Theorem: intervalIntegral.integral_le_sub_of_hasDeriv_right_of_le
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean

tactic: rw [← neg_le_neg_iff]
state_before: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, φ x ≤ g' x
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, φ y ≤ g b - g a
state_after: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, φ x ≤ g' x
⊢ -(g b - g a) ≤ -∫ (y : ℝ) in a..b, φ y

tactic: convert sub_le_integral_of_hasDeriv_right_of_le hab hcont.neg (fun x hx => (hderiv x hx).neg)
  φint.neg fun x hx => neg_le_neg (hφg x hx) using 1
state_before: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, φ x ≤ g' x
⊢ -(g b - g a) ≤ -∫ (y : ℝ) in a..b, φ y
state_after: case h.e'_3
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, φ x ≤ g' x
⊢ -(g b - g a) = -g b - -g a

case h.e'_4
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, φ x ≤ g' x
⊢ -∫ (y : ℝ) in a..b, φ y = ∫ (y : ℝ) in a..b, (-φ) y

tactic: abel
state_before: case h.e'_3
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, φ x ≤ g' x
⊢ -(g b - g a) = -g b - -g a
state_after: no goals

tactic: simp only [← integral_neg]
state_before: case h.e'_4
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, φ x ≤ g' x
⊢ -∫ (y : ℝ) in a..b, φ y = ∫ (y : ℝ) in a..b, (-φ) y
state_after: case h.e'_4
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, φ x ≤ g' x
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, -φ x = ∫ (y : ℝ) in a..b, (-φ) y

tactic: rfl
state_before: case h.e'_4
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, φ x ≤ g' x
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, -φ x = ∫ (y : ℝ) in a..b, (-φ) y
state_after: no goals