Theorem: VectorFourier.fourierIntegral_add
File: Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean

tactic: ext1 w
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
⊢ fourierIntegral e μ L f + fourierIntegral e μ L g = fourierIntegral e μ L (f + g)
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W
⊢ (fourierIntegral e μ L f + fourierIntegral e μ L g) w = fourierIntegral e μ L (f + g) w

tactic: dsimp only [Pi.add_apply, fourierIntegral]
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W
⊢ (fourierIntegral e μ L f + fourierIntegral e μ L g) w = fourierIntegral e μ L (f + g) w
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W
⊢ ∫ (v : V), e (-(L v) w) • f v ∂μ + ∫ (v : V), e (-(L v) w) • g v ∂μ = ∫ (v : V), e (-(L v) w) • (f v + g v) ∂μ

tactic: simp_rw [smul_add]
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W
⊢ ∫ (v : V), e (-(L v) w) • f v ∂μ + ∫ (v : V), e (-(L v) w) • g v ∂μ = ∫ (v : V), e (-(L v) w) • (f v + g v) ∂μ
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W
⊢ ∫ (v : V), e (-(L v) w) • f v ∂μ + ∫ (v : V), e (-(L v) w) • g v ∂μ =
    ∫ (v : V), e (-(L v) w) • f v + e (-(L v) w) • g v ∂μ

tactic: rw [integral_add]
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W
⊢ ∫ (v : V), e (-(L v) w) • f v ∂μ + ∫ (v : V), e (-(L v) w) • g v ∂μ =
    ∫ (v : V), e (-(L v) w) • f v + e (-(L v) w) • g v ∂μ
state_after: case h.hf
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W
⊢ Integrable (fun v => e (-(L v) w) • f v) μ

case h.hg
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W
⊢ Integrable (fun v => e (-(L v) w) • g v) μ

tactic: exact (fourierIntegral_convergent_iff he hL w).2 hf
state_before: case h.hf
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W
⊢ Integrable (fun v => e (-(L v) w) • f v) μ
state_after: no goals

tactic: exact (fourierIntegral_convergent_iff he hL w).2 hg
state_before: case h.hg
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommGroup W
inst✝¹² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W
⊢ Integrable (fun v => e (-(L v) w) • g v) μ
state_after: no goals