Theorem: AffineBasis.surjective_coord
File: Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean

tactic: classical
  intro x
  obtain ⟨j, hij⟩ := exists_ne i
  let s : Finset ι := {i, j}
  have hi : i ∈ s := by simp [s]
  let w : ι → k := fun j' => if j' = i then x else 1 - x
  have hw : s.sum w = 1 := by simp [s, w, Finset.sum_ite, Finset.filter_insert, hij,
    Finset.filter_true_of_mem, Finset.filter_false_of_mem]
  use s.affineCombination k b w
  simp [w, b.coord_apply_combination_of_mem hi hw]
state_before: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Nontrivial ι
i : ι
⊢ Function.Surjective ⇑(b.coord i)
state_after: no goals

tactic: intro x
state_before: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Nontrivial ι
i : ι
⊢ Function.Surjective ⇑(b.coord i)
state_after: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Nontrivial ι
i : ι
x : k
⊢ ∃ a, (b.coord i) a = x

tactic: obtain ⟨j, hij⟩ := exists_ne i
state_before: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Nontrivial ι
i : ι
x : k
⊢ ∃ a, (b.coord i) a = x
state_after: case intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j✝ : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Nontrivial ι
i : ι
x : k
j : ι
hij : j ≠ i
⊢ ∃ a, (b.coord i) a = x

tactic: let s : Finset ι := {i, j}
state_before: case intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j✝ : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Nontrivial ι
i : ι
x : k
j : ι
hij : j ≠ i
⊢ ∃ a, (b.coord i) a = x
state_after: case intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s✝ : Finset ι
i✝ j✝ : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Nontrivial ι
i : ι
x : k
j : ι
hij : j ≠ i
s : Finset ι := {i, j}
⊢ ∃ a, (b.coord i) a = x

tactic: have hi : i ∈ s := by simp [s]
state_before: case intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s✝ : Finset ι
i✝ j✝ : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Nontrivial ι
i : ι
x : k
j : ι
hij : j ≠ i
s : Finset ι := {i, j}
⊢ ∃ a, (b.coord i) a = x
state_after: case intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s✝ : Finset ι
i✝ j✝ : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Nontrivial ι
i : ι
x : k
j : ι
hij : j ≠ i
s : Finset ι := {i, j}
hi : i ∈ s
⊢ ∃ a, (b.coord i) a = x

tactic: let w : ι → k := fun j' => if j' = i then x else 1 - x
state_before: case intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s✝ : Finset ι
i✝ j✝ : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Nontrivial ι
i : ι
x : k
j : ι
hij : j ≠ i
s : Finset ι := {i, j}
hi : i ∈ s
⊢ ∃ a, (b.coord i) a = x
state_after: case intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s✝ : Finset ι
i✝ j✝ : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Nontrivial ι
i : ι
x : k
j : ι
hij : j ≠ i
s : Finset ι := {i, j}
hi : i ∈ s
w : ι → k := fun j' => if j' = i then x else 1 - x
⊢ ∃ a, (b.coord i) a = x

tactic: have hw : s.sum w = 1 := by simp [s, w, Finset.sum_ite, Finset.filter_insert, hij,
  Finset.filter_true_of_mem, Finset.filter_false_of_mem]
state_before: case intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s✝ : Finset ι
i✝ j✝ : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Nontrivial ι
i : ι
x : k
j : ι
hij : j ≠ i
s : Finset ι := {i, j}
hi : i ∈ s
w : ι → k := fun j' => if j' = i then x else 1 - x
⊢ ∃ a, (b.coord i) a = x
state_after: case intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s✝ : Finset ι
i✝ j✝ : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Nontrivial ι
i : ι
x : k
j : ι
hij : j ≠ i
s : Finset ι := {i, j}
hi : i ∈ s
w : ι → k := fun j' => if j' = i then x else 1 - x
hw : s.sum w = 1
⊢ ∃ a, (b.coord i) a = x

tactic: use s.affineCombination k b w
state_before: case intro
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s✝ : Finset ι
i✝ j✝ : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Nontrivial ι
i : ι
x : k
j : ι
hij : j ≠ i
s : Finset ι := {i, j}
hi : i ∈ s
w : ι → k := fun j' => if j' = i then x else 1 - x
hw : s.sum w = 1
⊢ ∃ a, (b.coord i) a = x
state_after: case h
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s✝ : Finset ι
i✝ j✝ : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Nontrivial ι
i : ι
x : k
j : ι
hij : j ≠ i
s : Finset ι := {i, j}
hi : i ∈ s
w : ι → k := fun j' => if j' = i then x else 1 - x
hw : s.sum w = 1
⊢ (b.coord i) ((Finset.affineCombination k s ⇑b) w) = x

tactic: simp [w, b.coord_apply_combination_of_mem hi hw]
state_before: case h
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s✝ : Finset ι
i✝ j✝ : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Nontrivial ι
i : ι
x : k
j : ι
hij : j ≠ i
s : Finset ι := {i, j}
hi : i ∈ s
w : ι → k := fun j' => if j' = i then x else 1 - x
hw : s.sum w = 1
⊢ (b.coord i) ((Finset.affineCombination k s ⇑b) w) = x
state_after: no goals

tactic: simp [s]
state_before: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s✝ : Finset ι
i✝ j✝ : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Nontrivial ι
i : ι
x : k
j : ι
hij : j ≠ i
s : Finset ι := {i, j}
⊢ i ∈ s
state_after: no goals

tactic: simp [s, w, Finset.sum_ite, Finset.filter_insert, hij,
Finset.filter_true_of_mem, Finset.filter_false_of_mem]
state_before: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s✝ : Finset ι
i✝ j✝ : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Nontrivial ι
i : ι
x : k
j : ι
hij : j ≠ i
s : Finset ι := {i, j}
hi : i ∈ s
w : ι → k := fun j' => if j' = i then x else 1 - x
⊢ s.sum w = 1
state_after: no goals