Theorem: Polynomial.coeff_det_X_add_C_card
File: Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean

tactic: rw [det_apply, det_apply, finset_sum_coeff]
state_before: n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C).det.coeff (Fintype.card n) = A.det
state_after: n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ ∑ b : Equiv.Perm n, (sign b • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (b i) i).coeff (Fintype.card n) =
    ∑ σ : Equiv.Perm n, sign σ • ∏ i : n, A (σ i) i

tactic: refine Finset.sum_congr rfl ?_
state_before: n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ ∑ b : Equiv.Perm n, (sign b • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (b i) i).coeff (Fintype.card n) =
    ∑ σ : Equiv.Perm n, sign σ • ∏ i : n, A (σ i) i
state_after: n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ ∀ x ∈ Finset.univ,
    (sign x • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (x i) i).coeff (Fintype.card n) = sign x • ∏ i : n, A (x i) i

tactic: simp only [Algebra.id.smul_eq_mul, Finset.mem_univ, RingHom.mapMatrix_apply, forall_true_left,
  map_apply, Pi.smul_apply]
state_before: n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ ∀ x ∈ Finset.univ,
    (sign x • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (x i) i).coeff (Fintype.card n) = sign x • ∏ i : n, A (x i) i
state_after: n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ ∀ (x : Equiv.Perm n),
    (sign x • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (x i) i).coeff (Fintype.card n) = sign x • ∏ i : n, A (x i) i

tactic: intro g
state_before: n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ ∀ (x : Equiv.Perm n),
    (sign x • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (x i) i).coeff (Fintype.card n) = sign x • ∏ i : n, A (x i) i
state_after: n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
⊢ (sign g • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).coeff (Fintype.card n) = sign g • ∏ i : n, A (g i) i

tactic: convert coeff_smul (R := α) (sign g) _ _
state_before: n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
⊢ (sign g • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).coeff (Fintype.card n) = sign g • ∏ i : n, A (g i) i
state_after: case h.e'_3.h.e'_6
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
⊢ ∏ i : n, A (g i) i = (∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).coeff (Fintype.card n)

tactic: rw [← mul_one (Fintype.card n)]
state_before: case h.e'_3.h.e'_6
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
⊢ ∏ i : n, A (g i) i = (∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).coeff (Fintype.card n)
state_after: case h.e'_3.h.e'_6
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
⊢ ∏ i : n, A (g i) i = (∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).coeff (Fintype.card n * 1)

tactic: convert (coeff_prod_of_natDegree_le (R := α) _ _ _ _).symm
state_before: case h.e'_3.h.e'_6
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
⊢ ∏ i : n, A (g i) i = (∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).coeff (Fintype.card n * 1)
state_after: case h.e'_2.a
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
x✝ : n
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ
⊢ A (g x✝) x✝ = ((X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g x✝) x✝).coeff 1

case h.e'_3.h.e'_6.convert_5
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
⊢ ∀ p ∈ Finset.univ, ((X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g p) p).natDegree ≤ 1

tactic: simp [coeff_C]
state_before: case h.e'_2.a
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
x✝ : n
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ
⊢ A (g x✝) x✝ = ((X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g x✝) x✝).coeff 1
state_after: no goals

tactic: rintro p -
state_before: case h.e'_3.h.e'_6.convert_5
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
⊢ ∀ p ∈ Finset.univ, ((X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g p) p).natDegree ≤ 1
state_after: case h.e'_3.h.e'_6.convert_5
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
p : n
⊢ ((X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g p) p).natDegree ≤ 1

tactic: dsimp only [add_apply, smul_apply, map_apply, smul_eq_mul]
state_before: case h.e'_3.h.e'_6.convert_5
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
p : n
⊢ ((X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g p) p).natDegree ≤ 1
state_after: case h.e'_3.h.e'_6.convert_5
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
p : n
⊢ (X * C (A (g p) p) + C (B (g p) p)).natDegree ≤ 1

tactic: compute_degree
state_before: case h.e'_3.h.e'_6.convert_5
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
p : n
⊢ (X * C (A (g p) p) + C (B (g p) p)).natDegree ≤ 1
state_after: no goals