Theorem: WithSeminorms.partial_sups
File: Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean

tactic: refine hp.congr ?_ ?_
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
⊢ WithSeminorms fun i => (Finset.Iic i).sup p
state_after: case refine_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
⊢ Seminorm.IsBounded p (fun i => (Finset.Iic i).sup p) LinearMap.id

case refine_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
⊢ Seminorm.IsBounded (fun i => (Finset.Iic i).sup p) p LinearMap.id

tactic: intro i
state_before: case refine_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
⊢ Seminorm.IsBounded p (fun i => (Finset.Iic i).sup p) LinearMap.id
state_after: case refine_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
i : ι
⊢ ∃ s C, ((fun i => (Finset.Iic i).sup p) i).comp LinearMap.id ≤ C • s.sup p

tactic: refine ⟨Finset.Iic i, 1, ?_⟩
state_before: case refine_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
i : ι
⊢ ∃ s C, ((fun i => (Finset.Iic i).sup p) i).comp LinearMap.id ≤ C • s.sup p
state_after: case refine_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
i : ι
⊢ ((fun i => (Finset.Iic i).sup p) i).comp LinearMap.id ≤ 1 • (Finset.Iic i).sup p

tactic: rw [one_smul]
state_before: case refine_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
i : ι
⊢ ((fun i => (Finset.Iic i).sup p) i).comp LinearMap.id ≤ 1 • (Finset.Iic i).sup p
state_after: case refine_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
i : ι
⊢ ((fun i => (Finset.Iic i).sup p) i).comp LinearMap.id ≤ (Finset.Iic i).sup p

tactic: rfl
state_before: case refine_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
i : ι
⊢ ((fun i => (Finset.Iic i).sup p) i).comp LinearMap.id ≤ (Finset.Iic i).sup p
state_after: no goals

tactic: intro i
state_before: case refine_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
⊢ Seminorm.IsBounded (fun i => (Finset.Iic i).sup p) p LinearMap.id
state_after: case refine_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
i : ι
⊢ ∃ s C, (p i).comp LinearMap.id ≤ C • s.sup fun i => (Finset.Iic i).sup p

tactic: refine ⟨{i}, 1, ?_⟩
state_before: case refine_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
i : ι
⊢ ∃ s C, (p i).comp LinearMap.id ≤ C • s.sup fun i => (Finset.Iic i).sup p
state_after: case refine_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
i : ι
⊢ (p i).comp LinearMap.id ≤ 1 • {i}.sup fun i => (Finset.Iic i).sup p

tactic: rw [Finset.sup_singleton, one_smul]
state_before: case refine_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
i : ι
⊢ (p i).comp LinearMap.id ≤ 1 • {i}.sup fun i => (Finset.Iic i).sup p
state_after: case refine_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
i : ι
⊢ (p i).comp LinearMap.id ≤ (Finset.Iic i).sup p

tactic: exact (Finset.le_sup (Finset.mem_Iic.mpr le_rfl) : p i ≤ (Finset.Iic i).sup p)
state_before: case refine_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
i : ι
⊢ (p i).comp LinearMap.id ≤ (Finset.Iic i).sup p
state_after: no goals