Theorem: irreducible_mul_units
File: Mathlib/Algebra/Associated.lean

tactic: simp only [irreducible_iff, Units.isUnit_mul_units, and_congr_right_iff]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α
⊢ Irreducible (b * ↑a) ↔ Irreducible b
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α
⊢ ¬IsUnit b →
    ((∀ (a_2 b_1 : α), b * ↑a = a_2 * b_1 → IsUnit a_2 ∨ IsUnit b_1) ↔
      ∀ (a b_1 : α), b = a * b_1 → IsUnit a ∨ IsUnit b_1)

tactic: refine fun _ => ⟨fun h A B HAB => ?_, fun h A B HAB => ?_⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α
⊢ ¬IsUnit b →
    ((∀ (a_2 b_1 : α), b * ↑a = a_2 * b_1 → IsUnit a_2 ∨ IsUnit b_1) ↔
      ∀ (a b_1 : α), b = a * b_1 → IsUnit a ∨ IsUnit b_1)
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α
x✝ : ¬IsUnit b
h : ∀ (a_1 b_1 : α), b * ↑a = a_1 * b_1 → IsUnit a_1 ∨ IsUnit b_1
A B : α
HAB : b = A * B
⊢ IsUnit A ∨ IsUnit B

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α
x✝ : ¬IsUnit b
h : ∀ (a b_1 : α), b = a * b_1 → IsUnit a ∨ IsUnit b_1
A B : α
HAB : b * ↑a = A * B
⊢ IsUnit A ∨ IsUnit B

tactic: rw [← Units.isUnit_mul_units B a]
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α
x✝ : ¬IsUnit b
h : ∀ (a_1 b_1 : α), b * ↑a = a_1 * b_1 → IsUnit a_1 ∨ IsUnit b_1
A B : α
HAB : b = A * B
⊢ IsUnit A ∨ IsUnit B
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α
x✝ : ¬IsUnit b
h : ∀ (a_1 b_1 : α), b * ↑a = a_1 * b_1 → IsUnit a_1 ∨ IsUnit b_1
A B : α
HAB : b = A * B
⊢ IsUnit A ∨ IsUnit (B * ↑a)

tactic: apply h
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α
x✝ : ¬IsUnit b
h : ∀ (a_1 b_1 : α), b * ↑a = a_1 * b_1 → IsUnit a_1 ∨ IsUnit b_1
A B : α
HAB : b = A * B
⊢ IsUnit A ∨ IsUnit (B * ↑a)
state_after: case refine_1.a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α
x✝ : ¬IsUnit b
h : ∀ (a_1 b_1 : α), b * ↑a = a_1 * b_1 → IsUnit a_1 ∨ IsUnit b_1
A B : α
HAB : b = A * B
⊢ b * ↑a = A * (B * ↑a)

tactic: rw [← mul_assoc, ← HAB]
state_before: case refine_1.a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α
x✝ : ¬IsUnit b
h : ∀ (a_1 b_1 : α), b * ↑a = a_1 * b_1 → IsUnit a_1 ∨ IsUnit b_1
A B : α
HAB : b = A * B
⊢ b * ↑a = A * (B * ↑a)
state_after: no goals

tactic: rw [← Units.isUnit_mul_units B a⁻¹]
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α
x✝ : ¬IsUnit b
h : ∀ (a b_1 : α), b = a * b_1 → IsUnit a ∨ IsUnit b_1
A B : α
HAB : b * ↑a = A * B
⊢ IsUnit A ∨ IsUnit B
state_after: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α
x✝ : ¬IsUnit b
h : ∀ (a b_1 : α), b = a * b_1 → IsUnit a ∨ IsUnit b_1
A B : α
HAB : b * ↑a = A * B
⊢ IsUnit A ∨ IsUnit (B * ↑a⁻¹)

tactic: apply h
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α
x✝ : ¬IsUnit b
h : ∀ (a b_1 : α), b = a * b_1 → IsUnit a ∨ IsUnit b_1
A B : α
HAB : b * ↑a = A * B
⊢ IsUnit A ∨ IsUnit (B * ↑a⁻¹)
state_after: case refine_2.a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α
x✝ : ¬IsUnit b
h : ∀ (a b_1 : α), b = a * b_1 → IsUnit a ∨ IsUnit b_1
A B : α
HAB : b * ↑a = A * B
⊢ b = A * (B * ↑a⁻¹)

tactic: rw [← mul_assoc, ← HAB, Units.mul_inv_cancel_right]
state_before: case refine_2.a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α
x✝ : ¬IsUnit b
h : ∀ (a b_1 : α), b = a * b_1 → IsUnit a ∨ IsUnit b_1
A B : α
HAB : b * ↑a = A * B
⊢ b = A * (B * ↑a⁻¹)
state_after: no goals