Theorem: CategoryTheory.tensor_left_unitality
File: Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean

tactic: dsimp only [tensor_μ]
state_before: C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ tensor_μ C (𝟙_ C, 𝟙_ C) (X₁, X₂) ≫ ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)
state_after: C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom =
    (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫
      ((α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).hom ≫
          𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).inv ≫
            𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X₁).hom ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).inv) ≫
        ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)

tactic: have :
  ((λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (X₁ ⊗ X₂)) ≫
      (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).hom ≫ (𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).inv) =
    𝟙_ C ◁ (λ_ X₁).inv ▷ X₂ := by
  coherence
state_before: C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom =
    (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫
      ((α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).hom ≫
          𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).inv ≫
            𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X₁).hom ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).inv) ≫
        ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)
state_after: C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
this :
  (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).inv =
    𝟙_ C ◁ (λ_ X₁).inv ▷ X₂
⊢ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom =
    (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫
      ((α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).hom ≫
          𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).inv ≫
            𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X₁).hom ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).inv) ≫
        ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)

tactic: slice_rhs 1 3 => rw [this]
state_before: C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
this :
  (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).inv =
    𝟙_ C ◁ (λ_ X₁).inv ▷ X₂
⊢ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom =
    (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫
      ((α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).hom ≫
          𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).inv ≫
            𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X₁).hom ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).inv) ≫
        ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)
state_after: C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
this :
  (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).inv =
    𝟙_ C ◁ (λ_ X₁).inv ▷ X₂
⊢ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom =
    (((𝟙_ C ◁ (λ_ X₁).inv ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X₁).hom ▷ X₂) ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).hom) ≫
        (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).inv) ≫
      ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)

tactic: clear this
state_before: C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
this :
  (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).inv =
    𝟙_ C ◁ (λ_ X₁).inv ▷ X₂
⊢ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom =
    (((𝟙_ C ◁ (λ_ X₁).inv ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X₁).hom ▷ X₂) ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).hom) ≫
        (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).inv) ≫
      ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)
state_after: C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom =
    (((𝟙_ C ◁ (λ_ X₁).inv ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X₁).hom ▷ X₂) ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).hom) ≫
        (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).inv) ≫
      ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)

tactic: slice_rhs 1 2 => rw [← MonoidalCategory.whiskerLeft_comp, ← comp_whiskerRight,
  leftUnitor_inv_braiding]
state_before: C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom =
    (((𝟙_ C ◁ (λ_ X₁).inv ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X₁).hom ▷ X₂) ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).hom) ≫
        (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).inv) ≫
      ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)
state_after: C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom =
    ((𝟙_ C ◁ (ρ_ X₁).inv ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).hom) ≫ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).inv) ≫
      ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)

tactic: simp [tensorHom_id, id_tensorHom, tensorHom_def]
state_before: C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom =
    ((𝟙_ C ◁ (ρ_ X₁).inv ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).hom) ≫ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).inv) ≫
      ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)
state_after: no goals

tactic: coherence
state_before: C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
⊢ (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).inv =
    𝟙_ C ◁ (λ_ X₁).inv ▷ X₂
state_after: no goals