Theorem: Algebra.trace_eq_of_ringEquiv
File: Mathlib/RingTheory/Trace.lean

tactic: by_cases h : ∃ s : Finset C, Nonempty (Basis s B C)
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
⊢ e ((trace A C) x) = (trace B C) x
state_after: case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
h : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } B C)
⊢ e ((trace A C) x) = (trace B C) x

case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
h : ¬∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } B C)
⊢ e ((trace A C) x) = (trace B C) x

tactic: rw [trace_eq_zero_of_not_exists_basis _ h, trace_eq_zero_of_not_exists_basis,
  LinearMap.zero_apply, LinearMap.zero_apply, map_zero]
state_before: case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
h : ¬∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } B C)
⊢ e ((trace A C) x) = (trace B C) x
state_after: case neg.h
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
h : ¬∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } B C)
⊢ ¬∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } A C)

tactic: intro ⟨s, ⟨b⟩⟩
state_before: case neg.h
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
h : ¬∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } B C)
⊢ ¬∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } A C)
state_after: case neg.h
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
h : ¬∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } B C)
s : Finset C
b : Basis { x // x ∈ s } A C
⊢ False

tactic: exact h ⟨s, ⟨b.mapCoeffs e (by simp [Algebra.smul_def, ← he])⟩⟩
state_before: case neg.h
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
h : ¬∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } B C)
s : Finset C
b : Basis { x // x ∈ s } A C
⊢ False
state_after: no goals

tactic: obtain ⟨s, ⟨b⟩⟩ := h
state_before: case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
h : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } B C)
⊢ e ((trace A C) x) = (trace B C) x
state_after: case pos.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
s : Finset C
b : Basis { x // x ∈ s } B C
⊢ e ((trace A C) x) = (trace B C) x

tactic: letI : Algebra A B := RingHom.toAlgebra e
state_before: case pos.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
s : Finset C
b : Basis { x // x ∈ s } B C
⊢ e ((trace A C) x) = (trace B C) x
state_after: case pos.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
s : Finset C
b : Basis { x // x ∈ s } B C
this : Algebra A B := (↑e).toAlgebra
⊢ e ((trace A C) x) = (trace B C) x

tactic: letI : IsScalarTower A B C := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' he.symm
state_before: case pos.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
s : Finset C
b : Basis { x // x ∈ s } B C
this : Algebra A B := (↑e).toAlgebra
⊢ e ((trace A C) x) = (trace B C) x
state_after: case pos.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
s : Finset C
b : Basis { x // x ∈ s } B C
this✝ : Algebra A B := (↑e).toAlgebra
this : IsScalarTower A B C := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' (Eq.symm he)
⊢ e ((trace A C) x) = (trace B C) x

tactic: rw [Algebra.trace_eq_matrix_trace b,
  Algebra.trace_eq_matrix_trace (b.mapCoeffs e.symm (by simp [Algebra.smul_def, ← he]))]
state_before: case pos.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
s : Finset C
b : Basis { x // x ∈ s } B C
this✝ : Algebra A B := (↑e).toAlgebra
this : IsScalarTower A B C := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' (Eq.symm he)
⊢ e ((trace A C) x) = (trace B C) x
state_after: case pos.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
s : Finset C
b : Basis { x // x ∈ s } B C
this✝ : Algebra A B := (↑e).toAlgebra
this : IsScalarTower A B C := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' (Eq.symm he)
⊢ e ((leftMulMatrix (b.mapCoeffs e.symm ⋯)) x).trace = ((leftMulMatrix b) x).trace

tactic: show e.toAddMonoidHom _ = _
state_before: case pos.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
s : Finset C
b : Basis { x // x ∈ s } B C
this✝ : Algebra A B := (↑e).toAlgebra
this : IsScalarTower A B C := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' (Eq.symm he)
⊢ e ((leftMulMatrix (b.mapCoeffs e.symm ⋯)) x).trace = ((leftMulMatrix b) x).trace
state_after: case pos.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
s : Finset C
b : Basis { x // x ∈ s } B C
this✝ : Algebra A B := (↑e).toAlgebra
this : IsScalarTower A B C := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' (Eq.symm he)
⊢ e.toAddMonoidHom ((leftMulMatrix (b.mapCoeffs e.symm ⋯)) x).trace = ((leftMulMatrix b) x).trace

tactic: rw [AddMonoidHom.map_trace]
state_before: case pos.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
s : Finset C
b : Basis { x // x ∈ s } B C
this✝ : Algebra A B := (↑e).toAlgebra
this : IsScalarTower A B C := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' (Eq.symm he)
⊢ e.toAddMonoidHom ((leftMulMatrix (b.mapCoeffs e.symm ⋯)) x).trace = ((leftMulMatrix b) x).trace
state_after: case pos.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
s : Finset C
b : Basis { x // x ∈ s } B C
this✝ : Algebra A B := (↑e).toAlgebra
this : IsScalarTower A B C := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' (Eq.symm he)
⊢ (e.toAddMonoidHom.mapMatrix ((leftMulMatrix (b.mapCoeffs e.symm ⋯)) x)).trace = ((leftMulMatrix b) x).trace

tactic: congr
state_before: case pos.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
s : Finset C
b : Basis { x // x ∈ s } B C
this✝ : Algebra A B := (↑e).toAlgebra
this : IsScalarTower A B C := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' (Eq.symm he)
⊢ (e.toAddMonoidHom.mapMatrix ((leftMulMatrix (b.mapCoeffs e.symm ⋯)) x)).trace = ((leftMulMatrix b) x).trace
state_after: case pos.intro.intro.e_A
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
s : Finset C
b : Basis { x // x ∈ s } B C
this✝ : Algebra A B := (↑e).toAlgebra
this : IsScalarTower A B C := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' (Eq.symm he)
⊢ e.toAddMonoidHom.mapMatrix ((leftMulMatrix (b.mapCoeffs e.symm ⋯)) x) = (leftMulMatrix b) x

tactic: ext i j
state_before: case pos.intro.intro.e_A
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
s : Finset C
b : Basis { x // x ∈ s } B C
this✝ : Algebra A B := (↑e).toAlgebra
this : IsScalarTower A B C := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' (Eq.symm he)
⊢ e.toAddMonoidHom.mapMatrix ((leftMulMatrix (b.mapCoeffs e.symm ⋯)) x) = (leftMulMatrix b) x
state_after: case pos.intro.intro.e_A.a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
s : Finset C
b : Basis { x // x ∈ s } B C
this✝ : Algebra A B := (↑e).toAlgebra
this : IsScalarTower A B C := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' (Eq.symm he)
i j : { x // x ∈ s }
⊢ e.toAddMonoidHom.mapMatrix ((leftMulMatrix (b.mapCoeffs e.symm ⋯)) x) i j = (leftMulMatrix b) x i j

tactic: simp [leftMulMatrix_apply, LinearMap.toMatrix_apply]
state_before: case pos.intro.intro.e_A.a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
s : Finset C
b : Basis { x // x ∈ s } B C
this✝ : Algebra A B := (↑e).toAlgebra
this : IsScalarTower A B C := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' (Eq.symm he)
i j : { x // x ∈ s }
⊢ e.toAddMonoidHom.mapMatrix ((leftMulMatrix (b.mapCoeffs e.symm ⋯)) x) i j = (leftMulMatrix b) x i j
state_after: no goals

tactic: simp [Algebra.smul_def, ← he]
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
s : Finset C
b : Basis { x // x ∈ s } B C
this✝ : Algebra A B := (↑e).toAlgebra
this : IsScalarTower A B C := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' (Eq.symm he)
⊢ ∀ (c : B) (x : C), e.symm c • x = c • x
state_after: no goals

tactic: simp [Algebra.smul_def, ← he]
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u_7
B : Type u_8
C : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Algebra B C
e : A ≃+* B
he : (algebraMap B C).comp ↑e = algebraMap A C
x : C
h : ¬∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } B C)
s : Finset C
b : Basis { x // x ∈ s } A C
⊢ ∀ (c : A) (x : C), e c • x = c • x
state_after: no goals