Theorem: Profinite.NobelingProof.proj_eq_of_subset
File: Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean

tactic: ext x
state_before: I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
⊢ π (π C K) J = π C J
state_after: case h
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
x : I → Bool
⊢ x ∈ π (π C K) J ↔ x ∈ π C J

tactic: refine ⟨fun h ↦ ?_, fun h ↦ ?_⟩
state_before: case h
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
x : I → Bool
⊢ x ∈ π (π C K) J ↔ x ∈ π C J
state_after: case h.refine_1
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h✝ : ∀ (i : I), J i → K i
x : I → Bool
h : x ∈ π (π C K) J
⊢ x ∈ π C J

case h.refine_2
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h✝ : ∀ (i : I), J i → K i
x : I → Bool
h : x ∈ π C J
⊢ x ∈ π (π C K) J

tactic: obtain ⟨y, ⟨z, hz, rfl⟩, rfl⟩ := h
state_before: case h.refine_1
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h✝ : ∀ (i : I), J i → K i
x : I → Bool
h : x ∈ π (π C K) J
⊢ x ∈ π C J
state_after: case h.refine_1.intro.intro.intro.intro
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
z : I → Bool
hz : z ∈ C
⊢ Proj J (Proj K z) ∈ π C J

tactic: refine ⟨z, hz, (?_ : _ = (Proj J ∘ Proj K) z)⟩
state_before: case h.refine_1.intro.intro.intro.intro
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
z : I → Bool
hz : z ∈ C
⊢ Proj J (Proj K z) ∈ π C J
state_after: case h.refine_1.intro.intro.intro.intro
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
z : I → Bool
hz : z ∈ C
⊢ Proj J z = (Proj J ∘ Proj K) z

tactic: rw [proj_comp_of_subset J K h]
state_before: case h.refine_1.intro.intro.intro.intro
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
z : I → Bool
hz : z ∈ C
⊢ Proj J z = (Proj J ∘ Proj K) z
state_after: no goals

tactic: obtain ⟨y, hy, rfl⟩ := h
state_before: case h.refine_2
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h✝ : ∀ (i : I), J i → K i
x : I → Bool
h : x ∈ π C J
⊢ x ∈ π (π C K) J
state_after: case h.refine_2.intro.intro
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
y : I → Bool
hy : y ∈ C
⊢ Proj J y ∈ π (π C K) J

tactic: dsimp [π]
state_before: case h.refine_2.intro.intro
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
y : I → Bool
hy : y ∈ C
⊢ Proj J y ∈ π (π C K) J
state_after: case h.refine_2.intro.intro
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
y : I → Bool
hy : y ∈ C
⊢ Proj J y ∈ Proj J '' (Proj K '' C)

tactic: rw [← Set.image_comp]
state_before: case h.refine_2.intro.intro
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
y : I → Bool
hy : y ∈ C
⊢ Proj J y ∈ Proj J '' (Proj K '' C)
state_after: case h.refine_2.intro.intro
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
y : I → Bool
hy : y ∈ C
⊢ Proj J y ∈ Proj J ∘ Proj K '' C

tactic: refine ⟨y, hy, ?_⟩
state_before: case h.refine_2.intro.intro
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
y : I → Bool
hy : y ∈ C
⊢ Proj J y ∈ Proj J ∘ Proj K '' C
state_after: case h.refine_2.intro.intro
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
y : I → Bool
hy : y ∈ C
⊢ (Proj J ∘ Proj K) y = Proj J y

tactic: rw [proj_comp_of_subset J K h]
state_before: case h.refine_2.intro.intro
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
y : I → Bool
hy : y ∈ C
⊢ (Proj J ∘ Proj K) y = Proj J y
state_after: no goals