Theorem: exists_pow_eq_self_of_coprime
File: Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean

tactic: by_cases h0 : orderOf x = 0
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : n.Coprime (orderOf x)
⊢ ∃ m, (x ^ n) ^ m = x
state_after: case pos
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : n.Coprime (orderOf x)
h0 : orderOf x = 0
⊢ ∃ m, (x ^ n) ^ m = x

case neg
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : n.Coprime (orderOf x)
h0 : ¬orderOf x = 0
⊢ ∃ m, (x ^ n) ^ m = x

tactic: by_cases h1 : orderOf x = 1
state_before: case neg
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : n.Coprime (orderOf x)
h0 : ¬orderOf x = 0
⊢ ∃ m, (x ^ n) ^ m = x
state_after: case pos
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : n.Coprime (orderOf x)
h0 : ¬orderOf x = 0
h1 : orderOf x = 1
⊢ ∃ m, (x ^ n) ^ m = x

case neg
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : n.Coprime (orderOf x)
h0 : ¬orderOf x = 0
h1 : ¬orderOf x = 1
⊢ ∃ m, (x ^ n) ^ m = x

tactic: obtain ⟨m, h⟩ := exists_mul_emod_eq_one_of_coprime h (one_lt_iff_ne_zero_and_ne_one.mpr ⟨h0, h1⟩)
state_before: case neg
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : n.Coprime (orderOf x)
h0 : ¬orderOf x = 0
h1 : ¬orderOf x = 1
⊢ ∃ m, (x ^ n) ^ m = x
state_after: case neg.intro
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m✝ : ℕ
h✝ : n.Coprime (orderOf x)
h0 : ¬orderOf x = 0
h1 : ¬orderOf x = 1
m : ℕ
h : n * m % orderOf x = 1
⊢ ∃ m, (x ^ n) ^ m = x

tactic: exact ⟨m, by rw [← pow_mul, ← pow_mod_orderOf, h, pow_one]⟩
state_before: case neg.intro
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m✝ : ℕ
h✝ : n.Coprime (orderOf x)
h0 : ¬orderOf x = 0
h1 : ¬orderOf x = 1
m : ℕ
h : n * m % orderOf x = 1
⊢ ∃ m, (x ^ n) ^ m = x
state_after: no goals

tactic: rw [h0, coprime_zero_right] at h
state_before: case pos
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : n.Coprime (orderOf x)
h0 : orderOf x = 0
⊢ ∃ m, (x ^ n) ^ m = x
state_after: case pos
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : n = 1
h0 : orderOf x = 0
⊢ ∃ m, (x ^ n) ^ m = x

tactic: exact ⟨1, by rw [h, pow_one, pow_one]⟩
state_before: case pos
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : n = 1
h0 : orderOf x = 0
⊢ ∃ m, (x ^ n) ^ m = x
state_after: no goals

tactic: rw [h, pow_one, pow_one]
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : n = 1
h0 : orderOf x = 0
⊢ (x ^ n) ^ 1 = x
state_after: no goals

tactic: exact ⟨0, by rw [orderOf_eq_one_iff.mp h1, one_pow, one_pow]⟩
state_before: case pos
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : n.Coprime (orderOf x)
h0 : ¬orderOf x = 0
h1 : orderOf x = 1
⊢ ∃ m, (x ^ n) ^ m = x
state_after: no goals

tactic: rw [orderOf_eq_one_iff.mp h1, one_pow, one_pow]
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : n.Coprime (orderOf x)
h0 : ¬orderOf x = 0
h1 : orderOf x = 1
⊢ (x ^ n) ^ 0 = x
state_after: no goals

tactic: rw [← pow_mul, ← pow_mod_orderOf, h, pow_one]
state_before: G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m✝ : ℕ
h✝ : n.Coprime (orderOf x)
h0 : ¬orderOf x = 0
h1 : ¬orderOf x = 1
m : ℕ
h : n * m % orderOf x = 1
⊢ (x ^ n) ^ m = x
state_after: no goals