Theorem: surjOn_Ico_of_monotone_surjective
File: Mathlib/Order/Interval/Set/SurjOn.lean

tactic: obtain hab | hab := lt_or_le a b
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
⊢ SurjOn f (Ico a b) (Ico (f a) (f b))
state_after: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a < b
⊢ SurjOn f (Ico a b) (Ico (f a) (f b))

case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : b ≤ a
⊢ SurjOn f (Ico a b) (Ico (f a) (f b))

tactic: intro p hp
state_before: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a < b
⊢ SurjOn f (Ico a b) (Ico (f a) (f b))
state_after: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a < b
p : β
hp : p ∈ Ico (f a) (f b)
⊢ p ∈ f '' Ico a b

tactic: rcases eq_left_or_mem_Ioo_of_mem_Ico hp with (rfl | hp')
state_before: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a < b
p : β
hp : p ∈ Ico (f a) (f b)
⊢ p ∈ f '' Ico a b
state_after: case inl.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a < b
hp : f a ∈ Ico (f a) (f b)
⊢ f a ∈ f '' Ico a b

case inl.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a < b
p : β
hp : p ∈ Ico (f a) (f b)
hp' : p ∈ Ioo (f a) (f b)
⊢ p ∈ f '' Ico a b

tactic: exact mem_image_of_mem f (left_mem_Ico.mpr hab)
state_before: case inl.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a < b
hp : f a ∈ Ico (f a) (f b)
⊢ f a ∈ f '' Ico a b
state_after: no goals

tactic: have := surjOn_Ioo_of_monotone_surjective h_mono h_surj a b hp'
state_before: case inl.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a < b
p : β
hp : p ∈ Ico (f a) (f b)
hp' : p ∈ Ioo (f a) (f b)
⊢ p ∈ f '' Ico a b
state_after: case inl.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a < b
p : β
hp : p ∈ Ico (f a) (f b)
hp' : p ∈ Ioo (f a) (f b)
this : p ∈ f '' Ioo a b
⊢ p ∈ f '' Ico a b

tactic: exact image_subset f Ioo_subset_Ico_self this
state_before: case inl.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a < b
p : β
hp : p ∈ Ico (f a) (f b)
hp' : p ∈ Ioo (f a) (f b)
this : p ∈ f '' Ioo a b
⊢ p ∈ f '' Ico a b
state_after: no goals

tactic: rw [Ico_eq_empty (h_mono hab).not_lt]
state_before: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : b ≤ a
⊢ SurjOn f (Ico a b) (Ico (f a) (f b))
state_after: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : b ≤ a
⊢ SurjOn f (Ico a b) ∅

tactic: exact surjOn_empty f _
state_before: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : b ≤ a
⊢ SurjOn f (Ico a b) ∅
state_after: no goals