Theorem: InnerProductGeometry.cos_angle_sub_add_angle_sub_rev_eq_neg_cos_angle
File: Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean

tactic: by_cases hxy : x = y
state_before: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ Real.cos (angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -Real.cos (angle x y)
state_after: case pos
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : x = y
⊢ Real.cos (angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -Real.cos (angle x y)

case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
⊢ Real.cos (angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -Real.cos (angle x y)

tactic: rw [hxy, angle_self hy]
state_before: case pos
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : x = y
⊢ Real.cos (angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -Real.cos (angle x y)
state_after: case pos
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : x = y
⊢ Real.cos (angle y (y - y) + angle y (y - y)) = -Real.cos 0

tactic: simp
state_before: case pos
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : x = y
⊢ Real.cos (angle y (y - y) + angle y (y - y)) = -Real.cos 0
state_after: no goals

tactic: rw [Real.cos_add, cos_angle, cos_angle, cos_angle]
state_before: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
⊢ Real.cos (angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -Real.cos (angle x y)
state_after: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
⊢ ⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
      Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖))

tactic: have hxn : ‖x‖ ≠ 0 := fun h => hx (norm_eq_zero.1 h)
state_before: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
⊢ ⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
      Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖))
state_after: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
⊢ ⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
      Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖))

tactic: have hyn : ‖y‖ ≠ 0 := fun h => hy (norm_eq_zero.1 h)
state_before: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
⊢ ⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
      Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖))
state_after: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
⊢ ⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
      Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖))

tactic: have hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0 := fun h => hxy (eq_of_sub_eq_zero (norm_eq_zero.1 h))
state_before: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
⊢ ⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
      Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖))
state_after: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
⊢ ⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
      Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖))

tactic: apply mul_right_cancel₀ hxn
state_before: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
⊢ ⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
      Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖))
state_after: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
⊢ (⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
        Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x))) *
      ‖x‖ =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)) * ‖x‖

tactic: apply mul_right_cancel₀ hyn
state_before: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
⊢ (⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
        Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x))) *
      ‖x‖ =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)) * ‖x‖
state_after: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
⊢ (⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
          Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x))) *
        ‖x‖ *
      ‖y‖ =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)) * ‖x‖ * ‖y‖

tactic: apply mul_right_cancel₀ hxyn
state_before: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
⊢ (⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
          Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x))) *
        ‖x‖ *
      ‖y‖ =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)) * ‖x‖ * ‖y‖
state_after: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
⊢ (⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
            Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x))) *
          ‖x‖ *
        ‖y‖ *
      ‖x - y‖ =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖

tactic: apply mul_right_cancel₀ hxyn
state_before: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
⊢ (⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
            Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x))) *
          ‖x‖ *
        ‖y‖ *
      ‖x - y‖ =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖
state_after: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
⊢ (⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
              Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x))) *
            ‖x‖ *
          ‖y‖ *
        ‖x - y‖ *
      ‖x - y‖ =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖

tactic: have H1 :
  Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖ =
    Real.sin (angle x (x - y)) * (‖x‖ * ‖x - y‖) *
      (Real.sin (angle y (y - x)) * (‖y‖ * ‖x - y‖)) := by
  ring
state_before: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
⊢ (⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
              Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x))) *
            ‖x‖ *
          ‖y‖ *
        ‖x - y‖ *
      ‖x - y‖ =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖
state_after: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
H1 :
  Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖ =
    Real.sin (angle x (x - y)) * (‖x‖ * ‖x - y‖) * (Real.sin (angle y (y - x)) * (‖y‖ * ‖x - y‖))
⊢ (⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
              Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x))) *
            ‖x‖ *
          ‖y‖ *
        ‖x - y‖ *
      ‖x - y‖ =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖

tactic: have H2 :
  ⟪x, x⟫ * (⟪x, x⟫ - ⟪x, y⟫ - (⟪x, y⟫ - ⟪y, y⟫)) - (⟪x, x⟫ - ⟪x, y⟫) * (⟪x, x⟫ - ⟪x, y⟫) =
    ⟪x, x⟫ * ⟪y, y⟫ - ⟪x, y⟫ * ⟪x, y⟫ := by
  ring
state_before: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
H1 :
  Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖ =
    Real.sin (angle x (x - y)) * (‖x‖ * ‖x - y‖) * (Real.sin (angle y (y - x)) * (‖y‖ * ‖x - y‖))
⊢ (⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
              Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x))) *
            ‖x‖ *
          ‖y‖ *
        ‖x - y‖ *
      ‖x - y‖ =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖
state_after: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
H1 :
  Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖ =
    Real.sin (angle x (x - y)) * (‖x‖ * ‖x - y‖) * (Real.sin (angle y (y - x)) * (‖y‖ * ‖x - y‖))
H2 :
  ⟪x, x⟫_ℝ * (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ - (⟪x, y⟫_ℝ - ⟪y, y⟫_ℝ)) - (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) * (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) =
    ⟪x, x⟫_ℝ * ⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ
⊢ (⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
              Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x))) *
            ‖x‖ *
          ‖y‖ *
        ‖x - y‖ *
      ‖x - y‖ =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖

tactic: have H3 :
  ⟪y, y⟫ * (⟪y, y⟫ - ⟪x, y⟫ - (⟪x, y⟫ - ⟪x, x⟫)) - (⟪y, y⟫ - ⟪x, y⟫) * (⟪y, y⟫ - ⟪x, y⟫) =
    ⟪x, x⟫ * ⟪y, y⟫ - ⟪x, y⟫ * ⟪x, y⟫ := by
  ring
state_before: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
H1 :
  Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖ =
    Real.sin (angle x (x - y)) * (‖x‖ * ‖x - y‖) * (Real.sin (angle y (y - x)) * (‖y‖ * ‖x - y‖))
H2 :
  ⟪x, x⟫_ℝ * (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ - (⟪x, y⟫_ℝ - ⟪y, y⟫_ℝ)) - (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) * (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) =
    ⟪x, x⟫_ℝ * ⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ
⊢ (⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
              Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x))) *
            ‖x‖ *
          ‖y‖ *
        ‖x - y‖ *
      ‖x - y‖ =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖
state_after: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
H1 :
  Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖ =
    Real.sin (angle x (x - y)) * (‖x‖ * ‖x - y‖) * (Real.sin (angle y (y - x)) * (‖y‖ * ‖x - y‖))
H2 :
  ⟪x, x⟫_ℝ * (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ - (⟪x, y⟫_ℝ - ⟪y, y⟫_ℝ)) - (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) * (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) =
    ⟪x, x⟫_ℝ * ⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ
H3 :
  ⟪y, y⟫_ℝ * (⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ - (⟪x, y⟫_ℝ - ⟪x, x⟫_ℝ)) - (⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) * (⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) =
    ⟪x, x⟫_ℝ * ⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ
⊢ (⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
              Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x))) *
            ‖x‖ *
          ‖y‖ *
        ‖x - y‖ *
      ‖x - y‖ =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖

tactic: rw [mul_sub_right_distrib, mul_sub_right_distrib, mul_sub_right_distrib, mul_sub_right_distrib,
  H1, sin_angle_mul_norm_mul_norm, norm_sub_rev x y, sin_angle_mul_norm_mul_norm,
  norm_sub_rev y x, inner_sub_left, inner_sub_left, inner_sub_right, inner_sub_right,
  inner_sub_right, inner_sub_right, real_inner_comm x y, H2, H3,
  Real.mul_self_sqrt (sub_nonneg_of_le (real_inner_mul_inner_self_le x y)),
  real_inner_self_eq_norm_mul_norm, real_inner_self_eq_norm_mul_norm,
  real_inner_eq_norm_mul_self_add_norm_mul_self_sub_norm_sub_mul_self_div_two]
state_before: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
H1 :
  Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖ =
    Real.sin (angle x (x - y)) * (‖x‖ * ‖x - y‖) * (Real.sin (angle y (y - x)) * (‖y‖ * ‖x - y‖))
H2 :
  ⟪x, x⟫_ℝ * (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ - (⟪x, y⟫_ℝ - ⟪y, y⟫_ℝ)) - (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) * (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) =
    ⟪x, x⟫_ℝ * ⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ
H3 :
  ⟪y, y⟫_ℝ * (⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ - (⟪x, y⟫_ℝ - ⟪x, x⟫_ℝ)) - (⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) * (⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) =
    ⟪x, x⟫_ℝ * ⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ
⊢ (⟪x, x - y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (⟪y, y - x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
              Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x))) *
            ‖x‖ *
          ‖y‖ *
        ‖x - y‖ *
      ‖x - y‖ =
    -(⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖
state_after: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
H1 :
  Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖ =
    Real.sin (angle x (x - y)) * (‖x‖ * ‖x - y‖) * (Real.sin (angle y (y - x)) * (‖y‖ * ‖x - y‖))
H2 :
  ⟪x, x⟫_ℝ * (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ - (⟪x, y⟫_ℝ - ⟪y, y⟫_ℝ)) - (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) * (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) =
    ⟪x, x⟫_ℝ * ⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ
H3 :
  ⟪y, y⟫_ℝ * (⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ - (⟪x, y⟫_ℝ - ⟪x, x⟫_ℝ)) - (⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) * (⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) =
    ⟪x, x⟫_ℝ * ⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ
⊢ (‖x‖ * ‖x‖ - (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 2) / (‖x‖ * ‖x - y‖) *
                ((‖y‖ * ‖y‖ - (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 2) / (‖y‖ * ‖x - y‖)) *
              ‖x‖ *
            ‖y‖ *
          ‖x - y‖ *
        ‖x - y‖ -
      (‖x‖ * ‖x‖ * (‖y‖ * ‖y‖) -
        (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 2 * ((‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 2)) =
    -((‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 2 / (‖x‖ * ‖y‖)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖

tactic: field_simp [hxn, hyn, hxyn]
state_before: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
H1 :
  Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖ =
    Real.sin (angle x (x - y)) * (‖x‖ * ‖x - y‖) * (Real.sin (angle y (y - x)) * (‖y‖ * ‖x - y‖))
H2 :
  ⟪x, x⟫_ℝ * (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ - (⟪x, y⟫_ℝ - ⟪y, y⟫_ℝ)) - (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) * (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) =
    ⟪x, x⟫_ℝ * ⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ
H3 :
  ⟪y, y⟫_ℝ * (⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ - (⟪x, y⟫_ℝ - ⟪x, x⟫_ℝ)) - (⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) * (⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) =
    ⟪x, x⟫_ℝ * ⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ
⊢ (‖x‖ * ‖x‖ - (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 2) / (‖x‖ * ‖x - y‖) *
                ((‖y‖ * ‖y‖ - (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 2) / (‖y‖ * ‖x - y‖)) *
              ‖x‖ *
            ‖y‖ *
          ‖x - y‖ *
        ‖x - y‖ -
      (‖x‖ * ‖x‖ * (‖y‖ * ‖y‖) -
        (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 2 * ((‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 2)) =
    -((‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 2 / (‖x‖ * ‖y‖)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖
state_after: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
H1 :
  Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖ =
    Real.sin (angle x (x - y)) * (‖x‖ * ‖x - y‖) * (Real.sin (angle y (y - x)) * (‖y‖ * ‖x - y‖))
H2 :
  ⟪x, x⟫_ℝ * (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ - (⟪x, y⟫_ℝ - ⟪y, y⟫_ℝ)) - (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) * (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) =
    ⟪x, x⟫_ℝ * ⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ
H3 :
  ⟪y, y⟫_ℝ * (⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ - (⟪x, y⟫_ℝ - ⟪x, x⟫_ℝ)) - (⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) * (⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) =
    ⟪x, x⟫_ℝ * ⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ
⊢ ((‖x‖ * ‖x‖ * 2 - (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖)) *
                    (‖y‖ * ‖y‖ * 2 - (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖)) *
                  ‖x‖ *
                ‖y‖ *
              ‖x - y‖ *
            ‖x - y‖ *
          (2 * 2) -
        2 * (‖x‖ * ‖x - y‖) * (2 * (‖y‖ * ‖x - y‖)) *
          (‖x‖ * ‖x‖ * (‖y‖ * ‖y‖) * (2 * 2) -
            (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) * (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖))) *
      (2 * (‖x‖ * ‖y‖)) =
    (‖x - y‖ * ‖x - y‖ - (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖ *
      (2 * (‖x‖ * ‖x - y‖) * (2 * (‖y‖ * ‖x - y‖)) * (2 * 2))

tactic: ring
state_before: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
H1 :
  Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖ =
    Real.sin (angle x (x - y)) * (‖x‖ * ‖x - y‖) * (Real.sin (angle y (y - x)) * (‖y‖ * ‖x - y‖))
H2 :
  ⟪x, x⟫_ℝ * (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ - (⟪x, y⟫_ℝ - ⟪y, y⟫_ℝ)) - (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) * (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) =
    ⟪x, x⟫_ℝ * ⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ
H3 :
  ⟪y, y⟫_ℝ * (⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ - (⟪x, y⟫_ℝ - ⟪x, x⟫_ℝ)) - (⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) * (⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) =
    ⟪x, x⟫_ℝ * ⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ
⊢ ((‖x‖ * ‖x‖ * 2 - (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖)) *
                    (‖y‖ * ‖y‖ * 2 - (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖)) *
                  ‖x‖ *
                ‖y‖ *
              ‖x - y‖ *
            ‖x - y‖ *
          (2 * 2) -
        2 * (‖x‖ * ‖x - y‖) * (2 * (‖y‖ * ‖x - y‖)) *
          (‖x‖ * ‖x‖ * (‖y‖ * ‖y‖) * (2 * 2) -
            (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) * (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖))) *
      (2 * (‖x‖ * ‖y‖)) =
    (‖x - y‖ * ‖x - y‖ - (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖ *
      (2 * (‖x‖ * ‖x - y‖) * (2 * (‖y‖ * ‖x - y‖)) * (2 * 2))
state_after: no goals

tactic: ring
state_before: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
⊢ Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖ =
    Real.sin (angle x (x - y)) * (‖x‖ * ‖x - y‖) * (Real.sin (angle y (y - x)) * (‖y‖ * ‖x - y‖))
state_after: no goals

tactic: ring
state_before: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
H1 :
  Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖ =
    Real.sin (angle x (x - y)) * (‖x‖ * ‖x - y‖) * (Real.sin (angle y (y - x)) * (‖y‖ * ‖x - y‖))
⊢ ⟪x, x⟫_ℝ * (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ - (⟪x, y⟫_ℝ - ⟪y, y⟫_ℝ)) - (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) * (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) =
    ⟪x, x⟫_ℝ * ⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ
state_after: no goals

tactic: ring
state_before: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
H1 :
  Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖ =
    Real.sin (angle x (x - y)) * (‖x‖ * ‖x - y‖) * (Real.sin (angle y (y - x)) * (‖y‖ * ‖x - y‖))
H2 :
  ⟪x, x⟫_ℝ * (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ - (⟪x, y⟫_ℝ - ⟪y, y⟫_ℝ)) - (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) * (⟪x, x⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) =
    ⟪x, x⟫_ℝ * ⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ
⊢ ⟪y, y⟫_ℝ * (⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ - (⟪x, y⟫_ℝ - ⟪x, x⟫_ℝ)) - (⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) * (⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ) =
    ⟪x, x⟫_ℝ * ⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ
state_after: no goals