Theorem: ConvexBody.iInter_smul_eq_self
File: Mathlib/Analysis/Convex/Body.lean

tactic: ext x
state_before: V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
⊢ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K = ↑K
state_after: case h
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
⊢ x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K ↔ x ∈ ↑K

tactic: refine ⟨fun h => ?_, fun h => ?_⟩
state_before: case h
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
⊢ x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K ↔ x ∈ ↑K
state_after: case h.refine_1
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
h : x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
⊢ x ∈ ↑K

case h.refine_2
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
h : x ∈ ↑K
⊢ x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K

tactic: obtain ⟨C, hC_pos, hC_bdd⟩ := K.isBounded.exists_pos_norm_le
state_before: case h.refine_1
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
h : x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
⊢ x ∈ ↑K
state_after: case h.refine_1.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
h : x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
⊢ x ∈ ↑K

tactic: rw [← K.isClosed.closure_eq, SeminormedAddCommGroup.mem_closure_iff]
state_before: case h.refine_1.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
h : x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
⊢ x ∈ ↑K
state_after: case h.refine_1.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
h : x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
⊢ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ b ∈ ↑K, ‖x - b‖ < ε

tactic: rw [← NNReal.tendsto_coe, NormedAddCommGroup.tendsto_atTop] at hu
state_before: case h.refine_1.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
h : x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
⊢ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ b ∈ ↑K, ‖x - b‖ < ε
state_after: case h.refine_1.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
x : V
h : x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
⊢ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ b ∈ ↑K, ‖x - b‖ < ε

tactic: intro ε hε
state_before: case h.refine_1.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
x : V
h : x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
⊢ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ b ∈ ↑K, ‖x - b‖ < ε
state_after: case h.refine_1.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
x : V
h : x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ b ∈ ↑K, ‖x - b‖ < ε

tactic: obtain ⟨n, hn⟩ := hu (ε / C) (div_pos hε hC_pos)
state_before: case h.refine_1.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
x : V
h : x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ b ∈ ↑K, ‖x - b‖ < ε
state_after: case h.refine_1.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
x : V
h : x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ (n_1 : ℕ), n ≤ n_1 → ‖↑(u n_1) - ↑0‖ < ε / C
⊢ ∃ b ∈ ↑K, ‖x - b‖ < ε

tactic: obtain ⟨y, hyK, rfl⟩ := Set.mem_smul_set.mp (Set.mem_iInter.mp h n)
state_before: case h.refine_1.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
x : V
h : x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ (n_1 : ℕ), n ≤ n_1 → ‖↑(u n_1) - ↑0‖ < ε / C
⊢ ∃ b ∈ ↑K, ‖x - b‖ < ε
state_after: case h.refine_1.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ (n_1 : ℕ), n ≤ n_1 → ‖↑(u n_1) - ↑0‖ < ε / C
y : V
hyK : y ∈ ↑K
h : (1 + ↑(u n)) • y ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
⊢ ∃ b ∈ ↑K, ‖(1 + ↑(u n)) • y - b‖ < ε

tactic: refine ⟨y, hyK, ?_⟩
state_before: case h.refine_1.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ (n_1 : ℕ), n ≤ n_1 → ‖↑(u n_1) - ↑0‖ < ε / C
y : V
hyK : y ∈ ↑K
h : (1 + ↑(u n)) • y ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
⊢ ∃ b ∈ ↑K, ‖(1 + ↑(u n)) • y - b‖ < ε
state_after: case h.refine_1.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ (n_1 : ℕ), n ≤ n_1 → ‖↑(u n_1) - ↑0‖ < ε / C
y : V
hyK : y ∈ ↑K
h : (1 + ↑(u n)) • y ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
⊢ ‖(1 + ↑(u n)) • y - y‖ < ε

tactic: rw [show (1 + u n : ℝ) • y - y = (u n : ℝ) • y by rw [add_smul, one_smul, add_sub_cancel_left],
  norm_smul, Real.norm_eq_abs]
state_before: case h.refine_1.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ (n_1 : ℕ), n ≤ n_1 → ‖↑(u n_1) - ↑0‖ < ε / C
y : V
hyK : y ∈ ↑K
h : (1 + ↑(u n)) • y ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
⊢ ‖(1 + ↑(u n)) • y - y‖ < ε
state_after: case h.refine_1.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ (n_1 : ℕ), n ≤ n_1 → ‖↑(u n_1) - ↑0‖ < ε / C
y : V
hyK : y ∈ ↑K
h : (1 + ↑(u n)) • y ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
⊢ |↑(u n)| * ‖y‖ < ε

tactic: specialize hn n le_rfl
state_before: case h.refine_1.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ (n_1 : ℕ), n ≤ n_1 → ‖↑(u n_1) - ↑0‖ < ε / C
y : V
hyK : y ∈ ↑K
h : (1 + ↑(u n)) • y ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
⊢ |↑(u n)| * ‖y‖ < ε
state_after: case h.refine_1.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
y : V
hyK : y ∈ ↑K
h : (1 + ↑(u n)) • y ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
hn : ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε / C
⊢ |↑(u n)| * ‖y‖ < ε

tactic: rw [_root_.lt_div_iff' hC_pos, mul_comm, NNReal.coe_zero, sub_zero, Real.norm_eq_abs] at hn
state_before: case h.refine_1.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
y : V
hyK : y ∈ ↑K
h : (1 + ↑(u n)) • y ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
hn : ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε / C
⊢ |↑(u n)| * ‖y‖ < ε
state_after: case h.refine_1.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
y : V
hyK : y ∈ ↑K
h : (1 + ↑(u n)) • y ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
hn : |↑(u n)| * C < ε
⊢ |↑(u n)| * ‖y‖ < ε

tactic: refine lt_of_le_of_lt ?_ hn
state_before: case h.refine_1.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
y : V
hyK : y ∈ ↑K
h : (1 + ↑(u n)) • y ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
hn : |↑(u n)| * C < ε
⊢ |↑(u n)| * ‖y‖ < ε
state_after: case h.refine_1.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
y : V
hyK : y ∈ ↑K
h : (1 + ↑(u n)) • y ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
hn : |↑(u n)| * C < ε
⊢ |↑(u n)| * ‖y‖ ≤ |↑(u n)| * C

tactic: exact mul_le_mul_of_nonneg_left (hC_bdd _ hyK) (abs_nonneg _)
state_before: case h.refine_1.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
y : V
hyK : y ∈ ↑K
h : (1 + ↑(u n)) • y ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
hn : |↑(u n)| * C < ε
⊢ |↑(u n)| * ‖y‖ ≤ |↑(u n)| * C
state_after: no goals

tactic: rw [add_smul, one_smul, add_sub_cancel_left]
state_before: V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ (n_1 : ℕ), n ≤ n_1 → ‖↑(u n_1) - ↑0‖ < ε / C
y : V
hyK : y ∈ ↑K
h : (1 + ↑(u n)) • y ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
⊢ (1 + ↑(u n)) • y - y = ↑(u n) • y
state_after: no goals

tactic: refine Set.mem_iInter.mpr (fun n => Convex.mem_smul_of_zero_mem K.convex h_zero h ?_)
state_before: case h.refine_2
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
h : x ∈ ↑K
⊢ x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
state_after: case h.refine_2
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
h : x ∈ ↑K
n : ℕ
⊢ 1 ≤ 1 + ↑(u n)

tactic: exact le_add_of_nonneg_right (by positivity)
state_before: case h.refine_2
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
h : x ∈ ↑K
n : ℕ
⊢ 1 ≤ 1 + ↑(u n)
state_after: no goals

tactic: positivity
state_before: V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
K✝ L : ConvexBody V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
h : x ∈ ↑K
n : ℕ
⊢ 0 ≤ ↑(u n)
state_after: no goals