Theorem: CategoryTheory.Limits.hasLimit_cospan_of_hasLimit_pair_of_hasLimit_parallelPair
File: Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/Pullbacks.lean

tactic: rw [Category.assoc, equalizer.condition]
state_before: C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
⊢ (e ≫ π₁) ≫ f = (e ≫ π₂) ≫ g
state_after: C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
⊢ equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ≫ π₂ ≫ g = (e ≫ π₂) ≫ g

tactic: simp
state_before: C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
⊢ equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ≫ π₂ ≫ g = (e ≫ π₂) ≫ g
state_after: no goals

tactic: rw [← Category.assoc, limit.lift_π, ← Category.assoc, limit.lift_π]
state_before: C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
s : PullbackCone f g
⊢ prod.lift (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right) ≫ π₁ ≫ f =
    prod.lift (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right) ≫ π₂ ≫ g
state_after: C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
s : PullbackCone f g
⊢ (BinaryFan.mk (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right)).π.app { as := WalkingPair.left } ≫ f =
    (BinaryFan.mk (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right)).π.app { as := WalkingPair.right } ≫ g

tactic: exact PullbackCone.condition _
state_before: C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
s : PullbackCone f g
⊢ (BinaryFan.mk (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right)).π.app { as := WalkingPair.left } ≫ f =
    (BinaryFan.mk (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right)).π.app { as := WalkingPair.right } ≫ g
state_after: no goals

tactic: simp [π₁, e]
state_before: C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
⊢ ∀ (s : PullbackCone f g),
    (fun s => equalizer.lift (prod.lift (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right)) ⋯) s ≫ e ≫ π₁ =
      s.fst
state_after: no goals

tactic: simp [π₂, e]
state_before: C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
⊢ ∀ (s : PullbackCone f g),
    (fun s => equalizer.lift (prod.lift (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right)) ⋯) s ≫ e ≫ π₂ =
      s.snd
state_after: no goals

tactic: ext
state_before: C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
s : PullbackCone f g
m : s.pt ⟶ equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
h₁ : m ≫ e ≫ π₁ = s.fst
h₂ : m ≫ e ≫ π₂ = s.snd
⊢ m = (fun s => equalizer.lift (prod.lift (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right)) ⋯) s
state_after: case h.h₁
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
s : PullbackCone f g
m : s.pt ⟶ equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
h₁ : m ≫ e ≫ π₁ = s.fst
h₂ : m ≫ e ≫ π₂ = s.snd
⊢ (m ≫ equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)) ≫ prod.fst =
    ((fun s => equalizer.lift (prod.lift (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right)) ⋯) s ≫
        equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)) ≫
      prod.fst

case h.h₂
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
s : PullbackCone f g
m : s.pt ⟶ equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
h₁ : m ≫ e ≫ π₁ = s.fst
h₂ : m ≫ e ≫ π₂ = s.snd
⊢ (m ≫ equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)) ≫ prod.snd =
    ((fun s => equalizer.lift (prod.lift (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right)) ⋯) s ≫
        equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)) ≫
      prod.snd

tactic: dsimp
state_before: case h.h₁
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
s : PullbackCone f g
m : s.pt ⟶ equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
h₁ : m ≫ e ≫ π₁ = s.fst
h₂ : m ≫ e ≫ π₂ = s.snd
⊢ (m ≫ equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)) ≫ prod.fst =
    ((fun s => equalizer.lift (prod.lift (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right)) ⋯) s ≫
        equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)) ≫
      prod.fst
state_after: case h.h₁
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
s : PullbackCone f g
m : s.pt ⟶ equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
h₁ : m ≫ e ≫ π₁ = s.fst
h₂ : m ≫ e ≫ π₂ = s.snd
⊢ (m ≫ equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)) ≫ prod.fst =
    (equalizer.lift (prod.lift s.fst s.snd) ⋯ ≫ equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)) ≫ prod.fst

tactic: simpa using h₁
state_before: case h.h₁
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
s : PullbackCone f g
m : s.pt ⟶ equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
h₁ : m ≫ e ≫ π₁ = s.fst
h₂ : m ≫ e ≫ π₂ = s.snd
⊢ (m ≫ equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)) ≫ prod.fst =
    (equalizer.lift (prod.lift s.fst s.snd) ⋯ ≫ equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)) ≫ prod.fst
state_after: no goals

tactic: simpa using h₂
state_before: case h.h₂
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
s : PullbackCone f g
m : s.pt ⟶ equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
h₁ : m ≫ e ≫ π₁ = s.fst
h₂ : m ≫ e ≫ π₂ = s.snd
⊢ (m ≫ equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)) ≫ prod.snd =
    ((fun s => equalizer.lift (prod.lift (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right)) ⋯) s ≫
        equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)) ≫
      prod.snd
state_after: no goals