Theorem: ShrinkingLemma.PartialRefinement.exists_gt
File: Mathlib/Topology/ShrinkingLemma.lean

tactic: have I : (s ∩ ⋂ (j) (_ : j ≠ i), (v j)ᶜ) ⊆ v i := by
  simp only [subset_def, mem_inter_iff, mem_iInter, and_imp]
  intro x hxs H
  rcases mem_iUnion.1 (v.subset_iUnion hxs) with ⟨j, hj⟩
  exact (em (j = i)).elim (fun h => h ▸ hj) fun h => (H j h hj).elim
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
⊢ ∃ v', v < v'
state_after: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
⊢ ∃ v', v < v'

tactic: have C : IsClosed (s ∩ ⋂ (j) (_ : j ≠ i), (v j)ᶜ) :=
  IsClosed.inter hs (isClosed_biInter fun _ _ => isClosed_compl_iff.2 <| v.isOpen _)
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
⊢ ∃ v', v < v'
state_after: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
⊢ ∃ v', v < v'

tactic: rcases normal_exists_closure_subset C (v.isOpen i) I with ⟨vi, ovi, hvi, cvi⟩
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
⊢ ∃ v', v < v'
state_after: case intro.intro.intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
⊢ ∃ v', v < v'

tactic: refine ⟨⟨update v i vi, insert i v.carrier, ?_, ?_, ?_, ?_⟩, ?_, ?_⟩
state_before: case intro.intro.intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
⊢ ∃ v', v < v'
state_after: case intro.intro.intro.refine_1
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
⊢ ∀ (i_1 : ι), IsOpen (update v.toFun i vi i_1)

case intro.intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
⊢ s ⊆ ⋃ i_1, update v.toFun i vi i_1

case intro.intro.intro.refine_3
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
⊢ ∀ {i_1 : ι}, i_1 ∈ insert i v.carrier → closure (update v.toFun i vi i_1) ⊆ u i_1

case intro.intro.intro.refine_4
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
⊢ ∀ {i_1 : ι}, i_1 ∉ insert i v.carrier → update v.toFun i vi i_1 = u i_1

case intro.intro.intro.refine_5
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
⊢ v.carrier ⊆
      { toFun := update v.toFun i vi, carrier := insert i v.carrier, isOpen := ?intro.intro.intro.refine_1,
          subset_iUnion := ?intro.intro.intro.refine_2, closure_subset := ?intro.intro.intro.refine_3,
          apply_eq := ?intro.intro.intro.refine_4 }.carrier ∧
    ∀ i_1 ∈ v.carrier,
      v.toFun i_1 =
        { toFun := update v.toFun i vi, carrier := insert i v.carrier, isOpen := ?intro.intro.intro.refine_1,
              subset_iUnion := ?intro.intro.intro.refine_2, closure_subset := ?intro.intro.intro.refine_3,
              apply_eq := ?intro.intro.intro.refine_4 }.toFun
          i_1

case intro.intro.intro.refine_6
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
⊢ ¬({ toFun := update v.toFun i vi, carrier := insert i v.carrier, isOpen := ?intro.intro.intro.refine_1,
            subset_iUnion := ?intro.intro.intro.refine_2, closure_subset := ?intro.intro.intro.refine_3,
            apply_eq := ?intro.intro.intro.refine_4 }.carrier ⊆
        v.carrier ∧
      ∀
        i_1 ∈
          { toFun := update v.toFun i vi, carrier := insert i v.carrier, isOpen := ?intro.intro.intro.refine_1,
              subset_iUnion := ?intro.intro.intro.refine_2, closure_subset := ?intro.intro.intro.refine_3,
              apply_eq := ?intro.intro.intro.refine_4 }.carrier,
        { toFun := update v.toFun i vi, carrier := insert i v.carrier, isOpen := ?intro.intro.intro.refine_1,
                subset_iUnion := ?intro.intro.intro.refine_2, closure_subset := ?intro.intro.intro.refine_3,
                apply_eq := ?intro.intro.intro.refine_4 }.toFun
            i_1 =
          v.toFun i_1)

tactic: simp only [subset_def, mem_inter_iff, mem_iInter, and_imp]
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
⊢ s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
state_after: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
⊢ ∀ x ∈ s, (∀ (i_1 : ι), i_1 ≠ i → x ∈ (v.toFun i_1)ᶜ) → x ∈ v.toFun i

tactic: intro x hxs H
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
⊢ ∀ x ∈ s, (∀ (i_1 : ι), i_1 ≠ i → x ∈ (v.toFun i_1)ᶜ) → x ∈ v.toFun i
state_after: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
x : X
hxs : x ∈ s
H : ∀ (i_1 : ι), i_1 ≠ i → x ∈ (v.toFun i_1)ᶜ
⊢ x ∈ v.toFun i

tactic: rcases mem_iUnion.1 (v.subset_iUnion hxs) with ⟨j, hj⟩
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
x : X
hxs : x ∈ s
H : ∀ (i_1 : ι), i_1 ≠ i → x ∈ (v.toFun i_1)ᶜ
⊢ x ∈ v.toFun i
state_after: case intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
x : X
hxs : x ∈ s
H : ∀ (i_1 : ι), i_1 ≠ i → x ∈ (v.toFun i_1)ᶜ
j : ι
hj : x ∈ v.toFun j
⊢ x ∈ v.toFun i

tactic: exact (em (j = i)).elim (fun h => h ▸ hj) fun h => (H j h hj).elim
state_before: case intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
x : X
hxs : x ∈ s
H : ∀ (i_1 : ι), i_1 ≠ i → x ∈ (v.toFun i_1)ᶜ
j : ι
hj : x ∈ v.toFun j
⊢ x ∈ v.toFun i
state_after: no goals

tactic: intro j
state_before: case intro.intro.intro.refine_1
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
⊢ ∀ (i_1 : ι), IsOpen (update v.toFun i vi i_1)
state_after: case intro.intro.intro.refine_1
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
j : ι
⊢ IsOpen (update v.toFun i vi j)

tactic: rcases eq_or_ne j i with (rfl| hne) <;> simp [*, v.isOpen]
state_before: case intro.intro.intro.refine_1
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
j : ι
⊢ IsOpen (update v.toFun i vi j)
state_after: no goals

tactic: refine fun x hx => mem_iUnion.2 ?_
state_before: case intro.intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
⊢ s ⊆ ⋃ i_1, update v.toFun i vi i_1
state_after: case intro.intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
x : X
hx : x ∈ s
⊢ ∃ i_1, x ∈ update v.toFun i vi i_1

tactic: rcases em (∃ j ≠ i, x ∈ v j) with (⟨j, hji, hj⟩ | h)
state_before: case intro.intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
x : X
hx : x ∈ s
⊢ ∃ i_1, x ∈ update v.toFun i vi i_1
state_after: case intro.intro.intro.refine_2.inl.intro.intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
x : X
hx : x ∈ s
j : ι
hji : j ≠ i
hj : x ∈ v.toFun j
⊢ ∃ i_1, x ∈ update v.toFun i vi i_1

case intro.intro.intro.refine_2.inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
x : X
hx : x ∈ s
h : ¬∃ j, j ≠ i ∧ x ∈ v.toFun j
⊢ ∃ i_1, x ∈ update v.toFun i vi i_1

tactic: use j
state_before: case intro.intro.intro.refine_2.inl.intro.intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
x : X
hx : x ∈ s
j : ι
hji : j ≠ i
hj : x ∈ v.toFun j
⊢ ∃ i_1, x ∈ update v.toFun i vi i_1
state_after: case h
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
x : X
hx : x ∈ s
j : ι
hji : j ≠ i
hj : x ∈ v.toFun j
⊢ x ∈ update v.toFun i vi j

tactic: rwa [update_noteq hji]
state_before: case h
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
x : X
hx : x ∈ s
j : ι
hji : j ≠ i
hj : x ∈ v.toFun j
⊢ x ∈ update v.toFun i vi j
state_after: no goals

tactic: push_neg at h
state_before: case intro.intro.intro.refine_2.inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
x : X
hx : x ∈ s
h : ¬∃ j, j ≠ i ∧ x ∈ v.toFun j
⊢ ∃ i_1, x ∈ update v.toFun i vi i_1
state_after: case intro.intro.intro.refine_2.inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
x : X
hx : x ∈ s
h : ∀ (j : ι), j ≠ i → x ∉ v.toFun j
⊢ ∃ i_1, x ∈ update v.toFun i vi i_1

tactic: use i
state_before: case intro.intro.intro.refine_2.inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
x : X
hx : x ∈ s
h : ∀ (j : ι), j ≠ i → x ∉ v.toFun j
⊢ ∃ i_1, x ∈ update v.toFun i vi i_1
state_after: case h
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
x : X
hx : x ∈ s
h : ∀ (j : ι), j ≠ i → x ∉ v.toFun j
⊢ x ∈ update v.toFun i vi i

tactic: rw [update_same]
state_before: case h
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
x : X
hx : x ∈ s
h : ∀ (j : ι), j ≠ i → x ∉ v.toFun j
⊢ x ∈ update v.toFun i vi i
state_after: case h
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
x : X
hx : x ∈ s
h : ∀ (j : ι), j ≠ i → x ∉ v.toFun j
⊢ x ∈ vi

tactic: exact hvi ⟨hx, mem_biInter h⟩
state_before: case h
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
x : X
hx : x ∈ s
h : ∀ (j : ι), j ≠ i → x ∉ v.toFun j
⊢ x ∈ vi
state_after: no goals

tactic: rintro j (rfl | hj)
state_before: case intro.intro.intro.refine_3
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
⊢ ∀ {i_1 : ι}, i_1 ∈ insert i v.carrier → closure (update v.toFun i vi i_1) ⊆ u i_1
state_after: case intro.intro.intro.refine_3.inl
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
j : ι
hi : j ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j_1, ⋂ (_ : j_1 ≠ j), (v.toFun j_1)ᶜ ⊆ v.toFun j
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j_1, ⋂ (_ : j_1 ≠ j), (v.toFun j_1)ᶜ)
hvi : s ∩ ⋂ j_1, ⋂ (_ : j_1 ≠ j), (v.toFun j_1)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun j
⊢ closure (update v.toFun j vi j) ⊆ u j

case intro.intro.intro.refine_3.inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
j : ι
hj : j ∈ v.carrier
⊢ closure (update v.toFun i vi j) ⊆ u j

tactic: rwa [update_same, ← v.apply_eq hi]
state_before: case intro.intro.intro.refine_3.inl
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
j : ι
hi : j ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j_1, ⋂ (_ : j_1 ≠ j), (v.toFun j_1)ᶜ ⊆ v.toFun j
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j_1, ⋂ (_ : j_1 ≠ j), (v.toFun j_1)ᶜ)
hvi : s ∩ ⋂ j_1, ⋂ (_ : j_1 ≠ j), (v.toFun j_1)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun j
⊢ closure (update v.toFun j vi j) ⊆ u j
state_after: no goals

tactic: rw [update_noteq (ne_of_mem_of_not_mem hj hi)]
state_before: case intro.intro.intro.refine_3.inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
j : ι
hj : j ∈ v.carrier
⊢ closure (update v.toFun i vi j) ⊆ u j
state_after: case intro.intro.intro.refine_3.inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
j : ι
hj : j ∈ v.carrier
⊢ closure (v.toFun j) ⊆ u j

tactic: exact v.closure_subset hj
state_before: case intro.intro.intro.refine_3.inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
j : ι
hj : j ∈ v.carrier
⊢ closure (v.toFun j) ⊆ u j
state_after: no goals

tactic: intro j hj
state_before: case intro.intro.intro.refine_4
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
⊢ ∀ {i_1 : ι}, i_1 ∉ insert i v.carrier → update v.toFun i vi i_1 = u i_1
state_after: case intro.intro.intro.refine_4
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
j : ι
hj : j ∉ insert i v.carrier
⊢ update v.toFun i vi j = u j

tactic: rw [mem_insert_iff, not_or] at hj
state_before: case intro.intro.intro.refine_4
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
j : ι
hj : j ∉ insert i v.carrier
⊢ update v.toFun i vi j = u j
state_after: case intro.intro.intro.refine_4
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
j : ι
hj : ¬j = i ∧ j ∉ v.carrier
⊢ update v.toFun i vi j = u j

tactic: rw [update_noteq hj.1, v.apply_eq hj.2]
state_before: case intro.intro.intro.refine_4
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
j : ι
hj : ¬j = i ∧ j ∉ v.carrier
⊢ update v.toFun i vi j = u j
state_after: no goals

tactic: refine ⟨subset_insert _ _, fun j hj => ?_⟩
state_before: case intro.intro.intro.refine_5
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
⊢ v.carrier ⊆
      { toFun := update v.toFun i vi, carrier := insert i v.carrier, isOpen := ⋯, subset_iUnion := ⋯,
          closure_subset := ⋯, apply_eq := ⋯ }.carrier ∧
    ∀ i_1 ∈ v.carrier,
      v.toFun i_1 =
        { toFun := update v.toFun i vi, carrier := insert i v.carrier, isOpen := ⋯, subset_iUnion := ⋯,
              closure_subset := ⋯, apply_eq := ⋯ }.toFun
          i_1
state_after: case intro.intro.intro.refine_5
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
j : ι
hj : j ∈ v.carrier
⊢ v.toFun j =
    { toFun := update v.toFun i vi, carrier := insert i v.carrier, isOpen := ⋯, subset_iUnion := ⋯, closure_subset := ⋯,
          apply_eq := ⋯ }.toFun
      j

tactic: exact (update_noteq (ne_of_mem_of_not_mem hj hi) _ _).symm
state_before: case intro.intro.intro.refine_5
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
j : ι
hj : j ∈ v.carrier
⊢ v.toFun j =
    { toFun := update v.toFun i vi, carrier := insert i v.carrier, isOpen := ⋯, subset_iUnion := ⋯, closure_subset := ⋯,
          apply_eq := ⋯ }.toFun
      j
state_after: no goals

tactic: exact fun hle => hi (hle.1 <| mem_insert _ _)
state_before: case intro.intro.intro.refine_6
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
⊢ ¬({ toFun := update v.toFun i vi, carrier := insert i v.carrier, isOpen := ⋯, subset_iUnion := ⋯, closure_subset := ⋯,
            apply_eq := ⋯ }.carrier ⊆
        v.carrier ∧
      ∀
        i_1 ∈
          { toFun := update v.toFun i vi, carrier := insert i v.carrier, isOpen := ⋯, subset_iUnion := ⋯,
              closure_subset := ⋯, apply_eq := ⋯ }.carrier,
        { toFun := update v.toFun i vi, carrier := insert i v.carrier, isOpen := ⋯, subset_iUnion := ⋯,
                closure_subset := ⋯, apply_eq := ⋯ }.toFun
            i_1 =
          v.toFun i_1)
state_after: no goals