Theorem: ONote.repr_add
File: Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean

tactic: simp
state_before: o : ONote
x✝¹ : NF 0
x✝ : o.NF
⊢ (0 + o).repr = repr 0 + o.repr
state_after: no goals

tactic: haveI := h₁.snd
state_before: e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
⊢ (e.oadd n a + o).repr = (e.oadd n a).repr + o.repr
state_after: e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF
⊢ (e.oadd n a + o).repr = (e.oadd n a).repr + o.repr

tactic: have h' := repr_add a o
state_before: e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF
⊢ (e.oadd n a + o).repr = (e.oadd n a).repr + o.repr
state_after: e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF
h' : (a + o).repr = a.repr + o.repr
⊢ (e.oadd n a + o).repr = (e.oadd n a).repr + o.repr

tactic: conv_lhs at h' => simp [HAdd.hAdd, Add.add]
state_before: e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF
h' : (a + o).repr = a.repr + o.repr
⊢ (e.oadd n a + o).repr = (e.oadd n a).repr + o.repr
state_after: e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
⊢ (e.oadd n a + o).repr = (e.oadd n a).repr + o.repr

tactic: have nf := ONote.add_nf a o
state_before: e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
⊢ (e.oadd n a + o).repr = (e.oadd n a).repr + o.repr
state_after: e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
nf : (a + o).NF
⊢ (e.oadd n a + o).repr = (e.oadd n a).repr + o.repr

tactic: conv at nf => simp [HAdd.hAdd, Add.add]
state_before: e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
nf : (a + o).NF
⊢ (e.oadd n a + o).repr = (e.oadd n a).repr + o.repr
state_after: e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
nf : (a.add o).NF
⊢ (e.oadd n a + o).repr = (e.oadd n a).repr + o.repr

tactic: conv in _ + o => simp [HAdd.hAdd, Add.add]
state_before: e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
nf : (a.add o).NF
⊢ (e.oadd n a + o).repr = (e.oadd n a).repr + o.repr
state_after: e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
nf : (a.add o).NF
⊢ ((e.oadd n a).add o).repr = (e.oadd n a).repr + o.repr

tactic: cases' h : add a o with e' n' a' <;>
  simp only [Add.add, add, addAux, h'.symm, h, add_assoc, repr] at nf h₁ ⊢
state_before: e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
nf : (a.add o).NF
⊢ ((e.oadd n a).add o).repr = (e.oadd n a).repr + o.repr
state_after: case oadd
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
⊢ (match e.cmp e' with
      | Ordering.lt => e'.oadd n' a'
      | Ordering.eq => e.oadd (n + n') a'
      | Ordering.gt => e.oadd n (e'.oadd n' a')).repr =
    ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)

tactic: have := h₁.fst
state_before: case oadd
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
⊢ (match e.cmp e' with
      | Ordering.lt => e'.oadd n' a'
      | Ordering.eq => e.oadd (n + n') a'
      | Ordering.gt => e.oadd n (e'.oadd n' a')).repr =
    ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)
state_after: case oadd
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this : e.NF
⊢ (match e.cmp e' with
      | Ordering.lt => e'.oadd n' a'
      | Ordering.eq => e.oadd (n + n') a'
      | Ordering.gt => e.oadd n (e'.oadd n' a')).repr =
    ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)

tactic: haveI := nf.fst
state_before: case oadd
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this : e.NF
⊢ (match e.cmp e' with
      | Ordering.lt => e'.oadd n' a'
      | Ordering.eq => e.oadd (n + n') a'
      | Ordering.gt => e.oadd n (e'.oadd n' a')).repr =
    ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)
state_after: case oadd
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
⊢ (match e.cmp e' with
      | Ordering.lt => e'.oadd n' a'
      | Ordering.eq => e.oadd (n + n') a'
      | Ordering.gt => e.oadd n (e'.oadd n' a')).repr =
    ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)

tactic: have ee := cmp_compares e e'
state_before: case oadd
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
⊢ (match e.cmp e' with
      | Ordering.lt => e'.oadd n' a'
      | Ordering.eq => e.oadd (n + n') a'
      | Ordering.gt => e.oadd n (e'.oadd n' a')).repr =
    ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)
state_after: case oadd
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
ee : (e.cmp e').Compares e e'
⊢ (match e.cmp e' with
      | Ordering.lt => e'.oadd n' a'
      | Ordering.eq => e.oadd (n + n') a'
      | Ordering.gt => e.oadd n (e'.oadd n' a')).repr =
    ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)

tactic: cases he: cmp e e' <;> simp only [he, Ordering.compares_gt, Ordering.compares_lt,
    Ordering.compares_eq, repr, gt_iff_lt, PNat.add_coe, Nat.cast_add] at ee ⊢
state_before: case oadd
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
ee : (e.cmp e').Compares e e'
⊢ (match e.cmp e' with
      | Ordering.lt => e'.oadd n' a'
      | Ordering.eq => e.oadd (n + n') a'
      | Ordering.gt => e.oadd n (e'.oadd n' a')).repr =
    ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)
state_after: case oadd.lt
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
he : e.cmp e' = Ordering.lt
ee : e < e'
⊢ ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr = ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)

case oadd.eq
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
he : e.cmp e' = Ordering.eq
ee : e = e'
⊢ ω ^ e.repr * (↑↑n + ↑↑n') + a'.repr = ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)

tactic: rw [← add_assoc, @add_absorp _ (repr e') (ω ^ repr e' * (n' : ℕ))]
state_before: case oadd.lt
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
he : e.cmp e' = Ordering.lt
ee : e < e'
⊢ ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr = ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)
state_after: case oadd.lt.h₁
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
he : e.cmp e' = Ordering.lt
ee : e < e'
⊢ ω ^ e.repr * ↑↑n < ω ^ e'.repr

case oadd.lt.h₂
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
he : e.cmp e' = Ordering.lt
ee : e < e'
⊢ ω ^ e'.repr ≤ ω ^ e'.repr * ↑↑n'

tactic: have := (h₁.below_of_lt ee).repr_lt
state_before: case oadd.lt.h₁
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
he : e.cmp e' = Ordering.lt
ee : e < e'
⊢ ω ^ e.repr * ↑↑n < ω ^ e'.repr
state_after: case oadd.lt.h₁
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝² : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝¹ : e.NF
this✝ : e'.NF
he : e.cmp e' = Ordering.lt
ee : e < e'
this : (e.oadd n a).repr < ω ^ e'.repr
⊢ ω ^ e.repr * ↑↑n < ω ^ e'.repr

tactic: unfold repr at this
state_before: case oadd.lt.h₁
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝² : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝¹ : e.NF
this✝ : e'.NF
he : e.cmp e' = Ordering.lt
ee : e < e'
this : (e.oadd n a).repr < ω ^ e'.repr
⊢ ω ^ e.repr * ↑↑n < ω ^ e'.repr
state_after: case oadd.lt.h₁
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝² : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝¹ : e.NF
this✝ : e'.NF
he : e.cmp e' = Ordering.lt
ee : e < e'
this :
  ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr <
    ω ^
      match e' with
      | zero => 0
      | e.oadd n a => ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
⊢ ω ^ e.repr * ↑↑n < ω ^ e'.repr

tactic: cases he': e' <;> simp only [he', zero_def, opow_zero, repr, gt_iff_lt] at this ⊢ <;>
exact lt_of_le_of_lt (le_add_right _ _) this
state_before: case oadd.lt.h₁
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝² : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝¹ : e.NF
this✝ : e'.NF
he : e.cmp e' = Ordering.lt
ee : e < e'
this :
  ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr <
    ω ^
      match e' with
      | zero => 0
      | e.oadd n a => ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
⊢ ω ^ e.repr * ↑↑n < ω ^ e'.repr
state_after: no goals

tactic: simpa using (Ordinal.mul_le_mul_iff_left <| opow_pos (repr e') omega_pos).2
  (natCast_le.2 n'.pos)
state_before: case oadd.lt.h₂
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
he : e.cmp e' = Ordering.lt
ee : e < e'
⊢ ω ^ e'.repr ≤ ω ^ e'.repr * ↑↑n'
state_after: no goals

tactic: rw [ee, ← add_assoc, ← mul_add]
state_before: case oadd.eq
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
he : e.cmp e' = Ordering.eq
ee : e = e'
⊢ ω ^ e.repr * (↑↑n + ↑↑n') + a'.repr = ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)
state_after: no goals