Theorem: Real.dimH_of_mem_nhds
File: Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean

tactic: have e : E ≃L[ℝ] Fin (finrank ℝ E) → ℝ :=
  ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq (FiniteDimensional.finrank_fin_fun ℝ).symm
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ dimH s = ↑(finrank ℝ E)
state_after: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
e : E ≃L[ℝ] Fin (finrank ℝ E) → ℝ
⊢ dimH s = ↑(finrank ℝ E)

tactic: rw [← e.dimH_image]
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
e : E ≃L[ℝ] Fin (finrank ℝ E) → ℝ
⊢ dimH s = ↑(finrank ℝ E)
state_after: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
e : E ≃L[ℝ] Fin (finrank ℝ E) → ℝ
⊢ dimH (⇑e '' s) = ↑(finrank ℝ E)

tactic: refine le_antisymm ?_ ?_
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
e : E ≃L[ℝ] Fin (finrank ℝ E) → ℝ
⊢ dimH (⇑e '' s) = ↑(finrank ℝ E)
state_after: case refine_1
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
e : E ≃L[ℝ] Fin (finrank ℝ E) → ℝ
⊢ dimH (⇑e '' s) ≤ ↑(finrank ℝ E)

case refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
e : E ≃L[ℝ] Fin (finrank ℝ E) → ℝ
⊢ ↑(finrank ℝ E) ≤ dimH (⇑e '' s)

tactic: exact (dimH_mono (subset_univ _)).trans_eq (dimH_univ_pi_fin _)
state_before: case refine_1
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
e : E ≃L[ℝ] Fin (finrank ℝ E) → ℝ
⊢ dimH (⇑e '' s) ≤ ↑(finrank ℝ E)
state_after: no goals

tactic: have : e '' s ∈ 𝓝 (e x) := by rw [← e.map_nhds_eq]; exact image_mem_map h
state_before: case refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
e : E ≃L[ℝ] Fin (finrank ℝ E) → ℝ
⊢ ↑(finrank ℝ E) ≤ dimH (⇑e '' s)
state_after: case refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
e : E ≃L[ℝ] Fin (finrank ℝ E) → ℝ
this : ⇑e '' s ∈ 𝓝 (e x)
⊢ ↑(finrank ℝ E) ≤ dimH (⇑e '' s)

tactic: rcases Metric.nhds_basis_ball.mem_iff.1 this with ⟨r, hr0, hr⟩
state_before: case refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
e : E ≃L[ℝ] Fin (finrank ℝ E) → ℝ
this : ⇑e '' s ∈ 𝓝 (e x)
⊢ ↑(finrank ℝ E) ≤ dimH (⇑e '' s)
state_after: case refine_2.intro.intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r✝ : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
e : E ≃L[ℝ] Fin (finrank ℝ E) → ℝ
this : ⇑e '' s ∈ 𝓝 (e x)
r : ℝ
hr0 : 0 < r
hr : Metric.ball (e x) r ⊆ ⇑e '' s
⊢ ↑(finrank ℝ E) ≤ dimH (⇑e '' s)

tactic: simpa only [dimH_ball_pi_fin (e x) hr0] using dimH_mono hr
state_before: case refine_2.intro.intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r✝ : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
e : E ≃L[ℝ] Fin (finrank ℝ E) → ℝ
this : ⇑e '' s ∈ 𝓝 (e x)
r : ℝ
hr0 : 0 < r
hr : Metric.ball (e x) r ⊆ ⇑e '' s
⊢ ↑(finrank ℝ E) ≤ dimH (⇑e '' s)
state_after: no goals

tactic: rw [← e.map_nhds_eq]
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
e : E ≃L[ℝ] Fin (finrank ℝ E) → ℝ
⊢ ⇑e '' s ∈ 𝓝 (e x)
state_after: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
e : E ≃L[ℝ] Fin (finrank ℝ E) → ℝ
⊢ ⇑e '' s ∈ Filter.map (⇑e) (𝓝 x)

tactic: exact image_mem_map h
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
e : E ≃L[ℝ] Fin (finrank ℝ E) → ℝ
⊢ ⇑e '' s ∈ Filter.map (⇑e) (𝓝 x)
state_after: no goals