Theorem: pathComponent_congr
File: Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean

tactic: ext z
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
h : x ∈ pathComponent y
⊢ pathComponent x = pathComponent y
state_after: case h
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z✝ : X
ι : Type u_3
F : Set X
h : x ∈ pathComponent y
z : X
⊢ z ∈ pathComponent x ↔ z ∈ pathComponent y

tactic: constructor
state_before: case h
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z✝ : X
ι : Type u_3
F : Set X
h : x ∈ pathComponent y
z : X
⊢ z ∈ pathComponent x ↔ z ∈ pathComponent y
state_after: case h.mp
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z✝ : X
ι : Type u_3
F : Set X
h : x ∈ pathComponent y
z : X
⊢ z ∈ pathComponent x → z ∈ pathComponent y

case h.mpr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z✝ : X
ι : Type u_3
F : Set X
h : x ∈ pathComponent y
z : X
⊢ z ∈ pathComponent y → z ∈ pathComponent x

tactic: intro h'
state_before: case h.mp
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z✝ : X
ι : Type u_3
F : Set X
h : x ∈ pathComponent y
z : X
⊢ z ∈ pathComponent x → z ∈ pathComponent y
state_after: case h.mp
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z✝ : X
ι : Type u_3
F : Set X
h : x ∈ pathComponent y
z : X
h' : z ∈ pathComponent x
⊢ z ∈ pathComponent y

tactic: rw [pathComponent_symm]
state_before: case h.mp
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z✝ : X
ι : Type u_3
F : Set X
h : x ∈ pathComponent y
z : X
h' : z ∈ pathComponent x
⊢ z ∈ pathComponent y
state_after: case h.mp
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z✝ : X
ι : Type u_3
F : Set X
h : x ∈ pathComponent y
z : X
h' : z ∈ pathComponent x
⊢ y ∈ pathComponent z

tactic: exact (h.trans h').symm
state_before: case h.mp
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z✝ : X
ι : Type u_3
F : Set X
h : x ∈ pathComponent y
z : X
h' : z ∈ pathComponent x
⊢ y ∈ pathComponent z
state_after: no goals

tactic: intro h'
state_before: case h.mpr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z✝ : X
ι : Type u_3
F : Set X
h : x ∈ pathComponent y
z : X
⊢ z ∈ pathComponent y → z ∈ pathComponent x
state_after: case h.mpr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z✝ : X
ι : Type u_3
F : Set X
h : x ∈ pathComponent y
z : X
h' : z ∈ pathComponent y
⊢ z ∈ pathComponent x

tactic: rw [pathComponent_symm] at h' ⊢
state_before: case h.mpr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z✝ : X
ι : Type u_3
F : Set X
h : x ∈ pathComponent y
z : X
h' : z ∈ pathComponent y
⊢ z ∈ pathComponent x
state_after: case h.mpr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z✝ : X
ι : Type u_3
F : Set X
h : x ∈ pathComponent y
z : X
h' : y ∈ pathComponent z
⊢ x ∈ pathComponent z

tactic: exact h'.trans h
state_before: case h.mpr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z✝ : X
ι : Type u_3
F : Set X
h : x ∈ pathComponent y
z : X
h' : y ∈ pathComponent z
⊢ x ∈ pathComponent z
state_after: no goals