Theorem: Orientation.rightAngleRotation_map
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean

tactic: apply ext_inner_right ℝ
state_before: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x : F
⊢ ((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).rightAngleRotation x = φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x))
state_after: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x : F
⊢ ∀ (v : F), ⟪((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).rightAngleRotation x, v⟫_ℝ = ⟪φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x)), v⟫_ℝ

tactic: intro y
state_before: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x : F
⊢ ∀ (v : F), ⟪((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).rightAngleRotation x, v⟫_ℝ = ⟪φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x)), v⟫_ℝ
state_after: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
⊢ ⟪((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).rightAngleRotation x, y⟫_ℝ = ⟪φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x)), y⟫_ℝ

tactic: rw [inner_rightAngleRotation_left]
state_before: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
⊢ ⟪((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).rightAngleRotation x, y⟫_ℝ = ⟪φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x)), y⟫_ℝ
state_after: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
⊢ (((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).areaForm x) y = ⟪φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x)), y⟫_ℝ

tactic: trans ⟪J (φ.symm x), φ.symm y⟫
state_before: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
⊢ (((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).areaForm x) y = ⟪φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x)), y⟫_ℝ
state_after: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
⊢ (((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).areaForm x) y = ⟪o.rightAngleRotation (φ.symm x), φ.symm y⟫_ℝ

E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
⊢ ⟪o.rightAngleRotation (φ.symm x), φ.symm y⟫_ℝ = ⟪φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x)), y⟫_ℝ

tactic: trans ⟪φ (J (φ.symm x)), φ (φ.symm y)⟫
state_before: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
⊢ ⟪o.rightAngleRotation (φ.symm x), φ.symm y⟫_ℝ = ⟪φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x)), y⟫_ℝ
state_after: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
⊢ ⟪o.rightAngleRotation (φ.symm x), φ.symm y⟫_ℝ = ⟪φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x)), φ (φ.symm y)⟫_ℝ

E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
⊢ ⟪φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x)), φ (φ.symm y)⟫_ℝ = ⟪φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x)), y⟫_ℝ

tactic: simp [o.areaForm_map]
state_before: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
⊢ (((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).areaForm x) y = ⟪o.rightAngleRotation (φ.symm x), φ.symm y⟫_ℝ
state_after: no goals

tactic: rw [φ.inner_map_map]
state_before: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
⊢ ⟪o.rightAngleRotation (φ.symm x), φ.symm y⟫_ℝ = ⟪φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x)), φ (φ.symm y)⟫_ℝ
state_after: no goals

tactic: simp
state_before: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
⊢ ⟪φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x)), φ (φ.symm y)⟫_ℝ = ⟪φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x)), y⟫_ℝ
state_after: no goals