Theorem: Memℓp.star_mem
File: Mathlib/Analysis/NormedSpace/lpSpace.lean

tactic: rcases p.trichotomy with (rfl | rfl | hp)
state_before: α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
⊢ Memℓp (star f) p
state_after: case inl
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f 0
⊢ Memℓp (star f) 0

case inr.inl
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ⊤
⊢ Memℓp (star f) ⊤

case inr.inr
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hp : 0 < p.toReal
⊢ Memℓp (star f) p

tactic: apply memℓp_zero
state_before: case inl
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f 0
⊢ Memℓp (star f) 0
state_after: case inl.hf
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f 0
⊢ {i | star f i ≠ 0}.Finite

tactic: simp [hf.finite_dsupport]
state_before: case inl.hf
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f 0
⊢ {i | star f i ≠ 0}.Finite
state_after: no goals

tactic: apply memℓp_infty
state_before: case inr.inl
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ⊤
⊢ Memℓp (star f) ⊤
state_after: case inr.inl.hf
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ⊤
⊢ BddAbove (Set.range fun i => ‖star f i‖)

tactic: simpa using hf.bddAbove
state_before: case inr.inl.hf
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ⊤
⊢ BddAbove (Set.range fun i => ‖star f i‖)
state_after: no goals

tactic: apply memℓp_gen
state_before: case inr.inr
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hp : 0 < p.toReal
⊢ Memℓp (star f) p
state_after: case inr.inr.hf
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hp : 0 < p.toReal
⊢ Summable fun i => ‖star f i‖ ^ p.toReal

tactic: simpa using hf.summable hp
state_before: case inr.inr.hf
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hp : 0 < p.toReal
⊢ Summable fun i => ‖star f i‖ ^ p.toReal
state_after: no goals