Theorem: IsLUB.frequently_mem
File: Mathlib/Topology/Order/IsLUB.lean

tactic: rcases hs with ⟨a', ha'⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
a : α
s : Set α
ha : IsLUB s a
hs : s.Nonempty
⊢ ∃ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a, x ∈ s
state_after: case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
a : α
s : Set α
ha : IsLUB s a
a' : α
ha' : a' ∈ s
⊢ ∃ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a, x ∈ s

tactic: intro h
state_before: case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
a : α
s : Set α
ha : IsLUB s a
a' : α
ha' : a' ∈ s
⊢ ∃ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a, x ∈ s
state_after: case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
a : α
s : Set α
ha : IsLUB s a
a' : α
ha' : a' ∈ s
h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a, ¬(fun x => x ∈ s) x
⊢ False

tactic: rcases (ha.1 ha').eq_or_lt with (rfl | ha'a)
state_before: case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
a : α
s : Set α
ha : IsLUB s a
a' : α
ha' : a' ∈ s
h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a, ¬(fun x => x ∈ s) x
⊢ False
state_after: case intro.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
s : Set α
a' : α
ha' : a' ∈ s
ha : IsLUB s a'
h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a', ¬(fun x => x ∈ s) x
⊢ False

case intro.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
a : α
s : Set α
ha : IsLUB s a
a' : α
ha' : a' ∈ s
h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a, ¬(fun x => x ∈ s) x
ha'a : a' < a
⊢ False

tactic: exact h.self_of_nhdsWithin le_rfl ha'
state_before: case intro.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
s : Set α
a' : α
ha' : a' ∈ s
ha : IsLUB s a'
h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a', ¬(fun x => x ∈ s) x
⊢ False
state_after: no goals

tactic: rcases (mem_nhdsWithin_Iic_iff_exists_Ioc_subset' ha'a).1 h with ⟨b, hba, hb⟩
state_before: case intro.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
a : α
s : Set α
ha : IsLUB s a
a' : α
ha' : a' ∈ s
h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a, ¬(fun x => x ∈ s) x
ha'a : a' < a
⊢ False
state_after: case intro.inr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
a : α
s : Set α
ha : IsLUB s a
a' : α
ha' : a' ∈ s
h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a, ¬(fun x => x ∈ s) x
ha'a : a' < a
b : α
hba : b ∈ Iio a
hb : Ioc b a ⊆ {x | (fun x => ¬(fun x => x ∈ s) x) x}
⊢ False

tactic: rcases ha.exists_between hba with ⟨b', hb's, hb'⟩
state_before: case intro.inr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
a : α
s : Set α
ha : IsLUB s a
a' : α
ha' : a' ∈ s
h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a, ¬(fun x => x ∈ s) x
ha'a : a' < a
b : α
hba : b ∈ Iio a
hb : Ioc b a ⊆ {x | (fun x => ¬(fun x => x ∈ s) x) x}
⊢ False
state_after: case intro.inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
a : α
s : Set α
ha : IsLUB s a
a' : α
ha' : a' ∈ s
h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a, ¬(fun x => x ∈ s) x
ha'a : a' < a
b : α
hba : b ∈ Iio a
hb : Ioc b a ⊆ {x | (fun x => ¬(fun x => x ∈ s) x) x}
b' : α
hb's : b' ∈ s
hb' : b < b' ∧ b' ≤ a
⊢ False

tactic: exact hb hb' hb's
state_before: case intro.inr.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
a : α
s : Set α
ha : IsLUB s a
a' : α
ha' : a' ∈ s
h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a, ¬(fun x => x ∈ s) x
ha'a : a' < a
b : α
hba : b ∈ Iio a
hb : Ioc b a ⊆ {x | (fun x => ¬(fun x => x ∈ s) x) x}
b' : α
hb's : b' ∈ s
hb' : b < b' ∧ b' ≤ a
⊢ False
state_after: no goals