Theorem: Algebra.FiniteType.iff_quotient_mvPolynomial'
File: Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean

tactic: constructor
state_before: R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
⊢ FiniteType R S ↔ ∃ ι x f, Surjective ⇑f
state_after: case mp
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
⊢ FiniteType R S → ∃ ι x f, Surjective ⇑f

case mpr
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
⊢ (∃ ι x f, Surjective ⇑f) → FiniteType R S

tactic: rw [iff_quotient_mvPolynomial]
state_before: case mp
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
⊢ FiniteType R S → ∃ ι x f, Surjective ⇑f
state_after: case mp
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
⊢ (∃ s f, Surjective ⇑f) → ∃ ι x f, Surjective ⇑f

tactic: rintro ⟨s, ⟨f, hsur⟩⟩
state_before: case mp
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
⊢ (∃ s f, Surjective ⇑f) → ∃ ι x f, Surjective ⇑f
state_after: case mp.intro.intro
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
s : Finset S
f : MvPolynomial { x // x ∈ s } R →ₐ[R] S
hsur : Surjective ⇑f
⊢ ∃ ι x f, Surjective ⇑f

tactic: use { x : S // x ∈ s }, inferInstance, f
state_before: case mp.intro.intro
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
s : Finset S
f : MvPolynomial { x // x ∈ s } R →ₐ[R] S
hsur : Surjective ⇑f
⊢ ∃ ι x f, Surjective ⇑f
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨ι, ⟨hfintype, ⟨f, hsur⟩⟩⟩
state_before: case mpr
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
⊢ (∃ ι x f, Surjective ⇑f) → FiniteType R S
state_after: case mpr.intro.intro.intro
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
ι : Type uS
hfintype : Fintype ι
f : MvPolynomial ι R →ₐ[R] S
hsur : Surjective ⇑f
⊢ FiniteType R S

tactic: letI : Fintype ι := hfintype
state_before: case mpr.intro.intro.intro
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
ι : Type uS
hfintype : Fintype ι
f : MvPolynomial ι R →ₐ[R] S
hsur : Surjective ⇑f
⊢ FiniteType R S
state_after: case mpr.intro.intro.intro
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
ι : Type uS
hfintype : Fintype ι
f : MvPolynomial ι R →ₐ[R] S
hsur : Surjective ⇑f
this : Fintype ι := hfintype
⊢ FiniteType R S

tactic: exact FiniteType.of_surjective (FiniteType.mvPolynomial R ι) f hsur
state_before: case mpr.intro.intro.intro
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
ι : Type uS
hfintype : Fintype ι
f : MvPolynomial ι R →ₐ[R] S
hsur : Surjective ⇑f
this : Fintype ι := hfintype
⊢ FiniteType R S
state_after: no goals