Theorem: LieSubalgebra.exists_nested_lieIdeal_coe_eq_iff
File: Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean

tactic: simp only [exists_lieIdeal_coe_eq_iff, coe_bracket, mem_ofLe]
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
⊢ (∃ I, lieIdealSubalgebra R (↥K') I = ofLe h) ↔ ∀ (x y : L), x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K
state_after: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
⊢ (∀ (x y : ↥K'), ↑y ∈ K → ⁅↑x, ↑y⁆ ∈ K) ↔ ∀ (x y : L), x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K

tactic: constructor
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
⊢ (∀ (x y : ↥K'), ↑y ∈ K → ⁅↑x, ↑y⁆ ∈ K) ↔ ∀ (x y : L), x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K
state_after: case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
⊢ (∀ (x y : ↥K'), ↑y ∈ K → ⁅↑x, ↑y⁆ ∈ K) → ∀ (x y : L), x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K

case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
⊢ (∀ (x y : L), x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K) → ∀ (x y : ↥K'), ↑y ∈ K → ⁅↑x, ↑y⁆ ∈ K

tactic: intro h' x y hx hy
state_before: case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
⊢ (∀ (x y : ↥K'), ↑y ∈ K → ⁅↑x, ↑y⁆ ∈ K) → ∀ (x y : L), x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K
state_after: case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
h' : ∀ (x y : ↥K'), ↑y ∈ K → ⁅↑x, ↑y⁆ ∈ K
x y : L
hx : x ∈ K'
hy : y ∈ K
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ K

tactic: exact h' ⟨x, hx⟩ ⟨y, h hy⟩ hy
state_before: case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
h' : ∀ (x y : ↥K'), ↑y ∈ K → ⁅↑x, ↑y⁆ ∈ K
x y : L
hx : x ∈ K'
hy : y ∈ K
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ K
state_after: no goals

tactic: rintro h' ⟨x, hx⟩ ⟨y, hy⟩ hy'
state_before: case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
⊢ (∀ (x y : L), x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K) → ∀ (x y : ↥K'), ↑y ∈ K → ⁅↑x, ↑y⁆ ∈ K
state_after: case mpr.mk.mk
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
h' : ∀ (x y : L), x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K
x : L
hx : x ∈ K'
y : L
hy : y ∈ K'
hy' : ↑⟨y, hy⟩ ∈ K
⊢ ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑⟨y, hy⟩⁆ ∈ K

tactic: exact h' x y hx hy'
state_before: case mpr.mk.mk
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'
h' : ∀ (x y : L), x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K
x : L
hx : x ∈ K'
y : L
hy : y ∈ K'
hy' : ↑⟨y, hy⟩ ∈ K
⊢ ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑⟨y, hy⟩⁆ ∈ K
state_after: no goals