Theorem: CategoryTheory.IsCofiltered.inf_exists
File: Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Basic.lean

tactic: induction' H using Finset.induction with h' H' nmf h''
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
⊢ ∃ S T, ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H → T mX ≫ f = T mY
state_after: case empty
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
⊢ ∃ S T, ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ ∅ → T mX ≫ f = T mY

case insert
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
h' : (X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)
H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
nmf : h' ∉ H'
h'' : ∃ S T, ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T mX ≫ f = T mY
⊢ ∃ S T, ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ insert h' H' → T mX ≫ f = T mY

tactic: obtain ⟨S, f⟩ := inf_objs_exists O
state_before: case empty
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
⊢ ∃ S T, ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ ∅ → T mX ≫ f = T mY
state_after: case empty.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
S : C
f : ∀ {X : C}, X ∈ O → Nonempty (S ⟶ X)
⊢ ∃ S T, ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ ∅ → T mX ≫ f = T mY

tactic: exact ⟨S, fun mX => (f mX).some, by rintro - - - - - ⟨⟩⟩
state_before: case empty.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
S : C
f : ∀ {X : C}, X ∈ O → Nonempty (S ⟶ X)
⊢ ∃ S T, ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ ∅ → T mX ≫ f = T mY
state_after: no goals

tactic: rintro - - - - - ⟨⟩
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
S : C
f : ∀ {X : C}, X ∈ O → Nonempty (S ⟶ X)
⊢ ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f_1 : X ⟶ Y},
    ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f_1⟩⟩⟩⟩ ∈ ∅ → (fun {X} mX => ⋯.some) mX ≫ f_1 = (fun {X} mX => ⋯.some) mY
state_after: no goals

tactic: obtain ⟨X, Y, mX, mY, f⟩ := h'
state_before: case insert
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
h' : (X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)
H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
nmf : h' ∉ H'
h'' : ∃ S T, ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T mX ≫ f = T mY
⊢ ∃ S T, ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ insert h' H' → T mX ≫ f = T mY
state_after: case insert.mk.mk.mk.mk
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
h'' : ∃ S T, ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T mX ≫ f = T mY
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
⊢ ∃ S T,
    ∀ {X_1 Y_1 : C} (mX_1 : X_1 ∈ O) (mY_1 : Y_1 ∈ O) {f_1 : X_1 ⟶ Y_1},
      ⟨X_1, ⟨Y_1, ⟨mX_1, ⟨mY_1, f_1⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H' → T mX_1 ≫ f_1 = T mY_1

tactic: obtain ⟨S', T', w'⟩ := h''
state_before: case insert.mk.mk.mk.mk
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
h'' : ∃ S T, ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T mX ≫ f = T mY
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
⊢ ∃ S T,
    ∀ {X_1 Y_1 : C} (mX_1 : X_1 ∈ O) (mY_1 : Y_1 ∈ O) {f_1 : X_1 ⟶ Y_1},
      ⟨X_1, ⟨Y_1, ⟨mX_1, ⟨mY_1, f_1⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H' → T mX_1 ≫ f_1 = T mY_1
state_after: case insert.mk.mk.mk.mk.intro.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
⊢ ∃ S T,
    ∀ {X_1 Y_1 : C} (mX_1 : X_1 ∈ O) (mY_1 : Y_1 ∈ O) {f_1 : X_1 ⟶ Y_1},
      ⟨X_1, ⟨Y_1, ⟨mX_1, ⟨mY_1, f_1⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H' → T mX_1 ≫ f_1 = T mY_1

tactic: refine ⟨eq (T' mX ≫ f) (T' mY), fun mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ, ?_⟩
state_before: case insert.mk.mk.mk.mk.intro.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
⊢ ∃ S T,
    ∀ {X_1 Y_1 : C} (mX_1 : X_1 ∈ O) (mY_1 : Y_1 ∈ O) {f_1 : X_1 ⟶ Y_1},
      ⟨X_1, ⟨Y_1, ⟨mX_1, ⟨mY_1, f_1⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H' → T mX_1 ≫ f_1 = T mY_1
state_after: case insert.mk.mk.mk.mk.intro.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
⊢ ∀ {X_1 Y_1 : C} (mX_1 : X_1 ∈ O) (mY_1 : Y_1 ∈ O) {f_1 : X_1 ⟶ Y_1},
    ⟨X_1, ⟨Y_1, ⟨mX_1, ⟨mY_1, f_1⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H' →
      (fun {X_2} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mX_1 ≫ f_1 =
        (fun {X_2} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY_1

tactic: intro X' Y' mX' mY' f' mf'
state_before: case insert.mk.mk.mk.mk.intro.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
⊢ ∀ {X_1 Y_1 : C} (mX_1 : X_1 ∈ O) (mY_1 : Y_1 ∈ O) {f_1 : X_1 ⟶ Y_1},
    ⟨X_1, ⟨Y_1, ⟨mX_1, ⟨mY_1, f_1⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H' →
      (fun {X_2} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mX_1 ≫ f_1 =
        (fun {X_2} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY_1
state_after: case insert.mk.mk.mk.mk.intro.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
⊢ (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mX' ≫ f' = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'

tactic: rw [Category.assoc]
state_before: case insert.mk.mk.mk.mk.intro.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
⊢ (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mX' ≫ f' = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'
state_after: case insert.mk.mk.mk.mk.intro.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
⊢ eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mX' ≫ f' = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'

tactic: by_cases h : X = X' ∧ Y = Y'
state_before: case insert.mk.mk.mk.mk.intro.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
⊢ eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mX' ≫ f' = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'
state_after: case pos
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : X = X' ∧ Y = Y'
⊢ eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mX' ≫ f' = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'

case neg
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : ¬(X = X' ∧ Y = Y')
⊢ eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mX' ≫ f' = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'

tactic: rcases h with ⟨rfl, rfl⟩
state_before: case pos
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : X = X' ∧ Y = Y'
⊢ eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mX' ≫ f' = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'
state_after: case pos.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
⊢ eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mX' ≫ f' = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'

tactic: by_cases hf : f = f'
state_before: case pos.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
⊢ eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mX' ≫ f' = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'
state_after: case pos
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
hf : f = f'
⊢ eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mX' ≫ f' = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'

case neg
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
hf : ¬f = f'
⊢ eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mX' ≫ f' = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'

tactic: subst hf
state_before: case pos
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
hf : f = f'
⊢ eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mX' ≫ f' = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'
state_after: case pos
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
⊢ eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mX' ≫ f = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'

tactic: apply eq_condition
state_before: case pos
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
⊢ eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mX' ≫ f = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'
state_after: no goals

tactic: rw [@w' _ _ mX mY f']
state_before: case neg
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
hf : ¬f = f'
⊢ eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mX' ≫ f' = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'
state_after: case neg
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
hf : ¬f = f'
⊢ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'

tactic: simp only [Finset.mem_insert, PSigma.mk.injEq, heq_eq_eq, true_and] at mf'
state_before: case neg
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
hf : ¬f = f'
⊢ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'
state_after: case neg
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
hf : ¬f = f'
mf' : f' = f ∨ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'
⊢ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'

tactic: rcases mf' with mf' | mf'
state_before: case neg
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
hf : ¬f = f'
mf' : f' = f ∨ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'
⊢ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'
state_after: case neg.inl
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
hf : ¬f = f'
mf' : f' = f
⊢ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'

case neg.inr
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
hf : ¬f = f'
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'
⊢ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'

tactic: exfalso
state_before: case neg.inl
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
hf : ¬f = f'
mf' : f' = f
⊢ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'
state_after: case neg.inl
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
hf : ¬f = f'
mf' : f' = f
⊢ False

tactic: exact hf mf'.symm
state_before: case neg.inl
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
hf : ¬f = f'
mf' : f' = f
⊢ False
state_after: no goals

tactic: exact mf'
state_before: case neg.inr
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
hf : ¬f = f'
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'
⊢ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'
state_after: no goals

tactic: rw [@w' _ _ mX' mY' f' _]
state_before: case neg
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : ¬(X = X' ∧ Y = Y')
⊢ eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mX' ≫ f' = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'
state_after: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : ¬(X = X' ∧ Y = Y')
⊢ ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'

tactic: apply Finset.mem_of_mem_insert_of_ne mf'
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : ¬(X = X' ∧ Y = Y')
⊢ ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'
state_after: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : ¬(X = X' ∧ Y = Y')
⊢ ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ≠ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩

tactic: contrapose! h
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : ¬(X = X' ∧ Y = Y')
⊢ ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ≠ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩
state_after: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ = ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩
⊢ X = X' ∧ Y = Y'

tactic: obtain ⟨rfl, h⟩ := h
state_before: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ = ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩
⊢ X = X' ∧ Y = Y'
state_after: case refl
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
⊢ X = X ∧ Y = Y

tactic: trivial
state_before: case refl
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
⊢ X = X ∧ Y = Y
state_after: no goals