Theorem: MeasureTheory.setIntegral_condexpL1CLM_of_measure_ne_top
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean

tactic: refine @Lp.induction _ _ _ _ _ _ _ ENNReal.one_ne_top
  (fun f : α →₁[μ] F' => ∫ x in s, condexpL1CLM F' hm μ f x ∂μ = ∫ x in s, f x ∂μ) ?_ ?_
  (isClosed_eq ?_ ?_) f
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∀ (c : F') {s_1 : Set α} (hs : MeasurableSet s_1) (hμs : μ s_1 < ⊤),
    (fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ)
      ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 hs ⋯ c)

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∀ ⦃f g : α → F'⦄ (hf : Memℒp f 1 μ) (hg : Memℒp g 1 μ),
    Disjoint (Function.support f) (Function.support g) →
      (fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ) (Memℒp.toLp f hf) →
        (fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ) (Memℒp.toLp g hg) →
          (fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ)
            (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)

case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ Continuous fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ

case refine_4
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ Continuous fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ

tactic: intro x t ht hμt
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∀ (c : F') {s_1 : Set α} (hs : MeasurableSet s_1) (hμs : μ s_1 < ⊤),
    (fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ)
      ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 hs ⋯ c)
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F'
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t < ⊤
⊢ ∫ (x_1 : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 ht ⋯ x)) x_1 ∂μ =
    ∫ (x_1 : α) in s, ↑↑↑(simpleFunc.indicatorConst 1 ht ⋯ x) x_1 ∂μ

tactic: simp_rw [condexpL1CLM_indicatorConst ht hμt.ne x]
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F'
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t < ⊤
⊢ ∫ (x_1 : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 ht ⋯ x)) x_1 ∂μ =
    ∫ (x_1 : α) in s, ↑↑↑(simpleFunc.indicatorConst 1 ht ⋯ x) x_1 ∂μ
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F'
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t < ⊤
⊢ ∫ (x_1 : α) in s, ↑↑((condexpInd F' hm μ t) x) x_1 ∂μ =
    ∫ (x_1 : α) in s, ↑↑↑(simpleFunc.indicatorConst 1 ht ⋯ x) x_1 ∂μ

tactic: rw [Lp.simpleFunc.coe_indicatorConst, setIntegral_indicatorConstLp (hm _ hs)]
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F'
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t < ⊤
⊢ ∫ (x_1 : α) in s, ↑↑((condexpInd F' hm μ t) x) x_1 ∂μ =
    ∫ (x_1 : α) in s, ↑↑↑(simpleFunc.indicatorConst 1 ht ⋯ x) x_1 ∂μ
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F'
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t < ⊤
⊢ ∫ (x_1 : α) in s, ↑↑((condexpInd F' hm μ t) x) x_1 ∂μ = (μ (t ∩ s)).toReal • x

tactic: exact setIntegral_condexpInd hs ht hμs hμt.ne x
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F'
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t < ⊤
⊢ ∫ (x_1 : α) in s, ↑↑((condexpInd F' hm μ t) x) x_1 ∂μ = (μ (t ∩ s)).toReal • x
state_after: no goals

tactic: intro f g hf_Lp hg_Lp _ hf hg
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∀ ⦃f g : α → F'⦄ (hf : Memℒp f 1 μ) (hg : Memℒp g 1 μ),
    Disjoint (Function.support f) (Function.support g) →
      (fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ) (Memℒp.toLp f hf) →
        (fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ) (Memℒp.toLp g hg) →
          (fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ)
            (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
state_after: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝¹ g✝ : α → F'
s : Set α
f✝ : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f g : α → F'
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
hg_Lp : Memℒp g 1 μ
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf : ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp) x ∂μ
hg : ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp + Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ =
    ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp + Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ

tactic: simp_rw [(condexpL1CLM F' hm μ).map_add]
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝¹ g✝ : α → F'
s : Set α
f✝ : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f g : α → F'
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
hg_Lp : Memℒp g 1 μ
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf : ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp) x ∂μ
hg : ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp + Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ =
    ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp + Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
state_after: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝¹ g✝ : α → F'
s : Set α
f✝ : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f g : α → F'
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
hg_Lp : Memℒp g 1 μ
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf : ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp) x ∂μ
hg : ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp) + (condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ =
    ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp + Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ

tactic: rw [setIntegral_congr_ae (hm s hs) ((Lp.coeFn_add (condexpL1CLM F' hm μ (hf_Lp.toLp f))
  (condexpL1CLM F' hm μ (hg_Lp.toLp g))).mono fun x hx _ => hx)]
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝¹ g✝ : α → F'
s : Set α
f✝ : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f g : α → F'
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
hg_Lp : Memℒp g 1 μ
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf : ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp) x ∂μ
hg : ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp) + (condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ =
    ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp + Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
state_after: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝¹ g✝ : α → F'
s : Set α
f✝ : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f g : α → F'
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
hg_Lp : Memℒp g 1 μ
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf : ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp) x ∂μ
hg : ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in s,
      (↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) + ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp))) x ∂μ =
    ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp + Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ

tactic: rw [setIntegral_congr_ae (hm s hs)
  ((Lp.coeFn_add (hf_Lp.toLp f) (hg_Lp.toLp g)).mono fun x hx _ => hx)]
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝¹ g✝ : α → F'
s : Set α
f✝ : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f g : α → F'
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
hg_Lp : Memℒp g 1 μ
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf : ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp) x ∂μ
hg : ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in s,
      (↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) + ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp))) x ∂μ =
    ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp + Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
state_after: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝¹ g✝ : α → F'
s : Set α
f✝ : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f g : α → F'
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
hg_Lp : Memℒp g 1 μ
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf : ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp) x ∂μ
hg : ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in s,
      (↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) + ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp))) x ∂μ =
    ∫ (x : α) in s, (↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp) + ↑↑(Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ

tactic: simp_rw [Pi.add_apply]
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝¹ g✝ : α → F'
s : Set α
f✝ : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f g : α → F'
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
hg_Lp : Memℒp g 1 μ
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf : ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp) x ∂μ
hg : ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in s,
      (↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) + ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp))) x ∂μ =
    ∫ (x : α) in s, (↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp) + ↑↑(Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ
state_after: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝¹ g✝ : α → F'
s : Set α
f✝ : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f g : α → F'
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
hg_Lp : Memℒp g 1 μ
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf : ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp) x ∂μ
hg : ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in s,
      ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) x + ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ =
    ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp) x + ↑↑(Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ

tactic: rw [integral_add (L1.integrable_coeFn _).integrableOn (L1.integrable_coeFn _).integrableOn,
  integral_add (L1.integrable_coeFn _).integrableOn (L1.integrable_coeFn _).integrableOn, hf,
  hg]
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝¹ g✝ : α → F'
s : Set α
f✝ : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f g : α → F'
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
hg_Lp : Memℒp g 1 μ
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf : ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp) x ∂μ
hg : ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in s,
      ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) x + ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ =
    ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp) x + ↑↑(Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
state_after: no goals

tactic: exact (continuous_setIntegral s).comp (condexpL1CLM F' hm μ).continuous
state_before: case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ Continuous fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ
state_after: no goals

tactic: exact continuous_setIntegral s
state_before: case refine_4
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ Continuous fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
state_after: no goals