Theorem: MeasureTheory.Integrable.measure_norm_ge_lt_top
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean

tactic: rw [show { x | ε ≤ ‖f x‖ } = { x | ENNReal.ofReal ε ≤ ‖f x‖₊ } by
    simp only [ENNReal.ofReal, Real.toNNReal_le_iff_le_coe, ENNReal.coe_le_coe, coe_nnnorm]]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ μ {x | ε ≤ ‖f x‖} < ⊤
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ μ {x | ENNReal.ofReal ε ≤ ↑‖f x‖₊} < ⊤

tactic: refine (meas_ge_le_mul_pow_snorm μ one_ne_zero ENNReal.one_ne_top hf.1 ?_).trans_lt ?_
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ μ {x | ENNReal.ofReal ε ≤ ↑‖f x‖₊} < ⊤
state_after: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ENNReal.ofReal ε ≠ 0

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ (ENNReal.ofReal ε)⁻¹ ^ ENNReal.toReal 1 * snorm f 1 μ ^ ENNReal.toReal 1 < ⊤

tactic: apply ENNReal.mul_lt_top
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ (ENNReal.ofReal ε)⁻¹ ^ ENNReal.toReal 1 * snorm f 1 μ ^ ENNReal.toReal 1 < ⊤
state_after: case refine_2.a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ (ENNReal.ofReal ε)⁻¹ ^ ENNReal.toReal 1 ≠ ⊤

case refine_2.a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ snorm f 1 μ ^ ENNReal.toReal 1 ≠ ⊤

tactic: simpa only [ENNReal.one_toReal, ENNReal.rpow_one] using
  (memℒp_one_iff_integrable.2 hf).snorm_ne_top
state_before: case refine_2.a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ snorm f 1 μ ^ ENNReal.toReal 1 ≠ ⊤
state_after: no goals

tactic: simp only [ENNReal.ofReal, Real.toNNReal_le_iff_le_coe, ENNReal.coe_le_coe, coe_nnnorm]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ {x | ε ≤ ‖f x‖} = {x | ENNReal.ofReal ε ≤ ↑‖f x‖₊}
state_after: no goals

tactic: simpa only [Ne, ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le] using hε
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ENNReal.ofReal ε ≠ 0
state_after: no goals

tactic: simpa only [ENNReal.one_toReal, ENNReal.rpow_one, Ne, ENNReal.inv_eq_top,
  ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le] using hε
state_before: case refine_2.a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ (ENNReal.ofReal ε)⁻¹ ^ ENNReal.toReal 1 ≠ ⊤
state_after: no goals