Theorem: IsLocalization.finsetIntegerMultiple_image
File: Mathlib/RingTheory/Localization/Integer.lean

tactic: delta finsetIntegerMultiple commonDenom
state_before: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S
⊢ ⇑(algebraMap R S) '' ↑(finsetIntegerMultiple M s) = commonDenomOfFinset M s • ↑s
state_after: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S
⊢ ⇑(algebraMap R S) '' ↑(Finset.image (fun t => integerMultiple M s id t) s.attach) = commonDenomOfFinset M s • ↑s

tactic: rw [Finset.coe_image]
state_before: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S
⊢ ⇑(algebraMap R S) '' ↑(Finset.image (fun t => integerMultiple M s id t) s.attach) = commonDenomOfFinset M s • ↑s
state_after: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S
⊢ ⇑(algebraMap R S) '' ((fun t => integerMultiple M s id t) '' ↑s.attach) = commonDenomOfFinset M s • ↑s

tactic: ext
state_before: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S
⊢ ⇑(algebraMap R S) '' ((fun t => integerMultiple M s id t) '' ↑s.attach) = commonDenomOfFinset M s • ↑s
state_after: case h
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S
x✝ : S
⊢ x✝ ∈ ⇑(algebraMap R S) '' ((fun t => integerMultiple M s id t) '' ↑s.attach) ↔ x✝ ∈ commonDenomOfFinset M s • ↑s

tactic: constructor
state_before: case h
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S
x✝ : S
⊢ x✝ ∈ ⇑(algebraMap R S) '' ((fun t => integerMultiple M s id t) '' ↑s.attach) ↔ x✝ ∈ commonDenomOfFinset M s • ↑s
state_after: case h.mp
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S
x✝ : S
⊢ x✝ ∈ ⇑(algebraMap R S) '' ((fun t => integerMultiple M s id t) '' ↑s.attach) → x✝ ∈ commonDenomOfFinset M s • ↑s

case h.mpr
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S
x✝ : S
⊢ x✝ ∈ commonDenomOfFinset M s • ↑s → x✝ ∈ ⇑(algebraMap R S) '' ((fun t => integerMultiple M s id t) '' ↑s.attach)

tactic: rintro ⟨_, ⟨x, -, rfl⟩, rfl⟩
state_before: case h.mp
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S
x✝ : S
⊢ x✝ ∈ ⇑(algebraMap R S) '' ((fun t => integerMultiple M s id t) '' ↑s.attach) → x✝ ∈ commonDenomOfFinset M s • ↑s
state_after: case h.mp.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S
x : { x // x ∈ s }
⊢ (algebraMap R S) ((fun t => integerMultiple M s id t) x) ∈ commonDenomOfFinset M s • ↑s

tactic: rw [map_integerMultiple]
state_before: case h.mp.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S
x : { x // x ∈ s }
⊢ (algebraMap R S) ((fun t => integerMultiple M s id t) x) ∈ commonDenomOfFinset M s • ↑s
state_after: case h.mp.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S
x : { x // x ∈ s }
⊢ commonDenom M s id • id ↑x ∈ commonDenomOfFinset M s • ↑s

tactic: exact Set.mem_image_of_mem _ x.prop
state_before: case h.mp.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S
x : { x // x ∈ s }
⊢ commonDenom M s id • id ↑x ∈ commonDenomOfFinset M s • ↑s
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨x, hx, rfl⟩
state_before: case h.mpr
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S
x✝ : S
⊢ x✝ ∈ commonDenomOfFinset M s • ↑s → x✝ ∈ ⇑(algebraMap R S) '' ((fun t => integerMultiple M s id t) '' ↑s.attach)
state_after: case h.mpr.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S
x : S
hx : x ∈ ↑s
⊢ (fun x => M.subtype (commonDenomOfFinset M s) • x) x ∈
    ⇑(algebraMap R S) '' ((fun t => integerMultiple M s id t) '' ↑s.attach)

tactic: exact ⟨_, ⟨⟨x, hx⟩, s.mem_attach _, rfl⟩, map_integerMultiple M s id _⟩
state_before: case h.mpr.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S
x : S
hx : x ∈ ↑s
⊢ (fun x => M.subtype (commonDenomOfFinset M s) • x) x ∈
    ⇑(algebraMap R S) '' ((fun t => integerMultiple M s id t) '' ↑s.attach)
state_after: no goals