Theorem: Finsupp.supported_eq_span_single
File: Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean

tactic: refine (span_eq_of_le _ ?_ (SetLike.le_def.2 fun l hl => ?_)).symm
state_before: α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α
⊢ supported R R s = span R ((fun i => single i 1) '' s)
state_after: case refine_1
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α
⊢ (fun i => single i 1) '' s ⊆ ↑(supported R R s)

case refine_2
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α
l : α →₀ R
hl : l ∈ supported R R s
⊢ l ∈ span R ((fun i => single i 1) '' s)

tactic: rintro _ ⟨_, hp, rfl⟩
state_before: case refine_1
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α
⊢ (fun i => single i 1) '' s ⊆ ↑(supported R R s)
state_after: case refine_1.intro.intro
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α
w✝ : α
hp : w✝ ∈ s
⊢ (fun i => single i 1) w✝ ∈ ↑(supported R R s)

tactic: exact single_mem_supported R 1 hp
state_before: case refine_1.intro.intro
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α
w✝ : α
hp : w✝ ∈ s
⊢ (fun i => single i 1) w✝ ∈ ↑(supported R R s)
state_after: no goals

tactic: rw [← l.sum_single]
state_before: case refine_2
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α
l : α →₀ R
hl : l ∈ supported R R s
⊢ l ∈ span R ((fun i => single i 1) '' s)
state_after: case refine_2
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α
l : α →₀ R
hl : l ∈ supported R R s
⊢ l.sum single ∈ span R ((fun i => single i 1) '' s)

tactic: refine sum_mem fun i il => ?_
state_before: case refine_2
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α
l : α →₀ R
hl : l ∈ supported R R s
⊢ l.sum single ∈ span R ((fun i => single i 1) '' s)
state_after: case refine_2
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α
l : α →₀ R
hl : l ∈ supported R R s
i : α
il : i ∈ l.support
⊢ single i (l i) ∈ span R ((fun i => single i 1) '' s)

tactic: convert smul_mem (M := α →₀ R) (x := single i 1) (span R ((fun i => single i 1) '' s)) (l i) ?_
state_before: case refine_2
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α
l : α →₀ R
hl : l ∈ supported R R s
i : α
il : i ∈ l.support
⊢ single i (l i) ∈ span R ((fun i => single i 1) '' s)
state_after: case h.e'_4
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α
l : α →₀ R
hl : l ∈ supported R R s
i : α
il : i ∈ l.support
⊢ single i (l i) = l i • single i 1

case refine_2
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α
l : α →₀ R
hl : l ∈ supported R R s
i : α
il : i ∈ l.support
⊢ single i 1 ∈ span R ((fun i => single i 1) '' s)

tactic: simp [span]
state_before: case h.e'_4
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α
l : α →₀ R
hl : l ∈ supported R R s
i : α
il : i ∈ l.support
⊢ single i (l i) = l i • single i 1
state_after: no goals

tactic: apply subset_span
state_before: case refine_2
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α
l : α →₀ R
hl : l ∈ supported R R s
i : α
il : i ∈ l.support
⊢ single i 1 ∈ span R ((fun i => single i 1) '' s)
state_after: case refine_2.a
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α
l : α →₀ R
hl : l ∈ supported R R s
i : α
il : i ∈ l.support
⊢ single i 1 ∈ (fun i => single i 1) '' s

tactic: apply Set.mem_image_of_mem _ (hl il)
state_before: case refine_2.a
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α
l : α →₀ R
hl : l ∈ supported R R s
i : α
il : i ∈ l.support
⊢ single i 1 ∈ (fun i => single i 1) '' s
state_after: no goals