Theorem: Real.iteratedDeriv_fourierIntegral
File: Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean

tactic: ext x : 1
state_before: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
⊢ iteratedDeriv n (𝓕 f) = 𝓕 fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • f x
state_after: case h
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
⊢ iteratedDeriv n (𝓕 f) x = 𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • f x) x

tactic: have A (n : ℕ) (hn : n ≤ N) : Integrable (fun v ↦ ‖v‖^n * ‖f v‖) := by
  convert (hf n hn).norm with x
  simp [norm_smul]
state_before: case h
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
⊢ iteratedDeriv n (𝓕 f) x = 𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • f x) x
state_after: case h
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
⊢ iteratedDeriv n (𝓕 f) x = 𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • f x) x

tactic: have B : AEStronglyMeasurable f := by
  convert (hf 0 (zero_le _)).1 with x
  simp
state_before: case h
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
⊢ iteratedDeriv n (𝓕 f) x = 𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • f x) x
state_after: case h
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume
⊢ iteratedDeriv n (𝓕 f) x = 𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • f x) x

tactic: rw [iteratedDeriv, iteratedFDeriv_fourierIntegral A B hn,
  fourierIntegral_continuousMultilinearMap_apply (integrable_fourierPowSMulRight _ (A n hn) B),
  fourierIntegral_eq, fourierIntegral_eq]
state_before: case h
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume
⊢ iteratedDeriv n (𝓕 f) x = 𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • f x) x
state_after: case h
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume
⊢ (∫ (v : ℝ), 𝐞 (-⟪v, x⟫_ℝ) • (fourierPowSMulRight (innerSL ℝ) f v n) fun x => 1) =
    ∫ (v : ℝ), 𝐞 (-⟪v, x⟫_ℝ) • (-2 * ↑π * I * ↑v) ^ n • f v

tactic: congr with y
state_before: case h
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume
⊢ (∫ (v : ℝ), 𝐞 (-⟪v, x⟫_ℝ) • (fourierPowSMulRight (innerSL ℝ) f v n) fun x => 1) =
    ∫ (v : ℝ), 𝐞 (-⟪v, x⟫_ℝ) • (-2 * ↑π * I * ↑v) ^ n • f v
state_after: case h.e_f.h
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume
y : ℝ
⊢ (𝐞 (-⟪y, x⟫_ℝ) • (fourierPowSMulRight (innerSL ℝ) f y n) fun x => 1) = 𝐞 (-⟪y, x⟫_ℝ) • (-2 * ↑π * I * ↑y) ^ n • f y

tactic: suffices (-(2 * π * I)) ^ n • y ^ n • f y = (-(2 * π * I * y)) ^ n • f y by
  simpa [innerSL_apply _]
state_before: case h.e_f.h
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume
y : ℝ
⊢ (𝐞 (-⟪y, x⟫_ℝ) • (fourierPowSMulRight (innerSL ℝ) f y n) fun x => 1) = 𝐞 (-⟪y, x⟫_ℝ) • (-2 * ↑π * I * ↑y) ^ n • f y
state_after: case h.e_f.h
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume
y : ℝ
⊢ (-(2 * ↑π * I)) ^ n • y ^ n • f y = (-(2 * ↑π * I * ↑y)) ^ n • f y

tactic: simp only [← neg_mul, ← coe_smul, smul_smul, mul_pow, ofReal_pow, mul_assoc]
state_before: case h.e_f.h
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume
y : ℝ
⊢ (-(2 * ↑π * I)) ^ n • y ^ n • f y = (-(2 * ↑π * I * ↑y)) ^ n • f y
state_after: no goals

tactic: convert (hf n hn).norm with x
state_before: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n✝ : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn✝ : ↑n✝ ≤ N
x : ℝ
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
state_after: case h.e'_5.h
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n✝ : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn✝ : ↑n✝ ≤ N
x✝ : ℝ
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
⊢ ‖x‖ ^ n * ‖f x‖ = ‖x ^ n • f x‖

tactic: simp [norm_smul]
state_before: case h.e'_5.h
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n✝ : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn✝ : ↑n✝ ≤ N
x✝ : ℝ
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
⊢ ‖x‖ ^ n * ‖f x‖ = ‖x ^ n • f x‖
state_after: no goals

tactic: convert (hf 0 (zero_le _)).1 with x
state_before: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
⊢ AEStronglyMeasurable f volume
state_after: case h.e'_5.h
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x✝ : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
x : ℝ
⊢ f x = x ^ 0 • f x

tactic: simp
state_before: case h.e'_5.h
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x✝ : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
x : ℝ
⊢ f x = x ^ 0 • f x
state_after: no goals

tactic: simpa [innerSL_apply _]
state_before: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume
y : ℝ
this : (-(2 * ↑π * I)) ^ n • y ^ n • f y = (-(2 * ↑π * I * ↑y)) ^ n • f y
⊢ (𝐞 (-⟪y, x⟫_ℝ) • (fourierPowSMulRight (innerSL ℝ) f y n) fun x => 1) = 𝐞 (-⟪y, x⟫_ℝ) • (-2 * ↑π * I * ↑y) ^ n • f y
state_after: no goals