Theorem: IsLocalization.coeSubmodule_isPrincipal
File: Mathlib/RingTheory/Localization/Submodule.lean

tactic: constructor <;> rintro ⟨⟨x, hx⟩⟩
state_before: R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
h : M ≤ nonZeroDivisors R
⊢ (coeSubmodule S I).IsPrincipal ↔ Submodule.IsPrincipal I
state_after: case mp.mk.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
h : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : coeSubmodule S I = Submodule.span R {x}
⊢ Submodule.IsPrincipal I

case mpr.mk.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
h : M ≤ nonZeroDivisors R
x : R
hx : I = Submodule.span R {x}
⊢ (coeSubmodule S I).IsPrincipal

tactic: have x_mem : x ∈ coeSubmodule S I := hx.symm ▸ Submodule.mem_span_singleton_self x
state_before: case mp.mk.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
h : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : coeSubmodule S I = Submodule.span R {x}
⊢ Submodule.IsPrincipal I
state_after: case mp.mk.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
h : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : coeSubmodule S I = Submodule.span R {x}
x_mem : x ∈ coeSubmodule S I
⊢ Submodule.IsPrincipal I

tactic: obtain ⟨x, _, rfl⟩ := (mem_coeSubmodule _ _).mp x_mem
state_before: case mp.mk.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
h : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : coeSubmodule S I = Submodule.span R {x}
x_mem : x ∈ coeSubmodule S I
⊢ Submodule.IsPrincipal I
state_after: case mp.mk.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
h : M ≤ nonZeroDivisors R
x : R
left✝ : x ∈ I
hx : coeSubmodule S I = Submodule.span R {(algebraMap R S) x}
x_mem : (algebraMap R S) x ∈ coeSubmodule S I
⊢ Submodule.IsPrincipal I

tactic: refine ⟨⟨x, coeSubmodule_injective S h ?_⟩⟩
state_before: case mp.mk.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
h : M ≤ nonZeroDivisors R
x : R
left✝ : x ∈ I
hx : coeSubmodule S I = Submodule.span R {(algebraMap R S) x}
x_mem : (algebraMap R S) x ∈ coeSubmodule S I
⊢ Submodule.IsPrincipal I
state_after: case mp.mk.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
h : M ≤ nonZeroDivisors R
x : R
left✝ : x ∈ I
hx : coeSubmodule S I = Submodule.span R {(algebraMap R S) x}
x_mem : (algebraMap R S) x ∈ coeSubmodule S I
⊢ coeSubmodule S I = coeSubmodule S (Submodule.span R {x})

tactic: rw [Ideal.submodule_span_eq, hx, coeSubmodule_span_singleton]
state_before: case mp.mk.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
h : M ≤ nonZeroDivisors R
x : R
left✝ : x ∈ I
hx : coeSubmodule S I = Submodule.span R {(algebraMap R S) x}
x_mem : (algebraMap R S) x ∈ coeSubmodule S I
⊢ coeSubmodule S I = coeSubmodule S (Submodule.span R {x})
state_after: no goals

tactic: refine ⟨⟨algebraMap R S x, ?_⟩⟩
state_before: case mpr.mk.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
h : M ≤ nonZeroDivisors R
x : R
hx : I = Submodule.span R {x}
⊢ (coeSubmodule S I).IsPrincipal
state_after: case mpr.mk.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
h : M ≤ nonZeroDivisors R
x : R
hx : I = Submodule.span R {x}
⊢ coeSubmodule S I = Submodule.span R {(algebraMap R S) x}

tactic: rw [hx, Ideal.submodule_span_eq, coeSubmodule_span_singleton]
state_before: case mpr.mk.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
h : M ≤ nonZeroDivisors R
x : R
hx : I = Submodule.span R {x}
⊢ coeSubmodule S I = Submodule.span R {(algebraMap R S) x}
state_after: no goals