Theorem: IsCoercive.bounded_below
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/LaxMilgram.lean

tactic: rcases coercive with ⟨C, C_ge_0, coercivity⟩
state_before: V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (v : V), C * ‖v‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) v‖
state_after: case intro.intro
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
C : ℝ
C_ge_0 : 0 < C
coercivity : ∀ (u : V), C * ‖u‖ * ‖u‖ ≤ (B u) u
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (v : V), C * ‖v‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) v‖

tactic: refine ⟨C, C_ge_0, ?_⟩
state_before: case intro.intro
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
C : ℝ
C_ge_0 : 0 < C
coercivity : ∀ (u : V), C * ‖u‖ * ‖u‖ ≤ (B u) u
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (v : V), C * ‖v‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) v‖
state_after: case intro.intro
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
C : ℝ
C_ge_0 : 0 < C
coercivity : ∀ (u : V), C * ‖u‖ * ‖u‖ ≤ (B u) u
⊢ ∀ (v : V), C * ‖v‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) v‖

tactic: intro v
state_before: case intro.intro
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
C : ℝ
C_ge_0 : 0 < C
coercivity : ∀ (u : V), C * ‖u‖ * ‖u‖ ≤ (B u) u
⊢ ∀ (v : V), C * ‖v‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) v‖
state_after: case intro.intro
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
C : ℝ
C_ge_0 : 0 < C
coercivity : ∀ (u : V), C * ‖u‖ * ‖u‖ ≤ (B u) u
v : V
⊢ C * ‖v‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) v‖

tactic: by_cases h : 0 < ‖v‖
state_before: case intro.intro
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
C : ℝ
C_ge_0 : 0 < C
coercivity : ∀ (u : V), C * ‖u‖ * ‖u‖ ≤ (B u) u
v : V
⊢ C * ‖v‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) v‖
state_after: case pos
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
C : ℝ
C_ge_0 : 0 < C
coercivity : ∀ (u : V), C * ‖u‖ * ‖u‖ ≤ (B u) u
v : V
h : 0 < ‖v‖
⊢ C * ‖v‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) v‖

case neg
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
C : ℝ
C_ge_0 : 0 < C
coercivity : ∀ (u : V), C * ‖u‖ * ‖u‖ ≤ (B u) u
v : V
h : ¬0 < ‖v‖
⊢ C * ‖v‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) v‖

tactic: refine (mul_le_mul_right h).mp ?_
state_before: case pos
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
C : ℝ
C_ge_0 : 0 < C
coercivity : ∀ (u : V), C * ‖u‖ * ‖u‖ ≤ (B u) u
v : V
h : 0 < ‖v‖
⊢ C * ‖v‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) v‖
state_after: case pos
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
C : ℝ
C_ge_0 : 0 < C
coercivity : ∀ (u : V), C * ‖u‖ * ‖u‖ ≤ (B u) u
v : V
h : 0 < ‖v‖
⊢ C * ‖v‖ * ‖v‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) v‖ * ‖v‖

tactic: calc
  C * ‖v‖ * ‖v‖ ≤ B v v := coercivity v
  _ = ⟪B♯ v, v⟫_ℝ := (continuousLinearMapOfBilin_apply B v v).symm
  _ ≤ ‖B♯ v‖ * ‖v‖ := real_inner_le_norm (B♯ v) v
state_before: case pos
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
C : ℝ
C_ge_0 : 0 < C
coercivity : ∀ (u : V), C * ‖u‖ * ‖u‖ ≤ (B u) u
v : V
h : 0 < ‖v‖
⊢ C * ‖v‖ * ‖v‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) v‖ * ‖v‖
state_after: no goals

tactic: have : v = 0 := by simpa using h
state_before: case neg
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
C : ℝ
C_ge_0 : 0 < C
coercivity : ∀ (u : V), C * ‖u‖ * ‖u‖ ≤ (B u) u
v : V
h : ¬0 < ‖v‖
⊢ C * ‖v‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) v‖
state_after: case neg
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
C : ℝ
C_ge_0 : 0 < C
coercivity : ∀ (u : V), C * ‖u‖ * ‖u‖ ≤ (B u) u
v : V
h : ¬0 < ‖v‖
this : v = 0
⊢ C * ‖v‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) v‖

tactic: simp [this]
state_before: case neg
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
C : ℝ
C_ge_0 : 0 < C
coercivity : ∀ (u : V), C * ‖u‖ * ‖u‖ ≤ (B u) u
v : V
h : ¬0 < ‖v‖
this : v = 0
⊢ C * ‖v‖ ≤ ‖(continuousLinearMapOfBilin B) v‖
state_after: no goals

tactic: simpa using h
state_before: V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
C : ℝ
C_ge_0 : 0 < C
coercivity : ∀ (u : V), C * ‖u‖ * ‖u‖ ≤ (B u) u
v : V
h : ¬0 < ‖v‖
⊢ v = 0
state_after: no goals