Theorem: DirectSum.coe_mul_apply_eq_dfinsupp_sum
File: Mathlib/Algebra/DirectSum/Internal.lean

tactic: rw [mul_eq_dfinsupp_sum]
state_before: ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
⊢ ↑((r * r') n) = DFinsupp.sum r fun i ri => DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑ri * ↑rj else 0
state_after: ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
⊢ ↑((DFinsupp.sum r fun i ai =>
          DFinsupp.sum r' fun j aj => (of (fun i => ↥(A i)) (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj))
        n) =
    DFinsupp.sum r fun i ri => DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑ri * ↑rj else 0

tactic: iterate 2 rw [DFinsupp.sum_apply, DFinsupp.sum, AddSubmonoidClass.coe_finset_sum]; congr; ext
state_before: ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
⊢ ↑((DFinsupp.sum r fun i ai =>
          DFinsupp.sum r' fun j aj => (of (fun i => ↥(A i)) (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj))
        n) =
    DFinsupp.sum r fun i ri => DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑ri * ↑rj else 0
state_after: case e_f.h.e_f.h
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝¹ x✝ : ι
⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) (x✝¹ + x✝)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝¹) (r' x✝))) n) =
    (fun j rj => if x✝¹ + j = n then ↑(r x✝¹) * ↑rj else 0) x✝ (r' x✝)

tactic: dsimp only
state_before: case e_f.h.e_f.h
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝¹ x✝ : ι
⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) (x✝¹ + x✝)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝¹) (r' x✝))) n) =
    (fun j rj => if x✝¹ + j = n then ↑(r x✝¹) * ↑rj else 0) x✝ (r' x✝)
state_after: case e_f.h.e_f.h
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝¹ x✝ : ι
⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) (x✝¹ + x✝)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝¹) (r' x✝))) n) =
    if x✝¹ + x✝ = n then ↑(r x✝¹) * ↑(r' x✝) else 0

tactic: split_ifs with h
state_before: case e_f.h.e_f.h
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝¹ x✝ : ι
⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) (x✝¹ + x✝)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝¹) (r' x✝))) n) =
    if x✝¹ + x✝ = n then ↑(r x✝¹) * ↑(r' x✝) else 0
state_after: case pos
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝¹ x✝ : ι
h : x✝¹ + x✝ = n
⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) (x✝¹ + x✝)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝¹) (r' x✝))) n) = ↑(r x✝¹) * ↑(r' x✝)

case neg
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝¹ x✝ : ι
h : ¬x✝¹ + x✝ = n
⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) (x✝¹ + x✝)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝¹) (r' x✝))) n) = 0

tactic: rw [DFinsupp.sum_apply, DFinsupp.sum, AddSubmonoidClass.coe_finset_sum]
state_before: case e_f.h
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝ : ι
⊢ ↑((DFinsupp.sum r' fun j aj => (of (fun i => ↥(A i)) (x✝ + j)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝) aj)) n) =
    (fun i ri => DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑ri * ↑rj else 0) x✝ (r x✝)
state_after: case e_f.h
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝ : ι
⊢ ∑ i ∈ DFinsupp.support r', ↑(((of (fun i => ↥(A i)) (x✝ + i)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝) (r' i))) n) =
    (fun i ri => DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑ri * ↑rj else 0) x✝ (r x✝)

tactic: congr
state_before: case e_f.h
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝ : ι
⊢ ∑ i ∈ DFinsupp.support r', ↑(((of (fun i => ↥(A i)) (x✝ + i)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝) (r' i))) n) =
    (fun i ri => DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑ri * ↑rj else 0) x✝ (r x✝)
state_after: case e_f.h.e_f
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝ : ι
⊢ (fun i => ↑(((of (fun i => ↥(A i)) (x✝ + i)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝) (r' i))) n)) = fun i =>
    (fun j rj => if x✝ + j = n then ↑(r x✝) * ↑rj else 0) i (r' i)

tactic: ext
state_before: case e_f.h.e_f
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝ : ι
⊢ (fun i => ↑(((of (fun i => ↥(A i)) (x✝ + i)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝) (r' i))) n)) = fun i =>
    (fun j rj => if x✝ + j = n then ↑(r x✝) * ↑rj else 0) i (r' i)
state_after: case e_f.h.e_f.h
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝¹ x✝ : ι
⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) (x✝¹ + x✝)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝¹) (r' x✝))) n) =
    (fun j rj => if x✝¹ + j = n then ↑(r x✝¹) * ↑rj else 0) x✝ (r' x✝)

tactic: subst h
state_before: case pos
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝¹ x✝ : ι
h : x✝¹ + x✝ = n
⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) (x✝¹ + x✝)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝¹) (r' x✝))) n) = ↑(r x✝¹) * ↑(r' x✝)
state_after: case pos
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
x✝¹ x✝ : ι
⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) (x✝¹ + x✝)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝¹) (r' x✝))) (x✝¹ + x✝)) = ↑(r x✝¹) * ↑(r' x✝)

tactic: rw [of_eq_same]
state_before: case pos
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
x✝¹ x✝ : ι
⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) (x✝¹ + x✝)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝¹) (r' x✝))) (x✝¹ + x✝)) = ↑(r x✝¹) * ↑(r' x✝)
state_after: case pos
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
x✝¹ x✝ : ι
⊢ ↑(GradedMonoid.GMul.mul (r x✝¹) (r' x✝)) = ↑(r x✝¹) * ↑(r' x✝)

tactic: rfl
state_before: case pos
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
x✝¹ x✝ : ι
⊢ ↑(GradedMonoid.GMul.mul (r x✝¹) (r' x✝)) = ↑(r x✝¹) * ↑(r' x✝)
state_after: no goals

tactic: rw [of_eq_of_ne _ _ _ _ h]
state_before: case neg
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝¹ x✝ : ι
h : ¬x✝¹ + x✝ = n
⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) (x✝¹ + x✝)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝¹) (r' x✝))) n) = 0
state_after: case neg
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝¹ x✝ : ι
h : ¬x✝¹ + x✝ = n
⊢ ↑0 = 0

tactic: rfl
state_before: case neg
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝¹ x✝ : ι
h : ¬x✝¹ + x✝ = n
⊢ ↑0 = 0
state_after: no goals