Theorem: NumberField.hermiteTheorem.rank_le_rankOfDiscrBdd
File: Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean

tactic: have h_nz : N ≠ 0 := by
  refine fun h ↦ discr_ne_zero K ?_
  rwa [h, Nat.cast_zero, abs_nonpos_iff] at hK
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
⊢ finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N
state_after: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
⊢ finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N

tactic: have h₂ : 1 < 3 * π / 4 := by
  rw [_root_.lt_div_iff (by positivity), ← _root_.div_lt_iff' (by positivity), one_mul]
  linarith [Real.pi_gt_three]
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
⊢ finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N
state_after: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
⊢ finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N

tactic: obtain h | h := lt_or_le 1 (finrank ℚ K)
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
⊢ finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N
state_after: case inl
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : 1 < finrank ℚ K
⊢ finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N

case inr
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : finrank ℚ K ≤ 1
⊢ finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N

tactic: refine fun h ↦ discr_ne_zero K ?_
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
⊢ N ≠ 0
state_after: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h : N = 0
⊢ discr K = 0

tactic: rwa [h, Nat.cast_zero, abs_nonpos_iff] at hK
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h : N = 0
⊢ discr K = 0
state_after: no goals

tactic: rw [_root_.lt_div_iff (by positivity), ← _root_.div_lt_iff' (by positivity), one_mul]
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
⊢ 1 < 3 * π / 4
state_after: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
⊢ 4 / 3 < π

tactic: linarith [Real.pi_gt_three]
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
⊢ 4 / 3 < π
state_after: no goals

tactic: positivity
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
⊢ 0 < 4
state_after: no goals

tactic: positivity
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
⊢ 0 < 3
state_after: no goals

tactic: apply le_max_of_le_right
state_before: case inl
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : 1 < finrank ℚ K
⊢ finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N
state_after: case inl.a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : 1 < finrank ℚ K
⊢ finrank ℚ K ≤ ⌊Real.log (9 / 4 * ↑N) / Real.log (3 * π / 4)⌋₊

tactic: rw [Nat.le_floor_iff]
state_before: case inl.a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : 1 < finrank ℚ K
⊢ finrank ℚ K ≤ ⌊Real.log (9 / 4 * ↑N) / Real.log (3 * π / 4)⌋₊
state_after: case inl.a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : 1 < finrank ℚ K
⊢ ↑(finrank ℚ K) ≤ Real.log (9 / 4 * ↑N) / Real.log (3 * π / 4)

case inl.a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : 1 < finrank ℚ K
⊢ 0 ≤ Real.log (9 / 4 * ↑N) / Real.log (3 * π / 4)

tactic: have h := le_trans (abs_discr_ge h) (Int.cast_le.mpr hK)
state_before: case inl.a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : 1 < finrank ℚ K
⊢ ↑(finrank ℚ K) ≤ Real.log (9 / 4 * ↑N) / Real.log (3 * π / 4)
state_after: case inl.a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h✝ : 1 < finrank ℚ K
h : 4 / 9 * (3 * π / 4) ^ finrank ℚ K ≤ ↑↑N
⊢ ↑(finrank ℚ K) ≤ Real.log (9 / 4 * ↑N) / Real.log (3 * π / 4)

tactic: contrapose! h
state_before: case inl.a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h✝ : 1 < finrank ℚ K
h : 4 / 9 * (3 * π / 4) ^ finrank ℚ K ≤ ↑↑N
⊢ ↑(finrank ℚ K) ≤ Real.log (9 / 4 * ↑N) / Real.log (3 * π / 4)
state_after: case inl.a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h✝ : 1 < finrank ℚ K
h : Real.log (9 / 4 * ↑N) / Real.log (3 * π / 4) < ↑(finrank ℚ K)
⊢ ↑↑N < 4 / 9 * (3 * π / 4) ^ finrank ℚ K

tactic: rw [← Real.rpow_natCast]
state_before: case inl.a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h✝ : 1 < finrank ℚ K
h : Real.log (9 / 4 * ↑N) / Real.log (3 * π / 4) < ↑(finrank ℚ K)
⊢ ↑↑N < 4 / 9 * (3 * π / 4) ^ finrank ℚ K
state_after: case inl.a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h✝ : 1 < finrank ℚ K
h : Real.log (9 / 4 * ↑N) / Real.log (3 * π / 4) < ↑(finrank ℚ K)
⊢ ↑↑N < 4 / 9 * (3 * π / 4) ^ ↑(finrank ℚ K)

tactic: rw [Real.log_div_log] at h
state_before: case inl.a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h✝ : 1 < finrank ℚ K
h : Real.log (9 / 4 * ↑N) / Real.log (3 * π / 4) < ↑(finrank ℚ K)
⊢ ↑↑N < 4 / 9 * (3 * π / 4) ^ ↑(finrank ℚ K)
state_after: case inl.a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h✝ : 1 < finrank ℚ K
h : Real.logb (3 * π / 4) (9 / 4 * ↑N) < ↑(finrank ℚ K)
⊢ ↑↑N < 4 / 9 * (3 * π / 4) ^ ↑(finrank ℚ K)

tactic: refine lt_of_le_of_lt ?_ (mul_lt_mul_of_pos_left
  (Real.rpow_lt_rpow_of_exponent_lt h₂ h) (by positivity : (0:ℝ) < 4 / 9))
state_before: case inl.a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h✝ : 1 < finrank ℚ K
h : Real.logb (3 * π / 4) (9 / 4 * ↑N) < ↑(finrank ℚ K)
⊢ ↑↑N < 4 / 9 * (3 * π / 4) ^ ↑(finrank ℚ K)
state_after: case inl.a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h✝ : 1 < finrank ℚ K
h : Real.logb (3 * π / 4) (9 / 4 * ↑N) < ↑(finrank ℚ K)
⊢ ↑↑N ≤ 4 / 9 * (3 * π / 4) ^ Real.logb (3 * π / 4) (9 / 4 * ↑N)

tactic: rw [Real.rpow_logb (lt_trans zero_lt_one h₂) (ne_of_gt h₂) (by positivity), ← mul_assoc,
      ← inv_div, inv_mul_cancel (by norm_num), one_mul, Int.cast_natCast]
state_before: case inl.a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h✝ : 1 < finrank ℚ K
h : Real.logb (3 * π / 4) (9 / 4 * ↑N) < ↑(finrank ℚ K)
⊢ ↑↑N ≤ 4 / 9 * (3 * π / 4) ^ Real.logb (3 * π / 4) (9 / 4 * ↑N)
state_after: no goals

tactic: positivity
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h✝ : 1 < finrank ℚ K
h : Real.logb (3 * π / 4) (9 / 4 * ↑N) < ↑(finrank ℚ K)
⊢ 0 < 4 / 9
state_after: no goals

tactic: positivity
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h✝ : 1 < finrank ℚ K
h : Real.logb (3 * π / 4) (9 / 4 * ↑N) < ↑(finrank ℚ K)
⊢ 0 < 9 / 4 * ↑N
state_after: no goals

tactic: norm_num
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h✝ : 1 < finrank ℚ K
h : Real.logb (3 * π / 4) (9 / 4 * ↑N) < ↑(finrank ℚ K)
⊢ 9 / 4 ≠ 0
state_after: no goals

tactic: refine div_nonneg (Real.log_nonneg ?_) (Real.log_nonneg (le_of_lt h₂))
state_before: case inl.a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : 1 < finrank ℚ K
⊢ 0 ≤ Real.log (9 / 4 * ↑N) / Real.log (3 * π / 4)
state_after: case inl.a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : 1 < finrank ℚ K
⊢ 1 ≤ 9 / 4 * ↑N

tactic: rw [mul_comm, ← mul_div_assoc, _root_.le_div_iff (by positivity), one_mul,
  ← _root_.div_le_iff (by positivity)]
state_before: case inl.a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : 1 < finrank ℚ K
⊢ 1 ≤ 9 / 4 * ↑N
state_after: case inl.a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : 1 < finrank ℚ K
⊢ 4 / 9 ≤ ↑N

tactic: exact le_trans (by norm_num) (Nat.one_le_cast.mpr (Nat.one_le_iff_ne_zero.mpr h_nz))
state_before: case inl.a
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : 1 < finrank ℚ K
⊢ 4 / 9 ≤ ↑N
state_after: no goals

tactic: positivity
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : 1 < finrank ℚ K
⊢ 0 < 4
state_after: no goals

tactic: positivity
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : 1 < finrank ℚ K
⊢ 0 < 9
state_after: no goals

tactic: norm_num
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : 1 < finrank ℚ K
⊢ 4 / 9 ≤ 1
state_after: no goals

tactic: exact le_max_of_le_left h
state_before: case inr
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : finrank ℚ K ≤ 1
⊢ finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N
state_after: no goals