Theorem: Ordinal.lt_nmul_iff₃
File: Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean

tactic: refine ⟨fun h => ?_, ?_⟩
state_before: a b c d : Ordinal.{u}
⊢ d < a ⨳ b ⨳ c ↔
    ∃ a' < a,
      ∃ b' < b,
        ∃ c' < c, d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'
state_after: case refine_1
a b c d : Ordinal.{u}
h : d < a ⨳ b ⨳ c
⊢ ∃ a' < a,
    ∃ b' < b,
      ∃ c' < c, d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'

case refine_2
a b c d : Ordinal.{u}
⊢ (∃ a' < a,
      ∃ b' < b,
        ∃ c' < c, d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c') →
    d < a ⨳ b ⨳ c

tactic: rcases lt_nmul_iff.1 h with ⟨e, he, c', hc, H₁⟩
state_before: case refine_1
a b c d : Ordinal.{u}
h : d < a ⨳ b ⨳ c
⊢ ∃ a' < a,
    ∃ b' < b,
      ∃ c' < c, d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'
state_after: case refine_1.intro.intro.intro.intro
a b c d : Ordinal.{u}
h : d < a ⨳ b ⨳ c
e : Ordinal.{u}
he : e < a ⨳ b
c' : Ordinal.{u}
hc : c' < c
H₁ : d ♯ e ⨳ c' ≤ e ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c'
⊢ ∃ a' < a,
    ∃ b' < b,
      ∃ c' < c, d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'

tactic: rcases lt_nmul_iff.1 he with ⟨a', ha, b', hb, H₂⟩
state_before: case refine_1.intro.intro.intro.intro
a b c d : Ordinal.{u}
h : d < a ⨳ b ⨳ c
e : Ordinal.{u}
he : e < a ⨳ b
c' : Ordinal.{u}
hc : c' < c
H₁ : d ♯ e ⨳ c' ≤ e ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c'
⊢ ∃ a' < a,
    ∃ b' < b,
      ∃ c' < c, d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'
state_after: case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c d : Ordinal.{u}
h : d < a ⨳ b ⨳ c
e : Ordinal.{u}
he : e < a ⨳ b
c' : Ordinal.{u}
hc : c' < c
H₁ : d ♯ e ⨳ c' ≤ e ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c'
a' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
b' : Ordinal.{u}
hb : b' < b
H₂ : e ♯ a' ⨳ b' ≤ a' ⨳ b ♯ a ⨳ b'
⊢ ∃ a' < a,
    ∃ b' < b,
      ∃ c' < c, d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'

tactic: refine ⟨a', ha, b', hb, c', hc, ?_⟩
state_before: case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c d : Ordinal.{u}
h : d < a ⨳ b ⨳ c
e : Ordinal.{u}
he : e < a ⨳ b
c' : Ordinal.{u}
hc : c' < c
H₁ : d ♯ e ⨳ c' ≤ e ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c'
a' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
b' : Ordinal.{u}
hb : b' < b
H₂ : e ♯ a' ⨳ b' ≤ a' ⨳ b ♯ a ⨳ b'
⊢ ∃ a' < a,
    ∃ b' < b,
      ∃ c' < c, d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'
state_after: case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c d : Ordinal.{u}
h : d < a ⨳ b ⨳ c
e : Ordinal.{u}
he : e < a ⨳ b
c' : Ordinal.{u}
hc : c' < c
H₁ : d ♯ e ⨳ c' ≤ e ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c'
a' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
b' : Ordinal.{u}
hb : b' < b
H₂ : e ♯ a' ⨳ b' ≤ a' ⨳ b ♯ a ⨳ b'
⊢ d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'

tactic: have := nadd_le_nadd H₁ (nmul_nadd_le H₂ hc.le)
state_before: case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c d : Ordinal.{u}
h : d < a ⨳ b ⨳ c
e : Ordinal.{u}
he : e < a ⨳ b
c' : Ordinal.{u}
hc : c' < c
H₁ : d ♯ e ⨳ c' ≤ e ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c'
a' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
b' : Ordinal.{u}
hb : b' < b
H₂ : e ♯ a' ⨳ b' ≤ a' ⨳ b ♯ a ⨳ b'
⊢ d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'
state_after: case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c d : Ordinal.{u}
h : d < a ⨳ b ⨳ c
e : Ordinal.{u}
he : e < a ⨳ b
c' : Ordinal.{u}
hc : c' < c
H₁ : d ♯ e ⨳ c' ≤ e ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c'
a' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
b' : Ordinal.{u}
hb : b' < b
H₂ : e ♯ a' ⨳ b' ≤ a' ⨳ b ♯ a ⨳ b'
this :
  d ♯ e ⨳ c' ♯ ((e ♯ a' ⨳ b') ⨳ c ♯ (a' ⨳ b ♯ a ⨳ b') ⨳ c') ≤
    e ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ ((a' ⨳ b ♯ a ⨳ b') ⨳ c ♯ (e ♯ a' ⨳ b') ⨳ c')
⊢ d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'

tactic: simp only [nadd_nmul, nadd_assoc] at this
state_before: case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c d : Ordinal.{u}
h : d < a ⨳ b ⨳ c
e : Ordinal.{u}
he : e < a ⨳ b
c' : Ordinal.{u}
hc : c' < c
H₁ : d ♯ e ⨳ c' ≤ e ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c'
a' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
b' : Ordinal.{u}
hb : b' < b
H₂ : e ♯ a' ⨳ b' ≤ a' ⨳ b ♯ a ⨳ b'
this :
  d ♯ e ⨳ c' ♯ ((e ♯ a' ⨳ b') ⨳ c ♯ (a' ⨳ b ♯ a ⨳ b') ⨳ c') ≤
    e ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ ((a' ⨳ b ♯ a ⨳ b') ⨳ c ♯ (e ♯ a' ⨳ b') ⨳ c')
⊢ d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'
state_after: case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c d : Ordinal.{u}
h : d < a ⨳ b ⨳ c
e : Ordinal.{u}
he : e < a ⨳ b
c' : Ordinal.{u}
hc : c' < c
H₁ : d ♯ e ⨳ c' ≤ e ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c'
a' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
b' : Ordinal.{u}
hb : b' < b
H₂ : e ♯ a' ⨳ b' ≤ a' ⨳ b ♯ a ⨳ b'
this :
  d ♯ (e ⨳ c' ♯ (e ⨳ c ♯ (a' ⨳ b' ⨳ c ♯ (a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c')))) ≤
    e ⨳ c ♯ (a ⨳ b ⨳ c' ♯ (a' ⨳ b ⨳ c ♯ (a ⨳ b' ⨳ c ♯ (e ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'))))
⊢ d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'

tactic: rw [nadd_left_comm, nadd_left_comm d, nadd_left_comm, nadd_le_nadd_iff_left,
  nadd_left_comm (a ⨳ b' ⨳ c), nadd_left_comm (a' ⨳ b ⨳ c), nadd_left_comm (a ⨳ b ⨳ c'),
  nadd_le_nadd_iff_left, nadd_left_comm (a ⨳ b ⨳ c'), nadd_left_comm (a ⨳ b ⨳ c')] at this
state_before: case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c d : Ordinal.{u}
h : d < a ⨳ b ⨳ c
e : Ordinal.{u}
he : e < a ⨳ b
c' : Ordinal.{u}
hc : c' < c
H₁ : d ♯ e ⨳ c' ≤ e ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c'
a' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
b' : Ordinal.{u}
hb : b' < b
H₂ : e ♯ a' ⨳ b' ≤ a' ⨳ b ♯ a ⨳ b'
this :
  d ♯ (e ⨳ c' ♯ (e ⨳ c ♯ (a' ⨳ b' ⨳ c ♯ (a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c')))) ≤
    e ⨳ c ♯ (a ⨳ b ⨳ c' ♯ (a' ⨳ b ⨳ c ♯ (a ⨳ b' ⨳ c ♯ (e ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'))))
⊢ d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'
state_after: case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c d : Ordinal.{u}
h : d < a ⨳ b ⨳ c
e : Ordinal.{u}
he : e < a ⨳ b
c' : Ordinal.{u}
hc : c' < c
H₁ : d ♯ e ⨳ c' ≤ e ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c'
a' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
b' : Ordinal.{u}
hb : b' < b
H₂ : e ♯ a' ⨳ b' ≤ a' ⨳ b ♯ a ⨳ b'
this : d ♯ (a' ⨳ b' ⨳ c ♯ (a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c')) ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ (a ⨳ b' ⨳ c ♯ (a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'))
⊢ d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'

tactic: simpa only [nadd_assoc]
state_before: case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c d : Ordinal.{u}
h : d < a ⨳ b ⨳ c
e : Ordinal.{u}
he : e < a ⨳ b
c' : Ordinal.{u}
hc : c' < c
H₁ : d ♯ e ⨳ c' ≤ e ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c'
a' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
b' : Ordinal.{u}
hb : b' < b
H₂ : e ♯ a' ⨳ b' ≤ a' ⨳ b ♯ a ⨳ b'
this : d ♯ (a' ⨳ b' ⨳ c ♯ (a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c')) ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ (a ⨳ b' ⨳ c ♯ (a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'))
⊢ d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'
state_after: no goals

tactic: rintro ⟨a', ha, b', hb, c', hc, h⟩
state_before: case refine_2
a b c d : Ordinal.{u}
⊢ (∃ a' < a,
      ∃ b' < b,
        ∃ c' < c, d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c') →
    d < a ⨳ b ⨳ c
state_after: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c d a' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
b' : Ordinal.{u}
hb : b' < b
c' : Ordinal.{u}
hc : c' < c
h : d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'
⊢ d < a ⨳ b ⨳ c

tactic: have := h.trans_lt (nmul_nadd_lt₃ ha hb hc)
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c d a' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
b' : Ordinal.{u}
hb : b' < b
c' : Ordinal.{u}
hc : c' < c
h : d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'
⊢ d < a ⨳ b ⨳ c
state_after: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c d a' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
b' : Ordinal.{u}
hb : b' < b
c' : Ordinal.{u}
hc : c' < c
h : d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'
this : d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' < a ⨳ b ⨳ c ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c'
⊢ d < a ⨳ b ⨳ c

tactic: repeat' rw [nadd_lt_nadd_iff_right] at this
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c d a' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
b' : Ordinal.{u}
hb : b' < b
c' : Ordinal.{u}
hc : c' < c
h : d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'
this : d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' < a ⨳ b ⨳ c ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c'
⊢ d < a ⨳ b ⨳ c
state_after: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c d a' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
b' : Ordinal.{u}
hb : b' < b
c' : Ordinal.{u}
hc : c' < c
h : d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'
this : d < a ⨳ b ⨳ c
⊢ d < a ⨳ b ⨳ c

tactic: assumption
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c d a' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
b' : Ordinal.{u}
hb : b' < b
c' : Ordinal.{u}
hc : c' < c
h : d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'
this : d < a ⨳ b ⨳ c
⊢ d < a ⨳ b ⨳ c
state_after: no goals

tactic: rw [nadd_lt_nadd_iff_right] at this
state_before: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c d a' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
b' : Ordinal.{u}
hb : b' < b
c' : Ordinal.{u}
hc : c' < c
h : d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'
this : d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c < a ⨳ b ⨳ c ♯ a' ⨳ b' ⨳ c
⊢ d < a ⨳ b ⨳ c
state_after: case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c d a' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
b' : Ordinal.{u}
hb : b' < b
c' : Ordinal.{u}
hc : c' < c
h : d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c' ≤ a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c'
this : d < a ⨳ b ⨳ c
⊢ d < a ⨳ b ⨳ c