Theorem: eVariationOn.add_le_union
File: Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean

tactic: by_cases hs : s = ∅
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
⊢ eVariationOn f s + eVariationOn f t ≤ eVariationOn f (s ∪ t)
state_after: case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : s = ∅
⊢ eVariationOn f s + eVariationOn f t ≤ eVariationOn f (s ∪ t)

case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
⊢ eVariationOn f s + eVariationOn f t ≤ eVariationOn f (s ∪ t)

tactic: have : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ i : ℕ, u i ∈ s } :=
  nonempty_monotone_mem (nonempty_iff_ne_empty.2 hs)
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
⊢ eVariationOn f s + eVariationOn f t ≤ eVariationOn f (s ∪ t)
state_after: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
⊢ eVariationOn f s + eVariationOn f t ≤ eVariationOn f (s ∪ t)

tactic: by_cases ht : t = ∅
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
⊢ eVariationOn f s + eVariationOn f t ≤ eVariationOn f (s ∪ t)
state_after: case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : t = ∅
⊢ eVariationOn f s + eVariationOn f t ≤ eVariationOn f (s ∪ t)

case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
⊢ eVariationOn f s + eVariationOn f t ≤ eVariationOn f (s ∪ t)

tactic: have : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ i : ℕ, u i ∈ t } :=
  nonempty_monotone_mem (nonempty_iff_ne_empty.2 ht)
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
⊢ eVariationOn f s + eVariationOn f t ≤ eVariationOn f (s ∪ t)
state_after: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
⊢ eVariationOn f s + eVariationOn f t ≤ eVariationOn f (s ∪ t)

tactic: refine ENNReal.iSup_add_iSup_le ?_
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
⊢ eVariationOn f s + eVariationOn f t ≤ eVariationOn f (s ∪ t)
state_after: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
⊢ ∀ (i : ℕ × { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }) (j : ℕ × { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }),
    ∑ i_1 ∈ Finset.range i.1, edist (f (↑i.2 (i_1 + 1))) (f (↑i.2 i_1)) +
        ∑ i ∈ Finset.range j.1, edist (f (↑j.2 (i + 1))) (f (↑j.2 i)) ≤
      eVariationOn f (s ∪ t)

tactic: rintro ⟨n, ⟨u, hu, us⟩⟩ ⟨m, ⟨v, hv, vt⟩⟩
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
⊢ ∀ (i : ℕ × { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }) (j : ℕ × { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }),
    ∑ i_1 ∈ Finset.range i.1, edist (f (↑i.2 (i_1 + 1))) (f (↑i.2 i_1)) +
        ∑ i ∈ Finset.range j.1, edist (f (↑j.2 (i + 1))) (f (↑j.2 i)) ≤
      eVariationOn f (s ∪ t)
state_after: case neg.mk.mk.intro.mk.mk.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1, edist (f (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 (i + 1))) (f (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 i)) +
      ∑ i ∈ Finset.range (m, ⟨v, ⋯⟩).1, edist (f (↑(m, ⟨v, ⋯⟩).2 (i + 1))) (f (↑(m, ⟨v, ⋯⟩).2 i)) ≤
    eVariationOn f (s ∪ t)

tactic: let w i := if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
state_before: case neg.mk.mk.intro.mk.mk.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1, edist (f (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 (i + 1))) (f (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 i)) +
      ∑ i ∈ Finset.range (m, ⟨v, ⋯⟩).1, edist (f (↑(m, ⟨v, ⋯⟩).2 (i + 1))) (f (↑(m, ⟨v, ⋯⟩).2 i)) ≤
    eVariationOn f (s ∪ t)
state_after: case neg.mk.mk.intro.mk.mk.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1, edist (f (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 (i + 1))) (f (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 i)) +
      ∑ i ∈ Finset.range (m, ⟨v, ⋯⟩).1, edist (f (↑(m, ⟨v, ⋯⟩).2 (i + 1))) (f (↑(m, ⟨v, ⋯⟩).2 i)) ≤
    eVariationOn f (s ∪ t)

tactic: simp [hs]
state_before: case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : s = ∅
⊢ eVariationOn f s + eVariationOn f t ≤ eVariationOn f (s ∪ t)
state_after: no goals

tactic: simp [ht]
state_before: case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : t = ∅
⊢ eVariationOn f s + eVariationOn f t ≤ eVariationOn f (s ∪ t)
state_after: no goals

tactic: intro i
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
⊢ ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
state_after: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
i : ℕ
⊢ w i ∈ s ∪ t

tactic: by_cases hi : i ≤ n
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
i : ℕ
⊢ w i ∈ s ∪ t
state_after: case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
i : ℕ
hi : i ≤ n
⊢ w i ∈ s ∪ t

case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
i : ℕ
hi : ¬i ≤ n
⊢ w i ∈ s ∪ t

tactic: simp [w, hi, us]
state_before: case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
i : ℕ
hi : i ≤ n
⊢ w i ∈ s ∪ t
state_after: no goals

tactic: simp [w, hi, vt]
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
i : ℕ
hi : ¬i ≤ n
⊢ w i ∈ s ∪ t
state_after: no goals

tactic: intro i j hij
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
⊢ Monotone w
state_after: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
i j : ℕ
hij : i ≤ j
⊢ w i ≤ w j

tactic: dsimp only [w]
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
i j : ℕ
hij : i ≤ j
⊢ w i ≤ w j
state_after: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
i j : ℕ
hij : i ≤ j
⊢ (if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))) ≤ if j ≤ n then u j else v (j - (n + 1))

tactic: split_ifs with h_1 h_2 h_2
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
i j : ℕ
hij : i ≤ j
⊢ (if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))) ≤ if j ≤ n then u j else v (j - (n + 1))
state_after: case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
i j : ℕ
hij : i ≤ j
h_1 : i ≤ n
h_2 : j ≤ n
⊢ u i ≤ u j

case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
i j : ℕ
hij : i ≤ j
h_1 : i ≤ n
h_2 : ¬j ≤ n
⊢ u i ≤ v (j - (n + 1))

case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
i j : ℕ
hij : i ≤ j
h_1 : ¬i ≤ n
h_2 : j ≤ n
⊢ v (i - (n + 1)) ≤ u j

case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
i j : ℕ
hij : i ≤ j
h_1 : ¬i ≤ n
h_2 : ¬j ≤ n
⊢ v (i - (n + 1)) ≤ v (j - (n + 1))

tactic: exact hu hij
state_before: case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
i j : ℕ
hij : i ≤ j
h_1 : i ≤ n
h_2 : j ≤ n
⊢ u i ≤ u j
state_after: no goals

tactic: apply h _ (us _) _ (vt _)
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
i j : ℕ
hij : i ≤ j
h_1 : i ≤ n
h_2 : ¬j ≤ n
⊢ u i ≤ v (j - (n + 1))
state_after: no goals

tactic: exfalso
state_before: case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
i j : ℕ
hij : i ≤ j
h_1 : ¬i ≤ n
h_2 : j ≤ n
⊢ v (i - (n + 1)) ≤ u j
state_after: case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
i j : ℕ
hij : i ≤ j
h_1 : ¬i ≤ n
h_2 : j ≤ n
⊢ False

tactic: exact h_1 (hij.trans h_2)
state_before: case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
i j : ℕ
hij : i ≤ j
h_1 : ¬i ≤ n
h_2 : j ≤ n
⊢ False
state_after: no goals

tactic: apply hv (tsub_le_tsub hij le_rfl)
state_before: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
i j : ℕ
hij : i ≤ j
h_1 : ¬i ≤ n
h_2 : ¬j ≤ n
⊢ v (i - (n + 1)) ≤ v (j - (n + 1))
state_after: no goals

tactic: dsimp only [w]
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) + ∑ i ∈ Finset.range m, edist (f (v (i + 1))) (f (v i)) =
    ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (w (i + 1))) (f (w i)) +
      ∑ i ∈ Finset.range m, edist (f (w (n + 1 + i + 1))) (f (w (n + 1 + i)))
state_after: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) + ∑ i ∈ Finset.range m, edist (f (v (i + 1))) (f (v i)) =
    ∑ i ∈ Finset.range n,
        edist (f (if i + 1 ≤ n then u (i + 1) else v (i + 1 - (n + 1)))) (f (if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1)))) +
      ∑ i ∈ Finset.range m,
        edist (f (if n + 1 + i + 1 ≤ n then u (n + 1 + i + 1) else v (n + 1 + i + 1 - (n + 1))))
          (f (if n + 1 + i ≤ n then u (n + 1 + i) else v (n + 1 + i - (n + 1))))

tactic: congr 1
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) + ∑ i ∈ Finset.range m, edist (f (v (i + 1))) (f (v i)) =
    ∑ i ∈ Finset.range n,
        edist (f (if i + 1 ≤ n then u (i + 1) else v (i + 1 - (n + 1)))) (f (if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1)))) +
      ∑ i ∈ Finset.range m,
        edist (f (if n + 1 + i + 1 ≤ n then u (n + 1 + i + 1) else v (n + 1 + i + 1 - (n + 1))))
          (f (if n + 1 + i ≤ n then u (n + 1 + i) else v (n + 1 + i - (n + 1))))
state_after: case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) =
    ∑ i ∈ Finset.range n,
      edist (f (if i + 1 ≤ n then u (i + 1) else v (i + 1 - (n + 1)))) (f (if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))))

case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
⊢ ∑ i ∈ Finset.range m, edist (f (v (i + 1))) (f (v i)) =
    ∑ i ∈ Finset.range m,
      edist (f (if n + 1 + i + 1 ≤ n then u (n + 1 + i + 1) else v (n + 1 + i + 1 - (n + 1))))
        (f (if n + 1 + i ≤ n then u (n + 1 + i) else v (n + 1 + i - (n + 1))))

tactic: refine Finset.sum_congr rfl fun i hi => ?_
state_before: case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) =
    ∑ i ∈ Finset.range n,
      edist (f (if i + 1 ≤ n then u (i + 1) else v (i + 1 - (n + 1)))) (f (if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))))
state_after: case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range n
⊢ edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) =
    edist (f (if i + 1 ≤ n then u (i + 1) else v (i + 1 - (n + 1)))) (f (if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))))

tactic: simp only [Finset.mem_range] at hi
state_before: case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range n
⊢ edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) =
    edist (f (if i + 1 ≤ n then u (i + 1) else v (i + 1 - (n + 1)))) (f (if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))))
state_after: case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < n
⊢ edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) =
    edist (f (if i + 1 ≤ n then u (i + 1) else v (i + 1 - (n + 1)))) (f (if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))))

tactic: have : i + 1 ≤ n := Nat.succ_le_of_lt hi
state_before: case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < n
⊢ edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) =
    edist (f (if i + 1 ≤ n then u (i + 1) else v (i + 1 - (n + 1)))) (f (if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))))
state_after: case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝¹ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < n
this : i + 1 ≤ n
⊢ edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) =
    edist (f (if i + 1 ≤ n then u (i + 1) else v (i + 1 - (n + 1)))) (f (if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))))

tactic: simp [hi.le, this]
state_before: case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝¹ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < n
this : i + 1 ≤ n
⊢ edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) =
    edist (f (if i + 1 ≤ n then u (i + 1) else v (i + 1 - (n + 1)))) (f (if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))))
state_after: no goals

tactic: refine Finset.sum_congr rfl fun i hi => ?_
state_before: case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
⊢ ∑ i ∈ Finset.range m, edist (f (v (i + 1))) (f (v i)) =
    ∑ i ∈ Finset.range m,
      edist (f (if n + 1 + i + 1 ≤ n then u (n + 1 + i + 1) else v (n + 1 + i + 1 - (n + 1))))
        (f (if n + 1 + i ≤ n then u (n + 1 + i) else v (n + 1 + i - (n + 1))))
state_after: case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range m
⊢ edist (f (v (i + 1))) (f (v i)) =
    edist (f (if n + 1 + i + 1 ≤ n then u (n + 1 + i + 1) else v (n + 1 + i + 1 - (n + 1))))
      (f (if n + 1 + i ≤ n then u (n + 1 + i) else v (n + 1 + i - (n + 1))))

tactic: simp only [Finset.mem_range] at hi
state_before: case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range m
⊢ edist (f (v (i + 1))) (f (v i)) =
    edist (f (if n + 1 + i + 1 ≤ n then u (n + 1 + i + 1) else v (n + 1 + i + 1 - (n + 1))))
      (f (if n + 1 + i ≤ n then u (n + 1 + i) else v (n + 1 + i - (n + 1))))
state_after: case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < m
⊢ edist (f (v (i + 1))) (f (v i)) =
    edist (f (if n + 1 + i + 1 ≤ n then u (n + 1 + i + 1) else v (n + 1 + i + 1 - (n + 1))))
      (f (if n + 1 + i ≤ n then u (n + 1 + i) else v (n + 1 + i - (n + 1))))

tactic: have B : ¬n + 1 + i ≤ n := by omega
state_before: case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < m
⊢ edist (f (v (i + 1))) (f (v i)) =
    edist (f (if n + 1 + i + 1 ≤ n then u (n + 1 + i + 1) else v (n + 1 + i + 1 - (n + 1))))
      (f (if n + 1 + i ≤ n then u (n + 1 + i) else v (n + 1 + i - (n + 1))))
state_after: case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < m
B : ¬n + 1 + i ≤ n
⊢ edist (f (v (i + 1))) (f (v i)) =
    edist (f (if n + 1 + i + 1 ≤ n then u (n + 1 + i + 1) else v (n + 1 + i + 1 - (n + 1))))
      (f (if n + 1 + i ≤ n then u (n + 1 + i) else v (n + 1 + i - (n + 1))))

tactic: have A : ¬n + 1 + i + 1 ≤ n := fun h => B ((n + 1 + i).le_succ.trans h)
state_before: case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < m
B : ¬n + 1 + i ≤ n
⊢ edist (f (v (i + 1))) (f (v i)) =
    edist (f (if n + 1 + i + 1 ≤ n then u (n + 1 + i + 1) else v (n + 1 + i + 1 - (n + 1))))
      (f (if n + 1 + i ≤ n then u (n + 1 + i) else v (n + 1 + i - (n + 1))))
state_after: case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < m
B : ¬n + 1 + i ≤ n
A : ¬n + 1 + i + 1 ≤ n
⊢ edist (f (v (i + 1))) (f (v i)) =
    edist (f (if n + 1 + i + 1 ≤ n then u (n + 1 + i + 1) else v (n + 1 + i + 1 - (n + 1))))
      (f (if n + 1 + i ≤ n then u (n + 1 + i) else v (n + 1 + i - (n + 1))))

tactic: simp only [A, B, C, Nat.succ_sub_succ_eq_sub, if_false, add_tsub_cancel_left]
state_before: case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < m
B : ¬n + 1 + i ≤ n
A : ¬n + 1 + i + 1 ≤ n
C : n + 1 + i - n = i + 1
⊢ edist (f (v (i + 1))) (f (v i)) =
    edist (f (if n + 1 + i + 1 ≤ n then u (n + 1 + i + 1) else v (n + 1 + i + 1 - (n + 1))))
      (f (if n + 1 + i ≤ n then u (n + 1 + i) else v (n + 1 + i - (n + 1))))
state_after: no goals

tactic: omega
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < m
⊢ ¬n + 1 + i ≤ n
state_after: no goals

tactic: rw [tsub_eq_iff_eq_add_of_le]
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < m
B : ¬n + 1 + i ≤ n
A : ¬n + 1 + i + 1 ≤ n
⊢ n + 1 + i - n = i + 1
state_after: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < m
B : ¬n + 1 + i ≤ n
A : ¬n + 1 + i + 1 ≤ n
⊢ n + 1 + i = i + 1 + n

α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < m
B : ¬n + 1 + i ≤ n
A : ¬n + 1 + i + 1 ≤ n
⊢ n ≤ n + 1 + i

tactic: abel
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < m
B : ¬n + 1 + i ≤ n
A : ¬n + 1 + i + 1 ≤ n
⊢ n + 1 + i = i + 1 + n
state_after: no goals

tactic: exact n.le_succ.trans (n.succ.le_add_right i)
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < m
B : ¬n + 1 + i ≤ n
A : ¬n + 1 + i + 1 ≤ n
⊢ n ≤ n + 1 + i
state_after: no goals

tactic: congr 1
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (w (i + 1))) (f (w i)) +
      ∑ i ∈ Finset.range m, edist (f (w (n + 1 + i + 1))) (f (w (n + 1 + i))) =
    ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (w (i + 1))) (f (w i)) +
      ∑ i ∈ Finset.Ico (n + 1) (n + 1 + m), edist (f (w (i + 1))) (f (w i))
state_after: case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
⊢ ∑ i ∈ Finset.range m, edist (f (w (n + 1 + i + 1))) (f (w (n + 1 + i))) =
    ∑ i ∈ Finset.Ico (n + 1) (n + 1 + m), edist (f (w (i + 1))) (f (w i))

tactic: rw [Finset.range_eq_Ico]
state_before: case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
⊢ ∑ i ∈ Finset.range m, edist (f (w (n + 1 + i + 1))) (f (w (n + 1 + i))) =
    ∑ i ∈ Finset.Ico (n + 1) (n + 1 + m), edist (f (w (i + 1))) (f (w i))
state_after: case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico 0 m, edist (f (w (n + 1 + i + 1))) (f (w (n + 1 + i))) =
    ∑ i ∈ Finset.Ico (n + 1) (n + 1 + m), edist (f (w (i + 1))) (f (w i))

tactic: convert Finset.sum_Ico_add (fun i : ℕ => edist (f (w (i + 1))) (f (w i))) 0 m (n + 1)
  using 3 <;> abel
state_before: case e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico 0 m, edist (f (w (n + 1 + i + 1))) (f (w (n + 1 + i))) =
    ∑ i ∈ Finset.Ico (n + 1) (n + 1 + m), edist (f (w (i + 1))) (f (w i))
state_after: no goals

tactic: rw [← Finset.sum_union]
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (w (i + 1))) (f (w i)) +
      ∑ i ∈ Finset.Ico (n + 1) (n + 1 + m), edist (f (w (i + 1))) (f (w i)) ≤
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1 + m), edist (f (w (i + 1))) (f (w i))
state_after: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
⊢ ∑ x ∈ Finset.range n ∪ Finset.Ico (n + 1) (n + 1 + m), edist (f (w (x + 1))) (f (w x)) ≤
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1 + m), edist (f (w (i + 1))) (f (w i))

α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
⊢ Disjoint (Finset.range n) (Finset.Ico (n + 1) (n + 1 + m))

tactic: apply Finset.sum_le_sum_of_subset _
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
⊢ ∑ x ∈ Finset.range n ∪ Finset.Ico (n + 1) (n + 1 + m), edist (f (w (x + 1))) (f (w x)) ≤
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1 + m), edist (f (w (i + 1))) (f (w i))
state_after: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
⊢ Finset.range n ∪ Finset.Ico (n + 1) (n + 1 + m) ⊆ Finset.range (n + 1 + m)

tactic: rintro i hi
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
⊢ Finset.range n ∪ Finset.Ico (n + 1) (n + 1 + m) ⊆ Finset.range (n + 1 + m)
state_after: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range n ∪ Finset.Ico (n + 1) (n + 1 + m)
⊢ i ∈ Finset.range (n + 1 + m)

tactic: simp only [Finset.mem_union, Finset.mem_range, Finset.mem_Ico] at hi ⊢
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range n ∪ Finset.Ico (n + 1) (n + 1 + m)
⊢ i ∈ Finset.range (n + 1 + m)
state_after: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < n ∨ n + 1 ≤ i ∧ i < n + 1 + m
⊢ i < n + 1 + m

tactic: cases' hi with hi hi
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < n ∨ n + 1 ≤ i ∧ i < n + 1 + m
⊢ i < n + 1 + m
state_after: case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < n
⊢ i < n + 1 + m

case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : n + 1 ≤ i ∧ i < n + 1 + m
⊢ i < n + 1 + m

tactic: exact lt_of_lt_of_le hi (n.le_succ.trans (n.succ.le_add_right m))
state_before: case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < n
⊢ i < n + 1 + m
state_after: no goals

tactic: exact hi.2
state_before: case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : n + 1 ≤ i ∧ i < n + 1 + m
⊢ i < n + 1 + m
state_after: no goals

tactic: refine Finset.disjoint_left.2 fun i hi h'i => ?_
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
⊢ Disjoint (Finset.range n) (Finset.Ico (n + 1) (n + 1 + m))
state_after: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range n
h'i : i ∈ Finset.Ico (n + 1) (n + 1 + m)
⊢ False

tactic: simp only [Finset.mem_Ico, Finset.mem_range] at hi h'i
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range n
h'i : i ∈ Finset.Ico (n + 1) (n + 1 + m)
⊢ False
state_after: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < n
h'i : n + 1 ≤ i ∧ i < n + 1 + m
⊢ False

tactic: exact hi.not_lt (Nat.lt_of_succ_le h'i.left)
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, x ≤ y
hs : ¬s = ∅
this✝ : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }
ht : ¬t = ∅
this : Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
m : ℕ
v : ℕ → α
hv : Monotone v
vt : ∀ (i : ℕ), v i ∈ t
w : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else v (i - (n + 1))
wst : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s ∪ t
hw : Monotone w
i : ℕ
hi : i < n
h'i : n + 1 ≤ i ∧ i < n + 1 + m
⊢ False
state_after: no goals