Theorem: CategoryTheory.isCoseparator_pi
File: Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean

tactic: refine
  ⟨fun h X Y u v huv => ?_, fun h =>
    (isCoseparator_def _).2 fun X Y u v huv => h _ _ fun Z hZ g => ?_⟩
state_before: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasProduct f
⊢ IsCoseparator (∏ᶜ f) ↔ IsCoseparating (Set.range f)
state_after: case refine_1
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasProduct f
h : IsCoseparator (∏ᶜ f)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ G ∈ Set.range f, ∀ (h : Y ⟶ G), u ≫ h = v ≫ h
⊢ u = v

case refine_2
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasProduct f
h : IsCoseparating (Set.range f)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ (h : Y ⟶ ∏ᶜ f), u ≫ h = v ≫ h
Z : C
hZ : Z ∈ Set.range f
g : Y ⟶ Z
⊢ u ≫ g = v ≫ g

tactic: refine h.def _ _ fun g => limit.hom_ext fun b => ?_
state_before: case refine_1
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasProduct f
h : IsCoseparator (∏ᶜ f)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ G ∈ Set.range f, ∀ (h : Y ⟶ G), u ≫ h = v ≫ h
⊢ u = v
state_after: case refine_1
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasProduct f
h : IsCoseparator (∏ᶜ f)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ G ∈ Set.range f, ∀ (h : Y ⟶ G), u ≫ h = v ≫ h
g : Y ⟶ ∏ᶜ f
b : Discrete β
⊢ (u ≫ g) ≫ limit.π (Discrete.functor f) b = (v ≫ g) ≫ limit.π (Discrete.functor f) b

tactic: simpa using huv (f b.as) (by simp) (g ≫ limit.π (Discrete.functor f) _)
state_before: case refine_1
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasProduct f
h : IsCoseparator (∏ᶜ f)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ G ∈ Set.range f, ∀ (h : Y ⟶ G), u ≫ h = v ≫ h
g : Y ⟶ ∏ᶜ f
b : Discrete β
⊢ (u ≫ g) ≫ limit.π (Discrete.functor f) b = (v ≫ g) ≫ limit.π (Discrete.functor f) b
state_after: no goals

tactic: simp
state_before: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasProduct f
h : IsCoseparator (∏ᶜ f)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ G ∈ Set.range f, ∀ (h : Y ⟶ G), u ≫ h = v ≫ h
g : Y ⟶ ∏ᶜ f
b : Discrete β
⊢ f b.as ∈ Set.range f
state_after: no goals

tactic: obtain ⟨b, rfl⟩ := Set.mem_range.1 hZ
state_before: case refine_2
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasProduct f
h : IsCoseparating (Set.range f)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ (h : Y ⟶ ∏ᶜ f), u ≫ h = v ≫ h
Z : C
hZ : Z ∈ Set.range f
g : Y ⟶ Z
⊢ u ≫ g = v ≫ g
state_after: case refine_2.intro
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasProduct f
h : IsCoseparating (Set.range f)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ (h : Y ⟶ ∏ᶜ f), u ≫ h = v ≫ h
b : β
hZ : f b ∈ Set.range f
g : Y ⟶ f b
⊢ u ≫ g = v ≫ g

tactic: classical simpa using huv (Pi.lift (Pi.single b g)) =≫ Pi.π f b
state_before: case refine_2.intro
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasProduct f
h : IsCoseparating (Set.range f)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ (h : Y ⟶ ∏ᶜ f), u ≫ h = v ≫ h
b : β
hZ : f b ∈ Set.range f
g : Y ⟶ f b
⊢ u ≫ g = v ≫ g
state_after: no goals

tactic: simpa using huv (Pi.lift (Pi.single b g)) =≫ Pi.π f b
state_before: case refine_2.intro
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasProduct f
h : IsCoseparating (Set.range f)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ (h : Y ⟶ ∏ᶜ f), u ≫ h = v ≫ h
b : β
hZ : f b ∈ Set.range f
g : Y ⟶ f b
⊢ u ≫ g = v ≫ g
state_after: no goals