Theorem: PiToModule.fromEnd_injective
File: Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/LinearMap.lean

tactic: intro x y e
state_before: ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb✝ hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
⊢ Function.Injective ⇑(fromEnd R b)
state_after: ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb✝ hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
x y : Module.End R M
e : (fromEnd R b) x = (fromEnd R b) y
⊢ x = y

tactic: ext m
state_before: ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb✝ hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
x y : Module.End R M
e : (fromEnd R b) x = (fromEnd R b) y
⊢ x = y
state_after: case h
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb✝ hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
x y : Module.End R M
e : (fromEnd R b) x = (fromEnd R b) y
m : M
⊢ x m = y m

tactic: obtain ⟨m, rfl⟩ : m ∈ LinearMap.range (Fintype.total R R b) := by
  rw [(Fintype.range_total R b).trans hb]
  exact Submodule.mem_top
state_before: case h
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb✝ hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
x y : Module.End R M
e : (fromEnd R b) x = (fromEnd R b) y
m : M
⊢ x m = y m
state_after: case h.intro
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb✝ hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
x y : Module.End R M
e : (fromEnd R b) x = (fromEnd R b) y
m : ι → R
⊢ x (((Fintype.total R R) b) m) = y (((Fintype.total R R) b) m)

tactic: exact (LinearMap.congr_fun e m : _)
state_before: case h.intro
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb✝ hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
x y : Module.End R M
e : (fromEnd R b) x = (fromEnd R b) y
m : ι → R
⊢ x (((Fintype.total R R) b) m) = y (((Fintype.total R R) b) m)
state_after: no goals

tactic: rw [(Fintype.range_total R b).trans hb]
state_before: ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb✝ hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
x y : Module.End R M
e : (fromEnd R b) x = (fromEnd R b) y
m : M
⊢ m ∈ LinearMap.range ((Fintype.total R R) b)
state_after: ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb✝ hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
x y : Module.End R M
e : (fromEnd R b) x = (fromEnd R b) y
m : M
⊢ m ∈ ⊤

tactic: exact Submodule.mem_top
state_before: ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb✝ hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
x y : Module.End R M
e : (fromEnd R b) x = (fromEnd R b) y
m : M
⊢ m ∈ ⊤
state_after: no goals