Theorem: FermatLastTheoremForThreeGen.a_cube_add_b_cube_eq_mul
File: Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean

tactic: have := hζ.isRoot_cyclotomic (by decide)
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3 = (S'.a + S'.b) * (S'.a + ↑η * S'.b) * (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)
state_after: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
this : (Polynomial.cyclotomic (↑3) K).IsRoot ζ
⊢ S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3 = (S'.a + S'.b) * (S'.a + ↑η * S'.b) * (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)

tactic: simp only [PNat.val_ofNat, Polynomial.cyclotomic_three, Polynomial.IsRoot.def,
  Polynomial.eval_add, Polynomial.eval_pow, Polynomial.eval_X, Polynomial.eval_one] at this
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
this : (Polynomial.cyclotomic (↑3) K).IsRoot ζ
⊢ S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3 = (S'.a + S'.b) * (S'.a + ↑η * S'.b) * (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)
state_after: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
this : ζ ^ 2 + ζ + 1 = 0
⊢ S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3 = (S'.a + S'.b) * (S'.a + ↑η * S'.b) * (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)

tactic: symm
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
this : ζ ^ 2 + ζ + 1 = 0
⊢ S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3 = (S'.a + S'.b) * (S'.a + ↑η * S'.b) * (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)
state_after: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
this : ζ ^ 2 + ζ + 1 = 0
⊢ (S'.a + S'.b) * (S'.a + ↑η * S'.b) * (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b) = S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3

tactic: calc _ = S'.a^3+S'.a^2*S'.b*(η^2+η+1)+S'.a*S'.b^2*(η^2+η+η^3)+η^3*S'.b^3 := by ring
_ = S'.a^3+S'.a^2*S'.b*(η^2+η+1)+S'.a*S'.b^2*(η^2+η+1)+S'.b^3 := by
  simp [hζ.toInteger_cube_eq_one]
_ = S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3 := by ext; simp [this]
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
this : ζ ^ 2 + ζ + 1 = 0
⊢ (S'.a + S'.b) * (S'.a + ↑η * S'.b) * (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b) = S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3
state_after: no goals

tactic: decide
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
⊢ 0 < ↑3
state_after: no goals

tactic: ring
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
this : ζ ^ 2 + ζ + 1 = 0
⊢ (S'.a + S'.b) * (S'.a + ↑η * S'.b) * (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b) =
    S'.a ^ 3 + S'.a ^ 2 * S'.b * (↑η ^ 2 + ↑η + 1) + S'.a * S'.b ^ 2 * (↑η ^ 2 + ↑η + ↑η ^ 3) + ↑η ^ 3 * S'.b ^ 3
state_after: no goals

tactic: simp [hζ.toInteger_cube_eq_one]
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
this : ζ ^ 2 + ζ + 1 = 0
⊢ S'.a ^ 3 + S'.a ^ 2 * S'.b * (↑η ^ 2 + ↑η + 1) + S'.a * S'.b ^ 2 * (↑η ^ 2 + ↑η + ↑η ^ 3) + ↑η ^ 3 * S'.b ^ 3 =
    S'.a ^ 3 + S'.a ^ 2 * S'.b * (↑η ^ 2 + ↑η + 1) + S'.a * S'.b ^ 2 * (↑η ^ 2 + ↑η + 1) + S'.b ^ 3
state_after: no goals

tactic: ext
state_before: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
this : ζ ^ 2 + ζ + 1 = 0
⊢ S'.a ^ 3 + S'.a ^ 2 * S'.b * (↑η ^ 2 + ↑η + 1) + S'.a * S'.b ^ 2 * (↑η ^ 2 + ↑η + 1) + S'.b ^ 3 = S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3
state_after: case h
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
this : ζ ^ 2 + ζ + 1 = 0
⊢ ↑(S'.a ^ 3 + S'.a ^ 2 * S'.b * (↑η ^ 2 + ↑η + 1) + S'.a * S'.b ^ 2 * (↑η ^ 2 + ↑η + 1) + S'.b ^ 3) =
    ↑(S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3)

tactic: simp [this]
state_before: case h
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
this : ζ ^ 2 + ζ + 1 = 0
⊢ ↑(S'.a ^ 3 + S'.a ^ 2 * S'.b * (↑η ^ 2 + ↑η + 1) + S'.a * S'.b ^ 2 * (↑η ^ 2 + ↑η + 1) + S'.b ^ 3) =
    ↑(S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3)
state_after: no goals