Theorem: Complex.HadamardThreeLines.F_BddAbove
File: Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean

tactic: simp only [F, image_congr, comp_apply, map_mul, invInterpStrip]
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
⊢ BddAbove (norm ∘ F f ε '' verticalClosedStrip 0 1)
state_after: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
⊢ BddAbove
    ((fun a => ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (a - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-a)) • f a‖) ''
      verticalClosedStrip 0 1)

tactic: rw [bddAbove_def] at *
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
⊢ BddAbove
    ((fun a => ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (a - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-a)) • f a‖) ''
      verticalClosedStrip 0 1)
state_after: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
hB : ∃ x, ∀ y ∈ norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ x
⊢ ∃ x,
    ∀
      y ∈
        (fun a => ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (a - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-a)) • f a‖) ''
          verticalClosedStrip 0 1,
      y ≤ x

tactic: rcases hB with ⟨B, hB⟩
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
hB : ∃ x, ∀ y ∈ norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ x
⊢ ∃ x,
    ∀
      y ∈
        (fun a => ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (a - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-a)) • f a‖) ''
          verticalClosedStrip 0 1,
      y ≤ x
state_after: case intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
hB : ∀ y ∈ norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ B
⊢ ∃ x,
    ∀
      y ∈
        (fun a => ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (a - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-a)) • f a‖) ''
          verticalClosedStrip 0 1,
      y ≤ x

tactic: use ((max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-(1 : ℝ)))) * max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-(1 : ℝ)))) * B
state_before: case intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
hB : ∀ y ∈ norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ B
⊢ ∃ x,
    ∀
      y ∈
        (fun a => ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (a - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-a)) • f a‖) ''
          verticalClosedStrip 0 1,
      y ≤ x
state_after: case h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
hB : ∀ y ∈ norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ B
⊢ ∀
    y ∈
      (fun a => ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (a - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-a)) • f a‖) ''
        verticalClosedStrip 0 1,
    y ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)) * max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1)) * B

tactic: simp only [mem_image, forall_exists_index, and_imp, forall_apply_eq_imp_iff₂]
state_before: case h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
hB : ∀ y ∈ norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ B
⊢ ∀
    y ∈
      (fun a => ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (a - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-a)) • f a‖) ''
        verticalClosedStrip 0 1,
    y ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)) * max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1)) * B
state_after: case h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
hB : ∀ y ∈ norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ B
⊢ ∀ a ∈ verticalClosedStrip 0 1,
    ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (a - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-a)) • f a‖ ≤
      max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)) * max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1)) * B

tactic: intros z hset
state_before: case h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
hB : ∀ y ∈ norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ B
⊢ ∀ a ∈ verticalClosedStrip 0 1,
    ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (a - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-a)) • f a‖ ≤
      max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)) * max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1)) * B
state_after: case h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
hB : ∀ y ∈ norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ B
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
⊢ ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (z - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-z)) • f z‖ ≤
    max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)) * max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1)) * B

tactic: specialize hB (‖f z‖) (by simpa [image_congr, mem_image, comp_apply] using ⟨z, hset, rfl⟩)
state_before: case h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
hB : ∀ y ∈ norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ B
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
⊢ ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (z - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-z)) • f z‖ ≤
    max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)) * max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1)) * B
state_after: case h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
⊢ ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (z - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-z)) • f z‖ ≤
    max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)) * max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1)) * B

tactic: simp only [norm_smul, norm_mul, ← ofReal_add]
state_before: case h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
⊢ ‖((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (z - 1) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-z)) • f z‖ ≤
    max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)) * max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1)) * B
state_after: case h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 0) ^ (z - 1)‖ * ‖↑(ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z)‖ * ‖f z‖ ≤
    max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)) * max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1)) * B

tactic: gcongr
state_before: case h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 0) ^ (z - 1)‖ * ‖↑(ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z)‖ * ‖f z‖ ≤
    max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)) * max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1)) * B
state_after: case h.h₁.h₁
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 0) ^ (z - 1)‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1))

case h.h₁.h₂
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z)‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1))

tactic: simpa [image_congr, mem_image, comp_apply] using ⟨z, hset, rfl⟩
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
hB : ∀ y ∈ norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1, y ≤ B
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
⊢ ‖f z‖ ∈ norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1
state_after: no goals

tactic: by_cases hM0_one : 1 ≤ ε + sSupNormIm f 0
state_before: case h.h₁.h₁
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 0) ^ (z - 1)‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1))
state_after: case pos
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM0_one : 1 ≤ ε + sSupNormIm f 0
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 0) ^ (z - 1)‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1))

case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM0_one : ¬1 ≤ ε + sSupNormIm f 0
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 0) ^ (z - 1)‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1))

tactic: apply le_trans _ (le_max_left _ _)
state_before: case pos
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM0_one : 1 ≤ ε + sSupNormIm f 0
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 0) ^ (z - 1)‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1))
state_after: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM0_one : 1 ≤ ε + sSupNormIm f 0
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 0) ^ (z - 1)‖ ≤ 1

tactic: simp only [norm_eq_abs, abs_cpow_eq_rpow_re_of_pos (sSupNormIm_eps_pos f hε 0), sub_re,
  one_re, Real.rpow_le_one_of_one_le_of_nonpos hM0_one (sub_nonpos.mpr hset.2)]
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM0_one : 1 ≤ ε + sSupNormIm f 0
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 0) ^ (z - 1)‖ ≤ 1
state_after: no goals

tactic: rw [not_le] at hM0_one
state_before: case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM0_one : ¬1 ≤ ε + sSupNormIm f 0
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 0) ^ (z - 1)‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1))
state_after: case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM0_one : ε + sSupNormIm f 0 < 1
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 0) ^ (z - 1)‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1))

tactic: apply le_trans _ (le_max_right _ _)
state_before: case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM0_one : ε + sSupNormIm f 0 < 1
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 0) ^ (z - 1)‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1))
state_after: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM0_one : ε + sSupNormIm f 0 < 1
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 0) ^ (z - 1)‖ ≤ (ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)

tactic: simp only [norm_eq_abs, abs_cpow_eq_rpow_re_of_pos (sSupNormIm_eps_pos f hε 0), sub_re,
  one_re]
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM0_one : ε + sSupNormIm f 0 < 1
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 0) ^ (z - 1)‖ ≤ (ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)
state_after: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM0_one : ε + sSupNormIm f 0 < 1
⊢ (ε + sSupNormIm f 0) ^ (z.re - 1) ≤ (ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)

tactic: apply Real.rpow_le_rpow_of_exponent_ge (sSupNormIm_eps_pos f hε 0) (le_of_lt hM0_one) _
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM0_one : ε + sSupNormIm f 0 < 1
⊢ (ε + sSupNormIm f 0) ^ (z.re - 1) ≤ (ε + sSupNormIm f 0) ^ (-1)
state_after: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM0_one : ε + sSupNormIm f 0 < 1
⊢ -1 ≤ z.re - 1

tactic: simp only [neg_le_sub_iff_le_add, le_add_iff_nonneg_left, hset.1]
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM0_one : ε + sSupNormIm f 0 < 1
⊢ -1 ≤ z.re - 1
state_after: no goals

tactic: by_cases hM1_one : 1 ≤ ε + sSupNormIm f 1
state_before: case h.h₁.h₂
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z)‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1))
state_after: case pos
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM1_one : 1 ≤ ε + sSupNormIm f 1
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z)‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1))

case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM1_one : ¬1 ≤ ε + sSupNormIm f 1
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z)‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1))

tactic: apply le_trans _ (le_max_left _ _)
state_before: case pos
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM1_one : 1 ≤ ε + sSupNormIm f 1
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z)‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1))
state_after: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM1_one : 1 ≤ ε + sSupNormIm f 1
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z)‖ ≤ 1

tactic: simp only [norm_eq_abs, abs_cpow_eq_rpow_re_of_pos (sSupNormIm_eps_pos f hε 1), sub_re,
  one_re, neg_re, Real.rpow_le_one_of_one_le_of_nonpos
  hM1_one (Right.neg_nonpos_iff.mpr hset.1)]
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM1_one : 1 ≤ ε + sSupNormIm f 1
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z)‖ ≤ 1
state_after: no goals

tactic: rw [not_le] at hM1_one
state_before: case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM1_one : ¬1 ≤ ε + sSupNormIm f 1
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z)‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1))
state_after: case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM1_one : ε + sSupNormIm f 1 < 1
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z)‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1))

tactic: apply le_trans _ (le_max_right _ _)
state_before: case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM1_one : ε + sSupNormIm f 1 < 1
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z)‖ ≤ max 1 ((ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1))
state_after: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM1_one : ε + sSupNormIm f 1 < 1
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z)‖ ≤ (ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1)

tactic: simp only [norm_eq_abs, abs_cpow_eq_rpow_re_of_pos (sSupNormIm_eps_pos f hε 1), sub_re,
  one_re, neg_re, Real.rpow_le_rpow_of_exponent_ge (sSupNormIm_eps_pos f hε 1)
  (le_of_lt hM1_one) (neg_le_neg_iff.mpr hset.2)]
state_before: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : ε > 0
B : ℝ
z : ℂ
hset : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : ‖f z‖ ≤ B
hM1_one : ε + sSupNormIm f 1 < 1
⊢ ‖↑(ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z)‖ ≤ (ε + sSupNormIm f 1) ^ (-1)
state_after: no goals