Theorem: MeasureTheory.Measure.hausdorffMeasure_smul₀
File: Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean

tactic: intro r _ s
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹⁰ : EMetricSpace X
inst✝⁹ : EMetricSpace Y
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
r : 𝕜
hr : r ≠ 0
s : Set E
⊢ ∀ {r : 𝕜}, r ≠ 0 → ∀ (s : Set E), μH[d] (r • s) ≤ ‖r‖₊ ^ d • μH[d] s
state_after: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹⁰ : EMetricSpace X
inst✝⁹ : EMetricSpace Y
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
r✝ : 𝕜
hr : r✝ ≠ 0
s✝ : Set E
r : 𝕜
a✝ : r ≠ 0
s : Set E
⊢ μH[d] (r • s) ≤ ‖r‖₊ ^ d • μH[d] s

tactic: simp only [NNReal.rpow_eq_pow, ENNReal.smul_def, ← ENNReal.coe_rpow_of_nonneg _ hd, smul_eq_mul]
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹⁰ : EMetricSpace X
inst✝⁹ : EMetricSpace Y
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
r✝ : 𝕜
hr : r✝ ≠ 0
s✝ : Set E
r : 𝕜
a✝ : r ≠ 0
s : Set E
⊢ μH[d] (r • s) ≤ ‖r‖₊ ^ d • μH[d] s
state_after: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹⁰ : EMetricSpace X
inst✝⁹ : EMetricSpace Y
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
r✝ : 𝕜
hr : r✝ ≠ 0
s✝ : Set E
r : 𝕜
a✝ : r ≠ 0
s : Set E
⊢ μH[d] (r • s) ≤ ↑‖r‖₊ ^ d * μH[d] s

tactic: exact (lipschitzWith_smul (β := E) r).hausdorffMeasure_image_le hd s
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹⁰ : EMetricSpace X
inst✝⁹ : EMetricSpace Y
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
r✝ : 𝕜
hr : r✝ ≠ 0
s✝ : Set E
r : 𝕜
a✝ : r ≠ 0
s : Set E
⊢ μH[d] (r • s) ≤ ↑‖r‖₊ ^ d * μH[d] s
state_after: no goals

tactic: refine le_antisymm (this hr s) ?_
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹⁰ : EMetricSpace X
inst✝⁹ : EMetricSpace Y
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
r : 𝕜
hr : r ≠ 0
s : Set E
this : ∀ {r : 𝕜}, r ≠ 0 → ∀ (s : Set E), μH[d] (r • s) ≤ ‖r‖₊ ^ d • μH[d] s
⊢ μH[d] (r • s) = ‖r‖₊ ^ d • μH[d] s
state_after: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹⁰ : EMetricSpace X
inst✝⁹ : EMetricSpace Y
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
r : 𝕜
hr : r ≠ 0
s : Set E
this : ∀ {r : 𝕜}, r ≠ 0 → ∀ (s : Set E), μH[d] (r • s) ≤ ‖r‖₊ ^ d • μH[d] s
⊢ ‖r‖₊ ^ d • μH[d] s ≤ μH[d] (r • s)

tactic: rw [← le_inv_smul_iff_of_pos]
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹⁰ : EMetricSpace X
inst✝⁹ : EMetricSpace Y
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
r : 𝕜
hr : r ≠ 0
s : Set E
this : ∀ {r : 𝕜}, r ≠ 0 → ∀ (s : Set E), μH[d] (r • s) ≤ ‖r‖₊ ^ d • μH[d] s
⊢ ‖r‖₊ ^ d • μH[d] s ≤ μH[d] (r • s)
state_after: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹⁰ : EMetricSpace X
inst✝⁹ : EMetricSpace Y
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
r : 𝕜
hr : r ≠ 0
s : Set E
this : ∀ {r : 𝕜}, r ≠ 0 → ∀ (s : Set E), μH[d] (r • s) ≤ ‖r‖₊ ^ d • μH[d] s
⊢ μH[d] s ≤ (‖r‖₊ ^ d)⁻¹ • μH[d] (r • s)

ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹⁰ : EMetricSpace X
inst✝⁹ : EMetricSpace Y
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
r : 𝕜
hr : r ≠ 0
s : Set E
this : ∀ {r : 𝕜}, r ≠ 0 → ∀ (s : Set E), μH[d] (r • s) ≤ ‖r‖₊ ^ d • μH[d] s
⊢ 0 < ‖r‖₊ ^ d

tactic: dsimp
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹⁰ : EMetricSpace X
inst✝⁹ : EMetricSpace Y
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
r : 𝕜
hr : r ≠ 0
s : Set E
this : ∀ {r : 𝕜}, r ≠ 0 → ∀ (s : Set E), μH[d] (r • s) ≤ ‖r‖₊ ^ d • μH[d] s
⊢ μH[d] s ≤ (‖r‖₊ ^ d)⁻¹ • μH[d] (r • s)
state_after: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹⁰ : EMetricSpace X
inst✝⁹ : EMetricSpace Y
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
r : 𝕜
hr : r ≠ 0
s : Set E
this : ∀ {r : 𝕜}, r ≠ 0 → ∀ (s : Set E), μH[d] (r • s) ≤ ‖r‖₊ ^ d • μH[d] s
⊢ μH[d] s ≤ ↑(‖r‖₊ ^ d)⁻¹ * μH[d] (r • s)

tactic: rw [← NNReal.inv_rpow, ← nnnorm_inv]
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹⁰ : EMetricSpace X
inst✝⁹ : EMetricSpace Y
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
r : 𝕜
hr : r ≠ 0
s : Set E
this : ∀ {r : 𝕜}, r ≠ 0 → ∀ (s : Set E), μH[d] (r • s) ≤ ‖r‖₊ ^ d • μH[d] s
⊢ μH[d] s ≤ ↑(‖r‖₊ ^ d)⁻¹ * μH[d] (r • s)
state_after: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹⁰ : EMetricSpace X
inst✝⁹ : EMetricSpace Y
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
r : 𝕜
hr : r ≠ 0
s : Set E
this : ∀ {r : 𝕜}, r ≠ 0 → ∀ (s : Set E), μH[d] (r • s) ≤ ‖r‖₊ ^ d • μH[d] s
⊢ μH[d] s ≤ ↑(‖r⁻¹‖₊ ^ d) * μH[d] (r • s)

tactic: refine Eq.trans_le ?_ (this (inv_ne_zero hr) (r • s))
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹⁰ : EMetricSpace X
inst✝⁹ : EMetricSpace Y
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
r : 𝕜
hr : r ≠ 0
s : Set E
this : ∀ {r : 𝕜}, r ≠ 0 → ∀ (s : Set E), μH[d] (r • s) ≤ ‖r‖₊ ^ d • μH[d] s
⊢ μH[d] s ≤ ↑(‖r⁻¹‖₊ ^ d) * μH[d] (r • s)
state_after: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹⁰ : EMetricSpace X
inst✝⁹ : EMetricSpace Y
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
r : 𝕜
hr : r ≠ 0
s : Set E
this : ∀ {r : 𝕜}, r ≠ 0 → ∀ (s : Set E), μH[d] (r • s) ≤ ‖r‖₊ ^ d • μH[d] s
⊢ μH[d] s = μH[d] (r⁻¹ • r • s)

tactic: rw [inv_smul_smul₀ hr]
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹⁰ : EMetricSpace X
inst✝⁹ : EMetricSpace Y
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
r : 𝕜
hr : r ≠ 0
s : Set E
this : ∀ {r : 𝕜}, r ≠ 0 → ∀ (s : Set E), μH[d] (r • s) ≤ ‖r‖₊ ^ d • μH[d] s
⊢ μH[d] s = μH[d] (r⁻¹ • r • s)
state_after: no goals

tactic: simp [pos_iff_ne_zero, hr]
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹⁰ : EMetricSpace X
inst✝⁹ : EMetricSpace Y
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
r : 𝕜
hr : r ≠ 0
s : Set E
this : ∀ {r : 𝕜}, r ≠ 0 → ∀ (s : Set E), μH[d] (r • s) ≤ ‖r‖₊ ^ d • μH[d] s
⊢ 0 < ‖r‖₊ ^ d
state_after: no goals