Theorem: CategoryTheory.Presheaf.w
File: Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean

tactic: apply limit.hom_ext
state_before: C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝² : HasProducts A
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
⊢ forkMap R P ≫ firstMap R P = forkMap R P ≫ secondMap R P
state_after: case w
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝² : HasProducts A
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
⊢ ∀ (j : Discrete (((V : C) × { f // R f }) × (W : C) × { g // R g })),
    (forkMap R P ≫ firstMap R P) ≫
        limit.π (Discrete.functor fun fg => P.obj { unop := Limits.pullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd }) j =
      (forkMap R P ≫ secondMap R P) ≫
        limit.π (Discrete.functor fun fg => P.obj { unop := Limits.pullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd }) j

tactic: rintro ⟨⟨Y, f, hf⟩, ⟨Z, g, hg⟩⟩
state_before: case w
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝² : HasProducts A
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
⊢ ∀ (j : Discrete (((V : C) × { f // R f }) × (W : C) × { g // R g })),
    (forkMap R P ≫ firstMap R P) ≫
        limit.π (Discrete.functor fun fg => P.obj { unop := Limits.pullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd }) j =
      (forkMap R P ≫ secondMap R P) ≫
        limit.π (Discrete.functor fun fg => P.obj { unop := Limits.pullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd }) j
state_after: case w.mk.mk.mk.mk.mk.mk
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝² : HasProducts A
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
Y : C
f : Y ⟶ U
hf : R f
Z : C
g : Z ⟶ U
hg : R g
⊢ (forkMap R P ≫ firstMap R P) ≫
      limit.π (Discrete.functor fun fg => P.obj { unop := Limits.pullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd })
        { as := (⟨Y, ⟨f, hf⟩⟩, ⟨Z, ⟨g, hg⟩⟩) } =
    (forkMap R P ≫ secondMap R P) ≫
      limit.π (Discrete.functor fun fg => P.obj { unop := Limits.pullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd })
        { as := (⟨Y, ⟨f, hf⟩⟩, ⟨Z, ⟨g, hg⟩⟩) }

tactic: simp only [firstMap, secondMap, forkMap, limit.lift_π, limit.lift_π_assoc, assoc, Fan.mk_π_app,
  Subtype.coe_mk]
state_before: case w.mk.mk.mk.mk.mk.mk
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝² : HasProducts A
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
Y : C
f : Y ⟶ U
hf : R f
Z : C
g : Z ⟶ U
hg : R g
⊢ (forkMap R P ≫ firstMap R P) ≫
      limit.π (Discrete.functor fun fg => P.obj { unop := Limits.pullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd })
        { as := (⟨Y, ⟨f, hf⟩⟩, ⟨Z, ⟨g, hg⟩⟩) } =
    (forkMap R P ≫ secondMap R P) ≫
      limit.π (Discrete.functor fun fg => P.obj { unop := Limits.pullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd })
        { as := (⟨Y, ⟨f, hf⟩⟩, ⟨Z, ⟨g, hg⟩⟩) }
state_after: case w.mk.mk.mk.mk.mk.mk
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝² : HasProducts A
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
Y : C
f : Y ⟶ U
hf : R f
Z : C
g : Z ⟶ U
hg : R g
⊢ P.map f.op ≫ P.map pullback.fst.op = P.map g.op ≫ P.map pullback.snd.op

tactic: rw [← P.map_comp, ← op_comp, pullback.condition]
state_before: case w.mk.mk.mk.mk.mk.mk
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝² : HasProducts A
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
Y : C
f : Y ⟶ U
hf : R f
Z : C
g : Z ⟶ U
hg : R g
⊢ P.map f.op ≫ P.map pullback.fst.op = P.map g.op ≫ P.map pullback.snd.op
state_after: case w.mk.mk.mk.mk.mk.mk
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝² : HasProducts A
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
Y : C
f : Y ⟶ U
hf : R f
Z : C
g : Z ⟶ U
hg : R g
⊢ P.map (pullback.snd ≫ g).op = P.map g.op ≫ P.map pullback.snd.op

tactic: simp
state_before: case w.mk.mk.mk.mk.mk.mk
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝² : HasProducts A
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
Y : C
f : Y ⟶ U
hf : R f
Z : C
g : Z ⟶ U
hg : R g
⊢ P.map (pullback.snd ≫ g).op = P.map g.op ≫ P.map pullback.snd.op
state_after: no goals