Theorem: FormalMultilinearSeries.radius_rightInv_pos_of_radius_pos_aux2
File: Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean

tactic: simp only [LinearIsometryEquiv.norm_map, pow_one, rightInv_coeff_one,
  show Ico (1 : ℕ) 2 = {1} from Nat.Ico_succ_singleton 1,
  sum_singleton, ← sum_Ico_consecutive _ one_le_two hn]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
⊢ ∑ k ∈ Ico 1 (n + 1), a ^ k * ‖p.rightInv i k‖ = a * I + ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), a ^ k * ‖p.rightInv i k‖
state_after: no goals

tactic: congr! 2 with j hj
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
⊢ a * I + ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), a ^ k * ‖p.rightInv i k‖ =
    a * I +
      ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1),
        a ^ k *
          ‖(↑i.symm).compContinuousMultilinearMap
              (∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, p.compAlongComposition (p.rightInv i) c)‖
state_after: case h.e'_6.a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
hj : j ∈ Ico 2 (n + 1)
⊢ a ^ j * ‖p.rightInv i j‖ =
    a ^ j *
      ‖(↑i.symm).compContinuousMultilinearMap
          (∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, p.compAlongComposition (p.rightInv i) c)‖

tactic: rw [rightInv_coeff _ _ _ (mem_Ico.1 hj).1, norm_neg]
state_before: case h.e'_6.a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
hj : j ∈ Ico 2 (n + 1)
⊢ a ^ j * ‖p.rightInv i j‖ =
    a ^ j *
      ‖(↑i.symm).compContinuousMultilinearMap
          (∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, p.compAlongComposition (p.rightInv i) c)‖
state_after: no goals

tactic: gcongr with j
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
⊢ a * I +
      ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1),
        a ^ k *
          ‖(↑i.symm).compContinuousMultilinearMap
              (∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, p.compAlongComposition (p.rightInv i) c)‖ ≤
    a * ‖↑i.symm‖ +
      ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1),
        a ^ k *
          (I * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, C * r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j)‖)
state_after: case bc.h.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
a✝ : j ∈ Ico 2 (n + 1)
⊢ ‖(↑i.symm).compContinuousMultilinearMap
        (∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, p.compAlongComposition (p.rightInv i) c)‖ ≤
    I * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, C * r ^ c.length * ∏ j_1 : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j_1)‖

tactic: apply (ContinuousLinearMap.norm_compContinuousMultilinearMap_le _ _).trans
state_before: case bc.h.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
a✝ : j ∈ Ico 2 (n + 1)
⊢ ‖(↑i.symm).compContinuousMultilinearMap
        (∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, p.compAlongComposition (p.rightInv i) c)‖ ≤
    I * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, C * r ^ c.length * ∏ j_1 : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j_1)‖
state_after: case bc.h.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
a✝ : j ∈ Ico 2 (n + 1)
⊢ ‖↑i.symm‖ * ‖∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, p.compAlongComposition (p.rightInv i) c‖ ≤
    I * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, C * r ^ c.length * ∏ j_1 : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j_1)‖

tactic: gcongr
state_before: case bc.h.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
a✝ : j ∈ Ico 2 (n + 1)
⊢ ‖↑i.symm‖ * ‖∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, p.compAlongComposition (p.rightInv i) c‖ ≤
    I * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, C * r ^ c.length * ∏ j_1 : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j_1)‖
state_after: case bc.h.h.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
a✝ : j ∈ Ico 2 (n + 1)
⊢ ‖∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, p.compAlongComposition (p.rightInv i) c‖ ≤
    ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, C * r ^ c.length * ∏ j_1 : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j_1)‖

tactic: apply (norm_sum_le _ _).trans
state_before: case bc.h.h.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
a✝ : j ∈ Ico 2 (n + 1)
⊢ ‖∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, p.compAlongComposition (p.rightInv i) c‖ ≤
    ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, C * r ^ c.length * ∏ j_1 : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j_1)‖
state_after: case bc.h.h.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
a✝ : j ∈ Ico 2 (n + 1)
⊢ ∑ i_1 ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, ‖p.compAlongComposition (p.rightInv i) i_1‖ ≤
    ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, C * r ^ c.length * ∏ j_1 : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j_1)‖

tactic: gcongr
state_before: case bc.h.h.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
a✝ : j ∈ Ico 2 (n + 1)
⊢ ∑ i_1 ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, ‖p.compAlongComposition (p.rightInv i) i_1‖ ≤
    ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, C * r ^ c.length * ∏ j_1 : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j_1)‖
state_after: case bc.h.h.h.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
a✝¹ : j ∈ Ico 2 (n + 1)
i✝ : Composition j
a✝ : i✝ ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset
⊢ ‖p.compAlongComposition (p.rightInv i) i✝‖ ≤
    C * r ^ i✝.length * ∏ j_1 : Fin i✝.length, ‖p.rightInv i (i✝.blocksFun j_1)‖

tactic: apply (compAlongComposition_norm _ _ _).trans
state_before: case bc.h.h.h.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
a✝¹ : j ∈ Ico 2 (n + 1)
i✝ : Composition j
a✝ : i✝ ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset
⊢ ‖p.compAlongComposition (p.rightInv i) i✝‖ ≤
    C * r ^ i✝.length * ∏ j_1 : Fin i✝.length, ‖p.rightInv i (i✝.blocksFun j_1)‖
state_after: case bc.h.h.h.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
a✝¹ : j ∈ Ico 2 (n + 1)
i✝ : Composition j
a✝ : i✝ ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset
⊢ ‖p i✝.length‖ * ∏ i_1 : Fin i✝.length, ‖p.rightInv i (i✝.blocksFun i_1)‖ ≤
    C * r ^ i✝.length * ∏ j_1 : Fin i✝.length, ‖p.rightInv i (i✝.blocksFun j_1)‖

tactic: gcongr
state_before: case bc.h.h.h.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
a✝¹ : j ∈ Ico 2 (n + 1)
i✝ : Composition j
a✝ : i✝ ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset
⊢ ‖p i✝.length‖ * ∏ i_1 : Fin i✝.length, ‖p.rightInv i (i✝.blocksFun i_1)‖ ≤
    C * r ^ i✝.length * ∏ j_1 : Fin i✝.length, ‖p.rightInv i (i✝.blocksFun j_1)‖
state_after: case bc.h.h.h.h.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
a✝¹ : j ∈ Ico 2 (n + 1)
i✝ : Composition j
a✝ : i✝ ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset
⊢ ‖p i✝.length‖ ≤ C * r ^ i✝.length

tactic: apply hp
state_before: case bc.h.h.h.h.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
j : ℕ
a✝¹ : j ∈ Ico 2 (n + 1)
i✝ : Composition j
a✝ : i✝ ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset
⊢ ‖p i✝.length‖ ≤ C * r ^ i✝.length
state_after: no goals

tactic: simp_rw [mul_assoc C, ← mul_sum, ← mul_assoc, mul_comm _ ‖(i.symm : F →L[𝕜] E)‖, mul_assoc,
  ← mul_sum, ← mul_assoc, mul_comm _ C, mul_assoc, ← mul_sum]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
⊢ a * ‖↑i.symm‖ +
      ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1),
        a ^ k *
          (I *
            ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, C * r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j)‖) =
    I * a +
      I * C *
        ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1),
          a ^ k * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j)‖
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
⊢ ‖↑i.symm‖ * a +
      ‖↑i.symm‖ *
        (C *
          ∑ i_1 ∈ Ico 2 (n + 1),
            a ^ i_1 *
              ∑ i_2 ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset,
                r ^ i_2.length * ∏ j : Fin i_2.length, ‖p.rightInv i (i_2.blocksFun j)‖) =
    I * a +
      C *
        (I *
          ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1),
            a ^ k *
              ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j)‖)

tactic: ring
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
⊢ ‖↑i.symm‖ * a +
      ‖↑i.symm‖ *
        (C *
          ∑ i_1 ∈ Ico 2 (n + 1),
            a ^ i_1 *
              ∑ i_2 ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset,
                r ^ i_2.length * ∏ j : Fin i_2.length, ‖p.rightInv i (i_2.blocksFun j)‖) =
    I * a +
      C *
        (I *
          ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1),
            a ^ k *
              ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j)‖)
state_after: no goals

tactic: gcongr _ + _ * _ * ?_
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
⊢ I * a +
      I * C *
        ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1),
          a ^ k * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j)‖ ≤
    I * a + I * C * ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), (r * ∑ j ∈ Ico 1 n, a ^ j * ‖p.rightInv i j‖) ^ k
state_after: case bc.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
⊢ ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1),
      a ^ k * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j)‖ ≤
    ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), (r * ∑ j ∈ Ico 1 n, a ^ j * ‖p.rightInv i j‖) ^ k

tactic: simp_rw [mul_pow]
state_before: case bc.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
⊢ ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1),
      a ^ k * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j)‖ ≤
    ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), (r * ∑ j ∈ Ico 1 n, a ^ j * ‖p.rightInv i j‖) ^ k
state_after: case bc.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
⊢ ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1),
      a ^ k * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j)‖ ≤
    ∑ x ∈ Ico 2 (n + 1), r ^ x * (∑ j ∈ Ico 1 n, a ^ j * ‖p.rightInv i j‖) ^ x

tactic: apply
  radius_right_inv_pos_of_radius_pos_aux1 n (fun k => ‖p.rightInv i k‖)
    (fun k => norm_nonneg _) hr ha
state_before: case bc.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n + 1
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
r a C : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
hC : 0 ≤ C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
⊢ ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1),
      a ^ k * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, ‖p.rightInv i (c.blocksFun j)‖ ≤
    ∑ x ∈ Ico 2 (n + 1), r ^ x * (∑ j ∈ Ico 1 n, a ^ j * ‖p.rightInv i j‖) ^ x
state_after: no goals