1337xyz1337xyz/leandojo-benchmark4-v10 huggingface dataset:
Theorem: char_dvd_card_solutions
File: Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean

tactic: let F : Unit → MvPolynomial σ K := fun _ => f
state_before: K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < Fintype.card σ
⊢ p ∣ Fintype.card { x // (eval x) f = 0 }
state_after: K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < Fintype.card σ
F : Unit → MvPolynomial σ K := fun x => f
⊢ p ∣ Fintype.card { x // (eval x) f = 0 }

tactic: have : (∑ i : Unit, (F i).totalDegree) < Fintype.card σ := h
state_before: K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < Fintype.card σ
F : Unit → MvPolynomial σ K := fun x => f
⊢ p ∣ Fintype.card { x // (eval x) f = 0 }
state_after: K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < Fintype.card σ
F : Unit → MvPolynomial σ K := fun x => f
this : ∑ i : Unit, (F i).totalDegree < Fintype.card σ
⊢ p ∣ Fintype.card { x // (eval x) f = 0 }

tactic: convert char_dvd_card_solutions_of_sum_lt p this
state_before: K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < Fintype.card σ
F : Unit → MvPolynomial σ K := fun x => f
this : ∑ i : Unit, (F i).totalDegree < Fintype.card σ
⊢ p ∣ Fintype.card { x // (eval x) f = 0 }
state_after: case h.e'_4.h.h.e'_2.h.a
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < Fintype.card σ
F : Unit → MvPolynomial σ K := fun x => f
this : ∑ i : Unit, (F i).totalDegree < Fintype.card σ
x✝ : σ → K
⊢ (eval x✝) f = 0 ↔ ∀ i ∈ univ, (eval x✝) (F i) = 0

tactic: aesop
state_before: case h.e'_4.h.h.e'_2.h.a
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < Fintype.card σ
F : Unit → MvPolynomial σ K := fun x => f
this : ∑ i : Unit, (F i).totalDegree < Fintype.card σ
x✝ : σ → K
⊢ (eval x✝) f = 0 ↔ ∀ i ∈ univ, (eval x✝) (F i) = 0
state_after: no goals
Theorem: Asymptotics.IsLittleO.tendsto_div_nhds_zero
File: Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean

tactic: calc
  (fun x => f x / g x) =o[l] fun x => g x / g x := by
    simpa only [div_eq_mul_inv] using h.mul_isBigO (isBigO_refl _ _)
  _ =O[l] fun _x => (1 : 𝕜) := isBigO_of_le _ fun x => by simp [div_self_le_one]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
⊢ (fun x => f x / g x) =o[l] fun _x => 1
state_after: no goals

tactic: simpa only [div_eq_mul_inv] using h.mul_isBigO (isBigO_refl _ _)
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
⊢ (fun x => f x / g x) =o[l] fun x => g x / g x
state_after: no goals

tactic: simp [div_self_le_one]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
x : α
⊢ ‖g x / g x‖ ≤ ‖1‖
state_after: no goals
Theorem: Filter.push_pull
File: Mathlib/Order/Filter/Basic.lean

tactic: apply le_antisymm
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β
⊢ map f (F ⊓ comap f G) = map f F ⊓ G
state_after: case a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β
⊢ map f (F ⊓ comap f G) ≤ map f F ⊓ G

case a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β
⊢ map f F ⊓ G ≤ map f (F ⊓ comap f G)

tactic: calc
  map f (F ⊓ comap f G) ≤ map f F ⊓ (map f <| comap f G) := map_inf_le
  _ ≤ map f F ⊓ G := inf_le_inf_left (map f F) map_comap_le
state_before: case a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β
⊢ map f (F ⊓ comap f G) ≤ map f F ⊓ G
state_after: no goals

tactic: rintro U ⟨V, V_in, W, ⟨Z, Z_in, hZ⟩, h⟩
state_before: case a
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β
⊢ map f F ⊓ G ≤ map f (F ⊓ comap f G)
state_after: case a.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β
U : Set β
V : Set α
V_in : V ∈ F
W : Set α
h : f ⁻¹' U = V ∩ W
Z : Set β
Z_in : Z ∈ G
hZ : f ⁻¹' Z ⊆ W
⊢ U ∈ map f F ⊓ G

tactic: apply mem_inf_of_inter (image_mem_map V_in) Z_in
state_before: case a.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β
U : Set β
V : Set α
V_in : V ∈ F
W : Set α
h : f ⁻¹' U = V ∩ W
Z : Set β
Z_in : Z ∈ G
hZ : f ⁻¹' Z ⊆ W
⊢ U ∈ map f F ⊓ G
state_after: case a.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β
U : Set β
V : Set α
V_in : V ∈ F
W : Set α
h : f ⁻¹' U = V ∩ W
Z : Set β
Z_in : Z ∈ G
hZ : f ⁻¹' Z ⊆ W
⊢ f '' V ∩ Z ⊆ U

tactic: calc
  f '' V ∩ Z = f '' (V ∩ f ⁻¹' Z) := by rw [image_inter_preimage]
  _ ⊆ f '' (V ∩ W) := image_subset _ (inter_subset_inter_right _ ‹_›)
  _ = f '' (f ⁻¹' U) := by rw [h]
  _ ⊆ U := image_preimage_subset f U
state_before: case a.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β
U : Set β
V : Set α
V_in : V ∈ F
W : Set α
h : f ⁻¹' U = V ∩ W
Z : Set β
Z_in : Z ∈ G
hZ : f ⁻¹' Z ⊆ W
⊢ f '' V ∩ Z ⊆ U
state_after: no goals

tactic: rw [image_inter_preimage]
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β
U : Set β
V : Set α
V_in : V ∈ F
W : Set α
h : f ⁻¹' U = V ∩ W
Z : Set β
Z_in : Z ∈ G
hZ : f ⁻¹' Z ⊆ W
⊢ f '' V ∩ Z = f '' (V ∩ f ⁻¹' Z)
state_after: no goals

tactic: rw [h]
state_before: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β
U : Set β
V : Set α
V_in : V ∈ F
W : Set α
h : f ⁻¹' U = V ∩ W
Z : Set β
Z_in : Z ∈ G
hZ : f ⁻¹' Z ⊆ W
⊢ f '' (V ∩ W) = f '' (f ⁻¹' U)
state_after: no goals
Theorem: Finset.MulETransform.card
File: Mathlib/Combinatorics/Additive/ETransform.lean

tactic: rw [add_add_add_comm, mulETransformLeft.card, mulETransformRight.card, ← mul_add, two_mul]
state_before: α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α
⊢ (mulETransformLeft e x).1.card + (mulETransformLeft e x).2.card +
      ((mulETransformRight e x).1.card + (mulETransformRight e x).2.card) =
    x.1.card + x.2.card + (x.1.card + x.2.card)
state_after: no goals
Theorem: DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasis_subordinate
File: Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean

tactic: simpa only [DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasis, OrthonormalBasis.coe_reindex,
  DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex] using
  hV.collectedOrthonormalBasis_mem hV' (fun i => stdOrthonormalBasis 𝕜 (V i))
    ((hV.sigmaOrthonormalBasisIndexEquiv hn hV').symm a)
state_before: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝² : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : finrank 𝕜 E = n
inst✝ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : IsInternal V
a : Fin n
hV' : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
⊢ (subordinateOrthonormalBasis hn hV hV') a ∈ V (subordinateOrthonormalBasisIndex hn hV a hV')
state_after: no goals
Theorem: Set.OrdConnected.strictConvex
File: Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean

tactic: refine strictConvex_iff_openSegment_subset.2 fun x hx y hy hxy => ?_
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹¹ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : TopologicalSpace F
inst✝⁸ : AddCommMonoid E
inst✝⁷ : AddCommMonoid F
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
s✝ : Set E
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set β
hs : s.OrdConnected
⊢ StrictConvex 𝕜 s
state_after: 𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹¹ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : TopologicalSpace F
inst✝⁸ : AddCommMonoid E
inst✝⁷ : AddCommMonoid F
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
s✝ : Set E
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set β
hs : s.OrdConnected
x : β
hx : x ∈ s
y : β
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
⊢ (fun x y => openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s) x y

tactic: cases' hxy.lt_or_lt with hlt hlt <;> [skip; rw [openSegment_symm]] <;>
  exact
    (openSegment_subset_Ioo hlt).trans
      (isOpen_Ioo.subset_interior_iff.2 <| Ioo_subset_Icc_self.trans <| hs.out ‹_› ‹_›)
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹¹ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : TopologicalSpace F
inst✝⁸ : AddCommMonoid E
inst✝⁷ : AddCommMonoid F
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
s✝ : Set E
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set β
hs : s.OrdConnected
x : β
hx : x ∈ s
y : β
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
⊢ (fun x y => openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s) x y
state_after: no goals
Theorem: EquivFunctor.mapEquiv_refl
File: Mathlib/Control/EquivFunctor.lean

tactic: simp only [mapEquiv, map_refl', Equiv.refl_symm]
state_before: f : Type u₀ → Type u₁
inst✝ : EquivFunctor f
α✝ β : Type u₀
e : α✝ ≃ β
α : Type u₀
⊢ mapEquiv f (Equiv.refl α) = Equiv.refl (f α)
state_after: f : Type u₀ → Type u₁
inst✝ : EquivFunctor f
α✝ β : Type u₀
e : α✝ ≃ β
α : Type u₀
⊢ { toFun := id, invFun := id, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } = Equiv.refl (f α)

tactic: rfl
state_before: f : Type u₀ → Type u₁
inst✝ : EquivFunctor f
α✝ β : Type u₀
e : α✝ ≃ β
α : Type u₀
⊢ { toFun := id, invFun := id, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } = Equiv.refl (f α)
state_after: no goals
Theorem: tsub_add_min
File: Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean

tactic: rw [← tsub_min, @tsub_add_cancel_of_le]
state_before: α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
⊢ a - b + min a b = a
state_after: case h
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
⊢ min a b ≤ a

tactic: apply min_le_left
state_before: case h
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
⊢ min a b ≤ a
state_after: no goals
Theorem: Matrix.linfty_opNorm_row
File: Mathlib/Analysis/Matrix.lean

tactic: simp [NNReal.coe_sum]
state_before: R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
v : n → α
⊢ ↑(∑ i : n, ‖v i‖₊) = ∑ i : n, ‖v i‖
state_after: no goals
Theorem: EMetric.hausdorffEdist_self
File: Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean

tactic: simp only [hausdorffEdist_def, sup_idem, ENNReal.iSup_eq_zero]
state_before: ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
⊢ hausdorffEdist s s = 0
state_after: ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
⊢ ∀ i ∈ s, infEdist i s = 0

tactic: exact fun x hx => infEdist_zero_of_mem hx
state_before: ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
⊢ ∀ i ∈ s, infEdist i s = 0
state_after: no goals
Theorem: Filter.coprod_cofinite
File: Mathlib/Order/Filter/Cofinite.lean

tactic: simp only [compl_mem_coprod, mem_cofinite, compl_compl, finite_image_fst_and_snd_iff]
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
s : Set (α × β)
⊢ sᶜ ∈ cofinite.coprod cofinite ↔ sᶜ ∈ cofinite
state_after: no goals
Theorem: Set.image_inter_nonempty_iff
File: Mathlib/Data/Set/Image.lean

tactic: rw [← image_inter_preimage, image_nonempty]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s : Set α
t : Set β
⊢ (f '' s ∩ t).Nonempty ↔ (s ∩ f ⁻¹' t).Nonempty
state_after: no goals
Theorem: Asymptotics.IsBigOWith.right_le_add_of_lt_one
File: Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean

tactic: rw [neg_sub, sub_neg_eq_add]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h : IsBigOWith c l f₁ f₂
hc : c < 1
x : α
⊢ -(-f₂ x - f₁ x) = f₁ x + f₂ x
state_after: no goals
Theorem: tendsto_floor_right_pure
File: Mathlib/Topology/Algebra/Order/Floor.lean

tactic: simpa only [floor_intCast] using tendsto_floor_right_pure_floor (n : α)
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
n : ℤ
⊢ Tendsto floor (𝓝[≥] ↑n) (pure n)
state_after: no goals
Theorem: CategoryTheory.Limits.PushoutCocone.condition_zero
File: Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullbacks.lean

tactic: have w := t.ι.naturality WalkingSpan.Hom.fst
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : PushoutCocone f g
⊢ t.ι.app WalkingSpan.zero = f ≫ t.inl
state_after: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : PushoutCocone f g
w :
  (span f g).map fst ≫ t.ι.app WalkingSpan.left =
    t.ι.app WalkingSpan.zero ≫ ((Functor.const WalkingSpan).obj t.pt).map fst
⊢ t.ι.app WalkingSpan.zero = f ≫ t.inl

tactic: dsimp at w
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : PushoutCocone f g
w :
  (span f g).map fst ≫ t.ι.app WalkingSpan.left =
    t.ι.app WalkingSpan.zero ≫ ((Functor.const WalkingSpan).obj t.pt).map fst
⊢ t.ι.app WalkingSpan.zero = f ≫ t.inl
state_after: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : PushoutCocone f g
w : f ≫ t.inl = t.ι.app WalkingSpan.zero ≫ 𝟙 t.pt
⊢ t.ι.app WalkingSpan.zero = f ≫ t.inl

tactic: simpa using w.symm
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : PushoutCocone f g
w : f ≫ t.inl = t.ι.app WalkingSpan.zero ≫ 𝟙 t.pt
⊢ t.ι.app WalkingSpan.zero = f ≫ t.inl
state_after: no goals
Theorem: Bool.toNat_bne_zero
File: Mathlib/Data/Bool/Basic.lean

tactic: simp [bne]
state_before: b : Bool
⊢ (b.toNat != 0) = b
state_after: no goals
Theorem: WeierstrassCurve.Affine.Point.map_baseChange
File: Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean

tactic: have : Subsingleton (F →ₐ[F] L) := inferInstance
state_before: R✝ : Type u
inst✝²⁷ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝²⁶ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝²⁵ : CommRing S
inst✝²⁴ : Algebra R S
A : Type u
inst✝²³ : CommRing A
inst✝²² : Algebra R A
inst✝²¹ : Algebra S A
inst✝²⁰ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝¹⁹ : CommRing B
inst✝¹⁸ : Algebra R B
inst✝¹⁷ : Algebra S B
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R S B
f✝¹ : A →ₐ[S] B
F : Type u
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Algebra R F
inst✝¹³ : Algebra S F
inst✝¹² : IsScalarTower R S F
K : Type v
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : Algebra S K
inst✝⁸ : IsScalarTower R S K
f✝ : F →ₐ[S] K
L : Type w
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : IsScalarTower R S L
g : K →ₐ[S] L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : IsScalarTower R F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : IsScalarTower R F L
f : K →ₐ[F] L
P : W⟮F⟯
⊢ (map W f) ((baseChange W F K) P) = (baseChange W F L) P
state_after: R✝ : Type u
inst✝²⁷ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝²⁶ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝²⁵ : CommRing S
inst✝²⁴ : Algebra R S
A : Type u
inst✝²³ : CommRing A
inst✝²² : Algebra R A
inst✝²¹ : Algebra S A
inst✝²⁰ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝¹⁹ : CommRing B
inst✝¹⁸ : Algebra R B
inst✝¹⁷ : Algebra S B
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R S B
f✝¹ : A →ₐ[S] B
F : Type u
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Algebra R F
inst✝¹³ : Algebra S F
inst✝¹² : IsScalarTower R S F
K : Type v
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : Algebra S K
inst✝⁸ : IsScalarTower R S K
f✝ : F →ₐ[S] K
L : Type w
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : IsScalarTower R S L
g : K →ₐ[S] L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : IsScalarTower R F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : IsScalarTower R F L
f : K →ₐ[F] L
P : W⟮F⟯
this : Subsingleton (F →ₐ[F] L)
⊢ (map W f) ((baseChange W F K) P) = (baseChange W F L) P

tactic: convert map_map W (Algebra.ofId F K) f P
state_before: R✝ : Type u
inst✝²⁷ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝²⁶ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝²⁵ : CommRing S
inst✝²⁴ : Algebra R S
A : Type u
inst✝²³ : CommRing A
inst✝²² : Algebra R A
inst✝²¹ : Algebra S A
inst✝²⁰ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝¹⁹ : CommRing B
inst✝¹⁸ : Algebra R B
inst✝¹⁷ : Algebra S B
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R S B
f✝¹ : A →ₐ[S] B
F : Type u
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Algebra R F
inst✝¹³ : Algebra S F
inst✝¹² : IsScalarTower R S F
K : Type v
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : Algebra S K
inst✝⁸ : IsScalarTower R S K
f✝ : F →ₐ[S] K
L : Type w
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : IsScalarTower R S L
g : K →ₐ[S] L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : IsScalarTower R F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : IsScalarTower R F L
f : K →ₐ[F] L
P : W⟮F⟯
this : Subsingleton (F →ₐ[F] L)
⊢ (map W f) ((baseChange W F K) P) = (baseChange W F L) P
state_after: no goals
Theorem: Set.range_IicExtend
File: Mathlib/Order/Interval/Set/ProjIcc.lean

tactic: simp only [IicExtend, range_comp f, range_projIic, range_id', image_univ]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α
f : ↑(Iic b) → β
⊢ range (IicExtend f) = range f
state_after: no goals