Theorem: SpectrumRestricts.nnreal_iff_nnnorm
File: Mathlib/Analysis/NormedSpace/Star/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean

tactic: have : IsSelfAdjoint (algebraMap ℝ A t - a) := IsSelfAdjoint.algebraMap A (.all (t : ℝ)) |>.sub ha
state_before: A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : ‖a‖₊ ≤ t
⊢ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ ‖(algebraMap ℝ A) ↑t - a‖₊ ≤ t
state_after: A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : ‖a‖₊ ≤ t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
⊢ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ ‖(algebraMap ℝ A) ↑t - a‖₊ ≤ t

tactic: rw [← ENNReal.coe_le_coe, ← IsSelfAdjoint.spectralRadius_eq_nnnorm,
  ← SpectrumRestricts.spectralRadius_eq (f := Complex.reCLM)] at ht ⊢
state_before: A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : ‖a‖₊ ≤ t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
⊢ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ ‖(algebraMap ℝ A) ↑t - a‖₊ ≤ t
state_after: A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : spectralRadius ℝ a ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
⊢ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ spectralRadius ℝ ((algebraMap ℝ A) ↑t - a) ≤ ↑t

A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : spectralRadius ℝ a ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
⊢ SpectrumRestricts ((algebraMap ℝ A) ↑t - a) ⇑Complex.reCLM

A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : spectralRadius ℂ a ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
⊢ SpectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM

A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : spectralRadius ℂ a ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
⊢ IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)

A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : ↑‖a‖₊ ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
⊢ IsSelfAdjoint a

tactic: all_goals
  try apply IsSelfAdjoint.spectrumRestricts
  assumption
state_before: A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : spectralRadius ℝ a ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
⊢ SpectrumRestricts ((algebraMap ℝ A) ↑t - a) ⇑Complex.reCLM

A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : spectralRadius ℂ a ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
⊢ SpectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM

A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : spectralRadius ℂ a ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
⊢ IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)

A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : ↑‖a‖₊ ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
⊢ IsSelfAdjoint a
state_after: no goals

tactic: exact SpectrumRestricts.nnreal_iff_spectralRadius_le ht
state_before: A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : spectralRadius ℝ a ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
⊢ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ spectralRadius ℝ ((algebraMap ℝ A) ↑t - a) ≤ ↑t
state_after: no goals

tactic: try apply IsSelfAdjoint.spectrumRestricts
state_before: A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : spectralRadius ℂ a ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
⊢ SpectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM
state_after: case ha
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : spectralRadius ℂ a ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
⊢ IsSelfAdjoint a

tactic: assumption
state_before: A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : ↑‖a‖₊ ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
⊢ IsSelfAdjoint a
state_after: no goals

tactic: apply IsSelfAdjoint.spectrumRestricts
state_before: A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : spectralRadius ℂ a ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
⊢ SpectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM
state_after: case ha
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : spectralRadius ℂ a ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
⊢ IsSelfAdjoint a