Theorem: mem_tangentConeAt_of_pow_smul
File: Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean

tactic: refine ⟨fun n ↦ (r ^ n)⁻¹, fun n ↦ r ^ n • y, hs, ?_, ?_⟩
state_before: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
r : 𝕜
hr₀ : r ≠ 0
hr : ‖r‖ < 1
hs : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + r ^ n • y ∈ s
⊢ y ∈ tangentConeAt 𝕜 s x
state_after: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
r : 𝕜
hr₀ : r ≠ 0
hr : ‖r‖ < 1
hs : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + r ^ n • y ∈ s
⊢ Tendsto (fun n => ‖(fun n => (r ^ n)⁻¹) n‖) atTop atTop

case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
r : 𝕜
hr₀ : r ≠ 0
hr : ‖r‖ < 1
hs : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + r ^ n • y ∈ s
⊢ Tendsto (fun n => (fun n => (r ^ n)⁻¹) n • (fun n => r ^ n • y) n) atTop (𝓝 y)

tactic: simp only [norm_inv, norm_pow, ← inv_pow]
state_before: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
r : 𝕜
hr₀ : r ≠ 0
hr : ‖r‖ < 1
hs : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + r ^ n • y ∈ s
⊢ Tendsto (fun n => ‖(fun n => (r ^ n)⁻¹) n‖) atTop atTop
state_after: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
r : 𝕜
hr₀ : r ≠ 0
hr : ‖r‖ < 1
hs : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + r ^ n • y ∈ s
⊢ Tendsto (fun n => ‖r‖⁻¹ ^ n) atTop atTop

tactic: exact tendsto_pow_atTop_atTop_of_one_lt <| one_lt_inv (norm_pos_iff.2 hr₀) hr
state_before: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
r : 𝕜
hr₀ : r ≠ 0
hr : ‖r‖ < 1
hs : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + r ^ n • y ∈ s
⊢ Tendsto (fun n => ‖r‖⁻¹ ^ n) atTop atTop
state_after: no goals

tactic: simp only [inv_smul_smul₀ (pow_ne_zero _ hr₀), tendsto_const_nhds]
state_before: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
r : 𝕜
hr₀ : r ≠ 0
hr : ‖r‖ < 1
hs : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + r ^ n • y ∈ s
⊢ Tendsto (fun n => (fun n => (r ^ n)⁻¹) n • (fun n => r ^ n • y) n) atTop (𝓝 y)
state_after: no goals