Theorem: Con.conGen_eq
File: Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean

tactic: apply ConGen.Rel.recOn (motive := fun x y _ => s x y) hxy
state_before: M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
r : M → M → Prop
s : Con M
hs : s ∈ {s | ∀ (x y : M), r x y → s x y}
x y : M
hxy : (conGen r) x y
⊢ s x y
state_after: case of
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
r : M → M → Prop
s : Con M
hs : s ∈ {s | ∀ (x y : M), r x y → s x y}
x y : M
hxy : (conGen r) x y
⊢ ∀ (x y : M), r x y → s x y

case refl
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
r : M → M → Prop
s : Con M
hs : s ∈ {s | ∀ (x y : M), r x y → s x y}
x y : M
hxy : (conGen r) x y
⊢ ∀ (x : M), s x x

case symm
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
r : M → M → Prop
s : Con M
hs : s ∈ {s | ∀ (x y : M), r x y → s x y}
x y : M
hxy : (conGen r) x y
⊢ ∀ {x y : M}, ConGen.Rel r x y → s x y → s y x

case trans
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
r : M → M → Prop
s : Con M
hs : s ∈ {s | ∀ (x y : M), r x y → s x y}
x y : M
hxy : (conGen r) x y
⊢ ∀ {x y z : M}, ConGen.Rel r x y → ConGen.Rel r y z → s x y → s y z → s x z

case mul
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
r : M → M → Prop
s : Con M
hs : s ∈ {s | ∀ (x y : M), r x y → s x y}
x y : M
hxy : (conGen r) x y
⊢ ∀ {w x y z : M}, ConGen.Rel r w x → ConGen.Rel r y z → s w x → s y z → s (w * y) (x * z)

tactic: exact fun x y h => hs x y h
state_before: case of
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
r : M → M → Prop
s : Con M
hs : s ∈ {s | ∀ (x y : M), r x y → s x y}
x y : M
hxy : (conGen r) x y
⊢ ∀ (x y : M), r x y → s x y
state_after: no goals

tactic: exact s.refl'
state_before: case refl
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
r : M → M → Prop
s : Con M
hs : s ∈ {s | ∀ (x y : M), r x y → s x y}
x y : M
hxy : (conGen r) x y
⊢ ∀ (x : M), s x x
state_after: no goals

tactic: exact fun _ => s.symm'
state_before: case symm
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
r : M → M → Prop
s : Con M
hs : s ∈ {s | ∀ (x y : M), r x y → s x y}
x y : M
hxy : (conGen r) x y
⊢ ∀ {x y : M}, ConGen.Rel r x y → s x y → s y x
state_after: no goals

tactic: exact fun _ _ => s.trans'
state_before: case trans
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
r : M → M → Prop
s : Con M
hs : s ∈ {s | ∀ (x y : M), r x y → s x y}
x y : M
hxy : (conGen r) x y
⊢ ∀ {x y z : M}, ConGen.Rel r x y → ConGen.Rel r y z → s x y → s y z → s x z
state_after: no goals

tactic: exact fun _ _ => s.mul
state_before: case mul
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
r : M → M → Prop
s : Con M
hs : s ∈ {s | ∀ (x y : M), r x y → s x y}
x y : M
hxy : (conGen r) x y
⊢ ∀ {w x y z : M}, ConGen.Rel r w x → ConGen.Rel r y z → s w x → s y z → s (w * y) (x * z)
state_after: no goals