Theorem: AdjoinRoot.of.injective_of_degree_ne_zero
File: Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean

tactic: rw [injective_iff_map_eq_zero]
state_before: R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
⊢ Function.Injective ⇑(of f)
state_after: R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
⊢ ∀ (a : R), (of f) a = 0 → a = 0

tactic: intro p hp
state_before: R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
⊢ ∀ (a : R), (of f) a = 0 → a = 0
state_after: R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
p : R
hp : (of f) p = 0
⊢ p = 0

tactic: rw [AdjoinRoot.of, RingHom.comp_apply, AdjoinRoot.mk_eq_zero] at hp
state_before: R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
p : R
hp : (of f) p = 0
⊢ p = 0
state_after: R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
p : R
hp : f ∣ C p
⊢ p = 0

tactic: by_cases h : f = 0
state_before: R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
p : R
hp : f ∣ C p
⊢ p = 0
state_after: case pos
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
p : R
hp : f ∣ C p
h : f = 0
⊢ p = 0

case neg
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
p : R
hp : f ∣ C p
h : ¬f = 0
⊢ p = 0

tactic: exact C_eq_zero.mp (eq_zero_of_zero_dvd (by rwa [h] at hp))
state_before: case pos
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
p : R
hp : f ∣ C p
h : f = 0
⊢ p = 0
state_after: no goals

tactic: rwa [h] at hp
state_before: R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
p : R
hp : f ∣ C p
h : f = 0
⊢ 0 ∣ C p
state_after: no goals

tactic: contrapose! hf with h_contra
state_before: case neg
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
p : R
hp : f ∣ C p
h : ¬f = 0
⊢ p = 0
state_after: case neg
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
p : R
hp : f ∣ C p
h : ¬f = 0
h_contra : p ≠ 0
⊢ f.degree = 0

tactic: rw [← degree_C h_contra]
state_before: case neg
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
p : R
hp : f ∣ C p
h : ¬f = 0
h_contra : p ≠ 0
⊢ f.degree = 0
state_after: case neg
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
p : R
hp : f ∣ C p
h : ¬f = 0
h_contra : p ≠ 0
⊢ f.degree = (C p).degree

tactic: apply le_antisymm (degree_le_of_dvd hp (by rwa [Ne, C_eq_zero])) _
state_before: case neg
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
p : R
hp : f ∣ C p
h : ¬f = 0
h_contra : p ≠ 0
⊢ f.degree = (C p).degree
state_after: R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
p : R
hp : f ∣ C p
h : ¬f = 0
h_contra : p ≠ 0
⊢ (C p).degree ≤ f.degree

tactic: rwa [degree_C h_contra, zero_le_degree_iff]
state_before: R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
p : R
hp : f ∣ C p
h : ¬f = 0
h_contra : p ≠ 0
⊢ (C p).degree ≤ f.degree
state_after: no goals

tactic: rwa [Ne, C_eq_zero]
state_before: R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
p : R
hp : f ∣ C p
h : ¬f = 0
h_contra : p ≠ 0
⊢ C p ≠ 0
state_after: no goals