Theorem: ProbabilityTheory.mgf_pos'
File: Mathlib/Probability/Moments.lean

tactic: simp_rw [mgf]
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ 0 < mgf X μ t
state_after: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ 0 < ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ

tactic: have : ∫ x : Ω, exp (t * X x) ∂μ = ∫ x : Ω in Set.univ, exp (t * X x) ∂μ := by
  simp only [Measure.restrict_univ]
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ 0 < ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ
state_after: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
⊢ 0 < ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ

tactic: rw [this, setIntegral_pos_iff_support_of_nonneg_ae _ _]
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
⊢ 0 < ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ
state_after: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
⊢ 0 < μ ((Function.support fun x => rexp (t * X x)) ∩ Set.univ)

Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict Set.univ)] fun x => rexp (t * X x)

Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
⊢ IntegrableOn (fun x => rexp (t * X x)) Set.univ μ

tactic: simp only [Measure.restrict_univ]
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
⊢ ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
state_after: no goals

tactic: have h_eq_univ : (Function.support fun x : Ω => exp (t * X x)) = Set.univ := by
  ext1 x
  simp only [Function.mem_support, Set.mem_univ, iff_true_iff]
  exact (exp_pos _).ne'
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
⊢ 0 < μ ((Function.support fun x => rexp (t * X x)) ∩ Set.univ)
state_after: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
h_eq_univ : (Function.support fun x => rexp (t * X x)) = Set.univ
⊢ 0 < μ ((Function.support fun x => rexp (t * X x)) ∩ Set.univ)

tactic: rw [h_eq_univ, Set.inter_univ _]
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
h_eq_univ : (Function.support fun x => rexp (t * X x)) = Set.univ
⊢ 0 < μ ((Function.support fun x => rexp (t * X x)) ∩ Set.univ)
state_after: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
h_eq_univ : (Function.support fun x => rexp (t * X x)) = Set.univ
⊢ 0 < μ Set.univ

tactic: refine Ne.bot_lt ?_
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
h_eq_univ : (Function.support fun x => rexp (t * X x)) = Set.univ
⊢ 0 < μ Set.univ
state_after: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
h_eq_univ : (Function.support fun x => rexp (t * X x)) = Set.univ
⊢ μ Set.univ ≠ ⊥

tactic: simp only [hμ, ENNReal.bot_eq_zero, Ne, Measure.measure_univ_eq_zero, not_false_iff]
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
h_eq_univ : (Function.support fun x => rexp (t * X x)) = Set.univ
⊢ μ Set.univ ≠ ⊥
state_after: no goals

tactic: ext1 x
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
⊢ (Function.support fun x => rexp (t * X x)) = Set.univ
state_after: case h
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
x : Ω
⊢ (x ∈ Function.support fun x => rexp (t * X x)) ↔ x ∈ Set.univ

tactic: simp only [Function.mem_support, Set.mem_univ, iff_true_iff]
state_before: case h
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
x : Ω
⊢ (x ∈ Function.support fun x => rexp (t * X x)) ↔ x ∈ Set.univ
state_after: case h
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
x : Ω
⊢ rexp (t * X x) ≠ 0

tactic: exact (exp_pos _).ne'
state_before: case h
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
x : Ω
⊢ rexp (t * X x) ≠ 0
state_after: no goals

tactic: filter_upwards with x
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict Set.univ)] fun x => rexp (t * X x)
state_after: case h
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
x : Ω
⊢ 0 x ≤ rexp (t * X x)

tactic: rw [Pi.zero_apply]
state_before: case h
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
x : Ω
⊢ 0 x ≤ rexp (t * X x)
state_after: case h
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
x : Ω
⊢ 0 ≤ rexp (t * X x)

tactic: exact (exp_pos _).le
state_before: case h
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
x : Ω
⊢ 0 ≤ rexp (t * X x)
state_after: no goals

tactic: rwa [integrableOn_univ]
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
⊢ IntegrableOn (fun x => rexp (t * X x)) Set.univ μ
state_after: no goals