1337xyz1337xyz/leandojo-benchmark4-v10 huggingface dataset:
Theorem: QuadraticForm.exists_quadraticForm_ne_zero
File: Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean

tactic: rw [← not_forall]
state_before: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra S R
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinForm R M
Q✝ Q : QuadraticForm R M
hB₁ : associated' Q ≠ 0
⊢ ∃ x, Q x ≠ 0
state_after: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra S R
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinForm R M
Q✝ Q : QuadraticForm R M
hB₁ : associated' Q ≠ 0
⊢ ¬∀ (x : M), Q x = 0

tactic: intro h
state_before: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra S R
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinForm R M
Q✝ Q : QuadraticForm R M
hB₁ : associated' Q ≠ 0
⊢ ¬∀ (x : M), Q x = 0
state_after: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra S R
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinForm R M
Q✝ Q : QuadraticForm R M
hB₁ : associated' Q ≠ 0
h : ∀ (x : M), Q x = 0
⊢ False

tactic: apply hB₁
state_before: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra S R
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinForm R M
Q✝ Q : QuadraticForm R M
hB₁ : associated' Q ≠ 0
h : ∀ (x : M), Q x = 0
⊢ False
state_after: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra S R
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinForm R M
Q✝ Q : QuadraticForm R M
hB₁ : associated' Q ≠ 0
h : ∀ (x : M), Q x = 0
⊢ associated' Q = 0

tactic: rw [(QuadraticForm.ext h : Q = 0), LinearMap.map_zero]
state_before: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra S R
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinForm R M
Q✝ Q : QuadraticForm R M
hB₁ : associated' Q ≠ 0
h : ∀ (x : M), Q x = 0
⊢ associated' Q = 0
state_after: no goals
Theorem: val_div_eq_divp
File: Mathlib/Algebra/Group/Units.lean

tactic: rw [divp, division_def, Units.val_mul]
state_before: α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c : α
u₁ u₂ : αˣ
⊢ ↑(u₁ / u₂) = ↑u₁ /ₚ u₂
state_after: no goals
Theorem: Cardinal.zero_le
File: Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean

tactic: rintro ⟨α⟩
state_before: α β : Type u
⊢ ∀ (a : Cardinal.{u_1}), 0 ≤ a
state_after: case mk
α✝ β : Type u
a✝ : Cardinal.{u_1}
α : Type u_1
⊢ 0 ≤ Quot.mk Setoid.r α

tactic: exact ⟨Embedding.ofIsEmpty⟩
state_before: case mk
α✝ β : Type u
a✝ : Cardinal.{u_1}
α : Type u_1
⊢ 0 ≤ Quot.mk Setoid.r α
state_after: no goals
Theorem: intrinsicClosure_singleton
File: Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean

tactic: simpa only [intrinsicClosure, preimage_coe_affineSpan_singleton, closure_univ, image_univ,
  Subtype.range_coe] using coe_affineSpan_singleton _ _ _
state_before: 𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x✝ x : P
⊢ intrinsicClosure 𝕜 {x} = {x}
state_after: no goals
Theorem: Sylow.normalizer_sup_eq_top'
File: Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean

tactic: rw [← Sylow.normalizer_sup_eq_top (P.subtype hP), P.coe_subtype, subgroupOf_map_subtype,
  inf_of_le_left hP]
state_before: p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p G
hP : ↑P ≤ N
⊢ (↑P).normalizer ⊔ N = ⊤
state_after: no goals
Theorem: Cardinal.aleph'_le_of_limit
File: Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean

tactic: rw [← aleph'_alephIdx c, aleph'_le, limit_le l]
state_before: o : Ordinal.{u_1}
l : o.IsLimit
c : Cardinal.{u_1}
h : ∀ o' < o, aleph' o' ≤ c
⊢ aleph' o ≤ c
state_after: o : Ordinal.{u_1}
l : o.IsLimit
c : Cardinal.{u_1}
h : ∀ o' < o, aleph' o' ≤ c
⊢ ∀ x < o, x ≤ c.alephIdx

tactic: intro x h'
state_before: o : Ordinal.{u_1}
l : o.IsLimit
c : Cardinal.{u_1}
h : ∀ o' < o, aleph' o' ≤ c
⊢ ∀ x < o, x ≤ c.alephIdx
state_after: o : Ordinal.{u_1}
l : o.IsLimit
c : Cardinal.{u_1}
h : ∀ o' < o, aleph' o' ≤ c
x : Ordinal.{u_1}
h' : x < o
⊢ x ≤ c.alephIdx

tactic: rw [← aleph'_le, aleph'_alephIdx]
state_before: o : Ordinal.{u_1}
l : o.IsLimit
c : Cardinal.{u_1}
h : ∀ o' < o, aleph' o' ≤ c
x : Ordinal.{u_1}
h' : x < o
⊢ x ≤ c.alephIdx
state_after: o : Ordinal.{u_1}
l : o.IsLimit
c : Cardinal.{u_1}
h : ∀ o' < o, aleph' o' ≤ c
x : Ordinal.{u_1}
h' : x < o
⊢ aleph' x ≤ c

tactic: exact h _ h'
state_before: o : Ordinal.{u_1}
l : o.IsLimit
c : Cardinal.{u_1}
h : ∀ o' < o, aleph' o' ≤ c
x : Ordinal.{u_1}
h' : x < o
⊢ aleph' x ≤ c
state_after: no goals
Theorem: ZMod.val_add_of_le
File: Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean

tactic: rw [val_add_val_of_le h]
state_before: n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a b : ZMod n
h : n ≤ a.val + b.val
⊢ (a + b).val = a.val + b.val - n
state_after: n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a b : ZMod n
h : n ≤ a.val + b.val
⊢ (a + b).val = (a + b).val + n - n

tactic: exact eq_tsub_of_add_eq rfl
state_before: n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a b : ZMod n
h : n ≤ a.val + b.val
⊢ (a + b).val = (a + b).val + n - n
state_after: no goals
Theorem: WeakFEPair.functional_equation
File: Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean

tactic: have := P.functional_equation₀ s
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
⊢ P.Λ (↑P.k - s) = P.ε • P.symm.Λ s
state_after: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
this : P.Λ₀ (↑P.k - s) = P.ε • P.symm.Λ₀ s
⊢ P.Λ (↑P.k - s) = P.ε • P.symm.Λ s

tactic: rw [P.Λ₀_eq, P.symm_Λ₀_eq, sub_sub_cancel] at this
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
this : P.Λ₀ (↑P.k - s) = P.ε • P.symm.Λ₀ s
⊢ P.Λ (↑P.k - s) = P.ε • P.symm.Λ s
state_after: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
this :
  P.Λ (↑P.k - s) + (1 / (↑P.k - s)) • P.f₀ + (P.ε / s) • P.g₀ =
    P.ε • (P.symm.Λ s + (1 / s) • P.g₀ + (P.ε⁻¹ / (↑P.k - s)) • P.f₀)
⊢ P.Λ (↑P.k - s) = P.ε • P.symm.Λ s

tactic: rwa [smul_add, smul_add, ← mul_smul, mul_one_div, ← mul_smul, ← mul_div_assoc,
  mul_inv_cancel P.hε, add_assoc, add_comm (_ • _), add_assoc, add_left_inj] at this
state_before: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
this :
  P.Λ (↑P.k - s) + (1 / (↑P.k - s)) • P.f₀ + (P.ε / s) • P.g₀ =
    P.ε • (P.symm.Λ s + (1 / s) • P.g₀ + (P.ε⁻¹ / (↑P.k - s)) • P.f₀)
⊢ P.Λ (↑P.k - s) = P.ε • P.symm.Λ s
state_after: no goals
Theorem: Matrix.isUnit_nonsing_inv_det_iff
File: Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean

tactic: rw [Matrix.det_nonsing_inv, isUnit_ring_inverse]
state_before: l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B A : Matrix n n α
⊢ IsUnit A⁻¹.det ↔ IsUnit A.det
state_after: no goals
Theorem: ExistsContDiffBumpBase.y_neg
File: Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean

tactic: apply convolution_neg_of_neg_eq
state_before: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
⊢ y D (-x) = y D x
state_after: case h1
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, w D (-x) = w D x

case h2
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, φ (-x) = φ x

tactic: filter_upwards with x
state_before: case h1
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, w D (-x) = w D x
state_after: case h1.h
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x✝ x : E
⊢ w D (-x) = w D x

tactic: simp only [w_def, Real.rpow_natCast, mul_inv_rev, smul_neg, u_neg, smul_eq_mul, forall_const]
state_before: case h1.h
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x✝ x : E
⊢ w D (-x) = w D x
state_after: no goals

tactic: filter_upwards with x
state_before: case h2
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, φ (-x) = φ x
state_after: case h2.h
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x✝ x : E
⊢ φ (-x) = φ x

tactic: simp only [φ, indicator, mem_closedBall, dist_zero_right, norm_neg, forall_const]
state_before: case h2.h
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x✝ x : E
⊢ φ (-x) = φ x
state_after: no goals
Theorem: UniformOnFun.uniformContinuous_restrict_toFun
File: Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean

tactic: rw [uniformContinuous_pi]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
⊢ UniformContinuous ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖))
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
⊢ ∀ (i : ↑(⋃₀ 𝔖)), UniformContinuous fun x => ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x i

tactic: intro ⟨x, hx⟩
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
⊢ ∀ (i : ↑(⋃₀ 𝔖)), UniformContinuous fun x => ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x i
state_after: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
x : α
hx : x ∈ ⋃₀ 𝔖
⊢ UniformContinuous fun x_1 => ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x_1 ⟨x, hx⟩

tactic: obtain ⟨s : Set α, hs : s ∈ 𝔖, hxs : x ∈ s⟩ := mem_sUnion.mpr hx
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
x : α
hx : x ∈ ⋃₀ 𝔖
⊢ UniformContinuous fun x_1 => ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x_1 ⟨x, hx⟩
state_after: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s✝ s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
x : α
hx : x ∈ ⋃₀ 𝔖
s : Set α
hs : s ∈ 𝔖
hxs : x ∈ s
⊢ UniformContinuous fun x_1 => ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x_1 ⟨x, hx⟩

tactic: exact uniformContinuous_eval_of_mem β 𝔖 hxs hs
state_before: case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s✝ s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
x : α
hx : x ∈ ⋃₀ 𝔖
s : Set α
hs : s ∈ 𝔖
hxs : x ∈ s
⊢ UniformContinuous fun x_1 => ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x_1 ⟨x, hx⟩
state_after: no goals
Theorem: PartialEquiv.refl_trans
File: Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean

tactic: simp [trans_source, preimage_id]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
⊢ ((PartialEquiv.refl α).trans e).source = e.source
state_after: no goals
Theorem: Tuple.sort_eq_refl_iff_monotone
File: Mathlib/Data/Fin/Tuple/Sort.lean

tactic: rw [eq_comm, eq_sort_iff, Equiv.coe_refl, Function.comp_id]
state_before: n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ sort f = Equiv.refl (Fin n) ↔ Monotone f
state_after: n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ (Monotone f ∧ ∀ (i j : Fin n), i < j → f (id i) = f (id j) → id i < id j) ↔ Monotone f

tactic: simp only [id, and_iff_left_iff_imp]
state_before: n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ (Monotone f ∧ ∀ (i j : Fin n), i < j → f (id i) = f (id j) → id i < id j) ↔ Monotone f
state_after: n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ Monotone f → ∀ (i j : Fin n), i < j → f i = f j → i < j

tactic: exact fun _ _ _ hij _ => hij
state_before: n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ Monotone f → ∀ (i j : Fin n), i < j → f i = f j → i < j
state_after: no goals
Theorem: IsIntegral.tmul
File: Mathlib/RingTheory/IntegralClosure.lean

tactic: rw [← mul_one x, ← smul_eq_mul, ← smul_tmul']
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝¹ : R →+* S
f✝ : R →+* B
f : R →+* S
x : A
y : B
h : IsIntegral R y
⊢ IsIntegral A (x ⊗ₜ[R] y)
state_after: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝¹ : R →+* S
f✝ : R →+* B
f : R →+* S
x : A
y : B
h : IsIntegral R y
⊢ IsIntegral A (x • 1 ⊗ₜ[R] y)

tactic: exact smul _ (h.map_of_comp_eq (algebraMap R A)
  (Algebra.TensorProduct.includeRight (R := R) (A := A) (B := B)).toRingHom
  Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom_comp_algebraMap)
state_before: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝¹ : R →+* S
f✝ : R →+* B
f : R →+* S
x : A
y : B
h : IsIntegral R y
⊢ IsIntegral A (x • 1 ⊗ₜ[R] y)
state_after: no goals
Theorem: MeasureTheory.norm_indicatorConstLp'
File: Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean

tactic: by_cases hp_top : p = ∞
state_before: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hp_pos : p ≠ 0
hμs_pos : μ s ≠ 0
⊢ ‖indicatorConstLp p hs hμs c‖ = ‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal)
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hp_pos : p ≠ 0
hμs_pos : μ s ≠ 0
hp_top : p = ⊤
⊢ ‖indicatorConstLp p hs hμs c‖ = ‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal)

case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hp_pos : p ≠ 0
hμs_pos : μ s ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ ‖indicatorConstLp p hs hμs c‖ = ‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal)

tactic: rw [hp_top, ENNReal.top_toReal, _root_.div_zero, Real.rpow_zero, mul_one]
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hp_pos : p ≠ 0
hμs_pos : μ s ≠ 0
hp_top : p = ⊤
⊢ ‖indicatorConstLp p hs hμs c‖ = ‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal)
state_after: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hp_pos : p ≠ 0
hμs_pos : μ s ≠ 0
hp_top : p = ⊤
⊢ ‖indicatorConstLp ⊤ hs hμs c‖ = ‖c‖

tactic: exact norm_indicatorConstLp_top hμs_pos
state_before: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hp_pos : p ≠ 0
hμs_pos : μ s ≠ 0
hp_top : p = ⊤
⊢ ‖indicatorConstLp ⊤ hs hμs c‖ = ‖c‖
state_after: no goals

tactic: exact norm_indicatorConstLp hp_pos hp_top
state_before: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hp_pos : p ≠ 0
hμs_pos : μ s ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
⊢ ‖indicatorConstLp p hs hμs c‖ = ‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal)
state_after: no goals
Theorem: SupIrred.ne_bot
File: Mathlib/Order/Irreducible.lean

tactic: rintro rfl
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : SemilatticeSup α
a b c : α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
ha : SupIrred a
⊢ a ≠ ⊥
state_after: ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : SemilatticeSup α
b c : α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
ha : SupIrred ⊥
⊢ False

tactic: exact not_supIrred_bot ha
state_before: ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : SemilatticeSup α
b c : α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
ha : SupIrred ⊥
⊢ False
state_after: no goals
Theorem: Subgroup.disjoint_iff_mul_eq_one
File: Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean

tactic: simpa [hx1] using hxy
state_before: G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H₁ H₂ : Subgroup G
h : ∀ {x y : G}, x ∈ H₁ → y ∈ H₂ → x = y → x = 1
x y : G
hx : x ∈ H₁
hy : y ∈ H₂
hxy : x * y = 1
hx1 : x = 1 := h hx (Subgroup.inv_mem H₂ hy) (eq_inv_iff_mul_eq_one.mpr hxy)
⊢ y = 1
state_after: no goals
Theorem: Real.hasStrictDerivAt_log
File: Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean

tactic: cases' hx.lt_or_lt with hx hx
state_before: x : ℝ
hx : x ≠ 0
⊢ HasStrictDerivAt log x⁻¹ x
state_after: case inl
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
⊢ HasStrictDerivAt log x⁻¹ x

case inr
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : 0 < x
⊢ HasStrictDerivAt log x⁻¹ x

tactic: convert (hasStrictDerivAt_log_of_pos (neg_pos.mpr hx)).comp x (hasStrictDerivAt_neg x) using 1
state_before: case inl
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
⊢ HasStrictDerivAt log x⁻¹ x
state_after: case h.e'_6
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
⊢ log = log ∘ Neg.neg

case h.e'_7
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
⊢ x⁻¹ = (-x)⁻¹ * -1

tactic: ext y
state_before: case h.e'_6
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
⊢ log = log ∘ Neg.neg
state_after: case h.e'_6.h
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
y : ℝ
⊢ log y = (log ∘ Neg.neg) y

tactic: exact (log_neg_eq_log y).symm
state_before: case h.e'_6.h
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
y : ℝ
⊢ log y = (log ∘ Neg.neg) y
state_after: no goals

tactic: field_simp [hx.ne]
state_before: case h.e'_7
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
⊢ x⁻¹ = (-x)⁻¹ * -1
state_after: no goals

tactic: exact hasStrictDerivAt_log_of_pos hx
state_before: case inr
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : 0 < x
⊢ HasStrictDerivAt log x⁻¹ x
state_after: no goals
Theorem: ENNReal.tsum_mul_right
File: Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean

tactic: simp [mul_comm, ENNReal.tsum_mul_left]
state_before: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
⊢ ∑' (i : α), f i * a = (∑' (i : α), f i) * a
state_after: no goals
Theorem: uniformCauchySeqOnFilter_of_deriv
File: Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean

tactic: simp_rw [hasDerivAt_iff_hasFDerivAt] at hf
state_before: ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
hf' : UniformCauchySeqOnFilter f' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
⊢ UniformCauchySeqOnFilter f l (𝓝 x)
state_after: ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
hf' : UniformCauchySeqOnFilter f' l (𝓝 x)
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
hf : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1 n.2)) n.2
⊢ UniformCauchySeqOnFilter f l (𝓝 x)

tactic: exact uniformCauchySeqOnFilter_of_fderiv hf'.one_smulRight hf hfg
state_before: ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
hf' : UniformCauchySeqOnFilter f' l (𝓝 x)
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
hf : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1 n.2)) n.2
⊢ UniformCauchySeqOnFilter f l (𝓝 x)
state_after: no goals