Theorem: CategoryTheory.finitaryExtensive_of_preserves_and_reflects
File: Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean

tactic: constructor
state_before: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁷ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : FinitaryExtensive D
inst✝⁵ : HasFiniteCoproducts C
inst✝⁴ : HasPullbacksOfInclusions C
inst✝³ : PreservesPullbacksOfInclusions F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
⊢ FinitaryExtensive C
state_after: case van_kampen'
J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁷ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : FinitaryExtensive D
inst✝⁵ : HasFiniteCoproducts C
inst✝⁴ : HasPullbacksOfInclusions C
inst✝³ : PreservesPullbacksOfInclusions F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
⊢ ∀ {X Y : C} (c : BinaryCofan X Y), IsColimit c → IsVanKampenColimit c

tactic: intros X Y c hc
state_before: case van_kampen'
J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁷ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : FinitaryExtensive D
inst✝⁵ : HasFiniteCoproducts C
inst✝⁴ : HasPullbacksOfInclusions C
inst✝³ : PreservesPullbacksOfInclusions F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
⊢ ∀ {X Y : C} (c : BinaryCofan X Y), IsColimit c → IsVanKampenColimit c
state_after: case van_kampen'
J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁷ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : FinitaryExtensive D
inst✝⁵ : HasFiniteCoproducts C
inst✝⁴ : HasPullbacksOfInclusions C
inst✝³ : PreservesPullbacksOfInclusions F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
⊢ IsVanKampenColimit c

tactic: refine IsVanKampenColimit.of_iso ?_ (hc.uniqueUpToIso (coprodIsCoprod X Y)).symm
state_before: case van_kampen'
J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁷ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : FinitaryExtensive D
inst✝⁵ : HasFiniteCoproducts C
inst✝⁴ : HasPullbacksOfInclusions C
inst✝³ : PreservesPullbacksOfInclusions F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
⊢ IsVanKampenColimit c
state_after: case van_kampen'
J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁷ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : FinitaryExtensive D
inst✝⁵ : HasFiniteCoproducts C
inst✝⁴ : HasPullbacksOfInclusions C
inst✝³ : PreservesPullbacksOfInclusions F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
⊢ IsVanKampenColimit (BinaryCofan.mk coprod.inl coprod.inr)

tactic: have (i : Discrete WalkingPair) (Z : C) (f : Z ⟶ X ⨿ Y) :
  PreservesLimit (cospan f ((BinaryCofan.mk coprod.inl coprod.inr).ι.app i)) F := by
  rcases i with ⟨_|_⟩ <;> dsimp <;> infer_instance
state_before: case van_kampen'
J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁷ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : FinitaryExtensive D
inst✝⁵ : HasFiniteCoproducts C
inst✝⁴ : HasPullbacksOfInclusions C
inst✝³ : PreservesPullbacksOfInclusions F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
⊢ IsVanKampenColimit (BinaryCofan.mk coprod.inl coprod.inr)
state_after: case van_kampen'
J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁷ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : FinitaryExtensive D
inst✝⁵ : HasFiniteCoproducts C
inst✝⁴ : HasPullbacksOfInclusions C
inst✝³ : PreservesPullbacksOfInclusions F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
this :
  (i : Discrete WalkingPair) →
    (Z : C) → (f : Z ⟶ X ⨿ Y) → PreservesLimit (cospan f ((BinaryCofan.mk coprod.inl coprod.inr).ι.app i)) F
⊢ IsVanKampenColimit (BinaryCofan.mk coprod.inl coprod.inr)

tactic: refine (FinitaryExtensive.vanKampen _
  (isColimitOfPreserves F (coprodIsCoprod X Y))).of_mapCocone F
state_before: case van_kampen'
J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁷ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : FinitaryExtensive D
inst✝⁵ : HasFiniteCoproducts C
inst✝⁴ : HasPullbacksOfInclusions C
inst✝³ : PreservesPullbacksOfInclusions F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
this :
  (i : Discrete WalkingPair) →
    (Z : C) → (f : Z ⟶ X ⨿ Y) → PreservesLimit (cospan f ((BinaryCofan.mk coprod.inl coprod.inr).ι.app i)) F
⊢ IsVanKampenColimit (BinaryCofan.mk coprod.inl coprod.inr)
state_after: no goals

tactic: rcases i with ⟨_|_⟩ <;> dsimp <;> infer_instance
state_before: J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁷ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : FinitaryExtensive D
inst✝⁵ : HasFiniteCoproducts C
inst✝⁴ : HasPullbacksOfInclusions C
inst✝³ : PreservesPullbacksOfInclusions F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
i : Discrete WalkingPair
Z : C
f : Z ⟶ X ⨿ Y
⊢ PreservesLimit (cospan f ((BinaryCofan.mk coprod.inl coprod.inr).ι.app i)) F
state_after: no goals