Theorem: iteratedFDerivWithin_of_isOpen
File: Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean

tactic: induction' n with n IH
state_before: 𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : IsOpen s
⊢ EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
state_after: case zero
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
⊢ EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 0 f s) (iteratedFDeriv 𝕜 0 f) s

case succ
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
n : ℕ
IH : EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
⊢ EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f s) (iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f) s

tactic: intro x _
state_before: case zero
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
⊢ EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 0 f s) (iteratedFDeriv 𝕜 0 f) s
state_after: case zero
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
x : E
a✝ : x ∈ s
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 0 f s x = iteratedFDeriv 𝕜 0 f x

tactic: ext1
state_before: case zero
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
x : E
a✝ : x ∈ s
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 0 f s x = iteratedFDeriv 𝕜 0 f x
state_after: case zero.H
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝¹ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
x : E
a✝ : x ∈ s
x✝ : Fin 0 → E
⊢ (iteratedFDerivWithin 𝕜 0 f s x) x✝ = (iteratedFDeriv 𝕜 0 f x) x✝

tactic: simp only [Nat.zero_eq, iteratedFDerivWithin_zero_apply, iteratedFDeriv_zero_apply]
state_before: case zero.H
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝¹ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
x : E
a✝ : x ∈ s
x✝ : Fin 0 → E
⊢ (iteratedFDerivWithin 𝕜 0 f s x) x✝ = (iteratedFDeriv 𝕜 0 f x) x✝
state_after: no goals

tactic: intro x hx
state_before: case succ
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
n : ℕ
IH : EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
⊢ EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f s) (iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f) s
state_after: case succ
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
n : ℕ
IH : EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f s x = iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f x

tactic: rw [iteratedFDeriv_succ_eq_comp_left, iteratedFDerivWithin_succ_eq_comp_left]
state_before: case succ
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
n : ℕ
IH : EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f s x = iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f x
state_after: case succ
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
n : ℕ
IH : EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ (⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) ∘ fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s) x =
    (⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) ∘ fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f)) x

tactic: dsimp
state_before: case succ
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
n : ℕ
IH : EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ (⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) ∘ fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s) x =
    (⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) ∘ fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f)) x
state_after: case succ
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
n : ℕ
IH : EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ (continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) (fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s x) =
    (continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) (fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) x)

tactic: congr 1
state_before: case succ
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
n : ℕ
IH : EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ (continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) (fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s x) =
    (continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) (fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) x)
state_after: case succ.h.e_6.h
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
n : ℕ
IH : EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s x = fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) x

tactic: rw [fderivWithin_of_isOpen hs hx]
state_before: case succ.h.e_6.h
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
n : ℕ
IH : EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s x = fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) x
state_after: case succ.h.e_6.h
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
n : ℕ
IH : EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ fderiv 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) x = fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) x

tactic: apply Filter.EventuallyEq.fderiv_eq
state_before: case succ.h.e_6.h
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
n : ℕ
IH : EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ fderiv 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) x = fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) x
state_after: case succ.h.e_6.h.h
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
n : ℕ
IH : EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDeriv 𝕜 n f

tactic: filter_upwards [hs.mem_nhds hx]
state_before: case succ.h.e_6.h.h
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
n : ℕ
IH : EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDeriv 𝕜 n f
state_after: case h
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
n : ℕ
IH : EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ ∀ a ∈ s, iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s a = iteratedFDeriv 𝕜 n f a

tactic: exact IH
state_before: case h
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
n : ℕ
IH : EqOn (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ ∀ a ∈ s, iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s a = iteratedFDeriv 𝕜 n f a
state_after: no goals