Theorem: cauchySeq_bdd
File: Mathlib/Topology/MetricSpace/Cauchy.lean

tactic: rcases Metric.cauchySeq_iff'.1 hu 1 zero_lt_one with ⟨N, hN⟩
state_before: α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
⊢ ∃ R > 0, ∀ (m n : ℕ), dist (u m) (u n) < R
state_after: case intro
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
⊢ ∃ R > 0, ∀ (m n : ℕ), dist (u m) (u n) < R

tactic: rsuffices ⟨R, R0, H⟩ : ∃ R > 0, ∀ n, dist (u n) (u N) < R
state_before: case intro
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
⊢ ∃ R > 0, ∀ (m n : ℕ), dist (u m) (u n) < R
state_after: case intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
R : ℝ
R0 : R > 0
H : ∀ (n : ℕ), dist (u n) (u N) < R
⊢ ∃ R > 0, ∀ (m n : ℕ), dist (u m) (u n) < R

α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
⊢ ∃ R > 0, ∀ (n : ℕ), dist (u n) (u N) < R

tactic: let R := Finset.sup (Finset.range N) fun n => nndist (u n) (u N)
state_before: α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
⊢ ∃ R > 0, ∀ (n : ℕ), dist (u n) (u N) < R
state_after: α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
R : NNReal := (Finset.range N).sup fun n => nndist (u n) (u N)
⊢ ∃ R > 0, ∀ (n : ℕ), dist (u n) (u N) < R

tactic: refine ⟨↑R + 1, add_pos_of_nonneg_of_pos R.2 zero_lt_one, fun n => ?_⟩
state_before: α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
R : NNReal := (Finset.range N).sup fun n => nndist (u n) (u N)
⊢ ∃ R > 0, ∀ (n : ℕ), dist (u n) (u N) < R
state_after: α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
R : NNReal := (Finset.range N).sup fun n => nndist (u n) (u N)
n : ℕ
⊢ dist (u n) (u N) < ↑R + 1

tactic: rcases le_or_lt N n with h | h
state_before: α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
R : NNReal := (Finset.range N).sup fun n => nndist (u n) (u N)
n : ℕ
⊢ dist (u n) (u N) < ↑R + 1
state_after: case inl
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
R : NNReal := (Finset.range N).sup fun n => nndist (u n) (u N)
n : ℕ
h : N ≤ n
⊢ dist (u n) (u N) < ↑R + 1

case inr
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
R : NNReal := (Finset.range N).sup fun n => nndist (u n) (u N)
n : ℕ
h : n < N
⊢ dist (u n) (u N) < ↑R + 1

tactic: exact ⟨_, add_pos R0 R0, fun m n =>
  lt_of_le_of_lt (dist_triangle_right _ _ _) (add_lt_add (H m) (H n))⟩
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
R : ℝ
R0 : R > 0
H : ∀ (n : ℕ), dist (u n) (u N) < R
⊢ ∃ R > 0, ∀ (m n : ℕ), dist (u m) (u n) < R
state_after: no goals

tactic: exact lt_of_lt_of_le (hN _ h) (le_add_of_nonneg_left R.2)
state_before: case inl
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
R : NNReal := (Finset.range N).sup fun n => nndist (u n) (u N)
n : ℕ
h : N ≤ n
⊢ dist (u n) (u N) < ↑R + 1
state_after: no goals

tactic: have : _ ≤ R := Finset.le_sup (Finset.mem_range.2 h)
state_before: case inr
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
R : NNReal := (Finset.range N).sup fun n => nndist (u n) (u N)
n : ℕ
h : n < N
⊢ dist (u n) (u N) < ↑R + 1
state_after: case inr
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
R : NNReal := (Finset.range N).sup fun n => nndist (u n) (u N)
n : ℕ
h : n < N
this : nndist (u n) (u N) ≤ R
⊢ dist (u n) (u N) < ↑R + 1

tactic: exact lt_of_le_of_lt this (lt_add_of_pos_right _ zero_lt_one)
state_before: case inr
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
R : NNReal := (Finset.range N).sup fun n => nndist (u n) (u N)
n : ℕ
h : n < N
this : nndist (u n) (u N) ≤ R
⊢ dist (u n) (u N) < ↑R + 1
state_after: no goals