Theorem: CategoryTheory.Presheaf.isSheaf_iff_multifork
File: Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean

tactic: refine ⟨fun hP X S => ⟨isLimitOfIsSheaf _ _ _ hP⟩, ?_⟩
state_before: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
⊢ IsSheaf J P ↔ ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
state_after: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
⊢ (∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))) → IsSheaf J P

tactic: intro h E X S hS x hx
state_before: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
⊢ (∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))) → IsSheaf J P
state_after: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t

tactic: let T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
state_before: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
state_after: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t

tactic: obtain ⟨hh⟩ := h _ T
state_before: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
state_after: case intro
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t

tactic: let K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι _ E (fun I => x I.f I.hf)
  (fun I => hx _ _ _ _ I.r.w)
state_before: case intro
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
state_after: case intro
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t

tactic: use hh.lift K
state_before: case intro
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
state_after: case h
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
⊢ (fun t => x.IsAmalgamation t) (hh.lift K) ∧
    ∀ (y : (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }).obj { unop := X }), (fun t => x.IsAmalgamation t) y → y = hh.lift K

tactic: dsimp
state_before: case h
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
⊢ (fun t => x.IsAmalgamation t) (hh.lift K) ∧
    ∀ (y : (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }).obj { unop := X }), (fun t => x.IsAmalgamation t) y → y = hh.lift K
state_after: case h
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
⊢ x.IsAmalgamation (hh.lift K) ∧ ∀ (y : E ⟶ P.obj { unop := X }), x.IsAmalgamation y → y = hh.lift K

tactic: constructor
state_before: case h
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
⊢ x.IsAmalgamation (hh.lift K) ∧ ∀ (y : E ⟶ P.obj { unop := X }), x.IsAmalgamation y → y = hh.lift K
state_after: case h.left
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
⊢ x.IsAmalgamation (hh.lift K)

case h.right
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
⊢ ∀ (y : E ⟶ P.obj { unop := X }), x.IsAmalgamation y → y = hh.lift K

tactic: intro Y f hf
state_before: case h.left
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
⊢ x.IsAmalgamation (hh.lift K)
state_after: case h.left
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
⊢ (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }).map f.op (hh.lift K) = x f hf

tactic: apply hh.fac K (WalkingMulticospan.left ⟨Y, f, hf⟩)
state_before: case h.left
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
⊢ (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }).map f.op (hh.lift K) = x f hf
state_after: no goals

tactic: intro e he
state_before: case h.right
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
⊢ ∀ (y : E ⟶ P.obj { unop := X }), x.IsAmalgamation y → y = hh.lift K
state_after: case h.right
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
e : E ⟶ P.obj { unop := X }
he : x.IsAmalgamation e
⊢ e = hh.lift K

tactic: apply hh.uniq K
state_before: case h.right
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
e : E ⟶ P.obj { unop := X }
he : x.IsAmalgamation e
⊢ e = hh.lift K
state_after: case h.right.x
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
e : E ⟶ P.obj { unop := X }
he : x.IsAmalgamation e
⊢ ∀ (j : WalkingMulticospan (T.index P).fstTo (T.index P).sndTo), e ≫ (T.multifork P).π.app j = K.π.app j

tactic: rintro (a | b)
state_before: case h.right.x
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
e : E ⟶ P.obj { unop := X }
he : x.IsAmalgamation e
⊢ ∀ (j : WalkingMulticospan (T.index P).fstTo (T.index P).sndTo), e ≫ (T.multifork P).π.app j = K.π.app j
state_after: case h.right.x.left
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
e : E ⟶ P.obj { unop := X }
he : x.IsAmalgamation e
a : (T.index P).L
⊢ e ≫ (T.multifork P).π.app (WalkingMulticospan.left a) = K.π.app (WalkingMulticospan.left a)

case h.right.x.right
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
e : E ⟶ P.obj { unop := X }
he : x.IsAmalgamation e
b : (T.index P).R
⊢ e ≫ (T.multifork P).π.app (WalkingMulticospan.right b) = K.π.app (WalkingMulticospan.right b)

tactic: apply he
state_before: case h.right.x.left
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
e : E ⟶ P.obj { unop := X }
he : x.IsAmalgamation e
a : (T.index P).L
⊢ e ≫ (T.multifork P).π.app (WalkingMulticospan.left a) = K.π.app (WalkingMulticospan.left a)
state_after: no goals

tactic: rw [← K.w (WalkingMulticospan.Hom.fst b), ←
  (T.multifork P).w (WalkingMulticospan.Hom.fst b), ← assoc]
state_before: case h.right.x.right
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
e : E ⟶ P.obj { unop := X }
he : x.IsAmalgamation e
b : (T.index P).R
⊢ e ≫ (T.multifork P).π.app (WalkingMulticospan.right b) = K.π.app (WalkingMulticospan.right b)
state_after: case h.right.x.right
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
e : E ⟶ P.obj { unop := X }
he : x.IsAmalgamation e
b : (T.index P).R
⊢ (e ≫ (T.multifork P).π.app (WalkingMulticospan.left ((T.index P).fstTo b))) ≫
      (T.index P).multicospan.map (WalkingMulticospan.Hom.fst b) =
    K.π.app (WalkingMulticospan.left ((T.index P).fstTo b)) ≫ (T.index P).multicospan.map (WalkingMulticospan.Hom.fst b)

tactic: congr 1
state_before: case h.right.x.right
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
e : E ⟶ P.obj { unop := X }
he : x.IsAmalgamation e
b : (T.index P).R
⊢ (e ≫ (T.multifork P).π.app (WalkingMulticospan.left ((T.index P).fstTo b))) ≫
      (T.index P).multicospan.map (WalkingMulticospan.Hom.fst b) =
    K.π.app (WalkingMulticospan.left ((T.index P).fstTo b)) ≫ (T.index P).multicospan.map (WalkingMulticospan.Hom.fst b)
state_after: case h.right.x.right.e_a
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
e : E ⟶ P.obj { unop := X }
he : x.IsAmalgamation e
b : (T.index P).R
⊢ e ≫ (T.multifork P).π.app (WalkingMulticospan.left ((T.index P).fstTo b)) =
    K.π.app (WalkingMulticospan.left ((T.index P).fstTo b))

tactic: apply he
state_before: case h.right.x.right.e_a
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj { unop := E }) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
e : E ⟶ P.obj { unop := X }
he : x.IsAmalgamation e
b : (T.index P).R
⊢ e ≫ (T.multifork P).π.app (WalkingMulticospan.left ((T.index P).fstTo b)) =
    K.π.app (WalkingMulticospan.left ((T.index P).fstTo b))
state_after: no goals