Theorem: IsPrimitiveRoot.nthRoots_nodup
File: Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean

tactic: obtain (rfl|hn) := n.eq_zero_or_pos
state_before: M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
⊢ (nthRoots n a).Nodup
state_after: case inl
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ a : R
ha : a ≠ 0
h : IsPrimitiveRoot ζ 0
⊢ (nthRoots 0 a).Nodup

case inr
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0
⊢ (nthRoots n a).Nodup

tactic: by_cases h : ∃ α, α ^ n = a
state_before: case inr
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0
⊢ (nthRoots n a).Nodup
state_after: case pos
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝¹ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0
h : ∃ α, α ^ n = a
⊢ (nthRoots n a).Nodup

case neg
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝¹ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0
h : ¬∃ α, α ^ n = a
⊢ (nthRoots n a).Nodup

tactic: simp
state_before: case inl
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ a : R
ha : a ≠ 0
h : IsPrimitiveRoot ζ 0
⊢ (nthRoots 0 a).Nodup
state_after: no goals

tactic: obtain ⟨α, hα⟩ := h
state_before: case pos
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝¹ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0
h : ∃ α, α ^ n = a
⊢ (nthRoots n a).Nodup
state_after: case pos.intro
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0
α : R
hα : α ^ n = a
⊢ (nthRoots n a).Nodup

tactic: by_cases hα' : α = 0
state_before: case pos.intro
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0
α : R
hα : α ^ n = a
⊢ (nthRoots n a).Nodup
state_after: case pos
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0
α : R
hα : α ^ n = a
hα' : α = 0
⊢ (nthRoots n a).Nodup

case neg
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0
α : R
hα : α ^ n = a
hα' : ¬α = 0
⊢ (nthRoots n a).Nodup

tactic: rw [nthRoots_eq h hα, Multiset.nodup_map_iff_inj_on (Multiset.nodup_range n)]
state_before: case neg
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0
α : R
hα : α ^ n = a
hα' : ¬α = 0
⊢ (nthRoots n a).Nodup
state_after: case neg
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0
α : R
hα : α ^ n = a
hα' : ¬α = 0
⊢ ∀ x ∈ Multiset.range n, ∀ y ∈ Multiset.range n, ζ ^ x * α = ζ ^ y * α → x = y

tactic: exact h.injOn_pow_mul hα'
state_before: case neg
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0
α : R
hα : α ^ n = a
hα' : ¬α = 0
⊢ ∀ x ∈ Multiset.range n, ∀ y ∈ Multiset.range n, ζ ^ x * α = ζ ^ y * α → x = y
state_after: no goals

tactic: exact (ha (by rwa [hα', zero_pow hn.ne', eq_comm] at hα)).elim
state_before: case pos
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0
α : R
hα : α ^ n = a
hα' : α = 0
⊢ (nthRoots n a).Nodup
state_after: no goals

tactic: rwa [hα', zero_pow hn.ne', eq_comm] at hα
state_before: M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0
α : R
hα : α ^ n = a
hα' : α = 0
⊢ a = 0
state_after: no goals

tactic: suffices nthRoots n a = 0 by simp [this]
state_before: case neg
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝¹ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0
h : ¬∃ α, α ^ n = a
⊢ (nthRoots n a).Nodup
state_after: case neg
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝¹ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0
h : ¬∃ α, α ^ n = a
⊢ nthRoots n a = 0

tactic: push_neg at h
state_before: case neg
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝¹ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0
h : ¬∃ α, α ^ n = a
⊢ nthRoots n a = 0
state_after: case neg
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝¹ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0
h : ∀ (α : R), α ^ n ≠ a
⊢ nthRoots n a = 0

tactic: simpa only [Multiset.card_eq_zero, Multiset.eq_zero_iff_forall_not_mem, mem_nthRoots hn]
state_before: case neg
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝¹ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0
h : ∀ (α : R), α ^ n ≠ a
⊢ nthRoots n a = 0
state_after: no goals

tactic: simp [this]
state_before: M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝¹ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ n
a : R
ha : a ≠ 0
hn : n > 0
h : ¬∃ α, α ^ n = a
this : nthRoots n a = 0
⊢ (nthRoots n a).Nodup
state_after: no goals