Theorem: CategoryTheory.Limits.pullback.congrHom_inv
File: Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullbacks.lean

tactic: simp [h₁]
state_before: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPullback f₁ g₁
inst✝ : HasPullback f₂ g₂
⊢ f₂ ≫ 𝟙 Z = 𝟙 X ≫ f₁
state_after: no goals

tactic: simp [h₂]
state_before: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPullback f₁ g₁
inst✝ : HasPullback f₂ g₂
⊢ g₂ ≫ 𝟙 Z = 𝟙 Y ≫ g₁
state_after: no goals

tactic: ext
state_before: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPullback f₁ g₁
inst✝ : HasPullback f₂ g₂
⊢ (congrHom h₁ h₂).inv = map f₂ g₂ f₁ g₁ (𝟙 X) (𝟙 Y) (𝟙 Z) ⋯ ⋯
state_after: case h₀
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPullback f₁ g₁
inst✝ : HasPullback f₂ g₂
⊢ (congrHom h₁ h₂).inv ≫ fst = map f₂ g₂ f₁ g₁ (𝟙 X) (𝟙 Y) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ ≫ fst

case h₁
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPullback f₁ g₁
inst✝ : HasPullback f₂ g₂
⊢ (congrHom h₁ h₂).inv ≫ snd = map f₂ g₂ f₁ g₁ (𝟙 X) (𝟙 Y) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ ≫ snd

tactic: erw [pullback.lift_fst]
state_before: case h₀
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPullback f₁ g₁
inst✝ : HasPullback f₂ g₂
⊢ (congrHom h₁ h₂).inv ≫ fst = map f₂ g₂ f₁ g₁ (𝟙 X) (𝟙 Y) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ ≫ fst
state_after: case h₀
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPullback f₁ g₁
inst✝ : HasPullback f₂ g₂
⊢ (congrHom h₁ h₂).inv ≫ fst = fst ≫ 𝟙 X

tactic: rw [Iso.inv_comp_eq]
state_before: case h₀
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPullback f₁ g₁
inst✝ : HasPullback f₂ g₂
⊢ (congrHom h₁ h₂).inv ≫ fst = fst ≫ 𝟙 X
state_after: case h₀
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPullback f₁ g₁
inst✝ : HasPullback f₂ g₂
⊢ fst = (congrHom h₁ h₂).hom ≫ fst ≫ 𝟙 X

tactic: erw [pullback.lift_fst_assoc]
state_before: case h₀
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPullback f₁ g₁
inst✝ : HasPullback f₂ g₂
⊢ fst = (congrHom h₁ h₂).hom ≫ fst ≫ 𝟙 X
state_after: case h₀
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPullback f₁ g₁
inst✝ : HasPullback f₂ g₂
⊢ fst = (fst ≫ 𝟙 X) ≫ 𝟙 X

tactic: rw [Category.comp_id, Category.comp_id]
state_before: case h₀
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPullback f₁ g₁
inst✝ : HasPullback f₂ g₂
⊢ fst = (fst ≫ 𝟙 X) ≫ 𝟙 X
state_after: no goals

tactic: erw [pullback.lift_snd]
state_before: case h₁
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPullback f₁ g₁
inst✝ : HasPullback f₂ g₂
⊢ (congrHom h₁ h₂).inv ≫ snd = map f₂ g₂ f₁ g₁ (𝟙 X) (𝟙 Y) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ ≫ snd
state_after: case h₁
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPullback f₁ g₁
inst✝ : HasPullback f₂ g₂
⊢ (congrHom h₁ h₂).inv ≫ snd = snd ≫ 𝟙 Y

tactic: rw [Iso.inv_comp_eq]
state_before: case h₁
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPullback f₁ g₁
inst✝ : HasPullback f₂ g₂
⊢ (congrHom h₁ h₂).inv ≫ snd = snd ≫ 𝟙 Y
state_after: case h₁
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPullback f₁ g₁
inst✝ : HasPullback f₂ g₂
⊢ snd = (congrHom h₁ h₂).hom ≫ snd ≫ 𝟙 Y

tactic: erw [pullback.lift_snd_assoc]
state_before: case h₁
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPullback f₁ g₁
inst✝ : HasPullback f₂ g₂
⊢ snd = (congrHom h₁ h₂).hom ≫ snd ≫ 𝟙 Y
state_after: case h₁
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPullback f₁ g₁
inst✝ : HasPullback f₂ g₂
⊢ snd = (snd ≫ 𝟙 Y) ≫ 𝟙 Y

tactic: rw [Category.comp_id, Category.comp_id]
state_before: case h₁
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f₁ f₂ : X ⟶ Z
g₁ g₂ : Y ⟶ Z
h₁ : f₁ = f₂
h₂ : g₁ = g₂
inst✝¹ : HasPullback f₁ g₁
inst✝ : HasPullback f₂ g₂
⊢ snd = (snd ≫ 𝟙 Y) ≫ 𝟙 Y
state_after: no goals