Theorem: Derivation.tensorProductTo_mul
File: Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean

tactic: refine TensorProduct.induction_on x ?_ ?_ ?_
state_before: R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
⊢ D.tensorProductTo (x * y) =
    (TensorProduct.lmul' R) x • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo x
state_after: case refine_1
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
⊢ D.tensorProductTo (0 * y) =
    (TensorProduct.lmul' R) 0 • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo 0

case refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
⊢ ∀ (x y_1 : S),
    D.tensorProductTo (x ⊗ₜ[R] y_1 * y) =
      (TensorProduct.lmul' R) (x ⊗ₜ[R] y_1) • D.tensorProductTo y +
        (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x ⊗ₜ[R] y_1)

case refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
⊢ ∀ (x y_1 : S ⊗[R] S),
    D.tensorProductTo (x * y) =
        (TensorProduct.lmul' R) x • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo x →
      D.tensorProductTo (y_1 * y) =
          (TensorProduct.lmul' R) y_1 • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo y_1 →
        D.tensorProductTo ((x + y_1) * y) =
          (TensorProduct.lmul' R) (x + y_1) • D.tensorProductTo y +
            (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x + y_1)

tactic: swap
state_before: case refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
⊢ ∀ (x y_1 : S),
    D.tensorProductTo (x ⊗ₜ[R] y_1 * y) =
      (TensorProduct.lmul' R) (x ⊗ₜ[R] y_1) • D.tensorProductTo y +
        (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x ⊗ₜ[R] y_1)

case refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
⊢ ∀ (x y_1 : S ⊗[R] S),
    D.tensorProductTo (x * y) =
        (TensorProduct.lmul' R) x • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo x →
      D.tensorProductTo (y_1 * y) =
          (TensorProduct.lmul' R) y_1 • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo y_1 →
        D.tensorProductTo ((x + y_1) * y) =
          (TensorProduct.lmul' R) (x + y_1) • D.tensorProductTo y +
            (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x + y_1)
state_after: case refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
⊢ ∀ (x y_1 : S ⊗[R] S),
    D.tensorProductTo (x * y) =
        (TensorProduct.lmul' R) x • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo x →
      D.tensorProductTo (y_1 * y) =
          (TensorProduct.lmul' R) y_1 • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo y_1 →
        D.tensorProductTo ((x + y_1) * y) =
          (TensorProduct.lmul' R) (x + y_1) • D.tensorProductTo y +
            (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x + y_1)

case refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
⊢ ∀ (x y_1 : S),
    D.tensorProductTo (x ⊗ₜ[R] y_1 * y) =
      (TensorProduct.lmul' R) (x ⊗ₜ[R] y_1) • D.tensorProductTo y +
        (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x ⊗ₜ[R] y_1)

tactic: intro x₁ x₂
state_before: case refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
⊢ ∀ (x y_1 : S),
    D.tensorProductTo (x ⊗ₜ[R] y_1 * y) =
      (TensorProduct.lmul' R) (x ⊗ₜ[R] y_1) • D.tensorProductTo y +
        (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x ⊗ₜ[R] y_1)
state_after: case refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
x₁ x₂ : S
⊢ D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * y) =
    (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo y +
      (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)

tactic: refine TensorProduct.induction_on y ?_ ?_ ?_
state_before: case refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
x₁ x₂ : S
⊢ D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * y) =
    (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo y +
      (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
state_after: case refine_2.refine_1
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
x₁ x₂ : S
⊢ D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * 0) =
    (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo 0 +
      (TensorProduct.lmul' R) 0 • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)

case refine_2.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
x₁ x₂ : S
⊢ ∀ (x y : S),
    D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * x ⊗ₜ[R] y) =
      (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo (x ⊗ₜ[R] y) +
        (TensorProduct.lmul' R) (x ⊗ₜ[R] y) • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)

case refine_2.refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
x₁ x₂ : S
⊢ ∀ (x y : S ⊗[R] S),
    D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * x) =
        (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo x +
          (TensorProduct.lmul' R) x • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) →
      D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * y) =
          (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo y +
            (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) →
        D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * (x + y)) =
          (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo (x + y) +
            (TensorProduct.lmul' R) (x + y) • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)

tactic: swap
state_before: case refine_2.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
x₁ x₂ : S
⊢ ∀ (x y : S),
    D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * x ⊗ₜ[R] y) =
      (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo (x ⊗ₜ[R] y) +
        (TensorProduct.lmul' R) (x ⊗ₜ[R] y) • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)

case refine_2.refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
x₁ x₂ : S
⊢ ∀ (x y : S ⊗[R] S),
    D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * x) =
        (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo x +
          (TensorProduct.lmul' R) x • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) →
      D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * y) =
          (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo y +
            (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) →
        D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * (x + y)) =
          (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo (x + y) +
            (TensorProduct.lmul' R) (x + y) • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
state_after: case refine_2.refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
x₁ x₂ : S
⊢ ∀ (x y : S ⊗[R] S),
    D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * x) =
        (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo x +
          (TensorProduct.lmul' R) x • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) →
      D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * y) =
          (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo y +
            (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) →
        D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * (x + y)) =
          (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo (x + y) +
            (TensorProduct.lmul' R) (x + y) • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)

case refine_2.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
x₁ x₂ : S
⊢ ∀ (x y : S),
    D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * x ⊗ₜ[R] y) =
      (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo (x ⊗ₜ[R] y) +
        (TensorProduct.lmul' R) (x ⊗ₜ[R] y) • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)

tactic: intro x y
state_before: case refine_2.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
x₁ x₂ : S
⊢ ∀ (x y : S),
    D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * x ⊗ₜ[R] y) =
      (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo (x ⊗ₜ[R] y) +
        (TensorProduct.lmul' R) (x ⊗ₜ[R] y) • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
state_after: case refine_2.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x✝ y✝ : S ⊗[R] S
x₁ x₂ x y : S
⊢ D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * x ⊗ₜ[R] y) =
    (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo (x ⊗ₜ[R] y) +
      (TensorProduct.lmul' R) (x ⊗ₜ[R] y) • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)

tactic: simp only [TensorProduct.tmul_mul_tmul, Derivation.tensorProductTo,
  TensorProduct.AlgebraTensorModule.lift_apply, TensorProduct.lift.tmul',
  TensorProduct.lmul'_apply_tmul]
state_before: case refine_2.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x✝ y✝ : S ⊗[R] S
x₁ x₂ x y : S
⊢ D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * x ⊗ₜ[R] y) =
    (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo (x ⊗ₜ[R] y) +
      (TensorProduct.lmul' R) (x ⊗ₜ[R] y) • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
state_after: case refine_2.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x✝ y✝ : S ⊗[R] S
x₁ x₂ x y : S
⊢ (TensorProduct.lift (↑R ((LinearMap.lsmul S (S →ₗ[R] M)).flip ↑D))) ((x₁ * x) ⊗ₜ[R] (x₂ * y)) =
    (x₁ * x₂) • (TensorProduct.lift (↑R ((LinearMap.lsmul S (S →ₗ[R] M)).flip ↑D))) (x ⊗ₜ[R] y) +
      (x * y) • (TensorProduct.lift (↑R ((LinearMap.lsmul S (S →ₗ[R] M)).flip ↑D))) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)

tactic: dsimp
state_before: case refine_2.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x✝ y✝ : S ⊗[R] S
x₁ x₂ x y : S
⊢ (TensorProduct.lift (↑R ((LinearMap.lsmul S (S →ₗ[R] M)).flip ↑D))) ((x₁ * x) ⊗ₜ[R] (x₂ * y)) =
    (x₁ * x₂) • (TensorProduct.lift (↑R ((LinearMap.lsmul S (S →ₗ[R] M)).flip ↑D))) (x ⊗ₜ[R] y) +
      (x * y) • (TensorProduct.lift (↑R ((LinearMap.lsmul S (S →ₗ[R] M)).flip ↑D))) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
state_after: case refine_2.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x✝ y✝ : S ⊗[R] S
x₁ x₂ x y : S
⊢ (x₁ * x) • D (x₂ * y) = (x₁ * x₂) • x • D y + (x * y) • x₁ • D x₂

tactic: rw [D.leibniz]
state_before: case refine_2.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x✝ y✝ : S ⊗[R] S
x₁ x₂ x y : S
⊢ (x₁ * x) • D (x₂ * y) = (x₁ * x₂) • x • D y + (x * y) • x₁ • D x₂
state_after: case refine_2.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x✝ y✝ : S ⊗[R] S
x₁ x₂ x y : S
⊢ (x₁ * x) • (x₂ • D y + y • D x₂) = (x₁ * x₂) • x • D y + (x * y) • x₁ • D x₂

tactic: simp only [smul_smul, smul_add, mul_comm (x * y) x₁, mul_right_comm x₁ x₂, ← mul_assoc]
state_before: case refine_2.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x✝ y✝ : S ⊗[R] S
x₁ x₂ x y : S
⊢ (x₁ * x) • (x₂ • D y + y • D x₂) = (x₁ * x₂) • x • D y + (x * y) • x₁ • D x₂
state_after: no goals

tactic: rw [zero_mul, map_zero, map_zero, zero_smul, smul_zero, add_zero]
state_before: case refine_1
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
⊢ D.tensorProductTo (0 * y) =
    (TensorProduct.lmul' R) 0 • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo 0
state_after: no goals

tactic: intro x₁ y₁ h₁ h₂
state_before: case refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
⊢ ∀ (x y_1 : S ⊗[R] S),
    D.tensorProductTo (x * y) =
        (TensorProduct.lmul' R) x • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo x →
      D.tensorProductTo (y_1 * y) =
          (TensorProduct.lmul' R) y_1 • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo y_1 →
        D.tensorProductTo ((x + y_1) * y) =
          (TensorProduct.lmul' R) (x + y_1) • D.tensorProductTo y +
            (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x + y_1)
state_after: case refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y x₁ y₁ : S ⊗[R] S
h₁ :
  D.tensorProductTo (x₁ * y) =
    (TensorProduct.lmul' R) x₁ • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo x₁
h₂ :
  D.tensorProductTo (y₁ * y) =
    (TensorProduct.lmul' R) y₁ • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo y₁
⊢ D.tensorProductTo ((x₁ + y₁) * y) =
    (TensorProduct.lmul' R) (x₁ + y₁) • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x₁ + y₁)

tactic: rw [add_mul, map_add, map_add, map_add, add_smul, smul_add, h₁, h₂, add_add_add_comm]
state_before: case refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y x₁ y₁ : S ⊗[R] S
h₁ :
  D.tensorProductTo (x₁ * y) =
    (TensorProduct.lmul' R) x₁ • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo x₁
h₂ :
  D.tensorProductTo (y₁ * y) =
    (TensorProduct.lmul' R) y₁ • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo y₁
⊢ D.tensorProductTo ((x₁ + y₁) * y) =
    (TensorProduct.lmul' R) (x₁ + y₁) • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x₁ + y₁)
state_after: no goals

tactic: rw [mul_zero, map_zero, map_zero, zero_smul, smul_zero, add_zero]
state_before: case refine_2.refine_1
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
x₁ x₂ : S
⊢ D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * 0) =
    (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo 0 +
      (TensorProduct.lmul' R) 0 • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
state_after: no goals

tactic: intro x₁ y₁ h₁ h₂
state_before: case refine_2.refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
x₁ x₂ : S
⊢ ∀ (x y : S ⊗[R] S),
    D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * x) =
        (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo x +
          (TensorProduct.lmul' R) x • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) →
      D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * y) =
          (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo y +
            (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) →
        D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * (x + y)) =
          (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo (x + y) +
            (TensorProduct.lmul' R) (x + y) • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
state_after: case refine_2.refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
x₁✝ x₂ : S
x₁ y₁ : S ⊗[R] S
h₁ :
  D.tensorProductTo (x₁✝ ⊗ₜ[R] x₂ * x₁) =
    (TensorProduct.lmul' R) (x₁✝ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo x₁ +
      (TensorProduct.lmul' R) x₁ • D.tensorProductTo (x₁✝ ⊗ₜ[R] x₂)
h₂ :
  D.tensorProductTo (x₁✝ ⊗ₜ[R] x₂ * y₁) =
    (TensorProduct.lmul' R) (x₁✝ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo y₁ +
      (TensorProduct.lmul' R) y₁ • D.tensorProductTo (x₁✝ ⊗ₜ[R] x₂)
⊢ D.tensorProductTo (x₁✝ ⊗ₜ[R] x₂ * (x₁ + y₁)) =
    (TensorProduct.lmul' R) (x₁✝ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo (x₁ + y₁) +
      (TensorProduct.lmul' R) (x₁ + y₁) • D.tensorProductTo (x₁✝ ⊗ₜ[R] x₂)

tactic: rw [mul_add, map_add, map_add, map_add, add_smul, smul_add, h₁, h₂, add_add_add_comm]
state_before: case refine_2.refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
x₁✝ x₂ : S
x₁ y₁ : S ⊗[R] S
h₁ :
  D.tensorProductTo (x₁✝ ⊗ₜ[R] x₂ * x₁) =
    (TensorProduct.lmul' R) (x₁✝ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo x₁ +
      (TensorProduct.lmul' R) x₁ • D.tensorProductTo (x₁✝ ⊗ₜ[R] x₂)
h₂ :
  D.tensorProductTo (x₁✝ ⊗ₜ[R] x₂ * y₁) =
    (TensorProduct.lmul' R) (x₁✝ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo y₁ +
      (TensorProduct.lmul' R) y₁ • D.tensorProductTo (x₁✝ ⊗ₜ[R] x₂)
⊢ D.tensorProductTo (x₁✝ ⊗ₜ[R] x₂ * (x₁ + y₁)) =
    (TensorProduct.lmul' R) (x₁✝ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo (x₁ + y₁) +
      (TensorProduct.lmul' R) (x₁ + y₁) • D.tensorProductTo (x₁✝ ⊗ₜ[R] x₂)
state_after: no goals