Theorem: intervalIntegral.continuousOn_primitive
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean

tactic: by_cases h : a ≤ b
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ) (Icc a b)
state_after: case pos
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
h : a ≤ b
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ) (Icc a b)

case neg
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
h : ¬a ≤ b
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ) (Icc a b)

tactic: have : ∀ x ∈ Icc a b, ∫ t in Ioc a x, f t ∂μ = ∫ t in a..x, f t ∂μ := by
  intro x x_in
  simp_rw [integral_of_le x_in.1]
state_before: case pos
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
h : a ≤ b
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ) (Icc a b)
state_after: case pos
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
h : a ≤ b
this : ∀ x ∈ Icc a b, ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ = ∫ (t : ℝ) in a..x, f t ∂μ
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ) (Icc a b)

tactic: rw [continuousOn_congr this]
state_before: case pos
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
h : a ≤ b
this : ∀ x ∈ Icc a b, ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ = ∫ (t : ℝ) in a..x, f t ∂μ
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ) (Icc a b)
state_after: case pos
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
h : a ≤ b
this : ∀ x ∈ Icc a b, ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ = ∫ (t : ℝ) in a..x, f t ∂μ
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..x, f t ∂μ) (Icc a b)

tactic: intro x₀ _
state_before: case pos
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
h : a ≤ b
this : ∀ x ∈ Icc a b, ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ = ∫ (t : ℝ) in a..x, f t ∂μ
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..x, f t ∂μ) (Icc a b)
state_after: case pos
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
h : a ≤ b
this : ∀ x ∈ Icc a b, ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ = ∫ (t : ℝ) in a..x, f t ∂μ
x₀ : ℝ
a✝ : x₀ ∈ Icc a b
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..x, f t ∂μ) (Icc a b) x₀

tactic: refine continuousWithinAt_primitive (measure_singleton x₀) ?_
state_before: case pos
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
h : a ≤ b
this : ∀ x ∈ Icc a b, ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ = ∫ (t : ℝ) in a..x, f t ∂μ
x₀ : ℝ
a✝ : x₀ ∈ Icc a b
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..x, f t ∂μ) (Icc a b) x₀
state_after: case pos
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
h : a ≤ b
this : ∀ x ∈ Icc a b, ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ = ∫ (t : ℝ) in a..x, f t ∂μ
x₀ : ℝ
a✝ : x₀ ∈ Icc a b
⊢ IntervalIntegrable f μ (min a a) (max a b)

tactic: simp only [intervalIntegrable_iff_integrableOn_Ioc_of_le, min_eq_left, max_eq_right, h,
  min_self]
state_before: case pos
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
h : a ≤ b
this : ∀ x ∈ Icc a b, ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ = ∫ (t : ℝ) in a..x, f t ∂μ
x₀ : ℝ
a✝ : x₀ ∈ Icc a b
⊢ IntervalIntegrable f μ (min a a) (max a b)
state_after: case pos
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
h : a ≤ b
this : ∀ x ∈ Icc a b, ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ = ∫ (t : ℝ) in a..x, f t ∂μ
x₀ : ℝ
a✝ : x₀ ∈ Icc a b
⊢ IntegrableOn f (Ioc a b) μ

tactic: exact h_int.mono Ioc_subset_Icc_self le_rfl
state_before: case pos
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
h : a ≤ b
this : ∀ x ∈ Icc a b, ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ = ∫ (t : ℝ) in a..x, f t ∂μ
x₀ : ℝ
a✝ : x₀ ∈ Icc a b
⊢ IntegrableOn f (Ioc a b) μ
state_after: no goals

tactic: intro x x_in
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
h : a ≤ b
⊢ ∀ x ∈ Icc a b, ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ = ∫ (t : ℝ) in a..x, f t ∂μ
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
h : a ≤ b
x : ℝ
x_in : x ∈ Icc a b
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ = ∫ (t : ℝ) in a..x, f t ∂μ

tactic: simp_rw [integral_of_le x_in.1]
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
h : a ≤ b
x : ℝ
x_in : x ∈ Icc a b
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ = ∫ (t : ℝ) in a..x, f t ∂μ
state_after: no goals

tactic: rw [Icc_eq_empty h]
state_before: case neg
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
h : ¬a ≤ b
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ) (Icc a b)
state_after: case neg
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
h : ¬a ≤ b
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ) ∅

tactic: exact continuousOn_empty _
state_before: case neg
E✝ : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : CompleteSpace E✝
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E✝
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
h : ¬a ≤ b
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ) ∅
state_after: no goals