Theorem: ContinuousLinearMap.exists_approx_preimage_norm_le
File: Mathlib/Analysis/NormedSpace/Banach.lean

tactic: have A : ⋃ n : ℕ, closure (f '' ball 0 n) = Set.univ := by
  refine Subset.antisymm (subset_univ _) fun y _ => ?_
  rcases surj y with ⟨x, hx⟩
  rcases exists_nat_gt ‖x‖ with ⟨n, hn⟩
  refine mem_iUnion.2 ⟨n, subset_closure ?_⟩
  refine (mem_image _ _ _).2 ⟨x, ⟨?_, hx⟩⟩
  rwa [mem_ball, dist_eq_norm, sub_zero]
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
state_after: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖

tactic: have : ∃ (n : ℕ) (x : _), x ∈ interior (closure (f '' ball 0 n)) :=
  nonempty_interior_of_iUnion_of_closed (fun n => isClosed_closure) A
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
state_after: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
this : ∃ n x, x ∈ interior (closure (⇑f '' ball 0 ↑n))
⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖

tactic: simp only [mem_interior_iff_mem_nhds, Metric.mem_nhds_iff] at this
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
this : ∃ n x, x ∈ interior (closure (⇑f '' ball 0 ↑n))
⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
state_after: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
this : ∃ n x, ∃ ε > 0, ball x ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖

tactic: rcases this with ⟨n, a, ε, ⟨εpos, H⟩⟩
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
this : ∃ n x, ∃ ε > 0, ball x ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖

tactic: rcases NormedField.exists_one_lt_norm 𝕜 with ⟨c, hc⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖

tactic: refine ⟨(ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * n, by positivity, fun y => ?_⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

tactic: rcases eq_or_ne y 0 with rfl | hy
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inl
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ ∃ x, dist (f x) 0 ≤ 1 / 2 * ‖0‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖0‖

case intro.intro.intro.intro.intro.inr
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

tactic: refine Subset.antisymm (subset_univ _) fun y _ => ?_
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
⊢ ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
state_after: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
y : F
x✝ : y ∈ Set.univ
⊢ y ∈ ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n)

tactic: rcases surj y with ⟨x, hx⟩
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
y : F
x✝ : y ∈ Set.univ
⊢ y ∈ ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
state_after: case intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
y : F
x✝ : y ∈ Set.univ
x : E
hx : f x = y
⊢ y ∈ ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n)

tactic: rcases exists_nat_gt ‖x‖ with ⟨n, hn⟩
state_before: case intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
y : F
x✝ : y ∈ Set.univ
x : E
hx : f x = y
⊢ y ∈ ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
y : F
x✝ : y ∈ Set.univ
x : E
hx : f x = y
n : ℕ
hn : ‖x‖ < ↑n
⊢ y ∈ ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n)

tactic: refine mem_iUnion.2 ⟨n, subset_closure ?_⟩
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
y : F
x✝ : y ∈ Set.univ
x : E
hx : f x = y
n : ℕ
hn : ‖x‖ < ↑n
⊢ y ∈ ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
y : F
x✝ : y ∈ Set.univ
x : E
hx : f x = y
n : ℕ
hn : ‖x‖ < ↑n
⊢ y ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n

tactic: refine (mem_image _ _ _).2 ⟨x, ⟨?_, hx⟩⟩
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
y : F
x✝ : y ∈ Set.univ
x : E
hx : f x = y
n : ℕ
hn : ‖x‖ < ↑n
⊢ y ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
y : F
x✝ : y ∈ Set.univ
x : E
hx : f x = y
n : ℕ
hn : ‖x‖ < ↑n
⊢ x ∈ ball 0 ↑n

tactic: rwa [mem_ball, dist_eq_norm, sub_zero]
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
y : F
x✝ : y ∈ Set.univ
x : E
hx : f x = y
n : ℕ
hn : ‖x‖ < ↑n
⊢ x ∈ ball 0 ↑n
state_after: no goals

tactic: positivity
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n ≥ 0
state_after: no goals

tactic: use 0
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inl
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ ∃ x, dist (f x) 0 ≤ 1 / 2 * ‖0‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖0‖
state_after: case h
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ dist (f 0) 0 ≤ 1 / 2 * ‖0‖ ∧ ‖0‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖0‖

tactic: simp
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ dist (f 0) 0 ≤ 1 / 2 * ‖0‖ ∧ ‖0‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖0‖
state_after: no goals

tactic: have hc' : 1 < ‖σ c‖ := by simp only [RingHomIsometric.is_iso, hc]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

tactic: rcases rescale_to_shell hc' (half_pos εpos) hy with ⟨d, hd, ydlt, -, dinv⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

tactic: let δ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

tactic: have δpos : 0 < δ := div_pos (mul_pos (norm_pos_iff.2 hd) (norm_pos_iff.2 hy)) (by norm_num)
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

tactic: have : a + d • y ∈ ball a ε := by
  simp [dist_eq_norm, lt_of_le_of_lt ydlt.le (half_lt_self εpos)]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

tactic: rcases Metric.mem_closure_iff.1 (H this) _ δpos with ⟨z₁, z₁im, h₁⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
h₁ : dist (a + d • y) z₁ < δ
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

tactic: rcases (mem_image _ _ _).1 z₁im with ⟨x₁, hx₁, xz₁⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
h₁ : dist (a + d • y) z₁ < δ
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
h₁ : dist (a + d • y) z₁ < δ
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ ball 0 ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

tactic: rw [← xz₁] at h₁
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
h₁ : dist (a + d • y) z₁ < δ
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ ball 0 ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : x₁ ∈ ball 0 ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

tactic: rw [mem_ball, dist_eq_norm, sub_zero] at hx₁
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : x₁ ∈ ball 0 ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

tactic: have : a ∈ ball a ε := by
  simp only [mem_ball, dist_self]
  exact εpos
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

tactic: rcases Metric.mem_closure_iff.1 (H this) _ δpos with ⟨z₂, z₂im, h₂⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
h₂ : dist a z₂ < δ
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

tactic: rcases (mem_image _ _ _).1 z₂im with ⟨x₂, hx₂, xz₂⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
h₂ : dist a z₂ < δ
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
h₂ : dist a z₂ < δ
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ ball 0 ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

tactic: rw [← xz₂] at h₂
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
h₂ : dist a z₂ < δ
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ ball 0 ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : x₂ ∈ ball 0 ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

tactic: rw [mem_ball, dist_eq_norm, sub_zero] at hx₂
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : x₂ ∈ ball 0 ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

tactic: let x := x₁ - x₂
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

tactic: have I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ :=
  calc
    ‖f x - d • y‖ = ‖f x₁ - (a + d • y) - (f x₂ - a)‖ := by
      congr 1
      simp only [f.map_sub]
      abel
    _ ≤ ‖f x₁ - (a + d • y)‖ + ‖f x₂ - a‖ := norm_sub_le _ _
    _ ≤ δ + δ := by rw [dist_eq_norm'] at h₁ h₂; gcongr
    _ = 2 * δ := (two_mul _).symm
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

tactic: have J : ‖f (σ' d⁻¹ • x) - y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖ :=
  calc
    ‖f (σ' d⁻¹ • x) - y‖ = ‖d⁻¹ • f x - (d⁻¹ * d) • y‖ := by
      rwa [f.map_smulₛₗ _, inv_mul_cancel, one_smul, map_inv₀, map_inv₀,
        RingHomCompTriple.comp_apply, RingHom.id_apply]
    _ = ‖d⁻¹ • (f x - d • y)‖ := by rw [mul_smul, smul_sub]
    _ = ‖d‖⁻¹ * ‖f x - d • y‖ := by rw [norm_smul, norm_inv]
    _ ≤ ‖d‖⁻¹ * (2 * δ) := by gcongr
    _ = ‖d‖⁻¹ * ‖d‖ * ‖y‖ / 2 := by
      simp only [δ]
      ring
    _ = ‖y‖ / 2 := by
      rw [inv_mul_cancel, one_mul]
      simp [norm_eq_zero, hd]
    _ = 1 / 2 * ‖y‖ := by ring
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
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y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
J : ‖f (σ' d⁻¹ • x) - y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

tactic: rw [← dist_eq_norm] at J
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
J : ‖f (σ' d⁻¹ • x) - y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
J : dist (f (σ' d⁻¹ • x)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

tactic: exact ⟨σ' d⁻¹ • x, J, K⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
J : dist (f (σ' d⁻¹ • x)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖
K : ‖σ' d⁻¹ • x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
state_after: no goals

tactic: simp only [RingHomIsometric.is_iso, hc]
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
⊢ 1 < ‖σ c‖
state_after: no goals

tactic: norm_num
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
⊢ 0 < 4
state_after: no goals

tactic: simp [dist_eq_norm, lt_of_le_of_lt ydlt.le (half_lt_self εpos)]
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
⊢ a + d • y ∈ ball a ε
state_after: no goals

tactic: simp only [mem_ball, dist_self]
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
⊢ a ∈ ball a ε
state_after: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
⊢ 0 < ε

tactic: exact εpos
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
⊢ 0 < ε
state_after: no goals

tactic: congr 1
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
⊢ ‖f x - d • y‖ = ‖f x₁ - (a + d • y) - (f x₂ - a)‖
state_after: case e_a
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
⊢ f x - d • y = f x₁ - (a + d • y) - (f x₂ - a)

tactic: simp only [f.map_sub]
state_before: case e_a
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
⊢ f x - d • y = f x₁ - (a + d • y) - (f x₂ - a)
state_after: case e_a
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
⊢ f x₁ - f x₂ - d • y = f x₁ - (a + d • y) - (f x₂ - a)

tactic: abel
state_before: case e_a
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
⊢ f x₁ - f x₂ - d • y = f x₁ - (a + d • y) - (f x₂ - a)
state_after: no goals

tactic: rw [dist_eq_norm'] at h₁ h₂
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
⊢ ‖f x₁ - (a + d • y)‖ + ‖f x₂ - a‖ ≤ δ + δ
state_after: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : ‖f x₁ - (a + d • y)‖ < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : ‖f x₂ - a‖ < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
⊢ ‖f x₁ - (a + d • y)‖ + ‖f x₂ - a‖ ≤ δ + δ

tactic: gcongr
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : ‖f x₁ - (a + d • y)‖ < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : ‖f x₂ - a‖ < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
⊢ ‖f x₁ - (a + d • y)‖ + ‖f x₂ - a‖ ≤ δ + δ
state_after: no goals

tactic: rwa [f.map_smulₛₗ _, inv_mul_cancel, one_smul, map_inv₀, map_inv₀,
  RingHomCompTriple.comp_apply, RingHom.id_apply]
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
⊢ ‖f (σ' d⁻¹ • x) - y‖ = ‖d⁻¹ • f x - (d⁻¹ * d) • y‖
state_after: no goals

tactic: rw [mul_smul, smul_sub]
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
⊢ ‖d⁻¹ • f x - (d⁻¹ * d) • y‖ = ‖d⁻¹ • (f x - d • y)‖
state_after: no goals

tactic: rw [norm_smul, norm_inv]
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
⊢ ‖d⁻¹ • (f x - d • y)‖ = ‖d‖⁻¹ * ‖f x - d • y‖
state_after: no goals

tactic: gcongr
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
⊢ ‖d‖⁻¹ * ‖f x - d • y‖ ≤ ‖d‖⁻¹ * (2 * δ)
state_after: no goals

tactic: simp only [δ]
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
⊢ ‖d‖⁻¹ * (2 * δ) = ‖d‖⁻¹ * ‖d‖ * ‖y‖ / 2
state_after: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
⊢ ‖d‖⁻¹ * (2 * (‖d‖ * ‖y‖ / 4)) = ‖d‖⁻¹ * ‖d‖ * ‖y‖ / 2

tactic: ring
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
⊢ ‖d‖⁻¹ * (2 * (‖d‖ * ‖y‖ / 4)) = ‖d‖⁻¹ * ‖d‖ * ‖y‖ / 2
state_after: no goals

tactic: rw [inv_mul_cancel, one_mul]
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
⊢ ‖d‖⁻¹ * ‖d‖ * ‖y‖ / 2 = ‖y‖ / 2
state_after: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
⊢ ‖d‖ ≠ 0

tactic: simp [norm_eq_zero, hd]
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
⊢ ‖d‖ ≠ 0
state_after: no goals

tactic: ring
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
⊢ ‖y‖ / 2 = 1 / 2 * ‖y‖
state_after: no goals

tactic: rw [norm_smul, RingHomIsometric.is_iso, norm_inv]
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
J : dist (f (σ' d⁻¹ • x)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖
⊢ ‖σ' d⁻¹ • x‖ = ‖d‖⁻¹ * ‖x₁ - x₂‖
state_after: no goals

tactic: gcongr
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
J : dist (f (σ' d⁻¹ • x)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖
⊢ ‖d‖⁻¹ * ‖x₁ - x₂‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * ‖y‖ * (↑n + ↑n)
state_after: case h₁
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
J : dist (f (σ' d⁻¹ • x)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖
⊢ ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * ‖y‖

case h₂
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
J : dist (f (σ' d⁻¹ • x)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖
⊢ ‖x₁ - x₂‖ ≤ ↑n + ↑n

tactic: simpa using dinv
state_before: case h₁
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
J : dist (f (σ' d⁻¹ • x)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖
⊢ ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * ‖y‖
state_after: no goals

tactic: exact le_trans (norm_sub_le _ _) (by gcongr)
state_before: case h₂
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
J : dist (f (σ' d⁻¹ • x)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖
⊢ ‖x₁ - x₂‖ ≤ ↑n + ↑n
state_after: no goals

tactic: gcongr
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
J : dist (f (σ' d⁻¹ • x)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖
⊢ ‖x₁‖ + ‖x₂‖ ≤ ↑n + ↑n
state_after: no goals

tactic: ring
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
J : dist (f (σ' d⁻¹ • x)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖
⊢ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * ‖y‖ * (↑n + ↑n) = (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
state_after: no goals