Theorem: LieModule.coe_lowerCentralSeries_ideal_le
File: Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean

tactic: induction' k with k ih
state_before: R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
k : ℕ
⊢ ↑(lowerCentralSeries R (↥↑I) (↥↑I) k) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L (↥↑I) k)
state_after: case zero
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
⊢ ↑(lowerCentralSeries R (↥↑I) (↥↑I) 0) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L (↥↑I) 0)

case succ
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R (↥↑I) (↥↑I) k) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L (↥↑I) k)
⊢ ↑(lowerCentralSeries R (↥↑I) (↥↑I) (k + 1)) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L (↥↑I) (k + 1))

tactic: simp
state_before: case zero
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
⊢ ↑(lowerCentralSeries R (↥↑I) (↥↑I) 0) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L (↥↑I) 0)
state_after: no goals

tactic: simp only [LieModule.lowerCentralSeries_succ, LieSubmodule.lieIdeal_oper_eq_linear_span]
state_before: case succ
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R (↥↑I) (↥↑I) k) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L (↥↑I) k)
⊢ ↑(lowerCentralSeries R (↥↑I) (↥↑I) (k + 1)) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L (↥↑I) (k + 1))
state_after: case succ
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R (↥↑I) (↥↑I) k) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L (↥↑I) k)
⊢ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ≤ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

tactic: apply Submodule.span_mono
state_before: case succ
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R (↥↑I) (↥↑I) k) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L (↥↑I) k)
⊢ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ≤ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
state_after: case succ.h
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R (↥↑I) (↥↑I) k) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L (↥↑I) k)
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

tactic: rintro x ⟨⟨y, -⟩, ⟨z, hz⟩, rfl : ⁅y, z⁆ = x⟩
state_before: case succ.h
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R (↥↑I) (↥↑I) k) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L (↥↑I) k)
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
state_after: case succ.h.intro.mk.intro.mk
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R (↥↑I) (↥↑I) k) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L (↥↑I) k)
y z : ↥↑I
hz : z ∈ lowerCentralSeries R (↥↑I) (↥↑I) k
⊢ ⁅y, z⁆ ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

tactic: exact ⟨⟨y.val, LieSubmodule.mem_top _⟩, ⟨z, ih hz⟩, rfl⟩
state_before: case succ.h.intro.mk.intro.mk
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R (↥↑I) (↥↑I) k) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L (↥↑I) k)
y z : ↥↑I
hz : z ∈ lowerCentralSeries R (↥↑I) (↥↑I) k
⊢ ⁅y, z⁆ ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
state_after: no goals