Theorem: Ideal.to_quotient_square_range
File: Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean

tactic: trans LinearMap.range (I.cotangentToQuotientSquare.comp I.toCotangent)
state_before: R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
⊢ LinearMap.range I.cotangentToQuotientSquare = Submodule.restrictScalars R I.cotangentIdeal
state_after: R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
⊢ LinearMap.range I.cotangentToQuotientSquare = LinearMap.range (I.cotangentToQuotientSquare ∘ₗ I.toCotangent)

R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
⊢ LinearMap.range (I.cotangentToQuotientSquare ∘ₗ I.toCotangent) = Submodule.restrictScalars R I.cotangentIdeal

tactic: rw [LinearMap.range_comp, I.toCotangent_range, Submodule.map_top]
state_before: R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
⊢ LinearMap.range I.cotangentToQuotientSquare = LinearMap.range (I.cotangentToQuotientSquare ∘ₗ I.toCotangent)
state_after: no goals

tactic: rw [to_quotient_square_comp_toCotangent, LinearMap.range_comp, I.range_subtype]
state_before: R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
⊢ LinearMap.range (I.cotangentToQuotientSquare ∘ₗ I.toCotangent) = Submodule.restrictScalars R I.cotangentIdeal
state_after: R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
⊢ Submodule.map (Submodule.mkQ (I ^ 2)) I = Submodule.restrictScalars R I.cotangentIdeal

tactic: ext
state_before: R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
⊢ Submodule.map (Submodule.mkQ (I ^ 2)) I = Submodule.restrictScalars R I.cotangentIdeal
state_after: case h
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
x✝ : R ⧸ I ^ 2
⊢ x✝ ∈ Submodule.map (Submodule.mkQ (I ^ 2)) I ↔ x✝ ∈ Submodule.restrictScalars R I.cotangentIdeal

tactic: rfl
state_before: case h
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
x✝ : R ⧸ I ^ 2
⊢ x✝ ∈ Submodule.map (Submodule.mkQ (I ^ 2)) I ↔ x✝ ∈ Submodule.restrictScalars R I.cotangentIdeal
state_after: no goals