Theorem: norm_eq_iInf_iff_real_inner_le_zero
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean

tactic: letI : Nonempty K := ⟨⟨v, hv⟩⟩
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖ ↔ ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖ ↔ ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0

tactic: constructor
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖ ↔ ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖ → ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0

case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
⊢ (∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0) → ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖

tactic: intro eq w hw
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖ → ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0

tactic: let δ := ⨅ w : K, ‖u - w‖
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0

tactic: let p := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0

tactic: let q := ‖w - v‖ ^ 2
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0

tactic: have δ_le (w : K) : δ ≤ ‖u - w‖ := ciInf_le ⟨0, fun _ ⟨_, h⟩ => h ▸ norm_nonneg _⟩ _
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0

tactic: have δ_le' (w) (hw : w ∈ K) : δ ≤ ‖u - w‖ := δ_le ⟨w, hw⟩
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0

tactic: have (θ : ℝ) (hθ₁ : 0 < θ) (hθ₂ : θ ≤ 1) : 2 * p ≤ θ * q := by
  have : ‖u - v‖ ^ 2 ≤ ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 :=
    calc ‖u - v‖ ^ 2
      _ ≤ ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖ ^ 2 := by
        simp only [sq]; apply mul_self_le_mul_self (norm_nonneg _)
        rw [eq]; apply δ_le'
        apply h hw hv
        exacts [le_of_lt hθ₁, sub_nonneg.2 hθ₂, add_sub_cancel _ _]
      _ = ‖u - v - θ • (w - v)‖ ^ 2 := by
        have : u - (θ • w + (1 - θ) • v) = u - v - θ • (w - v) := by
          rw [smul_sub, sub_smul, one_smul]
          simp only [sub_eq_add_neg, add_comm, add_left_comm, add_assoc, neg_add_rev]
        rw [this]
      _ = ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * inner (u - v) (w - v) + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 := by
        rw [@norm_sub_sq ℝ, inner_smul_right, norm_smul]
        simp only [sq]
        show
          ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * (θ * inner (u - v) (w - v)) +
            absR θ * ‖w - v‖ * (absR θ * ‖w - v‖) =
          ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * θ * inner (u - v) (w - v) + θ * θ * (‖w - v‖ * ‖w - v‖)
        rw [abs_of_pos hθ₁]; ring
  have eq₁ :
    ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * inner (u - v) (w - v) + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 =
      ‖u - v‖ ^ 2 + (θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * inner (u - v) (w - v)) := by
    abel
  rw [eq₁, le_add_iff_nonneg_right] at this
  have eq₂ :
    θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * inner (u - v) (w - v) =
      θ * (θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * inner (u - v) (w - v)) := by ring
  rw [eq₂] at this
  have := le_of_sub_nonneg (nonneg_of_mul_nonneg_right this hθ₁)
  exact this
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * q
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0

tactic: by_cases hq : q = 0
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * q
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
state_after: case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * q
hq : q = 0
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0

case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * q
hq : ¬q = 0
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0

tactic: have : ‖u - v‖ ^ 2 ≤ ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 :=
  calc ‖u - v‖ ^ 2
    _ ≤ ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖ ^ 2 := by
      simp only [sq]; apply mul_self_le_mul_self (norm_nonneg _)
      rw [eq]; apply δ_le'
      apply h hw hv
      exacts [le_of_lt hθ₁, sub_nonneg.2 hθ₂, add_sub_cancel _ _]
    _ = ‖u - v - θ • (w - v)‖ ^ 2 := by
      have : u - (θ • w + (1 - θ) • v) = u - v - θ • (w - v) := by
        rw [smul_sub, sub_smul, one_smul]
        simp only [sub_eq_add_neg, add_comm, add_left_comm, add_assoc, neg_add_rev]
      rw [this]
    _ = ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * inner (u - v) (w - v) + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 := by
      rw [@norm_sub_sq ℝ, inner_smul_right, norm_smul]
      simp only [sq]
      show
        ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * (θ * inner (u - v) (w - v)) +
          absR θ * ‖w - v‖ * (absR θ * ‖w - v‖) =
        ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * θ * inner (u - v) (w - v) + θ * θ * (‖w - v‖ * ‖w - v‖)
      rw [abs_of_pos hθ₁]; ring
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ 2 * p ≤ θ * q
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
this : ‖u - v‖ ^ 2 ≤ ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2
⊢ 2 * p ≤ θ * q

tactic: have eq₁ :
  ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * inner (u - v) (w - v) + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 =
    ‖u - v‖ ^ 2 + (θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * inner (u - v) (w - v)) := by
  abel
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
this : ‖u - v‖ ^ 2 ≤ ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2
⊢ 2 * p ≤ θ * q
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
this : ‖u - v‖ ^ 2 ≤ ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2
eq₁ :
  ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 =
    ‖u - v‖ ^ 2 + (θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
⊢ 2 * p ≤ θ * q

tactic: rw [eq₁, le_add_iff_nonneg_right] at this
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
this : ‖u - v‖ ^ 2 ≤ ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2
eq₁ :
  ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 =
    ‖u - v‖ ^ 2 + (θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
⊢ 2 * p ≤ θ * q
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
this : 0 ≤ θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
eq₁ :
  ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 =
    ‖u - v‖ ^ 2 + (θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
⊢ 2 * p ≤ θ * q

tactic: have eq₂ :
  θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * inner (u - v) (w - v) =
    θ * (θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * inner (u - v) (w - v)) := by ring
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
this : 0 ≤ θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
eq₁ :
  ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 =
    ‖u - v‖ ^ 2 + (θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
⊢ 2 * p ≤ θ * q
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
this : 0 ≤ θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
eq₁ :
  ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 =
    ‖u - v‖ ^ 2 + (θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
eq₂ : θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ = θ * (θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
⊢ 2 * p ≤ θ * q

tactic: rw [eq₂] at this
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
this : 0 ≤ θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
eq₁ :
  ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 =
    ‖u - v‖ ^ 2 + (θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
eq₂ : θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ = θ * (θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
⊢ 2 * p ≤ θ * q
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
this : 0 ≤ θ * (θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
eq₁ :
  ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 =
    ‖u - v‖ ^ 2 + (θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
eq₂ : θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ = θ * (θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
⊢ 2 * p ≤ θ * q

tactic: have := le_of_sub_nonneg (nonneg_of_mul_nonneg_right this hθ₁)
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
this : 0 ≤ θ * (θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
eq₁ :
  ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 =
    ‖u - v‖ ^ 2 + (θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
eq₂ : θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ = θ * (θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
⊢ 2 * p ≤ θ * q
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝¹ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
this✝ : 0 ≤ θ * (θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
eq₁ :
  ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 =
    ‖u - v‖ ^ 2 + (θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
eq₂ : θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ = θ * (θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
this : 2 * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ θ * ‖w - v‖ ^ 2
⊢ 2 * p ≤ θ * q

tactic: exact this
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝¹ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
this✝ : 0 ≤ θ * (θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
eq₁ :
  ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 =
    ‖u - v‖ ^ 2 + (θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
eq₂ : θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ = θ * (θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
this : 2 * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ θ * ‖w - v‖ ^ 2
⊢ 2 * p ≤ θ * q
state_after: no goals

tactic: simp only [sq]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ ‖u - v‖ ^ 2 ≤ ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖ ^ 2
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ ‖u - v‖ * ‖u - v‖ ≤ ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖ * ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖

tactic: apply mul_self_le_mul_self (norm_nonneg _)
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ ‖u - v‖ * ‖u - v‖ ≤ ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖ * ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ ‖u - v‖ ≤ ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖

tactic: rw [eq]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ ‖u - v‖ ≤ ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ ⨅ w, ‖u - ↑w‖ ≤ ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖

tactic: apply δ_le'
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ ⨅ w, ‖u - ↑w‖ ≤ ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖
state_after: case hw
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ θ • w + (1 - θ) • v ∈ K

tactic: apply h hw hv
state_before: case hw
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ θ • w + (1 - θ) • v ∈ K
state_after: case hw.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ 0 ≤ θ

case hw.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ 0 ≤ 1 - θ

case hw.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ θ + (1 - θ) = 1

tactic: exacts [le_of_lt hθ₁, sub_nonneg.2 hθ₂, add_sub_cancel _ _]
state_before: case hw.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ 0 ≤ θ

case hw.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ 0 ≤ 1 - θ

case hw.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ θ + (1 - θ) = 1
state_after: no goals

tactic: have : u - (θ • w + (1 - θ) • v) = u - v - θ • (w - v) := by
  rw [smul_sub, sub_smul, one_smul]
  simp only [sub_eq_add_neg, add_comm, add_left_comm, add_assoc, neg_add_rev]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖ ^ 2 = ‖u - v - θ • (w - v)‖ ^ 2
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
this : u - (θ • w + (1 - θ) • v) = u - v - θ • (w - v)
⊢ ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖ ^ 2 = ‖u - v - θ • (w - v)‖ ^ 2

tactic: rw [this]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
this : u - (θ • w + (1 - θ) • v) = u - v - θ • (w - v)
⊢ ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖ ^ 2 = ‖u - v - θ • (w - v)‖ ^ 2
state_after: no goals

tactic: rw [smul_sub, sub_smul, one_smul]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ u - (θ • w + (1 - θ) • v) = u - v - θ • (w - v)
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ u - (θ • w + (v - θ • v)) = u - v - (θ • w - θ • v)

tactic: simp only [sub_eq_add_neg, add_comm, add_left_comm, add_assoc, neg_add_rev]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ u - (θ • w + (v - θ • v)) = u - v - (θ • w - θ • v)
state_after: no goals

tactic: rw [@norm_sub_sq ℝ, inner_smul_right, norm_smul]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ ‖u - v - θ • (w - v)‖ ^ 2 = ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * re (θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ) + (‖θ‖ * ‖w - v‖) ^ 2 =
    ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2

tactic: simp only [sq]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * re (θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ) + (‖θ‖ * ‖w - v‖) ^ 2 =
    ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * re (θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ) + ‖θ‖ * ‖w - v‖ * (‖θ‖ * ‖w - v‖) =
    ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * (‖w - v‖ * ‖w - v‖)

tactic: show
  ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * (θ * inner (u - v) (w - v)) +
    absR θ * ‖w - v‖ * (absR θ * ‖w - v‖) =
  ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * θ * inner (u - v) (w - v) + θ * θ * (‖w - v‖ * ‖w - v‖)
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * re (θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ) + ‖θ‖ * ‖w - v‖ * (‖θ‖ * ‖w - v‖) =
    ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * (‖w - v‖ * ‖w - v‖)
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * (θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ) + |θ| * ‖w - v‖ * (|θ| * ‖w - v‖) =
    ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * (‖w - v‖ * ‖w - v‖)

tactic: rw [abs_of_pos hθ₁]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * (θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ) + |θ| * ‖w - v‖ * (|θ| * ‖w - v‖) =
    ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * (‖w - v‖ * ‖w - v‖)
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * (θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ) + θ * ‖w - v‖ * (θ * ‖w - v‖) =
    ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * (‖w - v‖ * ‖w - v‖)

tactic: ring
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * (θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ) + θ * ‖w - v‖ * (θ * ‖w - v‖) =
    ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * (‖w - v‖ * ‖w - v‖)
state_after: no goals

tactic: abel
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
this : ‖u - v‖ ^ 2 ≤ ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2
⊢ ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 =
    ‖u - v‖ ^ 2 + (θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
state_after: no goals

tactic: ring
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
this : 0 ≤ θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
eq₁ :
  ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ + θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 =
    ‖u - v‖ ^ 2 + (θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
⊢ θ * θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * θ * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ = θ * (θ * ‖w - v‖ ^ 2 - 2 * ⟪u - v, w - v⟫_ℝ)
state_after: no goals

tactic: rw [hq] at this
state_before: case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * q
hq : q = 0
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
state_after: case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * 0
hq : q = 0
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0

tactic: have : p ≤ 0 := by
  have := this (1 : ℝ) (by norm_num) (by norm_num)
  linarith
state_before: case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * 0
hq : q = 0
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
state_after: case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝¹ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this✝ : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * 0
hq : q = 0
this : p ≤ 0
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0

tactic: exact this
state_before: case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝¹ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this✝ : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * 0
hq : q = 0
this : p ≤ 0
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
state_after: no goals

tactic: have := this (1 : ℝ) (by norm_num) (by norm_num)
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * 0
hq : q = 0
⊢ p ≤ 0
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝¹ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this✝ : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * 0
hq : q = 0
this : 2 * p ≤ 1 * 0
⊢ p ≤ 0

tactic: linarith
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝¹ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this✝ : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * 0
hq : q = 0
this : 2 * p ≤ 1 * 0
⊢ p ≤ 0
state_after: no goals

tactic: norm_num
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * 0
hq : q = 0
⊢ 0 < 1
state_after: no goals

tactic: norm_num
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * 0
hq : q = 0
⊢ 1 ≤ 1
state_after: no goals

tactic: have q_pos : 0 < q := lt_of_le_of_ne (sq_nonneg _) fun h ↦ hq h.symm
state_before: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * q
hq : ¬q = 0
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
state_after: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * q
hq : ¬q = 0
q_pos : 0 < q
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0

tactic: by_contra hp
state_before: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * q
hq : ¬q = 0
q_pos : 0 < q
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
state_after: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * q
hq : ¬q = 0
q_pos : 0 < q
hp : ¬⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ False

tactic: rw [not_le] at hp
state_before: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * q
hq : ¬q = 0
q_pos : 0 < q
hp : ¬⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ False
state_after: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * q
hq : ¬q = 0
q_pos : 0 < q
hp : 0 < ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
⊢ False

tactic: let θ := min (1 : ℝ) (p / q)
state_before: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * q
hq : ¬q = 0
q_pos : 0 < q
hp : 0 < ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
⊢ False
state_after: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * q
hq : ¬q = 0
q_pos : 0 < q
hp : 0 < ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
θ : ℝ := min 1 (p / q)
⊢ False

tactic: have eq₁ : θ * q ≤ p :=
  calc
    θ * q ≤ p / q * q := mul_le_mul_of_nonneg_right (min_le_right _ _) (sq_nonneg _)
    _ = p := div_mul_cancel₀ _ hq
state_before: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * q
hq : ¬q = 0
q_pos : 0 < q
hp : 0 < ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
θ : ℝ := min 1 (p / q)
⊢ False
state_after: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * q
hq : ¬q = 0
q_pos : 0 < q
hp : 0 < ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
θ : ℝ := min 1 (p / q)
eq₁ : θ * q ≤ p
⊢ False

tactic: have : 2 * p ≤ p :=
  calc
    2 * p ≤ θ * q := by
      exact this θ (lt_min (by norm_num) (div_pos hp q_pos)) (by norm_num [θ])
    _ ≤ p := eq₁
state_before: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * q
hq : ¬q = 0
q_pos : 0 < q
hp : 0 < ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
θ : ℝ := min 1 (p / q)
eq₁ : θ * q ≤ p
⊢ False
state_after: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝¹ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this✝ : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * q
hq : ¬q = 0
q_pos : 0 < q
hp : 0 < ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
θ : ℝ := min 1 (p / q)
eq₁ : θ * q ≤ p
this : 2 * p ≤ p
⊢ False

tactic: linarith
state_before: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝¹ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this✝ : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * q
hq : ¬q = 0
q_pos : 0 < q
hp : 0 < ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
θ : ℝ := min 1 (p / q)
eq₁ : θ * q ≤ p
this : 2 * p ≤ p
⊢ False
state_after: no goals

tactic: exact this θ (lt_min (by norm_num) (div_pos hp q_pos)) (by norm_num [θ])
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * q
hq : ¬q = 0
q_pos : 0 < q
hp : 0 < ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
θ : ℝ := min 1 (p / q)
eq₁ : θ * q ≤ p
⊢ 2 * p ≤ θ * q
state_after: no goals

tactic: norm_num
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * q
hq : ¬q = 0
q_pos : 0 < q
hp : 0 < ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
θ : ℝ := min 1 (p / q)
eq₁ : θ * q ≤ p
⊢ 0 < 1
state_after: no goals

tactic: norm_num [θ]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
eq : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := ‖w - v‖ ^ 2
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
this : ∀ (θ : ℝ), 0 < θ → θ ≤ 1 → 2 * p ≤ θ * q
hq : ¬q = 0
q_pos : 0 < q
hp : 0 < ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
θ : ℝ := min 1 (p / q)
eq₁ : θ * q ≤ p
⊢ θ ≤ 1
state_after: no goals

tactic: intro h
state_before: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
⊢ (∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0) → ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
state_after: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖

tactic: apply le_antisymm
state_before: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
state_after: case mpr.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ ≤ ⨅ w, ‖u - ↑w‖

case mpr.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ⨅ w, ‖u - ↑w‖ ≤ ‖u - v‖

tactic: apply le_ciInf
state_before: case mpr.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ ≤ ⨅ w, ‖u - ↑w‖
state_after: case mpr.a.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ∀ (x : ↑K), ‖u - v‖ ≤ ‖u - ↑x‖

tactic: intro w
state_before: case mpr.a.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ∀ (x : ↑K), ‖u - v‖ ≤ ‖u - ↑x‖
state_after: case mpr.a.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : ↑K
⊢ ‖u - v‖ ≤ ‖u - ↑w‖

tactic: apply nonneg_le_nonneg_of_sq_le_sq (norm_nonneg _)
state_before: case mpr.a.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : ↑K
⊢ ‖u - v‖ ≤ ‖u - ↑w‖
state_after: case mpr.a.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : ↑K
⊢ ‖u - v‖ * ‖u - v‖ ≤ ‖u - ↑w‖ * ‖u - ↑w‖

tactic: have := h w w.2
state_before: case mpr.a.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : ↑K
⊢ ‖u - v‖ * ‖u - v‖ ≤ ‖u - ↑w‖ * ‖u - ↑w‖
state_after: case mpr.a.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : ↑K
this : ⟪u - v, ↑w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ * ‖u - v‖ ≤ ‖u - ↑w‖ * ‖u - ↑w‖

tactic: calc
  ‖u - v‖ * ‖u - v‖ ≤ ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * inner (u - v) ((w : F) - v) := by linarith
  _ ≤ ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * inner (u - v) ((w : F) - v) + ‖(w : F) - v‖ ^ 2 := by
    rw [sq]
    refine le_add_of_nonneg_right ?_
    exact sq_nonneg _
  _ = ‖u - v - (w - v)‖ ^ 2 := (@norm_sub_sq ℝ _ _ _ _ _ _).symm
  _ = ‖u - w‖ * ‖u - w‖ := by
    have : u - v - (w - v) = u - w := by abel
    rw [this, sq]
state_before: case mpr.a.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : ↑K
this : ⟪u - v, ↑w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ * ‖u - v‖ ≤ ‖u - ↑w‖ * ‖u - ↑w‖
state_after: no goals

tactic: linarith
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : ↑K
this : ⟪u - v, ↑w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ * ‖u - v‖ ≤ ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * ⟪u - v, ↑w - v⟫_ℝ
state_after: no goals

tactic: rw [sq]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : ↑K
this : ⟪u - v, ↑w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * ⟪u - v, ↑w - v⟫_ℝ ≤ ‖u - v‖ ^ 2 - 2 * ⟪u - v, ↑w - v⟫_ℝ + ‖↑w - v‖ ^ 2
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : ↑K
this : ⟪u - v, ↑w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * ⟪u - v, ↑w - v⟫_ℝ ≤ ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * ⟪u - v, ↑w - v⟫_ℝ + ‖↑w - v‖ ^ 2

tactic: refine le_add_of_nonneg_right ?_
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : ↑K
this : ⟪u - v, ↑w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * ⟪u - v, ↑w - v⟫_ℝ ≤ ‖u - v‖ * ‖u - v‖ - 2 * ⟪u - v, ↑w - v⟫_ℝ + ‖↑w - v‖ ^ 2
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : ↑K
this : ⟪u - v, ↑w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ 0 ≤ ‖↑w - v‖ ^ 2

tactic: exact sq_nonneg _
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : ↑K
this : ⟪u - v, ↑w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ 0 ≤ ‖↑w - v‖ ^ 2
state_after: no goals

tactic: have : u - v - (w - v) = u - w := by abel
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : ↑K
this : ⟪u - v, ↑w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ‖u - v - (↑w - v)‖ ^ 2 = ‖u - ↑w‖ * ‖u - ↑w‖
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝¹ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : ↑K
this✝ : ⟪u - v, ↑w - v⟫_ℝ ≤ 0
this : u - v - (↑w - v) = u - ↑w
⊢ ‖u - v - (↑w - v)‖ ^ 2 = ‖u - ↑w‖ * ‖u - ↑w‖

tactic: rw [this, sq]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝¹ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : ↑K
this✝ : ⟪u - v, ↑w - v⟫_ℝ ≤ 0
this : u - v - (↑w - v) = u - ↑w
⊢ ‖u - v - (↑w - v)‖ ^ 2 = ‖u - ↑w‖ * ‖u - ↑w‖
state_after: no goals

tactic: abel
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this✝ : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
w : ↑K
this : ⟪u - v, ↑w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ u - v - (↑w - v) = u - ↑w
state_after: no goals

tactic: show ⨅ w : K, ‖u - w‖ ≤ (fun w : K => ‖u - w‖) ⟨v, hv⟩
state_before: case mpr.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ⨅ w, ‖u - ↑w‖ ≤ ‖u - v‖
state_after: case mpr.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ⨅ w, ‖u - ↑w‖ ≤ (fun w => ‖u - ↑w‖) ⟨v, hv⟩

tactic: apply ciInf_le
state_before: case mpr.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ⨅ w, ‖u - ↑w‖ ≤ (fun w => ‖u - ↑w‖) ⟨v, hv⟩
state_after: case mpr.a.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ BddBelow (Set.range fun w => ‖u - ↑w‖)

tactic: use 0
state_before: case mpr.a.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ BddBelow (Set.range fun w => ‖u - ↑w‖)
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ 0 ∈ lowerBounds (Set.range fun w => ‖u - ↑w‖)

tactic: rintro y ⟨z, rfl⟩
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ 0 ∈ lowerBounds (Set.range fun w => ‖u - ↑w‖)
state_after: case h.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
z : ↑K
⊢ 0 ≤ (fun w => ‖u - ↑w‖) z

tactic: exact norm_nonneg _
state_before: case h.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h✝ : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty ↑K := Nonempty.intro ⟨v, hv⟩
h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
z : ↑K
⊢ 0 ≤ (fun w => ‖u - ↑w‖) z
state_after: no goals