Theorem: LinearMap.isSymmetric_iff_inner_map_self_real
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Symmetric.lean

tactic: constructor
state_before: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
⊢ T.IsSymmetric ↔ ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
⊢ T.IsSymmetric → ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ

case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
⊢ (∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ) → T.IsSymmetric

tactic: intro hT v
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
⊢ T.IsSymmetric → ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
hT : T.IsSymmetric
v : V
⊢ (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ

tactic: apply IsSymmetric.conj_inner_sym hT
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
hT : T.IsSymmetric
v : V
⊢ (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
state_after: no goals

tactic: intro h x y
state_before: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
⊢ (∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ) → T.IsSymmetric
state_after: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
h : ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
x y : V
⊢ ⟪T x, y⟫_ℂ = ⟪x, T y⟫_ℂ

tactic: rw [← inner_conj_symm x (T y)]
state_before: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
h : ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
x y : V
⊢ ⟪T x, y⟫_ℂ = ⟪x, T y⟫_ℂ
state_after: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
h : ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
x y : V
⊢ ⟪T x, y⟫_ℂ = (starRingEnd ℂ) ⟪T y, x⟫_ℂ

tactic: rw [inner_map_polarization T x y]
state_before: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
h : ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
x y : V
⊢ ⟪T x, y⟫_ℂ = (starRingEnd ℂ) ⟪T y, x⟫_ℂ
state_after: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
h : ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
x y : V
⊢ ⟪T x, y⟫_ℂ =
    (starRingEnd ℂ)
      ((⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ + Complex.I * ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ -
          Complex.I * ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ) /
        4)

tactic: simp only [starRingEnd_apply, star_div', star_sub, star_add, star_mul]
state_before: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
h : ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
x y : V
⊢ ⟪T x, y⟫_ℂ =
    (starRingEnd ℂ)
      ((⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ + Complex.I * ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ -
          Complex.I * ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ) /
        4)
state_after: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
h : ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
x y : V
⊢ ⟪T x, y⟫_ℂ =
    (star ⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - star ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ +
          star ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ * star Complex.I -
        star ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ * star Complex.I) /
      star 4

tactic: simp only [← starRingEnd_apply]
state_before: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
h : ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
x y : V
⊢ ⟪T x, y⟫_ℂ =
    (star ⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - star ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ +
          star ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ * star Complex.I -
        star ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ * star Complex.I) /
      star 4
state_after: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
h : ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
x y : V
⊢ ⟪T x, y⟫_ℂ =
    ((starRingEnd ℂ) ⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - (starRingEnd ℂ) ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ +
          (starRingEnd ℂ) ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ * (starRingEnd ℂ) Complex.I -
        (starRingEnd ℂ) ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ * (starRingEnd ℂ) Complex.I) /
      (starRingEnd ℂ) 4

tactic: rw [h (x + y), h (x - y), h (x + Complex.I • y), h (x - Complex.I • y)]
state_before: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
h : ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
x y : V
⊢ ⟪T x, y⟫_ℂ =
    ((starRingEnd ℂ) ⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - (starRingEnd ℂ) ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ +
          (starRingEnd ℂ) ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ * (starRingEnd ℂ) Complex.I -
        (starRingEnd ℂ) ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ * (starRingEnd ℂ) Complex.I) /
      (starRingEnd ℂ) 4
state_after: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
h : ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
x y : V
⊢ ⟪T x, y⟫_ℂ =
    (⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ +
          ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ * (starRingEnd ℂ) Complex.I -
        ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ * (starRingEnd ℂ) Complex.I) /
      (starRingEnd ℂ) 4

tactic: simp only [Complex.conj_I]
state_before: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
h : ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
x y : V
⊢ ⟪T x, y⟫_ℂ =
    (⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ +
          ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ * (starRingEnd ℂ) Complex.I -
        ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ * (starRingEnd ℂ) Complex.I) /
      (starRingEnd ℂ) 4
state_after: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
h : ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
x y : V
⊢ ⟪T x, y⟫_ℂ =
    (⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ + ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ * -Complex.I -
        ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ * -Complex.I) /
      (starRingEnd ℂ) 4

tactic: rw [inner_map_polarization']
state_before: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
h : ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
x y : V
⊢ ⟪T x, y⟫_ℂ =
    (⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ + ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ * -Complex.I -
        ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ * -Complex.I) /
      (starRingEnd ℂ) 4
state_after: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
h : ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
x y : V
⊢ (⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ - Complex.I * ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ +
        Complex.I * ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ) /
      4 =
    (⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ + ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ * -Complex.I -
        ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ * -Complex.I) /
      (starRingEnd ℂ) 4

tactic: norm_num
state_before: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
h : ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
x y : V
⊢ (⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ - Complex.I * ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ +
        Complex.I * ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ) /
      4 =
    (⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ + ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ * -Complex.I -
        ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ * -Complex.I) /
      (starRingEnd ℂ) 4
state_after: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
h : ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
x y : V
⊢ (⟪T x + T y, x + y⟫_ℂ - ⟪T x - T y, x - y⟫_ℂ - Complex.I * ⟪T x + Complex.I • T y, x + Complex.I • y⟫_ℂ +
        Complex.I * ⟪T x - Complex.I • T y, x - Complex.I • y⟫_ℂ) /
      4 =
    (⟪T x + T y, x + y⟫_ℂ - ⟪T x - T y, x - y⟫_ℂ + -(⟪T x + Complex.I • T y, x + Complex.I • y⟫_ℂ * Complex.I) +
        ⟪T x - Complex.I • T y, x - Complex.I • y⟫_ℂ * Complex.I) /
      4

tactic: ring
state_before: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E'
V : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
h : ∀ (v : V), (starRingEnd ℂ) ⟪T v, v⟫_ℂ = ⟪T v, v⟫_ℂ
x y : V
⊢ (⟪T x + T y, x + y⟫_ℂ - ⟪T x - T y, x - y⟫_ℂ - Complex.I * ⟪T x + Complex.I • T y, x + Complex.I • y⟫_ℂ +
        Complex.I * ⟪T x - Complex.I • T y, x - Complex.I • y⟫_ℂ) /
      4 =
    (⟪T x + T y, x + y⟫_ℂ - ⟪T x - T y, x - y⟫_ℂ + -(⟪T x + Complex.I • T y, x + Complex.I • y⟫_ℂ * Complex.I) +
        ⟪T x - Complex.I • T y, x - Complex.I • y⟫_ℂ * Complex.I) /
      4
state_after: no goals