Theorem: Monotone.seq_pos_lt_seq_of_lt_of_le
File: Mathlib/Order/Iterate.lean

tactic: induction' n with n ihn
state_before: α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
n : ℕ
hn : 0 < n
h₀ : x 0 ≤ y 0
hx : ∀ (k : ℕ), k < n → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < n → f (y k) ≤ y (k + 1)
⊢ x n < y n
state_after: case zero
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
h₀ : x 0 ≤ y 0
hn : 0 < 0
hx : ∀ (k : ℕ), k < 0 → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < 0 → f (y k) ≤ y (k + 1)
⊢ x 0 < y 0

case succ
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
h₀ : x 0 ≤ y 0
n : ℕ
ihn : 0 < n → (∀ (k : ℕ), k < n → x (k + 1) < f (x k)) → (∀ (k : ℕ), k < n → f (y k) ≤ y (k + 1)) → x n < y n
hn : 0 < n + 1
hx : ∀ (k : ℕ), k < n + 1 → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < n + 1 → f (y k) ≤ y (k + 1)
⊢ x (n + 1) < y (n + 1)

tactic: suffices x n ≤ y n from (hx n n.lt_succ_self).trans_le ((hf this).trans <| hy n n.lt_succ_self)
state_before: case succ
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
h₀ : x 0 ≤ y 0
n : ℕ
ihn : 0 < n → (∀ (k : ℕ), k < n → x (k + 1) < f (x k)) → (∀ (k : ℕ), k < n → f (y k) ≤ y (k + 1)) → x n < y n
hn : 0 < n + 1
hx : ∀ (k : ℕ), k < n + 1 → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < n + 1 → f (y k) ≤ y (k + 1)
⊢ x (n + 1) < y (n + 1)
state_after: case succ
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
h₀ : x 0 ≤ y 0
n : ℕ
ihn : 0 < n → (∀ (k : ℕ), k < n → x (k + 1) < f (x k)) → (∀ (k : ℕ), k < n → f (y k) ≤ y (k + 1)) → x n < y n
hn : 0 < n + 1
hx : ∀ (k : ℕ), k < n + 1 → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < n + 1 → f (y k) ≤ y (k + 1)
⊢ x n ≤ y n

tactic: cases n with
| zero => exact h₀
| succ n =>
  refine (ihn n.zero_lt_succ (fun k hk => hx _ ?_) fun k hk => hy _ ?_).le <;>
  exact hk.trans n.succ.lt_succ_self
state_before: case succ
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
h₀ : x 0 ≤ y 0
n : ℕ
ihn : 0 < n → (∀ (k : ℕ), k < n → x (k + 1) < f (x k)) → (∀ (k : ℕ), k < n → f (y k) ≤ y (k + 1)) → x n < y n
hn : 0 < n + 1
hx : ∀ (k : ℕ), k < n + 1 → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < n + 1 → f (y k) ≤ y (k + 1)
⊢ x n ≤ y n
state_after: no goals

tactic: exact hn.false.elim
state_before: case zero
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
h₀ : x 0 ≤ y 0
hn : 0 < 0
hx : ∀ (k : ℕ), k < 0 → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < 0 → f (y k) ≤ y (k + 1)
⊢ x 0 < y 0
state_after: no goals

tactic: exact h₀
state_before: case succ.zero
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
h₀ : x 0 ≤ y 0
ihn : 0 < 0 → (∀ (k : ℕ), k < 0 → x (k + 1) < f (x k)) → (∀ (k : ℕ), k < 0 → f (y k) ≤ y (k + 1)) → x 0 < y 0
hn : 0 < 0 + 1
hx : ∀ (k : ℕ), k < 0 + 1 → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < 0 + 1 → f (y k) ≤ y (k + 1)
⊢ x 0 ≤ y 0
state_after: no goals

tactic: refine (ihn n.zero_lt_succ (fun k hk => hx _ ?_) fun k hk => hy _ ?_).le <;>
exact hk.trans n.succ.lt_succ_self
state_before: case succ.succ
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
h₀ : x 0 ≤ y 0
n : ℕ
ihn :
  0 < n + 1 →
    (∀ (k : ℕ), k < n + 1 → x (k + 1) < f (x k)) → (∀ (k : ℕ), k < n + 1 → f (y k) ≤ y (k + 1)) → x (n + 1) < y (n + 1)
hn : 0 < n + 1 + 1
hx : ∀ (k : ℕ), k < n + 1 + 1 → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < n + 1 + 1 → f (y k) ≤ y (k + 1)
⊢ x (n + 1) ≤ y (n + 1)
state_after: no goals