Theorem: adjoin_monomial_eq_reesAlgebra
File: Mathlib/RingTheory/ReesAlgebra.lean

tactic: apply le_antisymm
state_before: R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
⊢ Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I) = reesAlgebra I
state_after: case a
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
⊢ Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I) ≤ reesAlgebra I

case a
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
⊢ reesAlgebra I ≤ Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I)

tactic: apply Algebra.adjoin_le _
state_before: case a
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
⊢ Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I) ≤ reesAlgebra I
state_after: R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
⊢ ↑(Submodule.map (monomial 1) I) ⊆ ↑(reesAlgebra I)

tactic: rintro _ ⟨r, hr, rfl⟩
state_before: R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
⊢ ↑(Submodule.map (monomial 1) I) ⊆ ↑(reesAlgebra I)
state_after: case intro.intro
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
r : R
hr : r ∈ ↑I
⊢ (monomial 1) r ∈ ↑(reesAlgebra I)

tactic: exact reesAlgebra.monomial_mem.mpr (by rwa [pow_one])
state_before: case intro.intro
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
r : R
hr : r ∈ ↑I
⊢ (monomial 1) r ∈ ↑(reesAlgebra I)
state_after: no goals

tactic: rwa [pow_one]
state_before: R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
r : R
hr : r ∈ ↑I
⊢ r ∈ I ^ 1
state_after: no goals

tactic: intro p hp
state_before: case a
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
⊢ reesAlgebra I ≤ Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I)
state_after: case a
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
p : R[X]
hp : p ∈ reesAlgebra I
⊢ p ∈ Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I)

tactic: rw [p.as_sum_support]
state_before: case a
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
p : R[X]
hp : p ∈ reesAlgebra I
⊢ p ∈ Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I)
state_after: case a
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
p : R[X]
hp : p ∈ reesAlgebra I
⊢ ∑ i ∈ p.support, (monomial i) (p.coeff i) ∈ Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I)

tactic: apply Subalgebra.sum_mem _ _
state_before: case a
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
p : R[X]
hp : p ∈ reesAlgebra I
⊢ ∑ i ∈ p.support, (monomial i) (p.coeff i) ∈ Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I)
state_after: R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
p : R[X]
hp : p ∈ reesAlgebra I
⊢ ∀ x ∈ p.support, (monomial x) (p.coeff x) ∈ Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I)

tactic: rintro i -
state_before: R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
p : R[X]
hp : p ∈ reesAlgebra I
⊢ ∀ x ∈ p.support, (monomial x) (p.coeff x) ∈ Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I)
state_after: R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
p : R[X]
hp : p ∈ reesAlgebra I
i : ℕ
⊢ (monomial i) (p.coeff i) ∈ Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I)

tactic: exact monomial_mem_adjoin_monomial (hp i)
state_before: R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
p : R[X]
hp : p ∈ reesAlgebra I
i : ℕ
⊢ (monomial i) (p.coeff i) ∈ Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I)
state_after: no goals