Theorem: LieModule.traceForm_apply_lie_apply
File: Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean

tactic: calc traceForm R L M ⁅x, y⁆ z
    = trace R _ (φ ⁅x, y⁆ ∘ₗ φ z) := by simp only [traceForm_apply_apply]
  _ = trace R _ ((φ x * φ y - φ y * φ x) * φ z) := ?_
  _ = trace R _ (φ x * (φ y * φ z)) - trace R _ (φ y * (φ x * φ z)) := ?_
  _ = trace R _ (φ x * (φ y * φ z)) - trace R _ (φ x * (φ z * φ y)) := ?_
  _ = traceForm R L M x ⁅y, z⁆ := ?_
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L
⊢ ((traceForm R L M) ⁅x, y⁆) z = ((traceForm R L M) x) ⁅y, z⁆
state_after: case calc_1
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L
⊢ (trace R M) (φ ⁅x, y⁆ ∘ₗ φ z) = (trace R M) ((φ x * φ y - φ y * φ x) * φ z)

case calc_2
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L
⊢ (trace R M) ((φ x * φ y - φ y * φ x) * φ z) = (trace R M) (φ x * (φ y * φ z)) - (trace R M) (φ y * (φ x * φ z))

case calc_3
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L
⊢ (trace R M) (φ x * (φ y * φ z)) - (trace R M) (φ y * (φ x * φ z)) =
    (trace R M) (φ x * (φ y * φ z)) - (trace R M) (φ x * (φ z * φ y))

case calc_4
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L
⊢ (trace R M) (φ x * (φ y * φ z)) - (trace R M) (φ x * (φ z * φ y)) = ((traceForm R L M) x) ⁅y, z⁆

tactic: simp only [traceForm_apply_apply]
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L
⊢ ((traceForm R L M) ⁅x, y⁆) z = (trace R M) (φ ⁅x, y⁆ ∘ₗ φ z)
state_after: no goals

tactic: simp only [LieHom.map_lie, Ring.lie_def, ← LinearMap.mul_eq_comp]
state_before: case calc_1
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L
⊢ (trace R M) (φ ⁅x, y⁆ ∘ₗ φ z) = (trace R M) ((φ x * φ y - φ y * φ x) * φ z)
state_after: no goals

tactic: simp only [sub_mul, mul_sub, map_sub, mul_assoc]
state_before: case calc_2
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L
⊢ (trace R M) ((φ x * φ y - φ y * φ x) * φ z) = (trace R M) (φ x * (φ y * φ z)) - (trace R M) (φ y * (φ x * φ z))
state_after: no goals

tactic: simp only [LinearMap.trace_mul_cycle' R (φ x) (φ z) (φ y)]
state_before: case calc_3
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L
⊢ (trace R M) (φ x * (φ y * φ z)) - (trace R M) (φ y * (φ x * φ z)) =
    (trace R M) (φ x * (φ y * φ z)) - (trace R M) (φ x * (φ z * φ y))
state_after: no goals

tactic: simp only [traceForm_apply_apply, LieHom.map_lie, Ring.lie_def, mul_sub, map_sub,
  ← LinearMap.mul_eq_comp]
state_before: case calc_4
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L
⊢ (trace R M) (φ x * (φ y * φ z)) - (trace R M) (φ x * (φ z * φ y)) = ((traceForm R L M) x) ⁅y, z⁆
state_after: no goals