Theorem: InnerProductSpaceable.add_left_aux6
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean

tactic: rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ ‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ =
    (‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖) / 2 - ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ ‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)

tactic: have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) - z) ((I : 𝕜) • x + z)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ ‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ +
      ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
⊢ ‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)

tactic: try simp only [two_smul, smul_add]; abel
state_before: case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ +
      ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
⊢ I • y - 2 • z = I • (x + y) - z - (I • x + z)
state_after: no goals

tactic: simp only [two_smul, smul_add]
state_before: case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ +
      ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
⊢ I • y - 2 • z = I • (x + y) - z - (I • x + z)
state_after: case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ +
      ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
⊢ I • y - (z + z) = I • x + I • y - z - (I • x + z)

tactic: abel
state_before: case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ +
      ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
⊢ I • y - (z + z) = I • x + I • y - z - (I • x + z)
state_after: no goals