Theorem: BddAbove.continuous_convolution_right_of_integrable
File: Mathlib/Analysis/Convolution.lean

tactic: refine continuous_iff_continuousAt.mpr fun x₀ => ?_
state_before: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f μ
hg : Continuous g
⊢ Continuous (f ⋆[L, μ] g)
state_after: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
⊢ ContinuousAt (f ⋆[L, μ] g) x₀

tactic: have : ∀ᶠ x in 𝓝 x₀, ∀ᵐ t : G ∂μ, ‖L (f t) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖ := by
  filter_upwards with x; filter_upwards with t
  apply_rules [L.le_of_opNorm₂_le_of_le, le_rfl, le_ciSup hbg (x - t)]
state_before: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
⊢ ContinuousAt (f ⋆[L, μ] g) x₀
state_after: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
this : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : G) ∂μ, ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖
⊢ ContinuousAt (f ⋆[L, μ] g) x₀

tactic: refine continuousAt_of_dominated ?_ this ?_ ?_
state_before: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
this : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : G) ∂μ, ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖
⊢ ContinuousAt (f ⋆[L, μ] g) x₀
state_after: case refine_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
this : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : G) ∂μ, ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖
⊢ ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)) (g (x - a))) μ

case refine_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
this : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : G) ∂μ, ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖
⊢ Integrable (fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * ⨆ i, ‖g i‖) μ

case refine_3
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
this : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : G) ∂μ, ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖
⊢ ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ContinuousAt (fun x => (L (f a)) (g (x - a))) x₀

tactic: filter_upwards with x
state_before: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
⊢ ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : G) ∂μ, ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖
state_after: case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f μ
hg : Continuous g
x₀ x : G
⊢ ∀ᵐ (t : G) ∂μ, ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖

tactic: filter_upwards with t
state_before: case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f μ
hg : Continuous g
x₀ x : G
⊢ ∀ᵐ (t : G) ∂μ, ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖
state_after: case h.h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f μ
hg : Continuous g
x₀ x t : G
⊢ ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖

tactic: apply_rules [L.le_of_opNorm₂_le_of_le, le_rfl, le_ciSup hbg (x - t)]
state_before: case h.h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f μ
hg : Continuous g
x₀ x t : G
⊢ ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖
state_after: no goals

tactic: exact eventually_of_forall fun x =>
  hf.aestronglyMeasurable.convolution_integrand_snd' L hg.aestronglyMeasurable
state_before: case refine_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
this : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : G) ∂μ, ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖
⊢ ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)) (g (x - a))) μ
state_after: no goals

tactic: exact (hf.norm.const_mul _).mul_const _
state_before: case refine_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
this : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : G) ∂μ, ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖
⊢ Integrable (fun a => ‖L‖ * ‖f a‖ * ⨆ i, ‖g i‖) μ
state_after: no goals

tactic: exact eventually_of_forall fun t => (L.continuous₂.comp₂ continuous_const <|
  hg.comp <| continuous_id.sub continuous_const).continuousAt
state_before: case refine_3
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : TopologicalSpace P
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'
hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)
hf : Integrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
this : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (t : G) ∂μ, ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖
⊢ ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ContinuousAt (fun x => (L (f a)) (g (x - a))) x₀
state_after: no goals