Theorem: map_restrict_ae_le_map_indicator_ae
File: Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean

tactic: intro t
state_before: R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
⊢ Filter.map f (ae (μ.restrict s)) ≤ Filter.map (s.indicator f) (ae μ)
state_after: R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
t : Set β
⊢ t ∈ Filter.map (s.indicator f) (ae μ) → t ∈ Filter.map f (ae (μ.restrict s))

tactic: by_cases ht : (0 : β) ∈ t
state_before: R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
t : Set β
⊢ t ∈ Filter.map (s.indicator f) (ae μ) → t ∈ Filter.map f (ae (μ.restrict s))
state_after: case pos
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
t : Set β
ht : 0 ∈ t
⊢ t ∈ Filter.map (s.indicator f) (ae μ) → t ∈ Filter.map f (ae (μ.restrict s))

case neg
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
t : Set β
ht : 0 ∉ t
⊢ t ∈ Filter.map (s.indicator f) (ae μ) → t ∈ Filter.map f (ae (μ.restrict s))

tactic: rw [mem_map_indicator_ae_iff_of_zero_nmem ht, mem_map_restrict_ae_iff hs]
state_before: case neg
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
t : Set β
ht : 0 ∉ t
⊢ t ∈ Filter.map (s.indicator f) (ae μ) → t ∈ Filter.map f (ae (μ.restrict s))
state_after: case neg
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
t : Set β
ht : 0 ∉ t
⊢ μ ((f ⁻¹' t)ᶜ ∪ sᶜ) = 0 → μ ((f ⁻¹' t)ᶜ ∩ s) = 0

tactic: exact fun h => measure_mono_null (Set.inter_subset_left.trans Set.subset_union_left) h
state_before: case neg
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
t : Set β
ht : 0 ∉ t
⊢ μ ((f ⁻¹' t)ᶜ ∪ sᶜ) = 0 → μ ((f ⁻¹' t)ᶜ ∩ s) = 0
state_after: no goals

tactic: rw [mem_map_indicator_ae_iff_mem_map_restrict_ae_of_zero_mem ht hs]
state_before: case pos
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
t : Set β
ht : 0 ∈ t
⊢ t ∈ Filter.map (s.indicator f) (ae μ) → t ∈ Filter.map f (ae (μ.restrict s))
state_after: case pos
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
t : Set β
ht : 0 ∈ t
⊢ t ∈ Filter.map f (ae (μ.restrict s)) → t ∈ Filter.map f (ae (μ.restrict s))

tactic: exact id
state_before: case pos
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
t : Set β
ht : 0 ∈ t
⊢ t ∈ Filter.map f (ae (μ.restrict s)) → t ∈ Filter.map f (ae (μ.restrict s))
state_after: no goals