Theorem: MeasureTheory.ae_eq_zero_of_forall_setIntegral_isCompact_eq_zero
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean

tactic: apply ae_eq_zero_of_forall_setIntegral_isClosed_eq_zero hf (fun s hs ↦ ?_)
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
⊢ ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0

tactic: let t : ℕ → Set β := fun n ↦ compactCovering β n ∩ s
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
⊢ ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
⊢ ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0

tactic: suffices H : Tendsto (fun n ↦ ∫ x in t n, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ x in s, f x ∂μ)) by
  have A : ∀ n, ∫ x in t n, f x ∂μ = 0 :=
    fun n ↦ h'f _ (IsCompact.inter_right (isCompact_compactCovering β n) hs)
  simp_rw [A, tendsto_const_nhds_iff] at H
  exact H.symm
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
⊢ ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
⊢ Tendsto (fun n => ∫ (x : β) in t n, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : β) in s, f x ∂μ))

tactic: have B : s = ⋃ n, t n := by rw [← Set.iUnion_inter, iUnion_compactCovering, Set.univ_inter]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
⊢ Tendsto (fun n => ∫ (x : β) in t n, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : β) in s, f x ∂μ))
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
B : s = ⋃ n, t n
⊢ Tendsto (fun n => ∫ (x : β) in t n, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : β) in s, f x ∂μ))

tactic: rw [B]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
B : s = ⋃ n, t n
⊢ Tendsto (fun n => ∫ (x : β) in t n, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : β) in s, f x ∂μ))
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
B : s = ⋃ n, t n
⊢ Tendsto (fun n => ∫ (x : β) in t n, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : β) in ⋃ n, t n, f x ∂μ))

tactic: apply tendsto_setIntegral_of_monotone
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
B : s = ⋃ n, t n
⊢ Tendsto (fun n => ∫ (x : β) in t n, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : β) in ⋃ n, t n, f x ∂μ))
state_after: case hsm
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
B : s = ⋃ n, t n
⊢ ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (t i)

case h_mono
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
B : s = ⋃ n, t n
⊢ Monotone t

case hfi
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
B : s = ⋃ n, t n
⊢ IntegrableOn f (⋃ n, t n) μ

tactic: have A : ∀ n, ∫ x in t n, f x ∂μ = 0 :=
  fun n ↦ h'f _ (IsCompact.inter_right (isCompact_compactCovering β n) hs)
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
H : Tendsto (fun n => ∫ (x : β) in t n, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : β) in s, f x ∂μ))
⊢ ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
H : Tendsto (fun n => ∫ (x : β) in t n, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : β) in s, f x ∂μ))
A : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : β) in t n, f x ∂μ = 0
⊢ ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0

tactic: simp_rw [A, tendsto_const_nhds_iff] at H
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
H : Tendsto (fun n => ∫ (x : β) in t n, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : β) in s, f x ∂μ))
A : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : β) in t n, f x ∂μ = 0
⊢ ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
A : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : β) in t n, f x ∂μ = 0
H : 0 = ∫ (x : β) in s, f x ∂μ
⊢ ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0

tactic: exact H.symm
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
A : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : β) in t n, f x ∂μ = 0
H : 0 = ∫ (x : β) in s, f x ∂μ
⊢ ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
state_after: no goals

tactic: rw [← Set.iUnion_inter, iUnion_compactCovering, Set.univ_inter]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
⊢ s = ⋃ n, t n
state_after: no goals

tactic: intros n
state_before: case hsm
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
B : s = ⋃ n, t n
⊢ ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (t i)
state_after: case hsm
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
B : s = ⋃ n, t n
n : ℕ
⊢ MeasurableSet (t n)

tactic: exact ((isCompact_compactCovering β n).inter_right hs).isClosed.measurableSet
state_before: case hsm
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
B : s = ⋃ n, t n
n : ℕ
⊢ MeasurableSet (t n)
state_after: no goals

tactic: intros m n hmn
state_before: case h_mono
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
B : s = ⋃ n, t n
⊢ Monotone t
state_after: case h_mono
α : Type u_1
E : Type u_2
m✝ m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
B : s = ⋃ n, t n
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ t m ≤ t n

tactic: exact Set.inter_subset_inter_left _ (compactCovering_subset β hmn)
state_before: case h_mono
α : Type u_1
E : Type u_2
m✝ m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
B : s = ⋃ n, t n
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ t m ≤ t n
state_after: no goals

tactic: exact hf.integrableOn
state_before: case hfi
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : SigmaCompactSpace β
inst✝ : T2Space β
μ : Measure β
f : β → E
hf : Integrable f μ
h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0
s : Set β
hs : IsClosed s
t : ℕ → Set β := fun n => compactCovering β n ∩ s
B : s = ⋃ n, t n
⊢ IntegrableOn f (⋃ n, t n) μ
state_after: no goals