Theorem: Valuation.subgroups_basis
File: Mathlib/Topology/Algebra/Valuation.lean

tactic: rintro γ₀ γ₁
state_before: R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
⊢ ∀ (i j : Γ₀ˣ), ∃ k, v.ltAddSubgroup k ≤ v.ltAddSubgroup i ⊓ v.ltAddSubgroup j
state_after: R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ₀ γ₁ : Γ₀ˣ
⊢ ∃ k, v.ltAddSubgroup k ≤ v.ltAddSubgroup γ₀ ⊓ v.ltAddSubgroup γ₁

tactic: use min γ₀ γ₁
state_before: R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ₀ γ₁ : Γ₀ˣ
⊢ ∃ k, v.ltAddSubgroup k ≤ v.ltAddSubgroup γ₀ ⊓ v.ltAddSubgroup γ₁
state_after: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ₀ γ₁ : Γ₀ˣ
⊢ v.ltAddSubgroup (min γ₀ γ₁) ≤ v.ltAddSubgroup γ₀ ⊓ v.ltAddSubgroup γ₁

tactic: simp only [ltAddSubgroup, ge_iff_le, Units.min_val, Units.val_le_val, lt_min_iff,
  AddSubgroup.mk_le_mk, setOf_subset_setOf, le_inf_iff, and_imp, imp_self, implies_true,
  forall_const, and_true]
state_before: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ₀ γ₁ : Γ₀ˣ
⊢ v.ltAddSubgroup (min γ₀ γ₁) ≤ v.ltAddSubgroup γ₀ ⊓ v.ltAddSubgroup γ₁
state_after: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ₀ γ₁ : Γ₀ˣ
⊢ ∀ (a : R), v a < ↑γ₀ → v a < ↑γ₁ → v a < ↑γ₀

tactic: tauto
state_before: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ₀ γ₁ : Γ₀ˣ
⊢ ∀ (a : R), v a < ↑γ₀ → v a < ↑γ₁ → v a < ↑γ₀
state_after: no goals

tactic: rintro γ
state_before: R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
⊢ ∀ (i : Γ₀ˣ), ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) * ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ ↑(v.ltAddSubgroup i)
state_after: R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ : Γ₀ˣ
⊢ ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) * ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ ↑(v.ltAddSubgroup γ)

tactic: cases' exists_square_le γ with γ₀ h
state_before: R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ : Γ₀ˣ
⊢ ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) * ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ ↑(v.ltAddSubgroup γ)
state_after: case intro
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ γ₀ : Γ₀ˣ
h : γ₀ * γ₀ ≤ γ
⊢ ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) * ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ ↑(v.ltAddSubgroup γ)

tactic: use γ₀
state_before: case intro
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ γ₀ : Γ₀ˣ
h : γ₀ * γ₀ ≤ γ
⊢ ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) * ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ ↑(v.ltAddSubgroup γ)
state_after: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ γ₀ : Γ₀ˣ
h : γ₀ * γ₀ ≤ γ
⊢ ↑(v.ltAddSubgroup γ₀) * ↑(v.ltAddSubgroup γ₀) ⊆ ↑(v.ltAddSubgroup γ)

tactic: rintro - ⟨r, r_in, s, s_in, rfl⟩
state_before: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ γ₀ : Γ₀ˣ
h : γ₀ * γ₀ ≤ γ
⊢ ↑(v.ltAddSubgroup γ₀) * ↑(v.ltAddSubgroup γ₀) ⊆ ↑(v.ltAddSubgroup γ)
state_after: case h.intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ γ₀ : Γ₀ˣ
h : γ₀ * γ₀ ≤ γ
r : R
r_in : r ∈ ↑(v.ltAddSubgroup γ₀)
s : R
s_in : s ∈ ↑(v.ltAddSubgroup γ₀)
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) r s ∈ ↑(v.ltAddSubgroup γ)

tactic: calc
  (v (r * s) : Γ₀) = v r * v s := Valuation.map_mul _ _ _
  _ < γ₀ * γ₀ := mul_lt_mul₀ r_in s_in
  _ ≤ γ := mod_cast h
state_before: case h.intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ γ₀ : Γ₀ˣ
h : γ₀ * γ₀ ≤ γ
r : R
r_in : r ∈ ↑(v.ltAddSubgroup γ₀)
s : R
s_in : s ∈ ↑(v.ltAddSubgroup γ₀)
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) r s ∈ ↑(v.ltAddSubgroup γ)
state_after: no goals

tactic: rintro x γ
state_before: R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
⊢ ∀ (x : R) (i : Γ₀ˣ), ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup i)
state_after: R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
⊢ ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)

tactic: rcases GroupWithZero.eq_zero_or_unit (v x) with (Hx | ⟨γx, Hx⟩)
state_before: R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
⊢ ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)
state_after: case inl
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
Hx : v x = 0
⊢ ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)

case inr.intro
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ γx : Γ₀ˣ
Hx : v x = ↑γx
⊢ ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)

tactic: use (1 : Γ₀ˣ)
state_before: case inl
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
Hx : v x = 0
⊢ ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)
state_after: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
Hx : v x = 0
⊢ ↑(v.ltAddSubgroup 1) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)

tactic: rintro y _
state_before: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
Hx : v x = 0
⊢ ↑(v.ltAddSubgroup 1) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)
state_after: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
Hx : v x = 0
y : R
a✝ : y ∈ ↑(v.ltAddSubgroup 1)
⊢ y ∈ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)

tactic: change v (x * y) < _
state_before: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
Hx : v x = 0
y : R
a✝ : y ∈ ↑(v.ltAddSubgroup 1)
⊢ y ∈ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)
state_after: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
Hx : v x = 0
y : R
a✝ : y ∈ ↑(v.ltAddSubgroup 1)
⊢ v (x * y) < ↑γ

tactic: rw [Valuation.map_mul, Hx, zero_mul]
state_before: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
Hx : v x = 0
y : R
a✝ : y ∈ ↑(v.ltAddSubgroup 1)
⊢ v (x * y) < ↑γ
state_after: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
Hx : v x = 0
y : R
a✝ : y ∈ ↑(v.ltAddSubgroup 1)
⊢ 0 < ↑γ

tactic: exact Units.zero_lt γ
state_before: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
Hx : v x = 0
y : R
a✝ : y ∈ ↑(v.ltAddSubgroup 1)
⊢ 0 < ↑γ
state_after: no goals

tactic: use γx⁻¹ * γ
state_before: case inr.intro
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ γx : Γ₀ˣ
Hx : v x = ↑γx
⊢ ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)
state_after: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ γx : Γ₀ˣ
Hx : v x = ↑γx
⊢ ↑(v.ltAddSubgroup (γx⁻¹ * γ)) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)

tactic: rintro y (vy_lt : v y < ↑(γx⁻¹ * γ))
state_before: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ γx : Γ₀ˣ
Hx : v x = ↑γx
⊢ ↑(v.ltAddSubgroup (γx⁻¹ * γ)) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)
state_after: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ γx : Γ₀ˣ
Hx : v x = ↑γx
y : R
vy_lt : v y < ↑(γx⁻¹ * γ)
⊢ y ∈ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)

tactic: change (v (x * y) : Γ₀) < γ
state_before: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ γx : Γ₀ˣ
Hx : v x = ↑γx
y : R
vy_lt : v y < ↑(γx⁻¹ * γ)
⊢ y ∈ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)
state_after: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ γx : Γ₀ˣ
Hx : v x = ↑γx
y : R
vy_lt : v y < ↑(γx⁻¹ * γ)
⊢ v (x * y) < ↑γ

tactic: rw [Valuation.map_mul, Hx, mul_comm]
state_before: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ γx : Γ₀ˣ
Hx : v x = ↑γx
y : R
vy_lt : v y < ↑(γx⁻¹ * γ)
⊢ v (x * y) < ↑γ
state_after: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ γx : Γ₀ˣ
Hx : v x = ↑γx
y : R
vy_lt : v y < ↑(γx⁻¹ * γ)
⊢ v y * ↑γx < ↑γ

tactic: rw [Units.val_mul, mul_comm] at vy_lt
state_before: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ γx : Γ₀ˣ
Hx : v x = ↑γx
y : R
vy_lt : v y < ↑(γx⁻¹ * γ)
⊢ v y * ↑γx < ↑γ
state_after: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ γx : Γ₀ˣ
Hx : v x = ↑γx
y : R
vy_lt : v y < ↑γ * ↑γx⁻¹
⊢ v y * ↑γx < ↑γ

tactic: simpa using mul_inv_lt_of_lt_mul₀ vy_lt
state_before: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ γx : Γ₀ˣ
Hx : v x = ↑γx
y : R
vy_lt : v y < ↑γ * ↑γx⁻¹
⊢ v y * ↑γx < ↑γ
state_after: no goals

tactic: rintro x γ
state_before: R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
⊢ ∀ (x : R) (i : Γ₀ˣ), ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup i)
state_after: R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
⊢ ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)

tactic: rcases GroupWithZero.eq_zero_or_unit (v x) with (Hx | ⟨γx, Hx⟩)
state_before: R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
⊢ ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)
state_after: case inl
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
Hx : v x = 0
⊢ ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)

case inr.intro
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ γx : Γ₀ˣ
Hx : v x = ↑γx
⊢ ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)

tactic: use 1
state_before: case inl
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
Hx : v x = 0
⊢ ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)
state_after: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
Hx : v x = 0
⊢ ↑(v.ltAddSubgroup 1) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)

tactic: rintro y _
state_before: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
Hx : v x = 0
⊢ ↑(v.ltAddSubgroup 1) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)
state_after: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
Hx : v x = 0
y : R
a✝ : y ∈ ↑(v.ltAddSubgroup 1)
⊢ y ∈ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)

tactic: change v (y * x) < _
state_before: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
Hx : v x = 0
y : R
a✝ : y ∈ ↑(v.ltAddSubgroup 1)
⊢ y ∈ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)
state_after: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
Hx : v x = 0
y : R
a✝ : y ∈ ↑(v.ltAddSubgroup 1)
⊢ v (y * x) < ↑γ

tactic: rw [Valuation.map_mul, Hx, mul_zero]
state_before: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
Hx : v x = 0
y : R
a✝ : y ∈ ↑(v.ltAddSubgroup 1)
⊢ v (y * x) < ↑γ
state_after: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
Hx : v x = 0
y : R
a✝ : y ∈ ↑(v.ltAddSubgroup 1)
⊢ 0 < ↑γ

tactic: use γx⁻¹ * γ
state_before: case inr.intro
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ γx : Γ₀ˣ
Hx : v x = ↑γx
⊢ ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)
state_after: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ γx : Γ₀ˣ
Hx : v x = ↑γx
⊢ ↑(v.ltAddSubgroup (γx⁻¹ * γ)) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)

tactic: rintro y (vy_lt : v y < ↑(γx⁻¹ * γ))
state_before: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ γx : Γ₀ˣ
Hx : v x = ↑γx
⊢ ↑(v.ltAddSubgroup (γx⁻¹ * γ)) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)
state_after: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ γx : Γ₀ˣ
Hx : v x = ↑γx
y : R
vy_lt : v y < ↑(γx⁻¹ * γ)
⊢ y ∈ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)

tactic: change (v (y * x) : Γ₀) < γ
state_before: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ γx : Γ₀ˣ
Hx : v x = ↑γx
y : R
vy_lt : v y < ↑(γx⁻¹ * γ)
⊢ y ∈ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)
state_after: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ γx : Γ₀ˣ
Hx : v x = ↑γx
y : R
vy_lt : v y < ↑(γx⁻¹ * γ)
⊢ v (y * x) < ↑γ

tactic: rw [Valuation.map_mul, Hx]
state_before: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ γx : Γ₀ˣ
Hx : v x = ↑γx
y : R
vy_lt : v y < ↑(γx⁻¹ * γ)
⊢ v (y * x) < ↑γ
state_after: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ γx : Γ₀ˣ
Hx : v x = ↑γx
y : R
vy_lt : v y < ↑(γx⁻¹ * γ)
⊢ v y * ↑γx < ↑γ