Theorem: CategoryTheory.Limits.biproduct.whiskerEquiv_hom_eq_lift
File: Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean

tactic: simp
state_before: J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
k : K
⊢ g (e (e.symm k)) = g k
state_after: no goals

tactic: simp only [whiskerEquiv_hom]
state_before: J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
⊢ (whiskerEquiv e w).hom = lift fun k => π f (e.symm k) ≫ (w (e.symm k)).inv ≫ eqToHom ⋯
state_after: J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
⊢ (desc fun j => (w j).inv ≫ ι g (e j)) = lift fun k => π f (e.symm k) ≫ (w (e.symm k)).inv ≫ eqToHom ⋯

tactic: ext k j
state_before: J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
⊢ (desc fun j => (w j).inv ≫ ι g (e j)) = lift fun k => π f (e.symm k) ≫ (w (e.symm k)).inv ≫ eqToHom ⋯
state_after: case w.w
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
k : K
j : J
⊢ ι f j ≫ (desc fun j => (w j).inv ≫ ι g (e j)) ≫ π g k =
    ι f j ≫ (lift fun k => π f (e.symm k) ≫ (w (e.symm k)).inv ≫ eqToHom ⋯) ≫ π g k

tactic: by_cases h : k = e j
state_before: case w.w
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
k : K
j : J
⊢ ι f j ≫ (desc fun j => (w j).inv ≫ ι g (e j)) ≫ π g k =
    ι f j ≫ (lift fun k => π f (e.symm k) ≫ (w (e.symm k)).inv ≫ eqToHom ⋯) ≫ π g k
state_after: case pos
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
k : K
j : J
h : k = e j
⊢ ι f j ≫ (desc fun j => (w j).inv ≫ ι g (e j)) ≫ π g k =
    ι f j ≫ (lift fun k => π f (e.symm k) ≫ (w (e.symm k)).inv ≫ eqToHom ⋯) ≫ π g k

case neg
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
k : K
j : J
h : ¬k = e j
⊢ ι f j ≫ (desc fun j => (w j).inv ≫ ι g (e j)) ≫ π g k =
    ι f j ≫ (lift fun k => π f (e.symm k) ≫ (w (e.symm k)).inv ≫ eqToHom ⋯) ≫ π g k

tactic: subst h
state_before: case pos
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
k : K
j : J
h : k = e j
⊢ ι f j ≫ (desc fun j => (w j).inv ≫ ι g (e j)) ≫ π g k =
    ι f j ≫ (lift fun k => π f (e.symm k) ≫ (w (e.symm k)).inv ≫ eqToHom ⋯) ≫ π g k
state_after: case pos
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
j : J
⊢ ι f j ≫ (desc fun j => (w j).inv ≫ ι g (e j)) ≫ π g (e j) =
    ι f j ≫ (lift fun k => π f (e.symm k) ≫ (w (e.symm k)).inv ≫ eqToHom ⋯) ≫ π g (e j)

tactic: simp
state_before: case pos
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
j : J
⊢ ι f j ≫ (desc fun j => (w j).inv ≫ ι g (e j)) ≫ π g (e j) =
    ι f j ≫ (lift fun k => π f (e.symm k) ≫ (w (e.symm k)).inv ≫ eqToHom ⋯) ≫ π g (e j)
state_after: no goals

tactic: simp only [ι_desc_assoc, Category.assoc, ne_eq, lift_π]
state_before: case neg
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
k : K
j : J
h : ¬k = e j
⊢ ι f j ≫ (desc fun j => (w j).inv ≫ ι g (e j)) ≫ π g k =
    ι f j ≫ (lift fun k => π f (e.symm k) ≫ (w (e.symm k)).inv ≫ eqToHom ⋯) ≫ π g k
state_after: case neg
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
k : K
j : J
h : ¬k = e j
⊢ (w j).inv ≫ ι g (e j) ≫ π g k = ι f j ≫ π f (e.symm k) ≫ (w (e.symm k)).inv ≫ eqToHom ⋯

tactic: rw [biproduct.ι_π_ne, biproduct.ι_π_ne_assoc]
state_before: case neg
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
k : K
j : J
h : ¬k = e j
⊢ (w j).inv ≫ ι g (e j) ≫ π g k = ι f j ≫ π f (e.symm k) ≫ (w (e.symm k)).inv ≫ eqToHom ⋯
state_after: case neg
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
k : K
j : J
h : ¬k = e j
⊢ (w j).inv ≫ 0 = 0 ≫ (w (e.symm k)).inv ≫ eqToHom ⋯

case neg.h
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
k : K
j : J
h : ¬k = e j
⊢ j ≠ e.symm k

case neg.h
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
k : K
j : J
h : ¬k = e j
⊢ e j ≠ k

tactic: simp
state_before: case neg
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
k : K
j : J
h : ¬k = e j
⊢ (w j).inv ≫ 0 = 0 ≫ (w (e.symm k)).inv ≫ eqToHom ⋯
state_after: no goals

tactic: rintro rfl
state_before: case neg.h
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
k : K
j : J
h : ¬k = e j
⊢ j ≠ e.symm k
state_after: case neg.h
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
k : K
h : ¬k = e (e.symm k)
⊢ False

tactic: simp at h
state_before: case neg.h
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
k : K
h : ¬k = e (e.symm k)
⊢ False
state_after: no goals

tactic: exact Ne.symm h
state_before: case neg.h
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
k : K
j : J
h : ¬k = e j
⊢ e j ≠ k
state_after: no goals