Theorem: CoxeterSystem.prod_alternatingWord_eq_prod_alternatingWord_sub
File: Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean

tactic: simp_rw [prod_alternatingWord_eq_mul_pow, ← Int.even_coe_nat]
state_before: B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
hm : m ≤ M.M i i' * 2
⊢ cs.wordProd (alternatingWord i i' m) = cs.wordProd (alternatingWord i' i (M.M i i' * 2 - m))
state_after: B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
hm : m ≤ M.M i i' * 2
⊢ (if Even ↑m then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (m / 2) =
    (if Even ↑(M.M i i' * 2 - m) then 1 else cs.simple i) * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((M.M i i' * 2 - m) / 2)

tactic: simp_rw [← zpow_natCast, Int.ofNat_ediv, Int.ofNat_sub hm]
state_before: B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
hm : m ≤ M.M i i' * 2
⊢ (if Even ↑m then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (m / 2) =
    (if Even ↑(M.M i i' * 2 - m) then 1 else cs.simple i) * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((M.M i i' * 2 - m) / 2)
state_after: B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
hm : m ≤ M.M i i' * 2
⊢ (if Even ↑m then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (↑m / ↑2) =
    (if Even (↑(M.M i i' * 2) - ↑m) then 1 else cs.simple i) *
      (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i' * 2) - ↑m) / ↑2)

tactic: generalize (m : ℤ) = m'
state_before: B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
hm : m ≤ M.M i i' * 2
⊢ (if Even ↑m then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (↑m / ↑2) =
    (if Even (↑(M.M i i' * 2) - ↑m) then 1 else cs.simple i) *
      (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i' * 2) - ↑m) / ↑2)
state_after: B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
hm : m ≤ M.M i i' * 2
m' : ℤ
⊢ (if Even m' then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (m' / ↑2) =
    (if Even (↑(M.M i i' * 2) - m') then 1 else cs.simple i) *
      (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i' * 2) - m') / ↑2)

tactic: clear hm
state_before: B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
hm : m ≤ M.M i i' * 2
m' : ℤ
⊢ (if Even m' then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (m' / ↑2) =
    (if Even (↑(M.M i i' * 2) - m') then 1 else cs.simple i) *
      (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i' * 2) - m') / ↑2)
state_after: B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
m' : ℤ
⊢ (if Even m' then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (m' / ↑2) =
    (if Even (↑(M.M i i' * 2) - m') then 1 else cs.simple i) *
      (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i' * 2) - m') / ↑2)

tactic: push_cast
state_before: B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
m' : ℤ
⊢ (if Even m' then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (m' / ↑2) =
    (if Even (↑(M.M i i' * 2) - m') then 1 else cs.simple i) *
      (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i' * 2) - m') / ↑2)
state_after: B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
m' : ℤ
⊢ (if Even m' then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (m' / 2) =
    (if Even (↑(M.M i i') * 2 - m') then 1 else cs.simple i) *
      (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - m') / 2)

tactic: rcases Int.even_or_odd' m' with ⟨k, rfl | rfl⟩
state_before: B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
m' : ℤ
⊢ (if Even m' then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (m' / 2) =
    (if Even (↑(M.M i i') * 2 - m') then 1 else cs.simple i) *
      (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - m') / 2)
state_after: case intro.inl
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
⊢ (if Even (2 * k) then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (2 * k / 2) =
    (if Even (↑(M.M i i') * 2 - 2 * k) then 1 else cs.simple i) *
      (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - 2 * k) / 2)

case intro.inr
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
⊢ (if Even (2 * k + 1) then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ ((2 * k + 1) / 2) =
    (if Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) then 1 else cs.simple i) *
      (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) / 2)

tactic: rw [if_pos (by use k; ring), if_pos (by use -k + (M i i'); ring), mul_comm 2 k, ← sub_mul]
state_before: case intro.inl
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
⊢ (if Even (2 * k) then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (2 * k / 2) =
    (if Even (↑(M.M i i') * 2 - 2 * k) then 1 else cs.simple i) *
      (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - 2 * k) / 2)
state_after: case intro.inl
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
⊢ 1 * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (k * 2 / 2) = 1 * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') - k) * 2 / 2)

tactic: repeat rw [Int.mul_ediv_cancel _ (by norm_num)]
state_before: case intro.inl
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
⊢ 1 * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (k * 2 / 2) = 1 * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') - k) * 2 / 2)
state_after: case intro.inl
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
⊢ 1 * (cs.simple i * cs.simple i') ^ k = 1 * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ (↑(M.M i i') - k)

tactic: rw [zpow_sub, zpow_natCast, simple_mul_simple_pow' cs i i', ← inv_zpow]
state_before: case intro.inl
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
⊢ 1 * (cs.simple i * cs.simple i') ^ k = 1 * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ (↑(M.M i i') - k)
state_after: case intro.inl
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
⊢ 1 * (cs.simple i * cs.simple i') ^ k = 1 * (1 * (cs.simple i' * cs.simple i)⁻¹ ^ k)

tactic: simp
state_before: case intro.inl
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
⊢ 1 * (cs.simple i * cs.simple i') ^ k = 1 * (1 * (cs.simple i' * cs.simple i)⁻¹ ^ k)
state_after: no goals

tactic: use k
state_before: B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
⊢ Even (2 * k)
state_after: case h
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
⊢ 2 * k = k + k

tactic: ring
state_before: case h
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
⊢ 2 * k = k + k
state_after: no goals

tactic: use -k + (M i i')
state_before: B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
⊢ Even (↑(M.M i i') * 2 - 2 * k)
state_after: case h
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
⊢ ↑(M.M i i') * 2 - 2 * k = -k + ↑(M.M i i') + (-k + ↑(M.M i i'))

tactic: ring
state_before: case h
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
⊢ ↑(M.M i i') * 2 - 2 * k = -k + ↑(M.M i i') + (-k + ↑(M.M i i'))
state_after: no goals

tactic: rw [Int.mul_ediv_cancel _ (by norm_num)]
state_before: case intro.inl
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
⊢ 1 * (cs.simple i * cs.simple i') ^ k = 1 * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') - k) * 2 / 2)
state_after: case intro.inl
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
⊢ 1 * (cs.simple i * cs.simple i') ^ k = 1 * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ (↑(M.M i i') - k)

tactic: norm_num
state_before: B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
⊢ 2 ≠ 0
state_after: no goals

tactic: have : ¬Even (2 * k + 1) := Int.odd_iff_not_even.mp ⟨k, rfl⟩
state_before: case intro.inr
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
⊢ (if Even (2 * k + 1) then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ ((2 * k + 1) / 2) =
    (if Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) then 1 else cs.simple i) *
      (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) / 2)
state_after: case intro.inr
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this : ¬Even (2 * k + 1)
⊢ (if Even (2 * k + 1) then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ ((2 * k + 1) / 2) =
    (if Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) then 1 else cs.simple i) *
      (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) / 2)

tactic: rw [if_neg this]
state_before: case intro.inr
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this : ¬Even (2 * k + 1)
⊢ (if Even (2 * k + 1) then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ ((2 * k + 1) / 2) =
    (if Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) then 1 else cs.simple i) *
      (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) / 2)
state_after: case intro.inr
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this : ¬Even (2 * k + 1)
⊢ cs.simple i' * (cs.simple i * cs.simple i') ^ ((2 * k + 1) / 2) =
    (if Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) then 1 else cs.simple i) *
      (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) / 2)

tactic: have : ¬Even (↑(M i i') * 2 - (2 * k + 1)) :=
  Int.odd_iff_not_even.mp ⟨↑(M i i') - k - 1, by ring⟩
state_before: case intro.inr
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this : ¬Even (2 * k + 1)
⊢ cs.simple i' * (cs.simple i * cs.simple i') ^ ((2 * k + 1) / 2) =
    (if Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) then 1 else cs.simple i) *
      (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) / 2)
state_after: case intro.inr
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this✝ : ¬Even (2 * k + 1)
this : ¬Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1))
⊢ cs.simple i' * (cs.simple i * cs.simple i') ^ ((2 * k + 1) / 2) =
    (if Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) then 1 else cs.simple i) *
      (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) / 2)

tactic: rw [if_neg this]
state_before: case intro.inr
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this✝ : ¬Even (2 * k + 1)
this : ¬Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1))
⊢ cs.simple i' * (cs.simple i * cs.simple i') ^ ((2 * k + 1) / 2) =
    (if Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) then 1 else cs.simple i) *
      (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) / 2)
state_after: case intro.inr
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this✝ : ¬Even (2 * k + 1)
this : ¬Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1))
⊢ cs.simple i' * (cs.simple i * cs.simple i') ^ ((2 * k + 1) / 2) =
    cs.simple i * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) / 2)

tactic: rw [(by ring : ↑(M i i') * 2 - (2 * k + 1) = -1 + (-k + ↑(M i i')) * 2),
  (by ring : 2 * k + 1 = 1 + k * 2)]
state_before: case intro.inr
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this✝ : ¬Even (2 * k + 1)
this : ¬Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1))
⊢ cs.simple i' * (cs.simple i * cs.simple i') ^ ((2 * k + 1) / 2) =
    cs.simple i * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) / 2)
state_after: case intro.inr
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this✝ : ¬Even (2 * k + 1)
this : ¬Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1))
⊢ cs.simple i' * (cs.simple i * cs.simple i') ^ ((1 + k * 2) / 2) =
    cs.simple i * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((-1 + (-k + ↑(M.M i i')) * 2) / 2)

tactic: repeat rw [Int.add_mul_ediv_right _ _ (by norm_num)]
state_before: case intro.inr
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this✝ : ¬Even (2 * k + 1)
this : ¬Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1))
⊢ cs.simple i' * (cs.simple i * cs.simple i') ^ ((1 + k * 2) / 2) =
    cs.simple i * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((-1 + (-k + ↑(M.M i i')) * 2) / 2)
state_after: case intro.inr
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this✝ : ¬Even (2 * k + 1)
this : ¬Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1))
⊢ cs.simple i' * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (1 / 2 + k) =
    cs.simple i * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ (-1 / 2 + (-k + ↑(M.M i i')))

tactic: norm_num
state_before: case intro.inr
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this✝ : ¬Even (2 * k + 1)
this : ¬Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1))
⊢ cs.simple i' * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (1 / 2 + k) =
    cs.simple i * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ (-1 / 2 + (-k + ↑(M.M i i')))
state_after: case intro.inr
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this✝ : ¬Even (2 * k + 1)
this : ¬Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1))
⊢ cs.simple i' * (cs.simple i * cs.simple i') ^ k =
    cs.simple i * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ (-1 + (-k + ↑(M.M i i')))

tactic: rw [zpow_add, zpow_add, zpow_natCast, simple_mul_simple_pow', zpow_neg, ← inv_zpow, zpow_neg,
  ← inv_zpow]
state_before: case intro.inr
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this✝ : ¬Even (2 * k + 1)
this : ¬Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1))
⊢ cs.simple i' * (cs.simple i * cs.simple i') ^ k =
    cs.simple i * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ (-1 + (-k + ↑(M.M i i')))
state_after: case intro.inr
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this✝ : ¬Even (2 * k + 1)
this : ¬Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1))
⊢ cs.simple i' * (cs.simple i * cs.simple i') ^ k =
    cs.simple i * ((cs.simple i' * cs.simple i)⁻¹ ^ 1 * ((cs.simple i' * cs.simple i)⁻¹ ^ k * 1))

tactic: simp [← mul_assoc]
state_before: case intro.inr
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this✝ : ¬Even (2 * k + 1)
this : ¬Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1))
⊢ cs.simple i' * (cs.simple i * cs.simple i') ^ k =
    cs.simple i * ((cs.simple i' * cs.simple i)⁻¹ ^ 1 * ((cs.simple i' * cs.simple i)⁻¹ ^ k * 1))
state_after: no goals

tactic: ring
state_before: B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this : ¬Even (2 * k + 1)
⊢ ↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1) = 2 * (↑(M.M i i') - k - 1) + 1
state_after: no goals

tactic: ring
state_before: B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this✝ : ¬Even (2 * k + 1)
this : ¬Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1))
⊢ ↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1) = -1 + (-k + ↑(M.M i i')) * 2
state_after: no goals

tactic: ring
state_before: B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this✝ : ¬Even (2 * k + 1)
this : ¬Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1))
⊢ 2 * k + 1 = 1 + k * 2
state_after: no goals

tactic: rw [Int.add_mul_ediv_right _ _ (by norm_num)]
state_before: case intro.inr
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this✝ : ¬Even (2 * k + 1)
this : ¬Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1))
⊢ cs.simple i' * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (1 / 2 + k) =
    cs.simple i * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((-1 + (-k + ↑(M.M i i')) * 2) / 2)
state_after: case intro.inr
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this✝ : ¬Even (2 * k + 1)
this : ¬Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1))
⊢ cs.simple i' * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (1 / 2 + k) =
    cs.simple i * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ (-1 / 2 + (-k + ↑(M.M i i')))

tactic: norm_num
state_before: B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
this✝ : ¬Even (2 * k + 1)
this : ¬Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1))
⊢ 2 ≠ 0
state_after: no goals