Theorem: MeasureTheory.mul_meas_ge_le_pow_snorm
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/ChebyshevMarkov.lean

tactic: have : 1 / p.toReal * p.toReal = 1 := by
  refine one_div_mul_cancel ?_
  rw [Ne, ENNReal.toReal_eq_zero_iff]
  exact not_or_of_not hp_ne_zero hp_ne_top
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
⊢ ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal} ≤ snorm f p μ ^ p.toReal
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
this : 1 / p.toReal * p.toReal = 1
⊢ ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal} ≤ snorm f p μ ^ p.toReal

tactic: rw [← ENNReal.rpow_one (ε * μ { x | ε ≤ (‖f x‖₊ : ℝ≥0∞) ^ p.toReal }), ← this, ENNReal.rpow_mul]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
this : 1 / p.toReal * p.toReal = 1
⊢ ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal} ≤ snorm f p μ ^ p.toReal
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
this : 1 / p.toReal * p.toReal = 1
⊢ ((ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal}) ^ (1 / p.toReal)) ^ p.toReal ≤ snorm f p μ ^ p.toReal

tactic: gcongr
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
this : 1 / p.toReal * p.toReal = 1
⊢ ((ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal}) ^ (1 / p.toReal)) ^ p.toReal ≤ snorm f p μ ^ p.toReal
state_after: case h₁
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
this : 1 / p.toReal * p.toReal = 1
⊢ (ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal}) ^ (1 / p.toReal) ≤ snorm f p μ

tactic: exact pow_mul_meas_ge_le_snorm μ hp_ne_zero hp_ne_top hf ε
state_before: case h₁
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
this : 1 / p.toReal * p.toReal = 1
⊢ (ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal}) ^ (1 / p.toReal) ≤ snorm f p μ
state_after: no goals

tactic: refine one_div_mul_cancel ?_
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
⊢ 1 / p.toReal * p.toReal = 1
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
⊢ p.toReal ≠ 0

tactic: rw [Ne, ENNReal.toReal_eq_zero_iff]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
⊢ p.toReal ≠ 0
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
⊢ ¬(p = 0 ∨ p = ⊤)

tactic: exact not_or_of_not hp_ne_zero hp_ne_top
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
⊢ ¬(p = 0 ∨ p = ⊤)
state_after: no goals