Theorem: MvPolynomial.eval₂Hom_X
File: Mathlib/Algebra/MvPolynomial/CommRing.lean

tactic: apply MvPolynomial.induction_on x
  (fun n => by
    rw [hom_C f, eval₂_C]
    exact eq_intCast c n)
  (fun p q hp hq => by
    rw [eval₂_add, hp, hq]
    exact (f.map_add _ _).symm)
  (fun p n hp => by
    rw [eval₂_mul, eval₂_X, hp]
    exact (f.map_mul _ _).symm)
state_before: R✝ : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
inst✝ : CommRing S
f✝ : R✝ →+* S
g : σ → S
R : Type u
c : ℤ →+* S
f : MvPolynomial R ℤ →+* S
x : MvPolynomial R ℤ
⊢ eval₂ c (⇑f ∘ X) x = f x
state_after: no goals

tactic: rw [hom_C f, eval₂_C]
state_before: R✝ : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
inst✝ : CommRing S
f✝ : R✝ →+* S
g : σ → S
R : Type u
c : ℤ →+* S
f : MvPolynomial R ℤ →+* S
x : MvPolynomial R ℤ
n : ℤ
⊢ eval₂ c (⇑f ∘ X) (C n) = f (C n)
state_after: R✝ : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
inst✝ : CommRing S
f✝ : R✝ →+* S
g : σ → S
R : Type u
c : ℤ →+* S
f : MvPolynomial R ℤ →+* S
x : MvPolynomial R ℤ
n : ℤ
⊢ c n = ↑n

tactic: exact eq_intCast c n
state_before: R✝ : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
inst✝ : CommRing S
f✝ : R✝ →+* S
g : σ → S
R : Type u
c : ℤ →+* S
f : MvPolynomial R ℤ →+* S
x : MvPolynomial R ℤ
n : ℤ
⊢ c n = ↑n
state_after: no goals

tactic: rw [eval₂_add, hp, hq]
state_before: R✝ : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R✝
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R✝
inst✝ : CommRing S
f✝ : R✝ →+* S
g : σ → S
R : Type u
c : ℤ →+* S
f : MvPolynomial R ℤ →+* S
x p q : MvPolynomial R ℤ
hp : eval₂ c (⇑f ∘ X) p = f p
hq : eval₂ c (⇑f ∘ X) q = f q
⊢ eval₂ c (⇑f ∘ X) (p + q) = f (p + q)
state_after: R✝ : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R✝
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R✝
inst✝ : CommRing S
f✝ : R✝ →+* S
g : σ → S
R : Type u
c : ℤ →+* S
f : MvPolynomial R ℤ →+* S
x p q : MvPolynomial R ℤ
hp : eval₂ c (⇑f ∘ X) p = f p
hq : eval₂ c (⇑f ∘ X) q = f q
⊢ f p + f q = f (p + q)

tactic: exact (f.map_add _ _).symm
state_before: R✝ : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R✝
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R✝
inst✝ : CommRing S
f✝ : R✝ →+* S
g : σ → S
R : Type u
c : ℤ →+* S
f : MvPolynomial R ℤ →+* S
x p q : MvPolynomial R ℤ
hp : eval₂ c (⇑f ∘ X) p = f p
hq : eval₂ c (⇑f ∘ X) q = f q
⊢ f p + f q = f (p + q)
state_after: no goals

tactic: rw [eval₂_mul, eval₂_X, hp]
state_before: R✝ : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R✝
p✝ q : MvPolynomial σ R✝
inst✝ : CommRing S
f✝ : R✝ →+* S
g : σ → S
R : Type u
c : ℤ →+* S
f : MvPolynomial R ℤ →+* S
x p : MvPolynomial R ℤ
n : R
hp : eval₂ c (⇑f ∘ X) p = f p
⊢ eval₂ c (⇑f ∘ X) (p * X n) = f (p * X n)
state_after: R✝ : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R✝
p✝ q : MvPolynomial σ R✝
inst✝ : CommRing S
f✝ : R✝ →+* S
g : σ → S
R : Type u
c : ℤ →+* S
f : MvPolynomial R ℤ →+* S
x p : MvPolynomial R ℤ
n : R
hp : eval₂ c (⇑f ∘ X) p = f p
⊢ f p * (⇑f ∘ X) n = f (p * X n)

tactic: exact (f.map_mul _ _).symm
state_before: R✝ : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R✝
p✝ q : MvPolynomial σ R✝
inst✝ : CommRing S
f✝ : R✝ →+* S
g : σ → S
R : Type u
c : ℤ →+* S
f : MvPolynomial R ℤ →+* S
x p : MvPolynomial R ℤ
n : R
hp : eval₂ c (⇑f ∘ X) p = f p
⊢ f p * (⇑f ∘ X) n = f (p * X n)
state_after: no goals