Theorem: ONote.nf_repr_split'
File: Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean

tactic: injection p
state_before: o' : ONote
m : ℕ
x✝ : NF 0
p : split' 0 = (o', m)
⊢ o'.NF ∧ repr 0 = ω * o'.repr + ↑m
state_after: o' : ONote
m : ℕ
x✝ : NF 0
fst_eq✝ : 0 = o'
snd_eq✝ : 0 = m
⊢ o'.NF ∧ repr 0 = ω * o'.repr + ↑m

tactic: substs o' m
state_before: o' : ONote
m : ℕ
x✝ : NF 0
fst_eq✝ : 0 = o'
snd_eq✝ : 0 = m
⊢ o'.NF ∧ repr 0 = ω * o'.repr + ↑m
state_after: x✝ : NF 0
⊢ NF 0 ∧ repr 0 = ω * repr 0 + ↑0

tactic: simp [NF.zero]
state_before: x✝ : NF 0
⊢ NF 0 ∧ repr 0 = ω * repr 0 + ↑0
state_after: no goals

tactic: by_cases e0 : e = 0 <;> simp [e0, split, split'] at p ⊢
state_before: e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
p : (e.oadd n a).split' = (o', m)
⊢ o'.NF ∧ (e.oadd n a).repr = ω * o'.repr + ↑m
state_after: case pos
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : e = 0
p : 0 = o' ∧ ↑n = m
⊢ o'.NF ∧ ↑↑n + a.repr = ω * o'.repr + ↑m

case neg
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
p : (e - 1).oadd n a.split'.1 = o' ∧ a.split'.2 = m
⊢ o'.NF ∧ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr = ω * o'.repr + ↑m

tactic: rcases p with ⟨rfl, rfl⟩
state_before: case pos
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : e = 0
p : 0 = o' ∧ ↑n = m
⊢ o'.NF ∧ ↑↑n + a.repr = ω * o'.repr + ↑m
state_after: case pos.intro
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : e = 0
⊢ NF 0 ∧ ↑↑n + a.repr = ω * repr 0 + ↑↑n

tactic: simp [h.zero_of_zero e0, NF.zero]
state_before: case pos.intro
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : e = 0
⊢ NF 0 ∧ ↑↑n + a.repr = ω * repr 0 + ↑↑n
state_after: no goals

tactic: revert p
state_before: case neg
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
p : (e - 1).oadd n a.split'.1 = o' ∧ a.split'.2 = m
⊢ o'.NF ∧ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr = ω * o'.repr + ↑m
state_after: case neg
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
⊢ (e - 1).oadd n a.split'.1 = o' ∧ a.split'.2 = m → o'.NF ∧ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr = ω * o'.repr + ↑m

tactic: cases' h' : split' a with a' m'
state_before: case neg
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
⊢ (e - 1).oadd n a.split'.1 = o' ∧ a.split'.2 = m → o'.NF ∧ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr = ω * o'.repr + ↑m
state_after: case neg.mk
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
⊢ (e - 1).oadd n (a', m').1 = o' ∧ (a', m').2 = m → o'.NF ∧ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr = ω * o'.repr + ↑m

tactic: haveI := h.fst
state_before: case neg.mk
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
⊢ (e - 1).oadd n (a', m').1 = o' ∧ (a', m').2 = m → o'.NF ∧ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr = ω * o'.repr + ↑m
state_after: case neg.mk
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this : e.NF
⊢ (e - 1).oadd n (a', m').1 = o' ∧ (a', m').2 = m → o'.NF ∧ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr = ω * o'.repr + ↑m

tactic: haveI := h.snd
state_before: case neg.mk
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this : e.NF
⊢ (e - 1).oadd n (a', m').1 = o' ∧ (a', m').2 = m → o'.NF ∧ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr = ω * o'.repr + ↑m
state_after: case neg.mk
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝ : e.NF
this : a.NF
⊢ (e - 1).oadd n (a', m').1 = o' ∧ (a', m').2 = m → o'.NF ∧ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr = ω * o'.repr + ↑m

tactic: cases' nf_repr_split' h' with IH₁ IH₂
state_before: case neg.mk
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝ : e.NF
this : a.NF
⊢ (e - 1).oadd n (a', m').1 = o' ∧ (a', m').2 = m → o'.NF ∧ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr = ω * o'.repr + ↑m
state_after: case neg.mk.intro
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝ : e.NF
this : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
⊢ (e - 1).oadd n (a', m').1 = o' ∧ (a', m').2 = m → o'.NF ∧ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr = ω * o'.repr + ↑m

tactic: simp only [IH₂, and_imp]
state_before: case neg.mk.intro
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝ : e.NF
this : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
⊢ (e - 1).oadd n (a', m').1 = o' ∧ (a', m').2 = m → o'.NF ∧ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr = ω * o'.repr + ↑m
state_after: case neg.mk.intro
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝ : e.NF
this : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
⊢ (e - 1).oadd n a' = o' → m' = m → o'.NF ∧ ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω * a'.repr + ↑m') = ω * o'.repr + ↑m

tactic: intros
state_before: case neg.mk.intro
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝ : e.NF
this : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
⊢ (e - 1).oadd n a' = o' → m' = m → o'.NF ∧ ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω * a'.repr + ↑m') = ω * o'.repr + ↑m
state_after: case neg.mk.intro
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝ : e.NF
this : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
a✝¹ : (e - 1).oadd n a' = o'
a✝ : m' = m
⊢ o'.NF ∧ ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω * a'.repr + ↑m') = ω * o'.repr + ↑m

tactic: substs o' m
state_before: case neg.mk.intro
e : ONote
n : ℕ+
a o' : ONote
m : ℕ
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝ : e.NF
this : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
a✝¹ : (e - 1).oadd n a' = o'
a✝ : m' = m
⊢ o'.NF ∧ ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω * a'.repr + ↑m') = ω * o'.repr + ↑m
state_after: case neg.mk.intro
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝ : e.NF
this : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
⊢ ((e - 1).oadd n a').NF ∧ ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω * a'.repr + ↑m') = ω * ((e - 1).oadd n a').repr + ↑m'

tactic: have : (ω : Ordinal.{0}) ^ repr e = ω ^ (1 : Ordinal.{0}) * ω ^ (repr e - 1) := by
  have := mt repr_inj.1 e0
  rw [← opow_add, Ordinal.add_sub_cancel_of_le (one_le_iff_ne_zero.2 this)]
state_before: case neg.mk.intro
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝ : e.NF
this : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
⊢ ((e - 1).oadd n a').NF ∧ ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω * a'.repr + ↑m') = ω * ((e - 1).oadd n a').repr + ↑m'
state_after: case neg.mk.intro
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
this : ω ^ e.repr = ω ^ 1 * ω ^ (e.repr - 1)
⊢ ((e - 1).oadd n a').NF ∧ ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω * a'.repr + ↑m') = ω * ((e - 1).oadd n a').repr + ↑m'

tactic: refine ⟨NF.oadd (by infer_instance) _ ?_, ?_⟩
state_before: case neg.mk.intro
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
this : ω ^ e.repr = ω ^ 1 * ω ^ (e.repr - 1)
⊢ ((e - 1).oadd n a').NF ∧ ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω * a'.repr + ↑m') = ω * ((e - 1).oadd n a').repr + ↑m'
state_after: case neg.mk.intro.refine_1
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
this : ω ^ e.repr = ω ^ 1 * ω ^ (e.repr - 1)
⊢ a'.NFBelow (e - 1).repr

case neg.mk.intro.refine_2
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
this : ω ^ e.repr = ω ^ 1 * ω ^ (e.repr - 1)
⊢ ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω * a'.repr + ↑m') = ω * ((e - 1).oadd n a').repr + ↑m'

tactic: have := mt repr_inj.1 e0
state_before: e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝ : e.NF
this : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
⊢ ω ^ e.repr = ω ^ 1 * ω ^ (e.repr - 1)
state_after: e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
this : ¬e.repr = repr 0
⊢ ω ^ e.repr = ω ^ 1 * ω ^ (e.repr - 1)

tactic: rw [← opow_add, Ordinal.add_sub_cancel_of_le (one_le_iff_ne_zero.2 this)]
state_before: e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
this : ¬e.repr = repr 0
⊢ ω ^ e.repr = ω ^ 1 * ω ^ (e.repr - 1)
state_after: no goals

tactic: infer_instance
state_before: e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
this : ω ^ e.repr = ω ^ 1 * ω ^ (e.repr - 1)
⊢ (e - 1).NF
state_after: no goals

tactic: simp at this ⊢
state_before: case neg.mk.intro.refine_1
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
this : ω ^ e.repr = ω ^ 1 * ω ^ (e.repr - 1)
⊢ a'.NFBelow (e - 1).repr
state_after: case neg.mk.intro.refine_1
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
this : ω ^ e.repr = ω * ω ^ (e.repr - 1)
⊢ a'.NFBelow (e.repr - 1)

tactic: refine
  IH₁.below_of_lt'
    ((Ordinal.mul_lt_mul_iff_left omega_pos).1 <| lt_of_le_of_lt (le_add_right _ m') ?_)
state_before: case neg.mk.intro.refine_1
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
this : ω ^ e.repr = ω * ω ^ (e.repr - 1)
⊢ a'.NFBelow (e.repr - 1)
state_after: case neg.mk.intro.refine_1
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
this : ω ^ e.repr = ω * ω ^ (e.repr - 1)
⊢ ω * a'.repr + ↑m' < ω * ω ^ (e.repr - 1)

tactic: rw [← this, ← IH₂]
state_before: case neg.mk.intro.refine_1
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
this : ω ^ e.repr = ω * ω ^ (e.repr - 1)
⊢ ω * a'.repr + ↑m' < ω * ω ^ (e.repr - 1)
state_after: case neg.mk.intro.refine_1
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
this : ω ^ e.repr = ω * ω ^ (e.repr - 1)
⊢ a.repr < ω ^ e.repr

tactic: exact h.snd'.repr_lt
state_before: case neg.mk.intro.refine_1
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
this : ω ^ e.repr = ω * ω ^ (e.repr - 1)
⊢ a.repr < ω ^ e.repr
state_after: no goals

tactic: rw [this]
state_before: case neg.mk.intro.refine_2
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
this : ω ^ e.repr = ω ^ 1 * ω ^ (e.repr - 1)
⊢ ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω * a'.repr + ↑m') = ω * ((e - 1).oadd n a').repr + ↑m'
state_after: case neg.mk.intro.refine_2
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
this : ω ^ e.repr = ω ^ 1 * ω ^ (e.repr - 1)
⊢ ω ^ 1 * ω ^ (e.repr - 1) * ↑↑n + (ω * a'.repr + ↑m') = ω * ((e - 1).oadd n a').repr + ↑m'

tactic: simp [mul_add, mul_assoc, add_assoc]
state_before: case neg.mk.intro.refine_2
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : ¬e = 0
a' : ONote
m' : ℕ
h' : a.split' = (a', m')
this✝¹ : e.NF
this✝ : a.NF
IH₁ : a'.NF
IH₂ : a.repr = ω * a'.repr + ↑m'
this : ω ^ e.repr = ω ^ 1 * ω ^ (e.repr - 1)
⊢ ω ^ 1 * ω ^ (e.repr - 1) * ↑↑n + (ω * a'.repr + ↑m') = ω * ((e - 1).oadd n a').repr + ↑m'
state_after: no goals