Theorem: DiffContOnCl.continuousOn_ball
File: Mathlib/Analysis/Calculus/DiffContOnCl.lean

tactic: rcases eq_or_ne r 0 with (rfl | hr)
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
s t : Set E
x✝ : E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
h : DiffContOnCl 𝕜 f (ball x r)
⊢ ContinuousOn f (closedBall x r)
state_after: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
s t : Set E
x✝ : E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
h : DiffContOnCl 𝕜 f (ball x 0)
⊢ ContinuousOn f (closedBall x 0)

case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
s t : Set E
x✝ : E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
h : DiffContOnCl 𝕜 f (ball x r)
hr : r ≠ 0
⊢ ContinuousOn f (closedBall x r)

tactic: rw [closedBall_zero]
state_before: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
s t : Set E
x✝ : E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
h : DiffContOnCl 𝕜 f (ball x 0)
⊢ ContinuousOn f (closedBall x 0)
state_after: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
s t : Set E
x✝ : E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
h : DiffContOnCl 𝕜 f (ball x 0)
⊢ ContinuousOn f {x}

tactic: exact continuousOn_singleton f x
state_before: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
s t : Set E
x✝ : E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
h : DiffContOnCl 𝕜 f (ball x 0)
⊢ ContinuousOn f {x}
state_after: no goals

tactic: rw [← closure_ball x hr]
state_before: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
s t : Set E
x✝ : E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
h : DiffContOnCl 𝕜 f (ball x r)
hr : r ≠ 0
⊢ ContinuousOn f (closedBall x r)
state_after: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
s t : Set E
x✝ : E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
h : DiffContOnCl 𝕜 f (ball x r)
hr : r ≠ 0
⊢ ContinuousOn f (closure (ball x r))

tactic: exact h.continuousOn
state_before: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
s t : Set E
x✝ : E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
h : DiffContOnCl 𝕜 f (ball x r)
hr : r ≠ 0
⊢ ContinuousOn f (closure (ball x r))
state_after: no goals