Theorem: ContinuousMultilinearMap.integral_apply
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean

tactic: by_cases hE : CompleteSpace E
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
φ : X → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M E
φ_int : Integrable φ μ
m : (i : ι) → M i
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) m = ∫ (x : X), (φ x) m ∂μ
state_after: case pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
φ : X → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M E
φ_int : Integrable φ μ
m : (i : ι) → M i
hE : CompleteSpace E
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) m = ∫ (x : X), (φ x) m ∂μ

case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
φ : X → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M E
φ_int : Integrable φ μ
m : (i : ι) → M i
hE : ¬CompleteSpace E
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) m = ∫ (x : X), (φ x) m ∂μ

tactic: exact ((ContinuousMultilinearMap.apply 𝕜 M E m).integral_comp_comm φ_int).symm
state_before: case pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
φ : X → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M E
φ_int : Integrable φ μ
m : (i : ι) → M i
hE : CompleteSpace E
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) m = ∫ (x : X), (φ x) m ∂μ
state_after: no goals

tactic: by_cases hm : ∀ i, m i ≠ 0
state_before: case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
φ : X → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M E
φ_int : Integrable φ μ
m : (i : ι) → M i
hE : ¬CompleteSpace E
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) m = ∫ (x : X), (φ x) m ∂μ
state_after: case pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
φ : X → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M E
φ_int : Integrable φ μ
m : (i : ι) → M i
hE : ¬CompleteSpace E
hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) m = ∫ (x : X), (φ x) m ∂μ

case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
φ : X → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M E
φ_int : Integrable φ μ
m : (i : ι) → M i
hE : ¬CompleteSpace E
hm : ¬∀ (i : ι), m i ≠ 0
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) m = ∫ (x : X), (φ x) m ∂μ

tactic: have : ¬ CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 M E) := by
  rwa [SeparatingDual.completeSpace_continuousMultilinearMap_iff _ _ hm]
state_before: case pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
φ : X → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M E
φ_int : Integrable φ μ
m : (i : ι) → M i
hE : ¬CompleteSpace E
hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) m = ∫ (x : X), (φ x) m ∂μ
state_after: case pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
φ : X → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M E
φ_int : Integrable φ μ
m : (i : ι) → M i
hE : ¬CompleteSpace E
hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0
this : ¬CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 M E)
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) m = ∫ (x : X), (φ x) m ∂μ

tactic: simp [integral, hE, this]
state_before: case pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
φ : X → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M E
φ_int : Integrable φ μ
m : (i : ι) → M i
hE : ¬CompleteSpace E
hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0
this : ¬CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 M E)
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) m = ∫ (x : X), (φ x) m ∂μ
state_after: no goals

tactic: rwa [SeparatingDual.completeSpace_continuousMultilinearMap_iff _ _ hm]
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
φ : X → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M E
φ_int : Integrable φ μ
m : (i : ι) → M i
hE : ¬CompleteSpace E
hm : ∀ (i : ι), m i ≠ 0
⊢ ¬CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 M E)
state_after: no goals

tactic: push_neg at hm
state_before: case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
φ : X → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M E
φ_int : Integrable φ μ
m : (i : ι) → M i
hE : ¬CompleteSpace E
hm : ¬∀ (i : ι), m i ≠ 0
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) m = ∫ (x : X), (φ x) m ∂μ
state_after: case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
φ : X → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M E
φ_int : Integrable φ μ
m : (i : ι) → M i
hE : ¬CompleteSpace E
hm : ∃ i, m i = 0
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) m = ∫ (x : X), (φ x) m ∂μ

tactic: rcases hm with ⟨i, hi⟩
state_before: case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
φ : X → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M E
φ_int : Integrable φ μ
m : (i : ι) → M i
hE : ¬CompleteSpace E
hm : ∃ i, m i = 0
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) m = ∫ (x : X), (φ x) m ∂μ
state_after: case neg.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
φ : X → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M E
φ_int : Integrable φ μ
m : (i : ι) → M i
hE : ¬CompleteSpace E
i : ι
hi : m i = 0
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) m = ∫ (x : X), (φ x) m ∂μ

tactic: simp [ContinuousMultilinearMap.map_coord_zero _ i hi]
state_before: case neg.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
φ : X → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M E
φ_int : Integrable φ μ
m : (i : ι) → M i
hE : ¬CompleteSpace E
i : ι
hi : m i = 0
⊢ (∫ (x : X), φ x ∂μ) m = ∫ (x : X), (φ x) m ∂μ
state_after: no goals