Theorem: MeasureTheory.le_snorm_of_bddBelow
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean

tactic: rw [ENNReal.smul_def, smul_eq_mul, snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp hp',
  ENNReal.le_rpow_one_div_iff (ENNReal.toReal_pos hp hp'),
  ENNReal.mul_rpow_of_nonneg _ _ ENNReal.toReal_nonneg, ← ENNReal.rpow_mul,
  one_div_mul_cancel (ENNReal.toReal_pos hp hp').ne.symm, ENNReal.rpow_one, ← setLIntegral_const,
  ← lintegral_indicator _ hs]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
⊢ C • μ s ^ (1 / p.toReal) ≤ snorm f p μ
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
⊢ ∫⁻ (a : α), s.indicator (fun x => ↑C ^ p.toReal) a ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ

tactic: refine lintegral_mono_ae ?_
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
⊢ ∫⁻ (a : α), s.indicator (fun x => ↑C ^ p.toReal) a ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, s.indicator (fun x => ↑C ^ p.toReal) a ≤ ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal

tactic: filter_upwards [hf] with x hx
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, s.indicator (fun x => ↑C ^ p.toReal) a ≤ ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal
state_after: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
x : α
hx : x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
⊢ s.indicator (fun x => ↑C ^ p.toReal) x ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal

tactic: by_cases hxs : x ∈ s
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
x : α
hx : x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
⊢ s.indicator (fun x => ↑C ^ p.toReal) x ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
x : α
hx : x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
hxs : x ∈ s
⊢ s.indicator (fun x => ↑C ^ p.toReal) x ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal

case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
x : α
hx : x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
hxs : x ∉ s
⊢ s.indicator (fun x => ↑C ^ p.toReal) x ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal

tactic: simp only [Set.indicator_of_mem hxs] at hx ⊢
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
x : α
hx : x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
hxs : x ∈ s
⊢ s.indicator (fun x => ↑C ^ p.toReal) x ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
x : α
hx : x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
hxs : x ∈ s
⊢ ↑C ^ p.toReal ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal

tactic: gcongr
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
x : α
hx : x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
hxs : x ∈ s
⊢ ↑C ^ p.toReal ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal
state_after: case pos.h₁.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
x : α
hx : x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
hxs : x ∈ s
⊢ C ≤ ‖f x‖₊

tactic: exact hx hxs
state_before: case pos.h₁.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
x : α
hx : x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
hxs : x ∈ s
⊢ C ≤ ‖f x‖₊
state_after: no goals

tactic: simp [Set.indicator_of_not_mem hxs]
state_before: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
x : α
hx : x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
hxs : x ∉ s
⊢ s.indicator (fun x => ↑C ^ p.toReal) x ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal
state_after: no goals