Theorem: ContinuousMap.exists_tendsto_compactOpen_iff_forall
File: Mathlib/Topology/CompactOpen.lean

tactic: constructor
state_before: α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
⊢ (∃ f, Tendsto F l (𝓝 f)) ↔ ∀ (s : Set X), IsCompact s → ∃ f, Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 f)
state_after: case mp
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
⊢ (∃ f, Tendsto F l (𝓝 f)) → ∀ (s : Set X), IsCompact s → ∃ f, Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 f)

case mpr
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
⊢ (∀ (s : Set X), IsCompact s → ∃ f, Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 f)) → ∃ f, Tendsto F l (𝓝 f)

tactic: rintro ⟨f, hf⟩ s _
state_before: case mp
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
⊢ (∃ f, Tendsto F l (𝓝 f)) → ∀ (s : Set X), IsCompact s → ∃ f, Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 f)
state_after: case mp.intro
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : C(X, Y)
hf : Tendsto F l (𝓝 f)
s : Set X
a✝ : IsCompact s
⊢ ∃ f, Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 f)

tactic: exact ⟨f.restrict s, tendsto_compactOpen_restrict hf s⟩
state_before: case mp.intro
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : C(X, Y)
hf : Tendsto F l (𝓝 f)
s : Set X
a✝ : IsCompact s
⊢ ∃ f, Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 f)
state_after: no goals

tactic: intro h
state_before: case mpr
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
⊢ (∀ (s : Set X), IsCompact s → ∃ f, Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 f)) → ∃ f, Tendsto F l (𝓝 f)
state_after: case mpr
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
h : ∀ (s : Set X), IsCompact s → ∃ f, Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 f)
⊢ ∃ f, Tendsto F l (𝓝 f)

tactic: choose f hf using h
state_before: case mpr
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
h : ∀ (s : Set X), IsCompact s → ∃ f, Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 f)
⊢ ∃ f, Tendsto F l (𝓝 f)
state_after: case mpr
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
⊢ ∃ f, Tendsto F l (𝓝 f)

tactic: have h :
  ∀ (s₁) (hs₁ : IsCompact s₁) (s₂) (hs₂ : IsCompact s₂) (x : X) (hxs₁ : x ∈ s₁) (hxs₂ : x ∈ s₂),
    f s₁ hs₁ ⟨x, hxs₁⟩ = f s₂ hs₂ ⟨x, hxs₂⟩ := by
  rintro s₁ hs₁ s₂ hs₂ x hxs₁ hxs₂
  haveI := isCompact_iff_compactSpace.mp hs₁
  haveI := isCompact_iff_compactSpace.mp hs₂
  have h₁ := (continuous_eval_const (⟨x, hxs₁⟩ : s₁)).continuousAt.tendsto.comp (hf s₁ hs₁)
  have h₂ := (continuous_eval_const (⟨x, hxs₂⟩ : s₂)).continuousAt.tendsto.comp (hf s₂ hs₂)
  exact tendsto_nhds_unique h₁ h₂
state_before: case mpr
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
⊢ ∃ f, Tendsto F l (𝓝 f)
state_after: case mpr
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
h :
  ∀ (s₁ : Set X) (hs₁ : IsCompact s₁) (s₂ : Set X) (hs₂ : IsCompact s₂) (x : X) (hxs₁ : x ∈ s₁) (hxs₂ : x ∈ s₂),
    (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩
⊢ ∃ f, Tendsto F l (𝓝 f)

tactic: refine ⟨liftCover' _ _ h exists_compact_mem_nhds, ?_⟩
state_before: case mpr
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
h :
  ∀ (s₁ : Set X) (hs₁ : IsCompact s₁) (s₂ : Set X) (hs₂ : IsCompact s₂) (x : X) (hxs₁ : x ∈ s₁) (hxs₂ : x ∈ s₂),
    (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩
⊢ ∃ f, Tendsto F l (𝓝 f)
state_after: case mpr
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
h :
  ∀ (s₁ : Set X) (hs₁ : IsCompact s₁) (s₂ : Set X) (hs₂ : IsCompact s₂) (x : X) (hxs₁ : x ∈ s₁) (hxs₂ : x ∈ s₂),
    (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩
⊢ Tendsto F l (𝓝 (liftCover' (fun s => ∀ ⦃f : Filter X⦄ [inst : f.NeBot], f ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ClusterPt x f) f h ⋯))

tactic: rw [tendsto_compactOpen_iff_forall]
state_before: case mpr
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
h :
  ∀ (s₁ : Set X) (hs₁ : IsCompact s₁) (s₂ : Set X) (hs₂ : IsCompact s₂) (x : X) (hxs₁ : x ∈ s₁) (hxs₂ : x ∈ s₂),
    (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩
⊢ Tendsto F l (𝓝 (liftCover' (fun s => ∀ ⦃f : Filter X⦄ [inst : f.NeBot], f ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ClusterPt x f) f h ⋯))
state_after: case mpr
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
h :
  ∀ (s₁ : Set X) (hs₁ : IsCompact s₁) (s₂ : Set X) (hs₂ : IsCompact s₂) (x : X) (hxs₁ : x ∈ s₁) (hxs₂ : x ∈ s₂),
    (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩
⊢ ∀ (K : Set X),
    IsCompact K →
      Tendsto (fun i => restrict K (F i)) l
        (𝓝
          (restrict K
            (liftCover' (fun s => ∀ ⦃f : Filter X⦄ [inst : f.NeBot], f ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ClusterPt x f) f h ⋯)))

tactic: intro s hs
state_before: case mpr
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
h :
  ∀ (s₁ : Set X) (hs₁ : IsCompact s₁) (s₂ : Set X) (hs₂ : IsCompact s₂) (x : X) (hxs₁ : x ∈ s₁) (hxs₂ : x ∈ s₂),
    (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩
⊢ ∀ (K : Set X),
    IsCompact K →
      Tendsto (fun i => restrict K (F i)) l
        (𝓝
          (restrict K
            (liftCover' (fun s => ∀ ⦃f : Filter X⦄ [inst : f.NeBot], f ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ClusterPt x f) f h ⋯)))
state_after: case mpr
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
h :
  ∀ (s₁ : Set X) (hs₁ : IsCompact s₁) (s₂ : Set X) (hs₂ : IsCompact s₂) (x : X) (hxs₁ : x ∈ s₁) (hxs₂ : x ∈ s₂),
    (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩
s : Set X
hs : IsCompact s
⊢ Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l
    (𝓝 (restrict s (liftCover' (fun s => ∀ ⦃f : Filter X⦄ [inst : f.NeBot], f ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ClusterPt x f) f h ⋯)))

tactic: rw [liftCover_restrict']
state_before: case mpr
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
h :
  ∀ (s₁ : Set X) (hs₁ : IsCompact s₁) (s₂ : Set X) (hs₂ : IsCompact s₂) (x : X) (hxs₁ : x ∈ s₁) (hxs₂ : x ∈ s₂),
    (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩
s : Set X
hs : IsCompact s
⊢ Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l
    (𝓝 (restrict s (liftCover' (fun s => ∀ ⦃f : Filter X⦄ [inst : f.NeBot], f ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ClusterPt x f) f h ⋯)))
state_after: case mpr
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
h :
  ∀ (s₁ : Set X) (hs₁ : IsCompact s₁) (s₂ : Set X) (hs₂ : IsCompact s₂) (x : X) (hxs₁ : x ∈ s₁) (hxs₂ : x ∈ s₂),
    (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩
s : Set X
hs : IsCompact s
⊢ Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s ?m.60826))

α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
h :
  ∀ (s₁ : Set X) (hs₁ : IsCompact s₁) (s₂ : Set X) (hs₂ : IsCompact s₂) (x : X) (hxs₁ : x ∈ s₁) (hxs₂ : x ∈ s₂),
    (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩
s : Set X
hs : IsCompact s
⊢ s ∈ fun s => ∀ ⦃f : Filter X⦄ [inst : f.NeBot], f ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ClusterPt x f

tactic: exact hf s hs
state_before: case mpr
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
h :
  ∀ (s₁ : Set X) (hs₁ : IsCompact s₁) (s₂ : Set X) (hs₂ : IsCompact s₂) (x : X) (hxs₁ : x ∈ s₁) (hxs₂ : x ∈ s₂),
    (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩
s : Set X
hs : IsCompact s
⊢ Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s ?m.60826))

α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
h :
  ∀ (s₁ : Set X) (hs₁ : IsCompact s₁) (s₂ : Set X) (hs₂ : IsCompact s₂) (x : X) (hxs₁ : x ∈ s₁) (hxs₂ : x ∈ s₂),
    (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩
s : Set X
hs : IsCompact s
⊢ s ∈ fun s => ∀ ⦃f : Filter X⦄ [inst : f.NeBot], f ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ClusterPt x f
state_after: no goals

tactic: rintro s₁ hs₁ s₂ hs₂ x hxs₁ hxs₂
state_before: α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
⊢ ∀ (s₁ : Set X) (hs₁ : IsCompact s₁) (s₂ : Set X) (hs₂ : IsCompact s₂) (x : X) (hxs₁ : x ∈ s₁) (hxs₂ : x ∈ s₂),
    (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩
state_after: α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
s₁ : Set X
hs₁ : IsCompact s₁
s₂ : Set X
hs₂ : IsCompact s₂
x : X
hxs₁ : x ∈ s₁
hxs₂ : x ∈ s₂
⊢ (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩

tactic: haveI := isCompact_iff_compactSpace.mp hs₁
state_before: α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
s₁ : Set X
hs₁ : IsCompact s₁
s₂ : Set X
hs₂ : IsCompact s₂
x : X
hxs₁ : x ∈ s₁
hxs₂ : x ∈ s₂
⊢ (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩
state_after: α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
s₁ : Set X
hs₁ : IsCompact s₁
s₂ : Set X
hs₂ : IsCompact s₂
x : X
hxs₁ : x ∈ s₁
hxs₂ : x ∈ s₂
this : CompactSpace ↑s₁
⊢ (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩

tactic: haveI := isCompact_iff_compactSpace.mp hs₂
state_before: α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
s₁ : Set X
hs₁ : IsCompact s₁
s₂ : Set X
hs₂ : IsCompact s₂
x : X
hxs₁ : x ∈ s₁
hxs₂ : x ∈ s₂
this : CompactSpace ↑s₁
⊢ (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩
state_after: α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
s₁ : Set X
hs₁ : IsCompact s₁
s₂ : Set X
hs₂ : IsCompact s₂
x : X
hxs₁ : x ∈ s₁
hxs₂ : x ∈ s₂
this✝ : CompactSpace ↑s₁
this : CompactSpace ↑s₂
⊢ (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩

tactic: have h₁ := (continuous_eval_const (⟨x, hxs₁⟩ : s₁)).continuousAt.tendsto.comp (hf s₁ hs₁)
state_before: α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
s₁ : Set X
hs₁ : IsCompact s₁
s₂ : Set X
hs₂ : IsCompact s₂
x : X
hxs₁ : x ∈ s₁
hxs₂ : x ∈ s₂
this✝ : CompactSpace ↑s₁
this : CompactSpace ↑s₂
⊢ (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩
state_after: α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
s₁ : Set X
hs₁ : IsCompact s₁
s₂ : Set X
hs₂ : IsCompact s₂
x : X
hxs₁ : x ∈ s₁
hxs₂ : x ∈ s₂
this✝ : CompactSpace ↑s₁
this : CompactSpace ↑s₂
h₁ : Tendsto ((fun f => f ⟨x, hxs₁⟩) ∘ fun i => restrict s₁ (F i)) l (𝓝 ((f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩))
⊢ (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩

tactic: have h₂ := (continuous_eval_const (⟨x, hxs₂⟩ : s₂)).continuousAt.tendsto.comp (hf s₂ hs₂)
state_before: α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
s₁ : Set X
hs₁ : IsCompact s₁
s₂ : Set X
hs₂ : IsCompact s₂
x : X
hxs₁ : x ∈ s₁
hxs₂ : x ∈ s₂
this✝ : CompactSpace ↑s₁
this : CompactSpace ↑s₂
h₁ : Tendsto ((fun f => f ⟨x, hxs₁⟩) ∘ fun i => restrict s₁ (F i)) l (𝓝 ((f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩))
⊢ (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩
state_after: α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
s₁ : Set X
hs₁ : IsCompact s₁
s₂ : Set X
hs₂ : IsCompact s₂
x : X
hxs₁ : x ∈ s₁
hxs₂ : x ∈ s₂
this✝ : CompactSpace ↑s₁
this : CompactSpace ↑s₂
h₁ : Tendsto ((fun f => f ⟨x, hxs₁⟩) ∘ fun i => restrict s₁ (F i)) l (𝓝 ((f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩))
h₂ : Tendsto ((fun f => f ⟨x, hxs₂⟩) ∘ fun i => restrict s₂ (F i)) l (𝓝 ((f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩))
⊢ (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩

tactic: exact tendsto_nhds_unique h₁ h₂
state_before: α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
inst✝³ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝² : WeaklyLocallyCompactSpace X
inst✝¹ : T2Space Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → C(X, Y)
f : (s : Set X) → IsCompact s → C(↑s, Y)
hf : ∀ (s : Set X) (a : IsCompact s), Tendsto (fun i => restrict s (F i)) l (𝓝 (f s a))
s₁ : Set X
hs₁ : IsCompact s₁
s₂ : Set X
hs₂ : IsCompact s₂
x : X
hxs₁ : x ∈ s₁
hxs₂ : x ∈ s₂
this✝ : CompactSpace ↑s₁
this : CompactSpace ↑s₂
h₁ : Tendsto ((fun f => f ⟨x, hxs₁⟩) ∘ fun i => restrict s₁ (F i)) l (𝓝 ((f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩))
h₂ : Tendsto ((fun f => f ⟨x, hxs₂⟩) ∘ fun i => restrict s₂ (F i)) l (𝓝 ((f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩))
⊢ (f s₁ hs₁) ⟨x, hxs₁⟩ = (f s₂ hs₂) ⟨x, hxs₂⟩
state_after: no goals