Theorem: GaussianFourier.integral_cexp_neg_mul_sq_add_real_mul_I
File: Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean

tactic: refine
  tendsto_nhds_unique
    (intervalIntegral_tendsto_integral (integrable_cexp_neg_mul_sq_add_real_mul_I hb c)
      tendsto_neg_atTop_atBot tendsto_id)
    ?_
state_before: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ), cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2)
state_after: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in -i..id i, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))

tactic: set I₁ := fun T => ∫ x : ℝ in -T..T, cexp (-b * (x + c * I) ^ 2) with HI₁
state_before: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in -i..id i, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))
state_after: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in -i..id i, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))

tactic: let I₂ := fun T : ℝ => ∫ x : ℝ in -T..T, cexp (-b * (x : ℂ) ^ 2)
state_before: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in -i..id i, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))
state_after: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in -i..id i, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))

tactic: let I₄ := fun T : ℝ => ∫ y : ℝ in (0 : ℝ)..c, cexp (-b * (T + y * I) ^ 2)
state_before: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in -i..id i, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))
state_after: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in -i..id i, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))

tactic: let I₅ := fun T : ℝ => ∫ y : ℝ in (0 : ℝ)..c, cexp (-b * (-T + y * I) ^ 2)
state_before: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in -i..id i, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))
state_after: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in -i..id i, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))

tactic: have C : ∀ T : ℝ, I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0 := by
  intro T
  have :=
    integral_boundary_rect_eq_zero_of_differentiableOn (fun z => cexp (-b * z ^ 2)) (-T)
      (T + c * I)
      (by
        refine Differentiable.differentiableOn (Differentiable.const_mul ?_ _).cexp
        exact differentiable_pow 2)
  simpa only [neg_im, ofReal_im, neg_zero, ofReal_zero, zero_mul, add_zero, neg_re,
    ofReal_re, add_re, mul_re, I_re, mul_zero, I_im, tsub_zero, add_im, mul_im,
    mul_one, zero_add, Algebra.id.smul_eq_mul, ofReal_neg] using this
state_before: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in -i..id i, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))
state_after: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
C : ∀ (T : ℝ), I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in -i..id i, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))

tactic: simp_rw [id, ← HI₁]
state_before: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
C : ∀ (T : ℝ), I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in -i..id i, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))
state_after: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
C : ∀ (T : ℝ), I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
⊢ Tendsto I₁ atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))

tactic: rw [this, ← add_zero ((π / b : ℂ) ^ (1 / 2 : ℂ)), ← integral_gaussian_complex hb]
state_before: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
C : ∀ (T : ℝ), I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
this : I₁ = fun T => I₂ T + verticalIntegral b c T
⊢ Tendsto I₁ atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))
state_after: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
C : ∀ (T : ℝ), I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
this : I₁ = fun T => I₂ T + verticalIntegral b c T
⊢ Tendsto (fun T => I₂ T + verticalIntegral b c T) atTop (𝓝 ((∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2)) + 0))

tactic: refine Tendsto.add ?_ (tendsto_verticalIntegral hb c)
state_before: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
C : ∀ (T : ℝ), I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
this : I₁ = fun T => I₂ T + verticalIntegral b c T
⊢ Tendsto (fun T => I₂ T + verticalIntegral b c T) atTop (𝓝 ((∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2)) + 0))
state_after: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
C : ∀ (T : ℝ), I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
this : I₁ = fun T => I₂ T + verticalIntegral b c T
⊢ Tendsto I₂ atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2)))

tactic: exact
  intervalIntegral_tendsto_integral (integrable_cexp_neg_mul_sq hb) tendsto_neg_atTop_atBot
    tendsto_id
state_before: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
C : ∀ (T : ℝ), I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
this : I₁ = fun T => I₂ T + verticalIntegral b c T
⊢ Tendsto I₂ atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2)))
state_after: no goals

tactic: intro T
state_before: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
⊢ ∀ (T : ℝ), I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
state_after: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
⊢ I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0

tactic: have :=
  integral_boundary_rect_eq_zero_of_differentiableOn (fun z => cexp (-b * z ^ 2)) (-T)
    (T + c * I)
    (by
      refine Differentiable.differentiableOn (Differentiable.const_mul ?_ _).cexp
      exact differentiable_pow 2)
state_before: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
⊢ I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
state_after: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
this :
  (((∫ (x : ℝ) in (-↑T).re..(↑T + ↑c * I).re, (fun z => cexp (-b * z ^ 2)) (↑x + ↑(-↑T).im * I)) -
          ∫ (x : ℝ) in (-↑T).re..(↑T + ↑c * I).re, (fun z => cexp (-b * z ^ 2)) (↑x + ↑(↑T + ↑c * I).im * I)) +
        I • ∫ (y : ℝ) in (-↑T).im..(↑T + ↑c * I).im, (fun z => cexp (-b * z ^ 2)) (↑(↑T + ↑c * I).re + ↑y * I)) -
      I • ∫ (y : ℝ) in (-↑T).im..(↑T + ↑c * I).im, (fun z => cexp (-b * z ^ 2)) (↑(-↑T).re + ↑y * I) =
    0
⊢ I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0

tactic: simpa only [neg_im, ofReal_im, neg_zero, ofReal_zero, zero_mul, add_zero, neg_re,
  ofReal_re, add_re, mul_re, I_re, mul_zero, I_im, tsub_zero, add_im, mul_im,
  mul_one, zero_add, Algebra.id.smul_eq_mul, ofReal_neg] using this
state_before: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
this :
  (((∫ (x : ℝ) in (-↑T).re..(↑T + ↑c * I).re, (fun z => cexp (-b * z ^ 2)) (↑x + ↑(-↑T).im * I)) -
          ∫ (x : ℝ) in (-↑T).re..(↑T + ↑c * I).re, (fun z => cexp (-b * z ^ 2)) (↑x + ↑(↑T + ↑c * I).im * I)) +
        I • ∫ (y : ℝ) in (-↑T).im..(↑T + ↑c * I).im, (fun z => cexp (-b * z ^ 2)) (↑(↑T + ↑c * I).re + ↑y * I)) -
      I • ∫ (y : ℝ) in (-↑T).im..(↑T + ↑c * I).im, (fun z => cexp (-b * z ^ 2)) (↑(-↑T).re + ↑y * I) =
    0
⊢ I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
state_after: no goals

tactic: refine Differentiable.differentiableOn (Differentiable.const_mul ?_ _).cexp
state_before: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
⊢ DifferentiableOn ℂ (fun z => cexp (-b * z ^ 2)) (uIcc (-↑T).re (↑T + ↑c * I).re ×ℂ uIcc (-↑T).im (↑T + ↑c * I).im)
state_after: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
⊢ Differentiable ℂ fun z => z ^ 2

tactic: exact differentiable_pow 2
state_before: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
⊢ Differentiable ℂ fun z => z ^ 2
state_after: no goals

tactic: ext1 T
state_before: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
C : ∀ (T : ℝ), I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
⊢ I₁ = fun T => I₂ T + verticalIntegral b c T
state_after: case h
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
C : ∀ (T : ℝ), I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
T : ℝ
⊢ I₁ T = I₂ T + verticalIntegral b c T

tactic: specialize C T
state_before: case h
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
C : ∀ (T : ℝ), I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
T : ℝ
⊢ I₁ T = I₂ T + verticalIntegral b c T
state_after: case h
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
⊢ I₁ T = I₂ T + verticalIntegral b c T

tactic: rw [sub_eq_zero] at C
state_before: case h
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
⊢ I₁ T = I₂ T + verticalIntegral b c T
state_after: case h
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
⊢ I₁ T = I₂ T + verticalIntegral b c T

tactic: unfold verticalIntegral
state_before: case h
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
⊢ I₁ T = I₂ T + verticalIntegral b c T
state_after: case h
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
⊢ I₁ T = I₂ T + ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, I * (cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2) - cexp (-b * (↑T - ↑y * I) ^ 2))

tactic: rw [integral_const_mul, intervalIntegral.integral_sub]
state_before: case h
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
⊢ I₁ T = I₂ T + ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, I * (cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2) - cexp (-b * (↑T - ↑y * I) ^ 2))
state_after: case h
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
⊢ I₁ T =
    I₂ T + I * ((∫ (x : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑x * I) ^ 2)) - ∫ (x : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T - ↑x * I) ^ 2))

case h.hf
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
⊢ IntervalIntegrable (fun x => cexp (-b * (↑T + ↑x * I) ^ 2)) volume 0 c

case h.hg
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
⊢ IntervalIntegrable (fun x => cexp (-b * (↑T - ↑x * I) ^ 2)) volume 0 c

tactic: all_goals apply Continuous.intervalIntegrable; continuity
state_before: case h.hf
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
⊢ IntervalIntegrable (fun x => cexp (-b * (↑T + ↑x * I) ^ 2)) volume 0 c

case h.hg
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
⊢ IntervalIntegrable (fun x => cexp (-b * (↑T - ↑x * I) ^ 2)) volume 0 c
state_after: no goals

tactic: simp_rw [(fun a b => by rw [sq]; ring_nf : ∀ a b : ℂ, (a - b * I) ^ 2 = (-a + b * I) ^ 2)]
state_before: case h
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
⊢ I₁ T =
    I₂ T + I * ((∫ (x : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑x * I) ^ 2)) - ∫ (x : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T - ↑x * I) ^ 2))
state_after: case h
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
⊢ I₁ T =
    I₂ T +
      I * ((∫ (x : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑x * I) ^ 2)) - ∫ (x : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑x * I) ^ 2))

tactic: change I₁ T = I₂ T + I * (I₄ T - I₅ T)
state_before: case h
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
⊢ I₁ T =
    I₂ T +
      I * ((∫ (x : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑x * I) ^ 2)) - ∫ (x : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑x * I) ^ 2))
state_after: case h
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
⊢ I₁ T = I₂ T + I * (I₄ T - I₅ T)

tactic: rw [mul_sub, ← C]
state_before: case h
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
⊢ I₁ T = I₂ T + I * (I₄ T - I₅ T)
state_after: case h
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
⊢ I₁ T = I₂ T + (I * I₄ T - (I₂ T - I₁ T + I * I₄ T))

tactic: abel
state_before: case h
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
⊢ I₁ T = I₂ T + (I * I₄ T - (I₂ T - I₁ T + I * I₄ T))
state_after: no goals

tactic: rw [sq]
state_before: b✝ : ℂ
hb : 0 < b✝.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b✝ * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b✝ * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b✝ * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b✝ * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b✝ * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
a b : ℂ
⊢ (a - b * I) ^ 2 = (-a + b * I) ^ 2
state_after: b✝ : ℂ
hb : 0 < b✝.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b✝ * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b✝ * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b✝ * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b✝ * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b✝ * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
a b : ℂ
⊢ (a - b * I) * (a - b * I) = (-a + b * I) ^ 2

tactic: ring_nf
state_before: b✝ : ℂ
hb : 0 < b✝.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b✝ * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b✝ * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b✝ * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b✝ * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b✝ * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
a b : ℂ
⊢ (a - b * I) * (a - b * I) = (-a + b * I) ^ 2
state_after: no goals

tactic: apply Continuous.intervalIntegrable
state_before: case h.hg
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
⊢ IntervalIntegrable (fun x => cexp (-b * (↑T - ↑x * I) ^ 2)) volume 0 c
state_after: case h.hg.hu
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
⊢ Continuous fun x => cexp (-b * (↑T - ↑x * I) ^ 2)

tactic: continuity
state_before: case h.hg.hu
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
T : ℝ
C : I₂ T - I₁ T + I * I₄ T = I * I₅ T
⊢ Continuous fun x => cexp (-b * (↑T - ↑x * I) ^ 2)
state_after: no goals