Theorem: Subspace.dualPairing_nondegenerate
File: Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean

tactic: constructor
state_before: K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W : Subspace K V₁
⊢ (Submodule.dualPairing W).Nondegenerate
state_after: case left
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W : Subspace K V₁
⊢ (Submodule.dualPairing W).SeparatingLeft

case right
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W : Subspace K V₁
⊢ (Submodule.dualPairing W).SeparatingRight

tactic: rw [LinearMap.separatingLeft_iff_ker_eq_bot, dualPairing_eq]
state_before: case left
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W : Subspace K V₁
⊢ (Submodule.dualPairing W).SeparatingLeft
state_after: case left
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W : Subspace K V₁
⊢ LinearMap.ker ↑W.quotAnnihilatorEquiv = ⊥

tactic: apply LinearEquiv.ker
state_before: case left
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W : Subspace K V₁
⊢ LinearMap.ker ↑W.quotAnnihilatorEquiv = ⊥
state_after: no goals

tactic: intro x h
state_before: case right
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W : Subspace K V₁
⊢ (Submodule.dualPairing W).SeparatingRight
state_after: case right
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W : Subspace K V₁
x : ↥W
h : ∀ (x_1 : Dual K V₁ ⧸ dualAnnihilator W), ((Submodule.dualPairing W) x_1) x = 0
⊢ x = 0

tactic: rw [← forall_dual_apply_eq_zero_iff K x]
state_before: case right
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W : Subspace K V₁
x : ↥W
h : ∀ (x_1 : Dual K V₁ ⧸ dualAnnihilator W), ((Submodule.dualPairing W) x_1) x = 0
⊢ x = 0
state_after: case right
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W : Subspace K V₁
x : ↥W
h : ∀ (x_1 : Dual K V₁ ⧸ dualAnnihilator W), ((Submodule.dualPairing W) x_1) x = 0
⊢ ∀ (φ : Dual K ↥W), φ x = 0

tactic: intro φ
state_before: case right
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W : Subspace K V₁
x : ↥W
h : ∀ (x_1 : Dual K V₁ ⧸ dualAnnihilator W), ((Submodule.dualPairing W) x_1) x = 0
⊢ ∀ (φ : Dual K ↥W), φ x = 0
state_after: case right
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W : Subspace K V₁
x : ↥W
h : ∀ (x_1 : Dual K V₁ ⧸ dualAnnihilator W), ((Submodule.dualPairing W) x_1) x = 0
φ : Dual K ↥W
⊢ φ x = 0

tactic: simpa only [Submodule.dualPairing_apply, dualLift_of_subtype] using
  h (Submodule.Quotient.mk (W.dualLift φ))
state_before: case right
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W : Subspace K V₁
x : ↥W
h : ∀ (x_1 : Dual K V₁ ⧸ dualAnnihilator W), ((Submodule.dualPairing W) x_1) x = 0
φ : Dual K ↥W
⊢ φ x = 0
state_after: no goals