Theorem: UniqueMul.iff_card_le_one
File: Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean

tactic: simp_rw [card_le_one_iff, mem_filter, mem_product]
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq G
ha0 : a0 ∈ A
hb0 : b0 ∈ B
⊢ UniqueMul A B a0 b0 ↔ (filter (fun p => p.1 * p.2 = a0 * b0) (A ×ˢ B)).card ≤ 1
state_after: G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq G
ha0 : a0 ∈ A
hb0 : b0 ∈ B
⊢ UniqueMul A B a0 b0 ↔
    ∀ {a b : G × G}, (a.1 ∈ A ∧ a.2 ∈ B) ∧ a.1 * a.2 = a0 * b0 → (b.1 ∈ A ∧ b.2 ∈ B) ∧ b.1 * b.2 = a0 * b0 → a = b

tactic: refine ⟨fun h p1 p2 ⟨⟨ha1, hb1⟩, he1⟩ ⟨⟨ha2, hb2⟩, he2⟩ ↦ ?_, fun h a b ha hb he ↦ ?_⟩
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq G
ha0 : a0 ∈ A
hb0 : b0 ∈ B
⊢ UniqueMul A B a0 b0 ↔
    ∀ {a b : G × G}, (a.1 ∈ A ∧ a.2 ∈ B) ∧ a.1 * a.2 = a0 * b0 → (b.1 ∈ A ∧ b.2 ∈ B) ∧ b.1 * b.2 = a0 * b0 → a = b
state_after: case refine_1
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq G
ha0 : a0 ∈ A
hb0 : b0 ∈ B
h : UniqueMul A B a0 b0
p1 p2 : G × G
x✝¹ : (p1.1 ∈ A ∧ p1.2 ∈ B) ∧ p1.1 * p1.2 = a0 * b0
x✝ : (p2.1 ∈ A ∧ p2.2 ∈ B) ∧ p2.1 * p2.2 = a0 * b0
ha1 : p1.1 ∈ A
hb1 : p1.2 ∈ B
he1 : p1.1 * p1.2 = a0 * b0
ha2 : p2.1 ∈ A
hb2 : p2.2 ∈ B
he2 : p2.1 * p2.2 = a0 * b0
⊢ p1 = p2

case refine_2
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq G
ha0 : a0 ∈ A
hb0 : b0 ∈ B
h : ∀ {a b : G × G}, (a.1 ∈ A ∧ a.2 ∈ B) ∧ a.1 * a.2 = a0 * b0 → (b.1 ∈ A ∧ b.2 ∈ B) ∧ b.1 * b.2 = a0 * b0 → a = b
a b : G
ha : a ∈ A
hb : b ∈ B
he : a * b = a0 * b0
⊢ a = a0 ∧ b = b0

tactic: have h1 := h ha1 hb1 he1
state_before: case refine_1
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq G
ha0 : a0 ∈ A
hb0 : b0 ∈ B
h : UniqueMul A B a0 b0
p1 p2 : G × G
x✝¹ : (p1.1 ∈ A ∧ p1.2 ∈ B) ∧ p1.1 * p1.2 = a0 * b0
x✝ : (p2.1 ∈ A ∧ p2.2 ∈ B) ∧ p2.1 * p2.2 = a0 * b0
ha1 : p1.1 ∈ A
hb1 : p1.2 ∈ B
he1 : p1.1 * p1.2 = a0 * b0
ha2 : p2.1 ∈ A
hb2 : p2.2 ∈ B
he2 : p2.1 * p2.2 = a0 * b0
⊢ p1 = p2
state_after: case refine_1
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq G
ha0 : a0 ∈ A
hb0 : b0 ∈ B
h : UniqueMul A B a0 b0
p1 p2 : G × G
x✝¹ : (p1.1 ∈ A ∧ p1.2 ∈ B) ∧ p1.1 * p1.2 = a0 * b0
x✝ : (p2.1 ∈ A ∧ p2.2 ∈ B) ∧ p2.1 * p2.2 = a0 * b0
ha1 : p1.1 ∈ A
hb1 : p1.2 ∈ B
he1 : p1.1 * p1.2 = a0 * b0
ha2 : p2.1 ∈ A
hb2 : p2.2 ∈ B
he2 : p2.1 * p2.2 = a0 * b0
h1 : p1.1 = a0 ∧ p1.2 = b0
⊢ p1 = p2

tactic: have h2 := h ha2 hb2 he2
state_before: case refine_1
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq G
ha0 : a0 ∈ A
hb0 : b0 ∈ B
h : UniqueMul A B a0 b0
p1 p2 : G × G
x✝¹ : (p1.1 ∈ A ∧ p1.2 ∈ B) ∧ p1.1 * p1.2 = a0 * b0
x✝ : (p2.1 ∈ A ∧ p2.2 ∈ B) ∧ p2.1 * p2.2 = a0 * b0
ha1 : p1.1 ∈ A
hb1 : p1.2 ∈ B
he1 : p1.1 * p1.2 = a0 * b0
ha2 : p2.1 ∈ A
hb2 : p2.2 ∈ B
he2 : p2.1 * p2.2 = a0 * b0
h1 : p1.1 = a0 ∧ p1.2 = b0
⊢ p1 = p2
state_after: case refine_1
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq G
ha0 : a0 ∈ A
hb0 : b0 ∈ B
h : UniqueMul A B a0 b0
p1 p2 : G × G
x✝¹ : (p1.1 ∈ A ∧ p1.2 ∈ B) ∧ p1.1 * p1.2 = a0 * b0
x✝ : (p2.1 ∈ A ∧ p2.2 ∈ B) ∧ p2.1 * p2.2 = a0 * b0
ha1 : p1.1 ∈ A
hb1 : p1.2 ∈ B
he1 : p1.1 * p1.2 = a0 * b0
ha2 : p2.1 ∈ A
hb2 : p2.2 ∈ B
he2 : p2.1 * p2.2 = a0 * b0
h1 : p1.1 = a0 ∧ p1.2 = b0
h2 : p2.1 = a0 ∧ p2.2 = b0
⊢ p1 = p2

tactic: ext
state_before: case refine_1
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq G
ha0 : a0 ∈ A
hb0 : b0 ∈ B
h : UniqueMul A B a0 b0
p1 p2 : G × G
x✝¹ : (p1.1 ∈ A ∧ p1.2 ∈ B) ∧ p1.1 * p1.2 = a0 * b0
x✝ : (p2.1 ∈ A ∧ p2.2 ∈ B) ∧ p2.1 * p2.2 = a0 * b0
ha1 : p1.1 ∈ A
hb1 : p1.2 ∈ B
he1 : p1.1 * p1.2 = a0 * b0
ha2 : p2.1 ∈ A
hb2 : p2.2 ∈ B
he2 : p2.1 * p2.2 = a0 * b0
h1 : p1.1 = a0 ∧ p1.2 = b0
h2 : p2.1 = a0 ∧ p2.2 = b0
⊢ p1 = p2
state_after: case refine_1.a
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq G
ha0 : a0 ∈ A
hb0 : b0 ∈ B
h : UniqueMul A B a0 b0
p1 p2 : G × G
x✝¹ : (p1.1 ∈ A ∧ p1.2 ∈ B) ∧ p1.1 * p1.2 = a0 * b0
x✝ : (p2.1 ∈ A ∧ p2.2 ∈ B) ∧ p2.1 * p2.2 = a0 * b0
ha1 : p1.1 ∈ A
hb1 : p1.2 ∈ B
he1 : p1.1 * p1.2 = a0 * b0
ha2 : p2.1 ∈ A
hb2 : p2.2 ∈ B
he2 : p2.1 * p2.2 = a0 * b0
h1 : p1.1 = a0 ∧ p1.2 = b0
h2 : p2.1 = a0 ∧ p2.2 = b0
⊢ p1.1 = p2.1

case refine_1.a
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq G
ha0 : a0 ∈ A
hb0 : b0 ∈ B
h : UniqueMul A B a0 b0
p1 p2 : G × G
x✝¹ : (p1.1 ∈ A ∧ p1.2 ∈ B) ∧ p1.1 * p1.2 = a0 * b0
x✝ : (p2.1 ∈ A ∧ p2.2 ∈ B) ∧ p2.1 * p2.2 = a0 * b0
ha1 : p1.1 ∈ A
hb1 : p1.2 ∈ B
he1 : p1.1 * p1.2 = a0 * b0
ha2 : p2.1 ∈ A
hb2 : p2.2 ∈ B
he2 : p2.1 * p2.2 = a0 * b0
h1 : p1.1 = a0 ∧ p1.2 = b0
h2 : p2.1 = a0 ∧ p2.2 = b0
⊢ p1.2 = p2.2

tactic: rw [h1.1, h2.1]
state_before: case refine_1.a
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq G
ha0 : a0 ∈ A
hb0 : b0 ∈ B
h : UniqueMul A B a0 b0
p1 p2 : G × G
x✝¹ : (p1.1 ∈ A ∧ p1.2 ∈ B) ∧ p1.1 * p1.2 = a0 * b0
x✝ : (p2.1 ∈ A ∧ p2.2 ∈ B) ∧ p2.1 * p2.2 = a0 * b0
ha1 : p1.1 ∈ A
hb1 : p1.2 ∈ B
he1 : p1.1 * p1.2 = a0 * b0
ha2 : p2.1 ∈ A
hb2 : p2.2 ∈ B
he2 : p2.1 * p2.2 = a0 * b0
h1 : p1.1 = a0 ∧ p1.2 = b0
h2 : p2.1 = a0 ∧ p2.2 = b0
⊢ p1.1 = p2.1
state_after: no goals

tactic: rw [h1.2, h2.2]
state_before: case refine_1.a
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq G
ha0 : a0 ∈ A
hb0 : b0 ∈ B
h : UniqueMul A B a0 b0
p1 p2 : G × G
x✝¹ : (p1.1 ∈ A ∧ p1.2 ∈ B) ∧ p1.1 * p1.2 = a0 * b0
x✝ : (p2.1 ∈ A ∧ p2.2 ∈ B) ∧ p2.1 * p2.2 = a0 * b0
ha1 : p1.1 ∈ A
hb1 : p1.2 ∈ B
he1 : p1.1 * p1.2 = a0 * b0
ha2 : p2.1 ∈ A
hb2 : p2.2 ∈ B
he2 : p2.1 * p2.2 = a0 * b0
h1 : p1.1 = a0 ∧ p1.2 = b0
h2 : p2.1 = a0 ∧ p2.2 = b0
⊢ p1.2 = p2.2
state_after: no goals

tactic: exact Prod.ext_iff.1 (@h (a, b) (a0, b0) ⟨⟨ha, hb⟩, he⟩ ⟨⟨ha0, hb0⟩, rfl⟩)
state_before: case refine_2
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq G
ha0 : a0 ∈ A
hb0 : b0 ∈ B
h : ∀ {a b : G × G}, (a.1 ∈ A ∧ a.2 ∈ B) ∧ a.1 * a.2 = a0 * b0 → (b.1 ∈ A ∧ b.2 ∈ B) ∧ b.1 * b.2 = a0 * b0 → a = b
a b : G
ha : a ∈ A
hb : b ∈ B
he : a * b = a0 * b0
⊢ a = a0 ∧ b = b0
state_after: no goals