Theorem: UniformOnFun.uniformSpace_eq_iInf_precomp_of_cover
File: Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean

tactic: set ψ : Π S : Set α, Π i : ι, (φ i) ⁻¹' S → S := fun S i ↦ S.restrictPreimage (φ i)
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
⊢ uniformSpace α β 𝔖 =
    ⨅ i, UniformSpace.comap (⇑(ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace (δ i) β (𝔗 i))
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)
⊢ uniformSpace α β 𝔖 =
    ⨅ i, UniformSpace.comap (⇑(ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace (δ i) β (𝔗 i))

tactic: refine le_antisymm (le_iInf fun i ↦ ?_) (le_iInf₂ fun S hS ↦ ?_)
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)
this :
  ∀ S ∈ 𝔖,
    UniformFun.uniformSpace (↑S) β =
      ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ S i) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ i ⁻¹' S)) β)
⊢ uniformSpace α β 𝔖 =
    ⨅ i, UniformSpace.comap (⇑(ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace (δ i) β (𝔗 i))
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)
this :
  ∀ S ∈ 𝔖,
    UniformFun.uniformSpace (↑S) β =
      ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ S i) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ i ⁻¹' S)) β)
i : ι
⊢ uniformSpace α β 𝔖 ≤
    UniformSpace.comap (⇑(ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace (δ i) β (𝔗 i))

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)
this :
  ∀ S ∈ 𝔖,
    UniformFun.uniformSpace (↑S) β =
      ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ S i) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ i ⁻¹' S)) β)
S : Set α
hS : S ∈ 𝔖
⊢ ⨅ i, UniformSpace.comap (⇑(ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace (δ i) β (𝔗 i)) ≤
    UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ S.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.uniformSpace (↑S) β)

tactic: rcases h_cover S hS with ⟨I, I_finite, I_cover⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)
S : Set α
hS : S ∈ 𝔖
⊢ UniformFun.uniformSpace (↑S) β =
    ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ S i) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ i ⁻¹' S)) β)
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)
S : Set α
hS : S ∈ 𝔖
I : Set ι
I_finite : I.Finite
I_cover : S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
⊢ UniformFun.uniformSpace (↑S) β =
    ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ S i) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ i ⁻¹' S)) β)

tactic: refine UniformFun.uniformSpace_eq_iInf_precomp_of_cover β _ ⟨I, I_finite, ?_⟩
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)
S : Set α
hS : S ∈ 𝔖
I : Set ι
I_finite : I.Finite
I_cover : S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
⊢ UniformFun.uniformSpace (↑S) β =
    ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ S i) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ i ⁻¹' S)) β)
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)
S : Set α
hS : S ∈ 𝔖
I : Set ι
I_finite : I.Finite
I_cover : S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
⊢ ⋃ i ∈ I, range (ψ S i) = univ

tactic: simpa only [← univ_subset_iff, ψ, range_restrictPreimage, ← preimage_iUnion₂,
  ← image_subset_iff, image_univ, Subtype.range_val] using I_cover
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)
S : Set α
hS : S ∈ 𝔖
I : Set ι
I_finite : I.Finite
I_cover : S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
⊢ ⋃ i ∈ I, range (ψ S i) = univ
state_after: no goals

tactic: rw [← uniformContinuous_iff]
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)
this :
  ∀ S ∈ 𝔖,
    UniformFun.uniformSpace (↑S) β =
      ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ S i) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ i ⁻¹' S)) β)
i : ι
⊢ uniformSpace α β 𝔖 ≤
    UniformSpace.comap (⇑(ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace (δ i) β (𝔗 i))
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)
this :
  ∀ S ∈ 𝔖,
    UniformFun.uniformSpace (↑S) β =
      ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ S i) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ i ⁻¹' S)) β)
i : ι
⊢ UniformContinuous (⇑(ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑(toFun 𝔖))

tactic: exact UniformOnFun.precomp_uniformContinuous (h_image i)
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)
this :
  ∀ S ∈ 𝔖,
    UniformFun.uniformSpace (↑S) β =
      ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ S i) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ i ⁻¹' S)) β)
i : ι
⊢ UniformContinuous (⇑(ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑(toFun 𝔖))
state_after: no goals

tactic: simp_rw [this S hS, UniformSpace.comap_iInf, ← UniformSpace.comap_comap]
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)
this :
  ∀ S ∈ 𝔖,
    UniformFun.uniformSpace (↑S) β =
      ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ S i) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ i ⁻¹' S)) β)
S : Set α
hS : S ∈ 𝔖
⊢ ⨅ i, UniformSpace.comap (⇑(ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace (δ i) β (𝔗 i)) ≤
    UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ S.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.uniformSpace (↑S) β)
state_after: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)
this :
  ∀ S ∈ 𝔖,
    UniformFun.uniformSpace (↑S) β =
      ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ S i) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ i ⁻¹' S)) β)
S : Set α
hS : S ∈ 𝔖
⊢ ⨅ i,
      ⨅ i_1 ∈ 𝔗 i,
        UniformSpace.comap
          ((⇑UniformFun.ofFun ∘ i_1.restrict ∘ ⇑(toFun (𝔗 i))) ∘ ⇑(ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑(toFun 𝔖))
          (UniformFun.uniformSpace (↑i_1) β) ≤
    ⨅ i,
      UniformSpace.comap ((fun x => x ∘ ψ S i) ∘ ⇑UniformFun.ofFun ∘ S.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖))
        (UniformFun.uniformSpace (↑(φ i ⁻¹' S)) β)

tactic: exact iInf_mono fun i ↦ iInf₂_le_of_le _ (h_preimage i hS) le_rfl
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)
this :
  ∀ S ∈ 𝔖,
    UniformFun.uniformSpace (↑S) β =
      ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ S i) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ i ⁻¹' S)) β)
S : Set α
hS : S ∈ 𝔖
⊢ ⨅ i,
      ⨅ i_1 ∈ 𝔗 i,
        UniformSpace.comap
          ((⇑UniformFun.ofFun ∘ i_1.restrict ∘ ⇑(toFun (𝔗 i))) ∘ ⇑(ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑(toFun 𝔖))
          (UniformFun.uniformSpace (↑i_1) β) ≤
    ⨅ i,
      UniformSpace.comap ((fun x => x ∘ ψ S i) ∘ ⇑UniformFun.ofFun ∘ S.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖))
        (UniformFun.uniformSpace (↑(φ i ⁻¹' S)) β)
state_after: no goals