Theorem: Dense.exists_countable_dense_subset_no_bot_top
File: Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean

tactic: rcases hs.exists_countable_dense_subset with ⟨t, hts, htc, htd⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ Dense t ∧ (∀ (x : α), IsBot x → x ∉ t) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → x ∉ t
state_after: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ Dense t ∧ (∀ (x : α), IsBot x → x ∉ t) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → x ∉ t

tactic: refine ⟨t \ ({ x | IsBot x } ∪ { x | IsTop x }), ?_, ?_, ?_, fun x hx => ?_, fun x hx => ?_⟩
state_before: case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ Dense t ∧ (∀ (x : α), IsBot x → x ∉ t) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → x ∉ t
state_after: case intro.intro.intro.refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t
⊢ t \ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x}) ⊆ s

case intro.intro.intro.refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t
⊢ (t \ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})).Countable

case intro.intro.intro.refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t
⊢ Dense (t \ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x}))

case intro.intro.intro.refine_4
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t
x : α
hx : IsBot x
⊢ x ∉ t \ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})

case intro.intro.intro.refine_5
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t
x : α
hx : IsTop x
⊢ x ∉ t \ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})

tactic: exact diff_subset.trans hts
state_before: case intro.intro.intro.refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t
⊢ t \ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x}) ⊆ s
state_after: no goals

tactic: exact htc.mono diff_subset
state_before: case intro.intro.intro.refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t
⊢ (t \ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})).Countable
state_after: no goals

tactic: exact htd.diff_finite ((subsingleton_isBot α).finite.union (subsingleton_isTop α).finite)
state_before: case intro.intro.intro.refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t
⊢ Dense (t \ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x}))
state_after: no goals

tactic: simp [hx]
state_before: case intro.intro.intro.refine_4
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t
x : α
hx : IsBot x
⊢ x ∉ t \ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})
state_after: no goals

tactic: simp [hx]
state_before: case intro.intro.intro.refine_5
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t
x : α
hx : IsTop x
⊢ x ∉ t \ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})
state_after: no goals