Theorem: MeasureTheory.tendsto_measure_biInter_gt
File: Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean

tactic: refine tendsto_order.2 ⟨fun l hl => ?_, fun L hL => ?_⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
⊢ Tendsto (⇑μ ∘ s) (𝓝[>] a) (𝓝 (μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)))
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
l : ℝ≥0∞
hl : l < μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
⊢ ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, l < (⇑μ ∘ s) b

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
⊢ ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, (⇑μ ∘ s) b < L

tactic: obtain ⟨u, u_anti, u_pos, u_lim⟩ :
  ∃ u : ℕ → ι, StrictAnti u ∧ (∀ n : ℕ, a < u n) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 a) := by
  rcases hf with ⟨r, ar, _⟩
  rcases exists_seq_strictAnti_tendsto' ar with ⟨w, w_anti, w_mem, w_lim⟩
  exact ⟨w, w_anti, fun n => (w_mem n).1, w_lim⟩
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
⊢ ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, (⇑μ ∘ s) b < L
state_after: case refine_2.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, (⇑μ ∘ s) b < L

tactic: rw [B] at A
state_before: case refine_2.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, s (u n))))
B : ⋂ n, s (u n) = ⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r
⊢ ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, (⇑μ ∘ s) b < L
state_after: case refine_2.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)))
B : ⋂ n, s (u n) = ⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r
⊢ ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, (⇑μ ∘ s) b < L

tactic: obtain ⟨n, hn⟩ : ∃ n, μ (s (u n)) < L := ((tendsto_order.1 A).2 _ hL).exists
state_before: case refine_2.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)))
B : ⋂ n, s (u n) = ⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r
⊢ ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, (⇑μ ∘ s) b < L
state_after: case refine_2.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)))
B : ⋂ n, s (u n) = ⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r
n : ℕ
hn : μ (s (u n)) < L
⊢ ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, (⇑μ ∘ s) b < L

tactic: have : Ioc a (u n) ∈ 𝓝[>] a := Ioc_mem_nhdsWithin_Ioi ⟨le_rfl, u_pos n⟩
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)))
B : ⋂ n, s (u n) = ⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r
n : ℕ
hn : μ (s (u n)) < L
⊢ ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, (⇑μ ∘ s) b < L
state_after: case refine_2.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)))
B : ⋂ n, s (u n) = ⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r
n : ℕ
hn : μ (s (u n)) < L
this : Ioc a (u n) ∈ 𝓝[>] a
⊢ ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, (⇑μ ∘ s) b < L

tactic: filter_upwards [this] with r hr using lt_of_le_of_lt (measure_mono (hm _ _ hr.1 hr.2)) hn
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)))
B : ⋂ n, s (u n) = ⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r
n : ℕ
hn : μ (s (u n)) < L
this : Ioc a (u n) ∈ 𝓝[>] a
⊢ ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, (⇑μ ∘ s) b < L
state_after: no goals

tactic: filter_upwards [self_mem_nhdsWithin (s := Ioi a)] with r hr using hl.trans_le
    (measure_mono (biInter_subset_of_mem hr))
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
l : ℝ≥0∞
hl : l < μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
⊢ ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, l < (⇑μ ∘ s) b
state_after: no goals

tactic: rcases hf with ⟨r, ar, _⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
⊢ ∃ u, StrictAnti u ∧ (∀ (n : ℕ), a < u n) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 a)
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
r : ι
ar : r > a
right✝ : μ (s r) ≠ ⊤
⊢ ∃ u, StrictAnti u ∧ (∀ (n : ℕ), a < u n) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 a)

tactic: rcases exists_seq_strictAnti_tendsto' ar with ⟨w, w_anti, w_mem, w_lim⟩
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
r : ι
ar : r > a
right✝ : μ (s r) ≠ ⊤
⊢ ∃ u, StrictAnti u ∧ (∀ (n : ℕ), a < u n) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 a)
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
r : ι
ar : r > a
right✝ : μ (s r) ≠ ⊤
w : ℕ → ι
w_anti : StrictAnti w
w_mem : ∀ (n : ℕ), w n ∈ Ioo a r
w_lim : Tendsto w atTop (𝓝 a)
⊢ ∃ u, StrictAnti u ∧ (∀ (n : ℕ), a < u n) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 a)

tactic: exact ⟨w, w_anti, fun n => (w_mem n).1, w_lim⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
r : ι
ar : r > a
right✝ : μ (s r) ≠ ⊤
w : ℕ → ι
w_anti : StrictAnti w
w_mem : ∀ (n : ℕ), w n ∈ Ioo a r
w_lim : Tendsto w atTop (𝓝 a)
⊢ ∃ u, StrictAnti u ∧ (∀ (n : ℕ), a < u n) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 a)
state_after: no goals

tactic: refine tendsto_measure_iInter (fun n => hs _ (u_pos n)) ?_ ?_
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
⊢ Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, s (u n))))
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
⊢ Antitone (s ∘ u)

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
⊢ ∃ i, μ ((s ∘ u) i) ≠ ⊤

tactic: intro m n hmn
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
⊢ Antitone (s ∘ u)
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (s ∘ u) n ≤ (s ∘ u) m

tactic: exact hm _ _ (u_pos n) (u_anti.antitone hmn)
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (s ∘ u) n ≤ (s ∘ u) m
state_after: no goals

tactic: rcases hf with ⟨r, rpos, hr⟩
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
⊢ ∃ i, μ ((s ∘ u) i) ≠ ⊤
state_after: case refine_2.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
r : ι
rpos : r > a
hr : μ (s r) ≠ ⊤
⊢ ∃ i, μ ((s ∘ u) i) ≠ ⊤

tactic: obtain ⟨n, hn⟩ : ∃ n : ℕ, u n < r := ((tendsto_order.1 u_lim).2 r rpos).exists
state_before: case refine_2.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
r : ι
rpos : r > a
hr : μ (s r) ≠ ⊤
⊢ ∃ i, μ ((s ∘ u) i) ≠ ⊤
state_after: case refine_2.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
r : ι
rpos : r > a
hr : μ (s r) ≠ ⊤
n : ℕ
hn : u n < r
⊢ ∃ i, μ ((s ∘ u) i) ≠ ⊤

tactic: refine ⟨n, ne_of_lt (lt_of_le_of_lt ?_ hr.lt_top)⟩
state_before: case refine_2.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
r : ι
rpos : r > a
hr : μ (s r) ≠ ⊤
n : ℕ
hn : u n < r
⊢ ∃ i, μ ((s ∘ u) i) ≠ ⊤
state_after: case refine_2.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
r : ι
rpos : r > a
hr : μ (s r) ≠ ⊤
n : ℕ
hn : u n < r
⊢ μ ((s ∘ u) n) ≤ μ (s r)

tactic: exact measure_mono (hm _ _ (u_pos n) hn.le)
state_before: case refine_2.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
r : ι
rpos : r > a
hr : μ (s r) ≠ ⊤
n : ℕ
hn : u n < r
⊢ μ ((s ∘ u) n) ≤ μ (s r)
state_after: no goals

tactic: apply Subset.antisymm
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, s (u n))))
⊢ ⋂ n, s (u n) = ⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r
state_after: case h₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, s (u n))))
⊢ ⋂ n, s (u n) ⊆ ⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r

case h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, s (u n))))
⊢ ⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r ⊆ ⋂ n, s (u n)

tactic: simp only [subset_iInter_iff, gt_iff_lt]
state_before: case h₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, s (u n))))
⊢ ⋂ n, s (u n) ⊆ ⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r
state_after: case h₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, s (u n))))
⊢ ∀ (i : ι), a < i → ⋂ n, s (u n) ⊆ s i

tactic: intro r rpos
state_before: case h₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, s (u n))))
⊢ ∀ (i : ι), a < i → ⋂ n, s (u n) ⊆ s i
state_after: case h₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, s (u n))))
r : ι
rpos : a < r
⊢ ⋂ n, s (u n) ⊆ s r

tactic: obtain ⟨n, hn⟩ : ∃ n, u n < r := ((tendsto_order.1 u_lim).2 _ rpos).exists
state_before: case h₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, s (u n))))
r : ι
rpos : a < r
⊢ ⋂ n, s (u n) ⊆ s r
state_after: case h₁.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, s (u n))))
r : ι
rpos : a < r
n : ℕ
hn : u n < r
⊢ ⋂ n, s (u n) ⊆ s r

tactic: exact Subset.trans (iInter_subset _ n) (hm (u n) r (u_pos n) hn.le)
state_before: case h₁.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, s (u n))))
r : ι
rpos : a < r
n : ℕ
hn : u n < r
⊢ ⋂ n, s (u n) ⊆ s r
state_after: no goals

tactic: simp only [subset_iInter_iff, gt_iff_lt]
state_before: case h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, s (u n))))
⊢ ⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r ⊆ ⋂ n, s (u n)
state_after: case h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, s (u n))))
⊢ ∀ (i : ℕ), ⋂ r, ⋂ (_ : a < r), s r ⊆ s (u i)

tactic: intro n
state_before: case h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, s (u n))))
⊢ ∀ (i : ℕ), ⋂ r, ⋂ (_ : a < r), s r ⊆ s (u i)
state_after: case h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, s (u n))))
n : ℕ
⊢ ⋂ r, ⋂ (_ : a < r), s r ⊆ s (u n)

tactic: apply biInter_subset_of_mem
state_before: case h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, s (u n))))
n : ℕ
⊢ ⋂ r, ⋂ (_ : a < r), s r ⊆ s (u n)
state_after: case h₂.xs
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, s (u n))))
n : ℕ
⊢ u n ∈ Preorder.toLT.1 a

tactic: exact u_pos n
state_before: case h₂.xs
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, s (u n))))
n : ℕ
⊢ u n ∈ Preorder.toLT.1 a
state_after: no goals