Theorem: InnerProductSpaceable.inner_.conj_symm
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean

tactic: simp only [inner_]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ (starRingEnd 𝕜) (inner_ 𝕜 y x) = inner_ 𝕜 x y
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ (starRingEnd 𝕜)
      (4⁻¹ *
        (𝓚 ‖y + x‖ * 𝓚 ‖y + x‖ - 𝓚 ‖y - x‖ * 𝓚 ‖y - x‖ + I * 𝓚 ‖I • y + x‖ * 𝓚 ‖I • y + x‖ -
          I * 𝓚 ‖I • y - x‖ * 𝓚 ‖I • y - x‖)) =
    4⁻¹ *
      (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ -
        I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)

tactic: have h4 : conj (4⁻¹ : 𝕜) = 4⁻¹ := by norm_num
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ (starRingEnd 𝕜)
      (4⁻¹ *
        (𝓚 ‖y + x‖ * 𝓚 ‖y + x‖ - 𝓚 ‖y - x‖ * 𝓚 ‖y - x‖ + I * 𝓚 ‖I • y + x‖ * 𝓚 ‖I • y + x‖ -
          I * 𝓚 ‖I • y - x‖ * 𝓚 ‖I • y - x‖)) =
    4⁻¹ *
      (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ -
        I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
⊢ (starRingEnd 𝕜)
      (4⁻¹ *
        (𝓚 ‖y + x‖ * 𝓚 ‖y + x‖ - 𝓚 ‖y - x‖ * 𝓚 ‖y - x‖ + I * 𝓚 ‖I • y + x‖ * 𝓚 ‖I • y + x‖ -
          I * 𝓚 ‖I • y - x‖ * 𝓚 ‖I • y - x‖)) =
    4⁻¹ *
      (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ -
        I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)

tactic: rw [map_mul, h4]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
⊢ (starRingEnd 𝕜)
      (4⁻¹ *
        (𝓚 ‖y + x‖ * 𝓚 ‖y + x‖ - 𝓚 ‖y - x‖ * 𝓚 ‖y - x‖ + I * 𝓚 ‖I • y + x‖ * 𝓚 ‖I • y + x‖ -
          I * 𝓚 ‖I • y - x‖ * 𝓚 ‖I • y - x‖)) =
    4⁻¹ *
      (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ -
        I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
⊢ 4⁻¹ *
      (starRingEnd 𝕜)
        (𝓚 ‖y + x‖ * 𝓚 ‖y + x‖ - 𝓚 ‖y - x‖ * 𝓚 ‖y - x‖ + I * 𝓚 ‖I • y + x‖ * 𝓚 ‖I • y + x‖ -
          I * 𝓚 ‖I • y - x‖ * 𝓚 ‖I • y - x‖) =
    4⁻¹ *
      (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ -
        I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)

tactic: congr 1
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
⊢ 4⁻¹ *
      (starRingEnd 𝕜)
        (𝓚 ‖y + x‖ * 𝓚 ‖y + x‖ - 𝓚 ‖y - x‖ * 𝓚 ‖y - x‖ + I * 𝓚 ‖I • y + x‖ * 𝓚 ‖I • y + x‖ -
          I * 𝓚 ‖I • y - x‖ * 𝓚 ‖I • y - x‖) =
    4⁻¹ *
      (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ -
        I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
state_after: case e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
⊢ (starRingEnd 𝕜)
      (𝓚 ‖y + x‖ * 𝓚 ‖y + x‖ - 𝓚 ‖y - x‖ * 𝓚 ‖y - x‖ + I * 𝓚 ‖I • y + x‖ * 𝓚 ‖I • y + x‖ -
        I * 𝓚 ‖I • y - x‖ * 𝓚 ‖I • y - x‖) =
    𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ -
      I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖

tactic: simp only [map_sub, map_add, algebraMap_eq_ofReal, ← ofReal_mul, conj_ofReal, map_mul, conj_I]
state_before: case e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
⊢ (starRingEnd 𝕜)
      (𝓚 ‖y + x‖ * 𝓚 ‖y + x‖ - 𝓚 ‖y - x‖ * 𝓚 ‖y - x‖ + I * 𝓚 ‖I • y + x‖ * 𝓚 ‖I • y + x‖ -
        I * 𝓚 ‖I • y - x‖ * 𝓚 ‖I • y - x‖) =
    𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ -
      I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖
state_after: case e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
⊢ ↑(‖y + x‖ * ‖y + x‖) - ↑(‖y - x‖ * ‖y - x‖) + -I * ↑‖I • y + x‖ * ↑‖I • y + x‖ - -I * ↑‖I • y - x‖ * ↑‖I • y - x‖ =
    ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) + I * ↑‖I • x + y‖ * ↑‖I • x + y‖ - I * ↑‖I • x - y‖ * ↑‖I • x - y‖

tactic: rw [add_comm y x, norm_sub_rev]
state_before: case e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
⊢ ↑(‖y + x‖ * ‖y + x‖) - ↑(‖y - x‖ * ‖y - x‖) + -I * ↑‖I • y + x‖ * ↑‖I • y + x‖ - -I * ↑‖I • y - x‖ * ↑‖I • y - x‖ =
    ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) + I * ↑‖I • x + y‖ * ↑‖I • x + y‖ - I * ↑‖I • x - y‖ * ↑‖I • x - y‖
state_after: case e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
⊢ ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) + -I * ↑‖I • y + x‖ * ↑‖I • y + x‖ - -I * ↑‖I • y - x‖ * ↑‖I • y - x‖ =
    ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) + I * ↑‖I • x + y‖ * ↑‖I • x + y‖ - I * ↑‖I • x - y‖ * ↑‖I • x - y‖

tactic: by_cases hI : (I : 𝕜) = 0
state_before: case e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
⊢ ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) + -I * ↑‖I • y + x‖ * ↑‖I • y + x‖ - -I * ↑‖I • y - x‖ * ↑‖I • y - x‖ =
    ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) + I * ↑‖I • x + y‖ * ↑‖I • x + y‖ - I * ↑‖I • x - y‖ * ↑‖I • x - y‖
state_after: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : I = 0
⊢ ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) + -I * ↑‖I • y + x‖ * ↑‖I • y + x‖ - -I * ↑‖I • y - x‖ * ↑‖I • y - x‖ =
    ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) + I * ↑‖I • x + y‖ * ↑‖I • x + y‖ - I * ↑‖I • x - y‖ * ↑‖I • x - y‖

case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
⊢ ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) + -I * ↑‖I • y + x‖ * ↑‖I • y + x‖ - -I * ↑‖I • y - x‖ * ↑‖I • y - x‖ =
    ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) + I * ↑‖I • x + y‖ * ↑‖I • x + y‖ - I * ↑‖I • x - y‖ * ↑‖I • x - y‖

tactic: have : ‖(I : 𝕜)‖ = 1 := by
  rw [← mul_self_inj_of_nonneg (norm_nonneg I) zero_le_one, one_mul, ← norm_mul,
    I_mul_I_of_nonzero hI, norm_neg, norm_one]
state_before: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
⊢ ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) + -I * ↑‖I • y + x‖ * ↑‖I • y + x‖ - -I * ↑‖I • y - x‖ * ↑‖I • y - x‖ =
    ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) + I * ↑‖I • x + y‖ * ↑‖I • x + y‖ - I * ↑‖I • x - y‖ * ↑‖I • x - y‖
state_after: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
this : ‖I‖ = 1
⊢ ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) + -I * ↑‖I • y + x‖ * ↑‖I • y + x‖ - -I * ↑‖I • y - x‖ * ↑‖I • y - x‖ =
    ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) + I * ↑‖I • x + y‖ * ↑‖I • x + y‖ - I * ↑‖I • x - y‖ * ↑‖I • x - y‖

tactic: rw [h₁, h₂, ← sub_add_eq_add_sub]
state_before: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
this : ‖I‖ = 1
h₁ : ‖I • y - x‖ = ‖I • x + y‖
h₂ : ‖I • y + x‖ = ‖I • x - y‖
⊢ ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) + -I * ↑‖I • y + x‖ * ↑‖I • y + x‖ - -I * ↑‖I • y - x‖ * ↑‖I • y - x‖ =
    ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) + I * ↑‖I • x + y‖ * ↑‖I • x + y‖ - I * ↑‖I • x - y‖ * ↑‖I • x - y‖
state_after: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
this : ‖I‖ = 1
h₁ : ‖I • y - x‖ = ‖I • x + y‖
h₂ : ‖I • y + x‖ = ‖I • x - y‖
⊢ ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) - -I * ↑‖I • x + y‖ * ↑‖I • x + y‖ + -I * ↑‖I • x - y‖ * ↑‖I • x - y‖ =
    ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) + I * ↑‖I • x + y‖ * ↑‖I • x + y‖ - I * ↑‖I • x - y‖ * ↑‖I • x - y‖

tactic: simp only [neg_mul, sub_eq_add_neg, neg_neg]
state_before: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
this : ‖I‖ = 1
h₁ : ‖I • y - x‖ = ‖I • x + y‖
h₂ : ‖I • y + x‖ = ‖I • x - y‖
⊢ ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) - -I * ↑‖I • x + y‖ * ↑‖I • x + y‖ + -I * ↑‖I • x - y‖ * ↑‖I • x - y‖ =
    ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) + I * ↑‖I • x + y‖ * ↑‖I • x + y‖ - I * ↑‖I • x - y‖ * ↑‖I • x - y‖
state_after: no goals

tactic: norm_num
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
state_after: no goals

tactic: simp only [hI, neg_zero, zero_mul]
state_before: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : I = 0
⊢ ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) + -I * ↑‖I • y + x‖ * ↑‖I • y + x‖ - -I * ↑‖I • y - x‖ * ↑‖I • y - x‖ =
    ↑(‖x + y‖ * ‖x + y‖) - ↑(‖x - y‖ * ‖x - y‖) + I * ↑‖I • x + y‖ * ↑‖I • x + y‖ - I * ↑‖I • x - y‖ * ↑‖I • x - y‖
state_after: no goals

tactic: rw [← mul_self_inj_of_nonneg (norm_nonneg I) zero_le_one, one_mul, ← norm_mul,
  I_mul_I_of_nonzero hI, norm_neg, norm_one]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
⊢ ‖I‖ = 1
state_after: no goals

tactic: trans ‖(I : 𝕜) • ((I : 𝕜) • y - x)‖
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
this : ‖I‖ = 1
⊢ ‖I • y - x‖ = ‖I • x + y‖
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
this : ‖I‖ = 1
⊢ ‖I • y - x‖ = ‖I • (I • y - x)‖

𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
this : ‖I‖ = 1
⊢ ‖I • (I • y - x)‖ = ‖I • x + y‖

tactic: rw [norm_smul, this, one_mul]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
this : ‖I‖ = 1
⊢ ‖I • y - x‖ = ‖I • (I • y - x)‖
state_after: no goals

tactic: rw [smul_sub, smul_smul, I_mul_I_of_nonzero hI, neg_one_smul, ← neg_add', add_comm, norm_neg]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
this : ‖I‖ = 1
⊢ ‖I • (I • y - x)‖ = ‖I • x + y‖
state_after: no goals

tactic: trans ‖(I : 𝕜) • ((I : 𝕜) • y + x)‖
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
this : ‖I‖ = 1
h₁ : ‖I • y - x‖ = ‖I • x + y‖
⊢ ‖I • y + x‖ = ‖I • x - y‖
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
this : ‖I‖ = 1
h₁ : ‖I • y - x‖ = ‖I • x + y‖
⊢ ‖I • y + x‖ = ‖I • (I • y + x)‖

𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
this : ‖I‖ = 1
h₁ : ‖I • y - x‖ = ‖I • x + y‖
⊢ ‖I • (I • y + x)‖ = ‖I • x - y‖

tactic: rw [norm_smul, this, one_mul]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
this : ‖I‖ = 1
h₁ : ‖I • y - x‖ = ‖I • x + y‖
⊢ ‖I • y + x‖ = ‖I • (I • y + x)‖
state_after: no goals

tactic: rw [smul_add, smul_smul, I_mul_I_of_nonzero hI, neg_one_smul, ← neg_add_eq_sub]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
this : ‖I‖ = 1
h₁ : ‖I • y - x‖ = ‖I • x + y‖
⊢ ‖I • (I • y + x)‖ = ‖I • x - y‖
state_after: no goals