Theorem: isProperMap_of_comp_of_t2
File: Mathlib/Topology/ProperMap.lean

tactic: rw [isProperMap_iff_ultrafilter_of_t2]
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
⊢ IsProperMap f
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
⊢ Continuous f ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Y⦄, Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x

tactic: refine ⟨hf, fun 𝒰 y h ↦ ?_⟩
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
⊢ Continuous f ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Y⦄, Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
𝒰 : Ultrafilter X
y : Y
h : Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y)
⊢ ∃ x, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x

tactic: rw [isProperMap_iff_ultrafilter] at hgf
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
𝒰 : Ultrafilter X
y : Y
h : Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y)
⊢ ∃ x, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : Continuous (g ∘ f) ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Z⦄, Tendsto (g ∘ f) (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, (g ∘ f) x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
𝒰 : Ultrafilter X
y : Y
h : Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y)
⊢ ∃ x, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x

tactic: rcases hgf.2 ((hg.tendsto y).comp h) with ⟨x, -, hx⟩
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : Continuous (g ∘ f) ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Z⦄, Tendsto (g ∘ f) (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, (g ∘ f) x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
𝒰 : Ultrafilter X
y : Y
h : Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y)
⊢ ∃ x, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
state_after: case intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : Continuous (g ∘ f) ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Z⦄, Tendsto (g ∘ f) (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, (g ∘ f) x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
𝒰 : Ultrafilter X
y : Y
h : Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y)
x : X
hx : ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
⊢ ∃ x, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x

tactic: exact ⟨x, hx⟩
state_before: case intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : Continuous (g ∘ f) ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Z⦄, Tendsto (g ∘ f) (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, (g ∘ f) x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
𝒰 : Ultrafilter X
y : Y
h : Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y)
x : X
hx : ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
⊢ ∃ x, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
state_after: no goals