Theorem: MeasureTheory.continuous_setIntegral
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean

tactic: haveI : Fact ((1 : ℝ≥0∞) ≤ 1) := ⟨le_rfl⟩
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set X
⊢ Continuous fun f => ∫ (x : X) in s, ↑↑f x ∂μ
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set X
this : Fact (1 ≤ 1)
⊢ Continuous fun f => ∫ (x : X) in s, ↑↑f x ∂μ

tactic: have h_comp :
  (fun f : X →₁[μ] E => ∫ x in s, f x ∂μ) =
    integral (μ.restrict s) ∘ fun f => LpToLpRestrictCLM X E ℝ μ 1 s f := by
  ext1 f
  rw [Function.comp_apply, integral_congr_ae (LpToLpRestrictCLM_coeFn ℝ s f)]
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set X
this : Fact (1 ≤ 1)
⊢ Continuous fun f => ∫ (x : X) in s, ↑↑f x ∂μ
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set X
this : Fact (1 ≤ 1)
h_comp : (fun f => ∫ (x : X) in s, ↑↑f x ∂μ) = integral (μ.restrict s) ∘ fun f => ↑↑((LpToLpRestrictCLM X E ℝ μ 1 s) f)
⊢ Continuous fun f => ∫ (x : X) in s, ↑↑f x ∂μ

tactic: rw [h_comp]
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set X
this : Fact (1 ≤ 1)
h_comp : (fun f => ∫ (x : X) in s, ↑↑f x ∂μ) = integral (μ.restrict s) ∘ fun f => ↑↑((LpToLpRestrictCLM X E ℝ μ 1 s) f)
⊢ Continuous fun f => ∫ (x : X) in s, ↑↑f x ∂μ
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set X
this : Fact (1 ≤ 1)
h_comp : (fun f => ∫ (x : X) in s, ↑↑f x ∂μ) = integral (μ.restrict s) ∘ fun f => ↑↑((LpToLpRestrictCLM X E ℝ μ 1 s) f)
⊢ Continuous (integral (μ.restrict s) ∘ fun f => ↑↑((LpToLpRestrictCLM X E ℝ μ 1 s) f))

tactic: exact continuous_integral.comp (LpToLpRestrictCLM X E ℝ μ 1 s).continuous
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set X
this : Fact (1 ≤ 1)
h_comp : (fun f => ∫ (x : X) in s, ↑↑f x ∂μ) = integral (μ.restrict s) ∘ fun f => ↑↑((LpToLpRestrictCLM X E ℝ μ 1 s) f)
⊢ Continuous (integral (μ.restrict s) ∘ fun f => ↑↑((LpToLpRestrictCLM X E ℝ μ 1 s) f))
state_after: no goals

tactic: ext1 f
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set X
this : Fact (1 ≤ 1)
⊢ (fun f => ∫ (x : X) in s, ↑↑f x ∂μ) = integral (μ.restrict s) ∘ fun f => ↑↑((LpToLpRestrictCLM X E ℝ μ 1 s) f)
state_after: case h
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set X
this : Fact (1 ≤ 1)
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ ∫ (x : X) in s, ↑↑f x ∂μ = (integral (μ.restrict s) ∘ fun f => ↑↑((LpToLpRestrictCLM X E ℝ μ 1 s) f)) f

tactic: rw [Function.comp_apply, integral_congr_ae (LpToLpRestrictCLM_coeFn ℝ s f)]
state_before: case h
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set X
this : Fact (1 ≤ 1)
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ ∫ (x : X) in s, ↑↑f x ∂μ = (integral (μ.restrict s) ∘ fun f => ↑↑((LpToLpRestrictCLM X E ℝ μ 1 s) f)) f
state_after: no goals