Theorem: injective_of_increasing
File: Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean

tactic: intro x y hxy
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
⊢ Injective f
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
⊢ x = y

tactic: rcases trichotomous_of r x y with (h | h | h)
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
⊢ x = y
state_after: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r x y
⊢ x = y

case inr.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : x = y
⊢ x = y

case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r y x
⊢ x = y

tactic: have := hf h
state_before: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r x y
⊢ x = y
state_after: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r x y
this : s (f x) (f y)
⊢ x = y

tactic: rw [hxy] at this
state_before: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r x y
this : s (f x) (f y)
⊢ x = y
state_after: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r x y
this : s (f y) (f y)
⊢ x = y

tactic: exfalso
state_before: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r x y
this : s (f y) (f y)
⊢ x = y
state_after: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r x y
this : s (f y) (f y)
⊢ False

tactic: exact irrefl_of s (f y) this
state_before: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r x y
this : s (f y) (f y)
⊢ False
state_after: no goals

tactic: exact h
state_before: case inr.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : x = y
⊢ x = y
state_after: no goals

tactic: have := hf h
state_before: case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r y x
⊢ x = y
state_after: case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r y x
this : s (f y) (f x)
⊢ x = y

tactic: rw [hxy] at this
state_before: case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r y x
this : s (f y) (f x)
⊢ x = y
state_after: case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r y x
this : s (f y) (f y)
⊢ x = y

tactic: exfalso
state_before: case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r y x
this : s (f y) (f y)
⊢ x = y
state_after: case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r y x
this : s (f y) (f y)
⊢ False

tactic: exact irrefl_of s (f y) this
state_before: case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r y x
this : s (f y) (f y)
⊢ False
state_after: no goals