Theorem: MeasureTheory.tendsto_integral_of_L1
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean

tactic: by_cases hG : CompleteSpace G
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α), F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
hG : CompleteSpace G
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α), F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))

case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
hG : ¬CompleteSpace G
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α), F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))

tactic: simp only [integral, hG, L1.integral]
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
hG : CompleteSpace G
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α), F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
hG : CompleteSpace G
⊢ Tendsto
    (fun i =>
      if h : True then
        if hf : Integrable (fun x => F i x) μ then L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun x => F i x) hf) else 0
      else 0)
    l
    (𝓝
      (if h : True then
        if hf : Integrable (fun x => f x) μ then L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun x => f x) hf) else 0
      else 0))

tactic: exact tendsto_setToFun_of_L1 (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul μ) f hfi hFi hF
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
hG : CompleteSpace G
⊢ Tendsto
    (fun i =>
      if h : True then
        if hf : Integrable (fun x => F i x) μ then L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun x => F i x) hf) else 0
      else 0)
    l
    (𝓝
      (if h : True then
        if hf : Integrable (fun x => f x) μ then L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun x => f x) hf) else 0
      else 0))
state_after: no goals

tactic: simp [integral, hG, tendsto_const_nhds]
state_before: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
hG : ¬CompleteSpace G
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α), F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))
state_after: no goals