Theorem: Matrix.matPolyEquiv_charmatrix
File: Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Basic.lean

tactic: ext k i j
state_before: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i j : n
⊢ matPolyEquiv M.charmatrix = X - C M
state_after: case a.a
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i✝ j✝ : n
k : ℕ
i j : n
⊢ (matPolyEquiv M.charmatrix).coeff k i j = (X - C M).coeff k i j

tactic: simp only [matPolyEquiv_coeff_apply, coeff_sub, Pi.sub_apply]
state_before: case a.a
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i✝ j✝ : n
k : ℕ
i j : n
⊢ (matPolyEquiv M.charmatrix).coeff k i j = (X - C M).coeff k i j
state_after: case a.a
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i✝ j✝ : n
k : ℕ
i j : n
⊢ (M.charmatrix i j).coeff k = (X.coeff k - (C M).coeff k) i j

tactic: by_cases h : i = j
state_before: case a.a
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i✝ j✝ : n
k : ℕ
i j : n
⊢ (M.charmatrix i j).coeff k = (X.coeff k - (C M).coeff k) i j
state_after: case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i✝ j✝ : n
k : ℕ
i j : n
h : i = j
⊢ (M.charmatrix i j).coeff k = (X.coeff k - (C M).coeff k) i j

case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i✝ j✝ : n
k : ℕ
i j : n
h : ¬i = j
⊢ (M.charmatrix i j).coeff k = (X.coeff k - (C M).coeff k) i j

tactic: subst h
state_before: case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i✝ j✝ : n
k : ℕ
i j : n
h : i = j
⊢ (M.charmatrix i j).coeff k = (X.coeff k - (C M).coeff k) i j
state_after: case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i✝ j : n
k : ℕ
i : n
⊢ (M.charmatrix i i).coeff k = (X.coeff k - (C M).coeff k) i i

tactic: rw [charmatrix_apply_eq, coeff_sub]
state_before: case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i✝ j : n
k : ℕ
i : n
⊢ (M.charmatrix i i).coeff k = (X.coeff k - (C M).coeff k) i i
state_after: case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i✝ j : n
k : ℕ
i : n
⊢ X.coeff k - (C (M i i)).coeff k = (X.coeff k - (C M).coeff k) i i

tactic: simp only [coeff_X, coeff_C]
state_before: case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i✝ j : n
k : ℕ
i : n
⊢ X.coeff k - (C (M i i)).coeff k = (X.coeff k - (C M).coeff k) i i
state_after: case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i✝ j : n
k : ℕ
i : n
⊢ ((if 1 = k then 1 else 0) - if k = 0 then M i i else 0) = ((if 1 = k then 1 else 0) - if k = 0 then M else 0) i i

tactic: split_ifs <;> simp
state_before: case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i✝ j : n
k : ℕ
i : n
⊢ ((if 1 = k then 1 else 0) - if k = 0 then M i i else 0) = ((if 1 = k then 1 else 0) - if k = 0 then M else 0) i i
state_after: no goals

tactic: rw [charmatrix_apply_ne _ _ _ h, coeff_X, coeff_neg, coeff_C, coeff_C]
state_before: case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i✝ j✝ : n
k : ℕ
i j : n
h : ¬i = j
⊢ (M.charmatrix i j).coeff k = (X.coeff k - (C M).coeff k) i j
state_after: case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i✝ j✝ : n
k : ℕ
i j : n
h : ¬i = j
⊢ (-if k = 0 then M i j else 0) = ((if 1 = k then 1 else 0) - if k = 0 then M else 0) i j

tactic: split_ifs <;> simp [h]
state_before: case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i✝ j✝ : n
k : ℕ
i j : n
h : ¬i = j
⊢ (-if k = 0 then M i j else 0) = ((if 1 = k then 1 else 0) - if k = 0 then M else 0) i j
state_after: no goals