Theorem: LinearMap.isAlt_iff_eq_neg_flip
File: Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean

tactic: constructor <;> intro h
state_before: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
⊢ B.IsAlt ↔ B = -B.flip
state_after: case mp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
h : B.IsAlt
⊢ B = -B.flip

case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
h : B = -B.flip
⊢ B.IsAlt

tactic: intro x
state_before: case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
h : B = -B.flip
⊢ B.IsAlt
state_after: case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
h : B = -B.flip
x : M₁
⊢ (B x) x = 0

tactic: let h' := congr_fun₂ h x x
state_before: case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
h : B = -B.flip
x : M₁
⊢ (B x) x = 0
state_after: case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
h : B = -B.flip
x : M₁
h' : (B x) x = ((-B.flip) x) x := congr_fun₂ h x x
⊢ (B x) x = 0

tactic: simp only [neg_apply, flip_apply, ← add_eq_zero_iff_eq_neg] at h'
state_before: case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
h : B = -B.flip
x : M₁
h' : (B x) x = ((-B.flip) x) x := congr_fun₂ h x x
⊢ (B x) x = 0
state_after: case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
h : B = -B.flip
x : M₁
h' : (B x) x + (B x) x = 0
⊢ (B x) x = 0

tactic: exact add_self_eq_zero.mp h'
state_before: case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
h : B = -B.flip
x : M₁
h' : (B x) x + (B x) x = 0
⊢ (B x) x = 0
state_after: no goals

tactic: ext
state_before: case mp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
h : B.IsAlt
⊢ B = -B.flip
state_after: case mp.h.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
h : B.IsAlt
x✝¹ x✝ : M₁
⊢ (B x✝¹) x✝ = ((-B.flip) x✝¹) x✝

tactic: simp_rw [neg_apply, flip_apply]
state_before: case mp.h.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
h : B.IsAlt
x✝¹ x✝ : M₁
⊢ (B x✝¹) x✝ = ((-B.flip) x✝¹) x✝
state_after: case mp.h.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
h : B.IsAlt
x✝¹ x✝ : M₁
⊢ (B x✝¹) x✝ = -(B x✝) x✝¹

tactic: exact (h.neg _ _).symm
state_before: case mp.h.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
I : R₁ →+* R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : M₁ →ₛₗ[I] M₁ →ₛₗ[I] R
h : B.IsAlt
x✝¹ x✝ : M₁
⊢ (B x✝¹) x✝ = -(B x✝) x✝¹
state_after: no goals