Theorem: mem_tangentCone_of_openSegment_subset
File: Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean

tactic: refine mem_tangentConeAt_of_pow_smul one_half_pos.ne' (by norm_num) ?_
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
⊢ y - x ∈ tangentConeAt ℝ s x
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + (1 / 2) ^ n • (y - x) ∈ s

tactic: refine (eventually_ne_atTop 0).mono fun n hn ↦ (h ?_)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + (1 / 2) ^ n • (y - x) ∈ s
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ x + (1 / 2) ^ n • (y - x) ∈ openSegment ℝ x y

tactic: rw [openSegment_eq_image]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ x + (1 / 2) ^ n • (y - x) ∈ openSegment ℝ x y
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ x + (1 / 2) ^ n • (y - x) ∈ (fun θ => (1 - θ) • x + θ • y) '' Ioo 0 1

tactic: refine ⟨(1 / 2) ^ n, ⟨?_, ?_⟩, ?_⟩
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ x + (1 / 2) ^ n • (y - x) ∈ (fun θ => (1 - θ) • x + θ • y) '' Ioo 0 1
state_after: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ 0 < (1 / 2) ^ n

case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (1 / 2) ^ n < 1

case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (fun θ => (1 - θ) • x + θ • y) ((1 / 2) ^ n) = x + (1 / 2) ^ n • (y - x)

tactic: norm_num
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
⊢ ‖1 / 2‖ < 1
state_after: no goals

tactic: exact pow_pos one_half_pos _
state_before: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ 0 < (1 / 2) ^ n
state_after: no goals

tactic: exact pow_lt_one one_half_pos.le one_half_lt_one hn
state_before: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (1 / 2) ^ n < 1
state_after: no goals

tactic: simp only [sub_smul, one_smul, smul_sub]
state_before: case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (fun θ => (1 - θ) • x + θ • y) ((1 / 2) ^ n) = x + (1 / 2) ^ n • (y - x)
state_after: case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ x - (1 / 2) ^ n • x + (1 / 2) ^ n • y = x + ((1 / 2) ^ n • y - (1 / 2) ^ n • x)

tactic: abel
state_before: case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ x - (1 / 2) ^ n • x + (1 / 2) ^ n • y = x + ((1 / 2) ^ n • y - (1 / 2) ^ n • x)
state_after: no goals