Theorem: LinearMap.eq_adjoint_iff_basis_right
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean

tactic: refine ⟨fun h x y => by rw [h, adjoint_inner_left], fun h => ?_⟩
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
⊢ A = adjoint B ↔ ∀ (i : ι) (x : E), ⟪A x, b i⟫_𝕜 = ⟪x, B (b i)⟫_𝕜
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : ∀ (i : ι) (x : E), ⟪A x, b i⟫_𝕜 = ⟪x, B (b i)⟫_𝕜
⊢ A = adjoint B

tactic: ext x
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : ∀ (i : ι) (x : E), ⟪A x, b i⟫_𝕜 = ⟪x, B (b i)⟫_𝕜
⊢ A = adjoint B
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : ∀ (i : ι) (x : E), ⟪A x, b i⟫_𝕜 = ⟪x, B (b i)⟫_𝕜
x : E
⊢ A x = (adjoint B) x

tactic: exact ext_inner_right_basis b fun i => by simp only [h i, adjoint_inner_left]
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : ∀ (i : ι) (x : E), ⟪A x, b i⟫_𝕜 = ⟪x, B (b i)⟫_𝕜
x : E
⊢ A x = (adjoint B) x
state_after: no goals

tactic: rw [h, adjoint_inner_left]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : A = adjoint B
x : ι
y : E
⊢ ⟪A y, b x⟫_𝕜 = ⟪y, B (b x)⟫_𝕜
state_after: no goals

tactic: simp only [h i, adjoint_inner_left]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : ∀ (i : ι) (x : E), ⟪A x, b i⟫_𝕜 = ⟪x, B (b i)⟫_𝕜
x : E
i : ι
⊢ ⟪A x, b i⟫_𝕜 = ⟪(adjoint B) x, b i⟫_𝕜
state_after: no goals