Theorem: AffineMap.ext_linear
File: Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean

tactic: ext q
state_before: k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
⊢ f = g
state_after: case h
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
⊢ f q = g q

tactic: have hgl : g.linear (q -ᵥ p) = toFun g ((q -ᵥ p) +ᵥ q) -ᵥ toFun g q := by simp
state_before: case h
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
⊢ f q = g q
state_after: case h
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
hgl : g.linear (q -ᵥ p) = g.toFun (q -ᵥ p +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q
⊢ f q = g q

tactic: have := f.map_vadd' q (q -ᵥ p)
state_before: case h
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
hgl : g.linear (q -ᵥ p) = g.toFun (q -ᵥ p +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q
⊢ f q = g q
state_after: case h
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
hgl : g.linear (q -ᵥ p) = g.toFun (q -ᵥ p +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q
this : f.toFun (q -ᵥ p +ᵥ q) = f.linear (q -ᵥ p) +ᵥ f.toFun q
⊢ f q = g q

tactic: rw [h₁, hgl, toFun_eq_coe, map_vadd, linearMap_vsub, h₂] at this
state_before: case h
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
hgl : g.linear (q -ᵥ p) = g.toFun (q -ᵥ p +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q
this : f.toFun (q -ᵥ p +ᵥ q) = f.linear (q -ᵥ p) +ᵥ f.toFun q
⊢ f q = g q
state_after: case h
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
hgl : g.linear (q -ᵥ p) = g.toFun (q -ᵥ p +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q
this : f q -ᵥ g p +ᵥ f q = g.toFun (q -ᵥ p +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q +ᵥ f q
⊢ f q = g q

tactic: simpa
state_before: case h
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
hgl : g.linear (q -ᵥ p) = g.toFun (q -ᵥ p +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q
this : f q -ᵥ g p +ᵥ f q = g.toFun (q -ᵥ p +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q +ᵥ f q
⊢ f q = g q
state_after: no goals

tactic: simp
state_before: k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
⊢ g.linear (q -ᵥ p) = g.toFun (q -ᵥ p +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q
state_after: no goals