Theorem: MeasureTheory.measure_smul_average
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean

tactic: rcases eq_or_ne μ 0 with hμ | hμ
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
⊢ (μ univ).toReal • ⨍ (x : α), f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
state_after: case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hμ : μ = 0
⊢ (μ univ).toReal • ⨍ (x : α), f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ

case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hμ : μ ≠ 0
⊢ (μ univ).toReal • ⨍ (x : α), f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ

tactic: rw [hμ, integral_zero_measure, average_zero_measure, smul_zero]
state_before: case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hμ : μ = 0
⊢ (μ univ).toReal • ⨍ (x : α), f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
state_after: no goals

tactic: rw [average_eq, smul_inv_smul₀]
state_before: case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hμ : μ ≠ 0
⊢ (μ univ).toReal • ⨍ (x : α), f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
state_after: case inr.hc
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hμ : μ ≠ 0
⊢ (μ univ).toReal ≠ 0

tactic: refine (ENNReal.toReal_pos ?_ <| measure_ne_top _ _).ne'
state_before: case inr.hc
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hμ : μ ≠ 0
⊢ (μ univ).toReal ≠ 0
state_after: case inr.hc
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hμ : μ ≠ 0
⊢ μ univ ≠ 0

tactic: rwa [Ne, measure_univ_eq_zero]
state_before: case inr.hc
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hμ : μ ≠ 0
⊢ μ univ ≠ 0
state_after: no goals