Theorem: ConvexOn.secant_mono_aux1
File: Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean

tactic: have hxy' : 0 < y - x := by linarith
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (z - x) * f y ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
⊢ (z - x) * f y ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z

tactic: have hyz' : 0 < z - y := by linarith
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
⊢ (z - x) * f y ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
⊢ (z - x) * f y ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z

tactic: have hxz' : 0 < z - x := by linarith
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
⊢ (z - x) * f y ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ (z - x) * f y ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z

tactic: rw [← le_div_iff' hxz']
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ (z - x) * f y ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ f y ≤ ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)

tactic: have ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x) := by positivity
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ f y ≤ ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
⊢ f y ≤ ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)

tactic: have hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x) := by positivity
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
⊢ f y ≤ ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ f y ≤ ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)

tactic: calc
  f y = f ((z - y) / (z - x) * x + (y - x) / (z - x) * z) := ?_
  _ ≤ (z - y) / (z - x) * f x + (y - x) / (z - x) * f z := hf.2 hx hz ha hb ?_
  _ = ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x) := ?_
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ f y ≤ ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)
state_after: case calc_1
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ f y = f ((z - y) / (z - x) * x + (y - x) / (z - x) * z)

case calc_2
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ (z - y) / (z - x) + (y - x) / (z - x) = 1

case calc_3
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ (z - y) / (z - x) * f x + (y - x) / (z - x) * f z = ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)

tactic: linarith
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ 0 < y - x
state_after: no goals

tactic: linarith
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
⊢ 0 < z - y
state_after: no goals

tactic: linarith
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
⊢ 0 < z - x
state_after: no goals

tactic: positivity
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
⊢ 0 ≤ (z - y) / (z - x)
state_after: no goals

tactic: positivity
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
⊢ 0 ≤ (y - x) / (z - x)
state_after: no goals

tactic: congr 1
state_before: case calc_1
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ f y = f ((z - y) / (z - x) * x + (y - x) / (z - x) * z)
state_after: case calc_1.e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ y = (z - y) / (z - x) * x + (y - x) / (z - x) * z

tactic: field_simp
state_before: case calc_1.e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ y = (z - y) / (z - x) * x + (y - x) / (z - x) * z
state_after: case calc_1.e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ y * (z - x) = (z - y) * x + (y - x) * z

tactic: ring
state_before: case calc_1.e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ y * (z - x) = (z - y) * x + (y - x) * z
state_after: no goals

tactic: field_simp
state_before: case calc_2
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ (z - y) / (z - x) + (y - x) / (z - x) = 1
state_after: no goals

tactic: field_simp
state_before: case calc_3
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
⊢ (z - y) / (z - x) * f x + (y - x) / (z - x) * f z = ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)
state_after: no goals