Theorem: ENNReal.finset_sum_iSup_nat
File: Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean

tactic: refine Finset.induction_on s ?_ ?_
state_before: α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
α : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : Finset α
f : α → ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), Monotone (f a)
⊢ ∑ a ∈ s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a ∈ s, f a n
state_after: case refine_1
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
α : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : Finset α
f : α → ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), Monotone (f a)
⊢ ∑ a ∈ ∅, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a ∈ ∅, f a n

case refine_2
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
α : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : Finset α
f : α → ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), Monotone (f a)
⊢ ∀ ⦃a : α⦄ {s : Finset α},
    a ∉ s → ∑ a ∈ s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a ∈ s, f a n → ∑ a ∈ insert a s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a ∈ insert a s, f a n

tactic: simp
state_before: case refine_1
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
α : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : Finset α
f : α → ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), Monotone (f a)
⊢ ∑ a ∈ ∅, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a ∈ ∅, f a n
state_after: no goals

tactic: intro a s has ih
state_before: case refine_2
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
α : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : Finset α
f : α → ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), Monotone (f a)
⊢ ∀ ⦃a : α⦄ {s : Finset α},
    a ∉ s → ∑ a ∈ s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a ∈ s, f a n → ∑ a ∈ insert a s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a ∈ insert a s, f a n
state_after: case refine_2
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝¹ : Set ℝ≥0∞
α : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup ι
s✝ : Finset α
f : α → ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), Monotone (f a)
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih : ∑ a ∈ s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a ∈ s, f a n
⊢ ∑ a ∈ insert a s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a ∈ insert a s, f a n

tactic: simp only [Finset.sum_insert has]
state_before: case refine_2
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝¹ : Set ℝ≥0∞
α : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup ι
s✝ : Finset α
f : α → ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), Monotone (f a)
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih : ∑ a ∈ s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a ∈ s, f a n
⊢ ∑ a ∈ insert a s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a ∈ insert a s, f a n
state_after: case refine_2
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝¹ : Set ℝ≥0∞
α : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup ι
s✝ : Finset α
f : α → ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), Monotone (f a)
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih : ∑ a ∈ s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a ∈ s, f a n
⊢ iSup (f a) + ∑ a ∈ s, iSup (f a) = ⨆ n, f a n + ∑ a ∈ s, f a n

tactic: rw [ih, iSup_add_iSup_of_monotone (hf a)]
state_before: case refine_2
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝¹ : Set ℝ≥0∞
α : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup ι
s✝ : Finset α
f : α → ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), Monotone (f a)
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih : ∑ a ∈ s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a ∈ s, f a n
⊢ iSup (f a) + ∑ a ∈ s, iSup (f a) = ⨆ n, f a n + ∑ a ∈ s, f a n
state_after: case refine_2
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝¹ : Set ℝ≥0∞
α : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup ι
s✝ : Finset α
f : α → ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), Monotone (f a)
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih : ∑ a ∈ s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a ∈ s, f a n
⊢ Monotone fun n => ∑ a ∈ s, f a n

tactic: intro i j h
state_before: case refine_2
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝¹ : Set ℝ≥0∞
α : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup ι
s✝ : Finset α
f : α → ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), Monotone (f a)
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih : ∑ a ∈ s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a ∈ s, f a n
⊢ Monotone fun n => ∑ a ∈ s, f a n
state_after: case refine_2
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝¹ : Set ℝ≥0∞
α : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup ι
s✝ : Finset α
f : α → ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), Monotone (f a)
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih : ∑ a ∈ s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a ∈ s, f a n
i j : ι
h : i ≤ j
⊢ (fun n => ∑ a ∈ s, f a n) i ≤ (fun n => ∑ a ∈ s, f a n) j

tactic: exact Finset.sum_le_sum fun a _ => hf a h
state_before: case refine_2
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝¹ : Set ℝ≥0∞
α : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup ι
s✝ : Finset α
f : α → ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), Monotone (f a)
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih : ∑ a ∈ s, iSup (f a) = ⨆ n, ∑ a ∈ s, f a n
i j : ι
h : i ≤ j
⊢ (fun n => ∑ a ∈ s, f a n) i ≤ (fun n => ∑ a ∈ s, f a n) j
state_after: no goals