Theorem: Ideal.Filtration.Stable.exists_pow_smul_eq
File: Mathlib/RingTheory/Filtration.lean

tactic: obtain ⟨n₀, hn⟩ := h
state_before: R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
⊢ ∃ n₀, ∀ (k : ℕ), F.N (n₀ + k) = I ^ k • F.N n₀
state_after: case intro
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
n₀ : ℕ
hn : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
⊢ ∃ n₀, ∀ (k : ℕ), F.N (n₀ + k) = I ^ k • F.N n₀

tactic: use n₀
state_before: case intro
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
n₀ : ℕ
hn : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
⊢ ∃ n₀, ∀ (k : ℕ), F.N (n₀ + k) = I ^ k • F.N n₀
state_after: case h
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
n₀ : ℕ
hn : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
⊢ ∀ (k : ℕ), F.N (n₀ + k) = I ^ k • F.N n₀

tactic: intro k
state_before: case h
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
n₀ : ℕ
hn : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
⊢ ∀ (k : ℕ), F.N (n₀ + k) = I ^ k • F.N n₀
state_after: case h
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
n₀ : ℕ
hn : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
k : ℕ
⊢ F.N (n₀ + k) = I ^ k • F.N n₀

tactic: induction' k with _ ih
state_before: case h
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
n₀ : ℕ
hn : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
k : ℕ
⊢ F.N (n₀ + k) = I ^ k • F.N n₀
state_after: case h.zero
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
n₀ : ℕ
hn : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
⊢ F.N (n₀ + 0) = I ^ 0 • F.N n₀

case h.succ
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
n₀ : ℕ
hn : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
n✝ : ℕ
ih : F.N (n₀ + n✝) = I ^ n✝ • F.N n₀
⊢ F.N (n₀ + (n✝ + 1)) = I ^ (n✝ + 1) • F.N n₀

tactic: simp
state_before: case h.zero
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
n₀ : ℕ
hn : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
⊢ F.N (n₀ + 0) = I ^ 0 • F.N n₀
state_after: no goals

tactic: rw [← add_assoc, ← hn, ih, add_comm, pow_add, mul_smul, pow_one]
state_before: case h.succ
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
n₀ : ℕ
hn : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
n✝ : ℕ
ih : F.N (n₀ + n✝) = I ^ n✝ • F.N n₀
⊢ F.N (n₀ + (n✝ + 1)) = I ^ (n✝ + 1) • F.N n₀
state_after: case h.succ.a
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
n₀ : ℕ
hn : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
n✝ : ℕ
ih : F.N (n₀ + n✝) = I ^ n✝ • F.N n₀
⊢ n₀ + n✝ ≥ n₀

tactic: omega
state_before: case h.succ.a
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
n₀ : ℕ
hn : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
n✝ : ℕ
ih : F.N (n₀ + n✝) = I ^ n✝ • F.N n₀
⊢ n₀ + n✝ ≥ n₀
state_after: no goals