Theorem: map_coe_atTop_of_Ioo_subset
File: Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean

tactic: rcases eq_empty_or_nonempty (Iio b) with (hb' | ⟨a, ha⟩)
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : ∀ a' < b, ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
⊢ map Subtype.val atTop = 𝓝[<] b
state_after: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : ∀ a' < b, ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
hb' : Iio b = ∅
⊢ map Subtype.val atTop = 𝓝[<] b

case inr.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : ∀ a' < b, ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
a : α
ha : a ∈ Iio b
⊢ map Subtype.val atTop = 𝓝[<] b

tactic: have : IsEmpty s := ⟨fun x => hb'.subset (hb x.2)⟩
state_before: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : ∀ a' < b, ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
hb' : Iio b = ∅
⊢ map Subtype.val atTop = 𝓝[<] b
state_after: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : ∀ a' < b, ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
hb' : Iio b = ∅
this : IsEmpty ↑s
⊢ map Subtype.val atTop = 𝓝[<] b

tactic: rw [filter_eq_bot_of_isEmpty atTop, Filter.map_bot, hb', nhdsWithin_empty]
state_before: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : ∀ a' < b, ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
hb' : Iio b = ∅
this : IsEmpty ↑s
⊢ map Subtype.val atTop = 𝓝[<] b
state_after: no goals

tactic: rw [← comap_coe_nhdsWithin_Iio_of_Ioo_subset hb fun _ => hs a ha, map_comap_of_mem]
state_before: case inr.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : ∀ a' < b, ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
a : α
ha : a ∈ Iio b
⊢ map Subtype.val atTop = 𝓝[<] b
state_after: case inr.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : ∀ a' < b, ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
a : α
ha : a ∈ Iio b
⊢ range Subtype.val ∈ 𝓝[<] b

tactic: rw [Subtype.range_val]
state_before: case inr.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : ∀ a' < b, ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
a : α
ha : a ∈ Iio b
⊢ range Subtype.val ∈ 𝓝[<] b
state_after: case inr.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : ∀ a' < b, ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
a : α
ha : a ∈ Iio b
⊢ s ∈ 𝓝[<] b

tactic: exact (mem_nhdsWithin_Iio_iff_exists_Ioo_subset' ha).2 (hs a ha)
state_before: case inr.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : ∀ a' < b, ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
a : α
ha : a ∈ Iio b
⊢ s ∈ 𝓝[<] b
state_after: no goals