Theorem: MeasureTheory.integrableOn_Iio_iff_integrableAtFilter_atBot_nhdsWithin
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean

tactic: constructor
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
a : X
inst✝³ : LinearOrder X
inst✝² : CompactIccSpace X
inst✝¹ : NoMinOrder X
inst✝ : OrderTopology X
⊢ IntegrableOn f (Iio a) μ ↔
    IntegrableAtFilter f atBot μ ∧ IntegrableAtFilter f (𝓝[<] a) μ ∧ LocallyIntegrableOn f (Iio a) μ
state_after: case mp
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
a : X
inst✝³ : LinearOrder X
inst✝² : CompactIccSpace X
inst✝¹ : NoMinOrder X
inst✝ : OrderTopology X
⊢ IntegrableOn f (Iio a) μ →
    IntegrableAtFilter f atBot μ ∧ IntegrableAtFilter f (𝓝[<] a) μ ∧ LocallyIntegrableOn f (Iio a) μ

case mpr
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
a : X
inst✝³ : LinearOrder X
inst✝² : CompactIccSpace X
inst✝¹ : NoMinOrder X
inst✝ : OrderTopology X
⊢ IntegrableAtFilter f atBot μ ∧ IntegrableAtFilter f (𝓝[<] a) μ ∧ LocallyIntegrableOn f (Iio a) μ →
    IntegrableOn f (Iio a) μ

tactic: intro h
state_before: case mp
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
a : X
inst✝³ : LinearOrder X
inst✝² : CompactIccSpace X
inst✝¹ : NoMinOrder X
inst✝ : OrderTopology X
⊢ IntegrableOn f (Iio a) μ →
    IntegrableAtFilter f atBot μ ∧ IntegrableAtFilter f (𝓝[<] a) μ ∧ LocallyIntegrableOn f (Iio a) μ
state_after: case mp
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
a : X
inst✝³ : LinearOrder X
inst✝² : CompactIccSpace X
inst✝¹ : NoMinOrder X
inst✝ : OrderTopology X
h : IntegrableOn f (Iio a) μ
⊢ IntegrableAtFilter f atBot μ ∧ IntegrableAtFilter f (𝓝[<] a) μ ∧ LocallyIntegrableOn f (Iio a) μ

tactic: exact ⟨⟨Iio a, Iio_mem_atBot a, h⟩, ⟨Iio a, self_mem_nhdsWithin, h⟩, h.locallyIntegrableOn⟩
state_before: case mp
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
a : X
inst✝³ : LinearOrder X
inst✝² : CompactIccSpace X
inst✝¹ : NoMinOrder X
inst✝ : OrderTopology X
h : IntegrableOn f (Iio a) μ
⊢ IntegrableAtFilter f atBot μ ∧ IntegrableAtFilter f (𝓝[<] a) μ ∧ LocallyIntegrableOn f (Iio a) μ
state_after: no goals

tactic: intro ⟨hbot, ⟨s, hsl, hs⟩, hlocal⟩
state_before: case mpr
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
a : X
inst✝³ : LinearOrder X
inst✝² : CompactIccSpace X
inst✝¹ : NoMinOrder X
inst✝ : OrderTopology X
⊢ IntegrableAtFilter f atBot μ ∧ IntegrableAtFilter f (𝓝[<] a) μ ∧ LocallyIntegrableOn f (Iio a) μ →
    IntegrableOn f (Iio a) μ
state_after: case mpr
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
a : X
inst✝³ : LinearOrder X
inst✝² : CompactIccSpace X
inst✝¹ : NoMinOrder X
inst✝ : OrderTopology X
hbot : IntegrableAtFilter f atBot μ
s : Set X
hsl : s ∈ 𝓝[<] a
hs : IntegrableOn f s μ
hlocal : LocallyIntegrableOn f (Iio a) μ
⊢ IntegrableOn f (Iio a) μ

tactic: obtain ⟨s', ⟨hs'_mono, hs'⟩⟩ := mem_nhdsWithin_Iio_iff_exists_Ioo_subset.mp hsl
state_before: case mpr
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
a : X
inst✝³ : LinearOrder X
inst✝² : CompactIccSpace X
inst✝¹ : NoMinOrder X
inst✝ : OrderTopology X
hbot : IntegrableAtFilter f atBot μ
s : Set X
hsl : s ∈ 𝓝[<] a
hs : IntegrableOn f s μ
hlocal : LocallyIntegrableOn f (Iio a) μ
⊢ IntegrableOn f (Iio a) μ
state_after: case mpr.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
a : X
inst✝³ : LinearOrder X
inst✝² : CompactIccSpace X
inst✝¹ : NoMinOrder X
inst✝ : OrderTopology X
hbot : IntegrableAtFilter f atBot μ
s : Set X
hsl : s ∈ 𝓝[<] a
hs : IntegrableOn f s μ
hlocal : LocallyIntegrableOn f (Iio a) μ
s' : X
hs'_mono : s' ∈ Iio a
hs' : Ioo s' a ⊆ s
⊢ IntegrableOn f (Iio a) μ

tactic: refine (integrableOn_union.mpr ⟨?_, hs.mono hs' le_rfl⟩).mono Iio_subset_Iic_union_Ioo le_rfl
state_before: case mpr.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
a : X
inst✝³ : LinearOrder X
inst✝² : CompactIccSpace X
inst✝¹ : NoMinOrder X
inst✝ : OrderTopology X
hbot : IntegrableAtFilter f atBot μ
s : Set X
hsl : s ∈ 𝓝[<] a
hs : IntegrableOn f s μ
hlocal : LocallyIntegrableOn f (Iio a) μ
s' : X
hs'_mono : s' ∈ Iio a
hs' : Ioo s' a ⊆ s
⊢ IntegrableOn f (Iio a) μ
state_after: case mpr.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
a : X
inst✝³ : LinearOrder X
inst✝² : CompactIccSpace X
inst✝¹ : NoMinOrder X
inst✝ : OrderTopology X
hbot : IntegrableAtFilter f atBot μ
s : Set X
hsl : s ∈ 𝓝[<] a
hs : IntegrableOn f s μ
hlocal : LocallyIntegrableOn f (Iio a) μ
s' : X
hs'_mono : s' ∈ Iio a
hs' : Ioo s' a ⊆ s
⊢ IntegrableOn f (Iic s') μ

tactic: exact integrableOn_Iic_iff_integrableAtFilter_atBot.mpr
  ⟨hbot, hlocal.mono_set (Iic_subset_Iio.mpr hs'_mono)⟩
state_before: case mpr.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
a : X
inst✝³ : LinearOrder X
inst✝² : CompactIccSpace X
inst✝¹ : NoMinOrder X
inst✝ : OrderTopology X
hbot : IntegrableAtFilter f atBot μ
s : Set X
hsl : s ∈ 𝓝[<] a
hs : IntegrableOn f s μ
hlocal : LocallyIntegrableOn f (Iio a) μ
s' : X
hs'_mono : s' ∈ Iio a
hs' : Ioo s' a ⊆ s
⊢ IntegrableOn f (Iic s') μ
state_after: no goals