Theorem: mellin_convergent_zero_of_isBigO
File: Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean

tactic: obtain ⟨d, _, hd'⟩ := hf.exists_pos
state_before: E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c) volume
state_after: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
hd' : IsBigOWith d (𝓝[>] 0) f fun x => x ^ (-b)
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c) volume

tactic: simp_rw [IsBigOWith, eventually_nhdsWithin_iff, Metric.eventually_nhds_iff, gt_iff_lt] at hd'
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
hd' : IsBigOWith d (𝓝[>] 0) f fun x => x ^ (-b)
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c) volume
state_after: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
hd' : ∃ ε, 0 < ε ∧ ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c) volume

tactic: obtain ⟨ε, hε, hε'⟩ := hd'
state_before: case intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
hd' : ∃ ε, 0 < ε ∧ ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c) volume
state_after: case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c) volume

tactic: refine ⟨ε, hε, integrableOn_Ioc_iff_integrableOn_Ioo.mpr ⟨?_, ?_⟩⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c) volume
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_1
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ AEStronglyMeasurable (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (volume.restrict (Ioo 0 ε))

case intro.intro.intro.intro.refine_2
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ HasFiniteIntegral (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (volume.restrict (Ioo 0 ε))

tactic: refine AEStronglyMeasurable.mul ?_ (hfc.mono_set Ioo_subset_Ioi_self)
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_1
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ AEStronglyMeasurable (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (volume.restrict (Ioo 0 ε))
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_1
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ AEStronglyMeasurable (fun t => t ^ (s - 1)) (volume.restrict (Ioo 0 ε))

tactic: refine (ContinuousAt.continuousOn fun t ht => ?_).aestronglyMeasurable measurableSet_Ioo
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_1
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ AEStronglyMeasurable (fun t => t ^ (s - 1)) (volume.restrict (Ioo 0 ε))
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_1
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
⊢ ContinuousAt (fun t => t ^ (s - 1)) t

tactic: exact continuousAt_rpow_const _ _ (Or.inl ht.1.ne')
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_1
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
⊢ ContinuousAt (fun t => t ^ (s - 1)) t
state_after: no goals

tactic: apply HasFiniteIntegral.mono'
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_2
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ HasFiniteIntegral (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (volume.restrict (Ioo 0 ε))
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_2.hg
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ HasFiniteIntegral ?intro.intro.intro.intro.refine_2.g (volume.restrict (Ioo 0 ε))

case intro.intro.intro.intro.refine_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioo 0 ε), ‖a ^ (s - 1) * f a‖ ≤ ?intro.intro.intro.intro.refine_2.g a

case intro.intro.intro.intro.refine_2.g
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ ℝ → ℝ

tactic: show HasFiniteIntegral (fun t => d * t ^ (s - b - 1)) _
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_2.hg
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ HasFiniteIntegral ?intro.intro.intro.intro.refine_2.g (volume.restrict (Ioo 0 ε))
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_2.hg
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ HasFiniteIntegral (fun t => d * t ^ (s - b - 1)) (volume.restrict (Ioo 0 ε))

tactic: refine (Integrable.hasFiniteIntegral ?_).const_mul _
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_2.hg
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ HasFiniteIntegral (fun t => d * t ^ (s - b - 1)) (volume.restrict (Ioo 0 ε))
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_2.hg
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ Integrable (fun t => t ^ (s - b - 1)) (volume.restrict (Ioo 0 ε))

tactic: rw [← IntegrableOn, ← integrableOn_Ioc_iff_integrableOn_Ioo, ←
  intervalIntegrable_iff_integrableOn_Ioc_of_le hε.le]
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_2.hg
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ Integrable (fun t => t ^ (s - b - 1)) (volume.restrict (Ioo 0 ε))
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_2.hg
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ IntervalIntegrable (fun t => t ^ (s - b - 1)) volume 0 ε

tactic: exact intervalIntegral.intervalIntegrable_rpow' (by linarith)
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_2.hg
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ IntervalIntegrable (fun t => t ^ (s - b - 1)) volume 0 ε
state_after: no goals

tactic: linarith
state_before: E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ -1 < s - b - 1
state_after: no goals

tactic: refine (ae_restrict_iff' measurableSet_Ioo).mpr (eventually_of_forall fun t ht => ?_)
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioo 0 ε), ‖a ^ (s - 1) * f a‖ ≤ d * a ^ (s - b - 1)
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
⊢ ‖t ^ (s - 1) * f t‖ ≤ d * t ^ (s - b - 1)

tactic: rw [mul_comm, norm_mul]
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
⊢ ‖t ^ (s - 1) * f t‖ ≤ d * t ^ (s - b - 1)
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
⊢ ‖f t‖ * ‖t ^ (s - 1)‖ ≤ d * t ^ (s - b - 1)

tactic: specialize hε' _ ht.1
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
⊢ ‖f t‖ * ‖t ^ (s - 1)‖ ≤ d * t ^ (s - b - 1)
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
⊢ dist t 0 < ε

case intro.intro.intro.intro.refine_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
hε' : ‖f t‖ ≤ d * ‖t ^ (-b)‖
⊢ ‖f t‖ * ‖t ^ (s - 1)‖ ≤ d * t ^ (s - b - 1)

tactic: rw [dist_eq_norm, sub_zero, norm_of_nonneg (le_of_lt ht.1)]
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
⊢ dist t 0 < ε
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
⊢ t < ε

tactic: exact ht.2
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
⊢ t < ε
state_after: no goals

tactic: calc _ ≤ d * ‖t ^ (-b)‖ * ‖t ^ (s - 1)‖ := by gcongr
  _ = d * t ^ (s - b - 1) := ?_
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
hε' : ‖f t‖ ≤ d * ‖t ^ (-b)‖
⊢ ‖f t‖ * ‖t ^ (s - 1)‖ ≤ d * t ^ (s - b - 1)
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
hε' : ‖f t‖ ≤ d * ‖t ^ (-b)‖
⊢ d * ‖t ^ (-b)‖ * ‖t ^ (s - 1)‖ = d * t ^ (s - b - 1)

tactic: simp_rw [norm_of_nonneg (rpow_nonneg (le_of_lt ht.1) _), mul_assoc]
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
hε' : ‖f t‖ ≤ d * ‖t ^ (-b)‖
⊢ d * ‖t ^ (-b)‖ * ‖t ^ (s - 1)‖ = d * t ^ (s - b - 1)
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
hε' : ‖f t‖ ≤ d * ‖t ^ (-b)‖
⊢ d * (t ^ (-b) * t ^ (s - 1)) = d * t ^ (s - b - 1)

tactic: rw [← rpow_add ht.1]
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
hε' : ‖f t‖ ≤ d * ‖t ^ (-b)‖
⊢ d * (t ^ (-b) * t ^ (s - 1)) = d * t ^ (s - b - 1)
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
hε' : ‖f t‖ ≤ d * ‖t ^ (-b)‖
⊢ d * t ^ (-b + (s - 1)) = d * t ^ (s - b - 1)

tactic: congr 2
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
hε' : ‖f t‖ ≤ d * ‖t ^ (-b)‖
⊢ d * t ^ (-b + (s - 1)) = d * t ^ (s - b - 1)
state_after: case intro.intro.intro.intro.refine_2.h.e_a.e_a
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
hε' : ‖f t‖ ≤ d * ‖t ^ (-b)‖
⊢ -b + (s - 1) = s - b - 1

tactic: abel
state_before: case intro.intro.intro.intro.refine_2.h.e_a.e_a
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
hε' : ‖f t‖ ≤ d * ‖t ^ (-b)‖
⊢ -b + (s - 1) = s - b - 1
state_after: no goals

tactic: gcongr
state_before: E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
left✝ : d > 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
hε' : ‖f t‖ ≤ d * ‖t ^ (-b)‖
⊢ ‖f t‖ * ‖t ^ (s - 1)‖ ≤ d * ‖t ^ (-b)‖ * ‖t ^ (s - 1)‖
state_after: no goals