Theorem: ContinuousLinearMap.integral_apply
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean

tactic: by_cases hE : CompleteSpace E
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
H : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
φ : X → H →L[𝕜] E
φ_int : Integrable φ μ
v : H
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) v = ∫ (x : X), (φ x) v ∂μ
state_after: case pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
H : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
φ : X → H →L[𝕜] E
φ_int : Integrable φ μ
v : H
hE : CompleteSpace E
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) v = ∫ (x : X), (φ x) v ∂μ

case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
H : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
φ : X → H →L[𝕜] E
φ_int : Integrable φ μ
v : H
hE : ¬CompleteSpace E
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) v = ∫ (x : X), (φ x) v ∂μ

tactic: exact ((ContinuousLinearMap.apply 𝕜 E v).integral_comp_comm φ_int).symm
state_before: case pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
H : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
φ : X → H →L[𝕜] E
φ_int : Integrable φ μ
v : H
hE : CompleteSpace E
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) v = ∫ (x : X), (φ x) v ∂μ
state_after: no goals

tactic: rcases subsingleton_or_nontrivial H with hH|hH
state_before: case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
H : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
φ : X → H →L[𝕜] E
φ_int : Integrable φ μ
v : H
hE : ¬CompleteSpace E
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) v = ∫ (x : X), (φ x) v ∂μ
state_after: case neg.inl
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
H : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
φ : X → H →L[𝕜] E
φ_int : Integrable φ μ
v : H
hE : ¬CompleteSpace E
hH : Subsingleton H
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) v = ∫ (x : X), (φ x) v ∂μ

case neg.inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
H : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
φ : X → H →L[𝕜] E
φ_int : Integrable φ μ
v : H
hE : ¬CompleteSpace E
hH : Nontrivial H
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) v = ∫ (x : X), (φ x) v ∂μ

tactic: simp [Subsingleton.eq_zero v]
state_before: case neg.inl
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
H : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
φ : X → H →L[𝕜] E
φ_int : Integrable φ μ
v : H
hE : ¬CompleteSpace E
hH : Subsingleton H
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) v = ∫ (x : X), (φ x) v ∂μ
state_after: no goals

tactic: have : ¬(CompleteSpace (H →L[𝕜] E)) := by
  rwa [SeparatingDual.completeSpace_continuousLinearMap_iff]
state_before: case neg.inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
H : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
φ : X → H →L[𝕜] E
φ_int : Integrable φ μ
v : H
hE : ¬CompleteSpace E
hH : Nontrivial H
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) v = ∫ (x : X), (φ x) v ∂μ
state_after: case neg.inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
H : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
φ : X → H →L[𝕜] E
φ_int : Integrable φ μ
v : H
hE : ¬CompleteSpace E
hH : Nontrivial H
this : ¬CompleteSpace (H →L[𝕜] E)
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) v = ∫ (x : X), (φ x) v ∂μ

tactic: simp [integral, hE, this]
state_before: case neg.inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
H : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
φ : X → H →L[𝕜] E
φ_int : Integrable φ μ
v : H
hE : ¬CompleteSpace E
hH : Nontrivial H
this : ¬CompleteSpace (H →L[𝕜] E)
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) v = ∫ (x : X), (φ x) v ∂μ
state_after: no goals

tactic: rwa [SeparatingDual.completeSpace_continuousLinearMap_iff]
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
H : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
φ : X → H →L[𝕜] E
φ_int : Integrable φ μ
v : H
hE : ¬CompleteSpace E
hH : Nontrivial H
⊢ ¬CompleteSpace (H →L[𝕜] E)
state_after: no goals