1337xyz1337xyz/leandojo-benchmark4-v10 huggingface dataset:
Theorem: ENNReal.tendsto_tsum_compl_atTop_zero
File: Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean

tactic: lift f to α → ℝ≥0 using ENNReal.ne_top_of_tsum_ne_top hf
state_before: α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun s => ∑' (b : { x // x ∉ s }), f ↑b) atTop (𝓝 0)
state_after: case intro
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0
hf : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun s => ∑' (b : { x // x ∉ s }), (fun i => ↑(f i)) ↑b) atTop (𝓝 0)

tactic: convert ENNReal.tendsto_coe.2 (NNReal.tendsto_tsum_compl_atTop_zero f)
state_before: case intro
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0
hf : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤
⊢ Tendsto (fun s => ∑' (b : { x // x ∉ s }), (fun i => ↑(f i)) ↑b) atTop (𝓝 0)
state_after: case h.e'_3.h
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0
hf : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤
x✝ : Finset α
⊢ ∑' (b : { x // x ∉ x✝ }), (fun i => ↑(f i)) ↑b = ↑(∑' (b : { x // x ∉ x✝ }), f ↑b)

tactic: rw [ENNReal.coe_tsum]
state_before: case h.e'_3.h
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0
hf : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤
x✝ : Finset α
⊢ ∑' (b : { x // x ∉ x✝ }), (fun i => ↑(f i)) ↑b = ↑(∑' (b : { x // x ∉ x✝ }), f ↑b)
state_after: case h.e'_3.h
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0
hf : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤
x✝ : Finset α
⊢ Summable fun b => f ↑b

tactic: exact NNReal.summable_comp_injective (tsum_coe_ne_top_iff_summable.1 hf) Subtype.coe_injective
state_before: case h.e'_3.h
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0
hf : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤
x✝ : Finset α
⊢ Summable fun b => f ↑b
state_after: no goals
Theorem: Filter.pure_seq_eq_map
File: Mathlib/Order/Filter/Basic.lean

tactic: refine le_antisymm (le_map fun s hs => ?_) (le_seq fun s hs t ht => ?_)
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
g : α → β
f : Filter α
⊢ (pure g).seq f = map g f
state_after: case refine_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
g : α → β
f : Filter α
s : Set α
hs : s ∈ f
⊢ g '' s ∈ (pure g).seq f

case refine_2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
g : α → β
f : Filter α
s : Set (α → β)
hs : s ∈ pure g
t : Set α
ht : t ∈ f
⊢ s.seq t ∈ map g f

tactic: rw [← singleton_seq]
state_before: case refine_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
g : α → β
f : Filter α
s : Set α
hs : s ∈ f
⊢ g '' s ∈ (pure g).seq f
state_after: case refine_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
g : α → β
f : Filter α
s : Set α
hs : s ∈ f
⊢ {g}.seq s ∈ (pure g).seq f

tactic: apply seq_mem_seq _ hs
state_before: case refine_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
g : α → β
f : Filter α
s : Set α
hs : s ∈ f
⊢ {g}.seq s ∈ (pure g).seq f
state_after: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
g : α → β
f : Filter α
s : Set α
hs : s ∈ f
⊢ {g} ∈ pure g

tactic: exact singleton_mem_pure
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
g : α → β
f : Filter α
s : Set α
hs : s ∈ f
⊢ {g} ∈ pure g
state_after: no goals

tactic: refine sets_of_superset (map g f) (image_mem_map ht) ?_
state_before: case refine_2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
g : α → β
f : Filter α
s : Set (α → β)
hs : s ∈ pure g
t : Set α
ht : t ∈ f
⊢ s.seq t ∈ map g f
state_after: case refine_2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
g : α → β
f : Filter α
s : Set (α → β)
hs : s ∈ pure g
t : Set α
ht : t ∈ f
⊢ g '' t ⊆ s.seq t

tactic: rintro b ⟨a, ha, rfl⟩
state_before: case refine_2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
g : α → β
f : Filter α
s : Set (α → β)
hs : s ∈ pure g
t : Set α
ht : t ∈ f
⊢ g '' t ⊆ s.seq t
state_after: case refine_2.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
g : α → β
f : Filter α
s : Set (α → β)
hs : s ∈ pure g
t : Set α
ht : t ∈ f
a : α
ha : a ∈ t
⊢ g a ∈ s.seq t

tactic: exact ⟨g, hs, a, ha, rfl⟩
state_before: case refine_2.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
g : α → β
f : Filter α
s : Set (α → β)
hs : s ∈ pure g
t : Set α
ht : t ∈ f
a : α
ha : a ∈ t
⊢ g a ∈ s.seq t
state_after: no goals
Theorem: Multiset.Icc_self
File: Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean

tactic: rw [Icc, Finset.Icc_self, Finset.singleton_val]
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b a : α
⊢ Icc a a = {a}
state_after: no goals
Theorem: Function.invFunOn_pos
File: Mathlib/Data/Set/Function.lean

tactic: rw [invFunOn, dif_pos h]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
f : α → β
a : α
b : β
h : ∃ a ∈ s, f a = b
⊢ invFunOn f s b ∈ s ∧ f (invFunOn f s b) = b
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
f : α → β
a : α
b : β
h : ∃ a ∈ s, f a = b
⊢ Classical.choose h ∈ s ∧ f (Classical.choose h) = b

tactic: exact Classical.choose_spec h
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
f : α → β
a : α
b : β
h : ∃ a ∈ s, f a = b
⊢ Classical.choose h ∈ s ∧ f (Classical.choose h) = b
state_after: no goals
Theorem: add_tsub_add_le_tsub_add_tsub
File: Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean

tactic: rw [add_comm c, tsub_le_iff_left, add_assoc, ← tsub_le_iff_left, ← tsub_le_iff_left]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + b - (c + d) ≤ a - c + (b - d)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + b - d - c ≤ a - c + (b - d)

tactic: refine (tsub_le_tsub_right add_tsub_le_assoc c).trans ?_
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + b - d - c ≤ a - c + (b - d)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + (b - d) - c ≤ a - c + (b - d)

tactic: rw [add_comm a, add_comm (a - c)]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ a + (b - d) - c ≤ a - c + (b - d)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ b - d + a - c ≤ b - d + (a - c)

tactic: exact add_tsub_le_assoc
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ b - d + a - c ≤ b - d + (a - c)
state_after: no goals
Theorem: ContinuousMultilinearMap.curry_uncurryRight
File: Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Curry.lean

tactic: ext m x
state_before: 𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => Ei i.castSucc) (Ei (last n) →L[𝕜] G)
⊢ f.uncurryRight.curryRight = f
state_after: case H.h
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => Ei i.castSucc) (Ei (last n) →L[𝕜] G)
m : (i : Fin n) → Ei i.castSucc
x : Ei (last n)
⊢ (f.uncurryRight.curryRight m) x = (f m) x

tactic: rw [ContinuousMultilinearMap.curryRight_apply, ContinuousMultilinearMap.uncurryRight_apply,
  snoc_last, init_snoc]
state_before: case H.h
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => Ei i.castSucc) (Ei (last n) →L[𝕜] G)
m : (i : Fin n) → Ei i.castSucc
x : Ei (last n)
⊢ (f.uncurryRight.curryRight m) x = (f m) x
state_after: no goals
Theorem: IsCompactOperator.sub
File: Mathlib/Analysis/NormedSpace/CompactOperator.lean

tactic: rw [sub_eq_add_neg]
state_before: R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
inst✝¹² : Semiring R₁
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₃
inst✝⁹ : CommSemiring R₄
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₁₄ : R₁ →+* R₄
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
M₄ : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : TopologicalSpace M₄
inst✝¹ : AddCommGroup M₄
inst✝ : TopologicalAddGroup M₄
f g : M₁ → M₄
hf : IsCompactOperator f
hg : IsCompactOperator g
⊢ IsCompactOperator (f - g)
state_after: R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
inst✝¹² : Semiring R₁
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₃
inst✝⁹ : CommSemiring R₄
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₁₄ : R₁ →+* R₄
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
M₄ : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : TopologicalSpace M₄
inst✝¹ : AddCommGroup M₄
inst✝ : TopologicalAddGroup M₄
f g : M₁ → M₄
hf : IsCompactOperator f
hg : IsCompactOperator g
⊢ IsCompactOperator (f + -g)

tactic: exact hf.add hg.neg
state_before: R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
inst✝¹² : Semiring R₁
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₃
inst✝⁹ : CommSemiring R₄
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₁₄ : R₁ →+* R₄
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
M₄ : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : TopologicalSpace M₄
inst✝¹ : AddCommGroup M₄
inst✝ : TopologicalAddGroup M₄
f g : M₁ → M₄
hf : IsCompactOperator f
hg : IsCompactOperator g
⊢ IsCompactOperator (f + -g)
state_after: no goals
Theorem: neg_one_geom_sum
File: Mathlib/Algebra/GeomSum.lean

tactic: induction' n with k hk
state_before: α : Type u
inst✝ : Ring α
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range n, (-1) ^ i = if Even n then 0 else 1
state_after: case zero
α : Type u
inst✝ : Ring α
⊢ ∑ i ∈ range 0, (-1) ^ i = if Even 0 then 0 else 1

case succ
α : Type u
inst✝ : Ring α
k : ℕ
hk : ∑ i ∈ range k, (-1) ^ i = if Even k then 0 else 1
⊢ ∑ i ∈ range (k + 1), (-1) ^ i = if Even (k + 1) then 0 else 1

tactic: simp
state_before: case zero
α : Type u
inst✝ : Ring α
⊢ ∑ i ∈ range 0, (-1) ^ i = if Even 0 then 0 else 1
state_after: no goals

tactic: simp only [geom_sum_succ', Nat.even_add_one, hk]
state_before: case succ
α : Type u
inst✝ : Ring α
k : ℕ
hk : ∑ i ∈ range k, (-1) ^ i = if Even k then 0 else 1
⊢ ∑ i ∈ range (k + 1), (-1) ^ i = if Even (k + 1) then 0 else 1
state_after: case succ
α : Type u
inst✝ : Ring α
k : ℕ
hk : ∑ i ∈ range k, (-1) ^ i = if Even k then 0 else 1
⊢ ((-1) ^ k + if Even k then 0 else 1) = if ¬Even k then 0 else 1

tactic: split_ifs with h
state_before: case succ
α : Type u
inst✝ : Ring α
k : ℕ
hk : ∑ i ∈ range k, (-1) ^ i = if Even k then 0 else 1
⊢ ((-1) ^ k + if Even k then 0 else 1) = if ¬Even k then 0 else 1
state_after: case pos
α : Type u
inst✝ : Ring α
k : ℕ
hk : ∑ i ∈ range k, (-1) ^ i = if Even k then 0 else 1
h : Even k
⊢ (-1) ^ k + 0 = 1

case neg
α : Type u
inst✝ : Ring α
k : ℕ
hk : ∑ i ∈ range k, (-1) ^ i = if Even k then 0 else 1
h : ¬Even k
⊢ (-1) ^ k + 1 = 0

tactic: rw [h.neg_one_pow, add_zero]
state_before: case pos
α : Type u
inst✝ : Ring α
k : ℕ
hk : ∑ i ∈ range k, (-1) ^ i = if Even k then 0 else 1
h : Even k
⊢ (-1) ^ k + 0 = 1
state_after: no goals

tactic: rw [(Nat.odd_iff_not_even.2 h).neg_one_pow, neg_add_self]
state_before: case neg
α : Type u
inst✝ : Ring α
k : ℕ
hk : ∑ i ∈ range k, (-1) ^ i = if Even k then 0 else 1
h : ¬Even k
⊢ (-1) ^ k + 1 = 0
state_after: no goals
Theorem: imageToKernel_comp_right
File: Mathlib/Algebra/Homology/ImageToKernel.lean

tactic: simp [reassoc_of% w]
state_before: ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
A B C : V
f : A ⟶ B
g : B ⟶ C
inst✝¹ : HasKernels V
inst✝ : HasImages V
D : V
h : C ⟶ D
w : f ≫ g = 0
⊢ f ≫ g ≫ h = 0
state_after: no goals

tactic: ext
state_before: ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
A B C : V
f : A ⟶ B
g : B ⟶ C
inst✝¹ : HasKernels V
inst✝ : HasImages V
D : V
h : C ⟶ D
w : f ≫ g = 0
⊢ imageToKernel f (g ≫ h) ⋯ = imageToKernel f g w ≫ (kernelSubobject g).ofLE (kernelSubobject (g ≫ h)) ⋯
state_after: case h
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
A B C : V
f : A ⟶ B
g : B ⟶ C
inst✝¹ : HasKernels V
inst✝ : HasImages V
D : V
h : C ⟶ D
w : f ≫ g = 0
⊢ imageToKernel f (g ≫ h) ⋯ ≫ (kernelSubobject (g ≫ h)).arrow =
    (imageToKernel f g w ≫ (kernelSubobject g).ofLE (kernelSubobject (g ≫ h)) ⋯) ≫ (kernelSubobject (g ≫ h)).arrow

tactic: simp
state_before: case h
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
A B C : V
f : A ⟶ B
g : B ⟶ C
inst✝¹ : HasKernels V
inst✝ : HasImages V
D : V
h : C ⟶ D
w : f ≫ g = 0
⊢ imageToKernel f (g ≫ h) ⋯ ≫ (kernelSubobject (g ≫ h)).arrow =
    (imageToKernel f g w ≫ (kernelSubobject g).ofLE (kernelSubobject (g ≫ h)) ⋯) ≫ (kernelSubobject (g ≫ h)).arrow
state_after: no goals
Theorem: Nat.one_add_le_iff
File: Mathlib/Data/Nat/Defs.lean

tactic: simp only [Nat.add_comm, add_one_le_iff]
state_before: a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ 1 + m ≤ n ↔ m < n
state_after: no goals
Theorem: Int.le_add_one_iff
File: Mathlib/Data/Int/Defs.lean

tactic: omega
state_before: a b c d m n : ℤ
⊢ m ≤ n + 1 ↔ m ≤ n ∨ m = n + 1
state_after: no goals
Theorem: tendsto_nhdsWithin_iff_subtype
File: Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean

tactic: rw [nhdsWithin_eq_map_subtype_coe h, tendsto_map'_iff]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : Set α
a : α
h : a ∈ s
f : α → β
l : Filter β
⊢ Tendsto f (𝓝[s] a) l ↔ Tendsto (s.restrict f) (𝓝 ⟨a, h⟩) l
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : Set α
a : α
h : a ∈ s
f : α → β
l : Filter β
⊢ Tendsto (f ∘ Subtype.val) (𝓝 ⟨a, h⟩) l ↔ Tendsto (s.restrict f) (𝓝 ⟨a, h⟩) l

tactic: rfl
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : Set α
a : α
h : a ∈ s
f : α → β
l : Filter β
⊢ Tendsto (f ∘ Subtype.val) (𝓝 ⟨a, h⟩) l ↔ Tendsto (s.restrict f) (𝓝 ⟨a, h⟩) l
state_after: no goals
Theorem: BoxIntegral.Prepartition.isPartition_single_iff
File: Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean

tactic: simp [isPartition_iff_iUnion_eq]
state_before: ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
h : J ≤ I
⊢ (single I J h).IsPartition ↔ J = I
state_after: no goals
Theorem: MeasureTheory.exists_subordinate_pairwise_disjoint
File: Mathlib/MeasureTheory/Measure/NullMeasurable.lean

tactic: choose t ht_sub htm ht_eq using fun i => exists_measurable_subset_ae_eq (h i)
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
⊢ ∃ t,
    (∀ (i : ι), t i ⊆ s i) ∧ (∀ (i : ι), s i =ᶠ[ae μ] t i) ∧ (∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)) ∧ Pairwise (Disjoint on t)
state_after: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
t : ι → Set α
ht_sub : ∀ (i : ι), t i ⊆ s i
htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
ht_eq : ∀ (i : ι), t i =ᶠ[ae μ] s i
⊢ ∃ t,
    (∀ (i : ι), t i ⊆ s i) ∧ (∀ (i : ι), s i =ᶠ[ae μ] t i) ∧ (∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)) ∧ Pairwise (Disjoint on t)

tactic: rcases exists_null_pairwise_disjoint_diff hd with ⟨u, hum, hu₀, hud⟩
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
t : ι → Set α
ht_sub : ∀ (i : ι), t i ⊆ s i
htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
ht_eq : ∀ (i : ι), t i =ᶠ[ae μ] s i
⊢ ∃ t,
    (∀ (i : ι), t i ⊆ s i) ∧ (∀ (i : ι), s i =ᶠ[ae μ] t i) ∧ (∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)) ∧ Pairwise (Disjoint on t)
state_after: case intro.intro.intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
t : ι → Set α
ht_sub : ∀ (i : ι), t i ⊆ s i
htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
ht_eq : ∀ (i : ι), t i =ᶠ[ae μ] s i
u : ι → Set α
hum : ∀ (i : ι), MeasurableSet (u i)
hu₀ : ∀ (i : ι), μ (u i) = 0
hud : Pairwise (Disjoint on fun i => s i \ u i)
⊢ ∃ t,
    (∀ (i : ι), t i ⊆ s i) ∧ (∀ (i : ι), s i =ᶠ[ae μ] t i) ∧ (∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)) ∧ Pairwise (Disjoint on t)

tactic: exact
  ⟨fun i => t i \ u i, fun i => diff_subset.trans (ht_sub _), fun i =>
    (ht_eq _).symm.trans (diff_null_ae_eq_self (hu₀ i)).symm, fun i => (htm i).diff (hum i),
    hud.mono fun i j h =>
      h.mono (diff_subset_diff_left (ht_sub i)) (diff_subset_diff_left (ht_sub j))⟩
state_before: case intro.intro.intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
t : ι → Set α
ht_sub : ∀ (i : ι), t i ⊆ s i
htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
ht_eq : ∀ (i : ι), t i =ᶠ[ae μ] s i
u : ι → Set α
hum : ∀ (i : ι), MeasurableSet (u i)
hu₀ : ∀ (i : ι), μ (u i) = 0
hud : Pairwise (Disjoint on fun i => s i \ u i)
⊢ ∃ t,
    (∀ (i : ι), t i ⊆ s i) ∧ (∀ (i : ι), s i =ᶠ[ae μ] t i) ∧ (∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)) ∧ Pairwise (Disjoint on t)
state_after: no goals
Theorem: LinearMap.IsSymmetric.hasStrictFDerivAt_reApplyInnerSelf
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean

tactic: convert T.hasStrictFDerivAt.inner ℝ (hasStrictFDerivAt_id x₀) using 1
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
T : F →L[ℝ] F
hT : (↑T).IsSymmetric
x₀ : F
⊢ HasStrictFDerivAt T.reApplyInnerSelf (2 • (innerSL ℝ) (T x₀)) x₀
state_after: case h.e'_10.h.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
T : F →L[ℝ] F
hT : (↑T).IsSymmetric
x₀ : F
e_7✝ : Real.normedAddCommGroup = NonUnitalNormedRing.toNormedAddCommGroup
he✝ : InnerProductSpace.toNormedSpace = NormedAlgebra.toNormedSpace'
⊢ 2 • (innerSL ℝ) (T x₀) = (fderivInnerCLM ℝ (T x₀, id x₀)).comp (T.prod (ContinuousLinearMap.id ℝ F))

tactic: ext y
state_before: case h.e'_10.h.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
T : F →L[ℝ] F
hT : (↑T).IsSymmetric
x₀ : F
e_7✝ : Real.normedAddCommGroup = NonUnitalNormedRing.toNormedAddCommGroup
he✝ : InnerProductSpace.toNormedSpace = NormedAlgebra.toNormedSpace'
⊢ 2 • (innerSL ℝ) (T x₀) = (fderivInnerCLM ℝ (T x₀, id x₀)).comp (T.prod (ContinuousLinearMap.id ℝ F))
state_after: case h.e'_10.h.h.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
T : F →L[ℝ] F
hT : (↑T).IsSymmetric
x₀ : F
e_7✝ : Real.normedAddCommGroup = NonUnitalNormedRing.toNormedAddCommGroup
he✝ : InnerProductSpace.toNormedSpace = NormedAlgebra.toNormedSpace'
y : F
⊢ (2 • (innerSL ℝ) (T x₀)) y = ((fderivInnerCLM ℝ (T x₀, id x₀)).comp (T.prod (ContinuousLinearMap.id ℝ F))) y

tactic: rw [ContinuousLinearMap.smul_apply, ContinuousLinearMap.comp_apply, fderivInnerCLM_apply,
  ContinuousLinearMap.prod_apply, innerSL_apply, id, ContinuousLinearMap.id_apply,
  hT.apply_clm x₀ y, real_inner_comm _ x₀, two_smul]
state_before: case h.e'_10.h.h.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
T : F →L[ℝ] F
hT : (↑T).IsSymmetric
x₀ : F
e_7✝ : Real.normedAddCommGroup = NonUnitalNormedRing.toNormedAddCommGroup
he✝ : InnerProductSpace.toNormedSpace = NormedAlgebra.toNormedSpace'
y : F
⊢ (2 • (innerSL ℝ) (T x₀)) y = ((fderivInnerCLM ℝ (T x₀, id x₀)).comp (T.prod (ContinuousLinearMap.id ℝ F))) y
state_after: no goals
Theorem: FirstOrder.Language.relMap_leSymb
File: Mathlib/ModelTheory/Order.lean

tactic: rfl
state_before: L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝³ : L.IsOrdered
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : LE M
inst✝ : L.OrderedStructure M
a b : M
⊢ RelMap leSymb ![a, b] ↔ a ≤ b
state_after: no goals