Theorem: HallMarriageTheorem.hall_hard_inductive_step_B
File: Mathlib/Combinatorics/Hall/Finite.lean

tactic: haveI := Classical.decEq ι
state_before: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n + 1
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
state_after: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n + 1
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x

tactic: rw [Nat.add_one] at hn
state_before: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n + 1
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
state_after: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x

tactic: have card_ι'_le : Fintype.card s ≤ n := by
  apply Nat.le_of_lt_succ
  calc
    Fintype.card s = s.card := Fintype.card_coe _
    _ < Fintype.card ι := (card_lt_iff_ne_univ _).mpr hns
    _ = n.succ := hn
state_before: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
state_after: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x

tactic: let t' : s → Finset α := fun x' => t x'
state_before: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
state_after: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x

tactic: rcases ih t' card_ι'_le (hall_cond_of_restrict ht) with ⟨f', hf', hsf'⟩
state_before: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
state_after: case intro.intro
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x

tactic: set ι'' := (s : Set ι)ᶜ
state_before: case intro.intro
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
state_after: case intro.intro
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x

tactic: let t'' : ι'' → Finset α := fun a'' => t a'' \ s.biUnion t
state_before: case intro.intro
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
state_after: case intro.intro
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x

tactic: have card_ι''_le : Fintype.card ι'' ≤ n := by
  simp_rw [ι'', ← Nat.lt_succ_iff, ← hn, ← Finset.coe_compl, coe_sort_coe]
  rwa [Fintype.card_coe, card_compl_lt_iff_nonempty]
state_before: case intro.intro
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
state_after: case intro.intro
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x

tactic: rcases ih t'' card_ι''_le (hall_cond_of_compl hus ht) with ⟨f'', hf'', hsf''⟩
state_before: case intro.intro
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
state_after: case intro.intro.intro.intro
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x

tactic: have f'_mem_biUnion : ∀ (x') (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t := by
  intro x' hx'
  rw [mem_biUnion]
  exact ⟨x', hx', hsf' _⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
state_after: case intro.intro.intro.intro
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x

tactic: have f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'') (hx'' : ¬x'' ∈ s), ¬f'' ⟨x'', hx''⟩ ∈ s.biUnion t := by
  intro x'' hx''
  have h := hsf'' ⟨x'', hx''⟩
  rw [mem_sdiff] at h
  exact h.2
state_before: case intro.intro.intro.intro
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
state_after: case intro.intro.intro.intro
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x

tactic: have im_disj :
    ∀ (x' x'' : ι) (hx' : x' ∈ s) (hx'' : ¬x'' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ≠ f'' ⟨x'', hx''⟩ := by
  intro x x' hx' hx'' h
  apply f''_not_mem_biUnion x' hx''
  rw [← h]
  apply f'_mem_biUnion x
state_before: case intro.intro.intro.intro
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
state_after: case intro.intro.intro.intro
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
im_disj : ∀ (x' x'' : ι) (hx' : x' ∈ s) (hx'' : x'' ∉ s), f' ⟨x', hx'⟩ ≠ f'' ⟨x'', hx''⟩
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x

tactic: refine ⟨fun x => if h : x ∈ s then f' ⟨x, h⟩ else f'' ⟨x, h⟩, ?_, ?_⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
im_disj : ∀ (x' x'' : ι) (hx' : x' ∈ s) (hx'' : x'' ∉ s), f' ⟨x', hx'⟩ ≠ f'' ⟨x'', hx''⟩
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_1
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
im_disj : ∀ (x' x'' : ι) (hx' : x' ∈ s) (hx'' : x'' ∉ s), f' ⟨x', hx'⟩ ≠ f'' ⟨x'', hx''⟩
⊢ Function.Injective fun x => if h : x ∈ s then f' ⟨x, h⟩ else f'' ⟨x, h⟩

case intro.intro.intro.intro.refine_2
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
im_disj : ∀ (x' x'' : ι) (hx' : x' ∈ s) (hx'' : x'' ∉ s), f' ⟨x', hx'⟩ ≠ f'' ⟨x'', hx''⟩
⊢ ∀ (x : ι), (fun x => if h : x ∈ s then f' ⟨x, h⟩ else f'' ⟨x, h⟩) x ∈ t x

tactic: apply Nat.le_of_lt_succ
state_before: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
⊢ Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
state_after: case a
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
⊢ Fintype.card { x // x ∈ s } < n.succ

tactic: calc
  Fintype.card s = s.card := Fintype.card_coe _
  _ < Fintype.card ι := (card_lt_iff_ne_univ _).mpr hns
  _ = n.succ := hn
state_before: case a
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
⊢ Fintype.card { x // x ∈ s } < n.succ
state_after: no goals

tactic: simp_rw [ι'', ← Nat.lt_succ_iff, ← hn, ← Finset.coe_compl, coe_sort_coe]
state_before: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
⊢ Fintype.card ↑ι'' ≤ n
state_after: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
⊢ Fintype.card { x // x ∈ sᶜ } < Fintype.card ι

tactic: rwa [Fintype.card_coe, card_compl_lt_iff_nonempty]
state_before: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
⊢ Fintype.card { x // x ∈ sᶜ } < Fintype.card ι
state_after: no goals

tactic: intro x' hx'
state_before: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
⊢ ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
state_after: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
x' : ι
hx' : x' ∈ s
⊢ f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t

tactic: rw [mem_biUnion]
state_before: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
x' : ι
hx' : x' ∈ s
⊢ f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
state_after: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
x' : ι
hx' : x' ∈ s
⊢ ∃ a ∈ s, f' ⟨x', hx'⟩ ∈ t a

tactic: exact ⟨x', hx', hsf' _⟩
state_before: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
x' : ι
hx' : x' ∈ s
⊢ ∃ a ∈ s, f' ⟨x', hx'⟩ ∈ t a
state_after: no goals

tactic: intro x'' hx''
state_before: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
⊢ ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
state_after: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
x'' : ι
hx'' : x'' ∉ s
⊢ f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t

tactic: have h := hsf'' ⟨x'', hx''⟩
state_before: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
x'' : ι
hx'' : x'' ∉ s
⊢ f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
state_after: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
x'' : ι
hx'' : x'' ∉ s
h : f'' ⟨x'', hx''⟩ ∈ t'' ⟨x'', hx''⟩
⊢ f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t

tactic: rw [mem_sdiff] at h
state_before: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
x'' : ι
hx'' : x'' ∉ s
h : f'' ⟨x'', hx''⟩ ∈ t'' ⟨x'', hx''⟩
⊢ f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
state_after: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
x'' : ι
hx'' : x'' ∉ s
h : f'' ⟨x'', hx''⟩ ∈ t ↑⟨x'', hx''⟩ ∧ f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
⊢ f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t

tactic: exact h.2
state_before: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
x'' : ι
hx'' : x'' ∉ s
h : f'' ⟨x'', hx''⟩ ∈ t ↑⟨x'', hx''⟩ ∧ f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
⊢ f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
state_after: no goals

tactic: intro x x' hx' hx'' h
state_before: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
⊢ ∀ (x' x'' : ι) (hx' : x' ∈ s) (hx'' : x'' ∉ s), f' ⟨x', hx'⟩ ≠ f'' ⟨x'', hx''⟩
state_after: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
x x' : ι
hx' : x ∈ s
hx'' : x' ∉ s
h : f' ⟨x, hx'⟩ = f'' ⟨x', hx''⟩
⊢ False

tactic: apply f''_not_mem_biUnion x' hx''
state_before: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
x x' : ι
hx' : x ∈ s
hx'' : x' ∉ s
h : f' ⟨x, hx'⟩ = f'' ⟨x', hx''⟩
⊢ False
state_after: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
x x' : ι
hx' : x ∈ s
hx'' : x' ∉ s
h : f' ⟨x, hx'⟩ = f'' ⟨x', hx''⟩
⊢ f'' ⟨x', hx''⟩ ∈ s.biUnion t

tactic: rw [← h]
state_before: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
x x' : ι
hx' : x ∈ s
hx'' : x' ∉ s
h : f' ⟨x, hx'⟩ = f'' ⟨x', hx''⟩
⊢ f'' ⟨x', hx''⟩ ∈ s.biUnion t
state_after: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
x x' : ι
hx' : x ∈ s
hx'' : x' ∉ s
h : f' ⟨x, hx'⟩ = f'' ⟨x', hx''⟩
⊢ f' ⟨x, hx'⟩ ∈ s.biUnion t

tactic: apply f'_mem_biUnion x
state_before: ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
x x' : ι
hx' : x ∈ s
hx'' : x' ∉ s
h : f' ⟨x, hx'⟩ = f'' ⟨x', hx''⟩
⊢ f' ⟨x, hx'⟩ ∈ s.biUnion t
state_after: no goals

tactic: refine hf'.dite _ hf'' (@fun x x' => im_disj x x' _ _)
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_1
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
im_disj : ∀ (x' x'' : ι) (hx' : x' ∈ s) (hx'' : x'' ∉ s), f' ⟨x', hx'⟩ ≠ f'' ⟨x'', hx''⟩
⊢ Function.Injective fun x => if h : x ∈ s then f' ⟨x, h⟩ else f'' ⟨x, h⟩
state_after: no goals

tactic: intro x
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_2
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
im_disj : ∀ (x' x'' : ι) (hx' : x' ∈ s) (hx'' : x'' ∉ s), f' ⟨x', hx'⟩ ≠ f'' ⟨x'', hx''⟩
⊢ ∀ (x : ι), (fun x => if h : x ∈ s then f' ⟨x, h⟩ else f'' ⟨x, h⟩) x ∈ t x
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_2
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
im_disj : ∀ (x' x'' : ι) (hx' : x' ∈ s) (hx'' : x'' ∉ s), f' ⟨x', hx'⟩ ≠ f'' ⟨x'', hx''⟩
x : ι
⊢ (fun x => if h : x ∈ s then f' ⟨x, h⟩ else f'' ⟨x, h⟩) x ∈ t x

tactic: simp only [of_eq_true]
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_2
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
im_disj : ∀ (x' x'' : ι) (hx' : x' ∈ s) (hx'' : x'' ∉ s), f' ⟨x', hx'⟩ ≠ f'' ⟨x'', hx''⟩
x : ι
⊢ (fun x => if h : x ∈ s then f' ⟨x, h⟩ else f'' ⟨x, h⟩) x ∈ t x
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_2
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
im_disj : ∀ (x' x'' : ι) (hx' : x' ∈ s) (hx'' : x'' ∉ s), f' ⟨x', hx'⟩ ≠ f'' ⟨x'', hx''⟩
x : ι
⊢ (if h : x ∈ s then f' ⟨x, h⟩ else f'' ⟨x, h⟩) ∈ t x

tactic: split_ifs with h
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_2
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
im_disj : ∀ (x' x'' : ι) (hx' : x' ∈ s) (hx'' : x'' ∉ s), f' ⟨x', hx'⟩ ≠ f'' ⟨x'', hx''⟩
x : ι
⊢ (if h : x ∈ s then f' ⟨x, h⟩ else f'' ⟨x, h⟩) ∈ t x
state_after: case pos
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
im_disj : ∀ (x' x'' : ι) (hx' : x' ∈ s) (hx'' : x'' ∉ s), f' ⟨x', hx'⟩ ≠ f'' ⟨x'', hx''⟩
x : ι
h : x ∈ s
⊢ f' ⟨x, h⟩ ∈ t x

case neg
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
im_disj : ∀ (x' x'' : ι) (hx' : x' ∈ s) (hx'' : x'' ∉ s), f' ⟨x', hx'⟩ ≠ f'' ⟨x'', hx''⟩
x : ι
h : x ∉ s
⊢ f'' ⟨x, h⟩ ∈ t x

tactic: exact hsf' ⟨x, h⟩
state_before: case pos
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
im_disj : ∀ (x' x'' : ι) (hx' : x' ∈ s) (hx'' : x'' ∉ s), f' ⟨x', hx'⟩ ≠ f'' ⟨x'', hx''⟩
x : ι
h : x ∈ s
⊢ f' ⟨x, h⟩ ∈ t x
state_after: no goals

tactic: exact sdiff_subset (hsf'' ⟨x, h⟩)
state_before: case neg
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
im_disj : ∀ (x' x'' : ι) (hx' : x' ∈ s) (hx'' : x'' ∉ s), f' ⟨x', hx'⟩ ≠ f'' ⟨x'', hx''⟩
x : ι
h : x ∉ s
⊢ f'' ⟨x, h⟩ ∈ t x
state_after: no goals