Theorem: Set.MapsTo.restrict_surjective_iff
File: Mathlib/Data/Set/Function.lean

tactic: refine ⟨fun h' b hb ↦ ?_, fun h' ⟨b, hb⟩ ↦ ?_⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : MapsTo f s t
⊢ Surjective (restrict f s t h) ↔ SurjOn f s t
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b✝ : β
h : MapsTo f s t
h' : Surjective (restrict f s t h)
b : β
hb : b ∈ t
⊢ b ∈ f '' s

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b✝ : β
h : MapsTo f s t
h' : SurjOn f s t
x✝ : ↑t
b : β
hb : b ∈ t
⊢ ∃ a, restrict f s t h a = ⟨b, hb⟩

tactic: obtain ⟨⟨a, ha⟩, ha'⟩ := h' ⟨b, hb⟩
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b✝ : β
h : MapsTo f s t
h' : Surjective (restrict f s t h)
b : β
hb : b ∈ t
⊢ b ∈ f '' s
state_after: case refine_1.intro.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b✝ : β
h : MapsTo f s t
h' : Surjective (restrict f s t h)
b : β
hb : b ∈ t
a : α
ha : a ∈ s
ha' : restrict f s t h ⟨a, ha⟩ = ⟨b, hb⟩
⊢ b ∈ f '' s

tactic: replace ha' : f a = b := by simpa [Subtype.ext_iff] using ha'
state_before: case refine_1.intro.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b✝ : β
h : MapsTo f s t
h' : Surjective (restrict f s t h)
b : β
hb : b ∈ t
a : α
ha : a ∈ s
ha' : restrict f s t h ⟨a, ha⟩ = ⟨b, hb⟩
⊢ b ∈ f '' s
state_after: case refine_1.intro.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b✝ : β
h : MapsTo f s t
h' : Surjective (restrict f s t h)
b : β
hb : b ∈ t
a : α
ha : a ∈ s
ha' : f a = b
⊢ b ∈ f '' s

tactic: rw [← ha']
state_before: case refine_1.intro.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b✝ : β
h : MapsTo f s t
h' : Surjective (restrict f s t h)
b : β
hb : b ∈ t
a : α
ha : a ∈ s
ha' : f a = b
⊢ b ∈ f '' s
state_after: case refine_1.intro.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b✝ : β
h : MapsTo f s t
h' : Surjective (restrict f s t h)
b : β
hb : b ∈ t
a : α
ha : a ∈ s
ha' : f a = b
⊢ f a ∈ f '' s

tactic: exact mem_image_of_mem f ha
state_before: case refine_1.intro.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b✝ : β
h : MapsTo f s t
h' : Surjective (restrict f s t h)
b : β
hb : b ∈ t
a : α
ha : a ∈ s
ha' : f a = b
⊢ f a ∈ f '' s
state_after: no goals

tactic: simpa [Subtype.ext_iff] using ha'
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b✝ : β
h : MapsTo f s t
h' : Surjective (restrict f s t h)
b : β
hb : b ∈ t
a : α
ha : a ∈ s
ha' : restrict f s t h ⟨a, ha⟩ = ⟨b, hb⟩
⊢ f a = b
state_after: no goals

tactic: obtain ⟨a, ha, rfl⟩ := h' hb
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b✝ : β
h : MapsTo f s t
h' : SurjOn f s t
x✝ : ↑t
b : β
hb : b ∈ t
⊢ ∃ a, restrict f s t h a = ⟨b, hb⟩
state_after: case refine_2.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b : β
h : MapsTo f s t
h' : SurjOn f s t
x✝ : ↑t
a : α
ha : a ∈ s
hb : f a ∈ t
⊢ ∃ a_1, restrict f s t h a_1 = ⟨f a, hb⟩

tactic: exact ⟨⟨a, ha⟩, rfl⟩
state_before: case refine_2.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b : β
h : MapsTo f s t
h' : SurjOn f s t
x✝ : ↑t
a : α
ha : a ∈ s
hb : f a ∈ t
⊢ ∃ a_1, restrict f s t h a_1 = ⟨f a, hb⟩
state_after: no goals