Theorem: HolderOnWith.hausdorffMeasure_image_le
File: Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean

tactic: rcases (zero_le C).eq_or_lt with (rfl | hC0)
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑C ^ d * μH[↑r * d] s
state_after: case inl
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f s
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑0 ^ d * μH[↑r * d] s

case inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑C ^ d * μH[↑r * d] s

tactic: rcases eq_empty_or_nonempty s with (rfl | ⟨x, hx⟩)
state_before: case inl
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f s
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑0 ^ d * μH[↑r * d] s
state_after: case inl.inl
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
t : Set X
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f ∅
⊢ μH[d] (f '' ∅) ≤ ↑0 ^ d * μH[↑r * d] ∅

case inl.inr.intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑0 ^ d * μH[↑r * d] s

tactic: have : f '' s = {f x} :=
  have : (f '' s).Subsingleton := by simpa [diam_eq_zero_iff] using h.ediam_image_le
  (subsingleton_iff_singleton (mem_image_of_mem f hx)).1 this
state_before: case inl.inr.intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑0 ^ d * μH[↑r * d] s
state_after: case inl.inr.intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f s
x : X
hx : x ∈ s
this : f '' s = {f x}
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑0 ^ d * μH[↑r * d] s

tactic: rw [this]
state_before: case inl.inr.intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f s
x : X
hx : x ∈ s
this : f '' s = {f x}
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑0 ^ d * μH[↑r * d] s
state_after: case inl.inr.intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f s
x : X
hx : x ∈ s
this : f '' s = {f x}
⊢ μH[d] {f x} ≤ ↑0 ^ d * μH[↑r * d] s

tactic: rcases eq_or_lt_of_le hd with (rfl | h'd)
state_before: case inl.inr.intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f s
x : X
hx : x ∈ s
this : f '' s = {f x}
⊢ μH[d] {f x} ≤ ↑0 ^ d * μH[↑r * d] s
state_after: case inl.inr.intro.inl
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
h : HolderOnWith 0 r f s
x : X
hx : x ∈ s
this : f '' s = {f x}
hd : 0 ≤ 0
⊢ μH[0] {f x} ≤ ↑0 ^ 0 * μH[↑r * 0] s

case inl.inr.intro.inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f s
x : X
hx : x ∈ s
this : f '' s = {f x}
h'd : 0 < d
⊢ μH[d] {f x} ≤ ↑0 ^ d * μH[↑r * d] s

tactic: simp only [measure_empty, nonpos_iff_eq_zero, mul_zero, image_empty]
state_before: case inl.inl
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
t : Set X
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f ∅
⊢ μH[d] (f '' ∅) ≤ ↑0 ^ d * μH[↑r * d] ∅
state_after: no goals

tactic: simpa [diam_eq_zero_iff] using h.ediam_image_le
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ (f '' s).Subsingleton
state_after: no goals

tactic: simp only [ENNReal.rpow_zero, one_mul, mul_zero]
state_before: case inl.inr.intro.inl
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
h : HolderOnWith 0 r f s
x : X
hx : x ∈ s
this : f '' s = {f x}
hd : 0 ≤ 0
⊢ μH[0] {f x} ≤ ↑0 ^ 0 * μH[↑r * 0] s
state_after: case inl.inr.intro.inl
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
h : HolderOnWith 0 r f s
x : X
hx : x ∈ s
this : f '' s = {f x}
hd : 0 ≤ 0
⊢ μH[0] {f x} ≤ μH[0] s

tactic: rw [hausdorffMeasure_zero_singleton]
state_before: case inl.inr.intro.inl
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
h : HolderOnWith 0 r f s
x : X
hx : x ∈ s
this : f '' s = {f x}
hd : 0 ≤ 0
⊢ μH[0] {f x} ≤ μH[0] s
state_after: case inl.inr.intro.inl
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
h : HolderOnWith 0 r f s
x : X
hx : x ∈ s
this : f '' s = {f x}
hd : 0 ≤ 0
⊢ 1 ≤ μH[0] s

tactic: exact one_le_hausdorffMeasure_zero_of_nonempty ⟨x, hx⟩
state_before: case inl.inr.intro.inl
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
h : HolderOnWith 0 r f s
x : X
hx : x ∈ s
this : f '' s = {f x}
hd : 0 ≤ 0
⊢ 1 ≤ μH[0] s
state_after: no goals

tactic: haveI := noAtoms_hausdorff Y h'd
state_before: case inl.inr.intro.inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f s
x : X
hx : x ∈ s
this : f '' s = {f x}
h'd : 0 < d
⊢ μH[d] {f x} ≤ ↑0 ^ d * μH[↑r * d] s
state_after: case inl.inr.intro.inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f s
x : X
hx : x ∈ s
this✝ : f '' s = {f x}
h'd : 0 < d
this : NoAtoms μH[d]
⊢ μH[d] {f x} ≤ ↑0 ^ d * μH[↑r * d] s

tactic: simp only [zero_le, measure_singleton]
state_before: case inl.inr.intro.inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f s
x : X
hx : x ∈ s
this✝ : f '' s = {f x}
h'd : 0 < d
this : NoAtoms μH[d]
⊢ μH[d] {f x} ≤ ↑0 ^ d * μH[↑r * d] s
state_after: no goals

tactic: have hCd0 : (C : ℝ≥0∞) ^ d ≠ 0 := by simp [hC0.ne']
state_before: case inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑C ^ d * μH[↑r * d] s
state_after: case inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑C ^ d * μH[↑r * d] s

tactic: have hCd : (C : ℝ≥0∞) ^ d ≠ ∞ := by simp [hd]
state_before: case inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑C ^ d * μH[↑r * d] s
state_after: case inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑C ^ d * μH[↑r * d] s

tactic: simp only [hausdorffMeasure_apply, ENNReal.mul_iSup, ENNReal.mul_iInf_of_ne hCd0 hCd,
  ← ENNReal.tsum_mul_left]
state_before: case inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑C ^ d * μH[↑r * d] s
state_after: case inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
⊢ ⨆ r,
      ⨆ (_ : 0 < r),
        ⨅ t,
          ⨅ (_ : f '' s ⊆ ⋃ n, t n),
            ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ r), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤
    ⨆ i,
      ⨆ (_ : 0 < i),
        ⨅ i_1,
          ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i_1 n),
            ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i_1 n) ≤ i), ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (i_1 i).Nonempty), ↑C ^ d * diam (i_1 i) ^ (↑r * d)

tactic: refine iSup_le fun R => iSup_le fun hR => ?_
state_before: case inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
⊢ ⨆ r,
      ⨆ (_ : 0 < r),
        ⨅ t,
          ⨅ (_ : f '' s ⊆ ⋃ n, t n),
            ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ r), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤
    ⨆ i,
      ⨆ (_ : 0 < i),
        ⨅ i_1,
          ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i_1 n),
            ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i_1 n) ≤ i), ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (i_1 i).Nonempty), ↑C ^ d * diam (i_1 i) ^ (↑r * d)
state_after: case inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
⊢ ⨅ t,
      ⨅ (_ : f '' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ R), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤
    ⨆ i,
      ⨆ (_ : 0 < i),
        ⨅ i_1,
          ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i_1 n),
            ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i_1 n) ≤ i), ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (i_1 i).Nonempty), ↑C ^ d * diam (i_1 i) ^ (↑r * d)

tactic: have : Tendsto (fun d : ℝ≥0∞ => (C : ℝ≥0∞) * d ^ (r : ℝ)) (𝓝 0) (𝓝 0) :=
  ENNReal.tendsto_const_mul_rpow_nhds_zero_of_pos ENNReal.coe_ne_top hr
state_before: case inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
⊢ ⨅ t,
      ⨅ (_ : f '' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ R), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤
    ⨆ i,
      ⨆ (_ : 0 < i),
        ⨅ i_1,
          ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i_1 n),
            ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i_1 n) ≤ i), ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (i_1 i).Nonempty), ↑C ^ d * diam (i_1 i) ^ (↑r * d)
state_after: case inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ ⨅ t,
      ⨅ (_ : f '' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ R), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤
    ⨆ i,
      ⨆ (_ : 0 < i),
        ⨅ i_1,
          ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i_1 n),
            ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i_1 n) ≤ i), ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (i_1 i).Nonempty), ↑C ^ d * diam (i_1 i) ^ (↑r * d)

tactic: rcases ENNReal.nhds_zero_basis_Iic.eventually_iff.1 (this.eventually (gt_mem_nhds hR)) with
  ⟨δ, δ0, H⟩
state_before: case inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ ⨅ t,
      ⨅ (_ : f '' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ R), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤
    ⨆ i,
      ⨆ (_ : 0 < i),
        ⨅ i_1,
          ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i_1 n),
            ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i_1 n) ≤ i), ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (i_1 i).Nonempty), ↑C ^ d * diam (i_1 i) ^ (↑r * d)
state_after: case inr.intro.intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
⊢ ⨅ t,
      ⨅ (_ : f '' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ R), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤
    ⨆ i,
      ⨆ (_ : 0 < i),
        ⨅ i_1,
          ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i_1 n),
            ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i_1 n) ≤ i), ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (i_1 i).Nonempty), ↑C ^ d * diam (i_1 i) ^ (↑r * d)

tactic: refine le_iSup₂_of_le δ δ0 <| iInf₂_mono' fun t hst ↦
  ⟨fun n => f '' (t n ∩ s), ?_, iInf_mono' fun htδ ↦
    ⟨fun n => (h.ediam_image_inter_le (t n)).trans (H (htδ n)).le, ?_⟩⟩
state_before: case inr.intro.intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
⊢ ⨅ t,
      ⨅ (_ : f '' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ R), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤
    ⨆ i,
      ⨆ (_ : 0 < i),
        ⨅ i_1,
          ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i_1 n),
            ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i_1 n) ≤ i), ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (i_1 i).Nonempty), ↑C ^ d * diam (i_1 i) ^ (↑r * d)
state_after: case inr.intro.intro.refine_1
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t✝ : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
⊢ f '' s ⊆ ⋃ n, (fun n => f '' (t n ∩ s)) n

case inr.intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t✝ : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
htδ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ δ
⊢ ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : ((fun n => f '' (t n ∩ s)) n).Nonempty), diam ((fun n => f '' (t n ∩ s)) n) ^ d ≤
    ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (t i).Nonempty), ↑C ^ d * diam (t i) ^ (↑r * d)

tactic: simp [hC0.ne']
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
⊢ ↑C ^ d ≠ 0
state_after: no goals

tactic: simp [hd]
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
⊢ ↑C ^ d ≠ ⊤
state_after: no goals

tactic: rw [← image_iUnion, ← iUnion_inter]
state_before: case inr.intro.intro.refine_1
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t✝ : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
⊢ f '' s ⊆ ⋃ n, (fun n => f '' (t n ∩ s)) n
state_after: case inr.intro.intro.refine_1
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t✝ : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
⊢ f '' s ⊆ f '' ((⋃ i, t i) ∩ s)

tactic: exact image_subset _ (subset_inter hst Subset.rfl)
state_before: case inr.intro.intro.refine_1
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t✝ : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
⊢ f '' s ⊆ f '' ((⋃ i, t i) ∩ s)
state_after: no goals

tactic: refine ENNReal.tsum_le_tsum fun n => ?_
state_before: case inr.intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t✝ : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
htδ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ δ
⊢ ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : ((fun n => f '' (t n ∩ s)) n).Nonempty), diam ((fun n => f '' (t n ∩ s)) n) ^ d ≤
    ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (t i).Nonempty), ↑C ^ d * diam (t i) ^ (↑r * d)
state_after: case inr.intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t✝ : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
htδ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ δ
n : ℕ
⊢ ⨆ (_ : ((fun n => f '' (t n ∩ s)) n).Nonempty), diam ((fun n => f '' (t n ∩ s)) n) ^ d ≤
    ⨆ (_ : (t n).Nonempty), ↑C ^ d * diam (t n) ^ (↑r * d)

tactic: simp only [iSup_le_iff, image_nonempty]
state_before: case inr.intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t✝ : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
htδ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ δ
n : ℕ
⊢ ⨆ (_ : ((fun n => f '' (t n ∩ s)) n).Nonempty), diam ((fun n => f '' (t n ∩ s)) n) ^ d ≤
    ⨆ (_ : (t n).Nonempty), ↑C ^ d * diam (t n) ^ (↑r * d)
state_after: case inr.intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t✝ : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
htδ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ δ
n : ℕ
⊢ (t n ∩ s).Nonempty → diam (f '' (t n ∩ s)) ^ d ≤ ⨆ (_ : (t n).Nonempty), ↑C ^ d * diam (t n) ^ (↑r * d)

tactic: intro hft
state_before: case inr.intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t✝ : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
htδ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ δ
n : ℕ
⊢ (t n ∩ s).Nonempty → diam (f '' (t n ∩ s)) ^ d ≤ ⨆ (_ : (t n).Nonempty), ↑C ^ d * diam (t n) ^ (↑r * d)
state_after: case inr.intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t✝ : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
htδ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ δ
n : ℕ
hft : (t n ∩ s).Nonempty
⊢ diam (f '' (t n ∩ s)) ^ d ≤ ⨆ (_ : (t n).Nonempty), ↑C ^ d * diam (t n) ^ (↑r * d)

tactic: simp only [Nonempty.mono ((t n).inter_subset_left) hft, ciSup_pos]
state_before: case inr.intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t✝ : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
htδ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ δ
n : ℕ
hft : (t n ∩ s).Nonempty
⊢ diam (f '' (t n ∩ s)) ^ d ≤ ⨆ (_ : (t n).Nonempty), ↑C ^ d * diam (t n) ^ (↑r * d)
state_after: case inr.intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t✝ : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
htδ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ δ
n : ℕ
hft : (t n ∩ s).Nonempty
⊢ diam (f '' (t n ∩ s)) ^ d ≤ ↑C ^ d * diam (t n) ^ (↑r * d)

tactic: rw [ENNReal.rpow_mul, ← ENNReal.mul_rpow_of_nonneg _ _ hd]
state_before: case inr.intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t✝ : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
htδ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ δ
n : ℕ
hft : (t n ∩ s).Nonempty
⊢ diam (f '' (t n ∩ s)) ^ d ≤ ↑C ^ d * diam (t n) ^ (↑r * d)
state_after: case inr.intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t✝ : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
htδ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ δ
n : ℕ
hft : (t n ∩ s).Nonempty
⊢ diam (f '' (t n ∩ s)) ^ d ≤ (↑C * diam (t n) ^ ↑r) ^ d

tactic: exact ENNReal.rpow_le_rpow (h.ediam_image_inter_le _) hd
state_before: case inr.intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t✝ : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
htδ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ δ
n : ℕ
hft : (t n ∩ s).Nonempty
⊢ diam (f '' (t n ∩ s)) ^ d ≤ (↑C * diam (t n) ^ ↑r) ^ d
state_after: no goals