Theorem: Filter.one_le_div_iff
File: Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean

tactic: refine ⟨fun h hfg => ?_, ?_⟩
state_before: F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
f g f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β
⊢ 1 ≤ f / g ↔ ¬Disjoint f g
state_after: case refine_1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
f g f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β
h : 1 ≤ f / g
hfg : Disjoint f g
⊢ False

case refine_2
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
f g f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β
⊢ ¬Disjoint f g → 1 ≤ f / g

tactic: obtain ⟨s, hs, t, ht, hst⟩ := hfg.le_bot (mem_bot : ∅ ∈ ⊥)
state_before: case refine_1
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
f g f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β
h : 1 ≤ f / g
hfg : Disjoint f g
⊢ False
state_after: case refine_1.intro.intro.intro.intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
f g f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β
h : 1 ≤ f / g
hfg : Disjoint f g
s : Set α
hs : s ∈ f
t : Set α
ht : t ∈ g
hst : ∅ = s ∩ t
⊢ False

tactic: exact Set.one_mem_div_iff.1 (h <| div_mem_div hs ht) (disjoint_iff.2 hst.symm)
state_before: case refine_1.intro.intro.intro.intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
f g f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β
h : 1 ≤ f / g
hfg : Disjoint f g
s : Set α
hs : s ∈ f
t : Set α
ht : t ∈ g
hst : ∅ = s ∩ t
⊢ False
state_after: no goals

tactic: rintro h s ⟨t₁, h₁, t₂, h₂, hs⟩
state_before: case refine_2
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
f g f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β
⊢ ¬Disjoint f g → 1 ≤ f / g
state_after: case refine_2.intro.intro.intro.intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
f g f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β
h : ¬Disjoint f g
s t₁ : Set α
h₁ : t₁ ∈ f
t₂ : Set α
h₂ : t₂ ∈ g
hs : t₁ / t₂ ⊆ s
⊢ s ∈ 1

tactic: exact hs (Set.one_mem_div_iff.2 fun ht => h <| disjoint_of_disjoint_of_mem ht h₁ h₂)
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
f g f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β
h : ¬Disjoint f g
s t₁ : Set α
h₁ : t₁ ∈ f
t₂ : Set α
h₂ : t₂ ∈ g
hs : t₁ / t₂ ⊆ s
⊢ s ∈ 1
state_after: no goals