Theorem: Set.pairwise_iUnion
File: Mathlib/Data/Set/Pairwise/Lattice.lean

tactic: constructor
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
f : κ → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
⊢ (⋃ n, f n).Pairwise r ↔ ∀ (n : κ), (f n).Pairwise r
state_after: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
f : κ → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
⊢ (⋃ n, f n).Pairwise r → ∀ (n : κ), (f n).Pairwise r

case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
f : κ → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
⊢ (∀ (n : κ), (f n).Pairwise r) → (⋃ n, f n).Pairwise r

tactic: intro H n
state_before: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
f : κ → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
⊢ (⋃ n, f n).Pairwise r → ∀ (n : κ), (f n).Pairwise r
state_after: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
f : κ → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
H : (⋃ n, f n).Pairwise r
n : κ
⊢ (f n).Pairwise r

tactic: exact Pairwise.mono (subset_iUnion _ _) H
state_before: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
f : κ → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
H : (⋃ n, f n).Pairwise r
n : κ
⊢ (f n).Pairwise r
state_after: no goals

tactic: intro H i hi j hj hij
state_before: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
f : κ → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
⊢ (∀ (n : κ), (f n).Pairwise r) → (⋃ n, f n).Pairwise r
state_after: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
f : κ → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
H : ∀ (n : κ), (f n).Pairwise r
i : α
hi : i ∈ ⋃ n, f n
j : α
hj : j ∈ ⋃ n, f n
hij : i ≠ j
⊢ r i j

tactic: rcases mem_iUnion.1 hi with ⟨m, hm⟩
state_before: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
f : κ → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
H : ∀ (n : κ), (f n).Pairwise r
i : α
hi : i ∈ ⋃ n, f n
j : α
hj : j ∈ ⋃ n, f n
hij : i ≠ j
⊢ r i j
state_after: case mpr.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
f : κ → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
H : ∀ (n : κ), (f n).Pairwise r
i : α
hi : i ∈ ⋃ n, f n
j : α
hj : j ∈ ⋃ n, f n
hij : i ≠ j
m : κ
hm : i ∈ f m
⊢ r i j

tactic: rcases mem_iUnion.1 hj with ⟨n, hn⟩
state_before: case mpr.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
f : κ → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
H : ∀ (n : κ), (f n).Pairwise r
i : α
hi : i ∈ ⋃ n, f n
j : α
hj : j ∈ ⋃ n, f n
hij : i ≠ j
m : κ
hm : i ∈ f m
⊢ r i j
state_after: case mpr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
f : κ → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
H : ∀ (n : κ), (f n).Pairwise r
i : α
hi : i ∈ ⋃ n, f n
j : α
hj : j ∈ ⋃ n, f n
hij : i ≠ j
m : κ
hm : i ∈ f m
n : κ
hn : j ∈ f n
⊢ r i j

tactic: rcases h m n with ⟨p, mp, np⟩
state_before: case mpr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
f : κ → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
H : ∀ (n : κ), (f n).Pairwise r
i : α
hi : i ∈ ⋃ n, f n
j : α
hj : j ∈ ⋃ n, f n
hij : i ≠ j
m : κ
hm : i ∈ f m
n : κ
hn : j ∈ f n
⊢ r i j
state_after: case mpr.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p✝ q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
f : κ → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
H : ∀ (n : κ), (f n).Pairwise r
i : α
hi : i ∈ ⋃ n, f n
j : α
hj : j ∈ ⋃ n, f n
hij : i ≠ j
m : κ
hm : i ∈ f m
n : κ
hn : j ∈ f n
p : κ
mp : f m ⊆ f p
np : f n ⊆ f p
⊢ r i j

tactic: exact H p (mp hm) (np hn) hij
state_before: case mpr.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p✝ q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
f : κ → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
H : ∀ (n : κ), (f n).Pairwise r
i : α
hi : i ∈ ⋃ n, f n
j : α
hj : j ∈ ⋃ n, f n
hij : i ≠ j
m : κ
hm : i ∈ f m
n : κ
hn : j ∈ f n
p : κ
mp : f m ⊆ f p
np : f n ⊆ f p
⊢ r i j
state_after: no goals