Theorem: ProbabilityTheory.variance_le_expectation_sq
File: Mathlib/Probability/Variance.lean

tactic: by_cases hX : Memℒp X 2
state_before: Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
⊢ variance X ℙ ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a
state_after: case pos
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : Memℒp X 2 ℙ
⊢ variance X ℙ ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a

case neg
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
⊢ variance X ℙ ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a

tactic: rw [variance, evariance_eq_lintegral_ofReal, ← integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae]
state_before: case neg
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
⊢ variance X ℙ ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a
state_after: case neg
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
⊢ ∫ (a : Ω), (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2 ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a

case neg.hf
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae ℙ] fun ω => (X ω - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2

case neg.hfm
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun ω => (X ω - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ

tactic: rw [variance_def' hX]
state_before: case pos
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : Memℒp X 2 ℙ
⊢ variance X ℙ ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a
state_after: case pos
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : Memℒp X 2 ℙ
⊢ (∫ (a : Ω), (X ^ 2) a) - (∫ (a : Ω), X a) ^ 2 ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a

tactic: simp only [sq_nonneg, sub_le_self_iff]
state_before: case pos
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : Memℒp X 2 ℙ
⊢ (∫ (a : Ω), (X ^ 2) a) - (∫ (a : Ω), X a) ^ 2 ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a
state_after: no goals

tactic: by_cases hint : Integrable X
state_before: case neg
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
⊢ ∫ (a : Ω), (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2 ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a
state_after: case pos
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : Integrable X ℙ
⊢ ∫ (a : Ω), (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2 ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a

case neg
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : ¬Integrable X ℙ
⊢ ∫ (a : Ω), (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2 ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a

tactic: swap
state_before: case pos
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : Integrable X ℙ
⊢ ∫ (a : Ω), (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2 ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a

case neg
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : ¬Integrable X ℙ
⊢ ∫ (a : Ω), (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2 ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a
state_after: case neg
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : ¬Integrable X ℙ
⊢ ∫ (a : Ω), (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2 ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a

case pos
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : Integrable X ℙ
⊢ ∫ (a : Ω), (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2 ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a

tactic: simp only [integral_undef hint, Pi.pow_apply, Pi.sub_apply, sub_zero]
state_before: case neg
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : ¬Integrable X ℙ
⊢ ∫ (a : Ω), (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2 ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a
state_after: case neg
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : ¬Integrable X ℙ
⊢ ∫ (a : Ω), X a ^ 2 ≤ ∫ (a : Ω), X a ^ 2

tactic: exact le_rfl
state_before: case neg
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : ¬Integrable X ℙ
⊢ ∫ (a : Ω), X a ^ 2 ≤ ∫ (a : Ω), X a ^ 2
state_after: no goals

tactic: rw [integral_undef]
state_before: case pos
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : Integrable X ℙ
⊢ ∫ (a : Ω), (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2 ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a
state_after: case pos
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : Integrable X ℙ
⊢ 0 ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a

case pos
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : Integrable X ℙ
⊢ ¬Integrable (fun a => (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ

tactic: intro h
state_before: case pos
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : Integrable X ℙ
⊢ ¬Integrable (fun a => (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ
state_after: case pos
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : Integrable X ℙ
h : Integrable (fun a => (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ
⊢ False

tactic: have A : Memℒp (X - fun ω : Ω => 𝔼[X]) 2 ℙ :=
  (memℒp_two_iff_integrable_sq (hint.aestronglyMeasurable.sub aestronglyMeasurable_const)).2 h
state_before: case pos
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : Integrable X ℙ
h : Integrable (fun a => (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ
⊢ False
state_after: case pos
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : Integrable X ℙ
h : Integrable (fun a => (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ
A : Memℒp (X - fun ω => ∫ (a : Ω), X a) 2 ℙ
⊢ False

tactic: have B : Memℒp (fun _ : Ω => 𝔼[X]) 2 ℙ := memℒp_const _
state_before: case pos
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : Integrable X ℙ
h : Integrable (fun a => (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ
A : Memℒp (X - fun ω => ∫ (a : Ω), X a) 2 ℙ
⊢ False
state_after: case pos
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : Integrable X ℙ
h : Integrable (fun a => (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ
A : Memℒp (X - fun ω => ∫ (a : Ω), X a) 2 ℙ
B : Memℒp (fun x => ∫ (a : Ω), X a) 2 ℙ
⊢ False

tactic: apply hX
state_before: case pos
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : Integrable X ℙ
h : Integrable (fun a => (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ
A : Memℒp (X - fun ω => ∫ (a : Ω), X a) 2 ℙ
B : Memℒp (fun x => ∫ (a : Ω), X a) 2 ℙ
⊢ False
state_after: case pos
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : Integrable X ℙ
h : Integrable (fun a => (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ
A : Memℒp (X - fun ω => ∫ (a : Ω), X a) 2 ℙ
B : Memℒp (fun x => ∫ (a : Ω), X a) 2 ℙ
⊢ Memℒp X 2 ℙ

tactic: convert A.add B
state_before: case pos
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : Integrable X ℙ
h : Integrable (fun a => (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ
A : Memℒp (X - fun ω => ∫ (a : Ω), X a) 2 ℙ
B : Memℒp (fun x => ∫ (a : Ω), X a) 2 ℙ
⊢ Memℒp X 2 ℙ
state_after: case h.e'_5
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : Integrable X ℙ
h : Integrable (fun a => (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ
A : Memℒp (X - fun ω => ∫ (a : Ω), X a) 2 ℙ
B : Memℒp (fun x => ∫ (a : Ω), X a) 2 ℙ
⊢ X = (X - fun ω => ∫ (a : Ω), X a) + fun x => ∫ (a : Ω), X a

tactic: simp
state_before: case h.e'_5
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : Integrable X ℙ
h : Integrable (fun a => (X a - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ
A : Memℒp (X - fun ω => ∫ (a : Ω), X a) 2 ℙ
B : Memℒp (fun x => ∫ (a : Ω), X a) 2 ℙ
⊢ X = (X - fun ω => ∫ (a : Ω), X a) + fun x => ∫ (a : Ω), X a
state_after: no goals

tactic: exact integral_nonneg fun a => sq_nonneg _
state_before: case pos
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
hint : Integrable X ℙ
⊢ 0 ≤ ∫ (a : Ω), (X ^ 2) a
state_after: no goals

tactic: exact eventually_of_forall fun x => sq_nonneg _
state_before: case neg.hf
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae ℙ] fun ω => (X ω - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2
state_after: no goals

tactic: exact (AEMeasurable.pow_const (hm.aemeasurable.sub_const _) _).aestronglyMeasurable
state_before: case neg.hfm
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun ω => (X ω - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ
state_after: no goals