Theorem: Metric.uniformity_edist_aux
File: Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean

tactic: simp only [le_antisymm_iff, le_iInf_iff, le_principal_iff]
state_before: α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α✝
α : Type u_3
d : α → α → ℝ≥0
⊢ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε}
state_after: α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α✝
α : Type u_3
d : α → α → ℝ≥0
⊢ (∀ i > 0, {p | ↑(d p.1 p.2) < i} ∈ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε}) ∧
    ∀ i > 0, {p | ↑(d p.1 p.2) < i} ∈ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε}

tactic: refine ⟨fun ε hε => ?_, fun ε hε => ?_⟩
state_before: α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α✝
α : Type u_3
d : α → α → ℝ≥0
⊢ (∀ i > 0, {p | ↑(d p.1 p.2) < i} ∈ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε}) ∧
    ∀ i > 0, {p | ↑(d p.1 p.2) < i} ∈ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε}
state_after: case refine_1
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α✝
α : Type u_3
d : α → α → ℝ≥0
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
⊢ {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} ∈ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε}

case refine_2
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α✝
α : Type u_3
d : α → α → ℝ≥0
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} ∈ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε}

tactic: rcases ENNReal.lt_iff_exists_nnreal_btwn.1 hε with ⟨ε', ε'0, ε'ε⟩
state_before: case refine_1
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α✝
α : Type u_3
d : α → α → ℝ≥0
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
⊢ {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} ∈ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε}
state_after: case refine_1.intro.intro
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α✝
α : Type u_3
d : α → α → ℝ≥0
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
ε' : ℝ≥0
ε'0 : 0 < ↑ε'
ε'ε : ↑ε' < ε
⊢ {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} ∈ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε}

tactic: refine mem_iInf_of_mem (ε' : ℝ) (mem_iInf_of_mem (ENNReal.coe_pos.1 ε'0) ?_)
state_before: case refine_1.intro.intro
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α✝
α : Type u_3
d : α → α → ℝ≥0
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
ε' : ℝ≥0
ε'0 : 0 < ↑ε'
ε'ε : ↑ε' < ε
⊢ {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} ∈ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε}
state_after: case refine_1.intro.intro
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α✝
α : Type u_3
d : α → α → ℝ≥0
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
ε' : ℝ≥0
ε'0 : 0 < ↑ε'
ε'ε : ↑ε' < ε
⊢ {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} ∈ 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ↑ε'}

tactic: exact fun x hx => lt_trans (ENNReal.coe_lt_coe.2 hx) ε'ε
state_before: case refine_1.intro.intro
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α✝
α : Type u_3
d : α → α → ℝ≥0
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
ε' : ℝ≥0
ε'0 : 0 < ↑ε'
ε'ε : ↑ε' < ε
⊢ {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} ∈ 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ↑ε'}
state_after: no goals

tactic: lift ε to ℝ≥0 using le_of_lt hε
state_before: case refine_2
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α✝
α : Type u_3
d : α → α → ℝ≥0
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ {p | ↑(d p.1 p.2) < ε} ∈ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε}
state_after: case refine_2.intro
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α✝
α : Type u_3
d : α → α → ℝ≥0
ε : ℝ≥0
hε : ↑ε > 0
⊢ {p | ↑(d p.1 p.2) < ↑ε} ∈ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε}

tactic: refine mem_iInf_of_mem (ε : ℝ≥0∞) (mem_iInf_of_mem (ENNReal.coe_pos.2 hε) ?_)
state_before: case refine_2.intro
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α✝
α : Type u_3
d : α → α → ℝ≥0
ε : ℝ≥0
hε : ↑ε > 0
⊢ {p | ↑(d p.1 p.2) < ↑ε} ∈ ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ε}
state_after: case refine_2.intro
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α✝
α : Type u_3
d : α → α → ℝ≥0
ε : ℝ≥0
hε : ↑ε > 0
⊢ {p | ↑(d p.1 p.2) < ↑ε} ∈ 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ↑ε}

tactic: exact fun _ => ENNReal.coe_lt_coe.1
state_before: case refine_2.intro
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α✝
α : Type u_3
d : α → α → ℝ≥0
ε : ℝ≥0
hε : ↑ε > 0
⊢ {p | ↑(d p.1 p.2) < ↑ε} ∈ 𝓟 {p | ↑(d p.1 p.2) < ↑ε}
state_after: no goals