Theorem: MeasureTheory.FinMeasAdditive.map_iUnion_fin_meas_set_eq_sum
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean

tactic: revert hSp h_disj
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
hSp : ∀ i ∈ sι, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ sι, ∀ j ∈ sι, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ T (⋃ i ∈ sι, S i) = ∑ i ∈ sι, T (S i)
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
⊢ (∀ i ∈ sι, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ sι, ∀ j ∈ sι, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ sι, S i) = ∑ i ∈ sι, T (S i)

tactic: refine Finset.induction_on sι ?_ ?_
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
⊢ (∀ i ∈ sι, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ sι, ∀ j ∈ sι, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ sι, S i) = ∑ i ∈ sι, T (S i)
state_after: case refine_1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
⊢ (∀ i ∈ ∅, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ ∅, ∀ j ∈ ∅, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ ∅, S i) = ∑ i ∈ ∅, T (S i)

case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
⊢ ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι},
    a ∉ s →
      ((∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) →
          (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)) →
        (∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤) →
          (∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
            T (⋃ i ∈ insert a s, S i) = ∑ i ∈ insert a s, T (S i)

tactic: intro a s has h hps h_disj
state_before: case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
⊢ ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι},
    a ∉ s →
      ((∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) →
          (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)) →
        (∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤) →
          (∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
            T (⋃ i ∈ insert a s, S i) = ∑ i ∈ insert a s, T (S i)
state_after: case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ T (⋃ i ∈ insert a s, S i) = ∑ i ∈ insert a s, T (S i)

tactic: rw [Finset.sum_insert has, ← h]
state_before: case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ T (⋃ i ∈ insert a s, S i) = ∑ i ∈ insert a s, T (S i)
state_after: case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ T (⋃ i ∈ insert a s, S i) = T (S a) + T (⋃ i ∈ s, S i)

case refine_2.hSp
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤

case refine_2.h_disj
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)

tactic: swap
state_before: case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ T (⋃ i ∈ insert a s, S i) = T (S a) + T (⋃ i ∈ s, S i)

case refine_2.hSp
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
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has : a ∉ s
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hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤

case refine_2.h_disj
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
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inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
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has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
state_after: case refine_2.hSp
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
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m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
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T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
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h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤

case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
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hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
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⊢ T (⋃ i ∈ insert a s, S i) = T (S a) + T (⋃ i ∈ s, S i)

case refine_2.h_disj
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
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hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
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⊢ ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)

tactic: swap
state_before: case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
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hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ T (⋃ i ∈ insert a s, S i) = T (S a) + T (⋃ i ∈ s, S i)

case refine_2.h_disj
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
state_after: case refine_2.h_disj
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)

case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ T (⋃ i ∈ insert a s, S i) = T (S a) + T (⋃ i ∈ s, S i)

tactic: rw [←
  h_add (S a) (⋃ i ∈ s, S i) (hS_meas a) (measurableSet_biUnion _ fun i _ => hS_meas i)
    (hps a (Finset.mem_insert_self a s))]
state_before: case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ T (⋃ i ∈ insert a s, S i) = T (S a) + T (⋃ i ∈ s, S i)
state_after: case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ T (⋃ i ∈ insert a s, S i) = T (S a ∪ ⋃ i ∈ s, S i)

case refine_2.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ μ (⋃ i ∈ s, S i) ≠ ⊤

case refine_2.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ S a ∩ ⋃ i ∈ s, S i = ∅

tactic: simp only [Finset.not_mem_empty, IsEmpty.forall_iff, iUnion_false, iUnion_empty, sum_empty,
  forall₂_true_iff, imp_true_iff, forall_true_left, not_false_iff, T_empty]
state_before: case refine_1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
⊢ (∀ i ∈ ∅, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ ∅, ∀ j ∈ ∅, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ ∅, S i) = ∑ i ∈ ∅, T (S i)
state_after: no goals

tactic: exact fun i hi => hps i (Finset.mem_insert_of_mem hi)
state_before: case refine_2.hSp
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤
state_after: no goals

tactic: exact fun i hi j hj hij =>
  h_disj i (Finset.mem_insert_of_mem hi) j (Finset.mem_insert_of_mem hj) hij
state_before: case refine_2.h_disj
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
state_after: no goals

tactic: congr
state_before: case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ T (⋃ i ∈ insert a s, S i) = T (S a ∪ ⋃ i ∈ s, S i)
state_after: case refine_2.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ⋃ i ∈ insert a s, S i = S a ∪ ⋃ i ∈ s, S i

tactic: convert Finset.iSup_insert a s S
state_before: case refine_2.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ⋃ i ∈ insert a s, S i = S a ∪ ⋃ i ∈ s, S i
state_after: no goals

tactic: exact
  ((measure_biUnion_finset_le _ _).trans_lt <|
      ENNReal.sum_lt_top fun i hi => hps i <| Finset.mem_insert_of_mem hi).ne
state_before: case refine_2.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ μ (⋃ i ∈ s, S i) ≠ ⊤
state_after: no goals

tactic: simp_rw [Set.inter_iUnion]
state_before: case refine_2.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ S a ∩ ⋃ i ∈ s, S i = ∅
state_after: case refine_2.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ⋃ i ∈ s, S a ∩ S i = ∅

tactic: refine iUnion_eq_empty.mpr fun i => iUnion_eq_empty.mpr fun hi => ?_
state_before: case refine_2.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ⋃ i ∈ s, S a ∩ S i = ∅
state_after: case refine_2.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ S a ∩ S i = ∅

tactic: rw [← Set.disjoint_iff_inter_eq_empty]
state_before: case refine_2.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ S a ∩ S i = ∅
state_after: case refine_2.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ Disjoint (S a) (S i)

tactic: refine h_disj a (Finset.mem_insert_self a s) i (Finset.mem_insert_of_mem hi) fun hai => ?_
state_before: case refine_2.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ Disjoint (S a) (S i)
state_after: case refine_2.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
i : ι
hi : i ∈ s
hai : a = i
⊢ False

tactic: rw [← hai] at hi
state_before: case refine_2.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
i : ι
hi : i ∈ s
hai : a = i
⊢ False
state_after: case refine_2.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
i : ι
hi : a ∈ s
hai : a = i
⊢ False

tactic: exact has hi
state_before: case refine_2.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)
hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
i : ι
hi : a ∈ s
hai : a = i
⊢ False
state_after: no goals