Theorem: Derivation.leibniz_pow
File: Mathlib/RingTheory/Derivation/Basic.lean

tactic: induction' n with n ihn
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
n : ℕ
⊢ D (a ^ n) = n • a ^ (n - 1) • D a
state_after: case zero
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
⊢ D (a ^ 0) = 0 • a ^ (0 - 1) • D a

case succ
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
n : ℕ
ihn : D (a ^ n) = n • a ^ (n - 1) • D a
⊢ D (a ^ (n + 1)) = (n + 1) • a ^ (n + 1 - 1) • D a

tactic: rw [pow_zero, map_one_eq_zero, zero_smul]
state_before: case zero
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
⊢ D (a ^ 0) = 0 • a ^ (0 - 1) • D a
state_after: no goals

tactic: rcases (zero_le n).eq_or_lt with (rfl | hpos)
state_before: case succ
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
n : ℕ
ihn : D (a ^ n) = n • a ^ (n - 1) • D a
⊢ D (a ^ (n + 1)) = (n + 1) • a ^ (n + 1 - 1) • D a
state_after: case succ.inl
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
ihn : D (a ^ 0) = 0 • a ^ (0 - 1) • D a
⊢ D (a ^ (0 + 1)) = (0 + 1) • a ^ (0 + 1 - 1) • D a

case succ.inr
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
n : ℕ
ihn : D (a ^ n) = n • a ^ (n - 1) • D a
hpos : 0 < n
⊢ D (a ^ (n + 1)) = (n + 1) • a ^ (n + 1 - 1) • D a

tactic: erw [pow_one, one_smul, pow_zero, one_smul]
state_before: case succ.inl
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
ihn : D (a ^ 0) = 0 • a ^ (0 - 1) • D a
⊢ D (a ^ (0 + 1)) = (0 + 1) • a ^ (0 + 1 - 1) • D a
state_after: no goals

tactic: have : a * a ^ (n - 1) = a ^ n := by rw [← pow_succ', Nat.sub_add_cancel hpos]
state_before: case succ.inr
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
n : ℕ
ihn : D (a ^ n) = n • a ^ (n - 1) • D a
hpos : 0 < n
⊢ D (a ^ (n + 1)) = (n + 1) • a ^ (n + 1 - 1) • D a
state_after: case succ.inr
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
n : ℕ
ihn : D (a ^ n) = n • a ^ (n - 1) • D a
hpos : 0 < n
this : a * a ^ (n - 1) = a ^ n
⊢ D (a ^ (n + 1)) = (n + 1) • a ^ (n + 1 - 1) • D a

tactic: simp only [pow_succ', leibniz, ihn, smul_comm a n (_ : M), smul_smul a, add_smul, this,
  Nat.succ_eq_add_one, Nat.add_succ_sub_one, add_zero, one_nsmul]
state_before: case succ.inr
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
n : ℕ
ihn : D (a ^ n) = n • a ^ (n - 1) • D a
hpos : 0 < n
this : a * a ^ (n - 1) = a ^ n
⊢ D (a ^ (n + 1)) = (n + 1) • a ^ (n + 1 - 1) • D a
state_after: no goals

tactic: rw [← pow_succ', Nat.sub_add_cancel hpos]
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
n : ℕ
ihn : D (a ^ n) = n • a ^ (n - 1) • D a
hpos : 0 < n
⊢ a * a ^ (n - 1) = a ^ n
state_after: no goals