Theorem: Subgroup.iSup_induction
File: Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean

tactic: rw [iSup_eq_closure] at hx
state_before: α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : G → Prop
x : G
hx : x ∈ ⨆ i, S i
mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x
one : C 1
mul : ∀ (x y : G), C x → C y → C (x * y)
⊢ C x
state_after: α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : G → Prop
x : G
hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))
mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x
one : C 1
mul : ∀ (x y : G), C x → C y → C (x * y)
⊢ C x

tactic: induction hx using closure_induction'' with
| one => exact one
| mem x hx =>
  obtain ⟨i, hi⟩ := Set.mem_iUnion.mp hx
  exact mem _ _ hi
| inv_mem x hx =>
  obtain ⟨i, hi⟩ := Set.mem_iUnion.mp hx
  exact mem _ _ (inv_mem hi)
| mul x y _ _ ihx ihy => exact mul x y ihx ihy
state_before: α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : G → Prop
x : G
hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))
mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x
one : C 1
mul : ∀ (x y : G), C x → C y → C (x * y)
⊢ C x
state_after: no goals

tactic: exact one
state_before: case one
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : G → Prop
x : G
mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x
one : C 1
mul : ∀ (x y : G), C x → C y → C (x * y)
⊢ C 1
state_after: no goals

tactic: obtain ⟨i, hi⟩ := Set.mem_iUnion.mp hx
state_before: case mem
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : G → Prop
x✝ : G
mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x
one : C 1
mul : ∀ (x y : G), C x → C y → C (x * y)
x : G
hx : x ∈ ⋃ i, ↑(S i)
⊢ C x
state_after: case mem.intro
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : G → Prop
x✝ : G
mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x
one : C 1
mul : ∀ (x y : G), C x → C y → C (x * y)
x : G
hx : x ∈ ⋃ i, ↑(S i)
i : ι
hi : x ∈ ↑(S i)
⊢ C x

tactic: exact mem _ _ hi
state_before: case mem.intro
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : G → Prop
x✝ : G
mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x
one : C 1
mul : ∀ (x y : G), C x → C y → C (x * y)
x : G
hx : x ∈ ⋃ i, ↑(S i)
i : ι
hi : x ∈ ↑(S i)
⊢ C x
state_after: no goals

tactic: obtain ⟨i, hi⟩ := Set.mem_iUnion.mp hx
state_before: case inv_mem
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : G → Prop
x✝ : G
mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x
one : C 1
mul : ∀ (x y : G), C x → C y → C (x * y)
x : G
hx : x ∈ ⋃ i, ↑(S i)
⊢ C x⁻¹
state_after: case inv_mem.intro
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : G → Prop
x✝ : G
mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x
one : C 1
mul : ∀ (x y : G), C x → C y → C (x * y)
x : G
hx : x ∈ ⋃ i, ↑(S i)
i : ι
hi : x ∈ ↑(S i)
⊢ C x⁻¹

tactic: exact mem _ _ (inv_mem hi)
state_before: case inv_mem.intro
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : G → Prop
x✝ : G
mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x
one : C 1
mul : ∀ (x y : G), C x → C y → C (x * y)
x : G
hx : x ∈ ⋃ i, ↑(S i)
i : ι
hi : x ∈ ↑(S i)
⊢ C x⁻¹
state_after: no goals

tactic: exact mul x y ihx ihy
state_before: case mul
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : G → Prop
x✝ : G
mem : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ S i, C x
one : C 1
mul : ∀ (x y : G), C x → C y → C (x * y)
x y : G
hx✝ : x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))
hy✝ : y ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))
ihx : C x
ihy : C y
⊢ C (x * y)
state_after: no goals