Theorem: LiouvilleWith.mul_rat
File: Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean

tactic: rcases h.exists_pos with ⟨C, _hC₀, hC⟩
state_before: p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
⊢ LiouvilleWith p (x * ↑r)
state_after: case intro.intro
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ LiouvilleWith p (x * ↑r)

tactic: refine ⟨r.den ^ p * (|r| * C), (tendsto_id.nsmul_atTop r.pos).frequently (hC.mono ?_)⟩
state_before: case intro.intro
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ LiouvilleWith p (x * ↑r)
state_after: case intro.intro
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ ∀ (x_1 : ℕ),
    (1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p) →
      ∃ m,
        x * ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id x_1) ∧
          |x * ↑r - ↑m / ↑(r.den • id x_1)| < ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / ↑(r.den • id x_1) ^ p

tactic: rintro n ⟨_hn, m, hne, hlt⟩
state_before: case intro.intro
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ ∀ (x_1 : ℕ),
    (1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p) →
      ∃ m,
        x * ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id x_1) ∧
          |x * ↑r - ↑m / ↑(r.den • id x_1)| < ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / ↑(r.den • id x_1) ^ p
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ ∃ m, x * ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id n) ∧ |x * ↑r - ↑m / ↑(r.den • id n)| < ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / ↑(r.den • id n) ^ p

tactic: have A : (↑(r.num * m) : ℝ) / ↑(r.den • id n) = m / n * r := by
  simp [← div_mul_div_comm, ← r.cast_def, mul_comm]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ ∃ m, x * ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id n) ∧ |x * ↑r - ↑m / ↑(r.den • id n)| < ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / ↑(r.den • id n) ^ p
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ ∃ m, x * ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id n) ∧ |x * ↑r - ↑m / ↑(r.den • id n)| < ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / ↑(r.den • id n) ^ p

tactic: refine ⟨r.num * m, ?_, ?_⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ ∃ m, x * ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id n) ∧ |x * ↑r - ↑m / ↑(r.den • id n)| < ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / ↑(r.den • id n) ^ p
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ x * ↑r ≠ ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n)

case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ |x * ↑r - ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n)| < ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / ↑(r.den • id n) ^ p

tactic: simp [← div_mul_div_comm, ← r.cast_def, mul_comm]
state_before: p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
state_after: no goals

tactic: rw [A]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ x * ↑r ≠ ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n)
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ x * ↑r ≠ ↑m / ↑n * ↑r

tactic: simp [hne, hr]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ x * ↑r ≠ ↑m / ↑n * ↑r
state_after: no goals

tactic: rw [A, ← sub_mul, abs_mul]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ |x * ↑r - ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n)| < ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / ↑(r.den • id n) ^ p
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ |x - ↑m / ↑n| * |↑r| < ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / ↑(r.den • id n) ^ p

tactic: simp only [smul_eq_mul, id, Nat.cast_mul]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ |x - ↑m / ↑n| * |↑r| < ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / ↑(r.den • id n) ^ p
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ |x - ↑m / ↑n| * |↑r| < ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / (↑r.den * ↑n) ^ p

tactic: calc _ < C / ↑n ^ p * |↑r| := by gcongr
  _ = ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / (↑r.den * ↑n) ^ p := ?_
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ |x - ↑m / ↑n| * |↑r| < ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / (↑r.den * ↑n) ^ p
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ C / ↑n ^ p * |↑r| = ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / (↑r.den * ↑n) ^ p

tactic: rw [mul_rpow, mul_div_mul_left, mul_comm, mul_div_assoc]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ C / ↑n ^ p * |↑r| = ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / (↑r.den * ↑n) ^ p
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ |↑r| * (C / ↑n ^ p) = ↑|r| * (C / ↑n ^ p)

case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.hc
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ ↑r.den ^ p ≠ 0

case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.hx
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ 0 ≤ ↑r.den

case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.hy
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ 0 ≤ ↑n

tactic: all_goals positivity
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.hc
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ ↑r.den ^ p ≠ 0

case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.hx
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ 0 ≤ ↑r.den

case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.hy
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ 0 ≤ ↑n
state_after: no goals

tactic: gcongr
state_before: p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ |x - ↑m / ↑n| * |↑r| < C / ↑n ^ p * |↑r|
state_after: no goals

tactic: simp only [Rat.cast_abs, le_refl]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ |↑r| * (C / ↑n ^ p) = ↑|r| * (C / ↑n ^ p)
state_after: no goals

tactic: positivity
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.hy
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ 0 ≤ ↑n
state_after: no goals