Theorem: HahnModule.smul_coeff_left
File: Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean

tactic: rw [smul_coeff]
state_before: Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R✝ : Type u_3
Γ : Type u_4
R : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁴ : AddCommMonoid V
inst✝³ : SMul R V
W : Type u_7
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : SMulWithZero R W
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ R W
a : Γ
s : Set Γ
hs : s.IsPWO
hxs : x.support ⊆ s
⊢ ((of R).symm (x • y)).coeff a = ∑ ij ∈ addAntidiagonal hs ⋯ a, x.coeff ij.1 • ((of R).symm y).coeff ij.2
state_after: Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R✝ : Type u_3
Γ : Type u_4
R : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁴ : AddCommMonoid V
inst✝³ : SMul R V
W : Type u_7
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : SMulWithZero R W
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ R W
a : Γ
s : Set Γ
hs : s.IsPWO
hxs : x.support ⊆ s
⊢ ∑ ij ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ a, x.coeff ij.1 • ((of R).symm y).coeff ij.2 =
    ∑ ij ∈ addAntidiagonal hs ⋯ a, x.coeff ij.1 • ((of R).symm y).coeff ij.2

tactic: apply sum_subset_zero_on_sdiff (addAntidiagonal_mono_left hxs) _ fun _ _ => rfl
state_before: Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R✝ : Type u_3
Γ : Type u_4
R : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁴ : AddCommMonoid V
inst✝³ : SMul R V
W : Type u_7
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : SMulWithZero R W
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ R W
a : Γ
s : Set Γ
hs : s.IsPWO
hxs : x.support ⊆ s
⊢ ∑ ij ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ a, x.coeff ij.1 • ((of R).symm y).coeff ij.2 =
    ∑ ij ∈ addAntidiagonal hs ⋯ a, x.coeff ij.1 • ((of R).symm y).coeff ij.2
state_after: Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R✝ : Type u_3
Γ : Type u_4
R : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁴ : AddCommMonoid V
inst✝³ : SMul R V
W : Type u_7
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : SMulWithZero R W
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ R W
a : Γ
s : Set Γ
hs : s.IsPWO
hxs : x.support ⊆ s
⊢ ∀ x_1 ∈ addAntidiagonal hs ⋯ a \ addAntidiagonal ⋯ ⋯ a, x.coeff x_1.1 • ((of R).symm y).coeff x_1.2 = 0

tactic: intro b hb
state_before: Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R✝ : Type u_3
Γ : Type u_4
R : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁴ : AddCommMonoid V
inst✝³ : SMul R V
W : Type u_7
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : SMulWithZero R W
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ R W
a : Γ
s : Set Γ
hs : s.IsPWO
hxs : x.support ⊆ s
⊢ ∀ x_1 ∈ addAntidiagonal hs ⋯ a \ addAntidiagonal ⋯ ⋯ a, x.coeff x_1.1 • ((of R).symm y).coeff x_1.2 = 0
state_after: Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R✝ : Type u_3
Γ : Type u_4
R : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁴ : AddCommMonoid V
inst✝³ : SMul R V
W : Type u_7
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : SMulWithZero R W
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ R W
a : Γ
s : Set Γ
hs : s.IsPWO
hxs : x.support ⊆ s
b : Γ × Γ
hb : b ∈ addAntidiagonal hs ⋯ a \ addAntidiagonal ⋯ ⋯ a
⊢ x.coeff b.1 • ((of R).symm y).coeff b.2 = 0

tactic: simp only [not_and', mem_sdiff, mem_addAntidiagonal, HahnSeries.mem_support, not_ne_iff] at hb
state_before: Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R✝ : Type u_3
Γ : Type u_4
R : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁴ : AddCommMonoid V
inst✝³ : SMul R V
W : Type u_7
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : SMulWithZero R W
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ R W
a : Γ
s : Set Γ
hs : s.IsPWO
hxs : x.support ⊆ s
b : Γ × Γ
hb : b ∈ addAntidiagonal hs ⋯ a \ addAntidiagonal ⋯ ⋯ a
⊢ x.coeff b.1 • ((of R).symm y).coeff b.2 = 0
state_after: Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R✝ : Type u_3
Γ : Type u_4
R : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁴ : AddCommMonoid V
inst✝³ : SMul R V
W : Type u_7
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : SMulWithZero R W
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ R W
a : Γ
s : Set Γ
hs : s.IsPWO
hxs : x.support ⊆ s
b : Γ × Γ
hb :
  (b.1 ∈ s ∧ ((of R).symm y).coeff b.2 ≠ 0 ∧ b.1 + b.2 = a) ∧
    (((of R).symm y).coeff b.2 ≠ 0 ∧ b.1 + b.2 = a → x.coeff b.1 = 0)
⊢ x.coeff b.1 • ((of R).symm y).coeff b.2 = 0

tactic: rw [hb.2 ⟨hb.1.2.1, hb.1.2.2⟩, zero_smul]
state_before: Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R✝ : Type u_3
Γ : Type u_4
R : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁴ : AddCommMonoid V
inst✝³ : SMul R V
W : Type u_7
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : SMulWithZero R W
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ R W
a : Γ
s : Set Γ
hs : s.IsPWO
hxs : x.support ⊆ s
b : Γ × Γ
hb :
  (b.1 ∈ s ∧ ((of R).symm y).coeff b.2 ≠ 0 ∧ b.1 + b.2 = a) ∧
    (((of R).symm y).coeff b.2 ≠ 0 ∧ b.1 + b.2 = a → x.coeff b.1 = 0)
⊢ x.coeff b.1 • ((of R).symm y).coeff b.2 = 0
state_after: no goals