Theorem: real_inner_div_norm_mul_norm_eq_one_iff
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean

tactic: constructor
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = 1 ↔ x ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • x
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = 1 → x ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • x

case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ (x ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • x) → ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = 1

tactic: intro h
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = 1 → x ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • x
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
h : ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = 1
⊢ x ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • x

tactic: have hx₀ : x ≠ 0 := fun h₀ => by simp [h₀] at h
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
h : ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = 1
⊢ x ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • x
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
h : ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = 1
hx₀ : x ≠ 0
⊢ x ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • x

tactic: have hy₀ : y ≠ 0 := fun h₀ => by simp [h₀] at h
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
h : ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = 1
hx₀ : x ≠ 0
⊢ x ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • x
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
h : ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = 1
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
⊢ x ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • x

tactic: refine ⟨hx₀, ‖y‖ / ‖x‖, div_pos (norm_pos_iff.2 hy₀) (norm_pos_iff.2 hx₀), ?_⟩
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
h : ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = 1
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
⊢ x ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • x
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
h : ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = 1
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
⊢ y = (‖y‖ / ‖x‖) • x

tactic: exact ((inner_eq_norm_mul_iff_div hx₀).1 (eq_of_div_eq_one h)).symm
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
h : ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = 1
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
⊢ y = (‖y‖ / ‖x‖) • x
state_after: no goals

tactic: simp [h₀] at h
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
h : ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = 1
h₀ : x = 0
⊢ False
state_after: no goals

tactic: simp [h₀] at h
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
h : ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = 1
hx₀ : x ≠ 0
h₀ : y = 0
⊢ False
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨hx, ⟨r, ⟨hr, rfl⟩⟩⟩
state_before: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ (x ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • x) → ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = 1
state_after: case mpr.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
hx : x ≠ 0
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ ⟪x, r • x⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖r • x‖) = 1

tactic: exact real_inner_div_norm_mul_norm_eq_one_of_ne_zero_of_pos_mul hx hr
state_before: case mpr.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
hx : x ≠ 0
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ ⟪x, r • x⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖r • x‖) = 1
state_after: no goals