Theorem: minpoly_algEquiv_toLinearMap
File: Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean

tactic: refine (minpoly.unique _ _ (monic_X_pow_sub_C _ hσ.orderOf_pos.ne.symm) ?_ ?_).symm
state_before: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
⊢ minpoly K σ.toLinearMap = X ^ orderOf σ - C 1
state_after: case refine_1
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
⊢ (Polynomial.aeval σ.toLinearMap) (X ^ orderOf σ - C 1) = 0

case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
⊢ ∀ (q : K[X]), q.Monic → (Polynomial.aeval σ.toLinearMap) q = 0 → (X ^ orderOf σ - C 1).degree ≤ q.degree

tactic: rw [(aeval σ.toLinearMap).map_sub (X ^ orderOf σ) (C (1 : K))]
state_before: case refine_1
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
⊢ (Polynomial.aeval σ.toLinearMap) (X ^ orderOf σ - C 1) = 0
state_after: case refine_1
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
⊢ (Polynomial.aeval σ.toLinearMap) (X ^ orderOf σ) - (Polynomial.aeval σ.toLinearMap) (C 1) = 0

tactic: simp [← AlgEquiv.pow_toLinearMap, pow_orderOf_eq_one]
state_before: case refine_1
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
⊢ (Polynomial.aeval σ.toLinearMap) (X ^ orderOf σ) - (Polynomial.aeval σ.toLinearMap) (C 1) = 0
state_after: no goals

tactic: intros q hq hs
state_before: case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
⊢ ∀ (q : K[X]), q.Monic → (Polynomial.aeval σ.toLinearMap) q = 0 → (X ^ orderOf σ - C 1).degree ≤ q.degree
state_after: case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
q : K[X]
hq : q.Monic
hs : (Polynomial.aeval σ.toLinearMap) q = 0
⊢ (X ^ orderOf σ - C 1).degree ≤ q.degree

tactic: rw [degree_eq_natDegree hq.ne_zero, degree_X_pow_sub_C hσ.orderOf_pos, Nat.cast_le, ← not_lt]
state_before: case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
q : K[X]
hq : q.Monic
hs : (Polynomial.aeval σ.toLinearMap) q = 0
⊢ (X ^ orderOf σ - C 1).degree ≤ q.degree
state_after: case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
q : K[X]
hq : q.Monic
hs : (Polynomial.aeval σ.toLinearMap) q = 0
⊢ ¬q.natDegree < orderOf σ

tactic: intro H
state_before: case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
q : K[X]
hq : q.Monic
hs : (Polynomial.aeval σ.toLinearMap) q = 0
⊢ ¬q.natDegree < orderOf σ
state_after: case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
q : K[X]
hq : q.Monic
hs : (Polynomial.aeval σ.toLinearMap) q = 0
H : q.natDegree < orderOf σ
⊢ False

tactic: rw [aeval_eq_sum_range' H, ← Fin.sum_univ_eq_sum_range] at hs
state_before: case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
q : K[X]
hq : q.Monic
hs : (Polynomial.aeval σ.toLinearMap) q = 0
H : q.natDegree < orderOf σ
⊢ False
state_after: case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
q : K[X]
hq : q.Monic
hs : ∑ i : Fin (orderOf σ), q.coeff ↑i • σ.toLinearMap ^ ↑i = 0
H : q.natDegree < orderOf σ
⊢ False

tactic: simp_rw [← AlgEquiv.pow_toLinearMap] at hs
state_before: case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
q : K[X]
hq : q.Monic
hs : ∑ i : Fin (orderOf σ), q.coeff ↑i • σ.toLinearMap ^ ↑i = 0
H : q.natDegree < orderOf σ
⊢ False
state_after: case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
q : K[X]
hq : q.Monic
H : q.natDegree < orderOf σ
hs : ∑ x : Fin (orderOf σ), q.coeff ↑x • (σ ^ ↑x).toLinearMap = 0
⊢ False

tactic: apply hq.ne_zero
state_before: case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
q : K[X]
hq : q.Monic
H : q.natDegree < orderOf σ
hs : ∑ x : Fin (orderOf σ), q.coeff ↑x • (σ ^ ↑x).toLinearMap = 0
⊢ False
state_after: case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
q : K[X]
hq : q.Monic
H : q.natDegree < orderOf σ
hs : ∑ x : Fin (orderOf σ), q.coeff ↑x • (σ ^ ↑x).toLinearMap = 0
⊢ q = 0

tactic: simpa using Fintype.linearIndependent_iff.mp
  (((linearIndependent_algHom_toLinearMap' K L L).comp _ AlgEquiv.coe_algHom_injective).comp _
    (Subtype.val_injective.comp ((finEquivPowers σ hσ).injective)))
  (q.coeff ∘ (↑)) hs ⟨_, H⟩
state_before: case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
q : K[X]
hq : q.Monic
H : q.natDegree < orderOf σ
hs : ∑ x : Fin (orderOf σ), q.coeff ↑x • (σ ^ ↑x).toLinearMap = 0
⊢ q = 0
state_after: no goals