Theorem: cocompact_le_atBot
File: Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean

tactic: refine fun _ hs ↦ mem_cocompact.mpr <| (isEmpty_or_nonempty α).casesOn ?_ ?_ <;> intro
state_before: α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α
⊢ cocompact α ≤ atBot
state_after: case refine_1
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α
x✝ : Set α
hs : x✝ ∈ atBot
h✝ : IsEmpty α
⊢ ∃ t, IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ x✝

case refine_2
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α
x✝ : Set α
hs : x✝ ∈ atBot
h✝ : Nonempty α
⊢ ∃ t, IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ x✝

tactic: exact ⟨∅, isCompact_empty, fun x _ ↦ (IsEmpty.false x).elim⟩
state_before: case refine_1
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α
x✝ : Set α
hs : x✝ ∈ atBot
h✝ : IsEmpty α
⊢ ∃ t, IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ x✝
state_after: no goals

tactic: obtain ⟨t, ht⟩ := mem_atBot_sets.mp hs
state_before: case refine_2
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α
x✝ : Set α
hs : x✝ ∈ atBot
h✝ : Nonempty α
⊢ ∃ t, IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ x✝
state_after: case refine_2.intro
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α
x✝ : Set α
hs : x✝ ∈ atBot
h✝ : Nonempty α
t : α
ht : ∀ b ≤ t, b ∈ x✝
⊢ ∃ t, IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ x✝

tactic: refine ⟨Icc t ⊤, isCompact_Icc, fun _ hx ↦ ?_⟩
state_before: case refine_2.intro
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α
x✝ : Set α
hs : x✝ ∈ atBot
h✝ : Nonempty α
t : α
ht : ∀ b ≤ t, b ∈ x✝
⊢ ∃ t, IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ x✝
state_after: case refine_2.intro
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α
x✝¹ : Set α
hs : x✝¹ ∈ atBot
h✝ : Nonempty α
t : α
ht : ∀ b ≤ t, b ∈ x✝¹
x✝ : α
hx : x✝ ∈ (Icc t ⊤)ᶜ
⊢ x✝ ∈ x✝¹

tactic: exact (not_and_or.mp hx).casesOn (fun h ↦ ht _ (le_of_not_le h)) (fun h ↦ (h le_top).elim)
state_before: case refine_2.intro
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α
x✝¹ : Set α
hs : x✝¹ ∈ atBot
h✝ : Nonempty α
t : α
ht : ∀ b ≤ t, b ∈ x✝¹
x✝ : α
hx : x✝ ∈ (Icc t ⊤)ᶜ
⊢ x✝ ∈ x✝¹
state_after: no goals