Theorem: DFinsupp.Lex.acc_of_single
File: Mathlib/Data/DFinsupp/WellFounded.lean

tactic: generalize ht : x.support = t
state_before: ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
x : Π₀ (i : ι), α i
⊢ (∀ i ∈ x.support, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) x
state_after: ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
x : Π₀ (i : ι), α i
t : Finset ι
ht : x.support = t
⊢ (∀ i ∈ t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) x

tactic: revert x
state_before: ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
x : Π₀ (i : ι), α i
t : Finset ι
ht : x.support = t
⊢ (∀ i ∈ t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) x
state_after: ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
t : Finset ι
⊢ ∀ (x : Π₀ (i : ι), α i), x.support = t → (∀ i ∈ t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) x

tactic: induction' t using Finset.induction with b t hb ih
state_before: ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
t : Finset ι
⊢ ∀ (x : Π₀ (i : ι), α i), x.support = t → (∀ i ∈ t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) x
state_after: case empty
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
⊢ ∀ (x : Π₀ (i : ι), α i), x.support = ∅ → (∀ i ∈ ∅, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) x

case insert
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
b : ι
t : Finset ι
hb : b ∉ t
ih :
  ∀ (x : Π₀ (i : ι), α i), x.support = t → (∀ i ∈ t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) x
⊢ ∀ (x : Π₀ (i : ι), α i),
    x.support = insert b t → (∀ i ∈ insert b t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) x

tactic: refine fun x ht h => Lex.acc_of_single_erase b (h b <| t.mem_insert_self b) ?_
state_before: case insert
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
b : ι
t : Finset ι
hb : b ∉ t
ih :
  ∀ (x : Π₀ (i : ι), α i), x.support = t → (∀ i ∈ t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) x
⊢ ∀ (x : Π₀ (i : ι), α i),
    x.support = insert b t → (∀ i ∈ insert b t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) x
state_after: case insert
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
b : ι
t : Finset ι
hb : b ∉ t
ih :
  ∀ (x : Π₀ (i : ι), α i), x.support = t → (∀ i ∈ t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) x
x : Π₀ (i : ι), α i
ht : x.support = insert b t
h : ∀ i ∈ insert b t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))
⊢ Acc (DFinsupp.Lex r s) (erase b x)

tactic: refine ih _ (by rw [support_erase, ht, Finset.erase_insert hb]) fun a ha => ?_
state_before: case insert
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
b : ι
t : Finset ι
hb : b ∉ t
ih :
  ∀ (x : Π₀ (i : ι), α i), x.support = t → (∀ i ∈ t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) x
x : Π₀ (i : ι), α i
ht : x.support = insert b t
h : ∀ i ∈ insert b t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))
⊢ Acc (DFinsupp.Lex r s) (erase b x)
state_after: case insert
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
b : ι
t : Finset ι
hb : b ∉ t
ih :
  ∀ (x : Π₀ (i : ι), α i), x.support = t → (∀ i ∈ t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) x
x : Π₀ (i : ι), α i
ht : x.support = insert b t
h : ∀ i ∈ insert b t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))
a : ι
ha : a ∈ t
⊢ Acc (DFinsupp.Lex r s) (single a ((erase b x) a))

tactic: rw [erase_ne (ha.ne_of_not_mem hb)]
state_before: case insert
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
b : ι
t : Finset ι
hb : b ∉ t
ih :
  ∀ (x : Π₀ (i : ι), α i), x.support = t → (∀ i ∈ t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) x
x : Π₀ (i : ι), α i
ht : x.support = insert b t
h : ∀ i ∈ insert b t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))
a : ι
ha : a ∈ t
⊢ Acc (DFinsupp.Lex r s) (single a ((erase b x) a))
state_after: case insert
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
b : ι
t : Finset ι
hb : b ∉ t
ih :
  ∀ (x : Π₀ (i : ι), α i), x.support = t → (∀ i ∈ t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) x
x : Π₀ (i : ι), α i
ht : x.support = insert b t
h : ∀ i ∈ insert b t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))
a : ι
ha : a ∈ t
⊢ Acc (DFinsupp.Lex r s) (single a (x a))

tactic: exact h a (Finset.mem_insert_of_mem ha)
state_before: case insert
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
b : ι
t : Finset ι
hb : b ∉ t
ih :
  ∀ (x : Π₀ (i : ι), α i), x.support = t → (∀ i ∈ t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) x
x : Π₀ (i : ι), α i
ht : x.support = insert b t
h : ∀ i ∈ insert b t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))
a : ι
ha : a ∈ t
⊢ Acc (DFinsupp.Lex r s) (single a (x a))
state_after: no goals

tactic: intro x ht
state_before: case empty
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
⊢ ∀ (x : Π₀ (i : ι), α i), x.support = ∅ → (∀ i ∈ ∅, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) x
state_after: case empty
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
x : Π₀ (i : ι), α i
ht : x.support = ∅
⊢ (∀ i ∈ ∅, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) x

tactic: rw [support_eq_empty.1 ht]
state_before: case empty
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
x : Π₀ (i : ι), α i
ht : x.support = ∅
⊢ (∀ i ∈ ∅, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) x
state_after: case empty
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
x : Π₀ (i : ι), α i
ht : x.support = ∅
⊢ (∀ i ∈ ∅, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (0 i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) 0

tactic: exact fun _ => Lex.acc_zero hbot
state_before: case empty
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
x : Π₀ (i : ι), α i
ht : x.support = ∅
⊢ (∀ i ∈ ∅, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (0 i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) 0
state_after: no goals

tactic: rw [support_erase, ht, Finset.erase_insert hb]
state_before: ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
b : ι
t : Finset ι
hb : b ∉ t
ih :
  ∀ (x : Π₀ (i : ι), α i), x.support = t → (∀ i ∈ t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))) → Acc (DFinsupp.Lex r s) x
x : Π₀ (i : ι), α i
ht : x.support = insert b t
h : ∀ i ∈ insert b t, Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i (x i))
⊢ (erase b x).support = t
state_after: no goals