Theorem: minpoly.subsingleton
File: Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean

tactic: nontriviality A
state_before: A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Subsingleton B
⊢ minpoly A x = 1
state_after: A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
⊢ minpoly A x = 1

tactic: have := minpoly.min A x monic_one (Subsingleton.elim _ _)
state_before: A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
⊢ minpoly A x = 1
state_after: A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
this : (minpoly A x).degree ≤ degree 1
⊢ minpoly A x = 1

tactic: rw [degree_one] at this
state_before: A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
this : (minpoly A x).degree ≤ degree 1
⊢ minpoly A x = 1
state_after: A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
this : (minpoly A x).degree ≤ 0
⊢ minpoly A x = 1

tactic: rcases le_or_lt (minpoly A x).degree 0 with h | h
state_before: A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
this : (minpoly A x).degree ≤ 0
⊢ minpoly A x = 1
state_after: case inl
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
this : (minpoly A x).degree ≤ 0
h : (minpoly A x).degree ≤ 0
⊢ minpoly A x = 1

case inr
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
this : (minpoly A x).degree ≤ 0
h : 0 < (minpoly A x).degree
⊢ minpoly A x = 1

tactic: rwa [(monic ⟨1, monic_one, by simp [eq_iff_true_of_subsingleton]⟩ :
       (minpoly A x).Monic).degree_le_zero_iff_eq_one] at h
state_before: case inl
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
this : (minpoly A x).degree ≤ 0
h : (minpoly A x).degree ≤ 0
⊢ minpoly A x = 1
state_after: no goals

tactic: simp [eq_iff_true_of_subsingleton]
state_before: A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
this : (minpoly A x).degree ≤ 0
h : (minpoly A x).degree ≤ 0
⊢ eval₂ (algebraMap A B) x 1 = 0
state_after: no goals

tactic: exact (this.not_lt h).elim
state_before: case inr
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
this : (minpoly A x).degree ≤ 0
h : 0 < (minpoly A x).degree
⊢ minpoly A x = 1
state_after: no goals