Theorem: MeasureTheory.IntegrableOn.mul_continuousOn_of_subset
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean

tactic: rcases IsCompact.exists_bound_of_continuousOn hK hg' with ⟨C, hC⟩
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : IntegrableOn g A μ
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
⊢ IntegrableOn (fun x => g x * g' x) A μ
state_after: case intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : IntegrableOn g A μ
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C
⊢ IntegrableOn (fun x => g x * g' x) A μ

tactic: rw [IntegrableOn, ← memℒp_one_iff_integrable] at hg ⊢
state_before: case intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : IntegrableOn g A μ
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C
⊢ IntegrableOn (fun x => g x * g' x) A μ
state_after: case intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : Memℒp g 1 (μ.restrict A)
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C
⊢ Memℒp (fun x => g x * g' x) 1 (μ.restrict A)

tactic: have : ∀ᵐ x ∂μ.restrict A, ‖g x * g' x‖ ≤ C * ‖g x‖ := by
  filter_upwards [ae_restrict_mem hA] with x hx
  refine (norm_mul_le _ _).trans ?_
  rw [mul_comm]
  gcongr
  exact hC x (hAK hx)
state_before: case intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : Memℒp g 1 (μ.restrict A)
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C
⊢ Memℒp (fun x => g x * g' x) 1 (μ.restrict A)
state_after: case intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : Memℒp g 1 (μ.restrict A)
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C
this : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict A, ‖g x * g' x‖ ≤ C * ‖g x‖
⊢ Memℒp (fun x => g x * g' x) 1 (μ.restrict A)

tactic: exact
  Memℒp.of_le_mul hg (hg.aestronglyMeasurable.mul <| (hg'.mono hAK).aestronglyMeasurable hA) this
state_before: case intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : Memℒp g 1 (μ.restrict A)
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C
this : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict A, ‖g x * g' x‖ ≤ C * ‖g x‖
⊢ Memℒp (fun x => g x * g' x) 1 (μ.restrict A)
state_after: no goals

tactic: filter_upwards [ae_restrict_mem hA] with x hx
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : Memℒp g 1 (μ.restrict A)
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C
⊢ ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict A, ‖g x * g' x‖ ≤ C * ‖g x‖
state_after: case h
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : Memℒp g 1 (μ.restrict A)
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C
x : X
hx : x ∈ A
⊢ ‖g x * g' x‖ ≤ C * ‖g x‖

tactic: refine (norm_mul_le _ _).trans ?_
state_before: case h
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : Memℒp g 1 (μ.restrict A)
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C
x : X
hx : x ∈ A
⊢ ‖g x * g' x‖ ≤ C * ‖g x‖
state_after: case h
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : Memℒp g 1 (μ.restrict A)
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C
x : X
hx : x ∈ A
⊢ ‖g x‖ * ‖g' x‖ ≤ C * ‖g x‖

tactic: rw [mul_comm]
state_before: case h
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : Memℒp g 1 (μ.restrict A)
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C
x : X
hx : x ∈ A
⊢ ‖g x‖ * ‖g' x‖ ≤ C * ‖g x‖
state_after: case h
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : Memℒp g 1 (μ.restrict A)
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C
x : X
hx : x ∈ A
⊢ ‖g' x‖ * ‖g x‖ ≤ C * ‖g x‖

tactic: gcongr
state_before: case h
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : Memℒp g 1 (μ.restrict A)
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C
x : X
hx : x ∈ A
⊢ ‖g' x‖ * ‖g x‖ ≤ C * ‖g x‖
state_after: case h.h
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : Memℒp g 1 (μ.restrict A)
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C
x : X
hx : x ∈ A
⊢ ‖g' x‖ ≤ C

tactic: exact hC x (hAK hx)
state_before: case h.h
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : Memℒp g 1 (μ.restrict A)
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C
x : X
hx : x ∈ A
⊢ ‖g' x‖ ≤ C
state_after: no goals