Theorem: zorn_nonempty_preorder₀
File: Mathlib/Order/Zorn.lean

tactic: have H := zorn_preorder₀ ({ y ∈ s | x ≤ y }) fun c hcs hc => ?_
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hxs : x ∈ s
⊢ ∃ m ∈ s, x ≤ m ∧ ∀ z ∈ s, m ≤ z → z ≤ m
state_after: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hxs : x ∈ s
H : ∃ m ∈ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}, ∀ z ∈ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}, m ≤ z → z ≤ m
⊢ ∃ m ∈ s, x ≤ m ∧ ∀ z ∈ s, m ≤ z → z ≤ m

case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hxs : x ∈ s
c : Set α
hcs : c ⊆ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}
hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
⊢ ∃ ub ∈ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}, ∀ z ∈ c, z ≤ ub

tactic: rcases H with ⟨m, ⟨hms, hxm⟩, hm⟩
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hxs : x ∈ s
H : ∃ m ∈ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}, ∀ z ∈ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}, m ≤ z → z ≤ m
⊢ ∃ m ∈ s, x ≤ m ∧ ∀ z ∈ s, m ≤ z → z ≤ m
state_after: case refine_2.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hxs : x ∈ s
m : α
hm : ∀ z ∈ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}, m ≤ z → z ≤ m
hms : m ∈ s
hxm : x ≤ m
⊢ ∃ m ∈ s, x ≤ m ∧ ∀ z ∈ s, m ≤ z → z ≤ m

tactic: exact ⟨m, hms, hxm, fun z hzs hmz => hm _ ⟨hzs, hxm.trans hmz⟩ hmz⟩
state_before: case refine_2.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hxs : x ∈ s
m : α
hm : ∀ z ∈ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}, m ≤ z → z ≤ m
hms : m ∈ s
hxm : x ≤ m
⊢ ∃ m ∈ s, x ≤ m ∧ ∀ z ∈ s, m ≤ z → z ≤ m
state_after: no goals

tactic: rcases c.eq_empty_or_nonempty with (rfl | ⟨y, hy⟩)
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hxs : x ∈ s
c : Set α
hcs : c ⊆ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}
hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
⊢ ∃ ub ∈ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
state_after: case refine_1.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hxs : x ∈ s
hcs : ∅ ⊆ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}
hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) ∅
⊢ ∃ ub ∈ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}, ∀ z ∈ ∅, z ≤ ub

case refine_1.inr.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hxs : x ∈ s
c : Set α
hcs : c ⊆ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}
hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
y : α
hy : y ∈ c
⊢ ∃ ub ∈ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}, ∀ z ∈ c, z ≤ ub

tactic: exact ⟨x, ⟨hxs, le_rfl⟩, fun z => False.elim⟩
state_before: case refine_1.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hxs : x ∈ s
hcs : ∅ ⊆ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}
hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) ∅
⊢ ∃ ub ∈ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}, ∀ z ∈ ∅, z ≤ ub
state_after: no goals

tactic: rcases ih c (fun z hz => (hcs hz).1) hc y hy with ⟨z, hzs, hz⟩
state_before: case refine_1.inr.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hxs : x ∈ s
c : Set α
hcs : c ⊆ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}
hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
y : α
hy : y ∈ c
⊢ ∃ ub ∈ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
state_after: case refine_1.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hxs : x ∈ s
c : Set α
hcs : c ⊆ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}
hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
y : α
hy : y ∈ c
z : α
hzs : z ∈ s
hz : ∀ z_1 ∈ c, z_1 ≤ z
⊢ ∃ ub ∈ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}, ∀ z ∈ c, z ≤ ub

tactic: exact ⟨z, ⟨hzs, (hcs hy).2.trans <| hz _ hy⟩, hz⟩
state_before: case refine_1.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
ih : ∀ c ⊆ s, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ s, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hxs : x ∈ s
c : Set α
hcs : c ⊆ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}
hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
y : α
hy : y ∈ c
z : α
hzs : z ∈ s
hz : ∀ z_1 ∈ c, z_1 ≤ z
⊢ ∃ ub ∈ {y | y ∈ s ∧ x ≤ y}, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
state_after: no goals