Theorem: Set.Countable.isLindelof_biUnion
File: Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean

tactic: apply isLindelof_of_countable_subcover
state_before: X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
⊢ IsLindelof (⋃ i ∈ s, f i)
state_after: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
⊢ ∀ {ι_1 : Type u} (U : ι_1 → Set X),
    (∀ (i : ι_1), IsOpen (U i)) → ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i → ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i ∈ t, U i

tactic: intro i U hU hUcover
state_before: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
⊢ ∀ {ι_1 : Type u} (U : ι_1 → Set X),
    (∀ (i : ι_1), IsOpen (U i)) → ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i → ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
state_after: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1

tactic: have hiU : ∀ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i :=
  fun _ is ↦ _root_.subset_trans (subset_biUnion_of_mem is) hUcover
state_before: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1
state_after: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1

tactic: have iSets := fun i is ↦ (hf i is).elim_countable_subcover U hU (hiU i is)
state_before: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1
state_after: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
iSets : ∀ i_1 ∈ s, ∃ r, r.Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r, U i_2
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1

tactic: choose! r hr using iSets
state_before: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
iSets : ∀ i_1 ∈ s, ∃ r, r.Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r, U i_2
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1
state_after: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i
hr : ∀ i_1 ∈ s, (r i_1).Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r i_1, U i_2
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1

tactic: use ⋃ i ∈ s, r i
state_before: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i
hr : ∀ i_1 ∈ s, (r i_1).Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r i_1, U i_2
⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1
state_after: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i
hr : ∀ i_1 ∈ s, (r i_1).Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r i_1, U i_2
⊢ (⋃ i_1 ∈ s, r i_1).Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ ⋃ i_2 ∈ s, r i_2, U i_1

tactic: constructor
state_before: case h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i
hr : ∀ i_1 ∈ s, (r i_1).Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r i_1, U i_2
⊢ (⋃ i_1 ∈ s, r i_1).Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ ⋃ i_2 ∈ s, r i_2, U i_1
state_after: case h.left
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i
hr : ∀ i_1 ∈ s, (r i_1).Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r i_1, U i_2
⊢ (⋃ i_1 ∈ s, r i_1).Countable

case h.right
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i
hr : ∀ i_1 ∈ s, (r i_1).Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r i_1, U i_2
⊢ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ ⋃ i_2 ∈ s, r i_2, U i_1

tactic: refine (Countable.biUnion_iff hs).mpr ?h.left.a
state_before: case h.left
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i
hr : ∀ i_1 ∈ s, (r i_1).Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r i_1, U i_2
⊢ (⋃ i_1 ∈ s, r i_1).Countable
state_after: case h.left.a
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i
hr : ∀ i_1 ∈ s, (r i_1).Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r i_1, U i_2
⊢ ∀ a ∈ s, (r a).Countable

tactic: exact fun s hs ↦ (hr s hs).1
state_before: case h.left.a
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i
hr : ∀ i_1 ∈ s, (r i_1).Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r i_1, U i_2
⊢ ∀ a ∈ s, (r a).Countable
state_after: no goals

tactic: refine iUnion₂_subset ?h.right.h
state_before: case h.right
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i
hr : ∀ i_1 ∈ s, (r i_1).Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r i_1, U i_2
⊢ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ ⋃ i_2 ∈ s, r i_2, U i_1
state_after: case h.right.h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i
hr : ∀ i_1 ∈ s, (r i_1).Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r i_1, U i_2
⊢ ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ ⋃ i_3 ∈ s, r i_3, U i_2

tactic: intro i is
state_before: case h.right.h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i
hr : ∀ i_1 ∈ s, (r i_1).Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r i_1, U i_2
⊢ ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ ⋃ i_3 ∈ s, r i_3, U i_2
state_after: case h.right.h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i✝ : Type u
U : i✝ → Set X
hU : ∀ (i : i✝), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i✝
hr : ∀ i ∈ s, (r i).Countable ∧ f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ r i, U i_1
i : ι
is : i ∈ s
⊢ f i ⊆ ⋃ i ∈ ⋃ i ∈ s, r i, U i

tactic: simp only [mem_iUnion, exists_prop, iUnion_exists, biUnion_and']
state_before: case h.right.h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i✝ : Type u
U : i✝ → Set X
hU : ∀ (i : i✝), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i✝
hr : ∀ i ∈ s, (r i).Countable ∧ f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ r i, U i_1
i : ι
is : i ∈ s
⊢ f i ⊆ ⋃ i ∈ ⋃ i ∈ s, r i, U i
state_after: case h.right.h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i✝ : Type u
U : i✝ → Set X
hU : ∀ (i : i✝), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i✝
hr : ∀ i ∈ s, (r i).Countable ∧ f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ r i, U i_1
i : ι
is : i ∈ s
⊢ f i ⊆ ⋃ y ∈ s, ⋃ x ∈ r y, U x

tactic: intro x hx
state_before: case h.right.h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i✝ : Type u
U : i✝ → Set X
hU : ∀ (i : i✝), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i✝
hr : ∀ i ∈ s, (r i).Countable ∧ f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ r i, U i_1
i : ι
is : i ∈ s
⊢ f i ⊆ ⋃ y ∈ s, ⋃ x ∈ r y, U x
state_after: case h.right.h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i✝ : Type u
U : i✝ → Set X
hU : ∀ (i : i✝), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i✝
hr : ∀ i ∈ s, (r i).Countable ∧ f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ r i, U i_1
i : ι
is : i ∈ s
x : X
hx : x ∈ f i
⊢ x ∈ ⋃ y ∈ s, ⋃ x ∈ r y, U x

tactic: exact mem_biUnion is ((hr i is).2 hx)
state_before: case h.right.h
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i✝ : Type u
U : i✝ → Set X
hU : ∀ (i : i✝), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
r : ι → Set i✝
hr : ∀ i ∈ s, (r i).Countable ∧ f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ r i, U i_1
i : ι
is : i ∈ s
x : X
hx : x ∈ f i
⊢ x ∈ ⋃ y ∈ s, ⋃ x ∈ r y, U x
state_after: no goals