Theorem: ContMDiffOn.contMDiffOn_tangentMapWithin
File: Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiffMFDeriv.lean

tactic: have one_le_n : 1 ≤ n := (le_add_left le_rfl).trans hmn
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s)

tactic: refine contMDiffOn_of_locally_contMDiffOn fun p hp => ?_
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hp : p ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)

tactic: have hf' := contMDiffOn_iff.1 hf
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hp : p ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hp : p ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)

tactic: simp only [mfld_simps] at hp
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hp : p ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)

tactic: let l := chartAt H p.proj
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)

tactic: set Dl := chartAt (ModelProd H E) p with hDl
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)

tactic: let r := chartAt H' (f p.proj)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)

tactic: let Dr := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)

tactic: let il := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I l p)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)

tactic: let ir := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (r ∘ f) p)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)

tactic: let s' := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)

tactic: let s'_lift := π E (TangentSpace I) ⁻¹' s'
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)

tactic: let s'l := l.target ∩ l.symm ⁻¹' s'
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)

tactic: let s'l_lift := π E (TangentSpace I) ⁻¹' s'l
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)

tactic: rcases continuousOn_iff'.1 hf'.1 r.source r.open_source with ⟨o, o_open, ho⟩
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)

tactic: have U' : UniqueMDiffOn I s' := by
  apply UniqueMDiffOn.inter _ l.open_source
  rw [ho, inter_comm]
  exact hs.inter o_open
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift

tactic: have U'l : UniqueMDiffOn I s'l := U'.uniqueMDiffOn_preimage (mdifferentiable_chart _ _)
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift

tactic: have diff_f : ContMDiffOn I I' n f s' := hf.mono (by unfold_let s'; mfld_set_tac)
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift

tactic: have diff_r : ContMDiffOn I' I' n r r.source := contMDiffOn_chart
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift

tactic: have diff_rf : ContMDiffOn I I' n (r ∘ f) s' := by
  refine ContMDiffOn.comp diff_r diff_f fun x hx => ?_
  simp only [s', mfld_simps] at hx; simp only [hx, mfld_simps]
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift

tactic: have diff_l : ContMDiffOn I I n l.symm s'l :=
  haveI A : ContMDiffOn I I n l.symm l.target := contMDiffOn_chart_symm
  A.mono (by unfold_let s'l; mfld_set_tac)
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift

tactic: have diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (r ∘ f ∘ l.symm) s'l := by
  apply ContMDiffOn.comp diff_rf diff_l
  unfold_let s'l
  mfld_set_tac
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift

tactic: have diff_rfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (r ∘ f ∘ l.symm) s'l) s'l_lift :=
  diff_rfl.contMDiffOn_tangentMapWithin_aux hmn U'l
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift

tactic: have diff_irrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (ir ∘ tangentMapWithin I I' (r ∘ f ∘ l.symm) s'l) s'l_lift :=
  haveI A : ContMDiffOn I'.tangent I'.tangent m ir ir.source := contMDiffOn_chart
  ContMDiffOn.comp A diff_rfl_lift fun p _ => by
    simp only [s'l, s', ir, mfld_simps]
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift

tactic: have diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (Dr.symm ∘ ir ∘ tangentMapWithin I I' (r ∘ f ∘ l.symm) s'l)
    s'l_lift := by
  have A : ContMDiffOn I'.tangent I'.tangent m Dr.symm Dr.target := contMDiffOn_chart_symm
  refine ContMDiffOn.comp A diff_irrfl_lift fun p hp => ?_
  simp only [s'l_lift, s'l, s', mfld_simps] at hp
  rw [mem_preimage, TangentBundle.mem_chart_target_iff]
  simp only [s'l, ir, hp, mfld_simps]
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift

tactic: have diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m
    (Dr.symm ∘ (ir ∘ tangentMapWithin I I' (r ∘ f ∘ l.symm) s'l) ∘ il.symm ∘ Dl) s'_lift := by
  have A : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m Dl Dl.source := contMDiffOn_chart
  have A' : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m Dl s'_lift := by
    refine A.mono fun p hp => ?_
    simp only [Dl, s', s'_lift, mfld_simps] at hp
    simp only [Dl, hp, mfld_simps]
  have B : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m il.symm il.target := contMDiffOn_chart_symm
  have C : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (il.symm ∘ Dl) s'_lift :=
    ContMDiffOn.comp B A' fun p _ => by
      simp only [Dl, il, mfld_simps]
  refine diff_Drirrfl_lift.comp C fun p hp => ?_
  simp only [s'_lift, s', l, r, mfld_simps] at hp
  simp only [Dl, s'l_lift, s'l, s', l, il, hp, TotalSpace.proj, mfld_simps]
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
state_after: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift

tactic: exact diff_DrirrflilDl.congr eq_comp
state_before: case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
eq_comp :
  ∀ q ∈ s'_lift,
    tangentMapWithin I I' f s q = (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl) q
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
state_after: no goals

tactic: refine ⟨π E (TangentSpace I) ⁻¹' (o ∩ l.source), ?_, ?_, ?_⟩
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ p ∈ u ∧ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ u)
state_after: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
⊢ IsOpen (TotalSpace.proj ⁻¹' (o ∩ l.source))

case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
⊢ p ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' (o ∩ l.source)

case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s)
    (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ TotalSpace.proj ⁻¹' (o ∩ l.source))

tactic: exact (o_open.inter l.open_source).preimage (FiberBundle.continuous_proj E _)
state_before: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
⊢ IsOpen (TotalSpace.proj ⁻¹' (o ∩ l.source))
state_after: no goals

tactic: simp only [l, preimage_inter, mem_inter_iff, mem_preimage, mem_chart_source, and_true]
state_before: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
⊢ p ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' (o ∩ l.source)
state_after: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
⊢ p.proj ∈ o

tactic: have : p.proj ∈ f ⁻¹' r.source ∩ s := by simp [r, hp]
state_before: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
⊢ p.proj ∈ o
state_after: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
this : p.proj ∈ f ⁻¹' r.source ∩ s
⊢ p.proj ∈ o

tactic: rw [ho] at this
state_before: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
this : p.proj ∈ f ⁻¹' r.source ∩ s
⊢ p.proj ∈ o
state_after: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
this : p.proj ∈ o ∩ s
⊢ p.proj ∈ o

tactic: exact this.1
state_before: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
this : p.proj ∈ o ∩ s
⊢ p.proj ∈ o
state_after: no goals

tactic: simp [r, hp]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
⊢ p.proj ∈ f ⁻¹' r.source ∩ s
state_after: no goals

tactic: have : π E (TangentSpace I) ⁻¹' s ∩ π E (TangentSpace I) ⁻¹' (o ∩ l.source) = s'_lift := by
  unfold_let s'_lift s'
  rw [ho]; mfld_set_tac
state_before: case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s)
    (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ TotalSpace.proj ⁻¹' (o ∩ l.source))
state_after: case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
this : TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ TotalSpace.proj ⁻¹' (o ∩ l.source) = s'_lift
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s)
    (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ TotalSpace.proj ⁻¹' (o ∩ l.source))

tactic: rw [this]
state_before: case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
this : TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ TotalSpace.proj ⁻¹' (o ∩ l.source) = s'_lift
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s)
    (TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ TotalSpace.proj ⁻¹' (o ∩ l.source))
state_after: case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
this : TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ TotalSpace.proj ⁻¹' (o ∩ l.source) = s'_lift
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift

tactic: exact h
state_before: case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
this : TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ TotalSpace.proj ⁻¹' (o ∩ l.source) = s'_lift
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
state_after: no goals

tactic: unfold_let s'_lift s'
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
⊢ TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ TotalSpace.proj ⁻¹' (o ∩ l.source) = s'_lift
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
⊢ TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ TotalSpace.proj ⁻¹' (o ∩ l.source) = TotalSpace.proj ⁻¹' (f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source)

tactic: rw [ho]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
⊢ TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ TotalSpace.proj ⁻¹' (o ∩ l.source) = TotalSpace.proj ⁻¹' (f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
⊢ TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ TotalSpace.proj ⁻¹' (o ∩ l.source) = TotalSpace.proj ⁻¹' (o ∩ s ∩ l.source)

tactic: mfld_set_tac
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
h : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) s'_lift
⊢ TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩ TotalSpace.proj ⁻¹' (o ∩ l.source) = TotalSpace.proj ⁻¹' (o ∩ s ∩ l.source)
state_after: no goals

tactic: apply UniqueMDiffOn.inter _ l.open_source
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
⊢ UniqueMDiffOn I s'
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
⊢ UniqueMDiffOn I (f ⁻¹' r.source ∩ s)

tactic: rw [ho, inter_comm]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
⊢ UniqueMDiffOn I (f ⁻¹' r.source ∩ s)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
⊢ UniqueMDiffOn I (s ∩ o)

tactic: exact hs.inter o_open
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
⊢ UniqueMDiffOn I (s ∩ o)
state_after: no goals

tactic: unfold_let s'
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
⊢ s' ⊆ s
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
⊢ f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source ⊆ s

tactic: mfld_set_tac
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
⊢ f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source ⊆ s
state_after: no goals

tactic: refine ContMDiffOn.comp diff_r diff_f fun x hx => ?_
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
⊢ ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
x : M
hx : x ∈ s'
⊢ x ∈ f ⁻¹' r.source

tactic: simp only [s', mfld_simps] at hx
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
x : M
hx : x ∈ s'
⊢ x ∈ f ⁻¹' r.source
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
x : M
hx : (f x ∈ r.source ∧ x ∈ s) ∧ x ∈ l.source
⊢ x ∈ f ⁻¹' r.source

tactic: simp only [hx, mfld_simps]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
x : M
hx : (f x ∈ r.source ∧ x ∈ s) ∧ x ∈ l.source
⊢ x ∈ f ⁻¹' r.source
state_after: no goals

tactic: unfold_let s'l
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
A : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) l.target
⊢ s'l ⊆ l.target
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
A : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) l.target
⊢ l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s' ⊆ l.target

tactic: mfld_set_tac
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
A : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) l.target
⊢ l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s' ⊆ l.target
state_after: no goals

tactic: apply ContMDiffOn.comp diff_rf diff_l
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
⊢ ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
⊢ s'l ⊆ ↑l.symm ⁻¹' s'

tactic: unfold_let s'l
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
⊢ s'l ⊆ ↑l.symm ⁻¹' s'
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
⊢ l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s' ⊆ ↑l.symm ⁻¹' s'

tactic: mfld_set_tac
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
⊢ l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s' ⊆ ↑l.symm ⁻¹' s'
state_after: no goals

tactic: simp only [s'l, s', ir, mfld_simps]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p✝ : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p✝.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p✝.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p✝
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p✝
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p✝.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p✝)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p✝)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p✝)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I'.tangent I'.tangent m (↑ir) ir.source
p : TangentBundle I H
x✝ : p ∈ s'l_lift
⊢ p ∈ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l ⁻¹' ir.source
state_after: no goals

tactic: have A : ContMDiffOn I'.tangent I'.tangent m Dr.symm Dr.target := contMDiffOn_chart_symm
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I'.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm) Dr.target
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift

tactic: refine ContMDiffOn.comp A diff_irrfl_lift fun p hp => ?_
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I'.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm) Dr.target
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p✝ : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp✝ : p✝.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p✝.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p✝
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p✝
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p✝.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p✝)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p✝)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p✝)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I'.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm) Dr.target
p : TangentBundle I H
hp : p ∈ s'l_lift
⊢ p ∈ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l ⁻¹' Dr.target

tactic: simp only [s'l_lift, s'l, s', mfld_simps] at hp
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p✝ : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp✝ : p✝.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p✝.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p✝
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p✝
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p✝.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p✝)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p✝)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p✝)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I'.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm) Dr.target
p : TangentBundle I H
hp : p ∈ s'l_lift
⊢ p ∈ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l ⁻¹' Dr.target
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p✝ : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp✝ : p✝.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p✝.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p✝
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p✝
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p✝.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p✝)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p✝)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p✝)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I'.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm) Dr.target
p : TangentBundle I H
hp : p.proj ∈ l.target ∧ (f (↑l.symm p.proj) ∈ r.source ∧ ↑l.symm p.proj ∈ s) ∧ ↑l.symm p.proj ∈ l.source
⊢ p ∈ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l ⁻¹' Dr.target

tactic: rw [mem_preimage, TangentBundle.mem_chart_target_iff]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p✝ : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp✝ : p✝.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p✝.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p✝
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p✝
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p✝.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p✝)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p✝)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p✝)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I'.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm) Dr.target
p : TangentBundle I H
hp : p.proj ∈ l.target ∧ (f (↑l.symm p.proj) ∈ r.source ∧ ↑l.symm p.proj ∈ s) ∧ ↑l.symm p.proj ∈ l.source
⊢ p ∈ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l ⁻¹' Dr.target
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p✝ : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp✝ : p✝.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p✝.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p✝
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p✝
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p✝.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p✝)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p✝)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p✝)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I'.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm) Dr.target
p : TangentBundle I H
hp : p.proj ∈ l.target ∧ (f (↑l.symm p.proj) ∈ r.source ∧ ↑l.symm p.proj ∈ s) ∧ ↑l.symm p.proj ∈ l.source
⊢ ((↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) p).1 ∈ (chartAt H' (tangentMapWithin I I' f s p✝).proj).target

tactic: simp only [s'l, ir, hp, mfld_simps]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p✝ : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp✝ : p✝.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p✝.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p✝
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p✝
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p✝.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p✝)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p✝)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p✝)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I'.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm) Dr.target
p : TangentBundle I H
hp : p.proj ∈ l.target ∧ (f (↑l.symm p.proj) ∈ r.source ∧ ↑l.symm p.proj ∈ s) ∧ ↑l.symm p.proj ∈ l.source
⊢ ((↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) p).1 ∈ (chartAt H' (tangentMapWithin I I' f s p✝).proj).target
state_after: no goals

tactic: have A : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m Dl Dl.source := contMDiffOn_chart
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) Dl.source
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift

tactic: have A' : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m Dl s'_lift := by
  refine A.mono fun p hp => ?_
  simp only [Dl, s', s'_lift, mfld_simps] at hp
  simp only [Dl, hp, mfld_simps]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) Dl.source
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) Dl.source
A' : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) s'_lift
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift

tactic: have B : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m il.symm il.target := contMDiffOn_chart_symm
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) Dl.source
A' : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) s'_lift
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) Dl.source
A' : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) s'_lift
B : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑il.symm) il.target
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift

tactic: have C : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (il.symm ∘ Dl) s'_lift :=
  ContMDiffOn.comp B A' fun p _ => by
    simp only [Dl, il, mfld_simps]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) Dl.source
A' : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) s'_lift
B : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑il.symm) il.target
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) Dl.source
A' : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) s'_lift
B : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑il.symm) il.target
C : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑il.symm ∘ ↑Dl) s'_lift
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift

tactic: refine diff_Drirrfl_lift.comp C fun p hp => ?_
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) Dl.source
A' : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) s'_lift
B : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑il.symm) il.target
C : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑il.symm ∘ ↑Dl) s'_lift
⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p✝ : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp✝ : p✝.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p✝.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p✝
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p✝
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p✝.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p✝)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p✝)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p✝)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) Dl.source
A' : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) s'_lift
B : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑il.symm) il.target
C : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑il.symm ∘ ↑Dl) s'_lift
p : TangentBundle I M
hp : p ∈ s'_lift
⊢ p ∈ ↑il.symm ∘ ↑Dl ⁻¹' s'l_lift

tactic: simp only [s'_lift, s', l, r, mfld_simps] at hp
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p✝ : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp✝ : p✝.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p✝.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p✝
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p✝
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p✝.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p✝)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p✝)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p✝)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) Dl.source
A' : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) s'_lift
B : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑il.symm) il.target
C : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑il.symm ∘ ↑Dl) s'_lift
p : TangentBundle I M
hp : p ∈ s'_lift
⊢ p ∈ ↑il.symm ∘ ↑Dl ⁻¹' s'l_lift
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p✝ : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp✝ : p✝.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p✝.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p✝
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p✝
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p✝.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p✝)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p✝)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p✝)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) Dl.source
A' : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) s'_lift
B : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑il.symm) il.target
C : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑il.symm ∘ ↑Dl) s'_lift
p : TangentBundle I M
hp : (f p.proj ∈ (chartAt H' (f p✝.proj)).source ∧ p.proj ∈ s) ∧ p.proj ∈ (chartAt H p✝.proj).source
⊢ p ∈ ↑il.symm ∘ ↑Dl ⁻¹' s'l_lift

tactic: simp only [Dl, s'l_lift, s'l, s', l, il, hp, TotalSpace.proj, mfld_simps]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p✝ : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp✝ : p✝.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p✝.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p✝
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p✝
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p✝.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p✝)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p✝)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p✝)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) Dl.source
A' : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) s'_lift
B : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑il.symm) il.target
C : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑il.symm ∘ ↑Dl) s'_lift
p : TangentBundle I M
hp : (f p.proj ∈ (chartAt H' (f p✝.proj)).source ∧ p.proj ∈ s) ∧ p.proj ∈ (chartAt H p✝.proj).source
⊢ p ∈ ↑il.symm ∘ ↑Dl ⁻¹' s'l_lift
state_after: no goals

tactic: refine A.mono fun p hp => ?_
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) Dl.source
⊢ ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) s'_lift
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p✝ : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp✝ : p✝.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p✝.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p✝
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p✝
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p✝.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p✝)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p✝)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p✝)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) Dl.source
p : TangentBundle I M
hp : p ∈ s'_lift
⊢ p ∈ Dl.source

tactic: simp only [Dl, s', s'_lift, mfld_simps] at hp
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p✝ : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp✝ : p✝.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p✝.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p✝
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p✝
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p✝.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p✝)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p✝)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p✝)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) Dl.source
p : TangentBundle I M
hp : p ∈ s'_lift
⊢ p ∈ Dl.source
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p✝ : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp✝ : p✝.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p✝.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p✝
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p✝
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p✝.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p✝)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p✝)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p✝)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) Dl.source
p : TangentBundle I M
hp : (f p.proj ∈ r.source ∧ p.proj ∈ s) ∧ p.proj ∈ l.source
⊢ p ∈ Dl.source

tactic: simp only [Dl, hp, mfld_simps]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p✝ : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp✝ : p✝.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p✝.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p✝
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p✝
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p✝.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p✝)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p✝)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p✝)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) Dl.source
p : TangentBundle I M
hp : (f p.proj ∈ r.source ∧ p.proj ∈ s) ∧ p.proj ∈ l.source
⊢ p ∈ Dl.source
state_after: no goals

tactic: simp only [Dl, il, mfld_simps]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p✝ : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p✝.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p✝.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p✝
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p✝
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p✝.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p✝)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p✝)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p✝)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
A : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) Dl.source
A' : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑Dl) s'_lift
B : ContMDiffOn I.tangent I.tangent m (↑il.symm) il.target
p : TangentBundle I M
x✝ : p ∈ s'_lift
⊢ p ∈ ↑Dl ⁻¹' il.target
state_after: no goals

tactic: intro q hq
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
⊢ ∀ q ∈ s'_lift,
    tangentMapWithin I I' f s q = (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl) q
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : q ∈ s'_lift
⊢ tangentMapWithin I I' f s q = (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl) q

tactic: simp only [s'_lift, s', l, r, mfld_simps] at hq
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : q ∈ s'_lift
⊢ tangentMapWithin I I' f s q = (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl) q
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
⊢ tangentMapWithin I I' f s q = (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl) q

tactic: have U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.1 := by apply U'; simp only [s', hq, mfld_simps]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
⊢ tangentMapWithin I I' f s q = (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl) q
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
⊢ tangentMapWithin I I' f s q = (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl) q

tactic: have U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (Dl q).1 := by
  apply U'l; simp only [Dl, s'l, s', hq, mfld_simps]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
⊢ tangentMapWithin I I' f s q = (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl) q
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
⊢ tangentMapWithin I I' f s q = (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl) q

tactic: have E : tangentMapWithin I I' f s' q = tangentMapWithin I I' f s q := by
  refine tangentMapWithin_subset (by unfold_let; mfld_set_tac) U'q ?_
  apply hf.mdifferentiableOn one_le_n
  simp only [hq, mfld_simps]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
D : ↑Dr.symm (↑ir (tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q))) = tangentMapWithin I I' f s' q
⊢ tangentMapWithin I I' f s q = (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl) q
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E✝
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E✝ H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E✝) := chartAt (ModelProd H E✝) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E✝) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E✝) := chartAt (ModelProd H E✝) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E✝ (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E✝ (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E✝ (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
D : ↑Dr.symm (↑ir (tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q))) = tangentMapWithin I I' f s' q
E : tangentMapWithin I I' f s' q = tangentMapWithin I I' f s q
⊢ tangentMapWithin I I' f s q = (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl) q

tactic: dsimp only [Function.comp_def] at A B C D E ⊢
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E✝
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E✝ H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E✝) := chartAt (ModelProd H E✝) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E✝) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E✝) := chartAt (ModelProd H E✝) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E✝ (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E✝ (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E✝ (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
D : ↑Dr.symm (↑ir (tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q))) = tangentMapWithin I I' f s' q
E : tangentMapWithin I I' f s' q = tangentMapWithin I I' f s q
⊢ tangentMapWithin I I' f s q = (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl) q
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E✝
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E✝ H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E✝) := chartAt (ModelProd H E✝) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E✝) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E✝) := chartAt (ModelProd H E✝) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E✝ (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E✝ (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E✝ (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' (fun x => ↑r (f (↑l.symm x))) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (fun x => ↑r (f x)) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (fun x => ↑r (f x)) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
D : ↑Dr.symm (↑ir (tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q))) = tangentMapWithin I I' f s' q
E : tangentMapWithin I I' f s' q = tangentMapWithin I I' f s q
⊢ tangentMapWithin I I' f s q =
    ↑Dr.symm (↑ir (tangentMapWithin I I' (fun x => ↑r (f (↑l.symm x))) s'l (↑il.symm (↑Dl q))))

tactic: simp only [A, B, C, D, ← E]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E✝
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E✝ H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E✝) := chartAt (ModelProd H E✝) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E✝) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E✝) := chartAt (ModelProd H E✝) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E✝ (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E✝ (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E✝ (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' (fun x => ↑r (f (↑l.symm x))) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (fun x => ↑r (f x)) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (fun x => ↑r (f x)) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
D : ↑Dr.symm (↑ir (tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q))) = tangentMapWithin I I' f s' q
E : tangentMapWithin I I' f s' q = tangentMapWithin I I' f s q
⊢ tangentMapWithin I I' f s q =
    ↑Dr.symm (↑ir (tangentMapWithin I I' (fun x => ↑r (f (↑l.symm x))) s'l (↑il.symm (↑Dl q))))
state_after: no goals

tactic: apply U'
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
⊢ UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
state_after: case a
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
⊢ q.proj ∈ s'

tactic: simp only [s', hq, mfld_simps]
state_before: case a
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
⊢ q.proj ∈ s'
state_after: no goals

tactic: apply U'l
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
⊢ UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
state_after: case a
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
⊢ (↑Dl q).1 ∈ s'l

tactic: simp only [Dl, s'l, s', hq, mfld_simps]
state_before: case a
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
⊢ (↑Dl q).1 ∈ s'l
state_after: no goals

tactic: refine tangentMapWithin_comp_at (il.symm (Dl q)) ?_ ?_ (fun p hp => ?_) U'lq
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
⊢ tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
state_after: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' (↑r ∘ f) s' (↑l.symm (↑il.symm (↑Dl q)).proj)

case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
⊢ MDifferentiableWithinAt I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)).proj

case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p✝ : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp✝ : p✝.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p✝.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p✝
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p✝
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p✝.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p✝)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p✝)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p✝)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p✝.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p✝.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
p : H
hp : p ∈ s'l
⊢ p ∈ ↑l.symm ⁻¹' s'

tactic: apply diff_rf.mdifferentiableOn one_le_n
state_before: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' (↑r ∘ f) s' (↑l.symm (↑il.symm (↑Dl q)).proj)
state_after: case refine_1.a
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
⊢ ↑l.symm (↑il.symm (↑Dl q)).proj ∈ s'

tactic: simp only [hq, s', Dl, l, il, mfld_simps]
state_before: case refine_1.a
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
⊢ ↑l.symm (↑il.symm (↑Dl q)).proj ∈ s'
state_after: no goals

tactic: apply diff_l.mdifferentiableOn one_le_n
state_before: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
⊢ MDifferentiableWithinAt I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)).proj
state_after: case refine_2.a
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
⊢ (↑il.symm (↑Dl q)).proj ∈ s'l

tactic: simp only [Dl, s'l, il, s', hq, mfld_simps]
state_before: case refine_2.a
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
⊢ (↑il.symm (↑Dl q)).proj ∈ s'l
state_after: no goals

tactic: simp only [s'l, s', l, mfld_simps] at hp
state_before: case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p✝ : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp✝ : p✝.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p✝.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p✝
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p✝
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p✝.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p✝)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p✝)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p✝)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p✝.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p✝.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
p : H
hp : p ∈ s'l
⊢ p ∈ ↑l.symm ⁻¹' s'
state_after: case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p✝ : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp✝ : p✝.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p✝.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p✝
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p✝
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p✝.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p✝)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p✝)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p✝)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p✝.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p✝.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
p : H
hp :
  p ∈ (chartAt H p✝.proj).target ∧
    (f (↑(chartAt H p✝.proj).symm p) ∈ r.source ∧ ↑(chartAt H p✝.proj).symm p ∈ s) ∧
      ↑(chartAt H p✝.proj).symm p ∈ (chartAt H p✝.proj).source
⊢ p ∈ ↑l.symm ⁻¹' s'

tactic: simp only [s', hp, mfld_simps]
state_before: case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p✝ : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp✝ : p✝.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p✝.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p✝
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p✝
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p✝.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p✝)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p✝)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p✝)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p✝.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p✝.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
p : H
hp :
  p ∈ (chartAt H p✝.proj).target ∧
    (f (↑(chartAt H p✝.proj).symm p) ∈ r.source ∧ ↑(chartAt H p✝.proj).symm p ∈ s) ∧
      ↑(chartAt H p✝.proj).symm p ∈ (chartAt H p✝.proj).source
⊢ p ∈ ↑l.symm ⁻¹' s'
state_after: no goals

tactic: have : tangentMapWithin I I l.symm s'l (il.symm (Dl q)) =
    tangentMap I I l.symm (il.symm (Dl q)) := by
  refine tangentMapWithin_eq_tangentMap U'lq ?_
  refine mdifferentiableAt_atlas_symm I (chart_mem_atlas H (TotalSpace.proj p)) ?_
  simp only [Dl, il, hq, mfld_simps]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
⊢ tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
this : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = tangentMap I I (↑l.symm) (↑il.symm (↑Dl q))
⊢ tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q

tactic: rw [this, tangentMap_chart_symm, hDl]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
this : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = tangentMap I I (↑l.symm) (↑il.symm (↑Dl q))
⊢ tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
this : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = tangentMap I I (↑l.symm) (↑il.symm (↑Dl q))
⊢ ↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm ((TotalSpace.toProd H E) (↑il.symm (↑(chartAt (ModelProd H E) p) q))) = q

case h
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
this : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = tangentMap I I (↑l.symm) (↑il.symm (↑Dl q))
⊢ (↑il.symm (↑Dl q)).proj ∈ (chartAt H p.proj).target

tactic: refine tangentMapWithin_eq_tangentMap U'lq ?_
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
⊢ tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = tangentMap I I (↑l.symm) (↑il.symm (↑Dl q))
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
⊢ MDifferentiableAt I I (↑l.symm) (↑il.symm (↑Dl q)).proj

tactic: refine mdifferentiableAt_atlas_symm I (chart_mem_atlas H (TotalSpace.proj p)) ?_
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
⊢ MDifferentiableAt I I (↑l.symm) (↑il.symm (↑Dl q)).proj
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
⊢ (↑il.symm (↑Dl q)).proj ∈ (chartAt H p.proj).target

tactic: simp only [Dl, il, hq, mfld_simps]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
⊢ (↑il.symm (↑Dl q)).proj ∈ (chartAt H p.proj).target
state_after: no goals

tactic: simp only [il, hq, mfld_simps]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
this : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = tangentMap I I (↑l.symm) (↑il.symm (↑Dl q))
⊢ ↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm ((TotalSpace.toProd H E) (↑il.symm (↑(chartAt (ModelProd H E) p) q))) = q
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
this : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = tangentMap I I (↑l.symm) (↑il.symm (↑Dl q))
⊢ ↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm (↑(chartAt H p.proj) q.proj, (↑(chartAt (ModelProd H E) p) q).2) = q

tactic: have : q ∈ (chartAt (ModelProd H E) p).source := by simp only [hq, mfld_simps]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
this : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = tangentMap I I (↑l.symm) (↑il.symm (↑Dl q))
⊢ ↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm (↑(chartAt H p.proj) q.proj, (↑(chartAt (ModelProd H E) p) q).2) = q
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
this✝ : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = tangentMap I I (↑l.symm) (↑il.symm (↑Dl q))
this : q ∈ (chartAt (ModelProd H E) p).source
⊢ ↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm (↑(chartAt H p.proj) q.proj, (↑(chartAt (ModelProd H E) p) q).2) = q

tactic: exact (chartAt (ModelProd H E) p).left_inv this
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
this✝ : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = tangentMap I I (↑l.symm) (↑il.symm (↑Dl q))
this : q ∈ (chartAt (ModelProd H E) p).source
⊢ ↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm (↑(chartAt H p.proj) q.proj, (↑(chartAt (ModelProd H E) p) q).2) = q
state_after: no goals

tactic: simp only [hq, mfld_simps]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
this : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = tangentMap I I (↑l.symm) (↑il.symm (↑Dl q))
⊢ q ∈ (chartAt (ModelProd H E) p).source
state_after: no goals

tactic: simp only [il, Dl, hq, mfld_simps]
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
this : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = tangentMap I I (↑l.symm) (↑il.symm (↑Dl q))
⊢ (↑il.symm (↑Dl q)).proj ∈ (chartAt H p.proj).target
state_after: no goals

tactic: refine tangentMapWithin_comp_at q ?_ ?_ (fun r hr => ?_) U'q
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
⊢ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
state_after: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
⊢ MDifferentiableWithinAt I' I' (↑r) r.source (f q.proj)

case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s' q.proj

case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r✝ : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r✝ ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r✝.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r✝.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r✝) r✝.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r✝ ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r✝ ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r✝ ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r✝ ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r✝ ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r✝ ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r✝ ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r✝ ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
r : M
hr : r ∈ s'
⊢ r ∈ f ⁻¹' r✝.source

tactic: apply diff_r.mdifferentiableOn one_le_n
state_before: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
⊢ MDifferentiableWithinAt I' I' (↑r) r.source (f q.proj)
state_after: case refine_1.a
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
⊢ f q.proj ∈ r.source

tactic: simp only [hq, mfld_simps]
state_before: case refine_1.a
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
⊢ f q.proj ∈ r.source
state_after: no goals

tactic: apply diff_f.mdifferentiableOn one_le_n
state_before: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s' q.proj
state_after: case refine_2.a
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
⊢ q.proj ∈ s'

tactic: simp only [s', hq, mfld_simps]
state_before: case refine_2.a
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
⊢ q.proj ∈ s'
state_after: no goals

tactic: simp only [s', mfld_simps] at hr
state_before: case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r✝ : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r✝ ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r✝.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r✝.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r✝) r✝.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r✝ ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r✝ ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r✝ ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r✝ ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r✝ ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r✝ ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r✝ ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r✝ ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
r : M
hr : r ∈ s'
⊢ r ∈ f ⁻¹' r✝.source
state_after: case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r✝ : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r✝ ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r✝.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r✝.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r✝) r✝.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r✝ ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r✝ ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r✝ ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r✝ ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r✝ ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r✝ ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r✝ ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r✝ ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
r : M
hr : (f r ∈ r✝.source ∧ r ∈ s) ∧ r ∈ l.source
⊢ r ∈ f ⁻¹' r✝.source

tactic: simp only [hr, mfld_simps]
state_before: case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r✝ : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r✝ ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r✝.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r✝.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r✝) r✝.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r✝ ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r✝ ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r✝ ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r✝ ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r✝ ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r✝ ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r✝ ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r✝ ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
r : M
hr : (f r ∈ r✝.source ∧ r ∈ s) ∧ r ∈ l.source
⊢ r ∈ f ⁻¹' r✝.source
state_after: no goals

tactic: have : f p.proj = (tangentMapWithin I I' f s p).1 := rfl
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A✝ :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
A :
  tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q) =
    tangentMap I' I' (↑r) (tangentMapWithin I I' f s' q)
⊢ ↑Dr.symm (↑ir (tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q))) = tangentMapWithin I I' f s' q
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A✝ :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
A :
  tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q) =
    tangentMap I' I' (↑r) (tangentMapWithin I I' f s' q)
this : f p.proj = (tangentMapWithin I I' f s p).proj
⊢ ↑Dr.symm (↑ir (tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q))) = tangentMapWithin I I' f s' q

tactic: rw [A]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A✝ :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
A :
  tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q) =
    tangentMap I' I' (↑r) (tangentMapWithin I I' f s' q)
this : f p.proj = (tangentMapWithin I I' f s p).proj
⊢ ↑Dr.symm (↑ir (tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q))) = tangentMapWithin I I' f s' q
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A✝ :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
A :
  tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q) =
    tangentMap I' I' (↑r) (tangentMapWithin I I' f s' q)
this : f p.proj = (tangentMapWithin I I' f s p).proj
⊢ ↑Dr.symm (↑ir (tangentMap I' I' (↑r) (tangentMapWithin I I' f s' q))) = tangentMapWithin I I' f s' q

tactic: dsimp [Dr, ir, s', r, l]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A✝ :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
A :
  tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q) =
    tangentMap I' I' (↑r) (tangentMapWithin I I' f s' q)
this : f p.proj = (tangentMapWithin I I' f s p).proj
⊢ ↑Dr.symm (↑ir (tangentMap I' I' (↑r) (tangentMapWithin I I' f s' q))) = tangentMapWithin I I' f s' q
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A✝ :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
A :
  tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q) =
    tangentMap I' I' (↑r) (tangentMapWithin I I' f s' q)
this : f p.proj = (tangentMapWithin I I' f s p).proj
⊢ ↑(chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)).symm
      (↑(chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑(chartAt H' (f p.proj)) ∘ f) p))
        (tangentMap I' I' (↑(chartAt H' (f p.proj)))
          (tangentMapWithin I I' f (f ⁻¹' (chartAt H' (f p.proj)).source ∩ s ∩ (chartAt H p.proj).source) q))) =
    tangentMapWithin I I' f (f ⁻¹' (chartAt H' (f p.proj)).source ∩ s ∩ (chartAt H p.proj).source) q

tactic: rw [this, tangentMap_chart]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A✝ :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
A :
  tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q) =
    tangentMap I' I' (↑r) (tangentMapWithin I I' f s' q)
this : f p.proj = (tangentMapWithin I I' f s p).proj
⊢ ↑(chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)).symm
      (↑(chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑(chartAt H' (f p.proj)) ∘ f) p))
        (tangentMap I' I' (↑(chartAt H' (f p.proj)))
          (tangentMapWithin I I' f (f ⁻¹' (chartAt H' (f p.proj)).source ∩ s ∩ (chartAt H p.proj).source) q))) =
    tangentMapWithin I I' f (f ⁻¹' (chartAt H' (f p.proj)).source ∩ s ∩ (chartAt H p.proj).source) q
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A✝ :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
A :
  tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q) =
    tangentMap I' I' (↑r) (tangentMapWithin I I' f s' q)
this : f p.proj = (tangentMapWithin I I' f s p).proj
⊢ ↑(chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)).symm
      (↑(chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑(chartAt H' (tangentMapWithin I I' f s p).proj) ∘ f) p))
        ((TotalSpace.toProd H' E').symm
          (↑(chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p))
            (tangentMapWithin I I' f
              (f ⁻¹' (chartAt H' (tangentMapWithin I I' f s p).proj).source ∩ s ∩ (chartAt H p.proj).source) q)))) =
    tangentMapWithin I I' f
      (f ⁻¹' (chartAt H' (tangentMapWithin I I' f s p).proj).source ∩ s ∩ (chartAt H p.proj).source) q

case h
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A✝ :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
A :
  tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q) =
    tangentMap I' I' (↑r) (tangentMapWithin I I' f s' q)
this : f p.proj = (tangentMapWithin I I' f s p).proj
⊢ (tangentMapWithin I I' f
        (f ⁻¹' (chartAt H' (tangentMapWithin I I' f s p).proj).source ∩ s ∩ (chartAt H p.proj).source) q).proj ∈
    (chartAt H' (tangentMapWithin I I' f s p).proj).source

tactic: apply tangentMapWithin_eq_tangentMap
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
⊢ tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q) =
    tangentMap I' I' (↑r) (tangentMapWithin I I' f s' q)
state_after: case hs
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
⊢ UniqueMDiffWithinAt I' r.source (tangentMapWithin I I' f s' q).proj

case h
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
⊢ MDifferentiableAt I' I' (↑r) (tangentMapWithin I I' f s' q).proj

tactic: apply r.open_source.uniqueMDiffWithinAt _
state_before: case hs
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
⊢ UniqueMDiffWithinAt I' r.source (tangentMapWithin I I' f s' q).proj
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
⊢ (tangentMapWithin I I' f s' q).proj ∈ r.source

tactic: simp [hq]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
⊢ (tangentMapWithin I I' f s' q).proj ∈ r.source
state_after: no goals

tactic: exact mdifferentiableAt_atlas I' (chart_mem_atlas H' (f p.proj)) hq.1.1
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
⊢ MDifferentiableAt I' I' (↑r) (tangentMapWithin I I' f s' q).proj
state_after: no goals

tactic: simp only [hq, mfld_simps]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A✝ :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
A :
  tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q) =
    tangentMap I' I' (↑r) (tangentMapWithin I I' f s' q)
this : f p.proj = (tangentMapWithin I I' f s p).proj
⊢ ↑(chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)).symm
      (↑(chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑(chartAt H' (tangentMapWithin I I' f s p).proj) ∘ f) p))
        ((TotalSpace.toProd H' E').symm
          (↑(chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p))
            (tangentMapWithin I I' f
              (f ⁻¹' (chartAt H' (tangentMapWithin I I' f s p).proj).source ∩ s ∩ (chartAt H p.proj).source) q)))) =
    tangentMapWithin I I' f
      (f ⁻¹' (chartAt H' (tangentMapWithin I I' f s p).proj).source ∩ s ∩ (chartAt H p.proj).source) q
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A✝ :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
A :
  tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q) =
    tangentMap I' I' (↑r) (tangentMapWithin I I' f s' q)
this : f p.proj = (tangentMapWithin I I' f s p).proj
⊢ ↑(chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)).symm
      (↑(chartAt H' (f p.proj)) (f q.proj),
        (↑(chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p))
            (tangentMapWithin I I' f (f ⁻¹' (chartAt H' (f p.proj)).source ∩ s ∩ (chartAt H p.proj).source) q)).2) =
    tangentMapWithin I I' f (f ⁻¹' (chartAt H' (f p.proj)).source ∩ s ∩ (chartAt H p.proj).source) q

tactic: have :
  tangentMapWithin I I' f s' q ∈
    (chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)).source := by
  simp only [hq, mfld_simps]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A✝ :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
A :
  tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q) =
    tangentMap I' I' (↑r) (tangentMapWithin I I' f s' q)
this : f p.proj = (tangentMapWithin I I' f s p).proj
⊢ ↑(chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)).symm
      (↑(chartAt H' (f p.proj)) (f q.proj),
        (↑(chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p))
            (tangentMapWithin I I' f (f ⁻¹' (chartAt H' (f p.proj)).source ∩ s ∩ (chartAt H p.proj).source) q)).2) =
    tangentMapWithin I I' f (f ⁻¹' (chartAt H' (f p.proj)).source ∩ s ∩ (chartAt H p.proj).source) q
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A✝ :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
A :
  tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q) =
    tangentMap I' I' (↑r) (tangentMapWithin I I' f s' q)
this✝ : f p.proj = (tangentMapWithin I I' f s p).proj
this : tangentMapWithin I I' f s' q ∈ (chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)).source
⊢ ↑(chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)).symm
      (↑(chartAt H' (f p.proj)) (f q.proj),
        (↑(chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p))
            (tangentMapWithin I I' f (f ⁻¹' (chartAt H' (f p.proj)).source ∩ s ∩ (chartAt H p.proj).source) q)).2) =
    tangentMapWithin I I' f (f ⁻¹' (chartAt H' (f p.proj)).source ∩ s ∩ (chartAt H p.proj).source) q

tactic: exact (chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)).left_inv this
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A✝ :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
A :
  tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q) =
    tangentMap I' I' (↑r) (tangentMapWithin I I' f s' q)
this✝ : f p.proj = (tangentMapWithin I I' f s p).proj
this : tangentMapWithin I I' f s' q ∈ (chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)).source
⊢ ↑(chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)).symm
      (↑(chartAt H' (f p.proj)) (f q.proj),
        (↑(chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p))
            (tangentMapWithin I I' f (f ⁻¹' (chartAt H' (f p.proj)).source ∩ s ∩ (chartAt H p.proj).source) q)).2) =
    tangentMapWithin I I' f (f ⁻¹' (chartAt H' (f p.proj)).source ∩ s ∩ (chartAt H p.proj).source) q
state_after: no goals

tactic: simp only [hq, mfld_simps]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A✝ :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
A :
  tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q) =
    tangentMap I' I' (↑r) (tangentMapWithin I I' f s' q)
this : f p.proj = (tangentMapWithin I I' f s p).proj
⊢ tangentMapWithin I I' f s' q ∈ (chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)).source
state_after: no goals

tactic: simp only [hq, mfld_simps]
state_before: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A✝ :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
A :
  tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q) =
    tangentMap I' I' (↑r) (tangentMapWithin I I' f s' q)
this : f p.proj = (tangentMapWithin I I' f s p).proj
⊢ (tangentMapWithin I I' f
        (f ⁻¹' (chartAt H' (tangentMapWithin I I' f s p).proj).source ∩ s ∩ (chartAt H p.proj).source) q).proj ∈
    (chartAt H' (tangentMapWithin I I' f s p).proj).source
state_after: no goals

tactic: refine tangentMapWithin_subset (by unfold_let; mfld_set_tac) U'q ?_
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
D : ↑Dr.symm (↑ir (tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q))) = tangentMapWithin I I' f s' q
⊢ tangentMapWithin I I' f s' q = tangentMapWithin I I' f s q
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
D : ↑Dr.symm (↑ir (tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q))) = tangentMapWithin I I' f s' q
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s q.proj

tactic: apply hf.mdifferentiableOn one_le_n
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
D : ↑Dr.symm (↑ir (tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q))) = tangentMapWithin I I' f s' q
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s q.proj
state_after: case a
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
D : ↑Dr.symm (↑ir (tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q))) = tangentMapWithin I I' f s' q
⊢ q.proj ∈ s

tactic: simp only [hq, mfld_simps]
state_before: case a
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
D : ↑Dr.symm (↑ir (tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q))) = tangentMapWithin I I' f s' q
⊢ q.proj ∈ s
state_after: no goals

tactic: unfold_let
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
D : ↑Dr.symm (↑ir (tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q))) = tangentMapWithin I I' f s' q
⊢ s' ⊆ s
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
D : ↑Dr.symm (↑ir (tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q))) = tangentMapWithin I I' f s' q
⊢ f ⁻¹' (chartAt H' (f p.proj)).source ∩ s ∩ (chartAt H p.proj).source ⊆ s

tactic: mfld_set_tac
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
one_le_n : 1 ≤ n
p : TangentBundle I M
hf' :
  ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hp : p.proj ∈ s
l : PartialHomeomorph M H := chartAt H p.proj
Dl : PartialHomeomorph (TangentBundle I M) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) p
hDl : Dl = chartAt (ModelProd H E) p
r : PartialHomeomorph M' H' := chartAt H' (f p.proj)
Dr : PartialHomeomorph (TangentBundle I' M') (ModelProd H' E') :=
  chartAt (ModelProd H' E') (tangentMapWithin I I' f s p)
il : PartialHomeomorph (TangentBundle I H) (ModelProd H E) := chartAt (ModelProd H E) (tangentMap I I (↑l) p)
ir : PartialHomeomorph (TangentBundle I' H') (ModelProd H' E') := chartAt (ModelProd H' E') (tangentMap I I' (↑r ∘ f) p)
s' : Set M := f ⁻¹' r.source ∩ s ∩ l.source
s'_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'
s'l : Set H := l.target ∩ ↑l.symm ⁻¹' s'
s'l_lift : Set (TotalSpace E (TangentSpace I)) := TotalSpace.proj ⁻¹' s'l
o : Set M
o_open : IsOpen o
ho : f ⁻¹' r.source ∩ s = o ∩ s
U' : UniqueMDiffOn I s'
U'l : UniqueMDiffOn I s'l
diff_f : ContMDiffOn I I' n f s'
diff_r : ContMDiffOn I' I' n (↑r) r.source
diff_rf : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f) s'
diff_l : ContMDiffOn I I n (↑l.symm) s'l
diff_rfl : ContMDiffOn I I' n (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l
diff_rfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_irrfl_lift : ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_Drirrfl_lift :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ ↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) s'l_lift
diff_DrirrflilDl :
  ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (↑Dr.symm ∘ (↑ir ∘ tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f ∘ ↑l.symm) s'l) ∘ ↑il.symm ∘ ↑Dl)
    s'_lift
q : TotalSpace E (TangentSpace I)
hq : (f q.proj ∈ (chartAt H' (f p.proj)).source ∧ q.proj ∈ s) ∧ q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
U'q : UniqueMDiffWithinAt I s' q.proj
U'lq : UniqueMDiffWithinAt I s'l (↑Dl q).1
A :
  tangentMapWithin I I' ((↑r ∘ f) ∘ ↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) =
    tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' (tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)))
B : tangentMapWithin I I (↑l.symm) s'l (↑il.symm (↑Dl q)) = q
C : tangentMapWithin I I' (↑r ∘ f) s' q = tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q)
D : ↑Dr.symm (↑ir (tangentMapWithin I' I' (↑r) r.source (tangentMapWithin I I' f s' q))) = tangentMapWithin I I' f s' q
⊢ f ⁻¹' (chartAt H' (f p.proj)).source ∩ s ∩ (chartAt H p.proj).source ⊆ s
state_after: no goals