Theorem: intervalIntegral.integrableOn_Ioo_cpow_iff
File: Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean

tactic: refine ⟨fun h ↦ ?_, fun h ↦ by simpa [intervalIntegrable_iff_integrableOn_Ioo_of_le ht.le]
  using intervalIntegrable_cpow' h (a := 0) (b := t)⟩
state_before: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume ↔ -1 < s.re
state_after: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
⊢ -1 < s.re

tactic: have B : IntegrableOn (fun a ↦ a ^ s.re) (Ioo 0 t) := by
  apply (integrableOn_congr_fun _ measurableSet_Ioo).1 h.norm
  intro a ha
  simp [Complex.abs_cpow_eq_rpow_re_of_pos ha.1]
state_before: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
⊢ -1 < s.re
state_after: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
B : IntegrableOn (fun a => a ^ s.re) (Set.Ioo 0 t) volume
⊢ -1 < s.re

tactic: rwa [integrableOn_Ioo_rpow_iff ht] at B
state_before: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
B : IntegrableOn (fun a => a ^ s.re) (Set.Ioo 0 t) volume
⊢ -1 < s.re
state_after: no goals

tactic: simpa [intervalIntegrable_iff_integrableOn_Ioo_of_le ht.le]
using intervalIntegrable_cpow' h (a := 0) (b := t)
state_before: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
h : -1 < s.re
⊢ IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
state_after: no goals

tactic: apply (integrableOn_congr_fun _ measurableSet_Ioo).1 h.norm
state_before: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
⊢ IntegrableOn (fun a => a ^ s.re) (Set.Ioo 0 t) volume
state_after: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
⊢ EqOn (fun a => ‖↑a ^ s‖) (fun a => a ^ s.re) (Set.Ioo 0 t)

tactic: intro a ha
state_before: a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
⊢ EqOn (fun a => ‖↑a ^ s‖) (fun a => a ^ s.re) (Set.Ioo 0 t)
state_after: a✝ b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
a : ℝ
ha : a ∈ Set.Ioo 0 t
⊢ (fun a => ‖↑a ^ s‖) a = (fun a => a ^ s.re) a

tactic: simp [Complex.abs_cpow_eq_rpow_re_of_pos ha.1]
state_before: a✝ b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
a : ℝ
ha : a ∈ Set.Ioo 0 t
⊢ (fun a => ‖↑a ^ s‖) a = (fun a => a ^ s.re) a
state_after: no goals