Theorem: IsCyclotomicExtension.discr_prime_pow_eq_unit_mul_pow
File: Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean

tactic: rw [discr_prime_pow hζ hirr]
state_before: p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ k)) K)
⊢ ∃ u n, discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = ↑↑u * ↑↑p ^ n
state_after: p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ k)) K)
⊢ ∃ u n, (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1)) = ↑↑u * ↑↑p ^ n

tactic: by_cases heven : Even ((p ^ k : ℕ).totient / 2)
state_before: p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ k)) K)
⊢ ∃ u n, (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1)) = ↑↑u * ↑↑p ^ n
state_after: case pos
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ k)) K)
heven : Even (φ (↑p ^ k) / 2)
⊢ ∃ u n, (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1)) = ↑↑u * ↑↑p ^ n

case neg
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ k)) K)
heven : ¬Even (φ (↑p ^ k) / 2)
⊢ ∃ u n, (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1)) = ↑↑u * ↑↑p ^ n

tactic: exact ⟨1, (p : ℕ) ^ (k - 1) * ((p - 1) * k - 1), by rw [heven.neg_one_pow]; norm_num⟩
state_before: case pos
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ k)) K)
heven : Even (φ (↑p ^ k) / 2)
⊢ ∃ u n, (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1)) = ↑↑u * ↑↑p ^ n
state_after: no goals

tactic: rw [heven.neg_one_pow]
state_before: p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ k)) K)
heven : Even (φ (↑p ^ k) / 2)
⊢ (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1)) = ↑↑1 * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1))
state_after: p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ k)) K)
heven : Even (φ (↑p ^ k) / 2)
⊢ 1 * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1)) = ↑↑1 * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1))

tactic: norm_num
state_before: p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ k)) K)
heven : Even (φ (↑p ^ k) / 2)
⊢ 1 * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1)) = ↑↑1 * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1))
state_after: no goals

tactic: exact ⟨-1, (p : ℕ) ^ (k - 1) * ((p - 1) * k - 1), by
  rw [(odd_iff_not_even.2 heven).neg_one_pow]; norm_num⟩
state_before: case neg
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ k)) K)
heven : ¬Even (φ (↑p ^ k) / 2)
⊢ ∃ u n, (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1)) = ↑↑u * ↑↑p ^ n
state_after: no goals

tactic: rw [(odd_iff_not_even.2 heven).neg_one_pow]
state_before: p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ k)) K)
heven : ¬Even (φ (↑p ^ k) / 2)
⊢ (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1)) =
    ↑↑(-1) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1))
state_after: p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ k)) K)
heven : ¬Even (φ (↑p ^ k) / 2)
⊢ -1 * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1)) = ↑↑(-1) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1))

tactic: norm_num
state_before: p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ k)) K)
heven : ¬Even (φ (↑p ^ k) / 2)
⊢ -1 * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1)) = ↑↑(-1) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1))
state_after: no goals