Theorem: FirstOrder.Language.exists_cg_is_age_of
File: Mathlib/ModelTheory/Fraisse.lean

tactic: obtain ⟨F, hF⟩ := hc.exists_eq_range (hn.image _)
state_before: L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K
state_after: case intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : Quotient.mk' '' K = range F
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K

tactic: simp only [Set.ext_iff, Quotient.forall, mem_image, mem_range, Quotient.eq'] at hF
state_before: case intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : Quotient.mk' '' K = range F
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K
state_after: case intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, Quotient.mk' x = ⟦a⟧) ↔ ∃ y, F y = ⟦a⟧
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K

tactic: simp_rw [Quotient.eq_mk_iff_out] at hF
state_before: case intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, Quotient.mk' x = ⟦a⟧) ↔ ∃ y, F y = ⟦a⟧
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K
state_after: case intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K

tactic: have hF' : ∀ n : ℕ, (F n).out ∈ K := by
  intro n
  obtain ⟨P, hP1, hP2⟩ := (hF (F n).out).2 ⟨n, Setoid.refl _⟩
  replace hP2 := Setoid.trans (Setoid.symm (Quotient.mk_out P)) hP2
  exact (h _ _ hP2).1 hP1
state_before: case intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K
state_after: case intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K

tactic: choose P hPK hP hFP using fun (N : K) (n : ℕ) => jep N N.2 (F (n + 1)).out (hF' _)
state_before: case intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K
state_after: case intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K

tactic: let G : ℕ → K := @Nat.rec (fun _ => K) ⟨(F 0).out, hF' 0⟩ fun n N => ⟨P N n, hPK N n⟩
state_before: case intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K
state_after: case intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K

tactic: let f : ∀ (i j : ℕ), i ≤ j → (G i).val ↪[L] (G j).val := by
  refine DirectedSystem.natLERec (G' := fun i => (G i).val) (L := L) ?_
  dsimp only [G]
  exact fun n => (hP _ n).some
state_before: case intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K
state_after: case intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K

tactic: have : DirectedSystem (fun n ↦ (G n).val) fun i j h ↦ ↑(f i j h) := by
  dsimp [f, G]; infer_instance
state_before: case intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K
state_after: case intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K

tactic: refine ⟨Bundled.of (@DirectLimit L _ _ (fun n ↦ (G n).val) _ f _ _), ?_, ?_⟩
state_before: case intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
⊢ ∃ M, Structure.CG L ↑M ∧ L.age ↑M = K
state_after: case intro.refine_1
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
⊢ Structure.CG L ↑(Bundled.of (DirectLimit (fun n => ↑↑(G n)) f))

case intro.refine_2
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
⊢ L.age ↑(Bundled.of (DirectLimit (fun n => ↑↑(G n)) f)) = K

tactic: intro n
state_before: L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
⊢ ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
state_after: L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
n : ℕ
⊢ (F n).out ∈ K

tactic: obtain ⟨P, hP1, hP2⟩ := (hF (F n).out).2 ⟨n, Setoid.refl _⟩
state_before: L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
n : ℕ
⊢ (F n).out ∈ K
state_after: case intro.intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
n : ℕ
P : Bundled L.Structure
hP1 : P ∈ K
hP2 : (Quotient.mk' P).out ≈ (F n).out
⊢ (F n).out ∈ K

tactic: replace hP2 := Setoid.trans (Setoid.symm (Quotient.mk_out P)) hP2
state_before: case intro.intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
n : ℕ
P : Bundled L.Structure
hP1 : P ∈ K
hP2 : (Quotient.mk' P).out ≈ (F n).out
⊢ (F n).out ∈ K
state_after: case intro.intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
n : ℕ
P : Bundled L.Structure
hP1 : P ∈ K
hP2 : P ≈ (F n).out
⊢ (F n).out ∈ K

tactic: exact (h _ _ hP2).1 hP1
state_before: case intro.intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
n : ℕ
P : Bundled L.Structure
hP1 : P ∈ K
hP2 : P ≈ (F n).out
⊢ (F n).out ∈ K
state_after: no goals

tactic: refine DirectedSystem.natLERec (G' := fun i => (G i).val) (L := L) ?_
state_before: L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
⊢ (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j)
state_after: L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
⊢ (n : ℕ) → (fun i => ↑↑(G i)) n ↪[L] (fun i => ↑↑(G i)) (n + 1)

tactic: dsimp only [G]
state_before: L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
⊢ (n : ℕ) → (fun i => ↑↑(G i)) n ↪[L] (fun i => ↑↑(G i)) (n + 1)
state_after: L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
⊢ (n : ℕ) →
    ↑↑(Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ (fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩) n) ↪[L] ↑(P (Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ (fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩) n) n)

tactic: exact fun n => (hP _ n).some
state_before: L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
⊢ (n : ℕ) →
    ↑↑(Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ (fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩) n) ↪[L] ↑(P (Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ (fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩) n) n)
state_after: no goals

tactic: dsimp [f, G]
state_before: L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
⊢ DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
state_after: L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
⊢ DirectedSystem (fun n => ↑↑(Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ (fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩) n)) fun i j h =>
    ⇑(DirectedSystem.natLERec (fun n => Nonempty.some ⋯) i j h)

tactic: infer_instance
state_before: L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
⊢ DirectedSystem (fun n => ↑↑(Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ (fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩) n)) fun i j h =>
    ⇑(DirectedSystem.natLERec (fun n => Nonempty.some ⋯) i j h)
state_after: no goals

tactic: exact DirectLimit.cg _ (fun n => (fg _ (G n).2).cg)
state_before: case intro.refine_1
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
⊢ Structure.CG L ↑(Bundled.of (DirectLimit (fun n => ↑↑(G n)) f))
state_after: no goals

tactic: refine (age_directLimit (fun n ↦ (G n).val) f).trans
  (subset_antisymm (iUnion_subset fun n N hN => hp (G n).val (G n).2 hN) fun N KN => ?_)
state_before: case intro.refine_2
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type w
inst✝ : L.Structure N
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
⊢ L.age ↑(Bundled.of (DirectLimit (fun n => ↑↑(G n)) f)) = K
state_after: case intro.refine_2
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
N : Bundled L.Structure
KN : N ∈ K
⊢ N ∈ ⋃ i, L.age ↑↑(G i)

tactic: have : Quotient.out (Quotient.mk' N) ≈ N := Quotient.eq_mk_iff_out.mp rfl
state_before: case intro.refine_2
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
N : Bundled L.Structure
KN : N ∈ K
⊢ N ∈ ⋃ i, L.age ↑↑(G i)
state_after: case intro.refine_2
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this✝ : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
N : Bundled L.Structure
KN : N ∈ K
this : (Quotient.mk' N).out ≈ N
⊢ N ∈ ⋃ i, L.age ↑↑(G i)

tactic: obtain ⟨n, ⟨e⟩⟩ := (hF N).1 ⟨N, KN, this⟩
state_before: case intro.refine_2
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this✝ : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
N : Bundled L.Structure
KN : N ∈ K
this : (Quotient.mk' N).out ≈ N
⊢ N ∈ ⋃ i, L.age ↑↑(G i)
state_after: case intro.refine_2.intro.intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this✝ : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
N : Bundled L.Structure
KN : N ∈ K
this : (Quotient.mk' N).out ≈ N
n : ℕ
e : ↑(F n).out ≃[L] ↑N
⊢ N ∈ ⋃ i, L.age ↑↑(G i)

tactic: refine mem_iUnion_of_mem n ⟨fg _ KN, ⟨Embedding.comp ?_ e.symm.toEmbedding⟩⟩
state_before: case intro.refine_2.intro.intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this✝ : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
N : Bundled L.Structure
KN : N ∈ K
this : (Quotient.mk' N).out ≈ N
n : ℕ
e : ↑(F n).out ≃[L] ↑N
⊢ N ∈ ⋃ i, L.age ↑↑(G i)
state_after: case intro.refine_2.intro.intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this✝ : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
N : Bundled L.Structure
KN : N ∈ K
this : (Quotient.mk' N).out ≈ N
n : ℕ
e : ↑(F n).out ≃[L] ↑N
⊢ ↑(F n).out ↪[L] ↑↑(G n)

tactic: cases' n with n
state_before: case intro.refine_2.intro.intro
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this✝ : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
N : Bundled L.Structure
KN : N ∈ K
this : (Quotient.mk' N).out ≈ N
n : ℕ
e : ↑(F n).out ≃[L] ↑N
⊢ ↑(F n).out ↪[L] ↑↑(G n)
state_after: case intro.refine_2.intro.intro.zero
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this✝ : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
N : Bundled L.Structure
KN : N ∈ K
this : (Quotient.mk' N).out ≈ N
e : ↑(F 0).out ≃[L] ↑N
⊢ ↑(F 0).out ↪[L] ↑↑(G 0)

case intro.refine_2.intro.intro.succ
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this✝ : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
N : Bundled L.Structure
KN : N ∈ K
this : (Quotient.mk' N).out ≈ N
n : ℕ
e : ↑(F (n + 1)).out ≃[L] ↑N
⊢ ↑(F (n + 1)).out ↪[L] ↑↑(G (n + 1))

tactic: dsimp [G]
state_before: case intro.refine_2.intro.intro.zero
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this✝ : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
N : Bundled L.Structure
KN : N ∈ K
this : (Quotient.mk' N).out ≈ N
e : ↑(F 0).out ≃[L] ↑N
⊢ ↑(F 0).out ↪[L] ↑↑(G 0)
state_after: case intro.refine_2.intro.intro.zero
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this✝ : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
N : Bundled L.Structure
KN : N ∈ K
this : (Quotient.mk' N).out ≈ N
e : ↑(F 0).out ≃[L] ↑N
⊢ ↑(F 0).out ↪[L] ↑(F 0).out

tactic: exact Embedding.refl _ _
state_before: case intro.refine_2.intro.intro.zero
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this✝ : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
N : Bundled L.Structure
KN : N ∈ K
this : (Quotient.mk' N).out ≈ N
e : ↑(F 0).out ≃[L] ↑N
⊢ ↑(F 0).out ↪[L] ↑(F 0).out
state_after: no goals

tactic: dsimp [G]
state_before: case intro.refine_2.intro.intro.succ
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this✝ : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
N : Bundled L.Structure
KN : N ∈ K
this : (Quotient.mk' N).out ≈ N
n : ℕ
e : ↑(F (n + 1)).out ≃[L] ↑N
⊢ ↑(F (n + 1)).out ↪[L] ↑↑(G (n + 1))
state_after: case intro.refine_2.intro.intro.succ
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this✝ : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
N : Bundled L.Structure
KN : N ∈ K
this : (Quotient.mk' N).out ≈ N
n : ℕ
e : ↑(F (n + 1)).out ≃[L] ↑N
⊢ ↑(F (n + 1)).out ↪[L] ↑(P (Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ (fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩) n) n)

tactic: exact (hFP _ n).some
state_before: case intro.refine_2.intro.intro.succ
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
hn : K.Nonempty
h : ∀ (M N : Bundled L.Structure), Nonempty (↑M ≃[L] ↑N) → (M ∈ K ↔ N ∈ K)
hc : (Quotient.mk' '' K).Countable
fg : ∀ M ∈ K, Structure.FG L ↑M
hp : Hereditary K
jep : JointEmbedding K
F : ℕ → Quotient equivSetoid
hF : ∀ (a : Bundled L.Structure), (∃ x ∈ K, (Quotient.mk' x).out ≈ a) ↔ ∃ y, (F y).out ≈ a
hF' : ∀ (n : ℕ), (F n).out ∈ K
P : ↑K → ℕ → Bundled L.Structure
hPK : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), P N n ∈ K
hP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (↑N) (P N n)
hFP : ∀ (N : ↑K) (n : ℕ), (fun M N => Nonempty (↑M ↪[L] ↑N)) (F (n + 1)).out (P N n)
G : ℕ → ↑K := Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩
f : (i j : ℕ) → i ≤ j → ↑↑(G i) ↪[L] ↑↑(G j) := DirectedSystem.natLERec (id fun n => Nonempty.some ⋯)
this✝ : DirectedSystem (fun n => ↑↑(G n)) fun i j h => ⇑(f i j h)
N : Bundled L.Structure
KN : N ∈ K
this : (Quotient.mk' N).out ≈ N
n : ℕ
e : ↑(F (n + 1)).out ≃[L] ↑N
⊢ ↑(F (n + 1)).out ↪[L] ↑(P (Nat.rec ⟨(F 0).out, ⋯⟩ (fun n N => ⟨P N n, ⋯⟩) n) n)
state_after: no goals