Theorem: StalkSkyscraperPresheafAdjunctionAuxs.to_skyscraper_fromStalk
File: Mathlib/Topology/Sheaves/Skyscraper.lean

tactic: apply NatTrans.ext
state_before: X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝³ : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝² : Category.{u, v} C
A : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasColimits C
𝓕 : Presheaf C X
c : C
f : 𝓕 ⟶ skyscraperPresheaf p₀ c
⊢ toSkyscraperPresheaf p₀ (fromStalk p₀ f) = f
state_after: case app
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝³ : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝² : Category.{u, v} C
A : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasColimits C
𝓕 : Presheaf C X
c : C
f : 𝓕 ⟶ skyscraperPresheaf p₀ c
⊢ (toSkyscraperPresheaf p₀ (fromStalk p₀ f)).app = f.app

tactic: ext U
state_before: case app
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝³ : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝² : Category.{u, v} C
A : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasColimits C
𝓕 : Presheaf C X
c : C
f : 𝓕 ⟶ skyscraperPresheaf p₀ c
⊢ (toSkyscraperPresheaf p₀ (fromStalk p₀ f)).app = f.app
state_after: case app.h
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝³ : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝² : Category.{u, v} C
A : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasColimits C
𝓕 : Presheaf C X
c : C
f : 𝓕 ⟶ skyscraperPresheaf p₀ c
U : (Opens ↑X)ᵒᵖ
⊢ (toSkyscraperPresheaf p₀ (fromStalk p₀ f)).app U = f.app U

tactic: dsimp
state_before: case app.h
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝³ : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝² : Category.{u, v} C
A : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasColimits C
𝓕 : Presheaf C X
c : C
f : 𝓕 ⟶ skyscraperPresheaf p₀ c
U : (Opens ↑X)ᵒᵖ
⊢ (toSkyscraperPresheaf p₀ (fromStalk p₀ f)).app U = f.app U
state_after: case app.h
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝³ : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝² : Category.{u, v} C
A : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasColimits C
𝓕 : Presheaf C X
c : C
f : 𝓕 ⟶ skyscraperPresheaf p₀ c
U : (Opens ↑X)ᵒᵖ
⊢ (if h : p₀ ∈ U.unop then 𝓕.germ ⟨p₀, h⟩ ≫ fromStalk p₀ f ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from (𝓕.obj U)) =
    f.app U

tactic: split_ifs with h
state_before: case app.h
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝³ : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝² : Category.{u, v} C
A : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasColimits C
𝓕 : Presheaf C X
c : C
f : 𝓕 ⟶ skyscraperPresheaf p₀ c
U : (Opens ↑X)ᵒᵖ
⊢ (if h : p₀ ∈ U.unop then 𝓕.germ ⟨p₀, h⟩ ≫ fromStalk p₀ f ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from (𝓕.obj U)) =
    f.app U
state_after: case pos
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝³ : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝² : Category.{u, v} C
A : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasColimits C
𝓕 : Presheaf C X
c : C
f : 𝓕 ⟶ skyscraperPresheaf p₀ c
U : (Opens ↑X)ᵒᵖ
h : p₀ ∈ U.unop
⊢ 𝓕.germ ⟨p₀, h⟩ ≫ fromStalk p₀ f ≫ eqToHom ⋯ = f.app U

case neg
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝³ : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝² : Category.{u, v} C
A : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasColimits C
𝓕 : Presheaf C X
c : C
f : 𝓕 ⟶ skyscraperPresheaf p₀ c
U : (Opens ↑X)ᵒᵖ
h : p₀ ∉ U.unop
⊢ (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from (𝓕.obj U) = f.app U

tactic: erw [← Category.assoc, colimit.ι_desc, Category.assoc, eqToHom_trans, eqToHom_refl,
  Category.comp_id]
state_before: case pos
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝³ : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝² : Category.{u, v} C
A : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasColimits C
𝓕 : Presheaf C X
c : C
f : 𝓕 ⟶ skyscraperPresheaf p₀ c
U : (Opens ↑X)ᵒᵖ
h : p₀ ∈ U.unop
⊢ 𝓕.germ ⟨p₀, h⟩ ≫ fromStalk p₀ f ≫ eqToHom ⋯ = f.app U
state_after: no goals

tactic: exact ((if_neg h).symm.ndrec terminalIsTerminal).hom_ext ..
state_before: case neg
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝³ : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝² : Category.{u, v} C
A : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasColimits C
𝓕 : Presheaf C X
c : C
f : 𝓕 ⟶ skyscraperPresheaf p₀ c
U : (Opens ↑X)ᵒᵖ
h : p₀ ∉ U.unop
⊢ (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from (𝓕.obj U) = f.app U
state_after: no goals