Theorem: MeasureTheory.locallyIntegrable_map_homeomorph
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean

tactic: refine ⟨fun h x => ?_, fun h x => ?_⟩
state_before: X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ✝ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : BorelSpace X
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : Measure X
⊢ LocallyIntegrable f (map (⇑e) μ) ↔ LocallyIntegrable (f ∘ ⇑e) μ
state_after: case refine_1
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ✝ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : BorelSpace X
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : Measure X
h : LocallyIntegrable f (map (⇑e) μ)
x : X
⊢ IntegrableAtFilter (f ∘ ⇑e) (𝓝 x) μ

case refine_2
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ✝ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : BorelSpace X
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : Measure X
h : LocallyIntegrable (f ∘ ⇑e) μ
x : Y
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝 x) (map (⇑e) μ)

tactic: rcases h (e x) with ⟨U, hU, h'U⟩
state_before: case refine_1
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ✝ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : BorelSpace X
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : Measure X
h : LocallyIntegrable f (map (⇑e) μ)
x : X
⊢ IntegrableAtFilter (f ∘ ⇑e) (𝓝 x) μ
state_after: case refine_1.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ✝ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : BorelSpace X
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : Measure X
h : LocallyIntegrable f (map (⇑e) μ)
x : X
U : Set Y
hU : U ∈ 𝓝 (e x)
h'U : IntegrableOn f U (map (⇑e) μ)
⊢ IntegrableAtFilter (f ∘ ⇑e) (𝓝 x) μ

tactic: refine ⟨e ⁻¹' U, e.continuous.continuousAt.preimage_mem_nhds hU, ?_⟩
state_before: case refine_1.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ✝ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : BorelSpace X
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : Measure X
h : LocallyIntegrable f (map (⇑e) μ)
x : X
U : Set Y
hU : U ∈ 𝓝 (e x)
h'U : IntegrableOn f U (map (⇑e) μ)
⊢ IntegrableAtFilter (f ∘ ⇑e) (𝓝 x) μ
state_after: case refine_1.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ✝ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : BorelSpace X
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : Measure X
h : LocallyIntegrable f (map (⇑e) μ)
x : X
U : Set Y
hU : U ∈ 𝓝 (e x)
h'U : IntegrableOn f U (map (⇑e) μ)
⊢ IntegrableOn (f ∘ ⇑e) (⇑e ⁻¹' U) μ

tactic: exact (integrableOn_map_equiv e.toMeasurableEquiv).1 h'U
state_before: case refine_1.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ✝ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : BorelSpace X
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : Measure X
h : LocallyIntegrable f (map (⇑e) μ)
x : X
U : Set Y
hU : U ∈ 𝓝 (e x)
h'U : IntegrableOn f U (map (⇑e) μ)
⊢ IntegrableOn (f ∘ ⇑e) (⇑e ⁻¹' U) μ
state_after: no goals

tactic: rcases h (e.symm x) with ⟨U, hU, h'U⟩
state_before: case refine_2
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ✝ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : BorelSpace X
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : Measure X
h : LocallyIntegrable (f ∘ ⇑e) μ
x : Y
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝 x) (map (⇑e) μ)
state_after: case refine_2.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ✝ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : BorelSpace X
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : Measure X
h : LocallyIntegrable (f ∘ ⇑e) μ
x : Y
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 (e.symm x)
h'U : IntegrableOn (f ∘ ⇑e) U μ
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝 x) (map (⇑e) μ)

tactic: refine ⟨e.symm ⁻¹' U, e.symm.continuous.continuousAt.preimage_mem_nhds hU, ?_⟩
state_before: case refine_2.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ✝ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : BorelSpace X
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : Measure X
h : LocallyIntegrable (f ∘ ⇑e) μ
x : Y
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 (e.symm x)
h'U : IntegrableOn (f ∘ ⇑e) U μ
⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝 x) (map (⇑e) μ)
state_after: case refine_2.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ✝ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : BorelSpace X
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : Measure X
h : LocallyIntegrable (f ∘ ⇑e) μ
x : Y
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 (e.symm x)
h'U : IntegrableOn (f ∘ ⇑e) U μ
⊢ IntegrableOn f (⇑e.symm ⁻¹' U) (map (⇑e) μ)

tactic: apply (integrableOn_map_equiv e.toMeasurableEquiv).2
state_before: case refine_2.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ✝ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : BorelSpace X
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : Measure X
h : LocallyIntegrable (f ∘ ⇑e) μ
x : Y
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 (e.symm x)
h'U : IntegrableOn (f ∘ ⇑e) U μ
⊢ IntegrableOn f (⇑e.symm ⁻¹' U) (map (⇑e) μ)
state_after: case refine_2.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ✝ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : BorelSpace X
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : Measure X
h : LocallyIntegrable (f ∘ ⇑e) μ
x : Y
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 (e.symm x)
h'U : IntegrableOn (f ∘ ⇑e) U μ
⊢ IntegrableOn (f ∘ ⇑e.toMeasurableEquiv) (⇑e.toMeasurableEquiv ⁻¹' (⇑e.symm ⁻¹' U)) μ

tactic: simp only [Homeomorph.toMeasurableEquiv_coe]
state_before: case refine_2.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ✝ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : BorelSpace X
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : Measure X
h : LocallyIntegrable (f ∘ ⇑e) μ
x : Y
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 (e.symm x)
h'U : IntegrableOn (f ∘ ⇑e) U μ
⊢ IntegrableOn (f ∘ ⇑e.toMeasurableEquiv) (⇑e.toMeasurableEquiv ⁻¹' (⇑e.symm ⁻¹' U)) μ
state_after: case refine_2.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ✝ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : BorelSpace X
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : Measure X
h : LocallyIntegrable (f ∘ ⇑e) μ
x : Y
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 (e.symm x)
h'U : IntegrableOn (f ∘ ⇑e) U μ
⊢ IntegrableOn (f ∘ ⇑e) (⇑e ⁻¹' (⇑e.symm ⁻¹' U)) μ

tactic: convert h'U
state_before: case refine_2.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ✝ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : BorelSpace X
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : Measure X
h : LocallyIntegrable (f ∘ ⇑e) μ
x : Y
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 (e.symm x)
h'U : IntegrableOn (f ∘ ⇑e) U μ
⊢ IntegrableOn (f ∘ ⇑e) (⇑e ⁻¹' (⇑e.symm ⁻¹' U)) μ
state_after: case h.e'_6
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ✝ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : BorelSpace X
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : Measure X
h : LocallyIntegrable (f ∘ ⇑e) μ
x : Y
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 (e.symm x)
h'U : IntegrableOn (f ∘ ⇑e) U μ
⊢ ⇑e ⁻¹' (⇑e.symm ⁻¹' U) = U

tactic: ext x
state_before: case h.e'_6
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ✝ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : BorelSpace X
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : Measure X
h : LocallyIntegrable (f ∘ ⇑e) μ
x : Y
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 (e.symm x)
h'U : IntegrableOn (f ∘ ⇑e) U μ
⊢ ⇑e ⁻¹' (⇑e.symm ⁻¹' U) = U
state_after: case h.e'_6.h
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ✝ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : BorelSpace X
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : Measure X
h : LocallyIntegrable (f ∘ ⇑e) μ
x✝ : Y
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 (e.symm x✝)
h'U : IntegrableOn (f ∘ ⇑e) U μ
x : X
⊢ x ∈ ⇑e ⁻¹' (⇑e.symm ⁻¹' U) ↔ x ∈ U

tactic: simp only [mem_preimage, Homeomorph.symm_apply_apply]
state_before: case h.e'_6.h
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ✝ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : BorelSpace X
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ₜ Y
f : Y → E
μ : Measure X
h : LocallyIntegrable (f ∘ ⇑e) μ
x✝ : Y
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 (e.symm x✝)
h'U : IntegrableOn (f ∘ ⇑e) U μ
x : X
⊢ x ∈ ⇑e ⁻¹' (⇑e.symm ⁻¹' U) ↔ x ∈ U
state_after: no goals