Theorem: lp.single_smul
File: Mathlib/Analysis/NormedSpace/lpSpace.lean

tactic: refine ext (funext (fun (j : α) => ?_))
state_before: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
c : 𝕜
⊢ lp.single p i (c • a) = c • lp.single p i a
state_after: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
c : 𝕜
j : α
⊢ ↑(lp.single p i (c • a)) j = ↑(c • lp.single p i a) j

tactic: by_cases hi : j = i
state_before: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
c : 𝕜
j : α
⊢ ↑(lp.single p i (c • a)) j = ↑(c • lp.single p i a) j
state_after: case pos
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
c : 𝕜
j : α
hi : j = i
⊢ ↑(lp.single p i (c • a)) j = ↑(c • lp.single p i a) j

case neg
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
c : 𝕜
j : α
hi : ¬j = i
⊢ ↑(lp.single p i (c • a)) j = ↑(c • lp.single p i a) j

tactic: subst hi
state_before: case pos
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
c : 𝕜
j : α
hi : j = i
⊢ ↑(lp.single p i (c • a)) j = ↑(c • lp.single p i a) j
state_after: case pos
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
c : 𝕜
j : α
a : E j
⊢ ↑(lp.single p j (c • a)) j = ↑(c • lp.single p j a) j

tactic: dsimp
state_before: case pos
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
c : 𝕜
j : α
a : E j
⊢ ↑(lp.single p j (c • a)) j = ↑(c • lp.single p j a) j
state_after: case pos
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
c : 𝕜
j : α
a : E j
⊢ ↑(lp.single p j (c • a)) j = c • ↑(lp.single p j a) j

tactic: simp [lp.single_apply_self]
state_before: case pos
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
c : 𝕜
j : α
a : E j
⊢ ↑(lp.single p j (c • a)) j = c • ↑(lp.single p j a) j
state_after: no goals

tactic: dsimp
state_before: case neg
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
c : 𝕜
j : α
hi : ¬j = i
⊢ ↑(lp.single p i (c • a)) j = ↑(c • lp.single p i a) j
state_after: case neg
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
c : 𝕜
j : α
hi : ¬j = i
⊢ ↑(lp.single p i (c • a)) j = c • ↑(lp.single p i a) j

tactic: simp [lp.single_apply_ne p i _ hi]
state_before: case neg
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
c : 𝕜
j : α
hi : ¬j = i
⊢ ↑(lp.single p i (c • a)) j = c • ↑(lp.single p i a) j
state_after: no goals