Theorem: Set.pairwiseDisjoint_image_right_iff
File: Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean

tactic: refine ⟨fun hs x hx y hy (h : f _ _ = _) => ?_, fun hs x hx y hy h => ?_⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s✝ : Set ι
t✝ : Set ι'
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ a ∈ s, Injective (f a)
⊢ (s.PairwiseDisjoint fun a => f a '' t) ↔ InjOn (fun p => f p.1 p.2) (s ×ˢ t)
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s✝ : Set ι
t✝ : Set ι'
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ a ∈ s, Injective (f a)
hs : s.PairwiseDisjoint fun a => f a '' t
x : α × β
hx : x ∈ s ×ˢ t
y : α × β
hy : y ∈ s ×ˢ t
h : f x.1 x.2 = (fun p => f p.1 p.2) y
⊢ x = y

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s✝ : Set ι
t✝ : Set ι'
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ a ∈ s, Injective (f a)
hs : InjOn (fun p => f p.1 p.2) (s ×ˢ t)
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
h : x ≠ y
⊢ (Disjoint on fun a => f a '' t) x y

tactic: suffices x.1 = y.1 by exact Prod.ext this (hf _ hx.1 <| h.trans <| by rw [this])
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s✝ : Set ι
t✝ : Set ι'
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ a ∈ s, Injective (f a)
hs : s.PairwiseDisjoint fun a => f a '' t
x : α × β
hx : x ∈ s ×ˢ t
y : α × β
hy : y ∈ s ×ˢ t
h : f x.1 x.2 = (fun p => f p.1 p.2) y
⊢ x = y
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s✝ : Set ι
t✝ : Set ι'
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ a ∈ s, Injective (f a)
hs : s.PairwiseDisjoint fun a => f a '' t
x : α × β
hx : x ∈ s ×ˢ t
y : α × β
hy : y ∈ s ×ˢ t
h : f x.1 x.2 = (fun p => f p.1 p.2) y
⊢ x.1 = y.1

tactic: refine hs.elim hx.1 hy.1 (not_disjoint_iff.2 ⟨_, mem_image_of_mem _ hx.2, ?_⟩)
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s✝ : Set ι
t✝ : Set ι'
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ a ∈ s, Injective (f a)
hs : s.PairwiseDisjoint fun a => f a '' t
x : α × β
hx : x ∈ s ×ˢ t
y : α × β
hy : y ∈ s ×ˢ t
h : f x.1 x.2 = (fun p => f p.1 p.2) y
⊢ x.1 = y.1
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s✝ : Set ι
t✝ : Set ι'
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ a ∈ s, Injective (f a)
hs : s.PairwiseDisjoint fun a => f a '' t
x : α × β
hx : x ∈ s ×ˢ t
y : α × β
hy : y ∈ s ×ˢ t
h : f x.1 x.2 = (fun p => f p.1 p.2) y
⊢ f x.1 x.2 ∈ f y.1 '' t

tactic: rw [h]
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s✝ : Set ι
t✝ : Set ι'
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ a ∈ s, Injective (f a)
hs : s.PairwiseDisjoint fun a => f a '' t
x : α × β
hx : x ∈ s ×ˢ t
y : α × β
hy : y ∈ s ×ˢ t
h : f x.1 x.2 = (fun p => f p.1 p.2) y
⊢ f x.1 x.2 ∈ f y.1 '' t
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s✝ : Set ι
t✝ : Set ι'
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ a ∈ s, Injective (f a)
hs : s.PairwiseDisjoint fun a => f a '' t
x : α × β
hx : x ∈ s ×ˢ t
y : α × β
hy : y ∈ s ×ˢ t
h : f x.1 x.2 = (fun p => f p.1 p.2) y
⊢ (fun p => f p.1 p.2) y ∈ f y.1 '' t

tactic: exact mem_image_of_mem _ hy.2
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s✝ : Set ι
t✝ : Set ι'
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ a ∈ s, Injective (f a)
hs : s.PairwiseDisjoint fun a => f a '' t
x : α × β
hx : x ∈ s ×ˢ t
y : α × β
hy : y ∈ s ×ˢ t
h : f x.1 x.2 = (fun p => f p.1 p.2) y
⊢ (fun p => f p.1 p.2) y ∈ f y.1 '' t
state_after: no goals

tactic: exact Prod.ext this (hf _ hx.1 <| h.trans <| by rw [this])
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s✝ : Set ι
t✝ : Set ι'
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ a ∈ s, Injective (f a)
hs : s.PairwiseDisjoint fun a => f a '' t
x : α × β
hx : x ∈ s ×ˢ t
y : α × β
hy : y ∈ s ×ˢ t
h : f x.1 x.2 = (fun p => f p.1 p.2) y
this : x.1 = y.1
⊢ x = y
state_after: no goals

tactic: rw [this]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s✝ : Set ι
t✝ : Set ι'
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ a ∈ s, Injective (f a)
hs : s.PairwiseDisjoint fun a => f a '' t
x : α × β
hx : x ∈ s ×ˢ t
y : α × β
hy : y ∈ s ×ˢ t
h : f x.1 x.2 = (fun p => f p.1 p.2) y
this : x.1 = y.1
⊢ (fun p => f p.1 p.2) y = f x.1 y.2
state_after: no goals

tactic: refine disjoint_iff_inf_le.mpr ?_
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s✝ : Set ι
t✝ : Set ι'
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ a ∈ s, Injective (f a)
hs : InjOn (fun p => f p.1 p.2) (s ×ˢ t)
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
h : x ≠ y
⊢ (Disjoint on fun a => f a '' t) x y
state_after: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s✝ : Set ι
t✝ : Set ι'
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ a ∈ s, Injective (f a)
hs : InjOn (fun p => f p.1 p.2) (s ×ˢ t)
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
h : x ≠ y
⊢ (fun a => f a '' t) x ⊓ (fun a => f a '' t) y ≤ ⊥

tactic: rintro _ ⟨⟨a, ha, hab⟩, b, hb, rfl⟩
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s✝ : Set ι
t✝ : Set ι'
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ a ∈ s, Injective (f a)
hs : InjOn (fun p => f p.1 p.2) (s ×ˢ t)
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
h : x ≠ y
⊢ (fun a => f a '' t) x ⊓ (fun a => f a '' t) y ≤ ⊥
state_after: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s✝ : Set ι
t✝ : Set ι'
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ a ∈ s, Injective (f a)
hs : InjOn (fun p => f p.1 p.2) (s ×ˢ t)
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
h : x ≠ y
a : β
ha : a ∈ t
b : β
hb : b ∈ t
hab : f x a = f y b
⊢ f y b ∈ ⊥

tactic: exact h (congr_arg Prod.fst <| hs (mk_mem_prod hx ha) (mk_mem_prod hy hb) hab)
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s✝ : Set ι
t✝ : Set ι'
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ a ∈ s, Injective (f a)
hs : InjOn (fun p => f p.1 p.2) (s ×ˢ t)
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
h : x ≠ y
a : β
ha : a ∈ t
b : β
hb : b ∈ t
hab : f x a = f y b
⊢ f y b ∈ ⊥
state_after: no goals