Theorem: not_monotone_not_antitone_iff_exists_le_le
File: Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean

tactic: simp_rw [Monotone, Antitone, not_forall, not_le]
state_before: ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α
⊢ ¬Monotone f ∧ ¬Antitone f ↔ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α
⊢ ((∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1) ↔
    ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

tactic: refine Iff.symm ⟨?_, ?_⟩
state_before: ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α
⊢ ((∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1) ↔
    ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: case refine_1
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α
⊢ (∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)) →
    (∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1

case refine_2
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α
⊢ ((∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1) →
    ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

tactic: rintro ⟨⟨a, b, hab, hfba⟩, c, d, hcd, hfcd⟩
state_before: case refine_2
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α
⊢ ((∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1) →
    ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

tactic: obtain hda | had := le_total d a
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
hda : d ≤ a
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

tactic: obtain hac | hca := le_total a c
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hac : a ≤ c
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hca : c ≤ a
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

tactic: rintro ⟨a, b, c, hab, hbc, ⟨hfab, hfcb⟩ | ⟨hfba, hfbc⟩⟩
state_before: case refine_1
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α
⊢ (∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)) →
    (∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1
state_after: case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inl.intro
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
hfab : f a < f b
hfcb : f c < f b
⊢ (∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1

case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
hfba : f b < f a
hfbc : f b < f c
⊢ (∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1

tactic: exacts [⟨⟨_, _, hbc, hfcb⟩, _, _, hab, hfab⟩, ⟨⟨_, _, hab, hfba⟩, _, _, hbc, hfbc⟩]
state_before: case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inl.intro
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
hfab : f a < f b
hfcb : f c < f b
⊢ (∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1

case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
hfba : f b < f a
hfbc : f b < f c
⊢ (∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1
state_after: no goals

tactic: obtain hfad | hfda := le_total (f a) (f d)
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
hda : d ≤ a
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl.inl
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
hda : d ≤ a
hfad : f a ≤ f d
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl.inr
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
hda : d ≤ a
hfda : f d ≤ f a
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

tactic: exact ⟨c, d, b, hcd, hda.trans hab, Or.inl ⟨hfcd, hfba.trans_le hfad⟩⟩
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl.inl
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
hda : d ≤ a
hfad : f a ≤ f d
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: no goals

tactic: exact ⟨c, a, b, hcd.trans hda, hab, Or.inl ⟨hfcd.trans_le hfda, hfba⟩⟩
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl.inr
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
hda : d ≤ a
hfda : f d ≤ f a
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: no goals

tactic: obtain hfdb | hfbd := le_or_lt (f d) (f b)
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hac : a ≤ c
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl.inl
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hac : a ≤ c
hfdb : f d ≤ f b
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl.inr
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hac : a ≤ c
hfbd : f b < f d
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

tactic: obtain hfca | hfac := lt_or_le (f c) (f a)
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl.inr
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hac : a ≤ c
hfbd : f b < f d
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl.inr.inl
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hac : a ≤ c
hfbd : f b < f d
hfca : f c < f a
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl.inr.inr
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hac : a ≤ c
hfbd : f b < f d
hfac : f a ≤ f c
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

tactic: obtain hbd | hdb := le_total b d
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl.inr.inr
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hac : a ≤ c
hfbd : f b < f d
hfac : f a ≤ f c
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl.inr.inr.inl
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hac : a ≤ c
hfbd : f b < f d
hfac : f a ≤ f c
hbd : b ≤ d
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl.inr.inr.inr
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hac : a ≤ c
hfbd : f b < f d
hfac : f a ≤ f c
hdb : d ≤ b
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

tactic: exact ⟨a, c, d, hac, hcd, Or.inr ⟨hfcd.trans <| hfdb.trans_lt hfba, hfcd⟩⟩
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl.inl
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hac : a ≤ c
hfdb : f d ≤ f b
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: no goals

tactic: exact ⟨a, c, d, hac, hcd, Or.inr ⟨hfca, hfcd⟩⟩
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl.inr.inl
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hac : a ≤ c
hfbd : f b < f d
hfca : f c < f a
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: no goals

tactic: exact ⟨a, b, d, hab, hbd, Or.inr ⟨hfba, hfbd⟩⟩
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl.inr.inr.inl
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hac : a ≤ c
hfbd : f b < f d
hfac : f a ≤ f c
hbd : b ≤ d
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: no goals

tactic: exact ⟨a, d, b, had, hdb, Or.inl ⟨hfac.trans_lt hfcd, hfbd⟩⟩
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl.inr.inr.inr
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hac : a ≤ c
hfbd : f b < f d
hfac : f a ≤ f c
hdb : d ≤ b
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: no goals

tactic: obtain hfdb | hfbd := le_or_lt (f d) (f b)
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hca : c ≤ a
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inl
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hca : c ≤ a
hfdb : f d ≤ f b
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hca : c ≤ a
hfbd : f b < f d
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

tactic: obtain hfca | hfac := lt_or_le (f c) (f a)
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hca : c ≤ a
hfbd : f b < f d
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hca : c ≤ a
hfbd : f b < f d
hfca : f c < f a
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr.inr
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hca : c ≤ a
hfbd : f b < f d
hfac : f a ≤ f c
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

tactic: obtain hbd | hdb := le_total b d
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr.inr
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hca : c ≤ a
hfbd : f b < f d
hfac : f a ≤ f c
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hca : c ≤ a
hfbd : f b < f d
hfac : f a ≤ f c
hbd : b ≤ d
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr.inr.inr
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hca : c ≤ a
hfbd : f b < f d
hfac : f a ≤ f c
hdb : d ≤ b
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)

tactic: exact ⟨c, a, b, hca, hab, Or.inl ⟨hfcd.trans <| hfdb.trans_lt hfba, hfba⟩⟩
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inl
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hca : c ≤ a
hfdb : f d ≤ f b
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: no goals

tactic: exact ⟨c, a, b, hca, hab, Or.inl ⟨hfca, hfba⟩⟩
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hca : c ≤ a
hfbd : f b < f d
hfca : f c < f a
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: no goals

tactic: exact ⟨a, b, d, hab, hbd, Or.inr ⟨hfba, hfbd⟩⟩
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hca : c ≤ a
hfbd : f b < f d
hfac : f a ≤ f c
hbd : b ≤ d
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: no goals

tactic: exact ⟨a, d, b, had, hdb, Or.inl ⟨hfac.trans_lt hfcd, hfbd⟩⟩
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr.inr.inr.inr
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
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hca : c ≤ a
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hfac : f a ≤ f c
hdb : d ≤ b
⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
state_after: no goals