Theorem: Algebra.FinitePresentation.ker_fg_of_mvPolynomial
File: Mathlib/RingTheory/FinitePresentation.lean

tactic: obtain ⟨m, f', hf', s, hs⟩ := FinitePresentation.out (R := R) (A := A)
state_before: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG

tactic: let RXn := MvPolynomial (Fin n) R
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG

tactic: let RXm := MvPolynomial (Fin m) R
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG

tactic: have := fun i : Fin n => hf' (f <| X i)
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
this : ∀ (i : Fin n), ∃ a, f' a = f (MvPolynomial.X i)
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG

tactic: choose g hg using this
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
this : ∀ (i : Fin n), ∃ a, f' a = f (MvPolynomial.X i)
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG

tactic: have := fun i : Fin m => hf (f' <| X i)
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
this : ∀ (i : Fin m), ∃ a, f a = f' (MvPolynomial.X i)
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG

tactic: choose h hh using this
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
this : ∀ (i : Fin m), ∃ a, f a = f' (MvPolynomial.X i)
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG

tactic: let aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := aeval h
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG

tactic: let g' : Fin n → RXn := fun i => X i - aeval_h (g i)
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG

tactic: refine ⟨Finset.univ.image g' ∪ s.image aeval_h, ?_⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
⊢ Ideal.span ↑(Finset.image g' Finset.univ ∪ Finset.image (⇑aeval_h) s) = RingHom.ker f.toRingHom

tactic: simp only [Finset.coe_image, Finset.coe_union, Finset.coe_univ, Set.image_univ]
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
⊢ Ideal.span ↑(Finset.image g' Finset.univ ∪ Finset.image (⇑aeval_h) s) = RingHom.ker f.toRingHom
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
⊢ Ideal.span (Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s) = RingHom.ker f.toRingHom

tactic: have hh' : ∀ x, f (aeval_h x) = f' x := by
  intro x
  rw [← f.coe_toRingHom, map_aeval]
  simp_rw [AlgHom.coe_toRingHom, hh]
  rw [AlgHom.comp_algebraMap, ← aeval_eq_eval₂Hom,
    ← funext fun i => Function.comp_apply (f := ↑f') (g := MvPolynomial.X),
    ← aeval_unique]
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
⊢ Ideal.span (Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s) = RingHom.ker f.toRingHom
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
⊢ Ideal.span (Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s) = RingHom.ker f.toRingHom

tactic: let s' := Set.range g' ∪ aeval_h '' s
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
⊢ Ideal.span (Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s) = RingHom.ker f.toRingHom
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
⊢ Ideal.span (Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s) = RingHom.ker f.toRingHom

tactic: apply leI.antisymm
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
⊢ Ideal.span (Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s) = RingHom.ker f.toRingHom
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
⊢ RingHom.ker f.toRingHom ≤ Ideal.span s'

tactic: intro x hx
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
⊢ RingHom.ker f.toRingHom ≤ Ideal.span s'
state_after: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
⊢ x ∈ Ideal.span s'

tactic: obtain ⟨_, ⟨x, rfl⟩, y, hy, rfl⟩ := AddSubmonoid.mem_sup.mp this
state_before: case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
⊢ x ∈ Ideal.span s'
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXm
y : RXn
hy : y ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
hx : aeval_h.toRingHom x + y ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : aeval_h.toRingHom x + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
⊢ aeval_h.toRingHom x + y ∈ Ideal.span s'

tactic: refine add_mem ?_ hy
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXm
y : RXn
hy : y ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
hx : aeval_h.toRingHom x + y ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : aeval_h.toRingHom x + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
⊢ aeval_h.toRingHom x + y ∈ Ideal.span s'
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXm
y : RXn
hy : y ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
hx : aeval_h.toRingHom x + y ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : aeval_h.toRingHom x + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
⊢ aeval_h.toRingHom x ∈ Ideal.span s'

tactic: simp only [RingHom.mem_ker, AlgHom.toRingHom_eq_coe, AlgHom.coe_toRingHom, map_add,
  show f y = 0 from leI hy, add_zero, hh'] at hx
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXm
y : RXn
hy : y ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
hx : aeval_h.toRingHom x + y ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : aeval_h.toRingHom x + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
⊢ aeval_h.toRingHom x ∈ Ideal.span s'
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXm
y : RXn
hy : y ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
this : aeval_h.toRingHom x + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
hx : f' x = 0
⊢ aeval_h.toRingHom x ∈ Ideal.span s'

tactic: suffices Ideal.span (s : Set RXm) ≤ (Ideal.span s').comap aeval_h by
  apply this
  rwa [hs]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXm
y : RXn
hy : y ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
this : aeval_h.toRingHom x + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
hx : f' x = 0
⊢ aeval_h.toRingHom x ∈ Ideal.span s'
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXm
y : RXn
hy : y ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
this : aeval_h.toRingHom x + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
hx : f' x = 0
⊢ Ideal.span ↑s ≤ Ideal.comap aeval_h (Ideal.span s')

tactic: rw [Ideal.span_le]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXm
y : RXn
hy : y ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
this : aeval_h.toRingHom x + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
hx : f' x = 0
⊢ Ideal.span ↑s ≤ Ideal.comap aeval_h (Ideal.span s')
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXm
y : RXn
hy : y ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
this : aeval_h.toRingHom x + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
hx : f' x = 0
⊢ ↑s ⊆ ↑(Ideal.comap aeval_h (Ideal.span s'))

tactic: intro x hx
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXm
y : RXn
hy : y ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
this : aeval_h.toRingHom x + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
hx : f' x = 0
⊢ ↑s ⊆ ↑(Ideal.comap aeval_h (Ideal.span s'))
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x✝ : RXm
y : RXn
hy : y ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
this : aeval_h.toRingHom x✝ + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
hx✝ : f' x✝ = 0
x : MvPolynomial (Fin m) R
hx : x ∈ ↑s
⊢ x ∈ ↑(Ideal.comap aeval_h (Ideal.span s'))

tactic: apply Submodule.subset_span
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x✝ : RXm
y : RXn
hy : y ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
this : aeval_h.toRingHom x✝ + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
hx✝ : f' x✝ = 0
x : MvPolynomial (Fin m) R
hx : x ∈ ↑s
⊢ x ∈ ↑(Ideal.comap aeval_h (Ideal.span s'))
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.a
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x✝ : RXm
y : RXn
hy : y ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
this : aeval_h.toRingHom x✝ + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
hx✝ : f' x✝ = 0
x : MvPolynomial (Fin m) R
hx : x ∈ ↑s
⊢ aeval_h x ∈ s'

tactic: apply Set.mem_union_right
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.a
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x✝ : RXm
y : RXn
hy : y ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
this : aeval_h.toRingHom x✝ + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
hx✝ : f' x✝ = 0
x : MvPolynomial (Fin m) R
hx : x ∈ ↑s
⊢ aeval_h x ∈ s'
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.a.a
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x✝ : RXm
y : RXn
hy : y ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
this : aeval_h.toRingHom x✝ + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
hx✝ : f' x✝ = 0
x : MvPolynomial (Fin m) R
hx : x ∈ ↑s
⊢ aeval_h x ∈ ⇑aeval_h '' ↑s

tactic: exact Set.mem_image_of_mem _ hx
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.a.a
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x✝ : RXm
y : RXn
hy : y ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
this : aeval_h.toRingHom x✝ + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
hx✝ : f' x✝ = 0
x : MvPolynomial (Fin m) R
hx : x ∈ ↑s
⊢ aeval_h x ∈ ⇑aeval_h '' ↑s
state_after: no goals

tactic: intro x
state_before: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
⊢ ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
state_after: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
x : RXm
⊢ f (aeval_h x) = f' x

tactic: rw [← f.coe_toRingHom, map_aeval]
state_before: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
x : RXm
⊢ f (aeval_h x) = f' x
state_after: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
x : RXm
⊢ (eval₂Hom ((↑f).comp (algebraMap R (MvPolynomial (Fin n) R))) fun i => ↑f (h i)) x = f' x

tactic: simp_rw [AlgHom.coe_toRingHom, hh]
state_before: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
x : RXm
⊢ (eval₂Hom ((↑f).comp (algebraMap R (MvPolynomial (Fin n) R))) fun i => ↑f (h i)) x = f' x
state_after: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
x : RXm
⊢ (eval₂Hom ((↑f).comp (algebraMap R (MvPolynomial (Fin n) R))) fun i => f' (MvPolynomial.X i)) x = f' x

tactic: rw [AlgHom.comp_algebraMap, ← aeval_eq_eval₂Hom,
  ← funext fun i => Function.comp_apply (f := ↑f') (g := MvPolynomial.X),
  ← aeval_unique]
state_before: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
x : RXm
⊢ (eval₂Hom ((↑f).comp (algebraMap R (MvPolynomial (Fin n) R))) fun i => f' (MvPolynomial.X i)) x = f' x
state_after: no goals

tactic: rw [Ideal.span_le]
state_before: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
⊢ Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
state_after: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
⊢ s' ⊆ ↑(RingHom.ker f.toRingHom)

tactic: rintro _ (⟨i, rfl⟩ | ⟨x, hx, rfl⟩)
state_before: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
⊢ s' ⊆ ↑(RingHom.ker f.toRingHom)
state_after: case inl.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
i : Fin n
⊢ g' i ∈ ↑(RingHom.ker f.toRingHom)

case inr.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
x : RXm
hx : x ∈ ↑s
⊢ aeval_h x ∈ ↑(RingHom.ker f.toRingHom)

tactic: change f (g' i) = 0
state_before: case inl.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
i : Fin n
⊢ g' i ∈ ↑(RingHom.ker f.toRingHom)
state_after: case inl.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
i : Fin n
⊢ f (g' i) = 0

tactic: rw [map_sub, ← hg, hh', sub_self]
state_before: case inl.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
i : Fin n
⊢ f (g' i) = 0
state_after: no goals

tactic: change f (aeval_h x) = 0
state_before: case inr.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
x : RXm
hx : x ∈ ↑s
⊢ aeval_h x ∈ ↑(RingHom.ker f.toRingHom)
state_after: case inr.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
x : RXm
hx : x ∈ ↑s
⊢ f (aeval_h x) = 0

tactic: rw [hh']
state_before: case inr.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
x : RXm
hx : x ∈ ↑s
⊢ f (aeval_h x) = 0
state_after: case inr.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
x : RXm
hx : x ∈ ↑s
⊢ f' x = 0

tactic: change x ∈ RingHom.ker f'.toRingHom
state_before: case inr.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
x : RXm
hx : x ∈ ↑s
⊢ f' x = 0
state_after: case inr.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
x : RXm
hx : x ∈ ↑s
⊢ x ∈ RingHom.ker f'.toRingHom

tactic: rw [← hs]
state_before: case inr.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
x : RXm
hx : x ∈ ↑s
⊢ x ∈ RingHom.ker f'.toRingHom
state_after: case inr.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
x : RXm
hx : x ∈ ↑s
⊢ x ∈ Ideal.span ↑s

tactic: exact Ideal.subset_span hx
state_before: case inr.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
x : RXm
hx : x ∈ ↑s
⊢ x ∈ Ideal.span ↑s
state_after: no goals

tactic: have : x ∈ adjoin R (Set.range X : Set RXn) := by
  rw [adjoin_range_X]
  trivial
state_before: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
⊢ x ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
state_after: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
⊢ x ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid

tactic: refine adjoin_induction this ?_ ?_ ?_ ?_
state_before: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
⊢ x ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
state_after: case refine_1
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
⊢ ∀ x ∈ Set.range MvPolynomial.X, x ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid

case refine_2
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
⊢ ∀ (r : R), (algebraMap R RXn) r ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid

case refine_3
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
⊢ ∀ (x y : RXn),
    x ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid →
      y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid →
        x + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid

case refine_4
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
⊢ ∀ (x y : RXn),
    x ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid →
      y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid →
        x * y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid

tactic: rw [adjoin_range_X]
state_before: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
⊢ x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
state_after: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
⊢ x ∈ ⊤

tactic: trivial
state_before: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
⊢ x ∈ ⊤
state_after: no goals

tactic: rintro _ ⟨i, rfl⟩
state_before: case refine_1
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
⊢ ∀ x ∈ Set.range MvPolynomial.X, x ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
state_after: case refine_1.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
i : Fin n
⊢ MvPolynomial.X i ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid

tactic: rw [← sub_add_cancel (X i) (aeval h (g i)), add_comm]
state_before: case refine_1.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
i : Fin n
⊢ MvPolynomial.X i ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
state_after: case refine_1.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
i : Fin n
⊢ (MvPolynomial.aeval h) (g i) + (MvPolynomial.X i - (MvPolynomial.aeval h) (g i)) ∈
    aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid

tactic: apply AddSubmonoid.add_mem_sup
state_before: case refine_1.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
i : Fin n
⊢ (MvPolynomial.aeval h) (g i) + (MvPolynomial.X i - (MvPolynomial.aeval h) (g i)) ∈
    aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
state_after: case refine_1.intro.hx
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
i : Fin n
⊢ (MvPolynomial.aeval h) (g i) ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid

case refine_1.intro.hy
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
i : Fin n
⊢ MvPolynomial.X i - (MvPolynomial.aeval h) (g i) ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid

tactic: exact Set.mem_range_self _
state_before: case refine_1.intro.hx
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
i : Fin n
⊢ (MvPolynomial.aeval h) (g i) ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid
state_after: no goals

tactic: apply Submodule.subset_span
state_before: case refine_1.intro.hy
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
i : Fin n
⊢ MvPolynomial.X i - (MvPolynomial.aeval h) (g i) ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
state_after: case refine_1.intro.hy.a
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
i : Fin n
⊢ MvPolynomial.X i - (MvPolynomial.aeval h) (g i) ∈ s'

tactic: apply Set.mem_union_left
state_before: case refine_1.intro.hy.a
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
i : Fin n
⊢ MvPolynomial.X i - (MvPolynomial.aeval h) (g i) ∈ s'
state_after: case refine_1.intro.hy.a.a
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
i : Fin n
⊢ MvPolynomial.X i - (MvPolynomial.aeval h) (g i) ∈ Set.range g'

tactic: exact Set.mem_range_self _
state_before: case refine_1.intro.hy.a.a
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
i : Fin n
⊢ MvPolynomial.X i - (MvPolynomial.aeval h) (g i) ∈ Set.range g'
state_after: no goals

tactic: intro r
state_before: case refine_2
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
⊢ ∀ (r : R), (algebraMap R RXn) r ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
state_after: case refine_2
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
r : R
⊢ (algebraMap R RXn) r ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid

tactic: apply AddSubmonoid.mem_sup_left
state_before: case refine_2
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
r : R
⊢ (algebraMap R RXn) r ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
state_after: case refine_2.a
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
r : R
⊢ (algebraMap R RXn) r ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid

tactic: exact ⟨C r, aeval_C _ _⟩
state_before: case refine_2.a
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
r : R
⊢ (algebraMap R RXn) r ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid
state_after: no goals

tactic: intro _ _ h₁ h₂
state_before: case refine_3
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
⊢ ∀ (x y : RXn),
    x ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid →
      y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid →
        x + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
state_after: case refine_3
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
x✝ y✝ : RXn
h₁ : x✝ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₂ : y✝ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
⊢ x✝ + y✝ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid

tactic: exact add_mem h₁ h₂
state_before: case refine_3
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
x✝ y✝ : RXn
h₁ : x✝ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₂ : y✝ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
⊢ x✝ + y✝ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
state_after: no goals

tactic: intro p₁ p₂ h₁ h₂
state_before: case refine_4
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
⊢ ∀ (x y : RXn),
    x ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid →
      y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid →
        x * y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
state_after: case refine_4
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
p₁ p₂ : RXn
h₁ : p₁ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₂ : p₂ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
⊢ p₁ * p₂ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid

tactic: obtain ⟨_, ⟨x₁, rfl⟩, y₁, hy₁, rfl⟩ := AddSubmonoid.mem_sup.mp h₁
state_before: case refine_4
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
p₁ p₂ : RXn
h₁ : p₁ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₂ : p₂ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
⊢ p₁ * p₂ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
state_after: case refine_4.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
p₂ : RXn
h₂ : p₂ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
x₁ : RXm
y₁ : RXn
hy₁ : y₁ ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₁ : aeval_h.toRingHom x₁ + y₁ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
⊢ (aeval_h.toRingHom x₁ + y₁) * p₂ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid

tactic: obtain ⟨_, ⟨x₂, rfl⟩, y₂, hy₂, rfl⟩ := AddSubmonoid.mem_sup.mp h₂
state_before: case refine_4.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
p₂ : RXn
h₂ : p₂ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
x₁ : RXm
y₁ : RXn
hy₁ : y₁ ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₁ : aeval_h.toRingHom x₁ + y₁ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
⊢ (aeval_h.toRingHom x₁ + y₁) * p₂ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
state_after: case refine_4.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
x₁ : RXm
y₁ : RXn
hy₁ : y₁ ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₁ : aeval_h.toRingHom x₁ + y₁ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
x₂ : RXm
y₂ : RXn
hy₂ : y₂ ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₂ : aeval_h.toRingHom x₂ + y₂ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
⊢ (aeval_h.toRingHom x₁ + y₁) * (aeval_h.toRingHom x₂ + y₂) ∈
    aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid

tactic: rw [mul_add, add_mul, add_assoc, ← map_mul]
state_before: case refine_4.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
x₁ : RXm
y₁ : RXn
hy₁ : y₁ ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₁ : aeval_h.toRingHom x₁ + y₁ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
x₂ : RXm
y₂ : RXn
hy₂ : y₂ ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₂ : aeval_h.toRingHom x₂ + y₂ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
⊢ (aeval_h.toRingHom x₁ + y₁) * (aeval_h.toRingHom x₂ + y₂) ∈
    aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
state_after: case refine_4.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
x₁ : RXm
y₁ : RXn
hy₁ : y₁ ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₁ : aeval_h.toRingHom x₁ + y₁ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
x₂ : RXm
y₂ : RXn
hy₂ : y₂ ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₂ : aeval_h.toRingHom x₂ + y₂ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
⊢ aeval_h.toRingHom (x₁ * x₂) + (y₁ * aeval_h.toRingHom x₂ + (aeval_h.toRingHom x₁ + y₁) * y₂) ∈
    aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid

tactic: apply AddSubmonoid.add_mem_sup
state_before: case refine_4.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
x₁ : RXm
y₁ : RXn
hy₁ : y₁ ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₁ : aeval_h.toRingHom x₁ + y₁ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
x₂ : RXm
y₂ : RXn
hy₂ : y₂ ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₂ : aeval_h.toRingHom x₂ + y₂ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
⊢ aeval_h.toRingHom (x₁ * x₂) + (y₁ * aeval_h.toRingHom x₂ + (aeval_h.toRingHom x₁ + y₁) * y₂) ∈
    aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
state_after: case refine_4.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.hx
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
x₁ : RXm
y₁ : RXn
hy₁ : y₁ ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₁ : aeval_h.toRingHom x₁ + y₁ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
x₂ : RXm
y₂ : RXn
hy₂ : y₂ ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₂ : aeval_h.toRingHom x₂ + y₂ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
⊢ aeval_h.toRingHom (x₁ * x₂) ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid

case refine_4.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.hy
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
x₁ : RXm
y₁ : RXn
hy₁ : y₁ ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₁ : aeval_h.toRingHom x₁ + y₁ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
x₂ : RXm
y₂ : RXn
hy₂ : y₂ ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₂ : aeval_h.toRingHom x₂ + y₂ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
⊢ y₁ * aeval_h.toRingHom x₂ + (aeval_h.toRingHom x₁ + y₁) * y₂ ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid

tactic: exact Set.mem_range_self _
state_before: case refine_4.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.hx
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
x₁ : RXm
y₁ : RXn
hy₁ : y₁ ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₁ : aeval_h.toRingHom x₁ + y₁ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
x₂ : RXm
y₂ : RXn
hy₂ : y₂ ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₂ : aeval_h.toRingHom x₂ + y₂ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
⊢ aeval_h.toRingHom (x₁ * x₂) ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid
state_after: no goals

tactic: exact add_mem (Ideal.mul_mem_right _ _ hy₁) (Ideal.mul_mem_left _ _ hy₂)
state_before: case refine_4.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.hy
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXn
hx : x ∈ RingHom.ker f.toRingHom
this : x ∈ adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)
x₁ : RXm
y₁ : RXn
hy₁ : y₁ ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₁ : aeval_h.toRingHom x₁ + y₁ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
x₂ : RXm
y₂ : RXn
hy₂ : y₂ ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
h₂ : aeval_h.toRingHom x₂ + y₂ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
⊢ y₁ * aeval_h.toRingHom x₂ + (aeval_h.toRingHom x₁ + y₁) * y₂ ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
state_after: no goals

tactic: apply this
state_before: R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXm
y : RXn
hy : y ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
this✝ : aeval_h.toRingHom x + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
hx : f' x = 0
this : Ideal.span ↑s ≤ Ideal.comap aeval_h (Ideal.span s')
⊢ aeval_h.toRingHom x ∈ Ideal.span s'
state_after: case a
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXm
y : RXn
hy : y ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
this✝ : aeval_h.toRingHom x + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
hx : f' x = 0
this : Ideal.span ↑s ≤ Ideal.comap aeval_h (Ideal.span s')
⊢ x ∈ Ideal.span ↑s

tactic: rwa [hs]
state_before: case a
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x : RXm
y : RXn
hy : y ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
this✝ : aeval_h.toRingHom x + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
hx : f' x = 0
this : Ideal.span ↑s ≤ Ideal.comap aeval_h (Ideal.span s')
⊢ x ∈ Ideal.span ↑s
state_after: no goals