Theorem: ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDFAux.setIntegral_iInf_rat_gt
File: Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean

tactic: refine le_antisymm ?_ ?_
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
⊢ ∫ (t : β) in A, ⨅ r, f (a, t) ↑r ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑q)).toReal
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
⊢ ∫ (t : β) in A, ⨅ r, f (a, t) ↑r ∂ν a ≤ ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑q)).toReal

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
⊢ ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑q)).toReal ≤ ∫ (t : β) in A, ⨅ r, f (a, t) ↑r ∂ν a

tactic: calc ∫ t in A, ⨅ r : Ioi q, f (a, t) r ∂(ν a)
  ≤ ⨅ r : Ioi q, (κ a (A ×ˢ Iic (r : ℝ))).toReal := le_ciInf h
_ = (κ a (A ×ˢ Iic (q : ℝ))).toReal := by
    rw [← Measure.iInf_rat_gt_prod_Iic hA q]
    exact (ENNReal.toReal_iInf (fun r ↦ measure_ne_top _ _)).symm
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
h : ∀ (r : ↑(Ioi q)), ∫ (t : β) in A, ⨅ r', f (a, t) ↑r' ∂ν a ≤ ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑↑r)).toReal
⊢ ∫ (t : β) in A, ⨅ r, f (a, t) ↑r ∂ν a ≤ ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑q)).toReal
state_after: no goals

tactic: intro r
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
⊢ ∀ (r : ↑(Ioi q)), ∫ (t : β) in A, ⨅ r', f (a, t) ↑r' ∂ν a ≤ ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑↑r)).toReal
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ↑(Ioi q)
⊢ ∫ (t : β) in A, ⨅ r', f (a, t) ↑r' ∂ν a ≤ ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑↑r)).toReal

tactic: rw [← hf.setIntegral a hA]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ↑(Ioi q)
⊢ ∫ (t : β) in A, ⨅ r', f (a, t) ↑r' ∂ν a ≤ ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑↑r)).toReal
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ↑(Ioi q)
⊢ ∫ (t : β) in A, ⨅ r', f (a, t) ↑r' ∂ν a ≤ ∫ (c : β) in A, f (a, c) ↑r ∂ν a

tactic: refine setIntegral_mono_ae ?_ ?_ ?_
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ↑(Ioi q)
⊢ ∫ (t : β) in A, ⨅ r', f (a, t) ↑r' ∂ν a ≤ ∫ (c : β) in A, f (a, c) ↑r ∂ν a
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ↑(Ioi q)
⊢ IntegrableOn (fun t => ⨅ r', f (a, t) ↑r') A (ν a)

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ↑(Ioi q)
⊢ IntegrableOn (fun c => f (a, c) ↑r) A (ν a)

case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ↑(Ioi q)
⊢ (fun t => ⨅ r', f (a, t) ↑r') ≤ᶠ[ae (ν a)] fun c => f (a, c) ↑r

tactic: exact (hf.integrable_iInf_rat_gt _ _).integrableOn
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ↑(Ioi q)
⊢ IntegrableOn (fun t => ⨅ r', f (a, t) ↑r') A (ν a)
state_after: no goals

tactic: exact (hf.integrable _ _).integrableOn
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ↑(Ioi q)
⊢ IntegrableOn (fun c => f (a, c) ↑r) A (ν a)
state_after: no goals

tactic: filter_upwards [hf.bddBelow_range a] with t ht using ciInf_le (ht _) r
state_before: case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ↑(Ioi q)
⊢ (fun t => ⨅ r', f (a, t) ↑r') ≤ᶠ[ae (ν a)] fun c => f (a, c) ↑r
state_after: no goals

tactic: rw [← Measure.iInf_rat_gt_prod_Iic hA q]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
h : ∀ (r : ↑(Ioi q)), ∫ (t : β) in A, ⨅ r', f (a, t) ↑r' ∂ν a ≤ ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑↑r)).toReal
⊢ ⨅ r, ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑↑r)).toReal = ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑q)).toReal
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
h : ∀ (r : ↑(Ioi q)), ∫ (t : β) in A, ⨅ r', f (a, t) ↑r' ∂ν a ≤ ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑↑r)).toReal
⊢ ⨅ r, ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑↑r)).toReal = (⨅ r, (κ a) (A ×ˢ Iic ↑↑r)).toReal

tactic: exact (ENNReal.toReal_iInf (fun r ↦ measure_ne_top _ _)).symm
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
h : ∀ (r : ↑(Ioi q)), ∫ (t : β) in A, ⨅ r', f (a, t) ↑r' ∂ν a ≤ ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑↑r)).toReal
⊢ ⨅ r, ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑↑r)).toReal = (⨅ r, (κ a) (A ×ˢ Iic ↑↑r)).toReal
state_after: no goals

tactic: rw [← hf.setIntegral a hA]
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
⊢ ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑q)).toReal ≤ ∫ (t : β) in A, ⨅ r, f (a, t) ↑r ∂ν a
state_after: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
⊢ ∫ (c : β) in A, f (a, c) q ∂ν a ≤ ∫ (t : β) in A, ⨅ r, f (a, t) ↑r ∂ν a

tactic: refine setIntegral_mono_ae ?_ ?_ ?_
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
⊢ ∫ (c : β) in A, f (a, c) q ∂ν a ≤ ∫ (t : β) in A, ⨅ r, f (a, t) ↑r ∂ν a
state_after: case refine_2.refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
⊢ IntegrableOn (fun c => f (a, c) q) A (ν a)

case refine_2.refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
⊢ IntegrableOn (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) A (ν a)

case refine_2.refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
⊢ (fun c => f (a, c) q) ≤ᶠ[ae (ν a)] fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r

tactic: exact (hf.integrable _ _).integrableOn
state_before: case refine_2.refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
⊢ IntegrableOn (fun c => f (a, c) q) A (ν a)
state_after: no goals

tactic: exact (hf.integrable_iInf_rat_gt _ _).integrableOn
state_before: case refine_2.refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
⊢ IntegrableOn (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) A (ν a)
state_after: no goals

tactic: filter_upwards [hf.mono a] with c h_mono using le_ciInf (fun r ↦ h_mono (le_of_lt r.prop))
state_before: case refine_2.refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A
⊢ (fun c => f (a, c) q) ≤ᶠ[ae (ν a)] fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r
state_after: no goals