Theorem: Polynomial.mul_scaleRoots_of_noZeroDivisors
File: Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean

tactic: by_cases hp : p = 0
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
p q : R[X]
r : R
inst✝ : NoZeroDivisors R
⊢ (p * q).scaleRoots r = p.scaleRoots r * q.scaleRoots r
state_after: case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
p q : R[X]
r : R
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : p = 0
⊢ (p * q).scaleRoots r = p.scaleRoots r * q.scaleRoots r

case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
p q : R[X]
r : R
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0
⊢ (p * q).scaleRoots r = p.scaleRoots r * q.scaleRoots r

tactic: by_cases hq : q = 0
state_before: case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
p q : R[X]
r : R
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0
⊢ (p * q).scaleRoots r = p.scaleRoots r * q.scaleRoots r
state_after: case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
p q : R[X]
r : R
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0
hq : q = 0
⊢ (p * q).scaleRoots r = p.scaleRoots r * q.scaleRoots r

case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
p q : R[X]
r : R
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0
hq : ¬q = 0
⊢ (p * q).scaleRoots r = p.scaleRoots r * q.scaleRoots r

tactic: apply mul_scaleRoots'
state_before: case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
p q : R[X]
r : R
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0
hq : ¬q = 0
⊢ (p * q).scaleRoots r = p.scaleRoots r * q.scaleRoots r
state_after: case neg.h
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
p q : R[X]
r : R
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0
hq : ¬q = 0
⊢ p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0

tactic: simp only [ne_eq, mul_eq_zero, leadingCoeff_eq_zero, hp, hq, or_self, not_false_eq_true]
state_before: case neg.h
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
p q : R[X]
r : R
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0
hq : ¬q = 0
⊢ p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
state_after: no goals

tactic: simp [hp]
state_before: case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
p q : R[X]
r : R
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : p = 0
⊢ (p * q).scaleRoots r = p.scaleRoots r * q.scaleRoots r
state_after: no goals

tactic: simp [hq]
state_before: case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
p q : R[X]
r : R
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0
hq : q = 0
⊢ (p * q).scaleRoots r = p.scaleRoots r * q.scaleRoots r
state_after: no goals