Theorem: Metric.cthickening_eq_iInter_thickening'
File: Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean

tactic: refine (subset_iInter₂ fun ε hε => ?_).antisymm ?_
state_before: ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
⊢ cthickening δ E = ⋂ ε ∈ s, thickening ε E
state_after: case refine_1
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
ε : ℝ
hε : ε ∈ s
⊢ cthickening δ E ⊆ thickening ε E

case refine_2
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
⊢ ⋂ i ∈ s, thickening i E ⊆ cthickening δ E

tactic: obtain ⟨ε', -, hε'⟩ := hs ε (hsδ hε)
state_before: case refine_1
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
ε : ℝ
hε : ε ∈ s
⊢ cthickening δ E ⊆ thickening ε E
state_after: case refine_1.intro.intro
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
ε : ℝ
hε : ε ∈ s
ε' : ℝ
hε' : ε' ∈ Ioc δ ε
⊢ cthickening δ E ⊆ thickening ε E

tactic: have ss := cthickening_subset_thickening' (lt_of_le_of_lt δ_nn hε'.1) hε'.1 E
state_before: case refine_1.intro.intro
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
ε : ℝ
hε : ε ∈ s
ε' : ℝ
hε' : ε' ∈ Ioc δ ε
⊢ cthickening δ E ⊆ thickening ε E
state_after: case refine_1.intro.intro
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
ε : ℝ
hε : ε ∈ s
ε' : ℝ
hε' : ε' ∈ Ioc δ ε
ss : cthickening δ E ⊆ thickening ε' E
⊢ cthickening δ E ⊆ thickening ε E

tactic: exact ss.trans (thickening_mono hε'.2 E)
state_before: case refine_1.intro.intro
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
ε : ℝ
hε : ε ∈ s
ε' : ℝ
hε' : ε' ∈ Ioc δ ε
ss : cthickening δ E ⊆ thickening ε' E
⊢ cthickening δ E ⊆ thickening ε E
state_after: no goals

tactic: rw [cthickening_eq_iInter_cthickening' s hsδ hs E]
state_before: case refine_2
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
⊢ ⋂ i ∈ s, thickening i E ⊆ cthickening δ E
state_after: case refine_2
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
⊢ ⋂ i ∈ s, thickening i E ⊆ ⋂ ε ∈ s, cthickening ε E

tactic: exact iInter₂_mono fun ε _ => thickening_subset_cthickening ε E
state_before: case refine_2
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
⊢ ⋂ i ∈ s, thickening i E ⊆ ⋂ ε ∈ s, cthickening ε E
state_after: no goals