Theorem: MvPolynomial.support_map_of_injective
File: Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean

tactic: apply Finset.Subset.antisymm
state_before: R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
⊢ ((map f) p).support = p.support
state_after: case H₁
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
⊢ ((map f) p).support ⊆ p.support

case H₂
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
⊢ p.support ⊆ ((map f) p).support

tactic: intro x hx
state_before: case H₂
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
⊢ p.support ⊆ ((map f) p).support
state_after: case H₂
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : x ∈ p.support
⊢ x ∈ ((map f) p).support

tactic: rw [mem_support_iff]
state_before: case H₂
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : x ∈ p.support
⊢ x ∈ ((map f) p).support
state_after: case H₂
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : x ∈ p.support
⊢ coeff x ((map f) p) ≠ 0

tactic: contrapose! hx
state_before: case H₂
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : x ∈ p.support
⊢ coeff x ((map f) p) ≠ 0
state_after: case H₂
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : coeff x ((map f) p) = 0
⊢ x ∉ p.support

tactic: simp only [Classical.not_not, mem_support_iff]
state_before: case H₂
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : coeff x ((map f) p) = 0
⊢ x ∉ p.support
state_after: case H₂
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : coeff x ((map f) p) = 0
⊢ coeff x p = 0

tactic: rw [coeff_map, ← f.map_zero] at hx
state_before: case H₂
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : coeff x ((map f) p) = 0
⊢ coeff x p = 0
state_after: case H₂
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : f (coeff x p) = f 0
⊢ coeff x p = 0

tactic: exact hf hx
state_before: case H₂
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
x : σ →₀ ℕ
hx : f (coeff x p) = f 0
⊢ coeff x p = 0
state_after: no goals

tactic: exact MvPolynomial.support_map_subset _ _
state_before: case H₁
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
⊢ ((map f) p).support ⊆ p.support
state_after: no goals