Theorem: OrthogonalFamily.projection_directSum_coeAddHom
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean

tactic: induction' x using DirectSum.induction_on with j x x y hx hy
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
x : ⨁ (i : ι), ↥(V i)
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
⊢ (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) x) = x i
state_after: case H_zero
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
⊢ (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) 0) = 0 i

case H_basic
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
j : ι
x : ↥(V j)
⊢ (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) ((of (fun i => ↥(V i)) j) x)) =
    ((of (fun i => ↥(V i)) j) x) i

case H_plus
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
x y : ⨁ (i : ι), ↥(V i)
hx : (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) x) = x i
hy : (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) y) = y i
⊢ (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) (x + y)) = (x + y) i

tactic: simp
state_before: case H_zero
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
⊢ (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) 0) = 0 i
state_after: no goals

tactic: simp_rw [DirectSum.coeAddMonoidHom_of, DirectSum.of]
state_before: case H_basic
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
j : ι
x : ↥(V j)
⊢ (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) ((of (fun i => ↥(V i)) j) x)) =
    ((of (fun i => ↥(V i)) j) x) i
state_after: case H_basic
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
j : ι
x : ↥(V j)
⊢ (orthogonalProjection (V i)) ↑x = ((DFinsupp.singleAddHom (fun i => ↥(V i)) j) x) i

tactic: erw [DFinsupp.singleAddHom_apply]
state_before: case H_basic
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
j : ι
x : ↥(V j)
⊢ (orthogonalProjection (V i)) ↑x = ((DFinsupp.singleAddHom (fun i => ↥(V i)) j) x) i
state_after: case H_basic
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
j : ι
x : ↥(V j)
⊢ (orthogonalProjection (V i)) ↑x = (DFinsupp.single j x) i

tactic: obtain rfl | hij := Decidable.eq_or_ne i j
state_before: case H_basic
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
j : ι
x : ↥(V j)
⊢ (orthogonalProjection (V i)) ↑x = (DFinsupp.single j x) i
state_after: case H_basic.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
x : ↥(V i)
⊢ (orthogonalProjection (V i)) ↑x = (DFinsupp.single i x) i

case H_basic.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
j : ι
x : ↥(V j)
hij : i ≠ j
⊢ (orthogonalProjection (V i)) ↑x = (DFinsupp.single j x) i

tactic: rw [orthogonalProjection_mem_subspace_eq_self, DFinsupp.single_eq_same]
state_before: case H_basic.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
x : ↥(V i)
⊢ (orthogonalProjection (V i)) ↑x = (DFinsupp.single i x) i
state_after: no goals

tactic: rw [orthogonalProjection_mem_subspace_orthogonalComplement_eq_zero,
  DFinsupp.single_eq_of_ne hij.symm]
state_before: case H_basic.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
j : ι
x : ↥(V j)
hij : i ≠ j
⊢ (orthogonalProjection (V i)) ↑x = (DFinsupp.single j x) i
state_after: case H_basic.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
j : ι
x : ↥(V j)
hij : i ≠ j
⊢ ↑x ∈ (V i)ᗮ

tactic: exact hV.isOrtho hij.symm x.prop
state_before: case H_basic.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
j : ι
x : ↥(V j)
hij : i ≠ j
⊢ ↑x ∈ (V i)ᗮ
state_after: no goals

tactic: simp_rw [map_add]
state_before: case H_plus
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
x y : ⨁ (i : ι), ↥(V i)
hx : (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) x) = x i
hy : (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) y) = y i
⊢ (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) (x + y)) = (x + y) i
state_after: case H_plus
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
x y : ⨁ (i : ι), ↥(V i)
hx : (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) x) = x i
hy : (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) y) = y i
⊢ (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) x) +
      (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) y) =
    (x + y) i