Theorem: isClosedMap_snd_of_compactSpace
File: Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean

tactic: rw [← isOpen_compl_iff, isOpen_iff_mem_nhds]
state_before: X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s
⊢ IsClosed (Prod.snd '' s)
state_after: X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s
⊢ ∀ x ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ, (Prod.snd '' s)ᶜ ∈ 𝓝 x

tactic: intro y hy
state_before: X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s
⊢ ∀ x ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ, (Prod.snd '' s)ᶜ ∈ 𝓝 x
state_after: X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
⊢ (Prod.snd '' s)ᶜ ∈ 𝓝 y

tactic: have : univ ×ˢ {y} ⊆ sᶜ := by
  exact fun (x, y') ⟨_, rfl⟩ hs => hy ⟨(x, y'), hs, rfl⟩
state_before: X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
⊢ (Prod.snd '' s)ᶜ ∈ 𝓝 y
state_after: X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
this : univ ×ˢ {y} ⊆ sᶜ
⊢ (Prod.snd '' s)ᶜ ∈ 𝓝 y

tactic: rcases generalized_tube_lemma isCompact_univ isCompact_singleton hs.isOpen_compl this
  with ⟨U, V, -, hVo, hU, hV, hs⟩
state_before: X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
this : univ ×ˢ {y} ⊆ sᶜ
⊢ (Prod.snd '' s)ᶜ ∈ 𝓝 y
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs✝ : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
this : univ ×ˢ {y} ⊆ sᶜ
U : Set X
V : Set Y
hVo : IsOpen V
hU : univ ⊆ U
hV : {y} ⊆ V
hs : U ×ˢ V ⊆ sᶜ
⊢ (Prod.snd '' s)ᶜ ∈ 𝓝 y

tactic: refine mem_nhds_iff.2 ⟨V, ?_, hVo, hV rfl⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs✝ : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
this : univ ×ˢ {y} ⊆ sᶜ
U : Set X
V : Set Y
hVo : IsOpen V
hU : univ ⊆ U
hV : {y} ⊆ V
hs : U ×ˢ V ⊆ sᶜ
⊢ (Prod.snd '' s)ᶜ ∈ 𝓝 y
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs✝ : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
this : univ ×ˢ {y} ⊆ sᶜ
U : Set X
V : Set Y
hVo : IsOpen V
hU : univ ⊆ U
hV : {y} ⊆ V
hs : U ×ˢ V ⊆ sᶜ
⊢ V ⊆ (Prod.snd '' s)ᶜ

tactic: rintro _ hzV ⟨z, hzs, rfl⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs✝ : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
this : univ ×ˢ {y} ⊆ sᶜ
U : Set X
V : Set Y
hVo : IsOpen V
hU : univ ⊆ U
hV : {y} ⊆ V
hs : U ×ˢ V ⊆ sᶜ
⊢ V ⊆ (Prod.snd '' s)ᶜ
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs✝ : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
this : univ ×ˢ {y} ⊆ sᶜ
U : Set X
V : Set Y
hVo : IsOpen V
hU : univ ⊆ U
hV : {y} ⊆ V
hs : U ×ˢ V ⊆ sᶜ
z : X × Y
hzs : z ∈ s
hzV : z.2 ∈ V
⊢ False

tactic: exact hs ⟨hU trivial, hzV⟩ hzs
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs✝ : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
this : univ ×ˢ {y} ⊆ sᶜ
U : Set X
V : Set Y
hVo : IsOpen V
hU : univ ⊆ U
hV : {y} ⊆ V
hs : U ×ˢ V ⊆ sᶜ
z : X × Y
hzs : z ∈ s
hzV : z.2 ∈ V
⊢ False
state_after: no goals

tactic: exact fun (x, y') ⟨_, rfl⟩ hs => hy ⟨(x, y'), hs, rfl⟩
state_before: X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
⊢ univ ×ˢ {y} ⊆ sᶜ
state_after: no goals