Theorem: Algebra.prod_embeddings_eq_finrank_pow
File: Mathlib/RingTheory/Norm.lean

tactic: haveI : FiniteDimensional L F := FiniteDimensional.right K L F
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
⊢ ∏ σ : F →ₐ[K] E, σ ((algebraMap L F) pb.gen) = (∏ σ : L →ₐ[K] E, σ pb.gen) ^ finrank L F
state_after: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this : FiniteDimensional L F
⊢ ∏ σ : F →ₐ[K] E, σ ((algebraMap L F) pb.gen) = (∏ σ : L →ₐ[K] E, σ pb.gen) ^ finrank L F

tactic: haveI : IsSeparable L F := isSeparable_tower_top_of_isSeparable K L F
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this : FiniteDimensional L F
⊢ ∏ σ : F →ₐ[K] E, σ ((algebraMap L F) pb.gen) = (∏ σ : L →ₐ[K] E, σ pb.gen) ^ finrank L F
state_after: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝ : FiniteDimensional L F
this : IsSeparable L F
⊢ ∏ σ : F →ₐ[K] E, σ ((algebraMap L F) pb.gen) = (∏ σ : L →ₐ[K] E, σ pb.gen) ^ finrank L F

tactic: letI : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝ : FiniteDimensional L F
this : IsSeparable L F
⊢ ∏ σ : F →ₐ[K] E, σ ((algebraMap L F) pb.gen) = (∏ σ : L →ₐ[K] E, σ pb.gen) ^ finrank L F
state_after: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝¹ : FiniteDimensional L F
this✝ : IsSeparable L F
this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
⊢ ∏ σ : F →ₐ[K] E, σ ((algebraMap L F) pb.gen) = (∏ σ : L →ₐ[K] E, σ pb.gen) ^ finrank L F

tactic: rw [Fintype.prod_equiv algHomEquivSigma (fun σ : F →ₐ[K] E => _) fun σ => σ.1 pb.gen,
  ← Finset.univ_sigma_univ, Finset.prod_sigma, ← Finset.prod_pow]
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝¹ : FiniteDimensional L F
this✝ : IsSeparable L F
this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
⊢ ∏ σ : F →ₐ[K] E, σ ((algebraMap L F) pb.gen) = (∏ σ : L →ₐ[K] E, σ pb.gen) ^ finrank L F
state_after: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝¹ : FiniteDimensional L F
this✝ : IsSeparable L F
this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
⊢ ∏ a : L →ₐ[K] E, ∏ s : F →ₐ[L] E, ⟨a, s⟩.fst pb.gen = ∏ x : L →ₐ[K] E, x pb.gen ^ finrank L F

R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝¹ : FiniteDimensional L F
this✝ : IsSeparable L F
this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
⊢ ∀ (x : F →ₐ[K] E), x ((algebraMap L F) pb.gen) = (algHomEquivSigma x).fst pb.gen

tactic: refine Finset.prod_congr rfl fun σ _ => ?_
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝¹ : FiniteDimensional L F
this✝ : IsSeparable L F
this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
⊢ ∏ a : L →ₐ[K] E, ∏ s : F →ₐ[L] E, ⟨a, s⟩.fst pb.gen = ∏ x : L →ₐ[K] E, x pb.gen ^ finrank L F
state_after: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝¹ : FiniteDimensional L F
this✝ : IsSeparable L F
this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
σ : L →ₐ[K] E
x✝ : σ ∈ Finset.univ
⊢ ∏ s : F →ₐ[L] E, ⟨σ, s⟩.fst pb.gen = σ pb.gen ^ finrank L F

tactic: letI : Algebra L E := σ.toRingHom.toAlgebra
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝¹ : FiniteDimensional L F
this✝ : IsSeparable L F
this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
σ : L →ₐ[K] E
x✝ : σ ∈ Finset.univ
⊢ ∏ s : F →ₐ[L] E, ⟨σ, s⟩.fst pb.gen = σ pb.gen ^ finrank L F
state_after: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝² : FiniteDimensional L F
this✝¹ : IsSeparable L F
this✝ : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
σ : L →ₐ[K] E
x✝ : σ ∈ Finset.univ
this : Algebra L E := σ.toAlgebra
⊢ ∏ s : F →ₐ[L] E, ⟨σ, s⟩.fst pb.gen = σ pb.gen ^ finrank L F

tactic: simp_rw [Finset.prod_const]
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝² : FiniteDimensional L F
this✝¹ : IsSeparable L F
this✝ : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
σ : L →ₐ[K] E
x✝ : σ ∈ Finset.univ
this : Algebra L E := σ.toAlgebra
⊢ ∏ s : F →ₐ[L] E, ⟨σ, s⟩.fst pb.gen = σ pb.gen ^ finrank L F
state_after: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝² : FiniteDimensional L F
this✝¹ : IsSeparable L F
this✝ : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
σ : L →ₐ[K] E
x✝ : σ ∈ Finset.univ
this : Algebra L E := σ.toAlgebra
⊢ σ pb.gen ^ Finset.univ.card = σ pb.gen ^ finrank L F

tactic: congr
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝² : FiniteDimensional L F
this✝¹ : IsSeparable L F
this✝ : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
σ : L →ₐ[K] E
x✝ : σ ∈ Finset.univ
this : Algebra L E := σ.toAlgebra
⊢ σ pb.gen ^ Finset.univ.card = σ pb.gen ^ finrank L F
state_after: case e_a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝² : FiniteDimensional L F
this✝¹ : IsSeparable L F
this✝ : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
σ : L →ₐ[K] E
x✝ : σ ∈ Finset.univ
this : Algebra L E := σ.toAlgebra
⊢ Finset.univ.card = finrank L F

tactic: exact AlgHom.card L F E
state_before: case e_a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝² : FiniteDimensional L F
this✝¹ : IsSeparable L F
this✝ : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
σ : L →ₐ[K] E
x✝ : σ ∈ Finset.univ
this : Algebra L E := σ.toAlgebra
⊢ Finset.univ.card = finrank L F
state_after: no goals

tactic: intro σ
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝¹ : FiniteDimensional L F
this✝ : IsSeparable L F
this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
⊢ ∀ (x : F →ₐ[K] E), x ((algebraMap L F) pb.gen) = (algHomEquivSigma x).fst pb.gen
state_after: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝¹ : FiniteDimensional L F
this✝ : IsSeparable L F
this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
σ : F →ₐ[K] E
⊢ σ ((algebraMap L F) pb.gen) = (algHomEquivSigma σ).fst pb.gen

tactic: simp only [algHomEquivSigma, Equiv.coe_fn_mk, AlgHom.restrictDomain, AlgHom.comp_apply,
  IsScalarTower.coe_toAlgHom']
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra L F
inst✝³ : IsScalarTower K L F
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : IsSeparable K F
inst✝ : FiniteDimensional K F
pb : PowerBasis K L
this✝¹ : FiniteDimensional L F
this✝ : IsSeparable L F
this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
σ : F →ₐ[K] E
⊢ σ ((algebraMap L F) pb.gen) = (algHomEquivSigma σ).fst pb.gen
state_after: no goals