Theorem: trace_eq_sum_automorphisms
File: Mathlib/RingTheory/Trace.lean

tactic: apply NoZeroSMulDivisors.algebraMap_injective L (AlgebraicClosure L)
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
⊢ (algebraMap K L) ((Algebra.trace K L) x) = ∑ σ : L ≃ₐ[K] L, σ x
state_after: case a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
⊢ (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) ((algebraMap K L) ((Algebra.trace K L) x)) =
    (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) (∑ σ : L ≃ₐ[K] L, σ x)

tactic: rw [_root_.map_sum (algebraMap L (AlgebraicClosure L))]
state_before: case a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
⊢ (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) ((algebraMap K L) ((Algebra.trace K L) x)) =
    (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) (∑ σ : L ≃ₐ[K] L, σ x)
state_after: case a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
⊢ (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) ((algebraMap K L) ((Algebra.trace K L) x)) =
    ∑ x_1 : L ≃ₐ[K] L, (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) (x_1 x)

tactic: rw [← Fintype.sum_equiv (Normal.algHomEquivAut K (AlgebraicClosure L) L)]
state_before: case a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
⊢ (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) ((algebraMap K L) ((Algebra.trace K L) x)) =
    ∑ x_1 : L ≃ₐ[K] L, (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) (x_1 x)
state_after: case a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
⊢ (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) ((algebraMap K L) ((Algebra.trace K L) x)) =
    ∑ x : L →ₐ[K] AlgebraicClosure L, ?a.f✝ x

case a.f
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
⊢ (L →ₐ[K] AlgebraicClosure L) → AlgebraicClosure L

case a.h
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
⊢ ∀ (x_1 : L →ₐ[K] AlgebraicClosure L),
    ?a.f✝ x_1 = (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) (((Normal.algHomEquivAut K (AlgebraicClosure L) L) x_1) x)

tactic: rw [← trace_eq_sum_embeddings (AlgebraicClosure L)]
state_before: case a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
⊢ (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) ((algebraMap K L) ((Algebra.trace K L) x)) =
    ∑ x : L →ₐ[K] AlgebraicClosure L, ?a.f✝ x
state_after: case a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
⊢ (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) ((algebraMap K L) ((Algebra.trace K L) x)) =
    (algebraMap K (AlgebraicClosure L)) ((Algebra.trace K L) ?m.330749)

R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
⊢ L

tactic: simp only [algebraMap_eq_smul_one]
state_before: case a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
⊢ (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) ((algebraMap K L) ((Algebra.trace K L) x)) =
    (algebraMap K (AlgebraicClosure L)) ((Algebra.trace K L) ?m.330749)
state_after: case a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
⊢ ((Algebra.trace K L) x • 1) • 1 = (Algebra.trace K L) ?m.330749 • 1

tactic: apply smul_one_smul
state_before: case a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
⊢ ((Algebra.trace K L) x • 1) • 1 = (Algebra.trace K L) ?m.330749 • 1
state_after: no goals

tactic: intro σ
state_before: case a.h
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
⊢ ∀ (x_1 : L →ₐ[K] AlgebraicClosure L),
    x_1 x = (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) (((Normal.algHomEquivAut K (AlgebraicClosure L) L) x_1) x)
state_after: case a.h
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
σ : L →ₐ[K] AlgebraicClosure L
⊢ σ x = (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) (((Normal.algHomEquivAut K (AlgebraicClosure L) L) σ) x)

tactic: simp only [Normal.algHomEquivAut, AlgHom.restrictNormal', Equiv.coe_fn_mk,
  AlgEquiv.coe_ofBijective, AlgHom.restrictNormal_commutes, id.map_eq_id, RingHom.id_apply]
state_before: case a.h
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
σ : L →ₐ[K] AlgebraicClosure L
⊢ σ x = (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) (((Normal.algHomEquivAut K (AlgebraicClosure L) L) σ) x)
state_after: no goals