Theorem: pi_generateFrom_eq_finite
File: Mathlib/Topology/Constructions.lean

tactic: cases nonempty_fintype ι
state_before: X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
⊢ Pi.topologicalSpace = generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}
state_after: case intro
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
⊢ Pi.topologicalSpace = generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}

tactic: rw [pi_generateFrom_eq]
state_before: case intro
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
⊢ Pi.topologicalSpace = generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}
state_after: case intro
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
⊢ generateFrom {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s} =
    generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}

tactic: refine le_antisymm (generateFrom_anti ?_) (le_generateFrom ?_)
state_before: case intro
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
⊢ generateFrom {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s} =
    generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}
state_after: case intro.refine_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
⊢ {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s} ⊆ {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s}

case intro.refine_2
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
⊢ ∀ s ∈ {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s}, IsOpen s

tactic: exact fun s ⟨t, ht, Eq⟩ => ⟨t, Finset.univ, by simp [ht, Eq]⟩
state_before: case intro.refine_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
⊢ {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s} ⊆ {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s}
state_after: no goals

tactic: simp [ht, Eq]
state_before: X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
s : Set ((i : ι) → π i)
x✝ : s ∈ {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}
t : (a : ι) → Set (π a)
ht : ∀ (a : ι), t a ∈ g a
Eq : s = univ.pi t
⊢ (∀ a ∈ Finset.univ, t a ∈ g a) ∧ s = (↑Finset.univ).pi t
state_after: no goals

tactic: rintro s ⟨t, i, ht, rfl⟩
state_before: case intro.refine_2
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
⊢ ∀ s ∈ {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s}, IsOpen s
state_after: case intro.refine_2.intro.intro.intro
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
t : (a : ι) → Set (π a)
i : Finset ι
ht : ∀ a ∈ i, t a ∈ g a
⊢ IsOpen ((↑i).pi t)

tactic: letI := generateFrom { t | ∃ s : ∀ a, Set (π a), (∀ a, s a ∈ g a) ∧ t = pi univ s }
state_before: case intro.refine_2.intro.intro.intro
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
t : (a : ι) → Set (π a)
i : Finset ι
ht : ∀ a ∈ i, t a ∈ g a
⊢ IsOpen ((↑i).pi t)
state_after: case intro.refine_2.intro.intro.intro
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
t : (a : ι) → Set (π a)
i : Finset ι
ht : ∀ a ∈ i, t a ∈ g a
this : TopologicalSpace ((i : ι) → π i) := generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}
⊢ IsOpen ((↑i).pi t)

tactic: refine isOpen_iff_forall_mem_open.2 fun f hf => ?_
state_before: case intro.refine_2.intro.intro.intro
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
t : (a : ι) → Set (π a)
i : Finset ι
ht : ∀ a ∈ i, t a ∈ g a
this : TopologicalSpace ((i : ι) → π i) := generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}
⊢ IsOpen ((↑i).pi t)
state_after: case intro.refine_2.intro.intro.intro
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f✝ : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
t : (a : ι) → Set (π a)
i : Finset ι
ht : ∀ a ∈ i, t a ∈ g a
this : TopologicalSpace ((i : ι) → π i) := generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}
f : (i : ι) → π i
hf : f ∈ (↑i).pi t
⊢ ∃ t_1 ⊆ (↑i).pi t, IsOpen t_1 ∧ f ∈ t_1

tactic: choose c hcg hfc using fun a => sUnion_eq_univ_iff.1 (hg a) (f a)
state_before: case intro.refine_2.intro.intro.intro
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f✝ : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
t : (a : ι) → Set (π a)
i : Finset ι
ht : ∀ a ∈ i, t a ∈ g a
this : TopologicalSpace ((i : ι) → π i) := generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}
f : (i : ι) → π i
hf : f ∈ (↑i).pi t
⊢ ∃ t_1 ⊆ (↑i).pi t, IsOpen t_1 ∧ f ∈ t_1
state_after: case intro.refine_2.intro.intro.intro
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f✝ : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
t : (a : ι) → Set (π a)
i : Finset ι
ht : ∀ a ∈ i, t a ∈ g a
this : TopologicalSpace ((i : ι) → π i) := generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}
f : (i : ι) → π i
hf : f ∈ (↑i).pi t
c : (a : ι) → Set (π a)
hcg : ∀ (a : ι), c a ∈ g a
hfc : ∀ (a : ι), f a ∈ c a
⊢ ∃ t_1 ⊆ (↑i).pi t, IsOpen t_1 ∧ f ∈ t_1

tactic: refine ⟨pi i t ∩ pi ((↑i)ᶜ : Set ι) c, inter_subset_left, ?_, ⟨hf, fun a _ => hfc a⟩⟩
state_before: case intro.refine_2.intro.intro.intro
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f✝ : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
t : (a : ι) → Set (π a)
i : Finset ι
ht : ∀ a ∈ i, t a ∈ g a
this : TopologicalSpace ((i : ι) → π i) := generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}
f : (i : ι) → π i
hf : f ∈ (↑i).pi t
c : (a : ι) → Set (π a)
hcg : ∀ (a : ι), c a ∈ g a
hfc : ∀ (a : ι), f a ∈ c a
⊢ ∃ t_1 ⊆ (↑i).pi t, IsOpen t_1 ∧ f ∈ t_1
state_after: case intro.refine_2.intro.intro.intro
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f✝ : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
t : (a : ι) → Set (π a)
i : Finset ι
ht : ∀ a ∈ i, t a ∈ g a
this : TopologicalSpace ((i : ι) → π i) := generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}
f : (i : ι) → π i
hf : f ∈ (↑i).pi t
c : (a : ι) → Set (π a)
hcg : ∀ (a : ι), c a ∈ g a
hfc : ∀ (a : ι), f a ∈ c a
⊢ IsOpen ((↑i).pi t ∩ (↑i)ᶜ.pi c)

tactic: rw [← univ_pi_piecewise]
state_before: case intro.refine_2.intro.intro.intro
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f✝ : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
t : (a : ι) → Set (π a)
i : Finset ι
ht : ∀ a ∈ i, t a ∈ g a
this : TopologicalSpace ((i : ι) → π i) := generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}
f : (i : ι) → π i
hf : f ∈ (↑i).pi t
c : (a : ι) → Set (π a)
hcg : ∀ (a : ι), c a ∈ g a
hfc : ∀ (a : ι), f a ∈ c a
⊢ IsOpen ((↑i).pi t ∩ (↑i)ᶜ.pi c)
state_after: case intro.refine_2.intro.intro.intro
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f✝ : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
t : (a : ι) → Set (π a)
i : Finset ι
ht : ∀ a ∈ i, t a ∈ g a
this : TopologicalSpace ((i : ι) → π i) := generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}
f : (i : ι) → π i
hf : f ∈ (↑i).pi t
c : (a : ι) → Set (π a)
hcg : ∀ (a : ι), c a ∈ g a
hfc : ∀ (a : ι), f a ∈ c a
⊢ IsOpen (univ.pi ((↑i).piecewise t c))

tactic: refine GenerateOpen.basic _ ⟨_, fun a => ?_, rfl⟩
state_before: case intro.refine_2.intro.intro.intro
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f✝ : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
t : (a : ι) → Set (π a)
i : Finset ι
ht : ∀ a ∈ i, t a ∈ g a
this : TopologicalSpace ((i : ι) → π i) := generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}
f : (i : ι) → π i
hf : f ∈ (↑i).pi t
c : (a : ι) → Set (π a)
hcg : ∀ (a : ι), c a ∈ g a
hfc : ∀ (a : ι), f a ∈ c a
⊢ IsOpen (univ.pi ((↑i).piecewise t c))
state_after: case intro.refine_2.intro.intro.intro
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f✝ : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
t : (a : ι) → Set (π a)
i : Finset ι
ht : ∀ a ∈ i, t a ∈ g a
this : TopologicalSpace ((i : ι) → π i) := generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}
f : (i : ι) → π i
hf : f ∈ (↑i).pi t
c : (a : ι) → Set (π a)
hcg : ∀ (a : ι), c a ∈ g a
hfc : ∀ (a : ι), f a ∈ c a
a : ι
⊢ (↑i).piecewise t c a ∈ g a

tactic: by_cases a ∈ i <;> simp [*]
state_before: case intro.refine_2.intro.intro.intro
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f✝ : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
t : (a : ι) → Set (π a)
i : Finset ι
ht : ∀ a ∈ i, t a ∈ g a
this : TopologicalSpace ((i : ι) → π i) := generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}
f : (i : ι) → π i
hf : f ∈ (↑i).pi t
c : (a : ι) → Set (π a)
hcg : ∀ (a : ι), c a ∈ g a
hfc : ∀ (a : ι), f a ∈ c a
a : ι
⊢ (↑i).piecewise t c a ∈ g a
state_after: no goals