Theorem: LieIdeal.map_bracket_eq
File: Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean

tactic: suffices ⁅map f I₁, map f I₂⁆ ≤ map f ⁅I₁, I₂⁆ by exact le_antisymm (map_bracket_le f) this
state_before: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ map f ⁅I₁, I₂⁆ = ⁅map f I₁, map f I₂⁆
state_after: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ ⁅map f I₁, map f I₂⁆ ≤ map f ⁅I₁, I₂⁆

tactic: rw [← LieSubmodule.coeSubmodule_le_coeSubmodule, coe_map_of_surjective h,
  LieSubmodule.lieIdeal_oper_eq_linear_span, LieSubmodule.lieIdeal_oper_eq_linear_span,
  LinearMap.map_span]
state_before: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ ⁅map f I₁, map f I₂⁆ ≤ map f ⁅I₁, I₂⁆
state_after: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ≤ Submodule.span R (⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m})

tactic: apply Submodule.span_mono
state_before: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ≤ Submodule.span R (⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m})
state_after: case h
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

tactic: rintro x ⟨⟨z₁, h₁⟩, ⟨z₂, h₂⟩, rfl⟩
state_before: case h
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
state_after: case h.intro.mk.intro.mk
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
z₁ : L'
h₁ : z₁ ∈ map f I₁
z₂ : L'
h₂ : z₂ ∈ map f I₂
⊢ ⁅↑⟨z₁, h₁⟩, ↑⟨z₂, h₂⟩⁆ ∈ ⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

tactic: obtain ⟨y₁, rfl⟩ := mem_map_of_surjective h h₁
state_before: case h.intro.mk.intro.mk
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
z₁ : L'
h₁ : z₁ ∈ map f I₁
z₂ : L'
h₂ : z₂ ∈ map f I₂
⊢ ⁅↑⟨z₁, h₁⟩, ↑⟨z₂, h₂⟩⁆ ∈ ⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
state_after: case h.intro.mk.intro.mk.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
z₂ : L'
h₂ : z₂ ∈ map f I₂
y₁ : ↥I₁
h₁ : f ↑y₁ ∈ map f I₁
⊢ ⁅↑⟨f ↑y₁, h₁⟩, ↑⟨z₂, h₂⟩⁆ ∈ ⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

tactic: obtain ⟨y₂, rfl⟩ := mem_map_of_surjective h h₂
state_before: case h.intro.mk.intro.mk.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
z₂ : L'
h₂ : z₂ ∈ map f I₂
y₁ : ↥I₁
h₁ : f ↑y₁ ∈ map f I₁
⊢ ⁅↑⟨f ↑y₁, h₁⟩, ↑⟨z₂, h₂⟩⁆ ∈ ⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
state_after: case h.intro.mk.intro.mk.intro.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
y₁ : ↥I₁
h₁ : f ↑y₁ ∈ map f I₁
y₂ : ↥I₂
h₂ : f ↑y₂ ∈ map f I₂
⊢ ⁅↑⟨f ↑y₁, h₁⟩, ↑⟨f ↑y₂, h₂⟩⁆ ∈ ⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

tactic: exact ⟨⁅(y₁ : L), (y₂ : L)⁆, ⟨y₁, y₂, rfl⟩, by apply f.map_lie⟩
state_before: case h.intro.mk.intro.mk.intro.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
y₁ : ↥I₁
h₁ : f ↑y₁ ∈ map f I₁
y₂ : ↥I₂
h₂ : f ↑y₂ ∈ map f I₂
⊢ ⁅↑⟨f ↑y₁, h₁⟩, ↑⟨f ↑y₂, h₂⟩⁆ ∈ ⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
state_after: no goals

tactic: exact le_antisymm (map_bracket_le f) this
state_before: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
this : ⁅map f I₁, map f I₂⁆ ≤ map f ⁅I₁, I₂⁆
⊢ map f ⁅I₁, I₂⁆ = ⁅map f I₁, map f I₂⁆
state_after: no goals

tactic: apply f.map_lie
state_before: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
y₁ : ↥I₁
h₁ : f ↑y₁ ∈ map f I₁
y₂ : ↥I₂
h₂ : f ↑y₂ ∈ map f I₂
⊢ ↑f ⁅↑y₁, ↑y₂⁆ = ⁅↑⟨f ↑y₁, h₁⟩, ↑⟨f ↑y₂, h₂⟩⁆
state_after: no goals