Theorem: IsPrimitiveRoot.isPrimitiveRoot_iff
File: Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean

tactic: constructor
state_before: M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
ζ ξ : R
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
⊢ IsPrimitiveRoot ξ k ↔ ∃ i < k, i.Coprime k ∧ ζ ^ i = ξ
state_after: case mp
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
ζ ξ : R
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
⊢ IsPrimitiveRoot ξ k → ∃ i < k, i.Coprime k ∧ ζ ^ i = ξ

case mpr
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
ζ ξ : R
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
⊢ (∃ i < k, i.Coprime k ∧ ζ ^ i = ξ) → IsPrimitiveRoot ξ k

tactic: intro hξ
state_before: case mp
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
ζ ξ : R
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
⊢ IsPrimitiveRoot ξ k → ∃ i < k, i.Coprime k ∧ ζ ^ i = ξ
state_after: case mp
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
ζ ξ : R
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
hξ : IsPrimitiveRoot ξ k
⊢ ∃ i < k, i.Coprime k ∧ ζ ^ i = ξ

tactic: obtain ⟨i, hik, rfl⟩ := h.eq_pow_of_pow_eq_one hξ.pow_eq_one h0
state_before: case mp
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
ζ ξ : R
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
hξ : IsPrimitiveRoot ξ k
⊢ ∃ i < k, i.Coprime k ∧ ζ ^ i = ξ
state_after: case mp.intro.intro
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
ζ : R
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i : ℕ
hik : i < k
hξ : IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k
⊢ ∃ i_1 < k, i_1.Coprime k ∧ ζ ^ i_1 = ζ ^ i

tactic: rw [h.pow_iff_coprime h0] at hξ
state_before: case mp.intro.intro
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
ζ : R
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i : ℕ
hik : i < k
hξ : IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k
⊢ ∃ i_1 < k, i_1.Coprime k ∧ ζ ^ i_1 = ζ ^ i
state_after: case mp.intro.intro
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
ζ : R
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i : ℕ
hik : i < k
hξ : i.Coprime k
⊢ ∃ i_1 < k, i_1.Coprime k ∧ ζ ^ i_1 = ζ ^ i

tactic: exact ⟨i, hik, hξ, rfl⟩
state_before: case mp.intro.intro
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
ζ : R
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i : ℕ
hik : i < k
hξ : i.Coprime k
⊢ ∃ i_1 < k, i_1.Coprime k ∧ ζ ^ i_1 = ζ ^ i
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨i, -, hi, rfl⟩
state_before: case mpr
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
ζ ξ : R
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
⊢ (∃ i < k, i.Coprime k ∧ ζ ^ i = ξ) → IsPrimitiveRoot ξ k
state_after: case mpr.intro.intro.intro
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
ζ : R
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i : ℕ
hi : i.Coprime k
⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k

tactic: exact h.pow_of_coprime i hi
state_before: case mpr.intro.intro.intro
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
ζ : R
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i : ℕ
hi : i.Coprime k
⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k
state_after: no goals