Theorem: Function.HasTemperateGrowth.of_fderiv
File: Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean

tactic: refine ⟨contDiff_top_iff_fderiv.2 ⟨hf, h'f.1⟩ , fun n ↦ ?_⟩
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
h'f : Function.HasTemperateGrowth (fderiv ℝ f)
hf : Differentiable ℝ f
k : ℕ
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
⊢ Function.HasTemperateGrowth f
state_after: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
h'f : Function.HasTemperateGrowth (fderiv ℝ f)
hf : Differentiable ℝ f
k : ℕ
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
n : ℕ
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k

tactic: rcases n with rfl|m
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
h'f : Function.HasTemperateGrowth (fderiv ℝ f)
hf : Differentiable ℝ f
k : ℕ
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
n : ℕ
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
state_after: case zero
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
h'f : Function.HasTemperateGrowth (fderiv ℝ f)
hf : Differentiable ℝ f
k : ℕ
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ 0 f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k

case succ
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
h'f : Function.HasTemperateGrowth (fderiv ℝ f)
hf : Differentiable ℝ f
k : ℕ
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
m : ℕ
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ (m + 1) f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k

tactic: exact ⟨k, C, fun x ↦ by simpa using h x⟩
state_before: case zero
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
h'f : Function.HasTemperateGrowth (fderiv ℝ f)
hf : Differentiable ℝ f
k : ℕ
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ 0 f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
state_after: no goals

tactic: simpa using h x
state_before: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
h'f : Function.HasTemperateGrowth (fderiv ℝ f)
hf : Differentiable ℝ f
k : ℕ
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ 0 f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
state_after: no goals

tactic: rcases h'f.2 m with ⟨k', C', h'⟩
state_before: case succ
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
h'f : Function.HasTemperateGrowth (fderiv ℝ f)
hf : Differentiable ℝ f
k : ℕ
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
m : ℕ
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ (m + 1) f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
state_after: case succ.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
h'f : Function.HasTemperateGrowth (fderiv ℝ f)
hf : Differentiable ℝ f
k : ℕ
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
m k' : ℕ
C' : ℝ
h' : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ m (fderiv ℝ f) x‖ ≤ C' * (1 + ‖x‖) ^ k'
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ (m + 1) f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k

tactic: refine ⟨k', C', ?_⟩
state_before: case succ.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
h'f : Function.HasTemperateGrowth (fderiv ℝ f)
hf : Differentiable ℝ f
k : ℕ
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
m k' : ℕ
C' : ℝ
h' : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ m (fderiv ℝ f) x‖ ≤ C' * (1 + ‖x‖) ^ k'
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ (m + 1) f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
state_after: case succ.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
h'f : Function.HasTemperateGrowth (fderiv ℝ f)
hf : Differentiable ℝ f
k : ℕ
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
m k' : ℕ
C' : ℝ
h' : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ m (fderiv ℝ f) x‖ ≤ C' * (1 + ‖x‖) ^ k'
⊢ ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ (m + 1) f x‖ ≤ C' * (1 + ‖x‖) ^ k'

tactic: simpa [iteratedFDeriv_succ_eq_comp_right] using h'
state_before: case succ.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
h'f : Function.HasTemperateGrowth (fderiv ℝ f)
hf : Differentiable ℝ f
k : ℕ
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
m k' : ℕ
C' : ℝ
h' : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ m (fderiv ℝ f) x‖ ≤ C' * (1 + ‖x‖) ^ k'
⊢ ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ (m + 1) f x‖ ≤ C' * (1 + ‖x‖) ^ k'
state_after: no goals