Theorem: Set.InjOn.image_inter
File: Mathlib/Data/Set/Function.lean

tactic: apply Subset.antisymm (image_inter_subset _ _ _)
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
⊢ f '' (s ∩ t) = f '' s ∩ f '' t
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
⊢ f '' s ∩ f '' t ⊆ f '' (s ∩ t)

tactic: intro x ⟨⟨y, ys, hy⟩, ⟨z, zt, hz⟩⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
⊢ f '' s ∩ f '' t ⊆ f '' (s ∩ t)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
x : β
y : α
ys : y ∈ s
hy : f y = x
z : α
zt : z ∈ t
hz : f z = x
⊢ x ∈ f '' (s ∩ t)

tactic: have : y = z := by
  apply hf (hs ys) (ht zt)
  rwa [← hz] at hy
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
x : β
y : α
ys : y ∈ s
hy : f y = x
z : α
zt : z ∈ t
hz : f z = x
⊢ x ∈ f '' (s ∩ t)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
x : β
y : α
ys : y ∈ s
hy : f y = x
z : α
zt : z ∈ t
hz : f z = x
this : y = z
⊢ x ∈ f '' (s ∩ t)

tactic: rw [← this] at zt
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
x : β
y : α
ys : y ∈ s
hy : f y = x
z : α
zt : z ∈ t
hz : f z = x
this : y = z
⊢ x ∈ f '' (s ∩ t)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
x : β
y : α
ys : y ∈ s
hy : f y = x
z : α
zt : y ∈ t
hz : f z = x
this : y = z
⊢ x ∈ f '' (s ∩ t)

tactic: exact ⟨y, ⟨ys, zt⟩, hy⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
x : β
y : α
ys : y ∈ s
hy : f y = x
z : α
zt : y ∈ t
hz : f z = x
this : y = z
⊢ x ∈ f '' (s ∩ t)
state_after: no goals

tactic: apply hf (hs ys) (ht zt)
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
x : β
y : α
ys : y ∈ s
hy : f y = x
z : α
zt : z ∈ t
hz : f z = x
⊢ y = z
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
x : β
y : α
ys : y ∈ s
hy : f y = x
z : α
zt : z ∈ t
hz : f z = x
⊢ f y = f z

tactic: rwa [← hz] at hy
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
x : β
y : α
ys : y ∈ s
hy : f y = x
z : α
zt : z ∈ t
hz : f z = x
⊢ f y = f z
state_after: no goals