Theorem: MeasureTheory.L2.inner_indicatorConstLp_eq_setIntegral_inner
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean

tactic: rw [inner_def, ← integral_add_compl hs (L2.integrable_inner _ f)]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ⟪indicatorConstLp 2 hs hμs c, f⟫_𝕜 = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ +
      ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ =
    ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ

tactic: have h_left : (∫ x in s, ⟪(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, f x⟫ ∂μ) = ∫ x in s, ⟪c, f x⟫ ∂μ := by
  suffices h_ae_eq : ∀ᵐ x ∂μ, x ∈ s → ⟪indicatorConstLp 2 hs hμs c x, f x⟫ = ⟪c, f x⟫ from
    setIntegral_congr_ae hs h_ae_eq
  have h_indicator : ∀ᵐ x : α ∂μ, x ∈ s → indicatorConstLp 2 hs hμs c x = c :=
    indicatorConstLp_coeFn_mem
  refine h_indicator.mono fun x hx hxs => ?_
  congr
  exact hx hxs
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ +
      ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ =
    ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ +
      ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ =
    ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ

tactic: have h_right : (∫ x in sᶜ, ⟪(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, f x⟫ ∂μ) = 0 := by
  suffices h_ae_eq : ∀ᵐ x ∂μ, x ∉ s → ⟪indicatorConstLp 2 hs hμs c x, f x⟫ = 0 by
    simp_rw [← Set.mem_compl_iff] at h_ae_eq
    suffices h_int_zero :
        (∫ x in sᶜ, inner (indicatorConstLp 2 hs hμs c x) (f x) ∂μ) = ∫ _ in sᶜ, (0 : 𝕜) ∂μ by
      rw [h_int_zero]
      simp
    exact setIntegral_congr_ae hs.compl h_ae_eq
  have h_indicator : ∀ᵐ x : α ∂μ, x ∉ s → indicatorConstLp 2 hs hμs c x = 0 :=
    indicatorConstLp_coeFn_nmem
  refine h_indicator.mono fun x hx hxs => ?_
  rw [hx hxs]
  exact inner_zero_left _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ +
      ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ =
    ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
h_right : ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = 0
⊢ ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ +
      ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ =
    ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ

tactic: rw [h_left, h_right, add_zero]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
h_right : ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = 0
⊢ ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ +
      ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ =
    ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
state_after: no goals

tactic: suffices h_ae_eq : ∀ᵐ x ∂μ, x ∈ s → ⟪indicatorConstLp 2 hs hμs c x, f x⟫ = ⟪c, f x⟫ from
  setIntegral_congr_ae hs h_ae_eq
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 = ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜

tactic: have h_indicator : ∀ᵐ x : α ∂μ, x ∈ s → indicatorConstLp 2 hs hμs c x = c :=
  indicatorConstLp_coeFn_mem
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 = ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_indicator : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = c
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 = ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜

tactic: refine h_indicator.mono fun x hx hxs => ?_
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_indicator : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = c
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 = ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_indicator : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = c
x : α
hx : x ∈ s → ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = c
hxs : x ∈ s
⊢ ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 = ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜

tactic: congr
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_indicator : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = c
x : α
hx : x ∈ s → ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = c
hxs : x ∈ s
⊢ ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 = ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜
state_after: case e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_indicator : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = c
x : α
hx : x ∈ s → ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = c
hxs : x ∈ s
⊢ ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = c

tactic: exact hx hxs
state_before: case e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_indicator : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = c
x : α
hx : x ∈ s → ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = c
hxs : x ∈ s
⊢ ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = c
state_after: no goals

tactic: suffices h_ae_eq : ∀ᵐ x ∂μ, x ∉ s → ⟪indicatorConstLp 2 hs hμs c x, f x⟫ = 0 by
  simp_rw [← Set.mem_compl_iff] at h_ae_eq
  suffices h_int_zero :
      (∫ x in sᶜ, inner (indicatorConstLp 2 hs hμs c x) (f x) ∂μ) = ∫ _ in sᶜ, (0 : 𝕜) ∂μ by
    rw [h_int_zero]
    simp
  exact setIntegral_congr_ae hs.compl h_ae_eq
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = 0
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
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f : ↥(Lp E 2 μ)
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hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s → ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 = 0

tactic: have h_indicator : ∀ᵐ x : α ∂μ, x ∉ s → indicatorConstLp 2 hs hμs c x = 0 :=
  indicatorConstLp_coeFn_nmem
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
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inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
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hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s → ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 = 0
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
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f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
h_indicator : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s → ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = 0
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s → ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 = 0

tactic: refine h_indicator.mono fun x hx hxs => ?_
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
h_indicator : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s → ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = 0
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s → ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 = 0
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
h_indicator : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s → ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = 0
x : α
hx : x ∉ s → ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = 0
hxs : x ∉ s
⊢ ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 = 0

tactic: rw [hx hxs]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
h_indicator : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s → ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = 0
x : α
hx : x ∉ s → ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = 0
hxs : x ∉ s
⊢ ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 = 0
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
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f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
h_indicator : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s → ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = 0
x : α
hx : x ∉ s → ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = 0
hxs : x ∉ s
⊢ ⟪0, ↑↑f x⟫_𝕜 = 0

tactic: exact inner_zero_left _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
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inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
h_indicator : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s → ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = 0
x : α
hx : x ∉ s → ↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x = 0
hxs : x ∉ s
⊢ ⟪0, ↑↑f x⟫_𝕜 = 0
state_after: no goals

tactic: simp_rw [← Set.mem_compl_iff] at h_ae_eq
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
h_ae_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s → ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 = 0
⊢ ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = 0
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
h_ae_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ sᶜ → ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 = 0
⊢ ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = 0

tactic: suffices h_int_zero :
    (∫ x in sᶜ, inner (indicatorConstLp 2 hs hμs c x) (f x) ∂μ) = ∫ _ in sᶜ, (0 : 𝕜) ∂μ by
  rw [h_int_zero]
  simp
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
h_ae_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ sᶜ → ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 = 0
⊢ ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = 0
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
h_ae_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ sᶜ → ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 = 0
⊢ ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in sᶜ, 0 ∂μ

tactic: exact setIntegral_congr_ae hs.compl h_ae_eq
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
h_ae_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ sᶜ → ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 = 0
⊢ ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in sᶜ, 0 ∂μ
state_after: no goals

tactic: rw [h_int_zero]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
h_ae_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ sᶜ → ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 = 0
h_int_zero : ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in sᶜ, 0 ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = 0
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
h_ae_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ sᶜ → ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 = 0
h_int_zero : ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in sᶜ, 0 ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in sᶜ, 0 ∂μ = 0

tactic: simp
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
h_ae_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ sᶜ → ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 = 0
h_int_zero : ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in sᶜ, 0 ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in sᶜ, 0 ∂μ = 0
state_after: no goals