Theorem: locPathConnected_of_bases
File: Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean

tactic: constructor
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
p : ι → Prop
s : X → ι → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)
h' : ∀ (x : X) (i : ι), p i → IsPathConnected (s x i)
⊢ LocPathConnectedSpace X
state_after: case path_connected_basis
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
p : ι → Prop
s : X → ι → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)
h' : ∀ (x : X) (i : ι), p i → IsPathConnected (s x i)
⊢ ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected s) id

tactic: intro x
state_before: case path_connected_basis
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
p : ι → Prop
s : X → ι → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)
h' : ∀ (x : X) (i : ι), p i → IsPathConnected (s x i)
⊢ ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected s) id
state_after: case path_connected_basis
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
p : ι → Prop
s : X → ι → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)
h' : ∀ (x : X) (i : ι), p i → IsPathConnected (s x i)
x : X
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected s) id

tactic: apply (h x).to_hasBasis
state_before: case path_connected_basis
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
p : ι → Prop
s : X → ι → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)
h' : ∀ (x : X) (i : ι), p i → IsPathConnected (s x i)
x : X
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected s) id
state_after: case path_connected_basis.h
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
p : ι → Prop
s : X → ι → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)
h' : ∀ (x : X) (i : ι), p i → IsPathConnected (s x i)
x : X
⊢ ∀ (i : ι), p i → ∃ i', (i' ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected i') ∧ id i' ⊆ s x i

case path_connected_basis.h'
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
p : ι → Prop
s : X → ι → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)
h' : ∀ (x : X) (i : ι), p i → IsPathConnected (s x i)
x : X
⊢ ∀ (i' : Set X), i' ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected i' → ∃ i, p i ∧ s x i ⊆ id i'

tactic: intro i pi
state_before: case path_connected_basis.h
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
p : ι → Prop
s : X → ι → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)
h' : ∀ (x : X) (i : ι), p i → IsPathConnected (s x i)
x : X
⊢ ∀ (i : ι), p i → ∃ i', (i' ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected i') ∧ id i' ⊆ s x i
state_after: case path_connected_basis.h
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
p : ι → Prop
s : X → ι → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)
h' : ∀ (x : X) (i : ι), p i → IsPathConnected (s x i)
x : X
i : ι
pi : p i
⊢ ∃ i', (i' ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected i') ∧ id i' ⊆ s x i

tactic: exact ⟨s x i, ⟨(h x).mem_of_mem pi, h' x i pi⟩, by rfl⟩
state_before: case path_connected_basis.h
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
p : ι → Prop
s : X → ι → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)
h' : ∀ (x : X) (i : ι), p i → IsPathConnected (s x i)
x : X
i : ι
pi : p i
⊢ ∃ i', (i' ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected i') ∧ id i' ⊆ s x i
state_after: no goals

tactic: rfl
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
p : ι → Prop
s : X → ι → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)
h' : ∀ (x : X) (i : ι), p i → IsPathConnected (s x i)
x : X
i : ι
pi : p i
⊢ id (s x i) ⊆ s x i
state_after: no goals

tactic: rintro U ⟨U_in, _hU⟩
state_before: case path_connected_basis.h'
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
p : ι → Prop
s : X → ι → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)
h' : ∀ (x : X) (i : ι), p i → IsPathConnected (s x i)
x : X
⊢ ∀ (i' : Set X), i' ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected i' → ∃ i, p i ∧ s x i ⊆ id i'
state_after: case path_connected_basis.h'.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
p : ι → Prop
s : X → ι → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)
h' : ∀ (x : X) (i : ι), p i → IsPathConnected (s x i)
x : X
U : Set X
U_in : U ∈ 𝓝 x
_hU : IsPathConnected U
⊢ ∃ i, p i ∧ s x i ⊆ id U

tactic: rcases (h x).mem_iff.mp U_in with ⟨i, pi, hi⟩
state_before: case path_connected_basis.h'.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
p : ι → Prop
s : X → ι → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)
h' : ∀ (x : X) (i : ι), p i → IsPathConnected (s x i)
x : X
U : Set X
U_in : U ∈ 𝓝 x
_hU : IsPathConnected U
⊢ ∃ i, p i ∧ s x i ⊆ id U
state_after: case path_connected_basis.h'.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
p : ι → Prop
s : X → ι → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)
h' : ∀ (x : X) (i : ι), p i → IsPathConnected (s x i)
x : X
U : Set X
U_in : U ∈ 𝓝 x
_hU : IsPathConnected U
i : ι
pi : p i
hi : s x i ⊆ U
⊢ ∃ i, p i ∧ s x i ⊆ id U

tactic: tauto
state_before: case path_connected_basis.h'.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
p : ι → Prop
s : X → ι → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis p (s x)
h' : ∀ (x : X) (i : ι), p i → IsPathConnected (s x i)
x : X
U : Set X
U_in : U ∈ 𝓝 x
_hU : IsPathConnected U
i : ι
pi : p i
hi : s x i ⊆ U
⊢ ∃ i, p i ∧ s x i ⊆ id U
state_after: no goals