Theorem: WeierstrassCurve.Jacobian.addMap_of_Z_eq_zero_right
File: Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean

tactic: rcases P with ⟨P⟩
state_before: R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : PointClass F
Q : Fin 3 → F
hP : W.NonsingularLift P
hQ : W.Nonsingular Q
hQz : Q z = 0
⊢ W.addMap P ⟦Q⟧ = P
state_after: case mk
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P✝ : PointClass F
Q : Fin 3 → F
hQ : W.Nonsingular Q
hQz : Q z = 0
P : Fin 3 → F
hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r P)
⊢ W.addMap (Quot.mk Setoid.r P) ⟦Q⟧ = Quot.mk Setoid.r P

tactic: by_cases hPz : P z = 0
state_before: case mk
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P✝ : PointClass F
Q : Fin 3 → F
hQ : W.Nonsingular Q
hQz : Q z = 0
P : Fin 3 → F
hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r P)
⊢ W.addMap (Quot.mk Setoid.r P) ⟦Q⟧ = Quot.mk Setoid.r P
state_after: case pos
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P✝ : PointClass F
Q : Fin 3 → F
hQ : W.Nonsingular Q
hQz : Q z = 0
P : Fin 3 → F
hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r P)
hPz : P z = 0
⊢ W.addMap (Quot.mk Setoid.r P) ⟦Q⟧ = Quot.mk Setoid.r P

case neg
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P✝ : PointClass F
Q : Fin 3 → F
hQ : W.Nonsingular Q
hQz : Q z = 0
P : Fin 3 → F
hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r P)
hPz : ¬P z = 0
⊢ W.addMap (Quot.mk Setoid.r P) ⟦Q⟧ = Quot.mk Setoid.r P

tactic: erw [addMap_eq, add_of_Z_eq_zero hP hQ hPz hQz,
  smul_eq _ <| (isUnit_X_of_Z_eq_zero hP hPz).pow 2, Quotient.eq]
state_before: case pos
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P✝ : PointClass F
Q : Fin 3 → F
hQ : W.Nonsingular Q
hQz : Q z = 0
P : Fin 3 → F
hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r P)
hPz : P z = 0
⊢ W.addMap (Quot.mk Setoid.r P) ⟦Q⟧ = Quot.mk Setoid.r P
state_after: case pos
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P✝ : PointClass F
Q : Fin 3 → F
hQ : W.Nonsingular Q
hQz : Q z = 0
P : Fin 3 → F
hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r P)
hPz : P z = 0
⊢ ![1, 1, 0] ≈ P

tactic: exact Setoid.symm <| equiv_zero_of_Z_eq_zero hP hPz
state_before: case pos
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P✝ : PointClass F
Q : Fin 3 → F
hQ : W.Nonsingular Q
hQz : Q z = 0
P : Fin 3 → F
hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r P)
hPz : P z = 0
⊢ ![1, 1, 0] ≈ P
state_after: no goals

tactic: erw [addMap_eq, add_of_Z_eq_zero_right hQ.left hPz hQz,
  smul_eq _ ((isUnit_X_of_Z_eq_zero hQ hQz).mul <| Ne.isUnit hPz).neg]
state_before: case neg
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P✝ : PointClass F
Q : Fin 3 → F
hQ : W.Nonsingular Q
hQz : Q z = 0
P : Fin 3 → F
hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r P)
hPz : ¬P z = 0
⊢ W.addMap (Quot.mk Setoid.r P) ⟦Q⟧ = Quot.mk Setoid.r P
state_after: case neg
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P✝ : PointClass F
Q : Fin 3 → F
hQ : W.Nonsingular Q
hQz : Q z = 0
P : Fin 3 → F
hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r P)
hPz : ¬P z = 0
⊢ ⟦P⟧ = Quot.mk Setoid.r P

tactic: rfl
state_before: case neg
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P✝ : PointClass F
Q : Fin 3 → F
hQ : W.Nonsingular Q
hQz : Q z = 0
P : Fin 3 → F
hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r P)
hPz : ¬P z = 0
⊢ ⟦P⟧ = Quot.mk Setoid.r P
state_after: no goals