Theorem: CategoryTheory.Subobject.finset_sup_factors
File: Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Lattice.lean

tactic: revert h
state_before: C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasImages C
inst✝² : HasBinaryCoproducts C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : InitialMonoClass C
I : Type u_1
A B : C
s : Finset I
P : I → Subobject B
f : A ⟶ B
h : ∃ i ∈ s, (P i).Factors f
⊢ (s.sup P).Factors f
state_after: C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasImages C
inst✝² : HasBinaryCoproducts C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : InitialMonoClass C
I : Type u_1
A B : C
s : Finset I
P : I → Subobject B
f : A ⟶ B
⊢ (∃ i ∈ s, (P i).Factors f) → (s.sup P).Factors f

tactic: induction' s using Finset.induction_on with _ _ _ ih
state_before: C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasImages C
inst✝² : HasBinaryCoproducts C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : InitialMonoClass C
I : Type u_1
A B : C
s : Finset I
P : I → Subobject B
f : A ⟶ B
⊢ (∃ i ∈ s, (P i).Factors f) → (s.sup P).Factors f
state_after: case empty
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasImages C
inst✝² : HasBinaryCoproducts C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : InitialMonoClass C
I : Type u_1
A B : C
P : I → Subobject B
f : A ⟶ B
⊢ (∃ i ∈ ∅, (P i).Factors f) → (∅.sup P).Factors f

case insert
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasImages C
inst✝² : HasBinaryCoproducts C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : InitialMonoClass C
I : Type u_1
A B : C
P : I → Subobject B
f : A ⟶ B
a✝¹ : I
s✝ : Finset I
a✝ : a✝¹ ∉ s✝
ih : (∃ i ∈ s✝, (P i).Factors f) → (s✝.sup P).Factors f
⊢ (∃ i ∈ insert a✝¹ s✝, (P i).Factors f) → ((insert a✝¹ s✝).sup P).Factors f

tactic: rintro ⟨_, ⟨⟨⟩, _⟩⟩
state_before: case empty
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasImages C
inst✝² : HasBinaryCoproducts C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : InitialMonoClass C
I : Type u_1
A B : C
P : I → Subobject B
f : A ⟶ B
⊢ (∃ i ∈ ∅, (P i).Factors f) → (∅.sup P).Factors f
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨j, ⟨m, h⟩⟩
state_before: case insert
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasImages C
inst✝² : HasBinaryCoproducts C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : InitialMonoClass C
I : Type u_1
A B : C
P : I → Subobject B
f : A ⟶ B
a✝¹ : I
s✝ : Finset I
a✝ : a✝¹ ∉ s✝
ih : (∃ i ∈ s✝, (P i).Factors f) → (s✝.sup P).Factors f
⊢ (∃ i ∈ insert a✝¹ s✝, (P i).Factors f) → ((insert a✝¹ s✝).sup P).Factors f
state_after: case insert.intro.intro
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasImages C
inst✝² : HasBinaryCoproducts C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : InitialMonoClass C
I : Type u_1
A B : C
P : I → Subobject B
f : A ⟶ B
a✝¹ : I
s✝ : Finset I
a✝ : a✝¹ ∉ s✝
ih : (∃ i ∈ s✝, (P i).Factors f) → (s✝.sup P).Factors f
j : I
m : j ∈ insert a✝¹ s✝
h : (P j).Factors f
⊢ ((insert a✝¹ s✝).sup P).Factors f

tactic: simp only [Finset.sup_insert]
state_before: case insert.intro.intro
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasImages C
inst✝² : HasBinaryCoproducts C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : InitialMonoClass C
I : Type u_1
A B : C
P : I → Subobject B
f : A ⟶ B
a✝¹ : I
s✝ : Finset I
a✝ : a✝¹ ∉ s✝
ih : (∃ i ∈ s✝, (P i).Factors f) → (s✝.sup P).Factors f
j : I
m : j ∈ insert a✝¹ s✝
h : (P j).Factors f
⊢ ((insert a✝¹ s✝).sup P).Factors f
state_after: case insert.intro.intro
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasImages C
inst✝² : HasBinaryCoproducts C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : InitialMonoClass C
I : Type u_1
A B : C
P : I → Subobject B
f : A ⟶ B
a✝¹ : I
s✝ : Finset I
a✝ : a✝¹ ∉ s✝
ih : (∃ i ∈ s✝, (P i).Factors f) → (s✝.sup P).Factors f
j : I
m : j ∈ insert a✝¹ s✝
h : (P j).Factors f
⊢ (P a✝¹ ⊔ s✝.sup P).Factors f

tactic: simp at m
state_before: case insert.intro.intro
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasImages C
inst✝² : HasBinaryCoproducts C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : InitialMonoClass C
I : Type u_1
A B : C
P : I → Subobject B
f : A ⟶ B
a✝¹ : I
s✝ : Finset I
a✝ : a✝¹ ∉ s✝
ih : (∃ i ∈ s✝, (P i).Factors f) → (s✝.sup P).Factors f
j : I
m : j ∈ insert a✝¹ s✝
h : (P j).Factors f
⊢ (P a✝¹ ⊔ s✝.sup P).Factors f
state_after: case insert.intro.intro
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasImages C
inst✝² : HasBinaryCoproducts C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : InitialMonoClass C
I : Type u_1
A B : C
P : I → Subobject B
f : A ⟶ B
a✝¹ : I
s✝ : Finset I
a✝ : a✝¹ ∉ s✝
ih : (∃ i ∈ s✝, (P i).Factors f) → (s✝.sup P).Factors f
j : I
h : (P j).Factors f
m : j = a✝¹ ∨ j ∈ s✝
⊢ (P a✝¹ ⊔ s✝.sup P).Factors f

tactic: rcases m with (rfl | m)
state_before: case insert.intro.intro
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasImages C
inst✝² : HasBinaryCoproducts C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : InitialMonoClass C
I : Type u_1
A B : C
P : I → Subobject B
f : A ⟶ B
a✝¹ : I
s✝ : Finset I
a✝ : a✝¹ ∉ s✝
ih : (∃ i ∈ s✝, (P i).Factors f) → (s✝.sup P).Factors f
j : I
h : (P j).Factors f
m : j = a✝¹ ∨ j ∈ s✝
⊢ (P a✝¹ ⊔ s✝.sup P).Factors f
state_after: case insert.intro.intro.inl
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasImages C
inst✝² : HasBinaryCoproducts C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : InitialMonoClass C
I : Type u_1
A B : C
P : I → Subobject B
f : A ⟶ B
s✝ : Finset I
ih : (∃ i ∈ s✝, (P i).Factors f) → (s✝.sup P).Factors f
j : I
h : (P j).Factors f
a✝ : j ∉ s✝
⊢ (P j ⊔ s✝.sup P).Factors f

case insert.intro.intro.inr
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasImages C
inst✝² : HasBinaryCoproducts C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : InitialMonoClass C
I : Type u_1
A B : C
P : I → Subobject B
f : A ⟶ B
a✝¹ : I
s✝ : Finset I
a✝ : a✝¹ ∉ s✝
ih : (∃ i ∈ s✝, (P i).Factors f) → (s✝.sup P).Factors f
j : I
h : (P j).Factors f
m : j ∈ s✝
⊢ (P a✝¹ ⊔ s✝.sup P).Factors f

tactic: exact sup_factors_of_factors_left h
state_before: case insert.intro.intro.inl
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasImages C
inst✝² : HasBinaryCoproducts C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : InitialMonoClass C
I : Type u_1
A B : C
P : I → Subobject B
f : A ⟶ B
s✝ : Finset I
ih : (∃ i ∈ s✝, (P i).Factors f) → (s✝.sup P).Factors f
j : I
h : (P j).Factors f
a✝ : j ∉ s✝
⊢ (P j ⊔ s✝.sup P).Factors f
state_after: no goals

tactic: exact sup_factors_of_factors_right (ih ⟨j, ⟨m, h⟩⟩)
state_before: case insert.intro.intro.inr
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasImages C
inst✝² : HasBinaryCoproducts C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : InitialMonoClass C
I : Type u_1
A B : C
P : I → Subobject B
f : A ⟶ B
a✝¹ : I
s✝ : Finset I
a✝ : a✝¹ ∉ s✝
ih : (∃ i ∈ s✝, (P i).Factors f) → (s✝.sup P).Factors f
j : I
h : (P j).Factors f
m : j ∈ s✝
⊢ (P a✝¹ ⊔ s✝.sup P).Factors f
state_after: no goals