Theorem: Module.Finite.exists_smul_of_comp_eq_of_isLocalizedModule
File: Mathlib/Algebra/Module/FinitePresentation.lean

tactic: classical
have : ∀ x, ∃ s : S, s • g₁ x = s • g₂ x := fun x ↦
  IsLocalizedModule.exists_of_eq (S := S) (f := f) (LinearMap.congr_fun h x)
choose s hs using this
obtain ⟨σ, hσ⟩ := hM
use σ.prod s
rw [← sub_eq_zero, ← LinearMap.ker_eq_top, ← top_le_iff, ← hσ, Submodule.span_le]
intro x hx
simp only [SetLike.mem_coe, LinearMap.mem_ker, LinearMap.sub_apply, LinearMap.smul_apply,
  sub_eq_zero, ← Finset.prod_erase_mul σ s hx, mul_smul, hs]
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
hM : Finite R M
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
⊢ ∃ s, s • g₁ = s • g₂
state_after: no goals

tactic: have : ∀ x, ∃ s : S, s • g₁ x = s • g₂ x := fun x ↦
  IsLocalizedModule.exists_of_eq (S := S) (f := f) (LinearMap.congr_fun h x)
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
hM : Finite R M
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
⊢ ∃ s, s • g₁ = s • g₂
state_after: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
hM : Finite R M
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
this : ∀ (x : M), ∃ s, s • g₁ x = s • g₂ x
⊢ ∃ s, s • g₁ = s • g₂

tactic: choose s hs using this
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
hM : Finite R M
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
this : ∀ (x : M), ∃ s, s • g₁ x = s • g₂ x
⊢ ∃ s, s • g₁ = s • g₂
state_after: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
hM : Finite R M
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
s : M → ↥S
hs : ∀ (x : M), s x • g₁ x = s x • g₂ x
⊢ ∃ s, s • g₁ = s • g₂

tactic: obtain ⟨σ, hσ⟩ := hM
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
hM : Finite R M
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
s : M → ↥S
hs : ∀ (x : M), s x • g₁ x = s x • g₂ x
⊢ ∃ s, s • g₁ = s • g₂
state_after: case mk.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
s : M → ↥S
hs : ∀ (x : M), s x • g₁ x = s x • g₂ x
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
⊢ ∃ s, s • g₁ = s • g₂

tactic: use σ.prod s
state_before: case mk.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
s : M → ↥S
hs : ∀ (x : M), s x • g₁ x = s x • g₂ x
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
⊢ ∃ s, s • g₁ = s • g₂
state_after: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
s : M → ↥S
hs : ∀ (x : M), s x • g₁ x = s x • g₂ x
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
⊢ σ.prod s • g₁ = σ.prod s • g₂

tactic: rw [← sub_eq_zero, ← LinearMap.ker_eq_top, ← top_le_iff, ← hσ, Submodule.span_le]
state_before: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
s : M → ↥S
hs : ∀ (x : M), s x • g₁ x = s x • g₂ x
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
⊢ σ.prod s • g₁ = σ.prod s • g₂
state_after: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
s : M → ↥S
hs : ∀ (x : M), s x • g₁ x = s x • g₂ x
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
⊢ ↑σ ⊆ ↑(LinearMap.ker (σ.prod s • g₁ - σ.prod s • g₂))

tactic: intro x hx
state_before: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
s : M → ↥S
hs : ∀ (x : M), s x • g₁ x = s x • g₂ x
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
⊢ ↑σ ⊆ ↑(LinearMap.ker (σ.prod s • g₁ - σ.prod s • g₂))
state_after: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
s : M → ↥S
hs : ∀ (x : M), s x • g₁ x = s x • g₂ x
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
x : M
hx : x ∈ ↑σ
⊢ x ∈ ↑(LinearMap.ker (σ.prod s • g₁ - σ.prod s • g₂))

tactic: simp only [SetLike.mem_coe, LinearMap.mem_ker, LinearMap.sub_apply, LinearMap.smul_apply,
  sub_eq_zero, ← Finset.prod_erase_mul σ s hx, mul_smul, hs]
state_before: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
s : M → ↥S
hs : ∀ (x : M), s x • g₁ x = s x • g₂ x
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
x : M
hx : x ∈ ↑σ
⊢ x ∈ ↑(LinearMap.ker (σ.prod s • g₁ - σ.prod s • g₂))
state_after: no goals