Theorem: LieModule.map_lowerCentralSeries_le
File: Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean

tactic: induction' k with k ih
state_before: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ LieSubmodule.map f (lowerCentralSeries R L M k) ≤ lowerCentralSeries R L M₂ k
state_after: case zero
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ LieSubmodule.map f (lowerCentralSeries R L M 0) ≤ lowerCentralSeries R L M₂ 0

case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
k : ℕ
ih : LieSubmodule.map f (lowerCentralSeries R L M k) ≤ lowerCentralSeries R L M₂ k
⊢ LieSubmodule.map f (lowerCentralSeries R L M (k + 1)) ≤ lowerCentralSeries R L M₂ (k + 1)

tactic: simp only [Nat.zero_eq, lowerCentralSeries_zero, le_top]
state_before: case zero
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ LieSubmodule.map f (lowerCentralSeries R L M 0) ≤ lowerCentralSeries R L M₂ 0
state_after: no goals

tactic: simp only [LieModule.lowerCentralSeries_succ, LieSubmodule.map_bracket_eq]
state_before: case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
k : ℕ
ih : LieSubmodule.map f (lowerCentralSeries R L M k) ≤ lowerCentralSeries R L M₂ k
⊢ LieSubmodule.map f (lowerCentralSeries R L M (k + 1)) ≤ lowerCentralSeries R L M₂ (k + 1)
state_after: case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
k : ℕ
ih : LieSubmodule.map f (lowerCentralSeries R L M k) ≤ lowerCentralSeries R L M₂ k
⊢ ⁅⊤, LieSubmodule.map f (lowerCentralSeries R L M k)⁆ ≤ ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M₂ k⁆

tactic: exact LieSubmodule.mono_lie_right _ _ ⊤ ih
state_before: case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
k : ℕ
ih : LieSubmodule.map f (lowerCentralSeries R L M k) ≤ lowerCentralSeries R L M₂ k
⊢ ⁅⊤, LieSubmodule.map f (lowerCentralSeries R L M k)⁆ ≤ ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M₂ k⁆
state_after: no goals