Theorem: WithSeminorms.isVonNBounded_iff_finset_seminorm_bounded
File: Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean

tactic: rw [hp.hasBasis.isVonNBounded_iff]
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ↔ ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
state_after: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
⊢ (∀ i ∈ p.basisSets, Absorbs 𝕜 (id i) s) ↔ ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r

tactic: constructor
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
⊢ (∀ i ∈ p.basisSets, Absorbs 𝕜 (id i) s) ↔ ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
⊢ (∀ i ∈ p.basisSets, Absorbs 𝕜 (id i) s) → ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r

case mpr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
⊢ (∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r) → ∀ i ∈ p.basisSets, Absorbs 𝕜 (id i) s

tactic: intro h s' hs'
state_before: case mpr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
⊢ (∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r) → ∀ i ∈ p.basisSets, Absorbs 𝕜 (id i) s
state_after: case mpr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
s' : Set E
hs' : s' ∈ p.basisSets
⊢ Absorbs 𝕜 (id s') s

tactic: rcases p.basisSets_iff.mp hs' with ⟨I, r, hr, hs'⟩
state_before: case mpr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
s' : Set E
hs' : s' ∈ p.basisSets
⊢ Absorbs 𝕜 (id s') s
state_after: case mpr.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
s' : Set E
hs'✝ : s' ∈ p.basisSets
I : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hs' : s' = (I.sup p).ball 0 r
⊢ Absorbs 𝕜 (id s') s

tactic: rw [id, hs']
state_before: case mpr.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
s' : Set E
hs'✝ : s' ∈ p.basisSets
I : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hs' : s' = (I.sup p).ball 0 r
⊢ Absorbs 𝕜 (id s') s
state_after: case mpr.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
s' : Set E
hs'✝ : s' ∈ p.basisSets
I : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hs' : s' = (I.sup p).ball 0 r
⊢ Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 r) s

tactic: rcases h I with ⟨r', _, h'⟩
state_before: case mpr.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
s' : Set E
hs'✝ : s' ∈ p.basisSets
I : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hs' : s' = (I.sup p).ball 0 r
⊢ Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 r) s
state_after: case mpr.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
s' : Set E
hs'✝ : s' ∈ p.basisSets
I : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hs' : s' = (I.sup p).ball 0 r
r' : ℝ
left✝ : r' > 0
h' : ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r'
⊢ Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 r) s

tactic: simp_rw [← (I.sup p).mem_ball_zero] at h'
state_before: case mpr.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
s' : Set E
hs'✝ : s' ∈ p.basisSets
I : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hs' : s' = (I.sup p).ball 0 r
r' : ℝ
left✝ : r' > 0
h' : ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r'
⊢ Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 r) s
state_after: case mpr.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
s' : Set E
hs'✝ : s' ∈ p.basisSets
I : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hs' : s' = (I.sup p).ball 0 r
r' : ℝ
left✝ : r' > 0
h' : ∀ x ∈ s, x ∈ (I.sup p).ball 0 r'
⊢ Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 r) s

tactic: refine Absorbs.mono_right ?_ h'
state_before: case mpr.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
s' : Set E
hs'✝ : s' ∈ p.basisSets
I : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hs' : s' = (I.sup p).ball 0 r
r' : ℝ
left✝ : r' > 0
h' : ∀ x ∈ s, x ∈ (I.sup p).ball 0 r'
⊢ Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 r) s
state_after: case mpr.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
s' : Set E
hs'✝ : s' ∈ p.basisSets
I : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hs' : s' = (I.sup p).ball 0 r
r' : ℝ
left✝ : r' > 0
h' : ∀ x ∈ s, x ∈ (I.sup p).ball 0 r'
⊢ Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 r) ((I.sup p).ball 0 r')

tactic: exact (Finset.sup I p).ball_zero_absorbs_ball_zero hr
state_before: case mpr.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
s' : Set E
hs'✝ : s' ∈ p.basisSets
I : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hs' : s' = (I.sup p).ball 0 r
r' : ℝ
left✝ : r' > 0
h' : ∀ x ∈ s, x ∈ (I.sup p).ball 0 r'
⊢ Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 r) ((I.sup p).ball 0 r')
state_after: no goals

tactic: intro h I
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
⊢ (∀ i ∈ p.basisSets, Absorbs 𝕜 (id i) s) → ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
h : ∀ i ∈ p.basisSets, Absorbs 𝕜 (id i) s
I : Finset ι
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r

tactic: simp only [id] at h
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
h : ∀ i ∈ p.basisSets, Absorbs 𝕜 (id i) s
I : Finset ι
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
h : ∀ i ∈ p.basisSets, Absorbs 𝕜 i s
I : Finset ι
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r

tactic: specialize h ((I.sup p).ball 0 1) (p.basisSets_mem I zero_lt_one)
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
h : ∀ i ∈ p.basisSets, Absorbs 𝕜 i s
I : Finset ι
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
h : Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 1) s
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r

tactic: rcases h.exists_pos with ⟨r, hr, h⟩
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
h : Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 1) s
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
state_after: case mp.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
h✝ : Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 1) s
r : ℝ
hr : r > 0
h : ∀ (c : 𝕜), r ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • (I.sup p).ball 0 1
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r

tactic: cases' NormedField.exists_lt_norm 𝕜 r with a ha
state_before: case mp.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
h✝ : Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 1) s
r : ℝ
hr : r > 0
h : ∀ (c : 𝕜), r ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • (I.sup p).ball 0 1
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
state_after: case mp.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
h✝ : Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 1) s
r : ℝ
hr : r > 0
h : ∀ (c : 𝕜), r ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • (I.sup p).ball 0 1
a : 𝕜
ha : r < ‖a‖
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r

tactic: specialize h a (le_of_lt ha)
state_before: case mp.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
h✝ : Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 1) s
r : ℝ
hr : r > 0
h : ∀ (c : 𝕜), r ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • (I.sup p).ball 0 1
a : 𝕜
ha : r < ‖a‖
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
state_after: case mp.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
h✝ : Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 1) s
r : ℝ
hr : r > 0
a : 𝕜
ha : r < ‖a‖
h : s ⊆ a • (I.sup p).ball 0 1
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r

tactic: rw [Seminorm.smul_ball_zero (norm_pos_iff.1 <| hr.trans ha), mul_one] at h
state_before: case mp.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
h✝ : Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 1) s
r : ℝ
hr : r > 0
a : 𝕜
ha : r < ‖a‖
h : s ⊆ a • (I.sup p).ball 0 1
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
state_after: case mp.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
h✝ : Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 1) s
r : ℝ
hr : r > 0
a : 𝕜
ha : r < ‖a‖
h : s ⊆ (I.sup p).ball 0 ‖a‖
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r

tactic: refine ⟨‖a‖, lt_trans hr ha, ?_⟩
state_before: case mp.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
h✝ : Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 1) s
r : ℝ
hr : r > 0
a : 𝕜
ha : r < ‖a‖
h : s ⊆ (I.sup p).ball 0 ‖a‖
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
state_after: case mp.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
h✝ : Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 1) s
r : ℝ
hr : r > 0
a : 𝕜
ha : r < ‖a‖
h : s ⊆ (I.sup p).ball 0 ‖a‖
⊢ ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < ‖a‖

tactic: intro x hx
state_before: case mp.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
h✝ : Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 1) s
r : ℝ
hr : r > 0
a : 𝕜
ha : r < ‖a‖
h : s ⊆ (I.sup p).ball 0 ‖a‖
⊢ ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < ‖a‖
state_after: case mp.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
h✝ : Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 1) s
r : ℝ
hr : r > 0
a : 𝕜
ha : r < ‖a‖
h : s ⊆ (I.sup p).ball 0 ‖a‖
x : E
hx : x ∈ s
⊢ (I.sup p) x < ‖a‖

tactic: specialize h hx
state_before: case mp.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
h✝ : Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 1) s
r : ℝ
hr : r > 0
a : 𝕜
ha : r < ‖a‖
h : s ⊆ (I.sup p).ball 0 ‖a‖
x : E
hx : x ∈ s
⊢ (I.sup p) x < ‖a‖
state_after: case mp.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
h✝ : Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 1) s
r : ℝ
hr : r > 0
a : 𝕜
ha : r < ‖a‖
x : E
hx : x ∈ s
h : x ∈ (I.sup p).ball 0 ‖a‖
⊢ (I.sup p) x < ‖a‖

tactic: exact (Finset.sup I p).mem_ball_zero.mp h
state_before: case mp.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
h✝ : Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 1) s
r : ℝ
hr : r > 0
a : 𝕜
ha : r < ‖a‖
x : E
hx : x ∈ s
h : x ∈ (I.sup p).ball 0 ‖a‖
⊢ (I.sup p) x < ‖a‖
state_after: no goals