Theorem: Matrix.det_blockDiagonal
File: Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean

tactic: simp_rw [det_apply']
state_before: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
⊢ (blockDiagonal M).det = ∏ k : o, (M k).det
state_after: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
⊢ ∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i =
    ∏ x : o, ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M x (σ i) i

tactic: rw [Finset.prod_sum]
state_before: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
⊢ ∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i =
    ∏ x : o, ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M x (σ i) i
state_after: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
⊢ ∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i =
    ∑ p ∈ univ.pi fun x => univ, ∏ x ∈ univ.attach, ↑↑(sign (p ↑x ⋯)) * ∏ i : n, M (↑x) ((p ↑x ⋯) i) i

tactic: simp_rw [Finset.prod_attach_univ, Finset.univ_pi_univ]
state_before: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
⊢ ∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i =
    ∑ p ∈ univ.pi fun x => univ, ∏ x ∈ univ.attach, ↑↑(sign (p ↑x ⋯)) * ∏ i : n, M (↑x) ((p ↑x ⋯) i) i
state_after: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
⊢ ∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i =
    ∑ x : (a : o) → a ∈ univ → Perm n, ∏ x_1 : o, ↑↑(sign (x x_1 ⋯)) * ∏ x_2 : n, M x_1 ((x x_1 ⋯) x_2) x_2

tactic: let preserving_snd : Finset (Equiv.Perm (n × o)) :=
  Finset.univ.filter fun σ => ∀ x, (σ x).snd = x.snd
state_before: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
⊢ ∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i =
    ∑ x : (a : o) → a ∈ univ → Perm n, ∏ x_1 : o, ↑↑(sign (x x_1 ⋯)) * ∏ x_2 : n, M x_1 ((x x_1 ⋯) x_2) x_2
state_after: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
⊢ ∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i =
    ∑ x : (a : o) → a ∈ univ → Perm n, ∏ x_1 : o, ↑↑(sign (x x_1 ⋯)) * ∏ x_2 : n, M x_1 ((x x_1 ⋯) x_2) x_2

tactic: have mem_preserving_snd :
  ∀ {σ : Equiv.Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ x, (σ x).snd = x.snd := fun {σ} =>
  Finset.mem_filter.trans ⟨fun h => h.2, fun h => ⟨Finset.mem_univ _, h⟩⟩
state_before: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
⊢ ∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i =
    ∑ x : (a : o) → a ∈ univ → Perm n, ∏ x_1 : o, ↑↑(sign (x x_1 ⋯)) * ∏ x_2 : n, M x_1 ((x x_1 ⋯) x_2) x_2
state_after: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i =
    ∑ x : (a : o) → a ∈ univ → Perm n, ∏ x_1 : o, ↑↑(sign (x x_1 ⋯)) * ∏ x_2 : n, M x_1 ((x x_1 ⋯) x_2) x_2

tactic: rw [← Finset.sum_subset (Finset.subset_univ preserving_snd) _]
state_before: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i =
    ∑ x : (a : o) → a ∈ univ → Perm n, ∏ x_1 : o, ↑↑(sign (x x_1 ⋯)) * ∏ x_2 : n, M x_1 ((x x_1 ⋯) x_2) x_2
state_after: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ∑ x ∈ preserving_snd, ↑↑(sign x) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (x i) i =
    ∑ x : (a : o) → a ∈ univ → Perm n, ∏ x_1 : o, ↑↑(sign (x x_1 ⋯)) * ∏ x_2 : n, M x_1 ((x x_1 ⋯) x_2) x_2

m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ∀ x ∈ univ, x ∉ preserving_snd → ↑↑(sign x) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (x i) i = 0

tactic: refine (Finset.sum_bij (fun σ _ => prodCongrLeft fun k ↦ σ k (mem_univ k)) ?_ ?_ ?_ ?_).symm
state_before: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ∑ x ∈ preserving_snd, ↑↑(sign x) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (x i) i =
    ∑ x : (a : o) → a ∈ univ → Perm n, ∏ x_1 : o, ↑↑(sign (x x_1 ⋯)) * ∏ x_2 : n, M x_1 ((x x_1 ⋯) x_2) x_2
state_after: case refine_1
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ∀ (a : (a : o) → a ∈ univ → Perm n) (ha : a ∈ univ), (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) a ha ∈ preserving_snd

case refine_2
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ∀ (a₁ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n) (ha₁ : a₁ ∈ univ) (a₂ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n) (ha₂ : a₂ ∈ univ),
    (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) a₁ ha₁ = (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) a₂ ha₂ → a₁ = a₂

case refine_3
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ∀ b ∈ preserving_snd, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ univ), (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) a ha = b

case refine_4
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ∀ (a : (a : o) → a ∈ univ → Perm n) (ha : a ∈ univ),
    ∏ x : o, ↑↑(sign (a x ⋯)) * ∏ x_1 : n, M x ((a x ⋯) x_1) x_1 =
      ↑↑(sign ((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) a ha)) *
        ∏ i : n × o, blockDiagonal M (((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) a ha) i) i

tactic: intro σ _
state_before: case refine_1
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ∀ (a : (a : o) → a ∈ univ → Perm n) (ha : a ∈ univ), (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) a ha ∈ preserving_snd
state_after: case refine_1
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha✝ : σ ∈ univ
⊢ (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ ha✝ ∈ preserving_snd

tactic: rw [mem_preserving_snd]
state_before: case refine_1
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha✝ : σ ∈ univ
⊢ (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ ha✝ ∈ preserving_snd
state_after: case refine_1
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha✝ : σ ∈ univ
⊢ ∀ (x : n × o), (((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ ha✝) x).2 = x.2

tactic: rintro ⟨-, x⟩
state_before: case refine_1
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha✝ : σ ∈ univ
⊢ ∀ (x : n × o), (((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ ha✝) x).2 = x.2
state_after: case refine_1.mk
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha✝ : σ ∈ univ
fst✝ : n
x : o
⊢ (((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ ha✝) (fst✝, x)).2 = (fst✝, x).2

tactic: simp only [prodCongrLeft_apply]
state_before: case refine_1.mk
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha✝ : σ ∈ univ
fst✝ : n
x : o
⊢ (((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ ha✝) (fst✝, x)).2 = (fst✝, x).2
state_after: no goals

tactic: intro σ _ σ' _ eq
state_before: case refine_2
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ∀ (a₁ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n) (ha₁ : a₁ ∈ univ) (a₂ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n) (ha₂ : a₂ ∈ univ),
    (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) a₁ ha₁ = (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) a₂ ha₂ → a₁ = a₂
state_after: case refine_2
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₁✝ : σ ∈ univ
σ' : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₂✝ : σ' ∈ univ
eq : (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ ha₁✝ = (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ' ha₂✝
⊢ σ = σ'

tactic: ext x hx k
state_before: case refine_2
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₁✝ : σ ∈ univ
σ' : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₂✝ : σ' ∈ univ
eq : (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ ha₁✝ = (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ' ha₂✝
⊢ σ = σ'
state_after: case refine_2.h.h.H
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₁✝ : σ ∈ univ
σ' : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₂✝ : σ' ∈ univ
eq : (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ ha₁✝ = (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ' ha₂✝
x : o
hx : x ∈ univ
k : n
⊢ (σ x hx) k = (σ' x hx) k

tactic: simp only at eq
state_before: case refine_2.h.h.H
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₁✝ : σ ∈ univ
σ' : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₂✝ : σ' ∈ univ
eq : (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ ha₁✝ = (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ' ha₂✝
x : o
hx : x ∈ univ
k : n
⊢ (σ x hx) k = (σ' x hx) k
state_after: case refine_2.h.h.H
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₁✝ : σ ∈ univ
σ' : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₂✝ : σ' ∈ univ
eq : (prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) = prodCongrLeft fun k => σ' k ⋯
x : o
hx : x ∈ univ
k : n
⊢ (σ x hx) k = (σ' x hx) k

tactic: have :
  ∀ k x,
    prodCongrLeft (fun k => σ k (Finset.mem_univ _)) (k, x) =
      prodCongrLeft (fun k => σ' k (Finset.mem_univ _)) (k, x) :=
  fun k x => by rw [eq]
state_before: case refine_2.h.h.H
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₁✝ : σ ∈ univ
σ' : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₂✝ : σ' ∈ univ
eq : (prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) = prodCongrLeft fun k => σ' k ⋯
x : o
hx : x ∈ univ
k : n
⊢ (σ x hx) k = (σ' x hx) k
state_after: case refine_2.h.h.H
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₁✝ : σ ∈ univ
σ' : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₂✝ : σ' ∈ univ
eq : (prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) = prodCongrLeft fun k => σ' k ⋯
x : o
hx : x ∈ univ
k : n
this : ∀ (k : n) (x : o), (prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) (k, x) = (prodCongrLeft fun k => σ' k ⋯) (k, x)
⊢ (σ x hx) k = (σ' x hx) k

tactic: simp only [prodCongrLeft_apply, Prod.mk.inj_iff] at this
state_before: case refine_2.h.h.H
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₁✝ : σ ∈ univ
σ' : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₂✝ : σ' ∈ univ
eq : (prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) = prodCongrLeft fun k => σ' k ⋯
x : o
hx : x ∈ univ
k : n
this : ∀ (k : n) (x : o), (prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) (k, x) = (prodCongrLeft fun k => σ' k ⋯) (k, x)
⊢ (σ x hx) k = (σ' x hx) k
state_after: case refine_2.h.h.H
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₁✝ : σ ∈ univ
σ' : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₂✝ : σ' ∈ univ
eq : (prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) = prodCongrLeft fun k => σ' k ⋯
x : o
hx : x ∈ univ
k : n
this : ∀ (k : n) (x : o), (σ x ⋯) k = (σ' x ⋯) k ∧ True
⊢ (σ x hx) k = (σ' x hx) k

tactic: exact (this k x).1
state_before: case refine_2.h.h.H
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₁✝ : σ ∈ univ
σ' : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₂✝ : σ' ∈ univ
eq : (prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) = prodCongrLeft fun k => σ' k ⋯
x : o
hx : x ∈ univ
k : n
this : ∀ (k : n) (x : o), (σ x ⋯) k = (σ' x ⋯) k ∧ True
⊢ (σ x hx) k = (σ' x hx) k
state_after: no goals

tactic: rw [eq]
state_before: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₁✝ : σ ∈ univ
σ' : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha₂✝ : σ' ∈ univ
eq : (prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) = prodCongrLeft fun k => σ' k ⋯
x✝ : o
hx : x✝ ∈ univ
k✝ k : n
x : o
⊢ (prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) (k, x) = (prodCongrLeft fun k => σ' k ⋯) (k, x)
state_after: no goals

tactic: intro σ hσ
state_before: case refine_3
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ∀ b ∈ preserving_snd, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ univ), (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) a ha = b
state_after: case refine_3
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : σ ∈ preserving_snd
⊢ ∃ a, ∃ (ha : a ∈ univ), (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) a ha = σ

tactic: rw [mem_preserving_snd] at hσ
state_before: case refine_3
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : σ ∈ preserving_snd
⊢ ∃ a, ∃ (ha : a ∈ univ), (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) a ha = σ
state_after: case refine_3
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ∃ a, ∃ (ha : a ∈ univ), (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) a ha = σ

tactic: have hσ' : ∀ x, (σ⁻¹ x).snd = x.snd := by
  intro x
  conv_rhs => rw [← Perm.apply_inv_self σ x, hσ]
state_before: case refine_3
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ∃ a, ∃ (ha : a ∈ univ), (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) a ha = σ
state_after: case refine_3
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
⊢ ∃ a, ∃ (ha : a ∈ univ), (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) a ha = σ

tactic: refine ⟨fun k _ => ⟨fun x => (σ (x, k)).fst, fun x => (σ⁻¹ (x, k)).fst, ?_, ?_⟩, ?_, ?_⟩
state_before: case refine_3
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
⊢ ∃ a, ∃ (ha : a ∈ univ), (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) a ha = σ
state_after: case refine_3.refine_1
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
k : o
x✝ : k ∈ univ
⊢ LeftInverse (fun x => (σ⁻¹ (x, k)).1) fun x => (σ (x, k)).1

case refine_3.refine_2
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
k : o
x✝ : k ∈ univ
⊢ Function.RightInverse (fun x => (σ⁻¹ (x, k)).1) fun x => (σ (x, k)).1

case refine_3.refine_3
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
⊢ (fun k x => { toFun := fun x => (σ (x, k)).1, invFun := fun x => (σ⁻¹ (x, k)).1, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }) ∈
    univ

case refine_3.refine_4
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
⊢ (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯)
      (fun k x => { toFun := fun x => (σ (x, k)).1, invFun := fun x => (σ⁻¹ (x, k)).1, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ })
      ?refine_3.refine_3 =
    σ

tactic: intro x
state_before: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
state_after: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
x : n × o
⊢ (σ⁻¹ x).2 = x.2

tactic: conv_rhs => rw [← Perm.apply_inv_self σ x, hσ]
state_before: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
x : n × o
⊢ (σ⁻¹ x).2 = x.2
state_after: no goals

tactic: intro k x
state_before: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
⊢ ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
state_after: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
k : o
x : n
⊢ ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)

tactic: ext
state_before: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
k : o
x : n
⊢ ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
state_after: case a
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
k : o
x : n
⊢ ((σ (x, k)).1, k).1 = (σ (x, k)).1

case a
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
k : o
x : n
⊢ ((σ (x, k)).1, k).2 = (σ (x, k)).2

tactic: simp only
state_before: case a
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
k : o
x : n
⊢ ((σ (x, k)).1, k).1 = (σ (x, k)).1
state_after: no goals

tactic: simp only [hσ]
state_before: case a
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
k : o
x : n
⊢ ((σ (x, k)).1, k).2 = (σ (x, k)).2
state_after: no goals

tactic: intro k x
state_before: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
⊢ ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
state_after: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
k : o
x : n
⊢ ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)

tactic: conv_lhs => rw [← Perm.apply_inv_self σ (x, k)]
state_before: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
k : o
x : n
⊢ ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
state_after: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
k : o
x : n
⊢ ((σ⁻¹ (σ (σ⁻¹ (x, k)))).1, k) = σ⁻¹ (x, k)

tactic: ext
state_before: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
k : o
x : n
⊢ ((σ⁻¹ (σ (σ⁻¹ (x, k)))).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
state_after: case a
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
k : o
x : n
⊢ ((σ⁻¹ (σ (σ⁻¹ (x, k)))).1, k).1 = (σ⁻¹ (x, k)).1

case a
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
k : o
x : n
⊢ ((σ⁻¹ (σ (σ⁻¹ (x, k)))).1, k).2 = (σ⁻¹ (x, k)).2

tactic: simp only [apply_inv_self]
state_before: case a
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
k : o
x : n
⊢ ((σ⁻¹ (σ (σ⁻¹ (x, k)))).1, k).1 = (σ⁻¹ (x, k)).1
state_after: no goals

tactic: simp only [hσ']
state_before: case a
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
k : o
x : n
⊢ ((σ⁻¹ (σ (σ⁻¹ (x, k)))).1, k).2 = (σ⁻¹ (x, k)).2
state_after: no goals

tactic: intro x
state_before: case refine_3.refine_1
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
k : o
x✝ : k ∈ univ
⊢ LeftInverse (fun x => (σ⁻¹ (x, k)).1) fun x => (σ (x, k)).1
state_after: case refine_3.refine_1
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
k : o
x✝ : k ∈ univ
x : n
⊢ (fun x => (σ⁻¹ (x, k)).1) ((fun x => (σ (x, k)).1) x) = x

tactic: simp only [mk_apply_eq, inv_apply_self]
state_before: case refine_3.refine_1
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
k : o
x✝ : k ∈ univ
x : n
⊢ (fun x => (σ⁻¹ (x, k)).1) ((fun x => (σ (x, k)).1) x) = x
state_after: no goals

tactic: intro x
state_before: case refine_3.refine_2
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
k : o
x✝ : k ∈ univ
⊢ Function.RightInverse (fun x => (σ⁻¹ (x, k)).1) fun x => (σ (x, k)).1
state_after: case refine_3.refine_2
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
k : o
x✝ : k ∈ univ
x : n
⊢ (fun x => (σ (x, k)).1) ((fun x => (σ⁻¹ (x, k)).1) x) = x

tactic: simp only [mk_inv_apply_eq, apply_inv_self]
state_before: case refine_3.refine_2
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
k : o
x✝ : k ∈ univ
x : n
⊢ (fun x => (σ (x, k)).1) ((fun x => (σ⁻¹ (x, k)).1) x) = x
state_after: no goals

tactic: apply Finset.mem_univ
state_before: case refine_3.refine_3
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
⊢ (fun k x => { toFun := fun x => (σ (x, k)).1, invFun := fun x => (σ⁻¹ (x, k)).1, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }) ∈
    univ
state_after: no goals

tactic: ext ⟨k, x⟩
state_before: case refine_3.refine_4
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
⊢ (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯)
      (fun k x => { toFun := fun x => (σ (x, k)).1, invFun := fun x => (σ⁻¹ (x, k)).1, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ })
      ⋯ =
    σ
state_after: case refine_3.refine_4.H.mk.a
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
k : n
x : o
⊢ (((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯)
          (fun k x =>
            { toFun := fun x => (σ (x, k)).1, invFun := fun x => (σ⁻¹ (x, k)).1, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ })
          ⋯)
        (k, x)).1 =
    (σ (k, x)).1

case refine_3.refine_4.H.mk.a
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
k : n
x : o
⊢ (((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯)
          (fun k x =>
            { toFun := fun x => (σ (x, k)).1, invFun := fun x => (σ⁻¹ (x, k)).1, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ })
          ⋯)
        (k, x)).2 =
    (σ (k, x)).2

tactic: simp only [coe_fn_mk, prodCongrLeft_apply]
state_before: case refine_3.refine_4.H.mk.a
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
k : n
x : o
⊢ (((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯)
          (fun k x =>
            { toFun := fun x => (σ (x, k)).1, invFun := fun x => (σ⁻¹ (x, k)).1, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ })
          ⋯)
        (k, x)).1 =
    (σ (k, x)).1
state_after: no goals

tactic: simp only [prodCongrLeft_apply, hσ]
state_before: case refine_3.refine_4.H.mk.a
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
k : n
x : o
⊢ (((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯)
          (fun k x =>
            { toFun := fun x => (σ (x, k)).1, invFun := fun x => (σ⁻¹ (x, k)).1, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ })
          ⋯)
        (k, x)).2 =
    (σ (k, x)).2
state_after: no goals

tactic: intro σ _
state_before: case refine_4
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ∀ (a : (a : o) → a ∈ univ → Perm n) (ha : a ∈ univ),
    ∏ x : o, ↑↑(sign (a x ⋯)) * ∏ x_1 : n, M x ((a x ⋯) x_1) x_1 =
      ↑↑(sign ((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) a ha)) *
        ∏ i : n × o, blockDiagonal M (((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) a ha) i) i
state_after: case refine_4
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha✝ : σ ∈ univ
⊢ ∏ x : o, ↑↑(sign (σ x ⋯)) * ∏ x_1 : n, M x ((σ x ⋯) x_1) x_1 =
    ↑↑(sign ((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ ha✝)) *
      ∏ i : n × o, blockDiagonal M (((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ ha✝) i) i

tactic: rw [Finset.prod_mul_distrib, ← Finset.univ_product_univ, Finset.prod_product_right]
state_before: case refine_4
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha✝ : σ ∈ univ
⊢ ∏ x : o, ↑↑(sign (σ x ⋯)) * ∏ x_1 : n, M x ((σ x ⋯) x_1) x_1 =
    ↑↑(sign ((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ ha✝)) *
      ∏ i : n × o, blockDiagonal M (((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ ha✝) i) i
state_after: case refine_4
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha✝ : σ ∈ univ
⊢ (∏ x : o, ↑↑(sign (σ x ⋯))) * ∏ x : o, ∏ x_1 : n, M x ((σ x ⋯) x_1) x_1 =
    ↑↑(sign ((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ ha✝)) *
      ∏ y : o, ∏ x : n, blockDiagonal M (((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ ha✝) (x, y)) (x, y)

tactic: simp only [sign_prodCongrLeft, Units.coe_prod, Int.cast_prod, blockDiagonal_apply_eq,
  prodCongrLeft_apply]
state_before: case refine_4
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : (a : o) → a ∈ univ → Perm n
ha✝ : σ ∈ univ
⊢ (∏ x : o, ↑↑(sign (σ x ⋯))) * ∏ x : o, ∏ x_1 : n, M x ((σ x ⋯) x_1) x_1 =
    ↑↑(sign ((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ ha✝)) *
      ∏ y : o, ∏ x : n, blockDiagonal M (((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯) σ ha✝) (x, y)) (x, y)
state_after: no goals

tactic: intro σ _ hσ
state_before: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ∀ x ∈ univ, x ∉ preserving_snd → ↑↑(sign x) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (x i) i = 0
state_after: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : Perm (n × o)
a✝ : σ ∈ univ
hσ : σ ∉ preserving_snd
⊢ ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = 0

tactic: rw [mem_preserving_snd] at hσ
state_before: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : Perm (n × o)
a✝ : σ ∈ univ
hσ : σ ∉ preserving_snd
⊢ ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = 0
state_after: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : Perm (n × o)
a✝ : σ ∈ univ
hσ : ¬∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = 0

tactic: obtain ⟨⟨k, x⟩, hkx⟩ := not_forall.mp hσ
state_before: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : Perm (n × o)
a✝ : σ ∈ univ
hσ : ¬∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = 0
state_after: case intro.mk
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : Perm (n × o)
a✝ : σ ∈ univ
hσ : ¬∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
k : n
x : o
hkx : ¬(σ (k, x)).2 = (k, x).2
⊢ ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = 0

tactic: rw [Finset.prod_eq_zero (Finset.mem_univ (k, x)), mul_zero]
state_before: case intro.mk
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : Perm (n × o)
a✝ : σ ∈ univ
hσ : ¬∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
k : n
x : o
hkx : ¬(σ (k, x)).2 = (k, x).2
⊢ ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = 0
state_after: case intro.mk
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : Perm (n × o)
a✝ : σ ∈ univ
hσ : ¬∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
k : n
x : o
hkx : ¬(σ (k, x)).2 = (k, x).2
⊢ blockDiagonal M (σ (k, x)) (k, x) = 0

tactic: rw [blockDiagonal_apply_ne]
state_before: case intro.mk
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : Perm (n × o)
a✝ : σ ∈ univ
hσ : ¬∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
k : n
x : o
hkx : ¬(σ (k, x)).2 = (k, x).2
⊢ blockDiagonal M (σ (k, x)) (k, x) = 0
state_after: case intro.mk.h
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : Perm (n × o)
a✝ : σ ∈ univ
hσ : ¬∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
k : n
x : o
hkx : ¬(σ (k, x)).2 = (k, x).2
⊢ (σ (k, x)).2 ≠ x

tactic: exact hkx
state_before: case intro.mk.h
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : Perm (n × o)
a✝ : σ ∈ univ
hσ : ¬∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
k : n
x : o
hkx : ¬(σ (k, x)).2 = (k, x).2
⊢ (σ (k, x)).2 ≠ x
state_after: no goals