Theorem: IsOpen.lowerSemicontinuous_indicator
File: Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean

tactic: intro x z hz
state_before: α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
f g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
inst✝ : Zero β
hs : IsOpen s
hy : 0 ≤ y
⊢ LowerSemicontinuous (s.indicator fun _x => y)
state_after: α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
f g : α → β
x✝ : α
s t : Set α
y z✝ : β
inst✝ : Zero β
hs : IsOpen s
hy : 0 ≤ y
x : α
z : β
hz : z < s.indicator (fun _x => y) x
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝 x, z < s.indicator (fun _x => y) x'

tactic: by_cases h : x ∈ s <;> simp [h] at hz
state_before: α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
f g : α → β
x✝ : α
s t : Set α
y z✝ : β
inst✝ : Zero β
hs : IsOpen s
hy : 0 ≤ y
x : α
z : β
hz : z < s.indicator (fun _x => y) x
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝 x, z < s.indicator (fun _x => y) x'
state_after: case pos
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
f g : α → β
x✝ : α
s t : Set α
y z✝ : β
inst✝ : Zero β
hs : IsOpen s
hy : 0 ≤ y
x : α
z : β
h : x ∈ s
hz : z < y
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝 x, z < s.indicator (fun _x => y) x'

case neg
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
f g : α → β
x✝ : α
s t : Set α
y z✝ : β
inst✝ : Zero β
hs : IsOpen s
hy : 0 ≤ y
x : α
z : β
h : x ∉ s
hz : z < 0
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝 x, z < s.indicator (fun _x => y) x'

tactic: filter_upwards [hs.mem_nhds h]
state_before: case pos
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
f g : α → β
x✝ : α
s t : Set α
y z✝ : β
inst✝ : Zero β
hs : IsOpen s
hy : 0 ≤ y
x : α
z : β
h : x ∈ s
hz : z < y
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝 x, z < s.indicator (fun _x => y) x'
state_after: case h
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
f g : α → β
x✝ : α
s t : Set α
y z✝ : β
inst✝ : Zero β
hs : IsOpen s
hy : 0 ≤ y
x : α
z : β
h : x ∈ s
hz : z < y
⊢ ∀ a ∈ s, z < s.indicator (fun _x => y) a

tactic: simp (config := { contextual := true }) [hz]
state_before: case h
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
f g : α → β
x✝ : α
s t : Set α
y z✝ : β
inst✝ : Zero β
hs : IsOpen s
hy : 0 ≤ y
x : α
z : β
h : x ∈ s
hz : z < y
⊢ ∀ a ∈ s, z < s.indicator (fun _x => y) a
state_after: no goals

tactic: refine Filter.eventually_of_forall fun x' => ?_
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
f g : α → β
x✝ : α
s t : Set α
y z✝ : β
inst✝ : Zero β
hs : IsOpen s
hy : 0 ≤ y
x : α
z : β
h : x ∉ s
hz : z < 0
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝 x, z < s.indicator (fun _x => y) x'
state_after: case neg
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
f g : α → β
x✝ : α
s t : Set α
y z✝ : β
inst✝ : Zero β
hs : IsOpen s
hy : 0 ≤ y
x : α
z : β
h : x ∉ s
hz : z < 0
x' : α
⊢ z < s.indicator (fun _x => y) x'

tactic: by_cases h' : x' ∈ s <;> simp [h', hz.trans_le hy, hz]
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
f g : α → β
x✝ : α
s t : Set α
y z✝ : β
inst✝ : Zero β
hs : IsOpen s
hy : 0 ≤ y
x : α
z : β
h : x ∉ s
hz : z < 0
x' : α
⊢ z < s.indicator (fun _x => y) x'
state_after: no goals