Theorem: tendsto_integral_peak_smul_of_integrable_of_tendsto
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean

tactic: suffices Tendsto (fun i : ι ↦ ∫ x in univ, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a) by simpa
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t✝ : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α), φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t✝ : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in univ, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)

tactic: exact tendsto_setIntegral_peak_smul_of_integrableOn_of_tendsto MeasurableSet.univ ht (x₀ := x₀)
  (subset_univ _) (by simpa [nhdsWithin_univ]) h't (by simpa)
  (by simpa [← compl_eq_univ_diff] using hlφ) hiφ
  (by simpa) (by simpa) (by simpa [nhdsWithin_univ])
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t✝ : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in univ, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)
state_after: no goals

tactic: simpa
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t✝ : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
this : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in univ, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α), φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)
state_after: no goals

tactic: simpa [nhdsWithin_univ]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t✝ : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ t ∈ 𝓝[univ] x₀
state_after: no goals

tactic: simpa
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t✝ : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ univ, 0 ≤ φ i x
state_after: no goals

tactic: simpa [← compl_eq_univ_diff] using hlφ
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t✝ : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (univ \ u)
state_after: no goals

tactic: simpa
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t✝ : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict univ)
state_after: no goals

tactic: simpa
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t✝ : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ IntegrableOn g univ μ
state_after: no goals

tactic: simpa [nhdsWithin_univ]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t✝ : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ Tendsto g (𝓝[univ] x₀) (𝓝 a)
state_after: no goals