1337xyz1337xyz/leandojo-benchmark4-v10 huggingface dataset:
Theorem: deriv.comp_of_eq
File: Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean

tactic: rw [hy] at hh₂
state_before: 𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : DifferentiableAt 𝕜' h₂ y
hh : DifferentiableAt 𝕜 h x
hy : y = h x
⊢ deriv (h₂ ∘ h) x = deriv h₂ (h x) * deriv h x
state_after: 𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : DifferentiableAt 𝕜' h₂ (h x)
hh : DifferentiableAt 𝕜 h x
hy : y = h x
⊢ deriv (h₂ ∘ h) x = deriv h₂ (h x) * deriv h x

tactic: exact deriv.comp x hh₂ hh
state_before: 𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : DifferentiableAt 𝕜' h₂ (h x)
hh : DifferentiableAt 𝕜 h x
hy : y = h x
⊢ deriv (h₂ ∘ h) x = deriv h₂ (h x) * deriv h x
state_after: no goals
Theorem: CategoryTheory.Mat.id_apply_of_ne
File: Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean

tactic: simp [id_apply, h]
state_before: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
R : Type u
inst✝ : Semiring R
M : Mat R
i j : ↑M
h : i ≠ j
⊢ 𝟙 M i j = 0
state_after: no goals
Theorem: inv_pow_le_inv_pow_of_le
File: Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean

tactic: convert one_div_pow_le_one_div_pow_of_le a1 mn using 1 <;> simp
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m✝ n✝ : ℤ
a1 : 1 ≤ a
m n : ℕ
mn : m ≤ n
⊢ (a ^ n)⁻¹ ≤ (a ^ m)⁻¹
state_after: no goals
Theorem: transpose_dualTensorHom
File: Mathlib/LinearAlgebra/Contraction.lean

tactic: ext f' m'
state_before: ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Dual R M
m : M
⊢ Dual.transpose ((dualTensorHom R M M) (f ⊗ₜ[R] m)) =
    (dualTensorHom R (Dual R M) (Dual R M)) ((Dual.eval R M) m ⊗ₜ[R] f)
state_after: case h.h
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Dual R M
m : M
f' : Dual R M
m' : M
⊢ ((Dual.transpose ((dualTensorHom R M M) (f ⊗ₜ[R] m))) f') m' =
    (((dualTensorHom R (Dual R M) (Dual R M)) ((Dual.eval R M) m ⊗ₜ[R] f)) f') m'

tactic: simp only [Dual.transpose_apply, coe_comp, Function.comp_apply, dualTensorHom_apply,
  LinearMap.map_smulₛₗ, RingHom.id_apply, Algebra.id.smul_eq_mul, Dual.eval_apply,
  LinearMap.smul_apply]
state_before: case h.h
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Dual R M
m : M
f' : Dual R M
m' : M
⊢ ((Dual.transpose ((dualTensorHom R M M) (f ⊗ₜ[R] m))) f') m' =
    (((dualTensorHom R (Dual R M) (Dual R M)) ((Dual.eval R M) m ⊗ₜ[R] f)) f') m'
state_after: case h.h
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Dual R M
m : M
f' : Dual R M
m' : M
⊢ f m' * f' m = f' m * f m'

tactic: exact mul_comm _ _
state_before: case h.h
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Dual R M
m : M
f' : Dual R M
m' : M
⊢ f m' * f' m = f' m * f m'
state_after: no goals
Theorem: SimpleGraph.adjMatrix_mul_self_apply_self
File: Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean

tactic: simp [filter_true_of_mem]
state_before: V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
i : V
⊢ (adjMatrix α G * adjMatrix α G) i i = ↑(G.degree i)
state_after: no goals
Theorem: exists_nhds_square
File: Mathlib/Topology/Constructions.lean

tactic: simpa [nhds_prod_eq, (nhds_basis_opens x).prod_self.mem_iff, and_assoc, and_left_comm] using hx
state_before: X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set (X × X)
x : X
hx : s ∈ 𝓝 (x, x)
⊢ ∃ U, IsOpen U ∧ x ∈ U ∧ U ×ˢ U ⊆ s
state_after: no goals
Theorem: Complex.algHom_ext
File: Mathlib/Data/Complex/Module.lean

tactic: ext ⟨x, y⟩
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra ℝ A
f g : ℂ →ₐ[ℝ] A
h : f I = g I
⊢ f = g
state_after: case H.mk
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra ℝ A
f g : ℂ →ₐ[ℝ] A
h : f I = g I
x y : ℝ
⊢ f { re := x, im := y } = g { re := x, im := y }

tactic: simp only [mk_eq_add_mul_I, AlgHom.map_add, AlgHom.map_coe_real_complex, AlgHom.map_mul, h]
state_before: case H.mk
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra ℝ A
f g : ℂ →ₐ[ℝ] A
h : f I = g I
x y : ℝ
⊢ f { re := x, im := y } = g { re := x, im := y }
state_after: no goals
Theorem: CategoryTheory.epi_from_simple_zero_of_not_iso
File: Mathlib/CategoryTheory/Simple.lean

tactic: classical
  by_contra h
  exact w (isIso_of_epi_of_nonzero h)
state_before: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f
w : IsIso f → False
⊢ f = 0
state_after: no goals

tactic: by_contra h
state_before: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f
w : IsIso f → False
⊢ f = 0
state_after: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f
w : IsIso f → False
h : ¬f = 0
⊢ False

tactic: exact w (isIso_of_epi_of_nonzero h)
state_before: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f
w : IsIso f → False
h : ¬f = 0
⊢ False
state_after: no goals
Theorem: Finset.powerset_union
File: Mathlib/Data/Finset/Sups.lean

tactic: ext u
state_before: F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t : Finset α
⊢ (s ∪ t).powerset = s.powerset ⊻ t.powerset
state_after: case a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α
⊢ u ∈ (s ∪ t).powerset ↔ u ∈ s.powerset ⊻ t.powerset

tactic: simp only [mem_sups, mem_powerset, le_eq_subset, sup_eq_union]
state_before: case a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α
⊢ u ∈ (s ∪ t).powerset ↔ u ∈ s.powerset ⊻ t.powerset
state_after: case a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α
⊢ u ⊆ s ∪ t ↔ ∃ a ⊆ s, ∃ b ⊆ t, a ∪ b = u

tactic: refine ⟨fun h ↦ ⟨_, inter_subset_left (s₂:=u), _, inter_subset_left (s₂:=u), ?_⟩, ?_⟩
state_before: case a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α
⊢ u ⊆ s ∪ t ↔ ∃ a ⊆ s, ∃ b ⊆ t, a ∪ b = u
state_after: case a.refine_1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α
h : u ⊆ s ∪ t
⊢ s ∩ u ∪ t ∩ u = u

case a.refine_2
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α
⊢ (∃ a ⊆ s, ∃ b ⊆ t, a ∪ b = u) → u ⊆ s ∪ t

tactic: rwa [← union_inter_distrib_right, inter_eq_right]
state_before: case a.refine_1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α
h : u ⊆ s ∪ t
⊢ s ∩ u ∪ t ∩ u = u
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨v, hv, w, hw, rfl⟩
state_before: case a.refine_2
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α
⊢ (∃ a ⊆ s, ∃ b ⊆ t, a ∪ b = u) → u ⊆ s ∪ t
state_after: case a.refine_2.intro.intro.intro.intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t v : Finset α
hv : v ⊆ s
w : Finset α
hw : w ⊆ t
⊢ v ∪ w ⊆ s ∪ t

tactic: exact union_subset_union hv hw
state_before: case a.refine_2.intro.intro.intro.intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t v : Finset α
hv : v ⊆ s
w : Finset α
hw : w ⊆ t
⊢ v ∪ w ⊆ s ∪ t
state_after: no goals
Theorem: MeasureTheory.rnDeriv_tilted_left_self
File: Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean

tactic: refine (rnDeriv_tilted_left hf hf).trans ?_
state_before: α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : SigmaFinite μ
hf : AEMeasurable f μ
⊢ (μ.tilted f).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)
state_after: α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : SigmaFinite μ
hf : AEMeasurable f μ
⊢ (fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv μ x) =ᶠ[ae μ] fun x =>
    ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)

tactic: filter_upwards [Measure.rnDeriv_self μ] with x hx
state_before: α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : SigmaFinite μ
hf : AEMeasurable f μ
⊢ (fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv μ x) =ᶠ[ae μ] fun x =>
    ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)
state_after: case h
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : SigmaFinite μ
hf : AEMeasurable f μ
x : α
hx : μ.rnDeriv μ x = 1
⊢ ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv μ x =
    ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)

tactic: rw [hx, mul_one]
state_before: case h
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : SigmaFinite μ
hf : AEMeasurable f μ
x : α
hx : μ.rnDeriv μ x = 1
⊢ ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv μ x =
    ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)
state_after: no goals
Theorem: AlgebraicGeometry.Scheme.Pullback.pullbackFstιToV_snd
File: Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean

tactic: simp [pullbackFstιToV, p1]
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i j : 𝒰.J
⊢ pullbackFstιToV 𝒰 f g i j ≫ pullback.snd = pullback.fst ≫ pullback.snd
state_after: no goals
Theorem: Set.image_finset_prod_pi
File: Mathlib/Data/Set/Pointwise/BigOperators.lean

tactic: ext
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
l : Finset ι
S : ι → Set α
⊢ (fun f => ∏ i ∈ l, f i) '' (↑l).pi S = ∏ i ∈ l, S i
state_after: case h
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
l : Finset ι
S : ι → Set α
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ (fun f => ∏ i ∈ l, f i) '' (↑l).pi S ↔ x✝ ∈ ∏ i ∈ l, S i

tactic: simp_rw [mem_finset_prod, mem_image, mem_pi, exists_prop, Finset.mem_coe]
state_before: case h
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
l : Finset ι
S : ι → Set α
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ (fun f => ∏ i ∈ l, f i) '' (↑l).pi S ↔ x✝ ∈ ∏ i ∈ l, S i
state_after: no goals
Theorem: ContinuousMap.hasSum_of_hasSum_Lp
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean

tactic: convert Summable.hasSum hg
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁵ : CompactSpace α
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
β : Type u_6
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
g : β → C(α, E)
f : C(α, E)
hg : Summable g
hg2 : HasSum (⇑(toLp p μ 𝕜) ∘ g) ((toLp p μ 𝕜) f)
⊢ HasSum g f
state_after: case h.e'_6
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁵ : CompactSpace α
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
β : Type u_6
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
g : β → C(α, E)
f : C(α, E)
hg : Summable g
hg2 : HasSum (⇑(toLp p μ 𝕜) ∘ g) ((toLp p μ 𝕜) f)
⊢ f = ∑' (b : β), g b

tactic: exact toLp_injective μ (hg2.unique ((toLp p μ 𝕜).hasSum <| Summable.hasSum hg))
state_before: case h.e'_6
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁵ : CompactSpace α
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
β : Type u_6
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
g : β → C(α, E)
f : C(α, E)
hg : Summable g
hg2 : HasSum (⇑(toLp p μ 𝕜) ∘ g) ((toLp p μ 𝕜) f)
⊢ f = ∑' (b : β), g b
state_after: no goals
Theorem: HasFDerivWithinAt.mapsTo_tangent_cone
File: Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean

tactic: rintro v ⟨c, d, dtop, clim, cdlim⟩
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
⊢ MapsTo (⇑f') (tangentConeAt 𝕜 s x) (tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x))
state_after: case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
dtop : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
⊢ f' v ∈ tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x)

tactic: refine
  ⟨c, fun n => f (x + d n) - f x, mem_of_superset dtop ?_, clim, h.lim atTop dtop clim cdlim⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
dtop : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
⊢ f' v ∈ tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x)
state_after: case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
dtop : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
⊢ {x_1 | (fun n => x + d n ∈ s) x_1} ⊆ {x_1 | (fun n => f x + (fun n => f (x + d n) - f x) n ∈ f '' s) x_1}

tactic: simp (config := { contextual := true }) [-mem_image, mem_image_of_mem]
state_before: case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
dtop : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
clim : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
cdlim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
⊢ {x_1 | (fun n => x + d n ∈ s) x_1} ⊆ {x_1 | (fun n => f x + (fun n => f (x + d n) - f x) n ∈ f '' s) x_1}
state_after: no goals
Theorem: LinearMap.range_le_iff_comap
File: Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean

tactic: rw [range_eq_map, map_le_iff_le_comap, eq_top_iff]
state_before: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : F
p : Submodule R₂ M₂
⊢ range f ≤ p ↔ comap f p = ⊤
state_after: no goals
Theorem: LSeriesSummable_lt_re_of_abscissaOfAbsConv_lt_re
File: Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convergence.lean

tactic: obtain ⟨x, hx₁, hx₂⟩ := EReal.exists_between_coe_real hs
state_before: f : ℕ → ℂ
s : ℂ
hs : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
⊢ ∃ x < s.re, LSeriesSummable f ↑x
state_after: case intro.intro
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
hs : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hx₁ : abscissaOfAbsConv f < ↑x
hx₂ : ↑x < ↑s.re
⊢ ∃ x < s.re, LSeriesSummable f ↑x

tactic: exact ⟨x, EReal.coe_lt_coe_iff.mp hx₂, LSeriesSummable_of_abscissaOfAbsConv_lt_re hx₁⟩
state_before: case intro.intro
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
hs : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hx₁ : abscissaOfAbsConv f < ↑x
hx₂ : ↑x < ↑s.re
⊢ ∃ x < s.re, LSeriesSummable f ↑x
state_after: no goals
Theorem: a_is_soln
File: Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean

tactic: simp [deriv_ne_zero hnorm]
state_before: p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
ha : Polynomial.eval a F = 0
⊢ ‖a - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
state_after: no goals
Theorem: Filter.HasBasis.eq_bot_iff
File: Mathlib/Order/Filter/Bases.lean

tactic: simp only [not_exists, not_and, nonempty_iff_ne_empty]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
⊢ (∀ {i : ι}, p i → (s i).Nonempty) ↔ ¬∃ i, p i ∧ s i = ∅
state_after: no goals
Theorem: Filter.eventually_or_distrib_right
File: Mathlib/Order/Filter/Basic.lean

tactic: simp only [@or_comm _ q, eventually_or_distrib_left]
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p : α → Prop
q : Prop
⊢ (∀ᶠ (x : α) in f, p x ∨ q) ↔ (∀ᶠ (x : α) in f, p x) ∨ q
state_after: no goals
Theorem: Acc.rank_lt_of_rel
File: Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean

tactic: rw [hb.rank_eq]
state_before: α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
hb : Acc r b
h : r a b
⊢ succ ⋯.rank ≤ hb.rank
state_after: α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
hb : Acc r b
h : r a b
⊢ succ ⋯.rank ≤ sup fun b_1 => succ ⋯.rank

tactic: refine le_trans ?_ (Ordinal.le_sup _ ⟨a, h⟩)
state_before: α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
hb : Acc r b
h : r a b
⊢ succ ⋯.rank ≤ sup fun b_1 => succ ⋯.rank
state_after: α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
hb : Acc r b
h : r a b
⊢ succ ⋯.rank ≤ succ ⋯.rank

tactic: rfl
state_before: α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
hb : Acc r b
h : r a b
⊢ succ ⋯.rank ≤ succ ⋯.rank
state_after: no goals
Theorem: WeierstrassCurve.Affine.baseChange_addX
File: Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean

tactic: erw [← map_addX, map_baseChange]
state_before: R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x₁ x₂ L : A
⊢ (baseChange W B).toAffine.addX (f x₁) (f x₂) (f L) = f ((baseChange W A).toAffine.addX x₁ x₂ L)
state_after: R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x₁ x₂ L : A
⊢ (baseChange W B).toAffine.addX (f x₁) (f x₂) (f L) =
    (baseChange W B).toAffine.addX (f.toRingHom x₁) (f.toRingHom x₂) (f.toRingHom L)

tactic: rfl
state_before: R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x₁ x₂ L : A
⊢ (baseChange W B).toAffine.addX (f x₁) (f x₂) (f L) =
    (baseChange W B).toAffine.addX (f.toRingHom x₁) (f.toRingHom x₂) (f.toRingHom L)
state_after: no goals
Theorem: AList.lookup_to_alist
File: Mathlib/Data/List/AList.lean

tactic: rw [List.toAList, lookup, dlookup_dedupKeys]
state_before: α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : List (Sigma β)
⊢ lookup a s.toAList = dlookup a s
state_after: no goals