Theorem: Submodule.exists_isInternal_prime_power_torsion_of_pid
File: Mathlib/Algebra/Module/PID.lean

tactic: refine ⟨_, ?_, _, _, ?_, _, Submodule.isInternal_prime_power_torsion_of_pid hM⟩
state_before: R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
⊢ ∃ ι x x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)), ∃ e, DirectSum.IsInternal fun i => torsionBy R M (p i ^ e i)
state_after: case refine_1
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
⊢ Fintype { x // x ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset }

case refine_2
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
⊢ ∀ (i : { x // x ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset }), Irreducible (IsPrincipal.generator ↑i)

tactic: exact Finset.fintypeCoeSort _
state_before: case refine_1
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
⊢ Fintype { x // x ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset }
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨p, hp⟩
state_before: case refine_2
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
⊢ ∀ (i : { x // x ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset }), Irreducible (IsPrincipal.generator ↑i)
state_after: case refine_2.mk
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
p : Ideal R
hp : p ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset
⊢ Irreducible (IsPrincipal.generator ↑⟨p, hp⟩)

tactic: have hP := prime_of_factor p (Multiset.mem_toFinset.mp hp)
state_before: case refine_2.mk
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
p : Ideal R
hp : p ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset
⊢ Irreducible (IsPrincipal.generator ↑⟨p, hp⟩)
state_after: case refine_2.mk
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
p : Ideal R
hp : p ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset
hP : Prime p
⊢ Irreducible (IsPrincipal.generator ↑⟨p, hp⟩)

tactic: haveI := Ideal.isPrime_of_prime hP
state_before: case refine_2.mk
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
p : Ideal R
hp : p ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset
hP : Prime p
⊢ Irreducible (IsPrincipal.generator ↑⟨p, hp⟩)
state_after: case refine_2.mk
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
p : Ideal R
hp : p ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset
hP : Prime p
this : p.IsPrime
⊢ Irreducible (IsPrincipal.generator ↑⟨p, hp⟩)

tactic: exact (IsPrincipal.prime_generator_of_isPrime p hP.ne_zero).irreducible
state_before: case refine_2.mk
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
p : Ideal R
hp : p ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset
hP : Prime p
this : p.IsPrime
⊢ Irreducible (IsPrincipal.generator ↑⟨p, hp⟩)
state_after: no goals