Theorem: MeasureTheory.SimpleFunc.tendsto_approxOn_range_Lp_snorm
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean

tactic: simp
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : snorm f p μ < ⊤
n : ℕ
⊢ 0 ∈ Set.range f ∪ {0}
state_after: no goals

tactic: refine tendsto_approxOn_Lp_snorm fmeas _ hp_ne_top ?_ ?_
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : snorm f p μ < ⊤
⊢ Tendsto (fun n => snorm (↑(approxOn f fmeas (Set.range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) - f) p μ) atTop (𝓝 0)
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : snorm f p μ < ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure (Set.range f ∪ {0})

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : snorm f p μ < ⊤
⊢ snorm (fun x => f x - 0) p μ < ⊤

tactic: filter_upwards with x using subset_closure (by simp)
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : snorm f p μ < ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure (Set.range f ∪ {0})
state_after: no goals

tactic: simp
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : snorm f p μ < ⊤
x : β
⊢ f x ∈ Set.range f ∪ {0}
state_after: no goals

tactic: simpa using hf
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : snorm f p μ < ⊤
⊢ snorm (fun x => f x - 0) p μ < ⊤
state_after: no goals