Theorem: MeasureTheory.Measure.noAtoms_hausdorff
File: Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean

tactic: refine ⟨fun x => ?_⟩
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
⊢ NoAtoms μH[d]
state_after: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
⊢ μH[d] {x} = 0

tactic: rw [← nonpos_iff_eq_zero, hausdorffMeasure_apply]
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
⊢ μH[d] {x} = 0
state_after: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
⊢ ⨆ r,
      ⨆ (_ : 0 < r),
        ⨅ t,
          ⨅ (_ : {x} ⊆ ⋃ n, t n),
            ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ r), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤
    0

tactic: refine iSup₂_le fun ε _ => iInf₂_le_of_le (fun _ => {x}) ?_ <| iInf_le_of_le (fun _ => ?_) ?_
state_before: ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
⊢ ⨆ r,
      ⨆ (_ : 0 < r),
        ⨅ t,
          ⨅ (_ : {x} ⊆ ⋃ n, t n),
            ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ r), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤
    0
state_after: case refine_1
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝ : 0 < ε
⊢ {x} ⊆ ⋃ n, (fun x_1 => {x}) n

case refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝¹ : 0 < ε
x✝ : ℕ
⊢ diam ((fun x_1 => {x}) x✝) ≤ ε

case refine_3
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝ : 0 < ε
⊢ ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : ((fun x_1 => {x}) n).Nonempty), diam ((fun x_2 => {x}) n) ^ d ≤ 0

tactic: exact subset_iUnion (fun _ => {x} : ℕ → Set X) 0
state_before: case refine_1
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝ : 0 < ε
⊢ {x} ⊆ ⋃ n, (fun x_1 => {x}) n
state_after: no goals

tactic: simp only [EMetric.diam_singleton, zero_le]
state_before: case refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝¹ : 0 < ε
x✝ : ℕ
⊢ diam ((fun x_1 => {x}) x✝) ≤ ε
state_after: no goals

tactic: simp [hd]
state_before: case refine_3
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝ : 0 < ε
⊢ ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : ((fun x_1 => {x}) n).Nonempty), diam ((fun x_2 => {x}) n) ^ d ≤ 0
state_after: no goals