Theorem: Algebra.FinitePresentation.quotient
File: Mathlib/RingTheory/FinitePresentation.lean

tactic: obtain ⟨n, f, hf⟩ := FinitePresentation.out (R := R) (A := A)
state_before: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
I : Ideal A
h : I.FG
inst✝ : FinitePresentation R A
⊢ ∃ n f, Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
state_after: case intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
I : Ideal A
h : I.FG
inst✝ : FinitePresentation R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
⊢ ∃ n f, Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG

tactic: refine ⟨n, (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f, ?_, ?_⟩
state_before: case intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
I : Ideal A
h : I.FG
inst✝ : FinitePresentation R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
⊢ ∃ n f, Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
state_after: case intro.intro.refine_1
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
I : Ideal A
h : I.FG
inst✝ : FinitePresentation R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
⊢ Surjective ⇑((Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f)

case intro.intro.refine_2
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
I : Ideal A
h : I.FG
inst✝ : FinitePresentation R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
⊢ (RingHom.ker ((Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f).toRingHom).FG

tactic: exact (Ideal.Quotient.mkₐ_surjective R I).comp hf.1
state_before: case intro.intro.refine_1
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
I : Ideal A
h : I.FG
inst✝ : FinitePresentation R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
⊢ Surjective ⇑((Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f)
state_after: no goals

tactic: refine Ideal.fg_ker_comp _ _ hf.2 ?_ hf.1
state_before: case intro.intro.refine_2
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
I : Ideal A
h : I.FG
inst✝ : FinitePresentation R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
⊢ (RingHom.ker ((Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f).toRingHom).FG
state_after: case intro.intro.refine_2
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
I : Ideal A
h : I.FG
inst✝ : FinitePresentation R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
⊢ (RingHom.ker (Ideal.Quotient.mkₐ R I).toRingHom).FG

tactic: simp [h]
state_before: case intro.intro.refine_2
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
I : Ideal A
h : I.FG
inst✝ : FinitePresentation R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
⊢ (RingHom.ker (Ideal.Quotient.mkₐ R I).toRingHom).FG
state_after: no goals