Theorem: Lagrange.sum_basis
File: Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean

tactic: refine eq_of_degrees_lt_of_eval_index_eq s hvs (lt_of_le_of_lt (degree_sum_le _ _) ?_) ?_ ?_
state_before: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
⊢ ∑ j ∈ s, Lagrange.basis s v j = 1
state_after: case refine_1
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
⊢ (s.sup fun b => (Lagrange.basis s v b).degree) < ↑s.card

case refine_2
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
⊢ degree 1 < ↑s.card

case refine_3
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
⊢ ∀ i ∈ s, eval (v i) (∑ j ∈ s, Lagrange.basis s v j) = eval (v i) 1

tactic: rw [Nat.cast_withBot, Finset.sup_lt_iff (WithBot.bot_lt_coe s.card)]
state_before: case refine_1
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
⊢ (s.sup fun b => (Lagrange.basis s v b).degree) < ↑s.card
state_after: case refine_1
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
⊢ ∀ b ∈ s, (Lagrange.basis s v b).degree < ↑s.card

tactic: intro i hi
state_before: case refine_1
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
⊢ ∀ b ∈ s, (Lagrange.basis s v b).degree < ↑s.card
state_after: case refine_1
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i✝ j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ (Lagrange.basis s v i).degree < ↑s.card

tactic: rw [degree_basis hvs hi, Nat.cast_withBot, WithBot.coe_lt_coe]
state_before: case refine_1
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i✝ j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ (Lagrange.basis s v i).degree < ↑s.card
state_after: case refine_1
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i✝ j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ s.card - 1 < s.card

tactic: exact Nat.pred_lt (card_ne_zero_of_mem hi)
state_before: case refine_1
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i✝ j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ s.card - 1 < s.card
state_after: no goals

tactic: rw [degree_one, ← WithBot.coe_zero, Nat.cast_withBot, WithBot.coe_lt_coe]
state_before: case refine_2
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
⊢ degree 1 < ↑s.card
state_after: case refine_2
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
⊢ 0 < s.card

tactic: exact Nonempty.card_pos hs
state_before: case refine_2
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
⊢ 0 < s.card
state_after: no goals

tactic: intro i hi
state_before: case refine_3
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
⊢ ∀ i ∈ s, eval (v i) (∑ j ∈ s, Lagrange.basis s v j) = eval (v i) 1
state_after: case refine_3
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i✝ j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ eval (v i) (∑ j ∈ s, Lagrange.basis s v j) = eval (v i) 1

tactic: rw [eval_finset_sum, eval_one, ← add_sum_erase _ _ hi, eval_basis_self hvs hi,
  add_right_eq_self]
state_before: case refine_3
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i✝ j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ eval (v i) (∑ j ∈ s, Lagrange.basis s v j) = eval (v i) 1
state_after: case refine_3
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i✝ j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ∑ x ∈ s.erase i, eval (v i) (Lagrange.basis s v x) = 0

tactic: refine sum_eq_zero fun j hj => ?_
state_before: case refine_3
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i✝ j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ∑ x ∈ s.erase i, eval (v i) (Lagrange.basis s v x) = 0
state_after: case refine_3
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i✝ j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
⊢ eval (v i) (Lagrange.basis s v j) = 0

tactic: rcases mem_erase.mp hj with ⟨hij, _⟩
state_before: case refine_3
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i✝ j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
⊢ eval (v i) (Lagrange.basis s v j) = 0
state_after: case refine_3.intro
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i✝ j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
hij : j ≠ i
right✝ : j ∈ s
⊢ eval (v i) (Lagrange.basis s v j) = 0

tactic: rw [eval_basis_of_ne hij hi]
state_before: case refine_3.intro
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i✝ j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
hij : j ≠ i
right✝ : j ∈ s
⊢ eval (v i) (Lagrange.basis s v j) = 0
state_after: no goals