Theorem: neg_convexOn_iff
File: Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean

tactic: constructor
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
⊢ ConvexOn 𝕜 s (-f) ↔ ConcaveOn 𝕜 s f
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
⊢ ConvexOn 𝕜 s (-f) → ConcaveOn 𝕜 s f

case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
⊢ ConcaveOn 𝕜 s f → ConvexOn 𝕜 s (-f)

tactic: rintro ⟨hconv, h⟩
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
⊢ ConvexOn 𝕜 s (-f) → ConcaveOn 𝕜 s f
state_after: case mp.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → (-f) (a • x + b • y) ≤ a • (-f) x + b • (-f) y
⊢ ConcaveOn 𝕜 s f

tactic: refine ⟨hconv, fun x hx y hy a b ha hb hab => ?_⟩
state_before: case mp.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → (-f) (a • x + b • y) ≤ a • (-f) x + b • (-f) y
⊢ ConcaveOn 𝕜 s f
state_after: case mp.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → (-f) (a • x + b • y) ≤ a • (-f) x + b • (-f) y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)

tactic: simp? [neg_apply, neg_le, add_comm] at h says
  simp only [Pi.neg_apply, smul_neg, le_add_neg_iff_add_le, add_comm,
    add_neg_le_iff_le_add] at h
state_before: case mp.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → (-f) (a • x + b • y) ≤ a • (-f) x + b • (-f) y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
state_after: case mp.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
⊢ a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)

tactic: exact h hx hy ha hb hab
state_before: case mp.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
⊢ a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
state_after: no goals

tactic: simp only [Pi.neg_apply, smul_neg, le_add_neg_iff_add_le, add_comm,
  add_neg_le_iff_le_add] at h
state_before: case mp.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → (-f) (a • x + b • y) ≤ a • (-f) x + b • (-f) y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
state_after: case mp.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
⊢ a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)

tactic: rintro ⟨hconv, h⟩
state_before: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
⊢ ConcaveOn 𝕜 s f → ConvexOn 𝕜 s (-f)
state_after: case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
⊢ ConvexOn 𝕜 s (-f)

tactic: refine ⟨hconv, fun x hx y hy a b ha hb hab => ?_⟩
state_before: case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
⊢ ConvexOn 𝕜 s (-f)
state_after: case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (-f) (a • x + b • y) ≤ a • (-f) x + b • (-f) y

tactic: rw [← neg_le_neg_iff]
state_before: case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (-f) (a • x + b • y) ≤ a • (-f) x + b • (-f) y
state_after: case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ -(a • (-f) x + b • (-f) y) ≤ -(-f) (a • x + b • y)

tactic: simp_rw [neg_add, Pi.neg_apply, smul_neg, neg_neg]
state_before: case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ -(a • (-f) x + b • (-f) y) ≤ -(-f) (a • x + b • y)
state_after: case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)

tactic: exact h hx hy ha hb hab
state_before: case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
state_after: no goals