Theorem: NormedAddGroupHom.le_opNorm
File: Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean

tactic: obtain ⟨C, _Cpos, hC⟩ := f.bound
state_before: V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
state_after: case intro.intro
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ∀ (x : V₁), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖

tactic: replace hC := hC x
state_before: case intro.intro
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ∀ (x : V₁), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
state_after: case intro.intro
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖

tactic: by_cases h : ‖x‖ = 0
state_before: case intro.intro
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
state_after: case pos
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
h : ‖x‖ = 0
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖

case neg
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
h : ¬‖x‖ = 0
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖

tactic: have hlt : 0 < ‖x‖ := lt_of_le_of_ne (norm_nonneg x) (Ne.symm h)
state_before: case neg
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
h : ¬‖x‖ = 0
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
state_after: case neg
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
h : ¬‖x‖ = 0
hlt : 0 < ‖x‖
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖

tactic: exact
  (div_le_iff hlt).mp
    (le_csInf bounds_nonempty fun c ⟨_, hc⟩ => (div_le_iff hlt).mpr <| by apply hc)
state_before: case neg
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
h : ¬‖x‖ = 0
hlt : 0 < ‖x‖
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
state_after: no goals

tactic: rwa [h, mul_zero] at hC ⊢
state_before: case pos
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
h : ‖x‖ = 0
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
state_after: no goals

tactic: apply hc
state_before: V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
h : ¬‖x‖ = 0
hlt : 0 < ‖x‖
c : ℝ
x✝ : c ∈ {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : V₁), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖}
left✝ : 0 ≤ c
hc : ∀ (x : V₁), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖
⊢ ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖
state_after: no goals