Theorem: HomologicalComplex.cylinder.πCompι₀Homotopy.inlX_nullHomotopy_f
File: Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean

tactic: dsimp [nullHomotopicMap]
state_before: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝³ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝² : DecidableRel c.Rel
inst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
inst✝ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
i j : ι
hij : c.Rel j i
⊢ inlX K i j hij ≫ (nullHomotopicMap K).f j = inlX K i j hij ≫ (π K ≫ ι₀ K - 𝟙 K.cylinder).f j
state_after: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝³ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝² : DecidableRel c.Rel
inst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
inst✝ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
i j : ι
hij : c.Rel j i
⊢ inlX K i j hij ≫
      (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij =>
            homotopyCofiber.sndX (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) i ≫ biprod.snd.f i ≫ inlX K i j hij).f
        j =
    inlX K i j hij ≫ ((π K).f j ≫ (ι₀ K).f j - 𝟙 (homotopyCofiber.X (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) j))

tactic: by_cases hj : ∃ (k : ι), c.Rel k j
state_before: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝³ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝² : DecidableRel c.Rel
inst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
inst✝ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
i j : ι
hij : c.Rel j i
⊢ inlX K i j hij ≫
      (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij =>
            homotopyCofiber.sndX (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) i ≫ biprod.snd.f i ≫ inlX K i j hij).f
        j =
    inlX K i j hij ≫ ((π K).f j ≫ (ι₀ K).f j - 𝟙 (homotopyCofiber.X (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) j))
state_after: case pos
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝³ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝² : DecidableRel c.Rel
inst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
inst✝ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
i j : ι
hij : c.Rel j i
hj : ∃ k, c.Rel k j
⊢ inlX K i j hij ≫
      (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij =>
            homotopyCofiber.sndX (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) i ≫ biprod.snd.f i ≫ inlX K i j hij).f
        j =
    inlX K i j hij ≫ ((π K).f j ≫ (ι₀ K).f j - 𝟙 (homotopyCofiber.X (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) j))

case neg
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝³ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝² : DecidableRel c.Rel
inst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
inst✝ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
i j : ι
hij : c.Rel j i
hj : ¬∃ k, c.Rel k j
⊢ inlX K i j hij ≫
      (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij =>
            homotopyCofiber.sndX (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) i ≫ biprod.snd.f i ≫ inlX K i j hij).f
        j =
    inlX K i j hij ≫ ((π K).f j ≫ (ι₀ K).f j - 𝟙 (homotopyCofiber.X (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) j))

tactic: obtain ⟨k, hjk⟩ := hj
state_before: case pos
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝³ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝² : DecidableRel c.Rel
inst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
inst✝ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
i j : ι
hij : c.Rel j i
hj : ∃ k, c.Rel k j
⊢ inlX K i j hij ≫
      (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij =>
            homotopyCofiber.sndX (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) i ≫ biprod.snd.f i ≫ inlX K i j hij).f
        j =
    inlX K i j hij ≫ ((π K).f j ≫ (ι₀ K).f j - 𝟙 (homotopyCofiber.X (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) j))
state_after: case pos.intro
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝³ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝² : DecidableRel c.Rel
inst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
inst✝ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
i j : ι
hij : c.Rel j i
k : ι
hjk : c.Rel k j
⊢ inlX K i j hij ≫
      (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij =>
            homotopyCofiber.sndX (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) i ≫ biprod.snd.f i ≫ inlX K i j hij).f
        j =
    inlX K i j hij ≫ ((π K).f j ≫ (ι₀ K).f j - 𝟙 (homotopyCofiber.X (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) j))

tactic: simp only [assoc, Homotopy.nullHomotopicMap'_f hjk hij, homotopyCofiber_X, homotopyCofiber_d,
  homotopyCofiber.d_sndX_assoc _ _ _ hij, add_comp, comp_add, homotopyCofiber.inlX_fstX_assoc,
  homotopyCofiber.inlX_sndX_assoc, zero_comp, add_zero, comp_sub, inlX_π_assoc, comp_id,
  zero_sub, ← HomologicalComplex.comp_f_assoc, biprod.lift_snd, neg_f_apply, id_f,
  neg_comp, id_comp]
state_before: case pos.intro
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝³ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝² : DecidableRel c.Rel
inst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
inst✝ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
i j : ι
hij : c.Rel j i
k : ι
hjk : c.Rel k j
⊢ inlX K i j hij ≫
      (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij =>
            homotopyCofiber.sndX (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) i ≫ biprod.snd.f i ≫ inlX K i j hij).f
        j =
    inlX K i j hij ≫ ((π K).f j ≫ (ι₀ K).f j - 𝟙 (homotopyCofiber.X (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) j))
state_after: no goals

tactic: simp only [not_exists] at hj
state_before: case neg
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝³ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝² : DecidableRel c.Rel
inst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
inst✝ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
i j : ι
hij : c.Rel j i
hj : ¬∃ k, c.Rel k j
⊢ inlX K i j hij ≫
      (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij =>
            homotopyCofiber.sndX (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) i ≫ biprod.snd.f i ≫ inlX K i j hij).f
        j =
    inlX K i j hij ≫ ((π K).f j ≫ (ι₀ K).f j - 𝟙 (homotopyCofiber.X (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) j))
state_after: case neg
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝³ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝² : DecidableRel c.Rel
inst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
inst✝ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
i j : ι
hij : c.Rel j i
hj : ∀ (x : ι), ¬c.Rel x j
⊢ inlX K i j hij ≫
      (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij =>
            homotopyCofiber.sndX (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) i ≫ biprod.snd.f i ≫ inlX K i j hij).f
        j =
    inlX K i j hij ≫ ((π K).f j ≫ (ι₀ K).f j - 𝟙 (homotopyCofiber.X (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) j))

tactic: simp only [Homotopy.nullHomotopicMap'_f_of_not_rel_right hij hj,
  homotopyCofiber_X, homotopyCofiber_d, assoc, comp_sub, comp_id,
  homotopyCofiber.d_sndX_assoc _ _ _ hij, add_comp, comp_add, zero_comp, add_zero,
  homotopyCofiber.inlX_fstX_assoc, homotopyCofiber.inlX_sndX_assoc,
  ← HomologicalComplex.comp_f_assoc, biprod.lift_snd, neg_f_apply, id_f, neg_comp,
  id_comp, inlX_π_assoc, zero_sub]
state_before: case neg
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝³ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝² : DecidableRel c.Rel
inst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
inst✝ : HasHomotopyCofiber (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K))
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
i j : ι
hij : c.Rel j i
hj : ∀ (x : ι), ¬c.Rel x j
⊢ inlX K i j hij ≫
      (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij =>
            homotopyCofiber.sndX (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) i ≫ biprod.snd.f i ≫ inlX K i j hij).f
        j =
    inlX K i j hij ≫ ((π K).f j ≫ (ι₀ K).f j - 𝟙 (homotopyCofiber.X (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) j))
state_after: no goals