Theorem: MeasureTheory.Lp.const_smul_mem_Lp
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean

tactic: rw [mem_Lp_iff_snorm_lt_top, snorm_congr_ae (AEEqFun.coeFn_smul _ _)]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
𝕜' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜' E
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' E
c : 𝕜
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ c • ↑f ∈ Lp E p μ
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
𝕜' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜' E
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' E
c : 𝕜
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ snorm (c • ↑↑f) p μ < ⊤

tactic: refine (snorm_const_smul_le _ _).trans_lt ?_
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
𝕜' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜' E
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' E
c : 𝕜
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ snorm (c • ↑↑f) p μ < ⊤
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
𝕜' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜' E
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' E
c : 𝕜
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ ‖c‖₊ • snorm (↑↑f) p μ < ⊤

tactic: rw [ENNReal.smul_def, smul_eq_mul, ENNReal.mul_lt_top_iff]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
𝕜' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜' E
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' E
c : 𝕜
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ ‖c‖₊ • snorm (↑↑f) p μ < ⊤
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
𝕜' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜' E
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' E
c : 𝕜
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ ↑‖c‖₊ < ⊤ ∧ snorm (↑↑f) p μ < ⊤ ∨ ↑‖c‖₊ = 0 ∨ snorm (↑↑f) p μ = 0

tactic: exact Or.inl ⟨ENNReal.coe_lt_top, f.prop⟩
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
𝕜' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜' E
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' E
c : 𝕜
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ ↑‖c‖₊ < ⊤ ∧ snorm (↑↑f) p μ < ⊤ ∨ ↑‖c‖₊ = 0 ∨ snorm (↑↑f) p μ = 0
state_after: no goals