Theorem: Matrix.inv_zero
File: Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean

tactic: cases' subsingleton_or_nontrivial α with ht ht
state_before: l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ 0⁻¹ = 0
state_after: case inl
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Subsingleton α
⊢ 0⁻¹ = 0

case inr
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
⊢ 0⁻¹ = 0

tactic: rcases (Fintype.card n).zero_le.eq_or_lt with hc | hc
state_before: case inr
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
⊢ 0⁻¹ = 0
state_after: case inr.inl
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
hc : 0 = Fintype.card n
⊢ 0⁻¹ = 0

case inr.inr
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
hc : 0 < Fintype.card n
⊢ 0⁻¹ = 0

tactic: simp [eq_iff_true_of_subsingleton]
state_before: case inl
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Subsingleton α
⊢ 0⁻¹ = 0
state_after: no goals

tactic: rw [eq_comm, Fintype.card_eq_zero_iff] at hc
state_before: case inr.inl
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
hc : 0 = Fintype.card n
⊢ 0⁻¹ = 0
state_after: case inr.inl
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
hc : IsEmpty n
⊢ 0⁻¹ = 0

tactic: haveI := hc
state_before: case inr.inl
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
hc : IsEmpty n
⊢ 0⁻¹ = 0
state_after: case inr.inl
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
hc this : IsEmpty n
⊢ 0⁻¹ = 0

tactic: ext i
state_before: case inr.inl
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
hc this : IsEmpty n
⊢ 0⁻¹ = 0
state_after: case inr.inl.a
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
hc this : IsEmpty n
i j✝ : n
⊢ 0⁻¹ i j✝ = 0 i j✝

tactic: exact (IsEmpty.false i).elim
state_before: case inr.inl.a
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
hc this : IsEmpty n
i j✝ : n
⊢ 0⁻¹ i j✝ = 0 i j✝
state_after: no goals

tactic: have hn : Nonempty n := Fintype.card_pos_iff.mp hc
state_before: case inr.inr
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
hc : 0 < Fintype.card n
⊢ 0⁻¹ = 0
state_after: case inr.inr
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
hc : 0 < Fintype.card n
hn : Nonempty n
⊢ 0⁻¹ = 0

tactic: refine nonsing_inv_apply_not_isUnit _ ?_
state_before: case inr.inr
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
hc : 0 < Fintype.card n
hn : Nonempty n
⊢ 0⁻¹ = 0
state_after: case inr.inr
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
hc : 0 < Fintype.card n
hn : Nonempty n
⊢ ¬IsUnit (det 0)

tactic: simp [hn]
state_before: case inr.inr
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
hc : 0 < Fintype.card n
hn : Nonempty n
⊢ ¬IsUnit (det 0)
state_after: no goals