Theorem: weightedVSub_mem_vectorSpan
File: Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean

tactic: rcases isEmpty_or_nonempty ι with (hι | ⟨⟨i0⟩⟩)
state_before: ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
⊢ (s.weightedVSub p) w ∈ vectorSpan k (Set.range p)
state_after: case inl
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
hι : IsEmpty ι
⊢ (s.weightedVSub p) w ∈ vectorSpan k (Set.range p)

case inr.intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
i0 : ι
⊢ (s.weightedVSub p) w ∈ vectorSpan k (Set.range p)

tactic: simp [Finset.eq_empty_of_isEmpty s]
state_before: case inl
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
hι : IsEmpty ι
⊢ (s.weightedVSub p) w ∈ vectorSpan k (Set.range p)
state_after: no goals

tactic: rw [vectorSpan_range_eq_span_range_vsub_right k p i0, ← Set.image_univ,
  Finsupp.mem_span_image_iff_total,
  Finset.weightedVSub_eq_weightedVSubOfPoint_of_sum_eq_zero s w p h (p i0),
  Finset.weightedVSubOfPoint_apply]
state_before: case inr.intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
i0 : ι
⊢ (s.weightedVSub p) w ∈ vectorSpan k (Set.range p)
state_after: case inr.intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
i0 : ι
⊢ ∃ l ∈ Finsupp.supported k k Set.univ, (Finsupp.total ι V k fun i => p i -ᵥ p i0) l = ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ p i0)

tactic: let w' := Set.indicator (↑s) w
state_before: case inr.intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
i0 : ι
⊢ ∃ l ∈ Finsupp.supported k k Set.univ, (Finsupp.total ι V k fun i => p i -ᵥ p i0) l = ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ p i0)
state_after: case inr.intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
i0 : ι
w' : ι → k := (↑s).indicator w
⊢ ∃ l ∈ Finsupp.supported k k Set.univ, (Finsupp.total ι V k fun i => p i -ᵥ p i0) l = ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ p i0)

tactic: have hwx : ∀ i, w' i ≠ 0 → i ∈ s := fun i => Set.mem_of_indicator_ne_zero
state_before: case inr.intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
i0 : ι
w' : ι → k := (↑s).indicator w
⊢ ∃ l ∈ Finsupp.supported k k Set.univ, (Finsupp.total ι V k fun i => p i -ᵥ p i0) l = ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ p i0)
state_after: case inr.intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
i0 : ι
w' : ι → k := (↑s).indicator w
hwx : ∀ (i : ι), w' i ≠ 0 → i ∈ s
⊢ ∃ l ∈ Finsupp.supported k k Set.univ, (Finsupp.total ι V k fun i => p i -ᵥ p i0) l = ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ p i0)

tactic: use Finsupp.onFinset s w' hwx, Set.subset_univ _
state_before: case inr.intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
i0 : ι
w' : ι → k := (↑s).indicator w
hwx : ∀ (i : ι), w' i ≠ 0 → i ∈ s
⊢ ∃ l ∈ Finsupp.supported k k Set.univ, (Finsupp.total ι V k fun i => p i -ᵥ p i0) l = ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ p i0)
state_after: case right
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
i0 : ι
w' : ι → k := (↑s).indicator w
hwx : ∀ (i : ι), w' i ≠ 0 → i ∈ s
⊢ (Finsupp.total ι V k fun i => p i -ᵥ p i0) (Finsupp.onFinset s w' hwx) = ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ p i0)

tactic: rw [Finsupp.total_apply, Finsupp.onFinset_sum hwx]
state_before: case right
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
i0 : ι
w' : ι → k := (↑s).indicator w
hwx : ∀ (i : ι), w' i ≠ 0 → i ∈ s
⊢ (Finsupp.total ι V k fun i => p i -ᵥ p i0) (Finsupp.onFinset s w' hwx) = ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ p i0)
state_after: case right
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
i0 : ι
w' : ι → k := (↑s).indicator w
hwx : ∀ (i : ι), w' i ≠ 0 → i ∈ s
⊢ ∑ a ∈ s, w' a • (p a -ᵥ p i0) = ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ p i0)

case right
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
i0 : ι
w' : ι → k := (↑s).indicator w
hwx : ∀ (i : ι), w' i ≠ 0 → i ∈ s
⊢ ∀ (a : ι), 0 • (p a -ᵥ p i0) = 0

tactic: apply Finset.sum_congr rfl
state_before: case right
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
i0 : ι
w' : ι → k := (↑s).indicator w
hwx : ∀ (i : ι), w' i ≠ 0 → i ∈ s
⊢ ∑ a ∈ s, w' a • (p a -ᵥ p i0) = ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ p i0)
state_after: case right
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
i0 : ι
w' : ι → k := (↑s).indicator w
hwx : ∀ (i : ι), w' i ≠ 0 → i ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s, w' x • (p x -ᵥ p i0) = w x • (p x -ᵥ p i0)

tactic: intro i hi
state_before: case right
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
i0 : ι
w' : ι → k := (↑s).indicator w
hwx : ∀ (i : ι), w' i ≠ 0 → i ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s, w' x • (p x -ᵥ p i0) = w x • (p x -ᵥ p i0)
state_after: case right
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
i0 : ι
w' : ι → k := (↑s).indicator w
hwx : ∀ (i : ι), w' i ≠ 0 → i ∈ s
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ w' i • (p i -ᵥ p i0) = w i • (p i -ᵥ p i0)

tactic: simp [w', Set.indicator_apply, if_pos hi]
state_before: case right
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
i0 : ι
w' : ι → k := (↑s).indicator w
hwx : ∀ (i : ι), w' i ≠ 0 → i ∈ s
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ w' i • (p i -ᵥ p i0) = w i • (p i -ᵥ p i0)
state_after: no goals

tactic: exact fun _ => zero_smul k _
state_before: case right
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
i0 : ι
w' : ι → k := (↑s).indicator w
hwx : ∀ (i : ι), w' i ≠ 0 → i ∈ s
⊢ ∀ (a : ι), 0 • (p a -ᵥ p i0) = 0
state_after: no goals