Theorem: FirstOrder.Language.LHom.comp_onBoundedFormula
File: Mathlib/ModelTheory/Syntax.lean

tactic: ext f
state_before: L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
L'' : Language
φ : L' →ᴸ L''
ψ : L →ᴸ L'
⊢ (φ.comp ψ).onBoundedFormula = φ.onBoundedFormula ∘ ψ.onBoundedFormula
state_after: case h
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
L'' : Language
φ : L' →ᴸ L''
ψ : L →ᴸ L'
f : L.BoundedFormula α n
⊢ (φ.comp ψ).onBoundedFormula f = (φ.onBoundedFormula ∘ ψ.onBoundedFormula) f

tactic: induction' f with _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ih1 ih2 _ _ ih3
state_before: case h
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
L'' : Language
φ : L' →ᴸ L''
ψ : L →ᴸ L'
f : L.BoundedFormula α n
⊢ (φ.comp ψ).onBoundedFormula f = (φ.onBoundedFormula ∘ ψ.onBoundedFormula) f
state_after: case h.falsum
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
L'' : Language
φ : L' →ᴸ L''
ψ : L →ᴸ L'
n✝ : ℕ
⊢ (φ.comp ψ).onBoundedFormula falsum = (φ.onBoundedFormula ∘ ψ.onBoundedFormula) falsum

case h.equal
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
L'' : Language
φ : L' →ᴸ L''
ψ : L →ᴸ L'
n✝ : ℕ
t₁✝ t₂✝ : L.Term (α ⊕ Fin n✝)
⊢ (φ.comp ψ).onBoundedFormula (equal t₁✝ t₂✝) = (φ.onBoundedFormula ∘ ψ.onBoundedFormula) (equal t₁✝ t₂✝)

case h.rel
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
L'' : Language
φ : L' →ᴸ L''
ψ : L →ᴸ L'
n✝ l✝ : ℕ
R✝ : L.Relations l✝
ts✝ : Fin l✝ → L.Term (α ⊕ Fin n✝)
⊢ (φ.comp ψ).onBoundedFormula (rel R✝ ts✝) = (φ.onBoundedFormula ∘ ψ.onBoundedFormula) (rel R✝ ts✝)

case h.imp
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
L'' : Language
φ : L' →ᴸ L''
ψ : L →ᴸ L'
n✝ : ℕ
f₁✝ f₂✝ : L.BoundedFormula α n✝
ih1 : (φ.comp ψ).onBoundedFormula f₁✝ = (φ.onBoundedFormula ∘ ψ.onBoundedFormula) f₁✝
ih2 : (φ.comp ψ).onBoundedFormula f₂✝ = (φ.onBoundedFormula ∘ ψ.onBoundedFormula) f₂✝
⊢ (φ.comp ψ).onBoundedFormula (f₁✝.imp f₂✝) = (φ.onBoundedFormula ∘ ψ.onBoundedFormula) (f₁✝.imp f₂✝)

case h.all
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
L'' : Language
φ : L' →ᴸ L''
ψ : L →ᴸ L'
n✝ : ℕ
f✝ : L.BoundedFormula α (n✝ + 1)
ih3 : (φ.comp ψ).onBoundedFormula f✝ = (φ.onBoundedFormula ∘ ψ.onBoundedFormula) f✝
⊢ (φ.comp ψ).onBoundedFormula f✝.all = (φ.onBoundedFormula ∘ ψ.onBoundedFormula) f✝.all

tactic: rfl
state_before: case h.falsum
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
L'' : Language
φ : L' →ᴸ L''
ψ : L →ᴸ L'
n✝ : ℕ
⊢ (φ.comp ψ).onBoundedFormula falsum = (φ.onBoundedFormula ∘ ψ.onBoundedFormula) falsum
state_after: no goals

tactic: simp only [onBoundedFormula, comp_onTerm, Function.comp_apply]
state_before: case h.equal
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
L'' : Language
φ : L' →ᴸ L''
ψ : L →ᴸ L'
n✝ : ℕ
t₁✝ t₂✝ : L.Term (α ⊕ Fin n✝)
⊢ (φ.comp ψ).onBoundedFormula (equal t₁✝ t₂✝) = (φ.onBoundedFormula ∘ ψ.onBoundedFormula) (equal t₁✝ t₂✝)
state_after: no goals

tactic: simp only [onBoundedFormula, comp_onRelation, comp_onTerm, Function.comp_apply]
state_before: case h.rel
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
L'' : Language
φ : L' →ᴸ L''
ψ : L →ᴸ L'
n✝ l✝ : ℕ
R✝ : L.Relations l✝
ts✝ : Fin l✝ → L.Term (α ⊕ Fin n✝)
⊢ (φ.comp ψ).onBoundedFormula (rel R✝ ts✝) = (φ.onBoundedFormula ∘ ψ.onBoundedFormula) (rel R✝ ts✝)
state_after: case h.rel
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
L'' : Language
φ : L' →ᴸ L''
ψ : L →ᴸ L'
n✝ l✝ : ℕ
R✝ : L.Relations l✝
ts✝ : Fin l✝ → L.Term (α ⊕ Fin n✝)
⊢ (φ.onRelation (ψ.onRelation R✝)).boundedFormula ((φ.onTerm ∘ ψ.onTerm) ∘ ts✝) =
    (φ.onRelation (ψ.onRelation R✝)).boundedFormula (φ.onTerm ∘ ψ.onTerm ∘ ts✝)

tactic: rfl
state_before: case h.rel
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
L'' : Language
φ : L' →ᴸ L''
ψ : L →ᴸ L'
n✝ l✝ : ℕ
R✝ : L.Relations l✝
ts✝ : Fin l✝ → L.Term (α ⊕ Fin n✝)
⊢ (φ.onRelation (ψ.onRelation R✝)).boundedFormula ((φ.onTerm ∘ ψ.onTerm) ∘ ts✝) =
    (φ.onRelation (ψ.onRelation R✝)).boundedFormula (φ.onTerm ∘ ψ.onTerm ∘ ts✝)
state_after: no goals

tactic: simp only [onBoundedFormula, Function.comp_apply, ih1, ih2, eq_self_iff_true, and_self_iff]
state_before: case h.imp
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
L'' : Language
φ : L' →ᴸ L''
ψ : L →ᴸ L'
n✝ : ℕ
f₁✝ f₂✝ : L.BoundedFormula α n✝
ih1 : (φ.comp ψ).onBoundedFormula f₁✝ = (φ.onBoundedFormula ∘ ψ.onBoundedFormula) f₁✝
ih2 : (φ.comp ψ).onBoundedFormula f₂✝ = (φ.onBoundedFormula ∘ ψ.onBoundedFormula) f₂✝
⊢ (φ.comp ψ).onBoundedFormula (f₁✝.imp f₂✝) = (φ.onBoundedFormula ∘ ψ.onBoundedFormula) (f₁✝.imp f₂✝)
state_after: no goals

tactic: simp only [ih3, onBoundedFormula, Function.comp_apply]
state_before: case h.all
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
L'' : Language
φ : L' →ᴸ L''
ψ : L →ᴸ L'
n✝ : ℕ
f✝ : L.BoundedFormula α (n✝ + 1)
ih3 : (φ.comp ψ).onBoundedFormula f✝ = (φ.onBoundedFormula ∘ ψ.onBoundedFormula) f✝
⊢ (φ.comp ψ).onBoundedFormula f✝.all = (φ.onBoundedFormula ∘ ψ.onBoundedFormula) f✝.all
state_after: no goals