Theorem: ProbabilityTheory.setLIntegral_stieltjesOfMeasurableRat_rat
File: Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean

tactic: rw [← ofReal_integral_eq_lintegral_ofReal]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic ↑q)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : β) in s, ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, x)) ↑q ∂ν a) = (κ a) (s ×ˢ Iic ↑q)

case hfi
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Integrable (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q) ((ν a).restrict s)

case f_nn
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ 0 ≤ᶠ[ae ((ν a).restrict s)] fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q

tactic: rw [setIntegral_stieltjesOfMeasurableRat_rat hf a q hs, ENNReal.ofReal_toReal]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : β) in s, ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, x)) ↑q ∂ν a) = (κ a) (s ×ˢ Iic ↑q)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (κ a) (s ×ˢ Iic ↑q) ≠ ⊤

tactic: exact measure_ne_top _ _
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (κ a) (s ×ˢ Iic ↑q) ≠ ⊤
state_after: no goals

tactic: refine Integrable.restrict ?_
state_before: case hfi
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Integrable (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q) ((ν a).restrict s)
state_after: case hfi
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Integrable (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q) (ν a)

tactic: rw [integrable_congr (stieltjesOfMeasurableRat_ae_eq hf a q)]
state_before: case hfi
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Integrable (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q) (ν a)
state_after: case hfi
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Integrable (fun b => f (a, b) q) (ν a)

tactic: exact hf.integrable a q
state_before: case hfi
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ Integrable (fun b => f (a, b) q) (ν a)
state_after: no goals

tactic: exact ae_of_all _ (fun x ↦ stieltjesOfMeasurableRat_nonneg _ _ _)
state_before: case f_nn
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : ↥(kernel α (β × ℝ))
ν : ↥(kernel α β)
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ 0 ≤ᶠ[ae ((ν a).restrict s)] fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q
state_after: no goals