Theorem: MeasureTheory.snorm_le_snorm_fderiv_one
File: Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean

tactic: have h0p : 0 < (p : ℝ) := hp.coe.symm.pos
state_before: ι : Type u_1
inst✝¹¹ : Fintype ι
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ≥0
hp : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
⊢ snorm u (↑p) μ ≤ ↑(snormLESNormFDerivOneConst μ ↑p) * snorm (fderiv ℝ u) 1 μ
state_after: ι : Type u_1
inst✝¹¹ : Fintype ι
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ≥0
hp : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
h0p : 0 < ↑p
⊢ snorm u (↑p) μ ≤ ↑(snormLESNormFDerivOneConst μ ↑p) * snorm (fderiv ℝ u) 1 μ

tactic: rw [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm,
  ← ENNReal.rpow_le_rpow_iff h0p, ENNReal.mul_rpow_of_nonneg _ _ h0p.le,
  ENNReal.coe_rpow_of_nonneg _ h0p.le, snormLESNormFDerivOneConst, ← NNReal.rpow_mul,
  snorm_nnreal_pow_eq_lintegral hp.symm.pos.ne',
  inv_mul_cancel h0p.ne', NNReal.rpow_one]
state_before: ι : Type u_1
inst✝¹¹ : Fintype ι
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ≥0
hp : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
h0p : 0 < ↑p
⊢ snorm u (↑p) μ ≤ ↑(snormLESNormFDerivOneConst μ ↑p) * snorm (fderiv ℝ u) 1 μ
state_after: ι : Type u_1
inst✝¹¹ : Fintype ι
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ≥0
hp : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
h0p : 0 < ↑p
⊢ ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p ∂μ ≤ ↑(lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ ↑p) * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ∂μ) ^ ↑p

tactic: exact lintegral_pow_le_pow_lintegral_fderiv μ hu h2u hp.coe
state_before: ι : Type u_1
inst✝¹¹ : Fintype ι
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ≥0
hp : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
h0p : 0 < ↑p
⊢ ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p ∂μ ≤ ↑(lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ ↑p) * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ∂μ) ^ ↑p
state_after: no goals