Theorem: MeasureTheory.Filtration.memℒp_limitProcess_of_snorm_bdd
File: Mathlib/Probability/Process/Filtration.lean

tactic: rw [limitProcess]
state_before: Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : Preorder ι
E : Type u_4
inst✝² : Zero E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
ℱ✝ : Filtration ι m
f✝ : ι → Ω → E
μ : Measure Ω
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
F : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup F
ℱ : Filtration ℕ m
f : ℕ → Ω → F
hfm : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R
⊢ Memℒp (limitProcess f ℱ μ) p μ
state_after: Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : Preorder ι
E : Type u_4
inst✝² : Zero E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
ℱ✝ : Filtration ι m
f✝ : ι → Ω → E
μ : Measure Ω
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
F : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup F
ℱ : Filtration ℕ m
f : ℕ → Ω → F
hfm : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R
⊢ Memℒp
    (if h : ∃ g, StronglyMeasurable g ∧ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 (g ω)) then Classical.choose h
    else 0)
    p μ

tactic: split_ifs with h
state_before: Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : Preorder ι
E : Type u_4
inst✝² : Zero E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
ℱ✝ : Filtration ι m
f✝ : ι → Ω → E
μ : Measure Ω
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
F : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup F
ℱ : Filtration ℕ m
f : ℕ → Ω → F
hfm : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R
⊢ Memℒp
    (if h : ∃ g, StronglyMeasurable g ∧ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 (g ω)) then Classical.choose h
    else 0)
    p μ
state_after: case pos
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : Preorder ι
E : Type u_4
inst✝² : Zero E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
ℱ✝ : Filtration ι m
f✝ : ι → Ω → E
μ : Measure Ω
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
F : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup F
ℱ : Filtration ℕ m
f : ℕ → Ω → F
hfm : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R
h : ∃ g, StronglyMeasurable g ∧ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 (g ω))
⊢ Memℒp (Classical.choose h) p μ

case neg
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : Preorder ι
E : Type u_4
inst✝² : Zero E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
ℱ✝ : Filtration ι m
f✝ : ι → Ω → E
μ : Measure Ω
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
F : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup F
ℱ : Filtration ℕ m
f : ℕ → Ω → F
hfm : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R
h : ¬∃ g, StronglyMeasurable g ∧ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 (g ω))
⊢ Memℒp 0 p μ

tactic: refine ⟨StronglyMeasurable.aestronglyMeasurable
  ((Classical.choose_spec h).1.mono (sSup_le fun m ⟨n, hn⟩ => hn ▸ ℱ.le _)),
  lt_of_le_of_lt (Lp.snorm_lim_le_liminf_snorm hfm _ (Classical.choose_spec h).2)
    (lt_of_le_of_lt ?_ (ENNReal.coe_lt_top : ↑R < ∞))⟩
state_before: case pos
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : Preorder ι
E : Type u_4
inst✝² : Zero E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
ℱ✝ : Filtration ι m
f✝ : ι → Ω → E
μ : Measure Ω
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
F : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup F
ℱ : Filtration ℕ m
f : ℕ → Ω → F
hfm : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R
h : ∃ g, StronglyMeasurable g ∧ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 (g ω))
⊢ Memℒp (Classical.choose h) p μ
state_after: case pos
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : Preorder ι
E : Type u_4
inst✝² : Zero E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
ℱ✝ : Filtration ι m
f✝ : ι → Ω → E
μ : Measure Ω
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
F : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup F
ℱ : Filtration ℕ m
f : ℕ → Ω → F
hfm : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R
h : ∃ g, StronglyMeasurable g ∧ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 (g ω))
⊢ liminf (fun n => snorm (f n) p μ) atTop ≤ ↑R

tactic: simp_rw [liminf_eq, eventually_atTop]
state_before: case pos
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : Preorder ι
E : Type u_4
inst✝² : Zero E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
ℱ✝ : Filtration ι m
f✝ : ι → Ω → E
μ : Measure Ω
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
F : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup F
ℱ : Filtration ℕ m
f : ℕ → Ω → F
hfm : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R
h : ∃ g, StronglyMeasurable g ∧ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 (g ω))
⊢ liminf (fun n => snorm (f n) p μ) atTop ≤ ↑R
state_after: case pos
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : Preorder ι
E : Type u_4
inst✝² : Zero E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
ℱ✝ : Filtration ι m
f✝ : ι → Ω → E
μ : Measure Ω
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
F : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup F
ℱ : Filtration ℕ m
f : ℕ → Ω → F
hfm : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R
h : ∃ g, StronglyMeasurable g ∧ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 (g ω))
⊢ sSup {a | ∃ a_1, ∀ b ≥ a_1, a ≤ snorm (f b) p μ} ≤ ↑R

tactic: exact sSup_le fun b ⟨a, ha⟩ => (ha a le_rfl).trans (hbdd _)
state_before: case pos
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : Preorder ι
E : Type u_4
inst✝² : Zero E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
ℱ✝ : Filtration ι m
f✝ : ι → Ω → E
μ : Measure Ω
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
F : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup F
ℱ : Filtration ℕ m
f : ℕ → Ω → F
hfm : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R
h : ∃ g, StronglyMeasurable g ∧ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 (g ω))
⊢ sSup {a | ∃ a_1, ∀ b ≥ a_1, a ≤ snorm (f b) p μ} ≤ ↑R
state_after: no goals

tactic: exact zero_memℒp
state_before: case neg
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : Preorder ι
E : Type u_4
inst✝² : Zero E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
ℱ✝ : Filtration ι m
f✝ : ι → Ω → E
μ : Measure Ω
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
F : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup F
ℱ : Filtration ℕ m
f : ℕ → Ω → F
hfm : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), snorm (f n) p μ ≤ ↑R
h : ¬∃ g, StronglyMeasurable g ∧ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 (g ω))
⊢ Memℒp 0 p μ
state_after: no goals