Theorem: Dense.borel_eq_generateFrom_Ioc_mem_aux
File: Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean

tactic: convert hd.orderDual.borel_eq_generateFrom_Ico_mem_aux hbot fun x y hlt he => hIoo y x hlt _
  using 2
state_before: α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → x ∈ s
⊢ borel α = MeasurableSpace.generateFrom {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ioc l u = S}
state_after: case h.e'_3.h.h.e'_2.h
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → x ∈ s
e_1✝¹ : MeasurableSpace α = MeasurableSpace αᵒᵈ
e_1✝ : α = αᵒᵈ
⊢ {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ioc l u = S} =
    {S | ∃ l ∈ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s, ∃ u ∈ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s, l < u ∧ Ico l u = S}

α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x✝ : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → x ∈ s
x y : αᵒᵈ
hlt : x < y
he : Ioo x y = ∅
⊢ Ioo y x = ∅

tactic: ext s
state_before: case h.e'_3.h.h.e'_2.h
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → x ∈ s
e_1✝¹ : MeasurableSpace α = MeasurableSpace αᵒᵈ
e_1✝ : α = αᵒᵈ
⊢ {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ioc l u = S} =
    {S | ∃ l ∈ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s, ∃ u ∈ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s, l < u ∧ Ico l u = S}
state_after: case h.e'_3.h.h.e'_2.h.h
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝¹ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s✝ : Set α
hd : Dense s✝
hbot : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s✝
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → x ∈ s✝
e_1✝¹ : MeasurableSpace α = MeasurableSpace αᵒᵈ
e_1✝ : α = αᵒᵈ
s : Set α
⊢ s ∈ {S | ∃ l ∈ s✝, ∃ u ∈ s✝, l < u ∧ Ioc l u = S} ↔
    s ∈ {S | ∃ l ∈ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s✝, ∃ u ∈ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s✝, l < u ∧ Ico l u = S}

tactic: constructor <;> rintro ⟨l, hl, u, hu, hlt, rfl⟩
state_before: case h.e'_3.h.h.e'_2.h.h
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝¹ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s✝ : Set α
hd : Dense s✝
hbot : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s✝
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → x ∈ s✝
e_1✝¹ : MeasurableSpace α = MeasurableSpace αᵒᵈ
e_1✝ : α = αᵒᵈ
s : Set α
⊢ s ∈ {S | ∃ l ∈ s✝, ∃ u ∈ s✝, l < u ∧ Ioc l u = S} ↔
    s ∈ {S | ∃ l ∈ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s✝, ∃ u ∈ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s✝, l < u ∧ Ico l u = S}
state_after: case h.e'_3.h.h.e'_2.h.h.mp.intro.intro.intro.intro.intro
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u✝ : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → x ∈ s
e_1✝¹ : MeasurableSpace α = MeasurableSpace αᵒᵈ
e_1✝ : α = αᵒᵈ
l : α
hl : l ∈ s
u : α
hu : u ∈ s
hlt : l < u
⊢ Ioc l u ∈ {S | ∃ l ∈ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s, ∃ u ∈ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s, l < u ∧ Ico l u = S}

case h.e'_3.h.h.e'_2.h.h.mpr.intro.intro.intro.intro.intro
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u✝ : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → x ∈ s
e_1✝¹ : MeasurableSpace α = MeasurableSpace αᵒᵈ
e_1✝ : α = αᵒᵈ
l : αᵒᵈ
hl : l ∈ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s
u : αᵒᵈ
hu : u ∈ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s
hlt : l < u
⊢ Ico l u ∈ {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ioc l u = S}

tactic: exacts [⟨u, hu, l, hl, hlt, dual_Ico⟩, ⟨u, hu, l, hl, hlt, dual_Ioc⟩]
state_before: case h.e'_3.h.h.e'_2.h.h.mp.intro.intro.intro.intro.intro
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u✝ : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → x ∈ s
e_1✝¹ : MeasurableSpace α = MeasurableSpace αᵒᵈ
e_1✝ : α = αᵒᵈ
l : α
hl : l ∈ s
u : α
hu : u ∈ s
hlt : l < u
⊢ Ioc l u ∈ {S | ∃ l ∈ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s, ∃ u ∈ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s, l < u ∧ Ico l u = S}

case h.e'_3.h.h.e'_2.h.h.mpr.intro.intro.intro.intro.intro
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u✝ : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → x ∈ s
e_1✝¹ : MeasurableSpace α = MeasurableSpace αᵒᵈ
e_1✝ : α = αᵒᵈ
l : αᵒᵈ
hl : l ∈ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s
u : αᵒᵈ
hu : u ∈ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' s
hlt : l < u
⊢ Ico l u ∈ {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ioc l u = S}
state_after: no goals

tactic: erw [dual_Ioo]
state_before: α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x✝ : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → x ∈ s
x y : αᵒᵈ
hlt : x < y
he : Ioo x y = ∅
⊢ Ioo y x = ∅
state_after: α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x✝ : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → x ∈ s
x y : αᵒᵈ
hlt : x < y
he : Ioo x y = ∅
⊢ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Ioo x y = ∅

tactic: exact he
state_before: α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x✝ : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → x ∈ s
x y : αᵒᵈ
hlt : x < y
he : Ioo x y = ∅
⊢ ⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Ioo x y = ∅
state_after: no goals