Theorem: ONote.split_eq_scale_split'
File: Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean

tactic: injection p
state_before: o' : ONote
m : ℕ
x✝ : NF 0
p : split' 0 = (o', m)
⊢ split 0 = (scale 1 o', m)
state_after: o' : ONote
m : ℕ
x✝ : NF 0
fst_eq✝ : 0 = o'
snd_eq✝ : 0 = m
⊢ split 0 = (scale 1 o', m)

tactic: substs o' m
state_before: o' : ONote
m : ℕ
x✝ : NF 0
fst_eq✝ : 0 = o'
snd_eq✝ : 0 = m
⊢ split 0 = (scale 1 o', m)
state_after: x✝ : NF 0
⊢ split 0 = (scale 1 0, 0)

tactic: rfl
state_before: x✝ : NF 0
⊢ split 0 = (scale 1 0, 0)
state_after: no goals

tactic: by_cases e0 : e = 0 <;> simp [e0, split, split'] at p ⊢
state_before: e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
p : (e.oadd n a).split' = (o', m)
⊢ (e.oadd n a).split = (scale 1 o', m)
state_after: case pos
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : e = 0
p : 0 = o' ∧ ↑n = m
⊢ 0 = scale 1 o' ∧ ↑n = m

case neg
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
p : (e - 1).oadd n a.split'.1 = o' ∧ a.split'.2 = m
⊢ e.oadd n a.split.1 = scale 1 o' ∧ a.split.2 = m

tactic: rcases p with ⟨rfl, rfl⟩
state_before: case pos
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : e = 0
p : 0 = o' ∧ ↑n = m
⊢ 0 = scale 1 o' ∧ ↑n = m
state_after: case pos.intro
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : e = 0
⊢ 0 = scale 1 0 ∧ ↑n = ↑n

tactic: exact ⟨rfl, rfl⟩
state_before: case pos.intro
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : e = 0
⊢ 0 = scale 1 0 ∧ ↑n = ↑n
state_after: no goals

tactic: revert p
state_before: case neg
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
p : (e - 1).oadd n a.split'.1 = o' ∧ a.split'.2 = m
⊢ e.oadd n a.split.1 = scale 1 o' ∧ a.split.2 = m
state_after: case neg
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
⊢ (e - 1).oadd n a.split'.1 = o' ∧ a.split'.2 = m → e.oadd n a.split.1 = scale 1 o' ∧ a.split.2 = m

tactic: cases' h' : split' a with a' m'
state_before: case neg
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
⊢ (e - 1).oadd n a.split'.1 = o' ∧ a.split'.2 = m → e.oadd n a.split.1 = scale 1 o' ∧ a.split.2 = m
state_after: case neg.mk
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
⊢ (e - 1).oadd n (a', m').1 = o' ∧ (a', m').2 = m → e.oadd n a.split.1 = scale 1 o' ∧ a.split.2 = m

tactic: haveI := h.fst
state_before: case neg.mk
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
⊢ (e - 1).oadd n (a', m').1 = o' ∧ (a', m').2 = m → e.oadd n a.split.1 = scale 1 o' ∧ a.split.2 = m
state_after: case neg.mk
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this : e.NF
⊢ (e - 1).oadd n (a', m').1 = o' ∧ (a', m').2 = m → e.oadd n a.split.1 = scale 1 o' ∧ a.split.2 = m

tactic: haveI := h.snd
state_before: case neg.mk
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this : e.NF
⊢ (e - 1).oadd n (a', m').1 = o' ∧ (a', m').2 = m → e.oadd n a.split.1 = scale 1 o' ∧ a.split.2 = m
state_after: case neg.mk
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝ : e.NF
this : a.NF
⊢ (e - 1).oadd n (a', m').1 = o' ∧ (a', m').2 = m → e.oadd n a.split.1 = scale 1 o' ∧ a.split.2 = m

tactic: simp only [split_eq_scale_split' h', and_imp]
state_before: case neg.mk
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝ : e.NF
this : a.NF
⊢ (e - 1).oadd n (a', m').1 = o' ∧ (a', m').2 = m → e.oadd n a.split.1 = scale 1 o' ∧ a.split.2 = m
state_after: case neg.mk
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝ : e.NF
this : a.NF
⊢ (e - 1).oadd n a' = o' → m' = m → e.oadd n (scale 1 a') = scale 1 o' ∧ m' = m

tactic: have : 1 + (e - 1) = e := by
  refine repr_inj.1 ?_
  simp only [repr_add, repr, opow_zero, Nat.succPNat_coe, Nat.cast_one, mul_one, add_zero,
    repr_sub]
  have := mt repr_inj.1 e0
  refine Ordinal.add_sub_cancel_of_le ?_
  have := one_le_iff_ne_zero.2 this
  exact this
state_before: case neg.mk
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝ : e.NF
this : a.NF
⊢ (e - 1).oadd n a' = o' → m' = m → e.oadd n (scale 1 a') = scale 1 o' ∧ m' = m
state_after: case neg.mk
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
this : 1 + (e - 1) = e
⊢ (e - 1).oadd n a' = o' → m' = m → e.oadd n (scale 1 a') = scale 1 o' ∧ m' = m

tactic: intros
state_before: case neg.mk
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
this : 1 + (e - 1) = e
⊢ (e - 1).oadd n a' = o' → m' = m → e.oadd n (scale 1 a') = scale 1 o' ∧ m' = m
state_after: case neg.mk
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
this : 1 + (e - 1) = e
a✝¹ : (e - 1).oadd n a' = o'
a✝ : m' = m
⊢ e.oadd n (scale 1 a') = scale 1 o' ∧ m' = m

tactic: substs o' m
state_before: case neg.mk
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
this : 1 + (e - 1) = e
a✝¹ : (e - 1).oadd n a' = o'
a✝ : m' = m
⊢ e.oadd n (scale 1 a') = scale 1 o' ∧ m' = m
state_after: case neg.mk
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
this : 1 + (e - 1) = e
⊢ e.oadd n (scale 1 a') = scale 1 ((e - 1).oadd n a') ∧ m' = m'

tactic: simp [scale, this]
state_before: case neg.mk
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
this : 1 + (e - 1) = e
⊢ e.oadd n (scale 1 a') = scale 1 ((e - 1).oadd n a') ∧ m' = m'
state_after: no goals

tactic: refine repr_inj.1 ?_
state_before: e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝ : e.NF
this : a.NF
⊢ 1 + (e - 1) = e
state_after: e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝ : e.NF
this : a.NF
⊢ (1 + (e - 1)).repr = e.repr

tactic: simp only [repr_add, repr, opow_zero, Nat.succPNat_coe, Nat.cast_one, mul_one, add_zero,
  repr_sub]
state_before: e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝ : e.NF
this : a.NF
⊢ (1 + (e - 1)).repr = e.repr
state_after: e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝ : e.NF
this : a.NF
⊢ 1 + (e.repr - 1) = e.repr

tactic: have := mt repr_inj.1 e0
state_before: e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝ : e.NF
this : a.NF
⊢ 1 + (e.repr - 1) = e.repr
state_after: e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
this : ¬e.repr = repr 0
⊢ 1 + (e.repr - 1) = e.repr

tactic: refine Ordinal.add_sub_cancel_of_le ?_
state_before: e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
this : ¬e.repr = repr 0
⊢ 1 + (e.repr - 1) = e.repr
state_after: e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
this : ¬e.repr = repr 0
⊢ 1 ≤ e.repr

tactic: have := one_le_iff_ne_zero.2 this
state_before: e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
this : ¬e.repr = repr 0
⊢ 1 ≤ e.repr
state_after: e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝² : e.NF
this✝¹ : a.NF
this✝ : ¬e.repr = repr 0
this : 1 ≤ e.repr
⊢ 1 ≤ e.repr

tactic: exact this
state_before: e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝² : e.NF
this✝¹ : a.NF
this✝ : ¬e.repr = repr 0
this : 1 ≤ e.repr
⊢ 1 ≤ e.repr
state_after: no goals