Theorem: MeasureTheory.OuterMeasure.isCaratheodory_iUnion_nat
File: Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean

tactic: apply (isCaratheodory_iff_le' m).mpr
state_before: α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
⊢ m.IsCaratheodory (⋃ i, s i)
state_after: α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
⊢ ∀ (t : Set α), m (t ∩ ⋃ i, s i) + m (t \ ⋃ i, s i) ≤ m t

tactic: intro t
state_before: α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
⊢ ∀ (t : Set α), m (t ∩ ⋃ i, s i) + m (t \ ⋃ i, s i) ≤ m t
state_after: α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
⊢ m (t ∩ ⋃ i, s i) + m (t \ ⋃ i, s i) ≤ m t

tactic: refine le_trans (add_le_add_right hp _) ?_
state_before: α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
hp : m (t ∩ ⋃ i, s i) ≤ ⨆ n, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)
⊢ m (t ∩ ⋃ i, s i) + m (t \ ⋃ i, s i) ≤ m t
state_after: α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
hp : m (t ∩ ⋃ i, s i) ≤ ⨆ n, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)
⊢ (⨆ n, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)) + m (t \ ⋃ i, s i) ≤ m t

tactic: rw [ENNReal.iSup_add]
state_before: α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
hp : m (t ∩ ⋃ i, s i) ≤ ⨆ n, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)
⊢ (⨆ n, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)) + m (t \ ⋃ i, s i) ≤ m t
state_after: α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
hp : m (t ∩ ⋃ i, s i) ≤ ⨆ n, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)
⊢ ⨆ b, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < b), s i) + m (t \ ⋃ i, s i) ≤ m t

tactic: refine iSup_le fun n => le_trans (add_le_add_left ?_ _)
  (ge_of_eq (isCaratheodory_iUnion_lt m (fun i _ => h i) _))
state_before: α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
hp : m (t ∩ ⋃ i, s i) ≤ ⨆ n, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)
⊢ ⨆ b, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < b), s i) + m (t \ ⋃ i, s i) ≤ m t
state_after: α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
hp : m (t ∩ ⋃ i, s i) ≤ ⨆ n, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)
n : ℕ
⊢ m (t \ ⋃ i, s i) ≤ m (t \ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)

tactic: refine m.mono (diff_subset_diff_right ?_)
state_before: α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
hp : m (t ∩ ⋃ i, s i) ≤ ⨆ n, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)
n : ℕ
⊢ m (t \ ⋃ i, s i) ≤ m (t \ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)
state_after: α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
hp : m (t ∩ ⋃ i, s i) ≤ ⨆ n, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)
n : ℕ
⊢ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i ⊆ ⋃ i, s i

tactic: exact iUnion₂_subset fun i _ => subset_iUnion _ i
state_before: α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
hp : m (t ∩ ⋃ i, s i) ≤ ⨆ n, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)
n : ℕ
⊢ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i ⊆ ⋃ i, s i
state_after: no goals

tactic: convert m.iUnion fun i => t ∩ s i using 1
state_before: α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
⊢ m (t ∩ ⋃ i, s i) ≤ ⨆ n, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i)
state_after: case h.e'_3
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
⊢ m (t ∩ ⋃ i, s i) = m (⋃ i, t ∩ s i)

case h.e'_4
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
⊢ ⨆ n, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i) = ∑' (i : ℕ), m (t ∩ s i)

tactic: simp [inter_iUnion]
state_before: case h.e'_3
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
⊢ m (t ∩ ⋃ i, s i) = m (⋃ i, t ∩ s i)
state_after: no goals

tactic: simp [ENNReal.tsum_eq_iSup_nat, isCaratheodory_sum m h hd]
state_before: case h.e'_4
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), m.IsCaratheodory (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
t : Set α
⊢ ⨆ n, m (t ∩ ⋃ i, ⋃ (_ : i < n), s i) = ∑' (i : ℕ), m (t ∩ s i)
state_after: no goals