Theorem: AnalyticAt.eventually_constant_or_nhds_le_map_nhds
File: Mathlib/Analysis/Complex/OpenMapping.lean

tactic: let ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
state_after: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)

tactic: let gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
state_after: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)

tactic: obtain ⟨r, hr, hgr⟩ := isOpen_iff.mp (isOpen_analyticAt ℂ g) z₀ hg
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
state_after: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)

tactic: by_cases h : ∀ z ∈ sphere (0 : E) 1, ∀ᶠ t in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
state_after: case pos
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)

case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ¬∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)

tactic: refine fun z hz t ht => AnalyticAt.comp ?_ ?_
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
⊢ ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
state_after: case refine_1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
t : ℂ
ht : t ∈ ball 0 r
⊢ AnalyticAt ℂ g (ray z t)

case refine_2
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
t : ℂ
ht : t ∈ ball 0 r
⊢ AnalyticAt ℂ (ray z) t

tactic: exact hgr (by simpa [ray, norm_smul, mem_sphere_zero_iff_norm.mp hz] using ht)
state_before: case refine_1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
t : ℂ
ht : t ∈ ball 0 r
⊢ AnalyticAt ℂ g (ray z t)
state_after: no goals

tactic: simpa [ray, norm_smul, mem_sphere_zero_iff_norm.mp hz] using ht
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
t : ℂ
ht : t ∈ ball 0 r
⊢ ray z t ∈ ball z₀ r
state_after: no goals

tactic: exact analyticAt_const.add
  ((ContinuousLinearMap.smulRight (ContinuousLinearMap.id ℂ ℂ) z).analyticAt t)
state_before: case refine_2
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
t : ℂ
ht : t ∈ ball 0 r
⊢ AnalyticAt ℂ (ray z) t
state_after: no goals

tactic: left
state_before: case pos
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
state_after: case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀

tactic: refine eventually_of_mem (ball_mem_nhds z₀ hr) fun z hz => ?_
state_before: case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀
state_after: case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
⊢ g z = g z₀

tactic: refine (eq_or_ne z z₀).casesOn (congr_arg g) fun h' => ?_
state_before: case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
⊢ g z = g z₀
state_after: case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : z ≠ z₀
⊢ g z = g z₀

tactic: replace h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0 := by simpa only [Ne, norm_eq_zero, sub_eq_zero]
state_before: case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : z ≠ z₀
⊢ g z = g z₀
state_after: case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
⊢ g z = g z₀

tactic: let w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
state_before: case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
⊢ g z = g z₀
state_after: case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
⊢ g z = g z₀

tactic: have h3 : ∀ t ∈ ball (0 : ℂ) r, gray w t = g z₀ := by
  have e1 : IsPreconnected (ball (0 : ℂ) r) := (convex_ball 0 r).isPreconnected
  have e2 : w ∈ sphere (0 : E) 1 := by simp [w, norm_smul, inv_mul_cancel h']
  specialize h1 w e2
  apply h1.eqOn_of_preconnected_of_eventuallyEq analyticOn_const e1 (mem_ball_self hr)
  simpa [ray, gray] using h w e2
state_before: case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
⊢ g z = g z₀
state_after: case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
h3 : ∀ t ∈ ball 0 r, gray w t = g z₀
⊢ g z = g z₀

tactic: have h4 : ‖z - z₀‖ < r := by simpa [dist_eq_norm] using mem_ball.mp hz
state_before: case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
h3 : ∀ t ∈ ball 0 r, gray w t = g z₀
⊢ g z = g z₀
state_after: case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
h3 : ∀ t ∈ ball 0 r, gray w t = g z₀
h4 : ‖z - z₀‖ < r
⊢ g z = g z₀

tactic: replace h4 : ↑‖z - z₀‖ ∈ ball (0 : ℂ) r := by
  simpa only [mem_ball_zero_iff, norm_eq_abs, abs_ofReal, abs_norm]
state_before: case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
h3 : ∀ t ∈ ball 0 r, gray w t = g z₀
h4 : ‖z - z₀‖ < r
⊢ g z = g z₀
state_after: case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
h3 : ∀ t ∈ ball 0 r, gray w t = g z₀
h4 : ↑‖z - z₀‖ ∈ ball 0 r
⊢ g z = g z₀

tactic: simpa only [ray, gray, w, smul_smul, mul_inv_cancel h', one_smul, add_sub_cancel,
  Function.comp_apply, coe_smul] using h3 (↑‖z - z₀‖) h4
state_before: case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
h3 : ∀ t ∈ ball 0 r, gray w t = g z₀
h4 : ↑‖z - z₀‖ ∈ ball 0 r
⊢ g z = g z₀
state_after: no goals

tactic: simpa only [Ne, norm_eq_zero, sub_eq_zero]
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : z ≠ z₀
⊢ ‖z - z₀‖ ≠ 0
state_after: no goals

tactic: have e1 : IsPreconnected (ball (0 : ℂ) r) := (convex_ball 0 r).isPreconnected
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
⊢ ∀ t ∈ ball 0 r, gray w t = g z₀
state_after: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
e1 : IsPreconnected (ball 0 r)
⊢ ∀ t ∈ ball 0 r, gray w t = g z₀

tactic: have e2 : w ∈ sphere (0 : E) 1 := by simp [w, norm_smul, inv_mul_cancel h']
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
e1 : IsPreconnected (ball 0 r)
⊢ ∀ t ∈ ball 0 r, gray w t = g z₀
state_after: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
e1 : IsPreconnected (ball 0 r)
e2 : w ∈ sphere 0 1
⊢ ∀ t ∈ ball 0 r, gray w t = g z₀

tactic: specialize h1 w e2
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
e1 : IsPreconnected (ball 0 r)
e2 : w ∈ sphere 0 1
⊢ ∀ t ∈ ball 0 r, gray w t = g z₀
state_after: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
e1 : IsPreconnected (ball 0 r)
e2 : w ∈ sphere 0 1
h1 : AnalyticOn ℂ (gray w) (ball 0 r)
⊢ ∀ t ∈ ball 0 r, gray w t = g z₀

tactic: apply h1.eqOn_of_preconnected_of_eventuallyEq analyticOn_const e1 (mem_ball_self hr)
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
e1 : IsPreconnected (ball 0 r)
e2 : w ∈ sphere 0 1
h1 : AnalyticOn ℂ (gray w) (ball 0 r)
⊢ ∀ t ∈ ball 0 r, gray w t = g z₀
state_after: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
e1 : IsPreconnected (ball 0 r)
e2 : w ∈ sphere 0 1
h1 : AnalyticOn ℂ (gray w) (ball 0 r)
⊢ gray w =ᶠ[𝓝 0] fun x => g z₀

tactic: simpa [ray, gray] using h w e2
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
e1 : IsPreconnected (ball 0 r)
e2 : w ∈ sphere 0 1
h1 : AnalyticOn ℂ (gray w) (ball 0 r)
⊢ gray w =ᶠ[𝓝 0] fun x => g z₀
state_after: no goals

tactic: simp [w, norm_smul, inv_mul_cancel h']
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
e1 : IsPreconnected (ball 0 r)
⊢ w ∈ sphere 0 1
state_after: no goals

tactic: simpa [dist_eq_norm] using mem_ball.mp hz
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
h3 : ∀ t ∈ ball 0 r, gray w t = g z₀
⊢ ‖z - z₀‖ < r
state_after: no goals

tactic: simpa only [mem_ball_zero_iff, norm_eq_abs, abs_ofReal, abs_norm]
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
h3 : ∀ t ∈ ball 0 r, gray w t = g z₀
h4 : ‖z - z₀‖ < r
⊢ ↑‖z - z₀‖ ∈ ball 0 r
state_after: no goals

tactic: right
state_before: case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ¬∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
state_after: case neg.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ¬∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
⊢ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)

tactic: push_neg at h
state_before: case neg.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ¬∀ z ∈ sphere 0 1, ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
⊢ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
state_after: case neg.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∃ z ∈ sphere 0 1, ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
⊢ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)

tactic: obtain ⟨z, hz, hrz⟩ := h
state_before: case neg.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∃ z ∈ sphere 0 1, ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
⊢ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
state_after: case neg.h.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
hrz : ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
⊢ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)

tactic: specialize h1 z hz 0 (mem_ball_self hr)
state_before: case neg.h.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ z ∈ sphere 0 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
hrz : ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
⊢ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
state_after: case neg.h.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
hrz : ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
h1 : AnalyticAt ℂ (gray z) 0
⊢ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)

tactic: have h7 := h1.eventually_constant_or_nhds_le_map_nhds_aux.resolve_left hrz
state_before: case neg.h.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
hrz : ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
h1 : AnalyticAt ℂ (gray z) 0
⊢ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
state_after: case neg.h.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
hrz : ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
h1 : AnalyticAt ℂ (gray z) 0
h7 : 𝓝 (gray z 0) ≤ map (gray z) (𝓝 0)
⊢ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)

tactic: rw [show gray z 0 = g z₀ by simp [gray, ray], ← map_compose] at h7
state_before: case neg.h.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
hrz : ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
h1 : AnalyticAt ℂ (gray z) 0
h7 : 𝓝 (gray z 0) ≤ map (gray z) (𝓝 0)
⊢ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
state_after: case neg.h.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
hrz : ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
h1 : AnalyticAt ℂ (gray z) 0
h7 : 𝓝 (g z₀) ≤ (map g ∘ map (ray z)) (𝓝 0)
⊢ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)

tactic: refine h7.trans (map_mono ?_)
state_before: case neg.h.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
hrz : ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
h1 : AnalyticAt ℂ (gray z) 0
h7 : 𝓝 (g z₀) ≤ (map g ∘ map (ray z)) (𝓝 0)
⊢ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
state_after: case neg.h.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
hrz : ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
h1 : AnalyticAt ℂ (gray z) 0
h7 : 𝓝 (g z₀) ≤ (map g ∘ map (ray z)) (𝓝 0)
⊢ map (ray z) (𝓝 0) ≤ 𝓝 z₀

tactic: have h10 : Continuous fun t : ℂ => z₀ + t • z :=
  continuous_const.add (continuous_id'.smul continuous_const)
state_before: case neg.h.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
hrz : ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
h1 : AnalyticAt ℂ (gray z) 0
h7 : 𝓝 (g z₀) ≤ (map g ∘ map (ray z)) (𝓝 0)
⊢ map (ray z) (𝓝 0) ≤ 𝓝 z₀
state_after: case neg.h.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
hrz : ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
h1 : AnalyticAt ℂ (gray z) 0
h7 : 𝓝 (g z₀) ≤ (map g ∘ map (ray z)) (𝓝 0)
h10 : Continuous fun t => z₀ + t • z
⊢ map (ray z) (𝓝 0) ≤ 𝓝 z₀

tactic: simpa using h10.tendsto 0
state_before: case neg.h.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
hrz : ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
h1 : AnalyticAt ℂ (gray z) 0
h7 : 𝓝 (g z₀) ≤ (map g ∘ map (ray z)) (𝓝 0)
h10 : Continuous fun t => z₀ + t • z
⊢ map (ray z) (𝓝 0) ≤ 𝓝 z₀
state_after: no goals

tactic: simp [gray, ray]
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
hrz : ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
h1 : AnalyticAt ℂ (gray z) 0
h7 : 𝓝 (gray z 0) ≤ map (gray z) (𝓝 0)
⊢ gray z 0 = g z₀
state_after: no goals