Theorem: MDifferentiableOn.norm_eqOn_of_isPreconnected_of_isMaxOn
File: Mathlib/Geometry/Manifold/Complex.lean

tactic: set V := {z ∈ U | ‖f z‖ = ‖f c‖}
state_before: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
⊢ EqOn (norm ∘ f) (const M ‖f c‖) U
state_after: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
⊢ EqOn (norm ∘ f) (const M ‖f c‖) U

tactic: suffices U ⊆ V from fun x hx ↦ (this hx).2
state_before: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
⊢ EqOn (norm ∘ f) (const M ‖f c‖) U
state_after: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
⊢ U ⊆ V

tactic: have hVne : (U ∩ V).Nonempty := ⟨c, hcU, hcU, rfl⟩
state_before: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
⊢ U ⊆ V
state_after: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
⊢ U ⊆ V

tactic: set W := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ
state_before: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
⊢ U ⊆ V
state_after: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ
⊢ U ⊆ V

tactic: have hWo : IsOpen W := hd.continuousOn.norm.isOpen_inter_preimage ho isOpen_ne
state_before: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ
⊢ U ⊆ V
state_after: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ
hWo : IsOpen W
⊢ U ⊆ V

tactic: have hdVW : Disjoint V W := disjoint_compl_right.mono inf_le_right inf_le_right
state_before: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ
hWo : IsOpen W
⊢ U ⊆ V
state_after: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ
hWo : IsOpen W
hdVW : Disjoint V W
⊢ U ⊆ V

tactic: have hUVW : U ⊆ V ∪ W := fun x hx => (eq_or_ne ‖f x‖ ‖f c‖).imp (.intro hx) (.intro hx)
state_before: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ
hWo : IsOpen W
hdVW : Disjoint V W
⊢ U ⊆ V
state_after: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ
hWo : IsOpen W
hdVW : Disjoint V W
hUVW : U ⊆ V ∪ W
⊢ U ⊆ V

tactic: exact hc.subset_left_of_subset_union hVo hWo hdVW hUVW hVne
state_before: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ
hWo : IsOpen W
hdVW : Disjoint V W
hUVW : U ⊆ V ∪ W
⊢ U ⊆ V
state_after: no goals

tactic: refine isOpen_iff_mem_nhds.2 fun x hx ↦ inter_mem (ho.mem_nhds hx.1) ?_
state_before: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
⊢ IsOpen V
state_after: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
x : M
hx : x ∈ V
⊢ (fun z => ‖f z‖ = ‖f c‖) ∈ 𝓝 x

tactic: replace hd : ∀ᶠ y in 𝓝 x, MDifferentiableAt I 𝓘(ℂ, F) f y :=
  (eventually_mem_nhds.2 (ho.mem_nhds hx.1)).mono fun z ↦ hd.mdifferentiableAt
state_before: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
x : M
hx : x ∈ V
hm : IsLocalMax (fun x => ‖f x‖) x
⊢ (fun z => ‖f z‖ = ‖f c‖) ∈ 𝓝 x
state_after: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
x : M
hx : x ∈ V
hm : IsLocalMax (fun x => ‖f x‖) x
hd : ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x, MDifferentiableAt I 𝓘(ℂ, F) f y
⊢ (fun z => ‖f z‖ = ‖f c‖) ∈ 𝓝 x