Theorem: SameRay.sameRay_nonneg_smul_right
File: Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean

tactic: obtain h | h := (algebraMap_nonneg R h).eq_or_gt
state_before: R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h : 0 ≤ a
⊢ SameRay R v (a • v)
state_after: case inl
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h✝ : 0 ≤ a
h : (algebraMap S R) a = 0
⊢ SameRay R v (a • v)

case inr
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h✝ : 0 ≤ a
h : 0 < (algebraMap S R) a
⊢ SameRay R v (a • v)

tactic: rw [← algebraMap_smul R a v, h, zero_smul]
state_before: case inl
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h✝ : 0 ≤ a
h : (algebraMap S R) a = 0
⊢ SameRay R v (a • v)
state_after: case inl
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h✝ : 0 ≤ a
h : (algebraMap S R) a = 0
⊢ SameRay R v 0

tactic: exact zero_right _
state_before: case inl
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h✝ : 0 ≤ a
h : (algebraMap S R) a = 0
⊢ SameRay R v 0
state_after: no goals

tactic: refine Or.inr $ Or.inr ⟨algebraMap S R a, 1, h, by nontriviality R; exact zero_lt_one, ?_⟩
state_before: case inr
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h✝ : 0 ≤ a
h : 0 < (algebraMap S R) a
⊢ SameRay R v (a • v)
state_after: case inr
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h✝ : 0 ≤ a
h : 0 < (algebraMap S R) a
⊢ (algebraMap S R) a • v = 1 • a • v

tactic: rw [algebraMap_smul, one_smul]
state_before: case inr
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h✝ : 0 ≤ a
h : 0 < (algebraMap S R) a
⊢ (algebraMap S R) a • v = 1 • a • v
state_after: no goals

tactic: nontriviality R
state_before: R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h✝ : 0 ≤ a
h : 0 < (algebraMap S R) a
⊢ 0 < 1
state_after: R : Type u_1
inst✝¹¹ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁵ : OrderedCommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulPosMono S R
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h✝ : 0 ≤ a
h : 0 < (algebraMap S R) a
inst✝ : Nontrivial R
⊢ 0 < 1

tactic: exact zero_lt_one
state_before: R : Type u_1
inst✝¹¹ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁵ : OrderedCommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulPosMono S R
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h✝ : 0 ≤ a
h : 0 < (algebraMap S R) a
inst✝ : Nontrivial R
⊢ 0 < 1
state_after: no goals