Theorem: Filter.Tendsto.finset_sup'_nhds
File: Mathlib/Topology/Order/Lattice.lean

tactic: induction hne using Finset.Nonempty.cons_induction with
| singleton => simpa using hs
| cons a s ha hne ihs =>
  rw [forall_mem_cons] at hs
  simp only [sup'_cons, hne]
  exact hs.1.sup_nhds (ihs hs.2)
state_before: L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace L
inst✝² : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
α : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝¹ : SemilatticeSup L
inst✝ : ContinuousSup L
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))
⊢ Tendsto (s.sup' hne f) l (𝓝 (s.sup' hne g))
state_after: no goals

tactic: simpa using hs
state_before: case singleton
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace L
inst✝² : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
α : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝¹ : SemilatticeSup L
inst✝ : ContinuousSup L
a✝ : ι
hs : ∀ i ∈ {a✝}, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))
⊢ Tendsto ({a✝}.sup' ⋯ f) l (𝓝 ({a✝}.sup' ⋯ g))
state_after: no goals

tactic: rw [forall_mem_cons] at hs
state_before: case cons
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace L
inst✝² : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
α : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝¹ : SemilatticeSup L
inst✝ : ContinuousSup L
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
hne : s.Nonempty
ihs : (∀ i ∈ s, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))) → Tendsto (s.sup' hne f) l (𝓝 (s.sup' hne g))
hs : ∀ i ∈ cons a s ha, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))
⊢ Tendsto ((cons a s ha).sup' ⋯ f) l (𝓝 ((cons a s ha).sup' ⋯ g))
state_after: case cons
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace L
inst✝² : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
α : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝¹ : SemilatticeSup L
inst✝ : ContinuousSup L
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
hne : s.Nonempty
ihs : (∀ i ∈ s, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))) → Tendsto (s.sup' hne f) l (𝓝 (s.sup' hne g))
hs : Tendsto (f a) l (𝓝 (g a)) ∧ ∀ x ∈ s, Tendsto (f x) l (𝓝 (g x))
⊢ Tendsto ((cons a s ha).sup' ⋯ f) l (𝓝 ((cons a s ha).sup' ⋯ g))

tactic: simp only [sup'_cons, hne]
state_before: case cons
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace L
inst✝² : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
α : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝¹ : SemilatticeSup L
inst✝ : ContinuousSup L
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
hne : s.Nonempty
ihs : (∀ i ∈ s, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))) → Tendsto (s.sup' hne f) l (𝓝 (s.sup' hne g))
hs : Tendsto (f a) l (𝓝 (g a)) ∧ ∀ x ∈ s, Tendsto (f x) l (𝓝 (g x))
⊢ Tendsto ((cons a s ha).sup' ⋯ f) l (𝓝 ((cons a s ha).sup' ⋯ g))
state_after: case cons
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace L
inst✝² : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
α : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝¹ : SemilatticeSup L
inst✝ : ContinuousSup L
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
hne : s.Nonempty
ihs : (∀ i ∈ s, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))) → Tendsto (s.sup' hne f) l (𝓝 (s.sup' hne g))
hs : Tendsto (f a) l (𝓝 (g a)) ∧ ∀ x ∈ s, Tendsto (f x) l (𝓝 (g x))
⊢ Tendsto (f a ⊔ s.sup' ⋯ f) l (𝓝 (g a ⊔ s.sup' ⋯ g))

tactic: exact hs.1.sup_nhds (ihs hs.2)
state_before: case cons
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace L
inst✝² : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
α : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝¹ : SemilatticeSup L
inst✝ : ContinuousSup L
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
hne : s.Nonempty
ihs : (∀ i ∈ s, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))) → Tendsto (s.sup' hne f) l (𝓝 (s.sup' hne g))
hs : Tendsto (f a) l (𝓝 (g a)) ∧ ∀ x ∈ s, Tendsto (f x) l (𝓝 (g x))
⊢ Tendsto (f a ⊔ s.sup' ⋯ f) l (𝓝 (g a ⊔ s.sup' ⋯ g))
state_after: no goals