Theorem: ExteriorAlgebra.liftAlternating_apply_ιMulti
File: Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/OfAlternating.lean

tactic: rw [ιMulti_apply]
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin n → M
⊢ (liftAlternating f) ((ιMulti R n) v) = (f n) v
state_after: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin n → M
⊢ (liftAlternating f) (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod = (f n) v

tactic: induction' n with n ih generalizing f
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin n → M
⊢ (liftAlternating f) (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod = (f n) v
state_after: case zero
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin 0 → M
⊢ (liftAlternating f) (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod = (f 0) v

case succ
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
ih :
  ∀ (f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N) (v : Fin n → M),
    (liftAlternating f) (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod = (f n) v
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin (n + 1) → M
⊢ (liftAlternating f) (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod = (f (n + 1)) v

tactic: letI : Subsingleton (Fin 0 → M) := by infer_instance
state_before: case zero
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin 0 → M
⊢ (liftAlternating f) (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod = (f 0) v
state_after: case zero
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin 0 → M
this : Subsingleton (Fin 0 → M) := inferInstance
⊢ (liftAlternating f) (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod = (f 0) v

tactic: rw [List.ofFn_zero, List.prod_nil, liftAlternating_one, Subsingleton.elim 0 v]
state_before: case zero
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin 0 → M
this : Subsingleton (Fin 0 → M) := inferInstance
⊢ (liftAlternating f) (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod = (f 0) v
state_after: no goals

tactic: infer_instance
state_before: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin 0 → M
⊢ Subsingleton (Fin 0 → M)
state_after: no goals

tactic: rw [List.ofFn_succ, List.prod_cons, liftAlternating_ι_mul, ih,
  AlternatingMap.curryLeft_apply_apply]
state_before: case succ
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
ih :
  ∀ (f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N) (v : Fin n → M),
    (liftAlternating f) (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod = (f n) v
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin (n + 1) → M
⊢ (liftAlternating f) (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod = (f (n + 1)) v
state_after: case succ
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
ih :
  ∀ (f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N) (v : Fin n → M),
    (liftAlternating f) (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod = (f n) v
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin (n + 1) → M
⊢ (f n.succ) (Matrix.vecCons (v 0) fun i => v i.succ) = (f (n + 1)) v

tactic: congr
state_before: case succ
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
ih :
  ∀ (f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N) (v : Fin n → M),
    (liftAlternating f) (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod = (f n) v
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin (n + 1) → M
⊢ (f n.succ) (Matrix.vecCons (v 0) fun i => v i.succ) = (f (n + 1)) v
state_after: case succ.h.e_6.h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
ih :
  ∀ (f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N) (v : Fin n → M),
    (liftAlternating f) (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod = (f n) v
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin (n + 1) → M
⊢ (Matrix.vecCons (v 0) fun i => v i.succ) = v

tactic: exact Matrix.cons_head_tail _
state_before: case succ.h.e_6.h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
ih :
  ∀ (f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N) (v : Fin n → M),
    (liftAlternating f) (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod = (f n) v
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin (n + 1) → M
⊢ (Matrix.vecCons (v 0) fun i => v i.succ) = v
state_after: no goals