Theorem: intervalIntegral.continuousAt_parametric_primitive_of_dominated
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean

tactic: have hsub : ∀ {a₀ b₀}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b := fun ha₀ hb₀ ↦
  (ordConnected_Ioo.uIoc_subset ha₀ hb₀).trans (Ioo_subset_Ioc_self.trans Ioc_subset_uIoc)
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
⊢ ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 t ∂μ) (x₀, b₀)
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
⊢ ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 t ∂μ) (x₀, b₀)

tactic: have Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀ := Ioo_mem_nhds hb₀.1 hb₀.2
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
⊢ ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 t ∂μ) (x₀, b₀)
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
⊢ ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 t ∂μ) (x₀, b₀)

tactic: have Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀ := Icc_mem_nhds hb₀.1 hb₀.2
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
⊢ ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 t ∂μ) (x₀, b₀)
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
⊢ ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 t ∂μ) (x₀, b₀)

tactic: have hx₀ : ∀ᵐ t : ℝ ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t := h_bound.self_of_nhds
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
⊢ ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 t ∂μ) (x₀, b₀)
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 t ∂μ) (x₀, b₀)

tactic: rw [continuousAt_congr this]
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀),
    ∫ (s : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 s ∂μ =
      ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F p.1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ
⊢ ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 t ∂μ) (x₀, b₀)
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀),
    ∫ (s : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 s ∂μ =
      ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F p.1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ
⊢ ContinuousAt
    (fun x =>
      ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F x.1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ)
    (x₀, b₀)

tactic: clear this
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀),
    ∫ (s : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 s ∂μ =
      ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F p.1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ
⊢ ContinuousAt
    (fun x =>
      ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F x.1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ)
    (x₀, b₀)
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ContinuousAt
    (fun x =>
      ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F x.1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ)
    (x₀, b₀)

tactic: refine (ContinuousAt.add ?_ ?_).add ?_
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ContinuousAt
    (fun x =>
      ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F x.1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ)
    (x₀, b₀)
state_after: case refine_1
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F x.1 s ∂μ) (x₀, b₀)

case refine_2
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x₀ s ∂μ) (x₀, b₀)

case refine_3
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ) (x₀, b₀)

tactic: rw [nhds_prod_eq]
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀),
    ∫ (s : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 s ∂μ =
      ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F p.1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 x₀ ×ˢ 𝓝 b₀,
    ∫ (s : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 s ∂μ =
      ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F p.1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ

tactic: refine (h_bound.prod_mk Ioo_nhds).mono ?_
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 x₀ ×ˢ 𝓝 b₀,
    ∫ (s : ℝ) in a₀..p.2, F p.1 s ∂μ =
      ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F p.1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ∀ (x : X × ℝ),
    (∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x.1 t‖ ≤ bound t) ∧ a < x.2 ∧ x.2 < b →
      ∫ (s : ℝ) in a₀..x.2, F x.1 s ∂μ =
        ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F x.1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ

tactic: rintro ⟨x, t⟩ ⟨hx : ∀ᵐ t : ℝ ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t, ht : t ∈ Ioo a b⟩
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ∀ (x : X × ℝ),
    (∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x.1 t‖ ≤ bound t) ∧ a < x.2 ∧ x.2 < b →
      ∫ (s : ℝ) in a₀..x.2, F x.1 s ∂μ =
        ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F x.1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ
state_after: case mk.intro
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
⊢ ∫ (s : ℝ) in a₀..(x, t).2, F (x, t).1 s ∂μ =
    ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F (x, t).1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..(x, t).2, F x₀ s ∂μ +
      ∫ (s : ℝ) in b₀..(x, t).2, F (x, t).1 s - F x₀ s ∂μ

tactic: dsimp (config := { eta := false })
state_before: case mk.intro
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
⊢ ∫ (s : ℝ) in a₀..(x, t).2, F (x, t).1 s ∂μ =
    ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F (x, t).1 s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..(x, t).2, F x₀ s ∂μ +
      ∫ (s : ℝ) in b₀..(x, t).2, F (x, t).1 s - F x₀ s ∂μ
state_after: case mk.intro
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
⊢ ∫ (s : ℝ) in a₀..t, F x s ∂μ =
    ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F x s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..t, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..t, F x s - F x₀ s ∂μ

tactic: have hiF : ∀ {x a₀ b₀},
    (∀ᵐ t : ℝ ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t) → a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b →
      IntervalIntegrable (F x) μ a₀ b₀ := fun {x a₀ b₀} hx ha₀ hb₀ ↦
  (bound_integrable.mono_set_ae <| eventually_of_forall <| hsub ha₀ hb₀).mono_fun'
    ((hF_meas x).mono_set <| hsub ha₀ hb₀)
    (ae_restrict_of_ae_restrict_of_subset (hsub ha₀ hb₀) hx)
state_before: case mk.intro
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
⊢ ∫ (s : ℝ) in a₀..t, F x s ∂μ =
    ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F x s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..t, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..t, F x s - F x₀ s ∂μ
state_after: case mk.intro
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
hiF :
  ∀ {x : X} {a₀ b₀ : ℝ},
    (∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t) → a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → IntervalIntegrable (F x) μ a₀ b₀
⊢ ∫ (s : ℝ) in a₀..t, F x s ∂μ =
    ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F x s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..t, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..t, F x s - F x₀ s ∂μ

tactic: rw [intervalIntegral.integral_sub, add_assoc, add_sub_cancel,
  intervalIntegral.integral_add_adjacent_intervals]
state_before: case mk.intro
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
hiF :
  ∀ {x : X} {a₀ b₀ : ℝ},
    (∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t) → a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → IntervalIntegrable (F x) μ a₀ b₀
⊢ ∫ (s : ℝ) in a₀..t, F x s ∂μ =
    ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F x s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..t, F x₀ s ∂μ + ∫ (s : ℝ) in b₀..t, F x s - F x₀ s ∂μ
state_after: case mk.intro.hab
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
hiF :
  ∀ {x : X} {a₀ b₀ : ℝ},
    (∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t) → a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → IntervalIntegrable (F x) μ a₀ b₀
⊢ IntervalIntegrable (F x) μ a₀ b₀

case mk.intro.hbc
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
hiF :
  ∀ {x : X} {a₀ b₀ : ℝ},
    (∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t) → a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → IntervalIntegrable (F x) μ a₀ b₀
⊢ IntervalIntegrable (F x) μ b₀ t

case mk.intro.hf
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
hiF :
  ∀ {x : X} {a₀ b₀ : ℝ},
    (∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t) → a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → IntervalIntegrable (F x) μ a₀ b₀
⊢ IntervalIntegrable (F x) μ b₀ t

case mk.intro.hg
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
hiF :
  ∀ {x : X} {a₀ b₀ : ℝ},
    (∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t) → a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → IntervalIntegrable (F x) μ a₀ b₀
⊢ IntervalIntegrable (F x₀) μ b₀ t

tactic: exact hiF hx ha₀ hb₀
state_before: case mk.intro.hab
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
hiF :
  ∀ {x : X} {a₀ b₀ : ℝ},
    (∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t) → a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → IntervalIntegrable (F x) μ a₀ b₀
⊢ IntervalIntegrable (F x) μ a₀ b₀
state_after: no goals

tactic: exact hiF hx hb₀ ht
state_before: case mk.intro.hbc
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
hiF :
  ∀ {x : X} {a₀ b₀ : ℝ},
    (∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t) → a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → IntervalIntegrable (F x) μ a₀ b₀
⊢ IntervalIntegrable (F x) μ b₀ t
state_after: no goals

tactic: exact hiF hx hb₀ ht
state_before: case mk.intro.hf
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
hiF :
  ∀ {x : X} {a₀ b₀ : ℝ},
    (∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t) → a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → IntervalIntegrable (F x) μ a₀ b₀
⊢ IntervalIntegrable (F x) μ b₀ t
state_after: no goals

tactic: exact hiF hx₀ hb₀ ht
state_before: case mk.intro.hg
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
hiF :
  ∀ {x : X} {a₀ b₀ : ℝ},
    (∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t) → a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → IntervalIntegrable (F x) μ a₀ b₀
⊢ IntervalIntegrable (F x₀) μ b₀ t
state_after: no goals

tactic: exact (intervalIntegral.continuousAt_of_dominated_interval
    (eventually_of_forall fun x ↦ (hF_meas x).mono_set <| hsub ha₀ hb₀)
      (h_bound.mono fun x hx ↦
        ae_imp_of_ae_restrict <| ae_restrict_of_ae_restrict_of_subset (hsub ha₀ hb₀) hx)
      (bound_integrable.mono_set_ae <| eventually_of_forall <| hsub ha₀ hb₀) <|
      ae_imp_of_ae_restrict <| ae_restrict_of_ae_restrict_of_subset (hsub ha₀ hb₀) h_cont).fst'
state_before: case refine_1
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (s : ℝ) in a₀..b₀, F x.1 s ∂μ) (x₀, b₀)
state_after: no goals

tactic: refine (?_ : ContinuousAt (fun t ↦ ∫ s in b₀..t, F x₀ s ∂μ) b₀).snd'
state_before: case refine_2
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x₀ s ∂μ) (x₀, b₀)
state_after: case refine_2
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ContinuousAt (fun t => ∫ (s : ℝ) in b₀..t, F x₀ s ∂μ) b₀

tactic: apply ContinuousWithinAt.continuousAt _ (Icc_mem_nhds hb₀.1 hb₀.2)
state_before: case refine_2
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ContinuousAt (fun t => ∫ (s : ℝ) in b₀..t, F x₀ s ∂μ) b₀
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ContinuousWithinAt (fun t => ∫ (s : ℝ) in b₀..t, F x₀ s ∂μ) (Icc a b) b₀

tactic: apply intervalIntegral.continuousWithinAt_primitive hμb₀
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ContinuousWithinAt (fun t => ∫ (s : ℝ) in b₀..t, F x₀ s ∂μ) (Icc a b) b₀
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ IntervalIntegrable (F x₀) μ (min b₀ a) (max b₀ b)

tactic: rw [min_eq_right hb₀.1.le, max_eq_right hb₀.2.le]
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ IntervalIntegrable (F x₀) μ (min b₀ a) (max b₀ b)
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ IntervalIntegrable (F x₀) μ a b

tactic: exact bound_integrable.mono_fun' (hF_meas x₀) hx₀
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
state_after: no goals

tactic: suffices Tendsto (fun x : X × ℝ ↦ ∫ s in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ) (𝓝 (x₀, b₀)) (𝓝 0) by
  simpa [ContinuousAt]
state_before: case refine_3
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ) (x₀, b₀)
state_after: case refine_3
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ Tendsto (fun x => ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ) (𝓝 (x₀, b₀)) (𝓝 0)

tactic: have : ∀ᶠ p : X × ℝ in 𝓝 (x₀, b₀),
    ‖∫ s in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ s in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ| := by
  rw [nhds_prod_eq]
  refine (h_bound.prod_mk Ioo_nhds).mono ?_
  rintro ⟨x, t⟩ ⟨hx : ∀ᵐ t ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t, ht : t ∈ Ioo a b⟩
  have H : ∀ᵐ t : ℝ ∂μ.restrict (Ι b₀ t), ‖F x t - F x₀ t‖ ≤ 2 * bound t := by
    apply (ae_restrict_of_ae_restrict_of_subset (hsub hb₀ ht) (hx.and hx₀)).mono
    rintro s ⟨hs₁, hs₂⟩
    calc
      ‖F x s - F x₀ s‖ ≤ ‖F x s‖ + ‖F x₀ s‖ := norm_sub_le _ _
      _ ≤ 2 * bound s := by linarith only [hs₁, hs₂]
  exact intervalIntegral.norm_integral_le_of_norm_le H
    ((bound_integrable.mono_set' <| hsub hb₀ ht).const_mul 2)
state_before: case refine_3
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ Tendsto (fun x => ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ) (𝓝 (x₀, b₀)) (𝓝 0)
state_after: case refine_3
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
⊢ Tendsto (fun x => ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ) (𝓝 (x₀, b₀)) (𝓝 0)

tactic: apply squeeze_zero_norm' this
state_before: case refine_3
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
⊢ Tendsto (fun x => ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ) (𝓝 (x₀, b₀)) (𝓝 0)
state_after: case refine_3
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
⊢ Tendsto (fun n => |∫ (s : ℝ) in b₀..n.2, 2 * bound s ∂μ|) (𝓝 (x₀, b₀)) (𝓝 0)

tactic: have : Tendsto (fun t ↦ ∫ s in b₀..t, 2 * bound s ∂μ) (𝓝 b₀) (𝓝 0) := by
  suffices ContinuousAt (fun t ↦ ∫ s in b₀..t, 2 * bound s ∂μ) b₀ by
    simpa [ContinuousAt] using this
  apply ContinuousWithinAt.continuousAt _ Icc_nhds
  apply intervalIntegral.continuousWithinAt_primitive hμb₀
  apply IntervalIntegrable.const_mul
  apply bound_integrable.mono_set'
  rw [min_eq_right hb₀.1.le, max_eq_right hb₀.2.le]
state_before: case refine_3
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
⊢ Tendsto (fun n => |∫ (s : ℝ) in b₀..n.2, 2 * bound s ∂μ|) (𝓝 (x₀, b₀)) (𝓝 0)
state_after: case refine_3
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this✝ :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
this : Tendsto (fun t => ∫ (s : ℝ) in b₀..t, 2 * bound s ∂μ) (𝓝 b₀) (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => |∫ (s : ℝ) in b₀..n.2, 2 * bound s ∂μ|) (𝓝 (x₀, b₀)) (𝓝 0)

tactic: rw [nhds_prod_eq]
state_before: case refine_3
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this✝ :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
this : Tendsto (fun t => ∫ (s : ℝ) in b₀..t, 2 * bound s ∂μ) (𝓝 b₀) (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => |∫ (s : ℝ) in b₀..n.2, 2 * bound s ∂μ|) (𝓝 (x₀, b₀)) (𝓝 0)
state_after: case refine_3
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this✝ :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
this : Tendsto (fun t => ∫ (s : ℝ) in b₀..t, 2 * bound s ∂μ) (𝓝 b₀) (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => |∫ (s : ℝ) in b₀..n.2, 2 * bound s ∂μ|) (𝓝 x₀ ×ˢ 𝓝 b₀) (𝓝 0)

tactic: exact (continuous_abs.tendsto' _ _ abs_zero).comp (this.comp tendsto_snd)
state_before: case refine_3
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this✝ :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
this : Tendsto (fun t => ∫ (s : ℝ) in b₀..t, 2 * bound s ∂μ) (𝓝 b₀) (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n => |∫ (s : ℝ) in b₀..n.2, 2 * bound s ∂μ|) (𝓝 x₀ ×ˢ 𝓝 b₀) (𝓝 0)
state_after: no goals

tactic: simpa [ContinuousAt]
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this : Tendsto (fun x => ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ) (𝓝 (x₀, b₀)) (𝓝 0)
⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ) (x₀, b₀)
state_after: no goals

tactic: rw [nhds_prod_eq]
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 x₀ ×ˢ 𝓝 b₀, ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|

tactic: refine (h_bound.prod_mk Ioo_nhds).mono ?_
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 x₀ ×ˢ 𝓝 b₀, ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ∀ (x : X × ℝ),
    (∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x.1 t‖ ≤ bound t) ∧ a < x.2 ∧ x.2 < b →
      ‖∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, 2 * bound s ∂μ|

tactic: rintro ⟨x, t⟩ ⟨hx : ∀ᵐ t ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t, ht : t ∈ Ioo a b⟩
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
⊢ ∀ (x : X × ℝ),
    (∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x.1 t‖ ≤ bound t) ∧ a < x.2 ∧ x.2 < b →
      ‖∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, F x.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..x.2, 2 * bound s ∂μ|
state_after: case mk.intro
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
⊢ ‖∫ (s : ℝ) in b₀..(x, t).2, F (x, t).1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..(x, t).2, 2 * bound s ∂μ|

tactic: have H : ∀ᵐ t : ℝ ∂μ.restrict (Ι b₀ t), ‖F x t - F x₀ t‖ ≤ 2 * bound t := by
  apply (ae_restrict_of_ae_restrict_of_subset (hsub hb₀ ht) (hx.and hx₀)).mono
  rintro s ⟨hs₁, hs₂⟩
  calc
    ‖F x s - F x₀ s‖ ≤ ‖F x s‖ + ‖F x₀ s‖ := norm_sub_le _ _
    _ ≤ 2 * bound s := by linarith only [hs₁, hs₂]
state_before: case mk.intro
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
⊢ ‖∫ (s : ℝ) in b₀..(x, t).2, F (x, t).1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..(x, t).2, 2 * bound s ∂μ|
state_after: case mk.intro
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
H : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι b₀ t), ‖F x t - F x₀ t‖ ≤ 2 * bound t
⊢ ‖∫ (s : ℝ) in b₀..(x, t).2, F (x, t).1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..(x, t).2, 2 * bound s ∂μ|

tactic: exact intervalIntegral.norm_integral_le_of_norm_le H
  ((bound_integrable.mono_set' <| hsub hb₀ ht).const_mul 2)
state_before: case mk.intro
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
H : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι b₀ t), ‖F x t - F x₀ t‖ ≤ 2 * bound t
⊢ ‖∫ (s : ℝ) in b₀..(x, t).2, F (x, t).1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..(x, t).2, 2 * bound s ∂μ|
state_after: no goals

tactic: apply (ae_restrict_of_ae_restrict_of_subset (hsub hb₀ ht) (hx.and hx₀)).mono
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι b₀ t), ‖F x t - F x₀ t‖ ≤ 2 * bound t
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
⊢ ∀ (x_1 : ℝ), ‖F x x_1‖ ≤ bound x_1 ∧ ‖F x₀ x_1‖ ≤ bound x_1 → ‖F x x_1 - F x₀ x_1‖ ≤ 2 * bound x_1

tactic: rintro s ⟨hs₁, hs₂⟩
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
⊢ ∀ (x_1 : ℝ), ‖F x x_1‖ ≤ bound x_1 ∧ ‖F x₀ x_1‖ ≤ bound x_1 → ‖F x x_1 - F x₀ x_1‖ ≤ 2 * bound x_1
state_after: case intro
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
s : ℝ
hs₁ : ‖F x s‖ ≤ bound s
hs₂ : ‖F x₀ s‖ ≤ bound s
⊢ ‖F x s - F x₀ s‖ ≤ 2 * bound s

tactic: calc
  ‖F x s - F x₀ s‖ ≤ ‖F x s‖ + ‖F x₀ s‖ := norm_sub_le _ _
  _ ≤ 2 * bound s := by linarith only [hs₁, hs₂]
state_before: case intro
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
s : ℝ
hs₁ : ‖F x s‖ ≤ bound s
hs₂ : ‖F x₀ s‖ ≤ bound s
⊢ ‖F x s - F x₀ s‖ ≤ 2 * bound s
state_after: no goals

tactic: linarith only [hs₁, hs₂]
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
x : X
t : ℝ
hx : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
ht : t ∈ Ioo a b
s : ℝ
hs₁ : ‖F x s‖ ≤ bound s
hs₂ : ‖F x₀ s‖ ≤ bound s
⊢ ‖F x s‖ + ‖F x₀ s‖ ≤ 2 * bound s
state_after: no goals

tactic: suffices ContinuousAt (fun t ↦ ∫ s in b₀..t, 2 * bound s ∂μ) b₀ by
  simpa [ContinuousAt] using this
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
⊢ Tendsto (fun t => ∫ (s : ℝ) in b₀..t, 2 * bound s ∂μ) (𝓝 b₀) (𝓝 0)
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
⊢ ContinuousAt (fun t => ∫ (s : ℝ) in b₀..t, 2 * bound s ∂μ) b₀

tactic: apply ContinuousWithinAt.continuousAt _ Icc_nhds
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
⊢ ContinuousAt (fun t => ∫ (s : ℝ) in b₀..t, 2 * bound s ∂μ) b₀
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
⊢ ContinuousWithinAt (fun t => ∫ (s : ℝ) in b₀..t, 2 * bound s ∂μ) (Icc a b) b₀

tactic: apply intervalIntegral.continuousWithinAt_primitive hμb₀
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
⊢ ContinuousWithinAt (fun t => ∫ (s : ℝ) in b₀..t, 2 * bound s ∂μ) (Icc a b) b₀
state_after: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
⊢ IntervalIntegrable (fun x => 2 * bound x) μ (min b₀ a) (max b₀ b)

tactic: apply IntervalIntegrable.const_mul
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
⊢ IntervalIntegrable (fun x => 2 * bound x) μ (min b₀ a) (max b₀ b)
state_after: case hf
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
⊢ IntervalIntegrable bound μ (min b₀ a) (max b₀ b)

tactic: apply bound_integrable.mono_set'
state_before: case hf
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
⊢ IntervalIntegrable bound μ (min b₀ a) (max b₀ b)
state_after: case hf
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
⊢ Ι (min b₀ a) (max b₀ b) ⊆ Ι a b

tactic: rw [min_eq_right hb₀.1.le, max_eq_right hb₀.2.le]
state_before: case hf
E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
⊢ Ι (min b₀ a) (max b₀ b) ⊆ Ι a b
state_after: no goals

tactic: simpa [ContinuousAt] using this
state_before: E✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : CompleteSpace E✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E✝
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E✝
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
F : X → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
a b a₀ b₀ : ℝ
x₀ : X
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_cont : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ContinuousAt (fun x => F x t) x₀
ha₀ : a₀ ∈ Ioo a b
hb₀ : b₀ ∈ Ioo a b
hμb₀ : μ {b₀} = 0
hsub : ∀ {a₀ b₀ : ℝ}, a₀ ∈ Ioo a b → b₀ ∈ Ioo a b → Ι a₀ b₀ ⊆ Ι a b
Ioo_nhds : Ioo a b ∈ 𝓝 b₀
Icc_nhds : Icc a b ∈ 𝓝 b₀
hx₀ : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F x₀ t‖ ≤ bound t
this✝ :
  ∀ᶠ (p : X × ℝ) in 𝓝 (x₀, b₀), ‖∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, F p.1 s - F x₀ s ∂μ‖ ≤ |∫ (s : ℝ) in b₀..p.2, 2 * bound s ∂μ|
this : ContinuousAt (fun t => ∫ (s : ℝ) in b₀..t, 2 * bound s ∂μ) b₀
⊢ Tendsto (fun t => ∫ (s : ℝ) in b₀..t, 2 * bound s ∂μ) (𝓝 b₀) (𝓝 0)
state_after: no goals