Theorem: conformalAt_iff_isConformalMap_fderiv
File: Mathlib/Analysis/Calculus/Conformal/NormedSpace.lean

tactic: constructor
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup Z
inst✝² : NormedSpace ℝ X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ Y
inst✝ : NormedSpace ℝ Z
f : X → Y
x : X
⊢ ConformalAt f x ↔ IsConformalMap (fderiv ℝ f x)
state_after: case mp
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup Z
inst✝² : NormedSpace ℝ X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ Y
inst✝ : NormedSpace ℝ Z
f : X → Y
x : X
⊢ ConformalAt f x → IsConformalMap (fderiv ℝ f x)

case mpr
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup Z
inst✝² : NormedSpace ℝ X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ Y
inst✝ : NormedSpace ℝ Z
f : X → Y
x : X
⊢ IsConformalMap (fderiv ℝ f x) → ConformalAt f x

tactic: rintro ⟨f', hf, hf'⟩
state_before: case mp
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup Z
inst✝² : NormedSpace ℝ X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ Y
inst✝ : NormedSpace ℝ Z
f : X → Y
x : X
⊢ ConformalAt f x → IsConformalMap (fderiv ℝ f x)
state_after: case mp.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup Z
inst✝² : NormedSpace ℝ X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ Y
inst✝ : NormedSpace ℝ Z
f : X → Y
x : X
f' : X →L[ℝ] Y
hf : HasFDerivAt f f' x
hf' : IsConformalMap f'
⊢ IsConformalMap (fderiv ℝ f x)

tactic: rwa [hf.fderiv]
state_before: case mp.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup Z
inst✝² : NormedSpace ℝ X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ Y
inst✝ : NormedSpace ℝ Z
f : X → Y
x : X
f' : X →L[ℝ] Y
hf : HasFDerivAt f f' x
hf' : IsConformalMap f'
⊢ IsConformalMap (fderiv ℝ f x)
state_after: no goals

tactic: intro H
state_before: case mpr
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup Z
inst✝² : NormedSpace ℝ X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ Y
inst✝ : NormedSpace ℝ Z
f : X → Y
x : X
⊢ IsConformalMap (fderiv ℝ f x) → ConformalAt f x
state_after: case mpr
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup Z
inst✝² : NormedSpace ℝ X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ Y
inst✝ : NormedSpace ℝ Z
f : X → Y
x : X
H : IsConformalMap (fderiv ℝ f x)
⊢ ConformalAt f x

tactic: by_cases h : DifferentiableAt ℝ f x
state_before: case mpr
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup Z
inst✝² : NormedSpace ℝ X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ Y
inst✝ : NormedSpace ℝ Z
f : X → Y
x : X
H : IsConformalMap (fderiv ℝ f x)
⊢ ConformalAt f x
state_after: case pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup Z
inst✝² : NormedSpace ℝ X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ Y
inst✝ : NormedSpace ℝ Z
f : X → Y
x : X
H : IsConformalMap (fderiv ℝ f x)
h : DifferentiableAt ℝ f x
⊢ ConformalAt f x

case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup Z
inst✝² : NormedSpace ℝ X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ Y
inst✝ : NormedSpace ℝ Z
f : X → Y
x : X
H : IsConformalMap (fderiv ℝ f x)
h : ¬DifferentiableAt ℝ f x
⊢ ConformalAt f x

tactic: exact ⟨fderiv ℝ f x, h.hasFDerivAt, H⟩
state_before: case pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup Z
inst✝² : NormedSpace ℝ X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ Y
inst✝ : NormedSpace ℝ Z
f : X → Y
x : X
H : IsConformalMap (fderiv ℝ f x)
h : DifferentiableAt ℝ f x
⊢ ConformalAt f x
state_after: no goals

tactic: nontriviality X
state_before: case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup Z
inst✝² : NormedSpace ℝ X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ Y
inst✝ : NormedSpace ℝ Z
f : X → Y
x : X
H : IsConformalMap (fderiv ℝ f x)
h : ¬DifferentiableAt ℝ f x
⊢ ConformalAt f x
state_after: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup Z
inst✝² : NormedSpace ℝ X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ Y
inst✝ : NormedSpace ℝ Z
f : X → Y
x : X
H : IsConformalMap (fderiv ℝ f x)
h : ¬DifferentiableAt ℝ f x
a✝ : Nontrivial X
⊢ ConformalAt f x

tactic: exact absurd (fderiv_zero_of_not_differentiableAt h) H.ne_zero
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup Z
inst✝² : NormedSpace ℝ X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ Y
inst✝ : NormedSpace ℝ Z
f : X → Y
x : X
H : IsConformalMap (fderiv ℝ f x)
h : ¬DifferentiableAt ℝ f x
a✝ : Nontrivial X
⊢ ConformalAt f x
state_after: no goals