Theorem: LinearMap.BilinForm.ker_restrict_eq_of_codisjoint
File: Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean

tactic: ext ⟨z, hz⟩
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
p q : Submodule R M
hpq : Codisjoint p q
B : BilinForm R M
hB : ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ q, (B x) y = 0
⊢ ker (B.restrict p) = Submodule.comap p.subtype (ker B)
state_after: case h.mk
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
p q : Submodule R M
hpq : Codisjoint p q
B : BilinForm R M
hB : ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ q, (B x) y = 0
z : M
hz : z ∈ p
⊢ ⟨z, hz⟩ ∈ ker (B.restrict p) ↔ ⟨z, hz⟩ ∈ Submodule.comap p.subtype (ker B)

tactic: simp only [LinearMap.mem_ker, Submodule.mem_comap, Submodule.coeSubtype]
state_before: case h.mk
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
p q : Submodule R M
hpq : Codisjoint p q
B : BilinForm R M
hB : ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ q, (B x) y = 0
z : M
hz : z ∈ p
⊢ ⟨z, hz⟩ ∈ ker (B.restrict p) ↔ ⟨z, hz⟩ ∈ Submodule.comap p.subtype (ker B)
state_after: case h.mk
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
p q : Submodule R M
hpq : Codisjoint p q
B : BilinForm R M
hB : ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ q, (B x) y = 0
z : M
hz : z ∈ p
⊢ (B.restrict p) ⟨z, hz⟩ = 0 ↔ B z = 0

tactic: refine ⟨fun h ↦ ?_, fun h ↦ ?_⟩
state_before: case h.mk
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
p q : Submodule R M
hpq : Codisjoint p q
B : BilinForm R M
hB : ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ q, (B x) y = 0
z : M
hz : z ∈ p
⊢ (B.restrict p) ⟨z, hz⟩ = 0 ↔ B z = 0
state_after: case h.mk.refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
p q : Submodule R M
hpq : Codisjoint p q
B : BilinForm R M
hB : ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ q, (B x) y = 0
z : M
hz : z ∈ p
h : (B.restrict p) ⟨z, hz⟩ = 0
⊢ B z = 0

case h.mk.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
p q : Submodule R M
hpq : Codisjoint p q
B : BilinForm R M
hB : ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ q, (B x) y = 0
z : M
hz : z ∈ p
h : B z = 0
⊢ (B.restrict p) ⟨z, hz⟩ = 0

tactic: ext w
state_before: case h.mk.refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
p q : Submodule R M
hpq : Codisjoint p q
B : BilinForm R M
hB : ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ q, (B x) y = 0
z : M
hz : z ∈ p
h : (B.restrict p) ⟨z, hz⟩ = 0
⊢ B z = 0
state_after: case h.mk.refine_1.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
p q : Submodule R M
hpq : Codisjoint p q
B : BilinForm R M
hB : ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ q, (B x) y = 0
z : M
hz : z ∈ p
h : (B.restrict p) ⟨z, hz⟩ = 0
w : M
⊢ (B z) w = 0 w

tactic: obtain ⟨x, hx, y, hy, rfl⟩ := Submodule.exists_add_eq_of_codisjoint hpq w
state_before: case h.mk.refine_1.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
p q : Submodule R M
hpq : Codisjoint p q
B : BilinForm R M
hB : ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ q, (B x) y = 0
z : M
hz : z ∈ p
h : (B.restrict p) ⟨z, hz⟩ = 0
w : M
⊢ (B z) w = 0 w
state_after: case h.mk.refine_1.h.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
p q : Submodule R M
hpq : Codisjoint p q
B : BilinForm R M
hB : ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ q, (B x) y = 0
z : M
hz : z ∈ p
h : (B.restrict p) ⟨z, hz⟩ = 0
x : M
hx : x ∈ p
y : M
hy : y ∈ q
⊢ (B z) (x + y) = 0 (x + y)

tactic: simpa [hB z hz y hy] using LinearMap.congr_fun h ⟨x, hx⟩
state_before: case h.mk.refine_1.h.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
p q : Submodule R M
hpq : Codisjoint p q
B : BilinForm R M
hB : ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ q, (B x) y = 0
z : M
hz : z ∈ p
h : (B.restrict p) ⟨z, hz⟩ = 0
x : M
hx : x ∈ p
y : M
hy : y ∈ q
⊢ (B z) (x + y) = 0 (x + y)
state_after: no goals

tactic: ext ⟨x, hx⟩
state_before: case h.mk.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
p q : Submodule R M
hpq : Codisjoint p q
B : BilinForm R M
hB : ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ q, (B x) y = 0
z : M
hz : z ∈ p
h : B z = 0
⊢ (B.restrict p) ⟨z, hz⟩ = 0
state_after: case h.mk.refine_2.h.mk
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
p q : Submodule R M
hpq : Codisjoint p q
B : BilinForm R M
hB : ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ q, (B x) y = 0
z : M
hz : z ∈ p
h : B z = 0
x : M
hx : x ∈ p
⊢ ((B.restrict p) ⟨z, hz⟩) ⟨x, hx⟩ = 0 ⟨x, hx⟩

tactic: simpa using LinearMap.congr_fun h x
state_before: case h.mk.refine_2.h.mk
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
p q : Submodule R M
hpq : Codisjoint p q
B : BilinForm R M
hB : ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ q, (B x) y = 0
z : M
hz : z ∈ p
h : B z = 0
x : M
hx : x ∈ p
⊢ ((B.restrict p) ⟨z, hz⟩) ⟨x, hx⟩ = 0 ⟨x, hx⟩
state_after: no goals