Theorem: ProbabilityTheory.kernel.indep_limsup_atBot_self
File: Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean

tactic: let ns : ι → Set ι := Set.Ici
state_before: α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ↥(kernel α Ω)
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
⊢ Indep (limsup s atBot) (limsup s atBot) κ μα
state_after: α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ↥(kernel α Ω)
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
⊢ Indep (limsup s atBot) (limsup s atBot) κ μα

tactic: have hnsp : ∀ i, BddBelow (ns i) := fun i => bddBelow_Ici
state_before: α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ↥(kernel α Ω)
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
⊢ Indep (limsup s atBot) (limsup s atBot) κ μα
state_after: α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ↥(kernel α Ω)
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
⊢ Indep (limsup s atBot) (limsup s atBot) κ μα

tactic: refine indep_limsup_self h_le h_indep ?_ ?_ hnsp ?_
state_before: α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ↥(kernel α Ω)
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
⊢ Indep (limsup s atBot) (limsup s atBot) κ μα
state_after: case refine_1
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ↥(kernel α Ω)
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
⊢ ∀ (t : Set ι), BddBelow t → tᶜ ∈ atBot

case refine_2
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ↥(kernel α Ω)
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
⊢ Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns

case refine_3
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ↥(kernel α Ω)
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
⊢ ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a

tactic: simp only [mem_atBot_sets, ge_iff_le, Set.mem_compl_iff, BddBelow, lowerBounds, Set.Nonempty]
state_before: case refine_1
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ↥(kernel α Ω)
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
⊢ ∀ (t : Set ι), BddBelow t → tᶜ ∈ atBot
state_after: case refine_1
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ↥(kernel α Ω)
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
⊢ ∀ (t : Set ι), (∃ x, x ∈ {x | ∀ ⦃a : ι⦄, a ∈ t → x ≤ a}) → ∃ a, ∀ b ≤ a, b ∉ t

tactic: rintro t ⟨a, ha⟩
state_before: case refine_1
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ↥(kernel α Ω)
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
⊢ ∀ (t : Set ι), (∃ x, x ∈ {x | ∀ ⦃a : ι⦄, a ∈ t → x ≤ a}) → ∃ a, ∀ b ≤ a, b ∉ t
state_after: case refine_1.intro
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ↥(kernel α Ω)
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
t : Set ι
a : ι
ha : a ∈ {x | ∀ ⦃a : ι⦄, a ∈ t → x ≤ a}
⊢ ∃ a, ∀ b ≤ a, b ∉ t

tactic: obtain ⟨b, hb⟩ : ∃ b, b < a := exists_lt a
state_before: case refine_1.intro
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ↥(kernel α Ω)
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
t : Set ι
a : ι
ha : a ∈ {x | ∀ ⦃a : ι⦄, a ∈ t → x ≤ a}
⊢ ∃ a, ∀ b ≤ a, b ∉ t
state_after: case refine_1.intro.intro
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ↥(kernel α Ω)
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
t : Set ι
a : ι
ha : a ∈ {x | ∀ ⦃a : ι⦄, a ∈ t → x ≤ a}
b : ι
hb : b < a
⊢ ∃ a, ∀ b ≤ a, b ∉ t

tactic: refine ⟨b, fun c hc hct => ?_⟩
state_before: case refine_1.intro.intro
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ↥(kernel α Ω)
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
t : Set ι
a : ι
ha : a ∈ {x | ∀ ⦃a : ι⦄, a ∈ t → x ≤ a}
b : ι
hb : b < a
⊢ ∃ a, ∀ b ≤ a, b ∉ t
state_after: case refine_1.intro.intro
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ↥(kernel α Ω)
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
t : Set ι
a : ι
ha : a ∈ {x | ∀ ⦃a : ι⦄, a ∈ t → x ≤ a}
b : ι
hb : b < a
c : ι
hc : c ≤ b
hct : c ∈ t
⊢ False

tactic: suffices ∀ i ∈ t, c < i from lt_irrefl c (this c hct)
state_before: case refine_1.intro.intro
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ↥(kernel α Ω)
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
t : Set ι
a : ι
ha : a ∈ {x | ∀ ⦃a : ι⦄, a ∈ t → x ≤ a}
b : ι
hb : b < a
c : ι
hc : c ≤ b
hct : c ∈ t
⊢ False
state_after: case refine_1.intro.intro
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ↥(kernel α Ω)
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
t : Set ι
a : ι
ha : a ∈ {x | ∀ ⦃a : ι⦄, a ∈ t → x ≤ a}
b : ι
hb : b < a
c : ι
hc : c ≤ b
hct : c ∈ t
⊢ ∀ i ∈ t, c < i

tactic: exact fun i hi => hc.trans_lt (hb.trans_le (ha hi))
state_before: case refine_1.intro.intro
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ↥(kernel α Ω)
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
t : Set ι
a : ι
ha : a ∈ {x | ∀ ⦃a : ι⦄, a ∈ t → x ≤ a}
b : ι
hb : b < a
c : ι
hc : c ≤ b
hct : c ∈ t
⊢ ∀ i ∈ t, c < i
state_after: no goals

tactic: exact Antitone.directed_le fun _ _ ↦ Set.Ici_subset_Ici.2
state_before: case refine_2
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ↥(kernel α Ω)
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
⊢ Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
state_after: no goals

tactic: exact fun n => ⟨n, le_rfl⟩
state_before: case refine_3
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : ↥(kernel α Ω)
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
⊢ ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
state_after: no goals