Theorem: AdicCompletion.mk_surjective
File: Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Basic.lean

tactic: intro x
state_before: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
⊢ Function.Surjective ⇑(mk I M)
state_after: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x : AdicCompletion I M
⊢ ∃ a, (mk I M) a = x

tactic: choose a ha using fun n ↦ Submodule.Quotient.mk_surjective _ (x.val n)
state_before: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x : AdicCompletion I M
⊢ ∃ a, (mk I M) a = x
state_after: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x : AdicCompletion I M
a : ℕ → M
ha : ∀ (n : ℕ), Submodule.Quotient.mk (a n) = ↑x n
⊢ ∃ a, (mk I M) a = x

tactic: refine ⟨⟨a, ?_⟩, ?_⟩
state_before: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x : AdicCompletion I M
a : ℕ → M
ha : ∀ (n : ℕ), Submodule.Quotient.mk (a n) = ↑x n
⊢ ∃ a, (mk I M) a = x
state_after: case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x : AdicCompletion I M
a : ℕ → M
ha : ∀ (n : ℕ), Submodule.Quotient.mk (a n) = ↑x n
⊢ IsAdicCauchy I M a

case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x : AdicCompletion I M
a : ℕ → M
ha : ∀ (n : ℕ), Submodule.Quotient.mk (a n) = ↑x n
⊢ (mk I M) ⟨a, ?refine_1⟩ = x

tactic: intro m n hmn
state_before: case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x : AdicCompletion I M
a : ℕ → M
ha : ∀ (n : ℕ), Submodule.Quotient.mk (a n) = ↑x n
⊢ IsAdicCauchy I M a
state_after: case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x : AdicCompletion I M
a : ℕ → M
ha : ∀ (n : ℕ), Submodule.Quotient.mk (a n) = ↑x n
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ a m ≡ a n [SMOD I ^ m • ⊤]

tactic: rw [SModEq.def, ha m, ← transitionMap_mk I M hmn, ha n, x.property hmn]
state_before: case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x : AdicCompletion I M
a : ℕ → M
ha : ∀ (n : ℕ), Submodule.Quotient.mk (a n) = ↑x n
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ a m ≡ a n [SMOD I ^ m • ⊤]
state_after: no goals

tactic: ext n
state_before: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x : AdicCompletion I M
a : ℕ → M
ha : ∀ (n : ℕ), Submodule.Quotient.mk (a n) = ↑x n
⊢ (mk I M) ⟨a, ⋯⟩ = x
state_after: case refine_2.h
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x : AdicCompletion I M
a : ℕ → M
ha : ∀ (n : ℕ), Submodule.Quotient.mk (a n) = ↑x n
n : ℕ
⊢ ↑((mk I M) ⟨a, ⋯⟩) n = ↑x n

tactic: simp [ha n]
state_before: case refine_2.h
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x : AdicCompletion I M
a : ℕ → M
ha : ∀ (n : ℕ), Submodule.Quotient.mk (a n) = ↑x n
n : ℕ
⊢ ↑((mk I M) ⟨a, ⋯⟩) n = ↑x n
state_after: no goals