Theorem: MvPolynomial.map_eval₂
File: Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean

tactic: apply MvPolynomial.induction_on p
state_before: R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₂ → MvPolynomial S₃ R
p : MvPolynomial S₂ R
⊢ (map f) (eval₂ C g p) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) p)
state_after: case h_C
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₂ → MvPolynomial S₃ R
p : MvPolynomial S₂ R
⊢ ∀ (a : R), (map f) (eval₂ C g (C a)) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) (C a))

case h_add
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₂ → MvPolynomial S₃ R
p : MvPolynomial S₂ R
⊢ ∀ (p q : MvPolynomial S₂ R),
    (map f) (eval₂ C g p) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) p) →
      (map f) (eval₂ C g q) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) q) →
        (map f) (eval₂ C g (p + q)) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) (p + q))

case h_X
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₂ → MvPolynomial S₃ R
p : MvPolynomial S₂ R
⊢ ∀ (p : MvPolynomial S₂ R) (n : S₂),
    (map f) (eval₂ C g p) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) p) →
      (map f) (eval₂ C g (p * X n)) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) (p * X n))

tactic: intro r
state_before: case h_C
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₂ → MvPolynomial S₃ R
p : MvPolynomial S₂ R
⊢ ∀ (a : R), (map f) (eval₂ C g (C a)) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) (C a))
state_after: case h_C
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₂ → MvPolynomial S₃ R
p : MvPolynomial S₂ R
r : R
⊢ (map f) (eval₂ C g (C r)) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) (C r))

tactic: rw [eval₂_C, map_C, map_C, eval₂_C]
state_before: case h_C
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₂ → MvPolynomial S₃ R
p : MvPolynomial S₂ R
r : R
⊢ (map f) (eval₂ C g (C r)) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) (C r))
state_after: no goals

tactic: intro p q hp hq
state_before: case h_add
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₂ → MvPolynomial S₃ R
p : MvPolynomial S₂ R
⊢ ∀ (p q : MvPolynomial S₂ R),
    (map f) (eval₂ C g p) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) p) →
      (map f) (eval₂ C g q) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) q) →
        (map f) (eval₂ C g (p + q)) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) (p + q))
state_after: case h_add
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝¹ q✝ : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₂ → MvPolynomial S₃ R
p✝ p q : MvPolynomial S₂ R
hp : (map f) (eval₂ C g p) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) p)
hq : (map f) (eval₂ C g q) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) q)
⊢ (map f) (eval₂ C g (p + q)) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) (p + q))

tactic: rw [eval₂_add, (map f).map_add, hp, hq, (map f).map_add, eval₂_add]
state_before: case h_add
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝¹ q✝ : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₂ → MvPolynomial S₃ R
p✝ p q : MvPolynomial S₂ R
hp : (map f) (eval₂ C g p) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) p)
hq : (map f) (eval₂ C g q) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) q)
⊢ (map f) (eval₂ C g (p + q)) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) (p + q))
state_after: no goals

tactic: intro p s hp
state_before: case h_X
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₂ → MvPolynomial S₃ R
p : MvPolynomial S₂ R
⊢ ∀ (p : MvPolynomial S₂ R) (n : S₂),
    (map f) (eval₂ C g p) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) p) →
      (map f) (eval₂ C g (p * X n)) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) (p * X n))
state_after: case h_X
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝¹ q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₂ → MvPolynomial S₃ R
p✝ p : MvPolynomial S₂ R
s : S₂
hp : (map f) (eval₂ C g p) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) p)
⊢ (map f) (eval₂ C g (p * X s)) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) (p * X s))

tactic: rw [eval₂_mul, (map f).map_mul, hp, (map f).map_mul, map_X, eval₂_mul, eval₂_X, eval₂_X]
state_before: case h_X
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝¹ q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₂ → MvPolynomial S₃ R
p✝ p : MvPolynomial S₂ R
s : S₂
hp : (map f) (eval₂ C g p) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) p)
⊢ (map f) (eval₂ C g (p * X s)) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) (p * X s))
state_after: case h_X
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝¹ q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₂ → MvPolynomial S₃ R
p✝ p : MvPolynomial S₂ R
s : S₂
hp : (map f) (eval₂ C g p) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) p)
⊢ eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) p) * (map f) (g s) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) p) * (⇑(map f) ∘ g) s

tactic: rfl
state_before: case h_X
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝¹ q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₂ → MvPolynomial S₃ R
p✝ p : MvPolynomial S₂ R
s : S₂
hp : (map f) (eval₂ C g p) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) p)
⊢ eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) p) * (map f) (g s) = eval₂ C (⇑(map f) ∘ g) ((map f) p) * (⇑(map f) ∘ g) s
state_after: no goals