Theorem: SpectrumRestricts.smul_of_nonneg
File: Mathlib/Analysis/NormedSpace/Star/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean

tactic: rw [SpectrumRestricts.nnreal_iff] at ha ⊢
state_before: A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ SpectrumRestricts (r • a) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
state_after: A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ ∀ x ∈ σ ℝ (r • a), 0 ≤ x

tactic: nontriviality A
state_before: A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ ∀ x ∈ σ ℝ (r • a), 0 ≤ x
state_after: A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
a✝ : Nontrivial A
⊢ ∀ x ∈ σ ℝ (r • a), 0 ≤ x

tactic: intro x hx
state_before: A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
a✝ : Nontrivial A
⊢ ∀ x ∈ σ ℝ (r • a), 0 ≤ x
state_after: A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
a✝ : Nontrivial A
x : ℝ
hx : x ∈ σ ℝ (r • a)
⊢ 0 ≤ x

tactic: by_cases hr' : r = 0
state_before: A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
a✝ : Nontrivial A
x : ℝ
hx : x ∈ σ ℝ (r • a)
⊢ 0 ≤ x
state_after: case pos
A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
a✝ : Nontrivial A
x : ℝ
hx : x ∈ σ ℝ (r • a)
hr' : r = 0
⊢ 0 ≤ x

case neg
A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
a✝ : Nontrivial A
x : ℝ
hx : x ∈ σ ℝ (r • a)
hr' : ¬r = 0
⊢ 0 ≤ x

tactic: simp [hr'] at hx ⊢
state_before: case pos
A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
a✝ : Nontrivial A
x : ℝ
hx : x ∈ σ ℝ (r • a)
hr' : r = 0
⊢ 0 ≤ x
state_after: case pos
A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
a✝ : Nontrivial A
x : ℝ
hr' : r = 0
hx : x = 0
⊢ 0 ≤ x

tactic: exact hx.symm.le
state_before: case pos
A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
a✝ : Nontrivial A
x : ℝ
hr' : r = 0
hx : x = 0
⊢ 0 ≤ x
state_after: no goals

tactic: lift r to ℝˣ using IsUnit.mk0 r hr'
state_before: case neg
A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
a✝ : Nontrivial A
x : ℝ
hx : x ∈ σ ℝ (r • a)
hr' : ¬r = 0
⊢ 0 ≤ x
state_after: case neg.intro
A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A
x : ℝ
r : ℝˣ
hr : 0 ≤ ↑r
hx : x ∈ σ ℝ (↑r • a)
hr' : ¬↑r = 0
⊢ 0 ≤ x

tactic: rw [← Units.smul_def, spectrum.unit_smul_eq_smul, Set.mem_smul_set_iff_inv_smul_mem] at hx
state_before: case neg.intro
A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A
x : ℝ
r : ℝˣ
hr : 0 ≤ ↑r
hx : x ∈ σ ℝ (↑r • a)
hr' : ¬↑r = 0
⊢ 0 ≤ x
state_after: case neg.intro
A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A
x : ℝ
r : ℝˣ
hr : 0 ≤ ↑r
hx : r⁻¹ • x ∈ σ ℝ a
hr' : ¬↑r = 0
⊢ 0 ≤ x

tactic: refine le_of_smul_le_smul_left ?_ (inv_pos.mpr <| lt_of_le_of_ne hr <| ne_comm.mpr hr')
state_before: case neg.intro
A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A
x : ℝ
r : ℝˣ
hr : 0 ≤ ↑r
hx : r⁻¹ • x ∈ σ ℝ a
hr' : ¬↑r = 0
⊢ 0 ≤ x
state_after: case neg.intro
A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A
x : ℝ
r : ℝˣ
hr : 0 ≤ ↑r
hx : r⁻¹ • x ∈ σ ℝ a
hr' : ¬↑r = 0
⊢ (↑r)⁻¹ • 0 ≤ (↑r)⁻¹ • x

tactic: simpa [Units.smul_def] using ha _ hx
state_before: case neg.intro
A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A
x : ℝ
r : ℝˣ
hr : 0 ≤ ↑r
hx : r⁻¹ • x ∈ σ ℝ a
hr' : ¬↑r = 0
⊢ (↑r)⁻¹ • 0 ≤ (↑r)⁻¹ • x
state_after: no goals