Theorem: Real.pow_mul_norm_iteratedFDeriv_fourierIntegral_le
File: Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean

tactic: have Z : ‖w‖ ^ n * (‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤
    ‖w‖ ^ n * ((2 * (π * ‖innerSL (E := V) ℝ‖)) ^ k * ((2 * k + 2) ^ n *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1),
          ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂volume)) := by
  have := VectorFourier.pow_mul_norm_iteratedFDeriv_fourierIntegral_le (innerSL ℝ) hf h'f hk hn
    w w
  simp only [innerSL_apply _ w w, real_inner_self_eq_norm_sq w, _root_.abs_pow, abs_norm,
    mul_assoc] at this
  rwa [pow_two, mul_pow, mul_assoc] at this
state_before: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : V
⊢ ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖
state_after: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : V
Z :
  ‖w‖ ^ n * (‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤
    ‖w‖ ^ n *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ n *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
⊢ ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖

tactic: rcases eq_or_ne n 0 with rfl | hn
state_before: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : V
Z :
  ‖w‖ ^ n * (‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤
    ‖w‖ ^ n *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ n *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
⊢ ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖
state_after: case inl
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
w : V
hn : ↑0 ≤ N
Z :
  ‖w‖ ^ 0 * (‖w‖ ^ 0 * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤
    ‖w‖ ^ 0 *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ 0 *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (0 + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
⊢ ‖w‖ ^ 0 * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ 0 *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (0 + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖

case inr
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z :
  ‖w‖ ^ n * (‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤
    ‖w‖ ^ n *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ n *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
hn : n ≠ 0
⊢ ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖

tactic: rcases eq_or_ne w 0 with rfl | hw
state_before: case inr
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z :
  ‖w‖ ^ n * (‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤
    ‖w‖ ^ n *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ n *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
hn : n ≠ 0
⊢ ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖
state_after: case inr.inl
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
hn : n ≠ 0
Z :
  ‖0‖ ^ n * (‖0‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) 0‖) ≤
    ‖0‖ ^ n *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ n *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
⊢ ‖0‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) 0‖ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖

case inr.inr
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z :
  ‖w‖ ^ n * (‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤
    ‖w‖ ^ n *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ n *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
hn : n ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖

tactic: rw [mul_le_mul_left (pow_pos (by simp [hw]) n)] at Z
state_before: case inr.inr
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z :
  ‖w‖ ^ n * (‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤
    ‖w‖ ^ n *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ n *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
hn : n ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖
state_after: case inr.inr
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z :
  ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
      ((2 * ↑k + 2) ^ n *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖)
hn : n ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖

tactic: apply Z.trans
state_before: case inr.inr
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z :
  ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
      ((2 * ↑k + 2) ^ n *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖)
hn : n ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖
state_after: case inr.inr
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z :
  ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
      ((2 * ↑k + 2) ^ n *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖)
hn : n ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
      ((2 * ↑k + 2) ^ n *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖

tactic: conv_rhs => rw [← mul_one π]
state_before: case inr.inr
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z :
  ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
      ((2 * ↑k + 2) ^ n *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖)
hn : n ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
      ((2 * ↑k + 2) ^ n *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖
state_after: case inr.inr
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z :
  ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
      ((2 * ↑k + 2) ^ n *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖)
hn : n ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
      ((2 * ↑k + 2) ^ n *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) ≤
    (2 * (π * 1)) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖

tactic: simp only [mul_assoc]
state_before: case inr.inr
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z :
  ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
      ((2 * ↑k + 2) ^ n *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖)
hn : n ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
      ((2 * ↑k + 2) ^ n *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) ≤
    (2 * (π * 1)) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖
state_after: case inr.inr
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z :
  ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
      ((2 * ↑k + 2) ^ n *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖)
hn : n ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
      ((2 * ↑k + 2) ^ n *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) ≤
    (2 * (π * 1)) ^ k *
      ((2 * ↑k + 2) ^ n *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖)

tactic: gcongr
state_before: case inr.inr
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z :
  ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
      ((2 * ↑k + 2) ^ n *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖)
hn : n ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
      ((2 * ↑k + 2) ^ n *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) ≤
    (2 * (π * 1)) ^ k *
      ((2 * ↑k + 2) ^ n *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖)
state_after: case inr.inr.h.hab.h.h
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z :
  ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
      ((2 * ↑k + 2) ^ n *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖)
hn : n ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ ‖innerSL ℝ‖ ≤ 1

tactic: exact norm_innerSL_le _
state_before: case inr.inr.h.hab.h.h
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z :
  ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
      ((2 * ↑k + 2) ^ n *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖)
hn : n ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ ‖innerSL ℝ‖ ≤ 1
state_after: no goals

tactic: have := VectorFourier.pow_mul_norm_iteratedFDeriv_fourierIntegral_le (innerSL ℝ) hf h'f hk hn
  w w
state_before: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : V
⊢ ‖w‖ ^ n * (‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤
    ‖w‖ ^ n *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ n *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
state_after: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : V
this :
  |((innerSL ℝ) w) w| ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 volume (innerSL ℝ).toLinearMap₂ f) w‖ ≤
    ‖w‖ ^ n * (2 * π * ‖innerSL ℝ‖) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂volume
⊢ ‖w‖ ^ n * (‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤
    ‖w‖ ^ n *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ n *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))

tactic: simp only [innerSL_apply _ w w, real_inner_self_eq_norm_sq w, _root_.abs_pow, abs_norm,
  mul_assoc] at this
state_before: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : V
this :
  |((innerSL ℝ) w) w| ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 volume (innerSL ℝ).toLinearMap₂ f) w‖ ≤
    ‖w‖ ^ n * (2 * π * ‖innerSL ℝ‖) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂volume
⊢ ‖w‖ ^ n * (‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤
    ‖w‖ ^ n *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ n *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
state_after: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : V
this :
  (‖w‖ ^ 2) ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 volume (innerSL ℝ).toLinearMap₂ f) w‖ ≤
    ‖w‖ ^ n *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ n *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1),
            ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂volume))
⊢ ‖w‖ ^ n * (‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤
    ‖w‖ ^ n *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ n *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))

tactic: rwa [pow_two, mul_pow, mul_assoc] at this
state_before: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : V
this :
  (‖w‖ ^ 2) ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 volume (innerSL ℝ).toLinearMap₂ f) w‖ ≤
    ‖w‖ ^ n *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ n *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1),
            ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂volume))
⊢ ‖w‖ ^ n * (‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤
    ‖w‖ ^ n *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ n *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
state_after: no goals

tactic: simp only [pow_zero, one_mul, mul_one, zero_add, Finset.range_one, Finset.product_singleton,
  Finset.sum_map, Function.Embedding.coeFn_mk, norm_iteratedFDeriv_zero, ge_iff_le] at Z ⊢
state_before: case inl
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
w : V
hn : ↑0 ≤ N
Z :
  ‖w‖ ^ 0 * (‖w‖ ^ 0 * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤
    ‖w‖ ^ 0 *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ 0 *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (0 + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
⊢ ‖w‖ ^ 0 * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ 0 *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (0 + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖
state_after: case inl
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
w : V
hn : ↑0 ≤ N
Z : ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ∑ x ∈ Finset.range (k + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ x * ‖f v‖
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * π) ^ k * ∑ x ∈ Finset.range (k + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ x * ‖f v‖

tactic: apply Z.trans
state_before: case inl
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
w : V
hn : ↑0 ≤ N
Z : ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ∑ x ∈ Finset.range (k + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ x * ‖f v‖
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * π) ^ k * ∑ x ∈ Finset.range (k + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ x * ‖f v‖
state_after: case inl
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
w : V
hn : ↑0 ≤ N
Z : ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ∑ x ∈ Finset.range (k + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ x * ‖f v‖
⊢ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ∑ x ∈ Finset.range (k + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ x * ‖f v‖ ≤
    (2 * π) ^ k * ∑ x ∈ Finset.range (k + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ x * ‖f v‖

tactic: conv_rhs => rw [← mul_one π]
state_before: case inl
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
w : V
hn : ↑0 ≤ N
Z : ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ∑ x ∈ Finset.range (k + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ x * ‖f v‖
⊢ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ∑ x ∈ Finset.range (k + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ x * ‖f v‖ ≤
    (2 * π) ^ k * ∑ x ∈ Finset.range (k + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ x * ‖f v‖
state_after: case inl
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
w : V
hn : ↑0 ≤ N
Z : ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ∑ x ∈ Finset.range (k + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ x * ‖f v‖
⊢ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ∑ x ∈ Finset.range (k + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ x * ‖f v‖ ≤
    (2 * (π * 1)) ^ k * ∑ x ∈ Finset.range (k + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ x * ‖f v‖

tactic: gcongr
state_before: case inl
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
w : V
hn : ↑0 ≤ N
Z : ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ∑ x ∈ Finset.range (k + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ x * ‖f v‖
⊢ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ∑ x ∈ Finset.range (k + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ x * ‖f v‖ ≤
    (2 * (π * 1)) ^ k * ∑ x ∈ Finset.range (k + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ x * ‖f v‖
state_after: case inl.h.hab.h.h
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
w : V
hn : ↑0 ≤ N
Z : ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ∑ x ∈ Finset.range (k + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ x * ‖f v‖
⊢ ‖innerSL ℝ‖ ≤ 1

tactic: exact norm_innerSL_le _
state_before: case inl.h.hab.h.h
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
w : V
hn : ↑0 ≤ N
Z : ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤ (2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k * ∑ x ∈ Finset.range (k + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ x * ‖f v‖
⊢ ‖innerSL ℝ‖ ≤ 1
state_after: no goals

tactic: simp [hn]
state_before: case inr.inl
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
hn : n ≠ 0
Z :
  ‖0‖ ^ n * (‖0‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) 0‖) ≤
    ‖0‖ ^ n *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ n *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
⊢ ‖0‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) 0‖ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖
state_after: case inr.inl
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
hn : n ≠ 0
Z :
  ‖0‖ ^ n * (‖0‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) 0‖) ≤
    ‖0‖ ^ n *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ n *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
⊢ 0 ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖

tactic: positivity
state_before: case inr.inl
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
hn : n ≠ 0
Z :
  ‖0‖ ^ n * (‖0‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) 0‖) ≤
    ‖0‖ ^ n *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ n *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
⊢ 0 ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖
state_after: no goals

tactic: simp [hw]
state_before: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
f : V → E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z :
  ‖w‖ ^ n * (‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤
    ‖w‖ ^ n *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ n *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
hn : n ≠ 0
hw : w ≠ 0
⊢ 0 < ‖w‖
state_after: no goals