Theorem: Finsupp.disjoint_lsingle_lsingle
File: Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean

tactic: refine
  (Disjoint.mono
    (lsingle_range_le_ker_lapply s sᶜ ?_)
    (lsingle_range_le_ker_lapply t tᶜ ?_))
    ?_
state_before: α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
⊢ Disjoint (⨆ a ∈ s, LinearMap.range (lsingle a)) (⨆ a ∈ t, LinearMap.range (lsingle a))
state_after: case refine_1
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
⊢ Disjoint s sᶜ

case refine_2
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
⊢ Disjoint t tᶜ

case refine_3
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
⊢ Disjoint (⨅ a ∈ sᶜ, ker (lapply a)) (⨅ a ∈ tᶜ, ker (lapply a))

tactic: rw [disjoint_iff_inf_le]
state_before: case refine_3
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
⊢ Disjoint (⨅ a ∈ sᶜ, ker (lapply a)) (⨅ a ∈ tᶜ, ker (lapply a))
state_after: case refine_3
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
⊢ (⨅ a ∈ sᶜ, ker (lapply a)) ⊓ ⨅ a ∈ tᶜ, ker (lapply a) ≤ ⊥

tactic: refine le_trans (le_iInf fun i => ?_) iInf_ker_lapply_le_bot
state_before: case refine_3
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
⊢ (⨅ a ∈ sᶜ, ker (lapply a)) ⊓ ⨅ a ∈ tᶜ, ker (lapply a) ≤ ⊥
state_after: case refine_3
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
i : α
⊢ (⨅ a ∈ sᶜ, ker (lapply a)) ⊓ ⨅ a ∈ tᶜ, ker (lapply a) ≤ ker (lapply i)

tactic: apply disjoint_compl_right
state_before: case refine_1
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
⊢ Disjoint s sᶜ
state_after: no goals

tactic: apply disjoint_compl_right
state_before: case refine_2
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
⊢ Disjoint t tᶜ
state_after: no goals

tactic: by_cases his : i ∈ s
state_before: case refine_3
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
i : α
⊢ (⨅ a ∈ sᶜ, ker (lapply a)) ⊓ ⨅ a ∈ tᶜ, ker (lapply a) ≤ ker (lapply i)
state_after: case pos
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
i : α
his : i ∈ s
⊢ (⨅ a ∈ sᶜ, ker (lapply a)) ⊓ ⨅ a ∈ tᶜ, ker (lapply a) ≤ ker (lapply i)

case neg
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
i : α
his : i ∉ s
⊢ (⨅ a ∈ sᶜ, ker (lapply a)) ⊓ ⨅ a ∈ tᶜ, ker (lapply a) ≤ ker (lapply i)

tactic: exact inf_le_of_left_le (iInf_le_of_le i <| iInf_le _ his)
state_before: case neg
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
i : α
his : i ∉ s
⊢ (⨅ a ∈ sᶜ, ker (lapply a)) ⊓ ⨅ a ∈ tᶜ, ker (lapply a) ≤ ker (lapply i)
state_after: no goals

tactic: by_cases hit : i ∈ t
state_before: case pos
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
i : α
his : i ∈ s
⊢ (⨅ a ∈ sᶜ, ker (lapply a)) ⊓ ⨅ a ∈ tᶜ, ker (lapply a) ≤ ker (lapply i)
state_after: case pos
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
i : α
his : i ∈ s
hit : i ∈ t
⊢ (⨅ a ∈ sᶜ, ker (lapply a)) ⊓ ⨅ a ∈ tᶜ, ker (lapply a) ≤ ker (lapply i)

case neg
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
i : α
his : i ∈ s
hit : i ∉ t
⊢ (⨅ a ∈ sᶜ, ker (lapply a)) ⊓ ⨅ a ∈ tᶜ, ker (lapply a) ≤ ker (lapply i)

tactic: exact inf_le_of_right_le (iInf_le_of_le i <| iInf_le _ hit)
state_before: case neg
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
i : α
his : i ∈ s
hit : i ∉ t
⊢ (⨅ a ∈ sᶜ, ker (lapply a)) ⊓ ⨅ a ∈ tᶜ, ker (lapply a) ≤ ker (lapply i)
state_after: no goals

tactic: exact (hs.le_bot ⟨his, hit⟩).elim
state_before: case pos
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
i : α
his : i ∈ s
hit : i ∈ t
⊢ (⨅ a ∈ sᶜ, ker (lapply a)) ⊓ ⨅ a ∈ tᶜ, ker (lapply a) ≤ ker (lapply i)
state_after: no goals