Theorem: Set.zero_mem_smul_iff
File: Mathlib/Data/Set/Pointwise/SMul.lean

tactic: constructor
state_before: F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
s : Set α
t : Set β
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
a : α
⊢ 0 ∈ s • t ↔ 0 ∈ s ∧ t.Nonempty ∨ 0 ∈ t ∧ s.Nonempty
state_after: case mp
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
s : Set α
t : Set β
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
a : α
⊢ 0 ∈ s • t → 0 ∈ s ∧ t.Nonempty ∨ 0 ∈ t ∧ s.Nonempty

case mpr
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
s : Set α
t : Set β
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
a : α
⊢ 0 ∈ s ∧ t.Nonempty ∨ 0 ∈ t ∧ s.Nonempty → 0 ∈ s • t

tactic: rintro ⟨a, ha, b, hb, h⟩
state_before: case mp
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
s : Set α
t : Set β
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
a : α
⊢ 0 ∈ s • t → 0 ∈ s ∧ t.Nonempty ∨ 0 ∈ t ∧ s.Nonempty
state_after: case mp.intro.intro.intro.intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
s : Set α
t : Set β
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
a✝ a : α
ha : a ∈ s
b : β
hb : b ∈ t
h : (fun x x_1 => x • x_1) a b = 0
⊢ 0 ∈ s ∧ t.Nonempty ∨ 0 ∈ t ∧ s.Nonempty

tactic: obtain rfl | rfl := eq_zero_or_eq_zero_of_smul_eq_zero h
state_before: case mp.intro.intro.intro.intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
s : Set α
t : Set β
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
a✝ a : α
ha : a ∈ s
b : β
hb : b ∈ t
h : (fun x x_1 => x • x_1) a b = 0
⊢ 0 ∈ s ∧ t.Nonempty ∨ 0 ∈ t ∧ s.Nonempty
state_after: case mp.intro.intro.intro.intro.inl
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
s : Set α
t : Set β
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
a : α
b : β
hb : b ∈ t
ha : 0 ∈ s
h : (fun x x_1 => x • x_1) 0 b = 0
⊢ 0 ∈ s ∧ t.Nonempty ∨ 0 ∈ t ∧ s.Nonempty

case mp.intro.intro.intro.intro.inr
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
s : Set α
t : Set β
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
a✝ a : α
ha : a ∈ s
hb : 0 ∈ t
h : (fun x x_1 => x • x_1) a 0 = 0
⊢ 0 ∈ s ∧ t.Nonempty ∨ 0 ∈ t ∧ s.Nonempty

tactic: exact Or.inl ⟨ha, b, hb⟩
state_before: case mp.intro.intro.intro.intro.inl
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
s : Set α
t : Set β
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
a : α
b : β
hb : b ∈ t
ha : 0 ∈ s
h : (fun x x_1 => x • x_1) 0 b = 0
⊢ 0 ∈ s ∧ t.Nonempty ∨ 0 ∈ t ∧ s.Nonempty
state_after: no goals

tactic: exact Or.inr ⟨hb, a, ha⟩
state_before: case mp.intro.intro.intro.intro.inr
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
s : Set α
t : Set β
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
a✝ a : α
ha : a ∈ s
hb : 0 ∈ t
h : (fun x x_1 => x • x_1) a 0 = 0
⊢ 0 ∈ s ∧ t.Nonempty ∨ 0 ∈ t ∧ s.Nonempty
state_after: no goals

tactic: rintro (⟨hs, b, hb⟩ | ⟨ht, a, ha⟩)
state_before: case mpr
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
s : Set α
t : Set β
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
a : α
⊢ 0 ∈ s ∧ t.Nonempty ∨ 0 ∈ t ∧ s.Nonempty → 0 ∈ s • t
state_after: case mpr.inl.intro.intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
s : Set α
t : Set β
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
a : α
hs : 0 ∈ s
b : β
hb : b ∈ t
⊢ 0 ∈ s • t

case mpr.inr.intro.intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
s : Set α
t : Set β
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
a✝ : α
ht : 0 ∈ t
a : α
ha : a ∈ s
⊢ 0 ∈ s • t

tactic: exact ⟨0, hs, b, hb, zero_smul _ _⟩
state_before: case mpr.inl.intro.intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
s : Set α
t : Set β
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
a : α
hs : 0 ∈ s
b : β
hb : b ∈ t
⊢ 0 ∈ s • t
state_after: no goals

tactic: exact ⟨a, ha, 0, ht, smul_zero _⟩
state_before: case mpr.inr.intro.intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
s : Set α
t : Set β
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
a✝ : α
ht : 0 ∈ t
a : α
ha : a ∈ s
⊢ 0 ∈ s • t
state_after: no goals