Theorem: Nat.fast_fib_aux_bit_ff
File: Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean

tactic: rw [fastFibAux, binaryRec_eq]
state_before: n : ℕ
⊢ (bit false n).fastFibAux =
    let p := n.fastFibAux;
    (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)
state_after: n : ℕ
⊢ (if false = true then
      ((binaryRec (fib 0, fib 1)
                (fun b x p =>
                  if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
                  else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
                n).2 ^
            2 +
          (binaryRec (fib 0, fib 1)
                (fun b x p =>
                  if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
                  else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
                n).1 ^
            2,
        (binaryRec (fib 0, fib 1)
              (fun b x p =>
                if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
                else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
              n).2 *
          (2 *
              (binaryRec (fib 0, fib 1)
                  (fun b x p =>
                    if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
                    else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
                  n).1 +
            (binaryRec (fib 0, fib 1)
                (fun b x p =>
                  if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
                  else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
                n).2))
    else
      ((binaryRec (fib 0, fib 1)
              (fun b x p =>
                if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
                else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
              n).1 *
          (2 *
              (binaryRec (fib 0, fib 1)
                  (fun b x p =>
                    if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
                    else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
                  n).2 -
            (binaryRec (fib 0, fib 1)
                (fun b x p =>
                  if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
                  else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
                n).1),
        (binaryRec (fib 0, fib 1)
                (fun b x p =>
                  if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
                  else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
                n).2 ^
            2 +
          (binaryRec (fib 0, fib 1)
                (fun b x p =>
                  if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
                  else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
                n).1 ^
            2)) =
    let p :=
      binaryRec (fib 0, fib 1)
        (fun b x p =>
          if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
        n;
    (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)

case h
n : ℕ
⊢ (if false = true then
      ((fib 0, fib 1).2 ^ 2 + (fib 0, fib 1).1 ^ 2, (fib 0, fib 1).2 * (2 * (fib 0, fib 1).1 + (fib 0, fib 1).2))
    else ((fib 0, fib 1).1 * (2 * (fib 0, fib 1).2 - (fib 0, fib 1).1), (fib 0, fib 1).2 ^ 2 + (fib 0, fib 1).1 ^ 2)) =
    (fib 0, fib 1)

tactic: rfl
state_before: n : ℕ
⊢ (if false = true then
      ((binaryRec (fib 0, fib 1)
                (fun b x p =>
                  if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
                  else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
                n).2 ^
            2 +
          (binaryRec (fib 0, fib 1)
                (fun b x p =>
                  if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
                  else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
                n).1 ^
            2,
        (binaryRec (fib 0, fib 1)
              (fun b x p =>
                if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
                else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
              n).2 *
          (2 *
              (binaryRec (fib 0, fib 1)
                  (fun b x p =>
                    if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
                    else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
                  n).1 +
            (binaryRec (fib 0, fib 1)
                (fun b x p =>
                  if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
                  else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
                n).2))
    else
      ((binaryRec (fib 0, fib 1)
              (fun b x p =>
                if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
                else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
              n).1 *
          (2 *
              (binaryRec (fib 0, fib 1)
                  (fun b x p =>
                    if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
                    else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
                  n).2 -
            (binaryRec (fib 0, fib 1)
                (fun b x p =>
                  if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
                  else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
                n).1),
        (binaryRec (fib 0, fib 1)
                (fun b x p =>
                  if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
                  else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
                n).2 ^
            2 +
          (binaryRec (fib 0, fib 1)
                (fun b x p =>
                  if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
                  else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
                n).1 ^
            2)) =
    let p :=
      binaryRec (fib 0, fib 1)
        (fun b x p =>
          if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2))
        n;
    (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)
state_after: no goals

tactic: simp
state_before: case h
n : ℕ
⊢ (if false = true then
      ((fib 0, fib 1).2 ^ 2 + (fib 0, fib 1).1 ^ 2, (fib 0, fib 1).2 * (2 * (fib 0, fib 1).1 + (fib 0, fib 1).2))
    else ((fib 0, fib 1).1 * (2 * (fib 0, fib 1).2 - (fib 0, fib 1).1), (fib 0, fib 1).2 ^ 2 + (fib 0, fib 1).1 ^ 2)) =
    (fib 0, fib 1)
state_after: no goals