Theorem: Orientation.oangle_eq_zero_or_eq_pi_iff_right_eq_smul
File: Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean

tactic: rw [oangle_eq_zero_iff_sameRay, oangle_eq_pi_iff_sameRay_neg]
state_before: V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π ↔ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
state_after: V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ SameRay ℝ x y ∨ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-y) ↔ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x

tactic: refine ⟨fun h => ?_, fun h => ?_⟩
state_before: V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ SameRay ℝ x y ∨ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-y) ↔ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
state_after: case refine_1
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x y ∨ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-y)
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x

case refine_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
⊢ SameRay ℝ x y ∨ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-y)

tactic: rcases h with (h | ⟨-, -, h⟩)
state_before: case refine_1
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x y ∨ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-y)
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
state_after: case refine_1.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x y
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x

case refine_1.inr.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x (-y)
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x

tactic: by_cases hx : x = 0
state_before: case refine_1.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x y
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
state_after: case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x y
hx : x = 0
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x

case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x y
hx : ¬x = 0
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x

tactic: obtain ⟨r, -, rfl⟩ := h.exists_nonneg_left hx
state_before: case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x y
hx : ¬x = 0
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
state_after: case neg.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : ¬x = 0
r : ℝ
h : SameRay ℝ x (r • x)
⊢ x = 0 ∨ ∃ r_1, r • x = r_1 • x

tactic: exact Or.inr ⟨r, rfl⟩
state_before: case neg.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : ¬x = 0
r : ℝ
h : SameRay ℝ x (r • x)
⊢ x = 0 ∨ ∃ r_1, r • x = r_1 • x
state_after: no goals

tactic: simp [hx]
state_before: case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x y
hx : x = 0
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
state_after: no goals

tactic: by_cases hx : x = 0
state_before: case refine_1.inr.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x (-y)
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
state_after: case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x (-y)
hx : x = 0
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x

case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x (-y)
hx : ¬x = 0
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x

tactic: obtain ⟨r, -, hy⟩ := h.exists_nonneg_left hx
state_before: case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x (-y)
hx : ¬x = 0
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
state_after: case neg.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x (-y)
hx : ¬x = 0
r : ℝ
hy : r • x = -y
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x

tactic: refine Or.inr ⟨-r, ?_⟩
state_before: case neg.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x (-y)
hx : ¬x = 0
r : ℝ
hy : r • x = -y
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
state_after: case neg.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x (-y)
hx : ¬x = 0
r : ℝ
hy : r • x = -y
⊢ y = -r • x

tactic: simp [hy]
state_before: case neg.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x (-y)
hx : ¬x = 0
r : ℝ
hy : r • x = -y
⊢ y = -r • x
state_after: no goals

tactic: simp [hx]
state_before: case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x (-y)
hx : x = 0
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
state_after: no goals

tactic: rcases h with (rfl | ⟨r, rfl⟩)
state_before: case refine_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
⊢ SameRay ℝ x y ∨ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-y)
state_after: case refine_2.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
y : V
⊢ SameRay ℝ 0 y ∨ 0 ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ 0 (-y)

case refine_2.inr.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
⊢ SameRay ℝ x (r • x) ∨ x ≠ 0 ∧ r • x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-(r • x))

tactic: by_cases hx : x = 0
state_before: case refine_2.inr.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
⊢ SameRay ℝ x (r • x) ∨ x ≠ 0 ∧ r • x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-(r • x))
state_after: case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hx : x = 0
⊢ SameRay ℝ x (r • x) ∨ x ≠ 0 ∧ r • x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-(r • x))

case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hx : ¬x = 0
⊢ SameRay ℝ x (r • x) ∨ x ≠ 0 ∧ r • x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-(r • x))

tactic: rcases lt_trichotomy r 0 with (hr | hr | hr)
state_before: case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hx : ¬x = 0
⊢ SameRay ℝ x (r • x) ∨ x ≠ 0 ∧ r • x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-(r • x))
state_after: case neg.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hx : ¬x = 0
hr : r < 0
⊢ SameRay ℝ x (r • x) ∨ x ≠ 0 ∧ r • x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-(r • x))

case neg.inr.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hx : ¬x = 0
hr : r = 0
⊢ SameRay ℝ x (r • x) ∨ x ≠ 0 ∧ r • x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-(r • x))

case neg.inr.inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hx : ¬x = 0
hr : 0 < r
⊢ SameRay ℝ x (r • x) ∨ x ≠ 0 ∧ r • x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-(r • x))

tactic: simp
state_before: case refine_2.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
y : V
⊢ SameRay ℝ 0 y ∨ 0 ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ 0 (-y)
state_after: no goals

tactic: simp [hx]
state_before: case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hx : x = 0
⊢ SameRay ℝ x (r • x) ∨ x ≠ 0 ∧ r • x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-(r • x))
state_after: no goals

tactic: rw [← neg_smul]
state_before: case neg.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hx : ¬x = 0
hr : r < 0
⊢ SameRay ℝ x (r • x) ∨ x ≠ 0 ∧ r • x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-(r • x))
state_after: case neg.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hx : ¬x = 0
hr : r < 0
⊢ SameRay ℝ x (r • x) ∨ x ≠ 0 ∧ r • x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-r • x)

tactic: exact Or.inr ⟨hx, smul_ne_zero hr.ne hx,
  SameRay.sameRay_pos_smul_right x (Left.neg_pos_iff.2 hr)⟩
state_before: case neg.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hx : ¬x = 0
hr : r < 0
⊢ SameRay ℝ x (r • x) ∨ x ≠ 0 ∧ r • x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-r • x)
state_after: no goals

tactic: simp [hr]
state_before: case neg.inr.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hx : ¬x = 0
hr : r = 0
⊢ SameRay ℝ x (r • x) ∨ x ≠ 0 ∧ r • x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-(r • x))
state_after: no goals

tactic: exact Or.inl (SameRay.sameRay_pos_smul_right x hr)
state_before: case neg.inr.inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hx : ¬x = 0
hr : 0 < r
⊢ SameRay ℝ x (r • x) ∨ x ≠ 0 ∧ r • x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-(r • x))
state_after: no goals