Theorem: integral_smul_const
File: Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean

tactic: by_cases hf : Integrable f μ
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜✝ : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜✝
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜✝ F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_6
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
f : X → 𝕜
c : E
⊢ ∫ (x : X), f x • c ∂μ = (∫ (x : X), f x ∂μ) • c
state_after: case pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜✝ : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜✝
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜✝ F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_6
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
f : X → 𝕜
c : E
hf : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : X), f x • c ∂μ = (∫ (x : X), f x ∂μ) • c

case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜✝ : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜✝
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜✝ F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_6
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
f : X → 𝕜
c : E
hf : ¬Integrable f μ
⊢ ∫ (x : X), f x • c ∂μ = (∫ (x : X), f x ∂μ) • c

tactic: exact ((1 : 𝕜 →L[𝕜] 𝕜).smulRight c).integral_comp_comm hf
state_before: case pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜✝ : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜✝
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜✝ F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_6
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
f : X → 𝕜
c : E
hf : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : X), f x • c ∂μ = (∫ (x : X), f x ∂μ) • c
state_after: no goals

tactic: by_cases hc : c = 0
state_before: case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜✝ : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜✝
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜✝ F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_6
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
f : X → 𝕜
c : E
hf : ¬Integrable f μ
⊢ ∫ (x : X), f x • c ∂μ = (∫ (x : X), f x ∂μ) • c
state_after: case pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜✝ : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜✝
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜✝ F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_6
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
f : X → 𝕜
c : E
hf : ¬Integrable f μ
hc : c = 0
⊢ ∫ (x : X), f x • c ∂μ = (∫ (x : X), f x ∂μ) • c

case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜✝ : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜✝
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜✝ F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_6
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
f : X → 𝕜
c : E
hf : ¬Integrable f μ
hc : ¬c = 0
⊢ ∫ (x : X), f x • c ∂μ = (∫ (x : X), f x ∂μ) • c

tactic: rw [integral_undef hf, integral_undef, zero_smul]
state_before: case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜✝ : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜✝
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜✝ F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_6
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
f : X → 𝕜
c : E
hf : ¬Integrable f μ
hc : ¬c = 0
⊢ ∫ (x : X), f x • c ∂μ = (∫ (x : X), f x ∂μ) • c
state_after: case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜✝ : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜✝
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜✝ F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_6
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
f : X → 𝕜
c : E
hf : ¬Integrable f μ
hc : ¬c = 0
⊢ ¬Integrable (fun x => f x • c) μ

tactic: rw [integrable_smul_const hc]
state_before: case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜✝ : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜✝
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜✝ F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_6
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
f : X → 𝕜
c : E
hf : ¬Integrable f μ
hc : ¬c = 0
⊢ ¬Integrable (fun x => f x • c) μ
state_after: case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜✝ : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜✝
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜✝ F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_6
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
f : X → 𝕜
c : E
hf : ¬Integrable f μ
hc : ¬c = 0
⊢ ¬Integrable f μ

tactic: simp_rw [hf, not_false_eq_true]
state_before: case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜✝ : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜✝
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜✝ F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_6
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
f : X → 𝕜
c : E
hf : ¬Integrable f μ
hc : ¬c = 0
⊢ ¬Integrable f μ
state_after: no goals

tactic: simp [hc, integral_zero, smul_zero]
state_before: case pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜✝ : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜✝
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜✝ F
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_6
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
f : X → 𝕜
c : E
hf : ¬Integrable f μ
hc : c = 0
⊢ ∫ (x : X), f x • c ∂μ = (∫ (x : X), f x ∂μ) • c
state_after: no goals