Theorem: exists_signed_sum'
File: Mathlib/Data/Sign.lean

tactic: obtain ⟨β, _, sgn, g, hg, hβ, hf⟩ := exists_signed_sum s f
state_before: α✝ α : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ
n : ℕ
h : ∑ i ∈ s, (f i).natAbs ≤ n
⊢ ∃ β x sgn g,
    (∀ (b : β), g b ∉ s → sgn b = 0) ∧ Fintype.card β = n ∧ ∀ a ∈ s, (∑ i : β, if g i = a then ↑(sgn i) else 0) = f a
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
α✝ α : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ
n : ℕ
h : ∑ i ∈ s, (f i).natAbs ≤ n
β : Type u_1
w✝ : Fintype β
sgn : β → SignType
g : β → α
hg : ∀ (b : β), g b ∈ s
hβ : Fintype.card β = ∑ a ∈ s, (f a).natAbs
hf : ∀ a ∈ s, (∑ b : β, if g b = a then ↑(sgn b) else 0) = f a
⊢ ∃ β x sgn g,
    (∀ (b : β), g b ∉ s → sgn b = 0) ∧ Fintype.card β = n ∧ ∀ a ∈ s, (∑ i : β, if g i = a then ↑(sgn i) else 0) = f a

tactic: refine
  ⟨Sum β (Fin (n - ∑ i ∈ s, (f i).natAbs)), inferInstance, Sum.elim sgn 0,
    Sum.elim g (Classical.arbitrary (Fin (n - Finset.sum s fun i => Int.natAbs (f i)) → α)),
      ?_, by simp [hβ, h], fun a ha => by simp [hf _ ha]⟩
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
α✝ α : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ
n : ℕ
h : ∑ i ∈ s, (f i).natAbs ≤ n
β : Type u_1
w✝ : Fintype β
sgn : β → SignType
g : β → α
hg : ∀ (b : β), g b ∈ s
hβ : Fintype.card β = ∑ a ∈ s, (f a).natAbs
hf : ∀ a ∈ s, (∑ b : β, if g b = a then ↑(sgn b) else 0) = f a
⊢ ∃ β x sgn g,
    (∀ (b : β), g b ∉ s → sgn b = 0) ∧ Fintype.card β = n ∧ ∀ a ∈ s, (∑ i : β, if g i = a then ↑(sgn i) else 0) = f a
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
α✝ α : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ
n : ℕ
h : ∑ i ∈ s, (f i).natAbs ≤ n
β : Type u_1
w✝ : Fintype β
sgn : β → SignType
g : β → α
hg : ∀ (b : β), g b ∈ s
hβ : Fintype.card β = ∑ a ∈ s, (f a).natAbs
hf : ∀ a ∈ s, (∑ b : β, if g b = a then ↑(sgn b) else 0) = f a
⊢ ∀ (b : β ⊕ Fin (n - ∑ i ∈ s, (f i).natAbs)),
    Sum.elim g (Classical.arbitrary (Fin (n - ∑ i ∈ s, (f i).natAbs) → α)) b ∉ s → Sum.elim sgn 0 b = 0

tactic: rintro (b | b) hb
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro
α✝ α : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ
n : ℕ
h : ∑ i ∈ s, (f i).natAbs ≤ n
β : Type u_1
w✝ : Fintype β
sgn : β → SignType
g : β → α
hg : ∀ (b : β), g b ∈ s
hβ : Fintype.card β = ∑ a ∈ s, (f a).natAbs
hf : ∀ a ∈ s, (∑ b : β, if g b = a then ↑(sgn b) else 0) = f a
⊢ ∀ (b : β ⊕ Fin (n - ∑ i ∈ s, (f i).natAbs)),
    Sum.elim g (Classical.arbitrary (Fin (n - ∑ i ∈ s, (f i).natAbs) → α)) b ∉ s → Sum.elim sgn 0 b = 0
state_after: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl
α✝ α : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ
n : ℕ
h : ∑ i ∈ s, (f i).natAbs ≤ n
β : Type u_1
w✝ : Fintype β
sgn : β → SignType
g : β → α
hg : ∀ (b : β), g b ∈ s
hβ : Fintype.card β = ∑ a ∈ s, (f a).natAbs
hf : ∀ a ∈ s, (∑ b : β, if g b = a then ↑(sgn b) else 0) = f a
b : β
hb : Sum.elim g (Classical.arbitrary (Fin (n - ∑ i ∈ s, (f i).natAbs) → α)) (Sum.inl b) ∉ s
⊢ Sum.elim sgn 0 (Sum.inl b) = 0

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr
α✝ α : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ
n : ℕ
h : ∑ i ∈ s, (f i).natAbs ≤ n
β : Type u_1
w✝ : Fintype β
sgn : β → SignType
g : β → α
hg : ∀ (b : β), g b ∈ s
hβ : Fintype.card β = ∑ a ∈ s, (f a).natAbs
hf : ∀ a ∈ s, (∑ b : β, if g b = a then ↑(sgn b) else 0) = f a
b : Fin (n - ∑ i ∈ s, (f i).natAbs)
hb : Sum.elim g (Classical.arbitrary (Fin (n - ∑ i ∈ s, (f i).natAbs) → α)) (Sum.inr b) ∉ s
⊢ Sum.elim sgn 0 (Sum.inr b) = 0

tactic: simp [hβ, h]
state_before: α✝ α : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ
n : ℕ
h : ∑ i ∈ s, (f i).natAbs ≤ n
β : Type u_1
w✝ : Fintype β
sgn : β → SignType
g : β → α
hg : ∀ (b : β), g b ∈ s
hβ : Fintype.card β = ∑ a ∈ s, (f a).natAbs
hf : ∀ a ∈ s, (∑ b : β, if g b = a then ↑(sgn b) else 0) = f a
⊢ Fintype.card (β ⊕ Fin (n - ∑ i ∈ s, (f i).natAbs)) = n
state_after: no goals

tactic: simp [hf _ ha]
state_before: α✝ α : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ
n : ℕ
h : ∑ i ∈ s, (f i).natAbs ≤ n
β : Type u_1
w✝ : Fintype β
sgn : β → SignType
g : β → α
hg : ∀ (b : β), g b ∈ s
hβ : Fintype.card β = ∑ a ∈ s, (f a).natAbs
hf : ∀ a ∈ s, (∑ b : β, if g b = a then ↑(sgn b) else 0) = f a
a : α
ha : a ∈ s
⊢ (∑ i : β ⊕ Fin (n - ∑ i ∈ s, (f i).natAbs),
      if Sum.elim g (Classical.arbitrary (Fin (n - ∑ i ∈ s, (f i).natAbs) → α)) i = a then ↑(Sum.elim sgn 0 i) else 0) =
    f a
state_after: no goals

tactic: cases hb (hg _)
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl
α✝ α : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ
n : ℕ
h : ∑ i ∈ s, (f i).natAbs ≤ n
β : Type u_1
w✝ : Fintype β
sgn : β → SignType
g : β → α
hg : ∀ (b : β), g b ∈ s
hβ : Fintype.card β = ∑ a ∈ s, (f a).natAbs
hf : ∀ a ∈ s, (∑ b : β, if g b = a then ↑(sgn b) else 0) = f a
b : β
hb : Sum.elim g (Classical.arbitrary (Fin (n - ∑ i ∈ s, (f i).natAbs) → α)) (Sum.inl b) ∉ s
⊢ Sum.elim sgn 0 (Sum.inl b) = 0
state_after: no goals

tactic: rfl
state_before: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr
α✝ α : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ
n : ℕ
h : ∑ i ∈ s, (f i).natAbs ≤ n
β : Type u_1
w✝ : Fintype β
sgn : β → SignType
g : β → α
hg : ∀ (b : β), g b ∈ s
hβ : Fintype.card β = ∑ a ∈ s, (f a).natAbs
hf : ∀ a ∈ s, (∑ b : β, if g b = a then ↑(sgn b) else 0) = f a
b : Fin (n - ∑ i ∈ s, (f i).natAbs)
hb : Sum.elim g (Classical.arbitrary (Fin (n - ∑ i ∈ s, (f i).natAbs) → α)) (Sum.inr b) ∉ s
⊢ Sum.elim sgn 0 (Sum.inr b) = 0
state_after: no goals