Theorem: MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc_congr_left
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean

tactic: simp_rw [setToSimpleFunc]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ setToSimpleFunc T f = setToSimpleFunc T' f
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) x = ∑ x ∈ f.range, (T' (↑f ⁻¹' {x})) x

tactic: refine sum_congr rfl fun x _ => ?_
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
⊢ ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) x = ∑ x ∈ f.range, (T' (↑f ⁻¹' {x})) x
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
x : E
x✝ : x ∈ f.range
⊢ (T (↑f ⁻¹' {x})) x = (T' (↑f ⁻¹' {x})) x

tactic: by_cases hx0 : x = 0
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
x : E
x✝ : x ∈ f.range
⊢ (T (↑f ⁻¹' {x})) x = (T' (↑f ⁻¹' {x})) x
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
x : E
x✝ : x ∈ f.range
hx0 : x = 0
⊢ (T (↑f ⁻¹' {x})) x = (T' (↑f ⁻¹' {x})) x

case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
x : E
x✝ : x ∈ f.range
hx0 : ¬x = 0
⊢ (T (↑f ⁻¹' {x})) x = (T' (↑f ⁻¹' {x})) x

tactic: simp [hx0]
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
x : E
x✝ : x ∈ f.range
hx0 : x = 0
⊢ (T (↑f ⁻¹' {x})) x = (T' (↑f ⁻¹' {x})) x
state_after: no goals

tactic: rw [h (f ⁻¹' {x}) (SimpleFunc.measurableSet_fiber _ _)
    (SimpleFunc.measure_preimage_lt_top_of_integrable _ hf hx0)]
state_before: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
x : E
x✝ : x ∈ f.range
hx0 : ¬x = 0
⊢ (T (↑f ⁻¹' {x})) x = (T' (↑f ⁻¹' {x})) x
state_after: no goals