Theorem: FixedPoints.toAlgHom_bijective
File: Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean

tactic: cases nonempty_fintype G
state_before: M : Type u
inst✝⁹ : Monoid M
G✝ : Type u
inst✝⁸ : Group G✝
F✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F✝
inst✝⁶ : MulSemiringAction M F✝
inst✝⁵ : MulSemiringAction G✝ F✝
m : M
G : Type u
F : Type v
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : FaithfulSMul G F
⊢ Function.Bijective (MulSemiringAction.toAlgHom (↥(subfield G F)) F)
state_after: case intro
M : Type u
inst✝⁹ : Monoid M
G✝ : Type u
inst✝⁸ : Group G✝
F✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F✝
inst✝⁶ : MulSemiringAction M F✝
inst✝⁵ : MulSemiringAction G✝ F✝
m : M
G : Type u
F : Type v
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : FaithfulSMul G F
val✝ : Fintype G
⊢ Function.Bijective (MulSemiringAction.toAlgHom (↥(subfield G F)) F)

tactic: rw [Fintype.bijective_iff_injective_and_card]
state_before: case intro
M : Type u
inst✝⁹ : Monoid M
G✝ : Type u
inst✝⁸ : Group G✝
F✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F✝
inst✝⁶ : MulSemiringAction M F✝
inst✝⁵ : MulSemiringAction G✝ F✝
m : M
G : Type u
F : Type v
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : FaithfulSMul G F
val✝ : Fintype G
⊢ Function.Bijective (MulSemiringAction.toAlgHom (↥(subfield G F)) F)
state_after: case intro
M : Type u
inst✝⁹ : Monoid M
G✝ : Type u
inst✝⁸ : Group G✝
F✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F✝
inst✝⁶ : MulSemiringAction M F✝
inst✝⁵ : MulSemiringAction G✝ F✝
m : M
G : Type u
F : Type v
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : FaithfulSMul G F
val✝ : Fintype G
⊢ Function.Injective (MulSemiringAction.toAlgHom (↥(subfield G F)) F) ∧
    Fintype.card G = Fintype.card (F →ₐ[↥(subfield G F)] F)

tactic: constructor
state_before: case intro
M : Type u
inst✝⁹ : Monoid M
G✝ : Type u
inst✝⁸ : Group G✝
F✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F✝
inst✝⁶ : MulSemiringAction M F✝
inst✝⁵ : MulSemiringAction G✝ F✝
m : M
G : Type u
F : Type v
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : FaithfulSMul G F
val✝ : Fintype G
⊢ Function.Injective (MulSemiringAction.toAlgHom (↥(subfield G F)) F) ∧
    Fintype.card G = Fintype.card (F →ₐ[↥(subfield G F)] F)
state_after: case intro.left
M : Type u
inst✝⁹ : Monoid M
G✝ : Type u
inst✝⁸ : Group G✝
F✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F✝
inst✝⁶ : MulSemiringAction M F✝
inst✝⁵ : MulSemiringAction G✝ F✝
m : M
G : Type u
F : Type v
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : FaithfulSMul G F
val✝ : Fintype G
⊢ Function.Injective (MulSemiringAction.toAlgHom (↥(subfield G F)) F)

case intro.right
M : Type u
inst✝⁹ : Monoid M
G✝ : Type u
inst✝⁸ : Group G✝
F✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F✝
inst✝⁶ : MulSemiringAction M F✝
inst✝⁵ : MulSemiringAction G✝ F✝
m : M
G : Type u
F : Type v
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : FaithfulSMul G F
val✝ : Fintype G
⊢ Fintype.card G = Fintype.card (F →ₐ[↥(subfield G F)] F)

tactic: exact MulSemiringAction.toAlgHom_injective _ F
state_before: case intro.left
M : Type u
inst✝⁹ : Monoid M
G✝ : Type u
inst✝⁸ : Group G✝
F✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F✝
inst✝⁶ : MulSemiringAction M F✝
inst✝⁵ : MulSemiringAction G✝ F✝
m : M
G : Type u
F : Type v
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : FaithfulSMul G F
val✝ : Fintype G
⊢ Function.Injective (MulSemiringAction.toAlgHom (↥(subfield G F)) F)
state_after: no goals

tactic: apply le_antisymm
state_before: case intro.right
M : Type u
inst✝⁹ : Monoid M
G✝ : Type u
inst✝⁸ : Group G✝
F✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F✝
inst✝⁶ : MulSemiringAction M F✝
inst✝⁵ : MulSemiringAction G✝ F✝
m : M
G : Type u
F : Type v
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : FaithfulSMul G F
val✝ : Fintype G
⊢ Fintype.card G = Fintype.card (F →ₐ[↥(subfield G F)] F)
state_after: case intro.right.a
M : Type u
inst✝⁹ : Monoid M
G✝ : Type u
inst✝⁸ : Group G✝
F✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F✝
inst✝⁶ : MulSemiringAction M F✝
inst✝⁵ : MulSemiringAction G✝ F✝
m : M
G : Type u
F : Type v
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : FaithfulSMul G F
val✝ : Fintype G
⊢ Fintype.card G ≤ Fintype.card (F →ₐ[↥(subfield G F)] F)

case intro.right.a
M : Type u
inst✝⁹ : Monoid M
G✝ : Type u
inst✝⁸ : Group G✝
F✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F✝
inst✝⁶ : MulSemiringAction M F✝
inst✝⁵ : MulSemiringAction G✝ F✝
m : M
G : Type u
F : Type v
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : FaithfulSMul G F
val✝ : Fintype G
⊢ Fintype.card (F →ₐ[↥(subfield G F)] F) ≤ Fintype.card G

tactic: exact Fintype.card_le_of_injective _ (MulSemiringAction.toAlgHom_injective _ F)
state_before: case intro.right.a
M : Type u
inst✝⁹ : Monoid M
G✝ : Type u
inst✝⁸ : Group G✝
F✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F✝
inst✝⁶ : MulSemiringAction M F✝
inst✝⁵ : MulSemiringAction G✝ F✝
m : M
G : Type u
F : Type v
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : FaithfulSMul G F
val✝ : Fintype G
⊢ Fintype.card G ≤ Fintype.card (F →ₐ[↥(subfield G F)] F)
state_after: no goals

tactic: rw [← finrank_eq_card G F]
state_before: case intro.right.a
M : Type u
inst✝⁹ : Monoid M
G✝ : Type u
inst✝⁸ : Group G✝
F✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F✝
inst✝⁶ : MulSemiringAction M F✝
inst✝⁵ : MulSemiringAction G✝ F✝
m : M
G : Type u
F : Type v
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : FaithfulSMul G F
val✝ : Fintype G
⊢ Fintype.card (F →ₐ[↥(subfield G F)] F) ≤ Fintype.card G
state_after: case intro.right.a
M : Type u
inst✝⁹ : Monoid M
G✝ : Type u
inst✝⁸ : Group G✝
F✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F✝
inst✝⁶ : MulSemiringAction M F✝
inst✝⁵ : MulSemiringAction G✝ F✝
m : M
G : Type u
F : Type v
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : FaithfulSMul G F
val✝ : Fintype G
⊢ Fintype.card (F →ₐ[↥(subfield G F)] F) ≤ finrank (↥(subfield G F)) F

tactic: exact LE.le.trans_eq (finrank_algHom _ F) (finrank_linearMap_self _ _ _)
state_before: case intro.right.a
M : Type u
inst✝⁹ : Monoid M
G✝ : Type u
inst✝⁸ : Group G✝
F✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F✝
inst✝⁶ : MulSemiringAction M F✝
inst✝⁵ : MulSemiringAction G✝ F✝
m : M
G : Type u
F : Type v
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : FaithfulSMul G F
val✝ : Fintype G
⊢ Fintype.card (F →ₐ[↥(subfield G F)] F) ≤ finrank (↥(subfield G F)) F
state_after: no goals