Theorem: Equiv.Perm.mem_support_cycleOf_iff
File: Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean

tactic: by_cases hx : f x = x
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
⊢ y ∈ (f.cycleOf x).support ↔ f.SameCycle x y ∧ x ∈ f.support
state_after: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hx : f x = x
⊢ y ∈ (f.cycleOf x).support ↔ f.SameCycle x y ∧ x ∈ f.support

case neg
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hx : ¬f x = x
⊢ y ∈ (f.cycleOf x).support ↔ f.SameCycle x y ∧ x ∈ f.support

tactic: rw [(cycleOf_eq_one_iff _).mpr hx]
state_before: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hx : f x = x
⊢ y ∈ (f.cycleOf x).support ↔ f.SameCycle x y ∧ x ∈ f.support
state_after: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hx : f x = x
⊢ y ∈ support 1 ↔ f.SameCycle x y ∧ x ∈ f.support

tactic: simp [hx]
state_before: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hx : f x = x
⊢ y ∈ support 1 ↔ f.SameCycle x y ∧ x ∈ f.support
state_after: no goals

tactic: rw [mem_support, cycleOf_apply]
state_before: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hx : ¬f x = x
⊢ y ∈ (f.cycleOf x).support ↔ f.SameCycle x y ∧ x ∈ f.support
state_after: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hx : ¬f x = x
⊢ (if f.SameCycle x y then f y else y) ≠ y ↔ f.SameCycle x y ∧ x ∈ f.support

tactic: split_ifs with hy
state_before: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hx : ¬f x = x
⊢ (if f.SameCycle x y then f y else y) ≠ y ↔ f.SameCycle x y ∧ x ∈ f.support
state_after: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hx : ¬f x = x
hy : f.SameCycle x y
⊢ f y ≠ y ↔ f.SameCycle x y ∧ x ∈ f.support

case neg
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hx : ¬f x = x
hy : ¬f.SameCycle x y
⊢ y ≠ y ↔ f.SameCycle x y ∧ x ∈ f.support

tactic: simp only [hx, hy, iff_true_iff, Ne, not_false_iff, and_self_iff, mem_support]
state_before: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hx : ¬f x = x
hy : f.SameCycle x y
⊢ f y ≠ y ↔ f.SameCycle x y ∧ x ∈ f.support
state_after: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hx : ¬f x = x
hy : f.SameCycle x y
⊢ ¬f y = y

tactic: rcases hy with ⟨k, rfl⟩
state_before: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hx : ¬f x = x
hy : f.SameCycle x y
⊢ ¬f y = y
state_after: case pos.intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hx : ¬f x = x
k : ℤ
⊢ ¬f ((f ^ k) x) = (f ^ k) x

tactic: rw [← not_mem_support]
state_before: case pos.intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hx : ¬f x = x
k : ℤ
⊢ ¬f ((f ^ k) x) = (f ^ k) x
state_after: case pos.intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hx : ¬f x = x
k : ℤ
⊢ ¬(f ^ k) x ∉ f.support

tactic: simpa using hx
state_before: case pos.intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hx : ¬f x = x
k : ℤ
⊢ ¬(f ^ k) x ∉ f.support
state_after: no goals

tactic: simpa [hx] using hy
state_before: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hx : ¬f x = x
hy : ¬f.SameCycle x y
⊢ y ≠ y ↔ f.SameCycle x y ∧ x ∈ f.support
state_after: no goals