Theorem: Partrec.merge'
File: Mathlib/Computability/Halting.lean

tactic: let ⟨k, hk, H⟩ := Nat.Partrec.merge' (bind_decode₂_iff.1 hf) (bind_decode₂_iff.1 hg)
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
⊢ ∃ k, Partrec k ∧ ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
⊢ ∃ k, Partrec k ∧ ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)

tactic: let k' (a : α) := (k (encode a)).bind fun n => (decode (α := σ) n : Part σ)
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
⊢ ∃ k, Partrec k ∧ ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
⊢ ∃ k, Partrec k ∧ ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)

tactic: refine
  ⟨k', ((nat_iff.2 hk).comp Computable.encode).bind (Computable.decode.ofOption.comp snd).to₂,
    fun a => ?_⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
⊢ ∃ k, Partrec k ∧ ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
⊢ (∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k' a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)

tactic: refine ⟨this, ⟨fun h => (this _ ⟨h, rfl⟩).imp Exists.fst Exists.fst, ?_⟩⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a
⊢ (∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k' a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a
⊢ (f a).Dom ∨ (g a).Dom → (k' a).Dom

tactic: intro h
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a
⊢ (f a).Dom ∨ (g a).Dom → (k' a).Dom
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a
h : (f a).Dom ∨ (g a).Dom
⊢ (k' a).Dom

tactic: rw [bind_dom]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a
h : (f a).Dom ∨ (g a).Dom
⊢ (k' a).Dom
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a
h : (f a).Dom ∨ (g a).Dom
⊢ ∃ (h : (k (encode a)).Dom), (↑(decode ((k (encode a)).get h))).Dom

tactic: have hk : (k (encode a)).Dom :=
  (H _).2.2 (by simpa only [encodek₂, bind_some, coe_some] using h)
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a
h : (f a).Dom ∨ (g a).Dom
⊢ ∃ (h : (k (encode a)).Dom), (↑(decode ((k (encode a)).get h))).Dom
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk✝ : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a
h : (f a).Dom ∨ (g a).Dom
hk : (k (encode a)).Dom
⊢ ∃ (h : (k (encode a)).Dom), (↑(decode ((k (encode a)).get h))).Dom

tactic: exists hk
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk✝ : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a
h : (f a).Dom ∨ (g a).Dom
hk : (k (encode a)).Dom
⊢ ∃ (h : (k (encode a)).Dom), (↑(decode ((k (encode a)).get h))).Dom
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk✝ : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a
h : (f a).Dom ∨ (g a).Dom
hk : (k (encode a)).Dom
⊢ (↑(decode ((k (encode a)).get hk))).Dom

tactic: simp only [exists_prop, mem_map_iff, mem_coe, mem_bind_iff, Option.mem_def] at H
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk✝ : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a
h : (f a).Dom ∨ (g a).Dom
hk : (k (encode a)).Dom
⊢ (↑(decode ((k (encode a)).get hk))).Dom
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk✝ : Nat.Partrec k
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a
h : (f a).Dom ∨ (g a).Dom
hk : (k (encode a)).Dom
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (∃ a_2, decode₂ α a = Option.some a_2 ∧ ∃ a ∈ f a_2, encode a = x) ∨
          ∃ a_2, decode₂ α a = Option.some a_2 ∧ ∃ a ∈ g a_2, encode a = x) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
⊢ (↑(decode ((k (encode a)).get hk))).Dom

tactic: obtain ⟨a', _, y, _, e⟩ | ⟨a', _, y, _, e⟩ := (H _).1 _ ⟨hk, rfl⟩ <;>
  simp only [e.symm, encodek, coe_some, some_dom]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk✝ : Nat.Partrec k
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a
h : (f a).Dom ∨ (g a).Dom
hk : (k (encode a)).Dom
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (∃ a_2, decode₂ α a = Option.some a_2 ∧ ∃ a ∈ f a_2, encode a = x) ∨
          ∃ a_2, decode₂ α a = Option.some a_2 ∧ ∃ a ∈ g a_2, encode a = x) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
⊢ (↑(decode ((k (encode a)).get hk))).Dom
state_after: no goals

tactic: intro x h'
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
⊢ ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
x : σ
h' : x ∈ k' a
⊢ x ∈ f a ∨ x ∈ g a

tactic: simp only [k', exists_prop, mem_coe, mem_bind_iff, Option.mem_def] at h'
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
x : σ
h' : x ∈ k' a
⊢ x ∈ f a ∨ x ∈ g a
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
x : σ
h' : ∃ a_1 ∈ k (encode a), decode a_1 = Option.some x
⊢ x ∈ f a ∨ x ∈ g a

tactic: obtain ⟨n, hn, hx⟩ := h'
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
x : σ
h' : ∃ a_1 ∈ k (encode a), decode a_1 = Option.some x
⊢ x ∈ f a ∨ x ∈ g a
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
x : σ
n : ℕ
hn : n ∈ k (encode a)
hx : decode n = Option.some x
⊢ x ∈ f a ∨ x ∈ g a

tactic: have := (H _).1 _ hn
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
x : σ
n : ℕ
hn : n ∈ k (encode a)
hx : decode n = Option.some x
⊢ x ∈ f a ∨ x ∈ g a
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
x : σ
n : ℕ
hn : n ∈ k (encode a)
hx : decode n = Option.some x
this :
  (n ∈ (↑(decode₂ α (encode a))).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
    n ∈ (↑(decode₂ α (encode a))).bind fun a => Part.map encode (g a)
⊢ x ∈ f a ∨ x ∈ g a

tactic: simp [mem_decode₂, encode_injective.eq_iff] at this
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
x : σ
n : ℕ
hn : n ∈ k (encode a)
hx : decode n = Option.some x
this :
  (n ∈ (↑(decode₂ α (encode a))).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
    n ∈ (↑(decode₂ α (encode a))).bind fun a => Part.map encode (g a)
⊢ x ∈ f a ∨ x ∈ g a
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
x : σ
n : ℕ
hn : n ∈ k (encode a)
hx : decode n = Option.some x
this : (∃ a_1 ∈ f a, encode a_1 = n) ∨ ∃ a_1 ∈ g a, encode a_1 = n
⊢ x ∈ f a ∨ x ∈ g a

tactic: obtain ⟨a', ha, rfl⟩ | ⟨a', ha, rfl⟩ := this <;> simp only [encodek, Option.some_inj] at hx <;>
  rw [hx] at ha
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
x : σ
n : ℕ
hn : n ∈ k (encode a)
hx : decode n = Option.some x
this : (∃ a_1 ∈ f a, encode a_1 = n) ∨ ∃ a_1 ∈ g a, encode a_1 = n
⊢ x ∈ f a ∨ x ∈ g a
state_after: case intro.intro.inl.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
x a' : σ
ha : x ∈ f a
hn : encode a' ∈ k (encode a)
hx : a' = x
⊢ x ∈ f a ∨ x ∈ g a

case intro.intro.inr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
x a' : σ
ha : x ∈ g a
hn : encode a' ∈ k (encode a)
hx : a' = x
⊢ x ∈ f a ∨ x ∈ g a

tactic: exact Or.inl ha
state_before: case intro.intro.inl.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
x a' : σ
ha : x ∈ f a
hn : encode a' ∈ k (encode a)
hx : a' = x
⊢ x ∈ f a ∨ x ∈ g a
state_after: no goals

tactic: exact Or.inr ha
state_before: case intro.intro.inr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
x a' : σ
ha : x ∈ g a
hn : encode a' ∈ k (encode a)
hx : a' = x
⊢ x ∈ f a ∨ x ∈ g a
state_after: no goals

tactic: simpa only [encodek₂, bind_some, coe_some] using h
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
k : ℕ →. ℕ
hk : Nat.Partrec k
H :
  ∀ (a : ℕ),
    (∀ x ∈ k a,
        (x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)) ∨
          x ∈ (↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)) ∧
      ((k a).Dom ↔
        ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
          ((↑(decode₂ α a)).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom)
k' : α → Part σ := fun a => (k (encode a)).bind fun n => ↑(decode n)
a : α
this : ∀ x ∈ k' a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a
h : (f a).Dom ∨ (g a).Dom
⊢ ((↑(decode₂ α (encode a))).bind fun a => Part.map encode (f a)).Dom ∨
    ((↑(decode₂ α (encode a))).bind fun a => Part.map encode (g a)).Dom
state_after: no goals