Theorem: LieModule.lie_mem_weightSpaceChain_of_weightSpace_eq_bot_right
File: Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean

tactic: rw [weightSpaceChain, iSup_subtype'] at hy
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y : M
hy : y ∈ weightSpaceChain M α χ p q
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
state_after: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y : M
hy : y ∈ ⨆ x, weightSpace M (↑x • α + χ)
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q

tactic: induction' hy using LieSubmodule.iSup_induction' with k z hz z₁ z₂ _ _ hz₁ hz₂
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y : M
hy : y ∈ ⨆ x, weightSpace M (↑x • α + χ)
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
state_after: case hN
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y : M
k : { k // k ∈ Ioo p q }
z : M
hz : z ∈ weightSpace M (↑k • α + χ)
⊢ ⁅x, z⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q

case h0
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y : M
⊢ ⁅x, 0⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q

case hadd
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z₁ z₂ : M
hx✝ : z₁ ∈ ⨆ i, weightSpace M (↑i • α + χ)
hy✝ : z₂ ∈ ⨆ i, weightSpace M (↑i • α + χ)
hz₁ : ⁅x, z₁⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
hz₂ : ⁅x, z₂⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
⊢ ⁅x, z₁ + z₂⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q

tactic: obtain ⟨k, hk⟩ := k
state_before: case hN
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y : M
k : { k // k ∈ Ioo p q }
z : M
hz : z ∈ weightSpace M (↑k • α + χ)
⊢ ⁅x, z⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
state_after: case hN.mk
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z : M
k : ℤ
hk : k ∈ Ioo p q
hz : z ∈ weightSpace M (↑⟨k, hk⟩ • α + χ)
⊢ ⁅x, z⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q

tactic: suffices weightSpace M ((k + 1) • α + χ) ≤ weightSpaceChain M α χ p q by
  apply this
  simpa using (rootSpaceWeightSpaceProduct R L H M α (k • α + χ) ((k + 1) • α + χ)
    (by rw [add_smul]; abel) (⟨x, hx⟩ ⊗ₜ ⟨z, hz⟩)).property
state_before: case hN.mk
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z : M
k : ℤ
hk : k ∈ Ioo p q
hz : z ∈ weightSpace M (↑⟨k, hk⟩ • α + χ)
⊢ ⁅x, z⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
state_after: case hN.mk
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z : M
k : ℤ
hk : k ∈ Ioo p q
hz : z ∈ weightSpace M (↑⟨k, hk⟩ • α + χ)
⊢ weightSpace M ((k + 1) • α + χ) ≤ weightSpaceChain M α χ p q

tactic: rw [weightSpaceChain]
state_before: case hN.mk
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z : M
k : ℤ
hk : k ∈ Ioo p q
hz : z ∈ weightSpace M (↑⟨k, hk⟩ • α + χ)
⊢ weightSpace M ((k + 1) • α + χ) ≤ weightSpaceChain M α χ p q
state_after: case hN.mk
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z : M
k : ℤ
hk : k ∈ Ioo p q
hz : z ∈ weightSpace M (↑⟨k, hk⟩ • α + χ)
⊢ weightSpace M ((k + 1) • α + χ) ≤ ⨆ k ∈ Ioo p q, weightSpace M (k • α + χ)

tactic: rcases eq_or_ne (k + 1) q with rfl | hk'
state_before: case hN.mk
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z : M
k : ℤ
hk : k ∈ Ioo p q
hz : z ∈ weightSpace M (↑⟨k, hk⟩ • α + χ)
⊢ weightSpace M ((k + 1) • α + χ) ≤ ⨆ k ∈ Ioo p q, weightSpace M (k • α + χ)
state_after: case hN.mk.inl
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z : M
k : ℤ
hq : weightSpace M ((k + 1) • α + χ) = ⊥
hk : k ∈ Ioo p (k + 1)
hz : z ∈ weightSpace M (↑⟨k, hk⟩ • α + χ)
⊢ weightSpace M ((k + 1) • α + χ) ≤ ⨆ k_1 ∈ Ioo p (k + 1), weightSpace M (k_1 • α + χ)

case hN.mk.inr
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z : M
k : ℤ
hk : k ∈ Ioo p q
hz : z ∈ weightSpace M (↑⟨k, hk⟩ • α + χ)
hk' : k + 1 ≠ q
⊢ weightSpace M ((k + 1) • α + χ) ≤ ⨆ k ∈ Ioo p q, weightSpace M (k • α + χ)

tactic: replace hk' : k + 1 ∈ Ioo p q := ⟨by linarith [hk.1], lt_of_le_of_ne hk.2 hk'⟩
state_before: case hN.mk.inr
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z : M
k : ℤ
hk : k ∈ Ioo p q
hz : z ∈ weightSpace M (↑⟨k, hk⟩ • α + χ)
hk' : k + 1 ≠ q
⊢ weightSpace M ((k + 1) • α + χ) ≤ ⨆ k ∈ Ioo p q, weightSpace M (k • α + χ)
state_after: case hN.mk.inr
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z : M
k : ℤ
hk : k ∈ Ioo p q
hz : z ∈ weightSpace M (↑⟨k, hk⟩ • α + χ)
hk' : k + 1 ∈ Ioo p q
⊢ weightSpace M ((k + 1) • α + χ) ≤ ⨆ k ∈ Ioo p q, weightSpace M (k • α + χ)

tactic: exact le_biSup (fun k ↦ weightSpace M (k • α + χ)) hk'
state_before: case hN.mk.inr
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z : M
k : ℤ
hk : k ∈ Ioo p q
hz : z ∈ weightSpace M (↑⟨k, hk⟩ • α + χ)
hk' : k + 1 ∈ Ioo p q
⊢ weightSpace M ((k + 1) • α + χ) ≤ ⨆ k ∈ Ioo p q, weightSpace M (k • α + χ)
state_after: no goals

tactic: apply this
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z : M
k : ℤ
hk : k ∈ Ioo p q
hz : z ∈ weightSpace M (↑⟨k, hk⟩ • α + χ)
this : weightSpace M ((k + 1) • α + χ) ≤ weightSpaceChain M α χ p q
⊢ ⁅x, z⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
state_after: case a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z : M
k : ℤ
hk : k ∈ Ioo p q
hz : z ∈ weightSpace M (↑⟨k, hk⟩ • α + χ)
this : weightSpace M ((k + 1) • α + χ) ≤ weightSpaceChain M α χ p q
⊢ ⁅x, z⁆ ∈ weightSpace M ((k + 1) • α + χ)

tactic: simpa using (rootSpaceWeightSpaceProduct R L H M α (k • α + χ) ((k + 1) • α + χ)
  (by rw [add_smul]; abel) (⟨x, hx⟩ ⊗ₜ ⟨z, hz⟩)).property
state_before: case a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z : M
k : ℤ
hk : k ∈ Ioo p q
hz : z ∈ weightSpace M (↑⟨k, hk⟩ • α + χ)
this : weightSpace M ((k + 1) • α + χ) ≤ weightSpaceChain M α χ p q
⊢ ⁅x, z⁆ ∈ weightSpace M ((k + 1) • α + χ)
state_after: no goals

tactic: rw [add_smul]
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z : M
k : ℤ
hk : k ∈ Ioo p q
hz : z ∈ weightSpace M (↑⟨k, hk⟩ • α + χ)
this : weightSpace M ((k + 1) • α + χ) ≤ weightSpaceChain M α χ p q
⊢ α + (k • α + χ) = (k + 1) • α + χ
state_after: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z : M
k : ℤ
hk : k ∈ Ioo p q
hz : z ∈ weightSpace M (↑⟨k, hk⟩ • α + χ)
this : weightSpace M ((k + 1) • α + χ) ≤ weightSpaceChain M α χ p q
⊢ α + (k • α + χ) = k • α + 1 • α + χ

tactic: abel
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z : M
k : ℤ
hk : k ∈ Ioo p q
hz : z ∈ weightSpace M (↑⟨k, hk⟩ • α + χ)
this : weightSpace M ((k + 1) • α + χ) ≤ weightSpaceChain M α χ p q
⊢ α + (k • α + χ) = k • α + 1 • α + χ
state_after: no goals

tactic: simp only [hq, bot_le]
state_before: case hN.mk.inl
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z : M
k : ℤ
hq : weightSpace M ((k + 1) • α + χ) = ⊥
hk : k ∈ Ioo p (k + 1)
hz : z ∈ weightSpace M (↑⟨k, hk⟩ • α + χ)
⊢ weightSpace M ((k + 1) • α + χ) ≤ ⨆ k_1 ∈ Ioo p (k + 1), weightSpace M (k_1 • α + χ)
state_after: no goals

tactic: linarith [hk.1]
state_before: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z : M
k : ℤ
hk : k ∈ Ioo p q
hz : z ∈ weightSpace M (↑⟨k, hk⟩ • α + χ)
hk' : k + 1 ≠ q
⊢ p < k + 1
state_after: no goals

tactic: simp
state_before: case h0
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y : M
⊢ ⁅x, 0⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
state_after: no goals

tactic: rw [lie_add]
state_before: case hadd
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z₁ z₂ : M
hx✝ : z₁ ∈ ⨆ i, weightSpace M (↑i • α + χ)
hy✝ : z₂ ∈ ⨆ i, weightSpace M (↑i • α + χ)
hz₁ : ⁅x, z₁⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
hz₂ : ⁅x, z₂⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
⊢ ⁅x, z₁ + z₂⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
state_after: case hadd
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z₁ z₂ : M
hx✝ : z₁ ∈ ⨆ i, weightSpace M (↑i • α + χ)
hy✝ : z₂ ∈ ⨆ i, weightSpace M (↑i • α + χ)
hz₁ : ⁅x, z₁⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
hz₂ : ⁅x, z₂⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
⊢ ⁅x, z₁⁆ + ⁅x, z₂⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q

tactic: exact add_mem hz₁ hz₂
state_before: case hadd
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z₁ z₂ : M
hx✝ : z₁ ∈ ⨆ i, weightSpace M (↑i • α + χ)
hy✝ : z₂ ∈ ⨆ i, weightSpace M (↑i • α + χ)
hz₁ : ⁅x, z₁⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
hz₂ : ⁅x, z₂⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
⊢ ⁅x, z₁⁆ + ⁅x, z₂⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
state_after: no goals