Theorem: exists_smooth_zero_one_nhds_of_isClosed
File: Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean

tactic: obtain ⟨u, u_op, hsu, hut⟩ := normal_exists_closure_subset hs ht.isOpen_compl
  (subset_compl_iff_disjoint_left.mpr hd.symm)
state_before: ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
⊢ ∃ f, (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 0) ∧ (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ t, f x = 1) ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
state_after: case intro.intro.intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
u : Set M
u_op : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hut : closure u ⊆ tᶜ
⊢ ∃ f, (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 0) ∧ (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ t, f x = 1) ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1

tactic: obtain ⟨v, v_op, htv, hvu⟩ := normal_exists_closure_subset ht isClosed_closure.isOpen_compl
  (subset_compl_comm.mp hut)
state_before: case intro.intro.intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
u : Set M
u_op : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hut : closure u ⊆ tᶜ
⊢ ∃ f, (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 0) ∧ (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ t, f x = 1) ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
u : Set M
u_op : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hut : closure u ⊆ tᶜ
v : Set M
v_op : IsOpen v
htv : t ⊆ v
hvu : closure v ⊆ (closure u)ᶜ
⊢ ∃ f, (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 0) ∧ (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ t, f x = 1) ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1

tactic: obtain ⟨f, hfu, hfv, hf⟩ := exists_smooth_zero_one_of_isClosed I isClosed_closure isClosed_closure
  (subset_compl_iff_disjoint_left.mp hvu)
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
u : Set M
u_op : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hut : closure u ⊆ tᶜ
v : Set M
v_op : IsOpen v
htv : t ⊆ v
hvu : closure v ⊆ (closure u)ᶜ
⊢ ∃ f, (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 0) ∧ (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ t, f x = 1) ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
u : Set M
u_op : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hut : closure u ⊆ tᶜ
v : Set M
v_op : IsOpen v
htv : t ⊆ v
hvu : closure v ⊆ (closure u)ᶜ
f : C^⊤⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯
hfu : EqOn (⇑f) 0 (closure u)
hfv : EqOn (⇑f) 1 (closure v)
hf : ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
⊢ ∃ f, (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 0) ∧ (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ t, f x = 1) ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1

tactic: refine ⟨f, ?_, ?_, hf⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
u : Set M
u_op : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hut : closure u ⊆ tᶜ
v : Set M
v_op : IsOpen v
htv : t ⊆ v
hvu : closure v ⊆ (closure u)ᶜ
f : C^⊤⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯
hfu : EqOn (⇑f) 0 (closure u)
hfv : EqOn (⇑f) 1 (closure v)
hf : ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
⊢ ∃ f, (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 0) ∧ (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ t, f x = 1) ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
u : Set M
u_op : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hut : closure u ⊆ tᶜ
v : Set M
v_op : IsOpen v
htv : t ⊆ v
hvu : closure v ⊆ (closure u)ᶜ
f : C^⊤⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯
hfu : EqOn (⇑f) 0 (closure u)
hfv : EqOn (⇑f) 1 (closure v)
hf : ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
⊢ ∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 0

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
u : Set M
u_op : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hut : closure u ⊆ tᶜ
v : Set M
v_op : IsOpen v
htv : t ⊆ v
hvu : closure v ⊆ (closure u)ᶜ
f : C^⊤⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯
hfu : EqOn (⇑f) 0 (closure u)
hfv : EqOn (⇑f) 1 (closure v)
hf : ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
⊢ ∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ t, f x = 1

tactic: exact eventually_of_mem (mem_of_superset (u_op.mem_nhdsSet.mpr hsu) subset_closure) hfu
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
u : Set M
u_op : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hut : closure u ⊆ tᶜ
v : Set M
v_op : IsOpen v
htv : t ⊆ v
hvu : closure v ⊆ (closure u)ᶜ
f : C^⊤⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯
hfu : EqOn (⇑f) 0 (closure u)
hfv : EqOn (⇑f) 1 (closure v)
hf : ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
⊢ ∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 0
state_after: no goals

tactic: exact eventually_of_mem (mem_of_superset (v_op.mem_nhdsSet.mpr htv) subset_closure) hfv
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
u : Set M
u_op : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hut : closure u ⊆ tᶜ
v : Set M
v_op : IsOpen v
htv : t ⊆ v
hvu : closure v ⊆ (closure u)ᶜ
f : C^⊤⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯
hfu : EqOn (⇑f) 0 (closure u)
hfv : EqOn (⇑f) 1 (closure v)
hf : ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
⊢ ∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ t, f x = 1
state_after: no goals