Theorem: HurwitzZeta.jacobiTheta₂''_add_left
File: Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean

tactic: simp only [jacobiTheta₂'', add_mul z 1, one_mul, jacobiTheta₂'_add_left', jacobiTheta₂_add_left']
state_before: z τ : ℂ
⊢ jacobiTheta₂'' (z + 1) τ = jacobiTheta₂'' z τ
state_after: z τ : ℂ
⊢ cexp (↑π * I * (z + 1) ^ 2 * τ) *
      (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * (jacobiTheta₂' (z * τ) τ - 2 * ↑π * I * jacobiTheta₂ (z * τ) τ) /
          (2 * ↑π * I) +
        (z * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * jacobiTheta₂ (z * τ) τ) +
          cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * jacobiTheta₂ (z * τ) τ)) =
    cexp (↑π * I * z ^ 2 * τ) * (jacobiTheta₂' (z * τ) τ / (2 * ↑π * I) + z * jacobiTheta₂ (z * τ) τ)

tactic: generalize jacobiTheta₂ (z * τ) τ = J
state_before: z τ : ℂ
⊢ cexp (↑π * I * (z + 1) ^ 2 * τ) *
      (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * (jacobiTheta₂' (z * τ) τ - 2 * ↑π * I * jacobiTheta₂ (z * τ) τ) /
          (2 * ↑π * I) +
        (z * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * jacobiTheta₂ (z * τ) τ) +
          cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * jacobiTheta₂ (z * τ) τ)) =
    cexp (↑π * I * z ^ 2 * τ) * (jacobiTheta₂' (z * τ) τ / (2 * ↑π * I) + z * jacobiTheta₂ (z * τ) τ)
state_after: z τ J : ℂ
⊢ cexp (↑π * I * (z + 1) ^ 2 * τ) *
      (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * (jacobiTheta₂' (z * τ) τ - 2 * ↑π * I * J) / (2 * ↑π * I) +
        (z * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J) + cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J)) =
    cexp (↑π * I * z ^ 2 * τ) * (jacobiTheta₂' (z * τ) τ / (2 * ↑π * I) + z * J)

tactic: generalize jacobiTheta₂' (z * τ) τ = J'
state_before: z τ J : ℂ
⊢ cexp (↑π * I * (z + 1) ^ 2 * τ) *
      (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * (jacobiTheta₂' (z * τ) τ - 2 * ↑π * I * J) / (2 * ↑π * I) +
        (z * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J) + cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J)) =
    cexp (↑π * I * z ^ 2 * τ) * (jacobiTheta₂' (z * τ) τ / (2 * ↑π * I) + z * J)
state_after: z τ J J' : ℂ
⊢ cexp (↑π * I * (z + 1) ^ 2 * τ) *
      (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * (J' - 2 * ↑π * I * J) / (2 * ↑π * I) +
        (z * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J) + cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J)) =
    cexp (↑π * I * z ^ 2 * τ) * (J' / (2 * ↑π * I) + z * J)

tactic: simp_rw [div_add' _ _ _ two_pi_I_ne_zero, ← mul_div_assoc]
state_before: z τ J J' : ℂ
⊢ cexp (↑π * I * (z + 1) ^ 2 * τ) *
      (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * (J' - 2 * ↑π * I * J) / (2 * ↑π * I) +
        (z * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J) + cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J)) =
    cexp (↑π * I * z ^ 2 * τ) * (J' / (2 * ↑π * I) + z * J)
state_after: z τ J J' : ℂ
⊢ cexp (↑π * I * (z + 1) ^ 2 * τ) *
        (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * (J' - 2 * ↑π * I * J) +
          (z * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J) + cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J) * (2 * ↑π * I)) /
      (2 * ↑π * I) =
    cexp (↑π * I * z ^ 2 * τ) * (J' + z * J * (2 * ↑π * I)) / (2 * ↑π * I)

tactic: rw [mul_left_comm _ (cexp _), ← mul_add, mul_assoc (cexp _), ← mul_add, ← mul_assoc (cexp _),
  ← Complex.exp_add]
state_before: z τ J J' : ℂ
⊢ cexp (↑π * I * (z + 1) ^ 2 * τ) *
      (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * (J' - 2 * ↑π * I * J) +
        (z * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J) + cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J) * (2 * ↑π * I)) =
    cexp (↑π * I * z ^ 2 * τ) * (J' + z * J * (2 * ↑π * I))
state_after: z τ J J' : ℂ
⊢ cexp (↑π * I * (z + 1) ^ 2 * τ + -↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * (J' - 2 * ↑π * I * J + (z * J + J) * (2 * ↑π * I)) =
    cexp (↑π * I * z ^ 2 * τ) * (J' + z * J * (2 * ↑π * I))

tactic: congrm (cexp ?_ * ?_) <;> ring
state_before: z τ J J' : ℂ
⊢ cexp (↑π * I * (z + 1) ^ 2 * τ + -↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * (J' - 2 * ↑π * I * J + (z * J + J) * (2 * ↑π * I)) =
    cexp (↑π * I * z ^ 2 * τ) * (J' + z * J * (2 * ↑π * I))
state_after: no goals