Theorem: CategoryTheory.kernel_comp_cokernel
File: Mathlib/Algebra/Homology/Exact.lean

tactic: suffices Subobject.arrow (kernelSubobject g) ≫ cokernel.π f = 0 by
  rw [← kernelSubobject_arrow', Category.assoc, this, comp_zero]
state_before: V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasImages V
A B C D : V
f : A ⟶ B
g : B ⟶ C
h✝ : C ⟶ D
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasEqualizers V
inst✝ : HasCokernels V
h : Exact f g
⊢ kernel.ι g ≫ cokernel.π f = 0
state_after: V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasImages V
A B C D : V
f : A ⟶ B
g : B ⟶ C
h✝ : C ⟶ D
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasEqualizers V
inst✝ : HasCokernels V
h : Exact f g
⊢ (kernelSubobject g).arrow ≫ cokernel.π f = 0

tactic: haveI := h.epi
state_before: V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasImages V
A B C D : V
f : A ⟶ B
g : B ⟶ C
h✝ : C ⟶ D
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasEqualizers V
inst✝ : HasCokernels V
h : Exact f g
⊢ (kernelSubobject g).arrow ≫ cokernel.π f = 0
state_after: V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasImages V
A B C D : V
f : A ⟶ B
g : B ⟶ C
h✝ : C ⟶ D
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasEqualizers V
inst✝ : HasCokernels V
h : Exact f g
this : Epi (imageToKernel f g ⋯)
⊢ (kernelSubobject g).arrow ≫ cokernel.π f = 0

tactic: apply zero_of_epi_comp (imageToKernel f g h.w) _
state_before: V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasImages V
A B C D : V
f : A ⟶ B
g : B ⟶ C
h✝ : C ⟶ D
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasEqualizers V
inst✝ : HasCokernels V
h : Exact f g
this : Epi (imageToKernel f g ⋯)
⊢ (kernelSubobject g).arrow ≫ cokernel.π f = 0
state_after: V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasImages V
A B C D : V
f : A ⟶ B
g : B ⟶ C
h✝ : C ⟶ D
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasEqualizers V
inst✝ : HasCokernels V
h : Exact f g
this : Epi (imageToKernel f g ⋯)
⊢ imageToKernel f g ⋯ ≫ (kernelSubobject g).arrow ≫ cokernel.π f = 0

tactic: rw [imageToKernel_arrow_assoc, ← imageSubobject_arrow, Category.assoc, ← Iso.eq_inv_comp]
state_before: V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasImages V
A B C D : V
f : A ⟶ B
g : B ⟶ C
h✝ : C ⟶ D
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasEqualizers V
inst✝ : HasCokernels V
h : Exact f g
this : Epi (imageToKernel f g ⋯)
⊢ imageToKernel f g ⋯ ≫ (kernelSubobject g).arrow ≫ cokernel.π f = 0
state_after: V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasImages V
A B C D : V
f : A ⟶ B
g : B ⟶ C
h✝ : C ⟶ D
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasEqualizers V
inst✝ : HasCokernels V
h : Exact f g
this : Epi (imageToKernel f g ⋯)
⊢ image.ι f ≫ cokernel.π f = (imageSubobjectIso f).inv ≫ 0

tactic: aesop_cat
state_before: V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasImages V
A B C D : V
f : A ⟶ B
g : B ⟶ C
h✝ : C ⟶ D
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasEqualizers V
inst✝ : HasCokernels V
h : Exact f g
this : Epi (imageToKernel f g ⋯)
⊢ image.ι f ≫ cokernel.π f = (imageSubobjectIso f).inv ≫ 0
state_after: no goals

tactic: rw [← kernelSubobject_arrow', Category.assoc, this, comp_zero]
state_before: V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasImages V
A B C D : V
f : A ⟶ B
g : B ⟶ C
h✝ : C ⟶ D
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasEqualizers V
inst✝ : HasCokernels V
h : Exact f g
this : (kernelSubobject g).arrow ≫ cokernel.π f = 0
⊢ kernel.ι g ≫ cokernel.π f = 0
state_after: no goals