Theorem: CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.Compatible.sieveExtend
File: Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean

tactic: intro _ _ _ _ _ _ _ h₁ h₂ comm
state_before: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
hx : x.Compatible
⊢ x.sieveExtend.Compatible
state_after: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
hx : x.Compatible
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝
⊢ P.map g₁✝.op (x.sieveExtend f₁✝ h₁) = P.map g₂✝.op (x.sieveExtend f₂✝ h₂)

tactic: iterate 2 erw [← FunctorToTypes.map_comp_apply]; rw [← op_comp]
state_before: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
hx : x.Compatible
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝
⊢ P.map g₁✝.op (x.sieveExtend f₁✝ h₁) = P.map g₂✝.op (x.sieveExtend f₂✝ h₂)
state_after: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
hx : x.Compatible
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝
⊢ P.map (g₁✝ ≫ ⋯.choose).op (x ⋯.choose ⋯) = P.map (g₂✝ ≫ ⋯.choose).op (x ⋯.choose ⋯)

tactic: apply hx
state_before: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
hx : x.Compatible
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝
⊢ P.map (g₁✝ ≫ ⋯.choose).op (x ⋯.choose ⋯) = P.map (g₂✝ ≫ ⋯.choose).op (x ⋯.choose ⋯)
state_after: case a
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
hx : x.Compatible
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝
⊢ (g₁✝ ≫ ⋯.choose) ≫ ⋯.choose = (g₂✝ ≫ ⋯.choose) ≫ ⋯.choose

tactic: simp [comm, h₁.choose_spec.choose_spec.choose_spec.2, h₂.choose_spec.choose_spec.choose_spec.2]
state_before: case a
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
hx : x.Compatible
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝
⊢ (g₁✝ ≫ ⋯.choose) ≫ ⋯.choose = (g₂✝ ≫ ⋯.choose) ≫ ⋯.choose
state_after: no goals

tactic: erw [← FunctorToTypes.map_comp_apply]
state_before: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
hx : x.Compatible
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝
⊢ P.map (g₁✝ ≫ ⋯.choose).op (x ⋯.choose ⋯) = P.map g₂✝.op (x.sieveExtend f₂✝ h₂)
state_after: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
hx : x.Compatible
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝
⊢ P.map (g₁✝ ≫ ⋯.choose).op (x ⋯.choose ⋯) = P.map (⋯.choose.op ≫ g₂✝.op) (x ⋯.choose ⋯)

tactic: rw [← op_comp]
state_before: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
hx : x.Compatible
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝
⊢ P.map (g₁✝ ≫ ⋯.choose).op (x ⋯.choose ⋯) = P.map (⋯.choose.op ≫ g₂✝.op) (x ⋯.choose ⋯)
state_after: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
hx : x.Compatible
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝
⊢ P.map (g₁✝ ≫ ⋯.choose).op (x ⋯.choose ⋯) = P.map (g₂✝ ≫ ⋯.choose).op (x ⋯.choose ⋯)