Theorem: CategoryTheory.Subgroupoid.galoisConnection_map_comap
File: Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean

tactic: rintro S T
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
⊢ GaloisConnection (map φ hφ) (comap φ)
state_after: C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
T : Subgroupoid D
⊢ map φ hφ S ≤ T ↔ S ≤ comap φ T

tactic: simp_rw [le_iff]
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
T : Subgroupoid D
⊢ map φ hφ S ≤ T ↔ S ≤ comap φ T
state_after: C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
T : Subgroupoid D
⊢ (∀ {c d : D}, (map φ hφ S).arrows c d ⊆ T.arrows c d) ↔ ∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ (comap φ T).arrows c d

tactic: constructor
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
T : Subgroupoid D
⊢ (∀ {c d : D}, (map φ hφ S).arrows c d ⊆ T.arrows c d) ↔ ∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ (comap φ T).arrows c d
state_after: case mp
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
T : Subgroupoid D
⊢ (∀ {c d : D}, (map φ hφ S).arrows c d ⊆ T.arrows c d) → ∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ (comap φ T).arrows c d

case mpr
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
T : Subgroupoid D
⊢ (∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ (comap φ T).arrows c d) → ∀ {c d : D}, (map φ hφ S).arrows c d ⊆ T.arrows c d

tactic: exact fun h c d f fS => h (Map.Arrows.im f fS)
state_before: case mp
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
T : Subgroupoid D
⊢ (∀ {c d : D}, (map φ hφ S).arrows c d ⊆ T.arrows c d) → ∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ (comap φ T).arrows c d
state_after: no goals

tactic: rintro h _ _ g ⟨a, gφS⟩
state_before: case mpr
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
T : Subgroupoid D
⊢ (∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ (comap φ T).arrows c d) → ∀ {c d : D}, (map φ hφ S).arrows c d ⊆ T.arrows c d
state_after: case mpr.im
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
T : Subgroupoid D
h : ∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ (comap φ T).arrows c d
c d : D
c✝ d✝ : C
a : c✝ ⟶ d✝
gφS : a ∈ S.arrows c✝ d✝
⊢ φ.map a ∈ T.arrows (φ.obj c✝) (φ.obj d✝)

tactic: exact h gφS
state_before: case mpr.im
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
T : Subgroupoid D
h : ∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ (comap φ T).arrows c d
c d : D
c✝ d✝ : C
a : c✝ ⟶ d✝
gφS : a ∈ S.arrows c✝ d✝
⊢ φ.map a ∈ T.arrows (φ.obj c✝) (φ.obj d✝)
state_after: no goals