Theorem: FirstOrder.Language.DirectedSystem.coe_natLERec
File: Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean

tactic: obtain ⟨k, rfl⟩ := Nat.exists_eq_add_of_le h
state_before: L : Language
ι : Type v
inst✝² : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
G' : ℕ → Type w
inst✝ : (i : ℕ) → L.Structure (G' i)
f' : (n : ℕ) → G' n ↪[L] G' (n + 1)
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ ⇑(natLERec f' m n h) = fun a => Nat.leRecOn h (fun k => ⇑(f' k)) a
state_after: case intro
L : Language
ι : Type v
inst✝² : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
G' : ℕ → Type w
inst✝ : (i : ℕ) → L.Structure (G' i)
f' : (n : ℕ) → G' n ↪[L] G' (n + 1)
m k : ℕ
h : m ≤ m + k
⊢ ⇑(natLERec f' m (m + k) h) = fun a => Nat.leRecOn h (fun k => ⇑(f' k)) a

tactic: ext x
state_before: case intro
L : Language
ι : Type v
inst✝² : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
G' : ℕ → Type w
inst✝ : (i : ℕ) → L.Structure (G' i)
f' : (n : ℕ) → G' n ↪[L] G' (n + 1)
m k : ℕ
h : m ≤ m + k
⊢ ⇑(natLERec f' m (m + k) h) = fun a => Nat.leRecOn h (fun k => ⇑(f' k)) a
state_after: case intro.h
L : Language
ι : Type v
inst✝² : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
G' : ℕ → Type w
inst✝ : (i : ℕ) → L.Structure (G' i)
f' : (n : ℕ) → G' n ↪[L] G' (n + 1)
m k : ℕ
h : m ≤ m + k
x : G' m
⊢ (natLERec f' m (m + k) h) x = Nat.leRecOn h (fun k => ⇑(f' k)) x

tactic: induction' k with k ih
state_before: case intro.h
L : Language
ι : Type v
inst✝² : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
G' : ℕ → Type w
inst✝ : (i : ℕ) → L.Structure (G' i)
f' : (n : ℕ) → G' n ↪[L] G' (n + 1)
m k : ℕ
h : m ≤ m + k
x : G' m
⊢ (natLERec f' m (m + k) h) x = Nat.leRecOn h (fun k => ⇑(f' k)) x
state_after: case intro.h.zero
L : Language
ι : Type v
inst✝² : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
G' : ℕ → Type w
inst✝ : (i : ℕ) → L.Structure (G' i)
f' : (n : ℕ) → G' n ↪[L] G' (n + 1)
m : ℕ
x : G' m
h : m ≤ m + 0
⊢ (natLERec f' m (m + 0) h) x = Nat.leRecOn h (fun k => ⇑(f' k)) x

case intro.h.succ
L : Language
ι : Type v
inst✝² : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
G' : ℕ → Type w
inst✝ : (i : ℕ) → L.Structure (G' i)
f' : (n : ℕ) → G' n ↪[L] G' (n + 1)
m : ℕ
x : G' m
k : ℕ
ih : ∀ (h : m ≤ m + k), (natLERec f' m (m + k) h) x = Nat.leRecOn h (fun k => ⇑(f' k)) x
h : m ≤ m + (k + 1)
⊢ (natLERec f' m (m + (k + 1)) h) x = Nat.leRecOn h (fun k => ⇑(f' k)) x

tactic: erw [natLERec, Nat.leRecOn_self, Embedding.refl_apply, Nat.leRecOn_self]
state_before: case intro.h.zero
L : Language
ι : Type v
inst✝² : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
G' : ℕ → Type w
inst✝ : (i : ℕ) → L.Structure (G' i)
f' : (n : ℕ) → G' n ↪[L] G' (n + 1)
m : ℕ
x : G' m
h : m ≤ m + 0
⊢ (natLERec f' m (m + 0) h) x = Nat.leRecOn h (fun k => ⇑(f' k)) x
state_after: no goals

tactic: erw [Nat.leRecOn_succ le_self_add, natLERec, Nat.leRecOn_succ le_self_add, ← natLERec,
  Embedding.comp_apply, ih]
state_before: case intro.h.succ
L : Language
ι : Type v
inst✝² : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
G' : ℕ → Type w
inst✝ : (i : ℕ) → L.Structure (G' i)
f' : (n : ℕ) → G' n ↪[L] G' (n + 1)
m : ℕ
x : G' m
k : ℕ
ih : ∀ (h : m ≤ m + k), (natLERec f' m (m + k) h) x = Nat.leRecOn h (fun k => ⇑(f' k)) x
h : m ≤ m + (k + 1)
⊢ (natLERec f' m (m + (k + 1)) h) x = Nat.leRecOn h (fun k => ⇑(f' k)) x
state_after: no goals