Theorem: IsDedekindDomain.isPrincipalIdealRing_localization_over_prime
File: Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean

tactic: letI := Classical.decEq (Ideal Sₚ)
state_before: R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
⊢ IsPrincipalIdealRing Sₚ
state_after: R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
this : DecidableEq (Ideal Sₚ) := Classical.decEq (Ideal Sₚ)
⊢ IsPrincipalIdealRing Sₚ

tactic: letI := Classical.decPred fun P : Ideal Sₚ => P.IsPrime
state_before: R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
this : DecidableEq (Ideal Sₚ) := Classical.decEq (Ideal Sₚ)
⊢ IsPrincipalIdealRing Sₚ
state_after: R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
this✝ : DecidableEq (Ideal Sₚ) := Classical.decEq (Ideal Sₚ)
this : DecidablePred fun P => P.IsPrime := Classical.decPred fun P => P.IsPrime
⊢ IsPrincipalIdealRing Sₚ

tactic: refine
  IsPrincipalIdealRing.of_finite_primes
    (Set.Finite.ofFinset
      (Finset.filter (fun P => P.IsPrime)
        ({⊥} ∪ (normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R Sₚ) p)).toFinset))
      fun P => ?_)
state_before: R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
this✝ : DecidableEq (Ideal Sₚ) := Classical.decEq (Ideal Sₚ)
this : DecidablePred fun P => P.IsPrime := Classical.decPred fun P => P.IsPrime
⊢ IsPrincipalIdealRing Sₚ
state_after: R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
this✝ : DecidableEq (Ideal Sₚ) := Classical.decEq (Ideal Sₚ)
this : DecidablePred fun P => P.IsPrime := Classical.decPred fun P => P.IsPrime
P : Ideal Sₚ
⊢ P ∈ Finset.filter (fun P => P.IsPrime) ({⊥} ∪ (normalizedFactors (map (algebraMap R Sₚ) p)).toFinset) ↔
    P ∈ {I | I.IsPrime}

tactic: rw [Finset.mem_filter, Finset.mem_union, Finset.mem_singleton, Set.mem_setOf,
  Multiset.mem_toFinset]
state_before: R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
this✝ : DecidableEq (Ideal Sₚ) := Classical.decEq (Ideal Sₚ)
this : DecidablePred fun P => P.IsPrime := Classical.decPred fun P => P.IsPrime
P : Ideal Sₚ
⊢ P ∈ Finset.filter (fun P => P.IsPrime) ({⊥} ∪ (normalizedFactors (map (algebraMap R Sₚ) p)).toFinset) ↔
    P ∈ {I | I.IsPrime}
state_after: R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
this✝ : DecidableEq (Ideal Sₚ) := Classical.decEq (Ideal Sₚ)
this : DecidablePred fun P => P.IsPrime := Classical.decPred fun P => P.IsPrime
P : Ideal Sₚ
⊢ (P = ⊥ ∨ P ∈ normalizedFactors (map (algebraMap R Sₚ) p)) ∧ P.IsPrime ↔ P.IsPrime

tactic: exact
  and_iff_right_of_imp fun hP =>
    or_iff_not_imp_left.mpr (IsLocalization.OverPrime.mem_normalizedFactors_of_isPrime S p hp0 hP)
state_before: R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
this✝ : DecidableEq (Ideal Sₚ) := Classical.decEq (Ideal Sₚ)
this : DecidablePred fun P => P.IsPrime := Classical.decPred fun P => P.IsPrime
P : Ideal Sₚ
⊢ (P = ⊥ ∨ P ∈ normalizedFactors (map (algebraMap R Sₚ) p)) ∧ P.IsPrime ↔ P.IsPrime
state_after: no goals