Theorem: MultilinearMap.mkPiRing_apply_one_eq_self
File: Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean

tactic: ext m
state_before: R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
f : MultilinearMap R (fun x => R) M₂
⊢ MultilinearMap.mkPiRing R ι (f fun x => 1) = f
state_after: case H
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
f : MultilinearMap R (fun x => R) M₂
m : ι → R
⊢ (MultilinearMap.mkPiRing R ι (f fun x => 1)) m = f m

tactic: have : m = fun i => m i • (1 : R) := by
  ext j
  simp
state_before: case H
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
f : MultilinearMap R (fun x => R) M₂
m : ι → R
⊢ (MultilinearMap.mkPiRing R ι (f fun x => 1)) m = f m
state_after: case H
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
f : MultilinearMap R (fun x => R) M₂
m : ι → R
this : m = fun i => m i • 1
⊢ (MultilinearMap.mkPiRing R ι (f fun x => 1)) m = f m

tactic: conv_rhs => rw [this, f.map_smul_univ]
state_before: case H
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
f : MultilinearMap R (fun x => R) M₂
m : ι → R
this : m = fun i => m i • 1
⊢ (MultilinearMap.mkPiRing R ι (f fun x => 1)) m = f m
state_after: case H
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
f : MultilinearMap R (fun x => R) M₂
m : ι → R
this : m = fun i => m i • 1
⊢ (MultilinearMap.mkPiRing R ι (f fun x => 1)) m = (∏ i : ι, m i) • f fun i => 1

tactic: rfl
state_before: case H
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
f : MultilinearMap R (fun x => R) M₂
m : ι → R
this : m = fun i => m i • 1
⊢ (MultilinearMap.mkPiRing R ι (f fun x => 1)) m = (∏ i : ι, m i) • f fun i => 1
state_after: no goals

tactic: ext j
state_before: R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
f : MultilinearMap R (fun x => R) M₂
m : ι → R
⊢ m = fun i => m i • 1
state_after: case h
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
f : MultilinearMap R (fun x => R) M₂
m : ι → R
j : ι
⊢ m j = m j • 1

tactic: simp
state_before: case h
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
f : MultilinearMap R (fun x => R) M₂
m : ι → R
j : ι
⊢ m j = m j • 1
state_after: no goals