Theorem: MeasureTheory.tendsto_zero_of_hasDerivAt_of_integrableOn_Iic
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean

tactic: let F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
state_before: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
⊢ Tendsto f atBot (𝓝 0)
state_after: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
⊢ Tendsto f atBot (𝓝 0)

tactic: have Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (F ∘ f) (F (f' x)) x :=
  fun x hx ↦ F.hasFDerivAt.comp_hasDerivAt _ (hderiv x hx)
state_before: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
⊢ Tendsto f atBot (𝓝 0)
state_after: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
⊢ Tendsto f atBot (𝓝 0)

tactic: have Fint : IntegrableOn (F ∘ f) (Iic a) := by apply F.integrable_comp fint
state_before: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
⊢ Tendsto f atBot (𝓝 0)
state_after: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
⊢ Tendsto f atBot (𝓝 0)

tactic: have F'int : IntegrableOn (F ∘ f') (Iic a) := by apply F.integrable_comp f'int
state_before: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
⊢ Tendsto f atBot (𝓝 0)
state_after: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
⊢ Tendsto f atBot (𝓝 0)

tactic: have A : Tendsto (F ∘ f) atBot (𝓝 (limUnder atBot (F ∘ f))) := by
  apply tendsto_limUnder_of_hasDerivAt_of_integrableOn_Iic Fderiv F'int
state_before: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
⊢ Tendsto f atBot (𝓝 0)
state_after: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (limUnder atBot (⇑F ∘ f)))
⊢ Tendsto f atBot (𝓝 0)

tactic: have B : limUnder atBot (F ∘ f) = F 0 := by
  have : IntegrableAtFilter (F ∘ f) atBot := by exact ⟨Iic a, Iic_mem_atBot _, Fint⟩
  apply IntegrableAtFilter.eq_zero_of_tendsto this ?_ A
  intro s hs
  rcases mem_atBot_sets.1 hs with ⟨b, hb⟩
  apply le_antisymm (le_top)
  rw [← volume_Iic (a := b)]
  exact measure_mono hb
state_before: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (limUnder atBot (⇑F ∘ f)))
⊢ Tendsto f atBot (𝓝 0)
state_after: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (limUnder atBot (⇑F ∘ f)))
B : limUnder atBot (⇑F ∘ f) = F 0
⊢ Tendsto f atBot (𝓝 0)

tactic: rwa [B, ← Embedding.tendsto_nhds_iff] at A
state_before: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (limUnder atBot (⇑F ∘ f)))
B : limUnder atBot (⇑F ∘ f) = F 0
⊢ Tendsto f atBot (𝓝 0)
state_after: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (F 0))
B : limUnder atBot (⇑F ∘ f) = F 0
⊢ Embedding ⇑F

tactic: exact (Completion.uniformEmbedding_coe E).embedding
state_before: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (F 0))
B : limUnder atBot (⇑F ∘ f) = F 0
⊢ Embedding ⇑F
state_after: no goals

tactic: apply F.integrable_comp fint
state_before: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
⊢ IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
state_after: no goals

tactic: apply F.integrable_comp f'int
state_before: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
⊢ IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
state_after: no goals

tactic: apply tendsto_limUnder_of_hasDerivAt_of_integrableOn_Iic Fderiv F'int
state_before: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
⊢ Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (limUnder atBot (⇑F ∘ f)))
state_after: no goals

tactic: have : IntegrableAtFilter (F ∘ f) atBot := by exact ⟨Iic a, Iic_mem_atBot _, Fint⟩
state_before: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (limUnder atBot (⇑F ∘ f)))
⊢ limUnder atBot (⇑F ∘ f) = F 0
state_after: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (limUnder atBot (⇑F ∘ f)))
this : IntegrableAtFilter (⇑F ∘ f) atBot volume
⊢ limUnder atBot (⇑F ∘ f) = F 0

tactic: apply IntegrableAtFilter.eq_zero_of_tendsto this ?_ A
state_before: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (limUnder atBot (⇑F ∘ f)))
this : IntegrableAtFilter (⇑F ∘ f) atBot volume
⊢ limUnder atBot (⇑F ∘ f) = F 0
state_after: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (limUnder atBot (⇑F ∘ f)))
this : IntegrableAtFilter (⇑F ∘ f) atBot volume
⊢ ∀ s ∈ atBot, volume s = ⊤

tactic: intro s hs
state_before: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (limUnder atBot (⇑F ∘ f)))
this : IntegrableAtFilter (⇑F ∘ f) atBot volume
⊢ ∀ s ∈ atBot, volume s = ⊤
state_after: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (limUnder atBot (⇑F ∘ f)))
this : IntegrableAtFilter (⇑F ∘ f) atBot volume
s : Set ℝ
hs : s ∈ atBot
⊢ volume s = ⊤

tactic: rcases mem_atBot_sets.1 hs with ⟨b, hb⟩
state_before: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (limUnder atBot (⇑F ∘ f)))
this : IntegrableAtFilter (⇑F ∘ f) atBot volume
s : Set ℝ
hs : s ∈ atBot
⊢ volume s = ⊤
state_after: case intro
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (limUnder atBot (⇑F ∘ f)))
this : IntegrableAtFilter (⇑F ∘ f) atBot volume
s : Set ℝ
hs : s ∈ atBot
b : ℝ
hb : ∀ b_1 ≤ b, b_1 ∈ s
⊢ volume s = ⊤

tactic: apply le_antisymm (le_top)
state_before: case intro
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (limUnder atBot (⇑F ∘ f)))
this : IntegrableAtFilter (⇑F ∘ f) atBot volume
s : Set ℝ
hs : s ∈ atBot
b : ℝ
hb : ∀ b_1 ≤ b, b_1 ∈ s
⊢ volume s = ⊤
state_after: case intro
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (limUnder atBot (⇑F ∘ f)))
this : IntegrableAtFilter (⇑F ∘ f) atBot volume
s : Set ℝ
hs : s ∈ atBot
b : ℝ
hb : ∀ b_1 ≤ b, b_1 ∈ s
⊢ ⊤ ≤ volume s

tactic: rw [← volume_Iic (a := b)]
state_before: case intro
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (limUnder atBot (⇑F ∘ f)))
this : IntegrableAtFilter (⇑F ∘ f) atBot volume
s : Set ℝ
hs : s ∈ atBot
b : ℝ
hb : ∀ b_1 ≤ b, b_1 ∈ s
⊢ ⊤ ≤ volume s
state_after: case intro
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (limUnder atBot (⇑F ∘ f)))
this : IntegrableAtFilter (⇑F ∘ f) atBot volume
s : Set ℝ
hs : s ∈ atBot
b : ℝ
hb : ∀ b_1 ≤ b, b_1 ∈ s
⊢ volume (Iic b) ≤ volume s

tactic: exact measure_mono hb
state_before: case intro
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (limUnder atBot (⇑F ∘ f)))
this : IntegrableAtFilter (⇑F ∘ f) atBot volume
s : Set ℝ
hs : s ∈ atBot
b : ℝ
hb : ∀ b_1 ≤ b, b_1 ∈ s
⊢ volume (Iic b) ≤ volume s
state_after: no goals

tactic: exact ⟨Iic a, Iic_mem_atBot _, Fint⟩
state_before: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
fint : IntegrableOn f (Iic a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (limUnder atBot (⇑F ∘ f)))
⊢ IntegrableAtFilter (⇑F ∘ f) atBot volume
state_after: no goals