Theorem: LinearMap.IsSymmetric.coe_reApplyInnerSelf_apply
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Symmetric.lean

tactic: rsuffices ⟨r, hr⟩ : ∃ r : ℝ, ⟪T x, x⟫ = r
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →L[𝕜] E
hT : (↑T).IsSymmetric
x : E
⊢ ↑(T.reApplyInnerSelf x) = ⟪T x, x⟫_𝕜
state_after: case intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →L[𝕜] E
hT : (↑T).IsSymmetric
x : E
r : ℝ
hr : ⟪T x, x⟫_𝕜 = ↑r
⊢ ↑(T.reApplyInnerSelf x) = ⟪T x, x⟫_𝕜

𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →L[𝕜] E
hT : (↑T).IsSymmetric
x : E
⊢ ∃ r, ⟪T x, x⟫_𝕜 = ↑r

tactic: rw [← conj_eq_iff_real]
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →L[𝕜] E
hT : (↑T).IsSymmetric
x : E
⊢ ∃ r, ⟪T x, x⟫_𝕜 = ↑r
state_after: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →L[𝕜] E
hT : (↑T).IsSymmetric
x : E
⊢ (starRingEnd 𝕜) ⟪T x, x⟫_𝕜 = ⟪T x, x⟫_𝕜

tactic: exact hT.conj_inner_sym x x
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →L[𝕜] E
hT : (↑T).IsSymmetric
x : E
⊢ (starRingEnd 𝕜) ⟪T x, x⟫_𝕜 = ⟪T x, x⟫_𝕜
state_after: no goals

tactic: simp [hr, T.reApplyInnerSelf_apply]
state_before: case intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →L[𝕜] E
hT : (↑T).IsSymmetric
x : E
r : ℝ
hr : ⟪T x, x⟫_𝕜 = ↑r
⊢ ↑(T.reApplyInnerSelf x) = ⟪T x, x⟫_𝕜
state_after: no goals