1337xyz1337xyz/leandojo-benchmark4-v10 huggingface dataset:
Theorem: IsLocalizedModule.mk'_cancel_left
File: Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean

tactic: delta mk'
state_before: R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ mk' f (s₁ • m) (s₁ * s₂) = mk' f m s₂
state_after: R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (s₁ • m) (s₁ * s₂)) =
    (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m s₂)

tactic: rw [LocalizedModule.mk_cancel_common_left]
state_before: R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (s₁ • m) (s₁ * s₂)) =
    (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m s₂)
state_after: no goals
Theorem: FreeSemigroup.hom_ext
File: Mathlib/Algebra/Free.lean

tactic: simp only [map_mul, *]
state_before: α : Type u
β : Type v
inst✝ : Mul β
f g : FreeSemigroup α →ₙ* β
h : ⇑f ∘ of = ⇑g ∘ of
x✝ : FreeSemigroup α
x : α
y : FreeSemigroup α
hx : f (of x) = g (of x)
hy : f y = g y
⊢ f (of x * y) = g (of x * y)
state_after: no goals
Theorem: Fin.card_fintypeIoi
File: Mathlib/Order/Interval/Finset/Fin.lean

tactic: rw [Fintype.card_ofFinset, card_Ioi]
state_before: n : ℕ
a b : Fin n
⊢ Fintype.card ↑(Set.Ioi a) = n - 1 - ↑a
state_after: no goals
Theorem: zero_le_padicValRat_of_nat
File: Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean

tactic: simp
state_before: p n : ℕ
⊢ 0 ≤ padicValRat p ↑n
state_after: no goals
Theorem: totallyDisconnectedSpace_subtype_iff
File: Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean

tactic: rw [← embedding_subtype_val.isTotallyDisconnected_range, Subtype.range_val]
state_before: α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
⊢ TotallyDisconnectedSpace ↑s ↔ IsTotallyDisconnected s
state_after: no goals
Theorem: MeasureTheory.SimpleFunc.integral_const
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean

tactic: classical
calc
  (const α y).integral μ = ∑ z ∈ {y}, (μ (const α y ⁻¹' {z})).toReal • z :=
    integral_eq_sum_of_subset <| (filter_subset _ _).trans (range_const_subset _ _)
  _ = (μ univ).toReal • y := by simp [Set.preimage]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
y : F
⊢ integral μ (const α y) = (μ Set.univ).toReal • y
state_after: no goals

tactic: calc
  (const α y).integral μ = ∑ z ∈ {y}, (μ (const α y ⁻¹' {z})).toReal • z :=
    integral_eq_sum_of_subset <| (filter_subset _ _).trans (range_const_subset _ _)
  _ = (μ univ).toReal • y := by simp [Set.preimage]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
y : F
⊢ integral μ (const α y) = (μ Set.univ).toReal • y
state_after: no goals

tactic: simp [Set.preimage]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
y : F
⊢ ∑ z ∈ {y}, (μ (↑(const α y) ⁻¹' {z})).toReal • z = (μ Set.univ).toReal • y
state_after: no goals
Theorem: FirstOrder.Language.LHom.id_comp
File: Mathlib/ModelTheory/LanguageMap.lean

tactic: cases F
state_before: L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
ϕ : L →ᴸ L'
L'' : Language
F : L →ᴸ L'
⊢ LHom.id L' ∘ᴸ F = F
state_after: case mk
L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
ϕ : L →ᴸ L'
L'' : Language
onFunction✝ : ⦃n : ℕ⦄ → L.Functions n → L'.Functions n
onRelation✝ : ⦃n : ℕ⦄ → L.Relations n → L'.Relations n
⊢ LHom.id L' ∘ᴸ { onFunction := onFunction✝, onRelation := onRelation✝ } =
    { onFunction := onFunction✝, onRelation := onRelation✝ }

tactic: rfl
state_before: case mk
L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
ϕ : L →ᴸ L'
L'' : Language
onFunction✝ : ⦃n : ℕ⦄ → L.Functions n → L'.Functions n
onRelation✝ : ⦃n : ℕ⦄ → L.Relations n → L'.Relations n
⊢ LHom.id L' ∘ᴸ { onFunction := onFunction✝, onRelation := onRelation✝ } =
    { onFunction := onFunction✝, onRelation := onRelation✝ }
state_after: no goals
Theorem: LieAlgebra.IsKilling.lie_eq_killingForm_smul_of_mem_rootSpace_of_mem_rootSpace_neg
File: Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean

tactic: apply lie_eq_killingForm_smul_of_mem_rootSpace_of_mem_rootSpace_neg_aux heα hfα
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
α : Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
⊢ ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))
state_after: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
α : Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
⊢ ∀ (h : ↥H), ⁅h, e⁆ = α h • e

tactic: exact lie_eq_smul_of_mem_rootSpace heα
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
α : Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
⊢ ∀ (h : ↥H), ⁅h, e⁆ = α h • e
state_after: no goals
Theorem: Finsupp.filter_eq_sum
File: Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean

tactic: rw [filter_apply_pos _ _ (mem_filter.1 hx).2]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
p✝ p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α →₀ M
x : α
hx : x ∈ Finset.filter p f.support
⊢ single x ((filter p f) x) = single x (f x)
state_after: no goals
Theorem: Cardinal.ofENat_eq_nat
File: Mathlib/SetTheory/Cardinal/ENat.lean

tactic: norm_cast
state_before: m : ℕ∞
n : ℕ
⊢ ↑m = ↑n ↔ m = ↑n
state_after: no goals
Theorem: Ideal.span_singleton_mul_le_iff
File: Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean

tactic: simp only [mul_le, mem_span_singleton_mul, mem_span_singleton]
state_before: R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R
⊢ span {x} * I ≤ J ↔ ∀ z ∈ I, x * z ∈ J
state_after: R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R
⊢ (∀ (r : R), x ∣ r → ∀ s ∈ I, r * s ∈ J) ↔ ∀ z ∈ I, x * z ∈ J

tactic: constructor
state_before: R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R
⊢ (∀ (r : R), x ∣ r → ∀ s ∈ I, r * s ∈ J) ↔ ∀ z ∈ I, x * z ∈ J
state_after: case mp
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R
⊢ (∀ (r : R), x ∣ r → ∀ s ∈ I, r * s ∈ J) → ∀ z ∈ I, x * z ∈ J

case mpr
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R
⊢ (∀ z ∈ I, x * z ∈ J) → ∀ (r : R), x ∣ r → ∀ s ∈ I, r * s ∈ J

tactic: intro h zI hzI
state_before: case mp
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R
⊢ (∀ (r : R), x ∣ r → ∀ s ∈ I, r * s ∈ J) → ∀ z ∈ I, x * z ∈ J
state_after: case mp
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R
h : ∀ (r : R), x ∣ r → ∀ s ∈ I, r * s ∈ J
zI : R
hzI : zI ∈ I
⊢ x * zI ∈ J

tactic: exact h x (dvd_refl x) zI hzI
state_before: case mp
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R
h : ∀ (r : R), x ∣ r → ∀ s ∈ I, r * s ∈ J
zI : R
hzI : zI ∈ I
⊢ x * zI ∈ J
state_after: no goals

tactic: rintro h _ ⟨z, rfl⟩ zI hzI
state_before: case mpr
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R
⊢ (∀ z ∈ I, x * z ∈ J) → ∀ (r : R), x ∣ r → ∀ s ∈ I, r * s ∈ J
state_after: case mpr.intro
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R
h : ∀ z ∈ I, x * z ∈ J
z zI : R
hzI : zI ∈ I
⊢ x * z * zI ∈ J

tactic: rw [mul_comm x z, mul_assoc]
state_before: case mpr.intro
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R
h : ∀ z ∈ I, x * z ∈ J
z zI : R
hzI : zI ∈ I
⊢ x * z * zI ∈ J
state_after: case mpr.intro
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R
h : ∀ z ∈ I, x * z ∈ J
z zI : R
hzI : zI ∈ I
⊢ z * (x * zI) ∈ J

tactic: exact J.mul_mem_left _ (h zI hzI)
state_before: case mpr.intro
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R
h : ∀ z ∈ I, x * z ∈ J
z zI : R
hzI : zI ∈ I
⊢ z * (x * zI) ∈ J
state_after: no goals
Theorem: DihedralGroup.orderOf_r
File: Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Dihedral.lean

tactic: conv_lhs => rw [← ZMod.natCast_zmod_val i]
state_before: n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod n
⊢ orderOf (r i) = n / n.gcd i.val
state_after: n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod n
⊢ orderOf (r ↑i.val) = n / n.gcd i.val

tactic: rw [← r_one_pow, orderOf_pow, orderOf_r_one]
state_before: n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod n
⊢ orderOf (r ↑i.val) = n / n.gcd i.val
state_after: no goals
Theorem: HNNExtension.NormalWord.t_smul_eq_unitsSMul
File: Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean

tactic: simp [instHSMul, SMul.smul, MulAction.toEndHom]
state_before: G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
w : NormalWord d
⊢ t • w = unitsSMul φ 1 w
state_after: no goals
Theorem: Nat.xgcdAux_val
File: Mathlib/Data/Int/GCD.lean

tactic: rw [xgcd, ← xgcdAux_fst x y 1 0 0 1]
state_before: x y : ℕ
⊢ x.xgcdAux 1 0 y 0 1 = (x.gcd y, x.xgcd y)
state_after: no goals
Theorem: CategoryTheory.BraidedCategory.braiding_tensor_left
File: Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean

tactic: apply (cancel_epi (α_ X Y Z).inv).1
state_before: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ (β_ (X ⊗ Y) Z).hom = (α_ X Y Z).hom ≫ X ◁ (β_ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ≫ (α_ Z X Y).hom
state_after: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ (α_ X Y Z).inv ≫ (β_ (X ⊗ Y) Z).hom =
    (α_ X Y Z).inv ≫ (α_ X Y Z).hom ≫ X ◁ (β_ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ≫ (α_ Z X Y).hom

tactic: apply (cancel_mono (α_ Z X Y).inv).1
state_before: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ (α_ X Y Z).inv ≫ (β_ (X ⊗ Y) Z).hom =
    (α_ X Y Z).inv ≫ (α_ X Y Z).hom ≫ X ◁ (β_ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ≫ (α_ Z X Y).hom
state_after: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ ((α_ X Y Z).inv ≫ (β_ (X ⊗ Y) Z).hom) ≫ (α_ Z X Y).inv =
    ((α_ X Y Z).inv ≫ (α_ X Y Z).hom ≫ X ◁ (β_ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ≫ (α_ Z X Y).hom) ≫
      (α_ Z X Y).inv

tactic: simp [hexagon_reverse]
state_before: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ ((α_ X Y Z).inv ≫ (β_ (X ⊗ Y) Z).hom) ≫ (α_ Z X Y).inv =
    ((α_ X Y Z).inv ≫ (α_ X Y Z).hom ≫ X ◁ (β_ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ≫ (α_ Z X Y).hom) ≫
      (α_ Z X Y).inv
state_after: no goals
Theorem: Set.Definable.inter
File: Mathlib/ModelTheory/Definability.lean

tactic: rcases hf with ⟨φ, rfl⟩
state_before: M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s f g : Set (α → M)
hf : A.Definable L f
hg : A.Definable L g
⊢ A.Definable L (f ∩ g)
state_after: case intro
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s g : Set (α → M)
hg : A.Definable L g
φ : L[[↑A]].Formula α
⊢ A.Definable L (setOf φ.Realize ∩ g)

tactic: rcases hg with ⟨θ, rfl⟩
state_before: case intro
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s g : Set (α → M)
hg : A.Definable L g
φ : L[[↑A]].Formula α
⊢ A.Definable L (setOf φ.Realize ∩ g)
state_after: case intro.intro
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
φ θ : L[[↑A]].Formula α
⊢ A.Definable L (setOf φ.Realize ∩ setOf θ.Realize)

tactic: refine ⟨φ ⊓ θ, ?_⟩
state_before: case intro.intro
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
φ θ : L[[↑A]].Formula α
⊢ A.Definable L (setOf φ.Realize ∩ setOf θ.Realize)
state_after: case intro.intro
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
φ θ : L[[↑A]].Formula α
⊢ setOf φ.Realize ∩ setOf θ.Realize = setOf (φ ⊓ θ).Realize

tactic: ext
state_before: case intro.intro
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
φ θ : L[[↑A]].Formula α
⊢ setOf φ.Realize ∩ setOf θ.Realize = setOf (φ ⊓ θ).Realize
state_after: case intro.intro.h
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
φ θ : L[[↑A]].Formula α
x✝ : α → M
⊢ x✝ ∈ setOf φ.Realize ∩ setOf θ.Realize ↔ x✝ ∈ setOf (φ ⊓ θ).Realize

tactic: simp
state_before: case intro.intro.h
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
φ θ : L[[↑A]].Formula α
x✝ : α → M
⊢ x✝ ∈ setOf φ.Realize ∩ setOf θ.Realize ↔ x✝ ∈ setOf (φ ⊓ θ).Realize
state_after: no goals
Theorem: MeasureTheory.Integrable.integral_norm_condKernel
File: Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean

tactic: have hf_ae : AEStronglyMeasurable f ρ := hf_int.1
state_before: α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf_int : Integrable f ρ
⊢ Integrable (fun x => ∫ (y : Ω), ‖f (x, y)‖ ∂ρ.condKernel x) ρ.fst
state_after: α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf_int : Integrable f ρ
hf_ae : AEStronglyMeasurable f ρ
⊢ Integrable (fun x => ∫ (y : Ω), ‖f (x, y)‖ ∂ρ.condKernel x) ρ.fst

tactic: rw [← hf_ae.ae_integrable_condKernel_iff] at hf_int
state_before: α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf_int : Integrable f ρ
hf_ae : AEStronglyMeasurable f ρ
⊢ Integrable (fun x => ∫ (y : Ω), ‖f (x, y)‖ ∂ρ.condKernel x) ρ.fst
state_after: α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf_int :
  (∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, Integrable (fun ω => f (a, ω)) (ρ.condKernel a)) ∧
    Integrable (fun a => ∫ (ω : Ω), ‖f (a, ω)‖ ∂ρ.condKernel a) ρ.fst
hf_ae : AEStronglyMeasurable f ρ
⊢ Integrable (fun x => ∫ (y : Ω), ‖f (x, y)‖ ∂ρ.condKernel x) ρ.fst

tactic: exact hf_int.2
state_before: α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf_int :
  (∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, Integrable (fun ω => f (a, ω)) (ρ.condKernel a)) ∧
    Integrable (fun a => ∫ (ω : Ω), ‖f (a, ω)‖ ∂ρ.condKernel a) ρ.fst
hf_ae : AEStronglyMeasurable f ρ
⊢ Integrable (fun x => ∫ (y : Ω), ‖f (x, y)‖ ∂ρ.condKernel x) ρ.fst
state_after: no goals
Theorem: Nat.mul_self_lt_mul_self_iff
File: Mathlib/Data/Nat/Defs.lean

tactic: simp only [← Nat.not_le, mul_self_le_mul_self_iff]
state_before: a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ m * m < n * n ↔ m < n
state_after: no goals
Theorem: IsLocalDiffeomorph.isLocalHomeomorph
File: Mathlib/Geometry/Manifold/LocalDiffeomorph.lean

tactic: rw [isLocalHomeomorph_iff_isLocalHomeomorphOn_univ]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s : Set M
x : M
hf : IsLocalDiffeomorph I J n f
⊢ IsLocalHomeomorph f
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s : Set M
x : M
hf : IsLocalDiffeomorph I J n f
⊢ IsLocalHomeomorphOn f univ

tactic: rw [isLocalDiffeomorph_iff_isLocalDiffeomorphOn_univ] at hf
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s : Set M
x : M
hf : IsLocalDiffeomorph I J n f
⊢ IsLocalHomeomorphOn f univ
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s : Set M
x : M
hf : IsLocalDiffeomorphOn I J n f univ
⊢ IsLocalHomeomorphOn f univ

tactic: exact hf.isLocalHomeomorphOn
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s : Set M
x : M
hf : IsLocalDiffeomorphOn I J n f univ
⊢ IsLocalHomeomorphOn f univ
state_after: no goals
Theorem: LinearIsometry.angle_map
File: Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean

tactic: rw [angle, angle, f.inner_map_map, f.norm_map, f.norm_map]
state_before: V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
f : E →ₗᵢ[ℝ] F
u v : E
⊢ angle (f u) (f v) = angle u v
state_after: no goals
Theorem: CategoryTheory.ShiftedHom.comp_mk₀_id
File: Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftedHom.lean

tactic: rw [hm₀, zero_add]
state_before: C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.23706, u_1} C
M : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : HasShift C M
X Y Z T : C
a : M
f : ShiftedHom X Y a
m₀ : M
hm₀ : m₀ = 0
⊢ m₀ + a = a
state_after: no goals

tactic: simp [comp_mk₀]
state_before: C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
M : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : HasShift C M
X Y Z T : C
a : M
f : ShiftedHom X Y a
m₀ : M
hm₀ : m₀ = 0
⊢ f.comp (mk₀ m₀ hm₀ (𝟙 Y)) ⋯ = f
state_after: no goals
Theorem: Finset.image₂_eq_empty_iff
File: Mathlib/Data/Finset/NAry.lean

tactic: simp_rw [← not_nonempty_iff_eq_empty, image₂_nonempty_iff, not_and_or]
state_before: α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
⊢ image₂ f s t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
state_after: no goals
Theorem: Finset.Iio_filter_lt
File: Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean

tactic: ext
state_before: ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α✝
inst✝² : LocallyFiniteOrder α✝
a✝ b✝ : α✝
α : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a b : α
⊢ filter (fun x => x < b) (Iio a) = Iio (min a b)
state_after: case a
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α✝
inst✝² : LocallyFiniteOrder α✝
a✝¹ b✝ : α✝
α : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a b a✝ : α
⊢ a✝ ∈ filter (fun x => x < b) (Iio a) ↔ a✝ ∈ Iio (min a b)

tactic: simp [and_assoc]
state_before: case a
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α✝
inst✝² : LocallyFiniteOrder α✝
a✝¹ b✝ : α✝
α : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a b a✝ : α
⊢ a✝ ∈ filter (fun x => x < b) (Iio a) ↔ a✝ ∈ Iio (min a b)
state_after: no goals