Theorem: Matrix.inv_kronecker
File: Mathlib/Data/Matrix/Kronecker.lean

tactic: by_cases hA : IsUnit A.det
state_before: R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹
state_after: case pos
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹

case neg
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : ¬IsUnit A.det
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹

tactic: swap
state_before: case pos
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹

case neg
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : ¬IsUnit A.det
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹
state_after: case neg
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : ¬IsUnit A.det
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹

case pos
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹

tactic: by_cases hB : IsUnit B.det
state_before: case pos
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹
state_after: case pos
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
hB : IsUnit B.det
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹

case neg
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
hB : ¬IsUnit B.det
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹

tactic: swap
state_before: case pos
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
hB : IsUnit B.det
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹

case neg
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
hB : ¬IsUnit B.det
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹
state_after: case neg
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
hB : ¬IsUnit B.det
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹

case pos
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
hB : IsUnit B.det
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹

tactic: cases isEmpty_or_nonempty n
state_before: case neg
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : ¬IsUnit A.det
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹
state_after: case neg.inl
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : ¬IsUnit A.det
h✝ : IsEmpty n
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹

case neg.inr
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : ¬IsUnit A.det
h✝ : Nonempty n
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹

tactic: have hAB : ¬IsUnit (A ⊗ₖ B).det := by
  refine mt (fun hAB => ?_) hA
  rw [det_kronecker] at hAB
  exact (isUnit_pow_iff Fintype.card_ne_zero).mp (isUnit_of_mul_isUnit_left hAB)
state_before: case neg.inr
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : ¬IsUnit A.det
h✝ : Nonempty n
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹
state_after: case neg.inr
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : ¬IsUnit A.det
h✝ : Nonempty n
hAB : ¬IsUnit (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B).det
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹

tactic: rw [nonsing_inv_apply_not_isUnit _ hA, zero_kronecker, nonsing_inv_apply_not_isUnit _ hAB]
state_before: case neg.inr
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : ¬IsUnit A.det
h✝ : Nonempty n
hAB : ¬IsUnit (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B).det
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹
state_after: no goals

tactic: exact Subsingleton.elim _ _
state_before: case neg.inl
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : ¬IsUnit A.det
h✝ : IsEmpty n
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹
state_after: no goals

tactic: refine mt (fun hAB => ?_) hA
state_before: R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : ¬IsUnit A.det
h✝ : Nonempty n
⊢ ¬IsUnit (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B).det
state_after: R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : ¬IsUnit A.det
h✝ : Nonempty n
hAB : IsUnit (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B).det
⊢ IsUnit A.det

tactic: rw [det_kronecker] at hAB
state_before: R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : ¬IsUnit A.det
h✝ : Nonempty n
hAB : IsUnit (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B).det
⊢ IsUnit A.det
state_after: R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : ¬IsUnit A.det
h✝ : Nonempty n
hAB : IsUnit (A.det ^ Fintype.card n * B.det ^ Fintype.card m)
⊢ IsUnit A.det

tactic: exact (isUnit_pow_iff Fintype.card_ne_zero).mp (isUnit_of_mul_isUnit_left hAB)
state_before: R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : ¬IsUnit A.det
h✝ : Nonempty n
hAB : IsUnit (A.det ^ Fintype.card n * B.det ^ Fintype.card m)
⊢ IsUnit A.det
state_after: no goals

tactic: cases isEmpty_or_nonempty m
state_before: case neg
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
hB : ¬IsUnit B.det
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹
state_after: case neg.inl
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
hB : ¬IsUnit B.det
h✝ : IsEmpty m
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹

case neg.inr
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
hB : ¬IsUnit B.det
h✝ : Nonempty m
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹

tactic: have hAB : ¬IsUnit (A ⊗ₖ B).det := by
  refine mt (fun hAB => ?_) hB
  rw [det_kronecker] at hAB
  exact (isUnit_pow_iff Fintype.card_ne_zero).mp (isUnit_of_mul_isUnit_right hAB)
state_before: case neg.inr
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
hB : ¬IsUnit B.det
h✝ : Nonempty m
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹
state_after: case neg.inr
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
hB : ¬IsUnit B.det
h✝ : Nonempty m
hAB : ¬IsUnit (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B).det
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹

tactic: rw [nonsing_inv_apply_not_isUnit _ hB, kronecker_zero, nonsing_inv_apply_not_isUnit _ hAB]
state_before: case neg.inr
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
hB : ¬IsUnit B.det
h✝ : Nonempty m
hAB : ¬IsUnit (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B).det
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹
state_after: no goals

tactic: exact Subsingleton.elim _ _
state_before: case neg.inl
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
hB : ¬IsUnit B.det
h✝ : IsEmpty m
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹
state_after: no goals

tactic: refine mt (fun hAB => ?_) hB
state_before: R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
hB : ¬IsUnit B.det
h✝ : Nonempty m
⊢ ¬IsUnit (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B).det
state_after: R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
hB : ¬IsUnit B.det
h✝ : Nonempty m
hAB : IsUnit (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B).det
⊢ IsUnit B.det

tactic: rw [det_kronecker] at hAB
state_before: R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
hB : ¬IsUnit B.det
h✝ : Nonempty m
hAB : IsUnit (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B).det
⊢ IsUnit B.det
state_after: R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
hB : ¬IsUnit B.det
h✝ : Nonempty m
hAB : IsUnit (A.det ^ Fintype.card n * B.det ^ Fintype.card m)
⊢ IsUnit B.det

tactic: exact (isUnit_pow_iff Fintype.card_ne_zero).mp (isUnit_of_mul_isUnit_right hAB)
state_before: R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
hB : ¬IsUnit B.det
h✝ : Nonempty m
hAB : IsUnit (A.det ^ Fintype.card n * B.det ^ Fintype.card m)
⊢ IsUnit B.det
state_after: no goals

tactic: apply inv_eq_right_inv
state_before: case pos
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
hB : IsUnit B.det
⊢ (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B)⁻¹ = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹
state_after: case pos.h
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
hB : IsUnit B.det
⊢ kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B * kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹ = 1

tactic: rw [← mul_kronecker_mul, ← one_kronecker_one, mul_nonsing_inv _ hA, mul_nonsing_inv _ hB]
state_before: case pos.h
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
hB : IsUnit B.det
⊢ kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B * kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A⁻¹ B⁻¹ = 1
state_after: no goals