Theorem: ae_eq_restrict_iff_indicator_ae_eq
File: Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean

tactic: rw [Filter.EventuallyEq, ae_restrict_iff' hs]
state_before: R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] g ↔ s.indicator f =ᶠ[ae μ] s.indicator g
state_after: R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x) ↔ s.indicator f =ᶠ[ae μ] s.indicator g

tactic: refine ⟨fun h => ?_, fun h => ?_⟩ <;> filter_upwards [h] with x hx
state_before: R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x) ↔ s.indicator f =ᶠ[ae μ] s.indicator g
state_after: case h
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
x : α
hx : x ∈ s → f x = g x
⊢ s.indicator f x = s.indicator g x

case h
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
h : s.indicator f =ᶠ[ae μ] s.indicator g
x : α
hx : s.indicator f x = s.indicator g x
⊢ x ∈ s → f x = g x

tactic: by_cases hxs : x ∈ s
state_before: case h
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
x : α
hx : x ∈ s → f x = g x
⊢ s.indicator f x = s.indicator g x
state_after: case pos
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
x : α
hx : x ∈ s → f x = g x
hxs : x ∈ s
⊢ s.indicator f x = s.indicator g x

case neg
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
x : α
hx : x ∈ s → f x = g x
hxs : x ∉ s
⊢ s.indicator f x = s.indicator g x

tactic: simp [hxs, hx hxs]
state_before: case pos
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
x : α
hx : x ∈ s → f x = g x
hxs : x ∈ s
⊢ s.indicator f x = s.indicator g x
state_after: no goals

tactic: simp [hxs]
state_before: case neg
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
x : α
hx : x ∈ s → f x = g x
hxs : x ∉ s
⊢ s.indicator f x = s.indicator g x
state_after: no goals

tactic: intro hxs
state_before: case h
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
h : s.indicator f =ᶠ[ae μ] s.indicator g
x : α
hx : s.indicator f x = s.indicator g x
⊢ x ∈ s → f x = g x
state_after: case h
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
h : s.indicator f =ᶠ[ae μ] s.indicator g
x : α
hx : s.indicator f x = s.indicator g x
hxs : x ∈ s
⊢ f x = g x

tactic: simpa [hxs] using hx
state_before: case h
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
h : s.indicator f =ᶠ[ae μ] s.indicator g
x : α
hx : s.indicator f x = s.indicator g x
hxs : x ∈ s
⊢ f x = g x
state_after: no goals