Theorem: Computation.eq_of_bisim
File: Mathlib/Data/Seq/Computation.lean

tactic: apply Subtype.eq
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
⊢ s₁ = s₂
state_after: case a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
⊢ ↑s₁ = ↑s₂

tactic: apply Stream'.eq_of_bisim fun x y => ∃ s s' : Computation α, s.1 = x ∧ s'.1 = y ∧ R s s'
state_before: case a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
⊢ ↑s₁ = ↑s₂
state_after: case a.bisim
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
⊢ Stream'.IsBisimulation fun x y => ∃ s s', ↑s = x ∧ ↑s' = y ∧ R s s'

case a.a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
⊢ ∃ s s', ↑s = ↑s₁ ∧ ↑s' = ↑s₂ ∧ R s s'

tactic: dsimp [Stream'.IsBisimulation]
state_before: case a.bisim
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
⊢ Stream'.IsBisimulation fun x y => ∃ s s', ↑s = x ∧ ↑s' = y ∧ R s s'
state_after: case a.bisim
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
⊢ ∀ ⦃s₁ s₂ : Stream' (Option α)⦄,
    (∃ s s', ↑s = s₁ ∧ ↑s' = s₂ ∧ R s s') → s₁.head = s₂.head ∧ ∃ s s', ↑s = s₁.tail ∧ ↑s' = s₂.tail ∧ R s s'

tactic: intro t₁ t₂ e
state_before: case a.bisim
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
⊢ ∀ ⦃s₁ s₂ : Stream' (Option α)⦄,
    (∃ s s', ↑s = s₁ ∧ ↑s' = s₂ ∧ R s s') → s₁.head = s₂.head ∧ ∃ s s', ↑s = s₁.tail ∧ ↑s' = s₂.tail ∧ R s s'
state_after: case a.bisim
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
⊢ t₁.head = t₂.head ∧ ∃ s s', ↑s = t₁.tail ∧ ↑s' = t₂.tail ∧ R s s'

tactic: suffices head s = head s' ∧ R (tail s) (tail s') from
  And.imp id (fun r => ⟨tail s, tail s', by cases s; rfl, by cases s'; rfl, r⟩) this
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r : R s s'
⊢ (↑s).head = (↑s').head ∧ ∃ s_1 s'_1, ↑s_1 = (↑s).tail ∧ ↑s'_1 = (↑s').tail ∧ R s_1 s'_1
state_after: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r : R s s'
⊢ s.head = s'.head ∧ R s.tail s'.tail

tactic: have h := bisim r
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r : R s s'
⊢ s.head = s'.head ∧ R s.tail s'.tail
state_after: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r : R s s'
h : BisimO R s.destruct s'.destruct
⊢ s.head = s'.head ∧ R s.tail s'.tail

tactic: revert r h
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r : R s s'
h : BisimO R s.destruct s'.destruct
⊢ s.head = s'.head ∧ R s.tail s'.tail
state_after: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
⊢ R s s' → BisimO R s.destruct s'.destruct → s.head = s'.head ∧ R s.tail s'.tail

tactic: apply recOn s _ _ <;> intro r' <;> apply recOn s' _ _ <;> intro a' r h
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
⊢ R s s' → BisimO R s.destruct s'.destruct → s.head = s'.head ∧ R s.tail s'.tail
state_after: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' a' : α
r : R (pure r') (pure a')
h : BisimO R (pure r').destruct (pure a').destruct
⊢ (pure r').head = (pure a').head ∧ R (pure r').tail (pure a').tail

α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' : α
a' : Computation α
r : R (pure r') a'.think
h : BisimO R (pure r').destruct a'.think.destruct
⊢ (pure r').head = a'.think.head ∧ R (pure r').tail a'.think.tail

α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' r' : Computation α
a' : α
r : R r'.think (pure a')
h : BisimO R r'.think.destruct (pure a').destruct
⊢ r'.think.head = (pure a').head ∧ R r'.think.tail (pure a').tail

α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' r' a' : Computation α
r : R r'.think a'.think
h : BisimO R r'.think.destruct a'.think.destruct
⊢ r'.think.head = a'.think.head ∧ R r'.think.tail a'.think.tail

tactic: cases s
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝¹ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r✝ : R s s'
this : s.head = s'.head ∧ R s.tail s'.tail
r : R s.tail s'.tail
⊢ ↑s.tail = (↑s).tail
state_after: case mk
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝¹ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s' : Computation α
val✝ : Stream' (Option α)
property✝ : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, val✝ n = some a → val✝ (n + 1) = some a
r✝ : R ⟨val✝, property✝⟩ s'
this : head ⟨val✝, property✝⟩ = s'.head ∧ R (tail ⟨val✝, property✝⟩) s'.tail
r : R (tail ⟨val✝, property✝⟩) s'.tail
⊢ ↑(tail ⟨val✝, property✝⟩) = (↑⟨val✝, property✝⟩).tail

tactic: rfl
state_before: case mk
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝¹ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s' : Computation α
val✝ : Stream' (Option α)
property✝ : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, val✝ n = some a → val✝ (n + 1) = some a
r✝ : R ⟨val✝, property✝⟩ s'
this : head ⟨val✝, property✝⟩ = s'.head ∧ R (tail ⟨val✝, property✝⟩) s'.tail
r : R (tail ⟨val✝, property✝⟩) s'.tail
⊢ ↑(tail ⟨val✝, property✝⟩) = (↑⟨val✝, property✝⟩).tail
state_after: no goals

tactic: cases s'
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝¹ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r✝ : R s s'
this : s.head = s'.head ∧ R s.tail s'.tail
r : R s.tail s'.tail
⊢ ↑s'.tail = (↑s').tail
state_after: case mk
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝¹ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s : Computation α
val✝ : Stream' (Option α)
property✝ : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, val✝ n = some a → val✝ (n + 1) = some a
r✝ : R s ⟨val✝, property✝⟩
this : s.head = head ⟨val✝, property✝⟩ ∧ R s.tail (tail ⟨val✝, property✝⟩)
r : R s.tail (tail ⟨val✝, property✝⟩)
⊢ ↑(tail ⟨val✝, property✝⟩) = (↑⟨val✝, property✝⟩).tail

tactic: rfl
state_before: case mk
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝¹ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s : Computation α
val✝ : Stream' (Option α)
property✝ : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, val✝ n = some a → val✝ (n + 1) = some a
r✝ : R s ⟨val✝, property✝⟩
this : s.head = head ⟨val✝, property✝⟩ ∧ R s.tail (tail ⟨val✝, property✝⟩)
r : R s.tail (tail ⟨val✝, property✝⟩)
⊢ ↑(tail ⟨val✝, property✝⟩) = (↑⟨val✝, property✝⟩).tail
state_after: no goals

tactic: constructor <;> dsimp at h
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' a' : α
r : R (pure r') (pure a')
h : BisimO R (pure r').destruct (pure a').destruct
⊢ (pure r').head = (pure a').head ∧ R (pure r').tail (pure a').tail
state_after: case left
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' a' : α
r : R (pure r') (pure a')
h : r' = a'
⊢ (pure r').head = (pure a').head

case right
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' a' : α
r : R (pure r') (pure a')
h : r' = a'
⊢ R (pure r').tail (pure a').tail

tactic: rw [h]
state_before: case left
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' a' : α
r : R (pure r') (pure a')
h : r' = a'
⊢ (pure r').head = (pure a').head
state_after: no goals

tactic: rw [h] at r
state_before: case right
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' a' : α
r : R (pure r') (pure a')
h : r' = a'
⊢ R (pure r').tail (pure a').tail
state_after: case right
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' a' : α
r : R (pure a') (pure a')
h : r' = a'
⊢ R (pure r').tail (pure a').tail

tactic: rw [tail_pure, tail_pure,h]
state_before: case right
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' a' : α
r : R (pure a') (pure a')
h : r' = a'
⊢ R (pure r').tail (pure a').tail
state_after: case right
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' a' : α
r : R (pure a') (pure a')
h : r' = a'
⊢ R (pure a') (pure a')

tactic: assumption
state_before: case right
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' a' : α
r : R (pure a') (pure a')
h : r' = a'
⊢ R (pure a') (pure a')
state_after: no goals

tactic: rw [destruct_pure, destruct_think] at h
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' : α
a' : Computation α
r : R (pure r') a'.think
h : BisimO R (pure r').destruct a'.think.destruct
⊢ (pure r').head = a'.think.head ∧ R (pure r').tail a'.think.tail
state_after: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' : α
a' : Computation α
r : R (pure r') a'.think
h : BisimO R (Sum.inl r') (Sum.inr a')
⊢ (pure r').head = a'.think.head ∧ R (pure r').tail a'.think.tail

tactic: exact False.elim h
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' : α
a' : Computation α
r : R (pure r') a'.think
h : BisimO R (Sum.inl r') (Sum.inr a')
⊢ (pure r').head = a'.think.head ∧ R (pure r').tail a'.think.tail
state_after: no goals

tactic: rw [destruct_pure, destruct_think] at h
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' r' : Computation α
a' : α
r : R r'.think (pure a')
h : BisimO R r'.think.destruct (pure a').destruct
⊢ r'.think.head = (pure a').head ∧ R r'.think.tail (pure a').tail
state_after: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' r' : Computation α
a' : α
r : R r'.think (pure a')
h : BisimO R (Sum.inr r') (Sum.inl a')
⊢ r'.think.head = (pure a').head ∧ R r'.think.tail (pure a').tail

tactic: exact False.elim h
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' r' : Computation α
a' : α
r : R r'.think (pure a')
h : BisimO R (Sum.inr r') (Sum.inl a')
⊢ r'.think.head = (pure a').head ∧ R r'.think.tail (pure a').tail
state_after: no goals

tactic: simp_all
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' r' a' : Computation α
r : R r'.think a'.think
h : BisimO R r'.think.destruct a'.think.destruct
⊢ r'.think.head = a'.think.head ∧ R r'.think.tail a'.think.tail
state_after: no goals

tactic: exact ⟨s₁, s₂, rfl, rfl, r⟩
state_before: case a.a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
⊢ ∃ s s', ↑s = ↑s₁ ∧ ↑s' = ↑s₂ ∧ R s s'
state_after: no goals