Theorem: Module.Baer.ExtensionOfMaxAdjoin.extendIdealTo_wd'
File: Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean

tactic: have : r ∈ ideal i f y := by
  change (r • y) ∈ (extensionOfMax i f).toLinearPMap.domain
  rw [eq1]
  apply Submodule.zero_mem _
state_before: R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0
⊢ (extendIdealTo i f h y) r = 0
state_after: R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0
this : r ∈ ideal i f y
⊢ (extendIdealTo i f h y) r = 0

tactic: rw [ExtensionOfMaxAdjoin.extendIdealTo_is_extension i f h y r this]
state_before: R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0
this : r ∈ ideal i f y
⊢ (extendIdealTo i f h y) r = 0
state_after: R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0
this : r ∈ ideal i f y
⊢ (idealTo i f y) ⟨r, this⟩ = 0

tactic: dsimp [ExtensionOfMaxAdjoin.idealTo]
state_before: R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0
this : r ∈ ideal i f y
⊢ (idealTo i f y) ⟨r, this⟩ = 0
state_after: R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0
this : r ∈ ideal i f y
⊢ ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y, ⋯⟩ = 0

tactic: simp only [LinearMap.coe_mk, eq1, Subtype.coe_mk, ← ZeroMemClass.zero_def,
  (extensionOfMax i f).toLinearPMap.map_zero]
state_before: R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0
this : r ∈ ideal i f y
⊢ ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y, ⋯⟩ = 0
state_after: no goals

tactic: change (r • y) ∈ (extensionOfMax i f).toLinearPMap.domain
state_before: R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0
⊢ r ∈ ideal i f y
state_after: R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0
⊢ r • y ∈ (extensionOfMax i f).domain

tactic: rw [eq1]
state_before: R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0
⊢ r • y ∈ (extensionOfMax i f).domain
state_after: R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0
⊢ 0 ∈ (extensionOfMax i f).domain

tactic: apply Submodule.zero_mem _
state_before: R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0
⊢ 0 ∈ (extensionOfMax i f).domain
state_after: no goals