
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
x : α
f : (a : ↑A) → ↑↑a
hf : ∀ (i : Set α) (i_1 : Set (Set α)) (i_2 : i_1 ∈ A), (↑(f ⟨i_1, ⋯⟩))ᶜ = i → x ∈ i
⊢ ∀ i ∈ A, ∃ i_2 ∈ i, x ∉ i_2
state_after: no goals

tactic: rcases u_ind with ⟨Au, Au_fin, mem_Au, hAu, u_eq⟩
state_before: case union
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u v : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
ht✝ : generateSetAlgebra 𝒜 v
u_ind : ∃ A, A.Finite ∧ (∀ a ∈ A, a.Finite) ∧ (∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜) ∧ u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
v_ind : ∃ A, A.Finite ∧ (∀ a ∈ A, a.Finite) ∧ (∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜) ∧ v = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
⊢ ∃ A, A.Finite ∧ (∀ a ∈ A, a.Finite) ∧ (∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜) ∧ u ∪ v = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
state_after: case union.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u v : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
ht✝ : generateSetAlgebra 𝒜 v
v_ind : ∃ A, A.Finite ∧ (∀ a ∈ A, a.Finite) ∧ (∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜) ∧ v = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
Au : Set (Set (Set α))
Au_fin : Au.Finite
mem_Au : ∀ a ∈ Au, a.Finite
hAu : ∀ a ∈ Au, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ Au, ⋂ t ∈ a, t
⊢ ∃ A, A.Finite ∧ (∀ a ∈ A, a.Finite) ∧ (∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜) ∧ u ∪ v = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t

tactic: rcases v_ind with ⟨Av, Av_fin, mem_Av, hAv, v_eq⟩
state_before: case union.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u v : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
ht✝ : generateSetAlgebra 𝒜 v
v_ind : ∃ A, A.Finite ∧ (∀ a ∈ A, a.Finite) ∧ (∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜) ∧ v = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
Au : Set (Set (Set α))
Au_fin : Au.Finite
mem_Au : ∀ a ∈ Au, a.Finite
hAu : ∀ a ∈ Au, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ Au, ⋂ t ∈ a, t
⊢ ∃ A, A.Finite ∧ (∀ a ∈ A, a.Finite) ∧ (∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜) ∧ u ∪ v = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
state_after: case union.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u v : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
ht✝ : generateSetAlgebra 𝒜 v
Au : Set (Set (Set α))
Au_fin : Au.Finite
mem_Au : ∀ a ∈ Au, a.Finite
hAu : ∀ a ∈ Au, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ Au, ⋂ t ∈ a, t
Av : Set (Set (Set α))
Av_fin : Av.Finite
mem_Av : ∀ a ∈ Av, a.Finite
hAv : ∀ a ∈ Av, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
v_eq : v = ⋃ a ∈ Av, ⋂ t ∈ a, t
⊢ ∃ A, A.Finite ∧ (∀ a ∈ A, a.Finite) ∧ (∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜) ∧ u ∪ v = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t

tactic: refine ⟨Au ∪ Av, Au_fin.union Av_fin, ?_, ?_, by rw [u_eq, v_eq, ← biUnion_union]⟩
state_before: case union.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u v : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
ht✝ : generateSetAlgebra 𝒜 v
Au : Set (Set (Set α))
Au_fin : Au.Finite
mem_Au : ∀ a ∈ Au, a.Finite
hAu : ∀ a ∈ Au, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ Au, ⋂ t ∈ a, t
Av : Set (Set (Set α))
Av_fin : Av.Finite
mem_Av : ∀ a ∈ Av, a.Finite
hAv : ∀ a ∈ Av, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
v_eq : v = ⋃ a ∈ Av, ⋂ t ∈ a, t
⊢ ∃ A, A.Finite ∧ (∀ a ∈ A, a.Finite) ∧ (∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜) ∧ u ∪ v = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
state_after: case union.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u v : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
ht✝ : generateSetAlgebra 𝒜 v
Au : Set (Set (Set α))
Au_fin : Au.Finite
mem_Au : ∀ a ∈ Au, a.Finite
hAu : ∀ a ∈ Au, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ Au, ⋂ t ∈ a, t
Av : Set (Set (Set α))
Av_fin : Av.Finite
mem_Av : ∀ a ∈ Av, a.Finite
hAv : ∀ a ∈ Av, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
v_eq : v = ⋃ a ∈ Av, ⋂ t ∈ a, t
⊢ ∀ a ∈ Au ∪ Av, a.Finite

case union.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u v : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
ht✝ : generateSetAlgebra 𝒜 v
Au : Set (Set (Set α))
Au_fin : Au.Finite
mem_Au : ∀ a ∈ Au, a.Finite
hAu : ∀ a ∈ Au, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ Au, ⋂ t ∈ a, t
Av : Set (Set (Set α))
Av_fin : Av.Finite
mem_Av : ∀ a ∈ Av, a.Finite
hAv : ∀ a ∈ Av, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
v_eq : v = ⋃ a ∈ Av, ⋂ t ∈ a, t
⊢ ∀ a ∈ Au ∪ Av, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜

tactic: rw [u_eq, v_eq, ← biUnion_union]
state_before: α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u v : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
ht✝ : generateSetAlgebra 𝒜 v
Au : Set (Set (Set α))
Au_fin : Au.Finite
mem_Au : ∀ a ∈ Au, a.Finite
hAu : ∀ a ∈ Au, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ Au, ⋂ t ∈ a, t
Av : Set (Set (Set α))
Av_fin : Av.Finite
mem_Av : ∀ a ∈ Av, a.Finite
hAv : ∀ a ∈ Av, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
v_eq : v = ⋃ a ∈ Av, ⋂ t ∈ a, t
⊢ u ∪ v = ⋃ a ∈ Au ∪ Av, ⋂ t ∈ a, t
state_after: no goals

tactic: rintro a (ha | ha)
state_before: case union.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u v : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
ht✝ : generateSetAlgebra 𝒜 v
Au : Set (Set (Set α))
Au_fin : Au.Finite
mem_Au : ∀ a ∈ Au, a.Finite
hAu : ∀ a ∈ Au, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ Au, ⋂ t ∈ a, t
Av : Set (Set (Set α))
Av_fin : Av.Finite
mem_Av : ∀ a ∈ Av, a.Finite
hAv : ∀ a ∈ Av, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
v_eq : v = ⋃ a ∈ Av, ⋂ t ∈ a, t
⊢ ∀ a ∈ Au ∪ Av, a.Finite
state_after: case union.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1.inl
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u v : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
ht✝ : generateSetAlgebra 𝒜 v
Au : Set (Set (Set α))
Au_fin : Au.Finite
mem_Au : ∀ a ∈ Au, a.Finite
hAu : ∀ a ∈ Au, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ Au, ⋂ t ∈ a, t
Av : Set (Set (Set α))
Av_fin : Av.Finite
mem_Av : ∀ a ∈ Av, a.Finite
hAv : ∀ a ∈ Av, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
v_eq : v = ⋃ a ∈ Av, ⋂ t ∈ a, t
a : Set (Set α)
ha : a ∈ Au
⊢ a.Finite

case union.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1.inr
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u v : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
ht✝ : generateSetAlgebra 𝒜 v
Au : Set (Set (Set α))
Au_fin : Au.Finite
mem_Au : ∀ a ∈ Au, a.Finite
hAu : ∀ a ∈ Au, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ Au, ⋂ t ∈ a, t
Av : Set (Set (Set α))
Av_fin : Av.Finite
mem_Av : ∀ a ∈ Av, a.Finite
hAv : ∀ a ∈ Av, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
v_eq : v = ⋃ a ∈ Av, ⋂ t ∈ a, t
a : Set (Set α)
ha : a ∈ Av
⊢ a.Finite

tactic: exact mem_Au a ha
state_before: case union.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1.inl
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u v : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
ht✝ : generateSetAlgebra 𝒜 v
Au : Set (Set (Set α))
Au_fin : Au.Finite
mem_Au : ∀ a ∈ Au, a.Finite
hAu : ∀ a ∈ Au, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ Au, ⋂ t ∈ a, t
Av : Set (Set (Set α))
Av_fin : Av.Finite
mem_Av : ∀ a ∈ Av, a.Finite
hAv : ∀ a ∈ Av, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
v_eq : v = ⋃ a ∈ Av, ⋂ t ∈ a, t
a : Set (Set α)
ha : a ∈ Au
⊢ a.Finite
state_after: no goals

tactic: exact mem_Av a ha
state_before: case union.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1.inr
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u v : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
ht✝ : generateSetAlgebra 𝒜 v
Au : Set (Set (Set α))
Au_fin : Au.Finite
mem_Au : ∀ a ∈ Au, a.Finite
hAu : ∀ a ∈ Au, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ Au, ⋂ t ∈ a, t
Av : Set (Set (Set α))
Av_fin : Av.Finite
mem_Av : ∀ a ∈ Av, a.Finite
hAv : ∀ a ∈ Av, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
v_eq : v = ⋃ a ∈ Av, ⋂ t ∈ a, t
a : Set (Set α)
ha : a ∈ Av
⊢ a.Finite
state_after: no goals

tactic: rintro a (ha | ha) t ht
state_before: case union.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t u v : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
ht✝ : generateSetAlgebra 𝒜 v
Au : Set (Set (Set α))
Au_fin : Au.Finite
mem_Au : ∀ a ∈ Au, a.Finite
hAu : ∀ a ∈ Au, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ Au, ⋂ t ∈ a, t
Av : Set (Set (Set α))
Av_fin : Av.Finite
mem_Av : ∀ a ∈ Av, a.Finite
hAv : ∀ a ∈ Av, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
v_eq : v = ⋃ a ∈ Av, ⋂ t ∈ a, t
⊢ ∀ a ∈ Au ∪ Av, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
state_after: case union.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.inl
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t✝ u v : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
ht✝ : generateSetAlgebra 𝒜 v
Au : Set (Set (Set α))
Au_fin : Au.Finite
mem_Au : ∀ a ∈ Au, a.Finite
hAu : ∀ a ∈ Au, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ Au, ⋂ t ∈ a, t
Av : Set (Set (Set α))
Av_fin : Av.Finite
mem_Av : ∀ a ∈ Av, a.Finite
hAv : ∀ a ∈ Av, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
v_eq : v = ⋃ a ∈ Av, ⋂ t ∈ a, t
a : Set (Set α)
ha : a ∈ Au
t : Set α
ht : t ∈ a
⊢ t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜

case union.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.inr
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t✝ u v : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
ht✝ : generateSetAlgebra 𝒜 v
Au : Set (Set (Set α))
Au_fin : Au.Finite
mem_Au : ∀ a ∈ Au, a.Finite
hAu : ∀ a ∈ Au, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ Au, ⋂ t ∈ a, t
Av : Set (Set (Set α))
Av_fin : Av.Finite
mem_Av : ∀ a ∈ Av, a.Finite
hAv : ∀ a ∈ Av, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
v_eq : v = ⋃ a ∈ Av, ⋂ t ∈ a, t
a : Set (Set α)
ha : a ∈ Av
t : Set α
ht : t ∈ a
⊢ t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜

tactic: exact hAu a ha t ht
state_before: case union.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.inl
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t✝ u v : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
ht✝ : generateSetAlgebra 𝒜 v
Au : Set (Set (Set α))
Au_fin : Au.Finite
mem_Au : ∀ a ∈ Au, a.Finite
hAu : ∀ a ∈ Au, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ Au, ⋂ t ∈ a, t
Av : Set (Set (Set α))
Av_fin : Av.Finite
mem_Av : ∀ a ∈ Av, a.Finite
hAv : ∀ a ∈ Av, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
v_eq : v = ⋃ a ∈ Av, ⋂ t ∈ a, t
a : Set (Set α)
ha : a ∈ Au
t : Set α
ht : t ∈ a
⊢ t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
state_after: no goals

tactic: exact hAv a ha t ht
state_before: case union.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.inr
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t✝ u v : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
ht✝ : generateSetAlgebra 𝒜 v
Au : Set (Set (Set α))
Au_fin : Au.Finite
mem_Au : ∀ a ∈ Au, a.Finite
hAu : ∀ a ∈ Au, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ Au, ⋂ t ∈ a, t
Av : Set (Set (Set α))
Av_fin : Av.Finite
mem_Av : ∀ a ∈ Av, a.Finite
hAv : ∀ a ∈ Av, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
v_eq : v = ⋃ a ∈ Av, ⋂ t ∈ a, t
a : Set (Set α)
ha : a ∈ Av
t : Set α
ht : t ∈ a
⊢ t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
state_after: no goals