Theorem: Metric.closure_eq_iInter_cthickening'
File: Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean

tactic: by_cases hs₀ : s ⊆ Ioi 0
state_before: ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
⊢ closure E = ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E
state_after: case pos
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
hs₀ : s ⊆ Ioi 0
⊢ closure E = ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E

case neg
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
hs₀ : ¬s ⊆ Ioi 0
⊢ closure E = ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E

tactic: obtain ⟨δ, hδs, δ_nonpos⟩ := not_subset.mp hs₀
state_before: case neg
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
hs₀ : ¬s ⊆ Ioi 0
⊢ closure E = ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E
state_after: case neg.intro.intro
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
hs₀ : ¬s ⊆ Ioi 0
δ : ℝ
hδs : δ ∈ s
δ_nonpos : δ ∉ Ioi 0
⊢ closure E = ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E

tactic: rw [Set.mem_Ioi, not_lt] at δ_nonpos
state_before: case neg.intro.intro
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
hs₀ : ¬s ⊆ Ioi 0
δ : ℝ
hδs : δ ∈ s
δ_nonpos : δ ∉ Ioi 0
⊢ closure E = ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E
state_after: case neg.intro.intro
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
hs₀ : ¬s ⊆ Ioi 0
δ : ℝ
hδs : δ ∈ s
δ_nonpos : δ ≤ 0
⊢ closure E = ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E

tactic: apply Subset.antisymm
state_before: case neg.intro.intro
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
hs₀ : ¬s ⊆ Ioi 0
δ : ℝ
hδs : δ ∈ s
δ_nonpos : δ ≤ 0
⊢ closure E = ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E
state_after: case neg.intro.intro.h₁
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
hs₀ : ¬s ⊆ Ioi 0
δ : ℝ
hδs : δ ∈ s
δ_nonpos : δ ≤ 0
⊢ closure E ⊆ ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E

case neg.intro.intro.h₂
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
hs₀ : ¬s ⊆ Ioi 0
δ : ℝ
hδs : δ ∈ s
δ_nonpos : δ ≤ 0
⊢ ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E ⊆ closure E

tactic: rw [← cthickening_zero]
state_before: case pos
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
hs₀ : s ⊆ Ioi 0
⊢ closure E = ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E
state_after: case pos
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
hs₀ : s ⊆ Ioi 0
⊢ cthickening 0 E = ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E

tactic: apply cthickening_eq_iInter_cthickening' _ hs₀ hs
state_before: case pos
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
hs₀ : s ⊆ Ioi 0
⊢ cthickening 0 E = ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E
state_after: no goals

tactic: exact subset_iInter₂ fun ε _ => closure_subset_cthickening ε E
state_before: case neg.intro.intro.h₁
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
hs₀ : ¬s ⊆ Ioi 0
δ : ℝ
hδs : δ ∈ s
δ_nonpos : δ ≤ 0
⊢ closure E ⊆ ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E
state_after: no goals

tactic: rw [← cthickening_of_nonpos δ_nonpos E]
state_before: case neg.intro.intro.h₂
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
hs₀ : ¬s ⊆ Ioi 0
δ : ℝ
hδs : δ ∈ s
δ_nonpos : δ ≤ 0
⊢ ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E ⊆ closure E
state_after: case neg.intro.intro.h₂
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
hs₀ : ¬s ⊆ Ioi 0
δ : ℝ
hδs : δ ∈ s
δ_nonpos : δ ≤ 0
⊢ ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E ⊆ cthickening δ E

tactic: exact biInter_subset_of_mem hδs
state_before: case neg.intro.intro.h₂
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
E : Set α
s : Set ℝ
hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty
hs₀ : ¬s ⊆ Ioi 0
δ : ℝ
hδs : δ ∈ s
δ_nonpos : δ ≤ 0
⊢ ⋂ δ ∈ s, cthickening δ E ⊆ cthickening δ E
state_after: no goals