Theorem: IsSl2Triple.HasPrimitiveVectorWith.lie_e_pow_succ_toEnd_f
File: Mathlib/Algebra/Lie/Sl2.lean

tactic: induction' n with n ih
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
n : ℕ
⊢ ⁅e, ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m⁆ = ((↑n + 1) * (μ - ↑n)) • ((toEnd R L M) f ^ n) m
state_after: case zero
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
⊢ ⁅e, ((toEnd R L M) f ^ (0 + 1)) m⁆ = ((↑0 + 1) * (μ - ↑0)) • ((toEnd R L M) f ^ 0) m

case succ
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
n : ℕ
ih : ⁅e, ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m⁆ = ((↑n + 1) * (μ - ↑n)) • ((toEnd R L M) f ^ n) m
⊢ ⁅e, ((toEnd R L M) f ^ (n + 1 + 1)) m⁆ = ((↑(n + 1) + 1) * (μ - ↑(n + 1))) • ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m

tactic: simp only [zero_add, pow_one, toEnd_apply_apply, Nat.cast_zero, sub_zero, one_mul,
  pow_zero, LinearMap.one_apply, leibniz_lie e, t.lie_e_f, P.lie_e, P.lie_h, lie_zero,
  add_zero]
state_before: case zero
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
⊢ ⁅e, ((toEnd R L M) f ^ (0 + 1)) m⁆ = ((↑0 + 1) * (μ - ↑0)) • ((toEnd R L M) f ^ 0) m
state_after: no goals

tactic: rw [pow_succ', LinearMap.mul_apply, toEnd_apply_apply, leibniz_lie e, t.lie_e_f,
  lie_h_pow_toEnd_f P, ih, lie_smul, lie_f_pow_toEnd_f P, ← add_smul,
  Nat.cast_add, Nat.cast_one]
state_before: case succ
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
n : ℕ
ih : ⁅e, ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m⁆ = ((↑n + 1) * (μ - ↑n)) • ((toEnd R L M) f ^ n) m
⊢ ⁅e, ((toEnd R L M) f ^ (n + 1 + 1)) m⁆ = ((↑(n + 1) + 1) * (μ - ↑(n + 1))) • ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m
state_after: case succ
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
n : ℕ
ih : ⁅e, ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m⁆ = ((↑n + 1) * (μ - ↑n)) • ((toEnd R L M) f ^ n) m
⊢ (μ - 2 * (↑n + 1) + (↑n + 1) * (μ - ↑n)) • ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m =
    ((↑n + 1 + 1) * (μ - (↑n + 1))) • ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m

tactic: congr
state_before: case succ
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
n : ℕ
ih : ⁅e, ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m⁆ = ((↑n + 1) * (μ - ↑n)) • ((toEnd R L M) f ^ n) m
⊢ (μ - 2 * (↑n + 1) + (↑n + 1) * (μ - ↑n)) • ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m =
    ((↑n + 1 + 1) * (μ - (↑n + 1))) • ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m
state_after: case succ.e_a
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
n : ℕ
ih : ⁅e, ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m⁆ = ((↑n + 1) * (μ - ↑n)) • ((toEnd R L M) f ^ n) m
⊢ μ - 2 * (↑n + 1) + (↑n + 1) * (μ - ↑n) = (↑n + 1 + 1) * (μ - (↑n + 1))

tactic: ring
state_before: case succ.e_a
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
n : ℕ
ih : ⁅e, ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m⁆ = ((↑n + 1) * (μ - ↑n)) • ((toEnd R L M) f ^ n) m
⊢ μ - 2 * (↑n + 1) + (↑n + 1) * (μ - ↑n) = (↑n + 1 + 1) * (μ - (↑n + 1))
state_after: no goals