Theorem: LinearMap.injective_iff_surjective_of_finrank_eq_finrank
File: Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean

tactic: have := finrank_range_add_finrank_ker f
state_before: K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
⊢ Injective ⇑f ↔ Surjective ⇑f
state_after: K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V
⊢ Injective ⇑f ↔ Surjective ⇑f

tactic: rw [← ker_eq_bot, ← range_eq_top]
state_before: K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V
⊢ Injective ⇑f ↔ Surjective ⇑f
state_after: K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V
⊢ ker f = ⊥ ↔ range f = ⊤

tactic: refine ⟨fun h => ?_, fun h => ?_⟩
state_before: K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V
⊢ ker f = ⊥ ↔ range f = ⊤
state_after: case refine_1
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V
h : ker f = ⊥
⊢ range f = ⊤

case refine_2
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V
h : range f = ⊤
⊢ ker f = ⊥

tactic: rw [h, finrank_bot, add_zero, H] at this
state_before: case refine_1
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V
h : ker f = ⊥
⊢ range f = ⊤
state_after: case refine_1
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K ↥(range f) = finrank K V₂
h : ker f = ⊥
⊢ range f = ⊤

tactic: exact eq_top_of_finrank_eq this
state_before: case refine_1
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K ↥(range f) = finrank K V₂
h : ker f = ⊥
⊢ range f = ⊤
state_after: no goals

tactic: rw [h, finrank_top, H] at this
state_before: case refine_2
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V
h : range f = ⊤
⊢ ker f = ⊥
state_after: case refine_2
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K V₂ + finrank K ↥(ker f) = finrank K V₂
h : range f = ⊤
⊢ ker f = ⊥

tactic: exact Submodule.finrank_eq_zero.1 (add_right_injective _ this)
state_before: case refine_2
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K V₂ + finrank K ↥(ker f) = finrank K V₂
h : range f = ⊤
⊢ ker f = ⊥
state_after: no goals