Theorem: Subsemigroup.iSup_induction'
File: Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Membership.lean

tactic: refine Exists.elim ?_ fun (hx₁' : x₁ ∈ ⨆ i, S i) (hc : C x₁ hx₁') => hc
state_before: ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
⊢ C x₁ hx₁
state_after: ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
⊢ ∃ (x : x₁ ∈ ⨆ i, S i), C x₁ x

tactic: refine @iSup_induction _ _ _ S (fun x' => ∃ hx'', C x' hx'') _ hx₁
    (fun i x₂ hx₂ => ?_) fun x₃ y => ?_
state_before: ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
⊢ ∃ (x : x₁ ∈ ⨆ i, S i), C x₁ x
state_after: case refine_1
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
i : ι
x₂ : M
hx₂ : x₂ ∈ S i
⊢ (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') x₂

case refine_2
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
x₃ y : M
⊢ (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') x₃ →
    (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') y → (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') (x₃ * y)

tactic: exact ⟨_, mem _ _ hx₂⟩
state_before: case refine_1
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
i : ι
x₂ : M
hx₂ : x₂ ∈ S i
⊢ (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') x₂
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨_, Cx⟩ ⟨_, Cy⟩
state_before: case refine_2
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
x₃ y : M
⊢ (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') x₃ →
    (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') y → (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') (x₃ * y)
state_after: case refine_2.intro.intro
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
x₃ y : M
w✝¹ : x₃ ∈ ⨆ i, S i
Cx : C x₃ w✝¹
w✝ : y ∈ ⨆ i, S i
Cy : C y w✝
⊢ ∃ (hx'' : x₃ * y ∈ ⨆ i, S i), C (x₃ * y) hx''

tactic: exact ⟨_, mul _ _ _ _ Cx Cy⟩
state_before: case refine_2.intro.intro
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
x₃ y : M
w✝¹ : x₃ ∈ ⨆ i, S i
Cx : C x₃ w✝¹
w✝ : y ∈ ⨆ i, S i
Cy : C y w✝
⊢ ∃ (hx'' : x₃ * y ∈ ⨆ i, S i), C (x₃ * y) hx''
state_after: no goals