Theorem: ProbabilityTheory.hasFiniteIntegral_prod_mk_left
File: Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean

tactic: let t := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
s : Set (β × γ)
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤
⊢ HasFiniteIntegral (fun b => ((η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)).toReal) (κ a)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
s : Set (β × γ)
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤
t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s
⊢ HasFiniteIntegral (fun b => ((η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)).toReal) (κ a)

tactic: simp_rw [HasFiniteIntegral, ennnorm_eq_ofReal toReal_nonneg]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
s : Set (β × γ)
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤
t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s
⊢ HasFiniteIntegral (fun b => ((η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)).toReal) (κ a)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
s : Set (β × γ)
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤
t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s
⊢ ∫⁻ (a_1 : β), ENNReal.ofReal ((η (a, a_1)) (Prod.mk a_1 ⁻¹' s)).toReal ∂κ a < ⊤

tactic: calc
  ∫⁻ b, ENNReal.ofReal (η (a, b) (Prod.mk b ⁻¹' s)).toReal ∂κ a
  _ ≤ ∫⁻ b, η (a, b) (Prod.mk b ⁻¹' t) ∂κ a := by
    refine lintegral_mono_ae ?_
    filter_upwards [ae_kernel_lt_top a h2s] with b hb
    rw [ofReal_toReal hb.ne]
    exact measure_mono (preimage_mono (subset_toMeasurable _ _))
  _ ≤ (κ ⊗ₖ η) a t := le_compProd_apply _ _ _ _
  _ = (κ ⊗ₖ η) a s := measure_toMeasurable s
  _ < ⊤ := h2s.lt_top
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
s : Set (β × γ)
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤
t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s
⊢ ∫⁻ (a_1 : β), ENNReal.ofReal ((η (a, a_1)) (Prod.mk a_1 ⁻¹' s)).toReal ∂κ a < ⊤
state_after: no goals

tactic: refine lintegral_mono_ae ?_
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
s : Set (β × γ)
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤
t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s
⊢ ∫⁻ (b : β), ENNReal.ofReal ((η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)).toReal ∂κ a ≤ ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' t) ∂κ a
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
s : Set (β × γ)
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤
t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s
⊢ ∀ᵐ (a_1 : β) ∂κ a, ENNReal.ofReal ((η (a, a_1)) (Prod.mk a_1 ⁻¹' s)).toReal ≤ (η (a, a_1)) (Prod.mk a_1 ⁻¹' t)

tactic: filter_upwards [ae_kernel_lt_top a h2s] with b hb
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
s : Set (β × γ)
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤
t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s
⊢ ∀ᵐ (a_1 : β) ∂κ a, ENNReal.ofReal ((η (a, a_1)) (Prod.mk a_1 ⁻¹' s)).toReal ≤ (η (a, a_1)) (Prod.mk a_1 ⁻¹' t)
state_after: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
s : Set (β × γ)
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤
t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s
b : β
hb : (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s) < ⊤
⊢ ENNReal.ofReal ((η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)).toReal ≤ (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' t)

tactic: rw [ofReal_toReal hb.ne]
state_before: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
s : Set (β × γ)
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤
t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s
b : β
hb : (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s) < ⊤
⊢ ENNReal.ofReal ((η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)).toReal ≤ (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' t)
state_after: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
s : Set (β × γ)
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤
t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s
b : β
hb : (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s) < ⊤
⊢ (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s) ≤ (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' t)

tactic: exact measure_mono (preimage_mono (subset_toMeasurable _ _))
state_before: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
s : Set (β × γ)
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤
t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s
b : β
hb : (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s) < ⊤
⊢ (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s) ≤ (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' t)
state_after: no goals