Theorem: CategoryTheory.Functor.isLeftKanExtension_iff_isIso
File: Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Basic.lean

tactic: constructor
state_before: C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
H' : Type u_4
D : Type u_5
D' : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.53585, u_2} C'
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_3} H
inst✝⁴ : Category.{?u.53593, u_4} H'
inst✝³ : Category.{u_7, u_5} D
inst✝² : Category.{?u.53601, u_6} D'
F'✝ : D ⥤ H
L✝ : C ⥤ D
F✝ : C ⥤ H
α✝ : F✝ ⟶ L✝ ⋙ F'✝
inst✝¹ : F'✝.IsLeftKanExtension α✝
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
⊢ F''.IsLeftKanExtension α' ↔ IsIso φ
state_after: case mp
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
H' : Type u_4
D : Type u_5
D' : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.53585, u_2} C'
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_3} H
inst✝⁴ : Category.{?u.53593, u_4} H'
inst✝³ : Category.{u_7, u_5} D
inst✝² : Category.{?u.53601, u_6} D'
F'✝ : D ⥤ H
L✝ : C ⥤ D
F✝ : C ⥤ H
α✝ : F✝ ⟶ L✝ ⋙ F'✝
inst✝¹ : F'✝.IsLeftKanExtension α✝
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
⊢ F''.IsLeftKanExtension α' → IsIso φ

case mpr
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
H' : Type u_4
D : Type u_5
D' : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.53585, u_2} C'
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_3} H
inst✝⁴ : Category.{?u.53593, u_4} H'
inst✝³ : Category.{u_7, u_5} D
inst✝² : Category.{?u.53601, u_6} D'
F'✝ : D ⥤ H
L✝ : C ⥤ D
F✝ : C ⥤ H
α✝ : F✝ ⟶ L✝ ⋙ F'✝
inst✝¹ : F'✝.IsLeftKanExtension α✝
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
⊢ IsIso φ → F''.IsLeftKanExtension α'

tactic: intro
state_before: case mp
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
H' : Type u_4
D : Type u_5
D' : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.53585, u_2} C'
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_3} H
inst✝⁴ : Category.{?u.53593, u_4} H'
inst✝³ : Category.{u_7, u_5} D
inst✝² : Category.{?u.53601, u_6} D'
F'✝ : D ⥤ H
L✝ : C ⥤ D
F✝ : C ⥤ H
α✝ : F✝ ⟶ L✝ ⋙ F'✝
inst✝¹ : F'✝.IsLeftKanExtension α✝
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
⊢ F''.IsLeftKanExtension α' → IsIso φ
state_after: case mp
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
H' : Type u_4
D : Type u_5
D' : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.53585, u_2} C'
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_3} H
inst✝⁴ : Category.{?u.53593, u_4} H'
inst✝³ : Category.{u_7, u_5} D
inst✝² : Category.{?u.53601, u_6} D'
F'✝ : D ⥤ H
L✝ : C ⥤ D
F✝ : C ⥤ H
α✝ : F✝ ⟶ L✝ ⋙ F'✝
inst✝¹ : F'✝.IsLeftKanExtension α✝
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
a✝ : F''.IsLeftKanExtension α'
⊢ IsIso φ

tactic: rw [F'.hom_ext_of_isLeftKanExtension α φ (leftKanExtensionUnique _ α _ α').hom
  (by simp [comm])]
state_before: case mp
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
H' : Type u_4
D : Type u_5
D' : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.53585, u_2} C'
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_3} H
inst✝⁴ : Category.{?u.53593, u_4} H'
inst✝³ : Category.{u_7, u_5} D
inst✝² : Category.{?u.53601, u_6} D'
F'✝ : D ⥤ H
L✝ : C ⥤ D
F✝ : C ⥤ H
α✝ : F✝ ⟶ L✝ ⋙ F'✝
inst✝¹ : F'✝.IsLeftKanExtension α✝
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
a✝ : F''.IsLeftKanExtension α'
⊢ IsIso φ
state_after: case mp
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
H' : Type u_4
D : Type u_5
D' : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.53585, u_2} C'
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_3} H
inst✝⁴ : Category.{?u.53593, u_4} H'
inst✝³ : Category.{u_7, u_5} D
inst✝² : Category.{?u.53601, u_6} D'
F'✝ : D ⥤ H
L✝ : C ⥤ D
F✝ : C ⥤ H
α✝ : F✝ ⟶ L✝ ⋙ F'✝
inst✝¹ : F'✝.IsLeftKanExtension α✝
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
a✝ : F''.IsLeftKanExtension α'
⊢ IsIso (F'.leftKanExtensionUnique α F'' α').hom

tactic: infer_instance
state_before: case mp
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
H' : Type u_4
D : Type u_5
D' : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.53585, u_2} C'
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_3} H
inst✝⁴ : Category.{?u.53593, u_4} H'
inst✝³ : Category.{u_7, u_5} D
inst✝² : Category.{?u.53601, u_6} D'
F'✝ : D ⥤ H
L✝ : C ⥤ D
F✝ : C ⥤ H
α✝ : F✝ ⟶ L✝ ⋙ F'✝
inst✝¹ : F'✝.IsLeftKanExtension α✝
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
a✝ : F''.IsLeftKanExtension α'
⊢ IsIso (F'.leftKanExtensionUnique α F'' α').hom
state_after: no goals

tactic: simp [comm]
state_before: C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
H' : Type u_4
D : Type u_5
D' : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.53585, u_2} C'
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_3} H
inst✝⁴ : Category.{?u.53593, u_4} H'
inst✝³ : Category.{u_7, u_5} D
inst✝² : Category.{?u.53601, u_6} D'
F'✝ : D ⥤ H
L✝ : C ⥤ D
F✝ : C ⥤ H
α✝ : F✝ ⟶ L✝ ⋙ F'✝
inst✝¹ : F'✝.IsLeftKanExtension α✝
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
a✝ : F''.IsLeftKanExtension α'
⊢ α ≫ whiskerLeft L φ = α ≫ whiskerLeft L (F'.leftKanExtensionUnique α F'' α').hom
state_after: no goals

tactic: intro
state_before: case mpr
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
H' : Type u_4
D : Type u_5
D' : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.53585, u_2} C'
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_3} H
inst✝⁴ : Category.{?u.53593, u_4} H'
inst✝³ : Category.{u_7, u_5} D
inst✝² : Category.{?u.53601, u_6} D'
F'✝ : D ⥤ H
L✝ : C ⥤ D
F✝ : C ⥤ H
α✝ : F✝ ⟶ L✝ ⋙ F'✝
inst✝¹ : F'✝.IsLeftKanExtension α✝
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
⊢ IsIso φ → F''.IsLeftKanExtension α'
state_after: case mpr
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
H' : Type u_4
D : Type u_5
D' : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.53585, u_2} C'
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_3} H
inst✝⁴ : Category.{?u.53593, u_4} H'
inst✝³ : Category.{u_7, u_5} D
inst✝² : Category.{?u.53601, u_6} D'
F'✝ : D ⥤ H
L✝ : C ⥤ D
F✝ : C ⥤ H
α✝ : F✝ ⟶ L✝ ⋙ F'✝
inst✝¹ : F'✝.IsLeftKanExtension α✝
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
a✝ : IsIso φ
⊢ F''.IsLeftKanExtension α'

tactic: exact isLeftKanExtension_of_iso (asIso φ) α α' comm
state_before: case mpr
C : Type u_1
C' : Type u_2
H : Type u_3
H' : Type u_4
D : Type u_5
D' : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.53585, u_2} C'
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_3} H
inst✝⁴ : Category.{?u.53593, u_4} H'
inst✝³ : Category.{u_7, u_5} D
inst✝² : Category.{?u.53601, u_6} D'
F'✝ : D ⥤ H
L✝ : C ⥤ D
F✝ : C ⥤ H
α✝ : F✝ ⟶ L✝ ⋙ F'✝
inst✝¹ : F'✝.IsLeftKanExtension α✝
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
a✝ : IsIso φ
⊢ F''.IsLeftKanExtension α'
state_after: no goals