Theorem: Submodule.map₂_span_span
File: Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Bilinear.lean

tactic: apply le_antisymm
state_before: ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ map₂ f (span R s) (span R t) = span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)
state_after: case a
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ map₂ f (span R s) (span R t) ≤ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t) ≤ map₂ f (span R s) (span R t)

tactic: rw [map₂_le]
state_before: case a
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ map₂ f (span R s) (span R t) ≤ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)
state_after: case a
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ m ∈ span R s, ∀ n ∈ span R t, (f m) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

tactic: apply @span_induction' R M _ _ _ s
state_before: case a
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ m ∈ span R s, ∀ n ∈ span R t, (f m) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)
state_after: case a.mem
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.zero
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ n ∈ span R t, (f 0) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.add
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ x ∈ span R s,
    ∀ y ∈ span R s,
      (∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
        (∀ n ∈ span R t, (f y) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
          ∀ n ∈ span R t, (f (x + y)) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.smul
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ (a : R),
    ∀ x ∈ span R s,
      (∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
        ∀ n ∈ span R t, (f (a • x)) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

tactic: intro a ha
state_before: case a.mem
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.zero
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ n ∈ span R t, (f 0) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.add
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ x ∈ span R s,
    ∀ y ∈ span R s,
      (∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
        (∀ n ∈ span R t, (f y) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
          ∀ n ∈ span R t, (f (x + y)) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.smul
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ (a : R),
    ∀ x ∈ span R s,
      (∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
        ∀ n ∈ span R t, (f (a • x)) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)
state_after: case a.mem
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ ∀ n ∈ span R t, (f a) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.zero
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ n ∈ span R t, (f 0) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.add
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ x ∈ span R s,
    ∀ y ∈ span R s,
      (∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
        (∀ n ∈ span R t, (f y) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
          ∀ n ∈ span R t, (f (x + y)) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.smul
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ (a : R),
    ∀ x ∈ span R s,
      (∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
        ∀ n ∈ span R t, (f (a • x)) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

tactic: apply @span_induction' R N _ _ _ t
state_before: case a.mem
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ ∀ n ∈ span R t, (f a) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.zero
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ n ∈ span R t, (f 0) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.add
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ x ∈ span R s,
    ∀ y ∈ span R s,
      (∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
        (∀ n ∈ span R t, (f y) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
          ∀ n ∈ span R t, (f (x + y)) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.smul
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ (a : R),
    ∀ x ∈ span R s,
      (∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
        ∀ n ∈ span R t, (f (a • x)) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)
state_after: case a.mem.mem
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ ∀ x ∈ t, (f a) x ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.mem.zero
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ (f a) 0 ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.mem.add
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ ∀ x ∈ span R t,
    ∀ y ∈ span R t,
      (f a) x ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t) →
        (f a) y ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t) → (f a) (x + y) ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.mem.smul
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ ∀ (a_1 : R),
    ∀ x ∈ span R t,
      (f a) x ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t) → (f a) (a_1 • x) ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.zero
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ n ∈ span R t, (f 0) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.add
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ x ∈ span R s,
    ∀ y ∈ span R s,
      (∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
        (∀ n ∈ span R t, (f y) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
          ∀ n ∈ span R t, (f (x + y)) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.smul
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ (a : R),
    ∀ x ∈ span R s,
      (∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
        ∀ n ∈ span R t, (f (a • x)) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

tactic: intro b hb
state_before: case a.mem.mem
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ ∀ x ∈ t, (f a) x ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.mem.zero
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ (f a) 0 ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.mem.add
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ ∀ x ∈ span R t,
    ∀ y ∈ span R t,
      (f a) x ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t) →
        (f a) y ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t) → (f a) (x + y) ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.mem.smul
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ ∀ (a_1 : R),
    ∀ x ∈ span R t,
      (f a) x ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t) → (f a) (a_1 • x) ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.zero
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ n ∈ span R t, (f 0) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.add
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ x ∈ span R s,
    ∀ y ∈ span R s,
      (∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
        (∀ n ∈ span R t, (f y) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
          ∀ n ∈ span R t, (f (x + y)) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.smul
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ (a : R),
    ∀ x ∈ span R s,
      (∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
        ∀ n ∈ span R t, (f (a • x)) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)
state_after: case a.mem.mem
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
b : N
hb : b ∈ t
⊢ (f a) b ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.mem.zero
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ (f a) 0 ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.mem.add
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ ∀ x ∈ span R t,
    ∀ y ∈ span R t,
      (f a) x ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t) →
        (f a) y ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t) → (f a) (x + y) ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.mem.smul
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ ∀ (a_1 : R),
    ∀ x ∈ span R t,
      (f a) x ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t) → (f a) (a_1 • x) ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.zero
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ n ∈ span R t, (f 0) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.add
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ x ∈ span R s,
    ∀ y ∈ span R s,
      (∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
        (∀ n ∈ span R t, (f y) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
          ∀ n ∈ span R t, (f (x + y)) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.smul
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ (a : R),
    ∀ x ∈ span R s,
      (∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
        ∀ n ∈ span R t, (f (a • x)) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

tactic: exact subset_span ⟨_, ‹_›, _, ‹_›, rfl⟩
state_before: case a.mem.mem
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
b : N
hb : b ∈ t
⊢ (f a) b ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.mem.zero
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ (f a) 0 ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.mem.add
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ ∀ x ∈ span R t,
    ∀ y ∈ span R t,
      (f a) x ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t) →
        (f a) y ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t) → (f a) (x + y) ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.mem.smul
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ ∀ (a_1 : R),
    ∀ x ∈ span R t,
      (f a) x ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t) → (f a) (a_1 • x) ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.zero
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ n ∈ span R t, (f 0) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.add
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ x ∈ span R s,
    ∀ y ∈ span R s,
      (∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
        (∀ n ∈ span R t, (f y) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
          ∀ n ∈ span R t, (f (x + y)) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.smul
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ (a : R),
    ∀ x ∈ span R s,
      (∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
        ∀ n ∈ span R t, (f (a • x)) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)
state_after: case a.mem.zero
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ (f a) 0 ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.mem.add
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ ∀ x ∈ span R t,
    ∀ y ∈ span R t,
      (f a) x ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t) →
        (f a) y ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t) → (f a) (x + y) ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.mem.smul
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ ∀ (a_1 : R),
    ∀ x ∈ span R t,
      (f a) x ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t) → (f a) (a_1 • x) ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.zero
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ n ∈ span R t, (f 0) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.add
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ x ∈ span R s,
    ∀ y ∈ span R s,
      (∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
        (∀ n ∈ span R t, (f y) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
          ∀ n ∈ span R t, (f (x + y)) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.smul
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ (a : R),
    ∀ x ∈ span R s,
      (∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
        ∀ n ∈ span R t, (f (a • x)) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

tactic: all_goals intros; simp only [*, add_mem, smul_mem, zero_mem, _root_.map_zero, map_add,
                             LinearMap.zero_apply, LinearMap.add_apply, LinearMap.smul_apply,
                             map_smul]
state_before: case a.mem.zero
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ (f a) 0 ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.mem.add
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ ∀ x ∈ span R t,
    ∀ y ∈ span R t,
      (f a) x ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t) →
        (f a) y ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t) → (f a) (x + y) ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.mem.smul
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
⊢ ∀ (a_1 : R),
    ∀ x ∈ span R t,
      (f a) x ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t) → (f a) (a_1 • x) ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.zero
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ n ∈ span R t, (f 0) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.add
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ x ∈ span R s,
    ∀ y ∈ span R s,
      (∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
        (∀ n ∈ span R t, (f y) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
          ∀ n ∈ span R t, (f (x + y)) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

case a.smul
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ (a : R),
    ∀ x ∈ span R s,
      (∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
        ∀ n ∈ span R t, (f (a • x)) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)
state_after: no goals

tactic: intros
state_before: case a.smul
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ (a : R),
    ∀ x ∈ span R s,
      (∀ n ∈ span R t, (f x) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)) →
        ∀ n ∈ span R t, (f (a • x)) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)
state_after: case a.smul
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a✝² : R
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R s
a✝¹ : ∀ n ∈ span R t, (f x✝) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)
n✝ : N
a✝ : n✝ ∈ span R t
⊢ (f (a✝² • x✝)) n✝ ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)

tactic: simp only [*, add_mem, smul_mem, zero_mem, _root_.map_zero, map_add,
           LinearMap.zero_apply, LinearMap.add_apply, LinearMap.smul_apply,
           map_smul]
state_before: case a.smul
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a✝² : R
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R s
a✝¹ : ∀ n ∈ span R t, (f x✝) n ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)
n✝ : N
a✝ : n✝ ∈ span R t
⊢ (f (a✝² • x✝)) n✝ ∈ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t)
state_after: no goals

tactic: rw [span_le, image2_subset_iff]
state_before: case a
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ span R (image2 (fun m n => (f m) n) s t) ≤ map₂ f (span R s) (span R t)
state_after: case a
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, (f x) y ∈ ↑(map₂ f (span R s) (span R t))

tactic: intro a ha b hb
state_before: case a
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, (f x) y ∈ ↑(map₂ f (span R s) (span R t))
state_after: case a
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
b : N
hb : b ∈ t
⊢ (f a) b ∈ ↑(map₂ f (span R s) (span R t))

tactic: exact apply_mem_map₂ _ (subset_span ha) (subset_span hb)
state_before: case a
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Set M
t : Set N
a : M
ha : a ∈ s
b : N
hb : b ∈ t
⊢ (f a) b ∈ ↑(map₂ f (span R s) (span R t))
state_after: no goals