Theorem: InnerProductSpaceable.add_left_aux8
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean

tactic: apply eq_sub_of_add_eq'
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖I • y‖ * ‖I • y‖
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ ‖I • y‖ * ‖I • y‖ + ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)

tactic: have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y - z) z
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ ‖I • y‖ * ‖I • y‖ + ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ ‖I • y‖ * ‖I • y‖ + ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)

tactic: (try simp only [two_smul, smul_add])
state_before: case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y - 2 • z = I • y - z - z
state_after: case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y - (z + z) = I • y - z - z

tactic: abel
state_before: case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y - (z + z) = I • y - z - z
state_after: no goals

tactic: try simp only [two_smul, smul_add]
state_before: case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y - 2 • z = I • y - z - z
state_after: case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y - (z + z) = I • y - z - z

tactic: simp only [two_smul, smul_add]
state_before: case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y - 2 • z = I • y - z - z
state_after: case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y - (z + z) = I • y - z - z