Theorem: formalMultilinearSeries_geometric_radius
File: Mathlib/Analysis/Analytic/Constructions.lean

tactic: apply le_antisymm
state_before: α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
⊢ (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius = 1
state_after: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
⊢ (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius ≤ 1

case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
⊢ 1 ≤ (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius

tactic: refine le_of_forall_nnreal_lt (fun r hr ↦ ?_)
state_before: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
⊢ (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius ≤ 1
state_after: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
⊢ ↑r ≤ 1

tactic: rw [← ENNReal.coe_one, ENNReal.coe_le_coe]
state_before: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
⊢ ↑r ≤ 1
state_after: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
⊢ r ≤ 1

tactic: have := FormalMultilinearSeries.isLittleO_one_of_lt_radius _ hr
state_before: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
⊢ r ≤ 1
state_after: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
this : (fun n => ‖formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => 1
⊢ r ≤ 1

tactic: simp_rw [formalMultilinearSeries_geometric_apply_norm, one_mul] at this
state_before: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
this : (fun n => ‖formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => 1
⊢ r ≤ 1
state_after: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
this : (fun n => ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => 1
⊢ r ≤ 1

tactic: contrapose! this
state_before: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
this : (fun n => ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => 1
⊢ r ≤ 1
state_after: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
this : 1 < r
⊢ ¬(fun n => ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => 1

tactic: simp_rw [IsLittleO, IsBigOWith, not_forall, norm_one, mul_one,
  not_eventually]
state_before: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
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inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
this : 1 < r
⊢ ¬(fun n => ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => 1
state_after: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
this : 1 < r
⊢ ∃ x, ∃ (_ : 0 < x), ∃ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, ¬‖↑r ^ x_1‖ ≤ x

tactic: refine ⟨1, one_pos, ?_⟩
state_before: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
this : 1 < r
⊢ ∃ x, ∃ (_ : 0 < x), ∃ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, ¬‖↑r ^ x_1‖ ≤ x
state_after: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
this : 1 < r
⊢ ∃ᶠ (x : ℕ) in atTop, ¬‖↑r ^ x‖ ≤ 1

tactic: refine ((eventually_ne_atTop 0).mp (eventually_of_forall ?_)).frequently
state_before: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
this : 1 < r
⊢ ∃ᶠ (x : ℕ) in atTop, ¬‖↑r ^ x‖ ≤ 1
state_after: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
this : 1 < r
⊢ ∀ (x : ℕ), x ≠ 0 → ¬‖↑r ^ x‖ ≤ 1

tactic: intro n hn
state_before: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
this : 1 < r
⊢ ∀ (x : ℕ), x ≠ 0 → ¬‖↑r ^ x‖ ≤ 1
state_after: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
this : 1 < r
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ¬‖↑r ^ n‖ ≤ 1

tactic: push_neg
state_before: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
this : 1 < r
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ¬‖↑r ^ n‖ ≤ 1
state_after: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
this : 1 < r
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ 1 < ‖↑r ^ n‖

tactic: rwa [norm_pow, one_lt_pow_iff_of_nonneg (norm_nonneg _) hn,
  Real.norm_of_nonneg (NNReal.coe_nonneg _), ← NNReal.coe_one,
  NNReal.coe_lt_coe]
state_before: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
this : 1 < r
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ 1 < ‖↑r ^ n‖
state_after: no goals

tactic: refine le_of_forall_nnreal_lt (fun r hr ↦ ?_)
state_before: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
⊢ 1 ≤ (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
state_after: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < 1
⊢ ↑r ≤ (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius

tactic: rw [← Nat.cast_one, ENNReal.coe_lt_natCast, Nat.cast_one] at hr
state_before: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < 1
⊢ ↑r ≤ (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
state_after: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : r < 1
⊢ ↑r ≤ (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius

tactic: apply FormalMultilinearSeries.le_radius_of_isBigO
state_before: case a
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : r < 1
⊢ ↑r ≤ (formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A).radius
state_after: case a.h
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : r < 1
⊢ (fun n => ‖formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => 1

tactic: simp_rw [formalMultilinearSeries_geometric_apply_norm, one_mul]
state_before: case a.h
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : r < 1
⊢ (fun n => ‖formalMultilinearSeries_geometric 𝕜 A n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => 1
state_after: case a.h
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : r < 1
⊢ (fun n => ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => 1

tactic: refine isBigO_of_le atTop (fun n ↦ ?_)
state_before: case a.h
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : r < 1
⊢ (fun n => ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => 1
state_after: case a.h
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : r < 1
n : ℕ
⊢ ‖↑r ^ n‖ ≤ ‖1‖

tactic: rw [norm_one, Real.norm_of_nonneg (pow_nonneg (coe_nonneg r) _)]
state_before: case a.h
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : r < 1
n : ℕ
⊢ ‖↑r ^ n‖ ≤ ‖1‖
state_after: case a.h
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : r < 1
n : ℕ
⊢ ↑r ^ n ≤ 1

tactic: exact pow_le_one _ (coe_nonneg r) hr.le
state_before: case a.h
α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜✝ H
𝕝 : Type u_7
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜✝ 𝕝
A✝ : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing A✝
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜✝ A✝
𝕜 : Type u_10
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
A : Type u_9
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormOneClass A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
r : ℝ≥0
hr : r < 1
n : ℕ
⊢ ↑r ^ n ≤ 1
state_after: no goals