Theorem: SmoothPartitionOfUnity.exists_isSubordinate
File: Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean

tactic: haveI : LocallyCompactSpace H := I.locallyCompactSpace
state_before: ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U
state_after: ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this : LocallyCompactSpace H
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U

tactic: haveI : LocallyCompactSpace M := ChartedSpace.locallyCompactSpace H M
state_before: ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this : LocallyCompactSpace H
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U
state_after: ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U

tactic: have := BumpCovering.exists_isSubordinate_of_prop (Smooth I 𝓘(ℝ)) ?_ hs U ho hU
state_before: ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U
state_after: case refine_2
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this✝¹ : LocallyCompactSpace H
this✝ : LocallyCompactSpace M
this : ∃ f, (∀ (i : ι), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U

case refine_1
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
⊢ ∀ (s t : Set M),
    IsClosed s →
      IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1

tactic: rcases this with ⟨f, hf, hfU⟩
state_before: case refine_2
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this✝¹ : LocallyCompactSpace H
this✝ : LocallyCompactSpace M
this : ∃ f, (∀ (i : ι), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U
state_after: case refine_2.intro.intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
f : BumpCovering ι M s
hf : ∀ (i : ι), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑(f i)
hfU : f.IsSubordinate U
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U

tactic: exact ⟨f.toSmoothPartitionOfUnity hf, hfU.toSmoothPartitionOfUnity hf⟩
state_before: case refine_2.intro.intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
f : BumpCovering ι M s
hf : ∀ (i : ι), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑(f i)
hfU : f.IsSubordinate U
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U
state_after: no goals

tactic: intro s t hs ht hd
state_before: case refine_1
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
⊢ ∀ (s t : Set M),
    IsClosed s →
      IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
state_after: case refine_1
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s✝ : Set M
hs✝ : IsClosed s✝
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s✝ ⊆ ⋃ i, U i
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
⊢ ∃ f, Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1

tactic: rcases exists_smooth_zero_one_of_isClosed I hs ht hd with ⟨f, hf⟩
state_before: case refine_1
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s✝ : Set M
hs✝ : IsClosed s✝
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s✝ ⊆ ⋃ i, U i
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
⊢ ∃ f, Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
state_after: case refine_1.intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s✝ : Set M
hs✝ : IsClosed s✝
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s✝ ⊆ ⋃ i, U i
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
f : C^⊤⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯
hf : EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
⊢ ∃ f, Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1

tactic: exact ⟨f, f.smooth, hf⟩
state_before: case refine_1.intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s✝ : Set M
hs✝ : IsClosed s✝
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s✝ ⊆ ⋃ i, U i
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
f : C^⊤⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯
hf : EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
⊢ ∃ f, Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
state_after: no goals