Theorem: isSimpleModule_iff_quot_maximal
File: Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean

tactic: refine ⟨fun h ↦ ?_, fun ⟨I, ⟨coatom⟩, ⟨equiv⟩⟩ ↦ ?_⟩
state_before: ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
⊢ IsSimpleModule R M ↔ ∃ I, I.IsMaximal ∧ Nonempty (M ≃ₗ[R] R ⧸ I)
state_after: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h : IsSimpleModule R M
⊢ ∃ I, I.IsMaximal ∧ Nonempty (M ≃ₗ[R] R ⧸ I)

case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x✝ : ∃ I, I.IsMaximal ∧ Nonempty (M ≃ₗ[R] R ⧸ I)
I : Ideal R
coatom : IsCoatom I
equiv : M ≃ₗ[R] R ⧸ I
⊢ IsSimpleModule R M

tactic: have := IsSimpleModule.nontrivial R M
state_before: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h : IsSimpleModule R M
⊢ ∃ I, I.IsMaximal ∧ Nonempty (M ≃ₗ[R] R ⧸ I)
state_after: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h : IsSimpleModule R M
this : Nontrivial M
⊢ ∃ I, I.IsMaximal ∧ Nonempty (M ≃ₗ[R] R ⧸ I)

tactic: have ⟨m, hm⟩ := exists_ne (0 : M)
state_before: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h : IsSimpleModule R M
this : Nontrivial M
⊢ ∃ I, I.IsMaximal ∧ Nonempty (M ≃ₗ[R] R ⧸ I)
state_after: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m✝ : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h : IsSimpleModule R M
this : Nontrivial M
m : M
hm : m ≠ 0
⊢ ∃ I, I.IsMaximal ∧ Nonempty (M ≃ₗ[R] R ⧸ I)

tactic: exact ⟨_, ker_toSpanSingleton_isMaximal R hm,
  ⟨(LinearMap.quotKerEquivOfSurjective _ <| toSpanSingleton_surjective R hm).symm⟩⟩
state_before: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m✝ : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h : IsSimpleModule R M
this : Nontrivial M
m : M
hm : m ≠ 0
⊢ ∃ I, I.IsMaximal ∧ Nonempty (M ≃ₗ[R] R ⧸ I)
state_after: no goals

tactic: convert congr equiv
state_before: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x✝ : ∃ I, I.IsMaximal ∧ Nonempty (M ≃ₗ[R] R ⧸ I)
I : Ideal R
coatom : IsCoatom I
equiv : M ≃ₗ[R] R ⧸ I
⊢ IsSimpleModule R M
state_after: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x✝ : ∃ I, I.IsMaximal ∧ Nonempty (M ≃ₗ[R] R ⧸ I)
I : Ideal R
coatom : IsCoatom I
equiv : M ≃ₗ[R] R ⧸ I
⊢ IsSimpleModule R (R ⧸ I)

tactic: rwa [isSimpleModule_iff_isCoatom]
state_before: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x✝ : ∃ I, I.IsMaximal ∧ Nonempty (M ≃ₗ[R] R ⧸ I)
I : Ideal R
coatom : IsCoatom I
equiv : M ≃ₗ[R] R ⧸ I
⊢ IsSimpleModule R (R ⧸ I)
state_after: no goals