Theorem: LieModule.iterate_toEnd_mem_lowerCentralSeries
File: Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean

tactic: induction' k with k ih
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
x : L
m : M
k : ℕ
⊢ (⇑((toEnd R L M) x))^[k] m ∈ lowerCentralSeries R L M k
state_after: case zero
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
x : L
m : M
⊢ (⇑((toEnd R L M) x))^[0] m ∈ lowerCentralSeries R L M 0

case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
x : L
m : M
k : ℕ
ih : (⇑((toEnd R L M) x))^[k] m ∈ lowerCentralSeries R L M k
⊢ (⇑((toEnd R L M) x))^[k + 1] m ∈ lowerCentralSeries R L M (k + 1)

tactic: simp only [Nat.zero_eq, Function.iterate_zero, lowerCentralSeries_zero, LieSubmodule.mem_top]
state_before: case zero
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
x : L
m : M
⊢ (⇑((toEnd R L M) x))^[0] m ∈ lowerCentralSeries R L M 0
state_after: no goals

tactic: simp only [lowerCentralSeries_succ, Function.comp_apply, Function.iterate_succ',
  toEnd_apply_apply]
state_before: case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
x : L
m : M
k : ℕ
ih : (⇑((toEnd R L M) x))^[k] m ∈ lowerCentralSeries R L M k
⊢ (⇑((toEnd R L M) x))^[k + 1] m ∈ lowerCentralSeries R L M (k + 1)
state_after: case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
x : L
m : M
k : ℕ
ih : (⇑((toEnd R L M) x))^[k] m ∈ lowerCentralSeries R L M k
⊢ ⁅x, (⇑((toEnd R L M) x))^[k] m⁆ ∈ ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M k⁆

tactic: exact LieSubmodule.lie_mem_lie _ _ (LieSubmodule.mem_top x) ih
state_before: case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
x : L
m : M
k : ℕ
ih : (⇑((toEnd R L M) x))^[k] m ∈ lowerCentralSeries R L M k
⊢ ⁅x, (⇑((toEnd R L M) x))^[k] m⁆ ∈ ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M k⁆
state_after: no goals