Theorem: Ideal.Filtration.Stable.exists_forall_le
File: Mathlib/RingTheory/Filtration.lean

tactic: obtain ⟨n₀, hF⟩ := h
state_before: R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h✝ h : F.Stable
e : F.N 0 ≤ F'.N 0
⊢ ∃ n₀, ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₀) ≤ F'.N n
state_after: case intro
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
e : F.N 0 ≤ F'.N 0
n₀ : ℕ
hF : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
⊢ ∃ n₀, ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₀) ≤ F'.N n

tactic: use n₀
state_before: case intro
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
e : F.N 0 ≤ F'.N 0
n₀ : ℕ
hF : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
⊢ ∃ n₀, ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₀) ≤ F'.N n
state_after: case h
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
e : F.N 0 ≤ F'.N 0
n₀ : ℕ
hF : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
⊢ ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₀) ≤ F'.N n

tactic: intro n
state_before: case h
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
e : F.N 0 ≤ F'.N 0
n₀ : ℕ
hF : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
⊢ ∀ (n : ℕ), F.N (n + n₀) ≤ F'.N n
state_after: case h
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
e : F.N 0 ≤ F'.N 0
n₀ : ℕ
hF : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
n : ℕ
⊢ F.N (n + n₀) ≤ F'.N n

tactic: induction' n with n hn
state_before: case h
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
e : F.N 0 ≤ F'.N 0
n₀ : ℕ
hF : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
n : ℕ
⊢ F.N (n + n₀) ≤ F'.N n
state_after: case h.zero
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
e : F.N 0 ≤ F'.N 0
n₀ : ℕ
hF : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
⊢ F.N (0 + n₀) ≤ F'.N 0

case h.succ
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
e : F.N 0 ≤ F'.N 0
n₀ : ℕ
hF : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
n : ℕ
hn : F.N (n + n₀) ≤ F'.N n
⊢ F.N (n + 1 + n₀) ≤ F'.N (n + 1)

tactic: refine (F.antitone ?_).trans e
state_before: case h.zero
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
e : F.N 0 ≤ F'.N 0
n₀ : ℕ
hF : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
⊢ F.N (0 + n₀) ≤ F'.N 0
state_after: case h.zero
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
e : F.N 0 ≤ F'.N 0
n₀ : ℕ
hF : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
⊢ 0 ≤ 0 + n₀

tactic: simp
state_before: case h.zero
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
e : F.N 0 ≤ F'.N 0
n₀ : ℕ
hF : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
⊢ 0 ≤ 0 + n₀
state_after: no goals

tactic: rw [add_right_comm, ← hF]
state_before: case h.succ
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
e : F.N 0 ≤ F'.N 0
n₀ : ℕ
hF : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
n : ℕ
hn : F.N (n + n₀) ≤ F'.N n
⊢ F.N (n + 1 + n₀) ≤ F'.N (n + 1)
state_after: case h.succ
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
e : F.N 0 ≤ F'.N 0
n₀ : ℕ
hF : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
n : ℕ
hn : F.N (n + n₀) ≤ F'.N n
⊢ I • F.N (n + n₀) ≤ F'.N (n + 1)

case h.succ.a
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
e : F.N 0 ≤ F'.N 0
n₀ : ℕ
hF : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
n : ℕ
hn : F.N (n + n₀) ≤ F'.N n
⊢ n + n₀ ≥ n₀

tactic: simp
state_before: case h.succ.a
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
e : F.N 0 ≤ F'.N 0
n₀ : ℕ
hF : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
n : ℕ
hn : F.N (n + n₀) ≤ F'.N n
⊢ n + n₀ ≥ n₀
state_after: no goals

tactic: exact (smul_mono_right _ hn).trans (F'.smul_le _)
state_before: case h.succ
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
e : F.N 0 ≤ F'.N 0
n₀ : ℕ
hF : ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
n : ℕ
hn : F.N (n + n₀) ≤ F'.N n
⊢ I • F.N (n + n₀) ≤ F'.N (n + 1)
state_after: no goals