Theorem: Function.Exact.split_tfae'
File: Mathlib/Algebra/Exact.lean

tactic: tfae_have 1 → 3
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
⊢ [Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id, Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id,
      ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e].TFAE
state_after: case tfae_1_to_3
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
⊢ (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e

R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
⊢ [Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id, Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id,
      ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e].TFAE

tactic: tfae_have 2 → 3
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
⊢ [Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id, Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id,
      ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e].TFAE
state_after: case tfae_2_to_3
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
⊢ (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e

R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
⊢ [Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id, Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id,
      ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e].TFAE

tactic: tfae_have 3 → 1
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
⊢ [Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id, Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id,
      ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e].TFAE
state_after: case tfae_3_to_1
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
⊢ (∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e) → Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id

R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_3_to_1 : (∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e) → Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id
⊢ [Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id, Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id,
      ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e].TFAE

tactic: tfae_have 3 → 2
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_3_to_1 : (∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e) → Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id
⊢ [Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id, Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id,
      ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e].TFAE
state_after: case tfae_3_to_2
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_3_to_1 : (∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e) → Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id
⊢ (∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e) → Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id

R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_3_to_1 : (∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e) → Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id
tfae_3_to_2 : (∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e) → Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id
⊢ [Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id, Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id,
      ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e].TFAE

tactic: tfae_finish
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_3_to_1 : (∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e) → Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id
tfae_3_to_2 : (∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e) → Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id
⊢ [Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id, Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id,
      ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e].TFAE
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨hf, l, hl⟩
state_before: case tfae_1_to_3
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
⊢ (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
state_after: case tfae_1_to_3.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hf : Injective ⇑f
l : P →ₗ[R] N
hl : g ∘ₗ l = LinearMap.id
⊢ ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e

tactic: exact ⟨_, (h.splitSurjectiveEquiv hf ⟨l, hl⟩).2⟩
state_before: case tfae_1_to_3.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hf : Injective ⇑f
l : P →ₗ[R] N
hl : g ∘ₗ l = LinearMap.id
⊢ ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨hg, l, hl⟩
state_before: case tfae_2_to_3
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
⊢ (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
state_after: case tfae_2_to_3.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
hg : Surjective ⇑g
l : N →ₗ[R] M
hl : l ∘ₗ f = LinearMap.id
⊢ ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e

tactic: exact ⟨_, (h.splitInjectiveEquiv hg ⟨l, hl⟩).2⟩
state_before: case tfae_2_to_3.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
hg : Surjective ⇑g
l : N →ₗ[R] M
hl : l ∘ₗ f = LinearMap.id
⊢ ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨e, e₁, e₂⟩
state_before: case tfae_3_to_1
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
⊢ (∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e) → Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id
state_after: case tfae_3_to_1.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
e : N ≃ₗ[R] M × P
e₁ : f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P
e₂ : g = snd R M P ∘ₗ ↑e
⊢ Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id

tactic: have : Function.Injective f := e₁ ▸ e.symm.injective.comp LinearMap.inl_injective
state_before: case tfae_3_to_1.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
e : N ≃ₗ[R] M × P
e₁ : f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P
e₂ : g = snd R M P ∘ₗ ↑e
⊢ Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id
state_after: case tfae_3_to_1.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
e : N ≃ₗ[R] M × P
e₁ : f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P
e₂ : g = snd R M P ∘ₗ ↑e
this : Injective ⇑f
⊢ Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id

tactic: refine ⟨this, ⟨_, ((h.splitSurjectiveEquiv this).symm ⟨e, e₁, e₂⟩).2⟩⟩
state_before: case tfae_3_to_1.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
e : N ≃ₗ[R] M × P
e₁ : f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P
e₂ : g = snd R M P ∘ₗ ↑e
this : Injective ⇑f
⊢ Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨e, e₁, e₂⟩
state_before: case tfae_3_to_2
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_3_to_1 : (∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e) → Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id
⊢ (∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e) → Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id
state_after: case tfae_3_to_2.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_3_to_1 : (∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e) → Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id
e : N ≃ₗ[R] M × P
e₁ : f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P
e₂ : g = snd R M P ∘ₗ ↑e
⊢ Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id

tactic: have : Function.Surjective g := e₂ ▸ Prod.snd_surjective.comp e.surjective
state_before: case tfae_3_to_2.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_3_to_1 : (∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e) → Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id
e : N ≃ₗ[R] M × P
e₁ : f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P
e₂ : g = snd R M P ∘ₗ ↑e
⊢ Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id
state_after: case tfae_3_to_2.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_3_to_1 : (∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e) → Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id
e : N ≃ₗ[R] M × P
e₁ : f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P
e₂ : g = snd R M P ∘ₗ ↑e
this : Surjective ⇑g
⊢ Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id

tactic: refine ⟨this, ⟨_, ((h.splitInjectiveEquiv this).symm ⟨e, e₁, e₂⟩).2⟩⟩
state_before: case tfae_3_to_2.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
tfae_1_to_3 : (Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_2_to_3 : (Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id) → ∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e
tfae_3_to_1 : (∃ e, f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e) → Injective ⇑f ∧ ∃ l, g ∘ₗ l = LinearMap.id
e : N ≃ₗ[R] M × P
e₁ : f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P
e₂ : g = snd R M P ∘ₗ ↑e
this : Surjective ⇑g
⊢ Surjective ⇑g ∧ ∃ l, l ∘ₗ f = LinearMap.id
state_after: no goals