Theorem: MeasurableEmbedding.integral_map
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean

tactic: by_cases hgm : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
x✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
g : β → G
⊢ ∫ (y : β), g y ∂Measure.map f μ = ∫ (x : α), g (f x) ∂μ
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
x✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
g : β → G
hgm : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
⊢ ∫ (y : β), g y ∂Measure.map f μ = ∫ (x : α), g (f x) ∂μ

case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
x✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
g : β → G
hgm : ¬AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
⊢ ∫ (y : β), g y ∂Measure.map f μ = ∫ (x : α), g (f x) ∂μ

tactic: exact MeasureTheory.integral_map hf.measurable.aemeasurable hgm
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
x✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
g : β → G
hgm : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
⊢ ∫ (y : β), g y ∂Measure.map f μ = ∫ (x : α), g (f x) ∂μ
state_after: no goals

tactic: rw [integral_non_aestronglyMeasurable hgm, integral_non_aestronglyMeasurable]
state_before: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
x✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
g : β → G
hgm : ¬AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
⊢ ∫ (y : β), g y ∂Measure.map f μ = ∫ (x : α), g (f x) ∂μ
state_after: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
x✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
g : β → G
hgm : ¬AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
⊢ ¬AEStronglyMeasurable (fun x => g (f x)) μ

tactic: exact fun hgf => hgm (hf.aestronglyMeasurable_map_iff.2 hgf)
state_before: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
x✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
g : β → G
hgm : ¬AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
⊢ ¬AEStronglyMeasurable (fun x => g (f x)) μ
state_after: no goals