Theorem: MvPolynomial.finSuccEquiv_rename_finSuccEquiv
File: Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean

tactic: suffices (finSuccEquiv R n).toRingEquiv.toRingHom.comp (rename ((Equiv.optionCongr e).trans
      (_root_.finSuccEquiv n).symm)).toRingHom =
    (Polynomial.mapRingHom (rename e).toRingHom).comp (optionEquivLeft R σ) by
  exact DFunLike.congr_fun this φ
state_before: R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e✝ : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
e : σ ≃ Fin n
φ : MvPolynomial (Option σ) R
⊢ (finSuccEquiv R n) ((rename ⇑(e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv n).symm)) φ) =
    Polynomial.map (rename ⇑e).toRingHom ((optionEquivLeft R σ) φ)
state_after: R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e✝ : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
e : σ ≃ Fin n
φ : MvPolynomial (Option σ) R
⊢ (finSuccEquiv R n).toRingEquiv.toRingHom.comp (rename ⇑(e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv n).symm)).toRingHom =
    (mapRingHom (rename ⇑e).toRingHom).comp ↑(optionEquivLeft R σ)

tactic: apply ringHom_ext
state_before: R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e✝ : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
e : σ ≃ Fin n
φ : MvPolynomial (Option σ) R
⊢ (finSuccEquiv R n).toRingEquiv.toRingHom.comp (rename ⇑(e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv n).symm)).toRingHom =
    (mapRingHom (rename ⇑e).toRingHom).comp ↑(optionEquivLeft R σ)
state_after: case hC
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e✝ : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
e : σ ≃ Fin n
φ : MvPolynomial (Option σ) R
⊢ ∀ (r : R),
    ((finSuccEquiv R n).toRingEquiv.toRingHom.comp
          (rename ⇑(e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv n).symm)).toRingHom)
        (C r) =
      ((mapRingHom (rename ⇑e).toRingHom).comp ↑(optionEquivLeft R σ)) (C r)

case hX
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e✝ : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
e : σ ≃ Fin n
φ : MvPolynomial (Option σ) R
⊢ ∀ (i : Option σ),
    ((finSuccEquiv R n).toRingEquiv.toRingHom.comp
          (rename ⇑(e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv n).symm)).toRingHom)
        (X i) =
      ((mapRingHom (rename ⇑e).toRingHom).comp ↑(optionEquivLeft R σ)) (X i)

tactic: exact DFunLike.congr_fun this φ
state_before: R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e✝ : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
e : σ ≃ Fin n
φ : MvPolynomial (Option σ) R
this :
  (finSuccEquiv R n).toRingEquiv.toRingHom.comp (rename ⇑(e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv n).symm)).toRingHom =
    (mapRingHom (rename ⇑e).toRingHom).comp ↑(optionEquivLeft R σ)
⊢ (finSuccEquiv R n) ((rename ⇑(e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv n).symm)) φ) =
    Polynomial.map (rename ⇑e).toRingHom ((optionEquivLeft R σ) φ)
state_after: no goals

tactic: simp [Polynomial.algebraMap_apply, algebraMap_eq]
state_before: case hC
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e✝ : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
e : σ ≃ Fin n
φ : MvPolynomial (Option σ) R
⊢ ∀ (r : R),
    ((finSuccEquiv R n).toRingEquiv.toRingHom.comp
          (rename ⇑(e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv n).symm)).toRingHom)
        (C r) =
      ((mapRingHom (rename ⇑e).toRingHom).comp ↑(optionEquivLeft R σ)) (C r)
state_after: no goals

tactic: rintro (i|i) <;> simp
state_before: case hX
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e✝ : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
e : σ ≃ Fin n
φ : MvPolynomial (Option σ) R
⊢ ∀ (i : Option σ),
    ((finSuccEquiv R n).toRingEquiv.toRingHom.comp
          (rename ⇑(e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv n).symm)).toRingHom)
        (X i) =
      ((mapRingHom (rename ⇑e).toRingHom).comp ↑(optionEquivLeft R σ)) (X i)
state_after: no goals