Theorem: Submodule.mem_span_insert'
File: Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean

tactic: rw [mem_span_insert]
state_before: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
s : Set M
⊢ x ∈ span R (insert y s) ↔ ∃ a, x + a • y ∈ span R s
state_after: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
s : Set M
⊢ (∃ a, ∃ z ∈ span R s, x = a • y + z) ↔ ∃ a, x + a • y ∈ span R s

tactic: constructor
state_before: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
s : Set M
⊢ (∃ a, ∃ z ∈ span R s, x = a • y + z) ↔ ∃ a, x + a • y ∈ span R s
state_after: case mp
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
s : Set M
⊢ (∃ a, ∃ z ∈ span R s, x = a • y + z) → ∃ a, x + a • y ∈ span R s

case mpr
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
s : Set M
⊢ (∃ a, x + a • y ∈ span R s) → ∃ a, ∃ z ∈ span R s, x = a • y + z

tactic: rintro ⟨a, z, hz, rfl⟩
state_before: case mp
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
s : Set M
⊢ (∃ a, ∃ z ∈ span R s, x = a • y + z) → ∃ a, x + a • y ∈ span R s
state_after: case mp.intro.intro.intro
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
y : M
s : Set M
a : R
z : M
hz : z ∈ span R s
⊢ ∃ a_1, a • y + z + a_1 • y ∈ span R s

tactic: exact ⟨-a, by simp [hz, add_assoc]⟩
state_before: case mp.intro.intro.intro
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
y : M
s : Set M
a : R
z : M
hz : z ∈ span R s
⊢ ∃ a_1, a • y + z + a_1 • y ∈ span R s
state_after: no goals

tactic: simp [hz, add_assoc]
state_before: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
y : M
s : Set M
a : R
z : M
hz : z ∈ span R s
⊢ a • y + z + -a • y ∈ span R s
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨a, h⟩
state_before: case mpr
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
s : Set M
⊢ (∃ a, x + a • y ∈ span R s) → ∃ a, ∃ z ∈ span R s, x = a • y + z
state_after: case mpr.intro
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
s : Set M
a : R
h : x + a • y ∈ span R s
⊢ ∃ a, ∃ z ∈ span R s, x = a • y + z

tactic: exact ⟨-a, _, h, by simp [add_comm, add_left_comm]⟩
state_before: case mpr.intro
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
s : Set M
a : R
h : x + a • y ∈ span R s
⊢ ∃ a, ∃ z ∈ span R s, x = a • y + z
state_after: no goals

tactic: simp [add_comm, add_left_comm]
state_before: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
s : Set M
a : R
h : x + a • y ∈ span R s
⊢ x = -a • y + (x + a • y)
state_after: no goals