Theorem: ContinuousLinearEquiv.comp_right_fderivWithin
File: Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean

tactic: by_cases h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s (iso x)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 (⇑iso ⁻¹' s) x
⊢ fderivWithin 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x = (fderivWithin 𝕜 f s (iso x)).comp ↑iso
state_after: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 (⇑iso ⁻¹' s) x
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s (iso x)
⊢ fderivWithin 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x = (fderivWithin 𝕜 f s (iso x)).comp ↑iso

case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 (⇑iso ⁻¹' s) x
h : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s (iso x)
⊢ fderivWithin 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x = (fderivWithin 𝕜 f s (iso x)).comp ↑iso

tactic: exact (iso.comp_right_hasFDerivWithinAt_iff.2 h.hasFDerivWithinAt).fderivWithin hxs
state_before: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 (⇑iso ⁻¹' s) x
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s (iso x)
⊢ fderivWithin 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x = (fderivWithin 𝕜 f s (iso x)).comp ↑iso
state_after: no goals

tactic: have : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ iso) (iso ⁻¹' s) x := by
  intro h'
  exact h (iso.comp_right_differentiableWithinAt_iff.1 h')
state_before: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 (⇑iso ⁻¹' s) x
h : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s (iso x)
⊢ fderivWithin 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x = (fderivWithin 𝕜 f s (iso x)).comp ↑iso
state_after: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 (⇑iso ⁻¹' s) x
h : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s (iso x)
this : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x
⊢ fderivWithin 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x = (fderivWithin 𝕜 f s (iso x)).comp ↑iso

tactic: rw [fderivWithin_zero_of_not_differentiableWithinAt h,
  fderivWithin_zero_of_not_differentiableWithinAt this, ContinuousLinearMap.zero_comp]
state_before: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 (⇑iso ⁻¹' s) x
h : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s (iso x)
this : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x
⊢ fderivWithin 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x = (fderivWithin 𝕜 f s (iso x)).comp ↑iso
state_after: no goals

tactic: intro h'
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 (⇑iso ⁻¹' s) x
h : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s (iso x)
⊢ ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 (⇑iso ⁻¹' s) x
h : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s (iso x)
h' : DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x
⊢ False

tactic: exact h (iso.comp_right_differentiableWithinAt_iff.1 h')
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 (⇑iso ⁻¹' s) x
h : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s (iso x)
h' : DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x
⊢ False
state_after: no goals