Theorem: MeasureTheory.norm_indicatorConstLp_le
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean

tactic: rw [indicatorConstLp, Lp.norm_toLp]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ ‖indicatorConstLp p hs hμs c‖ ≤ ‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal)
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ (snorm (s.indicator fun x => c) p μ).toReal ≤ ‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal)

tactic: refine ENNReal.toReal_le_of_le_ofReal (by positivity) ?_
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ (snorm (s.indicator fun x => c) p μ).toReal ≤ ‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal)
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ snorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ENNReal.ofReal (‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal))

tactic: refine (snorm_indicator_const_le _ _).trans_eq ?_
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ snorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ENNReal.ofReal (‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal))
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal) = ENNReal.ofReal (‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal))

tactic: rw [← coe_nnnorm, ENNReal.ofReal_mul (NNReal.coe_nonneg _), ENNReal.ofReal_coe_nnreal,
  ENNReal.toReal_rpow, ENNReal.ofReal_toReal]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal) = ENNReal.ofReal (‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal))
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ μ s ^ (1 / p.toReal) ≠ ⊤

tactic: exact ENNReal.rpow_ne_top_of_nonneg (by positivity) hμs
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ μ s ^ (1 / p.toReal) ≠ ⊤
state_after: no goals

tactic: positivity
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ 0 ≤ ‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal)
state_after: no goals

tactic: positivity
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
⊢ 0 ≤ 1 / p.toReal
state_after: no goals