Theorem: StieltjesFunction.eq_of_measure_of_eq
File: Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean

tactic: ext x
state_before: f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
⊢ f = g
state_after: case h
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
⊢ ↑f x = ↑g x

tactic: have hf := measure_Ioc f x y
state_before: case h.inl
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ ↑f x = ↑g x
state_after: case h.inl
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : x ≤ y
hf : f.measure (Ioc x y) = ofReal (↑f y - ↑f x)
⊢ ↑f x = ↑g x

tactic: rw [hfg, measure_Ioc g x y, ENNReal.ofReal_eq_ofReal_iff, eq_comm, hy] at hf
state_before: case h.inl
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : x ≤ y
hf : f.measure (Ioc x y) = ofReal (↑f y - ↑f x)
⊢ ↑f x = ↑g x
state_after: case h.inl
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : x ≤ y
hf : ↑g y - ↑f x = ↑g y - ↑g x
⊢ ↑f x = ↑g x

case h.inl.hp
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : x ≤ y
hf : ofReal (↑g y - ↑g x) = ofReal (↑f y - ↑f x)
⊢ 0 ≤ ↑g y - ↑g x

case h.inl.hq
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : x ≤ y
hf : ofReal (↑g y - ↑g x) = ofReal (↑f y - ↑f x)
⊢ 0 ≤ ↑f y - ↑f x

tactic: simpa using hf
state_before: case h.inl
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : x ≤ y
hf : ↑g y - ↑f x = ↑g y - ↑g x
⊢ ↑f x = ↑g x
state_after: no goals

tactic: rw [sub_nonneg]
state_before: case h.inl.hp
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : x ≤ y
hf : ofReal (↑g y - ↑g x) = ofReal (↑f y - ↑f x)
⊢ 0 ≤ ↑g y - ↑g x
state_after: case h.inl.hp
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : x ≤ y
hf : ofReal (↑g y - ↑g x) = ofReal (↑f y - ↑f x)
⊢ ↑g x ≤ ↑g y

tactic: exact g.mono hxy
state_before: case h.inl.hp
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : x ≤ y
hf : ofReal (↑g y - ↑g x) = ofReal (↑f y - ↑f x)
⊢ ↑g x ≤ ↑g y
state_after: no goals

tactic: rw [sub_nonneg]
state_before: case h.inl.hq
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : x ≤ y
hf : ofReal (↑g y - ↑g x) = ofReal (↑f y - ↑f x)
⊢ 0 ≤ ↑f y - ↑f x
state_after: case h.inl.hq
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : x ≤ y
hf : ofReal (↑g y - ↑g x) = ofReal (↑f y - ↑f x)
⊢ ↑f x ≤ ↑f y

tactic: exact f.mono hxy
state_before: case h.inl.hq
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : x ≤ y
hf : ofReal (↑g y - ↑g x) = ofReal (↑f y - ↑f x)
⊢ ↑f x ≤ ↑f y
state_after: no goals

tactic: have hf := measure_Ioc f y x
state_before: case h.inr
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : y ≤ x
⊢ ↑f x = ↑g x
state_after: case h.inr
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : y ≤ x
hf : f.measure (Ioc y x) = ofReal (↑f x - ↑f y)
⊢ ↑f x = ↑g x

tactic: rw [hfg, measure_Ioc g y x, ENNReal.ofReal_eq_ofReal_iff, eq_comm, hy] at hf
state_before: case h.inr
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : y ≤ x
hf : f.measure (Ioc y x) = ofReal (↑f x - ↑f y)
⊢ ↑f x = ↑g x
state_after: case h.inr
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : y ≤ x
hf : ↑f x - ↑g y = ↑g x - ↑g y
⊢ ↑f x = ↑g x

case h.inr.hp
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : y ≤ x
hf : ofReal (↑g x - ↑g y) = ofReal (↑f x - ↑f y)
⊢ 0 ≤ ↑g x - ↑g y

case h.inr.hq
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : y ≤ x
hf : ofReal (↑g x - ↑g y) = ofReal (↑f x - ↑f y)
⊢ 0 ≤ ↑f x - ↑f y

tactic: simpa using hf
state_before: case h.inr
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : y ≤ x
hf : ↑f x - ↑g y = ↑g x - ↑g y
⊢ ↑f x = ↑g x
state_after: no goals

tactic: rw [sub_nonneg]
state_before: case h.inr.hp
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : y ≤ x
hf : ofReal (↑g x - ↑g y) = ofReal (↑f x - ↑f y)
⊢ 0 ≤ ↑g x - ↑g y
state_after: case h.inr.hp
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : y ≤ x
hf : ofReal (↑g x - ↑g y) = ofReal (↑f x - ↑f y)
⊢ ↑g y ≤ ↑g x

tactic: exact g.mono hxy
state_before: case h.inr.hp
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : y ≤ x
hf : ofReal (↑g x - ↑g y) = ofReal (↑f x - ↑f y)
⊢ ↑g y ≤ ↑g x
state_after: no goals

tactic: rw [sub_nonneg]
state_before: case h.inr.hq
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : y ≤ x
hf : ofReal (↑g x - ↑g y) = ofReal (↑f x - ↑f y)
⊢ 0 ≤ ↑f x - ↑f y
state_after: case h.inr.hq
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : y ≤ x
hf : ofReal (↑g x - ↑g y) = ofReal (↑f x - ↑f y)
⊢ ↑f y ≤ ↑f x

tactic: exact f.mono hxy
state_before: case h.inr.hq
f g : StieltjesFunction
y : ℝ
hfg : f.measure = g.measure
hy : ↑f y = ↑g y
x : ℝ
hxy : y ≤ x
hf : ofReal (↑g x - ↑g y) = ofReal (↑f x - ↑f y)
⊢ ↑f y ≤ ↑f x
state_after: no goals