Theorem: Order.iso_of_countable_dense
File: Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean

tactic: cases nonempty_encodable α
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
⊢ Nonempty (α ≃o β)
state_after: case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝ : Encodable α
⊢ Nonempty (α ≃o β)

tactic: cases nonempty_encodable β
state_before: case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝ : Encodable α
⊢ Nonempty (α ≃o β)
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
⊢ Nonempty (α ≃o β)

tactic: let to_cofinal : Sum α β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p ↦
  Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
⊢ Nonempty (α ≃o β)
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
⊢ Nonempty (α ≃o β)

tactic: let our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
⊢ Nonempty (α ≃o β)
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
⊢ Nonempty (α ≃o β)

tactic: let F a := funOfIdeal a our_ideal (cofinal_meets_idealOfCofinals _ to_cofinal (Sum.inl a))
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
⊢ Nonempty (α ≃o β)
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
⊢ Nonempty (α ≃o β)

tactic: let G b := invOfIdeal b our_ideal (cofinal_meets_idealOfCofinals _ to_cofinal (Sum.inr b))
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
⊢ Nonempty (α ≃o β)
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
G : (b : β) → { a // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun b => invOfIdeal b our_ideal ⋯
⊢ Nonempty (α ≃o β)

tactic: exact ⟨OrderIso.ofCmpEqCmp (fun a ↦ (F a).val) (fun b ↦ (G b).val) fun a b ↦ by
    rcases (F a).prop with ⟨f, hf, ha⟩
    rcases (G b).prop with ⟨g, hg, hb⟩
    rcases our_ideal.directed _ hf _ hg with ⟨m, _, fm, gm⟩
    exact m.prop (a, _) (fm ha) (_, b) (gm hb)⟩
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
G : (b : β) → { a // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun b => invOfIdeal b our_ideal ⋯
⊢ Nonempty (α ≃o β)
state_after: no goals

tactic: rcases (F a).prop with ⟨f, hf, ha⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
G : (b : β) → { a // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun b => invOfIdeal b our_ideal ⋯
a : α
b : β
⊢ cmp a ((fun b => ↑(G b)) b) = cmp ((fun a => ↑(F a)) a) b
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
G : (b : β) → { a // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun b => invOfIdeal b our_ideal ⋯
a : α
b : β
f : PartialIso α β
hf : f ∈ our_ideal
ha : (a, ↑(F a)) ∈ ↑f
⊢ cmp a ((fun b => ↑(G b)) b) = cmp ((fun a => ↑(F a)) a) b

tactic: rcases (G b).prop with ⟨g, hg, hb⟩
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
G : (b : β) → { a // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun b => invOfIdeal b our_ideal ⋯
a : α
b : β
f : PartialIso α β
hf : f ∈ our_ideal
ha : (a, ↑(F a)) ∈ ↑f
⊢ cmp a ((fun b => ↑(G b)) b) = cmp ((fun a => ↑(F a)) a) b
state_after: case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
G : (b : β) → { a // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun b => invOfIdeal b our_ideal ⋯
a : α
b : β
f : PartialIso α β
hf : f ∈ our_ideal
ha : (a, ↑(F a)) ∈ ↑f
g : PartialIso α β
hg : g ∈ our_ideal
hb : (↑(G b), b) ∈ ↑g
⊢ cmp a ((fun b => ↑(G b)) b) = cmp ((fun a => ↑(F a)) a) b

tactic: rcases our_ideal.directed _ hf _ hg with ⟨m, _, fm, gm⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
G : (b : β) → { a // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun b => invOfIdeal b our_ideal ⋯
a : α
b : β
f : PartialIso α β
hf : f ∈ our_ideal
ha : (a, ↑(F a)) ∈ ↑f
g : PartialIso α β
hg : g ∈ our_ideal
hb : (↑(G b), b) ∈ ↑g
⊢ cmp a ((fun b => ↑(G b)) b) = cmp ((fun a => ↑(F a)) a) b
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
G : (b : β) → { a // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun b => invOfIdeal b our_ideal ⋯
a : α
b : β
f : PartialIso α β
hf : f ∈ our_ideal
ha : (a, ↑(F a)) ∈ ↑f
g : PartialIso α β
hg : g ∈ our_ideal
hb : (↑(G b), b) ∈ ↑g
m : PartialIso α β
left✝ : m ∈ ↑our_ideal
fm : f ≤ m
gm : g ≤ m
⊢ cmp a ((fun b => ↑(G b)) b) = cmp ((fun a => ↑(F a)) a) b

tactic: exact m.prop (a, _) (fm ha) (_, b) (gm hb)
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
G : (b : β) → { a // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun b => invOfIdeal b our_ideal ⋯
a : α
b : β
f : PartialIso α β
hf : f ∈ our_ideal
ha : (a, ↑(F a)) ∈ ↑f
g : PartialIso α β
hg : g ∈ our_ideal
hb : (↑(G b), b) ∈ ↑g
m : PartialIso α β
left✝ : m ∈ ↑our_ideal
fm : f ≤ m
gm : g ≤ m
⊢ cmp a ((fun b => ↑(G b)) b) = cmp ((fun a => ↑(F a)) a) b
state_after: no goals