Theorem: MeasureTheory.Submartingale.mul_lintegral_upcrossings_le_lintegral_pos_part
File: Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean

tactic: by_cases hab : a < b
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
⊢ ENNReal.ofReal (b - a) * ∫⁻ (ω : Ω), upcrossings a b f ω ∂μ ≤ ⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ
state_after: case pos
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
⊢ ENNReal.ofReal (b - a) * ∫⁻ (ω : Ω), upcrossings a b f ω ∂μ ≤ ⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ

case neg
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : ¬a < b
⊢ ENNReal.ofReal (b - a) * ∫⁻ (ω : Ω), upcrossings a b f ω ∂μ ≤ ⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ

tactic: simp_rw [upcrossings]
state_before: case pos
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
⊢ ENNReal.ofReal (b - a) * ∫⁻ (ω : Ω), upcrossings a b f ω ∂μ ≤ ⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ
state_after: case pos
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
⊢ ENNReal.ofReal (b - a) * ∫⁻ (ω : Ω), ⨆ N, ↑(upcrossingsBefore a b f N ω) ∂μ ≤
    ⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ

tactic: rw [lintegral_iSup']
state_before: case pos
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
⊢ ENNReal.ofReal (b - a) * ∫⁻ (ω : Ω), ⨆ N, ↑(upcrossingsBefore a b f N ω) ∂μ ≤
    ⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ
state_after: case pos
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
⊢ ENNReal.ofReal (b - a) * ⨆ n, ∫⁻ (a_1 : Ω), ↑(upcrossingsBefore a b f n a_1) ∂μ ≤
    ⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ

case pos.hf
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
⊢ ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (fun ω => ↑(upcrossingsBefore a b f n ω)) μ

case pos.h_mono
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Monotone fun n => ↑(upcrossingsBefore a b f n x)

tactic: intro N
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
⊢ ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
state_after: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
N : ℕ
⊢ ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)

tactic: rw [ofReal_integral_eq_lintegral_ofReal]
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
N : ℕ
⊢ ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
state_after: case hfi
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
N : ℕ
⊢ Integrable (fun ω => (f N ω - a)⁺) μ

case f_nn
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
N : ℕ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun ω => (f N ω - a)⁺

tactic: exact (hf.sub_martingale (martingale_const _ _ _)).pos.integrable _
state_before: case hfi
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
N : ℕ
⊢ Integrable (fun ω => (f N ω - a)⁺) μ
state_after: no goals

tactic: exact eventually_of_forall fun ω => posPart_nonneg _
state_before: case f_nn
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
N : ℕ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun ω => (f N ω - a)⁺
state_after: no goals

tactic: simp_rw [this, ENNReal.mul_iSup, iSup_le_iff]
state_before: case pos
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
⊢ ENNReal.ofReal (b - a) * ⨆ n, ∫⁻ (a_1 : Ω), ↑(upcrossingsBefore a b f n a_1) ∂μ ≤
    ⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ
state_after: case pos
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
⊢ ∀ (i : ℕ),
    ENNReal.ofReal (b - a) * ∫⁻ (a_1 : Ω), ↑(upcrossingsBefore a b f i a_1) ∂μ ≤
      ⨆ N, ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)

tactic: intro N
state_before: case pos
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
⊢ ∀ (i : ℕ),
    ENNReal.ofReal (b - a) * ∫⁻ (a_1 : Ω), ↑(upcrossingsBefore a b f i a_1) ∂μ ≤
      ⨆ N, ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
state_after: case pos
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
N : ℕ
⊢ ENNReal.ofReal (b - a) * ∫⁻ (a_1 : Ω), ↑(upcrossingsBefore a b f N a_1) ∂μ ≤
    ⨆ N, ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)

tactic: rw [(by simp :
    ∫⁻ ω, upcrossingsBefore a b f N ω ∂μ = ∫⁻ ω, ↑(upcrossingsBefore a b f N ω : ℝ≥0) ∂μ),
  lintegral_coe_eq_integral, ← ENNReal.ofReal_mul (sub_pos.2 hab).le]
state_before: case pos
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
N : ℕ
⊢ ENNReal.ofReal (b - a) * ∫⁻ (a_1 : Ω), ↑(upcrossingsBefore a b f N a_1) ∂μ ≤
    ⨆ N, ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
state_after: case pos
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
N : ℕ
⊢ ENNReal.ofReal ((b - a) * ∫ (a_1 : Ω), ↑↑(upcrossingsBefore a b f N a_1) ∂μ) ≤
    ⨆ N, ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)

case pos.hfi
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
N : ℕ
⊢ Integrable (fun x => ↑↑(upcrossingsBefore a b f N x)) μ

tactic: simp
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
N : ℕ
⊢ ∫⁻ (ω : Ω), ↑(upcrossingsBefore a b f N ω) ∂μ = ∫⁻ (ω : Ω), ↑↑(upcrossingsBefore a b f N ω) ∂μ
state_after: no goals

tactic: simp_rw [NNReal.coe_natCast]
state_before: case pos
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
N : ℕ
⊢ ENNReal.ofReal ((b - a) * ∫ (a_1 : Ω), ↑↑(upcrossingsBefore a b f N a_1) ∂μ) ≤
    ⨆ N, ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
state_after: case pos
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
N : ℕ
⊢ ENNReal.ofReal ((b - a) * ∫ (a_1 : Ω), ↑(upcrossingsBefore a b f N a_1) ∂μ) ≤
    ⨆ N, ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)

tactic: exact (ENNReal.ofReal_le_ofReal
  (hf.mul_integral_upcrossingsBefore_le_integral_pos_part a b N)).trans
    (le_iSup (α := ℝ≥0∞) _ N)
state_before: case pos
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
N : ℕ
⊢ ENNReal.ofReal ((b - a) * ∫ (a_1 : Ω), ↑(upcrossingsBefore a b f N a_1) ∂μ) ≤
    ⨆ N, ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
state_after: no goals

tactic: simp only [NNReal.coe_natCast, hf.adapted.integrable_upcrossingsBefore hab]
state_before: case pos.hfi
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
N : ℕ
⊢ Integrable (fun x => ↑↑(upcrossingsBefore a b f N x)) μ
state_after: no goals

tactic: exact fun n => measurable_from_top.comp_aemeasurable
  (hf.adapted.measurable_upcrossingsBefore hab).aemeasurable
state_before: case pos.hf
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
⊢ ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (fun ω => ↑(upcrossingsBefore a b f n ω)) μ
state_after: no goals

tactic: filter_upwards with ω N M hNM
state_before: case pos.h_mono
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Monotone fun n => ↑(upcrossingsBefore a b f n x)
state_after: case pos.h_mono.h
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω✝ : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
ω : Ω
N M : ℕ
hNM : N ≤ M
⊢ (fun n => ↑(upcrossingsBefore a b f n ω)) N ≤ (fun n => ↑(upcrossingsBefore a b f n ω)) M

tactic: rw [Nat.cast_le]
state_before: case pos.h_mono.h
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω✝ : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
ω : Ω
N M : ℕ
hNM : N ≤ M
⊢ (fun n => ↑(upcrossingsBefore a b f n ω)) N ≤ (fun n => ↑(upcrossingsBefore a b f n ω)) M
state_after: case pos.h_mono.h
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω✝ : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
ω : Ω
N M : ℕ
hNM : N ≤ M
⊢ upcrossingsBefore a b f N ω ≤ upcrossingsBefore a b f M ω

tactic: exact upcrossingsBefore_mono hab hNM ω
state_before: case pos.h_mono.h
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω✝ : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b
this : ∀ (N : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω), (f N ω - a)⁺ ∂μ)
ω : Ω
N M : ℕ
hNM : N ≤ M
⊢ upcrossingsBefore a b f N ω ≤ upcrossingsBefore a b f M ω
state_after: no goals

tactic: rw [not_lt, ← sub_nonpos] at hab
state_before: case neg
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : ¬a < b
⊢ ENNReal.ofReal (b - a) * ∫⁻ (ω : Ω), upcrossings a b f ω ∂μ ≤ ⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ
state_after: case neg
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : b - a ≤ 0
⊢ ENNReal.ofReal (b - a) * ∫⁻ (ω : Ω), upcrossings a b f ω ∂μ ≤ ⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ

tactic: rw [ENNReal.ofReal_of_nonpos hab, zero_mul]
state_before: case neg
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : b - a ≤ 0
⊢ ENNReal.ofReal (b - a) * ∫⁻ (ω : Ω), upcrossings a b f ω ∂μ ≤ ⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ
state_after: case neg
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : b - a ≤ 0
⊢ 0 ≤ ⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ

tactic: exact zero_le _
state_before: case neg
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
a b : ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : b - a ≤ 0
⊢ 0 ≤ ⨆ N, ∫⁻ (ω : Ω), ENNReal.ofReal (f N ω - a)⁺ ∂μ
state_after: no goals