Theorem: intervalIntegral.integrableOn_Ioo_rpow_iff
File: Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean

tactic: refine ⟨fun h ↦ ?_, fun h ↦ by simpa [intervalIntegrable_iff_integrableOn_Ioo_of_le ht.le]
  using intervalIntegrable_rpow' h (a := 0) (b := t)⟩
state_before: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume ↔ -1 < s
state_after: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
⊢ -1 < s

tactic: contrapose! h
state_before: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
⊢ -1 < s
state_after: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
⊢ ¬IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume

tactic: intro H
state_before: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
⊢ ¬IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
state_after: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
⊢ False

tactic: have I : 0 < min 1 t := lt_min zero_lt_one ht
state_before: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
⊢ False
state_after: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
⊢ False

tactic: have H' : IntegrableOn (fun x ↦ x ^ s) (Ioo 0 (min 1 t)) :=
  H.mono (Set.Ioo_subset_Ioo le_rfl (min_le_right _ _)) le_rfl
state_before: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
⊢ False
state_after: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
⊢ False

tactic: have : IntegrableOn (fun x ↦ x⁻¹) (Ioo 0 (min 1 t)) := by
  apply H'.mono' measurable_inv.aestronglyMeasurable
  filter_upwards [ae_restrict_mem measurableSet_Ioo] with x hx
  simp only [norm_inv, Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg (le_of_lt hx.1)]
  rwa [← Real.rpow_neg_one x, Real.rpow_le_rpow_left_iff_of_base_lt_one hx.1]
  exact lt_of_lt_of_le hx.2 (min_le_left _ _)
state_before: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
⊢ False
state_after: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
this : IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
⊢ False

tactic: have : IntervalIntegrable (fun x ↦ x⁻¹) volume 0 (min 1 t) := by
  rwa [intervalIntegrable_iff_integrableOn_Ioo_of_le I.le]
state_before: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
this : IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
⊢ False
state_after: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
this✝ : IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
this : IntervalIntegrable (fun x => x⁻¹) volume 0 (min 1 t)
⊢ False

tactic: simp [intervalIntegrable_inv_iff, I.ne] at this
state_before: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
this✝ : IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
this : IntervalIntegrable (fun x => x⁻¹) volume 0 (min 1 t)
⊢ False
state_after: no goals

tactic: simpa [intervalIntegrable_iff_integrableOn_Ioo_of_le ht.le]
using intervalIntegrable_rpow' h (a := 0) (b := t)
state_before: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : -1 < s
⊢ IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
state_after: no goals

tactic: apply H'.mono' measurable_inv.aestronglyMeasurable
state_before: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
⊢ IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
state_after: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Set.Ioo 0 (min 1 t)), ‖a⁻¹‖ ≤ a ^ s

tactic: filter_upwards [ae_restrict_mem measurableSet_Ioo] with x hx
state_before: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Set.Ioo 0 (min 1 t)), ‖a⁻¹‖ ≤ a ^ s
state_after: case h
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioo 0 (min 1 t)
⊢ ‖x⁻¹‖ ≤ x ^ s

tactic: simp only [norm_inv, Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg (le_of_lt hx.1)]
state_before: case h
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioo 0 (min 1 t)
⊢ ‖x⁻¹‖ ≤ x ^ s
state_after: case h
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioo 0 (min 1 t)
⊢ x⁻¹ ≤ x ^ s

tactic: rwa [← Real.rpow_neg_one x, Real.rpow_le_rpow_left_iff_of_base_lt_one hx.1]
state_before: case h
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioo 0 (min 1 t)
⊢ x⁻¹ ≤ x ^ s
state_after: case h
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioo 0 (min 1 t)
⊢ x < 1

tactic: exact lt_of_lt_of_le hx.2 (min_le_left _ _)
state_before: case h
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioo 0 (min 1 t)
⊢ x < 1
state_after: no goals

tactic: rwa [intervalIntegrable_iff_integrableOn_Ioo_of_le I.le]
state_before: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d s t : ℝ
ht : 0 < t
h : s ≤ -1
H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
I : 0 < min 1 t
H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
this : IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Set.Ioo 0 (min 1 t)) volume
⊢ IntervalIntegrable (fun x => x⁻¹) volume 0 (min 1 t)
state_after: no goals