Theorem: Set.injOn_union
File: Mathlib/Data/Set/Function.lean

tactic: refine ⟨fun H => ⟨H.mono subset_union_left, H.mono subset_union_right, ?_⟩, ?_⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
⊢ InjOn f (s₁ ∪ s₂) ↔ InjOn f s₁ ∧ InjOn f s₂ ∧ ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
H : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
⊢ ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
⊢ (InjOn f s₁ ∧ InjOn f s₂ ∧ ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y) → InjOn f (s₁ ∪ s₂)

tactic: intro x hx y hy hxy
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
H : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
⊢ ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
H : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
x : α
hx : x ∈ s₁
y : α
hy : y ∈ s₂
hxy : f x = f y
⊢ False

tactic: obtain rfl : x = y := H (Or.inl hx) (Or.inr hy) hxy
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
H : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
x : α
hx : x ∈ s₁
y : α
hy : y ∈ s₂
hxy : f x = f y
⊢ False
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
H : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
x : α
hx : x ∈ s₁
hy : x ∈ s₂
hxy : f x = f x
⊢ False

tactic: exact h.le_bot ⟨hx, hy⟩
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
H : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
x : α
hx : x ∈ s₁
hy : x ∈ s₂
hxy : f x = f x
⊢ False
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨h₁, h₂, h₁₂⟩
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
⊢ (InjOn f s₁ ∧ InjOn f s₂ ∧ ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y) → InjOn f (s₁ ∪ s₂)
state_after: case refine_2.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
h₁ : InjOn f s₁
h₂ : InjOn f s₂
h₁₂ : ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y
⊢ InjOn f (s₁ ∪ s₂)

tactic: rintro x (hx | hx) y (hy | hy) hxy
state_before: case refine_2.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
h₁ : InjOn f s₁
h₂ : InjOn f s₂
h₁₂ : ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y
⊢ InjOn f (s₁ ∪ s₂)
state_after: case refine_2.intro.intro.inl.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
h₁ : InjOn f s₁
h₂ : InjOn f s₂
h₁₂ : ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y
x : α
hx : x ∈ s₁
y : α
hy : y ∈ s₁
hxy : f x = f y
⊢ x = y

case refine_2.intro.intro.inl.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
h₁ : InjOn f s₁
h₂ : InjOn f s₂
h₁₂ : ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y
x : α
hx : x ∈ s₁
y : α
hy : y ∈ s₂
hxy : f x = f y
⊢ x = y

case refine_2.intro.intro.inr.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
h₁ : InjOn f s₁
h₂ : InjOn f s₂
h₁₂ : ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y
x : α
hx : x ∈ s₂
y : α
hy : y ∈ s₁
hxy : f x = f y
⊢ x = y

case refine_2.intro.intro.inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
h₁ : InjOn f s₁
h₂ : InjOn f s₂
h₁₂ : ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y
x : α
hx : x ∈ s₂
y : α
hy : y ∈ s₂
hxy : f x = f y
⊢ x = y

tactic: exacts [h₁ hx hy hxy, (h₁₂ _ hx _ hy hxy).elim, (h₁₂ _ hy _ hx hxy.symm).elim, h₂ hx hy hxy]
state_before: case refine_2.intro.intro.inl.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
h₁ : InjOn f s₁
h₂ : InjOn f s₂
h₁₂ : ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y
x : α
hx : x ∈ s₁
y : α
hy : y ∈ s₁
hxy : f x = f y
⊢ x = y

case refine_2.intro.intro.inl.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
h₁ : InjOn f s₁
h₂ : InjOn f s₂
h₁₂ : ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y
x : α
hx : x ∈ s₁
y : α
hy : y ∈ s₂
hxy : f x = f y
⊢ x = y

case refine_2.intro.intro.inr.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
h₁ : InjOn f s₁
h₂ : InjOn f s₂
h₁₂ : ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y
x : α
hx : x ∈ s₂
y : α
hy : y ∈ s₁
hxy : f x = f y
⊢ x = y

case refine_2.intro.intro.inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
h₁ : InjOn f s₁
h₂ : InjOn f s₂
h₁₂ : ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y
x : α
hx : x ∈ s₂
y : α
hy : y ∈ s₂
hxy : f x = f y
⊢ x = y
state_after: no goals