Theorem: CompleteLattice.Independent.injOn
File: Mathlib/Order/SupIndep.lean

tactic: rintro i _ j (hj : t j ≠ ⊥) h
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
⊢ InjOn t {i | t i ≠ ⊥}
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j
⊢ i = j

tactic: by_contra! contra
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j
⊢ i = j
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j
contra : i ≠ j
⊢ False

tactic: apply hj
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j
contra : i ≠ j
⊢ False
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j
contra : i ≠ j
⊢ t j = ⊥

tactic: suffices t j ≤ ⨆ (k) (_ : k ≠ i), t k by
  replace ht := (ht i).mono_right this
  rwa [h, disjoint_self] at ht
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j
contra : i ≠ j
⊢ t j = ⊥
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j
contra : i ≠ j
⊢ t j ≤ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≠ i), t k

tactic: replace contra : j ≠ i := Ne.symm contra
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j
contra : i ≠ j
⊢ t j ≤ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≠ i), t k
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j
contra : j ≠ i
⊢ t j ≤ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≠ i), t k

tactic: exact le_iSup₂ (f := fun x _ ↦ t x) j contra
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j
contra : j ≠ i
⊢ t j ≤ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≠ i), t k
state_after: no goals

tactic: replace ht := (ht i).mono_right this
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j
contra : i ≠ j
this : t j ≤ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≠ i), t k
⊢ t j = ⊥
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j
contra : i ≠ j
this : t j ≤ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≠ i), t k
ht : Disjoint (t i) (t j)
⊢ t j = ⊥

tactic: rwa [h, disjoint_self] at ht
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j
contra : i ≠ j
this : t j ≤ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≠ i), t k
ht : Disjoint (t i) (t j)
⊢ t j = ⊥
state_after: no goals