Theorem: WittVector.isocrystal_classification
File: Mathlib/RingTheory/WittVector/Isocrystal.lean

tactic: haveI : Nontrivial V := FiniteDimensional.nontrivial_of_finrank_eq_succ h_dim
state_before: p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)
state_after: p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this : Nontrivial V
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)

tactic: obtain ⟨x, hx⟩ : ∃ x : V, x ≠ 0 := exists_ne 0
state_before: p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this : Nontrivial V
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)
state_after: case intro
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)

tactic: have : Φ(p, k) x ≠ 0 := by simpa only [map_zero] using Φ(p, k).injective.ne hx
state_before: case intro
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)
state_after: case intro
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)

tactic: obtain ⟨a, ha, hax⟩ : ∃ a : K(p, k), a ≠ 0 ∧ Φ(p, k) x = a • x := by
  rw [finrank_eq_one_iff_of_nonzero' x hx] at h_dim
  obtain ⟨a, ha⟩ := h_dim (Φ(p, k) x)
  refine ⟨a, ?_, ha.symm⟩
  intro ha'
  apply this
  simp only [← ha, ha', zero_smul]
state_before: case intro
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)
state_after: case intro.intro.intro
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)

tactic: obtain ⟨b, hb, m, hmb⟩ := WittVector.exists_frobenius_solution_fractionRing p ha
state_before: case intro.intro.intro
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : (IsFractionRing.fieldEquivOfRingEquiv (frobeniusEquiv p k)) b * a = ↑p ^ m * b
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)

tactic: replace hmb : φ(p, k) b * a = (p : K(p, k)) ^ m * b := by convert hmb
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : (IsFractionRing.fieldEquivOfRingEquiv (frobeniusEquiv p k)) b * a = ↑p ^ m * b
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)

tactic: use m
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)
state_after: case h
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
⊢ Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)

tactic: let F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
state_before: case h
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
⊢ Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)
state_after: case h
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
⊢ Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)

tactic: refine ⟨⟨(LinearEquiv.smulOfNeZero K(p, k) _ _ hb).trans F, fun c ↦ ?_⟩⟩
state_before: case h
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
⊢ Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)
state_after: case h
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ Φ(p, k) ((LinearEquiv.smulOfNeZero K(p, k) (StandardOneDimIsocrystal p k m) b hb ≪≫ₗ F) c) =
    (LinearEquiv.smulOfNeZero K(p, k) (StandardOneDimIsocrystal p k m) b hb ≪≫ₗ F) (Φ(p, k) c)

tactic: rw [LinearEquiv.trans_apply, LinearEquiv.trans_apply, LinearEquiv.smulOfNeZero_apply,
  LinearEquiv.smulOfNeZero_apply, LinearEquiv.map_smul, LinearEquiv.map_smul]
state_before: case h
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ Φ(p, k) ((LinearEquiv.smulOfNeZero K(p, k) (StandardOneDimIsocrystal p k m) b hb ≪≫ₗ F) c) =
    (LinearEquiv.smulOfNeZero K(p, k) (StandardOneDimIsocrystal p k m) b hb ≪≫ₗ F) (Φ(p, k) c)
state_after: case h
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ Φ(p, k) (b • F c) = b • F (Φ(p, k) c)

tactic: rw [LinearEquiv.ofBijective_apply, LinearEquiv.ofBijective_apply]
state_before: case h
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ Φ(p, k) (b • F c) = b • F (Φ(p, k) c)
state_after: case h
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ Φ(p, k) (b • F₀ c) = b • F₀ (Φ(p, k) c)

tactic: erw [LinearMap.toSpanSingleton_apply K(p, k) V x c, LinearMap.toSpanSingleton_apply K(p, k) V x]
state_before: case h
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ Φ(p, k) (b • F₀ c) = b • F₀ (Φ(p, k) c)
state_after: case h
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ Φ(p, k) (b • c • x) = b • Φ(p, k) c • x

tactic: simp only [hax, LinearEquiv.ofBijective_apply, LinearMap.toSpanSingleton_apply,
  LinearEquiv.map_smulₛₗ, StandardOneDimIsocrystal.frobenius_apply, Algebra.id.smul_eq_mul]
state_before: case h
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ Φ(p, k) (b • c • x) = b • Φ(p, k) c • x
state_after: case h
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ φ(p, k) b • φ(p, k) c • a • x = b • (↑p ^ m * φ(p, k) c) • x

tactic: simp only [← mul_smul]
state_before: case h
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ φ(p, k) b • φ(p, k) c • a • x = b • (↑p ^ m * φ(p, k) c) • x
state_after: case h
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ (φ(p, k) b * (φ(p, k) c * a)) • x = (b * (↑p ^ m * φ(p, k) c)) • x

tactic: congr 1
state_before: case h
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ (φ(p, k) b * (φ(p, k) c * a)) • x = (b * (↑p ^ m * φ(p, k) c)) • x
state_after: case h.e_a
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ φ(p, k) b * (φ(p, k) c * a) = b * (↑p ^ m * φ(p, k) c)

tactic: linear_combination φ(p, k) c * hmb
state_before: case h.e_a
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ φ(p, k) b * (φ(p, k) c * a) = b * (↑p ^ m * φ(p, k) c)
state_after: no goals

tactic: simpa only [map_zero] using Φ(p, k).injective.ne hx
state_before: p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ Φ(p, k) x ≠ 0
state_after: no goals

tactic: rw [finrank_eq_one_iff_of_nonzero' x hx] at h_dim
state_before: p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ Φ(p, k) x = a • x
state_after: p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
this✝ : Nontrivial V
x : V
h_dim : ∀ (w : V), ∃ c, c • x = w
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ Φ(p, k) x = a • x

tactic: obtain ⟨a, ha⟩ := h_dim (Φ(p, k) x)
state_before: p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
this✝ : Nontrivial V
x : V
h_dim : ∀ (w : V), ∃ c, c • x = w
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ Φ(p, k) x = a • x
state_after: case intro
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
this✝ : Nontrivial V
x : V
h_dim : ∀ (w : V), ∃ c, c • x = w
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a • x = Φ(p, k) x
⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ Φ(p, k) x = a • x

tactic: refine ⟨a, ?_, ha.symm⟩
state_before: case intro
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
this✝ : Nontrivial V
x : V
h_dim : ∀ (w : V), ∃ c, c • x = w
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a • x = Φ(p, k) x
⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ Φ(p, k) x = a • x
state_after: case intro
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
this✝ : Nontrivial V
x : V
h_dim : ∀ (w : V), ∃ c, c • x = w
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a • x = Φ(p, k) x
⊢ a ≠ 0

tactic: intro ha'
state_before: case intro
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
this✝ : Nontrivial V
x : V
h_dim : ∀ (w : V), ∃ c, c • x = w
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a • x = Φ(p, k) x
⊢ a ≠ 0
state_after: case intro
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
this✝ : Nontrivial V
x : V
h_dim : ∀ (w : V), ∃ c, c • x = w
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a • x = Φ(p, k) x
ha' : a = 0
⊢ False

tactic: apply this
state_before: case intro
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
this✝ : Nontrivial V
x : V
h_dim : ∀ (w : V), ∃ c, c • x = w
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a • x = Φ(p, k) x
ha' : a = 0
⊢ False
state_after: case intro
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
this✝ : Nontrivial V
x : V
h_dim : ∀ (w : V), ∃ c, c • x = w
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a • x = Φ(p, k) x
ha' : a = 0
⊢ Φ(p, k) x = 0

tactic: simp only [← ha, ha', zero_smul]
state_before: case intro
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
this✝ : Nontrivial V
x : V
h_dim : ∀ (w : V), ∃ c, c • x = w
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a • x = Φ(p, k) x
ha' : a = 0
⊢ Φ(p, k) x = 0
state_after: no goals

tactic: convert hmb
state_before: p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : (IsFractionRing.fieldEquivOfRingEquiv (frobeniusEquiv p k)) b * a = ↑p ^ m * b
⊢ φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
state_after: no goals

tactic: refine LinearEquiv.ofBijective F₀ ⟨?_, ?_⟩
state_before: p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
⊢ StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V
state_after: case refine_1
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
⊢ Function.Injective ⇑F₀

case refine_2
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
⊢ Function.Surjective ⇑F₀

tactic: rw [← LinearMap.ker_eq_bot]
state_before: case refine_1
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
⊢ Function.Injective ⇑F₀
state_after: case refine_1
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
⊢ LinearMap.ker F₀ = ⊥

tactic: exact LinearMap.ker_toSpanSingleton K(p, k) V hx
state_before: case refine_1
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
⊢ LinearMap.ker F₀ = ⊥
state_after: no goals

tactic: rw [← LinearMap.range_eq_top]
state_before: case refine_2
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
⊢ Function.Surjective ⇑F₀
state_after: case refine_2
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
⊢ LinearMap.range F₀ = ⊤

tactic: rw [← (finrank_eq_one_iff_of_nonzero x hx).mp h_dim]
state_before: case refine_2
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
⊢ LinearMap.range F₀ = ⊤
state_after: case refine_2
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
⊢ LinearMap.range F₀ = Submodule.span K(p, k) {x}

tactic: rw [LinearMap.span_singleton_eq_range]
state_before: case refine_2
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
⊢ LinearMap.range F₀ = Submodule.span K(p, k) {x}
state_after: no goals