Theorem: HasCompactSupport.ennnorm_le_lintegral_Ici_deriv
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean

tactic: let I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
state_before: E : Type u_1
f✝ f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
⊢ ↑‖f x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f y‖₊
state_after: E : Type u_1
f✝ f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
⊢ ↑‖f x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f y‖₊

tactic: let f' : ℝ → Completion F := I ∘ f
state_before: E : Type u_1
f✝ f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
⊢ ↑‖f x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f y‖₊
state_after: E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
⊢ ↑‖f x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f y‖₊

tactic: have hf' : ContDiff ℝ 1 f' := hf.continuousLinearMap_comp I
state_before: E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
⊢ ↑‖f x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f y‖₊
state_after: E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
hf' : ContDiff ℝ 1 f'
⊢ ↑‖f x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f y‖₊

tactic: have h'f' : HasCompactSupport f' := h'f.comp_left rfl
state_before: E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
hf' : ContDiff ℝ 1 f'
⊢ ↑‖f x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f y‖₊
state_after: E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
hf' : ContDiff ℝ 1 f'
h'f' : HasCompactSupport f'
⊢ ↑‖f x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f y‖₊

tactic: have : (‖f' x‖₊ : ℝ≥0∞) ≤ ∫⁻ y in Iic x, ‖deriv f' y‖₊ := by
  rw [← HasCompactSupport.integral_Iic_deriv_eq hf' h'f' x]
  exact ennnorm_integral_le_lintegral_ennnorm _
state_before: E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
hf' : ContDiff ℝ 1 f'
h'f' : HasCompactSupport f'
⊢ ↑‖f x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f y‖₊
state_after: E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
hf' : ContDiff ℝ 1 f'
h'f' : HasCompactSupport f'
this : ↑‖f' x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f' y‖₊
⊢ ↑‖f x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f y‖₊

tactic: convert this with y
state_before: E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
hf' : ContDiff ℝ 1 f'
h'f' : HasCompactSupport f'
this : ↑‖f' x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f' y‖₊
⊢ ↑‖f x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f y‖₊
state_after: case h.e'_3.h.e'_1
E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
hf' : ContDiff ℝ 1 f'
h'f' : HasCompactSupport f'
this : ↑‖f' x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f' y‖₊
⊢ ‖f x‖₊ = ‖f' x‖₊

case h.e'_4.h.e'_4.h.h.e'_1
E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
hf' : ContDiff ℝ 1 f'
h'f' : HasCompactSupport f'
this : ↑‖f' x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f' y‖₊
y : ℝ
⊢ ‖deriv f y‖₊ = ‖deriv f' y‖₊

tactic: rw [← HasCompactSupport.integral_Iic_deriv_eq hf' h'f' x]
state_before: E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
hf' : ContDiff ℝ 1 f'
h'f' : HasCompactSupport f'
⊢ ↑‖f' x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f' y‖₊
state_after: E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
hf' : ContDiff ℝ 1 f'
h'f' : HasCompactSupport f'
⊢ ↑‖∫ (x : ℝ) in Iic x, deriv f' x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f' y‖₊

tactic: exact ennnorm_integral_le_lintegral_ennnorm _
state_before: E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
hf' : ContDiff ℝ 1 f'
h'f' : HasCompactSupport f'
⊢ ↑‖∫ (x : ℝ) in Iic x, deriv f' x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f' y‖₊
state_after: no goals

tactic: simp [f', I, Completion.nnnorm_coe]
state_before: case h.e'_3.h.e'_1
E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
hf' : ContDiff ℝ 1 f'
h'f' : HasCompactSupport f'
this : ↑‖f' x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f' y‖₊
⊢ ‖f x‖₊ = ‖f' x‖₊
state_after: no goals

tactic: rw [fderiv.comp_deriv _ I.differentiableAt (hf.differentiable le_rfl _)]
state_before: case h.e'_4.h.e'_4.h.h.e'_1
E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
hf' : ContDiff ℝ 1 f'
h'f' : HasCompactSupport f'
this : ↑‖f' x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f' y‖₊
y : ℝ
⊢ ‖deriv f y‖₊ = ‖deriv f' y‖₊
state_after: case h.e'_4.h.e'_4.h.h.e'_1
E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
hf' : ContDiff ℝ 1 f'
h'f' : HasCompactSupport f'
this : ↑‖f' x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f' y‖₊
y : ℝ
⊢ ‖deriv f y‖₊ = ‖(fderiv ℝ (⇑I) (f y)) (deriv f y)‖₊

tactic: simp only [ContinuousLinearMap.fderiv]
state_before: case h.e'_4.h.e'_4.h.h.e'_1
E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
hf' : ContDiff ℝ 1 f'
h'f' : HasCompactSupport f'
this : ↑‖f' x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f' y‖₊
y : ℝ
⊢ ‖deriv f y‖₊ = ‖(fderiv ℝ (⇑I) (f y)) (deriv f y)‖₊
state_after: case h.e'_4.h.e'_4.h.h.e'_1
E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
hf' : ContDiff ℝ 1 f'
h'f' : HasCompactSupport f'
this : ↑‖f' x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f' y‖₊
y : ℝ
⊢ ‖deriv f y‖₊ = ‖I (deriv f y)‖₊

tactic: simp [I]
state_before: case h.e'_4.h.e'_4.h.h.e'_1
E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
hf' : ContDiff ℝ 1 f'
h'f' : HasCompactSupport f'
this : ↑‖f' x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f' y‖₊
y : ℝ
⊢ ‖deriv f y‖₊ = ‖I (deriv f y)‖₊
state_after: no goals