Theorem: ProbabilityTheory.integrable_toReal_condDistrib
File: Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean

tactic: refine integrable_toReal_of_lintegral_ne_top ?_ ?_
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : AEMeasurable X μ
hs : MeasurableSet s
⊢ Integrable (fun a => (((condDistrib Y X μ) (X a)) s).toReal) μ
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : AEMeasurable X μ
hs : MeasurableSet s
⊢ AEMeasurable (fun a => ((condDistrib Y X μ) (X a)) s) μ

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : AEMeasurable X μ
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : α), ((condDistrib Y X μ) (X x)) s ∂μ ≠ ⊤

tactic: exact Measurable.comp_aemeasurable (kernel.measurable_coe _ hs) hX
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : AEMeasurable X μ
hs : MeasurableSet s
⊢ AEMeasurable (fun a => ((condDistrib Y X μ) (X a)) s) μ
state_after: no goals

tactic: refine ne_of_lt ?_
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : AEMeasurable X μ
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : α), ((condDistrib Y X μ) (X x)) s ∂μ ≠ ⊤
state_after: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : AEMeasurable X μ
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : α), ((condDistrib Y X μ) (X x)) s ∂μ < ⊤

tactic: calc
  ∫⁻ a, condDistrib Y X μ (X a) s ∂μ ≤ ∫⁻ _, 1 ∂μ := lintegral_mono fun a => prob_le_one
  _ = μ univ := lintegral_one
  _ < ∞ := measure_lt_top _ _
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : AEMeasurable X μ
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (x : α), ((condDistrib Y X μ) (X x)) s ∂μ < ⊤
state_after: no goals