Theorem: Polynomial.leadingCoeff_divByMonic_of_monic
File: Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean

tactic: nontriviality
state_before: R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hmonic : q.Monic
hdegree : q.degree ≤ p.degree
⊢ (p /ₘ q).leadingCoeff = p.leadingCoeff
state_after: R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hmonic : q.Monic
hdegree : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
⊢ (p /ₘ q).leadingCoeff = p.leadingCoeff

tactic: have h : q.leadingCoeff * (p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0 := by
  simpa [divByMonic_eq_zero_iff hmonic, hmonic.leadingCoeff,
    Nat.WithBot.one_le_iff_zero_lt] using hdegree
state_before: R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hmonic : q.Monic
hdegree : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
⊢ (p /ₘ q).leadingCoeff = p.leadingCoeff
state_after: R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hmonic : q.Monic
hdegree : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
h : q.leadingCoeff * (p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p /ₘ q).leadingCoeff = p.leadingCoeff

tactic: nth_rw 2 [← modByMonic_add_div p hmonic]
state_before: R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hmonic : q.Monic
hdegree : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
h : q.leadingCoeff * (p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p /ₘ q).leadingCoeff = p.leadingCoeff
state_after: R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hmonic : q.Monic
hdegree : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
h : q.leadingCoeff * (p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p /ₘ q).leadingCoeff = (p %ₘ q + q * (p /ₘ q)).leadingCoeff

tactic: rw [leadingCoeff_add_of_degree_lt, leadingCoeff_monic_mul hmonic]
state_before: R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hmonic : q.Monic
hdegree : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
h : q.leadingCoeff * (p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p /ₘ q).leadingCoeff = (p %ₘ q + q * (p /ₘ q)).leadingCoeff
state_after: R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hmonic : q.Monic
hdegree : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
h : q.leadingCoeff * (p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p %ₘ q).degree < (q * (p /ₘ q)).degree

tactic: rw [degree_mul' h, degree_add_divByMonic hmonic hdegree]
state_before: R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hmonic : q.Monic
hdegree : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
h : q.leadingCoeff * (p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p %ₘ q).degree < (q * (p /ₘ q)).degree
state_after: R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hmonic : q.Monic
hdegree : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
h : q.leadingCoeff * (p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p %ₘ q).degree < p.degree

tactic: exact (degree_modByMonic_lt p hmonic).trans_le hdegree
state_before: R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hmonic : q.Monic
hdegree : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
h : q.leadingCoeff * (p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
⊢ (p %ₘ q).degree < p.degree
state_after: no goals

tactic: simpa [divByMonic_eq_zero_iff hmonic, hmonic.leadingCoeff,
  Nat.WithBot.one_le_iff_zero_lt] using hdegree
state_before: R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hmonic : q.Monic
hdegree : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
⊢ q.leadingCoeff * (p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
state_after: no goals