Theorem: LieSubmodule.lieIdeal_oper_eq_linear_span'
File: Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean

tactic: rw [lieIdeal_oper_eq_linear_span]
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ↑⁅I, N⁆ = Submodule.span R {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}
state_after: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} = Submodule.span R {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}

tactic: congr
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} = Submodule.span R {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}
state_after: case e_s
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} = {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}

tactic: ext m
state_before: case e_s
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} = {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}
state_after: case e_s.h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
m : M
⊢ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ↔ m ∈ {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}

tactic: constructor
state_before: case e_s.h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
m : M
⊢ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ↔ m ∈ {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}
state_after: case e_s.h.mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
m : M
⊢ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} → m ∈ {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}

case e_s.h.mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
m : M
⊢ m ∈ {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} → m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

tactic: rintro ⟨⟨x, hx⟩, ⟨n, hn⟩, rfl⟩
state_before: case e_s.h.mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
m : M
⊢ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} → m ∈ {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}
state_after: case e_s.h.mp.intro.mk.intro.mk
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
x : L
hx : x ∈ I
n : M
hn : n ∈ N
⊢ ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑⟨n, hn⟩⁆ ∈ {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}

tactic: exact ⟨x, hx, n, hn, rfl⟩
state_before: case e_s.h.mp.intro.mk.intro.mk
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
x : L
hx : x ∈ I
n : M
hn : n ∈ N
⊢ ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑⟨n, hn⟩⁆ ∈ {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨x, hx, n, hn, rfl⟩
state_before: case e_s.h.mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
m : M
⊢ m ∈ {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} → m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
state_after: case e_s.h.mpr.intro.intro.intro.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
x : L
hx : x ∈ I
n : M
hn : n ∈ N
⊢ ⁅x, n⁆ ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

tactic: exact ⟨⟨x, hx⟩, ⟨n, hn⟩, rfl⟩
state_before: case e_s.h.mpr.intro.intro.intro.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
x : L
hx : x ∈ I
n : M
hn : n ∈ N
⊢ ⁅x, n⁆ ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
state_after: no goals