Theorem: CategoryTheory.CompatiblePreserving.apply_map
File: Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverPreserving.lean

tactic: unfold FamilyOfElements.functorPushforward
state_before: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology A
G : C ⥤ D
hG : CompatiblePreserving K G
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
h : x.Compatible
Y : C
f : Y ⟶ Z
hf : T f
⊢ FamilyOfElements.functorPushforward G x (G.map f) ⋯ = x f hf
state_after: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology A
G : C ⥤ D
hG : CompatiblePreserving K G
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
h : x.Compatible
Y : C
f : Y ⟶ Z
hf : T f
⊢ (FunctorPushforwardStructure.casesOn (getFunctorPushforwardStructure ⋯) fun Z_1 g h h₁ fac =>
      ℱ.val.map h.op (x g h₁)) =
    x f hf

tactic: rcases getFunctorPushforwardStructure (image_mem_functorPushforward G T hf) with
  ⟨X, g, f', hg, eq⟩
state_before: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology A
G : C ⥤ D
hG : CompatiblePreserving K G
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
h : x.Compatible
Y : C
f : Y ⟶ Z
hf : T f
⊢ (FunctorPushforwardStructure.casesOn (getFunctorPushforwardStructure ⋯) fun Z_1 g h h₁ fac =>
      ℱ.val.map h.op (x g h₁)) =
    x f hf
state_after: case mk
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology A
G : C ⥤ D
hG : CompatiblePreserving K G
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
h : x.Compatible
Y : C
f : Y ⟶ Z
hf : T f
X : C
g : X ⟶ Z
f' : G.obj Y ⟶ G.obj X
hg : T g
eq : G.map f = f' ≫ G.map g
⊢ (FunctorPushforwardStructure.casesOn { preobj := X, premap := g, lift := f', cover := hg, fac := eq }
      fun Z_1 g h h₁ fac => ℱ.val.map h.op (x g h₁)) =
    x f hf

tactic: simpa using hG.compatible ℱ h f' (𝟙 _) hg hf (by simp [eq])
state_before: case mk
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology A
G : C ⥤ D
hG : CompatiblePreserving K G
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
h : x.Compatible
Y : C
f : Y ⟶ Z
hf : T f
X : C
g : X ⟶ Z
f' : G.obj Y ⟶ G.obj X
hg : T g
eq : G.map f = f' ≫ G.map g
⊢ (FunctorPushforwardStructure.casesOn { preobj := X, premap := g, lift := f', cover := hg, fac := eq }
      fun Z_1 g h h₁ fac => ℱ.val.map h.op (x g h₁)) =
    x f hf
state_after: no goals

tactic: simp [eq]
state_before: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology A
G : C ⥤ D
hG : CompatiblePreserving K G
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
h : x.Compatible
Y : C
f : Y ⟶ Z
hf : T f
X : C
g : X ⟶ Z
f' : G.obj Y ⟶ G.obj X
hg : T g
eq : G.map f = f' ≫ G.map g
⊢ f' ≫ G.map g = 𝟙 (G.obj Y) ≫ G.map f
state_after: no goals