Theorem: MeasureTheory.snorm'_le_snorm'_mul_snorm'
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean

tactic: rw [snorm']
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
⊢ snorm' (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ snorm' f q μ * snorm' g r μ
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖b (f a) (g a)‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ snorm' f q μ * snorm' g r μ

tactic: calc
  (∫⁻ a : α, ↑‖b (f a) (g a)‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤
      (∫⁻ a : α, ↑(‖f a‖₊ * ‖g a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) :=
    (ENNReal.rpow_le_rpow_iff <| one_div_pos.mpr hp0_lt).mpr <|
      lintegral_mono_ae <|
        h.mono fun a ha => (ENNReal.rpow_le_rpow_iff hp0_lt).mpr <| ENNReal.coe_le_coe.mpr <| ha
  _ ≤ _ := ?_
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖b (f a) (g a)‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ snorm' f q μ * snorm' g r μ
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ * ‖g a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ snorm' f q μ * snorm' g r μ

tactic: simp_rw [snorm', ENNReal.coe_mul]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ * ‖g a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ snorm' f q μ * snorm' g r μ
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
⊢ (∫⁻ (a : α), (↑‖f a‖₊ * ↑‖g a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤
    (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ r ∂μ) ^ (1 / r)

tactic: exact ENNReal.lintegral_Lp_mul_le_Lq_mul_Lr hp0_lt hpq hpqr μ hf.ennnorm hg.ennnorm
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
⊢ (∫⁻ (a : α), (↑‖f a‖₊ * ↑‖g a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤
    (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
state_after: no goals