Theorem: IsDedekindDomain.HeightOneSpectrum.iInf_localization_eq_bot
File: Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean

tactic: ext x
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
⊢ ⨅ v, Localization.subalgebra.ofField K v.asIdeal.primeCompl ⋯ = ⊥
state_after: case h
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
⊢ x ∈ ⨅ v, Localization.subalgebra.ofField K v.asIdeal.primeCompl ⋯ ↔ x ∈ ⊥

tactic: rw [Algebra.mem_iInf]
state_before: case h
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
⊢ x ∈ ⨅ v, Localization.subalgebra.ofField K v.asIdeal.primeCompl ⋯ ↔ x ∈ ⊥
state_after: case h
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
⊢ (∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) ↔ x ∈ ⊥

tactic: constructor
state_before: case h
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
⊢ (∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) ↔ x ∈ ⊥
state_after: case h.mp
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
⊢ (∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) → x ∈ ⊥

case h.mpr
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
⊢ x ∈ ⊥ → ∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯

tactic: on_goal 1 => by_cases hR : IsField R
state_before: case h.mp
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
⊢ (∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) → x ∈ ⊥

case h.mpr
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
⊢ x ∈ ⊥ → ∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯
state_after: case pos
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
hR : IsField R
⊢ (∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) → x ∈ ⊥

case neg
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
hR : ¬IsField R
⊢ (∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) → x ∈ ⊥

case h.mpr
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
⊢ x ∈ ⊥ → ∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯

tactic: all_goals rw [← MaximalSpectrum.iInf_localization_eq_bot, Algebra.mem_iInf]
state_before: case neg
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
hR : ¬IsField R
⊢ (∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) → x ∈ ⊥

case h.mpr
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
⊢ x ∈ ⊥ → ∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯
state_after: case neg
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
hR : ¬IsField R
⊢ (∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) →
    ∀ (i : MaximalSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯

case h.mpr
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
⊢ (∀ (i : MaximalSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) →
    ∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯

tactic: by_cases hR : IsField R
state_before: case h.mp
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
⊢ (∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) → x ∈ ⊥
state_after: case pos
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
hR : IsField R
⊢ (∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) → x ∈ ⊥

case neg
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
hR : ¬IsField R
⊢ (∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) → x ∈ ⊥

tactic: rcases Function.bijective_iff_has_inverse.mp
  (IsField.localization_map_bijective (Rₘ := K) (flip nonZeroDivisors.ne_zero rfl : 0 ∉ R⁰) hR)
  with ⟨algebra_map_inv, _, algebra_map_right_inv⟩
state_before: case pos
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
hR : IsField R
⊢ (∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) → x ∈ ⊥
state_after: case pos.intro.intro
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
hR : IsField R
algebra_map_inv : K → R
left✝ : Function.LeftInverse algebra_map_inv ⇑(algebraMap R K)
algebra_map_right_inv : Function.RightInverse algebra_map_inv ⇑(algebraMap R K)
⊢ (∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) → x ∈ ⊥

tactic: exact fun _ => Algebra.mem_bot.mpr ⟨algebra_map_inv x, algebra_map_right_inv x⟩
state_before: case pos.intro.intro
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
hR : IsField R
algebra_map_inv : K → R
left✝ : Function.LeftInverse algebra_map_inv ⇑(algebraMap R K)
algebra_map_right_inv : Function.RightInverse algebra_map_inv ⇑(algebraMap R K)
⊢ (∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) → x ∈ ⊥
state_after: no goals

tactic: rw [← MaximalSpectrum.iInf_localization_eq_bot, Algebra.mem_iInf]
state_before: case h.mpr
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
⊢ x ∈ ⊥ → ∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯
state_after: case h.mpr
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
⊢ (∀ (i : MaximalSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) →
    ∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯

tactic: exact fun hx ⟨v, hv⟩ => hx ((equivMaximalSpectrum hR).symm ⟨v, hv⟩)
state_before: case neg
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
hR : ¬IsField R
⊢ (∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) →
    ∀ (i : MaximalSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯
state_after: no goals

tactic: exact fun hx ⟨v, hv, hbot⟩ => hx ⟨v, hv.isMaximal hbot⟩
state_before: case h.mpr
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
⊢ (∀ (i : MaximalSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) →
    ∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯
state_after: no goals