Theorem: analyticAt_inv
File: Mathlib/Analysis/Analytic/Constructions.lean

tactic: let f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a ↦ 1 / z * a
state_before: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 Inv.inv z
state_after: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
⊢ AnalyticAt 𝕜 Inv.inv z

tactic: let f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b ↦ (1 - b)⁻¹
state_before: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
⊢ AnalyticAt 𝕜 Inv.inv z
state_after: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
⊢ AnalyticAt 𝕜 Inv.inv z

tactic: let f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c ↦ 1 - c / z
state_before: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
⊢ AnalyticAt 𝕜 Inv.inv z
state_after: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
⊢ AnalyticAt 𝕜 Inv.inv z

tactic: have feq : f1 ∘ f2 ∘ f3 = Inv.inv := by
  ext1 x
  dsimp only [f1, f2, f3, Function.comp_apply]
  field_simp
state_before: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
⊢ AnalyticAt 𝕜 Inv.inv z
state_after: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
feq : f1 ∘ f2 ∘ f3 = Inv.inv
⊢ AnalyticAt 𝕜 Inv.inv z

tactic: have f3val : f3 z = 0 := by simp only [f3, div_self hz, sub_self]
state_before: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
feq : f1 ∘ f2 ∘ f3 = Inv.inv
⊢ AnalyticAt 𝕜 Inv.inv z
state_after: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
feq : f1 ∘ f2 ∘ f3 = Inv.inv
f3val : f3 z = 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 Inv.inv z

tactic: have f3an : AnalyticAt 𝕜 f3 z := by
  apply analyticAt_const.sub
  simpa only [div_eq_inv_mul] using analyticAt_const.mul (analyticAt_id 𝕜 z)
state_before: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
feq : f1 ∘ f2 ∘ f3 = Inv.inv
f3val : f3 z = 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 Inv.inv z
state_after: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
feq : f1 ∘ f2 ∘ f3 = Inv.inv
f3val : f3 z = 0
f3an : AnalyticAt 𝕜 f3 z
⊢ AnalyticAt 𝕜 Inv.inv z

tactic: exact feq ▸ (analyticAt_const.mul (analyticAt_id _ _)).comp
  ((f3val.symm ▸ analyticAt_inv_one_sub 𝕝).comp f3an)
state_before: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
feq : f1 ∘ f2 ∘ f3 = Inv.inv
f3val : f3 z = 0
f3an : AnalyticAt 𝕜 f3 z
⊢ AnalyticAt 𝕜 Inv.inv z
state_after: no goals

tactic: ext1 x
state_before: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
⊢ f1 ∘ f2 ∘ f3 = Inv.inv
state_after: case h
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
x : 𝕝
⊢ (f1 ∘ f2 ∘ f3) x = x⁻¹

tactic: dsimp only [f1, f2, f3, Function.comp_apply]
state_before: case h
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
x : 𝕝
⊢ (f1 ∘ f2 ∘ f3) x = x⁻¹
state_after: case h
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
x : 𝕝
⊢ 1 / z * (1 - (1 - x / z))⁻¹ = x⁻¹

tactic: field_simp
state_before: case h
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
x : 𝕝
⊢ 1 / z * (1 - (1 - x / z))⁻¹ = x⁻¹
state_after: no goals

tactic: simp only [f3, div_self hz, sub_self]
state_before: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
feq : f1 ∘ f2 ∘ f3 = Inv.inv
⊢ f3 z = 0
state_after: no goals

tactic: apply analyticAt_const.sub
state_before: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
feq : f1 ∘ f2 ∘ f3 = Inv.inv
f3val : f3 z = 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 f3 z
state_after: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
feq : f1 ∘ f2 ∘ f3 = Inv.inv
f3val : f3 z = 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun c => c / z) z

tactic: simpa only [div_eq_inv_mul] using analyticAt_const.mul (analyticAt_id 𝕜 z)
state_before: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
feq : f1 ∘ f2 ∘ f3 = Inv.inv
f3val : f3 z = 0
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun c => c / z) z
state_after: no goals