Theorem: WeierstrassCurve.Jacobian.addX_eq'
File: Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean

tactic: linear_combination (norm := (rw [addX, addZ]; ring1)) -Q z ^ 6 * (equation_iff P).mp hP
  - P z ^ 6 * (equation_iff Q).mp hQ
state_before: R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
⊢ W'.addX P Q * (P z * Q z) ^ 2 =
    (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) ^ 2 + W'.a₁ * (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) * P z * Q z * addZ P Q -
          W'.a₂ * P z ^ 2 * Q z ^ 2 * addZ P Q ^ 2 -
        P x * Q z ^ 2 * addZ P Q ^ 2 -
      Q x * P z ^ 2 * addZ P Q ^ 2
state_after: no goals

tactic: rw [addX, addZ]
state_before: case a
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
⊢ W'.addX P Q * (P z * Q z) ^ 2 -
        ((P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) ^ 2 + W'.a₁ * (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) * P z * Q z * addZ P Q -
              W'.a₂ * P z ^ 2 * Q z ^ 2 * addZ P Q ^ 2 -
            P x * Q z ^ 2 * addZ P Q ^ 2 -
          Q x * P z ^ 2 * addZ P Q ^ 2) -
      (-Q z ^ 6 *
            (P y ^ 2 + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * P z ^ 3 -
              (P x ^ 3 + W'.a₂ * P x ^ 2 * P z ^ 2 + W'.a₄ * P x * P z ^ 4 + W'.a₆ * P z ^ 6)) -
          P z ^ 6 *
            (Q y ^ 2 + W'.a₁ * Q x * Q y * Q z + W'.a₃ * Q y * Q z ^ 3 -
              (Q x ^ 3 + W'.a₂ * Q x ^ 2 * Q z ^ 2 + W'.a₄ * Q x * Q z ^ 4 + W'.a₆ * Q z ^ 6)) -
        (-Q z ^ 6 * 0 - P z ^ 6 * 0)) =
    0
state_after: case a
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
⊢ (P x * Q x ^ 2 * P z ^ 2 - 2 * P y * Q y * P z * Q z + P x ^ 2 * Q x * Q z ^ 2 - W'.a₁ * P x * Q y * P z ^ 2 * Q z -
                        W'.a₁ * P y * Q x * P z * Q z ^ 2 +
                      2 * W'.a₂ * P x * Q x * P z ^ 2 * Q z ^ 2 -
                    W'.a₃ * Q y * P z ^ 4 * Q z -
                  W'.a₃ * P y * P z * Q z ^ 4 +
                W'.a₄ * Q x * P z ^ 4 * Q z ^ 2 +
              W'.a₄ * P x * P z ^ 2 * Q z ^ 4 +
            2 * W'.a₆ * P z ^ 4 * Q z ^ 4) *
          (P z * Q z) ^ 2 -
        ((P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) ^ 2 +
                W'.a₁ * (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) * P z * Q z * (P x * Q z ^ 2 - Q x * P z ^ 2) -
              W'.a₂ * P z ^ 2 * Q z ^ 2 * (P x * Q z ^ 2 - Q x * P z ^ 2) ^ 2 -
            P x * Q z ^ 2 * (P x * Q z ^ 2 - Q x * P z ^ 2) ^ 2 -
          Q x * P z ^ 2 * (P x * Q z ^ 2 - Q x * P z ^ 2) ^ 2) -
      (-Q z ^ 6 *
            (P y ^ 2 + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * P z ^ 3 -
              (P x ^ 3 + W'.a₂ * P x ^ 2 * P z ^ 2 + W'.a₄ * P x * P z ^ 4 + W'.a₆ * P z ^ 6)) -
          P z ^ 6 *
            (Q y ^ 2 + W'.a₁ * Q x * Q y * Q z + W'.a₃ * Q y * Q z ^ 3 -
              (Q x ^ 3 + W'.a₂ * Q x ^ 2 * Q z ^ 2 + W'.a₄ * Q x * Q z ^ 4 + W'.a₆ * Q z ^ 6)) -
        (-Q z ^ 6 * 0 - P z ^ 6 * 0)) =
    0

tactic: ring1
state_before: case a
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
⊢ (P x * Q x ^ 2 * P z ^ 2 - 2 * P y * Q y * P z * Q z + P x ^ 2 * Q x * Q z ^ 2 - W'.a₁ * P x * Q y * P z ^ 2 * Q z -
                        W'.a₁ * P y * Q x * P z * Q z ^ 2 +
                      2 * W'.a₂ * P x * Q x * P z ^ 2 * Q z ^ 2 -
                    W'.a₃ * Q y * P z ^ 4 * Q z -
                  W'.a₃ * P y * P z * Q z ^ 4 +
                W'.a₄ * Q x * P z ^ 4 * Q z ^ 2 +
              W'.a₄ * P x * P z ^ 2 * Q z ^ 4 +
            2 * W'.a₆ * P z ^ 4 * Q z ^ 4) *
          (P z * Q z) ^ 2 -
        ((P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) ^ 2 +
                W'.a₁ * (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) * P z * Q z * (P x * Q z ^ 2 - Q x * P z ^ 2) -
              W'.a₂ * P z ^ 2 * Q z ^ 2 * (P x * Q z ^ 2 - Q x * P z ^ 2) ^ 2 -
            P x * Q z ^ 2 * (P x * Q z ^ 2 - Q x * P z ^ 2) ^ 2 -
          Q x * P z ^ 2 * (P x * Q z ^ 2 - Q x * P z ^ 2) ^ 2) -
      (-Q z ^ 6 *
            (P y ^ 2 + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * P z ^ 3 -
              (P x ^ 3 + W'.a₂ * P x ^ 2 * P z ^ 2 + W'.a₄ * P x * P z ^ 4 + W'.a₆ * P z ^ 6)) -
          P z ^ 6 *
            (Q y ^ 2 + W'.a₁ * Q x * Q y * Q z + W'.a₃ * Q y * Q z ^ 3 -
              (Q x ^ 3 + W'.a₂ * Q x ^ 2 * Q z ^ 2 + W'.a₄ * Q x * Q z ^ 4 + W'.a₆ * Q z ^ 6)) -
        (-Q z ^ 6 * 0 - P z ^ 6 * 0)) =
    0
state_after: no goals