Theorem: Set.OrdConnected.image_hasDerivWithinAt
File: Mathlib/Analysis/Calculus/Darboux.lean

tactic: apply ordConnected_of_Ioo
state_before: a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ (f' '' s).OrdConnected
state_after: case hs
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ ∀ x ∈ f' '' s, ∀ y ∈ f' '' s, x < y → Ioo x y ⊆ f' '' s

tactic: rintro _ ⟨a, ha, rfl⟩ _ ⟨b, hb, rfl⟩ - m ⟨hma, hmb⟩
state_before: case hs
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ ∀ x ∈ f' '' s, ∀ y ∈ f' '' s, x < y → Ioo x y ⊆ f' '' s
state_after: case hs.intro.intro.intro.intro.intro
a✝ b✝ : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : ℝ
ha : a ∈ s
b : ℝ
hb : b ∈ s
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
⊢ m ∈ f' '' s

tactic: rcases le_total a b with hab | hab
state_before: case hs.intro.intro.intro.intro.intro
a✝ b✝ : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : ℝ
ha : a ∈ s
b : ℝ
hb : b ∈ s
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
⊢ m ∈ f' '' s
state_after: case hs.intro.intro.intro.intro.intro.inl
a✝ b✝ : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : ℝ
ha : a ∈ s
b : ℝ
hb : b ∈ s
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab : a ≤ b
⊢ m ∈ f' '' s

case hs.intro.intro.intro.intro.intro.inr
a✝ b✝ : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : ℝ
ha : a ∈ s
b : ℝ
hb : b ∈ s
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab : b ≤ a
⊢ m ∈ f' '' s

tactic: have : Icc a b ⊆ s := hs.out ha hb
state_before: case hs.intro.intro.intro.intro.intro.inl
a✝ b✝ : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : ℝ
ha : a ∈ s
b : ℝ
hb : b ∈ s
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab : a ≤ b
⊢ m ∈ f' '' s
state_after: case hs.intro.intro.intro.intro.intro.inl
a✝ b✝ : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : ℝ
ha : a ∈ s
b : ℝ
hb : b ∈ s
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab : a ≤ b
this : Icc a b ⊆ s
⊢ m ∈ f' '' s

tactic: rcases exists_hasDerivWithinAt_eq_of_gt_of_lt hab (fun x hx => (hf x <| this hx).mono this) hma
    hmb with
  ⟨c, cmem, hc⟩
state_before: case hs.intro.intro.intro.intro.intro.inl
a✝ b✝ : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : ℝ
ha : a ∈ s
b : ℝ
hb : b ∈ s
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab : a ≤ b
this : Icc a b ⊆ s
⊢ m ∈ f' '' s
state_after: case hs.intro.intro.intro.intro.intro.inl.intro.intro
a✝ b✝ : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : ℝ
ha : a ∈ s
b : ℝ
hb : b ∈ s
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab : a ≤ b
this : Icc a b ⊆ s
c : ℝ
cmem : c ∈ Ioo a b
hc : f' c = m
⊢ m ∈ f' '' s

tactic: exact ⟨c, this <| Ioo_subset_Icc_self cmem, hc⟩
state_before: case hs.intro.intro.intro.intro.intro.inl.intro.intro
a✝ b✝ : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : ℝ
ha : a ∈ s
b : ℝ
hb : b ∈ s
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab : a ≤ b
this : Icc a b ⊆ s
c : ℝ
cmem : c ∈ Ioo a b
hc : f' c = m
⊢ m ∈ f' '' s
state_after: no goals

tactic: have : Icc b a ⊆ s := hs.out hb ha
state_before: case hs.intro.intro.intro.intro.intro.inr
a✝ b✝ : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : ℝ
ha : a ∈ s
b : ℝ
hb : b ∈ s
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab : b ≤ a
⊢ m ∈ f' '' s
state_after: case hs.intro.intro.intro.intro.intro.inr
a✝ b✝ : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : ℝ
ha : a ∈ s
b : ℝ
hb : b ∈ s
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab : b ≤ a
this : Icc b a ⊆ s
⊢ m ∈ f' '' s

tactic: rcases exists_hasDerivWithinAt_eq_of_lt_of_gt hab (fun x hx => (hf x <| this hx).mono this) hmb
    hma with
  ⟨c, cmem, hc⟩
state_before: case hs.intro.intro.intro.intro.intro.inr
a✝ b✝ : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : ℝ
ha : a ∈ s
b : ℝ
hb : b ∈ s
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab : b ≤ a
this : Icc b a ⊆ s
⊢ m ∈ f' '' s
state_after: case hs.intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro
a✝ b✝ : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : ℝ
ha : a ∈ s
b : ℝ
hb : b ∈ s
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab : b ≤ a
this : Icc b a ⊆ s
c : ℝ
cmem : c ∈ Ioo b a
hc : f' c = m
⊢ m ∈ f' '' s

tactic: exact ⟨c, this <| Ioo_subset_Icc_self cmem, hc⟩
state_before: case hs.intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro
a✝ b✝ : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : ℝ
ha : a ∈ s
b : ℝ
hb : b ∈ s
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab : b ≤ a
this : Icc b a ⊆ s
c : ℝ
cmem : c ∈ Ioo b a
hc : f' c = m
⊢ m ∈ f' '' s
state_after: no goals