Theorem: StarAlgHom.range_eq_map_top
File: Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean

tactic: rintro ⟨a, ha⟩
state_before: F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarModule R A
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : AlgHomClass F R A B
inst✝ : StarAlgHomClass F R A B
f g : F
φ : A →⋆ₐ[R] B
x : B
⊢ x ∈ φ.range → x ∈ map φ ⊤
state_after: case intro
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarModule R A
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : AlgHomClass F R A B
inst✝ : StarAlgHomClass F R A B
f g : F
φ : A →⋆ₐ[R] B
x : B
a : A
ha : φ.toRingHom a = x
⊢ x ∈ map φ ⊤

tactic: exact ⟨a, by simp, ha⟩
state_before: case intro
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarModule R A
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : AlgHomClass F R A B
inst✝ : StarAlgHomClass F R A B
f g : F
φ : A →⋆ₐ[R] B
x : B
a : A
ha : φ.toRingHom a = x
⊢ x ∈ map φ ⊤
state_after: no goals

tactic: simp
state_before: F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarModule R A
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : AlgHomClass F R A B
inst✝ : StarAlgHomClass F R A B
f g : F
φ : A →⋆ₐ[R] B
x : B
a : A
ha : φ.toRingHom a = x
⊢ a ∈ ↑⊤.toSubsemiring
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨a, -, ha⟩
state_before: F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarModule R A
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : AlgHomClass F R A B
inst✝ : StarAlgHomClass F R A B
f g : F
φ : A →⋆ₐ[R] B
x : B
⊢ x ∈ map φ ⊤ → x ∈ φ.range
state_after: case intro.intro
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarModule R A
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : AlgHomClass F R A B
inst✝ : StarAlgHomClass F R A B
f g : F
φ : A →⋆ₐ[R] B
x : B
a : A
ha : ↑φ.toAlgHom a = x
⊢ x ∈ φ.range

tactic: exact ⟨a, ha⟩
state_before: case intro.intro
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarModule R A
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : AlgHomClass F R A B
inst✝ : StarAlgHomClass F R A B
f g : F
φ : A →⋆ₐ[R] B
x : B
a : A
ha : ↑φ.toAlgHom a = x
⊢ x ∈ φ.range
state_after: no goals