Theorem: MeasureTheory.integral_indicator
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean

tactic: by_cases hfi : IntegrableOn f s μ
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : X), s.indicator f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
state_after: case pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hs : MeasurableSet s
hfi : IntegrableOn f s μ
⊢ ∫ (x : X), s.indicator f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ

case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hs : MeasurableSet s
hfi : ¬IntegrableOn f s μ
⊢ ∫ (x : X), s.indicator f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ

tactic: swap
state_before: case pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hs : MeasurableSet s
hfi : IntegrableOn f s μ
⊢ ∫ (x : X), s.indicator f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ

case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hs : MeasurableSet s
hfi : ¬IntegrableOn f s μ
⊢ ∫ (x : X), s.indicator f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
state_after: case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hs : MeasurableSet s
hfi : ¬IntegrableOn f s μ
⊢ ∫ (x : X), s.indicator f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ

case pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hs : MeasurableSet s
hfi : IntegrableOn f s μ
⊢ ∫ (x : X), s.indicator f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ

tactic: rw [integral_undef hfi, integral_undef]
state_before: case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hs : MeasurableSet s
hfi : ¬IntegrableOn f s μ
⊢ ∫ (x : X), s.indicator f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
state_after: case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hs : MeasurableSet s
hfi : ¬IntegrableOn f s μ
⊢ ¬Integrable (s.indicator f) μ

tactic: rwa [integrable_indicator_iff hs]
state_before: case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hs : MeasurableSet s
hfi : ¬IntegrableOn f s μ
⊢ ¬Integrable (s.indicator f) μ
state_after: no goals

tactic: simp
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hs : MeasurableSet s
hfi : IntegrableOn f s μ
⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ + ∫ (x : X) in sᶜ, 0 ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
state_after: no goals