Theorem: CategoryTheory.MorphismProperty.universally_respectsIso
File: Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Limits.lean

tactic: constructor
state_before: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
⊢ P.universally.RespectsIso
state_after: case left
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
⊢ ∀ {X Y Z : C} (e : X ≅ Y) (f : Y ⟶ Z), P.universally f → P.universally (e.hom ≫ f)

case right
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
⊢ ∀ {X Y Z : C} (e : Y ≅ Z) (f : X ⟶ Y), P.universally f → P.universally (f ≫ e.hom)

tactic: intro X Y Z e f hf X' Z' i₁ i₂ f' H
state_before: case left
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
⊢ ∀ {X Y Z : C} (e : X ≅ Y) (f : Y ⟶ Z), P.universally f → P.universally (e.hom ≫ f)
state_after: case left
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
X Y Z : C
e : X ≅ Y
f : Y ⟶ Z
hf : P.universally f
X' Z' : C
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Z' ⟶ Z
f' : X' ⟶ Z'
H : IsPullback f' i₁ i₂ (e.hom ≫ f)
⊢ P f'

tactic: have : IsPullback (𝟙 _) (i₁ ≫ e.hom) i₁ e.inv :=
  IsPullback.of_horiz_isIso
    ⟨by rw [Category.id_comp, Category.assoc, e.hom_inv_id, Category.comp_id]⟩
state_before: case left
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
X Y Z : C
e : X ≅ Y
f : Y ⟶ Z
hf : P.universally f
X' Z' : C
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Z' ⟶ Z
f' : X' ⟶ Z'
H : IsPullback f' i₁ i₂ (e.hom ≫ f)
⊢ P f'
state_after: case left
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
X Y Z : C
e : X ≅ Y
f : Y ⟶ Z
hf : P.universally f
X' Z' : C
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Z' ⟶ Z
f' : X' ⟶ Z'
H : IsPullback f' i₁ i₂ (e.hom ≫ f)
this : IsPullback (𝟙 X') (i₁ ≫ e.hom) i₁ e.inv
⊢ P f'

tactic: exact hf _ _ _
  (by simpa only [Iso.inv_hom_id_assoc, Category.id_comp] using this.paste_horiz H)
state_before: case left
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
X Y Z : C
e : X ≅ Y
f : Y ⟶ Z
hf : P.universally f
X' Z' : C
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Z' ⟶ Z
f' : X' ⟶ Z'
H : IsPullback f' i₁ i₂ (e.hom ≫ f)
this : IsPullback (𝟙 X') (i₁ ≫ e.hom) i₁ e.inv
⊢ P f'
state_after: no goals

tactic: rw [Category.id_comp, Category.assoc, e.hom_inv_id, Category.comp_id]
state_before: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
X Y Z : C
e : X ≅ Y
f : Y ⟶ Z
hf : P.universally f
X' Z' : C
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Z' ⟶ Z
f' : X' ⟶ Z'
H : IsPullback f' i₁ i₂ (e.hom ≫ f)
⊢ 𝟙 X' ≫ i₁ = (i₁ ≫ e.hom) ≫ e.inv
state_after: no goals

tactic: simpa only [Iso.inv_hom_id_assoc, Category.id_comp] using this.paste_horiz H
state_before: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
X Y Z : C
e : X ≅ Y
f : Y ⟶ Z
hf : P.universally f
X' Z' : C
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Z' ⟶ Z
f' : X' ⟶ Z'
H : IsPullback f' i₁ i₂ (e.hom ≫ f)
this : IsPullback (𝟙 X') (i₁ ≫ e.hom) i₁ e.inv
⊢ IsPullback f' ?m.61088 ?m.61089 f
state_after: no goals

tactic: intro X Y Z e f hf X' Z' i₁ i₂ f' H
state_before: case right
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
⊢ ∀ {X Y Z : C} (e : Y ≅ Z) (f : X ⟶ Y), P.universally f → P.universally (f ≫ e.hom)
state_after: case right
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
X Y Z : C
e : Y ≅ Z
f : X ⟶ Y
hf : P.universally f
X' Z' : C
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Z' ⟶ Z
f' : X' ⟶ Z'
H : IsPullback f' i₁ i₂ (f ≫ e.hom)
⊢ P f'

tactic: have : IsPullback (𝟙 _) i₂ (i₂ ≫ e.inv) e.inv :=
  IsPullback.of_horiz_isIso ⟨Category.id_comp _⟩
state_before: case right
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
X Y Z : C
e : Y ≅ Z
f : X ⟶ Y
hf : P.universally f
X' Z' : C
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Z' ⟶ Z
f' : X' ⟶ Z'
H : IsPullback f' i₁ i₂ (f ≫ e.hom)
⊢ P f'
state_after: case right
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
X Y Z : C
e : Y ≅ Z
f : X ⟶ Y
hf : P.universally f
X' Z' : C
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Z' ⟶ Z
f' : X' ⟶ Z'
H : IsPullback f' i₁ i₂ (f ≫ e.hom)
this : IsPullback (𝟙 Z') i₂ (i₂ ≫ e.inv) e.inv
⊢ P f'

tactic: exact hf _ _ _ (by simpa only [Category.assoc, Iso.hom_inv_id,
  Category.comp_id, Category.comp_id] using H.paste_horiz this)
state_before: case right
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
X Y Z : C
e : Y ≅ Z
f : X ⟶ Y
hf : P.universally f
X' Z' : C
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Z' ⟶ Z
f' : X' ⟶ Z'
H : IsPullback f' i₁ i₂ (f ≫ e.hom)
this : IsPullback (𝟙 Z') i₂ (i₂ ≫ e.inv) e.inv
⊢ P f'
state_after: no goals

tactic: simpa only [Category.assoc, Iso.hom_inv_id,
Category.comp_id, Category.comp_id] using H.paste_horiz this
state_before: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
X Y Z : C
e : Y ≅ Z
f : X ⟶ Y
hf : P.universally f
X' Z' : C
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Z' ⟶ Z
f' : X' ⟶ Z'
H : IsPullback f' i₁ i₂ (f ≫ e.hom)
this : IsPullback (𝟙 Z') i₂ (i₂ ≫ e.inv) e.inv
⊢ IsPullback f' ?m.62720 ?m.62721 f
state_after: no goals