Theorem: reflTransGen_of_succ_of_le
File: Mathlib/Order/SuccPred/Relation.lean

tactic: revert h
state_before: α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
h : ∀ i ∈ Ico n m, r i (succ i)
hnm : n ≤ m
⊢ ReflTransGen r n m
state_after: α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
hnm : n ≤ m
⊢ (∀ i ∈ Ico n m, r i (succ i)) → ReflTransGen r n m

tactic: refine Succ.rec ?_ ?_ hnm
state_before: α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
hnm : n ≤ m
⊢ (∀ i ∈ Ico n m, r i (succ i)) → ReflTransGen r n m
state_after: case refine_1
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
hnm : n ≤ m
⊢ (∀ i ∈ Ico n n, r i (succ i)) → ReflTransGen r n n

case refine_2
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
hnm : n ≤ m
⊢ ∀ (n_1 : α),
    n ≤ n_1 →
      ((∀ i ∈ Ico n n_1, r i (succ i)) → ReflTransGen r n n_1) →
        (∀ i ∈ Ico n (succ n_1), r i (succ i)) → ReflTransGen r n (succ n_1)

tactic: intro _
state_before: case refine_1
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
hnm : n ≤ m
⊢ (∀ i ∈ Ico n n, r i (succ i)) → ReflTransGen r n n
state_after: case refine_1
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
hnm : n ≤ m
h✝ : ∀ i ∈ Ico n n, r i (succ i)
⊢ ReflTransGen r n n

tactic: exact ReflTransGen.refl
state_before: case refine_1
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
hnm : n ≤ m
h✝ : ∀ i ∈ Ico n n, r i (succ i)
⊢ ReflTransGen r n n
state_after: no goals

tactic: intro m hnm ih h
state_before: case refine_2
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
hnm : n ≤ m
⊢ ∀ (n_1 : α),
    n ≤ n_1 →
      ((∀ i ∈ Ico n n_1, r i (succ i)) → ReflTransGen r n n_1) →
        (∀ i ∈ Ico n (succ n_1), r i (succ i)) → ReflTransGen r n (succ n_1)
state_after: case refine_2
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m✝ : α
hnm✝ : n ≤ m✝
m : α
hnm : n ≤ m
ih : (∀ i ∈ Ico n m, r i (succ i)) → ReflTransGen r n m
h : ∀ i ∈ Ico n (succ m), r i (succ i)
⊢ ReflTransGen r n (succ m)

tactic: have : ReflTransGen r n m := ih fun i hi => h i ⟨hi.1, hi.2.trans_le <| le_succ m⟩
state_before: case refine_2
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m✝ : α
hnm✝ : n ≤ m✝
m : α
hnm : n ≤ m
ih : (∀ i ∈ Ico n m, r i (succ i)) → ReflTransGen r n m
h : ∀ i ∈ Ico n (succ m), r i (succ i)
⊢ ReflTransGen r n (succ m)
state_after: case refine_2
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m✝ : α
hnm✝ : n ≤ m✝
m : α
hnm : n ≤ m
ih : (∀ i ∈ Ico n m, r i (succ i)) → ReflTransGen r n m
h : ∀ i ∈ Ico n (succ m), r i (succ i)
this : ReflTransGen r n m
⊢ ReflTransGen r n (succ m)

tactic: rcases (le_succ m).eq_or_lt with hm | hm
state_before: case refine_2
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m✝ : α
hnm✝ : n ≤ m✝
m : α
hnm : n ≤ m
ih : (∀ i ∈ Ico n m, r i (succ i)) → ReflTransGen r n m
h : ∀ i ∈ Ico n (succ m), r i (succ i)
this : ReflTransGen r n m
⊢ ReflTransGen r n (succ m)
state_after: case refine_2.inl
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m✝ : α
hnm✝ : n ≤ m✝
m : α
hnm : n ≤ m
ih : (∀ i ∈ Ico n m, r i (succ i)) → ReflTransGen r n m
h : ∀ i ∈ Ico n (succ m), r i (succ i)
this : ReflTransGen r n m
hm : m = succ m
⊢ ReflTransGen r n (succ m)

case refine_2.inr
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m✝ : α
hnm✝ : n ≤ m✝
m : α
hnm : n ≤ m
ih : (∀ i ∈ Ico n m, r i (succ i)) → ReflTransGen r n m
h : ∀ i ∈ Ico n (succ m), r i (succ i)
this : ReflTransGen r n m
hm : m < succ m
⊢ ReflTransGen r n (succ m)

tactic: exact this.tail (h m ⟨hnm, hm⟩)
state_before: case refine_2.inr
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m✝ : α
hnm✝ : n ≤ m✝
m : α
hnm : n ≤ m
ih : (∀ i ∈ Ico n m, r i (succ i)) → ReflTransGen r n m
h : ∀ i ∈ Ico n (succ m), r i (succ i)
this : ReflTransGen r n m
hm : m < succ m
⊢ ReflTransGen r n (succ m)
state_after: no goals

tactic: rwa [← hm]
state_before: case refine_2.inl
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m✝ : α
hnm✝ : n ≤ m✝
m : α
hnm : n ≤ m
ih : (∀ i ∈ Ico n m, r i (succ i)) → ReflTransGen r n m
h : ∀ i ∈ Ico n (succ m), r i (succ i)
this : ReflTransGen r n m
hm : m = succ m
⊢ ReflTransGen r n (succ m)
state_after: no goals