Theorem: MeasureTheory.snorm_mono_measure
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean

tactic: by_cases hp0 : p = 0
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
⊢ snorm f p ν ≤ snorm f p μ
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hp0 : p = 0
⊢ snorm f p ν ≤ snorm f p μ

case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hp0 : ¬p = 0
⊢ snorm f p ν ≤ snorm f p μ

tactic: by_cases hp_top : p = ∞
state_before: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hp0 : ¬p = 0
⊢ snorm f p ν ≤ snorm f p μ
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hp0 : ¬p = 0
hp_top : p = ⊤
⊢ snorm f p ν ≤ snorm f p μ

case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ snorm f p ν ≤ snorm f p μ

tactic: simp_rw [snorm_eq_snorm' hp0 hp_top]
state_before: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ snorm f p ν ≤ snorm f p μ
state_after: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ snorm' f p.toReal ν ≤ snorm' f p.toReal μ

tactic: exact snorm'_mono_measure f hμν ENNReal.toReal_nonneg
state_before: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ snorm' f p.toReal ν ≤ snorm' f p.toReal μ
state_after: no goals

tactic: simp [hp0]
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hp0 : p = 0
⊢ snorm f p ν ≤ snorm f p μ
state_after: no goals

tactic: simp [hp_top, snormEssSup_mono_measure f (Measure.absolutelyContinuous_of_le hμν)]
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hp0 : ¬p = 0
hp_top : p = ⊤
⊢ snorm f p ν ≤ snorm f p μ
state_after: no goals