Theorem: IsPreconnected.biUnion_of_reflTransGen
File: Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean

tactic: let R := fun i j : ι => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
state_before: α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
⊢ IsPreconnected (⋃ n ∈ t, s n)
state_after: α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
⊢ IsPreconnected (⋃ n ∈ t, s n)

tactic: have P : ∀ i, i ∈ t → ∀ j, j ∈ t → ReflTransGen R i j →
    ∃ p, p ⊆ t ∧ i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j) := fun i hi j hj h => by
  induction h with
  | refl =>
    refine ⟨{i}, singleton_subset_iff.mpr hi, mem_singleton i, mem_singleton i, ?_⟩
    rw [biUnion_singleton]
    exact H i hi
  | @tail j k _ hjk ih =>
    obtain ⟨p, hpt, hip, hjp, hp⟩ := ih hjk.2
    refine ⟨insert k p, insert_subset_iff.mpr ⟨hj, hpt⟩, mem_insert_of_mem k hip,
      mem_insert k p, ?_⟩
    rw [biUnion_insert]
    refine (H k hj).union' (hjk.1.mono ?_) hp
    rw [inter_comm]
    exact inter_subset_inter_right _ (subset_biUnion_of_mem hjp)
state_before: α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
⊢ IsPreconnected (⋃ n ∈ t, s n)
state_after: α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
P : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen R i j → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
⊢ IsPreconnected (⋃ n ∈ t, s n)

tactic: refine isPreconnected_of_forall_pair ?_
state_before: α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
P : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen R i j → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
⊢ IsPreconnected (⋃ n ∈ t, s n)
state_after: α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
P : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen R i j → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
⊢ ∀ x ∈ ⋃ n ∈ t, s n, ∀ y ∈ ⋃ n ∈ t, s n, ∃ t_1 ⊆ ⋃ n ∈ t, s n, x ∈ t_1 ∧ y ∈ t_1 ∧ IsPreconnected t_1

tactic: intro x hx y hy
state_before: α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
P : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen R i j → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
⊢ ∀ x ∈ ⋃ n ∈ t, s n, ∀ y ∈ ⋃ n ∈ t, s n, ∃ t_1 ⊆ ⋃ n ∈ t, s n, x ∈ t_1 ∧ y ∈ t_1 ∧ IsPreconnected t_1
state_after: α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
P : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen R i j → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
x : α
hx : x ∈ ⋃ n ∈ t, s n
y : α
hy : y ∈ ⋃ n ∈ t, s n
⊢ ∃ t_1 ⊆ ⋃ n ∈ t, s n, x ∈ t_1 ∧ y ∈ t_1 ∧ IsPreconnected t_1

tactic: obtain ⟨i : ι, hi : i ∈ t, hxi : x ∈ s i⟩ := mem_iUnion₂.1 hx
state_before: α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
P : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen R i j → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
x : α
hx : x ∈ ⋃ n ∈ t, s n
y : α
hy : y ∈ ⋃ n ∈ t, s n
⊢ ∃ t_1 ⊆ ⋃ n ∈ t, s n, x ∈ t_1 ∧ y ∈ t_1 ∧ IsPreconnected t_1
state_after: case intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
P : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen R i j → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
x : α
hx : x ∈ ⋃ n ∈ t, s n
y : α
hy : y ∈ ⋃ n ∈ t, s n
i : ι
hi : i ∈ t
hxi : x ∈ s i
⊢ ∃ t_1 ⊆ ⋃ n ∈ t, s n, x ∈ t_1 ∧ y ∈ t_1 ∧ IsPreconnected t_1

tactic: obtain ⟨j : ι, hj : j ∈ t, hyj : y ∈ s j⟩ := mem_iUnion₂.1 hy
state_before: case intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
P : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen R i j → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
x : α
hx : x ∈ ⋃ n ∈ t, s n
y : α
hy : y ∈ ⋃ n ∈ t, s n
i : ι
hi : i ∈ t
hxi : x ∈ s i
⊢ ∃ t_1 ⊆ ⋃ n ∈ t, s n, x ∈ t_1 ∧ y ∈ t_1 ∧ IsPreconnected t_1
state_after: case intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
P : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen R i j → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
x : α
hx : x ∈ ⋃ n ∈ t, s n
y : α
hy : y ∈ ⋃ n ∈ t, s n
i : ι
hi : i ∈ t
hxi : x ∈ s i
j : ι
hj : j ∈ t
hyj : y ∈ s j
⊢ ∃ t_1 ⊆ ⋃ n ∈ t, s n, x ∈ t_1 ∧ y ∈ t_1 ∧ IsPreconnected t_1

tactic: obtain ⟨p, hpt, hip, hjp, hp⟩ := P i hi j hj (K i hi j hj)
state_before: case intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
P : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen R i j → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
x : α
hx : x ∈ ⋃ n ∈ t, s n
y : α
hy : y ∈ ⋃ n ∈ t, s n
i : ι
hi : i ∈ t
hxi : x ∈ s i
j : ι
hj : j ∈ t
hyj : y ∈ s j
⊢ ∃ t_1 ⊆ ⋃ n ∈ t, s n, x ∈ t_1 ∧ y ∈ t_1 ∧ IsPreconnected t_1
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
P : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen R i j → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
x : α
hx : x ∈ ⋃ n ∈ t, s n
y : α
hy : y ∈ ⋃ n ∈ t, s n
i : ι
hi : i ∈ t
hxi : x ∈ s i
j : ι
hj : j ∈ t
hyj : y ∈ s j
p : Set ι
hpt : p ⊆ t
hip : i ∈ p
hjp : j ∈ p
hp : IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
⊢ ∃ t_1 ⊆ ⋃ n ∈ t, s n, x ∈ t_1 ∧ y ∈ t_1 ∧ IsPreconnected t_1

tactic: exact ⟨⋃ j ∈ p, s j, biUnion_subset_biUnion_left hpt, mem_biUnion hip hxi,
  mem_biUnion hjp hyj, hp⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
P : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen R i j → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
x : α
hx : x ∈ ⋃ n ∈ t, s n
y : α
hy : y ∈ ⋃ n ∈ t, s n
i : ι
hi : i ∈ t
hxi : x ∈ s i
j : ι
hj : j ∈ t
hyj : y ∈ s j
p : Set ι
hpt : p ⊆ t
hip : i ∈ p
hjp : j ∈ p
hp : IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
⊢ ∃ t_1 ⊆ ⋃ n ∈ t, s n, x ∈ t_1 ∧ y ∈ t_1 ∧ IsPreconnected t_1
state_after: no goals

tactic: induction h with
| refl =>
  refine ⟨{i}, singleton_subset_iff.mpr hi, mem_singleton i, mem_singleton i, ?_⟩
  rw [biUnion_singleton]
  exact H i hi
| @tail j k _ hjk ih =>
  obtain ⟨p, hpt, hip, hjp, hp⟩ := ih hjk.2
  refine ⟨insert k p, insert_subset_iff.mpr ⟨hj, hpt⟩, mem_insert_of_mem k hip,
    mem_insert k p, ?_⟩
  rw [biUnion_insert]
  refine (H k hj).union' (hjk.1.mono ?_) hp
  rw [inter_comm]
  exact inter_subset_inter_right _ (subset_biUnion_of_mem hjp)
state_before: α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
i : ι
hi : i ∈ t
j : ι
hj : j ∈ t
h : ReflTransGen R i j
⊢ ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
state_after: no goals

tactic: refine ⟨{i}, singleton_subset_iff.mpr hi, mem_singleton i, mem_singleton i, ?_⟩
state_before: case refl
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
i : ι
hi : i ∈ t
j : ι
hj : i ∈ t
⊢ ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ i ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
state_after: case refl
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
i : ι
hi : i ∈ t
j : ι
hj : i ∈ t
⊢ IsPreconnected (⋃ j ∈ {i}, s j)

tactic: rw [biUnion_singleton]
state_before: case refl
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
i : ι
hi : i ∈ t
j : ι
hj : i ∈ t
⊢ IsPreconnected (⋃ j ∈ {i}, s j)
state_after: case refl
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
i : ι
hi : i ∈ t
j : ι
hj : i ∈ t
⊢ IsPreconnected (s i)

tactic: exact H i hi
state_before: case refl
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
i : ι
hi : i ∈ t
j : ι
hj : i ∈ t
⊢ IsPreconnected (s i)
state_after: no goals

tactic: obtain ⟨p, hpt, hip, hjp, hp⟩ := ih hjk.2
state_before: case tail
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
i : ι
hi : i ∈ t
j✝ j k : ι
a✝ : ReflTransGen R i j
hjk : R j k
ih : j ∈ t → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
hj : k ∈ t
⊢ ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ k ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
state_after: case tail.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
i : ι
hi : i ∈ t
j✝ j k : ι
a✝ : ReflTransGen R i j
hjk : R j k
ih : j ∈ t → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
hj : k ∈ t
p : Set ι
hpt : p ⊆ t
hip : i ∈ p
hjp : j ∈ p
hp : IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
⊢ ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ k ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)

tactic: refine ⟨insert k p, insert_subset_iff.mpr ⟨hj, hpt⟩, mem_insert_of_mem k hip,
  mem_insert k p, ?_⟩
state_before: case tail.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
i : ι
hi : i ∈ t
j✝ j k : ι
a✝ : ReflTransGen R i j
hjk : R j k
ih : j ∈ t → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
hj : k ∈ t
p : Set ι
hpt : p ⊆ t
hip : i ∈ p
hjp : j ∈ p
hp : IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
⊢ ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ k ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
state_after: case tail.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
i : ι
hi : i ∈ t
j✝ j k : ι
a✝ : ReflTransGen R i j
hjk : R j k
ih : j ∈ t → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
hj : k ∈ t
p : Set ι
hpt : p ⊆ t
hip : i ∈ p
hjp : j ∈ p
hp : IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
⊢ IsPreconnected (⋃ j ∈ insert k p, s j)

tactic: rw [biUnion_insert]
state_before: case tail.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
i : ι
hi : i ∈ t
j✝ j k : ι
a✝ : ReflTransGen R i j
hjk : R j k
ih : j ∈ t → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
hj : k ∈ t
p : Set ι
hpt : p ⊆ t
hip : i ∈ p
hjp : j ∈ p
hp : IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
⊢ IsPreconnected (⋃ j ∈ insert k p, s j)
state_after: case tail.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
i : ι
hi : i ∈ t
j✝ j k : ι
a✝ : ReflTransGen R i j
hjk : R j k
ih : j ∈ t → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
hj : k ∈ t
p : Set ι
hpt : p ⊆ t
hip : i ∈ p
hjp : j ∈ p
hp : IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
⊢ IsPreconnected (s k ∪ ⋃ x ∈ p, s x)

tactic: refine (H k hj).union' (hjk.1.mono ?_) hp
state_before: case tail.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
i : ι
hi : i ∈ t
j✝ j k : ι
a✝ : ReflTransGen R i j
hjk : R j k
ih : j ∈ t → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
hj : k ∈ t
p : Set ι
hpt : p ⊆ t
hip : i ∈ p
hjp : j ∈ p
hp : IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
⊢ IsPreconnected (s k ∪ ⋃ x ∈ p, s x)
state_after: case tail.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
i : ι
hi : i ∈ t
j✝ j k : ι
a✝ : ReflTransGen R i j
hjk : R j k
ih : j ∈ t → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
hj : k ∈ t
p : Set ι
hpt : p ⊆ t
hip : i ∈ p
hjp : j ∈ p
hp : IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
⊢ s j ∩ s k ⊆ s k ∩ ⋃ x ∈ p, s x

tactic: rw [inter_comm]
state_before: case tail.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
i : ι
hi : i ∈ t
j✝ j k : ι
a✝ : ReflTransGen R i j
hjk : R j k
ih : j ∈ t → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
hj : k ∈ t
p : Set ι
hpt : p ⊆ t
hip : i ∈ p
hjp : j ∈ p
hp : IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
⊢ s j ∩ s k ⊆ s k ∩ ⋃ x ∈ p, s x
state_after: case tail.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
i : ι
hi : i ∈ t
j✝ j k : ι
a✝ : ReflTransGen R i j
hjk : R j k
ih : j ∈ t → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
hj : k ∈ t
p : Set ι
hpt : p ⊆ t
hip : i ∈ p
hjp : j ∈ p
hp : IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
⊢ s k ∩ s j ⊆ s k ∩ ⋃ x ∈ p, s x

tactic: exact inter_subset_inter_right _ (subset_biUnion_of_mem hjp)
state_before: case tail.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Type u_1
π : ι✝ → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
ι : Type u_3
t : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)
K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j
R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t
i : ι
hi : i ∈ t
j✝ j k : ι
a✝ : ReflTransGen R i j
hjk : R j k
ih : j ∈ t → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
hj : k ∈ t
p : Set ι
hpt : p ⊆ t
hip : i ∈ p
hjp : j ∈ p
hp : IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)
⊢ s k ∩ s j ⊆ s k ∩ ⋃ x ∈ p, s x
state_after: no goals