Theorem: Module.p_pow_smul_lift
File: Mathlib/Algebra/Module/PID.lean

tactic: letI : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
state_before: R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
⊢ ∃ a, p ^ k • x = p ^ k • a • y
state_after: R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
⊢ ∃ a, p ^ k • x = p ^ k • a • y

tactic: by_cases hk : k ≤ pOrder hM y
state_before: R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
⊢ ∃ a, p ^ k • x = p ^ k • a • y
state_after: case pos
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
⊢ ∃ a, p ^ k • x = p ^ k • a • y

case neg
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : ¬k ≤ pOrder hM y
⊢ ∃ a, p ^ k • x = p ^ k • a • y

tactic: let f :=
  ((R ∙ p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k).quotEquivOfEq _ ?_).trans
    (quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y)
state_before: case pos
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
⊢ ∃ a, p ^ k • x = p ^ k • a • y
state_after: case pos.refine_2
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
⊢ ∃ a, p ^ k • x = p ^ k • a • y

case pos.refine_1
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
⊢ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k} = torsionOf R M y

tactic: rw [Submodule.mem_span_singleton] at this
state_before: case pos.refine_2
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this✝ : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
this :
  f.symm ⟨p ^ k • x, h⟩ ∈
    Submodule.span R {(Ideal.Quotient.mk (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k})) (p ^ k)}
⊢ ∃ a, p ^ k • x = p ^ k • a • y
state_after: case pos.refine_2
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this✝ : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
this : ∃ a, a • (Ideal.Quotient.mk (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k})) (p ^ k) = f.symm ⟨p ^ k • x, h⟩
⊢ ∃ a, p ^ k • x = p ^ k • a • y

tactic: obtain ⟨a, ha⟩ := this
state_before: case pos.refine_2
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this✝ : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
this : ∃ a, a • (Ideal.Quotient.mk (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k})) (p ^ k) = f.symm ⟨p ^ k • x, h⟩
⊢ ∃ a, p ^ k • x = p ^ k • a • y
state_after: case pos.refine_2.intro
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
a : R
ha : a • (Ideal.Quotient.mk (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k})) (p ^ k) = f.symm ⟨p ^ k • x, h⟩
⊢ ∃ a, p ^ k • x = p ^ k • a • y

tactic: use a
state_before: case pos.refine_2.intro
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
a : R
ha : a • (Ideal.Quotient.mk (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k})) (p ^ k) = f.symm ⟨p ^ k • x, h⟩
⊢ ∃ a, p ^ k • x = p ^ k • a • y
state_after: case h
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
a : R
ha : a • (Ideal.Quotient.mk (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k})) (p ^ k) = f.symm ⟨p ^ k • x, h⟩
⊢ p ^ k • x = p ^ k • a • y

tactic: rw [f.eq_symm_apply, ← Ideal.Quotient.mk_eq_mk, ← Quotient.mk_smul] at ha
state_before: case h
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
a : R
ha : a • (Ideal.Quotient.mk (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k})) (p ^ k) = f.symm ⟨p ^ k • x, h⟩
⊢ p ^ k • x = p ^ k • a • y
state_after: case h
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
a : R
ha : f (Submodule.Quotient.mk (a • p ^ k)) = ⟨p ^ k • x, h⟩
⊢ p ^ k • x = p ^ k • a • y

tactic: dsimp only [smul_eq_mul, LinearEquiv.trans_apply, Submodule.quotEquivOfEq_mk,
  quotTorsionOfEquivSpanSingleton_apply_mk] at ha
state_before: case h
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
a : R
ha : f (Submodule.Quotient.mk (a • p ^ k)) = ⟨p ^ k • x, h⟩
⊢ p ^ k • x = p ^ k • a • y
state_after: case h
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
a : R
ha : f (Submodule.Quotient.mk (a * p ^ k)) = ⟨p ^ k • x, h⟩
⊢ p ^ k • x = p ^ k • a • y

tactic: rw [smul_smul, mul_comm]
state_before: case h
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
a : R
ha : f (Submodule.Quotient.mk (a * p ^ k)) = ⟨p ^ k • x, h⟩
⊢ p ^ k • x = p ^ k • a • y
state_after: case h
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
a : R
ha : f (Submodule.Quotient.mk (a * p ^ k)) = ⟨p ^ k • x, h⟩
⊢ p ^ k • x = (a * p ^ k) • y

tactic: exact congr_arg ((↑) : _ → M) ha.symm
state_before: case h
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
a : R
ha : f (Submodule.Quotient.mk (a * p ^ k)) = ⟨p ^ k • x, h⟩
⊢ p ^ k • x = (a * p ^ k) • y
state_after: no goals

tactic: rw [← Quotient.torsionBy_eq_span_singleton, mem_torsionBy_iff, ← f.symm.map_smul]
state_before: R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
⊢ f.symm ⟨p ^ k • x, h⟩ ∈
    Submodule.span R {(Ideal.Quotient.mk (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k})) (p ^ k)}
state_after: R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
⊢ f.symm (p ^ (pOrder hM y - k) • ⟨p ^ k • x, h⟩) = 0

case ha
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
⊢ p ^ (pOrder hM y - k) ∈ nonZeroDivisors R

tactic: convert f.symm.map_zero
state_before: R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
⊢ f.symm (p ^ (pOrder hM y - k) • ⟨p ^ k • x, h⟩) = 0
state_after: case h.e'_2.h.e'_6
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
⊢ p ^ (pOrder hM y - k) • ⟨p ^ k • x, h⟩ = 0

tactic: ext
state_before: case h.e'_2.h.e'_6
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
⊢ p ^ (pOrder hM y - k) • ⟨p ^ k • x, h⟩ = 0
state_after: case h.e'_2.h.e'_6.a
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
⊢ ↑(p ^ (pOrder hM y - k) • ⟨p ^ k • x, h⟩) = ↑0

tactic: rw [coe_smul_of_tower, coe_mk, coe_zero, smul_smul, ← pow_add, Nat.sub_add_cancel hk,
  @hM' x]
state_before: case h.e'_2.h.e'_6.a
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
⊢ ↑(p ^ (pOrder hM y - k) • ⟨p ^ k • x, h⟩) = ↑0
state_after: no goals

tactic: exact mem_nonZeroDivisors_of_ne_zero (pow_ne_zero _ hp.ne_zero)
state_before: case ha
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
f : (R ⧸ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}) ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R {y}) :=
  (Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}).quotEquivOfEq (torsionOf R M y) ?pos.refine_1✝ ≪≫ₗ
    quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y
⊢ p ^ (pOrder hM y - k) ∈ nonZeroDivisors R
state_after: no goals

tactic: symm
state_before: case pos.refine_1
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
⊢ Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k} = torsionOf R M y
state_after: case pos.refine_1
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
⊢ torsionOf R M y = Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}

tactic: convert Ideal.torsionOf_eq_span_pow_pOrder hp hM y
state_before: case pos.refine_1
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
⊢ torsionOf R M y = Submodule.span R {p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k}
state_after: case h.e'_3.h.e'_1.h.e'_4
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
⊢ p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k = p ^ pOrder hM y

tactic: rw [← pow_add, Nat.sub_add_cancel hk]
state_before: case h.e'_3.h.e'_1.h.e'_4
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : k ≤ pOrder hM y
⊢ p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k = p ^ pOrder hM y
state_after: no goals

tactic: use 0
state_before: case neg
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : ¬k ≤ pOrder hM y
⊢ ∃ a, p ^ k • x = p ^ k • a • y
state_after: case h
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : ¬k ≤ pOrder hM y
⊢ p ^ k • x = p ^ k • 0 • y

tactic: rw [zero_smul, smul_zero, ← Nat.sub_add_cancel (le_of_not_le hk), pow_add, mul_smul, hM',
  smul_zero]
state_before: case h
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ Submodule.span R {y}
this : MulAction R M := MulActionWithZero.toMulAction
hk : ¬k ≤ pOrder hM y
⊢ p ^ k • x = p ^ k • 0 • y
state_after: no goals