Theorem: LieAlgebra.ExtendScalars.bracket_leibniz_lie
File: Mathlib/Algebra/Lie/BaseChange.lean

tactic: simp only [bracket_def]
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
⊢ ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅y, ⁅x, z⁆⁆
state_after: R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) x) y)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) z)

tactic: refine x.induction_on ?_ ?_ ?_
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) x) y)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) z)
state_after: case refine_1
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) 0) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) 0) y)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) 0) z)

case refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
⊢ ∀ (x : A) (y_1 : L),
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x ⊗ₜ[R] y_1)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (x ⊗ₜ[R] y_1)) y)) z +
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x ⊗ₜ[R] y_1)) z)

case refine_3
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
⊢ ∀ (x y_1 : A ⊗[R] L),
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) x) y)) z +
          ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) z) →
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y_1) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
          ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) y_1) y)) z +
            ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y_1) z) →
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x + y_1)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
          ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (x + y_1)) y)) z +
            ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x + y_1)) z)

tactic: simp only [LinearMap.map_zero, add_zero, LinearMap.zero_apply]
state_before: case refine_1
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) 0) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) 0) y)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) 0) z)
state_after: no goals

tactic: intro a₁ l₁
state_before: case refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
⊢ ∀ (x : A) (y_1 : L),
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x ⊗ₜ[R] y_1)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (x ⊗ₜ[R] y_1)) y)) z +
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x ⊗ₜ[R] y_1)) z)
state_after: case refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) y)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z)

tactic: refine y.induction_on ?_ ?_ ?_
state_before: case refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) y)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z)
state_after: case refine_2.refine_1
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) 0) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) 0)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) 0) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z)

case refine_2.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
⊢ ∀ (x : A) (y : L),
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
        (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x ⊗ₜ[R] y)) z) =
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
            (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (x ⊗ₜ[R] y)))
          z +
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x ⊗ₜ[R] y))
          (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z)

case refine_2.refine_3
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
⊢ ∀ (x y : A ⊗[R] L),
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) z) =
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) x))
            z +
          ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x)
            (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z) →
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
          ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) y))
              z +
            ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y)
              (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z) →
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
            (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x + y)) z) =
          ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
                (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (x + y)))
              z +
            ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x + y))
              (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z)

tactic: simp only [LinearMap.map_zero, add_zero, LinearMap.zero_apply]
state_before: case refine_2.refine_1
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) 0) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) 0)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) 0) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z)
state_after: no goals

tactic: intro a₂ l₂
state_before: case refine_2.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
⊢ ∀ (x : A) (y : L),
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
        (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x ⊗ₜ[R] y)) z) =
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
            (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (x ⊗ₜ[R] y)))
          z +
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x ⊗ₜ[R] y))
          (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z)
state_after: case refine_2.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
a₂ : A
l₂ : L
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
      (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
          (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)))
        z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂))
        (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z)

tactic: refine z.induction_on ?_ ?_ ?_
state_before: case refine_2.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
a₂ : A
l₂ : L
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
      (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
          (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)))
        z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂))
        (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z)
state_after: case refine_2.refine_2.refine_1
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
a₂ : A
l₂ : L
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
      (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)) 0) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
          (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)))
        0 +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂))
        (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) 0)

case refine_2.refine_2.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
a₂ : A
l₂ : L
⊢ ∀ (x : A) (y : M),
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
        (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)) (x ⊗ₜ[R] y)) =
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
            (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)))
          (x ⊗ₜ[R] y) +
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂))
          (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (x ⊗ₜ[R] y))

case refine_2.refine_2.refine_3
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
a₂ : A
l₂ : L
⊢ ∀ (x y : A ⊗[R] M),
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
          (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)) x) =
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
              (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)))
            x +
          ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂))
            (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) x) →
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
            (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)) y) =
          ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
                (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)))
              y +
            ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂))
              (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) y) →
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
            (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)) (x + y)) =
          ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
                (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)))
              (x + y) +
            ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂))
              (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (x + y))

tactic: rw [LinearMap.map_zero, LinearMap.map_zero, LinearMap.map_zero, LinearMap.map_zero,
  add_zero]
state_before: case refine_2.refine_2.refine_1
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
a₂ : A
l₂ : L
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
      (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)) 0) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
          (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)))
        0 +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂))
        (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) 0)
state_after: no goals

tactic: intro a₃ l₃
state_before: case refine_2.refine_2.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
a₂ : A
l₂ : L
⊢ ∀ (x : A) (y : M),
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
        (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)) (x ⊗ₜ[R] y)) =
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
            (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)))
          (x ⊗ₜ[R] y) +
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂))
          (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (x ⊗ₜ[R] y))
state_after: case refine_2.refine_2.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
a₂ : A
l₂ : L
a₃ : A
l₃ : M
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
      (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)) (a₃ ⊗ₜ[R] l₃)) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
          (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)))
        (a₃ ⊗ₜ[R] l₃) +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂))
        (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₃ ⊗ₜ[R] l₃))

tactic: simp only [bracket'_tmul]
state_before: case refine_2.refine_2.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
a₂ : A
l₂ : L
a₃ : A
l₃ : M
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
      (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)) (a₃ ⊗ₜ[R] l₃)) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
          (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)))
        (a₃ ⊗ₜ[R] l₃) +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂))
        (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₃ ⊗ₜ[R] l₃))
state_after: case refine_2.refine_2.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
a₂ : A
l₂ : L
a₃ : A
l₃ : M
⊢ (a₁ * (a₂ * a₃)) ⊗ₜ[R] ⁅l₁, ⁅l₂, l₃⁆⁆ = (a₁ * a₂ * a₃) ⊗ₜ[R] ⁅⁅l₁, l₂⁆, l₃⁆ + (a₂ * (a₁ * a₃)) ⊗ₜ[R] ⁅l₂, ⁅l₁, l₃⁆⁆

tactic: rw [mul_left_comm a₂ a₁ a₃, mul_assoc, leibniz_lie, TensorProduct.tmul_add]
state_before: case refine_2.refine_2.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
a₂ : A
l₂ : L
a₃ : A
l₃ : M
⊢ (a₁ * (a₂ * a₃)) ⊗ₜ[R] ⁅l₁, ⁅l₂, l₃⁆⁆ = (a₁ * a₂ * a₃) ⊗ₜ[R] ⁅⁅l₁, l₂⁆, l₃⁆ + (a₂ * (a₁ * a₃)) ⊗ₜ[R] ⁅l₂, ⁅l₁, l₃⁆⁆
state_after: no goals

tactic: intro u₁ u₂ h₁ h₂
state_before: case refine_2.refine_2.refine_3
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
a₂ : A
l₂ : L
⊢ ∀ (x y : A ⊗[R] M),
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
          (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)) x) =
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
              (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)))
            x +
          ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂))
            (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) x) →
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
            (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)) y) =
          ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
                (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)))
              y +
            ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂))
              (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) y) →
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
            (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)) (x + y)) =
          ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
                (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)))
              (x + y) +
            ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂))
              (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (x + y))
state_after: case refine_2.refine_2.refine_3
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
a₂ : A
l₂ : L
u₁ u₂ : A ⊗[R] M
h₁ :
  ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
      (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)) u₁) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
          (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)))
        u₁ +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂))
        (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) u₁)
h₂ :
  ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
      (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)) u₂) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
          (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)))
        u₂ +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂))
        (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) u₂)
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
      (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)) (u₁ + u₂)) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
          (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)))
        (u₁ + u₂) +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂))
        (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (u₁ + u₂))

tactic: rw [map_add, map_add, map_add, map_add, map_add, h₁, h₂, add_add_add_comm]
state_before: case refine_2.refine_2.refine_3
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
a₂ : A
l₂ : L
u₁ u₂ : A ⊗[R] M
h₁ :
  ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
      (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)) u₁) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
          (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)))
        u₁ +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂))
        (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) u₁)
h₂ :
  ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
      (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)) u₂) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
          (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)))
        u₂ +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂))
        (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) u₂)
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
      (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)) (u₁ + u₂)) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
          (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂)))
        (u₁ + u₂) +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] l₂))
        (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (u₁ + u₂))
state_after: no goals

tactic: intro u₁ u₂ h₁ h₂
state_before: case refine_2.refine_3
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
⊢ ∀ (x y : A ⊗[R] L),
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) z) =
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) x))
            z +
          ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x)
            (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z) →
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
          ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) y))
              z +
            ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y)
              (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z) →
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
            (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x + y)) z) =
          ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
                (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (x + y)))
              z +
            ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x + y))
              (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z)
state_after: case refine_2.refine_3
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
u₁ u₂ : A ⊗[R] L
h₁ :
  ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) u₁) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) u₁)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) u₁) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z)
h₂ :
  ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) u₂) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) u₂)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) u₂) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z)
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
      (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (u₁ + u₂)) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
          (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (u₁ + u₂)))
        z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (u₁ + u₂))
        (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z)

tactic: rw [map_add, LinearMap.add_apply, LinearMap.add_apply, map_add, map_add, map_add,
  LinearMap.add_apply, h₁, h₂, add_add_add_comm]
state_before: case refine_2.refine_3
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
u₁ u₂ : A ⊗[R] L
h₁ :
  ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) u₁) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) u₁)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) u₁) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z)
h₂ :
  ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) u₂) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) u₂)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) u₂) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z)
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁))
      (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (u₁ + u₂)) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M)
          (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (u₁ + u₂)))
        z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (u₁ + u₂))
        (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z)
state_after: no goals

tactic: intro u₁ u₂ h₁ h₂
state_before: case refine_3
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
⊢ ∀ (x y_1 : A ⊗[R] L),
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) x) y)) z +
          ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) x) z) →
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y_1) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
          ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) y_1) y)) z +
            ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y_1) z) →
        ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x + y_1)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
          ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (x + y_1)) y)) z +
            ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (x + y_1)) z)
state_after: case refine_3
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
u₁ u₂ : A ⊗[R] L
h₁ :
  ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) u₁) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) u₁) y)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) u₁) z)
h₂ :
  ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) u₂) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) u₂) y)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) u₂) z)
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (u₁ + u₂)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (u₁ + u₂)) y)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (u₁ + u₂)) z)

tactic: rw [map_add, LinearMap.add_apply, LinearMap.add_apply, map_add, map_add, LinearMap.add_apply,
  map_add, LinearMap.add_apply, h₁, h₂, add_add_add_comm]
state_before: case refine_3
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
u₁ u₂ : A ⊗[R] L
h₁ :
  ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) u₁) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) u₁) y)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) u₁) z)
h₂ :
  ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) u₂) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) u₂) y)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) u₂) z)
⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (u₁ + u₂)) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) z) =
    ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (u₁ + u₂)) y)) z +
      ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) y) (((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L M) (u₁ + u₂)) z)
state_after: no goals