Theorem: Equiv.Perm.IsCycle.pow_eq_pow_iff
File: Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean

tactic: cases nonempty_fintype β
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
a b : ℕ
⊢ f ^ a = f ^ b ↔ ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ a) x = (f ^ b) x
state_after: case intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
a b : ℕ
val✝ : Fintype β
⊢ f ^ a = f ^ b ↔ ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ a) x = (f ^ b) x

tactic: constructor
state_before: case intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
a b : ℕ
val✝ : Fintype β
⊢ f ^ a = f ^ b ↔ ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ a) x = (f ^ b) x
state_after: case intro.mp
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
a b : ℕ
val✝ : Fintype β
⊢ f ^ a = f ^ b → ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ a) x = (f ^ b) x

case intro.mpr
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
a b : ℕ
val✝ : Fintype β
⊢ (∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ a) x = (f ^ b) x) → f ^ a = f ^ b

tactic: intro h
state_before: case intro.mp
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
a b : ℕ
val✝ : Fintype β
⊢ f ^ a = f ^ b → ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ a) x = (f ^ b) x
state_after: case intro.mp
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
a b : ℕ
val✝ : Fintype β
h : f ^ a = f ^ b
⊢ ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ a) x = (f ^ b) x

tactic: obtain ⟨x, hx, -⟩ := id hf
state_before: case intro.mp
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
a b : ℕ
val✝ : Fintype β
h : f ^ a = f ^ b
⊢ ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ a) x = (f ^ b) x
state_after: case intro.mp.intro.intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
a b : ℕ
val✝ : Fintype β
h : f ^ a = f ^ b
x : β
hx : f x ≠ x
⊢ ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ a) x = (f ^ b) x

tactic: exact ⟨x, hx, by simp [h]⟩
state_before: case intro.mp.intro.intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
a b : ℕ
val✝ : Fintype β
h : f ^ a = f ^ b
x : β
hx : f x ≠ x
⊢ ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ a) x = (f ^ b) x
state_after: no goals

tactic: simp [h]
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
a b : ℕ
val✝ : Fintype β
h : f ^ a = f ^ b
x : β
hx : f x ≠ x
⊢ (f ^ a) x = (f ^ b) x
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨x, hx, hx'⟩
state_before: case intro.mpr
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
a b : ℕ
val✝ : Fintype β
⊢ (∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ a) x = (f ^ b) x) → f ^ a = f ^ b
state_after: case intro.mpr.intro.intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
a b : ℕ
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
⊢ f ^ a = f ^ b

tactic: wlog hab : a ≤ b generalizing a b
state_before: case intro.mpr.intro.intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
a b : ℕ
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
⊢ f ^ a = f ^ b
state_after: case intro.mpr.intro.intro.inr
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
a b : ℕ
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
this : ∀ {a b : ℕ}, (f ^ a) x = (f ^ b) x → a ≤ b → f ^ a = f ^ b
hab : ¬a ≤ b
⊢ f ^ a = f ^ b

ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
a b : ℕ
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
hab : a ≤ b
⊢ f ^ a = f ^ b

tactic: suffices f ^ (b - a) = 1 by
  rw [pow_sub _ hab, mul_inv_eq_one] at this
  rw [this]
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
a b : ℕ
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
hab : a ≤ b
⊢ f ^ a = f ^ b
state_after: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
a b : ℕ
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
hab : a ≤ b
⊢ f ^ (b - a) = 1

tactic: rw [hf.pow_eq_one_iff]
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
a b : ℕ
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
hab : a ≤ b
⊢ f ^ (b - a) = 1
state_after: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
a b : ℕ
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
hab : a ≤ b
⊢ ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ (b - a)) x = x

tactic: by_cases hfa : (f ^ a) x ∈ f.support
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
a b : ℕ
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
hab : a ≤ b
⊢ ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ (b - a)) x = x
state_after: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
a b : ℕ
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
hab : a ≤ b
hfa : (f ^ a) x ∈ f.support
⊢ ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ (b - a)) x = x

case neg
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
a b : ℕ
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
hab : a ≤ b
hfa : (f ^ a) x ∉ f.support
⊢ ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ (b - a)) x = x

tactic: exact (this hx'.symm (le_of_not_le hab)).symm
state_before: case intro.mpr.intro.intro.inr
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
a b : ℕ
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
this : ∀ {a b : ℕ}, (f ^ a) x = (f ^ b) x → a ≤ b → f ^ a = f ^ b
hab : ¬a ≤ b
⊢ f ^ a = f ^ b
state_after: no goals

tactic: rw [pow_sub _ hab, mul_inv_eq_one] at this
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
a b : ℕ
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
hab : a ≤ b
this : f ^ (b - a) = 1
⊢ f ^ a = f ^ b
state_after: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
a b : ℕ
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
hab : a ≤ b
this : f ^ b = f ^ a
⊢ f ^ a = f ^ b

tactic: rw [this]
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
a b : ℕ
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
hab : a ≤ b
this : f ^ b = f ^ a
⊢ f ^ a = f ^ b
state_after: no goals

tactic: refine ⟨(f ^ a) x, mem_support.mp hfa, ?_⟩
state_before: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
a b : ℕ
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
hab : a ≤ b
hfa : (f ^ a) x ∈ f.support
⊢ ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ (b - a)) x = x
state_after: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
a b : ℕ
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
hab : a ≤ b
hfa : (f ^ a) x ∈ f.support
⊢ (f ^ (b - a)) ((f ^ a) x) = (f ^ a) x

tactic: simp only [pow_sub _ hab, Equiv.Perm.coe_mul, Function.comp_apply, inv_apply_self, ← hx']
state_before: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
a b : ℕ
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
hab : a ≤ b
hfa : (f ^ a) x ∈ f.support
⊢ (f ^ (b - a)) ((f ^ a) x) = (f ^ a) x
state_after: no goals

tactic: have h := @Equiv.Perm.zpow_apply_comm _ f 1 a x
state_before: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
a b : ℕ
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
hab : a ≤ b
hfa : (f ^ a) x ∉ f.support
⊢ ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ (b - a)) x = x
state_after: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
a b : ℕ
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
hab : a ≤ b
hfa : (f ^ a) x ∉ f.support
h : (f ^ 1) ((f ^ ↑a) x) = (f ^ ↑a) ((f ^ 1) x)
⊢ ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ (b - a)) x = x

tactic: simp only [zpow_one, zpow_natCast] at h
state_before: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
a b : ℕ
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
hab : a ≤ b
hfa : (f ^ a) x ∉ f.support
h : (f ^ 1) ((f ^ ↑a) x) = (f ^ ↑a) ((f ^ 1) x)
⊢ ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ (b - a)) x = x
state_after: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
a b : ℕ
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
hab : a ≤ b
hfa : (f ^ a) x ∉ f.support
h : f ((f ^ a) x) = (f ^ a) (f x)
⊢ ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ (b - a)) x = x

tactic: rw [not_mem_support, h, Function.Injective.eq_iff (f ^ a).injective] at hfa
state_before: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
a b : ℕ
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
hab : a ≤ b
hfa : (f ^ a) x ∉ f.support
h : f ((f ^ a) x) = (f ^ a) (f x)
⊢ ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ (b - a)) x = x
state_after: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
a b : ℕ
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
hab : a ≤ b
hfa : f x = x
h : f ((f ^ a) x) = (f ^ a) (f x)
⊢ ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ (b - a)) x = x

tactic: contradiction
state_before: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
val✝ : Fintype β
x : β
hx : f x ≠ x
a b : ℕ
hx' : (f ^ a) x = (f ^ b) x
hab : a ≤ b
hfa : f x = x
h : f ((f ^ a) x) = (f ^ a) (f x)
⊢ ∃ x, f x ≠ x ∧ (f ^ (b - a)) x = x
state_after: no goals