Theorem: Set.PairwiseDisjoint.biUnion
File: Mathlib/Data/Set/Pairwise/Lattice.lean

tactic: rintro a ha b hb hab
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ : Set ι
t s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i
hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f
⊢ (⋃ i ∈ s, g i).PairwiseDisjoint f
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ : Set ι
t s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i
hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f
a : ι
ha : a ∈ ⋃ i ∈ s, g i
b : ι
hb : b ∈ ⋃ i ∈ s, g i
hab : a ≠ b
⊢ (Disjoint on f) a b

tactic: simp_rw [Set.mem_iUnion] at ha hb
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ : Set ι
t s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i
hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f
a : ι
ha : a ∈ ⋃ i ∈ s, g i
b : ι
hb : b ∈ ⋃ i ∈ s, g i
hab : a ≠ b
⊢ (Disjoint on f) a b
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ : Set ι
t s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i
hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f
a b : ι
hab : a ≠ b
ha : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), a ∈ g i
hb : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), b ∈ g i
⊢ (Disjoint on f) a b

tactic: obtain ⟨c, hc, ha⟩ := ha
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ : Set ι
t s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i
hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f
a b : ι
hab : a ≠ b
ha : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), a ∈ g i
hb : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), b ∈ g i
⊢ (Disjoint on f) a b
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ : Set ι
t s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i
hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f
a b : ι
hab : a ≠ b
hb : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), b ∈ g i
c : ι'
hc : c ∈ s
ha : a ∈ g c
⊢ (Disjoint on f) a b

tactic: obtain ⟨d, hd, hb⟩ := hb
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ : Set ι
t s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i
hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f
a b : ι
hab : a ≠ b
hb : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), b ∈ g i
c : ι'
hc : c ∈ s
ha : a ∈ g c
⊢ (Disjoint on f) a b
state_after: case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ : Set ι
t s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i
hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f
a b : ι
hab : a ≠ b
c : ι'
hc : c ∈ s
ha : a ∈ g c
d : ι'
hd : d ∈ s
hb : b ∈ g d
⊢ (Disjoint on f) a b

tactic: obtain hcd | hcd := eq_or_ne (g c) (g d)
state_before: case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ : Set ι
t s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i
hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f
a b : ι
hab : a ≠ b
c : ι'
hc : c ∈ s
ha : a ∈ g c
d : ι'
hd : d ∈ s
hb : b ∈ g d
⊢ (Disjoint on f) a b
state_after: case intro.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ : Set ι
t s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i
hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f
a b : ι
hab : a ≠ b
c : ι'
hc : c ∈ s
ha : a ∈ g c
d : ι'
hd : d ∈ s
hb : b ∈ g d
hcd : g c = g d
⊢ (Disjoint on f) a b

case intro.intro.intro.intro.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ : Set ι
t s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i
hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f
a b : ι
hab : a ≠ b
c : ι'
hc : c ∈ s
ha : a ∈ g c
d : ι'
hd : d ∈ s
hb : b ∈ g d
hcd : g c ≠ g d
⊢ (Disjoint on f) a b

tactic: exact hg d hd (hcd.subst ha) hb hab
state_before: case intro.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ : Set ι
t s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i
hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f
a b : ι
hab : a ≠ b
c : ι'
hc : c ∈ s
ha : a ∈ g c
d : ι'
hd : d ∈ s
hb : b ∈ g d
hcd : g c = g d
⊢ (Disjoint on f) a b
state_after: no goals

tactic: exact (hs hc hd <| ne_of_apply_ne _ hcd).mono
  (le_iSup₂ (f := fun i (_ : i ∈ g c) => f i) a ha)
  (le_iSup₂ (f := fun i (_ : i ∈ g d) => f i) b hb)
state_before: case intro.intro.intro.intro.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s✝ : Set ι
t s : Set ι'
g : ι' → Set ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ g i', f i
hg : ∀ i ∈ s, (g i).PairwiseDisjoint f
a b : ι
hab : a ≠ b
c : ι'
hc : c ∈ s
ha : a ∈ g c
d : ι'
hd : d ∈ s
hb : b ∈ g d
hcd : g c ≠ g d
⊢ (Disjoint on f) a b
state_after: no goals