Theorem: AdicCompletion.map_exact
File: Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Exactness.lean

tactic: refine LinearMap.exact_of_comp_eq_zero_of_ker_le_range ?_ (fun y ↦ ?_)
state_before: R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ Function.Exact ⇑(map I f) ⇑(map I g)
state_after: case refine_1
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ map I g ∘ₗ map I f = 0

case refine_2
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
⊢ y ∈ ker (map I g) → y ∈ range (map I f)

tactic: rw [map_comp, hfg.linearMap_comp_eq_zero, AdicCompletion.map_zero]
state_before: case refine_1
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ map I g ∘ₗ map I f = 0
state_after: no goals

tactic: apply AdicCompletion.induction_on I N y (fun b ↦ ?_)
state_before: case refine_2
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
⊢ y ∈ ker (map I g) → y ∈ range (map I f)
state_after: R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
⊢ (mk I N) b ∈ ker (map I g) → (mk I N) b ∈ range (map I f)

tactic: intro hz
state_before: R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
⊢ (mk I N) b ∈ ker (map I g) → (mk I N) b ∈ range (map I f)
state_after: R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
⊢ (mk I N) b ∈ range (map I f)

tactic: obtain ⟨k, hk⟩ := Ideal.exists_pow_inf_eq_pow_smul I (LinearMap.range f)
state_before: R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
⊢ (mk I N) b ∈ range (map I f)
state_after: case intro
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
⊢ (mk I N) b ∈ range (map I f)

tactic: have hb (n : ℕ) : g (b n) ∈ (I ^ n • ⊤ : Submodule R P) := by
  simpa using congrArg (fun x ↦ x.val n) hz
state_before: case intro
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
⊢ (mk I N) b ∈ range (map I f)
state_after: case intro
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
⊢ (mk I N) b ∈ range (map I f)

tactic: let a := mapExactAux hf hfg hg hk b hb
state_before: case intro
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
⊢ (mk I N) b ∈ range (map I f)
state_after: case intro
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
⊢ (mk I N) b ∈ range (map I f)

tactic: refine ⟨AdicCompletion.mk I M (AdicCauchySequence.mk I M (fun n ↦ (a n : M)) ?_), ?_⟩
state_before: case intro
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
⊢ (mk I N) b ∈ range (map I f)
state_after: case intro.refine_1
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
⊢ ∀ (n : ℕ), (fun n => ↑(a n)) n ≡ (fun n => ↑(a n)) (n + 1) [SMOD I ^ n • ⊤]

case intro.refine_2
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
⊢ (map I f) ((mk I M) (AdicCauchySequence.mk I M (fun n => ↑(a n)) ?intro.refine_1)) = (mk I N) b

tactic: simpa using congrArg (fun x ↦ x.val n) hz
state_before: R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
n : ℕ
⊢ g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
state_after: no goals

tactic: refine fun n ↦ SModEq.symm ?_
state_before: case intro.refine_1
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
⊢ ∀ (n : ℕ), (fun n => ↑(a n)) n ≡ (fun n => ↑(a n)) (n + 1) [SMOD I ^ n • ⊤]
state_after: case intro.refine_1
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
⊢ (fun n => ↑(a n)) (n + 1) ≡ (fun n => ↑(a n)) n [SMOD I ^ n • ⊤]

tactic: simp [a, mapExactAux, SModEq]
state_before: case intro.refine_1
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
⊢ (fun n => ↑(a n)) (n + 1) ≡ (fun n => ↑(a n)) n [SMOD I ^ n • ⊤]
state_after: no goals

tactic: ext n
state_before: case intro.refine_2
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
⊢ (map I f) ((mk I M) (AdicCauchySequence.mk I M (fun n => ↑(a n)) ⋯)) = (mk I N) b
state_after: case intro.refine_2.h
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
⊢ ↑((map I f) ((mk I M) (AdicCauchySequence.mk I M (fun n => ↑(a n)) ⋯))) n = ↑((mk I N) b) n

tactic: suffices h : Submodule.Quotient.mk (p := (I ^ n • ⊤ : Submodule R N)) (f (a n)) =
      Submodule.Quotient.mk (p := (I ^ n • ⊤ : Submodule R N)) (b (k + n)) by
  simp [h, AdicCauchySequence.mk_eq_mk (show n ≤ k + n by omega)]
state_before: case intro.refine_2.h
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
⊢ ↑((map I f) ((mk I M) (AdicCauchySequence.mk I M (fun n => ↑(a n)) ⋯))) n = ↑((mk I N) b) n
state_after: case intro.refine_2.h
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
⊢ Submodule.Quotient.mk (f ↑(a n)) = Submodule.Quotient.mk (↑b (k + n))

tactic: rw [Submodule.Quotient.eq]
state_before: case intro.refine_2.h
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
⊢ Submodule.Quotient.mk (f ↑(a n)) = Submodule.Quotient.mk (↑b (k + n))
state_after: case intro.refine_2.h
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
⊢ f ↑(a n) - ↑b (k + n) ∈ I ^ n • ⊤

tactic: have hle : (I ^ (k + n) • ⊤ : Submodule R N) ≤ (I ^ n • ⊤ : Submodule R N) :=
  Submodule.smul_mono_left (Ideal.pow_le_pow_right (by omega))
state_before: case intro.refine_2.h
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
⊢ f ↑(a n) - ↑b (k + n) ∈ I ^ n • ⊤
state_after: case intro.refine_2.h
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
hle : I ^ (k + n) • ⊤ ≤ I ^ n • ⊤
⊢ f ↑(a n) - ↑b (k + n) ∈ I ^ n • ⊤

tactic: exact hle (a n).property
state_before: case intro.refine_2.h
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
hle : I ^ (k + n) • ⊤ ≤ I ^ n • ⊤
⊢ f ↑(a n) - ↑b (k + n) ∈ I ^ n • ⊤
state_after: no goals

tactic: simp [h, AdicCauchySequence.mk_eq_mk (show n ≤ k + n by omega)]
state_before: R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
h : Submodule.Quotient.mk (f ↑(a n)) = Submodule.Quotient.mk (↑b (k + n))
⊢ ↑((map I f) ((mk I M) (AdicCauchySequence.mk I M (fun n => ↑(a n)) ⋯))) n = ↑((mk I N) b) n
state_after: no goals

tactic: omega
state_before: R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
h : Submodule.Quotient.mk (f ↑(a n)) = Submodule.Quotient.mk (↑b (k + n))
⊢ n ≤ k + n
state_after: no goals

tactic: omega
state_before: R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
⊢ n ≤ k + n
state_after: no goals