Theorem: Dilation.ratio_id
File: Mathlib/Topology/MetricSpace/Dilation.lean

tactic: by_cases h : ∀ x y : α, edist x y = 0 ∨ edist x y = ∞
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x y z : α
s : Set α
⊢ ratio (Dilation.id α) = 1
state_after: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x y z : α
s : Set α
h : ∀ (x y : α), edist x y = 0 ∨ edist x y = ⊤
⊢ ratio (Dilation.id α) = 1

case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x y z : α
s : Set α
h : ¬∀ (x y : α), edist x y = 0 ∨ edist x y = ⊤
⊢ ratio (Dilation.id α) = 1

tactic: rw [ratio, if_pos h]
state_before: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x y z : α
s : Set α
h : ∀ (x y : α), edist x y = 0 ∨ edist x y = ⊤
⊢ ratio (Dilation.id α) = 1
state_after: no goals

tactic: push_neg at h
state_before: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x y z : α
s : Set α
h : ¬∀ (x y : α), edist x y = 0 ∨ edist x y = ⊤
⊢ ratio (Dilation.id α) = 1
state_after: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x y z : α
s : Set α
h : ∃ x y, edist x y ≠ 0 ∧ edist x y ≠ ⊤
⊢ ratio (Dilation.id α) = 1

tactic: rcases h with ⟨x, y, hne⟩
state_before: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x y z : α
s : Set α
h : ∃ x y, edist x y ≠ 0 ∧ edist x y ≠ ⊤
⊢ ratio (Dilation.id α) = 1
state_after: case neg.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x✝ y✝ z : α
s : Set α
x y : α
hne : edist x y ≠ 0 ∧ edist x y ≠ ⊤
⊢ ratio (Dilation.id α) = 1

tactic: refine (ratio_unique hne.1 hne.2 ?_).symm
state_before: case neg.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x✝ y✝ z : α
s : Set α
x y : α
hne : edist x y ≠ 0 ∧ edist x y ≠ ⊤
⊢ ratio (Dilation.id α) = 1
state_after: case neg.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x✝ y✝ z : α
s : Set α
x y : α
hne : edist x y ≠ 0 ∧ edist x y ≠ ⊤
⊢ edist ((Dilation.id α) x) ((Dilation.id α) y) = ↑1 * edist x y

tactic: simp
state_before: case neg.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x✝ y✝ z : α
s : Set α
x y : α
hne : edist x y ≠ 0 ∧ edist x y ≠ ⊤
⊢ edist ((Dilation.id α) x) ((Dilation.id α) y) = ↑1 * edist x y
state_after: no goals