Theorem: MeasureTheory.Lp.lintegral_rpow_sum_coe_nnnorm_sub_le_rpow_tsum
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean

tactic: have hp_pos : 0 < p := zero_lt_one.trans_le hp1
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : snorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
⊢ ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : snorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
⊢ ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p

tactic: rw [← one_div_one_div p, @ENNReal.le_rpow_one_div_iff _ _ (1 / p) (by simp [hp_pos]),
  one_div_one_div p]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : snorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
⊢ ∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : snorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
⊢ (∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i

tactic: simp_rw [snorm'] at hn
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : snorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
⊢ (∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : (∫⁻ (a : α), ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
⊢ (∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i

tactic: change
  (∫⁻ a, (fun x => ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖‖₊ ^ p) a ∂μ) ^ (1 / p) ≤
    ∑' i, B i at hn
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : (∫⁻ (a : α), ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
h_nnnorm_nonneg :
  (fun a => ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p) = fun a =>
    (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p
⊢ (∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hp_pos : 0 < p
h_nnnorm_nonneg :
  (fun a => ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p) = fun a =>
    (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p
hn : (∫⁻ (a : α), (fun x => ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖‖₊ ^ p) a ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
⊢ (∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i

tactic: rwa [h_nnnorm_nonneg] at hn
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hp_pos : 0 < p
h_nnnorm_nonneg :
  (fun a => ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p) = fun a =>
    (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p
hn : (∫⁻ (a : α), (fun x => ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖‖₊ ^ p) a ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
⊢ (∫⁻ (a : α), (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
state_after: no goals

tactic: simp [hp_pos]
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : snorm' (fun x => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) x - f i x‖) p μ ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
⊢ 0 < 1 / p
state_after: no goals

tactic: ext1 a
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : (∫⁻ (a : α), ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
⊢ (fun a => ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p) = fun a =>
    (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p
state_after: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : (∫⁻ (a : α), ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
a : α
⊢ ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p = (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p

tactic: congr
state_before: case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : (∫⁻ (a : α), ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
a : α
⊢ ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p = (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p
state_after: case h.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : (∫⁻ (a : α), ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
a : α
⊢ ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ = ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊

tactic: simp_rw [← ofReal_norm_eq_coe_nnnorm]
state_before: case h.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : (∫⁻ (a : α), ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
a : α
⊢ ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ = ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊
state_after: case h.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : (∫⁻ (a : α), ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
a : α
⊢ ENNReal.ofReal ‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖ =
    ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), ENNReal.ofReal ‖f (x + 1) a - f x a‖

tactic: rw [← ENNReal.ofReal_sum_of_nonneg]
state_before: case h.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : (∫⁻ (a : α), ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
a : α
⊢ ENNReal.ofReal ‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖ =
    ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), ENNReal.ofReal ‖f (x + 1) a - f x a‖
state_after: case h.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : (∫⁻ (a : α), ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
a : α
⊢ ENNReal.ofReal ‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖ =
    ENNReal.ofReal (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖)

case h.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : (∫⁻ (a : α), ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
a : α
⊢ ∀ i ∈ Finset.range (n + 1), 0 ≤ ‖f (i + 1) a - f i a‖

tactic: rw [Real.norm_of_nonneg _]
state_before: case h.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : (∫⁻ (a : α), ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
a : α
⊢ ENNReal.ofReal ‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖ =
    ENNReal.ofReal (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖)
state_after: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : (∫⁻ (a : α), ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
a : α
⊢ 0 ≤ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖

tactic: exact Finset.sum_nonneg fun x _ => norm_nonneg _
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : (∫⁻ (a : α), ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
a : α
⊢ 0 ≤ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖
state_after: no goals

tactic: exact fun x _ => norm_nonneg _
state_before: case h.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
n : ℕ
hn : (∫⁻ (a : α), ↑‖∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ‖f (i + 1) a - f i a‖‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
a : α
⊢ ∀ i ∈ Finset.range (n + 1), 0 ≤ ‖f (i + 1) a - f i a‖
state_after: no goals