Theorem: CategoryTheory.IsFilteredOrEmpty.of_final
File: Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final.lean

tactic: let P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ (Z : C) (q₁ : h.right ⟶ Z)
  (q₂ : Final.lift F Y ⟶ Z), h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
state_before: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
⊢ ∃ Z h, f ≫ h = g ≫ h
state_after: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
⊢ ∃ Z h, f ≫ h = g ≫ h

tactic: rsuffices ⟨Z, q₁, q₂, h⟩ : Nonempty (P (StructuredArrow.mk (g ≫ Final.homToLift F Y)))
state_before: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
⊢ ∃ Z h, f ≫ h = g ≫ h
state_after: case intro.intro.intro.intro
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
Z : C
q₁ : (StructuredArrow.mk (g ≫ Final.homToLift F Y)).right ⟶ Z
q₂ : Final.lift F Y ⟶ Z
h : (StructuredArrow.mk (g ≫ Final.homToLift F Y)).hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
⊢ ∃ Z h, f ≫ h = g ≫ h

C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
⊢ Nonempty (P (StructuredArrow.mk (g ≫ Final.homToLift F Y)))

tactic: have h₀ : P (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y)) := ⟨_, 𝟙 _, 𝟙 _, by simp⟩
state_before: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
⊢ Nonempty (P (StructuredArrow.mk (g ≫ Final.homToLift F Y)))
state_after: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
h₀ : P (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y))
⊢ Nonempty (P (StructuredArrow.mk (g ≫ Final.homToLift F Y)))

tactic: refine isPreconnected_induction P ?_ ?_ h₀ _
state_before: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
h₀ : P (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y))
⊢ Nonempty (P (StructuredArrow.mk (g ≫ Final.homToLift F Y)))
state_after: case refine_1
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
h₀ : P (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y))
⊢ ∀ {j₁ j₂ : StructuredArrow X F}, (j₁ ⟶ j₂) → P j₁ → P j₂

case refine_2
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
h₀ : P (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y))
⊢ ∀ {j₁ j₂ : StructuredArrow X F}, (j₁ ⟶ j₂) → P j₂ → P j₁

tactic: refine ⟨F.obj (IsFiltered.coeq q₁ q₂),
  Final.homToLift F Y ≫ F.map (q₁ ≫ IsFiltered.coeqHom q₁ q₂), ?_⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
Z : C
q₁ : (StructuredArrow.mk (g ≫ Final.homToLift F Y)).right ⟶ Z
q₂ : Final.lift F Y ⟶ Z
h : (StructuredArrow.mk (g ≫ Final.homToLift F Y)).hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
⊢ ∃ Z h, f ≫ h = g ≫ h
state_after: case intro.intro.intro.intro
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
Z : C
q₁ : (StructuredArrow.mk (g ≫ Final.homToLift F Y)).right ⟶ Z
q₂ : Final.lift F Y ⟶ Z
h : (StructuredArrow.mk (g ≫ Final.homToLift F Y)).hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
⊢ f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map (q₁ ≫ IsFiltered.coeqHom q₁ q₂) =
    g ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map (q₁ ≫ IsFiltered.coeqHom q₁ q₂)

tactic: conv_lhs => rw [IsFiltered.coeq_condition]
state_before: case intro.intro.intro.intro
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
Z : C
q₁ : (StructuredArrow.mk (g ≫ Final.homToLift F Y)).right ⟶ Z
q₂ : Final.lift F Y ⟶ Z
h : (StructuredArrow.mk (g ≫ Final.homToLift F Y)).hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
⊢ f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map (q₁ ≫ IsFiltered.coeqHom q₁ q₂) =
    g ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map (q₁ ≫ IsFiltered.coeqHom q₁ q₂)
state_after: case intro.intro.intro.intro
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
Z : C
q₁ : (StructuredArrow.mk (g ≫ Final.homToLift F Y)).right ⟶ Z
q₂ : Final.lift F Y ⟶ Z
h : (StructuredArrow.mk (g ≫ Final.homToLift F Y)).hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
⊢ f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map (q₂ ≫ IsFiltered.coeqHom q₁ q₂) =
    g ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map (q₁ ≫ IsFiltered.coeqHom q₁ q₂)

tactic: simp only [F.map_comp, ← reassoc_of% h, StructuredArrow.mk_hom_eq_self, Category.assoc]
state_before: case intro.intro.intro.intro
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
Z : C
q₁ : (StructuredArrow.mk (g ≫ Final.homToLift F Y)).right ⟶ Z
q₂ : Final.lift F Y ⟶ Z
h : (StructuredArrow.mk (g ≫ Final.homToLift F Y)).hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
⊢ f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map (q₂ ≫ IsFiltered.coeqHom q₁ q₂) =
    g ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map (q₁ ≫ IsFiltered.coeqHom q₁ q₂)
state_after: no goals

tactic: simp
state_before: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
⊢ (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y)).hom ≫ F.map (𝟙 (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y)).right) =
    f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map (𝟙 (Final.lift F Y))
state_after: no goals

tactic: rintro U V h ⟨Z, q₁, q₂, hq⟩
state_before: case refine_1
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
h₀ : P (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y))
⊢ ∀ {j₁ j₂ : StructuredArrow X F}, (j₁ ⟶ j₂) → P j₁ → P j₂
state_after: case refine_1.intro.intro.intro
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
h₀ : P (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y))
U V : StructuredArrow X F
h : U ⟶ V
Z : C
q₁ : U.right ⟶ Z
q₂ : Final.lift F Y ⟶ Z
hq : U.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
⊢ P V

tactic: obtain ⟨W, q₃, q₄, hq'⟩ := IsFiltered.span q₁ h.right
state_before: case refine_1.intro.intro.intro
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
h₀ : P (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y))
U V : StructuredArrow X F
h : U ⟶ V
Z : C
q₁ : U.right ⟶ Z
q₂ : Final.lift F Y ⟶ Z
hq : U.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
⊢ P V
state_after: case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
h₀ : P (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y))
U V : StructuredArrow X F
h : U ⟶ V
Z : C
q₁ : U.right ⟶ Z
q₂ : Final.lift F Y ⟶ Z
hq : U.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
W : C
q₃ : Z ⟶ W
q₄ : V.right ⟶ W
hq' : q₁ ≫ q₃ = h.right ≫ q₄
⊢ P V

tactic: refine ⟨W, q₄, q₂ ≫ q₃, ?_⟩
state_before: case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
h₀ : P (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y))
U V : StructuredArrow X F
h : U ⟶ V
Z : C
q₁ : U.right ⟶ Z
q₂ : Final.lift F Y ⟶ Z
hq : U.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
W : C
q₃ : Z ⟶ W
q₄ : V.right ⟶ W
hq' : q₁ ≫ q₃ = h.right ≫ q₄
⊢ P V
state_after: case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
h₀ : P (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y))
U V : StructuredArrow X F
h : U ⟶ V
Z : C
q₁ : U.right ⟶ Z
q₂ : Final.lift F Y ⟶ Z
hq : U.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
W : C
q₃ : Z ⟶ W
q₄ : V.right ⟶ W
hq' : q₁ ≫ q₃ = h.right ≫ q₄
⊢ V.hom ≫ F.map q₄ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map (q₂ ≫ q₃)

tactic: rw [F.map_comp, ← reassoc_of% hq, ← F.map_comp, hq', F.map_comp, StructuredArrow.w_assoc]
state_before: case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
h₀ : P (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y))
U V : StructuredArrow X F
h : U ⟶ V
Z : C
q₁ : U.right ⟶ Z
q₂ : Final.lift F Y ⟶ Z
hq : U.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
W : C
q₃ : Z ⟶ W
q₄ : V.right ⟶ W
hq' : q₁ ≫ q₃ = h.right ≫ q₄
⊢ V.hom ≫ F.map q₄ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map (q₂ ≫ q₃)
state_after: no goals

tactic: rintro U V h ⟨Z, q₁, q₂, hq⟩
state_before: case refine_2
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
h₀ : P (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y))
⊢ ∀ {j₁ j₂ : StructuredArrow X F}, (j₁ ⟶ j₂) → P j₂ → P j₁
state_after: case refine_2.intro.intro.intro
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
h₀ : P (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y))
U V : StructuredArrow X F
h : U ⟶ V
Z : C
q₁ : V.right ⟶ Z
q₂ : Final.lift F Y ⟶ Z
hq : V.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
⊢ P U

tactic: exact ⟨Z, h.right ≫ q₁, q₂, by simp only [F.map_comp, StructuredArrow.w_assoc, hq]⟩
state_before: case refine_2.intro.intro.intro
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
h₀ : P (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y))
U V : StructuredArrow X F
h : U ⟶ V
Z : C
q₁ : V.right ⟶ Z
q₂ : Final.lift F Y ⟶ Z
hq : V.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
⊢ P U
state_after: no goals

tactic: simp only [F.map_comp, StructuredArrow.w_assoc, hq]
state_before: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
h₀ : P (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y))
U V : StructuredArrow X F
h : U ⟶ V
Z : C
q₁ : V.right ⟶ Z
q₂ : Final.lift F Y ⟶ Z
hq : V.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
⊢ U.hom ≫ F.map (h.right ≫ q₁) = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
state_after: no goals