Theorem: LieAlgebra.IsKilling.chainTopCoeff_of_eq_zsmul_add
File: Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean

tactic: apply le_antisymm
state_before: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β') = ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n
state_after: case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β') ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n

case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β')

tactic: refine le_sub_iff_add_le.mpr ((rootSpace_zsmul_add_ne_bot_iff α β hα _).mp ?_).1
state_before: case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β') ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n
state_after: case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ rootSpace H ((↑(chainTopCoeff (⇑α) β') + n) • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥

tactic: rw [add_smul, add_assoc, ← hβ', ← coe_chainTop]
state_before: case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ rootSpace H ((↑(chainTopCoeff (⇑α) β') + n) • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
state_after: case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β') ≠ ⊥

tactic: exact (chainTop α β').2
state_before: case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β') ≠ ⊥
state_after: no goals

tactic: refine ((rootSpace_zsmul_add_ne_bot_iff α β' hα _).mp ?_).1
state_before: case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β')
state_after: case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ rootSpace H ((↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n) • ⇑α + ⇑β') ≠ ⊥

tactic: rw [hβ', ← add_assoc, ← add_smul, sub_add_cancel, ← coe_chainTop]
state_before: case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ rootSpace H ((↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n) • ⇑α + ⇑β') ≠ ⊥
state_after: case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β) ≠ ⊥

tactic: exact (chainTop α β).2
state_before: case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β) ≠ ⊥
state_after: no goals