Theorem: Ordinal.bsup_succ_le_blsub
File: Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean

tactic: refine ⟨fun h => ?_, ?_⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ succ (o.bsup f) ≤ o.blsub f ↔ ∃ i, ∃ (hi : i < o), f i hi = o.bsup f
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
h : succ (o.bsup f) ≤ o.blsub f
⊢ ∃ i, ∃ (hi : i < o), f i hi = o.bsup f

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ (∃ i, ∃ (hi : i < o), f i hi = o.bsup f) → succ (o.bsup f) ≤ o.blsub f

tactic: rintro ⟨_, _, hf⟩
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
⊢ (∃ i, ∃ (hi : i < o), f i hi = o.bsup f) → succ (o.bsup f) ≤ o.blsub f
state_after: case refine_2.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
w✝¹ : Ordinal.{u}
w✝ : w✝¹ < o
hf : f w✝¹ w✝ = o.bsup f
⊢ succ (o.bsup f) ≤ o.blsub f

tactic: rw [succ_le_iff, ← hf]
state_before: case refine_2.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
w✝¹ : Ordinal.{u}
w✝ : w✝¹ < o
hf : f w✝¹ w✝ = o.bsup f
⊢ succ (o.bsup f) ≤ o.blsub f
state_after: case refine_2.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
w✝¹ : Ordinal.{u}
w✝ : w✝¹ < o
hf : f w✝¹ w✝ = o.bsup f
⊢ f w✝¹ w✝ < o.blsub f

tactic: exact lt_blsub _ _ _
state_before: case refine_2.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
w✝¹ : Ordinal.{u}
w✝ : w✝¹ < o
hf : f w✝¹ w✝ = o.bsup f
⊢ f w✝¹ w✝ < o.blsub f
state_after: no goals

tactic: by_contra! hf
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
h : succ (o.bsup f) ≤ o.blsub f
⊢ ∃ i, ∃ (hi : i < o), f i hi = o.bsup f
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
h : succ (o.bsup f) ≤ o.blsub f
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi ≠ o.bsup f
⊢ False

tactic: exact
  ne_of_lt (succ_le_iff.1 h)
    (le_antisymm (bsup_le_blsub f) (blsub_le (lt_bsup_of_ne_bsup.1 hf)))
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
h : succ (o.bsup f) ≤ o.blsub f
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi ≠ o.bsup f
⊢ False
state_after: no goals