Theorem: CategoryTheory.IsCofiltered.inf_objs_exists
File: Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Basic.lean

tactic: induction' O using Finset.induction with X O' nm h
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
⊢ ∃ S, ∀ {X : C}, X ∈ O → Nonempty (S ⟶ X)
state_after: case empty
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
⊢ ∃ S, ∀ {X : C}, X ∈ ∅ → Nonempty (S ⟶ X)

case insert
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
X : C
O' : Finset C
nm : X ∉ O'
h : ∃ S, ∀ {X : C}, X ∈ O' → Nonempty (S ⟶ X)
⊢ ∃ S, ∀ {X_1 : C}, X_1 ∈ insert X O' → Nonempty (S ⟶ X_1)

tactic: exact ⟨Classical.choice IsCofiltered.nonempty, by intro; simp⟩
state_before: case empty
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
⊢ ∃ S, ∀ {X : C}, X ∈ ∅ → Nonempty (S ⟶ X)
state_after: no goals

tactic: intro
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
⊢ ∀ {X : C}, X ∈ ∅ → Nonempty (Classical.choice ⋯ ⟶ X)
state_after: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
X✝ : C
⊢ X✝ ∈ ∅ → Nonempty (Classical.choice ⋯ ⟶ X✝)

tactic: simp
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
X✝ : C
⊢ X✝ ∈ ∅ → Nonempty (Classical.choice ⋯ ⟶ X✝)
state_after: no goals

tactic: obtain ⟨S', w'⟩ := h
state_before: case insert
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
X : C
O' : Finset C
nm : X ∉ O'
h : ∃ S, ∀ {X : C}, X ∈ O' → Nonempty (S ⟶ X)
⊢ ∃ S, ∀ {X_1 : C}, X_1 ∈ insert X O' → Nonempty (S ⟶ X_1)
state_after: case insert.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
X : C
O' : Finset C
nm : X ∉ O'
S' : C
w' : ∀ {X : C}, X ∈ O' → Nonempty (S' ⟶ X)
⊢ ∃ S, ∀ {X_1 : C}, X_1 ∈ insert X O' → Nonempty (S ⟶ X_1)

tactic: use min X S'
state_before: case insert.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
X : C
O' : Finset C
nm : X ∉ O'
S' : C
w' : ∀ {X : C}, X ∈ O' → Nonempty (S' ⟶ X)
⊢ ∃ S, ∀ {X_1 : C}, X_1 ∈ insert X O' → Nonempty (S ⟶ X_1)
state_after: case h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
X : C
O' : Finset C
nm : X ∉ O'
S' : C
w' : ∀ {X : C}, X ∈ O' → Nonempty (S' ⟶ X)
⊢ ∀ {X_1 : C}, X_1 ∈ insert X O' → Nonempty (min X S' ⟶ X_1)

tactic: rintro Y mY
state_before: case h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
X : C
O' : Finset C
nm : X ∉ O'
S' : C
w' : ∀ {X : C}, X ∈ O' → Nonempty (S' ⟶ X)
⊢ ∀ {X_1 : C}, X_1 ∈ insert X O' → Nonempty (min X S' ⟶ X_1)
state_after: case h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
X : C
O' : Finset C
nm : X ∉ O'
S' : C
w' : ∀ {X : C}, X ∈ O' → Nonempty (S' ⟶ X)
Y : C
mY : Y ∈ insert X O'
⊢ Nonempty (min X S' ⟶ Y)

tactic: obtain rfl | h := eq_or_ne Y X
state_before: case h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
X : C
O' : Finset C
nm : X ∉ O'
S' : C
w' : ∀ {X : C}, X ∈ O' → Nonempty (S' ⟶ X)
Y : C
mY : Y ∈ insert X O'
⊢ Nonempty (min X S' ⟶ Y)
state_after: case h.inl
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O' : Finset C
S' : C
w' : ∀ {X : C}, X ∈ O' → Nonempty (S' ⟶ X)
Y : C
nm : Y ∉ O'
mY : Y ∈ insert Y O'
⊢ Nonempty (min Y S' ⟶ Y)

case h.inr
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
X : C
O' : Finset C
nm : X ∉ O'
S' : C
w' : ∀ {X : C}, X ∈ O' → Nonempty (S' ⟶ X)
Y : C
mY : Y ∈ insert X O'
h : Y ≠ X
⊢ Nonempty (min X S' ⟶ Y)

tactic: exact ⟨minToLeft _ _⟩
state_before: case h.inl
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O' : Finset C
S' : C
w' : ∀ {X : C}, X ∈ O' → Nonempty (S' ⟶ X)
Y : C
nm : Y ∉ O'
mY : Y ∈ insert Y O'
⊢ Nonempty (min Y S' ⟶ Y)
state_after: no goals

tactic: exact ⟨minToRight _ _ ≫ (w' (Finset.mem_of_mem_insert_of_ne mY h)).some⟩
state_before: case h.inr
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
X : C
O' : Finset C
nm : X ∉ O'
S' : C
w' : ∀ {X : C}, X ∈ O' → Nonempty (S' ⟶ X)
Y : C
mY : Y ∈ insert X O'
h : Y ≠ X
⊢ Nonempty (min X S' ⟶ Y)
state_after: no goals