Theorem: AffineIndependent.map'
File: Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean

tactic: cases' isEmpty_or_nonempty ι with h h
state_before: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
hai : AffineIndependent k p
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
state_after: case inl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
hai : AffineIndependent k p
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
h : IsEmpty ι
⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)

case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
hai : AffineIndependent k p
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
h : Nonempty ι
⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)

tactic: obtain ⟨i⟩ := h
state_before: case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
hai : AffineIndependent k p
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
h : Nonempty ι
⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
state_after: case inr.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
hai : AffineIndependent k p
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
i : ι
⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)

tactic: rw [affineIndependent_iff_linearIndependent_vsub k p i] at hai
state_before: case inr.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
hai : AffineIndependent k p
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
i : ι
⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
state_after: case inr.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
i : ι
hai : LinearIndependent k fun i_1 => p ↑i_1 -ᵥ p i
⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)

tactic: simp_rw [affineIndependent_iff_linearIndependent_vsub k (f ∘ p) i, Function.comp_apply, ←
  f.linearMap_vsub]
state_before: case inr.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
i : ι
hai : LinearIndependent k fun i_1 => p ↑i_1 -ᵥ p i
⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
state_after: case inr.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
i : ι
hai : LinearIndependent k fun i_1 => p ↑i_1 -ᵥ p i
⊢ LinearIndependent k fun i_1 => f.linear (p ↑i_1 -ᵥ p i)

tactic: have hf' : LinearMap.ker f.linear = ⊥ := by rwa [LinearMap.ker_eq_bot, f.linear_injective_iff]
state_before: case inr.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
i : ι
hai : LinearIndependent k fun i_1 => p ↑i_1 -ᵥ p i
⊢ LinearIndependent k fun i_1 => f.linear (p ↑i_1 -ᵥ p i)
state_after: case inr.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
i : ι
hai : LinearIndependent k fun i_1 => p ↑i_1 -ᵥ p i
hf' : LinearMap.ker f.linear = ⊥
⊢ LinearIndependent k fun i_1 => f.linear (p ↑i_1 -ᵥ p i)

tactic: exact LinearIndependent.map' hai f.linear hf'
state_before: case inr.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
i : ι
hai : LinearIndependent k fun i_1 => p ↑i_1 -ᵥ p i
hf' : LinearMap.ker f.linear = ⊥
⊢ LinearIndependent k fun i_1 => f.linear (p ↑i_1 -ᵥ p i)
state_after: no goals

tactic: haveI := h
state_before: case inl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
hai : AffineIndependent k p
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
h : IsEmpty ι
⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
state_after: case inl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
hai : AffineIndependent k p
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
h this : IsEmpty ι
⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)

tactic: apply affineIndependent_of_subsingleton
state_before: case inl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
hai : AffineIndependent k p
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
h this : IsEmpty ι
⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
state_after: no goals

tactic: rwa [LinearMap.ker_eq_bot, f.linear_injective_iff]
state_before: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
i : ι
hai : LinearIndependent k fun i_1 => p ↑i_1 -ᵥ p i
⊢ LinearMap.ker f.linear = ⊥
state_after: no goals