Theorem: Subgroup.SchurZassenhausInduction.step2
File: Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean

tactic: have : Function.Surjective (QuotientGroup.mk' K) := Quotient.surjective_Quotient_mk''
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
⊢ K = ⊥ ∨ K = N
state_after: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
⊢ K = ⊥ ∨ K = N

tactic: have h4 := step1 h1 h2 h3
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
⊢ K = ⊥ ∨ K = N
state_after: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : ∀ (K : Subgroup G), K ⊔ N = ⊤ → K = ⊤
⊢ K = ⊥ ∨ K = N

tactic: contrapose! h4
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : ∀ (K : Subgroup G), K ⊔ N = ⊤ → K = ⊤
⊢ K = ⊥ ∨ K = N
state_after: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
⊢ ∃ K, K ⊔ N = ⊤ ∧ K ≠ ⊤

tactic: have h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G := by
  rw [← index_eq_card, ← K.index_mul_card, ← Nat.card_eq_fintype_card]
  refine
    lt_mul_of_one_lt_right (Nat.pos_of_ne_zero index_ne_zero_of_finite)
      (K.one_lt_card_iff_ne_bot.mpr h4.1)
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
⊢ ∃ K, K ⊔ N = ⊤ ∧ K ≠ ⊤
state_after: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
⊢ ∃ K, K ⊔ N = ⊤ ∧ K ≠ ⊤

tactic: have h6 :
  (Fintype.card (N.map (QuotientGroup.mk' K))).Coprime (N.map (QuotientGroup.mk' K)).index := by
  have index_map := N.index_map_eq this (by rwa [QuotientGroup.ker_mk'])
  have index_pos : 0 < N.index := Nat.pos_of_ne_zero index_ne_zero_of_finite
  rw [index_map]
  refine h1.coprime_dvd_left ?_
  rw [← Nat.mul_dvd_mul_iff_left index_pos, index_mul_card, ← index_map, index_mul_card]
  simp only [← Nat.card_eq_fintype_card]
  exact K.card_quotient_dvd_card
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
⊢ ∃ K, K ⊔ N = ⊤ ∧ K ≠ ⊤
state_after: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
h6 : (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
⊢ ∃ K, K ⊔ N = ⊤ ∧ K ≠ ⊤

tactic: obtain ⟨H, hH⟩ := h2 (G ⧸ K) h5 h6
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
h6 : (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
⊢ ∃ K, K ⊔ N = ⊤ ∧ K ≠ ⊤
state_after: case intro
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
h6 : (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
H : Subgroup (G ⧸ K)
hH : (map (QuotientGroup.mk' K) N).IsComplement' H
⊢ ∃ K, K ⊔ N = ⊤ ∧ K ≠ ⊤

tactic: refine ⟨H.comap (QuotientGroup.mk' K), ?_, ?_⟩
state_before: case intro
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
h6 : (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
H : Subgroup (G ⧸ K)
hH : (map (QuotientGroup.mk' K) N).IsComplement' H
⊢ ∃ K, K ⊔ N = ⊤ ∧ K ≠ ⊤
state_after: case intro.refine_1
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
h6 : (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
H : Subgroup (G ⧸ K)
hH : (map (QuotientGroup.mk' K) N).IsComplement' H
⊢ comap (QuotientGroup.mk' K) H ⊔ N = ⊤

case intro.refine_2
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
h6 : (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
H : Subgroup (G ⧸ K)
hH : (map (QuotientGroup.mk' K) N).IsComplement' H
⊢ comap (QuotientGroup.mk' K) H ≠ ⊤

tactic: rw [← index_eq_card, ← K.index_mul_card, ← Nat.card_eq_fintype_card]
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
⊢ Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
state_after: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
⊢ K.index < K.index * Nat.card ↥K

tactic: refine
  lt_mul_of_one_lt_right (Nat.pos_of_ne_zero index_ne_zero_of_finite)
    (K.one_lt_card_iff_ne_bot.mpr h4.1)
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
⊢ K.index < K.index * Nat.card ↥K
state_after: no goals

tactic: have index_map := N.index_map_eq this (by rwa [QuotientGroup.ker_mk'])
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
⊢ (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
state_after: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
index_map : (map (QuotientGroup.mk' K) N).index = N.index
⊢ (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index

tactic: have index_pos : 0 < N.index := Nat.pos_of_ne_zero index_ne_zero_of_finite
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
index_map : (map (QuotientGroup.mk' K) N).index = N.index
⊢ (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
state_after: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
index_map : (map (QuotientGroup.mk' K) N).index = N.index
index_pos : 0 < N.index
⊢ (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index

tactic: rw [index_map]
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
index_map : (map (QuotientGroup.mk' K) N).index = N.index
index_pos : 0 < N.index
⊢ (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
state_after: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
index_map : (map (QuotientGroup.mk' K) N).index = N.index
index_pos : 0 < N.index
⊢ (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime N.index

tactic: refine h1.coprime_dvd_left ?_
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
index_map : (map (QuotientGroup.mk' K) N).index = N.index
index_pos : 0 < N.index
⊢ (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime N.index
state_after: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
index_map : (map (QuotientGroup.mk' K) N).index = N.index
index_pos : 0 < N.index
⊢ Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N) ∣ Fintype.card ↥N

tactic: rw [← Nat.mul_dvd_mul_iff_left index_pos, index_mul_card, ← index_map, index_mul_card]
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
index_map : (map (QuotientGroup.mk' K) N).index = N.index
index_pos : 0 < N.index
⊢ Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N) ∣ Fintype.card ↥N
state_after: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
index_map : (map (QuotientGroup.mk' K) N).index = N.index
index_pos : 0 < N.index
⊢ Fintype.card (G ⧸ K) ∣ Fintype.card G

tactic: simp only [← Nat.card_eq_fintype_card]
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
index_map : (map (QuotientGroup.mk' K) N).index = N.index
index_pos : 0 < N.index
⊢ Fintype.card (G ⧸ K) ∣ Fintype.card G
state_after: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
index_map : (map (QuotientGroup.mk' K) N).index = N.index
index_pos : 0 < N.index
⊢ Nat.card (G ⧸ K) ∣ Nat.card G

tactic: exact K.card_quotient_dvd_card
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
index_map : (map (QuotientGroup.mk' K) N).index = N.index
index_pos : 0 < N.index
⊢ Nat.card (G ⧸ K) ∣ Nat.card G
state_after: no goals

tactic: rwa [QuotientGroup.ker_mk']
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
⊢ (QuotientGroup.mk' K).ker ≤ N
state_after: no goals

tactic: have key : (N.map (QuotientGroup.mk' K)).comap (QuotientGroup.mk' K) = N := by
  refine comap_map_eq_self ?_
  rwa [QuotientGroup.ker_mk']
state_before: case intro.refine_1
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
h6 : (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
H : Subgroup (G ⧸ K)
hH : (map (QuotientGroup.mk' K) N).IsComplement' H
⊢ comap (QuotientGroup.mk' K) H ⊔ N = ⊤
state_after: case intro.refine_1
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
h6 : (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
H : Subgroup (G ⧸ K)
hH : (map (QuotientGroup.mk' K) N).IsComplement' H
key : comap (QuotientGroup.mk' K) (map (QuotientGroup.mk' K) N) = N
⊢ comap (QuotientGroup.mk' K) H ⊔ N = ⊤

tactic: rwa [← key, comap_sup_eq, hH.symm.sup_eq_top, comap_top]
state_before: case intro.refine_1
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
h6 : (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
H : Subgroup (G ⧸ K)
hH : (map (QuotientGroup.mk' K) N).IsComplement' H
key : comap (QuotientGroup.mk' K) (map (QuotientGroup.mk' K) N) = N
⊢ comap (QuotientGroup.mk' K) H ⊔ N = ⊤
state_after: no goals

tactic: refine comap_map_eq_self ?_
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
h6 : (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
H : Subgroup (G ⧸ K)
hH : (map (QuotientGroup.mk' K) N).IsComplement' H
⊢ comap (QuotientGroup.mk' K) (map (QuotientGroup.mk' K) N) = N
state_after: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
h6 : (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
H : Subgroup (G ⧸ K)
hH : (map (QuotientGroup.mk' K) N).IsComplement' H
⊢ (QuotientGroup.mk' K).ker ≤ N

tactic: rwa [QuotientGroup.ker_mk']
state_before: G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
h6 : (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
H : Subgroup (G ⧸ K)
hH : (map (QuotientGroup.mk' K) N).IsComplement' H
⊢ (QuotientGroup.mk' K).ker ≤ N
state_after: no goals

tactic: rw [← comap_top (QuotientGroup.mk' K)]
state_before: case intro.refine_2
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
h6 : (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
H : Subgroup (G ⧸ K)
hH : (map (QuotientGroup.mk' K) N).IsComplement' H
⊢ comap (QuotientGroup.mk' K) H ≠ ⊤
state_after: case intro.refine_2
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
h6 : (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
H : Subgroup (G ⧸ K)
hH : (map (QuotientGroup.mk' K) N).IsComplement' H
⊢ comap (QuotientGroup.mk' K) H ≠ comap (QuotientGroup.mk' K) ⊤

tactic: intro hH'
state_before: case intro.refine_2
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
h6 : (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
H : Subgroup (G ⧸ K)
hH : (map (QuotientGroup.mk' K) N).IsComplement' H
⊢ comap (QuotientGroup.mk' K) H ≠ comap (QuotientGroup.mk' K) ⊤
state_after: case intro.refine_2
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
h6 : (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
H : Subgroup (G ⧸ K)
hH : (map (QuotientGroup.mk' K) N).IsComplement' H
hH' : comap (QuotientGroup.mk' K) H = comap (QuotientGroup.mk' K) ⊤
⊢ False

tactic: rw [comap_injective this hH', isComplement'_top_right, map_eq_bot_iff,
  QuotientGroup.ker_mk'] at hH
state_before: case intro.refine_2
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
h6 : (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
H : Subgroup (G ⧸ K)
hH : (map (QuotientGroup.mk' K) N).IsComplement' H
hH' : comap (QuotientGroup.mk' K) H = comap (QuotientGroup.mk' K) ⊤
⊢ False
state_after: case intro.refine_2
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
h6 : (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
H : Subgroup (G ⧸ K)
hH : N ≤ K
hH' : comap (QuotientGroup.mk' K) H = comap (QuotientGroup.mk' K) ⊤
⊢ False

tactic: exact h4.2 (le_antisymm hK hH)
state_before: case intro.refine_2
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Fintype.card ↥N).Coprime N.index
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Fintype.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
inst✝ : K.Normal
hK : K ≤ N
this : Function.Surjective ⇑(QuotientGroup.mk' K)
h4 : K ≠ ⊥ ∧ K ≠ N
h5 : Fintype.card (G ⧸ K) < Fintype.card G
h6 : (Fintype.card ↥(map (QuotientGroup.mk' K) N)).Coprime (map (QuotientGroup.mk' K) N).index
H : Subgroup (G ⧸ K)
hH : N ≤ K
hH' : comap (QuotientGroup.mk' K) H = comap (QuotientGroup.mk' K) ⊤
⊢ False
state_after: no goals