Theorem: strictConcaveOn_log_Ioi
File: Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean

tactic: apply strictConcaveOn_of_slope_strict_anti_adjacent (convex_Ioi (0 : ℝ))
state_before: ⊢ StrictConcaveOn ℝ (Ioi 0) log
state_after: ⊢ ∀ {x y z : ℝ}, x ∈ Ioi 0 → z ∈ Ioi 0 → x < y → y < z → (log z - log y) / (z - y) < (log y - log x) / (y - x)

tactic: intro x y z (hx : 0 < x) (hz : 0 < z) hxy hyz
state_before: ⊢ ∀ {x y z : ℝ}, x ∈ Ioi 0 → z ∈ Ioi 0 → x < y → y < z → (log z - log y) / (z - y) < (log y - log x) / (y - x)
state_after: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (log z - log y) / (z - y) < (log y - log x) / (y - x)

tactic: have hy : 0 < y := hx.trans hxy
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (log z - log y) / (z - y) < (log y - log x) / (y - x)
state_after: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
⊢ (log z - log y) / (z - y) < (log y - log x) / (y - x)

tactic: trans y⁻¹
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
⊢ (log z - log y) / (z - y) < (log y - log x) / (y - x)
state_after: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
⊢ (log z - log y) / (z - y) < y⁻¹

x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
⊢ y⁻¹ < (log y - log x) / (y - x)

tactic: have h : 0 < z - y := by linarith
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
⊢ (log z - log y) / (z - y) < y⁻¹
state_after: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < z - y
⊢ (log z - log y) / (z - y) < y⁻¹

tactic: rw [div_lt_iff h]
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < z - y
⊢ (log z - log y) / (z - y) < y⁻¹
state_after: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < z - y
⊢ log z - log y < y⁻¹ * (z - y)

tactic: have hyz' : 0 < z / y := by positivity
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < z - y
⊢ log z - log y < y⁻¹ * (z - y)
state_after: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < z - y
hyz' : 0 < z / y
⊢ log z - log y < y⁻¹ * (z - y)

tactic: have hyz'' : z / y ≠ 1 := by
  contrapose! h
  rw [div_eq_one_iff_eq hy.ne'] at h
  simp [h]
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < z - y
hyz' : 0 < z / y
⊢ log z - log y < y⁻¹ * (z - y)
state_after: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < z - y
hyz' : 0 < z / y
hyz'' : z / y ≠ 1
⊢ log z - log y < y⁻¹ * (z - y)

tactic: calc
  log z - log y = log (z / y) := by rw [← log_div hz.ne' hy.ne']
  _ < z / y - 1 := log_lt_sub_one_of_pos hyz' hyz''
  _ = y⁻¹ * (z - y) := by field_simp
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < z - y
hyz' : 0 < z / y
hyz'' : z / y ≠ 1
⊢ log z - log y < y⁻¹ * (z - y)
state_after: no goals

tactic: linarith
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
⊢ 0 < z - y
state_after: no goals

tactic: positivity
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < z - y
⊢ 0 < z / y
state_after: no goals

tactic: contrapose! h
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < z - y
hyz' : 0 < z / y
⊢ z / y ≠ 1
state_after: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hyz' : 0 < z / y
h : z / y = 1
⊢ z - y ≤ 0

tactic: rw [div_eq_one_iff_eq hy.ne'] at h
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hyz' : 0 < z / y
h : z / y = 1
⊢ z - y ≤ 0
state_after: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hyz' : 0 < z / y
h : z = y
⊢ z - y ≤ 0

tactic: simp [h]
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hyz' : 0 < z / y
h : z = y
⊢ z - y ≤ 0
state_after: no goals

tactic: rw [← log_div hz.ne' hy.ne']
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < z - y
hyz' : 0 < z / y
hyz'' : z / y ≠ 1
⊢ log z - log y = log (z / y)
state_after: no goals

tactic: field_simp
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < z - y
hyz' : 0 < z / y
hyz'' : z / y ≠ 1
⊢ z / y - 1 = y⁻¹ * (z - y)
state_after: no goals

tactic: have h : 0 < y - x := by linarith
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
⊢ y⁻¹ < (log y - log x) / (y - x)
state_after: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < y - x
⊢ y⁻¹ < (log y - log x) / (y - x)

tactic: rw [lt_div_iff h]
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < y - x
⊢ y⁻¹ < (log y - log x) / (y - x)
state_after: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < y - x
⊢ y⁻¹ * (y - x) < log y - log x

tactic: have hxy' : 0 < x / y := by positivity
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < y - x
⊢ y⁻¹ * (y - x) < log y - log x
state_after: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < y - x
hxy' : 0 < x / y
⊢ y⁻¹ * (y - x) < log y - log x

tactic: have hxy'' : x / y ≠ 1 := by
  contrapose! h
  rw [div_eq_one_iff_eq hy.ne'] at h
  simp [h]
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < y - x
hxy' : 0 < x / y
⊢ y⁻¹ * (y - x) < log y - log x
state_after: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < y - x
hxy' : 0 < x / y
hxy'' : x / y ≠ 1
⊢ y⁻¹ * (y - x) < log y - log x

tactic: calc
  y⁻¹ * (y - x) = 1 - x / y := by field_simp
  _ < -log (x / y) := by linarith [log_lt_sub_one_of_pos hxy' hxy'']
  _ = -(log x - log y) := by rw [log_div hx.ne' hy.ne']
  _ = log y - log x := by ring
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < y - x
hxy' : 0 < x / y
hxy'' : x / y ≠ 1
⊢ y⁻¹ * (y - x) < log y - log x
state_after: no goals

tactic: linarith
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
⊢ 0 < y - x
state_after: no goals

tactic: positivity
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < y - x
⊢ 0 < x / y
state_after: no goals

tactic: contrapose! h
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < y - x
hxy' : 0 < x / y
⊢ x / y ≠ 1
state_after: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hxy' : 0 < x / y
h : x / y = 1
⊢ y - x ≤ 0

tactic: rw [div_eq_one_iff_eq hy.ne'] at h
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hxy' : 0 < x / y
h : x / y = 1
⊢ y - x ≤ 0
state_after: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hxy' : 0 < x / y
h : x = y
⊢ y - x ≤ 0

tactic: simp [h]
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hxy' : 0 < x / y
h : x = y
⊢ y - x ≤ 0
state_after: no goals

tactic: field_simp
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < y - x
hxy' : 0 < x / y
hxy'' : x / y ≠ 1
⊢ y⁻¹ * (y - x) = 1 - x / y
state_after: no goals

tactic: linarith [log_lt_sub_one_of_pos hxy' hxy'']
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < y - x
hxy' : 0 < x / y
hxy'' : x / y ≠ 1
⊢ 1 - x / y < -log (x / y)
state_after: no goals

tactic: rw [log_div hx.ne' hy.ne']
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < y - x
hxy' : 0 < x / y
hxy'' : x / y ≠ 1
⊢ -log (x / y) = -(log x - log y)
state_after: no goals

tactic: ring
state_before: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hz : 0 < z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
h : 0 < y - x
hxy' : 0 < x / y
hxy'' : x / y ≠ 1
⊢ -(log x - log y) = log y - log x
state_after: no goals