Theorem: ProbabilityTheory.iIndepFun.indepFun_prod_mk_prod_mk
File: Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean

tactic: let g (i j : ι) (v : Π x : ({i, j} : Finset ι), β x) : β i × β j :=
  ⟨v ⟨i, mem_insert_self _ _⟩, v ⟨j, mem_insert_of_mem <| mem_singleton_self _⟩⟩
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝¹ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β✝ : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_10
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h_indep : iIndepFun m f μ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l
⊢ IndepFun (fun a => (f i a, f j a)) (fun a => (f k a, f l a)) μ
state_after: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝¹ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β✝ : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → β✝
g✝ : Ω → β'
β : ι → Type u_10
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h_indep : iIndepFun m f μ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l
g : (i j : ι) → ((x : { x // x ∈ {i, j} }) → β ↑x) → β i × β j := fun i j v => (v ⟨i, ⋯⟩, v ⟨j, ⋯⟩)
⊢ IndepFun (fun a => (f i a, f j a)) (fun a => (f k a, f l a)) μ

tactic: exact (h_indep.indepFun_finset {i, j} {k, l} (by aesop) hf).comp (hg i j) (hg k l)
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝¹ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β✝ : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → β✝
g✝ : Ω → β'
β : ι → Type u_10
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h_indep : iIndepFun m f μ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l
g : (i j : ι) → ((x : { x // x ∈ {i, j} }) → β ↑x) → β i × β j := fun i j v => (v ⟨i, ⋯⟩, v ⟨j, ⋯⟩)
hg : ∀ (i j : ι), Measurable (g i j)
⊢ IndepFun (fun a => (f i a, f j a)) (fun a => (f k a, f l a)) μ
state_after: no goals

tactic: simp only [ne_eq, g]
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝¹ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β✝ : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → β✝
g✝ : Ω → β'
β : ι → Type u_10
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h_indep : iIndepFun m f μ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i✝ j✝ k l : ι
hik : i✝ ≠ k
hil : i✝ ≠ l
hjk : j✝ ≠ k
hjl : j✝ ≠ l
g : (i j : ι) → ((x : { x // x ∈ {i, j} }) → β ↑x) → β i × β j := fun i j v => (v ⟨i, ⋯⟩, v ⟨j, ⋯⟩)
i j : ι
⊢ Measurable (g i j)
state_after: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝¹ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β✝ : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → β✝
g✝ : Ω → β'
β : ι → Type u_10
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h_indep : iIndepFun m f μ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i✝ j✝ k l : ι
hik : i✝ ≠ k
hil : i✝ ≠ l
hjk : j✝ ≠ k
hjl : j✝ ≠ l
g : (i j : ι) → ((x : { x // x ∈ {i, j} }) → β ↑x) → β i × β j := fun i j v => (v ⟨i, ⋯⟩, v ⟨j, ⋯⟩)
i j : ι
⊢ Measurable fun v => (v ⟨i, ⋯⟩, v ⟨j, ⋯⟩)

tactic: apply Measurable.prod
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝¹ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β✝ : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → β✝
g✝ : Ω → β'
β : ι → Type u_10
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h_indep : iIndepFun m f μ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i✝ j✝ k l : ι
hik : i✝ ≠ k
hil : i✝ ≠ l
hjk : j✝ ≠ k
hjl : j✝ ≠ l
g : (i j : ι) → ((x : { x // x ∈ {i, j} }) → β ↑x) → β i × β j := fun i j v => (v ⟨i, ⋯⟩, v ⟨j, ⋯⟩)
i j : ι
⊢ Measurable fun v => (v ⟨i, ⋯⟩, v ⟨j, ⋯⟩)
state_after: case hf₁
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝¹ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β✝ : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → β✝
g✝ : Ω → β'
β : ι → Type u_10
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h_indep : iIndepFun m f μ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i✝ j✝ k l : ι
hik : i✝ ≠ k
hil : i✝ ≠ l
hjk : j✝ ≠ k
hjl : j✝ ≠ l
g : (i j : ι) → ((x : { x // x ∈ {i, j} }) → β ↑x) → β i × β j := fun i j v => (v ⟨i, ⋯⟩, v ⟨j, ⋯⟩)
i j : ι
⊢ Measurable fun a => (a ⟨i, ⋯⟩, a ⟨j, ⋯⟩).1

case hf₂
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝¹ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β✝ : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → β✝
g✝ : Ω → β'
β : ι → Type u_10
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h_indep : iIndepFun m f μ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i✝ j✝ k l : ι
hik : i✝ ≠ k
hil : i✝ ≠ l
hjk : j✝ ≠ k
hjl : j✝ ≠ l
g : (i j : ι) → ((x : { x // x ∈ {i, j} }) → β ↑x) → β i × β j := fun i j v => (v ⟨i, ⋯⟩, v ⟨j, ⋯⟩)
i j : ι
⊢ Measurable fun a => (a ⟨i, ⋯⟩, a ⟨j, ⋯⟩).2

tactic: exact measurable_pi_apply _
state_before: case hf₁
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝¹ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β✝ : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → β✝
g✝ : Ω → β'
β : ι → Type u_10
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h_indep : iIndepFun m f μ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i✝ j✝ k l : ι
hik : i✝ ≠ k
hil : i✝ ≠ l
hjk : j✝ ≠ k
hjl : j✝ ≠ l
g : (i j : ι) → ((x : { x // x ∈ {i, j} }) → β ↑x) → β i × β j := fun i j v => (v ⟨i, ⋯⟩, v ⟨j, ⋯⟩)
i j : ι
⊢ Measurable fun a => (a ⟨i, ⋯⟩, a ⟨j, ⋯⟩).1
state_after: no goals

tactic: exact measurable_pi_apply _
state_before: case hf₂
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝¹ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β✝ : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → β✝
g✝ : Ω → β'
β : ι → Type u_10
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h_indep : iIndepFun m f μ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i✝ j✝ k l : ι
hik : i✝ ≠ k
hil : i✝ ≠ l
hjk : j✝ ≠ k
hjl : j✝ ≠ l
g : (i j : ι) → ((x : { x // x ∈ {i, j} }) → β ↑x) → β i × β j := fun i j v => (v ⟨i, ⋯⟩, v ⟨j, ⋯⟩)
i j : ι
⊢ Measurable fun a => (a ⟨i, ⋯⟩, a ⟨j, ⋯⟩).2
state_after: no goals

tactic: aesop
state_before: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝¹ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β✝ : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → β✝
g✝ : Ω → β'
β : ι → Type u_10
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h_indep : iIndepFun m f μ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l
g : (i j : ι) → ((x : { x // x ∈ {i, j} }) → β ↑x) → β i × β j := fun i j v => (v ⟨i, ⋯⟩, v ⟨j, ⋯⟩)
hg : ∀ (i j : ι), Measurable (g i j)
⊢ Disjoint {i, j} {k, l}
state_after: no goals