Theorem: Finset.prod_lt_prod
File: Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/Finset.lean

tactic: obtain ⟨i, hi, hilt⟩ := hlt
state_before: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : PosMulStrictMono R
inst✝ : Nontrivial R
f g : ι → R
s t : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hfg : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
hlt : ∃ i ∈ s, f i < g i
⊢ ∏ i ∈ s, f i < ∏ i ∈ s, g i
state_after: case intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : PosMulStrictMono R
inst✝ : Nontrivial R
f g : ι → R
s t : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hfg : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
i : ι
hi : i ∈ s
hilt : f i < g i
⊢ ∏ i ∈ s, f i < ∏ i ∈ s, g i

tactic: rw [← insert_erase hi, prod_insert (not_mem_erase _ _), prod_insert (not_mem_erase _ _)]
state_before: case intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : PosMulStrictMono R
inst✝ : Nontrivial R
f g : ι → R
s t : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hfg : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
i : ι
hi : i ∈ s
hilt : f i < g i
⊢ ∏ i ∈ s, f i < ∏ i ∈ s, g i
state_after: case intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : PosMulStrictMono R
inst✝ : Nontrivial R
f g : ι → R
s t : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hfg : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
i : ι
hi : i ∈ s
hilt : f i < g i
⊢ f i * ∏ x ∈ s.erase i, f x < g i * ∏ x ∈ s.erase i, g x

tactic: have := posMulStrictMono_iff_mulPosStrictMono.1 ‹PosMulStrictMono R›
state_before: case intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : PosMulStrictMono R
inst✝ : Nontrivial R
f g : ι → R
s t : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hfg : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
i : ι
hi : i ∈ s
hilt : f i < g i
⊢ f i * ∏ x ∈ s.erase i, f x < g i * ∏ x ∈ s.erase i, g x
state_after: case intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : PosMulStrictMono R
inst✝ : Nontrivial R
f g : ι → R
s t : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hfg : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
i : ι
hi : i ∈ s
hilt : f i < g i
this : MulPosStrictMono R
⊢ f i * ∏ x ∈ s.erase i, f x < g i * ∏ x ∈ s.erase i, g x

tactic: refine mul_lt_mul_of_le_of_lt' hilt ?_ ?_ ?_
state_before: case intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : PosMulStrictMono R
inst✝ : Nontrivial R
f g : ι → R
s t : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hfg : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
i : ι
hi : i ∈ s
hilt : f i < g i
this : MulPosStrictMono R
⊢ f i * ∏ x ∈ s.erase i, f x < g i * ∏ x ∈ s.erase i, g x
state_after: case intro.intro.refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : PosMulStrictMono R
inst✝ : Nontrivial R
f g : ι → R
s t : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hfg : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
i : ι
hi : i ∈ s
hilt : f i < g i
this : MulPosStrictMono R
⊢ ∏ x ∈ s.erase i, f x ≤ ∏ x ∈ s.erase i, g x

case intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : PosMulStrictMono R
inst✝ : Nontrivial R
f g : ι → R
s t : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hfg : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
i : ι
hi : i ∈ s
hilt : f i < g i
this : MulPosStrictMono R
⊢ 0 ≤ g i

case intro.intro.refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : PosMulStrictMono R
inst✝ : Nontrivial R
f g : ι → R
s t : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hfg : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
i : ι
hi : i ∈ s
hilt : f i < g i
this : MulPosStrictMono R
⊢ 0 < ∏ x ∈ s.erase i, f x

tactic: exact prod_le_prod (fun j hj => le_of_lt (hf j (mem_of_mem_erase hj)))
  (fun _ hj ↦ hfg _ <| mem_of_mem_erase hj)
state_before: case intro.intro.refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : PosMulStrictMono R
inst✝ : Nontrivial R
f g : ι → R
s t : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hfg : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
i : ι
hi : i ∈ s
hilt : f i < g i
this : MulPosStrictMono R
⊢ ∏ x ∈ s.erase i, f x ≤ ∏ x ∈ s.erase i, g x
state_after: no goals

tactic: exact (hf i hi).le.trans hilt.le
state_before: case intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : PosMulStrictMono R
inst✝ : Nontrivial R
f g : ι → R
s t : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hfg : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
i : ι
hi : i ∈ s
hilt : f i < g i
this : MulPosStrictMono R
⊢ 0 ≤ g i
state_after: no goals

tactic: exact prod_pos fun j hj => hf j (mem_of_mem_erase hj)
state_before: case intro.intro.refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : PosMulStrictMono R
inst✝ : Nontrivial R
f g : ι → R
s t : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hfg : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
i : ι
hi : i ∈ s
hilt : f i < g i
this : MulPosStrictMono R
⊢ 0 < ∏ x ∈ s.erase i, f x
state_after: no goals