Theorem: szemeredi_regularity
File: Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Lemma.lean

tactic: obtain hα | hα := le_total (card α) (bound ε l)
state_before: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
state_after: case inl
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : Fintype.card α ≤ bound ε l
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε

case inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε

tactic: let t := initialBound ε l
state_before: case inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
state_after: case inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε

tactic: have htα : t ≤ (univ : Finset α).card :=
  (initialBound_le_bound _ _).trans (by rwa [Finset.card_univ])
state_before: case inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
state_after: case inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε

tactic: obtain ⟨dum, hdum₁, hdum₂⟩ :=
  exists_equipartition_card_eq (univ : Finset α) (initialBound_pos _ _).ne' htα
state_before: case inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
state_after: case inr.intro.intro
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε

tactic: obtain hε₁ | hε₁ := le_total 1 ε
state_before: case inr.intro.intro
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
state_after: case inr.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : 1 ≤ ε
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε

case inr.intro.intro.inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε

tactic: have : Nonempty α := by
  rw [← Fintype.card_pos_iff]
  exact (bound_pos _ _).trans_le hα
state_before: case inr.intro.intro.inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
state_after: case inr.intro.intro.inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε

tactic: intro i
state_before: case inr.intro.intro.inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
⊢ ∀ (i : ℕ),
    ∃ P,
      P.IsEquipartition ∧
        t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case inr.intro.intro.inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))

tactic: induction' i with i ih
state_before: case inr.intro.intro.inr
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case inr.intro.intro.inr.zero
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[0] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑0 ≤ ↑(P.energy G))

case inr.intro.intro.inr.succ
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
ih :
  ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))

tactic: obtain ⟨P, hP₁, hP₂, hP₃, hP₄⟩ := ih
state_before: case inr.intro.intro.inr.succ
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
ih :
  ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case inr.intro.intro.inr.succ.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))

tactic: by_cases huniform : P.IsUniform G ε
state_before: case inr.intro.intro.inr.succ.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case pos
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
huniform : P.IsUniform G ε
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))

case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
huniform : ¬P.IsUniform G ε
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))

tactic: replace hP₄ := hP₄.resolve_left huniform
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
huniform : ¬P.IsUniform G ε
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))

tactic: have hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5 :=
  (hundred_lt_pow_initialBound_mul hε l).le.trans
    (mul_le_mul_of_nonneg_right (pow_le_pow_right (by norm_num) hP₂) <| by positivity)
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))

tactic: have hi : (i : ℝ) ≤ 4 / ε ^ 5 := by
  have hi : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ 1 := hP₄.trans (mod_cast P.energy_le_one G)
  rw [div_mul_eq_mul_div, div_le_iff (show (0 : ℝ) < 4 by norm_num)] at hi
  norm_num at hi
  rwa [le_div_iff' (pow_pos hε _)]
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))

tactic: have hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t :=
  hP₃.trans (monotone_iterate_of_id_le le_stepBound (Nat.le_floor hi) _)
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))

tactic: have hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α :=
  (Nat.mul_le_mul hsize (Nat.pow_le_pow_of_le_right (by norm_num) hsize)).trans hα
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))

tactic: refine ⟨increment hP₁ G ε, increment_isEquipartition hP₁ G ε, ?_, ?_, Or.inr <| le_trans ?_ <|
  energy_increment hP₁ ((seven_le_initialBound ε l).trans hP₂) hεl' hPα huniform hε.le hε₁⟩
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case neg.refine_1
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
⊢ t ≤ (increment hP₁ G ε).parts.card

case neg.refine_2
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
⊢ (increment hP₁ G ε).parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t

case neg.refine_3
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
⊢ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G) + ε ^ 5 / 4

tactic: refine ⟨⊥, bot_isEquipartition _, ?_⟩
state_before: case inl
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : Fintype.card α ≤ bound ε l
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
state_after: case inl
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : Fintype.card α ≤ bound ε l
⊢ l ≤ ⊥.parts.card ∧ ⊥.parts.card ≤ bound ε l ∧ ⊥.IsUniform G ε

tactic: rw [card_bot, card_univ]
state_before: case inl
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : Fintype.card α ≤ bound ε l
⊢ l ≤ ⊥.parts.card ∧ ⊥.parts.card ≤ bound ε l ∧ ⊥.IsUniform G ε
state_after: case inl
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : Fintype.card α ≤ bound ε l
⊢ l ≤ Fintype.card α ∧ Fintype.card α ≤ bound ε l ∧ ⊥.IsUniform G ε

tactic: exact ⟨hl, hα, bot_isUniform _ hε⟩
state_before: case inl
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : Fintype.card α ≤ bound ε l
⊢ l ≤ Fintype.card α ∧ Fintype.card α ≤ bound ε l ∧ ⊥.IsUniform G ε
state_after: no goals

tactic: rwa [Finset.card_univ]
state_before: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
⊢ bound ε l ≤ univ.card
state_after: no goals

tactic: exact ⟨dum, hdum₁, (le_initialBound ε l).trans hdum₂.ge,
  hdum₂.le.trans (initialBound_le_bound ε l), (dum.isUniform_one G).mono hε₁⟩
state_before: case inr.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : 1 ≤ ε
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
state_after: no goals

tactic: rw [← Fintype.card_pos_iff]
state_before: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ Nonempty α
state_after: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ 0 < Fintype.card α

tactic: exact (bound_pos _ _).trans_le hα
state_before: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ 0 < Fintype.card α
state_after: no goals

tactic: obtain ⟨P, hP₁, hP₂, hP₃, hP₄⟩ := h (⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1)
state_before: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
h :
  ∀ (i : ℕ),
    ∃ P,
      P.IsEquipartition ∧
        t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
state_after: case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
h :
  ∀ (i : ℕ),
    ∃ P,
      P.IsEquipartition ∧
        t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε

tactic: refine ⟨P, hP₁, (le_initialBound _ _).trans hP₂, hP₃.trans ?_,
  hP₄.resolve_right fun hPenergy => lt_irrefl (1 : ℝ) ?_⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
h :
  ∀ (i : ℕ),
    ∃ P,
      P.IsEquipartition ∧
        t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_1
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
h :
  ∀ (i : ℕ),
    ∃ P,
      P.IsEquipartition ∧
        t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
⊢ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1] t ≤ bound ε l

case intro.intro.intro.intro.refine_2
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
h :
  ∀ (i : ℕ),
    ∃ P,
      P.IsEquipartition ∧
        t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
hPenergy : ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
⊢ 1 < 1

tactic: calc
  (1 : ℝ) = ε ^ 5 / ↑4 * (↑4 / ε ^ 5) := by
    rw [mul_comm, div_mul_div_cancel 4 (pow_pos hε 5).ne']; norm_num
  _ < ε ^ 5 / 4 * (⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) :=
    ((mul_lt_mul_left <| by positivity).2 (Nat.lt_floor_add_one _))
  _ ≤ (P.energy G : ℝ) := by rwa [← Nat.cast_add_one]
  _ ≤ 1 := mod_cast P.energy_le_one G
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_2
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
h :
  ∀ (i : ℕ),
    ∃ P,
      P.IsEquipartition ∧
        t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
hPenergy : ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
⊢ 1 < 1
state_after: no goals

tactic: rw [iterate_succ_apply']
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_1
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
h :
  ∀ (i : ℕ),
    ∃ P,
      P.IsEquipartition ∧
        t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
⊢ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1] t ≤ bound ε l
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_1
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
h :
  ∀ (i : ℕ),
    ∃ P,
      P.IsEquipartition ∧
        t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
⊢ stepBound (stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t) ≤ bound ε l

tactic: exact mul_le_mul_left' (pow_le_pow_left (by norm_num) (by norm_num) _) _
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_1
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
h :
  ∀ (i : ℕ),
    ∃ P,
      P.IsEquipartition ∧
        t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
⊢ stepBound (stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t) ≤ bound ε l
state_after: no goals

tactic: norm_num
state_before: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
h :
  ∀ (i : ℕ),
    ∃ P,
      P.IsEquipartition ∧
        t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
⊢ 0 ≤ 4
state_after: no goals

tactic: norm_num
state_before: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
h :
  ∀ (i : ℕ),
    ∃ P,
      P.IsEquipartition ∧
        t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
⊢ 4 ≤ 16
state_after: no goals

tactic: rw [mul_comm, div_mul_div_cancel 4 (pow_pos hε 5).ne']
state_before: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
h :
  ∀ (i : ℕ),
    ∃ P,
      P.IsEquipartition ∧
        t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
hPenergy : ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
⊢ 1 = ε ^ 5 / 4 * (4 / ε ^ 5)
state_after: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
h :
  ∀ (i : ℕ),
    ∃ P,
      P.IsEquipartition ∧
        t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
hPenergy : ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
⊢ 1 = 4 / 4

tactic: norm_num
state_before: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
h :
  ∀ (i : ℕ),
    ∃ P,
      P.IsEquipartition ∧
        t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
hPenergy : ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
⊢ 1 = 4 / 4
state_after: no goals

tactic: positivity
state_before: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
h :
  ∀ (i : ℕ),
    ∃ P,
      P.IsEquipartition ∧
        t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
hPenergy : ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
⊢ 0 < ε ^ 5 / 4
state_after: no goals

tactic: rwa [← Nat.cast_add_one]
state_before: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
h :
  ∀ (i : ℕ),
    ∃ P,
      P.IsEquipartition ∧
        t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
hPenergy : ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
⊢ ε ^ 5 / 4 * (↑⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
state_after: no goals

tactic: refine ⟨dum, hdum₁, hdum₂.ge, hdum₂.le, Or.inr ?_⟩
state_before: case inr.intro.intro.inr.zero
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[0] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑0 ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case inr.intro.intro.inr.zero
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
⊢ ε ^ 5 / 4 * ↑0 ≤ ↑(dum.energy G)

tactic: rw [Nat.cast_zero, mul_zero]
state_before: case inr.intro.intro.inr.zero
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
⊢ ε ^ 5 / 4 * ↑0 ≤ ↑(dum.energy G)
state_after: case inr.intro.intro.inr.zero
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
⊢ 0 ≤ ↑(dum.energy G)

tactic: exact mod_cast dum.energy_nonneg G
state_before: case inr.intro.intro.inr.zero
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
⊢ 0 ≤ ↑(dum.energy G)
state_after: no goals

tactic: refine ⟨P, hP₁, hP₂, ?_, Or.inl huniform⟩
state_before: case pos
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
huniform : P.IsUniform G ε
⊢ ∃ P,
    P.IsEquipartition ∧
      t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))
state_after: case pos
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
huniform : P.IsUniform G ε
⊢ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t

tactic: rw [iterate_succ_apply']
state_before: case pos
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
huniform : P.IsUniform G ε
⊢ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t
state_after: case pos
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
huniform : P.IsUniform G ε
⊢ P.parts.card ≤ stepBound (stepBound^[i] t)

tactic: exact hP₃.trans (le_stepBound _)
state_before: case pos
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
huniform : P.IsUniform G ε
⊢ P.parts.card ≤ stepBound (stepBound^[i] t)
state_after: no goals

tactic: norm_num
state_before: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
⊢ 1 ≤ 4
state_after: no goals

tactic: positivity
state_before: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
⊢ 0 ≤ ε ^ 5
state_after: no goals

tactic: have hi : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ 1 := hP₄.trans (mod_cast P.energy_le_one G)
state_before: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
⊢ ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
state_after: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ 1
⊢ ↑i ≤ 4 / ε ^ 5

tactic: rw [div_mul_eq_mul_div, div_le_iff (show (0 : ℝ) < 4 by norm_num)] at hi
state_before: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ 1
⊢ ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
state_after: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ε ^ 5 * ↑i ≤ 1 * 4
⊢ ↑i ≤ 4 / ε ^ 5

tactic: norm_num at hi
state_before: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ε ^ 5 * ↑i ≤ 1 * 4
⊢ ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
state_after: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ε ^ 5 * ↑i ≤ 4
⊢ ↑i ≤ 4 / ε ^ 5

tactic: rwa [le_div_iff' (pow_pos hε _)]
state_before: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ε ^ 5 * ↑i ≤ 4
⊢ ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
state_after: no goals

tactic: norm_num
state_before: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ε ^ 5 * ↑i / 4 ≤ 1
⊢ 0 < 4
state_after: no goals

tactic: norm_num
state_before: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
⊢ 16 > 0
state_after: no goals

tactic: rw [card_increment hPα huniform]
state_before: case neg.refine_1
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
⊢ t ≤ (increment hP₁ G ε).parts.card
state_after: case neg.refine_1
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
⊢ t ≤ stepBound P.parts.card

tactic: exact hP₂.trans (le_stepBound _)
state_before: case neg.refine_1
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
⊢ t ≤ stepBound P.parts.card
state_after: no goals

tactic: rw [card_increment hPα huniform, iterate_succ_apply']
state_before: case neg.refine_2
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
⊢ (increment hP₁ G ε).parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t
state_after: case neg.refine_2
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
⊢ stepBound P.parts.card ≤ stepBound (stepBound^[i] t)

tactic: exact stepBound_mono hP₃
state_before: case neg.refine_2
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
⊢ stepBound P.parts.card ≤ stepBound (stepBound^[i] t)
state_after: no goals

tactic: rw [Nat.cast_succ, mul_add, mul_one]
state_before: case neg.refine_3
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
⊢ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G) + ε ^ 5 / 4
state_after: case neg.refine_3
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
⊢ ε ^ 5 / 4 * ↑i + ε ^ 5 / 4 ≤ ↑(P.energy G) + ε ^ 5 / 4

tactic: exact add_le_add_right hP₄ _
state_before: case neg.refine_3
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
⊢ ε ^ 5 / 4 * ↑i + ε ^ 5 / 4 ≤ ↑(P.energy G) + ε ^ 5 / 4
state_after: no goals