Theorem: CategoryTheory.isSeparator_iff_epi
File: Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean

tactic: rw [isSeparator_def]
state_before: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
inst✝ : ∀ (A : C), HasCoproduct fun x => G
⊢ IsSeparator G ↔ ∀ (A : C), Epi (Sigma.desc fun f => f)
state_after: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
inst✝ : ∀ (A : C), HasCoproduct fun x => G
⊢ (∀ ⦃X Y : C⦄ (f g : X ⟶ Y), (∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g) → f = g) ↔ ∀ (A : C), Epi (Sigma.desc fun f => f)

tactic: refine ⟨fun h A => ⟨fun u v huv => h _ _ fun i => ?_⟩, fun h X Y f g hh => ?_⟩
state_before: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
inst✝ : ∀ (A : C), HasCoproduct fun x => G
⊢ (∀ ⦃X Y : C⦄ (f g : X ⟶ Y), (∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g) → f = g) ↔ ∀ (A : C), Epi (Sigma.desc fun f => f)
state_after: case refine_1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
inst✝ : ∀ (A : C), HasCoproduct fun x => G
h : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f g : X ⟶ Y), (∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g) → f = g
A Z✝ : C
u v : A ⟶ Z✝
huv : (Sigma.desc fun f => f) ≫ u = (Sigma.desc fun f => f) ≫ v
i : G ⟶ A
⊢ i ≫ u = i ≫ v

case refine_2
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
inst✝ : ∀ (A : C), HasCoproduct fun x => G
h : ∀ (A : C), Epi (Sigma.desc fun f => f)
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hh : ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g
⊢ f = g

tactic: simpa using Sigma.ι _ i ≫= huv
state_before: case refine_1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
inst✝ : ∀ (A : C), HasCoproduct fun x => G
h : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f g : X ⟶ Y), (∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g) → f = g
A Z✝ : C
u v : A ⟶ Z✝
huv : (Sigma.desc fun f => f) ≫ u = (Sigma.desc fun f => f) ≫ v
i : G ⟶ A
⊢ i ≫ u = i ≫ v
state_after: no goals

tactic: haveI := h X
state_before: case refine_2
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
inst✝ : ∀ (A : C), HasCoproduct fun x => G
h : ∀ (A : C), Epi (Sigma.desc fun f => f)
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hh : ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g
⊢ f = g
state_after: case refine_2
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
inst✝ : ∀ (A : C), HasCoproduct fun x => G
h : ∀ (A : C), Epi (Sigma.desc fun f => f)
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hh : ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g
this : Epi (Sigma.desc fun f => f)
⊢ f = g

tactic: refine (cancel_epi (Sigma.desc fun f : G ⟶ X => f)).1 (colimit.hom_ext fun j => ?_)
state_before: case refine_2
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
inst✝ : ∀ (A : C), HasCoproduct fun x => G
h : ∀ (A : C), Epi (Sigma.desc fun f => f)
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hh : ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g
this : Epi (Sigma.desc fun f => f)
⊢ f = g
state_after: case refine_2
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
inst✝ : ∀ (A : C), HasCoproduct fun x => G
h : ∀ (A : C), Epi (Sigma.desc fun f => f)
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hh : ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g
this : Epi (Sigma.desc fun f => f)
j : Discrete (G ⟶ X)
⊢ colimit.ι (Discrete.functor fun f => G) j ≫ (Sigma.desc fun f => f) ≫ f =
    colimit.ι (Discrete.functor fun f => G) j ≫ (Sigma.desc fun f => f) ≫ g

tactic: simpa using hh j.as
state_before: case refine_2
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
inst✝ : ∀ (A : C), HasCoproduct fun x => G
h : ∀ (A : C), Epi (Sigma.desc fun f => f)
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hh : ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g
this : Epi (Sigma.desc fun f => f)
j : Discrete (G ⟶ X)
⊢ colimit.ι (Discrete.functor fun f => G) j ≫ (Sigma.desc fun f => f) ≫ f =
    colimit.ι (Discrete.functor fun f => G) j ≫ (Sigma.desc fun f => f) ≫ g
state_after: no goals