Theorem: FractionalIdeal.coeIdeal_span_singleton
File: Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean

tactic: ext y
state_before: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : R
⊢ ↑(Ideal.span {x}) = spanSingleton S ((algebraMap R P) x)
state_after: case a
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : R
y : P
⊢ y ∈ ↑(Ideal.span {x}) ↔ y ∈ spanSingleton S ((algebraMap R P) x)

tactic: refine (mem_coeIdeal S).trans (Iff.trans ?_ (mem_spanSingleton S).symm)
state_before: case a
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : R
y : P
⊢ y ∈ ↑(Ideal.span {x}) ↔ y ∈ spanSingleton S ((algebraMap R P) x)
state_after: case a
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : R
y : P
⊢ (∃ x' ∈ Ideal.span {x}, (algebraMap R P) x' = y) ↔ ∃ z, z • (algebraMap R P) x = y

tactic: constructor
state_before: case a
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : R
y : P
⊢ (∃ x' ∈ Ideal.span {x}, (algebraMap R P) x' = y) ↔ ∃ z, z • (algebraMap R P) x = y
state_after: case a.mp
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : R
y : P
⊢ (∃ x' ∈ Ideal.span {x}, (algebraMap R P) x' = y) → ∃ z, z • (algebraMap R P) x = y

case a.mpr
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : R
y : P
⊢ (∃ z, z • (algebraMap R P) x = y) → ∃ x' ∈ Ideal.span {x}, (algebraMap R P) x' = y

tactic: rintro ⟨y', hy', rfl⟩
state_before: case a.mp
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : R
y : P
⊢ (∃ x' ∈ Ideal.span {x}, (algebraMap R P) x' = y) → ∃ z, z • (algebraMap R P) x = y
state_after: case a.mp.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x y' : R
hy' : y' ∈ Ideal.span {x}
⊢ ∃ z, z • (algebraMap R P) x = (algebraMap R P) y'

tactic: obtain ⟨x', rfl⟩ := Submodule.mem_span_singleton.mp hy'
state_before: case a.mp.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x y' : R
hy' : y' ∈ Ideal.span {x}
⊢ ∃ z, z • (algebraMap R P) x = (algebraMap R P) y'
state_after: case a.mp.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x x' : R
hy' : x' • x ∈ Ideal.span {x}
⊢ ∃ z, z • (algebraMap R P) x = (algebraMap R P) (x' • x)

tactic: use x'
state_before: case a.mp.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x x' : R
hy' : x' • x ∈ Ideal.span {x}
⊢ ∃ z, z • (algebraMap R P) x = (algebraMap R P) (x' • x)
state_after: case h
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x x' : R
hy' : x' • x ∈ Ideal.span {x}
⊢ x' • (algebraMap R P) x = (algebraMap R P) (x' • x)

tactic: rw [smul_eq_mul, RingHom.map_mul, Algebra.smul_def]
state_before: case h
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x x' : R
hy' : x' • x ∈ Ideal.span {x}
⊢ x' • (algebraMap R P) x = (algebraMap R P) (x' • x)
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨y', rfl⟩
state_before: case a.mpr
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : R
y : P
⊢ (∃ z, z • (algebraMap R P) x = y) → ∃ x' ∈ Ideal.span {x}, (algebraMap R P) x' = y
state_after: case a.mpr.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x y' : R
⊢ ∃ x' ∈ Ideal.span {x}, (algebraMap R P) x' = y' • (algebraMap R P) x

tactic: refine ⟨y' * x, Submodule.mem_span_singleton.mpr ⟨y', rfl⟩, ?_⟩
state_before: case a.mpr.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x y' : R
⊢ ∃ x' ∈ Ideal.span {x}, (algebraMap R P) x' = y' • (algebraMap R P) x
state_after: case a.mpr.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x y' : R
⊢ (algebraMap R P) (y' * x) = y' • (algebraMap R P) x

tactic: rw [RingHom.map_mul, Algebra.smul_def]
state_before: case a.mpr.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x y' : R
⊢ (algebraMap R P) (y' * x) = y' • (algebraMap R P) x
state_after: no goals