Theorem: mul_eq_mul_iff_eq_and_eq_of_pos
File: Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean

tactic: refine ⟨fun h ↦ ?_, by rintro ⟨rfl, rfl⟩; rfl⟩
state_before: α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
⊢ a * c = b * d ↔ a = b ∧ c = d
state_after: α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
h : a * c = b * d
⊢ a = b ∧ c = d

tactic: simp only [eq_iff_le_not_lt, hab, hcd, true_and]
state_before: α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
h : a * c = b * d
⊢ a = b ∧ c = d
state_after: α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
h : a * c = b * d
⊢ ¬a < b ∧ ¬c < d

tactic: refine ⟨fun hab ↦ h.not_lt ?_, fun hcd ↦ h.not_lt ?_⟩
state_before: α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
h : a * c = b * d
⊢ ¬a < b ∧ ¬c < d
state_after: case refine_1
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab✝ : a ≤ b
hcd : c ≤ d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
h : a * c = b * d
hab : a < b
⊢ a * c < b * d

case refine_2
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd✝ : c ≤ d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
h : a * c = b * d
hcd : c < d
⊢ a * c < b * d

tactic: rintro ⟨rfl, rfl⟩
state_before: α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
⊢ a = b ∧ c = d → a * c = b * d
state_after: case intro
α : Type u_1
a c : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
a0 : 0 < a
hab : a ≤ a
hcd : c ≤ c
d0 : 0 < c
⊢ a * c = a * c

tactic: rfl
state_before: case intro
α : Type u_1
a c : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
a0 : 0 < a
hab : a ≤ a
hcd : c ≤ c
d0 : 0 < c
⊢ a * c = a * c
state_after: no goals

tactic: exact (mul_le_mul_of_nonneg_left hcd a0.le).trans_lt (mul_lt_mul_of_pos_right hab d0)
state_before: case refine_1
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab✝ : a ≤ b
hcd : c ≤ d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
h : a * c = b * d
hab : a < b
⊢ a * c < b * d
state_after: no goals

tactic: exact (mul_lt_mul_of_pos_left hcd a0).trans_le (mul_le_mul_of_nonneg_right hab d0.le)
state_before: case refine_2
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd✝ : c ≤ d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
h : a * c = b * d
hcd : c < d
⊢ a * c < b * d
state_after: no goals