Theorem: Filter.hasBasis_biInf_of_directed
File: Mathlib/Order/Filter/Bases.lean

tactic: refine ⟨fun t => ?_⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
⊢ (⨅ i ∈ dom, l i).HasBasis (fun ii' => ii'.1 ∈ dom ∧ p ii'.1 ii'.2) fun ii' => s ii'.1 ii'.2
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
⊢ t ∈ ⨅ i ∈ dom, l i ↔ ∃ i, (i.1 ∈ dom ∧ p i.1 i.2) ∧ s i.1 i.2 ⊆ t

tactic: rw [mem_biInf_of_directed h hdom, Prod.exists]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
⊢ t ∈ ⨅ i ∈ dom, l i ↔ ∃ i, (i.1 ∈ dom ∧ p i.1 i.2) ∧ s i.1 i.2 ⊆ t
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
⊢ (∃ i ∈ dom, t ∈ l i) ↔ ∃ a b, ((a, b).1 ∈ dom ∧ p (a, b).1 (a, b).2) ∧ s (a, b).1 (a, b).2 ⊆ t

tactic: refine exists_congr fun i => ⟨?_, ?_⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
⊢ (∃ i ∈ dom, t ∈ l i) ↔ ∃ a b, ((a, b).1 ∈ dom ∧ p (a, b).1 (a, b).2) ∧ s (a, b).1 (a, b).2 ⊆ t
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i✝ : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
i : ι
⊢ i ∈ dom ∧ t ∈ l i → ∃ b, ((i, b).1 ∈ dom ∧ p (i, b).1 (i, b).2) ∧ s (i, b).1 (i, b).2 ⊆ t

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i✝ : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
i : ι
⊢ (∃ b, ((i, b).1 ∈ dom ∧ p (i, b).1 (i, b).2) ∧ s (i, b).1 (i, b).2 ⊆ t) → i ∈ dom ∧ t ∈ l i

tactic: rintro ⟨hi, hti⟩
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i✝ : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
i : ι
⊢ i ∈ dom ∧ t ∈ l i → ∃ b, ((i, b).1 ∈ dom ∧ p (i, b).1 (i, b).2) ∧ s (i, b).1 (i, b).2 ⊆ t
state_after: case refine_1.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i✝ : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
i : ι
hi : i ∈ dom
hti : t ∈ l i
⊢ ∃ b, ((i, b).1 ∈ dom ∧ p (i, b).1 (i, b).2) ∧ s (i, b).1 (i, b).2 ⊆ t

tactic: rcases (hl i hi).mem_iff.mp hti with ⟨b, hb, hbt⟩
state_before: case refine_1.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i✝ : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
i : ι
hi : i ∈ dom
hti : t ∈ l i
⊢ ∃ b, ((i, b).1 ∈ dom ∧ p (i, b).1 (i, b).2) ∧ s (i, b).1 (i, b).2 ⊆ t
state_after: case refine_1.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i✝ : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
i : ι
hi : i ∈ dom
hti : t ∈ l i
b : ι'
hb : p i b
hbt : s i b ⊆ t
⊢ ∃ b, ((i, b).1 ∈ dom ∧ p (i, b).1 (i, b).2) ∧ s (i, b).1 (i, b).2 ⊆ t

tactic: exact ⟨b, ⟨hi, hb⟩, hbt⟩
state_before: case refine_1.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i✝ : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
i : ι
hi : i ∈ dom
hti : t ∈ l i
b : ι'
hb : p i b
hbt : s i b ⊆ t
⊢ ∃ b, ((i, b).1 ∈ dom ∧ p (i, b).1 (i, b).2) ∧ s (i, b).1 (i, b).2 ⊆ t
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨b, ⟨hi, hb⟩, hibt⟩
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i✝ : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
i : ι
⊢ (∃ b, ((i, b).1 ∈ dom ∧ p (i, b).1 (i, b).2) ∧ s (i, b).1 (i, b).2 ⊆ t) → i ∈ dom ∧ t ∈ l i
state_after: case refine_2.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i✝ : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
i : ι
b : ι'
hibt : s (i, b).1 (i, b).2 ⊆ t
hi : (i, b).1 ∈ dom
hb : p (i, b).1 (i, b).2
⊢ i ∈ dom ∧ t ∈ l i

tactic: exact ⟨hi, (hl i hi).mem_iff.mpr ⟨b, hb, hibt⟩⟩
state_before: case refine_2.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i✝ : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
i : ι
b : ι'
hibt : s (i, b).1 (i, b).2 ⊆ t
hi : (i, b).1 ∈ dom
hb : p (i, b).1 (i, b).2
⊢ i ∈ dom ∧ t ∈ l i
state_after: no goals