Theorem: IsLocalization.AtPrime.discreteValuationRing_of_dedekind_domain
File: Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Dvr.lean

tactic: classical
letI : IsNoetherianRing Aₘ :=
  IsLocalization.isNoetherianRing P.primeCompl _ IsDedekindRing.toIsNoetherian
letI : LocalRing Aₘ := IsLocalization.AtPrime.localRing Aₘ P
have hnf := IsLocalization.AtPrime.not_isField A hP Aₘ
exact
  ((DiscreteValuationRing.TFAE Aₘ hnf).out 0 2).mpr
    (IsLocalization.AtPrime.isDedekindDomain A P _)
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
pP : P.IsPrime
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization.AtPrime Aₘ P
⊢ DiscreteValuationRing Aₘ
state_after: no goals

tactic: letI : IsNoetherianRing Aₘ :=
  IsLocalization.isNoetherianRing P.primeCompl _ IsDedekindRing.toIsNoetherian
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
pP : P.IsPrime
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization.AtPrime Aₘ P
⊢ DiscreteValuationRing Aₘ
state_after: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
pP : P.IsPrime
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization.AtPrime Aₘ P
this : IsNoetherianRing Aₘ := isNoetherianRing P.primeCompl Aₘ IsDedekindRing.toIsNoetherian
⊢ DiscreteValuationRing Aₘ

tactic: letI : LocalRing Aₘ := IsLocalization.AtPrime.localRing Aₘ P
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
pP : P.IsPrime
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization.AtPrime Aₘ P
this : IsNoetherianRing Aₘ := isNoetherianRing P.primeCompl Aₘ IsDedekindRing.toIsNoetherian
⊢ DiscreteValuationRing Aₘ
state_after: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
pP : P.IsPrime
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization.AtPrime Aₘ P
this✝ : IsNoetherianRing Aₘ := isNoetherianRing P.primeCompl Aₘ IsDedekindRing.toIsNoetherian
this : LocalRing Aₘ := localRing Aₘ P
⊢ DiscreteValuationRing Aₘ

tactic: have hnf := IsLocalization.AtPrime.not_isField A hP Aₘ
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
pP : P.IsPrime
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization.AtPrime Aₘ P
this✝ : IsNoetherianRing Aₘ := isNoetherianRing P.primeCompl Aₘ IsDedekindRing.toIsNoetherian
this : LocalRing Aₘ := localRing Aₘ P
⊢ DiscreteValuationRing Aₘ
state_after: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
pP : P.IsPrime
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization.AtPrime Aₘ P
this✝ : IsNoetherianRing Aₘ := isNoetherianRing P.primeCompl Aₘ IsDedekindRing.toIsNoetherian
this : LocalRing Aₘ := localRing Aₘ P
hnf : ¬IsField Aₘ
⊢ DiscreteValuationRing Aₘ

tactic: exact
  ((DiscreteValuationRing.TFAE Aₘ hnf).out 0 2).mpr
    (IsLocalization.AtPrime.isDedekindDomain A P _)
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
pP : P.IsPrime
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization.AtPrime Aₘ P
this✝ : IsNoetherianRing Aₘ := isNoetherianRing P.primeCompl Aₘ IsDedekindRing.toIsNoetherian
this : LocalRing Aₘ := localRing Aₘ P
hnf : ¬IsField Aₘ
⊢ DiscreteValuationRing Aₘ
state_after: no goals