Theorem: AlgebraicTopology.DoldKan.HigherFacesVanish.comp_Hσ_eq_zero
File: Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean

tactic: simp only [Hσ, Homotopy.nullHomotopicMap'_f (c_mk (n + 2) (n + 1) rfl) (c_mk (n + 1) n rfl)]
state_before: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
⊢ φ ≫ (Hσ q).f (n + 1) = 0
state_after: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
⊢ φ ≫
      ((AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 1) n ≫ hσ' q n (n + 1) ⋯ +
        hσ' q (n + 1) (n + 2) ⋯ ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 2) (n + 1)) =
    0

tactic: rw [hσ'_eq_zero hqn (c_mk (n + 1) n rfl), comp_zero, zero_add]
state_before: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
⊢ φ ≫
      ((AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 1) n ≫ hσ' q n (n + 1) ⋯ +
        hσ' q (n + 1) (n + 2) ⋯ ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 2) (n + 1)) =
    0
state_after: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
⊢ φ ≫ hσ' q (n + 1) (n + 2) ⋯ ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 2) (n + 1) = 0

tactic: by_cases hqn' : n + 1 < q
state_before: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
⊢ φ ≫ hσ' q (n + 1) (n + 2) ⋯ ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 2) (n + 1) = 0
state_after: case pos
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : n + 1 < q
⊢ φ ≫ hσ' q (n + 1) (n + 2) ⋯ ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 2) (n + 1) = 0

case neg
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
⊢ φ ≫ hσ' q (n + 1) (n + 2) ⋯ ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 2) (n + 1) = 0

tactic: rw [hσ'_eq_zero hqn' (c_mk (n + 2) (n + 1) rfl), zero_comp, comp_zero]
state_before: case pos
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : n + 1 < q
⊢ φ ≫ hσ' q (n + 1) (n + 2) ⋯ ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 2) (n + 1) = 0
state_after: no goals

tactic: simp only [hσ'_eq (show n + 1 = 0 + q by omega) (c_mk (n + 2) (n + 1) rfl), pow_zero,
  Fin.mk_zero, one_zsmul, eqToHom_refl, comp_id, comp_sum,
  AlternatingFaceMapComplex.obj_d_eq]
state_before: case neg
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
⊢ φ ≫ hσ' q (n + 1) (n + 2) ⋯ ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 2) (n + 1) = 0
state_after: case neg
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
⊢ ∑ j : Fin (n + 1 + 2), φ ≫ X.σ 0 ≫ ((-1) ^ ↑j • X.δ j) = 0

tactic: rw [← Fin.sum_congr' _ (show 2 + (n + 1) = n + 1 + 2 by omega), Fin.sum_trunc]
state_before: case neg
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
⊢ ∑ j : Fin (n + 1 + 2), φ ≫ X.σ 0 ≫ ((-1) ^ ↑j • X.δ j) = 0
state_after: case neg
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
⊢ ∑ i : Fin 2, φ ≫ X.σ 0 ≫ ((-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i)) • X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i))) = 0

case neg.hf
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
⊢ ∀ (j : Fin (n + 1)), φ ≫ X.σ 0 ≫ ((-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd 2 j)) • X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd 2 j))) = 0

tactic: omega
state_before: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
⊢ n + 1 = 0 + q
state_after: no goals

tactic: omega
state_before: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
⊢ 2 + (n + 1) = n + 1 + 2
state_after: no goals

tactic: simp only [Fin.sum_univ_castSucc, Fin.sum_univ_zero, zero_add, Fin.last, Fin.castLE_mk,
  Fin.cast_mk, Fin.castSucc_mk]
state_before: case neg
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
⊢ ∑ i : Fin 2, φ ≫ X.σ 0 ≫ ((-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i)) • X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i))) = 0
state_after: case neg
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
⊢ φ ≫ X.σ 0 ≫ ((-1) ^ 0 • X.δ ⟨0, ⋯⟩) + φ ≫ X.σ 0 ≫ ((-1) ^ 1 • X.δ ⟨1, ⋯⟩) = 0

tactic: simp only [Fin.mk_zero, Fin.val_zero, pow_zero, one_zsmul, Fin.mk_one, Fin.val_one, pow_one,
  neg_smul, comp_neg]
state_before: case neg
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
⊢ φ ≫ X.σ 0 ≫ ((-1) ^ 0 • X.δ ⟨0, ⋯⟩) + φ ≫ X.σ 0 ≫ ((-1) ^ 1 • X.δ ⟨1, ⋯⟩) = 0
state_after: case neg
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
⊢ φ ≫ X.σ 0 ≫ X.δ 0 + -φ ≫ X.σ 0 ≫ X.δ 1 = 0

tactic: erw [δ_comp_σ_self, δ_comp_σ_succ, add_right_neg]
state_before: case neg
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
⊢ φ ≫ X.σ 0 ≫ X.δ 0 + -φ ≫ X.σ 0 ≫ X.δ 1 = 0
state_after: no goals

tactic: intro j
state_before: case neg.hf
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
⊢ ∀ (j : Fin (n + 1)), φ ≫ X.σ 0 ≫ ((-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd 2 j)) • X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd 2 j))) = 0
state_after: case neg.hf
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
j : Fin (n + 1)
⊢ φ ≫ X.σ 0 ≫ ((-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd 2 j)) • X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd 2 j))) = 0

tactic: dsimp [Fin.cast, Fin.castLE, Fin.castLT]
state_before: case neg.hf
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
j : Fin (n + 1)
⊢ φ ≫ X.σ 0 ≫ ((-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd 2 j)) • X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd 2 j))) = 0
state_after: case neg.hf
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
j : Fin (n + 1)
⊢ φ ≫ X.σ 0 ≫ ((-1) ^ (2 + ↑j) • X.δ ⟨2 + ↑j, ⋯⟩) = 0

tactic: rw [comp_zsmul, comp_zsmul, δ_comp_σ_of_gt', v.comp_δ_eq_zero_assoc, zero_comp, zsmul_zero]
state_before: case neg.hf
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
j : Fin (n + 1)
⊢ φ ≫ X.σ 0 ≫ ((-1) ^ (2 + ↑j) • X.δ ⟨2 + ↑j, ⋯⟩) = 0
state_after: case neg.hf.H
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
j : Fin (n + 1)
⊢ Fin.succ 0 < ⟨2 + ↑j, ⋯⟩

case neg.hf.hj₁
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
j : Fin (n + 1)
⊢ ⟨2 + ↑j, ⋯⟩.pred ⋯ ≠ 0

case neg.hf.hj₂
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
j : Fin (n + 1)
⊢ n + 2 ≤ ↑(⟨2 + ↑j, ⋯⟩.pred ⋯) + q

case neg.hf.H
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
j : Fin (n + 1)
⊢ Fin.succ 0 < ⟨2 + ↑j, ⋯⟩

tactic: simp only [Fin.lt_iff_val_lt_val]
state_before: case neg.hf.H
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
j : Fin (n + 1)
⊢ Fin.succ 0 < ⟨2 + ↑j, ⋯⟩
state_after: case neg.hf.H
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
j : Fin (n + 1)
⊢ ↑(Fin.succ 0) < 2 + ↑j

tactic: dsimp [Fin.succ]
state_before: case neg.hf.H
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
j : Fin (n + 1)
⊢ ↑(Fin.succ 0) < 2 + ↑j
state_after: case neg.hf.H
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
j : Fin (n + 1)
⊢ 1 < 2 + ↑j

tactic: omega
state_before: case neg.hf.H
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
j : Fin (n + 1)
⊢ 1 < 2 + ↑j
state_after: no goals

tactic: intro h
state_before: case neg.hf.hj₁
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
j : Fin (n + 1)
⊢ ⟨2 + ↑j, ⋯⟩.pred ⋯ ≠ 0
state_after: case neg.hf.hj₁
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
j : Fin (n + 1)
h : ⟨2 + ↑j, ⋯⟩.pred ⋯ = 0
⊢ False

tactic: simp only [Fin.pred, Fin.subNat, Fin.ext_iff, Nat.succ_add_sub_one,
  Fin.val_zero, add_eq_zero, false_and] at h
state_before: case neg.hf.hj₁
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
j : Fin (n + 1)
h : ⟨2 + ↑j, ⋯⟩.pred ⋯ = 0
⊢ False
state_after: no goals

tactic: simp only [Fin.pred, Fin.subNat, Nat.pred_eq_sub_one, Nat.succ_add_sub_one]
state_before: case neg.hf.hj₂
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
j : Fin (n + 1)
⊢ n + 2 ≤ ↑(⟨2 + ↑j, ⋯⟩.pred ⋯) + q
state_after: case neg.hf.hj₂
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
j : Fin (n + 1)
⊢ n + 2 ≤ 1 + ↑j + q

tactic: omega
state_before: case neg.hf.hj₂
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q
hqn' : ¬n + 1 < q
j : Fin (n + 1)
⊢ n + 2 ≤ 1 + ↑j + q
state_after: no goals