Theorem: atom_iff_nonzero_span
File: Mathlib/LinearAlgebra/Basis/VectorSpace.lean

tactic: refine ⟨fun h => ?_, fun h => ?_⟩
state_before: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
W : Submodule K V
⊢ IsAtom W ↔ ∃ v, v ≠ 0 ∧ W = span K {v}
state_after: case refine_1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
W : Submodule K V
h : IsAtom W
⊢ ∃ v, v ≠ 0 ∧ W = span K {v}

case refine_2
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
W : Submodule K V
h : ∃ v, v ≠ 0 ∧ W = span K {v}
⊢ IsAtom W

tactic: cases' h with hbot h
state_before: case refine_1
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
W : Submodule K V
h : IsAtom W
⊢ ∃ v, v ≠ 0 ∧ W = span K {v}
state_after: case refine_1.intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
W : Submodule K V
hbot : W ≠ ⊥
h : ∀ b < W, b = ⊥
⊢ ∃ v, v ≠ 0 ∧ W = span K {v}

tactic: rcases (Submodule.ne_bot_iff W).1 hbot with ⟨v, ⟨hW, hv⟩⟩
state_before: case refine_1.intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
W : Submodule K V
hbot : W ≠ ⊥
h : ∀ b < W, b = ⊥
⊢ ∃ v, v ≠ 0 ∧ W = span K {v}
state_after: case refine_1.intro.intro.intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
W : Submodule K V
hbot : W ≠ ⊥
h : ∀ b < W, b = ⊥
v : V
hW : v ∈ W
hv : v ≠ 0
⊢ ∃ v, v ≠ 0 ∧ W = span K {v}

tactic: refine ⟨v, ⟨hv, ?_⟩⟩
state_before: case refine_1.intro.intro.intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
W : Submodule K V
hbot : W ≠ ⊥
h : ∀ b < W, b = ⊥
v : V
hW : v ∈ W
hv : v ≠ 0
⊢ ∃ v, v ≠ 0 ∧ W = span K {v}
state_after: case refine_1.intro.intro.intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
W : Submodule K V
hbot : W ≠ ⊥
h : ∀ b < W, b = ⊥
v : V
hW : v ∈ W
hv : v ≠ 0
⊢ W = span K {v}

tactic: by_contra heq
state_before: case refine_1.intro.intro.intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
W : Submodule K V
hbot : W ≠ ⊥
h : ∀ b < W, b = ⊥
v : V
hW : v ∈ W
hv : v ≠ 0
⊢ W = span K {v}
state_after: case refine_1.intro.intro.intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
W : Submodule K V
hbot : W ≠ ⊥
h : ∀ b < W, b = ⊥
v : V
hW : v ∈ W
hv : v ≠ 0
heq : ¬W = span K {v}
⊢ False

tactic: specialize h (span K {v})
state_before: case refine_1.intro.intro.intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
W : Submodule K V
hbot : W ≠ ⊥
h : ∀ b < W, b = ⊥
v : V
hW : v ∈ W
hv : v ≠ 0
heq : ¬W = span K {v}
⊢ False
state_after: case refine_1.intro.intro.intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
W : Submodule K V
hbot : W ≠ ⊥
v : V
hW : v ∈ W
hv : v ≠ 0
heq : ¬W = span K {v}
h : span K {v} < W → span K {v} = ⊥
⊢ False

tactic: rw [span_singleton_eq_bot, lt_iff_le_and_ne] at h
state_before: case refine_1.intro.intro.intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
W : Submodule K V
hbot : W ≠ ⊥
v : V
hW : v ∈ W
hv : v ≠ 0
heq : ¬W = span K {v}
h : span K {v} < W → span K {v} = ⊥
⊢ False
state_after: case refine_1.intro.intro.intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
W : Submodule K V
hbot : W ≠ ⊥
v : V
hW : v ∈ W
hv : v ≠ 0
heq : ¬W = span K {v}
h : span K {v} ≤ W ∧ span K {v} ≠ W → v = 0
⊢ False

tactic: exact hv (h ⟨(span_singleton_le_iff_mem v W).2 hW, Ne.symm heq⟩)
state_before: case refine_1.intro.intro.intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
W : Submodule K V
hbot : W ≠ ⊥
v : V
hW : v ∈ W
hv : v ≠ 0
heq : ¬W = span K {v}
h : span K {v} ≤ W ∧ span K {v} ≠ W → v = 0
⊢ False
state_after: no goals

tactic: rcases h with ⟨v, ⟨hv, rfl⟩⟩
state_before: case refine_2
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
W : Submodule K V
h : ∃ v, v ≠ 0 ∧ W = span K {v}
⊢ IsAtom W
state_after: case refine_2.intro.intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z v : V
hv : v ≠ 0
⊢ IsAtom (span K {v})

tactic: exact nonzero_span_atom v hv
state_before: case refine_2.intro.intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z v : V
hv : v ≠ 0
⊢ IsAtom (span K {v})
state_after: no goals