Theorem: balancedCoreAux_balanced
File: Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean

tactic: rintro a ha x ⟨y, hy, rfl⟩
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
⊢ Balanced 𝕜 (balancedCoreAux 𝕜 s)
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
⊢ (fun x => a • x) y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s

tactic: obtain rfl | h := eq_or_ne a 0
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
⊢ (fun x => a • x) y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
state_after: case intro.intro.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
y : E
hy : y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
ha : ‖0‖ ≤ 1
⊢ (fun x => 0 • x) y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s

case intro.intro.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
h : a ≠ 0
⊢ (fun x => a • x) y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s

tactic: rw [mem_balancedCoreAux_iff] at hy ⊢
state_before: case intro.intro.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
h : a ≠ 0
⊢ (fun x => a • x) y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
state_after: case intro.intro.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0
⊢ ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → (fun x => a • x) y ∈ r • s

tactic: intro r hr
state_before: case intro.intro.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0
⊢ ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → (fun x => a • x) y ∈ r • s
state_after: case intro.intro.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖
⊢ (fun x => a • x) y ∈ r • s

tactic: have h'' : 1 ≤ ‖a⁻¹ • r‖ := by
  rw [norm_smul, norm_inv]
  exact one_le_mul_of_one_le_of_one_le (one_le_inv (norm_pos_iff.mpr h) ha) hr
state_before: case intro.intro.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖
⊢ (fun x => a • x) y ∈ r • s
state_after: case intro.intro.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖
h'' : 1 ≤ ‖a⁻¹ • r‖
⊢ (fun x => a • x) y ∈ r • s

tactic: have h' := hy (a⁻¹ • r) h''
state_before: case intro.intro.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖
h'' : 1 ≤ ‖a⁻¹ • r‖
⊢ (fun x => a • x) y ∈ r • s
state_after: case intro.intro.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖
h'' : 1 ≤ ‖a⁻¹ • r‖
h' : y ∈ (a⁻¹ • r) • s
⊢ (fun x => a • x) y ∈ r • s

tactic: rwa [smul_assoc, mem_inv_smul_set_iff₀ h] at h'
state_before: case intro.intro.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖
h'' : 1 ≤ ‖a⁻¹ • r‖
h' : y ∈ (a⁻¹ • r) • s
⊢ (fun x => a • x) y ∈ r • s
state_after: no goals

tactic: simp_rw [zero_smul, h0]
state_before: case intro.intro.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
y : E
hy : y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
ha : ‖0‖ ≤ 1
⊢ (fun x => 0 • x) y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
state_after: no goals

tactic: rw [norm_smul, norm_inv]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖
⊢ 1 ≤ ‖a⁻¹ • r‖
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖
⊢ 1 ≤ ‖a‖⁻¹ * ‖r‖

tactic: exact one_le_mul_of_one_le_of_one_le (one_le_inv (norm_pos_iff.mpr h) ha) hr
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖
⊢ 1 ≤ ‖a‖⁻¹ * ‖r‖
state_after: no goals