Theorem: controlled_closure_range_of_complete
File: Mathlib/Analysis/Normed/Group/ControlledClosure.lean

tactic: replace hyp : ∀ h ∈ j.range, ∃ g, f g = h ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖h‖ := by
  intro h h_in
  rcases (j.mem_range _).mp h_in with ⟨k, rfl⟩
  rw [hj]
  exact hyp k
state_before: G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
j : NormedAddGroupHom K H
hj : ∀ (x : K), ‖j x‖ = ‖x‖
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : ∀ (k : K), ∃ g, f g = j k ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖k‖
⊢ f.SurjectiveOnWith j.range.topologicalClosure (C + ε)
state_after: G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
j : NormedAddGroupHom K H
hj : ∀ (x : K), ‖j x‖ = ‖x‖
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : ∀ h ∈ j.range, ∃ g, f g = h ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖h‖
⊢ f.SurjectiveOnWith j.range.topologicalClosure (C + ε)

tactic: exact controlled_closure_of_complete hC hε hyp
state_before: G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
j : NormedAddGroupHom K H
hj : ∀ (x : K), ‖j x‖ = ‖x‖
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : ∀ h ∈ j.range, ∃ g, f g = h ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖h‖
⊢ f.SurjectiveOnWith j.range.topologicalClosure (C + ε)
state_after: no goals

tactic: intro h h_in
state_before: G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
j : NormedAddGroupHom K H
hj : ∀ (x : K), ‖j x‖ = ‖x‖
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : ∀ (k : K), ∃ g, f g = j k ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖k‖
⊢ ∀ h ∈ j.range, ∃ g, f g = h ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖h‖
state_after: G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
j : NormedAddGroupHom K H
hj : ∀ (x : K), ‖j x‖ = ‖x‖
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : ∀ (k : K), ∃ g, f g = j k ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖k‖
h : H
h_in : h ∈ j.range
⊢ ∃ g, f g = h ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖h‖

tactic: rcases (j.mem_range _).mp h_in with ⟨k, rfl⟩
state_before: G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
j : NormedAddGroupHom K H
hj : ∀ (x : K), ‖j x‖ = ‖x‖
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : ∀ (k : K), ∃ g, f g = j k ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖k‖
h : H
h_in : h ∈ j.range
⊢ ∃ g, f g = h ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖h‖
state_after: case intro
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
j : NormedAddGroupHom K H
hj : ∀ (x : K), ‖j x‖ = ‖x‖
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : ∀ (k : K), ∃ g, f g = j k ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖k‖
k : K
h_in : j k ∈ j.range
⊢ ∃ g, f g = j k ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖j k‖

tactic: rw [hj]
state_before: case intro
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
j : NormedAddGroupHom K H
hj : ∀ (x : K), ‖j x‖ = ‖x‖
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : ∀ (k : K), ∃ g, f g = j k ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖k‖
k : K
h_in : j k ∈ j.range
⊢ ∃ g, f g = j k ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖j k‖
state_after: case intro
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
j : NormedAddGroupHom K H
hj : ∀ (x : K), ‖j x‖ = ‖x‖
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : ∀ (k : K), ∃ g, f g = j k ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖k‖
k : K
h_in : j k ∈ j.range
⊢ ∃ g, f g = j k ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖k‖

tactic: exact hyp k
state_before: case intro
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
j : NormedAddGroupHom K H
hj : ∀ (x : K), ‖j x‖ = ‖x‖
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : ∀ (k : K), ∃ g, f g = j k ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖k‖
k : K
h_in : j k ∈ j.range
⊢ ∃ g, f g = j k ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖k‖
state_after: no goals