Theorem: Finsupp.lmapDomain_disjoint_ker
File: Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean

tactic: rw [disjoint_iff_inf_le]
state_before: α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
⊢ Disjoint (supported M R s) (ker (lmapDomain M R f))
state_after: α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
⊢ supported M R s ⊓ ker (lmapDomain M R f) ≤ ⊥

tactic: rintro l ⟨h₁, h₂⟩
state_before: α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
⊢ supported M R s ⊓ ker (lmapDomain M R f) ≤ ⊥
state_after: case intro
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : l ∈ ↑(ker (lmapDomain M R f))
⊢ l ∈ ⊥

tactic: rw [SetLike.mem_coe, mem_ker, lmapDomain_apply, mapDomain] at h₂
state_before: case intro
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : l ∈ ↑(ker (lmapDomain M R f))
⊢ l ∈ ⊥
state_after: case intro
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
⊢ l ∈ ⊥

tactic: simp
state_before: case intro
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
⊢ l ∈ ⊥
state_after: case intro
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
⊢ l = 0

tactic: ext x
state_before: case intro
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
⊢ l = 0
state_after: case intro.h
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
⊢ l x = 0 x

tactic: haveI := Classical.decPred fun x => x ∈ s
state_before: case intro.h
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
⊢ l x = 0 x
state_after: case intro.h
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this : DecidablePred fun x => x ∈ s
⊢ l x = 0 x

tactic: by_cases xs : x ∈ s
state_before: case intro.h
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this : DecidablePred fun x => x ∈ s
⊢ l x = 0 x
state_after: case pos
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this : DecidablePred fun x => x ∈ s
xs : x ∈ s
⊢ l x = 0 x

case neg
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this : DecidablePred fun x => x ∈ s
xs : x ∉ s
⊢ l x = 0 x

tactic: have : Finsupp.sum l (fun a => Finsupp.single (f a)) (f x) = 0 := by
  rw [h₂]
  rfl
state_before: case pos
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this : DecidablePred fun x => x ∈ s
xs : x ∈ s
⊢ l x = 0 x
state_after: case pos
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
xs : x ∈ s
this : (l.sum fun a => single (f a)) (f x) = 0
⊢ l x = 0 x

tactic: rw [Finsupp.sum_apply, Finsupp.sum_eq_single x, single_eq_same] at this
state_before: case pos
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
xs : x ∈ s
this : (l.sum fun a => single (f a)) (f x) = 0
⊢ l x = 0 x
state_after: case pos
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
xs : x ∈ s
this : l x = 0
⊢ l x = 0 x

case pos.h₀
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
xs : x ∈ s
this : (l.sum fun a₁ b => (single (f a₁) b) (f x)) = 0
⊢ ∀ (b : α), l b ≠ 0 → b ≠ x → (single (f b) (l b)) (f x) = 0

case pos.h₁
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
xs : x ∈ s
this : (l.sum fun a₁ b => (single (f a₁) b) (f x)) = 0
⊢ l x = 0 → (single (f x) 0) (f x) = 0

tactic: rw [h₂]
state_before: α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this : DecidablePred fun x => x ∈ s
xs : x ∈ s
⊢ (l.sum fun a => single (f a)) (f x) = 0
state_after: α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this : DecidablePred fun x => x ∈ s
xs : x ∈ s
⊢ 0 (f x) = 0

tactic: rfl
state_before: α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this : DecidablePred fun x => x ∈ s
xs : x ∈ s
⊢ 0 (f x) = 0
state_after: no goals

tactic: simpa
state_before: case pos
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
xs : x ∈ s
this : l x = 0
⊢ l x = 0 x
state_after: no goals

tactic: intro y hy xy
state_before: case pos.h₀
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
xs : x ∈ s
this : (l.sum fun a₁ b => (single (f a₁) b) (f x)) = 0
⊢ ∀ (b : α), l b ≠ 0 → b ≠ x → (single (f b) (l b)) (f x) = 0
state_after: case pos.h₀
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
xs : x ∈ s
this : (l.sum fun a₁ b => (single (f a₁) b) (f x)) = 0
y : α
hy : l y ≠ 0
xy : y ≠ x
⊢ (single (f y) (l y)) (f x) = 0

tactic: simp only [SetLike.mem_coe, mem_supported, subset_def, Finset.mem_coe, mem_support_iff] at h₁
state_before: case pos.h₀
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
xs : x ∈ s
this : (l.sum fun a₁ b => (single (f a₁) b) (f x)) = 0
y : α
hy : l y ≠ 0
xy : y ≠ x
⊢ (single (f y) (l y)) (f x) = 0
state_after: case pos.h₀
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
xs : x ∈ s
this : (l.sum fun a₁ b => (single (f a₁) b) (f x)) = 0
y : α
hy : l y ≠ 0
xy : y ≠ x
h₁ : ∀ (x : α), l x ≠ 0 → x ∈ s
⊢ (single (f y) (l y)) (f x) = 0

tactic: simp [mt (H _ (h₁ _ hy) _ xs) xy]
state_before: case pos.h₀
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
xs : x ∈ s
this : (l.sum fun a₁ b => (single (f a₁) b) (f x)) = 0
y : α
hy : l y ≠ 0
xy : y ≠ x
h₁ : ∀ (x : α), l x ≠ 0 → x ∈ s
⊢ (single (f y) (l y)) (f x) = 0
state_after: no goals

tactic: simp (config := { contextual := true })
state_before: case pos.h₁
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
xs : x ∈ s
this : (l.sum fun a₁ b => (single (f a₁) b) (f x)) = 0
⊢ l x = 0 → (single (f x) 0) (f x) = 0
state_after: no goals

tactic: by_contra h
state_before: case neg
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this : DecidablePred fun x => x ∈ s
xs : x ∉ s
⊢ l x = 0 x
state_after: case neg
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this : DecidablePred fun x => x ∈ s
xs : x ∉ s
h : ¬l x = 0 x
⊢ False

tactic: exact xs (h₁ <| Finsupp.mem_support_iff.2 h)
state_before: case neg
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α' : Type u_7
α'' : Type u_8
f : α → α'
s : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f a = f b → a = b
l : α →₀ M
h₁ : l ∈ ↑(supported M R s)
h₂ : (l.sum fun a => single (f a)) = 0
x : α
this : DecidablePred fun x => x ∈ s
xs : x ∉ s
h : ¬l x = 0 x
⊢ False
state_after: no goals