Theorem: EuclideanGeometry.orthogonalProjection_eq_self_iff
File: Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean

tactic: constructor
state_before: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ ↑((orthogonalProjection s) p) = p ↔ p ∈ s
state_after: case mp
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ ↑((orthogonalProjection s) p) = p → p ∈ s

case mpr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ p ∈ s → ↑((orthogonalProjection s) p) = p

tactic: exact fun h => h ▸ orthogonalProjection_mem p
state_before: case mp
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ ↑((orthogonalProjection s) p) = p → p ∈ s
state_after: no goals

tactic: intro h
state_before: case mpr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
⊢ p ∈ s → ↑((orthogonalProjection s) p) = p
state_after: case mpr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
h : p ∈ s
⊢ ↑((orthogonalProjection s) p) = p

tactic: have hp : p ∈ (s : Set P) ∩ mk' p s.directionᗮ := ⟨h, self_mem_mk' p _⟩
state_before: case mpr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
h : p ∈ s
⊢ ↑((orthogonalProjection s) p) = p
state_after: case mpr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
h : p ∈ s
hp : p ∈ ↑s ∩ ↑(mk' p s.directionᗮ)
⊢ ↑((orthogonalProjection s) p) = p

tactic: rw [inter_eq_singleton_orthogonalProjection p] at hp
state_before: case mpr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
h : p ∈ s
hp : p ∈ ↑s ∩ ↑(mk' p s.directionᗮ)
⊢ ↑((orthogonalProjection s) p) = p
state_after: case mpr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
h : p ∈ s
hp : p ∈ {↑((orthogonalProjection s) p)}
⊢ ↑((orthogonalProjection s) p) = p

tactic: symm
state_before: case mpr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
h : p ∈ s
hp : p ∈ {↑((orthogonalProjection s) p)}
⊢ ↑((orthogonalProjection s) p) = p
state_after: case mpr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
h : p ∈ s
hp : p ∈ {↑((orthogonalProjection s) p)}
⊢ p = ↑((orthogonalProjection s) p)

tactic: exact hp
state_before: case mpr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
h : p ∈ s
hp : p ∈ {↑((orthogonalProjection s) p)}
⊢ p = ↑((orthogonalProjection s) p)
state_after: no goals