Theorem: Matrix.TransvectionStruct.prod_mul_reverse_inv_prod
File: Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean

tactic: induction' L with t L IH
state_before: n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
L : List (TransvectionStruct n R)
⊢ (List.map toMatrix L).prod * (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) L.reverse).prod = 1
state_after: case nil
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
⊢ (List.map toMatrix []).prod * (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) [].reverse).prod = 1

case cons
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
t : TransvectionStruct n R
L : List (TransvectionStruct n R)
IH : (List.map toMatrix L).prod * (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) L.reverse).prod = 1
⊢ (List.map toMatrix (t :: L)).prod * (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) (t :: L).reverse).prod = 1

tactic: simp
state_before: case nil
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
⊢ (List.map toMatrix []).prod * (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) [].reverse).prod = 1
state_after: no goals

tactic: suffices
  t.toMatrix *
        ((L.map toMatrix).prod * (L.reverse.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv)).prod) *
      t.inv.toMatrix = 1
  by simpa [Matrix.mul_assoc]
state_before: case cons
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
t : TransvectionStruct n R
L : List (TransvectionStruct n R)
IH : (List.map toMatrix L).prod * (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) L.reverse).prod = 1
⊢ (List.map toMatrix (t :: L)).prod * (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) (t :: L).reverse).prod = 1
state_after: case cons
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
t : TransvectionStruct n R
L : List (TransvectionStruct n R)
IH : (List.map toMatrix L).prod * (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) L.reverse).prod = 1
⊢ t.toMatrix * ((List.map toMatrix L).prod * (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) L.reverse).prod) *
      t.inv.toMatrix =
    1

tactic: simp_rw [IH, Matrix.mul_one, t.mul_inv]
state_before: case cons
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
t : TransvectionStruct n R
L : List (TransvectionStruct n R)
IH : (List.map toMatrix L).prod * (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) L.reverse).prod = 1
⊢ t.toMatrix * ((List.map toMatrix L).prod * (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) L.reverse).prod) *
      t.inv.toMatrix =
    1
state_after: no goals

tactic: simpa [Matrix.mul_assoc]
state_before: n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
t : TransvectionStruct n R
L : List (TransvectionStruct n R)
IH : (List.map toMatrix L).prod * (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) L.reverse).prod = 1
this :
  t.toMatrix * ((List.map toMatrix L).prod * (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) L.reverse).prod) *
      t.inv.toMatrix =
    1
⊢ (List.map toMatrix (t :: L)).prod * (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) (t :: L).reverse).prod = 1
state_after: no goals