Theorem: MeasureTheory.snorm_le_snorm_top_mul_snorm
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean

tactic: by_cases hp_top : p = ∞
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
⊢ snorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ snorm f ⊤ μ * snorm g p μ
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : p = ⊤
⊢ snorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ snorm f ⊤ μ * snorm g p μ

case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ snorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ snorm f ⊤ μ * snorm g p μ

tactic: by_cases hp_zero : p = 0
state_before: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ snorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ snorm f ⊤ μ * snorm g p μ
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : p = 0
⊢ snorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ snorm f ⊤ μ * snorm g p μ

case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ snorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ snorm f ⊤ μ * snorm g p μ

tactic: simp_rw [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp_zero hp_top, snorm_exponent_top, snormEssSup]
state_before: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ snorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ snorm f ⊤ μ * snorm g p μ
state_after: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖b (f x) (g x)‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) ≤
    essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ * (∫⁻ (x : α), ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)

tactic: simp_rw [hp_top, snorm_exponent_top]
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : p = ⊤
⊢ snorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ snorm f ⊤ μ * snorm g p μ
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : p = ⊤
⊢ snormEssSup (fun x => b (f x) (g x)) μ ≤ snormEssSup f μ * snormEssSup g μ

tactic: refine le_trans (essSup_mono_ae <| h.mono fun a ha => ?_) (ENNReal.essSup_mul_le _ _)
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : p = ⊤
⊢ snormEssSup (fun x => b (f x) (g x)) μ ≤ snormEssSup f μ * snormEssSup g μ
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : p = ⊤
a : α
ha : ‖b (f a) (g a)‖₊ ≤ ‖f a‖₊ * ‖g a‖₊
⊢ (fun x => ↑‖(fun x => b (f x) (g x)) x‖₊) a ≤ ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a

tactic: simp_rw [Pi.mul_apply, ← ENNReal.coe_mul, ENNReal.coe_le_coe]
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : p = ⊤
a : α
ha : ‖b (f a) (g a)‖₊ ≤ ‖f a‖₊ * ‖g a‖₊
⊢ (fun x => ↑‖(fun x => b (f x) (g x)) x‖₊) a ≤ ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : p = ⊤
a : α
ha : ‖b (f a) (g a)‖₊ ≤ ‖f a‖₊ * ‖g a‖₊
⊢ ‖b (f a) (g a)‖₊ ≤ ‖f a‖₊ * ‖g a‖₊

tactic: exact ha
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : p = ⊤
a : α
ha : ‖b (f a) (g a)‖₊ ≤ ‖f a‖₊ * ‖g a‖₊
⊢ ‖b (f a) (g a)‖₊ ≤ ‖f a‖₊ * ‖g a‖₊
state_after: no goals

tactic: simp only [hp_zero, snorm_exponent_zero, mul_zero, le_zero_iff]
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : p = 0
⊢ snorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ snorm f ⊤ μ * snorm g p μ
state_after: no goals

tactic: gcongr ?_ ^ _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖b (f x) (g x)‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) ≤
    (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal * ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)
state_after: case h₁
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖b (f x) (g x)‖₊ ^ p.toReal ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal * ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ

tactic: refine lintegral_mono_ae (h.mono fun a ha => ?_)
state_before: case h₁
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖b (f x) (g x)‖₊ ^ p.toReal ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal * ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ
state_after: case h₁
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
a : α
ha : ‖b (f a) (g a)‖₊ ≤ ‖f a‖₊ * ‖g a‖₊
⊢ ↑‖b (f a) (g a)‖₊ ^ p.toReal ≤ ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal * ↑‖g a‖₊ ^ p.toReal

tactic: rw [← ENNReal.mul_rpow_of_nonneg _ _ ENNReal.toReal_nonneg]
state_before: case h₁
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
a : α
ha : ‖b (f a) (g a)‖₊ ≤ ‖f a‖₊ * ‖g a‖₊
⊢ ↑‖b (f a) (g a)‖₊ ^ p.toReal ≤ ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal * ↑‖g a‖₊ ^ p.toReal
state_after: case h₁
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
a : α
ha : ‖b (f a) (g a)‖₊ ≤ ‖f a‖₊ * ‖g a‖₊
⊢ ↑‖b (f a) (g a)‖₊ ^ p.toReal ≤ (↑‖f a‖₊ * ↑‖g a‖₊) ^ p.toReal

tactic: refine ENNReal.rpow_le_rpow ?_ ENNReal.toReal_nonneg
state_before: case h₁
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
a : α
ha : ‖b (f a) (g a)‖₊ ≤ ‖f a‖₊ * ‖g a‖₊
⊢ ↑‖b (f a) (g a)‖₊ ^ p.toReal ≤ (↑‖f a‖₊ * ↑‖g a‖₊) ^ p.toReal
state_after: case h₁
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
a : α
ha : ‖b (f a) (g a)‖₊ ≤ ‖f a‖₊ * ‖g a‖₊
⊢ ↑‖b (f a) (g a)‖₊ ≤ ↑‖f a‖₊ * ↑‖g a‖₊

tactic: rw [← ENNReal.coe_mul, ENNReal.coe_le_coe]
state_before: case h₁
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
a : α
ha : ‖b (f a) (g a)‖₊ ≤ ‖f a‖₊ * ‖g a‖₊
⊢ ↑‖b (f a) (g a)‖₊ ≤ ↑‖f a‖₊ * ↑‖g a‖₊
state_after: case h₁
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
a : α
ha : ‖b (f a) (g a)‖₊ ≤ ‖f a‖₊ * ‖g a‖₊
⊢ ‖b (f a) (g a)‖₊ ≤ ‖f a‖₊ * ‖g a‖₊

tactic: exact ha
state_before: case h₁
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
a : α
ha : ‖b (f a) (g a)‖₊ ≤ ‖f a‖₊ * ‖g a‖₊
⊢ ‖b (f a) (g a)‖₊ ≤ ‖f a‖₊ * ‖g a‖₊
state_after: no goals

tactic: gcongr ?_ ^ _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal * ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) ≤
    (∫⁻ (x : α), essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ ^ p.toReal * ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)
state_after: case h₁
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal * ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ ≤
    ∫⁻ (x : α), essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ ^ p.toReal * ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ

tactic: refine lintegral_mono_ae ?_
state_before: case h₁
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal * ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ ≤
    ∫⁻ (x : α), essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ ^ p.toReal * ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ
state_after: case h₁
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal * ↑‖g a‖₊ ^ p.toReal ≤ essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ ^ p.toReal * ↑‖g a‖₊ ^ p.toReal

tactic: filter_upwards [@ENNReal.ae_le_essSup _ _ μ fun x => (‖f x‖₊ : ℝ≥0∞)] with x hx
state_before: case h₁
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal * ↑‖g a‖₊ ^ p.toReal ≤ essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ ^ p.toReal * ↑‖g a‖₊ ^ p.toReal
state_after: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
x : α
hx : ↑‖f x‖₊ ≤ essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ
⊢ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal * ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ≤ essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ ^ p.toReal * ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal

tactic: gcongr
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
x : α
hx : ↑‖f x‖₊ ≤ essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ
⊢ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal * ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ≤ essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ ^ p.toReal * ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal
state_after: no goals

tactic: rw [lintegral_const_mul'']
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ (∫⁻ (x : α), essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ ^ p.toReal * ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) =
    essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ * (∫⁻ (x : α), ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ (essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ ^ p.toReal * ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) =
    essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ * (∫⁻ (x : α), ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)

case hf
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ AEMeasurable (fun x => ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal) μ

tactic: swap
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ (essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ ^ p.toReal * ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) =
    essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ * (∫⁻ (x : α), ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)

case hf
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ AEMeasurable (fun x => ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal) μ
state_after: case hf
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ AEMeasurable (fun x => ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal) μ

α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ (essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ ^ p.toReal * ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) =
    essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ * (∫⁻ (x : α), ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)

tactic: rw [ENNReal.mul_rpow_of_nonneg]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ (essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ ^ p.toReal * ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) =
    essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ * (∫⁻ (x : α), ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ (essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) =
    essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ * (∫⁻ (x : α), ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)

case hz
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ 0 ≤ 1 / p.toReal

tactic: swap
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ (essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) =
    essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ * (∫⁻ (x : α), ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)

case hz
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ 0 ≤ 1 / p.toReal
state_after: case hz
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ 0 ≤ 1 / p.toReal

α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ (essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) =
    essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ * (∫⁻ (x : α), ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)

tactic: rw [← ENNReal.rpow_mul, one_div, mul_inv_cancel, ENNReal.rpow_one]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ (essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) =
    essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ * (∫⁻ (x : α), ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ p.toReal ≠ 0

tactic: rw [Ne, ENNReal.toReal_eq_zero_iff, not_or]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ p.toReal ≠ 0
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ ¬p = 0 ∧ ¬p = ⊤

tactic: exact ⟨hp_zero, hp_top⟩
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ ¬p = 0 ∧ ¬p = ⊤
state_after: no goals

tactic: exact hg.nnnorm.aemeasurable.coe_nnreal_ennreal.pow aemeasurable_const
state_before: case hf
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ AEMeasurable (fun x => ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal) μ
state_after: no goals

tactic: rw [one_div_nonneg]
state_before: case hz
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ 0 ≤ 1 / p.toReal
state_after: case hz
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ 0 ≤ p.toReal

tactic: exact ENNReal.toReal_nonneg
state_before: case hz
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
⊢ 0 ≤ p.toReal
state_after: no goals