Theorem: FractionalIdeal.count_mono
File: Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean

tactic: by_cases hJ : J = 0
state_before: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
⊢ count K v J ≤ count K v I
state_after: case pos
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : J = 0
⊢ count K v J ≤ count K v I

case neg
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
⊢ count K v J ≤ count K v I

tactic: have := FractionalIdeal.mul_le_mul_left h J⁻¹
state_before: case neg
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
⊢ count K v J ≤ count K v I
state_after: case neg
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
this : J⁻¹ * I ≤ J⁻¹ * J
⊢ count K v J ≤ count K v I

tactic: rw [inv_mul_cancel hJ, FractionalIdeal.le_one_iff_exists_coeIdeal] at this
state_before: case neg
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
this : J⁻¹ * I ≤ J⁻¹ * J
⊢ count K v J ≤ count K v I
state_after: case neg
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
this : ∃ I_1, ↑I_1 = J⁻¹ * I
⊢ count K v J ≤ count K v I

tactic: obtain ⟨J', hJ'⟩ := this
state_before: case neg
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
this : ∃ I_1, ↑I_1 = J⁻¹ * I
⊢ count K v J ≤ count K v I
state_after: case neg.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
J' : Ideal R
hJ' : ↑J' = J⁻¹ * I
⊢ count K v J ≤ count K v I

tactic: rw [← mul_inv_cancel_left₀ hJ I, ← hJ', count_mul K v hJ, le_add_iff_nonneg_right]
state_before: case neg.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
J' : Ideal R
hJ' : ↑J' = J⁻¹ * I
⊢ count K v J ≤ count K v I
state_after: case neg.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
J' : Ideal R
hJ' : ↑J' = J⁻¹ * I
⊢ 0 ≤ count K v ↑J'

case neg.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
J' : Ideal R
hJ' : ↑J' = J⁻¹ * I
⊢ ↑J' ≠ 0

tactic: exact (hI (FractionalIdeal.le_zero_iff.mp (h.trans hJ.le))).elim
state_before: case pos
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : J = 0
⊢ count K v J ≤ count K v I
state_after: no goals

tactic: exact count_coe_nonneg K v J'
state_before: case neg.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
J' : Ideal R
hJ' : ↑J' = J⁻¹ * I
⊢ 0 ≤ count K v ↑J'
state_after: no goals

tactic: exact hJ' ▸ mul_ne_zero (inv_ne_zero hJ) hI
state_before: case neg.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
J' : Ideal R
hJ' : ↑J' = J⁻¹ * I
⊢ ↑J' ≠ 0
state_after: no goals