Theorem: MeasureTheory.continuous_of_dominated
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean

tactic: by_cases hG : CompleteSpace G
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
F : X → α → G
bound : α → ℝ
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) μ
h_bound : ∀ (x : X), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Continuous fun x => F x a
⊢ Continuous fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
F : X → α → G
bound : α → ℝ
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) μ
h_bound : ∀ (x : X), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Continuous fun x => F x a
hG : CompleteSpace G
⊢ Continuous fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ

case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
F : X → α → G
bound : α → ℝ
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) μ
h_bound : ∀ (x : X), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Continuous fun x => F x a
hG : ¬CompleteSpace G
⊢ Continuous fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ

tactic: simp only [integral, hG, L1.integral]
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
F : X → α → G
bound : α → ℝ
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) μ
h_bound : ∀ (x : X), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Continuous fun x => F x a
hG : CompleteSpace G
⊢ Continuous fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
F : X → α → G
bound : α → ℝ
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) μ
h_bound : ∀ (x : X), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Continuous fun x => F x a
hG : CompleteSpace G
⊢ Continuous fun x =>
    if h : True then
      if hf : Integrable (fun a => F x a) μ then L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => F x a) hf) else 0
    else 0

tactic: exact continuous_setToFun_of_dominated (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul μ)
  hF_meas h_bound bound_integrable h_cont
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
F : X → α → G
bound : α → ℝ
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) μ
h_bound : ∀ (x : X), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Continuous fun x => F x a
hG : CompleteSpace G
⊢ Continuous fun x =>
    if h : True then
      if hf : Integrable (fun a => F x a) μ then L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => F x a) hf) else 0
    else 0
state_after: no goals

tactic: simp [integral, hG, continuous_const]
state_before: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
F : X → α → G
bound : α → ℝ
hF_meas : ∀ (x : X), AEStronglyMeasurable (F x) μ
h_bound : ∀ (x : X), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Continuous fun x => F x a
hG : ¬CompleteSpace G
⊢ Continuous fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ
state_after: no goals