Theorem: Metric.cthickening_eq_iInter_cthickening'
File: Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean

tactic: apply Subset.antisymm
state_before: ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
⊢ cthickening δ E = ⋂ ε ∈ s, cthickening ε E
state_after: case h₁
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
⊢ cthickening δ E ⊆ ⋂ ε ∈ s, cthickening ε E

case h₂
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
⊢ ⋂ ε ∈ s, cthickening ε E ⊆ cthickening δ E

tactic: exact subset_iInter₂ fun _ hε => cthickening_mono (le_of_lt (hsδ hε)) E
state_before: case h₁
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
⊢ cthickening δ E ⊆ ⋂ ε ∈ s, cthickening ε E
state_after: no goals

tactic: unfold cthickening
state_before: case h₂
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
⊢ ⋂ ε ∈ s, cthickening ε E ⊆ cthickening δ E
state_after: case h₂
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
⊢ ⋂ ε ∈ s, {x | infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal ε} ⊆ {x | infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal δ}

tactic: intro x hx
state_before: case h₂
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
⊢ ⋂ ε ∈ s, {x | infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal ε} ⊆ {x | infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal δ}
state_after: case h₂
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
x : α
hx : x ∈ ⋂ ε ∈ s, {x | infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal ε}
⊢ x ∈ {x | infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal δ}

tactic: simp only [mem_iInter, mem_setOf_eq] at *
state_before: case h₂
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
x : α
hx : x ∈ ⋂ ε ∈ s, {x | infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal ε}
⊢ x ∈ {x | infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal δ}
state_after: case h₂
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
x : α
hx : ∀ i ∈ s, infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal i
⊢ infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal δ

tactic: apply ENNReal.le_of_forall_pos_le_add
state_before: case h₂
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
x : α
hx : ∀ i ∈ s, infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal i
⊢ infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal δ
state_after: case h₂.h
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
x : α
hx : ∀ i ∈ s, infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal i
⊢ ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → ENNReal.ofReal δ < ⊤ → infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal δ + ↑ε

tactic: intro η η_pos _
state_before: case h₂.h
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
x : α
hx : ∀ i ∈ s, infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal i
⊢ ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → ENNReal.ofReal δ < ⊤ → infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal δ + ↑ε
state_after: case h₂.h
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
x : α
hx : ∀ i ∈ s, infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal i
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
a✝ : ENNReal.ofReal δ < ⊤
⊢ infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal δ + ↑η

tactic: rcases hs (δ + η) (lt_add_of_pos_right _ (NNReal.coe_pos.mpr η_pos)) with ⟨ε, ⟨hsε, hε⟩⟩
state_before: case h₂.h
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
x : α
hx : ∀ i ∈ s, infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal i
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
a✝ : ENNReal.ofReal δ < ⊤
⊢ infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal δ + ↑η
state_after: case h₂.h.intro.intro
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
x : α
hx : ∀ i ∈ s, infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal i
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
a✝ : ENNReal.ofReal δ < ⊤
ε : ℝ
hsε : ε ∈ s
hε : ε ∈ Ioc δ (δ + ↑η)
⊢ infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal δ + ↑η

tactic: apply ((hx ε hsε).trans (ENNReal.ofReal_le_ofReal hε.2)).trans
state_before: case h₂.h.intro.intro
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
x : α
hx : ∀ i ∈ s, infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal i
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
a✝ : ENNReal.ofReal δ < ⊤
ε : ℝ
hsε : ε ∈ s
hε : ε ∈ Ioc δ (δ + ↑η)
⊢ infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal δ + ↑η
state_after: case h₂.h.intro.intro
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
x : α
hx : ∀ i ∈ s, infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal i
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
a✝ : ENNReal.ofReal δ < ⊤
ε : ℝ
hsε : ε ∈ s
hε : ε ∈ Ioc δ (δ + ↑η)
⊢ ENNReal.ofReal (δ + ↑η) ≤ ENNReal.ofReal δ + ↑η

tactic: rw [ENNReal.coe_nnreal_eq η]
state_before: case h₂.h.intro.intro
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
x : α
hx : ∀ i ∈ s, infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal i
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
a✝ : ENNReal.ofReal δ < ⊤
ε : ℝ
hsε : ε ∈ s
hε : ε ∈ Ioc δ (δ + ↑η)
⊢ ENNReal.ofReal (δ + ↑η) ≤ ENNReal.ofReal δ + ↑η
state_after: case h₂.h.intro.intro
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
x : α
hx : ∀ i ∈ s, infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal i
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
a✝ : ENNReal.ofReal δ < ⊤
ε : ℝ
hsε : ε ∈ s
hε : ε ∈ Ioc δ (δ + ↑η)
⊢ ENNReal.ofReal (δ + ↑η) ≤ ENNReal.ofReal δ + ENNReal.ofReal ↑η

tactic: exact ENNReal.ofReal_add_le
state_before: case h₂.h.intro.intro
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α
x : α
hx : ∀ i ∈ s, infEdist x E ≤ ENNReal.ofReal i
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
a✝ : ENNReal.ofReal δ < ⊤
ε : ℝ
hsε : ε ∈ s
hε : ε ∈ Ioc δ (δ + ↑η)
⊢ ENNReal.ofReal (δ + ↑η) ≤ ENNReal.ofReal δ + ENNReal.ofReal ↑η
state_after: no goals