Theorem: ProbabilityTheory.kernel.lintegral_compProd₀
File: Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean

tactic: have A : ∫⁻ z, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ z, hf.mk f z ∂(κ ⊗ₖ η) a := lintegral_congr_ae hf.ae_eq_mk
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
⊢ ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
A : ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (z : β × γ), AEMeasurable.mk f hf z ∂(κ ⊗ₖ η) a
⊢ ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a

tactic: have B : ∫⁻ x, ∫⁻ y, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a = ∫⁻ x, ∫⁻ y, hf.mk f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a := by
  apply lintegral_congr_ae
  filter_upwards [ae_ae_of_ae_compProd hf.ae_eq_mk] with _ ha using lintegral_congr_ae ha
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
A : ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (z : β × γ), AEMeasurable.mk f hf z ∂(κ ⊗ₖ η) a
⊢ ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
A : ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (z : β × γ), AEMeasurable.mk f hf z ∂(κ ⊗ₖ η) a
B : ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), AEMeasurable.mk f hf (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
⊢ ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a

tactic: rw [A, B, lintegral_compProd]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
A : ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (z : β × γ), AEMeasurable.mk f hf z ∂(κ ⊗ₖ η) a
B : ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), AEMeasurable.mk f hf (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
⊢ ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
state_after: case hf
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
A : ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (z : β × γ), AEMeasurable.mk f hf z ∂(κ ⊗ₖ η) a
B : ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), AEMeasurable.mk f hf (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
⊢ Measurable (AEMeasurable.mk f hf)

tactic: exact hf.measurable_mk
state_before: case hf
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
A : ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (z : β × γ), AEMeasurable.mk f hf z ∂(κ ⊗ₖ η) a
B : ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), AEMeasurable.mk f hf (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
⊢ Measurable (AEMeasurable.mk f hf)
state_after: no goals

tactic: apply lintegral_congr_ae
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
A : ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (z : β × γ), AEMeasurable.mk f hf z ∂(κ ⊗ₖ η) a
⊢ ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), AEMeasurable.mk f hf (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
state_after: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
A : ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (z : β × γ), AEMeasurable.mk f hf z ∂(κ ⊗ₖ η) a
⊢ (fun a_1 => ∫⁻ (y : γ), f (a_1, y) ∂η (a, a_1)) =ᶠ[ae (κ a)] fun a_1 =>
    ∫⁻ (y : γ), AEMeasurable.mk f hf (a_1, y) ∂η (a, a_1)

tactic: filter_upwards [ae_ae_of_ae_compProd hf.ae_eq_mk] with _ ha using lintegral_congr_ae ha
state_before: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : ↥(kernel α β)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : ↥(kernel (α × β) γ)
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
A : ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (z : β × γ), AEMeasurable.mk f hf z ∂(κ ⊗ₖ η) a
⊢ (fun a_1 => ∫⁻ (y : γ), f (a_1, y) ∂η (a, a_1)) =ᶠ[ae (κ a)] fun a_1 =>
    ∫⁻ (y : γ), AEMeasurable.mk f hf (a_1, y) ∂η (a, a_1)
state_after: no goals