Theorem: AffineBasis.isUnit_toMatrix_iff
File: Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Matrix.lean

tactic: constructor
state_before: ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
⊢ IsUnit (b.toMatrix p) ↔ AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (range p) = ⊤
state_after: case mp
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
⊢ IsUnit (b.toMatrix p) → AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (range p) = ⊤

case mpr
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
⊢ AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (range p) = ⊤ → IsUnit (b.toMatrix p)

tactic: rintro ⟨⟨B, A, hA, hA'⟩, rfl : B = b.toMatrix p⟩
state_before: case mp
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
⊢ IsUnit (b.toMatrix p) → AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (range p) = ⊤
state_after: case mp.intro.mk
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
A : Matrix ι ι k
hA : b.toMatrix p * A = 1
hA' : A * b.toMatrix p = 1
⊢ AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (range p) = ⊤

tactic: exact ⟨b.affineIndependent_of_toMatrix_right_inv p hA,
  b.affineSpan_eq_top_of_toMatrix_left_inv p hA'⟩
state_before: case mp.intro.mk
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
A : Matrix ι ι k
hA : b.toMatrix p * A = 1
hA' : A * b.toMatrix p = 1
⊢ AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (range p) = ⊤
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨h_tot, h_ind⟩
state_before: case mpr
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
⊢ AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (range p) = ⊤ → IsUnit (b.toMatrix p)
state_after: case mpr.intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
h_tot : AffineIndependent k p
h_ind : affineSpan k (range p) = ⊤
⊢ IsUnit (b.toMatrix p)

tactic: let b' : AffineBasis ι k P := ⟨p, h_tot, h_ind⟩
state_before: case mpr.intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
h_tot : AffineIndependent k p
h_ind : affineSpan k (range p) = ⊤
⊢ IsUnit (b.toMatrix p)
state_after: case mpr.intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
h_tot : AffineIndependent k p
h_ind : affineSpan k (range p) = ⊤
b' : AffineBasis ι k P := { toFun := p, ind' := h_tot, tot' := h_ind }
⊢ IsUnit (b.toMatrix p)

tactic: change IsUnit (b.toMatrix b')
state_before: case mpr.intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
h_tot : AffineIndependent k p
h_ind : affineSpan k (range p) = ⊤
b' : AffineBasis ι k P := { toFun := p, ind' := h_tot, tot' := h_ind }
⊢ IsUnit (b.toMatrix p)
state_after: case mpr.intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
h_tot : AffineIndependent k p
h_ind : affineSpan k (range p) = ⊤
b' : AffineBasis ι k P := { toFun := p, ind' := h_tot, tot' := h_ind }
⊢ IsUnit (b.toMatrix ⇑b')

tactic: exact b.isUnit_toMatrix b'
state_before: case mpr.intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
h_tot : AffineIndependent k p
h_ind : affineSpan k (range p) = ⊤
b' : AffineBasis ι k P := { toFun := p, ind' := h_tot, tot' := h_ind }
⊢ IsUnit (b.toMatrix ⇑b')
state_after: no goals