Theorem: PartialHomeomorph.MDifferentiable.symm_comp_deriv
File: Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean

tactic: have : mfderiv I I (e.symm ∘ e) x = (mfderiv I' I e.symm (e x)).comp (mfderiv I I' e x) :=
  mfderiv_comp x (he.mdifferentiableAt_symm (e.map_source hx)) (he.mdifferentiableAt hx)
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
⊢ (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x) = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)
⊢ (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x) = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)

tactic: rw [← this]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)
⊢ (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x) = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)
⊢ mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)

tactic: have : mfderiv I I (_root_.id : M → M) x = ContinuousLinearMap.id _ _ := mfderiv_id I
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)
⊢ mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this✝ : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)
this : mfderiv I I id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
⊢ mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)

tactic: rw [← this]
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this✝ : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)
this : mfderiv I I id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
⊢ mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
state_after: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this✝ : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)
this : mfderiv I I id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
⊢ mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = mfderiv I I id x

tactic: apply Filter.EventuallyEq.mfderiv_eq
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this✝ : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)
this : mfderiv I I id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
⊢ mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = mfderiv I I id x
state_after: case hL
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this✝ : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)
this : mfderiv I I id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
⊢ ↑e.symm ∘ ↑e =ᶠ[𝓝 x] id

tactic: have : e.source ∈ 𝓝 x := e.open_source.mem_nhds hx
state_before: case hL
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this✝ : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)
this : mfderiv I I id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
⊢ ↑e.symm ∘ ↑e =ᶠ[𝓝 x] id
state_after: case hL
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this✝¹ : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)
this✝ : mfderiv I I id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
this : e.source ∈ 𝓝 x
⊢ ↑e.symm ∘ ↑e =ᶠ[𝓝 x] id

tactic: exact Filter.mem_of_superset this (by mfld_set_tac)
state_before: case hL
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this✝¹ : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)
this✝ : mfderiv I I id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
this : e.source ∈ 𝓝 x
⊢ ↑e.symm ∘ ↑e =ᶠ[𝓝 x] id
state_after: no goals

tactic: mfld_set_tac
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this✝¹ : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)
this✝ : mfderiv I I id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
this : e.source ∈ 𝓝 x
⊢ e.source ⊆ {x | (fun x => (↑e.symm ∘ ↑e) x = id x) x}
state_after: no goals