Theorem: Subalgebra.induction_on_adjoin
File: Mathlib/RingTheory/Adjoin/FG.lean

tactic: obtain ⟨t, rfl⟩ := S.fg_of_noetherian
state_before: R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherian R A
P : Subalgebra R A → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (S : Subalgebra R A) (x : A), P S → P (Algebra.adjoin R (insert x ↑S))
S : Subalgebra R A
⊢ P S
state_after: case intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherian R A
P : Subalgebra R A → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (S : Subalgebra R A) (x : A), P S → P (Algebra.adjoin R (insert x ↑S))
t : Finset A
⊢ P (Algebra.adjoin R ↑t)

tactic: refine Finset.induction_on t ?_ ?_
state_before: case intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherian R A
P : Subalgebra R A → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (S : Subalgebra R A) (x : A), P S → P (Algebra.adjoin R (insert x ↑S))
t : Finset A
⊢ P (Algebra.adjoin R ↑t)
state_after: case intro.refine_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherian R A
P : Subalgebra R A → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (S : Subalgebra R A) (x : A), P S → P (Algebra.adjoin R (insert x ↑S))
t : Finset A
⊢ P (Algebra.adjoin R ↑∅)

case intro.refine_2
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherian R A
P : Subalgebra R A → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (S : Subalgebra R A) (x : A), P S → P (Algebra.adjoin R (insert x ↑S))
t : Finset A
⊢ ∀ ⦃a : A⦄ {s : Finset A}, a ∉ s → P (Algebra.adjoin R ↑s) → P (Algebra.adjoin R ↑(insert a s))

tactic: intro x t _ h
state_before: case intro.refine_2
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherian R A
P : Subalgebra R A → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (S : Subalgebra R A) (x : A), P S → P (Algebra.adjoin R (insert x ↑S))
t : Finset A
⊢ ∀ ⦃a : A⦄ {s : Finset A}, a ∉ s → P (Algebra.adjoin R ↑s) → P (Algebra.adjoin R ↑(insert a s))
state_after: case intro.refine_2
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherian R A
P : Subalgebra R A → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (S : Subalgebra R A) (x : A), P S → P (Algebra.adjoin R (insert x ↑S))
t✝ : Finset A
x : A
t : Finset A
a✝ : x ∉ t
h : P (Algebra.adjoin R ↑t)
⊢ P (Algebra.adjoin R ↑(insert x t))

tactic: rw [Finset.coe_insert]
state_before: case intro.refine_2
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherian R A
P : Subalgebra R A → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (S : Subalgebra R A) (x : A), P S → P (Algebra.adjoin R (insert x ↑S))
t✝ : Finset A
x : A
t : Finset A
a✝ : x ∉ t
h : P (Algebra.adjoin R ↑t)
⊢ P (Algebra.adjoin R ↑(insert x t))
state_after: case intro.refine_2
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherian R A
P : Subalgebra R A → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (S : Subalgebra R A) (x : A), P S → P (Algebra.adjoin R (insert x ↑S))
t✝ : Finset A
x : A
t : Finset A
a✝ : x ∉ t
h : P (Algebra.adjoin R ↑t)
⊢ P (Algebra.adjoin R (insert x ↑t))

tactic: simpa only [Algebra.adjoin_insert_adjoin] using ih _ x h
state_before: case intro.refine_2
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherian R A
P : Subalgebra R A → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (S : Subalgebra R A) (x : A), P S → P (Algebra.adjoin R (insert x ↑S))
t✝ : Finset A
x : A
t : Finset A
a✝ : x ∉ t
h : P (Algebra.adjoin R ↑t)
⊢ P (Algebra.adjoin R (insert x ↑t))
state_after: no goals

tactic: simpa using base
state_before: case intro.refine_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherian R A
P : Subalgebra R A → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (S : Subalgebra R A) (x : A), P S → P (Algebra.adjoin R (insert x ↑S))
t : Finset A
⊢ P (Algebra.adjoin R ↑∅)
state_after: no goals