Theorem: MeasureTheory.mul_meas_ge_le_integral_of_nonneg
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean

tactic: cases' eq_top_or_lt_top (μ {x | ε ≤ f x}) with hμ hμ
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hf_int : Integrable f μ
ε : ℝ
⊢ ε * (μ {x | ε ≤ f x}).toReal ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
state_after: case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hf_int : Integrable f μ
ε : ℝ
hμ : μ {x | ε ≤ f x} = ⊤
⊢ ε * (μ {x | ε ≤ f x}).toReal ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ

case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hf_int : Integrable f μ
ε : ℝ
hμ : μ {x | ε ≤ f x} < ⊤
⊢ ε * (μ {x | ε ≤ f x}).toReal ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ

tactic: simpa [hμ] using integral_nonneg_of_ae hf_nonneg
state_before: case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hf_int : Integrable f μ
ε : ℝ
hμ : μ {x | ε ≤ f x} = ⊤
⊢ ε * (μ {x | ε ≤ f x}).toReal ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
state_after: no goals

tactic: have := Fact.mk hμ
state_before: case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hf_int : Integrable f μ
ε : ℝ
hμ : μ {x | ε ≤ f x} < ⊤
⊢ ε * (μ {x | ε ≤ f x}).toReal ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
state_after: case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hf_int : Integrable f μ
ε : ℝ
hμ : μ {x | ε ≤ f x} < ⊤
this : Fact (μ {x | ε ≤ f x} < ⊤)
⊢ ε * (μ {x | ε ≤ f x}).toReal ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ

tactic: calc
  ε * (μ { x | ε ≤ f x }).toReal = ∫ _ in {x | ε ≤ f x}, ε ∂μ := by simp [mul_comm]
  _ ≤ ∫ x in {x | ε ≤ f x}, f x ∂μ :=
    integral_mono_ae (integrable_const _) (hf_int.mono_measure μ.restrict_le_self) <|
      ae_restrict_mem₀ <| hf_int.aemeasurable.nullMeasurable measurableSet_Ici
  _ ≤ _ := integral_mono_measure μ.restrict_le_self hf_nonneg hf_int
state_before: case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hf_int : Integrable f μ
ε : ℝ
hμ : μ {x | ε ≤ f x} < ⊤
this : Fact (μ {x | ε ≤ f x} < ⊤)
⊢ ε * (μ {x | ε ≤ f x}).toReal ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
state_after: no goals

tactic: simp [mul_comm]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hf_int : Integrable f μ
ε : ℝ
hμ : μ {x | ε ≤ f x} < ⊤
this : Fact (μ {x | ε ≤ f x} < ⊤)
⊢ ε * (μ {x | ε ≤ f x}).toReal = ∫ (x : α) in {x | ε ≤ f x}, ε ∂μ
state_after: no goals