Theorem: LieAlgebra.IsKilling.isSemisimple_ad_of_mem_isCartanSubalgebra
File: Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean

tactic: obtain ⟨N, -, S, hS₀, hN, hS, hSN⟩ := (ad K L x).exists_isNilpotent_isSemisimple
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hS₀ : S ∈ Algebra.adjoin K {(ad K L) x}
hN : _root_.IsNilpotent N
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple

tactic: replace hS₀ : Commute (ad K L x) S := Algebra.commute_of_mem_adjoin_self hS₀
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hS₀ : S ∈ Algebra.adjoin K {(ad K L) x}
hN : _root_.IsNilpotent N
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent N
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple

tactic: set x' : H := ⟨x, hx⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent N
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent N
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple

tactic: rw [eq_sub_of_add_eq hSN.symm] at hN
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent N
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple

tactic: have aux {α : H → K} {y : L} (hy : y ∈ rootSpace H α) : S y = α x' • y := by
  replace hy : y ∈ (ad K L x).maxGenEigenspace (α x') :=
    (weightSpace_le_weightSpaceOf L x' α) hy
  rw [maxGenEigenspace_eq] at hy
  set k := maxGenEigenspaceIndex (ad K L x) (α x')
  rw [apply_eq_of_mem_genEigenspace_of_comm_of_isSemisimple_of_isNilpotent_sub hy hS₀ hS hN]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple

tactic: have h_der (y z : L) (α β : H → K) (hy : y ∈ rootSpace H α) (hz : z ∈ rootSpace H β) :
    S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆ := by
  have hyz : ⁅y, z⁆ ∈ rootSpace H (α + β) :=
    mapsTo_toEnd_weightSpace_add_of_mem_rootSpace K L H L α β hy hz
  rw [aux hy, aux hz, aux hyz, smul_lie, lie_smul, ← add_smul, ← Pi.add_apply]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple

tactic: replace h_der (y z : L) : S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆ := by
  have hy : y ∈ ⨆ α : H → K, rootSpace H α := by simp [iSup_weightSpace_eq_top]
  have hz : z ∈ ⨆ α : H → K, rootSpace H α := by simp [iSup_weightSpace_eq_top]
  induction hy using LieSubmodule.iSup_induction' with
  | hN α y hy =>
    induction hz using LieSubmodule.iSup_induction' with
    | hN β z hz => exact h_der y z α β hy hz
    | h0 => simp
    | hadd _ _ _ _ h h' => simp only [lie_add, map_add, h, h']; abel
  | h0 => simp
  | hadd _ _ _ _ h h' => simp only [add_lie, map_add, h, h']; abel
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple

tactic: replace h_der : ∀ y z : L, S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆ := by
  simp_rw [← lie_skew (S _) _, add_comm, ← sub_eq_add_neg] at h_der; assumption
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple

tactic: let S' : LieDerivation K L L := ⟨S, h_der⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple

tactic: obtain ⟨y, hy⟩ := LieDerivation.IsKilling.exists_eq_ad S'
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple

tactic: have hy' (z : L) (hz : z ∈ H) : ⁅y, z⁆ = 0 := by
  rw [← LieSubalgebra.mem_toLieSubmodule, ← rootSpace_zero_eq] at hz
  simp [← ad_apply (R := K), ← LieDerivation.coe_ad_apply_eq_ad_apply, hy, aux hz]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : ∀ z ∈ H, ⁅y, z⁆ = 0
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple

tactic: replace hy' : y ∈ H := by
  suffices y ∈ H.normalizer by rwa [LieSubalgebra.IsCartanSubalgebra.self_normalizing] at this
  exact (H.mem_normalizer_iff y).mpr fun z hz ↦ hy' z hz ▸ LieSubalgebra.zero_mem H
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : ∀ z ∈ H, ⁅y, z⁆ = 0
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : y ∈ H
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple

tactic: suffices x = y by rwa [this, ← LieDerivation.coe_ad_apply_eq_ad_apply y, hy]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : y ∈ H
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : y ∈ H
⊢ x = y

tactic: rw [← sub_eq_zero]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : y ∈ H
⊢ x = y
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : y ∈ H
⊢ x - y = 0

tactic: apply eq_zero_of_isNilpotent_ad_of_mem_isCartanSubalgebra K L H (H.sub_mem hx hy')
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : y ∈ H
⊢ x - y = 0
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : y ∈ H
⊢ _root_.IsNilpotent ((ad K L) (x - y))

tactic: replace hy : S = ad K L y := by rw [← LieDerivation.coe_ad_apply_eq_ad_apply y, hy]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : y ∈ H
⊢ _root_.IsNilpotent ((ad K L) (x - y))
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy' : y ∈ H
hy : S = (ad K L) y
⊢ _root_.IsNilpotent ((ad K L) (x - y))

tactic: rwa [LieHom.map_sub, hSN, hy, add_sub_cancel_right, eq_sub_of_add_eq hSN.symm]
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy' : y ∈ H
hy : S = (ad K L) y
⊢ _root_.IsNilpotent ((ad K L) (x - y))
state_after: no goals

tactic: replace hy : y ∈ (ad K L x).maxGenEigenspace (α x') :=
  (weightSpace_le_weightSpaceOf L x' α) hy
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
α : ↥H → K
y : L
hy : y ∈ rootSpace H α
⊢ S y = α x' • y
state_after: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
α : ↥H → K
y : L
hy : y ∈ ((ad K L) x).maxGenEigenspace (α x')
⊢ S y = α x' • y

tactic: rw [maxGenEigenspace_eq] at hy
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
α : ↥H → K
y : L
hy : y ∈ ((ad K L) x).maxGenEigenspace (α x')
⊢ S y = α x' • y
state_after: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
α : ↥H → K
y : L
hy : y ∈ (((ad K L) x).genEigenspace (α x')) (((ad K L) x).maxGenEigenspaceIndex (α x'))
⊢ S y = α x' • y

tactic: set k := maxGenEigenspaceIndex (ad K L x) (α x')
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
α : ↥H → K
y : L
hy : y ∈ (((ad K L) x).genEigenspace (α x')) (((ad K L) x).maxGenEigenspaceIndex (α x'))
⊢ S y = α x' • y
state_after: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
α : ↥H → K
y : L
k : ℕ := ((ad K L) x).maxGenEigenspaceIndex (α x')
hy : y ∈ (((ad K L) x).genEigenspace (α x')) k
⊢ S y = α x' • y

tactic: rw [apply_eq_of_mem_genEigenspace_of_comm_of_isSemisimple_of_isNilpotent_sub hy hS₀ hS hN]
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
α : ↥H → K
y : L
k : ℕ := ((ad K L) x).maxGenEigenspaceIndex (α x')
hy : y ∈ (((ad K L) x).genEigenspace (α x')) k
⊢ S y = α x' • y
state_after: no goals

tactic: have hyz : ⁅y, z⁆ ∈ rootSpace H (α + β) :=
  mapsTo_toEnd_weightSpace_add_of_mem_rootSpace K L H L α β hy hz
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
y z : L
α β : ↥H → K
hy : y ∈ rootSpace H α
hz : z ∈ rootSpace H β
⊢ S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
state_after: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
y z : L
α β : ↥H → K
hy : y ∈ rootSpace H α
hz : z ∈ rootSpace H β
hyz : ⁅y, z⁆ ∈ rootSpace H (α + β)
⊢ S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆

tactic: rw [aux hy, aux hz, aux hyz, smul_lie, lie_smul, ← add_smul, ← Pi.add_apply]
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
y z : L
α β : ↥H → K
hy : y ∈ rootSpace H α
hz : z ∈ rootSpace H β
hyz : ⁅y, z⁆ ∈ rootSpace H (α + β)
⊢ S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
state_after: no goals

tactic: have hy : y ∈ ⨆ α : H → K, rootSpace H α := by simp [iSup_weightSpace_eq_top]
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
y z : L
⊢ S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
state_after: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
y z : L
hy : y ∈ ⨆ α, rootSpace H α
⊢ S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆

tactic: have hz : z ∈ ⨆ α : H → K, rootSpace H α := by simp [iSup_weightSpace_eq_top]
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
y z : L
hy : y ∈ ⨆ α, rootSpace H α
⊢ S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
state_after: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
y z : L
hy : y ∈ ⨆ α, rootSpace H α
hz : z ∈ ⨆ α, rootSpace H α
⊢ S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆

tactic: induction hy using LieSubmodule.iSup_induction' with
| hN α y hy =>
  induction hz using LieSubmodule.iSup_induction' with
  | hN β z hz => exact h_der y z α β hy hz
  | h0 => simp
  | hadd _ _ _ _ h h' => simp only [lie_add, map_add, h, h']; abel
| h0 => simp
| hadd _ _ _ _ h h' => simp only [add_lie, map_add, h, h']; abel
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
y z : L
hy : y ∈ ⨆ α, rootSpace H α
hz : z ∈ ⨆ α, rootSpace H α
⊢ S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
state_after: no goals

tactic: simp [iSup_weightSpace_eq_top]
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
y z : L
⊢ y ∈ ⨆ α, rootSpace H α
state_after: no goals

tactic: simp [iSup_weightSpace_eq_top]
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
y z : L
hy : y ∈ ⨆ α, rootSpace H α
⊢ z ∈ ⨆ α, rootSpace H α
state_after: no goals

tactic: induction hz using LieSubmodule.iSup_induction' with
| hN β z hz => exact h_der y z α β hy hz
| h0 => simp
| hadd _ _ _ _ h h' => simp only [lie_add, map_add, h, h']; abel
state_before: case hN
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
y✝ z : L
hz : z ∈ ⨆ α, rootSpace H α
α : ↥H → K
y : L
hy : y ∈ rootSpace H α
⊢ S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
state_after: no goals

tactic: exact h_der y z α β hy hz
state_before: case hN.hN
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
y✝ z✝ : L
α : ↥H → K
y : L
hy : y ∈ rootSpace H α
β : ↥H → K
z : L
hz : z ∈ rootSpace H β
⊢ S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
state_after: no goals

tactic: simp
state_before: case hN.h0
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
y✝ z : L
α : ↥H → K
y : L
hy : y ∈ rootSpace H α
⊢ S ⁅y, 0⁆ = ⁅S y, 0⁆ + ⁅y, S 0⁆
state_after: no goals

tactic: simp only [lie_add, map_add, h, h']
state_before: case hN.hadd
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
y✝¹ z : L
α : ↥H → K
y : L
hy : y ∈ rootSpace H α
x✝ y✝ : L
hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, rootSpace H i
hy✝ : y✝ ∈ ⨆ i, rootSpace H i
h : S ⁅y, x✝⁆ = ⁅S y, x✝⁆ + ⁅y, S x✝⁆
h' : S ⁅y, y✝⁆ = ⁅S y, y✝⁆ + ⁅y, S y✝⁆
⊢ S ⁅y, x✝ + y✝⁆ = ⁅S y, x✝ + y✝⁆ + ⁅y, S (x✝ + y✝)⁆
state_after: case hN.hadd
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
y✝¹ z : L
α : ↥H → K
y : L
hy : y ∈ rootSpace H α
x✝ y✝ : L
hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, rootSpace H i
hy✝ : y✝ ∈ ⨆ i, rootSpace H i
h : S ⁅y, x✝⁆ = ⁅S y, x✝⁆ + ⁅y, S x✝⁆
h' : S ⁅y, y✝⁆ = ⁅S y, y✝⁆ + ⁅y, S y✝⁆
⊢ ⁅S y, x✝⁆ + ⁅y, S x✝⁆ + (⁅S y, y✝⁆ + ⁅y, S y✝⁆) = ⁅S y, x✝⁆ + ⁅S y, y✝⁆ + (⁅y, S x✝⁆ + ⁅y, S y✝⁆)

tactic: abel
state_before: case hN.hadd
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
y✝¹ z : L
α : ↥H → K
y : L
hy : y ∈ rootSpace H α
x✝ y✝ : L
hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, rootSpace H i
hy✝ : y✝ ∈ ⨆ i, rootSpace H i
h : S ⁅y, x✝⁆ = ⁅S y, x✝⁆ + ⁅y, S x✝⁆
h' : S ⁅y, y✝⁆ = ⁅S y, y✝⁆ + ⁅y, S y✝⁆
⊢ ⁅S y, x✝⁆ + ⁅y, S x✝⁆ + (⁅S y, y✝⁆ + ⁅y, S y✝⁆) = ⁅S y, x✝⁆ + ⁅S y, y✝⁆ + (⁅y, S x✝⁆ + ⁅y, S y✝⁆)
state_after: no goals

tactic: simp
state_before: case h0
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
y z : L
hz : z ∈ ⨆ α, rootSpace H α
⊢ S ⁅0, z⁆ = ⁅S 0, z⁆ + ⁅0, S z⁆
state_after: no goals

tactic: simp only [add_lie, map_add, h, h']
state_before: case hadd
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
y z : L
hz : z ∈ ⨆ α, rootSpace H α
x✝ y✝ : L
hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, rootSpace H i
hy✝ : y✝ ∈ ⨆ i, rootSpace H i
h : S ⁅x✝, z⁆ = ⁅S x✝, z⁆ + ⁅x✝, S z⁆
h' : S ⁅y✝, z⁆ = ⁅S y✝, z⁆ + ⁅y✝, S z⁆
⊢ S ⁅x✝ + y✝, z⁆ = ⁅S (x✝ + y✝), z⁆ + ⁅x✝ + y✝, S z⁆
state_after: case hadd
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
y z : L
hz : z ∈ ⨆ α, rootSpace H α
x✝ y✝ : L
hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, rootSpace H i
hy✝ : y✝ ∈ ⨆ i, rootSpace H i
h : S ⁅x✝, z⁆ = ⁅S x✝, z⁆ + ⁅x✝, S z⁆
h' : S ⁅y✝, z⁆ = ⁅S y✝, z⁆ + ⁅y✝, S z⁆
⊢ ⁅S x✝, z⁆ + ⁅x✝, S z⁆ + (⁅S y✝, z⁆ + ⁅y✝, S z⁆) = ⁅S x✝, z⁆ + ⁅S y✝, z⁆ + (⁅x✝, S z⁆ + ⁅y✝, S z⁆)

tactic: abel
state_before: case hadd
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
y z : L
hz : z ∈ ⨆ α, rootSpace H α
x✝ y✝ : L
hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, rootSpace H i
hy✝ : y✝ ∈ ⨆ i, rootSpace H i
h : S ⁅x✝, z⁆ = ⁅S x✝, z⁆ + ⁅x✝, S z⁆
h' : S ⁅y✝, z⁆ = ⁅S y✝, z⁆ + ⁅y✝, S z⁆
⊢ ⁅S x✝, z⁆ + ⁅x✝, S z⁆ + (⁅S y✝, z⁆ + ⁅y✝, S z⁆) = ⁅S x✝, z⁆ + ⁅S y✝, z⁆ + (⁅x✝, S z⁆ + ⁅y✝, S z⁆)
state_after: no goals

tactic: simp_rw [← lie_skew (S _) _, add_comm, ← sub_eq_add_neg] at h_der
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆
⊢ ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
state_after: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
⊢ ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆

tactic: assumption
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
⊢ ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
state_after: no goals

tactic: rw [← LieSubalgebra.mem_toLieSubmodule, ← rootSpace_zero_eq] at hz
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
z : L
hz : z ∈ H
⊢ ⁅y, z⁆ = 0
state_after: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
z : L
hz : z ∈ rootSpace H 0
⊢ ⁅y, z⁆ = 0

tactic: simp [← ad_apply (R := K), ← LieDerivation.coe_ad_apply_eq_ad_apply, hy, aux hz]
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
z : L
hz : z ∈ rootSpace H 0
⊢ ⁅y, z⁆ = 0
state_after: no goals

tactic: suffices y ∈ H.normalizer by rwa [LieSubalgebra.IsCartanSubalgebra.self_normalizing] at this
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : ∀ z ∈ H, ⁅y, z⁆ = 0
⊢ y ∈ H
state_after: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : ∀ z ∈ H, ⁅y, z⁆ = 0
⊢ y ∈ H.normalizer

tactic: exact (H.mem_normalizer_iff y).mpr fun z hz ↦ hy' z hz ▸ LieSubalgebra.zero_mem H
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : ∀ z ∈ H, ⁅y, z⁆ = 0
⊢ y ∈ H.normalizer
state_after: no goals

tactic: rwa [LieSubalgebra.IsCartanSubalgebra.self_normalizing] at this
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : ∀ z ∈ H, ⁅y, z⁆ = 0
this : y ∈ H.normalizer
⊢ y ∈ H
state_after: no goals

tactic: rwa [this, ← LieDerivation.coe_ad_apply_eq_ad_apply y, hy]
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : y ∈ H
this : x = y
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
state_after: no goals

tactic: rw [← LieDerivation.coe_ad_apply_eq_ad_apply y, hy]
state_before: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : y ∈ H
⊢ S = (ad K L) y
state_after: no goals