Theorem: Ideal.span_singleton_absNorm
File: Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean

tactic: have : Ideal.IsPrime (Ideal.span (singleton (Ideal.absNorm I : ℤ))) := by
  rwa [Ideal.span_singleton_prime (Int.ofNat_ne_zero.mpr hI.ne_zero), ← Nat.prime_iff_prime_int]
state_before: S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
⊢ span {↑(absNorm I)} = comap (algebraMap ℤ S) I
state_after: S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
this : (span {↑(absNorm I)}).IsPrime
⊢ span {↑(absNorm I)} = comap (algebraMap ℤ S) I

tactic: apply (this.isMaximal _).eq_of_le
state_before: S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
this : (span {↑(absNorm I)}).IsPrime
⊢ span {↑(absNorm I)} = comap (algebraMap ℤ S) I
state_after: case hJ
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
this : (span {↑(absNorm I)}).IsPrime
⊢ comap (algebraMap ℤ S) I ≠ ⊤

case IJ
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
this : (span {↑(absNorm I)}).IsPrime
⊢ span {↑(absNorm I)} ≤ comap (algebraMap ℤ S) I

S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
this : (span {↑(absNorm I)}).IsPrime
⊢ span {↑(absNorm I)} ≠ ⊥

tactic: rwa [Ideal.span_singleton_prime (Int.ofNat_ne_zero.mpr hI.ne_zero), ← Nat.prime_iff_prime_int]
state_before: S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
⊢ (span {↑(absNorm I)}).IsPrime
state_after: no goals

tactic: exact ((isPrime_of_irreducible_absNorm
  ((Nat.irreducible_iff_nat_prime _).mpr hI)).comap (algebraMap ℤ S)).ne_top
state_before: case hJ
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
this : (span {↑(absNorm I)}).IsPrime
⊢ comap (algebraMap ℤ S) I ≠ ⊤
state_after: no goals

tactic: rw [span_singleton_le_iff_mem, mem_comap, algebraMap_int_eq, map_natCast]
state_before: case IJ
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
this : (span {↑(absNorm I)}).IsPrime
⊢ span {↑(absNorm I)} ≤ comap (algebraMap ℤ S) I
state_after: case IJ
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
this : (span {↑(absNorm I)}).IsPrime
⊢ ↑(absNorm I) ∈ I

tactic: exact absNorm_mem I
state_before: case IJ
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
this : (span {↑(absNorm I)}).IsPrime
⊢ ↑(absNorm I) ∈ I
state_after: no goals

tactic: rw [Ne, span_singleton_eq_bot]
state_before: S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
this : (span {↑(absNorm I)}).IsPrime
⊢ span {↑(absNorm I)} ≠ ⊥
state_after: S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
this : (span {↑(absNorm I)}).IsPrime
⊢ ¬↑(absNorm I) = 0

tactic: exact Int.ofNat_ne_zero.mpr hI.ne_zero
state_before: S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
this : (span {↑(absNorm I)}).IsPrime
⊢ ¬↑(absNorm I) = 0
state_after: no goals