Theorem: fst_integral
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean

tactic: by_cases hE : CompleteSpace E
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : X → E × F
hf : Integrable f μ
⊢ (∫ (x : X), f x ∂μ).1 = ∫ (x : X), (f x).1 ∂μ
state_after: case pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : X → E × F
hf : Integrable f μ
hE : CompleteSpace E
⊢ (∫ (x : X), f x ∂μ).1 = ∫ (x : X), (f x).1 ∂μ

case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : X → E × F
hf : Integrable f μ
hE : ¬CompleteSpace E
⊢ (∫ (x : X), f x ∂μ).1 = ∫ (x : X), (f x).1 ∂μ

tactic: exact ((ContinuousLinearMap.fst ℝ E F).integral_comp_comm hf).symm
state_before: case pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : X → E × F
hf : Integrable f μ
hE : CompleteSpace E
⊢ (∫ (x : X), f x ∂μ).1 = ∫ (x : X), (f x).1 ∂μ
state_after: no goals

tactic: have : ¬(CompleteSpace (E × F)) := fun h ↦ hE <| .fst_of_prod (β := F)
state_before: case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : X → E × F
hf : Integrable f μ
hE : ¬CompleteSpace E
⊢ (∫ (x : X), f x ∂μ).1 = ∫ (x : X), (f x).1 ∂μ
state_after: case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : X → E × F
hf : Integrable f μ
hE : ¬CompleteSpace E
this : ¬CompleteSpace (E × F)
⊢ (∫ (x : X), f x ∂μ).1 = ∫ (x : X), (f x).1 ∂μ

tactic: simp [integral, *]
state_before: case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : X → E × F
hf : Integrable f μ
hE : ¬CompleteSpace E
this : ¬CompleteSpace (E × F)
⊢ (∫ (x : X), f x ∂μ).1 = ∫ (x : X), (f x).1 ∂μ
state_after: no goals