Theorem: LinearEquiv.isOfFinOrder_of_finite_of_span_eq_top_of_mapsTo
File: Mathlib/LinearAlgebra/FiniteSpan.lean

tactic: replace he : BijOn e Φ Φ := (hΦ₁.injOn_iff_bijOn_of_mapsTo he).mp e.injective.injOn
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : MapsTo (⇑e) Φ Φ
⊢ IsOfFinOrder e
state_after: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
⊢ IsOfFinOrder e

tactic: let e' := he.equiv
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
⊢ IsOfFinOrder e
state_after: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
⊢ IsOfFinOrder e

tactic: have : Finite Φ := finite_coe_iff.mpr hΦ₁
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
⊢ IsOfFinOrder e
state_after: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
⊢ IsOfFinOrder e

tactic: obtain ⟨k, hk₀, hk⟩ := isOfFinOrder_of_finite e'
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
⊢ IsOfFinOrder e
state_after: case intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
⊢ IsOfFinOrder e

tactic: refine ⟨k, hk₀, ?_⟩
state_before: case intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
⊢ IsOfFinOrder e
state_after: case intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
⊢ IsPeriodicPt (fun x => e * x) k 1

tactic: ext m
state_before: case intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
⊢ IsPeriodicPt (fun x => e * x) k 1
state_after: case intro.intro.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
⊢ ((fun x => e * x)^[k] 1) m = 1 m

tactic: have hm : m ∈ span R Φ := hΦ₂ ▸ Submodule.mem_top
state_before: case intro.intro.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
⊢ ((fun x => e * x)^[k] 1) m = 1 m
state_after: case intro.intro.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
⊢ ((fun x => e * x)^[k] 1) m = 1 m

tactic: simp only [mul_left_iterate, mul_one, LinearEquiv.coe_one, id_eq]
state_before: case intro.intro.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
⊢ ((fun x => e * x)^[k] 1) m = 1 m
state_after: case intro.intro.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
⊢ (e ^ k) m = m

tactic: refine Submodule.span_induction hm (fun x hx ↦ ?_) (by simp)
  (fun x y hx hy ↦ by simp [map_add, hx, hy]) (fun t x hx ↦ by simp [map_smul, hx])
state_before: case intro.intro.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
⊢ (e ^ k) m = m
state_after: case intro.intro.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ
⊢ (e ^ k) x = x

tactic: rw [LinearEquiv.pow_apply, ← he.1.coe_iterate_restrict ⟨x, hx⟩ k]
state_before: case intro.intro.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ
⊢ (e ^ k) x = x
state_after: case intro.intro.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ
⊢ ↑((MapsTo.restrict (⇑e) Φ Φ ⋯)^[k] ⟨x, hx⟩) = x

tactic: replace hk : (e') ^ k = 1 := by simpa [IsPeriodicPt, IsFixedPt] using hk
state_before: case intro.intro.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ
⊢ ↑((MapsTo.restrict (⇑e) Φ Φ ⋯)^[k] ⟨x, hx⟩) = x
state_after: case intro.intro.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ
hk : e' ^ k = 1
⊢ ↑((MapsTo.restrict (⇑e) Φ Φ ⋯)^[k] ⟨x, hx⟩) = x

tactic: replace hk := Equiv.congr_fun hk ⟨x, hx⟩
state_before: case intro.intro.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ
hk : e' ^ k = 1
⊢ ↑((MapsTo.restrict (⇑e) Φ Φ ⋯)^[k] ⟨x, hx⟩) = x
state_after: case intro.intro.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ
hk : (e' ^ k) ⟨x, hx⟩ = 1 ⟨x, hx⟩
⊢ ↑((MapsTo.restrict (⇑e) Φ Φ ⋯)^[k] ⟨x, hx⟩) = x

tactic: rwa [Equiv.Perm.coe_one, id_eq, Subtype.ext_iff, Equiv.Perm.coe_pow] at hk
state_before: case intro.intro.h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ
hk : (e' ^ k) ⟨x, hx⟩ = 1 ⟨x, hx⟩
⊢ ↑((MapsTo.restrict (⇑e) Φ Φ ⋯)^[k] ⟨x, hx⟩) = x
state_after: no goals

tactic: simp
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
⊢ (e ^ k) 0 = 0
state_after: no goals

tactic: simp [map_add, hx, hy]
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x y : M
hx : (e ^ k) x = x
hy : (e ^ k) y = y
⊢ (e ^ k) (x + y) = x + y
state_after: no goals

tactic: simp [map_smul, hx]
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
t : R
x : M
hx : (e ^ k) x = x
⊢ (e ^ k) (t • x) = t • x
state_after: no goals

tactic: simpa [IsPeriodicPt, IsFixedPt] using hk
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ
⊢ e' ^ k = 1
state_after: no goals