Theorem: CategoryTheory.Limits.biprod.isIso_inl_iff_id_eq_fst_comp_inl
File: Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean

tactic: constructor
state_before: J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
⊢ IsIso inl ↔ 𝟙 (X ⊞ Y) = fst ≫ inl
state_after: case mp
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
⊢ IsIso inl → 𝟙 (X ⊞ Y) = fst ≫ inl

case mpr
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
⊢ 𝟙 (X ⊞ Y) = fst ≫ inl → IsIso inl

tactic: intro h
state_before: case mp
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
⊢ IsIso inl → 𝟙 (X ⊞ Y) = fst ≫ inl
state_after: case mp
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
h : IsIso inl
⊢ 𝟙 (X ⊞ Y) = fst ≫ inl

tactic: have := (cancel_epi (inv biprod.inl : X ⊞ Y ⟶ X)).2 <| @biprod.inl_fst _ _ _ X Y _
state_before: case mp
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
h : IsIso inl
⊢ 𝟙 (X ⊞ Y) = fst ≫ inl
state_after: case mp
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
h : IsIso inl
this : inv inl ≫ inl ≫ fst = inv inl ≫ 𝟙 X
⊢ 𝟙 (X ⊞ Y) = fst ≫ inl

tactic: rw [IsIso.inv_hom_id_assoc, Category.comp_id] at this
state_before: case mp
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
h : IsIso inl
this : inv inl ≫ inl ≫ fst = inv inl ≫ 𝟙 X
⊢ 𝟙 (X ⊞ Y) = fst ≫ inl
state_after: case mp
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
h : IsIso inl
this : fst = inv inl
⊢ 𝟙 (X ⊞ Y) = fst ≫ inl

tactic: rw [this, IsIso.inv_hom_id]
state_before: case mp
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
h : IsIso inl
this : fst = inv inl
⊢ 𝟙 (X ⊞ Y) = fst ≫ inl
state_after: no goals

tactic: intro h
state_before: case mpr
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
⊢ 𝟙 (X ⊞ Y) = fst ≫ inl → IsIso inl
state_after: case mpr
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
h : 𝟙 (X ⊞ Y) = fst ≫ inl
⊢ IsIso inl

tactic: exact ⟨⟨biprod.fst, biprod.inl_fst, h.symm⟩⟩
state_before: case mpr
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
h : 𝟙 (X ⊞ Y) = fst ≫ inl
⊢ IsIso inl
state_after: no goals