Theorem: MeasureTheory.IsStoppingTime.measurableSpace_le_of_countable
File: Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean

tactic: intro s hs
state_before: Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝ : Countable ι
hτ : IsStoppingTime f τ
⊢ hτ.measurableSpace ≤ m
state_after: Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝ : Countable ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet s

tactic: change ∀ i, MeasurableSet[f i] (s ∩ {ω | τ ω ≤ i}) at hs
state_before: Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝ : Countable ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet s
state_after: Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝ : Countable ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
⊢ MeasurableSet s

tactic: rw [(_ : s = ⋃ i, s ∩ {ω | τ ω ≤ i})]
state_before: Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝ : Countable ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
⊢ MeasurableSet s
state_after: Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝ : Countable ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
⊢ MeasurableSet (⋃ i, s ∩ {ω | τ ω ≤ i})

Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝ : Countable ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
⊢ s = ⋃ i, s ∩ {ω | τ ω ≤ i}

tactic: exact MeasurableSet.iUnion fun i => f.le i _ (hs i)
state_before: Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝ : Countable ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
⊢ MeasurableSet (⋃ i, s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
state_after: no goals

tactic: ext ω
state_before: Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝ : Countable ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
⊢ s = ⋃ i, s ∩ {ω | τ ω ≤ i}
state_after: case h
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝ : Countable ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
ω : Ω
⊢ ω ∈ s ↔ ω ∈ ⋃ i, s ∩ {ω | τ ω ≤ i}

tactic: constructor <;> rw [Set.mem_iUnion]
state_before: case h
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝ : Countable ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
ω : Ω
⊢ ω ∈ s ↔ ω ∈ ⋃ i, s ∩ {ω | τ ω ≤ i}
state_after: case h.mp
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝ : Countable ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
ω : Ω
⊢ ω ∈ s → ∃ i, ω ∈ s ∩ {ω | τ ω ≤ i}

case h.mpr
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝ : Countable ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
ω : Ω
⊢ (∃ i, ω ∈ s ∩ {ω | τ ω ≤ i}) → ω ∈ s

tactic: exact fun hx => ⟨τ ω, hx, le_rfl⟩
state_before: case h.mp
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝ : Countable ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
ω : Ω
⊢ ω ∈ s → ∃ i, ω ∈ s ∩ {ω | τ ω ≤ i}
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨_, hx, _⟩
state_before: case h.mpr
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝ : Countable ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
ω : Ω
⊢ (∃ i, ω ∈ s ∩ {ω | τ ω ≤ i}) → ω ∈ s
state_after: case h.mpr.intro.intro
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝ : Countable ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
ω : Ω
w✝ : ι
hx : ω ∈ s
right✝ : ω ∈ {ω | τ ω ≤ w✝}
⊢ ω ∈ s

tactic: exact hx
state_before: case h.mpr.intro.intro
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝ : Countable ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
ω : Ω
w✝ : ι
hx : ω ∈ s
right✝ : ω ∈ {ω | τ ω ≤ w✝}
⊢ ω ∈ s
state_after: no goals