Theorem: AdicCompletion.isAdicCauchy_iff
File: Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Basic.lean

tactic: constructor
state_before: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ℕ → M
⊢ IsAdicCauchy I M f ↔ ∀ (n : ℕ), f n ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ n • ⊤]
state_after: case mp
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ℕ → M
⊢ IsAdicCauchy I M f → ∀ (n : ℕ), f n ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ n • ⊤]

case mpr
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ℕ → M
⊢ (∀ (n : ℕ), f n ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ n • ⊤]) → IsAdicCauchy I M f

tactic: intro h n
state_before: case mp
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ℕ → M
⊢ IsAdicCauchy I M f → ∀ (n : ℕ), f n ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ n • ⊤]
state_after: case mp
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ℕ → M
h : IsAdicCauchy I M f
n : ℕ
⊢ f n ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ n • ⊤]

tactic: exact h (Nat.le_succ n)
state_before: case mp
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ℕ → M
h : IsAdicCauchy I M f
n : ℕ
⊢ f n ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ n • ⊤]
state_after: no goals

tactic: intro h m n hmn
state_before: case mpr
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ℕ → M
⊢ (∀ (n : ℕ), f n ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ n • ⊤]) → IsAdicCauchy I M f
state_after: case mpr
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ℕ → M
h : ∀ (n : ℕ), f n ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ n • ⊤]
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]

tactic: rfl
state_before: case mpr.base
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ℕ → M
h : ∀ (n : ℕ), f n ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ n • ⊤]
m n : ℕ
⊢ f m ≡ f m [SMOD I ^ m • ⊤]
state_after: no goals

tactic: trans
state_before: case mpr.succ
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ℕ → M
h : ∀ (n : ℕ), f n ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ n • ⊤]
m n✝ n : ℕ
hmn : m ≤ n
ih : f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
⊢ f m ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ m • ⊤]
state_after: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ℕ → M
h : ∀ (n : ℕ), f n ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ n • ⊤]
m n✝ n : ℕ
hmn : m ≤ n
ih : f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
⊢ f m ≡ ?m.263486 [SMOD I ^ m • ⊤]

R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ℕ → M
h : ∀ (n : ℕ), f n ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ n • ⊤]
m n✝ n : ℕ
hmn : m ≤ n
ih : f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
⊢ ?m.263486 ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ m • ⊤]

R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ℕ → M
h : ∀ (n : ℕ), f n ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ n • ⊤]
m n✝ n : ℕ
hmn : m ≤ n
ih : f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
⊢ M

tactic: exact ih
state_before: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ℕ → M
h : ∀ (n : ℕ), f n ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ n • ⊤]
m n✝ n : ℕ
hmn : m ≤ n
ih : f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
⊢ f m ≡ ?m.263486 [SMOD I ^ m • ⊤]
state_after: no goals

tactic: refine SModEq.mono (smul_mono (Ideal.pow_le_pow_right hmn) (by rfl)) (h n)
state_before: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ℕ → M
h : ∀ (n : ℕ), f n ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ n • ⊤]
m n✝ n : ℕ
hmn : m ≤ n
ih : f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
⊢ f n ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ m • ⊤]
state_after: no goals

tactic: rfl
state_before: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : ℕ → M
h : ∀ (n : ℕ), f n ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ n • ⊤]
m n✝ n : ℕ
hmn : m ≤ n
ih : f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
⊢ ⊤ ≤ ⊤
state_after: no goals