Theorem: Finset.subset_union_elim
File: Mathlib/Data/Finset/Basic.lean

tactic: simp [filter_union_right, em]
state_before: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
t₁ t₂ : Set α
h : ↑s ⊆ t₁ ∪ t₂
⊢ filter (fun x => x ∈ t₁) s ∪ filter (fun x => x ∉ t₁) s = s
state_after: no goals

tactic: intro x
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
t₁ t₂ : Set α
h : ↑s ⊆ t₁ ∪ t₂
⊢ ↑(filter (fun x => x ∈ t₁) s) ⊆ t₁
state_after: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
t₁ t₂ : Set α
h : ↑s ⊆ t₁ ∪ t₂
x : α
⊢ x ∈ ↑(filter (fun x => x ∈ t₁) s) → x ∈ t₁

tactic: simp
state_before: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
t₁ t₂ : Set α
h : ↑s ⊆ t₁ ∪ t₂
x : α
⊢ x ∈ ↑(filter (fun x => x ∈ t₁) s) → x ∈ t₁
state_after: no goals

tactic: intro x
state_before: case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
t₁ t₂ : Set α
h : ↑s ⊆ t₁ ∪ t₂
⊢ ↑(filter (fun x => x ∉ t₁) s) ⊆ t₂ \ t₁
state_after: case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
t₁ t₂ : Set α
h : ↑s ⊆ t₁ ∪ t₂
x : α
⊢ x ∈ ↑(filter (fun x => x ∉ t₁) s) → x ∈ t₂ \ t₁

tactic: simp only [not_not, coe_filter, Set.mem_setOf_eq, Set.mem_diff, and_imp]
state_before: case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
t₁ t₂ : Set α
h : ↑s ⊆ t₁ ∪ t₂
x : α
⊢ x ∈ ↑(filter (fun x => x ∉ t₁) s) → x ∈ t₂ \ t₁
state_after: case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
t₁ t₂ : Set α
h : ↑s ⊆ t₁ ∪ t₂
x : α
⊢ x ∈ s → x ∉ t₁ → x ∈ t₂ ∧ x ∉ t₁

tactic: intro hx hx₂
state_before: case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
t₁ t₂ : Set α
h : ↑s ⊆ t₁ ∪ t₂
x : α
⊢ x ∈ s → x ∉ t₁ → x ∈ t₂ ∧ x ∉ t₁
state_after: case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
t₁ t₂ : Set α
h : ↑s ⊆ t₁ ∪ t₂
x : α
hx : x ∈ s
hx₂ : x ∉ t₁
⊢ x ∈ t₂ ∧ x ∉ t₁

tactic: exact ⟨Or.resolve_left (h hx) hx₂, hx₂⟩
state_before: case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
t₁ t₂ : Set α
h : ↑s ⊆ t₁ ∪ t₂
x : α
hx : x ∈ s
hx₂ : x ∉ t₁
⊢ x ∈ t₂ ∧ x ∉ t₁
state_after: no goals