Theorem: MeasureTheory.integral_add_measure
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean

tactic: by_cases hG : CompleteSpace G
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
⊢ ∫ (x : α), f x ∂(μ + ν) = ∫ (x : α), f x ∂μ + ∫ (x : α), f x ∂ν
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
⊢ ∫ (x : α), f x ∂(μ + ν) = ∫ (x : α), f x ∂μ + ∫ (x : α), f x ∂ν

case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : ¬CompleteSpace G
⊢ ∫ (x : α), f x ∂(μ + ν) = ∫ (x : α), f x ∂μ + ∫ (x : α), f x ∂ν

tactic: swap
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
⊢ ∫ (x : α), f x ∂(μ + ν) = ∫ (x : α), f x ∂μ + ∫ (x : α), f x ∂ν

case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : ¬CompleteSpace G
⊢ ∫ (x : α), f x ∂(μ + ν) = ∫ (x : α), f x ∂μ + ∫ (x : α), f x ∂ν
state_after: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : ¬CompleteSpace G
⊢ ∫ (x : α), f x ∂(μ + ν) = ∫ (x : α), f x ∂μ + ∫ (x : α), f x ∂ν

case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
⊢ ∫ (x : α), f x ∂(μ + ν) = ∫ (x : α), f x ∂μ + ∫ (x : α), f x ∂ν

tactic: have hfi := hμ.add_measure hν
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
⊢ ∫ (x : α), f x ∂(μ + ν) = ∫ (x : α), f x ∂μ + ∫ (x : α), f x ∂ν
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
⊢ ∫ (x : α), f x ∂(μ + ν) = ∫ (x : α), f x ∂μ + ∫ (x : α), f x ∂ν

tactic: simp_rw [integral_eq_setToFun]
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
⊢ ∫ (x : α), f x ∂(μ + ν) = ∫ (x : α), f x ∂μ + ∫ (x : α), f x ∂ν
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
⊢ setToFun (μ + ν) (weightedSMul (μ + ν)) ⋯ f = setToFun μ (weightedSMul μ) ⋯ f + setToFun ν (weightedSMul ν) ⋯ f

tactic: have hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ : Set α → G →L[ℝ] G) 1 :=
  DominatedFinMeasAdditive.add_measure_right μ ν (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul μ)
    zero_le_one
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
⊢ setToFun (μ + ν) (weightedSMul (μ + ν)) ⋯ f = setToFun μ (weightedSMul μ) ⋯ f + setToFun ν (weightedSMul ν) ⋯ f
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ) 1
⊢ setToFun (μ + ν) (weightedSMul (μ + ν)) ⋯ f = setToFun μ (weightedSMul μ) ⋯ f + setToFun ν (weightedSMul ν) ⋯ f

tactic: have hν_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul ν : Set α → G →L[ℝ] G) 1 :=
  DominatedFinMeasAdditive.add_measure_left μ ν (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul ν)
    zero_le_one
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ) 1
⊢ setToFun (μ + ν) (weightedSMul (μ + ν)) ⋯ f = setToFun μ (weightedSMul μ) ⋯ f + setToFun ν (weightedSMul ν) ⋯ f
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ) 1
hν_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul ν) 1
⊢ setToFun (μ + ν) (weightedSMul (μ + ν)) ⋯ f = setToFun μ (weightedSMul μ) ⋯ f + setToFun ν (weightedSMul ν) ⋯ f

tactic: rw [← setToFun_congr_measure_of_add_right hμ_dfma
      (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul μ) f hfi,
  ← setToFun_congr_measure_of_add_left hν_dfma (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul ν) f hfi]
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ) 1
hν_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul ν) 1
⊢ setToFun (μ + ν) (weightedSMul (μ + ν)) ⋯ f = setToFun μ (weightedSMul μ) ⋯ f + setToFun ν (weightedSMul ν) ⋯ f
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ) 1
hν_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul ν) 1
⊢ setToFun (μ + ν) (weightedSMul (μ + ν)) ⋯ f =
    setToFun (μ + ν) (weightedSMul μ) hμ_dfma f + setToFun (μ + ν) (weightedSMul ν) hν_dfma f

tactic: refine setToFun_add_left' _ _ _ (fun s _ hμνs => ?_) f
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ) 1
hν_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul ν) 1
⊢ setToFun (μ + ν) (weightedSMul (μ + ν)) ⋯ f =
    setToFun (μ + ν) (weightedSMul μ) hμ_dfma f + setToFun (μ + ν) (weightedSMul ν) hν_dfma f
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ) 1
hν_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul ν) 1
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμνs : (μ + ν) s < ⊤
⊢ weightedSMul (μ + ν) s = weightedSMul μ s + weightedSMul ν s

tactic: rw [Measure.coe_add, Pi.add_apply, add_lt_top] at hμνs
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ) 1
hν_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul ν) 1
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμνs : (μ + ν) s < ⊤
⊢ weightedSMul (μ + ν) s = weightedSMul μ s + weightedSMul ν s
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ) 1
hν_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul ν) 1
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμνs : μ s < ⊤ ∧ ν s < ⊤
⊢ weightedSMul (μ + ν) s = weightedSMul μ s + weightedSMul ν s

tactic: rw [weightedSMul, weightedSMul, weightedSMul, ← add_smul, Measure.coe_add, Pi.add_apply,
toReal_add hμνs.1.ne hμνs.2.ne]
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ) 1
hν_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul ν) 1
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμνs : μ s < ⊤ ∧ ν s < ⊤
⊢ weightedSMul (μ + ν) s = weightedSMul μ s + weightedSMul ν s
state_after: no goals

tactic: simp [integral, hG]
state_before: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : ¬CompleteSpace G
⊢ ∫ (x : α), f x ∂(μ + ν) = ∫ (x : α), f x ∂μ + ∫ (x : α), f x ∂ν
state_after: no goals