Theorem: AkraBazziRecurrence.eventually_b_le_r
File: Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean

tactic: filter_upwards [R.dist_r_b'] with n hn
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), b i * ↑n - ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ ↑(r i n)
state_after: case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
⊢ ∀ (i : α), b i * ↑n - ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ ↑(r i n)

tactic: intro i
state_before: case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
⊢ ∀ (i : α), b i * ↑n - ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ ↑(r i n)
state_after: case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
⊢ b i * ↑n - ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ ↑(r i n)

tactic: have h₁ : 0 ≤ b i := le_of_lt <| R.b_pos _
state_before: case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
⊢ b i * ↑n - ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ ↑(r i n)
state_after: case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
h₁ : 0 ≤ b i
⊢ b i * ↑n - ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ ↑(r i n)

tactic: rw [sub_le_iff_le_add, add_comm, ← sub_le_iff_le_add]
state_before: case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
h₁ : 0 ≤ b i
⊢ b i * ↑n - ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ ↑(r i n)
state_after: case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
h₁ : 0 ≤ b i
⊢ b i * ↑n - ↑(r i n) ≤ ↑n / log ↑n ^ 2

tactic: calc (b i : ℝ) * n - r i n = ‖b i * n‖ - ‖(r i n : ℝ)‖ := by
                          simp only [norm_mul, RCLike.norm_natCast, sub_left_inj,
                                     Nat.cast_eq_zero, Real.norm_of_nonneg h₁]
                       _ ≤ ‖(b i * n : ℝ) - r i n‖ := norm_sub_norm_le _ _
                       _ = ‖(r i n : ℝ) - b i * n‖ := norm_sub_rev _ _
                       _ ≤ n / log n ^ 2 := hn i
state_before: case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
h₁ : 0 ≤ b i
⊢ b i * ↑n - ↑(r i n) ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
state_after: no goals

tactic: simp only [norm_mul, RCLike.norm_natCast, sub_left_inj,
           Nat.cast_eq_zero, Real.norm_of_nonneg h₁]
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
h₁ : 0 ≤ b i
⊢ b i * ↑n - ↑(r i n) = ‖b i * ↑n‖ - ‖↑(r i n)‖
state_after: no goals