Theorem: spectrum.exp_mem_exp
File: Mathlib/Analysis/NormedSpace/Spectrum.lean

tactic: have hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z) := by
  rw [algebraMap_exp_comm z, ← exp_add_of_commute (Algebra.commutes z (a - ↑ₐ z)).symm,
    sub_add_cancel]
state_before: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)
state_after: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)

tactic: let b := ∑' n : ℕ, ((n + 1).factorial⁻¹ : 𝕜) • (a - ↑ₐ z) ^ n
state_before: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)
state_after: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)

tactic: have hb : Summable fun n : ℕ => ((n + 1).factorial⁻¹ : 𝕜) • (a - ↑ₐ z) ^ n := by
  refine .of_norm_bounded_eventually _ (Real.summable_pow_div_factorial ‖a - ↑ₐ z‖) ?_
  filter_upwards [Filter.eventually_cofinite_ne 0] with n hn
  rw [norm_smul, mul_comm, norm_inv, RCLike.norm_natCast, ← div_eq_mul_inv]
  exact div_le_div (pow_nonneg (norm_nonneg _) n) (norm_pow_le' (a - ↑ₐ z) (zero_lt_iff.mpr hn))
    (mod_cast Nat.factorial_pos n) (mod_cast Nat.factorial_le (lt_add_one n).le)
state_before: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)
state_after: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)

tactic: have h₀ : (∑' n : ℕ, ((n + 1).factorial⁻¹ : 𝕜) • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1)) = (a - ↑ₐ z) * b := by
  simpa only [mul_smul_comm, pow_succ'] using hb.tsum_mul_left (a - ↑ₐ z)
state_before: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)
state_after: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b
⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)

tactic: have h₁ : (∑' n : ℕ, ((n + 1).factorial⁻¹ : 𝕜) • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1)) = b * (a - ↑ₐ z) := by
  simpa only [pow_succ, Algebra.smul_mul_assoc] using hb.tsum_mul_right (a - ↑ₐ z)
state_before: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b
⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)
state_after: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b
h₁ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = b * (a - ↑ₐ z)
⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)

tactic: rw [spectrum.mem_iff, IsUnit.sub_iff, ← one_mul (↑ₐ (exp 𝕜 z)), hexpmul, ← _root_.sub_mul,
  Commute.isUnit_mul_iff (Algebra.commutes (exp 𝕜 z) (exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) - 1)).symm,
  sub_eq_iff_eq_add'.mpr h₃, Commute.isUnit_mul_iff (h₀ ▸ h₁ : (a - ↑ₐ z) * b = b * (a - ↑ₐ z))]
state_before: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b
h₁ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = b * (a - ↑ₐ z)
h₃ : exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) = 1 + (a - ↑ₐ z) * b
⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)
state_after: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b
h₁ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = b * (a - ↑ₐ z)
h₃ : exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) = 1 + (a - ↑ₐ z) * b
⊢ ¬((IsUnit (a - ↑ₐ z) ∧ IsUnit b) ∧ IsUnit (↑ₐ (exp 𝕜 z)))

tactic: exact not_and_of_not_left _ (not_and_of_not_left _ ((not_iff_not.mpr IsUnit.sub_iff).mp hz))
state_before: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b
h₁ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = b * (a - ↑ₐ z)
h₃ : exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) = 1 + (a - ↑ₐ z) * b
⊢ ¬((IsUnit (a - ↑ₐ z) ∧ IsUnit b) ∧ IsUnit (↑ₐ (exp 𝕜 z)))
state_after: no goals

tactic: rw [algebraMap_exp_comm z, ← exp_add_of_commute (Algebra.commutes z (a - ↑ₐ z)).symm,
  sub_add_cancel]
state_before: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
⊢ exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
state_after: no goals

tactic: refine .of_norm_bounded_eventually _ (Real.summable_pow_div_factorial ‖a - ↑ₐ z‖) ?_
state_before: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
⊢ Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
state_after: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
⊢ ∀ᶠ (i : ℕ) in Filter.cofinite, ‖(↑(i + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ i‖ ≤ ‖a - ↑ₐ z‖ ^ i / ↑i.factorial

tactic: filter_upwards [Filter.eventually_cofinite_ne 0] with n hn
state_before: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
⊢ ∀ᶠ (i : ℕ) in Filter.cofinite, ‖(↑(i + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ i‖ ≤ ‖a - ↑ₐ z‖ ^ i / ↑i.factorial
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ‖(↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n‖ ≤ ‖a - ↑ₐ z‖ ^ n / ↑n.factorial

tactic: rw [norm_smul, mul_comm, norm_inv, RCLike.norm_natCast, ← div_eq_mul_inv]
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ‖(↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n‖ ≤ ‖a - ↑ₐ z‖ ^ n / ↑n.factorial
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ‖(a - ↑ₐ z) ^ n‖ / ↑(n + 1).factorial ≤ ‖a - ↑ₐ z‖ ^ n / ↑n.factorial

tactic: exact div_le_div (pow_nonneg (norm_nonneg _) n) (norm_pow_le' (a - ↑ₐ z) (zero_lt_iff.mpr hn))
  (mod_cast Nat.factorial_pos n) (mod_cast Nat.factorial_le (lt_add_one n).le)
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ‖(a - ↑ₐ z) ^ n‖ / ↑(n + 1).factorial ≤ ‖a - ↑ₐ z‖ ^ n / ↑n.factorial
state_after: no goals

tactic: simpa only [mul_smul_comm, pow_succ'] using hb.tsum_mul_left (a - ↑ₐ z)
state_before: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
⊢ ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b
state_after: no goals

tactic: simpa only [pow_succ, Algebra.smul_mul_assoc] using hb.tsum_mul_right (a - ↑ₐ z)
state_before: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b
⊢ ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = b * (a - ↑ₐ z)
state_after: no goals

tactic: rw [exp_eq_tsum]
state_before: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b
h₁ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = b * (a - ↑ₐ z)
⊢ exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) = 1 + (a - ↑ₐ z) * b
state_after: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b
h₁ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = b * (a - ↑ₐ z)
⊢ (fun x => ∑' (n : ℕ), (↑n.factorial)⁻¹ • x ^ n) (a - ↑ₐ z) = 1 + (a - ↑ₐ z) * b

tactic: convert tsum_eq_zero_add (expSeries_summable' (𝕂 := 𝕜) (a - ↑ₐ z))
state_before: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b
h₁ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = b * (a - ↑ₐ z)
⊢ (fun x => ∑' (n : ℕ), (↑n.factorial)⁻¹ • x ^ n) (a - ↑ₐ z) = 1 + (a - ↑ₐ z) * b
state_after: case h.e'_3.h.e'_5
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b
h₁ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = b * (a - ↑ₐ z)
⊢ 1 = (↑(Nat.factorial 0))⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ 0

case h.e'_3.h.e'_6
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b
h₁ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = b * (a - ↑ₐ z)
⊢ (a - ↑ₐ z) * b = ∑' (b : ℕ), (↑(b + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (b + 1)

tactic: simp only [Nat.factorial_zero, Nat.cast_one, inv_one, pow_zero, one_smul]
state_before: case h.e'_3.h.e'_5
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b
h₁ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = b * (a - ↑ₐ z)
⊢ 1 = (↑(Nat.factorial 0))⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ 0
state_after: no goals

tactic: exact h₀.symm
state_before: case h.e'_3.h.e'_6
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b
h₁ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = b * (a - ↑ₐ z)
⊢ (a - ↑ₐ z) * b = ∑' (b : ℕ), (↑(b + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (b + 1)
state_after: no goals