Theorem: Set.exists_eq_graphOn_image_fst
File: Mathlib/Data/Set/Function.lean

tactic: refine ⟨?_, fun h ↦ ?_⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
⊢ (∃ f, s = graphOn f (Prod.fst '' s)) ↔ InjOn Prod.fst s
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
⊢ (∃ f, s = graphOn f (Prod.fst '' s)) → InjOn Prod.fst s

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
h : InjOn Prod.fst s
⊢ ∃ f, s = graphOn f (Prod.fst '' s)

tactic: rintro ⟨f, hf⟩
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
⊢ (∃ f, s = graphOn f (Prod.fst '' s)) → InjOn Prod.fst s
state_after: case refine_1.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
f : α → β
hf : s = graphOn f (Prod.fst '' s)
⊢ InjOn Prod.fst s

tactic: rw [hf]
state_before: case refine_1.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
f : α → β
hf : s = graphOn f (Prod.fst '' s)
⊢ InjOn Prod.fst s
state_after: case refine_1.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
f : α → β
hf : s = graphOn f (Prod.fst '' s)
⊢ InjOn Prod.fst (graphOn f (Prod.fst '' s))

tactic: exact InjOn.image_of_comp <| injOn_id _
state_before: case refine_1.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
f : α → β
hf : s = graphOn f (Prod.fst '' s)
⊢ InjOn Prod.fst (graphOn f (Prod.fst '' s))
state_after: no goals

tactic: have : ∀ x ∈ Prod.fst '' s, ∃ y, (x, y) ∈ s := forall_mem_image.2 fun (x, y) h ↦ ⟨y, h⟩
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
h : InjOn Prod.fst s
⊢ ∃ f, s = graphOn f (Prod.fst '' s)
state_after: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
h : InjOn Prod.fst s
this : ∀ x ∈ Prod.fst '' s, ∃ y, (x, y) ∈ s
⊢ ∃ f, s = graphOn f (Prod.fst '' s)

tactic: choose! f hf using this
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
h : InjOn Prod.fst s
this : ∀ x ∈ Prod.fst '' s, ∃ y, (x, y) ∈ s
⊢ ∃ f, s = graphOn f (Prod.fst '' s)
state_after: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
h : InjOn Prod.fst s
f : α → β
hf : ∀ x ∈ Prod.fst '' s, (x, f x) ∈ s
⊢ ∃ f, s = graphOn f (Prod.fst '' s)

tactic: rw [forall_mem_image] at hf
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
h : InjOn Prod.fst s
f : α → β
hf : ∀ x ∈ Prod.fst '' s, (x, f x) ∈ s
⊢ ∃ f, s = graphOn f (Prod.fst '' s)
state_after: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
h : InjOn Prod.fst s
f : α → β
hf : ∀ ⦃x : α × β⦄, x ∈ s → (x.1, f x.1) ∈ s
⊢ ∃ f, s = graphOn f (Prod.fst '' s)

tactic: use f
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
h : InjOn Prod.fst s
f : α → β
hf : ∀ ⦃x : α × β⦄, x ∈ s → (x.1, f x.1) ∈ s
⊢ ∃ f, s = graphOn f (Prod.fst '' s)
state_after: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
h : InjOn Prod.fst s
f : α → β
hf : ∀ ⦃x : α × β⦄, x ∈ s → (x.1, f x.1) ∈ s
⊢ s = graphOn f (Prod.fst '' s)

tactic: rw [graphOn, image_image, EqOn.image_eq_self]
state_before: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
h : InjOn Prod.fst s
f : α → β
hf : ∀ ⦃x : α × β⦄, x ∈ s → (x.1, f x.1) ∈ s
⊢ s = graphOn f (Prod.fst '' s)
state_after: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
h : InjOn Prod.fst s
f : α → β
hf : ∀ ⦃x : α × β⦄, x ∈ s → (x.1, f x.1) ∈ s
⊢ EqOn (fun x => (x.1, f x.1)) id s

tactic: exact fun x hx ↦ h (hf hx) hx rfl
state_before: case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
h : InjOn Prod.fst s
f : α → β
hf : ∀ ⦃x : α × β⦄, x ∈ s → (x.1, f x.1) ∈ s
⊢ EqOn (fun x => (x.1, f x.1)) id s
state_after: no goals