Theorem: Real.aux₂
File: Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean

tactic: obtain ⟨hcop, _, h⟩ := h
state_before: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
state_after: case intro.intro
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v

tactic: obtain ⟨hv₀, hv₀'⟩ := aux₀ (zero_lt_two.trans_le hv)
state_before: case intro.intro
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
state_after: case intro.intro.intro
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v

tactic: have hv₁ : 0 < 2 * v - 1 := by linarith only [hv]
state_before: case intro.intro.intro
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
state_after: case intro.intro.intro
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v

tactic: rw [← one_div, lt_div_iff (mul_pos hv₀ hv₀'), ← abs_of_pos (mul_pos hv₀ hv₀'), ← abs_mul, sub_mul,
  ← mul_assoc, ← mul_assoc, div_mul_cancel₀ _ hv₀.ne', abs_sub_comm, abs_lt, lt_sub_iff_add_lt,
  sub_lt_iff_lt_add, mul_assoc] at h
state_before: case intro.intro.intro
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
state_after: case intro.intro.intro
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v

tactic: have hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v := by
  refine (mul_nonneg_iff_of_pos_right hv₁).mp ?_
  rw [← sub_one_lt_iff, zero_sub]
  replace h := h.1
  rw [← lt_sub_iff_add_lt, ← mul_assoc, ← sub_mul] at h
  exact mod_cast
    h.trans_le
      ((mul_le_mul_right <| hv₀').mpr <|
        (sub_le_sub_iff_left (u : ℝ)).mpr ((mul_le_mul_right hv₀).mpr (floor_le ξ)))
state_before: case intro.intro.intro
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
state_after: case intro.intro.intro
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v

tactic: have hu₁ : u - ⌊ξ⌋ * v ≤ v := by
  refine _root_.le_of_mul_le_mul_right (le_of_lt_add_one ?_) hv₁
  replace h := h.2
  rw [← sub_lt_iff_lt_add, ← mul_assoc, ← sub_mul, ← add_lt_add_iff_right (v * (2 * v - 1) : ℝ),
    add_comm (1 : ℝ)] at h
  have :=
    (mul_lt_mul_right <| hv₀').mpr
      ((sub_lt_sub_iff_left (u : ℝ)).mpr <|
        (mul_lt_mul_right hv₀).mpr <| sub_right_lt_of_lt_add <| lt_floor_add_one ξ)
  rw [sub_mul ξ, one_mul, ← sub_add, add_mul] at this
  exact mod_cast this.trans h
state_before: case intro.intro.intro
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
state_after: case intro.intro.intro
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
hu₁ : u - ⌊ξ⌋ * v ≤ v
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v

tactic: have huv_cop : IsCoprime (u - ⌊ξ⌋ * v) v := by
  rwa [sub_eq_add_neg, ← neg_mul, IsCoprime.add_mul_right_left_iff]
state_before: case intro.intro.intro
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
hu₁ : u - ⌊ξ⌋ * v ≤ v
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
state_after: case intro.intro.intro
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
hu₁ : u - ⌊ξ⌋ * v ≤ v
huv_cop : IsCoprime (u - ⌊ξ⌋ * v) v
⊢ 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v

tactic: linarith only [hv]
state_before: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
⊢ 0 < 2 * v - 1
state_after: no goals

tactic: refine (mul_nonneg_iff_of_pos_right hv₁).mp ?_
state_before: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
⊢ 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
state_after: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
⊢ 0 ≤ (u - ⌊ξ⌋ * v) * (2 * v - 1)

tactic: rw [← sub_one_lt_iff, zero_sub]
state_before: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
⊢ 0 ≤ (u - ⌊ξ⌋ * v) * (2 * v - 1)
state_after: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
⊢ -1 < (u - ⌊ξ⌋ * v) * (2 * v - 1)

tactic: replace h := h.1
state_before: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
⊢ -1 < (u - ⌊ξ⌋ * v) * (2 * v - 1)
state_after: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1)
⊢ -1 < (u - ⌊ξ⌋ * v) * (2 * v - 1)

tactic: rw [← lt_sub_iff_add_lt, ← mul_assoc, ← sub_mul] at h
state_before: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1)
⊢ -1 < (u - ⌊ξ⌋ * v) * (2 * v - 1)
state_after: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
h : -1 < (↑u - ξ * ↑v) * (2 * ↑v - 1)
⊢ -1 < (u - ⌊ξ⌋ * v) * (2 * v - 1)

tactic: exact mod_cast
  h.trans_le
    ((mul_le_mul_right <| hv₀').mpr <|
      (sub_le_sub_iff_left (u : ℝ)).mpr ((mul_le_mul_right hv₀).mpr (floor_le ξ)))
state_before: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
h : -1 < (↑u - ξ * ↑v) * (2 * ↑v - 1)
⊢ -1 < (u - ⌊ξ⌋ * v) * (2 * v - 1)
state_after: no goals

tactic: refine _root_.le_of_mul_le_mul_right (le_of_lt_add_one ?_) hv₁
state_before: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
⊢ u - ⌊ξ⌋ * v ≤ v
state_after: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
⊢ (u - ⌊ξ⌋ * v) * (2 * v - 1) < v * (2 * v - 1) + 1

tactic: replace h := h.2
state_before: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
⊢ (u - ⌊ξ⌋ * v) * (2 * v - 1) < v * (2 * v - 1) + 1
state_after: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
h : ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
⊢ (u - ⌊ξ⌋ * v) * (2 * v - 1) < v * (2 * v - 1) + 1

tactic: rw [← sub_lt_iff_lt_add, ← mul_assoc, ← sub_mul, ← add_lt_add_iff_right (v * (2 * v - 1) : ℝ),
  add_comm (1 : ℝ)] at h
state_before: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
h : ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
⊢ (u - ⌊ξ⌋ * v) * (2 * v - 1) < v * (2 * v - 1) + 1
state_after: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
h : (↑u - ξ * ↑v) * (2 * ↑v - 1) + ↑v * (2 * ↑v - 1) < ↑v * (2 * ↑v - 1) + 1
⊢ (u - ⌊ξ⌋ * v) * (2 * v - 1) < v * (2 * v - 1) + 1

tactic: have :=
  (mul_lt_mul_right <| hv₀').mpr
    ((sub_lt_sub_iff_left (u : ℝ)).mpr <|
      (mul_lt_mul_right hv₀).mpr <| sub_right_lt_of_lt_add <| lt_floor_add_one ξ)
state_before: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
h : (↑u - ξ * ↑v) * (2 * ↑v - 1) + ↑v * (2 * ↑v - 1) < ↑v * (2 * ↑v - 1) + 1
⊢ (u - ⌊ξ⌋ * v) * (2 * v - 1) < v * (2 * v - 1) + 1
state_after: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
h : (↑u - ξ * ↑v) * (2 * ↑v - 1) + ↑v * (2 * ↑v - 1) < ↑v * (2 * ↑v - 1) + 1
this : (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) * (2 * ↑v - 1) < (↑u - (ξ - 1) * ↑v) * (2 * ↑v - 1)
⊢ (u - ⌊ξ⌋ * v) * (2 * v - 1) < v * (2 * v - 1) + 1

tactic: rw [sub_mul ξ, one_mul, ← sub_add, add_mul] at this
state_before: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
h : (↑u - ξ * ↑v) * (2 * ↑v - 1) + ↑v * (2 * ↑v - 1) < ↑v * (2 * ↑v - 1) + 1
this : (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) * (2 * ↑v - 1) < (↑u - (ξ - 1) * ↑v) * (2 * ↑v - 1)
⊢ (u - ⌊ξ⌋ * v) * (2 * v - 1) < v * (2 * v - 1) + 1
state_after: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
h : (↑u - ξ * ↑v) * (2 * ↑v - 1) + ↑v * (2 * ↑v - 1) < ↑v * (2 * ↑v - 1) + 1
this : (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) * (2 * ↑v - 1) < (↑u - ξ * ↑v) * (2 * ↑v - 1) + ↑v * (2 * ↑v - 1)
⊢ (u - ⌊ξ⌋ * v) * (2 * v - 1) < v * (2 * v - 1) + 1

tactic: exact mod_cast this.trans h
state_before: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
h : (↑u - ξ * ↑v) * (2 * ↑v - 1) + ↑v * (2 * ↑v - 1) < ↑v * (2 * ↑v - 1) + 1
this : (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) * (2 * ↑v - 1) < (↑u - ξ * ↑v) * (2 * ↑v - 1) + ↑v * (2 * ↑v - 1)
⊢ (u - ⌊ξ⌋ * v) * (2 * v - 1) < v * (2 * v - 1) + 1
state_after: no goals

tactic: rwa [sub_eq_add_neg, ← neg_mul, IsCoprime.add_mul_right_left_iff]
state_before: ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
hu₁ : u - ⌊ξ⌋ * v ≤ v
⊢ IsCoprime (u - ⌊ξ⌋ * v) v
state_after: no goals

tactic: rw [hf] at huv_cop
state_before: case intro.intro.intro.refine_2
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
hu₁ : u - ⌊ξ⌋ * v ≤ v
huv_cop : IsCoprime (u - ⌊ξ⌋ * v) v
hf : u - ⌊ξ⌋ * v = v
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.refine_2
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
hu₁ : u - ⌊ξ⌋ * v ≤ v
huv_cop : IsCoprime v v
hf : u - ⌊ξ⌋ * v = v
⊢ False

tactic: simp only [isCoprime_zero_left, isCoprime_self, isUnit_iff] at huv_cop
state_before: case intro.intro.intro.refine_2
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
hu₁ : u - ⌊ξ⌋ * v ≤ v
huv_cop : IsCoprime v v
hf : u - ⌊ξ⌋ * v = v
⊢ False
state_after: case intro.intro.intro.refine_2
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
hu₁ : u - ⌊ξ⌋ * v ≤ v
hf : u - ⌊ξ⌋ * v = v
huv_cop : v = 1 ∨ v = -1
⊢ False

tactic: cases' huv_cop with huv_cop huv_cop <;> linarith only [hv, huv_cop]
state_before: case intro.intro.intro.refine_2
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
hu₁ : u - ⌊ξ⌋ * v ≤ v
hf : u - ⌊ξ⌋ * v = v
huv_cop : v = 1 ∨ v = -1
⊢ False
state_after: no goals