Theorem: WeakFEPair.differentiableAt_Λ
File: Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean

tactic: refine ((P.differentiable_Λ₀ s).sub ?_).sub ?_
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ P.f₀ = 0
hs' : s ≠ ↑P.k ∨ P.g₀ = 0
⊢ DifferentiableAt ℂ P.Λ s
state_after: case refine_1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ P.f₀ = 0
hs' : s ≠ ↑P.k ∨ P.g₀ = 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun y => (1 / y) • P.f₀) s

case refine_2
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ P.f₀ = 0
hs' : s ≠ ↑P.k ∨ P.g₀ = 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun y => (P.ε / (↑P.k - y)) • P.g₀) s

tactic: rcases hs with hs | hs
state_before: case refine_1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ P.f₀ = 0
hs' : s ≠ ↑P.k ∨ P.g₀ = 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun y => (1 / y) • P.f₀) s
state_after: case refine_1.inl
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs' : s ≠ ↑P.k ∨ P.g₀ = 0
hs : s ≠ 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun y => (1 / y) • P.f₀) s

case refine_1.inr
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs' : s ≠ ↑P.k ∨ P.g₀ = 0
hs : P.f₀ = 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun y => (1 / y) • P.f₀) s

tactic: simpa only [one_div] using (differentiableAt_inv' hs).smul_const P.f₀
state_before: case refine_1.inl
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs' : s ≠ ↑P.k ∨ P.g₀ = 0
hs : s ≠ 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun y => (1 / y) • P.f₀) s
state_after: no goals

tactic: simpa only [hs, smul_zero] using differentiableAt_const (0 : E)
state_before: case refine_1.inr
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs' : s ≠ ↑P.k ∨ P.g₀ = 0
hs : P.f₀ = 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun y => (1 / y) • P.f₀) s
state_after: no goals

tactic: rcases hs' with hs' | hs'
state_before: case refine_2
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ P.f₀ = 0
hs' : s ≠ ↑P.k ∨ P.g₀ = 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun y => (P.ε / (↑P.k - y)) • P.g₀) s
state_after: case refine_2.inl
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ P.f₀ = 0
hs' : s ≠ ↑P.k
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun y => (P.ε / (↑P.k - y)) • P.g₀) s

case refine_2.inr
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ P.f₀ = 0
hs' : P.g₀ = 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun y => (P.ε / (↑P.k - y)) • P.g₀) s

tactic: apply DifferentiableAt.smul_const
state_before: case refine_2.inl
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ P.f₀ = 0
hs' : s ≠ ↑P.k
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun y => (P.ε / (↑P.k - y)) • P.g₀) s
state_after: case refine_2.inl.hc
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ P.f₀ = 0
hs' : s ≠ ↑P.k
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun y => P.ε / (↑P.k - y)) s

tactic: apply (differentiableAt_const _).div ((differentiableAt_const _).sub (differentiable_id _))
state_before: case refine_2.inl.hc
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ P.f₀ = 0
hs' : s ≠ ↑P.k
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun y => P.ε / (↑P.k - y)) s
state_after: case refine_2.inl.hc
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ P.f₀ = 0
hs' : s ≠ ↑P.k
⊢ ↑P.k - s ≠ 0

tactic: rwa [sub_ne_zero, ne_comm]
state_before: case refine_2.inl.hc
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ P.f₀ = 0
hs' : s ≠ ↑P.k
⊢ ↑P.k - s ≠ 0
state_after: no goals

tactic: simpa only [hs', smul_zero] using differentiableAt_const (0 : E)
state_before: case refine_2.inr
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ P.f₀ = 0
hs' : P.g₀ = 0
⊢ DifferentiableAt ℂ (fun y => (P.ε / (↑P.k - y)) • P.g₀) s
state_after: no goals