Theorem: convexHull_eq_union
File: Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean

tactic: apply Set.Subset.antisymm
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ (convexHull 𝕜) s = ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑t
state_after: case h₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ (convexHull 𝕜) s ⊆ ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑t

case h₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑t ⊆ (convexHull 𝕜) s

tactic: intro x hx
state_before: case h₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ (convexHull 𝕜) s ⊆ ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑t
state_after: case h₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
⊢ x ∈ ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑t

tactic: simp only [exists_prop, Set.mem_iUnion]
state_before: case h₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
⊢ x ∈ ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑t
state_after: case h₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
⊢ ∃ i, ↑i ⊆ s ∧ AffineIndependent 𝕜 Subtype.val ∧ x ∈ (convexHull 𝕜) ↑i

tactic: exact ⟨Caratheodory.minCardFinsetOfMemConvexHull hx,
  Caratheodory.minCardFinsetOfMemConvexHull_subseteq hx,
  Caratheodory.affineIndependent_minCardFinsetOfMemConvexHull hx,
  Caratheodory.mem_minCardFinsetOfMemConvexHull hx⟩
state_before: case h₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
⊢ ∃ i, ↑i ⊆ s ∧ AffineIndependent 𝕜 Subtype.val ∧ x ∈ (convexHull 𝕜) ↑i
state_after: no goals

tactic: iterate 3 convert Set.iUnion_subset _; intro
state_before: case h₂
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑t ⊆ (convexHull 𝕜) s
state_after: case h₂.convert_5.convert_5.convert_5
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
i✝² : Finset E
i✝¹ : ↑i✝² ⊆ s
i✝ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
⊢ (convexHull 𝕜) ↑i✝² ⊆ (convexHull 𝕜) s

tactic: exact convexHull_mono ‹_›
state_before: case h₂.convert_5.convert_5.convert_5
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
i✝² : Finset E
i✝¹ : ↑i✝² ⊆ s
i✝ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
⊢ (convexHull 𝕜) ↑i✝² ⊆ (convexHull 𝕜) s
state_after: no goals

tactic: convert Set.iUnion_subset _
state_before: case h₂.convert_5.convert_5
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
i✝¹ : Finset E
i✝ : ↑i✝¹ ⊆ s
⊢ ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑i✝¹ ⊆ (convexHull 𝕜) s
state_after: case h₂.convert_5.convert_5.convert_5
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
i✝¹ : Finset E
i✝ : ↑i✝¹ ⊆ s
⊢ AffineIndependent 𝕜 Subtype.val → (convexHull 𝕜) ↑i✝¹ ⊆ (convexHull 𝕜) s

tactic: intro
state_before: case h₂.convert_5.convert_5.convert_5
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
i✝¹ : Finset E
i✝ : ↑i✝¹ ⊆ s
⊢ AffineIndependent 𝕜 Subtype.val → (convexHull 𝕜) ↑i✝¹ ⊆ (convexHull 𝕜) s
state_after: case h₂.convert_5.convert_5.convert_5
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
i✝² : Finset E
i✝¹ : ↑i✝² ⊆ s
i✝ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
⊢ (convexHull 𝕜) ↑i✝² ⊆ (convexHull 𝕜) s