1337xyz1337xyz/leandojo-benchmark4-v10 huggingface dataset:
Theorem: MeasureTheory.integral_Ioi_of_hasDerivAt_of_tendsto'
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean

tactic: refine integral_Ioi_of_hasDerivAt_of_tendsto ?_ (fun x hx => hderiv x hx.out.le)
  f'int hf
state_before: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ici a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
hf : Tendsto f atTop (𝓝 m)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x = m - f a
state_after: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ici a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
hf : Tendsto f atTop (𝓝 m)
⊢ ContinuousWithinAt f (Ici a) a

tactic: exact (hderiv a left_mem_Ici).continuousAt.continuousWithinAt
state_before: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ici a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
hf : Tendsto f atTop (𝓝 m)
⊢ ContinuousWithinAt f (Ici a) a
state_after: no goals
Theorem: MeasureTheory.norm_setToFun_le
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean

tactic: rw [setToFun_eq hT hf]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f μ
hC : 0 ≤ C
⊢ ‖setToFun μ T hT f‖ ≤ C * ‖Integrable.toL1 f hf‖
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f μ
hC : 0 ≤ C
⊢ ‖(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f hf)‖ ≤ C * ‖Integrable.toL1 f hf‖

tactic: exact L1.norm_setToL1_le_mul_norm hT hC _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f μ
hC : 0 ≤ C
⊢ ‖(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f hf)‖ ≤ C * ‖Integrable.toL1 f hf‖
state_after: no goals
Theorem: Nat.factorization_one
File: Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean

tactic: ext
state_before: a b m n p : ℕ
⊢ factorization 1 = 0
state_after: case h
a b m n p a✝ : ℕ
⊢ (factorization 1) a✝ = 0 a✝

tactic: simp [factorization]
state_before: case h
a b m n p a✝ : ℕ
⊢ (factorization 1) a✝ = 0 a✝
state_after: no goals
Theorem: Polynomial.trinomial_trailingCoeff
File: Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean

tactic: rw [trailingCoeff, trinomial_natTrailingDegree hkm hmn hu, trinomial_trailing_coeff' hkm hmn]
state_before: R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hu : u ≠ 0
⊢ (trinomial k m n u v w).trailingCoeff = u
state_after: no goals
Theorem: RingHom.ker_coe_equiv
File: Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean

tactic: simpa only [← injective_iff_ker_eq_bot] using EquivLike.injective f
state_before: R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f✝ : F
f : R ≃+* S
⊢ ker ↑f = ⊥
state_after: no goals
Theorem: Real.dist_0_eq_abs
File: Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean

tactic: simp [Real.dist_eq]
state_before: α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : ℝ
⊢ dist x 0 = |x|
state_after: no goals
Theorem: zpow_add_one₀
File: Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean

tactic: simp only [← Int.ofNat_succ, zpow_natCast, pow_succ]
state_before: α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
n : ℕ
⊢ a ^ (↑n + 1) = a ^ ↑n * a
state_after: no goals

tactic: erw [zpow_zero, zpow_negSucc, pow_one, inv_mul_cancel ha]
state_before: α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
⊢ a ^ (Int.negSucc 0 + 1) = a ^ Int.negSucc 0 * a
state_after: no goals

tactic: rw [Int.negSucc_eq, zpow_neg, Int.neg_add, Int.neg_add_cancel_right, zpow_neg, ← Int.ofNat_succ,
  zpow_natCast, zpow_natCast, pow_succ' _ (n + 1), mul_inv_rev, mul_assoc, inv_mul_cancel ha,
  mul_one]
state_before: α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
n : ℕ
⊢ a ^ (Int.negSucc (n + 1) + 1) = a ^ Int.negSucc (n + 1) * a
state_after: no goals
Theorem: Equiv.Perm.cycleOf_inv
File: Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean

tactic: rw [inv_eq_iff_eq, cycleOf_apply, cycleOf_apply]
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y✝ : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x y : α
⊢ (f.cycleOf x)⁻¹ y = (f⁻¹.cycleOf x) y
state_after: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y✝ : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x y : α
⊢ y =
    if f.SameCycle x (if f⁻¹.SameCycle x y then f⁻¹ y else y) then f (if f⁻¹.SameCycle x y then f⁻¹ y else y)
    else if f⁻¹.SameCycle x y then f⁻¹ y else y

tactic: split_ifs <;> simp_all [sameCycle_inv, sameCycle_inv_apply_right]
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y✝ : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x y : α
⊢ y =
    if f.SameCycle x (if f⁻¹.SameCycle x y then f⁻¹ y else y) then f (if f⁻¹.SameCycle x y then f⁻¹ y else y)
    else if f⁻¹.SameCycle x y then f⁻¹ y else y
state_after: no goals
Theorem: contMDiffOn_univ
File: Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean

tactic: simp only [ContMDiffOn, ContMDiff, contMDiffWithinAt_univ, forall_prop_of_true, mem_univ]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContMDiffOn I I' n f univ ↔ ContMDiff I I' n f
state_after: no goals
Theorem: toIocDiv_wcovBy_toIcoDiv
File: Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean

tactic: suffices toIocDiv hp a b = toIcoDiv hp a b ∨ toIocDiv hp a b + 1 = toIcoDiv hp a b by
  rwa [wcovBy_iff_eq_or_covBy, ← Order.succ_eq_iff_covBy]
state_before: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b ⩿ toIcoDiv hp a b
state_after: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b = toIcoDiv hp a b ∨ toIocDiv hp a b + 1 = toIcoDiv hp a b

tactic: rw [eq_comm, ← not_modEq_iff_toIcoDiv_eq_toIocDiv, eq_comm, ←
  modEq_iff_toIcoDiv_eq_toIocDiv_add_one]
state_before: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b = toIcoDiv hp a b ∨ toIocDiv hp a b + 1 = toIcoDiv hp a b
state_after: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ ¬a ≡ b [PMOD p] ∨ a ≡ b [PMOD p]

tactic: exact em' _
state_before: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ ¬a ≡ b [PMOD p] ∨ a ≡ b [PMOD p]
state_after: no goals

tactic: rwa [wcovBy_iff_eq_or_covBy, ← Order.succ_eq_iff_covBy]
state_before: α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
this : toIocDiv hp a b = toIcoDiv hp a b ∨ toIocDiv hp a b + 1 = toIcoDiv hp a b
⊢ toIocDiv hp a b ⩿ toIcoDiv hp a b
state_after: no goals
Theorem: Order.sequenceOfCofinals.encode_mem
File: Mathlib/Order/Ideal.lean

tactic: dsimp only [sequenceOfCofinals, Nat.add]
state_before: P : Type u_1
inst✝¹ : Preorder P
p : P
ι : Type u_2
inst✝ : Encodable ι
𝒟 : ι → Cofinal P
i : ι
⊢ sequenceOfCofinals p 𝒟 (Encodable.encode i + 1) ∈ 𝒟 i
state_after: P : Type u_1
inst✝¹ : Preorder P
p : P
ι : Type u_2
inst✝ : Encodable ι
𝒟 : ι → Cofinal P
i : ι
⊢ (match Encodable.decode (Encodable.encode i) with
    | none => sequenceOfCofinals p 𝒟 (Encodable.encode i)
    | some i_1 => (𝒟 i_1).above (sequenceOfCofinals p 𝒟 (Encodable.encode i))) ∈
    𝒟 i

tactic: rw [Encodable.encodek]
state_before: P : Type u_1
inst✝¹ : Preorder P
p : P
ι : Type u_2
inst✝ : Encodable ι
𝒟 : ι → Cofinal P
i : ι
⊢ (match Encodable.decode (Encodable.encode i) with
    | none => sequenceOfCofinals p 𝒟 (Encodable.encode i)
    | some i_1 => (𝒟 i_1).above (sequenceOfCofinals p 𝒟 (Encodable.encode i))) ∈
    𝒟 i
state_after: P : Type u_1
inst✝¹ : Preorder P
p : P
ι : Type u_2
inst✝ : Encodable ι
𝒟 : ι → Cofinal P
i : ι
⊢ (match some i with
    | none => sequenceOfCofinals p 𝒟 (Encodable.encode i)
    | some i_1 => (𝒟 i_1).above (sequenceOfCofinals p 𝒟 (Encodable.encode i))) ∈
    𝒟 i

tactic: apply Cofinal.above_mem
state_before: P : Type u_1
inst✝¹ : Preorder P
p : P
ι : Type u_2
inst✝ : Encodable ι
𝒟 : ι → Cofinal P
i : ι
⊢ (match some i with
    | none => sequenceOfCofinals p 𝒟 (Encodable.encode i)
    | some i_1 => (𝒟 i_1).above (sequenceOfCofinals p 𝒟 (Encodable.encode i))) ∈
    𝒟 i
state_after: no goals
Theorem: Complex.cpow_one
File: Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean

tactic: simp [hx, cpow_def]
state_before: x : ℂ
hx : x = 0
⊢ x ^ 1 = x
state_after: no goals

tactic: rw [cpow_def, if_neg (one_ne_zero : (1 : ℂ) ≠ 0), if_neg hx, mul_one, exp_log hx]
state_before: x : ℂ
hx : ¬x = 0
⊢ x ^ 1 = x
state_after: no goals
Theorem: CategoryTheory.Functor.rightDerivedNatTrans_fac
File: Mathlib/CategoryTheory/Functor/Derived/RightDerived.lean

tactic: dsimp only [rightDerivedNatTrans]
state_before: C : Type u_1
C' : Type ?u.39029
D : Type u_6
D' : Type ?u.39035
H : Type u_3
H' : Type ?u.39041
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.39049, ?u.39029} C'
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_6} D
inst✝⁶ : Category.{?u.39057, ?u.39035} D'
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_3} H
inst✝⁴ : Category.{?u.39065, ?u.39041} H'
RF RF' RF'' : D ⥤ H
F F' F'' : C ⥤ H
e : F ≅ F'
L : C ⥤ D
α : F ⟶ L ⋙ RF
α' : F' ⟶ L ⋙ RF'
α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''
α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'
W : MorphismProperty C
inst✝³ : L.IsLocalization W
inst✝² : RF.IsRightDerivedFunctor α W
inst✝¹ : RF'.IsRightDerivedFunctor α' W
inst✝ : RF''.IsRightDerivedFunctor α'' W
τ : F ⟶ F'
⊢ α ≫ whiskerLeft L (RF.rightDerivedNatTrans RF' α α' W τ) = τ ≫ α'
state_after: C : Type u_1
C' : Type ?u.39029
D : Type u_6
D' : Type ?u.39035
H : Type u_3
H' : Type ?u.39041
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.39049, ?u.39029} C'
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_6} D
inst✝⁶ : Category.{?u.39057, ?u.39035} D'
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_3} H
inst✝⁴ : Category.{?u.39065, ?u.39041} H'
RF RF' RF'' : D ⥤ H
F F' F'' : C ⥤ H
e : F ≅ F'
L : C ⥤ D
α : F ⟶ L ⋙ RF
α' : F' ⟶ L ⋙ RF'
α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''
α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'
W : MorphismProperty C
inst✝³ : L.IsLocalization W
inst✝² : RF.IsRightDerivedFunctor α W
inst✝¹ : RF'.IsRightDerivedFunctor α' W
inst✝ : RF''.IsRightDerivedFunctor α'' W
τ : F ⟶ F'
⊢ α ≫ whiskerLeft L (RF.rightDerivedDesc α W RF' (τ ≫ α')) = τ ≫ α'

tactic: simp
state_before: C : Type u_1
C' : Type ?u.39029
D : Type u_6
D' : Type ?u.39035
H : Type u_3
H' : Type ?u.39041
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.39049, ?u.39029} C'
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_6} D
inst✝⁶ : Category.{?u.39057, ?u.39035} D'
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_3} H
inst✝⁴ : Category.{?u.39065, ?u.39041} H'
RF RF' RF'' : D ⥤ H
F F' F'' : C ⥤ H
e : F ≅ F'
L : C ⥤ D
α : F ⟶ L ⋙ RF
α' : F' ⟶ L ⋙ RF'
α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''
α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'
W : MorphismProperty C
inst✝³ : L.IsLocalization W
inst✝² : RF.IsRightDerivedFunctor α W
inst✝¹ : RF'.IsRightDerivedFunctor α' W
inst✝ : RF''.IsRightDerivedFunctor α'' W
τ : F ⟶ F'
⊢ α ≫ whiskerLeft L (RF.rightDerivedDesc α W RF' (τ ≫ α')) = τ ≫ α'
state_after: no goals
Theorem: inv_pow_lt_inv_pow_of_lt
File: Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean

tactic: convert one_div_pow_lt_one_div_pow_of_lt a1 mn using 1 <;> simp
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m✝ n✝ : ℤ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
mn : m < n
⊢ (a ^ n)⁻¹ < (a ^ m)⁻¹
state_after: no goals
Theorem: PiTensorProduct.piTensorHomMap_tprod_eq_map
File: Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean

tactic: ext
state_before: ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f✝ f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
⊢ piTensorHomMap ((tprod R) f) = map f
state_after: case H.H
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f✝ f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
x✝ : (i : ι) → s i
⊢ ((piTensorHomMap ((tprod R) f)).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ = ((map f).compMultilinearMap (tprod R)) x✝

tactic: simp
state_before: case H.H
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f✝ f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
x✝ : (i : ι) → s i
⊢ ((piTensorHomMap ((tprod R) f)).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ = ((map f).compMultilinearMap (tprod R)) x✝
state_after: no goals
Theorem: uniformContinuous_sInf_dom
File: Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean

tactic: delta UniformContinuous
state_before: α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : Set (UniformSpace α)
u₂ : UniformSpace β
u : UniformSpace α
h₁ : u ∈ u₁
hf : UniformContinuous f
⊢ UniformContinuous f
state_after: α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : Set (UniformSpace α)
u₂ : UniformSpace β
u : UniformSpace α
h₁ : u ∈ u₁
hf : UniformContinuous f
⊢ Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α) (𝓤 β)

tactic: rw [sInf_eq_iInf', iInf_uniformity]
state_before: α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : Set (UniformSpace α)
u₂ : UniformSpace β
u : UniformSpace α
h₁ : u ∈ u₁
hf : UniformContinuous f
⊢ Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α) (𝓤 β)
state_after: α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : Set (UniformSpace α)
u₂ : UniformSpace β
u : UniformSpace α
h₁ : u ∈ u₁
hf : UniformContinuous f
⊢ Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (⨅ i, 𝓤 α) (𝓤 β)

tactic: exact tendsto_iInf' ⟨u, h₁⟩ hf
state_before: α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : Set (UniformSpace α)
u₂ : UniformSpace β
u : UniformSpace α
h₁ : u ∈ u₁
hf : UniformContinuous f
⊢ Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (⨅ i, 𝓤 α) (𝓤 β)
state_after: no goals
Theorem: Finset.uIcc_subset_Icc
File: Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean

tactic: rw [mem_Icc] at ha hb
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
ha : a₁ ∈ Icc a₂ b₂
hb : b₁ ∈ Icc a₂ b₂
⊢ [[a₁, b₁]] ⊆ Icc a₂ b₂
state_after: ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
ha : a₂ ≤ a₁ ∧ a₁ ≤ b₂
hb : a₂ ≤ b₁ ∧ b₁ ≤ b₂
⊢ [[a₁, b₁]] ⊆ Icc a₂ b₂

tactic: exact Icc_subset_Icc (_root_.le_inf ha.1 hb.1) (_root_.sup_le ha.2 hb.2)
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
ha : a₂ ≤ a₁ ∧ a₁ ≤ b₂
hb : a₂ ≤ b₁ ∧ b₁ ≤ b₂
⊢ [[a₁, b₁]] ⊆ Icc a₂ b₂
state_after: no goals
Theorem: CategoryTheory.projective_of_preservesFiniteColimits_preadditiveCoyonedaObj
File: Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Projective.lean

tactic: rw [projective_iff_preservesEpimorphisms_preadditiveCoyoneda_obj']
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P : C
hP : PreservesFiniteColimits (preadditiveCoyonedaObj { unop := P })
⊢ Projective P
state_after: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P : C
hP : PreservesFiniteColimits (preadditiveCoyonedaObj { unop := P })
⊢ (preadditiveCoyoneda.obj { unop := P }).PreservesEpimorphisms

tactic: dsimp only [preadditiveCoyoneda]
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P : C
hP : PreservesFiniteColimits (preadditiveCoyonedaObj { unop := P })
⊢ (preadditiveCoyoneda.obj { unop := P }).PreservesEpimorphisms
state_after: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P : C
hP : PreservesFiniteColimits (preadditiveCoyonedaObj { unop := P })
⊢ (preadditiveCoyonedaObj { unop := P } ⋙ forget₂ (ModuleCat (End { unop := P })) AddCommGrp).PreservesEpimorphisms

tactic: infer_instance
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P : C
hP : PreservesFiniteColimits (preadditiveCoyonedaObj { unop := P })
⊢ (preadditiveCoyonedaObj { unop := P } ⋙ forget₂ (ModuleCat (End { unop := P })) AddCommGrp).PreservesEpimorphisms
state_after: no goals
Theorem: LinearMap.disjoint_inl_inr
File: Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean

tactic: simp (config := { contextual := true }) [disjoint_def, @eq_comm M 0, @eq_comm M₂ 0]
state_before: R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
⊢ Disjoint (range (inl R M M₂)) (range (inr R M M₂))
state_after: no goals
Theorem: PEquiv.toMatrix_symm
File: Mathlib/Data/Matrix/PEquiv.lean

tactic: ext
state_before: k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
f : m ≃. n
⊢ f.symm.toMatrix = f.toMatrixᵀ
state_after: case a
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
f : m ≃. n
i✝ : n
j✝ : m
⊢ f.symm.toMatrix i✝ j✝ = f.toMatrixᵀ i✝ j✝

tactic: simp only [transpose, mem_iff_mem f, toMatrix_apply]
state_before: case a
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
f : m ≃. n
i✝ : n
j✝ : m
⊢ f.symm.toMatrix i✝ j✝ = f.toMatrixᵀ i✝ j✝
state_after: case a
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
f : m ≃. n
i✝ : n
j✝ : m
⊢ (if i✝ ∈ f j✝ then 1 else 0) = of (fun x y => if x ∈ f y then 1 else 0) i✝ j✝

tactic: congr
state_before: case a
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
f : m ≃. n
i✝ : n
j✝ : m
⊢ (if i✝ ∈ f j✝ then 1 else 0) = of (fun x y => if x ∈ f y then 1 else 0) i✝ j✝
state_after: no goals
Theorem: TensorAlgebra.toClifford_ι
File: Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean

tactic: simp [toClifford]
state_before: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
m : M
⊢ toClifford ((ι R) m) = (CliffordAlgebra.ι Q) m
state_after: no goals