Theorem: orthonormal_iff_ite
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean

tactic: constructor
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
⊢ Orthonormal 𝕜 v ↔ ∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
⊢ Orthonormal 𝕜 v → ∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0

case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
⊢ (∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0) → Orthonormal 𝕜 v

tactic: intro hv i j
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
⊢ Orthonormal 𝕜 v → ∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
i j : ι
⊢ ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0

tactic: split_ifs with h
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
i j : ι
⊢ ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
state_after: case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
i j : ι
h : i = j
⊢ ⟪v i, v j⟫_𝕜 = 1

case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
i j : ι
h : ¬i = j
⊢ ⟪v i, v j⟫_𝕜 = 0

tactic: simp [h, inner_self_eq_norm_sq_to_K, hv.1]
state_before: case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
i j : ι
h : i = j
⊢ ⟪v i, v j⟫_𝕜 = 1
state_after: no goals

tactic: exact hv.2 h
state_before: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
i j : ι
h : ¬i = j
⊢ ⟪v i, v j⟫_𝕜 = 0
state_after: no goals

tactic: intro h
state_before: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
⊢ (∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0) → Orthonormal 𝕜 v
state_after: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
h : ∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
⊢ Orthonormal 𝕜 v

tactic: constructor
state_before: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
h : ∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
⊢ Orthonormal 𝕜 v
state_after: case mpr.left
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
h : ∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
⊢ ∀ (i : ι), ‖v i‖ = 1

case mpr.right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
h : ∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
⊢ Pairwise fun i j => ⟪v i, v j⟫_𝕜 = 0

tactic: intro i
state_before: case mpr.left
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
h : ∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
⊢ ∀ (i : ι), ‖v i‖ = 1
state_after: case mpr.left
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
h : ∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
i : ι
⊢ ‖v i‖ = 1

tactic: have h' : ‖v i‖ ^ 2 = 1 ^ 2 := by simp [@norm_sq_eq_inner 𝕜, h i i]
state_before: case mpr.left
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
h : ∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
i : ι
⊢ ‖v i‖ = 1
state_after: case mpr.left
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
h : ∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
i : ι
h' : ‖v i‖ ^ 2 = 1 ^ 2
⊢ ‖v i‖ = 1

tactic: have h₁ : 0 ≤ ‖v i‖ := norm_nonneg _
state_before: case mpr.left
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
h : ∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
i : ι
h' : ‖v i‖ ^ 2 = 1 ^ 2
⊢ ‖v i‖ = 1
state_after: case mpr.left
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
h : ∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
i : ι
h' : ‖v i‖ ^ 2 = 1 ^ 2
h₁ : 0 ≤ ‖v i‖
⊢ ‖v i‖ = 1

tactic: have h₂ : (0 : ℝ) ≤ 1 := zero_le_one
state_before: case mpr.left
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
h : ∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
i : ι
h' : ‖v i‖ ^ 2 = 1 ^ 2
h₁ : 0 ≤ ‖v i‖
⊢ ‖v i‖ = 1
state_after: case mpr.left
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
h : ∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
i : ι
h' : ‖v i‖ ^ 2 = 1 ^ 2
h₁ : 0 ≤ ‖v i‖
h₂ : 0 ≤ 1
⊢ ‖v i‖ = 1

tactic: rwa [sq_eq_sq h₁ h₂] at h'
state_before: case mpr.left
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
h : ∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
i : ι
h' : ‖v i‖ ^ 2 = 1 ^ 2
h₁ : 0 ≤ ‖v i‖
h₂ : 0 ≤ 1
⊢ ‖v i‖ = 1
state_after: no goals

tactic: simp [@norm_sq_eq_inner 𝕜, h i i]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
h : ∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
i : ι
⊢ ‖v i‖ ^ 2 = 1 ^ 2
state_after: no goals

tactic: intro i j hij
state_before: case mpr.right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
h : ∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
⊢ Pairwise fun i j => ⟪v i, v j⟫_𝕜 = 0
state_after: case mpr.right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
h : ∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ ⟪v i, v j⟫_𝕜 = 0

tactic: simpa [hij] using h i j
state_before: case mpr.right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → E
h : ∀ (i j : ι), ⟪v i, v j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ ⟪v i, v j⟫_𝕜 = 0
state_after: no goals