Theorem: LinearEquiv.eq_toLinearMap_symm_comp
File: Mathlib/Algebra/Module/Equiv.lean

tactic: constructor <;> intro H <;> ext
state_before: R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
M₄ : Type u_17
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring S
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
module_N₁ : Module R₁ N₁
module_N₂ : Module R₁ N₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝² : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₃₁ σ₁₂ σ₃₂
f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁
g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
⊢ f = (↑e₁₂.symm).comp g ↔ (↑e₁₂).comp f = g
state_after: case mp.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
M₄ : Type u_17
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring S
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
module_N₁ : Module R₁ N₁
module_N₂ : Module R₁ N₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝² : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₃₁ σ₁₂ σ₃₂
f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁
g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
H : f = (↑e₁₂.symm).comp g
x✝ : M₃
⊢ ((↑e₁₂).comp f) x✝ = g x✝

case mpr.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
M₄ : Type u_17
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring S
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
module_N₁ : Module R₁ N₁
module_N₂ : Module R₁ N₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝² : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₃₁ σ₁₂ σ₃₂
f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁
g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
H : (↑e₁₂).comp f = g
x✝ : M₃
⊢ f x✝ = ((↑e₁₂.symm).comp g) x✝

tactic: simp [H, e₁₂.toEquiv.eq_symm_comp f g]
state_before: case mp.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
M₄ : Type u_17
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring S
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
module_N₁ : Module R₁ N₁
module_N₂ : Module R₁ N₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝² : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₃₁ σ₁₂ σ₃₂
f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁
g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
H : f = (↑e₁₂.symm).comp g
x✝ : M₃
⊢ ((↑e₁₂).comp f) x✝ = g x✝
state_after: no goals

tactic: simp [← H, ← e₁₂.toEquiv.eq_symm_comp f g]
state_before: case mpr.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
M₄ : Type u_17
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring S
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
module_N₁ : Module R₁ N₁
module_N₂ : Module R₁ N₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝² : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₃₁ σ₁₂ σ₃₂
f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁
g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
H : (↑e₁₂).comp f = g
x✝ : M₃
⊢ f x✝ = ((↑e₁₂.symm).comp g) x✝
state_after: no goals