Theorem: ProbabilityTheory.IsMeasurableRatCDF.monotone_stieltjesFunctionAux
File: Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean

tactic: intro x y hxy
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
⊢ Monotone (stieltjesFunctionAux f a)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ stieltjesFunctionAux f a x ≤ stieltjesFunctionAux f a y

tactic: have : Nonempty { r' : ℚ // y < ↑r' } := by
  obtain ⟨r, hrx⟩ := exists_rat_gt y
  exact ⟨⟨r, hrx⟩⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ stieltjesFunctionAux f a x ≤ stieltjesFunctionAux f a y
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }
⊢ stieltjesFunctionAux f a x ≤ stieltjesFunctionAux f a y

tactic: simp_rw [IsMeasurableRatCDF.stieltjesFunctionAux_def]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }
⊢ stieltjesFunctionAux f a x ≤ stieltjesFunctionAux f a y
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }
⊢ ⨅ q, f a ↑q ≤ ⨅ q, f a ↑q

tactic: refine le_ciInf fun r ↦ (ciInf_le ?_ ?_).trans_eq ?_
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }
⊢ ⨅ q, f a ↑q ≤ ⨅ q, f a ↑q
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }
r : { q' // y < ↑q' }
⊢ BddBelow (range fun q => f a ↑q)

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }
r : { q' // y < ↑q' }
⊢ { q' // x < ↑q' }

case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }
r : { q' // y < ↑q' }
⊢ f a ↑?refine_2 = f a ↑r

tactic: obtain ⟨r, hrx⟩ := exists_rat_gt y
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ Nonempty { r' // y < ↑r' }
state_after: case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
r : ℚ
hrx : y < ↑r
⊢ Nonempty { r' // y < ↑r' }

tactic: exact ⟨⟨r, hrx⟩⟩
state_before: case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
r : ℚ
hrx : y < ↑r
⊢ Nonempty { r' // y < ↑r' }
state_after: no goals

tactic: refine ⟨0, fun z ↦ ?_⟩
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }
r : { q' // y < ↑q' }
⊢ BddBelow (range fun q => f a ↑q)
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }
r : { q' // y < ↑q' }
z : ℝ
⊢ (z ∈ range fun q => f a ↑q) → 0 ≤ z

tactic: rintro ⟨u, rfl⟩
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }
r : { q' // y < ↑q' }
z : ℝ
⊢ (z ∈ range fun q => f a ↑q) → 0 ≤ z
state_after: case refine_1.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }
r : { q' // y < ↑q' }
u : { q' // x < ↑q' }
⊢ 0 ≤ (fun q => f a ↑q) u

tactic: exact hf.nonneg a _
state_before: case refine_1.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }
r : { q' // y < ↑q' }
u : { q' // x < ↑q' }
⊢ 0 ≤ (fun q => f a ↑q) u
state_after: no goals

tactic: exact ⟨r.1, hxy.trans_lt r.prop⟩
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }
r : { q' // y < ↑q' }
⊢ { q' // x < ↑q' }
state_after: no goals

tactic: rfl
state_before: case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }
r : { q' // y < ↑q' }
⊢ f a ↑⟨↑r, ⋯⟩ = f a ↑r
state_after: no goals