Theorem: LieAlgebra.IsKilling.rootSpace_zsmul_add_ne_bot_iff
File: Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean

tactic: constructor
state_before: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
⊢ rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥ ↔ n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) ∧ -n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)
state_after: case mp
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
⊢ rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥ → n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) ∧ -n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)

case mpr
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
⊢ n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) ∧ -n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β) → rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥

tactic: refine (fun hn ↦ ⟨?_, le_chainBotCoeff_of_rootSpace_ne_top α β hα _ (by rwa [neg_neg])⟩)
state_before: case mp
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
⊢ rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥ → n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) ∧ -n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)
state_after: case mp
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
hn : rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
⊢ n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)

tactic: rw [← chainBotCoeff_neg, ← Weight.coe_neg]
state_before: case mp
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
hn : rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
⊢ n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
state_after: case mp
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
hn : rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
⊢ n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑(-α)) β)

tactic: apply le_chainBotCoeff_of_rootSpace_ne_top _ _ hα.neg
state_before: case mp
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
hn : rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
⊢ n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑(-α)) β)
state_after: case mp.hn
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
hn : rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
⊢ rootSpace H (-n • ⇑(-α) + ⇑β) ≠ ⊥

tactic: rwa [neg_smul, Weight.coe_neg, smul_neg, neg_neg]
state_before: case mp.hn
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
hn : rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
⊢ rootSpace H (-n • ⇑(-α) + ⇑β) ≠ ⊥
state_after: no goals

tactic: rwa [neg_neg]
state_before: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
hn : rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
⊢ rootSpace H (- -n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨h₁, h₂⟩
state_before: case mpr
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
⊢ n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) ∧ -n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β) → rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
state_after: case mpr.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
h₁ : n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
h₂ : -n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)
⊢ rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥

tactic: set k := chainTopCoeff α β - n with hk
state_before: case mpr.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
h₁ : n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
h₂ : -n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)
⊢ rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
state_after: case mpr.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
h₁ : n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
h₂ : -n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)
k : ℤ := ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n
hk : k = ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n
⊢ rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥

tactic: clear_value k
state_before: case mpr.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
h₁ : n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
h₂ : -n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)
k : ℤ := ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n
hk : k = ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n
⊢ rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
state_after: case mpr.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
h₁ : n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
h₂ : -n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)
k : ℤ
hk : k = ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n
⊢ rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥

tactic: lift k to ℕ using (by rw [hk, le_sub_iff_add_le, zero_add]; exact h₁)
state_before: case mpr.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
h₁ : n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
h₂ : -n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)
k : ℤ
hk : k = ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n
⊢ rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
state_after: case mpr.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
h₁ : n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
h₂ : -n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)
k : ℕ
hk : ↑k = ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n
⊢ rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥

tactic: rw [eq_sub_iff_add_eq, ← eq_sub_iff_add_eq'] at hk
state_before: case mpr.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
h₁ : n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
h₂ : -n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)
k : ℕ
hk : ↑k = ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n
⊢ rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
state_after: case mpr.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
h₁ : n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
h₂ : -n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)
k : ℕ
hk : n = ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑k
⊢ rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥

tactic: subst hk
state_before: case mpr.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
h₁ : n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
h₂ : -n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)
k : ℕ
hk : n = ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑k
⊢ rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
state_after: case mpr.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : ℕ
h₁ : ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑k ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
h₂ : -(↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑k) ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)
⊢ rootSpace H ((↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑k) • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥

tactic: simp only [neg_sub, tsub_le_iff_right, ← Nat.cast_add, Nat.cast_le,
  chainBotCoeff_add_chainTopCoeff] at h₂
state_before: case mpr.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : ℕ
h₁ : ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑k ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
h₂ : -(↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑k) ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)
⊢ rootSpace H ((↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑k) • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
state_after: case mpr.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : ℕ
h₁ : ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑k ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
h₂ : k ≤ chainLength α β
⊢ rootSpace H ((↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑k) • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥

tactic: have := rootSpace_neg_nsmul_add_chainTop_of_le α β h₂
state_before: case mpr.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : ℕ
h₁ : ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑k ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
h₂ : k ≤ chainLength α β
⊢ rootSpace H ((↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑k) • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
state_after: case mpr.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : ℕ
h₁ : ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑k ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
h₂ : k ≤ chainLength α β
this : rootSpace H (-(k • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) ≠ ⊥
⊢ rootSpace H ((↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑k) • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥

tactic: rwa [coe_chainTop, nsmul_eq_smul_cast ℤ, ← neg_smul,
  ← add_assoc, ← add_smul, ← sub_eq_neg_add] at this
state_before: case mpr.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : ℕ
h₁ : ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑k ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
h₂ : k ≤ chainLength α β
this : rootSpace H (-(k • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) ≠ ⊥
⊢ rootSpace H ((↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑k) • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
state_after: no goals

tactic: rw [hk, le_sub_iff_add_le, zero_add]
state_before: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
h₁ : n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
h₂ : -n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)
k : ℤ
hk : k = ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n
⊢ 0 ≤ k
state_after: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
h₁ : n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
h₂ : -n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)
k : ℤ
hk : k = ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n
⊢ n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)

tactic: exact h₁
state_before: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
h₁ : n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
h₂ : -n ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)
k : ℤ
hk : k = ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n
⊢ n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
state_after: no goals