Theorem: Submodule.traceDual_top
File: Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean

tactic: convert traceDual_top'
state_before: A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsDomain B
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
inst✝⁴ : IsIntegralClosure B A L
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : IsSeparable K L
inst✝ : Decidable (IsField A)
⊢ ⊤ᵛ = if IsField A then ⊤ else ⊥
state_after: case h.e'_3.h₁.a
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsDomain B
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
inst✝⁴ : IsIntegralClosure B A L
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : IsSeparable K L
inst✝ : Decidable (IsField A)
⊢ IsField A ↔ restrictScalars A (LinearMap.range (Algebra.trace K L)) ≤ 1

tactic: rw [← IsFractionRing.surjective_iff_isField (R := A) (K := K),
  LinearMap.range_eq_top.mpr (Algebra.trace_surjective K L),
  ← RingHom.range_top_iff_surjective, _root_.eq_top_iff, SetLike.le_def]
state_before: case h.e'_3.h₁.a
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsDomain B
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
inst✝⁴ : IsIntegralClosure B A L
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : IsSeparable K L
inst✝ : Decidable (IsField A)
⊢ IsField A ↔ restrictScalars A (LinearMap.range (Algebra.trace K L)) ≤ 1
state_after: case h.e'_3.h₁.a
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsDomain B
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
inst✝⁴ : IsIntegralClosure B A L
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : IsSeparable K L
inst✝ : Decidable (IsField A)
⊢ (∀ ⦃x : K⦄, x ∈ ⊤ → x ∈ (algebraMap A K).range) ↔ restrictScalars A ⊤ ≤ 1

tactic: rfl
state_before: case h.e'_3.h₁.a
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsDomain B
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
inst✝⁴ : IsIntegralClosure B A L
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : IsSeparable K L
inst✝ : Decidable (IsField A)
⊢ (∀ ⦃x : K⦄, x ∈ ⊤ → x ∈ (algebraMap A K).range) ↔ restrictScalars A ⊤ ≤ 1
state_after: no goals