Theorem: ModuleCat.MonoidalCategory.associator_naturality_aux
File: Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Monoidal/Basic.lean

tactic: apply TensorProduct.ext_threefold
state_before: R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
X₁ : Type u_1
X₂ : Type u_2
X₃ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid X₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid X₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid X₃
inst✝⁸ : Module R X₁
inst✝⁷ : Module R X₂
inst✝⁶ : Module R X₃
Y₁ : Type u_4
Y₂ : Type u_5
Y₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid Y₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid Y₂
inst✝³ : AddCommMonoid Y₃
inst✝² : Module R Y₁
inst✝¹ : Module R Y₂
inst✝ : Module R Y₃
f₁ : X₁ →ₗ[R] Y₁
f₂ : X₂ →ₗ[R] Y₂
f₃ : X₃ →ₗ[R] Y₃
⊢ ↑(assoc R Y₁ Y₂ Y₃) ∘ₗ map (map f₁ f₂) f₃ = map f₁ (map f₂ f₃) ∘ₗ ↑(assoc R X₁ X₂ X₃)
state_after: case H
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
X₁ : Type u_1
X₂ : Type u_2
X₃ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid X₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid X₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid X₃
inst✝⁸ : Module R X₁
inst✝⁷ : Module R X₂
inst✝⁶ : Module R X₃
Y₁ : Type u_4
Y₂ : Type u_5
Y₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid Y₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid Y₂
inst✝³ : AddCommMonoid Y₃
inst✝² : Module R Y₁
inst✝¹ : Module R Y₂
inst✝ : Module R Y₃
f₁ : X₁ →ₗ[R] Y₁
f₂ : X₂ →ₗ[R] Y₂
f₃ : X₃ →ₗ[R] Y₃
⊢ ∀ (x : X₁) (y : X₂) (z : X₃),
    (↑(assoc R Y₁ Y₂ Y₃) ∘ₗ map (map f₁ f₂) f₃) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z) =
      (map f₁ (map f₂ f₃) ∘ₗ ↑(assoc R X₁ X₂ X₃)) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z)

tactic: intro x y z
state_before: case H
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
X₁ : Type u_1
X₂ : Type u_2
X₃ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid X₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid X₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid X₃
inst✝⁸ : Module R X₁
inst✝⁷ : Module R X₂
inst✝⁶ : Module R X₃
Y₁ : Type u_4
Y₂ : Type u_5
Y₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid Y₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid Y₂
inst✝³ : AddCommMonoid Y₃
inst✝² : Module R Y₁
inst✝¹ : Module R Y₂
inst✝ : Module R Y₃
f₁ : X₁ →ₗ[R] Y₁
f₂ : X₂ →ₗ[R] Y₂
f₃ : X₃ →ₗ[R] Y₃
⊢ ∀ (x : X₁) (y : X₂) (z : X₃),
    (↑(assoc R Y₁ Y₂ Y₃) ∘ₗ map (map f₁ f₂) f₃) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z) =
      (map f₁ (map f₂ f₃) ∘ₗ ↑(assoc R X₁ X₂ X₃)) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z)
state_after: case H
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
X₁ : Type u_1
X₂ : Type u_2
X₃ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid X₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid X₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid X₃
inst✝⁸ : Module R X₁
inst✝⁷ : Module R X₂
inst✝⁶ : Module R X₃
Y₁ : Type u_4
Y₂ : Type u_5
Y₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid Y₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid Y₂
inst✝³ : AddCommMonoid Y₃
inst✝² : Module R Y₁
inst✝¹ : Module R Y₂
inst✝ : Module R Y₃
f₁ : X₁ →ₗ[R] Y₁
f₂ : X₂ →ₗ[R] Y₂
f₃ : X₃ →ₗ[R] Y₃
x : X₁
y : X₂
z : X₃
⊢ (↑(assoc R Y₁ Y₂ Y₃) ∘ₗ map (map f₁ f₂) f₃) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z) =
    (map f₁ (map f₂ f₃) ∘ₗ ↑(assoc R X₁ X₂ X₃)) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z)

tactic: rfl
state_before: case H
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
X₁ : Type u_1
X₂ : Type u_2
X₃ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid X₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid X₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid X₃
inst✝⁸ : Module R X₁
inst✝⁷ : Module R X₂
inst✝⁶ : Module R X₃
Y₁ : Type u_4
Y₂ : Type u_5
Y₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid Y₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid Y₂
inst✝³ : AddCommMonoid Y₃
inst✝² : Module R Y₁
inst✝¹ : Module R Y₂
inst✝ : Module R Y₃
f₁ : X₁ →ₗ[R] Y₁
f₂ : X₂ →ₗ[R] Y₂
f₃ : X₃ →ₗ[R] Y₃
x : X₁
y : X₂
z : X₃
⊢ (↑(assoc R Y₁ Y₂ Y₃) ∘ₗ map (map f₁ f₂) f₃) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z) =
    (map f₁ (map f₂ f₃) ∘ₗ ↑(assoc R X₁ X₂ X₃)) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z)
state_after: no goals