Theorem: MeasureTheory.tendsto_setToFun_of_L1
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean

tactic: classical
  let f_lp := hfi.toL1 f
  let F_lp i := if hFi : Integrable (fs i) μ then hFi.toL1 (fs i) else 0
  have tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp) := by
    rw [Lp.tendsto_Lp_iff_tendsto_ℒp']
    simp_rw [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, Pi.sub_apply]
    refine (tendsto_congr' ?_).mp hfs
    filter_upwards [hfsi] with i hi
    refine lintegral_congr_ae ?_
    filter_upwards [hi.coeFn_toL1, hfi.coeFn_toL1] with x hxi hxf
    simp_rw [F_lp, dif_pos hi, hxi, hxf]
  suffices Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f)) by
    refine (tendsto_congr' ?_).mp this
    filter_upwards [hfsi] with i hi
    suffices h_ae_eq : F_lp i =ᵐ[μ] fs i from setToFun_congr_ae hT h_ae_eq
    simp_rw [F_lp, dif_pos hi]
    exact hi.coeFn_toL1
  rw [setToFun_congr_ae hT hfi.coeFn_toL1.symm]
  exact ((continuous_setToFun hT).tendsto f_lp).comp tendsto_L1
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
state_after: no goals

tactic: let f_lp := hfi.toL1 f
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
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inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
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T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
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ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))

tactic: let F_lp i := if hFi : Integrable (fs i) μ then hFi.toL1 (fs i) else 0
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
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m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
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hfi : Integrable f μ
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f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
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inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
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T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
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hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
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hfi : Integrable f μ
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l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))

tactic: have tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp) := by
  rw [Lp.tendsto_Lp_iff_tendsto_ℒp']
  simp_rw [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, Pi.sub_apply]
  refine (tendsto_congr' ?_).mp hfs
  filter_upwards [hfsi] with i hi
  refine lintegral_congr_ae ?_
  filter_upwards [hi.coeFn_toL1, hfi.coeFn_toL1] with x hxi hxf
  simp_rw [F_lp, dif_pos hi, hxi, hxf]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
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hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
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F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
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inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
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f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
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hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
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F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))

tactic: suffices Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f)) by
  refine (tendsto_congr' ?_).mp this
  filter_upwards [hfsi] with i hi
  suffices h_ae_eq : F_lp i =ᵐ[μ] fs i from setToFun_congr_ae hT h_ae_eq
  simp_rw [F_lp, dif_pos hi]
  exact hi.coeFn_toL1
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
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inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
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hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
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hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
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hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
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tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
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ι : Type u_7
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hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
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F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))

tactic: rw [setToFun_congr_ae hT hfi.coeFn_toL1.symm]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
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hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
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F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
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tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT ↑↑(Integrable.toL1 f hfi)))

tactic: exact ((continuous_setToFun hT).tendsto f_lp).comp tendsto_L1
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
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μ : Measure α
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hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
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l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
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f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT ↑↑(Integrable.toL1 f hfi)))
state_after: no goals

tactic: rw [Lp.tendsto_Lp_iff_tendsto_ℒp']
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
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state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
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hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
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hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
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⊢ Tendsto (fun n => snorm (↑↑(F_lp n) - ↑↑f_lp) 1 μ) l (𝓝 0)

tactic: simp_rw [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, Pi.sub_apply]
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𝕜 : Type u_6
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μ : Measure α
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hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
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hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
⊢ Tendsto (fun n => snorm (↑↑(F_lp n) - ↑↑f_lp) 1 μ) l (𝓝 0)
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
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inst✝² : NormedSpace ℝ F'
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⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑(F_lp n) x - ↑↑f_lp x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)

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𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
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hfi : Integrable f μ
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l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑(F_lp n) x - ↑↑f_lp x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
⊢ (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) =ᶠ[l] fun n => ∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑(F_lp n) x - ↑↑f_lp x‖₊ ∂μ

tactic: filter_upwards [hfsi] with i hi
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
⊢ (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) =ᶠ[l] fun n => ∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑(F_lp n) x - ↑↑f_lp x‖₊ ∂μ
state_after: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
i : ι
hi : Integrable (fs i) μ
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑(F_lp i) x - ↑↑f_lp x‖₊ ∂μ

tactic: refine lintegral_congr_ae ?_
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
i : ι
hi : Integrable (fs i) μ
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑(F_lp i) x - ↑↑f_lp x‖₊ ∂μ
state_after: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
i : ι
hi : Integrable (fs i) μ
⊢ (fun x => ↑‖fs i x - f x‖₊) =ᶠ[ae μ] fun x => ↑‖↑↑(F_lp i) x - ↑↑f_lp x‖₊

tactic: filter_upwards [hi.coeFn_toL1, hfi.coeFn_toL1] with x hxi hxf
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
i : ι
hi : Integrable (fs i) μ
⊢ (fun x => ↑‖fs i x - f x‖₊) =ᶠ[ae μ] fun x => ↑‖↑↑(F_lp i) x - ↑↑f_lp x‖₊
state_after: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
i : ι
hi : Integrable (fs i) μ
x : α
hxi : ↑↑(Integrable.toL1 (fs i) hi) x = fs i x
hxf : ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) x = f x
⊢ ↑‖fs i x - f x‖₊ = ↑‖↑↑(F_lp i) x - ↑↑f_lp x‖₊

tactic: simp_rw [F_lp, dif_pos hi, hxi, hxf]
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
i : ι
hi : Integrable (fs i) μ
x : α
hxi : ↑↑(Integrable.toL1 (fs i) hi) x = fs i x
hxf : ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) x = f x
⊢ ↑‖fs i x - f x‖₊ = ↑‖↑↑(F_lp i) x - ↑↑f_lp x‖₊
state_after: no goals

tactic: refine (tendsto_congr' ?_).mp this
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
⊢ (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) =ᶠ[l] fun i => setToFun μ T hT (fs i)

tactic: filter_upwards [hfsi] with i hi
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
⊢ (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) =ᶠ[l] fun i => setToFun μ T hT (fs i)
state_after: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
i : ι
hi : Integrable (fs i) μ
⊢ setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i) = setToFun μ T hT (fs i)

tactic: suffices h_ae_eq : F_lp i =ᵐ[μ] fs i from setToFun_congr_ae hT h_ae_eq
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
i : ι
hi : Integrable (fs i) μ
⊢ setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i) = setToFun μ T hT (fs i)
state_after: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
i : ι
hi : Integrable (fs i) μ
⊢ ↑↑(F_lp i) =ᶠ[ae μ] fs i

tactic: simp_rw [F_lp, dif_pos hi]
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
i : ι
hi : Integrable (fs i) μ
⊢ ↑↑(F_lp i) =ᶠ[ae μ] fs i
state_after: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
i : ι
hi : Integrable (fs i) μ
⊢ ↑↑(Integrable.toL1 (fs i) hi) =ᶠ[ae μ] fs i

tactic: exact hi.coeFn_toL1
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f μ
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : ↥(Lp E 1 μ) := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → ↥(Lp E 1 μ) := fun i => if hFi : Integrable (fs i) μ then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
i : ι
hi : Integrable (fs i) μ
⊢ ↑↑(Integrable.toL1 (fs i) hi) =ᶠ[ae μ] fs i
state_after: no goals