Theorem: AddConstMapClass.rel_map_of_Icc
File: Mathlib/Algebra/AddConstMap/Basic.lean

tactic: replace hR := hR.elim
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
hR : CovariantClass H H (fun x y => y + x) R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
x y : G
hxy : (fun x x_1 => x < x_1) x y
⊢ R (f x) (f y)
state_after: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
x y : G
hxy : (fun x x_1 => x < x_1) x y
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
⊢ R (f x) (f y)

tactic: have ha' : 0 ≤ a := ha.le
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
x y : G
hxy : (fun x x_1 => x < x_1) x y
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
⊢ R (f x) (f y)
state_after: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
x y : G
hxy : (fun x x_1 => x < x_1) x y
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
⊢ R (f x) (f y)

tactic: wlog hx : x ∈ Ico l (l + a) generalizing x y
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
x y : G
hxy : (fun x x_1 => x < x_1) x y
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
⊢ R (f x) (f y)
state_after: case inr
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
x y : G
hxy : (fun x x_1 => x < x_1) x y
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
this : ∀ (x y : G), x < y → x ∈ Ico l (l + a) → R (f x) (f y)
hx : x ∉ Ico l (l + a)
⊢ R (f x) (f y)

F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
⊢ R (f x) (f y)

tactic: rcases existsUnique_sub_zsmul_mem_Ico ha x l with ⟨m, hm, -⟩
state_before: case inr
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
x y : G
hxy : (fun x x_1 => x < x_1) x y
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
this : ∀ (x y : G), x < y → x ∈ Ico l (l + a) → R (f x) (f y)
hx : x ∉ Ico l (l + a)
⊢ R (f x) (f y)
state_after: case inr.intro.intro
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
x y : G
hxy : (fun x x_1 => x < x_1) x y
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
this : ∀ (x y : G), x < y → x ∈ Ico l (l + a) → R (f x) (f y)
hx : x ∉ Ico l (l + a)
m : ℤ
hm : x - m • a ∈ Ico l (l + a)
⊢ R (f x) (f y)

tactic: suffices R (f (x - m • a)) (f (y - m • a)) by simpa using hR (m • b) this
state_before: case inr.intro.intro
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
x y : G
hxy : (fun x x_1 => x < x_1) x y
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
this : ∀ (x y : G), x < y → x ∈ Ico l (l + a) → R (f x) (f y)
hx : x ∉ Ico l (l + a)
m : ℤ
hm : x - m • a ∈ Ico l (l + a)
⊢ R (f x) (f y)
state_after: case inr.intro.intro
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
x y : G
hxy : (fun x x_1 => x < x_1) x y
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
this : ∀ (x y : G), x < y → x ∈ Ico l (l + a) → R (f x) (f y)
hx : x ∉ Ico l (l + a)
m : ℤ
hm : x - m • a ∈ Ico l (l + a)
⊢ R (f (x - m • a)) (f (y - m • a))

tactic: exact this _ _ (by simpa) hm
state_before: case inr.intro.intro
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
x y : G
hxy : (fun x x_1 => x < x_1) x y
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
this : ∀ (x y : G), x < y → x ∈ Ico l (l + a) → R (f x) (f y)
hx : x ∉ Ico l (l + a)
m : ℤ
hm : x - m • a ∈ Ico l (l + a)
⊢ R (f (x - m • a)) (f (y - m • a))
state_after: no goals

tactic: simpa using hR (m • b) this
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
x y : G
hxy : (fun x x_1 => x < x_1) x y
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
this✝ : ∀ (x y : G), x < y → x ∈ Ico l (l + a) → R (f x) (f y)
hx : x ∉ Ico l (l + a)
m : ℤ
hm : x - m • a ∈ Ico l (l + a)
this : R (f (x - m • a)) (f (y - m • a))
⊢ R (f x) (f y)
state_after: no goals

tactic: simpa
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
x y : G
hxy : (fun x x_1 => x < x_1) x y
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
this : ∀ (x y : G), x < y → x ∈ Ico l (l + a) → R (f x) (f y)
hx : x ∉ Ico l (l + a)
m : ℤ
hm : x - m • a ∈ Ico l (l + a)
⊢ x - m • a < y - m • a
state_after: no goals

tactic: rcases existsUnique_sub_zsmul_mem_Ioc ha y l with ⟨n, hny, -⟩
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
⊢ R (f x) (f y)
state_after: case intro.intro
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
⊢ R (f x) (f y)

tactic: rcases lt_trichotomy n 0 with hn | rfl | hn
state_before: case intro.intro
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
⊢ R (f x) (f y)
state_after: case intro.intro.inl
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : n < 0
⊢ R (f x) (f y)

case intro.intro.inr.inl
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
hny : y - 0 • a ∈ Ioc l (l + a)
⊢ R (f x) (f y)

case intro.intro.inr.inr
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 0 < n
⊢ R (f x) (f y)

tactic: refine absurd ?_ hxy.not_le
state_before: case intro.intro.inl
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : n < 0
⊢ R (f x) (f y)
state_after: case intro.intro.inl
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : n < 0
⊢ y ≤ x

tactic: calc
  y ≤ l + a + n • a := sub_le_iff_le_add.1 hny.2
  _ = l + (n + 1) • a := by rw [add_comm n, add_smul, one_smul, add_assoc]
  _ ≤ l + 0 • a := add_le_add_left (zsmul_le_zsmul ha.le (by omega)) _
  _ ≤ x := by simpa using hx.1
state_before: case intro.intro.inl
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : n < 0
⊢ y ≤ x
state_after: no goals

tactic: rw [add_comm n, add_smul, one_smul, add_assoc]
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : n < 0
⊢ l + a + n • a = l + (n + 1) • a
state_after: no goals

tactic: omega
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : n < 0
⊢ n + 1 ≤ 0
state_after: no goals

tactic: simpa using hx.1
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : n < 0
⊢ l + 0 • a ≤ x
state_after: no goals

tactic: exact hf x (Ico_subset_Icc_self hx) y (by simpa using Ioc_subset_Icc_self hny) hxy
state_before: case intro.intro.inr.inl
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
hny : y - 0 • a ∈ Ioc l (l + a)
⊢ R (f x) (f y)
state_after: no goals

tactic: simpa using Ioc_subset_Icc_self hny
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
hny : y - 0 • a ∈ Ioc l (l + a)
⊢ y ∈ Icc l (l + a)
state_after: no goals

tactic: trans f (l + (1 : ℤ) • a)
state_before: case intro.intro.inr.inr
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 0 < n
⊢ R (f x) (f y)
state_after: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 0 < n
⊢ R (f x) (f (l + 1 • a))

F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 0 < n
⊢ R (f (l + 1 • a)) (f y)

tactic: have hy : R (f (l + n • a)) (f y) := by
  rw [← sub_add_cancel y (n • a), map_add_zsmul, map_add_zsmul]
  refine hR _ <| hf _ ?_ _ (Ioc_subset_Icc_self hny) hny.1; simpa
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 0 < n
⊢ R (f (l + 1 • a)) (f y)
state_after: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 0 < n
hy : R (f (l + n • a)) (f y)
⊢ R (f (l + 1 • a)) (f y)

tactic: rw [← Int.add_one_le_iff, zero_add] at hn
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 0 < n
hy : R (f (l + n • a)) (f y)
⊢ R (f (l + 1 • a)) (f y)
state_after: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 1 ≤ n
hy : R (f (l + n • a)) (f y)
⊢ R (f (l + 1 • a)) (f y)

tactic: rcases hn.eq_or_lt with rfl | hn
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 1 ≤ n
hy : R (f (l + n • a)) (f y)
⊢ R (f (l + 1 • a)) (f y)
state_after: case inl
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
hny : y - 1 • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 1 ≤ 1
hy : R (f (l + 1 • a)) (f y)
⊢ R (f (l + 1 • a)) (f y)

case inr
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn✝ : 1 ≤ n
hy : R (f (l + n • a)) (f y)
hn : 1 < n
⊢ R (f (l + 1 • a)) (f y)

tactic: trans f (l + n • a)
state_before: case inr
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn✝ : 1 ≤ n
hy : R (f (l + n • a)) (f y)
hn : 1 < n
⊢ R (f (l + 1 • a)) (f y)
state_after: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn✝ : 1 ≤ n
hy : R (f (l + n • a)) (f y)
hn : 1 < n
⊢ R (f (l + 1 • a)) (f (l + n • a))

F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn✝ : 1 ≤ n
hy : R (f (l + n • a)) (f y)
hn : 1 < n
⊢ R (f (l + n • a)) (f y)

tactic: rw [one_zsmul]
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 0 < n
⊢ R (f x) (f (l + 1 • a))
state_after: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 0 < n
⊢ R (f x) (f (l + a))

tactic: exact hf x (Ico_subset_Icc_self hx) (l + a) (by simpa) hx.2
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 0 < n
⊢ R (f x) (f (l + a))
state_after: no goals

tactic: simpa
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 0 < n
⊢ l + a ∈ Icc l (l + a)
state_after: no goals

tactic: rw [← sub_add_cancel y (n • a), map_add_zsmul, map_add_zsmul]
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 0 < n
⊢ R (f (l + n • a)) (f y)
state_after: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 0 < n
⊢ R (f l + n • b) (f (y - n • a) + n • b)

tactic: refine hR _ <| hf _ ?_ _ (Ioc_subset_Icc_self hny) hny.1
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 0 < n
⊢ R (f l + n • b) (f (y - n • a) + n • b)
state_after: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 0 < n
⊢ l ∈ Icc l (l + a)

tactic: simpa
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 0 < n
⊢ l ∈ Icc l (l + a)
state_after: no goals

tactic: assumption
state_before: case inl
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
hny : y - 1 • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 1 ≤ 1
hy : R (f (l + 1 • a)) (f y)
⊢ R (f (l + 1 • a)) (f y)
state_after: no goals

tactic: simp_rw [add_comm k 1, add_zsmul, ← add_assoc, one_zsmul, map_add_zsmul]
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn✝ : 1 ≤ n
hy : R (f (l + n • a)) (f y)
hn : 1 < n
k : ℤ
⊢ R ((fun x => f (l + x • a)) k) ((fun x => f (l + x • a)) (k + 1))
state_after: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn✝ : 1 ≤ n
hy : R (f (l + n • a)) (f y)
hn : 1 < n
k : ℤ
⊢ R (f l + k • b) (f (l + a) + k • b)

tactic: refine hR (k • b) (hf _ ?_ _ ?_ ?_) <;> simpa
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn✝ : 1 ≤ n
hy : R (f (l + n • a)) (f y)
hn : 1 < n
k : ℤ
⊢ R (f l + k • b) (f (l + a) + k • b)
state_after: no goals

tactic: assumption
state_before: F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn✝ : 1 ≤ n
hy : R (f (l + n • a)) (f y)
hn : 1 < n
⊢ R (f (l + n • a)) (f y)
state_after: no goals