1337xyz1337xyz/leandojo-benchmark4-v10 huggingface dataset:
Theorem: SetTheory.PGame.mul_moveLeft_inl
File: Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean

tactic: cases x
state_before: x y : PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves
⊢ (x * y).moveLeft (toLeftMovesMul (Sum.inl (i, j))) = x.moveLeft i * y + x * y.moveLeft j - x.moveLeft i * y.moveLeft j
state_after: case mk
y : PGame
j : y.LeftMoves
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
i : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves
⊢ (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝ * y).moveLeft (toLeftMovesMul (Sum.inl (i, j))) =
    (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft i * y + mk α✝ β✝ a✝¹ a✝ * y.moveLeft j - (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft i * y.moveLeft j

tactic: cases y
state_before: case mk
y : PGame
j : y.LeftMoves
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
i : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves
⊢ (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝ * y).moveLeft (toLeftMovesMul (Sum.inl (i, j))) =
    (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft i * y + mk α✝ β✝ a✝¹ a✝ * y.moveLeft j - (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft i * y.moveLeft j
state_after: case mk.mk
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves
⊢ (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft (toLeftMovesMul (Sum.inl (i, j))) =
    (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).moveLeft i * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝ + mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft j -
      (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).moveLeft i * (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft j

tactic: rfl
state_before: case mk.mk
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves
⊢ (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft (toLeftMovesMul (Sum.inl (i, j))) =
    (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).moveLeft i * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝ + mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft j -
      (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).moveLeft i * (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft j
state_after: no goals
Theorem: MeasureTheory.SignedMeasure.toJordanDecomposition_neg
File: Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean

tactic: apply toSignedMeasure_injective
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
⊢ (-s).toJordanDecomposition = -s.toJordanDecomposition
state_after: case a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
⊢ (-s).toJordanDecomposition.toSignedMeasure = (-s.toJordanDecomposition).toSignedMeasure

tactic: simp [toSignedMeasure_neg]
state_before: case a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
⊢ (-s).toJordanDecomposition.toSignedMeasure = (-s.toJordanDecomposition).toSignedMeasure
state_after: no goals
Theorem: Polynomial.natDegree_smul_of_smul_regular
File: Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean

tactic: by_cases hp : p = 0
state_before: R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
⊢ (k • p).natDegree = p.natDegree
state_after: case pos
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
hp : p = 0
⊢ (k • p).natDegree = p.natDegree

case neg
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
hp : ¬p = 0
⊢ (k • p).natDegree = p.natDegree

tactic: rw [← Nat.cast_inj (R := WithBot ℕ), ← degree_eq_natDegree hp, ← degree_eq_natDegree,
  degree_smul_of_smul_regular p h]
state_before: case neg
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
hp : ¬p = 0
⊢ (k • p).natDegree = p.natDegree
state_after: case neg
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
hp : ¬p = 0
⊢ k • p ≠ 0

tactic: contrapose! hp
state_before: case neg
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
hp : ¬p = 0
⊢ k • p ≠ 0
state_after: case neg
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
hp : k • p = 0
⊢ p = 0

tactic: rw [← smul_zero k] at hp
state_before: case neg
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
hp : k • p = 0
⊢ p = 0
state_after: case neg
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
hp : k • p = k • 0
⊢ p = 0

tactic: exact h.polynomial hp
state_before: case neg
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
hp : k • p = k • 0
⊢ p = 0
state_after: no goals

tactic: simp [hp]
state_before: case pos
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
hp : p = 0
⊢ (k • p).natDegree = p.natDegree
state_after: no goals
Theorem: Asymptotics.SuperpolynomialDecay.param_pow_mul
File: Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean

tactic: induction' n with n hn
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : CommSemiring β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
n : ℕ
⊢ SuperpolynomialDecay l k (k ^ n * f)
state_after: case zero
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : CommSemiring β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
⊢ SuperpolynomialDecay l k (k ^ 0 * f)

case succ
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : CommSemiring β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
n : ℕ
hn : SuperpolynomialDecay l k (k ^ n * f)
⊢ SuperpolynomialDecay l k (k ^ (n + 1) * f)

tactic: simpa only [Nat.zero_eq, one_mul, pow_zero] using hf
state_before: case zero
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : CommSemiring β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
⊢ SuperpolynomialDecay l k (k ^ 0 * f)
state_after: no goals

tactic: simpa only [pow_succ', mul_assoc] using hn.param_mul
state_before: case succ
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : CommSemiring β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
n : ℕ
hn : SuperpolynomialDecay l k (k ^ n * f)
⊢ SuperpolynomialDecay l k (k ^ (n + 1) * f)
state_after: no goals
Theorem: CategoryTheory.Limits.imageSubobject_arrow_comp
File: Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean

tactic: simp [factorThruImageSubobject, imageSubobject_arrow]
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasImage f
⊢ factorThruImageSubobject f ≫ (imageSubobject f).arrow = f
state_after: no goals
Theorem: Polynomial.degree_sum_le
File: Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean

tactic: simp only [sum_empty, sup_empty, degree_zero, le_refl]
state_before: R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → R[X]
⊢ (∑ i ∈ ∅, f i).degree ≤ ∅.sup fun b => (f b).degree
state_after: no goals

tactic: rw [Finset.sum_cons]
state_before: R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
s✝ : Finset ι
f : ι → R[X]
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∑ i ∈ s, f i).degree ≤ s.sup fun b => (f b).degree
⊢ (∑ i ∈ Finset.cons a s has, f i).degree ≤ max (f a).degree (∑ i ∈ s, f i).degree
state_after: R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
s✝ : Finset ι
f : ι → R[X]
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∑ i ∈ s, f i).degree ≤ s.sup fun b => (f b).degree
⊢ (f a + ∑ x ∈ s, f x).degree ≤ max (f a).degree (∑ i ∈ s, f i).degree

tactic: exact degree_add_le _ _
state_before: R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
s✝ : Finset ι
f : ι → R[X]
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∑ i ∈ s, f i).degree ≤ s.sup fun b => (f b).degree
⊢ (f a + ∑ x ∈ s, f x).degree ≤ max (f a).degree (∑ i ∈ s, f i).degree
state_after: no goals

tactic: rw [sup_cons, sup_eq_max]
state_before: R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
s✝ : Finset ι
f : ι → R[X]
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∑ i ∈ s, f i).degree ≤ s.sup fun b => (f b).degree
⊢ max (f a).degree (∑ i ∈ s, f i).degree ≤ (Finset.cons a s has).sup fun b => (f b).degree
state_after: R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
s✝ : Finset ι
f : ι → R[X]
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∑ i ∈ s, f i).degree ≤ s.sup fun b => (f b).degree
⊢ max (f a).degree (∑ i ∈ s, f i).degree ≤ max (f a).degree (s.sup fun b => (f b).degree)

tactic: exact max_le_max le_rfl ih
state_before: R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
s✝ : Finset ι
f : ι → R[X]
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∑ i ∈ s, f i).degree ≤ s.sup fun b => (f b).degree
⊢ max (f a).degree (∑ i ∈ s, f i).degree ≤ max (f a).degree (s.sup fun b => (f b).degree)
state_after: no goals
Theorem: MeasureTheory.measure_iUnion_le
File: Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Basic.lean

tactic: calc
  μ (⋃ i, t i) = μ (⋃ i, disjointed t i) := by rw [iUnion_disjointed]
  _ ≤ ∑' i, μ (disjointed t i) :=
    OuterMeasureClass.measure_iUnion_nat_le _ _ (disjoint_disjointed _)
  _ ≤ ∑' i, μ (t i) := by gcongr; apply disjointed_subset
state_before: α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
t : ℕ → Set α
⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (μ (⨆ i, t i)) (∑' (i : ℕ), μ (t i))
state_after: no goals

tactic: rw [iUnion_disjointed]
state_before: α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
t : ℕ → Set α
⊢ μ (⋃ i, t i) = μ (⋃ i, disjointed t i)
state_after: no goals

tactic: gcongr
state_before: α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
t : ℕ → Set α
⊢ ∑' (i : ℕ), μ (disjointed t i) ≤ ∑' (i : ℕ), μ (t i)
state_after: case h.h
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
t : ℕ → Set α
a✝ : ℕ
⊢ disjointed t a✝ ⊆ t a✝

tactic: apply disjointed_subset
state_before: case h.h
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
t : ℕ → Set α
a✝ : ℕ
⊢ disjointed t a✝ ⊆ t a✝
state_after: no goals
Theorem: Finset.le_prod_of_submultiplicative
File: Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean

tactic: refine le_trans (Multiset.le_prod_of_submultiplicative f h_one h_mul _) ?_
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
h_one : f 1 = 1
h_mul : ∀ (x y : M), f (x * y) ≤ f x * f y
s : Finset ι
g : ι → M
⊢ f (∏ i ∈ s, g i) ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)
state_after: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
h_one : f 1 = 1
h_mul : ∀ (x y : M), f (x * y) ≤ f x * f y
s : Finset ι
g : ι → M
⊢ (Multiset.map f (Multiset.map (fun i => g i) s.val)).prod ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)

tactic: rw [Multiset.map_map]
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
h_one : f 1 = 1
h_mul : ∀ (x y : M), f (x * y) ≤ f x * f y
s : Finset ι
g : ι → M
⊢ (Multiset.map f (Multiset.map (fun i => g i) s.val)).prod ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)
state_after: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
h_one : f 1 = 1
h_mul : ∀ (x y : M), f (x * y) ≤ f x * f y
s : Finset ι
g : ι → M
⊢ (Multiset.map (f ∘ fun i => g i) s.val).prod ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)

tactic: rfl
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
h_one : f 1 = 1
h_mul : ∀ (x y : M), f (x * y) ≤ f x * f y
s : Finset ι
g : ι → M
⊢ (Multiset.map (f ∘ fun i => g i) s.val).prod ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)
state_after: no goals
Theorem: Asymptotics.isLittleO_neg_left
File: Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean

tactic: simp only [IsLittleO_def]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ (fun x => -f' x) =o[l] g ↔ f' =o[l] g
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ (∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l (fun x => -f' x) g) ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f' g

tactic: exact forall₂_congr fun _ _ => isBigOWith_neg_left
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ (∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l (fun x => -f' x) g) ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f' g
state_after: no goals
Theorem: Filter.le_comap_top
File: Mathlib/Order/Filter/Basic.lean

tactic: rw [comap_top]
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
l : Filter α
⊢ l ≤ comap f ⊤
state_after: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
l : Filter α
⊢ l ≤ ⊤

tactic: exact le_top
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
l : Filter α
⊢ l ≤ ⊤
state_after: no goals
Theorem: OrderMonoidHom.mk_coe
File: Mathlib/Algebra/Order/Hom/Monoid.lean

tactic: ext
state_before: F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Preorder β
inst✝⁵ : Preorder γ
inst✝⁴ : Preorder δ
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : MulOneClass β
inst✝¹ : MulOneClass γ
inst✝ : MulOneClass δ
f✝ g f : α →*o β
h : Monotone (↑↑f).toFun
⊢ { toMonoidHom := ↑f, monotone' := h } = f
state_after: case h
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Preorder β
inst✝⁵ : Preorder γ
inst✝⁴ : Preorder δ
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : MulOneClass β
inst✝¹ : MulOneClass γ
inst✝ : MulOneClass δ
f✝ g f : α →*o β
h : Monotone (↑↑f).toFun
a✝ : α
⊢ { toMonoidHom := ↑f, monotone' := h } a✝ = f a✝

tactic: rfl
state_before: case h
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Preorder β
inst✝⁵ : Preorder γ
inst✝⁴ : Preorder δ
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : MulOneClass β
inst✝¹ : MulOneClass γ
inst✝ : MulOneClass δ
f✝ g f : α →*o β
h : Monotone (↑↑f).toFun
a✝ : α
⊢ { toMonoidHom := ↑f, monotone' := h } a✝ = f a✝
state_after: no goals
Theorem: toIocMod_sub_eq_sub
File: Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean

tactic: simp_rw [toIocMod, toIocDiv_sub_eq_toIocDiv_add, sub_right_comm]
state_before: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ toIocMod hp a (b - c) = toIocMod hp (a + c) b - c
state_after: no goals
Theorem: Int.lcm_mul_left
File: Mathlib/Data/Int/GCD.lean

tactic: simp_rw [Int.lcm, natAbs_mul, Nat.lcm_mul_left]
state_before: m n k : ℤ
⊢ (m * n).lcm (m * k) = m.natAbs * n.lcm k
state_after: no goals
Theorem: CategoryTheory.Limits.PullbackCone.mono_of_isLimitMkIdId
File: Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullbacks.lean

tactic: rcases PullbackCone.IsLimit.lift' t _ _ eq with ⟨_, rfl, rfl⟩
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
W X Y Z✝ : C
f✝ : X ⟶ Z✝
g✝ : Y ⟶ Z✝
f : X ⟶ Y
t : IsLimit (mk (𝟙 X) (𝟙 X) ⋯)
Z : C
g h : Z ⟶ X
eq : g ≫ f = h ≫ f
⊢ g = h
state_after: case mk.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
W X Y Z✝ : C
f✝ : X ⟶ Z✝
g : Y ⟶ Z✝
f : X ⟶ Y
t : IsLimit (mk (𝟙 X) (𝟙 X) ⋯)
Z : C
val✝ : Z ⟶ (mk (𝟙 X) (𝟙 X) ⋯).pt
eq : (val✝ ≫ (mk (𝟙 X) (𝟙 X) ⋯).fst) ≫ f = (val✝ ≫ (mk (𝟙 X) (𝟙 X) ⋯).snd) ≫ f
⊢ val✝ ≫ (mk (𝟙 X) (𝟙 X) ⋯).fst = val✝ ≫ (mk (𝟙 X) (𝟙 X) ⋯).snd

tactic: rfl
state_before: case mk.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
W X Y Z✝ : C
f✝ : X ⟶ Z✝
g : Y ⟶ Z✝
f : X ⟶ Y
t : IsLimit (mk (𝟙 X) (𝟙 X) ⋯)
Z : C
val✝ : Z ⟶ (mk (𝟙 X) (𝟙 X) ⋯).pt
eq : (val✝ ≫ (mk (𝟙 X) (𝟙 X) ⋯).fst) ≫ f = (val✝ ≫ (mk (𝟙 X) (𝟙 X) ⋯).snd) ≫ f
⊢ val✝ ≫ (mk (𝟙 X) (𝟙 X) ⋯).fst = val✝ ≫ (mk (𝟙 X) (𝟙 X) ⋯).snd
state_after: no goals
Theorem: dist_prod_same_left
File: Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean

tactic: simp [Prod.dist_eq, dist_nonneg]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x : α
y₁ y₂ : β
⊢ dist (x, y₁) (x, y₂) = dist y₁ y₂
state_after: no goals
Theorem: hasMFDerivWithinAt_univ
File: Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean

tactic: simp only [HasMFDerivWithinAt, HasMFDerivAt, continuousWithinAt_univ, mfld_simps]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f univ x f' ↔ HasMFDerivAt I I' f x f'
state_after: no goals
Theorem: LSeriesHasSum_congr
File: Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean

tactic: simp only [LSeriesHasSum_iff, LSeriesSummable_congr s h, LSeries_congr s h]
state_before: f g : ℕ → ℂ
s a : ℂ
h : ∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → f n = g n
⊢ LSeriesHasSum f s a ↔ LSeriesHasSum g s a
state_after: no goals
Theorem: HomologicalComplex.dFrom_comp_xNextIsoSelf
File: Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean

tactic: simp [h]
state_before: ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i : ι
h : ¬c.Rel i (c.next i)
⊢ C.dFrom i ≫ (C.xNextIsoSelf h).hom = 0
state_after: no goals
Theorem: hammingNorm_comp_le_hammingNorm
File: Mathlib/InformationTheory/Hamming.lean

tactic: simpa only [← hammingDist_zero_right, hf] using hammingDist_comp_le_hammingDist f (y := fun _ ↦ 0)
state_before: α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (γ i)
f : (i : ι) → γ i → β i
x : (i : ι) → γ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
⊢ (hammingNorm fun i => f i (x i)) ≤ hammingNorm x
state_after: no goals
Theorem: IsAdjoinRoot.aequiv_ofEquiv
File: Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean

tactic: ext a
state_before: R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
U : Type u_2
inst✝¹ : CommRing U
inst✝ : Algebra R U
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
e : T ≃ₐ[R] U
⊢ h.aequiv (h'.ofEquiv e) = (h.aequiv h').trans e
state_after: case h
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
U : Type u_2
inst✝¹ : CommRing U
inst✝ : Algebra R U
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
e : T ≃ₐ[R] U
a : S
⊢ (h.aequiv (h'.ofEquiv e)) a = ((h.aequiv h').trans e) a

tactic: rw [← h.map_repr a, aequiv_map, AlgEquiv.trans_apply, aequiv_map, ofEquiv_map_apply]
state_before: case h
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
U : Type u_2
inst✝¹ : CommRing U
inst✝ : Algebra R U
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
e : T ≃ₐ[R] U
a : S
⊢ (h.aequiv (h'.ofEquiv e)) a = ((h.aequiv h').trans e) a
state_after: no goals