Theorem: IsLocalization.mk'_mem_iff
File: Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean

tactic: constructor <;> intro h
state_before: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
I : Ideal S
⊢ mk' S x y ∈ I ↔ (algebraMap R S) x ∈ I
state_after: case mp
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
I : Ideal S
h : mk' S x y ∈ I
⊢ (algebraMap R S) x ∈ I

case mpr
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
I : Ideal S
h : (algebraMap R S) x ∈ I
⊢ mk' S x y ∈ I

tactic: rw [← mk'_spec S x y, mul_comm]
state_before: case mp
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
I : Ideal S
h : mk' S x y ∈ I
⊢ (algebraMap R S) x ∈ I
state_after: case mp
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
I : Ideal S
h : mk' S x y ∈ I
⊢ (algebraMap R S) ↑y * mk' S x y ∈ I

tactic: exact I.mul_mem_left ((algebraMap R S) y) h
state_before: case mp
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
I : Ideal S
h : mk' S x y ∈ I
⊢ (algebraMap R S) ↑y * mk' S x y ∈ I
state_after: no goals

tactic: rw [← mk'_spec S x y] at h
state_before: case mpr
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
I : Ideal S
h : (algebraMap R S) x ∈ I
⊢ mk' S x y ∈ I
state_after: case mpr
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
I : Ideal S
h : mk' S x y * (algebraMap R S) ↑y ∈ I
⊢ mk' S x y ∈ I

tactic: obtain ⟨b, hb⟩ := isUnit_iff_exists_inv.1 (map_units S y)
state_before: case mpr
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
I : Ideal S
h : mk' S x y * (algebraMap R S) ↑y ∈ I
⊢ mk' S x y ∈ I
state_after: case mpr.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
I : Ideal S
h : mk' S x y * (algebraMap R S) ↑y ∈ I
b : S
hb : (algebraMap R S) ↑y * b = 1
⊢ mk' S x y ∈ I

tactic: have := I.mul_mem_left b h
state_before: case mpr.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
I : Ideal S
h : mk' S x y * (algebraMap R S) ↑y ∈ I
b : S
hb : (algebraMap R S) ↑y * b = 1
⊢ mk' S x y ∈ I
state_after: case mpr.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
I : Ideal S
h : mk' S x y * (algebraMap R S) ↑y ∈ I
b : S
hb : (algebraMap R S) ↑y * b = 1
this : b * (mk' S x y * (algebraMap R S) ↑y) ∈ I
⊢ mk' S x y ∈ I

tactic: rwa [mul_comm, mul_assoc, hb, mul_one] at this
state_before: case mpr.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
I : Ideal S
h : mk' S x y * (algebraMap R S) ↑y ∈ I
b : S
hb : (algebraMap R S) ↑y * b = 1
this : b * (mk' S x y * (algebraMap R S) ↑y) ∈ I
⊢ mk' S x y ∈ I
state_after: no goals