Theorem: SimpleGraph.Walk.IsPath.of_map
File: Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity.lean

tactic: induction p with
| nil => simp
| cons _ _ ih =>
  rw [map_cons, Walk.cons_isPath_iff, support_map] at hp
  rw [Walk.cons_isPath_iff]
  cases' hp with hp1 hp2
  refine ⟨ih hp1, ?_⟩
  contrapose! hp2
  exact List.mem_map_of_mem f hp2
state_before: V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
f : G →g G'
hp : (Walk.map f p).IsPath
⊢ p.IsPath
state_after: no goals

tactic: simp
state_before: case nil
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
f : G →g G'
u✝ : V
hp : (Walk.map f Walk.nil).IsPath
⊢ Walk.nil.IsPath
state_after: no goals

tactic: rw [map_cons, Walk.cons_isPath_iff, support_map] at hp
state_before: case cons
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : G.Adj u✝ v✝
p✝ : G.Walk v✝ w✝
ih : (Walk.map f p✝).IsPath → p✝.IsPath
hp : (Walk.map f (cons h✝ p✝)).IsPath
⊢ (cons h✝ p✝).IsPath
state_after: case cons
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : G.Adj u✝ v✝
p✝ : G.Walk v✝ w✝
ih : (Walk.map f p✝).IsPath → p✝.IsPath
hp : (Walk.map f p✝).IsPath ∧ f u✝ ∉ List.map (⇑f) p✝.support
⊢ (cons h✝ p✝).IsPath

tactic: rw [Walk.cons_isPath_iff]
state_before: case cons
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : G.Adj u✝ v✝
p✝ : G.Walk v✝ w✝
ih : (Walk.map f p✝).IsPath → p✝.IsPath
hp : (Walk.map f p✝).IsPath ∧ f u✝ ∉ List.map (⇑f) p✝.support
⊢ (cons h✝ p✝).IsPath
state_after: case cons
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : G.Adj u✝ v✝
p✝ : G.Walk v✝ w✝
ih : (Walk.map f p✝).IsPath → p✝.IsPath
hp : (Walk.map f p✝).IsPath ∧ f u✝ ∉ List.map (⇑f) p✝.support
⊢ p✝.IsPath ∧ u✝ ∉ p✝.support

tactic: cases' hp with hp1 hp2
state_before: case cons
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : G.Adj u✝ v✝
p✝ : G.Walk v✝ w✝
ih : (Walk.map f p✝).IsPath → p✝.IsPath
hp : (Walk.map f p✝).IsPath ∧ f u✝ ∉ List.map (⇑f) p✝.support
⊢ p✝.IsPath ∧ u✝ ∉ p✝.support
state_after: case cons.intro
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : G.Adj u✝ v✝
p✝ : G.Walk v✝ w✝
ih : (Walk.map f p✝).IsPath → p✝.IsPath
hp1 : (Walk.map f p✝).IsPath
hp2 : f u✝ ∉ List.map (⇑f) p✝.support
⊢ p✝.IsPath ∧ u✝ ∉ p✝.support

tactic: refine ⟨ih hp1, ?_⟩
state_before: case cons.intro
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : G.Adj u✝ v✝
p✝ : G.Walk v✝ w✝
ih : (Walk.map f p✝).IsPath → p✝.IsPath
hp1 : (Walk.map f p✝).IsPath
hp2 : f u✝ ∉ List.map (⇑f) p✝.support
⊢ p✝.IsPath ∧ u✝ ∉ p✝.support
state_after: case cons.intro
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : G.Adj u✝ v✝
p✝ : G.Walk v✝ w✝
ih : (Walk.map f p✝).IsPath → p✝.IsPath
hp1 : (Walk.map f p✝).IsPath
hp2 : f u✝ ∉ List.map (⇑f) p✝.support
⊢ u✝ ∉ p✝.support

tactic: contrapose! hp2
state_before: case cons.intro
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : G.Adj u✝ v✝
p✝ : G.Walk v✝ w✝
ih : (Walk.map f p✝).IsPath → p✝.IsPath
hp1 : (Walk.map f p✝).IsPath
hp2 : f u✝ ∉ List.map (⇑f) p✝.support
⊢ u✝ ∉ p✝.support
state_after: case cons.intro
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : G.Adj u✝ v✝
p✝ : G.Walk v✝ w✝
ih : (Walk.map f p✝).IsPath → p✝.IsPath
hp1 : (Walk.map f p✝).IsPath
hp2 : u✝ ∈ p✝.support
⊢ f u✝ ∈ List.map (⇑f) p✝.support

tactic: exact List.mem_map_of_mem f hp2
state_before: case cons.intro
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : G.Adj u✝ v✝
p✝ : G.Walk v✝ w✝
ih : (Walk.map f p✝).IsPath → p✝.IsPath
hp1 : (Walk.map f p✝).IsPath
hp2 : u✝ ∈ p✝.support
⊢ f u✝ ∈ List.map (⇑f) p✝.support
state_after: no goals