Theorem: LocalizedModule.smul_add_aux
File: Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean

tactic: induction' p with m s
state_before: R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
p q : LocalizedModule S M
⊢ x • (p + q) = x • p + x • q
state_after: case h
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
q : LocalizedModule S M
m : M
s : ↥S
⊢ x • (mk m s + q) = x • mk m s + x • q

tactic: induction' q with n t
state_before: case h
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
q : LocalizedModule S M
m : M
s : ↥S
⊢ x • (mk m s + q) = x • mk m s + x • q
state_after: case h.h
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S
⊢ x • (mk m s + mk n t) = x • mk m s + x • mk n t

tactic: rw [smul_def, smul_def, mk_add_mk, mk_add_mk]
state_before: case h.h
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S
⊢ x • (mk m s + mk n t) = x • mk m s + x • mk n t
state_after: case h.h
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S
⊢ x • mk (t • m + s • n) (s * t) =
    mk
      (((IsLocalization.sec S x).2 * t) • (IsLocalization.sec S x).1 • m +
        ((IsLocalization.sec S x).2 * s) • (IsLocalization.sec S x).1 • n)
      ((IsLocalization.sec S x).2 * s * ((IsLocalization.sec S x).2 * t))

tactic: rw [show x • _ =  IsLocalization.mk' T _ _ • _ by rw [IsLocalization.mk'_sec (M := S) T]]
state_before: case h.h
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S
⊢ x • mk (t • m + s • n) (s * t) =
    mk
      (((IsLocalization.sec S x).2 * t) • (IsLocalization.sec S x).1 • m +
        ((IsLocalization.sec S x).2 * s) • (IsLocalization.sec S x).1 • n)
      ((IsLocalization.sec S x).2 * s * ((IsLocalization.sec S x).2 * t))
state_after: case h.h
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S
⊢ IsLocalization.mk' T (IsLocalization.sec S x).1 (IsLocalization.sec S x).2 • mk (t • m + s • n) (s * t) =
    mk
      (((IsLocalization.sec S x).2 * t) • (IsLocalization.sec S x).1 • m +
        ((IsLocalization.sec S x).2 * s) • (IsLocalization.sec S x).1 • n)
      ((IsLocalization.sec S x).2 * s * ((IsLocalization.sec S x).2 * t))

tactic: rw [← IsLocalization.mk'_cancel _ _ (IsLocalization.sec S x).2, mk'_smul_mk]
state_before: case h.h
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S
⊢ IsLocalization.mk' T (IsLocalization.sec S x).1 (IsLocalization.sec S x).2 • mk (t • m + s • n) (s * t) =
    mk
      (((IsLocalization.sec S x).2 * t) • (IsLocalization.sec S x).1 • m +
        ((IsLocalization.sec S x).2 * s) • (IsLocalization.sec S x).1 • n)
      ((IsLocalization.sec S x).2 * s * ((IsLocalization.sec S x).2 * t))
state_after: case h.h
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S
⊢ mk (((IsLocalization.sec S x).1 * ↑(IsLocalization.sec S x).2) • (t • m + s • n))
      ((IsLocalization.sec S x).2 * (IsLocalization.sec S x).2 * (s * t)) =
    mk
      (((IsLocalization.sec S x).2 * t) • (IsLocalization.sec S x).1 • m +
        ((IsLocalization.sec S x).2 * s) • (IsLocalization.sec S x).1 • n)
      ((IsLocalization.sec S x).2 * s * ((IsLocalization.sec S x).2 * t))

tactic: congr 1
state_before: case h.h
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S
⊢ mk (((IsLocalization.sec S x).1 * ↑(IsLocalization.sec S x).2) • (t • m + s • n))
      ((IsLocalization.sec S x).2 * (IsLocalization.sec S x).2 * (s * t)) =
    mk
      (((IsLocalization.sec S x).2 * t) • (IsLocalization.sec S x).1 • m +
        ((IsLocalization.sec S x).2 * s) • (IsLocalization.sec S x).1 • n)
      ((IsLocalization.sec S x).2 * s * ((IsLocalization.sec S x).2 * t))
state_after: case h.h.e_m
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S
⊢ ((IsLocalization.sec S x).1 * ↑(IsLocalization.sec S x).2) • (t • m + s • n) =
    ((IsLocalization.sec S x).2 * t) • (IsLocalization.sec S x).1 • m +
      ((IsLocalization.sec S x).2 * s) • (IsLocalization.sec S x).1 • n

case h.h.e_s
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S
⊢ (IsLocalization.sec S x).2 * (IsLocalization.sec S x).2 * (s * t) =
    (IsLocalization.sec S x).2 * s * ((IsLocalization.sec S x).2 * t)

tactic: rw [IsLocalization.mk'_sec (M := S) T]
state_before: R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S
⊢ x • mk (t • m + s • n) (s * t) = IsLocalization.mk' T ?m.239112 ?m.239113 • ?m.239168
state_after: no goals

tactic: simp only [Submonoid.smul_def, smul_add, ← mul_smul, Submonoid.coe_mul]
state_before: case h.h.e_m
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S
⊢ ((IsLocalization.sec S x).1 * ↑(IsLocalization.sec S x).2) • (t • m + s • n) =
    ((IsLocalization.sec S x).2 * t) • (IsLocalization.sec S x).1 • m +
      ((IsLocalization.sec S x).2 * s) • (IsLocalization.sec S x).1 • n
state_after: case h.h.e_m
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S
⊢ ((IsLocalization.sec S x).1 * ↑(IsLocalization.sec S x).2 * ↑t) • m +
      ((IsLocalization.sec S x).1 * ↑(IsLocalization.sec S x).2 * ↑s) • n =
    (↑(IsLocalization.sec S x).2 * ↑t * (IsLocalization.sec S x).1) • m +
      (↑(IsLocalization.sec S x).2 * ↑s * (IsLocalization.sec S x).1) • n

tactic: ring_nf
state_before: case h.h.e_m
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S
⊢ ((IsLocalization.sec S x).1 * ↑(IsLocalization.sec S x).2 * ↑t) • m +
      ((IsLocalization.sec S x).1 * ↑(IsLocalization.sec S x).2 * ↑s) • n =
    (↑(IsLocalization.sec S x).2 * ↑t * (IsLocalization.sec S x).1) • m +
      (↑(IsLocalization.sec S x).2 * ↑s * (IsLocalization.sec S x).1) • n
state_after: no goals

tactic: rw [mul_mul_mul_comm]
state_before: case h.h.e_s
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S
⊢ (IsLocalization.sec S x).2 * (IsLocalization.sec S x).2 * (s * t) =
    (IsLocalization.sec S x).2 * s * ((IsLocalization.sec S x).2 * t)
state_after: no goals