Theorem: FormalMultilinearSeries.removeZero_comp_of_pos
File: Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean

tactic: ext v
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ q.removeZero.comp p n = q.comp p n
state_after: case H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
⊢ (q.removeZero.comp p n) v = (q.comp p n) v

tactic: simp only [FormalMultilinearSeries.comp, compAlongComposition,
  ContinuousMultilinearMap.compAlongComposition_apply, ContinuousMultilinearMap.sum_apply]
state_before: case H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
⊢ (q.removeZero.comp p n) v = (q.comp p n) v
state_after: case H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
⊢ ∑ x : Composition n, (q.removeZero x.length) (p.applyComposition x v) =
    ∑ x : Composition n, (q x.length) (p.applyComposition x v)

tactic: refine Finset.sum_congr rfl fun c _hc => ?_
state_before: case H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
⊢ ∑ x : Composition n, (q.removeZero x.length) (p.applyComposition x v) =
    ∑ x : Composition n, (q x.length) (p.applyComposition x v)
state_after: case H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
c : Composition n
_hc : c ∈ Finset.univ
⊢ (q.removeZero c.length) (p.applyComposition c v) = (q c.length) (p.applyComposition c v)

tactic: rw [removeZero_of_pos _ (c.length_pos_of_pos hn)]
state_before: case H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
c : Composition n
_hc : c ∈ Finset.univ
⊢ (q.removeZero c.length) (p.applyComposition c v) = (q c.length) (p.applyComposition c v)
state_after: no goals