Theorem: MeasureTheory.integrable_withDensity_iff_integrable_coe_smul
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean

tactic: by_cases H : AEStronglyMeasurable (fun x : α => (f x : ℝ) • g x) μ
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
⊢ Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) ↔ Integrable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
state_after: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
⊢ Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) ↔ Integrable (fun x => ↑(f x) • g x) μ

case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : ¬AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
⊢ Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) ↔ Integrable (fun x => ↑(f x) • g x) μ

tactic: simp only [Integrable, aestronglyMeasurable_withDensity_iff hf, HasFiniteIntegral, H,
  true_and_iff]
state_before: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
⊢ Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) ↔ Integrable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
state_after: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) < ⊤ ↔ ∫⁻ (a : α), ↑‖↑(f a) • g a‖₊ ∂μ < ⊤

tactic: rw [lintegral_withDensity_eq_lintegral_mul₀' hf.coe_nnreal_ennreal.aemeasurable]
state_before: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) < ⊤ ↔ ∫⁻ (a : α), ↑‖↑(f a) • g a‖₊ ∂μ < ⊤
state_after: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑(f x)) * fun a => ↑‖g a‖₊) a ∂μ < ⊤ ↔ ∫⁻ (a : α), ↑‖↑(f a) • g a‖₊ ∂μ < ⊤

case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
⊢ AEMeasurable (fun a => ↑‖g a‖₊) (μ.withDensity fun x => ↑(f x))

tactic: rw [iff_iff_eq]
state_before: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑(f x)) * fun a => ↑‖g a‖₊) a ∂μ < ⊤ ↔ ∫⁻ (a : α), ↑‖↑(f a) • g a‖₊ ∂μ < ⊤
state_after: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑(f x)) * fun a => ↑‖g a‖₊) a ∂μ < ⊤) = (∫⁻ (a : α), ↑‖↑(f a) • g a‖₊ ∂μ < ⊤)

tactic: congr
state_before: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑(f x)) * fun a => ↑‖g a‖₊) a ∂μ < ⊤) = (∫⁻ (a : α), ↑‖↑(f a) • g a‖₊ ∂μ < ⊤)
state_after: case pos.e_a.e_f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
⊢ (fun a => ((fun x => ↑(f x)) * fun a => ↑‖g a‖₊) a) = fun a => ↑‖↑(f a) • g a‖₊

tactic: ext1 x
state_before: case pos.e_a.e_f
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
⊢ (fun a => ((fun x => ↑(f x)) * fun a => ↑‖g a‖₊) a) = fun a => ↑‖↑(f a) • g a‖₊
state_after: case pos.e_a.e_f.h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
x : α
⊢ ((fun x => ↑(f x)) * fun a => ↑‖g a‖₊) x = ↑‖↑(f x) • g x‖₊

tactic: simp only [nnnorm_smul, NNReal.nnnorm_eq, coe_mul, Pi.mul_apply]
state_before: case pos.e_a.e_f.h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
x : α
⊢ ((fun x => ↑(f x)) * fun a => ↑‖g a‖₊) x = ↑‖↑(f x) • g x‖₊
state_after: no goals

tactic: rw [aemeasurable_withDensity_ennreal_iff hf]
state_before: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
⊢ AEMeasurable (fun a => ↑‖g a‖₊) (μ.withDensity fun x => ↑(f x))
state_after: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
⊢ AEMeasurable (fun x => ↑(f x) * ↑‖g x‖₊) μ

tactic: convert H.ennnorm using 1
state_before: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
⊢ AEMeasurable (fun x => ↑(f x) * ↑‖g x‖₊) μ
state_after: case h.e'_5
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
⊢ (fun x => ↑(f x) * ↑‖g x‖₊) = fun a => ↑‖↑(f a) • g a‖₊

tactic: ext1 x
state_before: case h.e'_5
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
⊢ (fun x => ↑(f x) * ↑‖g x‖₊) = fun a => ↑‖↑(f a) • g a‖₊
state_after: case h.e'_5.h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
x : α
⊢ ↑(f x) * ↑‖g x‖₊ = ↑‖↑(f x) • g x‖₊

tactic: simp only [nnnorm_smul, NNReal.nnnorm_eq, coe_mul]
state_before: case h.e'_5.h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
x : α
⊢ ↑(f x) * ↑‖g x‖₊ = ↑‖↑(f x) • g x‖₊
state_after: no goals

tactic: simp only [Integrable, aestronglyMeasurable_withDensity_iff hf, H, false_and_iff]
state_before: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
g : α → E
H : ¬AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
⊢ Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) ↔ Integrable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
state_after: no goals