Theorem: FractionalIdeal.invertible_iff_generator_nonzero
File: Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean

tactic: constructor
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
⊢ I * I⁻¹ = 1 ↔ generator ↑I ≠ 0
state_after: case mp
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
⊢ I * I⁻¹ = 1 → generator ↑I ≠ 0

case mpr
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
⊢ generator ↑I ≠ 0 → I * I⁻¹ = 1

tactic: intro hI hg
state_before: case mp
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
⊢ I * I⁻¹ = 1 → generator ↑I ≠ 0
state_after: case mp
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
hI : I * I⁻¹ = 1
hg : generator ↑I = 0
⊢ False

tactic: apply ne_zero_of_mul_eq_one _ _ hI
state_before: case mp
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
hI : I * I⁻¹ = 1
hg : generator ↑I = 0
⊢ False
state_after: case mp
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
hI : I * I⁻¹ = 1
hg : generator ↑I = 0
⊢ I = 0

tactic: rw [eq_spanSingleton_of_principal I, hg, spanSingleton_zero]
state_before: case mp
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
hI : I * I⁻¹ = 1
hg : generator ↑I = 0
⊢ I = 0
state_after: no goals

tactic: intro hg
state_before: case mpr
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
⊢ generator ↑I ≠ 0 → I * I⁻¹ = 1
state_after: case mpr
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
hg : generator ↑I ≠ 0
⊢ I * I⁻¹ = 1

tactic: apply invertible_of_principal
state_before: case mpr
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
hg : generator ↑I ≠ 0
⊢ I * I⁻¹ = 1
state_after: case mpr.h
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
hg : generator ↑I ≠ 0
⊢ I ≠ 0

tactic: rw [eq_spanSingleton_of_principal I]
state_before: case mpr.h
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
hg : generator ↑I ≠ 0
⊢ I ≠ 0
state_after: case mpr.h
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
hg : generator ↑I ≠ 0
⊢ spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I) ≠ 0

tactic: intro hI
state_before: case mpr.h
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
hg : generator ↑I ≠ 0
⊢ spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I) ≠ 0
state_after: case mpr.h
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
hg : generator ↑I ≠ 0
hI : spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I) = 0
⊢ False

tactic: have := mem_spanSingleton_self R₁⁰ (generator (I : Submodule R₁ K))
state_before: case mpr.h
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
hg : generator ↑I ≠ 0
hI : spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I) = 0
⊢ False
state_after: case mpr.h
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
hg : generator ↑I ≠ 0
hI : spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I) = 0
this : generator ↑I ∈ spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)
⊢ False

tactic: rw [hI, mem_zero_iff] at this
state_before: case mpr.h
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
hg : generator ↑I ≠ 0
hI : spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I) = 0
this : generator ↑I ∈ spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)
⊢ False
state_after: case mpr.h
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
hg : generator ↑I ≠ 0
hI : spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I) = 0
this : generator ↑I = 0
⊢ False

tactic: contradiction
state_before: case mpr.h
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
hg : generator ↑I ≠ 0
hI : spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I) = 0
this : generator ↑I = 0
⊢ False
state_after: no goals