Theorem: Polynomial.Monic.irreducible_iff_degree_lt
File: Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean

tactic: simp only [p_monic.irreducible_iff_lt_natDegree_lt p_1, Finset.mem_Ioc, and_imp,
  natDegree_pos_iff_degree_pos, natDegree_le_iff_degree_le]
state_before: R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
⊢ Irreducible p ↔ ∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q
state_after: R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
⊢ (∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p) ↔
    ∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q

tactic: constructor
state_before: R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
⊢ (∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p) ↔
    ∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q
state_after: case mp
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
⊢ (∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p) →
    ∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q

case mpr
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
⊢ (∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q) →
    ∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p

tactic: rintro h q deg_le dvd
state_before: case mp
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
⊢ (∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p) →
    ∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q
state_after: case mp
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
h : ∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
q : R[X]
deg_le : q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2)
dvd : q ∣ p
⊢ IsUnit q

tactic: by_contra q_unit
state_before: case mp
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
h : ∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
q : R[X]
deg_le : q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2)
dvd : q ∣ p
⊢ IsUnit q
state_after: case mp
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
h : ∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
q : R[X]
deg_le : q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2)
dvd : q ∣ p
q_unit : ¬IsUnit q
⊢ False

tactic: have := degree_pos_of_not_isUnit_of_dvd_monic p_monic q_unit dvd
state_before: case mp
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
h : ∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
q : R[X]
deg_le : q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2)
dvd : q ∣ p
q_unit : ¬IsUnit q
⊢ False
state_after: case mp
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
h : ∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
q : R[X]
deg_le : q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2)
dvd : q ∣ p
q_unit : ¬IsUnit q
this : 0 < q.degree
⊢ False

tactic: have hu := p_monic.isUnit_leadingCoeff_of_dvd dvd
state_before: case mp
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
h : ∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
q : R[X]
deg_le : q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2)
dvd : q ∣ p
q_unit : ¬IsUnit q
this : 0 < q.degree
⊢ False
state_after: case mp
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
h : ∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
q : R[X]
deg_le : q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2)
dvd : q ∣ p
q_unit : ¬IsUnit q
this : 0 < q.degree
hu : IsUnit q.leadingCoeff
⊢ False

tactic: refine (h _ (monic_of_isUnit_leadingCoeff_inv_smul hu) ?_ ?_ (dvd_trans ?_ dvd)).elim
state_before: case mp
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
h : ∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
q : R[X]
deg_le : q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2)
dvd : q ∣ p
q_unit : ¬IsUnit q
this : 0 < q.degree
hu : IsUnit q.leadingCoeff
⊢ False
state_after: case mp.refine_1
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
h : ∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
q : R[X]
deg_le : q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2)
dvd : q ∣ p
q_unit : ¬IsUnit q
this : 0 < q.degree
hu : IsUnit q.leadingCoeff
⊢ 0 < (hu.unit⁻¹ • q).degree

case mp.refine_2
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
h : ∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
q : R[X]
deg_le : q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2)
dvd : q ∣ p
q_unit : ¬IsUnit q
this : 0 < q.degree
hu : IsUnit q.leadingCoeff
⊢ (hu.unit⁻¹ • q).degree ≤ ↑(p.natDegree / 2)

case mp.refine_3
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
h : ∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
q : R[X]
deg_le : q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2)
dvd : q ∣ p
q_unit : ¬IsUnit q
this : 0 < q.degree
hu : IsUnit q.leadingCoeff
⊢ hu.unit⁻¹ • q ∣ q

tactic: rwa [degree_smul_of_smul_regular _ (isSMulRegular_of_group _)]
state_before: case mp.refine_1
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
h : ∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
q : R[X]
deg_le : q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2)
dvd : q ∣ p
q_unit : ¬IsUnit q
this : 0 < q.degree
hu : IsUnit q.leadingCoeff
⊢ 0 < (hu.unit⁻¹ • q).degree
state_after: no goals

tactic: rwa [degree_smul_of_smul_regular _ (isSMulRegular_of_group _)]
state_before: case mp.refine_2
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
h : ∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
q : R[X]
deg_le : q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2)
dvd : q ∣ p
q_unit : ¬IsUnit q
this : 0 < q.degree
hu : IsUnit q.leadingCoeff
⊢ (hu.unit⁻¹ • q).degree ≤ ↑(p.natDegree / 2)
state_after: no goals

tactic: rw [Units.smul_def, Polynomial.smul_eq_C_mul, (isUnit_C.mpr (Units.isUnit _)).mul_left_dvd]
state_before: case mp.refine_3
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
h : ∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
q : R[X]
deg_le : q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2)
dvd : q ∣ p
q_unit : ¬IsUnit q
this : 0 < q.degree
hu : IsUnit q.leadingCoeff
⊢ hu.unit⁻¹ • q ∣ q
state_after: no goals

tactic: rintro h q _ deg_pos deg_le dvd
state_before: case mpr
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
⊢ (∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q) →
    ∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
state_after: case mpr
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
h : ∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q
q : R[X]
a✝ : q.Monic
deg_pos : 0 < q.degree
deg_le : q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2)
dvd : q ∣ p
⊢ False

tactic: exact deg_pos.ne' <| degree_eq_zero_of_isUnit (h q deg_le dvd)
state_before: case mpr
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1
h : ∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q
q : R[X]
a✝ : q.Monic
deg_pos : 0 < q.degree
deg_le : q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2)
dvd : q ∣ p
⊢ False
state_after: no goals