Theorem: BoundedContinuousFunction.tietze_extension_step
File: Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean

tactic: have h3 : (0 : ℝ) < 3 := by norm_num1
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖

tactic: have h23 : 0 < (2 / 3 : ℝ) := by norm_num1
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖

tactic: rcases eq_or_ne f 0 with (rfl | hf)
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
state_after: case inl
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖0‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) 0 ≤ 2 / 3 * ‖0‖

case inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : f ≠ 0
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖

tactic: replace hf : 0 < ‖f‖ := norm_pos_iff.2 hf
state_before: case inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : f ≠ 0
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
state_after: case inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖

tactic: have hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3 := (div_lt_div_right h3).2 (Left.neg_lt_self hf)
state_before: case inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
state_after: case inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖

tactic: have hc₁ : IsClosed (e '' (f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) :=
  he.isClosedMap _ (isClosed_Iic.preimage f.continuous)
state_before: case inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
state_after: case inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖

tactic: have hc₂ : IsClosed (e '' (f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3))) :=
  he.isClosedMap _ (isClosed_Ici.preimage f.continuous)
state_before: case inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
state_after: case inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖

tactic: have hd : Disjoint (e '' (f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (e '' (f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3))) := by
  refine disjoint_image_of_injective he.inj (Disjoint.preimage _ ?_)
  rwa [Iic_disjoint_Ici, not_le]
state_before: case inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
state_after: case inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖

tactic: rcases exists_bounded_mem_Icc_of_closed_of_le hc₁ hc₂ hd hf3.le with ⟨g, hg₁, hg₂, hgf⟩
state_before: case inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
state_after: case inr.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖

tactic: refine ⟨g, ?_, ?_⟩
state_before: case inr.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
state_after: case inr.intro.intro.intro.refine_1
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
⊢ ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3

case inr.intro.intro.intro.refine_2
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
⊢ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖

tactic: norm_num1
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
⊢ 0 < 3
state_after: no goals

tactic: norm_num1
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
⊢ 0 < 2 / 3
state_after: no goals

tactic: use 0
state_before: case inl
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖0‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) 0 ≤ 2 / 3 * ‖0‖
state_after: case h
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
⊢ ‖0‖ ≤ ‖0‖ / 3 ∧ dist (compContinuous 0 e) 0 ≤ 2 / 3 * ‖0‖

tactic: simp
state_before: case h
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
⊢ ‖0‖ ≤ ‖0‖ / 3 ∧ dist (compContinuous 0 e) 0 ≤ 2 / 3 * ‖0‖
state_after: no goals

tactic: refine disjoint_image_of_injective he.inj (Disjoint.preimage _ ?_)
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
⊢ Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
⊢ Disjoint (Iic (-‖f‖ / 3)) (Ici (‖f‖ / 3))

tactic: rwa [Iic_disjoint_Ici, not_le]
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
⊢ Disjoint (Iic (-‖f‖ / 3)) (Ici (‖f‖ / 3))
state_after: no goals

tactic: refine (norm_le <| div_nonneg hf.le h3.le).mpr fun y => ?_
state_before: case inr.intro.intro.intro.refine_1
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
⊢ ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3
state_after: case inr.intro.intro.intro.refine_1
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
y : Y
⊢ ‖g y‖ ≤ ‖f‖ / 3

tactic: simpa [abs_le, neg_div] using hgf y
state_before: case inr.intro.intro.intro.refine_1
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
y : Y
⊢ ‖g y‖ ≤ ‖f‖ / 3
state_after: no goals

tactic: refine (dist_le <| mul_nonneg h23.le hf.le).mpr fun x => ?_
state_before: case inr.intro.intro.intro.refine_2
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
⊢ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
state_after: case inr.intro.intro.intro.refine_2
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
x : X
⊢ dist ((g.compContinuous e) x) (f x) ≤ 2 / 3 * ‖f‖

tactic: have hfx : -‖f‖ ≤ f x ∧ f x ≤ ‖f‖ := by
  simpa only [Real.norm_eq_abs, abs_le] using f.norm_coe_le_norm x
state_before: case inr.intro.intro.intro.refine_2
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
x : X
⊢ dist ((g.compContinuous e) x) (f x) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
state_after: case inr.intro.intro.intro.refine_2
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ f x ∧ f x ≤ ‖f‖
⊢ dist ((g.compContinuous e) x) (f x) ≤ 2 / 3 * ‖f‖

tactic: rcases le_total (f x) (-‖f‖ / 3) with hle₁ | hle₁
state_before: case inr.intro.intro.intro.refine_2
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ f x ∧ f x ≤ ‖f‖
⊢ dist ((g.compContinuous e) x) (f x) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
state_after: case inr.intro.intro.intro.refine_2.inl
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ f x ∧ f x ≤ ‖f‖
hle₁ : f x ≤ -‖f‖ / 3
⊢ dist ((g.compContinuous e) x) (f x) ≤ 2 / 3 * ‖f‖

case inr.intro.intro.intro.refine_2.inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ f x ∧ f x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ f x
⊢ dist ((g.compContinuous e) x) (f x) ≤ 2 / 3 * ‖f‖

tactic: simpa only [Real.norm_eq_abs, abs_le] using f.norm_coe_le_norm x
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
x : X
⊢ -‖f‖ ≤ f x ∧ f x ≤ ‖f‖
state_after: no goals

tactic: calc
  |g (e x) - f x| = -‖f‖ / 3 - f x := by
    rw [hg₁ (mem_image_of_mem _ hle₁), Function.const_apply,
      abs_of_nonneg (sub_nonneg.2 hle₁)]
  _ ≤ 2 / 3 * ‖f‖ := by linarith
state_before: case inr.intro.intro.intro.refine_2.inl
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ f x ∧ f x ≤ ‖f‖
hle₁ : f x ≤ -‖f‖ / 3
⊢ dist ((g.compContinuous e) x) (f x) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
state_after: no goals

tactic: rw [hg₁ (mem_image_of_mem _ hle₁), Function.const_apply,
  abs_of_nonneg (sub_nonneg.2 hle₁)]
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ f x ∧ f x ≤ ‖f‖
hle₁ : f x ≤ -‖f‖ / 3
⊢ |g (e x) - f x| = -‖f‖ / 3 - f x
state_after: no goals

tactic: linarith
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ f x ∧ f x ≤ ‖f‖
hle₁ : f x ≤ -‖f‖ / 3
⊢ -‖f‖ / 3 - f x ≤ 2 / 3 * ‖f‖
state_after: no goals

tactic: rcases le_total (f x) (‖f‖ / 3) with hle₂ | hle₂
state_before: case inr.intro.intro.intro.refine_2.inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ f x ∧ f x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ f x
⊢ dist ((g.compContinuous e) x) (f x) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
state_after: case inr.intro.intro.intro.refine_2.inr.inl
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ f x ∧ f x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ f x
hle₂ : f x ≤ ‖f‖ / 3
⊢ dist ((g.compContinuous e) x) (f x) ≤ 2 / 3 * ‖f‖

case inr.intro.intro.intro.refine_2.inr.inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ f x ∧ f x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ f x
hle₂ : ‖f‖ / 3 ≤ f x
⊢ dist ((g.compContinuous e) x) (f x) ≤ 2 / 3 * ‖f‖

tactic: simp only [neg_div] at *
state_before: case inr.intro.intro.intro.refine_2.inr.inl
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ f x ∧ f x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ f x
hle₂ : f x ≤ ‖f‖ / 3
⊢ dist ((g.compContinuous e) x) (f x) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
state_after: case inr.intro.intro.intro.refine_2.inr.inl
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ f x ∧ f x ≤ ‖f‖
hle₂ : f x ≤ ‖f‖ / 3
hf3 : -(‖f‖ / 3) < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-(‖f‖ / 3))))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-(‖f‖ / 3)))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-(‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-(‖f‖ / 3))))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-(‖f‖ / 3)) (‖f‖ / 3)
hle₁ : -(‖f‖ / 3) ≤ f x
⊢ dist ((g.compContinuous e) x) (f x) ≤ 2 / 3 * ‖f‖

tactic: calc
  dist (g (e x)) (f x) ≤ |g (e x)| + |f x| := dist_le_norm_add_norm _ _
  _ ≤ ‖f‖ / 3 + ‖f‖ / 3 := (add_le_add (abs_le.2 <| hgf _) (abs_le.2 ⟨hle₁, hle₂⟩))
  _ = 2 / 3 * ‖f‖ := by linarith
state_before: case inr.intro.intro.intro.refine_2.inr.inl
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ f x ∧ f x ≤ ‖f‖
hle₂ : f x ≤ ‖f‖ / 3
hf3 : -(‖f‖ / 3) < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-(‖f‖ / 3))))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-(‖f‖ / 3)))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-(‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-(‖f‖ / 3))))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-(‖f‖ / 3)) (‖f‖ / 3)
hle₁ : -(‖f‖ / 3) ≤ f x
⊢ dist ((g.compContinuous e) x) (f x) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
state_after: no goals

tactic: linarith
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ f x ∧ f x ≤ ‖f‖
hle₂ : f x ≤ ‖f‖ / 3
hf3 : -(‖f‖ / 3) < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-(‖f‖ / 3))))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-(‖f‖ / 3)))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-(‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-(‖f‖ / 3))))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-(‖f‖ / 3)) (‖f‖ / 3)
hle₁ : -(‖f‖ / 3) ≤ f x
⊢ ‖f‖ / 3 + ‖f‖ / 3 = 2 / 3 * ‖f‖
state_after: no goals

tactic: calc
  |g (e x) - f x| = f x - ‖f‖ / 3 := by
    rw [hg₂ (mem_image_of_mem _ hle₂), abs_sub_comm, Function.const_apply,
      abs_of_nonneg (sub_nonneg.2 hle₂)]
  _ ≤ 2 / 3 * ‖f‖ := by linarith
state_before: case inr.intro.intro.intro.refine_2.inr.inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ f x ∧ f x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ f x
hle₂ : ‖f‖ / 3 ≤ f x
⊢ dist ((g.compContinuous e) x) (f x) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
state_after: no goals

tactic: rw [hg₂ (mem_image_of_mem _ hle₂), abs_sub_comm, Function.const_apply,
  abs_of_nonneg (sub_nonneg.2 hle₂)]
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ f x ∧ f x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ f x
hle₂ : ‖f‖ / 3 ≤ f x
⊢ |g (e x) - f x| = f x - ‖f‖ / 3
state_after: no goals

tactic: linarith
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ f x ∧ f x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ f x
hle₂ : ‖f‖ / 3 ≤ f x
⊢ f x - ‖f‖ / 3 ≤ 2 / 3 * ‖f‖
state_after: no goals