Theorem: WithSeminorms.isVonNBounded_iff_seminorm_bounded
File: Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean

tactic: rw [hp.isVonNBounded_iff_finset_seminorm_bounded]
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ↔ ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
state_after: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
⊢ (∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r) ↔ ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r

tactic: constructor
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
⊢ (∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r) ↔ ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
⊢ (∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r) → ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r

case mpr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
⊢ (∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r) → ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r

tactic: intro hi I
state_before: case mpr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
⊢ (∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r) → ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
state_after: case mpr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
hi : ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
I : Finset ι
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r

tactic: by_cases hI : I.Nonempty
state_before: case mpr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
hi : ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
I : Finset ι
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
state_after: case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
hi : ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
I : Finset ι
hI : I.Nonempty
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r

case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
hi : ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
I : Finset ι
hI : ¬I.Nonempty
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r

tactic: simp only [Finset.not_nonempty_iff_eq_empty.mp hI, Finset.sup_empty, coe_bot, Pi.zero_apply,
  exists_prop]
state_before: case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
hi : ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
I : Finset ι
hI : ¬I.Nonempty
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
state_after: case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
hi : ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
I : Finset ι
hI : ¬I.Nonempty
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, 0 < r

tactic: exact ⟨1, zero_lt_one, fun _ _ => zero_lt_one⟩
state_before: case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
hi : ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
I : Finset ι
hI : ¬I.Nonempty
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, 0 < r
state_after: no goals

tactic: intro hI i
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
⊢ (∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r) → ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
state_after: case mp
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
hI : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
i : ι
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r

tactic: convert hI {i}
state_before: case mp
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
hI : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
i : ι
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
state_after: case h.e'_2.h.h.e'_2.h.h'.h.e'_3.h.e'_5
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
hI : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
i : ι
x✝ : ℝ
a✝¹ : E
a✝ : a✝¹ ∈ s
⊢ p i = {i}.sup p

tactic: rw [Finset.sup_singleton]
state_before: case h.e'_2.h.h.e'_2.h.h'.h.e'_3.h.e'_5
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
hI : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
i : ι
x✝ : ℝ
a✝¹ : E
a✝ : a✝¹ ∈ s
⊢ p i = {i}.sup p
state_after: no goals

tactic: choose r hr h using hi
state_before: case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
hi : ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
I : Finset ι
hI : I.Nonempty
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
state_after: case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
hI : I.Nonempty
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), r i > 0
h : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, (p i) x < r i
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r

tactic: have h' : 0 < I.sup' hI r := by
  rcases hI with ⟨i, hi⟩
  exact lt_of_lt_of_le (hr i) (Finset.le_sup' r hi)
state_before: case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
hI : I.Nonempty
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), r i > 0
h : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, (p i) x < r i
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
state_after: case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
hI : I.Nonempty
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), r i > 0
h : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, (p i) x < r i
h' : 0 < I.sup' hI r
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r

tactic: refine ⟨I.sup' hI r, h', fun x hx => finset_sup_apply_lt h' fun i hi => ?_⟩
state_before: case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
hI : I.Nonempty
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), r i > 0
h : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, (p i) x < r i
h' : 0 < I.sup' hI r
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
state_after: case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
hI : I.Nonempty
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), r i > 0
h : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, (p i) x < r i
h' : 0 < I.sup' hI r
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ (p i) x < I.sup' hI r

tactic: refine lt_of_lt_of_le (h i x hx) ?_
state_before: case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
hI : I.Nonempty
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), r i > 0
h : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, (p i) x < r i
h' : 0 < I.sup' hI r
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ (p i) x < I.sup' hI r
state_after: case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
hI : I.Nonempty
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), r i > 0
h : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, (p i) x < r i
h' : 0 < I.sup' hI r
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ r i ≤ I.sup' hI r

tactic: simp only [Finset.le_sup'_iff, exists_prop]
state_before: case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
hI : I.Nonempty
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), r i > 0
h : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, (p i) x < r i
h' : 0 < I.sup' hI r
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ r i ≤ I.sup' hI r
state_after: case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
hI : I.Nonempty
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), r i > 0
h : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, (p i) x < r i
h' : 0 < I.sup' hI r
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ ∃ b ∈ I, r i ≤ r b

tactic: exact ⟨i, hi, (Eq.refl _).le⟩
state_before: case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
hI : I.Nonempty
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), r i > 0
h : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, (p i) x < r i
h' : 0 < I.sup' hI r
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ ∃ b ∈ I, r i ≤ r b
state_after: no goals

tactic: rcases hI with ⟨i, hi⟩
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
hI : I.Nonempty
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), r i > 0
h : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, (p i) x < r i
⊢ 0 < I.sup' hI r
state_after: case intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), r i > 0
h : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, (p i) x < r i
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ 0 < I.sup' ⋯ r

tactic: exact lt_of_lt_of_le (hr i) (Finset.le_sup' r hi)
state_before: case intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), r i > 0
h : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, (p i) x < r i
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ 0 < I.sup' ⋯ r
state_after: no goals