Theorem: Polynomial.coeff_mul_X_pow
File: Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean

tactic: rw [coeff_mul, Finset.sum_eq_single (d, n), coeff_X_pow, if_pos rfl, mul_one]
state_before: R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n d : ℕ
⊢ (p * X ^ n).coeff (d + n) = p.coeff d
state_after: case h₀
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n d : ℕ
⊢ ∀ b ∈ antidiagonal (d + n), b ≠ (d, n) → p.coeff b.1 * (X ^ n).coeff b.2 = 0

case h₁
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n d : ℕ
⊢ (d, n) ∉ antidiagonal (d + n) → p.coeff (d, n).1 * (X ^ n).coeff (d, n).2 = 0

tactic: rintro ⟨i, j⟩ h1 h2
state_before: case h₀
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n d : ℕ
⊢ ∀ b ∈ antidiagonal (d + n), b ≠ (d, n) → p.coeff b.1 * (X ^ n).coeff b.2 = 0
state_after: case h₀.mk
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n d i j : ℕ
h1 : (i, j) ∈ antidiagonal (d + n)
h2 : (i, j) ≠ (d, n)
⊢ p.coeff (i, j).1 * (X ^ n).coeff (i, j).2 = 0

tactic: rw [coeff_X_pow, if_neg, mul_zero]
state_before: case h₀.mk
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n d i j : ℕ
h1 : (i, j) ∈ antidiagonal (d + n)
h2 : (i, j) ≠ (d, n)
⊢ p.coeff (i, j).1 * (X ^ n).coeff (i, j).2 = 0
state_after: case h₀.mk.hnc
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n d i j : ℕ
h1 : (i, j) ∈ antidiagonal (d + n)
h2 : (i, j) ≠ (d, n)
⊢ ¬(i, j).2 = n

tactic: rintro rfl
state_before: case h₀.mk.hnc
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n d i j : ℕ
h1 : (i, j) ∈ antidiagonal (d + n)
h2 : (i, j) ≠ (d, n)
⊢ ¬(i, j).2 = n
state_after: case h₀.mk.hnc
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
d i j : ℕ
h1 : (i, j) ∈ antidiagonal (d + (i, j).2)
h2 : (i, j) ≠ (d, (i, j).2)
⊢ False

tactic: apply h2
state_before: case h₀.mk.hnc
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
d i j : ℕ
h1 : (i, j) ∈ antidiagonal (d + (i, j).2)
h2 : (i, j) ≠ (d, (i, j).2)
⊢ False
state_after: case h₀.mk.hnc
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
d i j : ℕ
h1 : (i, j) ∈ antidiagonal (d + (i, j).2)
h2 : (i, j) ≠ (d, (i, j).2)
⊢ (i, j) = (d, (i, j).2)

tactic: rw [mem_antidiagonal, add_right_cancel_iff] at h1
state_before: case h₀.mk.hnc
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
d i j : ℕ
h1 : (i, j) ∈ antidiagonal (d + (i, j).2)
h2 : (i, j) ≠ (d, (i, j).2)
⊢ (i, j) = (d, (i, j).2)
state_after: case h₀.mk.hnc
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
d i j : ℕ
h1 : (i, j).1 = d
h2 : (i, j) ≠ (d, (i, j).2)
⊢ (i, j) = (d, (i, j).2)

tactic: subst h1
state_before: case h₀.mk.hnc
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
d i j : ℕ
h1 : (i, j).1 = d
h2 : (i, j) ≠ (d, (i, j).2)
⊢ (i, j) = (d, (i, j).2)
state_after: case h₀.mk.hnc
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
i j : ℕ
h2 : (i, j) ≠ ((i, j).1, (i, j).2)
⊢ (i, j) = ((i, j).1, (i, j).2)

tactic: rfl
state_before: case h₀.mk.hnc
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
i j : ℕ
h2 : (i, j) ≠ ((i, j).1, (i, j).2)
⊢ (i, j) = ((i, j).1, (i, j).2)
state_after: no goals

tactic: exact fun h1 => (h1 (mem_antidiagonal.2 rfl)).elim
state_before: case h₁
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n d : ℕ
⊢ (d, n) ∉ antidiagonal (d + n) → p.coeff (d, n).1 * (X ^ n).coeff (d, n).2 = 0
state_after: no goals