Theorem: Commute.isNilpotent_sum
File: Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean

tactic: induction s using Finset.induction with
| empty => simp
| @insert j s hj ih => ?_
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm✝ : Commute x y
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → R
hnp : ∀ i ∈ s, IsNilpotent (f i)
h_comm : ∀ (i j : ι), i ∈ s → j ∈ s → Commute (f i) (f j)
⊢ IsNilpotent (∑ i ∈ s, f i)
state_after: case insert
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm✝ : Commute x y
ι : Type u_3
f : ι → R
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, IsNilpotent (f i)) → (∀ (i j : ι), i ∈ s → j ∈ s → Commute (f i) (f j)) → IsNilpotent (∑ i ∈ s, f i)
hnp : ∀ i ∈ insert j s, IsNilpotent (f i)
h_comm : ∀ (i j_1 : ι), i ∈ insert j s → j_1 ∈ insert j s → Commute (f i) (f j_1)
⊢ IsNilpotent (∑ i ∈ insert j s, f i)

tactic: rw [Finset.sum_insert hj]
state_before: case insert
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm✝ : Commute x y
ι : Type u_3
f : ι → R
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, IsNilpotent (f i)) → (∀ (i j : ι), i ∈ s → j ∈ s → Commute (f i) (f j)) → IsNilpotent (∑ i ∈ s, f i)
hnp : ∀ i ∈ insert j s, IsNilpotent (f i)
h_comm : ∀ (i j_1 : ι), i ∈ insert j s → j_1 ∈ insert j s → Commute (f i) (f j_1)
⊢ IsNilpotent (∑ i ∈ insert j s, f i)
state_after: case insert
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm✝ : Commute x y
ι : Type u_3
f : ι → R
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, IsNilpotent (f i)) → (∀ (i j : ι), i ∈ s → j ∈ s → Commute (f i) (f j)) → IsNilpotent (∑ i ∈ s, f i)
hnp : ∀ i ∈ insert j s, IsNilpotent (f i)
h_comm : ∀ (i j_1 : ι), i ∈ insert j s → j_1 ∈ insert j s → Commute (f i) (f j_1)
⊢ IsNilpotent (f j + ∑ x ∈ s, f x)

tactic: apply Commute.isNilpotent_add
state_before: case insert
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm✝ : Commute x y
ι : Type u_3
f : ι → R
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, IsNilpotent (f i)) → (∀ (i j : ι), i ∈ s → j ∈ s → Commute (f i) (f j)) → IsNilpotent (∑ i ∈ s, f i)
hnp : ∀ i ∈ insert j s, IsNilpotent (f i)
h_comm : ∀ (i j_1 : ι), i ∈ insert j s → j_1 ∈ insert j s → Commute (f i) (f j_1)
⊢ IsNilpotent (f j + ∑ x ∈ s, f x)
state_after: case insert.h_comm
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm✝ : Commute x y
ι : Type u_3
f : ι → R
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, IsNilpotent (f i)) → (∀ (i j : ι), i ∈ s → j ∈ s → Commute (f i) (f j)) → IsNilpotent (∑ i ∈ s, f i)
hnp : ∀ i ∈ insert j s, IsNilpotent (f i)
h_comm : ∀ (i j_1 : ι), i ∈ insert j s → j_1 ∈ insert j s → Commute (f i) (f j_1)
⊢ Commute (f j) (∑ x ∈ s, f x)

case insert.hx
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm✝ : Commute x y
ι : Type u_3
f : ι → R
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, IsNilpotent (f i)) → (∀ (i j : ι), i ∈ s → j ∈ s → Commute (f i) (f j)) → IsNilpotent (∑ i ∈ s, f i)
hnp : ∀ i ∈ insert j s, IsNilpotent (f i)
h_comm : ∀ (i j_1 : ι), i ∈ insert j s → j_1 ∈ insert j s → Commute (f i) (f j_1)
⊢ IsNilpotent (f j)

case insert.hy
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm✝ : Commute x y
ι : Type u_3
f : ι → R
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, IsNilpotent (f i)) → (∀ (i j : ι), i ∈ s → j ∈ s → Commute (f i) (f j)) → IsNilpotent (∑ i ∈ s, f i)
hnp : ∀ i ∈ insert j s, IsNilpotent (f i)
h_comm : ∀ (i j_1 : ι), i ∈ insert j s → j_1 ∈ insert j s → Commute (f i) (f j_1)
⊢ IsNilpotent (∑ x ∈ s, f x)

tactic: simp
state_before: case empty
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm✝ : Commute x y
ι : Type u_3
f : ι → R
hnp : ∀ i ∈ ∅, IsNilpotent (f i)
h_comm : ∀ (i j : ι), i ∈ ∅ → j ∈ ∅ → Commute (f i) (f j)
⊢ IsNilpotent (∑ i ∈ ∅, f i)
state_after: no goals

tactic: exact Commute.sum_right _ _ _ (fun i hi ↦ h_comm _ _ (by simp) (by simp [hi]))
state_before: case insert.h_comm
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm✝ : Commute x y
ι : Type u_3
f : ι → R
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, IsNilpotent (f i)) → (∀ (i j : ι), i ∈ s → j ∈ s → Commute (f i) (f j)) → IsNilpotent (∑ i ∈ s, f i)
hnp : ∀ i ∈ insert j s, IsNilpotent (f i)
h_comm : ∀ (i j_1 : ι), i ∈ insert j s → j_1 ∈ insert j s → Commute (f i) (f j_1)
⊢ Commute (f j) (∑ x ∈ s, f x)
state_after: no goals

tactic: simp
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm✝ : Commute x y
ι : Type u_3
f : ι → R
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, IsNilpotent (f i)) → (∀ (i j : ι), i ∈ s → j ∈ s → Commute (f i) (f j)) → IsNilpotent (∑ i ∈ s, f i)
hnp : ∀ i ∈ insert j s, IsNilpotent (f i)
h_comm : ∀ (i j_1 : ι), i ∈ insert j s → j_1 ∈ insert j s → Commute (f i) (f j_1)
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ j ∈ insert j s
state_after: no goals

tactic: simp [hi]
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm✝ : Commute x y
ι : Type u_3
f : ι → R
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, IsNilpotent (f i)) → (∀ (i j : ι), i ∈ s → j ∈ s → Commute (f i) (f j)) → IsNilpotent (∑ i ∈ s, f i)
hnp : ∀ i ∈ insert j s, IsNilpotent (f i)
h_comm : ∀ (i j_1 : ι), i ∈ insert j s → j_1 ∈ insert j s → Commute (f i) (f j_1)
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ i ∈ insert j s
state_after: no goals

tactic: apply hnp
state_before: case insert.hx
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm✝ : Commute x y
ι : Type u_3
f : ι → R
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, IsNilpotent (f i)) → (∀ (i j : ι), i ∈ s → j ∈ s → Commute (f i) (f j)) → IsNilpotent (∑ i ∈ s, f i)
hnp : ∀ i ∈ insert j s, IsNilpotent (f i)
h_comm : ∀ (i j_1 : ι), i ∈ insert j s → j_1 ∈ insert j s → Commute (f i) (f j_1)
⊢ IsNilpotent (f j)
state_after: case insert.hx.a
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm✝ : Commute x y
ι : Type u_3
f : ι → R
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, IsNilpotent (f i)) → (∀ (i j : ι), i ∈ s → j ∈ s → Commute (f i) (f j)) → IsNilpotent (∑ i ∈ s, f i)
hnp : ∀ i ∈ insert j s, IsNilpotent (f i)
h_comm : ∀ (i j_1 : ι), i ∈ insert j s → j_1 ∈ insert j s → Commute (f i) (f j_1)
⊢ j ∈ insert j s

tactic: simp
state_before: case insert.hx.a
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm✝ : Commute x y
ι : Type u_3
f : ι → R
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, IsNilpotent (f i)) → (∀ (i j : ι), i ∈ s → j ∈ s → Commute (f i) (f j)) → IsNilpotent (∑ i ∈ s, f i)
hnp : ∀ i ∈ insert j s, IsNilpotent (f i)
h_comm : ∀ (i j_1 : ι), i ∈ insert j s → j_1 ∈ insert j s → Commute (f i) (f j_1)
⊢ j ∈ insert j s
state_after: no goals

tactic: exact ih (fun i hi ↦ hnp i (by simp [hi]))
  (fun i j hi hj ↦ h_comm i j (by simp [hi]) (by simp [hj]))
state_before: case insert.hy
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm✝ : Commute x y
ι : Type u_3
f : ι → R
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, IsNilpotent (f i)) → (∀ (i j : ι), i ∈ s → j ∈ s → Commute (f i) (f j)) → IsNilpotent (∑ i ∈ s, f i)
hnp : ∀ i ∈ insert j s, IsNilpotent (f i)
h_comm : ∀ (i j_1 : ι), i ∈ insert j s → j_1 ∈ insert j s → Commute (f i) (f j_1)
⊢ IsNilpotent (∑ x ∈ s, f x)
state_after: no goals

tactic: simp [hi]
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm✝ : Commute x y
ι : Type u_3
f : ι → R
j✝ : ι
s : Finset ι
hj✝ : j✝ ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, IsNilpotent (f i)) → (∀ (i j : ι), i ∈ s → j ∈ s → Commute (f i) (f j)) → IsNilpotent (∑ i ∈ s, f i)
hnp : ∀ i ∈ insert j✝ s, IsNilpotent (f i)
h_comm : ∀ (i j : ι), i ∈ insert j✝ s → j ∈ insert j✝ s → Commute (f i) (f j)
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
⊢ i ∈ insert j✝ s
state_after: no goals

tactic: simp [hj]
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm✝ : Commute x y
ι : Type u_3
f : ι → R
j✝ : ι
s : Finset ι
hj✝ : j✝ ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, IsNilpotent (f i)) → (∀ (i j : ι), i ∈ s → j ∈ s → Commute (f i) (f j)) → IsNilpotent (∑ i ∈ s, f i)
hnp : ∀ i ∈ insert j✝ s, IsNilpotent (f i)
h_comm : ∀ (i j : ι), i ∈ insert j✝ s → j ∈ insert j✝ s → Commute (f i) (f j)
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
⊢ j ∈ insert j✝ s
state_after: no goals